ВЕСТНИК ЕЛЕЦКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

18

выпуск 39

Серия "Педагогика"

(ИСТОРИЯ И ТЕОРИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ)

Елец

2018

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЕЛЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. И.А. БУНИНА»

ВЕСТНИК ЕЛЕЦКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

Выпуск 39

СЕРИЯ «ПЕДАГОГИКА»

(ИСТОРИЯ И ТЕОРИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ)

Елец-2018

УДК 37+51 ББК 74+22.1 В 38

Печатается по решению редакционно-издательского совета Елецкого государственного университета имени И.А. Бунина от 29.01.2018 г., протокол № 1

Редакционная коллегия серии «Педагогика» (История и теория математического образования):

Герасимова Евгения Николаевна - доктор педагогических наук, профессор, ректор Елецкого государственного университета им. И.А. Бунина; Асланов Рамиз Муталлим оглы - кандидат физико-математических наук, доктор педагогических наук, заведующий отделом Научно-технической информации Института математики и механики Национальной Академии Наук Азербайджана;

Мельников Роман Анатольевич - кандидат педагогических наук, доцент кафедры математики и методики ее преподавания Елецкого государственного университета им. И.А. Бунина (ответственный редактор);

Саввина Ольга Алексеевна - доктор педагогических наук, профессор кафедры математики и методики ее преподавания Елецкого государственного университета им. И.А. Бунина (ответственный редактор).

В 38 Вестник Елецкого государственного университета им. И.А. Бунина. -Вып. 39: Серия «Педагогика» (История и теория математического образования). -Елец: ЕГУ им. И.А. Бунина, 2018. - 171 с. ISBN 978-5-94809-981-1

Представленные в выпуске статьи отражают научные результаты, полученные сотрудниками кафедры математики и методики её преподавания Елецкого государственного университета им. И.А. Бунина. Кроме преподавателей и студентов ЕГУ авторами статей являются исследователи из Москвы, Нижнего Новгорода, Баку, Донецка и Могилёва.

Работы распределены по четырём разделам:

Философско-мировоззренческие вопросы математики.

История математики и математического образования.

Теория и методика обучения математике в школе и вузе.

Современные проблемы математики.

Издание предназначено для математиков, преподавателей, учителей, аспирантов и студентов, интересующихся проблемами истории и теории математического образования, а также вопросами математики.

УДК 37+51 ББК 74+22.1

ISBN 978-5-94809-981-1

© Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина, 2018

Раздел I. ФИЛОСОФСКО-МИРОВОЗЗРЕНЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ МАТЕМАТИКИ

О МЕТОДОЛОГИЧЕСКИХ ПРОБЛЕМАХ В ИССЛЕДОВАНИЯХ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ ОБРАЗОВАНИЮ

О.А. Саввина

Елецкий государственный университет им. И. А. Бунина, Елец; доктор педагогических наук, профессор кафедры математики и методики её преподавания

Аннотация. Будущее математического образования во многом зависит от того, какой из методологических подходов будет поставлен в основу современных исследований по методике преподавания математики. В статье осмысляются антропологический, цивилизационный, метафизический, позитивистский и рыночный подходы.

Ключевые слова: методология математического образования, метафизический подход.

В педагогической науке в целом, и в отечественной методике преподавания математики в частности, налицо присутствуют признаки кризиса, одна из причин которого обусловлена, очевидно, отсутствием четко определенной методологической базы. Действительно, если дореволюционные педагоги черпали методологические идеи преимущественно из своего религиозного мировоззрения и культурных традиций, а советские — из марксистко-ленинской идеологии, то сегодня образовалась некая лакуна, которую, к сожалению, завоевывает так называемая рыночная идеология, которая может рассматриваться в качестве объекта исследования экономической, но не педагогической науки. Поэтому представляет интерес метафизический подход к толкованию педагогических явлений.

Духовное измерение проблем современного образования представлено в работах В.И. Слободчикова [13], О.Р. Каюмова и др. [4], [5], [6]. Исследователям А.А. Остапенко и Т.А. Хагурову удалось применить метафизический подход к описанию динамики антропологических смыслов образования, понимаемом как формирование человека «по образу» [2], «в совокупности заданных этим образом духовных, интеллектуальных, моральных и волевых качеств» [9].

Известно, что в античности философы (Сократ) и софисты (Протагор) расходились в понимании целей образования, поскольку по-разному

определяли человека. Для софистов «человек — мера всех вещей», поэтому каждый сам для себя определяет, что есть истина [9, с.25]. На первое место софисты выдвигали практическую эффективность образования, а философы — познание Истины, отделение сущностей от видимостей [9, с.25]. Неслучайно греческую философию Сократа, Платона и Аристотеля называют «детоводителем», готовившим Римскую империю к принятию Христа. В рамках этой философии цель образования человека — всестороннее развитие личности: развитие разума, воспитание чувств и тренировка тела.

Однако для античных философов оставалось загадкой: почему человек, разумом понимая благо и добро, поступает дурно? Ответ на этот непростой вопрос появился только с возникновением христианства. А.А. Остапенко и Т.А. Хагуров комментируют этот ответ с точки зрения христианской антропологии: «Человек — это Образ и Подобие Божие, но Образ, поврежденный первородным грехом. ...Изначальная внутренняя иерархичность человека в результате грехопадения оказалась расстроенной. Телесное и душевное начала вышли из под контроля начала духовного. Это обусловливает наличное страстное (страдающее и желающее) состояние человека. Страсти как греховные влечения несут с собой индивидуальные и социальные страдания. Собственно, одно из ключевых достижений христианской мысли — это концептуализация иррационального начала в человеке» [9, с.29].

Таким образом, христианство открыло исследователям в области педагогики важное знание о греховности человеческой сущности, о первородности греха. Епископ Орловский и Севский Макарий еще в XIX веке отмечал: «Худые семена или плевелы растут сами собою и растут гораздо успешнее, нежели семена добрые. Причина сему та, что человек, по самой поврежденной природе своей расположен более ко злу, нежели к добру, так что научиться злому для каждого гораздо легче, нежели доброму» [8, с. 1491]. Отсюда понятно, почему ребенку легче проводить время в праздности, чем учиться. Поэтому опасны детоцентризм и недооценка роли наставника в образовательном процессе.

Метафизический подход позволяет не только определить цель образования, спроектировать христианскую модель образования, но и указать методы и средства достижения этой цели. «Социальный проект христианства как благого справедливого общества объединенных на началах Любви верующих людей реализуется через Спасение как исправление поврежденной человеческой природы, через Богопознание и аскетику. «Это путь преодоления иррационального через обожение. Антропологический идеал — Христос, Богочеловек. Социальный идеал — соборное единство Церкви, основанное на любви и милосердии» [9, с.30].

Человек в православном христианстве, с одной стороны, высочайшее творение Божье, с другой стороны, — тварь, поврежденная грехом. Пре-

одоление этого противоречия осуществляется через покаяние и богопознание, с помощью которых человек приводится к просвещению (Истиной) и Спасению. «Базовой ценностью христианской культуры становится Любовь, заменяющая неумолимость Справедливости» [9, с.31].

Россия явилась наследницей имперской (византийской) системы образования с классическими гимназическими идеалами «всестороннего развития личности» [5]. Под влиянием православной культуры советский проект просвещения фактически использовал идею «формирования всесторонне развитой личности - будущего строителя коммунизма» как превращенную версию христианского преодоления, как светскую форму «обожения». Антропологический идеал советской эпохи — свободная и творческая личность, строящая свободное и справедливое общество». Моральный облик «строителя коммунизма» фактически был скопирован с православного христианского идеала, но с перевернутой иерархией шкалы ценностей (во главе уже был не Христос, а справедливое социальное общество)» [9] .

В отечественном математическом образовании имела место преемственность педагогических идей от создателей дореволюционной к советской методике математики, о чем свидетельствует возвращение в 1930-X гг. в образовательную практику советской школы переработанных учебников математики дореволюционных авторов А.П. Киселева и Н.А. Шапошникова.

При этом позитивистский подход как подход, отрицающий иррациональное в человеке, стал основой исследований по проектированию советских методик обучения математике. Как справедливо замечают А.А. Остапенко и Т.А. Хагуров, социализм использовал идеологию Просвещения, полагая, что зло есть следствие неразумного социального устройства. В основание антропологической модели была положена все та же идея «чистого листа» (tabula rasa) Джона Локка. Все люди равны в своей чистоте, бесформенности (несформированности). В «добрых» руках (и сердцах) ребенок становится (формируется) добрым, в «злых» -злым. Обучение было ориентировано на внешние формирования другими людьми и «рукотворным» пространством человеческой культуры. «Основная роль педагога - педагогическое воздействие на формируемого человека и создание культурной человеческой среды, необходимой для его формирования, и тогда «талантливым становится любой человек с биологически нормальным мозгом, если ему посчастливилось развиваться в нормальных человеческих условиях» [9, с.39].

Недооценка советскими педагогами устойчивости метафизического фактора - иррационального в человеке - привела к тому, что, несмотря на успехи образования, блестящие выступления школьников на международных математических олимпиадах, ощутимые результаты в области форми-

рования нравственного общества, в советской школе не удалось избежать формализма, проблем процентомании и пр.

В противоположность советской модели образования на Западе развивался свой рыночный проект.

Экономическая теория Адама Смита придала ореол научной целесообразности либеральной доктрине. Как пишет О.Р. Каюмов, «в XVII веке была выгодна Англии: ее корсары хозяйничали на морских просторах без всяких правил, создавая первоначальный капитал Британской империи». [3, с. 99]. Смит бездоказательно провозгласил нормальным человеком лишь «экономического человека» («homo economicus»), склонного к торговле, к обмену одного предмета на другой [10].

В соответствии с особенностями протестантской этики, когда финансовый успех уравнивался с религиозным служением, погоня за прибылью стала настоящей целью жизни. В капиталистической модели исходным пунктом является то, что человек изначально плох, он эгоист, и нужно этот эгоизм ограничить (право как способ ограничения) и заставить работать на прогресс. «Целью образования становится формирование человека эффективного, антропологическим идеалом образования — «человек, сделавший сам себя», т.е. добившийся богатства и уважения своим трудом и талантом [9].

Гуманизм и универсализм в капиталистическом обществе уступили место прагматизму, выдвинувшему приоритетной идею полезных знаний и «практичного образования». Отсюда, если есть «полезные» и «практичные» знания, следовательно, должны быть «лишние» и «бесполезные». «Так возникла идея «избыточного образования», ненужного в прагматичном рыночном обществе. Образование в рыночном обществе из блага превратилось в услугу.

Математика в таком обществе теряет свои позиции, поскольку рассматривается не как самодостаточный учебный предмет, а как средство для формирования компетенций, универсальных учебных действий и пр. Подобные представления в истории просвещения возникали неоднократно, хотя давно в теории и на практике доказано, что «изучение математики (как системы научных знаний) непременно формирует логическое мышление, включая умения анализировать, синтезировать, обобщать, связывать суждения, правильно устанавливать силлогизмы и строить умозаключения, поэтому сомнительной выглядит идея о подмене традиционной знаниевой системы обучения математике симулякрами в виде метапредметных результатов и универсальных учебных действий» [11].

Математика учит любить истину. В ней нет разных точек зрения на один и тот же объект, а значит, легче добиться правды. Такой четкости нет в гуманитарных науках. В философии, юриспруденции, литературе множество определений у одного и того же понятия. Аксиоматический метод вносит определенность, позволяет легче увидеть ошибку, исключить ложь.

Поэтому учебный предмет «математика» оказывается востребованным там, где есть стремление к познанию истины.

В последнее время в исследованиях по математическому образованию также обозначился цивилизационный подход, выдвинутый еще в работах Н.Я. Данилевского [1] и А. Тойнби [14]. Цивилизационный подход предполагает, что в современном мире сосуществует несколько культурно-исторических типов сообществ (Данилевский) или цивилизаций (Тойнби), каждая из которых характеризуется устойчивыми самобытными традициями. «Фактически, - пишет О.Р. Каюмов, - это отдельные миры: индийский, западноевропейский (протестантский и католический), восточноевропейский (православный), арабский, дальневосточный и т.д.» [4].

Процесс глобализации предполагает слить разные цивилизации в один мультикультурный котел, что, по сути, приведет к уничтожению цивилизаций (согласно Н.Я. Данилевскому цивилизации не могут «смешиваться»).

В ряде философских исследований убедительно показано, рыночная идеология и сам «дух капитализма» для большинства современных цивилизаций, за исключением «западной», являются противоестественными [4], [5], [15] и др.

Так, отличия западной и русской дидактических школ обусловлены мировоззренчески разными цивилизационными установками. В рыночном проекте ученик рассматриввается как конкурент учителю, поэтому вполне закономерно, что учитель не стремится «все секреты» передать своему ученику. Это отчасти объясняет то, почему на Западе методика преподавания предметов не рассматривается как наука и не пользуется популярностью. Более того, рыночный подход к научному знанию западной цивилизации противоречит гносеологической функции науки, поскольку провозглашает: «истинно то, что выгодно».

Рыночная идеология проникла не только в педагогику, но и в философию в виде так называемого постмодернисткого течения, появление которого датируют концом XX века (Ж.Ф. Лиотар, Ж. Деррида, Ж.Дедез и др.) [7], [11]. Как справедливо считает А. Поповкин, постмодернизм - это «современная версия софизма». Общим для софизма и постмодернизма является исходный принцип о том, что истины нет, что у каждого человека -своя правда, своя истина.

К сожалению, термины рыночного «новояза» глубоко проникли в лексику современных педагогических исследований, вытеснив собой понятия традиционной педагогики: «обучение, воспитание, развитие», «педагогика и методика математики», «методы обучения», «знания, умения и навыки» и пр. Практически ни одна публикация или диссертация последних десятилетий не обходится без привлечения понятий «технология», «проектная деятельность», «компетентностная парадигма», «универсальные учебные действия» и пр. симулякров реального образовательного про-

цесса. В сознание педагогической общественности внедряются мысли, что «старорежимные предметные результаты» вытесняются «новейшими личностными и метапредметными результатами», что «учитель теперь не столько учит, сколько организует процесс обучения, оказывает образовательные услуги» и т.п. [12].

Отсутствие смыслов, релятивизм педагогического знания, деконструкция базовых принципов и размытие понятий - характерные черты нынешнего постмодернисткого этапа развития методики преподавания математики. В дореволюционных и ранних советских работах по методике преподавания математики непременно присутствовали размышления о главном принципе педагогической науки - любви к детям. К сожалению, в современных исследованиях по методике обучения математике об этом принципе мы не найдем даже упоминания.

Искать в методике преподавания математики не новое, а вечное - вот путь, который определяет метафизический подход к изучению современных педагогических явлений. Его преимущество заключается в том, что открывается возможность не только описывать современное состояние математического образования, но и высказывать долгосрочные прогнозы.

Согласно отечественной традиции, учебный предмет «математика» помогает формировать определенные качества личности (логическое мышление, любовь к истине и пр.), если этот предмет представлен систематическими курсами (курсами, основанными на доказательствах).

Таким образом, можно выделить несколько методологических подходов к проведению педагогического исследования в настоящее время (антропологический, цивилизационный, метафизический, позитивистский и рыночный). Будущее математического образования во многом зависит от того, какой из этих подходов будет поставлен в основу государственной образовательной политики и современных исследований по методике преподавания математики.

Библиографический список

1. Данилевский Н.Я. Россия и Европа. М.: Институт русской цивилизации, 2008. 816 с.

2. Иерей Вадим Коржевский. Цели образования в контексте истории образования в России // Вестник ПСТГУ. IV. Педагогика. Психология. 2007. Вып.1. С.27-32.

3. Катасонов В.Ю. Метафизика истории. М.: Институт русской цивилизации, 2017.

4. Каюмов О.Р. О целях и идеалах образования при «компетентностном подходе» // Идеи и идеалы. 2017. №4. Т.1. С.95-104.

5. Каюмов О.Р. О проблемах, связанных с межцивилизационными заимствованиями в педагогике // Вестник Елецкого государственного университета им. И.А. Бунина. Вып. 34: Серия «Педагогика» (История и теория математического образования). Елец: ЕГУ им. И.А. Бунина, 2014. С7-12.

6. Каюмов О.Р. О деструктивной природе «рыночной педагогики» // Международный научный вестник (Вестник объединения православных ученых). 2016. №4. С5-8.

7. Лиотар Ж.-Ф. Состояние постмодерна / Пер. с фран. М.: Издательство «АЛЕТЕЙЯ», Санкт-Петербург, 1998.

8. Макарий, епископ Орловский и Севский. Слово и две речи, произнесенные в городе Ельце 20 сентября 1871 года // Орловские епархиальные ведомости. 1871. №29. С. 1488- 1499.

9. Остапенко А.А., Хагуров Т.А. Человек исчезающий. Исторические предпосылки и суть антропологического кризиса современного образования. Краснодар: Кубанский государственный университет, 2012. 196 с.

10. Олейников А.А. Экономическая теория. Политическая экономия национального хозяйства. В 2 ч. Ч. 1. М: ТЕИС, 2006. 553 с.

11. Поповкин А. В поисках нового гуманизма // Духовный собеседник. 2006. №2 (82). С.46-55.

12. Саввина О.А. Учебный предмет «математика» как цель и средство образования // Педагогика. 2017. №9. С.57-62.

13. Слободчиков В.И. Духовные проблемы человека в современном мире // Педагогика. 2008. №9. С.33-39.

14. Тойнби А. Дж. Постижение истории: Сборник: пер. с англ. Е.Д.Жаркова. М.: Рольф, 2000. 640с.

15. Шафаревич И.Р. Россия и мировая катастрофа http://shafarevich.voskres.ru/a29.htm

О ДЕЯТЕЛЬНОСТНОМ ОБОСНОВАНИИ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ИНТУИЦИИ

В.Я. Перминов*, О.Д. Фролкина**

Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, г. Москва;

* доктор философских наук, профессор кафедры философии естественных факультетов; ** кандидат физико-математических наук, доцент кафедры общей топологии и геометрии механико-математического факультета

Аннотация. В заметке обсуждается проблема обоснования евклидовой геометрии. Утверждается, что евклидова геометрия имеет особый статус по отношению ко всем другим геометриям. Именно, евклидова геометрия имеет априорный характер, продиктованный структурой человеческого разума и деятельностью человека в мире.

Ключевые слова: евклидова геометрия, геометрическая интуиция, проблема обоснования математики, априорное знание, деятельность.

1. Мысль о том, что математическое мышление содержит в себе два блока, а именно арифметику как учение о числе и геометрию как о пространственных величинах, можно увидеть уже у Платона, но как философское воззрение она окончательно оформилась в «Критике чистого разума» Канта. Арифметика, по Канту, представляет собой концептуализацию априорного представления о времени, а геометрия - концептуализацию

априорного представления о пространстве. Кант выдвинул также определенное воззрение на допустимые объекты математики. Математическое рассуждение, по его мнению, может иметь дело с двумя типами объектов: объекты, непосредственно данные в чистом созерцании (число, геометрическая фигура), и объекты, получаемые из первой группы объектов через процедуру интуитивно ясного конструирования. Мы непосредственно не созерцаем тысячеугольник, говорил Кант, но у нас есть способ прийти к нему через постепенное преобразование треугольника. Рассуждая о тысячеугольнике, мы опираемся не на созерцание его как такового, но на интуитивно ясную процедуру его построения.

2. Появление в 19-ом столетии неевклидовых геометрий и теории множеств Кантора, несомненно, опровергало кантовскую философию математики в ее учении об объектах. Ни объекты неевклидовых геометрий, ни объекты теории множеств не подходят под понятие непосредственно данных в созерцании или определенных на основе конструкции. Возникла также идея, что неевклидовы геометрии опровергают и априорный статус евклидовой геометрии. Какова наша геометрия на самом деле, говорил Б. Риман в своей статье «О гипотезах, лежащих в основе геометрии» (1854), может быть обосновано только на опыте. Позиция Римана допускает, что система понятий, лежащих в основе элементарной геометрии, на самом деле не отражает действительной структуры мира, и может случиться, что в качестве истинной геометрии пространства мы должны будем признать одну из неевклидовых геометрий, а старая геометрия может быть отброшена как ошибочная.

3. В статье «О заблуждениях в основаниях геометрии» В.Я. Цингер (1836-1907) высказал важную мысль, состоящую в том, что никакое обогащение геометрической мысли не отвергает особого статуса евклидовых представлений. Его аргумент состоял в том, что евклидовы представления являются априорными и абсолютно навязанными нашему сознанию. Никакие новые геометрии не заставят нас изменить или устранить евклидианский характер математического мышления. Здесь он исходит из кантовской теории исходных математических понятий как понятий априорных и инвариантных для человеческого мышления. Другой аргумент Цингера, который является по своей сути методологическим, состоял в том, что никакая из новых геометрий не могла бы быть вообще построена, если бы была поколеблена система исходных евклидианских представлений. Хотя новые геометрии говорят о существенно иных объектах, методы обоснования их структуры и их свойств неизбежно опираются на интуиции евклидовой геометрии. Тот, кто убрал бы из математики евклидову геометрию, разрушил бы геометрическое мышление в целом. Евклидова геометрия абсолютна и необходима как методологическое основание геометрического мышления в целом.

4. Абсолютность евклидовой геометрии защищал немецкий философ Гуго Динглер (1881-1954). Евклидова геометрия, по Динглеру, не обобщение какого либо чувственного опыта, но система необходимых разграничений реальности, необходимых для нашей практической деятельности. Человек нацелен на действие, и в его сознание по необходимости внедрены понятия, позволяющие скоординировать действие. Может существовать множество геометрических систем, но евклидова система является единственно реальной и абсолютной, ибо это система представлений, продиктованная необходимостью координации человеческого действия.

5. Положение об абсолютности евклидовой геометрии было высказано в 70-х годах прошлого века французским математиком Жаном Дьедонне (1902-1995). В своей статье о математической строгости [1] он говорит, что современные философы слишком увлеклись релятивизмом. В действительности нестрогие определения и нестрогие выводы могут присутствовать в математике, но это имеет место только на начальных этапах развития математической идеи. Всякая математическая теория неизбежно достигает того этапа развития, когда она превращается в целостный и законченный блок, в котором невозможны какие-либо изменения и корректировки. И для арифметики, и для евклидовой геометрии, достигших этапа полной аксиоматизации, никакие внутренние некорректности и скрытые леммы недопустимы. Дьедонне убежден, что в основе математики лежат интуиции, имеющие статус абсолютности, и это относится, прежде всего, к арифметике и евклидовой геометрии.

6. Идеи, высказанные Цингером, Динглером и Дьедонне, заставляют нас сформулировать другое видение математической науки, отличное как от абсолютного кантовского априоризма, так и от современного эмпирицизма. Мы понимаем теперь, что математика по своему содержанию не ограничивается арифметикой, евклидовой геометрией и алгеброй, как это представлял себе Кант. В своих объектах и идеях она далеко вышла за пределы этих исходных и элементарных областей. Математика в целом не может более считаться знанием, всецело построенным на интуитивно ясных принципах, и не может считаться знанием априорным в старом смысле этого слова как знанием, необходимо навязанным человеческому сознанию. Но арифметика и евклидова геометрия остаются при этом априорным, инвариантным и методологически необходимым ядром математики, ее абсолютным основанием. Мы не отказываемся полностью от математического априоризма, но связываем априорность с исходными интуициями математики и с ее методологическим основанием.

7. Основное затруднение фундаменталистского понимания математики состоит в обосновании априорного статуса евклидовой геометрии и арифметики, т.е. в защите кантовского воззрения на статус этих исходных дисциплин. Пока мы не продвинулись существенно в разрешении этого

вопроса. Если посмотреть на таких философов как К. Поппер, И. Лакатос, Ф. Китчер, то в основаниях математики нет ничего абсолютного и окончательного, все интуиции корректируемы, все содержательные доказательства могут встретиться с контрпримерами, априорного знания не существует, всякая интуиция погрешима, и всякое синтетическое утверждение есть утверждение эмпирическое. Фундаменталистские мыслители верят в истинность кантовского априоризма, они настаивают на полной надежности первичных математических очевидностей и на полной завершенности зрелых математических доказательств. Но надо признать, что эту фундаменталистскую убежденность до сих пор не удается подкрепить системой аргументов, однозначно решающих вопрос. Основная проблема сводится к строгому разделению обыденной эмпирической и очевидно погрешимой интуиции и априорной декартовской интуиции, которая приводит нас к абсолютно надежным истинам.

8. Разрешение этого вопроса следует искать в анализе человеческой деятельности и в структуре тех представлений, которые необходимо навязываются деятельностью. Мы убеждены, что всякое явление имеет причину. Философ эмпирик будет убеждать нас в том, что это общее убеждение укоренено через наблюдение множества конкретных ситуаций, в которых за явлением мы обнаруживали причину. Так мыслили Локк, Милль, Гельмгольц, Мах и многие другие философы. Для них принцип причинности -это просто результат опыта и индукции. Но как мы теперь понимаем, индукция не раскрывает природы и статуса такого рода общих суждений. Действующий человек нацелен на поиск причин, ибо только через причины мы можем осуществлять действие. С этой точки зрения принцип причинности - не индуктивный вывод о структуре мира, а праксеологический регулятив, определяющий действие. Мы не знаем, все ли явления имеют причину, и никогда этого не узнаем. Можно допустить, что реальный мир лишь частично причинно обусловлен. Но наше праксеологическое видение мира требует утверждения принципа причинности как абсолютного и безусловного. Мы приходим, таким образом, к обоснованию особого рода праксеологических интуиции, имеющих абсолютное значение для нашего познания.

9. Общий замысел Г. Динглера был правильным. Рассматривая человека как существо, сориентированное на деятельность, мы открываем в его сознании систему необходимых и неразрушимых интуиции, к которым относятся и исходные интуиции математики. Но теория Динглера нуждается в существенной корректировке. Априорное у Динглера смешивается с конвенциональным. Выбор плоскости в качестве исходного образа геометрии обусловлен, по его мнению, возможностью ее технической реализации (при изготовлении инструментов и т.п.): в другом мире или при некоторых других технических возможностях здесь мог бы быть другой образ и другая система геометрии. Математическое априори Динглера, таким образом,

это конвенциональное априори, обусловленное техническими операциями данного социума, но не абсолютная интуиция Декарта и не продукт кантовского чистого созерцания. В общем плане Динглер выводит исходные интуиции геометрии из манипуляций с твердыми телами. Представляется, однако, что манипуляции с твердыми телами - слишком узкая база для обоснования геометрии. Деятельностный подход к обоснованию исходных интуиции математики, намеченный Динглером, требует углубления и расширения. Мы должны более широко определить понятие деятельности, так как ясно, что деятельность как манипуляция с твердыми телами не определяет и не оправдывает понятия числа.

11. Наш общий вывод состоит в том, что для обоснования математики как науки, базирующейся на априорных принципах, нам необходима развитая теория деятельности, выявляющая всю систему необходимых интуиции, продиктованных практической ориентацией человеческого мышления.

Библиографический список

1. Jean Dieudonne, La notion de rigueur en mathématiques (The notion of rigour in mathematics). Aspects of mathematics and its applications, Collect. Pap. Hon. L. Nachbin, 1986. 281-294.

Раздел II. ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ЭПОХА ПРОСВЕЩЕНИЯ: МАРИЯ ГАЭТАНА АНЬЕЗИ (16.05.1718 - 09.01.1799) (К 300-ЛЕТИЮ СО ДНЯ РОЖДЕНИЯ)

Р.М. Асланов

Институт математики и механики НАН Азербайджана, г. Баку; зав. отделом «Научно-технической информации», кандидат физико-математических наук, доктор педагогических наук, профессор

Консервативные немецкие законы не позволяли Ф. Клейну и Д. Гильберту перевести особу женского пола (Эмми Нетер) на должность доцента. «Как можно допустить, чтобы женщина сделалась приват-доцентом: ведь, сделавшись приват-доцентом, она может стать профессором и членом Университетского сената; позволительно ли, чтобы женщина вошла в Сенат?» На это заявление последовала знаменитая реплика Д. Гильберта: «Господа, ведь Сенат не купальня, почему же женщина не может войти туда!»

Аннотация. Краткая автобиография к 300-летию со дня рождения первой в мире женщины, занимающей должность профессора математики Болонского университета Марии Аньези, о её книге «Основы анализа для употребления итальянского юношества» и научном наследие.

Ключевые слова: жизнь, творчество, математика, Болонский университет, «Локон Аньези», богословие.

В истории науки мало было ученых-женщин, ещё меньше женщин математиков.

По дошедшим до нас сведениям первой женщиной-математиком была гречанка Гипатия, жившая в Александрии с 370 по 415 годы до н.э. Гипатия изучала математику, астрономию, медицину и философию, написала комментарии к «Арифметике» Диофанта и к «Коническим сечениям» Апполония Пергского. Она была красива, красноречива, обаятельна; её мнение и советы ценились всеми не только в области точных и гуманитарных наук, но и в практической жизни.

В истории многих веков после смерти Гипатии не сохранилось никаких сведений об ученых-женщинах. Судьбы многих женщин, оставивших след в математике, чем-то похожи. Это связано с тем, что для женщин на протяжении многих веков общество не одобряло увлечение такой "сомнительной" вещью, как математика. Да и вообще женское образование не приветствовалось, достаточно было уметь читать и писать. Большинство женщин-математиков никогда не были замужем, и причина этого, видимо, все та же: редкий мужчина мог осмелиться предложить руку и сердце такой интеллектуальной даме, на которую косо посматривали. В первой половине XVIII века во Франции прославилась своей образованностью маркиза Эмилия дю Шатле, которая перевела с латинского на родной язык знаменитое произведение Ньютона «Математические начала натуральной философии».

Более яркими математическими способностями и эрудицией обладала итальянка Мария Гаэтана Аньези - первая в мире женщина, занимавшая должность профессора математики в университете, а именно в старейшем Болонском университете, основанном в XI веке.

Мария Гаэтана Аньези, итальянка, родилась 16 мая 1718 года в богатой и грамотной семье. Мария была признанным вундеркиндом во всех смыслах и могла поддержать беседу на любую научную или философскую тему. Она говорила на французском, итальянском языках в 5 лет. В 9 лет Мария уже делала переводы на латынь и выступала с речью доказывающей ценность качественного образования для женщин. А к 13 годам знала греческий, иврит, испанский, немецкий, латинский языки и несколько современных языков. Довольно рано она увлеклась философией, затем математикой. Отец Марии, Пьетро Аньези, был не университетским преподавателем, как считалось ранее, а разбогатевшим торговцем шелками. Он оставил после себя 21 ребёнка, родившихся не от одной женщины, что сегодня кажется совершенно неслыханным. (Нужно отметить, что Пьетро был трижды женат). До зрелого возраста дожили лишь немногие из его детей, что в то время было обычным делом. Мария была старшей дочерью, и забота о братьях и сестрах легла на её плечи.

Миланская виа Аньези совершенно случайно проходит близ виа Бах, и семья Аньези и Бахов действительно были похожи: их объединяло обильное потомство и любовь к музыке. Одна из сестёр Марии Гаэтаны по имени Мария Тереза Аньези обожала музыку и стала известным композитором. Ей принадлежат 7 опер и множество инструментальных пьес для клавесина - вы можете ознакомиться с ними в записи, а если читатель хочет знать как выглядела Мария Тереза, он может отправиться в музей Миланской оперы Ла Скала, где висит её портрет.

Мария Гаэтана Аньези родилась в Италии, давшей начало Ренессансу, где женщины имели доступ в академическое сообщество, да и отец ее

всегда поощрял ее интеллектуальные занятия. Именно отец позаботился о том, чтобы дать своей дочери хорошее образование. Ему доставляло удовольствие показывать гостям Марию и её достижения. Скромной девушке это не очень нравилось, однако она выполняла волю отца. Это продолжалось до смерти её матери. Когда та умерла, в 1732 Мария Гаэтана ударилась в религию и даже просила отца отпустить её в монастырь. Однако её отец, гордившийся математическими способностями своей дочери, воспротивился этому желанию, настаивая на её научной карьере. Дети в те времена не смели ослушиваться родителей, Мария-Гаэтана подчинилась воле отца, но с этого времени стала жить очень замкнуто, избегая общества и посвятив себя целиком изучению математики. Математики она училась у одного известного в то время профессора математики, преподававшего в Риме и Болонье.

В собственной миланской типографии Пьетро печатал все сочинения, написанные Марией Гаэтаной. В 1738 году, когда ей было 20 лет, была опубликована её работа «Философские суждения» (Propositiones Philosophicae). Первой математической работой Аньези было составление аннотации и комментариев к труду маркиза Лопиталя о конечных сечениях.

В 1738 году состоялся публичный диспут, на котором Мария Аньези защищала 171 философский тезис. Третий тезис доказывал, что «слабейший пол» часто служил делу науки, что природа создала ум женщины столь же способным, как и ум мужчины для восприятия научных истин. Эти тезисы были опубликованы как «Философские предложения». В своих философских воззрениях Гаэтана склонялась к эклектизму. Для нее не существовало такой школы, не было ни одного философа, которые бы приблизились к истине. Поэтому, полагала Аньези, не стоит придерживаться принципов исключительно одного учения, но следует брать у каждого все то, что согласуется с разумом и чаще подтверждается опытом. Рассуждая о логике и математике, она считала последнею не результатом, а основанием первой, исходя из того, что законы логики извлекаются из геометрии. Рассуждая далее, «углубляясь в дебри метафизики, она очень тонко разбирала сложные и опасные вопросы онтологии (наука о существах) и пневматологии (наука о духах). Отсюда - переход на более твердую почву систем Локка, Декарта, Мальбранша, Лейбница, которые мастерски развивала, противопоставляя одну другой.

По части общей физики она с большим знанием дела толковала о законах движения, сопротивления и тяготения на основании учений Кеплера и Ньютона. В заключение она представила картину основных законов баллистики, статики, гидростатики, астрономии и естественной истории».

Среди её многочисленных друзей был Якопо Франческо Риккати (1676-1754) блестящий специалист по дифференциальным уравнениям, который даже выслал Марии ^отредактированные рукописи, чтобы он

включила их в будущую книгу «Основы анализа для итальянской молодежи»). Самая известная работа Марии Аньези, которую она писала почти 10 лет, называется «Instituzioni analitiche ad uso délia gioventù italiana» («Основы анализа для итальянской молодежи») была опубликована в Милане в 1748 году. В написании этого труда Марию поддерживал ее учитель - итальянский математик Рамиро Рампинельи. Аньези в работе над книгой применила обозначения выведенные таким видным математиком, как Леонард Эйлер. Мария написала эту книгу на тосканском диалекте итальянского языка (на этом же диалекте писал Данте). В итоге получилось ясное и систематизированное изложение всех разделов математики начала XVIII века с большим количеством примеров, в которых даны оригинальные доказательства многих теорем, а также геометрический трактат. Книга имела большой успех. Императрица Мария Терезия Австрийская, которой была посвящена книга, пожаловала Марии кольцо с бриллиантами и хрустальную шкатулку, крышка которой была украшена драгоценными камнями. Она пользовалась популярностью вплоть до начала XIX века.

Мария Аньези изначально представляла себе эту книгу как учебник для младших братьев и сестер, но затем умерила свой пыл. Хотя больше она не написала ни одного математического труда, «Основ анализа» по многим причинам оказалось достаточно. Книга состояла из двух томов общим объёмом более тысячи страниц. В первом томе даны геометрические методы Декарта и теория алгебраических уравнений, во втором систематическое изложение теории дифференциального и интегрального исчисления. Это настоящий учебник по математике, самый ранний из всех дошедших до наших дней, который отличался ясностью изложения: он написан настолько понятно, разрозненные результаты представлены столь логично, что чтение этого двухтомного труда доставляет истинное удовольствие. Здесь же Мария Аньези систематизировала идеи дифференциального исчисления, которое в ту пору проходило непростое становление. Дело в том, что среди математиков шли научные споры между последователями Ньютона и Лейбница. Европа разделилась на два лагеря: ньютонцы доминоровали в Великобритании и во Франции, а лейбницианцы - в Швейцарии и Италии. Сама Мария Аньези была ньютонианкой, но при этом была хорошо знакома и с методами Лейбница, которые систематически использовал в своих работах. В своей книге Мария Аньези объединила оба подхода, справедливо заметив, что между ними нет существенной разницы. Эта работа содержала также изложения аналитической геометрии. В частности там детально изучена кривая третьего порядка, названная впоследствии «Локоном Аньези».

Книга Марии Аньези считалась наиболее понятной и полной со времён публикации труда маркиза Лопиталя, изданного более чем 50 годами ранее. Публикацию оплатила семья Аньези. Мария перевезла печатные

машины к себе домой, чтобы полностью контролировать процесс. Книга имела широкие поля и была отпечатана большим и легко читаемым шрифтом. «Основы анализа итальянской молодёжи» сразу после публикации не приобрела особую известность - математический анализ в те годы не был популярен, а кроме того научным работам, в которых не излагались новые открытия в те годы, не придавалось большое значение. Отметим, что Мария не ставила цели написать целый трактат, а хотела создать учебник по анализу, тщательно отобрав множество примеров. Но со временем её книга стала известной и была переведена на английский, и по инициативе Парижской академии наук на французский язык и в конце XVIII века считалась лучшим изложением новой математики. Французский перевод был выпущен достаточно поздно, так как редакторы дополнили оригинал рядом тригонометрических понятий, которых, по их мнению, не хватало в тексте, и оказались правы.

История английского перевода заслуживает особого рассказа.

В конце первого тома была изображена и подробно рассмотрена особая кривая, которую первым описал геометр Гвидо Гранди (1671-1742). Эту кривую упоминал уже Ферма в 1703 году, а построение ее описал Гвидо Гранди, который в 1718 г. за её форму назвал ее на латыни «versoria», что значит «канат, который поворачивает парус». По-итальянски Гвидо Гранди привел название «versiera». Конечно же, в своей книге Аньези совершенно правильно назвала кривую «la versiera». Книгу Аньези переводил на английский язык Джон Кольсон, который неправильно заменил «1а versiera» на «l'aversiera», что значит «ведьма», или «жена дьявола». Таким образом, в Англии эта кривая стала известна как «ведьма Аньези» (witch of Agnesi). По-русски эта кривая называется «локон Аньези».

С двадцати лет Мария Аньези посвящает себя математике и быстро делает успехи. Через десять лет единогласно избирается в члены Болонской академии наук. В 1750 году за выдающиеся достижения Папа Бенедикт XIV лично назначил Аньези профессором на кафедру математики в Университете Болоньи (Северная Италия). Мария Гаэтана Аньези стала первой женщиной, занявшей должность профессора математики в Болонском университете, основанном в XI веке.

К этому времени Мария Аньези уже получила европейскую известность, которую принес ей учебник по математике, изданный в 1748 году под названием «Основы анализа для употребления итальянского юношества».

После успеха своей книги, Мария была избрана в Болонскую академию наук. В учебнике изложен новый анализ, сформировавшийся в трудах Ньютона и Лейбница.

Мария Аньези, в частности, доказала, что любое кубическое уравнение имеет три корня. Как утверждается в биографических справках, ее решения алгебраических уравнений до сих пор можно встретить в современных учебниках по алгебре. Одно из ее решений вошло в историю под названием «ведьма Аньези» (локон Аньези).

В честь Аньези плоскую кривую, выраженную уравнением у(х2 +а2) = а\ назвали «локон Аньези».

Функция четная; горизонтальная асимптота - ось абсцисс; площадь ^(бесконечной) области между кривой и осью абсцисс можно найти по формуле

Геометрически можно задать эту кривую следующим образом. Рассмотрим окружность радиуса а/2 с центром в точке (0; а/2). Проведем к окружности из начала координат, точки О, секущую OB, пересекающую окружность в точке С, а прямую у = а - в точке В. Определим теперь точку M как точку пересечения прямой, проведенной через точку С параллельно оси абсцисс, с прямой, проведенной через точку В параллельно оси ординат. Геометрическое место таких точек Ми есть «локон Аньези».

Кроме математики Мария Аньези занималась ботаникой, минералогией и астрономией.

Мария Аньези преподавала математику в университете до 1771 года. После смерти отца в 1752 году Аньези перестала заниматься математикой и посвятила себя богословию. Когда в Болоньи была открыта женская богадельня, Марию Гаэтану назначили её настоятельницей. Она взяла на себя заботу о больных и умирающих женщинах, самоотверженно работая вплоть до собственной смерти. Она также возглавила миланский «Пио Альберго Тривульцио» - учреждение призрения для нищих и бездомных, где она помогала бедным и больным людям, и сама умерла в бедности в той самой миланской богадельне, настоятельницей которой и являлась. После нескольких лет суровой самоотречённой жизни, она присоединилась к монашескому ордену.

Как-то раз, в «Пио Альберго Тривульцио» её попросили прокомментировать книгу о вариационном исчислении юного и талантливого туринского учёного Жозефа Луи Лагранжа (1736-1813). Мария отказалась, объяснив это тем, что больше не уделяет внимания подобным вещам. Умерла Мария Гаэтана Аньези в 1799 году в Милане.

Итальянцы чтут память Марии Аньези. Перед её домом в Болонье установлен памятник. В трех городах ее именем названы улицы и установлены мемориальные доски в память «ученой-математички, широко известной в Италии в ее век». В Милане ее именем названа школа и учреждены премии в нескольких учебных заведениях.

История оказалась жестокой и несправедливой. Труд Аньези занимает более 20 томов в Амброзианской библиотеке Милана, но если сегодня мы спросим какого-нибудь учёного о том, знакома ли ему фамилия Аньези, он, если ответит положительно, то наверняка упомянет «ведьму Аньези», а не женщину-математика и её удивительный вклад в науку. Своим примером Мария Аньези доказала всему миру: женщины обладают и такими же интеллектуальными способностями, как и мужчины и преуспели в математике чуть меньше исключительно по социальным причинам.

Библиографический список

1. Асланов Р.М., Косенко И.И. Женщины-математики. Историко-математические очерки в трёх томах, Том I. М.: Изд-во МПГУ, 2006. (стр.24-27). -362 с.

2. Мир математики: в 45 т. Т.37: Хоакин Наварро Женщины-математики. От Гипатии до Эммы Нетер / Пер. с исп.- М.: Де Агостини, 2014. (стр. 31-40). - 144 с.

3. Ушаков И. Прекрасные учёные прекрасного пола (история о научных озарениях, книга 7) San Diego 2011. (стр.33-38) - 106 с.

ИСТОРИЯ СОЗДАНИЯ УЧЕБНИКОВ МАТЕМАТИКИ ДЛЯ НАЧАЛЬНЫХ КЛАССОВ В РЕСПУБЛИКЕ БЕЛАРУСЬ

Л. В. Лещенко*, Т. В. Гостевич**

Могилевский государственный университет имени А.А. Кулешова, г. Могилёв, Республика Беларусь * кандидат педагогических наук, доцент кафедры методики преподавания математики;

** кандидат педагогических наук, доцент, заведующий кафедрой методики преподавания математики

Аннотация. В статье излагается история и практика разработки учебников математики для I—IV классов в Республике Беларусь. Анализируются основные подходы к созданию учебников, по которым осуществлялось обучение математике младших школьников в последние 30 лет.

Ключевые слова: концепция реформирования начального математического образования, учебник математики для начальных классов, учебно-методический комплекс.

Первые белорусские учебники математики для I-IV классов были созданы в начале 90-х годов коллективом ученых под руководством доктора педагогических наук, профессора А. А. Столяра. Их изданию предшествовала экспериментальная работа, которая проводилась в течение 10 лет в школах, подготовительных группах детского сада по выявлению возможностей целенаправленного развития у детей 6-10-летнего возраста основных структур мышления, по разработке и внедрению в учебный процесс серий обучающих игр. В этих играх моделировались такие математические идеи, как алгоритмы, вероятность, множество и др. Результаты экспериментального исследования были отражены в учебных пособиях «Давайте поиграем», «Математика 0» и легли в основу разработанной А.А. Столяром концепции реформирования начального математического образования в Республике Беларусь [4]. На базе этой концепции были созданы школьные учебники нового типа. Над ними вместе с А.А. Столяром работали В.Л. Дрозд, А.Т. Катасонова и Т.М. Чеботаревская.

