ВЕСТНИК ЕЛЕЦКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

12

выпуск 32

Серия "Педагогика"

(ИСТОРИЯ И ТЕОРИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ)

Елец.

2012

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЕЛЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. И.А. БУНИНА»

ВЕСТНИК ЕЛЕЦКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

Выпуск 32

СЕРИЯ «ПЕДАГОГИКА»

(ИСТОРИЯ И ТЕОРИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ)

Елец - 2012

УДК 004(07.07), (09); 514.8; 532.516; 514.7 + 514.8 ББК 22.1 г+ 22.11 В 38

Печатается по решению редащионно-издательского совета Елецкого государственного университета им. И.А. Бунина от 12.0 4. 2012 г., протокол № 2

Редакционная коллегия серии «Педагогика» (История и теория математического образования):

В.П. Кузовлев, ректор, д-р пед. наук, проф., заслуженный деятель науки РФ, заслуженный работник высшей школы, академик Международной академии наук педагогического образования, член-корреспондент МСА (г. Москва), член-корреспондент Петровской академии наук и искусств (г. Санкт-Петербург); О.А. Саввина, д-р пед. наук, проф. (выпускающий редактор раздела «История математики и математического образования»); С.В. Щербатых, канд. пед. наук, доц. (выпускающий редактор раздела «Теория и методика обучения математике в общеобразовательной школе и вузе»); И.А. Елецких, канд. физ.-мат. наук, доц. (выпускающий редактор раздела «Научные сообщения»); В.В. Перцев, канд. пед. наук, доц. (ответственный секретарь).

Ответственность за достоверность фактов несут авторы публикуемых материалов.

В 38 Вестник Елецкого государственного университета им. И.А. Бунина.

Вып.32: Серия «Педагогика» (История и теория математического образования). - Елец: Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина, 2012.-190 с. ISBN 978-5-94809-579-0 Представленные в вестнике статьи, в первую очередь, отражают те научные результаты, которые получены на кафедре математического анализа и элементарной математики Елецкого государственного университета им. И.А. Бунина. Кроме учёных нашего вуза, авторами статей являются школьные учителя Липецкой, Тульской, Белгородской областей, исследователи из Вологды, Ефремова, Москвы, Орла, Санкт-Петербурга, Соликамска, Ярославля.

Издание предназначено для математиков, преподавателей, учителей, аспирантов и студентов, интересующихся проблемами истории и теории математического образования, а также вопросами математики.

УДК 004(07.07), (09); 514.8; 532.516; 514.7 + 514.8 ББК 22.1 г+ 22.11

ISBN 978-5-94809-579-0

© Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина, 2012

ВМЕСТО ВВЕДЕНИЯ

ФИЛОСОФИЯ РУССКОЙ ШКОЛЫ1

А.А. Корольков

В статье обсуждаются вопросы: «Какой должна быть русская школа? Где искать истоки ее оздоровления? Что такое свобода в школе? Существует ли перспектива у «свободного образования» в России?». В поисках ответов на эти вопросы автор обращается к творческому наследию В.В. Зеньковского и других мыслителей.

Ключевые слова: русская школа, философия образования.

С трудом входят в речевой оборот словосочетания «русская школа», «русская педагогика», «русское образование». Одни отвыкли от таких слов за годы интернационалистской идеологии советской школы, другим грезятся великодержавность и национализм устрашающего вида во всяком стремлении прояснить особенности русского национального воспитания и обучения. К счастью, подобный испуг меньше проявляется при упоминании русской литературы, русской философии, русской души, но школа страшится назваться русской.

Нам не нужно ехать, например, в Японию и Китай, чтобы удостовериться, что есть специфические черты образования и в той, и в другой стране, что есть то, что называют без всяких кавычек и извиняющихся реверансов японской и китайской школами. «Как у вас строится образование, воспитание?» — это естественный вопрос при посещении любой страны, при изучении любой национальной школы. Советского учителя не возмущали и не удивляли слова о национальной школе якутов, казахов, эстонцев, бурятов, т. е. любых национальностей, кроме русских. Это исключение насаждалось и насаждается всей системой мировоззрения, идеологии, сочетающей фразеологию о великом русском народе и русской культуре с выкорчевыванием самого сокровенного в русской культуре, с превращением русских людей в абстрактных советских людей с интернациональными ценностями, а после разрушения Советского Союза — в россиян с общечеловеческими ценностями.

Нивелировка личности, обезличивание — это процесс как индивидуального уровня, так и национального: отсутствие национального самосознания, укорененности в своеобычной культуре — путь к необретенной или утраченной личности.

1 Фрагмент из книги «Русская духовная философия» А.А.Королькова (СПб., 1998) (http://www.pokrov-forum.ru/science/spiritual_phil/statia/russian_spiritual_filosory.php)

Национальное чувство начинается с любви и благоговения перед родными лицами, домом, природой, сказками, звуками речи и пения. Гордость появляется потом, она может превратиться в гордыню, как и национальное чувство способно обернуться зоологическим национализмом, где доминантой становится ненависть ко всему чужому. Беспочвенники и недруги любви к Отечеству легко используют эту противоречивость проявления национального в человеке, в стране и всячески обыгрывают отрицательное в национальных чувствах, качествах, тенденциях.

Великие народы теряют чувство опасности для своей нации, и беспечность эта рано или поздно оборачивается бедой. Нынешняя Россия — у края падения в бездну безнационального бытия. Растерзанная на части нация, с перешибленной религией, с атрофированным чувством национального здоровья, сохраняет стереотипы поведения цветущей нации, каковой она была сотни лет. Надо приблизиться к осознанию диагноза нашей болезни, при которой нет гимна, флага Отечества не как принятой законом символики, а как чувствования национальных святынь. Образование — это просветление человека культурой, его самопознание, в том числе и в отношении к своему Отечеству и традициям своего народа. Нынешнее самопознание человека протекает в весьма неблагоприятной среде, где все светлые, исторически выверенные ценности и ориентиры подвергаются отрицанию, осмеянию и имитации. Что будет с ребенком в стране, в коей нет культа предков, отеческих преданий, поклонения перед родной историей, культурой?! Ныне всё образование, включая нередко и родительское, а тем более школьное и телевизионное (телевидение, радио, печать — это мощнейшее средство образования — или возвышающее человека к свету культуры или замутняющее душу и разум) — даже не ставит осознанной цели формирования русского человека со своеобычным типом культуры, нравственных качеств, выработанных за тысячелетие нашего Отечества.

Многим мнится, что они ведут наднациональную жизнь, что они современнее устаревших форм национальной принадлежности. Если за такой позицией не скрывается лицемерие зоологического национализма, то растворение в безнациональном бытии превращает народ в кисель безликости.

Русскость — как начало культурно-духовное — определяется степенью укорененности, глубинной личностной слиянности с историческим образом народа. Степень такого личностного тождества со своим народом и определяет почвенность или беспочвенность человека (замечу, что само по себе презрительное отношение к почвенничеству стало принятой нормой псевдодемократических оценок, не улавливающих того, что таким отношением они зачисляют себя в беспочвенники). Можно жить далеко от своей земли, но оставаться глубоко укорененным в родной культуре и таким образом быть почвенником, а можно пребывать на определенной территории, не отождествляя себя ни с судьбой народа, ни с культурой, т. е. оставаться беспочвенником.

Долгий отрыв от своей земли, от полнокровной жизни народа с трудом компенсируется землячествами, семейным и даже школьным воспитанием. Судьбы русской эмиграции показывают, что можно сохранить в относительной мере язык, привязанность к Родине, память о ней, унаследовать любовь к ее культурным явлениям, но трудно, почти невозможно, удержать в себе русскость как способ жизни, поведения, всей психологии и душевно-духовных качеств своего народа. Первое поколение русских изгнанников стремилось к полноте русского бытия в условиях чужбины... И сегодня есть в русской культуре зарубежья то, что не уносится течением времени, а сохраняется чище, лучше, чем в отеческих пределах. Рассказывают, что в русских семьях Австралии поют такие русские песни и с таким мастерским многоголосием, о коем мы давно забыли, да и никакие профессионалы сцены не повторят красок народного пения, ибо сцена всегда остается подражанием естеству, подражание же неспособно превратиться в оригинал.

В XX столетие Россия входила самой духовно богатой страной, не растеряла она духовных островков и к концу столетия, несмотря на зловещие социальные эксперименты. Что возьмет верх: здоровье нации во всех его проявлениях или раковая опухоль бездуховности, беспочвенности поглотит здоровые клетки? В немалой степени жизненный ответ на этот вопрос даст, помимо прочего, система образования, охватывающая весь спектр активного воздействия на формирование личности — от родителей до телевидения.

Советская школа вольно или невольно сохраняла многое из бесценной сокровищницы формирования русского характера, психологии, культуры, особенно в пору столкновения с внешними врагами, хотя чаще при этом использовалась наскоро сочиненная интернационалистская риторика. Требуется непростая работа вышелушивания, просеивания здоровых зёрен национального образования как в дореволюционной, так и в советской школе.

Есть и другой способ восстановления национальной русской традиции в образовании — изучение очагов культуры русских изгнанников, среди которых были поистине выдающиеся педагоги, философы, психологи. Среди самых значительных теоретиков русской педагогики послереволюционного периода был Василий Васильевич Зеньковский, узнанный наконец нашими соотечественниками как историк русской философии, но меньше известный в качестве педагога, организатора русских учебных заведений в Чехословакии 20-30-х годов, Русского педагогического общества в зарубежье, автора уникального периодического журнала «Русская школа за рубежом». В. В. Зеньковскому принадлежит ёмкая статья о русской педагогике, которая дает повод для размышлений о современной русской школе, о судьбе русской духовности [2].

Зеньковский — мыслитель православный и в практику педагогики он нес свет культуры, остовом которой была святоотеческая традиция Византии и России, соединенная с современными потребностями становления детей, подростков, молодежи. То, что Зеньковский остро чувствовал надвигавшийся бум сексуальных революций и оправдывающих их сексологии, давая им диагноз, видно хотя бы по переизданной в последние годы брошюрке «На пороге зрелости» [3].

Зеньковский подчеркнуто разделял русскую педагогическую мысль и русскую школу, ибо первая предполагает многообразие теоретических поисков, часто совсем не осуществившихся в практике, а вторая выражает процесс организации школы, ее противоречий, методики, общения и всего того, чем живут педагоги и ученики. Мыслитель подметил, кроме трех названных им направлений русской педагогической мысли (педагогический натурализм, педагогический идеализм и религиозно-педагогическое направление), самое опасное для XX столетия направление — педагогический позитивизм с его верой в силу строгой науки, в возможность всё и вся объяснить принципами, законами, понятиями, сделать педагогический процесс управляемым и направляемым. Педагогический позитивизм имеет более раннюю природу, чем позитивизм философский, последний начинается с Юма и Конта, а стремление подчинить воспитание и обучение научным основаниям развернуто в программе великого восстановления наук Ф. Бэкона, т. е. не позднее первой половины XVII в. Пусть не называл Бэкон свое обоснование позитивизмом в педагогике, но сам по себе тип позитивистско-утилитарной ориентации педагогической мысли был задан в его размышлениях. Заметим, что одна из стержневых идей бэконовской философии — критика идолов (призраков) вращается вокруг школьной практики, школьного догматизма, и задачи ее — преодолеть стереотипы аристотелевской схоластики.

Позитивистское течение в педагогике, может быть, самое устойчивое и самое популярное с тех пор, как наука вскружила головы поколениям людей, не связанным даже профессионально с наукой. Подчас чем дальше от науки стоит человек, тем безраздельнее его вера в ее всесилие, и ему достаточно ссылки на какой-либо научный авторитет ученого, совсем не связанного с педагогикой, чтобы воспринимать нечто как истину.

Оборотной стороной педагогического позитивизма всегда оказывалась мистика в ее восточно-оккультном или доморощенно-знахарском обличье. Как только научные методы обнаруживали свои пределы, как только речь заходила о свободе воли, об иррациональном, об интуиции, о воображении, о сверхчувственном — сразу позитивистская мысль цеплялась за соломинку мистики, не верования в божественное, а именно мистификации всего, что современная мысль затрудняется объяснить научно.

По-видимому, требует продумывания та классификация, которую дает В.В. Зеньковский, расшифровав направление педагогического натура-

лизма как включающего научное, романтическое и советское течения, в свою очередь раскрываемых через полупозитивистское и религиозное. Скажем, научное течение может быть и не позитивистским, ибо позитивизм — это эмпиризм и убеждение, что все истины должны проверяться опытом. Наука же, как известно, тяготеет и к эмпиризму, и к рационализму. Романтическое течение в равной степени следовало обсуждать в пределах педагогического идеализма, а так называемое советское течение и вовсе охватывает собой едва ли не весь спектр направлений педагогики, ибо советская педагогика включала в себя все перечисленные направления в своеобразии идеологического обрамления.

Утопизм — один из ведущих мотивов русской жизни и соответственно многих теорий, рожденных русской почвой. Увлечение руссоизмом, марксизмом с их заманчивыми, но нереализуемыми идеями сродни огромному количеству замыслов в теоретической и практической педагогике об идеальных школах будущего. Опытные учителя, прекрасно знавшие всё разнообразие своих учеников, сочетали это знание реальности с поразительными фантазиями. Это очень напоминает солдат-фронтовиков, познавших заземленность, грязь и пот войны, но с восторгом смотрящих экранные выдумки о войне и воспринимающих их как правду или хотя бы правдоподобие.

Чувствуя и зная особенности русской души, В. В. Зеньковский достаточно подробно писал об утопизме толстовства, о школах свободного воспитания, где утопизм расцвел пышно. Свобода — соблазн всех революций и один из главных идолов западной цивилизации. Соблазн этот помог многим найти себя в творчестве, отторгнуть внешние принуждения, но порождал и анархию, и эгоцентрическое себялюбие. Оживление педагогических страстей вокруг идей свободного обучения и воспитания не случайно совпадало с историческими фазисами социальных брожений, революций, нигилизма, декаданса.

Никому не дано давать приговоры нравственным и педагогическим исканиям Л. Н. Толстого, но оценить попытки и следствия педагогических экспериментов на почве идей Толстого возможно, тем более это позволяет сделать историческая ретроспектива. Собственно, Толстой эволюцией своих социально-педагогических взглядов и сам свидетельствует о зыбкости постулатов руссоизма, коими он увлекался в юности, заменив на время нательный крестик медальоном с изображением Руссо. Толстой был по-русски искренен и дорогие идеи делал направлением собственной жизни в отличие от временного своего кумира Руссо, который много рассуждал о воспитании, совершенно не интересуясь своими собственными детьми.

Русские приверженцы «свободного воспитания» в XX веке почти буквально повторяли фразы Руссо и Толстого, прибавляя к ним аромат нового революционного возбуждения, хотя вскоре жестоко разочаровались в своем отвержении социальной устойчивости и той степени принуждения,

насилия, которую использовало самодержавное государство. Замена представлений о сложной личности и государстве фантазиями немедленного превращения идеала в жизнь — мотив переворотов в России XX столетия. «Идеалом школы, — как формулировал уже вполне практическую задачу адепт школы "свободного воспитания", — является полное устранение всякого принудительского начала, и школа тем совершеннее, чем в ней меньше принуждения»[2, с.301]. Затмение идеальных построений было столь подавляющим разум, что теоретики забывали о способах воспитания собственных детей со всеми ограничениями, дисциплиной, без которых не возникает то, что можно назвать свободной творческой личностью. Поиски абсолютов свободы, личностного самовыражения — верный признак догматического мышления, знающего в противоположностях лишь их полярность, несовместимость, а не их диалектическое единство.

Педагогические эксперименты с коммунами одной из целей ставили раскрепощение личных инициатив, дух самодеятельности; вместе с тем наставник и сама коммуна становились диктаторами полувоенного образца. У коммун макаренковского типа задачи как раз соответствовали методам подавления анархии, преступности, ибо Макаренко имел дело с разнообразием характеров, сформированных уродливыми условиями, и выводы педагогики Макаренко напоминают диагнозы, поставленные Фрейдом всему человечеству, хотя добыты эти диагнозы были в клинической практике психиатра. Опыт изучения аномалий — как психических, так и педагогических — лишь с осторожностью и в продуманных пределах может быть заимствован в практике лечения и обучения нормальных людей.

Мой приятель навестил молодых родителей, ему разрешили покормить ребенка, находящегося в той поре, когда уже и лепетать может, и ложкой орудует сам. Мальчик отвлекался от тарелки, вертелся, но всё же ел и с интересом поглядывал на дядю. Поглядывал сообразительно, в чем убедился дядя тотчас, как отвлекся на секунду сам. Дитятко влепило всё липкое содержимое тарелки в лицо дяди.

— Ты что наделал?! — заревел дядя, но тут же был пресечен суровым голосом мамы.

— Не повышай на него голос! Подумаешь, каша! Умойся, и все дела. Мы его воспитываем в свободе, не в пример нашему детству, когда был сплошной тоталитаризм.

Этот нелепый случай, не требующий обоснования нелепости даже для большинства демократов и свободолюбцев, припомнился мне на заседании Российской академии образования, где кто-то из выступавших призвал коллег обратиться к властям, чтобы воспрепятствовать телевизионной порнографии и агрессивности. Тут же прозвучал твердый голос президента Академии:

— Вы опять хотите вернуться к запретам? К цензуре? Нас не поймут, это не наш путь.

Так называемый «свободный человек», не знающий никаких тормозов и ограничений, не умеющий хотя бы считаться с чужими запросами свободы — фактически оказывается лишен человечности, ибо не способен жить в семье, заботясь о родных, а в свою пору — и о собственном ребенке: какая уж тут «свобода» при бессонных ночах около младенца или в заботах о больной матери или бабушке?! Не способен такой псевдосвободный человек быть защитником отечества, ответственным работником, верным другом, т. е. свобода, превращенная в произвол, в отвержение социальности — это деградация в сторону похотей и алчных притязаний.

Еще Платон хорошо знал о разочарованиях, связанных с неумеренными запросами на индивидуальную свободу и демократию, показав неизбежность перехода в государственном устройстве от демократии к тирании, так как демократический анархизм создает предпосылки для жажды сильной водительской руки, наводящей порядок в стране. Похоже, что подобные этапы проходит наше общество, возжелавшее поначалу всех мыслимых и немыслимых свобод, а натолкнувшись на произвол и преступность, на своеобразие проявлений индивидуальных свобод — повернуло симпатии к генералам или иным претендентам на волю к порядку; или — или, крайности понятнее, доступнее, особенно на уровне эмоций.

В.В. Зеньковский выделил в качестве первой черты советской педагогики не ее идеологизированность, что было бы объяснимо и естественно для изгнанника, отрицающего коммунистическую идеологию, а ее «чрезвычайную жадность ко всем "последним словам", какие только слышатся в науках, связанных с педагогикой» [2, с.313]. Замечу, что и поныне страсть к наукообразию и ловле последних веяний остается едва ли не ведущей тенденцией в теоретической педагогике, причем чем ничтожнее педагогическая мысль, тем больше она обращена к инновациям, тем дальше она от живой души школьника.

Стремление к научности всего и вся остается и по сей день для учебного процесса всепоглощающим и всепожирающим. Образованный человек может знать о религиозности величайших ученых — Д.И. Менделеева, И.П. Павлова, В.И. Вернадского, но глубокая подкорка, сформированная атеистическим воспитанием, настойчиво подавляет сферу разума и побуждает любого мало-мальски прикоснувшегося к науке современного человека считать старомодными, архаичными взгляды величайших ученых, хотя касаются эти взгляды самого глубинного в мировоззрении.

Поскольку же потребность верования неустранима, ибо неустраним своеобразный орган верования, душевная чувственность, то или орган сей в разной степени атрофируется, или действие его направляется в болезненную форму и одной из таких форм становится «верование» в науку.

«Верование» здесь берется в кавычки по той причине, что слово это свой чистый смысл имеет исключительно в отношении подлинной религии. Если задается вопрос: «Ты — верующий?», то всякий, даже не очень

чуткий к русскому слову, понимает, что вопрос не обращен к вере в политика или в научно-технические достижения. «Ты веришь?» — этот вопрос может относиться ко всему, к чему заблагорассудится метнуться пристрастиям и симпатиям человека, но «ты — верующий?» относится только и только к вере в Бога.

Многие в наш век живут с уверенностью, что можно и без Церкви, без Бога оставаться совестливым, культурным, милосердным, добрым человеком. На верующих они смотрят понимающе, по терпимости допуская, что и такое возможно, мало ли что кому нравится и какие у кого странности и заблуждения! Внутренне такие невольные атеисты несут твердую уверенность в своей просвещенности и правоте, их лишь немного удивляет при случайном заглядывании в храм, что молятся не только старушки, что склоняются перед иконами не невежественные головы, а если бы они заглянули в русский храм XIX века, то увидели бы там всех, кем гордится Россия, не только, разумеется, XIX века, а всякого другого, просто имена XIX века ближе и понятнее для тех, кто знает культуру по светским учебникам.

Трудно отдать себе отчет в том, что впитывается в детстве, в здоровой семье тружеников, любящих друг друга; доброта, порядочность, честность в таких семьях воспринимаются как изначальная данность, причем большая данность, чем, например, язык, потому что кажется, что язык может быть разным в зависимости от страны и места рождения, жизни, а отзывчивость и честность — свойства универсальные, во всяком случае, они не определяются религиозностью: вон сколько приличных людей обходятся без Церкви!

Почти аксиомой звучит нынче в философии, психологии, социологии, медицине: личностью не рождаются, личностью становятся. Личностные качества перестали путать со всякими вообще человеческими проявлениями, и общим местом в философии и психологии человека стало обоснование нетождественности понятий «индивидуальность», «человек» и «личность». Об индивидуальности толкуют вообще весьма расширительно, вплоть до «биохимической индивидуальности». О человеке, в зависимости от профессиональных пристрастий, говорят и как о биосоциальной целостности, и как о нравственно, эстетически, хозяйственно возвышающемся над биологическим миром существе, и как о комплексной проблеме науки. Личность же связывали с социальными ролями — это театральное видение личности не очень, правда, согласовывалось с достаточно очевидным отличием актерского поведения в жизни от ответственного, фиглярство и стремление всюду поучаствовать, везде предстать в новой маске — не делают человека личностью, это интуитивно чувствует даже не специалист в сфере социологии личности. Тем не менее ролевая концепция личности, рожденная в западной социологии, была подхвачена русскоязычными социологами и до сих пор кочует по философским учеб-

никам, хотя убогость ее чувствуют порой студенты. Богатство личности определяется ее самостоятельностью и укорененностью в культуре: самому стоять на земле можно на прочной основе, иначе понесет тебя, как перекати-поле. Цельность и целостность личности должны иметь органические скрепы исторического преемства.

Целостное мировоззрение и идея целостной школы складываются там, где преодолеваются схематизм, формально-логический подход, где есть диалектическая и религиозная доминанта. Потому-то советская педагогика, ориентированная на диалектику и марксистскую религиозность, стремилась к совершенному типу личности, и В.В. Зеньковский обнаруживает родство исканий советской педагогики и подлинно религиозного, православного направления в традиционной и зарубежной русской школе. Помехой в реализации идей целостности для советской школы была псевдорелигиозность, лишающая ее органики искренности и высоты идеалов, а для русской зарубежной школы — отсутствие органики самой русской жизни, ибо никакой локальный очаг культуры не способен заменить Россию, в каком бы тяжелом положении она ни находилась.

Столь популярная критика абстрактного, частичного индивида, прозвучавшая в 1960-70-е годы в статьях и книгах Э. В. Ильенкова, имела неведомую современникам предоснову в ярком и точном истолковании гегелевского смысла абстрактного и конкретного И.А. Ильиным [4]. Ильенковское переоткрытие органической целостности (тотальности) как конкретно-всеобщего и ее антипода — абстрактно-всеобщего преломилось в практически ориентированных психолого-педагогических трудах, прежде всего в книге В.В. Давыдова «Виды обобщения в обучении»[1].

А каковы истоки и наиболее влиятельные силы, определившие лицо русской педагогики, в том числе и в XX веке? Первейшей такой силой были традиции народно-бытовой культуры. Удивительно, как до поры до времени теоретики просматривают в своем предмете самое существенное, не придавая никакого внимания предоснове.

Крестьянское воспитание в России, а Россия тысячелетие жила земледелием, строилось на раннем приобщении детей к тайнам крестьянской деятельности. До сих пор подвергается осмеянию сверстников подросток, не умеющий орудовать лопатой, топором или молотком. Что уж говорить о собственно крестьянских семьях, в которых из поколения в поколения передавался ритм научения и воспитания, где были свои трудовые, нравственно-эстетические уроки развития для мальчиков и девочек.

Урбанизация сместила заботы о многих навыках из семьи в школу, где подчас запоздало приходится включать школьника в мир народных песен, преданий, танцев, испытывая к тому же мощнейшую конкуренцию телешоу. Школа не может заменить семейное воспитание, естественным образом выковывавшее прежде характер и мастерство русских крестьян, что сказывалось в дальнейшем в любых жизненных ситуациях, будь то война,

где русский крестьянин быстро приноравливался к тяготам окопного существования, будь то многодетное бытие женщины. К слову, почти повсеместные жалобы нынешних молодых женщин на трудности воспитания более одного ребенка объясняются, конечно, многими оправдательными мотивами, но всё же положение сегодняшней женщины вряд ли труднее не только положения женщин голодной и тифозной военной поры, но и почти всех веков нашей истории.

В пору, когда мы ищем духовные опоры в образовании, стоит особенно внимательно вчитаться в емкие тезисы педагогической концепции В.В.Зеньковского, которые можно назвать духовной педагогикой. Современному прагматически воспитанному педагогу идеи автора могут показаться утопичными, но коль мы надеемся на историческую преемственность духовного бытия России, то педагогическая перспектива мыслей Зеньковского вовсе не иллюзорна. Он ясно видел философские изъяны известных нравственных концепций (о кантовском радикальном зле человеческой природы и о зависимости качеств личности от природы, воспитания, навеянной руссоистами).

Основу основ личности ребенка В. В. Зеньковский усматривал в росте духовности, и ритмика этого роста — ключевая задача педагогики, «однако не моральный, а религиозный духовный процесс возрастания образует истинную и последнюю тему воспитательного воздействия на детей» [2, с.323]. У атеистических по духу учителей столь определенное утверждение может вызвать едва ли не протест.

Можно сколько угодно толковать об отделении Церкви от государства, о независимости светского образования.., но независимость эта от чего? От совести, добра и милосердия? От своей духовной истории, где православие создало тех русских, которые умели нести ношу труда, войны, умели созидать и любить? Отринута и проклята коммунистическая духовность, взамен гуляют аморфные общечеловеческие ценности без намека на исторически преемственную духовность. Культура — это прежде всего, повторю еще раз, культ духовных ценностей. Какой выбор сделаем мы?

В.В. Зеньковский не делал выбора, как не делали выбора все наши изгнанники: выбор был сделан историей их предков, и они верно служили России, православию, русской культуре. Задача школы — формировать такую цельную личность, перед которой не могло бы возникнуть жутких по своей нелепости вопросов: не лучше ли предпочесть чужих родителей, чужую родину, чужую веру?

Дух Церкви в школе вовсе не означает ее диктата. Церковь должна стать именно духовным центром школьной педагогики, ибо она концентрирует благодатное начало жизни личности и государства. Размышлявший о духовном выздоровлении России А.В. Карташёв, еще в 30-е годы указал нам на исторически благодетельное для России отделение Церкви от государства, нарушение которого с XVII века многократно наносило

вред и духовной силе Церкви, и государству, то расслабляемому, то распадающемуся из-за отсутствия независимого, отрезвляющего голоса Церкви. Стоит внимательно всмотреться нам сегодня в строки не пришедшей еще к читателям статьи А. В. Карташева [5], чтобы прочувствовать ответственность нас, мирян, ибо мы склонны уповать в религиозном оздоровлении народа на силы священников, а едва переступив порог храма, норовим тотчас проявить всегдашний скепсис, оттого и слышатся в среде интеллигенции иронические, осуждающие, недовольные слова в адрес священников, монахов, иерархов Церкви. Один из симптомов драмы русского самосознания, обнаруженных и обнаженных И. К. Рогощенковым, состоит в том, что в наше время люди умственного труда придут в Церковь «не как оглашенные, сознавая себя едва прикоснувшимися к божественной истине, нет, они сразу заявят претензию на реформы всего и вся по своему плану и разумению» [6].

Итак, воспроизведу хотя бы несколько мыслей из столь нужной для нас статьи А. В. Карташева: «Выполнение плана христианизации общенациональной жизни есть специальное призвание не священства, не служителей алтаря и наших молитвенников, а нас — мирян. Мы легкомысленно этого не понимаем. Не сознаем ни своих прав в церкви, ни своей ответственности. Фактически дело церковное считаем "делом поповским". Если что неладно, то иерархи, попы виноваты. Это не православный, а латинский взгляд. Православное учение высоко смотрит на звание мирян в церкви. Оно считает народ церковный живым телом церкви, хранителем самой веры, участником в совершении таинств и уж, конечно, первейшим осуществителем церковных заветов в жизни мирской, общественной. Христианизировать культуру, оцерковлять мир и должны миряне по преимуществу. На то им и дано это высокое звание мирян, то есть граждан мира сего, но одновременно и граждан церкви» [5, с. 120].

И еще одно обращение и разъяснение А.В. Карташева, относящееся к учителям, педагогам: «В народном просвещении: не превращение гимназий и школ в духовные семинарии и церковно-приходские школы, а корпоративное усилие всего братски организованного православного учительства приводит в систему образования и воспитания христианскую идеологию, христианский дух вместо культивируемого в педагогике внерелигиозного гуманизма... Надо понять всю всемирно-историческую значительность и ответственность своего мирянского апостольства... Такова суть православной соборности, о которой мы наивно и бессознательно пустословим» [5].

Русская школа, если она самоопределится, станет средоточием полноты русского духа, где православное мирочувствование и мировоззрение - основная, но не единственная скрепа. К верному воспитанию русскости ведут многие пути: учитель-словесник, учитель-психолог, учитель музыки и пения, учитель истории, каждый по-своему может искать дорогу к

выздоровлению русской души, чтобы нам не затеряться в цивилизационном однообразии, чтобы не опустошила глаза всех последующих детей напасть наркотических средств — от растительно-химических до телевизионных.

Весь XX век Россия прожила с искренним отторжением лиц и идей, коими понемногу теперь начинает гордиться: Серафим Саровский, Николай II, Столыпин, Победоносцев, Константин Леонтьев, Врангель... сотни имен и стоящих за ними дел, мыслей можно перечислить. В данном случае важно осознать, что готовность к приятию духовных ценностей складывается сложнее, чем способность к восприятию политических и научных метаморфоз, причем стократ сложнее эта готовность оказывается у самих педагогов, чем у школьников и студентов. Есть очень емкое название одной из книг И.А. Ильина — «Путь духовного обновления». Этот путь еще предстоит одолеть нашей педагогике.

Библиографический список

1. Давыдов В. В. Виды обобщения в обучении. М, 1972.

2. Зеньковский В. В. Русская педагогика в XX веке // Записки Русского научного института в Белграде. 1933. Вып. 9.

3. Зеньковский В. В. На пороге зрелости. СПб., 1991

4. Ильин И. А. Философия Гегеля как учение о конкретности Бога и человека. М, 1918. Переиздание: СПб., 1994.

5. Карташев А. В. Церковь как фактор социального оздоровления России // Труды кружка «К познанию России». Вып. 1. Париж, 1934.

6. Рогощенков И. К. Драма русского самосознания // Север. 1993. №1.

Раздел I. ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ

БИБЛИОГРАФИЯ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ ПО МАТЕМАТИКЕ: ПРОБЛЕМЫ И РЕШЕНИЯ

В.М. Бусев, Ю.А. Худякова

Для организации эффективного поиска информации, связанной с историей, теорией и практикой математического образования, необходимо собрать и систематизировать описания опубликованных ранее книг, статей, авторефератов диссертаций. В статье рассматриваются наиболее важные проблемы, связанные с выполнением этой задачи, а также предлагаются пути их решения.

Ключевые слова: история математического образования, библиография, указатели литературы.

Постановка проблемы

Каждому человеку, занимающемуся вопросами истории математического образования, нередко приходится привлекать для работы большие массивы информации разных видов — программы, учебники, методические руководства, статьи, диссертации и др. Количество опубликованных материалов достаточно велико, а сведения о них разрознены — представлены в виде ссылок в научных работах, в виде карточек в библиотечных каталогах и т.д. Это значительно затрудняет работу, и в результате исследователь большую часть своего времени тратит на рутинный поиск и лишь малую часть — на анализ информации.

Ясно, что проблема минимизации усилий для поиска информации актуальна не только для истории математического образования, но и для других областей научного знания. В разные времена предпринимались попытки решить её путём создания разнообразных указателей, путеводителей, сводных каталогов, а с развитием информационных систем — и с помощью баз данных. Работу по описанию и систематизации информации вели как энтузиасты, так и целые коллективы и даже специальные организации.

В области образования и педагогики в разное время предпринимались попытки создания библиографий — сводных и тематических, но все эти библиографии не покрывают даже половину опубликованных материалов. Не лучше обстоят дела с учебно-методической литературой по математике. Хотя имеется ряд указателей (Д.В. Агапова, В.В. Бобынина,

Ф.М. Шустеф и др.), проблема учёта и систематизации вышедших изданий и статей весьма актуальна: существующие библиографии включают, по нашим оценкам, не более 1/3 имеющейся литературы.

В ближайшие годы мы планируем составить библиографию книг и статей, связанных с математическим образованием, которые были опубликованы до 2012 г. включительно. Количество этих материалов достаточно велико и составляет никак не меньше, чем несколько десятков тысяч наименований (без учёта переизданий). Работа по выявлению и описанию этого массива будет непростой и займёт несколько лет. Чтобы не «потеряться» в огромном количестве книг и статей, чтобы ничего не упустить и сделать результат труда удобным для пользователя, необходимо заранее продумать и сформулировать решения по всем вопросам — от критериев и технологии отбора информации до вспомогательных указателей. Целью данной статьи является рассмотрение наиболее принципиальных из этих вопросов.

Этапы работы

Для начала отметим, что ввиду большого объёма работу целесообразно разбить на несколько этапов. В основу деления можно положить разные основания: вид литературы, дисциплину, хронологию. Если выбрать вид, то сначала можно собирать и систематизировать сведения обо всех учебниках, затем обо всех методиках, потом — о научно-популярной литературе и т.д. Если выбрать дисциплину, то последовательно описывается и систематизируется литература по арифметике, алгебре, геометрии, тригонометрии и т.д. Анализ этих двух подходов показывает, что оба они неудобны. Если отбирать сначала литературу, выделенную по одному основанию, а затем литературу, выделенную по другому основанию, то придётся просматривать огромные массивы информации многократно. Либо сразу учитывать литературу всех видов (дисциплин), но тогда этапов не получается — вся работа выполняется сразу, что тоже неудобно.

Выбор хронологического основания позволяет достаточно чётко обозначить этапы работы. В принципе, делить литературу по времени издания можно на любые отрезки, на технологии подготовки информации это почти не скажется. Но практически целесообразно в качестве первого этапа взять весь дореволюционный период — от издания первой книги по математике «Считание удобное» (1682) до 1917 года включительно. Объём опубликованных за это время материалов сравнительно небольшой — несколько тысяч книг и столько же статей. Немаловажно, что книги этого периода достаточно полно отражены в электронном каталоге Российской государственной библиотеки (РГБ) — основного источника для составления словника авторов и описаний книг (подробнее об этом см. далее).

В качестве второго этапа естественным образом напрашивается период 1918—1991 г., тогда третьим этапом будет период 1992—2012 г. По-

ка трудно сказать, целесообразно ли такое деление, это будет ясно позднее. Возможно, второй этап будет разбит на две примерно равных (по времени) части.

Следующий вопрос, который необходимо решить, — как действовать по отношению к книгам, статьям и авторефератам диссертаций: вести ли работу над ними параллельно или последовательно, сводить в одном указателе или представлять в разных. На наш взгляд, между этими видами материалов есть принципиальные отличия, которые требуют разных подходов к работе с ними — и к описанию, и к технологии систематизации, и к представлению в указателе.

Статьи, в отличие от книг и авторефератов, значительно труднее искать. Статьи, как правило, посвящены частным вопросам, а потому для их систематизации не подойдёт рубрикатор, предназначенный для книг (рубрикатор для статей должен быть как минимум подробнее). Статьи, в отличие от книг, почти никогда не переиздаются, и описывать их несравненно проще, чем книги. Авторефераты рассчитаны на достаточно узкий круг пользователей — аспирантов и научных работников в области образования и представлять их вместе с книгами и статьями нет никакой необходимости. Наконец, библиографии книг, статей и авторефератов требуют различных вспомогательных указателей.

Учитывая сказанное, становится ясно, что каждый из этапов нужно разделить ещё на два, и сначала описывать книги, а затем статьи. Что касается авторефератов, то их нужно сделать сразу и все. Весьма удачно, что для этой работы имеются источники: два указателя диссертаций по методике преподавания математики, «Летопись авторефератов диссертаций», электронный каталог РГБ и систематический каталог диссертационного зала РГБ. Всё это значительно упрощает задачу создания указателя авторефератов. Работа по его подготовке может вестись независимо от других направлений деятельности.

Критерии отбора

Чтобы двигаться дальше, необходимо определить, какая именно литература должна описываться и систематизироваться. В указателе планируется отразить только литературу, связанную со школьным курсом математики — той частью элементарной математики и начал высшей, которая изучалась и изучается в начальных и средних образовательных учреждениях России (Российской империи, РСФСР).

При этом включается литература, предназначенная не только для общеобразовательных учреждений, но и для учреждений начального и среднего профессионального образования, а также для абитуриентов высших учебных заведений. Такой довольно широкий охват объясняется двумя причинами. Во-первых, начальное и среднее профессиональное математическое образование может быть интересно современным историкам,

теоретикам и практикам образования. Во-вторых, часто трудно провести границу и однозначно определить, на какое образование ориентирована некоторая книга/статья — на общее или профессиональное.

В указателе не планируется представлять литературу, ориентированную на высшее образование (учебники, пособия и т.д.) и на профессиональных учёных (математические статьи, монографии и т.д.). Также не будет включена литература на иностранных языках (как зарубежная, так и переводы отечественной).

Перечислим те виды книг, описания которых должны войти в указатель:

- учебники и учебные пособия для учащихся, задачники;

- методические руководства и пособия для учителей;

- научно-популярная литература;

- материалы выпускных и вступительных экзаменов;

- решебники и сборники ответов к задачникам;

- справочники, энциклопедии, хрестоматии.

Описание изданий Перейдём к следующему важному вопросу — как описывать материалы. Естественно ориентироваться на ГОСТ 7.1—2003 «Библиографическая запись. Библиографическое описание. Общие требования и правила составления». Слово «ориентироваться» мы употребили неслучайно: буквально следовать изложенным в ГОСТ правилам нецелесообразно. Во-первых, ГОСТ рассчитан на описание разных видов материалов: бумажных (книг, статей, рукописей), изоизданий, нотных изданий, карт, аудио, видео, электронных ресурсов и др. ГОСТ предусматривает обозначение вида материала в области заглавия. Для книг и статей используется слово «текст», которое приводится в квадратных скобках сразу после заглавия. Тогда описание, например, учебника арифметики должно выглядеть так: «Иванов, И. И. Арифметика [Текст] : для сред. учеб. заведений ...». Поскольку в данном случае описываются только материалы на бумажных носителях (и только опубликованные), то указывать обозначение материала нет необходимости.

ГОСТ 7.1—2003 даёт правила для описания одного издания. Если следовать ему, то придётся на каждое издание книги составлять отдельное библиографическое описание. Если изданий было немного, то можно поступать и так, но когда книга переиздавалась многократно, этот способ становится неэффективным: объём указателя возрастает, а пользоваться им неудобно (представьте, сколько придётся затратить времени, чтобы просмотреть описания каждого издания учебников А.П. Кисёлева). А если издание выходило под разными заглавиями и/или менялся состав авторов? Делать отсылки? Это также затруднит работу пользователя.

Чтобы избежать этих проблем, необходимо разработать удобные правила описания разных изданий одной и той же книги (что нами уже в значительной степени выполнено и опробовано на практике). Естественным кажется составлять библиографическое описание только на первое издание, а после него в краткой форме приводить сведения о других изданиях, причём только о тех, которые подвергались изменениям. Приведём пример того, как может быть описан учебник по математике для начальной школы.

Волковский, Д. Л. Математика для детей : второй год обучения / Д. Л. Волковский. — М. : Гос. изд-во, 1925. — 139 с. — (Учеб. пособия для школ I и II ступени). — На обл. серия: «Пособия для трудовой школы». — Текст «Для учащих»: с. 2 обл. — НПС ГУС допущено для школ I ступени.

История. Др. издания: 2—12. — 4-е изд., испр. [и значит, сокращ.]: М—Л., 1927, 112 с. — 6-е изд., испр.: М— Л., 1927. — 10-е изд., перераб.: М.—Л., 1929, 128 с. — 12-е изд.: М.—Л., 1930, 95, [1] с, соавт.: Ю. Н. Зволинская, Е. В. Рубанова, текст «Для учителя» от редакции Отдела учебников ГИЗа: с. 95.

В этом описании, которое можно назвать расширенным библиографическим описанием, кратко изложена формальная история изданий учебника (что и подчёркивает слово «История»). Из неё мы узнаём, что книга издавалась 12 раз, причём впервые изменения были внесены в 4-е издание. 5-е издание было стереотипным (поэтому оно не указано), 6-е издание подверглось исправлениям. 10-е издание было переработано, а в 12-м появилось два соавтора. В изменённых изданиях менялось количество страниц, что также отмечено в истории.

Обратим внимание на несколько важных моментов. Во-первых, в описании приводятся сведения о наличии сопроводительных текстов в издании (предисловий, послесловий и т.д.). Это важнейшие элементы книги, и иногда только благодаря им можно узнать взгляды автора на преподавание математики. И, конечно, эти тексты нередко позволяют установить характер произведённых изменений в новом издании (что конкретно изменено, дополнено, исключено и т.д.). Отметим, что далеко не все издания одной и той же книги имеют сопроводительные тексты (например, предисловие помещалось только в первом издании или в первом и в тех последующих, которые подвергались изменениям).

Во-вторых, в описании некоторые слова заключены в квадратные скобки. Согласно ГОСТ 7.1—2003, это означает, что источником информации внутри скобок является не титульный лист, а какие-то другие элементы книги (что предполагает визуальный анализ издания библиографом). Иными словами, на титульном листе, который служит основным (и, увы, обычно единственным) источником при составлении описания, было

написано «4-е издание, исправленное», хотя на самом деле издание было значительно сокращено. Бывают случаи, когда неоднократно нарушалась нумерация изданий. Вот типичный пример такой книги.

Кроткова, К. А. Живой счет : илл. сб. арифметич. задач и упражнений для сельск. школ. В 3 ч. Ч. 1 / сост. К. А. Кроткова, А. Г. Бернашевский и Г. М. Васильев ; под ред. [и с предисл.] Е. А. Звягинцева. — М. : тип. т-ва И. Д. Сытина, 1912. — IV, 80 с. — (Всеобщее обучение).

История. Др. издания: 2—6, 6[а], 7, [8], 2[9]. — 6-е изд.: М, 1919, 72 с. — 6[а] изд., [изм.]: Иркутск, 1920, 60 с. — 7-е изд.: М, 1922, 70, [1] с, сопроводит, текст отсут. — С 7-го изд. сведения об отв.: «Сост. Е. А. Звягинцев, А. Г. Бернашевский и Г. М. Васильев». — [8]-е изд., [изм.]: М.—Пг., [1923], 78 с, [2] с. объявл., серия «Учебники и учеб. пособия для школ I и II ступени», предисл.: с. 3—4, текст «О метрических мерах»: с. 5—7, НПС ГУС допущено для школ I ступени. — [9]-е изд.: М, [1924].

Итак, книга впервые вышла в 1912 г. и выдержала ещё пять стереотипных изданий. Затем она была переиздана в Иркутске, причём с изменениями (на титульном листе это не указано). По неизвестным причинам новое издание было помечено как 6-е, хотя на самом деле было седьмым. Почему-то при новом издании книги в 1922 г. факт её выхода двумя годами ранее не был учтён, и издание имеет номер 7, написанный на титульном листе. Затем за переиздание книги взялось Государственное издательство, которое выпустило книгу в 1923 г. с изменениями (в частности, был добавлен текст о метрических мерах), но никаких сведений о порядковом номере издания на титульный лист помещено не было. И, наконец, через год это же издательство книгу переиздало как бы вторым изданием (что и отмечено на титульном листе). Таким образом, всего книга выдержала 9 изданий, и сведения обо всех них удалось зафиксировать в компактной и (при некоторой привычке) легко читаемой форме.

Из всего сказанного о проблемах с отражением в указателе переизданий книг следует важный вывод: большинство из них необходимо просматривать и затем отмечать в расширенном описании те изменения, которые не были зафиксированы библиографом при составлении записи для карточки (а карточные каталоги служат одним из главных источников при предварительном составлении расширенных описаний).

Кроме того, необходимо вносить в описания сведения о наличии сопроводительных текстов (и последующих их изменениях), а также сведения о «знаках отличия»: была ли книга допущена, рекомендована каким-то ведомством или комиссией и т.д. Последняя информация достаточно важна: во-первых, она позволяет читателю предварительно оценить степень значимости данной книги; во-вторых, на её основе исследователь может сделать вывод о том, в каких архивах он сможет найти рецензии или отзы-

вы, которые обычно служили основанием для её рекомендации (допущения, утверждения).

Однако и это ещё не всё. Необходимо решить вопрос об отражении рядом с описанием книги других тесно связанных с ней материалов — например, рецензий, отзывов, стенограмм обсуждений. Критические материалы — важнейший (а иногда и единственный) источник наших знаний о том, какую роль играла та или иная книга после своего выхода в свет, и помещать сведения о них в указателе нужно обязательно. Также нужно помещать рядом с описанием и другие виды материалов: нередко учебник и методическое руководство к нему составляют единый комплект, к задачнику существует решебник и т.д. Соответствующие сведения должны указываться рядом с описанием издания: если это книги, то могут быть отсылки в другой раздел указателя; если статьи, то можно помещать библиографические описания.

