ВЕСТНИК ЕЛЕЦКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

16

выпуск 37

Серия "Педагогика"

(ИСТОРИЯ И ТЕОРИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ)

Елец

2016

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЕЛЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. И.А. БУНИНА»

ВЕСТНИК ЕЛЕЦКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

Выпуск 37

СЕРИЯ «ПЕДАГОГИКА»

(ИСТОРИЯ И ТЕОРИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ)

Елец - 2016

УДК 37+51 ББК 74+22.1 В 38

Печатается по решению редакционно-издательского совета Елецкого государственного университета имени И.А. Бунина от 29.01.2016 г., протокол № 1

Редакционная коллегия серии «Педагогика» (История и теория математического образования):

Герасимова Евгения Николаевна - доктор педагогических наук, профессор, ректор Елецкого государственного университета им. И.А. Бунина;

Мельников Роман Анатольевич - кандидат педагогических наук, доцент кафедры математики и методики её преподавания Елецкого государственного университета им. И.А. Бунина (ответственный редактор);

Саввина Ольга Алексеевна - доктор педагогических наук, профессор, зав. кафедрой математики и методики её преподавания Елецкого государственного университета им. И.А. Бунина (ответственный редактор).

В 38 Вестник Елецкого государственного университета им. И.А. Бунина. - Вып. 37: Серия «Педагогика» (История и теория математического образования). -Елец: ЕГУ им. И.А. Бунина, 2016. - 255 с. ISBN 978-5-94809-829-6

Представленные в этом выпуске статьи отражают научные результаты, которые получены на кафедре математики и методики ее преподавания Елецкого государственного университета им. И.А. Бунина. Кроме преподавателей и студентов нашего вуза, авторами статей являются исследователи из Москвы, Санкт-Петербурга, Оренбурга, Орла, Донецка и Триполи (Ливан).

Работы распределены по трем разделам: История математики и математического образования. Теория и методика обучения математике в школе и вузе. Современные проблемы математики.

Издание предназначено для математиков, преподавателей, учителей, аспирантов и студентов, интересующихся проблемами истории и теории математического образования, а также вопросами математики.

УДК 37+51 ББК 74+22.1

ISBN 978-5-94809-829-6

© Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина, 2016

ПЕДАГОГИКА СОЗИДАНИЯ ПРОТИВ ГЛОБАЛИЗАЦИИ ОБРАЗОВАНИЯ

О.А. Саввина*, В.А. Телкова**, Е.И. Трофимова***

Елецкий государственный университет им. И. А. Бунина, г. Елец, *доктор педагогических наук, профессор, заведующий кафедрой математики и методики ее преподавания; ** кандидат филологических наук, доцент; *** доктор педагогических наук, заведующий кафедрой физики и методики ее преподавания

В октябре 2015 г. в «Новой газете» был опубликован манифест «гуманистической» педагогики (педагогики достоинства) [1]. Его авторы известны тем, что, будучи причастны к реформам образования последних 20 лет, они демонизируют советскую школу, представляя как школу «тотального контроля» [7].

Абсурдность и непрофессинализм авторов этой идеологии, ведущей к разрушению человека, страны, личности, была раскрыта в публикации А. Коваленина [4].

Истоки идей глобализации образования, которые проповедуют авторы «педагогики достоинства», нетрудно установить. В Москве 29 февраля - 3 марта 2016 года состоялся форум Агентства стратегических инициатив и Школы управления Сколково под названием «Маршруты и стратегии движения в новые модели образования». Форум проходил в рамках международной программы Глобальное образование будущего - Global Education Future (GEF). Как справедливо недоумевает автор одного из информационных порталов А. Кисличенко, «по неизвестным причинам российские СМИ никак не осветили столь значимое мероприятие - конференция прошла при полном отсутствии паблисити, или публичности, если по-русски» [3].

Инновационные тренды глобального образования будущего (GEF) несут поистине «революционные» изменения в системе образования:

- использование ноотропных медицинских препаратов для улучшения когнитивных способностей обучающихся;

- замена учебника и учителя алмазным букварем со встроенным искусственным интеллектом;

- замена обучения игровыми технологиями, а школ - виртуальной средой и пр.

Увы, на разных уровнях образования, начиная от официальных (Федеральных государственных образовательных стандартов) до научно-исследовательских (что показывает анализ тематики диссертационных исследований по педагогике последних лет), можно наблюдать проникнове-

ние этих вредоносных идей. Поэтому обращение к традициям сегодня становится архиважным [2]. Каким же нам представляется видение перспектив восстановления образования в России? На чем оно должно основываться? Как это ни удивительно звучит в настоящее время, фундаментальные принципы образования (научность, систематичность, доступность и т.д.) остались неизменными, т.к. они вытекают из постоянства фундаментальных законов природы. Утро сменяет ночь, а вечер день. Любое живое существо рождается и умирает, чтобы дать возможность продолжаться своему роду. В рамках физических теорий остаются неизменными физические законы, в том числе законы притяжения, благодаря которым человек имеет возможность дышать, жить, трудиться и творить на Земле. Стабильность проявляется как в законах материального, так и духовного мира. Есть вечные ценности и всеобщие законы, как бы кто ни хотел обратного. Уже 2 ООО лет человечество живет по законам духовного мира, лапидарно и емко запечатленным в десяти Божественных заповедях христианства, и похожие принципы лежат в основе всех мировых религий. Задача педагогов - помочь ученикам познать законы как материального, так и духовного мира, показать, что нарушение физических и нравственных законов приведет к гибели мира и смерти человечества.

Поэтому и современная педагогика должна основываться, в первую очередь, на научных принципах, выдержавших проверку временем, вечных ценностях и нравственных идеалах.

Единый стандарт - единый учебник

В силу специфики России (растянутая огромная территория, многонациональный состав, разительно отличающийся достаток семей) школа может существовать только как один из ключевых элементов единой образовательной системы, в которой должны действовать единые нормативные документы, единые образовательные минимумы, единые учебники и программы. Разрушение единства, вариативность и децентрализация образования в России порождают хаос и вопиющий бюрократизм. В настоящее время не министерство, а каждое образовательное учреждение разрабатывает свои собственные нормативные акты, программы обучения и методическое сопровождение (!?). Так, согласно «Закону об образовании», вуз на локальном уровне должен разработать более 120 нормативно-правовых документов. Если умножить это число на количество документов, которые должен подготовить преподаватель (и учитель) для обеспечения соответствующего учебно-методического сопровождения по каждому предмету, то становится понятным, что учителю (и преподавателю) заниматься своей непосредственной работой - учить детей (студентов) - просто нет времени. Чтобы представить себе порождаемый такой вариативностью хаос, достаточно умножить 120 на 40 ООО школ и 1000 вузов. Более 500 млн. доку-

ментов (!) сегодня регламентируют образовательный процесс в России, что трудно назвать нормальным. Тем более, что каждый год эти документы пересматриваются, обновляются и дополняются.

Не лучше обстоит дело и с учебными пособиями. Согласно нынешним требованиям, учебная литература должна быть не старше десяти лет (по гуманитарным наукам даже пяти), каждый преподаватель должен писать учебники, разрабатывать учебно-методические пособия, формировать информационную среду и т.п. В угоду этим ничем не обоснованным новшествам сводятся гектары леса, а учебники, написанные на скорую руку, не прошедшие качественное редактирование, содержат все больше недочетов, опечаток, да и просто предметных ошибок, а гуманитарные сведения излагаются зачастую с прямо противоположных точек зрения.

Вариативность образовательных программ, наличие большого количества учебно-методических комплексов приводят к тому, что из-за недостатка полученных в школе знаний дети вынуждены обращаться к репетиторам, что усугубляет расслоение общества и обостряет конфликты как внутри, так и вне его (недовольство общества государственной властью).

Декларируется разработка индивидуальных образовательных траекторий, приветствуется учет интересов ребенка и прочие изыски толерантности. Однако качественное образование не может быть подстроено под индивидуальные вкусы и потребности. Это повлечет глобальное снижение уровня образованности и культуры общества, а также противоречит государственным интересам России. Мало кто из детей захочет затрачивать свои усилия на изучение серьезных математических или физических теорий, законов органической химии и пр. Откуда же тогда появятся математики, физики, инженеры, врачи, специалисты в тех профессиях, которые требуют фундаментальных знаний? Неудача наших школьников на последней Международной математической олимпиаде в Таиланде - не случайность, а закономерность, вытекающая из падения уровня общей математической культуры. Идея об элитарном образовании лишь «для избранных», для тех, кто хочет учиться или обладает особыми способностями, порочна и ставит школьное образование в положение свиньи под дубом из басни Крылова - со всеми вытекающими последствиями.

Стоит напомнить хорошо проверенную в советское время истину: подготовить олимпийского чемпиона можно, лишь развивая массовый спорт. У нашей средней школы есть успешный опыт «массового спорта». Устные экзамены, стабильные учебник и программа - это те доказанные теорией и проверенные практикой сильные стороны отечественной школы, к которым сегодня необходимо вернуться.

Учеба - это труд, который не исключает принуждения

Задача школы - в развитии не только умственных качеств, но и воспитании таких черт личности человека, как воля и трудолюбие. Современный этап развития научно-технического прогресса создал комфортные условия для существования человека, которому уже не требуется самому добывать пищу, выращивать сельскохозяйственные продукты, шить одежду, готовить еду и пр. Отсюда у ребенка все меньше возможностей помогать взрослым дома по хозяйству, приобретать трудовые навыки. Рассматривая учение как труд, школа дает возможность компенсировать этот цивилизационный перекос. Умственный труд необходимо подкреплять трудом физическим. Уроки труда, дежурство в классе, поддержание порядка и чистоты в школе - все это поможет привить трудовые навыки, вырастить не тунеядца и прожигателя жизни, а человека, способного и умеющего трудиться.

Роль учителя

Учитель - это живой источник знаний. Даже поверхностное образование ребенок не может получить только исходя из собственного опыта. Абсурдно видеть роль ребенка в процессе обучения только в открытии давно известных фактов. Сколько потребуется времени, чтобы самому догадаться о существовании теоремы Пифагора или открытии того, что земля движется вокруг солнца? Ребенок не может повторить путь каждого ученого, каждого исследователя. На это потребуются тысячелетия. Только учитель способен передать ученику знания в системе.

Отсюда следует, что роль учителя в образовательном процессе не просто огромная. Эта роль основополагающая.

Компьютерные или телевизионные обучающие технологии ни сегодня, ни в будущем не способны заменить учителя, поскольку их основное назначение - всего лишь упростить и разнообразить учебный процесс, а также предоставить возможность получить образование людям с ограниченными возможностями. Устранение учителя из образовательного процесса путем превращения его в тьютора или модератора является преступной ошибкой, которая может дорого обойтись в будущем нашей школе.

Образование - это не только передача необходимой научной информации. Неотъемлемой и вместе с тем важной частью этого процесса является взаимодействие учителя и учеников - их взаимовлияние друг на друга, обмен эмоциями, мыслями, переживаниями. Именно учитель способен не только дать знания ученику, но и максимально мотивировать ребенка на стремление к получению этих знаний. Система знаний, которую формирует учитель, ее воспитательные возможности воспринимаются учащимися в преломлении индивидуальности учителя, как что-то личное, идущее от че-

ловека к человеку. Именно это имеет особый смысл и значимость. Поэтому недопустимо подменять дистанционными технологиями живое общение учителя с ребенком. Это имитирует образование. Необходима обратная связь учителя-ученика, в процессе которой учитель делает обучение живым, корректируя для каждого случая темп прохождения материала и логику объяснения, включая вопросы на повторение, уточняющие и проблемные вопросы.

Учитель - это наставник и воспитатель. Ребенок в силу недостатка знаний, опыта и незрелости ума не может сам себе ставить цели обучения, определять средства и методы. Это абсурд. Только с помощью взрослого наставника-профессионала и родителей может быть определена образовательная траектория ученика.

Тем более преступно думать, что каждый ребенок будет сам определять нравственные нормы, нормы поведения, устанавливать, что «хорошо», а что «плохо». Безнравственно поступить часто легче, и ребенок может решить, что убивать и воровать - это хорошо. Только взрослые (учитель, родители и пр.) могут и обязаны объяснить ребенку азы морально-этических норм.

Несомненно, учитель должен сам обладать высокими нравственными качествами, любить детей и Отечество. Для этого учитель, с одной стороны, нуждается в материальной поддержке от государства, с другой стороны, и средства массовой информации должны внести свой вклад в поднятие престижа педагогической профессии. Необходим новый облик учителя, авторитетного человека по примеру того, как это удалось создателям фильма «Доживем до понедельника» или писателю Валентину Распутину в сочинении «Уроки французского».

Учитель - это профессионал. Учитель должен знать прежде всего тот предмет, который он преподает. Недопустимо готовить учителей разных предметов по одним и тем же стандартам и учителей одного и того же предмета по разным образовательным программам. Сегодня же получается так, что, например, будущий учитель математики в одном вузе изучает только высшую геометрию, в другом - только высшую алгебру, а третьем -ни то, ни другое, и в то же время учителя математики, физкультуры и русского языка готовятся по одним и тем же стандартам. Неопределенность и размытость стандартов разрушают единое образовательное пространство, ведут к профанации высшего образования и, как следствие, порождают невежество в предметной области будущей профессиональной деятельности учителя.

Только системные знания, полученные в результате серьезного изучения теоретических наук в вузе, могут стать фундаментом для будущей профессиональной практической деятельности. Теория - это обобщенная тысячелетняя человеческая практика, поэтому любая новая практика должна базироваться на уже проверенной и доказанной теории. Исходя из этого всем известного постулата, практика должна следовать за теорией, а

не наоборот, как это предлагается в программах прикладного бакалавриата, ставя процесс обучения с ног на голову.

Никто не мешает играть учителю другие роли - тренера, организатора, обладать артистическими данными и использовать игровые методики, но не следует школу заменять театром, поскольку задача школы не может заключаться в развлечении и проведении досуга.

Кроме того, в настоящее время мы часто слышим, что задача школы -не дать ученику готовые знания, а сформировать у него потребность учиться в течение всей жизни. При этом деятели образования, ратующие за это якобы «нововведение», зачастую противопоставляют овладение системой знаний задачам развития ребенка. Однако они забывают (или умалчивают) о двух факторах. Во-первых, именно глубина и системность уже имеющихся у человека представлений об окружающем мире позволяют ему быстрее и качественнее усваивать новые сведения. Во-вторых, тезис «Обучение в течение всей жизни от задачи к задаче, от опыта к опыту» -это то, что блестяще было реализовано в советской школе. Вспомним успехи СССР в науке и технике, государственную систему институтов повышения квалификации, научные проекты, оборванные перестройкой. Сотни тысяч выпускников российских вузов эмигрировали и составили творческое ядро для «Microsoft», «Intel» и сотен других зарубежных корпораций.

Большая ошибка - ориентация образования на рынок, замена системы образования «образовательными услугами», как предлагают наши либеральные педагоги. Рынок ориентируется на интересы отдельных предпринимателей, школа же должна руководствоваться интересами государства.

Итак, мы предлагаем возродить доказанные теорией и проверенные многолетней практикой принципы построения школы:

- стабильность и единообразие, учитывающие интересы ученика, не исключающие дополнительного образования и свободы методического творчества учителя;

- единое базовое для всех ядро фундаментальных знаний и навыков, позволяющих личности в дальнейшем развиваться и совершенствоваться по своей индивидуальной траектории;

- системность, научность и фундаментальность преподавания;

- гражданская и патриотическая направленность образования;

- приоритет теоретических, фундаментальных знаний при разумном сочетании с практикой;

- ответственность учителя перед учеником и родителями, ученика перед учителем и родителями, ответственность всех вместе перед Отечеством...

Основная задача школы - развитие личности ребенка, воспитание в нем гражданина и человека. Благодаря служению наших предков, мы получили в наследство шестую часть земли, наделенную уникальными при-

родными богатствами и неисчерпаемым духовным наследием. Эксперимент на такой огромной территории не может дать объективный результат, а экспериментировать на детях просто преступно. Прежде чем начать эксперимент, необходимо доказать его целесообразность и затем обсудить с широкой общественностью его результаты. Тем не менее, с 1990-х годов наша школа находится в состоянии постоянного реформирования и экспериментирования, за разрушительные результаты которого и растраченные на это колоссальные государственные средства еще никто не понес ответственности. P. s.

Просто удивительно, с какой настойчивостью нас пытаются убедить, что советское образование архаично, поскольку дает слишком много ненужных знаний. А в это время Правительство Великобритании проводит эксперимент по созданию специализированных математических школ при вузах для одаренных детей. Как сообщает газета «Известия», «с идеей создания специализированных школ активно выступает профессор Королевского колледжа, член палаты лордов и консультант правительства Соединенного Королевства баронесса Элисон Вульф (Baroness Wolf of Dulwich)».

В эксклюзивном интервью профессор Вульф призналась, что ее вдохновляет советский и российский опыт, насчитывающий уже более 50 лет. По ее словам, на кафедре математики Королевского колледжа много преподавателей и профессоров, получивших российское образование. Двое из них - выпускники ленинградской математической школы. И их рассказы очень вдохновили английских коллег [6].

Библиографический список

1. Гуманистическая педагогика: XXI век. Единство - в многообразии, Ответственность - в свободе, Устойчивость - в развитии [электронный ресурс] // http://www.novayagazeta.ru/society/70301 .html?print=l.

2. Каюмов О.Р. О проблемах, связанных с межцивилизационными заимствованиями в педагогике // Вестник Елецкого государственного университета им. И.А. Бунина. Вып. 34: Серия «Педагогика» (История и теория математического образования). -Елец: ЕГУ им. И.А. Бунина, 2014. - С. 7-12.

3. Кисличенко А. Конференция Global Education Future в Москве: когда ЕГЭ кажется просто светом в окошке [электронный ресурс] // http://ivan4.ru/ne ws/obrazovanie/konferentsiya_global_education_future_v_moskve_kogd a_ege_kazhetsya_prosto_svetom_v_okoshke/.

4. Коваленин A. Прикрываясь гуманизмом. Манифест разрушителей школы «Суть времени». № 157 от 9 декабря 2015 г. [электронный ресурс] // https://gazeta.eot.su/article/prikryvayas-gumanizmom-manifest-razrushiteley-shkoly

5. Британских математиков начали готовить по советскому образцу // Известия. 18 марта 2016 г. [электронный ресурс] http://izvestia.ru/news/606602.

6. Четверикова О.Н. Разрушение будущего. Кто и как уничтожал суверенное образование в России. - М., 2015.

Раздел I. ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ

PROOF OF MENELAUS THEOREM BY IBN QURRA AND IBN HŪD: EXAMPLE FROM THE DIDACTIC PREHISTORY

Хайкал Шайбан Фуад* Аль-Хужайри Мохамад Юссеф

Haykal Chaiban Fouad Al-Houjairi Mohamad Youssef

Ливанский университет, инженерный факультет, * кандидат технических наук, директор факультета (г. Триполи, Ливан), кафедра электричества и электроники

Аннотация. В статье обсуждается история доказательства теоремы Менелая. До открытия теоремы синусов в арабской традиции (аль-Худжанди, аль-Буджани1 и Ибн Ирак) теорема Менелая была почти единственным инструментом геометрической дедукции на поверхности сферы. В арабских рукописях находим десятки комментариев, связанных с поисками упрощения доказательства этой теоремы. Попытка Абу Амир Аль-Мутаман Юсуф ибн Ахмад ибн Худа (умер в 1085 г.) является одной из них. Имя этого математика мало известно нашему современнику, что нельзя признать справедливым2. На русском языке есть только упоминание об этом математике и его труде в трехтомнике Г.П. Матвиевской и Б.А. Розенфельда «Математики и астрономы мусульманского средневековья и их труды (VIII-XVII вв.)»3.

1 В историко-математических исследованиях на русском языке аль-Буджани обычно упоминается под именем Абу-ль-Вефа (Абу-л-Вафа), что в переводе с арабского означает «отец Вефы», или «обладатель верности» (прим. редакторов).

2 Справедливости ради надо отметить недавние публикации об Ибн Худе: 1) J.P. Hogendijk, « Discovery of an 11th-century geometrical compilation: The Istikmal of Yusuf Al-Mu'taman ibn Hud, King of Saragossa», Historia Mathematica, vol. 13, 1986, p. 43-52; 2) Jan P. Hogendijk, Al-Mu'taman ibn Hud, 1lth-century king of Saragossa and brilliant mathematician, Historia Mathematica 22, février 1995, p. 1-18; 3) R. Rashed et M. Al-Houjairi, «Sur un théorème de géométrie sphérique: Théodose, Ménélaus, Ibn 4räq et Ibn Hûd», Arabie Sciences and Philosophy, vol. 20, n° 2, 2010, p. 207-253; 4) A. Djebbar, «La rédaction de Vîstikmàl d'al-Mu'taman (XIe s.) par Ibn Sartâq un mathématicien des XIIIe-XIVe siècles», Historia Mathematica, vol. 24, 1997, p. 185-192.

3 Матвиевская Г.П., Розенфельд Б.А. Математики и астрономы мусульманского средневековья и их труды (VIII-XVII вв.). М.: Наука, 1983. T.2. С.305. Здесь приведена только короткая справка: «Йу-суф ал-Мутамин ибн Ахмад ал-Муктадир биллах, правитель Сарагосы с 1081 по 1085 г., сын Ахмада ал-Муктадира биллаха, знаток философии, математики и астрономии».

О нем: Зутер (Die Mathematiker und Astronomen der Araber und ihre Werke. AGMW. 10, 1900; Ann Arbor, 1963; Штайншнайдер (Die arabische Literatur der Juden. Ein Beitrag zur Literatur der Araber, grossenteils aus handaschriftlichen Quellen. Frankfurt a/M, 1902; Hildesheim, 1964), Сартон (Introduction to the history of science. 1-3. Baltimore, 1927-1948) и др.

Как пишут Г.П. Матвиевская и Б.А. Розенфельд, «Книга усовершенствования оптики (Китаб ал-истикмал ал-маназир) упоминается Юсуфом ас-Сабти (1179-1229) в его «Исцелении души» наряду с «Началами» Евклида, «Альмагестом» Птолемея и «промежуточными книгами» (прим. редакторов)».

Ибн Худ был сыном и преемником Ахмада Аль-Муктадира, короля Сарагосы, и получил известность под именем Аль-Мутаман4. Он был третьим царем династии Бани Худа. В соответствии с историческими свидетельствами:

- Аль-Мутаман правил в Сарагосе с 1081 до 1085 гг.;

- был ученым королем, защитником науки;

- обладал широкими познаниями в области астрономии, философии и особенно в области математики. Математике посвящен его трактат: «Книга Совершенства» (по-арабски: Алъ-Истикмалъ). Это сочинение содержит сведения из греческой математики Евклида, Архимеда и др., а также математические результаты, изложенные в сочинениях Сабита ибн Курра5, Бани Муса и ибн аль-Хайтама и, наконец, включает некоторые оригинальные результаты, к которым следует отнести доказательство теоремы Менелая, приведенное в «Сферике».

В Алъ-Истикмалъ содержатся сведения по арифметике и коническим сечениям, проводятся вычисления объемов и площадей различных геометрических объектов и др. Алъ-Истикмалъ отражает в некоторой мере попытку классификации математических дисциплин.

Известны две копии Алъ-Истикмаль. Одна была найдена в библиотеке Askeri Müze (военный музей) в Стамбуле в 1985 году, в собраниях османского султана Мехмеда П. Позже в Каире был обнаружен второй экземпляр этого сочинения. Сегодня изучены следующие фрагменты Алъ-Истикмалъ: 1) геометрические фрагменты в рукописи (Or. 82 Королевской библиотеки в Копенгагене и в рукописи Or. 123-а в Лейдене); 2) фрагмент арифметики в рукописи, найденной в Каире (Dar Аль-Кутуб, Riyada 40); 3) короткий фрагмент, цитируемый одним комментатором в рукописи в библиотеке Отмани Хайдарабада (См.: R. Rashed, Les Mathématiques infinitésimales du IX au XI siècle, vol. I (Londres, 1996), p. 976).

Ключевые слова: теорема Менелая, сочинение Istikmäl Ибн Худа, история математики.

I. INTRODUCTION

If we admit that the didactic is formed by all methods, processes and techniques that aim to teach specific knowledge, we can easily conclude that this discipline, as such, is obviously not a new science. From the ninth century, the conceptual development of history of mathematics in the Arab scientific tradition offers us many important examples on the prehistoric formation-path of the didactic concepts. For example, in the book of Thäbit ibn Qurra (836-901), «kitäb Thäbit Ibn Qurra ilä Ibn Wahb fi al-ta'attï li-istikhräj famal al-masä'il

4 Аль-Мутаман - доверенное лицо (прим. авторов).

5 В исторической литературе на русском языке часто имя этого математика переводят как ибн Корра (прим. редакторов).

al-handasiyya », there is a significant development of the didactic concepts relative to Euclidean geometry. In the Arab scientific tradition, alongside big names like Ibn al-Haytham, Ibn Iraq, al-Khujandi, al-Buzjanï, al-Bïrunï, Nasïr al-Dïn al- Tusï who were at the forefront of the research, we find other scientists who continued to question the legacy of Ancients: they developed the mathematical content and improved the methods. The Andalusian mathematician (king of Zaragoza) Abü'Ämir Yüsuf ben Ahmad ben Hüd, entitled al-Mu'taman [1] (died 1085) is precisely one of them. Based on his predecessors, ibn Hüd wrote a voluminous book of a pedagogic aspect, entitle al-Istikmäl (Completion).

Our present study focuses precisely on a sample of the Spherics of Istikmäl reproducing the proposition III-1 of the spherics of Ménélaus-Ibn Träq. This sample occupies the folios 82v-83v of the manuscript: Or 82 of the Royal Library in Copenhagen (this reference shall be designated "The Spherics of Ibn Hüd"). Note that, throughout our study, The Element [2] of Euclid (third century ВС) and The Menelaus's Spherics [3] (active in the late first century AD), will serve us as comparison references.

II. MATHEMATICS COMMENTS [4]

Proposition 9:

Let (CI) and (C2) two great circles of the sphere such as arc (CI) and arc (C2) intersect at points A and C. If E and G are two arbitrary points on the circumference arc (CI), different then A and С respectively admitting the points К and L as orthogonal projections on the plane of the circle (C2), so

Fig. 1 Analysis:

The great circles (CI) and (C2) intersect along their common diameter А С (see Figure 1). H and I denote respectively the feet of perpendiculars from points E and G to the line AC. If the planes of circles (CI) and (C2) are perpendicular, the points H and I coincide, respectively, with К and L [5] and the formula (1) is naturally satisfied since crd (2 arc (AE)) is equal to 2 s gm (EH) and crd (2 arc (AG)) is equal to 2 sgm (GI).

Suppose, now, that the plans of the circles (CI) and (C2) are not perpendicular. As a result, the H point is different than К and the point I is different than L; both triangles EHK and GIL are similar because their angles are equal two by two [6]: angl(EKH) and angl(GLI) are right angles [7], angl(HEK) equals angl(IGL)[8] and consequently, the remaining angles angl(KHE) and angl(LIG) are also equal; so

But

because sgm(EH) is equal to Sin(AE) and sgm(GI) is equal to Sin(AG). Accordingly, we obtain

Proposition 10:

Let there be on the sphere, arc(AB), arc(BC), arc(AD) and arc(EC) four non-coplanar arcs [9] of great circumferences, each, smaller, than a half circumference of a great circle and such that point E belongs arc (AB) and point D belongs arc(BC).

If arc(EC) and arc(AD) intersect at point F, then the two following formulas are satisfied:

Fig.2 Fig.3

Analysis:

1) Let's lead from the points A, E and F the perpendiculars sgm(AG), sgm(EH) and sgm(FI) to the plane of the cercle(BC) (see Fig.2). According to Proposition 9, we have:

And

Using the identity we obtain

2) Similarly, Let's lead from the points А, В and D the perpendicular sgm(AG), sgm(BK) and sgm(DL) to the plane of the circle (EC) (see Fig. 3). According to Proposition 9, we have:

And

Using the identity we obtain

We find the same result at Menelaus [10] but with different demonstration.

We note that the proof developed by Ibn Hud was invented firstly by Thäbit Ibn Qurra (see articles by M. Al-Houjairi (note 1)).

References

1. Concerning Ibn Hud's biography and bibliography, see: J.P. Hogendijk, "The Geometrical Parts of the Istikmäl of Yusuf al-Mu'taman ibn Hud (11th century). An Analytical Table of Contents", Archives internationales d'histoire des sciences, 41, (1991), p. 207-281; R. Rashed, Les Mathématiques Infinitésimales du IXe auXIe siècle, vol. I (Londres, 1996), p. 976-978; M. Al-Houjairi: 1) L'Encyclopédie dlbn Hûd, doctoral thesis (Univ. Paris 7, 2005), vol. I, p. 1-4, 354-356 ; 2) "Sur les commentaires des théorèmes III-l et 111-22 de Ménélaus dans VIstikmäl d'ibn Hud", Actas de la Academia Nacional de Ciencias, Tomo XV, Cordoba - Republica Argentina, 2012, p. 11-26; 3) "On the theorem of Menelaus and his applications in the Spherics of Istikmäl of Ibn Hud" In the book: Circulation des savoirs autour de la Méditerranée : philosophie et sciences, IXe-XVIIe siècle (edited by

Ahmad Hasnawi, Grazielle Federici Vescovini (Dir.)), Edizioni Cadmo (Italy), 2013, p. 43-86.

2. French translation in the book "Les Œuvres dEuclide" F. Peyrard, Paris 1819, reissued Library Blanchard, Paris 1993. (Thereafter, this reference shall be designated "Les Éléments d'Euclide").

3. This book, lost in Greek, which we have obtained in an Arabic version due to Ibn Iraq. We will use the book of Max Krause: Die Sphärik von Menelaos aus Alexandrien in der Verbesserung von Abu Nasr Mansür B. 'Alï B. 'Iraq, coll. Abhandlungen der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Philologish-Historische Klasse, 3e série, n° 17, Berlin, 1936 ; réimpr. F. Sezgin, coll. Islamic Mathematics and Astronomy, vol. 37, Frankfurt, 1998. (Thereafter, this reference shall be designated "Les Sphériques de Ménélaus-Ibn 'Iraq").

4. Thereafter, to shorten the writing, we adopt the following notations: arc(AB) (arc AB); arc(C) (the circumference of the circle (C)); sgm(AB) (straight line segment AB); crd(AB) (cord of arc(AB)); cercle(AB) (a circle passing through the points A and B); hom(AB) (homologous of arc(AB) ; by definition, hom(AB) = crd(2 arc(AB))) ; Sm(AB) (sinus de arc(AB); by definition, Sm(AB) =V2 crd(2 arc(AB))= V2 hom(AB)= R sm(AB), where R is the radius of the circle and sin(AB) is the sine in the modern sense); angl(ABC) (angle ABC); by drt we denote a right angle.

5. Les Eléments d'Euclide, proposition 38, livre XI, p. 441: "Si un plan est perpendiculaire à un autre plan, et si d'un point pris dans un de ces plans, on mène une perpendiculaire à l'autre plan, cette perpendiculaire tombera sur la section commune des plans".

6. Les Éléments d'Euclide, proposition 4, livre VI, p. 143: " Dans les triangles équiangles, les côtés autour des angles égaux sont proportionnels; et les côtés qui sous-tendent les angles égaux, sont homologues".

7. Les Eléments d'Euclide, définition 3, livre XI, p. 396: "Une droite est perpendiculaire à un plan, lorsqu'elle fait des angles droits avec toutes les droites qui la rencontrent, et qui sont dans ce plan".

8. Chacun des deux angles est aigu et leurs côtés sont, deux à deux, parallèles.

9. C'est-à-dire les arcs considérés sont non coplanaires deux à deux.

10. Les Sphériques de Ménélaus-Ibn 'Iraq, proposition 1, livre III, p. 62-64 (du texte arabe, dont M. Krause donne la traduction en allemand p. 194-197).

МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ В ПЕРВЫЕ ГОДЫ СОВЕТСКОЙ ВЛАСТИ1

О.В. Тарасова

Орловский государственный университет им. И. С. Тургенева, г. Орел; доктор педагогических наук, зав. кафедрой геометрии и методики преподавания математики

Аннотация. В статье идет речь о реализации метода проектов в советской школе в 20 - 30-е годы XX века, особенностях его использования.

1 Исследование выполнено при финансовой поддержке РГНФ. Проект «История становления и развития школьного курса геометрии в России от революции 1917 года до 30-х годов XX века».№ 16-06-00169.

Ключевые слова: история математического образования, отечественная школа, метод проектов.

1 сентября 2011 г. все общеобразовательные учебные заведения РФ, начиная с начальной школы, последовательно начали работать по стандартам нового поколения. Введение ФГОС повлекло за собой стремление изменить принципы организации управления образованием и собственно самого образовательного процесса. Ведущее место начинает занимать хорошо известный уже многие десятилетия метод проектов.

Метод проектов - это система обучения, при которой учащиеся приобретают знания и умения в процессе планирования и выполнения практических заданий, именуемых проектами. Как известно, метод проектов возник во второй половине XIX века в сельскохозяйственных школах США, затем получил распространение в общеобразовательных школах. В основе метода лежит концепция прагматической педагогики. Основные положения этой концепции следующие. Школа не должна быть оторвана от жизни, обучение - от воспитания. В учебно-воспитательном процессе необходимо опираться на собственную активность учеников, развивать ее и стимулировать. Такая школа должна воспитывать людей, хорошо приспособленных к жизни. Благая цель, но только удавалось ли ее достичь в полной мере и не пострадали ли другие цели учебного процесса? На этот вопрос ответила сама история.

21 февраля 1923 г. президиум ГУСа принял решение, по которому предметное преподавание в школе было окончательно отвергнуто и принята комплексная система построения школьных программ и обучения. В том же году при активном участии П.П. Блонского была опубликована комплексная программа школы I ступени для первых двух лет обучения (в 1924 г. опубликованы программы для всех четырех лет обучения). Комплексные программы для школ II ступени опубликованы в 1926 г. А.В. Луначарский был в восторге от комплексной системы преподавания в школе, говоря: «Это есть нечто, в полном смысле, замечательное. Это целый переворот в деле школьного образования» [2; с. 133-134].

С 20-х годов XX века метод проектов начинает частично применяться в практике отечественных школ. И постепенно это применение переходит от опытного к массовому. Сторонники метода проектов (Н.К. Крупская, В.Н. Шульгин, М.В. Крупенина и др.) провозгласили его единственным средством преобразования школы учебы в школу жизни, где приобретение знаний должно осуществляться на основе трудовой деятельности учащих-ся[3],[4].

Результаты насаждения «чужого на родное» были неутешительны, но это мало смущало тех, кто строил (пусть и на песке) новое здание советской школы. Особое внимание и особую любовь наркома просвещения в 1920-е годы вызывало именно комплексное построение учебного материа-

ла (и соответственно - процесса обучения), в противоположность «буржуазному» - предметному. Каждый учебный предмет при этом должен был обслуживать жизненно важные вопросы, изложенные по трем программным колонкам: природа и человек, труд, общество [2; с. 133-134.]

В 1929-1930 гг. были разработаны и стали активно внедряться в практику комплексно-проектные программы, в которых учебные предметы фактически отрицались, систематическое усвоение знаний под руководством учителя фактически полностью заменялось выполнением проектов-заданий. Приведем фрагмент одной из таких разработок [1; с. 160-170].

Разработка проекта — «За большевистский сев третьего года пятилетки»

Дело 1-е.

Мобилизовать взрослых и детей на приведение в боевую готовность сельскохозяйственных машин и орудий. В связи с этим делом на 3-ю группу ложится в числе прочих задач задача - составить опись состояния с.х. машин и орудий и выделить те, которые требуют ремонта.

Данную работу мы мыслим выполнить в форме 2-3-х бригад под руководством опытных, но возможно малограмотных крестьян. При составлении описи учащиеся устанавливают приблизительную оценку ремонта и подсчитывают общую его стоимость по следующей форме.

№ п/п

Название орудий и машин

Сколько всего

Из них требуют ремонта

Стоимость

Какой ремонт

Примечание

Руб.

Коп.

1.

Плуги...

20

2

4

Отбивка лемехов

В кузнице

2.

Бороны...

8

1

1

50

3.

Лопаты...

Вставить зубья

4.

Грабли...

Общая стоимость ремонта...

В процессе этой работы учащиеся, помимо ценных практических навыков в приблизительной оценке ремонта, получают возможность закрепить навыки в сложении именованных чисел. Причем задача решается так, как чаще всего бывает на практике (составлением ведомостей, инвентарных описей и т.д.).

Дело 2-е.

Бороться за лучшее зерно для посева.

Задача 1. Выяснить наличие сменного фонда в колхозе и у единоличников и его размеры. Добиться выполнения контрольных цифр.

Данную задачу, если село большое, выполнить одними силами 3-й группы будет невозможно. Но это не значит, что группа от нее отказывается. Учащиеся могут взять обследование скажем 30-40 единоличных хозяйств, 10-12 хозяйств на бригаду, и проделать следующее: 1) довести до

хозяйства задание по посеву, 2) установить наличность семян, 3) определить нехватку и 4) размеры площади, которая окажется необсемененной.

Форма такой записи может быть примерно такой (согласовать с сельсоветом или правлением колхоза).

Намечено к посеву

Наличие семян

Какой недостаток

№ п/п

Фамилия домохозяина

овес

ячмень

овес

ячмень

овес

ячмень

количество

сколько

количество

сколько

га

требуется семян

га

требуется семян

1

Федоров

3

540 кг

-

-

360

180

2

кг

кг

3

Итого

и т.д.

После обследования учащиеся подводят итоги недостатков семян по разным культурам, подсчитывают, какая площадь может остаться необсемененной и какой в результате этого может быть недобор урожая. Весь материал передается сельсовету для принятия соответствующих мер.

По математике здесь учащиеся получают навыки в первых четырех арифметических действиях над многозначными числами.

Задача 2. Помочь колхозу и беднякам-единоличникам в очистке, сортировке и замене плохих семян; использовать эту работу с целью вовлечения единоличника в колхоз.

В связи с этой задачей на 3-ю группу ложится обязанность составить плакаты, диаграммы и лозунги для зерноочистительного пункта и на основе их провести агитацию за вступление в колхоз крестьян-единоличников. Материалом для диаграмм может служить как местный, районный (можно получить на агропункте), так и материал опытных станций.

Приведем ряд примерных диаграмм.

1. Что находится в неочищенном зерне?

Неочищ.

Всхожих

Невсхожих

Семена сорн.

Сор.

100 кг

85 кг

10 кг

3 кг

2 кг

Заметим, что на такой диаграмме можно дать учащимся первое понятие о проценте.

2. Как сорняки понижают урожай?

1 га без сорняков дал урожай проса: зерна 1984 кг, соломы - 2576 кг.

1 га с сорняком дал урожай проса: зерна 1536 кг, соломы - 2432 кг.

Составив диаграмму, учащиеся могут поставить вопрос: каков убыток от того, что 1 га был засеян неочищенными от сорняка семенами? Решение задачи привести внизу диаграммы и при объяснении этой диаграммы крестьянам обратить внимание на приносимые убытки от того, что посев производится неочищенными семенами.

Очень хорошо привести данные в виде диаграмм из жизни своего села, подобно тому, какие мы имеем на некоторых общеходовых плакатах.

3. Чем лучше сортировать зерно?

Мешок-пятерик, наполненный зерном, отсортированным лопатой, весит 67 кг, отсортированным веялкой-сортировкой 77 кг, а очищенным триером 88 кг.

В диаграмме можно поставить вопрос, кому легче приобрести сортировку и триер.

А в заключение учащиеся могут решить ряд практических задач, характеризующих производительность триера.

I. В час триер очищает — тонны зерна. Сколько он очистит за день, если будет работать 18 часов (или 15)?

II. За сколько дней можно очистить все колхозные семена?

III. За какое время можно очистить семена крестьян-бедняков?

4. Как очистить поля от сорняков, понижающих урожаи в 3— раза?

Здесь можно привести данные опытного поля с.-х. Академии им. Тимирязева:

- Даешь ранний пар.

При позднем ларе получается 2003 кг сорняка, а при раннем паре получается 372 кг сорняка.

- Как в яровом поле избавиться от сорняков?

При весенней вспашке без лущения 1347 кг сорняков, при осенней вспашке с лущением 472 кг сорняков.

- На поле, сильно засоренном сорными травами, урожай ячменя 333 кг/га, а на поле, очищенном от сорняков, 1184 кг/га.

В целях еще более сильного воздействия на единоличника за вступление в колхоз можно построить такие диаграммы:

1. Машина ускоряет работу.

Жнея сожнет 0,2 га в 1 день. Трактор со сноповязалкой 10 га в 1 день. Комбайн свяжет и обмолотит 14 га в 1 день.

2. Можно засеять в день: вручную 3 га, конной сеялкой 9 га.

3. В машинном хозяйстве (в колхозе) урожай выше, чем в единоличном:

в крестьянском хозяйстве средний урожай 6-7 центнеров, в колхозе средний урожай 12-20 центнеров. Приведенный материал дает большое поприще для учащихся в разного рода вычислениях, в определении масштабов и т.д.

Учитывая, что материал готовится для выставки, диаграммы должны иметь, возможно, разнообразный вид. Не обязательно все диаграммы представлять в виде прямоугольников. Можно прямоугольник взять только как контур, а внутри его поместить мешки, растения и т.д.

Кроме того, рекомендуем делать глиняные параллелепипеды, фигуры, мешки из тряпок, наполненные зерном или опилками, и т.п.

В последнем случае учащиеся будут естественно знакомиться с единицами объема и веса.

3-я основная задача, входящая во 2-е дело, - это помочь колхозу и единоличникам в протравливании семян, используя и эту работу так же, как средство вовлечения единоличников в колхозы.

Здесь приводим одну диаграмму. Урожай овса на 1 га, засеянном протравленными семенами (по данным опытной станции), равен 15 центнерам, а непротравленными 12 центнерам.

Диаграмму можно развить дальше, а именно - поставить вопрос: сколько дополнительного дохода получит колхоз в результате протравливания, если засеет 250 га?

Очевидно 750 ц; если считать по 6 руб. за центнер, то колхоз получит дополнительный доход в сумме 750*6 = 4500 руб.

Чтобы быть точнее, учащиеся могут вычислить к этому же плакату расход протравителя и его стоимость и стоимость рабочей силы и вычислить настоящий, т.е. чистый доход. Математический материал, усваиваемый в связи с этим, очевиден.

Проект состоит еще из следующих дел.

3-е дело. Провести борьбу за использование колхозом местных и технических удобрений.

4-е дело. Бороться за расширение кормовой базы колхоза.

5-е дело. Устроить при школе (или колхозе) парник, вырастить в нем рассаду и снабдить ею колхоз и единоличников; провести агитацию за организацию коллективного огорода.

6-е дело. Организовать коллективный поход на вредителей садов, огородов, полей и показать, что эту работу легче всего провести коллективно и в коллективных садах и огородах.

7-е дело. Принять участие в организации коллективного птичника и помочь в уходе за птицами.

8-е дело. Устроить коллективный семенной питомник и вырастить семена для колхозного огорода.

9-е дело. Организовать при школе опытно-показательный участок и вовлечь детей колхозников и единоличников в массовое опытничество.

И это все так называемое изучение математики, формирование твердых вычислительных навыков, умения решать задачи.

Производительный труд в отечественной школе в 20 - 30-е годы XX века стал основой школьной жизни. По замыслу реформаторов, школа должна была, прежде всего, помочь учащимся овладеть полезными индустриальными и сельскохозяйственными навыками, а не какими-то учебными предметами. Содержание обучения должно было теоретически обеспечивать тот или иной производительный труд. Произошло «растворение»

всех учебных предметов, в том числе и математики в так называемом производственном обучении.

Преподавание велось по рабочим книгам, журналам-учебникам. Излагающийся в них материал не давал систематических научных знаний, а стал обслуживать практические производственные задачи, иллюстрировать те или иные измерения. Знания по предмету, предназначенные для изучения в городской и сельской школе, был различные. Математика превратились в оформление изучаемых производственных тем. Ни о каком поэтапном изучении математики не могло быть и речи. Все математические сведения выступали как вспомогательные знания для организации трудовой деятельности

Универсализация метода проектов была осуждена в Постановлении ЦК ВКП(б) «О начальной и средней школе» (1931 г.) и в дальнейшем в практике отечественной школы метод проектов не применялся, вплоть до новых ФГОСов. Как бы нам и в этот раз планку не перегнуть...

Библиографический список

1. Белецкая М.А., Киселев Н.Д., Кулишер А.Р., Лейферт Л.А., Отто Е.И. Методика математики для педагогических техникумов. - М. - Л.: Учпедгиз, 1931. - 217 с.

2. Колягин Ю.М., Саввина О.А., Тарасова О.В. Русская школа и математическое образование: Наша гордость и наша боль. 4.2. Первая половина XX века. - 3-е изд. -Орел: ООО Полиграфическая фирма «Картуш», 2007. - 240 с.

3. Педагогический энциклопедический словарь / Гл. ред. Б.М. Бим-Бад; Редкол.: М.М. Безруких, В.А. Болотов, Л.С. Глебова и др. - М.: Научное издательство «Большая Российская энциклопедия», 2002 - 528 с.

4.Gerasimova E., Savvina О., Telkova V., Melnikov R., Trofimova E. Theoretical and Empirical Aspects of Project Activity at Modern Russian School // Procedia-Social and Behavioral Sciences. Volum 214. 5 December 2015, P. 27-33. doi:10.1016/j.sbspro.2015.11.589 http://www.sciencedirect.eom/science/article/pii/S 1877042815059443

МАТЕМАТИК И МЕТОДИСТ КОНСТАНТИН АЛЕКСАНДРОВИЧ ТОРОПОВ

И.В. Игнатушина

Оренбургский государственный педагогический университет, г. Оренбург, зав. кафедрой математического анализа и методики преподавания математики, кандидат физико-математических наук, доцент

Аннотация. В 2015 году Оренбургский государственный педагогический университет отметил юбилейную дату - 95 лет со дня основания. Первоначально это учебное заведение называлось Оренбургский институт народного образования (ОИНО), затем на его базе был организован педагогический институт, который в 1996 г. получил статус педагогического

университета. Первым профессором ОИНО стал замечательный математик и педагог Константин Александрович Торопов (1860-1933). В статье представлен обзор жизненного пути К.А. Торопова, описаны его научные достижения, а также показаны некоторые из его методических находок.

Ключевые слова: история математического образования, Константин Александрович Торопов.

Константин Александрович Торопов

Константин Александрович родился 12 мая 1860 г. в селе Калиновском Камышловского уезда, Пермской губернии [1] в семье священника Христорождественской церкви Торопова Александра Афанасьевича (1830-1898) и его супруги Феодосии Ксенофонтовны. Александр Афанасьевич Торопов в 1850 г. окончил Пермскую духовную семинарию [2, с. 32], несколько раз избирался на должность духовника округа, выполнял обязанности депутата на епархиальных съездах [3, 4]. В 1871 г. он открыл в своем доме «безвозмездное» училище и преподавал в нем. О годах детства Константина Александровича, к сожалению, известно очень мало. По дарственной надписи, сделанной на книге «Начальные основания геометрии, сочиненные для руководства в духовных учебных заведениях» [5], принадлежавшей К.А. Торопову (сейчас находится в фонде редкой книги библиотеки Оренбургского государственного педагогического университета), удалось установить, что Константин Александрович обучался в Пермской духовной семинарии. Благодаря упорству, целеустремленности и хорошим способностям, он стал одним из лучших ее учеников.

Форзац книги «Начальные основания геометрии, сочиненные для руководства в духовных учебных заведениях» с дарственной надписью: «Выдана сия книга по одобрению

Педагогического Собрания Семинарского Правления от 10 марта 1876 года № 11 ученику Пермской Семинарии 11 класса Константину Торопову в награде за отличн... и за отличные успехи в науках, Ректор Семинарии»

В 1878 г. Константин Александрович поступил в Петербургский университет на физико-математический факультет. Большое влияние на формирование его как математика-педагога оказала знаменитая Петербургская математическая школа, возглавляемая Пафнутием Львовичем Чебышевым (1821-1894). В Петербургском университете тогда преподавали видные ученые профессора: Пафнутий Львович Чебышев, Андрей Андреевич Марков (1856-1886), Александр Николаевич Коркин (1837-1908), Константин Александрович Поссе (1847-1928), Иосиф Иванович Сомов (1815-1876), Юлиан Васильевич Сохоцкий (1842-1929), Егор Иванович Золотарев (1847-1878) и др.

К. А. Торопов уже с третьего курса университета включился в научную работу. Его интерес сосредоточился в основном на вопросах, связанных с интегрированием обыкновенных дифференциальных уравнений. В 1883г. Константин Александрович окончил университет со степенью кандидата математических наук за сочинение «Интегрирование алгебраических иррациональных дифференциалов в конечном виде (частный случай)». Указанную выпускную работу К.А. Торопов выполнял под руководством профессора математики К.А. Поссе, который 11 февраля 1883 г. дал на нее следующее заключение: «Диссертацию г. Торопова признаю вполне удовлетворительной и заслуживающей большого одобрения» [6, с. 70].

Ввиду выдающихся успехов в математике К.А. Торопов был оставлен при университете для подготовки к профессорскому званию. Два года он работал при университете, сдал магистерские экзамены и опубликовал ряд работ. Среди них «Интегрирование некоторых обыкновенных дифференциальных уравнений» (1884) и «Об интегрировании в конечном виде одного класса дифференциалов» (1885) [7], опубликованные математическим обществом при Харьковском университете.

Так во второй из них было рассмотрено несколько видов алгебраических иррациональных дифференциалов, интегрирующихся в конечном виде. Дифференциалы эти содержат под знаком корня полиномы третьей или четвертой степени, или отношение квадратных полиномов, а следовательно, не интегрируются в логарифмических и алгебраических функциях.

Один из таких дифференциалов принадлежит классу, который характеризуется тождеством: f(x)dx = f — d — , другие приводятся посредством простейших преобразований к дифференциалам этого класса.

Здесь Торопов последовательно доказывает, что в конечном виде интегрируются дифференциалы следующих видов:

В эти годы Константин Александрович увлекся политической деятельностью, его волновали вопросы общественной жизни. Тогда же министр народного просвещения Делянов начал беспощадную борьбу с революционным движением. Поэтому, несмотря на то, что магистерская диссертация К.А. Торопова была высоко оценена оппонентами, он не был допущен к защите и отчислен из университета ввиду полученного отзыва о его политической неблагонадежности.

После этого К.А. Торопов не мог получить место работы в образовательных учреждениях и был вынужден поступить на службу в качестве счетовода в контору Пермской железной дороги. Только 18 декабря 1886 г.

он наконец получил место сверхштатного преподавателя математики в Пермской мужской гимназии и с этого времени непрерывно преподавал математику в разных учебных заведениях: вначале в г. Перми (с 1886 г. по 1888 г. - в Пермской мужской гимназии, а с 1888 г. по 1890 г. - в Мариинской женской гимназии) [8]. Потом по неизвестным обстоятельствам он покидает Пермь и преподает математику в Красноуфимском реальном училище (1890-1892). В 1892 г., вернувшись в Пермь, он получает место преподавателя математики в Пермском Алексеевском реальном училище и работает в нем до лета 1901г., после чего навсегда уезжает из Перми, с 1901 г. по 1908 г. он преподает в Таганрогском техническом училище, с 1908 г. по 1910 г. - в Белебеевском реальном училище, с 1910 г. до июня 1933 г. - в г. Оренбурге.

Отдавая всего себя педагогической деятельности, Константин Александрович продолжал свои научные изыскания. Так, в 1887 г. он опубликовал работу «О приведении гиперэллиптических интегралов к эллиптическим» [9], напечатанную в Перми, в типографии губернской земской управы.

Напомним, что гиперэллиптическим интегралом называется интеграл вида: ^R{x,œ)dx, где R- рациональная функция от переменных х, со, связанных алгебраическим уравнением со2 =Р(х). Здесь р(х) - многочлен степени п > 5 без кратных корней. В случае, когда п равно 3 или 4, получаются эллиптические интегралы.

В указанной работе представлен подробный анализ литературы, имеющейся на тот момент по данной проблеме, и рассмотрен еще один возможный случай сведения гиперэллиптических интегралов к эллиптическим.

К.А. Торопов немало сделал в педагогике и методике преподавания математики. Как человек большой эрудиции, он был хорошо знаком с различными методическими идеями того времени и постоянно находил новые пути в преподавании математики. Свой педагогический опыт Константин Александрович отразил в журнальных статьях и учебниках. Так, в 1894 г. в Перми им был опубликован «Краткий курс прямолинейной тригонометрии» [10], в котором была предложена интересная теория решения треугольников. Отзывы об этом учебнике были напечатаны в журналах «Педагогический сборник» (1894, № 12), «Журнал Министерства народного просвещения» (1893, № 1), а также в газете «Русские ведомости» (1904).

Впоследствии Константин Александрович развил дальше общую теорию решения треугольников и результаты исследования опубликовал в 1908 г. в своей книге «Магический ряд и применение его к решению задач» [11], вышедшей из печати в Таганроге. Второе издание этой книги [12] вышло в 1911 г. в Оренбурге, а затем еще раз было переиздано в 1922 г. под названием «Конспективный курс прямолинейной тригонометрии» [13]. Предложенный им метод решения треугольников вошел в полный курс тригонометрии СИ. Новоселова [14, с. 387] под названием «Общий принцип Торопова решения треугольников».

Работа «Магический ряд и применение его к решению задач» [11] интересна с методической точки зрения, поскольку в ней описан очень простой для понимания принцип решения треугольников. Исходными являются две теоремы, которые должны быть известны учащимся:

теорема синусов (Рис. 1);

теорема о том, что алгебраическая сумма, составленная из числителей рав-

Рис. 1

ных отношений, относится к такой же сумме из знаменателей, как один из этих числителей относится к своему знаменателю.

Например, если

Отсюда получается:

Эта цепочка равенств и есть «магический ряд», который фигурирует в названии работы.

Далее показано, как получить аналогичные соотношения для нахождения высот, биссектрис и медиан треугольника.

1. Поскольку высоты (Рис. 2) треугольника ha, hh9 hc удовлетворяют соотношениям: a = ——, b = ——, с = ——, то

Рис. 2

2. Пусть BL = lh— биссектриса треугольника (Рис. 3). Тогда

Пусть BD = hh- высота треугольника, тогда

Учитывая полученные ранее соотношения для высот треугольника, имеем:

3. Пусть ВМ = mh- медиана треугольника (Рис. 4). Обозначим ZBMD через cd , тогда hh=mhsma). Угол можно найти из соотношенияc/g^ =---—, которое Торопов здесь же выводит. Тогда, учитывая полученные ранее отношения для высот треугольника, имеем: 27? = —:—.

Рис. 4

Затем Торопов дает свою классификацию задач на нахождение элементов треугольника по трем данным элементам, однозначно определяющим этот треугольник. Он выделяет пять основных групп таких задач:

- даны два угла и один какой-нибудь линейный элемент;

- даны один угол и два линейных элемента;

- даны три линейных элемента;

- известно отношение линейных элементов;

- даны некоторые соотношения, содержащие известные углы, которые составляют стороны треугольника с каким-нибудь направлением.

Их решение дается на конкретных примерах.

В заключение своей работы Торопов излагает все полученное в более общей форме. Он рассматривает однородную функцию «-го порядка f(a,b,c)9 связывающую стороны треугольника а,Ь,с. Тогда для этой функции справедливо равенство: f(ka,kb,kc) = knf(a,b,c).

Положив здесь к = —, он получает

Отсюда, учитывая теорему синусов, имеем

Следовательно,

Таким образом, получается ряд равных отношений

который Торопов назвал магическим.

В этом ряде заключаются все возможные соотношения между линейными элементами треугольника а,Ь,с и некоторым отрезком /, зависящим от них, поскольку всегда / можно выразить через а,Ь,с с помощью некоторой однородной функции / : / = f(a,b,c).

К.А. Торопов неоднократно выступал с предложениями по улучшению существующих учебных программ средних учебных заведений. В частности, при анализе программы по алгебре для реальных училищ он обращает внимание на неравномерность распределения материала: «...курс алгебры III класса очень велик, курс IV класса - очень мал, курс V класса -очень обширен и разнообразен, курс VI класса очень краток» [15, л.25]. Константин Александрович предлагает следующую перестройку курса алгебры: «В III классе проходят четыре отдела над целыми и дробными рациональными выражениями, отделы о решении пропорций и решении уравнений первой степени с одним неизвестным. В IV классе проходят статьи: об извлечении квадратных корней с предварительной статьей о возведении в квадрат многочленов и чисел, о квадратных уравнениях с одним неизвестным и о решении уравнений первой и второй степени. В V классе проходят отделы: о действиях над иррациональными выражениями, о количествах с отрицательными и дробными показателями, о логарифмах и предварительной статьей о прогрессиях. Если в VII классе в большинстве случаев только повторяют, то в VI классе проходят статьи: исследование различных задач, приводящих к рациональным выражениям в виде второй степени, включая сюда решение неравенств первой и второй степени, нахождение наибольших и наименьших значений трехчлена второй степени, статьи о непрерывных дробях и решение в целых числах неопределенных уравнений. Что касается статей о соединениях и биноме Ньютона, то это, по моему мнению, можно выкинуть из курса средних учебных заведений» [15, л.25]. Такое изложение материала было отражено в «Элементарной алгебре» [16], предназначенной для учеников реальных училищ, которую К.А.Торопов опубликовал в 1900 г. Интересно отметить, что раздел «Соединения и бином Ньютона» здесь присутствует в п. 13. Кроме того, имеется раздел «Уравнения высших степеней» (п. 15), в котором рассматриваются следующие вопросы: биквадратные и трехчленные уравнения, симметрические уравнения, теорема Безу, понижение степени уравнения, преобразование уравнений.

Помимо математических и педагогических работ Константин Александрович известен и как историк математики и математического образования. Достаточно в этой области назвать его статью «Памяти о Иоанне Первушине» [17], посвященную уникальному уральскому математику,

священнику, члену-корреспонденту Санкт-Петербургской, Парижской и Миланской академий наук Ивану Михеевиче Первушину.

В 1910 г. Константин Александрович вместе с женой Клавдией Матвеевной переехал в Оренбург. О его семье почти никаких сведений не сохранилось. Известно только, что в семье Тороповых было четверо детей: три дочери (Галина 1887 г. р., Татьяна 1891 г.р., Ирина 1894 г.р.) и сын Александр (1888 г.р.) [18, с. 26]. Все дети получили достойное образование. Об этом можно судить, опираясь на текст из прошения, которое К.А. Торопов подавал, находясь в Оренбурге: «В заключение осмеливаюсь беспокоить Ваше Правительство просьбой pro domo sua (личная просьба) -о представлении моим двум дочерям мест преподавательниц в младших классах местных гимназий, одной - русского языка и другой - арифметики. Просьба вызывается материальными соображениями, так как мне приходится содержать семейного сына студента и двух дочерей, обучающихся в Петербурге» [19, л. 34]. Его вторая дочь Татьяна Константиновна Торопова (1891-1933) окончила Таганрогскую женскую гимназию, имела звание домашнего учителя. В 1913 г. была преподавателем чистописания и рисования Ирбитской Мариинской женской гимназии [18, с. 256]. Не позднее 1919 г. она переехала в Оренбург.

В Оренбурге педагогическая деятельность К.А.Торопова продолжилась в реальном училище, куда он был назначен на должность директора. В то время здесь успешно работал математический кружок [20]. На его заседаниях выступали как преподаватели, так и учащиеся. Лучшие доклады печатались в журнале «Записки математического кружка при Оренбургском реальном училище» (1906-1913). Константин Александрович на протяжении нескольких лет был председателем этого кружка и выступал с различными докладами перед его членами. Так, в 1911-13 гг. им были сделаны сообщения на следующие темы.

1. Роль математики в естествознании.

2. Памяти отца русской науки М.В. Ломоносова.

3. О Фермате (1601-1665) и его трудах.

4. Извлечение кубических корней и решение кубических уравнений по способу П.И. Свешникова (с историческим очерком вопроса о решении уравнений с одной неизвестной).

5. О решении одной системы неопределенных уравнений и о составлении таблицы для вычисления дня празднования Пасхи (с изложением сведений из пасхалий).

6. Доказательство великого предложения Фермата, предлагаемого М.И. Буниным.

7. Об исключении неизвестных из двух уравнений, когда одно из этих уравнений линейное или квадратное, а другое - какой угодно степени.

8. О брошюре Вл. Молчанова «Нет в арифметике тройных правил! Долой способ приведения к единице!».

В номерах 6-10 «Записок математического кружка при Оренбургском реальном училище» за 1911-13 гг. Константин Александрович опубликовал ряд работ по математике и методике ее преподавания, например:

1. Геометрическое представление кратной прогрессии и предела суммы членов бесконечно убывающей прогрессии [21].

2. К вопросу о вычислении корней кубического уравнения [22].

2. О вычислении дня празднования Пасхи по Юлианскому календарю [23].

3. Из архивной пыли [24].

4. О преобразовании алгебраической дроби в сумму дробей [25].

К.А. Торопов вел большую общественную работу, выступал на различных совещаниях учителей, был руководителем Оренбургского педагогического общества, читал публичные лекции по педагогике и методике преподавания математики. Первого января 1912 г. Константин Александрович был произведен в чин действительного статского советника [19, с. 26]. После революции он возглавлял комиссию по составлению новой программы по математике для средних учебных заведений.

При этом он продолжал свои научные изыскания. Так, в 1916 г. вышла в свет его работа «Об одном линейном дифференциальном уравнении второго порядка» [26], которая была посвящена уравнению:

Его общее решение К.А. Торопов представил в следующем виде:

где Ми N— произвольные постоянные

В 1919 г. был создан Оренбургский институт народного образования (ОИНО), на базе которого в дальнейшем был организован педагогический институт (ныне Оренбургский государственный педагогический университет) [27, с. 26].

Преподавателями физико-технического отделения института стали квалифицированные педагоги, ранее работавшие в учебных заведениях Оренбурга. Среди них был К. А. Торопов, его сын Александр Константинович (1888 г.р., преподавал в ОИНО высшую математику), Алексей Федорович Виноградов (1876 г.р., преподавал в ОИНО физику, заведовал физическим кабинетом и лабораторией), Иван Михайлович Чубинский (1887 г. р., в ОИНО вел лекции и практические занятия по введению в математический анализ), Александр Прокопьевич Токмаков (1881 г. р., в ОИНО вел занятия по элементарной математике, астрономии и методике преподавания математики) [28-30]. В этом же году Народный комиссариат просвещения Киргизской ССР присвоил К. А. Торопову звание профессора математики [31]. Помимо чтения лекций и ведения практических занятий по математике, высшей алгебре и тригонометрии, Константин Александ-

рович заведовал факультетской физико-математической библиотекой, большую часть которой составляли его личные книги.

Весной 1919 г. по инициативе группы инженеров в Оренбурге был открыт политехнический техникум. Через год он преобразован в институт [32]. С 1919 г. и до закрытия в 1923 г. К.А. Торопов был ректором этого учебного заведения [3, с. 71].

В 1930 г. была организована кафедра математики, которая вошла в состав физико-технического отделения Татаро-Башкирского педагогического института г. Оренбурга (заменившего ОИНО). Ее возглавил первый штатный профессор института К.А. Торопов [33, с. 122].

В последнее десятилетие своей жизни Константин Александрович опубликовал ряд интересных работ по методике преподавания математики в «Вестнике просвещения Оренбургского губернского отдела народного образования» [6, с. 71].

Константин Александрович умер 26 июня 1933 г.

Около полувека К. А. Торопов преподавал математику. Тысячи учителей получили математическую и методическую подготовку под его руководством.

О нем сохранились воспоминания как о прекрасном преподавателе и бескорыстном человеке. Так, К.А. Степанова рассказывала, что ее мать Раиса Васильевна Овчинникова (преподаватель математики в Оренбурге в 1920-х годах) в детстве брала уроки у К.А. Торопова. Константин Александрович определил большие способности девочки, рекомендовал продолжать заниматься математикой и, учитывая тяжелое материальное положение ее матери-вдовы, отказался от вознаграждения за уроки. Р.В. Овчинникова впоследствии окончила курсы при Московском университете и стала учителем математики.

Роль К.А. Торопова в жизни Оренбургского педагогического вуза была охарактеризована в юбилейной речи директора института Чарышева А.А. «Пять лет работы Татаробашкирского пединститута», произнесенной 1 июня 1935 г.: «Топов много работал по организации кафедры математики, и много помогал своим опытом и знаниями в разрешении научных проблем. Он любил институт и, несмотря на свои преклонные годы, усердно работал на благо института. Свою богатую библиотеку он перед смертью завещал институту. И доныне знавшие его студенты вспоминают его с большим уважением» [34, с. 2-3].

Библиографический список

1. Бородин А.И., Бугай А.С. Выдающиеся математики: Биогр. слов.-справ. 2-е изд., перераб. и доп. - Киев: Рад. шк., 1987.