Содержание начального курса математики в учебниках не подверглось существенной корректировке. Ядром его являлась арифметика целых неотрицательных чисел, основные содержательные линии: элементы алгебры, геометрические фигуры, величины и их измерение. Это полностью традиционное содержание, оно исторически и психологически обосновано. Исходные понятия в этой системе - натуральное число, которое рассматривается как характеристика класса равномощных конечных множеств, и геометрические фигуры.

Существенному обновлению подверглись формы подачи математического содержания, методика обучения. Концепция реформирования начального математического образования предполагала реализацию трех идей: гуманизацию образования; осуществление обучения математике, особенно на начальном этапе, с активным использованием игры; применение новых образовательных, информационных технологий.

Идея гуманизации ставит в центр внимания в процессе обучения математике личность ученика, его интересы и возможности. Это означает учет психолого-физиологических особенностей детей младшего школьного возраста: восприятия, памяти, мышления; формирование таких интеллектуальных качеств, как критичность, гибкость мышления, самоконтроль, способность к усвоению новой информации; обеспечение психологического комфортного режима умственной деятельности детей. В учебниках математики, созданных коллективом авторов под руководством А.А. Столяра, идея гуманизации реализуется через максимальное использование заложенных в их содержание возможностей для математического и логического развития учеников. Развивающий способ обучения предусматривает постепенное целенаправленное стимулирование открытия учащимися основных закономерностей натурального ряда, свойств арифметических действий, алгоритмов, побуждение к обоснованию правильности суждений, доказательству (в терминах авторов концепции - предматематическому доказательству), построение локальной системы геометрических понятий, связанных между собой родо-видовыми отношениями и вводимых при помощи логических приемов сравнения, определения, классификации. Особое место заняло грамотное использование в учебниках логических связок, выражающих логические операции над суждениями, в формулировке заданий и разъяснение их смысла на конкретных примерах, без введения определений. В учебниках для III-IV классов был помещен раздел «Учись рассуждать правильно» с целью формирования на языке, понятном учащимся, представлений о логической структуре рассуждений, об основных, наиболее распространенных правилах вывода.

Был существенно обновлен материал учебника математики I класса. Пособие для шестилеток состояло из четырех частей, изданных в формате А 4 и выполнявших роль как учебника, так и тетради на печатной основе, в которых учащиеся выполняли предлагаемые задания: раскрашивали, обво-

дили, вписывали числа и знаки действий и отношений, рисовали схемы и т.д. Основным методом обучения, особенно в первой части, являлась обучающая игра. Термин «обучающая игра» использован авторами учебников не случайно, поскольку в ней явно заложены определенные математические и логические идеи. Эти игры направлены на подготовку первоклассников к изучению математики, вооружению на доступном им уровне способами умственной деятельности, навыками учебного труда. Играя, шестилетние дети учатся сравнивать предметы по одному, двум и трем свойствам, осуществлять операции над множествами, выполнять действия в соответствии с определенными правилами. В игре незаметно для себя учащиеся учатся считать, складывать, вычитать, решать различные логические задачи. В учебнике для I класса были представлены такие серии обучающих игр, как «Вырасти дерево», «Игры с обручами», «Чудо-мешочек», «Сократи слово», «Вычислительные машины» и др. Внутри каждой серии игры постепенно усложнялись, что обеспечивало определенный обучающий и развивающий эффект. Игры некоторых серий помещены в учебниках не только первого, но и других, вплоть до четвертого, классов. Например, игры серии «Вычислительные машины» предназначены для выполнения вычислений (линейные блок-схемы), учета при этом определенных условий (разветвленные и циклические блок-схемы), для подготовки к изучению информатики, и в них играли ученики I-IV классов.

Наглядность, используемая в учебниках разнообразна, много схем, графов, блок-схем для схематичной записи алгоритмов вычислений, выполнения различных заданий на сравнение выражений, нахождение их значений. В III классе впервые в практике обучения математике был явно введен термин «абак» (позиционный абак), и ученики получили возможность изображать числа, начиная с трехзначных, в тетради, используя клеточки как основу абака.

В учебниках, созданных под редакцией А.А. Столяра, четко представлена методика работы над текстовыми задачами, которым было уделено особое внимание. На этапе анализа текста задачи использовались различные модели ее интерпретации, а при организации поиска решения аналитический или синтетический способ рассуждения сопровождался соответствующими граф-схемами.

На каждый урок в учебниках предлагались 1-2 задачи повышенной сложности, нестандартные задачи с целью овладения различными способами решения задач, развития творческого, гибкого мышления, математической интуиции, смекалки, а также пропедевтики некоторых математических идей.

Первые учебники авторского коллектива под руководством А.А. Столяра вызвали неоднозначную реакцию у учителей начальной школы. Некоторые учителя оказались неподготовленными и в математиче-

ском и в методическом плане к восприятию идей, заложенных в эти учебники. Потребовалась большая работа авторов учебников и преподавателей педагогических институтов по подготовке и переподготовке учителей I— IV классов [3].

В конце XX века в Республике Беларусь было разрешено обучение математике в начальных классах по различным учебникам. Более того органы образования и администрация школ стимулировали процесс внедрения в практику работы не только различных методик обучения математике и различных обучающих технологий, но и учебников. В школах Республики Беларусь в этот период велось обучение, помимо рассмотренных выше учебников, по учебникам белорусских авторов А.А. Ходовой и В.Д. Герасимова, а также по российским учебникам Л. Г. Петерсон (образовательная программа «Школа 2100»), Э.И. Александровой (программа развивающего обучения Д.Б. Эльконина - В.В. Давыдова), И.И. Аргинской (дидактическая система обучения Л.В. Занкова).

В.Д. Герасимов применил системный подход к построению содержания математического образования, согласно которому в качестве исходных элементов математики рассматриваются не некоторые простые объекты, в большей или меньшей степени взаимосвязанные друг с другом, а математические структуры. Познание этих структур, по мнению В.Д. Герасимова, представляет собой движение от общего к частному, от целого к части в процессе взаимодействия и переструктурирования элементов системы. Программа и учебники В.Д. Герасимова во многом отличались от традиционных, общепринятых в тот период в Республике Беларусь. Предлагалась иная компоновка арифметического материала по годам обучения с изучением натуральных чисел до миллиарда, а не до миллиона, более подробное рассмотрение доли и дроби, их сравнение. Числа рассматривались как совокупности элементов, которыми ученики манипулируют в границах данной целостности. Поэтому в учебниках помещено довольно много заданий на соотношение части и целого, в частности при изучении сложения и вычитания, умножения и деления. Существенно новым являлся и подход В.Д. Герасимова к процессу решения текстовых задач. Разбивая его на традиционные этапы (анализ текста задачи, поиск и составление плана решения, оформление решения и проверка), автор особое внимание уделил формированию у учащихся умения переходить от текста задачи к схематизации реальной предметной ситуации в ее существенных для решения задачи характеристиках. В учебниках представлена система разработанных В.Д. Герасимовым стандартных форм краткой записи всех типов текстовых задач, входящих в школьную программу. Однотипные задачи в учебниках В.Д. Герасимова размещены группами, причем в них больше задач с геометрическим содержанием, чем в учебниках под редакцией А.А. Столяра.

А.А. Ходова разработала модель начального обучения математике, основанную на операторной концепции числа. Теоретико-множественный подход к построению множества натуральных чисел, на котором строится традиционное обучение математике в начальных классах, связывает понятие числа с количеством элементов в конечном множестве, т.е. с материальными объектами действительности. Операторная концепция раскрывает связь между числом и трудовыми процессами, другими словами, связывает число с преобразованием материальных объектов. Сущность использования операторной концепции числа состоит в том, что числовой символ (в терминологии А.А. Ходовой) вводится для обозначения некоторой операции (оператора), которую надо выполнить над определенным объектом. В программе и учебниках А.А. Ходовой традиционное содержание математики I-IV классов было дополнено и сгруппировано вокруг нескольких основных понятий арифметики чисел-операторов. Одно из таких понятий — композиция операторов, позволяющая ввести операцию умножения, понятия дроби (композиция натурального оператора и оператора дробления) и отрицательного числа (композиция оператора изменения направления с натуральными или дробными операторами). Отметим, что в учебниках А.А. Ходовой на пропедевтическом уровне излагался значительный объем знаний о дробях (обыкновенных и десятичных), положительных и отрицательных числах. Новая информация в учебниках вводилась небольшими порциями, задания для индивидуальной работы были рассчитаны на применение опыта детей по оперированию математическими понятиями, символами, конкретными образами. Изучение арифметического материала по программе А.А. Ходовой было сконцентрировано в трех первых и половине четвертого года обучения в начальной школе. Почти треть четвертого года обучения посвящалась практикуму по решению задач и вычислениям повышенной сложности.

Использование в системе начального математического образования Республики Беларусь учебников, различающихся не только группировкой математического материала, методическими подходами к его изложению, но и заложенной в них трактовкой понятия числа, осуществлялось более пяти лет. Однако это создавало определенные трудности в оценке результатов учебной деятельности детей за определенные временные промежутки (четверть, учебный год), аттестации знаний, умений и навыков учащихся при переходе на следующую ступень среднего образования. Такое разнообразие методик и учебников было излишним еще и потому, что переход ученика из одной школы в другую часто означал для него изменение учебника, по которому он обучался, несовпадение программ (опережение или отставание в изучении математического материала). Эти обстоятельства обусловили отказ от использования в начальной школе всех учебников математики, кроме тех, которые были созданы под редакцией

А.А. Столяра. Учебно-методическому комплексу авторов Т.М. Чеботаревской, А.Т. Катасоновой, В.Л. Дрозда, в состав которого, кроме самого учебника, вошли рабочие тетради для ученика, методическое пособие для учителей с указанием целей уроков и подробными комментариями к заданиям, различные методические материалы (контрольные, разноуровневые, тестовые задания и т.д.), отдали предпочтение подавляющее большинство учителей, он полностью соответствовал программе по математике для I-IV классов и направлениям реформирования начального математического образования.

В 2011/2012 учебном году учителям I класса было предложено два учебника математики на выбор: хорошо знакомый учителям начальной школы, по которому к тому времени уже в течение 20 лет обучались младшие школьники (авторов Т.М. Чеботаревской и В.В. Николаевой), и новый (авторов Г.Л. Муравьевой и М.А. Урбан). Естественно, что учебники математики, которые вначале создавались под редакцией А.А. Столяра, а затем его учениками, претерпели за 20 лет изменения и по содержанию (в соответствие с требованиями новых программ и образовательного стандарта учебного предмета «Математика» для первой ступени общего среднего образования) и по оформлению. Однако неизменными остались основные принципы, идеи, разработанные А.А. Столяром, на которых они базировались.

Содержание и структура учебников Г.Л. Муравьевой и М.А. Урбан традиционны, они написаны в соответствии с программой по математике для начальной школы. Сравнение двух комплектов учебников для I-IV классов, по которым последние 7 лет осуществляется обучение математике в Республике Беларусь, показывает, что разбивка учебного материала на концентры, темы, классы в них совпадает, есть различия лишь в последовательности рассмотрения отдельных вопросов в рамках конкретной темы.

Г.Л. Муравьева и М.А. Урбан создали учебники, опираясь на концепцию умственного развития учащихся начальных классов на уроке математики на основе метода моделирования. В соответствии с данной концепцией большинство изучаемых в начальной школе понятий может быть усвоено учащимися в процессе целенаправленной, активной практической работы с различного рода моделями. Авторы учебников при этом исходили из вывода, сделанного учеными-психологами, о том, что ребенок, начиная с 6 лет, уже способен выполнять действие моделирования и что моделирование позволяет повысить эффективность усвоения младшими школьниками математического материала. Более того, по мнению авторов учебников, этот метод повышает эффективность учебной деятельности учеников с разным уровнем математических способностей. В данных учебниках эффективно реализуются основные дидактические принципы:

наглядности, научности и доступности, сознательности и активности, систематичности и последовательности.

Среди особенностей учебников Г.Л. Муравьевой и М.А. Урбан можно назвать сочетание «внешней» и «внутренней» наглядности. Под «внешней» понимается наглядность, отражающая конкретную сторону изучаемых объектов, например, рисунки, в которых представлены реальные ситуации. «Внутренняя» наглядность раскрывает существенные, часто незаметные при непосредственном наблюдении черты объектов, которые исследуются. К ней относятся вербальные (словесные), схематические, математические (символические) модели. В учебниках явно прослеживается направленность на активную работу самого ученика на уроке по соотнесению, построению, выбору, преобразованию моделей. Еще одной особенностью изучения арифметического материала (понятия числа и действий над числами), а также обучения решению текстовых задач Г.Л. Муравьевой и М.А. Урбан является использование не одной, а нескольких (комплекса) учебных моделей разных видов. Примером такого комплексного использования различных моделей может служить сочетание наглядности и слова, например, схематическое представление и словесная формулировка вычислительных приемов. В учебниках часто встречаются контекстуальные определения изучаемых понятий. Отметим, что отдельные краткие тексты (грамотное прочтение математических записей; инструкции к отдельным заданиям; слова, чередующиеся с картинками в тексте задачи) помещены уже в первой части учебника математики для I класса. Указанные особенности учебников наиболее ярко выражены при обучении решению простых, а затем и составных задач.

В 2015 году в Республике Беларусь была разработана новая программа по математике для I ступени общего среднего образования, в которой в определенной мере отражены компетентностный и практико-ориентированный подходы к обучению математике. В соответствии с этим совершенствуются учебно-методические комплексы по математике авторов Т.М. Чеботаревской, В.В. Николаевой и Г.Л. Муравьевой, М.А. Урбан. Поэтому актуальной задачей является подготовка учителей I-IV классов, способных быстро реагировать на изменение математического содержания учебников и внедрение новых образовательных технологий в учебный процесс. На кафедре методики преподавания математики УО «Могилевский государственный университет имени А.А. Кулешова» проводятся как теоретические, так и экспериментальные исследования, связанные с совершенствованием методико-математической подготовки студентов, которая характеризуется системностью, непрерывностью и разумным сочетанием традиционных и инновационных методов обучения [1,2].

Библиографический список

1. Гостевич, Т.В. Формирование профессиональных компетенций у студентов при изучении дисциплины «Методика преподавания математики и практикум по решению задач» / Т.В. Гостевич, Л.В. Лещенко // Итоги научных исследований ученых МГУ имени А. А. Кулешова 2016 г.: материалы научно-методической конференции, 25 января - 1 февраля 2017 г. / под. ред. Е.К. Сычовой. Могилев: МГУ имени А. А. Кулешова, 2017. С. 139-141.

2. Лещенко, Л.В. Методико-математическая подготовка учителей начальных классов / Л.В. Лещенко, Т.В. Гостевич // Непрерывное постдипломное образование специалистов начальной школы как условие реализации Федерального государственного образовательного стандарта начального общего образования: материалы межрегиональной научно-практ. конференции с международным участием (23 марта 2011 г.) / под ред. С.А. Усковой. Санкт-Петербург: СПбАППО, 2011. С. 80-85.

3. Методика начального обучения математике: учебное пособие для педагогических институтов / В.Л. Дрозд [и др.]; под общей редакцией А.А. Столяра, В.Л. Дрозда. Минск: Вышэйшая школа, 1988. 254 с.

4. Столяр, А. А. Обновление начального математического образования / А.А. Столяр, Т.М. Чеботаревская // Пачатковая школа, 1992. №3. С. 32-36.

ЗАМЕТКИ К ИСТОРИИ ТЕОРИИ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ: ЛЮДИ, ФАКТЫ, СИМВОЛИКА

Р.А. Мельников

Елецкий государственный университет им. И. А. Бунина, г. Елец; кандидат педагогических наук, доцент кафедры математики и методики её преподавания

Аннотация. В статье предпринята попытка систематизировать весьма разрозненные и порой противоречивые сведения, касающиеся истории формирования и развития одного из ключевых разделов высшей математики - теории определителей. Заметки выстроены в хронологическом порядке. Рассматривается вклад отдельных персоналий, внесших ощутимый вклад в развитие теории детерминантов, особое внимание уделено описанию определителей, название которых сопровождается теперь чьей-либо фамилией (так называемых «именных определителей»). Приводится краткий библиографический обзор литературы по теории определителей на русском языке, затрагивающий её ранний период.

Ключевые слова: детерминант, определитель, матрица, история математики, математик, Крамер, Вандермонд, Коши, Вронский, Казорати, Якоби, Гессе, Грам.

Современную математику невозможно представить без понятия «определитель» (детерминант). Оно находит применение практически во

всех её отраслях: линейной алгебре, аналитической геометрии, математическом анализе и других.

Вопреки легко улавливаемой в математике связи между понятиями «матрица» и «детерминант» (например, часто используется устоявшееся словосочетание «определитель матрицы») их историческое развитие шло разными путями. Детерминанты в математике появились до матриц, и ранние этапы в их истории были связаны с системами линейных уравнений.

Последующими проблемами, которые привели к генерированию новых идей, связанных с применением определителей стали: поиск условия, при котором два многочлена имеют общий корень, преобразование координат для упрощения алгебраических выражений (например, квадратичных форм), решение систем дифференциальных уравнений, проблемы небесной механики.

Можно констатировать, что идею использовать детерминант к решению системы линейных алгебраических уравнений, выдвинул известный математик Г.В. Лейбниц (1646-1716). Рукопись, в которой «праотец немецкой математики» использует это понятие, датирована 1678 г. В одном из писем (1693 г.), относящемся к переписке Лейбница с французским математиком Г.Ф. Лопиталем (1661-1704), содержится сообщение о новом методе решения системы, опирающемся на понятие детерминанта. К сожалению, его исследования в этой области математики, остались неизвестными для современников. Изучение эпистолярного наследия Г.В. Лейбница привело историков математики к мысли, что он владел современным (комбинаторным) определением понятия «детерминант».

В 1683 г. японский математик Т. Сэки (1642-1708) предложил метод решения задач, опирающийся на матричные методы. Не вводя ни одного термина, которое соответствовало бы слову «детерминант», он все же использует методы их расчета на основе примеров. Например, ему удалось вычислить определители размерности 2x2, 3x3, 4x4.

Первой официальной публикацией, содержащей некоторую элементарную информацию о детерминантах, стал труд шотландского математика К Маклорена (1698— 1746) «Treatise on Algebra (Трактат по алгебре)» (Лондон, 1748), где автор использовал определители размерности 2x2 и 3x3 для решения линейных алгебраических систем.

Габриэль Крамер (1704-1752)

Для широкой математической общественности детерминанты были заново открыты швейцарским математиком Г. Крамером1 (1704-1752) в его трактате «Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques (Введение в анализ алгебраических кривых)» (Женева, август 1750). Генеральная линия этого фолианта состоит в том, что автор предлагает классифицировать алгебраические кривые (до пятой степени, включительно) на основе их бесконечных ветвей и их точек. Этот труд существенно расширил результаты, полученные в этом направлении такими известными учеными, как Исаак Ньютон (1642-1727), Джеймс Стирлинг (1692-1770) и Жан Поль Гуа де Мальеес (1713-1785), при этом автор не пользовался средствами математического анализа, которыми, несомненно, владел.

Кроме прочего в этом труде содержится весьма ценное утверждение: алгебраическая кривая п-то порядка будет полностью определена, если заданы —^—- ее неподвижных точек. Автор составил систему п*п линейных уравнений и решил её с помощью алгоритма, который теперь мы называем методом Крамера. Он рассмотрел систему, состоящую из произвольного числа линейных уравнений с квадратной матрицей. Решение этой системы Г. Крамер построил в виде набора дробей с общим знаменателем (определителем матрицы), при этом он использовал естественные с современной точки зрения названия строки и столбцы детерминанта. Определитель он называл словом «результант», этот термин долгое время использовался в математике.

Метод Крамера был замечен и довольно быстро включен в школьную программу.

Идеи швейцарского математика получили дальнейшее развитие в трудах его французских коллег.

Например, Э. Безу (1730-1783) в 1764 г. удалось дать весьма ценное для всей математики условие существования нетривиального решения у системы линейных уравнений. Его труд «Recherches sur le degré des équations résultantes de l'évanouissement des inconnues, et sur les moyens qu'il convient d'employer pour trouver ces équations» (Исследование степени уравнений, возникающих в результате исчезновения неизвестных, и о

1 Габриэль Крамер родился в Женеве 31 июля 1704 г. в семье протестантов из герцогства Шлезвиг-Гольштейн. Его первым наставником по математике считается Этьен Джаллаберт (1658-1723) - почетный профессор математики и философии Женевской академии. Одно из первых исследований Габриэля было посвящено ньютоновской теории о распространении звука (выполнено в 1722 г.). Далее учился у И. Бернулли (1667-1748), посещая его лекции по геометрии бесконечного. Стажировался в Британии, где общался с учениками Ньютона: Д. Стирлингом, А. де Муавром (1667 - 1754), астрономом Э. Галлеем (1656-1742) и геометром Н. Саундерсоном (1682-1739), в г. Лейден, во Франции. Профессор математики с 1734 г., профессор философии с 1750 г. в своем aima mater. Член Королевского общества Монпелье и Болонской академии (1743), Берлинской академии наук (1746) и Лондонского общества (1749).

средствах, которые необходимо использовать для нахождения этих уравнений) (1764 г.) содержал методы расчета определителей.

В 1772 г. А.Т. Вандермонд2 (1735-1796) впервые дал стройное изложение теории детерминантов в отрыве от теории систем линейных уравнений.

Вандермонд думал об определителе, как функции, и дал свойства функции-определителя.

Он первым подметил результат перестановки двух строк (или двух столбцов) внутри определителя. Из чего он сделал вывод, что определитель с двумя идентичными строками (или двумя идентичными столбцами) равен нулю (на современном языке: Д = 0, если две строки детерминанта равны). Ему принадлежит также ставший классическим результат теории определителей:

В том же году П. С. Лаплас (1749-1827) утверждал, что методы, введенные Крамером и Безу, - непрактичны и, в статье, где он изучал орбиты планет Солнечной системы, рассматривал решение систем линейных уравнений без использования определителей. Лапласу также принадлежит формулировка частного случая теоремы о разложении определителя по строке (столбцу).

Ж.Л. Лагранж (1736-1813) в одной из статей в 1773 г. рассмотрел тождества для 3x3 функциональных детерминантов. Он показал, что объём тетраэдра составляет 1/6 от объема параллелепипеда, ребра которого выходят из одной из его вершин, при этом обоснования проводились с помощью детерминантов.

В 1800 г. немецкий математик Г.А. Роте (1773-1842), занимаясь изучением перестановок с комбинаторной точки зрения, пришел к выводу, что определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы.

Термин «детерминант» был введён знаменитым немецким математиком К.Ф. Гауссом (1777-1855) в его первом крупном труде «Disquisitiones

Александр Теофил Вандермонд (1735-1796)

2 В 1771 году А.Т. Вандермонд был избран в Парижскую академию наук сразу после написания своего первого научного труда, в котором он провёл исследование симметрических функций и решения круговых полиномов. Эта работа предвосхитила появившуюся позднее теорию Галуа. По мнению Л. Кронекера именно с этой работы Вандермонда началась современная алгебра. В честь Вандермонда был назван специальный класс матриц - матрицы Вандермонда, а также элементарное равенство в комбинаторике - свёртка Вандермонда.

Arithmeticae (Арифметические исследования)» (Лейпциг,1801 г.), т.е. только через полвека после работы Г. Крамера. Использовано это слово было для обозначения дискриминанта квадратичной формы (в современном смысловом наполнении слово «детерминант» стали использовать примерно четверть века спустя).

Подчеркнём, что именно Крамер дал точный алгоритм вычисления определителя в виде алгебраической суммы всевозможных произведений элементов матрицы, по одному из каждой строки и каждого столбца.

Следует отметить, что с введением Гауссом в математику метода наименьших квадратов (описание метода опубликовано в статье 1811 г., посвященной определению орбиты астероида) связано появление важной вычислительной процедуры, которую сейчас мы называем методом Гаусса для решения систем линейных уравнений, хотя автор не использовал при этом матричную коннотацию.

Первые достаточно полные изложения теории определителей выполнены французскими учёными: профессором Коллеж де Франс -Ж.Ф.М. Бине (1786-1856) и «революционером» в области математического анализа - О.Л. Коши (1789-1857). Они примерно в одно время заинтересовались теорией определителей и, как следствие, получили в 1811-1812 гг. некоторые общие результаты (например, ими была предложена формула для нахождения определителя произведения матриц, ныне известная как формула Бине-Коши). По этому поводу Н.В. Александрова отмечает: «Близость религиозных взглядов помогла им избежать споров о приоритете, они договорились сделать доклады Академии наук на одном заседании и опубликовать свои статьи одновременно» [1, с. 41-42].

Из многочисленных трудов О.Л. Коши по теории детерминантов следует выделить его «Memoire sur les fonctions qui ne peuvent obtenir que deux valeurs egales et de signes contraires par suite des transpositions opérées entre les variables qu'elles renferment (Мемуар о функциях, которые могут принимать только два значения, равные по величине и противоположные по знаку при перестановках содержащихся в них переменных)» (1815). В этой работе автор, отталкиваясь от идей Вандермонда для детерминантов малых порядков, строго доказывает свойства определителей. Ещё он рассматривает детерминант как функцию от п переменных, которые записывает в квадратную таблицу.

Следующей важной фигурой, внесшей ощутимый вклад в развитие теории детерминантов, стал известный немецкий математик К.Г.Я. Якоби3

3 Карл Густав Якоб Якоби родился в 1804 г. в городе Потсдам. После окончания Берлинского университета он уехал в Кенигсберг, где вскоре в 1827 г. стал профессором и интенсивно работал и преподавал до 1843 г. В последующие годы Якоби уже не преподавал, переехал в Берлин и умер в 1851 г. после тяжелой болезни. Его математические интересы весьма разнообразны: теория абелевых функций, теория чисел, механика, вариационное исчисление и дифференциальные уравнения. Он имел многочисленных учеников и стал основателем Кёнигсбергской школы.

(1804-1851). Этой проблематике он посвятил около 30 работ, начиная с 1827 г. В одной из последних статей «De determinantibus functionalibus (О функциональных детерминантах)» (1841) автор рассмотрел ставший впоследствии знаменитым «якобиан» системы из п функций от п переменных.

Одним из важнейших результатов, полученных Якоби, является правило вычисления определителя, сформулированное им в 1833 г.: если к элементам строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на общий множитель, то определитель не изменится.

Именно после работ Якоби термин «детерминант» окончательно вошёл в математический лексикон.

Заметим, что именно Якоби указал на важный частный случай теоремы Бине-Коши: если число строк больше числа столбцов, то произведение двух таких матриц (по строкам) равно нулю.

Символическое исчисление матриц было окончательно оформлено в трудах британского математика А. Кэли (1821-1895). Он же ввёл понятие о косых и косо-симметрических определителях. Его работа «А memoir on the theory of matrices (Мемуар о теории матриц)» (1858) стала венцом в создании фундаментальных основ линейной алгебры. В ней автор ввел понятие матрицы, дал определение основным операциям над матрицами, определил единичную и нулевую матрицы. Кроме прочего он указал на то, что определитель можно рассматривать как функцию от матрицы, а не от п аргументов, и ввиду этого особенно ясный вид принимает мультипликативное свойство определителя:

Два важных приема для нахождения определителя третьего порядка (метод треугольников; метод приписывания двух столбцов) предложил в 1833 г. профессор Страсбургского университета П.Ф. Саррюс (1798— 1861).

Метод окаймляющих миноров ввёл в 1851 г. британский математик Д.Д. Сильвестр (1814-1897).

В том же году в Англии вышло в свет первое пособие «Elementary theorems relating to determinants (Элементарные теоремы, относящиеся к детерминантам)» (Лондон, 1851). Его автором стал математик и физик У. Споттисвуд (1825-1883). Первым же полноценным курсом по теории определителей принято считать книгу «Teorica del determinanti (Теория

Карл Густав Якоб Якоби (1804-1851)

определителей)» (Павия, 1854) итальянского математика Ф. Бриоски (1824-1897).

За ним последовал весьма ценный учебник «Theorie und anwendung der determinanten (Теория и применение детерминанта)» (Лейпциг, 1857) немецкого математика Р. Бальцера (1818-1887).

Первая попытка ввести в оборот бесконечные детерминанты была предпринята в 1770 г. немецким математиком Э.Т. Коттеричем (1841-??), а строгая теория начала создаваться благодаря работам французского математика А. Пуанкаре (1854-1912) и усилиям шведского математика ЯФ. Хельге фон Коха (1870-1924).

Обозначение детерминанта двумя вертикальными чертами было введено Кэли в 1844 г. Двойная индексация в обозначении элементов определителя восходит к Якоби, он же использовал (в 1827 г.) знак А для обозначения детерминанта. Немецкий математик Л. Кронекер (1823-1891) в одном из своих трудов, датируемых 1868 г., использовал следующее обозначение для определителя: \aik \.

Многочисленные исследования по теории детерминантов привели к появлению в математике так называемых «именных определителей», за названием которых следует чья-либо фамилия.

Так, например, в алгебре находит широкое применение «определитель Вандермонда»:

конструкция которого выглядит следующим образом: в первой строке записываются нулевые степени каких-либо (отличных от нуля) п различных чисел xvx2,...,xn\ во вотрой строке - сами числахрх2,...,х,?; в слующей строке - квадраты этих чисел и так далее, а в последней строке -п-1 степени чисел xvx2,...,xn.

Пример. Вычислить определитель

Решение. Это определитель Вандермонда, у которого

Согласно формуле значение этого определителя будет равно произведению скобок, каждая из которых представляет собой разность двух чи-

сел, причем уменьшаемое в каждой из них должно быть не меньше вычитаемого, т.е.

Этот результат можно легко проверить, прибегнув к другим методам вычисления детерминанта. Определитель Вандермонда можно использовать при решении задачи интерполяции многочленами.

Заметную роль в алгебраических расчетах играет «определитель Коши» [2, с. 27]:

В математическом анализе одним из первых появился определитель, носящий название «вронскиан (определитель Вронского)». Так было увековечено имя польского математика М.Ю. Гоэне-Вронского, который впервые применил его в своих рассуждениях в одном из произведений (1812 г.), затеяв полемику с Ж. Лагранжем, выступая против его теории функций.

Этот функциональный определитель имеет достаточно простую конструкцию:

[3, с. 98-99],

в первой строке записываются функции, во второй строке - их производные первого порядка, в последней строке - производные п-1 порядка. Название «вронскиан» закрепилось в математической терминологии в 1882 г. после выхода в свет фундаментального труда по истории теории определителей, написанного известным шотландским математиком Т. Мюром (1844-1934). Определитель Вронского

Юзеф Мария Гоэне-Вронский (1776-1853)

имеет большое значение в математическом анализе. С его помощью можно производить исследование на линейную зависимость (или независимость) совокупности из п функций, заданных на каком-либо множестве. Кроме того в теории обыкновенных дифференциальных уравнений используется формула Лиувилля-Остроградского, в записи которой применяется вронскиан.

Отметим также, что в теории разностных уравнений аналогом определителя Вронского является детерминант Казорати. Определитель Казорати4 имеет вид:

Мы уже упоминали об определителе Якоби («якобиан»), появление которого состоялось в 1841 г. Значение этого функционального определителя также велико, особенно в области математического анализа, где с его помощью можно переходить от одной системы координат к другой, что часто приходится делать при вычислении двойных интегралов.

Конструкция этого определителя также достаточно проста:

в первой строке записываются частные производные первого порядка по одной из переменных первой функции п независимых переменных, входящих в совокупность из п таковых функций; во второй строке - частные производные первого порядка по всем переменным от второй функции из этой совокупности и т.д.

Далее появился определитель Гессе («гессиан»). Он составлен из частных производных второго порядка, вычисленных для некоторой функции п независимых переменных:

Людвиг Отто Гессе (1811-1874)

4 Феличе Казорати (1835-1890) - итальянский математик.

В таком виде этот детерминант появился в работе 1842 г. немецкого математика Л. О. Гессе5. Автор с его помощью исследовал поведение квадратичных и кубических кривых, при этом он использовал другое название. Термин «гессиан» закрепился в математике после того, как его применил британский математик Д.Д. Сильвестр.

Ещё одним важным детерминантом, который находит своё применение как в алгебре, так в математическом анализе, является «определитель Грама» («грамиан»).

Первым его использовал датский математик И.П. Грам6 (1850-1916) в работе «On Raekkeudviklinger bestemmte ved Hjaelp of de mindste Kvadraters Methode» (Копенгаген, 1879).

Элементами определителя Грама являются скалярные произведения, причем они могут иметь различную природу. Например, это попарные скалярные произведения системы векторов eve1,...,en /7-мерного евклидова пространства, кроме того это могут быть попарные скалярные произведения семейства функций fvfiy-'fn какого-либо функционального пространства.

Для системы векторов eve2,...,en определитель Грама имеет вид:

Йорген Педерсен Грам (1850-1916)

5 Людвиг Отто Гессе родился 22 апреля 1811 г. в Кенигсберге в семье пивовара. Окончил Кенигсбергский университет. Его наставниками были видные немецкие математики: К.Г.Я. Якоби и Ф.В. Бессель (1784-1846). Работал в Кенигсберге, Галле, Гейдельберге и Мюнхене. Среди его учеников также математики, имеющие заслуги мирового уровня: А. Клебш (1833-1872), Р. Липшиц (1832-1903) и др.

6 Йорген Педерсен Грам родился 27 июня 1850 г. в местечке Нуструп (Дания). В 1871 г. окончил Копенгагенский университет. Сфера научных интересов: математическая статистика, теория чисел. Занимался исследованиями в теории приближения функций, продолжая идеи, выдвинутые П.Л. Чебышевым. Работал председателем Датского страхового общества.

Отметим ряд интересных свойств определителя Грама:

1) Определитель Грама для системы линейно независимых векторов положителен, а для линейно зависимых векторов он равен нулю.

2) Отрицательным определитель Грама никогда не бывает.

3) Определитель Грама системы векторов равен квадрату объёма п-мерного параллелепипеда (параллелотопа), натянутого на эти векторы.

Замечание. В случае трёхмерного пространства грамиан трёх векторов равен квадрату их смешанного произведения.

Пример. Пользуясь определителем Грама, установить линейную зависимость (или независимость) двух функций ух=5х + А и у2 =10х + 8 на отрезке [0;1].

Решение.

Предлагаем читателю самостоятельно завершить вычисление этого определителя и сделать вывод о линейной зависимости (или независимости) на указанном отрезке данной пары функций.

Отдельный интерес представляет вопрос о том, как происходило становление теории определителей в России.

Первой книгой, вышедшей на русском языке, и посвященной теории детерминантов, стал труд И.И. Шперлинга «Теория определителей и её важнейшие приложения» (СПб, 1858). Автор этого произведения представил его для получения учёной степени магистра чистой и прикладной математики в Санкт-Петербургский университет.

За ней проследовали труды: С.П. Ярошенко «Теория определителей» (Одесса, 1871), М.Е. Ващенко-Захарченко «Теория определителей и теория форм: лекции, читанные в Императорском Университете св. Владимира» (Киев, 1877), А.П. Грузинцев «Теория определителей» (Харьков, 1898).

Формирование терминологического аппарата шло мучительно и заняло достаточно длительный период времени. Ещё в XIX в. вместо понятий «строка», «столбец» использовались термины «горизонтали», «колонны». Вместо слова «минор» употреблялись «субдетерминант» и «младший детерминант».

Переход к современному математическому языку, оперирующему символикой теории определителей, произошел в книге «Краткий курс высшей алгебры» (1892), написанной экстраординарным профессором Харьковского университета и преподавателем Харьковского практического технологического института М.А. Тихомандрицким (1844-1921).

Перед революцией 1917 г. были написаны несколько ценных пособий по теории определителей, среди которых особо следует выделить: Н.Н. Парфентьев «Теория определителей: курс лекций, читанных студентам 1 курса Императорского Казанского университета» (Казань, 1905); К. А. Андреев «Теория определителей» (Москва, 1908); Е. Нетто «Начала теории определителей» (Одесса, 1912); Б.Я. Букреев «Элементы теории определителей» (Киев, 1914).

После революции появилось несколько содержательных пособий: С.С. Бюшгенс «Теория определителей: курс лекций, читанных в Московском Университете в 1913-17 гг.» (Москва, 1918); Н.Н. Рукавицын «Теория определителей» (Иркутск, 1926); В.И. Смирнов «Теория определителей и её приложения» (Ленинград, 1932); Р.А. Холодецкий «Теория определителей» (Ленинград, 1938) и др.

Позднее теория определителей стала неотъемлемой частью курса высшей алгебры и её стали включать в качестве раздела в соответствующие учебники и учебные пособия.

Библиографический список

1. Александрова Н.В. История математических терминов, понятий, обозначений: Словарь-справочник. Изд. 3-е, испр. М.: Изд-во ЛКИ, 2008. 248 с.

2. Прасолов В.В. Задачи и теоремы линейной алгебры. Изд. 2-е. М.: Наука. Физматлит, 1996. 304 с.

3. Dale R.V.P. Determinants and Their Applications in Mathematical Physics // Applied Mathematical sciences. Vol. 134. Spinger-Verlag New York Inc, 1999. 378 p.

О ВКЛАДЕ ВАСИЛИЯ АДРИАНОВИЧА ЕВТУШЕВСКОГО В ДЕЛО РАСПРОСТРАНЕНИЯ ПРИНЦИПА НАГЛЯДНОСТИ ПРИ ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ

В.В. Перцев

Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина, г. Елец; кандидат педагогических наук, доцент кафедры математики и методики её преподавания

Аннотация. В данной статье анализируется процесс формирования «принципа наглядности» при обучении математике в русской школе второй половины 19 века и вклад в распространение этой методики известного педагога и методиста Василия Адриановича Евтушевского

Ключевые слова: методика, обучение математике, В.А. Евтушевский, дидактика, вторая половина 19 века, русская школа, принцип наглядности.

Вторая половина XIX века - время стремительного промышленного развития России. Как отмечает Д.В. Охременко, с 1861 по 1891гг. добыча угля в стране возросла в 16 раз, добыча нефти - в 133 раза. Практически в 50 раз увеличилась стоимость продукции машиностроения в целом [3, с. 71].

Все это бурное развитие промышленности и сельского хозяйства требовало ль системы образования все большее число высококвалифицированных специалистов с отличным знанием математики. Поэтому вполне закономерно, что именно в это время появляется, и успешно способствует росту качества знаний, новая научная дисциплина - методика обучения математике. Как отмечает О.А. Саввина, «В XIX веке в России создана своя передовая методическая школа в области преподавания арифметики. Определились значительные сдвиги и в области методики геометрии и в создании методики алгебры» [4, с.32].

Одним из основных дидактических принципов обучения математике в рассматриваемый период становится принцип наглядности. Важную роль в дело распространения и популяризации принципа наглядности в математике играл Василий Адрианович Евтушевский (1836-1888).

В.А. Евтушевский во второй половине 19 века был хорошо известен в качестве педагога, автора популярных книг по методике математики. Он был инспектором по учебной части детских приютов в Санкт-Петербурге и часто выступал в роли организатора и руководителя педагогических курсов по математике и различных методических съездов для «народных» учителей.

Из наиболее известных его трудов по методике преподавания математики можно выделить «Сборник арифметических задач» (1871 г.), «Методику Арифметики» (1872 г.), «Руководство для учителей и учительниц к преподаванию начальной арифметики в народных школах» (1875 г.), «Методика приготовительного курса алгебры» (1876 г.) и др. Многие его работы выдержали десятки переизданий и многократно переиздавались вплоть до 1917 г. А самое популярное его произведение - «Сборник арифметических задач» выдержал до 1917 года 76 изданий, что говорит о популярности его книг среди учителей математики и их практической значимости.

В своих трудах В.А. Евтушевский призывал учителей математики обязательно применять принцип наглядности в ходе проведения урока -постоянно обращаться к учебным пособиям либо просто окружающим учеников предметам. По мнению Евтушевского, обучение элементарной математике обязательно должно быть наглядно: «Сообщить ученику готовое понятие «число» с небольшими пояснениями, которые даются в курсах арифметики, это значит... загромоздить его материалом, пугающим умственную деятельность» [1, с. 15].

Во второй половине XIX века передовые представители русской науки принимали активное участие в развивающемся, принятом междуна-

родный характер реформистском движении за модернизацию школьного математического образования. В числе форм этого движения было распространение научных знаний посредством книг по методике преподавания математики, проведении учительских съездов и педагогических выставок, возникновении научно-популярных журналов. В.А. Евтушевский самым активным образом проявил себя во всех этих сферах. В частности он был редактором журнала «Народная школа» (1878-82) и сотрудничал со многими педагогическими журналами того времени, в которых излагал свои методические идеи.

Преподавание математики в школе, как известно, требует не только высокой научной, но и педагогической подготовки преподавателя. Важную роль в решении задачи совершенствования педагогической культуры уже работающих учителей, по мнению В. А. Евтушевского, должны играть методические журналы. Об их существенном влиянии на развитие педагогической мысли того времени упоминает в своей диссертации Д. В. Охременко. Он выделяет следующие задачи, решаемые на страницах методических журналов для учителей математики второй половины 19 века [3,с.149]:

1) организация своевременного знакомства преподавателей математики с новыми идеями педагогики математики;

2) организация дискуссия по основным проблемным вопросам как общей так и частной методики математики;

3) помещение обстоятельных рецензий на учебники и задачники;

4) оказание помощи учителю математики в его творческой работе по увлечению учащихся предметом и методам математики.

В 1864 году в Соляном городке (комплекс зданий в центре Санкт-Петербурга) был открыт Педагогический музей военно-учебных заведений — фактически первый педагогический музей в России. В число экспонатов музея вошла, в том числе, и большая коллекция наглядных пособий по математике. Первые свои экспонаты музею пришлось приобретать за границей, поскольку в России ничего подобного еще не было, и приобретать их пришлось по достаточно высокой цене. Но затраты себя оправдали. Открытие музея дало мощный толчок к распространению наглядных пособий в школах нашей страны, поскольку практически сразу после комплектации запасников музея были найдены отечественные производители, сумевшие скопировать и существенно удешевить их производство. Сотрудники музея также принимали участие в улучшении и удешевлении европейских наглядных пособий и в создании собственных. С 1866 года музей стал регулярно устраивать педагогические выставки, в числе организаторов которых выступал и В.А. Евтушевский.

Как отмечает Е.В. Кондратьева, в числе экспонатов музея были таблицы Песталоцци, счетные деревяшки Тиллиха, лестница Денцеля,счетные

фигуры Геера, разнообразные математические диаграммы, счетные машинки и т.д. Стоили такие учебные пособия немалых денег, что во многом стимулировало учителей народных школ самим их изготавливать [2, с.94].

Таким образом, В.А. Евтушевского, несомненно, следует признать в качестве одного из ведущих популяризаторов и идейных вдохновителей внедрения принцпа наглядности в обучение математике. Он, бесспорно, был одним из пионеров распространения этой методики в России. Насколько весомый вклад он осуществил в сравнении с другими педагогами, ещё предстоит осмыслить и изучить. Мы постараемся это сделать в другом, более подробном исследовании.

Библиографический список

1. Евтушевский В.А. Методика арифметики. СПб: Н. Фену и К°, 1872. 340 с.

2. Кондратьева Г.В. Школьное математическое образование в России (вторая половина XIX века): монография. М.: Издательство МГОУ, 2005. 128 с.

3. Охременко Д.В. Развитие математической культуры в России XIX века и роль «Журнала элементарной математики» и «Вестника опытной физики и элементарной математики» в усовершенствовании научно-педагогической культуры учителей математики в России XIX-XX вв.: дис... канд. пед. наук. М, 1973. 183 с.

