ВЕСТНИК ЕЛЕЦКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

'14

выпуск 34

Серия "Педагогика"

(ИСТОРИЯ И ТЕОРИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ)

Елец

2014

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЕЛЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. И.А. БУНИНА»

ВЕСТНИК ЕЛЕЦКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

Выпуск 34

СЕРИЯ «ПЕДАГОГИКА»

(ИСТОРИЯ И ТЕОРИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ)

Елец-2014

УДК 004(07.07),(09); 514.8; 532.516; 514.7 + 514.8 ББК 22.1 г+22.11 В 23

Печатается по решению редакционно-издателъского совета Елецкого государственного университета имени И.А. Бунина от 21.04.2014 г., протокол № 2

Редакционная коллегия серии «Педагогика» (История и теория математического образования):

Герасимова Евгения Николаевна - доктор педагогических наук, профессор, ректор Елецкого государственного университета им. И.А. Бунина;

Мельников Роман Анатольевич - кандидат педагогических наук, доцент кафедры математического анализа и элементарной математики Елецкого государственного университета им. И.А. Бунина (ответственный редактор);

Саввина Ольга Алексеевна - доктор педагогических наук, профессор, зав. кафедрой математического анализа и элементарной математики Елецкого государственного университета им. И.А. Бунина (ответственный редактор).

В 23 Вестник Елецкого государственного университета им. И.А. Бунина. - Вып. 34: Серия «Педагогика» (История и теория математического образования). -Елец: ЕГУ им. И.А. Бунина, 2014. - 188 с.

ISBN 978-5-94809-690-2

Представленные в Вестнике статьи отражают научные результаты, которые получены на кафедре математического анализа и элементарной математики Елецкого государственного университета им. И.А. Бунина. Кроме учёных, аспирантов, магистрантов и студентов нашего вуза, авторами статей являются учителя Ельца, Липецкой и Тульской областей, исследователи из Москвы, Санкт-Петербурга и г. Тара (Омская область).

Работы распределены по трем разделам:

I. История математики и математического образования.

II. Теория и методика обучения математике в школе и вузе.

III. Современные проблемы математики.

Издание предназначено для математиков, преподавателей, учителей, аспирантов и студентов, интересующихся проблемами истории и теории математического образования, а также вопросами математики.

Ответственность за достоверность фактов несут авторы публикуемых материалов.

УДК 004(07.07),(09); 514.8; 532.516; 514.7 + 514.8 ББК 22.1 г+22.11

ISBN 978-5-94809-690-2

© Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина, 2014

ВМЕСТО ВВЕДЕНИЯ

В год 700-летия со дня рождения Преподобного Сергия Радонежского

ПРАЗДНОВАНИЕ 500-ЛЕТИЯ СО ДНЯ БЛАГОДАТНОЙ КОНЧИНЫ ПРЕПОДОБНОГО СЕРГИЯ РАДОНЕЖСКОГО В ЕЛЕЦКИХ ГИМНАЗИЯХ

О.А. Саввина

В этом году православный мир отмечает знаменательный юбилей -700-летие со дня рождения великого печальника за Россию, Преподобного Сергия Радонежского (1314-1392). Многим из нас с детства знакома картина «Видение отроку Варфоломею» М.В. Нестерова (1862-1942), на которой кистью русского художника трогательно запечатлена встреча будущего святого и таинственного старца. Эту картину М.В. Нестеров написал в 1889-1890 гг. - накануне другой круглой даты - 500-летия со дня кончины Преподобного.

К этому юбилею в России тщательно готовились. Иеромонахом Никоном (Рождественским, впоследствии архиепископом Вологодским и Тотемским) было составлено и подготовлено к печати первое полное «Житие Преподобного Сергия». Позже книга неоднократно переиздавалась с дополнениями и исправлениями. В память 500-летия со дня кончины Преподобного Сергия Радонежского были изготовлены различные сувениры (известно, например, о выпуске жетона и цветной лубочной литографии, одобренной цензором, священником Н. Елеонским).

25 сентября 1892 г. состоялся крестный ход из Москвы в Лавру, а 26 сентября профессор В.О. Ключевский (1841-1911) в торжественном собрании Московской духовной академии произнес проникновенную речь, опубликованную позднее под названием «Благодатный воспитатель русского народного духа» («Троицкий цветок», 1892, № 9).

Преподобный Сергий Радонежский, являясь идейным вдохновителем победы в Куликовской битве, всегда почитался и как покровитель в учении, поэтому юбилейная дата не должна была остаться незамеченной в дореволюционных учебных заведениях, где духовному воспитанию уделялось большое внимание. Как же отмечали этот славный юбилей в учебных заведениях дореволюционной России?

В поисках ответа на этот вопрос пришлось отправиться в Центральный государственный архив Москвы, где хранится фонд с документами канцелярии попечителя Московского учебного округа. В одной из описей этого фонда было обнаружено небольшое, но довольно интересное дело «О праздновании 25 сентября 1892 г. 500-летия со дня благодатной кончины Преподобного Сергия Радонежского — основателя Троице-Сергиевой Лавры» [2].

Знакомство с материалами этого дела позволяет утверждать, что праздник имел всероссийский масштаб и был инициирован сверху. 14 сентября 1892 г. министр народного просвещения Иван Давыдович Делянов (1818-1897) разослал попечителям учебных округов письма следующего содержания:

«25 текущего сентября исполнится 500 лет со дня блаженной кончины Преподобного Сергия Радонежского, основателя Троице-Сергиевой Лавры.

Имея в виду значение Святого Сергия и Лавры в истории России, считаю уместным покорнейше просить Ваше сиятельство сделать следующие распоряжения: 1) освободить в означенный день учащихся от учения; 2) в заведениях, где есть церкви, отслужить литургию, а где нет церквей, одни молебны; 3) устроить в учебных заведениях беседы, в коих, после очерка жизни Преподобного Сергия выяснить заслуги Его и Лавры Русскому Государству в тяжкое время его исторической жизни» [2, л.1]. Через день, 16 сентября, управляющий округом, помощник попечителя К.И. Садоков1 направил соответствующие распоряжения директорам учебных заведений округа. В списке рассылки указаны более 60 учебных заведений. Однако в деле сохранились только два отчета о выполнении этого распоряжения. Первый отчет рассказывает о том, как происходило празднование в Елецкой мужской гимназии, а второй - в Елецкой женской гимназии. Оба отчета датированы 27 сентября 1892 г. и подписаны директором мужской гимназии, председателем педагогического совета женской гимназии Николаем Александровичем Заксом (1842-1892). Благодаря этим документам можно реконструировать реальную картину происходящего 25 сентября 1892 года в двух казенных елецких гимназиях, познакомиться с преподавателями и законоучителями, опытом организации духовной жизни воспитанников, которая не исчерпывалась изучением Закона Божиего. Ежедневные молитвы перед началом уроков и по окончании учебного дня, путешествия по святым местам, разучивание песнопений в гимназическом церковном хоре - все это органично вписывалось в образовательный про-

1 Попечителем Московского учебного округа в 1880-1895 гг. был Павел Алексеевич Капнист (1842-1904).

цесс дореволюционных учебных заведений, поэтому праздник прошел организованно и на должном духовном подъеме.

Елецкие казенные гимназии (и мужская, и женская) были причислены к приходу Церкви Покрова Пресвятой Богородицы [1]. Это был один из самых величественных храмов города, неподалеку от которого и располагались обе гимназии. Однако место и время проведения торжеств в них были разными. Наставники и законоучителя старались придать происходящему камерный характер, избежать сутолоки и суетности.

В Елецкой мужской гимназии праздничный день начался в 9 часов утра с литургии и молебна Преподобному в Покровской церкви. В храме ученики творили молитву вместе со своими наставниками. Потом в 12 часов дня все собрались в актовом зале, где законоучителем гимназии, священником Иоанном Иоанноеичем Маховым и преподавателем истории и географии Константином Васильевичем Вознесенским были проведены беседы о значении Преподобного Сергия и основанной им Лавры в церковном и государственном отношениях. Обе беседы в начале и конце сопровождались пением молитвословий, исполненным ученическим хором. Песнопения соответствовали случаю. С воодушевлением гимназический хор пропел тропарь и величание Преподобному, а также «Днесь благодать Святого Духа» и «Спаси, Господи, люди Твоя».

Беседы шли с перерывами и продолжались до 2-х часов пополудни, после чего ученики были отпущены.

В Елецкой женской гимназии праздничные мероприятия продолжались всего 2 часа. И происходили в таком порядке. В 10 часов утра ученицы вместе со своими наставницами собрались в актовом зале гимназии, где после молебна Преподобному, предваренного кратким словом законоучителя протоиерея Павла Николаевича Бутягина о значении настоящего торжества, состоялась беседа. Беседу подготовил и провел преподаватель истории Алексей Николаевич Сапегин. Собравшиеся вспомнили вехи жизни Преподобного и великие заслуги Его и Лавры в истории России. По окончании беседы в 12 часов дня ученицы были отпущены [2, л.5].

Знаковым для ельчан является не только тот факт, что исключительно эти отчеты сохранились в канцелярии попечителя, но и то, что они были составлены директором Н.А. Заксом за две недели до его смерти. Это были последние в его жизни документы, отправленные в Первопрестольную. Возможно, Н.А. Закс предчувствовал беду и торопился исполнить свой долг. Он умер в октябре 1892 г.

Река времени унесла нас далеко от 1892 года, безжалостно оторвав от наших корней и русских традиций, к которым теперь непросто вернуться. Сегодня Церковь отделена от государства, а православное воспитание -от светского образования. Покровский храм в Ельце с трудом восстанавливается из руин советского прошлого, крики противников изучения православной культуры не утихают, безбожное минувшее продолжает давлеть

над умами министерских чиновников в сфере образования, которые, конечно, не допустят массового проведения подобных праздничных торжеств в современных учебных заведениях. А жаль. В нынешних условиях, когда отношения между Россией и Западом оказались у «бездны мрачной на краю», нам как никогда требуется молитвенная помощь Сергия Преподобного. И пусть не в школах, а в славных Елецких храмах под колокольный звон давайте соберемся всем миром в дни памяти Игумена земли русской 18 июля и 8 октября, чтобы помолиться и покаяться. И тогда присоединятся наши голоса к хору гимназистов Елецкой мужской гимназии из далекого XIX века, разнося вне времени и пространства молитвенные слова:

«От юности восприял еси Христа в души твоей, Преподобне,/ и паче всего вожделел еси мирскаго мятежа уклонитися,/ мужески в пустыню вселился еси/ и чада послушания в ней, плоды смирения, возрастил еси./ Тем быв Троице вселение,/ чудесы твоими всех просветил еси, приходящих к Тебе верою,/ и исцеления всем подай обильно./ Отче наш Сергие, моли Христа Бога, да спасет души наша.

Ублажаем тя, Преподобие Отче Сергие, И чтим святую память твою, наставниче монахов и собеседниче ангелов».

Библиографический список

1. Клоков А.Ю., Найдёнов А.А., Новосельцев А.В. Храмы и монастыри Липецкой и Елецкой епархии. Елец-Липецк: Липецкое областное краеведческое общество, 2006.

2. Центральный государственный архив Москвы. Ф. 459. Оп. 2. Д. 4376. О праздновании 25 сентября 1892 г. 500-летия со дня благодатной кончины Преподобного Сергия Радонежского - основателя Троице-Сергиевой Лавры. 1892 г.

Раздел I. ИСТОРИЯ И ФИЛОСОФИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ

О ПРОБЛЕМАХ, СВЯЗАННЫХ С МЕЖЦИВИЛИЗАЦИОННЫМИ ЗАИМСТВОВАНИЯМИ В ПЕДАГОГИКЕ

О.Р. Каюмов

Аннотация. В статье обсуждаются особенности образовательных систем, присущие различным современным культурно-историческим сообществам (цивилизациям). Критикуются попытки неразборчивого заимствования педагогических технологий из западной цивилизации, в частности, в преподавании математики.

Ключевые слова: особенности, присущие системам образования в различных современных цивилизациях.

В настоящее время в мире сосуществуют несколько «культурно-исторических типов» сообществ, т.е. разных «цивилизаций». Каждая из них характеризуется устойчивой самобытной традицией и неповторимым «менталитетом». Согласно Н.Я. Данилевскому [1] (а затем и А.Дж. Тойнби [2]), цивилизации не могут «смешиваться». Фактически это - отдельные миры: индийский, западно-европейский (протестантский и католический), восточно-европейский (православный), иудейский, дальневосточный, арабский и т.д. В каждой из современных цивилизаций за многие века сложились не только органически присущие им культура, принципы хозяйствования, государственности, но и неповторимые механизмы передачи традиции, наиболее важными из которых являются семья и школа. Именно об особенностях школы (системы образования) в разных цивилизациях и пойдет речь в статье.

В последние десятилетия мир принужден смотреть на историю человечества глазами только одной («западной») цивилизации, захватившей доминирующие позиции в глобальном разделении труда и монополизировавшей производство денег. Однако этот процесс «глобализации» не разрушил фундаментальных цивилизационных различий: «Тогда как экономическая и политическая карты мира действительно почти полностью "вестернизированы", культурная карта и поныне остается такой, какой она была до начала западной экономической и политической экспансии» [2]. Насаждаемый повсюду «тезис об унификации мира на базе западной экономической системы как закономерном итоге единого и непрерывного процесса развития человеческой истории приводит к грубейшим искаже-

ниям фактов и к поразительному сужению исторического кругозора» [2]. В частности, этот тезис мешает правильно относиться к цивилизационным инвариантам, наличие которых делает несостоятельными попытки не только бездумно копировать педагогические технологии, но и использовать какие-либо «универсальные» критерии их сравнения для систем образования в различных современных цивилизациях.

Например, особенности китайской культуры (общинный уклад, патернализм, уникальная письменность и т.д.) породили неповторимые черты системы воспитания и школьной дидактики. Чтобы выучить сотни иероглифов, от ребенка требуется особая усидчивость, почитание учителя, т.е. все то, что естественно для китайской школы. Иероглифы (в отличие от фонетических алфавитов) цементируют государственное единство многонационального Китая, где разные народы понимают одни и те же символы, произнося их каждый на своем языке. Здесь традиция является жизненно важной хотя бы потому, что отказ от иероглифов может привести к распаду страны. Это значит, что репродуктивные умения в китайской начальной школе всегда будут иметь первостепенную значимость. К дальневосточной цивилизации относится также Япония, где общинный тип хозяйствования отличается особенной консервативностью: пожизненной системой трудоустройства, корпоративным патриотизмом, отчего основная часть обучения приходится не на университетские годы, а на период адаптации на предприятии. Поэтому здесь всегда «обучение предшествует развитию» и эксперименты по смене «знаниевой» парадигмы на «компетентностную» не уместны. Сегодня именно представители дальневосточной цивилизации первенствуют по международным показателям обученности математике.

Индуистская цивилизация, давшая миру наилучшую систему счисления, основы филологии, медицины, сейчас снова возвращается в лидеры современной математики. Индийский менталитет не похож на западный: заработав на обед, индус, скорее всего, не польстится на возможность поработать еще, даже за двойную плату. Погоня за прибылью чужда индуистскому мировосприятию, где самое важное - это «карма». Внутренний мир человека здесь всегда был в центре внимания традиционной системы образования, несмотря на влияние колониальных времен. Своеобразие школьной атмосферы поражает европейцев огромным количеством праздничных дней, изменчивым учебным расписанием, непосредственностью учеников, которые пытливы и созерцательны. Исторически сложилось, что учитель в индийской школе - мужская профессия. Конечно, это отразилось как на стилях педагогического общения, так и на дидактике.

Можно долго перечислять неповторимые особенности арабской цивилизации (где законы шариата вынуждают даже в банковской системе обходиться без ростовщических процентов), иудейской (где религия не только не отделена от государства Израиль и от школы, но к тому же мо-

ноэтнична) и т.д., однако гораздо важнее присмотреться к «западной» традиции, которая нам активно навязывается.

Стержень современной «западной» цивилизации - дух капитализма, когда погоня за прибылью становится настоящей целью жизни. Он появился в период Реформации и соответствует особенностям протестантской этики [3], где финансовый успех уравнивался с религиозным служением. Со времен Кальвина на «западе» полагают, что личное богатство - показатель богоизбранности, поэтому «делать деньги» считается занятием высокодуховным. Лозунг Бенджамина Франклина «время - деньги» был высказан в литературном жанре нравственных поучений. Отсюда вытекает особый прагматизм всей западной философии и практики, что не могло не отразиться и на системе образования. Рационализм, индивидуализм - эти черты мировоззрения проявляются и в особенностях педагогических технологий, и в школьной атмосфере. Ученики не дают друг другу списывать, они разобщены, поэтому «дистантная» форма занятия не сильно отличается от урочной. Каждый строит свою образовательную траекторию сам, готовясь продолжить это соперничество и по выходу из учебного заведения. Балльно-рейтинговая система в университетах крепко увязана с системой оплаты выпускников, выходящих на рынок труда: количество набранных баллов традиционно учитывается в будущей зарплате. Именно нацеленность на быстрый успех (при поверхностном понимании вещей) породила на «западе» «компетентностную парадигму», не только сужающую горизонты развития ученика, но и обесценивающую смысловую миссию учителя. Происходит отказ «от логики передачи ценностей и профессиональной культуры в пользу логики функционального, практически дегуманизированного управления» [4], в котором исключаются идеологическое и воспитательное начала.

Эгоизм и толерантность (т.е. равнодушие к другим людям) на «западе» настолько же естественны, насколько они чужеродны по отношению к другим цивилизациям, сохранившим «обычаи многовековой общинной жизни» и рассматривающим общество «не как простую сумму отдельных людей, а как нечто большее, как целое, которое имеет особые потребности, выходящие за пределы экономических потребностей его членов» [5]. Например, китайское понимание личности как звена в непрерывной родовой цепи предков-потомков - в корне отличается от западного, где личность автономна, атомизирована. Особенностью «коммунитарных» сообществ (к ним относятся также Япония, Россия и т.д.) является преобладающая зависимость самочувствия индивидуума от успехов коллектива. «Если общность - заводская, территориальная или государственная (О.К.: можем добавить и «школьная») - хорошо «устроена» и соответствует национальным традициям, ее члены будут обладать сильным чувством тождественности с нею и смогут полностью использовать свои человеческие возможности. Если общность «устроена» плохо, народ будет испытывать отчуж-

дение, рухнут его надежды, а экономика окажется в кризисном состоянии» [5].

Россия является наследницей имперской (византийской) системы образования с классическими гимназическими идеалами «всестороннего развития личности». Мир русской школы может быть осмыслен вполне только в контексте, например, литературном (через «Уроки французского», «Ножичек с костяной ручкой» и т.д.). Исторически сложившийся в России стиль общения учителя с учениками - не такой, как на «западе» или на «востоке». Он не может быть выражен примитивными дилеммами («демократический» стиль против «авторитарного»), как это предлагается в некоторых новых учебниках педагогики. Почвой для признанных творческих достижений России в литературе, науке, искусстве всегда была православная традиция, в которой чистота помыслов ценится выше богатства, правда - выше силы. Именно подмеченная Достоевским «вселенская отзывчивость русской души», «неотмирность» была источником многих великих озарений, поскольку, творчество - это «акт дарения» [6], он невозможен из корыстных побуждений (это хорошо выразил Н.В. Гоголь в повести «Портрет»). Оборотной стороной «неотмирности» часто бывало небрежение достигнутым, доводившее страну до социальных потрясений, где, впрочем, неизменно участвовали западные «доброжелатели». Если десятилетия стабильности в России всегда давали самобытные плоды, то попытки «вестернизации» (например, в 1917 г, в 1991 г) надолго задерживали ее развитие. А в последние годы, навязанные извне эксперименты, стали настоящим бедствием для отечественной школы. Образно говоря, чтобы земля перестала плодоносить, ее достаточно безжалостно перекапывать, т.е. хронически «реформировать» почву.

Насаждение западных идеологем и стандартов явилось препятствием для органического развития системы образования в России. В результате «...временной горизонт личности сузился как никогда: в системе мотивации произошел резкий сдвиг в пользу сиюминутной озабоченности. От универсального к частичному, от разностороннего к одномерному, от высокосложного к примитивному, от перспективного к краткосрочному - таков вектор жизни, заданный новой системой рынка» [6, с.497]. Например, в школьной методике в качестве «инновации» преподносят и поощряют «метод проектов». Изобретенный в США в XIX веке, он был уместен там, где требовался минимум знаний и практическая сметка при очень высокой мотивации, чтобы срабатывал психологический фактор wholehearthly («от всего сердца»). Энтузиасты метода проектов сами обозначили классический пример его эффективности: «девушка шьет себе платье» [7]. На выход за пределы уроков технологии (и некоторых занятий «на свежем воздухе») этот метод изначально не претендовал, если не говорить о его естественном употреблении в профессиональной деятельности, начиная с «дипломных проектов» (откуда он и был заимствован). Послереволюционные

эксперименты над российской школой (с катастрофическими последствиями, подробно описанными в [8]) подтвердили неприменимость метода проектов к обучению точным наукам. Однако сегодня его снова притягивают к преподаванию в естествознании, что часто оборачивается профанацией и заразным дилетантизмом. Например, в учебнике [9] хвалят исследовательский проект «Проблемы водоснабжения г. Москвы», предложенный для разработки девятиклассникам на уроках географии. Ученики «пользовались базами данных из Интернета», «проводили социологические опросы» и выбрали путь «создания резервного водохранилища в верховьях Волги» [9, с. 88], при этом не догадываясь о существовании множества инженерных и экономических дисциплин! В отличие от дидактического нигилизма 1920-х годов (который можно объяснять наивными революционными ожиданиями), современная деградация школы (и социума в целом) имеет совсем другую природу: «Общество поражает специфическая болезнь, связанная с психологией избегания усилий. Этому способствует, наряду с технологическими революциями, новейшая революция гедонистического досуга» [6, с. 188]. Этот вирус, занесенный к нам из паразитической «западной» цивилизации, может обернуться потерей будущего: «... либеральная личность, освобождавшаяся от традиционных «запретительных комплексов», имеет право желать всего и немедленно... Она несет в себе, тиражируя в миллионах экземпляров, механизмы социальной дестабилизации» [6, с. 198].

Заметим, что рыночная идеология, бездумно заимствованная из протестантской цивилизации, требует от нас признать образование исключительно товарной услугой. «Это так же странно, как если бы мы предоставили гражданам право, если они того захотят, нанимать воинов и приобретать на личные средства военную технику... Образование - это не частное дело людей, а такая сфера общественная жизни, от которой зависит существование общества и государства. Это становой хребет существования общества, и потому перевод образования исключительно в сферу предоставления рыночных услуг является ... большой ошибкой» [10]. Основное назначение школы - воспроизводство цивилизационного кода, передача традиций, укрепление страны. В этом смысле сфера образования не может считаться «системой образовательных услуг» нигде, кроме, быть может, уникальной «западной» цивилизации. Однако и там не все так просто. Например, в США государство раз в 10-20 лет (хоть и тщетно) стимулирует школьную систему огромными финансовыми вливаниями, чтобы сократить отставание от тех стран, где вместо «компетенций» дают знания и развивают мышление.

С точки зрения «западной» цивилизации наш народ «является носителем «не того» менталитета, «не той» традиции, «не той» веры. Прагматически это объясняется тем, что он оценивается как «незаконный» (т.е. недостойный) наследник самой большой в мире территории и сосредото-

ченных на ней дефицитных ресурсов, на которые есть «более достойные» претенденты» [6, с.202]. Стратегически это объясняется «приписываемой русским непредсказуемостью, связанной с их способностью делать все то, что противоречит требованиям рассудочности: встать на сторону слабых -перед лицом сильных, на сторону бедных - перед лицом богатых, на сторону непризнанных - перед лицом всемирно признанных. Вставшие у власти в России либеральные педагоги-прагматики, выполняя поручение глобального «министерства либерального образования», всеми мерами пытаются вытравить у народа эти качества» [6, с.202].

Библиографический список

1. Данилевский Н.Я. Россия и Европа. СПб, 1871.

2. Тойнби А. Дж. Постижение истории: сборник / пер. с англ. Е. Д. Жаркова. М: Рольф, 2001.

3. Вебер Макс. Протестантская этика и дух капитализма // Избранные произведения. М, 1990.

4. Григорьев С. И. Кризисное развитие социальной педагогики в России на рубеже XX-XXI веков: экспертная оценка состояния и причин. М: Изд-во НОЦ МФСКПиК, 2012.

5. Олейников А.А. Экономическая теория. Политическая экономия национального хозяйства: учебник для вузов: для бакалавров, специалистов и магистров. 2-е изд., перераб. и доп. В 2-х ч. / отв. ред. О. А. Платонов. М: Институт русской цивилизации, 2011.

6. Панарин А.С. Стратегическая нестабильность в XXI веке. М: Эксмо, 2004.

7. Kilpatrick W.H. The Project Method // Teachers College Record. 1918. 19 September. P.319-334.

8. Колягин Ю.М. Русская школа и математическое образование: Наша гордость и наша боль. М.: Просвещение, 2001.

9. Полат Е.С., Бухаркина М.Ю. Современные педагогические и информационные технологии в системе образования: учеб. пособие для студ. высш. учеб. заведений. М: Изд. центр «Академия», 2010.

10. Выступление Святейшего Патриарха Кирилла в ВГУ 18.09.2011 г. http://www.patriarchia.ru/db/text/!626849.html

БЛЕЗ ПАСКАЛЬ - МАТЕМАТИК, ФИЗИК И ФИЛОСОФ XVII ВЕКА

В.Н. Вавилова

Аннотация. В статье рассматриваются краткая биография и научное наследие известного французского ученого Блеза Паскаля, гений которого проявился в геометрии в трактате о конических сечениях; в физике при измерении атмосферного давления, а также при создании основ теории вероятностей.

Ключевые слова: конические сечения, суммирующая машина, теория вероятностей.

Блез Паскаль (Pascal Blaise) родился во французском городе Клермоне, в Оверни, 19 июня 1623 г. Его отец, Этьен Паскаль, председатель налогового управления Клермона, был человеком большой культуры и с интеллектуальными запросами; его мать, Антуаннета Бегон, умерла, когда ему было 4 года. У Паскаля было две талантливых сестры. Обе они играли важную роль в его жизни [1].

В возрасте 7 лет Б. Паскаль переехал с отцом и сестрами в Париж. В это время отец с ним начал заниматься. Мальчик от природы был наделен талантом большим, чем это выпадает на долю среднего человека. Но вместе с тем он обладал слабым здоровьем.

Мальчик легко овладевал плодами тогдашнего классического образования, но из-за слабого здоровья на математику был наложен запрет, чтобы сын не перенапряг свой мозг. В 10 лет Б. Паскаль написал «Трактат о звуках», поводом для которого послужило вроде бы детское любопытство, почему зазвенела фаянсовая тарелка за столом.

В возрасте 12 лет по просьбе Паскаля отец рассказал ему о геометрии, и ребенок был очарован этой наукой и в ней увидел свое призвание.

Первой задачей решенной Блезом самостоятельно, без каких-либо учебников, было доказательство, что сумма трех углов треугольника составляет два прямых угла. Окрыленный успехом, он продолжил свою учебу, очень быстро освоил «Начала» Евклида.

В Париже отец будущего ученого познакомился с известными математиками Робервалем, Дезаргом и др., которые с 1636 г. собирались в келье францисканского монаха Марена Мерсенна, образованного человека и разностороннего ученого, чтобы обсудить новости в науке и культурной

жизни Европы. Юный Паскаль получил доступ в научный кружок Мерсенна в 13 лет и сразу проявил себя как математик.

В 16 лет Блез написал «Опыт о конических сечениях» («Essay pour les coniques»). Сочинение Паскаля было напечатано в количестве пятидесяти экземпляров на одной стороне листа в виде афиши, которую можно расклеивать прямо на улице. Эта работа являлась развитием идей Ж. Дезарга, в ней Паскаль доказал одну из самых основных теорем проективной геометрии - теорему о конических сечениях. Эту теорему Ж. Дезарг назвал «великой Паскалевой теоремой»: три точки пересечения противоположных сторон шестиугольника, вписанного в коническое сечение, лежат на одной прямой. Паскаль вывел из своей теоремы о «мистическом шестиугольнике» около 400 следствий и других теорем. Эти факты он собрал в «Полный труд о конических сечениях». С последним в Париже в 1676 г. ознакомился Лейбниц и советовал срочно его опубликовать, но работа так и не вышла в свет, а позже она была утеряна.

Разновидность геометрии, которой занимался Паскаль, фундаментальным образом отличается от геометрии древних греков. Это не метрическая геометрия, а проективная. Величины отрезков и углов не входят ни в утверждение, ни в доказательство теорем.

Из-за неприятностей на службе у отца (он вступил в разногласия с кардиналом Ришелье (1585-1642) по поводу некоторых налогов), семье пришлось уехать в январе 1640 г. в Руан.

Слава, широкая известность были куплены дорогой ценой. Начиная с 17-летнего возраста и до конца своей жизни, до 39 лет Паскаль постоянно страдал от физических болей. Депрессия, хроническая бессонница приносили ему постоянные мучения, но это не помешало ему в 18 лет создать первую вычислительную машину, предшественницу всех арифметических машин.

Отец Блеза часто занимался трудными расчетами, определяя налоги, а сын ему помогал. Найдя существующие способы вычислений крайне неудобными, Паскаль придумал устройство, облегчающее расчеты. В 1642 г. в возрасте 19 лет он создал суммирующую машину «паскалину». В ней находились многочисленные шестеренки, связанные друг с другом. Числа вводились соответствующим поворотом колес, принцип работы основывался на счете оборотов. Изобретенный Паскалем принцип работы связанных колес почти на три столетия стал основой создания большинства арифмометров [2].

Его величие как ученого вспыхнуло в 1648 г. в совершенно иной области. Изучая работы Торричелли (1608-1647) по атмосферному давлению, Паскаль превзошел его и освоил научный метод, предложенный Галилеем. Он проводил эксперименты с барометром, усовершенствовал его и установил факт, который сегодня общеизвестен, что атмосферное давление по мере поднятия над поверхностью Земли уменьшается [3].

После восстановления в должности отца, их семья снова вернулась в Париж, где Паскаль познакомился с ещё одним гением математики -Р. Декартом.

После смерти отца в 1651 г., жизнь Паскаля изменилась. По настоянию сестры Жаклин, которая была крайне религиозна, он отрекся от всего мирского, переехал в Пор-Рояль и посвятил свою жизнь служению Богу. Но перед этим он сделал ещё один вклад в математику, создав совместно с Ферма математическую теорию вероятностей.

Толчком для этого послужило знакомство Паскаля с кавалером де Маре, богачом и страстным игроком. В 1654 г. он предложил ему решить задачи, возникающие при определенных игровых условиях. Первую задачу о количестве бросков двух игральных костей, после которого вероятность выигрыша превышает вероятность проигрыша, он решил сам совместно с Ферма и Робервалем. В ходе решения второй более сложной задачи, в переписке с Ферма, были заложены основы теории вероятностей.

Задача касается «очков»: если игроки прервали игру раньше, чем набрали необходимое количество очков для победы, то как следует распределить между ними ставки? Решить эту задачу можно путем здравого смысла. Если же ввести метод перебора возможных случаев без фактического перерасчета, то в задаче появляется математический аспект вероятности выигрыша. Каждый из ученых предложил свой способ решения и оба они пришли к одинаковому результату. Паскаль использовал комбинаторный анализ, когда находится число способов, которые позволяют сделать то, что предписано.

Из-за плохого здоровья, ученый отказался от систематических занятий наукой. Однажды, чтобы отвлечься от зубной боли, он занялся фундаментальным исследованием циклоиды. За одну ночь Паскаль решил задачу Мерсенна о циклоиде и открыл ряд новых её свойств.

С 1658 г. здоровье Паскаля ухудшается и 19 августа 1662 г. после мучительной болезни Блез Паскаль скончался. Похоронен он в приходской церкви Парижа Сен-Этьен-дю-Мон [2].

Библиографический список

1. Белл Э.Т. Творцы математики: предшественники современной математики. Пособие для учителей. М.: Просвещение, 1979.

2. http://pomnipro.ru/memorypage17238/biography

АКТУАЛЬНОСТЬ ИЗУЧЕНИЯ НАСЛЕДИЯ МОСКОВСКОЙ ФИЛОСОФСКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ШКОЛЫ

А.Ю. Грибов

Аннотация. Московская философско-математическая школа представляет собой уникальный и малоизученный феномен в истории отечественного математического образования. В статье обосновывается актуальность изучения наследия этой школы в рамках педагогического дискурса.

Ключевые слова: Московская философско-математическая школа.

Более двух десятилетий отечественное образование находится на перепутье, что выражается в затянувшемся реформировании и модернизации системы как в целом, так и ее отдельных уровней. Как правило, стремительное развитие образования мотивировано поиском ответов на те вызовы, которые оно принимает от настоящего и будущего. Вместе с тем, сбалансированность решений и ответов основана также на постоянном учете и анализе опыта отечественного образования, накопленного в процессе его исторического развития.

Традиции российского образования представляют собой уникальное явление, обладают мощным потенциалом для развития отдельных сегментов современной системы. В частности, традиции математического образования XVIII-XIX вв. содержат достаточно крупный массив научно обоснованных, эффективных теорий и концепций, не реализованных в полной мере в современной практике.

В качестве одного из факторов, обусловивших становление и развитие отечественного математического образования, может рассматриваться Московская философско-математическая школа, которая зародилась из Московского математического общества в 1870-е годы и просуществовавшая вплоть до 1920-х годов. Среди представителей Московской философско-математической школы можно выделить два поколения ученых: Н.Д. Брашман, В.Я. Цингер, Н.В. Бугаев; и их ученики: П.А. Некрасов, В.Г. Алексеев, П.А. Флоренский, Н.Н. Лузин.

Термин «Московская философско-математическая школа» впервые был введен в научный оборот П.А. Некрасовым и стал активно использоваться не только учениками Н.В. Бугаева, но и более поздними последователями. Основная деятельность школы была направлена на применение аритмологии (теории разрывных функций), теории вероятностей, математической статистики к исследованию ряда социальных явлений: «индивид-общество», «случайность-неизбежность», «свобода-необходимость». Кроме того, свои философско-математические воззрения представители этой

школы распространили на изучение различных вопросов математики, биологии, химии, педагогики.

Учение Московской философско-математической школы, которое идентифицировалось как идеалистическое и консервативное, было резко противопоставлено доминирующим в то время научно-философским школам позитивизма и материализма. Как следствие, в ранний советский период ее представители были дискредитированы, а их труды преданы забвению. В настоящее время над исследователями уже не давлеют подобные идеологические штампы, имена представителей этой школы возвращаются из небытия.

В результате этого научные достижения Московской философско-математической школы начинают активно изучаться в постсоветский период не только отечественными учеными (А.Е. Годин, С.С. Демидов, В.В. Мороз, СМ. Половинкин, В.А. Шапошников и другие), но и зарубежными (Л. Грэхем, Дж.М. Кантор, Ч. Форд). Как правило, исследование наследия Московской философско-математической школы осуществляется в основном в двух направлениях: либо в русле философско-математического синтеза идей, либо в русле полученных математических результатов. При этом вне поля зрения современных ученых обычно остается педагогическая деятельность и методико-математические взгляды представителей Московской философско-математической школы.

Вместе с тем, Ю.М. Колягиным и О.А. Саввиной было доказано, что научные достижения Московской философско-математической школы обладают мощным эвристическим потенциалом для теории и практики математического образования [3]. Однако основным препятствием для выявления и анализа философско-педагогических и методико-математических идей и концепций, возникших в академической среде Московской философско-математической школы, является их имплицитный характер, что требует систематической реконструкции педагогической составляющей исследуемого наследия

В ходе нашего исследования было установлено, что специфической доминантой педагогических взглядов представителей Московской философско-математической школы является христианское мировоззрение, основанное на глубоком религиозном чувстве и укорененное в традициях православия (см., например, [1], [2]). Это выразилось в трактовке представителями школы общих смыслов образования: единство целеполагания светского образования и идеалов Православной Церкви; значимость в осуществлении образовательного процесса воспитания учащихся на основе христианских ценностей; ясность, простота, логичность и последовательность как центральные принципы обучения; сущностное знание в обучении как альтернатива формализма; очевидность и наглядность слова, мысли и действия как основа дисциплины и одновременное отрицание строгости в педагогических воздействиях.

В наследии Московской философско-математической школы выявлены педагогические идеи, обладающие эвристическим потенциалом для современного образования на теоретико-педагогическом и практико-методическом уровнях: комплементарность нравственного воспитания и процесса обучения математике; применение математики как научного метода миропознания; обогащение школьного курса математики идеями аритмологии, теории множеств и теории вероятностей; артикуляция принципов самобытности отечественного образования, сосредоточия, гибкого контроля знаний и др.

Таким образом, многие методические идеи представителей школы (включение теории вероятностей в школьный курс математики, фуркация старшей ступени обучения, приоритет сущности перед формой и др.) перекликаются с современными тенденциями в образовании, нашли практическое воплощение. Однако многие идеи дореволюционных московских математиков остаются еще нереализованными.

Педагогическая и методическая эвристичность идей Московской философско-математической школы для математического образования в современных условиях подтверждена на примере разработанного нами элективного курса «Знакомство с элементами высшей математики», в методике проведения которого нашли отражение элементы реконстрированной нами педагогической системы Московской философско-математической школы: цель (заложить основы для формирования целостного взгляда на предмет математики), содержание (1. Элементы теории множеств. 2. Функции. 3. Предел функций. 4. Элементы аналитической геометрии. 5. Теория вероятностей), принципы и методы обучения математике, предложенные представителями школы.

Библиографический список

1. Грибов, А.Ю. В.Я. Цингер как философ, математик и педагог // Ярославский педагогический вестник. 2011. Том III (Естественные науки). №3.С. 148-152.

2. Грибов, А.Ю. Мировоззренческие взгляды педагога-математика П.А. Некрасова // Ученые записки Орловского государственного университета. Серия «Гуманитарные и социальные науки». 2012. №5. С. 309-312.

3. Колягин Ю.М., Саввина О.А. Математики-педагоги России. Забытые имена. Книга 4. Николай Васильевич Бугаев. Елец: ЕГУ им. И.А. Бунина, 2009.

ДУАЛИЗМ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ НАУКИ КАК МЕТОДОЛОГИЧЕСКАЯ ОСНОВА МЕЖДИСЦИПЛИНАРНОГО ПОДХОДА К ПРЕПОДАВАНИЮ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ В ВУЗЕ

С.Н. Дворяткина

Аннотация. В статье анализируется методологическое свойство математической науки (логико-интуитивный дуализм), которое определяет дидактические принципы обучения. Междисциплинарный подход в преподавании теории вероятностей, становление трансдисциплинарных идей выступают осями целостной системы знания, современного миропонимания и способности к интегративному самопознанию для студентов гуманитарных специальностей и естественнонаучного, технического направлений подготовки.

Ключевые слова: дуалистические свойства математики, интуиция, логика, дидактические принципы, включенность вероятности в структуру и содержание познания.

Для полноценного освоения студентами математической науки необходимо раскрытие ее междисциплинарной сущности, имеющей корни в бинарности устройства мира, проецируемой на человеческое мышление (холизм и редукционизм), методы анализа (индукция и дедукция), модели мироздания (конечность и бесконечность). Формулируя дуалистические свойства математической науки, мы устанавливаем предметные поля, составленные из понятий, законов, правил и методов, используемые в самых различных секторах научного знания и практики. Дуализм математики состоит в том, что математическое образование - это не только процесс освоения способов, норм математической деятельности и профессиональных ценностей, но и приобщение к математической культуре как части общечеловеческой культуры, развитие интеллекта, формирование духовно-нравственных идеалов и ориентиров. Математика может стать базой для внедрения принципов, идей гуманитарных наук, ценностно-целевых смыслов знания в естественнонаучное образование. «Двоякий лик - подлинное лицо математики, и я не верю, что математическое мышление можно было бы рассматривать с какой-нибудь единой упрощенной точки зрения, не принося при этом в жертву самую сущность» - писал выдающийся математик-универсал 20 века Джон фон Нейман [1].

Математической науке присущ, прежде всего, логико-интуитивный дуализм. Проблема соотношения интуиции и логики имеет достаточно богатую историю. Генетически это обусловлено двумя видами познания отношений и закономерных связей между предметами и явлениями окру-

жающего мира: опосредованным (путем логических умозаключений) и непосредственным (не следует с логической необходимостью из существующего чувственного опыта и теоретических положений) познанием. Дискурсивное является опосредованным способом получения знания, интуитивное - непосредственным.

Вопросу соотношения интуиции и логики в математике уделялось достаточное внимание. Б. Паскаль наметил «золотую середину» - интуиция «сердца» устанавливает аксиомы, логика разума выводит теоремы. В первой половине XX века большинство ученых согласилось с Паскалем. Примером могут служить эволюционные взгляды Б. Рассела. Когда совместно с А. Уайтхедом он создавал «Принципы математики», его позиция явно тяготела к логике. Но после обнаружения серии парадоксов в основаниях математики и доказательства К. Геделем теоремы о неполноте Рассел поменял свое отношение к логике, признав, что к основополагающим идеям приводит интуиция, а интеллект своими рассуждениями подтверждает или опровергает идеи. Логический «разум - это скорее не творческая, а скорее гармонизирующая, контролирующая сила» [2, с.45]. По поводу роли логики и интуиции в математике выразительно высказался А. Пуанкаре: «...логика и интуиция играют каждая свою необходимую роль. Обе они неизбежны. Логика, которая одна не может дать достоверность, есть орудие доказательств; интуиция есть орудие изобретательства» [3, с. 135 ].

Наиболее ценными по данной проблеме мы считаем заключения известных российских математиков, педагогов. О роли интуиции и логики в математике писал Л.Д. Кудрявцев: «Для правильной постановки задачи, для оценки ее данных, для выделения существенных из них и для выбора способа ее решения необходимо обладать математической интуицией, фантазией и чувством гармонии, позволяющими предвидеть нужный результат прежде, чем он будет получен. Однако интуитивно почувствовать ожидаемый результат и наметить путь исследований с помощью правдоподобных рассуждений - это далеко не все. Интуитивное чувство гармонии является в математике лишь первой, хотя весьма важной ступенью; интуитивные соображения и правдоподобные рассуждения отдаются на суд холодного рассудка для их изучения, доказательства или опровержения» [4, с. 116].

Достаточно самобытно определяет роль интуиции и логики в обучении математике Ян Стюарт: «Много бумаги истрачено на споры о преимуществе строгости перед интуицией и, наоборот, интуиции перед строгостью. Обе эти крайности бьют против цели, вся сила математики - в разумном сочетании интуиции и строгости. Контролируемый дух и вдохновенная логика» [5].

Свою точку зрения на соотношение интуиции и логики высказывал Л.Е. Балашов: «В интуитивистской деятельности мышления заложена возможность релятивистского понимания действительности, абсолютизация

неопределенности, случайности, беспорядка или хаоса. В логической деятельности мышления заложены тенденции к догматическому пониманию действительности, абсолютизации законосообразности, порядка. И все же интуиция и логика - совместимые противоположности» [6].

Развитие логики достаточно ясно прослеживается при изучении математических дисциплин, в частности курса теории вероятностей, благодаря ее аксиоматическому построению. Наличие дедуктивной системы теории вероятностей, очевидно. Следующие цитаты тому подтверждение. «Теорию вероятностей можно рассматривать как ветвь логики, изучающей все методы, которыми человеческий ум пользуется для приобретения новых истин» [7]. «Теория вероятностей - это просто количественно истолкованная наука логики» [8]. Следующее высказывание не только подтверждает логику теории вероятностей, но и узаконивает ее практическую необходимость. «Подлинная наука логики в настоящее время хорошо знакома лишь с достоверными, невозможными или с всецело сомнительными вещами, ни одну из которых нам (к счастью) не нужно обсуждать. Поэтому истинная логика для этого мира - это исчисление вероятностей (которое имеется или должно иметься в уме каждого разумного человека). Эта отрасль математики... единственная математика для практичных людей, которыми мы должны быть» [9].

Особенности интуиции ярко выступают также в процессе решения вероятностно-статистических задач. Интуитивно найденные правильные решения можно наблюдать с самых первых задач, на которых иллюстрируется предмет теории вероятностей. Не владея ни классическим, ни статистическим определением вероятности, студенты достаточно точно могут определить число выпадений «решки» или «орла» при любом числе подбрасываний монеты. Подобные задачи позволяют судить о развитой интуиции первого уровня (простая интуиция), выступающей в форме репрезентативных регуляций.

Логико-интуитивный дуализм математики послужил основой для разработки системы дидактических принципов, позволяющих множество категорий и законов превратить в стройную систему, охватывающую все основные стороны и функции процесса обучения. «Принцип развития математической интуиции - логичность структуры математических объектов» обеспечивает реализацию единого основания системы.

Принцип развития математической интуиции - это организация процесса обучения математике, направленная на овладение совокупностью вне логических механизмов мышления, на формирование умений предвидеть окончательный результат решения, прежде чем он будет получен логическим путем, умений проводить правдоподобные и эвристические рассуждения и получение на их основе вероятностно-статистических закономерностей.

Впервые принцип развития математической интуиции как принцип обучения высшей математике был сформулирован Л.Д. Кудрявцевым [4]. Далее он был исследован в работе В. Т. Петровой, С. А. Розановой [10; 11]. В. Т. Петрова рассматривает математическую интуицию как важнейшую составляющую интенсификации обучения математике, С. А. Розанова -как необходимый принцип формирования математической культуры студентов технических университетов.

Под принципом логичности структуры математических объектов понимаем обеспечение условий строгой аксиоматизации содержания обучения математике, при которых поэтапно активизируются логические операции мышления (транспонирование, анализ, синтез, сравнение, обобщение, конкретизация), формируются умения проводить доказательные рассуждения, основанные на использовании известных определений и теорем, умения выявлять причинно-следственные связи не только в математике, но и в профессиональной или другой социокультурной деятельности.

Пара «логика - интуиция» отражает классическую альтернативу: рациональное, рассудок, продуманность - иррациональное, бессознательное, хаотичность. Однако для формирования личности креативного типа предполагается освоение принципиально новой культуры мышления. Решение проблемы мы видим в развитии вероятностного стиля мышления (ВСМ) [12]. Формирование ВСМ невозможно осуществить без пропорционального развития логического и интуитивного типов мышления, причем необходимо уравновесить оба эти компонента и вывести их на более высокий качественный уровень.

Таким образом, третьим принципом, связанным с возникновением нового качества и задающим меру совместности в системе элементов, находящихся в дуальном соотношении, будет принцип включенности вероятности в структуру и содержание познания. Принцип заключается в учете вероятностных распределений и статистических закономерностей в содержании и структуре процесса обучения математике и их воздействии на концептуальный строй мышления посредством совместного использования двух несопоставимых, несоизмеримых типов мышления - логического и интуитивного, эмерджентных свойств результата их кооперативного взаимодействия.