2. Справочная книга всех окончивших курс Пермской Духовной семинарии (1800-1900). В память исполнившегося в 1900 г. 100-летия Пермской Духовной семинарии. - Пермь: Изд-е священника Якова Шестакова, 1900. - 101 с.

3. ГАСО. Ф. 271. Оп.1 Д.11. № 157 об. Ведомости Калиновском Христорождественской церкви о священноцерковнослужителях за 1824-1854 годы. Ведомость о церкви Христорождественской Камышловского уезда, Калиновского села Екатеринбургской епархии за 1854 г.

4. Историческая справка о селе Калиновском, входящем в состав МО «Калиновское сельское поселение» - Департамент информационной политики Губернатора [Электронный ресурс] / http:// gerb.rossel/ter/ter45.

5. Начальные основания геометрии, сочиненные для руководства в духовных учебных заведениях. - СПб., 1854.

6. Столяров Н. А. Константин Александрович Торопов // Математика в школе. -1955.-№ 1.-С. 70-71.

7. Торопов К.А. Об интегрировании в конечном виде одного класса дифференциалов. - Харьков: Университетская типография, 1885. -16 с.

8. Рябухин В.И. Пермский период жизни и творчества К.А. Торопова // Внеклассная работа по математике (Учебное пособие). - Пермь, 1976. - С. 124-128.

9. Торопов К.А. О приведении гиперэллиптических интегралов к эллиптическим. Исследования К. Торопова, преподавателя Пермской гимназии. - Пермь: Типография губернской земской управы, 1887. - 15 с.

10. Торопов К.А. Краткий курс прямолинейной тригонометрии. - Пермь: Тип. Губ. земск. управы, 1894. - 115с.

11. Торопов К.А. Магический ряд и применение его к решению задач. - Таганрог: Тип. П.Ф. Каменева, 1908. - 37с.

12. Торопов К.А. Магический ряд и применение его к решению задач. 2-е изд., испр. и доп. - Оренбург: Типо-литография т-ва Каримов, Хусаинов, 1911. - 50 с.

13. Торопов К.А. Конспективный курс прямолинейной тригонометрии. - Оренбург: Киргосиздат, 1922. - 116 с.

14. Новоселов СИ. Специальный курс тригонометрии. - М.: Высшая школа, 1967.

15. Пермский областной государственный архив. Ф. 185. Оп.1. Д. 141. Мнение преподавателя Торопова по вопросу о желательных изменениях программ, распределения учебного материала и числа уроков по математике.

16. Торопов К.А. Элементарная алгебра. Курс средних учебных заведений. - Пермь: Тип. Губ. земск. управы, 1900.

17. Торопов К. Памяти о Иоанне Первушине // Пермские губернские ведомости. -Пермь, 1900. 17 дек. (№ 273). - С. 3.

18. Памятная книга Оренбургского учебного округа на 1915 г. - Уфа, 1915. - С. 22-26.

19. Государственный архив Оренбургской области (ГАОО). Ф.82. Оп. 1. Д. 135.

20. Новак Н.М. Журнал «Записки математического кружка при Оренбургском реальном училище» как отражение уровня математического образования в оренбургской губернии в начале XX века // Математическое образование в Оренбургском крае. История и современность. - Оренбург: Изд-во ОГПУ, 2011. - С. 95-105.

21. Торопов К.А. Геометрическое представление кратной прогрессии и предела суммы членов бесконечно убывающей прогрессии. // Записки математического кружка при Оренбургском реальном училище. - Оренбург, 1912. №6 (первая половина 1911-1912 уч. год). - С. 32-34.

22. Торопов К.А. К вопросу о вычислении корней кубического уравнения // Записки математического кружка при Оренбургском реальном училище. - Оренбург, 1912. № 7 (вторая половина 1911-1912 уч. год). - С. 31-32.

23. Торопов К.А. О вычислении дня празднования Пасхи по Юлианскому календарю // Записки математического кружка при Оренбургском реальном училище. -Оренбург, 1912. № 7 (вторая половина 1911-1912 уч. год). - С. 39-49.

24. Торопов К.А. Из архивной пыли // Записки математического кружка при Оренбургском реальном училище. - Оренбург, 1912. № 7 (вторая половина 1911-1912 уч. год).-С. 51-54.

25. Торопов К.А. О преобразовании алгебраической дроби в сумму дробей // Записки математического кружка при Оренбургском реальном училище. - Оренбург, 1913. №8 (первая половина 1912-1913 уч. год). - С. 44-49.

26. Торопов К.А. Об одном линейном дифференциальном уравнении второго порядка. - Казань: Типо-лит. Имп. Казанского ун-та, 1916. - 24 с.

27. Оренбургский государственный педагогический университет. История в документах, воспоминаниях и фотографиях / Отв. ред. В.С. Болодурин. - Оренбург: Оренбургское книжное издательство, 1999. 256+8 с.

28. Государственный архив Оренбургской области (ГАОО). Ф. 1775. Оп. 1. Св. 2. Д. 16. Уставы института и штат ИНО (1 октября 1919 г. - 1 декабря 1919 г.).

29. Государственный архив Оренбургской области (ГАОО). Ф. 1775. Оп. 1. Св. 2. Д. 18. Материалы физико-математического факультета (15 октября 1919г. - 27 декабря 1919 г.).

30. Государственный архив Оренбургской области (ГАОО). Ф. 1775. Оп. 1. Св. 2. Д. 25. Список студентов и служащих ИНО за 1919 г. (1 октября 1919 г. - 1 декабря 1919г.).

31. До столетия ОГУ осталось бы немного... // Газета «Университет».- Оренбург: Изд-во ОГУ, 2010. № 33(1039).

32. Игнатушина И.В. Константин Александрович Торопов и математическое образование в Оренбурге // Математическое образование в Оренбургском крае. История и современность. - Оренбург: Изд-во ОГПУ, 2011. - С 106-130.

33. Игнатушина И.В. Очерк истории кафедры математического анализа и методики преподавания математики Оренбургского государственного педагогического университета // История математического образования в России XVIII-XX вв. -Оренбург: Изд-во ОГПУ, 2013. - С. 121-148.

34. Кауфман Б.Л. Из истории кафедр математики Оренбургского государственного педагогического института. Рукопись, 1980. - 32 с. (В настоящее время хранится в музее ОГПУ).

РОЛЬ ЛИЧНОСТИ УЧЕНОГО В СОЗДАНИИ НАУЧНОЙ ШКОЛЫ (ИСТОРИЧЕСКАЯ РЕТРОСПЕКТИВА)

Ю.В. Лобзина

Орловский государственный университет им. И. С. Тургенева, г. Орел; кандидат педагогических наук, доцент

Аннотация. В статье затрагивается проблема научного образования, создания научных школ с современной точки зрения и в исторической ретроспективе. Описывается личность профессора Николая Дмитриевича Брашмана как создателя механико-математической школы в Московском университете в середине XIX века.

Ключевые слова: научная школа, признаки научной школы, математика, механика, Н.Д. Брашман.

Наука - самое важное, самое прекрасное и нужное в жизни человека, она всегда и будет высшим проявлением любви, только ею одною человек победит природу и себя.

А. П. Чехов

Народ, не знающий своего прошлого, не узнает будущего.

М.В. Ломоносов

В последнее время актуальной является проблема качества проводимых научных диссертационных исследований. В связи с этим появляется большое количество работ, посвященных вопросу проведения научных исследований и подготовке ученых-профессионалов своего дела. Общепризнанным является тот факт, что важнейшей формой профессиональной научной подготовки будущих ученых были и остаются научные школы. Неслучайно в концептуальных документах и официальных источниках осуществление государственной поддержки научных школ определяется как одно из важнейших условий повышения качества профессионально-научного образования. Этим объясняется возрастающий интерес к проблемам создания и развития научных школ.

По мнению исследователей, научное образование выступает в качестве одной из базовых отраслей образования, чем объясняется «необходимость специальной научной подготовки научных руководителей», наставников [3, с. 6]. Ведь не каждый талантливый ученый способен организовать свою научную школу, передать свое дело ученикам. Великие ученые -Д.И. Менделеев, А. Эйнштейн - не имели близких учеников, не создали своих школ и не воспитали последователей. Однако не будем отрицать тот факт, что в истории науки были выдающиеся ученые, не имевшие педагогического образования, но создавшие достойные научные школы, опираясь только на свой практический научный опыт. Примером тому служат научные школы в разных отраслях человеческого знания: Н. Бор (физика), Л.С. Выготский (психология), Н.Е. Жуковский (механика), А.Н. Колмогоров (математика), И.П. Павлов (физиология) и др. Эти научные школы получили мировую известность. Именно поэтому, на наш взгляд, анализ и изучение исторического опыта создания научных школ требует специального рассмотрения и анализа.

Под научной школой будем понимать исторически сложившийся в течение длительного периода коллектив исследователей, возглавляемый знаменитым ученым, отличающийся схожими в научном смысле интересами своих членов, значительными научными результатами в области проблематики школы и существенными достижениями в подготовке научно-педагогических кадров в выбранной сфере исследований. В Постановлении Правительства Российской Федерации «О мерах по государственной поддержке молодых российских ученых - кандидатов наук и докторов наук и ведущих научных школ Российской Федерации» указывается, что

«научной школой Российской Федерации считается сложившийся коллектив исследователей различных возрастных групп и научной квалификации, связанных проведением исследований по общему научному направлению и объединенных совместной научной деятельностью» [6].

Мы выделили главные признаки научных школ, обобщив материалы исследователей по проблемам развития научного образования:

- теоретическое единство научных интересов;

- научная значимость исследуемых проблем;

- существенный уровень научных результатов членов научной школы, постоянное «производство» научных идей;

- признание научных результатов школы в стране (за рубежом);

- преемственность научных традиций, подготовка научных кадров, работа с научной молодежью;

- постоянное функционирование семинара, кружка школы;

- длительный период функционирования научной школы;

- присутствие научного лидера-организатора или продолжателя традиций школы.

Какими же качествами должен обладать ученый-лидер, организатор научной школы? Что это должна быть за личность? Если охарактеризовать кратко, то это одаренный исследователь, талантливый педагог, способный организатор и высоконравственная личность с устоявшимися морально-этическими качествами.

Феномен научных школ традиционно является одним из важнейших объектов исследования истории науки. Обратимся к истории математики и механики Московского университета середины XIX века. Математика и механика в тот период определялись, прежде всего, научными кадрами, которые становились носителями традиций развития науки. Ученые-исследователи вносили весомый вклад в воспитание будущего поколения деятелей науки, сами перевоспитываясь в ходе строительства нового научного знания. В то время в Московском университете было немало выдающихся профессоров. Математику в середине XIX века преподавали профессора Н.Е. Зернов (1804-1862), А.Ю.Давидов (1823-1886) и В.Я. Цингер (1836-1907), теоретическую механику - Н.Д. Брашман (1796— 1866), Ф.А. Слудский (1841-1897), физику - Н.А.Любимов (1830-1897), практическую механику - А.С. Ершов (1818-1867).

Дальнейшая речь в нашей статье пойдет о механико-математической научной школе Н.Д. Брашмана. Очевидно, что в тот период научная школа существенно отличалась от современных научных школ. Ведь и наука за полтора века совершила огромный скачок. А в середине XIX века математика и механика не были развиты на должном уровне.

Николай Дмитриевич Брашман родился в Росенов (Моравия) в семье купца. В 1821 году Н.Д. Брашман окончил Венский университет. В 1823 году в поисках работы отправился в Петербург. В 1824 году Н.Д. Брашман

работал учителем математики и физики в Петропавловском училище Петербурга. С 1825 года Н.Д. Брашман работал в течение девяти лет в Казани, преподавая и чисто математические, и прикладные дисциплины.

В 1834 году Николай Дмитриевич был назначен экстраординарным профессором по кафедре прикладной математики в Императорском Московском университете, а уже в 1835 году - ординарным профессором. В Москве произошло знаковое событие в жизни ученого - он перешел в православную веру [2].

На физико-математическом факультете университета Н.Д. Брашман преподавал теоретическую механику в течение тридцати лет. В 1859 году им был выпущен курс теоретической механики, изложенный на высоком научном уровне. Н.Д. Брашман всегда с честью исполнял свои профессиональные обязанности профессора университета, к которым относил, кроме педагогической деятельности, написание учебников, научную работу и популяризацию науки.

Н.Д. Брашман постоянно искал в студентах талантливых и даровитых молодых людей и побуждал таких к самостоятельной работе в области математики и механики. Так было, например, с А.Ю. Давидовым, в котором ученый сразу угадал одаренного ученика. В последующие годы А.Ю. Давидов, став преподавателем на физико-математическом факультете Московского университета, начал читать курс элементарной механики, который готовил студентов для усвоения сложного курса теоретической механики его учителя - профессора Н.Д. Брашмана. Тем самым учитель и ученик работали в тесном контакте на благо развития механико-математического образования.

Кроме теоретической механики Николай Дмитриевич преподавал аналитическую геометрию. Все его лекции были интересны содержательны. В 1836 году Н.Д. Брашман написал лучший для того времени «Курс аналитической геометрии», удостоенный Академией наук Демидовской премии.

Н.Д. Брашман получил заслуженную известность как ученый. Он был автором ряда сочинений по математике, которые «имели целью ознакомить лиц, интересовавшихся успехами физико-математических наук, с некоторыми новыми результатами, полученными видными иностранными учеными» [6, с. 344]. Это такие научные работы, как:

- «О трансцендентных функциях Абеля» (1834);

- «Рассуждение Пуассона об интегралах алгебраических функций» (1835);

- «Примечание к теории наибольших и наименьших величин функции многих переменных» (1835).

Его основные научные труды посвящены гидромеханике и принципу наименьшего действия. Среди них следует отметить мемуары:

- «Определение положений равновесия плавающих тел» (1855);

- «О приложении принципа наименьшего действия к определению объема воды на водосливе» (1861).

За свой труд по механике «Теория равновесия тел» (1838) Николай Дмитриевич был удостоен второй Демидовской премии.

В 1842 году Н.Д. Брашман совершил поездку за границу, посетив Германию, Францию, Англию, где в 1842 г. на Манчестерском съезде Британской ассоциации сделал научный доклад «О молекулярных силах», который позднее вошел в его курс статики. Его доклад поместили перед докладом Якоби. При этом президент Британской ассоциации Дж. Пикок представил Николая Дмитриевича как «знаменитого московского профессора» [1, с. 143]. Ученый Дж. Гершель произнес важные и лестные для любого, преданного науке человека слова, которые свидетельствовали о том, что имя Н.Д. Брашмана стало известным европейскому математическому сообществу: «Между нами есть ученый из России, который написал мемуар величайшей важности. Незадолго мы считали бы математический мемуар на русском языке явлением необыкновенным, но науки двигаются вперед, и успехи России изумительны» [1, с. 143]. В письме попечителю Московского учебного округа С.Г. Строганову А. Гумбольт так отзывался о Н.Д. Брашмане: «Господин Брашман не только математик высшего порядка, но и человек большого таланта, с разносторонними познаниями, интересный собеседник. Он произвел такое впечатление и на крупных математиков, которыми гордится Франция» [5, с. 156]. Успехи России в математике были связаны с именем Н.Д. Брашмана.

С середины XIX века в Московском университете появилось поколение талантливых математиков, механиков, физиков, которые гордо могли назвать себя учениками выдающегося механика, математика и педагога своего времени Н.Д. Брашмана. Это А.Ю. Давидов, В.В. Преображенский (1846-1905), Ф.А. Слудский, О.И. Сомов (1815-1876), В.Я. Цингер и др.

Николай Дмитриевич Брашман прикладывал немало усилий для воспитания молодого поколения в науке. За два года до смерти, уже после ухода из университета, профессор продолжал встречаться со своими учениками у себя дома. Ученики были его отрадой. Он гордился «выращенным» поколением ученых, его ученики, в свою очередь, отвечали ему глубокой признательностью. Вот какие слова, полные искренней благодарности, они произнесли своему учителю, когда тот решил закончить свою педагогическую карьеру: «Вы составили себе, Николай Дмитриевич, многочисленную семью, разбросанную по всей земле русской. Сорок лет тому назад вступили вы на поприще профессорской деятельности и с самого начала вложили в исполнение своих обязанностей то теплое чувство, ту строгую добросовестность, которые одни только служат ручательством верного успеха. Вы не довольствовались одним чтением лекций; в своей аудитории вы постоянно искали молодых людей, прилежных и способных, из которых могли бы выйти достойные ученые. Вы лелеяли их, как своих род-

ных детей, ваш дом был их домом, ваш стол - их столом, ваши книги принадлежали им; в нужде и неудаче они постоянно находили в вас совет и опору... Вы образовали рассадник молодых ученых, которым пользуются почти все русские университеты» [4]. Автором этих слов был едва ли не самый благодарный ученик - Август Юльевич Давидов. Эти слова характеризуют Н.Д. Брашмана как гуманного, добросовестного и ответственного ученого и преподавателя, преданного своему делу.

Научные интересы Н.Д. Брашмана и А.Ю. Давидова часто пересекались. Так, Николай Дмитриевич, так же как и его ученик, был увлечен проблемой определения равновесия плавающих тел. Мы уже упоминали выше, что в 1855 году вышел мемуар Н.Д. Брашмана «Определение положений равновесия плавающих тел», в котором он значительно упрощал способ определения положений равновесия плавающего тела. Но Н.Д. Брашман, всегда гордившийся достижениями коллег, а тем более любимых учеников, старался не возвышать свое достижение. Напротив, в предисловии к своему мемуару он писал: «Хотя в этой статье способ определения положений равновесия плавающего тела много сокращен, но долгом считаю сказать, что несравненно легче сократить данное решение вопроса, нежели найти это решение; поэтому полное достоинство аналитического решения вопроса об определении положений равновесия плавающего тела принадлежит профессору Давидову» [7, с. 519]. Данная позиция, на наш взгляд, свидетельствует, прежде всего, о научной этике профессора Н.Д. Брашмана и заслуживает уважения со стороны каждого, имеющего отношение к научным исследованиям.

Едва ли не самым важным делом в жизни каждого - и Н.Д. Брашмана, и А.Ю. Давидова - явилось непосредственное их участие в организации Московского математического общества. Благодаря авторитету Н.Д. Брашмана Общество получило мощный старт. Именно личность признанного и уважаемого человека в ученом мире, которым, безусловно, был Николай Дмитриевич, на наш взгляд, послужила объединению людей, заинтересованных в развитии чистой и прикладной математической науки.

Приведем список некоторых учеников Н.Д. Брашмана, пошедших по его стопам и достигших успехов в развитии научных проблем математики и механики, относящихся к сфере научных интересов своего учителя. Давидов Август Юльевич. Некоторые работы по математике: «Об уравнениях с частными дифференциалами какого-нибудь порядка» (1866);

«Замечание об Абелевых функциях» (1870);

«Об одной общей формуле в теории определенных интегралов» (1882).

Работы по механике:

«Теория равновесия тел, погруженных в жидкость» (1848); «Теория капиллярных явлений» (1851);

«Замечание к теории капиллярности» (1856);

«О наибольшем числе положений равновесия плавающей трехгранной призмы» (1856).

Сомов Осип Иванович.

Работы по математике: «Теория алгебраических уравнений высших степеней» (1838); «Об интегралах алгебраических иррациональных дифференциалов с одной переменной» (1841).

Преображенский Владимир Васильевич.

Работы по математике: «Об интегрировании уравнений с частными производными 2-го порядка» (1874); «Об интегрировании Лапласова уравнения с помощью кватернионов».

Работы по механике:

«Частный случай движения жидкой площади» (1868); «Об устойчивости равновесия твердого тела под действием центральной силы».

Слудский Федор Алексеевич.

Работы по механике:

«О равновесии и движении капельной жидкости при взаимодействии ее частиц» (1865);

«О числе положений равновесия плавающей призмы» (1875);

«К вопросу о числе положений равновесия плавающей трехгранной призмы» (1877).

Цингер Василий Яковлевич.

Работы по механике:

«Об относительном движении брошенной точки» (1866);

«О движении свободной жидкой массы» (1867);

«Об одном случае равновесия жидкости» (1873).

Ученики Н.Д. Брашмана свято чтили его наставления и во многом повторяли его путь. Любовь к науке они приобрели благодаря своему учителю - одаренному математику и механику, талантливому педагогу, способному организатору и высоконравственной личности.

Н.Д. Брашман - яркий, творчески одаренный ученый-математик и механик - воспитал не одно поколение блистательных ученых, сыграл огромную роль в развитии математики и механики в XIX веке, заложив основы едва ли не первой в строго научном смысле российской научной школы.

Библиографический список

1. Выгодский М.Я. Математика и ее деятели в Московском университете во второй половине XIX века // Историко-математические исследования. - 1948. - Вып. 1. -С. 141-183.

2. Грибов А.Ю., Саввина О.А. Педагог-математик Н.Д. Брашман и его мировоззренческие взгляды // Проблемы теории и практики обучения математике: Сборник научных работ, представленных на Международную научную конференцию «64 Герценовские чтения». - СПб.: Изд-во РГПУ им. А.И. Герцена, 2011.С.З-8.

3. Грязнева О.Ю. Научные школы (педагогический аспект). - М., 2003. - 69 с.

4. Московские ведомости. - 1864. - № 213.

5. Переписка А. Гумбольта с учеными и государственными деятелями России. - М., 1962.-356 с.

6. Постановление Правительства Российской Федерации от 27 апреля 2005 года № 260 «О мерах по государственной поддержке молодых российских ученых - кандидатов наук и докторов наук и ведущих научных школ Российской Федерации» (с изменениями на 2 сентября 2014 года) [электронный ресурс] // URL: http: www.pravo.gov.ru

7. Прудников В.Е. Педагоги-математики XVIII-XIX веков. - М.: Учпедгиз, 1956. -640 с.

ЮБИЛЕЙНЫЕ И ПАМЯТНЫЕ ДАТЫ 2016 ГОДА

Р.А. Мельников

Елецкий государственный университет им. И. А. Бунина, г. Елец, кандидат педагогических наук, доцент кафедры математики и методики ее преподавания

Аннотация. В статье приведен обзор юбилейных дат, связанных с именами известных отечественных математиков, а также педагогов-математиков, внесших ощутимый вклад в развитие математического образования в России. Даются краткие сведения о каждой персоне, содержащие обзор научных достижений и наиболее важных трудов.

Ключевые слова: математик, математик-педагог, специалист в области, основные труды, автор.

2016 год оказался весьма богатым на юбилейные даты со дня рождения многих известных отечественных математиков и деятелей математического образования России.

Так, 260 лет назад родился Головин Михаил Евсеевич (1756-1790) -один из родоначальников русской методической науки, затрагивавшей вопросы преподавания математики и физики. Племянник М.В. Ломоносова. Автор учебников по тригонометрии и геометрии. Осуществил перевод на русский язык нескольких трудов великого Л. Эйлера, участвовал в редактировании собрания сочинений М.В. Ломоносова, публиковал академические словари. Область научных интересов: элементарная математика, механика, методика обучения математике.

250 лет: Гамалея Платон Яковлевич (1766-1817) - выходец с Украины, профессиональный моряк, математик и педагог. Автор курса «Вышняя теория морского искусства» (1801-1808 гг.), включавшего несколько томов. Вторая часть сочинения содержала курс «Начальных оснований вышних вычислений, с приложением оных к криволинейной геометрии и к навигации». Написал учебное пособие «Плоская и сферическая

тригонометрии» (изд. 1826). Был избран почетным членом Императорской академии наук.

Гурьев Семен Емельянович (1766-1813) - академик Петербургской академии наук (с 1798 г.), руководил академической гимназией. Область научных интересов: высшая математика, механика, методика и методология математики. Автор трудов: «Опыт об усовершенствовании элементов геометрии» (1798), «Науки исчисления» (1805), «Основания трансцендентной геометрии кривых поверхностей» (1806), «Рассуждение о математике и ее отраслях» (1809), «Основания дифференциального исчисления с приложением оного к аналитике» (1811), «Основания геометрии» (1811), «Краткое изложение различных способов изъяснять дифференциальное исчисление» (1813).

230 лет: Базен Петр Петрович (1786-1838) - механик, математик, педагог французского происхождения (Пьер Доминик), член-корреспондент (1817) и почетный член (1827) Петербургской АН. Автор трудов: «Начальные основания дифференциального исчисления» (1819), «Начальные основания интегрального исчисления» (1827).

220 лет: Брашман Николай Дмитриевич (1796-1866) - математик, заслуженный профессор Московского университета. Работал адъюнктом физико-математических наук Казанского университета (с 1825 г.), экстраординарным профессором по кафедре прикладной математики (механики) Московского университета (с 1834 г.), с 1835 г. - ординарный профессор по той же кафедре, член-корреспондент Российской Академии наук (с 1855 г.). Был организатором в 1864 г. Московского кружка любителей математики, а через два года этот кружок был реорганизован в Московское Математическое общество, сыгравшее выдающуюся роль в истории развития математики в России. В 1865 г. была учреждена при Московском университете премия Н.Д. Брашмана. Автор учебного издания «Курс аналитической геометрии» (1836) и множества статей методического плана. Гречина Григорий Власьевич (1796-1840) - математик и механик, доктор математических наук. Окончил Виленский университет (1816). Преподавал геометрию в должности адъюнкт-профессора в университете Святого Владимира (Киев), занимая кафедру чистой и прикладной математики. Работал в Харьковском университете. С 1837 г. - профессор. Севастьянов Яков Александрович (1796-1849) - математик, составитель первого курса по аналитической геометрии «Начальные основания аналитической геометрии» (1819), выполненного на родном языке. Создатель отечественной школы начертательной геометрии. Осуществил перевод на русский язык нескольких геометрических трудов французского математика Ш.М. Потье. Автор учебных изданий: «Основания начертательной геометрии» (1821), «Приложение начертательной геометрии к воздушной перспективе, к проекции карт и к гномонике» (1831), «Основания начертательной геометрии» (1834).

190 лет: Рахманинов Иван Иванович (1826-1897) - математик, механик, выпускник Московского университета (1848); доктор математических наук и астрономии (с 1856), заслуженный ординарный профессор математики, профессор механики; декан физико-математического факультета и позже ректор университета Святого Владимира в Киеве. Меценат: для обучения крестьянских детей построил школу в родном селе Старая Казинка Козловского уезда (ныне Мичуринский район Тамбовской обл.).

180 лет: Буренин Константин Петрович (1836-1882) - педагог, выпускник Главного педагогического института (Петербург). Преподавал математику в гимназии г. Смоленска и 4-ой Московской гимназии. Один из авторов популярных учебников по математике: «Геометрия» (1862), «Собрание арифметических задач для гимназий (1866), «Руководство к арифметике» (1867), «Решение задач алгебры» (1875), «Арифметика: для гимназий» (1879).

Воленс Василий Петрович (1836-1903) - педагог, составитель нескольких широко распространенных учебников: «Элементарная геометрия Дистервега» (1862), «Начальные основания астрономической географии» (1868), «Сборник арифметических задач» (1870), «Алгебра» (1871), «Элементарная геометрия» (1872), «Начальная геометрия» (1872), «Метод элементарного преподавания арифметики в народных школах» (1880), «Арифметические задачи и элементарный курс дробей (1880) и др. Евтушевский Василий Андрианович (1836-1888) - математик-методист. В 1878-1882 гг. был редактором журнала «Народная школа». В 1879 г. был избран председателем Педагогического общества. Выдвинул идею преподавания элементарной математики концентрически. Разрабатывал программы уроков для пропедевтического курса геометрии. Составлял образцы задач, при решении которых необходимы знания из различных разделов математики. Автор учебных изданий: «Сборник арифметических задач» (1871), «Методика арифметики» (1872), «Методика приготовительного курса алгебры» (1876) и других.

Ковальский Матвей Федорович (1836-1900) - математик, доктор чистой математики, заслуженный профессор Харьковского университета (1891). Область научных интересов: математический анализ, геометрия. Автор учебных изданий: «Арифметика для первоначального обучения» (1865), «Курс интегрирования дифференциальных уравнений» (1897), «Интегрирование функций» (1898).

Рачинский Сергей Александрович (1836-1902) - педагог; человек, олицетворявший сочетание образованности и духовной нравственности. Автор учебника «1001 задача для умственного счета».

170 лет: Порецкий Платон Сергеевич (1846-1907) - математик, специалист в области математической логики. Интересовался историей математики. Выпускник Харьковского университета. Работал приват-доцентом в Казанском университете (1876-1889). Автор ряда интересных

статей и учебных изданий: «Об основах математической логики» (1881), «О способах решения логических равенств и об обратном способе математической логики» (1884), «Решение общей задачи теории вероятностей при помощи математической логики» (1887), «Исторический очерк развития сферической тригонометрии» (1887), «Из области математической логики» (1902).

Ярошенко Семен Петрович (1846-1917) - доктор физико-математических наук, профессор чистой математики (с 1871 г.), ректор Новороссийского университета (1881-1890). Впервые на русском языке доступно изложил основы проективной геометрии (1873). Область научных интересов: дифференциальные уравнения и теория определителей. Автор учебников: «Теория определителей» (1871), «Начала новой геометрии» (1873), «Алгебраические операции в области элементарных геометрических форм» (1878), «Некоторые теоремы из теории определителей» (1894).

160 лет: Александров Иван Иванович (1856-1919) - учитель математики, автор известных методических работ. Преподавал математику в средних учебных заведениях Тамбова и Москвы. Большую известность получили его работы «Методы решений геометрических задач на построение» (1882) и «Методы решения арифметических задач» (1887). Предложил методику решения геометрических задач на построение и типологию арифметических задач.

Марков Андрей Андреевич (1856-1922) - математик, академик Петербургской АН (с 1890 г.). Преподавал в Санкт-Петербургском университете (с 1880 г.). Специалист в области теории чисел, теории вероятностей и математического анализа. Основоположник широкого класса стохастических процессов с дискретной и непрерывной временной компонентой, которые стали называть в его честь. Автор многочисленных учебных и научно-методических трудов: «Исчисление конечных разностей» (1889), «Введение в анализ» (1892), «Приложение непрерывных дробей к вычислению вероятностей» (1899), «Исчисление вероятностей» (1900) и др.

150 лет: Алексеев Виссарион Григорьевич (1866-1943) - математик, доктор чистой математики, профессор. Выпускник Московского университета (1888). Член Московского Математического Общества. Преподавал в Юрьевском университете, был его ректором. С 1918 г. - первый ректор Воронежского университета. Специалист в области геометрии, теории вероятностей и математической статистики. Автор учебных и научно-методических работ: «Теория числовых характеристик систем кривых линий (исторический очерк системы конических сечений)» (1893), «Теория прямолинейных конгруэнций в связи с теорией поверхностей (по лекциям проф. Г. Дарбу)» (1897), «Теория рациональных инвариантов бинарных форм в направлении Софуса Ли, Кэли и Аронгольда» (1899), «Краткий курс аналитической геометрии с упражнениями» (1902) и др.

Станевич Виктор (Эмерик Ян) Иванович (1866-1932) - польско-российский математик. Преподавал в Константиновском артиллерийском училище, Бестужевских курсах, Корпусе инженеров путей сообщений и Электротехническом институте императора Александра III, Петербургском университете и Политехническом институте. В 1919 г. уехал из России, перебрался в Вильнюс, где в течение года работал ректором Университета Стефана Батория. Два года был председателем Польского математического общества. Автор научно-методических работ: «Об общем методе интегрирования алгебраических функций» (1886), «Об одной двукратной сумме» (1890).

Циммерман Владимир Акимович (1866-1939) - доктор чистой математики, профессор Императорского Новороссийского Университета (г. Одесса). Автор учебно-методических работ: «О разложении в непрерывную дробь функции, определяемой дифференциальным уравнением вида Mdy/dx + Ny + Ру2 + Q=0» (1889), «Правило Эйлера в применении к одному классу вопросов об относительных maxima и minima» (1899), «Десятичные приближения чисел и способы приближенного вычисления суммы, разности, произведения и частного» (1901), «Объем шара, шарового сегмента и шарового слоя» (1908).

140 лет: Белянкин Иван Иванович (1876-1913) - математик и механик, профессор математики. Преподавал в Киевском политехническом институте, Университете св. Владимира и Харьковском технологическом институте. Читал, главным образом, лекции по разделам геометрии. Автор учебно-методических изданий: «Основы учения о наложении поверхностей» (1898), «Общая теория фокусов кривых второго порядка» (1905), «Приведение общего уравнения кривой третьего порядка к простейшему виду» (1907) и ряда других.

Дынник Александр Николаевич (1876-1950) - доктор физико-математических наук, академик АН СССР (с 1946 г.), заслуженный деятель науки УССР (1943). Специалист в области прикладной математики. Основные труды по теории упругости, сопротивлению материалов, теории устойчивости.

Лукьянченко Семен Иванович (1876-1955) - математик, профессор Харьковского технологического института. Автор ряда статей, популяризирующих геометрию Лобачевского.

Мордухай-Болтовской Дмитрий Дмитриевич (1876-1952) - математик, профессор, основатель математической школы г. Ростов-на-Дону. Выпускник Петербургского университета (1898 г.). Преподавал в Варшавском политехническом институте. В 1910 г. сделал обобщение критерия Лиувилля разрешимости дифференциального уравнения в квадратурах. В 1913 г. решил 22-ю проблему Гильберта, доказав, что функция, определяемая известным рядом, не может быть определена алгебраическим дифференциальным уравнением. С 1915 г. - профессор университета в Ростове-на-

Дону (после эвакуации Варшавского университета). Написал ценные работы, посвященные истории математики, а также выполнил перевод трудов Евклида и И. Ньютона. Автор учебно-методических изданий: «Задачник по дифференциальному и интегральному исчислению» (1900), «Элементарные упражнения по дифференциальному и интегральному исчислению» (1904).

Пиотровский Борис Брониславович (1876-1929) - математик-педагог. Работал директором 1-й Оренбургской мужской гимназии. Сторонник эксперимента, связанного с введением начал анализа и теоретической арифметики в курс средней школы. Преподавал математику в педагогическом институте им. Герцена. Автор нескольких работ методического плана: «Курс теоретической арифметики в старших классах средней школы», «Изучение простейших функций и их графиков в курсе алгебры» и др. Его учебник «Тригонометрия» (1925) построен на основе функционального подхода.

Филиппов Владимир Михайлович (1876-1936) - математик, профессор. Преподавал математику в: Петроградском политехническом институте императора Петра Великого, Политехническом институте им. М.И. Калинина и Лесотехнической академии. Автор учебно-методических изданий: «Теория и практика элементарных приближенных вычислений» (1909), «Логарифмы» (1926), «Начала учения о целой алгебраической функции» (1926), «Функциональная зависимость между двумя переменными и графическое ее изображение» (1932) и др.

130 лет: Агрономов Николай Александрович (1886-1929) - математик, профессор. Выпускник Санкт-Петербургского университета (1910). Преподавал в Северо-Кавказском политехническом институте, Ставропольском институте сельского хозяйства (ректор), Читинском университете и Дальневосточном государственном университете. Редактор журнала «Математический листок» (1915). Автор ряда интересных работ в области теории чисел и высшей алгебры: «О некоторых классах неопределенных уравнений типа Хп\+Хп2+...+Хп\=0, решаемых в целых числах» (1915), «Свойства квадратов, построенных на сторонах треугольника» (1915), «О некоторых обобщениях и следствиях теоремы о геометрическом и арифметическом средних» (1916), «О преобразовании общего уравнения кривой второго порядка к простейшему виду» (1926), «Об одном методе изложения теории детерминантов» (1928) и др.

Безикович Яков Самойлович (Самуилович) (1886-1988) - математик, работавший в разных вузах России и СССР. Эмигрировал в Великобританию. Автор учебников: «Курс алгебры» (1928), «Задачи для повторительного курса по элементарной математике» (1929), «Приближенные вычисления» (1931), «Исчисление конечных разностей» (1939).

Дармостук Петр Макарович (1886-1948) - математик, профессор Харьковского университета. Научные интересы сосредоточены в области геометрии (линейчатой и кинематической геометрии).

120 лет: Александров Павел Сергеевич (1896-1982) - математик, профессор МГУ (с 1929 г.), академик АН СССР (1953). Основатель советской топологической школы. В МГУ организовал топологический семинар, которым руководил более 50 лет. Его учениками являются такие известные ученые, как академики АН СССР Л.С. Понтрягин и А.Н. Тихонов, а также академик АН Грузинской ССР Г.С. Чогошвили. Совместно с П.С. Урысоном развил теорию компактных и бикомпактных пространств. Был президентом Московского математического общества; один из основателей и многие годы главный редактор журнала «Успехи математических наук». Автор учебных изданий: «Комбинаторная топология» (1947), «Введение в гомологическую теорию размерности и общую комбинаторную топологию» (1975), «Введение в теорию множеств и общую топологию» (1977), «Курс аналитической геометрии и линейной алгебры» (1979) и многих других.

Гончаров Василий Леонидович (1896-1955) - математик. Выпускник Харьковского университета (1919). Доктор физико-математических наук (1935), профессор (1937), член-корреспондент АПН РСФСР (1944). Работал в учебных заведениях Харькова и Москвы. Занимался научно-исследовательской работой в Парижском университете. Обосновал необходимость изучения в курсе математики алгебраической символики, сформулировал важнейшие методические рекомендации к школьному курсу алгебры. Основные исследования относятся к теории функций (теория функций комплексного переменного, теория приближения функций полиномами), истории и методике математики. Получил важные научные результаты, связанные с интерполированием целыми функциями. Автор учебных пособий: «Записки по теории определителей» (1925), «Теория интерполирования и приближения функций» (1934), «Теория вероятностей» (1939), «Вычислительные и графические упражнения с функциональным содержанием в старших классах школы» (1948), «Теория функций комплексного переменного» (1955).

Дьяченко Вадим Евгеньевич (1896-1954) - профессор математики, член-корреспондент АН УССР (1934). Научные труды посвящены разработке приближенных и численных методов математической физики. Инициировал создание в Киевском университете лаборатории вычислительной математики.

Зетель Семен Исаакович (1896-1977) - математик, кандидат физико-математических наук, доцент. Специалист в области элементарной геометрии: «треугольников начальник и трапеций командир». Более 40 лет преподавал в Московском электротехническом институте связи. Автор популярных научно-методических изданий: «Новая геометрия треугольника»

(1940), «Задачи на максимум и минимум» (1948), «Геометрия линейки и геометрия циркуля» (1950).

Лаппо-Данилевский Иван Александрович (1896-1931) - профессор математики, член-корреспондент АН СССР. Область научных интересов: дифференциальные уравнения, алгебра. Занимался изучением теории функций от матриц в связи с исследованием свойств решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Его труды были изданы уже после неожиданной смерти ученого: «Теория функций от матриц и системы линейных дифференциальных уравнений» (1934), «Применение функций от матриц к теории линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений» (1957).

Парно Иван Константинович (1896-1979) - математик-педагог. Выпускник Новороссийского университета (1918); кандидат педагогических наук, доцент (1952), заслуженный деятель науки Молдавской ССР. Преподавал в Кишиневском пединституте им. И. Крянгэ. Заведовал кафедрой алгебры и геометрии в Кишиневском университете. Автор многих научных работ по методике преподавания математики, среди которых наиболее известны пособия для учителей: «Производная и ее применение к исследованию функций» (1968), «Интегралы в X классе средней школы» (1970). Был инициатором составления русско-молдавского терминологического словаря по математике (1955).

Ремез Евгений Яковлевич (1896-1975) - математик, доктор физико-математических наук (1936), профессор (1938), член-корреспондент АН УССР (1939). Работал в вузах Киева: горном институте, институте социального воспитания, педагогическом институте, университете, Институте математики АН УССР. Сфера научных интересов: конструктивная теория функций, приближенный анализ, история математики. Автор монографий, изданных в Киеве: «О методах наилучшего, в смысле Чебышева, приближенного представления функций» (1935), «Введение в математический анализ» (1952), «Общие вычислительные методы чебышевского приближения. Задачи с линейно входящими вещественными параметрами» (1957), «Основы численных методов чебышевского приближения» (1969). Романовский Владимир Борисович (1896-1959) - доктор технических наук, профессор (1937). Преподавал в Ленинградском электротехническом институте связи. Занимался приложениями математики (численных методов, операционного исчисления) к изучению процессов в электрических цепях.

Смогоржевский Александр Степанович (1896-1969) - математик, доктор физико-математических наук (1945), профессор, заслуженный деятель науки УССР. Преподавал в Киевском политехническом институте. Его исследования касались построений на евклидовой и гиперболической плоскостях. Автор учебно-методических изданий: «Геометрические построения в плоскости Лобачевского» (1951), «Метод координат» (1952), «Основы

геометрии» (1954), «О геометрии Лобачевского» (1957), «Линейка в геометрических построениях» (1957), «Элементы тензорного исчисления и теории вероятностей» (1959), «Дифференциальные уравнения математической физики и начала теории функций комплексного переменного» (1959). Один из составителей справочников: «Справочник по теории плоских кривых третьего порядка» (1961), «О некоторых плоских алгебраических кривых» (1965).

Соколов Юрий Дмитриевич (1896-1971) доктор физико-математических наук (1929), профессор (1930), член-корреспондент АН УССР (1939). Научные труды по теории дифференциальных уравнений и численных методов. Автор монографии «Метод усреднения функциональных поправок» (1967). Внес уточнения и обобщения в ранее известные теоремы Пэнвеле, Слудского-Вейершрасса, Дзиобека, Шази и др.

Шиманский Иван Евгеньевич (1896-1982) - математик-методист. Выпускник Киевского университета. Работал в вузах Киева: гидромелиоративном и педагогическом институтах. Автор учебно-методических пособий: «Очерки по методике преподавания систематического курса арифметики» (1953), «Преподавание геометрии в средней школе. Планиметрия» (1953), «Методика стереометрии» (1956), «Методика решения задач на построение» (1960) и других.

Яновская (урожденная Неймарк) Софья Александровна (1896-1966) -математик, профессор (с 1931 г.), основатель советской школы философии математики. Работала в Пермском государственном университете и МГУ. Была одним из организаторов научно-исследовательских семинаров по математической логике и по истории математики при МГУ.

110 лет: Власов Василий Захарович (1906-1958) - член-корреспондент АН СССР. Сфера научных интересов: механика, математические методы в механике. В теории дифференциальных уравнений известны уравнения и системы уравнений Власова.

Волков Даниил Макарьевич (род. в 1906 г.) - доктор физико-математических наук (1949), профессор (1950). Автор книг: «Дифференциальные уравнения и их приложения в естествознании» (1961), «Теория функций комплексного переменного».

Гахов Федор Дмитриевич (1906-1980) - математик, доктор физико-математических наук (1942), профессор (1943), академик АН БССР (1966), один из родоначальников теории краевых задач для аналитических функций. Работал в университетах Казани, Ростова-на-Дону и Минска. Автор фундаментальных математических трудов: «Краевые задачи» (1958), «Уравнения типа свертки» (1978).

Гельфонд Александр Осипович (1906-1968) - член-корреспондент АН СССР (с 1939 г.), член-корреспондент Международной Академии истории науки (с 1968 г.). Работал в МГУ и МИАН СССР. Область научных интересов: теория чисел и ТФКП. Автор книг: «Трансцендентные и алгебраи-

ческие числа» (1952), «Элементарные методы в аналитической теории чисел» (1962), «Вычеты и их приложения» (1966), «Исчисление конечных разностей» (1967) и других.

Голузин Геннадий Михайлович (1906-1952) - математик, ученик академика В.И. Смирнова; доктор физико-математических наук (1936), профессор (1938), основатель ленинградской школы геометрической теории аналитических функций. Работал в Ленинградском государственном университете. Автор монографий: «Конформное отображение односвязных и многосвязных областей» (1937), «Некоторые вопросы теории однолистных функций» (1949), «Геометрическая теория функций комплексного переменного» (1952).

Данилевский Александр Михайлович (1906-1941) - инженер-электрик по образованию. Работал в вузах г. Харьков: технологическом и электротехническом институтах, университете. Один из авторов классического учебника «Операционное исчисление и контурные интегралы» (1937). Демидович Борис Павлович (1906-1977) - доктор физико-математических наук (1963), профессор (1965). Выпускник первого вуза Белоруссии - БГУ. Работал в МГУ, где многие годы был одним из руководителей научно-исследовательского семинара по качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Автор известных учебников и задачников: «Краткий курс высшей математики» (1949), «Сборник задач и упражнений по математическому анализу» (1952), «Методы вычислительной математики» (1958), «Численные методы анализа. Приближения функций, дифференциальные уравнения» (1962), «Уравнения математической физики» (1965), «Лекции по математической теории устойчивости» (1967). Конторович Михаил Иосифович (1906-1987) - заслуженный деятель науки и техники РСФСР, доктор технических наук, профессор. Специалист в области радиофизики и прикладной математики. В его честь названо известное в математике интегральное преобразование Конторовича-Лебедева. Автор книги «Операционное исчисление и нестационарные явления в электрических цепях» (1955).

Левин Борис Яковлевич (1906-1993) - математик, доктор физико-математических наук (1939), профессор (1939). Работал в вузах Ростова-на-Дону, Одессы и Харькова. Область научных интересов: теория функций, функциональный анализ. Автор книг: «Распределение корней целых функций» (1956), «Целые функции: (курс лекций)» (1971). Лопатинский Ярослав Борисович (1906-1981) - доктор физико-математических наук, профессор (1947). Академик АН УССР (1965). Работал в вузах Баку, Львова, Москвы и Донецка. Видный специалист в области дифференциальных уравнений в частных производных. Автор книг: «Основы линейной алгебры» (1954), «Введение в современную теорию дифференциальных уравнений в частных производных» (1980), «Обыкновенные дифференциальные уравнения» (1984).

Макаров Иринарх Петрович (1906-1984) - математик, профессор, заслуженный деятель науки РСФСР. Работал в Рязанском государственном педагогическом институте. Специалист по качественной теории дифференциальных уравнений. Автор учебных пособий всесоюзного уровня: «Теория функций действительного переменного» (1958), «Дополнительные главы математического анализа» (1968).

Молодший Владимир Николаевич (1906-1986) - доктор физико-математических наук, профессор. Окончил Иркутский университет (1928). Работал в МГУ и МГПИ. Был редактором в издательстве Учпедгиз. Специалист по истории и методологии математики. Автор учебных пособий: «Эффективизм в математике» (1938), «Основы учения о числе в XVIII веке» (1953), «Элементы истории математики в школе» (1953), «Очерки по вопросам обоснования математики» (1958), «Основы учения о числе в XVIII и начале XIX веков» (1963), «Очерки по философским вопросам математики» (1969).

Натансон Исидор Павлович (1906-1964) - математик, ученик Г.М. Фихтенгольца, доктор физико-математических наук (1937), профессор (1939). Работал в Ленинградском университете, заведовал кафедрой математического анализа. Специалист в области «конструктивной теории функций». Автор научных монографий «Основы теории функций вещественной переменной» (1941), «Конструктивная теория функций» (1949), а также научно-популярных книг «Простейшие задачи на максимум и минимум» (1950), «Суммирование бесконечно малых» (1953) и учебника «Краткий курс высшей математики» (1963).

Погребысский Иосиф Бенедиктович (1906-1972) - математик, доктор физико-математических наук (1965), научный сотрудник ИМ АН УССР. Область научных интересов: история науки, в том числе история математики. Автор и редактор нескольких историко-биографических изданий: «Михаил Васильевич Остроградский. 1801-1862: Жизнь и работа: Научное и педагогическое наследие» (1963), «От Лагранжа к Эйнштейну: Классическая механика XIX в.» (1966), «Фердинанд Миндинг. 1806-1885» (1970), «Готфрид Вильгельм Лейбниц. 1616-1716» (1971), «Паскаль. 1623-1662» (1971).

Рымаренко Борис Александрович (1906-1966) - математик, доктор физико-математических наук, профессор. Работал в Ленинградском механическом институте. Занимался вопросами приближения функций посредством полиномов.

Тихонов Андрей Николаевич (1906-193) - математик и геофизик, доктор физико-математических наук (1936), профессор, академик АН СССР (1966). Работал в МГУ, институте Теоретической геофизики АН СССР; был директором Института прикладной математики им. М.В. Келдыша АН СССР. Обладал широким кругом научных интересов, но наибольшее внимание уделял теории разностных схем и некорректным задачам. Разработал вычислительный метод, называемый «методом регуляризации Тихонова». Один из авторов учебников и монографий: «Уравнения математиче-

ской физики» (1951), «Теория функций комплексной переменной» (1967), «Сборник задач по математической физике» (1972), «Методы решения некорректных задач» (1974), «Рассказы о прикладной математике» (1979), «Дифференциальные уравнения» (1985), «Численные методы решения некорректных задач» (1990) и многих других. Сыграл важную роль в кон-треформе школьного математического образования 70-х годов XX века. Фаддева (урожденная Замятина) Вера Николаевна (1906-1983) - кандидат физико-математических наук. Специалист в области вычислительной математики. Работала в ЛОМИ СССР. Жена Д.К. Фаддеева. Один из авторов книги «Вычислительные методы линейной алгебры» (1982). Челидзе Владимир Георгиевич (1906-1978) - математик, профессор, член-корреспондент АН Грузинской ССР (с 1967). Преподавал в Тбилисском университете. Основные труды затрагивают фундаментальные проблемы теории функций действительного переменного. Автор монографий: «Об одной теореме о поверхностном интеграле» (1940), «Некоторые методы суммирования двойных рядов и двойных интегралов» (1977), «Теория интеграла Данжуа и некоторые ее приложения» (1978).

Юшкевич Адольф Павлович (1906-1993) - известный историк математики, профессор (1940). Заслуженный деятель науки РСФСР (1966). Работал в МВТУ, в Институте истории естествознания и техники АН СССР. Основные труды по истории средневековой математики, математики XVII-XIX вв. (особенно по истории математического анализа) и отечественной математики. Основатель (в 1948 совместно с Г.Ф. Рыбкиным) и ответственный редактор сборников «Историко-математические исследования».

100 лет: Арешкин Григорий Яковлевич (1916-2005) - доктор физико-математических наук, профессор. Работал заведующим кафедрой математики Высшего военного инженерно-технического Краснознаменного училища (г. Ленинград). Автор учебных пособий: «Кратные и криволинейные интегралы» (1971), «Интегральное исчисление функции одной переменной» (1972), «Элементы теории рядов Фурье и уравнений математической физики» (1975).

Бартенев Федор Александрович (1916-1983) - математик-педагог. Работал в средней школе г. Евпатория. Организатор школы юных математиков. Область научных интересов: методика обучения математике в школе. Автор книги «Нестандартные задачи по алгебре» (1976).

Бицадзе Андрей Владимирович (1916-1994) - математик, доктор физико-математических наук (1951), профессор (1960). Член-корреспондент АН СССР (1958), академик АН Грузинской ССР (1969), член-корреспондент РАН (1991). Специалист в области уравнений математической физики. Автор ряда книг: «Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка» (1966), «Некоторые классы уравнений в частных производных» (1981), «Уравнения математической физики» (1982), «Основы теории аналитических функций комплексного переменного» (1984). Бородин Алексей Иванович (1916-1997) - математик, профессор. Один из постоянных авторов рубрики «Математический календарь», печатавшейся

в научно-методическом журнале «Математика в школе». Работал в вузах г. Донецк. Специалист по теории чисел и истории математики. Автор нескольких учебников по теории чисел и уникального словаря-справочника, содержавшего биографии более 3000 выдающихся ученых. Автор научно-популярных книг: «История развития понятия о числе и системы счисления (1968), «Число и мистика» (1970), «Основные понятия современной алгебры» (1976).

Бровиков Иван Семенович (1916-1981) - доктор физико-математических наук (1954), преподаватель теории вероятностей, вычислительной математики, математической статистики в различных вузах г. Москва. Член-корреспондент АПН РСФСР (1965). Сторонник изучения в школе элементов теории вероятностей и математической статистики. Область научных интересов: высшая математика и методика ее преподавания. Автор учебно-методических пособий: «Линейное программирование» (1963), «Математические методы анализа в торговле» (1967).

Глазман Израиль Маркович (1916-1968) - математик, доктор физико-математических наук. Окончил Одесский университет (1937), ученик М.Г. Крейна. Специалист в области функционального анализа. Автор книг: «Прямые методы качественного спектрального анализа сингулярных дифференциальных операторов» (1963), «Конечномерный линейный анализ в задачах» (1969).

Джанелидзе Георгий Иустинович (1916-1964) - доктор физико-математических наук (1950), профессор (1951). Работал в Ленинградском политехническом институте. Сфера научных интересов: прикладная математика, механика.

Киселев Андрей Алексеевич (1916-1996) - математик, историк математики. Работал в Военно-морской академии кораблестроения и вооружения им. академика А.Н. Крылова (г. Ленинград). Муж академика РАН О.А. Ладыженской. Изучал научное наследие Л. Эйлера.

Пухов Георгий Евгеньевич (1916-1998) - доктор технических наук (1952), профессор (1954). Академик АН УССР (1967). Выпускник Томского индустриального института (1940). Работал в вузах Львова, Томска, Таганрога и Киева. Специалист в области прикладной и вычислительной математики. Автор монографии «Дифференциальные преобразования и математическое моделирование физических процессов» (1986).

Уфлянд Яков Соломонович (1916-1991) - математик, доктор физико-математических наук (1958), профессор (1963). Работал в Ленинградском физико-техническом институте. Специалист в области математической физики и теории упругости. Автор трудов: «Сборник задач по математической физике» (1955), «Биполярные координаты в теории упругости» (1950), «Интегральные преобразования в задачах теории упругости» (1963), «Метод парных уравнений в задачах математической физики» (1977).

Библиографический список

1. Бородин А.И., Бугай А.С. Выдающиеся математики: Биографический словарь-справочник. - 2-е изд., перераб. и доп. - Киев: Рад. шк., 1987.

РАЗВИТИЕ МЕТОДА ФОТОУПРУГОСТИ В СПбГУ

И.И. Демидова

Санкт-Петербургский государственный университет, г. С.-Петербург, старший научный сотрудник, кандидат физико-математических наук

Аннотация. Обсуждается история развития метода фотоупругости в России. Показываются возможности применения метода для определения напряженно-деформированного состояния конструкций.

Ключевые слова: двупреломление, оптическая разность хода, напряжения.

Фотоупругость - экспериментальный способ решения задач теории упругости. В этом методе изготавливается модель из оптически чувствительного материала, нагружается в соответствии с условиями задачи, просвечивается поляризованным светом, далее фиксируется интерференционная картина и расшифровывается.

Изучением свойств света и их применением интересовались еще древние греки. Двойное лучепреломление - эффект расщепления в анизотропных средах луча света на две составляющие - впервые обнаружен датским ученым Р. Бартолин (1625-1698) на кристалле исландского шпата. Христиаан Гюйгенс ван Зейлихем (1629-1695) через 20 лет дал объяснение этому эффекту с позиции волновых представлений о свете, открыл поляризацию света (1678). Позднее Этьен Луи Малюс (1775-1812) ввел понятие плоскости поляризации и сформулировал закон об изменении интенсивности линейно-поляризованного света при развороте поляризатора. Далее шотландский физик Давид Брюстер (1781-1868) открыл угол полной поляризации при отражении и обнаружил существование еще круговой и эллиптической поляризации.

1815 год - год основания метода фотоупругости Д. Брюстером, который обнаружил у сжатого стекла хроматическую поляризацию, присущую кристаллам, обладающим свойством двойного лучепреломления, открытого в 1811 г. французским физиком и астрономом Ф. Араго (1786-1853). В XIX в. Нейман, Максвелл, Леже и др. показали возможность применения явления двупреломления при исследовании напряженного состояния в моделях из стекла. Но использование стекла ограничивало число решений возможных задач из-за его хрупкости [1].

В конце XIX - начале XX вв. в связи с развитием промышленности при проектировании и эксплуатации машин возникла проблема определения концентрации напряжений в конструкциях. Ученые предлагали разные методы решения задач: аналитические, численные и экспериментальные. В это же время появились новые материалы - ксилонит, или целлулоид, позднее другие полимерные материалы, в результате ученые начали быстро развивать метод фотоупругости (МФУ) для определения распределения напряжений в моделях конструкций.

Дружинин Сергей Иванович

(1872-1935)

Тимошенко Семен Прокофьевич

(1878-1972)

Кирпичев Виктор Львович

(1845-1913)

В 1900 г. проф. С.И. Дружинин (Санкт-Петербургский политехнический институт) выписал первую поляризационную установку. В 1905 и 1914 гг. проф. Н.Н. Митинский (1873-1912) и С.П. Тимошенко опубликовали работы по определению напряжений МФУ, в 1913 г. проф. В.Л. Кирпичев опубликовал работу «Об основаниях нового оптического метода для изучения упругих деформаций».

За год до этого (1912) проф. А.К. Зайцев создал отечественную установку и получил первые результаты в Политехническом институте. В 1927 г. им была написана первая в нашей стране монография по МФУ, в которой на примере исследования большого количества моделей для курса сопротивления материалов показана эффективность применения метода при обучении студентов с целью обнаружения концентрации напряжений в конструкциях [1]. Все иллюстрации были выполнены вручную цветными карандашами. Но количественные исследования в то время не выполнялись из-за отсутствия возможности измерения оптической разности хода.

Весной 1930 года математическое отделение физико-математического факультета Ленинградского университета было разделено на математическое и механическое, и была образована кафедра теории упругости, первым заведующим которой стал Гурий Васильевич Колосов

(1867-1936), чл.-корр. АН СССР с 1931 года. На кафедре ассистентом работала Лидия Эдуардовна Прокофьева-Михайловская (1896-1942), которая проводила практические занятия по теории упругости и руководила лабораторными работами по сопротивлению материалов в кабинете механики, который находился во дворе Главного здания Университета.

После появления в 1929 году монографии А.К. Зайцева Л.Э. Прокофьева-Михайловская при содействии своего мужа В.К. Прокофьева-Михайловского (проф. ГОИ, [2-4]) собрала свою поляризационную установку и методом полос выполнила первую работу по заданию НИС судостроения - исследование сварных соединений. В 1930 г. состоялась первая конференция по оптическому методу в ЛГУ и были опубликованы статьи по исследованию напряжений в моделях.

В 1930 году E.G. Coker и L.N.G. Filon из Лондонского университета опубликовали в «Кембридж пресс» монографию «Трактат о фотоупругости», которая стала классической. Позднее вышла монография Фрохта М.М. «Фотоупругость», одна из лучших, и многие другие книги по этой теме, которые были изданы на разных языках.

Сотрудники лаборатории фотоупругости в период с 1937 года по 1941 год во дворе Главного здания Университета (слева направо: стоят Н.Н. Лебедев, третий СП. Шихобалов, А.К. Калищук, М.А. Ковалёв; сидят: слева Н.В. Розе, В.И. Смирнов, А.И. Лурье, Д.К. Кнолль и Л.Э. Прокофьева-Михайловская)

В 1931 году несколько выпускников были оставлены для проведения научных исследований, среди них в состав лаборатории оптического метода вошли В.М.Краснов (1910-1982), Н.Н.Лебедев (1909-1942), С.Г. Лехницкий (1909-1981) [4]. Сотрудники лаборатории с энтузиазмом занимались изучением основ метода, переводили зарубежные монографии по оптическому методу. Заметим, что Д.К. Кнолль исполнял обязанности руководителя лаборатории, а СП. Шихобалов был приглашен из Политехнического института в качестве исследователя. Сотрудники участвовали в проектировании нового оборудования. Так, В.М. Краснов сконструировал компенсатор, названный его именем. Кроме этого были созданы экспериментальные мастерские НИИММ и налажен выпуск приборов для лабораторий страны, чтобы решать разнообразные задачи. Многие практические задачи были исследованы с помощью фотоупругости, что сделало метод популярным [7-12]. Лаборатории фотоупругости стали возникать как в образовательных учреждениях, так и в промышленности.

С 1935 года по 1941 год было проведено 3 Всесоюзных конференций по оптическому методу. Н.Н. Лебедев в 1937 году выпустил монографию «Температурные напряжения в теории упругости».

Война нарушила ритм работы. С первых дней войны В.М. Краснов, Н.Н. Лебедев и СП. Шихобалов (1905-1970, научный сотрудник в лаборатории) вступили в ряды Народного ополчения. В боях под Ленинградом Краснов В.М. был серьезно ранен. После лечения воевал на Северо-Кавказском и других фронтах. Был награжден орденом Отечественной войны II степени, медалями. Лебедев Н.Н. защищал Ленинград и пропал без вести на фронте в 1942 году. СП. Шихобалов был отозван с фронта и вызван в Елабугу для проведения работ, связанных с оборонной тематикой. Л.Э. Прокофьева-Михайловская продолжала работу в лаборатории в блокадном Ленинграде, но в 1942 году скончалась от голода в Главном здании Университета. В Саратове с 1937 года С.Г. Лехницкий был зав. каф. теории упругости. В июне 1940 года он защитил докторскую диссертацию, и в августе 1941 года ему было присвоено звание профессора. Результаты его исследований были использованы при расчете прочности самолетов из фанеры. Во время войны им была выпущена монография «Устойчивость анизотропных пластинок». В 1947 году профессору С.Г. Лехницкому была присуждена Сталинская премия [5,6].

В 1944 году возобновилась работа Университета в Ленинграде. Возглавил лабораторию СП. Шихобалов. В 1944 году вышли работы Краснова В.М., позднее он продолжил чтение лекций по фотоупругости и выполнял исследовательские работы по договорам с разными предприятиями. В лаборатории начал работу в качестве конструктора Е.И. Эдельштейн. Им были сконструированы приборы для измерения оптической разности хода КСП-5 и КСП-7. Позднее последняя модель была доработана и выпущена на Загорском оптико-механическом заводе как КСП-10. В 1948 году была защищена дипломная работа Т.Д. Максутовой (1925-2014) по исследова-

нию оптических свойств стирола и возможности его применения в методе фотоупругости. С улучшением технологий метод фотоупругости также был расширен до исследования трехмерного напряженного состояния. Т.Д. Максутова была одной из первых в стране, кто провел исследования пространственных задач методом «замораживания» по заказу энергетиков. Также она проводила обучение этому методу специалистов из республик СССР и других стран.

С 60-х годов XX века в лаборатории под руководством Л.М. Качанова и СП. Шихобалова И.И. Бугаковым были начаты исследования задач вязкоупругости, в которых нужно было провести исследования оптико-механических свойств полимерных материалов в широком интервале температур и времен, подобрать оптические и механические уравнения и составить программы для решения системы теории вязкоупругости. В дальнейшем в группу влились новые сотрудники: СВ. Смирнова, И.И. Демидова, Г.Д. Федоровский, Г.Ф. Лобанова и А.А. Уткин, которые разработали способы исследования задач термовязкоупругости с применением численных методов решения интегральных уравнений Вольтерра II рода. Основные результаты были изложены в монографиях И.И. Бугакова, в отчетах по договорам с различными предприятиями [13], [14]. Сотрудниками были разработаны методы решения задач для анизотропных и гиротропных материалов.

В конце XX века получили широкое распространение численные методы решения задач теории упругости - метод конечных элементов. В результате сократилось количество заказов от промышленных предприятий. Но существует ряд задач, которые возможно исследовать только методом фотоупругости, - задачи с неизвестными свойствами материалов. Исследования

Сотрудники лаборатории фотоупругости (1980 г.): И.И. Бугаков, И.И. Демидова, Е.И. Эдельштейн, Т.Д. Максутова, Г.И. Петрашень

проводятся на моделях, а свойства неизвестных материалов определяются на образцах-спутниках, т.е. образцах, имеющих теоретические решения.

Следует отметить широкое применение решений задач, полученных методом фотоупругости, для биомеханики [15, 16].

В СССР и позднее в России метод получил широкое распространение в Москве, Новосибирске, Таллине, Киеве, Перми и других городах. В этих городах проводились конференции с участием иностранных специалистов, опубликованы монографии по МФУ.

Библиографический список

1. Зайцев А.К. Оптический метод измерения напряжений. - Л.: Изд. Промбюро ВСНХ, 1927.

2. Прокофьева-Михайловская Л.Э. Развитие метода фотоупругости в СССР // Успехи физических наук. - 1940. - T. XXIII. - Вып. 1. - С. 13-15.

3. Жизнь и деятельность В.К. Прокофьева / Под общ. ред. проф. И.П. Гурова и проф. Ю.Л. Колесникова. - СПб.: СПбГУ ИТМО, 2008.- 92 с - Серия «Выдающиеся ученые Университета ИТМО». http://museum.ifmo.ru/person/file/28_book.pdf

4. Краснов В.М. (в лаборатории с 1931 года). Воспоминания о работе лаборатории фотоупругости в ЛГУ. 1980. Рукопись.

5. Астрофизика как способ жизни. Воспоминания младшей дочери Прокофьевой-Михайловской Валентины Владимировны, http://scientistschool.org.ua/

6. Павилайнен В.Я., Архангельская Л.А. Женщины и война. http://sanktpeterburg.bezformata.ru/listnews/zhenshini-i-vojna/4125400/

7. Прокофьева-Михайловская Л.Э. Исследование напряжений в лобовых швах сварных соединений с накладками оптическим методом. // Автоматическая сварка. -Вып. IV.- 1933.

8. Прокофьева-Михайловская Л.Э. Исследование напряжений в станине лафета пушки // Изв. Артиллерийской Академии РККА. - 1935. - Т. 5.