4. Саввина О.А. Исторические очерки о преподавании высшей математики в средних учебных заведениях России. Часть 2 (вторая половина XIX - первые семнадцать лет XX в.): монография. Елец: ЕГУ, 2002. 246 с.

РАЗДЕЛ III. ТЕОРИЯ И МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ В ШКОЛЕ И ВУЗЕ

ИСТОРИЧЕСКИЕ ПРЕДПОСЫЛКИ ИНТЕРАКТИВНОГО ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ

М.С. Артюхина

Национальный исследовательский Нижегородский государственный университет им. H.И. Лобачевского (Арзамасский филиал); кандидат педагогических наук, доцент кафедры физико-математического образования

Аннотация. В статье анализируется отражение отечественных исследований в области педагогики и методики обучения математике в теории интерактивного обучения математике. Выделены ключевые идеи гуманистической педагогики, отражающие идеи интерактивного обучения.

Ключевые слова: интерактивное обучение математике, исторические предпосылки, гуманистическая педагогика.

В настоящее время происходит становление новой постнеклассической модели образования, стержнем которой является формирующаяся личностная парадигма. Последняя предполагает целостное развитие личности, развитие не только профессиональных навыков, но и общей культуры мышления, целостного мировоззрения, нравственных качеств. В процессе обучения основным ориентиром для учителя, преподавателя становится личностное начало. Каждый через понимание смысла своего существования, реализации своих возможностей в учёбе, труде приходит к общим представлениям о человеческом предназначении и ценностях общественной жизни и находит свое место в этом природном и социальном мире.

Математическое образование ориентировано не только на изучение математической науки как таковой, но и на интеллектуальное развитие личности и мышления, необходимого для полноценного функционирования человека в современном обществе. Математика формирует важные для жизни и профессиональной деятельности качества личности обучаемых, такие как настойчивость в достижении цели, упорство, трудолюбие, аккуратность. Изучение математики требует постоянного напряжения внимания, развивает способность сосредотачиваться на выполняемых действиях.

Н.Х. Розов выделяет особое направление в математическом образовании - гуманитарная математика, поскольку «математика является не просто областью знаний и универсальным инструментом, все шире проникающим и в гуманитарные разделы науки, но прежде всего неотъемлемой частью цивилизации, существенным элементом общей культуры, языком научного восприятия мира» [3].

Личностный рост студентов в процессе обучения математике, не возникает на пустом месте, основу его развития составляют интерактивные технологии обучения. Создание особого пространства взаимодействия субъектов деятельности, в котором каждый активно включается в коллективный поиск истины, высказывает, аргументирует свою точку зрения, уважительно отстаивает свою позицию, предполагает диалог, формулирует взаимоприемлемую точку зрения, используя средства коммуникативного подхода к обучению. Установление коммуникативных связей между участниками учебного процесса является важным компонентом развивающего обучения математике.

Интерактивное обучение основывается на идеях гуманистической педагогики и теории педагогической интеракции или взаимодействия. Педагогическое взаимодействие в интерактивном обучении представляет собой взаимодействие в педагогическом общении через категорию отношение. Интерактивная деятельность представлена диалоговым общением, направленным на взаимопонимание и взаимодействие всех членов учебного процесса, которое приводит к совместному решению общей, но значимой для каждого участника задачи.

Идеи гуманизации образования явились мощным толчком развития методики обучения математике. Их исследование способствовало корректировке компонентов методической системы обучения математике и ее внешней среды, решению проблемы знания, усилению роли диалектики, сформированности методологии методики обучения математике. Интерактивное обучение организуется посредством активных методов обучения: игровые (учебно-деловая игра, ролевая игра и др.) и неигровые (анализ конкретных ситуаций (кейс-метод) методы, групповые дискуссии, мозговой штурм, методы кооперативного обучения и др.), направленные на моделирование практико-ориентированных ситуаций, совместное решение проблем.

Следует отметить, что идеи интерактивного обучения не новы для отечественной педагогики. Историческими предпосылками гуманистической идеи в русской философской мысли XIX - XX вв., являлись философско-антропологические идеи, где в центре стоит человек. Её основоположниками были такие великие педагоги как К.Д. Ушинский, С.И. Гессен, Г.П. Щедровицкий, В.А. Сухомлинский и др.

Одним из основоположников гуманистического направления в отечественной педагогике является педагог-теоретик и практик

К.Д. Ушинский (1824-1870). Основной целью образования по К.Д. Ушинскому - развитие активной и творческой личности учащегося, в процессе обучения он считал важным создать атмосферу товарищества, сотрудничества ученика и педагога. Новой педагогической идеей была постановка перед учителем задачи научить учеников учиться. Следуя принципу развивающего обучения, он утвердил принцип воспитывающего обучения, который представляет собой единство обучения и воспитания, где указывал на единство этих двух начал в формировании гармонично развитой личности. К.Д. Ушинский выделил принципы воспитывающего обучения:

1. Обучение должно строиться с учетом возрастных и психологических особенностей развития ребенка. Оно должно быть посильным и последовательным.

2. Обучение должно строиться на основе принципа наглядности.

3. Ход обучения от конкретного к абстрактному, отвлеченному, от представлений к мысли - естественен и основывается на ясных психологических законах человеческой природы.

4. Обучение должно развивать умственные силы и способности учеников, а также давать необходимые в жизни знания [5].

Разработанные К.Д. Ушинским принципы, лежат в основе теории интерактивного обучения математике.

Первые попытки применения интерактивных методов обучения, были предприняты Г.П. Щедровицким. Для реализации системомыследеятельной методологии, он проводил организационно-деятельностные игры. Обучающиеся должны были, в течение 7-10 дней, решить предлагаемые проблемные ситуации: подготавливали доклады и сообщения иллюстрации, обменивались мнениями и т.п. с ведением протоколов заседаний и аудиозаписей для будущего анализа мероприятия. Организационно-деятельностная игра - это интеллектуальное соревнование и олицетворение практического характера системомыследеятельной методологии. Г.П. Щедровицкого (в период 1979-1993 г. было организовано и проведено 93 игры) [6].

Таким образом, несмотря на то, что основоположниками интерактивной модели обучения считаются американские ученые Дж. Дьюи, К. Роджерс и др. отечественные исследования привнесли в данное направление духовно-нравственную и культурологическую идею. На современном этапе педагогическая наука соединяет все имеющиеся достижения гуманистической педагогики, в центре которой находится личность обучающегося, его развитие, индивидуальные особенности. Она направлена на создание таких форм, содержания и методов обучения и воспитания, которые обеспечивают индивидуальное развитие личности. Анализ научно-педагогической литературы показал, что современная теория интерактив-

ного обучения лежит на основе системно-деятельностного, дифференцированного, профессионально-ориентированного, компетентностного, информационного и синергетического подходов в образовании. В настоящее время, активно ведутся теоретико-методологические исследования в области организации обучения математике в вузе на основе информационного и синергетического подходов и диалога культур [1,4].

В связи с проявлением интереса методистов к психологическим основам обучения и, в частности, математике появляется новое направление в методической науке «психолого-педагогические основы обучения математике». Результат - реализация деятельностного подхода (П.Я. Гальперин, Н.Ф. Талызина, Л.М. Фридман) к обучению математике. Проектирование методической системы обучения математике на основе деятельностного подхода завершилось в начале 2000 годов (О.Б. Епишева, Е.И. Санина, С.В. Митрохина и др.). О.Б. Епишева [2] отмечала, что усвоение содержания обучения осуществляется не путем передачи информации обучающемуся, а в процессе его собственной учебно-познавательной активности, направленной на формирование различных видов деятельности (познавательной, самостоятельной, исследовательской и др.). Деятельностный подход проявляется в специфических способах, характере организации учебно-воспитательного процесса и в его направленности на формирование универсальных учебных действий.

Проблема дифференциации обучения математике рассматривается в работах В.А. Гусева, Г.В. Дорофеева, В.М. Монахова, И.Э. Унт, И.М. Смирновой, Р.А. Утеевой и др. Дифференцированный подход к обучающимся предполагает деление на группы, с учетом их индивидуально-психологических особенностей и использованием системы уровневой внешней и внутренней дифференциации.

Профессиональная направленность обучения отразилась на проектировании методической системы обучения математике. Опираясь на учение С.И. Архангельского, Г.Л. Луканкина, М.И. Махмутова, А.Г. Мордковича и др. профессиональная направленность в обучении ориентирована на положительное воспитание к профессии и является важнейшим при отборе содержания и построении учебного предмета. Ведущим принципом такого обучения является установление межпредметных связей в содержании общенаучных и профессиональных дисциплин предметного и социального содержания будущей профессиональной деятельности. Отличительной особенностью профессионально - ориентированного обучения математике является моделирование с помощью знаковых средств. Такое обучение в работах В.В. Вербицкого получило название контекстного обучения. Параллельно в методической науке изучался термин «прикладная направленность обучения» математике. Существенный вклад в теорию прикладной

направленности обучения математике внесли Н.Я. Виленкин, Ю.М. Колягин, Н.А. Терёшин, В.В. Фирсов и др. Центральное место в обучении математике отводится прикладным задачам, решение которых требует применения математических методов в исследовании реальных производственных процессов.

Таким образом, понятие «интерактивное обучение» получило новый виток в педагогической науке, происходит его формирование и уточнение в новых реалиях глобальной информатизации. Отличительные признаки интерактивного обучения математике в вузе: диалоговое взаимодействие обучающихся между собой и обучающим с применением информационных и коммуникационных технологий и учетом психических особенностей обучающихся; направленность на индивидуальную активность обучающихся; направленность обучения на личностный рост обучающихся или самоактуализацию личности; профессионально-ориентированное содержание; обучение осуществляется в открытой образовательной среде, где информационные технологии являются источником математических знаний, средством взаимодействия обучающихся между собой и педагогом.

Библиографический список

1. Дворяткина С.Н. Методология математического моделирования как эффективное средство синергии знаний в контексте диалога культур // Ярославский педагогический вестник, 2016. № 5. С. 90-94.

2. Епишева О.Б. Технология обучения математике на основе деятельностного подхода. М.: Просвещение, 2003. 238 с.

3. Розов Н.Х. Гуманитарная математика // Математика в высшем образовании. 2003. №1. С. 53-62.

4. Смирнов Е.И. Синергия исследования «проблемной зоны» базового учебного элемента содержания математического образования // Ярославский педагогический вестник, 2017. № 5. С. 82-90.

5. Ушинский К.Д. Избранные педагогические сочинения в 2-х тт. Т.1. М.: Педагогика, 1971. 581 с.

6. Щедровицкий Г.П. Организационно-деятельностная игра как новая форма организации и метод развития коллективной мыследеятельности. М.: Школа культурной политики, 1995. С. 115-142.

К ВОПРОСУ О ТЕХНОЛОГИЧЕСКОМ ПОДХОДЕ К ПРОЕКТИРОВАНИЮ УЧЕБНОГО ПРОЦЕССА

В.В. Бессонова1

Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина, г. Елец; магистрант института математики, естествознания и техники

1 Научный руководитель: кандидат педагогических наук, доцент кафедры математики и методики её преподавания Т.М. Сафронова

Аннотация: в статье рассматривается проблема реализации выдвинутых ФГОС задач, путем модификации педагогической системы. Особое внимание уделяется педагогической технологии В.М. Монахова. В статье рассматривается информационная модель учебного процесса, отражающая закономерности учебного процесса на различных его стадиях.

Ключевые слова: учебный процесс, математическое развитие учащихся, педагогическая технология.

С введением Федерального государственного образовательного стандарта образование претерпело значительные изменения. В процессе школьного обучения предполагается не просто передача знаний, а формирование у ученика способностей самостоятельно добывать их. На первый план вышло развитие личности школьника. А соответственно и личностно-ориентированное обучение, позволяющее ученику в зависимости от его индивидуальных способностей и возможностей перестроить цель и результат обучения, таким образом, ученик является полноправным субъектом учебной деятельности.

Для реализации выдвинутых ФГОС ОО задач необходима четко построенная и детально продуманная система, которая не будет затрагивать всего лишь отдельные компоненты педагогической системы. Тогда возникает необходимость осуществлять ее модификацию в целом. Другими словами, для системного объекта требуется системное воздействие.

В таком случае встает вопрос о совершенно ином подходе к проектированию учебного процесса. Его построение на современном этапе должно исходить из таких установок как образовательные ориентиры, социальный заказ, содержание и цели обучения. При этом, существует необходимость поиска нестандартных подходов к нему.

При всем выше сказанном, так же важным аспектом является вопрос о гарантированности качества образования. Необходимость решения данного вопроса во многом повлияла на становление такой отрасли в отечественной педагогике, как педагогическая технология.

Существуют различные определения педагогической технологии, но во всех отмечается, что это такая система организации обучения, которой присущи свойства, принципиально отличающие ее от традиционной, при этом конечный результат деятельности является гарантированно положительным.

Таким образом, для выполнения требований ФГОС необходим именно технологический подход к построению учебного процесса.

В связи со сказанным выше, целесообразно обращение к педагогической технологии академика В.М. Монахова. Обращаясь к практике, отмечается, что технология имеет такие положительные качества, как доступность, быстрота освоения, эффективность в результате использования. К

тому же, она универсальна, поскольку возможно ее применение в разных классах и по разным предметам.

В.М. Монахов отмечает, что исследовать сам учебный процесс не представляется возможным, поэтому им рассматривается модель учебного процесса.

В технологии информационная модель учебного процесса выстроена параметрически. В её составе пять компонентов, которые наиболее объективно и целостно, отражают и демонстрируют закономерности учебного процесса на различных его стадиях:

• Целеполагание - система микроцелей, выделенных учителем при помощи определенных процедур. Как правило, в теме 3-5 микроцелей -главных вопросов изучаемой темы;

• Диагностика - совокупность проверочных работ, направленная на определение уровня достигнутости каждой микроцели. В диагностической карте результативности производится диагностика на индивидуальном уровне - накопление информации и анализ результатов каждого ученика по теме. Благодаря данной диагностике, отчетливо видно с каким составом класса проводится работа, какая часть имеет низкий уровень усвоения, какая - достаточный, какая - высокий. В традиционной системе оценки качества знаний учитывается лишь «4» и «5», в связи с чем невозможно отразить полную картину. Исходя из этого, данная диагностика способствует более качественному определению уровня компетентности учащихся.

• Дозированное домашнее задание. Цель технологии - получение ответа о приемлемой по объему, сложности норме домашнего задания.

• Логическая структура учебного процесса. В логической структуре проекта учебного процесса внимание акцентируется непосредственно на развитие ученика, а именно на формировку познавательного интереса, мотивации, мышления.

Данная технология позволяет проектировать учебную тему цепочкой уроков, разделенных на группы по количеству микроцелей. В технологической карте отражаются главные вопросы темы, определены зоны ближайшего развития учащихся и продолжительность зон. Заканчивается каждый отрезок выполнением проверочной работы. Это может быть диктант, самостоятельная работа, тест.

В логическую структуру учебного процесса, опираясь на технологию В.М. Монахова, встраиваются специальные программы развития. Для получения положительного результата, вводятся определенные упражнения.

Так, например, при изучении темы, «Отношения и пропорции» в 6 классе, можно включить специальные программы развития:

• «Мышление»

• «Память»

• «Восприятие».

• Коррекция предусмотрена для учеников, которые по результатам диагностики не выходят на уровень стандарта. Это своеобразная программа по достижению необходимого уровня. При этом в явной форме выделяются три аспекта: предполагаемые затруднения, типичные ошибки и система методических и педагогических мер, направленная на вывод ученика на уровень стандарта.

Все вышеперечисленные компоненты тесно связаны между собой.

Большую ценность в технологии имеет то, что немалая часть урока отводится непосредственно на развитие учащихся. При этом, задачи развития прописываются в информационной карте развития учащихся (ИКРУ) -основополагающем документе по планированию развития ученика в целом, а также математического развития.

В ИКРУ указываются следующие аспекты.

Опираясь на вышеизложенное, сделаем вывод о том, что рассмотренный нами технологический подход к проектированию учебного процесса отвечает главным требованиям современного образования. Поскольку в основе представленной технологии находится модель учебного процесса, систематизирующая познания о главном в учебном процессе.

Библиографический список

1. Монахов В.М. Технологические основы проектирования и конструирования учебного процесса. Волгоград: Перемена, 1995.

2. Сафронова Т.М. Технологический подход к проектированию учебного процесса, ориентированного на математическое развитие учащихся: дис... канд. пед. наук. М., 1999.

3. Сафронова Т.М. Технология проектирования математического развития учащихся: учеб. пособие к спецкурсу. Елец: ЕГУ им. И.А. Бунина, 2006. 102 с.

К ВОПРОСУ ОЦЕНИВАНИЯ ЗНАНИЙ ШКОЛЬНИКОВ

Е.С. Волченкова1

Елецкий государственный университет им. И. А. Бунина, г. Елец; магистрант института математики, естествознания и техники; учитель математики МБОУ Гимназия г. Ливны

Аннотация: в статье рассмотрены проблемы и перспективы оценивания знаний школьников, приведены характеристики внешних оценочных процедур всероссийской системы качества образования. Более подробно выполнен структурный и методический анализ всероссийских проверочных работ по математике в 6 классах.

Ключевые слова: оценка знаний, ВПР, ЕГЭ, ОГЭ, структурный анализ, КИМы, демоверсия, контрольная работа, дробь, задача.

Сегодня на федеральном уровне особое внимание уделяется формированию единого образовательного пространства через оценочные процедуры с одинаковой шкалой, едиными требованиями, подходами во всех регионах Российской Федерации. В настоящее время внешними оценочными процедурами всероссийской системы качества образования является ОГЭ, ЕГЭ, НИКО, ВПР. Более подробно я хочу остановиться на ВПР по математике в 6 классе.

Рособрнадзор с декабря 2015 года начал апробацию проведения всероссийских проверочных работ (ВПР) в соответствии с поручением Министерства образования и науки Российской Федерации. А что же скрывается под этой аббревиатурой «ВПР»? ВПР представляет собой единые контрольные работы по предметам. Цель этих работ - оценить уровень подготовки обучающихся школы всех образовательных учреждений России. А в частности, проверить, соответствуют ли знания школьников требованиям ФГОС; увидеть, какие регионы России дают хорошее, качественное образование.

Особенность всероссийских проверочных работ - единство подходов к составлению вариантов, проведению самих работ и их оцениванию, а также использование современных технологий, позволяющих обеспечить практически одновременное выполнение работ школьниками всей страны.

Проведение регулярных контрольных работ позволит школьникам привыкнуть к экзаменам, а в дальнейшем снизить стрессы на ОГЭ и ЕГЭ. Кроме того, подобные работы помогут оценить уровень реальных знаний

1 Научный руководитель: кандидат педагогических наук, доцент кафедры математики и методики её преподавания Н.В. Черноусова

школьников, отследить их успехи и неудачи в каких-то конкретных областях обучения.

Так как я работаю в 6 классах, хотелось бы подробнее остановиться на ВПР для 6 класса.

На проведение всероссийской проверочной работы по математике в 6 классе отводится ровно 60 минут. Вся работа состоит из 13 заданий. В заданиях 1-8, 10 требуется записать только ответ без развернутого решения и каких либо пояснений. В задании 12 ученик должен изобразить рисунок или требуемый элемент рисунка. Что касается заданий 9, 11, 13, то здесь необходимо записать развернутое решение и ответ.

Итак, рассмотрим более подробно структурный анализ КИМа по математике 6 класса. Задания 1 и 2 всероссийской проверочной работы требуют от обучающегося владения понятиями как обыкновенная дробь, отрицательные числа. Говоря о задании 3, то здесь проверяется умение находить часть от целого и целое по его части. То есть, чтобы решить это задание безошибочно, ребенок должен четко ориентироваться в правилах. Задание 4 подразумевает владение понятием десятичная дробь. Школьник должен уметь складывать, вычитать, делить и умножать десятичные дроби. В задании 5 требуют оценить размеры реальных объектов окружающего мира. В 6 задании проверка извлечения информации из диаграмм, таблиц. В 7 задании обучающийся должен знать понятие модуля и уметь решать простейшие задания с модулем. Немного сложнее будет задание 8. Здесь уже идет работа с целыми тремя понятиями: обыкновенная дробь, десятичная дробь и смешанное число. Требуется выполнить сравнение и заполнить таблицу в нужном порядке, используя числовую прямую. В задании 9 проверяется умение находить значение арифметического выражения с обыкновенными дробями и смешанными числами, содержащего скобки. По сути, ребенок должен правильно расставить порядок действий и выполнить эти действия, как с обыкновенными дробями, так и со смешанными числами. Задание 10 направлено на решение несложных логических задач. Задание 11 содержит текстовую задачу. Обучающийся должен уметь решать задачи на проценты и задачи практического содержания. 12 задание направлено на умение симметрично строить геометрические фигуры, относительно данной прямой, выполнять поворот фигуры на определенный градус. И последнее задание 13 - это задание на проверку логического мышления, умения проводить математические рассуждения.

Рассмотрим систему оценивания выполнения всей работы по математике в 6 классе. Правильно решенные каждые из заданий 1-8, 10, 12 оцениваются одним баллом. Выполнение заданий 9, 11, 13 оценивается от 0 до 2 баллов. Максимальный первичный балл - 16. Ниже приведена таблица перевода из первичного балла в отметку:

Отметка по пятибалльной шкале

«2»

«3»

«4»

«5»

Первичные баллы

0-5

6-9

10-13

14-16

Во время подготовки шестиклассников к всероссийской проверочной работе мои уроки были ориентированы на применение эвристических методов и приемов при решении некоторых заданий. В частности, большое внимание уделялось заданию 11, которое содержит текстовую задачу в ВПР по математике 6 класса.

Рассмотрим пример из демоверсии ВПР по математике 6 класса 2018 года.

Задача. Хоккейные коньки стоили 4500 руб. Сначала цену снизили на 20%, а потом эту сниженную цену повысили на 20%. Сколько стали стоить коньки после повышения цены [1]?

Решение.

1) 4500 : 100 • 20 = 900 на (руб.) - снизили цену.

2) 4500 - 900 = 3600 (руб.) - стали стоить коньки после снижения цены.

3) 3600 : 100 • 20 = 720 на (руб.) - повысили цену.

4) 3600 +720 = 4320 (руб.) - стали стоить коньки после повышения цены.

Ответ: 4320 рублей.

Так выглядит решение, которое рекомендуют школьникам. Но в действительности, не многие дети смогут решить такого рода задачи. Для многих станет интереснее практическое применение формул для нахождения понижения и повышения цены. Ведь в повседневной жизни мы с этим встречаемся практически каждый день. Обучающимся стоит рекомендовать систематически повторять формулы для нахождения процента от числа. У них должно быть сформировано их понимание и применение. Учитель дает ученику эвристические «наводки» на поиск решения и именно это способствует осмысленному подходу к поиску решения задания.

Считаем, что в систему школьных задач целесообразно включать больше практических, эвристически - ориентированных задач. Именно такие задачи способствуют формированию творческого мышления.

Библиографический список

1. Демоверсия ВПР по математике 6 класс [электронный ресурс] // https://vpr.statgrad.org.

2. Ахременкова В.И. Всероссийская проверочная работа. Математика: 6 класс: практикум по выполнению типовых заданий. ФГОС / В.И. Ахременкова. М.: Издательство «Экзамен», 2018. - 64 с.

3. Зиновкина М.М., Гареев Р.Т., Горев П.М., Утемов В.В. Теория и методика развития творческого мышления учащихся // Научно-методический электронный журнал Концепт. 2014. Т. 19.

О ВОЗМОЖНОСТИ И НЕОБХОДИМОСТИ ФОРМИРОВАНИЯ ЦИФРОВЫХ КОМПЕТЕНЦИЙ СРЕДСТВАМИ МАТЕМАТИКИ В УСЛОВИЯХ ЦИФРОВОЙ ЭКОНОМИКИ1

С.Н. Дворяткина

Елецкий государственный университет им. И. А. Бунина, г. Елец; доктор педагогических наук, профессор, заведующий кафедрой математи и методики её преподавания

Аннотация. В статье актуализируются вопросы формирования цифровых компетенций на основе синергии знаний в рамках куррикулумного подхода. Определен состав данных компетенций. В качестве эффективного дидактического механизма развития новых компетенций предложены профессионально-прикладные задачи и современные цифровые технологии.

Ключевые слова: цифровая экономика, математическое образование, цифровые компетенции, междисциплинарные задачи, синергия знаний.

Второе десятилетие XXI века ознаменовалось вступлением в «четвертую промышленную революцию», которая базируется на приоритетных цифровых и сетевых технологиях, отобранных с учетом основных трендов мирового развития, и которая повлекла масштабные перемены во всех сферах жизни, в том числе и в образовании. «Новое сетевое общество, формирует новую сетевую культуру человека, сетевое самосознание, сетевую самоидентификацию, преобразует сферы духовности, социального взаимодействия и технологий», — отмечал на заседании бюро отделения философии образования и теоретической педагогики РАО член-корреспондент А.М. Кондаков [1]. В связи с трансформацией индустриального общества к обществу, основанному на цифровой экономике, предъявляются и новые требования к специалистам. Это должны быть профессионалы с высоким уровнем потенциала развития и саморазвития интеллектуальных способностей, аналитических и профессионально-технологических качеств, быть гибкими и адаптивными к новой информации, умеющие создавать и обрабатывать сложную информацию, выявлять и решать реальные проблемы цифрового мира.

Поэтому вопросы формирования фундаментальных и междисциплинарных цифровых компетенций, на основе все более широкого использования постоянно развивающихся цифровых и сетевых технологий - ключевая задача любой образовательной системы. Для развития данных компетенций наиболее эффективной средой нам видится математическое образо-

1 Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект №16-18-10304)

вание, которое характеризуется способностью обеспечивать в полной мере потребности каждого обучающегося в самообразовании и саморазвитии, актуализации когнитивного, профессионального, мотивационного процессов в контексте новой цифровой образовательной парадигмы и синергии знаний.

На смену компетентностного подхода приходит, по мнению ведущих исследователей (Е.В. Зубарева, В.П. Куприяновский, В.А. Сухомлин, А.П. Добрынин, А.Н. Райков, Ф.В. Шкуров и др.), куррикулумный подход, представляющий новую цифровую парадигму образования. Среди основных принципов данного подхода авторы выделяют: дифференциацию направлений подготовки, целостность, принцип ядерных технологий, знание-ориентированность, единство архитектуры представления знаний, концепцию ядра свода знаний, четкую специализацию профессиональных характеристик профилей и др. [2; 3]

В рамках куррикулумного подхода, который не противоречит, а расширяет компетентностный подход, актуальным становится формирование новых цифровых компетенций, провоцируемых динамикой развития экономики в условиях неопределенности, быстрой сменой аналоговых технологий на цифровые. Математическое образование способно обеспечить эффективное формирование следующих цифровых компетенций:

(1) базовые математические знания и навыки, которые помогают решать задачи реальной практики (способность анализировать и сравнивать информацию из разных источников, оценивать её достоверность и полезность, умение осуществлять математическое и компьютерное моделирование и др.);

(2) математические знания и навыки, которые помогают решать более сложные задачи в ситуации неопределенности и неоднозначности, задачи из других областей знаний с незнакомым контекстом (критическое и нелинейное мышление, креативность, умение работать в команде и др.);

(3) личностные качества, черты характера, которые помогают адаптироваться к стремительным изменениям окружающей среды (сформированность духовно-нравственных ценностей, инициативность, настойчивость, умение работать на результат, лидерские качества, эмоциональный интеллект и др.);

(4) цифровая грамотность (готовность и способность применять цифровые технологии критично, уверенно, эффективно и безопасно во всех сферах жизнедеятельности).

Проиллюстрируем формирование второй группы цифровых компетенций на примере постановки и решения междисциплинарных проблем средствами математики. Например, студентам-математикам по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» были предложены следующие профессионально-прикладные задания:

1. Разработать математическую модель анализа и сравнения стилей текстовых произведений и ее программную реализацию с применением современных языков программирования (на примере сравнения «ранних» и «поздних» произведений выдающегося писателя И.А. Бунина и изменения его стиля под влиянием социокультурной среды).

Была создана математическая модель анализа и сравнения стилей текстовых произведений применением марковских цепей для анализа пар букв в их естественных последовательностях в тексте с целью установления устойчивости авторского стиля. На языке программирования С# разработан временной стилевой анализатор, обеспечивающий полный цикл проведения анализа стилей текстов (рис. 1). Программа позволила прогнозировать изменение авторского стиля для любого временного периода; идентифицировать авторский стиль произведений путем введения параметра времени, что дало возможность сопоставить результаты статической таксономии (тексты берутся без учета временного параметра) и в динамике (с учетом времени создания).

2. Изучить непараметрические критерии различий и разработать программное обеспечение для оценки динамики изменений психологических показателей на основе непараметрических методов статистики.

Был разработан на языке программирования С# программный продукт для ПК «Непараметрические критерии различий», предназначенный для выявления достоверности различий качественных признаков в результате экспериментального воздействия (рис. 2).

Рис. 1 Интерфейс программы «Временной частотный анализатор»

Рис. 2. Интерфейс программы «Статистические критерии различий»

3. Изучить вопросы исследования взаимосвязи между признаками и разработать программное обеспечение для оценки меры связи социологических показателей на основе непараметрических методов статистики.

На языке программирования С# был разработан программный продукт для ПК «Корреляция», предназначенный для выявления связи между качественными признаками (рис. 3).

Рис. 3. Рабочее окно программы «Корреляция»

Трансформация аналоговой экономики в цифровую, рост требований к квалификации исследователей и их международная конкуренция, междисциплинарный характер современных исследований предъявляют новые требования к современным выпускникам вуза в виде необходимости формирования базовых цифровых компетенций. Предложенный возможный вариант формирования новых цифровых компетенций способствует саморазвитию и самоопределению личности обучаемого, укреплению потенциала науки и различных сфер жизнедеятельности общества, повышению эффективности и качества математического образования — гарантируемому эффекту синергии математического и информационного знания.

Библиографический список

1. Кондаков А.М. Цифровое образование для цифровой экономики // Тезисы доклада на заседание бюро Отделения философии образования и теоретической педагогики РАО. URL: http://rusacademedu.ru/news/zasedanie-byuro-otdeleniya-filosofii-obrazovaniya-i-teoreticheskoj-pedagogiki-4/

2. Куприяновский В.П., Сухомлин В.А., Добрынин А.П., Райков А.Н., Шкуров Ф.В., Дрожжинов В.И., Федорова Н.О., Намиот Д.Е. Навыки в цифровой экономике и вызовы системы образования // Internationa Journal of Open Information Technologies. 2017. Vol. 5. P. 19-24.

3. Сухомлин В.А., Зубарева Е.В. Куррикулумная стандартизация ИТ-образования на современном этапе // Современные информационные технологии и ИТ-образование. 2016. Т. 12, №3.1. С. 40-46.

ПРОФЕССИОНАЛЬНО-ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ОРИЕНТИРЫ В СТРУКТУРЕ СИСТЕМЫ МИРОВОЗЗРЕНЧЕСКИХ ОРИЕНТИРОВ БУДУЩИХ СПЕЦИАЛИСТОВ

А.И. Дзундза*, В.А. Цапов**

ГОУ ВПО Донецкий национальный университет, г. Донецк *доктор педагогических наук, профессор; ** кандидат физико-математических наук, доцент

Аннотация. Статья посвящена обзору научно-педагогической литературы по вопросам формирования мировоззренческих ориентиров. Особое внимание уделено изучению феномена профессионально-педагогического мировоззрения, а также необходимых условий для формирования его компонентов.

Ключевые слова: профессионально-педагогическое мировоззрение; личность; воспитательная функция; профессиональное образование студентов.

Исследование роли и места профессионально-педагогических ориентиров в структуре системы мировоззренческих ориентиров современных студентов потребовало проанализировать существующие формулировки и, учитывая современные требования научно обосновать и уточнить определение понятия мировоззренческих ориентиров; опираясь на философские, психологические, социологические и педагогические исследования современных ученых, раскрыть основные функции компоненты мировоззренческих ориентиров; определить их значение и роль в современной системе образования.

Феномен «мировоззрения» в меняющейся социокультурной действительности, безусловно, является одной из основных фундаментальных единиц интеллектуальной деятельности; на основе этой логической составляющей строятся различные формы мышления (такие как суждение, умозаключение и пр.). С этой точки зрения, методологически важен философский подход к исследуемому понятию, так как «философия - стержень мировоззрения, а научное мировоззрение - показатель образованности» [8, С. 12].

Осмысление понятия мировоззренческих ориентиров современными учеными-философами идет не только в контексте методологического и теоретического, но и во многом духовного отношения к действительности. В частности, Т.В. Шуртакова, анализируя понятие «мировоззрение» полагает, что «включение взглядов в его структуру не вызывает сомнения, но ограничение мировоззрения только обобщенными взглядами не бесспорно, ибо немало людей, которые не имеют обобщенных (философских) взглядов, но обладают мировоззрением обыденного, может быть, даже примитивного уровня». [27, С.9]. В этом определении отметим как положительный момент идею разноаспектности убеждений. Однако с точки зрения Т.И. Ойзермана недостаток данного определения состоит в том, что «оно объединяет в одно целое то, что в реально существующих мировоззренческих ориентирах оказывается несовместимым, то есть присущие различным видам мировоззренческих ориентиров специфические черты» [18, С.29].

В свою очередь В.Ф. Черноволенко отмечает, что мировоззрение может быть определено, как система обобщенных знаний и суждений о действительности, совокупность убеждений и идеалов, которые раскрывают практическое и теоретическое отношение личности к природе и обществу, его непосредственную способность видения, осознания и оценки окружающей действительности [25, С.54]. А.Г. Спиркин считает, что мировоззрение это «предельно обобщенный, упорядоченный взгляд на окружающий мир: на явления природы, общества и самого себя, а также вытекающие из общей картины мира основные жизненные позиции людей, убеждения, социально-политические идеалы, принципы познания и оценки

материальных и духовных событий» [23, С.269]. Заметим, что, несмотря на разные трактовки, и А.Г. Спиркин, и В.Ф. Черноволенко выделяют деятельный характер мировоззрения как практическое отношение к миру, выраженный в жизненной позиции человека.

М.Г. Ашманис исследует мировоззрение, как конкретное состояние сознания личности, высшую, свойственную только человеку, способность разумного регулирования и самоконтроля поведения [1, С.83]. А.И. Шинкарук вводит категориальную связь вида «человек - мир», утверждая, что мировоззренческие ориентиры человека формируются всей системой взглядов и представлений, которые сложились в обществе и отражающих определенную форму жизни человечества [26, С.98].

В современной философской науке мировоззрение исследуется с учетом не только форм сознания личности, но и самосознания. В мировоззренческих ориентирах отдельной личности ярко и рельефно отображаются и теоретическая мировоззренческая система, и индивидуальный жизненный опыт человека, и нравственный и гражданский характер мотивации поступков индивида. С.С. Гусев, изучая «обыденное мировоззрение» выявил, что существует не только массовое жизненно-практическое человеческое сознание, но и индивидуальное, которое выходит за рамки любой профессиональной области и является основой житейской познавательной деятельности личности, регулятором поведения человека в обществе [4]. Обыденное мировоззрение является формой осмысления накопленных жизненным индивидуальным опытом знаний, фактов, определенных стереотипов поведения и отражает общественный практический опыт большого количества поколений человечества, служащий основой житейских знаний в целом.

Философский взгляд на современную мировоззренческую проблематику, вычленение «профессиональной деятельности» в виде принципа предметного дифференцирования мировоззренческих ориентиров увязывается с задачами нашего исследования, что позволяет выделить в структуре системы мировоззренческих ориентиров личности профессионально-педагогическое ориентиры.

Философы Т.И. Ойзерман, В.И. Шинкарук стоят на позициях многообразия видов мировоззренческих ориентиров, эту же точку зрения отстаивает в своих публикациях А.С. Богомолов. Исследованиями А.А. Касьяна подтверждается существование различных типологий мировоззренческих ориентиров. Согласно А.А. Касьяну «возможен подход, который связывает тип мировоззрения с местом, ролью, спецификой той или иной социальной группы в обществе» [9, С. 15].

Исследование феномена профессионально-педагогического мировоззрения невозможно без осмысления психолого-педагогического аспекта этой проблемы. Ученые психологи изучают мировоззрение в контексте задач формирования личности, что убедительно отражено в публикациях

Л.И. Божович, Б.И. Додонова, Г.Е. Залвеского, В.И. Купцова, Н.А. Менчинской, Т.К. Мухиной, В.С. Мухиной, Ю.А. Самарина, Т.С. Тамбовцевой, Б.М. Теплова и др. [3, 10, 11, 15, 16]. На непосредственную взаимосвязь мировоззрения и развития личности указывает СЛ. Рубинштейн. По его мнению, личностью «...является человек, у которого есть свои позиции, свое яркое выраженное сознательное отношение к жизни, мировоззрение, к которому он пришел в процессе большой сознательной работы» [22, С.556].

В нашем исследовании мы опираемся на функционально динамическую концепцию структуры личности, разработанную К.К. Платоновым, которая указывает на доминирующее положение мировоззренческих ориентиров. В соответствии с положениями теории К.К. Платонова, первая подструктура содержит социально значимые качества личности (отношение, потребности, направленность, взгляды, мотивы, идеалы). Вторая подструктура отображает опыт конкретного человека (знания, умения, навыки, привычки). Третья подструктура касается индивидуальных особенностей волевых, познавательных и эмоциональных процессов индивида. Четвертая подструктура касается биологически обусловленных, связанных с наследственностью индивидуальных особенностей человека. В композиции личности мировоззрение находится в центре, и имеет как прямые, так и обратные связи с первыми тремя подструктурами, а они в форме устоявшихся отношений, потребностей, интересов, равным образом, влияют на мировоззренческие ориентиры личности, и это надо делать акцент в процессе формирования [19].

Л.И. Божович, исследуя личность и процесс ее формирования в детском возрасте, установила, что человек формируется как личность тогда, когда он достигает такого уровня психологического развития, который позволяет ему управлять своей деятельностью и поведением [3]. Л.И. Божович считает, что в основе ориентации личности находится доминирующая система мотивов, ведущие мотивы в которой определяют и подчиняют все остальные, и характеризуют устройство всей мотивационной сферы человека. Становление такой особой иерархической системы мотивов гарантирует личности наивысшую устойчивость.

СЛ. Рубинштейн определяет мотивацию как «основное ядро психологии личности», при этом подчеркивая среди свойств человека, которые обусловливают его поведение, систему доводов и задач, определяемых индивидом, свойства характера, персональные способности [22, С. 119-120]. А.Н. Леонтьев считает, что «сознательность знаний характеризуется тем, какой смысл приобретают они для человека», поэтому, осознаваемое действие устанавливается мотивом деятельности [12, С.28]. Б.Г. Ананьев подчеркивает, что социальные функции-роли и статус, ценностные ориентации и мотивация поведения, динамика отношений и структура - это харак-

теристики личности, которые определяют ее мировоззренческие ориентиры, жизненную ориентацию, общественное поведение, главные тенденции развития.

Заметим, что в психолого-педагогическом знании прослеживается некоторая специфика в изучении определения понятия «мировоззрение». «Психологи выходят из того, что мировоззрение личности есть форма индивидуального сознания, имеющая специфические особенности, обусловленные возрастными, индивидуальными различиями. В сформированном мировоззрении отраженные образцы наиболее общих закономерностей природы, общества, психологической жизни человека сливаются с собственным, личностным отношением к ним» [16].

Б.И. Додонов считает, что мировоззренческие ориентиры являются фундаментальным образованием довольно зрелой психики, которое включает в себя основные знания человека о мире и об отношении к нему, и с этих позиций он выполняет свою основную «...рекогносцировку действительности при выработке новых целевых программ своей жизни и при принципиальной оценке различных явлений и событий» [5, С. 40].

Данное определение отображает отношения к задаче формирования мировоззренческих ориентиров, как к постоянной и непрерывной работе сознания, которая имеет как индивидуальные особенности развивающейся личности, так и возрастные, и это обстоятельство необходимо учитывать в особой студенческой среде.

Исследование данной проблемы развития и формирования личности дает ключ к пониманию мировоззренческих ориентиров как результата особой внутренней деятельности индивида. Именно это подчеркивается в сформулированных представлениях о положении и функциях мировоззренческих ориентиров в общей структуре личности. По мнению Н.А. Менчинской «вся сложность и своеобразие (с психологической точки зрения) понятия «мировоззрение» заключается в том, что оно одновременно связано с различными сторонами или «подструктурами» личности - со знаниями и умениями их применять в решении различных задач, с которыми человек сталкивается в своей жизни; с направленностью личности - с ее отношениями, мотивами, оценками, идеалами. При этом степень готовности к выработке собственного мировоззрения зависит от направленности личности, ее моральных качеств. В тоже время мировоззрение само определяет направленность жизненных планов, формирования моральных качеств» [15, С. 306-307].

Для выявления сущности мировоззренческих ориентиров методологически принципиальным является деятельностный подход, который лежит в основе психологических исследований по мировоззренческой проблематике, и согласуется, на взгляд Г.Е. Залесского, с общим понятием «о мировоззрении личности как о системном образовании, способном не только выражать определенное отношение личности к окружающей дей-

ствительности, но также побуждать, направлять и организовывать ее активность, участвовать в процессе соподчинения различных деятельностей и мотивов» [7, С. 20].

В современных педагогических исследованиях распространено определение мировоззрения, принадлежащее Э.И. Моносзону. Он полагает, что мировоззрение это суммарная система идеалов, взглядов и убеждений, в которых человек активно отражает свое отношение к окружающей его среде. Мировоззрение в целом определяет личностную позицию данного субъекта, так как является обобщением знаний, опыта и индивидуальных эмоциональных оценок, с помощью которых отражены существенные особенности общественного бытия индивида в данной исторически конкретной структуре общественных отношений [17].

Можем констатировать, что мировоззрение отражает нашу действительность сквозь призму целей и интересов личности и является методом духовно-практического постижения мира. В нем аккумулируется совокупность знаний о мире и отношение к нему, их сплав, что привносит в мировоззренческие ориентиры целостность и специфичность, что не позволяет свести его ни к каким другим духовным явлениям. Таким образом, содержание мировоззренческих ориентиров соединяет в себе не только философские, естественнонаучные взгляды, но и социально-политические, а, следовательно, и основанные на них общественно-политические, эстетические и нравственные идеалы человека.

Принадлежащее Э.И. Моносзону определение является методологической основой большого количества педагогических исследований. В частности Л.П. Реутова определяет профессионально-педагогические мировоззренческие ориентиры как:

• явление сознания, которое отражает отношение педагога к природно-социальной среде;

• явление, свойственное как отдельным личностям и группам людей, так и педагогическому сообществу в целом;

• общественное самосознание педагога, воссоздающее действительность как отражение его профессиональных интересов и целей [20].

Научная школа, руководимая Р.М. Роговой (В.М. Гайнулина, Е.П. Бельчикова, Г.В. Мухаметзянова, В.И. Петрова, Н.И. Монахов и др.), ведет изыскания по формированию гуманистического мировоззрения. При этом Р.М. Рогова под гуманистическим мировоззрением имеет в виду область эстетического, нравственного, политического сознания. Это глубоко прочувствованные и осознанные личностные убеждения и взгляды, которые определяют духовность, ценностные ориентации молодежи, деятельностное и творческое отношение к миру, к окружающим людям, к своему положению в обществе [21, С.5]. Важным элементом в этом определении

является акцент на личностные убеждения и взгляды, которые служат основой духовности в процессе формирования личности.

Коллектив под руководством Р.М. Роговой считает, что очень существенным для педагога является осознание того, что мировоззренческие ориентиры личности базируются на свободе выбора между разными философскими системами. На отношение личности к философии оказывает влияние не только интеллектуальное мышление, но и состояние человеческой души [21, С. 66].