И последнее. Рядом с описаниями книг необходимо приводить сведения о том, какие их издания имеются в крупнейших библиотеках страны — РГБ, Национальной библиотеке в Санкт-Петербурге (РНБ) и Научной педагогической библиотеке им. К.Д. Ушинского (НПБ). Расширенное описание книги позволит читателю понять, какие издания его интересуют, а сведения о наличии изданий в библиотеках — в какую из них ему следует обратиться.

Источники

Выше уже упоминалось, что одними из основных источников для составления предварительных расширенных описаний книг являются каталоги библиотек. В первую очередь это генеральный алфавитный каталог РГБ, дореволюционная часть которого достаточно полно представлена в базе данных (доступна через интернет). Электронный каталог позволяет с помощью соответствующих запросов выбирать описания необходимых изданий и предварительно анализировать их на предмет возможных изменений. Некоторые сведения затем можно уточнять по генеральному алфавитному каталогу РНБ, который представлен в интернете в виде массива отсканированных карточек.

Вторым источником сведений о вышедших книгах должны послужить различные сводные библиографии. Это упоминавшиеся выше указатели В.В. Бобынина, Д.В. Агапова, Ф.М. Шустеф, сводные каталоги русской книги гражданской печати XVIII и первой четверти XIX вв., «Материалы для истории народного просвещения в России» В.И. Межова, «Педагогическая библиография», указатели учебной литературы, каталоги крупных дореволюционных педагогических библиотек и др.

Третий источник — указатели текущей литературы. Это «Книжная летопись» (выходит с 1907 г.), «Литература по педагогическим наукам и народному образованию» (выходит с 1951 г.), «Указатель текущей педагогической литературы» О.В. Слюсаренко (за 1897—1900 гг.).

Источником сведений о вышедших статьях послужат как сводные указатели литературы (В.И. Межова, Ф.М. Шустеф, «Литература по педагогическим наукам и народному образованию» и др.), так и указатели к конкретным периодическим изданиям. К сожалению, к дореволюционной педагогической периодике указатели практически отсутствуют, и придётся привлекать погодовые указатели или даже просматривать номера журналов.

Для уточнения описаний книг будут привлекаться издания из фондов НПБ им. К.Д. Ушинского и РГБ.

План работы

Итак, вся работа разбивается на три этапа по времени публикаций: 1682—1917 гг., 1918—1991 гг., 1992—2012 гг. Последние периоды, возможно, могут быть разделены на части, первый этап на части не делится.

С помощью электронного каталога РГБ составляется предварительный словник авторов и начинается работа по составлению описаний книг отобранных авторов (с помощью каталогов РГБ и РНБ).

Параллельно выполняются две важные работы, имеющие самостоятельное значение: указатель дореволюционных библиографий педагогической литературы и указатель дореволюционных периодических изданий по педагогике и образованию (на основе книги Н.Н. Аблова «Педагогическая периодическая печать (1803—1916)»).

При составлении указателя библиографий все библиографии просматриваются и аннотируются, из них отбираются сведения для указателя учебно-методической литературы: авторы и/или книги, не учтённые ранее.

Начинается работа по описанию статей и докладов, опубликованных в периодических изданиях и сборниках. Обнаруживаются критические и методические материалы, связанные с включёнными в указатель книгами.

После окончательного редактирования описаний книг и связанных с ними материалов они группируются по рубрикам специально созданного рубрикатора и издаются в виде отдельной книги (книга снабжается как минимум именным указателем). Описания статей составляют другую книгу, со своими рубрикатором и вспомогательными указателями.

Приблизительно по такой же схеме отрабатываются второй и третий этапы (с учётом возможных коррекций в результате анализа работы на предыдущих этапах).

Параллельно с подготовкой библиографии учебно-методической литературы планируется вести работу ещё над тремя важными работами: указателем нормативных материалов, указателем исследований по истории математического образования и каталогом наглядных пособий.

В первую из этих работ должны войти описания всех программ, циркуляров, инструкций и других нормативных документов, связанных с математическим образованием. Во вторую должны быть включены все исследования по истории математического образования: книги, статьи, дис-

сертации. В третьей работе планируется систематизировать наглядные пособия по обучению математике. Каждое описание пособия должно включать краткую аннотацию, иллюстрацию и ссылки на работы, в которых читатель может найти подробные сведения о пособии и методические рекомендации по его использованию в учебном процессе.

В течение 2012—2013 гг. планируется составить указатель библиографий, указатель периодических изданий и описать все книги по математическому образованию, вышедшие в 1682—1917 гг. Закончить последнюю из названных работ мы рассчитываем не позднее первой половины 2014 г., после чего можно будет сосредоточиться на втором этапе — книгах и статьях по математическому образованию, вышедших в советское время.

Кроме того, в 2012—2013 гг. мы рассчитываем подготовить указатель авторефератов диссертаций, связанных с математическим образованием.

Работы будут вестись штатными и внештатными сотрудниками НПБ им. К.Д. Ушинского в рамках научно-аналитического отдела библиотеки. Все замечания и предложения по высказанным выше соображениям будут приняты с благодарностью.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИНТЕРЕСЫ ПРЕДСТАВИТЕЛЕЙ МОСКОВСКОЙ ФИЛОСОФСКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ШКОЛЫ

А.Ю. Грибов

В статье рассказывается о математических интересах представителей Московской философско-математической школы, которая зародилась в 1870-х годах из недр Московского математического общества.

Ключевые слова: математические интересы, Московская философско-математическая школа, аритмология.

Математические интересы представителей Московской философско-математической школы (МФМШ) весьма разнообразны и многогранны, начиная от механики и аналитической геометрии (Н.Д. Брашман, В.Я. Цингер), продолжая теорией чисел и теорией вероятностей (Н.В. Бугаев, П.А. Некрасова), и заканчивая теорией множеств и теорией функций (П.А. Флоренский и Н.Н. Лузин). Рассмотрим их подробнее, начав с основателя Московского математического общества Николая Дмитриевича Брашмана.

Первые научные статьи Н.Д. Брашмана связаны с московским периодом его жизни [4, с.3-8] и касаются области математического анализа. Среди них: «Общие рассуждения о математическом анализе и пример исследования дифференциальных уравнений по новому способу Штурма» (1834), «О трансцендентных функциях Абеля» (1834), «Рассуждение Пуассона об интегралах алгебраических функций» (1835) и др.

Не меньший интерес для Николая Дмитриевича представляли аналитическая геометрия и механика. Им написаны по этим разделам учебные руководства «Аналитическая геометрия» (1836) и «Теория равновесия тел твердых и жидких» (1837), которые были отмечены престижной Демидовской премией и по которым учились студенты до начала XX столетия. Среди его многочисленных статей, относящихся к этим областям, можно отметить работу «О приложении принципа наименьшего действия к определению объема воды на водосливе» (1861). В ней Брашман первым среди отечественных ученых определил теоретическим путем коэффициент расхода воды на водосливе, имеющем большое значение при устройстве запруд и плотин.

Кроме этого, большое значение имело и доказательство Николаем Дмитриевичем так называемого «закона Бэра». Он подверг тщательному анализу работы европейских ученых, занимающихся «законом Бэра» и обнаружил ряд неточностей. Результаты его работы были напечатаны в первом томе «Математического сборника» под названием «Определение давления реки на правый берег, происходящее от вращательного движения Земли около ее оси» [1, с. 213-224].

В круг научных интересов математика входила и оптика. В 1840 г. вышла его книга «Теория оптических снарядов», в которой рассматривались теория отраженного света, теория преломленного света и теория сферической аберрации, а также приложение первых двух теорий к устройству оптических снарядов.

Н.Д. Брашман всегда тщательно следил за успехами в развитии математических наук. Он один из немногих в нашей стране, кто на равных мог конкурировать в тот период с европейскими учеными. Вершиной признания научной деятельности профессора является избрание его в 1842 году членом-корреспондентом Британской ассоциации содействия успехам наук, а в 1855 году - членом-корреспондентом Санкт-Петербургской Академии наук.

Несомненной заслугой Н.Д. Брашмана является его постоянное и деятельное участие в приобщении к научной деятельности студентов. Среди его учеников были Василий Яковлевич Цингер и Николай Васильевич Бугаев, которые продолжили начатое учителем дело по поднятию престижа отечественной математической науки.

Математические работы В.Я. Цингера были сосредоточены в основном в двух областях: аналитической механике и проективной геометрии.

Об этом говорит тематика, статей, помещенных в «Математическом сборнике»: «Об относительном движении брошенной точки» (1866), «О движении свободной жидкой массы» (1867), «Об основной теореме высшей геометрии» (1869), «Вращательное движение жидкого эллипсоида с изменением вида» (1872), «Об одном случае равновесия жидкости» (1873), «О геометрическом значении неравенств» (1875), «К вопросу о точке наименьшего расстояния» (1892).

В статье «Об относительном движении брошенной точки» В.Я. Цингер вывел соотношения между абсолютными и относительными координатами. Автор утверждал, что эта связь может привести к интегралам относительного движения, но только в тех случаях, когда абсолютное движение известно [17, с. 163-172].

Знаменательным фактом в этой статье стало то, что Цингер нашел ошибку у английского математика и физика Бура при точном интегрировании дифференциальных уравнений в ходе решения вопроса об относительном движении брошенной точки [17, с. 168].

Таким образом, как видим, в своих расчетах В.Я. Цингер использовал не только аппарат математического анализа, но даже пытался его совершенствовать.

В 1867 году Василий Яковлевич защитил докторскую диссертацию «О движении свободной жидкой массы». Текст этой работы был опубликован во II томе «Математического сборника».

В 1869 году Цингер выступил на первом публичном заседании математического общества с речью «Об основной теореме высшей геометрии». В ней автор показал важнейшее значение теоремы, в которой говорится о неизменяемости при проективных преобразованиях величины сложного отношения. Эта теорема фактически является введением в курс проективной геометрии [16, с.23-36].

В работе «О геометрическом значении неравенств» уравнениям, выражающим линии и поверхности, ученый противопоставил исключающие их неравенства, которые характеризуют целые области плоскости или пространства. Общими соображениями и наглядным примером он доказал, что значение таких неравенств и обуславливается выбором того параметра, от изменения которого происходит уклонение от рассматриваемого уравнения в сторону допускаемого уравнения.

Заметный интерес к вопросам математического анализа на первых порах своей научной деятельности проявил и другой ученик Н.Д. Брашмана - Н.В. Бугаев, который по праву считался наиболее ярким представителем МФМШ. В последней четверти XIX века Николай Васильевич являлся одним из самых авторитетных математиков Московского университета. Его научные интересы были сосредоточены в основном в двух областях: классическом анализе и теории чисел (аритмологии).

К числу первых работ математика относятся: «Доказательство теоремы Коши», «Доказательство теоремы Вильсона», «Графический способ проведения касательных к кривым на плоскости» и др.

В 1861 г. Бугаев защитил магистерскую диссертацию «Сходимость бесконечных рядов по их внешнему виду». На тот момент существовало много частных признаков сходимости рядов, но все они не были связаны общей идеей. Николай Васильевич показал, что эти признаки являются развитием идеи о сопряженности рядов. Сопряженными автор называл ряды, одновременно сходящиеся и расходящиеся. Позже из теоремы Коши ученый вывел более общий, чем у самого Коши, закон о сопряженности рядов [10, с.525-526].

Из работ Бугаева видно, что в дальнейшем его научные интересы связаны с исчислением функции Е(х), на основе которой он разработал значительную часть нового раздела математики, названного им аритмологией. (В узком смысле - это теория разрывных функций. В широком смысле под аритмологией понимается идея прерывости, «зерности», присущей всему творению) [13, с.30].

Так, в 1866 г. Николай Васильевич защитил докторскую диссертацию «Числовые тождества, находящиеся в связи со свойствами символа Е». До тех пор символ Е использовался как вспомогательный для облегчения доказательств теорем теории чисел и не был предметом самостоятельных изучений. Бугаев же поставил эту функцию в центр своих исследований [3, с. 1-162]. Эта работа была написана на высоком научном уровне, о чем утверждал академик В.Я. Буняковский [10, с.528].

Кроме того, большое внимание Н.В. Бугаев уделял рассмотрению теории числовых производных и числовых интегралов («Общая теорема теории чисел с одной производной» (1865), «Учение о числовых производных», «Общие преобразования числовых интегралов по делителям» (1888) и др.), а также геометрии («Геометрия производных величин» (1889), «Дробные частные интегралы дифференциальных уравнений», «Дифференциальные уравнения первого порядка» (1868) и др.)

В дальнейшем траектория интересов Н.В. Бугаева сместилась в область философии математики, в которой он активно использовал аритмологические идеи.

Н.В. Бугаев своими математическими работами и преподавательской деятельностью оставил глубокий след в Московском университете. Своими работами он был известен и европейскому научному кругу [6].

К следующему поколению представителей МФМШ следует отнести Павла Алексеевича Некрасова и Виссариона Григорьевича Алексеева.

В 1883 г. Некрасов защитил магистерскую диссертацию «Исследование уравнений вида ит - pu" -q = 0», за которую Академия наук присудила ему премию им. В.Я. Буняковского. В этой работе он между параметрами

n, m, рис разбил комплексную плоскость на области, ограниченные дугами концентрических окружностей и лучами, идущими из центра так, чтобы в каждой точке области лежал ровно один корень [12].

В 1886 г. Павел Алексеевич защитил докторскую диссертацию «Ряд Лагранжа», в которой дал общее и подробное изложение метода перевала (метода наибыстрейшего спуска) за 25 лет до французского ученого П. Дюбуа, ранее считавшегося его основателем [14, с. 10].

Наиболее активные исследования ученого в области математических наук пришлись на конец XIX - начало XX в. Именно в это время большинство его работ публикуются в «Математическом сборнике». Среди них: «Циклические уравнения, их связь со способами наименьших квадратов и применение к астрономии» (1885), «Аналитическое исследование одного случая движения тяжёлого твёрдого тела около неподвижной точки» (1896), «К основам закона больших чисел, способа наименьших квадратов и статистики» (1912), «Общий основной метод производящих функций в приложении к исчислению вероятностей и к законам массовых явлений» (1912), «Истолкование второй теоремы Чебышева» (1915) и др.

В одной из своих работ П.А. Некрасов указал на ошибку Фукса, который находил аналитическое продолжение функции с помощью предельного круга. Правда, для ее доказательства ученый использовал несколько громоздкие объяснения. Позже более сжато и доступно ошибочность этого метода показал профессор Варшавского университета В.А. Анисимов [8, с.66].

Заметим, что в своих первых трудах ученый активно применял и совершенствовал аппарат математического анализа. В 1890-е гг. у Некрасова зародился интерес к теории вероятностей. Он получил ряд результатов по этому разделу и написал несколько учебников для высшей школы. В тот период ученый активно начал использовать аритмологические идеи, многие из которых в дальнейшем легли в основу построения им моделей социальных процессов.

Многие идеи Н.В.Бугаева получили отражение и в работах его ученика - профессора Дерптского (Юрьевского) университета Виссариона Григорьевича Алексеева.

В 1893 г. он защитил магистерскую диссертацию по алгебраической геометрии «Теория числовых характеристик систем кривых линий». В диссертации дано доказательство ряда теорем М. Шаля. Кроме вопросов чистой теории, Алексеев рассмотрел и ее приложение к решению некоторых проблем и задач геометрии [9, с. 140-141]. За эту работу ему присудили премию Н.Д. Брашмана.

Ряд других работ ученого из области геометрии был опубликован в «Математическом сборнике»: «Геометрические исследования об одно-четырехзначном соответствии четвертого порядка двух плоскостей» (1889), «Соответствие, устанавливаемое пучком кривых третьего порядка»

(1892), «Новый способ определения числовых коэффициентов при разложении символических произведений в ряды по полярам их элементарных ковариантов и по возрастающим степеням (я,у), (x,z), (?rz), ...» (1901) и др.

В 1899 г. Алексеев защитил докторскую диссертацию «Теория рациональных инвариантов бинарных форм в направлении Софуса Ли, Кэли и Аронгольда». Ее подробный анализ выполнен в статье А.К. Сушкевича «Материалы к истории алгебры в России в 4 выпуске «Историко-математических исследований». А.К. Сушкевич дал лестную оценку этой работе, охарактеризовав ее как весьма интересную, сильно отличающуюся от ранее вышедшей книги Ващенко-Захарченко «Теория определителей и теория форм [15, с.336].

Из анализа этой и других работ видно, что в своих исследованиях В.Г. Алексеев применял аппарат математического анализа. Об этом может свидетельствовать и выпущенный в 1902 г. его учебник для студентов «Краткий курс аналитической геометрии с упражнениями (2-х и 3-х измерений)». Кроме этого, Виссарион Григорьевич принимал активное участие в разработке математических аспектов аритмологии, считая, что его собственные исследования по теории инвариантов и геометрии относятся к этой области [9, с. 144].

В.Г. Алексеев занимался и вопросами химии, в которой также применял аритмологические идеи. Сам же он полагал, что химия от этого только выиграет и достигнет еще больших высот.

Среди всех представителей МФМШ особняком стоит П.А. Флоренский, который больше известен не как математик, а как философ и богослов.

Переходя к характеристике его математических интересов, заметим, что по справедливому заключению С.С. Демидова, Флоренский «профессиональным математиком быть не собирался и никогда им не был», «задачи математики как таковой не интересовали его», «он сам себе ставил задачи с математикой связанные, но математическими их можно назвать лишь в некотором условном смысле» [5, с.80].

Будущий ученый начал заниматься математикой, поскольку видел в ней основообразующее начало для выработки собственного подхода к миропониманию. Чаще всего для этого он использовал зарождающуюся в нашей стране теорию множеств и основанную на ней теорию функций. Именно к этим разделам Павел Александрович проявлял наибольший интерес.

П.А. Флоренский в большинстве своих работ применял некоторые положения теории функций к проблемам религиозной антропологии, о чем свидетельствует его статья «О типах возрастания» (1906).

Основная идея этой работы состоит в следующем: согласно духовному опыту возможно изменение духовного состояния личности, т.е. ее духовный рост или духовное падение. Другими словами, то, что мы назы-

ваем «духовностью», может изменяться с течением времени. Таким образом, ее можно рассмотреть как некоторую функцию времени: у = Ф(У), где у - это «состояние духовной жизни», а х - время. Далее он анализирует только функции, для которых при стремлении х к бесконечности, у также стремится к бесконечности. Стремление у к бесконечности представляет собой процесс «обожения» [18, с. 368].

Очевидно, что теорией множеств и теорией функций ученый заинтересовался под влиянием идей своего учителя Н.В. Бугаева. Увлекшись этими исследованиями, П.А. Флоренский обратился к работам Г. Кантора. Он разделял идею Кантора о различии между актуальной и потенциальной бесконечностью [18, с. 377], что было смелым поступком, поскольку в тот период модными считались позитивистские настроения, которые отвергали существование актуальной бесконечности во всех областях.

Флоренский был одним из первых в нашей стране, кто обратил внимание на теорию множеств Г. Кантора как на одну из самых перспективных. В дальнейшем его ожидания оправдались, было открыто много новых положений в этом направлении, и на сегодняшний день математику трудно представить без теории множества Кантора, которая включена почти во все учебники по высшей математике.

Исследованиями, включающими в себя различные вопросы теории множеств и теории функций, заинтересовался и друг Павла Александровича Николай Николаевич Лузин, который совместно со своим учителем Д.Ф. Егоровым стоял у истоков московской школы теории функций.

Очевидно, что интерес к этому разделу у будущего ученого развили именно Д.Ф. Егоров и П.А. Флоренский. Под руководством первого из них Николай Николаевич долго занимался вопросами математики. Со вторым Лузин познакомился в университетские годы. Научные взгляды Н.Н. Лузина и П.А. Флоренского во многом совпадали, но если первый проявлял интерес к философии с целью конкретной математической практики, то второй видел в математике мировоззренческие цели.

В 1916 г. Н.Н. Лузин защитил диссертацию «Интеграл и тригонометрический ряд», за которую сразу получил докторскую степень. Эта работа оказала определяющее влияние на дальнейшее развитие метрической теории функций. Она получила большую популярность в научных кругах, поскольку на тот момент вопросы теории тригонометрических рядов играли значительную роль [11].

Кроме диссертации, в тот период ученый также активно занимался различными прикладными вопросами. С.А. Чаплыгин привлек его к работе научно-экспериментального института путей сообщения.

В начале 1920-х гг. интересы профессора в основном лежали в области дескриптивной теории функций. Более того, он стал основателем этой новой математической дисциплины. Предпринятые им исследования

затронули сущность основ теории множеств. Он высказал мнение, что для проективных множеств не может быть решен ряд задач, в частности, вопрос об их изменимости. Это предположение было доказано в 70-х годах XX столетия [11].

В 1930-х гг. Лузин, владея методами классического анализа, с успехом начал их применять к прикладным вопросам. Так, он занимался оценкой сходимости метода приближенного решения дифференциальных уравнений, предложенного С.А.Чаплыгиным.

Последнее десятилетие своей жизни Николай Николаевич посвятил в основном написанию учебников, наиболее известным из которых был курс теории функций действительного переменного, выпущенный в 1940 г. и переизданный в 1949 г.

Подводя итог, стоит заметить, что все представители МФМШ были известны, прежде всего, как математики. Исключение составляет лишь П.А. Флоренский, вошедший в историю русской культуры как философ и богослов. Каждый из них достиг значительных результатов в разных отраслях знаний: Н.Д. Брашман - в аналитической геометрии и механике, В.Я. Цингер - в аналитической механике и проективной геометрии, Н.В. Бугаев - в теории чисел, П.А. Некрасов - в алгебре и теории вероятностей, В.Г. Алексеев - в теории инвариантов бинарных форм и алгебраической геометрии, П.А. Флоренский и Н.Н. Лузин - в теории множеств и теории функций.

Однако всех их объединил интерес к зарождающейся в нашей стране аритмологии (теории прерывных функций). Основателем учения об аритмологии является Н.В. Бугаев, которому принадлежала идея сделать это направление самостоятельным разделом математики. Этой дисциплине он всегда противопоставлял классический анализ, считая, что тот развит намного лучше и имеет более широкий аппарат для исследований. При этом в будущем первенствующее значение математик отводил именно теории прерывных функций, которая не уступит по обширности своего материала, по общности своих приемов, по замечательной красоте своих результатов.

Другие представители МФМШ под влиянием своего учителя также заинтересовались новым научным направлением в нашей стране. Они расширили границы применения аритмологии и стали ее использовать в других разделах математики и других отраслях знаний (П.А. Некрасов - в теории вероятностей и социологии. В.Г. Алексеев - в теории инвариантов бинарных форм и химии, а начиная с П.А. Флоренского и Н.Н. Лузина, формируется теория функций действительного переменного как развитая идея прерывных функций).

Стоит сказать, что интерес к новому разделу математики у представителей МФМШ возник не сразу. В своих начальных исследованиях они активно использовали и даже пытались совершенствовать аппарат матема-

тического анализа, но, видя его ограниченность, приходили к выводу о необходимости использования аритмологии.

Предшественники МФМШ Н.Д. Брашман и В.Я. Цингер также интересовались вопросами математического анализа, хотя и не пришли к аритмологическим идеям в математике.

Библиографический список

1. Брашман Н.Д. Определение давления реки на берег, происходящее от вращательного движения земли около ее оси // Математический сборник. 1866. Т.1. №1. С.213-224.

2. Бугаев Н.В. Математика и научно-философское миросозерцание. Киев, 1898.

3. Бугаев Н.В. Числовые тождества, находящиеся в связи со свойствами символа Е. // Математический сборник. 1866. Т. 1. №1. С. 1-162.

4. Грибов А.Ю., Саввина О.А. Педагог-математик Н.Д.Брашман и его мировоззренческие взгляды. // Проблемы теории и практики обучения математике. Сб. науч. работ, представленных на Межд. науч. конф. «64 Герценовские чтения». СПб: Изд-во РГПУ им. А.И.Герцена, 2011. С.3-8.

5. Демидов С.С. О математике в творчестве П.А.Флоренского // Сб. «П.А.Флоренский: философия, наука, техника». М: ВИНИТИ, 1989. С.80.

6. Колягин Ю.М. Математики-педагоги России. Забытые имена. Книга 3. Павел Алексеевич Некрасов. Орел: ГОУ ВПО «ОГУ», ООО «Картуш-ПФ». 2008. Сб.

7. Колягин Ю.М., Саввина О.А. Математики-педагоги России. Забытые имена. Книга 4. Николай Васильевич Бугаев. Елец: ЕГУ им. И.А.Бунина, 2009.

8. Колягин Ю.М., Саввина О.А. Профессор из крепостных (к 150-летию со дня рождения Василия Афанасьевича Анисимова) // Математика в школе. 2010. №7.-С.66.

9. Костин В.А., Сапронов Ю.И., Удоденко Н.Н. Виссарион Григорьевич Алексеев - забытое имя в математике (1866-1943) // Вестник ВГУ. Серия физика, математика, 2003, №1. С. 140-141.

10. Краткое обозрение ученых трудов профессора Н.В. Бугаева (публикация Ф.Я.Шевелева) // Историко-математические исследования. Выпуск XII. М., 1959. С.525-526.

11. Лузин Н.Н. Интеграл и тригонометрический ряд. М. Физматлит 2009.-468с.

12. Некрасов П.А. Исследование уравнений вида я* - ц = о // Математический сборник. 1883. Т.11. №1. С. 1-173.

13. Половинкин СМ. Аритмология // Русская философия: Энциклопедия / Под общ. ред. М.А.Маслина. М.: Алгоритм, 2007. С.30.

14. Соловьев А.Д. П.А.Некрасов и центральная предельная теорема теории вероятностей // Историко-математические исследования. Выпуск 2(37). М, 1997. С.10.

15. Сушкевич А.К. Материалы к истории алгебры в России. IV. Алгебра в русских университетах во второй половине XIX века. Учебники и монографии по алгебре // Историко-математические исследования. Выпуск IV, 1951.С.336.

16. Цингер В.Я. Об основной теореме высшей геометрии // Математический сборник. 1869. Т.4. №1. С.23-36.

17. Цингер В.Я. Об относительном движении брошенной точки // Математический сборник. 1866. Т.1. №1. С. 163-172.

18. Шапошников В. А. Тема бесконечности в творчестве П.А.Флоренского // Бесконечность в математике. М.: Янус-К, 1997. С.373-377.

ГОЛУБЕВ ВЛАДИМИР ВАСИЛЬЕВИЧ

И.Н. Гридчина, И.С. Солосина

В статье: приводятся автобиографические сведения, проводится анализ работ Владимира Васильевича, рассматривается поведение предкрылка и закрылка основного крыла.

Ключевые слова: дифференциальные уравнения, аэродинамика, предкрылок, закрылок.

«Не жалей себя - это самая гордая, самая красивая мудрость на земле. Есть только две формы жизни: гниение и горение. Трусливые и жадные изберут первую; мужественные и щедрые - вторую. Каждому, кто любит красоту, ясно, где величественнее».

М. Горький

Владимир Васильевич Голубев родился 21 ноября (3 декабря) 1884 года в городе Сергиев Московской губернии.

В своей автобиографии он писал: «Мой отец Василий Сергеевич Голубев, до 1889 года был учителем латинского языка в Волоколамском духовном училище, а с 1889 года - священником церкви в Москве, у Кропоткинских ворот; он был из духовных и в 1883 году окончил Московскую духовную академию, которая помещалась в Сергиевом-Пасаде; мать Клавдия Матвеевна Голубева, урожденная Кузьмина, была дочерью мелкого торговца (булочника), из крестьян Молотовского уезда Ярославской губернии» [3, с. 948].

В 1903 году Голубев окончил с золотой медалью 1-ю московскую гимназию и поступил в Московский университет на физико-математический факультет (математическое отделение). За студенческое сочинение «Обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка с неподвижными критическими точками» он получил от физико-математического факультета премию имени Д.Д. Гнусина [3, с. 949].

В 1905 году вместе с Н.Н. Лузиным слушал в Париже лекции известных математиков. С 1906 года Владимир Васильевич работал в средних учебных заведениях Москвы. В 1908 году он окончил Московский университет, написав дипломную работу по дифференциальным уравнениям. Зимой 1911 года сдал магистерские экзамены. В 1911 году В.В. Голубев опубликовал первую научную статью «Об одном приложении теоремы Пикара к теории дифференциальных уравнений». В этом же году его избирают членом Московского математического общества. С 1914 года, после повторного посещения европейских университетов, стал преподавать одновременно в нескольких высших учебных заведениях.

Осенью 1915 года В.В. Голубев закончил магистерскую диссертацию «Однозначные аналитические функции с совершенным множеством особых точек». Защита состоялась в мае 1917 г., оппонентами были Д.Ф. Егоров и Н.Н. Лузин. Осенью 1917 года Владимир Васильевич был зачислен приват-доцентом Московского университета. Однако в ноябре 1917 года он выбран ординарным профессором математики Саратовского университета, где начал чтение лекций с 1 февраля 1918 года. С 1918 по 1922 гг. Владимир Васильевич работает деканом физико-математического факультета, проректором и ректором университета.

С 1921 по 1930 гг. Голубев преподавал математику в Саратовском институте сельского хозяйства. В 1929 году он издал книгу «Основания математической статистики к лесному делу» [3, с. 950].

Осенью 1930 года Владимир Васильевич переехал в Москву, где с октября начал работать старшим инженером ЦАГИ, а в ноябре был назначен профессором и действительным членом Научно-исследовательского института математики и механики Московского университета.

С 1932 года до своей смерти — начальник кафедры высшей математики в Военно-воздушной академии им. Н. Е. Жуковского. С 1944 по 1952 год повторно - декан механико-математического факультета МГУ.

В 1934 году он был избран членом-корреспондентом АН СССР. В 1939 году В.В. Голубев зачислен в кадры Красной Армии в звании бригинженера; а в 1944 году ему присваивается воинское звание генерал-майора инженерно-авиационной службы. Он был награжден орденами Ленина, Трудового Красного Знамени, четырьмя орденами Красной Звезды, многими медалями [4].

Математические труды В.В. Голубева относятся к теории аналитических функций и аналитической теории дифференциальных уравнений. Широко применял математический аппарат в аэромеханике, продолжал развивать работы С. А. Чаплыгина. В области теории пограничного слоя построил интегральные соотношения, которые теперь называются соотношениями Голубева. Одна из теорем теории аналитических функций носит название теоремы Голубева-Привалова. Пользуются популярностью его книги «Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений», «Однозначные аналитические функции... Автоморфные функции». Известны также работы В. В. Голубева по истории русской науки [5].

В данной статье мы рассмотрим работу Владимира Васильевича по теории дифференциальных уравнений «Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений», первое издание которой вышло в 1941 г., а второе - в 1950 г.

В своей работе Голубев отмечал, что весьма большое число различных задач механики, математической физики, инженерных наук приводится к интегрированию дифференциальных уравнений. Математические трудности, которые встречаются при интегрировании этих уравнений, часто задерживают решение прикладных задач.

Владимир Васильевич рассматривал:

1. Теоремы существования. Единственность решений. Особые точки.

2. Уравнения первого порядка. Элементы теории алгебраических функций.

3. Уравнения второго порядка с неподвижными критическими точками.

4. Линейные уравнения.

5. Гипергеометрическая функция. Проблема Римана.

6. Отражение многоугольников, ограниченных дугами окружностей.

7. Элементы теории автоморфных функций.

8. Автоморфные функции Фукса и Клейна.

В этой книге подробно излагается метод малого параметра и элементы теории алгебраических функций. Аналитическое изучение

свойств интегралов дифференциальных уравнений класса Фукса связывается с задачей конформного отображения на полуплоскость областей, ограниченных дугами окружностей. Отображающая функция z = f{co) будет в этом случае многозначной функцией, а ее критическими точками будут точки ах,а2,аъ... на действительной полуоси плоскости со, в которые переходят при отображении вершины многоугольника. Изучение многозначных функций и групп подстановок приводит к полиэдрическим функциям, функциям Шварца и модулярным функциям [1].

Также хочется отметить, что профессор В.В. Голубев вел интенсивную работу по ряду актуальных разделов аэродинамики. Он был одним из создателей теоретической аэродинамики. Владимир Васильевич занимался изучением аэродинамических характеристик крыла с предкрылком или закрылком. Влияние предкрылка или закрылка на поле скоростей основного крыла исследуется при помощи их замены присоединенным вихрем. В процессе решения данной задачи профессором Голубевым была доказана теорема: «сумма смещений критических точек на окружности R=l под действием добавочных вихрей равна нулю». В результате Владимир Васильевич пришел к следующим выводам: действие предкрылка сводится к увеличению критического (предельного) угла атаки; действие закрылка эквивалентно влиянию изменения изогнутости основного профиля [2].

Библиографический список

1. Голубев В.В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. Государственное издательство Технико-теоретической литературы. М.-Л., 1950. 429 с.

2. Голубев В.В., Чаплыгин С.А. К теории предкрылка и закрылка. -Труды ЦАГИ. Вып. 171. М, 1935. С.39

3. Голубев В.В.Труды по аэродинамике. - Государственное издательство Технико-теоретической литературы. М.-Л., 1957. 971 с.

4. Колягин Ю.М., Саввина О. А. Дмитрий Федорович Егоров Путь ученого и христианина. М.: ПСТГУ, 2010. 302 с. 1000 экз.

5. Электронный ресурс: http://100v.com.ua/ru/Golubev-Vladimir-Vasilevich-person

ФИЛОСОФ, МАТЕМАТИК, ПЕДАГОГ (к 175-летию со дня рождения Н.В. Бугаева)

А.А. Малютин

В этом году исполняется 175 лет со дня рождения Николая Васильевича Бугаева (1837-1903)[16] - математика, профессора и декана физико-математического факультета Императорского Московского университета, президента Московского математического общества. Н.В. Бугаев был активным членом Московского психологического общества и членом редколлегии журналов «Вопросы философии и психологии», «Математический сборник». Оригинальная, но наименее изученная часть научного наследия Н.В. Бугаева посвящена философским проблемам.

Ключевые слова: педагог-математик Н.В. Бугаев, аритмология, критика позитивизма, славянофильство.

В последнее время исследователи проявляют заметный интерес к личности дореволюционного педагога-математика Н.В. Бугаева. Математические и педагогические взгляды Н.В. Бугаева освещены в работах: «Доказательство теоремы Коши», «Доказательство теоремы Вильсона», «Замечание на одну статью курса Алгебры Сере», «Рациональная функция, выражающая два корня по третьему, и новый способ решения этих уравнений», «Графический способ проведения касательных к кривым на плоскости», «Учение о числовых производных», «Числовые тождества, находящиеся в связи со свойствами символа Е», «Некоторые приложения теории эллиптических функций к теории функций прерывных», «Математика как орудие научное и педагогическое», «Программа преподавания математики», «Записки по вопросу о начальном образовании», «К вопросу о средней школе».

Однако не менее интересны философские размышления ученого.

Увлеченность философией Н.В. Бугаев начал проявлять еще с юношеских лет, в зрелости же осмысливал роль и место метафизики в построении научной картины мира. Со временем его мировоззрение не просто эволюционировало, а претерпело настоящее перерождение. В юношеские годы математик не избежал увлечения позитивизмом. И это объяснимо, поскольку именно такие взгляды тогда господствовали в «прогрессивных слоях» русского общества. Так, у современника Н.В. Бугаева, публициста Л.А. Тихомирова дается типичная для того времени характеристика формирования умонастроений русского юношества: «Как и все, я воспринял эти взгляды еще тогда, когда не имел никаких самостоятельных наблюдений жизни, никакой самостоятельной критики, да не имел еще и

достаточно созревшего для работы ума. Имея некоторую способность писать, я, как огромное большинство и поныне действующих либеральных и радикальных писателей, много лет оставался компилятором чужих мыслей, воспринятых на веру, усвоенных потому, что все так думают, все так пишут в целой массе исторических, экономических и т. п. сочинений. Как и все зараженные этим «прогрессивным» миросозерцанием, я узнал жизнь сначала по книгам» [12].

Однако в воззрениях Н.В. Бугаева в его зрелом возрасте произошел поворот от позитивизма к исповеданию христианских ценностей.

Оригинальные философские идеи ученого получили признание еще в начале XX века. С восхищением отзывались о работах Н.В.Бугаева мыслитель М.О. Меньшиков [9], писатель Л.Н. Толстой [13], философ Л.М. Лопатин [8] и др. Дореволюционный мыслитель и математик М.Ф. Таубе обратил внимание на сходство учения Н.В. Бугаева и основных принципов славянофильства [14]. Однако в советское время наследие ученого в силу идеологических пристрастий долгое время представляло тайну за семью печатями [6]. Как отмечают Ю.М. Колягин и О.А. Саввина, «в 1980-х гг. реанимировали имя Н.В. Бугаева и как математика, и как философа» исследователи С.С. Демидов и С.М. Половинкин [6].

С.М. Половинкин установил, что в 1880-е годы в воззрениях Н.В.Бугаева произошел поворот от позитивизма к идеалистической метафизике в духе лейбницевой монадологии [15], а Ю.М. Колягин и О.А. Саввина обратили внимание на православную суть мировоззренческих взглядов ученого [6]. Философские взгляды Н.В. Бугаева в контексте русской культуры конца XIX - начала XX вв. рассмотрены в работе В.А. Шапошникова, опубликованной в 2002 г. Таким образом, творчество Н.В. Бугаева притягивает к себе все больше и больше внимание современных исследователей, что подтверждает его актуальность и в настоящее время.

Следует признать, что философских трудов у Н.В. Бугаева было немного. Это три его основные работы: «О свободе воли», «Основные начала эволюционной монадологии», «Математика и научно-философское миросозерцание». Однако размышления о философских вопросах математики, среднего и высшего образования и пр. содержатся и в ряде других трудов Н.В.Бугаева.

Первая философская публикация Н.В. Бугаева «О свободе воли» вышла в 1889 году. В начале этой работы автор отметил, что «вопрос о свободе воли имеет обширную литературу. Он стоит в прямой связи с основными задачами человеческой жизни. Его точное решение очень трудно. Эта трудность коренится в самой сущности наших воззрений на свободу и волю» [2].

В результате своих собственных размышлений о свободе воли Н.В. Бугаев пришел к выводам, что ввиду автономии человека делаются

излишними отвлеченные соображения о том, существует или не существует случайность в мире, подчинено или не подчинено все законам необходимости. «Человек прежде всего сам для себя является основным источником своей воли» [2]. По утверждению Н.В. Бугаева, человек не подавляется вселенной, а стоит с нею рядом, внешнему великолепию мира безграничности, закономерности и причинности противополагает внутреннюю гармонию, бесконечную глубину, свободу своей личности и целесообразность. По справедливому мнению Ю.М. Колягина, О.А. Саввиной, ученый понимает свободу воли широко, «как Божий дар, который человек должен использовать для деятельного совершенствования» [6]. При таком воззрении делается понятнее нашему разуму и глубже проникает в наше сердце мудрое евангельское изречение: «Царствие божие внутри вас есть».

Для второй половины XIX века взгляды Н.В. Бугаева были очень смелыми и противоречили господствовавшему тогда материалистическому мировоззрению, отрицавшему свободу воли и приводившему к «нравственной беспринципности»: «если человек не имеет свободы воли, то он не может быть ответственен за свои поступки» [19].

Важно заметить, что философские взгляды Н.В. Бугаева формировались под влиянием идей Г. Лейбница, а именно его принципов: достаточного основания, непрерывности, дифференцируемости и интегрируемости явлений.

Вторая философская работа «Основы монадологии» (1893 г.) состоит из краткого введения и последовательно излагаемых кратких тезисов. Начало включает в себя понятие о монадах, заканчивается понятиями вероятности и случайности, мирового хаоса, смерти, мира как не только «закономерного, но исторического, этического и социального явления».

В учение Г.В. Лейбница о монадах Бугаев вносит оригинальные положения, став, таким образом, автором оригинального варианта эволюционной монадологии, отличающегося, как он считал, от монадологии Лейбница и теорий современного монизма «многими существенными особенностями», связанными с аритмологией — монады различного порядка и сложные монады. Под монадой Бугаев понимал самостоятельный и самодеятельный индивидуум, как нечто неизменное, неразложимое, обладающее потенциальным психическим содержанием. Жизнь монады есть ряд причинных и целесообразных изменений в ее организации. Примерами монад различных порядков являются человек, человечество, государство (социальная монада), клетка (биологическая монада), атом (физическая монада). Порядок монад вверх и вниз простирается до бесконечности. Монады вступают во взаимные отношения друг с другом, образуя сложные монады и подчиняясь при этом двум законам: закону монадологической косности (инерции) и закону монадологической солидарности. Как характеризует эти законы В.В. Ванчугов, «первый из них означает невозможность монад собственной деятельностью вне отношения к другим монадам

изменить своего психического содержания, второй - что монады развиваются некоторыми сторонами своего бытия, лишь вступая в соотношения с другими монадами» [4]. Монады сохраняют и накапливают как свое прошлое, так и прошлое связанного с ними собрания монад. Сложная монада распадается, но не исчезает - она продолжает свое существование в центральной монаде данного собрания (В.В. Ванчугов называет собрание монад «комплексом»). Благодаря этому закону в мире увеличивается психическое содержание и энергия - что принадлежит одной монаде, то потенциально принадлежит и другим. Основа жизни и деятельности монады этическая: совершенствоваться и совершенствовать другие монады. Движущая сила этого процесса - любовь. Конечная цель деятельности монады - снять различие между нею и миром как совокупностью монад. Человек с точки зрения эволюционной монадологии есть, с одной стороны, индивид, с другой - социальная система монад, связанная не только органическим единством, но и единством идеальных целей и идеальных задач. Его конкретный образ есть не случайное собрание атомов, проникнутое духом художественное здание. Человек есть живой храм, в котором деятельно осуществляются высшие цели и главные задачи мировой жизни [4].

В отличие от лейбницевых взаимопроницаемых монад у Бугаева монады вступают во взаимные отношения (отношения любви), при этом образуя сложные монады и подчиняясь двум законам: закону монадологической косности (инерции) и закону монадологической солидарности. Бугаев рисует оптимистическую картину совершенствования монад, конечная цель которого поднять психическое содержание монады до психического содержания целого мира, равно как и целый мир сделать монадою. Совершенствование состоит в росте сложности духовной жизни и развитии мировой гармонии. Деятельность монад имеет конечной целью «преобразовать мир» и «превратить его в художественное здание». «Хаос, в котором царят только вероятности и случайности, есть первоначальное состояние несовершенного мира. С развитием и совершенствованием эти случайности и вероятности мало - помалу переходят в законность, оформленность и достоверность» «Действительный мир с антропологической точки зрения есть только проекция или тень, под которою является в данный момент мировой процесс для нашего сознания. С монадологической точки зрения мир не есть только одно закономерное, но историческое, этическое и социальное явление» [3]. По мнению Бугаева, монадологическое миросозерцание не противоречит науке, основывается на ней и идет рука об руку с идеальными задачами этики, социологии и со всеми глубочайшими учениями о Безусловном. Продолжая развивать идею Г. Лейбница о том, что настоящее «чревато будущим» он формулирует закономерности о монадологической солидарности и инерции, утверждает возможность совершенствования мироздания через совершенствование каждого человека и общества.

Главным мировоззренческим трудом Н.В. Бугаева явилась его работа «Математика и научно-философское миросозерцание» (1898 г.), в которой он развил понятие «аритмология». В узком смысле слова аритмология -это теория разрывных функций, в отличие от аналитики - теории непрерывных функций. В широком смысле под аритмологией понимается идея прерывности, «зернистости», присущей всему творению [16]. Аналитика связана с принципами детерминизма, с теориями эволюции в природе и прогресса в обществе, пытавшаяся объяснить происхождение творения без Творца, господствовала, начиная с Возрождения, вплоть до начала XX века. Пришедшая ей на смену аритмология, по мнению Бугаева, вычленяя каждое «зернышко» творения и указывая на изначальную несвязанность этих «зерен», возводит их конечное происхождение к Творцу, а не выводит его из мира. Аналитика пыталась все высшее в человеке свести к низшим, элементарным функциям, принципиально отвлекаясь от проблем свободы, выбора, способности целеполагания, воли, веры, творчества и т. п. Аритмология противопоставляет аналитической рассудочности интуитивное озарение, мгновенный скачок от предваряющего знания к истине. В социальной сфере аналитик говорит о непрерывной эволюции, а аритмолог - о мировых катастрофах, о революциях, о переворотах в индивидуальной и общественной жизни, о смене типов культур. У Бугаева аритмология -теория прерывности вообще, - как мировоззренческий принцип, призванный сменить аналитическое миросозерцание, связанное с идеей непрерывности. В физике аритмологичность выявляется в виде атомов и молекул, в биологии в виде клеток и живых индивидов. Аритмологическими понятиями являются понятия свободы, цели. В аритмологии он пытался найти универсальные понятия и законы, действующие во всех областях знания: «под влиянием аналитического взгляда на природу все чаще и чаще в среду ученых стала проникать идея, что в ходе мировых явлений имеет значение одна причинность и не играет никакой роли целесообразность...». Аритмологическая точка зрения, по утверждению Бугаева, дополняет аналитическое мировоззрение и дает возможность применить математику к изучению явлений природы». Истинное научно-философское миросозерцание стремится к тому, чтобы по мере сил ответить не только на вопросы: «как и почему?»..., но и на вопросы: «к чему и зачем?» [1]. «В настоящее время, - писал ученый, - все приводит к мысли, что аритмология не уступит по обширности своего материала, по общности своих приемов, по замечательной красоте своих результатов. Прерывность гораздо разнообразнее непрерывности. Можно даже сказать, что непрерывность есть прерывность, в которой изменение идет через бесконечно малые и равные промежутки».

Оригинальные суждения Н.В. Бугаева не канули в Лету, а были развиты его учениками В.Г. Алексеевым, П.А. Некрасовым, П.А. Флоренским. Так, В.Г. Алексеев внес вклад в становление и пропаганду идей

аритмологии, утверждая, что многие области геометрии и алгебры можно назвать аритмологическими. Явления физические и астрономические дают полный простор приложениям математического анализа, все остальные явления (химические, биологические, психические, социальные) требуют применения аритмологии.