Из вышесказанного следует, что студентам гуманитарного направления в процессе преподавания дисциплин вероятностно-статистического цикла необходимо активизировать логическую составляющую ВСМ. Целесообразно введение в дидактические материалы логических схем, наглядно иллюстрирующих междисциплинарные связи курса ТВиМС. Это помогает студентам воспринимать учебный процесс как систему, адекватную научной теории, а не как совокупность различных предметов, когда во главу угла ставится не система отдельных знаний, а установленные связи между

ними. Необходимо формирование банка дидактических материалов с усиленной логикой теории вероятностей.

Чтобы развить интуитивный компонент ВСМ у студентов инженерных направлений подготовки, мы предлагаем придать гуманитарную ориентацию процессу обучения вероятностно-статистическому материалу. В дидактические материалы разумно будет ввести элементы истории теории вероятностей, включить исследовательские задачи с присутствием множества факторов, влияние которых на исследуемые величины учесть достаточно сложно. Анализ таких задач требует от студентов широкого кругозора и научной интуиции.

Таким образом, ТВиМС являясь фундаментальной наукой, вносит свой вклад в формирование современной научной картины мира, в развитие духовно-нравственных, интеллектуальных, мировоззренческих аспектов личности, через установление единства естественнонаучной и гуманитарной подготовки, преодоления разрыва между обучением и воспитанием. В связи с дуалистическим характером ТВиМС дисциплина непосредственно решает профессиональные задачи:

1. Формирование у студентов общенаучной теоретической основы образования;

2. Обеспечение процесса изучения профессиональных дисциплин по гуманитарным и техническим направлениям подготовки необходимыми теоретическими вероятностно-статистическими знаниями и прикладными умениями;

3. Обучение навыкам широко используемых в профессиональной деятельности вероятностно-статистических методов.

Требования, предъявляемые обществом к специалистам в современных условиях, подтверждают значимость воспитательного аспекта образования. Знания, не опосредованные духовно-нравственным стержнем, окажутся невостребованными. Поэтому ТВиМС решает также следующие личностно-развивающие и общекультурные задачи:

4. Приобщение к духовной культуре - формирование ценностных идеалов и ориентиров, утверждение базовых мировоззренческих понятий с учетом культурно-исторических традиций;

5. Формирование новой парадигмы, в которой различные типы рациональности не отрицают, а дополняют друг друга, нового научного мировоззрения, предполагающего переход от детерминации к неопределенности и неоднозначности, от тотальности к самоорганизации, толерантности;

6. Развитие нового стиля мышления, обеспечивающего способность порождать не шаблонные идеи, отключаться от традиционных схем, осуществлять оценку, прогноз динамики развития объектов, процессов, эффективно взаимодействовать с окружающей действительностью;

7. Формирование стремления к личностному росту и самосовершенствованию через рефлексию.

Библиографический список

1. Нейман Дж. фон. Математик // Природа. 1983. № 2. С. 88-95.

2. Рассел Б. Мистицизм и логика // Почему я не христианин: Избранные атеистические произведения / пер. с англ.; сост., авт. предисл. и примеч. А.А. Яковлев. М.: Политиздат, 1987. С.37-60.

3. Пуанкаре А. Математическое творчество // Психология мышления: хрестоматия по психологии / под. ред. Ю.Б. Гиппенрейтер, В.А. Спиридонова, М.В. Фаликман, В.В. Петухова. М.: ACT: Астрель, 2008. С. 619-627.

4. Кудрявцев Л.Д. Мысли о современной математике и ее преподавании. М.: Физматлит, 2008.

5. Стюарт Ян. Концепция современной математики. Минск: Вышейшая школа, 1980.

6. Балашов Л.Е. Как мы думаем? Введение в философию мышления. М., 2006.

7. Васильев А.В. Законы случайного и математическая статистика: очерки//Вестник Европы. 1892. №10. С.630-655.

8. Peirce C.S. Illustrations of the Logic of Science // Writings. Blooming-ton, 1986. Vol. 3. P. 276-289.

9. Jaynes E.T. The probability theory: The logic of science. Cambridge: Cambridge University Press, 2003.

10. Петрова В.Т. Научно-методические основы интенсификации обучения математическим дисциплинам в высших учебных заведениях: дис ... д-рапед. наук. М., 1998.

11. Розанова С.А. Математическая культура студентов технических университетов. М.: Физматлит, 2003.

12. Дворяткина С.Н. Развитие вероятностного стиля мышления в процессе обучения математике: теория и практика: монография. М.: ИНФРА-М, 2013.

ДЕЯТЕЛЬНСТЬ Г. ЛАМЕ И Б. КЛАЙПЕРОНА В САНКТ-ПЕТЕРБУРГЕ

И.И. Демидова

Аннотация. Обсуждается история педагогической и научной деятельности Габриэля Ламе и Бенуа Клайперона в Санкт-Петербурге. Показывается, что решение классической задачи Ламе можно применить к живым конструкциям от клетки до Вселенной. Показывается возможность применения решение задачи к полям, окружающим биоконструкции.

Ключевые слова: Габриэль Ламе, Бенуа Клайперон, задача Ламе, биомеханика, напряжения.

Не надо отделять науку от ее приложений

Габриэль Ламе

20 ноября (3 декабря) 1809 г. в Санкт-Петербурге был учреждён Корпус инженеров путей сообщения, который был первой высшей школой и первым транспортным и строительным учебным заведением в России. Первым ректором был назначен А. Бетанкур, который считал основной задачей Института подготовку инженеров для России, которые прямо по выходе из заведения могли бы быть назначены к производству всех работ.

После окончания Отечественной войны 1812-1815 гг. в России развернулись большие работы по восстановлению инженерных сооружений и зданий в Москве и в других городах и по строительству дорог, мостов и гидротехнических сооружений в стране. Однако инженеров путей сообщения было недостаточно. В 1819 г. А. Бетанкур командировал П. Базена в Париж для приглашения французских ученых в Институт Корпуса инженеров путей сообщения. Он по совету ученых Парижской школы мостов и дорог предложил молодым инженерам - аспирантам Горной школы, воспитанникам Политехнической школы Габриэлю Ламе и Бенуа Клапейрону приехать в Россию для занятия должностей профессоров Института с жалованием по шесть тысяч рублей в год, т.е. в два раза больше, чем у русских учёных Института того же звания [1,4].

Августин Бетанкур (1758-1824) -испанский и российский ученый, изобретатель, инженер-механик и строитель, генерал-лейтенант, член-корреспондент Парижской академии наук 1809).

П.П. Базен (1786-1838) - механик, инженер-строитель, математик, педагог, член-корреспондент (1817) и почетный член (1827) Петербургской АН, генерал-лейтенант (1830).

Габриэль Ламе(1795-870) -французский математик, физик, инженер, член-корреспондент Петербургской АН (1829), член Парижской АН (1843).

Бенуа Клапейрон (1799-1864) -французский физик и инженер, член Парижской АН (с 1858).

Из содержательной монографии М.М. Ворониной узнаём, что Ламе читал курсы лекций по высшей математике (дифференциальному и интегральному исчислению) и физике, а Клапейрон - по механике и физике. Наряду с этим Ламе привлекался к чтению лекций по теоретической и прикладной механике и прикладной химии. В лекциях по физике Ламе отмечал новые достижения науки, в частности, рассказывал студентам о явлении двупреломления, которое было открыто Д. Брюстером в 1816 году.

Ламе и Клайперон, кроме учебной работы, принимали участие в проектировании мостов и дорог в России. Ламе помогал с расчетами О. Монферрану при решении задач об устойчивости купола Исаакиевского собора, о геометрии Александрийской колонны на Дворцовой площади [1]. В результате этой работы и были заложены основы теории расчета сводов, которые используются в строительной механике. В связи с участием в строительных проектах Г. Ламе также обращал внимание коллег на необходимость исследования свойств конструкционных материалов. В 1824 году по проекту А. Бетанкура был изготовлен сидерометр - первая русская гидравлическая машина для испытания цепей, предназначавшихся для висячих мостов. Г. Ламе вместе с Б. Клайпероном провели первые опыты на сидерометре и составили правила пользования им, опубликованные в 1826 году [3].

Рис.1. Сидерометр

Научная и педагогическая работа у Ламе были тесно связаны, о чем свидетельствует хотя бы тот факт, что названия его научных работ включались в экзаменационные вопросы как по математике, так и по другим дисциплинам. Кроме того, в своих учебниках и научных статьях он постоянно подчеркивал неразрывную связь математических дисциплин между собой и связь чистой и прикладной математики.

Ламе понимал роль учебника в процессе обучения. Первый его учебник был написан в 1825 году в соавторстве с П. Базеном по интегральному исчислению. Впоследствии этот учебник был переведен на русский язык и стал одним из первых русских учебников для высших технических учебных заведений. Большой педагогический опыт работы в России и во Франции позволил Ламе создать еще пять учебников по математике и физике. Б. Клайперон в 1928 году написал лекции по прикладной механике.

Ламе и Клайпероном были также рассмотрены несколько математических задач, имеющих различные технические приложения, с использованием разных методов математики. Решение некоторых технических проблем привело к развитию задач, предложенных древними учёными, а также к возникновению новых направлений науки, например, линейного программирования [1].

В лекциях по теории упругости в Петербурге Г. Ламе сформулировал и решил некоторые задачи этой теории. Монография Ламе по теории упругости была опубликована позже уже во Франции в 1852 году. Одной из значительных проблем того времени была задача о действии внутреннего pi и внешнего р0 давлений на сферу и цилиндр, получившая название задачи Ламе (рис. 2).

Рис. 2. Модель - сфера Рис. 3. Артерии и капилляры

Рис 4. Корни растения

Рис. 5. Желудок

Рис.6. Интерференционная картина в плоской модели

Рис.7. Интерференционные полосы в пространственной модели с включением

Сначала решение задачи применяли при расчетах сосудов высокого давления и труб, для моделирования неупругих процессов в конструкциях из различных материалов. В настоящее время эту задачу применяют для описания напряженного состояния в органах человека (сосуды, голова) и живых системах, имеющих форму сферы или цилиндра (рис.3-5).

Задачу Ламе можно также применить и для описания напряженного состояния вокруг живой конструкции (клетка, орган, целый организм) (рис. 6, 7) [2]. Если внешнее давление действует на биосистему, то и, наоборот, система воздействует на окружающую среду, т.е. вокруг биосистемы образуется некоторое физическое поле, обладающее своими физико-механическими характеристиками. Заметим, что при изменении напряженного состояния в живом организме будет изменяться напряженное состояние и в его пространстве и наоборот, любое изменение давления в окружающей среде приводит к перераспределению напряжений в живой системе и изменению механических свойств тканей системы. Для моделирования процессов в системах можно использовать либо аналитическое решение задачи Ламе, либо экспериментальное - метод фотоупругости (рис. 6, 7).

Использование задачи Ламе в биомеханике расширяет возможности анализа проблемы взаимоотношения биосистем с окружающей средой, по-

зволяет объяснить многие явления, наблюдаемые в природе. Предложенные модели открывают возможности объяснения различных патологий, возникающих при росте и функционировании живых систем.

Полученные результаты на исследованных моделях применимы и в других областях знаний: геологии, психологии, филологии и т.д. На основе предложенных моделей можно дать биомеханическую трактовку состояния страха и других психических заболеваний, а также слов и словосочетаний русского языка, например, «держать расстояние».

С другой стороны, расширяются возможности приложений задачи Ламе, сформулированной почти 200 лет назад в Санкт-Петербурге.

Библиографический список

1. Воронина М.М. Габриэль Ламе. М: Наука, 1987. 198 с.

2. Демидова И.И. Развитие приложений задачи Ламе // Актуальные проблемы прочности: материалы международной конференции. Витебск. Беларусь, 2012. С.95-97.

3. Елизаров С.В., Каптелин Ю.П., Бенин А.В. Механическая лаборатория имени проф. Н.А.Белелюбского. СПб.: ПГУПС, 2009. 76 с.

4. Лопатухина И.Е., Лопатухин А.Л., Поляхова Е.Н., Поляхов Н.Н. Выпускники Политехнической школы в Санкт-Петербурге (XIX в.) // Межд. конференция «Шестые Окуневские чтения». Материалы докладов. Т. 1. СПб, 2008. С. 141-145.

5. Портреты учёных. Википедия, http://ru.wikipedia.org/wiki

НАУЧНОЕ НАСЛЕДИЕ Л. ЭЙЛЕРА И РУССКО-ФРАНЦУЗСКИЕ НАУЧНЫЕ СВЯЗИ: ПЕТЕРБУРГ - ПАРИЖ - ПЕТЕРБУРГ

И.Е. Лопатухина, А.Л. Лопатухин, Е.Н. Поляхова, Н.Н. Поляхов

Аннотация. В статье рассказывается об участии Леонарда Эйлера в конкурсах Парижской Академии наук и о деятельности французских ученых в Санкт-Петербурге.

Ключевые слова: Леонард Эйлер, Парижская Академия наук, Политехническая школа, М. В. Остроградский, высшие военно-инженерные училища Петербурга.

Важнейшим фактором в научной деятельности Л. Эйлера (1707— 1783) был постоянный научный контакт с французскими учеными: переписка с А. К. Клеро, Ж. Даламбером, П. Л. М. Мопертюи, Ж. Л. Лагранжем и другими; сотрудничество с П. Л. М. Мопертюи в Берлине, особенно в го-

ды президентства Мопертюи в Берлинской академии наук; публикации работ Л. Эйлера в изданиях Парижской академии наук (Journal des Savants, Mémoires de l'Académie Royale de Paris), участие Эйлера в конкурсах Парижской академии наук и публикации премированных работ в сборниках Prix Paris и многое другое. Рассмотрим ряд аспектов русско-французских связей в творчестве Эйлера, в частности: участие в конкурсах Парижской Академии; избрание Эйлера почетным членом Парижской академии наук; контакты Эйлера с парижской школой гидромеханики (Клеро, Даламбер); развитие концепций Эйлера парижской школой прикладной механики в конце 18 - начале 19 вв., возникновение петербургской школы теоретической и прикладной механики (созданной М. В. Остроградским, получившим образование и приверженность принципам классической механики Эйлера-Лагранжа именно в Париже); роль французских ученых, работавших в России и т. д.

Как известно, будучи студентом Базельского университета, Эйлер направил в 1926 году в Парижскую академию наук работу о судостроении и оптимальном расположении корабельных мачт. Эта работа не была удостоена премии, но получила «одобрение», что было равнозначно второй премии.

Леонард Эйлер являлся членом Петербургской академии наук с 1727 г. Во время своего пребывания в Берлине, он являлся членом Берлинской академии наук с 1741 г., оставаясь при этом иностранным членом («Honoris Causa») Санк-Петербургской академии. Находясь в Берлине (1741 - 1766), он постоянно поддерживал тесное научное сотрудничество с Петербургской академией. В Парижскую академию наук Эйлер был избран в 1755 г. в качестве «Académie Royale des Sciences de Paris».

До своего избрания, в 1740-е гг. Эйлер проявил высокую научную активность. Он принимал участие во многих научных конкурсах, объявленных Парижской академией. Сначала Эйлер в 1738 г. послал в Париж из Санкт-Петербурга «Dissertatio de Igne» и получил премию, которая была разделена между ним самим, Колином Маклораном и Даниилом Бернулли. После чего Эйлер принял участие в конкурсах 1740, 1741, 1742, 1744, 1746, 1747 гг. и снова получил премии. Конкурсы 1742, 1744 и 1746 гг. были посвящены задаче о «магнитной силе». Находясь в Берлине, Эйлер написал работу о магнитной силе и направил ее в Париж в 1742 г. Так как в академию было прислано малое число работ, конкурс повторили в 1744 г. и еще раз в 1746 г., когда Эйлер и получил премию. Премия 1747г. была разделена между Эйлером и Д. Бернулли.

В 1748 г. Эйлер получил первую премию Парижской академии наук за свою рукопись в области небесной механики основных планет: «Recherches sur la question des inégalité du mouvement de Saturne et de Jupiter». Рукопись была опубликована в 1749 г., в «Prix Paris». И, наконец, Эйлер получил эту удвоенную премию в 1752 г. за рукопись «Recherches

sur les inégalités de Jupiter et de Saturne», которая была опубликована в «Prix Paris» в 1753 г.

Затем Эйлер принял участие в конкурсах, которые были объявлены в Париже в 1753, 1756 (снова удвоенная премия), 1759, 1770 (разделил премию со своим сыном) и в 1772 г. В 1759 г. работа Эйлера о колебании судовых корпусов в продольном и поперечном направлении снова получила премию. В 1770 и 1772 гг. его теория Луны была предложена Парижской академии, так как тема «Развитие теории Луны» была дважды выдвинута на присуждение премии. Оба мемуара были опубликованы в 9 томе «Requeil des pieces, qui ont remporte' les prix de l'Académie des Sciences». Первый мемуар «Theorie de la Lune» (1770) был написан Эйлером в сотрудничестве с Иоганном-Альбрехтом Эйлером (1734-1800), второй мемуар «Nouvelle recherches sur le vrais mouvement de la Lune» (1772) был написан Эйлером единолично. Эйлер получил удвоенную премию за эти мемуары.

Позднее, в 1778 г., помощник и последователь Эйлера, Николай Фусс также получил премию Парижской академии за рукопись об изменении движения кометы вблизи планет-гигантов. Это исследование было выполнено под научным руководством Эйлера в течение двух лет, после прибытия Фусса в Петербург.

Что же касается избрания Леонарда Эйлера в качестве иностранного члена Парижской академии, то ситуация была следующей. Как известно, Французская академия («Académie Royale des Sciences de Paris») была основана в 1635 году при короле Людовике XIII (1601-1643). Позднее, в 1666 г., уже при короле Людовике XIV (1638-1715) были дополнительно основаны Академия естественных наук и Академия истории. Согласно уставу Академии естественных наук, только восемь человек одновременно могло являться иностранными членами Парижской академии.

Что же касается России, только семь человек в 18 веке было избрано в Парижскую академию в качестве иностранных членов, причем все они имели отношение к Императорской академии наук в Санкт-Петербурге. Первым, кто был избран в качестве почетного члена (Honoris Causa) был Император Петр Великий (1672-1725), основавший впоследствии Академию наук в Санкт-Петербурге. Он был избран «hors de tout rang» (вне ранжира) 22 сентября 1717г. Вторым был астроном берлинской обсерватории Августин Натаниэль Гришоу (1726-1760) - коллега Эйлера по работе в Берлине. Он был избран 5 марта 1749 г. В 1750 г. Гришоу был приглашен в Россию в качестве академика Петербургской академии наук и директора астрономической обсерватории.

Третьим российским ученым был Леонард Эйлер, несмотря на то, что он жил в то время в Берлине. Его кандидатура в качестве иностранного члена парижской академии была предложена в 1753 г. после получения им

второй премии в 1752 г. (см. выше). Эйлер не был избран в 1753 г., тогда избрали британского медика Стефена Хэйлса (1677-1761).

Два года спустя, после смерти британского математика Абрахама де Муавра (1667-1754), который был одним из восьми иностранных членов Парижской академии, освободилась вакансия для еще одного иностранного члена. Тем не менее, вакансию, как обычно, намеревались предложить Президенту Королевского общества в Лондоне, если он уже не являлся членом академии. В то время, Сэр Джордж Маклесфилд (1697-1764) являлся президентом Королевского общества в Лондоне, и он был рекомендован к избранию в Парижскую академию. Его успешно избрали в Парижскую академию наук 15 июня 1755 г., однако французские академики также избрали и Эйлера в тот же день в качестве «associe' étranger surnuméraire» (вопреки положению о восьми иностранных членах). Обе кандидатуры были одобрены королем Людовиком XV (1710-1774).

Леонард Эйлер был очень счастлив и гордился тем, что многовековое правило Парижской академии было изменено специально для него. Позднее в 1761 г., после смерти Стефена Хэйлса, освободилось еще одно место в Парижской академии, и Эйлер был назначен «регулярным» иностранным членом 4 февраля 1761.

А еще одним иностранным членом был сын Эйлера. После смерти Леонарда Эйлера, его место было отдано сыну Иоганну-Альбрехту Эйлеру (1734-1800) - математику, физику и астроному, академику Петербургской академии наук с 1766 г. Он был избран 12 февраля 1784 г. в качестве иностранного члена Парижской академии наук, о чем ему сообщили письмом из Парижа.

В стенах Петербургской академии наук Даниил Бернулли (Daniel Bernoulli, 1700-1782) и Леонард Эйлер начали исследования основ механики жидкости в 20-х годах XVIII столетия, закончившиеся основополагающими результатами, во многом определившими последующий ход развития гидромеханики. Это же относится и к работам Эйлера по классической механике. Среди списка публикаций Эйлера, насчитывающего около 850 работ, его работы по механике жидкости и твердого тела весьма многочисленны. Появление этих молодых ученых на берегах Невы уже само было связано с потребностями кораблестроения и военной техники, поскольку деятельность Петра I по выходу России на ее естественные сухопутные и морские рубежи и его усилия по созданию российского флота и артиллерии повлекли за собой создание Петербургской академии наук как центра соответствующего научного обеспечения. Возникавшие при этом научные вопросы развития артиллерии и кораблестроения, а также тесная взаимосвязь Петербургской академии наук с флотом и первыми военными учебными заведениями в Петербурге, привели к закладке физических основ кораблестроительной науки, в том числе корабельной гидродинамики, основателями которой стали Д. Бернулли и Л. Эйлер.

Д. Бернулли прибыл в Петербург в октябре 1725 г. вместе со своим братом математиком Николаем II Бернулли в числе первых семи приглашенных академиков-иностранцев. Он возглавил кафедру физиологии и сначала занимался течением крови по артериям, после чего перешел к гидромеханике. Л. Эйлер прибыл позднее, в мае 1727 г., по ходатайству братьев Бернулли, и сразу же занялся гидромеханикой. В том же 1727 г. Д. Бернулли и Эйлер сделали доклады на эту тему в Академии Наук и их результаты совпали, причем Эйлер уступил тогда право публикации своему старшему другу. Сам Эйлер вернулся к этой тематике только в 50-е годы XVIII в., уже в Берлине, куда он переехал в 1741 г.

Д. Бернулли, уже вернувшись в 1733 г. в Базель, издал в 1738 г. в Страсбурге свой знаменитый труд «Гидродинамика», который внес основополагающий вклад в развитие этой науки, причем Д. Бернулли принадлежит заслуга введения в научный обиход термина «гидродинамика». Что касается математической постановки задач, изложенных в книге, то он рассматривал лишь одномерные течения в рамках упрощенной гипотезы о параллельных сечениях, перпендикулярных потоку. Весьма важным для построения гидродинамики и газодинамики явилось введенное Даниилом Бернулли понятие давления внутри текущей жидкости, развитое затем Эйлером, и доказательство теоремы о зависимости между давлением и скоростью. При этом предполагалось, что жидкость разделена на слои, перпендикулярные к направлению движения, а частицы каждого слоя движутся с одинаковой скоростью, следовательно, скорость жидкости везде пропорциональна площади соответствующего сечения. Это предположение было не что иное как формулировка принципа неразрывности.

Пространственное обобщение этой задачи выполнил Л. Эйлер, успешно применив континуальный подход, разработанный его учителем Иоганном I Бернулли (Johann I Bernoulli, 1667-1748) - отцом Даниила Бернулли - в трактате «Гидравлика» (1742 г.). Этот подход предполагал рассмотрение бесконечно малого объема жидкости, к которому применялись законы классической механики для силы, массы и ускорения, что позволяло свести задачу к дифференциальному уравнению. Иоганн Бернулли ограничился одномерными случаями, тогда как Эйлер применил этот подход для пространственной задачи построения общих уравнений механики идеальной жидкости с точки зрения ее бесконечно малых элементов. Пользуясь понятием континуума, Эйлер сумел представить внутреннее давление жидкости как величину, определенную в каждой точке ее объема, т. е. фактически построить физическое поле давлений (векторное и скалярное) в идеальной жидкости на базе закона импульса для элементарной частицы среды (континуума).

В 1750-х гг., работая в Берлине, Л. Эйлер получил существенные результаты по разработке общих уравнений гидродинамики, изложенных в 1757 г. в его знаменитой работе «Principes généraux du mouvement des

fluides», опубликованной в Берлине (ее русский перевод: Изв. РАН, разд. «Мех. жидк. и газа», 1999, Вып. 6. с. 26-54). В ней Эйлер дал вывод уравнения неразрывности (сплошности) невязкой сжимаемой жидкости, без которого система уравнений не является замкнутой даже для несжимаемой среды. Дифференциальные уравнения в переменных, которые отныне получили имя Эйлера, являются основой современной гидромеханики. Решение этих уравнений Эйлер свел к определению составляющих скоростей, давления жидкости и ее плотности в функциях координат по известным значениям проекций объемных сил и по заданным начальным условиям. Для этого к трем уравнениям в прямоугольных координатах он присоединил уравнение неразрывности потока. Кроме того, для сжимаемой жидкости Эйлер рассмотрел плотность как функцию давления, а, следовательно, и температуры среды. Эйлер продолжал свои исследования вплоть до 70-X гг. XVIII столетия, причем ранее он уже применил их к теории конструкции кораблей в своей книге «Scientia Navalis». Эйлер проявлял интерес и к математическому описанию движения крови в артериях, представленного им как движение несжимаемой жидкости в упругой эластичной трубке. Эйлер выявил и обосновал парадокс, получивший название парадокса Эйлера (1745) - Даламбера (1744), согласно которому при равномерном и прямолинейном движении тела в неограниченном объеме идеальной жидкости результирующая сила сопротивления движению равна нулю. Эта концепция позволила Эйлеру, исходя из модели идеальной жидкости, заняться проблемами баллистики и описать влияние высоких скоростей при движении в сжимаемой упругой воздушной среде.

Позднее, в 80-е годы XVIII столетия, когда в 1782 г. скончался в Базеле Д. Бернулли, а в 1783 г. почти одновременно скончались Ж. Даламбер в Париже и Л. Эйлер в Петербурге, распался знаменитый математический треугольник эпохи Просвещения: Петербург-Базель-Париж, созданный этими титанами науки. Ведущим научным центром Европы на последующие 50 лет стал Париж и оставался им до тех пор, пока примерно в 1830 г. не сформировалась новая научная ось Петербург-Париж, появление которой было связано в России с именами М. В. Остроградского и его учеников и созданной ими знаменитой Петербургской школы математики и механики. Парижская школа отличалась сильно развитым прикладным направлением, поэтому работы Эйлера, а также разработка его научного наследия, сыграли для ее развития основополагающую роль, особенно после приезда в Париж из Берлина в 1787 г. Ж. Л. Лагранжа (Joseph Louis Lagrange, 1736— 1813). Лагранж в течение 20 лет, с 1766 по 1887 гг., был президентом Королевской Прусской академии наук в Берлине (он стал Президентом по рекомендации Ж. Даламбера и Л. Эйлера, который в 1766 г. уже вернулся из Берлина в Петербург). Для Лагранжа, по его собственным словам, Эйлер «был кумиром».

Итак, интенсивное развитие науки и техники во Франции после революции 1789 г. определило появление там целой плеяды талантливых ученых-математиков, главным образом преподавателей и выпускников Политехнической школы в Париже, принадлежавших к математической школе Эйлера-Лагранжа. В их числе были такие знаменитости как С. Д. Пуассон (Simeon Denis Poisson, 1781-1840), Л. M. Навье (Louis Marie Henri Navier, 1785-1836), О. Л. Коши (Augustin Louis Cauchy, 1789-1840) и A. К. Сен-Венан (Adhemar Jean Claude de Saint-Venant, 1797-1843), которым принадлежит последующий этап развития гидромеханики в XIX в., в частности, завершения к 1840-м гг. построения гидродинамики вязкой жидкости. На этом закончилась почти столетняя разработка основополагающих идей работ петербургских академиков Д. Бернулли и Л. Эйлера, выполненных, главным образом, именно на базе Петербургской академии наук, как в смысле непосредственной многолетней работы в ней обоих ученых, так и в смысле их продолжающихся многочисленных публикаций в изданиях Академии в годы их пребывания за рубежом. Эти идеи оказали в дальнейшем огромное влияние на становление европейской школы гидромеханики, в том числе французской. Заметим, что некоторые из вышеперечисленных ученых стали почетными иностранными членами Петербургской академии наук, как например, Даламбер (с 1764 г.), Лагранж (с 1776 г.), Пуассон (с 1826 г.), Коши (с 1831 г.) и др.

Научное творчество Леонарда Эйлера оказало исключительное влияние на прогресс математики и математического образования во всем мире, особенно в России. Роль Эйлера в быстром подъеме науки в России трудно переоценить. Его ученики и первые последователи образовали во второй половине XVIII в. - начале XIX в. первую в России математическую школу, продолжили труды своего учителя и широко содействовали росту математической культуры в России. В частности, когда в 1802 г. только что основанное Министерство народного просвещения приступило к реформе народного образования, оно включило в ее программу открытие гимназий во всех губернских городах России и учреждение ряда новых университетов с физико-математическими факультетами в их составе. Заметим, что даже основанный в 1755 г. Московский университет до тех пор не имел отдельного физико-математического факультета. Их создание и расширенная подготовка на них отечественных кадров по математике, механике и астрономии имела решающее значение для новых успехов математических наук в России.

Что касается школы Эйлера, то здесь уместно назвать его коллег и учеников - Иоганна-Альбрехта Эйлера (1734-1800), старшего сына ученого, затем Семена Кирилловича Котельникова (1723-1806), Никиту Ивановича Попова (1720-1782), Николая Гавриловича Курганова (1726-1796), Андрея Дмитриевича Красильникова (1705-1796), Иосифа Адамовича Брауна (1712-1768), Степана Яковлевича Румовского(1734-1812), Михаи-

ла Ивановича Софронова (1729-1760), Николая Ивановича Фусса (1755— 1826), Андерса-Иоганна (Андрея Ивановича) Лекселя (1741-1784), Вольфганга-Людвига (Логина Юрьевича) Краффта (1743-1814), Семена Емелья-новича Гурьева (1764-1813), Михаила Евсеевича Головина (1756-1790), Фридриха-Теодора (Федора Ивановича) Шуберта (1758-1825) и др. Многие из них были не только математиками, механиками, геодезистами или астрономами (профессиональными астрономами из них были Попов, Румовский, Лексель и Шуберт, хотя и все остальные участвовали в астрономических наблюдениях или помогали Эйлеру в трудоемких вычислениях), но и выдающимися педагогами. Например, Котельников, Курганов, Фусс, Румовский. Так, в начале XIX в. Фусс и Румовский были привлечены в качестве членов Главного правления училищ, а Румовский кроме того был назначен попечителем Казанского учебного округа.

В 2001 г. отечественная научная общественность отметила 200-летие со дня рождения Михаила Васильевича Остроградского (1801-1862), знаменитого русского математика, механика и педагога, петербургского академика. В его творчестве нашли яркое воплощение характерные особенности механики первой половины XIX столетия. Биография и научное наследие М.В. Остроградского хорошо изучены, однако он является настолько могучей фигурой в российской и мировой науке, что вновь и вновь обращение к личности ученого позволяет ретроспективно выявить новые, иногда малоизученные аспекты его творчества. М. В. Остроградский родился 24 (12) сентября 1801 г. в Полтавской губернии в семье небогатого помещика, в 1816-1821 гг. учился на физико-математическом факультете Харьковского университета, после чего в 1822 г. уехал в Париж для дальнейшего усовершенствования знаний. Его творческий облик сложился при общении с французскими учеными - учениками и последователями знаменитой школы Лагранжа. Известно, что в XVIII столетии деятельность европейских математиков сосредотачивалась в области анализа и его приложений к механике и астрономии. Самые крупные фигуры можно расположить примерно в такой последовательности: Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716), братья Бернулли, Якоб (1654-1705) и Иоганн I (1667-1748), Даниил Бернулли (1700-1782), Леонард Эйлер и Жозеф-Луи Лагранж. С научным наследием этих классиков была связана деятельность ряда ведущих парижских математиков, прежде всего П.Л. Мопертюи (1698-1759), А. К. Клеро (1713-1765) и Ж. Л. Даламбера (1717-1783), которые в свою очередь были дружны с философами эпохи Просвещения и научная деятельность которых была сосредоточена в научных Академиях Парижа, Берлина и Петербурга.

В Париже молодой Остроградский познакомился с представителями следующего поколения парижских математиков, а именно - с такими известными учеными как О. Л. Коши (1789-1857), П. С. Лаплас (1749-1827), С. Д. Пуассон (1781-1840), Ж. Б. Ж. Фурье (1768-1830), Л. Пуансо (1777-

1859), Ж. Ш. Ф. Штурм (1803-1855) и др. 6 ноября 1826 г. М. В. Остроградский доложил в Парижской академии наук, при которой он находился с 1822 г., свою первую научную работу. Как известно, она была посвящена математическому описанию распространения волн на поверхности жидкости в цилиндрическом бассейне (опубликована в 1832 г. в Париже, причем одобрительные отзывы о результатах Остроградского дали в 1829 г. О.Л. Коши и С. Лакруа). Публикация называлась «Memoire sur la propagation des ondes dans un bassin cylindrique» (Mémoires présente' par divers savants a l'Académie Royale des Sciences de l'Institut de France. Se. Math, et Phys. 1832. T. 3. P. 23-44). Эта работа знаменательна не только тем, что положила начало дальнейшей научной карьере Остроградского в Петербургской академии наук, а также и тем, что ознаменовала возрождение петербургской школы гидромеханики Эйлера-Бернулли и сформировалась новая «ось» Париж-Петербург.

Об успехах молодого русского стало известно в Петербурге. В 1828 г. М. В. Остроградский вернулся в Россию, в Петербургскую Академию Наук и уже 17 (29) декабря 1828 г. был избран адъюнктом Академии по кафедре прикладной математики (по представлению академиков П. Н. Фусса-сына (1798-1855), Э. Д. Коллинса (1791-1840) и В. К. Вишневского (1781-1855)). 11 августа 1830 г. М. В. Остроградский избирается экстраординарным академиком, а 21 декабря 1831 г. - ординарным академиком по кафедре прикладной математики. Отныне вся жизнь М. В. Остроградского неразрывно связана с Петербургской академией наук, хотя одновременно он ведет огромную преподавательскую работу еще и в Главном педагогическом институте, в Морском кадетском корпусе, в Главном инженерном училище, в Михайловской артиллерийской академии, в Корпусе инженеров путей сообщения и еще в целом ряде средних военных и гражданских учебных заведений Петербурга.

Преподавательская деятельность М. В. Остроградского в Петербурге началась с Морского кадетского корпуса. Как известно, указом Петра I от 14 января 1701 г. в Москве была основана первая русская военно-техническая школа - так называемая Математико-навигацкая школа («Математических и навигацких, т. е. мореходно-хитростных наук школа»), подведомственная Оружейной палате. Ее начальником был адмирал Федор Головин. Старшие (навигаторские) классы Школы были в 1715 г. переведены в Петербург (указ Петра I от 1 октября 1715 г.) и на их базе была создана Морская академия, которой было поручено готовить специалистов для флота. В ней обучалось около 300 человек. В 1752 г. Академия была преобразована в Морской шляхетский кадетский корпус (Первый кадетский корпус), расположившийся на Васильевском острове. Математику в нём в начале XIX в. преподавали академики Павел Николаевич Фусс - сын (1798-1855), Михаил Васильевич Остроградский (начиная с 1828 г.) и Василий Яковлевич Буняковский (1804-1889), физику - Эмилий Христиано-

вич Ленц (1804-1865) и Адольф Яковлевич Купфер (1799-1865). М. В. Остроградский был профессором офицерского класса Морского Корпуса.

Корпус Инженеров путей сообщения был создан в 1809 г. М. В. Остроградский был приглашен в него в 1830г. для чтения аналитической механики и астрономии в офицерских классах.

Чтобы еще более внимательно проследить научные связи России и Франции, обратимся к истории. В 1794 г. в Париже была создана Политехническая школа (Ecole Polytechnique) для подготовки гражданских и военных инженеров. Это был самый сложный период Великой французской революции. Революционный переворот затронул все грани жизни французского общества, в том числе страна ощутила сильнейшую потребность в хорошо подготовленных инженерах. До революции точные науки преподавались в военно-инженерных школах (Школа мостов и дорог, наиболее известная Школа военных инженеров в Мезьере, Школа учеников артиллерии). В первые годы революции были закрыты многие высшие учебные заведения. Высший орган власти - Национальный конвент в конце 1793 года начал реорганизацию системы образования в стране. И 11 марта 1794 г. Конвент принял решение об основании нового высшего учебного заведения - Центральной школы общественных работ. Занятия начались 21 декабря 1794 г. Первым директором школы стал Ламбларди, вскоре его сменил Гаспар Монж (1746-1818), руководивший ею многие годы.

Школа была рассчитана на три года обучения. В ней преподавались математический анализ, геометрия, механика, черчение, физика, химия, архитектура и фортификация. Преподавателями были крупнейшие французские ученые Лагранж, Монж, Лаплас, Бертолле, Лепелетье, Неве. 1 сентября 1795 г. школе присвоили название Политехнической (Ecole Polytechnique) и определили ее статус. С этого момента она одна во Франции набирает и первоначально подготавливает всех будущих военных и гражданских инженеров. Остальные специализированные школы - Артиллерийская, Мезьерская военная, Школа мостов и дорог, Школа постройки кораблей и морских сооружений, Топографическая - обязаны принимать только выпускников Политехнической школы.

Преподавание в школе осуществляли профессора, читающие лекции, репетиторы, объясняющие лекции и ведущие практические занятия, и экзаменаторы, проверяющие знания с помощью экзаменов. Что касается именно механики, то программа Политехнической школы объединила изучение формального аппарата лагранжевой механики с практическими геометрическими методами Монжа и его теорией машин.

Престиж Политехнической школы был настолько велик, что каждый из ее выпускников, какого бы положения он не достиг, до конца своей жизни после указания своей фамилии писал: «Бывший учащийся Политехнической школы».

Теперь перенесемся в Россию в начало XIX века. В те времена основные перевозки массовых грузов осуществлялись по водным путям сообщения. Был учрежден Департамент водяных коммуникаций, главой которого являлся Николай Петрович Румянцев (1754-1826). Он активно осуществлял преобразование Департамента и добивался создания особой корпорации инженеров и учреждения института, подобного французской Школе мостов и дорог, и приглашения французских инженеров для работы в России.

В 1807 г. во время встречи на Немане, на которой присутствовал и Н. П. Румянцев, между Александром I и Наполеоном Бонапартом было подписано соглашение о направлении на службу в Россию французских инженеров для оказания помощи в развитии строительного искусства. А 20 ноября 1809 года Департамент водяных коммуникаций и Экспедиция устроения дорог при нем были преобразованы в Управление водяными и сухопутными сообщениями, одновременно был учрежден Корпус водяных и сухопутных путей сообщения. С 1810 года они стали именоваться соответственно управление путей сообщения, Корпус инженеров путей сообщения и Институт Корпуса инженеров путей сообщения. Возглавил Институт французский инженер, испанец по происхождению Августин Бетанкур (1758-1824). Институтом Бетанкур руководил до конца жизни.

Институт Корпуса инженеров путей сообщения был первым высшим техническим учебным заведением в России. В основу преподавания в институте были положены математические науки, строительное искусство и прикладная механика. Сложнее было с преподаванием технических предметов, поскольку российские университеты не готовили ученых-специалистов в области инженерного искусства.

И в 1810 году в Петербург прибыли выпускники Политехнической школы Александр Фабр (1782-1844), Шарль Потье (1786-1855), Пьер Базен (1783-1838) и Морис Дестрем (1788-1855). Они были зачислены в Корпус инженеров путей сообщения, получив звание офицеров Корпуса и назначения.

Фабр и Потье были направлены в Институт Корпуса инженеров путей сообщения, а Базен и Дестрем - в распоряжение Одесского военного губернатора.

В 1815 году Базен возвращается в Петербург в Институт Корпуса инженеров путей сообщения, где работает профессором курса «Высший анализ и механика». В 1817 году издает «Элементарный курс дифференциального исчисления», в 1818/19 учебном году начинает читать новый курс по строительной механике.

Кроме преподавательской деятельности Базен проявил себя незаурядным инженером. В 1820 году его назначают начальником I Округа путей сообщения, который он возглавляет до 1824 года. За время руководства Округом были произведены грандиозные строительные работы по

ремонту и реконструкции водных коммуникаций, окружающих Санкт-Петербург. В 1824-27 годах Базен руководил работами у Инженерного замка, где были созданы сохранившийся поныне Инженерный 1-й мост (1825 г., совместно с Б. Клайпероном), Инженерный 2-й мост (1826). Базен принимал участие в проектировании и строительстве куполов Троицкого собора. А после отставки А. Бетанкура Базен возглавил Институт, в котором работал до 1834 года. Его интенсивная инженерная и научно-педагогическая деятельность не осталась незамеченной. В 1817 году Базен был избран членом-корреспондентом Петербургской академии наук, в 1827 стал почетным членом этой академии.

Александр Яковлевич Фабр преподавал в Институте Корпуса инженеров путей сообщения. Им были созданы проекты мостов через Неву, Таганрогского и Мариупольского портов.

Карл Иванович Потье преподавал в Институте Корпуса инженеров путей сообщения алгебру, геометрию, тригонометрию, физику, химию, фортификацию и начертательную геометрию. С 1834 г. стал последним французским директором Института, на посту которого сделал очень много для совершенствования учебного процесса, создал первый в России учебник по начертательной геометрии и ее приложениям «Основания начертательной геометрии» (1816). Эта книга в том же году была опубликована на русском языке в переводе ученика Потье Я. А. Севостьянова (1796-1849).

Морис Гугович Дестрем участвовал в создании Исаакиевского собора, руководил строительством фортов в Кронштадте, строил Благовещенский мост по проекту С. В. Кербедза. Работая профессором в Институте Корпуса инженеров путей сообщения, написал учебник по механике. Был избран почетным членом Петербургской академии наук (1824).

В 1819 году Бетанкур командировал Базена в Париж для приглашения французских ученых в Институт Корпуса инженеров путей сообщения. В 1821 году в Россию приезжает вторая волна французских специалистов -выпускников Политехнической школы. Это Габриэль Ламэ (1795-1870) и Бенуа Клайперон (1799-1870).

В соответствии с договором Ламе и Клапейрон 1 июля 1820 г. оставили французскую службу и отправились в Петербург. Здесь они были определены в Корпус инженеров путей сообщения майорами с помещением их профессорами математики в институт этого корпуса. Ламе читал лекции по высшей математике - дифференциальному и интегральному исчислению и по физике, а Клапейрон - по механике и физике.

Ламе и Клапейрон были передовыми учеными и внесли большой вклад в совершенствование учебного процесса и в развитие науки и инженерного искусства в России. Они помогли формированию и становлению важнейших дисциплин инженерного образования - «умозрительной» и прикладной механики и курса построений.

Развитие промышленности в России, строительство дорог, зданий определили и круг научных интересов Ламе. Именно 11 -летний период работы в России был направляющим на всем жизненном пути молодого ученого. Ламе и Клапейрон выполняли многие работы на стыке теоретических наук и запросов практики, и благодаря этому они сами становились творцами новых дисциплин - строительной и прикладной механики.

Во второй половине 1820-х годов Ламе начал заниматься математической теорией упругости. Его интерес был предопределен и закономерен. Ведь в теории упругости сочетаются и учение о сопротивлении материалов, и учение о прочности - как раз те задачи, которыми занимались молодые французские ученые в России.

Еще одной обширной темой дальнейших исследований - теорией распространения тепла - Ламе также заинтересовался во время пребывания в России. Свое обращение к вопросам теории теплоты Ламе связывает с трудностями, с которыми он столкнулся при попытках продвинуться дальше в решение проблем в теории упругости. Возможно, также Ламе начал работать над новой темой под влиянием М. В. Остроградского (1801-1861), который уже в это время преподавал в Институте инженеров путей сообщения. Знакомство Ламе и Остроградского перешло в дружбу.

Основные научные направления, которым Ламе посвятил свою дальнейшую жизнь: теория упругости, аналитическая теория тепла, теория криволинейных координат были им намечены еще в Петербурге. Таким образом, пребывание в России явилось периодом становления и формирование Ламе как ученого.

Так сложилась судьба шести выпускников Парижской Политехнической школы. Будучи преподавателями Института Корпуса инженеров путей сообщения и обучая российских инженеров, они, несомненно, наряду с М. В. Остроградским, внесли большой научный вклад в становление петербургской школы классической механики.

Михаил Васильевич Остроградский в 1840 г. стал преподавать математику и механику также в Главном Инженерном училище («Инженерный замок»), впоследствии в 1855 г. переименованном в Николаевскую военно-инженерную академию. С 1841 г. он преподавал математику, механику и баллистику также в Главном артиллерийском училище на Арсенальной набережной, в дальнейшем в 1855 г. переименованном в Михайловскую артиллерийскую академию. Известно, что оба эти военные учебные заведения вели свое начало от Сухопутного шляхетского кадетского корпуса (позднее - Второй кадетский корпус), открытого в 1732 г. на Кадетской линии Васильевского Острова рядом с бывшим Меныниковским дворцом. В то время там преподавал математику и физику сам Л. Эйлер и многие его сослуживцы по Петербургской академии наук. Свое происхождение Сухопутный кадетский корпус вел, в свою очередь, от Московской артиллерийской школы, созданной в 1701 г. указом Петра I. В 1711-1712 гг. его

сподвижник Яков Вилимович Брюс (1670-1735) открыл в Москве Военную инженерную школу, которая вскоре объединилась с ранее открытой Артиллерийской школой, а в 1732 г. была реорганизована и перебазирована в столицу, получив название Сухопутного шляхетского корпуса.

Авторитет М. В. Остроградского уже в первые годы его работы в Петербурге был огромен. Он стал знаменитостью, его принимали в салонах столичной знати, под его руководством известная меценатка княгиня Евдокия Голицына написала на французском языке книгу по механике «Анализ силы», которую издала в Париже в 1830 г.

М. В. Остроградский - автор более 60 научных работ, более 30 монографий, учебных и методических пособий, не говоря уже о многочисленных отзывах, рецензиях и т. п. За более чем 30-летнюю его деятельность в Петербургской академии наук не выходило ни одного выпуска «Записок академии наук», где не была бы помещена его статья или рецензия по самым различным областям математики, механики и астрономии: аналитической механики, теории притяжения, небесной механики, гидромеханики, теории упругости, баллистики, математического анализа, вариационного исчисления и т. д.

В Парижскую академию наук (входящую в «Институт Франции») М. В. Остроградский был избран членом-корреспондентом по секции математики 3 марта 1856 г. Французские математики высоко ценили дарование и открытия ученого, хотя и недостаточно внимательно следили за его публикациями в изданиях Петербургской академии наук, избравшей М. В. Остроградского своим членом (ординарным академиком) в 1828 г. Так, член Парижской академии и член-корреспондент Петербургской академии наук с 1835 г. Шарль Штурм (1803-1855) в 1847 г. писал М. В. Остроградскому: «Вам полагается... звание корреспондента Парижской академии, которое Вы давно заслуживаете и которое Вам дадут при первой возможности. В секции математики (которая составляет список кандидатов) Вашими горячими сторонниками являются г.г. Бине, Ламэ и я, вне секции - с различной степенью горячности - Коши, Дюамель, Понселе, Пиобер, Морен, Лиувилль и т.д. Чтобы сохранить их доброе расположение, Вы сделали бы очень хорошо, если бы отправили в нашу Академию два или три экземпляра Ваших прекрасных мемуаров, которые, может быть, недостаточно известны здесь». Тем не менее избрание М. В. Остроградского состоялось лишь через восемь лет. Он ответил благодарственным письмом, напечатанным в «Compte Rendus de l'Académie des Sciences» за 1856 г. (T. 42. С. 929).