Нам импонирует дефиниция, которую дает И.Ф. Харламов. Ученый определяет мировоззрение как особую форму сознания человека, содержащую в себе систему знаний, убеждений, взглядов и идеалов, с помощью которых отражается его отношение к совершенствованию природы и общества, и которые подчеркивают его не только общественно-политическую позицию, но также и нравственно-эстетическую [24].

Согласно И.Я. Лернеру «мировоззрение ... представляет собой систему научно обоснованных взглядов на природу и общество, составляющих осознанные личные убеждения; оно определяет отношение человека к окружающему миру и проявляется в деятельности человека, в его поведении» [13]. Необычен подход И.Я. Лернера к исследованию немировоззренческих знаний, под которыми он понимает: а) предметные знания; б) знания, которые создают фундамент мировоззрения после обобщения определенных исходных знаний; в) знания, которые несут основную мировоззренческую нагрузку. Работа по целенаправленному формированию мировоззрения, согласно И.Я. Лернеру, обязательно должна содержать знания третьей группы и вывод из них личных мировоззренческих идей [13].

Мы согласны с позицией Т.И. Ойзермана, который полагает, что мировоззренческие ориентиры педагога представляют собой его отношение к миру - универсуму, во всех его проявлениях в природной и социальной реальности, то есть представляют собой часть общего философского мировоззрения, которое регулирует поведение индивида [18, С.80]. Но педагогические мировоззренческие ориентиры связаны не с «миром в целом», а с миром данной педагогической реальности, и их естественно можно считать частью научного мировоззрения, как одного из видов мировоззренческого сознания, имея при этом свои собственные черты и содержание, и естественно входя в общее мировоззрение.

Исходя из опыта преподавательской деятельности, Г.С. Батищев особо отмечает, что «воспитатель-педагог призван заражать своих воспитанников теми ценностями, которые он сам чтит и которые присутствуют в каждом шаге его жизни. Высшее искусство воспитания как раз и состоит в том, чтобы сделать для воспитанников притягательными высшие ценностные смыслы так, чтобы каждый мог самостоятельно открыть их как свои собственные, бескомпромиссно дорожить ими и приучать себя оставаться верным им при любых невзгодах, трудностях и испытаниях» [2].

Специфика профессионально-педагогических мировоззренческих ориентиров заключается в том, что педагог - не только обладатель мировоззренческой культуры, но и транслятор ее в молодежную среду. Из этого следует необходимость высокой «мировоззренческой ответственности» педагогического коллектива.

Профессионально-педагогические мировоззренческие ориентиры характерны действенностью в динамике, ведь педагог по характеру своей деятельности, преподавая в данный исторический период, должен быть ориентирован на перспективу, на будущее своих студентов. Именно поэтому невозможно переоценить роль педагога, который не только занимается преподаванием учебных дисциплин, но и формирует общие мировоззренческие основы личности подрастающего поколения, которые определят гражданскую позицию молодого человека, его мировоззренческие принципы.

Среди работ последних лет, в которых содержится мировоззренческая проблематика в педагогике, отметим диссертации Е.В. Дмитриевой, Т.Я. Железновой, А.А. Жохова, В.Н. Жуковой, Е.А. Паладянц, Б.М. Целковникова и др. Мы солидаризируемся с Т.Я. Железновой, которая, изучая педагогические мировоззренческие ориентиры, применяя концепцию «частичного мировоззрения», выдвинутого А.А. Касьяном [8], приводит следующее определение: «педагогическое мировоззрение - это понимание сущности мира педагогических явлений, отношение личности к нему и своему месту в нем. Это система убеждений, взглядов на педагогический процесс, его понимание, самостоятельная, личностная позиция, которая помогает организации и осмыслению своей профессиональной деятельности на основе современных научных исследований, придает ей продуктивный, эффективный характер» [6, С.21].

Заметим, что методология нашего исследования опирается на философский принцип дифференцирования научного мировоззрения по содержанию профессиональной деятельности индивида (С.Ю. Рыбин, В.И. Шинкарук, Г.М. Штракс, М.Г. Штракс, В.А. Щербинин). В связи с этим мы проводим четкое размежевание понятий «педагогическое мировоззрение» и «профессионально-педагогическое мировоззрение». Педагогическое мировоззрение свойственно широкому кругу: в частности родителям, деятелям культуры и искусства, врачам, и с этой точки зрения его можно считать ненаучным обыденным мировоззрением. Государство, как орган власти, также обязано обладать педагогическим мировоззрением в образовании - как одной из важнейших сфер народного хозяйства.

Мы согласны с Л.П. Реутовой, которая определяет «профессионально-педагогическое мировоззрение» как преимущественно научное мировоззрение, базирующееся на фундаментальном багаже философских, правовых, психолого-педагогических, экономических дисциплин» [20].

Л.П. Реутова актуализирует профессионально-педагогическое мировоззрение, как динамически развивающуюся структуру взглядов, убеждений, идеалов и ценностей наставника, основанных на философских, правовых, психолого-педагогических, социальных, экономических научных знаниях, которые определяют направленность его профессиональной деятельности педагога и находящих свое выражение в самостоятельной личностной позиции.

Б.Т. Лихачев подчеркивает, что педагогика всегда уделяла особое внимание процессу формирования и развития мировоззренческих ориентиров, резонно указывая на важность общественных функций, им выполняемых [14]. Просветительская функция заключается в том, что с помощью научного мировоззрения мир природы и общества становится для человека понятным, формируется просвещенное сознание, индивид избавляется от социальных, политических, религиозных пережитков и предрассудков. Научное мировоззрение обогащает студента системой духовно-ценностных ориентации, вооружает методологией, совокупностью базовых философских принципов и методов индивидуальной познавательной деятельности.

Роль воспитательной функции мировоззренческих ориентиров заключается в том, что усвоенные мировоззренческие взгляды и убеждения помогают формированию важных морально-волевых качеств студентов и повышают уровень эстетического восприятия действительности. Преданность убеждениям, отстаивание своей позиции предусматривает твердость характера, волю, настойчивость убежденность. Воспитание этих нравственных качеств происходит в единстве с такими чертами, как гуманизм, долг, ответственность, эстетическими идеалами личной жизни.

Роль развивающей функции заключается в активизации мыслительной деятельность личности благодаря, прежде всего, внутренней работе постижения содержания мировоззренческих ориентиров. Фундаментом научного мировоззрения являются принципы диалектического подхода к изучению и восприятию действительности, благодаря чему мышление становится гибким, творческим. Развивается способность обобщать, творчески переосмысливать явления природы и общества. Заметим, что в практической деятельности человека исходной позицией является именно организационная функция мировоззренческих ориентиров.

В свою очередь прогностическая функция научного мировоззрения состоит в научно-теоретическом и практическом постижении тенденций, выдвижении идей созидания будущего в настоящем, опирающегося на знании основ общественного развития.

Следовательно, анализ и исследование философского мировоззрения дал нам возможность предположить, что исследуемое нами профессионально-педагогическое мировоззрение благодаря своей специфике выполняет функции:

• онтологическую, включающую процесс теоретического познания индивидом профессиональной деятельности, овладение важнейшими методологическими принципами, а также осознания структуры и места мировоззренческих ориентиров в процессе профессионального становления будущего специалиста;

• социальную и аксиологическую, которые выражаются во взаимодействии общества, государства, образовательных структур с целью формирования конструкции личностно и значимых общечеловеческих ценностей и ее преобразование в принципы, в убеждения, в мировоззренческую позицию;

• прогностическую, проявляющуюся во взаимодействии с государством по продуцированию организационных, содержательных и технологических компонентов в образовательной среде;

• культурологическую, проявляющуюся в осознании дифференциации и специфики национальных культур, в приобщении к духовному наследию мировой культуры;

• организационную, выражающуюся во взаимосвязи и преобразовании наставником педагогических реалий согласно собственным профессионально-педагогическим мировоззренческим ориентирам.

Итак, важнейшим аспектом современного проектирования педагогического образования становится направленность его содержания на формирование профессионально-педагогических мировоззренческих ориентиров и установок личности. И это не случайно. Именно профессионально-педагогические мировоззренческие ориентиры учителя являются направляющим фактором в развитии общества, своеобразным индикатором благополучия или неблагополучия социальной жизни. Мировоззренческие ориентиры и установки не только определяют параметры жизнедеятельности педагога, актуализируют главную линию его профессиональной деятельности, но и регулируют его отношения и особенности взаимодействия с объектами и субъектами его профессиональной деятельности, детерминируют и регулируют процессы саморазвития и самосовершенствования.

Библиографический список

1. Ашманис М.Г. Мировоззрение и условия его формирования / М.Г. Ашманис, Риж. политехи, ин-т. Рига: Зинатне, 1977. 118 с.

2. Батищев Г.С. Человек совершенствующийся / Г.С. Батищев // Учительская газета. - 1988.- 3 марта.

3. Божович Л.И. Личность и ее формирование в детском возрасте: монография, цикл статей / Л.И. Божович. Санкт-Петербург: Питер, 2009. 400 с.

4. Гусев С.С. Современное мировоззрение на проблему искусственного интеллекта // Научное творчество XXI века: Сб. статей / Научн. ред. Я.А. Максимов. Т. 2. Красноярск: Изд. Научно-инновационный центр, 2012. С. 73-77.

5. Додонов Б.И. Эмоция как ценность / Б.И Додонов. М. Политиздат, 1978. 272 с.

6. Железнова Т.Я. Становление педагогического мировоззрения будущего учителя. Дисс. ... канд. пед. наук. - Нижний Новгород, 1996. 197 с.

7. Залесский Г.Е. Психология мировоззрения и убеждений личности / Г.Е. Залесский. М: Изд-во МГУ, 1994. 138 с.

8. Касьян А.А Контекст образования: наука и мировоззрение: монография / А.А. Касьян; Нижегор. гос. пед. ун-т. Нижний Новгород, 1996. 183 с.

9. Касьян А.А. Математическое знание как мировоззренческое явление: дис. ... д-ра филос. наук. Н. Новгород, 1991. 338 с.

10. Каюмов О.Р. О проблемах, связанных с межцивилизационными заимствованиями в педагогике // Вестник Елецкого государственного университета им. И.А.Бунина. Вып. 34: Серия «Педагогика» (История и теория математического образования). Елец: ЕГУ им. И.А.Бунина, 2014. С.7-12.

11. Купцов В.И. Роль философии в научном познании / В. И. Купцов М., 1976. С. 56.

12. Леонтьев А.Н. Психологические вопросы сознательности обучения / А.Н. Леонтьев // Изв. АПН РСФСР, 1947. Вып. 7. С. 3-40.

13. Лернер И.Я. Творчеству можно и должно учить / И.Я. Лернер, И.К.Журавлев // Современная дидактика: теория практике. М., 1994. С. 140-153.

14. Лихачев Б.Т. Педагогика: курс лекций: учеб. пособие для студентов пед. учеб. заведений и слушателей ИПК и ФПКМ / Б.Т. Лихачев. М.: Прометей, 1992.-528 с.

15. Менчинская Н.А. Психологические закономерности формирования научного мировоззрения / Н.А. Менчинская // Психология формирования и развития личности / Отв. ред. д-р психол. наук Л.И. Анцыферова. М., 1981. С. 306-319.

16. Менчинская Н.А. Проблемы обучения, воспитания и психического развития ребенка : избранные психологические труды / Н. А. Менчинская. М.: Московский психолого-социальный институт, 2004. 512 с.

17. Моносзон Э.И. Формирование научного мировоззрения учащихся / под ред. Э.И. Моносзона, Р.М. Роговой. М.: Педагогика, 1985. 231 с.18. Ойзерман Т.И. Мировоззрение как феномен духовной жизни общества / Т.Н. Ойзерман, Богомолов А.С., Основы теории историко-философского процесса. М., 1983. 286 с.

19. Платонов К.К. Структура и развитие личности / К.К. Платонов; отв. ред. А.Д. Глоточкин. М.: Наука, 1986. 255 с.

20. Реутова Л.П. Система формирования и развития профессионально-педагогического мировоззрения учителя: дис. ... д-ра пед. наук. Майкоп, 2006. 398 с.

21. Рогова Р.М. Развитие гуманистического мировоззрения и ценностных ориентации личности./ Р.М. Рогова, Рос. Акад. Образования, Ин-т развития личности. М.: Ин-т разв. Лич-сти, 1996. 144 с.

22. Рубинштейн СЛ. Основы общей психологии / СЛ. Рубинштейн. Санкт-Петербург [и др.]: Питер, 2015. 705 с.

23. Спиркин А.Г. Общая философия: учебник для академического бакалавриата / А.Г. Спиркин. М.: Издательство Юрайт, 2017. 267 с.

24. Харламов И.Ф. Педагогика: учебное пособие / И.Ф. Харламов. Изд. 4-е, переработанное и дополненное. М.: Гардарики, 2007. 519 с.

25. Черноволенко В.Ф. Мировоззрение личности и ее основные жизненные выборы / В.Ф. Черноволенко // Диалектический и исторический материализм - философская основа коммунистического мировоззрения. Киев, 1997. 446 с.

26. Шинкарук В.И. Мировоззрение, наука и философия / В.И. Шинкарук // Философские науки, 1978. №1. С. 98-101.

27. Шуртакова Т.В. Формирование миропоззрения студентов средствами искусства / Т.В. Шуртакова. Казань: Издательство КГУ, 1987.109 с.

О МЕТОДИЧЕСКОМ СОПРОВОЖДЕНИИ ДИСЦИПЛИНЫ «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ»

И.А. Елецких

Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина, г. Елец, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики и методики ее преподавания

Аннотация. В статье приводится описание методического сопровождения дисциплины «Дифференциальные уравнения», которое представлено в виде материала, размещенного в электронной информационно-образовательной среде ЕГУ им. И.А. Бунина и учебно-методического пособия, ориентированного на организацию занятий под руководством преподавателя и самостоятельного освоения обучающимися методов интегрирования дифференциальных уравнений и их систем. Приведен образец модели организации учебного процесса по одной из тем дисциплины.

Ключевые слова: дифференциальное уравнение, методическое обеспечение дисциплины, контрольно-измерительные материалы.

В настоящее время требования ФГОС ВО и ФГОС ВО 3+ ориентируют образование «на достижение достаточно высокого уровня знаний, опыта, осведомленности для осуществления деятельности и общения в различных областях и сферах» [1]. Реализация поставленных требований приводит к необходимости внедрения в образовательный процесс современных подходов к обучению, создание учебно-методического обеспечения, изучение и внедрение технологий, форм и методов преподавания на основе компетентностного подхода, внедрение инновационных технологий в образовательный процесс.

Учебно-методическое обеспечение является инструментом организации и поддержки учебного процесса, так как дает достаточно полное представление, как об объеме содержания обучения, так и о способах построения учебного процесса.

Основная цель учебно-методического обеспечения - создание условий для реализации требований ФГОС ВО [2] посредством предоставления обучающимся полного комплекта учебно-методических материалов для аудиторного и самостоятельного освоения учебной дисциплины «Дифференциальные уравнения».

Модель методического сопровождения дисциплины строилась исходя из практического применения дифференциальных уравнений, целей и задач, которые вытекают из актуальности приложений таких уравнений в различных областях естествознания. Измерение физических и геометриче-

ских величин неразрывно связано со всем ходом исторического развития математики, начиная от ее возникновения вплоть до сегодняшних дней. Проблемы измерения тех или иных величин, появившиеся в ходе научного познания, привели к необходимости разработки аппарата дифференциального исчисления. Дифференциальные уравнения объединяют и обобщают многие идеи математически, являются важным средством познания явлений действительности, являются удобным аппаратом для построения и изучения моделей различных прикладных задач.

Целью преподавания дисциплины «Дифференциальные уравнения» является создание целостного представления о предмете и методах общей теории обыкновенных дифференциальных уравнений, рассмотрение методов интегрирования наиболее важных в теоретическом отношении и часто встречающихся в приложениях типов дифференциальных уравнений. Особое внимание уделяется линейным уравнениям и системам линейных уравнений, как удобному аппарату построения математических моделей реальных явлений и процессов.

Вместе с тем этот курс несет в себе глубокую профессиональную направленность, его рассмотрение необходимо для дальнейшего изучения прикладных дисциплин по направлениям подготовки: 01.03.02 Прикладная математика и информатика, 09.03.02 Информационные системы и технологии, 20.03.01 Техносферная безопасность, 35.03.06 Агроинженерия, 38.03.01 Экономика и др. Содержание дисциплины «Дифференциальные уравнения» представлено следующими модулями:

1. «Дифференциальные уравнения первого порядка и методы их интегрирования» (дифференциальные уравнения, разрешенные и неразрешенные относительно производной);

2. «Дифференциальные уравнения высших порядков» (уравнения, допускающие понижение порядка, линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения, краевые задачи;

3. «Системы дифференциальных уравнений» (системы уравнений в нормальной форме, системы линейных дифференциальных уравнений и методы их интегрирования, теория устойчивости).

Методическое обеспечение дисциплины разработано в двух вариантах - в виде материала, размещенного в электронной информационно-образовательной среде ЕГУ им. И.А Бунина (система дистанционного обучения) и в печатном виде (учебно-методическое пособие «Методическое обеспечение дисциплины «Дифференциальные уравнения»). Материал для дистанционного обучения содержит программу дисциплины, краткие тексты лекций по изучаемым темам, рекомендации по подготовке к практическим занятиям, задания для самостоятельного выполнения, темы рефератов и критерии их оценивания, образцы контрольных работ, вопросы к зачету и экзамену.

Учебно-методическое пособие имеет практическую направленность и нацелено на самостоятельное обучение студентов решению дифференциальных уравнений. В нем приводятся практические занятия в соответствии с учебным планом направления подготовки 01.03.02 Прикладная математика и информатика. Часть заданий на интегрирование дифференциальных уравнений или их систем приводится с подробным описанием, другая предлагается для решения на занятии или самостоятельного решения.

Во второй части предложена возможная модель учебного процесса, ориентированного на самостоятельное изучение студентами тем дисциплины, а также система практических занятий по указанной теме. В качестве примера приведем образец методической разработки по подготовке к практическому освоению темы «Однородные дифференциальные уравнения первого порядка». Каждое занятие начинается с перечня вопросов, на которые должен знать ответ обучающийся, чтобы освоить методику интегрирования дифференциальных уравнений. Например, в нашем случае эти вопросы могут выглядеть так:

Вопросы для подготовки: 1) Какие уравнения называются однородными? 2) Как интегрируются однородные дифференциальные уравнения? 3) Как решается задача Коши для таких уравнений?

Далее указывается, где можно найти ответы на поставленные вопросы (необходимый теоретический материал):

- конспект лекций, размещенный в СДО (тема 1, §5);

- учебник: Елецких И.А., Мельников Р.А., Саввина О.А. Дифференциальные уравнения: учебное пособие для вузов (Гриф УМО). Елец: ЕГУ им. И.А. Бунина, 2006. 253 с.

Далее приводятся образцы решений, которые подобраны с учетом возможных вариантов записи однородных уравнений и поставленных задач (найти общее решение или решить задачу Коши).

Пример 1. Найти общее решение уравнения у =- + - .

Решение.

Введем обозначение:

и проверим, является ли эта функция однородной нулевого измерения:

Следовательно, дано однородное уравнение. Для его решения используем подстановку - = и, из которой найдем у и у и подставим их в данное уравнение: у = и • х и у1 = у}х + и => г*1 х + и = и + ^ => у}% = ^ . Получено уравнение с разделяющимися переменными: — ■ X = - и ■ du = —. Интегрируя последнее уравнение, найдем общее решение уравнения с разделяющимися переменными:

Подставляя вместо и выражение

найдем общее решение данного уравнения:

Необходимо помнить, что в процессе нахождения общего решения однородного уравнения, производилось деление на х. Поэтому х = О - особое решение.

Пример 2. Найти решение уравнения

при условии у(\)=0.

Решение.

Пусть

Так как функции Р(х*у) и Q(x,y) имеют одинаковый порядок однородности, то данное уравнение является однородным. Его можно записать в стандартной форме

уравнения, разрешенного относительно у1:

т.е. в виде

и далее проводить решение так же, как и в примере 1. Используем подстановку

из которой находим у и и подставляем их в преобразованное уравнение:

Интегрируя последнее равенство, найдем общее решение данного уравнения:

Найдем теперь частное решение, удовлетворяющее заданному начальному условию у(\)=0. Подставив значения х=1 и у=0 в формулу общего решения, найдем значение с=1, которое подставим в формулу общего решения. В результате проведенных преобразований искомое частное решение может быть записано в виде у = - (х2 — 1).

Далее приводится система заданий для самостоятельного решения.

Такое подробное описание дает возможность студенту бакалавриата самостоятельно изучить теоретический материал и его применение на практике. В системе СДО имеется возможность обратной связи с преподавателем, что позволяет обучающемуся получать дополнительную информацию в любое удобное для него время, а преподавателю отслеживать и оценивать работу студента. Разработанная модель методического сопровождения может применяться как при очной форме обучения, так и при заочной или очно-заочной формах.

Библиографический список

1. Копылова Н.А., Ургапов В.А. Компетентностный подход в образовании как основа совершенствования деятельности современного педагога // Состояние и перспективы

развития высшего образования в современном мире: материалы докладов Международной научно-практической конференции, Сочи, 9-10 сентября 2014 года. Часть 1. Сочи: НОУ ВПО МНУ, 2014. С. 275-279.

2. Федеральный государственный образовательный стандарт высшего образования по направлению подготовки 01.03.02 Прикладная математика и информатика (уровень бакалавриата) от 12 марта 2015 г. №228 [Электронный ресурс], http://fgosvo.ru/010302

ИЗ ОПЫТА ПРОВЕДЕНИЯ САМОСТОЯТЕЛЬНЫХ ЗАНЯТИЙ ПОД РУКОВОДСТВОМ ПРЕПОДАВАТЕЛЯ

Г.Г. Ельчанинова

Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина, г. Елец, кандидат педагогических наук, доцент кафедры математики и методики ее преподавания

Аннотация: в статье предпринята попытка установления и предложения пути повышения эффективности изучения избранных вопросов дисциплины «Элементы высшей математики» в процессе получения среднего профессионального образования.

Ключевые слова: самостоятельная работа, дифференциальное и интегральное исчисление.

Учебный процесс в сфере среднего профессионального образования (далее - СПО) предполагает наличие самостоятельной работы обучающихся под руководством преподавателя. На этот вид специально отведено время. Это могут быть как дополнительные занятия, индивидуальные занятия, так и занятия со всей учебной группой. При их проведении реализуются разнообразные цели. Особая целенаправленная организация этой формы учебных занятий может приносить максимальную пользу, если будет выполнять определённые функции. Например, изучение базовых блоков учебного материала в согласованной связке учебных дисциплин «Элементы высшей математики» и «Теория вероятностей и математическая статистика», предусмотренных учебным планом направлений подготовки 09.02.03 Программирование в компьютерных системах и 09.02.02 Компьютерные сети.

При изучении «Элементов высшей математики» преподаватель сталкивается с ситуацией, когда средством рассмотрения отдельных вопросов и тем выступают другие ключевые моменты теории, успешность предыдущего изучения которых вызывает сомнения. Ни для кого не секрет, что мотивация обучающихся, получающих среднее профессиональное образование по сравнению с таковой у студентов бакалавриата проигрывает.

Математику (в учебном плане дисциплина значится как «Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия») в учебном процессе СПО при освоении специальностей технического профиля предполагается пройти за три семестра, в отличие от школьных двух лет (в пересчёте на семестры - четыре). То есть, мы ограничены во времени по сравнению со школой, но, тем не менее, все без исключения ключевые и важные в профессиональном плане теоретические блоки обучающиеся должны освоить.

Такими ключевыми моментами являются вопросы, связанные с производной и интегралом. Опыт преподавания указанных дисциплин обучающимся СПО, поиск возможных путей выхода из сложившихся ситуаций привел нас к одному из возможных путей - интегрированные занятия [1]. Но ничто не мешает нам подкрепить предложенный способ изучением двух ключевых тем в рамках времени, отведённого на самостоятельную работу под руководством преподавателя.

Тематика вопросов, выносимых на изучение в рамках дисциплины «Элементы высшей математики» представляет собой взаимосвязанное переплетение алгебры и теории чисел, аналитической и дифференциальной геометрии и математического анализа.

Выделим основные, как нам представляется, проблемные места в изучении производной и интеграла, изучение которых мы и проводим на самостоятельных занятиях.

1. При изучении вопросов векторной алгебры и аналитической геометрии на плоскости мы в определённой степени дублируем, расширяем и систематизируем школьный материал. Сама по себе теория не представляет проблемы, пока не появляются кривые второго порядка и связанные с ними понятия. Более того, при рассмотрении касательных и нормалей к указанным кривым, ощущается острая необходимость немедленного повторения производной и её приложений в их школьной интерпретации. Эта нехватка может быть компенсирована подготовительным блоком самостоятельных занятий. На этих занятиях мы повторяем полностью материал о производной и её приложениях, с которым обучающиеся встретились при изучении школьного курса.

2. При изучении теории вероятностей, дойдя до числовых характеристик непрерывной случайной величины, мы стараемся синхронизировать изучение несобственного интеграла с его рассмотрением в рамках элементов высшей математики [1]. Но можно, не соблюдая строгую синхронизацию, тем не менее, добиться нужных результатов, организовав повторение школьных элементов интегрального исчисления с конечным выходом на несобственный интеграл в рамках самостоятельных занятий. На самостоятельных занятиях мы повторяем материал, связанный с интегралом, постепенно "выводя" его на новый уровень - заменяя один из пределов сначала

параметром, затем, делая его переменным и, в конце концов, подходя к несобственному интегралу:

3. Можно также в обеих, содержащих ключевые вопросы темах, дойти до дифференцирования и интегрирования функций, содержащих параметр. Это позволит более плавно перейти к дифференциальному и интегральному исчислению функции нескольких переменных. Заметим, что за время преподавания мы не встретили ни одной группы обучающихся, которым на первых, а порой и не только на первых порах, не приходилось бы давать совет отвлечься от наличия двух переменных в аналитическом выражении и посмотреть на функцию как на имеющую одну переменную и параметр, а затем уже дифференцировать или интегрировать её: у = 2х2 + Sx, у = ах2 — 5:v, у = х2у — у2х.

Предложенные темы не исчерпывают всех потребностей, возникающих при изучении дисциплин «Элементы высшей математики» и «Теория вероятностей и математическая статистика». Очевиден выход из всех сложностей, которые, в том числе и психологические, появляются при ознакомлении обучающихся с профессионально значимыми дисциплинами - своевременное и постоянное предварение изучения организованным дополнительным занятием в форме практикума.

Часы, отведённые на самостоятельную работу под руководством преподавателя, принесут огромную пользу, если будет реализован предложенный замысел. Можно не загружать их теорией, но выстроить последовательно усложняющийся и приводящий к цели практический материал так, что он станет действенным.

Библиографический список

1. Ельчанинова Г.Г., Харламова М.А. Межпредметная интеграция при изучении элементов высшей математики студентами системы СПО // Среднее профессиональное образование. 2018, № 4. С. 41-44.

СИСТЕМА ОЦЕНИВАНИЯ В РОССИИ: ПРОШЛОЕ, НАСТОЯЩЕЕ

А.Ю. Клейменова1

Елецкий государственный университет им. И. А. Бунина, г. Елец; магистрант института математики, естествознания и техники

Аннотация. В статье рассматривается вопрос, посвященный проблеме оценивания результатов обучения. Приводится краткий исторический обзор систем оценивания в России. Затрагивается вопрос о новой

1 Научный руководитель: кандидат педагогических наук, доцент кафедры математики и методики её преподавания Г.А. Симоновская

форме оценивания результатов обучения математике в современной общеобразовательной школе - ЕГЭ.

Ключевые слова: школа, контроль, оценка, математика, ЕГЭ.

Одной из актуальных проблем современной теории и практики образования является проблема оценивания учащихся. Актуальность изучения процесса оценивания отмечается всегда. Без обратной связи управление любым процессом не может быть эффективным. Необходимость оценивания отмечают все участники образовательного процесса: ученики, учителя, родители. Оценки являются неотъемлемой частью учебного процесса.

В России изначально, как и в Европе, существовала трёхразрядная система оценок. В списке Киевской духовной академии (1737 г.) высший разряд обозначает очень хорошие успехи: «учения изрядного, надежного, доброго, честного, хорошего, похвального». Средний разряд обозначает успехи «учения посредственного, мерного, нехудого». Низший разряд характеризует успехи ниже среднего: «учения слабого, подлого, прехудого, безнадежного, ленивого».

Со временем словесная оценка становилась весьма короче, она стала чаще заменяться цифровой, причём направление шкалы установилось противоположным германскому.

Традиция обозначать цифрами успехи учеников утвердилась в России в начале XIX века. В гимназиях употребляли цифры от 0 до 5 :

1. Нуль показывал, неисполнение своих обязанностей учеником; если же ученик получал два нуля подряд, то он подвергался телесному наказанию (до 1864 г.) [4].

2. Единица и двойка предназначалось ставить тогда, когда ученик неудовлетворительно приготовил урок;

3. Тройка ставилась за посредственное прилежание;

4. Четыре - если учащийся хорошо исполнил свои обязанности;

5. Пять получали только за все выполненные на отлично задания к уроку.

Учитель был обязан ставить баллы в классе, характеризуя только знание заданного на дом урока. Он не учитывал внимание или рассеянность учеников во время занятия, а учитывал только временное или постоянное прилежание ученика, его возраст и способности.

В России также были 3-, 5-, 8-, 10-, 12-балльные системы оценки знаний. Из них к 20 веку дошла только 5-балльная, которая и была в 1937 году официально установлена Министерством народного просвещения: "1" - слабые успехи; "2" - посредственные; "3" - достаточные; "4" - хорошие; "5" - отличные. В 20 веке оценку "1" вывели из применения, в результате 5-балльная система стала 4-балльной, которой мы пользуемся в XXI веке.

Сегодня в России оценку за четверть выводят как среднее арифметическое текущих, в том числе и контрольных, оценок. Оценка за контроль-

ную работу является текущей, она оценивает знания ученика на момент её написания. Поэтому учителя пользуются следующей формулой: (сумма всех оценок за четверть)/(колличество оценок за четверть).

Учебные учреждения (Институты) России в своей практике используют следующую шкалу оценивания:

Оценка

Описание

Сокращенное описание

5

Отлично

Отл.

4

Хорошо

Хор.

3

Удовлетворительно

Уд.

2

Неудовлетворительно

Неуд.

Использование знаков "+" и "-" показывает различие между оценками: например, 3+ лучше, чем 3, но хуже, чем 4-. Но такое оценивание запрещено в официальных документах.

Оценки различны в каждой школе, университете и зависят от учителей и предметов, где можно объективно оценить знания учащегося, таких как математика и прикладные науки.

В 2001 году Россия вводит новую сложную систему оценивания знаний - ЕГЭ (единый государственный экзамен). Первичной оценкой в ней является сумма баллов, которая считается за правильно выполненные задания. За каждое задание даётся максимальное количество баллов, которые за него можно получить. В каждом предмете максимальная сумма баллов варьируется. Эти баллы позднее переводятся в общую оценку, где учитывается количество набранных баллов у каждого из учащихся. Также устанавливается так называемый «порог» - минимальное количество баллов, которые должен набрать экзаменуемый. Если учащийся переходит «порог», то на сегодняшний момент, есть возможность пересдать экзамен в определенный день. От того сдаст ли ученик ЕГЭ, зависит, получит ли он аттестат об окончании среднего учебного заведения.

Также баллы ЕГЭ играют большую роль при поступлении в высшее учебное заведение. Чем выше балл, тем больше шансов поступить.

За отсутствие объективности эта система подвергается критике [5].

Во время прямой линии Владимир Путин (апрель 2015г.), сказал, «у ЕГЭ "есть и минусы, и плюсы"». Но замечается факт, что в столичные ВУЗы стало больше шансов пройти людям из провинциальных городов. Минусом президент посчитал - малое погружение в тему. "Подготовка, как

будто это сдача экзамена на водительское удостоверение", - оценил глава государства [3].

В 2015 году произошло разделение ЕГЭ по математике на профильный и базовый уровни, что вызвало также негативные стороны. В Ельце в 2015 году профильный экзамен по математике выбрали 386 ученика из 408, 2016 г. - 325 из 390, а в 2017 г. - 218 из 291. Таким образом, можно заметить, что желание сдавать профильную математику снижается, а это может привести к снижению числа потенциальных абитуриентов в технических вузы.

«Не страшно, что профильную математику выбрало чуть меньше учеников, - говорит руководитель федеральной группы разработчиков ЕГЭ по математике Иван Ященко. - Для нас самый важный показатель - сколько выпускников получат хорошую оценку на экзамене» [1].

Некоторые педагоги думают иначе. Валентин Бутузов (автор школьных учебников, преподаватель математики на физическом факультете МГУ) считает, что в снижении баллов ЕГЭ и нежелании писать профильную математику влияет низкие знания, которые дает школа.

Лидер ЛДПР Владимир Жириновский внес в Госдуму законопроект об отмене ЕГЭ. Согласно ему, государственная итоговая аттестация для обучающихся по образовательным программам основного общего и среднего общего образования должны проводиться «в форме государственных экзаменов по заданиям, которые утверждаются органами исполнительной власти субъектов, осуществляющими государственное управление в сфере образования» [2].

Предложения по реформированию ЕГЭ высказывались в Госдуме и ранее. В 2013 году депутаты от КПРФ внесли законопроект, разрешающий сдавать единый госэкзамен на добровольной основе. Данная инициатива была отклонена нижней палатой. За отмену ЕГЭ неоднократно высказывался и лидер «Справедливой России» Сергей Миронов[2].

Таким образом, оценка знаний в России претерпевала ряд изменений. На сегодняшний день в школах пользуются 5-ти бальной системой оценивания и на выпуске существенную роль помимо годовых оценок влияет баллы ЕГЭ. Существует очень много споров и разногласий о том, надо ли оставить ЕГЭ как основную оценку знаний или же нет.

Библиографический список

1. Борисова И. Забыли Пифагора. Выпускники не хотят сдавать профильную математику? // Российская газета (01.02.2016) [Электронный ресурс] // https://rg.ru/201 б/02/02/ege.html

2. Законопроект ЛДПР об отмене ЕГЭ внесен в Госдуму // Информационное агентство России (26.01.2016) [Электронный ресурс] // http://tass.ru/obschestvo/2614649

3. Мишукова Е.В. Единый государственный экзамен. Идеи, сущность, принципы [Электронный ресурс] / Е.В. Мишукова. Оренбург: [б.и.], 2001 Режим доступа: URL: http://bank.orenipk.rU/Text/t19_141 .htm

4. Новикова Т.Г. Нужен ли портфолио российскому школьнику? // Методист, 2004. №5. С. 56-59.

5. Черноусова Н.В. К вопросу о реализации концепции математического образования в школе // Бесконечномерный анализ, стохастика, математическое моделирование: новые задачи и методы. Проблемы математического и естественнонаучного образования. Тезисы и тексты докладов Международной конференции. М.: РУДН, 2014. С. 548-550.

ОБ ИЗУЧЕНИИ ПОНЯТИЙ «ПОЛИНОМ» И «РАЦИОНАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ» В ШКОЛЕ И В ВУЗЕ

С.В. Костин

ФГБОУ ВО Московский технологический университет (МИРЭА), г. Москва;

старший преподаватель кафедры высшей математики Института кибернетики

Аннотация. Отмечается предпочтительность функционального (а не алгебраического) подхода к понятию многочлена (полинома) в старших классах средней школы. Приводятся строгие определения понятий «полином» и «рациональная функция».

Ключевые слова: многочлен, полином, рациональная функция, преподавание математики.

Введение

Одной из важнейших линий школьного курса математики является функционально-графическая линия. На протяжении всего курса алгебры основной школы и курса алгебры и начал математического анализа старшей школы учащиеся знакомятся с важнейшими (как для самой математики, так и для практики) функциями и классами функций.

Школьники изучают линейную функцию y = kx+b, квадратичную функцию

функцию «обратная пропорциональность» ( к Ф 0 ), функцию «арифметический квадратный корень»

функцию «модуль»

тригонометрические функции, обратные тригонометрические функции, степенные, показательные, логарифмические функции и т. д. При этом из поля зрения большинства

школьных учебников математики по непонятным причинам выпадают два чрезвычайно важных класса элементарных функций, а именно, полиномы и рациональные функции.

Возможно, это связано с тем, что авторы школьных учебников математики ориентируются на действующий государственный образовательный стандарт, составители которого забыли упомянуть в нем полиномы и рациональные функции.

Во избежание недоразумений отметим, что понятие «многочлен», конечно, присутствует в школьных учебниках математики. Однако, к сожалению, в большинстве учебников математики многочлен рассматривается исключительно как формальное выражение (то есть как алгебраическая сумма одночленов), а не как функция.

На начальном этапе изучения математики, когда учащиеся еще не готовы к восприятию понятия функции, и когда школьникам важно овладеть техникой тождественных преобразований («работой с буквами»), рассмотрение многочлена как формального выражения совершенно оправданно и не вызывает никаких вопросов.

Непонятно другое: почему в старших классах школы, когда акцент смещается в сторону математического анализа и в сторону исследования функций (в том числе, средствами математического анализа), авторы многих школьных учебников математики продолжают придерживаться «алгебраического» подхода к понятию многочлена и не переходят к трактовке многочлена как функции.

Что касается рациональных функций, то им «повезло» еще меньше, чем многочленам. В подавляющем большинстве школьных учебников математики вообще не вводится чрезвычайно важное (как для математики, так и для ее приложений) понятие рациональной функции. Вводится лишь понятие дробно-линейной функции, которое является весьма специальным частным случаем понятия рациональной функции.

В нашей статье мы обсудим некоторые вопросы, связанные с изучением понятий «полином» и «рациональная функция» в школе и в вузе.

Сравнение алгебраического и функционального подхода к понятию многочлена (полинома)

В нашей статье мы для простоты ограничимся рассмотрением многочленов (полиномов) с действительными коэффициентами, зависящих от одной действительной переменной.

Для большей четкости терминологии мы будем придерживаться следующего соглашения: термином «многочлен» мы будем называть формальное выражение (сумму одночленов), а термином «полином» мы будем называть функцию. Иначе говоря, полином — это функция, которая определена на множестве всех действительных чисел R, причем эта функция

на всем своем множестве определения может быть задана аналитически с помощью одной формулы, имеющей вид многочлена.

Многочлен степени п (/7e7Vu{o}) - это формальное выражение7 вида

где с0, с,,..., сп - действительные числа, причем сП^0. Числа с0,с19...,сп называются коэффициентами многочлена. Число 0 (нуль), по определению, тоже является многочленом. Этот многочлен называется нулевым многочленом. Степень нулевого многочлена равна - ос.

Пусть

- многочлен степени п,

- многочлен степени m и пусть п>т.

Многочлены Рп(х) и Qm{x) называются равными, если т-п и при всех / е [0..п] имеет место равенство ct = di. (Символом [p..q], где p,q е Z, мы обозначаем множество {х е Z \ р < х < q). Это множество мы называем «сегмент от р до q ». Другое, более длинное название: «отрезок целых чисел от р до q ».)

Суммой многочленов Рп{х) и Qm(x) называется многочлен

Произведением многочленов Рп(х) и Qm{x) называется многочлен

где при всех k е [0.. m + п\ имеет место равенство

Множество всех многочленов с действительными коэффициентами, зависящих от одной переменной х, обозначается символом R[x]. Можно доказать, что относительно введенных операций сложения и умножения многочленов множество R[x] является ассоциативно-коммутативным кольцом с единицей (в качестве единицы выступает многочлен нулевой степени, равный числу 1) и без делителей нуля (в качестве нуля, то есть

7 Некоторые авторы (см., например, [4], стр. 181) подходят совсем формально и определяют многочлен просто как упорядоченный набор действительных чисел (ссс()). Операции над многочленами (сложение многочленов, умножение многочленов и т.д.) определяются в этом случае как некоторые операции над упорядоченными наборами действительных чисел. Такой формальный подход, будучи абсолютно строгим с математической точки зрения, на практике тем не менее оказывается не очень удобным. Поэтому в нашей статье мы определяем многочлен не как упорядоченный набор действительных чисел, а как формальное выражение.

в качестве нейтрального элемента аддитивной группы кольца R[x], выступает нулевой многочлен). Иначе говоря, R[x] — это целостное кольцо или область целостности.

Отметим, что Рп(х) — это просто удобный символ, служащий для краткого обозначения многочлена

Запись Рп(х) следует рассматривать как единый символ, то есть эту запись не надо (во всяком случае, пока мы говорим о многочленах) воспринимать как значение некоторой функции Рп в точке х.

Каждому многочлену можно поставить в соответствие определенную функцию. Функция /, которая ставится в соответствие многочлену

обладает следующими свойствами: 1) множеством определения и множеством прибытия функции / является множество всех действительных чисел R, иначе говоря, функция / отображает множество всех действительных чисел R в себя

Функция / называется полиномом, соответствующим многочлену Рп(х). Будем говорить также, что многочлен Рп(х) порождает полином /.

Для того чтобы упростить обозначения, в дальнейшем мы будем обозначать полином / символом Рп. Таким образом, в равенстве

становится возможным воспринимать символ Рп(х) как составной символ, а именно, как значение полинома Рп в точке X.

Пусть /:R—>R — произвольная функция, отображающая множество действительных чисел R в себя. Функция / называется полиномом, если существует многочлен Рп(х), который порождает функцию / .

Множество всех полиномов мы будем обозначать символом Poly(if). Множество Poly(if) является подмножеством множества M(R, R) = RR всех функций, отображающих множество действительных чисел R в себя.

Из определения полинома следует, что сумма и произведение двух полиномов снова являются полиномами. Иначе говоря, множество Poly(if) замкнуто относительно операций сложения и умножения своих элементов. Отсюда следует, что множество всех полиномов Poly(if) является подкольцом в кольце всех функций M{R, К).

Кольцо Poly(if) является ассоциативно-коммутативным кольцом с единицей (в качестве единицы выступает функция, тождественно равная единице) и без делителей нуля (в качестве нуля, то есть в качестве

нейтрального элемента аддитивной группы кольца Poly(if), выступает функция, тождественно равная нулю). Иначе говоря, Poly(if) — это целостное кольцо или область целостности.

Можно доказать (см., например, [2], с. 17), что отображение ср : R [х] —» Poly (if ), ставящее в соответствие каждому многочлену Рп(х)<еЯ[х] порождаемый им полином Рп(х) <е Poly(/?), является изоморфизмом кольца R[x] на кольцо Poly(if). Это означает, что соответствие между многочленами и полиномами является взаимно однозначным, а также что операции сложения и умножения многочленов «согласованы» с операциями сложения и умножения полиномов.

В некоторых курсах высшей алгебры (см., например, [4], [5]), предназначенных для студентов математических факультетов университетов и педагогических вузов, рассматриваются многочлены не над полем действительных или комплексных чисел, а над произвольным ассоциативно-коммутативным кольцом с единицей К. В этом случае возможна ситуация, когда двум различным многочленам из кольца К[х] соответствует один и тот же полином из кольца Poly(ÄT). Это означает, что отображение (р : К[х] —» Poly(ÄT) уже не является изоморфизмом (однако, это отображение остается гомоморфизмом кольца К[х] в кольцо Poly(ÄT)).

Например, если К = Z3 — кольцо классов вычетов по модулю 3, то многочлены Дх) = х и Q(x) = xJ порождают один и тот же полином f:Z3^Z3. Действительно, ДО) = Ö = 0(0), ДТ) = Т = 0(1), Д2) = 2 = 8 = 0(2).

Какой же подход к трактовке многочлена (полинома) более уместен в средней школе - алгебраический или функциональный?