П.А. Некрасов писал: «С христианской православной точки зрения свобода личности и единство многих могут и должны быть примирены, как в обыкновенной семье, так и в большой семье, отечестве, руководимым нравственным законом веры, взаимной любви и справедливости. Свобода от необходимости - вот суть духовного. Необходимость без свободы - вот суть вещественного». П.А. Некрасов утверждал, что во многих мировых явлениях проявляется непредельный аритмологизм (революции, катастрофы и т.д.), с чем необходимо считаться реформаторам социальной жизни, делающим выбор между предельно и непредельно аритмологической реформой, т.е. эволюцией и революцией [10]. П.А. Некрасов применил философское воззрение Н.В. Бугаева и в педагогике, в частности - в создании курса по теории вероятности.

П.А. Флоренский превзошел во многом своего учителя. Он провёл глубокий анализ возникновения становления и распространения идеи непрерывности, писал: «...идея непрерывности, совершив этот путь, овладела всеми дисциплинами от богословия до механики, и, казалось, что протестовать против ее захватов значило впадать в ересь. Но вполне естественно было ожидать, что виновница такого соблазна - математика - захочет поправить односторонность, которую она вызвала, хотя и не преднамеренно ... можно было ждать, что критика такой идеи уничтожит односторонность, если она незаконна, и санкционирует ее, если она необходима» [17]. П.А. Флоренский свидетельствал о том, что значение прерывности как элемента мировоззрения впервые озвучил Н.В. Бугаев, утверждал, что в основе суждений аритмологов лежат два постулата: вера в закон и вера в математическую выражаемость закона. Принцип непрерывности с ними несовместим. С позиции непрерывности не описать, например, «движение биллиардного шара, многократно наталкивающегося на стенки». «Разум -не коробка или иное какое геометрическое вместилище своего содержания, в которую можно вложить все что угодно; он и не мельница, которая размелет как зерно, так и мусор, т. е. не система механических, всегда себе равных осуществлений, применимых одинаково к любому материалу и при любых условиях». Флоренский писал, что «мир познаваемый надтреснут» и через эти трещины видна «лазурь вечности». Подобное чувство «надтреснутости мира» было характерно и для многих философов и писателей начала XX века. Так, Н.В. Булгаков в письме к В.В. Розанову писал о «трещине в старом мире и в человеческом сердце» [16].

Подробно основные идеи Н.В. Бугаева и Московской философско-математической школы рассматривал в журнале «Мирный труд»

М.Ф. Таубе («Московская философско-математическая школа, основанная проф. Бугаевым и славянофильство Хомякова»). Автор утверждл, что профессора Бугаев, Некрасов, Алексеев, по сути, лишь последовали по пути старой школы славянофилов. «Новая московская школа дает новые основания для правильного определения научно - философского мировоззрения» [14].

М.Ф. Таубе утверждал, что если даже в пределах начального обучения возможно определить математически зависимость, то не подлежит сомнению, что и независимость, т.е. свобода от зависимости, также подлежит математическому выражению. «В высшем анализе зависимость называется функцией от переменной, обозначается литерой F или f, т. е. функцией от переменной, напр. F(x), f(a). Вот еще один пример изображения философского отвлеченного понятия «зависимость» математическим знаком: почему бы, спрашивается, противоположное ему понятие «независимости» или «свободы от зависимости» также не выразить математическим примером, хотя бы буквою С, которая обозначает понятие «свобода от» и «независимость от». Напр. С(а) выразило бы независимость или свободу от а, как F(a) выражает зависимость или функцию от а. Раскрытие философского понятия свобода есть задача как славянофильства, так и философско-математической школы». Славянофильство, по мнению М.Ф. Таубе, установило точные определения отношениям возможности и невозможности, достоверности и вероятности, прерывности и непрерывности, необходимости и случайности, свободы и зависимости, самостоятельности и связанности, предельности и беспредельности, эти же понятия легли в основу исследований московской школы, распределения понятий на два отдела: анализа и аритмологии [14]. По убеждениям Н.В. Бугаева, свобода есть добровольное и непринужденное подчинение требованию духа добиваться добра, истины и правды.

М.Ф. Таубе замечал: «И вот Бугаев доказывает, что знакомство с законами меры, чисел и величинных математических отношений должно неизбежно привести мыслителя к признанию в природе большого значения самостоятельной деятельности лиц или волящих единиц (волящих сознаний). Очевидно, что подобная волящая сила допустима лишь в том случае, если действие непрерывных законов может быть осмысленною творческою волею, когда непрерывное течение ряда бесконечного изменения приведено будет другою силою к пределу, и «бесконечное неопределенное» творческим личным могуществом превращено будет в «определенное» и притом «предельное единство и целостность». О том же писал и основатель «славянофильства» А.С. Хомяков: «Все не есть итог явлений. Вы можете сказать, что аршин есть часть версты или земного радиуса, но не можете сказать, аршин есть часть всемирного поперечника, обращающего этот поперечник в итог аршинов. Точно также вы не можете сказать, что явление есть часть «всего», обращающая это «все» в итог явлений. Частное

не итожится в бесконечное «все», а начало всякого явления, очевидно, заключается именно в этом «все», т. е. мыслимом, а не представляемом и не являемом» [14].

М.Ф. Таубе отмечал, что «зерно в амбарах ждет сознательную руку сеятеля, чтобы попасть на влажную почву, мать сыру землю, и произрасти в плодородный колос. Такова связь личного почина и неизбежного закона с прерывностью и непрерывностью».

«Математика (как пишет Бугаев) есть наука, изучающая сходство и различие в области явлений количественного изменения. Это самое общее ее определение. Все остальные ее определения вытекают из него, как его простые следствия. Мысли количественного изменения и порядка, которому подчиняются эти изменения, есть суть, основные мысли математики. Изменяющееся количество называется «переменной величиной». Европейская точная наука основывается на раздроблении целого на части. Познание по частям и есть аналитический прием; но рядом с анализом (раздроблением) воздвигается мало-помалу исполинское здание другой части чистой математики, - это учение о собирании или соборности прерывных функций (зависимостей), что и называется аритмологией... Прерывность гораздо разнообразнее непрерывности. Можно даже сказать, что сама непрерывность есть прерывность, в которой изменение идет через бесконечно малые и равные промежутки времени... Анализ есть только первая ступень в развитии научных математических истин, простейший вид, под которым они появляются. Вот почему анализ развился ранее, остановил прежде всего внимание математика. Для развития же аритмологии не только нужны все средства анализа, но еще и целый ряд совершенно новых способов и приемов исследования. В ней сосредотачивается и собирается самое разнообразное оружие математических изысканий» [1].

Действительно, опираясь на аргументы М.Ф. Таубе, отметим некоторые общие черты славянофильства и Московской философско-математической школы. Во-первых, как известно, славянофильство началось с критики западно-европейского идеализма, позитивизма, рационализма и убеждений, не допускающих свободотворческой произвольной основы ни в одной из областей человеческой жизни [16]. Именно с протеста западному позитивизму и эволюционизму началось становление Московской философско-математической школы.

Западники стояли на точке зрения единства человечества и закономерностей его исторического развития и полагали неизбежным для России пройти теми же историческими путями, что и ушедшие вперед западноевропейские народы. В основе социально-политических расхождений этих двух направлений лежали глубокие философские разногласия. Славянофильство - глубоко религиозное учение, рассматривающее церковь и веру как фундамент, основу всех исторических и общественных реалий. Сторонники славянофильства сходились в том, что России предстоит миссия

заложить основы нового общеевропейского просвещения, опирающегося на подлинно христианские начала, сохранившиеся в лоне православия. Только православию, по их мнению, присуща свободная стихия духа, устремленность к творчеству, оно лишено той покорности необходимости, которая свойственна западноевропейскому обществу с его рационализмом и господством материальных интересов над духовными.

Славянофильство - это учение о цельности духа. Органическое единство не только пронизывает церковь, общество и человека, но и является непременным условием познания, воспитания и практической деятельности людей. Славянофильство отрицало возможность постижения истины через отдельные познавательные способности человека, будь то чувства, разум или вера. Только дух в его живой цельности способен вместить истину во всей ее полноте, лишь соединение всех познавательных, эстетических, эмоциональных, нравственных и религиозных способностей при обязательном участии воли и любви открывает возможность познать мир таким, каков он есть, в его живом развитии, а не в виде абстрактных понятий или чувственных восприятий. Причем подлинное знание доступно не отдельному человеку, а лишь такой совокупности людей, которая объединена единой любовью, т.е. соборному сознанию. Начало соборности в философии славянофильства выступает как общий метафизический принцип бытия, хотя соборность характеризует в первую очередь церковный коллектив. Соборность - это множество, объединенное силой любви в свободное и органическое единство, только в соборном единении личность обретает свою подлинную духовную самостоятельность.

Соборность противоположна индивидуализму, разобщенности и отрицает подчинение какому-либо авторитету, включая и авторитет церковных иерархов, ибо ее неотъемлимым признаком является свобода личности, ее добровольное и свободное вхождение в церковь. Московская школа также устанавливает два рода мировой всесветной деятельности: прерывность свободотворческого почина и непрерывность закономерных, подчиненных законам природы механическим, физиологическим, химическим и т. д. Но вместе с тем и в законах химии и физиологии, не говоря уже о законах биологических и социальных, находится закономерность прерывности наряду с непрерывностью механическою.

Предметы философского труда славянофилов, по классификации М.Ф. Таубе, можно распределить в более систематическом порядке на девять отделов или миров: 1) мир божественный, 2) личный, 3) природный (физический), 4) мир церковный, 5) государственный, 6) народный, 7) мир разумный, 8) мир нравственный, 9) мир внешней гармонии (мир искусства). Основоположник славянофильства Хомяков считает, что жизнь всего мироздания движется и держится самоотверженностью, самодержавностью и любовью. Любовь не аналитическая безразличная сила; она сила синтетическая и личная, а потому аритмологического свойства. Воля и

любовь - «понятия сосредоточенныя, срединныя также и по учению Московской школы» [14].

Учение Московской философско-математической школы проникнуто убеждением, что всякое явление духовно-разумных существ носит в себе веления свободной воли человека, которая определяет изменения хода событий, и это вмешательство творческого произволения хода событий должно быть математически учтено и измерено, и на помощь приходит теория вероятностей и теория чисел из аритмологии. «Ключ сего учения, как и славянофильства, - в понимании того, что свободная воля может действовать, не теряя своей свободы, и тогда, когда она подчиняется закономерным стиснениям» [14].

Сходятся славянофилы и представители Московской философско-математической школы и в определении свободы воли. По Хомякову, воля есть закон изменения явлений, не понимается человеком извне, в себе, а не вне себя, добыл он ее, как понятие о самом разуме [14]. Основание учения Бугаева есть свободотворчество, а «оглавок» будет непременно верховное совершенство, пути к которому указаны христианством и «пути коего есть сама истина и любовь». Отсюда вытекает положение, что Любовь - главная сила достойной жизни, как у славянофилов, так и в школе Бугаева. «Наша христианская точка зрения требует, чтобы человек свободно, самостоятельно, самодеятельно стремился к совершенству себя и других» [14].

«Мудромерность» Московской школы есть этико-математическое научное выражение внутренней сути любомудрия и просвещения славянофильства.

Центральная мысль Н.В. Бугаева о том, что математика как наука делится надвое: на учение о непрерывных функциях (классический математический анализ) и на учение о прерывных (разрывных) функциях (аритмологию). Симбиоз этих ветвей математики, по мнению Н.В. Бугаева, есть необходимое условие для пояснения явлений не только физического, материального мира, но и мира духовного, социального.

Как было установлено Ю.М. Колягиным и О.А. Саввиной, идеи Н.В. Бугаева и его последователей прошли путь от математики к философии и снова вернулись к математике: возникла Московская философско-математическая школа [6]. Последняя послужила импульсом к образованию Московской школы теории функций действительного переменного. Добавим, что мировоззренческие убеждения Н.В. Бугаева и его последователей сказались и на формировании их педагогических взглядов, поэтому философское наследие Н.В. Бугаева представляет интерес не только для историков философской науки, но и для математиков и педагогов.

Библиографический список

1. Бугаев Н.В. Математика и научно-философское миросозерцание. Киев, 1898.

2. Бугаев Н.В. О свободе воли. М., 1989.

3. Бугаев Н.В. Основы эволюционной монадологии. Реферат, читанный в заседании Московского психологического общества. М., 1983.

4. Ванчугов В.В. Бугаев Николай Васильевич // Русская философия: Энциклопедия (под общ. ред. М.А. Маслина. Сост. П.П. Акрышко, А.П. Поляков - М.: Алгоритм, 2007, С.69.

5. Демидов С.С Н.В. Бугаев и возникновение Московской школы теории функций действительного переменного // Историко-математические исследования. М., 1985. Вып.29. С.113-124.

6. Колягин Ю.М., О.А. Саввина О.А. Математики - педагоги России. Забытые имена. Елец, 2009, С.6.

7. Колягин Ю.М., О.А. Саввина О.А., Малютин А.А. «Арифметика» Н.В.Бугаева //Математика в школе 2009г. N 9 с.59.

8. Лопатин Л. Философское мировоззрение Н. В. Бугаева // Вопросы философии и психологии. - М., 1904. - Год XV, кн. 72 (II). - С. 172-195.

9. Меньшиков М.О. Звезды и числа // Новое время. 25 декабря 1903 г. С.7.

10.Некрасов П. А. Математическая философско-математическая школа и ее основатели. М., 1904.

11.Русская философия: Энциклопедия (под общ. ред. М.А. Маслина. Сост. П.П. Акрышко, А.П. Поляков. М.: Алгоритм, 2007, С.69.

12.Тихомиров Л.А. Почему я перестал быть революционером // Московские ведомости. N 74, 76. 1889.

13.Толстой Л.Н. Дневник 1884 // Полное собрание сочинений. Серия вторая. М.: Гос. изд-во Художественной литературы, 1952. И.48-49. С.92, 94.

14.Таубе М.Ф. Московская Философско-математическая школа, основанная проф. Бугаевым, и славянофильство Хомякова. Журнал «Мирный труд». Харьков, 1907.

15.Половинкин С.М. Бугаев Николай Васильевич //Русская философия. Малый энциклопедический словарь. Сост. и редактор А.Д. Сухов. М.: Мирта, 1995. С.31-32.

16.Русская философия: Энциклопедия (под общ. ред. М.А. Маслина. Сост. П.П. Акрышко, А.П. Поляков. М.: Алгоритм, 2007. 30 с.

П.Флоренский П.А. Введение к диссертации «Идея прерывности как элемент миросозерцания». Историко - математические исследования. Вып. XXX, 1986.

18.Шапошников В.А. Математические понятия и образы в философском мышлении. М., 1996 (канд. дис).

19.Самко А.К. Великая философская гипотеза (Н.В. Бугаев 29 мая 1903 г.). Одесса, 1910. С. 14.

ПАМЯТНЫЕ И ЮБИЛЕЙНЫЕ ДАТЫ 2012 ГОДА

Р.А. Мельников

В статье приведён обзор юбилейных дат, связанных с именами известных отечественных математиков, а также педагогов-математиков, внесших немалый вклад в развитие математического образования в России. Даются краткие сведения о каждой персоне, содержащие обзор научных достижений и наиболее важных трудов.

Ключевые слова: математик, математик-педагог, специалист в области, основные труды, автор.

2012 год оказался весьма богатым на юбилейные даты со дня рождения многих известных отечественных математиков и деятелей математического образования России.

Так, 220 лет назад родился Лобачевский Николай Иванович (1792-1855) - один из крупнейших математиков своего времени, создатель неевклидовой геометрии, ректор Казанского университета, автор трудов: «Геометрические исследования по теории параллельных линий», «Пангеометрия» и др.

180 лет: Вышнеградский Иван Алексеевич (1832-1895) - математик и механик, преподавал математику в военно-учебных заведениях. Разработал критерий устойчивости решений линейного дифференциального уравнения третьего порядка.

170 лет: Гика Дмитрий Константинович (1842-1901) - составитель учебников по математике.

160 лет: Киселёв Андрей Петрович (1852-1940) - математик-методист, автор самых стабильных школьных учебников по арифметике, алгебре и геометрии. Среди них: «Краткая арифметика для городских и уездных училищ», «Краткая алгебра для духовных семинарий: Со многими примерами и упражнениями», «Элементарная алгебра», «Элементарная геометрия для средних учебных заведений» и многие другие.

150 лет: Аржеников Константин Петрович (1862-1933) - автор книг: «Сборник арифметических задач и примеров для начальных народных училищ», «Методика начальной арифметики», «Сборник задач по математике. Для школ I ступени».

140 лет: Бубнов Иван Григорьевич (1872-1919) - российский корабельный инженер и математик. Один из разработчиков метода Бубнова-Галёркина (метода приближённого решения краевой задачи для дифференциального уравнения).

Кашин Николай Владимирович (1872-1959) - преподаватель математики и физики в педагогическом институте П.Г. Шелапутина и 3-м ре-

альном училище в Москве, автор учебника для средней школы «Основания математического анализа».

Пфейффер Георгий (Юрий) Васильевич (1872-1946) - доктор чистой математики, профессор, академик АН УССР. Разработал новый метод интегрирования дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. Был первым директором Института математики и физики АН УССР, основанного в 1933 г.

Шапошников Александр Николаевич (1872-1940) - математик-педагог, автор многих учебных и методических пособий: «Курс начальной геометрии», «Система первых уроков алгебры», «Основы математической методики».

130 лет: Бюшгенс Сергей Сергеевич (1882-1963) - математик. Преподавал в Московском университете, в Московской сельскохозяйственной академии, в Московском гидромелиоративном институте. В области проективной геометрии обобщил теорему Власова на n-мерный случай. Автор книг: «Высшая алгебра», «Теория определителей», «Аналитическая геометрия» (в 2-х частях), «Дифференциальная геометрия: учебник для государственных университетов».

Зерченинов Николай Тимофеевич (1882-1952) - математик-методист, автор книги «Методика преподавания математики» (Методическое пособие для заочников педагогических и учительских институтов).

Перельман Яков Исидорович (1882-1942) - автор более 50 книг и брошюр по занимательной математике, ставших широко известными учителям и школьникам. Среди них: «Живая математика», «Занимательная арифметика», «Занимательная геометрия», «Новый задачник к краткому курсу геометрии», «Математика кустаря» и др.

120 лет: Болгарский Борис Владимирович (1892-1980) - математик-педагог, опубликовал свыше 80 работ по математике, истории и методике ее преподавания. Особый интерес представляют его работы по истории математического образования: «Казанская школа математического образования» и «Очерки по истории математики».

Вальфиш Арнольд Зельманович (1892-1962) - математик, специалист в области теории чисел, автор нескольких монографий: «Целые точки в многомерных шарах», «Показательные суммы Вейля в новейшей теории чисел», «Уравнение Пелля».

Веселовский Иван Николаевич (1892-1977) - автор ряда книг по истории математики и механики: «Евклид. Начала Евклида», «Архимед», «Египетская наука и Греция. Из истории древней математики и астрономии», «Вавилонская математика», «Неевклидова геометрия в древности».

Кравчук Михаил Филиппович (1892-1942) - математик, академик АН УССР, член многих иностранных математических обществ. Преподавал математику в Киевском Политехническом Институте. Соавтор первого

трехтомника словаря украинской математической терминологии. Обобщил полиномы Эрмита (полиномы Кравчука).

Ларичев Павел Афанасьевич (1892-1963) - математик-педагог, член-корреспондент АПН России, с 1937г. по 1958г. работал главным редактором журнала «Математика в школе». Автор пособия для учителей «Уравнения первой степени в средней школе» и книги «Сборник задач по алгебре» (более 30 изданий) для средней школы.

Меньшов Дмитрий Евгеньевич (1892-1988) - математик, член-корреспондент АН СССР. Получил фундаментальные результаты по проблемам единственности и представления функций тригонометрическими рядами; теории сходимости и суммируемости общих ортогональных рядов.

Яблоков Василий Андреевич (1892-??) - математик, преподавал высшую математику в вузах г. Казани. Получил важные результаты в проективной и дифференциальной геометрии; разработал методы интегрирования дифференциальных уравнений, связанные с геометрическими преобразованиями.

110 лет: Принцев Николай Александрович (1902-1970) - математик-педагог, автор книги «Арифметика для вечерней (сменной) школы».

Хапланов Михаил Григорьевич (1902-1977) - математик, автор учебника «Теория функций комплексного переменного». Разработал матричную теорию линейных непрерывных операторов.

Четаев Николай Гурьевич (1902-1959) - математик и механик, специалист по теории устойчивости движения и качественных методов теории дифференциальных уравнений, автор монографии «Устойчивость движения». Установил общую теорему о неустойчивости движения.

Шостак Родион Яковлевич (1902-??) - математик, автор учебного пособия «Операционное исчисление», один из авторов учебного пособия для втузов «Курс высшей математики».

100 лет: Авдеев Николай Яковлевич (1912-1996) - математик, специалист в области математического анализа, дифференциальных уравнений и математической химии, автор учебного пособия «Задачник-практикум по курсу теории функций комплексного переменного».

Александров Александр Данилович (1912-1999) - математик, ректор Ленинградского университета, специалист в области геометрии, основатель ленинградской геометрической школы, автор учебных пособий и учебников по геометрии для средней школы и вуза. Среди них: «Выпуклые многогранники», «Основания геометрии» и др.

Аленицын Юрий Евгеньевич (1912-1993) - математик, специалист в области геометрической теории функций комплексного переменного.

Гнеденко Борис Владимирович (1912-1995) - математик, специалист по теории вероятностей и математической статистике, автор более 350 научных работ. Среди них: «Курс теории вероятностей», «Элементар-

ное введение в теорию вероятностей», «Очерки истории математики в России», «Введение в специальность математика» и многие другие.

Канторович Леонид Витальевич (1912-1986) - математик и экономист, один из создателей линейного программирования. Лауреат Нобелевской премии по экономике 1975 года «за вклад в теорию оптимального распределения ресурсов». Автор книг: «Вариационное исчисление», «Определенные интегралы и ряды Фурье», Функциональный анализ в нормированных пространствах» и других.

Меркин Давид Рахмильевич (1912-2009) - математик и механик, специалист по теории устойчивости, автор учебного пособия «Введение в теорию устойчивости движения».

Сканави Марк Иванович (1912-1972) - математик-методист, редактор книги «Сборник задач по математике для поступающих в вузы», один из авторов учебного пособия «Элементарная математика». Стоял у истоков учебного телевидения.

Смолицкий Хаим Львович (1912-2003) - специалист в области прикладной математики и разработки алгоритмов для бортовых вычислительных комплексов ракетно-космической техники. Один из авторов книг: «Приближенные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений», «Численные методы анализа».

Черкасов Ростислав Семёнович (1912-2002) - математик-педагог, гл. ред. журнала «Математика в школе». Основные труды по общей методике математики и геометрии. Автор и соавтор учебников и учебных пособий по геометрии для средней школы.

Черников Сергей Николаевич (1912-1987) - математик, специалист по теории групп, решению линейных неравенств и применению полученных методов к решению задач линейного программирования.

90 лет: Боревич Зенон Иванович (1922-1995) - математик, специалист по алгебре и теории чисел, автор учебника «Определители и матрицы» и соавтор широко известной монографии «Теория чисел».

Большев Логин Николаевич (1922-1978) - математик, специалист по математической статистике, теории вероятностей и их приложениям. Один из составителей справочника «Таблицы математической статистики».

Крупич Вячеслав Иосифович (1922-2000) - математик-педагог, один из авторов учебных пособий: «Методика преподавания математики. Общая методика», «Учить школьников учиться математике».

Ладыженская Ольга Александровна (1922-2004) - математик, специалист в области дифференциальных уравнений, академик АН СССР, автор монографий: «Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости», «Краевые задачи математической физики».

Ляшко Иван Иванович (1922-2008) - математик и кибернетик, один из авторов учебного пособия «Математический анализ» («Антидемидович»).

Макарычев Юрий Николаевич (1922-2007) - математик-педагог, один из авторов школьных учебников алгебры.

Марченко Владимир Александрович (р. 1922) - украинский учёный-математик, академик РАН, автор монографии «Нелинейные уравнения и операторные алгебры».

Мищенко Евгений Фролович (1922-2010) - математик, академик РАН, один из создателей современной математической теории управления, один из авторов книги «Математическая теория оптимальных процессов».

ИЗ ИСТОРИИ ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ

Н.С. Гольтяева, Р.А. Мельников

В статье рассмотрена история появления и становления теории устойчивости. Описан вклад, сделанный математиками и механиками, стоявшими у истоков этой области качественной теории дифференциальных уравнений.

Ключевые слова: теория устойчивости, устойчивый многочлен, критерий устойчивости, А.М. Ляпунов.

Проблемы устойчивости впервые возникли в механике при изучении равновесных положений системы.

В 1644 г. критерий устойчивости равновесия системы тел, находящихся под действием сил тяжести, в общем виде сформулировал итальянский математик и физик Э. Торричелли (1608-1647).

В 1675 г. X. Гюйгенс встроил в механические часы маятниковый регулятор хода.

В России в г. Барнауле И.И. Ползуновым в 1765 г. сконструирован первый промышленный регулятор - автоматический поплавковый регулятор питания котла паровой машины. Английский механик Д. Уатт в 1784 г. получил патент на центробежный регулятор скорости паровой машины.

В 1788 г. французский математик и механик Ж. Лагранж (1736-1813) доказал теорему, определяющую достаточные условия устойчивости равновесия произвольной консервативной системы.

В середине XIX столетия в науке и технике возникли проблемы, потребовавшие постановки общей задачи об устойчивости не только равновесия, но и движения.

Центробежные регуляторы Уатта, установленные на паровых машинах небольшой мощности, устойчиво сохраняли заданные

Иван Алексеевич Вышнеградский (1832-1895)

обороты двигателя. Но с увеличением мощности машин регуляторы, построенные по тем же схемам, не только не обеспечивали надёжное регулирование, а даже разгоняли двигатели, создавая неустойчивый режим работы. Это непонятное для инженеров и техников тех лет явление вызвало серьёзный кризис в двигателестроении и потребовало усилий учёных многих стран для решения возникшей проблемы.

Первую успешную попытку разобраться в принципах действия автоматических регуляторов паровых машин предпринял знаменитый физик, создатель теории электромагнетизма, Джеймс Максвелл (1831-1879). В 1868 г. он опубликовал работу «О регуляторах», в которой впервые теоретически исследовал в общем виде работу системы «машина-регулятор» и выяснил причины её неустойчивой работы. Но допущенные им упрощающие предположения не позволили инженерам получить чётких рекомендаций по обеспечению устойчивой работы интересующих их устройств.

Выдающийся русский техник И.А. Вышнеградский в 1876 г. в трудах Парижской академии опубликовал статьи «Об общей теории регуляторов» и «О регуляторах прямого действия». Он исследовал систему «паровая машина-регулятор Уатта» и получил полезные формулы и графики, которые были удобны для использования в конструкторских расчётах.

Работами И.А. Вышнеградского было вскрыто и объяснено противоречие между точностью и устойчивостью регулирования: при уменьшении статической ошибки регулирования ниже некоторого критического значения система теряет устойчивость.

В работах Максвелла и Вышнеградского фигурировали системы, характеристические многочлены которых имели третью степень. В наиболее завершённой форме условия устойчивости таких многочленов были сформулированы Вышнеградским, и поэтому их называют условиями Вышнеградского.

На заседании Лондонского Математического общества в 1868 г. Максвелл поставил задачу о разыскании условий устойчивости многочленов любой степени. Эта задача фактически была решена ещё в 1851 г. французским математиком Ш. Эрмитом (1822-1901). Однако результаты Эрмита не были доведены до удобных формул и алгоритмов и остались неизвестными специалистам, работавшим в прикладных областях.

Исследования Максвелла и Вышнеградского показали, что решение этой задачи, как и общее развитие теории регулирования требует, прежде всего, установления критериев устойчивости.

Следует отметить, что задача устойчивости была рассмотрена В. Томсоном и П. Тэтом в первом томе «Трактата по натуральной философии», вышедшем в 1867 г., то есть до того, как Максвелл её сформулировал.

Эдуард Джон Раус (20.01.1831 - 07.06.1907)

Николай Егорович Жуковский (1847-1921)

Аурел Болеслав Стодола (1859-1942)

Адольф Гурвиц (1859- 1919)

Задачу Максвелла решил в 1875 г. английский математик и механик Э.Д. Раус. Он получил удобный алгоритм, позволяющий для любого многочлена определить, является ли этот многочлен устойчивым. Следует отметить, что Раус решал на самом деле более общую задачу: найти критерии того, что многочлен имеет справа от мнимой оси данное число к корней (при к =0 эта задача сводится к задаче об устойчивых многочленах).

Среди продолжателей дела И.А. Вышнеградского следует отметить русского механика, основоположника современной гидродинамики - Н.Е. Жуковского. В Московском высшем техническом училище он читал курс лекций по теории управления. При рассмотрении систем автоматического регулирования паровых машин Н.Е. Жуковский ввёл в рассмотрение разностные уравнения. Кроме того, он предложил форму записи уравнений в относительных параметрах, которой пользуются и сейчас.

В 1882 г. вышла в свет его докторская диссертация «О прочности движения». В ней автор, пользуясь различными методами, рассмотрел ряд общих вопросов устойчивости движения. В 1909 г. был издан его курс лекций, который стал настольной книгой разработчиков регуляторов. В 1912 г. Н.Е. Жуковский создал теорию управления летательных аппаратов.

В конце XIX века словацкий инженер, физик и изобретатель, основатель теории паровых и газовых турбин А.Б. Стодола, не зная результатов Рауса, доказал условие устойчивости для многочленов второго порядка с действительными коэффициентами (1893 г.) и поставил задачу об отыскании необходимых и достаточных условий перед немецким математиком А. Гурвицем.

В 1895 г. Гурвиц, опираясь на работы Эрмита, дал (независимое от Рауса) второе решение этой задачи в виде нескольких неравенств, составленных из миноров определителя Гурвица.

В современной литературе результаты Рауса и Гурвица объединены и называются критерием Рауса-Гурвица. Более того, некоторые авторы устойчивые многочлены называют многочленами Гурвица.

Все эти учёные рассматривали весьма частные случаи движений и для решения задачи применяли нестрогие методы. Первое строгое решение задачи об устойчивости движения принадлежит французскому математи-

ку и астроному Анри Пуанкаре (1854-1912). Однако и его результаты носили весьма частный характер.

Основной недостаток работ того времени состоял в том, что при анализе уравнений возмущённого движения авторы исходили из линеаризованных уравнений возмущённого движения, необоснованно пренебрегая нелинейными членами высшего порядка. Эта неточность была устранена русским математиком и механиком А.М. Ляпуновым.

Цикл работ А.М. Ляпунова, посвященный математической теории устойчивости открывается статьей 1888 г. «О постоянных винтовых движениях твердого тела в жидкости» и заканчивается работой 1902 г. «Об одном ряде, встречающемся в теории линейных дифференциальных уравнений второго порядка с периодическими коэффициентами». Но самым важным его трудом стала работа «Общая задача об устойчивости движения», изданная в 1892 г. и вскоре защищенная в качестве докторской диссертации. Прежде всего, в этой работе А.М. Ляпунов дал строгое определение устойчивости движения. Отсутствие такого определения часто приводило к недоразумениям, так как движение устойчивое в одном смысле оказывалось неустойчивым в другом смысле, и наоборот. Определение А.М. Ляпунова оказалось весьма удачным и быстро вошло в научный аппарат математики.

В 1914 г. крупного успеха добились французские математики А. Льенар и М. Шипар. Им удалось примерно вдвое уменьшить число неравенств, входящих в критерий Гурвица.

В 1932 г. американский физик X. Найквист предложил критерий устойчивости по частотным характеристикам системы, а в 1937 г. русский инженер А.В. Михайлов показал преимущества применения частотных методов, предложив свой критерий устойчивости.

Задача абсолютной устойчивости нелинейной системы была поставлена и решена В.Н. Постниковым и А.И. Лурье. Позднее частотное решение этой задачи было предложено румынским математиком В.М. Поповым.

Благодаря А.М. Ляпунову в России появилась целая математическая школа теории устойчивости. Её представители: М.А. Айзерман (1913-1992), А.А. Андронов (1901-1952), Е.А. Барбашин (1918-1969), Н.Н. Боголюбов (1909-1992), Б.П. Демидович (1906-1977), Г.Н. Дубошин (1904-1986), Н.П. Еругин (1907-1990), Н.Н. Красовский (р. 1924), Н.М. Крылов (1879-1955), А.М. Лётов (р. 1911), А.И. Лурье (1901-1980), И.Г. Малкин (1907- 1958), Д.Р. Меркин (1912-2009), Ю.А. Митропольский (1917-2008), А.Д. Мышкис (1920-2009), В.В. Немыцкий (1900-1967), К.П. Персидский (1903-1970), В.А. Плисс (р. 1932), Н.Г. Четаев (1902-1959), А.А. Шестаков (р. 1920), Л.Э. Эльсгольц (1909-1967), В. А. Якубович (р. 1926) и многие др.

Александр Михайлович Ляпунов (1857-1918)

Библиографический список

1. Демидов С.С. Развитие теории обыкновенных дифференциальных уравнений от эпохи О. Коши до начала XX века. Дис. ... д-ра физико-матем. наук. М., 1988.

2. Из истории теории устойчивости (к 150-летию со дня рождения А.М. Ляпунова) / Р.А. Мельников, О.А. Саввина // Леонард Эйлер и современная наука. Материалы Международной научной конференции. 14-17 мая 2007 г. СПб, 2007. С. 173-178.

3. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. СПб.: Лань, 2003.304 с.

4. Постников М.М. Устойчивые многочлены. М.: Наука, 1981. 176 с.

ЛЕОНИД ВИТАЛЬЕВИЧ КАНТОРОВИЧ - ТЕОРЕТИК ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

В.В. Перцев

В статье рассматривается жизнь и творчество выдающегося советского математика Л. В. Канторовича, Нобелевского лауреата по экономике (1975 г.), внесшего огромный вклад в дело развития финансовой математики, которому в 2012 году исполнилось бы 100 лет.

Ключевые слова: биография, научные исследования, вклад Л. В. Канторовича в мировую науку.

Леонид Витальевич Канторович

Леонид Витальевич Канторович - выдающийся математик и экономист двадцатого столетия, автор многочисленных научных концепций и прикладных исследований в области финансовой математики, единственный российский ученый, удостоенный Нобелевской премии по экономике.

Леонид Витальевич Канторович родился 19 января 1912 г. в Санкт-Петербурге, в семье врача. Творческие способности и интерес к математике у Канторовича проявились еще в раннем детстве - можно даже без преувеличения назвать его вундеркиндом. В 1926 г., в возрасте всего лишь 14 лет он поступает на физико-математический факультет Ленинградского университета, а в 20 становится профессором, заведующим кафедрой высшей математики Высшего инженерно-технического училища Военно-морского флота. Одновременно с получением должности профессора, он ведет преподавательскую деятельность в различных учебных заведениях Санкт-Петербурга. Как отмечает С.С. Кутателадзе, «с 1932 г. Л.В. Канторович работал в должности доцента ЛГУ и профессора ВИТУ, а с января 1934 стал профессором ЛГУ. В 1935 г. ему была присуждена ученая степень доктора физико-математических наук без защиты диссертации» [3, с.4].

Помимо преподавательской деятельности, уже на начальном этапе службы, Канторович активно занимается научной работой и сразу же добивается существенного успеха на этом поприще, положив начало многим современным математическим дисциплинам. Как отмечает С.С. Кутателадзе, «Л.В. Канторович стоял у истоков современной вычислительной математики. Первые работы по приближенным методам конформных отображений, вариационным методам, квадратурным формулам, численным методам решения интегральных уравнений и уравнений в частных производных были выполнены Леонидом Витальевичем в начале 30-х годов, когда вычислительная математика еще не оформилась в самостоятельную дисциплину» [3, с.6].

В Большой Советской Энциклопедии так описывается его научная деятельность 30-х годов: «Канторович развил общую теорию приближенных методов, построил эффективные методы решения операторных уравнений. В 1939-40 положил начало линейному программированию - теории и методам решения экстремальных задач с ограничениями» [4, с.340]. Таким образом, уже в первые годы своей научной деятельности Канторович внес огромный вклад в развитие высшей математики и явился основоположником таких современных математических дисциплин, как вычислительная математика и линейное программирование.

Толчком для разработки теории линейного программирования послужила чисто практическая задача с которой к нему в 1938 году обратились сотрудники Центральной лаборатории Ленинградского фанерного треста. Задача состояла в расчете рационального плана загрузки имеющегося у них оборудования. Как отмечает А.В. Бухвалов, «каждый из видов

продукции мог производиться на любом из станков, но с разной производительностью; под ассортиментным заданием Канторович понимал то, что различные виды продукции производятся в определенном соотношении. Это привело в 1939 г. к новаторской формулировке задачи линейного программирования. Ответ давался в терминах интенсивности использования каждого ресурса. Именно за это открытие ему совместно с американским экономистом Тьяллингом Купмансом в 1975 г.была присуждена Нобелевская премия по экономике - «за вклад в теорию оптимального распределения ресурсов» [1, с. 142].

Можно высказать предположение, что математик Л.В. Канторович, окончивший физико-математический факультет по специальности «Математика», имеющий ученую степень доктора физико-математических наук и должность профессора кафедры высшей математики ВИТУ, решая математическую задачу оптимального распределения ресурсов, наверное, даже и не предполагал, что метод ее решения приведет к возникновению целой научной дисциплины и уж тем более, что это решение принесет ему Нобелевскую премию по... экономике. Если бы Нобелевская премия присуждалась за открытия в математике, то Канторович, наверное, получил бы ее именно за свои достижения в этой науке, но к сожалению у самой престижной научной премии мира не существует номинации «математика», хотя прикладное значение этой дисциплины ни у кого не вызывает сомнений.

В годы второй мировой войны Канторович работал на должности профессора ВИТУ в Ленинграде и использовал открытый им метод линейного программирования для решения актуальной в блокадном городе задачи оптимального размещения потребительских и производственных ресурсов. За свои научные достижения в военное время Канторович был награжден в 1944 г. орденом «Знак почета», в 1949 г. государственной премией СССР, а позднее Орденом Отечественной войны 2-й степени.

В 1957 г. в составе первой группы ученых Канторович принимает участие в создании Сибирского отделения РАН СССР. В 1958 г. он избирается членом-корреспондентом, а в 1964 г. - действительным членом АН СССР [2, с.255]. В это время он переезжает из Ленинграда в Новосибирск в институт математики СО АН СССР, в котором создает и возглавляет лабораторию для решения проблем применения математических методов в экономике.

К тому времени Л. В. Канторович приобретает мировую известность математика и экономиста, поскольку многие его решения задач оптимизации производств и снижения энергозатрат стали широко внедряться в советской промышленности и доказали свою эффективность. Научные труды Канторовича переводятся на множество языков. Во многом благодаря этому факту о его успехах в области теории производственного планирования узнают на Западе, что и приводит к его награждению Нобелевской преми-

ей спустя почти 40 лет с момента открытия этого метода. Как отмечается в БСЭ, Канторович избирается почетным доктором многих иностранных университетов и академиком ведущих мировых академий[4, с.340]. Умер академик в апреле 1986 г. в возрасте 74 лет.

Библиографический список

1. Бухвалов А.В. Л.В. Канторович как теоретик менеджмента. К 90-летию со дня рождения Нобелевского лауреата по экономике Л. В. Канторовича // Российский журнал менеджмента №2, 2003. С. 141-150.

2. Колягин Ю.М. Русская школа и математическое образование: Наша гордость и наша боль. Ч. III. Вторая половина XX века и начало XXI века / Ю.М. Колягин, О.А. Саввина, О.В. Тарасова. 3-е изд. Орел.: ООО Полиграфическая фирма «Картуш», 2007. 273 с.

3. Кутателадзе С.С. Канторович Леонид Витальевич (1912-1986): Библиографический указатель / С.С. Куталадзе, В.Л. Макаров, И.В. Романовский, Г.Ш. Рубинштейн. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2002. 142 с.

4. Романовский И.В. Канторович Леонид Витальевич // БСЭ в 30 томах. Т. 11. Изд. 3-е.; гл. ред. А.М. Прохоров. М.: Советская энциклопедия, 1972. С. 340.

ФОРМУЛЯРНЫЕ СПИСКИ ПЕДАГОГОВ-МАТЕМАТИКОВ МОСКОВСКОГО УЧЕБНОГО ОКРУГА В ФОНДАХ ЦЕНТРАЛЬНОГО ИСТОРИЧЕСКОГО АРХИВА МОСКВЫ

О.А. Саввина

Сведения о педагогах-математиках Московского учебного округа до настоящего времени остаются разрозненными, нередко противоречивыми и слабо систематизированными. Решению этой проблемы поможет изучение формулярных списков, хранящихся в Центральном историческом архиве Москвы.

Ключевые слова: московские педагоги-математики, история математического образования в Московском учебном округе.

Историческая ретроспектива математического образования немыслима без оценки вклада в неё отдельных личностей. Роль московских педагогов-математиков в истории России трудно переоценить. Они выступили инициаторами создания научных и педагогических обществ, организаторами новых учебных заведений в Москве, создали ряд учебников по математике для средней и высшей школы, которые выгодно отличались от

учебников, написанных петербургскими авторами. К сожалению, имена многих московских просветителей сегодня забыты, нередко они замалчивались и в советское время, случалось, что их идеи полностью отвергались только из-за того, что они расходились с официальной политикой.

В истории отечественного образования дореволюционная московская математико-педагогическая школа является одним из самых оригинальных и многогранных, но в то же время малоизученных явлений, о чем говорит отсутствие какого-либо специального исследования этого феномена в советское и постсоветское время и противоречивые интерпретации деятельности ее представителей в дореволюционный период. Исходя из этого необходимо всестороннее исследование наследия московских педагогов-математиков, приведение в систему биографических фактов их жизни и деятельности. Московская математико-педагогическая школа не была похожа на петербургскую, уходящую своими истоками во времена Л. Эйлера, но изменившую свои педагогические традиции после П.Л. Чебышева. Одно из различий этих двух школ состояло в разных мировоззренческих установках. Объективный идеализм и православное мировоззрение московских педагогов-математиков сказались и на их педагогическом творчестве. Формирование московской математико-педагогической школы началось в недрах Императорского Московского университета, где работали блестящие профессора Н.Д. Брашман, Д.М. Перевощиков, Н.В. Бугаев и др., создавшие целый ряд учебных руководств по математике для средней и высшей школы.

Московских педагогов-математиков можно условно разделить на 3 категории: профессора и доценты университета и высших технических учебных заведений, преподаватели педагогических институтов и семинарий (Московского учительского института, Педагогического института им. П.Г. Шелапутина и др.) и учителя начальных и средних школ. Первой категории персоналий посвящено немало исследований С.С.Демидова, С.С. Петровой, Ю.М. Колягина, О.А. Саввиной и др. Совершенно неизученными остаются до сих пор вторая и третья категории персоналий. Неизвестны даже фрагментарные биографические сведения о П.А. Баранове, В.П. Минине, Н.К. Вальцове и ряде других незаурядных педагогов-математиков, оставивших оригинальное педагогическое наследие, представленное в их учебных, философско-математических и методических трудах. Не показана преемственность педагогических идей профессоров-математиков и их учеников, выбравших педагогическую стезю в качестве своей дальнейшей деятельности. Не восстановлены имена славных преподавателей математики, работавших в гимназиях и народных училищах Московского учебного округа и сыгравших судьбоносную роль в жизни своих воспитанников, прославившихся впоследствии на научном и общественном поприще.

В то же время в Центральном историческом архиве Москвы (ЦИАМ) хранится ряд документов о педагогах-математиках Московского учебного округа, которые практически не исследованы историками. К таким малоизученным делам относятся формулярные списки преподавателей и служащих учебных заведений, отложившиеся в фонде «Попечитель Московского университета и его округа. Канцелярия попечителя Московского учебного округа» (Ф.459).

Опись 17 этого фонда содержит 381 дело (№№ 1-376 и 5 дел с литерами). Названия всех дел начинаются со слов: «Формулярные списки преподавателей и служащих учебных заведений округа...», а далее указываются литеры, с которых начинаются фамилии персоналий, упоминающихся в делах. Наглядно и сжато содержание описи можно представить в таблице:

Номер дела

Название

Номер дела

Название

Д.1

Формулярные списки преподавателей и служащих учебных заведений округа на букву «АБА»

Д.2

... «АВД-АВТ»

Д.З.