Если обратиться к характеристике французской математической науки в период с 1790 по 1830 гг., следует отметить существенное влияние на нее научного наследия Л. Эйлера. После того как 1782 г. и 1783 г. с интервалом 18 месяцев скончались Даниил Бернулли (1700-1782) в Базеле, Жан Даламбер (Jean Le Rond D'Alembert, 1717-1783) в Париже и Леонард

Эйлер в С.-Петербурге, распался равносторонний математический «треугольник» Париж - Базель - Петербург. Научное наследие этих титанов науки затем сосредоточилось в Париже, который теперь сделался математическим центром Европы и оставался таковым вплоть до середины XIX столетия, пока не появилась новая научная «ось» Париж-Петербург.

Первоначально, на рубеже XVIII-XIX столетий видную роль в этом центре играли Боссю (1730-1814), Монж (1746-1818), Лаплас (1749-1827) и Лежандр (1752-1833). Роль этой школы существенно усилил Лагранж, который в 1787 г. приехал в Париж из Пруссии, где он с 1767 г., т. е. после возвращения Эйлера из Берлина в Россию, двадцать лет был президентом Берлинской академии наук (Лагранж был членом Берлинской академии наук с 1759 г., иностранным членом Парижской академии с 1772 г., ее постоянным членом с 1787 г., почетным членом Петербургской академии наук с 1776 г.).

Успех французской математической школы определялся не только талантливыми математиками как личностями, но и весомой поддержкой, оказываемой чистой и прикладной наукам новым государственным режимом, установившимся после Великой Французской революции 1789 г. Так, например, кроме Парижской академии наук еще и знаменитая Политехническая школа (Ecole Polytechnique), тоже создала прекрасные условия для развития физико-математической школы следующего поколения, блестящими представителями которой были ее профессура и выпускники.

К первым поколениям выпускников и преподавателей этой школы среди многих ее представителей относятся: Ж. Б. Деламбр (Jean Baptiste Delambre, 1749-1822), Л. H. Карно (Lazare Nicolas Carnot, 1753-1823), Г. Прони (Gaspard Claire Francois Marie Riche de Prony, 1755-1839), Ж. Б. Фурье (Jean Baptiste Joseph Fourier, 1768-1830), A. M. Ампер (Andre' Marie Ampere, 1775-1836), Э. Л. Малю (Etienne Louis Malus, 1775-1812), Д.Ф. Араго (Dominique Francois Arago, 1786-1853), Ф. Бине (Jean Philippe Marie Binet, 1786-1856), П. Базен (Pierre Dominique Basin, 1786-1838), Л. Пуансо (Louis Poincot, 1777-1859), Ж. Л. Гей-Люссак (Joseph Louis Gay-Lussac, 1778-1850) и др. Г. Монж оставил свою деятельность в Школе в 1810 г., передав все дела Д. Араго.

Ecole Polytechnique была первым учебным заведением нового типа в Европе, базировавшемся на глубоком изучении математики, механики, физики и химии. Действительно, организация этой Школы способствовала преодолению разрыва между выдающимися достижениями теоретиков механики: братьев Бернулли, Эйлера, Даламбера, Мопертюи и особенно Лагранжа с его «Mécanique Analitique» (1788), - и инженерной практикой, которая во многом еще оставалась на ремесленно-мануфактурном уровне, т. е. на уровне «Энциклопедии или Пояснительного словаря наук, искусств и ремесел» («Encyclopédie ou dictionnaire raisonne' des Sciences, des Arts et des Metiers». Paris. 1751-1772), издание первого тома которой предприняли в

1751 г. Дени Дидро (Denis Diderot, 1713-1784), будущий почетный член Петербургской академии наук (с 1773 г.) и Жан Даламбер в 1751 г., будущий почетный член Петербургской академии (с 1764 г.), собрав вокруг этого издания много сотрудников и специалистов по практическим вопросам.

Итак, именно во Франции, во многом благодаря революции 1789 г., были впервые созданы некоторые условия для постепенного преодоления указанного разрыва теории и практики. Нельзя забывать и о деятельности Пуансо, выступавшего в противовес аналитику Лагранжу за геометрические методы в механике, о французской школе «индустриальной механики» (Понселе, Кориолис, Дюпен и др.). Такие одаренные ученые как Г. Монж, создатель теории машин и механизмов, и Г. Прони, вполне владевшие современной им математической теорией, но при этом «прикладники» по духу, также внесли немалый вклад в стирание этих острых противоречий. Эти противоречия не прекращались даже тогда, когда опытные инженеры и изобретатели становились членами Парижской академии наук. Даже это мощное учреждение не могло объединить усилий теоретиков и практиков и стимулировать техническую революцию - все это выпало на долю Политехнической школы в Париже. Следует упомянуть такие ранние французские пособия по механике как «Traite' élémentaire de statique» (1788, 1846) Монжа, «Elemens de statique» (1803, 1877) Пуансо, «Mécanique philosophique» (1800) де Прони, «Traite de mécanique élémentaire» (1800) Франкера, a также более поздние публикации: «Traite' de mécanique» (2 vol., 1811) Пуассона, «Architecture hydraulique» (1819) Навье, «Essais sur la composition des machines» (1824) Ланца и Бетанкура, «Calcul de l'effet des machines» (1829) Кориолиса, «Mémoires sur la théorie des axes conjuguées et des moments d'inertie des corps» (1813) Бине и «Cours de mécanique industrielle» (1829) Понселе. Эти методики оказали огромное влияние на Остроградского, хотя основное влияние на его творчество принадлежит все-таки книге Лагранжа.

Важным фактором успеха этой научной школы был тщательный отбор талантливых студентов, сделавших позднее карьеру в математике, физике или в технических науках уже вне Ecole Polytechnique, создав сеть научных и учебных учреждений Франции, гражданских и военных. Существенную роль играло и первое французское высшее педагогическое учебное заведение Ecole Normale, основанное Наполеоном Бонапартом, в которое были в разное время приглашены такие знаменитости как Лагранж, Монж, Лакруа, Лежандр, Понселе, Коши и др.

Влияние научного наследия Эйлера на всю эту когорту ученых было огромным, если не сказать - грандиозным. Это особенно относится к периоду 1790-1830 гг., так как после смерти Эйлера все еще публиковалось огромное число его работ: около сотни его работ было издано Петербургской Академией Наук вплоть до 1830 г. Но даже изданных при жизни Эй-

лера его книг, учебников и статей вполне хватило, чтобы раз навсегда внедрить в математику мощные методы дифференциального и интегрального исчислений и методы решения дифференциальных уравнений, как обыкновенных, так и в частных производных. Приложение этих методов к классической механике шло по трем направлениям: теория движения под действием сил тяготения, соотношение энергии и работы, аналитическая теория (принцип Даламбера, принцип наименьшего действия, принцип виртуальных перемещений и пр.). Соответственно, существенное развитие получили теория сплошных сред, гидромеханика и небесная механика.

Учитывая, что в те времена не было принято давать ссылки на первоисточники, многие ученые просто не знали, что используемая ими идея или формула принадлежит первоначально именно Эйлеру. Огромную роль в развитии идей Эйлера сыграл знаменитый механик Гаспар Монж (1746— 1818) и его многочисленные ученики - выпускники Ecole Polytechnique: кроме упомянутых выше Фурье, Ампера, Кориолиса, Понселе и Френеля к ним относились: Сильвестр Лакруа (1765-1843), Жак Филипп Мария Бине (1786-1856), Габриэль Ламе (1795-1870) и многие другие.

Заметим, что многие из упомянутых выше французских ученых были избраны иностранными почетными членами (Honoris Causa) Петербургской академии наук, например: Даламбер в 1764 г., Ла Кондамин в 1754 г., Кондорсе и Лагранж, оба в 1776 г., Боссю в 1778 г., Био в 1819 г., Пуассон и Дюпен, оба в 1826 г., Ламе и Фурье, оба в 1829 г., Ампер и Коши, оба в 1831 г., Понселе в 1857 г., Шаль в 1861 г., а также некоторые другие французские ученые.

Что касается именно механики, то программа Политехнической школы объединила изучение формального аппарата лагранжевой механики с практическими геометрическими методами Монжа и его теорией машин. Формальный подход Лагранжа был связан с уровнем развития науки и техники его времени, когда фактический материал и научные знания, находившиеся в руках ученого, позволяли рассматривать только приближенные модели тел и сред, в которых они движутся. Именно схематизм и приближенность используемых научных представлений, а также быстрое развитие математического аппарата позволяли и предлагали создание общей механической схемы равновесия и движения абстрактных механических систем, основанной на единых принципах. И заслугой Лагранжа явилась понятая и блестяще осуществленная им потребность и возможность создания целостной и последовательной механической системы. Такой обобщенный подход позволил по-иному взглянуть на картину механических явлений и обогатил механику новыми результативными методами. Поэтому не удивительно то влияние лагранжевой «Аналитической механики», которое она оказала не только на формирование сильной группы ученых-теоретиков, но и на представителей математики и прикладной механики (Прони, Понселе, Коши). Среди всех вопросов, вставших перед француз-

ской наукой в конце XVIII столетия, одно из ведущих мест заняли вопросы, связанные с приложением математических методов к прикладным техническим задачам. Острая необходимость в их разрешении, помощь государства, привлечение крупнейших ученых страны не только к решению таких задач, но и к подготовке специалистов в этой новой области науки привели к ее быстрому становлению, ускоренному развитию и к необычайному расширению круга лиц, занимающихся вопросами прикладной математики. Важным фактором этого стремительного научного скачка в области приложения и развития математических методов к практической механике была характерная для французской науки традиция приложения теории к практике. В период между выходом «Энциклопедии» и создания Политехнической школы издавались трактаты Монжа, Прони и Карно по математике и прикладной механике. Указанная традиция сыграла положительную роль и в подборе преподавательского состава школы и в её учебной программе.

Именно в стенах Ecole Polytechnique окончательно сформировалась школа прикладной математики, отдельные представители которой опирались на молекулярную механику Лапласа (Пуассон, Навье, Коши). Молекулярная механика Лапласа явилась следствием его работ по физике и химии. Действительно, создатель «Небесной механики» (1799) хотел объяснить единообразие не только макропроцессов, но и микропроцессов во Вселенной. Поэтому проблемы физики и химии Лаплас пытался рассмотреть как частный случай теории тяготения. Хотя он не смог количественно определить зависимость между силами взаимодействия частиц вещества и расстояниями между ними, но сама идея молекулярного (атомного) взаимодействия оказала большое влияние на современников: она была использована К. Л. Бертолле (1748-1822), а политехники Пуассон, Навье, Коши и Ампер исходили из молекулярных представлений Лапласа. Такой его подход к механическим процессам сказался и в лапласовом «Изложении системы мира» (1796) и в первой книге «Небесной механики» (1799), озаглавленной «Об общих принципах равновесия и движения». Здесь Лаплас изложил основные законы движения и математический аппарат аналитической механики, причем земную механику Лаплас считал введением к механике небесной.

Таков был цвет французской науки и цвет Политехнической школы, слушателям которой досталось в наследство все многообразие направлений, взглядов и методов механики XVIII столетия, во время пребывания в Париже М. В. Остроградского с 1822 по 1828 г. Итак, в своем письме в Париж М. В. Остроградский просит передать его благодарность французским ученым: «Математикам знаменитой академии, которых я имею честь знать лично: г-ну Коши, моему знаменитому учителю, исключительному ученому, который, охватывая математические науки во всей их широте, раздвинул их границы, подобно Эйлеру и Лагранжу; г-ну Пуансо, который имел

любезность изложить мне принципы его прекрасной теории вращения задолго до ее опубликования; г-ну Бине, моему профессору в College de France, знаменитому математику и нынешнему президенту Академии; г-ну Штурму, моему другу, который обогатил алгебру и трансцендентный анализ теоремами большой значимости, и г-ну Ламе, который расширил теорию линейных уравнений в частных производных. Называя математиков, которые блестяще поддерживают великую славу Академии наук, не могу не вспомнить в то же время знаменитых усопших, о которых не могу думать без растроганности и печали: Пуассона, который почтил меня своей благосклонной дружбой, и Фурье, который был моим благодетелем; память о них и признательность, которой я обязан последнему, я сохраню навсегда».

Так прослеживается связь научных школ Л. Эйлера, целой плеяды французских ученых, М.В. Остроградского, послужившая благодатной почвой для развития Петербургской школы математики и механики.

Библиографический список

1. Боярский П.В. Политехническая школа в первое десятилетие своего существования // Физика на рубеже XVII - XVIII вв. М: Наука, 1974. С. 179-189.

2. Лопатухин А.Л., Лопатухина И.Е. Естественнонаучные связи России и Франции на примере механики (XVIII - начало XX вв.) // Наука и техника: вопросы истории и теории, вып. XIX. Материалы XXIV годичной конференции СПб отделения Российского национального комитета по истории науки и техники «СПб и мировая наука». СПб, 2003. С. 187-189.

3. Лопатухина И. Е., Лопатухин А.Л., Поляхов Н.Н., Поляхова Е.Н. Основные этапы развития Петербургской школы механики в XIX столетии // Петербургские фрагменты научной картины мира. Серия: «Петербург в европейском пространстве науки и культуры». СПб.: Изд-во Научного центра РАН. 2002. С. 47-63.

4.Лопатухина И.Е., Лопатухин А.Л., Поляхов Н.Н., Поляхова Е.Н. Основные этапы развития Петербургской школы механики в XIX столетии. // Петербургские фрагменты научной картины мира. Серия: «Петербург в европейском пространстве науки и культуры». СПб.: Изд-во Научного центра РАН. 2002. С. 47-63.

5. Лопатухина И. Е, Лопатухин А.Л., Поляхова Е. Н. Научные связи России и Франции в механике (XIX в.) // IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. Аннотации докладов. Нижний Новгород, 2006. T. I. С. 155.

6. Лопатухина И.Е., Лопатухин А.Л, Поляхов Н.Н., Поляхова Е.Н. Роль М. В. Остроградского в развитии петербургской школы механики

XIX столетия (к 200-летию ученого) // Методология и история математики. Т. 4. СПб, 2003. С. 130-144.

7. Лопатухина И. Е., Лопатухин А.Л., Поляхова Е.Н., Поляхов Н. Н. Основополагающие работы Д. Бернулли и Л. Эйлера по гидромеханике в Петербургской Академии наук. // Всероссийский семинар по гидромеханике. Тезисы докладов, СПб. 2008. С. 81.

8. Лопатухина И.Е., Лопатухин А.Л., Поляхова Е.Н., Поляхов Н.Н. Выпускники Политехнической школы в Санкт-Петербурге (XIX в.) // Межд. конференция «Шестые Окуневские чтения». Материалы докладов, Т. 1. СПб, 2008. С. 141-145.

9. Lopatukhina I. Е., Lopatukhin A. L., Polyakhova Е. N. Leonard Euler and his awards in Paris Academy of sciences // Леонард Эйлер и современная наука. Материалы межд. конференции. СПб.: Изд-во Научного центра РАН, 2007. С. 318-321.

10. Полякова Т. С. Леонард Эйлер и математическое образование в России. М.: КомКнига, 2007. 184 с.

11. Поляхова Е.Н., Холшевников К.В. Некоторые задачи прикладной математики - небесная механика, геодезия, картография - в работах академика М. В. Остроградского и его научной школы (к юбилею ученого). // Вестник С.-Петербургского университета. Серия 10 (Прикладная математика и информатика), 2007. Вып. 1. С. 112-136.

12. Русско-французские научные связи. Публикация А.Т. Григорьяна и А. П. Юшкевича при участии Т.Н. Кладо и Ю.Х. Копелевич. Л.: Наука, 1968. 300 с.

13. Соловьев Ю.П. Ради отечества, наук и славы // Квант. № 7. 1989. М.: Наука. С. 2-5.

14. Соловьева И.М. Французские инженеры в Институте Корпуса инженеров путей сообщения и их школа // Наука и техника: вопросы истории и теории, вып. XXII. Материалы XXVII годичной конференции СПб отделения Российского национального комитета по истории науки и техники «СПб и мировая наука». СПб, 2006. С. 262-263.

УЧЕБНО-ЛИТЕРАТУРНАЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ А.В. ЛАНКОВА (К 130-ЛЕТИЮ СО ДНЯ РОЖДЕНИЯ)

В.С. Евтеев

Аннотация. В статье дается обзор основных трудов известного в советское время автора учебников математики А.В. Ланкова, 130-летний юбилей которого мы отмечаем в этом году.

Ключевые слова: история математического образования, советские учебники математики, А.В. Ланков.

Александр Васильевич Ланков родился в 1884 г. в деревне Воронцово Корчевского уезда Яковлевской волости Тверской губернии. Как установили Ю.Н. Зверева и В.И. Данилова, его отец служил лесником, позднее приписался к мещанскому сословию и занимался сельским хозяйством. Мать А.В. Ланкова происходила из крестьянской семьи [1, с. 122].

Первоначальное образование Александр получил в начальной школе и двухклассном сельском училище в с. Медведицком. Как хорошо успевающий ученик был оставлен при училище еще на один год для подготовки к поступлению в Новоторжскую учительскую семинарию.

По окончании семинарии в 1903 г. начал педагогическую деятельность учителем начального училища, но тяга к совершенствованию образования привела его в 1907 г. в Московский учительский институт, который он окончил в 1910 г. Одновременно учился в Московском коммерческом институте в качестве вольнослушателя. После окончания института Александр Васильевич преподавал в различных учебных заведениях Тверской губернии (Калининской области); а после Октябрьской революции 1917 г. - в вузах Узбекской ССР и в Пермском (Молотовском) пединституте.

Ещё, будучи студентом Московского учительского института, А.В. Ланков увлекся революционными идеями. Октябрьскую революцию 1917 г. А.В. Ланков встретил опытным преподавателем и восторженным почитателем новой советской власти, которая объявила о сломе старой школы. 30 сентября 1918 года ВЦИКом было утверждено «Положение о единой трудовой школе», а 16 октября были опубликованы «Основные принципы единой трудовой школы».

Положение 1918 г. упраздняло разнотипность школ (все школы стали государственными), объявляло образование бесплатным и обязательным. Производительный труд становился основой школьной жизни. Кроме того, предусматривались: ликвидация классно-урочной системы; отказ от стабильных программ и учебников; отмена всех экзаменов и обязательных домашних заданий; исключение наказаний для учащихся; деление школы две ступени: первая ступень - 5 лет (дети 8-13 лет), вторая ступень - 4 года (дети от 13 до 18 лет).

Как пишут Ю.М. Колягин, О.А. Саввина, О.В. Тарасова, «в период разрухи, Гражданской войны, недостатка не только в учительских кадрах, но и просто в грамотных людях, являвшихся приверженцами советской власти, построить новую школу было практически невозможно. Школа работала по новой идеологии без программ и учебников» [2, с. 142].

21 февраля 1923 г. президиум ГУСа принял решение, по которому предметное преподавание в школе было окончательно отвергнуто и приня-

та комплексная система построения школьных программ и обучения, в которых исходным пунктом по-прежнему признавалась трудовая деятельность.

В это время А.В. Ланков активно включился в работу по написанию учебников и учебных пособий, основанных на этой идеологии.

С 1923 г. стали публиковаться «Арифметические задачники» («Арифметические задачники на основе обществоведения») А.В. Ланкова для 1-го, 2-го, 3-го и 4-го класса трудовой школы 1-й ступени.

В 1925 г. вышли в свет сразу несколько книг А.В. Ланкова: «Арифметический задачник для взрослых», «Алгебраический задачник на основе техники и экономики (учебное пособие для школ 1 и 2 ступени)» «Алгебраический задачник для трудовой школы 1-й ступени. Первый год обучения». Затем эти книги переиздавались неоднократно.

А.В. Ланков одним из первых предпринял попытку написать методическое пособие для учителей советской школы. С 1923 г. по 1927 г. выходила его книга «Математика в трудовой школе. Очерки по методике математики». Всего вышло 7 изданий.

Арифметический задачник для рабфаков, школ взрослых, совпартшкол и самообразования. Книга вышла в 7 изданиях. Издавалась с 1924 по 1929 год.

Перу А.В. Ланкова принадлежит также ряд историко-математических работ, раскрывающих и методические проблемы. Так, например, в журнале «Математика в школе» (1949, №6) была опубликована его статья «К истории вопроса о реформе преподавания математики». В ней Александр Васильевич обращал внимание на то, что Ф. Клейн, считающийся признанным руководителем международного движения за реформу преподавания математики, нередко затушевывал роль и место России в этом движении. Среди 300 имен ученых XIX в. Клейн ни разу не упомянул имя такого крупного российского математика, как П.Л. Чебышев. В статье А.В. Ланков обосновал, что Петербургская комиссия преподавателей математики, Московское общество распространения технических знаний, журналы России поднимали и разрабатывали вопросы методики преподавания значительно раньше, чем в Германии.

Затем основные идеи, высказанные в этой статье, А.В. Ланков развил в книге «К истории развития передовых идей в русской методике математики» [4]. Эта книга ни разу не переиздавалась, но оказалась самой востребованной - до настоящего времени она остается одной из самых цитируемых в исследованиях по истории математического образования.

Библиографический список

1.Зверева Ю.Н., Данилова В.И. Александр Васильевич Ланков (1884— 1953) (к 125-летию со дня рождения) // Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика, 2009. Вып. 7 (33). С. 122-129

2. Колягин Ю.М., Саввина О.А., Тарасова О.В. Русская школа и математическое образование: наша гордость и наша боль (учебное пособие). Орел: ООО Полиграфическая фирма «Картуш», 2007. Ч.I, Ч.II, Ч.III.

3. Ланков А.В. Алгебраический задачник для труд, школы 1-й ступени. Первый год обучения. Изд. 10. М.-Л.: Гос. изд., 1925.

4. Ланков А.В. Арифметический задачник. Арифметический задачник. Для труд, школы 1-й ступени. Изд. 13. М.-Л.: Гос. изд., 1926.

5. Ланков А.В. К истории развития передовых идей в русской методике математики. М.: Учпедгиз, 1951.

6. Ланков А.В. Математика в трудовой школе. Очерки по методике математики. Изд. 2. М.: Работник просвещения, 1924.

К ВОПРОСУ ОБ ИСТОРИИ ИЗУЧЕНИЯ МНОГОГРАННИКОВ В ОТЕЧЕСТВЕННОЙ ШКОЛЕ

Г.В. Кондратьева, И.А. Кошевая

Аннотация. В статье рассматривается вопрос о развитии задач по теме «Многогранники» в отечественной школе. Рассмотрены наиболее известные учебники геометрии Э. Безу, А.Ю. Давидова, А.П. Киселева. Исследована практика экзаменов на аттестат зрелости. Сделан вывод о преобладании задач на вычисление по теме «Многогранники» в практике дореволюционной школы.

Ключевые слова: многогранники, преподавание, задачи.

Раздел «Многогранники» является ведущей темой курса стереометрии. Эта тема всегда входила в курс геометрии отечественной школы. Нередко этим материалом курс геометрии и ограничивался. В зависимости от учебного заведения, а также исторического времени подходы к изучению данной темы были весьма различны. Варьировался уровень строгости, различался порядок изложения материла и т.п. В данной статье предлагается остановить внимание на предлагаемых к данной теме задачах.

Собственно говоря, в начале XIX в. в отечественной школе практика решения задач учащимися была весьма ограниченной. Задачи с решениями нередко заучивались учащимися наизусть. Как результат, сборники задач практически не издавались, и задачи в учебниках давались уже с готовыми решениями. При этом и разбираемые задачи были достаточно просты, в

основном направлены на конкретные практические нужды. Например, «найти толщину параллелепипеда, имеющего в ширину 6 с.5 ф. 7 д., в длину 3 с. 4 ф. 8 д., а в высоту 10 с. 2 ф. 3 д.», где соответственно используемые сокращения были старинные меры длины сажени, футы, дюймы [2, С. 134-145].

«Наше учение было исключительно теоретическое: мы заучивали наизусть правила и формулы..., но никогда не применяли своих познаний на практике и не решали задач ни по одному из разделов математики» [5].

Однако в середине XIX в. практика преподавания начинает решительно меняться. Педагоги активно предлагают учащимся задачи для самостоятельного решения. Решаемые дома задачи затем разбираются в классе. Подобное изменение практики преподавания нашло свое отражение в учебниках, в которые стали включаться задачи для самостоятельного решения. Рассмотрим наиболее распространенные учебники по геометрии в дореволюционной России. Это учебники А.Ю. Давидова и А.П. Киселева. Книга А.Ю. Давидова, вышедшая в 1864 г., имела 37 изданий до революции. Книга А.П. Киселева вышла в 1892 г. и имела 30 изданий до революции.

Так, в учебнике А.Ю. Давидова «Элементарная геометрия в объеме гимназического курса» предложено 24 основных и 71 дополнительная задача для самостоятельного решения по теме «Многогранники». Среди них преобладают задачи на вычисление объема, площади поверхности, площади боковой поверхности и т.п. Реже встречаются задачи, связанные с площадью сечений. При этом учащимся указывается, что вести вычисления нужно при условии 71=3,14159, что весьма повышает сложность вычислений. Показательно, что все задачи на многогранники являются задачами на вычисление. Задач на доказательство не предлагается. Сходную ситуацию мы видим в учебнике А.П. Киселева. Здесь все задачи также даются на вычисление: 8 задач на вычисление поверхности, 16 задач на вычисление объема призмы и пирамиды.

Подобное, достаточно искусственное ограничение задач по теме «Многогранники», имевшее место в рассмотренных учебниках, только задачами на вычисление подкреплялось практикой экзаменов на аттестат зрелости. Экзамен на аттестат зрелости по математике состоял из четырех частей: арифметика, алгебра, геометрия, тригонометрия. По геометрии давались задачи как на планиметрию, так и на стереометрию. Например, в 1874 г. была предложена следующая задача по планиметрии: «один из катетов прямоугольного треугольника равен 8 м, другой 6 м, из вершин прямого угла опущен перпендикуляр на гипотенузу. Узнать величину этого перпендикуляра и площадей образовавшихся двух малых треугольников» [1]. Что же касается задач на стереометрию, то здесь преобладали задания с использованием многогранников. При этом также предлагались исключительно задачи на вычисление. Например, «сторона десятиугольного ос-

нования правильной пирамиды равна 0,93 арш., апофема пирамиды равна 25 и 5/8 арш. Определить поверхность и объем описанного около этой пирамиды конуса, усеченного параллельно основанию, если сечение сделано на расстоянии от основания 7/9 высоты?» [1]. Данная задача была предложена на испытаниях в 1873 г. в гимназиях Московского учебного округа.

Рецензенты, проверявшие работы, отмечали, что при решении задач учащиеся допускают весьма грубые ошибки. Например, что объем равен площади. Эти ошибки были весьма поразительны и объяснялись преподавателями тем, что «...геометрия приходится очень быстро, что обременяет учеников массой определений и формул, которые и трудно усваиваются, в силу чего из них и не вырабатывается геометрического смысла» [6]. Преподаватели указывали на поспешность и неряшливость в математических действиях, которая характерна для многих работ и весьма сложно преодолевается в учениках. Передовые педагоги считали, что преодолеть данные трудности можно на пути основательности, а не обширности курса, полагая, что пусть ученик знает меньше, но знает основательно.

При этом важно отметить, что предлагаемые на экзаменах или в учебниках задачи на вычисление в основном не носили прикладной характер. Более того, попытки ряда педагогов усилить роль задач на вычисление площади или объема действительных предметов, резко критиковались руководством учебных заведений. Так, не был одобрен Министерством задачник М. Фишера «Практические задачи на вычисление площадей и объемов» (М., 1888), в котором автор пытался переориентировать внимание учащихся на прикладные задачи. Приоритет классицизма, господствовавшего в гимназиях, препятствовал изменению ситуации.

Указанная особенность изучения темы «Многогранники» (преобладание задач на вычисление), выявленная на примере анализа наиболее распространенных учебников и практики экзаменов на аттестат зрелости, видимо, была широко распространена в дореволюционной школе, но все-таки не являлась повсеместной. Так, ряд математиков-педагогов, авторов учебных книг (М.Е. Ващенко-Захарченко, Е.М. Пржевальский и др.) не ограничивали систему задач только задачами на вычисление.

Библиографический список

1. Альбицкий В. Высшие учебные заведения России, мужские и женские: Подроб. правила поступления и прогр. прием, испытаний : Справ, книга для готовящихся к поступлению в высш. учеб. заведения и учащихся в них. 2-е изд., испр. и доп. СПб.: Типо-лит. Д.И. Шеметкина, 1884.

2. Безу Э. Курс математики. Геометрия. М.: В университетской типографии, 1806.

3. Давидов А.Ю. Элементарная геометрия в объеме гимназического курса. М.: Унив. тип. (Катков и К°), 1864.

4.Киселев А.П. Элементарная геометрия для средних учебных заведений. М.: Изд-во книжного магазина В.В. Думнова, 1892.

5. Соколов Д. Пятидесятилетие Московской 4-й гимназии. М., 1899.

6. Центральный исторический архив г. Москвы. Фонд 459. Опись 3. Ед. хр. 2832. Л. 264.

О ПОЛЕЗНОМ ОПЫТЕ РАБОТЫ НАД ТЕОРЕМОЙ И ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ЗАДАЧЕЙ В СОВЕТСКОЙ ШКОЛЕ

И.А. Марушкина

Аннотация. В статье рассматривается методика работы над геометрической задачей ведущих методистов советского периода И.А. Гибша, Ю.М. Колягина, заслуженного учителя школы РСФСР К.С. Богушевского.

Ключевые слова: геометрическая задача, алгоритм работы с теоремой, рекомендации, условие, заключение, связь между искомыми и данными величинами.

В связи с введением в 9 классе обязательного экзамена в новой форме по предмету «математика», актуальным становится вопрос: «Как научить всех учащихся решать геометрические задачи в рамках государственной итоговой аттестации?».

Это не должно быть натаскивание на определенный круг задач. Учащиеся должны понимать, что они решают и как они решают. Сегодня, к сожалению, в практике отечественной школы наблюдается формальное усвоение учащимися курса геометрии. Теоремы выучиваются без явного понимания для чего доказательства вводятся и как они отыскиваются. Именно решение задач открывает учащимся глаза на возможности использования приобретенных теоретических знаний. Можно сказать, что они начинают творчески мыслить, когда пытаются самостоятельно ответить на вопрос учителя, на который нет прямого ответа ни в учебнике, ни в объяснении учителя.

Каждый учитель стремится выработать у своих учеников умение самостоятельно находить пути доказательства теорем и решения задач. И это практически всегда переход с помощью логических рассуждений от условия (теоремы, задачи) к его заключению. В силу сказанного и алгоритм доказательства теорем и решения задач имеет свою специфику.

В данной статье приведен опыт работы над теоремой и задачей ведущих методистов советского периода И.А. Гибша, Ю.М. Колягина, К.С. Богушевского. Алгоритм работы представлен в виде памятки для учащихся, которая должна быть у каждого учащегося и в кабинете математики.

Памятка для учащихся при работе с теоремой или геометрической задачей.

1. Необходимо точно понять, в чем состоит условие и в чем заключение теоремы. (Необходимо точно понять, что известно в задаче, и что в задаче требуется найти.)

2. Каждый термин, который упоминается в теореме или задаче заменить его определением.

3. Выполнить схематичный чертеж, примерно соответствующий условию теоремы или задачи.

4. Записать условие и заключение теоремы (известные данные и искомые величины или что требуется доказать в задаче) с помощью математических символов.

5. Указать теоремы и свойства, в которых отражена связь между искомыми и данными величинами в теореме или задаче.

Если не удается доказать теорему или решить задачу, то продолжаем работать по следующим рекомендациям.

6. Рассмотреть вспомогательные треугольники (или другие фигуры), в которые входят искомые и данные величины. Если на чертеже таких фигур нет, то постройте их.

7. Установите равенство образовавшихся треугольников; определите вид.

8. Используйте свойства равных треугольников или свойства треугольников данного вида.

9. Если все же не удается найти путь решения задачи, то:

а) проверьте, все ли данные использованы, добейтесь использования всех данных;

б) постарайтесь вспомнить, не решалась ли ранее задача, похожая на данную, если решалась, то попробуйте использовать способ ее решения.

После изучения темы: «Подобие» в памятку добавляются следующие рекомендации.

10. Установите подобие образовавшихся треугольников или многоугольников.

11. Используйте свойства подобных треугольников или многоугольников.

Рассмотрим пример решения задачи, осуществляемого путем применения рекомендаций из выше приведенной памятки.

Задача: В равнобедренном треугольнике ABC АВ=ВС=\4 см. Перпендикуляр, проведенный к боковой стороне AB через ее середину - точку Д пересекает основание треугольника в точке Е. Точка Е соединена с точкой В. Найдите основание АС треугольника ABC, если периметр треугольника ВЕС равен 40 см.

Используем указания из памятки работы над геометрической задачей:

1) При чтении задачи учащиеся должны четко определить, что в условии задачи известно, что требуется найти.

2) Учащиеся должны повторить определение равнобедренного треугольника, перпендикуляра к прямой, периметра треугольника.

3) Выполнить чертеж.

4) Отметить данные и искомые величины.

Дано: АВ=ВС=14 см; AD=BD; DE 1 AB; ВЕ+ЕС+ВС=40 см. Найти: АС-?

5) Постараться отыскать теорему, которая связывала бы искомые и данные величины. Учащиеся убеждаются, что указать такую теорему они не могут.

6) Рассмотреть вспомогательный треугольник ABE и установить его вид. Целесообразность этого предложения обосновывается тем, что в треугольник ABE входят величина известная AB, часть величины искомой АЕ и отрезок BE, длина которого является одним из слагаемых данной суммы (40 см). В этом треугольнике DE есть ось симметрии отрезка AB и поэтому ВЕ=АЕ, т.е. треугольник ABE равнобедренный.

Теперь в данное равенство ВЕ+ЕС+ВС=40 можно вместо BE подставить АЕ. Подставив также вместо BE число 14, получим: АЕ+ ЕС+14=40, но АЕ+ЕС=АС, поэтому получаем: АС+14 =40. Откуда АС=26.

В заключении отметим, что важнейшей задачей школьного курса геометрии всегда было и остается развитие логического мышления учащихся и их творческой активности. Доказывая теоремы и решая задачи, учащиеся привыкают аргументировано отстаивать свои взгляды и убеждения, самостоятельно находить приемы, способы и методы доказательства и решения задач.

Библиографический список

1. Богушевский К.С. Вопросы преподавания геометрии в восьмилетней школе. М: Просвещение, 1964. С.110.

2. Гибш И.А. Вопросы перестройки обучения математики в школе. М: Изд-во Акад. пед. наук РСФСР, 1963. С. 309.

3. Колягин Ю.М. Уроки геометрии в VI классе. М: Просвещение, 1972. С.94.

ПАМЯТНЫЕ И ЮБИЛЕЙНЫЕ ДАТЫ 2014 ГОДА

Р.А. Мельников

Аннотация. В статье приведён обзор юбилейных дат, связанных с именами известных отечественных математиков, а также педагогов-математиков, внесших немалый вклад в развитие математического образования в России. Даются краткие сведения о каждой персоне, содержащие обзор научных достижений и наиболее важных трудов.

Ключевые слова: математик, математик-педагог, специалист в области, основные труды, автор.

2014 год оказался весьма богатым на юбилейные даты со дня рождения многих известных отечественных математиков и деятелей математического образования России.

Так, 280 лет назад родился Румовский Степан Яковлевич (1734— 1812) - русский математик, один из первых русских академиков (с 1767 г.). При его активном содействии (работал попечителем Казанского учебного округа) в 1804 г. был открыт Казанский университет - старейший из русских провинциальных университетов. Автор мемуаров «Об интегрировании различных формул» и «О наибольших и наименьших величинах», во втором из которых присутствуют зачатки Дифференциального исчисления. 220 лет: Буссе Федор Иванович (1794-1859) - русский математик-педагог, с 1819 г. - преподаватель математики в Главном педагогическом ин-те, а с 1838 г. - директор 3-й петербургской гимназии. Автор пособий: «Руководство к геометрии для употребления в уездных училищах Российской империи» (1831), «Руководство к преподаванию арифметики для учителей» (1832), «Основания геометрии» (1845) и др.

210 лет: Буняковский Виктор Яковлевич (1804-1889) - известный отечественный математик украинского происхождения, академик Петербургской АН (1830; адъюнкт с 1828), вице-президент (1864-1889). С 1826 по 1831 гг. преподавал математику в 1-м кадетском корпусе Петербурга. С 1828 по 1864 гг. преподавал в офицерских классах морского ведомства. С 1846 г. читал лекции по дифференциальному и интегральному исчислениям, теории вероятностей, интегрированию дифференциальных уравнений, исчислению конечных разностей и другим разделам в Санкт-Петербургском университете. Некоторое время был профессором математики в горном институте и институте инженеров путей сообщения. Автор трудов: «Лексикон чистой и прикладной математики» (1839), «Арифметика» (1849), «Основания математической теории вероятностей» (1846) и др. Зернов Николай Ефимович (1804-1862) - математик, ординарный заслуженный профессор чистой математики Московского университета. Будучи

студентом, работал учителем математики в частном пансионе А.В. Болдырева. С 1827 г. преподавал арифметику в университетском благородном пансионе. В 1834 г. - адъюнкт в Московском университете, а в 1835 г. -экстраординарный профессор чистой математики. В 1837 г. защитил первую в стране докторскую диссертацию по чистой математике «Рассуждение об интеграции уравнений с частными дифференциалами». Автор трудов: «Начальные основания арифметики» (1827), «Дифференциальное исчисление с приложением геометрии» (1842) и др.

200 лет: Беренс Виктор Иванович (1814-1884) - математик. Учился в Николаевской инженерной академии, преподавал в Константиновском училище, а затем преподавал математику в Военно-инженерной академии. Автор пособий: «Курс дифференциального исчисления» (1849), «Теория численных приближений» (1857), «Начальная геометрия» (1872) и др. 190 лет: Лёве Август Августович (1824-1893) - математик. Автор руководств: «Арифметика для начальных народных училищ» (1872), «Курс арифметики и собрание арифметических задач» (1871), «Начальная алгебра» (1871), «Начальные основания геометрии» (1871) и др. 180 лет: Малинин Александр Федорович (1834-1888) - математик-педагог. Окончил физико-математическое отделение Московского университета. Преподавательскую деятельность начал в тверской гимназии, откуда перешел в 4-ю московскую; с 1856 по 1870 гг. был преподавателем в 1-й военной гимназии и Межевом институте, затем был директором тульской гимназии, а с 1872 г. до самой смерти работал директором Московского учительского института. Один из авторов учебных пособий: «Руководство прямолинейной тригонометрии» (1864), «Собрание арифметических задач» (1888), «Руководство арифметики» (1866), «Руководство алгебры и собрание алгебраических задач» (1870), «Руководство геометрии и собрание геометрических задач для гимназий, реальных училищ и учительских институтов» (1878) и др. Многие из которых многократно переиздавались.

170 лет: Вулих Захар Борисович (1844-1897) - педагог-математик, родоначальник известной династии математиков. После окончания гимназии в Одессе, поступил на физико-математический факультет Петербургского Университета (окончил в 1868 г.). Преподавал математику в Петербургских военно-учебных заведениях, в Василеостровской женской гимназии, на Педагогических женских курсах. Автор известного руководства «Краткий курс геометрии и собрание геометрических задач» (1895). Пржевальский Евгений Михайлович (1844-1925) - математик-педагог, младший брат известного путешественника, исследователя Центральной Азии Н.М. Пржевальского. Окончил Московский ун-т. С 1866 г. до выхода в отставку в чине генерал-лейтенанта в 1912 г. преподавал математику в 3-ем военном Александровском училище. Автор пособий: «Начальная алгебра» (1867), «Пятизначные таблицы логарифмов» (1882), «Собрание алгеб-

раических задач для учеников старших классов средних учебных заведений» (1908), которые неоднократно переиздавались. Книга «Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве и сборник задач» (1924) использовалась в качестве учебного пособия для вузов в 20-30 гг. XX века. Тихомандрицкий Матвей Александрович (1844-1921) - математик, доктор чистой математики, профессор. В 1876 г. защитил магистерскую диссертацию «О гипергеометрических рядах». С 1879 г. работал приват-доцентом в Петербургском университете. Преподавал теорию эллиптических функций. В 1885 г. защищал докторскую диссертацию «Обращение гиперэллиптических интегралов». Работал профессором в Харьковском университете. Автор трудов: «Краткий курс высшей алгебры» (1887), «Курс теории конечных разностей» (1890), «Теория эллиптических интегралов и эллиптических функций» (1895), «Курс дифференциального и интегрального исчислений» (1903) и др.

160 лет: Бобровников Николай Алексеевич (1854-1921) - математик-педагог, просветитель народов Поволжья. Окончил физико-математический факультет Казанского университета. В 1879 г. получил степень кандидата физико-математических наук. Одновременно со службой в учительской семинарии преподавал математику в Родионовском институте благородных девиц (с 1881 г.). В 1906-1908 гг. был попечителем Оренбургского учебного округа, в 1909-1917 гг. - членом Совета министра народного просвещения, в последующие годы работал в Казанском университете. Автор трудов по методике преподавания математики и общей дидактике.

Борисов Евгений Васильевич (1854-??) - математик. Окончил Петербургский университет. В 1891 г. получил степень магистра чистой математики. С 1901 г. преподавал математику в Петербургском технологическом институте, в Михайловском артиллерийском училище, в институте инженеров путей сообщения и гражданских инженеров. Автор трудов: «О приведении тройничных квадратичных форм по способу Зеллинга» (1891), «Курс дифференциального и интегрального исчислений» (1903), «Основы высшей математики» в 2-х томах (1910).

Зинин Николай Николаевич (1854-1910) - математик, сын известного русского химика Н.Н. Зинина. Окончил Петербургский университет. С 1880 г. в должности и.о. доцента преподавал математику в Варшавском университете. Организатор и первый ректор Донского Политехнического Института (Новочеркасск, 1907 г.). Автор трудов: «О формулах Остроградского в теории кратных интегралов и об их приложении» (1891), «Различные приемы приведения кратных интегралов и главнейшие приложения этих приемов» (1892).

Попруженко Михаил Григорьевич (1854-1917) - математик-педагог. Окончил Михайловское артиллерийское училище (1875). Окончил Михайловскую артиллерийскую академию (1881). Преподавал математику в во-

енных учебных заведениях, работал в Главном управлении военных учебных заведений. Автор свыше 40 работ по методике преподавания математики. Автор книг: «Материалы по методике анализа бесконечно малых» (1912), «Начала анализа» (1913) и др.

150 лет: Гатлих Александр Федорович (1864-1913) - математик, преподаватель математики в Московском частном реальном училище И.М. Хайновского, Александровском Коммерческом училище, Московском инженерном училище, Коммерческом институте и др. Председатель Московского математического общества (с 1907 г.). Автор пособия «Сборник арифметических задач для воскресных школ, вечерних и повторительных классов».

Зейлигер Дмитрий Николаевич (1864-1936) - математик и механик. Специалист в области комплексной геометрии линейчатого пространства. Автор трудов: «Теория векторов» (1890), «Об одном способе получения общих интегралов некоторых систем дифференциальных уравнений» (1896), «Проективная теория векторов» (1899), «Комплексная линейчатая геометрия. Поверхности и конгруэнции» (1934).

Щербина Константин Моисеевич (1864-1946)- математик-педагог, профессор, сторонник введения элементов высшей математики в среднюю школу. Был организатором и директором учительского института в Киеве. Преподавал в Одесском институте народного образования. Автор труда «Математика в русской средней школе. Обзор работ и мыслей по вопросу улучшения программ по математике в средней школе за последние девять лет (1899-1907)» (1908).

140 лет: Буницкий Евгений Леонидович (1874-1952) - математик, эмигрировал в Чехию в 1922 г. Был одним из редакторов журнала «Вестник опытной физики и элементарной математики». Преподавал высшую математику в Одесском Политехническом институте. Защитил докторскую диссертацию «К вопросу о решении обыкновенных линейных дифференциальных уравнений при данных предельных условиях». Рашевский Константин Николаевич (1874-1961) - математик-педагог, отец известного геометра Петра Константиновича Рашевского. Преподавал математику в московских реальных училищах. Работал в Раненбургском педагогическом институте. Автор учебников: «Правила и определения арифметики» (1909), «Основания аналитической геометрии» (1908), «Основания анализа бесконечно малых» (1913), «Элементарная алгебра. Курс средних учебных заведений», «Краткий курс арифметики» (1917), «Систематический курс геометрии и методы решения задач на построение» (1925), «Тригонометрия» (1931),

130 лет: Голубев Владимир Васильевич (1884-1954) - математик и механик, член-корреспондент АН СССР (1934). Работал в Саратовском университете, с 1930 г. сотрудник Центрального аэрогидродинамического института и профессор Московского университета. Специалист в области теории

функций комплексного переменного. Автор монографий: «Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений» (1950), «Однозначные аналитические функции. Автоморфные функции» (1961). Ланков Александр Васильевич (1884-1953) - математик-педагог. Работал в образовательных учреждениях Твери, Тверской и Московской губерний. Затем стал профессором, заведовал кафедрой математики Пермского (Молотовского) педагогического института. Автор учебников и пособий для средней школы. Написал монографию «К истории развития передовых идей в русской методике математики» (1951).

120 лет: Андронов Иван Козьмич (1894-1975) - математик-педагог, профессор, член-корреспондент АПН СССР, заслуженный деятель науки РСФСР. Преподавал математику в Порецкой учительской семинарии (старейшей в стране), работал в Калининском пединституте, с 1931 г. до конца жизни возглавлял кафедру высшей алгебры, элементарной математики и методики преподавания математики в МОПИ им. Н. К. Крупской (позднее МГПИ им. В. И. Ленина). Стоял у истоков журналов «Народное просвещение», «Математическое образование», «Математика в школе». Автор книг: «Арифметика натуральных чисел» (1951), «Арифметика дробных чисел и основных величин» (1955), «Математика действительных и комплексных чисел» (1975), «Арифметика рациональных чисел» (1971) и др. Хинчин Александр Яковлевич (1894-1959) - математик, профессор, член-корреспондент АН СССР, действительный член АПН СССР (с 1944). Работал в МГУ, Иваново-Вознесенске. Специалист в области теории функций, теории чисел, теории вероятностей и теории массового обслуживания. Среди его достижений: перенос методов метрической теории функций в теорию чисел и теорию вероятностей. Автор трудов: «Теорема Ферма» (1934), «Асимптотические законы теории вероятностей» (1936), «Восемь лекций по математическому анализу» (1948), «Цепные дроби» (1949), «Краткий курс математического анализа» (1953), «Три жемчужины теории чисел» (1979) и др.

