Российский математик, философ и педагог, член-корреспондент Петербургской академии наук. Окончил Московский университет (1859), учился в Николаевской инженерной академии, служил в саперном батальоне. После защиты магистерской диссертации два года жил во Франции, где слушал лекции Ж. Бертрана, К. Вейерштрасса, Э. Куммера, М. Шаля. С 1865 года преподавал в Московском университете, был вице-президентом и президентом Московского математического общества. Основные труды в области математического анализа и теории чисел. Разрабатывал теорию прерывных функций, которую связывал с философскими вопросами. Среди учеников — В. Г. Алексеев, Д. Ф. Егоров, Л. К. Лахтин, П. А. Некрасов. Написал учебники по арифметике, алгебре и геометрии для гимназий.
Колягин Ю. М., Саввина О. А. Николай Васильевич Бугаев. — 2009Колягин Ю. М., Саввина О. А. Николай Васильевич Бугаев / М-во образования и науки РФ, Федер. агентство по образованию, Елецкий гос. ун-т им. И. А. Бунина [и др.] ; под ред. Ф. С. Авдеева, В. П. Кузовлева, Ю. А. Дробышева. — Елец : ЕГУ им. И. А. Бунина, 2009. — 277 с. — (Математики-педагоги России. Забытые имена ; кн. 4). — Источники и библиогр.: с. 190—200. Гаврилова М. С. Обзор научных трудов Н. В. Бугаева. — 2017Гаврилова М. С. Обзор научных трудов Н. В. Бугаева // Вестник Елецкого государственного университета им. И. А. Бунина. — Елец, 2017. — Вып. 38. — С. 18—23. Дроздова К. А. Научные труды Н. В. Бугаева по числовой алгебре. — 2015Дроздова К. А. Научные труды Н. В. Бугаева по числовой алгебре // Вестник Елецкого государственного университета им. И. А. Бунина. — Елец, 2015. — Вып. 36. — С. 89—91.