... «АГА-АДО»

Д.4

... «АЗБ-АКУ»

Д.5

... «АЛА-АЛЕ»

Д.6

... «АЛЕ»

Д.7

... «АЛЛ»

Д.8

... «АЛМ-АЛЬ»

Д.9

... «АЛФ-АНВ»

Д.10

... «АНД-АНЕ»

Д.11

... «АНИ-АПЕ»

Д.12

... «АРА-АРЕ»

Д.13

... «АРЖ-АРТ»

Д.14

... «АРХ»

Д.15

... «АСА-АСС»

Д.16

... «АСТ-АФА»

Д.17

... «АФА-АЧУ»

Д.18

... «БАБ-БАЖ»

Номер дела

Название

Номер дела

Название

Д.19

... «БАЙ-БАН»

Д.20

... «БАР»

Д.21

... «БАР»

Д.22

... «БАР»

Д.23

... «БАС»

Д.24

... «БАТ-БАШ»

Д.25

... «БЕБ-БЕЛ»

Д.26

... «БЕК-БЕЛ»

Д.27

... «БЕЛ»

Д.28

... «БЕЛ»

Д.29

... «БЕЛ»

Д.30

... «БЕМ-БЕР»

Д.31

... «БЕР»

Д.32

... «БЕР»

Д.ЗЗ

... «БИБ-БИХ»

Д.34

... «БЛА-БЛЮ»

Д.35

... «БОБ-БОГ»

Д.36

... «БОГ»

Д.37

... «БОГ»

Д.38

... «БОД-БОК»

Д.39

... «БОЛ-БОН»

Д.40

... «БОР»

Д.41

... «БОР-БОЯ»

Д.42

... «БРА-БРЯ»

Д.43

... «БУВ-БУЕ»

Д.44

... «БУЗ-БУЛ»

Д.45

... «БУН»

Д.46

... «БУР-БЮШ»

Д.47

... «ВАВ-ВАР»

Д.48

... «ВАС»

Д.49

... «ВАС»

Д.50

... «ВАС-ВАХ»

Д.51

... «ВВЕ-ВЕМ»

Д.52

... «ВЕН-ВЕР»

Д.53

... «ВЕР-ВЗО»

Д.54

... «ВИД-ВИН»

Д.55

... «ВИН»

Д.56

... «ВИН»

Д.57

... «ВИН»

Д.58

... «ВИР-ВИШ»

Д.59

... «ВЛА»

Д.60

... «ВЛА-ВНУ»

Д.61

... «ВОБ-ВОЙ»

Д.62

... «ВОЛ»

Д.63

... «ВОЛ»

Д.64

... «ВОЛ»

Д.65

... «ВОР»

Д.66

... «вое»

Д.67

... «вое»

Д.68

... «ВСЕ-ВЯЛ»

Д.69

... «ГАВ-ГАЛ»

Д.70

... «ГАМ-ГАШ»

Д.71

... «ГВО»

Д.72

... «ГЕБ-ГЕН»

Д.73

... «ГЕО-ГЕТ»

Д.74

... «ГИВ-ГИД»

Д.75

... «ГИЛ-ГИР»

Д.76

... «ГЛА»

Д.77

... «ГЛЕ-ГОБ»

Д.78

... «ГОБ»

Д.79

... «ГОВ-ГОЛ»

Д.80

... «ГОЛ»

Д.81

... «ГОМ-ГОР»

Д.82

... «ГОР»

Д.83

... «ГОР»

Д.84

... «ГОТ-ГОШ»

Д.85

... «ГРА-ГРЕ»

Д.86

... «ГРЕ»

Д.87

... «ГРИ»

Д.88

... «ГРИ»

Д.89

... «ГРУ-ГРЯ»

Д.90

... «ГУБ-ГУР»

Д.91

... «ГУС-ГЮТ»

Д.92

... «ДАВ»

Д.93

... «ДАГ-ДАР»

Д.94

... «ДВИ-ДЕЛ»

Д.95

... «ДЕМ»

Д.96

... «ДЕН-ДЕР»

Д.97

... «ДЕС-ДЖУ»

Д.97а

... «ДИТ-ДЛО» и «ДМ»

Д.98

... «ДОБ»

Номер дела

Название

Номер дела

Название

Д.99

... «ДОБ»

Д. 100

... «ДОВ-ДОК»

Д.101

... «ДОЛ-ДОТ»

Д. 102

... «ДРА-ДРО»

Д. 103

... «ДРУ-ДУБ»

Д. 104

... «ДУБ»

Д. 105

... «ДУВ-ДЬЯ»

Д. 106

... «ЕВГ-ЕВФ»

Д. 107

... «ЕГО-ЕЖО»

Д. 108

... «ЕЗЕ-ЕИ»

Д. 109

... «ЕМЕ-ЕРО»

Д.110

... «ЕРШ-ЕРШЕ»

д.111

... «ЖАБ-ЖАД»

Д. 112

... «ЖАМ-ЖЕС»

Д.113

... «ЖИВ-ЖИГ»

Д. 114

... «ЖИЛ-ЖУЧ»

Д.115

... «ЗАА-ЗАЙ»

Д.116

... «ЗАК-ЗАХ»

Д.117

... «ЗБР-ЗВИ»

Д.118

... «ЗЕВ-ЗЕЗ»

Д.119

... «ЗЕЙ-ЗЕЛ»

Д. 120

... «ЗЕМ-ЗЕФ»

Д.121

... «ЗИБ-ЗНА»

Д. 122

... «ЗОГ-ЗОЛ»

Д. 123

... «ЗОР-ЗЯТ»

Д. 124

... «ИВА»

Д. 125

... «ИВА»

Д. 126

... «ИВА»

Д. 127

... «ИВА-ИВН»

Д. 128

... «ИГН-ИЛЯ»

Д. 129

... «ИМШ-ИПП»

Д.130

... «ИРС-ИШУ»

Д.131

... «КАБ-КАЗ»

Д. 132

... «КАЛ»

Д.133

... «КАМ-КАП»

Д. 134

... «КАР»

Д.135

... «КАР»

Д.136

... «КАР»

Д.137

... «КАС»

Д.138

... «КАТ-КАЮ»

Д.139

... «КВА-КЕЙ»

Д. 140

... «КЕЛ-КЕТ»

Д.141

... «КИБ-КИР»

Д. 142

... «КИС-КИШ»

Д. 143

... «КЛА-КЛЕ»

Д. 144

... «КЛИ-КОБ»

Д. 145

... «КОВ-КОЖ»

Д. 146

... «КОЗ»

Д. 147

... «КОК-КОЛ»

Д. 148

... «КОМ»

Д. 149

... «КОН»

Д. 150

... «КОП-КОР»

Д.151

... «КОР»

Д. 152

... «КОР»

Д. 153

... «КОР»

Д. 154

... «кос»

Д. 155

... «кот-кош»

Д. 156

... «КРА»

Д. 157

... «КРА»

Д.158

... «КРЕ-КРО»

Д. 159

... «КРУ-КРЫ»

Д. 160

... «КРЫ»

Д.161

... «КРЫ-КУР»

Д.161а

... «КСА-КЬЯ»

Д.161 б

Формулярные списки директора Брянской гимназии Кузнецова

Д. 162

... «ЛАА-ЛАМ»

Д. 163

... «ЛАН»

Д. 164

... «ЛАП-ЛАХ»

Д. 165

... «ЛЁБ»

Д. 166

... «ЛЁБ»

Д. 167

... «ЛЁБ»

Д. 168

... «ЛЁБ»

Д. 169

... «ЛЁБ»

Д. 170

... «ЛЕГ-ЛЕВ»

Д.171

... «ЛЕД»

Д. 172

... «ЛЕЖ-ЛЕЩ»

Д. 173

... «ЛИА-ЛИП»

Д. 174

... «ЛИС-ЛОВ»

Д. 175

... «ЛОГ-ЛОШ»

Д. 176

... «ЛУГ-ЛУЩ»

Номер

Название

Номер

Название

дела

дела

Д. 177

... «ЛЬВ-ЛЮБ»

Д. 178

... «ЛЮБ»

Д. 179

... «ЛЮБ»

Д. 180

... «ЛЮД-

ЛЯШ»

Д.181

... «МАГ-МАЗ»

Д. 182

... «МАЙ-МАЗ»

Д. 183

... «МАИ»

Д. 184

... «МАМ-МАН»

Д. 185

... «МАИ»

Д. 186

... «MAP»

Д. 187

... «MAP»

Д. 188

... «MAC-МАЯ»

Д. 189

... «МЕГ-МЕЛ»

Д. 190

... «МЕМ»

Д.191

... «МЕН-МОЩ»

Д. 192

... «МИД-МИЛ»

Д. 193

... «МИЛ»

Д. 194

... «МИН-МИР»

Д. 195

... «МИХ»

Д. 196

... «мих-мищ»

Д. 197

... «МЛА-МОД»

Д. 198

... «мож-мон»

Д. 199

... «МОР»

Д.200

... «МОС-МУЗ»

Д.201

... «МУР»

Д.202

... «МУР»

Д.203

... «МУС-МЯЧ»

Д.204

... «НАБ-НАЦ»

Д.205

... «НВА-НЕД»

Д.206

... «НЕД-НЕЙ»

Д.207

... «НЕК-НЕЛ»

Д.208

... «НЕМ»

Д.209

... «НЕМ»

Д.210

... «НЕН-НЕЧ»

Д.211

... «НИГ-НИК»

Д.212

... «НИК»

Д.213

... «НИК»

Д.214

... «НИК»

Д.215

... «НИК»

Д.216

... «НИК»

Д.217

... «НИК»

Д.218

... «нил-нль»

Д.219

... «нит-нич»

Д.220

... «нов»

Д.221

... «нов»

Д.222

... «НОГ-НУТ»

Д.223

... «ОБО-ОБЫ»

Д.224

... «ОВО-ОДО»

Д.225

... «ОГЕ-ОРА»

Д.226

... «ОРЛ»

Д. 227

... «ОРЛ»

Д.228

... «ОРЛ»

Д.229

... «ОРЛ-ОША»

Д.230

... «ПАВ-ПАД»

Д.231

... «ПАК»

Д.232

... «ПАЛ-ПАН»

Д.233

... «ПАП-ПАЩ»

Д.234

... «ПЕВ-ПЕН»

Д.235

... «ПЕН»

Д.236

... «ПЕР»

Д.237

... «ПЕР»

Д.238

... «ПЕС-ПЕТ»

Д.239

... «ПЕТ»

Д.240

... «ПЕТ-ПЕЧ»

Д.241

... «ПИВ-ПИШ»

Д.242

... «ПЛА-ПЛЯ»

Д.243

... «ПОБ-ПОД»

Д.244

... «ПОЗ-ПОК»

Д.245

... «ПОК»

Д.246

... «ПОК»

Д.247

... «ПОЛ»

Д.248

... «ПОЛ-ПОН»

Д.249

... «ПОП»

Д.250

... «ПОП»

Д.251

... «ПОП»

Д.252

... «поп»

Д.253

... «ПОР-ПОС»

Д.254

... «ПОС-ПРА»

Д.255

... «ПРЕ»

Д.256

... «ПРЖ-ПРИ»

Д.257

... «ПРО»

Д.258

... «ПРО-ПРЯ»

Д.259

... «ПУГ-ПУС»

Д.260

... «ПУС-ПЯТ»

Д.261

... «РАВ-РАС»

Д.262

... «РАЖ-РАН»

Номер дела

Название

Номер дела

Название

Д.263

... «РАС-РАЮ»

Д.264

... «РЕБ-РЕШ»

Д.265

... «РЖЕ-РОД»

Д.266

... «РОЖ»

Д.267

... «РОЖ»

Д.268

... «РОЗ»

Д.269

... «РОЛ-РОМ»

Д.270

... «РОМ-РОШ»

Д.271

... «РУБ-РУЧ»

Д.272

... «РЫБ-РЯС»

Д.273

... «САБ-САВ»

Д.274

... «САД-САМ»

Д.275

... «САМ»

Д.276

... «САН-САР»

Д.277

... «САТ-САЧ»

Д.278

... «СВЕ-СВЯ»

Д.279

... «СЕВ-СЕН»

Д.280

... «СЕМ-СЕН»

Д.281

... «СЕР»

Д.282

... «СИБ-СИМ»

Д.283

... «СИН»

Д.284

... «СИР-СИХ»

Д.285

... «СКА-СКУ»

Д.286

... «СЛА-СЛУ»

Д.287

... «СМИ»

Д.288

... «СМИ»

Д.289

... «СМИ»

Д.290

... «СМИ»

Д.291

... «СМИ»

Д.292

... «СМИ»

Д.293

... «СМО-СНЯ»

Д.294

... «СОБ-СОЙ»

Д.295

... «сок»

Д.296

... «СОК»

Д.297

... «сок»

Д.298

... «СОК»

Д.299

... «сок»

Д.300

... «сок»

Д.301

... «сок»

Д.302

... «сок»

Д.303

... «сок»

Д.304

... «СОЛ»

Д.305

... «СОЛ-СТЕ»

Д.305а

... «СТЕ»

Д.305б

... «СПА-СТА»

Д.306

... «сто»

Д.307

... «СТО»

Д.308

... «СТР»

Д.309

... «СТР»

Д.310

... «СТР-СТУ»

Д.ЗП

... «СУБ-СУЩ»

Д.312

... «СХО-СЫР»

Д.313

... «СЫР»

Д.314

... «СЫР-СЯЛ»

Д.315

... «ТАБ-ТАШ»

Д.316

... «ТВЕ-ТЕР»

Д.317

... «ТЕР-ТЕС»

Д.318

... «ТЕТ-ТЕШ»

Д.319

... «ТИХ-ТИШ»

Д.320

... «ТКА-ТОК»

Д.321

... «ТОЛ-ТОР»

Д.322

... «ТРА-ТРО»

Д.323

... «ТРО-ТРЯ»

Д.324

... «ТУГ-ТЯЖ»

Д.325

... «УАГ-УКР»

Д.326

... «УКР»

Д.327

... «УЛА-УРУ»

Д.328

... «УСВ-УСП»

Д.329

... «УСП-УША»

д.330

... «ФАВ-ФАТ»

Д.331

... «ФЕВ-ФЕД»

Д.332

... «ФЕД»

д.333

... «ФЕД»

Д.334

... «ФЕД»

Д.335

... «ФЕЙ-ФЕР»

Д.336

... «ФИД-ФИЛ»

Д.337

... «ФИЛ-ФИШ»

Д.338

... «ФЛЕ»

Д.339

... «ФЛИ-ФЛО»

Д.340

... «ФОГ-ФОР»

Д.341

... «ФОР-ФОХ»

Д.342

... «ФРА-ФУР»

Д.343

... «ХАБ-ХМЕ»

Д.344

... «ХОД-ХУД»

Номер дела

Название

Номер дела

Название

Д.345

... «ЦАЛ-ЦВЕ»

Д.346

... «ЦВЕ-ЦЫП»

Д.347

... «ЧАД-ЧЕП»

Д.348

... «ЧЕР»

Д.349

... «ЧЕР»

Д.350

... «ЧЕР-ЧЕШ»

Д.351

... «ЧИЖ»

Д.352

... «ЧИК-ЧИХ»

Д.353

... «ЧМУ-ЧУП»

Д.354

... «ЧУР-ЧУЧ»

Д.355

... «ШОБ-ШАЛ»

Д.356

... «ШАМ»

Д.357

... «ШАН-ШАЙ»

Д.358

... «ШАР-ШАХ»

Д.359

... «ШВЕ-ШЕЛ»

Д.360

... «ШЕМ-ШЕШ»

Д.361

... «ШИБ-ШИШ»

Д.362

... «ШМ-ШИЮ»

Д.363

... «ШОЛ-ШОР»

Д.364

... «ШПА-ШПР»

Д.365

... «ШУБ-ШУЦ»

Д.366

... «ШЕГ»

Д.367

... «ШОД-ШЕП»

Д368

... «ЩЕР-ЩУК»

Д.369

... «ЭВЕ-ЭЗЕ»

Д.370

... «ЭЙГ-ЭЙХ»

Д.371

... «ЭЙГ-ЭЙХ»

Д.372

... «Ю»

Д.373

... «Я». Т.1.

Д.374

... «Я». Т.2

Д.375

Формулярные списки преподавателей и служащих учебных заведений округа

Д.376

Формулярные списки преподавателей и служащих учебных заведений округа с буквы «В» по букву «Я»

В настоящее время исследовано 29 дел. Ко всем делам составлены аннотации. В каждую аннотацию включены сведения: фамилия, имя, отчество, должность, место работы соответствующего преподавателя или служащего учебного заведения. Всего выявлено и описано почти 700 персоналий. Из них около 7% работали в качестве преподавателей математики. Их формулярные списки по материалам фонда распределены неравномерно, что иллюстрирует следующая таблица.

№ дела

Педагог-математик

№ дела

Педагог-математик

1

Л.Н. Абакумова

2

Д.А. Авдыкович

3

М. Александрова, М.Т. Агеева

4

А.В. Азарх, Л.Н. Акимова, К.П. Акимович

5

А.Д. Алексеев

6

А.В. Александров, М.И. Александрова, Е.В. Александрова

10

П.Н. Андреянов, Т.П. Андронова, К.А. Андреев, Н.В. Андреевский, Н.Е. Андросова

11

Б.И. Антонов, А.М. Анцышкина, М.М. Апыхтина

12

Д.Д. Арбатский, А.Г. Арефьев

13

К.П. Аржеников, Е.И. Артёмова

14

О.Г. Архарова, А.Г. Архангельский, С.П. Архангельский,

16

В.Ф. Ауман, А.И. Афанасьев, А.А. Афанасьева

17

В.А. Афонская, В.Н. Ахмакова

18

Б.Н. Бабынин, П.П. Бабаев, К.Л. Баев

19

А.В. Балашова

20

М.П. Баранцова

23

С.Л. Бастамов, А.И. Баскакова

24

П.А. Батраков, И.А. Батраков, А.В. Башилова, Г.П. Бахтадзе, А.А. Башилов

25

А.В. Бебешина

27

В.К. Беллюстин

28

М.И. Блудов, И.Н. Белов, А.А. Белавин

29

С.В. Белоусова

В делах №№ 7, 8, 15, 21, 22, 26 педагоги-математики не упоминаются. Таким образом, круг персоналий, имеющих отношение к математическому образованию, составил почти 50 человек. Несомненно, каждый из выявленных педагогов-математиков внес свой вклад в развитие математического образования, однако степень этого вклада была неодинакова. Понятно, она зависела от продолжительности педагогической деятельности персоналии, от ее педагогического таланта, от ее стремления к совершенствованию и желания делиться своим опытом с другими. Так, профессор К.А. Андреев (Д. 10) имел более разносторонний педагогический опыт, поскольку преподавал математику не только в средней школе, но и в университете, М.И. Блудов (Д.28) в советское время прославился как физик, СЛ. Бастамов (Д.23) - как географ, К.Л. Баев (Д. 18) - как астроном, и только Александр Григорьевич Арефьев (Д. 12), Константин Петрович Аржеников (Д. 13) и Всеволод Константинович Беллюстин (Д.27) составили

учебные пособия по математике, получившие популярность еще до Октябрьской революции.

Фрагменты биографий К.П. Арженикова и В.К. Беллюстина были опубликованы в работах [2], [3], [4], [5]. Фрагментарные факты о жизни и деятельности К.П. Арженикова и В.К. Беллюстина можно найти на сайтах учебных заведений, в которых работали эти педагоги-математики в советское время. Однако все эти сведения разрозненны и не всегда правильны. Их уточнению и систематизации как раз и призваны помочь формулярные списки, хранящиеся в ЦИАМ. Так, например, благодаря архивным материалам удалось установить историю продвижения этих педагогов по служебной лестнице, точные даты служения в различных учебных заведениях, сведения о семьях и другие факты. Однако этому следует посвятить отдельную публикацию.

Библиографический список

1. ЦИАМ. Ф.459. Оп.17. ДД.1-29. Формулярные списки преподавателей и служащих учебных заведений Московского учебного округа.

2. Епифанова Н.М. Беллюстин В.К. - педагог и методист // Ярославский педагогический вестник. 2008. №1(54). С. 116-119.

3. Колягин Ю.М., Саввина О.А., Тарасова О.В. Русская школа и математическое образование: наша гордость и наша боль. 4.1. От древнейших времен до XX века. Орел: ООО Полиграфическая фирма «Картуш», 2007.

4. Пчелко А.С. Хрестоматия по методике начальной арифметики. М.: Учпедгиз, 1940.

5. Савин М.И. Педагог-математик Всеволод Константинович Беллюстин (к столетию со дня рождения) // Уч. записки Горьк. пед. ин-та. 1967. Вып. 72. С. 212-222.

МАТЕРИАЛ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ КАК СРЕДСТВО ФОРМИРОВАНИЯ У ШКОЛЬНИКОВ СТИЛЯ МЫШЛЕНИЯ

Л.Г. Шестакова

В статье рассмотрены возможности использования материала по истории математики для формирования ряда характеристик нелинейного стиля мышления, приведены примеры организации этого содержания в процессе обучения.

Ключевые слова: история математики, формирование нелинейного стиля мышления.

Специфика жизни человека XXI века характеризуется усложнением стоящих перед ним задач, высокой скоростью изменения ситуаций, в кото-

рых приходится ориентироваться и принимать решения, возрастающими возможностями влиять на ход развития объектов, процессов, окружающего мира. Поэтому не случайно на первый план выдвигается задача развития интеллектуального потенциала общества в целом и личности, в отдельности. Это ориентирует образование на создание условий для наиболее полного раскрытия человека. На основании этого правомочно говорить о необходимость формирования у школьников стиля мышления, отвечающего современности и ориентированного на перспективу.

Будем исходить из необходимости формирования у школьников синергетического (нелинейного) стиля мышления, под которым понимаем стиль мышления, рассматривающий окружающий мир и человека как сложные открытые динамические системы; ориентированный на выявление всеобщих связей и отношений, неустойчивости и случайности.

В рамках статьи нет возможности подробно остановиться на всех характеристиках рассматриваемого стиля мышления, поэтому назовем только те из них, для формирования которых историко-математическое содержание (совместно со старинными задачами) имеет возможности. К этим характеристикам отнесем следующие:

• критичность; абстрактность и отвлеченность в сочетании с умением устанавливать взаимосвязи между идеальной моделью и реальным процессом;

• стремление к исследованию природы и сущности понятий и явлений;

• масштабность, ориентацию на выявление глубинных связей и взаимозависимостей между процессами и явлениями различной природы;

• разносторонность; дополнительность.

Прежде, чем переходить к описанию возможностей использования историко-научного содержания в рамках заявленной темы, необходимо отметить, что вопросы использования ее элементов в школе, актуальность этой работы часто обсуждается методистами (Е.С. Березанская, Г.И. Глейзер, Б.В. Гнеденко, К.А. Малыгин, А.Е. Малых, Т.А.Иванова и др.). Например, Т.А. Иванова (2) подчеркивает, что история математики позволяет увидеть «живую математику», «математику с человеческим лицом», а не законсервированную абстрактную систему. Она помогает осознать процесс познания в математике, методы научного познания, характерные для каждого этапа, понять динамику развития.

В настоящее время во многих учебниках можно найти материал с элементами истории математики. Необходимый дополнительный материал можно найти в вузовских пособиях по истории математики. Конкретные приемы и формы работы с этим материалом полностью зависят от выбора учителя, от тех целей и задач, которые он ставит.

С позиции формирования стиля мышления значимость используемого материала по истории математики сильно зависит от формы и приемов его организации в учебном процессе (как на уроке, так и во время внеклассных мероприятий). Например, в учебнике математики для 5 класса Н.Я. Виленкина имеется блок материала, посвященного различным способам записи чисел. Здесь рассматриваются записи, используемые в Древней Руси (где числа обозначали буквами с особым знаком «~» - «титло», раскрывается содержание слова «тьма»), Древнем Риме (обращается внимание на особенности обозначения и структуры римских чисел). В современной системе записи чисел цифры принято называть «арабскими», хотя арабы их называли «индийскими». Перечисленный материал легко может быть расширен и пополнен учителем. Возникает вопросы о приемах организации работы с ним. Для формирования критичности мышления, умения устанавливать взаимосвязи между идеальной моделью и реальным процессом, установки на исследование (вскрытие) сущности понятий и явлений можно предложить использовать идеи проблемного изложения и деятельностного подхода. С названных позиций есть смысл сначала попросить школьников высказаться о причине широкого распространения в настоящее время именно арабской системы записи чисел. Организовать работу по сравнению записи одного и того же числа в разных системах, попробовать выполнить в них действия над числами, четко проговорить, с какими неудобствами учащиеся сталкиваются. Задать вопрос о причинах (по их мнению) закрепления названия «арабская» форма записи, а не «индийская». В процессе работы учащиеся соотносят собственный опыт изучения темы с историей развития соответствующего вопроса. Они перестают быть пассивными наблюдателями исторических процессов, включаются в активную деятельность.

Подобная работа может быть проведена и по другим темам математики, например, единицы длины, единицы массы и др.

Историко-научный материал часто используется на этапе введения понятий. Здесь можно говорить и о том, кто ввел данное понятие, и о том, от какого слова (из какого языка, что оно обозначает, как переводится) произошло название понятие. Например, при изучении арифметической и геометрической прогрессий можно дать историческую справку о происхождении слова «прогрессия», которое означает «движение вперед». Встречается впервые у Боэция (римский автор, V - VI вв.). Отметить, что сначала под прогрессией понимали всякую числовую последовательность, построенную по закону, позволяющему неограниченно продолжать ее в одном направлении. В конце средних веков и вначале нового времени этот термин перестает быть общеупотребительным и закрепляется за отдельными видами последовательностей. Подобная работа может проводиться по-разному. Чтобы заинтересовать учащихся новым видом работы обычно учитель сначала сам приводит яркий запоминающийся пример, способный

вызвать положительный эмоциональный настрой. Далее в поисковую деятельность по установлению «происхождения» понятий, их первоначального смысла, степени соответствия с современным состоянием можно включить учащихся. Результаты изысканий сообщаются классу. Отметим, что аналогично можно провести работу, раскрывающую историю развития формулировок определений, признаков и свойств понятий.

На основе анализа нового термина можно определить, что будет изучаться в теме. Как легко заметить, подобная работа позволит не только расширить кругозор учащихся, повысить интерес (что само по себе уже значимо с позиции изучения математики), но и позволит формировать умения анализировать, сопоставлять, исследовать установку на подход к проблеме с разных сторон, готовность к объективному анализу различных точек зрения.

Для того чтобы показать движущие силы развития математики как науки, можно провести целенаправленную работу со школьниками, направленную на формирование представлений о том, что широко распространенный сегодня математический язык складывался на протяжении веков. С позиции выявления связей и взаимозависимостей между процессами и явлениями различной природы, различными науками и сферами деятельности полезно остановиться на двух моментах, характерных для развития математики. Во-первых, показать, что ряд областей и разделов математики возникли и развивались в соответствии с запросами техники и естествознания. Например, такие математические понятия, как число, геометрическая фигура, площадь возникли в процессе трудовой деятельности человека. Аналогично потребность практики лежит в основе появления тригонометрии. Развитию математической логики способствовали потребности радиотехники, автоматизации управления различными процессами, попытки моделировать сложные технологические, экономические, биологические процессы. Во-вторых, новые разделы возникали и под воздействием внутренних потребностей самой математики. Но и эти разделы через определенное время находят широкое применение в других науках и технике. Например, необходимость решения квадратных уравнений и уравнений более высокой степени привели к введению иррациональных чисел, а затем и комплексных. Еще одним ярким примером является создание геометрии Лобачевского.

С позиции формирования стиля мышления представляют интерес старинные задачи, при работе с которыми желательно придерживаться правила: решаем ее теми средствами, какие были известны автору. Например, можно разобрать приемы составления (по тексту задачи) и решения квадратного уравнения Диофантом.

Широкие возможности для формирования выделенных характеристик стиля мышления имеют исторические справки, раскрывающие направления деятельности отдельных ученых или математических школ,

биографии математиков. На основе этого материала можно вскрыть внутренние противоречия, столкновения идей и позиций великих ученых, которые часто сопутствовали становлению новых математических теорий. Примером принципиальности и понимания своего долга перед наукой является борьба Николая Ивановича Лобачевского за утверждение идей неевклидовой геометрии.

Организовать работу с историко-научным материалом можно различным образом: рассказ учителя, сообщение ученика, эвристическая беседа, проблемное изложение, лекция, исследовательская работа учеников, решение исторических задач, выпуск стенгазет и др.

Материал по истории математики может успешно использоваться для организации предпрофильных курсов по выбору, элективных курсов. На занятиях таких курсов могут быть разобраны с учениками не только материал, связанный с изучаемыми в школьном курсе математики темами, но и дополнительные вопросы, выстроенные в определенной системе. Например, зарождение и становление математики, математика Древнего Востока и Древней Греции, развитие математики в Западной Европе, развитие отечественной математики. Для формирования стиля мышления на этих занятиях можно использовать такие формы работы с учениками, как диспуты, обсуждения, круглые столы и др. При этом необходимо создавать условия для свободного выражения мыслей, ставить учеников в ситуации, требующие проводить аргументацию своей точки зрения и корректное опровержение оппонента. Здесь также важно целенаправленно формировать умение грамотно задавать вопросы и отвечать на них. С этой целью можно предлагать подготовку докладов и сообщений, выполнение различных видов проектов с последующей их защитой и обсуждением.

Подводя итог, отметим, что практически любой материал из истории математики (определенным образом организованный) способен положительно влиять на формирование у школьников выделенных характеристик стиля мышления.

Библиографический список

1. Глейзер Г.И. История математики в школе: VII - VIII кл. Пособие для учителей. М.: Просвещение, 1982. 240 с.

2. Иванова, Т.А. Гуманитаризация общего математического образования: монография. Н.Новгород: НГПУ, 1998. 206 с.

Раздел II. ТЕОРИЯ И МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ В ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ШКОЛЕ И ВУЗЕ

МЕТОДИКА ОРГАНИЗАЦИИ ПОВТОРЕНИЯ В 5 КЛАССЕ В ПЕРВОЙ ЧЕТВЕРТИ УЧЕБНОГО ГОДА.

М.В. Андрианова

Основное содержание уроков повторения в курсе математики 5 класса составляет материал арифметического и геометрического характера, где основное внимание уделяется формированию широкого круга практических навыков вычислений, а также обучению решению разнообразных по ситуациям задач.

Ключевые слова: дифференцированный подход, решение задачи разными способами, формирование умений и навыков, информационные технологии.

Учить детей так, чтобы они добывали знания с помощью уже имеющихся знаний, - значит дарить им радость творческого поиска, когда самый скучный материал становится увлекательным для обучающихся, в результате того что они часто собственными усилиями открывают неизвестное. Каждое открытие вызывает у ребят азарт труда, пробуждает желание много знать, прибавляет им уверенности в своих силах.

В 5 класс приходят ребята с разным уровнем подготовки: хорошо и отлично усвоившие материал математики в начальной школе и учащиеся с недостаточной подготовкой. Причины могут быть самые разные и не всегда они связаны с отсутствием общих или специальных способностей, а могут объясняться и слабым здоровьем ребёнка, не позволяющим ему в полную силу включаться в школьную работу, и психологической неподготовленностью ребёнка к школе, и индивидуальным темпом его развития. Эти учащиеся не умеют организовать свою умственную деятельность, не могут сконцентрировать внимание на поставленной задаче, часто отвлекаются, многие из них имеют плохую память. Обучение математике в 5 классе, как правило, осложняется ещё и тем, что эти дети плохо читают и не умеют вникнуть в смысл текста. Низкий уровень общего развития, серьёзные пробелы в математической подготовке за курс начальной школы не позволяют им овладевать содержанием курса 5 класса даже на минимальном уровне, что исключает возможность нормального изучения математики в последующих классах. Поэтому и уроки повторения на математике в 5 классе учителя строят, используя дифференцированный подход к каждому обучающемуся.

Основное содержание уроков повторения в курсе математики 5 класса составляет материал арифметического и геометрического характера. При изучении арифметики основное внимание уделяется формированию широкого круга практических навыков вычислений (прочные навыки выполнения действий над сравнительно небольшими числами, приёмы прикидки и оценки результатов действий, проверка результата на правдоподобие и др.), а также обучению решению разнообразных по ситуациям задач. Вообще, текстовые задачи, решаемые арифметическим способом, выступают как важнейшее средство развития школьников и становятся одним из основных видов упражнений. При этом задача может решаться по вопросам, по действиям с пояснением, составлением выражения. Не надо жалеть времени на то, чтобы вопрос или пояснение были записаны. Полезный приём, который следует практиковать, - предлагать детям пересказывать условие задачи своими словами. Это помогает лучше уяснить связи между данными, удержать условие в памяти. Следует поощрять решение задачи разными способами. Полезно также предлагать детям придумывать задачи, добавлять к задачам вопрос: «А что ещё можно было бы узнать?» Иными словами, хорошо, чтобы каждая задача стала предметом обсуждения.

В 5 классе отводится достаточно времени на отработку основных умений и навыков, отвечающих обязательным требованиям, которая осуществляется на большом числе несложных, доступных учащимся упражнений. В то же время выполняются задания, разнообразные по форме и содержанию, позволяющие применять получаемые знания в большом многообразии. Формирование важнейших умений и навыков происходит на фоне развития продуктивной умственной деятельности - дети учатся анализировать, замечать существенное, подмечать общее и делать несложные обобщения, переносить известные приёмы в нестандартные ситуации, обучаются приёмам организации мыслительной деятельности и др.

Важнейшее условие, позволяющее правильно строить учебный процесс, сделать обучение эффективным и доступным, заключается в том, чтобы в каждой теме выделять главное и исходя их этого чётко дифференцировать материал: вычленять те задачи, которые должны отрабатываться и выполняться многократно, и те, которые служат другим целям (развитие, пробуждение интереса и др.) и в соответствии с этим не должны дублироваться. Важным для достижения успеха является стиль работы, который установится в классе. Все возникающие проблемы надо спокойно и детально обсуждать с учениками. Надо убедительно показать, что ответ неверен, обязательно выяснить, в чём ошибка, как сделать правильно, что было бы, если бы так или иначе было изменено условие, и т.п. Мотивацией учения должны быть не наказание и страх получить плохую отметку, а поощрение, похвала за малейшее продвижение, чувство удовольствия от преодоления препятствия (коллективно, совместно с учителем).

Значительное место, особенно при изучении геометрического материала, должны занимать упражнения, в которых требуется начертить, перерисовать, измерить, найти на рисунке или предмете, вырезать, разрезать, составить фигуру и др. Это позволит стимулировать развитие у учащихся наглядно-действенного мышления и на его основе в дальнейшем образное мышление.

Важным и непременным принципом работы является внимание к речевому развитию: учащиеся в классе должны много говорить и записывать. Они должны объяснять свои действия, вслух разъяснять свои мысли, ссылаться на известные правила, факты, высказывать догадки, предлагать способы решения, задавать вопросы. Желательно, чтобы вопросы и замечания типа: «Почему?», «Как можно объяснить?», «Как ты думаешь?» - постоянно звучали на уроках. Систематическое решение несложных нестандартных задач является обязательным элементом обучения, так как при этом обучающиеся овладевают разнообразными приёмами мыслительной деятельности.

Известно, что обучающие проявляют большой интерес, когда при объяснении нового материала применяются презентации. Даже самые пассивные из них с огромным желанием включаются в работу, с интересом просматривают слайды и отвечают на вопросы. Во время любой презентации дети очень внимательны, сосредоточены и дисциплинированы, так как, во-первых, им необходимо четко запомнить интересно представленный материал, во-вторых, маленький шум может помешать ответить на вопросы по данной теме. Использование презентаций повышают интерес обучающихся к математике. Дети с большим интересом ожидают презентаций на уроках, помогают готовить необходимое оборудование. Разумеется, любая презентация для детей интересна и полезна, когда она сопровождается словом учителя. Презентация по математике помогает развивать познавательную активность обучающихся, вносит разнообразие и эмоциональную окраску в учебную работу на уроке, а также снимает утомление учащихся, которое может возникнуть при насыщенности уроков математики по новой программе. Кроме того, развивает внимание и сообразительность.

В заключение следует сказать, что описанный метод изложения новой темы с использованием новых информационных технологий оказывает заметное влияние на деятельность учащихся. Поэтому рекомендую использовать его как можно чаще на уроках математики.

Требования к математической подготовке обучающихся 5 класса на конец 1 четверти учебного года:

1. Читать и записывать натуральные числа, сравнивать два числа.

2. Выполнять письменно сложение, вычитание, умножение и деление натуральных чисел; выполнять простейшие устные вычисления.

3. Определять порядок действий и находить значения числовых выражений.

4. Решать несложные текстовые задачи арифметическим способом.

5. Распознавать на рисунках и моделях геометрические фигуры (линии, прямоугольный параллелепипед, куб), соотносить геометрические формы с формой окружающих предметов.

6. Овладевать практическими геометрическими навыками: изображать геометрические фигуры и тела; измерять длину отрезка и строить отрезок заданной длины; оценивать «на глаз» размеры предметов; знать единицы длины и площади; вычислять площади прямоугольника, квадрата, фигур, составленных из прямоугольников.

7. Комментировать ход решения задачи; пересказывать содержание задачи, выделяя известные данные и постановку вопроса; составлять простейшие фабульные задачи, решаемые с помощью заданного действия.

8 Правильно употреблять термины при выполнении различных действий: сложения, вычитания, умножения, деления.

СОХРАНЕНИЕ ЗДОРОВЬЯ ОБУЧАЮЩИХСЯ - ВАЖНЕЙШАЯ ЗАДАЧА ШКОЛЫ

О. А. Белоглазова

В статье рассматривается вопрос о проблеме сохранения здоровья детей; одна из главных задач школы — воспитать здоровую личность; о необходимости использования здоровьесберегающих образовательных технологий.

Ключевые слова: здоровье, здоровьесберегающие технологии.

Проблема здоровья человека в контексте общечеловеческих ценностей приобретает все большее значение. Широкий общественный резонанс получает понимание того, что среди проблем, решение которых не должно зависеть от общественно-политических изменений, центральное место занимает проблема здоровья детей, без решения которой у страны нет будущего. А поскольку именно в раннем детстве, дошкольном и школьном возрасте формируется здоровье человека, то ясна роль школы в этом вопросе.

В настоящее время можно с уверенностью утверждать, что именно воспитатель, учитель в состоянии сделать для здоровья ученика больше, чем врач. Это не значит, что педагог должен выполнять обязанности медицинского работника. Просто учитель должен работать так, чтобы обучение детей в школе не наносило ущерба здоровью школьников.

Безусловно, среди многих человеческих ценностей здоровье занимает одно из первых мест. Эксперты ООН из десяти важнейших факторов,

необходимых для полноценной жизни человека, поставили именно его на первое место, так как именно оно - основное условие и залог полноценной и счастливой жизни. Педагогические исследования последних лет отмечают, что сегодняшнее состояние здоровья детей вызывает серьезную тревогу. Проблема сохранения здоровья детского населения кроется в результате взаимодействия множества факторов риска, вызванных неблагоприятными экологическими, социальными, биологическими и экономическими условиями. Актуальность проблемы здоровьесбережения связана также со школьными перегрузками, с низкой двигательной активностью и с тем, что не учитываются псхиофизические особенности развития учащихся. Разрешить сложившуюся проблему можно только на уровне государственной власти на основе научного подхода к данному вопросу. Согласно Концепции модернизации российского образования, школа должна отвечать актуальным и перспективным потребностям личности, общества и государства. Одна из них - здоровье подрастающего поколения.

Известно, что объективными факторами, влияющими на здоровье учащихся, являются следующие: организация учебно-воспитательного процесса, организация режима учебного дня, соблюдение санитарных норм и правил, гигиенических требований к условиям обучения, психологическое сопровождение образовательного процесса, двигательная активность, требования к организации медицинского обслуживания и питания. Кроме того, существуют и субъективные факторы. Главный из них - низкий уровень сформированности культуры здоровья у учащихся. Следовательно, главными задачами современной школы должны являться: воспитание здоровой личности, ориентированной на здоровый образ жизни; организация такого образовательного и воспитательного процесса, который не навредит здоровью ребенка; использование доступных каждой школе средств охраны здоровья и развития школьника. Новое качество образования может быть достигнуто только при наличии определенных условий, направленных на сохранение и укрепление здоровья обучающихся. Все это требует от нас педагогов особых подходов в обучении и воспитании, основанных на здоровьесберегающих принципах.

В создавшейся обстановке естественным стало активное использование педагогических технологий, нацеленных на обучение, воспитание и охрану здоровья школьников. По словам профессора Н.К. Смирнова, «здоровьесберегающие образовательные технологии» - это системный подход к обучению и воспитанию, построенный на стремлении педагога не нанести ущерб здоровью учащихся». Если забота о здоровье учащихся является одним из приоритетов работы всего педагогического коллектива и осуществляется на профессиональной основе, то только тогда можно говорить о реализации здоровьесберегающих технологий, и результатом их внедрения будет защита здоровья учащихся и педагогов от воздействия негативных факторов, прежде всего связанных с образовательным процессом.

Учить без ущерба здоровью возможно. Так как основной формой организации учебного процесса является урок, то его очень важно правильно организовать.

Педагоги нашей школы используют различные здоровьесберегающие технологии при проведении урока: личностно-ориентированные, развивающие, информационные и т.д. или их элементы в учебно-воспитательном процессе.

Обязательным условием эффективности каждого урока является выполнение требований СанПиН.

Опытные педагоги всегда чувствуют момент наступления усталости учащихся и четко выполняют гигиенические требования к организации урока: плотность урока, количество и смена видов деятельности, разнообразие и чередование методов и приемов, наличие эмоциональных разрядок, уместность применения ТСО, а также контроль осанки, позы, проведение подвижных физкультминуток, гимнастики для глаз, психологический климат.

Проветренное помещение, свежий воздух - это среда, в которой хорошо работает мозг, легкие; чистая доска - это направленность на деятельность; правильное освещение - это работа глаз.

Рассадка учащихся в каждом классе осуществляется согласно рекомендациям врача.

В настоящее время доказано, что при несоблюдении здоровьесберегающих образовательных технологий педагогами в течение урока у обучающихся появляется раньше утомление, чем при соблюдении, снижается работоспособность, что в итоге приводит к отрицательному эмоциональному состоянию, а также повышенной тревожности и незащищенности у школьников. А, как известно, длительное утомление может привести к переутомлению, что влияет, в первую очередь, на здоровье ребенка, а во-вторую, на его успеваемость в учебе. Появляются признаки не только физического переутомления, но психического состояния. Может возникнуть подавленность, тягостное чувство ощущения своей неполноценности, тревожность. В итоге наблюдаются изменения в характере.

Поэтому необходимо совершенствовать педагогические технологии и режим школьного обучения и общения. Влиять на развитие личности ученика учитель может только опосредованно - через свои отношения с ним. Создавая здоровое психолого-педагогическое пространство на уроке и во внеурочной деятельности, учитель способствует развитию здоровой личности, созданию здорового для развития, учебы и творчества психологического климата.

Здоровье школьников - одно из важных условий благополучия школы, ее успешности в сфере образования, поэтому главная задача образования - построить образовательный процесс так, чтобы сохранить здоровье школьников.

Библиографический список

1. Сухарев А.Г. Концепция укрепления здоровья детского и подросткового населения России/Здоровые дети России в 21 век. М., 2000. С. 42 -53.

2. Смирнов Н.К. Здоровьесберегающие образовательные технологии в работе учителя и школы. М.: АРКТИ, 2003. 272 с.

3. Селевко П.К. Современные образовательные технологии: учебное пособие. М.: Народное образование, 1998.

ОБ ОПЫТЕ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ В «ИСПАНСКИХ» И «КИТАЙСКИХ» ГРУППАХ МЕЖДУНАРОДНОГО ФИНАНСОВОГО ФАКУЛЬТЕТА

Д.В. Берзин

Статья основана на четырехлетнем опыте автора преподавания на английском языке математики на Международном финансовом факультете Финансового университета при Правительстве Российской Федерации.

Ключевые слова: математика в вузе, английский язык, испанский язык, китайский язык

В 2008 году в Финансовом университете при Правительстве Российской Федерации открылся новый факультет - Международный финансовый (далее - сокращенно МФФ), отличительной особенностью которого стало преподавание всех предметов на английском языке. Такое преподавание имеет ряд неоспоримых преимуществ [1]. В сентябре 2009 года первые бакалавры МФФ приступили к занятиям, а в 2010 году заработала магистратура. Данная статья основана на моем четырехлетнем опыте преподавания обязательного курса «Линейная алгебра» на МФФ бакалаврам первого года обучения. В 2011 году в бакалавриат МФФ были набраны 4 группы обучающихся по совершенно новому принципу: 2 группы «испанцев», для которых вторым иностранным языком (после английского) со второго курса станет испанский, и 2 группы «китайцев», для которых предусмотрено углубленное изучение только китайского языка. Всего в сентябре 2011 года к занятиям на МФФ приступило 88 бакалавров первого года обучения: две «испанских» группы общей численностью 46 человек, и две «китайских» группы общей численностью 42 человека. Обучение на факультете только платное, бюджетных мест не предусмотрено. Девушек и юношей на МФФ приблизительно поровну. В «испанских» группах предусмотрено углубленное изучение английского

языка, а со второго курса - еще и испанского языка как второго иностранного. В «китайских» группах не изучается ни английский, ни испанский язык, зато предусмотрен очень интенсивный курс китайского языка, который преподается с начального уровня в объеме 8 часов в неделю по современным методикам и учебным материалам, разработанным совместно российскими и китайскими лингвистами. К концу четвертого курса студенты достигнут как минимум 5-го уровня HSK (Hanyu Shuiping Kaoshi - международный экзамен по китайскому языку), что позволит им свободно общаться с носителями языка на профессиональные темы, а также без каких-либо затруднений читать и писать по-китайски. Профессиональный блок (включая математические дисциплины) как для «китайцев», так и для «испанцев» преподается полностью на английском языке. Все студенты бакалавриата МФФ обучаются по направлению «Экономика», профилю «Международные финансы».

К моменту написания данной статьи, автор в течение без малого 4-х лет читал лекции и вел практические занятия по линейной алгебре на первом курсе бакалавриата МФФ. Кроме того, параллельно автор вел занятия по математике на русском языке на других факультетах университета.

Выяснилось, что успешное написание студентами контрольных работ и сдача экзаменов по линейной алгебре мало зависит от базовой языковой подготовки студента, а в большей мере обусловлено стараниями студента и его хорошими математическими навыками, полученными в средней школе [1]. На лекциях и практических занятиях по линейной алгебре не требуется применения сложных грамматических конструкций на английском языке. Но, с другой стороны, не следует «упрощать» язык, он должен быть достаточно богатым и живым. Студенты жалуются на преподавателей, недостаточно свободно владеющими английским языком или говорящих с акцентом, трудным для понимания. Студентам есть с чем сравнивать, так как многие проводят каникулы в англоязычных странах, а часть предметов по финансовым дисциплинам ведет американец без знания русского языка.

Занятия по линейной алгебре на английском языке должны быть весьма динамичны, нужно пытаться поддерживать постоянный интерес аудитории, и делать это значительно труднее, чем во время проведения аналогичных занятий на русском языке [2]. Поскольку для слушателей английский язык не является родным, им труднее сосредоточиться на излагаемом материале. В связи с этим поддержание тишины в аудитории и дисциплины становится особенно важным. С другой стороны, использование хорошего проработанного западного учебника [3] дает неоспоримые преимущества. Отметим, что программа по линейной

алгебре для МФФ максимально приближена к стандартной программе для остальных факультетов Финансового университета.

Автор пришел к выводу, что во время практических занятий все основные математические термины должны переводиться на русский язык. Таким образом, студенты усваивают математическую терминологию не только на английском, но и на русском языке [4]. В начале каждого занятия на доске пишется тема на английском языке, и тут же дается устный перевод на русский язык. В связи с этим, студенты сразу понимают, какой материал им предстоит освоить на занятии. Для лучшего понимания, во время занятия приходится больше писать на доске, в то время как в «русскоязычных» группах многие из фраз достаточно произнести вслух. Студенты, вызываемые для решения задач к доске, обязаны говорить по-английски и не переходить на русский язык. Преподаватель в случае необходимости поправляет студента и достаточно громко повторяет фразу для аудитории. Все тесты, контрольные работы и экзамены по математике выполняются студентами МФФ только в письменной форме и только на английском языке. Таким образом, на занятиях по математике у студентов есть хорошая возможность поддерживать и улучшать свой английский язык. А самое главное -усваивается стандартный для финансово-экономических специальностей вузов курс линейной алгебры, подкрепленный эффективными западными учебниками и задачниками с разбором множества практических примеров [5].