Чеботарёв Николай Григорьевич (1894-1947) - математик, член-корреспондент АН СССР, создатель Казанской алгебраической школы. Преподавал в вузах Киева, Казани. Специалист по алгебре, теории чисел, а также теории функций. Решил проблему Фробениуса, получил наиболее глубокое обобщение теоремы Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии. Автор монографий: «Основы теории Галуа» (ч.1, 1934), «Основы теории Галуа» (ч.2, 1937), «Теория групп Ли» (1940), «Введение в теорию алгебр» (1949), «Теория алгебраических функций» (1948). Шевченко Иван Никитич (1894-1965) - математик-педагог. Преподавал в педагогических институтах, в НИИ Наркомпроса РСФСР, в АПН РСФСР. Автор учебников по арифметике (1929), алгебре (1931), геометрии (1932), методического пособия «Методику преподавания арифметики» (1961).

110 лет: Азлецкий Сергей Павлович (1904-1982) - математик, алгебраист, профессор. Работал в вузах г. Свердловска. Специалист в области теории конечных групп.

Базилевич Иван Евгеньевич (1904-1983) - математик, доктор физико-математических наук, профессор. Специалист в области геометрической теории функций комплексного переменного (теории однолистных функций).

Белозеров Семён Ефимович (1904-1987) - математик, кандидат физико-математических наук, доцент. Ректор университета г. Ростов-на-Дону (1938-1954). Специалист в области истории математики, теории функций комплексного переменного, теории аналитических функций. Автор книг: «Очерки истории Ростовского университета» (1959), «Пять знаменитых задач древности» (1975).

Бермант Анисим Федорович (1904-1959) - математик, доктор физико-математических наук, профессор. Преподавал в вузах Москвы. Работал в МИАН им. В. А. Стеклова, являлся заместителем директора этого института. Был заместителем ответственного редактора журнала «Математический сборник». Организатор научно-методического семинара математических кафедр технических вузов Москвы. Специалист в области математического анализа и теории функций комплексного переменного. Автор учебников: «Курс математического анализа» (1950), «Отображения. Криволинейные координаты. Преобразования. Формулы Грина» (1958). Бескин Николай Михайлович (1904-??) - математик-педагог, доктор физико-математических наук, профессор. Специалист в области проективной геометрии. Автор учебников и учебных пособий: «Курс аналитической геометрии» (1933), «Методика геометрии» (1947), «Курс аналитической геометрии» (1948), «Вопросы тригонометрии и ее преподавания» (1950), «Задачник-практикум по тригонометрии» (1959) и др.

Гальперн Самарий Александрович (1904-1977) - математик, доктор физико-математических наук, профессор. Специалист в теории дифференциальных уравнений с частными производными. Автор учебных пособий: «Лекции по кратным и криволинейным интегралам» (1957), «Основы анализа бесконечно малых» (1966), «Некоторые вопросы из курса дифференциальных уравнений. Тексты лекций» (1968).

Глейзер Герш Исаакович (1904-1967) -советский (молдавский) математик-педагог и историк математики. Работал в Кишинёвском государственном педагогическом институте им. Иона Крянгэ, Кишинёвском государственном университете, Тираспольском педагогическом институте. Автор пособия для учителей «История математики в средней школе» (1964). Дицман Алексей Петрович (1904-??) - математик, алгебраист. Преподавал в МГПИ. Специалист по теории групп. Указал на разрешимость проблемы У. Бёрнсайда для периодических групп с конечными классами сопряженных элементов. В теории групп известна лемма Дицмана.

Дубошин Георгий Николаевич (1904-1986) - математик, астроном, профессор. Разработал обобщение теории А.М. Ляпунова в области общей теории устойчивости движения при постоянно действующих возмущениях. Автор книги «Основы теории устойчивости движения» (1952). Норден Александр Петрович (1904-1993) - математик, геометр. Внес заметный вклад в развитие Казанской геометрической школы. Его «метод нормализации» - один из основных методов исследования геометрии подмногообразий в аффинном и проективном пространствах. Один из основателей журнала «Известия вузов. Математика». Автор монографий: «Теория поверхностей» (1956), «Краткий курс дифференциальной геометрии» (1957), «Пространства аффинной связности» (1976).

Римский-Корсаков Борис Сергеевич (1904-1979) - математик. Преподавал высшую математику в технических вузах Москвы. Автор учебных пособий: «Элементы операционного исчисления. Лекции» (1956), «Сборник задач и упражнений по специальным главам высшей математики» (1970). Тумаркин Лев Абрамович (1904-1974) - математик, доктор физико-математических наук, профессор. Преподавал в МВТУ, МГУ (в 1936-40 гг.- декан механико-математического ф-та). Специалист в общей топологии (по теории размерности) и в области математического анализа. Чудаков Николай Григорьевич (1904-1986) - математик, доктор физико-математических наук, профессор. Ученик И.М. Виноградова. Работал в Саратовском университете и ЛОМИ АН СССР. Специалист по теории чисел и теории функций. Получил оценку левой границы области отсутствия нулей для дзета-функции Римана, улучшил остаточный член в асимптотической формуле для функции л;(х), внес вклад в решение проблемы Гольдбаха. Автор монографии «Введение в теорию L-функций Дирихле» (1947). 100 лет: Аржаных Иван Семенович (1914-1980) - математик, доктор физико-математических наук, профессор, член-корреспондент АН УзССР. Работал в Среднеазиатском университете, Институте математики АН УзССР. Специалист в области математической физики. Автор монографий: «Интегральные уравнения основных задач теории поля и теории упругости» (1956), «Многомерная теория поля» (1978).

Бохан Константин Алексеевич (р. 1914) - математик. Один из авторов двухтомного учебного пособия «Курс математического анализа» (1972). Зельдович Яков Борисович (1914-1987) - физик-теоретик. Один из авторов книг: «Элементы прикладной математики» (1972), «Высшая математика для начинающих физиков и техников» (1982).

Калихман Исаак Липович (1914-1986) - математик, специалист в области математического программирования. Автор учебных пособий: «Высшая математика с основами математической статистики» (1965), «Линейная алгебра» (1966), «Линейная алгебра и программирование» (1967), «Сборник задач по математическому программированию» (1975), «Динамическое

программирование в примерах и задачах» (1979), «Вероятность и статистика» (1982).

Калужнин Лев Аркадьевич (1914-1990) - математик, специалист в области алгебры и математической логики. Автор книг: «Что такое математическая логика?» (1964), «Введение в общую алгебру» (1973), «Элементы теории множеств и математической логики в школьном курсе математики» (1978), «Преобразования и перестановки» (1985).

Куликов Леонид Яковлевич (1914-2000) - математик, специалист в области алгебры. Автор учебных пособий: «Алгебра и теория чисел» (1979), «Сборник задач по алгебре и теории чисел» (1993).

Левитан Борис Моисеевич (1914-2004) - математик, академик Московского отделения прикладной математики и математической физики РАЕН. Специалист по функциональному анализу и математической физике. Автор книг: «Разложение по собственным функциям дифференциальных уравнений второго порядка» (1950), «Операторы обобщенного сдвига и некоторые их применения» (1962), «Почти-периодические функции и дифференциальные уравнения» (1978), «Обратные задачи Штурма-Лиувилля» (1984), «Операторы Штурма-Лиувилля и Дирака» (1988) и др. Линник Юрий Владимирович (1914-1972) - математик, академик АН СССР. Специалист в области теории чисел, теории вероятностей и математической статистики. Автор трудов: «Разложения вероятностных законов» (1960), «Эргодические свойства алгебраических полей» (1967), «Разложения случайных величин и векторов» (1972) и многих др. Лозинский Сергей Михайлович (1914-1985) - математик. Работал в ЛГУ, Ленинградской Военно-воздушной академии. Был председателем Ленинградского математического общества. Специалист в области дифференциальных уравнений и функционального анализа. Автор учебного пособия «Сборник задач по теории вероятностей и математической статистике» (1967).

Ляпин Евгений Сергеевич (1914-2005) - математик, сын известного математика-педагога Сергея Евгеньевича Ляпина. Работал в Ленинградском педагогическом институте и ЛГУ. Специалист в области алгебры (теории полугрупп). Автор книг: «Курс высшей алгебры» (1953), «Курс высшей алгебры» (1955), «Полугруппы» (1960), «Упражнения по теории групп» (1967).

Матвеев Николай Михайлович (1914-2003) - математик, академик. Специалист в области обыкновенных дифференциальных уравнений. Автор учебников: «Дифференциальные уравнения» (1965), «Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений» (1967), «Сборник задач и упражнений по обыкновенным дифференциальным уравнениям» (1970), «Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений» (1995) и др.

Окунев Александр Кузьмич (1914-2000) - математик-педагог. Один из авторов учебных пособий: «Основной курс тригонометрии, развиваемый на целесообразных задачах» (1960), «Курс тригонометрии, развиваемый на основе реальных задач» (1967) (совместно с И.К. Андроновым); «Квадратные функции, уравнения и неравенства» (1972).

Петрашень Георгий Иванович (1914-2004) - математик, доктор физико-математических наук, профессор, академик РАЕН. Работал в Псковском педагогическом ин-те, в Военно-воздушной академии, в ЛОМИ АН СССР. Специалист по математической физике и дифференциальным уравнениям. Полищук Ефим Михайлович (1914-1987) - математик-педагог, историк математики. Автор историко-биографических трудов: «Вито Вольтерра, 1860-1940» (1977), «Эмиль Борель, 1871-1956» (1980), «Софус Ли, 1842-1899» (1983), «Жак Адамар, 1865-1963» (1990, под ред. В.М. Бабича). Положий Георгий Николаевич (1914-1968) - математик, член-корреспондент АН УССР. Специалист по теории функций комплексного переменного, вычислительной математике и математической физике. Автор монографий: «Уравнения математической физики» (1964), «Теория обобщенных аналитических функций комплексной переменной» (1965). Сенников Геннадий Петрович (1914-2006) - математик-педагог. Занимался вопросами методики обучения учащихся решению задач на построение. Автор книг: «Решение задач на построение в 6-8 классах» (1955), «Геометрические построения в новой программе 6-8 классов» (1962), «Наглядно-конструктивное изучение школьной планиметрии» (1970), «Наглядно-конструктивное изучение школьной стереометрии» (1990). Слободецкий Лев Наумович (р. 1914) - математик. Работал в Ленинградском кораблестроительном институте, в ЛГУ. Автор учебного пособия «Интегральное исчисление» (1974).

Харшиладзе Филипп Илларионович (р. 1914) - математик. Специалист по теории функций действительного переменного. Работал в ЛГУ, Тбилисском ун-те и Тбилисском МИАН Грузинской ССР.

90 лет: Виноград Роберт Эльюкимович (р. 1924) - математик, специалист в области теории устойчивости. Один из авторов монографий: «Геометрическая теория дифференциальных уравнении» (1961), «Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости» (1966). Горст Юрий Готгольдович (р. 1924) - математик. Работал в Красноярском педагогическом институте. Автор учебных пособий: «Задачник-практикум по теории вероятностей» (1969), «Сборник задач по введению в математический анализ» (1973).

Дынкин Евгений Борисович (р. 1924) - математик. Специалист по алгебре, теории вероятностей и математической статистике. Автор монографий: «Основания теории Марковских процессов» (1959), «Марковские процессы» (1963).

Красовский Николай Николаевич (1924-2012) - математик, академик, советник Президиума РАН. Работал в Уральском государственном университете, был директором Института математики и механики УрО РАН. Специалист по теории управления, теории устойчивости, теории игр. Автор монографий: «Некоторые задачи теории устойчивости движения» (1959), «Управление динамической системой» (1985) и др.

Лидский Виктор Борисович (1924-2008) - математик, специалист по дифференциальным уравнениям, функциональному анализу и алгебре. Работал в МФТИ. Один из авторов пособия «Задачи по элементарной математике» (1967).

Лихтарников Леонид Моисеевич (1924-2007) - математик. Преподавал в вузах Хабаровска, Новгорода. Автор множества учебно-методических пособий по разным разделам математики.

Саульев Владислав Климентьевич (1924-1996) - математик, специалист в области вычислительной математики. Преподавал в МАИ. Автор пособий: «Интегрирование уравнений параболического типа методом сеток» (1960), «Лекции по теории вероятностей и математической статистике» (1974), «Современные вычислительные методы» (1977) и др.

Свешников Алексей Георгиевич (р. 1924) - математик, заслуженный профессор МГУ. Один из авторов учебников: «Теория функций комплексной переменной» (1970), «Дифференциальные уравнения» (1980), «Лекции по математической физике» (1993).

Скорняков Лев Анатольевич (1924-1989) - математик-алгебраист. Работал в МГУ. Автор монографий: «Дедекиндовы структуры с дополнениями и регулярные кольца» (1961), «Абелевы группы и модули» (1969), «Элементы теории структур» (1970), «Элементы общей алгебры» (1983); учебных пособий: «Лекции по алгебре» (1963), «Элементы алгебры» (1980). 80 лет: Бахвалов Николай Сергеевич (1934-2005) - математик, Член-корреспондент АН СССР, академик РАН, академик Международной академии наук Высшей школы. Специалист по дифференциальным уравнениям и вычислительной математике. Один из авторов монографий: «Численные методы» (2003), «Современные проблемы вычислительной математики и математического моделирования» (2005).

Воеводин Валентин Васильевич (1934-2007) - математик, академик РАН по отделению математических наук. Специалист по линейной алгебре, численным методам. Автор трудов: «Вычислительные основы линейной алгебры» (1977), «Линейная алгебра» (1984) и др.

Федорюк Михаил Васильевич (1934-1990) - математик. Работал в МФТИ. Специалист по асимптотическим методам. Автор книг: «Метод перевала» (1974), «Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений» (1977), «Обыкновенные дифференциальные уравнения» (1985), «Асимптотика. Интегралы и ряды» (1987).

ОБЗОР ПУБЛИКАЦИЙ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ (2004 - 2014 гг.)

О.А. Саввина

Аннотация. Дается обзор статей по истории математического образования, опубликованных за последнее десятилетие в ежегодном сборнике «История и теория математического образования» и журнале «Математика в школе».

Ключевые слова: история математического образования, журнал «Математика в школе».

В переломные моменты развития страны обычно оживляются исследования, посвященные ее истории. Поэтому неслучайно с начала 1990-х гг. наблюдается рост публикаций по истории математического образования в разных периодических изданиях, среди которых особо следует отметить журнал «Математика в школе» и серию «История и теория математического образования» («Вестник Елецкого государственного университета»). В этих изданиях рубрики по истории математического образования являются стабильными и довольно представительными, поэтому обратимся к обзору публикаций, размещенных именно здесь за последнее десятилетие.

Итак, с 2006 года в Елецком государственном университете им. И.А.Бунина начала выходить серия «История и теория математического образования».

2006 г.

Авдеев Ф.С., Авдеева Т.К. О К.Д. Краевиче, лучшем учителе физики Петербурга XIX века, авторе «Каталога физического кабинета»;

Дробышев Ю.А. О решении проблемы использования генетического метода в обучении учащихся математике в работах В.В. Бобынина;

Полякова Т.С. Роль Эйлера в становлении отечественного математического образования;

Саввина О.А. История обучения высшей математике в отечественной средней школе;

Саввина О.А., Щербатых С.В. Зарождение обучения элементам комбинаторики, теории вероятностей и статистики в дореволюционной школе России;

Тарасова О. В. Геометрическое образование в дореволюционной средней школе России;

Киселёва Т. В. Проблема периодизации в исследованиях по истории математического образования;

Коломникова О.А. Методическая концепция обучения арифметике СИ. Шохор-Троцкого;

Марушкина И.А. Об актуальности изучения истории развития урока математики в России;

Солосина И.С, Агеева Ю. Развитие линии уравнений в учебнике Н.А. Шапошникова;

Тарова И. Н. Из истории преподавания математических наук в Царскосельском лицее;

Добрина Е.А., Подаева Н.Г., Саввина О.А. Роль и место аналитической геометрии в математическом образовании учителей математики: ретроспективный анализ;

Белых О.П. Становление дискретной математики как учебной дисциплины.

2008 г.

Колягин Ю.М. Тяжкий крест П.А.Некрасова - академик А.А.Марков;

Авдеев Ф.С., Авдеева Т.К. Д.И. Писарев и его размышления о преподавании математики;

Беляев Ю.К. Мой научный руководитель - А.Н. Колмогоров;

Бусев В.М. Руководства по начальной геометрии в советской школе 1920-х годов;

Дворяткина С.Н. К вопросу о единстве исторического и логического в преподавании теории вероятностей;

Колягин Ю.М., Саввина О.А. Обзор архивных документов личного фонда московского профессора Николая Васильевича Бугаева;

Костенко И.П. Реформа математического образования 1960-70-х гг. в свете исторической ретроспективы;

Лукашова Т.В. Анализ программ по математике реальных училищ;

Марушкина И.А. Организация образовательного процесса в единой трудовой школе в 1917-1931 гг. (на примере обучения математике);

Мацыгин М.А. Об актуальности изучения арифметики в современной школе;

Мельников Р.А. Становление и развитие теории интегральных уравнений;

Перцев В.В. Предмет математики в курсе дореволюционной гимназии;

Покорный Ю.В. Когда и почему возникло начало «Понтрягинских чтений»?;

Русаков А.А. Физико-математический интернат имени А.Н. Колмогорова: становление и развитие, научно-методические проблемы;

Тарасова О. В. Из истории школьной геометрии в период первых лет советской власти;

Тихонова Л.В. Развитие и становление математических методов в менеджменте и экономике;

Толоконников СВ. Из истории проведения письменных выпускных экзаменов по математике в средней школе России;

Туртаева А.Ю. Методическое наследие М.Г. Попруженко в области преподавания анализа бесконечно малых в средней школе;

Щербатых СВ. Об опыте преподавания школьной стохастики (советский период).

2010 г.

Князева Л.Е. Теорема сложения на страницах учебников второй половины XVIII - начала XX веков;

Марушкина И.А. Динамика целей урока математики в советской средней школе;

Мастеркова Д. В. Применение исторического материала на уроках математики в начальной школе;

Мельников Р.А. Становление и развитие операционного исчисления;

Перцев В.В. Математика в дореволюционной гимназии;

Саввина О.А. Документы о жизни и деятельности Дмитрия Федоровича Егорова;

Солосина И.С Тема «Уравнения» в «Курсе элементарной алгебры» Н.А. Извольского;

Тарасова О. В. Алексей Николаевич Острогорский — автор первого методического пособия по геометрии в России.

2011 г.

Грибов А.Ю. Мировоззренческие взгляды педагога-математика В.Я. Цингера;

Колягин Ю.М., Саввина О.А. Из истории образования в первопрестольной: математика и математики в Московской 3-ей гимназии;

Мельников Р.А. Из истории комбинаторики;

Мельников Р.А. Из истории парадокса Н.Е. Жуковского;

Мельников А.К, Мельников Р.А. Пафнутий Львович Чебышёв и елецкая земля (к 190-летию со дня рождения выдающегося учёного);

Перцев В.В. Мстислав Всеволодович Келдыш;

Скрябина М.И. О периодизации истории математического образования в Императорском Московском университете;

Тарасова О. В. Организация школьного математического образования в Орловской области.

2012 г.

Бусев В.М., Худякова Ю.А. Библиография учебно-методической литературы по математике: проблемы и решения;

Грибов А.Ю. Математические интересы представителей Московской философско-математической школы;

Гридчина И.К, Солосина И. С. Голубев Владимир Васильевич;

Малютин А.А. Философ, математик, педагог (к 175-летию со дня рождения Н.В. Бугаева);

Мельников Р.А. Памятные и юбилейные даты 2012 года;

Гольтяева КС, Мельников Р.А. Из истории теории устойчивости;

Перцев В. В. Леонид Витальевич Канторович — теоретик линейного программирования;

Саввина О.А. Формулярные списки педагогов-математиков Московского учебного округа в фондах Центрального исторического архива;

Шестакова Л. Г. Материал по истории математики как средство формирования у школьников стиля мышления.

Таким образом, в первых двух выпусках «Вестника» было опубликовано наибольшее количество статей, посвященных вопросам истории математического образования, а затем их количество снизилось. Всего в этой рубрике вышло: в 2006 г. — 14 статей, в 2008 г. — 19 статей, в 2010 — 8 статей, в 2011 г. — 8 статей, в 2012 г. — 8 статей. В 2007 г., в 2009 г. и 2013 г. серия «История и теория математического образования» не выходила.

Распределение статей по тематике исследований за все 5 выпусков можно представить так: более 20 статей посвящено персоналиям и анализу их методических взглядов, около 14 статей — истории различных разделов математики и истории их преподавания; 8 статей — общим вопросам организации обучения математике (анализу учебных программ и учебников, истории урока и организации контроля знаний и пр.), 6 статей - истории математического образования в конкретных учебных заведениях и научных организациях различных регионов и 3 — элементам историзма в преподавании математики.

В журнале «Математика в школе» статьи по истории математического образования размещались преимущественно в следующих рубриках

«Деятели науки и просвещения», «История математики и ее преподавания», «Некрологи», «Методическое наследие», «Деятели науки и просвещения» и др.

2004 г.

Герасимова А.Д., Гайдаржи Г.Х., Ермакова Г.Н. К 100-летию со дня рождения Г.И. Глейзера (№ 6);

Костицын В.Н. Академик Федоров (№ 1);

Баврин Н.Н. С.А.Рачинский — замечательный педагог (№ 2);

Игорь Фёдорович Шарыгин (№ 4).

2005 г.

Белобородова С.В. История математики на первых уроках тригонометрии (№ 3);

Вавилов В. В. Школа математического творчества (№ 2);

Каплунович И.Я., Голубинская Л.М. и др. Памяти Л. М. Фридмана (№ 6);

Кузичева З.И., Курдюмова Н.А. Московскому государственному университету 250 лет (№ 2);

Саввина О.А., Щербатых СВ. Московскому математическому кружку 100 лет (№8).

2006 г.

Бусев В.М. О печатном наследии в области преподавания математики (№ 9-10).

2007 г.

Егупова М.В. Петр Семенович Гурьев (к 200-летию со дня рождения) (№ 8);

Карпушина Н.М. Яков Перельман: штрихи к портрету (№ 5);

Колягин Ю.М. Математическое образование накануне революции 1917 года (№4);

Курдюмова Н.А. Великий популяризатор науки (к 125-летию со дня рождения Я.И.перельмана) (№ 3);

Курдюмова Н.А. Народные учителя смекалистых (к 100-летию со дня рождения Б.А. Кордемского) (№ 9);

Леонидова Н.А. Вечный труженик (к 100-летию со дня рождения А.Н. Тихонова) (№6);

Тестов В.А. Павел Афанасьевич Ларичев — ученый и педагог (к 115-летию со дня рождения) (№ 8).

2008 г.

Бусев В.М. «Репрессированные» школьные учебники (№ 10).

Егупова М.В. Нестареющие задачи Я.И. Перельмана (№ 3);

Кондратьева Г.В. Лев Толстой против «европейничанья» (№ 7);

Саввина О.А., Колягин Ю.М. Лев Семенович Понтрягин: история борца (№ 4);

Щербатых СВ. П.А. Некрасов — математик, педагог, философ, «современник» (№2);

Юлина НА. О некоторых задачах из «Курса математики» Т.Ф. Осиповского (№ 8).

2009 г.

Бусев В.М. Перелистывая страницы журнала (очерк истории «Математики в школе») (№ 5, 7, 9);

Егупова М.В. Связь обучения с жизнью в «Курсе опытной геометрии» А.М. Астряба (№ 6);

Канин Е.С. Федор Федорович Нагибин (к 100-летию со дня рождения) (№ 3);

Колягин Ю.М., Саввина О.А., Малютин А.А. «Арифметика» Н.В. Бугаева (№9);

Кондратьева Г. В. Экзамены на аттестат зрелости в России XIX века (№ 4);

Тарасова О.В. Александр Матвеевич Астряб — проповедник наглядной геометрии (к 130-летию со дня рождения и к 100-летию первой работы «Наглядная геометрия») (№ 5).

2010 г.

Бусев В.М. Всероссийские съезды преподавателей математики: штрихи к портрету (№ 9);

Жигулев Л.А., Лукичева Е.Ю. Из истории методической службы Санкт-Петербурга (№ 4);

Карпушина Н.М. Тот самый Мартин Гарднер (№ 7);

Колягин Ю.М., Саввина О.А. Педагоги-математики Егоровы - отец и сын (№ 1);

Колягин Ю.М., Саввина О.А. Профессор из крепостных (к 150-летию со дня рождения Василия Афанасьевича Анисимова);

Кондратьева Г. В. Частная инициатива на благо просвещения (№ 7);

Лобзина Ю.В. Элементы стохастики в образовании: краткий экскурс в историю (№2);

Саввина О.А., Марушкина И.А. Урок математики в русской школе (№ 8).

2011 г.

Овчинников Д. А. Первый российский историк математики (№ 4);

Бобынин В.В. Древнейшая из женщин-математиков (№ 4);

Ветров В.В., Тарасова О.В. Владимир Львович Минковский — педагог, историк, методист (№ 9);

Куланин Е.Д. О происхождении термина «арифметика» (№ 9);

Саввина О.А., Колягин Ю.М. «Ах, какой молодец Цингер!» (№ 5);

Цайгер М.А. Триумф и забвение способа Пифагора (№ 6).

2012 г.

Егупова И.В. Ростислав Семенович Черкасов (к 100-летию со дня рождения) (№ 7);

К 100-летию со дня рождения Б.В. Гнеденко (№ 8);

К 70-летию со дня рождения Гусева В.А. (№ 10);

Карпушина Н.М. Мастер эвристики (к юбилею Д. Пойа). Методическое наследие Д. Пойа (№ 10);

Колягин Ю.М. Реформа и контрреформа (№ 6);

Колягин Ю.М., Саввина О.А. Вспоминайте коллег и наставников ваших (к 75-летию со дня рождения математика-педагога Г.Л. Луканкина) (№ 5);

Куланин Е.Д. Выдающийся ученый и человек (к 100-летию со дня рождения А.Д. Александрова) (№ 8);

Курдюмова Н.А. На службе учительства (№ 7);

Саввина О.А., Тарасова О.В. Дорога жизни, ступени науки (к 85-летию Ю.М. Колягина) (№ 4);

Сарвина Н.М. Из истории математики и ее преподавания в России (№ 8);

Черкасов (к 100-летию со дня рождения) (№ 7); Юбилей НИИ СиМО (№ 10).

2013 г.

Елисеев В.В. «Законодатель» школьной математики (№ 9);

Елисеев В.В. По примеру СВ. Ковалевской (№ 7);

Вавилов В.В. Автографы А.Н.Колмогорова (№ 8);

Зайцева О.С. О роли П.Л. Чебышева в развитии школьной математики (№ 5);

Зайцева О.С, Сулимов В.С. Преподавание математики в гимназиях России второй половины XIX века (№ 9);

Карпушина Н.М. Неизвестный Рачинский: жизнь, полная людей (№ 10);

Кондратьева Г.В. Сколько уроков математики должно быть в школе? (№ 5);

Колягин Ю.М., Саввина О.А. Учебник и школьная программа: как все начиналось (№ 6);

Полякова Т.С. Курс истории математики в педвузе в контексте отечественной культуры (№ 6-7);

Рачинский С.А. «Крестьянская арифметика» (№ 10);

Саввина О.А. «Малининская эпоха» в истории русского учебника математики (№3-4).

2014 г. (№1-4)

Кондратьева Г.В. К.Д. Ушинский и преподавание математики (№ 3);

Полякова Т.С. Петр I и математическое образование в России (№ 4);

Прудников В.Е. Об одной математической рукописи XVII века (№ 3);

Саввина О.А. Из жизни и военных подвигов педагога-математика П.А. Баранова (№1);

Тарасова О.В. Полезная книга по истории образования (№ 1).

Простой подсчет количества статей по истории математического образования в журнале «Математика в школе» за последнее десятилетие свидетельствует о тенденции роста интереса к исторической тематике. И в этом журнале авторы явное предпочтение отдавали изучению биографий и педагогического наследия известных и малоизвестных деятелей математического образования. Редакция не оставила без внимания юбилейные даты со дня рождения педагогов-математиков, 100-летия со дня проведения Всероссийских съездов преподавателей математики и других знаковых событий в истории математического образования. Такие экскурсы в историю делают журнал более привлекательным не только для учителей, но и для исследователей, студентов и аспирантов. Нельзя не отметить и увлеченность ряда авторов, которые после публикации своих статей продолжили развивать историческую тематику уже на уровне монографических исследований [6], [7].

Данный обзор не является исчерпывающим. Статьи по истории математического образования в последнее десятилетие размещались также, например, в таких известных журналах, как «Математическое образование», «Начальная школа», «Историко-математические исследования», «Ярославский педагогический вестник», «Психология образования в поликультурном пространстве», «Ученые записки Орловского государственного университета» и др. Однако надо признать, что в этих изданиях не предусмотрено специальных рубрик по истории математического образования, поэтому статьи по данной тематике появлялись лишь эпизодически.

Хочется надеяться, что приведенный обзор публикаций по истории математического образования поможет исследователям в поисках интересующей их литературы.

Библиографический список

1. Вестник Елецкого государственного университета им. И.А. Бунина. Вып. 11. Серия «История и теория математического образования». Елец: ЕГУ им. И.А. Бунина, 2006.

2. Вестник Елецкого государственного университета им. И.А. Бунина. Вып. 17. Серия «Педагогика» (История и теория математического образования). Елец: ЕГУ им. И.А. Бунина, 2008.

3. Вестник Елецкого государственного университета им. И.А. Бунина. Вып. 27. Серия «Педагогика» (История и теория математического образования). Елец: ЕГУ им. И.А. Бунина, 2010.

4. Вестник Елецкого государственного университета им. И.А. Бунина. Вып. 28. Серия «Педагогика» (История и теория математического образования). Елец: ЕГУ им. И.А. Бунина, 2011.

5. Вестник Елецкого государственного университета им. И.А. Бунина. Вып. 32. Серия «Педагогика» (История и теория математического образования). Елец: ЕГУ им. И.А. Бунина, 2012.

6. Кондратьева Г.В. Отечественное школьное математическое образование второй половины XIX века: концепция циклического развития.

7. Тарасова О.В. Математики-педагоги России. Забытые имена. Книга 5. Александр Матвеевич Астряб. Орел: ОГУ ВПО «ОГУ», ООО «Кар-туш-ПФ», 2009.

8. Тематический указатель статей, опубликованных в 2004 году // Математика в школе. 2004. № 10. С. 78 - 80.

9. Тематический указатель статей, опубликованных в 2005 году // Математика в школе. 2005. № 10. С. 78 - 80.

10. Тематический указатель статей, опубликованных в 2006 году // Математика в школе. 2006. №10. С. 77-79.

11. Тематический указатель статей, опубликованных в 2007 году // Математика в школе. 2007. №10. С. 76-78.

12. Тематический указатель статей, опубликованных в 2008 году // Математика в школе. 2008. №10. С. 77-79.

13. Тематический указатель статей, опубликованных в 2009 году // Математика в школе. 2009. № 10. С. 77- 80.

14. Тематический указатель статей, опубликованных в 2010 году // Математика в школе. 2010. №10. С. 75-78.

15. Тематический указатель статей, опубликованных в 2011 году // Математика в школе. 2011. №10. С. 76-79.

16. Тематический указатель статей, опубликованных в 2012 году // Математика в школе. 2012. №10. С. 76-79.

17. Тематический указатель статей, опубликованных в 2013 году // Математика в школе. 2013. № 10. С. 76- 80.

ИЗ ОПЫТА РАЗРАБОТКИ ЭЛЕКТРОННОГО БИОГРАФИЧЕСКОГО СПРАВОЧНИКА ПЕРСОНАЛИЙ ОТЕЧЕСТВЕННОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ

М.О. Черноусов

Аннотация. В статье рассказывается об опыте разработки электронного биографического справочника персоналий отечественного математического образования. Приводится краткое описание использованных тегов и Java-процедур, которые значительно упростили создание ресурса.

Ключевые слова: история математического образования, электронный биографический справочник.

В 2007 г. на кафедре математического анализа и элементарной математики Елецкого государственного университета им. И.А. Бунина родился замысел создания электронного справочника по истории математического образования. Историческая ретроспектива математического образования немыслима без оценки вклада в неё отдельных личностей, каждая из которых сама по себе представляет культурную ценность. Поэтому в основу разработки справочника была положена идея персонализации истории отечественного математического образования.

Персонализация истории понимается нами следующим образом. Историю образования можно описывать через события, а можно через судьбы конкретных персоналий. Этот подход реализован в серии «Математики-педагоги России. Забытые имена» (см., например, [1]). В каждой книге не просто описывается герой, дается характеристика его личности, мировоззрения, педагогической деятельности, его вклад в науку, но и реконструируется среда, образовательная ситуация, состояние науки и пр. - т.е. описывается историческое время, в которое он жил.

Конечно, при выборе персоналии следует иметь в виду ее масштабность. Согласно мысли английского философа и историка Арнольда Тойнби главной движущей силой цивилизации является ее культурная элита -узкий круг людей, наделенных талантом и энергией. «Эти люди владеют культурными ценностями своей эпохи и ясно осознают свою миссию. Каждый из них занимает собственное место в истории, каждый уникален и незаменим и стоит многих тысяч посредственностей» [2]. Таким образом, следуя Тойнби, выходит, чтобы описать историю цивилизации, достаточно описать историю этого узкого круга людей. При этом важно заметить, что историко-педагогическое исследование имеет свою специфику. Оно больше отвечает за воспитательную функцию, нежели истории других наук. Это следует иметь в виду при отборе личности. Помимо масштабности непременным при выборе персоналии должен являться и нравственно-

этический критерий в том смысле, что чем порядочнее был человек - тем больше его жизнь заслуживает исследования и анализа.

Мы должны бережно относиться к традициям математического образования. Эти традиции были заложены нашими замечательными предками, которых, признаемся, мы не всегда знаем и помним. К сожалению, многие имена отечественных просветителей нередко замалчивались, случалось, что идеи дореволюционных и советских педагогов-математиков полностью отвергались только из-за того, что они расходились с официальной идеологией или текущей политической ситуацией. Сведения о персоналиях математического образования России в настоящий момент разрозненны, нередко противоречивы, а в направлении их систематизации сделано немного. Обращение к наследию просветителей прошлого важно для развития историко-математической культуры, обогащения современной педагогической теории и практики.

Разработанный нами справочник «Биографическая энциклопедия персоналий математического образования России» хотя бы отчасти заполнит нишу, образовавшуюся в истории математического образования.

На основе анализа публикаций и Интернет-ресурсов по истории математики, был составлен список персоналий (словник), в который вошло более 500 персоналий математического образования XVIII-XX вв.

Одним из важных этапов нашей работы являлось знакомство с архивными документами. Были изучены фонды архивов города Москвы (Центральный исторический архив г. Москвы и архив Отдела редких книг и рукописей Научной библиотеки МГУ им. М.В. Ломоносова) и г. Санкт-Петербурга (Российский государственный исторический архив), касающиеся научной и педагогической деятельности отобранных персоналий. В формате jpeg сохранены некоторые документы.

Отсутствие сведений по ряду ученых не могло не отразиться на структуре справочника. В некоторых разделах в настоящий момент представлен только список фамилий без фактов биографии и деятельности персоналий, однако структура ресурса позволяет легко добавлять новые полученные данные. В процессе работы было внесено около 450 записей по персоналиям.

Ресурс создан с помощью гипертекстовой разметки HTML с использованием JavaScript. В качестве редактора использовался стандартный текстовый редактор notepad. Тест готового справочника проводился на платформах PC различной мощности.

Ресурс корректно работает со всеми популярными браузерами под Windows - Internet Explorer, Opera, FireFox Mozila, Maxthon. В Linux системах проблем также не выявлено.

Приведем краткое описание тег, использованных в ресурсе, и Java-процедур, которые значительно упростили его создание.

Главная страница справочника встречает пользователя приветственными словами. Присутствует главный навигационный элемент - линк-строка алфавитного указателя, именно с её помощью пользователь может переходить по страницам ресурса и подбирать необходимую информацию. Этот элемент обязательно присутствует на каждой странице. Дизайн подбирался с целью максимально удобной работы пользователя - в оформлении использованы классические гаммы с минимальными контрастами (см.

[3]).

Следует отметить, что справочником удобно пользоваться при любых стандартных разрешениях дисплея (для стандартного соотношения сторон 4:3 или широкоформатного - 16:9). Рекомендуемые разрешения: для стандартного монитора - 1024x768 точек; для широкоформатного -1280x800.

Представленная страница в HTML начинается со стандартных тег <html><head><body>. Поскольку все страницы справочника должны быть унифицированы одним стилем, то в теле кода мы пропишем скрипты, которые будут загружаться из корневого каталога справочника (рис. 1).

рис.1. Корневой каталог ресурса

В пронумерованных папках содержатся страницы, соответствующие ссылкам в алфавитной линк-строке, в коде главной страницы они имеют следующий вид: <а class="linksss" href="/index.html">A</a>&nbsp; (для буквы «А», например).

Чтобы упростить задачу форматирования и создания стиля оформления, каждая страница загружает эту информацию из отдельных файлов, которые также хранятся в корневом каталоге - это папка "style", файлы "fooler.js" и "header.js". В папке "style" содержится файл "style.css" -именно в этом файле прописаны используемые шрифты, его размеры, цвета и варианты начертания, применяемые к тексту (рис. 2).

рис.2. Style.css

Для экономии времени загрузки каждой страницы и в целях более рационального использования дискового пространства был использован Java-скрипт, отвечающий за отображение навигационного алфавита, который хранится в файле "header.js" и загружается с каждой страницей.

Использование рисунков в оформлении web-страниц, как правило, заслуживает отдельного упоминания. Однако справочник не пестрит яркими разнообразными картинками, и это бы ему помешало, но совсем отказаться от графики было бы тоже неверно. На каждой странице изображен логотип нашего университета и фотография сотрудников кафедры математического анализа и элементарной математики (kafedra.gif и welcome.jpg в корневой папке соответственно).

Вернемся к главной странице справочника и рассмотрим ресурс с точки зрения его информативности и удобства в работе. Обратимся, например, к странице с персоналиями, фамилии которых начинаются на букву «Б». Перед нами появляется полный список с фамилиями, указаны годы жизни и полные имена (имеются полосы прокрутки).

Часто встает необходимость не только в поиске, но и в сравнении различных статей или фактов. В справочнике реализована возможность сравнения информации - пользователь может просматривать подробности биографии по нескольким персоналиям одновременно.

В связи с тем, что многие подлинные неповторимые документы ветшают от повседневного использования, в ресурс включены фоторепродукции некоторых раритетных материалов. Например, по гиперссылке можно перейти на фоторепродукцию рукописи Н. В. Бугаева «К вопросу о подготовке преподавателей для средних учебных заведений» 1899 г., оригинал которой хранится в Отделе редких книг и рукописей Научной библиотеки МГУ им. М.В. Ломоносова. (Подробнее см.: [3]).

Работа над справочником далека от завершения. В ближайшее время планируется дополнить визуальную информацию ресурса звуковым рядом, с использованием фонотеки (рассказы СМ. Никольского, А.П. Юшкевича, П.С. Александрова и др.).

В заключение отметим, что в отборе материала и разработке проекта справочника большую помощь оказали преподаватели кафедры математического анализа и элементарной математики Елецкого государственного университета имени И.А. Бунина и выпускник этого университета 2009г. С.Н. Глазунов.

Библиографический список

1. Колягин Ю.М., Саввина О.А. Математики-педагоги России. Забытые имена. Книга 4. Николай Васильевич Бугаев. Елец: ЕГУ им. И.А. Бунина, 2009.

2. Российская научная эмиграция: Двадцать портретов / под ред. Г.М. Бонгарда-Левина и В.Е. Захарова. Изд.3-е. М.: Издательство ЛКИ, 2008.

3. Саввина О.А., Черноусов М.О. Проект электронного биографического справочника выдающихся деятелей отечественного математического образования // Информатизация образования - 2011: материалы Международной научно-практической конференции. Елец: ЕГУ им. И.А. Бунина, 2011.Т.1.С.443-447.

РАЗДЕЛ II. ТЕОРИЯ И МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ В ШКОЛЕ И ВУЗЕ

ФОРМИРОВАНИЕ УНИВЕРСАЛЬНЫХ УЧЕБНЫХ ДЕЙСТВИЙ В ОСНОВНОЙ ШКОЛЕ

Е.В. Болгова

Аннотация. В статье рассматриваются вопросы формирования универсальных учебных действий как приоритетного направления развития среднего образования в условиях перехода на ФГОС нового поколения.

Ключевые слова: универсальные учебные действия, Стандарты нового поколения, системно-деятельностный подход, компетентностный подход, развитие.

В настоящее время, в век компьютеров и новых технологий, для достижения результатов, важно инициировать у детей собственные вопросы: «Чему мне нужно научиться?» и «Как мне этому научиться?».

Формирование универсальных учебных действий (УУД) является сейчас приоритетным направлением развития среднего образования в ходе перехода образовательных учреждений на Стандарты нового поколения (ФГОС). Универсальные учебные действия определяют способность личности учиться, познавать, сотрудничать в познании и преобразовании окружающего мира [1].

Процесс формирования УУД (как и управления этим процессом) имеет свою специфику. Исследование этой специфики является важным и актуальным направлением работы образовательного учреждения.

Системно-деятельностный подход, лежащий в основе разработки стандартов нового поколения, позволяет выделить основные результаты обучения и воспитания и создать навигацию проектирования универсальных учебных действий, которыми должны владеть учащиеся. Логика развития универсальных учебных действий, помогающая ученику почти в буквальном смысле объять необъятное, строится по формуле: от действия — к мысли.

Современное информационное общество запрашивает человека обучаемого, способного самостоятельно учиться и многократно переучиваться в течение постоянно удлиняющейся жизни, готового к самостоятельным действиям и принятию решений. Для жизни, деятельности человека важно не наличие у него накоплений впрок, запаса какого-то внутреннего багажа

всего усвоенного, а проявление и возможность использовать то, что есть, то есть не структурные, а функциональные, деятельностные качества.

Разработка концепции развития универсальных учебных действий в системе российского образования отвечает новым социальным запросам, отражающим переход от индустриального к постиндустриальному информационному обществу, основанному на знаниях и высоком инновационном потенциале [2].

Концепция универсальных учебных действий учитывает опыт компетентностного подхода, в частности, его правомерный акцент на достижение учащимися способности эффективно использовать на практике полученные знания и навыки. В связи с этим акцент здесь делается на такие виды развития как личностное, социальное, познавательное, коммуникативное.

Так, личностное развитие основывается на готовности и способности учащихся к саморазвитию и реализации творческого потенциала в духовной и предметно-продуктивной деятельности, высокой социальной и профессиональной мобильности на основе непрерывного образования и компетенции «уметь учиться».

Под социальным развитием Стандарты второго поколения подразумевают «формирование российской и гражданской идентичности на основе принятия учащимися демократических ценностей, развития толерантности жизни в поликультурном обществе, воспитания патриотических убеждений; освоение основных социальных ролей, норм и правил».

Познавательное развитие характеризуется не только формированием у учащихся научной картины мира, но и развитием способности «управлять своей познавательной и интеллектуальной деятельностью».

И наконец, коммуникативное развитие определяется в Стандартах как «формирование компетентности в общении, включая сознательную ориентацию учащихся на позицию других людей как партнеров в общении и совместной деятельности, умение слушать, вести диалог в соответствии с целями и задачами общения, участвовать в коллективном обсуждении проблем и принятии решений, строить продуктивное сотрудничество со сверстниками и взрослыми на основе овладения вербальными и невербальными средствами коммуникации, позволяющими осуществлять свободное общение на русском, родном и иностранных языках» [3].

Средствами реализации системно-деятельностного подхода в обучении математике являются:

- проблемное обучение;

- поисково-исследовательская технология обучения;

- модульная технология;

- коллективная система обучения;

- информационно-коммуникационные технологии и т.д.

Нами были составлены задания, способствующие формированию и развитию познавательных УУД на уроках математики. Предлагаемый набор заданий имеет целью формирование регулятивных универсальных учебных действий (контроля, самопроверки и взаимопроверки решения задачи). Обзор литературы и обобщение опыта преподавания математики свидетельствует, что в формировании регулятивных УУД возможно использование и таких приемов, как: работа с учебником (Интернет-ресурсами, справочниками), составление плана ответа по математике, организация домашней работы, выполнение письменной работы по математике, изучение содержания теоремы. При работе с книгой нужно добиваться того, чтобы учащийся оценивал знание материала не потому, сколько он раз прочитал текст учебника, а по умению сознательно и подробно излагать содержание прочитанного [2].

На наш взгляд, заложенные в Федеральном государственном образовательном стандарте второго поколения основы формирования универсальных учебных действий подчеркивают ценность современного образования - школа должна побуждать молодежь принимать активную гражданскую позицию.

Библиографический список

1. Концепция федеральных государственных образовательных стандартов общего образования: проект / Рос. акад. образования; под ред. А.М. Кондакова, А.А. Кузнецова. М.: Просвещение, 2008. 39 с. (Стандарты второго поколения).

2. Формирование универсальных учебных действий в Ф79 основной школе: от действия к мысли. Система заданий: пособие для учителя / [А.Г. Асмолов, Г.В. Бурменская, И.А. Володарская и др.]; под ред. А.Г. Асмолова. М.: Просвещение, 2010. 159 с.

3. Фундаментальное ядро содержания общего образования: проект / под ред. В.В. Козлова, А.М. Кондакова. М.: Просвещение, 2008. 48 с. (Стандарты второго поколения).

4. Черноусова Н.В. Системно-структурный анализ процесса обучения. / Вестник ЕГУ имени И.А. Бунина. Выпуск 5: Серия «Математика, физика». Елец: ЕГУ имени И.А. Бунина, 2004. 243 с.

МЕТАПРЕДМЕТНЫЙ ПОДХОД В ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ ПО НОВЫМ СТАНДАРТАМ

Н.А. Болдырева

Аннотация. Сегодня понятия «метапредмет» и «метапредметное обучение» приобретают особую популярность. Ведь метапредметный под-

ход заложен в основу новых стандартов. В статье освещается суть метапредметного подхода, демонстрируется возможность сценирования и проведения учебного занятия с использованием принципов метапредметного подхода.

Ключевые слова: метапредмет, метапредметный подход, проблемное обучение, задачи.

«Мы изменили свое окружение так радикально, что теперь должны изменять себя, чтобы жить в этом новом окружении»

Норберт Винер

Школа сегодня стремительно меняется, пытается попасть в ногу со временем. Главное же изменение в обществе, влияющее и на ситуацию в образовании, - это ускорение темпов развития. А значит, школа должна готовить своих учеников к той жизни, о которой сама еще не знает. Поэтому сегодня важно не столько дать ребенку как можно больший багаж знаний, сколько обеспечить его общекультурное, личностное и познавательное развитие, вооружить таким важным умением, как умение учиться. По сути, это и есть главная задача новых образовательных стандартов, которые призваны реализовать развивающий потенциал общего среднего образования.