9. Прокофьева-Михайловская Л.Э. Исследование распределения напряжений в орудиях оптическим методом // Изв. Артиллерийской Академии РККА. - 1933. - Т. 4. -№ 67.

10. Прокофьева-Михайловская Л.Э. Приборы оптического метода // Экспериментальные методы определения напряжений в упругой и пластической зонах. - ОНТИ. -М.-Л., 1935.

11. Прокофьева-Михайловская Л.Э. Оборудование лабораторий оптического метода НИИММ ЛГУ // Труды конференции по оптическому методу изучения напряжений. - Л. - М., 1937. - С. 45-52.

12. Прокофьева-Михайловская Л.Э. Лабораторные методы проверки теоретических решений вопросов теории упругости // Труды совещания по управлении горным давлением. - М. - Л., 1937.

13. Бугаков И.И. Метод фотоползучести. - М.: Наука, 1973. - 170 с.

14. Бугаков И.И., Демидова И.И. Метод фототермовязкоупругости. - Л.: ЛГУ, 1992. -168 с.

15. Демидова И.И. Деятельность Г. Ламе и Б. Клайперона в Санкт-Петербурге // Вестник Елецкого государственного университета им. И.А. Бунина. Серия «Педагоги-

ка» (История и теория математического образования). Елец: Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина. - 2014. - Вып. 34. - С. 25-29. 16. Демидова И.И. Фотоупругость и стоматология // Russian Journal of biomechanics. -1999.-№ 2.-P. 44-45.

ПИСЬМЕННЫЙ ЭКЗАМЕН ПО МАТЕМАТИКЕ В РУССКОЙ ГИМНАЗИИ ВТОРОЙ ПОЛОВИНЫ XIX ВЕКА

В.В. Перцев

Елецкий государственный университет им. И. А. Бунина, г. Елец, кандидат педагогических наук, доцент кафедры математики и методики ее преподавания

Аннотация. Статья посвящена изучению места и роли предмета математики в учебном курсе дореволюционной гимназии, а также тому, каким образом проводился итоговый экзамен по данной дисциплине.

Ключевые слова: дореволюционное образование, гимназия, преподавание математики, выпускной экзамен.

Исследуя программы дореволюционных гимназий нельзя не отметить того факта, что больше всего времени в них было отведено изучению иностранных языков. К примеру, в учебном плане Елецкой гимназии за 1874-75 учебный год в общей сложности на изучение языков отводилось около 40% объема времени школьного курса: в гимназии обучали древним -латинскому, греческому и современным - французскому, немецкому языкам. Причем латинский язык гимназисты начинали изучать с первого класса, а остальные со второго [2, с. 86]. Затем по количеству отведенных часов следует русский язык, математика, география, история. Русскую словесность изучали только в старших классах. Все годы обучения неизменное внимание уделялось Закону Божьему, которому были отданы два часа в неделю во всех классах [3]. К необязательным предметам относились пение, гимнастика и «занятие двумя языками вместе» [1]. Однако, несмотря на несомненный акцент в пользу гуманитарного образования, преждевременно было бы делать вывод, что обучение в гимназии шло в ущерб естественно-научным и математическим дисциплинам.

Рассмотрим глубину изучения математики в гимназии с точки зрения заданий, которые давались гимназистам на выпускном экзамене по этому предмету. Как отмечает Р.А. Юхно, «письменные работы в мужских гимназиях проводились по двум предметам: 1) по алгебре и 2) по геометрии. Экстерны должны были держать кроме того еще и третий письменный экзамен - по арифметике. Все эти письменные экзаменационные работы были присылаемы управлением учебного округа и были одинаковыми во всех

гимназиях данного округа. Кроме обычной проверки работ местными экзаменационными комиссиями все эти письменные экзаменационные работы учащихся - выпускников реальных училищ и гимназий, равно как и работы экстернов, были тщательно проверяемы особыми назначенными управлением учебного округа лицами, обычно профессорами или доцентами высших учебных заведений того же округа» [4, с. 8].

То есть задачи письменного экзамена по математике составлялись преподавателями университетов и ими же впоследствии проверялись. Причем изучались не только сами работы гимназистов, но и черновики, на которых они решали. Анализируя исследования Р.А. Юхно, можно отметить, что экзаменационные работы выпускников проверялись сначала непосредственно экзаменационной комиссией на местах, а впоследствии письменные работы проверялись преподавателями из университета соответствующего округа (В Ельце, следовательно, проверялись учеными из МГУ, поскольку Елецкая классическая гимназия относилась к Московскому учебному округу - прим. авт.). И в каждом случае выставлялась независимая оценка, делался развернутый анализ экзаменационных работ, причем контролирующей, итоговой считалась оценка, сделанная преподавателями университета. Примечательно, что средний балл в 3,66-3,86 по экзаменационным работам учащихся по округу признавался в отчете «вполне удовлетворительным», что показывает факт отсутствия процентомании при выставлении этих оценок и отсутствовало требование высоких показателей, так называемого «качества знаний» от учителей.

В своем исследовании Р.А. Юхно рассматривает отчет профессора Казанского университета Суворова об экзаменационных работах гимназистов по математике за 1897 год.

Как отмечает Р.А. Юхно, на испытаниях были предложены следующие задачи:

По алгебре

Число 8 разделено на два таких слагаемых, сумма кубов которых равна наименьшему числу, кратному 19 и дающему при делении на 24 остаток 8. Найти оба слагаемые.

По геометрии

Найти объем прямой призмы, в основании которой равнобочная трапеция с острым углом а и боковой стороной равной Ъ, меньшему основанию трапеции, если известно при этом, что диагональ призмы с диагональю основания составляет угол а/2. Сделать подстановку: Ь=\376,28, угол а= 49° 55'16".

Как отмечает профессор Казанского университета Суворов, «большинство выпускников решили данную несложную задачу» (Примечательно, что студенты первого курса физико-математического факультета ЕГУ им. И. А. Бунина решить эту задачу не смогли - прим. авт.) по алгебре примерно так:

Пусть первое число х, второе (8-х). По условию задачи должно быть:

В силу второго условия:

При t=2 получается наименьшее значение

Следовательно,

Ответ: одна часть числа будет 3, другая 5 [4, С. 32-33].

Схематическое решение задачи по геометрии:

На письменном экзамене в гимназии было всего две задачи - по алгебре и геометрии. Как отмечает в отчете профессор Суворов, «решение предложенных задач затруднений не встретило, всего было 17 неудовлетворительных работ по алгебре и 15 работ по геометрии, т.е. 32 неудовлетворительные работы на 203 абитуриента» [4, с. 34]. То есть 16% работ (или, если быть точнее - 15,7% экзаменационных работ) по математике в гимназии были признаны неудовлетворительными. В том же году в реальных училищах было 43 неудовлетворительных работы на 129 абитуриентов. То есть 33,(3)% экзаменационных работ по математике в реальных училищах были признаны неудовлетворительными - в два раза больше, чем в гимназиях. Правда там же, в отчете, отмечается, что работы по математике для реальных училищ были сложнее, чем для гимназий. Тем не менее, сказать, что гимназисты получали плохое математическое образование, судя по приведенным выше данным, нельзя.

В заключении хотелось бы отметить тот факт, что ежегодно с первого по восьмой классах гимназии проводились итоговые экзамены, которые включали в себя различные задания по основным предметам школьного курса. Экзамены проводили сразу по нескольким дисциплинам в зависимости от изучаемой в каждом классе программы. И, что интересно, во все эти испытания были обязательно включены задания по арифметике или математике. В экзаменах отсутствовали вопросы по Закону Божьему, который официально признавался самым главным предметом гимназического курса, но обязательно в каждом классе учащиеся сдавали математику. Это, несомненно, является показателем того, насколько важное значение придавалось изучению математики в дореволюционной гимназии.

Библиографический список

1. ГАОО (Государственный архив Орловской области). Ф. 64. Орловская губернская мужская гимназия. Оп. 1. Д. 376. Л. 18(06).

2. Перцев В.В. Развитие гимназического образования в русской провинции второй половины XIX - начала XX века (на материале Орловской губернии): Дис. ... канд. пед. наук. - Елец, 2006. - 189 с.

3. Шиков С.С. О программе прошлых лет // Красное знамя. - 1996. - 18 марта.

4. Юхно Р.А. Письменные экзамены по математике на аттестат зрелости в дореволюционной средней школе: Дис. ... канд. пед. наук. - М., 1969. - 214 с.

ЭЛЕКТРОННЫЙ БИОГРАФИЧЕСКИЙ АРХИВ: ЕЛЕЦКИЕ МАТЕМАТИКИ И ЕСТЕСТВОИСПЫТАТЕЛИ

М.В. Леонов

Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, г. Москва; ведущий научный сотрудник факультета вычислительной математики и кибернетики

Аннотация. В статье представлена концепция электронного тематического архива, реализованного на примере массива биографических данных по ельчанам XIX - начала XX века с естественнонаучным и математическим образованием, в основном питомцам Московского университета. Приводятся малоизвестные данные по некоторым из них, в частности, русскому философу, физику и основателю российской агробиологии М.Г. Павлову (1792-1840).

Ключевые слова: электронный биографический архив, история елецкого образования, елецкие математики и естествоиспытатели, история Московского университета, К.К. Греве (Грефе), М.Г. Павлов.

Базы данных (БД) и другие инструменты информационных технологий прочно вошли в обиход историков и других специалистов гуманитарных областей. Но если понятие «базы данных» имеет довольно строгое определение, то термин «электронный архив» относится скорее к бытовым. С другой стороны, архивисты-историки сейчас все больше сталкиваются с необходимостью работать с разнообразными электронными документами, в том числе с отсканированными листами реальных документов. Потребность исследователей в новых средствах, облегчающих хранение и обработку данных нового типа, постоянно растет. Уже давно стало ясно, что какой бы продуманной ни была структура БД, заполняемая в процессе архивных поисков, все равно в какой-то момент выясняется, что найденный материал не укладывается в «прокрустово ложе» структуры запланированной БД.

В лаборатории вычислительного практикума и информационных систем факультета ВМК МГУ в течение ряда лет ведутся разработки программ для автоматизации работы историков-архивистов. Среди этих работ -подготовка и практическая реализация концепции электронного биографического архива. Под электронным архивом мы понимаем не только тематически собранную совокупность электронных документов, но и определенную структуру хранения и программного управления этими документами.

Кратко остановимся на принципах его организации. Единицами хранения будем считать как отдельные файлы, так и каталоги, сопровождаемые метаданными в виде специальных электронных карточек определенного формата, предназначенных для облегчения поиска данных в архиве. На этих «карточках» - содержательные характеристики описываемых ими единиц хранения: список ключевых слов, список фамилий, временной диапазон и т.п. Поиск по архиву обеспечивается интернет-браузером с помощью javascript-сценариев, которые позволяют задавать тип поиска (по ключевым словам, по именам и типу файлов и т.д.) и указывать значения параметров поиска. Другими словами, наш архив - это специально организованная совокупность файлов и каталогов с метаданными и браузер со специальными javascript-сценариями для облегчения поиска. Результат поиска по форме аналогичен результату интернет-поисковика. Заметим, что количество и состав метаданных в процессе эксплуатации архива может (и должен) увеличиваться, что приведет к ускорению и улучшению качества поиска. В идеальном случае каждый файл должен бы быть сопровожден карточкой, но это весьма трудоемкая работа при большом количестве единиц хранения, поэтому мы остановились на компромиссном варианте. Описанная концепция была успешно применена к массиву данных по дореволюционным елецким студентам Московского университета. Первоначальной основой этого архива послужила таблица «Выпускники Московского университета, получившие среднее образование в Елецкой гимназии,

1881-1916 гг.», впервые опубликованная московскими историками В.П., Л.В. Пушковыми и СМ. Завьяловым [1].

Существенным толчком для совершенствования соответствующего программного обеспечения и увеличения объема данных послужило наше участие под руководством ведущего специалиста по истории елецкого образования, профессора ЕГУ им. И.А. Бунина Ольги Алексеевны Саввиной в работе над монографией [8] по истории Елецкой казенной мужской гимназии - одному из лучших средних учебных заведений России конца XIX -начала XX вв. К 73 фамилиям выпускников физико-математического факультета Императорского Московского университета (ИМУ) из таблицы в работе [1] добавились фамилии выпускников Харьковского и Санкт-Петербургского университетов. Кроме того, благодаря составлению годичных баз данных студентов ИМУ [3], список расширился ельчанами, не учившимися в Елецкой гимназии, или учившимися в период с 1881-1916, но не закончившими ее, как, например, будущий ректор МГУ А.С. Бутягин [1],[2].

Электронный архив можно считать «подвижной монографией», обновляемой по мере поступления новых сведений. Ведь процесс совершенствования биографического справочника обычно практически бесконечен, исследователям становятся известны все новые и новые важные факты. Приведем конкретный пример из нашей работы. Почти сразу после выхода в свет книги [8] в архиве ЦГАМ нам удалось найти личное дело студента Грефе [9]. Оказалось, что директора Елецкой гимназии с 1898 по 1914 Конрада Конрадовича Греве, окончившего в 1877 году ИМУ, вполне можно причислить и к математикам, так как до учебы на историко-филологическом факультете он получил звание домашнего учителя по математике в Дерптском университете и работал по этой специальности еще и в Москве при соборе Петра и Павла. В книге [8] ему было посвящено семь страниц. Теперь к биографии этого человека, внесшего заметный вклад в явление, названное елецким интеллектуальным феноменом [1], можно добавить следующие интересные данные. Родился 1 февраля 1848 года в Перново (ныне Пярну) в лютеранской семье Генриха Конрада Грефе и Елены Христины, урожденной Бартельс. Учился в Перновской и Ревельской гимназиях. В документах об окончании Ревельской гимназии и учебе в Дерптском университете, в пасторском свидетельстве о крещении, алфавитных списках Московского университета он записан как Конрад Карл Грефе. В 1868 году он поступил в Дерптский университет, получил там свидетельство домашнего учителя по математике. В 1871 году было удовлетворено его прошение о зачислении на историко-филологический факультет ИМУ.

На настоящий момент в нашем архиве присутствуют электронные копии материалов более чем 50 человекам, получившим образование на физико-математических факультетах университетов нашей страны и жив-

ших в разное время в Ельце. Последнее дает нам право назвать их ельчанами.

Среди них особое место занимает профессор физико-математического факультета ИМУ Михаил Григорьевич Павлов (1793— 1840), выдающийся русский философ, минералог, агробиолог и физик [5]. Современники называли его самым популярным профессором физико-математического отделения тридцатых годов XIX века. Советский историк С.С. Дмитриев считал М.Г. Павлова «основателем русской сельскохозяйственной науки как особой дисциплины среди других отраслей естествознания» [6, с. 164]. Именно он привез из Германии идеи натурфилософии Шеллинга и стал его первым русским последователем. В советское время от забвения этого философа-идеалиста спасли лишь уважительные отзывы о нем А.И. Герцена и других «революционеров-демократов».

Ни в одной из дореволюционных энциклопедий не удалось обнаружить сведений о месте рождения М.Г. Павлова. Не указано оно и в Большой советской энциклопедии 2-го издания. Лишь в 3-ем издании (том 19, стр. 65) в качестве его малой родины указан Воронеж, и это спорное указание оттуда перекочевало в Интернет. Можно высказать предположение о причине такого ошибочного, на наш взгляд, указания. Общий стиль биографических статей этого издания требовал указать место рождения, но у автора статьи не было времени заниматься архивными поисками, и он указал Воронеж, так как первоначальное образование М.Г. Павлов получил именно в Воронежской семинарии.

По нашим данным, впервые город Елец в качестве места рождения М.Г. Павлова указал известный российский историк, автор четырехтомной монографии по истории университетского образования [6, с. 164-179] Федор Александрович Петров. При этом он в книге [7] сослался на исследования С.С. Дмитриева, в рукописном архиве которого именно Елец указан в этом качестве. Кроме того, нам удалось найти в ЦГАМ [10] прошение Михаила Павлова о зачислении в студенты физмата ИМУ. Это прошение начинается словами: «Природою я сын елецкого священника...» (см. фотокопию выше). Заметим, что в елецкой краеведческой литературе есть упоминания о священнике церкви Рождества Христова Григории Павлове.

Дополнительным подтверждением его елецкого происхождения являются и строки из «Именных списков всем чиновникам и преподавателям, находящимся в ИМУ», входивших в ежегодные отчеты университета. Например, в «Отчете ИМУ с 1 января 1835 по 1 января 1836» [4] в графе «откуда родом и из какого состояния» указана Орловская губерния, что исключает версию Воронежа.

Фотокопия первой страницы прошения М. Павлова о зачислении его на физико-математическое отделение ИМУ

Кратко перечислим основные вехи жизненного пути нашего замечательного земляка. Он родился 1 ноября 1793 года в Ельце, умер 9 апреля 1840 года в Москве. В 1812 году после окончания Воронежской семинарии поступил в Харьковский университет. В 1813 году перевелся в Москов-

скую медико-хирургическую академию. В октябре 1814 года он принят в студенты физмата ИМУ. Летом 1815 досрочно сдал экзамены для получения степени кандидата физ.-мат. наук, в 1816 году был награжден медалью за сочинение по анатомии и физиологии. В 1818 году был удостоен степени доктора медицины. То есть М.Г. Павлов окончил два факультета, и после этого стал преподавать физику и сельское хозяйство, одновременно работая в Музее естественной истории и Медицинском институте. В 1818 году был направлен в заграничную трехлетнюю командировку, слушал лекции в Вене, а также университетах Швейцарии, Франции и Германии. В 1821 году в ИМУ получил кафедры минералогии и сельского хозяйства, в 1827 году он был перемещен на кафедру физики. С 1836 году работал на кафедре технологии, сельского хозяйства и лесоводства. В последний год жизни был назначен директором-организатором Агрономического института, но не успел его открыть. Популярности М.Г. Павлова способствовала его должность инспектора в 1826-1830 годах Благородного пансиона. Затем он открыл собственный пансион. Среди его воспитанников -Д.В. Веневитинов, В.Ф. Одоевский, С.П. Шевырев. Биография М.Г. Павлова переплетена с именами известнейших ученых того времени. Так, программу его заграничной командировки составлял Г.И. Фишер фон Вальдгейм, его учениками были естествоиспытатели Г.Е. Щуровский и К.Ф. Рулье.

Архитектура нашего электронного архива - это архитектура открытой программной системы, и поэтому позволяет расширять его новыми утилитами, облегчающими формирование биографических карточек, библиографических ссылок и других элементов для подготовки публикаций.

Библиографический список

1. Завьялов С.М., Пушков В.П., Пушков Л.В. Елецкий интеллектуальный феномен (Воспитанники Елецкой гимназии - выпускники Московского университета. 1881-1916 гг.) // Философия хозяйства. - 2004. - № 4. - С. 9-20.

2. Кузовлев В.П., Саввина О.А., Перцев В.В. Развитие гимназического образования в Орловской губернии. - Елец: ЕГУ им. И.А. Бунина, 2006. - 236 с.

3. Леонов М.В., Баула В.Г., Козырев В.В. Конфедеративная база данных по студентам Московского университета до 1917 года // Вестник Московского университета. Серия 15: Вычислительная математика и кибернетика. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 2014. -Т. 4.-С. 34-36.

4. Отчет Императорского Московского университета с 1 января 1835 по 1 января 1836. Отдел редких книг и рукописей Научной библиотеки МГУ имени М.В. Ломоносова

5. Петров Ф.А. Павлов Михаил Григорьевич // Императорский Московский университет 1755-1917: энциклопедический словарь. - М.: РОСПЕН, 2010.

6. Петров Ф.А. Формирование системы университетского образования в России. Т. 2: Становление системы университетского образования в России в первые десятилетия XIX века. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 2002. - С. 164-179.

7. Петров Ф.А., Пономарева В.В., Хорошилова Л.Б. Университет для России. Т. 4. Московский университет в николаевскую эпоху. - М.: Изд-во Моск. ун-та. 2012. -С. 164-170.

8. Саввина О.А., Леонов М.В. История Елецкой мужской гимназии. Люди и факты. Ч. I: Преподаватели. - Елец: ЕГУ им. И.А. Бунина, 2015. - 178 с.

9. ЦГАМ Ф. 418. Оп. 40. Д. 510. О принятии в число студентов Конрада Грефе.

10. ЦГАМ Ф. 418. Оп. 61. Д. 3. Л. 95. Журнал заседаний физико-математического отделения.

ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ РАБОТЫ «МАТЕМАТИКА КАК ОРУДИЕ НАУЧНОЕ И ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ» Н.В. БУГАЕВА

К.А. Дроздова

Елецкий государственный университет им. И. А. Бунина, г. Елец, студентка 4-го курса ИМЕиТ (Научный руководитель: доктор педагогических наук, профессор, зав. кафедрой математики и методики ее преподавания О.А. Саввина)

Аннотация. Перу известного ученого Н.В. Бугаева принадлежит несколько работ, посвященных преподаванию математики: «Математика как орудие научное и педагогическое», «Влияние Московского университета на развитие математики в русских университетах», «Программа преподавания математики», «По вопросу о повсеместном распространении начальной школы». Самой значительной среди них, несомненно, является труд «Математика как орудие научное и педагогическое». Анализу этой работы посвящена статья.

Ключевые слова: история математического образования, Н.В. Бугаев.

Впервые работа «Математика как орудие научное и педагогическое» Н.В. Бугаева вышла в свет в 1869 году [1]. Она представляла собой публикацию текста «речи», которую Николай Васильевич произнес на торжественном собрании Императорского Московского университета, состоявшемся в один из очередных «дней рождения» Университета 12 января (25 января) 1869 года. Свое выступление Н.В. Бугаев посвятил своему учителю - профессору университета Николаю Ефимовичу Зернову (умер 23 октября 1862 года).

Для Николая Васильевича это время было трудным и напряженным, поскольку он был занят подготовкой и защитой магистерской диссертации в 1862-1863 гг., а после отправился в заграничную командировку (летом 1863 г.). Вследствие этого не смог принять участие в составлении некрологов Н.Е. Зернову. Наплыву воспоминаний о своем наставнике могла спо-

собствовать и личная трагедия Н.В. Бугаева. Есть довольно аргументированное предположение, что Николай Васильевич в 1869 году потерял своих родителей [4]. И как раз в этом году и была произнесена речь памяти учителя (через 7 лет после его смерти).

Сочинение Н.В. Бугаева, по-видимому, имело успех, поскольку в 1875 году было переиздано.

В начале этой работы автор обращает внимание на то, что математика является необходимым элементом общего образования: «Все системы воспитания, несмотря на свое разноречие, дают ей почетное место в своих построениях. Такое всеобщее уважение к ней коренится в самой сущности математики, в самом характере употребляемых в ней методов» [1, с. 3].

А затем Н.В. Бугаев показывает, какое «великое значение приобрела математика в последнее время».

Опираясь на работы Декарта, Н.В. Бугаев приводит свою классификацию наук: 1) науки математические, где изучают отвлеченные и наименее относительные истины; 2) науки физические; 3) науки биологические; 4) науки социальные, где изучают относительные истины о материи, жизни и человеке.

Н.В. Бугаев указывает на различия методов изучения математики от других наук. Это различие ее от естествознания состоит в том, что «все математические науки умозрительны», поэтому математику он называет основанием философии. С другой стороны, Н.В. Бугаев указывает на то, что математика имеет практические применения, которые расширялись со временем с ходом истории и даже «переросли в отдельные, самостоятельные науки, известные как прикладные».

В работе приводятся примеры из истории математических наук, когда теоретические вопросы ставятся и возбуждаются практикою строительного искусства, потребностями мореплавания и практической механики. Так, «изящная математическая теория упругости твердых тел, получившая в настоящее время такое широкое аналитическое развитие, обязана своим происхождением практическому вопросу о сгибании бруса, укрепленного одним концом в неподвижную стену и подверженного действию силы, приложенной к другому концу» [1, с. 4].

Далее Н.В. Бугаев, продолжая экскурс в историю, пишет: «Теоретические исследования скорее не успевают своим ходом удовлетворить требованиям той или иной прикладной науки»; тогда как «математические исследования дают прочную почву при решении многих задач этих наук и облегчают труд практики. Блестящим историческим подтверждением этому служит изобретение Монжем начертательной геометрии» [1, с. 4]. Все соображения архитекторов из области графического представления тел на плоскости, а также практические задачи разрешались частными приемами без научного основания, что приводило к наименьшему развитию инженерного дела. После чего Н.В. Бугаев делает вывод: «Ни один инженер, ни

один техник не может в настоящее время обойтись без основных истин начертательной геометрии» [1, с. 5].

В истории математического образования распространено суждение, что идеи об обновлении отечественного школьного курса математики элементами аналитической геометрии и математического анализа были заимствованы Россией у Запада. На то, что это не совсем верно, указывают А.В. Ланков, Ю.М. Колягин, О.А. Саввина и др. [3], [4], [5]. При этом сторонники приоритета русской методической школы обычно ссылаются на работы М.В. Остроградского, В.П. Шереметевского и др. [7]. К сожалению, при этом не упоминают сочинения Н.В. Бугаева, у которого эти мысли мы находим раньше и в более четкой формулировке: «К сожалению, настоящий объем и обстановка математического образования в наших средних учебных заведениях далеко не соответствует высоким требованиям современной цивилизации. Математика в настоящем состоянии не оказывает полной воспитывающей силы. Преподавание ее обрывается там, где собственно только начинается определяться ее глубокое значение для уяснения законов мысли. Курс математических наук в общеобразовательных учебных заведениях необходимо расширить, по крайней мере, до объема, который дал бы почувствовать, что после Евклида жили Декарт, Лейбниц, Ньютон, Монж. Ее необходимо обставить такими теоретическими приложениями, чтобы, хотя в общих чертах, понятно было то глубокое значение, которое имеют ее методы в сознании современного человечества» [1, с. 30].

Здесь уместно обратить внимание на одно обстоятельство. В 1863 г. Н.В. Бугаев проходил научную стажировку в Германии, где слушал лекции берлинского профессора К. Вейерштрасса. Во время этих лекций К. Вейерштрасс высказал свое мнение по поводу необходимости расширения курса математики средней школы учением о функции и элементами дифференциального исчисления. Уже тогда Н.В. Бугаев не оставил без внимания это замечание [6].

Н.В. Бугаев обращает внимание на последовательность и логику математики-науки: «Особенное значение в начальном преподавании имеет та постепенность, с которой передается научное содержание математики. Эта постепенность проявляется и в последовательном переходе мысли от простых к более сложным истинам, и в постепенном обобщении самих идей» [1, с. 31].

Автор обращает внимание на развивающие цели обучения математике, указывая на то, что математика учит находить общее и частное, учит сравнивать явления: «Математические науки, приучающие рассудок сближать идеи и факты в области тождества, сходства и контраста по величине, изощряют ум замечать малейшие оттенки в этом направлении» [1, с. 30]. Н.В. Бугаев говорит, что в самом «научном материале» математики заложен развивающий потенциал для изучающих ее. Он пишет: «Особенно

важную роль в педагогическом отношении играют приемы, употребляемые для вывода математических истин. Строгий логический процесс, при помощи которого создается величественное здание математики, служит самым лучшим средством для воспитания логической, рассудочной стороны мышления». Он считает, что математика имеет несомненный приоритет в сравнении с иными науками, и, как итог, логические суждения в каком-то смысле привносят некий драматический характер [1, с. 31].

Большое значение в преподавании Н.В. Бугаев придавал научному преданию, которое, по его мнению, «поддерживает нравственную связь между различными поколениями». Позднее его ученик Н.Н. Лузин также признает большую роль научного предания в воспитании будущего ученого.

На первое место в преподавании Н.В. Бугаев ставил ясность и доступность. Он писал: «Действительно, высшей духовной наградой для ученого служит дальнейшее развитие его мыслей, распространение его идей. Ученый, запутывающий ход и источник своих научных построений, увлекающийся чрезмерным желанием придать глубокомыслие своим идеям, впадает в крайность и придает своим соображениям форму, идущую вразрез с его научными целями. Наконец, в самом желании глубокомыслия проявляется детское малодушие и отсутствие внутреннего величия духа. ...наиболее плодотворные идеи оказывались всегда наиболее простыми, что высшее глубокомыслие для математика есть очевидность и простота» [1,с.32].

Таким образом, в своей работе «Математика как орудие научное и педагогическое» Н.В. Бугаев высказал ряд оригинальных идей, показал практическую значимость математики, обратил внимание на особую роль изучения математики в развитии логического мышления и пр. К сожалению, тогда эти идеи не получили широкого признания. Гораздо позднее они были развиты в работах советских педагогов-математиков.

Представляется, что сюжеты о математическом творчестве и жизни таких педагогов-математиков, как Н.В. Бугаев полезно включить в программу занятий дополнительного математического образования [2]. В рамках этих сюжетов можно рассмотреть научные результаты, полученные Декартом, Лейбницем, Ньютоном, а также биографии математиков, которых с Н.В. Бугаевым связывали научные интересы.

На формирование педагогических взглядов Н.В. Бугаева несомненное влияние оказали русский профессор Н.Е. Зернов и немецкий ученый К. Вейерштрасс.

Находясь под влиянием лекций К. Вейерштрасса, Н.В. Бугаев одним из первых в России обратил внимание на необходимость обновления школьного курса математики результатами, полученными Декартом, Ньютоном и Лейбницем. Только через 30 лет эта новаторская идея получила

развитие в работах немецкого математика Ф. Клейна и была подхвачена во многих странах.

Библиографический список

1. Бугаев Н.В. Математика как орудие научное и педагогическое. - Изд. 2. - М.: Типография И.И. Родзевича, 1875. - 33 с.

2. Горев П.М. Основные формы организации математического образования в средней школе // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2013. - № 5 (май). - С. 136-140. - URL: http://e-koncept.ru/2013/13116.htm.

3. Ланков А.В. К истории развития передовых идей в русской методике математики. -М.: Учпедгиз, 1951.

4. Колягин Ю.М., Саввина О.А. Математики-педагоги России. Забытые имена. Книга 4. Николай Васильевич Бугаев. - Елец: ЕГУ им. И.А. Бунина, 2009. - 276 с.

5. Колягин Ю.М., Саввина О.А., Тарасова О.В. Русская школа и математическое образование: наша гордость и наша боль. Часть 1. От древнейших времен до XX века. -Орел: ООО Полиграфическая фирма «Картуш», 2007. - 307 с.

6. Саввина О.А. Европейский научный мир глазами магистра чистой математики Н.В. Бугаева // Историко-математические исследования. - Вторая серия. - Вып. 15 (50). М.: «Янус-К», 2014. - С. 212-229.

7. Шереметевский В.П. Математика как наука и ее школьные суррогаты // Русская мысль. - 1895. - Кн. 5. - С. 105-125.

ВЛИЯНИЕ ЗАПАДНЫХ РЕФОРМАТОРСКИХ ТЕЧЕНИЙ НА МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ В РОССИИ НА РУБЕЖЕ XIX-XX ВВ.

Т.А. Новосельцева

Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина, г. Елец; студентка института математики, естествознания и техники (Научный руководитель: доктор педагогических наук, профессор, зав. кафедрой математики и методики ее преподавания О.А. Саввина)

Аннотация. В статье рассматриваются попытки реформирования математического образования в Европе и России на рубеже XIX-XX вв. В это время русские педагоги-математики имели тесные контакты со своими зарубежными коллегами и в вопросах реформирования математического образования иногда опережали мировые тенденции.

Ключевые слова: история математического образования, Международная комиссия по реформе математического образования начала XX века.

На содержание и организацию отечественного математического образования оказывают влияние разные факторы: историко-культурные тра-

диции; уровень развития математики, педагогики, техники и экономики; степень заинтересованности государства и общества и пр. Заметную роль в этом играют и западные тенденции и представления об образовании. Все реформаторские течения в отечественном математическом образовании в XIX-XX вв. были привнесены преимущественно с Запада (обновление программ по математике кадетских корпусов, реальных и коммерческих училищ в начале XX века; подмена предметного обучения математике проектной деятельностью и комплексированием программ в 1920-х гг. и бурбакистская реформа 1960 - 1970-х гг.) [7].

Как указывают Ю.М. Колягин, О.А. Саввина и О.В. Тарасова, «к концу XIX века в области математического образования во многих странах Запада, так же, как и в России, обнаружились определенные недостатки, которые касались как содержания учебного предмета "математика", так и организации его преподавания. Во многих школах действовали учебные планы, в которых преобладали гуманитарные предметы. Например, германская гимназия (так же, как и русская) была "школой филологического типа", реализующей обширные программы по древним языкам, и давала своим выпускникам ничтожно скудный объем сведений по математике и естествознанию» [6, с. 74].

Огромные успехи наук в XVIII-XIX столетиях не нашли практически никакого отражения в программах средних школ. В обучении математике господствовал формализм, основным методом изучения математики часто становилась «зубрежка»; даже математические доказательства (например, геометрических теорем) рекомендовалось запоминать наизусть; отсутствовала преемственность в содержании и методах обучения в начальной и средней школах [6].

Осознание необходимости реформирования математического образования происходит практически одновременно сразу в нескольких странах, а в России, может быть, даже раньше. Сегодня понятие производной и координатного метода настолько прочно вошло в школьную пратику, что необходимость совершенствования заданий по этой теме ни у кого не вызывает сомнений [3], [4], [5]. Но так было не всегда. Предложения о введении в школьную программу элементов высшей математики высказывали еще М.В. Остроградский (1801-1861), П.Л. Чебышев (1821-1894), Н.В. Бугаев (1837-1903). О необходимости обновления программы по математике говорилось на Втором съезде русских деятелей по техническому и профессиональному образованию, прошедшем в России в 1895-1896 гг. [8,с.134].

С 1897 г. стали проводиться международные математические конгрессы, на которых обсуждались и вопросы математического образования. I Международный математический конгресс состоялся в Цюрихе в 1897 г. Считается, что инициатором его проведения выступил немецкий математик Г. Кантор, основатель и первый президент Германского математиче-

ского общества. Как установил исследователь В.А. Бажанов, русскую делегацию на Конгрессе представляли: Н.В. Бугаев, А.В. Васильев, Д.А. Граве, Н.Б. Делоне, Н.Е. Жуковский, С. Дикштейн, И.Л. Пташицкий, Д.Ф. Селиванов, супруги В.И. и П.А. Шифф [2]. От нашей делегации с пленарным докладом о философских основах математики выступил Н.В. Бугаев. Среди докладчиков других делегаций выделялся Ф. Клейн, который осветил ряд вопросов математического образования и предложил включить в программу средней школы элементы математического анализа.

В России в это время вопросы образования широко обсуждаются в педагогической общественности, министр народного просвещения Н.П. Боголепов решает создать комиссию по вопросу «об улучшениях» преподавания в средней общеобразовательной школе.

Материалы для этой комиссии готовились в организованных при учебных округах разнообразных комиссиях и совещаниях (комиссия киевских педагогов, московская комиссия, возглавляемая попечителем Московского учебного округа П.А. Некрасовым).

В 1900 г. начала свою работу уже сама министерская комиссия. Подкомиссию «по составлению программ математики для средних учебных заведений» возглавил Н.И. Билибин. Однако в связи с трагической гибелью Н.П. Боголепова деятельность этой комиссии прекратилась [9].

В это же время активно шла работа по обновлению программ в других странах. Так, во Франции академики Г. Дарбу и Ж. Адамар, профессора Э. Борель, Ж. Таннери и К. Бурле подготовили новую программу по математике. В курс математики старшего класса первого цикла (5-й класс) они включили понятие о функции, графическое и аналитическое изучение простейших функций, в курс 10 и 11 классов включили вопросы: понятие о производной, исследование возрастания и убывания функций с помощью производной, нахождение производных простейших функций. В математическом классе (12-й год обучения) предполагалось повторение курса алгебры, включающего изучение функций и их производных, и изучение геометрии, включающей учение о полярах, векторах, конических сечениях. Понятие о функции и ее производной присутствовало и в программе философского класса (12-й год обучения) [10].

В 1903 г. на съезде Германского общества естествоиспытателей и врачей в Касселе Ф. Клейн произнес знаменитую речь, в которой говорил о том, что реформа образования интересует не только естествоиспытателей, но и математиков, и в кратких словах изложил свою программу. Через год дискуссия о реформе продолжилась в Бреславле, где было принято решение организовать комиссию, которая должна «разработать предложения относительно реорганизации преподавания математики, точного и описательного естествознания» [10].

В 1905 г. на собрании естествоиспытателей (Меран) германская комиссия предложила проекты программ преподавания математики и естест-

вознания в реальных гимназиях и высших реальных училищах, а в 1906 г. (Штутгарт) - программы для шестиклассных реальных училищ и реформированных школ.

Составлением «Меранских программ» руководил сам Ф. Клейн. В них он реализовал идеи, которые раньше высказывал неоднократно: преподавание математики должно строиться на основе психологических особенностей обучаемых и психологических закономерностей усвоения математических знаний, весь учебный материал должен быть проникнут идеей функциональной зависимости величин в их геометрическом освещении; важной составляющей курса должны стать приложения математики. Эти были введены в Германии уже в 1905 г.

Не осталась в стороне от реформ и Швеция, в реальных гимназиях которой в 1905 г. появились понятия функции и начала анализа бесконечно малых [12, с. 16].

В 1906 г. произошло обновление программ по математике русских реальных училищ: по этим программам с 1907 г. в курс 7-го класса реальных училищ были введены элементы высшей математики.

Историческое значение в реформаторском движении начала XX века имел состоявшийся в Риме в 1908 г. IV Международный математический конгресс. На этом конгрессе была организована Международная комиссия по реформе математического образования во главе с президентом Ф. Клейном (Германия), вице-президентом Г. Гренхилем (Англия) и секретарем А. Фером (Швейцария). При комиссии были созданы 19 подкомиссий из разных стран [12, с.6].

В работе IV Конгресса принимала участие и русская делегация, представленная академиком Н.Я. Сониным, профессором Б.М. Кояловичем и директором реального училища в Петербурге К.В. Фохтом. Поэтому не удивительно, что русскую подкомиссию в Международной комиссии сначала возглавил академик Н.Я. Сонин (1849-1915). После смерти Н.Я. Сонина подкомиссией руководил профессор К.А. Поссе (1847-1928). В ее состав входили также Д.М. Синцов, М.Г. Попруженко и др. Комиссия подготовила доклады (на французском языке) о преподавании математики в русских университетах, высших технических и военных школах, реальных училищах, мужских и женских гимназиях, кадетских корпусах и др.

«Международная комиссия должна была изучить современное состояние математического образования, выявить основные методы преподавания математики, рассмотреть существующие системы экзаменов, условия подготовки учителей и в итоге сформулировать современные тенденции в преподавании математики и дать рекомендации по его перспективе» [4].

Результаты деятельности комиссии широко освещались в периодической печати (публикации в журналах «Вестник опытной физики и эле-

ментарной математики», «Журнал Министерства народного просвещения», «Математическое образование» и др.).

В 1911 г. элементы математического анализа были включены в программу русских кадетских корпусов, а в 1914 г. элементы аналитической геометрии - в программу коммерческого училища [11]. Непродолжительный опыт преподавания по обновленным программам оказался довольно успешным, но осторожное министерское начальство не спешило распространять этот опыт на гимназии, которые остались в стороне от нововведений. А затем в ход событий вмешались Первая мировая война и две революции.

Таким образом, движение за реформу математического образования в России в начале XX века было последовательным. Более того, вопрос об обновлении программ элементами высшей математики в России был поднят даже раньше, чем в Европе. Русские педагоги-математики активно участвовали во всех международных мероприятиях, тщательно изучали зарубежный и собственный опыт, прежде чем распространить преподавание новых разделов и на все гимназии. Взвешенная и осторожная позиция Министерства народного просвещения, нагрянувшая Первая мировая война и политические потрясения в стране не дали осуществить эту реформу в полном масштабе. Последующие же изменения отечественного математического образования (1920 гг. и 1960 - 1970-х гг.) совершались поспешно и потерпели фиаско.

Библиографический список

1. Бабаян А.В. Официально-охранительная педагогика первой половины XIX века о воспитательной работе в учебных заведениях // Экономические и гуманитарные исследования регионов. - 2013. - № 5. - С. 12-20.

2. Бажанов В.А. Очерки социальной истории логики в России. - Ульяновск-Симбирск: Изд-во Средневолжского научного центра, 2002. - 124 с.

3. Добрина Е.А., Мельников Р.А. Задания элективного курса по координатному методу // В сб.: Проблемы совершенствования профессионально-методической подготовки будущих учителей математики. Сборник научных статей. - Чебоксары, 2013. -С. 14-20.

4. Ельчанинова Г.Г., Мельников Р.А. Методические подходы к изучению ряда вопросов вводных тем математического анализа // Письма в Эмиссия. Оффлайн: электронный научный журнал. - 2014. -№ 4. - С. 2188.

5. Зыков М.В., Горев П.М. Производная в задачах с практическим содержанием // Концепт. - 2015. - Т. 25. - С. 256-260.

6. Колягин Ю.М., Саввина О.А., Тарасова О.В. Русская школа и математическое образование: наша гордость и наша боль. - Орел: ООО Полиграфическая фирма «Картуш», 2007. - Ч. I.

7. Колягин Ю.М., Саввина О.А. Бунт российского министерства и отделения математики АН СССР (Материалы по реформе математического образования 1960 -1970-х гг.). - Елец: ЕГУ им. И.А.Бунина, 2012.- 154 с.

8. Краткий отчет о деятельности 2-й секции (секция реальных училищ) 2-го Съезда русских деятелей по техническому и профессиональному образованию в Москве // Вестник опытной физики и элементарной математики. - 1896. - № 233. - С. 134.

9. Саввина О.А. Исторические очерки о преподавании высшей математики в средних учебных заведениях России. 4.2 (вторая половина XIX - первые семнадцать лет XX вв.): Монография. - Елец: ЕГУ им. И.А. Бунина, 2002. - 246 с.

10. Саввина О.А. Становление и развитие обучения высшей математике в отечественной средней школе. Дис. ... д-ра пед. наук. - Елец, 2002. - 485 с.

11. Саввина О.А., Луканкин Г.Л. Опыт преподавания математики в реальном училище в начале XX в. // Педагогика. - 2002. - № 9. - С. 72-76.

12. Синцов Д.М. Доклад о Международной Комиссии по преподаванию математики // Математическое образование. -1914. -№1.-С. 166-174.

МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ СОСТАВЛЕНИЯ СЛОВАРЯ К «АРИФМЕТИКЕ» Л.Ф. МАГНИЦКОГО

О.Ю. Тихонова, Ю.Е. Дворникова

Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина, г. Елец; студенты института математики, естествознания и техники (Научный руководитель: доктор педагогических наук, профессор, зав. кафедрой математики и методики ее преподавания О.А. Саввина)

Аннотация. В книге «Арифметика» Л.Ф. Магницкого заложен большой педагогический потенциал. Однако со времени ее выхода прошло боле 300 лет, поэтому чтение этой книги для современного читателя представляет большие трудности. Герменевтический анализ текста книги позволил отобрать перечень слов и математических понятий, на основе которых может быть составлен словарь к этому уникальному труду XVIII века.

Ключевые слова: история математического образования, «Арифметика» Л.Ф. Магницкого.

В 1703 г. появился на свет труд «Арифметика» Л.Ф. Магницкого. Это был первый печатный учебник по математике на русском языке. Он сыграл огромную роль в развитии отечественного математического образования.

С тех пор прошло более 300 лет, но этот учебник продолжает привлекать внимание исследователей, учителей и школьников [5]. Однако современному человеку читать такую книгу будет непросто, поскольку он написан на древнерусском языке. Изменились не только лексика, орфография и правописание русских слов и выражениц, но и содержание математических понятий, их обозначения и символы. Чтобы облегчить чтение этой уникальной книги современному читателю, сделать ее текст понят-

ным и доступным, необходимо установить современный смысл употребляемых в ней русских слов, а также выявить современное толкование математических терминов и понятий.

Приведем примеры стихов из книги и толкования используемых в них терминов:

Стихи о гербе

Навыкохом мы православии

Яко христовы слуги давни

Аби его призывати

Хотя ще вся с ним начинати

Чтолибо аще когда даем

В пользу нам, им в честь имеем

Ему самому творцу Богу

Подаришь нам помощь многу

Сие и ныне призываем

И восприятии уповаем

Тем и святый крест образуем

Многи силы в нем показуем

Небесна царя скипетр есть сущий

Над царствы земли власть имущий

Иже бо его почитают

И сих ради зде в первых стоит

Вся ажи при нем бдене хранит.

Клейнот, сиречь герб хранит церкви,

Иже имать царь христианский

Российский реку православный

Иных многих царств державный

Его же крепость и держава

Честный крест, купно же и слава

Сим бо державу утверждает

И враги своя побеждает

Тем и впредь врагам побеждати

Имать, а своих свобождати.

Но и герб орел двоеглавый

Значит яко есть православный.

А паче что он тривенечный

В чем значится Бог в троице вечный

Где всяческих един сильный

Излежавый нань мир обильный

А немже орел двоеглавый

Немогий писать всего явне.

Сими словесы заключаю

Всяк дар духа в нем бытии чаю.

Понять смысл стихотворного описания герба поможет следующий словарик: яко - что [7, т.З, с. 1654], аби - тот час [7, т.1, с.4], клейнот -знак [7, т.1, с. 1218], сиречь - то есть [7, т.З, с.360], имать - брать [7, т. 1, с. 1091], реку - говорю [7, т.З, с. 114], паче - больше [7, т.2, с.891],

Арифметике любезно учися,

В ней разных правил и штук придержися,

Ибо в гражданстве к делам есть потребно.

Лечити свой ум, аще числит вредно.

И пути в небе решит, и на мори,

Еще на войне полезно, и в поли.

Словарик: любезно — с любовью [7, т.1, с.91], потребно — необходимо [7, т.2, с. 1299].

Аще кто не твердит таблицы и гордит не может познати числом, что множати и во всей науке не свободен от муки. Колико не учит, туне ся удручит и в пользу не будет аще ее забудет.

Словарик: колико - поскольку [7, т.З, с.239], аще - если [6, т.1, с. 100]. 2. Чтобы понять математический смысл задач, приводимых в этой книге, необходимо знать современное толкование древних мер длины: Аршин = 71,12 см. Фут = 30,48 см.

Локоть = 45 см (1 локоть = 6 ладоням). Шаг = около 71 см. Ладонь = 10,16 см. Пядь = 17,78 см.

Сажень = 213, 36 см. Маховая = 1,76 м.

Для решения задач в «Арифметике» часто используется тройное правило. Суть применения тройного правила в современном понимании основана на том, что величины связаны прямой или обратной пропорциональной заивсимостью. К задачам на простое тройное правило относятся такие, в которых участвуют две величины х\ и х2, причем два значения ai, а2 одной из них и одно значение Ь] другой - известны. Определению подлежит второе значение величины х2, то есть Ь2. Простое тройное правило основано на пропорциях

ai : b] = а2 : b2 (для прямой пропорциональности) и

ai : b] = b2 :а2 (для обратной пропорциональности),

откуда, соответственно, получаются формулы: Ъ2 = ; Ь2 = .

Сложное тройное ло представляло собой довательное применение несколько раз простого тройного правила.

Рассмотрим, как применяет Л.Ф. Магницкий это правило в задаче:

«Некто колодезник подряжен был кладезь копати в 9 сажень глубиною, обещано ему дать 10 рублев: он же обрете воду, не докапав реченных 9-ти сажен, взял цену 466 - копеек. И

ведательно есть в коликих сажена обрети он воду, придя к 6 саженям. А изобретая сице: число прогрессий есть выше обретено 45 сажень, через негоже по тройному правилу твори сице» [4, с. 418].

Ксерокопия страницы «Арифметики» Л.Ф. Магницкого

21 толико число прогрессий искомое.

Потом поставь единицы 1, 2, 3, 4, 5, 6 (арифметическая прогрессия -прим. О.Т., Ю.Д.), и потому вскоре обрящеши до колика сажени он копал в глубину.

Когда же 9 сажень колодезной глубины за 9 рублей копати подряжен был, но обрете токмо в глубину за 4 рубли доволную воду. И ведательно есть в коликой сажени доволно обретен воды; придет: в 5 - сажени, в 9 местех число прогрессии есть 45, и сего ради глаголи:

20 число есть прогрессии.

И того ради постави от единицы ища числа глубины сице: 1, 2, 3, 4, 5. И 6 есть выше 20-ти, и того ради вычти 12 от 20 и останется 5 сажени, толико же и мест, и оставшим 5 постави в долях с 6-ю, сиречь 5 - сажени, елико копал за 4 рублев.

Чтобы понять смысл задачи, составим словарик: подряжен - нанят, реченных — сказанных, сице — так, ведательно — знать [7, тЛ, с.478], сиречь — то есть [7, т.3, с. 360].

Теперь ясно, что в задаче идет речь о колодце, объем которого увеличивался книзу. Как установил дореволюционный историк математики Д.Д. Галанин, это увеличение «шло в арифметической прогрессии, т. е. колодец имел такой вид: верхнее его отверстие было в 1 кв. саж., а нижнее в 9 кв. саж.», и число вынутых кубов увеличивалось в горизонтальном сечении на 1 с углублением на 1 сажень» [2, с. 117].

В последней части «Арифметики» автор расположил особый раздел «О утешных неких действах, чрез арифметику употребляемых», в котором привел задачи «для утехи и особенно для изощрения ума учащихся». Эти задачи представляют собой благодатный материал как для реализации технологий ТРИЗ, так и для реализации воспитательных целей [1], [3], [8]. Более того, в фабулах большинства задач книги Л.Ф. Магницкого заложен высокий нравственный потенциал. Эти задачи не только воспевают хвалу человеку труда, но и содержат поучительные истории о русских благотворителях и их делах. Несомненно, «Арифметика» Л.Ф. Магницкого остается и до наших дней настоящим кладезем педагогических находок.

Библиографический список

1. Бабаян А.В. Философско-антропологический подход к историко-педагогическому изучению теорий нравственного воспитания в отечественной педагогике // Дискуссия.-2012.-№ 3.-С. 100-105.

2. Галанин Д.Д. Леонтий Филиппович Магницкий и его арифметика. - М.: Тип. О.Л. Сомовой, 1914. - 208 с.

3. Зиновкина М.М., Утемов В.В. Обновление основных программ общего образования через принципы педагогической системы НФТМ-ТРИЗ в условиях реализации ФГОС // Концепт. - 2015. - № 12. - С. 186-190. - ART 15444. URL: http://e-koncept.ru/2015/15444.htm

4. Магницкий Л.Ф. Арифметика. - М.: Печ. двор, 1703. - 673 с.

5. Саввина О.А., Марушкина И.А. Урок математики в дореволюционной средней школе. - М.: ИНФРА-М, 2013. - 80 с.

6. Словарь древнерусского языка (XI-XIV вв.) / Гл. ред. Р.И. Аванесов: В 10 т. - Т. 1. -М.: АН СССР. Ин-т рус. яз., 1988. - 530 с.

7. Срезневский И.И. Материалы для словаря древнерусского языка по письменным памятникам. Санкт-Петербург: императорская Академии Наук. - Т. 1. 1893; - Т. 2. 1902;-Т. 3. 1912.

8. Утемов В.В., Зиновкина М.М., Мирошник Е.В. Развитие системологического мышления в психолого-педагогической технологии НФТМ-ТРИЗ // Концепт. - 2015. -№ 5. - С. 191-195. - URL: http://e-koncept.ru/2015/15167.htm .

РАЗДЕЛ II. ТЕОРИЯ И МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ В ШКОЛЕ И ВУЗЕ

МЕСТО ПРОФЕССИОНАЛЬНО ОРИЕНТИРОВАННОЙ ЭВРИСТИЧЕСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ В СИСТЕМЕ ФОРМИРОВАНИЯ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЙ КОМПЕТЕНТНОСТИ БУДУЩЕГО УЧИТЕЛЯ МАТЕМАТИКИ

Е.И. Скафа

Донецкий национальный университет, г. Донецк; проректор по научно-методической и учебной работе, зав. кафедрой высшей математики и методики преподавания математики, доктор педагогических наук, профессор

Аннотация. Исследуются вопросы формирования профессиональной компетентности будущего учителя математики через организацию профессионально ориентированной эвристической деятельности. Описываются этапы организации такой деятельности и приводятся примеры управления ею в курсе методики обучения математике.

Ключевые слова: профессиональная компетентность будущего учителя математики, эвристическая деятельность, эвристические умения, методическая подготовка учителя математики.

В высшей профессиональной школе осуществляется подготовка будущих специалистов, главной целью которой является формирование их готовности к профессиональной деятельности. Формирование такой готовности означает овладение студентами знаниями по общим и специальным (профессиональным) дисциплинам, практическими умениями и навыками, развитие личностных профессиональных качеств, раскрытие творческого потенциала личности, овладение методикой работы с новыми технологиями, то есть готовностью к профессиональной деятельности выпускника образовательного учреждения высшего профессионального образования на современном этапе развития образования можно считать сформированность у него профессиональной компетентности.

В государственных образовательных стандартах высшего профессионального образования в различных странах мира компетентность рассматривается как интегрированное образование личности, объединяющее знания, умения, навыки, опыт и личностные качества, определяющие готовность и способность решать проблемы, возникающие в профессиональ-

ной деятельности и реальных жизненных ситуациях, понимая при этом важность предмета и результата деятельности.

Одним из основных видов деятельности в высшей школе, в процессе которой и формируются профессиональные качества специалиста, является, как отмечает В.Н. Соколов [9], учебная эвристическая деятельность, основанная на принципе профессиональной направленности обучения. Этот принцип имеет особенное значение. Речь идет о введении в содержание обучения профессионально значимого материала на основе анализа содержания в общих фундаментальных и специальных дисциплинах при условии сохранения логической целостности учебного предмета, введения в содержание обучения профессионально значимых умений или видов деятельности. Такими умениями, на наш взгляд, являются эвристические умения.

Под эвристическими умениями понимаем умения осуществлять целенаправленный поиск решения нестандартного задания путем использования эвристических приемов (к таким заданиям относят как сугубо учебные нестандартные задания по дисциплине, так и профессионально ориентированные задания для будущего специалиста).

Эвристические умения формируются у студентов только во время выполнения эвристической деятельности, в процессе осуществления которой обучающиеся активно овладевают знаниями и развивают свои эвристические умения, формируют мотивацию к будущей профессиональной деятельности.

Рассматривая разные аспекты профессиональной подготовки будущего учителя (в педагогике под этим понятием понимают единство целей, содержания, методов и средств обучения и воспитания студентов педагогических специальностей), в последние десятилетия, отмечает О.И. Матяш [1], в научных исследованиях путей и средств повышения уровня и качества профессиональной подготовки учителя обосновывается тезис о том, что такая подготовка не отвечает быстро изменяющимся современным требованиям общего среднего образования. Это еще раз подтверждает целесообразность рассмотрения проблемы формирования профессиональной компетентности будущего учителя математики через овладение студентами эвристическими умениями, в частности в процессе их методической подготовки.

Цель статьи - на основе изучения психолого-педагогических исследований и анализа личного опыта работы со студентами-математиками обосновать основные пути овладения эвристическими умениями в процессе формирования профессиональной компетентности.

Понятие «профессиональная компетентность учителя» учеными рассматривается как способность учителя выполнять профессиональные функции или как сформированность профессиональных качеств педагога. С.А. Скворцова и Я.С. Гаевец определяют ее как: свойство личности, кото-

рое проявляется в способности к педагогической деятельности, а именно к организации учебно-воспитательного процесса на уровне современных требований; единство теоретической и практической готовности педагога (предметно-теоретической, психолого-педагогической и дидактико-методической) к осуществлению педагогической деятельности; возможность результативно действовать, эффективно решать стандартные и проблемные ситуации, которые возникают в процессе обучения [10].

Но профессиональной деятельностью учителя математики, по нашему мнению, невозможно овладеть студентам во время обучения в университете, необходимым фактором должна быть и педагогическая практика уже молодого учителя. Поэтому в процессе обучения в высшей школе мы сосредоточиваем внимание на формировании опыта не профессиональной деятельности, а только профессионально ориентированной, основанной на принципе профессиональной направленности обучения.

При таких условиях преподаватель, нацелив студентов на результат деятельности, который достигается совместно, когда студенты избирают, к какому роду действий они присоединятся, будут вместе с преподавателем искать способы решения проблемы или займут позицию объекта управления, будут действовать как партнеры или индивидуально. Это способствует приобретению студентами собственного опыта в формировании эвристических умений, а также опыта профессионально ориентированной эвристической деятельности.

Под профессионально ориентированной эвристической деятельностью студентов понимаем особенный вид их учебной деятельности, направленный на создание новой стратегии или системы действий в процессе овладения математическими фундаментальными курсами и решения методических заданий. В процессе осуществления такой деятельности студенты активно развивают свои эвристические умения, овладевают методическими знаниями и развивают личностные качества будущего специалиста в области математического образования.

Действительно, наиболее оптимальной деятельностью, в которой развиваются личностные качества, производительные способы мышления, умения достигать цели и получать результат, является эвристическая деятельность. Как отмечает В.Н. Пушкин [2], ядром эвристики, ее основой является психология творческого мышления. Поэтому при формировании творческой личности будущего специалиста необходимым является вовлечение студентов в эвристическую деятельность. Такая деятельность включает в себя как логические, так и нелогические, например, интуитивные средства. Первые носят алгоритмический характер, другие имеют индивидуальную психологическую основу. Алгоритмизация и интуиция - две составляющие эвристической деятельности, общий результат которой может иметь разные направленности. В психологическом аспекте, как отмечает В.Н. Пушкин [2], эвристическую деятельность надо рассматривать как

такую разновидность человеческого мышления, которая создает новую систему действий или открывает неизвестные ранее закономерности окружающих человека объектов.

Рассматривая дидактичный аспект эвристической деятельности, В.Н. Соколов [9] дает определение учебной эвристической деятельности как деятельности, в процессе которой целеустремленно развиваются способности:

1) понимать пути и методы продуктивной учебно-познавательной деятельности, творчески копировать их и учиться при этом на собственном и заимствованном опыте;

2) упорядочивать учебную информацию в межпредметные комплексы и оперировать ими во время эвристического поиска;

3) адаптироваться к разным видам учебной деятельности и предусматривать ее результаты;

4) планировать и прогнозировать интеллектуальную деятельность на основе эвристических и логических операций и стратегий;

5) формировать и принимать решение по организации сложных видов учебной деятельности на основе правдоподобных рассуждений, эвристических операций и стратегий с их последующей логической проверкой.

То есть у студентов, будущих учителей математики, важно формировать опыт профессионально ориентированной эвристической деятельности, с одной стороны, для того, чтобы развиваться творчески как личность, с другой, чтобы уметь руководить такой деятельностью школьников в будущей профессиональной деятельности [3], [8].

В работе [7] нами описаны основные три этапа организации профессионально ориентированной эвристической деятельности будущего учителя математики.

На первом этапе происходит овладение собственными эвристическими умениями в процессе освоения фундаментальных математических курсов и решения нестандартных задач по дисциплинам, на которых осуществляется глубокое освоение элементарной математики.

На втором этапе студенты овладевают эвристическими умениями на методическом уровне, когда вводится профессиональная составляющая во время изучения методических курсов.

Третий этап организации профессионально ориентированной эвристической деятельности студентов характеризуется формированием профессиональной готовности будущего учителя к работе в методической системе эвристического обучения математике.

В данной статье дадим развернутую характеристику второго этапа организации профессионально ориентированной эвристической деятельности студентов при изучении курса «Методика обучения математике. Общая методика» (МОМ).

Идея поэтапного овладения профессионально ориентированной эвристической деятельностью будущего учителя математики была взята за основу при разработке нами рабочих тетрадей по курсу МОМ для тем «Постановка дидактических целей», «Математические понятия» [5], «Математические предложения и методика их доказательства» [6].

Актуальность рабочих тетрадей заключается в оптимальном сочетании в каждой теме типовых задач с эвристическими, обеспечивающими формирование у студентов, будущих учителей математики, опыта собственной профессионально ориентированной эвристической деятельности. Каждая рабочая тетрадь состоит из трех основных блоков и имеет следующую структуру (рис. 1).

Первый блок - «Актуализация знаний по теме» предоставляет дополнительные возможности студенту повторить теоретический материал темы, самостоятельно составить опорный конспект, проверить уровень своих знаний путем ответа на тестовые вопросы.

Учитывая тот факт, что профессионально ориентированная эвристическая деятельность будущего учителя математики предполагает сформированность эвристических умений у самого студента, предлагаем перед изучением курса методики обучения математике проведение первичной диагностики. Диагностику проводим по двум направлениям:

а) диагностика уровня сформированности эвристических умений у студентов при решении математических заданий;

б) диагностика уровня мотивации к профессиональной педагогической деятельности будущих учителей математики.

Для выявления уровня сформированности эвристических умений (низкий, средний, высокий) студентам предлагаются специально подоб-

Рисунок 1 - Структура рабочей тетради по курсу МОМ

ранные тестовые задания открытого характера. В процессе поиска решения каждой задачи теста необходимо воспользоваться определенной эвристикой (анализ, аналогия, введение вспомогательного элемента, выведение подзадач, модификация, перебор вариантов, рассмотрение предельного случая, симметрия и т.д.).

Формирование мотивов изучения темы является первым и самым главным заданием подготовительного этапа. Опираясь на внешние мотивы как социального, так и личностного характера, очень важно повлиять на познавательные мотивы. Мотивация профессионально ориентированной эвристической деятельности может происходить за счет:

а) постановки перед студентами методического задания, поиск решения которого основывается на использовании определенных эвристических методов, форм, средств обучения;

б) беседы, рассказа преподавателя о теоретической и практической значимости использования данной темы на практике с выделением значимости эвристической составляющей этой темы.

Во втором блоке «Учимся решать методические задания» студентам предлагается ознакомиться с разнообразными примерами решения базовых методических задач темы, овладеть некоторыми эвристическими приемами, используемыми в методике обучения математике.

Методический тренажер и система эвристически ориентированных упражнений - это основа для обсуждения и самостоятельного выполнения методических задач по теме на практических занятиях по методике. В методическом тренажере, кроме ответов, можно записывать любые замечания, дополнительные объяснения и т.д.

Поскольку формирование профессионально ориентированных эвристических умений студентов возможно только через решение методических задач, им предлагается ознакомиться с различными примерами решения некоторых методических задач по теме и попробовать свои силы в процессе самостоятельного поиска их решения.

В курсе методики обучения математике студент сталкивается с новым для него видом деятельности - методической деятельностью. Ему необходимо время, чтобы перестроиться и привыкнуть к новой роли - роли учителя. Студенты еще не знакомы с методической деятельностью и зачастую не знают, как подойти к решению методических задач. Часто нужна помощь преподавателя, демонстрирующего образцы решения задач. Именно поэтому необходимо ознакомление студентов с образцами решений типовых базовых задач, а также с демонстрацией эвристик и поиска их решения.

Организация профессионально ориентированной эвристической деятельности студентов с целью формирования методической компетентности как структурного компонента профессиональной компетентности осуществляется через введение эвристических тренажеров в курсе МОМ. Мы

рассматриваем эвристические задачи, среди которых особое место занимают методические эвристические задачи.

Предлагаем методические задачи двух типов.

Первый тип направлен на формирование у будущего учителя математики общих и специальных эвристических приемов. Такие задачи объединены в отдельные блоки (для каждого эвристического приема приведен перечень задач, поиск решения которых происходят с помощью этого приема). Один прием может проходить сквозной линией через несколько тем курса методики обучения математике [4], [5], [6].

Например.

Аналогия

1. А). Из школьного курса планиметрии известно определение понятия диаметра окружности как хорды, проходящей через центр. По аналогии с этим утверждением в стереометрии вводится понятие диаметра шара. Предложите это определение.

Б). В аналитической геометрии аналогично вводится понятие диаметра эллипса и гиперболы. Постройте определения этих понятий. Контрпример

8. Можно ли окружности радиуса R определить как геометрическое место точек на плоскости, удаленных на расстояние, равное R, от некоторой точки этой же плоскости?

9. К нижеприведенным неправильным определениям понятий приведите возможные контрпримеры и сформулируйте корректное определение для каждого понятия:

Угол, вершина которого лежит на окружности, называется вписанным.

Сравнение

10. Найдите общие свойства трапеции и ромба, треугольника и параллелограмма, прямоугольника и круга.

11. Назовите свойства, которые являются общими для всех выпуклых многоугольников.

12. Укажите общие свойства многоугольников, у которых противоположные стороны попарно параллельны.

13. Укажите признаки сходства и отличия понятий: параллельные прямые и скрещивающиеся прямые.

Обобщение

20. Выполните обобщение понятий: трапеция, многоугольник, параллелепипед.

24. Что общего в уравнениях вида:

sin2x + 3sinx-l = 0, 21g2x-51gx + 3 = 0, 22х-3-2Х-4 = 0.

Переформулировка

25. О каких известных вам понятиях идет речь в следующих предложениях:

а) многоугольник с наименьшим числом сторон —_;

б) наибольшая хорда окружности —_;

в) треугольник, который имеет оси симметрии —_;

г) многогранник с наименьшим числом граней — _;

д) четырехугольник, имеющий центр симметрии —_;

е) хорда, проходящая через центр окружности —_;

ж) равносторонний четырехугольник, один из углов которого прямой —_;

з) четырехугольник, имеющий четыре оси симметрии —_.