Выяснилось, что студенты «китайских» групп несколько хуже усваивают математический материал, чем студенты «испанских» групп. Кроме того, к концу первого курса «китайцы» слабее владеют английским языком, чем «испанцы», что чувствуется при ответах с места и у доски на занятиях по линейной алгебре. Это связано с тем, что интенсивное изучение китайского языка с очень объемными домашними заданиями не оставляет студентам достаточно времени и сил на освоение математических дисциплин. В то же время, у «китайцев», в силу изучения иероглифов, сильнее развито образное мышление, они легче понимают задачи, иллюстрируемые с помощью графиков (например, графиков функций), чертежей (к задачам о прямых и плоскостях в пространстве), или таблиц (например, в симплекс-методе решения задач линейного программирования). На мой взгляд, задачей преподавателя является использование сильных сторон как тех, так и других категорий студентов.

Библиографический список

1. Берзин Д.В. Особенности преподавания математики на английском языке в вузе // Вестник Елецкого государственного университета им. И.А. Бунина. Вып. 28: Серия «Педагогика» (История и теория математического образования). Елец, 2011. С. 62-65

2. Берзин Д.В. Преподавание университетской математики на английском языке // Математика в образовании: сб. статей. Вып. 6. Чебоксары: Изд-во Чувашского университета, 2010. С.250-253

3. Anton H., Rorres С. Elementary linear algebra: Applications version, 9th edition. John Willey & Sons, 2005.

4. Берзин Д.В. Преподавание математики на английском языке в высшем учебном заведении // Математическое образование в школе и вузе в условиях перехода на новые образовательные стандарты: материалы Всероссийской научно-практической конференции с международным участием (15 октября 2010 г.). Казань, 2010. С. 101-102.

5. Берзин Д.В. Методика и особенности преподавания математики на английском языке в высшем учебном заведении // Математика, информатика и методика их преподавания: материалы Всероссийской конференции, посвященной 110-летию математического факультета МПГУ (Москва, 14-16 марта 2011 г.). М., 2011. С. 117-118

ИННОВАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ В ЭЛЕКТРОННОМ ОБУЧЕНИИ

В.А. Буреев, С.В. Галактионов, Р.В. Лавровский, В.А. Логинов, Ф.К. Мацур, П.А. Сенченков, В.П. Филиппов

В статье рассматриваются актуальные проблемы создания и внедрения в учебный процесс современных инновационных образовательных технологий для организации электронного обучения математике в единой информационной образовательной среде высших и средних учебных заведений.

Ключевые слова: интерактивные методы; средства визуализации; электронное обучение; дистанционное обучение; skype-технологии.

Электронное обучение с конца 90-х годов прошлого столетия является одним из современных способов передачи знаний от преподавателя к обучаемому. На начальном этапе процесса внедрения информационно-компьютерных технологий в учебный процесс в школьных и вузовских аудиториях появились интерактивные доски с достаточно обширным набором учебных материалов (фотографий, таблиц, диаграмм, видеофрагментов и т.п.), позволившие существенно расширить диапазон педагогических возможностей преподавателя при работе в аудитории. После появления графических планшетов, веб-камер и skype-технологий появилась техниче-

екая возможность проводить обучение школьников и студентов, находящихся на любом расстоянии от школы или вуза. Концепция дистанционного обучения (ДО), принятая Министерством высшего профессионального образования в 1995 году и обозначившая основные направления развития ДО, по мере совершенствования интернет-технологий и появления научно обоснованных методик преподавания в интернет - пространстве постоянно и последовательно совершенствовалась и после успешного завершения экспериментального внедрения инновационных обучающих технологий в ведущих университетах страны основные рамочные требования к условиям реализации электронного обучения были закреплены Федеральными государственными образовательными стандартами третьего поколения (ФГОС-2011).

Выполнению требований Рособрнадзора и ФГОС-2011 на кафедре высшей математики факультета дистанционного обучения Московской государственной академии водного транспорта предшествовала большая научная, научно-образовательная и учебно-методическая работа с целью разработки инновационных образовательных технологий преподавания математики. Необходимо было решить комплексную задачу создания педагогически обоснованного электронного интерактивного обучающего курса по любому разделу математики, совместимого с программным обеспечением образовательного портала вуза.

В период 2003-2012 г.г. преподавателями кафедры совместно с программистами, компьютерными дизайнерами и психологами были разработаны и утверждены единые требования к педагогическому дизайну компьютерного представления учебных материалов по математике.

Ключевыми элементами принятой инновационной образовательной технологии являются оригинальные авторские обучающие программы, содержащие наряду с традиционным учебным материалом, представленным в доступной и занимательной форме, большой набор иллюстраций, таблиц, анимаций, компьютерной графики, видеоматериалов, способствующих более глубокому освоению студентом или школьником изучаемого раздела математики.

В качестве основного педагогического инструмента для организации самостоятельной подготовки студентов очного, заочного и дистанционного обучения был разработан и внедрен в учебный процесс самоучитель по математике [1-4].

Структура самоучителя (на примере курса «Линейная алгебра») состоит из следующих самостоятельных учебных блоков: теории, глоссария, примеров решений типовых задач, учебных и контрольных тестов, а также руководства пользователя (рис.1).

Рис.1. Структура самоучителя по математике.

Хотя обучаемый имеет возможность изучать каждый из разделов самостоятельно в любом порядке, разработчики самоучителя, исходя из своего многолетнего опыта педагогической деятельности, рекомендуют следующую систему навигации по пространству учебных материалов. Освоение изучаемого курса целесообразно начинать с учебных тестов (рис.2).

Рис.2. Окно раздела «Учебные тесты».

Для подготовки к решению предложенной задачи (в данном случае на тему «произведение матриц») обучаемому предлагается воспользоваться тремя подсказками. При выборе первой подсказки в центральном окне открывается раздел лекций, необходимый для подготовки ответа конкретно на выбранный учебный тест (рис.3).

При выборе второй подсказки обучаемому предоставляется возможность ознакомиться с примером решения аналогичной задачи(рис.4).

Тексты лекций и примеров решений изучаются в центральном окне с помощью вертикальной прокрутки.

Подсказка «Термин» позволяет обучаемому ознакомиться с основными понятиями и определениями из глоссария, относящимися именно к данному тесту (рис.5). Содержательный выбор терминов для глоссария определяется педагогическими предпочтениями преподавателей, разрабатывающих обучающий курс. Никаких иных ограничений на структуру глоссария и количество терминов в нем не существует.

Рис.3. Окно раздела «Теория»

Рис.4. Окно раздела «Пример решений».

Рис.5. Окно раздела «Глоссарий».

Предложенная система навигации экономит время освоения изучаемого курса и предоставляет обучаемому возможность проверить свои знания данной темы курса в разделе «контрольные тесты» (рис.6).

К контрольным тестам следует переходить после освоения всех тем курса. Время, отведенное на контрольное тестирование, ограничено, а число попыток может быть любым. При очередной попытке тестируемому предлагается новый вариант задач, формируемый случайным образом из базы данных. После завершения контрольного тестирования студенту выдается статистика правильных и неправильных ответов и рекомендации, какие темы курса следует повторить.

Решение о завершении самоподготовки студентом принимается самостоятельно после уверенного решения им достаточного количества вариантов контрольных тестов. Варианты контрольных задач при большой базе данных практически не повторяются.

При возникновении проблем с освоением обучающего курса студент имеет возможность проконсультироваться по электронной почте с любым преподавателем кафедры высшей математики.

Рис.6. Окно раздела «Контрольные тесты».

Приведенные фрагменты обучающего курса наглядно иллюстрируют принцип работы студента с самоучителем. Для изучения темы «произведение матриц» ему предлагаются только те разделы учебных материалов (учебных блоков), которые имеют непосредственное отношение к данной теме. Этот же принцип действует для изучения всех остальных тем.

Разработанный авторами обучающий курс был апробирован в учебном процессе МГАВТ на факультете дистанционного обучения и получил положительные отзывы студентов. В связи с этим были разработаны еще два курса: «Векторная алгебра» и «Аналитическая геометрия». В настоящее время завершается создание обучающих курсов по темам «Пределы» и «Построение графиков функций». В дальнейшие планы авторов входит создание цикла обучающих программ по всем разделам высшей математики, при этом предполагается расширить структуру обучающих курсов за счет введения раздела «Деловые и ролевые игры по математике».

Тот же подход применён и для создания аналогичных образовательных продуктов для элементарной математики. Совместно с преподавателями ряда школ были апробированы интерактивные методы и средства визуализации для организации мультимедийных уроков [5] и разработаны самоучитель и экзаменатор для подготовки к Единому Государственному Экзамену по математике [6-7].

Следует отметить, что предлагаемый авторами обучающий курс можно использовать не только при организации самостоятельной подготовки студентов, но и при проведении лекций и веб-семинаров без использования традиционной доски и мела.

Библиографический список

1. Буреев В.А. Инновационные образовательные технологии на водном транспорте». Доклад на юбилейной научно-практической конференции «200лет транспортному образованию». М: МГАВТ, 2009. 8 с.

2. Буреев В.А. Самоучитель как инновационный инструмент самостоятельной подготовки студентов очного, заочного и дистанционного обучения. Доклад на пленарном заседании XXXI научно-практической конференции профессорско-преподавательского состава, студентов и аспирантов Московской государственной академии водного транспорта. М.: МГАВТ, 2009. 9 с.

3. Буреев В.А., Галактионов С.В., Логинов В.А., Мышкин А.Л. и др. Подготовка и внедрение современных инновационных образовательных учебно-методических комплексов (УМК) в рамках технологий электронного обучения. Отчет по НИР. М.: МГАВТ, 2011. 308 с.

4. Буреев В.А., Лавровский Р.В., Логинов В.А., Сенченков П.А. Векторная алгебра. Мультимедийный обучающий курс для студентов технических вузов. Свидетельство о регистрации электронного ресурса в Объединенном фонде электронных ресурсов «Наука и образование» ИНИМ РАО от 14 апреля 2012 г.

5. Буреев В.А., Беликова С.Ю., Елисеева В.И., Лавровский Р.В., Матвеева Е.В., Щедрина Т.А. Сертификат участников первого этапа конкурса педагогов «Мультимедийный урок в современной школе». Международный институт развития «ЭКОПро», Рег.номер КММ-045-к от 20.02.2011 г.

6. Буреев В.А., Галактионов С.В., Лавровский Р.В. Самоучитель для подготовки к Единому Государственному экзамену по математике (часть В). Свидетельство о регистрации электронного ресурса в Объединенном фонде электронных ресурсов «Наука и образование» ИНИМ РАО, Рег. № 5738 от 25 мая 2010 г.

7. Буреев В.А., Галактионов С.В., Лавровский Р.В. Экзаменатор -Единый Государственный экзамен по математике (часть В). Свидетельство о регистрации электронного ресурса в Объединенном фонде электронных ресурсов «Наука и образование» ИНИМ РАО, Рег. № 16405 от 22 ноября 2010 г.

ИСТОРИЯ, СПЕЦИФИКА И ПЕРСПЕКТИВЫ ВУЗОВСКОЙ ДИСЦИПЛИНЫ «ЭЛЕМЕНТАРНАЯ МАТЕМАТИКА»

Г.Г. Ельчанинова

В статье выделены роль и место курса «Элементарная математика» в подготовке специалистов, предложен исторический экскурс её преподавания, подчёркивается роль и перспективы наличия её в учебных планах вузовских специальностей.

Ключевые слова: элементарная математика, профессиональная ориентация обучения, профессиональные умения будущего специалиста.

Изменения во взглядах на высшее образование влияют на его содержание и акценты, расставляемые в ходе преподавания. Базовые математические курсы претерпевают изменения, касающиеся количества отводимых часов. Судьба курса «Элементарная математика» в вузах оказалась наиболее сложной. На одних этапах он считался профессионально наиболее важным, в частности, для будущих учителей математики, на других -наоборот, практически излишним, поскольку, как казалось, функции его могли быть успешно выполнены при изучении фундаментальных математических дисциплин.

Однако в учебном процессе обязательно находилось место для решения задач по элементарной математике. Так, в разные годы:

• предполагались лекционные и практические занятия по специальному курсу элементарной математики;

• вместо данного спецкурса задачи по элементарной математике решались в разделах высшей математики;

• вводилась дисциплина «Практикум по решению математических задач», программа которой не предусматривала чтения лекций;

• вводился курс «Элементарная математика и практикум по решению математических задач», который в большинстве вузов также не предусматривал изложения теоретических сведений.

Кроме того, в середине 70-х годов читались курсы «Современные основы школьного курса математики» и «Научные основы школьного курса математики», которые позволяли увидеть школьную математику с высшей точки зрения.

Наконец, сегодня, согласно стандарта третьего поколения для бакалавров физико-математического образования, среди дисциплин, предусмотренных вариативной частью, имеется курс «Элементарная математика», предполагающий как проведение практических занятий, так и чтение лекционного материала.

Не менее интересны в этом обзоре место и роль курса «Практикум по решению математических задач». Он был введён во второй половине 70-х годов XX века и выделен в отдельный курс, выполняя корректирующую и профессионально-прикладную функции. Далее, с конца 80-х по конец 90-х годов, названный курс существовал как часть курса «Элементарная математика и практикум по решению математических задач» и выполнял, в основном, те же функции, кроме того, позволяя раскрывать теоретические обоснования для понимания методов решения и «набивать руку». Далее он существовал как отдельный курс, выполняя корректирующую, методологическую и профессионально-прикладную функции. Существо-

вали другие курсы, выполняющие подобные функции и даже созвучные с рассматриваемым. Например, «Практикум по элементарной математике».

Итак, курс «Элементарная математика» в вузе является одним из наиболее благоприятных как для развития собственно предметных умений, так и профессиональных. Одно и то же понятие школьного курса математики может быть рассмотрено с разных сторон и в курсе элементарной математики, и в курсах высшей математики, и в курсе теории и методики преподавания математики. Более того, в рамках данного курса имеется возможность проследить развитие того или иного понятия, входящего в школьный курс математики от его истоков до современных представлений. Еще одной составляющей преподавания элементарной математики является знакомство студентов с научно-популярной литературой и с некоторыми современными направлениями развития математики, не охватываемыми курсами высшей математики университетов.

Это уникальный раздел, присущий только математике. В других науках элементарные разделы не выделяются.

На основе анализа различных источников нами сделана выборка и систематизация целей и задач курса «ЭМ», которые ставились перед его изучением в разные годы:

• изучение системы фактов «Элементарной математики», сведений, выходящих за рамки школьной программы с точки зрения заложенных в них фундаментальных идей;

• углублённое изучение теоретических основ математических наук, дополнение и пояснение фактов алгебры, анализа и геометрии; формирование более широкого понимания математики;

• формирование навыков сознательного решения математических задач, в том числе задач повышенной трудности;

• формирование навыков использования сведений из высшей математики для решения задач;

• подготовка к преподаванию математики в школе (работа в школе по различным учебникам математики; работа в классах различной профильной направленности и индивидуальная работы с учащимися; проведение со школьниками кружков, спецкурсов, факультативных занятий и олимпиад по математике);

• приобретение навыков самостоятельной исследовательской работы;

• повышение интереса к математике; получение представлений о месте общей математической подготовки в системе знаний;

• анализ логических связей математики, её основных понятий между собой;

• знакомство с современными направлениями развития элементарной математики и их приложениями.

Сейчас не существует единого взгляда на построение содержания курса «Элементарная математика», а также на то, какие задачи, какой степени сложности рассматривать и следует ли в рамках дисциплины уделять место школьным задачам. Действительно (исходя из анализа целей и практической постановки преподавания), в настоящее время курс в какой-то своей части используется для компенсации недостатков школьной подготовки студентов, а также недостаточного умения выполнять анализ задачных ситуаций, которые возникают в связи с определённым типом задач.

Более того, выделяют три направления, взгляда на роль и место курса вообще:

1) курс как существенный самостоятельный компонент научно-методической подготовки (Мордкович А.Г., Дорофеев Г.В.);

2) курс как прикладной по отношению к изучаемому школьному материалу или как основа для междисциплинарного синтеза (Левитас Г.Г., Арутюнян Е.Б.);

3) курс, объединяющий методику преподавания математики, элементарную математику и практикум по решению математических задач.

Несколько неопределёнен и сам термин «Элементарная математика». Элементарная математика, с одной стороны, представляет самостоятельную область математики, с другой, является базой или стартовой площадкой для изучения высшей математики.

Существует стандартный набор сведений, традиционно принадлежащий элементарной математике: арифметика, элементарная алгебра, тригонометрия, элементарная геометрия. То есть, к элементарной математике не принято применять идеи и методы математического анализа, пользоваться общими понятиями переменной, функции и предела. Хотя в некоторых случаях, при параллельном изучении соответствующих разделов на занятиях по элементарной математике и математическому анализу, возможно использование производной и непрерывности при рассмотрении определённых заданий. «Резкой границы между элементарной и высшей математикой провести нельзя: во многих вопросах элементарной математики нельзя обойтись без понятий и методов, характерных для высшей; причём происходит это стихийно, независимо от воли исследователей» (В.М. Брадис).

Учитывая подчинённую в большинстве случаев роль этого курса, авторы программ в различных вузах могут отходить от его традиционного содержания, привнося более глубокие факты или исключая некоторые факты из рассмотрения вообще.

Рассматривая разнообразные и несколько противоречивые подходы к преподаванию курса, мы вправе считать актуальной проблему самого наличия его в учебном плане и содержания курса «Элементарная математика» в вузе. Эта дисциплина может и должна внести свой вклад в формирование профессионально значимых умений и качеств будущих специали-

стов любого из соответствующих профилей. Для того, чтобы она выполняла эту функцию, её надо насытить соответствующими заданиями.

Перспективы развития курса «Элементарная математика» достаточно высоки, и главный тезис, которому должно быть подчинено его проведение, по нашему мнению, звучит так: «Процесс обучения будущего учителя математики должен быть профессионально ориентирован, а также ориентирован на раскрепощение учителя в плане решения задач различной сложности, должен формировать определённую свободу в поисковой деятельности».

Библиографический список

1. Брадис, В. М. О постановке преподавания специального курса элементарной математики на физико-математических факультетах педагогических институтов. Тезисы доклада проф. В. М. Брадиса. М.: Изд-во Акад. пед. наук РСФСР, 1954. 10 с: 22 см.

2. Брадис, В. М. Теоретическая арифметика. М: Учпедгиз, 1954. -208 с. с илл.: 23 см. - 50000 экз.

3. Иванов, О. А. Избранные главы элементарной математики. С.Петербург, гос. ун-т. СПб: Изд-во С.-Петербург, ун-та, 1995. 223 с: ил.; 20 см. Библиогр.: с. 220-221. 723 экз.

4. Иванов О. А. Интегративный принцип построения системы специальной математической и методической подготовки преподавателей профильных школ: автореф. дис... д-ра пед. наук. Ин-т общ. сред, образования Рос. Акад. образования. М, 1997. - 33 с; 27 см. Библиогр.: с. 31-33 и в подстроч. примеч.

5. Иванов О. А. Обучение поиску решения задач (Фантазии в манере Пойа) // Математика в школе. 1997 г. №6. С. 47-51.

6. Иванов О. А. Практикум по элементарной математике: алгеброаналит. методы: учеб. пособие. М.: МЦНМО, 2001. - 319,[1] с: ил.; 21 см. Библиогр.: с. 318. 2000 экз.

7. Сборник альтернативных учебных программ математических и методических курсов для педагогических институтов (специальность: учитель математики, перв. ступень обучения) / А. Г. Мордкович (ред.). М.: Республиканский институт повышения квалификации работников образования МО РСФСР, 1992. 82 с: 19 см. 750 экз.

РЕАЛИЗАЦИЯ МОДЕЛИ ДИНАМИКИ ОСВОЕНИЯ СУБЪЕКТОМ ЦЕННОСТЕЙ В ПРАКТИКЕ ОБУЧЕНИЯ ГЕОМЕТРИИ СТУДЕНТОВ-БАКАЛАВРОВ ПЕДАГОГИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ2

Л.В. Жук

В статье раскрываются методические аспекты процесса формирования ценностной ориентации и побуждения — начальных фаз цикла освоения ценностей в области геометрии.

Ключевые слова: социокультурная парадигма образования, познавательная деятельность в области геометрии, ценностная ориентация, побуждение.

Отличительной особенностью социокультурных процессов, происходящих в нашем обществе, является переосмысление и переоценка ценностей. То, что недавно воспринималось в качестве незыблемых постулатов, сейчас либо полностью отвергается, либо вызывает сомнение в «полезности», значимости. «Налицо ценностный нигилизм, цинизм, метание от одних ценностей к другим, экзистенциальный вакуум и многие другие симптомы социальной патологии, возникающей на почве перелома ценностной основы...» [1, с. 15].

Сказанное относится и к сфере образования, находящегося в условиях ускоренной модернизации. Здесь под влиянием многих факторов происходит процесс разрушения культурных основ. Особенно пагубным этот процесс является для подготовки учителя, мировидение, мироотношение которого латентно транслируется новым поколениям.

Широкие возможности для противодействия указанным тенденциям имеет обращение к социокультурной парадигме образования, предполагающей формирование ценностного и на его основе ответственного отношения человека к окружающему миру как основы для «вхождения» в культуру, проектирование социокультурного содержания образования, воссоздающего в образовательных структурах образцы и нормы жизни.

Одной из микроструктур культуры является деятельность - феномен, определяющий динамику освоения ценностей. Социализация в русле социокультурного подхода - это процесс освоения субъектом структурных элементов деятельности, в том числе таких ее форм, как познавательная, учебная, мыслительная деятельность в области геометрии.

В работах Подаевой Н.Г. [2] познавательная деятельность (учение) представлена как системное образование, выделены ее структурно-

2 Издание осуществлено при финансовой поддержке РГНФ, проект № 12-16-48001а

функциональные компоненты, которые рассматриваются как фазы цикла освоения субъектом ценностей: ценностная ориентация, побуждение, адаптация, коммуникация, продуцирование. Раскроем методические аспекты реализации указанной модели динамики освоения ценностей в практике обучения геометрии студентов-бакалавров педагогического образования.

Ценности выступают основанием для осмысления, познания и конструирования субъектом целостного образа социального мира. В геометрии носителями ценностей являются фундаментальные понятия, объекты, методы, такие, как континуум, пространство, геометрическое преобразование, доказательство, метод координат, метод математического моделирования, аксиоматический метод, топологические (размерность, непрерывность, связность, хаусдорфовость, компактность, ориентируемость) и метрические (длина кривой, кривизна линии, кручение, гауссова кривизна и т.д.) свойства пространственных объектов.

Начальной фазой освоения субъектом ценности является ценностная ориентация (рефлексия ценности). Она состоит в поиске смысла геометрических объектов, математических закономерностей в повседневной практике, выявлении связей идей, заложенных в фундаментальных понятиях.

Каковы механизмы формирования ценностной ориентации? Во-первых, необходимо добиваться понимания студентами важности изучения геометрии. Ведь, по сути, геометрический взгляд на мир пронизывает всю современную математику: в большинстве ее разделов используется геометрический язык и применяются геометрические методы, часто проникновение геометрических идей приводит к созданию новых теорий. Так, геометрические идеи в теории обыкновенных дифференциальных уравнений привели к созданию качественной теории и теории динамических систем; в теории уравнений в частных производных - к микролокальному анализу, теории солитонов; в вариационном исчислении - к теории геодезических потоков. Современная физика также теснейшим образом связана с геометрией: классическая механика использует язык и методы римановой геометрии, в квантовой механике используется комплексная геометрия и геометрия гильбертовых пространств. Геометрические образы издавна использовались в изобразительном искусстве и архитектуре (Леонардо да Винчи, Дюрер, Дезарг, Монж и др.). Сейчас геометрия перспективы и начертательная геометрия - стандартные инструменты художников, архитекторов и дизайнеров. 3D технологии, в основе которых лежат проективная и вычислительная геометрия, все чаще используются в кино и телевидении, поднимая их на новую ступень развития.

Во-вторых, необходимо начинать изучение любого геометрического объекта, работу над геометрическим понятием с поиска его смысла. Моделью какого реального объекта является данный геометрический образ? Каковы объем и содержание изучаемого понятия? Где в практической дея-

тельности мы можем встретить ту или иную математическую закономерность?

Например, изучаются свойства эллипса, в том числе его оптическое свойство: фокальные радиусы любой точки эллипса составляют с касательной в этой точке равные углы. Это значит, что луч, пущенный из одного фокуса, после отражения попадает в другой. Такая геометрическая закономерность лежит в основе акустического эффекта, наблюдаемого в пещерах и искусственных сооружениях, своды которых имеют эллиптическую форму: если находиться в одном из фокусов, то речь человека, стоящего в другом фокусе, слышна так хорошо, как будто он находится рядом, хотя на самом деле расстояние велико.

Другой пример. При изучении плоских кривых их делят на алгебраические и трансцендентные. Примером трансцендентной кривой является цепная линия, уравнение которой в декартовых координатах:

Для формирования ценностного отношения студентов к изучаемому понятию полезно отметить, что форму цепной линии принимает гибкая однородная нерастяжимая тяжелая нить или цепь с закрепленными концами в однородном гравитационном поле. Как используется цепная линия в практической деятельности? Перевёрнутая цепная линия — идеальная форма для арок. Однородная арка в форме перевёрнутой цепной линии испытывает только деформации сжатия, но не излома.

Побуждение служит детерминантом всех других звеньев цикла и предполагает соединение внешней необходимости в мотиве с внутренней потребностью. Главным рычагом внутренней мотивации является интерес к учению, возникновение которого обеспечивается содержательными, учебными и методическими средствами. При этом можно выделить два основных направления - историчность и прикладную направленность учебного процесса.

Историчность реализуется посредством введения на занятиях по геометрии культурно-исторического дискурса. Например, при изучении координатного метода в рамках подобного дискурса у будущих учителей необходимо сформировать представление о том, что идея координат была не чужда ещё древним грекам (Архимед, Аполлоний Пергский). Однако ее развитию препятствовали невысокий уровень древнегреческой алгебры и слабый интерес к линиям, отличным от прямой и окружности. В Европе первым использовал координатное изображение для функции, зависящей

от времени, Николай Орезмский (14 в), называвший координаты, по аналогии с географическими, долготой и широтой. В 1637 г Пьер Ферма распространяет мемуар «Введение в изучение плоских и телесных мест», где исследует уравнения кривых второго порядка в прямоугольных координатах, показывя, насколько новый подход проще и плодотворней чисто геометрического. Однако гораздо большее влияние имела «Геометрия» Декарта (1637 г), которая независимо и гораздо более полно развивала те же идеи. Декарт включает в геометрию более широкий класс кривых, в том числе трансцендентные, и провозглашает, что у каждой кривой есть определяющее уравнение, а основные характеристики кривой не зависят от выбора системы координат.

Прикладная направленность предполагает установление содержательной и методологической связи курса геометрии с практикой. Учащимся важно показывать, как те или иные теоретические и практические задачи решаются средствами геометрии. Так, метод координат является мощным аппаратом для решения многих геометрических задач. Он не требует рассмотрения сложных конфигураций, а сводит геометрические задачи к алгебраическим.

Покажем, к примеру, как с помощью метода координат можно найти угол между двумя прямыми (задание С2 одного из вариантов ЕГЭ-2010). В кубе ABCDAjBjCjDj точка Е - середина ребра AjBj. Найти угол между прямыми АЕ и BDj.

Предположим, куб единичный. Пусть точка А - начало системы координат, А (0;0;0). Тогда В(0;0;1), С (1;0;1), D (1;0;0), AI (0;1;0), В1 (0;1;1), Cl(1;1;1), Dl (1;1;0), Е (0;1;0,5). Рассчитаем координаты направляющих векторов заданных прямых. Направляющий вектор прямой АЕ имеет координаты (0;1;0,5). Направляющий вектор прямой BDi имеет координаты (1,1,-1). Тогда

Итак, на сегодняшний день задача математического образования состоит в том, чтобы охватываемые им процессы приобретали адекватное социокультурное содержание, то есть математические знания, умения, навыки, опыт, усваивались как культурные ценности.

Библиографический список

1. Леонтьев Д. А. Ценность как междисциплинарное понятие: опыт многомерной реконструкции // Вопросы философии. 1996. №4.

2. Подаева Н.Г. Психолого-дидактические задачи обучения математике: уровни понимания, усвоения и применения материала // Психология образования в поликультурном пространстве. Т. 2 (№3-4). 2009. С. 30-40.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА КАК СРЕДСТВО ФОРМИРОВАНИЯ УНИВЕРСАЛЬНЫХ УЧЕБНЫХ ДЕЙСТВИЙ

М.Л. Зуева

Аннотация. В статье рассматривается объективная функция математической задачи, связанная с формированием универсальных учебных действий, предложены способы ее усиления.

Ключевые слова: универсальные учебные действия, математическая задача, педагогический инструментарий, педагогические средства.

Ускорение темпов развития современного общества делает актуальной проблему формирования метапредметных образовательных результатов — универсальных учебных действий (УУД). Возникает необходимость поиска, отбора или конструирования педагогического инструментария, направленного на их формирование. Для этого может быть использовано свойство дополнительной функции [1]: педагогический инструментарий разного уровня общности помимо основной функции, ради выполнения которой он проектировался, объективно обладает дополнительной функцией, наличие которой изначально не предполагалось, не планировалось.

Известно, что сегодня решение задач рассматривается не только как цель, но и как средство обучения. Исследования роли задач в обучении математике, их обучающей, развивающей, воспитывающей функций (М.И. Махмутов, Д. Пойа, А.Я. Хинчин, А.В. Ястребов и др.) позволяют выявить их взаимосвязь с УУД. Так знаково-символические, логические операции, моделирование, выполняемые при решении задач, объективно позволяют формировать универсальные действия познавательной направленности; реализация основных этапов деятельности в решении задач (цель, анализ, план, контроль и др.) - регулятивные действия; взаимодействие между участниками процесса решения задачи - коммуникативные универсальные действия; успешное решение, проявление воли и настойчивости в достижении результата, понимание его смысла - личностные универсальные учебные действия.

Однако это лишь потенциальные возможности. Такой результат часто стихиен по свой сути, осуществляется как самопроизвольный эффект. Для целенаправленного формирования УУД при решении задач необходимо усиление дополнительной функции. Какие задачи адекватны поставленной цели, как должен быть организован процесс их решения?

Несмотря на то, что исследователями многократно подчеркнута ограниченность тренировочных, алгоритмизированных задач, в достижении образовательных результатов, в массовой педагогической практике такие задачи превалируют из-за сложившихся целей, форм, содержания и методов внешнего контроля. В процессе решения типовых задач не возникает необходимости в обосновании и в рассуждении, востребовано лишь механическое решение по аналогии, что мало способствует формированию УУД.

Усилить объективную функцию задач в смысле формирования УУД можно через использование метода варьирования [2], который изначально проектировался для формирования осознанных математических знаний. Он представляет собой конструирование задач на основе базовой задачи через восемь специальных приемов: меняются зависимости между величинами, добавляются данные в условие при неизменном требовании, меняется требование при тех же условиях и др. Отсутствие типовых схем, планов, обоснований в решении приведет к более высокому уровню сформированности УУД. Результативно подключение самих учащихся к конструированию задач таким методом.

Формируя УУД при решении задач необходимо достигать осознанности не только в предметных ЗУН, но и в сути осуществляемых общедеятельностных операций, правильно расставляя методические акценты. Например, учить не только решению задачи с помощью составления плана, а учить и составлять планы, используя средства математической задачи. Для этого учащийся должен понимать, что в данный момент происходит постановка цели или формулировка гипотезы и т.д., что переход от этапа к этапу осуществляется с помощью логических операций - сравнение, анализ и др. Сначала информация может преподноситься педагогом как факт, а далее следует постепенно подводить учащихся к осознанному оперированию данными понятиями.

Итак, объективная функция математических задач, связанная с формированием УУД, может быть усилена через содержательный компонент (конструирование задач варьированием и их решение) и через процессуальный (подведение к осознанности осуществляемых универсальных операций, действий).

Библиографический список

1. Смирнова А.А. Формирование осознанных знаний учащихся при решении текстовых задач по математике // Совершенствование процесса обучения математике, физике и технологии в школе и вузе: материалы международной конференции «Чтения Ушинского физико-математического факультета. Ярославль: Изд-во ЯГПУ, 2008. 232 с. С. 31-42.

2. Ястребов А.В., Зуева М.Л. Феномен дополнительной функции педагогического инструмента // Ярославский педагогический вестник. 2010. №2. С. 126-130

СОВРЕМЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ ШКОЛЬНОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ

И.Е. Морозова, Т.Е. Рыманова, Г.А. Симоновкая, Н.В. Черноусова

В статье рассматриваются проблемы и перспективы реализации образовательных стандартов второго поколения.

Ключевые слова: математическое образование, образовательные стандарты, проектно-исследовательская деятельность.

С первого сентября 2011 года первоклассники начали учиться по-новому. В школе внедрены в учебный процесс федеральные государственные образовательные стандарты второго поколения. Содержательный аспект преподавания математики претерпел значительные изменения. Например, в примерных программах по математике [3] предлагается в 5-9 классах ввести в рассмотрение такие темы, как «Измерения, приближения, оценки», «Вероятность и статистика», «Логика и множества», «Математика в историческом развитии».

Особенно бросается в глаза несоответствие в примерном планировании соотношения в часах содержания обучения по математике. Так, на изучение материала о функциях отводится, в среднем, 65 часов, а на тему «Вероятность и статистика» - 50 часов [3]. Почти одинаково. Отметим, что в ныне действующих учебниках по алгебре функциональная линия является одной из центральных. Примером может служить учебно-методический комплекс А.Г. Мордковича [2].

Математическое образование является обязательной и неотъемлемой частью общего образования на всех ступенях школы. Обучение математике в основной школе направлено на достижение определенных целей в личностном, метапредметном и предметном направлении.

Одними из приоритетных целей личностного развития школьником обозначены:

- формирование представлений о математике как части общечеловеческой культуры, о значимости математики в развитии цивилизации и современного общества;

- развитие логического и критического мышления, культуры речи, способности к умственному эксперименту;

- развитие интереса к математическому творчеству и математических способностей [3, с. 3].

Сопоставляя выше обозначенные цели личностного развития школьников с содержанием программы, не совсем понятно, как метапредметное направление можно реализовать в учебном процессе без опоры на межпредметные связи математики с другими науками. Например, функции, особенно те, которые изучаются в школе, являются математическими моделями реальных процессов, и, в первую очередь, физических.

Решение проблемы мы видим в разработке гибких моделей проектирования образовательного процесса по математике с использованием проектно-исследовательской деятельности. Это потребует достаточно много времени, но, как показывает практика, усилия оправдывают себя, так как при этом решается ряд актуальных задач.

Место проектно-исследовательской деятельности в системе обучения можно изобразить схемой:

Учебная проектная деятельность обычно занимает несколько уроков. Учитель ставит задачу, а работу по отбору нужной информации, подбор методов исследования и анализ полученных данных проводят учащиеся. Основная работа над проектом осуществляется во внеурочное время, педагог выступает в роли консультанта.

Результаты исследовательской деятельности, выполненные в виде проектов, должны быть, что называется, «осязаемы»: теоретическая проблема требует конкретного решения, практическая - конкретного результата, готового к использованию на уроке, в школе, в реальной жизни.

Проектно-исследовательская деятельность в обучении обеспечивает возможности творческого участия обучаемых в процессе освоения новых знаний, способствует развитию познавательных интересов и творческого мышления, формирует высокую степень органичного усвоения знаний и мотивации учащихся.

Несомненно, школьные образовательные стандарты второго поколения требуют глубокого осмысления. В этой связи особенно актуально звучат слова Л.С. Выготского, что «правильно организованное обучение ребенка ведет за собой детское умственное развитие, вызывает к жизни целый ряд таких процессов развития, которые вне обучения вообще сделались бы невозможными. Обучение есть, таким образом, внутренне необходимый и всеобщий момент в процессе развития ребёнка...» [1].

Библиографический список

1. Выготский Л.С. Педагогическая психология / Под ред. В.В. Давыдова. М: Педагогика, 1991.

2. Мордкович А.Г. Алгебра. Учеб. для 7 кл. общеобразоват. шк. М.: Мнемозина, 1997.

3. Примерные программы по учебным предметам. Математика. 5-9 классы. М.: Просвещение, 2012.

4. Развитие познавательных интересов школьников в условиях модернизации математического образования. Современные проблемы школьного и вузовского математического образования: Тез.докл. XXIV Всерос. Семинара преподавателей математики ун-тов и педвузов /Под ред. А.Г. Мордковича. М.; Саратов: Ред.-изд. отдел Моск. гос. пед. ун-та. Изд-во Сарат. ун-та, 2005. С. 192-193.

МЕТАПРЕДМЕТНЫЕ ПОДХОДЫ К РЕШЕНИЮ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ. ЧАСТЬ I

О.Н. Тертухина, И.Г. Смирнова, С.В. Панова, В.М. Имайкин

В статье описаны некоторые метапредметные подходы к решению математических задач в старших классах общеобразовательной средней школы. Эти подходы обеспечивают ряд метапредметных результатов обучения, предусмотренных ФГОС второго поколения.

Ключевые слова: ФГОС, метапредметные результаты обучения, метапредмет «Задача», схема, мыслительное средство.

1. ФГОС и метапредметный подход

Проект ФГОС второго поколения [1] впервые, наряду с предметными, выделяет специальные метапредметные результаты обучения: «Стандарт устанавливает требования к результатам обучающихся, освоивших основную образовательную программу среднего (полного) общего образования: ...

метапредметным, включающим освоенные обучающимися межпредметные понятия и универсальные учебные действия (регулятивные, познавательные, коммуникативные), способность их использования в познавательной и социальной практике, самостоятельность в планировании и осуществлении учебной деятельности и организации учебного сотрудничества с педагогами и сверстниками, способность к построению индивидуальной образовательной траектории, владение навыками учебно-исследовательской, проектной и социальной деятельности; ... Метапредметные результаты освоения основной образовательной программы среднего (полного) общего образования должны отражать:

1) умение самостоятельно определять цели и составлять планы; самостоятельно осуществлять, контролировать и корректировать урочную и внеурочную (включая внешкольную) деятельность; использовать различные ресурсы для достижения целей; выбирать успешные стратегии в трудных ситуациях;

2) умение продуктивно общаться и взаимодействовать в процессе совместной деятельности, учитывать позиции другого, эффективно разрешать конфликты;

3) владение навыками познавательной, учебно-исследовательской и проектной деятельности, навыками разрешения проблем; способность и готовность к самостоятельному поиску методов решения практических задач, применению различных методов познания;

4) готовность и способность к самостоятельной информационно-познавательной деятельности, включая умение ориентироваться в различных источниках информации, критически оценивать и интерпретировать информацию, получаемую из различных источников;

5) умение ориентироваться в социально-политических и экономических событиях, оценивать их последствия;

6) умение самостоятельно оценивать и принимать решения, определяющие стратегию поведения, с учётом гражданских и нравственных ценностей;

7) владение языковыми средствами - умение ясно, логично и точно излагать свою точку зрения, использовать адекватные языковые средства;

8) владение навыками познавательной рефлексии как осознания совершаемых действий и мыслительных процессов, их результатов и оснований, границ своего знания и незнания, новых познавательных задач и средств их достижения.»

Сам проект стандарта был разработан с учетом результатов деятельности ряда российских научных педагогических школ, которые выдвинули и обосновали свои концепции метапредметного подхода в образовании. Обзор результатов этих школ не входит в задачу настоящей работы, отметим, что наш авторский коллектив представляет подход, разработанный Научно-исследовательским институтом инновационных стратегий разви-

тия общего образования (НИИ ИСРОО Департамента образования г. Москвы) под руководством профессора, доктора психологических наук Ю.В. Громыко. Наша концепция основана на выделении, описании и превращении в особые учебные предметы — метапредметы - специальных организованностей мышления и деятельности, которые устойчиво воспроизводятся в ходе развития человеческой культуры. К настоящему времени подробно разработаны, с выходом учебных пособий и методических материалов (в том числе видеоматериалов) четыре метапредмета, в частности, метапредмет «Задача» (освоение выработанных в культуре мыслительных средств решения задач на разном предметном материале), см. [2].

Апробация метапредметов успешно прошла во многих школах Москвы и других регионах России, опыт показал, что освоение полного цикла метапредметов к моменту завершения учащимися полного среднего образования обеспечивает достижение всех метапредметных результатов (1 -8), предусмотренных проектом стандарта.

В этой статье мы представляем результаты работы по проведению экспериментального курса в 11 классе Гимназии 1554 г. Москвы, в котором учащимися осваивались метапредметные подходы к решению задач по математике. Работа проводилась в рамках метапредмета «Задача» на материале математических задач. Мы с учащимися разбирали ряд специально подобранных математических задач, а затем выделяли и фиксировали те мыслительные и знаковые средства, при помощи которых удавалось справиться с задачей. Эти средства являются как межпредметными, т.е. ими можно будет воспользоваться при решении задач из другой предметной области, так и метапредметными в том смысле, что именно они должны быть освоены в качестве содержания данного метапредмета. Далее была выстроена определенная иерархия средств «относительно уровня задачи» и показано, что комплекс средств достаточно мощный, чтобы справляться с трудными математическими задачами, например, задачами олимпиадного уровня и задачами ЕГЭ раздела С, см. Части II и III.

В соответствии с базовой схемой метапредмета «Задача», см. [2], при решении предметной задачи запускаются четыре последовательно-параллельных процесса: понимание, моделирование, поиск/конструирование способа и реализация способа, а также выстраиваются требуемые «вертикальные» связи между этими процессами (например, моделирование может привести к необходимости углубить понимание условия вплоть до его переформулировки, модель может определить выбор способа, а неудача в реализации способа - привести к смене модели и т.п.), см. схему 1.

Схема 1. Базовая схема метапредмета «Задача».

Теперь заметим, что предметная задача появляется не изолированно, а в некотором контексте соответствующих предметных и межпредметных знаний, см. схему 2. В благоприятном случае решение оказывается в области знаний учащегося и он может его воспроизвести. Однако, как показывает практика, в случае более-менее сложной задачи «пройденные ранее знания» имеют статус блоков информации, а не средств решения данной конкретной задачи, см. пример ниже.

2. Пример выделения мыслительных средств решения задачи

Задача 1. Докажите, что в любой компании найдутся два человека, у которых имеется одинаковое число знакомых в этой компании.

2.1. Начало работы с задачей. Понимание и моделирование. Переформулировка

В соответствии с базовой схемой 1, начнем с понимания условия. Для этого понаблюдаем за возможно более маленькими компаниями и попробуем осознать, что от нас требуется.

Какова самая маленькая компания? Вопрос задачи предполагает, что в ней есть хотя бы два человека, поэтому будем считать, что минимальная компания состоит из двух человек.

В этом случае нетрудно перебрать все возможные случаи, сколько знакомых может быть у каждого в такой компании. Правда, возникает вопрос, считается ли человек знакомым с самим собой. Поскольку категорически ответить на этот вопрос вряд ли возможно, попробуем и здесь разобрать все возможные варианты. Изобразим ситуацию наглядно, обозначая человека точками, а знакомство стрелочками, т.е. если первый человек знаком со вторым, то от первого ко второму идет стрелочка, и наоборот (в случае знакомства с самим собой круглая стрелка замыкается).

Схема 2. Задача в контексте знаний.

Замечание: как только мы начинаем изображать людей точками, а знакомство стрелочкой, мы запускаем второй процесс базовой схемы - моделирование; под моделью понимается знаковое или материальное замещение реального объекта (в данном случае вводится знаковое замещение), схватывающее идеальное содержание (в данном случае мы в нашем изображении пытаемся фиксировать идею знакомства).

Можно изобразить на рисунке все возможные ситуации и зафиксировать результаты; здесь мы ограничимся рассмотрением пяти из шестнадцати возможных случаев.

В первом случае у каждого по ноль знакомых, в третьем случае у каждого по одному знакомому (каждый знаком с другим, но не знает себя); во втором случае у первого один знакомый, а у второго ноль; в четвертом случае у первого два знакомых (знает себя и второго), а у второго один знакомый (знает себя, но не знает первого). Наконец, в пятом случае у первого один знакомый (знает только себя), а у второго ноль знакомых (никого не знает).

Мы видим, что утверждение задачи верно в первом и третьем случаях, но неверно во втором, четвертом и пятом случаях! С чем это связано?

По случаям 2 и 4 видно, что утверждение задачи неверно, если мы допускаем возможность, что первый человек знаком со вторым, но второй не знаком с первым. Для уточнения математической постановки задачи необходимо постулировать свойство симметричности знакомства: если А знаком с В, то и В знаком с А (это также соответствует житейскому представлению о знакомстве, что однако не может быть решающим аргументом - решающий аргумент такой: если допустить несимметричное отношение знакомства, то есть примеры, в которых утверждение задачи неверно, т.е. задача «погибает»). Тогда на модели знакомство можно изображать просто отрезком без стрелочки.

По случаю 5 видно, что утверждение задачи неверно, если мы допускаем возможность, что один человек знаком сам с собой, а другой - нет. Для уточнения математической постановки задачи необходимо постулиро-

вать либо, что каждый человек знаком сам с собой, либо что каждый человек не знаком сам с собой. Но тогда видно, что утверждение задачи не зависит от того, какое именно соглашение мы примем. Договоримся, что каждый человек не знаком сам с собой, чтобы на модели рисовать меньше линий.

Тогда для компании из двух человек остается всего две возможные ситуации:

Мы видим, что утверждение задачи выполняется: у каждого из двух человек одинаковое число знакомых в данной компании.

Итак, можно предположить, что нам удастся решить задачу в общем виде, если переформулировать ее более точно.