Метапредметный подход как способ формирования теоретического мышления и универсальных способов деятельности призван обеспечить переход от существующей практики дробления знаний на предметы к сформированной целостной картине мира в сознании ребёнка, помочь осмыслить и осознать личную связь с окружающим миром, достичь понимания своего значения, места и роли в нём. Средством достижения результатов метапредметного подхода (по А.В. Хуторскому) является деятельность исследовательская, эвристическая, проектная, коммуникативно-диалоговая, дискуссионная, игровая, различного рода практики. Усвоение любого материала (понятия, предметного или универсального способа действия и т.п.) происходит в процессе решения практической или исследовательской задачи, познавательной проблемной ситуации. Деятельностный аспект метапредметного подхода обеспечивает развитие мышления, метадеятельности, рефлексии, коммуникации. Метапредметный подход -это очень хорошее знание своего предмета, что собственно и позволяет деятельностно пересобирать учебный материал и заново его интерпретировать с точки зрения деятельностных единиц содержания.

Рассмотрим один из пунктов традиционного и метапредметного подходов:

• Традиционный подход - знакомство с определениями учебного предмета.

• Метапредметный подход - просмысливание, а не запоминание важнейших понятий учебного предмета.

Использование технологии метапредмета «Задача» в преподавании математики позволяет реализовать возможности развития мышления для всех учащихся. Суть такого подхода заключается в создании учителем особых условий, в которых школьники могут самостоятельно, но, безусловно, под руководством учителя отыскивать решение задачи. При этом учитель организует для учащихся понимание сути задачи, построение эффективных моделей (процесс моделирования). Ребята могут выдвигать способы решения, используя метод «проб и ошибок». Понимание, моделирование, выдвижение и реализация способа - суть процесса решения любой задачи. Освоение культурной нормы этих процессов составляют содержание метапредмета «задача».

В 6 классе нужно ввести представление о прямоугольной системе координат. Обычно это делается так: учитель изображает на доске перпендикулярные прямые, вводит начало координат, единичный отрезок, даёт название осям, вводит необходимые термины. Самое главное для ученика - запомнить алгоритмы изображения точки по её координатам и как находить координаты. Дети не понимают, зачем это нужно.

Они совершенно по-другому включатся в работу, если дать им такую задачу: «Одному человеку нужно было уехать на 10 лет очень далеко. Чтобы сохранить ценные вещи, он решил зарыть их в лесу. Подскажите ему, как запомнить место, где он зароет клад». Ученики выдвинут несколько вариантов решения. Далее надо организовать сравнение версий, поиск общего и различного, достоинств и недостатков. Это очень важный момент, поскольку именно сопоставление и сравнение составляют основу мышления. В каждой из версий представлен особый способ решения задачи. В каждом из способов задействован свой набор понятий. И каждый из способов выводит на одну из принятых в математике систем координат - декартову прямоугольную и полярную систему координат. Первую модель все изучают в школе, а вторую - нет. Позволяя детям выйти на две системы координат, мы можем формировать представление о системе отсчета вообще, о координатном методе в целом, а не только об одном конкретном виде системы координат.

В 9 классе экзамен по математике проводится в новой форме, в структуре ГИА выделены три модуля «Алгебра», «Геометрия» и «Реальная математика», задания первых частей этих модулей проверяют уровень освоения Федеральных государственных образовательных стандартов на базовом уровне. Урок в 9 классе по подготовке к итоговой аттестации также усовершенствован, учитель так продумывает деятельностную цель урока,

что каждый ученик может самостоятельно ставить своей целью определение проблемных зон, формирование стратегии подготовки к экзамену и тактике решения задач на самом экзамене. Выделение в отдельный модуль «Реальная математика» и увеличение количества практикоориентированных заданий подчёркивает важность освоения таких математических компетенций, как умение применять знания в практической жизни и в смежных областях, но если мы говорим о современном уроке, то надо говорить о содержании математических задач рассматриваемых на нём.

Вот содержание одной из таких прикладных задач: « Площадь лесного массива составляет 200 тысяч квадратных метров. Массив ежегодно увеличивается на 4%. Через сколько лет его площадь будет равна 250 тысячам квадратных метров?» Универсальным методом решения таких прикладных задач является моделирование. Математические модели могут выражаться в виде элементарных функций: уравнений, неравенств, систем уравнений и неравенств и т.д. В рассматриваемой задаче моделью является уравнение 250000 = 200000 • 1,04х; далее решается это уравнение, выясняется, что фирма может приступить к вырубке леса примерно через 6,5 лет. И здесь руководство фирмы, обратившись к помощи экспертов, решит, стоит ли ждать столько времени или лучше распорядиться своим капиталом, вложив его в другое дело. Почему урок по решению таких задач является современным? Потому что в ходе их решения происходит формирование таких черт интеллекта как логичность (при анализе, сравнении и обобщении информационных данных, при переходе от проблемной ситуации к прикладной задаче) и гибкость ума (при составлении математической модели и расчётах по ней).

Интегрированный урок в 10 классе можно назвать современным не только потому, что формой урока выбрана деловая игра «Косметический ремонт», не только потому, что задачей было развитие навыков индивидуальной практической деятельности, а потому, что проводился он с помощью самых последних, а значит самых современных компьютерных технологий. После математически разработанного алгоритма нахождения стоимости ремонта по площади комнат, ученикам предлагается конкретный метраж квартиры и дизайн обоев, после чего им необходимо с помощью табличного процессора XI вводить формулы, функции и автоматически рассчитывать стоимость такого косметического ремонта.

Один из способов реализации метапредметного подхода в обучении - это как раз метод проблемного обучения, включающий в себя создание проблемных ситуаций. Использовать его на уроке можно, например, при объяснении нового материала: учитель создает проблемную ситуацию, направляет учащихся на ее решение, организует поиск решения. Таким образом, ученик становится в позицию не пассивного слушателя, а активного участника процесса получения нового знания, что позволяет ему не только прочно усвоить полученные им сами результаты, но и формирует познава-

тельную самостоятельность учащегося, развивает его творческие способности и мышление.

Представим небольшой фрагмент урока 5 класса, цель которого научиться решать задачи на движение по реке. Учащимся предлагается ряд задач, решение которых подводит их к самостоятельному выводу формул по данной теме.

1 задача - не математическая, жизненная. Учащиеся анализируют ситуацию, используют жизненный опыт и делают вывод о существовании течения реки.

2 задача - устанавливаем существование связи между временем движения и течением реки.

3 задача - определяем понятие собственная скорость.

4 задача - переходим уже от понимания течения реки как физического явления к математической модели, делаем выводы.

5 задача - учащиеся готовы уже самостоятельно вывести формулы и записать их, используя введенные выше обозначения.

6-7 задачи - закрепляем полученные формулы и как результат, опираясь на заполненную таблицу, ученики способны ответить на все вопросы в задаче. Задачи:

1. Мальчик на лодке на преодоление расстояния (S) по течению реки затратил меньше времени (t), чем на преодоление расстояния (S) против течения. Почему?

2. На расстояние (S) от пункта А до пункта В теплоход затратил времени (t) 1час 40 мин, а на обратный путь (S) - 2 часа. В каком направлении течёт река.

3. Скорость течения реки (V теч.) 2 км/ч. На какое расстояние отнесет река любой предмет за 1час? За 5 часов?

4. Известно, что скорость моторной лодки в стоячей воде (V собст.) 5 км/ч. Скорость течения реки (V теч.) - 2 км/ч. Какова скорость движения моторной лодки против течения реки (V пр. теч.)? Какова скорость движения моторной лодки по течению реки (V по теч.)?

5. Вывод по предыдущим задачам

V теч. = 2 км/ч.

V по теч. - ?

V собст. = 5 км/ч.

V пр. теч. - ?

V по теч.= Vco6ct. + V теч.

V пр. теч.= Vco6ct. - V теч.

6. Собственная скорость теплохода - 27 км/ч. Скорость течения - 3 км/ч. Сколько времени затратит теплоход, чтобы проплыть от одного причала до другого, если расстояние между ними 120 км?

V собст.

V теч.

V по теч.

V пр теч.

12 км/ч

4 км/ч

25 км/ч

28 км/ч

24 км/ч

20 км/ч

5 км/ч

17 км/ч

3 км/ч

16 км/ч

48 км/ч

42 км/ч

7. Какая величина будет определена в результате действий?

V собст. + V теч.

V собст. - V теч.

V пр.теч. + V теч.

V пр.теч. + 2 X V теч.

V по теч. - V пр.теч.

Уроки проблемного изложения материала позволяют реализовать метапредметный подход в обучении и отражают требования современного урока, так как: учащиеся становятся активными участниками получения нового знания, развивается их самостоятельность, аналитическое и творческое мышления, развивается познавательная активность, появляется осознанности знаний, обеспечивается более прочное усвоение знаний, делает учебную деятельность более привлекательной для учащихся, ориентирует их на комплексное использование знаний.

Итак, метапредметы нужны, во-первых, с точки зрения развития мышления и профессионализма самого педагога. Они нужны, потому что задают новые возможности работы с мировоззрением детей, с их самоопределением, с обретением смысла жизни, создают новые возможности для развития личности учащихся. Во-вторых, уже замечено из опыта работы: после внедрения метапредметных технологий в обычной школе часть детей, которые очень плохо усваивали материал, вдруг начинают хорошо учиться. Приходят благодарные родители. Это происходит за счёт того, что этим ребятам необходимо, чтобы будоражили их мышление.

Все ближе и понятнее становятся слова Циолковского: «Сначала я открывал истины, известные многим, затем стал открывать истины известные некоторым, и, наконец, стал открывать истины, никому еще не известные. Видимо, это и есть путь становления творческой стороны интеллекта, путь развития изобретательского таланта».

Библиографический список

1. Метапредметный подход в обучении: Научно-методическое пособие / А.В. Хуторской. М: Издательство «Эйдос»; Издательство Института образования человека, 2012. 73 с. (Серия «Новые стандарты»).

2. Проблема развивающего обучения / В.В. Давыдов. М.: Педагогика, 1986. 240 с.

3. Мыследеядельностная педагогика в старшей школе: новые формы работы с детьми (по материалам проекта «Инновационная сеть» «Мыследеятельностная педагогика»). М.: АПК и ПРО, 2004. 28 с.

4. Обновление содержания образования. Проблемы и перспективы / Серия: «Экспериментальная и инновационная деятельность образовательных учреждений города Москвы». М.: Центр «Школьная книга», 2008. 176 с.

5. Способы обновления знаний / Н.В. Громыко. Эпистемотека: Руководство для управленцев и педагогов. М.: Пушкинский институт, 2007. 184 с.

СОВРЕМЕННЫЙ УРОК МАТЕМАТИКИ КАК ОСНОВНОЙ РЕСУРС РЕАЛИЗАЦИИ ТРЕБОВАНИЙ ФГОС ООО ВТОРОГО ПОКОЛЕНИЯ

Л.Т. Валуева, Е.И. Орлова

Аннотация. В статье предложены технологическая карта современного урока математики по теме «Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями» (5 класс), разработанного в свете рекомендаций ФГОС ООО второго поколения, и методический комментарий к уроку.

Ключевые слова: современный урок математики, технологическая карта урока, ФГОС ООО второго поколения, компетенции.

Введение ФГОС ООО второго поколения связано с повышением качества образования. Качество образования выражается в образовательных результатах: личностных, метапредметных, предметных. В свете требований ФГОС ООО второго поколения необходимо обеспечивать организацию такой учебной деятельности обучающихся, в процессе которой развивались бы их способности, высвобождались творческие силы, и индивидуальность школьников смогла бы достичь своего расцвета.

Новый образовательный стандарт общего образования ставит перед нами новые цели и задачи. Главная из них - формирование личности ребенка. От построения деятельности на уроке и от места, которое занимает в ней ученик, зависит не только продуктивность его познания, но и развитие его личности. Для основной школы ведущими стимулами являются такие, в которых проявляется осознание необходимости знания, потребности в нём. Ведь урок есть открытие истины, поиск истины и осмысление истины в совместной деятельности детей и учителя.

На сегодняшний день современный урок является основным ресурсом реализации требований ФГОС ООО второго поколения. Результатив-

ность обучения школьников, динамика их успеваемости напрямую зависит от использования учителем передовых педагогических технологий и современных методов в образовательном процессе, информационно-коммуникационных технологий, элементов проектно-исследовательской деятельности на уроке [2].

В данной статье предложены технологическая карта современного урока математики (5 класс), разработанного в свете рекомендаций ФГОС ООО второго поколения, и методический комментарий к уроку. Тема урока «Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями».

В январе 2014 года Липецкая область отмечает 60-летие. Наш урок был посвящен этой знаменательной дате.

Технологическая карта урока математики в 5 классе

Этапы урока

Задачи этапа

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

УУД

1. Организацион ный момент

Создать благоприятный психологический настрой на работу

Настроить учащихся на учебную деятельность на получение новых знаний

Приветствуют учителя, проверяют готовность к уроку. Воспринимают информацию, сообщаемую учителем

2. Проверка домашнего задания

Исправить ошибки, сделать выводы

Показать через документкамеру тетрадь ученика с домашней работой

Проверяют домашнее задание в своей тетради

Коммуникативные: умение слушать, слышать, общаться

3. Актуализация опорных знаний

Повторить ранее изученные правила сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями. Организовать фиксацию затруднений

Развивать и углублять потребности и мотивы учебно-

познавательной деятельности

Выполняют задания, отвечают на вопросы

Личностные: проявлять волевые усилия в учебно-познавательной деятельности

4. Изучение нового материала Целеполагание и мотивация

Постановка проблемы Формулирование темы и цели урока

Учитель анализирует выступление и задает вопросы.

Постановка проблемы.

1)Сколько районов в Липецкой области? (18)

2)Сколько районов на букву «Л»? (3), а на букву «Д»? (4)

3)Какую часть составляют они от всех районов области?

4)Какую часть составляют районы на «Л» и «Д» от всех районов?

(Проблема) Какая тема урока?

Опережающее домашнее задание. (Пропедевтика). Слушают ученицу с презентацией о Липецкой области. Подробно останавливаются на районах.

Слушают учителя, отвечают на вопросы, думают над темой урока.

Формулируют тему урока, цели урока.

Выдвигают гипотезу решения проблемы.

Пишут в тетрадях:

Формулируют правило сложения дробей с разными знаменателями.

Познавательные: умение анализировать, обобщать, ставить задачи

Коммуникативные: умение слушать, слышать, общаться

Регулятивные: ставить цель, планировать, оценивать результат

5. Физкультминутка

Психологическая разгрузка. Снятие напряжения, на-

Показывает и контролирует выполнение упражнений

Выполняют упражнения

строй на позитивную работу

6.Закрепление изученного материала

Вывести алгоритм сложения (вычитания) дробей с разными знаменателями и научиться применять его

Контролирует выполнение

Решают задания у доски - №440.

№441 (работа в парах), с последующей проверкой.

№445 (у доски) (учебник [1])

Познавательные:

уметь выделять существенную информацию из текстов, строить логические цепочки рассуждений

Коммуникативные:

формировать навыки учебного сотрудничества в ходе индивидуальной и групповой работы

Регулятивные: определять последовательность промежуточных целей с учетом конечного результата, составлять план последовательности действий Личностные: проявлять волевые усилия в учебно-познавательной деятельности

7.Контролъ

Самостоятельная работа (обучающая)

Выявление качества уровня усвоения знаний и способов действий, а так

Организация самостоятельной деятельности учащихся

Решают задания самостоятельной работы, применяют полученные знания.

Вычислите:

Коммуникативные:

Контролировать действия партнера

же выявление недостатков в знаниях, установление причин выявленных недостатков

I вариант

II вариант

8.Рефлексия

Самооценка деятельности

Организация самооценки учениками деятельности на уроке

Самооценка деятельности

Коммуникативные: формирование умений полно и точно выражать свои мысли. Оценивать учебную деятельность

9.Презентация: Достопримечательности Липецкой области

Воспитание у детей любви к Родине, к родному краю

Просматривают слайды о достопримечательностях Липецкой области.

Дадим методический комментарий к предлагаемому уроку.

Эпиграфом к уроку было выбрано высказывание знаменитого изобретателя Эдисона: «В моих успехах 99% работы, труда в поте лица, а все остальное приходится на талант, вдохновение, везение, удачу и тому подобное». Эти слова были выбраны не зря. Действительно, чтобы в жизни чего-то достичь надо много и упорно трудиться.

Проверка домашнего задания осуществлялась с помощью документкамеры. Школьникам очень нравиться такой вид деятельности. Тетрадь беру у одного ученика, а другой исправляет и анализирует ошибки.

Затем учащимся было предложено сформулировать правило сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.

Данный урок - урок открытия нового знания. Начался он с релаксации, т.к. очень важен положительный настрой на учебную деятельность.

Далее осуществлялась актуализация знаний, для чего было включено повторение только того материала, который необходим для изучения нового. Работа осуществлялась по рядам. Первый и третий ряды, работая в парах, выполняли задания на сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, заполняли таблицу, в которой был зашифрован город Липецкой области, второй ряд работал с интерактивным тренажером.

Постановка проблемы осуществлялась следующим образом: ученикам было дано опережающее домашнее задание (подготовить презентацию об административном делении Липецкой области). Далее, на уроке, использовался краеведческий материал: учащимся было предложено сосчитать все районы области, количество районов на букву «Л» и на букву «Д», найти отношения полученных количеств к количеству всех районов области, а затем найти сумму полученных отношений. В ходе выполнения этого задания возникла проблема: как сложить дроби с разными знаменателями? Это позволило учащимся определить тему урока и сформулировать цели. Решение проблемы происходило в учебном диалоге - ученики предлагали различные варианты. В результате обсуждения предложений школьники должны были выбрать наиболее удачные способы решения и попытаться сформулировать правило сложения и вычитания дробей с разными знаменателями.

В процессе столкновения разных мнений рождается истина, но для этого надо учить правилам работы в группах.

Работа в группах позволила найти наилучшие способы решения, а именно, вывести алгоритм сложения и вычитания дробей с разными знаменателями. Затем ученики сравнили свой алгоритм решения с предложенным в учебнике и убедились, что они совершили открытие на уроке, причем смогли это сделать самостоятельно. Это задание развивало действия по анализу учебной ситуации и кодированию полученной информации в виде дробных выражений.

После такой активной мыслительной деятельности ребятам необходима психологическая разгрузка. Веселая физкультминутка сняла напряжение и настроила на позитивную работу.

На следующем этапе урока пятиклассники учились складывать и вычитать дроби с разными знаменателями. Сначала было организовано первичное закрепление алгоритма действий через упражнения на интерактивной доске с подробным комментированием своего решения, затем дети выполняли задания из рабочей тетради.

После этого была предложена обучающая самостоятельная работа с последующей проверкой с целью диагностики планируемых результатов. В ходе проверки ученики осуществляли корректировку своих действий, давали словесную оценку своих действий.

Заключительный этап прошел в форме анализа учащимися своей деятельности. В процессе рефлексии дети старались объективно оценивать собственную деятельность. Для этой цели им задавались вопросы:

- Какую задачу ставили на уроке?

- Удалось ли школьникам её решить?

- Над чем еще надо поработать?

Далее школьникам было предложено оценить свое настроение на уроке при помощи смайликов разных цветов.

В заключение урока вниманию учащихся была предложена презентация о достопримечательностях Липецкой области.

Итак, основным на уроке являлся этап открытия «новых» знаний. На этом этапе использовался проблемный метод: создание проблемной ситуации, организация поиска решения проблемы, подводящий к знанию диалог, работа в группах. Организованная данным образом деятельность позволила учащимся ориентироваться в своей системе знаний, отличать новое от уже известного, добывать новые знания, находить ответы на вопросы. Это способствовало развитию у школьников умения работать в группах, а также развитию логического мышления, умственных способностей. На протяжении всего урока осуществлялась взаимосвязь поставленных задач через организацию мотивации в начале урока, создание сюжета действий для актуализации знаний учащихся, плавного перехода одного этапа урока в другой. Применение деятельностной технологии на уроке позволило сделать его интересным, насыщенным. Высокая работоспособность на протяжении всего урока обеспечивалась сменой видов деятельности, различными формами организации работы (фронтальной, групповой, исследовательской, работой в парах, самостоятельной, ИКТ). Это способствовало созданию на уроке положительной психологической атмосферы, ситуации успеха.

Необходимо отметить, что на протяжении всего урока у пятиклассников развивались такие ключевые компетенции, как коммуникативная - готовность к общению и сотрудничеству, информационная - готовность ра-

ботать с информацией, проблемная - ставить и решать проблемы, деятельностная - организация самостоятельного инициативного действия, формирование творческих способностей, рефлексивная - умение анализировать свою деятельность, личностная - воспитание любви к Родине.

На уроке были реализованы все поставленные цели и задачи, достигнуты планируемые результаты.

Каждый учитель должен помнить, что ребенок восходит к самому себе, учась понимать других и окружающий мир, раскрывая в себе способности и таланты. Навыки взаимодействия, которые получает ребенок в школе, обеспечат ему всестороннюю социализацию в мире взрослых людей, возможность свободно вступать в диалог, четко излагать свои мысли, свою точку зрения, слышать собеседника, быть терпимым к замечаниям.

В заключении заметим, что древняя мудрость гласит: «У человека к истине есть три пути: путь размышления - самый благородный; путь подражания - самый легкий; путь личного опыта - самый трудный, но самый благородный».

Библиографический список

1. Зубарева И.И., Мордкович А.Г. Математика: учебник для 5 класса общеобразовательных учреждений. М.: Мнемозина, 2013. (ФГОС)

2. Сафронова Т.М., Симоновская Г.А., Черноусова Н.В. Использование информационных и коммуникационных технологий в рамках Федеральных государственных образовательных стандартов нового поколения // Педагогическая информатика. 2012 г. № 2. С. 43 - 47.

РЕАЛИЗАЦИЯ ТРЕБОВАНИЙ ФГОС ПРИ ИЗУЧЕНИИ МНОГОГРАННИКОВ В ШКОЛЕ

М.В. Васильева

Аннотация. В статье рассмотрена реализация требований ФГОС при изучении многогранников с использованием аналогии. Показано использование аналогии понятий раздела «Многогранники» с соответствующими вопросами курса планиметрии.

Ключевые слова: многогранники, аналогия, школьный курс геометрии.

Тема «Многогранники» является одной из центральных в курсе стереометрии средней школы и проверяется контрольными измерительными материалами единого государственного экзамена. В процессе ее изучения

синтезируются знания учащихся о многоугольниках из курса планиметрии, а также знания о взаимном расположении прямых и плоскостей в пространстве из курса стереометрии 10 класса. Это, конечно, требует от учителя особой организации повторения, как соответствующих вопросов курса планиметрии, так и изученных ранее разделов стереометрии.

В основе Стандарта лежит системно-деятельностный подход, который обеспечивает активную учебно-познавательную деятельность обучающихся. Умение создавать обобщения, устанавливать аналогии относятся к метапредметным результатам освоения основной образовательной программы.

В процессе преподавания раздела о многогранниках необходимо использовать аналогию с соответствующими вопросами курса планиметрии, однако пользоваться ею надо осторожно, ибо она не всегда может приводить к правдоподобным выводам.

При изучении многогранников, так же как и при изучении других разделов курса стереометрии, должно осуществляться разумное сочетание интуиции учащихся и логики. Педагогически нецелесообразно стремиться строго определять те понятия, о которых учащиеся имеют достаточно четкое и правильное представление из собственного жизненного опыта, а формулировки определений, которых являются слишком громоздкими.

Если следовать строго дедуктивному пути изложения школьного курса стереометрии, надо определить такие понятия, как: «геометрическое тело», «ограниченность тела», которые лежат в основе обучения в средней школе следует руководствоваться принципом педагогической целесообразности при введении понятия. В данном случае, как понятие геометрического тела, так и понятие ограниченности тела педагогически целесообразно считать интуитивно ясными для учащихся из их опыта и не давать им формально-логических определений, которые окажутся недоступными.

Определение многогранника получает различный смысл в зависимости от того, как определить многоугольник. Многоугольник - основной элемент поверхности многогранника. Изучение многоугольников продолжается фактически на всем протяжении обучения математике в средней школе.

Когда определяют какую-нибудь плоскую фигуру, говорят обычно, что она представляет собой часть плоскости, ограниченную какой-то линией, например, многоугольник - часть плоскости, ограниченная замкнутой линией.

Под «частью плоскости» надо понимать подмножество множества точек плоскости. Таким образом, всякая плоская геометрическая фигура понимается как подмножество множества точек плоскости.

Аналогично, под геометрическим телом надо понимать какое-то подмножество множества точек пространства, ограниченное некоторой

поверхностью, и геометрические тела различаются именно по виду этой ограничивающей их поверхности.

Например, многогранник отличается от других геометрических тел тем, что его поверхность состоит из одних многоугольников.

В процессе обучения целесообразно разъяснить, в каком смысле можно говорить о многограннике как о пространственном аналоге многоугольника, в чем сходство и различие между ними (Таблица 1)

Таблица 1

Определения многоугольника и многогранника

Многоугольник

Многогранник

подмножество точек плоскости, ограниченное замкнутой ломаной линией

подмножество точек пространства, ограниченное замкнутой поверхностью из многоугольников

Замкнутая поверхность, состоящая из многоугольников, представляем собой «ломаную» поверхность, напоминающую ломаную линию на плоскости.

Надо отметить и важное различие между многоугольником и многогранником.

Многоугольник - двумерный образ, у него имеются вершины и стороны (нульмерные и одномерные элементы); многогранник - трехмерный образ, у него имеются вершины, ребра и грани (нульмерные, одномерные и двумерные элементы).

Для введения понятия выпуклого многогранника можно использовать задания следующего типа:

«Разделите представленные на рисунке (рис. 1) многоугольники на две группы».

рис. 1

1 группа а, б, в, д, з

2 группа г, е, ж

В чем существенное отличие многоугольников из 1 группы от многоугольников из 2 группы?

Все многоугольники из 1 группы лежат по одну сторону от прямой, которой принадлежит любая его сторона («по одну сторону от прямой» означает «в одной полуплоскости относительно прямой»), а многоугольники из 2 группы этим свойством не обладают.

1 группа - выпуклые многоугольники.

2 группа - невыпуклые многоугольники.

«Разделите представленные на рисунке (рис. 2) многогранники на две группы».

Рис. 2

В результате проведенной работы учащиеся должны получить следующее: 1 группа: б), г), ж), и); 2 группа: а), в), е), з).

В чем существенное отличие многогранников из 1 группы от многоугольников из 2 группы?

Все многогранники из 1 группы лежат по одну сторону от плоскости любой его грани («по одну сторону от плоскости» означает «в одном полупространстве относительно плоскости»). Другими словами все многогранники из первой группы можно поставить на стол (плоскую поверхность) любой его гранью, а у многогранников из второй группы есть грань (грани), которой нельзя поставить многогранник на стол.

Проведем аналогию между выпуклым многоугольником и выпуклым многогранником (Таблица 2).

Таблица 2

Определения выпуклого многоугольника и выпуклого многогранника

Многоугольник выпуклый

Многогранник выпуклый

лежит по одну сторону от

прямой, которой принадлежит любая его сторона («по одну сторону от прямой» означает «в одной полуплоскости относительно прямой»)

плоскости любой его грани («по одну сторону от плоскости» означает «в одном полупространстве относительно плоскости»)

Возможно и другое определение выпуклости, причем одно и то же для многоугольника и для многогранника, однако менее наглядное, чем приведенное выше: многоугольник (многогранник) называется выпуклым, если отрезок, соединяющий любые две его точки, целиком лежит внутри него.

Следует отметить, что в школьном курсе геометрии изучаются только простейшие выпуклые многогранники - выпуклые призмы и пирамиды, правильные многогранники.

Свойства параллелепипедов аналогичны свойствам параллелограммов из курса планиметрии, поэтому повторение целесообразно построить таким образом: при изучении параллелепипеда общего вида повторить общие свойства параллелограмма; при изучении прямоугольного параллелепипеда повторить свойства прямоугольника; при изучении куба повторить свойства квадрата и ромба.

Свойства граней и диагоналей параллелепипеда сформулировать по аналогии со свойствами сторон и диагоналей параллелограмма (Таблица 3).

Таблица 3

Свойства параллелограмма и параллелепипеда

параллелограмм

параллелепипед

1

Противоположные стороны равны

Противоположные грани равны

2

Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам

Диагонали пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам

3

Точка пересечения диагоналей является центром симметрии

Точка пересечения диагоналей является центром симметрии

Свойства прямоугольного параллелепипеда формулируются по аналогии со свойствами прямоугольника (Таблица 4).

Таблица 4

Свойства прямоугольника и прямоугольного параллелепипеда

прямоугольник

Прямоугольный параллелепипед

1

Диагонали равны

Диагонали равны

2

Квадрат диагонали равен сумме квадратов его неравных сторон

Квадрат диагонали равен сумме квадратов его линейных размеров

Понятие об усеченной пирамиде целесообразно ввести параллельно с изучением свойств сечений пирамиды плоскостью, параллельной основанию. При рассмотрении соответствующей теоремы удобно проиллюстрировать способ получения усеченной пирамиды из любой пирамиды и отличие усеченной пирамиды от призмы (Таблица 5).

Таблица 5

Призма и усеченная пирамида_

Призма

Усеченная пирамида

1

Имеет два основания - параллельные друг другу грани

Имеет два основания - параллельные друг другу грани

2

Основания - равные многоугольники

Основания - подобные многоугольники

3

Боковые грани - параллелограммы

Боковые грани - трапеции

4

Имеет (п-3) диагонали (кроме треугольной)

Имеет (п-3) диагонали (кроме треугольной)

Задания учащимся на применение действия аналогии могут быть различными, в зависимости от уровня усвоения материала. Например, это могут быть задания заполнить пропуски в таблицах или составить таблицы.

При выполнении таких заданий формируются познавательные логические УУД: выбор оснований и критериев для сравнения, анализ, синтез; познавательное общеучебное УУД: структурирование знаний.

Библиографический список

1. Васильева М.В. Дистанционное обучение элементам геометрии. Многогранники: учебное пособие. АСОУ, 2013. 124 с.

2. Федеральный государственный образовательный стандарт основного общего образования. М.: Просвещение, 2011.

3. Фундаментальное ядро содержания общего образования / под ред. В.В. Козлова, А.М. Кондакова. М.: Просвещение, 2011.

О ПРОБЛЕМНОМ ПОДХОДЕ В ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ В ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ШКОЛЕ

С.С. Гладышева

Аннотация. В статье говорится о проблемном подходе в обучении математике. Приведен фрагмент урока алгебры в 7 классе - объяснение нового материала с применением проблемного подхода.

Ключевые слова: проблемный подход в обучении, «обучение через открытие».

На сегодняшний день вопросы организации обучения школьников в рамках ФГОС ООО второго поколения находятся в самом центре обсуждений педагогической общественности. Управление проблемно-поисковой

деятельностью школьников, так называемое «обучение через открытие» определяются в настоящее время как основные критерии эффективности современного урока, в целом, и урока математики, в частности.

Большинство ученых и исследователей считают, что без применения проблемного подхода в процессе обучения невозможно развитие творческих способностей учащихся.

Идея применения проблемного подхода в обучении не нова. Механизмы преобразования процесса учения в процесс познания искали педагоги нескольких столетий. Интенсивное развитие и распространение в практике школьного обучения указанный подход получил в двадцатом столетии. В основе его методики лежит идея самостоятельного приобретения -открытия знания школьниками в процессе разрешения проблемной ситуации. Ведущую роль в проблемном обучении занимает мышление человека (выдвинутая С.Л. Рубинштейном теория мышления как продуктивного процесса).

Большой вклад в раскрытие сущности и содержания проблемного метода в обучении внесли многие отечественные психологи, такие как Н.А. Менчинская, М.И. Махмутов, А.М. Матюшкин, С.Л. Рубинштейн, И.С. Якиманская, и др., а также педагоги, математики и методисты Ю.К. Бабанский, М.А. Бантов, М.И. Башмаков, СИ. Волкова, Т.Е. Демидова, Н.Б. Истомина, М.И. Моро, М.Г. Нефедова, Л.Л. Николау, Л.Г. Петерсон, Е.П. Юдина и др. В их работах, посвященных данному подходу, рассматриваются психолого-педагогические условия реализации проблемного обучения, подчеркивается необходимость развития познавательной активности школьников.

Таким образом, не являясь новой идеей, проблемный подход в обучении школьников остаётся чрезвычайно актуальным в настоящее время.

Наше исследование заключалось в теоретическом обосновании эффективности применения проблемного подхода в обучении математике в общеобразовательной школе и разработке соответствующего учебного методического обеспечения для работы учителя с учащимися 7 класса по предмету «Алгебра» (главы «Линейная функция» и «Функция у - х »).

В данной статье приведем фрагмент одного из уроков (по алгебре в 7 классе), разработанных нами. На уроке при изучении новой темы нами применялся проблемный подход.

Тема урока «Линейное уравнение с двумя переменными и его график».

Изучение нового материала начинаем с решения следующей задачи. Задача.

Из городов А и В, расстояние между которыми 750 км, навстречу друг другу вышли два поезда. Каждый поезд имеет свою постоянную скорость. Первый поезд вышел на 3 ч раньше второго. Через 4 ч после выхода второго поезда они встретились. Чему равны скорости поездов?

Предлагаем ученикам проанализировать условие задачи и составить уравнение. Ученики успешно справляются с этой работой. Решение:

Так как каждый поезд имеет свою постоянную скорость, то обозначим через X км/ч - скорость первого поезда, а через У км/ч - скорость второго поезда. Внесем эти данные в таблицу.

Скорость движения

Время движения

Пройденное расстояние

Первый поезд

X км/ч

Второй поезд

У км/ч

Первый поезд был в пути 7 ч. Второй поезд был в пути 4 ч. Поезда встретились в пункте С. Тогда до пункта С первый поезд прошел путь 7х км, а второй прошел путь 4у км. Заполним таблицу:

Скорость движения

Время движения

Пройденное расстояние

Первый поезд

X км/ч

7х км

Второй поезд

У км/ч

4у км

Зная, что расстояние между городами А и В составляет 750 км, получим уравнение: 7х + 4у = 750.

Теперь предлагаем ученикам решить уравнение и найти скорости поездов. Школьники не умеют еще решать таких уравнений. Возникает проблемная ситуация. Предлагаем учащимся подобрать значения неизвестных величин так, чтобы получилось верное равенство.

Если X = 90, у = 30, то 7 х 90 + 4 х 30 = 750 - верное числовое равенство.

Значит, ответ может быть таким: скорость первого поезда 90 км/ч, скорость второго поезда 30 км/ч.

Тогда, пару чисел х - 90, у - 30 можно назвать решением уравнения.

Школьники замечают, что это решение не единственное. Кто-то подобрал другие значения неизвестных величин и они обратили уравнение в верное числовое равенство. Рассматриваем найденные решения.

Возможен, например, и такой вариант: х = 50, jy = 100, так как 7x50 + 4x100 = 750 - верное числовое равенство.

Значит, и пару чисел х = 50, у -100 можно также назвать решением полученного уравнения.

Учитель задает вопрос:

«А является ли пара чисел х = 60, у — 70 решением уравнения?» Ученики дают ответ:

«Нет. Так как 7 х 60 + 4 х 70 * 750 ».

Перед учениками встает еще одна проблема: «Все ли решения мы нашли и сколько их вообще?». Предлагаем ученикам найти еще несколько решений, а потом отметить на координатной плоскости все точки, которые задают полученные пары чисел.

Какую фигуру задают полученные точки на плоскости?

Школьники быстро дают правильный ответ: «Прямую». Предлагаем провести прямую линию через полученные точки. Сообщаем, что построенная прямая является графиком уравнения 1х + 4у = 750.

Далее формулируем определение понятия «линейное уравнение с двумя переменными» и предлагаем ученикам выполнить следующее задание:

Изобразить решение линейного уравнения с двумя переменными х + у-3 = 0 в координатной плоскости хОу.

Затем учащиеся пытаются сформулировать утверждение*. «Графиком любого линейного уравнения ах + by + с = 0 является прямая».

Так школьники самостоятельно «открывают» для себя теорему, уже известную в науке.

Библиографический список

1. Мордкович А.Г. Алгебра. 7 класс. В 2-х ч. Ч.1.: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. 17-е изд., доп. М.: Мнемозина, 2013. 175 с.

ПРОЕКТИРОВАНИЕ ПРОГРАММ ПРИКЛАДНОГО БАКАЛАВРИАТА ПО НАПРАВЛЕНИЮ ПОДГОТОВКИ 150100.62 - КОНСТРУКТОРСКО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫХ ПРОИЗВОДСТВ

И.Н. Гридчина, Е.А. Добрина

Аннотация: в статье подробно рассмотрено понятие прикладного бакалавриата, приведен примерный учебный план по направлению подготовки 150100.65 - Конструкторско-технологическое обеспечение машиностроительных производств.

Ключевые слова: прикладной бакалавриат; учебный план; бакалавриат; многопрофильный подход.

В современном обществе происходят постоянные изменения в экономике, в тенденциях технологического развития производства. Появляется новая структура рабочих мест на рынке труда и происходит повышение

профессиональной мобильности. Все выше перечисленное обусловило потребность в подготовке специалистов, оптимально сочетающих базовые знания и практико-ориентированные компетенции.

Предлагаемые вузами образовательные программы ВПО не позволяют готовить таких специалистов. Программы подготовки бакалавров излишне «теоретизированы» и слабо ориентированы на практику.

Согласно постановлению Правительства РФ № 667, 18.08.2009 г.: программы прикладного бакалавриата должны обеспечивать практико-ориентированную подготовку, характерную для программ среднего профессионального образования, и теоретическую подготовку, соответствующую программам высшего профессионального образования на уровне бакалавриата [2].

Нормативный срок освоения основной профессиональной образовательной программы прикладного бакалавриата составляет 4 года.

Программы прикладного бакалавриата разрабатываются совместно с работодателями по направлениям подготовки высшего профессионального образования. Если ориентироваться на «Стратегию 2020» и распоряжение Правительства РФ от 30.12.2012 г. № 2620-р - План мероприятий, то к 2015 г. по программам прикладного бакалавриата будет подготовлено до 20% объема подготовки специалистов для рынка труда (8 млн. работников), к 2020 г. - до 30% объема подготовки специалистов для рынка труда (до 20 млн. человек), что составит 1/3 рынка труда [2].

В соответствии с концепцией создания программ прикладного бакалавриата студенты должны иметь инвариантную часть начального периода обучения (1-1,5 года). Логично предоставлять студентам выбор вида бакалаврской программы и вида профиля одновременно. Например, если изначально было сформировано 2 группы. ВУЗ предлагает 3 профиля, то к концу первого курса перед учебной практикой должно быть сформировано 3 группы бакалавров по профилю, внутри которых будут существовать по 2 подгруппы: академический бакалавриат и прикладной бакалавриат. Причем соотношение численности подгрупп не обязательно должно нормироваться. Величину соотношения будет диктовать спрос на рынке труда [3].

Основным отличием прикладного бакалавриата от академического в аспекте структуры образовательной программы является увеличение в среднем в 4 раза по сравнению с обычными программами объема производственной практики. Объем практики в среднем будет составлять одну треть от объема всей образовательной программы, и на образовательные модули приходиться всего в среднем 160 зачетных единиц, в то время как на образовательные модули академического бакалавриата будет приходиться в среднем 210 зачетных единиц. Причем 160 зачетных единиц, приходящихся на образовательные модули прикладного бакалавриата, должны быть также практикоориентированными [3].

Учебный план может быть представлен по форме, существующей в СПО или в ВПО, как в зачетных единицах, так и в часах.

Образцы программ учебных дисциплин представляются в соответствии с приложением № 1, рабочие программы профессиональных модулей -в соответствии с приложением № 2 [4].

При формировании ООП прикладного бакалавриата учебная и производственная практика (по профилю подготовки) становятся частью профессиональных модулей. Гуманитарный, социальный и экономический, математический и общий естественнонаучный циклы состоят из учебных дисциплин [4].

Профессиональный цикл состоит из общепрофессиональных учебных дисциплин и профессиональных модулей в соответствии с основными видами деятельности. Профессиональный модуль включает один или несколько междисциплинарных курсов.

Гуманитарный, социальный и экономический цикл должен предусматривать изучение следующих обязательных дисциплин: «История», «Философия», «Иностранный язык», профессиональный цикл - изучение дисциплины «Безопасность жизнедеятельности» [4].

На базе двух факультетов в ЕГУ им. И.А. Бунина в феврале 2014 года был создан Агропромышленный институт, механико-технологическое отделение которого осуществляет подготовку по направлению 150100.62 - Конструкторско-технологическое обеспечение машиностроительных производств. Для прикладного бакалавриата по данному направлению был разработан примерный учебный план.

Таблица 1.

Индекс

Элементы учебного процесса, в т.ч. учебные дисциплины, профессиональные модули, междисциплинарные курсы

Трудоемкость (зачетные единицы)

Макс, учебная нагрузка обучающегося, час.

Обязательная учебная нагрузка

Рекомендуемый курс изучения

Всего

В том числе

лаб. и практ. занятий

курс. работа, проект

1

2

3

4

5

6

7

8

Б.1

Гуманитарный, социальный и экономический цикл

30

1080

566

264

Б.1.1

Базовая часть

20

720

368

204

Б.1.1.1

История

3

108

64

8

1

Б.1.1.2

Философия

3

108

60

3-4

Б.1.1.3

Иностранный язык

11

396

184

184

1-3

Б.1.1.4

Экономическая теория

3

108

60

12

2-3

Б.2.1

Вариативная часть

10

360

198

60

1-4

Дисциплины по выбору студента

2

72

42

Б.2

Математический и естественнонаучный цикл

64

2304

1214

504

Б.2.1

Базовая часть

39

1404

950

274

Б.2.1.1

Математика

17

612

320

120

1-2

Б.2.1.2

Физика

10

360

184

60

1-2

Б.2.1.3

Химия

4

144

80

20

1

Б.2.1.5

Информатика

5

180

96

60

1

Б.2.1.6

Теоретическая механика

3

108

60

14

1-2

Б.2.2

Вариативная часть

25

900

264

230

1-4

Дисциплины по выбору студента

5

180

94

Б.З

Профессиональный цикл

110

3960

2068

802

90

Б.3.1

Базовая (общепрофессиональная) часть

58

2088

1086

392

Б.3.1.1

Инженерная графика

8

288

144

144

1

Б.3.1.2

Сопротивление материалов

7

252

120

20

2

Б.3.1.3

Теория механизмов и машин

4

144

70

16

2-3

Б.3. 1.4

Детали машин и основы конструирования

3

108

60

14

2-3

Б.3.1.5

Метрология, стандартизация и сертификация

3

108

60

16

3

Б.3.1.6

Электротехника и электроника

5

180

90

20

2-3

Б.3.1.7

Гидравлика

3

108

60

16

2-3

Б.3.1.8

Процессы формообразования и инструменты

5

180

90

30

2

Б.3.1.9

Технологическое оборудование

6

216

120

30

3

Б.3.1.10

Технология машиностроения

5

180

90

40

3-4

Б.3.1.11

Технологическая оснастка

2

72

42

10

3-4

Б.3.1.12

Теория автоматического управления

2

72

40

8

3-4

Б.3.1.13

Оборудование машиностроительных производств

2

72

32

8

3-4

Б.3.1.14

Безопасность жизнедеятельности

3

108

68

20

2-3

Б.3.2

Профессиональные модули

34

1224

642

310

70

Б.3.2.1

Разработка технологических процессов изготовления деталей машин

18

648

342

180

30

3-4

Б.3.2.2

Организация и руководство производственной деятельностью в рамках структурного подразделения

8

288

150

60

20

3-4

Б.3.2.3

Внедрение технологических процессов изготовления деталей машин и осуществление технического контроля

8

288

150

70

20

3-4

Б.3.2.4

Выполнение работ по профессии рабочего

1-4

Б.3.3

Вариативная часть

18

648

340

100

20

1-4

Дисциплины, профессиональные модули по выбору студента

6

216

112

1-4

Б.4

Физическая культура

2

72

400

372

1-4

Итого по циклам и разделу «Физическая культура»:

206

7416

4248

1942

90

Б.5

Учебная и производственная практика

26

936

936

936

Б.5.1

Учебная практика

22

792

792

792

1-4

Б.5.2

Производственная практика (практика по профилю специальности)

Б.5.3

Производственная практика (преддипломная практика)

4

144

144

144

4

Б.6

Государственная (итоговая) аттестация

8

288

Б.6.1

Подготовка выпускной квалификационной работы

6

216

Б.6.2

Защита выпускной квалификационной работы

2

36

Итого:

240

8640

5184

2878

90

Если провести анализ примерного учебного плана прикладного бакалавриата и академического по данному направлению, то мы приходим к следующим выводам:

1) соотношение объема гуманитарного, социального и экономического циклов у академического бакалавра больше на 10%;

2) соотношение объема дисциплин естественнонаучного и математического цикла у академического бакалавра больше на 10%;

3) соотношение объема дисциплин профессионального цикла у прикладного бакалавра больше на 10%;

4) количество часов, отводимых на прохождение практики, значительно больше у прикладного бакалавра.

Для успешной реализации программы прикладного бакалавриата по направлению 150100.62 - Конструкторско-технологическое обеспечение машиностроительных производств необходимо переработать учебно-методические комплексы по всем дисциплинам образовательных циклов. Но также необходимо отметить, что положительным моментом прикладного бакалавриата является то, что студенты смогут участвовать в научно-исследовательской работе и использовать в процессе обучения и научных исследований новейшее оборудование машиностроительных предприятий города Ельца (ОАО «Елецгидроагрегат», ОАО «Энергия», ОАО «Гидропривод» и др.)

Библиографический список

1. Федеральный государственный образовательный стандарт высшего образования [Электронный ресурс]. URL: http://www.fgosvo.ru

2. Концепция создания программ прикладного бакалавриата в системе профессионального образования Российской Федерации [Электронный ресурс]. URL: http://www.минобрнауки.рф

3. Постановление Правительства РФ от 19 августа 2009 г. № 667 [Электронный ресурс]. URL: http://www.минобрнауки.рф

4. Сербулов А.В., Кочелаба Ж.В. Разработка принципов реализации программы прикладного бакалавриата с учетом многопрофильного подхода подготовки специалистов (на примере направления «Менеджмент») // Известия Балтийской государственной академии рыбопромыслового флота: психолого-педагогические науки. Калининград: БГА РФ, 2013.

5. Сборник методических материалов и инструментария для разработки и реализации Программ модернизации систем профессионального образования субъектов Российской Федерации [Электронный ресурс]. URL: http://www.mmpo.elearn.ru

ИЗБРАННЫЕ ВОПРОСЫ «ЭЛЕМЕНТАРНОЙ» ТЕОРИИ МНОГОЧЛЕНОВ

Г.Г. Ельчанинова

Аннотация. В статье рассматривается ряд вопросов базовых вузовских курсов высшей математики, которые могут быть изложены с позиций элементарной математики. Это позволяет одновременно лучше понять их и увидеть их применение.