Второй тип методических задач прогнозирует формирование у студентов умений организовывать эвристическую деятельность учащихся.

Такие задачи не составляют отдельные блоки, они включены в общую систему методических задач, при этом непосредственно не отмечено, что способ их решения связан с организацией эвристической деятельности учеников. Например.

Поиски ошибок

35. Один ученик определил иррациональное число как радикал, который не берется, другой — как бесконечную дробь. Укажите ошибку в первом и втором случаях.

43. Придумайте самостоятельно примеры ошибочных определений понятий, которые:

а) содержат «порочный круг» (первое понятие определяется через второе, а второе — через первое);

б) определяются через ближайшее родовое понятие;

в) содержат тавтологию;

г) не являются достаточными;

д) являются избыточными.

37. Ученик сказал: «По определению степени с натуральным показателем выражение (а2 -Ь2)0 равно единице, при любых значениях а и b ».

Нет ли у Вас замечания к ответу ученика?

Третий блок «Контроль и рефлексия» помогает студентам качественно подготовиться к проверке знаний и умений по теме. Он состоит из лабораторной или индивидуальной работы, демонстрационного варианта контрольной работы.

Этот блок предназначен для организации третьего этапа осуществления профессионально ориентированной эвристической деятельности. Этот этап является заключительным и показательным для отслеживания результативности первых двух этапов формирования профессионально ориентированной эвристической деятельности будущего учителя математики. Целью этого этапа является не только контроль успеваемости студентов, а рефлексия собственной профессионально ориентированной деятельности студентов, актуализация потребности использовать в своей будущей профессиональной деятельности методы, формы и средства эвристического обучения.

Анализ результатов контроля дает возможность преподавателю получить информацию об уровне подготовки студентов на данном промежутке времени, что позволяет скорректировать управление учебным процессом в сторону его улучшения (изменить приемы обучения, внести коррекцию в задания для отстающих студентов, выявить часто допускаемые ошибки и др.).

Формами контроля на данном этапе являются контрольные и лабораторные работы. В них осуществляется интеграция теоретико-методологических знаний с практическими умениями и навыками студентов в условиях той или иной степени близости к реальной профессиональной деятельности. При этом, с одной стороны, достигается закрепление и совершенствование знаний студентов, с другой - у них формируются определенные профессиональные умения. Описание лабораторных работ, предлагаемых нами по МОМ, будет представлено в будущей статье.

Итак, вся работа заключительного блока выполняется с использованием методов рецензий, рефлексии, самооценки, прогнозирования; в форме лабораторной работы, практической работы, защиты творческих проектов и работ, конкурса по решению задач, семинара с презентацией и защитой образовательных результатов, семинара-круглый стол, рефлексивного семинара, семинара-выставки.

Таким образом, использование рабочих тетрадей в курсе «Методика обучения математике» позволяет студентам на собственном опыте убедиться в целесообразности использования в будущей профессиональной деятельности данного средства обучения.

Формирование у будущего учителя математики опыта профессионально ориентированной эвристической деятельности является важной проблемой современной методической науки. Организация такой деятельности и управление ею должны быть непрерывными на протяжении всех лет обучения студентов в высшей педагогической школе.

Библиографический список

1. Матяш О.І. Теоретико-методичні засади формування методичної компетентності майбутнього вчителя математики до навчання учнів геометрії: монографія / ред. проф. О.І. Скафа. - Вінниця: ФОП Легкун В.М., 2013.-450 с.

2. Пушкин В.Н. Эвристика - наука о творческом мышлении. - М.: Политиздат, 1967. - 207 с.

3. Скафа Е.И. Эвристическое обучение математике: теория, методика, технология: монография. - Донецк: Изд-во ДонНУ, 2004. - 439 с.

4. Скафа О.І., Гончарова І.В., Тимко Ю.Г. Робочий зошит за темою «Постановка дидактичних цілей»: професійно орієнтований евристичний курс «Методика навчання математики: Загальна методика»: навчальний посібник. - Донецьк: Вид-во ДонНУ, 2012.-39 с.

5. Скафа О.І., Гончарова І.В., Тимко Ю.Г. Робочий зошит за темою «Математичні поняття»: професійно орієнтований евристичний курс «Методика навчання математики: Загальна методика»: навчальний посібник. - Донецьк: Вид-во ДонНУ, 2012. -42 с.

6. Скафа О.І., Гончарова І.В., Тимко Ю.Г. Робочий зошит за темою «Математичні твердження і методи їх доведення»: професійно орієнтований евристичний курс «Методика навчання математики: Загальна методика»: навчальний посібник. - Донецьк: Вид-во ДонНУ, 2012. - 50 с.

7. Скафа О.І. Формування досвіду професійно орієнтованої евристичної діяльності у майбутнього вчителя математики в системі вищої педагогічної освіти // Дидактика математики : проблемы и исследования: междунар. сборник, научных работ. - Донецк, 2013. - Вып. 40. - С. 191-200.

8. Skafa О. Heuristically Oriented Systems of Problems in Teaching of Mathematics (Эвристически ориентированные системы задач в обучении математике) // Journal of Research in Innovative Teaching Publication of National University, 2014, Volume 7, pp. 85-92.

9. Соколов В.Н. Педагогическая эвристика: Введение в теорию и методику эвристической деятельности. - М.: Аспект Пресс, 1995. - 204 с.

10. Скворцова С.О., Гаєвець Я.С. Підготовка майбутніх учителів початкових класів до навчання молодших школярів розв'язувати сюжетні математичні задачі: монографія. - X.: Ранок - HT, 2013. - 332 с.

МЫСЛИТЕЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ В СТРУКТУРЕ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ И ИХ РАЗВИТИЕ СРЕДСТВАМИ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКИ

Г.Г. Ельчанинова

Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина, г. Елец, кандидат педагогических наук, доцент кафедры математики и методики ее преподавания

Аннотация. В статье рассматривается взаимосвязь развития исследовательской деятельности обучающегося и развития мыслительных операций, которые используются не только при выполнении исследования. В статье предлагается формулировка тестовых заданий, способствующих указанному развитию.

Ключевые слова: мыслительная операция, исследование, набор задач.

Согласно новому стандарту ФГОС высшего образования по направлению подготовки 44.03.01 Педагогическое образование (уровень бакалавриата), выпускник, освоивший программу, в соответствии с видами профессиональной деятельности, на которые ориентирована программа, должен быть готов решать профессиональные задачи в исследовательской деятельности, в частности, постановку и решение исследовательских задач в области науки и образования; использование в профессиональной деятельности методов научного исследования.

Исследовательская деятельность - творческая, продуктивная. Формирование приемов ее выполнения, представляет определенную трудность. Нельзя предвидеть заранее, насколько продуктивным будет продвижение в том или ином направлении в рамках поставленной исследовательской задачи. Но организующий исследовательскую деятельность обучающихся может предусмотреть развитие нескольких версий (гипотез) и продумать наводящие вопросы для обучающихся-исследователей.

Опыт показывает, что обучение исследованию должно проходить в рамках предметной области, с материалом которой обучающиеся знакомы со школьной скамьи. Такой областью для студентов является элементарная математика.

Наборы задач по элементарной математике должны содержать задачи на формирование профессионально-педагогических умений, связанных с исследовательской деятельностью. Предметные исследовательские умения, являясь частью методических, и сами по себе играют огромную роль в подготовке будущих учителей к преподаванию математики в школе [1].

Именно на формирование этих умений и должны быть направлены задачи набора.

В чем именно состоит особая роль исследовательских умений? Результатом исследования в математике является обобщение. А что иное, как не обобщение (конечно, учитывая понимание, воспроизведение, объяснение) мы можем поставить во главу целей обучения тому или иному математическому материалу? Следствием умения обобщать, в частности, является самостоятельное решение и составление подобных равноценных задач; правильное, логически обоснованное решение (в силу того, что производится в соответствии с логическими научными законами и практическими требованиями). Именно проведение исследования влечет за собой развитие и формирование соответствующих профессиональных предметных умений: анализировать, наблюдать, сравнивать, выдвигать гипотезы, рассматривать частные случаи, рефлексировать, выделять главное звено, устанавливать межпредметные и внутрипредметные связи и, наконец, обобщать. Кроме того, проведение исследования способствует развитию умений выполнять соответствующие мыслительные операции (анализ, сравнение и т.д.).

Развитие и формирование мыслительных операций при работе с задачами происходит как следствие, но можно использовать как специальным образом переформулированные задачи [2], так и специальные тестовые методики, способствующие их формированию [3] .

Так, студентам можно предлагать выполнение заданий, подобных следующим.

1. Что надо сделать, чтобы сравнить два объекта?

2. Что надо сделать, чтобы сравнить «уравнение» и «неравенство» как математические объекты, как математические понятия?

3. Что надо сделать, чтобы сравнить два математических объекта?

4. Что такое обобщение?

5. Проведите обобщение и ограничение следующих понятий, то есть подыщите к каждому из них подчиняющее более общее (родовое) понятие и подчиненное более частное (видовое) понятие среди предложенного списка.

Уравнение

а) корень уравнения; б) тождество; в) выражение; г) квадратное уравнение.

Отрицательное число

а) сумма; б) число; в) -5; г) положительное число.

Деление

а) умножение; б) деление с остатком; в) действия с числами; г) разность.

6. Самостоятельно назовите обобщающее (родовое) и ограничивающее (видовое) понятия:

Дробь.

Многоугольник.

Уравнение.

7. Проведите ряд обобщений до предела: Пятиугольник.

Уравнение.

Отрицательная десятичная дробь.

8. Установите, правильно ли произведено обобщение, то есть относится ли второе понятие к первому как род к виду?

Диагональ — сторона.

Сочетательный закон — действия с числами. Положительное число — вид числа.

Уравнение |l2x — 37х2| = |Зх-2| -уравнение вида f{x) = b,b ф 0,b e R.

9. Установите, правильно ли произведено ограничение, то есть относится ли второе понятие к первому как вид к роду?

Множество — пустое множество. Цифра — число.

Неравенство с одной переменной - |13х + а| < 4х2 -5.

10. Решите уравнения : |5 - Зх| = х, |2 - х| = х, \а - вх\ = х.

11. Раскройте модуль по определению: |13х + 2| + |х2 - з|.

12. Составьте выражение, содержащее абсолютную величину, преобразовав которое Вы получили бы ответ такого вида:

13. Что такое классификация? Что надо сделать, чтобы проклассифицировать два объекта?

14. В предложенном материале:

выделите основания для объединения объектов в группы (классы); расклассифицируйте их;

найдите обобщающую символическую запись или обобщающее понятие для групп объектов;

смените основание группировки, то есть образуйте из одних объектов разные классы (по другому признаку);

осуществите дихотомическую классификацию, используйте отрицание понятия.

Мы утверждаем, что формирование предметных исследовательских умений при решении задач по элементарной математике повлечет за собой развитие и формирование как мыслительных операций, так и определенных методических умений, то есть профессионально-педагогических умений учителя математики [2].

Библиографический список

1. Ельчанинова Г.Г., Мельников Р.А. Исследовательские задачи в профессиональной подготовке будущих учителей математики // Новая наука: современное состояние и пути развития. - 2015. - № 1. - С. 46-48.

2. Ельчанинова Г.Г. Задачи элементарной математики как средство развития профессионально значимых поисковых умений у будущих учителей математики: монография. - Елец: ЕГУ им. И. А. Бунина, 2012.- 169 с.

3. Репкина Г.В., Заика Е.В. Оценка уровня сформированности учебной деятельности: в помощь учителю начальных классов. Независимый научно-методический центр «Развивающее обучение». Вып. 7. - Томск: Пеленг, 1993. - 61 с.

К ВОПРОСУ О ПОДГОТОВКЕ УЧИТЕЛЕЙ К РАБОТЕ В СОВРЕМЕННЫХ УСЛОВИЯХ

Г.А. Симоновская

Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина, г. Елец, директор института математики, естествознания и техники (ИМЕиТ), кандидат педагогических наук, доцент кафедры математики и методики ее преподавания

Аннотация. В статье представлены материалы по реализации дополнительной профессиональной программы повышения квалификации учителей математики «Современные технологии школьного математического образования в условиях введения ФГОС».

Ключевые слова: Федеральный государственный образовательный стандарт, школьное математическое образование, повышение квалификации, учитель математики.

Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина каждый год дает путевку в жизнь сотням молодых учителей. На протяжении четырех или пяти лет студента готовили в стенах вуза к работе в учебных учреждениях. Начав работу по специальности, молодой специалист - выпускник

университета - не теряет связи со своей альма-матер. Да и вуз заинтересован в дальнейшем сопровождении своего выпускника. Сотрудничество это двухстороннее. С одной стороны, вуз получает возможность оценить качество подготовки своих выпускников, проводить исследования в педагогической и методической областях наук на экспериментальных площадках. С другой стороны, учитель знает, где помогут в решении профессиональных задач, расскажут о новых веяниях и грядущих переменах в области образования.

На кафедрах института математики, естествознания и техники ведутся исследования в области методики преподавания отдельных дисциплин. Все полученные учеными наработки широко обсуждаются на научно-практических конференциях, в ходе работы различных семинаров, школ молодых ученых, используются при разработке основных образовательных программ высшего образования, дополнительного профессионального образования. Ежегодно силами сотрудников кафедр института организуется работа по повышению квалификации школьных учителей, по переподготовке педагогических работников. Направления данной работы достаточно широкие - это подготовка учителей математики, физики, информатики, географии, химии, биологии.

Так, например, при кафедре математики и методики ее преподавания два раза в год организуются курсы повышения квалификации учителей математики. Тематику курсов диктует сама жизнь: изменения в законодательстве, касающиеся области образования; утверждение новых образовательных стандартов; издание новых учебников; введение новых подходов в обучение школьников и так далее.

Утверждение Федеральных государственных образовательных стандартов нового поколения внесло немало изменений в процесс обучения школьника предмету. Это и пересмотр содержания школьного математического образования, и новые подходы в методическом аспекте. Что вызвало необходимость разработать и реализовать дополнительную профессиональную программу повышения квалификации «Современные технологии школьного математического образования в условиях введения ФГОС».

Основная цель программы - повышение уровня профессиональной подготовки специалистов в области преподавания математики в использовании современных педагогических и информационных технологий в процессе обучения; содействие совершенствованию базовой и специальной профессиональной компетентностей учителей математики, обеспечивающих готовность к квалифицированному обучению школьников математике в условиях введения ФГОС нового поколения.

Дополнительная профессиональная программа повышения квалификации решает следующие задачи (в логике традиционного подхода):

- обеспечение условий для системного самообразования учителей математики на протяжении межаттестационного периода и непрерывного роста их профессионального мастерства;

- сравнение различных, принятых в отечественной и зарубежной практике, подходов и методов обучения математике;

- ознакомление педагогов с основами методики обучения математике в контексте компетентностного подхода;

- совершенствование образовательного уровня и профессиональной подготовки вследствие углубления, расширения и обновления общенаучных и специальных (профессиональных) знаний и умений;

- подготовка слушателей к системному видению инновационных форм и методов обучения учащихся математике в условиях гуманизации и гуманитаризации образования, демократизации учебно-воспитательного процесса, воспитания личности в поликультурном пространстве;

- стимулирование систематической самостоятельной работы учителей математики с целью достижения высокого качества профессионального мастерства.

Задачи программы (в логике компетентностного подхода): Уровень ключевых компетентностей:

- сформировать умение организовывать совместную деятельность с коллегами;

- развить умение проводить анализ своей интеллектуальной и педагогической деятельности.

Уровень базовых компетентностей:

- сформировать у слушателей:

1) систему современных математических знаний;

2) умение обеспечивать квалифицированное методическое сопровождение процесса обучения математике;

- мотивировать самообразовательную деятельность слушателей в области обучения математике.

Уровень специальных компетентностей:

- сформировать умение осуществлять экспертизу содержательной и технологической характеристик современных методов обучения математике;

- развить умение управлять деятельностью школьников на уроках математики, проводимых с использованием современных технологий обучения.

Условием для реализации данных задач является обеспечение необходимого уровня профессионально-методической рефлексии на собственный опыт обучения математике, а также установление и реализация междисциплинарных связей с предметами естественнонаучного, психолого-педагогического и других циклов.

Отбор тематики и проблематики курса осуществлялся на основе изучения реальных потребностей современного учителя математики, анализа

анкетирования учителей, прослушавших базовый курс методики обучения математике.

Все знания, полученные в результате изучения курса «Современные технологии школьного математического образования в условиях введения ФГОС», учителя математики могут использовать в своей профессиональной деятельности:

- в процессе организации процесса обучения предмету,

- в процессе организации внеклассной работы со школьниками,

- в проведении научно-практических исследований.

Весь курс разбит на модули, что позволяет варьировать внутреннее содержание и методику подачи материала слушателям.

Так, например, необходимым, на наш взгляд, является модуль «Современные тенденции развития математического образования». Здесь предусмотрено ознакомление с историческими и правовыми основами стандартизации образования, рассмотрение основ стандартизации образования в рамках исторического периода, а также обсуждение современных образовательных стандартов России, обзор существующих подходов по стандартизации образования за рубежом. Отдельным вопросом анализируются основные направления развития образовательной деятельности на современном этапе и стратегия на период до 2020 года.

Следующий модуль образовательной программы «Проектирование современного урока математики в условиях реализации ФГОС» является одним из основных. В рамках этого раздела со слушателями рассматриваются следующие вопросы:

- ФГОС нового поколения в контексте государственной образовательной политики (ключевые особенности и методология ФГОС; психолого-педагогические основы реализации ФГОС; универсальные учебные действия как главный результат обучения; технологии формирования УУД);

- учебно-методическое обеспечение по предмету в условиях внедрения ФГОС (анализ существующих УМК по математике; проектирование современного урока; оценивание образовательных достижений обучающихся в соответствии с требованиями нового образовательного стандарта; планируемые результаты обучения как основа для разработки контрольно-измерительных материалов; готовность педагога к инновационной деятельности в условиях введения ФГОС; проектная деятельность в условиях обновления образовательных стандартов; организация и содержание внеурочной деятельности учащихся в условиях введения реализации ФГОС);

- особенности работы с учащимися с особыми образовательными потребностями (возможности ФГОС при организации обучения учащихся с особыми образовательными потребностями; инклюзивное образование; работа с одаренными детьми);

- о формировании рабочих программ учебного предмета «Математика» в соответствии с требованиями стандарта (программно-

методическое обеспечение внедрения ФГОС; особенности разработки рабочей программы учебного предмета в условиях реализации ФГОС).

Самый объемный по времени и содержанию модуль «Теоретические основы обучения поиску решения математических заданий». Содержание данного раздела варьируется в зависимости от тех проблем, с какими сталкивается учитель сегодня при подготовке школьников к итоговой аттестации. Широко обсуждаются особенности построения КИМов ЕГЭ по математике текущего года. Рассматриваются изменения, внесенные в контрольно-измерительные материалы ЕГЭ по математике в текущем году. Обсуждаются демонстрационные версии заданий по математике: анализ заданий, выделение основных тем школьного курса математики, выносимых на экзамен, знакомство с новыми критериями оценки экзаменационных работ школьников по математике.

Методика изучения отдельных тем школьного традиционного и углубленного курсов математики вызывает живой интерес у слушателей. В рамках этого модуля рассматриваются следующие разделы.

1. Методика реализации подходов к решению задач с тригонометрическим содержанием.

Методика работы с различными видами тригонометрических уравнений. Использование основных видов уравнений и сведение их к решению простейших тригонометрических уравнений. Использование условия равенства одноименных тригонометрических функций. Однородные уравнения и сводящиеся к ним.

Особенности методики обучения учащихся решению уравнений с помощью вспомогательного аргумента и универсальной тригонометрической подстановки. Графический способ. Применение свойств тригонометрических функций и числовых неравенств при решении уравнений.

Решение уравнений и неравенств, основанное на области определения входящих в него функций. Использование области значений, свойств монотонности, ограниченности (метод мажорант), четности или нечетности функций.

Тригонометрические уравнения и неравенства, содержащие переменную под знаком модуля.

2. Методические особенности работы с геометрическими задачами.

Методические особенности подготовки школьников к решению геометрических задач. Рассмотрение различных методов решения задач по планиметрии и стереометрии с использованием различных теорем. Решение задач по планиметрии и стереометрии нестандартными методами. Решение задач повышенной сложности.

3. Методика использования современных подходов к решению уравнений и неравенств.

Общие методы решения показательных и логарифмических уравнений и неравенств. Методические особенности обучения школьников нестандартным приемам решения показательных и логарифмических урав-

нений, неравенств (равносильные переходы, введение новой переменной и т.д.).

Традиционные методы решения уравнений и неравенств, содержащих модули. Использование тождественных преобразований при решении уравнений и неравенств. Нетрадиционные методы решений заданий повышенной сложности. Метод рационализации при решении уравнений и неравенств.

4. Методы решения задач с параметрами.

Задачи, содержащие определенные требования к квадратичным функциям. Задачи, содержащие определенные требования к корням уравнений. Особенности их решений.

5. Решение избранных задач школьного курса математики.

Избранные геометрические задачи: вневписанные окружности треугольника и их применение к решению задач экзаменационного характера; ромбоид, его свойства и использование данного материала как опорной задачи при решении более сложных геометрических задач.

Избранные алгебраические задачи: простейшие линейные диофантовы уравнения и методы их решения в свете подготовки к государственной аттестации; решение уравнений комбинированного типа с использованием нестандартных приемов.

Избранные задачи анализа: четность и нечетность функции, обратная функция и ее график, непрерывность и дифференцируемость функции. Методы решения задач с «реальным» содержанием.

6. Методы решения задач по комбинаторике, статистике и теории вероятностей.

Понятие множества, его элементов; виды множеств и операции над ними. Перестановки, размещения и сочетания. Вывод формул числа сочетаний, размещений, перестановок. Бином Ньютона, его свойства. Решение прикладных задач.

Изучение основных методов сбора, систематизации и обработки результатов наблюдений. Шкалы. Мода, медиана, среднее арифметическое, среднее геометрическое. Использование математико-статистических методов в решении прикладных задач.

В процессе обучения слушатели знакомятся с новой методической и математической литературой и информационными ресурсами: http://instrao.ru (Институт стратегических исследований образования РАО). http://mon.gov.ru (сайт Министерства образования и науки Российской Федерации).

http://standard.edu.ru (сайт «Федеральный государственный образовательный стандарт»).

http://www.exponenta.ru - «Образовательный математический сайт Exponenta.ru».

http://www.math.ru - «Образовательный математический сайт Math.ru».

http://www.mathelp.spb.ru - Лекции по высшей математике: Математический анализ; Дифференциальные уравнения; Аналитическая геометрия, Теория вероятностей и др.

http://www.edu.ru (Федеральный образовательный портал). http://www.eidos.ru (Центр дистанционного образования «Эйдос»). http://www.isiorao.ru (Институт стратегических исследований образования РАО).

http://www.truba.nnov.ru - Сайт о математическом анализе. http://www.ug.ru (Информационный сайт «Учительской газеты»). ФГОС основного общего образования. [Электронный ресурс]. - // Сайт издательства «Просвещение. - Режим доступа: http://standart.edu.ru.

В процессе изучения разделов и тем курса педагоги составляют методические разработки для индивидуального профессионально-методического портфеля, которые являются обязательной частью итогового зачета. В состав портфеля входят:

1) разработки фрагментов урока по обучению математике;

2) образцы контрольных и тестовых заданий;

3) планирование уроков математики в средних и старших классах и т.д.;

4) тематическое планирование серии уроков.

Материалы данного портфеля обсуждаются в парах и группах, а также индивидуально с преподавателем. Особый акцент при составлении таких материалов делается на обоснование цели предлагаемых упражнений, их выбор и последовательность расположения, активизацию деятельности учащихся, а также прогнозирование возможных трудностей и путей их преодоления с помощью различных опор.

Профессия учителя накладывает отпечаток на всю дальнейшую жизнь любого человека, который решил посвятить свою жизнь просвещению. Это гордое звание УЧИТЕЛЬ нужно подтверждать каждодневно, ежеминутно своим отношением к выбранному делу. А хорошему учителю самому приходится учиться на протяжении всей жизни.

Библиографический список

1. Федеральный государственный образовательный стандарт высшего профессионального образования по направлению подготовки 050100 Педагогическое образование (квалификация (степень) «бакалавр») http://fgosvo.ru/uploadfiles/fgos/5/20111207163943.pdf

2. Федеральный закон от 29.12.2012 N 273-ФЗ (ред. от 07.05.2013 с изменениями, вступившими в силу с 19.05.2013) «Об образовании в Российской Федерации» http://zakonbase.ru/content/base/282380

СОВРЕМЕННЫЕ ПОДХОДЫ К ОБУЧЕНИЮ МАТЕМАТИКЕ В ВЫСШЕЙ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЙ ШКОЛЕ: ПРОБЛЕМА КОМПЛЕКСНОГО ИСПОЛЬЗОВАНИЯ

Е.Г. Евсеева

Донецкий национальный университет, г. Донецк; доктор педагогических наук, профессор

Аннотация. Рассматривается категория подхода в обучении в высшей профессиональной школе. Описаны современные подходы, применяемые для проектирования и организации обучения математике. Анализируется комплексное применение различных подходов к обучению математике в высшей инженерной школе.

Ключевые слова: высшая профессиональная школа, обучение математике, подход к обучению, компетентностный подход, деятельностный подход.

Определяя современные цели и результаты высшего профессионального образования, исследователи рассматривают в единстве систему качеств личности выпускника образовательного учреждения, обеспечивающих способность и готовность успешно осуществлять профессиональную деятельность. Такая система когнитивных, мотивационных, деятельностных, рефлексивных качеств личности интегрирует понятие компетентности (В.И. Гайденко, В.А. Болото, Э.Ф. Зецер, И.А. Зимняя, Н.Д. Никандров, М.В. Рыжаков, В.В. Сериков, А.И. Субетто, Ю.Г. Татур, И.Д. Фрумин, В.Д. Шадриков, А.В. Хуторской и др.). В результате профессиональная компетентность определяет качество профессионального образования и становится его целью в компетентностном подходе к образованию.

Ассоциация инженерного образования России (М.Г. Минин, А.И. Митин, Ю.П. Похолков, А.И. Чучалин и др.) рассматривает компетентностный подход как инновационный и продуктивный. Вместе с тем его реализация в инженерных вузах, в сравнении с другими категориями вузов, представляет собой сложную научно-методическую задачу, поскольку инженерное образование, обеспечивающее кадрами реальный сектор экономики, «является самым наукоемким из всех сфер образования. Это происходит, во-первых, потому, что изучаемые предметы сложны для освоения, во-вторых, темп обновления знаний самый большой именно в технике и технологии» (Рекомендации парламентских слушаний Совета Федерации [10, с. 2]).

Учет указанной специфики инженерного образования определяет требования к фундаментальным дисциплинам в инженерном вузе, в том

числе дисциплинам математического цикла. Стремительное развитие компьютерной техники и информационно-коммуникационных технологий (ИКТ), многократно повышая эффективность математических методов в инженерных расчетах и позволяя осуществлять математическое и компьютерное моделирование сложных процессов, новых материалов, техники и технологий, актуализирует формирование математической компетентности выпускника инженерного вуза, которая в этих условиях становится базовой составляющей профессиональной компетентности.

В самом широком смысле термин «подход» трактуется как комплекс парадигматических (онтологические картины, схемы и описания объектов), синтагматических (способы и методы доказательства, аргументации, языки описания, объяснения и понимания) и прагматических (цели, ценности, задачи, предписания, разрешенные и запрещенные формы употребления элементов синтагмы и парадигмы) структур и механизмов в познании и практике, характеризующий конкурирующие между собой (или исторически сменяющие друг друга) стратегии и программы в философии, науке, политике или в организации жизни и деятельности людей [5].

Обычно к анализу категории подхода обращаются в особые периоды развития той или иной деятельности, когда фиксируются принципиальные изменения или возникают неразрешимые наличными средствами проблемы. В развитии науки и научной деятельности Т. Кун [4] назвал эти периоды научными революциями. Именно такая ситуация сложилась сейчас в высшей профессиональной школе, когда необходимо повышение качества образования, и эта задача не может быть решена в рамках традиционных подходов к обучению.

Термин «подход к обучению» (approach (англ.) - подход, подступ) был введен в научный обиход английским методистом А. Энтони (1963) для обозначения исходных положений, которыми пользуется исследователь при проектировании и организации обучения. Будучи компонентом системы обучения, подход к обучению выступает в качестве самой общей методологической основы обучения, характеризуя существующие взгляды на предмет обучения и возможности овладения им в процессе обучения. При этом надо исходить из необходимости учета положений философского (диалектика и теория познания) и общенаучного (теория систем и психология) уровней методологии.

Решение вопроса о разработке комплексного подхода к обучению математике возможно только при условии максимально полного учета требований нескольких взаимосвязанных подходов. Для этого нам представляется необходимым четкое выделение границ применимости различных подходов в обучении математике, уточнение их сущности. Это возможно, если определены методологические аспекты философского и общенаучного уровня методологии.

Рассмотрим некоторые подходы, которые применяются к обучению математике в высшей профессиональной школе:

■ компетентностный подход как основание формирования профессиональной компетентности будущих специалистов;

■ деятельностный подход, реализующий принцип о ведущей роли деятельности в процессе обучения;

■ личностно ориентированный подход, декларирующий положение о том, что в центре процесса образования находится личность учащегося;

■ системный подход как одно из методологических направлений современной дидактики, связанное с представлением, изучением и конструированием процесса обучения как системы;

■ развивающий подход к обучению математике как реализация функции развития творческой личности, всестороннего развития способностей обучаемых;

■ исследовательский подход, целью которого является определение комплекса способов по сбору и обработке информации о состоянии процесса обучения.

Приведенный перечень не исчерпывает всех существующих подходов к обучению математике в высшей профессиональной школе. Анализ практики обучения математике, работ по теории и методике обучения и воспитания в предметной области математики приводит к выводу о необходимости комплексного использования положений нескольких современных подходов к обучению - личностно ориентированного, деятельностного, системного, технологического, ценностно ориентированного, синергетической), процессуального и целого ряда других активно реализуемых подходов. Анализ диссертационных исследований последних пяти лет показывает, что уже невозможно решить ту или иную проблему исследования в области теории и методики обучения математике в рамках одного какого-либо подхода.

В подтверждение этого в своем исследовании О.Г. Старикова [8] приходит к выводу, что в последнее десятилетие ученые отмечают перспективность полиподходности, полипарадигмальности в исследовательской стратегии, направленности на практический результат в педагогическом проектировании (В.П. Борисенков, В.А. Козырев, В.В. Краевский, Н.Б. Крылова, А.Н. Малинкин, А.И. Павленко, Т.Н. Попова).

Принципиальное значение имеет парадигмальный анализ проективных стратегий высшего образования, который определяет иерархию целей, приоритетные идеи, оценивает перспективы существующих парадигм, их взаимодействие и взаимовлияние. В дидактике глубоко и всесторонне изучены отдельные образовательные парадигмы прошлого и настоящего. Особое значение имеют теоретические разработки гуманистической парадигмы (В.С. Библер, Е.В. Бондаревская, Л.П. Буева, Б.С. Гершунский, О.В. Долженко, М.С. Каган, И.А. Колесникова, С.В. Кульневич, А. Мас-

лоу, К. Роджерс, М.А. Розов, П. Скотт, В.А. Сластенин, А.В. Хуторской, В.Е. Шукшунов, П.Г. Щедровицкий и др.), компетентностной парадигмы (В.И. Байденко, Г. Бергман, 3. Болингер, Э. Зеер, И.А. Зимняя, Д.И. Иванова, А. Келлер, А.М. Митяева, С. Уиддет, Б. Хаслер, В.Д. Шадриков, М. Шнитгер, Дж. Эрпенбек, П.Т. Юэлл и др.).

Необходимость повышения качества образования в соответствии со стандартами третьего поколения ФГОС значительно актуализирует теоретические и методические проблемы, связанные с формированием математической компетентности студентов на основе комплексного использования различных подходов в обучении, опирающихся, в том числе на разные образовательные парадигмы. Возникает, таким образом, проблема разработки теории и методики обучения математике на основе полипарадигмального подхода. При этом полипарадигмальный подход (ППП) рассматривается как совокупная реализация нескольких парадигм. При этом ППП предполагает доминирующую роль ведущей парадигмы, которой другие не противопоставляются, а дополняют ее по принципу синергетики (Е.В. Бондаревская, Н.А. Колесников, Г.В. Корнетов, Н.Б. Ромаева, О.Г. Старикова, И.Г. Фомичева, Е.Н. Шиянов и др.).

В исследованиях по теории и методике обучения математике в вузах в контексте повышения его качества можно выделить несколько основных направлений, в которых совершенствование образовательного процесса осуществляется: через профессионально направленное (контекстное) обучение; использование междисциплинарных связей; применение компьютерной техники, использование технологий эвристического, развивающего обучения, деятельностно ориентированных технологий проектирования и организации обучения. Каждое из этих направлений опирается на определенный методологический базис и рассматривает его в роли ведущего.

Одним из подходов, активно применяемых в обучении математике в последние десятилетия, является деятельностный подход. К проблеме развития идей деятельностного подхода в методике обучения математике обращались такие ученые, как О.Б. Епишева, Т.А. Иванова, В.И. Крупич, О.А. Малыгина, Н.А. Родионов, А.А. Столяр, Г.И. Саранцев и др. Однако большая часть исследований осуществлялась на материале средней школы.

Деятельностный подход в обучении высшей математике студентов инженерных специальностей применялся многими исследователями, такими как Р.В. Батурина, Е.Г. Евсеева [1], О.А. Задкова, Е.А. Костина, В.В. Павлова, М.А. Суворова, М.П. Филиппова и др. При этом практически всегда применение деятельностного подхода сочетается с другими подходами.

Так, необходимым «условием совершенствования методической системы обучения математике в рамках гуманизации образования» О.Б. Епишева называет деятельностный подход [2, с. 6]. С точки зрения деятельностного подхода деятельность преподавателя должна ориентир о-

ваться на обеспечение учебной деятельности обучаемых, то есть сами обучаемые в созданных преподавателем обучающих ситуациях овладевают системой математических знаний и умений. В то же время создание таких обучающих ситуаций составляет суть генетического подхода в обучении. В исследовании И.С. Сафуанова генетический подход к обучению математике понимается как «следование естественным путям происхождения и применения математического знания в построении, методической разработке и осуществлении системы обучения математическим дисциплинам» [6, с. 50]. Обучение, реализующее генетический подход, будет развивающим, утверждает С.Р. Когаловский, «так как в этом случае находит воплощение логика исторического развития той или иной системы способностей» [3, с. 8].

Деятельностный подход является теоретической основой развивающего обучения математике (С.П. Семенец, З.И. Слепкань), эвристического обучения (Е.И. Скафа). На идеи деятельностного подхода опирается семиотический подход в математическом образовании (Н.А. Тарасенкова).

Эвристическое обучение математике реализуется не только в рамках деятельностного подхода. Оно может также опираться на личностно ориентированную парадигму, а в высшем профессиональном образовании осуществляться на принципах компетентностного подхода. Особую роль эвристическое обучение математике, по мнению Е.И. Скафы [8], играет в подготовке учителя математики, так как создает условия для формирования у будущих учителей элементов профессионально-ориентированной эвристической деятельности, умения организовывать эвристическую деятельность учащихся и управлять ею.

Профессионально направленное обучение математике наиболее полно исследовано в обучении будущих учителей математики в педагогическом вузе (В.А. Далингер, О.Г. Ларионова, А.Г. Мордкович, Е.И. Скафа и др.). В значительной мере это обучение исследовано применительно к экономическим вузам (Н.А. Бурмистрова, В.А. Далингер и др.). Различные аспекты профессионально направленного обучения математике были исследованы для целого ряда инженерных специальностей (О.А. Валиханова, Е.А. Василевская, О.М. Калукова, С.В. Плотникова и многие др.).

Теория профессионально направленного обучения известна как психолого-педагогическая теория контекстного обучения (А.А. Вербицкий и др.). Доказано, что контекстное обучение реализует личностно ориентированный и компетентностный подходы (О.Г. Ларионова и др.). Однако положения теории контекстного обучения применительно к предметному полю математики в инженерном вузе следует развить и конкретизировать. Так, не разработаны система отбора содержания контекстного обучения математике в инженерном вузе, методология проектирования средств обучения математике с позиций государственных образовательных стандартов

для различных инженерных направлений, не вполне изучено влияние контекстного обучения на качество фундаментальных математических знаний.

Еще одним направлением развития математической составляющей высшего профессионального образования является интеграция обучения математики и других дисциплин. Проблема интеграции в системе высшего образования рассматривалась в работах Е.С. Билык, Н.В. Бровки, Л.С. Васиной, И.В. Гоголевой, О.Е. Кириченко, Е.В. Левчук, Ю.В. Пудовкиной, Г.М. Семеновой, Е.В. Старцевой, Н.В. Стучинской, В.А. Шершневой и др. При этом теория междисциплинарных связей, ориентированная на компетентностную парадигму, в инженерном вузе разработана слабо. Междисциплинарные связи изучались в основном с позиций знаниевого подхода, например, их роль в формировании математической компетентности студентов не вполне раскрыта, требует уточнения и само понятие междисциплинарных связей.

Важным направлением повышения качества обучения математике в высшей профессиональной школе является применение в обучении информационно-комуникационных технологий (предметно-информационный подход). Применение ИКТ в обучении математике привлекало внимание специалистов по методике обучения математике и информатике (Н.В. Гафурова, М.П. Лапчик, В.Р. Майер, СИ. Осипова, Н.И. Пак, М.И. Рагулина, О.Г. Смолянинова, Э. Броуди, Г. Дейвис и др.), известных математиков (В.И. Арнольд, И.М. Гельфанд, А.П. Ершов, Ю.И. Журавлев, А.Н. Колмогоров, Л.Д. Кудрявцев, В.Л. Матросов, С.П. Новиков, и др.). Однако развитие информационного общества ставит новые задачи. Так, в обучении математике необходимо формировать готовность студента использовать ИКТ в процессе математического моделирования в профессиональной деятельности, принимая во внимание при этом, что ИКТ постоянно эволюционируют.

В настоящее время актуален еще один аспект исследований, связанный с фундаментализации обучения (В.Г. Кинелев, Н.В. Садовников, В.А. Тестов и др.). В условиях динамичного развития общества роль фундаментализации обучения как подхода возрастает, что обеспечивает системообразующие и «долгоживущие» знания студента, которые, являясь основой его профессионального развития в будущем, позволят понимать и быстро осваивать новые технологии, принципы работы и профессиональные функции. Фундаментализация обучения математике, обеспечивая в долгосрочной перспективе способность и готовность выпускника применять в профессиональной деятельности знания, реализует потенциал компетентностного подхода.

Большинство исследователей выделяют в структуре компетентности когнитивный, мотивационно-ценностный, деятельностный и рефлексивно-оценочный компоненты (В.И. Байденко, Э.Ф. Зеер, И.А. Зимняя, А.И. Субетто, Э.Э. Симанюк, Ю.Г. Татур, В.Д. Шадриков, А.В. Хуторской

и др.). Однако формирование этих компонентов профессиональной и математической компетентности предполагает использование различных подходов в обучении. Например, для когнитивного компонента основным подходом можно считать фундаментализации), для деятельностного -деятельностный подход, для мотивационно-ценностного - личностно ориентированный и контекстный (профессионально направленное обучение) подходы, а для рефлексивно-оценочного компонента - личностно ориентированный подход. Таким образом, интегративная структура математической компетентности уже предопределяет комплексное использование различных подходов в обучении математике, обеспечивающее формирование всех ее компонентов, при ведущей роли компетентностного подхода, определяющего цели и результаты обучения.

В работе В.А. Шершневой [9] предлагается в рамках компетентностного подхода к обучению математике использование контекстного, междисциплинарного, предметно-информационного подходов, фундаментализации и других подходов при ведущей роли компетентностного подхода. Такое сочетание подходов, по мнению автора, обеспечивает формирование всех компонентов профессиональной компетентности будущих инженеров.

В работе [1] нами описана методическая система обучения математике студентов технических направлений подготовки на базе деятельностного подхода. Применение деятельностного подхода также осуществляется в рамках компетентностного подхода при ведущей роли компетентностной парадигмы. Суть такого сочетания подходов, прежде всего, заключается в установлении иерархии целей обучения в терминах компетентностного и деятельностного подходов. Нами предложено разделение целей обучения на внешние и внутренние, причем последние, в свою очередь, разбиваются на общие и конкретные цели.

При определении внешних целей ведущую роль играет компетентностный подход. Эти цели формируются на основе государственных образовательных стандартов (ГОС), определяющих ключевые компетенции, которыми должен овладеть выпускник высшей инженерной школы: общекультурные компетенции (ОКК), общепрофессиональные компетенции (ОПК), профессиональные компетенции (ПК) и специальные компетенции (CK). Внутренние общие цели уже формируются в терминах способов действий будущей профессиональной деятельности, устанавливая соответствие их формируемым компетенциям. Внутренние же конкретные цели уже определяются на основе деятельностного подхода в терминах математических учебных действий, обеспечивающих формирование профессиональной компетентности.

Рис.1. Модель методической системы обучения математике на основе компетентностного и деятельностного подходов

На рисунке 1 приведена модель описанной в работе [1] методической системы, состоящая из целевого, содержательного, технологически-организационного и оценочного блоков. При этом для определения содержания обучения, организационных форм, методов и средств обучения преимущественно применяется деятельностный подход, позволяющий моделировать профессиональную деятельность инженеров.

Библиографический список

1. Євсеєва О.Г. Теоретико-методичні основи діяльнісного підходу до навчання математике студентів вищих технічних закладів освіти: Монографія. - Донецьк: ДонНТУ, 2012.-455 с.

2. Епишева О.Б. Технология обучения математике на основе деятельностного подхода: Кн. для учителя. - М.: Просвещение, 2003. - 223 с.

3. Когаловский P.C., Шмелева Е.А., Герасимова О.В. Путь к понятию. (От интуитивных представлений к строгому понятию). - Иваново, 1998. - 209 с.

4. Кун Т. Структура научных революций. - М.: «ACT», 2003. - 605 с.

5. Новейший философский словарь / Сост. А.А. Грицанов. - Мн.: Изд. В.М. Скакун, 1998.-896 с.

6. Сафуанов И.С. Генетический подход к обучению математическим дисциплинам в высшей педагогической школе: Дис. ... д-ра пед. наук: 13.00.02. - Набережные Челны, 2000. - 410 с.

7. Скафа Е.И. Эвристическое обучение математике: теория, методика, технология: Монография. - Донецк : Изд-во ДонНУ, 2004. - 439 с.

8. Старикова О.Г. Современные образовательные стратегии высшей школы: полипарадигмальный подход: Дис. ... д-ра пед. наук: 13.00.08. - Краснодар, 2011. - 434 с.

9. Шершнева В.А. Формирование математической компетентности студентов инженерного вуза на основе полипарадигмального подхода: Дис. ... д-ра пед. наук: 13.00.02. - Красноярск, 2011. - 402 с.

10. [Электронный ресурс]. URL: http://aeer.ru/index.phtml.

ФОРМИРОВАНИЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНЫХ КОМПЕТЕНЦИЙ ОБУЧАЮЩИХСЯ В ПРОЦЕССЕ ИЗУЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ «ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО И ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ В ЛИНЕЙНЫХ НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ»

И.А. Елецких

Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина, г. Елец, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики и методики ее преподавания

Аннотация. В статье рассмотрено формирование профессиональных компетенций в процессе изучения дисциплины по выбору «Элементы дифференциального и интегрального исчисления в линейных нормирован-

ных пространствах». Показан процесс разработки содержания дисциплины на примере формирования одной из профессиональных компетенций.

Ключевые слова: компетентностный подход, компетенция, информационные технологии, активные и интерактивные формы проведения занятий.

Дисциплина «Элементы дифференциального и интегрального исчисления в линейных нормированных пространствах» посвящена изучению методами математического анализа качественных характеристик абстрактных функций числового переменного. Дисциплина разработана для студентов, обучающихся в магистратуре по направлению 01.04.02 - Прикладная математика и информатика.

Целью преподавания дисциплины является создание целостного представления о предмете и методах общей теории дифференциального и интегрального исчисления в линейных нормированных пространствах, получение спектральных разложений самосопряженных операторов, изучение методами анализа дифференциально-операторных уравнений, а также изучение дифференциальных уравнений первого порядка в банаховом пространстве. Особое внимание уделяется обобщению известных понятий классического анализа в линейных нормированных и банаховых пространствах.

Вместе с тем этот курс несет в себе глубокую профессиональную направленность, его рассмотрение необходимо для дальнейшего изучения дисциплин по этой специальности.

Задачами изучения дисциплины «Элементы дифференциального и интегрального исчисления в линейных нормированных пространствах» являются:

- раскрытие студентам значения курса для современных методов исследования в математике;

- знакомство студентов с технологией построения теории абстрактной функции;

- изучение вопросов дифференцирования и интегрирования абстрактных функций;

- развитие умений формулировать задачи в операторном виде и делать выводы о разрешимости операторных уравнений, используя свойства входящих в них операторов;

- изучение методов решения задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка в банаховом пространстве;

- развитие умения самостоятельной работы с научной и математической литературой.

Дисциплина относится к числу прикладных математических дисциплин и связана с приложениями методов функционального анализа к ряду

важных разделов физики, моделированию реальных процессов, решению задач математической физики.

Процесс изучения дисциплины «Элементы дифференциального и интегрального исчисления в линейных нормированных пространствах» направлен на формирование следующей компетенции: способности разрабатывать и анализировать концептуальные и теоретические модели решаемых научных проблем и задач (ПК-2).

Перечень планируемых результатов обучения, соотнесенных с планируемыми результатами освоения образовательной программы, приведен в таблице.

Код формируемой компетенции по ООП ВО

Владеть

Уметь

Знать

ПК-2 (низкий уровень)

В (ПК-2)-Н: принципами анализа теоретических моделей научных проблем и задач математического моделирования

У (ПК-2) - Н:

1) применять свойства банаховых пространств для исследования свойств линейных операторов;

2) доказывать отдельные свойства дифференцируемости и интегрируемости абстрактных функций, исходя из соответствующих определений;

3 (ПК-2) - Н:

1) знать определения метрического, линейного и нормированного пространств и приводить их примеры;

2) свойства банаховых пространств;

3) определения сильной и слабой дифференцируемости в нормированных пространствах;

4) определения дифференцируемости и интегрируемости абстрактных функций;

5) свойства операторов в различных пространствах.

ПК-2 (средний уровень)

В (ПК-2)-С: принципами анализа теоретических моделей научных проблем и навыками решения задач математического моделирования в различных областях естествознания

У (ПК-2)-С:

1) применять свойства банаховых пространств для нахождения норм линейных операторов;

2) доказывать сильную и слабую дифференцируемость в различных пространствах;

3) применять на практике отдельные свойства абстрактных функций, исходя из соответствующих определений;

4) применять свойства компактных операторов для определения разрешимости простейших уравнений

3 (ПК-2)-С:

1) знать определения метрического, линейного и нормированного пространств и приводить их примеры;

2) свойства банаховых пространств;

3) методы исследования на дифференцируемость и интегрируемость абстрактных функций;

4) свойства операторов в различных пространствах;

5) методы решения задачи Коши для уравнения первого порядка в пространстве

ПК-2 (высокий уровень)

В (ПК-2)-В: принципами разработки и анализа теоретических моделей научных проблем и навыками решения задач математического моделирования в различных областях естествознания

У (ПК-2)-В:

1) применять свойства банаховых пространств для нахождения норм линейных операторов;

2) применять свойства компактных операторов для определения разрешимости простейших уравнений;

3) исследовать математические модели, представленные в виде систем дифференциальных уравнений.

3(ПК-2)-В:1

1) определения дифференцируемости и интегрируемости;

2) свойства операторов в различных пространствах;

3) методы решения задачи Коши для уравнения первого порядка в банаховых пространствах

В соответствии с приведенными в таблице планируемыми результатами обучения содержание дисциплины представлено двумя модулями:

Модуль 1. Теория линейных операторов в банаховых пространствах

Тема 1. «Метрические, линейные, нормированные пространства» Метрические пространства. Свойства метрических пространств. Принцип сжимающих отображений и его приложение для решения задачи Коши. Линейные нормированные пространства. Пространства со скалярным произведением. Гильбертовы пространства.

Тема 2. «Линейные операторы» Линейные операторы в нормированных пространствах. Непрерывные линейные операторы. Ограниченные линейные операторы. Норма линейного оператора.

Обратные операторы в линейных нормированных пространствах. Множество нулей. Теорема Банаха. Примеры обратных операторов.

Модуль 2. Дифференциальное и интегральное исчисление в линейных нормированных пространствах

Тема 3. «Дифференциальное исчисление в линейных нормированных пространствах»

Понятие дифференцируемости. Сильная и слабая дифференцируемость в линейных нормированных пространствах.

Связь между слабой и сильной дифференцируемостью. Производные второго порядка. Отображение т-мерного евклидова пространства в п-мерное. Производные и дифференциалы высших порядков.

Тема 4. «Интегральное исчисление в линейных нормированных пространствах»

Понятие абстрактной функции. Предел и непрерывность. Дифференцирование абстрактной функции. Степенные ряды в нормированном пространстве. Аналитические абстрактные функции и ряды Тейлора.

Определение интеграла Римана от абстрактной функции. Теорема существования интеграла Римана от абстрактной непрерывной функции.

Свойства и вычисление интеграла Римана в линейных нормированных пространствах. Задача Коши для дифференциального уравнения в банаховом пространстве. Применение схем Галеркина и Фурье.

Приведем пример распределения планируемых результатов обучения при формировании лекционного и практического материала модуля 2.

Тема

Содержание занятия

Формируемая компетенция

Тема 3. «Дифференциальное исчисление в линейных нормированных пространствах»

Лекция №1. Понятие дифференцируемости. Сильная и слабая дифференцируемость в линейных нормированных пространствах. Связь между слабой и сильной дифференцируемостью.

В (ПК-2) - Н; У (ПК-2) - H: 1); 3(ПК-2)-Н: 3)

Практическое занятие №1. Сильная и слабая дифференцируемость в линейных нормированных пространствах.

В (ПК-2)-С;

У (ПК-2)-С: 2);

3(ПК-2)-С:3)

Лекция №2. Производные второго порядка. Отображение ш-мерного евклидова пространства в ^-мерное. Производные и дифференциалы высших порядков.

В (ПК-2) - С; У (ПК-2) - H: 1)

Практическое занятие №2. Отображение т-мерного евклидова пространства в ^-мерное. Производные и дифференциалы высших порядков.

В (ПК-2) - С; У (ПК-2) - H: 1); 3(ПК-2)-Н:4); 3(ПК-2)-В: 1)

Тема 4. «Интегральное исчисление в линейных нормированных пространствах»

Лекция №1. Понятие абстрактной функции. Предел и непрерывность. Дифференцирование абстрактной функции. Степенные ряды в нормированном пространстве. Аналитические абстрактные функции и ряды Тейлора.

В (ПК-2) - С; У (ПК-2) - Н: 2); У (ПК-2) - С: 3)

Практическое занятие №1. Предел, непрерывность и дифференцируемость абстрактных функций. Ряды Тейлора.

В (ПК-2) - С; У (ПК-2) - Н: 2); У(ПК-2)-С:3); 3(ПК-2)-Н:4)

Лекция №2. Определение интеграла Римана от абстрактной функции. Теорема существования интеграла. Свойства и вычисление интеграла Римана в линейных нормированных пространствах.

В (ПК-2) - С; У (ПК-2) - Н:1); 3(ПК-2)-Н:3); 3(ПК-2)-В: 1)

Практическое занятие №2. Вычисление интеграла Римана в линейных нормированных пространствах.

В (ПК-2) - С; У (ПК-2) - Н:1); 3(ПК-2)-Н:3); 3(ПК-2)-В: 1)

Лекция №3. Задача Коши для дифференциального уравнения в банаховом пространстве. Применение схем Галеркина и Фурье.

В (ПК-2) - В; У (ПК-2) - В: 4); 3(ПК-2)-С: 5)

Практическое занятие №3. Приближенные методы решения задачи Коши в банаховых пространствах R11 и С [а; Ь].

В (ПК-2) - В;

У (ПК-2) - В: 3),

4);

3(ПК-2)-С: 5)

Реализация компетентностного подхода предусматривает широкое использование в учебном процессе активных и интерактивных форм про-

ведения лекционных и практических занятий в сочетании с внеаудиторной работой с целью формирования и развития профессиональных навыков обучающихся.

Удельный вес занятий, проводимых в интерактивных формах по дисциплине «Элементы дифференциального и интегрального исчисления в линейных нормированных пространствах», составляет не менее 20% аудиторных занятий. В таблице приведены используемые в процессе учебных занятий интерактивные образовательные технологии.

Тема

Вид занятия (ЛК, ПЗ)

Используемые интерактивные образовательные технологии

Тема 1. «Метрические, линейные, нормированные пространства»

ЛК, ПЗ

Презентация, конкурс практических работ с их обсуждением

Тема 2. «Линейные операторы»

ЛК, ПЗ

Коллективное решение поставленной задачи, конкурс практических работ с их обсуждением, лекция с запланированными ошибками

Тема 3. «Дифференциальное исчисление в линейных нормированных пространствах»

ЛК, ПЗ

Лекция-диалог, презентация, работа в малых группах

Тема 4. «Интегральное исчисление в линейных нормированных пространствах»

ПЗ

Деловая игра «Моя первая лекция», конкурс презентаций и их обсуждение

Одним из важнейших факторов формирования профессиональных компетенций являются образовательные технологии, цель применения которых - приобретение будущими магистрами компетенций, позволяющих решать профессиональные задачи и быть востребованным на рынке труда. В процессе преподавания дисциплины «Элементы дифференциального и интегрального исчисления в линейных нормированных пространствах» при чтении лекций по всем темам активно использовалась компьютерная техника для демонстрации слайдов с помощью программного приложения Microsoft Power Point. На практических занятиях студенты представляли презентации, подготовленные с помощью программного приложения Microsoft Power Point, подготовленные ими в часы самостоятельной работы. При этом использовались следующие информационные технологии: сбор и систематизация учебной и научной информации; обработка текстовой и графической информации; подготовка презентаций итогов исследовательской деятельности; самостоятельный поиск дополнительного учебного и научного материала с использованием различных поисковых систем; использование электронной почты преподавателя и обучающихся для обсуждения возникших учебных и научных проблем.

Немаловажную роль в формировании профессиональных компетенций играет организация самостоятельной работы студентов, целями кото-

рой являются не только закрепление и углубление знаний по изучаемой дисциплине, но и формирование культуры умственного труда, развитие навыков самостоятельной научно-исследовательской работы. С целью активизации самостоятельной работы магистрантов в процессе изучения дисциплины «Элементы дифференциального и интегрального исчисления в линейных нормированных пространствах» были разработаны методические указания студентам по организации самостоятельной работы; банк практических заданий, используемых в текущем и рубежном контроле знаний; темы научных рефератов по тематике дисциплины; определен круг вопросов для самостоятельного изучения.

Принцип оценивания - важная составляющая проверки уровней сформированности профессиональной компетенции. Для получения достоверных результатов такой оценки удобна балльно-рейтинговая система оценивания, которая позволяет учесть все виды работ, выполняемые обучающимися в процессе изучения дисциплины.

Таким образом, разработанный учебно-методический комплекс дисциплины «Элементы дифференциального и интегрального исчисления в линейных нормированных пространствах» направлен на формирование профессиональных компетенций и, в частности, компетенции, направленной на развитие способности разрабатывать и анализировать теоретические модели решаемых научных задач.

Библиографический список

1. Федеральный государственный образовательный стандарт высшего образования по направлению подготовки 01.04.02 - Прикладная математика и информатика (Магистратура), утвержденный Приказом Минобрнауки РФ от 28 августа 2015 г. № 911.

ПОСТРОЕНИЕ КОМПЕТЕНТНОСТНОЙ МОДЕЛИ БУДУЩЕГО УЧИТЕЛЯ МАТЕМАТИКИ - ВЫПУСКНИКА КЛАССИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Г.К. Шурко

Донецкий национальный университет, г. Донецк; кандидат физико-математических наук, доцент кафедры теории вероятностей и математической статистики

Аннотация. В статье исследуется вопрос построения компетентностной модели будущего учителя математики на основе общего понятия модели и модели специалиста. Предложены ключевые, общепрофессиональные и профессиональные компетенции, определяющие модель выпускника бакалавриата по направлению «Математика» классического университета.

Ключевые слова: компетентностная модель выпускника, построение модели специалиста, профессиональная педагогическая компетентность, ключевые компетенции, общепрофессиональные компетенции, профессиональные компетенции.

В современной науке понятие «модель» используется в самых разных смыслах. В энциклопедическом словаре А.Н. Прохорова [10] это и образец, эталон, стандарт, и устройство, воспроизводящее, имитирующее строение и действие какого-либо другого устройства, и образ, аналог какого-либо объекта, процесса или явления. В философском словаре [11] моделью называют аналог определенного фрагмента природной или социальной реальности. В нашем понимании, сущность этого понятия можно свести к определению, предложенному М.Д. Ильязовой [4]: модель - это система объектов или знаков, воспроизводящая существенные признаки системы - оригинала. К существенным свойствам моделей, как правило, относят близость к оригиналу, неполноту представления структуры оригинала или принципов его функционирования, а к основным принципам моделирования - определенность, объективность, выразительность модели [2].

Модель выпускника строится на основе модели специалиста [4], в состав которой входят личностные свойства, аспекты, характеризующие трудовую деятельность, аспекты, характеризующие компетентность специалиста.

В модели специалиста можно выделить две основные составляющие: профессиональные знания и личностные качества. Основными параметрами модели служат:

- требования к специалисту, обусловленные характером решаемых задач;

- необходимые для этого знания, умения, навыки;

- социальные и психологические качества, которые обеспечивают эффективность деятельности специалиста [7].

Как отмечает М.Д. Ильязова [4], разработка модели специалиста включает в себя:

- описание видов деятельности, выполняемых функций на рабочих местах;

- определение знаний, умений, связанных с той или иной частичной функцией, осуществляемой на определенном рабочем месте, а также предметов специальных профилей, которые способствуют отработке этих знаний и умений.

Построение модели специалиста предусматривает установление:

- функциональной сущности специалиста;

- широты его профессионального профиля;

- профессиографических характеристик;

- экспертных оценок и прогнозов развития профессиональной деятельности на близкий или отдаленный период времени;

- перечень учебных дисциплин с учетом их объема и содержания.

На основе модели специалиста выстраивается модель его подготовки, в которой прописаны требования к организации учебного процесса, к содержанию учебных планов, программ, к методам и технологиям обучения.

Существенным шагом при переходе от модели специалиста к модели его подготовки является, согласно М.Д. Ильязовой [4], определение и описание типовых задач, которые ему придется решать в своей будущей профессиональной деятельности. Эти задачи имеют определенную иерархию, которая и представляет собой иерархию целей профессиональной подготовки.

Так, первый уровень составляют задачи, которые должны быть под силу всем специалистам, независимо от их конкретной специальности или страны проживания. К ним можно отнести:

- экологические задачи, которые заключаются в минимизации негативных последствий производственной и другой деятельности человека на окружающую среду;

- учебные задачи, которые заключаются в овладении навыками и умениями непрерывного профессионального образования и самообразования;

- социализирующие задачи, которые заключаются в установлении социальных контактов между различными группами; планирование и организация их совместной деятельности, учет человеческого фактора при прогнозировании производственной деятельности.

Второй уровень составляют задачи, связанные с развитием рыночных отношений, то есть с экономическим обоснованием проектов, маркетингом, поиском партнеров и финансовых источников и т.д. При этом очень важно, что современный специалист должен уметь решать производственные, экономические и управленческие задачи в условиях демократии и толерантности открытого общества.

Третий уровень составляют задачи, которые являются профессиональными задачами, среди которых можно выделить практические задачи, направленные на получение конкретного результата; исследовательские задачи, направленные на деятельность, требующую умений планировать и проводить исследовательскую деятельность, педагогические, которые заключаются в преподавании соответствующей дисциплины или в условиях производства, или в условиях образовательного учреждения.

На основе анализа всех типов задач строится прогностическая модель деятельности специалиста, которая должна учитывать возможные тенденции, которые могут привести к изменению профессиональной деяте-

льности. И уже на основе прогностической модели выстраивается модель подготовки специалиста.

Современная модель подготовки специалиста представляет собой образовательную программу определенного уровня профессионального образования. Программа включает в себя учебный план, рабочие программы учебных дисциплин, их учебно-методическое обеспечение, формы контроля.

В рамках компетентностного подхода основным компонентом модели выпускника становится компетентность.

Понятие «компетентность» (от латинского competens, competentis) означает надлежащий, способный, определяется как осведомленность в какой-либо области знаний [9]. Компетентность в профессиональном образовании понимают как совокупность знаний и опыта в той или иной области или как уровень общей и профессиональной подготовки, позволяющие адекватно реагировать на изменяющиеся требования конкретного рабочего места или выполняемой работы. Под профессиональной компетентностью некоторые авторы понимают интегральную характеристику, определяющую способность специалиста решать профессиональные проблемы и задачи, возникающие в реальных ситуациях профессиональной деятельности, с использованием знаний, профессионального жизненного опыта, ценностей и наклонностей [5].

Своеобразным ориентиром в организации образовательного процесса служат не только общие представления, которые характеризуют выпускника любого образовательного учреждения высшего профессионального образования, но и конкретные представления, имеющие отношение к определенной квалификации специалиста. Все они в совокупности составляют так называемую модель выпускника высшего учебного заведения, в структуре которой обычно рассматриваются две составляющие: профессиональные знания и личностные качества.

Профессиональная составляющая может быть соотнесена с квалификационными требованиями, которые разработаны в государственных образовательных стандартах. Личностная составляющая - это традиционные качества, такие, например, как ответственность перед делом и людьми, добросовестность, общекультурная грамотность, физическое и психическое состояние и т. д.

В последнее время модель выпускника, как правило, раскрывают через понятие профессиональной квалификации, ключевой квалификации и ключевой компетенции, которые в значительной степени пересекаются между собой [3].

Их сущность можно свести к следующему:

- профессиональная квалификация - это степень и тип профессиональной подготовленности работника, которые предусматривают наличие у

него знаний, умений и навыков, необходимых для выполнения определенной работы;

- ключевые квалификации - это общепрофессиональные знания, умения и навыки, а также способности и качества личности, которые необходимы для выполнения работы в сфере определенной группы профессий;

- ключевые компетенции - это межкультурные и межотраслевые знания, умения, способности, которые необходимы для адаптации в продуктивной деятельности в различных профессиональных сообществах.

Целью любого образования является формирование компетентного профессионала. Качество образования измеряется знаниями, умениями и навыками выпускников. Согласно этому выпускник образовательных учреждений высшего профессионального образования должен обладать основополагающими и специальными знаниями, умениями и навыками.

Следуя С.А. Петруненой [7], отметим, что сама компетентностная модель выпускника, с одной стороны, охватывает квалификацию, связывающую будущую его деятельность с предметами и объектами труда, с другой стороны, отражает междисциплинарные требования к результату образовательного процесса. В компетентностной модели специалиста цели образования связываются не только с выполнением конкретных функций, но и с интегрированными требованиями к результату образовательного процесса.

Помимо разработки подходов к общему понятию профессиональной компетентности, в работах ряда авторов исследуются особенности профессиональной компетентности представителей какой-либо одной профессиональной сферы, в частности, особенности профессиональной педагогической компетентности. Профессиональной компетентностью педагога (или профессиональной педагогической компетентностью) называют единство его теоретической и практической готовности к осуществлению педагогической деятельности (Г.Н. Жуков, П.Г. Матросов, В.А. Сластенин, В.Д. Симаненко и др.).

Н.В. Кузьмина [6] считает, что профессиональная педагогическая компетентность включает пять компонентов (или пять видов) компетентности: специальная и профессиональная компетентность в области преподаваемой дисциплины; методическая компетентность в области способов формирования знаний и умений учащихся; социально-психологическая компетентность в области процессов общения; дифференциально-психологическая компетентность в области мотивов, способностей учащихся; аутопсихологическая компетентность в области достоинств и недостатков собственной деятельности и личности.

В структуре профессиональной компетентности учителя М.Е. Акмамбетова [1] выделяет три компонента:

- личностный, включающий в себя мотивы профессиональной деятельности, интерес, самостоятельность и активность, потребность в про-

фессиональном росте и самообразовании, направленность, самооценку и рефлексию;

- технологический, содержащий многочисленные характеристики знаний и умений учителя, которые применяются им в профессиональной деятельности при решении педагогических задач;

- контрольно-результативный, определяющий действия контроля, проверки и оценки профессионально-педагогической деятельности.

Автор связывает личностный и технологический компоненты и дополняет профессиональную компетентность до целостного образования.