Переформулировка 1 задачи 1. Имеется компания из нескольких человек, некоторые из них могут быть знакомы между собой. Знакомство симметрично, т.е. если А знаком с Б, то и Б знаком с А. Каждый человек считается не знакомым сам с собой. Докажите, что в этой компании найдутся два человека, у которых в ней одинаковое число знакомых.

Проведем рефлексивный анализ пройденного этапа решения задачи. Начав работу по пониманию условия, мы практически сразу же запустили следующий процесс базовой схемы -моделирование. Моделирование привело к углублению понимания задачи и, в конечном счете, к переформулировке условия.

Этот такт работы можно представить следующей схемой:

Схема 3. Понимание-моделирование-переформулировка

2.2. Варианты дальнейшего движения. Подход с разных уровней

Вариант I. Мы можем продолжать изучать простые случаи маленьких компаний. Для компании из трех человек изобразим все 8 возможных ситуаций (подробности опускаем) и увидим, что утверждение задачи вер-

но: в каждой ситуации найдутся два человека, у которых одинаковое число знакомых в этой компании из трех человек.

Однако незаметно, как перебор случаев в маленькой компании может вывести к решению в общем случае - для компании с произвольным количеством человек.

Мы занимались наблюдением простых частных случаев, выдвижением и обоснованием/опровержением гипотез, накапливая некоторые знания и подходы к окончательному решению задачи. По типу деятельности это элементы исследования, которое подводит нас к осознанию задачи как бы «снизу». Соответствующая схема:

Схема 4. Движение снизу

Вариант II. Поскольку мы уже начали моделирование описанной в задаче ситуации, можем попытаться еще раз переформулировать условие задачи, уже только в терминах нашей модели.

Переформулировка 2 задачи 1. На плоскости имеется несколько точек, некоторые из них соединены между собой отрезками. Докажите, что найдутся две точки, из которых выходит одинаковое количество отрезков.

Учащиеся могут почувствовать, что при такой строго математической формулировке задачи они близки к тому, чтобы найти решение. Однако им может не хватить некоторого знания, а также умения осуществлять некоторые мыслительные действия (операции).

Математическое основание, на котором строится решение задачи, -это так называемый принцип Дирихле. Его по традиции формулируют в терминах «клеток и кроликов».

Принцип Дирихле: несколько кроликов рассажены по клеткам, причем число клеток меньше числа кроликов. Тогда найдется хотя бы одна клетка, в которой содержится не менее двух кроликов.

Как уже упоминалось, даже имея информацию о принципе Дирихле, учащиеся могут не справиться с задачей, если не умеют осуществлять определенное мыслительное действие: в ситуации конкретной задачи сконструировать «кроликов» и «клетки», чтобы можно было применить принцип Дирихле.

Опишем, как в данном случае выполняется конструирование. Пусть имеется N точек. В принципе, из каждой точки может выходить 0, 1,2, ... , N-1 отрезков, т.е. вроде бы всего N возможностей. Но заметим, что если из какой-то точки выходит 0 отрезков (т.е. она не соединена ни с одной точкой), то ни из какой другой точки не может выходить N-1 отрезков (т.е. она не может быть соединена со всеми остальными). Поэтому получается, что на самом деле разных значений количеств выходящих отрезков не более N-1. Эти разные значения и есть «клетки», а сами точки - «кролики». «Посадить кролика в клетку» - значит приписать точке значение, сколько из нее выходит отрезков. По принципу Дирихле хотя бы в одной клетке не менее двух кроликов, т.е. одно и то же значение будет приписано не менее, чем двум точкам. Значит, из них выходит одинаковое количество отрезков.

Этот пример показывает, что владение информацией (в данном случае - о принципе Дирихле) еще не означает владение знанием как средством решения задачи. Чтобы владеть знанием как средством, необходимо еще уметь осуществлять специальную мыслительную операцию (в данном случае -операцию математического конструирования «клеток» и «кроликов» в ситуации конкретной задачи). См. схему 5:

Схема 5. Знание как средство

Одной из главных целей нашего курса было снабдить учащихся такими подходами, которые позволяют подходить к задачам главным образом не снизу (хотя иногда это неизбежно), а по возможности с уровня, адекватного сложности задачи (назовем это «движением на уровне») и, если возможно, «сверху». В нашем примере владение принципом Дирихле есть подход сверху, поскольку принцип можно применять к очень широкому классу задач, а конструирование «клеток» и «кроликов» для конкретной задачи есть движение на уровне. См. следующую схему:

Схема 6. Движение сверху и на уровне

Библиографический список

1. Министерство образования и науки Российской Федерации. Проект: ФЕДЕРАЛЬНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ СТАНДАРТ ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ. Среднее (полное) общее образование. Проект стандарта разработан Институтом стратегических исследований в образовании Российской академии образования. Руководители разработки проекта: Кезина Л.П., академик РАО; Кондаков А.М., научный руководитель ИСИО РАО, член-корреспондент РАО. М., 2011.

2. Устиловская А.А. Метапредмет «Задача»: учебное пособие для педагогов - М.: НИИ Инновационных стратегий развития общего образования, Пушкинский институт, 2011. 272 с: ил. (Серия «Мыследеятельностная педагогика»).

МЕТАПРЕДМЕТНЫЕ ПОДХОДЫ К РЕШЕНИЮ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ. ЧАСТЬ II

О.Н. Тертухина, И.Г. Смирнова, С.В. Панова, В.М. Имайкин

Продолжаем описание некоторых метапредметных подходов к решению математических задач в старших классах общеобразовательной средней школы.

Ключевые слова: конструирование, понятие, категория, структура, процесс, принцип жесткости.

В этой и следующей частях мы рассмотрим ряд задач уже в строгой математической постановке. Поэтому не будем специально заниматься вопросами понимания и моделирования, а сосредоточимся на поиске способа решения и реализации способа.

3. Конструирование

Остановимся более подробно на математическом конструировании. С одной стороны, в школьном курсе математики (за исключением, возможно, профильных классов) не уделяется специального внимания математическому конструированию. С другой стороны, математикам хорошо известно, что оно является одним из основных способов получения математических результатов - сложнейшие математические проблемы разре-

шаются созданием соответствующих, часто очень сложных (как в случае обоснования Г. Перельманом гипотезы Пуанкаре) конструкций. Здесь уместно провести аналогию с инженерным конструированием и отметить два важных этапа: во-первых, математическую конструкцию, как и инженерную, надо сначала создать (придумать, изобрести) и убедиться, что она работает. Во-вторых, когда конструкция создана, ее можно совершенствовать, чтобы с помощью усовершенствованной конструкции получать более сильные или тонкие результаты.

Поясним эту идею на простом примере.

Задача 2. Докажите, что для любого натурального числа N найдется N последовательных составных натуральных чисел.

Решение. Рассмотрим число (N+1)! = 1-2-3* ... ■ N-(N+1) и N последовательных натуральных чисел (N+1)! + 2, (N+1)! + 3, (N+1)! + 4, ... , (N+l)!+ (N+1). Все эти числа составные, так как первое из них делится на 2, второе - на 3, третье - на 4, ... и последнее - на (N+1).

Мы видим, что задача действительно решена при помощи конструирования, в процессе решения сконструированы и предъявлены числа с требуемыми в задаче свойствами. Сама конструкция очень простая, назовем ее конструкция 1.

Теперь поставим вопрос, насколько совершенна эта конструкция?

Найдем с ее помощью, например, 5 последовательных составных чисел. (5+1)!=6!=720, и мы получаем числа 722, 723, 724, 725, 726. Однако, наблюдая начало натурального ряда, мы видим, что пять последовательных составных чисел встречаются гораздо раньше, впервые это 24, 25, 26, 27, 28. Итак, наша конструкция 1 далека от совершенства - она «ловит» последовательные составные числа далеко в натуральном ряду, тогда как на самом деле они встречаются гораздо ближе.

Попытаемся усовершенствовать конструкцию 1 (для пяти чисел). Она имеет вид Х+2, Х+3, Х+4, Х+5, Х+6, где Х=2-3-4-5*6. Заметим, что X содержит множитель 2, значит, числа Х+4 и Х+6 будут четными, а значит, составными. Поэтому множители 4 и 6 не нужны! Убрать множитель 3 или 5 у нас нет оснований, иначе не видно, окажутся ли составными числа Х+3 и Х+5. Итак, можно взять Х=2-3*5=30, и мы получим числа 32, 33, 34, 35, 36. Это снова не первые пять последовательных составных чисел, хотя гораздо ближе к ним, чем исходные. Далее нетрудно сообразить, что можно взять числа Х-2, Х-3, Х-4, Х-5, Х-6 и это действительно первые пять последовательных составных чисел. Мы усовершенствовали нашу конструкцию.

Отметим, что учащиеся могут преодолеть трудности решения ряда достаточно сложных математических задач, если показывать им, что в определенном месте процесса решения необходимо создать конструкцию с требуемыми свойствами.

4. Работа с понятием

Следующим средством, позволяющим приближаться к задаче на уровне и сверху, будет для нас более тщательная работа с математическими понятиями. Для примера вернемся к задаче о знакомствах. Привлечем для решения задачи понятие функции. А именно, рассмотрим функцию, которая человеку ставит в соответствие количество его знакомых в этой компании. В терминах функций задача формулируется следующим образом:

Переформулировка 3 задачи 1. Докажите, что описанная функция принимает два одинаковых значения.

Задание. Решите задачу в этой формулировке (Указание: это можно сделать вновь при помощи принципа Дирихле; опишите конструкцию клеток и кроликов).

Можно заметить, что уровень, с которого мы подходим к задаче (снизу, на уровне, сверху), зависит от уровня того математического понятия, которое мы используем при решении задачи. Так, если задачу о знакомствах рассматривать как задачу о числах, т.е. базироваться на понятии числа, мы начинаем движение к задаче снизу. Если же использовать понятие функции, которое является понятием более высокого уровня по отношению к понятию числа, мы оказываемся на уровне, адекватном сложности задачи.

Соответствующая схема:

Схема 7. Переход к понятию более высокого уровня

Заметим, что другим понятием, адекватным сложности задачи, является понятие отношения (которое не входит в школьную программу, за исключением программы профильных физико-математических классов).

5. Категории

Категории (см. [1]) как наиболее общие формы организации мышления могут служить еще одним мощным средством для подхода к задаче сверху. Это как бы специальные «очки», через которые мы смотрим на задачу, и, в зависимости от выбранных «очков», видим в задаче разные организованности. Кроме того, привлекаем к решению задачи ряд средств, характерных для данной категории. См. следующую схему:

Схема 8. Подход к задаче с точки зрения категории

В ходе изучения школьного курса математики тщательно отрабатывается (как правило, без специальной фиксации внимания) категориальная пара часть-целое. К решению достаточно сложных геометрических задач можно привлечь более развитые категории структуры и процесса.

5.1. Применение категории структуры

Структура - это совокупность элементов, между которыми существуют определенные связи или отношения. Природа элементов может быть различной, одна структура может объединять разнородные элементы. Связи или отношения имеют иную природу, чем элементы. Это очень упрощенное, но достаточное для наших целей описание. Более подробно см. [1], стр. 171-172, а также стр. 249 и далее.

При структурном подходе к геометрическим задачам мы рассматриваем условие задачи как описание некоторой структуры, элементами которой являются простейшие геометрические объекты - точки, отрезки, прямые, лучи, углы, окружности и их дуги (ограничимся планиметрией) со своими характеристиками или параметрами, которые выражаются числами. Например, характеристикой отрезка является его длина, характеристикой угла - его угловая мера, характеристикой окружности - ее радиус, характеристиками дуги - ее радиус и угловой размер и т.п. Связями же являются алгебраические (в широком смысле) соотношения между характеристиками элементов. Например, в случае равнобедренного треугольника имеется связь - равенство двух сторон (эта связь определяет сам объект «прямоугольный треугольник»), а также вытекающая из него связь - равенство соответствующих углов. Таким образом, природа элементов и связей действительно разная: элементы - это геометрические объекты со

своими числовыми характеристиками, а связи - алгебраические соотношения между характеристиками объектов.

Структурный подход можно применить к широкому классу геометрических задач, в которых часть характеристик и связей задана в условии, а неизвестные характеристики и связи требуется найти.

Структурный подход является обобщенным способом (про обобщенный способ см. [2]) решения указанного класса задач по двум причинам. Во-первых, привлечение категории структуры позволяет фиксировать тип анализа, а именно, анализ характеристик элементов и анализ связей структуры. Во-вторых, категория вообще ведет за собой ряд операций, естественных для данной категории. Эти операции, обращенные на предметный материал, становятся практическим способом решения предметных задач.

В частности, категория структуры предполагает две обратные друг к другу операции. Выделить в исходной структуре «меньшую структуру», которая, таким образом, является подструктурой исходной структуры. И наоборот, исходную структуру включить в большую структуру в качестве подструктуры.

Рассмотрим сначала первую операцию. Предполагается, что к моменту введения данной категории учащимися освоен разнообразный геометрический материал. Результаты можно представить в виде большого набора стандартных структур, в которых все или важнейшие связи между элементами известны, или известно, как одни связи выражаются через другие.

Примеры: прямоугольный треугольник; связь - равенство одного угла прямому - влечет связь сторон, выраженную теоремой Пифагора, и наоборот. Вписанный угол; равен половине центрального угла дуги, на которую он опирается, и т.п. С точки зрения структурного подхода можно интерпретировать практически все факты, изученные до этого учащимися.

Соответственно, первое, с чего начинается практическое обучение, -это в структуре, описанной условием задачи, найти и зафиксировать подструктуры (стандартные структуры), связи между элементами которых известны. Отметим, что это не столько овладение новым навыком, которым дети в принципе должны обладать после изучения курса планиметрии, сколько рефлексивное осмысление его и фиксация результата в структурных терминах. Это рефлексивное осмысление осуществляется путем выполнения ряда специальных заданий. Детям предъявляется стандартная конфигурация, по поводу которой обсуждается ряд вопросов: знакома ли вам эта конфигурация, что вы про нее знаете, опишите ее в структурных терминах - назовите элементы и связи; какие связи в данной структуре известны; можете ли вы выделить эту структуру в качестве подструктуры в более сложных случаях, осуществите это практически и т.п.

Часто уже этот прием позволяет довести исходную предметную задачу до решения.

Задача 3. (из подготовительных заданий ЕГЭ 2010). В треугольнике ABC проведены биссектрисы AM и ВК, которые пересекаются в точке О. АО:ОМ=2:1, АК=2, КС=3. Найти периметр треугольника ABC, рис. 1.

Рис. 1

Стандартной структурой, которую в качестве подструктуры надо увидеть в структуре, описанной в условии задачи, является треугольник с проведенной в нем биссектрисой. Связи в этой стандартной структуре выражаются при помощи теоремы о биссектрисе: биссектриса делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилегающим сторонам. В данной задаче эту стандартную структуру надо увидеть три раза и записать соответствующие соотношения. Обозначим: ВМ=х, МС=у, AB=z.

Треугольник АВМ с биссектрисой ВО. AO:OM=AB:BM=z:x.

Треугольник ABC с биссектрисой ВК. AK:KC=AB:BC=z:(x+y).

Треугольник CAB с биссектрисой AM. СМ:МВ=АС:АВ.

Отношения АО:ОМ и АК:КС известны, АО:ОМ=2:1, АК:КС=2:3. В третьем уравнении имеем СМ:МВ=у:х, AC:AB=5:z.

В итоге получаем замкнутую систему уравнений: z:x=2:l, z:(x+y)= 2:3, y:x=5:z. Решив эту систему, находим х, у, z, а значит, и искомый периметр треугольника.

Замечание. Это решение иллюстрирует один из стандартных способов действия при структурном подходе: если неизвестные связи образуют замкнутую систему уравнений, то задача сводится к алгебраической.

Теперь рассмотрим пример на включение описанной в задаче структуры в более широкую структуру. Для геометрических задач это фактически означает дополнительное построение. Способ работает, поскольку в более широкой структуре может оказаться больше известных связей.

Задача 4. (из подготовительных заданий ЕГЭ 2010). Дан параллелограмм ABCD. BF - биссектриса угла ABC, точка F лежит на стороне AD, Т - точка пересечения прямой BF и продолжения стороны CD. BF=12, FT=18, ВС=20. Найти периметр треугольника ABF, рис. 2.

Рис. 2.

Решим задачу включением описанной структуры в объемлющую структуру - параллелограмм AiBCT. В нем диагональ ВТ является биссектрисой угла В, рис. 3.

Рис. 3

Далее привлекается знание о стандартной структуре: параллелограмм, в котором диагональ является биссектрисой, есть ромб. Значит, в нашей новой структуре есть много известных связей: AjB = ВС = CT = AjT = AD = 20. Наконец, выделим стандартную подструктуру - подобные треугольники ABF и DFT - и найдем AF, AB и DT, что приведет к решению задачи.

Замечание. Задачу 4 можно решить и предыдущим способом - выделением стандартной подструктуры внутри исходной.

5.2. Принцип жесткости

Если рассматривать применение категории структуры как обобщенный способ решения задач, то эвристический принцип жесткости может служить практическим средством реализации этого способа. Этот принцип можно сформулировать следующим образом: если геометрическая конфигурация задается некоторым набором характеристик (параметров) жестко, без возможности деформации, то (в принципе) все остальные характеристики фигуры можно выразить через эти исходные характеристики.

Так, признаки равенства треугольников фиксируют наборы параметров, которыми треугольник задается жестко. Например, треугольник задан жестко, если заданы две его стороны и угол между ними. Значит, остальные характеристики можно выразить через исходные. Действительно, третью сторону можно найти по теореме косинусов, а остальные два угла - по теореме синусов. Аналогично, треугольник жестко задается стороной и двумя прилежащими к ней углами, а также тремя сторонами.

Для освоения принципа жесткости учащиеся проводятся через ряд упражнений, в которых они учатся определять, жестко ли задана фигура набором характеристик. Если нет, указывают на ее возможные деформации, если да, то пытаются выразить остальные характеристики через исходные. Для детей, получивших определенный опыт такой работы, принцип жесткости приобретает в том числе и психологическое значение: они перестают «бояться» задачи, если начинают видеть, что фигура жестко задана своими связями.

Замечание. Может показаться, что, в отличие от принципа Дирихле -простой математической теоремы - принцип жесткости имеет другой статус - некоторого эвристического указания. На самом деле его тоже можно сформулировать в виде строгой математической теоремы: если ряд параметров фигуры задает ее однозначно с точностью до движения, то остальные параметры фигуры являются функциями исходных. Эвристичность остается только в следующем смысле: сможем ли мы найти явные достаточно простые формулы для выражения неизвестных параметров через исходные - в сложных случаях это может не получиться.

Если принцип жесткости непосредственно не может быть применен, то, с одной стороны, есть способы, как подвести задачу под него. С другой стороны, это может служить косвенным указанием на то, что на задачу надо смотреть с точки зрения категории процесса. См. примеры, разобранные в части III.

Библиографический список

1. Щедровицкий Г.П. Избранные труды. М., 1995.

2. Устиловская А.А. Метапредмет «Задача»: учебное пособие для педагогов. М.: НИИ Инновационных стратегий развития общего образования, Пушкинский институт, 2011. 272 с: ил. (Серия «Мыследеятельностная педагогика»).

МЕТАПРЕДМЕТНЫЕ ПОДХОДЫ К РЕШЕНИЮ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ. ЧАСТЬ III

О.Н. Тертухина, И.Г. Смирнова, С.В. Панова, В.М. Имайкин

Завершаем описание некоторых метапредметных подходов к решению математических задач в старших классах общеобразовательной средней школы.

Ключевые слова: процесс, инвариант, язык, сводная схема.

5.3. Пример применения принципа жесткости

Рассмотрим следующую геометрическую задачу (она была предложена на одной из московских математических олимпиад и оказалась достаточно трудной для участников).

Задача 5. Хорда AB разделяет окружность на два сегмента. Сегменты окружности разъединяются поворотом на некоторый угол относительно точки В, так что точка А разделяется на две: Ai и А2. Точка M - середина отрезка AjA2, точки К и Р - середины дуг AjB и А2В соответственно. Докажите, что треугольник КМР - прямоугольный (См. рис. 4.).

Рис. 4

Решение 1 задачи 5. Используем структурный подход. На первый взгляд, описанная в задаче структура задана не жестко, поскольку вообще не даны никакие характеристики: радиус окружности, угол поворота, стороны треугольников. Однако, если мы сами введем ряд характеристик, то структура может оказаться жесткой, т.е. мы подведем задачу под принцип жесткости и сможем проделать необходимые вычисления.

Проведем отрезок MB, который является медианой (по построению), а значит, высотой и биссектрисой равнобедренного треугольника А1А2В. Введем величины углов: А2ВМ = а, ВА2Р = ß. Тогда углы AiBM и BAjK равны соответственно а и к/2 - ß (см. рис. 5).

Рис. 5

Введем также полезный принцип выбора единиц: если единица измерения явно не задана в задаче, ее можно выбрать произвольно (например, наиболее удобной для решения задачи).

В нашем случае для упрощения вычислений удобно будет считать А2В = А]В = 1. Способ решения заключается в том, чтобы по введенным данным вычислить углы BMP и ВМК и проверить, что их сумма равна 7г/2.

Применим принцип жесткости для реализации этого способа. Заметим, что если нам удастся выразить угол BMP через заданные величины

А2В=1, < А2ВМ = а, < РА2В = ß, то совершенно аналогичным вычислением мы найдем угол ВМК, заменив значение ß на к/2 - ß. Значит, достаточно рассмотреть только часть конфигурации над отрезком MB, рис. 6.

Рис. 6

Также заметим, что поскольку Р - середина дуги А2РВ, то А2Р = PB. Проанализируем эту конфигурацию на жесткость. Прямоугольный треугольник А2ВМ с гипотенузой 1 и острым углом а задан жестко. К нему -к гипотенузе - прикладывается равнобедренный треугольник с основанием 1 и углом при основании ß, этот треугольник тоже задан жестко. Значит, вся конфигурация задана жестко и, в принципе, угол BMP можно найти. Заметим, что сама дуга А2РВ не будет участвовать в вычислениях, и ее можно удалить из рассмотрения, рис. 7.

Рис. 7

Этот способ был реализован в классе; он включает довольно сложные вычисления и тригонометрические преобразования. Кроме того, учащиеся предложили другой способ решения: воспользоваться обратной теоремой Пифагора - проверить для треугольника КМР, что КМ + MP = KP , рис. 5. Действительно, принцип жесткости показывает, что длины KM, MP

и KP можно выразить через введенные параметры; потребуется снова проделать довольно сложные вычисления.

5.4. Применение категории процесса

Категория процесса предполагает, что идет время, и мы имеем ряд состояний, изменяющихся с течением времени, см. следующую схему:

Схема 9. Процесс

Категория процесса очень развитая. В определенном смысле она мощнее категории структуры, в частности, потому, что состояниями процесса в разные моменты времени могут быть структуры, как видно из примера ниже. Кроме того, характеристики процессов, в отличие от характеристик элементов структуры, являются переменными во времени величинами. Математически это могут быть функции на действительной числовой оси - этот материал изучается школьниками старших классов.

Имеется очень богатый набор задач о процессах: мониторинг и протоколирование, управление, оптимизация, прогнозирование и т.п.

С процессами связано много понятий, отметим, например, понятие инварианта процесса, т.е. такой характеристики, которая с течением времени не изменяется, остается постоянной.

Некоторые математические задачи могут сразу оказаться задачами о процессах (типичный пример - задачи на движение), при решении других задач процесс надо сначала увидеть или специально организовать.

Для примера вернемся к задаче 5. Заметим, что предыдущее решение, основанное на структурном подходе, требует громоздких вычислений; кроме того, необходимо отдельно проанализировать исключительные случаи, когда конфигурация не имеет вида, изображенного на рис. 5 - например, когда дуга повернута на 180°. Попробуем увидеть в задаче описание процесса.

Поскольку угол, на который повернута хорда AB, явно не задан, предполагается, что утверждение задачи должно быть верно при любом значении угла поворота. Можно представить себе это так: сегмент круга А2РВ вращается вокруг точки В. Таким образом возникает процесс вращательного движения. Его состояниями является набор положений, в каждый момент времени, тех точек, которые нас интересуют при решении данной задачи. Чтобы решить задачу, нам важно знать положение точек

Аь A2, К, M, P, В. Точки Ai, К, В остаются неподвижными, т.е. их положения являются инвариантами этого процесса. Точка А2 вращается по окружности радиуса 1 (если воспользоваться теми единицами, которые мы вводили) вокруг точки В, точка Р вращается по окружности радиуса PB вокруг точки В, точка M тоже движется, поэтому состоянием процесса в каждый момент времени t можно считать набор (A2(t), P(t), M(t)).

Задание. Как движется точка M при указанном вращении?

Теперь наша задача о процессе заключается в том, чтобы доказать, что угол KM(t)P(t) в каждый момент времени t равен к/2. В частности, он не меняется, т.е. является инвариантом нашего процесса вращения.

6. Языки

Знание математических языков - еще одно эффективное средство смотреть на задачи «сверху». В школьном курсе математики, в принципе, используются три языка: геометрический, аналитический (координатный) и векторный. Задача может быть поставлена в одном языке, а удобно решаться - в другом. На уровне, адекватном задаче, возникает операция перевода с одного языка на другой, см. следующую схему:

Схема 10. Использование языков

Возвращаясь к нашей задаче 5, отметим, что движение удобно записывать в координатном и векторном языках, т.е. мы воспользуемся даже не одним языком, а комбинацией двух. Введем также полезный принцип выбора системы координат: систему координат следует выбирать наиболее удобным для решения задачи способом. Даже если система координат исходно была задана, мы не обязаны ею пользоваться.

В нашей задаче удобно перевернуть чертеж симметрично относительно вертикали и ввести систему координат с началом в точке В так, что ось ОХ направлена вдоль ВА, где А первоначальная точка, до разделения ее на А] и А2. Кроме того, вспомним, что сами дуги окружности не участвовали в решении задачи. Теперь переформулируем ее так:

Переформулировка 1 задачи 5. Даны два равнобедренных треугольника ВРА и ВАК с общим основанием В А = 1, причем угол РВК -

прямой. Треугольник BP А вращают вокруг точки В. Пусть Ai - исходное положение точки А, А2 - ее положение в результате поворота, M - середина отрезка AiA2. Докажите, используя векторный и координатный языки, что угол РМК всегда остается прямым, см. рис. 8 и 9.

Рис. 8

Рис. 9

Теперь становится понятным, почему мы именно так располагали чертеж и выбирали систему координат - очень легко найти координаты точки А2: если поворот произведен на угол t, то они равны (cos t; sin t). Координаты точки Ai равны (1; 0). Координаты точки M вычисляются по формулам координат середины отрезка: M((cos t + 1)/2; Vi sin t). Способ решения - вычислить координаты векторов MP и КМ и проверить, что их скалярное произведение равно 0, тогда эти векторы будут перпендикулярны.

Напомним, что мы ввели величины углов РВА2 = a, KBAi = ß = n/2 -а. Координаты неподвижной точки К равны (1/2; -1/2 tg ß), значит, координаты вектора КМ равны

Следующая важная часть задачи - найти координаты точки Р в результате поворота на угол t. Для этого надо знать, как решать такую задачу: даны координаты точки и угол поворота; найти координаты точки, полученной в результате поворота исходной точки вокруг начала координат. Эта задача изучается в школьном курсе математики в разделе тригонометрических формул сложения углов, поэтому не будем здесь ее рассматривать, воспользуемся ответом. Исходные координаты точки Р: (1/2; Vi tg а). Координаты точки Р после поворота:

Скалярное произведение векторов КМ и MP равно

Преимущества этого решения следующие: во-первых, не надо разбирать исключительные случаи - решение годится для любого угла поворота; во-вторых, вычисления стали менее громоздкими за счет того, что мы воспользовались результатом стандартной задачи о нахождении результата поворота точки вокруг начала координат.

Для учащихся профильных классов можно предложить такое интересное задание: решить задачу, записав вращательное движение на языке комплексных чисел.

7. Сводная схема метапредметных подходов

В заключение приведем сводную схему метапредметных подходов к решению математических задач. Ряд позиций на схеме указаны в залоге: тип деятельности/результат.

Схема 11. Метапредметные подходы к решению математических задач

Отметим, что в таком виде схема приобретает межпредметный характер, поскольку из нее исчезла специфика математического материала. Например, структурный подход был апробирован на материале физических задач на расчет электрических цепей с установившимся режимом (включая задания ЕГЭ по физике).

РАЗВИТИЕ ПОЗНАВАТЕЛЬНОЙ САМОСТОЯТЕЛЬНОСТИ СТУДЕНТОВ ПРИ ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ

Е.Н. Лыков

В статье рассмотрены компоненты познавательной самостоятельности студентов, а также обозначена главная задача её развития.

Ключевые слова: познавательная самостоятельность студентов, информационные технологии, главная задача развития познавательной самостоятельности.

При обучении математике студентов большую роль играет развитие их познавательной самостоятельности. Эта проблема не новая, но в современном обществе она набирает новые обороты и её необходимо решать.

Следует отметить три основных компонента познавательной самостоятельности.

1. Мотивационный компонент.

Мотив - это внутренний стимул к действию, осознанное побуждение для определённого вида действия. Мотивационный компонент познавательной самостоятельности характеризуется побуждением к деятельности, которое возникает на основе осознания противоречия между возникшей познавательной потребностью и возможностью её удовлетворения своими силами. Он включает мотивы долга и интереса.

Для развития интереса студентам необходимо на занятиях давать различные задачи на практическое содержание, а также задачи, которые имеют оригинальные решения.

2. Содержательно-операционный компонент.

Этот компонент познавательной самостоятельности студентов включает в себя систему ведущих знаний и способов учебно-познавательной деятельности, которые определяют умение самостоятельно овладевать новыми знаниями и способами деятельности.

Студенты должны уметь планировать свою деятельность, рационально её организовывать, определять пути и средства выполнения работы, осуществлять самоконтроль, организовывать её достижение и т.д.

3. Волевой компонент.

Самостоятельное продвижение в познании даже при наличии стремления к овладению знаниями и чёткой организации работы может не произойти, если обучаемый не совершит определённого волевого усилия. Поэтому волевой компонент, в основе которого лежит готовность к совершению волевого усилия по преодолению познавательного затруднения и её реализация в деятельности, также является неотъемлемой частью познавательной самостоятельности.

Одним из факторов развития познавательной самостоятельности студентов при обучении математическим дисциплинам являются современные информационные технологии. Их применение способствует усвоению и закреплению знаний, а также формированию умений самостоятельного поиска знаний и использованию их в профессиональной деятельности.

Основной задачей использования информационных технологий в образовательном процессе является приведение в движение механизмов познавательной деятельности и ценностных ориентаций на познавательную самостоятельность.

В университетском образовании наработан целый комплекс информационных средств и методик обучения, среди которых: методика обучения с использованием компьютеров, методика обучения на основе Интернет-технологий и др. Особую популярность в сфере обучения получили Web-технологии, к основным достоинствам которых относят: возможность выделения большого времени для работы со студентами на индивидуальных и мелкогрупповых занятиях, обеспечение улучшения качества учебно-методических материалов.

Одним из Web-технологий является Веб-квест. Quest в переводе с английского означает продолжительный целенаправленный поиск, который может быть связан с приключениями или игрой. Веб-квест (web quest) в педагогике - проблемное задание с элементами ролевой игры, для выполнения которого используются информационные ресурсы Интернета.

Для создания качественного веб-квеста потребуется не мало дополнительных усилий от преподавателя. Однако это стимулирует развитие у студентов интереса к предмету. При выполнении домашнего задания в виде веб-квеста студенту необходимо использовать дополнительные источники знаний, которые часто дополнены интересными иллюстрациями, графиками, чертежами. Иногда в процессе выполнения задания находятся оригинальные решения той или иной задачи, а также некоторые исторические сведения. Всё это вовлекает студента в исследовательский процесс, и качество обучения выходит на более высокий уровень.

Современные информационные технологии можно назвать неким «лекарством» для современного образования. Однако, как и любым другим лекарством не стоит злоупотреблять. Необходимо помнить, что есть и другие составляющие развития познавательной самостоятельности студентов,

например студенческие научные общества, где студенты общаются между собой и с преподавателем «в живую». А такое общение иногда даёт больший эффект чем компьютерные инновации. Или, например, летние математические школы, где студенты изучают не только науку, но и приобретают необходимые для жизни культурные ценности.

3 июня 2010 года не стало одного из самых выдающихся математиков современности — академика Владимира Игоревича Арнольда.

Вот как рассказывает директор Московского центра непрерывного математического образования И.В. Ященко: «Моего математического уровня не хватит, чтобы оценить его величие как математика. Но я мог бы сказать про его влияние на математику и общество, на математическое образование, на нас всех. Оно, в первую очередь, определялось тем, что он любил математику. И его любви хватало на всех, кто вокруг. Он в первую очередь не рассказывал о математике, не учил математике, а заражал своей любовью к математике, делился своей любовью. Главное во всех его выступлениях, рассказах, статьях - это любовь и посыл к собственному исследованию».

Владимир Игоревич каждое лето выезжал на две недели в пансионат Института ядерных исследований под Дубной, работал со школьниками и студентами первого-второго курсов. Читал им лекции и, что самое главное, просто беседовал на берегу Волги, формулировал задачки, рассказывал про математику и заражал ребят своей любовью к науке.

В связи с выше сказанным хочется отметить, что главной и основополагающей задачей развития познавательной самостоятельности студентов при обучении математике является воспитание чувства любви к данной науке. Это очень сложная задача, но необходимо стараться разнообразить занятия со студентами, привить им потребность в самостоятельной работе над покорением вершин математических знаний.

Библиографический список

1. Быховский Я.С. Образовательные веб-квесты // Материалы международной конференции «Информационные технологии в образовании. ИТО-99». - http://www.bitpro.ru/ito/1999

2. Садова В.А. Современные информационные технологии как фактор развития познавательной самостоятельности студентов университета // Вестник ОГУ №9 (115) сентябрь 2010.

3. Саранцев Г.И. Формирование познавательной самостоятельности студентов педвузов в процессе изучения математических дисциплин и методики преподавания математики. Саранск: МГПИ, 1997. 160 с.

4. Соловьёва Н.А. Формирование познавательной самостоятельности студентов в условиях кредитной системы обучения: дис. ... канд. пед. наук. Троицк, 2008. 180 с.

5. http://www.itlt.edu.nstu.ru/webquest.php

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ НАГЛЯДНО-ИЛЛЮСТРАТИВНОГО МЕТОДА ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ ПО АРИФМЕТИКЕ В V-VI КЛАССАХ

И.А. Марушкина

В статье рассматривается применение наглядно-иллюстративного метода при решении текстовых арифметических задач.

Ключевые слова: типы задач, арифметический метод, схемы задач.

Задачи в школьном курсе арифметики повышают уровень общего и математического развития, являются одним из способов закрепления вычислительных навыков учащихся.

Изучив курс арифметики в V-VI классах, учащиеся должны представлять себе классификацию основных типов задач на каждое арифметическое действие. Это является необходимым условием их успешной дальнейшей работы. В таблице представлены основные типы задач на каждое арифметическое действие:

Арифметические действия

Основные (простейшие) типы задач

Сложение (+)

• найти сумму двух или нескольких чисел;

• увеличить число на несколько единиц.

Вычитание (-)

• найти число по сумме двух чисел и известному одному числу;

• уменьшить число на несколько единиц;

• определить на сколько одно число больше или меньше другого.

Умножение (•)

• найти сумму нескольких одинаковых слагаемых;

• увеличить число в несколько раз (частный случай - раздробление какого-нибудь именованного числа в единицы низшего разряда);

• найти дробь от числа (частный случай - найти один или несколько процентов числа);

• найти число по данной одной доле этого числа.

Деление (:)

• найти число по произведению двух чисел и одному сомножителю;

• уменьшить число в несколько раз;

• разделить число на несколько равных частей;

• узнать во сколько раз одно число больше или меньше другого (частный случай - превращение именованного числа в единицы высших разрядов);

• найти число по данной его дроби (частный случай - найти число по данному числу его процентов);

• найти одну какую-нибудь долю данного числа;

• найти отношение двух чисел (частный случай - найти процентное отношение двух чисел);

• задачи на прямую и обратную пропорциональную зависимость.

При изучении и прохождении курса арифметики в V-VI классах учитель все время должен возвращаться к основным задачам, решаемым каждым действием, предлагать учащимся вопросы: «Какие основные задачи решаются действием сложения?» и т. д. На каждую задачу учащийся должен уметь привести пример, т. е. придумать задачу сам. Такая работа закладывает основы математического развития на простом и вполне доступном учащимся материале, помогает ученикам выбирать то или иное действие при разложении составной задачи на простейшие.

При решении составной задачи учащийся должен ясно представлять себе условие задачи (выявить какие величины фигурируют в условии задачи, какова между ними функциональная зависимость). И, что самое главное, уметь кратко пересказать и записать условие задачи.

Приучая учащихся анализировать условие задачи, учитель должен обратить их внимание на данные в задаче числа, приучать учащихся выделять те величины, которые характеризуются этими числами, и развивать уменье установить по смыслу, на основе жизненного опыта, функциональную зависимость между величинами.

Большую роль для понимания и осознания условия задачи играют графические схемы, наглядно изображающие это условие. Один из способов решения арифметических задач является наглядно-иллюстративный метод.

Рассмотрим некоторые типы составных задач:

S Задачи, где используется условие «увеличение или уменьшение на».

Кусок полотна в 104 м надо разрезать на две такие части, чтобы в первой было на 16 м больше, чем во второй. По сколько метров полотна будет в каждой части?

Запишем условие задачи схемой:

Анализ задачи сводится к рассуждению, что каждую из частей по их сумме было бы легко найти, если бы части были равными.

1) 104:2=52(м) - уравненное количество метров в двух кусках полотна.

2) 52+8=60(м) - полотна в первом куске.

3) 52-8=44 (м) - полотна во втором куске.

S Задачи, где используется условие «увеличение или уменьшение в».

В сберкассу в течение четырех месяцев положено145200 руб. Во второй месяц внесено в 3 раза больше, чем в первый, в третий — в 2 раза меньше, чем в первый и второй месяцы вместе, а в четвертый — на 5200 руб. больше, чем в первый. Определить ежемесячный размер вкладов.

Запишем условие задачи схемой:

1) 145200-5200=140000 (руб) - составляют 7 частей. 2)140000:7=20000 (руб) - приходится на 1 часть (положили в 1 месяц).

3)20000-3=60000 (руб) - положили в сберкассу во втором месяце. 4)20000-2=40000 (руб) - положили в сберкассу в третьем месяце. 5)20000+5200=25200 (руб) - положили в четвертом месяце. S Задачи на работу.

Одна машина для орошения поля за 4 ч работы успевает полить 24 га земли, а второй на эту же работу требуется Зч. Какую площадь смогут оросить эти машины за 8 ч, работая одновременно?

Запишем условие задачи с помощью таблицы:

Решение текстовых задач арифметическим способом повышает математическую культуру учащихся, развивает их умственные способности.

Библиографический список

1. Стратилов П.В. Как повысить качество обучения решению задач по арифметике в V-VI классах // Математика в школе. 1952. №3. С. 1-8.

2. Одляницкая Е.Л., Черняева П.П. Домашняя работа по арифметике в V классе // Математика в школе. 1955. №5. С. 15-21.

КАК ЗАИНТЕРЕСОВАТЬ МАТЕМАТИКОЙ

Л.Н. Острякова

В статье делюсь опытом, как заинтересовать учащихся на уроке.

Ключевые слова: внеклассная работа по математике; работа с карточками, дифференцированный подход в изучении математики.

Из опыта работы

Около 50 лет я работаю в сельской школе. На этом длинном отрезке трудовой деятельности всегда передо мной стояли вопросы:

1. Как научить ребенка?

2. Как привить уважение к труду?

3. Как заинтересовать математикой?

Так, например, принимая 5 класс, я всегда даю учащимся возможность проявить себя при написании сказки на математическую тему. Например:

Сказка.

Поспорили раз два отрезка: кто из них дальше всех пробежит. Тянулись - тянулись да и разорвались на четыре луча. Тут лучи и побежали-кто быстрее, бегут- бегут, а все они по силам равны. Добежали они до красной черты на краю тетради. Увидели таблицу и остановились начали её читать: «Кто перейдёт через эту черту станет отрезком». Испугались, вернулись они назад и решили больше не сходить, (прошу прощение за ошибки и стиль изложения, ведь писал ребенок 5 класса). Или задача-

фокус, которую использовала при устном счете. Такие задачи можно найти в занимательных книгах по математике.

Во всех школах проводились предметные недели. Предлагаю вашему вниманию КВН-5 кл. (в зале плакаты с высказываниями математиков).

Ведущий: раздается команда капитанам ввести участников КВН. Слово для приветствия предоставляется жюри: «Дорогие ребята, участники и болельщики КВН, от имени жюри поздравляю вас с открытием интересных, остроумных соревнований. Мы надеемся, что смекалка и находчивость будут сегодня вашими спутниками». (Жюри устанавливает несколько призов.)

1. Лучшему остроумному капитану.

2. Сообразительному и находчивому участнику КВН.

3. Команде, показавшей сплоченность организованность во время проведения КВН.

4. Самому справедливому члену жюри.

5. Активному участнику художественной самодеятельности.

6. Смекалистому болельщику.

1. (Капитаны представляют членов команд, приветствие команды «Транспортир»).

От нас, от имени постигших

Математические секрет

Мы шлем, друзья, Вам самый высший

Арифметический привет.

Мы вам желаем в этой битве

Что тот не будет побежден

В таком ответственном сраженье,

Кто в математике силен.

Арифметику пусть знает каждый,

Но и алгебра нужна,

И отгадать попробуйте вопросы наши,

Ни пуха вам и не пера!

(Обращение к жюри)

Расскажите нам, жюри,

Хорошо ли мы вошли?

Выступленье и ответ -

Вот и весь вам привет

Дружба - это КВН,

Верность - это КВН,

Это место нашей встречи - КВН

Приветствие команды «Окружность».

КВН начать мы рады,

Этой песней встретить вас,

Если нравится вам песня,

То жюри оценит нас.

Да! Будем спорить, веселиться,

На вопросы отвечать,

А за наши все успехи

Мы вас просим поддержать.

На КВНе будет страшно,

Нас утешает мысль одна,

Что на обломках состязанья

Напишут наши имена.

(Обращение к жюри)

Многоуважаемое, 8-и значное жюри, наши горячие лучи направлены на ваши снежны души.

Пусть они к концу КВН растопят их, и огонь нашей победы загорится в зале.

Прыг-скок, КВН начнем,

Прыг-скок песенку споем,

Чтоб нам было веселей,

Мы приглашаем всех сюда своих друзей.

2. Проверка домашнего задания.

1. Команда «Транспортир» - Рассказ о жизни и деятельности первой русской женщины-математика СВ. Коволевской.

2. Команда «Окружность» - Рассказ о жизни и деятельности математика Л.С. Понтрягина.

3. Разминка Капитанов. Команда «Транспортир»:

1. Если идет дождь в 12 ч. ночи, то может ли быть через 72 ч. солнечная погода?

2. Как называется система счисления, которой мы пользуемся в школе?

3.Сколько весит ученическая тетрадь в 12 листов? Команда «Окружность»:

1. Если человек на земле весит 42 кг, то сколько он будет весить на Луне?

2. Что такое натуральное число?

3. Какова длина обычного неочищенного простого карандаша?

4. Вопросы членам команды.

Команде «Транспортир»:

1. Кто автор первого учебника по математике в России ?

2. Я цифра меньше десяти, меня тебе легко найти, но если букве «Я» прикажешь рядом встать, я все - отец и ты, дедушка и мать .

Команде «Окружность»:

1. Сколько весит царь-Колокол?

2. Назвать трёх видных древнегреческих математиков.

3. У Коли и Мани было поровну тетрадей. Коля из своих тетрадей дал две Мане. На сколько больше стало тетрадей у Мани , чем у Коли? Вопросы членов команд. Команде «Транспортир»:

1. Сколько дверных ручек и дверей в школе?

2. В корзине лежат 5 яблок. Требуется разделить их между пятью девочками так, чтобы каждому досталось по одному яблоку, и одно яблоко осталось в корзине .

3. Пользуясь четырьмя двойками написать число 111. Команде «Окружность»:

1. Как разделить 188 пополам, не пользуясь арифметическими действиями, чтобы получить 100?

2. С помощью четырёх пятёрок и арифметических действий получить 100?

3. Заглавия каких литературных произведений начинаются с числа 3 ; 20; 8000; 12?

5. Конкурс художников на тему «Как команды готовились к КВН» (по 3 человека от команды).

Конкурс «Отгадай». От каждой команды выходят по одному представителю и встают спиной друг к другу. Каждый из участников должен отгадать рост, вес, размер обуви своего соперника.

Конкурс «Записать римскими цифрами:»

а) год рождения В.И. Ленина;

б) год свершения Октябрьской революции (можно задание заменить на современные даты)

Конкурс «Закончи высказывание».

«Математику уже учить следует, что она ум ... (в порядок приводит) (Ломоносов М.В.)

«Математика - это язык на котором говорят все ... (точные науки) (Н.И. Лобачевский)

6. Номера художественной самодеятельности:

Команда «Транспортир»:

1. Исценировка «Таня учит таблицу умножения».

2. Стихотворение «от 1 до 10». Команда «Окружность»:

1. Матиматические частушки.

2. Стихотворение «Баллада о нуле».

(Номера подбирались по желанию участников команд).

7. Награждение команд.

Конечно, проведение математического вечера, КВН и других внеклассных мероприятий требует много времени на их подготовку и организацию. Но в процессе их подготовки и проведения у детей воспитываются чувства коллективизма, долга, сообразительность.

Хорошо известно, как много времени занимает выполнение чертежей при решении задания по геометрии, особенно в начале изучения. Ученику бывает легче решить задачу, нежели сделать к ней рисунок. Поэтому я часто предлагаю учащимся задачи с готовым чертежом. Многие задачи решаются устно. Много задач предлагает автор «Задач и упражнений на готовых чертежах в 7-9 классах» Рабинович Е.М.

В советское время школа приобретала раздаточный материал по геометрии. У меня часть карточек сохранилась, и я часто их использую в 7-ых классах как при решении на уроках, так и при зачете (по каждой теме по 4 варианта).