Ключевые слова: элементарная математика, теория многочленов, формула Тейлора, формула Кардано, полиномы Чебышева.

Курс элементарной математики выступает как связующее звено соответствующих вузовских и школьных дисциплин. Часто, рассматривая проблемы преподавания курса «Элементарная математика», выделяется его связь со школьным курсом и его вспомогательная роль по отношению к вузовским дисциплинам (1, с. 89). Однако есть ряд вопросов, изучение которых интересно с точки зрения дополнения, показа альтернативных способов изложения и «нового» взгляда на соответствующие, достаточно непростые вопросы высшей математики. Таковыми являются следующие приложения элементарной теории многочленов: формула Тейлора, формула Кардано и полиномы Чебышева. Все перечисленные вопросы могут быть изложены и излагаются с позиций элементарной математики - без применения предельного перехода и производной.

Так, равенство, позволяющее разложить произвольный многочлен / по степеням двучлена х-с, называемое по имени английского математика XIX в. Брука Тейлора, может быть получено при составлении расширенной схемы Горнера.

1. Рассмотрим этот вопрос на примере. Для начала вспомним, что если ненулевой многочлен имеет неотрицательные коэффициенты, то он, очевидно, не имеет положительных корней: при подстановке в такой многочлен положительного числа получается положительное число. Другими словами, корни такого многочлена, если они существуют, являются отрицательными. Но задача резко осложнится, если требуется сравнить корни не с нулем, а с некоторым другим числом.

Так, вовсе не очевидно, что корни многочлена / = 3х3 -12х2 +16х-16 меньше 3.

Оказывается, что эти трудности во многих случаях можно преодолеть с помощью все той же схемы Горнера, но, как говорят, расширенной.

Составим сначала некоторую таблицу, которая, казалось бы, не имеет отношения к поставленному вопросу, но в действительности приводит к решению задачи.

Ясно, что первые две строки этой таблицы - это схема Горнера для данного многочлена / и числа 3. И если мы вспомним, что во второй строке между двойными черточками стоят коэффициенты частного от деления / на х-3, то уже нетрудно догадаться, что третья строка таблицы это также схема Горнера, но для этого частного - многочлена g(x) = 3x2 -Зх + 7 и того же числа 3. А четвертая строка - это схема Горнера для «нового» частного h(x) = 3x + 6 и числа 3.

3

-12

16

-16

3

3

-3

7

5

3

3

6

25

3

3

15

3

3

Понятно, почему таблица оказывается «усеченной»: получающиеся при выполнении схемы Горнера остатки от деления далее не используются. Однако именно эти остатки нам и нужны: корни многочлена меньше 3, потому что все остатки положительны, так что многочлен к = 3х3 + 15х2 + 25х + 5, построенный по диагонали таблицы «снизу вверх», не имеет положительных корней.

Почему же такие вычисления приводят к нужному результату? Ответ на этот вопрос вытекает из обоснования схемы Горнера. Действительно, первая строка таблицы дает нам равенство f(x) = (x-3)g(x)+5, вторая означает, что g(x) = (x-3)/z(x) + 25, и, наконец, //(х) = (х-3)3 + 15.

А теперь ясно, что многочлен f(x) действительно не имеет корней, больших 3: при х>3 его значения положительны.

Самое важное, однако, состоит в том, что на самом деле решена значительно более важная задача, чем поставленная в начале: мы разложили многочлен по степеням двучлена х - 3, а фактически получили разложение в ряд Тейлора (2, с. 136).

2. Мы знаем, что основой метода решения кубических уравнений с произвольными коэффициентами является так называемая формула Кардано - по имени итальянского математика, философа и врача Джероламо Кардано, опубликовавшего её в 1545 г., изобретателя принципа карданной передачи, знакомой не только автомобилистам.

Именно благодаря работе над кубическими уравнениями в математику вошли комплексные числа. Настоящая драма была в том, что полученные формулы не давали корней в «самом хорошем» случае, когда уравнение имело три «нормальных», действительных корня. В этом случае требовалось невозможное - извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. И заслуга Кардано состоит, прежде всего, в том, что он не побоялся рассмотреть «мнимые», «воображаемые» (imarginary) числа, названные так в противоположность действительным, «реальным» (real) числам, научил-

ся проводить с ними вычисления и получать из этих «несуществующих» чисел существующие корни уравнений.

Итак, пусть дано кубическое уравнение х3 + ах2 +Ьх + с = 0. Сведём его к неполному уравнению, уничтожив коэффициент при х2. Сделаем это с помощью формулы Тейлора - разложим кубический многочлен по степеням двучлена х-s, подобрав число s нужным образом.

Запишем расширенную схему Горнера:

Заметим, что в тех клетках, которые не оказывают влияния на результат, стоит символ *.

Так, видно, что при разложении рассматриваемого многочлена по степеням х-s коэффициент при (х-s)2 будет равен a + 3s и если мы положим ^ = ~~> то добьёмся нужного результата - коэффициент при квадрате переменной будет равным нулю.

Другими словами, нам достаточно научиться решать уравнения вида: X3 +px + q = 0, а уравнение общего вида мы всегда, с помощью замены переменной сможем к такому виду привести.

И именно для такого уравнения применяется остроумный приём: вместо одного неизвестного вводятся два (x = u + v), которые и подставляются в данное уравнение.

И если

то последнее уравнение принимает вид:

Если теперь мы найдём такие значения и и v, что uv = -y^, и3 +v3 =-q, то сумма этих значений x = u + v и будет корнем исходного уравнения.

А эта система легко решается: возводим в куб второе уравнение системы:

и по теореме, обратной теореме Виета и3 и корни квадратного уравнения

Если а и Ь - корни этого уравнения, то и =а, v3 = Ь, и для нахождения и и V остаётся извлечь кубический корень из чисел а и Ь. Дискриминант полученного квадратного уравнения равен

и для корней исходного уравнения мы получаем формулу

Это и есть формула Кардано.

Всё не так сложно. Но в действительности здесь возникает масса проблем. Полученная формула даёт один корень, а кубическое уравнение может иметь и два, и три корня. Можно заметить также, что дискриминант может оказаться отрицательным, а тогда полученное выше квадратное уравнение не будет иметь корней. Однако из графических соображений ясно, что кубическое уравнение всегда имеет корень: область значений функции у = х3 есть интервал (-оо;+оо), то есть она принимает сколь угодно большие по модулю и отрицательные, и положительные значения, и её график пересекает ось абсцисс.

Именно для преодоления этих трудностей Кардано пришлось изобрести комплексные числа.

Отметим, наконец, и одну несомненную пользу формулы Кардано: если уравнение имеет единственный корень, то он даётся именно этой формулой. Так всегда бывает при положительном коэффициенте р: в этом случае левая часть уравнения x3+px + q = 0 является возрастающей функцией, и не может поэтому дважды принять нулевое значение (2, с. 144).

3. Многочлены Чебышева - это две последовательности многочленов, названные в честь русского математика и механика Пафнутия Львовича Чебышева. Они могут дать наиболее точное приближение функции. Ошибка этого приближения очень мала.

Так, чтобы вывести общее выражение для cos па и ътпа, достаточно в общих формулах сложения все at заменить на or, то есть, а} =а2 = ... = а, тогда:

(обозначение формулы - последний член в этой формуле равен для нечётного п или для чётного п;

(обозначение формулы - последний член в этой формуле равен для нечётного п или для чётного п.

Эти формулы можно получить другим способом, воспользовавшись формулой Муавра из теории комплексных чисел:

(cosa + ism а)" = cos па + ismna.

Левую часть этой формулы преобразовывают по формуле бинома Ньютона. Затем приравнивают действительную и мнимую части комплексных чисел, стоящих в левой и правой частях равенства. Из рассмотрения формул cos па и ъ'тпа (левых частей), следует, что их можно преобразовать в однородные многочлены степени п относительно cos я: и sin а. Левая часть тождества для cos па содержит только чётные степени синуса, их можно выразить через косинус: sm2^ = (l-cos2ö/f. Тогда формула для соъпа примет вид:

Если в этой формуле cos а заменить на х, то получается многочлен, который называется п-м полиномом Чебышева:

Значит,

Далее,

Выражение в скобках содержит синусы только в чётных степенях, значит, его можно представить в виде многочлена относительно косинуса:

Это выражение носит название п-го полинома Чебышева П-го рода.

Значит,

Многочлен Тп(х)имеет /7-ю, a Un(x) /7-7-ю степень (3, с. 226).

Полиномы Чебышева используют для корректировки разложения в ряд Тейлора. Нахождение исправленных коэффициентов не составляет особой сложности.

Итак, мы рассмотрели теорию, связанную с тремя вопросами элементарной теории многочленов, в частности, приложением многочленов к высшей математике. Два первых, а именно, связанных с формулой Тейлора и формулой Кардано «упрощают» изложение соответствующих вопросов, показывают альтернативу методам высшей математики. Именно поэтому их можно и, на наш взгляд, нужно, рассматривать параллельно изучению в курсах математического анализа и алгебры. Это, возможно, поможет понять изложение соответствующих вопросов на более строгом уровне.

Третий вопрос, рассмотренный нами - полиномы Чебышёва - в этом ряду стоят отдельно. Они - самостоятельный вопрос именно вузовского курса элементарной тригонометрии. И, наоборот, их изучение в этом курсе позволяет показать ещё одно из очевидных и многочисленных применений тригонометрии в частности, в теории приближений.

Библиографический список

1. Вестник Елецкого государственного университета им. И. А. Бунина. Вып. 32: Серия «Педагогика» (История и теория математического образования). Елец: Елецкий государственный университет им. И. А. Бунина, 2012.190 с.

2. Дорофеев Г.В., Пчелинцев С.В. Многочлены с одной переменной: учебное пособие: (для уч-ся школ и классов с углубл. изуч. математики, студентов пед. университетов и преподавателей школ с углубл. изуч. математики). СПб: Специальная Литература, 1997. 208 с.

3. Новосёлов С. И. Специальный курс тригонометрии. М.: Советская наука, 1953. 465 с.

О РЕТРОСПЕКТИВНОМ ИЗУЧЕНИИ НЕКОТОРЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ТЕМ В СТАРШИХ КЛАССАХ ГУМАНИТАРНОГО ПРОФИЛЯ

В.М. Имайкин

Аннотация. Учащиеся старших классов гуманитарного профиля имеют меньше часов по математике, чем учащиеся общеобразовательных классов. Однако, с одной стороны, им также предстоит сдавать обязательный ЕГЭ, а с другой - хотелось бы сохранить ряд важных математических идей в их общекультурном багаже. Автором разработано несколько блоков интенсивного изучения и повторения важных и достаточно сложных тем, например «Проценты», «Теория вероятностей», «Длина, площадь, объем». В заметке подробно обсуждается последний блок.

Ключевые слова: измерение, несоизмеримость, построимое число, действительное число, понятия и формулы длины, площади, объема; длина, площадь, объем как интеграл.

Введение

Изучение ряда тем в школьном курсе математики разбито на небольшие фрагменты, которые проходятся в разных классах. Например, тема длин, площадей (фигур и поверхностей) и объемов геометрических тел, хотя и занимает значительное место в школьном курсе геометрии, изучается фрагментарно в 9 и 11 классах - видим большой разрыв. Заметим, что к этой теме относятся многие задания итоговых аттестаций ГИА и ЕГЭ. Общепризнано, что тема полезна и с точки зрения практического применения. Другой пример - тема «Проценты». Она изучается в средних классах, а затем вновь «всплывает» при подготовке к решению задач ГИА и ЕГЭ. Аналогично обстоит дело с теорией вероятностей - дети заканчивают ее изу-

чение в 9 классе, сдают ГИА, включающее задачу по теории вероятностей, а затем задача на эту тему возникает в ЕГЭ. Наш многолетний опыт преподавания в старших классах гуманитарного профиля (школы №№ 1314, 179 и 261 г. Москвы) показывает, что в последний год обучения в багаже учащихся по таким «разорванным» темам остаются лишь некоторые разрозненные рецепты вычислений. Скажем, по первой теме - некоторые формулы для вычисления длин (например, теорема Пифагора) и площадей некоторых стандартных фигур. Из теории вероятностей обычно остается в памяти только формула классической вероятности без понимания смысла, а проценты, в основном, оказываются прочно забытыми. Учащиеся не осознают единства таких тем, а также лежащих в их основе идей. В гуманитарных классах положение усугубляется меньшим (на 1 час в неделю) количеством часов по математике по сравнению с базовой школой.

Для улучшения ситуации автором разработаны небольшие учебные блоки ретроспективного изучения этих тем. Например, тема «Длина, площадь, объем» дается в единстве (длина и площадь фигуры на плоскости -повторение, а объемы тел и площадь поверхности в пространстве - новый материал); об этом блоке в заметке будет рассказано более подробно. По теме «Проценты» (6 часов) повторяем элементарные вычисления с процентами, в качестве нового материала добавляем непрерывный процент и применение показательной функции для его вычисления, а также небольшое введение в финансовую тематику: ставка рефинансирования и виртуальная экономическая игра, цель которой - виртуально получить прибыль на колебаниях курсов валют. По теории вероятностей (6 часов) тщательно изучаем понятие вероятностного пространства и повторяем формулы классической и геометрической вероятности. Обсуждаем прогностическое значение вероятностных результатов (примеры из практики) и, факультативно, рассматриваем парадоксы теории вероятностей, связанные с неоднозначностью интерпретации вероятностного пространства (парадокс Бертрана и т.п.). Общеобразовательная цель таких блоков для учащихся гуманитарного профиля - чтобы эти идейно богатые темы осталась частью их общей культуры, даже после того, как они забудут все конкретные формулы (плюс, разумеется, локальная прагматическая цель повторения перед ЕГЭ).

Длина, площадь, объем

Расскажем более подробно о блоке «Длина, площадь, объем». Ввиду ограниченности заметки, изложим блок в виде развернутого плана, при необходимости комментируя те или иные положения.

Если материал блока подается в лекционном стиле, а упражнения даются на дом, блок занимает 8 часов. Однако разумно закреплять основные пункты упражнениями в классе, тогда блок длится 12 часов.

1. Идея измерения (т.е. сравнения измеряемой величины с выбранной единицей измерения - эталоном), лежащая в основе понятий длины, площади и объема.

2. Каким числом может быть выражен результат измерения длины отрезка:

Натуральным (примеры), рациональным положительным (т.е. только натуральных чисел недостаточно, примеры), иррациональным положительным (т.е. рациональных чисел недостаточно; пример - несоизмеримость диагонали и стороны квадрата). Стандартное доказательство иррациональности числа \2.

Комментарий: в этот момент дети хорошо мотивированы, чтобы воспринять это доказательство.

3. Какими числами в итоге могут быть выражены длины отрезков?

3.1. Геометрический взгляд: набор чисел-длин, первоначально включающий положительные рациональные числа и некоторые квадратные корни, расширяется при помощи геометрических построений циркулем и линейкой, исходя из единичного отрезка. Таким образом, возникает новая для детей числовая система - совокупность построимых чисел.

Теорема: если числа а и b построимы, то построимы и числа а+Ь, а-

Комментарий: теорема дается с доказательством, таким образом, мы интенсивно повторяем тему построений циркулем и линейкой и вспоминаем некоторые важные геометрические конструкции.

3.2. Алгебраический взгляд: действительные числа как все возможные бесконечные десятичные дроби.

а) Почему следует исключить дроби с 9 в периоде.

б) Рациональные числа выражаются периодическими дробями.

в) Наоборот, периодические дроби являются десятичной записью рациональных чисел.

г) Пример построения непериодической десятичной дроби.

Комментарий: пункты а) и б) поясняются примерами. Пункт в) поясняется примером с применением формулы суммирования бесконечной геометрической прогрессии (кстати, повторяем и эту тему) и обратной проверкой, что полученная сумма выражается исходной периодической десятичной дробью. В пункте г) мы строим конкретную непериодическую десятичную дробь, например, 0,1001000100001000001... и обосновываем ее непериодичность. Сравниваем этот пример с десятичной записью числа , в чем разница:

Теорема: всякое построимое число является действительным числом.

Комментарий: с пояснением, без доказательства.

4. Вопрос: всякое ли действительное число построимо?

Ответ отрицательный, рассказ о трех знаменитых неразрешимых задачах древности, см., например, [4].

(В качестве курьеза: автор является редактором журнала «Математическое образование»; недавно в редакцию поступило очередное решение задач об удвоении куба и трисекции угла при помощи циркуля и линейки.)

В итоге мы приходим к следующей схеме:

5. Понятие длины. Каждому отрезку ставится в соответствие единственное положительное действительное число, называемое длиной отрезка. Длина отрезка обладает свойствами: если точка С лежит внутри отрезка AB, то длина отрезка AB равна сумме длин отрезков АС и ВС (аддитивность); длины равных отрезков равны (инвариантность).

Комментарий: существование длины фактически следует из аксиом (повторяем нужные аксиомы), свойство инвариантности в случае длины тавтологично. Обсуждаем, что понятие длины построено на основе идеи измерения, но не совпадает с ней буквально.

6. Площади многоугольников и объемы многогранников. Трудность непосредственного измерения площадей фигур и объемов при помощи эталона, примеры. Понятие площади многоугольника: каждому многоугольнику ставится в соответствие единственное положительное действительное число, причем выполнены свойства аддитивности, инвариантности и нормированности: площадь квадрата со стороной 1 равна 1.

Основная теорема: площадь прямоугольника равна произведению длин его сторон.

Комментарий: обычно эту теорему мы даем с пояснением, без полного доказательства. Однако, если есть достаточно времени, можно показать, как при доказательстве работает свойство непрерывности действительных чисел (ключевое свойство, отличающее действительные числа от рациональных).

Вывод из этой теоремы формул площадей некоторых многоугольников.

Комментарий: существование площади (в отличие от существования длины отрезка) — не очевидный факт; это довольно трудная теорема

- делаем необходимые пояснения. Делаем акцент на единый тип работы с понятием площади при выводе всех формул.

Равносоставленность равновеликих многоугольников (без доказательства, примеры).

Комментарий: на наш взгляд, совершенно неправильно, что эта теорема — фактически, вершина теории площади многоугольника — не включена в общеобразовательную программу. Не обязательно доказывать ее во всей полноте, можно проиллюстрировать на нескольких простых примерах. Эта теорема очень ярко и наглядно демонстрирует одну из фундаментальных математических идей — идею преобразования и инварианта, а такие идеи, по мнению автора, и составляют общеобразовательную ценность математики как части культуры.

Аналогично определяем понятие объема многогранника и выводим основные формулы объемов.

7. Расширение класса фигур: плоские фигуры с криволинейной границей и пространственные тела, ограниченные искривленными поверхностями. Частные приемы: приближение длины окружности периметрами вписанных и описанных правильных многоугольников, приближение площади круга площадями правильных многоугольников (вписанных и описанных), квадрирование параболы по Архимеду, см. [1,2], площадь поверхности цилиндра и конуса как площадь развертки, невозможность развертки сферы.

Комментарий: основная цель — показать идеи на максимально простых примерах.

8. Общий подход - взгляд с точки зрения математического анализа. Определенный интеграл, формула Ньютона-Лейбница (повторяем). Длина кривой, площадь фигуры и объем тела как интегралы.

Комментарий: учащимся гуманитарного профиля особенно интересен логический прием: интегральные формулы можно принять за определения. Показываем на примерах, что в частных случаях многоугольников и многогранников получаются уже известные формулы.

Обсуждение инвариантности относительно системы координат, примеры. Принцип Кавальери. Конструкция Архимеда (цилиндр, конус, шар). Частные случаи: объемы тел вращения и площади поверхностей вращения.

Комментарий: главная идея в том, что всегда возникает конструкция интегральной суммы, по которой пишется требуемый интеграл, а техническое обеспечение вычислений берет на себя математический анализ.

Факультативно еще один вариант общего подхода - площадь поверхности по Минковскому, см. [3].

Заключение

Подчеркнем, что представленный блок направлен не столько на отработку технических навыков вычисления расстояний, площадей и объемов (хотя это тоже нужно ввиду прагматической цели сдачи экзамена), сколько на выявление и осознание учащимися единого комплекса важных идей данной тематики. Эти идеи связали, в ходе истории развития математики, различные ее разделы (алгебру, анализ, геометрию), причем, по мнению автора, они имеют общекультурное значение, а некоторые идеи и факты - также достаточно ярко выраженную эстетическую сторону (например, конструкция Архимеда или известное доказательство теоремы Пифагора методом площадей).

Библиографический список

1. Архимед. Сочинения / Перевод, вступительная статья и комментарии И. Н. Веселовского. Перевод арабских текстов Б. А. Розенфельда. М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит-ры (Физматгиз), 1962. 640 с.

2. Башмакова И. Г. Дифференциальные методы у Архимеда // Историко-математические исследования. М.: ГИТТЛ, 1953. № 6. С. 609-658.

3. Дубровский В. Площадь поверхности по Минковскому // Квант, 1979. №4. С. 33-36.

4. Прасолов В. В. Три классические задачи на построение. Удвоение куба, трисекция угла, квадратура круга. М.: Наука, 1992. 80 с. Серия «Популярные лекции по математике». Вып. 62.

ФОРМИРОВАНИЕ ПОЗНАВАТЕЛЬНЫХ УНИВЕРСАЛЬНЫХ УЧЕБНЫХ ДЕЙСТВИЙ ПРИ ИЗУЧЕНИИ ТЕМЫ: ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИИ

Ю.Н. Кашицына

Аннотация: В статье подробно рассматриваются учебные задачи к уроку по теме: «Применение производной к исследованию функции» для достижения целей обучения математике и формирования познавательных универсальных учебных действий в условиях реализации ФГОС ООО второго поколения.

Ключевые слова: стандарт, метапредметные результаты; личностные, регулятивные, познавательные, коммуникативные универсальные учебные действия, структурирование, речь, учебная задача, математическая задача, функция, график, производная, математический анализ.

Образование на современном этапе характеризуется усилением внимания к ученику, к его саморазвитию и самопознанию, общечеловеческим знаниям, обращенностью ученика к окружающему миру и себе, к воспитанию умения искать и находить свое место в жизни.

Основным результатом деятельности образовательного учреждения должна стать не система знаний, умений и навыков, а способность человека действовать в конкретной жизненной ситуации. Вследствие этого, математическое образование предполагает не только развитие личности средствами математики, но и овладение системой знаний, дающей представление о предмете математики, методах математического исследования, основных понятиях, способах обоснования математических фактов, применении математики в исследовании явлений природы и общества.

С 1 сентября 2011 года все российские первоклассники начали учиться по федеральным государственным образовательным стандартам начального общего образования. В 2015 году, когда эти ребята перейдут в 5 класс, все школы начнут работать по новому стандарту основной школы. Его введение началось уже с сентября 2012 года. Федеральный государственный образовательный стандарт среднего (полного) общего образования (ФГОС - Стандарт) представляет собой совокупность требований, обязательных при реализации основной образовательной программы среднего (полного) общего образования образовательными учреждениями, имеющими государственную аккредитацию. Методологической основой Стандарта является концепция духовно-нравственного развития и воспитания личности гражданина России. Разработан и Федеральный государственный образовательный стандарт старшей школы.

Концепция развития российского образования ориентирует школу на повышение адекватности предоставляемых образовательных услуг запросам личности, общества, государства при эффективном использовании ресурсов. В Стандарте реализуется такой подход к определению новых образовательных результатов обучения: личностных, предметных и метапредметных.

К метапредметным результатам относятся, в частности, универсальные учебные действия (УУД), представляющие систему действий учащегося обеспечивающую социальную компетентность, способность к самостоятельному усвоению новых знаний и умений, включая организацию самостоятельной учебной деятельности, способность учащегося к саморазвитию посредством сознательного и активного присвоения нового социального опыта. Все УУД по функциям распределены в четыре группы: познавательные, регулятивные, коммуникативные и личностные.

К познавательным универсальным учебным действиям относятся общеучебные и логические, а также постановка и решение проблем. Познавательные УУД отвечают за процесс переработки учебной информации, в котором её преобразование, как организация знаний, связаны со знаково

- символической деятельностью человека, в результате которой информация представляется в виде модели. Поэтому в процессе преобразования учебной информации у учеников развивается способность моделирования, происходит её запоминание, являющееся основой процессов накопления, сохранения информации в памяти и последующего использования знаний [2, с.8].

Апробация ФГОС старшей школы уже началась с 1 сентября 2013 года, поэтому методическая помощь учителям, реализующим курс алгебры и начала анализа, очень необходима.

Основным разделом курса алгебры и начала анализа является «Производная», изучение которой занимает большое количество времени в старшей школе.

Урок по теме «Применение производной к исследованию функции» является обобщением ранее изученных тем: «Применение производной для исследования функций: исследование функций на монотонность, отыскание точек экстремума, построение графиков функций» и «Отыскание наибольших и наименьших значений непрерывной функции на промежутке, задачи на отыскание наибольших и наименьших значений величин».

Цель урока: организация условий достижения учащимися образовательных результатов по заданной теме:

1. учебной информации,

2. усвоения теории,

3. применение знаний и умений, формирование метапредметных УУД (регулятивных, познавательных, коммуникативных).

В разработке урока обобщения знаний можно прогнозировать следующие результаты:

- познавательные общеучебные: умение структурировать знания; осознанно и произвольно строить речевые высказывания в устной и письменной форме; осуществлять рефлексию способов и условий действия, проводить контроль и оценку процесса и результатов деятельности; установливать причинно-следственные связи, выстраивать логическую цепь рассуждений, доказательство;

- познавательные логические: обобщение, конкретизация, анализ; самостоятельное выделение и формулирование познавательной цели; поиск и выделение необходимой информации, применение методов информационного поиска, в том числе с помощью компьютерных средств.

Современный урок - это урок, направленный на создание условий, в которых ребенок чувствует себя самим собой, не исполнителем каких-либо ролей, а полноценным участником различных форм общественной жизни. Любая грань знаний, добытая на таком уроке, - результат собственной деятельности учащегося.

Развивающий урок это необходимая форма самой жизни [5, с. 4]. При подготовке к уроку учителю необходимо составить блок учебных задач по

данной теме, поскольку решение таких задач особенно способствует формированию познавательных УУД.

В математической задаче под прямым продуктом понимают получение математического факта (корень уравнения, график функции, числовой интервал и т.д.). В учебной задаче прямой продукт - это учебный факт, т.е. прежде всего знание, но не любое, а на таком уровне обобщения, когда оно в значительной степени выполняет функции метода обучения или учебного познания [6, с. 186]. Учебные задачи от учеников требуют размышления - с каких слов или примеров целесообразней начать работу, какое правило и какой закон объединяет все задание, чем отличаются задачи и примеры, упражнения от выполненных накануне, на какие группы можно разделить примеры, прежде чем их решать, как расклассифицировать их, по какому признаку и т.д., то есть наряду с общедидактическими методами просматриваются индукция, дедукция, обобщение, аналогия и др.

Рассмотрим учебные задачи, которые предъявляет учитель учащимся:

1. Проанализируйте русские народные пословицы и установите соответствие с основными свойствами функций:

- «Чем дальше в лес, тем больше дров»,

- «Выше меры конь не скачет»,

- «Пересев хуже недосева»

В результате получаются следующие открытия учащихся: «Чем дальше в лес, тем больше дров»

Изобразим графиком, как нарастает количество дров по мере продвижения вглубь леса - от опушек, где всё давным-давно собрано, до чащоб, куда ещё не ступала нога заготовителя. Такое свойство функции называется монотонным возрастанием.

«Выше меры конь не скачет». Если изобразить траекторию скачущего коня, то высота скачков в полном соответствии с пословицей будет ограничена сверху некоторой «мерой».

«Пересев хуже недосева», - издавна говорили земледельцы. Вековой опыт свидетельствовал: урожай лишь до некоторой поры растет вместе с плотностью посева, дальше он снижается, т.к. при чрезмерной густоте ростки начинают глушить друг друга. Если изобразить траекторию урожая, то в полном соответствии с пословицей можно будет наблюдать максимальное количество ростков.

В результате выполнения данного задания продолжает формироваться познавательное логическое и общеучебное УУД: выбор основания и критериев для сравнения, анализ, синтез; структурирование знаний, переход к знаково-символической форме записи, установление причинно-следственных связей, построение логической цепи рассуждений, осознанное построение речевого высказывания.

2. Учащимся предлагается проанализировать следующие утверждения и ответить на вопрос: Правда ли, что?

1. Производная - это функция, по которой можно определить характер поведения исходной функции.

2. График производной функции совпадает с графиком исходной функции.

3. Экстремумы - это точки, в которых производная положительна.

4. Производная от функции пути - функция скорости.

5. Если производная положительна, то функция возрастает.

6. С помощью производной решают задачи на нахождение оптимальных величин.

7. Если производная отрицательна, то будет максимум функции.

8. Значение производной в некоторой точке равно угловому коэффициенту касательной, проведённой к функции в этой точке.

9. Чтобы найти экстремумы, надо найти все точки, в которых производная равна нулю или не существует.

10.В точках, где производная не существует, касательная параллельна оси абсцисс.

В результате учащиеся заполняют таблицы с № утверждений. Я согласен Я не согласен Это новое для меня Мне это непонятно

В результате выполнения данного задания продолжает формироваться познавательное логическое и общеучебное УУД: выбор основания и критериев для сравнения, анализ, синтез; структурирование знаний, переход к знаково-символической форме записи, установление причинно-следственных связей, построение логической цепи рассуждений, осознанное построение речевого высказывания.

На рисунке изображен график квадратичной функции.

Какой из приведенных ниже графиков соответствует графику производной этой функции?

В результате выполнения данного задания продолжает формироваться познавательное логическое и общеучебное УУД: выбор основания и критериев для сравнения, анализ, синтез; структурирование знаний, переход к знаково-символической форме записи, установление причинно-следственных связей, построение логической цепи рассуждений, осознанное построение речевого высказывания.

Для каждой из функций, графики которых изображены в верхнем ряду, найдите график её производной.

В результате выполнения данного задания продолжает формироваться познавательное логическое и общеучебное УУД: выбор основания и критериев для сравнения, анализ, синтез; структурирование знаний, переход к знаково-символической форме записи, установление причинно-следственных связей, построение логической цепи рассуждений, осознанное построение речевого высказывания.

Подводя итог можно отметить, что используемая система учебных задач предоставляет учителю инструмент, направленный на активизацию самостоятельной работы учащихся, и позволяет учащимся на уроках математики при решении заданий, разработанных по данной методике, формировать универсальные учебные действия, необходимые каждому человеку в современном мире.

Библиографический список

1. Асмолов А.Г. Формирование универсальных учебных действий в основной школе: от действия к мысли. Система заданий: пособие для учителя. М: Просвещение, 2010. 159 с.

2. Боженкова Л.И. Алгебра: Типовые задания для формирования УУД: учебно-методическое пособие. М, Калуга: ФГБОУ ВПО МПГУ, КГУ им. К.Э. Циолковского, 2014. 76 с.

3. Данилюк А.Я., Кондаков А.М., Тишков В.А. Концепция духовно-нравственного развития и воспитания личности гражданина России / Стандарты второго поколения. М.: Просвещение, 2009. 24 с.

4. Кашицына Ю.Н. Обеспечение на современном уроке геометрии предметного и метапредметного результата // Начальная школа плюс До и После. М.: Изд-во Баласс, № 10, 2013 г. 20-25 с.

5. Математика в стихах: задачи, сказки, рифмованные правила. 5-11 класс / авт.- сост. О.В. Панишева. Волгоград: 2013. 219 с.

6. Методика и технология обучения математике: курс лекций: пособие для вузов / под научн. ред. Н.Л. Стефановой, Н.С. Подходовой. 2-е изд, испр. М.: Дрофа, 2008. 415 с.

7. Примерные программы по математике / Стандарты второго поколения. М.: Просвещение, 2011. 67 с.

8. Федеральный государственный образовательный стандарт среднего (полного) общего образования РФ. М.: Просвещение, 2011. 48 с.

9. Федеральные государственные образовательные стандарты начального и основного общего образования: содержание и механизмы реализации: Программа дополнительного профессионального педагогического образования (повышения квалификации) / Минобрнауки России. М., 2011. 42 с.

ЭТАПЫ СТАНОВЛЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ШКОЛЫ УНИВЕРСИТЕТА КАК СЛЕДСТВИЕ УСТОЙЧИВОГО РАЗВИТИЯ ПОЗНАВАТЕЛЬНОЙ САМОСТОЯТЕЛЬНОСТИ СТУДЕНТОВ

Е.Н. Лыков

Аннотация. В статье рассмотрены этапы развития математической школы в университете и показана роль познавательной самостоятельности студентов при данном развитии.

Ключевые слова: познавательная самостоятельность студентов, студенческие научные общества, математическая школа.

Для устойчивого развития познавательной самостоятельности студентов необходимо обеспечить определённые условия. В первую очередь, это развитие мотивационного компонента познавательной самостоятельности.

Мотивационный компонент познавательной самостоятельности, как известно, характеризуется побуждением к деятельности, которое возникает на основе осознания противоречия между возникшей познавательной потребностью и возможностью её удовлетворения своими силами [2].

Мотив (от латинского moveo - двигаю) - это материальный или идеальный предмет, достижение которого выступает смыслом деятельности. Мотив часто путают с потребностью и целью, однако потребность - это, по сути, неосознаваемое желание устранить дискомфорт, а цель - результат сознательного целеполагания [4]. Например, изучить математику в частности дифференциальные уравнения - это потребность, желание изучить математику - это мотив, а знания, которые необходимо получить - это цель.

Возникает вопрос: как же сделать так, чтобы у наших студентов присутствовало желание изучать математику, так как оно является связующим звеном между потребностью и целью.

Математика имеет предметом своего изучения, в отличие от большинства других дисциплин, не непосредственные вещи из окружающего нас мира, а количественные отношения и пространственные формы, свойственные этим вещам. Поэтому перед преподавателем математики стоит нелёгкая задача преодолеть в сознании своих учеников представление о «сухости» своей науки [3].

На наш взгляд для этого необходимо организовать самостоятельную работу студентов. Это можно сделать, например, с помощью студенческих научных обществ.

Студенческое научное общество это группа добросовестных и старательных студентов. Для продвижения научных исследований, для развития познавательной самостоятельности данная форма учебной работы очень

важна. Здесь реализуется дифференциально-групповая форма обучения. Со слабыми студентами необходимо заниматься на индивидуальных занятиях, предусмотренных расписанием. А вот сильных и одарённых студентов необходимо приглашать в студенческое научное общество. Здесь создаётся особая атмосфера, особый климат. Здесь собираются студенты, увлечённые математикой и её многочисленными приложениями. Занятия проводятся в произвольной форме, не ограничиваясь ни какими рамками, причём место проведения таких занятий тоже не постоянное. В плохие погодные условия можно провести Интернет конференцию членов общества, не выходя из дома. При хорошей погоде занятие можно провести и на лыжной базе. Красота русской природы способствует укреплению и развитию математического мышления. Для членов СНО необходимо организовывать выездные зимние и летние математические школы. Особо одарённых и достигших определённых результатов студентов в качестве поощрения и для дальнейшего развития необходимо отправлять и в другие математические школы, организованные ведущими университетами нашей страны, например, математическая школа в городе Дубне и другие. Необходимо также наладить связь с ведущими специалистами в области математики и приглашать их на занятия СНО или организовывать Интернет общение.

СНО способствует развитию познавательной самостоятельности студентов, при этом происходит развитие всех четырёх компонентов познавательной самостоятельности. Здесь и мотивационный компонент, так как происходит заинтересованность студентов, и операционный, так как воспитывается чёткая организация работы и чувство ответственности, и волевой компонент, так как сила воли здесь воспитывается как никогда самым удачным образом, и, конечно же, информационный.

Всё это способствует развитию познавательной самостоятельности студентов, которая в свою очередь ведёт к образованию математической школы. На каждом физико-математическом факультете такая школа есть, но она находится на определенном этапе своего развития, где-то выше, где-то ниже.

Рассмотрим этапы развития математической школы университета [1].

1 этап (начальный).

На этом этапе формируются отдельные группы студентов под руководством опытных преподавателей. Студенты готовятся к проведению университетской конференции по некоторым темам, предложенным преподавателем, также выполняют курсовые или выпускные квалификационные работы.

Начальный этап характеризуется низким или средним уровнем познавательной самостоятельности студентов. Так как студенты стремятся усвоить главным образом знания, предложенные преподавателем. В некоторых случаях появляется стремление завершить учебно-познавательную

деятельность при отсутствии серьёзных познавательных затруднений. Студенты младших курсов воспроизводят знания по образцу и выполняют задания данные наставником, а студенты старших курсов, особенно при написании выпускных квалификационных работ, стараются сами добывать знания, то есть уже появляется интерес к самообразованию.

2 этап.

Под руководством преподавателей организуются студенческие научные общества. Происходит развитие познавательной самостоятельности. Некоторые студенты уже обладают высоким уровнем познавательной самостоятельности, особенно те, которые принимают активное участие в студенческих научных группах. При этом формируется устойчивая познавательная самостоятельность. На факультете регулярно проводятся математические конкурсы, олимпиады, организованы летние и зимние математические школы. Студенты участвуют в различных конференциях разного уровня.

3 этап.

Математическая школа достигает высокого уровня, при этом становится общепризнанной и продолжает активно развиваться.

Развитие математической школы чрезвычайно важно, так как это способствует развитию интеллекта и как следствие благосостояния людей.

Иногда развитию мешает низкая материальная база, иногда низкий уровень абитуриентов, но необходимо находить пути выхода из любых ситуаций и уметь работать с любым «материалом». Из выше сказанного следует, что это жизненно необходимо и наши студенты должны приходить к нам на лекции «с широко раскрытыми глазами». Научим наших студентов думать, а они в будущем сформируют достойную математическую школу.

Библиографический список

1. Лыков Е.Н., Щербатых С.В. Познавательная самостоятельность как фактор развития математической школы для студентов университета / Е.Н. Лыков, С.В. Щербатых // Вектор науки Тольяттинского государственного университета. Серия: Педагогика, психология. 2013. №1(12). с. 139 -140.

2. Саранцев Г.И. Формирование познавательной самостоятельности студентов педвузов в процессе изучения математических дисциплин и методики преподавания математики. Саранск: МГПИ, 1997. 160 с.

3. Хинчин А.Я. Педагогические статьи. М.: Издательство академии педагогических наук РСФСР, 1963. 196 с.

4. Информационный ресурс: http://ru.wikipedia.org

ВАРИАНТ ТЕСТОВОГО ЗАДАНИЯ К ДИСЦИПЛИНЕ «ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ»

Р.А. Мельников

Аннотация. В статье приводится один из возможных вариантов тестового задания к дисциплине «Операционное исчисление». Его можно использовать для организации итогового контроля знаний, умений и навыков студентов после изучения этой дисциплины.

Ключевые слова: оригинал, изображение, преобразование Лапласа, операционный метод, уравнение.

Дисциплина «Операционное исчисление» входит в вариативную часть блока 2 «Математический и естественнонаучный цикл» учебного плана подготовки бакалавров по направлению 010400.62 - Прикладная математика и информатика. После её изучения следует предложить студентам пройти тест, результаты которого можно использовать для итоговой аттестации (например, зачёта).

Все задачи теста можно условно разделить на 6 модулей.

Модуль №1. «Основные понятия и формулы операционного исчисления» (Задачи №1, №2, №3, №4, № 5, №15, №19).

Модуль №2. «Изображения функций. Свойства преобразования Лапласа» (Задачи № 6, №7, №8, № 9, №10, №11, №12).

Модуль №3. «Обратное преобразование Лапласа» (Задачи №13, №14).

Модуль №4. Изображения специальных функций» (Задачи №16, №17, №18).

Модуль №5. «Приложения операционного исчисления» (Задачи №20, №21, №22, №23).

Модуль №6. «Из истории операционного исчисления» (Задачи №24, №25).

Далее приводим один из вариантов тестового задания. №1. Какая из представленных функций не является оригиналом?

№2. Какая из представленных функций не может служить изображением какого-либо оригинала?

№3. Укажите изображение функции Хевисайда.

№4. Какой из формул задается преобразование Лапласа?

№5. Какой из символов не используется для обозначения свази между оригиналом и изображением?

№6. Найдите изображение функции

№7. Найдите изображение функции

№8. Найти изображение функции, заданной графиком

№9. Пользуясь теоремой интегрирования изображения найти изображение функции

№10. Пользуясь теоремой дифференцирования изображения найти изображение функции

№11. Найдите изображение дифференциального выражения

№12. Найдите изображение свертки функций

№13. Восстановите функцию по заданному изображению

№14. Какая из представленных формул задает обратное преобразование Лапласа?

№15. Какая из представленных формул называется формулой Парсеваля?

№16. Укажите изображение S - функции Дирака.

№17. Укажите изображение функции Бесселя

№18. Укажите изображение интегрального синуса

№19. Какая из представленных формул является формулой Дюамеля?

№ 20. Операционным методом решите задачу Коши

№21. Операционным методом найдите функцию y(f)9 удовлетворяющую интегральному уравнению Вольтерра второго рода

№ 22. Операционным методом при начальных условиях х(0) = 0, у(0) =

решите систему

№ 23.Вычислить интеграл

№ 24. Кто автор монографии «Символическое исчисление и приложение его к интегрированию линейных дифференциальных уравнений»? 1) В.А. Диткин 2) А.В. Летников

3) М.Е. Ващенко-Захарченко 4) Б.К. Пчелин

№ 25. На какой из фотографий запечатлен Диткин Виталий Арсеньевич?

КЛЮЧИ к тестовому заданию

№ 1

№2

№3

№4

№5

№6

№7

№8

№9

2

3

3

3

2

4

3

1

2

№ 10

№ 11

№ 12

№ 13

№ 14

№ 15

№ 16

№ 17

№ 18

1

4

1

1

1

4

4

2

3

№ 19

№20

№21

№22

№23

№24

№25

2

2

4

1

1

3

4

Критерии освоения модулей теста:

Модуль № 1 считается освоенным, если студент успешно выполнил 4 из 7 представленных задач, Модуль №2 - 4 из 7, Модуль №3 - 1 из 2, Модуль №4 - 2 из 3, Модуль №5 - 2 из 4, Модуль №6 - 1 из 2.

Дисциплина по выбору «Операционное исчисление» может считаться освоенной (т.е. студент получает «зачтено»), если успешно выполнены не менее четырех из шести модулей теста.

На выполнение теста отводится 2,5 часа.

Библиографический список

1. Грищенко А.Е., Нагнибида Н.И., Настасиев П.П. Теория функций комплексного переменного. Решение задач: учебное пособие. Изд. 2-е, испр. и доп. М.: Либроком, 2010. 336 с.

2. Ершова В.В. Импульсные функции. Функции комплексной переменной. Операционное исчисление / под редакцией В.И. Азаматовой. Минск: Вышэйшая школа, 1976. 256 с.

3. Колобов А.М. Избранные главы высшей математики. Ч.1. Ряд Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. Изд. 2-е. перераб. Минск: Высшая школа, 1965. 224 с.

4. Краснов М.Л., Киселёв А.И., Макаренко Г.И. Операционное исчисление. Теория устойчивости: Задачи и примеры с подробными решениями: учебное пособие. Изд. 3-е, испр. и доп. М.: Едиториал УРСС, 2003. 176 с. (Вся высшая математика в задачах.)

5. Кручкович Г.И., Мордасова Г.М., Подольский В.А., Римский-Корсаков Б.С, Сулейманова Х.Р., Чегис И.А. Сборник задач и упражнений по специальным главам высшей математики. М.: Высшая школа, 1970. 511 с.

6. Мартыненко В.С. Операционное исчисление: учебное пособие. Изд. 4-е, перераб. и доп. Киев: Вища школа, 1990. 359 с.

7. Мельников Р.А. Становление и развитие операционного исчисления // Вестник Елецкого государственного университета им. И.А. Бунина. Вып.27.: Серия «Педагогика» (История и теория математического образования). Елец: ЕГУ им. И.А. Бунина, 2010. С. 20-24.

8. Пчелин Б.К. Специальные разделы высшей математики. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление: учебное пособие для втузов. М.: Высшая школа, 1973. 464 с.

К ВОПРОСУ О СРАВНИТЕЛЬНОМ АНАЛИЗЕ НОВОГО И СТАРОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ СТАНДАРТОВ

В.И. Меренкова

Аннотация. В статье рассматриваются некоторые положения нового образовательного стандарта в сравнении с предыдущим стандартом.

Ключевые слова: Федеральный государственный образовательный стандарт, деятельностный подход, специфика нового образовательного стандарта.

Перед современной школой стоит задача воспитания полноценного члена общества. Раскрытие способностей каждого ученика, воспитание патриота своей Родины, личности, готовой к преодолению различных сложных жизненных ситуаций - решение подобных подзадач позволит школе выполнить заказ общества.

Для решения этих задач был разработан Федеральный государственный образовательный стандарт (ФГОС), который представляет собой совокупность требований, обязательных при реализации основных образовательных программ:

- дошкольного образования;

- начального общего,

- основного общего,

- среднего (полного) общего образования [1].

Сравнительный анализ старых и новых образовательных стандартов обсуждался широко не только среди педагогических работников. В дискуссии принимали участие все слои населения. Особенно горячо обсуждали новый закон те, у кого дети либо пойдут в школу, либо уже посещают учебные заведения. Поэтому попытаемся рассмотреть те положения нового образовательного стандарта, которые не привлекли к себе внимания, хотя, на наш взгляд, являются достаточно серьезными.

Стандарты первого поколения (2004 г.) содержали жесткие требования к содержанию образования. Следует отметить, что в документе были перечислены темы, которые для учителя становились предметом преподавания, а для учащихся - предметом усвоения.

В новом стандарте представлены общие рамки для решения вопросов, связанных с обучением, воспитанием и развитием школьников. Одним из основных отличий является новый подход, положенный в основу реализации основной образовательной программы - деятельностный подход. Он предполагает смену модели построения образовательного процесса: учитель должен для себя в первую очередь определить «Как научить школьника?» и только после решения этой проблемы решать другие задачи. По-

новому стандарт трактует отношение к школьным предметам, в том числе и к математике [2]. Особая роль отводится и информационно-коммуникационным технологиям в ходе обучения всем школьным дисциплинам, а к естественнонаучным особенно [3].

Претерпело изменения и содержание образования. Как известно, любой стандарт - это система требований к чему-либо. Государственный стандарт общего образования (2004 г.) описывал нормы и требования, которые определяли обязательный минимум содержания основных образовательных программ общего образования, максимальный объем учебной нагрузки обучающихся, уровень подготовки выпускников образовательных учреждений.

ФГОС представляет собой совокупность требований, обязательных при реализации основной образовательной программы основного общего образования образовательными учреждениями и включает в себя требования к результатам освоения основной образовательной программы, к структуре основной образовательной программы и к условиям ее реализации.

Разработанный стандарт нацелен на возрождение и воспитательной работы в школе. В новых стандартах есть четко сформулированные государственные, общественные ориентиры для развития системы воспитания.