В основной школе (во всяком случае, до 7-8 класса включительно) предпочтительным (а на начальном этапе изучения алгебры - единственно возможным) является, по нашему мнению, алгебраический подход. На этом этапе основной задачей школьников является овладение техникой тождественных преобразований (сложение и умножение многочленов, приведение подобных членов, разложение многочленов на множители и т. д.). Функциональная природа многочлена здесь не играет сколько-нибудь существенной роли, да и не может быть в полной мере оценена школьниками.

Напротив, в старшей школе, по нашему мнению, надо переходить к рассмотрению многочлена как функции. Приведем несколько аргументов в пользу нашей точки зрения.

1. Внутренняя логика школьного курса математики. В старших классах учащиеся систематически знакомятся с самыми разными элементарными функциями (тригонометрическими, степенными, показательными,

логарифмическими и т. д.). Многочлены образуют один из основных классов элементарных функций и они по праву должны занять свое достойное место среди других элементарных функций, а не оставаться «формальными выражениями» и «суммами одночленов».

2. Преемственность средней и высшей школы. В курсах высшей математики и математического анализа, читаемых в вузах, многочлен обычно рассматривается как функция. Исключение составляют некоторые курсы высшей алгебры, ориентированные на студентов, специализирующихся в области математики (см., например, [4], [5]). Однако и здесь ситуация далеко не однозначна. Например, в предисловии к учебному пособию [7], написанному авторами из Белорусского государственного университета, и предназначенному для студентов факультета прикладной математики, авторы специально подчеркивают одну из особенностей этого пособия: «...принятие в качестве исходного определения многочлена как функции. При таком подходе, во-первых, прослеживается межпредметная связь (с математическим анализом), во-вторых, упрощаются доказательства свойств кольца многочленов».

3. Упрощение ряда формулировок. Если многочлен рассматривается как формальное выражение (то есть как сумма одночленов), то надо специально определять такие понятия, как равенство двух многочленов, сумма двух многочленов, произведение двух многочленов. Если же многочлен рассматривается как функция, то все эти определения становятся лишними, поскольку соответствующие понятия для функций (равенство двух функций, сумма двух функций, произведение двух функций) учащимся уже известны.

Строгое определение понятий «полином» и «рациональная функция»

Во многих учебниках математики (как для средней, так и для высшей школы) приводится, по нашему мнению, не совсем корректное (или, во всяком случае, не совсем полное) определение понятия «полином». Например, в учебнике [1], предназначенном для студентов инженерно-технических специальностей вузов, на стр. 89 читаем: «Функция Р(х) =

где ак — постоянные коэффициенты, называется полиномом степени п». (В оригинале используется слово «многочлен». Мы заменили это слово на слово «полином», имея в виду наше понимание терминов «многочлен» и «полином».)

По поводу этого определения можно сделать сразу несколько замечаний. Во-первых, авторы забыли про условие ап Ф О. Без этого условия можно утверждать лишь, что Р{х) — это полином степени не выше п. Во-вторых, непонятна фраза «ак — постоянные коэффициенты». В математике есть понятие «коэффициент полинома», есть понятие «ко-

эффициент гомотетии», есть понятие «коэффициент корреляции», но нет абстрактного понятия «коэффициент». Иначе говоря, слово «коэффициент» само по себе, то есть без указания другого понятия, к которому это слово относится, не имеет четко определенного значения. Правильнее говорить, что ак - это действительные (или комплексные) числа, причем эти числа называются коэффициентами полинома Р(х). В-третьих, из приведенного определения не совсем понятно следующее. Предположим, что нам дана некоторая функция. Как определить, является ли эта функция полиномом? Наконец, если функция является полиномом, то однозначно ли определены степень этого полинома и его коэффициенты?

Для того чтобы снять все эти вопросы, мы приведем строгое определение понятия «полином», а также строгое определение понятия «рациональная функция».

Напомним (см., например, [6], с. 16), что отображение f множества А во множество В (В^0), — это упорядоченная тройка множеств В, С), причем множество С является подмножеством декартова произведения Ах В (С а Ах В) таким, что:

Множество А называется множеством определения отображения / и обозначается символом V(f). Множество В называется множеством прибытия отображения / и обозначается символом Z(f). Множество С называется носителем отображения / и обозначается символом R(f). Множество {ЬеВ\(ЗаеА):(а, Ь)еС} называется множеством значении отображения / и обозначается символом W(f). Подробнее об используемой нами терминологии и системе обозначений можно прочитать в нашей статье [3].

Пусть / = (А, В, С) — отображение множества А во множество В, пусть АФ0 и пусть а^А. Из определения отображения следует, что существует и притом ровно один элемент Ъ е В такой, что (a, b) е С. Этот элемент Ъ называется значением отображения / на элементе а и обозначается символом /(а).

Отметим, что множество определения А = V(f) отображения / = = (А,В,С) может быть пустым множеством. Поскольку С^АхВ, то носитель С = R(f) отображения / тогда тоже является пустым множеством. В этом случае говорят, что / — это пустое отображение во множество В, и пишут / = 0В.

Например, действительнозначная функция одной действительной переменной, задаваемая аналитически формулой f(x) = arccosx + ln(x2 -4), имеет, как легко видеть, пустое множество определения, а значит, является пустой функцией с множеством прибытия R (то есть / = 0д).

Отметим, что существует бесконечно много различных пустых отображений, которые различаются своими множествами прибытия, например, 0д, 0Z и т. д., тогда как пустое множество 0 существует только одно.

Отображение / = (А,В,С) называется функцией, если множество прибытия В = Z(f) отображения / является подмножеством множества действительных чисел R или подмножеством множества комплексных чисел С (то есть В <^R или BœC).

Пусть / = (А9 В, С) — функция. Множество {а е А \ f (а) = 0} называется нулевым множеством (или нуль-множеством) функции / и обозначается символом N(f).

В школе (да и в вузе) обычно рассматриваются функции одного, и притом числового, аргумента. В этом случае не только множество прибытия В = Z{f), но и множество определения А = V{f) функции / является подмножеством множества действительных чисел R или подмножеством множества комплексных чисел С (то есть Ac^R или AczC).

В нашей статье мы ограничимся рассмотрением действительнозначных функций одного действительного аргумента, то есть мы будем считать, что A = V(f)^R и B = Z(/)œR.

После этого краткого теоретического введения мы вполне подготовлены для того, чтобы дать строгие определения понятий «полином» и «рациональная функция».

Определение 1. Функция / называется полиномом, если:

1 ) множеством определения функции / является множество всех действительных чисел R (то есть V(f) = R );

2) множеством прибытия функции / является множество всех действительных чисел R (то есть Z(f) = R );

3) имеет место хотя бы одно из следующих двух условий:

3а)

3б)

Теорема 1 (теорема единственности). Справедливы следующие два утверждения.

1. Условия За) и 36) не могут иметь место одновременно.

2. Если имеет место условие За), то натуральное число п и действительные числа c0,cp...,cw определены однозначно. □

Определение 2. Если имеет место условие За), то полином / называется ненулевым полиномом, число п называется степенью полинома /, а числа c0,c15...,cw называются коэффициентами полинома / (в частности, сп — старший коэффициент, с0 — свободный член). Если имеет место условие 36), то полином / называется нулевым полиномом, символ - ос называется степенью этого полинома. □

Степень полинома / обозначается символом deg /.

Множество всех полиномов обозначается символом Ро1у(7?). Множество Ро1у(7?) является областью целостности.

Теперь перейдем к определению рациональной функции.

Определение 3. Функция / называется рациональной функцией, если множеством прибытия функции / является множество всех действительных чисел R (то есть Z(f) = R ) и существуют полиномы g и h такие, что:

1) множество определения функции / совпадает с множеством R\N(h) (то есть V(f) = R\N(h));

2)

Из приведенного определения можно сделать, в частности, следующие два вывода.

1. Любой полином / является рациональной функцией. Действительно, функция / получается, например, если положить g = 1, h = 0.

2. Пустая функция с множеством прибытия R (то есть функция 0 R) является рациональной функцией. Действительно, функция 0 R получается, например, если положить g = l, h = 0.

Определение 4. Функция 0R называется пустой рациональной функцией. □

Пусть / — непустая рациональная функция. Множеством определения V(f) функции / является либо множество всех действительных чисел, либо множество всех действительных чисел за исключением конечного числа точек. Это следует из того, что любой ненулевой многочлен h либо не имеет действительных корней, либо имеет конечное число действительных корней, а значит, нулевое множество N(h) многочлена h либо является пустым множеством, либо состоит из конечного числа точек.

Определение 5. Непустая рациональная функция / называется нулевой рациональной функцией, если (Vxe V{f)): /(х) = 0. □

Существует бесконечно много различных нулевых рациональных функций. (Тогда как нулевой полином существует только один.) Например, нулевые рациональные функции, причем различных среди этих функций только две, поскольку функции /2(х) и /3(х) совпадают друг с другом (эти нулевые функции имеют одинаковое множество определения). Нулевые рациональные функции образуют класс нулевых рациональных функций.

Пусть / — непустая и ненулевая рациональная функция. Полиномы g и h, о которых идет речь в определении 3, определены неоднозначно.

Например, если положить gx(x) = g(x)(x2 +1), hx(x) = h(x){x2 +1), то полиномы gj и hx задают («порождают») ту же самую рациональную функцию /, что и полиномы g и h . Однако имеет место следующая теорема.

Теорема 2. Разность А = deg g-deg/г степеней полиномов g и h определена однозначно. Иначе говоря, разность А не зависит от выбора полиномов g и /z, порождающих рациональную функцию /, а зависит только от самой рациональной функции /. □

Определение 6. Если А < 0, то рациональная функция / называется правильной. Если А>0, то рациональная функция / называется неправильной. □

Любой ненулевой полином / является (хотя это может показаться на первый взгляд неожиданным) неправильной рациональной функцией. Действительно, полином / получается, например, если положить g = f, h = l. Поскольку А = deg g - deg h = deg / > 0, то полином / - это неправильная рациональная функция.

Теорема 3. Любую неправильную рациональную функцию можно представить в виде суммы полинома и правильной рациональной функции. □

Множество всех рациональных функций обозначается символом Rat(/?). На множестве Rat(/?)\{0/?} всех непустых рациональных функций можно ввести отношение эквивалентности.

Определение 7. Непустые рациональные функции f и g называются эквивалентными, если (Vxe V(f) n V(g) ): f (x) = g(x). □

Равносильное определение: рациональные функции f и g называются эквивалентными, если их разность f -g является нулевой рациональной функцией.

Можно доказать, что введенное нами отношение является рефлексивным, симметричным и транзитивным, то есть действительно является отношением эквивалентности. Тот факт, что рациональные функции / и g эквивалентны, будем записывать так: f ~g.

Например, рациональные функции

являются эквивалентными, то есть

Относительно введенного отношения эквивалентности множество Rat(J?)\{0Ä} всех непустых рациональных функций распадается на классы эквивалентности. Символом [/] будем обозначать класс эквивалентности, содержащий рациональную функцию / .

Стандартным образом вводятся операции сложения и умножения классов эквивалентности: [/] + [g] = [f + g], [f] [g] = [fg]. (Можно доказать, что результат операции над классами эквивалентности не зависит от выбора представителей f и g этих классов).

Имеет место следующий замечательный факт: относительно введенных операций сложения и умножения классов эквивалентности фактормножество (Rat(J?)\{0Ä})/~ образует поле. Это поле (возможно, не совсем точно) называют полем рациональных функций.

В качестве нулевого элемента поля рациональных функций выступает класс [0] рациональных функций, эквивалентных константе 0 (это не что иное, как класс нулевых рациональных функций). В качестве единичного элемента поля рациональных функций выступает класс [1] рациональных функций, эквивалентных константе 1.

Отметим, что в некоторых книгах вместо термина «рациональная функция» используется термин «рациональная дробь». Последний термин, по нашему мнению, является не совсем удачным. Дело в том, что прилагательное rational (рациональный) происходит от существительного ratio — отношение, дробь. Поэтому говорить «рациональная дробь» — это все равно, что говорить «масло масляное». Кроме того, слово «функция» представляется нам более точным и содержательным, чем расплывчатое слово «дробь». Исходя из этих соображений, в нашей статье мы используем термин «рациональная функция».

Мы привели строгие определения понятий «полином» (определение 1) и «рациональная функция» (определение 3). Именно такие строгие определения этих понятий, по нашему мнению, должны присутствовать в вузовских курсах высшей математики и математического анализа (во всяком случае, в курсах, предназначенных для студентов математических специальностей университетов и педагогических вузов, а также в курсах, предназначенных для студентов технических вузов с расширенной про-

граммой по математике). В средней школе эти определения должны упрощаться с учетом реального уровня подготовки школьников. Естественно, что степень формализации должна зависеть также от того, на каком уровне (базовом или профильном) ведется изложение материала в старших классах школы.

Заключение

В старших классах школы, по нашему мнению, предпочтительным является функциональный (а не алгебраический) подход к понятию многочлена (полинома). Кроме того, крайне полезным, как мы считаем, было бы знакомство школьников с классом рациональных функций. Класс рациональных функций замкнут относительно операций сложения, вычитания, умножения, деления и включает в себя степенные функции с целым показателем степени, полиномы и дробно-линейные функции. Фактически понятие рациональной функции - это исключительно важное интегрирующее понятие, позволяющее учащимся по-новому взглянуть на многие известные им классы функций.

Изучение в старших классах школы полиномов и рациональных функций, по нашему мнению, должно расширить кругозор школьни-ков,повысить их математическую культуру, а также подготовить к дальнейшему обучению в вузе.

Автор будет благодарен читателям за любые комментарии или замечания по затронутым в данной статье вопросам.

Библиографический список

1. Бугров Я.С, Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление. 3-е изд., испр. М.: Наука, 1988. 432 с.

2. Винберг Э.Б. Алгебра многочленов. М.: Просвещение, 1980. 176 с.

3. Костин С.В. Система обозначений для основных многозначных функций комплексной переменной и для их значений // Математика в высшем образовании. 2009. № 7. С. 39-80.

4. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч. 1. Основы алгебры. М.: Физматлит, 2000. 272 с.

5. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. М.: Высш. шк., 1979. 560 с.

6. Ляшко И.И., Емельянов В.Ф., Боярчук А.К. Основы классического и современного математического анализа. Киев: Выща шк., 1988. 591 с.

7. Размыслович Г.П., Феденя М.М., Ширяев В.М. Геометрия и алгебра. Минск: Университетское, 1987. 352 с.

РЕАЛИЗАЦИЯ МЕЖПРЕДМЕТНЫХ СВЯЗЕЙ ГЕОГРАФИИ И МАТЕМАТИКИ В СОВРЕМЕННОМ ШКОЛЬНОМ ОБРАЗОВАНИИ

И.Е. Морозова

МАОУ «СШ № 12 г. Ельца» Липецкой области; учитель географии

Аннотация. В статье рассматривается проблема реализации межпредметных связей географии и математики, исследуются средства их реализации. В связи с внедрением в учебно-воспитательный процесс школы новых образовательных стандартов эти вопросы становятся особенно актуальными.

Ключевые слова: федеральный государственный образовательный стандарт, межпредметные связи.

Сегодня отечественная школа находится в состоянии реформирования. Одним из основных законодательных актов, регламентирующих учебно-воспитательный процесс, является федеральный государственный образовательный стандарт второго поколения. Благодаря ему, появились новые понятия «универсальные учебные действия», «внеучебная деятельность» и другие. Кроме того в лексикон современного педагога уже довольно прочно вошло слово «метапредметность» [7]. Из-за отсутствия его точного понимания возникает много вопросов и проблем у учителя. Опыт прежних реформ показывает, что необходимо целостное и всестороннее осмысление предлагаемых инноваций. Для этого целесообразно проанализировать опыт прошлого, определить его как положительные, так и негативные аспекты.

В российском образовании долго и успешно реализовывался принцип межпредметных связей. В результате был накоплен обширный методический материал и богатый педагогический опыт. Исторические источники свидетельствуют о том, что наши предки с древнейших времен в обучении подрастающего поколения большое внимание уделяли связям математики с реальной жизнью. В первом отечественном учебнике математики «Арифметика» Л.Ф. Магницкого мы находим задачи, «удовлетворяющие в первую очередь запросам купечества» [3, с.80]. В советский период в методических указаниях по многим предметам был представлен специальный раздел «Межпредметные связи» [1, с. 11].

В педагогической литературе сегодня имеется более 30 определений этого понятия. Анализируя их и обобщая различные точки зрения, межпредметные связи можно рассматривать как педагогическую категорию,

которая характеризует отношения между объектами, явлениями и процессами разных научных областей, нашедшие своё отражение в содержании, формах и методах учебно-воспитательного процесса и выполняющие образовательную, развивающую и воспитательную функции в их органическом единстве [5].

Огромным потенциалом в решении данного вопроса обладает математика. Дидактические взаимосвязи этой дисциплинами с другими учебными предметами представлены на схеме 1.

Схема 1. Межпредметные связи математики в учебном процессе

Традиционно считается, удобной научной областью для демонстрации межпредметных связей математики является физика. Реже используются химия, биология. К сожалению, из курса физической географии обычно вспоминают о масштабе и географических координатах, знания экономической географии нужны при решении задач экономического содержания, остальные разделы этого предмета почти не рассматриваются.

Анализ литературы [2,4,5] позволил выяснить средства реализации межпредметных связей, к которым можно отнести вопросы межпредметного содержания, домашние задания межпредметного характера, комплексные задания, межпредметные задачи, межпредметные тексты, межпредметные контрольные работы. Рассмотрим некоторые из них на примере географии.

Межпредметные задачи. Если внимательно проанализировать материалы итоговой аттестации по математике для 9-го и 11-го классов, то можно найти немало заданий с географическим наполнением. Например, «На диаграмме показано распределение площади земной суши между материками и частями света. Какое утверждение верное: 1) Европа является наименьшей по площади среди материков и частей света; 2) Сумма площадей двух Америк составляет меньше четверти всей площади суши;

3) Площадь Азии меньше суммарной площади Африки и Антарктиды;

4) Суммарная площадь Азии и Африки составляет больше половины всей суши». Решение таких задач ориентировано на осмысление учебного мате-

риала из разных научных областей. Межпредметные задания также могут быть использованы при объяснении новой темы с целью актуализации знаний.

Вопросы межпредметного содержания несут поисковое начало, заставляют учащихся задуматься над уже известными фактами, учат анализировать сведения из разных учебных курсов, позволяют ориентировать познавательную деятельность школьников на выяснение взаимосвязей между объектами из различных областей научного знания, кроме того помогают создать на уроке проблемную ситуацию. Например, при изучении темы «Координатная плоскость» (математика) или «Географические координаты» (география) перед учащимися можно поставить вопрос: «В каких науках мы имеем дело с координатами?». Такая постановка проблемы и ее разрешение содержит познавательное противоречие между имеющимися и новыми знаниями, углублением их в виде погружения в тему [6]. В этом случае проблемный вопрос приобретает межпредметный характер.

Отмеченные средства реализации межпредметных связей в процессе обучения направлены на воспроизведение, повторение, закрепление, систематизацию и применение знаний учащихся из разных научных курсов. Они обеспечивают сочетание репродуктивной, продуктивной и поисковой деятельности учащихся [5]. Таким образом, межпредметные связи демонстрируют интеграцию знаний. Это становится особенно актуальным в настоящее время, когда в географическом образовании наблюдаются серьезные проблемы (низкий уровень знаний учащихся и уменьшение количества часов, вплоть до исключения географии из учебного плана в профильных классах), последствия которых мы в скором времени увидим в виде катастрофически низкого уровня географической культуры молодого поколения.

Библиографический список

1. Бунт российского министерства и отделения математики АН СССР. (Материалы по реформе школьного математического образования 1960-1970-х гг.) / Сост. Ю.М. Колягин, О.А. Саввина. Елец: ЕГУ им. И.А. Бунина, 2012.

2. Зверев, И.Д., Максимова, В.Н. Межпредметные связи в современной школе. М.: Просвещение, 1986.

3. Колягин, Ю.М., Саввина, О.А., Тарасова, О.В. Русская школа и математическое образование: Наша гордость и наша боль. Часть 1. От древнейших времен до 20 века. 3-е изд. Орел: ООО Полиграфическая фирма «картуш», 2007.

4. Кулагин, П.Г. Межпредметные связи в обучении. М.: Просвещение, 1983.

5. Рыманова Т.Е. Межпредметность как дидактическая категория // Вестник Елецкого государственного университета им. И.А. Бунина. Вып. 36: Серия «Педагогика» (История и теория математического образования). Елец: ЕГУ им. И.А. Бунина, 2015. С. 176-180.

6. Рыманова Т.Е. Проблема познавательного интереса в свете новых образовательных стандартов // Вестник Елецкого государственного университета им. И.А. Бунина. Вып.

36: Серия «Педагогика» (История и теория математического образования). Елец: ЕГУ им. И.А. Бунина, 2015. С.125-129.

7. Федеральный государственный образовательный стандарт общего образования. Среднее (полное) общее образование. М., 2011.

К ВОПРОСУ О ПРИМЕНЕНИИ ТЕХНОЛОГИИ «ПОЛНОГО УСВОЕНИЯ ЗНАНИЙ» В РАБОТЕ УЧИТЕЛЯ МАТЕМАТИКИ ПРИ РЕАЛИЗАЦИИ ФГОС ОО

Э.И. Приймак

МБОУ «Гимназия № 11 г. Ельца», Липецкой области; учитель математики высшей категории

Аннотация. В статье приводится пример применения технологии полного усвоения знаний на уроках математики в виде методической разработки урока алгебры в 8 классе по теме: «Квадратные уравнения». В соответствии с требованиями действующего ФГОС ОО предложена технологическая карта урока.

Ключевые слова: технология полного усвоения знаний, квадратные уравнения, технологическая карта урока.

«В нашей стране школьное обучение массовое, всеобщее. В этих условиях школа сталкивается с очевидным противоречием: требования к качеству массовой подготовки её выпускников растут, уровень обучения для всех учащихся повышается, диапазон индивидуальных различий детей широк, а условия обучения остаются усредненными» [1].

Более того, «система обучения, сложившаяся в школах, недостаточно ориентирована на математическое развитие школьников в процессе изучения математики» [2, с.4].

В настоящее время достаточно востребованной у школьных учителей являются технологии личностно-ориентированного обучения, в том числе и технология полного усвоения знаний.

Автор статьи работал два года по технологии «полного усвоения знаний». Сначала были изучены теоретические положения и обобщения технологии полного усвоения, а затем автор трансформировал их в практическую деятельность. Результатом трансформации стал разработанный авторский методический инструментарий для курса алгебры 8 и 9 классов.

В настоящей статье предлагаем одну из методических разработок -проект урока алгебры в 8 классе по теме: «Квадратные уравнения» с применением технологии полного усвоения знаний. В соответствии с требованиями действующего ФГОС ОО проект представлен в виде технологической карты урока.

Проект урока

Предмет: алгебра.

Уровень образования: основное образование.

Тема: «Решение квадратных уравнений различными способами».

Тип урока: урок систематизации знаний.

Формы проведения урока: фронтальная, индивидуальная, самостоятельная.

Участники: 8 класс

Цель: систематизация материала по теме «Решение квадратных уравнений различными способами».

Планируемый результат обучения, в том числе и формирование УУД:

- образовательные (формирование познавательных УУД): формировать умение применять полученные знания на практике,

учить анализировать, сопоставлять, делать выводы; осуществлять поиск и выделение необходимой информации, выбирать способы решения задач; осуществлять рефлексию способов и условий действия;

- воспитательные (формирование коммуникативных и личностных УУД):

- учить сотрудничать с учителем и сверстниками в поиске и сборе информации, воспитывать ответственность и трудолюбие; учить самоопределению, нравственно-этической ориентации, рефлексии;

- развивающие (формирование регулятивных УУД):

развивать творческое мышление, умение точно выражать свои мысли, математическую речь, интерес к предмету, планировать свою деятельность, владеть монологической и диалогической формами речи, развивать саморегуляцию.

Основные понятия: квадратные уравнения.

Оборудование: мультимедийная презентация; карточки с разноуровневыми заданиями, с дополнительными заданиями, коррекционные карточки, сигнальные карточки.

Технологическая карта урока

Этапы урока

Содержание учебного материала. Деятельность учителя

Деятельность обучающихся ФОУД

Формируемые УУД

1.Организационный момент

Приветствует учеников, отмечает отсутствующих, проверяет готовность класса к проведению урока, организует внимание учащихся на достижение целей урока.

Фронтальная.

Коммуникативные (организовывать и планировать учебное сотрудничество с учителем и сверстниками)

Регулятивные (осуществлять самоконтроль)

2. Актуализация опорных знаний

№1. а) Для каждого из заданных уравнений вида ах2+вх+с=0 укажите коэффициенты а, в, с: 1)2х2+6х-9=0;

2) х2-6х+5=0;

3) 1-^х-5х2=0;

4)-х2+Зх-1=0;

5) 2х2-5=0;

6) -4х2-2х=0;

7) 2х+х2=0;

8) 6х2=0.

б) Укажите номера неполных квадратных уравнений.

в) Под какими номерами даны приведенные квадратные уравнения? №2. (по вариантам) (приложение № 1 ) Вариант №1

Выясните, имеют ли данные уравнения корни. В случае утвердительного ответа найдите их (Xi<X2).

Вариант №2

Составьте квадратное уравнение, имеющее заданные корни Xi И Х2..

Индивидуальная, фронтальная. Ответы учащихся. Перед выполнением каждого задания учащиеся рассказывают правило на эту тему.

Какие уравнения называются полными, неполными, приведенными (примеры)? Сформулировать теорему Виета и ей обратную.

№1. (устно)

№2. (по вариантам)

Индивидуальная, самостоятельная работа.

Двое учеников решают на обратной стороне доски. Далее взаимопроверка работы.

Познавательные (осуществлять поиск и выделение необходимой информации, приводить осознанные высказывания, способствовать формированию мыслительных операций) Коммуникативные (осуществлять сотрудничество с учителем и сверстниками в поиске и сборе информации) Регулятивные (уметь с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли, владеть монологической и диалогической формами речи, формировать целевые установки учебной деятельности) Личностные (учить самоопределению, смыслообразованию)

3.Постановка проблемы

Какими способами можно решить квадратное уравнение х2-6х-7=0? После их перечисления, каждый ряд решает уравнение указанным способом.

I ряд - использовать способ выделения квадратного двучлена;

II ряд - использовать формулы корней;

III ряд - применить фор-

Фронтальная. Ответы учащихся. Решение квадратных уравнений различными способами.

Это тема нашего урока.

Индивидуальная, самостоятельная работа.

Три ученика с каждого ряда выпол-

Познавательные (уметь находить и выделять необходимую информацию для решения проблемы, структурировать знания, осознанно строить речевые высказывания) Коммуникативные (осуществлять сотрудниче-

мулы корней для уравнения с четным вторым коэффициентом.

няют у доски самостоятельно. Далее взаимопроверка работы.

ство с учителем и сверстниками в поиске и сборе информации) Регулятивные (уметь с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли, владеть монологической и диалогической формами речи, формировать целевые установки учебной деятельности, осуществлять саморегуляцию) Личностные (учить смыслообразованию, осуществлять личностный моральный выбор)

4. Закрепление знаний

№1. Решите неполные квадратные уравнения:

а) -х2+8х=0;

б) х2-10=0;

в) 15х2=0.

№2. Решите уравнение, используя метод введения новой переменной: х4+5х2-36=0.

№3 .Решите рациональное уравнение:

2_ X _ 20-Зх х- 4- х+4 х:-16*

№4.Решите уравнение, используя метод введения новой переменной: (5х+1)2-3(5х+1)-4=0.

Индивидуальная, фронтальная. Учащиеся решают уравнения в рабочей тетради, при этом комментируют решения.

5. Физкультминутка

• А теперь, друзья, все дружно встали,

• Быстро руки вверх подняли,

• В стороны, вперёд, назад.

• Повернулись вправо, влево,

• Ещё руки вверх подняли,

• В стороны, вперёд, назад.

• Повернулись вправо, влево,

• Тихо сели, вновь за дело!

Класс повторяет эти движения. Фронтально-индивидуальная.

6. Самостоятельная разноуровневая работа

Обязательный уровень №1.Решите уравнения:

а) х2=64;

б) Зх2=16;

в) 4х2+х-3=0.

Продвинутый уровень №2.Решите уравнения:

а) (х-8)х=4(12-2х);

б) 3(х2-3)2+2(х2-3)5=0.

Индивидуальная, самостоятельная работа.

Ученики самостоятельно выбирают уровень, с которым могут справиться.

Познавательные (уметь самостоятельно применять алгоритмы деятельности, строить логические цепочки рассуждений, проводить анализ истинно-

Углубленный уровень №3.Решите уравнения:

3 + 5 - 10 +4

3+х х-3 х2-9

сти результатов) Коммуникативные (управлять поведением партнера - контроль, коррекция, оценка его действий) Регулятивные (осуществлять саморегуляцию) Личностные (оценивать изучаемый материал, исходя из социальных и личностных ценностей.)

7. Работа учащихся по коррекционным карточкам

По итогам разноуровневой самостоятельной работы некоторым учащимся предлагаются коррекционные карточки. Остальным ученикам предлагаются дополнительные задания, (приложение №2)

Индивидуальная, самостоятельная работа.

Сравнение своего решения с образцом, нахождение и разбор ошибок.

Познавательные (развивать навыки познавательной рефлексии как осознания результатов своих действий и мыслительных процессов) Коммуникативные (осуществлять сотрудничество с учителем и сверстниками) Регулятивные (осуществлять контроль, коррекцию, оценку, саморегуляцию) Личностные (уметь честно, правильно оценивать усвоенный материал)

8. Рефлексия

Ученикам предлагается оценить свою работу на уроке. На столах у каждого лежат сигнальные карточки красного, желтого и зеленого цветов. Необходимо поднять ту карточку, которая соответствует ответу на вопросы.

Учащиеся отвечают на вопросы учителя. Самооценка. Фронтальная.

Регулятивные (уметь с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли)

Личностные (учить рефлексии)

- Могу решать уравнения самостоятельно (зеленая)

- Нужна помощь (желтая)

- Совсем не могу решать уравнения (красная).

9.Дифференцированное домашнее задание (карточка)

Учитель комментирует домашнее задание.

Учащиеся выбирают карточку с тем уровнем, какой будут выполнять дома. Фронтальная.

Личностные (учить самоопределению)

10.Подведение итога урока

1) Привести пример приведенного квадратного уравнения.

2) Привести пример полного квадратного уравнения.

3) Привести пример неполного квадратного уравнения, где в=0.

4) Привести пример неполного квадратного уравнения, где свободный член равен нулю.

5) В каком случае квадратное уравнение имеет два корня?

6) В каком случае квадратное уравнение не имеет корней?

7) В каком случае квадратное уравнение имеет два совпадающих корня?

Учащиеся отвечают на вопросы учителя.

Фронтальная.

Коммуникативные (уметь с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли)

Приложение №1

Вариант №1

Выясните, имеют ли данные уравнения корни. В случае утвердительного ответа найдите их (xi<x2)

Вариант №2

Составьте квадратное уравнение, имеющее заданные корни xi и х2.

Приложение №2.

Коррекционная карточка (обязательный уровень)

Библиографический список

1. Сафронова Т.М. Технологический подход к проектированию учебного процесса, ориентированного на математическое развитие учащихся: дис. канд. пед. наук. М., 1999.

2. Сафронова Т.М. Технология проектирования математического развития учащихся: учебное пособие к спецкурсу. Елец: ЕГУ им. И.А.Бунина, 2006. 102 с.

3. Советова Е.В. Эффективные образовательные технологии. Ростов н/Дону: Феникс, 2007. 286 с. (Здравствуй, школа!).

ФОРМИРОВАНИЕ ЭВРИСТИЧЕСКИХ УМЕНИЙ УЧАЩИХСЯ НА УРОКАХ АЛГЕБРЫ И НАЧАЛ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Ю.В. Пустовая1

ГОУ ВПО Донецкий национальный университет, г. Донецк; аспирант

Аннотация. В статье рассмотрена методика формирования эвристических умений учащихся, через организацию эвристической деятельности на уроках, при изучении курса алгебры и начал математического анализа.

Ключевые слова: эвристическое обучение алгебре и началам математическому анализу, эвристические умения, приемы формирования эвристических умений.

В эпоху научно-технического прогресса, когда быстрыми темпами увеличивается поток информации, предъявляются новые требования к личностному развитию человека. Он должен обладать аналитическими, дедуктивными (способность к обобщению), прогностическими (способность к прогнозированию, просчету действий на несколько шагов вперед) умениями. Ему должны быть присущи такие качества как инициативность, изобретательность, что невозможно без умения работать творчески, самостоятельно. Такие качества личности при обучении алгебры и начал математического анализа развиваются в процессе формирования у обучаемых эвристических умений, под которыми, вслед за И.В. Гончаровой, мы понимаем умения осуществлять целенаправленный поиск решения нестандартной задачи путем использования эвристических приемов [3]. В современных методических исследованиях эвристические приемы понимаются, как особые приемы, составляющие поисковые стратеги и тактики, определяющие самое общее направление мысли, сформированные в ходе решения одних задач и более или менее сознательно переносящиеся на другие [2]. Использование на уроках алгебры и математического анализа различных эвристических приемов общего и специального видов, как утверждает Е.И. Скафа, способствует формированию у учащихся эвристических умений как общего, так и специального (математического) назначения [5].

Опишем работу по внедрению таких приемов на уроках алгебры и начал математического анализа 10 класса по теме «Показательные уравнения» с целью формирования у школьников эвристических умений. Нами разработана система использования эвристических приемов на основных этапах урока.

1 Научный руководитель: доктор педагогических наук, профессор, заведующий кафедрой высшей математики и методики преподавания математики Е.И.Скафа

Этап проверки домашнего задания. На этом этапе для формирования эвристического умения введения вспомогательной переменной учащимся полезно раздать таблицы, на которых будут выписаны примеры из домашнего задания, и предложить выполнить, например, следующее задание.

Задание. Заполните таблицу, вставив правильный ответ, либо выбрав его из предложенных вариантов (Таблица 1).

Таблица 1

При выполнении задания используются эвристические приемы: анализ, выделение главного, введение вспомогательного элемента, интерпретация результата и др.

Этап актуализации опорных знаний. При актуализации опорных знаний учащихся можно использовать метод «Преследование». Он заключается в следующем: один ученик раскрывает содержание теоретического материала по изученной теме, а остальные пытаются «поймать его» - ищут ошибки, как будто «преследуя» каждое его слово.

Применение данного метода предусматривает использование таких эвристических приемов как анализ, синтез, обобщение, систематизация.

Этап первичного усвоения нового материала. На этом этапе урока целесообразно организовать эвристическую беседу или эвристический диалог. Данный метод предусматривает деление сложной задачи на серию элементарных подзадач, которые приближают решение основной задачи. При построении эвристической беседы, учитель продумывает взаимосвязанные вопросы, каждый из которых является шагом на пути к решению проблемы. Большинство вопросов требуют от учеников не только воспроизведения приобретенных знаний, но и осуществления небольшого поиска [6].

Успех в проведении эвристической беседы во многом зависит от грамотно построенной системы вопросов, которая должна удовлетворять ряду требований [7].

• Система вопросов должна быть построена таким образом, чтобы осуществить намеченные дидактическую, развивающую и воспитательную цели. Это значит, что: вопросы должны подводить учеников к правильному доказательству; формировать один из эвристических приемов мышле-

ния (сравнение, аналогия, обобщение; выделение существенного; конкретизация; абстрагирование, приемы кодирования, моделирования и др.); воспитывать у учащихся качества, необходимые для коллективного творчества (умение кратко и точно формулировать мысль; умение слушать и слышать высказывания товарищей и учителя; комментировать их корректно и доброжелательно и т.д.).

• Система вопросов должна обладать логической последовательностью, определяемой содержанием материала и методом, используемым для доказательства.

• Вопросы должны давать достаточный простор для мышления учащихся.

• Интервалы между вопросами могут быть различными. Следует избегать слишком малых интервалов.

• Вопросы должны быть сформулированы кратко и точно. Слово, на которое падает логическое ударение, следует ставить в начале вопроса.

• Одновременно следует предлагать только один вопрос. Двойные вопросы не уместны: они дезорганизуют мышление учащихся и, как показывает опыт, задерживают ответ.

• Не следует применять подсказывающих вопросов, то есть таких, в которых в той или иной форме дается ответ.

• Следует предусмотреть вопросы, которые помогут включить в поиск доказательства истины и слабых учеников.

Приведем пример эвристического диалога, который можно использовать для формирования эвристического умения введение вспомогательной переменной, при поиске решения однородного показательного уравнения.

Задание. Решить уравнение 5 • 4Л + 2 • 25л - 7 • 10л = 0.

Условные обозначения: 8 - (от греч. о баака^ос) учитель; ц - (от греч. о ца9г|тг|с) ученик.

ô Для начала давайте определим тип данного уравнения. Какие уравнения мы рассматривали на уроках?

\i Данное уравнение является однородным показательным уравнением.

ô С чего мы начинаем решение любого уравнения?

\i Решение любого уравнения мы начинаем с поиска ОДЗ.

ô Обязательно ли с ОДЗ?

\i Нет, еще можно сделать проверку корней уравнения.

ô Какой способ на ваш взгляд лучше для данного уравнения нахождение ОДЗ или проверка?

\i В данном случае нахождение ОДЗ легче, так как ОДЗ: x^R.

ö Какие вы имеете предложения по отысканию решения данного уравнения?

\i Если уравнение однородное, то нужно его левую и правую часть разделить на один и тот же множитель.

ô На какое слагаемое вы предлагаете разделить?

ô Можно ли все слагаемые, которые содержат показательную функцию привести к одинаковому основанию степени?

ô Какие из данных оснований степени имеют общие множители?

ô Давайте обратим внимание на 10х. Оно имеет общий множитель с 4х, и общий множитель 5 с 25х.

ô Давайте разделим на 10х левую и правую часть уравнения. Какую проверку нужно сделать, перед тем как делить?

\i Будет ли когда-ни будь 10х = 0?

ô Для каких значений переменной х это возможно?

\i Так как 10х показательная функция, то она 10х Ф 0 Vx. ô Какое уравнение мы получим после деления?

ô Каким свойством степеней нужно воспользоваться, чтобы сократить слагаемые?

ô Что получаем?

ô Какое свойство степеней нужно использовать, чтобы получить одинаковое основание степеней?

ô Что получаем?

ô Теперь давайте введем вспомогательную переменную. Какую замену для этого можно сделать?

\i Замена t

ô Какие ограничения нужно наложить на t ? \i t>0.

ô Какое уравнение мы получим после замены?

ô Это уравнение, какого типа?

\i Это дробно-рациональное уравнение.

ô Как решаются дробно рациональные уравнения?

\i Сводим левую часть к общему знаменателю, получаем

ô Когда дробь равна О?

\i Дробь равна 0, когда числитель дроби равен 0, а знаменатель не равен 0. Получим систему

Так как t>0, имеем

ô Это уравнение, какого типа? \i Квадратное уравнение.

ô Решаем данное квадратное уравнение, чему равен D ?

ô Какие значения корней вы получили?

ô Все ли из полученных значений нам подходят? \i Так как t > 0, то все полученные значения нам подходят, ô Если мы в уравнении делали замену, то что нужно сделать? \i Обратную замену.

ö В результате обратной замены, что мы получим?

ô Какого типа данные уравнения?

\i Простейшие показательные уравнения.

ô Решаем данные уравнения, какие значения переменной х получим?

ô Что войдет в ответ? \i Ответ: х] = 0; х2 = 1.

ô Какой эвристический прием мы использовали при решении данного уравнения?

\i Введение вспомогательной переменной, ô В чем он заключается?

\i В том, что мы одинаковые выражения с определенной областью значений, заменяем на новую переменную, имеющую ту же область значений.

Также учащимся можно предложить обобщить этапы решения данного уравнения и построить алгоритм решения однородных показательных уравнений.

При поиске решения такого задания используются эвристические приемы: анализ, введение вспомогательной переменной, переход к равносильному уравнению, интерпретация результата, обобщение.

Использование эвристического диалога:

• позволяет активизировать имеющийся знания и опыт учащихся, а также их активную самостоятельную эвристическую деятельность;

• формирует умение учащихся четко и грамотно отвечать на вопросы, а также правильно формулировать собственные;

• помогает учащимся увидеть проблему, наталкивает на поиск путей её решения, построение плана решения задачи;

• способствует формированию у учащихся следующих умений: выдвигать гипотезы, проводить аналогии, сравнивать факты, и на их основе строить заключения, делать выводы.

Этап закрепления нового материала. Учащиеся разбиваются на пары и им предлагается выполнить следующее задание.

Задание. После введения вспомогательной переменной в исходное уравнение, получили уравнение

Восстановите первоначальный вид исходного уравнения, зная, что все его слагаемые содержали показательную функцию, и найдите его решение. Решение.

1). Восстановим первоначальный вид уравнения.

на t. Получим

Подставим в полученное уравнение вспомогательную переменную

Так как мы знаем, что все слагаемые исходного уравнения содержат показательную функцию, то сведем все слагаемые в правой части полученного уравнения к общему знаменателю.

Домножим все слагаемые на 36х. И получим исходное уравнение.

2). Найдем решение полученного уравнения 3 • 16Л + 36л - 2 • 8 Г = 0. Для начала найдем ОДЗ. ОДЗ: хеД.

Так как нам известно, уравнение, полученное после введения вспомогательной переменной, то найдем его корни.

Значение t2=—l не удовлетворяет условию t>0, имеем единственное значение

Обратная замена:

Ответ.

Эвристические приемы, которые используются при выполнении такого задания: синтез, введение вспомогательной переменной, реконструкция целого по части и др.

Этап подведения итогов урока. При подведении итогов урока используется метод «Незаконченные фразы». Учащимся предлагаются незаконченные либо неполные фразы, которые они должны закончить либо дополнить. Например, «Показательная функция - это математическая функция вида.............».

Такой метод предусматривает применение следующих эвристических приемов: обобщение, систематизация, реконструкция целого по части и др.

Применение эвристических приемов и использование различных методов при проведении уроков алгебры и начал математического анализа будут способствовать формированию различных эвристических умений. Такие умения, как отмечает Е.С. Мананкова, помогут учащимся при решении, как нестандартных задач, так и различных заданий повышенной

сложности, при поиске решения которых они должны применить смекалку, взглянуть на задание под другим углом, использовать наличный запас знаний, применяя различные «хитрости» и «правдоподобные рассуждения» для получения ответа наиболее простым и понятным способом [4].

Как известно, процесс мышления включается только тогда, когда человек сталкивается с новой для себя задачей [1]. Следовательно, для улучшения навыков эффективного мышления учащихся, следует создавать целенаправленные методики по формированию эвристических умений для успешного решения поставленных задач и возникающих проблем.

Библиографический список

1. Басинская И.В. Тренинг эвристических способностей [Электронный ресурс]: учебно-метод. пособие / И.В. Басинская. Минск: БГУ, 2014. 75с.

2. Гончарова I.B. Роль загальних евристичних прийомів у формуванні евристичних умінь учнів основної школи на факультативних заняттях з математики. Науковий часопис НПУ ім. М.П.Драгоманова. Серія №3. Фізика і математика у вищій і середній школі: 36. наук, праць. К.: НПУ ім. М.П.Драгоманова, 2010. №6. С. 34-40.

3. Гончарова И.В. Методика формирования эвристических умений учащихся основной школы на факультативных занятиях по математике: дис. ... канд. пер. наук: 13.00.02 / Гончарова Ирина Владимировна. Черкассы, 2009. 274 с.

4. Мананкова Е.С. Эвристические методы при подготовке к ЕГЭ по математике / Е.С. Манковская // Вестник Елецкого государственного университета им.И.А.Бунина.Вып. 37: Серия «Педагогика (История и теория математического образования)». Елец: ЕГУ им. И.А.Бунина, 2016. С.212-215.