По мнению Е.А. Семиной [7], для специалистов педагогического профиля удобна модель, состоящая из трех групп компетентностей: первую составляют компетентности, являющиеся общими для современных специалистов разных профилей (ключевые); во вторую группу включены компетентности, базовые для всех специалистов педагогического профиля (общепрофессиональные); компетентности третьей группы обусловлены предметной областью (специальные).

К ключевым компетентностям специалиста в области образования можно отнести: информационную; коммуникативную; социально-правовую; самоорганизации и самоуправления; исследовательскую; компетентность учения.

Второй составляющей модели выпускника являются компетентности, которыми должен обладать специалист педагогического профиля -общепрофессиональные компетентности. К ним можно отнести: компетентность в проведении мониторинга достижений и проблем учащихся; компетентность в проектировании учебно-воспитательного процесса; компетентность в организации учебно-воспитательного процесса; компетентность взаимодействия с участниками учебно-воспитательного процесса; компетентность профессионального самообразования.

Модель выпускника должна также содержать компетентности, характеризующие его как работника определенной сферы производства, науки, культуры. Поэтому необходимо выделить специальные компетентности, характеризующие готовность к узкой области профессиональной деятельности. Специальные компетентности связаны со способностью специалиста привлекать для решения профессиональных задач знания, умения, навыки, формируемые в рамках конкретной предметной области.

Охарактеризуем подробнее компетентностную модель выпускника факультета математики и информационных технологий Донецкого национального университета - учителя математики.

Отметим, что непрерывная подготовка будущего учителя математики проводится в рамках единого образовательного пространства, в которое, наряду с классическим университетом, входит лицей при университете и образовательные структуры, осуществляющие довузовскую подготовку.

Единое образовательное пространство позволяет реализовывать на практике непрерывную подготовку будущего учителя математики с широким вовлечением интеллектуального потенциала преподавателей факультета математики и информационных технологий университета, использованием научно-методической и материально-технической базы университета, лицея, образовательных структур, осуществляющих довузовскую подготовку; проводить разноплановую профориентационную работу, позволяющую мотивировать учащихся старших классов на дальнейшее овладение профессией учителя математики; проводить научные исследования по различным проблемам математики, а также научно-методические, научно-педагогические исследования с вовлечением в них наряду со студентами (в рамках НИР студентов) также учащихся лицея, школ региона (в рамках деятельности Малой академии наук); активно использовать современные информационно-коммуникационные технологии для образования и самообразования; знакомить учащихся и студентов с наиболее перспективными научными школами в области математики, методики преподавания математики, педагогики.

Заметим, что область профессиональной деятельности выпускника, освоившего программу бакалавриата, включает в себя педагогическую деятельность, связанную с преподаванием математики и информатики в общеобразовательных и профессиональных образовательных организациях; разработку методического обеспечения учебного процесса и программно-информационное обеспечение этой деятельности.

Компетентностная модель выпускника бакалавриата - будущего учителя математики - включает в себя общекультурные, общепрофессиональные и профессиональные компетенции.

Среди общекультурных (ключевых) компетенций выделим способность использовать основы философских знаний, анализировать основные этапы и закономерности исторического развития общества для формирования мировоззренческой и гражданской позиции; способность использовать основы экономических и правовых знаний в различных сферах жизнедеятельности; способность к коммуникации в устной и письменной формах на русском и иностранном языках для решения задач межличностного и межкультурного взаимодействия.

Важнейшими общепрофессиональными компетенциями, соответствующими педагогической деятельности учителя математики, являются:

- способность использовать фундаментальные знания в области различных математических дисциплин в будущей профессиональной педагогической деятельности;

- способностью решать стандартные задачи профессиональной педагогической деятельности с применением информационно-коммуникационных технологий;

- способностью к самостоятельной научно-методической работе.

Основными же профессиональными компетенциями являются:

- способность организовать учебную деятельность в предметной области - математике;

- способность планировать и осуществлять педагогическую деятельности, направленную на преподавание математики в образовательных организациях;

- способность проводить методическую и экспертную работу в области математики.

Важно отметить, что выделенные ключевые, общепрофессиональные и профессиональные компетенции формируются у будущего учителя математики последовательно, непрерывным образом в указанном едином образовательном пространстве.

Выводы. Построена компетентностная модель выпускника классического университета - будущего учителя математики, позволяющая осуществлять его непрерывную подготовку в рамках единого образовательного пространства, включающего в себя классический университет, лицей при университете, довузовские образовательные структуры, выписаны ключевые, общепрофессиональные и профессиональные компетенции, определяющие модель выпускника.

Библиографический список

1. Акмамбетова М.Е. Компетентность как деятельностная характеристика специалиста // Южно-Российский вестник геологии, географии и глобальной энергии. - 2006. -№ 6. - С. 244-247.

2. Архангельский С.И. Учебный процесс в высшей школе и его закономерные основы и методы: Учеб.-метод, пособие. - М.: Высш. шк., 1980. - 368 с.

3. Белозерцев Е.П. и др. Педагогика профессионального образования: учебное пособие / Под ред. В.А. Сластенина. - М.: Академия, 2004. - 368 с.

4. Ильязова М.Д. Компетентностный подход к определению модели выпускника вуза // Вестник Астраханского государственного технического университета. - 2003. -№5 (40).-С. 102-108.

5. Козырев В.А., Родионова Н.Ф. Компетентностный подход в педагогическом образовании: коллективная монография. - СПб.: Изд-во РГПУ им. А.И. Герцена, 2004. -218 с.

6. Кузьмина Н.В. (Головко-Гаршина). Акмеологическая теория повышения качества подготовки специалистов образования. - М.: Исследовательский центр проблем качества подготовки специалистов, 2001. - 144 с.

7. Петрунева Р., Дунина Н., Токарев В. О главной цели образования // Высшее образование в России. - 1998. -№ 3. - С. 40-46.

8. Семина Е.А. Компетентностная модель выпускника педагогического вуза - будущего учителя математки // Альманах современной науки и образования Красноярского государственного педагогического университета им. В.П. Астафьева. - 2010. - № 5 (36).- 133 с.

9. Словарь современного русского литературного языка / Под ред. А.М. Бабкина, Ю.С. Сорокина. - М. - Л.: Издательство АН СССР, 1956. -Т. 5. - 1258 с.

10. Советский энциклопедический словарь / под ред. А.М. Прохорова. - М.: Советская энциклопедия, 1986. - 1600 с.

11. Философский энциклопедический словарь / Под ред. Л.Ф. Ильичева, П.Н. Федосеева. - М.: Советская энциклопедия, 1983. - 840 с.

ПРОБЛЕМА ПОЗНАВАТЕЛЬНОГО ИНТЕРЕСА В СВЕТЕ НОВЫХ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ СТАНДАРТОВ

Т.Е. Рыманова

Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина, г. Елец, кандидат педагогических наук, доцент кафедры математики и методики ее преподавания

Аннотация. Сегодня перед учителем стоит проблема реализации образовательных стандартов второго поколения. В предлагаемой статье рассматриваются теоретические аспекты проблемы познавательного интереса, который можно считать одним из показателей развития личности ребенка.

Ключевые слова: познавательный интерес, мотив, средство обучения, качество личности, интегративное образование.

Сегодня российское государство находится в процессе модернизации. Смена парадигм внутренней жизни страны заставляет перестраиваться всем социальным институтам, в том числе и образованию. Растущие потребности динамично развивающегося современного общества требуют от школы раскрытия, в первую очередь, индивидуальных особенностей каждого ученика. Как ранее уже было нами отмечено, одним из аспектов общей проблемы развития ребенка является формирование (развитие) у него познавательного интереса [3]. Это очень тонкое образование личности, изучению которого посвящено большое число работ психологов и педагогов.

Переход к личностно ориентированной системе обучения, перевод российского образования на государственные стандарты требуют введения в учебно-воспитательный процесс новых методов, подходов, приемов и технологий. В настоящее время обострилось противоречие между потребностями социально-культурной жизни общества и недостаточным обобщением имеющего отечественного научного потенциала в рамках проблемы развития школьника. Это необходимо, прежде всего, для разработки образовательной стратегии государства. К сожалению, ее у нас все еще нет, а те документы, что позиционируются под видом стратегии (например, концепция математического образования в Российской Федерации), не удовлетворяют требованиям российского общества.

Обратимся к теоретическим вопросам познавательного интереса, который, по мнению Н.А. Менчинской, можно считать показателем развития личности. Нашей отечественной наукой накоплен большой материал по этой проблеме. В психолого-педагогической литературе можно найти не менее двадцати определений этого понятия. Так, например, под познавательным интересом понимают:

- проявление умственной и эмоциональной активности человека (С.Л. Рубинштейн);

- специфический сплав эмоциональных, волевых, интеллектуальных процессов (Л.А. Гордон);

- активное познавательное отношение личности к деятельности (В.Н. Мясищев);

- избирательную направленность внимания (Н.Ф. Добрынин);

- эмоционально-познавательную позицию субъекта к действительности (Н.Г. Морозова);

- структуру, состоящую из потребностей (И.Н. Бюнер), из познавательных потребностей (В.С. Ильин);

- особое отношение к объекту, основанное на осознании его значения и на эмоциональной окраске (А.Г. Ковалев);

- избирательную направленность человека на познание предметов, явлений окружающего мира (Г.И. Щукина).

Даже этот неполный перечень определений свидетельствует о том внимании, которое отечественная наука оказывает познавательному интересу как самостоятельному образованию личности. В связи с этим отметим, что у ряда зарубежных ученых диаметрально противоположное мнение.

Интерес, например, к математике является составной частью общего феномена познавательного интереса, который, в свою очередь, входит в структуру интересов личности. Ядром данного образования являются мыслительные процессы. Познавательный интерес не является врожденным качеством личности.

В психологической науке он рассматривается как мотив. Еще А.Н. Леонтьев высказал мысль, что это сильный компонент в мотивационной сфере школьника [1]. С другой стороны, для возбуждения познавательного интереса необходимо сначала создать мотив, а потом наполнить его целевым содержательным смыслом.

А.К. Маркова указывала, что мотивационная сфера является стержневой в личности. В ее работах были выделены основные виды познавательных мотивов: широкие познавательные, учебно-познавательные и мотивы самообразования [2]. А в преломлении к математике обобщенное представление о разных точках зрения дает следующая таблица.

Особенностью исследуемого личностного образования является то, что это внутренний мотив.

Таблица 1

Виды мотивов

Ориентация мотивов

Проявления и следствия познавательных интересов на уроке

широкие познавательные мотивы

овладение новыми математическими сведениями, интерес к закономерностям в учебном материале, ключевым идеям математики

Успешное решение предложенных математических задач, положительная реакция на усложнения задания; обращение к педагогу за дополнительными сведениями, заинтересованное отношение к необязательным вопросам

учебно-познавательные мотивы

усвоение способов получения математических сведений, интересы к приемам самостоятельного получения знания, к методам научного познания

самостоятельное обращение школьников к поиску способов выполнения задания, к их сопоставлению, анализ решения математической задачи после получения правильного результата, характер вопросов к учителю, интерес при переходе к новому действию, к анализу собственных ошибок, самоконтроль

мотивы самообразования

направленность на самостоятельное совершенствование способов получения математических знаний

обращение к учителю с вопросами о рациональных способах решения поставленного математического задания и приемах самообразования, участие в обсуждении возникших в связи с этим проблем, действия по осуществлению самообразования

Познавательный интерес к математике описывается в своем развитии различными состояниями, среди которых условно выделяют следующие последовательные стадии его развития: 1) любопытство; 2) любознательность; 3) познавательный интерес; 4) теоретический интерес. На наш взгляд, третью степень диалектики развития познавательного интереса необходимо конкретизировать, а именно, следует рассматривать фазы: неустойчивый, относительно устойчивый и устойчивый познавательный интерес.

Большой вклад в изучение поставленной проблемы внесла Г.И. Щукина. Впервые познавательный интерес был рассмотрен с педагогической точки зрения [4]. Он формируется только в деятельности, а развивается в познавательной, которую можно считать фундаментальной, так как интерес способствует переводу школьника на деятельную позицию в познании. Интерпретация возможных отношений в учебно-познавательной деятельности отражена в таблице.

Таблица 2

Субъект

Объект

Отношения

Функции деятельности

Проявления

Формирование познавательного интереса

учитель

ученик

объектно-субъектные

гностическая, стимулирующая, организаторская, коммуникативная, прогностическая

учитель раскрывает цель деятельности, актуализирует математические идеи, раскрывает логику учебного процесса

происходит влияние на познавательную деятельность, поднимает ученика на новый уровень развития, укрепляет познавательные интересы

ученик

Процесс выполнения учебного действия

субъектно-объектные

Гностическая, коммуникативная, прогностическая, организаторская, стимулирующая

активизация мыслительных процессов, активизация знаний, апробация разнообразных математических умений, удовлетворение результатами

познавательный интерес приобретает прочную основу

учитель, ученик

деятельность

субъектно-субъектные

Гностическая, прогностическая, стимулирующая, коммуникативная

глубокая эрудиция, мастерство учителя, высокая активность, самостоятельность, раскрытие творческих математических возможностей учащихся

познавательный интерес становится прочным и глубоким

В своих работах Г.И. Щукина убедительно доказывала, что познавательный интерес может выступать в разных модификациях. Его следует рассматривать как мотив, средство обучения и качество личности [4].

В отечественной методической науке (Л.С. Атанасян, Н.Я. Виленкин, В.А. Гусев, Л.В. Занков, Н.Б. Истомина, Ю.М. Колягин, В.Н. Литвиненко, А.Г. Мордкович и др.) рассматривается целый спектр разных средств, методов и приемов формирования (развития) интереса к математике. Среди них актуальность и новизна содержания, обновление усвоенных знаний, исторические сведения, создание дидактических модулей, ознакомление с

современными научными достижениями, проблемные ситуации, комментированное решение, учебные дискуссии и другие.

Все это позволяет определить познавательный интерес как интегративное образование личности, определяющее ее избирательную направленность и обращенное к познанию одной или нескольких научных областей, к их предметной стороне (содержанию), а также к процессу деятельности [3, с. 25].

В отечественной психолого-педагогической науке познавательный интерес изучается с разных позиций. Синтез различных точек зрения на проблему исследования позволил получить схему, иллюстрирующую все аспекты данной категории [3, с. 26].

Отсюда видно, что познавательный интерес следует рассматривать не только как дидактическую, но и как диалектическую категорию.

Сейчас перед педагогом остро встает задача определения более четких и конкретных ориентиров развития ученика. Рассмотренные теоретические аспекты позволяют сформулировать концептуальные положения, ориентированные на достижение целей стандарта в этом направлении.

Библиографический список

1. Леонтьев А.Н. Деятельность. Сознание. Личность. - М: Политиздат, 1975. - 304 с.

2. Маркова А.К. Формирование мотивации учения. - М.: Просвещение, 1983. - 86 с.

3. Рыманова Т.Е. Технологический подход к проектированию учебного процесса по математике, обеспечивающего формирование познавательного интереса у школьников. Дис. ... канд. пед. наук. - М, 1999. - 214 с.

4. Щукина Г.И. Проблема познавательного интереса в педагогике. - М.: Педагогика, 1971.-351 с.

НЕКОТОРЫЕ МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ СООБРАЖЕНИЯ ПО КУРСУ ТОПОЛОГИИ

О.Д. Фролкина

Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, Москва, механико-математический факультет, кафедра общей топологии и геометрии, кандидат физико-математических наук, доцент

Аннотация. В заметке обсуждается место и роль курса топологии в университетском образовании. Высказываются соображения методологического характера и конкретные соображения по содержанию и способам преподавания.

Ключевые слова: мотивация, определение, доказательство, топология.

С 2012/2013 учебного года студентам третьего семестра отделения математики механико-математического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова начал читаться отдельный курс «Введение в топологию». Основное его содержание изложено в книге [8]. Я веду семинарские занятия по этому предмету и постараюсь изложить здесь некоторые соображения о целях курса и вариантах их осуществления.

Часто основы топологии рассматриваются и излагаются лишь с точки зрения их использования как языка, нужного для других математических дисциплин. Однако такой подход снижает ценность топологических задач как самостоятельного предмета для студенческого изучения и для научного исследования. При проведении семинарских занятий ставятся следующие, более широкие, задачи:

Постепенно расширяя набор рассматриваемых объектов и задач, помочь студентам пересмотреть и углубить свою геометрическо-топологическую интуицию, сложившуюся в процессе изучения начального курса математического анализа.

Показать, что топологические понятия не являются просто «формальными обобщениями» знакомых понятий из математического анализа; напротив, рассмотрение более широких ситуаций позволяет решать более широкий класс задач.

Продемонстрировать единство математики на примерах применения топологических рассуждений для решения задач из других областей.

Проиллюстрировать логику развития науки, формирования математических понятий.

Сформулировать некоторые топологические задачи, которые интересны сами по себе и могут служить темами для дальнейших исследований.

При этом желательно, чтобы вводимые определения были мотивированы естественными, понятными студентам вопросами, а теоремы служили ответами к поставленным вопросам. В подавляющем большинстве учебников определения вводятся и теоремы доказываются без мотивации, что порождает у младшекурсников справедливое недоумение («как и зачем все это придумано?») и часто сомнения в собственных силах (годы и даже десятилетия раздумий многих математиков подаются в чистой, завершенной, упорядоченной форме). Как пишет А. Пуанкаре: «Чаще всего математические определения, как это показал Лиар, суть целые построения, составленные при помощи простейших понятий. Но почему эти элементы соединены именно данным образом, когда возможна еще тысяча других способов соединения? Каприз ли это? А если нет, то почему данная комбинация имеет больше прав на существование, чем все прочие?» [7, с. 466-467]. Аналогичные вопросы возникают у студентов и при изучении теорем и доказательств, поскольку «...суть предмета и должна быть передана в тех методологических комментариях к теоремам и формулам, которые должны находиться «между» теоремами, цементируя их в одно целое и

разъясняя смысл теорем, их взаимную связь и зависимость, представляя их как звенья единой цепи, образующей предмет» [6, с. 81]. Множество важных студенческих проблем обсуждается и в книге [3].

Рассмотрим несколько примеров. За недостатком количества основных занятий подробно этим вопросы рассматриваются на специальных дополнительных семинарах, но на основных семинарах полезно о них кратко упоминать.

1. Определение топологического пространства в подавляющем большинстве учебников вводится без мотивации. Ясно, что общепринятое определение топологического пространства обобщает определение метрического пространства, но непонятно, почему именно эти условия выбраны для более общего определения. На занятиях мы не имеем возможности излагать долгую историю формирования этого понятия, однако интересующимся студентам можно предложить одно-два дополнительных занятия, где показать естественность именно этого определения; это реализовано в книге [11, главы 11 и 12].

2. Естествен вопрос, а нужно ли нам понятие топологического пространства, приводит ли оно к содержательным задачам? Почему математики не могут обойтись более понятным определением метрического пространства?

Здесь уместно:

2.1) проанализировать, почему многие понятия и теоремы из теории метрических пространств (сходимость, предел, замыкание, непрерывность), по сути, зависят не от выбора конкретной метрики на пространстве, а от порожденной ею топологии, поэтому выражать суть дела часто правильнее именно в топологических терминах;

2.2) рассмотреть интересные примеры неметризуемых пространств: пространство «двух стрелок» [1, с. 135], плоскость Немыцкого [2, раздел 15.9х, С.93];

2.3) упомянуть, что топология как структура очень важна для задач математического и функционального анализа; на дополнительных занятиях можно подробно рассмотреть пример поточечной сходимости в С[0;1], см. [10, упр.1, С.28; упр.6, с.37; упр.10, с.40].

3. В курсе математического анализа при рассмотрении функций вещественного переменного традиционно доказывается эквивалентность двух определений непрерывности функции в точке: по Коши (эпсилон-дельта) и по Гейне (в терминах сходящихся последовательностей). Почти без изменений эта теорема переносится на случай отображений метрических пространств [8, теор. 2.13, с.22]. Теперь уже естественно звучит вопрос: равносильны ли эти определения для случая топологических пространств?

В этом контексте уместно разобрать несложный контрпример [2, задачи 16.17, 16.18, с.96-97]. Теперь уже студентам ясно, почему в общей топологической постановке кроме понятия непрерывности (обобщающей оп-

ределение по Коши) приходится выделять понятие секвенциальной непрерывности (обобщающей определение по Гейне). Также проясняется, что при рассмотрении топологических пространств недостаточно изучать сходящиеся последовательности; необходимо выделять пространства с первой аксиомой счетности и т.п.

4. При рассмотрении темы «Непрерывные отображения метрических пространств» в курсе строится непрерывное отображение отрезка на квадрат. Всякое такое отображение называется кривой Пеано, поскольку именно Дж. Пеано в 1890 году привел первый пример такого отображения. Однако пример, построенный Гильбертом, более геометричен [4, с. 220-221], [9, С.291-292], [14, с. 10-12] и любим студентами. Интересным и несложным фактом является нигде не дифференцируемость кривой Гильберта (отмеченная Гильбертом мимоходом в [12] и доказанная в несколько строчек в [14, Th. (2.2), р. 12]). Однако этот пример интересен не только сам по себе; он возник при попытках ответить на вопрос: что такое линия? (См. [5].) Эту проблему уместно упоминать на занятиях, оставляя более подробное рассмотрение на дополнительные семинары; углубление в эту тему может составить отдельный курс теории континуумов или теории размерности, в которых есть множество нерешенных проблем.

5. Очень красивым и полезным для изучения является канторово множество. Оно может быть использовано на занятиях во множестве ситуаций, в том числе:

5.1) при изучении понятий топологической суммы и топологического произведения. Здесь интересно показать, что канторово множество гомеоморфно своему квадрату (а также любой своей конечной или счетной топологической степени);

5.2) для формирования более ясного представления о метрических компактах и их непрерывных отображениях (метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда оно является непрерывным образом канторова множества [1, с.213]; конструкция для частного случая - канторова лестница - известна из курса математического анализа);

5.3) для иллюстрации феномена «диких вложений» и применения фундаментальной группы (ожерелье Антуана: канторово множество может быть так расположено в трехмерном евклидовом пространстве, что найдется не пересекающая его петля, которая не может быть стянута в точку, не задев это канторово множество, см. [1, с. 216-217]). В этой области имеется множество нерешенных научных проблем.

6. Поучительны топологические доказательства теоремы Брауэра [2, задача 38.J], основной теоремы алгебры [2, раздел 37.2]. На дополнительных занятиях интересно разобрать обобщение основной теоремы алгебры для тела кватернионов, основываясь, например, на работе [13].

Поиск путей живого и мотивированного преподавания абстрактных разделов математики приводит нас к необходимости более внимательного

изучения истории развития этих областей, выявляющей связи между результатами различных ученых и их влияние на другие области математики.

Библиографический список

1. Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. - М.: Наука, 1977.

2. Виро О.Я., Иванов О.А., Нецветаев Н.Ю., Харламов В.М. Элементарная топология. -2-е изд., исправл. - М.: МЦНМО, 2012.

3. Космодемьянский А.А. Теоретическая механика и современная техника. - Изд. 2-е, доп. - М.: Просвещение, 1975.

4. Лузин Н.Н. Теория функций действительного переменного. Общая часть: Учебное пособие для педвузов. - Изд. 2-е. Государственное учебно-педагогическое издательство Министерства просвещения РСФСР. - М., 1948.

5. Пархоменко А.С. Что такое линия. ГИТТЛ. - М., 1954.

6. Потоцкий М.В. Преподавание высшей математики в педагогическом институте. (Из опыта работы). - М.: Просвещение, 1975.

7. Пуанкаре А. О науке. - Изд. 2-е, стер. - М.: Наука, 1990.

8. Федорчук В.В. Введение в топологию: Учебное пособие. - М.: Изд-во Московского университета, 2014.

9. Хайрер Э., Ваннер Г. Математический анализ в свете его истории. - М.: Научный мир, 2008.

10. Хелемский А.Я. Лекции по функциональному анализу. - 2-е изд., испр. и доп. - М.: МЦНМО, 2014.

11. Buskes G., van Rooij A. Topological spaces: from distance to neighborhood. Springer, 1997.

12. Hilbert D. Ueber die stetige Abbilgung einer Linie auf ein Flaechenstueck // Math. Anna-len, 38, 459-460 (1891).

13. Niven I. Extension of a Topological Proof of the Fundamental Theorem of Algebra // Amer. Math. Monthly, 57, 4 (1950), 246-248.

14. Sagan H. Space-filling curves. Springer, 1994.

К ВОПРОСУ ОБ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОМ ОБЕСПЕЧЕНИИ ПО МАТЕМАТИКЕ В УСЛОВИЯХ РЕАЛИЗАЦИИ ШКОЛЬНЫХ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ СТАНДАРТОВ

Т.М. Сафронова

Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина, г. Елец, кандидат педагогических наук, доцент кафедры математики и методики ее преподавания

Аннотация. В статье рассматривается проблема учебно-методического обеспечения по математике в условиях перемен, происходящих в системе общего образования, а также основные критерии оценки школьных учебников.

Ключевые слова: учебно-методический комплекс, учебно-методическое обеспечение, требования к учебнику, школьные образовательные стандарты.

Введение и реализация школьных образовательных стандартов, а также перемены, которые происходят в системе общего образования, влекут за собой и обновление поколения школьных учебников, которые должны способствовать достижению качества образования.

Для оценки школьного учебника в настоящее время разработаны и применяются различные группы критериев. Условно выделяют нормативные и содержательные требования к учебнику. К первым относят такие критерии, как:

- обязательное прохождение экспертизы на соответствие ФГОС общего образования;

- соответствие приказу Министерства образования и науки России об утверждении федерального перечня учебников, рекомендованных к использованию в образовательных учреждениях.

К основным содержательным требованиям к учебнику относят следующие критерии:

- соответствие содержания ФГОС фундаментальному ядру содержания общего образования;

- дидактическая преемственность системы пособий, относящихся к одной линии;

- концептуальное единство учебно-методического комплекса;

- наличие и полнота учебно-методического комплекса;

- научный уровень изложения материала;

- доступность содержания, наглядность оформления;

- соответствие возрастным особенностям учащихся;

- предметная и метапредметная направленность учебника;

- реализация деятельностного подхода;

- условия для организации самостоятельной работы.

В федеральный перечень включаются учебники, которые принадлежат к завершенной предметной линии. Так обеспечивается преемственность изучения школьного учебного предмета. Кроме того, учебники должны быть представлены и в печатной, и в электронной форме. Здесь логично отметить, что с 1 сентября 2015 года образовательные учреждения имеют право выбора использования в процессе обучения учебника в одной из названных форм. И последнее: учебники должны иметь методические пособия для учителя.

Федеральный перечень школьных учебников, в том числе и учебников по математике, которые рекомендованы к использованию в образовательных учреждениях, был утвержден 31 марта 2014 года приказом Министерства образования и науки России № 253. Этот документ уже несколько раз претерпевал изменения: 8 июня 2015 года (приказ Минобрнауки РФ

№ 576); 28 декабря 2015 года (приказ Минобрнауки РФ № 1529). И наконец, последние изменения были внесены 26 января 2016 года (приказ Минобрнауки РФ № 38). Заметим, что в соответствии с приказом № 38 (от 26.01.2016 г.) из федерального перечня были исключены учебники ООО «Издательство «Ассоциация XXI век» и ООО «ИОЦ Мнемозина». Это повлекло за собой значительное сокращение количества наименований учебников, и в частности учебников математики, в указанном перечне. В нижеследующей таблице приведен список исключенных из Федерального перечня учебников.

№ п/п

Название учебника (учебного пособия)

Класс

Авторы

Математика

5-6

Истомина Н.Б.

2.

Математика

5-6

Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И.

3.

Математика

5-6

Зубарева И.И., Мордкович А.Г.

4.

Алгебра

7-9

Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Феоктистов И.Е.

5.

Алгебра

7-8

Мордкович А.Г.

6.

Алгебра

9

Мордкович А.Г., Семенов П.В.

7.

Алгебра

7-9

Мордкович А.Г., Николаев Н.П.

8.

Геометрия

7-9

Смирнова И.М., Смирнов В.А.

9.

Алгебра и начала математического анализа, базовый и углубленный уровни

10,11

Мордкович А.Г., Семенов П.В.

10.

Геометрия

10,11

Смирнова И.М., Смирнов В.А.

11.

Математика: Алгебра и начала математического анализа, геометрия

10,11

Мордкович А.Г., Смирнова И.М.

12.

Алгебра и начала математического анализа, базовый уровень

10-11

Мордкович А.Г., Семенов П.В.

13.

Геометрия, базовый уровень

10-11

Смирнова И.М.

14.

Алгебра и начала математического анализа, углубленный уровень

10,11

Виленкин Н.Я., Ивашев - Мусатов О.С, Шварцбурд С.И.

Правильный выбор учебника математики - это одно из условий качественного обучения предмету. На сегодняшний день школьный учебник -это и источник современных знаний, и важнейшее средство, с помощью которого педагог развивает интеллектуальную и мотивационную сферы личности учащегося.

Напомним, что выбор учебников, учебных пособий, учебно-методических материалов, обеспечивающих преподавание конкретного

предмета, относится к компетенции образовательного учреждения. А это значит, что именно образовательное учреждение должно продумать возможности бесконфликтного замещения исключенных предметных линий альтернативными УМК (учебно-методическими комплексами). Оценив масштабы предстоящей работы при переходе на новые УМК (а это: проработка всех компонентов УМК, разработка программ и многих других материалов, не говоря уже о трудностях перехода внутри линии с одного УМК на другое и о предстоящей затрате материальных средств на приобретение новых учебно-методических комплексов), образовательные учреждения принялись за подготовку учебно-методического обеспечения по предметам на новый учебный год.

Однако 3 марта 2016 года состоялось заседание Научно-методического совета по учебникам Министерства образования и науки РФ, которое рекомендовало Минобрнауки РФ включить в федеральный перечень учебников организации, имеющие в перечне не менее одной завершенной предметной линии учебников. В список рекомендованных были включены и ООО «Издательство "Ассоциация XXI век"», и ООО «ИОЦ Мнемозина». Протокол заседания указанного совета был опубликован 23 марта 2016 года. Каким будет решение Министерства образования и науки? Что день грядущий нам готовит?

ПРИЕМЫ МОТИВАЦИИ УЧЕБНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ПОДРОСТКОВ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ

Л.Н. Курбатова

Оренбургский государственный педагогический университет, г. Оренбург, старший преподаватель кафедры математического анализа и методики преподавания математики

Аннотация. В статье говорится о том, что мотивация учебно-исследовательской математической деятельности подростков может осуществляться во внеурочной деятельности и на уроках-исследованиях, при этом приемы мотивации меняются в зависимости от типа урока.

Ключевые слова: мотивация, приемы мотивации учебно-исследовательской деятельности подростков.

Немалое число современных подростков охотно включаются в проектную, соревновательную, олимпиадную математическую деятельность, но лишь для части из них она перерастает в научно-исследовательскую работу. Это объясняется тем, что к подростку-исследователю предъявляется целый ряд требований. Он должен иметь представление о:

- различных видах знаний и уметь ими пользоваться, что предполагает трансформацию знаний в понимание;

- рефлексивной деятельности, позволяющей анализировать динамику личностного развития, ставить и достигать новые познавательные цели;

- приемах работы с различными видами информации. Начинающий исследователь должен уметь выбирать из потока информации наиболее необходимое и тем самым преобразовывать информацию в собственное знание.

Начатки перечисленных качеств заложены в детях от природы, ведь ориентировочно-исследовательская (поисковая) деятельность природно присуща самому ребенку. Вместе с тем подростки, участвующие в исследовательской математической деятельности, отмечают следующие отличия от традиционной познавательной деятельности:

- знания приходится искать самому, используя при этом множество разнообразных источников, дополняя их собственными интеллектуальными поисками и открытиями;

- полученные в процессе исследования знания приходится систематизировать, отделяя главное от второстепенного, «отсекая» лишнее, побочное в исследовании;

- углубленное изучение проблемы с необходимостью открывает новые, еще не решенные в исследовании вопросы, заставляя пополнять запас личных математических знаний;

- исследование проблемы увлекает исследователя, ему хочется обсудить результаты своей работы, поделиться знаниями с одноклассниками, единомышленниками, поучаствовать в интеллектуальных конкурсах.

Таким образом, ориентировочно-исследовательская деятельность для подростка-исследователя с необходимостью перерастает в учебно-исследовательскую деятельность, под которой будем понимать специальным образом организованную познавательную деятельность подростков, предполагающую самостоятельное творческое исследование математической проблемы, что и позволяет сформировать соответствующие качества: умение соединять логику учебного и научного познания; методологию и методику научного анализа математических объектов; коллективную и индивидуальную работу. Учебно-исследовательская деятельность и направлена, главным образом, на создание условий для привлечения обучающихся к научным исследованиям.

При изучении математики для подростков значительную роль играет система познавательных мотивов, в том числе мотивов достижения успехов в учебе. В силу абстрактности предмета математики, строгой дедукции, линейности ее построения, обучающиеся испытывают настоятельную потребность в достижении успехов и преодолении трудностей в ее изучении. Задача учителя состоит в применении эффективных приемов мотива-

ции обучающихся на учебно-исследовательскую математическую деятельность.

Под системой приемов мотивации учебно-исследовательской деятельности будем понимать совокупность всех побуждений к знаниям, любознательности, познавательной потребности, учебной деятельности, заинтересованности в научном познании и поиске истины. В мотивации достижения можно выделить «мотивационные переменные», устанавливающие взаимосвязь между учебно-исследовательской деятельностью ребенка и мотивом достижения:

1. Личностные стандарты - оценка субъективной вероятности успеха, субъективной трудности задачи и т. п.

Подростки, занимающиеся исследовательской деятельностью, с удовольствием занимаются решением задач повышенной трудности, ищут различные способы решения одной задачи. Как правило, их привлекает необычность модели решения задачи, неожиданный результат, перенос знаний в нестандартную ситуацию. Например, предложение учителя найти, по крайней мере, пять способов решения уравнения sinx + cosx = л/3 ! А предложение использовать скалярное произведение векторов при доказательстве неравенства -Ja +1 + л12а +1 + Vi -3(2 < 3 вызывает заинтересованное удивление.

2. Привлекательность самооценки - привлекательность для подростка личного успеха или неудачи в учебно-исследовательской деятельности.

Такая самооценка может осуществляться с помощью портфолио учащегося. Тема портфолио или папки индивидуальных образовательных достижений обучающихся в последнее время активно обсуждается на страницах методической литературы. Все больше учителей использует портфолио в своей практике, оно позволяет:

- формировать и развивать умение учиться;

- формировать и развивать самооценочную деятельность;

- проследить индивидуальную динамику исследовательской деятельности подростка;

- оценить достижения учащегося;

- создать ситуацию успеха.

3. Индивидуальные предпочтения типа атрибуции - приписывание ответственности за успех или неудачу себе или обстоятельствам.

Участие подростков в математических соревнованиях, конкурсах, олимпиадах или конференциях различного уровня всегда стимулирует учебно-исследовательскую деятельность их участников.

Специальные исследования и опыт практической деятельности свидетельствуют: интерес к учебно-исследовательской математической деятельности зарождается на уроках, поэтому так важно выделить приемы мотивации этой деятельности именно на уроке.

Этап мотивации познавательной деятельности обучающихся - один из ключевых этапов урока математики, на нем организуется исследовательская деятельность обучающихся. От организации этого этапа во многом зависит, состоится на уроке исследование или нет. Однако представляется, что в названии этапа урока включаются два нетождественных понятия: активизация и мотивация познавательной деятельности подростков. Поскольку ориентировочно-исследовательская деятельность присуща детям от природы, то активизация их внимания, привлечение к теме урока через занимательные, неожиданные математические факты, увлекательные рассказы, яркие презентации всегда находят благодарный отклик у обучающихся, но еще не ставят их в положение исследователей, так как подростки не видят проблемы, требующей разрешения.

Мотивация, в отличие от активизации, предполагает возникновение у обучающихся вопроса, проблемы, затруднения в выполнении учебного действия. Опыт и талант учителя позволяют ему спланировать и организовать такие условия на уроке, что дети видят, в чем же у них возникло затруднение, сами формулируют учебную проблему и ищут пути ее разрешения.

Урок-исследование может быть двух типов: индуктивного и дедуктивного. В зависимости от этого мотивация деятельности будет происходить по-разному.

На уроке индуктивного типа в результате мотивации обучающиеся формулируют учебную проблему или свои затруднения в решении задачи, или вопросы, возникшие у них и требующие ответов. Все перечисленное приводит класс к пониманию необходимости поиска решения проблемы, являясь стимулом и регулятором этого поиска.

На уроке дедуктивного типа проблемная ситуация, спланированная учителем, приведет обучающихся к возникновению обобщающей гипотезы, обсуждению ее, поиска способов ее доказательства или опровержения, изучения форм ее применения в новых задачах.

Обобщением сказанного является следующая схема:

Мотивация на уроке индуктивного типа

Создание проблемной ситуации, обеспечивающей возникновение проблемы, затруднения, вопросов, ведущих к необходимости поиска решения и являющегося регулятором поиска

Мотивация на уроке дедуктивного типа

Создание проблемной ситуации на уроке дедуктивного типа, обеспечивающей формулирование, обобщение, гипотезу, ведущих к необходимости поиска способа ее доказательства и изучения форм ее реализации в новых ситуациях

Методический прием мотивации

Активизация учебной деятельности на уроке Создание условий для формирования познавательного интереса у обучающихся, активизации их внимания, использования бытового и учебного детского опыта

Практика обучения математике в школе позволила выделить следующие приемы активизации учебной деятельности:

- создание ситуации заинтересованности, положительных эмоционально-моральных переживаний;

- использование историко-математического материала, достижений науки;

- использование целесообразно подобранных задач, задач с практическим содержанием;

- использование математических софизмов, загадок;

- использование сказок, притч, отрывков из литературных произведений;

- организация познавательных игр;

- использование аналогий, сравнений, обобщений;

- организация наблюдения, эксперимента, опыта;

- создание на уроке ситуации успеха;

- использование пробного учебного действия;

- создание проблемной ситуации.

Стимульный материал и условия применения приемов мотивации на уроках приведены в следующей таблице:

Приемы мотивации на математическом уроке-исследовании

№ п/п

Название приема

Стимульный материал

Условия применения

1.

Создание ситуации заинтересованности, положительных эмоционально-моральных переживаний

Информация об эффективном применении математического материала для разрешения учебной проблемы

Актуальность для подростков заявленной математической темы, ее значимость в дальнейшем изучении материала, в смежных школьных предметах, в итоговой аттестации

2.

Использование математических софизмов, загадок

Задания с ловушкой: требование выполнить математическое действие, которое субъективно воспринимается как выполнимое, а объективно является невыполнимым

Восприятие обучающимися задания как легкого и выполнимого; увлеченность класса выявлением причин получившегося математического парадокса

3.

Использование целесообразно подобранных задач, задач с практическим содержанием, задач для исследования

Задание, которое может быть решено несколькими способами, обобщенно. Задание, для решения которого приходится переформулировать задачу, находить решение сначала упрощенного варианта задачи. Задание, имеющее ярко выраженный практический характер

Доступность, актуальность, неожиданность для детей фабул задач, математических моделей, ответов предлагаемых задач

4.

Использование пробного учебного действия

Задание, которое незначительно отличается от знакомых стандартных дидактических заданий, которое дети еще решить не могут - не хватает знаний

Наличие гипотетической связи между предлагаемым обучающимся пробным учебным действием и проблемой, важной для запланированного урока-исследования

5.

Использование эпиграфов, отрывков из литературных произведений

Авторские (оригинальные) высказывания, точки зрения каких-то людей, задание примерить высказывание на себя или высказать суждение с заданной точки зрения

Доступность, актуальность для подростков тем высказываний. Цитат; формирование умения анализировать различные точки зрения, учитывать интересы других людей

Таким образом, приемы мотивации учебно-исследовательской деятельности имеют свои методические особенности, разнообразные и зависящие от типа урока, условий применения приема.

Библиографический список

1. Курбатова Л.Н. Урок-исследование по математике в средней школе // Россия и Европа: связь культуры и экономики: Материалы XII Международной научно-практической конференции (15 июня 2015 года) / Отв. ред. Н.В. Уварина. - Прага, Чешская Республика: Изд-во WORLD PRESS s.r.o., 2015. - С. 133-136.

2. Курбатова Л.Н. Приемы активизации мотивации учебной деятельности на уроках математики в средней школе // Россия и Европа: связь культуры и экономики: Материалы XII Международной научно-практической конференции (29 февраля 2016 года) / Отв. ред. Н.В. Уварина. - Прага, Чешская Республика: Изд-во WORLD PRESS s.r.o., 2015.-С. 236-239.

3. Шадрин В.Ю. Исследовательские задачи на занятиях математического кружка // Материалы Международной научно-методической конференции «История и методология науки». - Донецк: Изд-во Донецкого национального университета, 2016. -С.135-138.

О НЕОБХОДИМОСТИ ПРЕДОТВРАЩЕНИЯ ОШИБОК ПРИ ИСПОЛЬЗОВАНИИ МЕТОДА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ

С.В. Костин

Московский технологический университет (МИРЭА), г. Москва; старший преподаватель кафедры высшей математики Института кибернетики

Аннотация. Отмечается необходимость систематической работы преподавателя по предотвращению ошибок обучающихся при использовании ими метода математической индукции. Приводятся задачи, демонстрирующие типичные ошибки обучающихся, обсуждаются причины возникновения этих ошибок.

Ключевые слова: преподавание математики, метод математической индукции.

В данной статье мы хотели бы поделиться опытом обучения учащихся методу математической индукции и его грамотному и профессиональному использованию для решения задач. К огромному сожалению, школьники и студенты зачастую достаточно формально владеют методом математической индукции и четко не понимают разницы между различными формами этого метода (основной вариант метода математической индукции, сильная индукция, индукция глубины s и др.). Можно констатировать, что при использовании метода математической индукции учащиеся часто допускают как чисто вычислительные и технические, так и (что, пожалуй, даже опаснее) логические и методологические ошибки.

Не вызывает сомнений тот факт, что анализ ошибок, допускаемых обучающимися, а также анализ причин их возникновения совершенно необходим для выработки стратегии преподавания любого конкретного раздела математики, любой конкретной темы. Поэтому в нашей статье мы хотели бы рассмотреть несколько задач, решаемых с помощью метода математической индукции, и на их примере продемонстрировать ряд типичных ошибок, которые встречаются при использовании этого метода. По нашему мнению, рассматриваемые задачи целесообразно предложить учащимся, чтобы они самостоятельно нашли то место в решении, в котором присутствует ошибка.

Мы надеемся, что материалы данной статьи могут быть использованы преподавателями математики школ и вузов в своей практической работе (в частности, при проведении факультативов, школьных и студенческих кружков, подготовке к олимпиадам), для того чтобы помочь учащимся творчески и неформально овладеть методом математической индукции и не допускать досадных ошибок при использовании этого метода. Отметим, что различным аспектам метода математической индукции ранее уже были посвящены статьи автора [3] и [4].

Начнем с весьма простой и поучительной задачи.

Задача 1. Доказать справедливость равенства

(1)

при всех натуральных п. □

Решение. Предположим, что равенство (1) справедливо при п-к, то есть

(2)

Докажем, что тогда равенство (1) будет справедливо также при п = к + \. Имеем:

(3)

Мы получили равенство (1), в котором п заменено на к + 1. Таким образом, справедливость равенства (1) доказана. □ Все ли правильно в приведенном решении?

Разумеется, не все: доказан шаг индукции, то есть доказано, что из справедливости утверждения Р(п) при п = к вытекает справедливость утверждения Р(п) при п = к + \ (иначе говоря, доказана импликация (V&eTV): Р(к) —> Р(к +1) ), но при этом не доказана база индукции, то есть не доказана справедливость утверждения Р(п) при п- \ (иначе говоря, не доказано утверждение Р(\) ).

Но база индукции в данной задаче и не могла быть доказана, поскольку утверждение Р(\) просто не имеет места:

(4)

Следовательно, утверждение о справедливости равенства (1) при всех натуральных п не соответствует действительности. (Более того, можно доказать, что равенство (1) не справедливо ни при одном натуральном п).

На примере этой задачи или на примере каких-либо других задач крайне важно обратить внимание учащихся на то, насколько существенно в методе математической индукции доказательство обоих утверждений: как утверждения базы индукции, так и утверждения шага индукции. В связи с этим полезно напомнить учащимся запись принципа математической индукции на языке логических символов:

(5)

Необходимо обратить внимание обучающихся на то, что проверка справедливости утверждения Р(п) при одном, двух, трех или, скажем, даже десяти первых значениях п не может служить строгим математическим доказательством того факта, что утверждение Р(п) справедливо при всех значениях п. В этой связи полезно обсудить с учащимися следующие две классические задачи.

Задача 2. Доказать, что число п2 + п + 41 является простым при всех натуральных п.

Задача 3. На окружности отметили п точек, после чего каждую пару точек соединили хордой. Доказать, что если никакие три хорды не пересекаются в одной точке, то хорды делят окружность на 2"~х частей.

Утверждение задачи 2 истинно при всех я = 1,2,3, ...,39, но при п = 40 это утверждение оказывается ложным (число 402 +40 + 41 = 1641 является составным, а именно, 1641 = 41-41).

Утверждение задачи 3 истинно при всех п = 1,2,3,4,5, но при /7 = 6 это утверждение оказывается ложным (проверьте, что при /7 = 6 хорды делят окружность не на 32, а на 31 часть!).

Если на примере задачи 1 можно показать учащимся, как важно в методе математической индукции проверить справедливость базы индукции, то на примере задач 2 и 3 можно показать учащимся, как важно в методе математической индукции строго математически доказать шаг индукции. Можно сказать, что база индукции и шаг индукции - это две взаимодополняющие и две одинаково необходимые составляющие метода математической индукции.

Переходим к следующей задаче.

Задача 4. В плоскости Q проведено п прямых а,Ъ,с, причем никакие две из этих прямых не параллельны и не совпадают. Доказать, что все эти прямые проходят через одну точку.

Решение. Воспользуемся методом математической индукции.

База индукции. В случае п = 1 и в случае /7 = 2 утверждение задачи справедливо.

Шаг индукции. Предположим, что утверждение задачи справедливо для /7 = к прямых и докажем, что тогда утверждение задачи будет справедливо также для п = к + \ прямых.

Рассмотрим множество S = {а,Ь,с, ...}, состоящее из к + \ прямых на плоскости Q, причем никакие две из этих прямых не параллельны и не совпадают.

Пусть Р — точка пересечения прямых а и b. Пусть S} = S \ {с} = {a, b,d, ...}.

Множество S" состоит из к прямых, а значит, согласно предположению индукции, все прямые множества S" пересекаются в одной точке. Этой точкой может быть только точка Р пересечения прямых а и b (поскольку а е 5" и b е 5").

Пусть S" = S\{d}={a,b,c9 ...}.

Множество S" состоит из к прямых, а значит, согласно предположению индукции, все прямые множества S" пересекаются в одной точке. Этой точкой может быть только точка Р пересечения прямых а и b (поскольку a<=S" и beS").

Теперь учтем, что S = S'*<jS" (поскольку каждая прямая множества S принадлежит хотя бы одному из множеств S* и S").

Поскольку все прямые множества 5м проходят через точку Р и все прямые множества 5"' тоже проходят через точку Р, мы обязаны сделать вывод, что все прямые множества S проходят через точку Р.

Справедливость утверждения задачи для произвольного множества из к +1 прямых доказана.

Итак, согласно принципу математической индукции, утверждение задачи доказано при всех натуральных п . □

Поскольку доказанное утверждение (о том, что любые п прямых на плоскости, среди которых нет параллельных или совпадающих прямых, проходят через одну точку) противоречит здравому смыслу (три прямые, на которых лежат стороны треугольника, очевидно, общей точки не имеют), то понятно, что где-то в приведенном решении задачи 2 есть ошибка.

Где же она?

Если некоторое время подумать, то в рассуждениях (которые поначалу могут показаться весьма логичными) можно обнаружить слабое звено, а именно, не работает шаг индукции от п-2 к п-Ъ.

Действительно, в случае S = {а, Ь, с} у множества S существует лишь одно подмножество, содержащее прямые а и b, а именно, подмножество {a, b}. Соответственно, мы не можем представить множество S в виде объединения двух различных подмножеств S* и таких, что

|£»| = |£"| = |£|_1 и a,beS\ a,beS".

Отметим, что задачи, похожие на рассмотренную нами сейчас задачу 4, встречаются в литературе в разных вариантах: «доказать, что все числа равны друг другу», «доказать, что все люди одного роста» и т.д. В англоязычной литературе за этой задачей закрепилась формулировка «доказать, что все лошади одного цвета» (в англоязычной Википедии есть даже специальная статья «All horses are the same color»).

Следующая задача взята нами из книги [2] (см. задачу 3 на стр. 46).

Задача 4. Доказать справедливость равенства

(6)

при всех натуральных п. □

Решение. Воспользуемся методом математической индукции. База индукции. В случае п- \ утверждение задачи справедливо, поскольку

(7)

Шаг индукции. Предположим, что равенство (6) справедливо при п = к, то есть

(8)

Докажем, что тогда равенство (6) будет справедливо также при п = к + 1. Имеем:

(9)

Мы получили равенство (6), в котором п заменено на к + 1.

Итак, согласно принципу математической индукции, утверждение задачи доказано при всех натуральных п . □

На первый взгляд, в приведенных рассуждениях все правильно и каких-либо ошибок нет.

Однако давайте подставим в равенство (6), скажем, п = 5. В результате мы получим равенство, левая часть которого равна

(10)

а правая часть равна

(11)

Таким образом (во всяком случае, при /7 = 5), равенство (6) не выполняется.

Как такое может быть? Ведь только что с помощью метода математической индукции мы доказали справедливость равенства (6) при всех натуральных п.

Мы настоятельно советуем преподавателям при обсуждении данной задачи с учащимися не говорить им сразу, в чем причина произошедшего, а дать возможность самостоятельно подумать и попытаться самим найти ошибку в приведенных рассуждениях.

После некоторых размышлений ошибка, разумеется, обнаруживается.

Она заключается в том, что в левой части формулы (8) неправильно написан последний член суммы. Согласно формуле (6), в левой части формулы (8) должно быть написано к слагаемых, а значит, последний член суммы должен быть равен -, а не -. После исправления ситуации, как легко убедиться, уже не удается провести доказательство шага индукции.

Замечание. Равенство (6), как можно доказать, на самом деле справедливо лишь при /7 = 1. При произвольном натуральном значении п справедливо несколько иное равенство, а именно,

(12)

Следующая задача была составлена автором специально для данной статьи. Исходной идеей для составления задачи послужила задача M 481 из «Задачника Кванта» [1, с. 42].

Прежде чем формулировать задачу, введем следующее обозначение: символом S (х) (xeZ>0, p^N) мы будем обозначать сумму р-х степеней всех цифр в десятичной записи числа х.

Иначе говоря, если х = аха2 ...as — десятичная запись числа х (здесь а19 а2, as - цифры), то

Sp(x) = a*+af+...+a;. (13)

Отметим, что число 5, (х) (сумму цифр числа х ) для краткости часто обозначают просто S(x).

Пример: Sx (2016) = 5(2016) = 2 + 0 + 1 + 6 = 9, S2 (2016) = 22 + О2 +12 + + 62 =41, S3(2016) = 23 +03 +l3 +63 =225.

Задача 5. Рассмотрим последовательность [х,]^ такую, что

хх =п9 xi = £2(*,._,)+ 10 при всех />2. (14)

Доказать, что при любом натуральном п последовательность [xf ], начиная с некоторого момента, становится периодической последовательностью со следующим циклом длины 6 (этот цикл может начинаться (после предпериода) с любого из шести присутствующих в нем чисел, не обязательно с числа 90):

90^91^92^95^116^48^90. □ (15)

Решение. Воспользуемся методом математической индукции в том его варианте, который известен как «сильная индукция»:

(16)

База индукции. При п- \ утверждение задачи справедливо: 1^11^12^15^36^55^60^46^62^

^50^35^44^42^30^19^92 (17)

и далее (начиная с числа 92) начинается бесконечное повторение цикла (15) длины 6.

Шаг индукции. Для удобства введем в рассмотрение функцию / : N —> N такую, что

/(x) = S2(x) + 10 при всех xgN . (18)

Докажем следующее утверждение:

(Vx>100): f(x)<x. (19)

Действительно, если число х трехзначное и начинается с единицы (x = ïbc\ то f(x) = l + b2 + с2 + 10<1 + 62 +81 + 10 = Ь2 + 92 < 100 + 106 < 100 + 106 + с = х при всех Ье[0. . 9].

Если число x трехзначное и начинается с цифры а > 2 (х = abc), то f(x) = a2 +Ь2 +с2 +10<a2 +Sl + Sl + 10 = а2 +172 <Ша<Ша + Ш + с = х при всех а е [2. . 9].

Если число X содержит s > 4 цифр (х = я,я2.. .as ), то /(х) = а2 + + я2 + ... + aJ + 10<8b + 10<10*_1 <х при всех se [4. . +оо).

Таким образом, утверждение (19) доказано.

Предположим, что утверждение задачи справедливо при всех п<к. Используя сильную индукцию (16), докажем, что тогда утверждение задачи будет справедливо также при п- к + 1.

Действительно, в силу (19) х2 = f(xl)<x] -п-к + \ =^> х2 < к.

Поскольку х2 < к, то в силу предположения индукции последовательность [yf] с первым членом ух =х2, начиная с некоторого момента, становится периодической последовательностью с циклом (15).

Следовательно, это верно и для последовательности [х, ] (поскольку, как легко доказать с помощью метода математической индукции, при всех г > 2 имеет место равенство xi = yt_x ).

Итак, согласно принципу математической индукции, утверждение задачи доказано при всех натуральных п . □ Все ли верно в этом решении?

Внимательный читатель, по-видимому, достаточно быстро заметит некоторый пробел в приведенном решении, а именно, в решении существенным образом использовалось неравенство х2 <хх. Именно оно позволило нам применить сильную индукцию и свести последовательность с первым членом хх к последовательности с первым членом х2.

Но в том-то все и дело, что неравенство х2 < хх доказано нами лишь при хх > 100. Следовательно, сильная индукция в данной задаче будет работать лишь в том случае, если в базе индукции проверить (на предмет выхода на цикл (15)) не только последовательность с первым членом хх = 1, но также последовательности с первыми членами хх g [2. . 99].

Разумеется, для столь масштабной проверки целесообразно использовать вычислительную технику.

И здесь нас подстерегает неожиданность.

Оказывается, существуют последовательности, которые не выходят на цикл (15)!

Таких исключительных последовательностей (если мы говорим о последовательностях с первым членом хх g [1. . 99] ) всего лишь 4. Это последовательности, у которых первый член равен хх = 23,32,38,83.

Первая и вторая из этих последовательностей выходят на стационарную точку x = 23 (/(23) = 22 + З2 +10 = 23), а третья и четвертая из этих последовательностей выходят на стационарную точку х = 83 (/(83) = 82 + 32 +10 = 83). То есть эти последовательности (сразу или после очень короткого предпериода из одного числа) являются периодическими последовательностями с периодом 1.

Все же остальные 95 последовательностей, у которых первый член хх е[1. . 99], хх ^23,32,38,83, рано или поздно выходят на цикл (15) и становятся периодическими последовательностями с периодом 6.

Таким образом, в приведенном выше решении задачи 4 допущена достаточно грубая ошибка при использовании метода математической индукции (а именно, при использовании того варианта метода математической индукции, который называется сильной индукцией).

Мы постепенно приближаемся к завершению нашей статьи, и кто-то из читателей, возможно, дочитав статью до этого места, скажет: «Что-то все рассмотренные до сих пор примеры носят достаточно искусственный характер. Разве такие грубые ошибки в использовании метода математической индукции на практике встречаются?».

К сожалению, встречаются.

Сейчас мы приведем пример конкретной задачи из книги [5] (см. задачу 2 на стр. 20), в решении которой с помощью метода математической индукции авторами книги [5] была допущена (разумеется, исключительно по недосмотру) достаточно грубая ошибка. (Эта задача предлагалась в 1993 году ученикам 9-го класса на Московской городской математической олимпиаде; автор задачи С. Конягин).

(Мы сочли возможным изложить решение своими словами, но при этом сохраняя суть того решения, которое приведено в книге [5].)

Задача 7. Рассмотрим последовательность [х„]^=1 такую, что хх = 4, х2 = 6 и при всех п > 3 хп — это наименьшее составное число, большее чем 2хп_х - хп_2. Найти х1000 . □

Решение. Выпишем несколько первых членов, а также несколько первых разностей соседних членов последовательности [хп ] :

п

1

2

3

4

5

6

7

4

6

9

14

20

27

35

Хп+\ ~ Хп

2

3

5

6

7

8

. . .

Из таблицы видно (см. числа, выделенные жирным шрифтом), что при 3 < п < 6 имеет место равенство хп+1 -хп = п + 2. Предположим, что это равенство справедливо при всех п > 3. Тогда при п > 4 имеем:

(мы воспользовались формулой для суммы конечного числа членов арифметической прогрессии).

Это были наводящие соображения. Теперь строго докажем справедливость формулы

(20)

Воспользуемся методом математической индукции в том его варианте, который известен как «сильная индукция» (см. выше формулу (16)). База индукции. При п- 4 формула (20) справедлива:

(21)

Шаг индукции. Пусть к > 4. Предположим, что формула (20) справедлива при всех 4 < п < к. Используя сильную индукцию (16), докажем, что тогда формула (20) будет справедлива также при п- к + 1.

Действительно, из определения последовательности [хп] следует, что

(22)

Число - целое, поскольку одно из чисел к + 1 и к + 4 четно, а другое нечетно. Поэтому из неравенства (22) следует, что

(23)

Но число - составное (если к = 21. то -= (2/ +1)(/ + 2), где числа 2/ +1 и / + 2 больше единицы; если к = 21 +1, (£ + 1)(£ + 4) то---= (/ +1)(2/ + 5), где числа / +1 и 21 + 5 больше единицы), поэтому

(24)

Формула (24) — это не что иное, как формула (20) при п = к + \. Итак, согласно принципу математической индукции, формула (20) доказана при всех п > 4.

Теперь не составляет труда ответить на вопрос задачи:

(25)

Задача решена.

В чем же ошибка в этом решении?

Ошибка заключается в том, что в формуле (22) при нахождении разности 2хк - хк_х формула (20) была использована для двух значений п,

а именно, для п = к и для п- к — 1. Поэтому и базу индукции следовало проверять для двух значений п. Либо (что, наверное, было бы еще более правильным) в данной задаче при доказательстве формулы (20) следовало использовать не сильную индукцию, а индукцию глубины 2.

То решение задачи, которое приведено выше, является логически неправильным, поскольку, проверив при доказательстве формулы (20) базу индукции лишь для одного значения /7 = 4, мы не можем сделать самый первый шаг индукции (то есть мы не можем сделать шаг индукции от /7 = 4 к/7 = 5).

Для того чтобы в данной задаче индукция «заработала» и мы «поехали» по множеству натуральных чисел N, базу индукции в данной задаче необходимо проверять для двух значений п .

В этом есть своеобразный парадокс.

На первый взгляд представляется, что сильная индукция (когда справедливость утверждения Р(к + 1) выводится из справедливости всех предыдущих утверждений Р(1),Р(2), ...,Р(к)) - это более мощный инструмент, чем индукция глубины 2 (когда справедливость утверждения Р(к +1) выводится из справедливости лишь двух предыдущих утверждений Р(к) и Р(к-\)).

В принципе, это действительно так, но за одним исключением: при сильной индукции база индукции проверяется только для одного значения п, тогда как при индукции глубины 2 база индукции проверяется для двух значений п.

Таким образом, имея более «сильный» шаг индукции (когда для вывода Р(к + \) можно использовать весь арсенал утверждений Р(1), Р(2), ...,Р(к), а не только последние два из них), сильная индукция проигрывает индукции глубины 2 в том, что она имеет более «слабую» базу индукции.

Видимо, именно это обстоятельство и не учли авторы книги [5], посчитав, что, раз они используют сильную индукцию, то у них все будет

хорошо (поскольку сильная индукция - это один из самых мощных вариантов метода математической индукции). На будущее следует иметь в виду, что сильная индукция - это действительно один из самых мощных вариантов метода математической индукции, но, к сожалению, со «слабой» базой индукции.

Во избежание каких-либо недоразумений отметим, что рассмотренную нами задачу 7 ни в коем случае не следует рассматривать как критику в адрес книги [5] или ее авторов. Мы привели эту задачу исключительно в качестве примера. Более того, если бы книга [5] не была очень интересной и не содержала большого количества оригинальных задач, то автор данной статьи не читал бы ее на досуге и, соответственно, данная статья вообще бы не появилась.

Подведем итог нашей статьи.

В задачах 1, 2, 3, 4, 5 мы рассмотрели ошибки при использовании стандартной формы метода математической индукции, а в задачах 6 и 7 мы рассмотрели ошибки при использовании «сильной индукции». По нашему мнению, эти и подобные им задачи совершенно необходимо подробно обсуждать и анализировать совместно с учащимися, разъясняя им смысл метода математической индукции и приучая их к сознательному и грамотному использованию этого метода. Только совместная познавательная творческая деятельность учащихся и педагогов позволит достичь желаемых результатов образовательного процесса.

Автор надеется, что данная статья заинтересовала читателей, и будет очень благодарен за любые комментарии или замечания по затронутым нами вопросам.

Библиографический список

1. Квант.- 1978. -№ 10.

2. Кнут Д. Искусство программирования. - Т. 1. Основные алгоритмы. - 3-е изд. - М.: Вильямс, 2009. - 720 с.

3. Костин С.В. Возможности и ограничения метода математической индукции // Бесконечномерный анализ, стохастика, математическое моделирование: новые задачи и методы. Проблемы математического и естественнонаучного образования: сборник статей международной конференции. - М.: РУДН, 2015. - С. 422-430.

4. Костин С.В. О необходимости обучения школьников и студентов различным формам метода математической индукции // Образование, наука и экономика в вузах и школах. Интеграция в международное образовательное пространство: труды международной научной конференции. - М.: РУДН, 2015. - С. 291-296.

5. Федоров Р.М., Канель-Белов А.Я., Ковальджи А.К., Ященко И.В. Московские математические олимпиады 1993-2005 г. / Под ред. В.М. Тихомирова. - 2-е изд., испр. и доп. - М.: МЦНМО, 2008. - 464 с.

МЕТОДИКА ИСПОЛЬЗОВАНИЯ МУЛЬТИМЕДИЙНЫХ ПРЕЗЕНТАЦИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ХИМИЧЕСКОГО ФАКУЛЬТЕТА

Ю.В. Абраменкова

Донецкий национальный университет, г. Донецк; старший преподаватель

Аннотация. В статье освещается опыт создания мультимедийных презентаций, предназначенных для поддержки курса математики на химическом факультете. Методика применения мультимедийного сопровождения рассматривается на примере темы «Интегральное исчисление функции одной переменной».

Ключевые слова: обучение математике, мультимедиа, презентация, информационно-коммуникационные технологии, первообразная, интеграл.

Сегодня в условиях стремительного развития информационно-коммуникационных технологий (ИКТ), изменения структуры и содержания высшего профессионального образования особое значение приобретает подготовка будущих специалистов к полноценной жизни в современном информационном обществе. В последнее время наблюдается уменьшение времени, отводимого на изучение дисциплин, а требуемый объем знаний, которым должен овладеть студент для полноценной и плодотворной профессиональной деятельности, наоборот увеличивается. В связи с этим перспективным направлением является использование в процессе обучения математике информационно-коммуникационных технологий.

На наш взгляд, особое внимание заслуживают такие программно-методические средства ИКТ, как демонстрационные программы, в частности мультимедийные презентации.

Следует отметить, что современное обучение невозможно представить без технологий мультимедиа. Они позволяют использовать информацию, представленную в различных видах: текст, схемы, таблицы, диаграммы, иллюстрации, фотографии, звук, видео, анимацию и т.п. Особенностью мультимедийных презентаций является их особая насыщенность содержанием и интерактивность, то есть способность активно и адекватно реагировать на действия пользователя.

Проблема широкого применения мультимедиа и мультимедийных технологий, в частности мультимедийных презентаций, в сфере образования в последнее время вызывает повышенный интерес в педагогической науке. Вопросами создания и использования средств ИКТ и мультимедиа учебного назначения занимались Г.О. Аствацатуров, А.Г. Барышкин, И.В. Белицин, Ю.Н. Егорова, С.Н. Зарипов, О.А. Мищенко, О.Г. Моляни-

нова, Н.А. Резник, Е.И. Скафа и другие. Г.О. Аствацатуров определяет мультимедиа как собирательное понятие, обозначающее многообразие технологий и форм взаимодействия визуальных и аудиоэффектов под управлением интерактивного (совместного) программного обеспечения, то есть эффективного информационного взаимодействия [1].

Под мультимедийными средствами обучения А.А. Кириченко [7] понимает дидактические средства, характеризующиеся комплексной организацией учебной и научной информации, обеспечивающие интерактивное и непрерывное взаимодействие субъектов обучения между собой и позволяющие оперативно и качественно управлять индивидуальной учебно-познавательной и профессионально ориентированной деятельностью при обучении студентов.