Основная воспитательная цель новых стандартов - формирование активной гражданской позиции с целью укрепления российской государственности. Школа должна формировать у своих учеников чувство гражданской идентичности, воспитывать патриотов России, формировать учебную мотивацию, стремление к познанию, умение общаться, чувство ответственности за свои решения и поступки, критическое мышление, толерантность и многое другое.

Работая по стандартам 2004 года, качество освоения образовательной программы измерялось только освоением предметных результатов. Специфика требований к результатам стандарта нового поколения представляет три группы результатов: личностные, метапредметные, предметные.

Основными направлениями и целями оценочной деятельности в соответствии с требованиями стандарта являются:

- оценка результатов деятельности общероссийской, региональной и муниципальной систем образования с целью получения, обработки и предоставления информации о состоянии и тенденций развития системы образования;

- оценка результатов деятельности образовательных учреждений и работников образования с целью получения, обработки и предоставления информации о качестве образовательных услуг и эффективности деятельности образовательных учреждений и работников образования;

- оценка образовательных достижений учащихся с целью итоговой оценки подготовки выпускников начальной общеобразовательной школы [1].

Новые стандарты выдвигают определенные требования и к семье школьника, и к средствам массовой информации, и к учреждениям культуры и религии. Такой подход позволит развивать личность обучающегося эмоционально, духовно-нравственно, интеллектуально, позволит выявить таланты детей в различных сферах жизни и творчества. Задача школы -построить свою работу и работу семьи таким образом, чтобы достичь максимального результата для ребенка [1].

Содержание образования не сильно меняется, но, реализуя новый стандарт, каждый учитель должен выходить за рамки своего предмета, задумываясь, прежде всего, о развитии личности ребенка, необходимости формирования универсальных учебных умений, без которых ученик не сможет быть успешным ни на следующих ступенях образования, ни в профессиональной деятельности.

Если школа должна формировать у своих учеников чувство гражданской идентичности, воспитывать патриотов России, то и это делается учителями школы. Ломоносов говорил, что математику нужно учить, потому что она «ум в порядок приводит», но не уточнял, что это делается с помощью теоремы Пифагора и признаков равенства треугольников. «Приводить ум в порядок» можно на разном по содержанию математическом материале или, например, в процессе изучения правил русского языка. Всё зависит от педагога, его желания и компетентности.

Библиографический список

1. Федеральные государственные образовательные стандарты. URL: http://standart.edu.ru

2. Морозова И.Е., Рыманова Т.Е., Симоновская Г.А., Черноусова Н.В. Современные проблемы школьного математического образования // Вестник Елецкого государственного университета им. И.А. Бунина. Вып. 32: Серия «Педагогика» (История и теория математического образования). Елец: Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина, 2012. С. 98-100.

3. Сафронова Т.М., Симоновская Г.А., Черноусова Н.В. Использование информационных и коммуникационных технологий в рамках Федеральных государственных образовательных стандартов нового поколения // Педагогическая информатика. 2012. №2. С.43-47.

К ВОПРОСУ О ПОДГОТОВКЕ УЧАЩИХСЯ К МАТЕМАТИЧЕСКИМ ОЛИМПИАДАМ

В.Н. Пирогова

Аннотация. В статье изложены некоторые аспекты подготовки школьников к участию в математических олимпиадах. Рассказывается о разработанном и апробированном факультативном курсе.

Ключевые слова: математическая олимпиада, математические способности, факультативный курс.

На сегодняшний день проблема подготовки учащихся к математическим олимпиадам является достаточно актуальной, хотя и далеко не новой. Актуальность названной проблемы обусловлена изменениями, происходящими в образовании и нацеленными на интеллектуальное развитие общества. В настоящее время одной из приоритетных целей школьного образования является поддержка и помощь одарённым учащимся [4].

Необходимость развития у современных школьников математических способностей не вызывает сомнений. Этот процесс должен начинаться уже в начальных классах и продолжаться на протяжении всего периода обучения школьников в общеобразовательных учреждениях.

В ходе исследования поставленной проблемы мы подробно ознакомились с историей олимпиадного движения, выявили организационно-педагогические условия подготовки учащихся к олимпиадам и направления психологической подготовки школьников к участию в испытаниях такого рода, а также провели анализ форм и методов работы с учащимися при подготовке их к участию в олимпиадном движении.

Кроме того, нами были изучены различные работы Н.Х. Атаханова, Э.Н. Балаяна, Е.Г. Конновой, О.К. Подлипского, Д.А. Терёшина, А.В. Фаркова и др., посвященные организации и проведению математических олимпиад любого уровня, ознакомлению учащихся с различными методами и приемами решения олимпиадных задач разного уровня сложности.

Основная идея нашего исследования - разработка программы факультативного курса для школьников среднего звена. Структура программы такова, что изучение предложенного материала может быть организовано в 5 классах, и затем углубление содержания изученных тем возможно в 6 и 7 классах. Включенные в программу факультативного курса теоретические материалы и практические задания дают возможность учащимся готовиться к математическим олимпиадам и конкурсам.

Мы определили следующие цели факультативного курса:

• развитие математических способностей учащихся;

• развитие внимания, памяти, творческого и логического мышления, воображения;

• развитие познавательной активности учащихся;

• создание условий для творческой самостоятельной работы школьников.

Далее нами были сформулированы задачи факультативного курса:

• обогащение математического языка школьников;

• расширение кругозора учащихся;

• повышение мотивации к учению;

• развитие коммуникативных умений в процессе практической деятельности ученика.

Приведем содержание предложенного нами факультативного курса для учащихся пятого класса общеобразовательной школы. Тема: «Натуральные числа» (17 часов). Рассматриваемые вопросы:

1. Как возникло умение считать.

2. Как появилась наука о числах (из истории развития арифметики).

3. Почему запись чисел, которыми мы пользуемся, называют десятичной.

4. Натуральные числа и действия над ними.

5. Свойства арифметических действий и их помощь при вычислениях. Учимся приёмам рациональных вычислений.

6. Уравнения помогают отгадывать математические загадки.

7. Логические головоломки.

8. Текстовые задачи на «переливание», на «взвешивание», на «движение».

На итоговое занятие отводится 1 час. Оно проводится в нетрадиционной форме. В ходе занятия учащимся предлагается решение нестандартных задач и задач повышенного уровня сложности.

Апробацию разработанного факультативного курса мы проводили в пятых классах МБОУ гимназии №11 г. Ельца. Началу работы курса предшествовала процедура отбора пятиклассников - участников эксперимента. Она представляла собой проведение математического конкурса по решению нестандартных задач. В состав экспериментальной группы были включены учащиеся успешно прошедшие конкурс, а также те дети, которые не совсем удачно справились с конкурсной работой, но изъявили большое желание принять участие в работе факультатива. В этом случае мы руководствовались соображениями о том, что не каждый ученик может сразу раскрыть свои возможности и, кроме того, не стоит «гасить» зародившийся у пятиклассников интерес к занятиям математикой.

Еще Лев Николаевич Толстой говорил о том, что будут ценными и прочно усвоятся только те знания, которые были приобретены усилиями мысли человека и его памяти. Поэтому, мы считаем, что для подготовки к

математическим олимпиадам и конкурсам, учащимся недостаточно только разбирать решенные классические олимпиадные задачи, надо ещё и самим пытаться придумывать новые методы решения для них, а также обязательно учиться решать нестандартные задачи, задачи повышенного уровня сложности. В рамках факультатива мы также учили детей абстрагироваться от окружающей среды, полностью «погружаться» в математические задачи, искать пути их решения, но при этом уметь правильно распределять отведенное на выполнение олимпиадной или конкурсной работы время.

Пройдя обучение на факультативе, дети получили соответствующие теоретические знания и практические навыки, кроме того они стали более самостоятельными в процессе решения задач, раскрепощенными в плане выдвижения гипотез и идей поиска решения задач.

В заключение отметим, что участие школьников в олимпиадах и конкурсах полезно не только с точки зрения предметной подготовки ребёнка, углубления и расширения его знаний. В наше время подобные испытания готовят школьника к реальной жизни в условиях конкуренции.

Библиографический список

1. Агаханов Н.Х., Подлипский О.К., Рубанов И.С. Математика. Всероссийские олимпиады. Вып. 3. М.: Просвещение, 2011. 207 с.

2. Агаханов Н.Х. Кожевников П.А., Терёшин Д.А. Математика. Международные олимпиады. М.: Просвещение, 2010. 127 с.

3. Балаян Э.Н. Готовимся к олимпиадам по математике. 5-6 классы. Ростов-на-Дону: Феникс, 2010. 218 с.

4. Сафронова Т.М., Приймак Э.И. К вопросу о развитии системы поиска, поддержки и сопровождения одаренных детей // Традиции и инновации отечественной школы: Проектирование образовательного процесса в условиях перехода на ФГОС нового поколения: материалы региональной научно-практической конференции (29 марта 2011 года). Елец: ЕГУ им. И.А.Бунина, 2011. С.196-200.

5. Фарков А.В. Внеклассная работа по математике. 5-11 классы. 3 -е изд. М.: Айрис-пресс, 2008. 288 с.

6. Фарков А.В. Готовимся к олимпиадам по математике: учеб.-метод, пособие. 5-е изд., стереотип. М.: Экзамен, 2010. 158 с.

ОБ ОРГАНИЗАЦИИ ПРОЕКТНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ УЧАЩИХСЯ В ПРОЦЕССЕ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ

Е.В. Пирогова

Аннотация. В статье рассказывается о факультативном курсе для учащихся 6 класса, в котором была предпринята попытка объединить обучение школьников проектной деятельности и обучение приёмам и методам решения задач повышенной сложности.

Ключевые слова: факультативный курс, проектная деятельность, метод проектов.

Модернизация образования в нашей стране ставит перед российским школьным образованием все новые и новые задачи. Для успешного решения этих задач необходимо совершенствование содержания, методик и технологий обучения школьников, отбор наиболее эффективных средств для реализации инновационной деятельности учителя [7].

Современная школа как социально-педагогическая система, пройдя первую ступень модернизации обучения (программы, учебники, учебные курсы), достигла второй ступени - ступени качественного перехода педагогического процесса на уровень технологии.

В настоящее время все большее распространение и применение в образовательном процессе находит технология проектной деятельности учащихся.

Проектную деятельность учащихся мы рассматриваем в неразрывной связи с методом проектов, как формой организации этой деятельности [6], как целостной педагогической технологией, которая:

• предполагает диагностическое целеполагание, планирование и проектирование процесса обучения, варьирование средств и методов с целью коррекции результатов;

• включает продуманную систему различных форм деятельности, как учителя, так и учащихся на всех этапах подготовки и реализации учебного проекта;

• предполагает разработку критериев оценки результатов проделанной работы;

• применяется при изучении математики на уроках и во внеклассной работе по предмету.

Процесс выполнения учебных проектов по математике на каждом этапе предполагает использование школьниками уже приобретенных в процессе обучения компетенций, полученных знаний, умений и навыков по предмету, а также знаний из других школьных дисциплин и имеющийся личный опыт ученика.

Первую часть своего исследования мы посвятили рассмотрению различных методик работы над проектами, предложенных Н.А. Мансуровым, Т.Е. Герасимовой, СВ. Рохловым, Н.Ю. Пахомовой [1;2;3;4;5]. Далее мы попытались обобщить и систематизировать предложенные ими идеи.

Полученные обобщения мы использовали во второй части исследования. Основной задачей для нас являлась разработка и апробация программы и содержания факультативного курса для учащихся 6 класса, в рамках которого мы предприняли попытку объединить обучение школьников проектной деятельности и обучение приемам и методам решения задач повышенной сложности. Каждое занятие при этом состояло из двух частей и требовало использование ИКТ. На каждом занятии возрастала степень трудности и сложности задач, предлагаемых ученикам. На первом занятии школьники выбирали тему проекта и работали над ним в течение всего факультативного курса.

Опишем, какой деятельности мы обучали учащихся в процессе выполнения ими проектного задания.

Первый этап - планирование учебного проекта.

Участники проектной деятельности обсуждают тему будущего проекта, обмениваются мнениями, выдвигают первые гипотезы, формулируют цель всего проекта и его задачи.

Второй этап - аналитический.

Школьники проводят самостоятельное исследование, добывают и анализируют информацию. При этом каждый участник проекта, исходя из поставленных целей и сформулированных задач, уточняет собственную задачу в рамках проекта и готовит необходимый материал.

Третий этап - обобщение полученной информации.

Участники проекта обобщают, систематизируют и структурируют полученную информацию. Осуществляется интеграция полученных знаний, умений и навыков.

Четвертый этап - подготовка презентации.

Школьники сначала анализируют полученные данные, делают выводы, затем готовят представление результатов своей работы, описывают примененные способы, приемы и средства достижения результата, проблемы, с которыми ученики встретились, и наконец, демонстрируют итоги работы.

Отметим тот факт, что нами был подготовлен достаточный методический инструментарий:

• теоретический материал;

• задачный материал;

• база домашних заданий;

• тематика учебных проектов.

Кроме того нами разработаны методические рекомендации к проведению каждого факультативного занятия.

Основными результатами освоения разработанного нами факультативного курса для школьников стало приобретение новых знаний, умений и навыков по работе над учебным проектом, по решению сложных и трудных математических задач, а также, что с нашей точки зрения не менее важно, развитие мотивации к изучению математики и как следствие этого появление положительного эмоционального настроя в учебе.

Библиографический список

1. Мансуров Н.А., Герасимова Т.Е. Новые подходы к управлению проектной деятельностью в школе // Естествознание в школе. 2005. № 4. С. 44-49.

2. Пахомова Н.Ю. Метод учебного проекта в образовательном учреждении: Пособие для учит, и студ. пед. вузов. М.: АРКТИ, 2003. 112 с.

3. Пахомова Н.Ю. Освоение учителем технологии проектного обучения // Школьные технологии. 2006. № 6. С. 109 - 104.

4. Пахомова Н.Ю. Проектная деятельность учащихся: с чего начать? // Школьные технологии. 2007. № 6. С. 117 - 123.

5. Рохлов В.С. Метод учебных проектов // Естествознание в школе. 2005. №4. С. 25-30.

6. Сафронова Т.М., Симоновская Г.А., Черноусова Н.В. Использование информационных и коммуникационных технологий в рамках Федеральных государственных образовательных стандартов нового поколения // Педагогическая информатика. 2012 г. № 2. С. 43 - 47.

7. Сафронова Т.М. Технологический подход к проектированию учебного процесса, ориентированного на математическое развитие учащихся: дис... канд. пед. наук. М., 1999.

8. Чечель И.Д. Исследовательские проекты в практике обучения // Практика административной работы в школе. 2003. № 6.

КОНЦЕПТУАЛЬНЫЙ ПОДХОД К РЕАЛИЗАЦИИ МЕТАПРЕДМЕТНОСТИ ПРИ ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ

Т.Е. Рыманова

Аннотация. В статье рассматривается проблема реализации метапредметного направления, обозначенного в образовательных стандартах второго поколения. Один из путей решения поставленной задачи - проектирование и внедрение системы метапредметов, в основе построения которой лежит концептуальный подход.

Ключевые слова: метапредметность, метапредмет, концептуальный подход.

В образовательном пространстве России сегодня происходят радикальные изменения. В центр всей учебно-воспитательной работы выдвигается учащийся с его возросшими потребностями, познавательными интересами, способностями. Возникла настоятельная потребность в проектировании новых моделей образовательного процесса, которые позволили бы человеку четко определять цели, реализовывать задуманное, уметь анализировать предметную сторону явлений, а также устанавливать причинно-следственные связи, пытаться проникнуть в глубины исследуемого.

Благодаря стандартам второго поколения в педагогический лексикон вошло много новых понятий, одно из которых «метапредметность». По нашему мнению, это диалектическая категория, представляющая собой синтез межпредметности и познавательной культуры личности. Один из путей реализации в образовательном процессе школы метапредметного направления, заявленного в образовательных стандартах, мы видим в проектировании и внедрении системы метапредметов, которая охватывает все классы с пятого по одиннадцатый.

В основе предлагаемой образовательной модели лежит концептуальный подход, который основывается на следующей аксиоматике.

Аксиома 1 (аксиома целостности и цикличности модели учебного процесса). Строго продуманная система метапредметов позволяет сформировать метапредметные учебные действия у школьников, причём информацию необходимо преподносить циклами. Каждый цикл характеризуется целеполаганием и диагностикой.

Аксиома 2 (аксиома нормирования и оптимальности проекта учебного процесса). Проект учебного процесса должен соответствовать образовательному стандарту, а также нормировать зону ближайшего развития учащихся и быть оптимальным для каждого классного коллектива.

Аксиома 3 (аксиома конструирования рабочего поля). Рабочее поле представляет предметную и методическую модели учебной темы и включает понятийное поле.

Аксиома 4 (аксиома формирования развивающего поля). Развивающее поле позволяет смоделировать метапредметную среду.

Две первые аксиомы позволяют спроектировать образовательную модель метапредметной среды (схема 1).

Образовательный стандарт задаёт ориентиры проектирования образовательного пространства. Это в первую очередь отражается на целеполагании и диагностике. Цели определяют содержание. Последнее заставляет выбирать соответствующие организационные формы. Диагностика определяет коррекционную работу. Коррекция и содержание находятся в дидактической взаимосвязи. Целеполагание, содержание, организационные формы и диагностика определяют дозирование домашнего задания, которое, в свою очередь, влияет на организацию учебного процесса и контроль.

Схема 1

Аксиомы 3 и 4 позволяют построить модель, раскрывающую развивающий потенциал метапредметной среды (схема 2) Отметим, что траектория от рабочего поля до развивающего поля I уровня определяет «зону ближайшего развития», а траектория от развивающего поля I уровня до развивающего поля II уровня - «зона актуального развития».

Схема 2

Схема 3

Рабочее поле I представляет определённый раздел математики. Рабочее поле II - это другая образовательная область (например, география). Рабочее поле включает содержательную часть предметной составляющей и методический инструментарий. Причём в каждом рабочем поле есть подполе - понятийное. Поясним это на примере схемы 3. Так на первом уроке рассматриваются два вспомогательных понятия А[ и А" из разных образовательных областей, на втором происходит обобщение - получаем основное понятие Ах. Схема 3 иллюстрирует поурочную развёртку предполагаемого метапредмета. Понятие Ах изучается на 3-м и 4-м уроках. При необходимости можно оптимизировать логическую структуру проекта учебного процесса.

Рассмотренный концептуальный подход определяет методическое наполнение предлагаемой модели. Каждый метапредмет является интегрированным курсом, состоящим из нескольких модулей. Рассмотрим в качестве примера рабочее поле модуля «Координаты» метапредмета «Реальная математика» (6 класс), которое может быть представлено по-разному.

Вариант I. Когда материал по математике по данной теме уже изучили, а по географии - еще нет, тогда рабочее поле будет выглядеть так:

Схема 4

Здесь и далее Г - материал по географии, M - материал по математике, МП - метапредметный материал, А[ - географическое понятие, А" - математическое понятие, Ах - метапредметное понятие.

Как видно из схемы 4, на первых двух уроках изучаются географические координаты, на третьем - повторение материала о декартовых координатах, на четвёртом занятии рассматривается метапредметное понятие.

Вариант II. С географическими координатами учащиеся уже знакомы, а прямоугольные координаты на уроках математики ещё не рассматривались. В этом случае рабочее поле примет вид:

Схема 6

Рабочее поле позволяет спроектировать систему особых микроцелей. Каждая из них представляет собой суммарный результат дидактических задач, определяющий зону ближайшего развития.

В заключение отметим, что предложенная аксиоматика позволяет разработать технологические процедуры проектирования метапредметной среды. А значит, рассмотренный концептуальный подход ОТК рывает широкие перспективы для творчества учителя.

К ВОПРОСУ О ФОРМИРОВАНИИ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИХ УМЕНИЙ БУДУЩИХ БАКАЛАВРОВ ПЕДАГОГИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Т.М. Сафронова

Аннотация. В статье изложены некоторые аспекты формирования и развития исследовательских умений студентов, обучающихся по направлению подготовки 050100 Педагогическое образование (квалификация «бакалавр»). Приведены примеры творческих заданий для исследовательской работы студентов.

Ключевые слова: исследовательская деятельность, исследовательские умения, творческие задания.

Введение Федерального государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования (2010 года) по направлению подготовки 050100 Педагогическое образование (квалификация «бакалавр») предопределило необходимость разработки и реализации инновационной стратегии в подготовке будущих учителей, создания в образовательной практике педагогических условий для активной познавательной деятельности студентов. Приоритетная роль в этом отводится организации исследовательской деятельности студентов и развитию её основного компонента - исследовательских умений будущего бакалавра педагогического образования.

Анализ научной литературы позволяет отметить:

1) под исследованием понимают творческий процесс изучения какого-либо факта, объекта или явления с конкретной целью и с заранее неизвестным результатом;

2) деятельностью называют всякую активность человека, некоторый смысл которой придает сам человек [3];

3) понятие «исследовательская деятельность» определяется как некая специфическая деятельность человека, регулируемая его сознанием и активностью, направленная на реализацию интеллектуальных и познавательных потребностей, имеющая продуктом новое знание, которое получено в соответствии с конкретной целью и с объективными законами и наличными обстоятельствами, определяющими реальность и достижимость цели. Специфику и сущность такой деятельности определяют: выделение конкретных способов и средств действий, через постановку проблемы; определение объекта исследования; непосредственное проведение эксперимента; изложение и описание полученных фактов; формулирование гипотезы и проверка добытого знания [2].

4) под исследовательскими умениями понимают готовность к проведению исследовательской деятельности и выделяют следующие компоненты названных умений: мотивационный (выражается в проявлении познавательного интереса), содержательный (включает исследовательские знания), операционный (включает систему элементарных умений).

5) исследовательскую деятельность студентов условно разделяют на два вида: учебно-исследовательская деятельность и научно-исследовательская деятельность [1,с.3]. Причем первый из них реализуется в рамках учебных занятий, а второй - в рамках внеучебной работы. Главное предназначение научно-исследовательской работы студентов - получение в ходе исследования новых результатов. Вовлечение же студентов в учебно-исследовательскую работу, позволяет в первую очередь сформировать у них умения и навыки в проведении исследования. Однако необходимо заметить, что оба названных вида деятельности служат для достижения одной цели - формирования готовности будущих бакалавров педагогического образования к исследовательской деятельности.

Очевидно, что формирование и развитие исследовательских умений должно осуществляться в процессе изучения всех дисциплин учебного плана, представленных согласно ФГОС ВПО, но ведущая роль в этом должна, по нашему мнению, отводиться дисциплинам профессионального цикла.

В Елецком государственном университете имени И.А. Бунина студенты физико-математического факультета изучают курс «Методика обучения математике детей с особыми образовательными потребностями». Это одна из дисциплин по выбору вариативной части профессионального цикла ФГОС ВПО по направлению подготовки 050100 Педагогическое образование (квалификация «бакалавр») для профилей подготовки «Математика», «Физика». Целью освоения названной дисциплины по выбору является подготовка будущего бакалавра педагогического образования к обучению математике одаренных детей, формирование и развитие его методической культуры. Изучение курса «Методика обучения математике детей с особыми образовательными потребностями», согласно учебному плану осуществляется в 6 семестре с формой итогового контроля - зачет.

В результате освоения дисциплины по выбору у студента должны быть сформированы различные компетенции, среди которых:

• владение культурой мышления, способность к обобщению, анализу, восприятию информации, постановке цели и выбору путей ее достижения (OК-1);

• способность использовать знания о современной естественнонаучной картине мира в образовательной и профессиональной деятельности, применять методы математической обработки информации, теоретического и экспериментального исследования (ОК-4);

• осознание социальной значимости своей будущей профессии, обладание мотивацией к осуществлению профессиональной деятельности (ОПК-1);

• способность использовать систематизированные теоретические и практические знания гуманитарных, социальных и экономических наук при решении социальных и профессиональных задач (ОПК-2);

• способность нести ответственность за результаты своей профессиональной деятельности (ОПК-4);

• готовность применять современные методики и технологии, в том числе и информационные, для обеспечения качества учебно-воспитательного процесса на конкретной образовательной ступени конкретного образовательного учреждения (ПК-2);

• способность применять современные методы диагностирования достижений обучающихся и воспитанников, осуществлять педагогическое сопровождение процессов социализации и профессионального самоопределения обучающихся, подготовки их к сознательному выбору профессии (ПК-3);

• способность использовать возможности образовательной среды, в том числе информационной, для обеспечения качества учебно-воспитательного процесса (ПК-4).

Все обозначенные выше положения нашли отражение при составлении рабочей программы дисциплины, разработке практических занятий, творческих аудиторных и домашних заданий, в которых отражена система для исследовательской работы студентов.

Приведем конкретный пример одного из творческих заданий, предполагающих выявление индивидуальных способностей будущих бакалавров педагогического образования, а также формирование и развитие их исследовательских умений.

В процессе изучения темы «Методы выявления и диагностики детской одаренности» предлагаем следующее творческое задание.

Вариант 1.

Проведите исследование психолого-педагогической и методической литературы и подготовьте сообщение по проблеме организации диагностического обследования детской одаренности.

Проведите исследование для следующих возрастных групп: 1) начальная школа(1-4 классы), 2) основная школа (5-6 классы и 7-9 классы).

Деятельность преподавателя: ставит перед студентом проблему.

Деятельность студента: самостоятельно определяет и формулирует задачи исследования, подбирает и анализирует литературу, обрабатывает результаты анализа, делает соответствующие выводы.

Данное творческое задание классифицируется нами как исследовательское задание высокого уровня сложности. Выполнить его могут лишь студенты, у которых сформированы творческое (продуктивное) мышление и достаточные исследовательские умения.

Если студент не сумел справиться с первым вариантом творческого задания, то ему предлагается второй вариант - задание среднего уровня сложности.

Вариант 2.

Проведите исследование психолого-педагогической и методической литературы и подготовьте сообщение по проблеме организации диагностического обследования детской одаренности.

Проведите исследование для следующих возрастных групп: 1) начальная школа(1-4 классы), 2) основная школа (5-6 классы и 7-9 классы).

Укажите, как накапливается, обрабатывается и используется информация, которую получают учитель и родители в процессе диагностики одаренности ребенка. Укажите недостатки и достоинства рассмотренных вариантов.

Деятельность преподавателя: ставит перед студентом проблему, дает рекомендации по выполнению задания.

Деятельность студента: подбирает и анализирует литературу, обрабатывает результаты анализа, делает соответствующие выводы.

В такой формулировке задания преподавателем уже намечены пути решения поставленной проблемы, однако заметим, что при этом элементы творчества в деятельности студента не теряются. Если же студент не сумел справиться и с этим вариантом творческого задания, то ему предлагается третий вариант - задание низкого (посильного) уровня сложности.

Вариант 3.

Проведите исследование психолого-педагогической и методической литературы и подготовьте сообщение по проблеме организации диагностического обследования детской одаренности.

Проведите исследование для следующих возрастных групп: 1) начальная школа(1-4 классы), 2) основная школа (5-6 классы и 7-9 классы).

Укажите, как накапливается, обрабатывается и используется информация, которую получают учитель и родители в процессе диагностики одаренности ребенка. Укажите недостатки и достоинства рассмотренных вариантов.

Для выполнения задания используйте литературу предложенную преподавателем.

Деятельность преподавателя: ставит перед студентом проблему, дает рекомендации по выполнению задания, предлагает для изучения конкретные источники литературы.

Деятельность студента: анализирует предложенную преподавателем литературу, обрабатывает результаты анализа, делает соответствующие выводы.

Преподаватель максимально упрощает уровень сложности задания, однако, здесь также присутствуют элементы творчества в деятельности студента.

Библиографический список

1. Бордовский Г.А. Научно-исследовательская деятельность - решающее условие повышение качества подготовки специалиста // Подготовка специалиста в области образования: Научно-исследовательская деятельность в совершенствовании профессиональной подготовки: сборник статей. СПб, 1999. Вып. VII. С. 3-7.

2. Зимняя И.А., Шашенкова Е.А. Исследовательская работа как специфический вид человеческой деятельности. Ижевск, 2001. 234 с.

3. Леонтьев А.И. Деятельность. Сознание. Личность. М.: Политиздат, 1997.357 с.

4. Федеральные государственные образовательные стандарты [электронный ресурс] // URL: standart.edu.ru.

ПОДГОТОВКА БУДУЩЕГО УЧИТЕЛЯ МАТЕМАТИКИ В СВЕТЕ РЕАЛИЗАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО СТАНДАРТА ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

Г.А. Симоновская

Аннотация. В статье рассматриваются возможные пути повышения качества подготовки будущего учителя математики на базе вариативной части Федерального государственного образовательного стандарта высшего образования.

Ключевые слова: подготовка учителя математики, Федеральный государственный образовательный стандарт высшего профессионального образования, концепция развития математического образования, модули и курсы по выбору.

Указ президента от 2012 года «О мерах по реализации государственной политики в области образования и науки» послужил источником нового витка реформ в образовании. В данном документе особое внимание было уделено современному состоянию математического образования, как школьного, так и вузовского. Правительство Российской Федерации, осуществив мониторинг, разработало концепцию развития математического образования в России.

Данный документ попытался, во-первых, расставить приоритеты математического образования в широком смысле. Реализация основных положений концепции должна вывести данную область знаний на лидирующее положение в мире. Во-вторых, в документе сформулированы цели и задачи, поставленные перед школьными учителями и преподавателями вузов. Изучение и преподавание математики должно развивать способности к логическому мышлению, к математическому моделированию, к использованию информационно-коммуникационных технологий при изучении других дисциплин, к поиску решения реальных задач и так далее [2].

Обучение основам математики начинается ещё в дошкольных учреждениях, продолжается в школе. При получении высшего образования практически по любому направлению изучаются элементы высшей математики, теории вероятностей, статистики. Математическое образование школьное и вузовское тесно взаимосвязаны между собой. Если при обучении в школе нарушается преемственность в содержании, логическая структура изучаемых математических дисциплин, теряет свою актуальность теоретическая часть, а больше времени отводится выработке практических навыков, то при получении высшего образования появляются проблемы с изучением теоретических основ математики, естественных наук, да и гуманитарных [1].

Реформа образования коснулась государственных образовательных стандартов ВПО. Ещё не было первого выпуска бакалавров, обучаемых по стандартам третьего поколения, как к началу нового учебного года должны быть утверждены обновленные стандарты. Их разработка по многим направлениям продолжается по сей день. Следует отметить, что для всех стандартов высшего образования характерной чертой является широкая вариативность. Причем каждый вуз самостоятельно определяет тематику изучаемых модулей вариативной части.

Данную возможность в сфере образования, при подготовке будущих учителей, каждый вуз реализует с учетом меняющейся обстановки в школьном математическом образовании. Так, например, каждый учитель должен уметь организовать учебно-исследовательскую работу учащихся. Наиболее часто при организации учебно-исследовательской работы школьников используется метод проектов. Исследовательские проекты можно считать высшей ступенью исследовательской деятельности учащихся.

Под проектно-исследовательской деятельностью учащихся, как правило, понимают деятельность школьников, которая связана с решением творческой, исследовательской задачи с заранее неизвестным решением и предполагающая наличие основных этапов, характерных для исследования в научной сфере. Учителю необходимо формировать у учащихся навыки проектно-исследовательской деятельности через различные формы организации учебной деятельности. Необходимо отметить, что все промежуточные этапы такой деятельности и завершающий (защита проекта), выполняются с использованием информационно-коммуникационных технологий.

Таким образом, всем перечисленным выше должен обладать и выпускник вуза, обучаемый по направлению «Педагогическое образование». Естественно предположить, что основы проектно-исследовательской деятельности будут рассмотрены при изучении дисциплины «Методика обучения математике», но детальный разбор всех положительных сторон методики организации работы над исследовательским проектом, подбор тематики возможных школьных проектов будет перенесен на дисциплины из вариативной части учебного плана. Здесь будет создано широкое поле для досконального изучения данного вопроса.

Использование информационно-коммуникационных технологий в преподавании школьных дисциплин так же является одной из сторон сферы деятельности учителя-предметника, в том числе и математика. Модуль дисциплин вариативной части поможет будущему учителю ответить на вопрос «Как правильно использовать такого рода технику на уроке математики?». Отдельные курсы могут быть посвящены подбору широкой базы материалов, имеющих практическую направленность; ознакомлению студентов с различными информационными ресурсами и правилами их ис-

пользования при подготовке к уроку, на уроке, во внеурочной деятельности. Стандарт позволяет в вариативной части представлять для изучения курсы, которые имеют узкую сферу приложения информационно-коммуникационных технологий. Например, курсы по выбору «Дистанционные технологии в образовании», «Web-сервисы в образовании» для педагогического направления позволят выпускнику уверенно чувствовать себя в профессии. Такие курсы как «Методика обучения математике детей с особыми образовательными потребностями», «Изучение школьных учебников математики с углублённым содержанием» должны помочь выпускнику найти свою нишу при трудоустройстве.

С другой стороны, подготовку будущего учителя нельзя осуществить без школьной практики. Оптимальный вариант, если студент, получив определенные знания, может их сразу апробировать в классе на уроке. Но не всегда данный подход себя оправдывает. Каждый практикант, выходя на практику, должен обладать некоторым завершенным багажом знаний и умений. Реализовать такую подготовку в полном объеме могут помочь дисциплины и курсы выбора вариативной части учебного плана. При их разработке представляется возможным учесть и посещение отдельных уроков и внеклассных мероприятий у ведущих учителей школ. Такая форма работы непременно даст положительный результат.

Рассмотренный выше подход реализуется на физико-математическом факультете Елецкого государственного университета им. И.А. Бунина при подготовке учителей математики. Разработанные курсы выбора «Обучение и воспитание в профильных классах», «Классный руководитель: статус, функции и содержание деятельности», «Учитель-ученик: педагогический конфликт и его разрешение», «Научно-исследовательская деятельность по предмету: сущность, методология, организация» и другие помогут студенту-практиканту раскрыть свой педагогический потенциал.

Многие аспекты представленной деятельности требуют осмысления и доработки. Поиск новых форм обучения студентов позволит подготовить высококвалифицированного специалиста в сфере образования. Но нужно отметить, что такая широкая вариативность образовательных стандартов имеет и отрицательные стороны. Например, перевод студента с одного направления на другое, или перевод в другой вуз на родственную специальность представляет собой достаточно сложный процесс (достаточно большой блок вариативных дисциплин в учебных планах).

Необходимо отметить, что тенденция увеличения часов, отводимых на самостоятельное изучение дисциплин, сохраняется. При разработке рабочих учебных планов стандарт высшего профессионального образования требует отводить на самостоятельную работу студентов не менее 50% учебного времени, а, следовательно, значительную часть знаний студент должен освоить самостоятельно. В данной ситуации для преподавателя

важно организовать данный вид учебной работы и предусмотреть, что немало важно, мероприятия по контролю уровня качества получаемых знаний. При реализации вариативных дисциплин, курсов выбора, факультативов перед преподавателем раскрывается широкий выбор методов, средств и форм, как обучения, так и проверки наработанных знаний, умений и навыков.

Будущий учитель должен знать основные положения Федерального государственного образовательного стандарта, быть готовым реализовы-вать его, адекватно реагировать на все изменения в сфере образования. На наш взгляд, именно в вариативной части образовательного стандарта и заложена возможность реагирования на всевозможные изменения. Такой подход позволит использовать различные подходы к организации учебного процесса, варьировать содержание и методику подачи материала в зависимости от профиля подготовки студентов. Так наличие курсов и модулей, изучение которых студент выбирает самостоятельно, позволит вузу на достаточно высоком уровне подготовить высококвалифицированного специалиста, учителя-практика.

Библиографический список

1. Федеральные государственные образовательные стандарты. URL: http://standart.edu.ru

2. Концепция развития российского математического образования. URL: http ://www.garant.ru/products/ipo/prime/doc/70452506/

К ВОПРОСУ О МЕТОДЕ РАЦИОНАЛИЗАЦИИ В ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ

Н.В. Черноусова

Аннотация. В статье рассматрены некоторые методические аспекты использования в учебном процессе метода рационализации неравенств (метода замены множителей, метода декомпозиции, метода Голубева).

Ключевые слова: неравенство, решение, метод рационализации, ЕГЭ.

Хочешь делать быстро — делай правильно!

Единый государственный экзамен (ЕГЭ) по математике — это очень важный экзамен для большинства старшеклассников, результаты которого напрямую повлияют на их шансы поступления в желаемый ВУЗ, а значит и на дальнейшую судьбу. Основная масса конкурентных баллов заложена во

второй части ЕГЭ по математике. Во многом именно процент выполнения этой части решает дальнейшую траекторию жизни школьника.

Успешность выполненной работы в основном зависит от знаний и опыта учащегося. Содержание экзаменационной работы определяется на основе федерального компонента государственного стандарта основного общего и среднего (полного) общего образования. Возможны различные способы и записи развёрнутого решения. Главное требование - решение должно быть математически грамотным, из него должен быть понятен ход рассуждений автора работы. В остальном (метод, форма записи) решение может быть произвольным. Полнота и обоснованность рассуждений оцениваются независимо от выбранного метода решения [6].

При решении многих задач, в том числе и задач ЕГЭ часто возникает необходимость либо непосредственно решить неравенство, либо этот шаг - решение неравенства - возникает как вспомогательный при решении других, более сложных и объёмных задач.

Один из способов решения сложных задач - метод рационализации неравенств (метод замены множителей, метод декомпозиции, метод Голубева1). Суть метода - переход от неравенства, содержащего в качестве множителей сложные (чаще всего показательные или логарифмические) выражения, к равносильному ему более простому рациональному неравенству, решаемому методом интервалов.

Этот метод практически не использовался в школьной практике. Учителя не любят применять этот способ, рассматривают совокупности. И это не свидетельствует о том, что педагоги не знают метода рационализации, в большей степени учителя опасаются: признают ли эксперты ЕГЭ обоснованность решения задания этим методом.

В последние 2-3 года метод повсеместно продвигается. И для экспертов есть методические указания, связанные с этим методом, и в «Самых полных изданиях типовых вариантов ...» в решении СЗ используется этот метод [3]. Похоже, что у метода не осталось противников, и все согласились, что он служит «волшебной палочкой-выручалочкой» в трудных ситуациях. Конечно же, более простое и «быстрое» решение всегда ценилось, ценится и будет цениться.

НО...

1 О методе рационализации можно прочитать в журнале «Математика в школе» за 1969 год № 3 в статье учителя учителей Дорофеева Георгия Владимировича «Обобщенный метод интервалов». Терминология «рационализация неравенств» идет от него. Об этом он пишет и в своем учебнике за 11 класс «Алгебра и начала анализа». Этот метод (без названия) рассматривается в книге Моденова Владимира Павловича «Пособие по математике» за 1972 год (позже будет назван метод декомпозиции). Терминология «метод замены множителей» относится к 90-ым годам, когда о нем заговорили после выхода книги В.И. Голубева в 90-е годы [1,2, 4, 5].

Ученик должен понимать, откуда берется рационализация, четко представлять последовательность «шагов» решения методом рационализации.

Таблица на метод рационализации, основанная на теоремах о монотонности функций в различных источниках содержит до 32 рациональных замен [2]. Знать все их невозможно, но уметь доказывать хотя бы некоторые, на наш взгляд, обязательно. В противном случае бездумное применение метода в самый ответственный момент может привести к непростительной ошибке.

Школьникам нужно предварительно напомнить, что основная часть замен обусловлена двумя следующими утверждениями: Утверждение 1: Функция f(x) есть строго возрастающая тогда и только тогда, когда для любых двух значений t± и t2 из области определения функции разность t2 — t2 совпадает по знаку с разно-

Знак <—^означает знакосовпадение со СТРОГИМ учетом ОДЗ.

Утверждение 2: Функция f(x) есть строго убывающая тогда и только тогда, когда для любых двух значений tx и t2 из области определения функции разность t2 — t2 совпадает по знаку с разностью

Можно доказать в классе, что разность степеней по одному и тому же основанию всегда по знаку совпадает с произведением разности показателей этих степеней на отклонение основания степени от единицы. Другими словами, выражение вида cJ — а^имеет тот же знак, что и выражение (а — — д). Наглядно показать, что и разность логарифмов по одному и тому же основанию всегда по знаку совпадает с произведением разности чисел этих логарифмов на отклонение от единицы. Другими словами выражение вида loga / — loga g имеет тот же знак (в области существования логарифмов) что и выражение (а — — д).

На наш взгляд, школьникам достаточно привести следующую таблицу замены при использовании метода рационализации:

стью

Сложный множитель

Замена сложного множителя

Особое внимание следует обратить на то, что мы говорим о замене множителей в неравенствах вида — V 0. Правая часть обязательно должна быть равна 0. Символ V обозначает один из четырех возможных знаков неравенства <, <,>,>.

Математика — это игра по правилам, в соответствии с которыми строятся необходимые логические цепочки. Каждое нарушение любого из правил — ошибка, которая обычно приводит к пагубным последствиям.

Библиографический список

1. alexlarin.net: [сайт]. URL: http://www. alexlarin.net

2. Голубев, В.И. Решение сложных и нестандартных задач по математике. М.: ИЛЕКСА, 2007. 252 с.

3. ЕГЭ-2014: Математика: самое полное издание типовых вариантов заданий / авт.-сост. И.В. Ященко, И.Р. Высоцкий; под ред. А.Л. Семенова, И.В. Ященко. М.: ACT: Астрель, 2014. 123 [5] с. (Федеральный институт педагогических измерений).

4. Колесникова С.И. Математика. Решение сложных задач Единого государственного экзамена. 3-е изд. М.: Айрис-пресс, 2007. 272 с.

5. Моденов П.С. Сборник задач по специальному курсу элементарной математики. М.: Высшая школа, 1960. 766 с.

6. Об утверждении федерального компонента государственных стандартов начального общего, основного общего и среднего (полного) общего образования: Приказ Минобразования России от 05.03.2004 № 1089. 203 с.

РАЗДЕЛ III. СОВРЕМЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ МАТЕМАТИКИ

АППАРАТ ЦЕПЕЙ МАРКОВА В АНАЛИЗЕ ИЗМЕНЕНИЙ АВТОРСКОГО СТИЛЯ ПОД ВОЗДЕЙСТВИЕМ СОЦИОКУЛЬТУРНОЙ СРЕДЫ: К ПОСТАНОВКЕ ПРОБЛЕМЫ

С.Н. Дворяткина, А.А. Дякина, Ю.В. Мельникова

Аннотация. В статье рассматривается возможность и целесообразность использования формальной математической модели последовательности символов любой природы как реализации цепи А.А. Маркова для анализа изменения (сохранения) авторского стиля. Установлено, что частоты употребления сочетаний определенных букв с высокой вероятностью характеризуют стиль писателя. Вопрос влияния социокультурной среды на стилевые особенности мастеров слова в науке остается открытым. Тем важнее выявление особенностей творческой индивидуальности писателя (на уровне словесной ткани) в связи с изменениями общественного и культурного пространства его пребывания.

Ключевые слова: цепи Маркова, авторский стиль, социокультурная среда, формальные параметры текста, частотные признаки.

Марковские процессы являются самым крупным направлением в теории случайных процессов. Популярность этой теории определяется тем, что дискретные марковские процессы (цепи Маркова)1 успешно применяются в статистическом контроле качества продукции, в теории массового обслуживания, в теории надежности, в теории планирования. Марковские цепи разных порядков нашли широкое приложение в многочисленных работах 50-60-х годов XX века по лингвистике в процессе оценки энтропии различных типов текстов, атрибуции текста (установления авторства).

Проблема анализа и сравнения стилей текстовых произведений давно уже носит междисциплинарный характер. Целесообразность привлечения вероятностно-статистических методов отмечалась в большом количестве исследований. Такие «нетрадиционные» методы стали совершенно традиционными и позволили получить не только количественные, но и качественные выводы, например, в филологических исследованиях, изучаю-

1 Цепь Маркова - последовательность случайных событий с конечным или счётным бесконечным числом состояний (исходов), для которой характерно свойство: вероятность перехода системы в новое состояние зависит только от состояния системы в настоящий момент и не зависит от того, когда и каким образом система перешла в это состояние, т.е. не зависит от прошлого.

щих стилистические особенности текстов, язык литературных произведений различных жанров, авторов и т.д.; в психологии и теории искусственного интеллекта при изучении и моделировании мыслительной деятельности. Многие практические задачи сравнения стилей текстовых документов возникают в судебной практике, криминалистике. Сопоставлять стили текстов приходится также в исторических исследованиях, чтобы определить время написания того или иного исторического документа, идентифицировать личность автора.

В литературоведческой практике проверка текстов на близость стилей необходима для установления в спорных случаях подлинного авторства литературных произведений. Широко известны споры об авторстве некоторых произведений Шекспира, романа «Тихий Дон». До сегодняшнего дня не установлено точно авторство некоторых анонимных и псевдонимных публицистических статей, приписываемых Ф.М. Достоевскому; ставится под сомнение авторство некоторых текстов М.Ю. Лермонтова, М. Е. Салтыкова-Щедрина и т.д.

Теоретическим основанием для использования математических методов исследования письменной речи является вероятностная модель порождения речевого высказывания. Благодаря прочной фиксации навыков письма и образования в коре головного мозга систем динамического стереотипа, нервный труд, затрачиваемый в процессе создания текста, уменьшается, и появляется возможность писать автоматизировано. Этот фактор позволяет доподлинно определять авторство.

Сравнение стилей отдельных текстов проводится на основе совокупности признаков, отражающих существенные свойства авторского стиля. К таким признакам можно отнести: статистические характеристики (частотность слов, букв, их сочетаний, количественное использование определенных частей речи, синтаксических конструкций и т.д.), которые могут быть легко формализованы с помощью количественного анализа текстовых единиц с применением статистических методов. При этом основная проблема формальных методов анализа авторства стилей состоит в выборе необходимых характеристик. Характеризующие параметры, по замечанию А.А. Маркова [1], должны удовлетворять определенным требованиям, таким, как статистическая устойчивость, массовость, различающая способность.

Вопросами проверки текстов произведений на близость стилей с применением формально-количественных методов в российской и зарубежной науке занимались А.А. Марков, М.А. Марусенко, Н.А. Морозов, В.П. Фоменко, Т.Г. Фоменко, В. Фукс, Д.В. Хмелев, Г. Хетсо, О.Г. Шевелев и др.

Одним из первых исследователей, который применил вероятностно-статистические методы к анализу литературных текстов, был А.А. Марков [2]. В 1913 году он провел анализ распределения гласных и согласных сре-

ди первых 20000 букв романа «Евгений Онегин», не учитывая «ь» и «ъ» знаков.

В 1915 году Н.А Морозов [3] предложил методику подсчета частотности использования служебных частей речи различными писателями для установления признаков их индивидуального стиля. Результаты его подсчетов были представлены в виде «лингвистических спектров» (графиков). Для определения авторского стиля Н.А. Морозовым была использована следующая количественная характеристика: комбинация частоты предлогов «в», «на» и частицы «не». Метод Морозова лег в основу многих исследований по лексическому составу языка писателей. Однако в 1916 г. он был критически оценен А.А. Марковым в статье «Об одном применении статистического метода» [1]. Метод, предложенный Н.А. Морозовым, не выходил за рамки лексического анализа и состава предложения, а потому не мог быть основой для достоверного стилистического исследования.