5. Скафа Е.И. Конструиране на учебно-познавателна евристична дейност по реша-ване на математически задачи: монография / Е. Скафа, В. Милушев. Пловдив: ПУИ «Паисий Хилендарски», 2009. 332 с.

6. Скафа Е.И. О методологии диалогического преподавания / Е.И. Скафа // Дидактика математики: проблемы и исследования: международный сборник научных работ. Вып. 25. Донецк: ДонНУ, 2006. С. 38-44.

7. Скафа О.І. Організація діалогу в системі евристичного навчання математики / O.I. Скафа // Актуальні питання природничо-математичної освіти: 36. наук, пр.: вип. 2 / Сум.держ.пед.ун-т ім А.С.Макаренка. Суми: ВВП «Мрія», 2013. С. 93-102.

ПОЗНАВАТЕЛЬНЫЙ ИНТЕРЕС К МАТЕМАТИКЕ КАК ДИДАКТИЧЕСКАЯ КАТЕГОРИЯ

Т.Е. Рыманова

Елецкий государственный университет им. И. А. Бунина, г. Елец, кандидат педагогических наук, доцент кафедры математики и методики ее преподавания

Аннотация. В статье рассматривается познавательный интерес к математике с дидактической точки зрения. Взгляд на интерес как на средство обучения позволяет выделить факторы, способствующие его диалектике, а

также выяснить соответствующие методы и приемы. Результаты исследования свидетельствуют о том, что такой подход способствует формированию (развитию) познавательного интереса к математике у школьников.

Ключевые слова: познавательный интерес, диалектика познавательного интереса, познавательный интерес как средство обучения.

Геополитические изменения, происходящие сегодня, тенденции развития мирового сообщества, а также проблемы, связанные с глобализацией, затрагивают все страны мира и волнуют многие государства. Российскому обществу для реализации планов модернизации производства, разработки и внедрения инновационных проектов, прорыва во всех сферах жизни нужны высококвалифицированные специалисты, инициативные, мобильные, творческие, готовые к поиску новых идей молодые люди. В решении данных проблем особая роль отводится такому важному государственному институту как образование. Уже семь лет в штатном режиме во всех школах нашей страны реализуются образовательные стандарты второго поколения. К сожалению, они вызвали большое количество вопросов, как в теоретическом, так и практическом аспекте: в первую очередь, это касается достижения целей, обозначенных в данных нормативных документах [7]. Отметим, если в метапредметном направлении определенная работа ведется, то в плане реализации и диагностики задач личностного развития обучающихся много проблем. Интересно, что некоторые ученые рассматривают последнее с точки зрения личных достижений школьника, а не с позиции его развития [10]. Мы считаем такой подход односторонним, и его нельзя считать оправданным. Если развитие личности рассматривать как качественный переход с одного уровня на другой, как многоаспектный процесс, то данный вопрос невозможно характеризовать только индивидуальными победами или неудачами ученика. По нашему мнению, эта проблема требует рассмотрения с разных позиций, и в условиях модернизации российского образовательного пространства она особенно актуальна.

Отметим, что мощным двигателем учебно-воспитательного процесса является познавательный интерес. Отечественная наука изучает его как самостоятельную категорию. На это указывали как дореволюционные ученые, педагоги, психологи, мыслители (А.В. Васильев, Л.Н. Толстой, К.Д. Ушинский, С.И. Шохор-Троцкий и др.), так и современные (Б.Г. Ананьев, Л.С. Выготский, Ю.М. Колягин, А.Н. Леонтьев, А.К. Маркова, С.Л. Рубинштейн, Г.И. Щукина и др.).

Как довольно сложное образование, познавательный интерес к математике необходимо рассматривать в диалектическом развитии. Его нужно сначала сформировать, а потом развивать [9]. Кроме того познавательный интерес находится в диалектической взаимосвязи с мышлением, внимани-

ем, памятью, речью, эмоциями. Таким образом, развивая интерес к математике, мы развиваем интеллектуальные возможности школьника, мыслительные операции.

На дидактические особенности познавательного интереса впервые указала Г.И. Щукина [11]. Анализ и систематизация различных подходов по вопросу исследования [1,2,4,5,6,11] позволили выделить факторы, влияющие на его диалектику, а именно содержательный, организационный и личностный [9].

Содержательный фактор определяет совокупность разных методов и приемов. К ним можно отнести актуальность и новизну математического содержания, обновление усвоенных знаний, исторические математические сведения, показ практического значения и необходимость математических знаний, занимательность в математике, наглядность, сравнение и аналогия, математическое моделирование, эмоциональность в изложении материала, создание дидактических модулей, постановку домашних заданий, использование алгоритмов, постановку различных задач, в том числе познавательных.

Организационный фактор определяет комплекс подходов, методов, приемов и влияет на учебно-познавательную деятельность учащихся, в которой познавательный интерес фигурирует дважды: как мотив действия и как мотив всего процесса [9, с. 24].

На личностный фактор, влияющий на формирование и развитие познавательного интереса, обращают очень мало внимание, поэтому он недостаточно исследован, хотя его роль велика в решении интересующей проблемы. С ним связана этика отношений между разными участниками образовательного процесса.

Рассмотрим некоторые из методов и приемов, которые помогают учителю тактически решать вопросы по развитию диалектических стадий познавательного интереса школьников к математике.

1. Создание дидактических модулей.

По вопросу определения понятия дидактического модуля нет единой точки зрения [3]. Мы рассматриваем его как отдельно взятую часть учебной дисциплины. Разработка дидактического модуля - работа трудоемкая и сложная, так как он представляет достаточно независимое, логически завершенное звено процесса обучения. В качестве примера можно привести материал по тригонометрии, изложенный в учебнике А.Г. Мордковича. Отметим, что до недавнего времени данный раздел математики изучался в первом полугодии 10 класса. Материал, изложенный в этом пособии, отличается структурированием целей, содержания, форм и методов обучения. Кроме того его построение базируется на определенной концептуальной идеи (математической (геометрической) модели множества действительных чисел), что позволяет достигнуть соответствующего уровня математической грамотности современных школьников. Создание дидактиче-

ских модулей особенно актуально для учащихся, у которых уровень познавательного интереса к математике значительно выше по сравнению с их одноклассниками.

2. Использование алгоритмов.

Сегодня развитию алгоритмического мышления школьников уделяют большое внимание, что оправдывает себя, так как умение человека продумать цепочку собственных действий, позволяет решать проблемы разного рода: от бытовых до научных. Математика как учебный предмет предоставляет большие возможности в этом направлении. Ученики должны не только запоминать алгоритмы, предложенные в учебнике, важно школьников научить их составлять. Причем такая работа должна быть систематической. Например, после выполнения задания «Представьте число 16 в виде суммы двух натуральных чисел так, чтобы сумма их квадратов была наибольшей» можно попросить учащихся составить алгоритм его решения. Алгоритмическое мышление, как и любой вид мышления, находится в диалектической взаимосвязи с познавательным интересом.

3. Сравнение и аналогия.

Аналогия и сравнения один из методов познания, который позволяет осмыслить единое и частное в явлениях и объектах окружающей действительности. Изучая математику, школьник учится видеть общее и разное, делать, исходя из этого, выводы. Например, при изучении темы «Сложение десятичных дробей» можно предложить школьникам задачу «Школьная форма пятиклассницы состоит из юбки, брюк, жилета и блузки. В среднем необходимо на брюки 1,05 м, на блузку 1,25 м, на юбку 0,7 м, на жилет 0,57 м. Сколько материала потребуется на брюки и блузку, брюки и жилет, на блузку и юбку, на брюки и жилет, на весь комплект?». Данное задание создает проблемную ситуацию, которая требует искать пути его решения. Возможны два варианта. Первый: перевести метры в сантиметры и выполнить сложение натуральных чисел, а затем полученный результат перевести в десятичную дробь. Второй: если ученики умеют складывать обыкновенные дроби с одинаковыми знаменателями, то могут перевести десятичные дроби в обыкновенные, выполнить сложения, а затем перевести в десятичные. Полезно на доске записать оба варианта решения задачи. Ученикам предлагается сравнить записи и проанализировать их: 105+125 и 1,05+1,25. В ходе рассуждений школьники приходят к выводу, что десятичные дроби можно складывать как натуральные числа, но необходимо учитывать запятую. После этого под руководством учителя ученики составляют алгоритм сложения десятичных дробей. Далее на примере предложенной задачи школьники исследуют разные возможные ситуации при выполнении данной арифметической операции.

Таким образом, изучая математический материал, учащиеся приобретают первые навыки использования метода аналогии и сравнения, а значит, делают первые шаги в изучении способов познания.

В заключение отметим, что мы показали лишь некоторые аспекты рассмотрения познавательного интереса как дидактической категории. Опыт и проведенные нами исследования показывают что, исходя из этого положения, педагогический арсенал учителя значительно обогащается, а значит, помогает ему тактически решать вопросы достижения целей личностного развития, указанных в образовательных стандартах второго поколения.

Библиографический список

1. Ананьев Б.Г. О проблемах современного человекознания. СПб: Питер, 2001. 272 с.

2. Выготский Л.С. Педагогическая психология. М.: Педагогика-Пресс, 1999. 536 с.

3. Голованова Ю. В. Модульность в образовании: методики, сущность, технологии // Молодой ученый. 2013. №12. С. 437-442. URL https://moluch.ru/archive/59/8492/ (дата обращения: 12.04.2018).

4. Леонтьев А.Н. Деятельность. Сознание. Личность. М.: Академический проект, 1999. 240 с.

5. Маркова А.К. и др. Формирование мотивации учения в школьном возрасте: пособие для учителя. М.: Просвещение, 1983. 96 с.

6. Менчинская Н.А. Проблема учения и умственного развития школьника: Избранные психологические труды. М.: Педагогика, 1989. 221 с.

7. Примерные программы по учебным предметам. Математика 5-9 классы: проект. 3-е изд. перераб. М.: Просвещение, 2011. 64 с.

8. Рубинштейн СЛ. Основы общей психологии. СПб: Изд-во «Питер», 2000. 712 с.

9. Рыманова Т.Е. Технологический подход к проектированию учебного процесса по математике, обеспечивающего формирование познавательного интереса у школьников, дис... канд. пед. наук. М., 1999. 214 с.

10. Хуторской Хуторской А.В. Метапредметное содержание в стандартах нового поколения // Школьные технологии, 2012. №4. С. 36-47.

11. Щукина Г.И. Актуальные вопросы формирования интереса в обучении: учебное пособие. М.: Педагогика, 1984. 176 с.

К ВОПРОСУ О ФОРМИРОВАНИИ МЕТОДИЧЕСКОЙ КОМПЕТЕНТНОСТИ БУДУЩЕГО УЧИТЕЛЯ МАТЕМАТИКИ

Т.М. Сафронова

Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина, г. Елец, кандидат педагогических наук, доцент кафедры математики и методики ее преподавания

Аннотация. В статье говорится о подготовке будущего учителя математики к профессиональной деятельности по развитию школьников, о

формировании у него методической культуры и профессиональных компетенций.

Ключевые слова: управление развитием учащихся, методическая культура, подготовка будущего учителя математики.

В настоящее время на фоне динамичных инновационных преобразований в экономической и социальной сферах общества активно идет реформирование всего образования в России. Но какие бы преобразования и изменения не проходили в любой из сфер человеческой деятельности, начинаться они должны с совершенствования ее субъекта.

В педагогической науке и практике проблема профессиональной подготовки будущего учителя общеобразовательной школы, в том числе и учителя математики, всегда была и остается актуальной. На сегодняшний день, в свете скоропостижно меняющихся парадигм, федеральных образовательных стандартов образования эта проблема встает со всей остротой.

В последнем утвержденном Министерством образования и науки Российской федерации федеральном образовательном стандарте высшего образования-бакалавриата по направлению подготовки 44.03.01 Педагогическое образование (№ 121 от 22.02.2018 г.) сформулированы новые требования к результатам освоения программы бакалавриата в виде новых универсальных, общепрофессиональных и профессиональных компетенций. Причем профессиональные компетенции «формируются на основе профессиональных стандартов, соответствующих профессиональной деятельности выпускников а также, при необходимости, на основе анализа требований к профессиональным компетенциям, предъявляемых к выпускникам на рынке труда, обобщения отечественного и зарубежного опыта, проведения консультаций с ведущими работодателями, объединениями работодателей отрасли, в которой востребованы выпускники, иных источников» [1]. Анализ требований показывает, что у выпускников должны быть сформированы те главные элементы, которые определяют личность педагога: социально направленные личностные качества, продуктивность работы, компетентность, способность к профессиональному росту, к саморазвитию, самосовершенствованию, способности к овладению закономерностями и механизмами педагогического процесса. Другими словами, выпускник вуза должен быть профессионально и личностно готов к педагогической деятельности, у него должна быть сформирована методическая культура. В данном случае под методической культурой понимается «система идеалов, ценностей, норм, обеспечивающая ориентацию в конкретной педагогической деятельности» [2].

В данной статье мы остановимся на подготовке будущего учителя математики к профессиональной деятельности по развитию школьников.

Важно отметить, что от умения учителя управлять развитием учеников зависит и возможность совершенствования методики его работы.

Будущего учителя математики необходимо учить строить деятельность по развитию учащихся на базе полученных в вузе психолого-педагогических знаний, изученных педагогических технологий, а также критического переосмысления традиционного опыта преподавания математики, опыта учителей-новаторов, новых идей дидактики.

Для того чтобы управлять развитием учащихся, надо владеть знаниями по дидактике, по психологии и применять соответствующим образом эти знания в процессе обучения предмету. Остановимся подробнее на этом. Во-первых, учитель должен иметь представление о внутренних процессах, которые протекают в сознании школьника, а именно о мыслительной деятельности, о процессах запоминания и забывания, усиления и ослабления внимания, восприятия объектов, развития речи и т.п. Во-вторых, педагог должен уметь отбирать содержание, выстраивать последовательность его изучения, владеть различными приемами организации урока, уметь выбирать наиболее подходящие для каждого этапа урока средства и методы обучения, прогнозировать результаты применения выбранных методов. Видоизменяя дидактические условия можно управлять психологическими процессами, т.е. развитием школьников.

Приведем конкретный пример сказанному выше.

Для того чтобы учащиеся качественно запоминали формулы, определения понятий или формулировки теорем, прочно усваивали учебный материал, учителю необходимо: применять дидактический принцип сознательности; проводить систематические опросы школьников по изученному материалу; формировать мотивы деятельности учеников.

Поясним приведенный пример подробнее.

Использование учителем принципа сознательности способствует пониманию содержания обучения, а, следовательно, и его запоминанию. В этом случае вопрос «Что называется ... ?» надо заменить серией соответствующих упражнений.

Например, вместо вопроса: «Что называется медианой треугольника?» учителю следует дать упражнения:

1. Является ли СЕ (рис. 1) медианой треугольника ABC, если ЛЕ = BE?

2. Является ли AF (рис. 1) медианой треугольника ABC, если BF = CF?

3. Является ли BD (рис. 1) медианой треугольника ABC? Почему?

4. Какие точки соединяет отрезок СО (рис. 2)? Что можно сказать о длинах отрезков АО и ВО? Является ли СО медианой треугольника ABC?

5. Сколько всего медиан существует в любом треугольнике (рис. 1)?

Рис. 1

Рис.2

Выполняя упражнения, ученик осознанно отвечает на вопрос и формулирует определение понятия «медиана треугольника». Таким образом, он лучше понимает суть понятия и запоминает определение.

Далее в учебном процессе учителю необходимо систематически проводить опрос школьников по изученному материалу, что вызовет длительное (а не кратковременное!), прочное запоминание материала. Неоднократное повторение определения будет надолго сохранять его в памяти. Эффективно то повторение, которое рассредоточено по времени и обеспечивает разнообразную деятельность ученика по изученному содержанию. Последнее достигается различной реконструкцией упражнений.

Формирование мотивационной сферы личности учащегося также способствует качественному запоминанию и усвоению учебного материала. Мотив к активной деятельности в процессе обучения можно формировать через интерес школьника к предмету, к теме, к понятию, к нетрадиционной форме проведения урока.

Библиографический список

1. Федеральный государственный образовательный стандарт высшего образования -бакалавриат по направлению подготовки 44.03.01 педагогическое образование № 121 от 22.февраля 2018 года [Электронный ресурс]. URL:

http://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_293567/2ff7a8c72de3994ß0496a0cc bblddafdaddf518/ (дата обращения 10.04.2018).

2. Терминологический словарь современного педагога [Электронный ресурс]. URL: http://didacts.ru/termin/metodicheskaja-kultura.html (дата обращения 12.04.2018).

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ: ПОНЯТИЕ МОДЕЛИ, КЛАССИФИКАЦИЯ, ЭТАПЫ, ФУНКЦИИ

Е.А. Селезнева1

Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина, г. Елец; магистрант института математики, естествознания и техники

Аннотация. В статье рассматриваются вопросы, связанные с понятием математической модели; раскрывается суть метода математического моделирования; определены основные функции и цели обучения методу в школе. На конкретном примере описываются этапы процесса математического моделирования.

Ключевые слова: математическое моделирование, классификация моделей, этапы математического моделирования, функции математического моделирования.

Моделирование - один из важнейших способов познания окружающего мира. Понятие «модель» широко используется в различных сферах человеческой деятельности и имеет много смысловых значений. Слово «модель» произошло от латинских слов «modus» и «modulus», означающих меру, образ, способ.

Моделирование - это процесс использования моделей для изучения тех или иных свойств оригинала.

Существуют различные определения понятия «модель». Философ Чарльз Лейв даёт такое определение: «Модель - это упрощённая картина реального мира. Она обладает некоторыми, но не всеми свойствами изучаемых предметов или процессов. Она представляет собой множество взаимосвязанных предположений о мире. Модель проще тех явлений, которые она по замыслу отображает или объясняет»2.

Большинство психологов под моделью понимают систему объектов или знаков, воспроизводящую некоторые существенные свойства системы оригинала. Иногда под моделью понимают такой материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе изучения замещает объект - оригинал, сохраняя некоторые важные для данного исследования типичные черты. Приведём примеры моделей: макет архитектурного сооружения, чертёж самолёта, глобус и т.д.

1 Научный руководитель: кандидат педагогических наук, доцент кафедры математики и методики её преподавания Г.А. Симоновская

2 Мангейм, Дж. Б. Политология. Методы исследования: перевод с англ. / Дж. Б. Мангейм, Р. К. Рич. М.: Весь Мир, 1997. 544 с.

Существует несколько классификаций моделей. Наиболее известной является классификация по характеру моделей:

1. Предметное моделирование, при котором модель воспроизводит геометрические, физические, динамические и функциональные характеристики объекта. Например, модель моста, крыла самолёта.

2. Аналоговое моделирование, при котором модель и оригинал описываются единым математическим соотношением. Примером могут служить электрические модели, модели механических сооружений.

3. Знаковое моделирование. Примером выступают схемы, графики, чертежи, таблицы, формулы.

4. Мысленное моделирование (например, модель галактики, модели атомов, словесные модели процессов и явлений).

5. Особый вид моделирования - включение в эксперимент не самого объекта, а его точную копию (модель скелета человека, модель сердца).

Можно сделать вывод, что в процессе школьного образования все эти виды могут иметь широкое применение.

Рассмотрим непосредственно понятие математического моделирования. Математическое моделирование является важнейшим видом образно-знакового моделирования, осуществляемого средствами языка

Предметом исследования при математическом моделировании является система «оригинал - математическая модель». Например, оригинал: «К а кг муки добавили Ъ кг муки, получили с кг муки», математическая модель: а + b = с.

Для математического исследования процессов и явлений, реально происходящих в действительности, надо уметь описать их на языке математики, т. е. построить математическую модель. Математические модели и являются объектами математического исследования.

Математической моделью называется описание какого-либо реального процесса или некоторой исследуемой ситуации на языке математических понятий, формул и отношений.

Рассмотрим задачу. Турист проехал 2200 км, причем на теплоходе проехал вдвое больше, чем на автомобиле, на поезде в 4 раза больше, чем на теплоходе. Сколько километров проехал турист на каждом виде транспорта?

Решение. Примем расстояние, которое проехал турист на автомобиле за X км. Известно, что на теплоходе он проехал вдвое больше, чем на автомобиле, то есть 2х км. На поезде проехал в 4 раза больше, чем на теплоходе, то есть 4 X 2х.

Весь путь - это сумма расстояний, которые проехал турист на каждом из видов транспорта и он равен 2200 км. Получим следующее уравнение:

это и есть математическая модель данной задачи.

Таким образом, одним из основных способов познания окружающего мира является метод математического моделирования, основанный на математических моделях. Заключается он в том, что для исследования какого-либо объекта выбирают или строят другой объект, в каком-то смысле подобный исследуемому. Построенный объект изучают и с его помощью решают исследуемые задачи, а затем результаты решения этих задач переносятся на первоначальное явление или объект.

Одним из основных программных требований к обучению математики в школе является развитие у учащихся правильных представлений о природе математики и отражении математической наукой явлений и процессов реального мира. Основным средством достижения этой цели является метод математического моделирования, и заключается он в интеллектуальном умении учащихся заменять изучаемые объекты, их отношения, способы действия моделями в виде изображения отрезками, графиками, схемами, таблицами, значками, уравнениями, неравенствами.

Математическое моделирование находит широкое применение при решении сюжетных задач, где краткая запись является графической моделью, а уравнение (выражение) - алгебраической моделью.

Использование метода значительно облегчает решение текстовых задач. При построении модели работают такие операции мышления, как анализ через синтез, сравнение, классификация, обобщение, что и способствует его развитию. Такая учебная деятельность готовит учащихся к моделированию реальных процессов и явлений в их будущей профессиональной жизни.

Рассмотрим этапы процесса математического моделирования: Первый этап. Перевод предложенной задачи с естественного языка на математический (создание графической или алгебраической модели).

Второй этап. Решение задачи в рамках математической теории (внутри модели).

Третий этап. Перевод полученного результата (математического решения) на язык, которым была сформулирована исходная задача.

Самым сложным и ответственным является первый этап - само построение математической модели. Оно осуществляется логическим путём на основе глубокого анализа изучаемого процесса или явления и требует описать его свойства математическим языком.

Процесс создания модели можно описать пошагово:

Шаг первый: индуктивный: отбор наблюдений, относящихся к исследуемым свойствам объекта; принятие решения, что следует принимать во внимание, а чем можно пренебречь.

Шаг второй: построение неформальной модели: ищутся различные способы установления логического соответствия между моделью и объектом.

Шаг третий: перевод неформальной модели в математическую посредством математического языка и выбор подходящей математической структуры. Самый важный момент: выбранная модель может быть неоднозначной. При этом язык математики лишён двусмысленности и более точен, чем естественный язык.

Шаг четвёртый: решение задачи в рамках математической теории. Здесь применяется весь набор математических методов - логических, алгебраических, геометрических.

Шаг пятый: полученные результаты переводятся с математического языка обратно на естественный.

Рассмотрим на примере реализацию всех этапов процесса математического моделирования.

Задача. Длина земельного участка прямоугольной формы на 22 м больше ширины. Площадь участка составляет 1560. Найти длину и ширину земельного участка.

1 этап: создание графической и математической модели.

Пусть ширина земельного участка х м., тогда длина участка (х + 22). Известно, что площадь участка составляет: х X (х + 22) или 1560. Составим и решим уравнение (математическую модель):

2 этап: внутримодельное решение.

3 этап: интерпретация результатов решения.

Ширина участка не может быть отрицательным числом, то есть Х= - 52 не является решением задачи, таким образом, ширина земельного участка 30 м, а длина участка 30 + 22 = 52 м.

Рассмотрим функции математического моделирования. Применение данного метода в школьном образовании предполагает следующие дидактические функции:

1. Познавательная функция. Формирование познавательного образа изучаемого объекта. Процесс осуществляется при переходе от простого к сложному. Мысль учащегося направляется по кратчайшим и наиболее доступным путям к целостному восприятию объекта.

2. Функция управления деятельностью учащихся. Математическое моделирование конкретно, поэтому облегчает ориентировочные, контро-

лирующие и коммуникативные действия. Ориентировочные осуществляются, например, при построении чертежа, соответствующего данному условию, внесение в него дополнительных элементов. Контролирующие действия направлены на поиск ошибок при сравнении модели с оригиналом или другой моделью. Коммуникативные наступают на той стадии управления деятельностью учащихся, когда происходит анализ полученных результатов, когда учащийся объясняет себе и другим суть построенной модели.

3. Интерпретационная функция говорит нам о том, что один и тот объект можно выразить с помощью различных моделей. Например, окружность можно задать с помощью центра и радиуса, уравнением окружности и с помощью чертежа или рисунка. При решении одних задач используется аналитическая модель, при других - геометрическая. Рассмотрение каждой из этих моделей является её интерпретацией.

Применение нескольких функций математической модели способствует наиболее плодотворной деятельности учащихся и развитию их мышления.

Учителю следует добиться от учащихся четкого понимания значения и содержания каждого из описанных этапов процесса математического моделирования. Это нужно для того, чтобы школьники усвоили, что они решают не просто математическую задачу, а конкретную жизненную ситуацию математическими методами. Тогда учащиеся смогут увидеть в математике практическое значение, и не будут воспринимать ее как абстрактную науку.

Понятие математической модели и некоторые общие положения, связанные с ним, должны в той или иной форме иллюстрироваться на протяжении всего курса математики, а разделы школьной программы, посвященные задачам на работу, движение, проценты, прогрессии и, наконец, задачам на применение производных и интегралов, могут рассматриваться как введение в метод математического моделирования.

Несмотря на то, что проблемами использования моделирования в обучении математики занимались известные учёные и математики (Л.М. Фридман, В.В. Давыдов и др.), вопросы обучения приёму моделирования, эффективной реализации всех его потенциальных возможностей остаются не достаточно разработанными.

Считается, что в условиях развивающего обучения, моделирование является существенным приёмом интеллектуальной деятельности учащихся. Значимость данного метода подтверждается так же психолого-педагогическими соображениями. Психолог П.Я. Гальперин разработал психологическую теорию учения, теорию поэтапного формирования умственных действий. Согласно теории, знакомство ученика с каким-либо действием надо начинать с выполнения этого действия соответствующими материальными предметами, а от них - перейти к моделям, свободным от

всех ненужных свойств. Это может быть графическая схема, образная или знаковая модель, при которой ученик выполняет изучаемое действие.

Библиографический список

1. Блох А.Я. Методика преподавания математики в средней школе. М.: Просвещение, 1987.

2. Глейзер Г.Д. Повышение эффективности обучения математике в школе. М.: Просвещение, 1989.

3. Давыдов В.Г. Проблемы развивающего обучения. М.: Просвещение, 1986.

4. Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начала анализа. М.: Просвещение, 1990.

5. Уемов А.И. Логические основы моделирования. М.: Просвещение, 1996.

6. Фридман Л.М. Наглядность и моделирование в обучении. М.: Знание, 1984.

7. Штофф В.А. Моделирование и философия. М.: Наука, 1966.

НОВЫЕ ТЕНДЕНЦИИ В ОТЕЧЕСТВЕННОЙ МЕТОДИКЕ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ В НАЧАЛЕ XX ВЕКА

Д.М. Серикова1

Елецкий государственный университет им. И.А.Бунина, г. Елец магистрант института математики, естествознания и техники

Аннотация. В начале XX века в отечественной методике преподавания математики стал разрабатываться ряд новых направлений (психологические основы обучения математике, обновление содержания школьного курса математики, лабораторная метода и пр.).

Ключевые слова: история методики обучения математики в России

В начале XX века в отечественной методике преподавания математики появился ряд новых направлений. На этот факт обратил внимание советский методист А.В. Ланков, который описал несколько «новых течений»: лабораторное направление, наглядное обучение, неогрубеизм (в методике арифметики), пересмотр систематического курса геометрии и дополнении его элементам неевклидовой геометрии (в методике геометрии), создание пропедевтического курса тригонометрии (в методике тригонометрии), введение элементов высшей математики в школьный курс [1].

Большинство новых для того времени идей прозвучало на Всероссийских съездах преподавателей математики в 1911/1912 гг., 1913/1914 гг. Однако несколько раньше, в 1910 г., вышло пособие «Педагогика математики».

1 Научный руководитель - доктор педагогических наук, профессор кафедры математики и методики её преподавания О.А. Саввина.

Авторы этого пособия В.Р. Мрочек, Ф.В. Филиппович принимали активное участие в работе Всероссийских съездов, поэтому неудивительно, что в их труде высказывались идеи, созвучные тому, что обсуждалось на съездах.

В «Педагогике математики» авторы глубоко проанализировали зарубежный опыт преподавания и предлагали внедрить этот опыт в русскую школу. Они критиковали проведение экзаменов за то, что в них «играет роль только один чувственный элемент». Являясь сторонниками либеральной модели образования, они поддерживали идею о том, чтобы «обеспечивать воспитаннику максимальную личную деятельность. Единственное стремление преподавателя - довести до минимума свое вмешательство, дать воспитаннику возможность проявить инициативу, контроль над своими поступками, с одной стороны: приобрести власть над собой, ту внутреннюю дисциплину, которая освобождает человека от поисков руководителем, с другой. Задача реформированной школы - создать свободную личность. Важно развивать эти средства формирования знания, начиная с раннего детства и до зрелого возраста, проводя это через все занятия. С этой целью нужно поместить между частями школьной программы систематические упражнения, которые поднимут юношество на ступень преобразования мысли в действие, перехода идей и внутренних ощущений к материальному воспроизведению этих идей и ощущений. Это индивидуализация обучения, в смысле выделения на первый план точных потребностей и развития способностей и свойств каждой отдельной личности, на всякой ступени ее развития» [2].

В книге широко обсуждаются психологические основы обучения математике. В.Р. Мрочек и Ф.В. Филиппович пишут: «Всякое познание начинается с чувственных восприятий. В основе психологического процесса лежит, таким, образом, наблюдение, за ним следует умственная обработка, претворяющая наблюдение в представление. Многочисленные опыты показали, что типы восприятия: зрительная, слуховая, моторная и смешанные являются в то же время и типами памяти. В общем, слуховая память менее важна, чем зрительная, а для математики особенно восприимчивой оказывается зрительно-моторная и зрительно-слуховая. Таким образом, обоснование для наглядной методы именно в обучении математик - найдено. Памятная метода обучения была возможна лишь тогда, когда каждый образованный человек мог удержать в памяти все, что было известно человечеству. Но времена ходячих энциклопедий канули в вечность.

Теперь задача умственного воспитания не в том, чтобы голову превратить в энциклопедию, а в том, чтобы сообщить личности те приемы и те формулы, при помощи которых откроются двери всякой науки. Не быть энциклопедией, но уметь развиваться в энциклопедиях; не заучивать формулы, но знать, где их найти и как ими пользоваться - вот задача совре-

менного образования. Математика в русских школах находится еще на уровне средневековья. Отчетливое представление вместе с сопровождающими его чувствами и двигательными актами называем мы понятием. Всякое мускульное движение отражается на мозговых клетках посредством ощущений. Следует, что для развития всей моторной области мозга необходимо увеличить число и вид упражнений и упорядочить их [2, с. 98-105].

Противопоставляя русскую школу американской, авторы отдавали последней явное предпочтение в том, что в ней используется лабораторная метода - «наилучшее образовательное средство» [2]. Лабораторный метод обучения они считали полезным для школ всех типов: начальной, средней, высшей.

На Всероссийских съездах также обсуждались вопросы повышения активности учащихся в обучении математике, роли логики и психологии (С.И. Шохор-Троцкий, Д.Д. Мордухай-Болтовской), бифуркации в обучении математике (П.А. Некрасов), а также были высказаны предложения о введении в среднюю школу элементов математического анализа (Д.М. Синцов, Ф.В. Филиппович, М.Г. Попруженко и др.)

Таким образом, в начале XX века стали разрабатываться психологические основы обучения математике, высказывались предложения об обновлении содержания школьного курса математики, большое внимание уделялось роли наглядности и лабораторной форме проведения занятий. Эти тенденции получили свое развитие в работах по методике преподавания математики в раннее советское время (отмена экзаменов, лабораторно-бригадная форма обучения, метод проектов и пр.). Однако реальный опыт показал ошибочность ряда этих революционных идей, поскольку их реализация в повсеместную образовательную практику привела к падению уровня математического образования. И в 1930-х гг. в советской школе были восстановлены дореволюционные традиции отечественной методики преподавания математики.

Библиографический список

1. Ланков А.В. К истории развития передовых идей в русской методике математики. М.: Учпедгиз, 1951. 151 с.

2. Мрочек В.Р., Филиппович Ф.В. Педагогика математики. Исторические и методические этюды Т.I. СПб: О. Богдановой, 1910. 378 с.

3. Филиппович Ф.В. Постановка преподавания начал анализа в средней школе // Труды Первого Всероссийского съезда преподавателей математики. СПб, 1913. Т.I.

К ВОПРОСУ О РЕШЕНИИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ШКОЛЬНИКАМИ ПРИ ПОДГОТОВКЕ К ИТОГОВОЙ АТТЕСТАЦИИ

Г.А. Симоновская

Елецкий государственный университет им. И. А. Бунина, г. Елец, директор института математики, естествознания и техники (ИМЕиТ), кандидат педагогических наук, доцент кафедры математики и методики ее преподавания

Аннотация. В статье предпринята попытка описания рационального использования полученных знаний школьниками при решении заданий геометрического содержания, предлагаемых в ходе итоговой аттестации.

Ключевые слова: единый государственный экзамен по математике, основной государственный экзамен по математике, школьная геометрическая задача, методы решения.

Современные школьные образовательные стандарты являются основополагающими документами на основе которых строиться весь процесс обучения в школе. А единый государственный экзамен (ЕГЭ) и основной государственный экзамен (ОГЭ) по предмету - это итоговая аттестация выпускника, которая показывает, каков уровень освоения данного предмета, то есть, как реализован Федеральный государственный образовательный стандарт в данной области обучения школьника. Следовательно, объясняя новую тему, учитель каждый раз отвечает себе на вопрос: «В каком объеме представлена данная тема в заданиях итоговой аттестации?». И все старания школьного учителя направлены на подготовку учащегося именно к итоговой аттестации.

Школьный курс математики обширный и подразделен на отдельные разделы: арифметика, алгебра, начала математического анализа, основы теории вероятностей, геометрия и другие. Каждый раздел представлен в контрольно-измерительных материалах итоговой аттестации. Описание объема и уровня сложности заданий контрольно-измерительных материалов единого государственного экзамена представлены в документе «Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения единого государственного экзамена по МАТЕМАТИКЕ (базовый, профильный уровни)» [2]. Этот документ публикуется ежегодно в начале каждого учебного года.

Решение геометрических задач у школьников традиционно вызывают наибольшие затруднения. Поэтому задача учителя - научить школьника решать геометрическую задачу: правильно строить процесс её решения, верно выполнять построения, воспроизводить чертежи, и, по возможности,

решать рационально, экономя время отведенное на выполнение всей контрольной работы.

Геометрическая задача может быть решена школьниками разными методами: аналитический подход, алгебраический, векторный. Но чаще всего учащийся использует традиционный алгоритмический подход, не опираясь на утверждения, полученные при решении других задач, или теоремы, которые изучались в других разделах геометрии. Такой подход приводит к более громоздкому и не рациональному решению, хотя оно так же является правильным.

Например, рассмотрим решение следующей задачи.

Задача 1. В правильной треугольной призме ABCAjBjCi стороны основания равны 1, боковые ребра равны 2, точка D - середина ребра CCj. Найдите угол между плоскостями ABC и ADBi.

Рассмотрим решение данной задачи, опираясь на основные подходы при решении такого рода задач при обучении математике в школе.

Школьник обязательно должен ответить на вопрос: «Что такое угол между плоскостями? Какой угол называется двугранным? Чем измеряется двугранный угол? Как построить линейный угол данного двугранного угла?». Ответив на вопросы, ученик попытается построить линию пересечения плоскостей, а потом построить линейный угол. Школьнику нужно производить дополнительные построения вне треугольной призмы, что накладывает дополнительные трудности при изображении.

Рис.1.

Данные рассуждения могут быть представлены в следующей форме.

Прямая BDi пересекает прямую ВС в точке К. Плоскости ABC и ADBi пересекаются по прямой АК. Из точки D опустим перпендикуляр DH на прямую АК, тогда отрезок СН (проекция DH) перпендикулярен

прямой AK. Угол CHD является линейным углом двугранного угла, образованного плоскостями ABC и ADBj.

В ходе рассуждений будет построен и чертеж к данной задаче (рис.1).

Далее решение будет направлено на нахождение параметров прямоугольного треугольника CDH.

Точка D - середина ребра ССЬ поэтому CD=DCi=l.

Из равенства треугольников BiCiD и KCD получаем: CK=BiCi=l.

В равнобедренном треугольнике АСК угол С равен 120°, АС=СК=1, высота СН является биссектрисой, откуда CH=ACcos60°=l/2.

Из прямоугольного треугольника CDH с прямым углом С получаем:

Ответ может быть представлен и в другой форме:

Можно предложить и другой подход к решению этой задачи, избежав дополнительных построений. Для этого школьнику нужно вспомнить теорему о площади ортогональной проекции многоугольника.

Теорема. Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна произведению его площади на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции: (рис. 2)

Рис. 2.

Иногда данная теорема представлена в виде задачи в школьных учебниках геометрии. И найти нужно площадь треугольника или угол меду плоскостями:

Используя предложенную теорему, учащийся поясняет, что треугольник ABC является ортогональной проекцией треугольника ADBj. А, следовательно, угол между плоскостями треугольника ABC и треугольника ADB] является искомым. Треугольник ABC равносторонний, следовательно, его площадь можно найти по формуле SAABC = гДе а ~ длина стороны треугольника. Подставляя значение а=\ в формулу, получаем

Далее ищем площадь треугольника ADB]. Из треугольников ADC и DCiBi находим AD = 42 и DBX =л/2. Рассматривая прямоугольник AAiBiB, находим диагональ АВХ = ^. Получили равнобедренный треугольник ADBi, где AD = DB}. Проведя высоту DH к основанию АВЬ по теореме Пифагора вычисляем DH = —. Площадь треугольника ADBi:

Возвращаясь к формуле, получаем:

Ответ.

При решении вторым способом задача для школьника упрощается. Не надо выполнять дополнительные построения, не нужно выстраивать на чертеже линейный угол двугранного угла, доказывать правильность его построения.

Часто используемая теорема представлена в школьных учебниках геометрии в виде задачи. Так, например, в учебнике Геометрия 10-11 автора Л.С. Атанасяна, это задача 212: «Точка С является проекцией точки D на плоскость треугольника ABC. Докажите, что площадь треугольника ABD равна S/costf, где S - площадь треугольника ABC, а а - угол между плоскостями ABC и ABD.». [1, 58]

В данной ситуации школьному учителю необходимо не пропустить эту задачу. И не просто решить её, а разобрать решение и обратить на неё

внимание учащихся как на опорную задачу, часто используемую при решении других задач.

Как показывает опыт работы со школьниками, напоминание фактов доказанных ими однажды, дает положительный эффект. Учащийся не складирует полученные знания, а активно их использует при решении задач.

Библиографический список

1. Геометрия 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни / [Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, СБ. Кадомцев и др.]. 18-е изд. М.: Просвещение, 2009. 255 с.

2. Демоверсия, спецификация, кодификатор ЕГЭ 2018 года по математике. http://www.fipi.ru/ege-i-gve-l 1/demoveRsii-sPeciFikacii-kodiFikatoRy

ОЛИМПИАДА ПО ПЕДАГОГИКЕ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ ДЛЯ АБИТУРИЕНТОВ КАК СРЕДСТВО АДАПТАЦИИ БУДУЩЕГО УЧИТЕЛЯ К ПРОФЕССИОНАЛЬНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ

Е.И. Скафа*, И.А. Дерий8**

ГОУ ВПО Донецкий национальный университет, г. Донецк;

* доктор педагогических наук, профессор, проректор по научно-методической и учебной работе, заведующий кафедрой высшей математики и методики преподавания математики;

** аспирант

Аннотация. Исследуя адаптацию будущего учителя к профессиональной деятельности, выделяется компонент дополнительной довузовской подготовки. В этом направлении предлагаются олимпиады по педагогике математики и информатики, цель которых - выявление абитуриентов, способных к обучению на направлении подготовки 44.03.05 Педагогическое образование (профиль: математика и информатика), и формирование у них мотивации к будущей педагогической деятельности учителя.

Ключевые слова: довузовская подготовка будущего учителя, олимпиада по педагогике математики и информатики для абитуриентов, адаптация будущего учителя к профессиональной деятельности.

Вступление выпускников общеобразовательной школы в высшие учебные заведения сопровождается переходом молодых людей в новое социальное окружение, которое порождает проблемы и трудности

8 Научный руководитель: доктор педагогических наук, профессор, заведующий кафедрой высшей математики и методики преподавания математики Е.И. Скафа

адаптационного характера [3]. Основываясь на полиаспектности феномена адаптации, присущей всем живым организмам, исследователи выделяют ее разновидности, в частности адаптацию физиологическую, экологическую, психологическую, социальную, дидактическую, профессиональную и др. [10]. В контексте нашего исследования одной из важнейших разновидностей адаптации студентов к обучению в высшей профессиональной школе является профессиональная адаптация. Изучая основные этапы процесса адаптации студентов к обучению в высшем учебном заведении, нужно отметить, что именно адаптация к будущей профессиональной деятельности влияет на качество подготовки будущего профессионала.

Для будущего учителя-предметника, в том числе и учителя математики и информатики, профессиональной деятельностью является педагогическая, овладение которой означает овладение студентами знаниями по общим (фундаментальным) и специальным (профессиональным) дисциплинам, практическими и эвристическими умениями, развитие личностных профессиональных качеств, раскрытие творческого потенциала личности, овладение методикой работы с новыми образовательными технологиями и др. [8]. Значительно влияют на эффективность адаптации к профессиональной деятельности учителя математики и информатики индивидуальные особенности студентов-первокурсников, а именно: сознательный выбор профессии; соответствующее отношение к обучению в высшей педагогической школе; наличие познавательных и учебных мотивов; сформированность навыков и способов учебной работы; умение самостоятельно работать; уровень развития умственных способностей и т.д. [7]. Чтобы будущему учителю математики и информатики пройти процесс такой адаптации безболезненно, необходимо, на наш взгляд, особо обращать внимание на первые два направления (сознательный выбор профессии; наличие познавательных и учебных мотивов) еще на стадии дополнительной довузовской подготовки абитуриентов.

Образовательные организации высшего профессионального образования, как в Российской Федерации, так и в Донецкой Народной Республике, проводят большую профориентационную работу со школьниками, в том числе и олимпиады различного уровня. Примерами таких нетрадиционных олимпиад большое количество. Среди них: Елецким государственным университетом проводится региональная межпредметная дистанционная олимпиада «На перекрестках наук» [6], олимпиады по математике для школьников «Золотой сундучок» и «Карта сокровищ» предлагаются для школьников ДНР Донецким национальным университетом и др. Однако, следует отметить, что олимпиады, которые были бы направлены на осознанный выбор абитуриентами их будущей профессиональной деятель-

ности в области преподавания математики и информатики, должны занимать особое место в профориентационной работе с абитуриентами, желающими поступать на направление Педагогическое образование (Профиль: математика и информатика).

Говоря о педагогических олимпиадах в основном в образовательных организациях высшего профессионального образования речь идет об олимпиадах, проводимых со студентами. Цели таких олимпиад разнообразны например, они выступают средством подготовки будущих специалистов к профессиональной деятельности [4], средством развития творческого потенциала личности [5], средством формирования профессионально-педагогической компетентности будущих бакалавров [9], средством формирования культуры учебной деятельности студента [1], являются экспериментальной площадкой по развитию педагогического мышления студентов [2] и др. В основном педагогические олимпиады проводятся кафедрами педагогики.