Е.О. Иванова и И.М. Осмоловская под мультимедийными презентациями понимают средство рефлексивного представления полученных результатов учебно-познавательной деятельности, образовательный продукт, состоящий из набора слайдов, на которых информация предъявляется в виде текста, изображения, аудио- и видеоматериалов [6].

Одним из самых распространенных программных продуктов, позволяющих создавать мультимедийные презентации, является программа Microsoft PowerPoint. С одной стороны, она является достаточно простым программным обеспечением, не требующим от преподавателя специальных знаний, с другой - для ее демонстрации необходим минимальный набор технических средств (например, компьютер, проекционный экран и проектор и т.п.).

Как считают А.Г. Барышкин, Т.В.Шубина, Н.А. Резник [2], А.Н. Вернигора [3], Т.Н. Губина [5], Е.И. Скафа, О.В. Тутова [8], И.Н. Гридчина и др. [4], использование мультимедийных презентаций имеет следующие основные преимущества:

- допускает использование цветной графики, анимации, звукового сопровождения, видеоматериалов, гипертекста, что позволяет сделать изложение учебного материала ярким и наглядным;

- дает возможность размещения в них интерактивных web-элементов, например, тестов или рабочей тетради;

- допускает возможность нелинейности прохождения материала благодаря множеству гиперссылок;

- предоставляет возможность демонстрировать динамические процессы и интерактивные модели;

- объединяет устный теоретический материал с демонстрацией презентации, что позволяет концентрировать внимание студентов на особо важных моментах учебного материала;

- позволяет студентам использовать учебный материал в виде презентационных программ при самостоятельной работе;

- является одной из форм проектной деятельности студентов;

- способствует повышению мотивации, увеличению интереса к обучению, активизирует учебно-познавательную деятельность студентов;

- способствует формированию ИКТ-компетентности и др.

Рассмотрим методику использования в обучении математике студентов-химиков мультимедийных презентаций по теме «Интегральное исчисление функции одной переменной».

Дисциплина Математика является необходимым фундаментальным курсом подготовки будущих специалистов-химиков. Главными задачами курса являются:

- усвоение основных методов и приемов математики, необходимых для изучения естественнонаучных дисциплин, изучающихся на химическом факультете;

- формирование у студентов общематематической культуры: умения логически мыслить, проводить доказательства основных утверждений и т.д.;

- подготовка к самостоятельному изучению тех разделов математики, которые потребуются специалистам-химикам в их профессиональной деятельности.

Студенты должны знать:

- фундаментальные разделы математики; основные понятия и факты изучаемых математических теорий, их взаимосвязь и связь с другими дисциплинами;

- основные методы решения задач. Студенты должны уметь:

- применять полученные знания для анализа основных задач, типичных для естественнонаучных дисциплин;

- составлять и исследовать математическую модель прикладной задачи, приводить ее решения к практически допустимому результату;

- пользоваться математическими справочниками и другой литературой и самостоятельно изучать дополнительные разделы математики.

Студенты должны владеть:

- математическим аппаратом, используемым в исследуемых моделях;

- приемами решения основных задач, типичных для естественнонаучных дисциплин.

Одной из важных тем курса математики является тема «Интегральное исчисление функции одной переменной», позволяющая исследовать математические модели многих химических, физических, биологических и других процессов. В химии интегралы используются для нахождения количества вещества, вступившего в реакцию, расчета изменения термодинамических функций, например, теплового эффекта при нагревании, расчета средних значений физических величин в квантовой химии, для решения дифференциальных уравнений кинетики и термодинамики и т.д. В связи с этим студенты должны не просто овладеть математическим аппаратом

по данной теме, но и уметь его применять при решении своих профессионально ориентированных задач.

На изучение темы «Интегральное исчисление функции одной переменной» предлагается только 32 аудиторных часа, что является недостаточным для изучения данной темы.

Очевидной стала необходимость пересмотра подходов к изучению курса математики для химических факультетов классических университетов, организации самостоятельной работы студентов, изменения учебно-методического обеспечения. Исходя из этого, предлагаем при обучении математике студентов-химиков использование комплекса мультимедийных презентаций. Рассмотри его более подробно.

Разработанный нами комплекс мультимедийных презентаций содержит:

- мотивацию: знакомство студентов с первообразной, интегралом;

- историческую страничку: некоторые факты из истории зарождения и развития интегрального исчисления;

- теоретический материал: понятие первообразной; таблица и свойства первообразных; физический, геометрический и химический смысл первообразной; определенный, неопределенный и несобственный интегралы; основные методы интегрирования;

- систему задач на усвоение темы: задачи с подробным решением, иллюстрирующие применение изучаемого теоретического материала; решение некоторых профессионально ориентированных задач по изучаемой теме;

- контроль по теме: самопроверка студентов с помощью тестовых заданий.

Содержание комплекса представлено в виде списка презентаций, по которому пользователь может осуществлять навигацию (рис.1). Каждый пункт содержания представлен в виде управляющей кнопки, с помощью которой происходит переход на интересующий материал.

Важную роль в обучении математике играет систематическое использование исторического материала, который повышает интерес к изучению математики, пробуждает критическое отношение к фактам, дает студентам представление о математике как неотъемлемой составляющей общечеловеческой культуры. Именно поэтому мы и включили в разработанный комплекс презентацию исторического содержания.

Рис. 1. Фрагмент страницы содержания программы

Кликнув кнопку «Историческая страничка», студент переходит на соответствующую презентацию (рис. 2), содержащую краткую информацию об истории зарождения и развития интегрального исчисления, происхождении некоторых терминов и обозначений и об известных математиках, внесших большой вклад в развитие данного направления.

Рис. 2. Пример слайда презентации «Историческая страничка»

Основой изучения любой темы является теоретический материал. Следует отметить, что теоретический материал по теме «Интегральное исчисление функции одной переменной», с целью легкого и быстро доступа к необходимой информации, нами разбит на темы «Первообразная», «Неопределенный интеграл» и «Определенный интеграл» (рис.3), которые в свою очередь также делятся на подтемы (рис.4). Каждая такая подтема содержит как теоретическую информацию, так и примеры решения задач по соответствующему направлению.

Рис. 3. Слайд содержания теоретического материала по теме «Интегральное исчисление функции одной переменной»

Рис. 4. Содержание презентации по теоретическому материалу подтемы «Первообразная»

Рассмотрим, например, первую подтему мультимедийной презентации «Первообразная». Цель данного пункта заключается в подведении под понятие первообразной, объяснении необходимости нахождения первообразной функции на примере задачи, а также в первичном закреплении навыка нахождения первообразной функции. Введение понятия первообразной основывается на ее физическом смысле: по известной скорости прямолинейного движения материальной точки восстановить закон ее движения. Аналогично рассматривается и задача химического содержания (рис.5): если известна скорость v = v(7) протекания химической реакции, показывающая количество вещества, реагирующего в единицу времени, то законом реакции будет функция m = m(t} такая, что = v(7).

Рис. 5. Фрагмент подтемы «Введение в первообразную»

Следует также отметить, что помимо «подведения под понятие» данная подтема носит и мотивационный характер.

В разделе «Примеры решения задач» представлены основные (типовые) задачи по изучаемой теме с подробным решением и пояснением (рис.6).

Рис. 6. Содержание презентации «Примеры решения задач»

В данном разделе рассмотрены задачи на:

- непосредственное нахождение первообразной (с помощью таблицы и свойств первообразной);

- физический и геометрический смысл первообразной;

- нахождение неопределенного интеграла (рассмотрены примеры решения задач с помощью метода непосредственного интегрирования, метода замены переменной, метода интегрирования по частям; некоторые

примеры интегрирования рациональных, тригонометрических и иррациональных функций);

- вычисление определенного интеграла (с помощью формулы Ньютона-Лейбница, метода интегрирования заменой переменной, метода интегрирования по частям; несобственные интегралы);

- геометрические и физические приложения определенного интеграла (вычисление площадей плоских фигур, длины дуги плоской кривой, объема тела, площади поверхности вращения; механические приложения определенного интеграла);

- химическое приложение интегрального исчисления (нахождение количества вступившего в химическую реакцию вещества; инверсия Сахаров; изменение концентрации раствора и др.).

Для организации самоконтроля и самокоррекции студентов по изучаемой теме мультимедийная презентация содержит раздел «Тесты для самопроверки», разработанные в программе MyTest (рис.7).

Рис. 7. Фрагмент теста по теме «Интегрирование по частям»

Предложенный комплекс тестов также классифицирован по циклам:

- вопросы теоретического характера (знание основных определений, свойств, формул и правил по теме; знание таблицы первообразных);

- непосредственное нахождение первообразных и интегралов;

- интегрирование с помощью замены переменной;

- интегрирование по частям;

- вычисление несобственных интегралов;

- физический и геометрический смысл интеграла.

Итак, данный комплекс мультимедийных презентаций максимально охватывает материал по теме «Интегральное исчисление функции одной переменной»: от занимательной информации для мотивации к изучению темы, структурированного и обобщенного теоретического материала до закрепления изученного материала (на примерах с подробным решением)

и контроля знаний студентов по теме. Рассмотрим методику применения комплекса мультимедийных презентаций по теме «Интегральное исчисление функции одной переменной» для студентов химического факультета при обучении математике.

Методическое значение данных разработок достаточно велико. Презентации большей частью созданы для проведения аудиторных занятий по изучаемой теме. Причем материал подобран многообразный, полностью охватывающий тему и может быть использован на различных этапах занятий: от введения нового материала до закрепления знаний, умений и навыков по теме.

На первом этапе работы с данными мультимедийными презентациями преподаватель должен мотивировать необходимость работы студентов с ними и, самое главное, с темой «Интегральное исчисление функции одной переменной». Для этого на первом лекционном занятии можно продемонстрировать студентам или «Историческую страничку», или подтему теоретического материала «Введение в первообразную». В данном пункте рассматривается решение физической и химической задач, обратных к тем, которые привели к понятию производной.

Далее на лекционных занятиях для изучения нового материала преподаватель может воспользоваться разделом «Теоретический материал», который содержит помимо всей необходимой теоретической информации по теме и примеры решения задач. Если представленных задач будет недостаточно, то можно воспользоваться предложенными в разделе «Примеры решения задач».

В основном цикл мультимедийных презентаций «Примеры решения задач» предназначен для обучения студентов решению основных типовых задач по теме «Интегральное исчисление функции одной переменной». Данные презентации можно использовать как на практических занятиях по курсу, так и самостоятельно каждым студентом дома.

Раздел «Тесты для самопроверки» разработан, в первую очередь, для самостоятельной и индивидуальной работы студентов с ними, но может быть применен преподавателем и на практических занятиях при закреплении изучаемого материала.

Также данные мультимедийные презентации можно использовать для самостоятельной работы студентов по теме «Интегральное исчисление функции одной переменной», например:

- для самостоятельного изучения некоторых разделов темы (в связи с недостаточным количеством аудиторных часов на изучение темы);

- для систематизации и обобщения изучаемого материала;

- для подготовки к промежуточному и итоговому контролю и т.д.

Опыт использования данного комплекса мультимедийных презентаций свидетельствует об эффективности его применения при обучении математике студентов химических специальностей: использование данных

разработок способствует лучшему усвоению абстрактных математических понятий, умению применять изученный материал при рассмотрении профессионально ориентированных задач, также возрастает мотивированность к изучению темы, повышается активность студентов, активизация их учебно-познавательной деятельности.

Библиографический список

1. Аствацатуров Г.О. Дизайн мультимедийного урока: методика, технологические приемы, фрагменты уроков. - Волгоград: Учитель, 2009. - 133 с.

2. Барышкин А.Г., Шубина Т.В., Резник Н.А. Компьютерные презентации на уроке математики // Компьютерные инструменты в образовании. - 2005. - № 1. - С. 62-70.

3. Вернигора А.Н. Мультимедийные презентации как средство обучения // Известия ПгПу им. В.Г. Белинского. - 2011. - № 25. - С. 706-709.

4. Гридчина И.Н., Саввина О.А., Щербатых С.В. Информационные технологии как средство гармонизации преподавания математических и специальных дисциплин // Педагогическая информатика. - 2009. - № 1. - С. 61-66.

5. Губина Т. Н. Мультимедиа презентации как метод обучения // Молодой ученый. -2012.-№3.-С. 345-347.

6. Иванова Е.О., Осмоловская И.М. Теория обучения в информационном обществе. -М.: Просвещение, 2011. - 190 с.

7. Киченко А.А. Teaching Effectively with Multimedia Presentations: учеб. пособие для преподавателей английского языка неязыковых вузов. - М.: Изд-во МГГУ им. М.А. Шолохова, 2010. - 34 с.

8. Скафа O.I. Евристичне навчання математики: комп'ютерно-орієнтовані уроки : навч.-метод. посібник (друге видання) / O.I. Скафа, О.В. Тутова. - Донецьк: ДонНУ, 2013.-399 с.

ТЕКСТОВЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В КИМ ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ: ПРОБЛЕМА ИЛИ РЕЗУЛЬТАТ?

Н.В. Черноусова

Елецкий государственный университет им. И. А. Бунина, г. Елец, кандидат педагогических наук, доцент кафедры математики и методики ее преподавания

Аннотация. В статье проанализированы проблемы, связанные с трудностями в составлении поиска решения текстовых алгебраических задач в школьном математическом образовании и, в частности, в едином государственном экзамене по математике.

Ключевые слова: текстовые задачи, ЕГЭ по математике, поиск решения задачи, таблица принятия задачи.

Текстовые задачи традиционно присутствуют в итоговых контрольных работах по математике. Некоторое время в Едином государственном экзамене текстовые задачи были под номером 13. Случайность? Суеверие?! Оставим эти вопросы без ответов и перейдем к фактам.

В КИМ ЕГЭ по математике 2015 года профильного уровня «задания 6, 8 первой части и задания 10, 13, 14, 15, 17, 20 и 21 второй части - это задания разного уровня сложности по алгебре, включая задания на составление математических моделей в виде уравнений или неравенств, а также задания по элементам математического анализа, призванные проверить базовые понятия анализа и умение применять стандартные алгоритмы при решении задач» [3].

Несмотря на заверения составителей КИМов о том, что задание на решение текстовой алгебраической задачи является стандартной задачей на составление уравнений курса алгебры 8 класса, имеет целью проверку базовых понятий, умений применять стандартные алгоритмы, результаты неутешительны. Выполнение 50%. На протяжении ряда лет характерно, что доля участников ЕГЭ, верно решающих такие задачи, практически неизменна и почти совпадает с долей тех, кто решает эти задачи в 8 или 9 классе.

Кластерный анализ результатов экзамена позволяет его разработчикам выделять «причины указанной проблемы:

- недостаток внутренней мотивации;

- системные недостатки в преподавании;

- отсутствие системы выявления и ликвидации пробелов в осваиваемых математических компетенциях;

- отсутствие системной поддержки углубленного математического образования;

- отсутствие действительного разделения обучения математике на базовое и профильное в 10-11 классах, что провоцирует низкую эффективность уроков;

- отсутствие во многих регионах системной работы по развитию математического таланта учащихся» [3];

и даже

- «недостаточная квалификация педагогов, в том числе предметная (неумение решать задачи)» [3].

Математика как учебный предмет характеризуется той особенностью, что для овладения глубокими и прочными знаниями необходимо прорешать большой объем задач. И не просто их случайных наборов, а определенных систем. Педагогически обоснованных и методически грамотных.

То, что многие учащиеся затрудняются с решением текстовых алгебраических задач, определено отсутствием не только умения, но даже стремления полностью выделить условие и требование задачи, необосно-

ванностью выводов при решении, нежеланием осуществлять поиск решения задачи. Выпускники затрудняются составить уравнение по тексту задачи, а зачастую и решить его, не умеют выделять в задаче условие и заключение, не умеют проводить анализ данных, что, в свою очередь, затрудняет выполнение поиска решения задачи.

«В курсе школьной математики рассматривают два основных способа решения текстовых задач: арифметический и алгебраический. Арифметический способ состоит в нахождении значений неизвестной величины посредством составления числового выражения и подсчета результата. Алгебраический способ основан на использовании уравнений и систем уравнений, составляемых при решении задач. В связи с этим текстовые задачи, решаемые алгебраическим способом, называют текстовыми алгебраическими задачами» [2].

Следует обратить внимание учащихся на то, что при всем многообразии существующих задач, «текстовые алгебраические задачи на составление уравнений имеют ярко выраженный тематический признак. Это задачи на равномерное движение тел (v • t = S), на совместную работу (N -1 = А), на определение массы тела (р • v = m), на площади (/ • h = s\ на стоимостные отношения (т • п = S) и др.» [2]. Однако следует отметить главное: способ решения этих задач один и тот же, так как «одинакова функциональная зависимость между физическими величинами, содержащимися в задаче, и она может быть выражена в общем виде равенством а • b = с» [2]. Различными представляются лишь методические подходы к обучению поиску решения задач.

Как доказывает практика, наиболее эффективным способом поиска решения текстовых алгебраических задач является таблица. Таблица-матрица выполняет функцию моделей двух отношений: система вертикальных и горизонтальных связей таблицы направляет решающего на выполнение операций при поиске искомого. В зависимости от числа ситуаций она может иметь один вид связей - горизонтальный или вертикальный, или два вида связей: и горизонтальный, и вертикальный. Табличная форма записи наиболее понятна при решении текстовых алгебраических задач, и по тому, как оформлена соответствующая таблица, можно судить, понял ли ученик математический смысл задачи или нет.

В качестве примера проследим процесс поиска решения текстовой задачи, приведенной в образце варианта досрочного ЕГЭ по математике 28 марта 2016 года (профильный уровень) [1]. В 2016 году в структуре заданий КИМ ЕГЭ по математике произошли совсем небольшие изменения. В основном они коснулись нумерации задач.

Задача 11. Первая труба заполняет бассейн за 7 часов, а две трубы вместе - за 5 часов 50 минут. За сколько часов заполняет бассейн одна вторая труба?

По результатам анализа задачи школьники заполняют таблицу принятия данной задачи:

Величины

Совместная работа

1 труба

2 труба

Производительность, раб/ч

?

?

Время, ч

35/6

7

Объем выполненной работы

1

1

1

С какими «проблемами» встречаются школьники при поиске решения этой несложной задачи?

Во-первых, обозначение объема выполненной работы за 1 (единицу). Как этому научить? Ответ напрашивается сам: только прорешав немалое количество задач, школьник сможет ассоциировать объем с 1 (единицей), даже не вдумываясь в содержание. Да, мы снова придем к словам классика: «.. .и опыт - сын ошибок трудных».

Во-вторых, перевод единиц измерения.

В-третьих (или во-первых?) - заставить себя нарисовать таблицу, внести данные и выполнить действия с дробями, а не отступить от решения задачи, сформулировав привычный тезис: «Текстовые задачи я не понимаю».

На наш взгляд, проблема имеет общий характер. Отсутствие системности методического обеспечения математики как учебного предмета, отрицание достижений в методических разработках педагогов российской школы, стремление к минимизации математических знаний находят свое отражение в проблемах частной методики. И текстовые задачи - не исключение, а достаточно яркий пример того, что школьники теряют стремление думать, а учителя - учить. Происходит нарушение триединства процесса обучения = процесс преподавания + содержание обучения + деятельность ученика.

Библиографический список

1. Досрочный ЕГЭ 28 марта 2016. Образец варианта. Профильный [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://http://alexlarin.net/ege/2016/280316.html. - Загл. с экрана. -(05.04.2016).

2. Крупич В.И. Теоретические основы обучения решению школьных математических задач. - М.: Прометей, 1995. - 210с.

3. Ященко И.В., Семенов А.В., Высоцкий И.Р. Методические рекомендации для учителей, подготовленные на основе анализа типичных ошибок участников ЕГЭ 2015 года. - М.: ФИПИ, 2015.-20 с.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ЗНАНИЕ В СОЦИАЛЬНО-КУЛЬТУРНОМ КОНТЕКСТЕ РАЗВИТИЯ1

А.Ю. Рогачева

Елецкий государственный университет им. И.А.Бунина, г. Елец; магистрант института математики, естествознания и техники (Научный руководитель: проректор по учебной работе, доктор педагогических наук, профессор кафедры математики и методики ее преподавания С.В. Щербатых)

Аннотация. Настоящая статья посвящена рассмотрению математического знания в области социальной и культурной спецификации развития. В статье устанавливается закономерность между развитием математического знания и структурой знания в социальных науках. Математическое знание характеризуется через социально-культурные факторы развития. Дается представление о «культурной» природе математики.

Ключевые слова: математика, культура, развитие.

В связи с современной концепцией развития образования совершенно по-другому стали определены задачи в работе учителей общеобразовательных школ - теперь, кроме формирования предметных знаний и умений, необходимо вырабатывать общекультурные и социально значимые основы получаемого багажа знаний. Сильным потенциалом, существенно улучшающим факторы развития и воспитания школьников, обладает математика. Для того чтобы ученики получали и максимально усваивали математические знания, педагогу необходимо выполнять ряд требований, среди которых [1]:

- воспитание представления о математике как о важном компоненте человеческой культуры;

- обучение схемам мыслительной деятельности;

- организация учебного процесса, соответствующая образовательным потребностям;

- учет логики развития и практических нужд при построении методики изучения конкретных математических понятий и алгоритмов;

- совершенствование своей профессиональной деятельности.

При этом математическое знание как одна из форм существования и систематизации результатов познавательной деятельности человека [4,

1 Исследование выполнено при финансовой поддержке РГНФ и администрации Липецкой области. Проект «Теория и практика формирования стохастической культуры учащихся общеобразовательной школы средствами новых инфокоммуникационных технологий (на примере Липецкой области)» № 15-16-48002.

с. 392] предполагает глубокое понимание самого предмета математики, умелое обращение с ним и использование в профессиональной деятельности.

Вопрос о социальной природе наук, в том числе и математики, был поставлен давно. Первым, кто задумался об этом, был К. Маркс [2, с. 15].

Каково же математическое знание в социально-культурном контексте развития? Ответить на этот вопрос можно, если:

- установить закономерность (или связь) между развитием математического знания и структурой знания в социальных науках;

- описать «культурную» природу математики.

Выявлено, что структура знания в социальных науках придерживается уровневой организации и включает 4 разновидности знаний [3, с. 152-157]: чувственное, эмпирическое, теоретическое, ценностное.

Чувственное знание характеризуется через наблюдение и восприятие:

- взаимодействий;

- истории общества;

- общественных отношений;

- практической деятельности;

- социальных систем.

Эмпирическое знание включает социальные факты и законы, представляющие собой обобщенное описание социальных наблюдений и восприятий на эмпирическом языке.

Теоретическое знание предполагает теоретическую репрезентацию социальных фактов и эмпирических законов общества, их истолкование по определенной ценностной системе.

Ценностное знание - построение, обосновывающее цели и принципы организации и эволюции общества, включающее философскую рефлексию и собственную формулировку.

Вышеперечисленные разновидности социального знания описываются и обосновываются с помощью логических процедур и математического языка - конкретного логико-математического знания.

Математическое знание сосредотачивает в себе: элементы философии, математическое творчество, потребности практики, логику, искусство, естественные и технические науки, а также прежде накопленные математические знания.

Развитие математического знания не является последовательным процессом накопления и разрастания науки, а представляет собой противоречивый и сложный путь духовного поиска, с ошибками, отступлениями, революционными потрясениями. Не исключается и длительное попятное движение назад. Математическое знание, наряду с искусством и политическим строем, есть явление общественного сознания. Математическое

знание - феномен человеческой культуры, развивающийся согласно индивидуальным закономерностям [2, с. 16].

К закономерностям, или тенденциям, развития математического знания в настоящее время относят [3, с.152-157]:

- абстрактность;

- алгоритмизацию, конструктивизацию и компьютеризацию знаний;

- многочисленные способы введения и построения теорий, логику их обоснования;

- целостность математического знания;

- формализацию математических теорий;

- единые основания математических наук;

- взаимосвязь математики с другими науками и усиление взаимосвязи;

- ориентацию современной математики на решение фундаментальных практических и социальных проблем, рост ориентации;

- общие закономерности развития научного знания.

В чем заключается «культурная» природа математики? Оказывается, что математическое знание представляет собой соотносительное, корреляционное понятие рациональной человеческой природы [2, с. 20]. Математика программирует направления и потенциал культурного развития человечества.

Имеет место и обратное явление, заключающееся в социально-культурной обусловленности самого математического знания. Развитие математики невообразимо без всеобщего развития культуры, так как математическая мысль - это ее производная в сложном комплексе работ. Неоднозначно и предположение о том, что развитие культуры предполагает синхронное развитие математического знания. Общепринято: математика идет вперед благодаря особенному типу и характеру культурного развития, но математическому знанию находится место только в «рациональной» культуре.

Среди социально-культурных факторов развития математического знания выделяют два комплекса: социальный и культурный [2, с. 30-35].

Социальный комплекс имеет основные структурные компоненты, или социальные сферы: социальное управление - политическую систему, материальное воспроизводство - экономическую систему, социально-культурное воспроизводство - систему образования, социальные институты - систему гражданского общества. К компонентам социальной динамики, которые также включаются в социальный комплекс, относят: процессы социальной трансформации и коммуникационные процессы.

Культурный комплекс охватывает основные системные сферы культурного творчества и системные основания. Системные сферы - это наука, религия, искусство, право. Системные основания - это ценности, традиции, обычаи, язык.

Одному из внешних факторов, оказывающих опосредованное влияние на развитие математического знания, придается очень большое значение. Этот фактор - экономическая система. Материальное производство, являясь главным стимулом возникновения математического знания, требует от наукоемкости производства стабильного роста и при выполнении этого условия приобретает колоссальное значение. В сфере жизнеобеспечения математическая природа выражается через отношения денежного обмена. Компьютеризация экономики максимально увеличила значение фактора материального производства.

Система социализации, или система культурного воспроизводства общества, - следующий по значению фактор развития математического знания, который опирается на систему образования. Математическое знание, не передающееся элементарными механизмами социализации, предполагает обучение, с чем тесно связана одна из предпосылок развития математики - возможность ее институализации. Данная возможность зависит от развитости социальных институтов и институтов гражданского общества. Математика развивается и приобретает планомерный характер в связи с формированием научной деятельности, информационного обмена, институциональных форм образования и формы взаимодействия социальных институтов. Факты из истории математики показывают, что успехи развития математической науки связаны с поддержкой государства и с формированием бюрократии. Вследствие этого не следует опускать на второй план политические предпосылки развития математического знания.

Внешние детерминанты развития математического знания связаны и с социально-культурной динамикой. Процессы социальной трансформации описывают изменения социальной структуры общества. Среди процессов особо выделяют модернизационные и инновационные процессы. Математическое знание развивается в рамках процесса европейской модернизации, а современные коммуникационные процессы стимулируют овладение пространством и временем и инициируют обмен информационными ресурсами между людьми и институтами. Информационная емкость общества становится определяющей в развитии математического знания.

Детерминанты культурного измерения жизни устанавливают границы, в которых происходит формирование математических понятий, характеризуют мышление определенной эпохи, подготавливают сформировывающиеся идеи математической науки. Религиозные основания культуры определяют фундаментальные мировоззренческие черты и черты менталитета. Искусство - менее фундаментальное, но не менее значимое культурное основание, овладевающее пространством и временем. Среди начальных стимулов возникновения математики можно отметить развитие музыки и архитектуры, а игровая природа математики сама по себе - приближение к искусству. Мораль и право оказывают менее очевидное влияние на развитие математики: определяют лишь глубину и структуру общественных взаимодействий, способствуют или препятствуют формализации культурного мира социума.

Такие культурные константы, как ценности и традиции, составляют отдельный блок в анализе культурных детерминант. Ценности задают ориентиры развитию общества, вследствие чего математические революции происходят из-за эпохальных изменений в системе общественных отношений. Таким же функционалом обладают и традиции, оказывающие стимулирующее или понижающее воздействие на интерес к рационализации жизненного мира. Язык, являясь также основной культурной константой, представляет собой инструмент развития человеческой мысли: строит предпосылки для появления математических понятий и математического языка. Мифологические компоненты общественного сознания, включенные в обычаи, составляют основу социальных связей на уровне языкового общения. Одной из предпосылок развития математического знания является процесс демифологизации человеческого сознания, отвечающий за рационализацию культуры.

Наряду с параметрами социальной динамики стоит измерение культурной динамики. Изменения, происходящие в культурном комплексе, не всегда сопровождаются видимыми социальными изменениями, нередко отсутствует даже совпадение в направлении этих изменений. Определение данной корреляции - значительная составляющая социально-культурного анализа. Частью процесса культурной динамики стала эволюция математики, подвергающаяся анализу в описании культурных изменений.

Вышерассмотренные параметры развития математического знания -внешние детерминанты развития науки. Внутренние стимулы математики вызывают, конечно же, наибольший интерес в социально-культурном анализе, однако их можно считать внутренними только в том случае, если они имеют принадлежность к самой природе математического знания и представляют собой результат ее собственного развития. Установлено: внутренние источники заключены в математической сфере, а рационализация и выход на обсуждение фундаментальных принципов и начал развития математического знания происходят в сфере философской мысли.

Библиографический список

1. Власова И.Н, Магданова И.В. Образовательный проект «Историко-культурный контекст преподавания математики в школе» // Педагогическое образование в России. -2013.-№2.

2. Игнашов С. Социально-культурные факторы развития математического знания. -М.: Директ-Медиа, 2013. - 163 с.

3. Лебедев С.А. Философия науки: Учеб. пособие для магистров. - М.: Изд-во Юрайт, 2013. - 288 с. - Серия: Магистр.

4. Новейший философский словарь: 3-е изд., исправл. - Мн.: Книжный Дом, 2003. -1280 с. - (Мир энциклопедий).

ДИДАКТИЧЕСКИЕ ВОЗМОЖНОСТИ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ ПРИ ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ (СТОХАСТИКЕ) В СТАРШИХ КЛАССАХ1

К.Г. Лыкова

Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина, г. Елец; магистрант института математики, естествознания и техники (Научный руководитель: проректор по учебной работе, доктор педагогических наук, профессор кафедры математики и методики ее преподавания С.В. Щербатых)

Аннотация. В статье рассматривается дидактический потенциал применения информационных технологий в процессе обучения, востребованность информационных средств для создания благоприятных учебных условий.

Ключевые слова: информационные технологии, мультимедиа-технология, моделирующие программы, стохастика.

Для современного этапа развития общества отличительной чертой стал ускоряющийся с каждым годом темп развития информационных технологий, проникших и качественно изменивших все сферы жизнедеятельности. Причем эти изменения обусловлены резким увеличением значимости информации, ростом технологических возможностей ее владения. В связи с удвоением объема информации, которое происходит через каждые два года, повышается материальная и духовная зависимость человека от информации. Лидерство захватили информационные и коммуникационные технологии, так как период устаревания знаний сокращается в сравнении с периодом обучения человека. Поэтому в современном образовании одной

1 Исследование выполнено при финансовой поддержке РГНФ и администрации Липецкой области. Проект «Теория и практика формирования стохастической культуры учащихся общеобразовательной школы средствами новых инфокоммуникационных технологий (на примере Липецкой области)» № 15-16-48002.

из важнейших задач является рационализация интеллектуальной деятельности учащихся с применением информационно-коммуникационных технологий. Происходящие изменения требуют обновления форм организации обучения, сочетающих инновационные решения с доступностью качественного образования.

Влияние информационных технологий в настоящее время просто колоссально. Произошло усовершенствование большинства отраслей жизнедеятельности общества (медицины; энергетики; финансовой, социальной сферы; образования и пр.) за счет активного использования информационных технологий.

Тенденция применения информационно-коммуникационных технологий составляет одно из основных положений «Концепции Федеральной целевой программы развития образования на 2016-2020 годы», главной задачей, которой является повышение эффективности образования путем внедрения технических инноваций в учебный процесс. В связи с этим в современной школе формируется информационная культура обучающихся, а элементы инфокоммуникационных технологий находят широкое применение в процессе обучения.

Развитие информационных технологий играет важную роль в выборе наиболее эффективных тенденций образовательной сферы, ведь оно способствует совершенствованию и расширению в школьной инфраструктуре информационной образовательной среды, содержащей различные новые и эффективные информационные сервисы.

Актуальность применения информационных технологий в образовательном процессе заключается не только в том, что они осуществляют функцию инструментария для решения различных педагогических задач, но и представляют совершенно новые возможности обучения, способствуют иному отбору и структуризации содержания образования и технологий, реализующих их, а также благоприятствуют созданию новых форм обучения.

Информационные технологии (ИТ) в образовании, как известно, -это технологии учебно-воспитательного процесса с применением аппаратно-программных средств, базирующихся на использовании вычислительной техники (интернет-технологии, мультимедиа-технологии), способной хранить, обрабатывать образовательную информацию, доставлять ее обучаемому, обеспечивать интерактивное взаимодействие учащегося с учителем или с педагогическим программным средством, а также тестировать знания обучаемого.

Так, на уроке математики при изложении стохастического материала можно использовать следующие технологии, программные средства которых базируются на информационных технологиях обучения:

мультимедиа-технологии представляют собой компьютерную систему ИТ как информационную среду, позволяющую создавать, хранить, воспроизводить любую информацию, содержащую графику, текст, звук, видео, анимацию, что способствует у обучающихся целостному восприятию учебного материала. Она подразделяется на: гипермедиа (обширные функции гипертекста); интерактивная технология мультимедиа (воспроизведение видеоизображений и звуков в режиме диалога); «реальное или живое видео» (возможность работать в реальном времени). Мультимедиас-редства предоставляют возможность объединения во время урока теоретического и демонстрационного материала, а также его наглядного представления;

моделирующие программы реализуют возможность моделирования или визуализации динамических процессов, воспроизведение которых на уроке или в лаборатории затруднительно. Данные программы способны наглядно продемонстрировать модели экспериментов, виртуальных или реальных жизненных ситуаций, что помогает активизации поисковой деятельности обучающихся во время учебного занятия. Компьютерные модели содержат в своем составе: математические модели, анимацию, лабораторные эксперименты. Например, интерактивные модули: «Игральные кости», «доска Гальтона», «Монеты». Последняя - математическая модель подбрасывания монет, с ее помощью можно задать число монет, бросков, редактор событий, который представляет частоты событий и изменения относительных частот [1];

микромиры представляют специализированные программы, создающие с помощью компьютера информационную среду, в которой происходит рассмотрение какой-либо отдельной конкретной проблемы. Можно сказать, что микромир схож с моделированием, однако он является более узким программным средством.

инструментальные программные средства познавательного характера способствуют развитию у обучающихся познавательных или когнитивных качеств в заданиях эвристического характера с решением реально существующей проблемы на выявление взаимосвязей, закономерностей между объектами и т.д. Они базируются на принципах конструктора, который позволяет ученику создать собственную концепцию разрешения поставленной задачи с опорой на ранее полученные знания и пониманием нового учебного материала, т.е. в какой-то мере визуализировать проделанную им работу. Подобное средство относится к интеллектуальной обучающей системе. Примеры, системы символьной математики (Mathlab, Maple, Mathematica и т.д.), с помощью которых можно выполнять разнообразные символьные преобразования математических задач;

инструментальные средства для обеспечения коммуникаций. Так, информационные телекоммуникационные сети предоставляют широкий спектр возможностей, например доступ к огромным количествам инфор-

мации, находящейся в любом уголке мира. Средствами компьютерных коммуникаций является: электронная почта (e-mail); электронная видеоконференцсвязь; чаты; форумы; блоги; Живые Журналы;

технологии дистанционного обучения характеризуются организацией учебного процесса на опосредованном образовательном взаимодействии учителя и ученика с активным использованием разносторонних средств информационно-коммуникационных технологий. Дистанционному обучению присущи: интерактивность, гибкость, высокая степень адаптивности, модульность, возможность выбора образовательных технологий.

Стоит отметить, что возможности, которые предоставлены современными информационными средствами, позволяют расширить границы методического обеспечения урока математики при изучении элементов стохастики:

комбинаторные возможности представляют хранение, систематизацию, запоминание, структурирование огромного количества информации, позволяют иметь доступ к нахождению требуемой информации (например, при решении задач по теме: «Интервальное распределение статических вероятностей на непрерывном множестве точек»);

графические - способствуют наглядности при просмотре результатов деятельности. Так, например, при построении функции распределения статических вероятностей;

моделирующие - конструируют модели реальных объектов и явлений (например, можно наглядно создать и посмотреть модель доски Гальтона, при заданном количестве шариков через препятствия);

вычислительные - реализуют быстрый и точный подсчет любых видов данных: числовых, текстовых, графических и т.д. (пример, помощь при использовании теоремы Муавра-Лапласа, где автоматизированный подсчет сокращает время на вычисление результатов).

Информационно-коммуникационные технологии благоприятствуют автоматизации процессов обработки и передачи учебного материала, организации информационно-учебной и экспериментально-исследовательской деятельности, подготовки самостоятельной учебной деятельности, а также представляют собой перспективы для создания новых возможностей передачи знаний (в частности это деятельность учителя), восприятия материалов (деятельность учащегося), иного качества оценки обучения.

Реализация информационно-коммуникационных технологий в образовании является условием повышения уровня обучения, совершенствования образовательной методики, повышает мотивацию учащихся, усиливает и активизирует познавательный интерес, развивает творческие, созидательные способности школьников, формирует самоорганизацию учащихся.

Получается, что потенциал ИТ благоприятствует созданию выгодных условий для усвоения учебного материала обучающимися в полном объеме, развитию математических способностей, формированию требуемых навыков, а также повышению интереса и желания к обучению.

Таким образом, апробация информационных технологий в образовании представляет неотъемлемое условие повышения уровня обучения, совершенствования образовательных методик. ИТ влияют на мотивацию учащихся, усиливая и активизируя их познавательный интерес к учению. ИТ уже не являются инструментом обучения, а становятся эффективным рациональным средством для развития творческих, созидательных способностей школьников, познавательной деятельности, формирования самоорганизации учащихся, а также индивидуализации, гуманизации и интенсификации учебного процесса.

Библиографический список

1. Вероятность в школе [Электронный ресурс]. - Режим доступа. URL.: http://ptlab.mccme.ru/node/187.

2. Китаева И.В., Щербатых С.В. Интерактивные методы и средства обучения описательной статистике в основной общеобразовательной школе // Психология образования в поликультурном пространстве. - 2015. - № 29. - С. 128-138.

3. Трофимов В.В. Информационные технологии. - М.: ИД Юрайт, 2011. - 624 с.

4. Федотова Е.Л., Федотов А.А. Информационные технологии в науке и образовании: Учеб. пособие. - М.: ИД «ФОРУМ»: ИНФРА-М, 2011. - 336 с.

К ВОПРОСУ О ГОТОВНОСТИ УЧИТЕЛЯ К ВНЕДРЕНИЮ ФГОС ООО

В.И. Меренкова

Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина, г. Елец; магистрант института математики, естествознания и техники (Научный руководитель: директор ИМЕиТ, кандидат педагогических наук, доцент Г.А. Симоновская)

Аннотация. В статье рассматривается проблема готовности учителя к внедрению и освоению ФГОС. Выделены элементы, относящиеся к требованиям новых стандартов, присутствующие в деятельности большинства учителей средней школы.

Ключевые слова: учитель, ФГОС, новое, урок, учащиеся.

Мир меняется стремительно. Введение стандартов нового поколения в школе - это необходимость, продиктованная жизнью. При переходе на новый стандарт, конечно же, возникнут проблемы, что вызывает вполне обоснованное беспокойство в педагогическом сообществе [1], [6].

Сегодня перед учителем стоит не совсем простая задача - развивать у учеников стремление к творческому восприятию знаний, учить их самостоятельно мыслить, повышать мотивацию к изучению предметов.

Школе нужен такой учитель, который сможет грамотно работать не только по новым методическим пособиям и учебникам, но и способен самостоятельно моделировать образовательный процесс, анализировать свою деятельность на предмет соответствия требованиям нового стандарта, вносить коррективы там, где это необходимо.

Считаем, что учителю не так просто перестроить свою методику преподавания мгновенно. Для этого педагогу придется полностью пересмотреть свою работу, настроиться, так как образовательные стандарты второго поколения ставят перед учителем новые цели и задачи. Выход один - самообразование, самообучение, самовоспитание, движение вперед навстречу всему новому, ежедневный труд и поиск. Современному учителю в течение жизни приходится неоднократно повышать свою профессиональную квалификацию и осваивать новое.

Самым главным фактором в освоении и переходе на Федеральные государственные образовательные стандарты (ФГОС) является стремление каждого учителя перестраиваться самому и перестраивать свое отношение к ученику. Также предполагается изменение своего отношения к преподаванию: мы должны не просто вложить в ученика как можно больше знаний, а научить ребенка пользоваться полученными знаниями в дальнейшей жизни.

Необходимо обратить внимание на подготовку будущего учителя не только к осознанному внедрению нового, новаторского в своей будущей педагогической деятельности, но и на умение критически осмыслить необходимость новаций. Особенно трудно сегодня приходится начинающему педагогу. Практика работы молодых учителей показывает, что даже при достаточно высоком уровне готовности к педагогической деятельности личностная и профессиональная адаптация молодого учителя может протекать длительное время. Поэтому важно попробовать использовать новые педагогические технологии уже в студенческие годы во время прохождения производственной практики.

В ходе прохождения производственной практики в школе были выделены элементы, относящиеся к требованиям новых стандартов, присутствующие в деятельности большинства учителей средней школы. Остановимся на некоторых из них.

На уроках необходимо создавать проблемные ситуации, находя выход из которых, учащиеся лучше усваивают новые знания и способы действий. Решение учебной проблемы способствует формированию универсальных учебных действий (УУД), например, познавательных, коммуникативных, рефлексивных.

Например, в 6-ом классе при изучении темы «Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями» сначала можно выполнить несколько

заданий на приведение дробей к новому знаменателю устно. Затем вспомнить, как складываются и вычитаются дроби с одинаковыми знаменателями, а после этого предложить школьникам для решения пример с дробями с разными знаменателями. Для решения поставленной проблемной ситуации учитель может поступить так. Разбить учащихся на пары или группы по 3-4 человека, что позволит школьникам взглянуть на данную ситуацию с разных сторон. В ходе обсуждения и поиска ответа учащиеся должны будут вспомнить, какие дроби они умеют складывать, можно ли сделать так, чтобы данные дроби имели одинаковый знаменатель, как привести дроби к общему знаменателю, сколько общих знаменателей у этих дробей и какой удобнее для вычислений. В слабом классе такая форма работы может привести к успеху, если направлять деятельность детей наводящими вопросами.

Таким образом, ребята самостоятельно могут подойти к формулировке правила сложения и вычитания дробей с разными знаменателями, повторив и обобщив при этом уже изученный материал и получив новые знания. В ходе обсуждения ребятам придется выслушивать друг друга, предлагать свои идеи, оценивать результат своей деятельности: получили они универсальное правило или нет.

Необходимо делать акцент на умение учащихся осуществлять взаимооценку и самооценку результатов своей деятельности.

В ходе практики использовалась такая вполне известная всем форма работы: проверяя домашнее задание, ребята меняются тетрадями друг с другом в парах. По очереди они проговаривают вслух решения заданий, вычисления и ответы. Если есть необходимость, то учащиеся, справившиеся с тем или иным заданием, объясняют его решение на доске. Затем по критериям, составленным учителем или самими ребятами, каждый выставляет соседу оценку.

В ходе такой работы ребятам приходится много общаться в парах: они начинают разъяснять друг другу непонятные задания, обсуждают и консультируются с учителем, как лучше записать то или иное решение или ответ, выясняют, какую формулировку считать верной, а какую - нет. Они задают вопросы учителю, соседу, стараются объяснить, почему допустили ту или иную ошибку, учатся анализировать свои результаты и результаты одноклассников.

Такой вид проверки иногда занимает много времен на уроке, ведь нужно ответить на все возникшие вопросы, и поначалу многим нужен совет по выставлению оценки. Но, на наш взгляд, такая работа дает свои результаты.

Все это формирует не только регулятивные и коммуникативные учебные действия, но и познавательные.

Еще один важный момент - это рефлексия на уроке [4]. Этап рефлексии способствует формированию умения анализировать свою деятельность на уроке, деятельность одноклассника, класса. В конце урока уча-

щиеся отвечают на вопросы: Какую задачу ставили на уроке? Удалось ли решить поставленную задачу? Каким способом? Какие получили результаты? Что нужно сделать еще? Где можно применить новые знания? Что на уроке у вас хорошо получилось, а над чем еще надо поработать?

Хотелось бы остановиться и на домашнем задании. Оно должно быть дифференцировано. Учащиеся должны иметь возможность выбирать задание из предложенных учителем с учетом индивидуальных возможностей. Например, в 6 классе при закреплении темы «Нахождение дроби от числа» предлагалось задание на выбор: решить 2-3 указанные задачи из учебника или составить самим 2-3 задачи на нахождение части от числа.

Таким образом, используя возможности традиционного урока, мы можем формировать у учащихся предметные и метапредметные результаты, то есть освоенные обучающимися универсальные учебные действия.

Именно любовь к детям делает личность учителя уникальной и отличает эту профессию от остальных. Если учитель хочет быть нужным в XXI веке, он должен не просто перестроиться на новые требования, но и понять всю меру своей ответственности перед детьми и страной.

Библиографический список

1. Ривкин Е.Ю. Профессиональная деятельность учителя в условиях перехода на ФГОС основного образования. Теории и технологии (Серия «Методическая лаборатория»)

- Волгоград: Учитель, 2013. - 183 с.

3. Федеральный государственный образовательный стандарт [электронный ресурс] // www.standart.edu.ru.

4. Онищук В.А. Урок в современной школе. - М.: Просвещение, 2008.

5. Зубарева И.П., Мордкович А.Г. Математика 5-6: Методическое пособие для учителя.

- М.: Мнемозина, 2008.

6. Черноусова Н.В., Рыманова Т.Е., Симоновская Г.А. Современные проблемы школьного математического образования // Вестник Елецкого государственного университета им. И.А. Бунина. - Вып. 32. Сер. «Педагогика» (История и теория математического образования). - Елец: ЕГУ им. И.А.Бунина, 2012. - С. 98-100.

ИНТЕГРАЦИЯ ЗНАНИЙ ПРИ ИЗУЧЕНИИ ФРАКТАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ В ВУЗЕ НА ОСНОВЕ ИКТ

А.О. Попова

Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина, г. Елец; магистрант института математики, естествознания и техники (Научный руководитель: доктор педагогических наук, профессор кафедры математики и методики ее преподавания С.Н. Дворяткина)

Аннотация. В статье показана целесообразность применения одного из ключевых направлений фрактальных методов в образовании на основе

ИКТ. Обосновано применение информационных систем в деятельности участников образовательного процесса на примере междисциплинарного курса «Элементы теории фрактальных множеств и их графическое представление».

Ключевые слова: фрактал, фрактальная геометрия, компьютерное моделирование, развитие личности.

Настоящее время характеризуется стремительными изменениями, которые затрагивают все сферы жизни и в существенной степени приводят к их прогрессу. Не остается в стороне и образовательная система, в равной степени охваченная глобальным процессом модернизации. Однако в то время, как в целом процессу присущ интегративный характер, предполагающий формирование единых концепций в разных областях науки и жизни, образованию свойственны значительные внутренние расхождения. В частности, наблюдается отсутствие прочных предметных связей между большинством изучаемых в учебных заведениях всех уровней дисциплин. Среди прочего данная проблема приводит к формированию у студентов и школьников ограниченного мировоззрения, когда полученные знания закрепляются раздельными блоками и не связаны ни логически, ни идеологически. Как следствие, в сознании выпускников школ, ссузов и вузов остается неполная картина мира, ограничивающая их возможности воспринимать и анализировать информацию, перерабатывать ее в совокупность органично единых, доступных к применению сведений.

Как известно, появление новых, инновационных направлений в науках дает возможность им развиваться и эволюционировать. То же самое и в математике - науке, которая в настоящее время не остается на месте и находит все новые и новые грани и направленности, позволяющие точнее описывать сущность и основы процессов, явлений и событий. Своеобразной реформой в образовании стала информатизация точных наук. Нельзя отрицать непосредственную связь между математикой и информатикой: посредством одной вторая приобрела принципиально новые направления, в том числе фрактальную геометрию. Подобная агрегация научных направлений создает почву не только для оптимизации учебного процесса посредством ИТ, но и для творческой деятельности обучающихся, направленной на возникновение интереса к дисциплинам математического цикла. Эстетический потенциал фрактальной геометрии поистине велик, как и ее роль в организации у учащихся полной естественнонаучной картины мира. Вот почему новые междисциплинарные курсы и направления должны представляться в полной мере в учебных планах и программах школ и вузов. Внесенные ими коррективы в систему обучения повлекут за собой благоприятные изменения в образовательном процессе [1].

Такие исследователи в области теории и методики обучения математике, как В.С. Секованов, Н.Х. Розов, В.А. Тестов, в своих работах указывали на целесообразность введения в курс математики школ и вузов элементов фрактальной геометрии.

Особое внимание в текущем состоянии педагогической науки должно уделяться методам образования, способствующим не только эффективному усвоению знаний, но и целостному развитию внутреннего мира обучающихся. На формирование полноценной личности должно оказать положительное влияние познание студентами теоретических азов фракталов, так как изучение фрактальных множеств и построение их в графической форме, в том числе с использованием различных средств программирования, дает толчок для многостороннего развития человека. Однако глубокое изучение фрактальных множеств стало возможным при использовании информационных технологий. Последние достижения компьютерной графики позволили строить фракталы различной природы, что дало возможность глубже изучить свойства этих уникальных множеств. Следует заметить, что Бенуа Мандельброт - первый, кто использовал компьютер для расчета классического фрактала. Сегодня без компьютерных программ и математических пакетов, языков и сред программирования, графических редакторов решение задач фрактальной геометрии не представляется возможным. Вместе с совершенствованием системы логического мышления студента, его аналитических способностей происходит также и формирование творческих компетенций, развитие креативности и общекультурных компонентов его личности [3].

Такого рода потенциал изучения фракталов говорит о полезности и необходимости введения в образовательные программы междисциплинарного курса (дисциплины по выбору) «Элементы теории фрактальных множеств и их графическое представление». Базу курса составляет отвечающее реальным требованиям современного образования объединение математических и творческих компонентов, что делает его дисциплиной, способствующей гармоничному развитию личности.

Целью преподавания междисциплинарного курса (дисциплины по выбору) «Элементы теории фрактальных множеств и их графическое представление» является знакомство с математическими основами, алгоритмами, методами и средствами построения фрактальных множеств. Задачи курса: ознакомление с фрактальным подходом описания обширного класса реальных явлений, изучение математических основ фрактальной геометрии, знакомство с современными графическими программными системами для построения фракталов [2]. Курс предназначен для студентов, обучающихся по математическим, естественнонаучным и техническим направлениям подготовки. Пропедевтическими являются курсы математического анализа, алгебры и геометрии, технологии программирования. В отличие от традиционного формата многих математических курсов «теорема

- доказательство - пример - профессиональная задача», большую роль при изучении фракталов играет компьютерное моделирование. Фрактальная графика - авангард компьютерных технологий. Увидев потрясающее изображение фракталов на мониторе компьютера, большинство обучающихся не только впервые узнают о существовании фракталов, но и меняют привычные представления об окружающем нас мире. Однако создание художественной фрактальной композиции состоит не в рисовании, а в программировании. В связи с этим на лабораторных занятиях обучаемые знакомятся как с основными пакетами, их свойствами и приемами использования, так и сами учатся создавать и обрабатывать графические приложения. Обучая студентов обобщенным алгоритмам, вне зависимости от синтаксиса конкретного языка, мы предоставляем им самостоятельный выбор в использовании программных продуктов: от классических языков программирования Паскаль, С, С++, С# до специализированных программ для создания изображений фракталов Mfract, Fractint и др.

Приведем пример построения студентами классических фрактальных множеств на языке программирования С++ - объектно-ориентированном языке программирования, являющемся мощным инструментом для создания разных приложений, - от маленьких до достаточно крупных и трудоемких. Допустимость использования для своей работы и низкого, и высокого уровня программирования является, наверное, главным преимуществом данного языка. Код, который создает программист, максимально адаптируется к той платформе и ее системе, на которой ему предстоит работать. Таким образом, ресурсы компьютера будут использоваться оптимально, и это свойство является огромным преимуществом данного языка программирования перед многими другими. Именно поэтому для реализации был выбран язык С++.

Алгоритм построения фрактального множества Мандельброта наглядно иллюстрирует следующий фрагмент кода программы:

for (int у = 0; у < 200; ++у) for (int X = 0; X < 200; ++х)

{

Complex z(0, 0); int i = 0;

while (i < 1000 && abs(z) < 2) {

z = sqr(z) + Complex(1.0 * (x - 100) / 70,

1.0 *(y- 100)/70);

++i;

}

if(abs(z) >= 2)

{

float color = (50.0 - i) / 50.0; glColor3f(color, color, color); glVertex2f(x, y);

} }

Результат работы программы:

Рис. 11. Результат работы программы, иллюстрирующей множество Мандельброта.

Таким образом, студент, понимая суть алгоритма, варьируя переменными, будет получать все более замысловатые множества, а следовательно интересоваться и творчески развиваться в процессе обучения.

Программа дисциплины по выбору, совокупность практических занятий и сама методика обучения фрактальной геометрии создадут основу для формирования новых понятий в области математики у студентов, систематизации полученных ранее знаний, а также использование ИТ в процессе обучения повысит не только уровень математических знаний и мыслительной деятельности, но и интерес обучающихся к изучению математики и информатики.

Таким образом, обучение фрактальным множествам и их графическому представлению с применением современных компьютеров и специализированных программ обеспечивает, во-первых, повышение академического уровня обученности студента по математическим дисциплинам и информационным технологиям, во-вторых, эффективное развитие личностных качеств студента (интеллектуальных, мотивационных, эстетических), составляющих основу его профессионально-личностного становления.

Библиографический список

1. Горшков А.А. Изучение элементов фрактальной геометрии в школе как средство эстетического воспитания учащихся // Вестник Костромского государственного университета им. Н.А. Некрасова - 2013. - № 1. - С. 181-185.

2. Дворяткина, С.Н. Фракталы - язык науки, информатика - инструмент познания мира / С.Н. Дворяткина, Т.Н. Кузнецова, А.О. Попова // От информатики в школе к тех-

носфере образования. Сборник научных трудов Международной научно-практической конференции, посвященной 30-летию школьной информатики. - 2016.

3. Секованов В.С. Концепция обучения фрактальной геометрии в КГУ им. Н.А. Некрасова // Вестник Костромского государственного университета им. Н.А. Некрасова -2013.-№ 5.-С. 153-154.

4. Хрусталев А.М. Подходы к обучению школьников и студентов фрактальным множествам // Гуманитарные, социально-экономические и общественные науки. - 2014. -№5.-С. 75-80.

ГЕОМЕТРИЯ ТРЕУГОЛЬНИКА В ЗАДАЧАХ ЕГЭ И МАТЕРИАЛАХ ЭЛЕКТИВНЫХ КУРСОВ ДЛЯ СТАРШЕКЛАССНИКОВ

С.М. Воротынцева

Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина, г. Елец студентка института математики, естествознания и техники (Научный руководитель: кандидат педагогических наук, доцент кафедры математики и методики ее преподавания Г.Г. Ельчанинова)

Аннотация. В статье изложены основные результаты выпускной квалификационной работы. Материал, относящийся к геометрии треугольника, не содержащийся в школьных учебниках, все чаще появляется в задачах ЕГЭ. В связи с этим встает вопрос о его наличии в обучении школьников.

Ключевые слова: треугольник, замечательные точки и линии в треугольнике, элективные курсы, изучение геометрии.

В течение многих столетий математика является неотъемлемым элементом системы общего образования. Объясняется это уникальностью роли учебного предмета «Математика» в формировании личности. Образовательный и развивающий потенциал математики огромен. В современном обучении она занимает весьма значительное место. Изучение основ математики в современных условиях становится все более существенным элементом общеобразовательной подготовки молодого поколения.

Содержание школьного курса математики и методика его преподавания - извечный предмет незатихающих и подчас бурных споров. Чему и как учить в школе, по-видимому, всегда будет принадлежать к числу насущных проблем, которые постоянно возникают даже после того, как им дано решение, как кажется, лучшее по сравнению с предыдущим. И это неизбежно, поскольку непрерывно пополняются наши научные знания и подходы к объяснению происходящих вокруг нас явлений. Несомненно, что содержание школьного преподавания должно изменяться с процессом развития науки, несколько отставая от него и давая возможность новым

научным идеям и концепциям принять приемлемые в психологическом и методическом отношении формы. Периодическое обновление содержания школьного курса математики - необходимый элемент развития общего образования.

Содержание разделов школьной математики исторически более или менее сложилось. Но это не в полной мере относится к началам анализа.

В недавнее время появлялись предложения исключить элементы математического анализа из школьного курса алгебры и начал анализа или же ввести три параллельных курса - алгебру, геометрию, математический анализ. Объяснялось это тем, что, к сожалению, тенденция циклического изучения ключевых понятий и объектов элементарной математики обрывается в 10-11 классах с началом изучения основ математического анализа. При этом, с одной стороны, страдает усвоение курса алгебры, прерванное в своем естественном развитии. С другой стороны, страдает усвоение основ математического анализа, который не будет пройден по принципу многократного повторения и опоры на предыдущий материал. Такое положение вредит усвоению математики в целом.

В школьной интерпретации математический анализ ассоциируется, прежде всего, с понятием функции, при этом понятие предельного перехода в лучшем случае отодвигается на второй план, в худшем - вообще отбрасывается. Так появляются не имеющие естественной предыстории в процессе школьного обучения понятия производной и определенного интеграла, что полностью ломает логику восприятия предмета.

Более-менее устоявшимся является содержание школьного курса геометрии. Здесь, по крайней мере, ничего не исключается из рассмотрения и не добавляется. Необходимые для решения задачи геометрические факты актуализируются по мере необходимости.

Несмотря на это, проблематичным является процесс опознавания, соответственно, поиска факта теории, выходящего за рамки школьного учебника геометрии, но тем не менее посильного для школьников и, более того, встречающегося при решении задач КИМ ЕГЭ и ГИА.

Выход из создавшегося положения мы видим в наполнении материала элективных курсов соответствующими теоретическими фактами, подходящими практическими задачами и советами по распознаванию необходимой теории для решения задачи.

Следовательно, систематизация теоретического материала, разработка и исследование методики изучения системы фактов, связанных с геометрией треугольника, более чем актуальна.

Треугольник относится к простейшим геометрическим фигурам. Над созданием совокупности фактов, называемых в настоящее время геометрией треугольника, трудились в течение столетий Пифагор, Евклид, Архимед, Менелай, Чева, Дезарг, Торричелли, Паскаль, Лейбниц, Ньютон, Эйлер, Лагранж, Понселе и многие другие математики.

Роль изучения этой фигуры определяется разнообразием ее практических применений. Изучение многих геометрических фигур осуществляется через разложение их на треугольники (триангуляцию) и раскрытие зависимостей между элементами этих треугольников. Известно, например, что всякий плоский многоугольник разлагается на треугольники (триангулируем) его диагоналями, причем все элементы многоугольника (стороны, углы, диагонали, площадь и т.д.) вполне определяются соответствующими элементами этих треугольников. В частности, выпуклый /7-угольник разлагается на п-2 треугольника диагоналями, проведенными из любой его вершины.

Разложение на треугольники криволинейных фигур уже невозможно. Однако в тех случаях, когда криволинейная фигура может быть получена через предельный переход от вписанного в нее многоугольника, разлагают на треугольники этот многоугольник и через предельный переход устанавливают связи элементов криволинейной фигуры с деформирующимися (в процессе предельного перехода) элементами этих треугольников. В соответствии с этим при изучении треугольника актуальны понятия вписанной и описанной окружностей.

Так, например, поступают в геометрии при изучении круга и окружности. Эти криволинейные фигуры получаются через предельный переход от вписанного в них правильного многоугольника при неограниченном увеличении числа его сторон; причем площадь круга оказывается равной пределу суммы площадей треугольников, на которые разлагается вписанный многоугольник, а длина окружности равна пределу суммы соответствующих сторон этих треугольников.

В технике при сооружении различных конструкций из стержней учитывается еще одна особенность треугольника: конструкции треугольной формы, сделанные из стержней, обладают свойством «жесткости» и «устойчивости», тогда как конструкции в форме многоугольника легко деформируются. Именно это обстоятельство заставляет инженеров при сооружении различных арок, мостов, перекрытий для крыш и т.п. «разлагать» конструкции многоугольной формы на треугольные внесением в них вспомогательных стержней-укосов.

Таким образом, как в теории, так и на практике треугольник служит существенным элементом геометрических фигур. Поэтому треугольник подробно изучается в геометрии.

Помимо общеизвестных школьных фактов геометрии треугольника, для успешного и рационального решения задач необходимы знания:

1) теоремы о проекциях: Во всяком треугольнике сторона равна сумме двух произведений, получаемой от умножения каждой из остальных двух сторон на косинус угла, образуемого ею с первой стороной

2) теоремы Чевы и Менелая - более общие по отношению к фактам пересечения медиан, биссектрис и прямых, на которых лежат высоты треугольника, в одной точке и более общих.

Рассмотрим менее известные факты геометрии треугольника, знакомство с которыми будет также полезно для школьника.

Центр описанной около треугольника ABC окружности О и ортоцентр H называются изогонально сопряженными. Две точки называются изогонально сопряженными точками треугольника ABC, если лучи АХ и A Y симметричны относительно биссектрисы угла А, ВХи BY - относительно биссектрисы угла В, СХ и СY - относительно биссектрисы угла С. Факт изогональной сопряженности точек символически записывают так:

° ^ н. Существуют также пары изогонально сопряженных точек треугольника.

Для каждой внутренней точки треугольника существует изогонально сопряженная с ней точка. Но для точки пересечения биссектрис изогонально сопряженной является она сама. Для точки, лежащей на стороне треугольника, изогонально сопряженной является противоположная вершина треугольника.

Можно расширить понятие изогонально сопряженных точек треугольника, если рассмотреть, допустим, центр описанной окружности и ортоцентр тупоугольного треугольника. В этом случае обе изогонально сопряженные точки внешние.

Симедианой (симметричной медианой) треугольника называется чевиана треугольника, луч которой симметричен лучу медианы относительно его биссектрисы, проведенной из той же вершины. На рисунке луч AW-симедиана (он симметричен медиане AM относительно биссектрисы AL). Разносторонний треугольник имеет три разные симедианы. Симедианой прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла, является его высота, так как биссектриса такого треугольника делит пополам угол между медианой и высотой, проведенной к гипотенузе.

Выделим наиболее важные свойства симедиан.

Симедиана треугольника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные квадратам прилежащих сторон треугольника.

Симедиана треугольника - геометрическое место точек, расстояние которых до двух сторон треугольника пропорционально их длинам.

Три симедианы треугольника пересекаются в одной точке - точке Лемуана (французский математик). Эта точка изогонально сопряжена центроиду треугольника и имеет много интересных свойств. Их формулировка облегчается, если ввести понятие антипараллельных прямых.

Так, прямая CjBj антипараллельная для прямой ВС (эта прямая симметрична прямой KP, параллельной ВС, относительно биссектрисы AL. Иначе - антипараллельная прямая такова, что zb = zab]c]. Прямую CjBj еще называют антипараллелью. Так, каждая сторона ортоцентричного треугольника антипараллельна противоположной стороне данного.

Антипараллель отсекает от основного треугольника треугольник, подобный данному, и четырехугольник, около которого можно описать окружность.

Окружность, проходящая через концы стороны ВС треугольника, пересекает две другие его стороны в таких точках Ки Р, что прямая KP - антипараллель для ВС.

Прямые, которые проходят через точку Лемуана и параллельны сторонам треугольника, называют параллелями Лемуана. У каждого треугольника параллели Лемуана пересекают его стороны в точках А],С2,С],В2,В],А2, которые лежат на одной окружности - первой окружности Лемуана. Шестиугольник же с вершинами в названных точках - шестиугольник Лемуана.

Окружность и шестиугольник Лемуана обладают следующими свойствами:

1) центром окружности Лемуана является середина отрезка, который соединяет точку Лемуана с центром окружности, описанной около треугольника;

2) три стороны шестиугольника Лемуана, которые не лежат на сторонах данного треугольника, равны антипараллелям;

3) антипараллели, которые проходят через точку Лемуана, равны друг другу и делятся этой точкой пополам;

4) центр окружности, которая пересекает стороны данного треугольника в точках, которые являются концами трех равных антипараллелей (эта окружность называется второй окружностью Лемуана).

В треугольнике есть пары изогонально сопряженных точек, которые порождены и иными геометрическими соображениями.

Антибиссектриса угла - это геометрическое место точек внутри угла, расстояния которых до двух сторон угла обратно пропорциональны квадратам этих сторон (у биссектрисы - прямо пропорциональны квадратам этих сторон). В треугольнике под антибиссектрисой понимается отрезок антибиссектрисы угла до ее пересечения с противолежащей стороной.

Антибиссектрисы треугольника (на рис. АА\ВВ\СС) - это такие чевианы, основания которых симметричны основаниям биссектрис относительно середин сторон треугольника. В каждом треугольнике три антибиссектрисы пересекаются в одной точке, так как для них выполняется теорема Чевы. Эту точку называют соответственно центром антибиссектрис. Эта точка изогонально сопряжена для точки пересечения биссектрис.