Стимулом для успешного обучения является общественный смотр знаний. Проводится он 3-4 раза в год после прохождения какой-либо темы в 5-6 классах, где еще существует «погоня» за отметками. В основном берутся сдвоенные уроки, чаще всего в субботу. На эти уроки приглашались родители, завуч, классный руководитель.

Применялись различные приемы проверки усвоения знаний: работа с карточками, устный счет, решение у доски и т.д. Подготовка к смотру велась очень серьезно: учили все правила, регулярно проводился устный счет, дополнительные занятия, решались упражнения и задачи. Учебный материал все время повторялся. Дети чувствовали ответственность перед своими родителями, да и родители могли оценить знания своего ребенка в нестандартной ситуации. В преподавании математики накоплен определенный опыт дифференцированного обучения. Он относится в основном к обучению сильных школьников (факультативные занятия, классы и школы с углубленным изучением математики). Однако дифференциацию обучения нельзя рассматривать исключительно с позиций интересующихся математикой учащихся и по отношению лишь к старшему звену школы. Ориентация на личность ученика требует, чтобы обучение математике учитывало потребности всех учеников - не только сильных, но и тех, кому этот предмет дается с трудом или чьи интересы лежат в других областях.

Проводя контрольную работу или тематический зачет, один подготовленный вариант заранее вывешиваю в классе для подготовки учащихся. Расшифровываю систему оценок.

Оценка

Обязательная часть

Дополнительная часть

3

7 баллов

-

4

7 баллов

3 балла

5

8 баллов

8 баллов

Каждое задание обязательной части оценивается в 1 балл. При получении неудовлетворительной оценки ученик должен пересдать зачет или контрольную работу и выполнить задания лишь того типа, с которыми он не справился. Все отметки заносятся в специальную табличку, которая вывешивается в классе. В текстах контрольных работ материал распределен в

основном по возрастанию трудности. В учебнике по геометрии для 7-9 классов в конце каждой главы есть перечень контрольных вопросов. По этим вопросам регулярно провожу зачет по теоретическому материалу (без решения задач). Чтобы получить «3», достаточно ответить все определения и формулировки теорем, на «4» и «5» - доказать одну из теорем и ответить на дополнительные вопросы.

У каждого учителя свой стиль работы, своя методика, но цель одна -научить ребенка. На вопрос: «Для чего нужна математика?» ученик пятого класса ответил: «Математика нужна для того, чтобы быть умным. Математика нужна всем и во всем». Через мои руки прошло много ребят. И я рада за своих инженеров, учителей, бухгалтеров, врачей, кораблестроителей, токарей, за всех тех - кому математика дала путевку во взрослую жизнь.

ЗАДАЧА ОТБОРА СОДЕРЖАНИЯ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ

В.А. Тестов

В статье рассматриваются различные концепции содержания обучения математике, принципы отбора такого содержания, а также исторические аспекты задачи отбора содержания школьного курса математики.

Ключевые слова: математическое образование, отбор содержания, обучение математике, инновации и традиции.

Одной из важнейших задач, стоящих перед математическим образованием является повышение интереса к математике, отбор содержания обучения, его обновление, выделение набора основных математических законов и понятий, служащих основой как для дальнейшего изучения математики, так и для изучения смежных дисциплин. Эта достаточно сложная задача, поскольку этот набор может с течением времени меняться вследствие того, что развитие науки изменяет приоритеты между отдельными ее достижениями.

Надо заметить, что правильнее говорить не просто о наборе, а о системе школьных математических знаний, как социально необходимом и дидактически обоснованном отражении определенной совокупности компонентов математической науки в учебном предмете «Математика». С точки зрения системного подхода содержание образования как система характеризуется целостностью, взаимосвязанностью и взаимодействием элементов, а также наличием системообразующих стержней. Принципы, соответствующие этим трем свойствам, назовем принципами целостности, взаимосвязанности и генерализации знаний.

Большое разнообразие взглядов на содержание обучения во многом объясняется и тем, что в педагогической науке имеются различные определения, различные концепции содержания образования, каждое из которых имеет своих сторонников.

Первая концепция трактует содержание образования как педагогически адаптированные основы наук, изучаемые в школе (и в вузе). С точки зрения мировоззренческой ориентации такое понимание содержания образования можно охарактеризовать как сциентистское, абсолютизирующее роль науки в системе культуры человеческого общества. Однако при этом остается в стороне ряд важных качеств личности, например способность к самостоятельному творчеству, формирование которых должно быть непременной характеристикой фундаментального образования.

При определении содержания обучения математике этой концепции практически никто не придерживается, поскольку всем достаточно очевидно, что основы математической науки слишком сложны для преподавания в школе и что учебный предмет «математика» должен иметь содержание, отличающееся от научной области «математика».

Второе определение содержания образования представляет его как совокупность знаний, умений и навыков, которые должны быть усвоены учащимися. Этой концепции придерживаются многие ученые, поскольку характер этих знаний, умений в общей концепции не раскрывается, что делает возможным производить их конкретизацию совершенно по-разному в соответствии с личными пристрастиями авторов.

Третья концепция, наиболее адекватно соответствующая современным условиям, рассматривает содержание образования как педагогически адаптированный социальный опыт человечества изоморфный человеческой культуре во всей ее структурной полноте. Эта концепция наиболее полно изложена в работах В.В. Краевского. В соответствии с таким пониманием содержание образования должно включать помимо «готовых» знаний и опыта осуществления деятельности по привычному стандарту, по образцу, также и опыт творческой деятельности, и опыт эмоционально-ценностных отношений [3].

Согласно этой концепции в содержание обучения необходимо включать культурно-исторический опыт предыдущих поколений. В частности, в содержание обучения математике должно входить решение задач. К сожалению, большинство ученых-математиков, занимающихся проблемами школьного образования, плохо знакомы с этой концепцией и при рассмотрении содержания обучения математике больше опираются на интуитивную основу.

Как отмечает Г.В. Дорофеев, «правильное определение содержания обучения математике, обеспечивающее оптимальные возможности для достижения целей математического образования, является, безусловно,

одной из главных проблем перестройки методической системы обучения математике на современном этапе развития школы» [2].

В истории математического образования содержание школьного курса математики всегда было предметом острых дискуссий и неоднократно менялось под влиянием различных обстоятельств. Одна из таких дискуссий состоялась ровно 100 лет назад на 1-ом Всероссийском съезде преподавателей математики. В докладах участников съезда прозвучало много интересных предложений, весьма актуальных и в настоящее время.

Так, в докладе Ф.В. Филипповича отмечалось, что «из истории преподавания нам известно, что развитие науки всегда, хотя и с большими опозданиями, вносит свои коррективы в школьные программы. Но для того, чтобы провести реформу, необходима подготовительная работа обмена мнений, необходима суровая критика традиционного обучения математике. Представители научного мира (Ф. Клейн, А. Пуанкаре, Э. Борель и др.) горячо нападают на отсталость школьной математики от науки. Действительно средняя школа игнорирует почти все развитие математики, начиная с XVII столетия. Из всего богатства методов, внесенных в европейскую науку с эпохи Возрождения, только логарифмы получили право гражданства. Учащихся же не следует искусственно задерживать на средневековом уровне математики и их надо познакомить с великими открытиями творцов европейской математики Декарта, Лейбница и Ньютона. Начала дифференциального и интегрального исчисления должны быть призваны оживить школьную математику также соответственно и запросам жизни. Прошли безвозвратно те добрые старые времена, когда возможно было обходиться без азбуки высшей математики» [8, с. 101-102].

Идею о введении анализа в курс средней школы и приобщении средней школы к интересам науки и культуры поддержали и другие выступающие на этом съезде (С.И. Шохор-Троцкий, Б.Б. Пиотровский, К.А. Поссе и др.). Прозвучало даже предложение ввести в среднюю школу элементы неевклидовой геометрии.

Один из основных докладчиков А.Г Пичугин отметил, что между школьной и высшей математикой имеется большая пропасть: в средних учебных заведениях преподносится ветхий материал (геометрический, слегка подновленный, но почти неприкосновенный, созданный Евклидом за 300 лет до Р.Х. и алгебраический - накопившийся до 1620 г.). Весь же богатый материал, приобретенный за последние 300 лет, является достоянием высшей школы. Но, кроме того, в средней школе рассматриваются мертвые, отверделые формы, в высшей - живые, изменчивые - в их росте, изменении. Вышеуказанное породило убеждение, будто школьная математика, созданная в древности, более или менее отшлифованная в средние века, завершенная в новое время - мертвая наука и должна существовать в таком виде во веки веков [8].

Аналогичные взгляды высказываются некоторыми авторами и в настоящее время. Так В.М. Бусев считает, что школьная математика - это культурно-историческая традиция, она передается из поколения в поколение, иногда без значительных изменений (классический пример - евклидова геометрия). Традиция - вещь устойчивая, и школа все равно не примет радикальных новшеств. Рано или поздно она вернется к испытанным способам трансляции культурных образцов прошлого. Поэтому целесообразно никаких реформ не проводить [1].

С такой точкой зрения нельзя согласиться. Математическая культура, как часть общечеловеческой культуры, все время развивается и накапливается. В соответствии с концепцией В.В. Краевского это необходимо учитывать и в содержании обучения.

Разумеется, надо бережно относиться к традициям. Однако в образовании помимо традиций всегда были, есть и будут инновации и необходимо правильно решить вопрос об их соотношении. Необходимость и неизбежность взаимосвязи инноваций и традиций в развитии педагогических систем вроде бы ни у кого не вызывают сомнений. Но на практике, как правило, сбалансированность этой связи нарушается то в одну, то в другую сторону. Инновации и традиции - это два полюса мира образования. Они оба должны служить ориентирами в развитии педагогической науки и практики.

Кроме того, эффективность любой педагогической системы вследствие изменения внешних условий с течением времени непрерывно снижается. Но реорганизация системы не может происходить непрерывно. Такая реорганизация происходит периодически, когда становится очевидной необходимость изменения системы. Из законов развития систем вытекает, что система, подвергнутая реорганизации, будет некоторое время функционировать хуже старой. Поэтому возникает требование постепенности - одно из категоричных условий успешности нововведений в образовательной сфере.

Таким образом, совершенно неверно, что ничего не надо менять в содержании обучения математике. Изменение содержания обучения обусловлено как переменами в научной картине мира, развитием самой математики - науки и ее приложений, так и переменой педагогической парадигмы и целей обучения в соответствии с изменениями в обществе.

В силу перечисленных выше обстоятельств очень важным является выбор стратегии отбора, позволяющей производить отбор содержания обучения, поскольку в школьном курсе можно отразить только небольшую часть современных знаний. Поэтому вполне понятны нескончаемые споры вокруг школьного стандарта: какие вопросы в него включать, а какие не включать. Решить эти споры можно только на основе стратегии отбора, на основе соблюдения целого ряда единых дидактических требований.

Надо заметить, что в настоящее время в российском образовании все обучение математике и его содержание в первую очередь нацелено на подготовку к сдаче ЕГЭ, а значит, основной ориентир - это задания ЕГЭ, а стратегия отбора как таковая практически перестала реализовываться.

Следует также учитывать, что цели обучения математике многоаспектны, в них представлены такие совершенно разные направления, как умение применять математические методы для практических нужд, развитие и воспитание личности учащегося в соответствии с потребностями общества, подготовка для продолжения обучения в высшей школе, в том числе и по физико-математическим специальностям.

Такая многоаспектность приводит к тому, что в зависимости от доминирования во взглядах тех или иных математических концепций и приоритета тех или иных целей обучения взгляды на содержание обучения математике у разных ученых, педагогов, учителей могут сильно различаться. На страницах печати это различие во взглядах проявляется не столь часто, однако дискуссии приобретают порой достаточно острый характер.

Отбор содержания в соответствии с концепцией В.В. Краевского должен происходить на основе нескольких основных принципов.

Первый из них - это соответствие содержания школьной математики достижениям математической науки как части общечеловеческой культуры, выработке умения применять математические методы для практических нужд, нацеленностью на формирование современной математической картины мира как составной части общенаучной картины мира.

Как отмечалось еще на 1-м съезде преподавателей математики, «так как по взглядам новой педагогики одна из задач общего образования есть «способность понимать все наше культурное развитие», то очевидно, что такая цель не может быть достигнута без расширения математических знаний» [8, с. 102].

Математическое образование всегда играло важную роль в культурном развитии человека. Математика - это язык, математическое образование может и должно стать средством языкового развития учащихся, научить их коротко, грамотно и точно формулировать свои мысли.

Из этого принципа вытекает, что содержание обучения должно быть достаточно широким и не может, как и вся человеческая культура, длительное время оставаться без изменений. Математика - это вечно молодая наука, она бурно развивается на протяжении столетий, ее облик сильно изменился за это время. Ф. Клейн писал по этому поводу: «Математика -наука живая, она постепенно принимает в себя и перерабатывает новые проблемы, отбрасывает устарелое и таким образом постоянно совершенствуется. И это справедливо теперь только по отношению к высшей математике, но тоже должно быть и со школьной: она должна непрерывно преобразовываться соответственно медленно изменяющимся общим запросам жизни и, конечно, в пределах понимания учащейся молодежи».

В то же время из этого принципа вытекает, что нужно бережно относиться к опыту школьного преподавания математики как к культурно-исторической традиции, которая передается из поколения в поколение.

Говоря о соответствии между математикой как наукой и как учебным предметом, необходимо отметить, что если развитие науки идет преимущественно равномерно, то изменение содержания учебного предмета происходит скачками. Время от времени образуется существенный разрыв между математикой - наукой и математикой - учебным предметом, который необходимо сокращать. Оставлять же знания школьников на уровне знаний прошлых веков невозможно, и поэтому время от времени реформа математического образования становится насущной необходимостью.

Однако очень немногое из традиционного содержания школьного курса может быть исключено из программы, как впрочем и не очень многое из современной математики может быть включено в программу.

История математического образования показывает, что те новые понятия, идеи, методы, которые должны обновлять и усовершенствовать школьное обучение, приближая его к современной науке, не сразу проникают в школьные программы. Для их внедрения требуется значительный период времени. Это вполне объяснимо, и поэтому можно сделать вывод о правомерности некоторого (но не любого) отставания образования от развития науки [7, с. 23].

Вряд ли стоит перенимать практику некоторых школьных предметов, когда учебники постоянно «модернизируются» с целью втиснуть в них информацию о всё новых результатах соответствующих областей знаний, поскольку «школа не должна отставать от современной науки». Такое непрерывное экстенсивное изменение содержания любого предмета (как и числа самих предметов) стало уже привычным, причём, в силу отсутствия разумных ограничений, пополнения, как правило, диктуются лишь личными пристрастиями и амбициями авторов, готовых подчас включать в учебник всё, что знают сами. Однако такое экстенсивное изменение содержания любого предмета «ведёт в никуда».

Второй принцип - обучение математике должно обеспечивать приобретение всеми учащимися объема знаний, достаточного для реализации главной цели математического образования - развития определенных интеллектуальных и нравственных качеств. Для нормального развития человеку с момента рождения нужна полноценная интеллектуальная пища. По мнению И.Ф. Шарыгина, математика, особенно геометрия, является одним из немногих полноценных, экологически чистых интеллектуальных продуктов, потребляемых в системе образования. Математическое образование может сыграть важную роль в оздоровлении подрастающего поколения, психическом и даже физиологическом [5, с. 129].

Этот принцип имеет минимизирующий характер: реализация гуманитарного потенциала обучения математике вполне возможна на достаточно ограниченном по объему материале.

Еще в преамбуле к программам по математике для средней школы 1918 года было написано: «Курс математики строится и проводится в своей программе-минимум не столько в интересах будущих математиков и будущих техников, химиков, статистиков и т.п., сколько в целях пополнения недостающих звеньев в системе гуманитарного образования, понимания последнего в широком смысле слова, какие может дать только математика». Изучение естественно-научных дисциплин и математики является необходимым условием для правильного формирования полноценной личности учащегося [5, с. 52].

Если в недавние годы социальный заказ, считает А.Г. Мордкович, нацеливал педагогическую общественность на то, что главное в образовании - обучение, передача информации, то сегодня главное в образовании -развитие, формирование общей культуры человека, способного, в частности, самостоятельно добывать и перерабатывать информацию. Поэтому если раньше учили математике, то сегодня учат математикой [4, с. 20]

В современных условиях реализация идей гуманизации и гуманитаризации образования, как отмечает Г.И. Саранцев, «предполагает приобщение учащихся к духовной культуре, творческой деятельности, методологии открытия нового, такую организацию учебного процесса, при которой знания имеют для ученика личностный смысл, учет индивидуальности ученика, его способностей и т.п. ... Если ранее в содержание включали не только систему предметных знаний, но и способы деятельности, то гуманитаризация образования предполагает приобщение школьника к творческой деятельности, а последнее возможно через включение в содержание образования различных эвристик, в частности методов научного познания, создание специальных условий для творчества ученика в разных формах обучения» [6, с. 20-22].

Третий принцип - обучение математике должно обеспечить формирование кадрового потенциала общества во всех сферах деятельности, требующих математических знаний и интеллектуальной культуры. На 1-м съезде в докладах К.А. Поссе и В.Б. Струве, исходя из потребностей физико-математических факультетов и технических вузов, выдвигались требования существенно расширить программу по математике средней школы, перенеся в нее часть материала из вузовского курса. В настоящее время совершенствование системы высшего образования также неизбежно влечет за собой повышение требований к знаниям выпускников школы, и поэтому этот принцип в динамике развития системы «школа - вуз» всегда имеет максимизирующий характер. Путь в современную науку и технику, просто в современную жизнь лежит через математику.

Этот принцип Г.В. Дорофеев назвал принципом социальной эффективности. При существовавшем в нашей стране долгие годы унифицированном содержании математического образования его можно было считать в достаточной степени реализованным: объем математических знаний, усвоение которых предусмотрено школьной программой, был вполне достаточен для продолжения обучения в высшей школе, в том числе и по физико-математическим специальностям, а, следовательно, и для воспроизводства кадрового потенциала общества (во всяком случае, при существовавших взаимосвязях в системе «школа - вуз»). Традиционное содержание обучения математике, сложившееся в течение многих десятилетий, отражало тот объем математических знаний, который, с одной стороны, являлся фундаментом математической науки, а с другой - в принципе, был доступен большинству учащихся [2].

Четвертый принцип, вытекающий из концепции В.В. Краевского, -педагогическая адаптированность содержания обучения. Этот принцип предполагает, что современные научные знания будут пропущены через призму педагогических взглядов, адекватных образовательной парадигме и педагогическому опыту, на предмет их соответствия психолого-возрастным особенностям учащихся, их интересам и целям образования; обеспечение структурного единства содержания образования на разных уровнях и на разных этапах.

В силу этого принципа не очень многое из современной математики может быть включено в программу, поскольку неразумно пытаться внедрить в школу последние достижения математики, базирующиеся на малодоступных школьнику абстрактных понятиях. Следует заметить, что призма педагогических взглядов не остается неизменной, и проверку указанного соответствия надо периодически повторять и переоценивать значение тех или иных разделов школьного курса математики.

Из принципа педагогической адаптированности также вытекает, что содержание обучения математике не может быть одинаковым для всех. В.М. Тихомиров в своем докладе на Всероссийском съезде учителей заявил: «Я бы предложил законодательно реализовать два типа математического образования «для всех» и «углубленное математическое образование» (я предпочел бы называть его: математическое образование для будущих исследователей). Такая реализация предполагает разные программы, разные экзаменационные требования и разные аттестаты. Разумеется, нужна система перехода из обучения для всех на более высокий уровень, если личность удовлетворит определенным требованиям».

Далее В.М. Тихомиров отмечает, что важнейшая задача математического просвещения - возбудить в человеке интерес к самому себе, как к мыслящей личности. Каждый человек должен научиться рассуждать и решать задачи. «Всех» надо обучать на общедоступном и осмысленном материале, чтобы не закрадывалась мысль о заумности и бессодержательно-

сти нашего предмета. Преподавание математики для людей, склонных к творчеству и размышлениям, должно содержать элементы для «изощрения ума».

Как мы видим, отбор содержания обучения математике действительно трудная задача, при решении которой необходим учет многих факторов.

Библиографический список

1. Бусев В.М. Реформы обучения математике сквозь призму времени /Труды VIII Международных Колмогоровских чтений: сборник статей. -Ярославль: Изд-во ЯГПУ, 2010. С. 506-523.

2. Дорофеев Г.В. Математика для каждого. М.: Аякс, 1999.

3. Краевский В.В. Общие основы педагогики. М.: Издательский центр «Академия», 2003.

4. Мордкович А.Г. О некоторых проблемах школьного математического образования /Современные проблемы физико-математического образования: вопросы теории и практики: коллективная монография: под общ. ред. проф. И.Г. Липатниковой. Екатеринбург: УрГПУ, 2011. 294 с.

5. Образование, которое мы можем потерять. Сборник; под общей редакцией ректора МГУ академика В.А. Садовничего. М.: МГУ им. М.В.Ломоносова, 2002.

6. Саранцев Г.И. Методология методики обучения математике. Саранск: Тип. «Кр. Окт.», 2001.

7. Столяр А.А. Педагогика математики. Курс лекций. Минск: Вышэйш. Школа, 1969.

8. Труды 1-го Всероссийского Съезда Преподавателей математики. 27 декабря 1911 -3 января 1912 г. Т.1. С.-Пб., 1913 г.

НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ В ШКОЛЕ (ИЗ ОПЫТА РАБОТЫ)

М.А. Хвостикова

В статье я рассказываю о роли учителя в современной школе; некоторых методах и приемах, используемых мною в своей работе.

Ключевые слова: качество образования; дифференциация обучения; математический диктант; «бесконечные» контрольные работы; три момента в работе с учащимися, имеющими слабую мотивацию обучения.

Радует, что в настоящее время государство и правительство обратило особое внимание на проблемы школы. Национальный проект «Образование» успешно осуществляется в России. Это и денежные гранты лучшим учителям и школам, и стипендии талантливым учащимся, и подключение школ к Интернету. Все это непосредственно коснулось и нашей гимназии, расположенной в Липецком районе в селе Боринское. В 2007 году наша гимназия стала победителем конкурса общеобразовательных учреждений в рамках национального проекта «Образование». Все это служит одной цели - повышению качества знаний учащихся, чтобы в дальнейшем выпускники могли стать конкурентоспособными во взрослом мире.

Проблема качества образования в школе существовала, наверное, всегда. Какими только методами, с помощью каких только реформ не пытались ее решить. Именно поэтому кафедра учителей математики нашей гимназии работает над проблемой «Пути повышения качества работы учителей математики в условиях реформирования образовательного пространства». В современной школе существует множество технологий, используемых на уроках. Но у каждого учителя эти технологии перерабатываются и приобретают свои черты. Одни из учителей добиваются прекрасных результатов, другие, используя в своей работе те же методики, никак не могут достичь каких-либо значимых успехов. Посещая уроки своих коллег, учителя нашей гимназии стараются позаимствовать друг у друга что-то новое, необычное, дающее хорошие результаты, затем используют это в своей работе. Поэтому, на мой взгляд, главную роль в школе, играет учитель. Именно от него зависит, будет ли методика Шаталова или Москаленко работать на ученика или нет. Можно замечательно знать свой предмет, но не уметь заинтересовать им учащихся. И тогда о каком качестве образования может идти речь? Я остановлюсь только на некоторых методах и приемах, используемых мною на уроках.

Начав работать в школе, я поняла, что уровень развития и направленности интересов, запас математических знаний учащихся достигают такого разброса, что обучение на одном для всех уровне ведет неизбежно либо к недоступности материала для части учащихся, либо к торможению развития другой их части.

Все это делает необходимым дифференцировать материал по степени его значимости, по характеру усвоения, а значит, и изложения. Сейчас такой подход положен в основу моей работы. В практике к оценке знаний учащихся мы подходим часто исходя из «количественных» показателей: ответил на пять вопросов - «5», не ответил на один из пяти - «4», на два не ответил - «3» и т.д. В результате удовлетворительная оценка - «3» - ставится по существу, не за знания, а за незнание чего-либо. Что знает ученик, имеющий «3», зачастую неясно учителю. Между тем достаточно ясно, что

есть вопросы, задачи, на которые должны отвечать все усвоившие соответствующую тему.

В результате возникает ситуация, когда постепенно у значительной части учащихся накапливаются «тройки», означающие по сути дела, наличие существенных пробелов в знаниях, и вскоре изучение курса для этих учащихся становится непосильным.

Задумавшись над этой проблемой, я пришла к выводу, что необходимо из всего учебного материала выделить костяк курса, минимум, необходимый для того, чтобы знания учащихся по данному разделу могли считаться удовлетворительными, и затем неукоснительно добиваюсь, чтобы весь материал, необходимый для восприятия дальнейшего, был усвоен всеми учащимися.

Важным условием эффективности такого подхода к оценке знаний является информированность о содержании этого минимума.

Выделение главного, основы изучаемого материала я обычно делаю при сообщении темы и цели урока: «Сегодня мы должны выяснить геометрический смысл производной и научиться писать уравнение касательной. Это и будет задание по теории». Иногда я это делаю при подведении итогов урока: «Итак, мы разобрали только несколько примеров решения иррациональных уравнений. Каждый должен уметь «избавляться от иррациональности» и знать, если используется возведение в квадрат обеих частей уравнения, то проверять корни обязательно». При этом моим ученикам ясно, что слова «каждый должен ...» означают, что тот, кто выполнит должное, уже не может получить «2», но тот, кто не выполнит, не может рассчитывать на «3».

В школьном курсе математики нельзя изучать последующее, не владея определенным багажом из предыдущего. Вот этот багаж, без которого нельзя двигаться дальше вперед и образует, прежде всего, обязательный для удовлетворительной оценки минимум. Вряд ли у кого вызывает сомнение, что прежде чем перейти к изложению нового материала, целесообразно убедиться, что предыдущая порция знаний учащимися усвоена.

Проверку наличия знаний у учащихся в своей работе провожу систематически. С этой целью использую разнообразные формы. Одной из них является математический диктант. Это хорошо известная форма контроля знаний, однако употребляется она редко. Одна из причин - учащимся трудно на слух воспринимать задания. Однако если эту работу проводить регулярно, то ценность вырабатываемого навыка по умению слушать, неоспорима. При составлении текста математического диктанта, я использую задания, проверяющие и умения учащихся по той или иной теме, и усвоение ими теоретических знаний. Уровень сложности заданий различен, основная масса этих упражнений ставит своей целью проверку усвоения алгоритма решения той или иной задачи.

Диктант дети выполняют на двух листах под копирку. После слов «диктант окончен» они сдают работу учителю, а копия остается у них. Важно правильно организовать проверку диктантов. Сначала я пробовала собирать и проверять дома, но поняла, что такой способ мало эффективен: ребенок жаждет узнать результаты своей работы непосредственно после завершения, а на следующий день они его интересуют неизмеримо меньше. Поэтому я решила организовать такой способ проверки: я вызываю к доске двух учащихся, и они вместе с классом выполняют работу на доске (только на вращающейся ее части и так, чтобы их работа была не видна классу), затем учащиеся по оставшимся у них копиям сверяют эти ответы со своими. После проверки первого ответа, я прошу поднять руки тех, кто допустил ошибку. Если ошибок немного и само задание не такое уж важное, продолжаем работу и сверяем второе задание. Если же оказалось, что решение первого задания необходимо разъяснить, кто-то из учеников или я сама даю необходимые пояснения. В случае необходимости учащимся можно предложить выполнить аналогичное задание. Мною разработаны и опробованы математические диктанты по математике, алгебре и геометрии с 5 по 9 классы.

Однако в силу специфики математических диктантов их педагогические возможности ограничены. С их помощью можно проверить, усвоили ли учащиеся обязательный минимум знаний, но нельзя организовать углубленную проверку. Поэтому было бы ошибкой противопоставлять диктанты другим формам контроля, например, дифференцированным самостоятельным работам.

Такие виды работ я провожу практически после каждой изученной темы. Состоят они из 3-4-х заданий, объединенных одной темой. Я имею карточки с такими заданиями по всем темам с 5 по 9 классы.

Итоговый контроль знаний, т.е. контрольные работы, я провожу с дифференцированным подходом. При составлении текстов контрольных работ я придерживаюсь следующих правил: во-первых, контрольная работа должна быть посильной для всех учащихся без исключения. И каждый ученик должен быть уверен, что выполнит работу верно. Во-вторых, сильные учащиеся должны быть загружены до момента окончания работы. В-третьих, в контрольной работе упражнения располагаю в порядке возрастающей трудности и так, чтобы первые упражнения мог выполнить каждый учащийся.

В своей практике я применяю, так называемые «бесконечные» контрольные работы. Это когда предлагается такое количество упражнений, чтобы никто в классе не успел выполнить за отведенное время. Объем задания заранее не устанавливаю. Например, даны 10 заданий. Сразу после окончания работы, я выясняю, что 10 заданий не выполнил никто, 9 - 2-3 ученика, 8 - 10-12 учеников. Вот тогда я говорю, что за 8 заданий, естественно выполненных верно, будет выставляться оценка «5». При таком

подходе в классе возникает благодатный соревновательный эффект. В работу включаются сразу все учащиеся, никто не теряет ни одной минуты, не отвлекается в продолжение всей работы.

И еще одно замечание, которое мне хотелось бы отметить: индивидуальная работа с так называемыми, слабыми ученики. Работа с такими детьми должна вестись строго индивидуально, и общие рекомендации здесь дать трудно. Тем не менее, я в своей работе с такими учениками, уделяю внимание трем моментам: 1) психологический фактор. Я постоянно убеждаю его в том, что у него все получится; 2) уровень требований. Требования к слабоуспевающим должны быть посильными, но совершенно четкими, определенными, известными самим учащимся; 3) повторение материала - планомерное, причем только самого главного материала.

В 80-е годы 20 века существовал такой термин, как «педагогика сотрудничества». Вот поэтому главная задача школы и учителя -способствовать созданию на уроке такой атмосферы, в которой бы каждый ученик почувствовал необходимость обучения. А как же это сделать? Каким же должен быть учитель в этом стремительно меняющемся мире? Дети очень тонко чувствуют, какой учитель перед ними. Любит он их или просто «либеральничает», знает он предмет или нет, понимает он их потребности или нет. Можно много говорить о реформах, о качестве образования, но если нет кадров, нет учителя, способного на самоотдачу, на внедрение нового в образовательный процесс, если учитель сам не перестроился, а работает «по старинке», если он не видит в ученике личность, о какой реформе может идти речь, о каком качестве образования можно говорить? Конечно, таким учитель должен быть в идеале. Я не могу сказать, что я являюсь именно таким педагогом. Но я люблю свою профессию, не могу представить свою жизнь без детей. Ведь не только я учу детей, но и они учат меня. И, несмотря на трудности моей профессии, каждый год с нетерпением жду 1 сентября.

ИЗУЧЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН В КУРСЕ «АЛГЕБРА И НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА»

С.В. Щербатых

В статье описана методика формирования одного из фундаментальных понятий стохастической линии школьного курса математики — случайной величины.

Ключевые слова: случайная величина, дискретные и непрерывные случайные величины, функция распределения, плотность, числовые характеристики случайных величин, закон больших чисел.

Понятие «случайная величина» - центральное понятие в теории вероятностей. Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперёд не известное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены. Эта числовая функция дополняет и расширяет представление школьников о функциональных зависимостях. Значения случайной величины - это количественная характеристика случайных событий, т.е. те числовые значения, которые могут реализовываться при проведении опыта. Без основательных знаний учащихся в области математического анализа дать полноценное определение случайной величины не представляется возможным. Поэтому можно остановиться лишь на изучении дискретных случайных величин, однако при этом будет упущено методологическое значение непрерывных случайных величин, дающих благодатную почву для реализации профессионально-прикладной направленности обучения стохастике.

Ввести определение дискретной случайной величины (ДСВ) целесообразно конкретно-индуктивным способом. Старшеклассникам можно предложить следующие примеры:

1) число гласных букв в случайно выбранном слове, есть величина случайная, которая может принимать значения 1, 2, 3 и т.д.;

2) число станков, требующих наладки в определённый момент времени, есть случайная величина, которая может принять одно из значений: 1, 2,..., п (п - число станков на заводе).

Далее формулируется определение ДСВ: случайная величина, принимающая различные значения, которые можно записать в виде конечной или бесконечной последовательности, называется дискретной случайной величиной.

Учащимся сообщается, что случайные величины будут обозначаться прописными буквами X, Y, Z, а их возможные значения строчными буквами X, у, z, ...

Говорят, что ДСВ X считается заданной, если перечислены все её возможные значения, а также вероятности, с которыми величина X может принять эти значения. В этом случае говорят, что задан закон распределения случайной величины.

Закон распределения случайной величины определяется формулой:

P(X = xt) = pi9 где i = 1, 2,..., /7, ...

Закон распределения дискретной случайной величины может быть задан и с помощью таблицы:

Таблица 1

Для закрепления данного понятия целесообразно предложить следующую задачу.

Задача. При изучении характера распределения сеялкой семян по длине рядка установлено, что на 20 из 100 двухсантиметровых отрезков было в среднем по 3 штуки семян, на 40 - по 2 штуки, на 30 - по одному зерну, а на остальных семян вообще не оказалось. Найти закон распределения случайной величины X - числа семян на двухсантиметровом отрезке.

Решение. Для начала запишем возможные значения случайной величины X: хх = 0, х2=1, *з = 2, х4 = 3, следовательно, величина является дискретной. Далее, основываясь на формуле статистического определения вероятности, необходимо вычислить вероятности этих возможных значений:

В табличной форме записи закон распределения ДСВ X имеет вид:

Таблица 2

Необходимо не раз напоминать учащимся о том, что в результате испытания величина X всегда примет одно из значений х1? х2,..., хп9поэтому рх + р2 +... + рп +... = 1.

Для наглядности закон распределения дискретной случайной величины изображают графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки , pi ) и соединяют их последовательно отрезками прямых. Получающаяся при этом ломаная линия называется многоугольником распределения случайной величины X.

Пример. Случайная величина х задана законом распределения

Таблица 3

Построить многоугольник распределения. Построение.

Рис. 1

Далее происходит знакомство учащихся с наиболее распространёнными законами распределения ДСВ:

1. Биномиальным называется распределение вероятностей, определяемых формулой Бернулли:

где m - число испытаний, в которых событие А наступило.

2. Пуассоновским называют распределение вероятностей, определяемых формулой Пуассона:

где m - число испытаний, в которых событие А наступило.

С формулами, описывающими данные законы распределения, учащиеся уже знакомы, поэтому их закрепление должно вестись в процессе решения специально подобранных профессионально-прикладных задач. К примеру, можно предложить такую задачу.

Задача. Проверкой качества установлено, что из каждых 100 деталей в среднем не имеют дефектов 83 штуки. Составить распределение вероятностей числа пригодных деталей из взятых наудачу 3 деталей.

Другой подход к определению случайной величины - функциональный. Любую случайную величину можно рассматривать как функцию элементарных событий со1 Е Q, где Q - область определения функции. При этом для случайной величины можно указать вероятности попадания её отдельных значений в некоторый числовой промежуток: X < х, а < X < ß и т.д., и подсчитать соответствующие им вероятности Р{Х <х\ P(a<X<ß)n т.д.

К важным характеристикам случайной величины относится функция распределения F(x), выражающая вероятность события, состоящего в том, что случайная величина X принимает значение, меньшее х, т.е. F(x) = Р(Х < х). Геометрически функция распределения интерпретируется как вероятность того, что случайная точка X попадёт левее заданной точки X.

Рис.2

Функция распределения любой случайной величины обладает следующими свойствами:

1) F(x) - неубывающая функция своего аргумента, то есть из х2 >xl9 следует, что F(x2 ) > F(xl ).

Действительно, при перемещении точки х вправо по числовой оси вероятность попадания случайной точки X в интервал (-оо, х) не может уменьшаться.

4) функция распределения - функция, имеющая своей областью значений отрезок от 0 до 1, так как 0 < Р{X < х) < 1 ;

5) вероятность того, что случайная величина X в результате опыта попадёт на [а; ß) вычисляется по формуле

Из рисунка видно, что В = A U С

Так как события А и С - несовместны, то по теореме сложения вероятностей Р Следовательно,

поэтому окончательно получаем,

Так, если X- ДСВ, принимающая значения х\ < х2 < ... < хп.\ < хп с вероятностями р\, р2, рп_\ , рп соответственно, то функция распределения случайной величины Xимеет вид:

Рис.3

Учащимся следует указать на то, что для того, чтобы задать функцию распределения ДСВ, необходимо знать закон её распределения.

Для закрепления данного понятия учащимся может быть предложена задача.

Задача. Процент людей, купивших новое средство от головной боли после того, как увидели его рекламу по телевидению, есть случайная величина, заданная таблицей:

Таблица 4

Найти функцию распределения этой величины.

Решение. Согласно формуле функция распределения имеет вид:

Следует отметить, что график данной функции имеет ступенчатый вид.

Введённое определение функции распределения случайной величины позволяет изучать дискретные и непрерывные случайные величины в единой логике.

Перед введением понятия «непрерывной случайной величины» (НСВ) учащимся можно предложить следующие примеры:

1) рост человека есть величина, которая в зависимости от случайных обстоятельств принимает различные значения из некоторого промежутка;

2) прирост веса домашнего животного за месяц есть случайная величина, которая может принять значение из некоторого числового промежутка.

Далее формулируется определение: случайная величина, которая может принимать все значения из некоторого числового промежутка, называется непрерывной случайной величиной. Более точное (с математической точки зрения) определение НСВ имеет вид: если функция распределения F(x) всюду непрерывна и дифференцируема, то случайная величина X называется непрерывной случайной величиной.

В отличие от ДСВ значения НСВ непрерывно заполняют промежуток действительной оси. Перечислить все значения НСВ и задать их вероятности не представляется возможным. Известно, что вероятность каждого отдельного значения случайной величины X равна нулю. Действительно, возьмём любую точку а на оси абсцисс и примыкающий к ней полуинтервал [а; ß). Имеем: Р(а < X < ß) = F{ß)-F(a). Будем при этом неограниченно приближать точку ß к точке а. Тогда получим:

По свойству непрерывной функции этот предел равен нулю, а, следовательно, Р{Х = а} = О.

Вероятностные свойства НСВ задаются с помощью особой функции - плотности распределения случайной величины. В науке определение плотности даётся через понятие абсолютно непрерывной случайной величины, однако такой подход неуместен в средней школе, и поэтому можно ограничиться лишь адаптированным определением: плотностью распределения случайной величины X называется функция р(х), обладающая следующими свойствами:

Следует обратить внимание учащихся на то, что функция распределения и плотность связаны формулой: р(х) = F'{x), поэтому р{х) иногда называют дифференциальной функцией распределения, a F(x) - интегральной функцией распределения.

Чаще всего на практике встречаются задачи, в которых по известной плотности распределения требуется восстановить функцию распределения и наоборот, а также определить вероятность попадания случайной величины в заданный интервал. Примером, иллюстрирующим сказанное, может быть задача.

Задача. НСВ задана плотностью распределения

Найти функцию распределения F(x) и вычислить

Решение. Так как

Рис. 4

имеем

интеграл от — оо до х можно представить в виде суммы двух интегралов:

Рис.5

Рис.6

интеграл от —со до х можно представить в виде суммы трёх интегралов:

Окончательно

Интервал

полностью принадлежит отрезку

, на котором случайная величина X задана функцией распределения

или плотностью распределения

Поэтому искомую вероятность можно найти двумя способами, а именно

или

Закон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако часто закон распределения неизвестен и приходится ограничиваться меньшими сведениями. Иногда даже выгоднее пользоваться числами, которые описывают случайную величину суммарно. Такие числа принято называть числовыми характеристиками распределения случайной величины. Количественный показатель хотя и даёт множество возможных числовых значений, но не даёт ответ на такой вопрос, как «Какое из дан-

ных значений можно ожидать с большей вероятностью?». Вследствие чего планомерно появляется понятие «математическое ожидание».

Нахождение математического ожидания не представляет сколько-нибудь существенных трудностей, так как является вычислением по формулам: ЕХ = х1р1 + х2р2 + + ХПРП + если X- ДСВ и ЕХ = \х • p{x)dx, если Х- НСВ и определена на интервале {а\ ß).

Для закрепления данного понятия можно предложить решить пример.

Пример. Найти математическое ожидание НСВ X заданной на интервале (О; 5) плотностью

Решение.

Учащимся следует отметить, что для обозначения математического ожидания используются и другие символы, например, М(Х), а, тх.

Разбор учителем и самостоятельное решение учащимися соответствующих задач позволят последним очень легко усвоить приёмы нахождения математического ожидания.

Далее целесообразно рассмотреть свойства математического ожидания, так как они упрощают порой его нахождение:

Особо следует сделать акцент на вероятностный и механический смыслы математического ожидания ДСВ: математическое ожидание - это точка на числовой оси, относительно которой группируются результаты конкретных испытаний над дискретной случайной величиной (вероятностный смысл); если в точках xl5х2,..., хп->оси @х находятся соответственно массы Pi,/?2>— >Рп9 — > то координата х центра тяжести системы материальных точек вычисляется по формуле х = х1р1 + х2р2 + — + хпРп + •••= ЕХ (механический смысл).

Далее, без доказательства, сообщается, что для биномиального распределения ЕХ = пр ; для распределения Пуассона ЕХ = Л .

Для окончательного закрепления понятия уместно предложить профессионально-прикладные задачи, в ходе решения которых отрабатываются умения, связанные как с нахождением математического ожидания, так и с заданием случайной величины.

Задача. Предприниматель рассматривает возможность покупки акций трёх предприятий, по каждой из которых известна доходность, как отношение величины получаемого дохода за период времени к цене акции, и вероятности возможных значений доходности. Акции какого предприятия следует считать более доходными, если руководствоваться средним значением доходности?

Предприятие 1

Предприятие 2

Предприятие 3

Доходность (%), X

Вероятность, рх

Доходность (%), Y

Вероятность,/? у

Доходность (%), Z

Вероятность, pz

3

0,1

2

0,3

4

0,2

5

0,4

9

0,1

7

0,1

12

0,3

11

0,2

12

0,5

17

0,2

14

0,4

15

0,2

Таблица 5

Акции какого предприятия являются менее рискованными (считая, что чем выше колеблемость доходности акций, тем больше их рискованность)?

Как видим, математическое ожидание даёт возможность судить лишь о величине измеряемых объектов, в то время как характер распределения величин может быть различным. Покажем это на примере.

Пример. Пусть заданы две дискретные случайные величины X и Y своими законами распределения:

Таблица 6

Таблица 7

Несмотря на то, что математические ожидания величин X и Y одинаковы: ЕХ = EY = 0, возможные значения величин X и Y «разбросаны» или «рассеяны» около своих математических ожиданий по-разному: возможные значения величины X расположены гораздо ближе к своему математическому ожиданию, чем значения величины Y. В этой связи в основной школе было введено понятие величины, оценивающей меру рассеивания (разброса) значений случайной величины относительно её математического ожидания - дисперсия.

Учащимся напоминают, что дисперсией DX ДСВ X называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины X от её

математического ожидания :

Дисперсией непрерывной случайной величины X, определённой на интервале (а; /?), называется интеграл вида:

Пример. Найти дисперсию НСВ x, заданной на интервале (О; 5) плотностью р(х) = -^—х2.

Вычисление дисперсии также оказывается несложным. Далее целесообразно рассмотреть свойства дисперсии, так как они упрощают порой её нахождение:

1) dc = О, где С = const;

2) d{cx) = С2 • dx ;

3) dx = ex2 - [ExY (универсальная формула для вычисления дисперсии);

4) d(c + x) = dx.

Таким образом, чем меньше дисперсия, тем более тесно группируются результаты конкретных испытаний относительно математического ожидания и на этот факт необходимо обратить особое внимание.

Далее, без доказательства, сообщается, что для биномиального распределения dx = npq ; для распределения Пуассона dx = À.

Для окончательного закрепления понятия уместно предложить различного рода профессионально-прикладные задачи.

Введение среднего квадратичного отклонения следует объяснить тем, что дисперсия измеряется в квадратных единицах относительно размерности самой случайной величины, и поэтому в тех случаях, когда нужно иметь числовую характеристику рассеяния возможных значений в той же размерности, что и сама случайная величина, и используется среднее квадратичное отклонение. Средним квадратичным отклонением g x случайной величины x принято считать корень квадратный из её дисперсии: аХ - tJdX . Учащимся следует указать на тот факт, что среднее квадратичное отклонение задаёт тот интервал, в котором сосредоточена большая часть значений случайной величины. Понятию этого факта способствует прорешивание ряда задач.

Задача. Некоторое предприятие планирует реконструкцию и расширение производства для выпуска новой продукции. Руководство предприятия должно определить стратегию реконструкции и выработать один из двух проектов, предусматривающих большие и умеренные капитальные вложения. Неопределённость заключается в том, что спрос на новую про-

дукцию, которую собирается выпускать предприятие, неизвестен. Будущий спрос может быть низким, умеренным и высоким. Спрос оценивается в 15%, 45% и 40% соответственно. Пусть X означает ежегодный доход 1000 условных денежных единиц. Предприятие планирует следующий доход для проектов с большими и умеренными капитальными вложениями:

Доход при больших вложениях

Доход при умеренных вложениях

Спрос

Xi

Pi

Pi

0

0,15

70

0,15

150

0,45

130

0,45

290

0,4

250

0,4

Как Вы думаете, какое решение предпочтительнее для максимизации ожидаемого дохода? А для минимизации риска и неопределённости?

Знакомство школьников с нормальным законом распределения непрерывной случайной величины следует провести на конкретных примерах, таким образом, приводя в исполнение один из ведущих дидактических принципов - связь науки с реальной действительностью. Нормальное распределение (распределение Гаусса) занимает в теории вероятностей в определённом смысле центральное место, поскольку согласно центральной предельной теореме, достаточно большая сумма сравнительно малых случайных величин имеет распределение, близкое к нормальному. Его аналитическая запись позволяет устанавливать связь между алгебраической и вероятностной составляющими. Нормальное распределение имеет следующую плотность: р(х) =

Видно, что нормальное распределение определяется двумя параметрами: а = ЕХ и а- оХ. Достаточно знать эти параметры, чтобы задать нормальное распределение.

Отметим, что данный закон позволит в дальнейшем лучше понять и осознать статистический материал. Иллюстрацией нормального закона распределения может быть следующая задача.