Нами же предлагается олимпиада, которая подготавливается выпускающей кафедрой для направления 44.03.05 Педагогическое образование (Профиль: математика и информатика). Как правило, это кафедры математики и методики преподавания математики совместно с кафедрами информационных технологий.

Приведем пример олимпиады, проводимой Донецким национальным университетом в 2017-2018 учебном году.

Цель педагогической олимпиады по математике и информатике: выявление абитуриентов, способных к обучению на направлении подготовки 44.03.05 Педагогическое образование (профиль: математика и информатика), а также формирование у них мотивации к будущей педагогической деятельности учителя.

Основные задачи олимпиады: сформировать представление о готовности абитуриента к поступлению на педагогическое направление (профиль: математика и информатика).

Для этого в олимпиаде проверяются:

■ математические умения, необходимые для продолжения математического образования в высшей школе;

■ сформированные ранее элементарные умения по информатике;

■ наличие педагогической интуиции;

■ способности к решению методических заданий;

■ умения применять информационно-коммуникационные технологии в образовательной деятельности.

Педагогическая олимпиада разработана для учащихся 10-11 классов образовательных организаций среднего общего образования и студентов среднего профессионального образования.

Олимпиада проходит в два этапа:

S заочный тур;

S очный тур.

В заочном туре представлены задания 5 блоков (математические задания; задания по информатике; педагогические ситуации, методические задачи; использование ИКТ).

В очном туре предлагается одно задание по математике, которое необходимо решить, разработать методику обучения решению задания для школьников определенной возрастной группы и создать компьютерное обеспечение обучения решению данной задачи.

Приведем пример заочного тура олимпиады, проводимой в школах ДНР, подготовленной кафедрой высшей математики и методики преподавания математики Донецкого национального университета.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ

Задание 1. Решите уравнение:

Задание 2. Постройте график функции

и определите, при

каких значениях к прямая у=кх не будет иметь с графиком ни одной общей точки.

Задание 3. Докажите, что

Задание 4. В равнобедренной трапеции основания 21см, 9см и высота 8см. Найдите радиус описанной окружности около трапеции.

Задание 5. В десятизначной записи числа 73 цифры и все они единицы. Делится ли нацело это число на 18.

ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ СИТУАЦИИ

Педагогическая ситуация ML Девочка Маша, ученица 7 «В» класса, постоянно отвлекалась на занятиях со своей подругой. Учительница это заметила, и, прервав отвечающего ученика, попросила Машу немедленно продолжить ответ. Девочка совсем не растерялась, очень обстоятельно изложила материал урока, притом, в дополнение, используя в ответе сведения из дополнительной литературы. Но учительница только ещё сильнее раздражилась и поставила «3», объясняя это тем, что Маша разговаривала на уроке. Оцените, пожалуйста, действия учительницы.

Педагогическая ситуация № 2. Ученик 7 класса систематически не выполнял домашние задания, даже не пытался притронуться к тетрадям. Учитель регулярно, каждый день ставил ему двойки в дневник и в журнал. Однажды учитель сказал: «Саша, у тебя сплошные двойки и сегодня, появится ещё одна, и так будет до тех пор, пока не выполнишь домашнее задание». На что ученик ответил: «Ну и ставьте!». Каковы должны быть действия учителя на ответ ученика?

Педагогическая ситуация № 3. Учитель проводит урок, на котором присутствует не только его группа, но и класс заболевшего учителя. Ребята ведут себя отвратительно: говорят в полный голос, перекидываются записками, самолетиками и т. д., хамят учителю (но осторожно, не впрямую). Особенно выделяется один мальчик.

Учитель, стараясь не обращать внимания, ведет урок, время от времени грозя всей галерке двойками, директором и родителями. Когда он просит самого шумного ученика пересказать текст, тот отказывается. Но, когда учитель грозит поставить ему двойку, ученик сразу меняет своё решение и даже изъявляет желание выполнить это задание. Однако учитель не даёт такой возможности. Начинается спор, продолжаемый еще несколько минут. В результате учитель ставит двойку, а ученик уходит из класса, хлопая дверью. Учитель, ничего не сказав, продолжает урок. Согласны ли Вы с действиями учителя?

МЕТОДИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

Задание 1. К следующим задачам постройте контрпримеры.

1). Оцените правильность утверждения: против равных углов лежат равные стороны.

2). Даны две фигуры, у которых основания и высоты равны. Равны ли их площади?

Задание 2. Сформулируйте теорему «Вертикальные углы равны» в условной форме (если то ...), постройте к ней обратное утверждение и установите его истинность.

Задание 3. Для понятия «квадрат» сформулируйте несколько эквивалентных определений.

ЗАДАНИЯ ПО ИНФОРМАТИКЕ

1. Какому состоянию электронной схемы соответствует О?

а) «ожидание»; в) «загрузка»;

б) «включено»; г) «выключено».

2. Как называется способ кодирования данных в виде Oui?

а) цифровое кодирование; в) символьное кодирование;

б) лазерное кодирование; г) графическое кодирование.

3. В непозиционных системах счисления количественное значение цифры зависит от ее позиции в числе.

а) да; б) нет.

4. Запишите римские числа в десятичной системе счисления. a) CCCLIX; б) ZDXCV.

5. Запишите десятичные числа в римской системе счисления. а) 299; б) 1453.

6. Выполните сложение двоичных чисел 111 и 101.

7. Выполните умножение двоичных чисел 10011 и 1001

8. Переведите из десятичной системы счисления в двоичную систему число 653.

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ИКТ

Задание 1. Создайте компьютерную презентацию по истории возникновения чисел в файле Демонстрация (формат .ppsx), используя стандартные средства редактора презентаций (переход, дизайн, анимация и др). Смена слайдов должна происходить автоматически.

Задание 2. Создайте информационный плакат, показывающий связь математики с одной из гуманитарных наук. (Сохранить результат работы в файлах формат .docx и PDF)

В заочном туре олимпиады в феврале, марте 2018 года приняло участие 64 школьника ДНР, после проверки работ, среди них выбраны лучшие для участия в очном туре олимпиады, которая пройдет 22 апреля.

Все участники олимпиады пришли на День открытых дверей кафедры и выявили желание поступать в бакалавриат направления Педагогическое образование (Профиль: математика и информатика).

Таким образом, проведение подобных олимпиад является удачным средством отбора абитуриентов на педагогические направления подготовки.

Библиографический список

1. Алеева Ю.В. Педагогическая олимпиада как средство формирования культуры учебной деятельности студента // Профессиональное образование в России и за рубежом, 2013. №4 (12). URL:https://cyberleninka.ru/article/n/pedagogicheskaya-olim kak-sredstvo-formirovaniya-kultury-uchebnoy-deyatelnosti-student. (дата обращения 19.02.2018).

2. Боровских А.В. Педагогическая командная олимпиада в МГУ // Педагогика, 2016. № 1. С.74-81.

3. Дерий И.А. Адаптация студентов-первокурсников как одна из составляющих успешного обучения в ВУЗе // Эвристика и дидактика математики: VI Международная научно-методическая дистанционная конференция-конкурс молодых ученых, аспирантов и студентов. Донецк: Изд-во ДонНУ, 2017 С. 15-17.

4. Гревцева Г.Я. Педагогическая олимпиада как средство подготовки будущих специалистов к профессиональной деятельности // Научно-методический электронный журнал «Концепт», 2015. Т. 13. С. 4666-4670. URL: http://e-koncept.ru/2015/85934.htm. (дата обращения 22.01.2018)

5. Гревцева Г.Я., Циулина М.В. Педагогическая олимпиада как средство развития творческого потенциала личности // Вестник ЧГПУ, 2015. №6. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/pedagogicheskaya-olimpiada-kak-sredstvo-razvitiya-tvorcheskogo-potentsiala-lichnosti. - (дата обращения 19.02.2018).

6. Рыманова Т.Е. Региональная межпредметная дистанционная олимпиада «На перекрестках наук» // Вестник Елецкого государственного университета им. И.А. Бунина. Вып. 37: Серия «Педагогика (История и теория математического образования)». Елец: ЕГУ им. И.А. Бунина, 2016. С.232-237.

7. Скафа Е.И. Основные этапы процесса адаптации студентов к обучению в высшем учебном заведении // Сборник научно-методических работ ДонНТУ. Вып. 9. Донецк: ДонНТУ, 2015. С. 197-208.

8. Скафа Е.И. Место профессионально ориентированной эвристической деятельности в системе формирования профессиональной компетентности будущего учителя математики // Вестник Елецкого государственного университета им. И.А. Бунина. Вып.

9. 37: Серия «Педагогика (История и теория математического образования)». Елец: ЕГУ им. И.А. Бунина, 2016. С.83-92.

10. Таранова Т.М. Педагогическая олимпиада как средство формирования профессионально-педагогической компетентности будущих бакалавров // Открытая электронная библиотека научно-образовательных ресурсов для сельской местности Оренбуржья. Университетский комплекс как региональный центр образования, науки и культуры, 2014. URL: http://elib.osu.ru/handle/123456789/149. (дата обращения 19.02.2018).

11. Чайка В.Г. Особенности социально-психологической адаптации студентов к обучению в вузе // Инновации в образовании, 2002. № 2. С. 35-41.

ГЕОМЕТРИЯ ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКА В ЗАДАЧАХ ЕГЭ И МАТЕРИАЛАХ ШКОЛЬНЫХ ЭЛЕКТИВНЫХ КУРСОВ

Е.А. Татанкулова1

Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина, г. Елец; обучающийся бакалавриата института математики, естествознания и техники

Аннотация. В статье изложены основные результаты выпускной квалификационной работы. Материал, относящийся к геометрии четырёхугольника, не содержащийся в школьных учебниках, всё чаще появляется в задачах ЕГЭ. В связи с этим встаёт вопрос о его наличии в обучении школьников.

Ключевые слова: четырехугольник, замечательные точки и линии в четырёхугольнике, элективные курсы, изучение геометрии.

Компонент общего образования и общей культуры современного человека - его математическое образование - является одним их наиболее важных. Следствием этого служит наличие ЕГЭ профильного уровня по математике в перечне требований к абитуриенту, планирующему обучение по целому ряду направлений подготовки, казалось бы, далёких от математики как таковой - психология, биоитехнология и др.

Математика уже достаточно длительное время является неотъемлемым элементом системы общего образования. Объясняется это уникальностью роли и многообразием функций учебного предмета «Математика»: при обучении математике реализуются мировоззренческая, воспитательная, культурная и эстетическая функции. У математики огромный потенциал в обучении и развитии, а также в развитии общего образования вообще.

1 Научный руководитель: кандидат педагогических наук, доцент кафедры математики и методики её преподавания Г.Г. Ельчанинова

Содержание школьного курса математики меняется в связи с развитием науки и должно немного отставать от уровня развития научной мысли, давая возможность новым научным идеям и концепциям принять приемлемые в психологическом и методическом отношении формы. Содержание разделов школьной математики исторически более или менее сложилось. Но споры об очерёдности изучения того или иного материала сообразно психологическим особенностям возраста не затихают.

Более-менее устоявшимся является перечень вопросов, изучаемых в рамках школьного курса геометрии. Здесь, по крайней мере, ничего не исключается из рассмотрения и, по большому счёту, не добавляется. Необходимые для решения задачи геометрические факты актуализируются по мере необходимости. Но и здесь психологи ведут споры об установлении оптимальных возрастных рамок для изучения геометрических объектов и их свойств.

Геометрические объекты, как никакие другие, изучаемые в школе, относятся к топологическим. Хотя доля задач на вычисление в школьной геометрии велика, а топология, как качественная геометрия, может быть применена к объектам любой природы, даже если понятие расстояния между этими объектами не установлено. Но «топологическая структура изучаемых в школе объектов задаётся с помощью метрики, на первый план выступает расстояние между точками пространства, причём некоторые фундаментальные понятия топологии - открытость, замкнутость, связность, граница и т. д. - не получают явного определения в школьном курсе математики, другие, например, непрерывность функции - имеют определение (интуитивное), основанное на метрической структуре» [1, с. 59]. Преимущество метрических свойств определяется тем, что в геометрии изучаются в основном перемещения и преобразования подобия - их определение связано с метрической структурой геометрического пространства.

Роль топологических понятий в школьном курсе математики велика: различие между линиями, поверхностями, телами имеет топологический характер. Топологическим является понятие границы фигуры. Суть различия между открытой и замкнутой фигурой также относится к топологии.

Как заметил Ж. Пиаже, порядок формирования топологических и геометрических понятий и операций «в самостоятельном развитии ребёнка абсолютно не соответствует историческому порядку этапов геометрии и больше приближается к преемственности основных групп, с которыми связаны основные виды пространств»[3, с. 24], к логике научного изложения. При первых попытках рисования ребёнок не различает метрических свойств фигур, «но прекрасно различает фигуры открытые и замкнутые, положение "вне" и «внутри» по отношению к границе»[3, с. 24]. В даль-

нейшем от фундаментальных топологических структур ребёнок развивается в направлении их конкретизации к проективным и метрическим структурам (в настоящее время помимо трёх основных типов математических структур - алгебраических, порядковых и топологических - различают ещё проективные и метрические структуры).

В.А. Тестов [3] выделяет пять основных уровней формирования структур, соответствующих уровням мышления человека: уровень конкретных множеств - 6-7,8-9 лет, уровень конкретных структур - 8-9,11-12 лет, уровень синтеза структур - 11-12,15 лет, уровень содержательных структур - 15-16,18-19 лет, уровень абстрактных структур - 19-20 лет.

Обратим внимание читателя на 2 и 3 уровни - конкретные геометрические объекты изучаются "вовремя" и согласованно. Это изучение нужно всего лишь оптимизировать и дополнить фактами, которые необходимы для практического применения.

В основе алгебраических, порядковых и топологических и других математических структур лежит понятие множества, обладающего какими-либо признаками. Один из дидактических принципов, которые должны учитываться в обучении - многоуровневость формирования основных математических структур. В свою очередь поэтапность процесса формирования структур является необходимым условием реализации таких основных дидактических принципов, как доступность, систематичность и последовательность. Наиболее благополучно проходит формирование тех структур, в изучении которых выделяются все пять ступеней, соответствующих пяти различным уровням мышления. Задача преподавания математики - распределить материал по соответствующим ступеням обучения и соблюсти промежуточные уровни в изучении всех основных математических структур.

Несмотря на то, что изучение элементарных геометрических объектов происходит последовательно и соответствует уровню развития обучающегося, проблематичным является процесс опознавания, соответственно, поиска факта теории, выходящего за рамки школьного учебника геометрии, но, тем не менее, посильного для школьников, и, более того, встречающегося при решении задач ЕГЭ и ГИА.

Выход из создавшегося положения мы видим в наполнении материала элективных курсов соответствующими теоретическими фактами, подходящими практическими задачами и советами по распознаванию необходимой теории для решения задачи.

Мы выбрали для детального изучения объект, с которым школьнику постоянно приходится встречаться при решении задач (как планиметрических так и стереометрических) - четырёхугольник. В ряде задач он разбивается на треугольники, но большой удельный вес занимают задачи, в которых признаки и свойства определённого вида четырёхугольника "ведут" процесс поиска решения задачи.

Следовательно, систематизация теоретического материала, разработка и исследование методики изучения системы фактов, связанных с геометрией четырёхугольника, более чем актуальна.

Теоретическая основа - сведения из школьного курса геометрии, систематизированные и обобщённые, относящиеся к геометрии четырёхугольника и, в частности, его подвида - дельтоида или ромбоида.

Четырёхугольник относится к простейшим геометрическим фигурам. Над созданием совокупности фактов, называемых в настоящее время геометрией четырёхугольника, работали как учёные древней Греции, Средней Азии, так и учёные средних веков.

Но его роль определяется разнообразием практических применений. Изучение многих геометрических плоских и пространственных фигур осуществляется через поиск вида и, затем, свойств треугольников и четырёхугольников, на которые можно "разложить" эту фигуру, а также раскрытие зависимостей между элементами этих фигур. Как в теории, так и на практике четырёхугольник служит существенным элементом геометрических фигур. Поэтому он подробно изучается в геометрии.

Итак, дельтоид. Этот вид четырёхугольника появляется, например, в задачах, в которых фигурируют две пересекающиеся окружности и их общая хорда.

Приведём краткий перечень сведений, связанных с дельтоидом, который является основой нашей выпускной квалификационной работы и предложенного элективного курса для старшеклассников. Заметим, что при систематизации теоретических сведений мы опирались на имеющиеся работы [2].

Ромбоид (дельтоид) [греч. po|ißosi8f|c - ромбовидный] - четырёхугольник, который имеет две пары равных соседних сторон. Иначе: ромбоидом называется четырехугольник, у которого две стороны, прилежащие к одной вершине, попарно равны.

Замечание. Дельтоид может быть выпуклым или невыпуклым. Выпуклый дельтоид имеет форму, похожую на воздушного змея.

Главная диагональ ромбоида -линия, соединяющая вершины его не равных углов. Неглавная диагональ ромбоида - его вторая диагональ. Средняя линия ромбоида - отрезок, соединяющий середины его смежных сторон.

Рис. 2. Рис.3.

Свойства ромбоида:

1) Углы ромбоида, лежащие между сторонами неравной длины равны. Иначе: углы, лежащие по разные стороны от главной диагонали равны.

2) Неглавная диагональ делит ромбоид на два равнобедренных треугольника.

3) Неглавная диагональ делит ромбоид на два равнобедренных треугольника (Рис. 2.).

4) Главная диагональ является биссектрисой углов ромбоида (Рис. 3.).

5) Неглавная диагональ ромбоида точкой пересечения с главной диагональю, делится пополам.

6) Диагонали дельтоида (или их продолжения) пересекаются под прямым углом. Иначе: прямые, содержащие диагонали любого дельтоида пересекаются под прямым углом (Рис. 4 а; Рис. 46.).

7) Средние линии ромбоида образуют прямоугольник, периметр которого равен сумме его диагоналей.

8) В любой выпуклый ромбоид можно вписать окружность (Рис. 5.).

9) Для невыпуклого ромбоида можно построить окружность, касающуюся двух больших сторон и продолжений двух меньших сторон (Рис. 6.).

10) Для невыпуклого ромбоида можно построить окружность, касающуюся двух меньших сторон и продолжений двух больших сторон (Рис. 7.).

11) Если выпуклый ромбоид не является ромбом, то существует окружность, касающаяся продолжений всех четырёх его сторон (Рис. 8.)

12) Если угол между неравными сторонами ромбоида прямой, то вокруг него можно описать окружность (вписанный дельтоид). Радиус окружности, описанной около ромбоида:

(Рис. 9.)

Рис. 4 а. Рис. 4 б.

рис. 5.

Рис. 6.

Рис. 7.

Рис. 8.

13) Если пары противоположных сторон ромбоида равны, то он является ромбом.

14) Если пара противоположных сторон и обе диагонали ромбоида равны, то дельтоид является квадратом.

15) Площадь ромбоида равна произведению длин его неравных сторон на синус угла между ними: S = ab-s'mç? (Рис. 10).

16) Площадь ромбоида может быть найдена по формуле:

(Рис. 11.).

17) Площадь ромбоида может быть найдена по формуле:

(Рис. 12.).

18) Площадь ромбоида может быть найдена по формуле:

(Рис. 13).

19) Площадь ромбоида может быть найдена по формулам (Рис. 14.):

Все годы использования в нашей стране такой формы итоговых испытаний, как ЕГЭ, в вариантах работ присутствуют задачи по геометрии. Их содержание, сложность, насыщенность фактами геометрии четырёхугольника, отсутствующими в школьном обучении, варьируется из года в год. Но необходимость основательной подготовки для успешного прохождения итоговых испытаний очевидна.

рис. 9.

Рис. 10. Рис. 11. Рис. 12.

Рис. 13.

Рис. 14.

Можно не выходить за рамки школьной программы и попытаться выполнить соответствующее задание второй части варианта ЕГЭ (2016 г. -№ 16). Но можно, систематизировав факты геометрии четырёхугольника, выполнить указанное задание рационально и эффективно.

Библиографический список

1. Ельчанинова Г.Г. Задачи элементарной математики как средство развития профессионально значимых поисковых умений у будущих учителей математики: дне. ... канд. пед. наук. СПб: РГПУ им. А. И. Герцена, 209. 238 с.

2. Мельников Р.А., Ельчанинова Г.Г. Совершенствование математической подготовки будущих учителей математики при изучении элементарной геометрии // Сборник трудов III Международной научной конференции «Геометрия и геометрическое образование в современной средней и высшей школе» (к 75-летию Е.В. Потоскуева). Ответственный редактор: Р.А. Утеева. 2014. С. 254-257.

3. Пиаже Ж. и др. Преподавание математики: пособие для учителей / Пиаже Ж., Бет. Э., Дьедонне Ж., Лихнерович А., Шоке Г., Гаттеньо К.; пер. с фр. А.И. Фетисова. М.: Учпедгиз, 1960.

4. Тестов В. А. Стратегия обучения математике / В.А. Тестов; Рос. акад. естеств. наук. Секция социокульт. и цивилизац. пробл. и др. М.: Технол. шк. бизнеса, 1999. 303 с.

О РАЗВИТИИ МОТИВАЦИИ УЧЕНИЯ У ШКОЛЬНИКОВ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ В СТАРШИХ КЛАССАХ

Р.В. Туленинов1

Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина, г. Елец; магистрант института математики, естествознания и техники

Аннотация. В данной статье рассматривается проблема развития мотивации учения у школьников; рассмотрены цели и задачи учебной деятельности, выделены основные тезисы.

Ключевые слова: мотивация, учебная деятельность, обучение математике, элективные курсы, стимуляция к учебной деятельности.

В зарубежной и в отечественной психологии проводились исследования всевозможных сторон проблем мотивации учебной деятельности.

По результатам исследования выяснилось, что зачастую фактор мотивации имеет более важную роль, нежели фактор интеллекта. Так же отмечено, что большое количество факторов внешнего и внутреннего характера влияет на мотивационную сферу личности и определяет ее изменяемость и динамичность.

1 Научный руководитель: кандидат педагогических наук, доцент кафедры математики и методики её преподавания Т.М. Сафронова

Мотивация является ведущим фактором в регуляции деятельности человека, её поведения и активности, поэтому мотивация представляет особый интерес для педагогов и психологов. Никакое эффективное социально-педагогическое взаимодействие с учащимся, на деле, невозможно, если не учитывать особенности его мотивации. Учебная мотивация, как частный вид мотивации, играет особо важную роль в ходе обучения.

Существует два вида мотивации - внутренняя и внешняя. Внутренняя мотивация - это система внутреннего контроля и самодеятельности, поиска, усилий и трудностей, которые сопровождаются заинтересованностью и энтузиазмом. Но отсутствие напряжения приводит к безразличию и скуке.

У человека имеется потребности в активности и информации, и, главным образом, внутренняя мотивация связанна с этими врожденными потребностями, и именно эти потребности теснейшим образом влияют на стимуляцию обучения, вот почему считается, что при образовании учебной мотивации должна доминировать внутренняя мотивация.

Исследователи понимают под внешней мотивацией внешнюю побудительную силу к деятельности, к поведению человека. При этом, если овладение содержанием учебного предмета для учащегося будет являться средством достижения личной цели по отношению к учебе, то имеет место внешне мотивированная учебная деятельность.

Мотивация учебной деятельности имеет разнородный характер и зависит от множества факторов: индивидуальных качествах личности, ближайшей референтной группы и уровня развития ученического состава.

Потребность в познание; определенные цели; интересы; идеалы; стремления, установки в мотивации, которые направляют и придают активность, входят в структуру и определяют особенности содержания и смысла - все это является побудителем к учебной деятельности.

Данная система мотивов образует учебную мотивацию, которая, в свою очередь, определяется динамичностью и устойчивостью.

Ведущие внутренние мотивы определяют стойкость и иерархию ее основных подструктур. Социальные мотивы определяют постоянную динамику вступающих в отношения друг с другом побуждений.

Учебная мотивация дает возможность для формирующийся личности выявить направления и различные возможности реализации возможных форм учебной деятельности, вовлечь эмоционально-волевую сферу. Которая играет роль важной многофакторной детерминации и обуславливает особенности учебного положения в каждый временной интервал.

Мотивация к обучению формируется определенными факторами, такими как характер образовательной системы; организацией педагогического процесса; индивидуальными особенностями обучающийся личности;

особенностями личности учителя и его отношением к ученику и педагогической деятельности; особенностями учебного предмета.

Мотивация учебной деятельности учащихся на уроках математики.

По результатам диагностики проведенной среди средних и старших классов выяснилось, что у учеников 5-6 классов уровень мотивации к обучению математики гораздо выше, чем у учеников 7-9 классов. Этим можно объяснить снижение показателей в этих классах. Результаты диагностики 9 и 10 классов показали 72%, по результатам диагностики проведенной в 11 классе оказалось, что у 92 % учеников имеется мотив самореализации и осознание важности учебы. Так же выяснилось, что некоторые из учеников не любят математику, но изучают её только из желания и необходимости сдать ЕГЭ.

В начале изучения математики прослеживается значительный интерес к предмету среди учеников, но со временем уровень интереса значительно снижается.

Зачастую можно услышать от учеников, что уровень понимания предмета напрямую зависит от уровня интереса. Можно сделать вывод, что на уроках школьникам должно быть интересно. А слово «интерес» (по И. Герберту) можно рассматривать, как синоним учебной мотивации. Возникает вопрос: как сформировать у ребенка интерес к изучению математики?

Мотивация учебной деятельности - это то, что присуще всем урокам. В ходе урока математики необходимо создать условия позволяющие сохранить и усилить исходную мотивацию, с последующим возникновением новых мотивов. Требуется действовать на осознание и понимание способов действия, их оценку, сравнение и получение удовольствия от процесса изучения математики. Проводить анализ в конце урока. Достиг ли задач, поставленных в начале урока, выявить причины удачи лил неудачи, постановка дальнейших задач для последующего изучения предмета. Главное -осознание приобретенного положительного опыта в конце каждого урока.

В результате получается мотивация, которая представляет собой законченный цикл, и проходит через определенные этапы: начиная с мотивации начала работы, переходящей в мотивацию выполнения задачи и заканчивая мотивацией завершения работы.

Ради эффективного обучения требуется, чтобы у ученика появилась внутренняя жажда в знаниях, в тех умениях и навыках, которые предлагает учитель, и желание действовать после того как эти знания будут получены. Так как уровень мотивации высок, образуется цель, и процесс обучения превращается в активный, независимый и самостоятельный, целенаправленный процесс.

Стимулирование и мотивация - это две взаимно дополняющих друг друга вещи. Их связь имеет очень важную роль в стимулировании мотивации и сохраняет интерес к урокам.

Методы мотивации и стимулирования - это методы, которые необходимы для того, чтобы сформировать и закрепить положительное отношение к учебе, а также для стимуляции активной познавательной деятельности учеников.

Методы постановки учебно-познавательной деятельности при обучении математике, которые способствуют стимуляции учебной мотивации учащихся.

- Разнообразие форм уроков (урок-лекция, урок в виде игры, урок в виде путешествия, урок, подносящийся как сказка)

- Разнообразие форм внеклассной деятельности (математические кружки, факультативы, КВН, конференции и др.)

В результате от учеников мы получим осознанность в усвоение преподаваемого материала, способностей и навыков; развитие в сфере интеллектуальной деятельности и навыков; формирование характера, а также таких нравственных черт, как интеллектуальная честность, настойчивость и трудолюбие.

Использование ТРИЗ-педагогики на уроках математики оказывает стимулирующие и мотивационное влияние на учеников. Такие приемы как «настройка» учеников на определенный тип урока. Интеллектуальная разминка - хороший прием: пара не сложных вопросов для размышления. Объясняя новый материал можно использовать прием «Удивляй» и игру «Ищи ошибку», при которой ученики должны самостоятельно отыскать ошибку, специально допущенную учителем при объяснении материала. При этом если домашнее задание задано в необычной форме, появляется желание его выполнить.

Использование информационных технологий, таких как презентация, положительно влияет на мотивацию учебной деятельности учеников. Это в гораздо большей степени увеличивает уровень концентрации учеников при изучении новой темы, это позволяет раскрыть творческий потенциал учеников и их интеллектуальную деятельность.

Использование обучающих и контролирующих тестов в электронном формате помогает усвоению и пониманию формул, определений и т.д. Так как тест показывает ошибки совершенные учениками сразу после выполнения работы. При многократном повторении подобных тестов появляются хорошие результаты. Систематическое тестирование стимулирует повышение уровня активности учеников на уроках.

Главное условие в обучение математике - умение решить поставленные задачи. Исследователи выделяют следующие «основные факторы, влияющие на мотивацию учащихся средством задач:

- содержание задач (новизна, отражение связи с практикой, отражение исторического аспекта, занимательность, нестандартность вопроса); -организация деятельности по решению задачи (осознание цели решения

задачи, знание основных отношений и их свойств, заложенных в задаче, математическое моделирование задачи, поиск решения задачи);

- отношения между участниками, включенными в деятельность по решению задачи (включенность ученика в коллективные формы работы, отношения сотрудничества учителя и учащегося, помощь учителя в виде советов, наталкивающих самого ученика на правильное решение, привлечение учителем учеников к оценочной деятельности и формирование у них адекватной самооценки)»

Новизна содержания - очень важное условие в вопросе учебной мотивации, так с ее помощью:

- можно предоставлять ученикам новые математические сведения;

- в задаче могут быть использованы сведения о жизни страны, городе, школе класса, информация о жизни животного и растительного мира, разнообразные факты отражающие связь между разными предметами. Важно не просто предлагать ученикам новые знания, а создать условия и ситуации, чтобы в работе ученика появлялся аспект исследования, заинтересованности в решении проблемы, а также самостоятельность в решение проблем и возможность сделать «открытие».

Не стоит забывать и о практическом применении полученных знаний - важно чтобы ученик видел возможности применений математических навыков в повседневной жизни, в быту, например при займе денег, кредите или при изучении других предметов.

Кроме всего, исторический аспект может оказать положительное влияние на учебную мотивацию. Например, можно использовать задачи с «исторической» фабулой, отражающие факты из жизни разнообразных исторических личностей; задачи, содержащие факты из истории стран.

Также необходимо иметь в виду занимательность урока. Придумывать задачи с занимательным сюжетом, что положительным образом повлияет на сообразительность и смекалку, вызовет интерес к уроку.

Чтобы приучить учеников искать разнообразные заключения из данных посылок, что является важнейшим критерием при решении задачи, необходимо правильно формулировать вопросы, как например « что еще выходит из данного решения, что еще можно найти и доказать?»

Важно создать условия для постоянного поддержания учебной мотивации среди учеников, чтобы стимулировать у учащихся жажду деятельности. Очень важно, чтобы ученики понимали важность того, что они изучают на уроках математики, осознавали полезность изученного ими нового материала и возможность применять усвоенное на практике, а также те преимущества, которые предоставляет усвоенный материал.

Поиск альтернативных решений также является действующим методом стимуляции учебной деятельности. Предоставить ученикам выбор в достижении выбранной цели и в решении поставленной задачи, это позво-

ляет учащимся самостоятельно выбрать пути и подходы, например, при доказательстве гипотез теорем и решении задач.

Выполнений творческих заданий - еще один метод повышения учебной мотивации. При участии учителя, ученики комбинируют приобретенный ранее математический опыт и знания. Это помогает убедить учеников, что они не только изучают предоставляемые и на уроках знания, но и сами создаю что-то новое, что-то, что имеет учебную значимость.

Стоит отметить, что для возникновения правильного отношения к учебе, зависит от эмоций, что возникаю в ходе обучения, от достижений цели и результатов. Важно чтобы ученики испытывали удовольствие от проделанной работы, от преодоления трудностей и от полученных новых знаний. Все это имеет характер «подкрепления» учебной мотивации и положительно сказывается на её устойчивости.

В качестве примера можно привести Романа Михайлова - выдающаяся личность в области математики. Своим необычным подходом к подаче материала, вызывает интерес у учащихся. На своих лекциях он демонстрирует то, как можно заинтересовать и матировать учеников изучать математику.

Концепция модернизации системы образования в РФ предполагает возможность вступления школьников в процесс профильного обучения на этапе старших классов в общеобразовательных учебных заведениях. Профильное образование в наше время стало столь же обязательным и необходимым элементом учебного процесса, как единый государственный экзамен или основной государственный экзамен в школах.

В задачи элективных курсов для учащихся старших классов входят: углубление, дополнение, развитие содержания профильного и базового курсов, выбранного учащимися учебного профиля, развитие различных сторон мышления. Функции элективных курсов - получение новой информации для познавательных интересов учащихся, воспитание мировоззренческих и личностных качеств. Повышая уровень мотивации учебной деятельности на уроках математики - увеличивается и уровень заинтересованности учеников, что повлечет за собой подъем в количестве учащихся выбравших профильным предметом математику. В будущем это положительно скажется на количестве экспертов и научных деятелей в этой сфере.

Таким образом, можно сделать вывод, что мотивация учебной деятельности - это процесс, который подразумевает в себе, главным образом, взаимодействие ученика и учителя. Это и есть главная задача педагога, в решении которой могут быть использованы самые разные подходы и возможности их совмещения для более полного результата. Помимо прочего

мотивация и стимулирование познавательной деятельности на уроках математики положительным образом влияет на учеников при изучении других предметов.

Библиографический список

1. Бабанский Ю. К. Проблемы повышения эффективности педагогических исследований: дидактический аспект. М.: Педагогика, 2012.

2. Ильин Е. П. Мотивация и мотивы / Е. П. Ильин. СПб: Питер, 2000. 512 с.

3. Новиков А. М. Методология учебной деятельности. М.: Эгвес, 2005.

4. Сафронова Т.М. Технология проектирования математического развития учащихся: учебное пособие к спецурсу. Елец: ЕГУ им. И.А.Бунина, 2006. 102 с.

5. Хуторской А.В. Методика личностно-ориентированного обучения. Как обучать всех по-разному?: пособие для учителя. М.: ВЛАДОС-ПРЕСС, 2005. 383 с.

ПРОБЛЕМЫ СОВРЕМЕННОЙ СИСТЕМЫ ОЦЕНИВАНИЯ ЗНАНИЙ

Н.В. Черноусова

Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина, г. Елец; кандидат педагогических наук, доцент кафедры математики и методики ее преподавания

Аннотация: в статье проанализированы проблемы современной российской системы образования, а именно методические особенности единого государственного экзамена по математике базового уровня.

Ключевые слова: оценка знаний, тестирование, ЕГЭ, математика, базовый уровень, сложность, проблемность, тестовые задания, текстовые задачи.

Проблемы оценивания знаний учащихся не новы, и на сегодняшний день не только Российская система образования сталкивается с ними, но и остальные страны с развитой системой образования. Остановимся на оценке знаний школьников.

В начале XXI века общий процесс модернизации российского образования закономерно поставил вопрос о необходимости совершенствования существующей системы оценивания. В 1997 году в России стали появляться первые прообразы ЕГЭ - единого государственного экзамена [2]. В 2000 году в распоряжении Правительства РФ был обозначен новый план развития образования: «Поэтапный переход к нормативному подушевому финансированию высшего профессионального образования предусматривает отработку технологии проведения Единого государственного выпускного экзамена и его последующее законодательное закрепление». Сегодня можно уже описывать исторические этапы введения ЕГЭ в школьную

практику, анализировать ошибки, характеризовать нововведения [2]. Одним из нововведений 2015 года стало разделение ЕГЭ по математике на базовый и профильный уровни. В Рособрнадзоре поясняли, что, сдавая предмет на базовом уровне, выпускники должны будут доказать владение «математикой для жизни» [2]. Оценка базового экзамена выставляется по пятибалльной шкале, в стобалльную систему эта величина не переводится [4]. КИМ ЕГЭ базового уровня по математике содержит 20 заданий базового уровня сложности с кратким ответом, проверяющих освоение базовых умений и навыков применения математических знаний на практике. Содержание и структура работы дают возможность полно проверить комплекс умений и навыков по предмету: использование приобретённых знаний и умений в практической деятельности и повседневной жизни; выполнение вычислений и преобразований; решение уравнений и неравенств; выполнение действий с функциями; выполнение действий с геометрическими фигурами; построение и исследование математической модели [5].

Как указано в методических рекомендациях для учителей [5], в задании 20 базового уровня проверяются требования (умения) строить и исследовать простейшие математические модели. В 2017 году средний процент выполнения составил 29,8 %.

Нас заинтересовали задания 20 из сборника заданий известных авторов [3].

Например, рассмотрим следующую задачу.

Маша и Медведь съели 160 печений и банку варенья, начав и закончив одновременно. Сначала Маша ела варенье, а Медведь - печенье, но в какой-то момент они поменялись. Медведь и то, и другое ест в три раза быстрее Маши. Сколько печений съел Медведь, если варенье они съели поровну?

Решение не трудно найти на необъятных просторах интернета. Вот одно из них: Медведь съел свою половину банки варенья в 3 раза быстрее, чем Маша, значит, у него еще осталось в 3 раза больше времени на кушанье печенья. Т.к. Медведь ест печенье в 3 раза быстрее, чем Маша и еще у него осталось в 3 раза больше времени (он съел в 3 раза быстрее свою половину банки варенья), то он съедает в 3-3=9 раз больше печений, чем Маша (9 печений съедает Медведь, в то время как Маша только 1 печенье). Получается, что в отношении 9:1 едят Медведь и Маша печенье. Всего получается 10 долей, значит, 1 доля равна 160:10=16. В итоге, Медведь съел 16-9=144 печений.

Ответ: 144.

Прочитав это решение и разобравшись со всеми, на наш взгляд, эвристическими выводами, хочется отнести задачу не к базовому уровню, а к рубрике «А Вам слабо?».

Текстовые задачи всегда занимали свое «особое» место в методике обучения математики. Умение решать задачи обоснованно считают равносильным умениям выполнять поиск решения задачи (Крупич В.И.). Приведенное решение доступно не каждому школьнику, оно эвристично, на наш взгляд. А значит, по всем законам методики преподавания математики -проблематично.

Рассматривая задачу как предмет изучения, выделяя ее сложность и проблемность, составляя тематические системы задач, мы придерживаемся табличной записи условия решения. Как показали исследования - этот способ поиска решения наиболее приемлем в школьной практике в силу своей максимальной алгоритмизации.

Итак. Данная задача попадает под тему «задачи на работу», т.е. задачи, решаемые по формуле: N • t = А. Проанализировав все задачные ситуации, связи (явные и неявные), попытаемся внести данные задачи в таблицу. Не будем усложнять статью этапами составления таблицы: таблица -модель принятия задачи, таблица - модель поиска решения задачи. Приведем последний вид таблицы, который «содержит» в себе искомое уравнение:

Итак, приходим к уравнению: lOty =160, ty = 16 - это количество печенья, съеденное Машей, а затем и сам ответ - 144 печенья съел медведь...

Геометрическая интерпретация задачных ситуаций и связей имеет вид:

Таким образом, сложность задачи: 5=4+1 + 3 = 8. Достаточно сложно и проблематично. А значит - трудно!

Не каждый выпускник, сдающий профильный экзамен, смог бы с ней справиться. А уж включение в базовый уровень, на наш взгляд, недопустимо.

Ежегодные подведения итогов ЕГЭ по математике с разных ракурсов рассматривают ошибки школьников, приводят рекомендации учителям. Не настала ли пора разработчикам КИМов задуматься о методических пробелах в составлении заданий. «С введением нового ФГОС, реализацией Концепции развития математического образования, принятием федеральных примерных образовательных программ по математике принцип прохожде-

ния программы приобретает новый смысл - обучающийся должен участвовать в посильной интеллектуальной математической деятельности, дающей осязаемые плоды обучения» [3].

Библиографический список

1. ЕГЭ по математике разделят на базовый и профильный уровень [Электронный ресурс] / Электрон, дан. Режим доступа: https://ria.ru/society/20140829/1021898764.html/, свободный. - Загл. с экрана.

2. История ЕГЭ [Электронный ресурс] / Президентская библиотека. - Электрон, дан. СПб, [2017] - Режим доступа: http://edu.glavsprav.ru/spb/ege/history/, свободный. -Загл. с экрана.

3. Математика. Базовый уровень. Типовые тестовые задания. 14 вариантов заданий. Под ред. Ященко И.В. / М.: 2018. 80 с. (вариант №3)

4. Подготовка к ЕГЭ по математике: особенности базового и профильного уровней экзаменов [Электронный ресурс] / Электрон. дан. Режим доступа: https://www.kp.ru/guide/podgotovka-k-egie-po-matematike.html , свободный. - Загл. с экрана.

5. Ященко И.В., Семенов А.В., Высоцкий И.Р. Методические рекомендации для учителей, подготовленные на основе анализа типичных ошибок участников ЕГЭ 2017 года, http://fipi.ru/sites/default/files/document/1441039556/matematika.pdf

РАЗВИТИЕ МОТИВАЦИОННОЙ СФЕРЫ ШКОЛЬНИКОВ В ПРОЦЕССЕ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ

Д.В. Шаповалова1

Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина, г. Елец; обучающийся бакалавриата института математики, естествознания и техники

Аннотация. В статье рассматриваются теоретические аспекты развития мотивационной сферы личности в школьные годы. Выясняется её структура, роль мотивов на этот процесс. Анализ компонентов мотивационной сферы позволяет констатировать, что математика имеет большие диалектические возможности.

Ключевые слова: развитие личности, мотивационная сфера, мотив, познавательный интерес.

Сегодня в сфере образования нашей страны происходит радикальные изменения. Это связано, прежде всего, с внедрением в учебно-воспитательный процесс школы стандартов второго поколения.

1 Научный руководитель: кандидат педагогических наук, доцент кафедры математики и методики её преподавания Т.Е. Рыманова

Изменились приоритеты в целеполагании: на первое место вышли цели личностного развития.

Одним из аспектов общей теории развития личности является проблема развития мотивационной сферы у человека. Изучению этих вопросов посвящены работы Б.Г. Ананьева, Л.С. Выготского, В.В. Давыдова, А.Н. Леонтьева, А.К. Марковой, Н.Г. Морозовой, С.Л. Рубинштейна, Н.Ф. Талызиной, Г.И. Щукиной. По мнению выдающегося отечественного психолога А.Н. Леонтьева ее можно считать стержневой в процессе становления личности.

Анализ психолого-педагогической литературы, наблюдения и беседы с участниками образовательного процесса позволил выяснить противоречие между состоянием мотивационной сферы современной молодежи и недостаточной разработанностью вопросов ее развития в школьный период жизни человека, как с дидактической, так и методической точки зрения. В связи с этим рассматриваемая проблема становится особенно актуальной.

Анализ различных точек зрения по данному вопросу [1,2] позволил определить мотивационную сферу личности как совокупность потребностей, влечений, установок, желаний, интересов, склонностей, идеалов и мировоззрения.

Особое место в мотивационной сфере человека занимают мотивы. Отечественные психологи и педагоги указывают, что для успешного обучения необходимо развитие учебных мотивов, особое место среди которых занимает познавательный интерес [6].

Психологическая наука считает основоположниками учения о мотивах в нашей стране А.Н. Леонтьева и С.Л. Рубинштейна. В разработанной ими теории деятельности мотив рассматривается как «опредмеченная потребность». С другой стороны эту психологическую категорию можно определить как комплекс специфических переживаний, характеризующихся либо положительными эмоциями от ожидания достижения данного предмета, либо отрицательными. Но в любом случае для создания мотива нужна внутренняя работа. Анализ различных точек зрения [3, 4, 5] позволил определить его как побудитель к действию.

Зарубежные ученые отождествляют мотивационную сферу личности с совокупностью различных мотивов. Отечественная психолого-педагогическая наука рассматривает исследуемую категорию как очень сложную структуру, включающую много разных компонентов, которые в определенном смысле являются побудителями поведения человека. Их характеристика представлена в таблице 1.