Относительно середин сторон треугольника изогонально сопряженными являются точки Жергонна и Нагеля.

Помимо предложенного выше мы в выпускной квалификационной работе рассмотрели и систематизировали материал геометрии треугольника, связанный с трансверсалями, антибиссектрисами, трисектрисами точками и углами Брокара, окружностями Нейберга, Схоуте, теоремой и треугольником Морлея, треугольником Наполеона, окружностями, точкой и отрезками Торричелли, и многие другие факты.

Все годы использования в нашей стране такой формы итоговых испытаний, как ЕГЭ, в вариантах работ присутствуют задачи по геометрии. Их содержание, сложность, насыщенность фактами геометрии треугольника, отсутствующими в школьном обучении, варьируется из года в год. Но необходимость основательной подготовки для успешного прохождения итоговых испытаний очевидна.

Можно не выходить за рамки школьной программы и попытаться выполнить соответствующее задание второй части варианта ЕГЭ (2016 г. -№ 16). Но можно, систематизировав факты геометрии треугольника, выполнить указанное задание рационально и эффективно.

Например, при выполнении варианта итоговой аттестации 2014 года - задания С4 (прототипа нынешнего 16) «Высоты BBi и СС] остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке Н. Докажите, что 1) ZAHB} = ZACB ; 2) найдите ВС, если АН = 21 и ZBAC = 30° » - можно было бы использовать и не обосновывать факт «если треугольник является ост-

роугольным, то, соединив отрезком основания двух его высот, будет отсечен от данного треугольника подобный ему треугольник».

Введение элективных курсов вообще в основной и старшей школе имеет своей целью профилизацию обучения на старшей ступени общего образования.

Соответственно, создание и введение элективных курсов, содержащих материал геометрии треугольника, и преследует указанные цели, решает поставленные задачи и выполняет соответствующие функции.

Для иллюстрации мы выбрали элективный курс «Исследование свойств замечательных точек окружности Эйлера». Постараемся кратко рассказать о нем.

Элективный курс предназначен для учащихся 11-го класса, проявляющих повышенный интерес к изучению математики и планирующих продолжить образование в учебных заведениях физико-математического и экономического профиля. Данный курс является частью подготовки к ЕГЭ. Он рассчитан на 17 часов. В качестве литературы рекомендуются книги [1], [2], [3], [4], [5].

Планиметрия заканчивается в 9 классе, поэтому необходимо не растерять тот багаж знаний, который предоставлен программой, а более того, углубить его и уметь применить. С помощью исследования геометрических задач развивается логическое мышление, пространственное воображение, и ребята могут хорошо ориентироваться в жизненных ситуациях.

Цель курса: систематизация и углубление знаний учащихся о свойствах и признаках замечательных точек окружности. Задачи курса заключаются в том, чтобы: 1) научить выполнять задачи на построение с помощью замечательных точек; 2) познакомить с исторической справкой о великом математике Леонарде Эйлере.

Главное содержание исследования замечательных точек составляют ряд определений (центроид, ортоцентр, барицентр, точка Жергонна, точка Нагеля), теоремы Чевы, Морлея и др. Данный курс позволяет раскрыть взаимосвязь между девятью точками окружности Эйлера и развивает умение применять эту взаимосвязь при решении задач.

Таким образом, в процессе изучения курса ученики осваивают новые теоретические понятия, учатся пользоваться соответствующими справочными материалами. Для учащихся, предполагающих связать свою будущую профессиональную деятельность с математикой, физикой, экономикой, строительством, необходимо развивать умственные способности в исследовательской деятельности. От учащихся требуется тщательное обдумывание каждого шага при решении задач: с какой целью это делается и достигается ли результат, а если нет, то почему?

Логическим завершением курса является индивидуальный практикум по решению задач.

Библиографический список

1. Бевз Г.П. Геометрия треугольника: Учебно-методическое пособие. - Киев: Генеза, 2005.- 120 с.

2. Ельчанинова Г.Г. Геометрия треугольника в курсе элементарной математики // Вестник Елецкого государственного университета им. И. А. Бунина. Серия «Педагогика» (история и теория математического образования). - 2015. - Вып. 36. - С. 137-140.

3. Прасолов В.В. Рассказы о числах, многочленах и фигурах. - М.: ФАЗИС, 1997. -104 с.

4. Прасолов В.В., Тихомиров В.М. Геометрия. - М: МЦНМО, 2007. - 328 с.

5. Яковлев Г.Н. Геометрия: теория и ее использование для решения задач. - Минск: Альфа, 1995.-335 с.

ИЗУЧЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ СТОХАСТИКИ В КУРСЕ МАТЕМАТИКИ ОСНОВНОЙ ШКОЛЫ

К.Н. Жмудт

Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина, г. Елец; аспирант института математики, естествознания и техники (Научный руководитель: проректор по учебной работе, доктор педагогических наук, профессор кафедры математики и методики ее преподавания С.В. Щербатых)

Аннотация. В статье выделены те элементы стохастики, которые главным образом изучаются в курсе математики основной школы. Изучение данного раздела математики необходимо в процессе современной жизни, т.к. каждое высказанное предположение, каждый шаг требует своевременной оценки. Изучение стохастики не только для выполнения программы образования, но и для формирования умений учащихся воспользоваться при необходимости имеющимися знаниями в этой области - это основная задача курса стохастики как раздела математики.

Ключевые слова: школьное образование, стохастика, единый государственный экзамен, статистика, комбинаторика, вероятность.

Человек привык анализировать, прогнозировать результат своих действий. Именно подсчет вероятности планируемого события (выигрыш команды по футболу, удача при покупке лотерейного билета и др.) несет за собой результативность. В современном мире той подготовки будущих специалистов, которая осуществлялась во всех учебных заведениях среднего общего образования в России, вплоть до 2004 года, стало недостаточно. Возникновение новых технологий заставляет изменять структуру образования, подстраиваться, дополнять ее. Выпускник общеобразовательного

учреждения должен не только обладать знаниями научными, но и исследовательскими навыками.

Научная исследовательская деятельность все больше приобретает вид некоего математического действия. Довольно часто приходится слышать фразы: «...вероятно...», «...по статистике...». В любом случае, подозреваем мы это или нет, но в процессе повседневной жизни мы пытаемся подсчитать вероятность исхода планируемого события (принесет ли нам удовольствие просмотр данного фильма: да или нет, 50 на 50 - это вероятности и др.).

Задача раздела стохастики, как части курса математики обязательного общего образования - это развитие умения вероятностного мышления, умения выйти из неоднозначной ситуации, выявляя наиболее благоприятный исход события.

Как известно, в тексте КИМ ЕГЭ по математике одной из задач части В является именно комбинаторная задача.

Хочется заметить, что данная стохастическая задача, как правило, сводится к знанию классического определения вероятности, подсчету вариантов исхода конкретного события по формуле Р =— (1), где Р - вероятность, m - это число исходов, благоприятствующих наступлению данного события, а п - число всех исходов.

Так, например, в демо-варианте ЕГЭ (2015) задача стохастической направленности имела следующее содержание: «В сборнике билетов по биологии всего 25 билетов, в двух из них встречается вопрос о грибах. На экзамене школьнику достается случайно выбранный билет из этого сборника. Найдите вероятность того, что в этом билете не будет вопроса о грибах» [4]. Решение данной задачи предполагает использовать формулу (1). Таким образом, зная формулу, выпускник отыщет и вероятность наступления данного события Р= — =0,92. Выражая данную вероятность в процентах, получим 0,92=92%.

Итак, вернемся к тому, насколько значима роль стохастической линии в курсе математики основной школы.

Во-первых, для того, чтобы преподавать элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей (в общем - стохастики), учитель должен в полной мере владеть знанием основных определений, формул, задач, на которых строится стохастическая линия. Необходимо заметить, что в данный момент нет каких-либо методических разработок, в которых было бы написано: как преподавать, на что опираться, сколько часов отводить на изучение, где брать материал, на котором должен быть выстроен цикл занятий, посвященных изучению стохастической линии. Да, разумеется, разобраться в столь сложном как с понятийной стороны, так и со стороны практической направленности, разделе может лишь человек, владеющий навыками. Человек, который несет знания о стохастике, в первую очередь

должен практическими, наглядными методами доказывать теорию, подтверждать каждое высказанное в утвердительной форме предложение, приводить обоснование. Важно заметить, что не только носитель информации - учитель - должен приводить это доказательство, но и ученик, по примеру учителя.

Очевидно, что разобраться во многих трудно объяснимых и трудно понимаемых как жизненных ситуациях, так и математических задачах помогает именно умение осуществлять доказательства. Важная задача учителя - воспитать в учащихся познавательный и исследовательский интерес к изучению стохастических задач.

Включение в изучение базового курса математики элементов стохастической линии было не случайным. Это результат модернизации современного образования, которое стремительно изменяется, ищет новые пути развития и внедрения в образовательный процесс. Именно поэтому в настоящее время те учебники по математике, по которым десятилетия учились наши бабушки, родители и мы сами, заменяют новыми, соответствующими ФГОС второго поколения. Именно по этой причине в старших классах в курсе алгебры появились такие разделы, как «Элементы теории вероятностей и статистики», «Язык и логика», «Комплексные числа».

Для того чтобы новые знания были приняты и усвоены учащимися, необходимо, чтобы они «наложились» на те представления и знания, которыми учащиеся уже обладают. Другими словами, вся трудность заключается в систематизации знаний. Учебный процесс, направленный на освоение стохастических знаний, должен быть спроектирован таким образом, чтобы будущие специалисты ясно понимали, что нельзя опираться лишь на свои личные убеждения и только лишь на теоретические сведения. Они должны понимать, что в любом исследовании необходимо подтверждение - эксперимент.

Так как мы говорим именно об учащихся общеобразовательного учреждения, а не о студентах, уровень мышления и способностей которых отличается в силу психологических особенностей человека на конкретном этапе жизни, то и преподавание стохастического модуля для обучающихся основной школы должны отличаться друг от друга.

Согласно ФГОС ООО, предметные результаты предметной области «математика и информатика», касающиеся содержания стохастической линии на базе основной школы, должны отражать:

- овладение простейшими способами представления и анализа статистических данных; формирование представлений о статистических закономерностях в реальном мире и о различных способах их изучения, о простейших вероятностных моделях;

- развитие умений извлекать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках, описывать и анализировать массивы числовых данных с помощью подходящих статистических характеристик, ис-

пользовать понимание вероятностных свойств окружающих явлений при принятии решений;

- формирование представления о статистических характеристиках, вероятности случайного события;

- решение простейших комбинаторных задач;

- определение основных статистических характеристик числовых наборов;

- оценивание и вычисление вероятности события в простейших случаях;

- наличие представления о роли практически достоверных и маловероятных событий, о роли закона больших чисел в массовых явлениях;

- умение сравнивать основные статистические характеристики, полученные в процессе решения прикладной задачи, изучения реального явления [8].

В ходе государственной (итоговой) аттестации обучающихся основной школы предусмотрен контроль следующих разделов стохастической линии курса математики:

- статистические характеристики. Сбор и группировка статистических данных. Наглядное представление статистической информации: представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков;

- комбинаторика: перебор вариантов; правило умножения. Решение комбинаторных задач путем систематического перебора возможных вариантов, а также с использованием правила умножения;

- вероятность случайных событий: вычисление частоты события готовых статистических данных, нахождение вероятности случайных событий в простейших случаях.

В исследовании Е.В. Козловой показано, как рационально организовать учебную деятельность учащихся основной школы, чтобы достичь наилучших результатов. Однако это исследование дает только общие установки, без привязки к специфике к конкретному учебному материалу. Как было установлено, именно в возрасте 10-13 лет (5-7 классы) учащиеся усваивают учебный материал, связанный со стохастикой, гораздо проще. Поэтому задача современного педагогического «сообщества» - разработать ряд методических и дидактических пособий для обучения стохастике, в которых будет конкретно сказано: как учить, какие задания использовать как основу, сколько времени отводить на изучение каждого раздела стохастики.

Библиографический список

1. Алгебра. 7 класс: Учебник для учащихся общеобразоват. организаций / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, И.Е. Феоктистов. - 15-е изд., стер. -М.: Мнемозина, 2014. - 336 с.

2. Алгебра. 8 класс: Учеб. для общеобразоват. организаций / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, СБ. Суворова; под ред. С.А.Теляковского. - 4-е изд. -М.: Просвещение, 2015. - 287 с: ил. - ISBN 978-5-09-036274-0.

3. Горев П.М. Инновационная деятельность образовательного учреждения как одно из условий повышения качества образования // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2015. - № 7 (июль). - С. 51-55. - URL: http://e-koncept.ru/2015/15233.htm.

4. Демонстрационный вариант контрольно-измерительных материалов единого государственного экзамена 2015 года по математике. Профильный уровень. - М., 2014. [электронный ресурс] / http://www.ege.edu.ru/main/demovers/.

5. Козлова Е.В. Комплексная система обучения математике учащихся основной школы // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2014. - Т. 21. - С. 266-270.

6. Математика. 6 класс / А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир. - М.: Вентана-Граф: 2014.-304 с.

7. Китаева И.В., Щербатых С.В. Интерактивные методы и средства обучения описательной статистике в основной общеобразовательной школе // Психология образования в поликультурном пространстве. - 2015. - № 29. - С. 128-138.

8. Федеральный государственный образовательный стандарт основного общего образования [электронный ресурс] // Система ГАРАНТ: http://base.garant.ru/55170507/#block 1000#ixzz45 AvNEZgs

ВОСПИТАНИЕ ПОЗНАВАТЕЛЬНОГО ИНТЕРЕСА У ШКОЛЬНИКОВ К МАТЕМАТИКЕ

О.А. Селищева

Елецкий государственный университет им. И. А. Бунина, г. Елец; студентка института математики, естествознания и техники (Научный руководитель: кандидат педагогических наук, доцент кафедры математики и методики ее преподавания Т.Е. Рыманова)

Аннотация. Статья посвящена теоретическим аспектам, которые легли в основу методической концепции воспитания познавательного интереса к математике.

Ключевые слова: познавательный интерес к математике, диалектика познавательного интереса, воспитание познавательного интереса.

Проблема познавательного интереса - одна из самых актуальных в образовательном процессе, особенно сейчас, когда в школе реализуются стандарты второго поколения. И неслучайно: сегодня на первое место поставлены цели личностного развития. В связи с этим необходимы критерии, по которым можно судить о достижении стандарта. Как указывала Н.А. Менчинская, показателем развития личности можно считать наличие у ребенка познавательного интереса.

Все выдающиеся отечественные ученые и мыслители указывали, что процесс обучения будет эффективным тогда и только тогда, когда будет интересно школьникам. Достаточно вспомнить наследие К.Д. Ушинского, Л.Н. Толстого и многих-многих других. Практически во всех нормативных образовательных документах конца IX-XX веков в целях обучения математике указывалось, что обучение должно непременно способствовать «повышению у учащихся интереса к изучению математики» [1, с. 107]. Нашей отечественной наукой накоплен богатый материал по этому вопросу. Тем не менее в связи с реализацией новой образовательной доктрины мы считаем необходимым исследование проблемы познавательного интереса в современном образовательном поле в свете ее многоаспектности.

В литературе можно найти разные точки зрения на определение понятия «познавательный интерес». По нашему мнению, его можно охарактеризовать как «интегративное образование личности, которое определяет ее избирательную направленность, обращенную к познанию одной или нескольких научных областей, к их предметной стороне (содержанию), а также к процессу деятельности» [5, с. 25].

Анализируя историю развития отечественной педагогической мысли, необходимо отметить, что для разработки образовательной концепции нужно конкретизировать теоретические аспекты.

Под воспитанием познавательного интереса мы понимаем управление развитием личности в условиях дидактически организованной системы, направленное на выработку навыков познания, проявляющихся в общественной жизни [2, с. 13]. Этот процесс опирается на соответствующие педагогические принципы.

1. Принцип природосообразности.

Он отражает диалектику интереса, которая представляет собой процесс овладения личностью навыками познания, необходимыми человеку, которые проявляются в общественной жизни. Данный процесс неразрывно связан с формированием устойчивой черты (качества) личности. Он имеет две стадии: сначала происходит формирование познавательного интереса (младший - средний школьный возраст), а потом - развитие интереса (старшие классы и дальше) [3].

2. Принцип гуманизации.

Познавательный интерес к предмету, например к математике, не является врожденным образованием личности. Он формируется (развивается) только в деятельности, отношения в которой отражают этот принцип. Кроме этого, он позволяет осуществить перевод учащегося с позиции объекта образования на позицию субъекта. Как и любое другое свойство личности, познавательный интерес формируется и развивается не изолированно, а в тесном взаимодействии с потребностями и другими мотивами.

3. Принцип демократизации.

Этот принцип требует организации учебной деятельности на основе личностно ориентированного подхода. От того, как организована эта деятельность, зависит диалектическая степень познавательного интереса. Под его влиянием деятельность становится продуктивной, в свою очередь, успешная познавательная деятельность укрепляет и усиливает интерес к познанию. Интерес проникает в каждый компонент деятельности школьника и фигурирует в ней дважды - как мотив деятельности и как мотив учебного действия. Эффективность учебного процесса способствует перемещению интереса с выполнения учебного действия на его содержание, задачи.

4. Принцип учета индивидуальных особенностей детей.

Этот принцип указывает на то, что необходимо в процессе воспитания познавательного интереса опираться на личностные потребности учащегося, создавать условия для раскрытия уникальных особенностей личности.

Его психологическую основу составляют интеллектуальные, эмоциональные, регулятивные и творческие процессы. Познавательный интерес находится в диалектической взаимосвязи с вниманием, памятью, мышлением, речью, эмоциями.

Интерес неразрывно связан с мотивацией, причем эта связь двусторонняя и является сильнейшим мотивом учения. Бесспорно влияние и мотивационной сферы на интерес. Познавательный интерес является отражением сложных процессов, происходящих в мотивационной сфере любой деятельности. Одновременно познавательный интерес, как мотив, не обособлен от других мотивов человека, является звеном в системе мотивации и появляется под влиянием сложного комплекса мотивов.

5. Принцип педагогического оптимизма.

Этот принцип утверждает, что педагогически целесообразно всегда опираться на положительные качества ребенка, давать пережить радость пусть маленького, но успеха. Познавательный интерес активизирует психические процессы, определяющие специфическое отношение человека к объекту, вызванное осознанием его жизненного значения, эмоциональной привлекательностью.

6. Принцип целенаправленности.

Воспитание познавательного интереса связано с организацией деятельности с определенной целью, на специально отобранном содержании. На этот процесс влияют личностный, содержательный и организационный факторы [5, с. 24].

7. Принцип единства и целостности воспитательного процесса.

Этот принцип отражает интегральное свойство познавательного интереса. В психологии познавательный интерес рассматривается как мотив. С педагогической точки зрения он исследуется как средство обучения и качество личности. На это впервые обратила внимание Г.И. Щукина. Таким образом, познавательный интерес может выступать в разных модификациях: как мотив, средство обучения и качество личности [5, с. 26]. Но

только в единстве всех этих аспектов можно добиться успеха в воспитании данного личностного образования.

Все изложенное выше легло в основу методической концепции воспитания познавательного интереса школьников.

Библиографический список

1. Колягин Ю.М., Саввина О.А. Бунт российского министерства и отделения математики АН СССР. (Материалы по реформе школьного математического образования 1960 - 1970-х гг.). - Елец: ЕГУ им. Н.А. Бунина, 2012.- 153 с.

2. Рыманова Т.Е. Воспитание познавательного интереса школьников в процессе обучения математике: Учебно-методическое пособие. - Елец: Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина, 2015.

3. Рыманова Т.Е. Диалектика познавательного интереса: концептуальный подход. Современная наука: теоретический и практический взгляд: сборник статей Международной научно-практической конференции. - Уфа: Аэстерна, 2015. - С. 141-143.

4. Рыманова Т.Е. Проектирование процесса формирования познавательного интереса школьников к математике // Проблемы теории и практики обучения математике: сборник научных работ, представленных на Международную научную конференцию «65 Герценовские чтения». - СПб.: Изд-во РГПУ им. А.И. Герцена, 2012.

5. Рыманова Т.Е. Технологический подход к проектированию учебного процесса по математике, обеспечивающего формирование познавательного интереса у школьников: Дис. ... канд. пед. наук. - М., 1999.

МЕТОДИЧЕСКИЕ ПОДХОДЫ К ИЗУЧЕНИЮ ПРОИЗВОДНОЙ СТЕПЕННОЙ ФУНКЦИИ

Ю.Е. Дворникова, О.Ю. Тихонова

Елецкий государственный университет им. И. А. Бунина, г. Елец; студенты института математики, естествознания и техники (Научный руководитель: доктор педагогических наук, профессор, зав. кафедрой математики и методики ее преподавания О.А. Саввина)

Аннотация. Выявлены различные подходы к изучению производной степенной функции. Каждый из этих подходов имеет свои преимущества и недостатки и предполагает определенную пропедевтическую работу (изучение метода математической индукции, изучение бинома Ньютона или знакомство с общим правилом дифференцирования произведения п-функций).

Ключевые слова: методика изучения производной, дифференцирование степенной функции.

Методика преподавания элементов высшей математики в средней школе зародилась еще в начале XX века, когда были обновлены программы реальных училищ и кадетских корпусов [7], [8].

В современном школьном курсе 10-го класса понятие «производная» является центральным. В рамках этой темы изучаются следующие понятия: последовательность, предел, правила дифференцирования (производные суммы, произведения и частного) и производные конкретных функций (степенной, тригонометрических и др.). В 11-м классе изучаются вопросы дифференцирования логарифмической и показательной функций.

До настоящего времени продолжаются поиски наиболее оптимальной методики изучения этой темы [3]. Рассмотрим различные методические подходы к установлению правила дифференцирования степенной функции.

Первый подход. Использование для доказательства метода математической индукции.

Итак, пусть нам надо доказать формулу:

(хя)' =пхп-\ Докажем, что формула (хпу = пх71'1 верна при п=1.

Действительно, мы знаем, что хг = 1. Это выражение можно записать следующим образом (х1)' = 1 ■ х1'1. Значит, данная формула верна для /7=1.

Предполагаем, что формула также верна для натурального числа п=к, то есть истинно выражение

(**)'= far*-1 .

Теперь требуется доказать, что при сделанном предположении формула верна и для следующего натурального числа п=к+1, то есть верно = (к + 1)х* .

Найдем по правилу дифференцирования произведения двух функций.

(хк+1у = (хк хУ = (хку-х + хк ■ (хУ = кхк-1-х = хк ■ 1 = (к+1)хк.

Итак, формула (хпУ =пхп~1 верна при п =1. Это базис индукции, который мы доказали. Далее мы доказали, что если при п=к формула верна, то и верна для п=к+\. То есть она верна и для п =2, п =3 и т.д. Значит, формула верна для любого натурального числа п.

Таким способом доказательства пользуются А.Н. Колмогоров, А.Г. Мордкович [5], [6].

Второй подход. Использование определения производной.

Известный русский и советский автор учебников математики А.П. Киселев в книге «Начала дифференциального и интегрального исчисления» доказывает правило дифференцирования степенной функции с помощью определения производной. Причем он рассматривает более общий

случай - вычисление производной Ах71, где А и п - постоянные числа, п -целое положительное число.

Запишем по определению производной

Найдем этот предел. Согласно биному Ньютона, мы можем написать:

Следовательно,

Все члены этого многочлена, кроме первого, содержат множитель h. Значит, при бесконечно малом h (положительным или отрицательным) есть бесконечно малые величины (их пределы будут равны нулю как пределы произведений бесконечно малых на ограниченную величину), поэтому предел многочлена равен его первому слагаемому, то есть:

у' = (АхпУ = Апхп-\

Третий способ. Предлагаем еще один способ доказательства, основанный на применении правила дифференцирования /7-множителей.

Правило звучит так: «Производная от нескольких функций равна алгебраической сумме произведений, полученных от умножения производной каждой функции на произведение всех остальных функций...» [4].

Представив степенную функцию как произведение п линейных функций, получим:

Мы рассмотрели три способа доказательств, каждый из которых имеет свои преимущества и недостатки. В первом случае используется метод математической индукции, который не входит в программу школьного курса математики, поэтому использование первого подхода предполагает пропедевтическое знакомство с этим методом. Во втором случае используется бином Ньютона, который также находится за рамками школьной программы. Третий способ, на наш взгляд, является наиболее простым для понимания школьников. В школе рассматривается правило дифференцирования произведения только двух функций, но правило дифференцирования произведения /7-множителей очень похоже на правило дифференцирования произведения двух функций, поэтому не требует большой пропедевтической работы.

Представляется, что каждый из этих подходов и их сравнение дают благодатный материал для организации проектной деятельности старше-

классников [1], [2]. При этом важно обратить внимание старшеклассников на то, что для всех этих способов есть один существенный недостаток -доказательства в них приводятся только для случая степени с натуральным показателем, а в дальнейшем правило используется для дифференцирования степенной функции с дробным (действительным) показателем.

Библиографический список

1. Горев П.М., Козлова Е.В. Содержание и структура курса «Основы проектной деятельности и научного творчества» для учащихся старших классов средней школы // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2015. - № 2 (февраль). -С. 76-80. - URL: http://e-koncept.ru/2015/15040.htm.

2. Горев П.М., Рычкова О.В. Открытые задачи как средство достижения школьниками метапредметных результатов на современном креативном уроке математики // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2015. - № 5 (май). - С. 16-20. -URL: http://e-koncept.ru/2015/15132.htm.

3. Калинин С.И., Ястребов А.В. Избранные вопросы математического анализа и методики его преподавания: деятельностный аспект. Киров: Издательство «Радуга-ПРЕСС»,2015.-257 с.

4. Киселев А.П. Начала дифференциального и интегрального исчислений. - М.: В.В. Думнов, 1913.-189 с.

5. Колмогоров А.Н. и др. Алгебра и начала математического анализа: учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений / Под ред. А.Н. Колмогорова. - М.: Просвещение, 2008.-384 с.

6. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы / А.Г. Мордкович, П.В. Семенов. - М.: Мнемозина, 2010. - 202 с.

7. Саввина О.А., Луканкин Г.Л. Опыт преподавания высшей математики в реальном училище в начале XX века // Педагогика. - 2002. - № 8. - С. 72-76.

8. Саввина О.А. Становление и развитие обучения высшей математике в отечественной средней школе: Автореф. дис. ... д-ра пед. наук. - 2003. - 40 с.

ОБ ОДНОЙ БЛОК-СХЕМЕ ПРОГРАММЫ КОМПЬЮТЕРНОГО ТЕСТИРОВАНИЯ ЗНАНИЙ СТУДЕНТОВ

Д.А. Шахбазян

Елецкий государственный университет им. И А. Бунина, г. Елец; студент института математики, естествознания и техники (Научный руководитель: кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики и методики ее преподавания В.Е. Щербатых)

Аннотация. В статье приводится блок-схема программы компьютерного тестирования знаний студентов по курсу дисциплины «Математический анализ» с разъяснениями некоторых элементов и процессов выполнения алгоритма.

Ключевые слова: самостоятельная работа, тестирование, блок-схема, программа, алгоритм, методика преподавания математического анализа.

Как известно, повышение уровня математического образования является приоритетным направлением ведущих стран мира. И это не случайно, т.к. математические методы в последние десятилетия становятся универсальными методами исследования и применяются в очень многих сферах деятельности человека.

Казалось бы, что в этих условиях изучение математики должно быть приоритетным и в нашей стране. Но с присоединением к Болонской конвенции в отечественном образовании начался процесс, характеризующий довольно сильное уменьшение количества часов, отводимых на фундаментальные науки, и, в частности, на математический анализ [1, с. 404].

В новых складывающихся условиях необходимо принимать какие-то дополнительные меры для минимизирования этого явления, т.е. падения уровня математического образования. Одним из инструментов в этом направлении является самостоятельная работа студентов, без чего невозможно образование студентов всех форм обучения во всех вузах России.

Рис.1. Блок-схема тестирующей программы по математическому анализу

Любая самостоятельная работа предполагает наличие основных факторов:

а) постановка целей и формирования плана работы;

б) корректировка самостоятельной деятельности;

в) контроль и оценка приобретенных знаний и навыков.

Считаем, что в данном контексте пристальное внимание необходимо уделить специализированным компьютерным программам, которые, несомненно, окажут большую помощь обучающимся и будут являться эффективными помощниками в самостоятельном изучении математики.

Программы тестирования, вообще говоря, существуют давно, их много, но в них не реализованы в должной мере корректировка самостоятельной работы и процесс приобретения знаний и умений.

Мы хотим создать такой программный продукт, который бы воплощал все вышесказанное применительно к основным разделам дисциплины «Математический анализ». Предполагаем, например, что студент сдает зачет по теме «Пределы функции». В назначенное время на кафедре начинается тестирование с использованием программы (смотри блок-схему).

Перечень категорий означает, что тестирование осуществляется по многим разделам дисциплины (эти разделы имеются в предложенном меню) и следующим шагом необходимо выбрать какой-то конкретный из них («Предел функции»). Исходя из опыта, установлено, что по данной тематике примеров должно быть не менее десяти типов. В соответствующих базах данных находятся по 10 вариантов примеров на каждый тип. При тестировании программа случайным образом выбирает примеры из баз данных и формирует из них тест. В этом заключается операция «случайная выборка вопросов». Несомненно, что в этом случае мы добиваемся достаточно высокой степени вариативности тестовых компонентов, что положительно скажется на объективности результатов тестируемой группы (и даже групп) студентов.

Условный оператор «Результат положительный?» выполняется, если сделано восемь из десяти предложенных примеров. В этом случае студент либо заканчивает работу, либо начинает проходить тест по другой тематике.

Блок условия «Хотите еще раз пройти тест?» предназначен для студентов, которые имеют знания по разделам тестирования, но по каким-то причинам несерьезно отнеслись к предложенным примерам. Очевидно, здесь должен стоять счетчик количества тестирований (не более 3 раз). На этом заканчивается первый этап разработки программы.

Второй этап будет включать в себя анализ ошибок тестируемого с перенаправлением его к соответствующим разделам теории и практики (разобранные решения примеров, подобных тем, что в тесте), также хранящихся в соответствующих базах данных и предложением пройти тест заново.

Приношу благодарность научному руководителю - к. ф.-м. н., доц. В.Е. Щербатых за помощь в работе.

Библиографический список

1. Щербатых В.Е. О некоторых аспектах математического образования // Бесконечномерный анализ, стохастика, математическое моделирование: новые задачи и методы. Проблемы математического и естественнонаучного образования. Тезисы и тексты докладов Международной конференции 15-18 декабря 2014 г. - М.: РУДН, 2014.

К ВОПРОСУ ОБ ИЗУЧЕНИИ ТЕМЫ «ПРОИЗВОДНАЯ» В КУРСЕ АЛГЕБРЫ И НАЧАЛ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Н.Ю. Алейникова

Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина, г. Елец; студентка института математики, естествознания и техники (Научный руководитель: кандидат педагогических наук, доцент кафедры математики и методики ее преподавания Т.М. Сафронова)

Аннотация. В статье рассматриваются некоторые выводы, сделанные автором на основании рассмотрения особенностей изучения темы «Производная» в курсе алгебры и начал математического анализа в 10-ом классе общеобразовательной школы. В этой связи указаны требования к уровню подготовки выпускников по теме «Производная», выделен ряд трудностей, возникающих при изучении понятия предела последовательности; предложена методическая схема изучения производной функции в основной общеобразовательной школе.

Ключевые слова: производная, предел, начала математического анализа, требования к уровню подготовки выпускников.

Начиная с 1 сентября 2011 года во всех школах Российской Федерации поэтапно вводятся в действие федеральные государственные стандарты общего образования. Схема введения такова: с 01.09.2011 - ФГОС начального общего образования; с 01.09.2015 - ФГОС основного общего образования; с 01.09.2020 - ФГОС среднего общего образования.

В 2015-2016 учебном году образовательный процесс в 10-11 классах школ страны строится в соответствии с требованиями государственного стандарта общего образования 2004 года. ФК ГОС среднего (полного) общего образования установлены требования к уровню подготовки выпускников. Там мы находим и соответствующие требования, являющиеся результатом изучения темы «Производная», а именно, необходимо уметь:

- вычислять производные элементарных функций, используя справочные материалы;

- исследовать в простейших случаях функции на монотонность, находить наибольшие и наименьшие значения функций, строить графики многочленов с использованием аппарата математического анализа;

- использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для решения прикладных задач, в том числе социально-экономических и физических, задач на наибольшие и наименьшие значения, на нахождение скорости и ускорения [3].

Понятие «производная» возникло в процессе многовековых усилий, которые были направлены на решение целого ряда задач математики и естествознания, требовавших вычисления предела. Являясь мощным средством для исследования функций, производная позволяет решать задачи из различных областей алгебры, геометрии, физики, экономической теории.

В общеобразовательной школе тема «Производная» традиционно является одним из основных разделов начал математического анализа.

Введению производной функции предшествует введение понятия предела последовательности. Необходимо отметить, что при изучении названного понятия возникает целый ряд трудностей, в том числе и методических:

- ограниченность времени;

- сложная для понимания связь между понятием предела и понятием бесконечности;

- сложное для восприятия определение предела (рассматривается неравенство с модулем, которое должно выполняться при всех п, больших некоторого числа N, и для любого бесконечно малого значения £ > 0);

- отсутствие пропедевтики;

- изолированность темы от других тем школьного курса математики;

- недостаточность методической разработанности темы.

В школьных учебниках к понятию производной функции приходят после рассмотрения нескольких задач, таких как, например, задачи о скорости химической реакции, о мгновенной скорости прямолинейного движения тела, о мгновенной величине тока, о проведении касательной к графику функции. В них показываются особенность и важность вычисления предела определенного вида, а именно предела отношения приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента. При этом приращение аргумента стремится к нулю. Если предел существует, то его и называют производной функции в данной точке. Необходимо заметить, что в школьном курсе математики определение понятия производной функции в разных учебниках формулируется по-разному.

После введения определения понятия производной функции необходимо еще раз обратить внимание учащихся на такие понятия, как: фикси-

рованная точка и ее окрестность, приращение аргумента и приращение функции. После приобретения школьниками навыков вычисления производных элементарных функций с помощью изученного определения необходимо рассмотреть геометрический смысл производной. Далее составляется таблица производных элементарных функций и приобретаются навыки вычисления производных с помощью этой таблицы. Понятиям «производная», «геометрический смысл производной», «механический смысл производной» надо уделить особое внимание, так как решение большого количества прикладных задач требует соответствующих знаний. Кроме того, эти знания необходимы и при решении заданий, включенных в КИМ единого государственного экзамена.

В процессе нашего исследования была составлена следующая методическая схема изучения производной и ее приложений в общеобразовательной школе на базовом уровне:

1) рассмотрение задач, приводящих к определению понятия производной функции и раскрывающих его физический смысл;

2) введение понятий «фиксированная точка и ее окрестность», «приращение аргумента» и «приращение функции»;

3) формулирование определения понятия производной функции;

4) проведение анализа полученного определения;

5) закрепление определения путем вычисления производных функций;

6) выяснение геометрического смысла производной;

7) графическое отыскание производной;

8) изучение теорем о вычислении производной;

9) рассмотрение приложений производной;

10) обучение «чтению» графика производной функции.

Библиографический список

1. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 кл.: Учебник / А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов и др.; под ред. А.Н. Колмогорова. - М.: Просвещение, 2012.

2. Мордкович А.Г., Семенов П.В. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 кл. Ч. 1: Учебник для уч-ся общеобр. учрежд. - М.: Мнемозина, 2013.

3. Сафронова Т.М., Симоновская Г.А., Черноусова Н.В. Компетентностный подход в современном российском образовании и его реализация при подготовке учащихся к единому государственному экзамену по математике // Вестник Елецкого государственного университета им. И.А. Бунина: Серия «Педагогика» (История и теория математического образования). - Елец: ЕГУ им. И.А. Бунина, 2011. - С. 155-163.

4. Сафронова Т.М., Симоновская Г.А., Черноусова Н.В. Практика реализации компетентностного подхода в подготовке школьников к ЕГЭ // Традиции и инновации отечественной школы: Проектирование образовательного процесса в условиях перехода на ФГОС нового поколения. Материалы регион, научно-практич. конф. - Елец: ЕГУ им. И.А. Бунина, 2011. - С. 200-205.

5. Федеральные государственные образовательные стандарты, http://www.edu.ru

К ВОПРОСУ О ПРИМЕНЕНИИ ИГРОВЫХ ТЕХНОЛОГИЙ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ

Ю.Е. Дворникова

Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина, г. Елец; студентка института математики, естествознания и техники (Научный руководитель: кандидат педагогических наук, доцент кафедры математики и методики ее преподавания Т.М. Сафронова)

Аннотация. В статье рассказывается о применении элементов игровых технологий на современном уроке математики, даются методические рекомендации по выполнению заданий с элементами игры на различных этапах урока.

Ключевые слова: игровые технологии, урок математики, задания с элементами игры.

От того, какие формы организации учебного процесса по математике выберет учитель, зависят эффективность и результат обучения школьников. В этой связи предпочтение следует отдавать именно активным методам обучения, например использованию элементов игровых технологий. Это надежный способ формирования интереса к предмету, развития таких качеств интеллектуальной сферы личности, как внимание, память, речь, математическое мышление. Кроме того, применение игровых технологий позволяет вырабатывать у школьников потребность в самостоятельной работе по приобретению знаний, умений и навыков, по овладению компетенциями [2], [3], [4].

Психологи отмечают, что в процессе обучения предмету школьникам лучше запоминаются именно нестандартные и яркие моменты - игровые элементы.

Готовясь к уроку и составляя конспект, учитель должен задать себе вопросы: нельзя ли предложить учащимся материал в игровой форме? Будет ли это эффективно на конкретном уроке? Выиграет ли урок в дидактическом и воспитательном отношении?

Заметим, что игровые моменты возможно применять на различных этапах урока, но чаще всего их используют на этапах закрепления материала, чтобы отвлечь учеников от монотонного решения стандартных задач [1]. Приведем несколько методических разработок - примеров нестандартных заданий и заданий с элементами игры.

Пример первый. В 6 классе, изучая признаки делимости на 2, 3, 5, 9, можно предложить обучающимся следующее задание:

Вместо звездочки подставьте цифру таким образом, чтобы получившееся число делилось на 2,3,5,9: *35, 2*5, 34*, *92.

Пример второй. На этапе закрепления изученных на уроке формул сокращенного умножения можно предложить ученикам соотнести предложенные формулы:

Пример третий. Следующая игра может быть проведена как на этапе закрепления материала, так и на уроке контроля знаний.

Каждый ученик получает конверт, в котором лежит большая карта с числами - ответами к заданиям. Так, например, на карте нарисованы шесть прямоугольников с записанными внутри ответами. Кроме того, в конверте лежит набор карточек (например, 7-8 штук), на одной стороне которых находятся сами задания, а на другой - элемент зашифрованной записи (часть символа). Выполнив указанное на карточке задание и получив результат, ученик ищет подобный ответ на большой карте. Далее он накладывает карточку на соответствующий ответ карты лицевой стороной вниз. Когда все задания выполнены, то записи (символы) на карточках, разложенных по карте в должном порядке, составят какую-то фразу (упорядоченный набор цифр, чертеж, букву и т.п.). Таким образом, учителю будет легко определить результат работы каждого ученика.

Данный способ закрепления и контроля подойдет для любой темы в курсе математики: нахождение числа от дроби, действия над десятичными и обыкновенными дробями, действия над целыми числами, формулы сокращенного умножения, нахождение производной и т.д.

Пример четвертый. Изучая тему, например, «Действия над действительными числами», можно предложить ученикам такое задание:

Решите:

27+15=а,

45-а-(-18)=Ь,

Ь+(-12,8) + 0,4=с

17,6; 42; 21; -15; 33.

Решив первое уравнение, школьник ищет полученное число среди данных ответов, если он его не находит, значит уравнение решено не правильно. Выполнив все задание, ребенок подает учителю тетрадь с расшифрованным ответом.

Можно также использовать другой вариант: зашифровать какое-то слово, например тему урока, и в строке с вариантами ответов напротив каждого числа поставить соответствующую букву, чтобы в итоге получилось задуманное слово.

Пример пятый. В старших классах на уроках алгебры также можно использовать игровые моменты. В 9 классе школьники изучают много новых функций. Когда уже накопятся определенные знания о функциях, можно провести небольшую игру, например, при объяснении функций вида у=х2п+1 или у=х~п(п G N). Игра проводится следующим образом. Разбивают класс на две команды и задают вопросы. За каждый правильный ответ называют координаты (абсциссу, ординату или обе сразу) нового графика. Побеждает та команда, которая быстрее построит график функции. У каждой команды должна быть своя функция, например, х3 и х5. Вопросы могут быть следующими: область определения и значения параболы или гиперболы, четность и нечетность этих функций, промежутки возрастания и убывания, по какой оси смещается функция у=х +7, у=(х+3) , найти вершину и точки пересечения с осью Ох графика функции у=х +10х+25 и т.д. Таким образом, ученики повторяют пройденный материал, при этом разбирая новую тему.

Мы привели лишь некоторые примеры использования элементов игры на уроке, но можно провести игру длиной в урок. Эффективным продолжением таких уроков, с нашей точки зрения, может служить творческое домашнее задание, например, написать сочинение, придумать сказку по теме и т.п. При этом неоспорим тот факт, что применение игровых технологий при обучении математике требует серьезной подготовки учителя к занятию.

Библиографический список

1. Горев П.М., Сопот А.О. Игровые формы организации познавательной деятельности учащихся 5-6 классов на различных этапах урока математики // Концепт. — 2014. — Т. 26. - С. 541-545. - URL: http://e-koncept.ru/2014/64397.htm.

2. Коваленко В.Г. Дидактические игры на уроках математики: Книга для учителя. - М.: Просвещение, 1990. - 96 с.

3. Сафронова Т.М. Об использовании в учебном процессе активных и интерактивных форм проведения занятий // Вестник Елецкого государственного университета им. И.А. Бунина. Вып. 36: Серия «Педагогика» (История и теория математического образования). - Елец: ЕГУ им. И.А. Бунина, 2015. - С. 181.

4. Сафронова Т.М., Скиба М.В. К вопросу о методике организации и проведения современного урока математики в нетрадиционной форме // Вестник Елецкого государственного университета им. И.А. Бунина. Вып. 11 : Серия «Педагогика» (История и теория математического образования). - Елец: ЕГУ им. И.А. Бунина, 2006. -С. 314.

5. Сафронова Т.М., Стоцкая Н.И. К вопросу о развитии интереса в процессе обучения математике // Вестник Елецкого государственного университета им. И.А. Бунина.

Вып.11: Серия «Педагогика» (История и теория математического образования). -Елец: ЕГУ им. И.А. Бунина, 2006. - С. 318. 6. Шуба М.Ю. Занимательные задания в обучении математике: Книга для учителя. Учебное издание. - М.: Просвещение, 1994. - 222 с.

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ В КИМ ЕДИНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИКЕ

А.В. Кобзева

Елецкий государственный университет им. И. А. Бунина, г. Елец; студентка института математики, естествознания и техники (Научный руководитель: кандидат педагогических наук, доцент кафедры математики и методики ее преподавания Н.В. Черноусова)

Аннотация. В статье рассмотрены вопросы возникновения и развития теории вероятностей и математической статистики в школьном математическом образовании.

Ключевые слова: ЕГЭ по математике, элементы теории вероятностей, ФГОС.

Развитие теории вероятностей с момента возникновения этой науки и до настоящего времени отличается неким своеобразием.

На начальном этапе зарождения этой науки ее рассматривали как занимательный «пустячок», как собрание курьезных задач, связанных в первую очередь с азартными играми в кости и карты. Основателями теории вероятностей были французские математики Б. Паскаль и П. Ферма и голландский ученый X. Гюйгенс, в переписке которых были введены основные понятия этой теории - вероятность события и математическое ожидание [3].

Важнейший этап теории вероятностей связан с именем швейцарского математика Я. Бернулли. Им было дано доказательство частного случая закона больших чисел, так называемой теоремы Бернулли. Именно с того времени теория вероятностей определилась как математическая наука.

Строгое логическое обоснование теории вероятностей произошло в XX в. и связано с именами советских математиков С.Н. Бернштейна и А.Н. Колмогорова. Возникновение и развитие теории вероятностей было обосновано необходимостью ее применения, начиная от хозяйственно-прикладных вопросов и заканчивая самыми тонкими теоретическими вопросами теории информации и теории случайных процессов.

В 2004 году в стандарты школьного математического образования проникли идеи, касающиеся изучения элементов теории вероятностей, статистики и комбинаторики. По инициативе А.Н. Ширяева в МЦНМО созда-

ется рабочая группа под руководством Ю.Н.Тюрина. И с 2007 года теория вероятностей становится обязательным элементом школьного курса математики.

Впервые задача на использование элементов теории вероятностей появилась в КИМ ЕГЭ по математике в 2012 году. Ее появление в первой части КИМ ЕГЭ потребовало уже не формального, а действительного включения изучения элементов теории вероятностей и элементов комбинаторики в курс математики старшей школы. Данная «инновация» (многие годы подобный курс входил лишь в программу углубленного изучения математики) вызвала некоторую озабоченность (а иногда и растерянность) в учительских кругах - ведь многие учителя в последний раз встречались с «задачами на вероятность» в лучшем случае на курсах повышения квалификации, а то и, вообще, в студенческие годы. Массу вопросов с самого начала вызывал и уровень сложности новых задач, а соответственно и необходимый уровень глубины изучения данной темы [1].

В базовом и в профильном уровнях КИМ ЕГЭ по математике предлагаемые задачи по теории вероятностей распределены по двум основным темам: «Классическое определение вероятности», «Теоремы о вероятности событий». Анализ литературы по подготовке к ЕГЭ по математике позволил нам разделить предлагаемые прототипы на несколько основных групп, отличающихся способом решения [5].

На основе проделанной работы мы пришли к выводу, что предлагаемые задачи не просто разнотипны, но и требуют различных методических подходов при поиске их решения, набор задач, предлагаемых школьникам для подготовки к ЕГЭ по математике не систематизирован.

Сделанный вывод актуализировал необходимость выполнения сравнительного логико-математического анализа учебников, в которых рассматриваются элементы теории вероятностей и математической статистики. Мы остановились на следующих двух [2], [4] и позволим себе утверждать, что, по нашему мнению, для изучения теории вероятностей и математической статистики в школьном курсе математики наиболее структурированным, целостным является учебник под редакцией Г.В. Дорофеева и И.Ф. Шарыгина.

На наш взгляд, этот учебник имеет ряд преимуществ:

1) материал, предложенный в учебном пособии, рассчитан на 5-9 классы. Это позволяет уже в 5-6 классах начать формировать вероятностные представления, что, по мнению психологов, считается удачным;

2) с первых разделов изучения ведется работа по анализу данных (сбор, представление и анализ информации), работа с таблицами и диаграммами;

3) авторы учебника в качестве упражнений предлагают провести ряд экспериментов, что необычно и интересно для урока математики и призвано вызвать у учащихся неподдельный интерес, привить любовь к предмету;

4) авторский коллектив ставит перед самой комбинаторикой в первую очередь цель развития мышления школьников, использования комбинаторных знаний для решения задач прикладного характера.

На основе проведенного исследования мы подтвердили тезисы о том, что изучение теории вероятностей и математической статистики способствует развитию логического мышления, расширению кругозора, формированию математической культуры учащихся, возможности использования математических методов и технологий статистической обработки в различных исследованиях. Однако методика изучения темы требует дальнейших разработок, а наборы задач, предлагаемые в учебных пособиях по математике, требуют более тщательной систематизации.

Библиографический список

1. Дворяткина С.Н., Черноусова Н.В. Классификация математических задач как необходимое условие эффективной организации итоговой проверки знаний учащихся // Вестник Елецкого государственного университета имени И.А. Бунина. Вып. 36. Серия «Педагогика» (История и теория математического образования) - Елец: ЕГУ им. И.А. Бунина , 2015. - С. 107-114.

2. Дорофеев Г.В., Шарыгин И.Ф., Суворова С.Б. Математика 5, 6, 7, 8. - М.: Просвещение, 2010-2011.

3. Егорченко И. В. Методика изучения элементов комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики: учебное пособие для студентов математических специальностей педагогических вузов. - Саранск: МГПИ, 2011. - 282 с.

4. Зубарева И.И., Мордкович А.Г. Математика 5, 6. - М: Мнемозина, 2009.

5. Семенов А.В. и др. Оптимальный банк заданий для подготовки к ЕГЭ. Единый государственный экзамен 2015. Математика: Учебное пособие / Под ред. И.В. Ященко; Московский центр непрерывного математического образования. - М.: Интеллект-Центр, 2015.-88 с.

ЭВРИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ПРИ ПОДГОТОВКЕ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ

Е.С. Мананкова

Елецкий государственный университет им. И А. Бунина, г. Елец; студентка института математики, естествознания и техники (Научный руководитель: кандидат педагогических наук, доцент кафедры математики и методики ее преподавания Н.В. Черноусова)

Аннотация. В статье проанализированы возможности применения эвристических методов при подготовке к единому государственному экзамену по математике.

Ключевые слова: эвристика, метод, ЕГЭ по математике.

В связи с внедрением единого государственного экзамена (ЕГЭ) в практику российской школы проблема совершенствования подготовки школьников становится по-новому актуальной. В настоящее время ЕГЭ занимает одно из ведущих мест в системе оценки качества образования.

В рамках ЕГЭ по математике в 2016 году школьники столкнутся не только с темами, которые изучали в 10 и 11 классах, но и со всей школьной программой по математике. С 2015 года ЕГЭ по математике разделили на базовый и профильный уровни. Первый сдают те школьники, которые не планируют связывать свою дальнейшую профессиональную деятельность с математикой. Результаты данного экзамена позволяют получить аттестат о полном среднем образовании, но не дают возможность их предъявить в приемную комиссию ВУЗа. Если же математика необходима для поступления в ВУЗ, школьникам необходимо сдавать профильный уровень.

Математика «для жизни» будет оцениваться по пятибалльной шкале, математика для дальнейшего обучения - по стобалльной.

Одними из основных проблем, которые ежегодно выявляют результаты ЕГЭ по математике, являются проблемы подготовки «слабых» учащихся и учащихся, желающих получить высокие баллы, позволяющие поступать в престижные ВУЗы [2].

По нашему мнению, для разрешения обозначенных проблем необходимо не только всесторонне развивать разноуровневое обучение и обобщающее повторение, но и использовать методы эвристического обучения [1].

К сожалению, можно сказать, что в школе при подготовке к ЕГЭ мало или совсем не применяются эвристические методы.

В настоящее время разработано несколько десятков эвристических методов, которые вполне возможно применять в практике российской школы. Универсальных среди них нет, и в каждой конкретной ситуации нужно пробовать применять ряд методов, поскольку основное их предназначение заключается в активизации творческой деятельности учащегося. При решении заданий ЕГЭ повышенной сложности ученик должен применить смекалку, взглянуть на задание под другим углом. Нужно учиться использовать наличный запас знаний, применяя различные «хитрости» и «правдоподобные рассуждения» для получения ответа наиболее простым и понятным способом. Все это способствует развитию продуктивного мышления.

Так, например, рассмотрим задание № 3 из сборника под редакцией Ф.Ф. Лысенко [3].

На клетчатой бумаге с клетками 1 см х 1 см изображен треугольник (см. Рис.). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.

Это задание обычно решают с помощью известной формулы для вычисления площади треугольника, но возможно применение и эвристических методов. Например, установив со школьниками формулу Пика [5]. Применив ее при решении этого задания, можно с легкостью вычислить площадь изображенного на рисунке треугольника.

Площадь искомой фигуры можно найти по формуле:

m - количество узлов на границе треугольника (на сторонах и вершинах); п - количество узлов внутри треугольника;

Под «узлами» имеется в виду пересечение линий.

Таким образом, применив данную формулу, можно найти площадь данного треугольника:

S = — +17-1 2

S= 8+17-1 S= 24 (ед2).

Также задания № 17, № 18, № 19, самые сложные и нестандартные, подвластны тем, кто не просто хорошо знает математику, а увлечен и постоянно совершенствуется. От ученика требуются оригинальное, нестандартное мышление, смекалка, изобретательность. Само решение занимает на тетрадном листе немного места, но поразмыслить придется.

Большой потенциал представляют также задания открытого типа, с помощью которых удается достичь довольно высоких результатов на современном уроке [4]. Эти задания, несомненно, окажут помощь при подготовке к единому государственному экзамену.

Как известно, креативное, творчески ориентированное образование позволяет воспитывать нестандартно мыслящих людей, способных грамотно решать проблемы, эффективно работать в самых разнообразных областях деятельности независимо от формальной специальности.

Библиографический список

1. Единый государственный экзамен: Математика: 2015-2016. Контр, измерит, матер. / Л.О. Денищева, Г.К. Безрукова, Е.М. Бойченко и др.; под ред. Г.С. Ковалевой. - М.: Просвещение, 2015. - 80 с.

2. ЕГЭ. Математика: типовые экзаменационные варианты: 36 вариантов / Под ред. И.В. Ященко. - М.: Изд-во «Национальное образование», 2015. - 272 с.

3. Математика. Подготовка к ЕГЭ - 2016. Профильный уровень: Учебно-методическое пособие / Под ред. Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова. - Ростов н/Д.: Легион, 2015. -352 с.

4. Горев П.М., Рычкова О.В. Открытые задачи как средство достижения школьниками метапредметных результатов на современном креативном уроке математики // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2015. - № 5 (май). - С. 16-20. -URL: http://e-koncept.ru/2015/15132.htm.

5. Добрина Е.А., Мельников Р.А. Формула Пика и её применение // Проблемы совершенствования математической подготовки в школе и вузе: Материалы Всероссийской конференции / Под ред. В.Л. Матросова, Л.И. Боженковой. М.: ФГБОУ ВПО МПГУ; Калуга: «Эйдос», 2012. - С. 101-103.

ХАРАКТЕРИСТИКА ЭЛЕКТРОННЫХ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ РЕСУРСОВ: СТРУКТУРНЫЙ АНАЛИЗ

М.О. Черноусов

Елецкий государственный университет имени И.А. Бунина, г. Елец; аспирант института математики, естествознания и техники (Научный руководитель: доктор педагогических наук, профессор, зав. кафедрой математики и методики ее преподавания О.А. Саввина)

Аннотация. В статье дается характеристика электронных образовательных ресурсов. Рассмотрена структура электронного образовательного ресурса, виды образовательных контентов. Предложено разделение на самостоятельные и деривативные электронные издания.

Ключевые слова: информационные технологии, контент, структура образовательного ресурса.

Развитие информационных технологий обусловило появление новой формы образования - электронного образования (e-learning), то есть обучения с использованием информационно-коммуникационных технологий. Основой электронного образования являются электронные образовательные ресурсы.

Под электронным образовательным ресурсом понимают образовательный ресурс, представленный в электронно-цифровой форме (ГОСТ 52653-2006), для использования которого необходимы средства вычислительной техники [2].

В общем случае образовательный ресурс включает в себя структуру, предметное содержание и метаданные о них.

Структурированное и предметное содержание, используемое в образовательном процессе, называют образовательным контентом.

Метаданные электронного образовательного ресурса содержат стандартизированную информацию, необходимую для поиска ресурса посредством технологической системы обучения.

Основой электронного образовательного ресурса является образовательный контент.

Контент электронного образовательного ресурса может быть представлен в виде:

- учебника - издания, содержащего систематическое изложение учебной дисциплины, ее раздела, части, соответствующих учебной программе, и официально утвержденного для использования в образовательном процессе соответствующего уровня образования;

- учебного пособия - издания, дополняющего или заменяющего частично или полностью учебник и официально утвержденного для использования в образовательном процессе соответствующего уровня образования;

- учебно-методического пособия - издания, содержащего материалы по методике преподавания и изучения учебной дисциплины, ее раздела или части;

- учебного наглядного пособия - издания, содержащего, как правило, изобразительные материалы в помощь изучению и преподаванию;

- самоучителя - издания для самостоятельного изучения учебного материала без помощи руководителя;

- практикума - издания, содержащего практические задания и упражнения, способствующие усвоению пройденного;

- библиографического справочника - издания, содержащего данные и характеристики источников.

Понятно, что наполнение контента - это задача специалиста в конкретной предметной области. В случае математического образования для

создания контента в идеале необходим коллектив в составе ученого-математика, учителя математики и опытного методиста.

Кроме того, к электронному образовательному ресурсу следует отнести компьютерные обучающие программы и автоматизированные учебные курсы, официально не определенные ГОСТами. Создание этого вида ресурса невозможно без участия программиста.

Электронные издания разделяют на самостоятельные - созданные изначально в цифровой форме, и деривативные, если в их основе или в их составе используются печатные издания. Если же в электронном виде полностью воспроизводится печатное издание, то оно является электронной копией оригинального издания, но не электронным изданием [1].

В общем случае простейшее электронное издание — учебник, учебное пособие, самоучитель — может быть создано с помощью обычных офисных программ: текстовых и графических редакторов, программ создания презентаций, специальных издательских систем и др. При этом могут быть реализованы гиперссылки, инсталляции мультимедийных фрагментов, созданных в других редакторах или заимствованных из каких-то источников. Воспроизведение подобного издания возможно стандартными офисными программами и предназначено, прежде всего, для индивидуального самостоятельного использования.

В условиях внедрения ФГОС ООО использование электронных образовательных ресурсов рассматривается как необходимый элемент образования. Это приводит не только к существенным изменениям в деятельности учителей и учеников, но и повышает требования к создателям электронных ресурсов. Несомненно, использование электронных образовательных ресурсов в процессе обучения позволяет учитывать индивидуальные особенности учащихся, расширять информационное пространство, увеличивает познавательные возможности учащихся на основе организации исследовательской деятельности по предмету.

Библиографический список

1. Ильин В.А. Электронные образовательные ресурсы. Виды, структуры, технологии / Программные продукты, системы и алгоритмы. Электр.версия печ.публикации. Доступ из локальной сети ЕГУ имени И.А. Бунина. URL. http://swsys-web.ru/electronic-educational-resources.html) (дата обращения 30.03.2016).

2. Информационно-коммуникационные технологии в образовании. Электронные образовательные ресурсы. Общие положения. ЕОСТ Р53620-2009. Национальный стандарт Российской Федерации. - М.: Изд-во стандартов, 2011. - 9с.

ЭЛЕКТИВНЫЕ КУРСЫ В СИСТЕМЕ ШКОЛЬНОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ

П.В. Грузман

Елецкий государственный университет им. И. А. Бунина, г. Елец; студентка института математики, естествознания и техники (Научный руководитель: кандидат педагогических наук, доцент кафедры математики и методики ее преподавания Н.В. Черноусова)

Аннотация. В статье проанализированы возможности элективных курсов как обязательного компонента профильного обучения.

Ключевые слова: профилизация, элективные курсы.

Проблема поиска путей профессионального самоопределения старшеклассников занимает центральное место в процессе реформирования системы российского образования. Одним из приоритетных направлений в этом процессе является профилизация, основная функция которой заключается в создании особых условий обучения старшеклассников в соответствии с их будущими профессиональными интересами. Осуществление данной функции видится возможным благодаря введению в процесс обучения в старших классах элективных курсов, которые «являются обязательным компонентом профильного обучения» [1].

«Элективные курсы - это новый элемент учебного плана, дополняющий содержание профиля, позволяющий разнообразить познавательные интересы школьников» [1]. Элективные курсы могут затрагивать любую тематику как в рамках общеобразовательной программы, так и вне ее. Элективные курсы можно условно считать новейшим механизмом актуализации и индивидуализации процесса обучения. С тщательно разработанной системой элективных курсов каждый ученик может получить образование с определенным желаемым уклоном в ту или иную область знаний.

По существу, элективные курсы - важнейшее средство построения индивидуальных образовательно-профессиональных траекторий. Именно они в большей степени связаны с выбором каждым старшеклассником содержания образования в зависимости от его интересов, способностей, жизненных планов на будущее.

Типы элективных курсов выделяют следующие: предметные, межпредметные и внепредметные. На наш взгляд, такая градация несколько условна.

Предметные курсы направлены на углубление того или иного учебного предмета, имеют как тематическое, так и временное согласование с этим учебным предметом. Главной задачей предметных курсов такого на-

правления можно считать углубление и расширение знаний по предметам, входящим в базисный учебный план школы. Элективные курсы по предмету возможны повышенного уровня. Выбор такого элективного курса позволит изучить выбранный предмет не на профильном, а на углубленном уровне. А также возможны элективные спецкурсы, в которых углубленно изучаются отдельные разделы основного курса, входящие в обязательную программу данного предмета.

Примерами таких курсов из области математики могут быть курсы «Нестандартные приемы решения уравнений и неравенств», «Тригонометрия в геометрии и в алгебре», «Математическая статистика», «Комбинаторика» и др.

Межпредметные элективные курсы имеют своей целью интеграцию знаний учащихся о природе и обществе. Примерами таких курсов могут быть «Математические основы химии», «Математика и лингвистика». Например, межпредметный курс «Узнай свои возможности» может проводиться уже в основной школе, с целью оказания помощи учащимся в выборе профиля обучения в старших классах.

Элективные курсы по предметам, не входящим в базисный учебный план, можно назвать внепредметными. Это курсы, посвященные социальным, психологическим, культурологическим, искусствоведческим проблемам.

«Учащиеся должны иметь возможность осознанного выбора элективного курса, только тогда результативность элективных курсов будет достигнута. Для обоснования выбора элективного курса учащимся нужны определенные условия. Во-первых, они должны ясно осознавать свои интересы, планы. Во-вторых, учащиеся должны иметь возможность заранее познакомиться с содержанием предложенных элективных курсов, изучив их краткие аннотации в виде учебно-методических комплектов. Основная особенность элективных курсов - вариативность, что предоставляет учащемуся возможность свободного выбора индивидуальной образовательной траектории, способствующей профессиональному самоопределению старшеклассника. Элективные курсы реализуются за счет школьного компонента учебного плана и многие из них носят авторский характер» [1].

Методологические основы построения содержания образования разработаны известными российскими учеными В.В. Краевским, В.Д. Ледневым, И.Я. Лернером, М.Н. Скаткиным и др.

Рабочая программа элективных курсов содержит требования: ученик должен знать, ученик должен уметь. Как согласовать требования программы и желания ученика? Как организовать обучение через желание? Как изменить отношения между учителем и учеником?

Педагогическую и преддипломную практики я проходила в СОШ с. Троекурово Лебедянского района Липецкой области. В 11 «А» классе был

представлен социально-экономический профиль: математика изучается в базовом общеобразовательном курсе в течение 8 часов в 2 недели.

Обучающимся были предложены следующие элективные курсы: «Задачи по экономике в жизни» (вычисление процентных ставок, издержки на производстве, вычисление налогов предприятий), «Математическая логика вокруг нас».

В классах данного профиля математика имеет прикладной характер. Учитель должен привить интерес школьникам, показав, как универсальна математика и насколько применима и полезна.

Социально-экономический профиль так же, как и физико-математический, относится к курсу повышенного уровня, но математика в нем играет роль аппарата для подготовки к профессиональной деятельности. Мною был предложен для изучения элективный курс «Элементы статистики, комбинаторики и теории вероятностей».

В соответствии с письмом Министерства образования Российской Федерации от 23.09.2003 г. № 03-93 ин/13-03 «О введении элементов комбинаторики, статистики и теории вероятностей в содержание математического образования школы» рекомендуется во всех образовательных учреждениях начать с 2003/2004 учебного года курс «Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей». Следовательно, необходимо внедрять эти курсы в школы. Также следует отметить межпредметные связи между экономикой и математикой. Данная тема элективного курса актуальна в социально-экономическом профиле.

В цели курса следует отнести: приобретение определенных математических знаний, умений и навыков; развитие прикладного стиля мышления и общее развитие школьников [2].

Предпрофильное обучение ставит новую проблему: подготовить человека, умеющего находить и извлекать необходимую ему информацию в условиях ее обилия, усваивать ее в виде новых знаний, т.е. научить учиться. Решение этой проблемы можно найти, применяя личностно ориентированные технологии обучения, где важен не столько конечный результат работы ученика, но, прежде всего, сам процесс обучения.

Библиографический список

1. Концепция профильного обучения на старшей ступени общего образования. Утверждена приказом Минобразования России от 18 июля 2002 г. № 2783.

2. Черноусова Н.В., Рыманова Т.Е., Симоновская Г.А., Морозова И.Е. Современные проблемы школьного математического образования // Вестник Елецкого государственного университета имени И.А. Бунина: сб. науч. трудов. Серия «Педагогика» (История и теория математического образования)». Вып. 32. - Елец: Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина. Елец, 2012. - С. 98-100.

О РОЛИ И МЕСТЕ ПОРТФОЛИО В НОВОЙ СИСТЕМЕ ОЦЕНИВАНИЯ КАЧЕСТВА ОБРАЗОВАНИЯ

А.Ю. Клейменова

Елецкий государственный университет им. И. А. Бунина, г. Елец; студентка института математики, естествознания и техники (Научный руководитель: кандидат педагогических наук, доцент кафедры математики и методики ее преподавания Н.В. Черноусова)

Аннотация. В статье рассмотрен один из альтернативных способов оценивания в современном школьном образовании - портфолио. Автор обосновывает тезис: развитию познавательного интереса к математике, формированию устойчивой познавательной самостоятельности при изучении математики способствует создание «математического портфолио».