Задача. На основании многолетних клинических наблюдений, проводившихся в питомнике обезьян, проведено 100 анализов на содержание кальция (% в мг) в сыворотке крови клинически здоровых павианов гамадрилов (содержание кальция распределено по нормальному закону). Самое низкое содержание - 13,5, а самое высокое - 14,3. Подсчитали число анализов в каждой из трёх групп: первая группа - от 13,5 до 13,7; вторая - от 13,8 до 14,0; третья - от 14,1 до 14,3. Как вы думаете, в какой из групп анализов оказалось больше? Почему?

Большое значение для формирования понятия и свойств плотности нормального распределения имеет её геометрическая интерпретация. Геометрический материал обеспечивает, главным образом, развивающую

функцию обучения, умственную активность и самостоятельность учащихся профильных классов.

Большинство задач с использованием нормального распределения сводится к определению вероятности попадания случайной величины в заданный отрезок:

В качестве примера можно предложить задачу.

Пример. Магазин продаёт мужские костюмы. По данным статистики известно, что распределение по размерам является нормальным с математическим ожиданием и средним квадратичным отклонением, равными 48 и 2 соответственно. Какой процент от общего объёма закупки следует предусмотреть магазину для костюмов 50-го размера при условии, что этот размер находится в отрезке [49; 51]?

Решение. Пусть случайная величина X - размер костюма. Требуется вычислить вероятность попадания нормально распределённой случайной величины в отрезок [49; 51]. Для нахождения искомой вероятности воспользуемся формулой

Поэтому данный факт магазин должен предусмотреть в общем объёме закупки.

В заключение, в качестве практического приложения, следует рассмотреть правило «трёх сигм», заключающееся в том, что теоретически нормальная плотность вероятности отлична от нуля в любой, даже очень отдалённой от а точке х, однако практически почти вся вероятность сосредоточена на отрезке а ± 3<т.

Пример. У яровой пшеницы сорта Саратовская 29 длина главного колоса в сантиметрах представляет собой случайную величину X, подчиняющуюся закону распределения, который характеризуется следующей плотностью распределения

Найти отрезок, в который попадут практически все возможные значения длины главного колоса пшеницы этого сорта.

Решение. Пусть случайная величина Х- длина главного колоса пшеницы сорта Саратовская 29. По плотности распределения, заданной в данном виде легко установить, что случайная величина распределена по нормальному закону и основные характеристики этого распределения таковы:

а = 6,6 и а = 1,2. Чтобы найти искомый отрезок, необходимо воспользоваться правилом «трёх сигм»: [б,6 - 3 • 1,2; 6,6 + 3 • 1,2] => [3; 10,2].

Вначале изучения различных интерпретаций «закона больших чисел» следует отметить, что предсказать заранее результат испытания, в котором может появиться или не появиться то или иное событие или какое-либо определённое значение случайной величины, невозможно, так как исход испытания зависит от многих случайных причин, не поддающихся учёту. В то же время при достаточно большом числе испытаний характеристики случайных событий и случайных величин, наблюдаемых при испытании, становятся почти неслучайными. Это позволяет использовать результаты наблюдений над случайными явлениями для предсказания результатов будущих испытаний.

Неравенство Чебышева (для любой случайной величины X, имеющей конечную дисперсию, при каждом s > 0 имеет место неравенство

а также теорему Бернулли (пусть производится п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна р, тогда каково бы ни было s > 0, где /л - число наступлений события А в п опытах) лучше дать без доказательства. Для того, чтобы учащиеся могли глубже разобраться в данном материале, следует обратить их внимание на смысл и применение теорем при решении профессионально-прикладных задач. Например, неравенство Чебышева определяет верхнюю границу вероятности того, что отклонение значения случайной величины от её математического ожидания больше некоторого заданного числа. Оно даёт оценку вероятности события \Х - ЕХ\ > s для случайной величины, распределение которой неизвестно, известны лишь её математическое ожидание и дисперсия, а теорема Бернулли, устанавливающая связь между вероятностью появления события и его относительной частотой появления, позволяет предсказать, какой примерно будет эта частота в п испытаниях.

Раздел III. НАУЧНЫЕ СООБЩЕНИЯ

ЛИНЕЙНЫЕ АЛГОРИТМЫ СОЗДАНИЯ ФРАКТАЛЬНЫХ ОБЪЕКТОВ

Л.В. Жук, Е.Е. Минаева

В статье исследуются линейные алгоритмы создания фракталов и возможности их использования в школьном курсе информатики.

Ключевые слова: фрактал, метод СИФ, аффинные преобразования, рекурсия.

Известно, что многие геометрические фракталы строятся путем бесконечного повторения нескольких простых операций. Так, салфетка Серпинского получается заменой исходного треугольника тремя треугольниками в два раза меньшего размера. Затем эта операция повторяется с каждым из трех треугольников, и так до бесконечности.

Возникает вопрос: нельзя ли эту процедуру замены перевести на язык математических формул? Эта идея образно представлена в статье немецких математиков Х.-О. Пайтгена, X. Юргенса, Д. Заупе: «Фракталы -это прежде всего язык геометрии. Однако их главные элементы недоступны непосредственному наблюдателю. В этом отношении они принципиально отличаются от привычных объектов евклидовой геометрии, таких, как прямая линия или окружность. Фракталы выражаются не в привычных геометрических формах, а в алгоритмах, наборах математических процедур. Эти алгоритмы трансформируются в геометрические формы с помощью компьютера» [2].

Существуют две группы «фрактальных языков»: линейные и нелинейные. Остановимся на линейных алгоритмах, значительные успехи в применении которых связаны с появлением в середине 80-х годов 20 в метода систем итерируемых функций (СИФ), предложенного британским математиком М. Барнсли. Рассмотрим данный метод на примере салфетки Серпинского. Поместим равносторонний треугольник со стороной 1 на комплексную плоскость. Зададим вопрос: каким линейным преобразованием он переводится в равносторонний треугольник в два раза меньшего размера? Очевидно, функция, осуществляющая это преобразование, определяется выражением .

Сместим этот маленький треугольник по горизонтали вправо, используя преобразование, заданное функцией.

Наконец, третий маленький треугольник получается с помощью преобразования.

На рис. 1 приведено четвертое положение итераций, состоящее из треугольника. После бесконечного числа шагов приходим к множеству точек, образующих фрактал - салфетку Серпинского.

Рис. 1.

Обобщая сказанное, можно представить рассмотренный алгоритм СИФ в виде следующей последовательности множеств.

Последовательность множеств (£t., Ещ,Еп,... ) сходится к некоторому предельному множеству »-*- , которое называют аттрактором.

Особое свойство алгоритмов СИФ заключается в том, что их результат совершенно не зависит от начального множества Ео. По отношению к рассмотренному выше алгоритму, мы могли бы стартовать с любой фигуры - круга, квадрата и даже единственной точки. Причина такого поведения заключается в том, что салфетка Серпинского является аттрактором для системы из трёх линейных преобразований

Для реализации компьютерной программы детерминированного алгоритма СИФ лучше всего подходят такие языки программирования, как СИ, ПАСКАЛЬ, ФОРТРАН и другие, допускающие компиляцию. В

случайном алгоритме нет необходимости хранить большие массивы данных в памяти. Поэтому им удобно пользоваться на компьютерах с ограниченными ресурсами, вычисляя одну точку на каждом шаге и сразу же и отображая её на экране. Однако чтобы получать изображение приемлемого качества, требуются тысячи точек. В настоящее время имеется множество готовых программ для генерации фрактальных изображений, созданных пользователями-энтузиастами: Ultra Fractal, Fractal Explorer, ChaosPro, Fractal World и другие.

Представленные выше линейные преобразования на комплексной плоскости можно рассматривать как частные случаи аффинного преобразования плоскости:

Эти преобразования сохраняют отрезки прямых, но меняют их положение, масштаб и ориентацию.

Одним из наиболее ярких результатов применения метода СИФ является система функций, открытая М. Барнсли. Она состоит из четырёх сжимающих аффинных преобразований, аттрактором для которой является множество точек, напоминающее по форме лист папоротника. Её можно представить в виде следующей таблицы:

Каждая строка этой таблицы соответствует одному аффинному преобразованию с коэффициентами а, Ъ, с, d, е, f. В последнем столбце таблицы приведены вероятности р, в соответствии с которыми в методе СИФ выбирается то или иное преобразование.

Результат действия этой системы функций на некоторую начальную точку для разного числа итераций приведён на рис. 2.

Рис.2. Лист папоротника (слева направо показано 2000, 4000, 10000, 50000 и 200000 итераций)

Это множество точек бесконечно самоподобно. Замечательным является тот факт, что для построения этого изображения запоминать координаты точек, которые его формируют, не требуется. Таким образом, всего 28 чисел содержат всю необходимую информацию о таком нетривиальном рисунке. Идея подобным образом «кодировать» и другие изображения, позволившая сжимать информацию в сотни раз, в 1988 г.

была воплощена в жизнь математиками М. Барнсли и А. Слоуном в созданной ими совместно компании по кодированию и сжатию графической информации с помощью соответствующим образом подобранной системы функций.

Простейшие алгоритмы для создания фракталов можно предложить учащимся 11 класса при изучении темы «Рекурсивные графические алгоритмы». Рекурсией называется ситуация, когда процедура или функция обращается к себе самой прямо или косвенно. Приведем пример программы, написанной на языке Turbo Pascal и основанной на идее «черепашьей графики». «Черепаха» - это вектор с началом в текущем указателе, показывающий направление очередного перемещения из текущей точки и оставляющий при перемещении позади себя след. «Черепаху» можно поворачивать на заданный угол и перемещать на заданное расстояние.

Алгоритм построения треугольника Серпинского:

1) строится большой внешний треугольник (А);

2) строится треугольник, получающийся при соединении середин сторон большого треугольника (Б);

3) строятся треугольники, получающиеся аналогично элементу Б, но в качестве большого треугольника берутся треугольники, образованные элементами А и Б.

Программа, реализующая треугольник Серпинского

Библиографический список

1. Юргенс, Х. и др. Язык фракталов [Текст] / Х. Юргенс, Х.-О. Пайтген, Д. Заупе // В мире науки. - 1990. - № 10. - С. 36-37.

2. Гринченко, В.Т. Введение в нелинейную динамику: Хаос и фракталы [Текст] / В.Т. Гринченко, В.Т. Мацыпура, А.А. Снарский. - М, 2010, 280 с.

НАХОЖДЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ ОТ ПРОИЗВЕДЕНИЙ ЦЕЛЫХ СТЕПЕНЕЙ КОСИНУСА И СИНУСА

С.В. Костин

Изложен общий алгоритм нахождения неопределенных интегралов от произведения целых степеней косинуса и синуса. Приведены примеры использования описанного алгоритма.

Ключевые слова: тригонометрические функции, методы интегрирования, неопределенный интеграл.

Введение

Овладение студентами техникой неопределенного интегрирования крайне важно как для успешного изучения самого интегрального исчисления (поскольку нахождение определенных, кратных, криволинейных и поверхностных интегралов сводится в конечном счете к нахождению неопределенных интегралов), так и для успешного изучения других разделов математики (таких как теория дифференциальных уравнений, теория рядов, теория функций комплексной переменной и др.).

Данная статья посвящена нахождению неопределенных интегралов от произведений целых степеней косинуса и синуса, то есть нахождению неопределенных интегралов вида

Безусловно, интегралы вида (1) с некоторыми значениями параметров тип встречаются во всех (или почти во всех) учебниках высшей математики и математического анализа. Однако автор данной статьи не встречал где-либо систематического изложения алгоритма нахождения интегралов вида (1) при произвольных целых значениях параметров тип. Цель данной статьи заключается в том, чтобы восполнить этот методический пробел.

Базовые тригонометрические интегралы

Излагаемый ниже алгоритм нахождения интегралов вида (1) основан на сведении этих интегралов к одному или нескольким так называемым базовым тригонометрическим интегралам. Базовыми тригонометрическими интегралами мы считаем следующие семь интегралов:

Алгоритм нахождения интегралов от произведений целых степеней косинуса и синуса

Случай 1. Хотя бы одно из чисел тип является нечетным натуральным числом.

Пусть, для определенности, число m является нечетным натуральным числом (случай, когда число п является нечетным натуральным числом, рассматривается аналогично). Тогда т = 2& + 1, где к — неотрицательное целое число. Имеем:

9)

В последнем интеграле надо возвести бином 1 - г в степень к и умножить полученный многочлен на t". В результате мы получим интеграл от суммы степенных функций (с целыми показателями степени), умноженных на некоторые константы. Этот интеграл легко находится. После нахождения интеграла надо вернуться к исходной переменной интегрирования X, используя формулу t = sinx.

Пример 1.

Случай 2. Оба числа тип являются четными неотрицательными целыми числами.

В этом случае т = 2к и п = 21, где к и / — неотрицательные целые числа. Пусть, для определенности, к > I (случай / > к рассматривается аналогично). Имеем:

10)

где А — некоторые действительные числа.

Таким образом, мы выразили интеграл 1(т,п) через интеграл ^œsp2xsm212xdx, где ре[0..к-1]. Последний интеграл с помощью замены

переменной и = 2х сводится к интегралу 1(р, 21). При нечетном р интеграл 1{р, 21) относится к случаю 1. При четном р интеграл /(/?, 21) относится к случаю 2, однако сумма показателей степеней у этого интеграла как минимум в два раза меньше, чем у исходного интеграла. Действительно,

Это позволяет за конечное число шагов выразить исходный интеграл только через интегралы, относящиеся к случаю 1, а также через базовый тригонометрический интеграл (2).

Замечание. При нахождении интегралов, относящихся к случаю 2, рекомендуется до нахождения интеграла отдельно преобразовать подынтегральную функцию. Это связано с тем, что при последовательном понижении степени могут появляться совпадающие члены, которые целесообразно привести до нахождения интеграла (для того чтобы не находить один и тот же интеграл несколько раз).

Пример 2.

Преобразуем подынтегральную функцию:

Имеем:

Поэтому

Следовательно, исходный интеграл равен

Случай 3. Ни одно из чисел m и п не является нечетным натуральным числом и при этом сумма т + п является четным отрицательным целым числом.

Пусть м + п = -2к, где к — натуральное число. Имеем:

11)

В последнем интеграле надо возвести бином t2 +1 в степень к -1 и умножить полученный многочлен на f. В результате мы получим интеграл от суммы степенных функций (с целыми показателями степени), ум-

ноженных на некоторые константы. Этот интеграл легко находится. После нахождения интеграла надо вернуться к исходной переменной интегрирования X, используя формулу t = tgJC.

Пример 3.

Случай 4. Одно из чисел m или п является четным натуральным числом, а другое число является четным отрицательным целым числом, причем сумма т + п является четным неотрицательным целым числом.

Пусть, для определенности, число m является четным натуральным числом, а число п является четным отрицательным целым числом (противоположный случай рассматривается аналогично). Тогда т = 2к и я = -2/, где к и / — натуральные числа, причем, поскольку сумма m + п неотрицательна, то к > I. Имеем:

12)

Мы выразили искомый интеграл

через интегралы

Рассмотрим интеграл /,. Если к = 19 то интеграл /, относится к случаю 3. Если к>1, то интеграл /, относится к случаю 4, однако первый показатель степени у этого интеграла на две единицы меньше, чем у исходного интеграла.

Рассмотрим интеграл 12. Если к = 1, то 1 = 1 и мы получаем базовый тригонометрический интеграл (2). Если к > 2 и / = 1, то интеграл 12 относится к случаю 2. Если к > 2 и / > 2, то интеграл 12 относится к случаю 4, однако оба показателя степени у этого интеграла по модулю на две единицы меньше, чем у исходного интеграла.

Из этих рассуждений следует, что, повторив, если это необходимо, процедуру (12) несколько раз, мы можем за конечное число шагов выразить исходный интеграл только через интегралы, относящиеся к случаям 2 и 3.

Пример 4.

Полученные интегралы относятся к случаю 4.

Рассмотрим их отдельно. Имеем: Интеграл

относится к случаю 3. Интеграл

относится к случаю 2. Интеграл

относится к случаю 4 и к нему еще раз надо применить (12):

Интеграл

- это базовый тригонометрический интеграл (6) (формально он относится к случаю 3), a jdx — это базовый тригонометрический интеграл (2) (формально он относится к случаю 2).

Итак, мы выразили исходный интеграл через интегралы, относящиеся к случаям 2 и 3. Дальнейшее решение задачи не вызывает каких-либо сложностей, и мы его опускаем.

Случай 5. Одно из чисел m или п является четным целым числом, а другое число является нечетным отрицательным целым числом.

Пусть, для определенности, число m является четным целым числом, а число п является нечетным отрицательным целым числом (противоположный случай рассматривается аналогично). Тогда т = 2к и п = -2/ -1, где к — целое число, а / — неотрицательное целое число.

Случай 5а. к = О или к = 1.

Если / = О, то мы получаем интегралы /, = f_^L и /2 = \CQS х dx. Интеграл /, — это базовый тригонометрический интеграл (8), а интеграл 12 легко находится, если заменить в числителе cos2 х на 1 - sin2 х и разбить интеграл на два интеграла.

Пусть теперь / > 1. Имеем:

14)

Формулы (13) и (14) выражают интегралы 7(2, - 21 -1) и 7(0, - 21 -1) через интегралы 1(2, - 21 +1) и 7(0, - 2/ +1), у которых второй показатель степени по модулю на две единицы меньше.

Повторив, если это необходимо, процедуры (13) и (14) несколько раз, мы можем за конечное число шагов выразить исходный интеграл через интегралы 7, и 72.

Случай 56. к>2. Имеем:

15)

Мы выразили искомый интеграл

Рассмотрим интеграл 7,. Если к = 2, то интеграл 7, относится к случаю 5а. Если к>3, то интеграл 7, относится к случаю 56, однако первый показатель степени у этого интеграла на две единицы меньше, чем у исходного интеграла.

Рассмотрим интеграл 72. Если / = 0, то интеграл 72 относится к случаю 1. Если />1 и к = 2, то интеграл 72 относится к случаю 5а. Если / >1 и к > 3, то интеграл 72 относится к случаю 56, однако оба показателя степени у этого интеграла по модулю на две единицы меньше, чем у исходного интеграла.

Из этих рассуждений следует, что, повторив, если это необходимо, процедуру (15) несколько раз, мы можем за конечное число шагов выразить исходный интеграл только через интегралы, относящиеся к случаям 1 и 5а.

Случай 5в. к < -1. Имеем:

16)

Мы выразили искомый интеграл 1(т,п) = 1(2к, -2/-1) через интегралы /, =/(2£ + 2,-2/-1) и /2 =/(2£,-2/ + 1).

Рассмотрим интеграл /,. Если к = -1, то интеграл /, относится к случаю 5 а. Если к<-2, то интеграл /, относится к случаю 5 в, однако первый показатель степени у этого интеграла по модулю на две единицы меньше, чем у исходного интеграла.

Рассмотрим интеграл 12. Если / = 0, то интеграл 12 относится к случаю 1. Если />1, то интеграл 12 относится к случаю 5в, однако второй показатель степени у этого интеграла по модулю на две единицы меньше, чем у исходного интеграла.

Из этих рассуждений следует, что, повторив, если это необходимо, процедуру (16) несколько раз, мы можем за конечное число шагов выразить исходный интеграл только через интегралы, относящиеся к случаям 1 и 5а.

Пример 5.

Интеграл - — это базовый тригонометрический интеграл (7) (формально он относится к случаю 5а), а интеграл Jcosxdx — это базовый тригонометрический интеграл (3) (формально он относится к случаю 1).

Итак, мы выразили исходный интеграл через базовые тригонометрические интегралы. Дальнейшее решение задачи не вызывает каких-либо сложностей и мы его опускаем.

Заключение

Рассмотренные нами пять случаев исчерпывают все возможные значения целочисленных параметров тип. При этом случаи не пересекаются, то есть интеграл 1(т, п) с данными значениями параметров тип попадает в один и только в один из этих пяти случаев. Следующая таблица наглядно показывает, какой случай соответствует каждой паре (т, п).

Мы надеемся, что знакомство с изложенным в нашей статье алгоритмом нахождения неопределенных интегралов от произведения произвольных целых степеней косинуса и синуса окажется полезным для студентов и поможет им систематизировать свои знания.

Автор будет благодарен читателям за любые комментарии или замечания по затронутым в данной статье вопросам.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ЭЙЛЕРОВА ИНТЕГРАЛА ВТОРОГО РОДА (ГАММА-ФУНКЦИИ)

Р.А. Мельников, Е.И. Таранова

В статье рассмотрен один из интегралов Эйлера (гамма-функция или интеграл Эйлера 2-го рода). Приведены несколько основных её свойств, рассмотрен пример, решение которого невозможно без гамма-функции. Приведена программа на языке С++, позволяющая вычислять значения гамма-функции при различных значениях аргумента.

Ключевые слова: гамма-функция, интеграл Эйлера 2-го рода, интегральное уравнение Абеля, факториал.

Теория гамма-функций выросла из проблемы расширения понятия факториалов целых чисел на любые числа вообще. Функцию факториал можно еще записать в виде рекурсивного соотношения:

Это соотношение можно рассматривать не только при целых значениях 71 . Однако в этом случае хорошо бы новую функцию обозначить по-другому, чтобы не путать с хорошо знакомой функцией факториал.

Рассмотрим разностное уравнение

Несмотря на простую форму записи, в элементарных функциях это уравнение не решается. Его решение называется гамма-функцией. Гамма-функцию можно записать в виде ряда или в виде интеграла. Для изучения глобальных свойств гамма-функции обычно пользуются интегральным представлением.

Гамма-функцией (или интегралом Эйлера 2-го рода) называется функция:

(1)

Формула (1) определяет гамма-функцию лишь для положительных а . Для а , лежащих в интервале * « * + i 5 мы определим значение гамма-функции формулой:

Гамма-функция относится к числу интегралов, зависящих от параметра. Гамма-функция является удобным средством для вычисления некоторых интегралов, в частности, многих из тех интегралов, которые не представимы в элементарных функциях. Благодаря этому она широко применяется в математике и ее приложениях.

Основные свойства гамма-функции выражаются равенствами:

Рассмотрим одну задачу, решение которой связано с применением гамма-функции.

Решить интегральное уравнение Абеля:

Решение.

Применим операционный метод. Пусть ф№ - функция-оригинал, а Ф&Я - её изображение. Тогда по теореме Бореля:

Составим операторное уравнение

Решением этого уравнения будет функция

а оригиналом для неё будет функция вида

Из приведённого примера видно, что судить о полученном решении без знания значений гамма-функций, входящих в формулу, невозможно.

По этой причине нами была разработана программа, позволяющая вычислять гамма-функции от различных аргументов. В том числе тех, которые нельзя посчитать вручную.

Приведём фрагмент программного кода, возвращающий значение гамма-функции вещественного аргумента г:

Фрагмент основной программы для рассчета значения гамма-функции:

Данная программа написана на языке программирования высокого уровня С++. Язык программирования С++ - это компилируемый язык программирования общего назначения, сочетает свойства как высокоуровневых, так и низкоуровневых языков программирования.

Приведём примеры вычисления гамма-функций:

Библиографический список

1. Артин Э. Введение в теорию гамма-функции. Л-М: Государственное технико-теоретическое издательство, 1934. 39 с.

2. Олвер Ф. Введение в асимптотические методы и специальные функции. М: Наука, 1978. 375 с.

КОНТЕНТ-АНАЛИЗ КАК ОСНОВА АДМИНИСТРИРОВАНИЯ МНОГОСТРАНИЧНОГО САЙТА

Е.И. Трофимова, А.И. Белоглазова

Администрирование сайта (техническая поддержка) - это комплекс технических мероприятий, обеспечивающих нормальное функционирование сайта. За время существования всемирной сети большая часть создателей сайтов усвоили, что недостаточно просто создать сайт и оставить его без поддержки. В принципе, цель существования любого сайта - это сообщение пользователям какой-то информации. Без обновления информации сайт перестает быть актуальным и интересным для целевой аудитории. Таким образом, качеством администрирования сайта обеспечивает его жизнедеятельность, т.е. нужность посетителям.

Администрирование сайта делится на информационное и техническое.

Информационное администрирование заключается в постоянной работе с контентом (содержанием сайта) и состоит из следующих этапов:

• добавление новых материалов на сайт;

• изменение материалов сайта для повышения удобства использования;

• удаление устаревших материалов, помещение их в архив;

• поддержка актуальности и релевантности материалов, содержащихся на сайте.

Техническое администрирование - это набор технических мероприятий, позволяющих обеспечить доступ пользователей к сайту в любое время. Оно заключается в:

• выборе и регистрации доменного имени сайта;

• выборе и предоставлении хостинга;

• постоянном контроле за техническим состоянием сервера;

• постоянном контроле за работоспособностью всех элементов сайта.

Таким образом, администрирование - это постоянное обновление (добавление) свежей, актуальной информации, соответствующей тематике сайта.

Немаловажным аспектом администрирования является оперативная связь с посетителями сайта. Этим занимается модератор, т.е. пользователь, имеющий более широкие права по сравнению с обыкновенными пользователями на общественных сетевых ресурсах (чатах, форумах, эхоконференциях). Модератор имеет право:

■ удалять чужие сообщения;

■ редактировать чужие сообщения;

■ удалять страницы пользователей;

■ ограничивать пользователей в правах редактирования и просмотра сайта (банить).

Главной задачей модерации является поддержание порядка на сайте и контроль за контентом (в том числе чистка ресурса от разного рода спама). Однако контроль за контентом в визуальной форме просто осуществляется только на малых сайтах, состоящих из нескольких страниц. Та же задача для большого многостраничного сайта (портала) так просто уже не решается. Возникает необходимость структурирования материала по темам и ссылкам, удаления устаревших сведений, открытия новых тем и страниц и т.п. Эту деятельность удобно выполнять, опираясь на так называемый контент-анализ.

Контент-анализ - собирательный термин для любой информации, которая содержится в информационном ресурсе. Контент-анализ выступает как одно из главных определений в администрировании. Единой трактовки данного термина на настоящий момент не существует. Например, энциклопедия «Кругосвет» трактует данное понятие как количественный анализ текстов и текстовых массивов с целью последующей содержательной интерпретации выявленных числовых закономерностей. Можно сказать, что контент-анализ - это перевод текстовой информации в количественные показатели. Например, такими показателями могут быть:

• количество слов в тексте;

• количество и состав действующих персонажей;

• тематика статьи;

• наличие в тексте определенных (ключевых) слов и т.д.

Особо остановимся на последнем. Если создатель проекта хочет, чтобы посетители легко находили его сайт, нужно добиться, чтобы поисковые машины по определенным, важным для автора словам выдавали ссылку на материал, расположенный на сайте. Задача контент-анализа - проанализировать их содержание, выбрать наиболее подходящие и нужные ключевые слова и разместить их в метатегах, правильно составить фразы, по которым эти страницы должны находиться наилучшим образом - достаточно сложная и длительная задача. Для ее решения используются различные методы, например, метод оптимизации ключевых слов, метод двух кликов и т.д. Все эти методы направлены на то, чтобы нужная пользователю информация находилась достаточно быстро.

Для проведения контент-анализа созданы несколько программ. Одной из наиболее удобных является Site Content Analyzer.

Эта программа выполняет анализ содержимого веб-страниц, автоматически выделяет ключевые слова, подсчитывает количество вхождений каждого слова, анализирует как отдельные страницы, так и сайт полностью, как расположенный локально, так и находящийся в онлайне. На основе наиболее употребимых слов, имеющих для конкретной страницы наибольший рейтинг, программа будет конструировать фразы. Как фразы, так и ключевые слова очень легко экспортируются в текстовый файл.

Таким образом, контент-анализ, как и любой другой, помогает администратору сделать сайт более удобным для пользователя любого уровня. В заключение отметим, что программа позволяет проанализировать не только ключевые слова, но и правильно расположить строку поиска данных, которые хотят найти гости сайта, и в правильном порядке расставить информацию.

Библиографический список

1. Аверьянов Л.Я. Контент-анализ. М: КноРус, 2007. С. 145-150.

2. Валгина Н.С. Теория текста: учебное пособие. М.: Логос, 2003. с.33 - 40

3. Шалак В. Современный контент-анализ. Приложение в области: политологии, психологии, культурологи, экономики, рекламы, 2009 г. С. 118-135.

СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ

Андрианова Мария Васильевна - учитель математики высшей квалификационной категории МБОУ СОШ с. Войсковая Казинка Долгоруковского района Липецкой области, руководитель ММО учителей математики Долгоруковского района.

Белоглазова Анастасия Игоревна студентка физико-математического факультета ЕГУ им. И.А. Бунина.

Белоглазова Ольга Александровна - учитель математики МБОУ «Средняя общеобразовательная школа №7» города Губкина Белгородской области.

Берзин Дмитрий Викторович - кандидат физико-математических наук, доцент ФГБОУ ВПО «Финансовый университет при Правительстве РФ (Финуниверситет)».

Буреев Виктор Алексеевич - кандидат технических наук, доцент, декан факультета дистанционного обучения Московской государственной академии водного транспорта.

Бусев Василий Михайлович - заведующий научно-аналитическим отделом НПБ им. К.Д. Ушинского РАО (Москва).

Гольтяева Наталья Сергеевна - преподаватель Г(О)БОУ СПО Елецкий промышленно-экономический техникум, магистрант ЕГУ им. И.А. Бунина по направлению «Прикладная математика»

Грибов Александр Юрьевич - аспирант кафедры математического анализа и элементарной математики ЕГУ им. И.А. Бунина.

Гридчина Ирина Николаевна - кандидат педагогических наук, старший преподаватель кафедры математического анализа и элементарной математики ЕГУ им. И.А. Бунина.

Ельчанинова Галина Георгиевна - кандидат педагогических наук, доцент кафедры математического анализа и элементарной математика ЕГУ им. И. А. Бунина

Жук Лариса Викторовна - кандидат педагогических наук, доцент кафедры алгебры и геометрии ЕГУ им. И.А. Бунина.

Зуева Марина Леоновна - кандидат педагогических наук, доцент кафедры естественно-математических дисциплин государственного образовательного учреждения Ярославской области «Институт развития образования» (ГОУ ЯО ИРО).

Имайкин Валерий Марсович - кандидат физико-математических наук, заведующий лабораторией НИИ ИСРОО Департамента образования г. Москвы.

Корольков Александр Аркадьевич - доктор философских наук, профессор, академик РАО, заведующий кафедрой философской и психологической антропологии РГПУ им. А.И.Герцена (СПб.).

Костин Сергей Вячеславович - ассистент кафедры высшей математики Московского государственного технического университета радиотехники, электроники и автоматики (МГТУ МИРЭА).

Лыков Евгений Николаевич - ассистент кафедры математического анализа и элементарной математики ЕГУ им. И.А. Бунина.

Малютин Алексей Андреевич - аспирант кафедры математического анализа и элементарной математики ЕГУ им. И.А. Бунина.

Марушкина Ираида Алексеевна - кандидат педагогических наук, учитель математики МБОУ «СОШ №3 им. О.А. Морозова», Тульская обл., г. Ефремов.

Мельников Роман Анатольевич - кандидат педагогических наук, доцент кафедры математического анализа и элементарной математики ЕГУ им. И.А. Бунина.

Минаева Евгения Евгеньевна - студентка физико-математического факультета ЕГУ им. И.А. Бунина.

Морозова Наталия Николаевна - кандидат физико-математических наук, доцент Академии Федеральной Службы Охраны (г. Орёл).

Острякова Лариса Никаноровна - учитель математики, МБОУ гимназия имени Героя Советского Союза П.А. Горчакова с. Боринское Липецкая область, Липецкий район, с. Боринское,

Панова Светлана Валентиновна - заместитель директора, учитель математики ГБОУ гимназия №1554, г. Москва

Перцев Владимир Владимирович - кандидат педагогических наук, доцент кафедры математического анализа и элементарной математики ЕГУ им. И.А. Бунина.

Рыманова Татьяна Евгеньевна - кандидат педагогических наук, доцент кафедры математического анализа и элементарной математики ЕГУ им. И.А. Бунина.

Саввина Ольга Алексеевна - доктор педагогических наук, профессор, заведующий кафедрой математического анализа и элементарной математики ЕГУ им. И.А. Бунина.

Симоновская Галина Александровна - кандидат педагогических наук, доцент кафедры математического анализа и элементарной математики ЕГУ им. И.А. Бунина.

Смирнова Ирина Геннадьевна - заместитель директора, учитель математики ГБОУ гимназия №1554, г. Москва.

Солосина Ирина Сергеевна - ассистент кафедры математического анализа и элементарной математики ЕГУ им. И.А. Бунина.

Таранова Елизавета Игоревна - студентка 4-го курса физико-математического факультета (гр. ПМ-41) ЕГУ им. И.А. Бунина, физико-математический факультет.

Тертухина Ольга Николаевна - директор, учитель математики ГБОУ гимназия № 1554г. Москва.

Тестов Владимир Афанасьевич - доктор педагогических наук, профессор, заведующий кафедрой алгебры, геометрии и теории обучения математике Вологодского государственного педагогического университета.

Трофимова Елена Ивановна - доктор педагогических наук, декан физико-математического факультета ЕГУ им. И.А. Бунина.

Хвостикова Маргарита Алексеевна - учитель математики «МБОУ гимназия имени П.А.Горчакова», с.Боринское Липецкого района Липецкой области.

Худякова Юлия Александровна - студентка 2-го курса факультета математики и информатики Московского городского педагогического университета (Москва).

Черноусова Наталия Вячеславовна - кандидат педагогических наук, доцент кафедры математического анализа и элементарной математики ЕГУ им. И.А. Бунина.

Шестакова Лидия Геннадьевна - кандидат педагогических наук, доцент, проректор по учебной работе Соликамского государственного педагогического института

Щербатых Сергей Викторович - кандидат педагогических наук, доцент кафедры математического анализа и элементарной математики ЕГУ им. И.А. Бунина.

ИНФОРМАЦИЯ О КОНКУРСЕ УЧЕНИЧЕСКИХ ПРОЕКТОВ

В 2011 г. на кафедре математического анализа и элементарной математики зародилась традиция проведения конкурса ученических проектов по математике.

К участию в конкурсе приглашаются учащиеся 5-11-х классов общеобразовательных учреждений. Цель конкурса: поддержка научного творчества учащихся, популяризация математики.

Конкурс проводится в 2 этапа. Отборочный (заочный) тур: в течение 3-х месяцев (январь-март) принимаются заявки и описания проектов, которые анализируются жюри. В апреле проходит второй тур - защита проектов.

В 2011 г. в конкурсе приняли участие 64 школьника, в 2012 г. - 63 школьника. География участников охватывает города Елец, Липецк, Ливны, Елецкий район и пр.

Все участники были награждены дипломами и памятными подарками, а лауреаты дипломов I и II степени получили призы, предоставленные фондом «Математические этюды» (Москва, РАН).

В 2012 г. лауреатами 1 степени стали:

1) Храмова Алёна Александровна - ученица МБОУ №1 им. М.М. Пришвина г. Ельца с темой «Любимый город в задачах» (рук. Дементьева Ирина Александровна);

2) Лоскутова Мария, Сапрыкин Александр, Климова Елизавета -учащиеся МБОУ лицей № 44 г. Липецка с темой «Вычисление площади многоугольника по формуле Пика» (рук. Иванова Ольга Евгеньевна);

3) Малютин Данил Дмитриевич - ученик МБОУ СОШ с. Становое с темой «Задача о квадратуре круга — одна из знаменитых задач древности» (рук. Дуб Оксана Владимировна);

4) Вострикова Анастасия Сергеевна - ученица МБОУ гимназия № 11 г. Ельца с темой «Графы в нашей жизни» (рук. Самко Наталия Александровна).

Лауреатами 2 степени стали:

1) Мелихова Елизавета Геннадьевна - ученица МБОУ СОШ п. Солидарность Елецкого района с темой «Математика в моей жизни» (рук. Ельчанинова Галина Ивановна);

2) Кондакова Анастасия Олеговна - ученица МБОУ лицей № 5 г. Ельца с темой «Как быстро арифметику проверить» (рук. Добрина Варвара Альбертовна);

3) Севостьянова Анна Дмитриевна - ученица МБОУ лицей № 44 г. Липецка с темой «Геометрическое доказательство формул сокращённого умножения» (рук. Иванова Ольга Евгеньевна);

4) Иванцов Даниил Валентинович - ученик МБОУ СОШ № 12 г. Ельца с темой «Задачи о раскраске карт» (рук. Морозова Ирина Евгень-

евна - учитель географии, Трубицына Татьяна Николаевна - учитель математики);

5) Епифанова Анастасия Владимировна - ученица МБОУ СОШ с. Становое с темой «Проценты вокруг нас» (рук. Дуб Оксана Владимировна);

6) Ельчанинов Максим - ученик МБОУ лицей № 5 г. Ельца с темой «Функционально-графический подход при решении уравнений школьного курса алгебры и начала анализа» (рук. Мяликова Елена Викторовна);

7) Павлов Роман Андреевич - ученик МБОУ СОШ № 10 г. Ельца с темой «Мир тригонометрии» (рук. Болдырева Наталья Алексеевна).

Все остальные участники получили Дипломы участников конкурса ученических проектов по математике.

ПОЛОЖЕНИЕ о конкурсе ученических проектов по математике

Кафедра математического анализа и элементарной математики (МАиЭМ) ФГБОУ ВПО «Елецкий государственный университет им. И.А.Бунина» объявляет о проведении конкурса ученических проектов по математике.

К участию в конкурсе приглашаются учащиеся 5-11 классов общеобразовательных учреждений.

Цель конкурса: популяризация математических знаний среди школьников

Задачи конкурса:

• формирование активной жизненной позиции школьников;

• создание условий для раскрытия творческого потенциала учащихся;

• воспитание средствами математики культуры личности, отношения к математике как к части общечеловеческой культуры через знакомство с историей развития математики, эволюцией математических идей;

• формирование представления школьников об интеграции математики в другие предметы;

• обмен опытом и знаниями среди учащихся;

• демонстрация возможностей использования информационных технологий в школьном математическом образовании;

• создание электронного банка презентаций школьников по математике, алгебре, геометрии.

Условия конкурса

1. Конкурс ученических проектов по математике проводится в январе - апреле 2013 года.

2. К участию в конкурсе допускаются учащиеся 5-11 классов общеобразовательных учреждений.

3. Подача заявок на участие в конкурсе (и аннотаций заявленных работ) до 1 марта 2013 года. Заявки и аннотации принимаются по адресу: Липецкая обл., г. Елец, ул. Ленина, д. 91, кабинет № 25 (2 этаж), кафедра математического анализа и элементарной математики (лично) или по электронной почте: kmaiem@mail.ru.

Форма заявки

Заявка на участие в конкурсе ученических проектов по математике

Ф.И.О. участника (полностью)

район

образовательное учреждение

класс

тема работы

Ф.И.О. учителя (полностью)

телефон, электронный адрес

Аннотация - обязательный элемент заявки. Она должна отражать основное содержание заявленной работы. Объем аннотации не должен превышать 1 машинописной страницы.

4. Конкурсные работы принимаются в печатном или электронном виде с 1 марта до 23 марта 2013 года (либо на кафедру МАиЭМ -ул.Ленина д.91, каб. № 25 (2 этаж), либо по электронному адресу, указанному в п.З).

5. Выступление участников конкурса проводится публично в рамках ежегодной научно-практической конференции физико-математического факультета ЕГУ им. И.А.Бунина (для 5-9 классов - 24 апреля 2013 года (для 10-11 классов - 25 апреля) в 13.00 по адресу: ул. Ленина, д. 91. Принять участие в конференции могут все желающие.

6. При публичной защите проекта заслушивается доклад с обоснованием процесса проектирования основного замысла, хода работы, объяснением полученных результатов (не более 5 минут). Показ слайдов идет в ходе доклада.

7. Подведение итогов конкурса проводится по окончанию работы конференции.

8. Все участники конкурса получат дипломы. Награждение победителей и вручение дипломов участникам состоится по окончанию работы конференции на итоговом заседании 25 апреля 2013 года.

9. Итоги конкурса будут опубликованы на сайте кафедры математического анализа и элементарной математики ЕГУ им. И.А.Бунина и освещены в кафедральном сборнике научных работ.

Требования к работам

Творческая ученическая работа представляет собой основной текст и компьютерную презентацию по заявленной теме3. Объем основного текста не должен превышать 15 машинописных страниц. Количество слайдов в презентации: от 5 до 25. Для разработки проекта участник вправе использовать различные программные средства, но оформляется он в виде мультимедийной презентации, выполненной в программе Power Point 2003.

Основной текст работы должен содержать следующие части: титульный лист, оглавление, постановка задач, основное содержание работы, результаты исследования и выводы; список использованных источников (литературы и ресурсов).

Титульный лист и титульный слайд должны содержать следующую информацию:

• образовательное учреждение;

• фамилия, имя конкурсанта;

• класс;

• тема работы;

• научный руководитель.

При использовании в работе заимствованных материалов конкурсанты должны сделать ссылку на используемые ресурсы или литературу. Работа должна отвечать следующим критериям:

• исследовательский характер;

• самостоятельность выполнения;

• оригинальность;

• научность, обоснованность, достоверность;

• эстетичность оформления и представления;

• творческий подход.

Ученический проект должен демонстрировать знания и умения учащихся, их способность работать с первоисточниками, проектировать и реализовывать исследовательскую работу, сопоставлять различные точки зрения, систематизировать и структурировать полученный материал, обобщать, формулировать выводы.

В ходе защиты проекта ученик должен продемонстрировать:

• умение изложить основное содержание работы (культуру устного изложения);

• умение использовать информационные технологии;

• умение отвечать на вопросы, вести дискуссию по проблеме.

3 К конкурсу допускаются работы по математике и её приложениям. По другим областям знаний (физика, химия, биология и т.д.) работы не рассматриваются и не возвращаются.

СОДЕРЖАНИЕ

ВМЕСТО ВВЕДЕНИЯ

Корольков А.А.

Философия русской школы...........

3

Раздел I. ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Бусев В.М., Худякова Ю.А.

Библиография учебно-методической литературы по математике: проблемы и решения..................

15

Грибов А.Ю.

Математические интересы представителей московской философско-математической школы...............

23

Гридчина И.Н., Солосина И.С.

Голубев Владимир Васильевич......

32

Малютин А.А.

Философ, математик, педагог (к 175-летию со дня рождения Н.В. Бугаева)............................

36

Мельников Р.А.

Памятные и юбилейные даты 2012 года........................................

47

Гольтяева Н.С., Мельников Р.А.

Из истории теории устойчивости ...

51

Перцев В.В.

Леонид Витальевич Канторович - теоретик линейного программирования ......................................

55

Саввина О.А.

Формулярные списки педагогов-математиков московского учебного округа в фондах центрального исторического архива Москвы.........

58

Шестакова Л.Г.

Материал по истории математики как средство формирования у школьников стиля мышления.......

67

Раздел II. ТЕОРИЯ И МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ В ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ШКОЛЕ И ВУЗЕ

Андрианова М.В.

Методика организации повторения в 5 классе в первой четверти учебного года..................................

72

Белоглазова О.А.

Сохранение здоровья обучающихся - важнейшая задача школы.......

75

Берзин Д.В.

Об опыте преподавания математики в «испанских» и «китайских» группах международного финансового факультета ........................

78

Буреев В.А., Галактионов С.В., Лавровский Р.В., Логинов В.А., Мацур Ф.К., Сенченков П.А., Филиппов В.П.

Инновационные технологии преподавания математики в электронном обучении .................................

81

Ельчанинова Г.Г.

История, специфика и перспективы вузовской дисциплины «Элементарная математика»....................

87

Жук Л.В.

Реализация модели динамики освоения субъектом ценностей в практике обучения геометрии студентов-бакалавров педагогического образования..............................

92

Зуева М.Л.

Математическая задача как средство формирования универсальных учебных действий......................

96

Морозова И.Е., Рыманова Т.Е., Симоновская Г.А., Черноусова Н.В.

Современные проблемы школьного математического образования.......

98

Тертухина О.Н., Смирнова И.Г., Панова С.В., Имайкин В.М.

Метапредметные подходы к решению математических задач. Часть I.

100

Тертухина О.Н., Смирнова И.Г., Панова С.В., Имайкин В.М.

Метапредметные подходы к решению математических задач. Часть II

108

Тертухина О.Н., Смирнова И.Г., Панова С.В., Имайкин В.М.

Метапредметные подходы к решению математических задач. Часть III..........................................

116

Лыков Е.Н.

Развитие познавательной самостоятельности студентов при обучении математике..............................

124

Марушкина И.А.

Использование наглядно-иллюстративного метода при решении задач по арифметике в V-VI классах......

127

Острякова Л.Н.

Как заинтересовать математикой ...

130

Тестов В.А.

Задача отбора содержания обучения математике.........................

135

Хвостикова М.А.

Некоторые вопросы обучения математике в школе (из опыта работы) .........................................

143

Щербатых С.В.

Изучение случайных величин в курсе «Алгебра и начала математического анализа»........................

147

Раздел III. НАУЧНЫЕ СООБЩЕНИЯ

Жук Л.В., Минаева Е.Е.

Линейные алгоритмы создания фрактальных объектов................

162

Костин С.В.

Нахождение интегралов от произведений целых степеней косинуса и синуса .....................................

166

Мельников Р.А., Таранова Е.И.

Практическое применение эйлерова интеграла второго рода (гамма-функции) ...............................

174

Трофимова Е.И., Белоглазова А.И.

Контент-анализ как основа администрирования многостраничного сайта ......................................

177

СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ.............................................

180

Информация о конкурсе ученических проектов................

183

Научное издание

ВЕСТНИК ЕЛЕЦКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

Выпуск 32

СЕРИЯ «ПЕДАГОГИКА»

(ИСТОРИЯ И ТЕОРИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ)

Редактор - С.Е. Гридчина Технический редактор - Н.П. Безногих Техническое исполнение - В.М. Гришин

Лицензия на издательскую деятельность ИД № 06146. Дата выдачи 26.10.01 Формат 60 X 84 / 8. Гарнитура Times.Печать трафаретная Усл.-печ.л. 11,8 Уч.-изд.л. 12,0 Тираж 500 (1-й завод 1-75 экз.). Заказ 113

Отпечатано с готового оригинал-макета на участке оперативной полиграфии ФГБОУ ВПО «Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина»

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина» 399770, г. Елец, ул. Коммунаров, 28