Таблица 1. Структура мотивационной сферы

Вид побудителя

Характеристика

Проявления

Потребности

Стимулируют поведение

Вызывают мотивацию

Влечение

Первичное эмоциональное проявление потребности человека в чем-либо, побуждение

Этап формирования мотива поведения

Установка

Неосознанное личностью состояние готовности к определенному поведению или деятельности

Складывается в результате неоднократного повторения ситуаций, в которых человек реагировал определенным образом

Желание

Форма мотивационного состояния, основанного на осознанной по содержанию потребности

Обостряет цели будущего действия и построение его плана

Интерес

Форма проявления познавательной потребности, выражающая избирательное отношение личности

Обеспечивают направленность личности на осознание целей деятельности

Склонность

Избирательная направленность субъекта на определенную деятельность

Являются предпосылкой развития соответствующих способностей

Идеал

Своеобразный пример, эталон действия

Важная цель личных стремлений человека

Мировоззрение

Система взглядов человека на мир и его закономерности

Служит регулятором поведения человека

Отметим, что представленная таблица позволяет сделать вывод, что в решении проблемы развития мотивационной сферы личности в школьные годы огромная роль принадлежит математике, так как этот учебный предмет обладает большим диалектическим потенциалом [7].

Библиографический список

1. Давыдов В. В. Формирование учебной деятельности школьников. М.: Педагогика, 1982.123 с.

2. Добрынин Н.Ф. и др. Возрастная психология: курс лекций . под ред. Н.Ф. Добрынина. М: Просвещение, 1965. 295 с.

3. Леонтьев А.Н. Деятельность. Сознание. Личность. М: Просвещение, 2011. 404 с.

4. Маркова А.К. и др. Формирование мотивации учения: кн. для учителя. М.: Просвещение, 2013. 192 с.

5. Рубинштейн СЛ. Основы общей психологии: В 2-х т. Т.1. М.: Педагогика, 2011. 488 с.

6. Рыманова Т.Е. Технологический подход к проектированию учебного процесса по математике, обеспечивающего формирование познавательного интереса у школьников, дис. ... канд. пед. наук. М.,1999. 214 с.

7. Рыманова Т.Е. Познавательный интерес к математике как педагогическая проблема // вестник Елецкого государственного университета им. И.А. Бунина. Вып. 38: Серия «Педагогика» (История и теория математического образования). Елец: ЕГУ им. И.А. Бунина, 2017. С.116-120.

О НЕКОТОРЫХ АСПЕКТАХ ПЕДАГОГИЧЕСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ Б.Г. ЛЕСЮКА

В.Е. Щербатых

Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина, г. Елец, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики и методики ее преподавания

Аннотация. В статье в форме ретроспективы рассмотрены отдельные моменты жизни и деятельности выдающегося педагога Б.Г. Лесюка - основателя детско-юношеского туризма в г. Ельце.

Ключевые слова: туризм, водный поход, Лесюк Б.Г., "ЕКС", Плющань.

В центральной части России на живописных берегах реки Быстрой Сосны раскинулся небольшой провинциальный город Елец. Этот старинный город хоть и старше Москвы, но не так знаменит, однако имеет богатую биографию, неповторимый архитектурный облик и много прославленных жителей. Об одном из них - Лесюке Борисе Григорьевиче - удивительном и талантливом педагоге хочу рассказать.

Если идти по улице Коммунаров от главной достопримечательности Ельца - Вознесенского собора, архитектором которого был сам К.А.Тон,

то у входа в Детский парк можно увидеть на красивом старинном здании мемориальную доску с надписью: «В этом здании с 1947 по 1985 год работал выдающийся педагог, положивший начало массовому детско-юношескому туризму в г. Ельце и Липецкой области, Борис Григорьевич Лесюк». И здесь же висит информационная доска с указанием, что в этом здании находится Детский (юношеский) центр «Детский парк им. Б.Г. Лесюка», руководит которым Владимир Михайлович Леонов - ученик знаменитого педагога.

Борис Григорьевич родился 15 мая 1915г. в г. Ельце в многодетной семье потомственных интеллигентов (шестеро детей, отец - учитель начальных классов, мать - домохозяйка), вероятно, поэтому проблемы с выбором будущей профессии не было. Вначале - учеба в ФЗС (фабрично-заводская семилетка, где давалось общее образование с политехнической подготовкой), потом - курсы Елецкого рабфака (так назывались факультеты с трехлетним сроком обучения, где происходила подготовка трудящейся молодежи к поступлению в ВУЗ), потом - десятимесячные курсы по подготовке учителей НСШ (неполная средняя школа: 1-7 классы), после чего - назначение в 1938г. директором НСШ.

После начала Великой Отечественной войны, 17 сентября 1941 г. Государственный Комитет Обороны принял Постановление «О всеобщем обязательном обучении военному делу граждан СССР». Военному обучению подлежали граждане мужского пола в возрасте от 18 до 50 лет без отрыва от производства. Каждый обучающийся должен был освоить одну из воинских специальностей, хорошо знать винтовку, владеть ручной гранатой, уметь бросать зажигательные бутылки, вести рукопашный и штыковой бой, пользоваться средствами противохимической защиты, маскироваться.

Очевидно, Борис Григорьевич неплохо владел перечисленными навыками, поэтому с октября 1941г. он совмещал обязанности начальника военно-учебного пункта и директора школы в с. Казинка. Об этом периоде его жизни мало что известно, но, как следует из его скупых воспоминаний, в дальнейшем, исполняя обязанности комиссара истребительного батальона, во время одной из операций по разминированию, по чьей - то халатности произошел незапланированный взрыв, в результате чего Борис Григорьевич получил тяжёлую контузию. После лечения в госпитале - возвращение в 1943г. в Елец.

10 мая 1946 года Борис Григорьевич был награждён медалью «За доблестный труд в Великой Отечественной войне».

В 1944г. Борис Григорьевича назначают директором 12 мужской СШ. Еще идет война, не хватает самого необходимого: еды, одежды, учебников, дров, но есть талант прирожденного организатора детей на важные, похожие на подвиги дела и поступки. Вот как Борис Григорьевич сам об этом

периоде говорит: «А вот помню, за год до окончания войны назначили меня директором двенадцатой школы в Ельце. Стояла пробитая снарядами кирпичная коробка. Окон нет, крыша разбита, паровое отопление испорчено. Собрал ребят. - Чья школа, - спрашиваю. - Наша. - Учиться в ней кому? - Нам. И что же вы думаете - мальчишки и девчонки сами, собственными руками восстановили школу из развалин. Должно быть, поэтому было у нас куда веселее и интереснее, чем в других школах. Во дворе - цветники. В оклеенном газетами актовом зале по субботам устраивались вечера, на которых учились бальным танцам... В школе не было уборщиц - ребята сами ухаживали за своей школой» [2, с. 76].

Из воспоминаний известного в Ельце педагога, почетного мастера спорта и краеведа, Владимира Ивановича Пищулина: «Однажды надо было вносить плату за мое обучение в школе, а денег дома не было. И классный руководитель отстранил меня от занятий и отправил домой. Я с портфелем шел по улице, а навстречу мне - Борис Григорьевич. Он по моему виду понял: что - то случилось неладное, расспросил меня, возвратил в школу и в моем присутствии передал школьному секретарю 75 рублей - плату за мое обучение, а меня отвел в класс... Позже Борис Григорьевич деньги у мамы не взял, а посоветовал купить что - то из продуктов... » [3, с. 11].

Известный далеко за пределами Липецкой области, елецкий педагог и краевед Михаил Алексеевич Махортов, также бывший ученик Бориса Григорьевича, с восхищением вспоминает, как артистически вдохновенно читал учитель стихи, прекрасно рисовал, хорошо знал целебные свойства различных растений, как увлекательно рассказывал об истории родного края, о ратных подвигах предков, о Елецких преданиях старины, о подземных ходах и в старом городе - в районе Кошкиной горы, и в окрестных лесах. Особенно впечатляли такие рассказы ребят на лоне природы, на берегу овеянного легендами быстрого Ельчика (небольшой приток Сосны), где у ночного костра звучал в тишине выразительный голос любимого учителя. «...Бесконечно благодарны нашему наставнику мы, дети тяжелой военной поры. Про нас говорили: безотцовщина, шпана. А Лесюк неутомимо возился с нами. И вот парадокс: кругом голод, разруха, а мы жили полной, настоящей жизнью, несмотря ни на что. Я вспоминаю 1944 год. Борис Григорьевич - директор 12-ой мужской школы. По вечерам он собирал нас в шахматном кружке. А перед тем, как посвящать задиристых, колючих ребят в секреты древней игры, угощал их парным молоком. Специально покупал его у соседки. А знаете, как он вел уроки! Его влюбленность в родную словесность заражала, его чтение - не поверите, на древнеславянском языке "Слово о полку Игореве" было так красиво, что у самых, как говорится, трудных его учеников дыхание перехватывало. И рождалось чувство преклонения перед предками, ничего для Родины не жалевшими...» [3, с. 8].

В 1947 г. Бориса Григорьевича Лесюка переводят на работу директором Детского парка. В 1949 году на базе парка возник «ЕКС» (Елецкий клуб старшеклассников), и в том же году появилась туристская секция. С тех пор Детский парк стал центром воспитания детей и подростков. Сюда приходили и хорошие и "трудные" ребята. Ко всем Борис Григорьевич находил нужный подход: интересовался учебой, вникал в проблемы семейной жизни, давал должные наставления и занимался физкультурной работой. Ребята же, помимо туризма, приводили парк в порядок: разбивали цветочные клумбы, сажали деревья, своими руками вместе с рабочими елецких предприятий соорудили фонтан, отреставрировали и установили на аллеях парка скульптуры, которые бракованными валялись в зеленстрое, залили единственный в городе каток, после чего стали организовываться хоккейные команды. Дальше - больше: появились баскетбольные, волейбольные, городошная площадки, радиоузел, летний кинозал со сценой. Каждый день молодежь устраивала спортивные сражения. Никакого хулиганства не было, так как за порядком следили старшие ребята [3, с. 21].

К своим водным походам «парковцы» готовились сначала в Детском парке и на реке Сосне, где в их распоряжении находилась лодочная станция, затем на Плющани - лагере областного значения на берегу Дона. Это особое место: здесь много редких исчезающих растений, течет необычная речка Плющанка ,«...она бьет прямо из земли и через километр-полтора снова уходит в землю. Не многие могут похвастаться, что видели где-нибудь подобное...» [3, с. 34] ...Здесь сама русская история разговаривает с любознательным и пытливым наблюдателем... надо только прислушаться, и природа тебе расскажет о том, что шесть веков назад здесь, по Дону проходила граница Рязанского княжества и кончалась земля Русская... [2, с. 5]. Вот что рассказывал Борис Григорьевич: «Ходит смутное предание, что через Плющань удирали с Куликова поля татары. Вон там, за оврагом, в километре от Крутой горы, отрядом русских воинов была перехвачена группа врагов. Жаркая была схватка. Но так как татар было больше, чем русских, стали теснить наших воинов к обрыву. И вдруг произошло чудо: земля разверзлась, и татарские кони вместе со всадниками провалились под землю. Провал вокруг карстовой воронки до сих пор называется Поганым местом...» [3, с. 64]. Из воспоминаний В.И. Пищулина: «...Плющань была тем местом, где отдыхали, занимались спортом, готовились к очередному дальнему походу «туристы-парковцы». Из базового лагеря отряды ходили в тренировочные многодневные походы по рекам Дон и Красивая Меча, на раскопки древнего поселения у впадения Красивой Мечи в Дон, на велосипедах в Липецк, на Куликово поле, по лесничествам. Проводились пешие походы вдоль берегов Дона и

Красивой Мечи. Руководили этими походами уже опытные ученики Лесюка...» [3, С. 75].

Вот что говорит Александр Михайлович Иванов, доцент кафедры Безопасности жизнедеятельности и основ медицинских знаний ЕГУ им. И.А.Бунина: «...B лагере меня научили пилить и колоть дрова, разводить костры и готовить на них пищу, устанавливать палатки, организовывать и проводить турпоходы... жить и выживать в любых природных условиях» [3,С. 115].

В конце 50-х годов туристическая секция настолько окрепла, что помимо пеших, велосипедных и байдарочных походов по Липецкой области, появилась возможность проводить большие водные походы на шлюпках: Елец - Ростов (1800км.), Елец - Сталинград (1400 км.), Елец -Астрахань (2200 км.). Такие походы возглавлял, как правило, сам Борис Григорьевич - слишком большой была мера ответственности за жизни и здоровье воспитанников. Подготовка к таким походам была основательной!

Рассказывает учитель информатики елецкой школы «Альтернатива» Ю.Н. Миронов: «Все ребята были поделены на команды. В каждой команде был свой старшина - наиболее уважаемый и опытный "парковец", которого выбирали сами члены команды... На занятиях рассматривалась материальная часть шлюпки, ее устройство, такелаж, терминология, морские команды. Проходили практические занятия по туристической технике. Ни зимой, ни летом не переставала проводиться общефизическая подготовка членов ЕКС. Форма занятий по укреплению физических кондиций ребят была очень оригинальной. Она содержала в себе самые различные упражнения. Были здесь элементы акробатики, силовые упражнения, очень много прыжковых элементов. В большом наборе присутствовали упражнения из гимнастики йогов для развития выносливости и терпения. Много внимания уделялось развитию вестибулярного аппарата. Вторая часть каждого занятия отдавалась изучению приемов боевого самбо, - плох тот турист, который не умеет защищаться. Вся эта система была четко выстроена Борисом Григорьевичем, но из каких источников он формировал содержание этой системы, не известно. Он очень много времени посвящал изучению медицинской литературы. Осматривая наши тщедушные фигуры, Борис Григорьевич старался подобрать для нас необходимые упражнения, включающие отягощения для исправления природных недостатков; каждому ученику готовил индивидуальный комплекс утренней зарядки...Индивидуальный подход дорогого стоил и худо ли бедно, а заставлял делать зарядку. Тем более, что постоянно контролировал, проверял, спрашивал: «А как идут дела с зарядкой? Врать было негоже...» [3, с. 84].

Вот что руководитель «ЕКС» рассказал московскому журналисту Г.И. Горбунову о больших походах: «Вы думаете одна романтика влечет ребят? Нет. Вместе с романтикой влечет и стремление больше знать и скрытое желание попробовать: "А на что же я годен?". Тут не игра в моряка, а настоящий труд. Да и сам поход - это прежде всего труд. Ежедневно 8 часов, а т о и больше - на веслах. Через мосты и плотины лодки приходится тащить волоком. За день ребята умаются. Придет вечер, тут бы и отдохнуть. Но нет. Надо готовить ужин, мыть шлюпки. А вахты? Теплая ночь.Тихо. Мышцы болят. Ты только, кажется, задремал, а тебя тянут: "Иди-ка, милый, на вахту!". А нелюбимое слово "подъем"! А комары, от которых порой спасались только тем, что раскладывали вокруг ночлега сплошное огненное кольцо!..Нет, ни одна романтика тут виновата, а и желание померяться силами с трудностями, желание испытать свою волю...» [1, с. 47].

Вот как характеризует своего наставника Б.Г. Лесюка, доктор юридических наук, профессор, заслуженный юрист РФ, заведующий кафедрой коммерческого права юрфака МГУ им. М.В.Ломоносова Б.И. Пугинский: «Руководил клубом выдающийся человек - Борис Григорьевич Лесюк, которого все за глаза звали Б.Г. ...Помещение клуба всегда было открыто, и ребята туда приходили как домой... Занимались спортивной гимнастикой и борьбой самбо, играли в шахматы. Летом ходили в походы...Все это воспитывало характер, давало разносторонние житейские навыки, приучало к коллективу. При этом Б.Г. стремился прочертить для нас жизненную перспективу, рассказывал о старших, поступивших в институты, читал их письма...Он увел меня от уличных похождений, целиком наполнил жизнь новым содержанием...Он направил по правильному пути, помог состояться как личностям сотням, а возможно и тысячам мальчишек...» [4, с. 12].

Как известно, семьи, в обычном понимании этого слова, у Бориса Григорьевича не было, зато была многочисленная семья из учеников, которые каждый день наполняли звенящими голосами его дом. И он «свою, ну очень среднюю зарплату» [3, с. 89] практически всю тратил на ребят, для которых в его доме «...всегда было припасено что - нибудь вкусненькое, всегда можно было угоститься чаем и заморским кофе. У постоянных посетителей даже были свои именные кружки... Приходили с визитом и уже ослужившие "парковцы". Приносили свои радости и проблемы, хотели получить совет от человека, которого они уважали, почитали, которому безгранично доверяли... Бориса Григорьевича часто навещали и другие посетители, которые искали у него медицинской помощи, исчерпав все возможности официальной медицины...» [3, с.89].

Еще в 1960-1970-х годах «ЕКС» со своим руководителем, которого называли «Елецким Макаренко», стали известны на Всесоюзном уровне.

О нем писали книги, в Елец приезжали многочисленные корреспонденты, приходили письма из центральных газет и журналов с просьбой поделиться опытом своей работы, раскрыть секреты своего педагогического мастерства.

Прошло уже более 30-ти лет, как ушел из жизни талантливый педагог-романтик Лесюк Б.Г. Из его учеников более 168-ми стали педагогами, более 160-ти окончили Ленинградский корабельный институт, более 50-ти военно-морское училище. Все, кого свела судьба с этим человеком, вспоминают о своем учителе с теплотой и любовью. Не каждый педагог может похвастаться подобным наследием.

Одна из улиц г.Ельца носит название «улица Б.Г. Лесюка».

В наше время проходят международные конференции, посвященные педагогическому наследию Бориса Григорьевича, поиску истоков его недюжинной притягательной силы и обаяния, непревзойденного качества его работы. Ведь даже сегодня, в наши дни, позвонив по какому-либо вопросу уже поседевшему «парковцу», слышишь: «Помощь не нужна?». А главным секретом этого человека, вероятно, является то, что ему удалось сделать естественным и обычным укладом своей жизни дарить добро и жить для других!

Огромное спасибо Владимиру Михайловичу Леонову за любезно предоставленные архивные документы и материалы, раскрывающие страницы жизни Б.Г. Лесюка.

Библиографический список

1. Горбунов Г.И. Елецкие мореходы. М: Издательство ЦК ВЛКСМ «Молодая гвардия», 1958.

2. Ширяев В.А. Плющань - пристань мечтателей. Воронеж: Центральночерноземное книжное издательство, 1965.

3. Ширяев Ю.В. Секрет учительской души. Елец: Типография г. Ельца, 2009.

4. Еженедельник «"ЛГ" - "Талисман"», №13-14, 19.07.2008 г.

РАЗДЕЛ IV. СОВРЕМЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ МАТЕМАТИКИ

К ВОПРОСУ О НЕКОРРЕКТНОМ ПРИМЕНЕНИИ СТАТИСТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ В ПСИХОЛОГИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЯХ

О.В. Арзуманян1

Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина, г. Елец; обучающийся бакалавриата института педагогики и психологии

Аннотация: в статье актуализируется проблема современного состояния применения статистических методов в психологических исследованиях. Обосновывается необходимость корректного применения математических процедур в теории и практике психологических исследований. Выделены ключевые трудности и аспекты в решении проблемы корректного применения математических методов и адекватности алгоритмов обработки эмпирических данных решаемой исследовательской задаче.

Ключевые слова: математическая статистика, количественные методы, психологические исследования, профессиональная компетентность.

Спектр применения математических методов в современных психологических исследованиях очень широк и простирается от методов описательной статистики, проверки простейших статистических гипотез до выявления нелинейных взаимосвязей, прогнозирования и даже построения математических моделей сложных психологических явлений и объектов. В настоящее время применение статистических методов в психологических исследованиях это уже не дань моде, а обязательный элемент профессиональной деятельности психолога. Математические методы позволяют будущим практическим психологам более глубоко проникнуть в сущность и закономерность изучаемых явлений, более точно прогнозировать их развитие во всевозможных условиях, эффективность их управления и использования в практической деятельности. Однако одной из острых проблем современных экспериментальных исследований является некорректное применение статистических методов, как в области психологии и смежных с ней областях знаний (педагогика, социология и др.), так и в других гуманитарных науках [1].

1 Научный руководитель: доктор педагогических наук, профессор, заведующий кафедрой математики и методики её преподавания С.Н. Дворяткина

Использование математических методов при проведении системной диагностики психических качеств личности при разных уровнях проявления является объектом постоянных многочисленных обсуждений. Для того чтобы грамотно применять методы математической статистики для решения психологических проблем необходимо, во-первых, сформировать умение математически обосновывать выбор экспериментального плана исследования. Для этого необходимо выбрать нужный диагностический метод проведения исследования, который будет коррелировать с выбором математического инструментария. Во-вторых, необходимо также сформировать умение вывода математического результата, далее квалифицированно анализировать полученные количественные показатели и осуществлять их экспериментально-психологическую интерпретацию.

Итак, математическая обработка экспериментальных данных требует квалифицированного подхода к подбору статистических методов. Чрезмерное применение параметрических методов статистики в психологических исследованиях является одним из первых аспектов решения проблемы о некорректном применении статистических методов.

В частности, значительная часть методов обработки статистических данных, разрабатываются для высокого уровня измерений. Такие методы как, корреляционный и регрессионный анализ, кластерный и факторный анализ, ^-критерий Стьюдента, F-критерий Фишера, линейная корреляция Пирсона применяются, в основном, в технических областях знания, и могут быть даже избыточными для психологических исследований. Применение данных методов основываются на соблюдении достаточно жестких правил, которые для психологических исследований могут быть просто не пригодными, так как объектом психологических исследований является человек. В общем виде требования к возможности применения параметрических методов статистики можно представить следующим списком:

1. Распределение признака должно принадлежать к одному из параметрических семейств - «семейству нормальных, логарифмически-нормальных, гамма-распределений или иных, входящих в четырех параметрическое семейство К. Пирсона, введенное им в начале XX века» [3]. Как показали многочисленные исследования, почти все распределения реальных данных не принадлежат ни одному из перечисленных параметрических семейств. Поэтому, в случае отсутствия сведений о виде распределения признака, требуется применение дополнительных статистических критериев для установления вида распределения признака (например, % -критерий Пирсона), что значимо усложняет статистическую обработку экспериментальных данных.

2. Следующим условием, ограничивающим применение статистических критериев, основанных на указанном выше предположении нормальности, является объем выборки. До тех пор, пока выборка достаточно большая (например, 100 или больше наблюдений), можно считать, что вы-

борочное распределение нормально, даже если нет уверенности в том, что распределение переменной в генеральной совокупности является нормальным. Если же выборка мала, то параметрические критерии следует использовать только при наличии уверенности, что переменная действительно имеет нормальное распределение. Однако для таких переменных нет способа проверить это предположение на малой выборке (статистические критерии проверки на нормальность, например %2-критерий Пирсона, эффективно начинают работать на выборке содержащей не менее чем 50 наблюдение).

3. Измерение психологических показателей должно осуществляться только с применением интервальной шкалы или шкалы отношений.

С учетом выше изложенного, психологам, согласно современной парадигме прикладной статистики, вместо параметрических методов, характерных для устаревшей парадигмы прикладной статистики середины XX в., рекомендуется применять непараметрические методы.

Одним из основных умений практического психолога является умение находить зависимости между экспериментальными данными. Однако вопрос неточности и ошибочности применения корреляционного анализа, который считается одним из основных методов математической статистики и используется в психологических исследованиях для установления взаимосвязи между признаками, является одним из самых распространенным. Очень часто, при подготовке исследовательских работ, устанавливают «корреляцию» «всего во всем» без надлежащего содержательного разъяснения взаимосвязей, тем самым, используется некорректное его применение.

Коэффициент корреляции был разработан больше века назад и является одним из популярных методов среди психологов. Так по данным А.В. Воробьева, «корреляционный анализ используется в 24% отечественных и 21% зарубежных исследованиях» [2]. Корреляция возникает, когда изменение одной переменной сопровождается изменением другой. Корреляционная связь как «соотношение» ничего нам не говорит о наличии причинно-следственной зависимости. По этому поводу шутливо писал Дж. Наэм, что «если одно явление действительно вызывает другое, то между этими двумя явлениями существует корреляция, например, если при повороте выключателя загорается лампочка, значит, между выключателем и загоранием лампочки существует корреляция. Но если петух кукарекает и солнце восходит каждое утро, то это вовсе не значит, что солнце восходит потому, что петух кукарекнет, хотя между этими двумя явлениями существует статистическая корреляция» [4].

Специфика применения корреляционного анализа состоит в следующем:

1. Результат корреляции зависит, в первую очередь, от шкалы с помощью которой было измерено то или иное свойство (объект). Для при-

знаков, измеренных по количественным шкалам используется коэффициент корреляции г Пирсона, по качественным - коэффициент корреляции rs-Спирмена, г-Кендала, и т.д.

2. Применение коэффициента корреляции г-Пирсона основано на соблюдении следующих условий:

- сравниваемые переменные должны быть получены в интервальной шкале отношений;

- распределения переменных должны быть близки к нормальному;

- число варьирующих признаков в сравниваемых выборках должны быть одинаковыми.

3. Коэффициент корреляции только измеряет величину связи, но не устанавливает ее тип. Тип связи устанавливается исследователем исходя из результатов его теоретического анализа.

Исследователю необходимо знать математическую основу применяемого им метода, глубоко понимать суть математических основ, условий применения математических методов в психологии. Молодые исследователи часто допускают в своих работах следующую ошибку - несоответствие статистического метода анализа экспериментальных данных применяемым диагностическим средствам, основанным на конкретной шкале измерения. Другими словами, установление типов используемых шкал необходимо для адекватного выбора статистических методов анализа данных. В данном случае основополагающим требованием является независимость выводов от того, какой именно шкалой измерения воспользовался исследователь. В качестве примера рассмотрим порядковую шкалу измерений. Одни алгоритмы статистического анализа экспериментальных данных позволяют получать достоверные результаты и значимые выводы, другие — нет. Например, для проверки однородности двух независимых выборок методы ранговой статистики дают адекватные выводы, а такие статистики, как Г-критерий Крамера-Уэлча или ^-критерий Стьюдента не позволят получить значимые результаты. Следовательно, для обработки экспериментальных данных, измеренных в порядковой шкале, можно использовать непараметрический критерий Вилкоксона, а критерии Крамера-Уэлча и Стьюдента в данном случае будут не эффективны.

Таким образом, можно сделать вывод, что разрешение проблем некорректного применения статистических методов в психологии и других науках, состоит в преодолении практических трудностей. Исследователи должны быть более внимательны и компетентны при выборе статистических методов в своих работах, так как правильное применение статистических методов необходимо во всех психологических исследованиях массового характера. Применение математических методов открывает во всех областях науки более глубокое изучение сущности и закономерностей исследуемых явлений, более точного их развития и использования на практике.

Библиографический список

1. Дворяткина С.Н., Будякова Т.П. О пределах применения математических методов в криминалистических целях // Эксперт-криминалист, 2016. №4. С. 3-6.

2. Воробьев А.В. Обзор применения математических методов при проведении психологических исследований // Психологические исследования: электрон, науч. журн., 2010. № 2(10). URL: http://psystudy.ru

3. Орлов А.И. Теория измерений как часть методов анализа данных: размышления над переводом статьи П.Ф. Веллемана и Л. Уилкинсона // Социология: методология, методы, математическое моделирование, 2012. № 35. С. 155-174.

4. Nahem J. Psychology and Psychiatry Today. N.Y.: International Publishers, 1981. 264 p.

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛОРАНА И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ К ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКЕ СИГНАЛОВ

М.И. Коваленко1

Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина, г. Елец; магистрант института математики, естествознания и техники

Аннотация. Внутреннее богатство математики привело к разделению её на «чистую» и «прикладную». Под прикладной математикой принято понимать ту её часть, которая рассматривает применение математических методов и алгоритмов в других областях науки и техники. Одним из важнейших понятий прикладной математики является «преобразование Лорана». С его помощью можно решать разностные (рекуррентные) уравнения и задачи экономического характера, сводящиеся к дискретным моделям. Находит оно также применение при исследовании динамических систем с дискретным временем; в радиотехнике, особенно в обработке сигналов.

Ключевые слова: преобразование Лорана, z-преобразование, цифровая обработка сигналов.

Одной из особенностей современной прикладной математики является то, что некоторые понятия, зародившиеся в её недрах, получили определение, сформулированное на языке той науки, где они нашли применение. Именно это произошло с понятием «преобразование Лорана2».

1 Научный руководитель: кандидат педагогических наук, доцент кафедры математики и методики ее преподавания Р.А. Мельников

2 Названо в честь французского математика Пьера Альфонса Лорана (1813-1854), внесшего заметный вклад в ТФКП.

Если f(z) - функция целочисленного аргумента, тогда её преобразованием Лорана (z-преобразованием) называется функция F(z), определяемая равенством

Иначе: «z-преобразованием (преобразованием Лорана) называют свёртывание исходного сигнала, заданного последовательностью вещественных чисел во временной области, в аналитическую функцию комплексной частоты» [5].

Z-преобразование представляет собой один из самых распространенных способов анализа дискретных цифровых последовательностей. Для дискретных сигналов и систем оно играет ту же роль, что для аналоговых сигналов - преобразование Лапласа. Большое значение z-преобразование имеет для расчетов рекурсивных цифровых систем обработки сигналов (фильтров с бесконечной импульсной характеристикой, т.е. БИХ-фильтров).

«В математике дискретные сигналы относятся к классу так называемых решетчатых функций или временных рядов» [1, с. 8].

Z-преобразование является обобщением дискретного преобразования Ж.Б.Ж. Фурье. Впервые оно было введено в употребление П.С. Лапласом в 1779 г. и «заново открыто» В. Гуревичем3 в 1947 г. [2, с. 6].

Приведём одно из важнейших утверждений теории преобразования Лорана. «Z-преобразование свёртки двух последовательностей равно комплексной свертке Z-образов этих последовательностей, т.е. если

где v - переменная интегрирования, С - контур интегрирования, охватывающий все особые точки подынтегральной функции» [1, с. 9-10].

Цифровая обработка сигналов (ЦОС) представляет собой «способы обработки сигналов на основе численных методов с использованием цифровой вычислительной техники. ЦОС активно используется в современной радиотехнике и смежных с нею областях. Её методы применяются для разработки и исследования радиоэлектронных устройств и систем различного назначения, а её средства для их аппаратно-программной реализации» [3]. Для обработки сигналов могут использоваться цифровые или аналоговые фильтры.

3 Витольд Гуревич (1904-1956) — американский математик, выходец из Польши.

Проиллюстрировать различие между аналоговым и цифровым сигналом можно с помощью графика.

Аналоговый сигнал непрерывный во времени, в то время как цифровой сигнал состоит из дискретного набора координат, расположенных по горизонтальной оси через равные промежутки времени, в соответствии с частотой дискретизации. Если все сводить к координатам, то любой отрезок аналогового сигнала состоит из бесконечного количества координат.

«Аналоговыми источниками являются: винил и аудиокассеты. Цифровыми источниками являются: CD-Audio, DVD-Audio, SA-CD (DSD) и файлы в WAVE и DSD форматах (включая производные АРЕ, Flac, МрЗ, Ogg и т.п.)» [1]. К основным недостаткам при использовании аналогового типа сигнала можно отнести постепенное разрушение носителя при каждом считывании и появление дополнительных искажений при перезаписи. Кроме этого на качество сигнала влияют свойства носителя (магнитная лента, винил) на который производится запись. Всех этих недостатков лишены устройства, использующие цифровой тип сигнала, где при копировании и передачи звукового потока оригинальная запись ничем не отличается от копии. Поэтому в настоящее время практически везде, где может потребоваться обработка сигналов, в частности в спектральном анализе, обработке изображений, обработке видео, обработке речи и звука и многих других приложениях применяются цифровые фильтры.

«Более широким понятием цифровых сигналов являются дискретные сигналы. По сути, цифровые сигналы являются сигналами, которые в дискретные моменты времени могут принимать лишь конечный ряд дискретных значений - уровней квантования. Процесс преобразования дискретного сигнала в цифровой называется квантованием по уровню. Цифровые сигналы в данном случае описываются квантованными решетчатыми функциями. Одним из примеров дискретного фильтра может являться фильтр на переключаемых конденсаторах» Г51.

На основе приведённого ранее свойства z-преобразования произведения дискретных последовательностей получается весьма важное для практики равенство Парсеваля (или теорема Планшереля)4, имеющее тот же смысл, что и для аналоговых сигналов.

Итак, именно для расчета дискретных цифровых фильтров применяется z -преобразование. При его помощи легко рассчитываются частотные

4 В теории радиосигналов аналог этой теоремы называют обобщенной формулой Рэлея (в честь английского физика Дж. У. Стретт Рэлея (1842-1919)).

фильтры, фазовые корректоры или преобразователи Гильберта для реализации их в цифровом виде.

Библиографический список

1. Глинченко А.С. Цифровая обработка сигналов. Ч.1. Красноярск: КГТУ, 2001. 199 с.

2. Давыдов А.В. сигналы и линейные системы. Екатеринбург: Уральский государственный горный университет, 2005. 289 с.

3. Куприянов М.С., Матюшкин Б.Д. Цифровая обработка сигналов. 2-е изд. СПб: Политехника, 1999. 592 с.

4. Мироновский Л.А. Моделирование разностных уравнений: учебное пособие. СПб: СПбГУАП, 2004. 108 с.

5. Аналоговые, дискретные и цифровые сигналы [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://www.ets.ifmo.ru/denisov/dsp/lecl.htm. Дата обращения (15.03.2018)

ИССЛЕДОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИЙ С ПОМОЩЬЮ ТЕХНИКИ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

В.В. Кузнецов1

Елецкий государственный университет им. И. А. Бунина, г. Елец; магистрант института математики, естествознания и техники

Аннотация. В статье дан краткий исторический обзор и рассмотрены некоторые приложения качественных методов теории нелинейных колебаний. В качестве примера проведено качественное исследование модели ядерного гомогенного реактора, на основании которого построен фазовый портрет.

Ключевые слова: нелинейные дифференциальные уравнения, динамическая система, бифуркации, фазовые портреты, положение равновесия, диссипативная система.

Первые нелинейные задачи начали решать еще в начале XIX века: русский ученый М.В. Остроградский решает некоторые задачи о колебаниях, приводящие к нелинейным дифференциальным уравнениям, а в середине XIX века К. Вейерштрасс дает точное решение задачи о маятнике с помощью эллиптических функций. Однако общей нелинейной теории колебаний еще не было создано. Только во второй половине XIX века внимание ученых начали привлекать прикладные вопросы теории колебаний, составлявшие иногда даже целые области физики и техники (акустика и сейсмология с элементами сейсмометрии).

1 Научный руководитель: кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики и методики её преподавания И.А. Елецких

Следующий важный этап в теории колебаний - это появление в 70-х годах XIX века знаменитого трактата английского физика Дж. В. Стретта (лорд Рэлей) «Теория звука». Рэлей обнаружил аналогию между маятником и органной трубой, тем самым заложив основы «колебательной взаимопомощи», когда изучение явлений в одной области помогает разгадать их в другой. Такой подход широко пропагандировал академик Л.И. Мандельштам - учитель академика А.А. Андронова, основоположника горьковской школы теории нелинейных колебаний.

В конце XIX в. благодаря трудам А. Пуанкаре и А.М. Ляпунова была разработана качественная теория обыкновенных дифференциальных уравнений. Тем самым был создан математический фундамент, на котором можно было строить теорию нелинейных колебаний, основанную на анализе нелинейных дифференциальных уравнений. Здесь следует отметить работы А.Н. Крылова по вопросам прикладной теории колебаний, Б.Б. Голицина по сейсмометрии, словацкого ученого А. Стодолы по колебаниям элементов турбин и т.д. Эти задачи были принципиально неразрешимы при линейном подходе и требовали новых нелинейных методов, основу которых составили работы голландского ученого Ван-дер-Поля.

В настоящее время теория нелинейных колебаний имеет развитую, мощную математическую базу и характеризуется внедрением в самые разнообразные сферы науки и техники от таких, теперь уже традиционных для теории колебаний, областей, как механика и радиотехника, до ядерной энергетики, экологии, биофизики [1,2].

Целью исследования является изучение нелинейных колебаний с помощью техники динамических систем. Объектом исследования выбрана модель гомогенного реактора, активная зона которого представляет собой гомогенную размножающую среду (однородную смесь). В таком реакторе топливо и замедлитель находятся либо в растворе, либо в достаточно равномерной смеси, либо пространственно разделены, но так, что разница в потоках нейтронов любых энергий в них несущественна.

В качестве примера рассмотрим простейшую модель, описываемую уравнениями

(1)

где N - мощность реактора; Т - температура ядерного топлива; / - время жизни одного поколения нейтронов; m и с - масса и удельная теплоемкость топлива. Величина р, называемая реактивностью реактора, равна

где к - коэффициент размножения нейтронов. В стационарном режиме к = 1 и р = 0. Первое уравнение системы (1) - уравнение кинетики реактора в

простейшей ("точечной") идеализации; второе - уравнение теплового баланса топлива. Здесь рассматривается простейший случай, когда отводимая от реактора мощность постоянна и равна стационарному значению N0. Пусть реактивность линейно зависит от температуры топлива (это наиболее распространенный случай):

(2)

Величину -а принято называть коэффициентом реактивности по температуре топлива.

Проведем качественное исследование систем (1), (2), используя классификацию особых точек, приведенную в [3]. Перейдем к новым переменным

исключим р и представим исходные уравнения в виде

(3)

Непосредственно из (3) видно, что:

1) вертикаль х = — 1 есть фазовая траектория системы;

2) имеется единственное положение равновесия х — у =0;

3) фазовые траектории при х < — 1 не замкнутые (поскольку в области X < —1 отсутствуют положения равновесия).

Покажем, что система (3) консервативная и все ее траектории в области X > — 1 замкнуты. Перепишем уравнения (3) в виде

Перемножая эти уравнения и учитывая, что

получим первый интеграл

Замкнутые кривые v=const, сплошь заполняющие полуплоскость 1+ X > 0, являются фазовыми траекториями системы (3).

Направление движения изображающих точек по фазовым траекториям устанавливается без труда непосредственно по уравнениям (3). Фазовый портрет системы дан на рисунке.

Мощность TV реактора неотрицательна, поэтому 1 + х > 0, т.е. на фазовой плоскости X, у физическое содержание имеют только точки полуплоскости % > —1.

Библиографический список

1. Дорошин А.В. Математическое моделирование в нелинейной динамике: учебное пособие. Самара: Самарский государственный аэрокосмический университет, 2008. 100 с.

2. Кузнецов А.П. Нелинейные колебания: учебное пособие для вузов / А.П. Кузнецов, С.П. Кузнецов, Н.М. Рыскин. М.: Физматлит, 2002. 292 с.

3. Буркин И.М. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Методы интегрирования. Теория устойчивости. Теория колебаний: учебное пособие для вузов (Гриф УМО) / И.М. Буркин, Р.А. Мельников. Елец: ЕГУ им. И.А. Бунина, 2007. 269 с.

СОДЕРЖАНИЕ

Раздел I. ФИЛОСОФСКО-МИРОВОЗЗРЕНЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ МАТЕМАТИКИ

Саввина О.А. О методологических проблемах в исследованиях по математическому образованию....................................................... 3

Перминов В.Я., Фролкина О.Д. О деятельностном обосновании геометрической интуиции............................................................... 9

Раздел II. ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Асланов Р.М. Эпоха просвещения: Мария Гаэтана Аньези (16.05.1718-09.01.1799) (К 300-летию со дня рождения)................................... 14

Лещенко Л.В., Гостевич Т.В. История создания учебников математики для начальных классов в Республике Беларусь........................... 21

Мельников Р.А. Заметки к истории теории определителей: люди, факты, символика......................................................................... 28

Перцев В.В. О вкладе Василия Адриановича Евтушевского в дело распространения принципа наглядности при обучении математике........ 39

РАЗДЕЛ III. ТЕОРИЯ И МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ В ШКОЛЕ И ВУЗЕ

Артюхина М.С. Исторические предпосылки интерактивного обучения математике............................................................................ 43

Бессонова В.В. К вопросу о технологическом подходе к проектированию учебного процесса.............................................................. 47

Волченкова Е.С. К вопросу оценивания знаний школьников............. 51

Дворяткина СП. О возможности и необходимости формирования цифровых компетенций средствами математики в условиях цифровой

экономики............................................................................ 54

Дзундза А.И., Цапов В.А. Профессионально-педагогические ориентиры в структуре системы мировоззренческих ориентиров будущих специалистов.................................................................................................... 58

Елецких И.А. О методическом сопровождении дисциплины «Дифференциальные уравнения»........................................................... 69

Ельчанинова Г.Г. Из опыта проведения самостоятельных занятий под руководством преподавателя.................................................... 73

Клейменова А.Ю. Система оценивания в России: прошлое, настоящее...................................................................................... 75

Костин С.В. Об изучении понятий «полином» и «рациональная функция» в школе и в вузе............................................................... 79

Морозова И.Е. Реализация межпредметных связей географии и математики в современном школьном образовании................................ 91

Приймак Э.И. К вопросу о применении технологии «полного усвоения знаний» в работе учителя математики при реализации ФГОС ОО... 94

Пустовая Ю.В. Формирование эвристических умений учащихся на уроках алгебры и начал математического анализа......................... 101

Рыманова Т.Е. Познавательный интерес к математике как дидактическая категория......................................................................... 108

Сафронова Т.М. Квопросу о формировании методической компетентности будущего учителя математики......................................................... 112

Селезнева Е.Л. Теоретические основы математического моделирования: понятие модели, классификация, этапы, функции...................... 116

Серикова Д.М. Новые тенденции в отечественной методике преподавания математики в начале XX века............................................ 121

Симоновская Г.Л. К вопросу о решении геометрических задач школьниками при подготовке к итоговой аттестации............................. 124

Скафа Е.И., Дерий И.А. Олимпиада по педагогике математики и информатики для абитуриентов как средство адаптации будущего учителя к профессиональной деятельности......................................... 128

Татанкулова Е.А. Геометрия четырёхугольника в задачах ЕГЭ и материалах школьных элективных курсов........................................ 134

Туленинов Р.В. О развитии мотивации учения у школьников на уроках математики в старших классах.................................................... 140

Черноусова Н.В. Проблемы современной системы оценивания знаний.. 146

Шаповалова Д.В. Развитие мотивационной сферы школьников в процессе обучения математике........................................................ 149

Щербатых В.Е. О некоторых аспектах педагогической деятельности Б.Г. Лесюка............................................................................ 152

РАЗДЕЛ IV. СОВРЕМЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ МАТЕМАТИКИ

Арзуманян О.В. К вопросу о некорректном применении статистических методов в психологических исследованиях........................... 159

Коваленко М.И. Преобразование Лорана и его применение к цифровой обработке сигналов.................................................................. 163

Кузнецов В.В. Исследование нелинейных колебаний с помощью техники динамических систем..................................................... 166

Научное издание

ВЕСТНИК ЕЛЕЦКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

Выпуск 39

СЕРИЯ «ПЕДАГОГИКА»

(ИСТОРИЯ И ТЕОРИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ)

Технический редактор - О.А. Ядыкина Техническое исполнение -В. М. Гришин

Ответственность за содержание и достоверность сведений, предоставляемых для опубликования, несут авторы. Редакция не несёт ответственности за содержание предоставленного материала. Мнение авторов публикаций не обязательно отражает точку зрения редакции. Книга печатается в авторской редакции

Формат 60 X 84 /16. Гарнитура Times. Печать трафаретная. Печ.л. 10,7 Уч.-изд.л. 9,9 Тираж 500 экз. (1-й завод 1-55 экз.). Заказ 44

Отпечатано с готового оригинал-макета на участке оперативной полиграфии Елецкого государственного университета им. И. А. Бунина

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина» 399770, г. Елец, ул. Коммунаров, 28