Ключевые слова: контроль, качество образования, портфолио.

Одной из актуальных проблем современной теории и практики образования является проблема оценивания учащихся. «Оценивание, как известно, - это контроль качества образования; инструмент, позволяющий определять развитие, прогресс в преподавательской деятельности; способ коррекции деятельности обучаемых, с помощью которого преподаватель определяет уровень подготовленности учащегося» [2]. Причем контроль -это не наказание, это обратная связь, благодаря которой можно корректировать процесс образования, для получения желаемых результатов.

Контроль качества образования - это контроль соответствия образовательного результата нормам государственного стандарта и социального заказа. «Государственные стандарты являются основой для объективной оценки уровня образования и квалификации выпускников не зависимо от форм получения образования» [2].

Стандарты второго поколения опираются на деятельностную парадигму, устанавливающую в качестве цели образования развитие личности учащегося на основе усвоения способов деятельности.

Одним из альтернативных способов оценивания является портфолио. Внедрение портфолио в образовательную практику отечественной школы показало, что в педагогической науке нет единого понимания сущности данного понятия. Например, можно встретить следующие трактовки понятия «портфолио»:

- «рабочая файловая папка, содержащая многообразную информацию, которая документирует приобретенный опыт и достижения учащихся;

- целенаправленная коллекция работ учащегося, которая: демонстрирует его усилия, прогресс, достижения в одной или более областях, во-

влекает учащегося в отбор его содержания, определения критериев отбора; содержит критерии для оценивания портфолио и свидетельства о рефлексии учащегося;

- своеобразная выставка работ учащихся, задачей которой является отслеживание его личностного роста;

- отчет по процессу обучения ребенка: что ребенок узнал и как проходил процесс обучения; как он думает, подвергает сомнению, анализирует, синтезирует, производит, создает и как он взаимодействует на интеллектуальном, эмоциональном и социальном уровнях с другими;

- целеустремленное собрание работ ученика, которое показывает учащимся их усилия или достижения в одной или более областях;

- форма непрерывной оценки в процессе непрерывного образования, который смещает акценты от житейских факторов традиционной оценки к гибким условиям оценки альтернативной. Учебное портфолио легко интерпретируется в профессиональные и служебные системы оценки, что дает возможность раннего формирования профессионально значимых умений учащегося» [3].

Анализ приведенных определений позволяет сделать вывод, что портфолио - это собрание личных достижений ученика, которое формируется самостоятельно и показывает реальный уровень подготовленности и активности учащегося в различных учебных и внеучебных видах деятельности.

В образовательной практике используются различные виды (модели) портфолио. Например, В.К. Загвоздкин предлагает следующие «виды портфолио:

- «Портфолио достижений» (документ единого образца, представляющий папку с файловыми вкладышами; такой вид портфолио может включать следующие разделы: общие данные личности и перечень достижений);

- «Портфолио курсов» (портфолио - не есть самоцель; формирование портфолио должно иметь смысл в контексте учения, поэтому исходный пункт работы с портфолио - это постановка вопроса, открытой комплексной задачи, формулировка проблемы; само портфолио служит свидетельством ступени достижения поставленной цели)» [2].

Т.Г. Новикова выделяет:

- портфолио документов,

- портфолио работ,

- портфолио отзывов [4].

Исследователи Волгоградского государственного педагогического университета считают, что вышеперечисленные разновидности портфолио можно объединить в «Портфолио внешних достижений». Они разработали и апробировали в ряде образовательных учреждений Волгоградской области «Личностное портфолио старшеклассника», которое представлено в ви-

де персональных дневников. Юноши и девушки совместно с психологом, учителем или классным руководителем проводили рефлексивный анализ происходивших с ними изменений. Изменения могли затрагивать укрепление индивидуальных ресурсов («Портфолио успешной личности»), усиление лидерской позиции как основы будущей сферы профессиональной деятельности («Портфолио лидера детских и молодежных групп»), фокусирование активности на обеспечении будущей жизненной успешности («Портфолио развития» для учащихся интернатных учреждений, вечерних школ и классов педагогической поддержки) [4].

На наш взгляд, развитию познавательного интереса к математике, формированию устойчивой познавательной самостоятельности при изучении математики способствует создание особого «математического портфолио». Данный вид портфолио позволит:

1) отследить успеваемость учеников по математике;

2) выявить учащихся, которые имеют повышенный интерес к математике;

3) активизировать внеклассную и внешкольную работы по математике;

4) создать условия для продолжения образования учащихся с особыми образовательными потребностями в области математики.

Библиографический список

1. Дуэль А. Средний балл аттестата будет приравнен к ЕГЭ // Российская газета (10.06.2013) [Электронный ресурс] //http://www.rg.ru/2013/06/10/attestat-site.html

2. Портфолио достижений ученика - шаг в сторону реформирования оценочной системы в школе // Профильная школа. - 2004. - № 5. - С. 65 -67.

3. Теория и практика организации предпрофильной подготовки / Под ред. Т.Г. Новиковой. - М: АПКиПРО, 2003. - 320 с.

4. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» [Электронный ресурс] // http://festival.1september.ru

ПРОБЛЕМА РАЗГРАНИЧЕНИЯ ПОНЯТИЙ «ИНТЕГРАЦИЯ», «МЕЖДИСЦИПЛИНАРНАЯ ИНТЕГРАЦИЯ», «ИНТЕГРАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ»

В.С. Евтеев

Елецкий государственный университет им. И.А.Бунина, г. Елец; аспирант института математики, естествознания и техники (Научный руководитель: доктор педагогических наук, профессор кафедры математики и методики ее преподавания С.Н. Дворяткина)

Аннотация. В статье проводится логико-дидактический и системно-генетический анализ понятий «интеграция», «междисциплинарная инте-

грация», «интеграция математического образования», выявляется их сущность, устанавливаются области пересечения. Обосновывается проблема комплексного исследования аспектов междисциплинарной интеграции: что интегрировать, как интегрировать и во имя чего интегрировать.

Ключевые слова: междисциплинарная интеграция, интеграция математического образования, интегративный подход, виды интеграции, интегративные процессы.

Необходимость обращения к интегрированному обучению сегодня вызвана рядом объективных причин.

Во-первых, современный уровень развития экономики, производства ориентирован на подготовку широко образованной профессиональной элиты, т.е. приоритетным направлением в области образования является целостная подготовка профессионалов, обеспечивающая им адаптацию к социально-экономическим реалиям, широту будущего профессионального маневра.

Во-вторых, ключевая проблема повышения качества образования сводится сегодня к вопросу о переходе от знаниевой модели образования «ЗУН» к новой парадигме образования, ориентированной на целостное развитие личности учащегося, формирование целостного миропонимания. В связи с этим важнейшая задача образования заключается в преодолении исторически возникшего разобщения естественнонаучных и гуманитарных компонентов культуры с целью формирования у обучающихся целостной картины мира - научной и социальной, единства способов ее познания [6]. Существует мнение, что образовательные технологии должны быть ориентированы не на дисциплинарное разграничение знания, а на интеграцию и глобализацию знаний и, как следствие, на уход от жесткой специализации, существовавшей долгие годы в высшей отечественной школе.

Следующей причиной является заметное снижение интереса учащихся к предметам естественно-математического цикла, что во многом обусловлено объективной сложностью математики. Сама специфика математики на современном уровне побуждает к комплексному подходу в обучении школьников этому предмету, т.е. логика данной науки ведёт к их объединению, интеграции [1].

Invia est scientia via sine lingua Latina (нет пути в науке без латинского языка) - говорит латинское изречение. Действительно, большинство слов современной математической лексики восходит к латыни. До XVI века латынь была единственным языком науки. Он был непонятен непосвященным, но постепенно латинские слова, претерпев ряд изменений, вошли в лексику национальных языков. Этот процесс особенно сказался на языках романской группы, возникших после распада римской империи на основе местных диалектов латинского языка. Научная лексика русского язы-

ка также связана с латинским языком как непосредственно, так и через другие европейские языки, в различные периоды русской истории широко распространенные в России [2].

Интеграция (лат. integratio) в переводе с латинского - восстановление, восполнение, integer в переводе с латинского - целый.

Таким образом, интеграция - это сторона процесса развития, связанная с объединением в целое ранее разнородных частей и элементов. Процессы интеграции могут иметь место как в рамках уже сложившейся системы - в этом случае они ведут к повышению уровня её целостности и организованности, так и при возникновении новой системы из ранее не связанных элементов. Отдаленные части интегрированного целого могут обладать различной степенью автономии. В ходе процессов интеграции в системе увеличиваются объем и интенсивность взаимосвязей и взаимодействий между элементами, в частности, надстраиваются новые уровни управления.

Рассмотрим понятие «интеграция» в трех аспектах - лингвистическом, методологическом, научном, педагогическом и методическом.

Слово интеграция для русского языка является заимствованным. Язык и время заимствования определить трудно. Возможно, что предмет заимствования - это математика с такими ее понятиями, как интегрирование и интеграл. В таком случае время заимствования - XVII век, язык -французский.

В словаре Д.Н. Ушакова «Большой толковый словарь современного русского языка» термин «интеграция» используется в двух значениях: как действие и как объединение в целое каких-нибудь частей или элементов в процессе развития [12]. Общее значение слова - объединение в целое различных частей, а также восстановление. Такое толкование слова соответствует его этимологии. Аналогичное толкование дается в словаре иностранных слов. «Интеграция» (от лат. integratio - восстановление, восполнение; integer - целый) означает: объединение в целое каких-либо частей, элементов; процесс взаимного приспособления и объединения.

В философских науках преобладало понимание интеграции как качественной характеристики макросистем (обществ, культур, цивилизаций). Культуры рассматривались как замкнутые, интегрированные органические единицы, характеризующиеся внутренней согласованностью составляющих их элементов, естественным внутренним равновесием, воплощающие в себе некие общие принципы, единые «культурные конфигурации», специфические «национальные идеи» или «коллективный дух» [8]. Таким образом, интеграция с философской точки зрения характеризуется единым объединяющим началом, которое присуще разному содержанию и способствует созданию нового, целостного содержания (Н.Р. Ставская, М.Г. Чепиков).

Под интеграцией в педагогическом процессе исследователи понимают одну из сторон процесса развития, связанную с объединением в целое ранее разрозненных частей. Этот процесс может проходить как в рамках уже сложившейся системы, так в рамках новой системы. Сущность процесса интеграции - качественные преобразования внутри каждого элемента, входящего в систему [10]; [11].

Следует заметить, что понятие интеграции в педагогике полисемантично и означает «путь, позволяющий выявлять, вводить и конструировать иерархические связи между элементами педагогических систем; средство построения педагогических моделей; путь, ведущий систему к целостности; закономерности в педагогических явлениях, процессах и системах» -констатирует Е.Н. Пузанкова [11].

Под педагогической интеграцией С.Ю. Полянкина понимает «процесс формирования, развития и становления человеческой цельности в условиях осуществления педагогической деятельности» [10]. В то же время интеграцию образования ученый трактует как «интериоризацию содержания образования сознанием обучающихся и их смыслотворческую деятельность под руководством педагога».

Для полноты картины в понимании сущности категориального аппарата рассматриваемой темы возникает необходимость рассмотрения еще некоторых основополагающих категорий.

Принцип интеграции предполагает взаимосвязь всех компонентов процесса обучения, всех элементов системы, связь между системами, он является ведущим при разработке целеполагания, определения содержания обучения, его форм и методов.

Интегративный подход - методологический подход, ориентирующий субъектов на целостное объединение (интеграцию) каких-либо компонентов при решении стратегических и тактических задач образования (науки)

Интегративные процессы являются процессами качественного преобразования отдельных элементов системы или всей системы. Многие исследования в отечественной дидактике и в теории воспитания опираются на вышеперечисленные положения при разработке конкретных путей совершенствования образовательного процесса.

Проблема интеграции в педагогике рассматривается исследователями в разных аспектах. Интеграцию как дидактический принцип исследовал А.Я. Данилюк [4]. В работах В.В. Краевского, А.В. Петровского, Н.Ф. Талызиной рассматриваются вопросы интеграции педагогики с другими науками [3], [7]; [9]. Т.Д. Глейзер и В.С. Леднев раскрывают пути интеграции в содержании образования. В работах Л.И. Новиковой и В.А. Караковского раскрыты проблемы интеграции воспитательных воздействий на ребёнка. Интеграция в организации обучения рассматривается в трудах С.М. Гапеенкова и Г.Ф. Федорец. Установление как внутрипредметных, так и меж-

предметных связей в педагогическом процессе, создание интегрированных курсов, блоков, модулей стали предметом научных исследований В.М. Максимовой, Н.М. Белянковой, И.Б. Богатовой и др.

Не утихает научный спор о сущности категории «интеграция» и широте ее употребления. К настоящему времени можно выделить две ключевые концепции в определении понятия «интеграция».

Под интеграцией в узком смысле понимаются процесс и результат организационного слияния или присоединения - трансформации двух ранее организационно отдельных предметов в одно.

Интеграция в широком смысле рассматривается в педагогике как осуществление под руководством педагога обучающимися последовательного перевода сообщений с одного учебного языка на другой, в процессе которого происходит усвоение знаний, формирование понятий, рождение личностных и культурных смыслов [10].

Обратимся к анализу понятий «междисциплинарные связи» и «междисциплинарная интеграция». Реализация как внутрипредметных, так и межпредметных связей в педагогическом процессе является, по сути, интегративной. Пересмотр содержания образования, ориентированный на выявление межпредметных связей, нацелен на когнитивную сферу обучающихся, в то время как интеграция как методологический принцип относится не только к образовательной области, но и к условиям и способам разработки учебного плана. Несмотря на разные подходы исследователей (В.С. Безрукова, М.Н. Берулава, Н.В. Бровка, Ю.С. Тюнников и др.) к определению понятия междисциплинарной интеграции в образовании, можно выделить следующие характерные особенности этого понятия:

- междисциплинарные связи и междисциплинарная интеграция не отождествляются. Междисциплинарные связи предполагают рядоположенность, координацию разных явлений (процессов) и предметов. Междисциплинарная интеграция означает единое объединяющее начало, которое присутствует в разном содержании и обеспечивает создание нового, более интегрированного содержания;

- междисциплинарная интеграция имеет триединую сущность: она рассматривается как принцип, процесс и как его результат;

- междисциплинарная интеграция как принцип означает динамично развивающий характер содержания образования (его целей, принципов конструирования, понятий, дидактических единиц) и отражает единство или согласованность всех указанных компонентов;

- междисциплинарная интеграция как процесс представляет собой объединение различных структурных компонентов содержания обучения в единое (модули, блоки, комплексы) целое, овладение которым способствует комплексному видению изучаемых предметов и разрешению противоречия между целостным характером познания и частичным освоением объекта в рамках отдельной дисциплины;

- междисциплинарная интеграция как результат представляет собой повышенный уровень системности и обобщенности знаний и умений обучающихся и способность их к решению междисциплинарных задач;

- междисциплинарная интеграция должна определяться не только традиционным объединением учебных дисциплин в блоки, комплексы или модули на основе междисциплинарных связей.

В настоящее время усилился интерес ученых к вопросу интеграции основного среднего образования в связи с разработкой методологических основ методики обучения математики (О.Б. Епишева, М.И. Зайкин, Ю.М. Колягин, В.И. Крупич, Г.И. Саранцев и др.), форм и средств интеграции (С.Г. Манвелов, Л.М. Наумова и др.). Интеграционным процессам в основной школе посвящены исследования С.Н. Дворяткиной (математика и биология), А.А. Бабкина, А.Н. Павлова, Т.Ф. Сергеевой, В.В. Клюсовой и др. (математика и информатика), И.Н. Зубовой В.И. Алексенцева (математика и физика), СШ. Туронова (математика и трудовое обучение), С.В. Щербатых (математика и естествознание). Реализации внутри- и межпредметных связей в математическом образовании посвящены исследования (Н.Я. Виленкин, В.А. Далингер, В.М. Монахов, А.Г. Мордкович и др.), разработке интегрированных курсов (А.И. Азевич, В.Ф. Бутузов, Т.С. Капкаева, А.С. Симонов, Г.Л. Луканкин, Т.С. Полякова и др.).

Особая роль при осуществлении межпредметной интеграции отводится межпредметным задачам. Характеристиками междисциплинарных задач являются следующие:

1) открытый характер задачи. Это означает множественность подходов к ее решению, многовариативность ответов и форм представлений решений;

2) интерактивная направленность задачи, что предполагает обеспечение педагогически целесообразного сочетания индивидуальных и коллективных форм разработки задач; высокого уровня учебной коммуникации и активности обучающихся;

3) длительный постэффект от задачи. Он заключается в использовании полученных в ходе решения междисциплинарных задач научно-практических результатов в научно-исследовательской деятельности обучающихся, социально-воспитательной;

4) использование в ходе решения междисциплинарных задач методов и форм, которые базируются на стратегиях проблемно-исследовательского, активного и коллективного обучения [14].

Необходимым требованием к проектированию содержания междисциплинарных задач выступает их актуальная социально-профессиональная и научно-прикладная направленность [5], [6]. Это означает, что контент разрабатываемых задач должен отражать интеграционные процессы, происходящие в социокультурной, экономической сферах; глобальные проблемы человечества, «чистой» энергетики, «зеленой» экономики; пробле-

мы эффективного управления экономикой и ресурсами на уровне отдельной страны и мира в целом и др. Поскольку решение таких задач преимущественно сопровождается (через проектную деятельность) реализацией в социуме полученных научно-практических результатов, то школьники приобретают проектировочный, организационно-управленческий, коммуникативный опыт, необходимый в жизни и будущей профессии.

На основе анализа широкого круга источников по указанной и смежной с ней проблематике можно заключить, что научная дискуссия о категории «интеграция» в педагогической науке продолжается не одно десятилетие. Понимание, сущность и разграничение понятий «интеграция», «междисциплинарная интеграция», «интеграция математического образования» имеют важное теоретическое значение и должны послужить совершенствованию педагогической науки в целом и методике обучения математике в частности, в том числе содействовать разработке современных технологических конструктов интеграции гуманитарного, математического и естественнонаучного образования в школе.

Библиографический список

1. Беленький Г.И. Интеграция? Об уроках словесности // Литература в школе. - 1998. -№ 8. - С. 86-90.

2. Березин Ю.Н. Координация и интеграция гуманитарных предметов в школе. -Самара: Изд-во СамГПИ, 1993. - 84 с.

3. Горев П. М. Инновационная деятельность образовательного учреждения как одно из условий повышения качества образования // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2015. - № 7 (июль). - С. 51-55. - URL: http://e-koncept.ru/2015/15233.htm

4. Данилюк А.Я. Теория интеграции образования. - Ростов н/Д.: Изд-во РГПУ, 2004. -440 с.

5. Дворяткина С.Н. Развитие вероятностного стиля мышления студентов в обучении математике на основе диалога культур: дис. ... д-ра пед. н.: 13.00.02 / Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина. - Елец, 2012. - 527 с.

6. Дворяткина С.Н. Межпредметные связи и прикладная направленность школьного курса математики в классах биологического профиля: дис. ... к. пед. н.: 13.00.02 / Московский педагогический университет. - М., 1998. - 192 с.

7. Краевский В.В. Методология педагогики. - Чебоксары : Изд-во Чуваш, ун-та, 2001. -243 с.

8. Культурология. XX век. Словарь. - СПб.: Университетская книга, 1997. - 640 с.

9. Петровский А.В. Основы педагогики и психологии высшей школы. - М.: Изд-во МГУ, 1986.

10. Полянкина С.Ю. Понятие интеграции в категориальном аппарате философии образования // Философия образования. - 2013. - № 2. - С. 76-81.

11. Пузанкова Е.Н. Современная педагогическая интеграция, ее характеристики // Образование и общество. - 2009. - № 1. - С. 9-13.

12. Ушаков Д.Н. Большой толковый словарь русского языка: современная редакция. -М.: Дом Славянской кн., 2008. - 959 с.

13. Утемов В.В. Учебные задачи открытого типа // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2012. - № 5. (май) - ART 1257. - URL: http://www.covenok.ru/koncept/2012/1257.htm.

14. Шульц В.Л., Цыганов В.В. Модернизация системы национальной безопасности. Модели и механизмы федеральной, региональной, муниципальной и корпоративной безопасности. - М.: Наука, 2010. - 216 с.

К ВОПРОСУ ОБ ИЗУЧЕНИИ ТРИГОНОМЕТРИИ В ШКОЛЕ

Д.М. Чабаева

Елецкий государственный университет им. И. А. Бунина, г. Елец; студентка института математики, естествознания и техники (Научный руководитель: кандидат педагогических наук, доцент кафедры математики и методики ее преподавания Н.В. Черноусова)

Аннотация. В статье рассмотрены вопросы преподавания тригонометрии в школьном курсе математики. Надо ли наизусть учить формулы тригонометрии?

Ключевые слова: тригонометрия, числовая окружность, наглядность.

Великая книга природы может быть прочтена только теми, кто знает язык, на котором она написана, и этот язык - математика.

Галилей

Тригонометрия охватывает своими применениями всю планиметрию и стереометрию и широко применяется во всех разделах естествознания и техники. Бесспорно, тригонометрия важна, её надо хорошо знать и понимать, но как организовать учебный процесс правильно? Как не перегружать память учеников громоздкими формулами? Как научить их быстро решать уравнения? В этой статье рассмотрим проблемы, возникающие при изучении раздела тригонометрии, и постараемся наметить пути решения этих проблем.

Тригонометрия - математическая дисциплина, изучающая зависимости между углами и сторонами треугольников и тригонометрические функции. Главная задача тригонометрии - вычисление неизвестных величин треугольника по данным значениям других его величин. Тригонометрические функции - отношения различных пар сторон прямоугольного треугольника. Таких отношений в треугольнике шесть, и им соответствуют шесть тригонометрических функций: синус - отношение противолежащего катета к гипотенузе; косинус - отношение прилежащего катета к гипотенузе; тангенс - отношение противолежащего катета к прилежащему; котангенс - отношение прилежащего катета к противолежащему; секанс - от-

ношение гипотенузы к прилежащему катету; косеканс - отношение гипотенузы к противолежащему катету.

Первый учебник по тригонометрии в России - учебник М.Е. Головина «Плоская и сферическая тригонометрия с алгебраическими доказательствами» (1789). Основой для этой книги послужили исследования Л. Эйлера. М.В. Остроградский выступил с конспектом, в котором на первой стадии изучения тригонометрии функции тригонометрии определяются как отношения сторон в прямоугольном треугольнике. При последующем изучении определения распространяются на любые величины углов. В 1886 году выходит 3-е издание учебника Ф.И. Симашко, где автор переделал теоретическую часть в соответствии с требованиями (тригонометрические величины рассматривались на круге). В 1906 г. программу изменили. Тригонометрию разделили на две части: в первой материал для решения прямоугольных и косоугольных треугольников, во второй - теория тригонометрических функций, тригонометрические уравнения и неравенства. Так появлялось новое направление. Был построен пропедевтический курс, в котором заново рассмотрели вопрос об определениях тригонометрических функций.

Сейчас тригонометрия изучается в старших классах, а материал разделён на три части. Сначала тригонометрические понятия вводятся в рамках планиметрии после/перед теоремой Пифагора. Тригонометрические выражения применяются большей частью для плоских треугольников. Второй этап включает в себя определения тригонометрических функций через круг, что уже осуществляется в курсе алгебры и начал анализа. Ученики учатся строить графики функций и изучать их свойства. Третий этап -обучение решению тригонометрических уравнений.

При обучении теме «Тригонометрические уравнения и неравенства» необходимо учитывать основные принципы обучения: наглядность, доступность, научность, сознательность и активность, систематичность и последовательность. Главная модель тригонометрии - числовая окружность, далее изучают графики тригонометрических функций. При обучении необходимо использовать принцип наглядности. Для этого нужно следовать ряду правил, с помощью которых этот принцип раскроется. Первое - установить связь тригонометрии и других разделов, наук. Второе - показать связь между исследуемой функцией и решением уравнения, которое содержит определённую функцию. Третье - использование анализа и синтеза при обучении. И четвертое - необходимо единство учения и преподавания. Учитель и обучающиеся должны активно участвовать в процессе обучения.

При изучении тригонометрии сталкиваются со многими проблемами. Представляется, что материал, данный в учебниках, не всегда адаптирован для преподавания в школе, т.е. ученикам будет сложно его понять. Материал в книге должен соответствовать обязательному минимуму. Иногда это вытекает в проблему, когда материал плохо изложен, сжат.

Главная стратегия обучения тригонометрии в школе - попытка заставить обучающихся «вызубрить» все имеющиеся формулы данной темы, а после этого научить решать задания и уравнения. Ученик просто пытается «подогнать» формулы при решении. Выходит: обучение без развития? На ЕГЭ по математике многие обучающиеся не справляются с заданием C1 на решение тригонометрического уравнения и отбор корней. Многие путаются в формулах, не могут найти значение, не умеют применять числовую окружность.

На ум приходят слова Альберта Энштейна: «Зачем мне что-то запоминать, когда я могу легко посмотреть в книге». Возможно, со мной не согласятся многие педагоги, но... Материал можно и должно преподнести обучающимся в доступной форме. При помощи наглядной информации ученики быстрее поймут и запомнят его. Задача учителя - не нагромождать информацией и «горой» формул обучение. Лучше научить школьников преобразовывать основные формулы и пользоваться ими. Скоро на практику: и тогда все предположения можно будет подтвердить или опровергнуть экспериментально.

Библиографический список

1. Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л., Мерлина Н.И., Мерлин А.В., Саввина О.А. и др. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика: учеб. пособие. - Чебоксары: Изд-во Чуваш, ун-та, 2009. - 732 с.

РЕГИОНАЛЬНАЯ МЕЖПРЕДМЕТНАЯ ДИСТАНЦИОННАЯ ОЛИМПИАДА «НА ПЕРЕКРЕСТКАХ НАУК»

Т.Е. Рыманова

Аннотация. В статье анализируются результаты научно-методического исследования, проводимого кафедрой математики и методики ее преподавания Елецкого государственного университета им. И.А. Бунина.

Ключевые слова: образовательные стандарты, метапредметность, межпредметные связи, региональная межпредметная дистанционная олимпиада.

Изменения, происходящие сегодня в российском образовательном пространстве, заставляют интенсивно работать не только педагогические коллективы, но и научных работников. Прежде всего, это связано с поиском путей реализации стандартов второго поколения.

Особого внимания заслуживает новое для отечественной педагогики понятие «метапредметность». Анализ нормативной базы, психолого-педагогической и методической литературы позволяет рассматривать данное понятие как дидактическую категорию, представляющую синтез межпредметности и познавательной культуры личности.

Однако стоит рассеять иллюзии тех, кто считает, что это кардинально «новое явление» для отечественной педагогической мысли. Чтобы убедиться в этом, достаточно просто внимательно прочитать труды отечественных педагогов и ученых. По нашему мнению, сейчас особенно важно посмотреть на данную проблему через призму истории становления и развития методико-математической мысли в нашей стране. Знакомство с историческим опытом позволит в дальнейшем избежать многих ошибок.

Производной понятия «межпредметность» являются «межпредметные связи». Отметим, что в педагогической литературе имеется более 30 определений этого понятия. Анализ разных точек зрения позволяет сделать вывод, что межпредметные связи - это важнейший дидактический принцип, обеспечивающий связь синтезирующих, интегративных отношений между объектами, явлениями и процессами реальной действительности, нашедших своё отражение в содержании, формах и методах учебно-воспитательного процесса и выполняющих образовательную, развивающую и воспитательную функции в их органическом единстве.

По нашему мнению, чтобы определить ориентиры новой образовательной стратегии, необходимы всесторонние и детальные исследования. В связи с этим кафедрой математики и методики ее преподавания Елецкого государственного университета им. И.А. Бунина совместно с Управлением образования администрации города Елец разрабатывается исследовательский проект по реализации метапредметной составляющей стандартов второго поколения. Мы решили начать с изучения реальной ситуации и анализа проблем в основной школе. Для этого с 2015 г. проводится региональная межпредметная дистанционная олимпиада «На перекрестках наук». К участию в ней приглашаются школьники 5-9-х классов общеобразовательных учреждений. В 2015 году состоялась первая, в 2016 г. -вторая олимпиада. Основные цели олимпиады:

- патриотическое воспитание;

- формирование и развитие познавательных интересов у школьников;

- популяризация престижности научных знаний среди молодежи;

- предоставление учащимся возможности продемонстрировать свою эрудицию по различным областям современного естественно-математического цикла;

- возможность получить независимую оценку уровня знаний.

В этом мероприятии без предварительного отбора на добровольной основе могут принять участие все желающие, осваивающие общеобразовательные программы.

Олимпиада носит межпредметный характер. Задачи составлены на основе программ основного общего образования по предметам: математика (алгебра, геометрия), физика и география. Для каждого класса предлагается по 11-13 заданий в тестовой форме, причем последнее задание предполагает краткий ответ на один из вопросов «За что я люблю математику (или географию, или физику)?». Содержание олимпиадных задач носит математический, географический, физический, вероятностный, исторический, логический, краеведческий характер.

Например, восьмиклассникам в этом году было предложено выполнить задание: «Две старушки одновременно вышли навстречу друг другу, встретились в полдень и достигли чужого города первая в 4 часа пополудни, вторая - в 9 часов пополудни. Во сколько они вышли из своих городов?».

Правильно организованный контроль знаний всегда выполняет еще и обучающую функцию. Поэтому задачам познавательного характера уделялось большое внимание. Так, например, для 5-го класса были предложены задания: 1) «Кто является автором первого русского учебника «Арифметика»?» (2015 г.), 2) «Единственный действующий вулкан континентальной Европы. Высота - 1279 метров. В результате его извержения 24 августа 79 года были уничтожены древнеримские города Помпеи, Геркуланум. Что это за вулкан?» (2016 г.).

Среди задач для 6-го класса были такие: 1) «На арене цирка выступало собак в пять раз больше, чем не собак, а попугаев - в пять раз меньше, чем не попугаев. Выступали ли кошки?» (2015 г.), 2) «Класс выставил на соревнования по плаванию команду мальчиков. В нее входили: Витя, Коля, Андрей и Саша. Коля проплыл дистанцию быстрее Андрея, но медленнее Саши. Андрей затратил на ту же дистанцию времени больше, чем Витя, который плавал медленнее Коли. Как распределились места на соревнованиях?» (2016 г.).

Учащимся 7-го класса предлагалось, например, ответить на вопрос: «Какое из представленных чисел является членом последовательности Фибоначчи?» (2016 г.), а также решить задачу: «Дан треугольник со сторонами 17, 24 и 27. Построили биссектрису меньшего из углов этого треугольника. Какова длина биссектрисы?» (2015 г.) Последнее задание потребовало от школьников навыков поисковой деятельности.

Одно из заданий для 8-го класса звучало так: «Что в русской учебной литературе восемнадцатого века означал термин «вполчетверта»?» (2015 г.). В этом году восьмиклассники искали ответ на вопрос: «Для полярников, зимующих на льдине, с летящего самолета сбросили груз. Где надо сбросить груз, чтобы он точно попал на льдину?».

Учащимся 9-го класса предлагалось решить задачи: «Группа школьников из Омска вылетела на самолете на экскурсию в Москву в 12 часов 30 минут дня по местному времени. Определите, когда по московскому времени самолет совершил посадку в Москве, если он находился в полете 3 часа 30 минут» (2015 г.). «Определите страну по описанию ее географического положения. «Страна расположена в пределах тропического климатического пояса и омывается с запада Тихим, а с востока - Атлантическим океанами. В рельефе преобладают горы и плоскогорья. По уровню экономического развития страна относится к развитым странам» (2016 г.).

Некоторые из предлагаемых заданий носили чисто предметный характер, но большинство вопросов были межпредметного содержания, кроме того встречались задачи, для решения которых требовались метапредметные знания. Например, «От точки А велосипедист проехал 10 км на запад, затем, повернув на юг, проделал путь в 10 км, после чего двигался на восток 10 км и столько же - на север. Наконец опять повернул на запад и проехал еще 10 км. Какая получилась фигура из указанных отрезков?» (6 класс, 2015 г.). «На дне шахты барометр зафиксировал давление 780 мм рт. ст., у поверхности Земли - 760 мм рт. ст. Какова глубина шахты?» (7 класс, 2016 г.).

В 2015 году в олимпиаде приняло участие более 400 учащихся из школ города Ельца, а также из образовательных учреждений Елецкого, Становлянского, Измалковского, Тербунского, Краснинского районов Липецкой области и из МКОУ «Гимназия» города Ефремова Тульской области. В этом году число участников уменьшилось (более 300 школьников), но при этом география участников значительно расширилась: в олимпиаде приняли участие школьники города Данкова, а также Лебедянского, Долгоруковского, Усманского районов.

Интересны результаты проведенного исследования. В 2015 году менее 10% школьников успешно справились со всеми математическими и логическими задачами. Не смогли ответить на исторические вопросы 15% участников. Задания по географии оказались сложными для более половины учащихся. Примерно 8% школьников плохо знают свой край. 32% девятиклассников не решили задачу по физике. Последнее задание предполагало краткий ответ на любой вопрос: «За что я люблю математику (или географию, или физику)? Выяснилось, что подавляющее большинство школьников любит математику, 20% участников предпочитают географию, и никто ничего не сказал о физике. Это, по нашему мнению, очень тревожный сигнал. Поэтому в 2016 году при составлении заданий мы предложили школьникам восьмых и девятых классов больше задач по физике, в том числе качественных. В 2016 г. 20% восьмиклассников, принявших участие в олимпиаде, назвали физику любимым предметом.

Исследование еще раз показало, что в российском образовательном пространстве существуют серьезные проблемы, которые необходимо как можно скорее решать.

В заключение приведем размышления о математике одной семиклассницы: «Человеку с древних времен нужна была эта наука во всех профессиях. Без нее человечество просто не стало бы цивилизованным. Математика имеет огромное значение в жизни каждого, независимо даже от того, любит он ее или нет». Эти слова внушают оптимизм и надежду, что еще не все потеряно.

Библиографический список

1. Рыманова Т.Е. К вопросу о реализации метапредметной составляющей образовательных стандартов. Современное состояние и перспективы развития научной мысли: сборник статей Международной научно-практической конференции. - Уфа: Аэтерна, 2015.

2. Рыманова Т.Е., Саввина О.А., Мельников Р.А. Научно-методические исследования в рамках образовательных стандартов второго поколения // Концепция развития математического образования: проблемы и пути реализации. Материалы XXXIV Международного научного семинара преподавателей математики и информатики университетов и педагогических вузов. - М.: Изд-во ООО «ТРП», 2015. - С. 152-157.

РАЗДЕЛ III. СОВРЕМЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ МАТЕМАТИКИ

ПАРАДОКС ИНДУКЦИИ

С.В. Костин

Московский технологический университет (МИРЭА), г. Москва; старший преподаватель кафедры высшей математики Института кибернетики

Аннотация. Обсуждается важная особенность метода математической индукции, которая получила название «парадокс индукции». Отмечается необходимость обучения учащихся различным аспектам метода математической индукции, в частности, парадоксу индукции.

Ключевые слова: преподавание математики, метод математической индукции, парадокс индукции.

Метод математической индукции, безусловно, является одним из чрезвычайно эффективных методов доказательства математических утверждений. Необходимость обучения школьников старших классов и студентов вузов грамотному и сознательному использованию этого метода не вызывает никаких сомнений. В наших статьях [1] и [2] мы уже затрагивали некоторые аспекты методики обучения учащихся как теоретическим основам метода математической индукции, так и его практическому использованию для решения конкретных задач. В данной статье мы хотели бы продолжить разговор о методе математической индукции, а именно, более подробно рассмотреть одну из особенностей этого метода, которая получила название «парадокс индукции».

Что же такое «парадокс индукции»?

«Парадоксом индукции» называют ситуацию, когда, для того чтобы доказать некоторое утверждение с помощью метода математической индукции, это утверждение усиливают, то есть заменяют его на другое, более сильное, утверждение, из которого исходное утверждение получается как следствие. Необходимо отметить, что в некоторых работах (см., например, [3], [4]) вместо термина «парадокс индукции» используются другие термины, а именно, термины «парадокс исследователя» и «парадокс изобретателя». По нашему мнению, термины «парадокс исследователя» и «парадокс изобретателя» являются не очень удачными, поскольку из этих терминов непонятно, что они относятся к методу математической индукции (более того, из этих терминов непонятно даже, что они относят-

ся к математике). Поэтому мы используем термин «парадокс индукции», который, как нам представляется, является более информативным и точнее отражает суть дела.

Как это часто бывает в математике, сущность рассматриваемого нами явления (в данном случае парадокса индукции) проще и нагляднее всего можно продемонстрировать на примере решения нескольких конкретных задач.

Начнем с одной простой, но в то же время очень поучительной задачи.

Задача 1. Доказать, что при любом натуральном п имеет место следующее утверждение:

число А{п) — Y + 2J + У +... + п яявляетс полным квадратом . d6 (1)

Решение. Убедимся в том, что для нескольких первых значений п число А{п) действительно является квадратом натурального числа. Имеем:

(2) (3) (4) (5) (6)

Можно ли из формул (2)-(6) сделать вывод, что при любом натуральном п число А(п) является полным квадратом?

Разумеется, нет. Для такого обобщения у нас нет достаточных оснований. Из того, что утверждение (1) истинно при нескольких (трех, четырех, пяти или, скажем, даже ста) первых значениях /I, ни в коем случае логически не следует, что утверждение (1) справедливо при всех натуральных п. Когда мы говорим «логически не следует», то имеем в виду математическую (а не житейскую) логику. В обыденной жизни рассуждения «от частного к общему», разумеется, встречаются очень часто, и в этом случае говорят о том, что была применена так называемая «неполная индукция».

Отличие между методом математической индукции (который часто называют также методом полной математической индукции) и «неполной индукцией» заключается в том, что если метод математической индукции - это строгий метод доказательства математических утверждений (справедливость этого метода основана на так называемом «принципе математической индукции» или, в конечном счете, на так называемой «аксиоме индукции», которая является одной из аксиом в системе аксиом Пеано натуральных чисел), то неполная индукция - это нестрогий метод рассуждений «от частного к общему», который может считаться более или

6 Значком □ автор статьи обозначает окончание доказательства.

менее приемлемым методом обоснования (слово «доказательство» здесь вряд ли уместно!) рассматриваемого утверждения в обыденной жизни или, в лучшем случае, в некоторых гуманитарных науках (история, социология, экономика, филология и др.).

Для того чтобы совершенно строго доказать утверждение (1) с помощью метода математической индукции, надо проверить две вещи: 1) надо убедиться в справедливости утверждения (1) при п- \ (эта часть метода математической индукции называется «база индукции»; 2) надо доказать, что из справедливости утверждения (1) при п-к вытекает справедливость утверждения (1) при п-к-\-\ (эта часть метода математической индукции называется «шаг индукции»).

И здесь мы сталкиваемся с одним весьма досадным обстоятельством, а именно, все попытки в данной задаче доказать шаг индукции не приводят к желаемому результату.

Что же делать?

Ответ на этот вопрос, возможно, кому-то покажется весьма неожиданным: надо усилить доказываемое утверждение! А именно, вместо того, чтобы доказывать утверждение (1), надо доказывать более сильное (то есть более содержательное) утверждение, которое заключается в том, что при всех натуральных п имеет место равенство

(7)

(во избежание недоразумений сразу заметим, что одно из чисел п и п +1 является четным числом, а значит, дробь —-— является целым числом).

Доказательство равенства (7) с помощью метода математической индукции уже не вызывает сколько-нибудь серьезных проблем. База индукции. При п-\ равенство (7) справедливо:

(8)

Шаг индукции. Предположим, что равенство (7) справедливо при п — к,то есть что

(9)

Докажем, что тогда равенство (7) будет справедливо также при п = к + \. Имеем:

(10)

Мы получили равенство (7), в котором п заменено на к + 1.

Итак, согласно принципу математической индукции, равенство (7) доказано при всех натуральных п. Из справедливости при всех натуральных п равенства (7) в качестве простого следствия вытекает справедливость при всех натуральных п утверждения (1). Тем самым утверждение задачи доказано. □

Проанализируем приведенное нами решение.

Для того чтобы стало возможным применить для решения задачи метод математической индукции, мы заменили утверждение, которое требуется доказать, на другое, более сильное, утверждение.

Что это нам дало?

В базе индукции - практически ничего, но зато в шаге индукции при доказательстве справедливости утверждения при п = к +1 мы смогли опираться на справедливость при п-к более сильного утверждения (иначе говоря, при осуществлении шага индукции мы смогли опираться на более сильное предположение индукции). Правда, и то утверждение, которое требуется доказать в шаге индукции, тоже заменилось на более сильное утверждение, но, как выяснилось по факту, «игра стоит свеч», то есть из более сильного предположения индукции оказалось проще вывести более сильное следствие, чем из более слабого предположения индукции вывести более слабое следствие.

В этом и состоит парадокс индукции.

Вообще, слово «парадокс» происходит от греческих слов, означающих (в переводе на русский язык) «неожиданный, странный» и «казаться». Действительно, на первый взгляд ситуация, когда более сильное утверждение доказать проще, чем более слабое утверждение, может показаться неожиданной, странной, парадоксальной. Но если попытаться обдумать и проанализировать ситуацию, то можно понять, что, на самом деле, ничего сверхнеожиданного здесь нет. Ведь более сильное следствие выводится не на пустом месте, а из более сильного же предположения индукции.

Так что для профессионального математика парадокс индукции - это никакой не парадокс, не загадка и не тайна, а это скорее рабочий метод и инструмент решения задач, основанный на четком понимании того факта, что, для того чтобы некоторое утверждение доказать с помощью метода математической индукции, это утверждение можно попытаться усилить. Рассмотрим еще одну задачу, в которой мы столкнемся с рассматриваемой особенностью метода математической индукции (с парадоксом индукции).

Задача 2. Рассмотрим линейную рекуррентную последовательность второго порядка, задаваемую рекуррентным соотношением

/п=/п-г+/п-2 (п>Ъ). (11)

и начальными условиями fx = 1, /2 = 1. (Эту последовательность называют

последовательностью Фибоначчи, а сами числа fn называют числами Фибоначчи.) Доказать справедливость следующего неравенства:

(12)

Решение. Напрямую доказать неравенство (12) с помощью метода математической индукции не получается. Поэтому усилим доказываемое утверждение, а именно, будем доказывать одновременно два неравенства: неравенство (12) и неравенство

(13)

База индукции. При п- 4 неравенства (12) и (13) справедливы:

(14) (15)

Шаг индукции. Пусть к>4. Предположим, что неравенства (12) и (13) справедливы при п = к, то есть что имеют место неравенства

(16)

(17)

Докажем, что тогда неравенства (12)и(13) будут справедливы также при п = к + \. Используя рекуррентное соотношение (11) и неравенства (16) и (17), получаем:

(18) (19)

Полученные нами неравенства (18) и (19) представляют собой не что иное, как неравенства (12) и (13) при п = к + 1.

Итак, согласно принципу математической индукции, неравенства (12) и (13) доказаны при всех п e 7V, п > 4. □

Замечание. Идея о том, что данную задачу можно рассмотреть в качестве примера парадокса индукции, принадлежит автору данной статьи. Исходным толчком послужила задача Ml053 из «Задачника Кванта» (см. [5], стр. 25). □

Парадокс индукции часто встречается при доказательстве неравенств. Покажем это на примере нескольких задач.

Задача 3. Пусть а е (О,2п). Доказать, что при всех натуральных п имеет место неравенство

(20)

Решение. При использовании метода математической индукции часто бывает так, что самый сложный момент — это четко сформулировать доказываемое утверждение, после чего само доказательство превращается в рутинную выкладку.

Именно поэтому при обучении учащихся методу математической индукции им следует предлагать для решения не только такие задачи, в которых доказываемое утверждение сформулировано изначально, но и такие задачи, где надо самостоятельно, путем рассмотрения частных случаев и = 1, /7 = 2, /7 = 3 и т.д., выдвинуть некоторую гипотезу и лишь затем доказать ее с помощью метода математической индукции.

Не случайно, само слово «индукция» в переводе с латинского означает «наведение». То есть прежде чем что-то доказать, это что-то надо четко и ясно сформулировать. «Навести» же нас на четкую и ясную формулировку доказываемого утверждения часто может рассмотрение частных случаев.

В задаче 4 ситуация обстоит именно таким образом. Понятно, что неравенство (20) надо заменить на какое-то более сильное утверждение. Но на какое?

Пожалуй, этот весьма тонкий момент метода математической индукции (то есть то, каким образом можно прийти к формулировке доказываемого утверждения) заслуживает отдельного обсуждения, возможно даже в отдельной статье.

Здесь мы скажем лишь, что в данной конкретной задаче мы будем доказывать не неравенство (20), а значительно более сильное (то есть значительно более содержательное) утверждение, а именно, равенство

(21)

Если мы докажем равенство (21), то из него неравенство (20) будет вытекать как очень простое следствие (поскольку функция sinx по модулю не превосходит единицы).

Переходим к доказательству равенства (21). База индукции. При /7 = 1 равенство (21) справедливо:

(22)

Шаг индукции. Пусть k e N. Предположим, что неравенство (21) справедливо при /7 = к, то есть что имеет место равенство

(23)

Докажем, что тогда равенство (21) будет справедливо также при п = к + 1. Имеем:

(24)

Полученное нами неравенство (24) представляет собой не что иное, как равенство (21 ) при п = к + 1.

Итак, согласно принципу математической индукции, неравенство (21) доказано при всех п е N. □

Замечание. Задача 3 была составлена автором специально для данной статьи. □

Задача 4. Доказать, что при всех натуральных п имеет место неравенство

(25)

Решение. Сразу понятно, что доказать неравенство (25) с помощью метода математической индукции без усиления, то есть не заменяя его на более сильное неравенство, вряд ли удастся. Действительно, с ростом п левая часть неравенства (25) возрастает, тогда как правая часть неравенства (25) остается постоянной. Поэтому представляется маловероятным, что из справедливости неравенства (25) при некотором п = к удастся вывести справедливость неравенства (25) при п = к + \.

Попробуем усилить доказываемое неравенство, а именно, заменим неравенство (25) на следующее неравенство:

(26)

При /7 = 1, /7 = 2, /7 = 3 неравенство (26) справедливо (это проверяется непосредственно). Пусть п > 4. Докажем, что в этом случае справедливо неравенство (26) (из него неравенство (25) вытекает как очевидное следствие).

База индукции. При /7 = 4 неравенство (26) справедливо:

(27)

Шаг индукции. Пусть к > 4. Предположим, что неравенство (26) справедливо при п = к, то есть что имеет место неравенство

(28)

Докажем, что тогда неравенство (26) будет справедливо также при

Имеем:

(29)

Полученное нами неравенство (29) представляет собой не что иное, как неравенство (26) при п- к + \.

Итак, согласно принципу математической индукции, неравенство (26) доказано при всех п e N, п > 4. □

Замечание. Задача 4 взята нами из книги [7] (см. задачу 17.5 на стр. 124). □

В следующей задаче мы столкнемся не только с парадоксом индукции, но и с весьма своеобразной разновидностью метода математической индукции, а именно, с индукций по конечному отрезку и притом «в обратную сторону» (то есть от больших значений переменной к меньшим). Задача 5. Доказать неравенство

(30)

Решение. Усилим доказываемое утверждение и будем доказывать не неравенство (30), а целую серию неравенств

(31)

где п e[2..7V]. Неравенство (30) является очевидным следствием серии неравенств (31), поскольку оно содержится в этой серии при /7 = 2.

База индукции. При п- N неравенство (31) справедливо, поскольку в этом случае оно превращается в очевидное неравенство

<JN <N + l. (32)

Шаг индукции. Пусть k е [3.. N]. Предположим, что неравенство (31) справедливо при п = к, то есть что имеет место неравенство

(33)

Докажем, что тогда неравенство (33) будет справедливо также при п — к — \. Имеем:

(34)

Полученное нами неравенство (34) представляет собой не что иное, как неравенство (33) при п = к-1.

Итак, согласно принципу математической индукции, неравенство (31) доказано при всех п e [2.. N]. □

Замечание. Задача 5 предлагалась учащимся 9-10 классов в 1986/87 учебном году на Турнире городов. Автор задачи - В. В. Произволов. □

Замечание. Об использованной в решении задачи 5 разновидности метода математической индукции («индукция на отрезке») можно прочитать, например, в нашей статье [4]. □

Следующие две задачи взяты нами из книги [1] (пример 60 на стр. 71 и задача 124 на стр. 77). Отметим, что одним из авторов этой книги является известный латвийский математик, автор большого количества оригинальных математических задач (многие из них предлагались на олимпиадах самого высокого уровня) Агнис Анджанс. К сожалению, насколько нам известно, книга [1] издавалась только на латышском языке.

Задача 6. Рассмотрим две рекуррентные последовательности:

аг=3, ап=За»-] (п>2) (35)

и

*,=4, Z>„=4Vl (и>2), (36)

доказать справедливость следующего неравенства:

яй+, >К (neN).d (37)

Решение. Напрямую доказать неравенство (37) с помощью метода математической индукции не получается. Поэтому усилим доказываемое утверждение, а именно, будем доказывать следующее неравенство:

*„+i>2£„ (n g TV). (38)

База индукции. При /7 = 1 неравенство (38) справедливо:

а2 =3"' = 33 = 27 >8 = 2-4 = 261. (39)

Шаг индукции. Пусть k^N. Предположим, что неравенство (38) справедливо при п = к, то есть что имеет место неравенство

ам > 2Ък. (40)

Докажем, что тогда неравенство (38) будет справедливо также при п = к + \. Используя рекуррентные соотношения (35), (36) и неравенство (40), получаем:

(41)

Полученное нами неравенство (41) представляет собой не что иное, как неравенство (38) при п = к + 1.

Итак, согласно принципу математической индукции, неравенство (38) доказано при всех п е N. □

Задача 7. Доказать, что при любом натуральном п уравнение

(42)

имеет не более чем конечное множество решений в натуральных числах X, <х2 <...<хп.

Решение. Усилим доказываемое утверждение. А именно, будем доказывать следующее утверждение: при любом натуральном п для любого действительного числа А уравнение

(43)

имеет не более чем конечное множество решений в натуральных числах X, <х2 <...<хп.

База индукции. При /7 = 1 утверждение справедливо, поскольку уравнение

(44)

имеет в натуральных числах не более одного решения. (А именно, уравнение (44) имеет одно решение, если АфО, — е N, и ноль решений в противном случае).

Шаг индукции. Пусть к е N. Предположим, что доказываемое утверждение справедливо при п = к, то есть что при любом действительном А уравнение

(45)

имеет не более чем конечное множество решений в натуральных числах Xj < х2 < ... < хк.

Докажем, что тогда доказываемое утверждение будет справедливо также при п = к +1, то есть что при любом действительном А уравнение

(46)

имеет не более чем конечное множество решений в натуральных числах х0 < X, < ...< хк. (Мы для удобства обозначили переменные буквами х0, хх,..., хк. Количество решений уравнения, разумеется, не зависит от того, какими буквами обозначены переменные).

Если А < 0, то доказывать нечего, поскольку уравнение (46), очевидно, не имеет решений в натуральных числах (поскольку левая часть

уравнения больше нуля). Поэтому будем считать, что А > О. Поскольку х0 < X, <... < хк, то

(47)

Отсюда следует, что х0 <-. Таким образом, натуральное число х0 может принимать только значения 1, 2, 3, Л^,где N = - (здесь квадратные скобки обозначают целую часть числа).

Для каждого фиксированного х0 <е [1.. TV] уравнение (46) равносильно уравнению

(48)

которое, по предположению индукции, имеет не более конечного множества решений в натуральных числах х, < х2 < ... < хк. (Из этих решений надо будет отобрать те решения, для которых х0 < хх).

Для завершения доказательства осталось заметить, что объединение конечного числа конечных множеств является конечным множеством.

Мы доказали справедливость утверждения при п- к + 1.

Итак, согласно принципу математической индукции, доказываемое утверждение справедливо при всех п e N. □

Подведем итог нашей статьи.

Мы обсудили и на конкретных примерах продемонстрировали ту особенность метода математической индукции, которая получила название «парадокс индукции». Не вызывает сомнений тот факт, что преподавателям необходимо как можно подробнее разъяснять учащимся и совместно с ними анализировать все тонкости и нюансы метода математической индукции. В том числе, разумеется, следует уделить самое пристальное внимание парадоксу индукции. Наш опыт показывает, что, как правило, как сам метод математической индукции, так и, в частности, парадокс индукции воспринимаются учащимися с очень большим интересом. В немалой степени этому может способствовать удачный подбор задач, которые должны быть интересными, содержательными и в то же время посильными для учащихся.

Автор надеется, что данная статья заинтересовала читателей, и будет очень благодарен за любые комментарии или замечания по затронутым нами вопросам.

Библиографический список

1. Анджанс А., Зариньш П. Метод математической индукции и элементы теории вероятностей. - Рига: Звайгзне, 1983. - 186 с. (На лат. яз.).

2. Квант: научно-популярный физико-математический журнал. - 1987. -№ 11.

3. Костин С.В. Возможности и ограничения метода математической индукции // Бесконечномерный анализ, стохастика, математическое моделирование: новые задачи и методы. Проблемы математического и естественнонаучного образования: сборник статей международной конференции. - М.: РУДН, 2015. - С. 422-430.

4. Костин С.В. О необходимости обучения школьников и студентов различным формам метода математической индукции // Образование, наука и экономика в вузах и школах. Интеграция в международное образовательное пространство: труды международной научной конференции. - М.: РУДН, 2015. - С. 291-296.

5. Пойа Д. Как решать задачу. - Львов: Квантор, 1991. - 216 с.

6. Цинман Л. «Парадокс исследователя» // Квант. - 1976. - № 11. - С. 9-12.

7. Эвнин А.Ю. 150 красивых задач для будущих математиков. 2-е изд., испр. и доп. -М: KPАСАНД, 2014. - 224 с.

ПРИМЕНЕНИЕ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ К ОБРАБОТКЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ

И.С. Калюжная

Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина, г. Елец; магистрант института математики, естествознания и техники (Научный руководитель: кандидат педагогических наук, доцент кафедры математики и методики ее преподавания Р.А. Мельников)

Аннотация. В статье рассматривается реализация в математическом пакете Maple программы, позволяющей строить многочлен Лагранжа. Значения этого полинома получают в ходе естественнонаучного эксперимента и представляются в виде таблицы.

Ключевые слова: численные методы, исследование, интерполяция, многочлен, программная реализация, Maple, математический пакет.

Целью нашего исследования является получение в математическом пакете решения одной задачи, связанной с естественнонаучным экспериментом. Кроме того, нас интересует исследование свойств полученного решения. Математический аппарат, необходимый для проведения исследования, связан, главным образом, с вычислительными методами математики. Основной акцент смещен на тему «Интерполяция многочленами». Проблема исследования имеет актуальный характер в современных условиях. В качестве аргумента можно привести постоянное изучение поднятых вопросов, так как данная тема находится на стыке нескольких связанных ме-

жду собой дисциплин. В связи с современным положением науки возможен переход к широкомасштабному изучению проблем тематики, касающейся интерполяции.

Некоторыми аспектами вопросов, затронутых в исследовании, занимались известные отечественные ученые: И.С. Березин (1920-1982), М.К. Гавурин (1911-1991), Б.П. Демидович (1906-1977), Н.П. Жидков (1918-1993), Л.В. Канторович (1912-1986), В.И. Крылов (1902-1994), И.А. Марон (1911-1980) и многие другие. Но мы живем в эпоху компьютерных технологий. Сейчас разработаны прикладные математические пакеты, которые существенно продвинули методы решения многих математических задач. По этой причине можно сказать, что материал, находящийся в учебной литературе, имеет относительно узкий и в некоторой мере архаичный характер.

В качестве постановки задачи положим, что задана функция y=f(x) и заданы точки из некоторой области D.

Допустим, что значения этой функции известны только в узлах интерполяции. Под задачей интерполяции понимается такая задача, в которой нужно отыскать функцию F, взятую из определенного (заранее оговоренного) класса функций, чтобы выполнялось равенство F(x{) = yt.

Одним из основоположников теории, связанной с вычислительными методами математики, был известный французский математик Ж.Л Лагранж (1736-1813). Он разработал способ нахождения многочленов нужного вида, точнее: L(x) = Е7=оУ^е(х)> где базисные многочлены находятся по формуле:

[1,с. 198].

Одним из недостатков интерполирования с помощью многочленов Лагранжа является то, что при возрастании количества узлов интерполяции приходится все вычисления производить снова.

Выходом из этого затруднения может послужить представление интерполяционного многочлена в форме Ньютона. В таком случае нужно лишь увеличить число узлов на единицу, тем самым мы добавим всего лишь одно слагаемое.

Отметим также, что «имеются две формулы Ньютона для случая равноотстоящих узлов интерполирования» [3]. Их называют первой и второй интерполяционными формулами Ньютона соответственно. Они имеют вид:

(1)

[3, С.130]

(2)

Конечные разности традиционно удобно представлять в виде таблицы, которую называют горизонтальной таблицей конечных разностей.

Использование формулы (1) для интерполирования подразумевает, что значение аргумента х должно принадлежать промежутку вида [x^x-J.

В таком случае за х0 может приниматься любой узел интерполяции хк с индексом к = 0/п — т, где m - максимальный порядок конечных разностей.

Формула (2) может быть использована для интерполирования назад, а также при экстраполировании вперед. Иначе говоря, в конце таблицы конечных разностей. При этом значение аргумента х следует выбирать из промежутка [*п-1**п]- В качестве хп можно взять произвольный узел интерполирования.

Для интерпретации теоретического материала покажем решение отдельных задач, которые наглядно продемонстрируют механизм действия алгоритма интерполяции.

Задача. Построить интерполяционный полином (в форме Лагранжа) для функции, значения абсцисс и ординат которой заданы таблицей.

X

1

3

5

7

У

3

5

7

9

Как мы уже упоминали, недостатком данного алгоритма является нарастающая сложность (по закону факториала) как числителя, так и знаменателя дроби. Это, очевидно, требует использования громоздких и длительных вычислительных процедур.

Для проверки полученного результата приведем решение рассмотренной ранее задачи, но будем использовать метод Ньютона.

x

1

3

5

7

У

3

5

7

9

n=3, h=2;

x

У

Ay

А2 У

1

3

2

3

5

0

2

0

5

7

0

2

7

9

Подставляя значения в формулу, подтверждаем правильность полученного ранее результата:

Отметим также, что для проверки правильности ответа нет необходимости проверять полученный результат вручную другим методом.

Информационно-коммуникационные технологии сделали заметный шаг вперед, поэтому проще, а главное, с большей гарантией точности можно определить правильность результата с помощью компьютера.

Это можно сделать разными способами. В связи с изобилием объектно-ориентированных языков программирования в настоящее время можно проектировать программы и приложения для решения практически любой задачи, а можно использовать готовые математические пакеты.

Например, в статье [2] предпринята попытка написания программы на языке С++, с помощью которой можно вычислять значения гамма-функции при различных значениях аргумента. Заметим, что многие задачи такого плана вообще не поддаются решению вручную.

По нашему мнению, использование математических пакетов на современном этапе развития науки является наиболее доступным методом исследования. Во-первых, такой способ не отнимает много времени, во-вторых, всегда гарантированно дает верный результат. Главное, нужно всего лишь правильно обращаться с программой, а также соблюдать установленный синтаксис. Программа имеет уже встроенные команды и операции, направленные на решение математических задач разных типов. Если необходимо сместить акцент на графическую визуализацию решения, то для понятности и простоты восприятия решения можно использовать, к примеру, язык С #.

Далее мы произведем проверку решения и вычислений, выполненных нами ранее, с помощью математического пакета Maple:

В итоге отметим, что всякое решение конкретной задачи с помощью программной реализации может стать наглядным инструментом получения правильного результата.

Библиографический список

1. Лапчик М.П. Численные методы: Учебное пособие / М.И. Рагулина, Е.К. Хеннер. -М: Наука, 2003. -320 с.

2. Мельников Р.А., Таранова Е.И. Практическое применение эйлерова интеграла второго рода (гамма-функции) // Вестник ЕГУ им. И.А. Бунина. Выпуск 32: Серия «Педагогика» (История и теория математического образования). - Елец, 2012. -С. 174-177.

3. Самарский А.А. Численные методы / А.А. Самарский, А.В. Гулин. - М.: Наука, 1989.-432 с.

СОДЕРЖАНИЕ

Саввина О.А., Телкова В.А., Трофимова Е.И. Педагогика созидания против глобализации образования..............................................

РАЗДЕЛ I. ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Хайкал Шайбан Фуад, Аль-Хужайри Мохамад Юссеф. Proof of Ме-nelaus theorem by Ibn Qurra and Ibn Hüd: example from the didactic prehistory.............................................................................

Тарасова О.В. Методика преподавания математики в первые годы советской власти........................................................................

Игнатушина И.В. Математик и методист Константин Александрович Торопов..............................................................................

Лобзина Ю.В. Роль личности ученого в создании научной школы (историческая ретроспектива).......................................................

Мельников Р.А. Юбилейные и памятные даты 2016 года................

Демидова И.И. Развитие метода фотоупругости в СПбГУ...............

Перцев В.В. Письменный экзамен по математике в русской гимназии второй половины XIX века.......................................................

Леонов М.В. Электронный биографический архив: елецкие математики и естествоиспытатели...............................................................

Дроздова К.А. Педагогический потенциал работы «Математика как орудие научное и педагогическое» Н.В. Бугаева............................

Новосельцева Т.А. Влияние западных реформаторских течений на математическое образование в России на рубеже XIX-XX вв...............

Тихонова О.Ю., Дворникова Ю.Е. Материалы для составления словаря к «Арифметике» Л.Ф. Магницкого..........................................

РАЗДЕЛ II. ТЕОРИЯ И МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ В ШКОЛЕ И ВУЗЕ

Скафа Е.И. Место профессионально ориентированной эвристической деятельности в системе формирования профессиональной компетентности будущего учителя математики...........................................

Ельчанинова Г.Г. Мыслительные операции в структуре исследовательской деятельности и их развитие средствами элементарной математики.................................................................................

Симоновская Г.А. К вопросу о подготовке учителей к работе в современных условиях....................................................................

Евсеева Е.Г. Современные подходы к обучению математике в высшей профессиональной школе: проблема комплексного использования.....

Елецких И.А. Формирование профессиональных компетенций обучающихся в процессе изучения дисциплины «Элементы дифференциального и интегрального исчисления в линейных нормированных пространствах»............................................................................

Шурко Г.К. Построение компетентностной модели будущего учителя математики - выпускника классического университета.....................

Рыманова Т.Е. Проблема познавательного интереса в свете новых образовательных стандартов.....................................................

Фролкина О.Д. Некоторые методологические соображения по курсу топологии..............................................................................

Сафронова Т.М. К вопросу об учебно-методическом обеспечении по математике в условиях реализации школьных образовательных стандартов.................................................................................

Курбатова Л.Н. Приемы мотивации учебно-исследовательской деятельности подростков на уроках математики.................................

Костин С.В. О необходимости предотвращения ошибок при использовании метода математической индукции....................................

Абраменкова Ю.В. Методика использования мультимедийных презентаций по математике для студентов химического факультета...........

Черноусова Н.В. Текстовые алгебраические задачи в КИМ ЕГЭ по математике: проблема или результат?........................................................

Рогачева А.Ю. Математическое знание в социально-культурном контексте развития.......................................................................

Лыкова К.Г. Дидактические возможности информационных технологий при обучении математике (стохастике) в старших классах..........

Меренкова В.И. К вопросу о готовности учителя к внедрению ФГОС ООО.....................................................................................

Попова А.О. Интеграция знаний при изучении фрактальной геометрии в вузе на основе ИКТ...............................................................

Воротынцева С.М. Геометрия треугольника в задачах ЕГЭ и материалах элективных курсов для старшеклассников...............................

Жмудт К.Н. Изучение элементов стохастики в курсе математики основной школы........................................................................

Селищева О.А. Воспитание познавательного интереса у школьников к математике............................................................................

Дворникова Ю.Е., Тихонова О.Ю. Методические подходы к изучению производной степенной функции................................................

Шахбазян Д.А. Об одной блок-схеме программы компьютерного тестирования знаний студентов...................................................

Алейникова Н.Ю. К вопросу об изучении темы «Производная» в курсе алгебры и начал математического анализа 10 класса......................

Дворникова Ю.Е. К вопросу о применении игровых технологий на уроках математики...................................................................

Кобзева А.В. Элементы теории вероятностей в КИМ единого государственного экзамена по математике: анализ, проблемы, методические рекомендации........................................................................

Мананкова Е.С. Эвристические методы при подготовке к ЕГЭ по математике...............................................................................

Черноусов М.О. Характеристика электронных образовательных ресурсов: структурный анализ..........................................................

Грузман П.В. Элективные курсы в системе школьного математического образования......................................................................

Клей