В дальнейшем диапазон исследований по рассматриваемой проблеме расширился за счет использования точных методов. В. Фукс [4] определил матрицу частот переходов для синтаксических классов слов в библейских текстах и после обращения к показателям индекса различия, смог четко различить стилевые особенности четырех канонических евангелических текстов. Но использование подобного коэффициента для оценки древнерусских текстов оказалось малоэффективным.

С развитием информационных технологий анализ текстов приобретал огромный научный интерес. В 1978 г. математик Г. Хетсо [5] предложил методику установления авторства, основанную на анализе текста с автоматизированным получением частотных словарей и статистических данных. К сожалению, в разработке была допущена ошибка, заключающаяся в использовании только одного параметра - средней длины предложения.

В 1990 г. М.А. Марусенко [6] на основе характеристик авторского стиля применил метод распознания образов при атрибуции текста. В основу метода был положен многомерный статистический анализ, представленный в теории распознания образов. Применение разработанного М.А. Марусенко математического аппарата к реальному историко-литературному материалу, показало его высокую эффективность. Данная система распознания устойчива к колебаниям малого объема текстов и к временной эволюции параметров авторского стиля.

Одним из последних исследований, основанных на автоматической обработке текста, является диссертационная работа О.В. Шевелева [7], в которой был предложен новый подход для сравнения стилей текстов, базирующийся на двустороннем критерии Фишера и х -критерии Пирсона по частотным признакам, совокупности признаков и их распределению. Автором разработан программный комплекс «СтилеАнализатор», обеспечивающий полный цикл проведения анализа стилей текстов.

Несмотря на множество работ по проверке на близость стилей текстов, остается ряд не исследованных или мало исследованных областей. Например, отсутствуют механизмы и средства, обеспечивающие задание характеризующих параметров стилей текстов. Не проводились комплексные исследования по проверке стилей текстов на близость или однородность. Если рассматривать историю атрибуции текста с применением формальных методов анализа глубже, то можно заметить, что ни в одной из существующих ныне работ практически не поднимался вопрос о применении аппарата марковских цепей для анализа изменения (сохранения) стиля автора, тексты которого были созданы в разные периоды жизни писателя под воздействием объективных социокультурных факторов.

Проанализировав творческие биографии многих писателей XIX -XX веков, не трудно заметить, что авторам приходилось часто путешествовать, совершать вынужденные переезды, к примеру, под давлением революций и всякого рода общественных волнений. Исходя из этого, нам предстоит установить: могла ли изменяющаяся социокультурная среда влиять на стилевые особенности автора? Особенно актуальным подобное изучение становится в тех случаях, когда социальное и культурное окружение писателя меняется кардинально и навсегда. Речь идет о представителях так называемой «белой» эмиграции, покинувших Россию после октябрьских событий 1917 года. Первые несколько лет своего зарубежного пребывания русские беженцы надеялись на возвращение и практически не стремились к ассимиляции в новой среде. Вполне возможно, что в этот период стиль писателей (а многие из них, такие, как И.А. Бунин, Б.К. Зайцев, А.М. Ремизов, И.С. Шмелев, другие продолжали активно работать) сохранялся в привычном, ранее уже знакомом для читателей, состоянии. Позже, после 1921 года, ситуация резко изменилась, и возврат на Родину стал не возможен. Этот факт, с большой долей вероятности, мог повлиять и на состояние стиля писателя, да и в целом - на литературную ситуацию русского зарубежья. Данное исследование будем проводиться формальными методами анализа текста с использованием аппарата марковских цепей.

В науке установлено, что вероятность появления сочетания пар символов различной природы в тексте отдельных авторов подчиняются некоторым закономерностям. Следовательно, каждому писателю (автору) свойственна своя устойчивая структура письма. Нам предстоит выбрать наиболее эффективные данные для предварительной обработки. Ими могут быть:

а) пары букв в их естественных последовательностях в тексте - в словах (в той форме, в которой они употреблены в тексте) и пробелах между ними;

б) пары букв в последовательностях букв в приведенных формах слов (словарных, лемматизованных или исходных);

в) пары наиболее обобщенных грамматических классов слов (частей речи, условных категорий, типа «конец предложения», «сокращение» и др.) в их последовательностях в предложениях текста;

г) пары менее обобщенных грамматических классов слов (одушевленные существительные, неодушевленные существительные, прилагательные качественные, относительные, притяжательные и т.п.)

Мы согласны с выводами, полученными в работе [8] : использование пар подряд идущих букв дает более точные результаты, чем использование других языковых структур (слов, их пар). Подсчет частоты употребления пар букв позволяет учесть информацию о словаре, который используется автором, а также информацию о предпочитаемых им грамматических конструкций.

Сущность технологии применения марковских цепей для установления устойчивости авторского стиля состоит в следующем. Мы предполагаем, что в нашем распоряжении имеются достаточно длинные фрагменты прозаических произведений одного автора на русском языке, написанные в разные периоды жизни. По произведениям раннего периода отдельного автора (выбирается одно контрольное произведение) вычисляется матрица переходных частот употреблений пар букв, которая служит оценкой матрицы вероятностей перехода из буквы в букву для экспериментального произведения позднего периода. Если вычисленная оценка вероятности высока, то стиль автора под воздействием внешних факторов не изменился и наоборот. Такой метод оказывается достаточно точным для естественноязыковых текстов. Вероятно, подобный метод допустим и при анализе художественных и публицистических текстов. Если это так, то перед исследователями открываются широкие перспективы в осмыслении особенностей авторского стиля отдельных творческих индивидуальностей и литературного процесса определенного периода времени в данной конкретной историко-культурной среде.

Библиографический список

1. Марков А.А. Об одном применении статистического метода // Известия отд. русского языка и словесности Имп. Акад. наук. Серия VI, Т.Х, 1916.-С. 239.

2. Марков А.А. Пример статистического исследования над текстом «Евгения Онегина», иллюстрирующий связь испытаний в цепь // Известия Имп. Акад. наук. Серия VI, Т.Х, N3, 1913, - С.153.

3. Морозов Н.А. Лингвистические спектры. Средство для отличения плагиатов от истинных произведений того или иного известного автора: Стилеметрический этюд // Известия отд. русского языка и словесности Имп. Акад. наук. T. XX, Кн. 4., 1915.

4. Фукс В. По всем правилам искусства: Точные методы в исследованиях литературы, музыки и изобразительного искусства // Искусство и ЭВМ / под ред. Р.Х. Зарипова. М.: Мир, 1975. С. 134-356.

5. Хетсо Г. Проблема авторства в романе «Тихий дон» // Scandoslavica. T. 24.- 1978.

6. Марусенко Н.А. Атрибуция анонимных и псевдонимных литературных произведений методами распознавания образов. Л.: Изд-во ЛГУ, 1990. 164 с.

7. Шевелев О.В. Разработка и исследование алгоритмов сравнение стилей текстовых произведений: дис. канд. техн. наук. Томск, 2006.

8. Хмелев Д.В. Распознавание автора текста с использованием цепей А.А. Маркова // Вестник МГУ. Серия 9. Филология, 2000. №2. С. 115-126.

ОБОБЩЕННЫЙ ЗАКОН АССОЦИАТИВНОСТИ В ПОЛУГРУППЕ

С.В. Костин

Аннотация. Приведены строгая формулировка и строгое доказательство обобщенного закона ассоциативности в полугруппе. Отмечено, что в учебном процессе необходимо явно формулировать и четко доказывать все математические утверждения.

Ключевые слова: ассоциативная бинарная операция, обобщенный закон ассоциативности, учебный процесс.

1. Введение

Как известно, операция умножения матриц обладает свойством ассоциативности. Это означает, что для любых трех матриц А, В, С имеет место равенство (АВ)С = А(ВС). Благодаря этому равенству произведение ABC часто пишут вообще без скобок. Действительно, зачем ставить скобки, если результат выполнения двух операций умножения все равно не зависит от того, перемножим ли мы сначала матрицы А и В и результат умножим справа на матрицу С, или мы сначала перемножим матрицы В и С и результат умножим слева на матрицу^ ?

Мы вряд ли ошибемся, если скажем, что свойство ассоциативности является одним из наиболее важных свойств (если не самым важным свойством), которым может обладать бинарная алгебраическая операция. Достаточно указать, например, на тот факт, что условие ассоциативности (а отнюдь не более простое, казалось бы, условие коммутативности) часто накладывают на операцию умножения в такой важной алгебраической структуре как «кольцо». Иначе говоря, обычно рассматриваемые кольца

являются ассоциативными, но далеко не всегда коммутативными. (Примером ассоциативного, но не коммутативного кольца является множество Mn(F) всех квадратных матриц порядка п над произвольным полем F.)

Уже любой школьник младших классов знает, что операции сложения и умножения чисел являются ассоциативными операциями, то есть что для любых трех чисел х, у, z выполняются «сочетательный закон сложения» (х + у) + z = х + {у + z) и «сочетательный закон умножения» (xy)z = x{yz).

Свойство ассоциативности формулируется для трех объектов. Однако это свойство допускает очень важное обобщение. Например, из того, что для любых трех матриц А, В, С имеет место равенство (АВ)С = А(ВС), вытекает, что для любых п матриц А19 А2,..., Ап произведение А]А2...Ап не зависит от последовательности выполнения действий (при условии, что порядок матриц остается неизменным). Например, в случае четырех матриц А, В, С, D перемножение можно выполнить пятью разными способами:

((АВ)СЩ (A(BC))D, (AB){CD\ A((BQD), A(B(CD)). (1)

и каждый из этих способов приводит к одному и тому же результату. Указанное обобщение свойства ассоциативности называется «обобщенный закон ассоциативности» (по-английски «gênerai associative law»).

К сожалению, обобщенный закон ассоциативности очень редко строго формулируют (а тем более аккуратно доказывают) в учебной литературе (как на русском языке, так и на английском языке). Возможно, одни авторы считают этот закон «самоочевидным», а другие просто «не замечают», что этот закон нуждается в доказательстве. Несомненно, свою роль здесь играет и тот факт, что обобщенный закон ассоциативности на самом деле не так-то просто не то что доказать, а даже просто строго математически сформулировать - ведь последовательность действий определяется скобками, а значит, сначала надо определить такое непростое понятие как «правильная расстановка скобок» (или какой-либо аналог этого понятия, например, понятие «упорядоченное бинарное дерево»).

Данная статья носит методический характер и призвана заполнить указанный пробел в учебной литературе. Мы строго математически формулируем и доказываем обобщенный закон ассоциативности для произвольной бинарной алгебраической операции в полугруппе.

2. Ассоциативная бинарная операция

Пусть А — произвольное непустое множество.

Определение. Отображение / декартова квадрата АхА = А2 множества А во множество А называется бинарной алгебраической операцией на множестве А. □

Пусть х, у е А. Значение /(х, у) бинарной операции / на элементах X и у мы будем обозначать также символом х * у.

Определение. Бинарная операция / называется ассоциативной, если при всех X, у, z Е J имеет место равенство

ДА* у), = Л**)), (2)

или, что то же самое, равенство

(х* у)*z = X* (у * z). □ (2' )

Напомним, что алгебраической системой в математике называют множество вместе с заданными на этом множестве операциями и отношениями.

Определение. Алгебраическая система (А, /), где / — ассоциативная бинарная операция на множестве А, называется полугруппой. □

Отметим, что множество, на котором задана одна бинарная операция, называется группоидом (см. [1], стр. 50). Поэтому можно сказать, что полугруппа — это ассоциативный группоид.

3. Семейство элементов множества

Пусть А — произвольное непустое множество.

Пусть п е N и пусть / — произвольное множество, состоящее из п элементов.

Определение. Отображение <р: I —» А множества / во множество А называется семейством из п элементов множества А. □

Определение. Элемент / множества / называется индексом элемента /(/) семейства <р. Множество / называется множеством индексов семейства ср. □

Пусть на множестве индексов / задано отношение линейного порядка р, то есть множество / является линейно упорядоченным множеством. (Напомним, что отношение р называется отношением линейного порядка, если это отношение является рефлексивным, антисимметрическим, транзитивным и связным.)

Тогда для каждого элемента / е / определен номер п (/) этого элемента / относительно порядка р :

(3)

Здесь символ j ' i означает, что элемент j предшествует элементу i относительно порядка р. Иначе говоря, этот символ означает, что отношение р является отношением порядка и элемент j находится в отношении р к элементу i. Подробнее по поводу символа j ^ i можно прочитать в нашей статье [2, стр. 390].

Отображение пр, ставящее в соответствие каждому элементу / е / его номер п (/) относительно порядка р, является биекцией (взаимно однозначным отображением) множества / на множество [1.. п]. Таким образом, при отображении пр каждый элемент линейно упорядоченного множества / получает свой индивидуальный номер.

Пусть \ <к<1 <п. Символом 1[к.. /] мы будем обозначать множество всех тех элементов i линейно упорядоченного множества /, номера п (/) которых относительно порядка р принадлежат отрезку целых чисел [к.. /], то есть

(4)

Сужение порядка р на множество I[k..l] является линейным порядком на множестве /[£../], поэтому множество I[k..l] тоже является линейно упорядоченным множеством.

4. Алфавит. Слово

Рассмотрим множество Z, элементами которого являются четыре значка (символа): строчная латинская буква «v» (первая буква английского слова «variable» — «переменная»), звездочка «*» (символ бинарной алгебраической операции /), открывающая круглая скобка «(» и закрывающая круглая скобка « ) ».

Определение. Множество Е называется алфавитом. □ Пусть п е N.

Определение. Отображение W: [\..п]^Т множества [\..п] во множество Е называется словом в алфавите Е . □

Определение. Число п называется длиной слова W. □

Обозначение: l(W). □ Пусть / Е [1.. п].

Определение. Символ W(ï) называется i -й буквой слова W. □ Символами V, S, L и 7? обозначим слова длины 1, первой (и единственной) буквой которых являются символы «V», «*», «(» и «)» соответственно.

5. Действия со словами

Пусть m, я е TV.

Пусть Wx — слово длины m, W2 — слово длины п и W — слово длины т + п.

Определение. Слово W называется конкатенацией слов Wx и W2, если:

1) при всех / Е [1.. т] имеет место равенство W(i) = Wx(j) ;

2) при всех г ^[т + \..т + п] имеет место равенство W{ï) = = W2(/ - m), и

Обозначение: W = Wx о W2. □

На неформальном языке можно сказать, что слово W получается в результате приписывания к слову Wx слова W2.

Пусть \ <к<1 <п.

Пусть W — слово длины п, Wx — слово длины l — k + l.

Определение. Слово Wx называется подсловом слова W, расположенным в позициях от к до /, если при всех / е [1.. / - к +1] имеет место равенство Wx(/") = W{i + к-Х). □

Обозначение: Wx = W[k.. /]. □

6. Формула

Приведем рекуррентное определение чрезвычайно важного понятия «формула». (Возможно, вводимый нами объект было бы правильнее называть «макет формулы», «схема расстановки скобок» или каким-либо другим подобным образом, но мы для краткости будем говорить просто «формула»).

Определение. 1. Слово V является формулой.

2. Если слова Wx и W2 являются формулами, то слово LoWxo S oW2o R тоже является формулой.

3. Если слово W нельзя получить, применяя конечное число раз правила 1 и 2, то слово W не является формулой. □

Из приведенного определения следует, например, что слова v, (v * v), ((v * v) * v) являются формулами, a слово ((v * v)(v * v)) не является формулой.

Формулы мы будем обозначать символами Ф, Ф1, Ф', *¥9 ...

Лемма 1. Длина /(Ф) любой формулы Ф равна 4/7-3, где n<=N. □

Лемма 2. Если /(Ф) = 4п-3, то формула Ф содержит п букв v и п-1 букв *, ( и ). □

Лемма 3. Если /(Ф) = /, то при любом к<1 слово Ф[1..£] содержит больше букв (, чем букв ) (а значит, не является формулой). □

Леммы 1, 2, 3 доказываются на основе приведенного нами рекуррентного определения понятия «формула» с помощью метода полной математической индукции по длине /(Ф) формулы Ф.

Теорема. Пусть Ф — формула, отличная от слова V. Тогда существуют и притом единственные формулы Ф1 и Ф2 такие, что

Доказательство. Существование формул Ф1 и Ф2 вытекает из определения понятия «формула». Единственность формул Ф1 и Ф2 доказывается от противного с использованием леммы 3. □

Определение. Формулы Ф1 и Ф2, о которых идет речь в теореме, называются первой и второй главными подформулами формулы Ф. □

7. Значение формулы на семействе

Пусть Ф — формула длины 4/7-3, где n^N. Согласно лемме 2, формула Ф содержит ровно п букв v. Эти буквы являются своеобразными «местами», на которые можно ставить любые элементы множества А.

Пусть / — произвольное линейно упорядоченное множество из п элементов и пусть (р\ I —> А — семейство из п элементов множества А.

Поставим в соответствие каждой упорядоченной паре (Ф,(р) (где Ф — формула длины 4/7-3, а ср — семейство из п элементов) определенный элемент 0(Ф, ср) множества А. Этот элемент называется значением формулы Ф на семействе ср и определяется индуктивно (по количеству переменных п ) следующим образом.

Определение. 1. Если /7 = 1, то 0(Ф, <p) = <p(i), где / — единственный элемент множества /.

2. Если п > 2, то

(5)

(6)

Здесь Ф, и Ф2 — первая и вторая главные подформулы формулы Ф, ъ (рх и <р2 — сужения отображения ср\ I —> А на множества /[1.. т] и 1[т + \..п]. Здесь m — количество «мест» для переменных (количество букв V) в формуле Ф{, то есть /(Ф,) = 4га - 3.

8. Основная теорема

Теорема. Если операция / (или, что то же самое, операция * ) является ассоциативной, то значение Q(0, ф) не зависит от расстановки скобок, то есть не зависит от формулы Ф, а зависит только от семейства <р: I —> А (здесь / — линейно упорядоченное множество). □

Доказательство. Применим индукцию по количеству «мест» для переменных (количеству букв v ) в формуле Ф.

Если /7 = 1 и /7 = 2, то утверждение теоремы справедливо, поскольку в этом случае существует только одна формула Ф (в случае /7 = 1 это формула v, а в случае /7 = 2 это формула (v * v) ).

Пусть /7 > 3. Предположим, что утверждение теоремы верно для всех формул длины < 4(п — 1) — 3 = 4/7 — 7. Докажем, что утверждение теоремы верно для всех формул длины 4/7 - 3.

Пусть Ф и Ф' — две разные формулы длины 4/7-3. Имеем:

(7)

(8)

(здесь Ф, иФ2 — первая и вторая главные подформулы формулы Ф ; Ф{ и Ф2 — первая и вторая главные подформулы формулы Ф' ; <р19 <р29 <р[, <р'2 — соответствующие сужения отображения q>\ I —> А).

Все формулы Ф15 Ф2, Ф{, Ф'2 имеют длину, меньшую чем 4/7-3.

Поэтому для этих формул справедливо предположение индукции, а значит, мы можем заменить каждую из этих формул на любую другую формулу той же длины.

Если /(Ф2)>1, то заменим формулу Ф2 на формулу ЬоЦ*2оSoVоR той же длины (с совершенно произвольной формулой , от которой требуется лишь, чтобы она имела соответствующую длину). Имеем:

(9)

(здесь г — «последний» элемент множества / с номером np{i) = п ).

Воспользуемся ассоциативностью операции *, то есть формулой

(2'):

(10)

Пусть

Тогда

(11)

(здесь ц/ — сужение отображения <р : / —» А на множество /[1.. п -1] ).

С помощью аналогичных преобразований формула (9) приводится к виду

(12)

Поскольку формулы Ч* и имеют одинаковую длину, то по предположению индукции Cïi^i*, у/) = CiQ¥\ у/).

Правые части формул (11) и (12) совпадают, а значит, совпадают и их левые части. Теорема доказана. □

9. Заключение

В нашей статье мы строго сформулировали и доказали обобщенный закон ассоциативности для произвольной ассоциативной бинарной операции в полугруппе.

Обобщенный закон ассоциативности постоянно используется в математике и в то же время, к сожалению, очень редко четко формулируется и строго доказывается. По нашему мнению, в учебном процессе (особенно, если речь о подготовке студентов математических специальностей) необходимо явно формулировать и четко доказывать все наиболее важные математические утверждения, к которым, безусловно, относится и обобщенный закон ассоциативности, поскольку это способствует формированию математической культуры обучаемых.

Материалы данной статьи, по нашему мнению, могут быть использованы на заседании студенческого математического кружка, которое можно специально посвятить такому важному свойству бинарных операций как ассоциативность. Также материалы данной статьи могут быть использованы при написании студенческих курсовых работ и рефератов.

В завершение нашей статьи отметим, что если бинарная операция является не только ассоциативной, но и коммутативной, то имеет место также обобщенный закон коммутативности (по-английски «gênerai commutative law»), который позволяет не только по-разному расставлять скобки, но и произвольным образом изменять порядок членов. Мы предла-

гаем читателям самостоятельно сформулировать и доказать обобщенный закон коммутативности в качестве полезного упражнения.

Мы надеемся, что данная статья заинтересовала читателей и будем благодарны за любые комментарии или замечания по затронутым нами вопросам.

Библиографический список

1. Вечтомов Е. М. Основные математические структуры. Киров: Радуга-Пресс, 2013. 292 с.

2. Костин С. В. Изучение понятия «отношение» в вузовском курсе математики // Бюллетень лаборатории математического, естественнонаучного образования и информатизации Московского городского педагогического университета. Т. 3. Воронеж: Научная книга, 2012. 391 с.

ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ПОНЯТИЯ «УПОРЯДОЧЕННЫЙ НАБОР» В АКСИОМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ ЦЕРМЕЛО-ФРЕНКЕЛЯ

С.В. Костин

Аннотация. Приведено новое определение понятия «упорядоченный набор» в аксиоматической теории множеств Цермело-Френкеля. В отличие от стандартного определения этого понятия, при предложенном определении длина упорядоченного набора и его координаты определены однозначно.

Ключевые слова: аксиоматическая теория множеств Цермело-Френкеля, упорядоченный набор.

В аксиоматической теории множеств Цермело-Френкеля упорядоченным набором называют математический объект (х15х25...,хл)5 который обладает следующим основным характеристическим свойством:

(1)

Изучение книг по теории множеств показывает, что в подавляющем большинстве из этих книг упорядоченный набор определяется по индукции следующим образом:

(2)

База индукции при п-2 определяется с помощью уже давно ставшего классическим определения, предложенного Казимиром Куратовским:

(3)

Чем, по нашему мнению, не совсем удачны определения (2)-(3)? Рассмотрим для простоты случай /7 = 3:

(4)

Из формулы (4) видно, что набор а одновременно является упорядоченной тройкой (с координатами хх, х2, х3 ) и упорядоченной парой (с координатами (х15х2), х3). Следовательно, мы не можем однозначно сказать, чему равна длина упорядоченного набора а.

Далее, зададим себе следующий вопрос: чему равна первая координата упорядоченного набора а (ее часто называют также первой проекцией упорядоченного набора а и обозначают символом щ(а))1 Если набор а рассматривать как упорядоченную тройку, то его первая координата равна pr, (а) = хх, а если набор а рассматривать как упорядоченную пару, то его первая координата равна рг, (а) = (xj, х2 ).

Мы видим, что при стандартных определениях (2)-(3) оказывается, что длина упорядоченного набора и его координаты определены неоднозначно. В одной из книг по теории множеств автору данной статьи «посчастливилось» даже видеть обозначение ргкп(я), которое имело в этой книге следующее значение: «к-я координата упорядоченного набора а, найденная в предположении, что упорядоченный набор а имеет длину п ».

Столкнувшись с описанной ситуацией, мы задались вопросом: нельзя ли в рамках аксиоматической теории множеств Цермело — Френкеля дать такое определение понятия «упорядоченный набор», чтобы и длина п упорядоченного набора а, и каждая из его координат х1,х2,...,х/? однозначно определялись по самому упорядоченному набору а ?

Первые несколько попыток положительного ответа на поставленный вопрос оказались неудачными.

Действительно, попробуем обобщить определение Куратовского (3) и определить упорядоченную тройку следующим образом:

(5)

После некоторых размышлений можно понять, что определение (5) не годится, поскольку оно не удовлетворяет основному требованию (1), предъявляемому к упорядоченным наборам (проверьте, что по формуле (5)

получается <

Предпримем еще одну попытку и попробуем определить упорядоченную тройку следующим образом:

(6)

Это определение тоже не годится (проверьте, что по формуле (6) получается

(В скобках заметим, что автору данной статьи в некоторых книгах весьма уважаемых авторов довелось встретить определения (5) и (6) упорядоченной тройки. Это еще раз показывает, как важно в математике быть предельно аккуратным и внимательным, чтобы незаметно для самого себя не допустить какой-либо ошибки.)

Наверное, пришло время перейти к тому определению упорядоченного набора, к которому в конце концов в результате своих размышлений пришел автор данной статьи.

Прежде всего, мы предлагаем ввести новый термин «пара Куратовского». Пару Куратовского множеств хх и х2 мы предлагаем обозначать каким-либо специальным символом, скажем, символом [[хрх2]] (для того чтобы не смешивать два разных при нашем подходе понятия: «пара Куратовского» и «упорядоченный набор»).

Определение пары Куратовского [[хрх2]] не отличается от того определения, которое предложил сам Казимир Куратовский:

(7)

Множества хх и х2 мы предлагаем называть первой составляющей и второй составляющей пары Куратовского [[хрх2]]. Термины «компонента» и «координата» применительно к паре Куратовского [[хрх2]| мы предлагаем не использовать, поскольку эти термины будут использоваться применительно к упорядоченным наборам (а смешивать два разных понятия «пара Куратовского» и «упорядоченный набор» крайне не желательно).

Отметим, что по самому своему построению пара Куратовского [[ХрХ2]] обладает очень важным и, можно сказать, замечательным свойством, а именно, из этой пары однозначным образом можно извлечь ее первую составляющую хх и ее вторую составляющую х2 (о том, как это делается, подробно написано в учебниках теории множеств).

Упорядоченный набор а = (хх мы предлагаем определять по формуле

(8)

Так определенный упорядоченный набор а = (хх, х2,..., хп ) :

1) удовлетворяет основному характеристическому условию (1);

2) имеет однозначно определенную длину п-1{а) (длина упорядоченного набора а равна мощности множества а );

3) при любом к Е [1, п] имеет однозначно определенную к -ю координату хк = рг^ (а) (а именно, хк — это вторая составляющая той из пар Ку-

ратовского, являющихся элементами множества а, у которой первая составляющая равна к ).

Что касается чисел 1, 2, 3, ..., которые фигурируют в формуле (8), то они определяются стандартным для теории множеств образом: 0 = 0,

Автор данной статьи «перерыл» всю доступную литературу по теории множеств как на русском языке, так и на английском языке, но нигде не встретил того подхода к понятию «упорядоченный набор», который предложен в данной статье, хотя этот подход, как нам представляется, обладает определенными преимуществами (поскольку при предложенном подходе длина упорядоченного набора и его координаты определены однозначно).

В связи с этим автор будет очень благодарен читателям за любые (в том числе критические) комментарии или замечания по затронутым в данной статье вопросам.

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ЗАПАЗДЫВАЮЩЕГО ТИПА НА УСТОЙЧИВОСТЬ АМПЛИТУДНО-ФАЗОВЫМ МЕТОДОМ

О.А. Тихонова

Аннотация. В статье рассматривается вопрос об исследовании на устойчивость амплитудно-фазовым методом решения одного функционально-дифференциального уравнения запаздывающего типа.

Ключевые слова: функционально-дифференциальное уравнение, амплитудно-фазовый метод, тривиальное решение, асимптотическая устойчивость, предельная характеристика, квазиполином.

Функционально-дифференциальные модели, учитывающие не только настоящее состояние объекта, но и его предысторию, имеют своим источником многочисленные задачи из различных областей знания.

Многочисленность процессов, описываемых функционально-дифференциальными моделями, вызвала интенсивное развитие их теории, начавшееся в 40-50-х гг. прошлого века. Ей полностью или в значительной степени посвящены труды Н.Н. Красовского, Ю.А. Митропольского, А.Д. Мышкиса, Дж. Хейла, Л.Э. Эльсгольца и других ученых.

В начале рассматривались модели с постоянными запаздываниями. В других же случаях такие модели описывали процесс приближенно. При изучении новых моделей, например, в экономике существующие методы оказываются неприменимыми, а имеющиеся достаточные условия - слишком грубыми и дающими практический результат лишь в исключительных случаях.

Все это делает создание более глубокой теории функционально-дифференциальных уравнений, разработку эффективных методов их исследования, основанных на фундаментальных положениях общей теории и использующих богатые возможности современных вычислительных систем, актуальной задачей.

Найдём область асимптотической устойчивости в пространстве коэффициентов аи b тривиального решения уравнения

где а, Ь, г — const и г > 0.

Необходимым и достаточным условием асимптотической устойчивости решений запаздывающих функционально-дифференциальных уравнений (ЗФДУ) и достаточным условием асимптотической устойчивости тривиального решения х=0 широкого класса уравнений является отрицательность действительных частей всех корней характеристического квазиполинома.

Составим характеристическое уравнение:

(1)

При г = 0 получаем, что

(2)

Предельной характеристикой является образ мнимой оси при дробно-линейном отображении (2). При этом отображении мнимая ось переходит в окружность радиуса — с центром в точке z =--, уравнение которой имеет вид:

(3)

Пусть а > 0, тогда функция wr(z) не имеет полюсов на полуплоскости Re z > 0 и, если \b\ < а, то ни при каком повороте окружности (3) (рис.1), вызванном наличием множителя е~гту в wr ((и) - ^0 Qy) е Пу (здесь мы соединили формулы (1) и (2) в одну, подставив туда z-iy \ амплитудно-фазовая характеристика не будет охватывать точки z =1 и, следовательно, все нули квазиполинома z + a + be~rz расположены в левой полуплоскости Rez < 0.

Итак, при а > 0 и \b\ < а решения уравнения x'(t) + ax{t) + bx(t - г) = О асимптотически устойчивы при любом г > О .

Рис. 1

При \b\ > а > О (рис.2) для некоторых значений г точки предельной характеристики, лежащей одновременно и на окружности \г\ = 1, изображённой на рисунке пунктиром.

Могут перейти в точку г = 1. Наименьшее из таких значений г при заданных а и Ъ будет значением, при переходе через которое решения рассматриваемого уравнения теряют устойчивость, так как при переходе через это значение амплитудно-фазовая характеристика начинает охватывать точку г — 1.

Рис. 2

Записав точку предельной характеристики в показательной форме, получим

(4)

Если эта точка лежит на окружности z = 1, то

(5)

а для того, чтобы после умножения на е пу точка перешла в точку z=l, аргументу (iy) e~riy должен быть кратен 2т

(6)

Наименьшее положительное значение г, определяемое из (6), и является тем критическим значением г = г0, начиная с которого теряется устойчивость. Из (5):

Из (6):

Подставляя у, найденный из формулы (5) в формулу (6), получим:

Известна формула:

Пусть, тогда

(7)

Если считать г фиксированным, то, исключив из (5) и (6) параметр у, получили уравнение (7) - уравнение граничной кривой области устойчивости.

Аналогично проводится исследование и при а < 0, надо лишь иметь в виду, что при этом Рс = 1 (Рс - сумма кратностей полюсов некоторой аналитической функции f(z), расположенных внутри простого замкнутого контура С) и поэтому, например, при Щ < |а|5 когда амплитудно-фазовая характеристика заведомо не может охватывать точки z=l, получаем неустойчивость при любом г, так как Nc - Рс = О, откуда Nc = 1. (Nc - кратность нулей функции f(z)9 расположенных внутри замкнутого контура С). Амплитудно-фазовый метод может быть применён и при наличии чисто мнимых корней. В этом случае контур Cr несколько изменится, так как корни на мнимой оси приходится обходить по полуокружностям достаточно малого радиуса (рис. 3).

Рис. 3

Библиографический список

1. Мельников Р.А. Устойчивость линейного дифференциального уравнений с конечным запаздыванием // Актуальные проблемы и перспективы развития железнодорожного транспорта. Тезисы докладов 3-ей меж-

вузовской научно-методической конференции РГОТУПС. Ч. 2. М: РГОТУПС, 1998. С. 34-35.

2. Мельников Р.А., Силкин С.А. Допустимые пространства для функционально-дифференциальных уравнений // Межвузовский сборник научных трудов. М.: РГОТУПС, 1998. С. 95-99.

3. Хейл Д. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: МИР, 1984. 321 с.

4. Эльсгольц Л.Э., Норкин СБ. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.: Наука, 1971. 296 с.

ПРОДОЛЖЕНИЕ ОЦЕНОК ЭЛЕМЕНТОВ ФУНДАМЕНТАЛЬНОЙ МАТРИЦЫ РЕШЕНИЙ ОДНОЙ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ

В.Е. Щербатых

Аннотация. В статье исследуется начально-краевая задача для специальной системы линейных уравнений в частных производных (хЕ />0), описывающая малые движения вязкой стратифицированной жидкости в поле силы тяжести.

Ключевые слова: начально-краевая задача, система линейных уравнений в частных производных, фундаментальная матрица решений.

В предыдущей работе [1] были получены оценки при z1—^ компонент элементов фундаментальной матрицы решений

(1)

(2)

Перейдем к рассмотрению случая 0',;) = (3,3). Представим функцию F93'3(x,t) следующим образом:

К- достаточно большое положительное число.

Оценка функций F2'2 (x,t) при а213 = 2 была проведена в работе [2] и имеет вид

где 0(1) - ограниченная при всех х G R2 и t>0 величина, а оценка 0(t_1) равномерна по всем X G R2.

Покажем, что при а313 > 0 справедлива следующая оценка

Из (1)-(2) следует равенство

Так как

отсюда следует

(3)

Применим в (3) оценку

справедливую при t>0 и

Получим (с заменой во внутреннем интеграле

Очевидно, что

поэтому

Здесь после некоторых преобразований и применения леммы Ватсона, получаем окончательную оценку

Библиографический список

1. Щербатых В.Е. Оценки некоторых элементов фундаментальной матрицы решений // Сборник трудов всероссийской конференции по истории математики и математического образования, посвященной 130-летию со дня рождения Н.Н. Лузина. Елец: ЕГУ им. И.А. Бунина, 2014.

2. Глушко А.В. Асимптотика при £—>оо решения задачи коллапса пятна интрузии в вязкой стратифицированной жидкости // Математические заметки, 1993. Т.53. Вып.1, С. 16-24.

СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ

Болгова Елена Владимировна - студентка группы ФМб-41 физико-математического факультета Елецкого государственного университета им. И.А. Бунина.

E-mail: el.bolgova2013@yandex.ru

Болдырева Наталья Алексеевна - учитель математики первой категории МБОУ СОШ №10 с углубленным изучением отдельных предметов, зам. директора по УВР.

E-mail: Boldyrevana99@mail.ru

Вавилова Вера Николаевна - учитель физики МБОУ СОШ №8 г. Ельца.

E-mail: vavilova73@mail.ru

Валуева Лидия Тихоновна - учитель математики первой категории МБОУ СОШ с углубленным изучением отдельных предметов села Тербуны Липецкой области.

Васильева Марина Викторовна - кандидат педагогических наук, заведующий кафедрой математических дисциплин ГБОУ ВПО МО «Академия социального управления».

E-mail: ipkl@yandex.ru

Гладышева Светлана Сергеевна - студентка группы М-51 физико-математического факультета Елецкого государственного университета им. И.А. Бунина.

E-mail: sveta9235@mail.ru

Грибов Александр Юрьевич - аспирант кафедры математического анализа и элементарной математики Елецкого государственного университета им. И.А. Бунина.

E-mail: alexgr31 @mail.ru

Гридчина Ирина Николаевна - кандидат педагогических наук, доцент кафедры математического анализа и элементарной математики, заместитель директора Агропромышленного института (по учебной работе механико-технологического направления) Елецкого государственного университета им. И.А. Бунина

E-mail: cafmex@mail.ru

Дворяткина Светлана Николаевна - доктор педагогических наук, профессор кафедры математического анализа и элементарной математики Елецкого государственного университета им. И.А. Бунина.

E-mail: sobdvor@yelets.lipetsk.ru

Демидова Ирина Ивановна - кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник НИИММ Санкт-Петербургского государственного университета.

E-mail: maria_ib@mail.ru

Добрина Екатерина Александровна - кандидат педагогических наук, доцент кафедры математического анализа и элементарной математики Елецкого государственного университета им. И.А. Бунина.

E-mail: dobrinaea@mail.ru

Дякина Анжелика Александровна - доктор филологических наук, доцент, заведующий кафедрой журналистики Елецкого государственного университета им. И.А. Бунина.

E-mail: anjeloprof@mail.ru

Евтеев Виктор Сергеевич - студент группы М-41 физико-математического факультета Елецкого государственного университета им. И.А. Бунина.

E-mail: v.evteev@yandex.ru

Ельчанинова Галина Георгиевна - кандидат педагогических наук, доцент кафедры математического анализа и элементарной математики Елецкого государственного университета им. И.А. Бунина.

E-mail: Eltchaninova_gg@mail.ru

Имайкин Валерий Марсович - кандидат физико-математических наук, главный редактор журнала «Математическое образование». E-mail: ivm@infoline.su

Кашицына Юлия Николаевна - кандидат педагогических наук, доцент ГБОУ ВПО МО «Академия социального управления». E-mail : Kaschitsyna2010@yandex.ru

Каюмов Олег Рашидович - доктор физико-математических наук, профессор кафедры математики и экономики Филиала Омского государственного педагогического университета в г. Тара.

E-mail: Oleg_Kayumov@mail.ru

Кондратьева Галина Вячеславовна - кандидат педагогических наук, доцент кафедры математического анализа и геометрии Московского государственного областного университета.

E-mail: kondratevagv@mail.ru

Костин Сергей Вячеславович - старший преподаватель кафедры высшей математики Московского государственного технического университета радиотехники, электроники и автоматики.

E-mail: kostinsv77@mail.ru

Кошевая Инна Александровна - магистрант первого года обучения Московского государственного областного университета.

Лопатухин Алексей Леонидович - кандидат физико-математических наук, ООО «Ирисофт».

E-mail: alexeylo@gmail.com

Лопатухина Ирина Евгеньевна - кандидат физико-математических наук, доцент Санкт-Петербургского государственного университета.

E-mail: irevlo@gmail.com

Лыков Евгений Николаевич - ассистент кафедры математического анализа и элементарной математики Елецкого государственного университета им. И.А. Бунина.

E-mail: elean52@mail.ru

Марушкина Ираида Алексеевна - кандидат педагогических наук, учитель математики МБОУ «Гимназия» города Ефремова Тульской области.

E-mail: marushkina@yandex.ru

Мельников Роман Анатольевич - кандидат педагогических наук, доцент кафедры математического анализа и элементарной математики Елецкого государственного университета им. И.А. Бунина.

E-mail: roman_elets_08@mail.ru

Мельникова Юлия Владимировна - студентка группы ПМ-31 физико-математического факультета Елецкого государственного университета им. И.А. Бунина.

E-mail: black-tigress@mail.ru

Меренкова Вера Игоревна - студентка группы ФМб-41 физико-математического факультета Елецкого государственного университета им. И.А. Бунина.

E-mail: verunchik.merenkova@mail.ru

Орлова Елена Ивановна - учитель математики первой категории, куратор учителей математики МБОУ СОШ с углубленным изучением отдельных предметов села Тербуны Липецкой области.

Пирогова Валентина Николаевна - студентка группы ФМб-41 физико-математического факультета Елецкого государственного университета им. И.А. Бунина.

E-mail : pirogova.vaientina@yandex.ru

Пирогова Екатерина Владимировна - студентка группы М-51 физико-математического факультета Елецкого государственного университета им. И.А. Бунина.

Поляхов Николай Николаевич - кандидат физико-математических наук, доцент Санкт-Петербургского государственного университета.

E-mail: pol@astro.spbu.ru

Поляхова Елена Николаевна - кандидат физико-математических наук, доцент Санкт-Петербургского государственного университета. E-mail: pol@astro.spbu.ru

Рыманова Татьяна Евгеньевна - кандидат педагогических наук, доцент кафедры математического анализа и элементарной математики Елецкого государственного университета им. И.А. Бунина, заместитель декана по ОЗО физико-математического факультета.

E-mail: barkatelez@mail.ru

Саввина Ольга Алексеевна - доктор педагогических наук, профессор, зав. кафедрой математического анализа и элементарной математики Елецкого государственного университета им. И.А. Бунина.

E-mail: oas5@mail.ru

Сафронова Татьяна Михайловна - кандидат педагогических наук, доцент кафедры математического анализа и элементарной математики Елецкого государственного университета им. И.А. Бунина, заместитель декана экономического факультета по учебной работе.

E-mail: stm657@mail.ru

Симоновская Галина Александровна - кандидат педагогических наук, доцент кафедры математического анализа и элементарной математики Елецкого государственного университета им. И.А. Бунина, декан физико-математического факультета, докторант.

E-mail: Simonovskaj_g@mail.ru

Тихонова Ольга Андреевна - студентка (магистрант профиля «Прикладная математика») физико-математического факультета Елецкого государственного университета им. И.А. Бунина.

E-mail: Tihonova.o.a@yandex.ru

Черноусов Михаил Олегович - аспирант кафедры математического анализа и элементарной математики Елецкого государственного университета им. И.А. Бунина.

E-mail: chernousov777@mail.ru

Черноусова Наталия Вячеславовна - кандидат педагогических наук, доцент кафедры математического анализа и элементарной математики Елецкого государственного университета им. И.А. Бунина, заместитель декана по учебной работе физико-математического факультета.

E-mail: chernousovi@mail.ru

Щербатых Владимир Егорович - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа и элементарной математики Елецкого государственного университета им. И.А. Бунина.

E-mail: wega18@mail.ru

СОДЕРЖАНИЕ

ВМЕСТО ВВЕДЕНИЯ

Саввина О.А. Празднование 500-летия со дня благодатной кончины преподобного Сергия Радонежского в елецких гимназиях............... 3

Раздел I. ИСТОРИЯ И ФИЛОСОФИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Каюмов О.Р. О проблемах, связанных с межцивилизационными заимствованиями в педагогике................................................... 7

Вавилова В.Н. Блез Паскаль - математик, физик и философ XVII века....................................................................................... 13

Грибов А.Ю. Актуальность изучения наследия Московской философско-математической школы...................................................... 16

Дворяткина С.Н. Дуализм математической науки как методологическая основа междисциплинарного подхода к преподаванию теории вероятностей в вузе............................................................... 19

Демидова И.И. Деятельнсть Г. Ламе и Б. Клайперона в Санкт-Петербурге........................................................................... 24

Лопатухина И.Е., Лопатухин А.Л., Поляхова Е.Н., Поляхов Н.Н. Научное наследие Л. Эйлера и русско-французские научные связи: Петербург - Париж - Петербург................................................ 29

Евтеев В.С. Учебно-литературная деятельность А.В. Ланкова (к 130-летию со дня рождения)........................................................... 48

Кондратьева Г.В., Кошевая И.А. К вопросу об истории изучения многогранников в отечественной школе.................................... 51

Марушкина И.А. О полезном опыте работы над теоремой и геометрической задачей в совесткой школе......................................... 54

Мельников Р.А. Памятные и юбилейные даты 2014 года................. 57

Саввина О.А. Обзор публикаций по истории математического образования (2004-2014 гг.)............................................................ 67

Черноусов М.О. Из опыта разработки электронного биографического справочника персоналий отечественного математического образования...................................................................................... 74

РАЗДЕЛ II. ТЕОРИЯ И МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ В ШКОЛЕ И ВУЗЕ

Болгова Е.В. Формирование универсальных учебных действий в основной школе........................................................................ 79

Болдырева Н.А. Метапредметный подход в обучении математике по новым стандартам................................................................. 81

Валуева Л.Т., Орлова Е.И. Современный урок математики как основной ресурс реализации требований ФГОС ООО второго поколения...................................................................................... 87

Васильева М.В. Реализация требований ФГОС при изучении многогранников в школе.................................................................. 94

Гладышева С.С. О проблемном подходе в обучении математике в общеобразовательной школе................................................... 99

Гридчина Н.Н., Добрина Е.А. Проектирование программ прикладного бакалавриата по направлению подготовки 150100.62 - конструк-торско-технологическое обеспечение машиностроительных производств................................................................................. 102

Ельчанинова Г.Г. Избранные вопросы «элементарной» теории многочленов.............................................................................. 108

Имайкин В.М. О ретроспективном изучении некоторых математических тем в старших классах гуманитарного профиля....................... 113

Кашицына Ю.Н. Формирование познавательных универсальных учебных действий при изучении темы: применение производной к исследованию функции........................................................... 118

Лыков Е.Н. Этапы становления математической школы университета как следствие устойчивого развития познавательной самостоятельности студентов..................................................................... 125

Мельников Р.А. Вариант тестового задания к дисциплине «Операционное исчисление»................................................................. 128

Меренкова В.И. К вопросу о сравнительном анализе нового и старого образовательных стандартов.................................................... 134

Пирогова В.Н. К вопросу о подготовке учащихся к математическим олимпиадам.......................................................................... 137

Пирогова Е.В. Об организации проектной деятельности учащихся в процессе обучения математике................................................ 140

Рыманова Т.Е. Концептуальный подход к реализации метапредметности при обучении математике................................................ 142

Сафронова Т.М. К вопросу о формировании исследовательских умений будущих бакалавров педагогического образования.................. 146

Симоновская Г.А. Подготовка будущего учителя математики в свете реализации федерального государственного образовательного стандарта высшего образования...................................................... 151

Черноусова Н.В. К вопросу о методе рационализации в ЕГЭ по математике................................................................................. 154

РАЗДЕЛ III. СОВРЕМЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ МАТЕМАТИКИ

Дворяткина C.H., Дякина А.А., Мельникова Ю.В. Аппарат цепей Маркова в анализе изменений авторского стиля под воздействием социокультурной среды: к постановке проблемы.............................. 159

Костин С.В. Обобщенный закон ассоциативности в полугруппе....... 164

Костин С.В. Об определении понятия «упорядоченный набор» в аксиоматической теории множеств Цермело-Френкеля..................... 172

Тихонова О.А. Исследование функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего типа на устойчивость амплитудно-фазовым методом................................................................... 175

Щербатых В.Е. Продолжение оценок элементов фундаментальной матрицы решений одной начально-краевой задачи........................ 179

СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ.................................................... 182

Научное издание

ВЕСТНИК

ЕЛЕЦКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

Выпуск 34

СЕРИЯ «ПЕДАГОГИКА»

(ИСТОРИЯ И ТЕОРИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ)

Технический редактор - К П. Безногих Техническое исполнение - В. М. Гришин

Формат 60 X 84 /16. Гарнитура Times. Печать трафаретная. Усл.-печ.л. 11,8 Уч.-изд.л. 12,0 Тираж 500 экз. (1-й завод 1-65 экз.). Заказ 93

Отпечатано с готового оригинал-макета на участке оперативной полиграфии Елецкого государственного университета им. И. А. Бунина

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина» 399770, г. Елец, ул. Коммунаров, 28