ВЕСТНИК ЕЛЕЦКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

11

выпуск 28

Серия "Педагогика" (ИСТОРИЯ И ТЕОРИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ)

Елец 2011

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ

ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЕЛЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. И.А. БУНИНА»

ВЕСТНИК ЕЛЕЦКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

Выпуск 28

СЕРИЯ «ПЕДАГОГИКА»

(ИСТОРИЯ И ТЕОРИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ)

Елец-2011

УДК 004(07.07), (09); 514.8; 532.516; 514.7 + 514.8 ББК 22.1 г+ 22.11 В 38

Печатается по решению редакционно-издателъского совета Елецкого государственного университета им. И.А. Бунина от 10.05.2011 г., протокол № 2

Редакционная коллегия серии «Педагогика» (История и теория математического образования):

В.П. Кузовлев, ректор, д-р пед. наук, проф., заслуженный деятель науки РФ, заслуженный работник высшей школы, академик Международной академии наук педагогического образования, член-корреспондент МСА (г. Москва), член-корреспондент Петровской академии наук и искусств (г. Санкт-Петербург); О.А. Саввина, д-р пед. наук, проф. (выпускающий редактор раздела «История математики и математического образования»); Т.Е. Рыманова, канд. пед. наук, доц., С.В. Щербатых, канд. пед. наук, доц. (выпускающие редакторы раздела «Теория и методика обучения математике в общеобразовательной школе и вузе»); И.А. Елецких, канд. физ.-мат. наук, доц. выпускающий редактор раздела «Научные сообщения»).

Ответственность за достоверность фактов несут авторы публикуемых материалов.

В 38 Вестник Елецкого государственного университета им. И.А. Бунина.

Вып 28: Серия «Педагогика» (История и теория математического образования). - Елец: ЕГУ им. И.А. Бунина, 2011. - 216 с. ISBN 978-5-94809-510-3

Представленные в вестнике статьи, в первую очередь, отражают те научные результаты, которые получены на кафедре математического анализа и элементарной математики Елецкого государственного университета им. И.А. Бунина. Кроме учёных нашего вуза, авторами статей являются исследователи из Вологды, Воронежа, Краснодара, Липецка, Москвы, Орла, Саратова, Таре.

Издание предназначено для математиков, преподавателей, учителей, аспирантов и студентов, интересующихся проблемами истории и теории математического образования, а также вопросами математики.

УДК 004(07.07), (09); 514.8; 532.516; 514.7+ 514.8 ББК 22.1 г+ 22.11

ISBN 978-5-94809-510-3

© Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина, 2011

Пятилетию со дня кончины Геннадия Лавровича Луканкина посвящается

Недосказанная благодарность...

Первый выпуск серии «История и теория математического образования» вышел в 2006 г. и был посвящен памяти известного русского педагога-математика второй половины XX века Геннадия Лавровича Луканкина (20.01.1937 - 24.06.2006), кандидата физико-математических наук, доктора педагогических наук, профессора, члена-корреспондента РАО, автора более 270 научных и учебно-методических работ.

Большая часть жизни Г.Л. Луканкина была связана с Московским областным педагогическим институтом им. Н.К. Крупской (ныне МГОУ). Здесь он получил высшее образование, защитил кандидатскую диссертацию, прошел путь от ассистента до декана физико-математического факультета и проректора.

Время бежит неумолимо быстро. Прошло уже 5 лет, как осиротела наша методико-математическая наука, потеряв одного из блистательных ее представителей. Но все эти годы мы хранили глубокое чувство благодарности этому необыкновенно доброму человеку, талантливому ученому, учителю учителей. Трудно сосчитать всех учеников Геннадия Лавровича. Это не только преподаватели средних школ, но и доценты, профессора высших учебных заведений как в России, так и далеко за ее пределами. Посчастливилось общаться с Г.Л. Луканкиным и многим преподавателям нашей кафедры - кафедры математического анализа и элементарной математики ЕГУ им. И.А. Бунина. И на все наши просьбы он откликался с большой душевной чуткостью, во всех начинаниях оказывал поддержку мудрыми советами и реальными делами, осмысление значимости которых с годами становится только полнее и глубже. Источая благородство, он был прост в общении, никогда не кичился своими заслугами и до конца жизни был предан бескорыстному служению Родине и науке.

Светлая Вам память и вечный покой, дорогой Геннадий Лаврович!

ВМЕСТО ВВЕДЕНИЯ: В ПЛЕНУ РЕФОРМ

К ВОПРОСУ ОБ УМЕСТНОСТИ КОМПЕТЕНТНОСТНОЙ ДОМИНАНТЫ В ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ

О.Р. Каюмов

В статье критически рассматриваются причины, по которым компетентностный подход в образовании оказался в последнее время доминирующим, вытесняя традиционные «знания-умения-навыки».

Ключевые слова: компетентностный подход в русле Болонского процесса, вульгаризация «знаниевой» парадигмы, соблазн дидактического нигилизма.

Новые стандарты образования (как высшей школы, так и средней) символизируют переход от «знаниевой» парадигмы к «компетентностной»: вместо знаний, умений и навыков предполагается обеспечить выпускника «компетенциями». Эта реформа связана не с открытиями в педагогике, а с изменением социальных ориентиров, однако попутно она обрастает педагогической риторикой, в которой об изменении целей обучения часто умалчивают. «Знаниевая парадигма» объявляется якобы устаревшей по причинам чисто методическим, например, ввиду «эффективности метода развивающего обучения», ввиду «наступления эпохи интернета» и т.п. Цель работы -критически рассмотреть эти аргументы, в частности, применительно к проблемам обучения математике.

Нынешние изменения в системе образования России не могут рассматриваться вне связи с социально-экономическими причинами, которые ее породили. Темпы «реформ» диктуются «правилами рынка» и активно поддерживаются теми, кто победил в «холодной войне». Модернизация образования - это плата за потерю статуса сверхдержавы. Нашу страну принуждают отказаться от имперской (византийской) системы просвещения: должна уйти в прошлое всеобщая грамотность, нацеленность на «всестороннее развитие личности». Оба упомянутых двигателя реформ (рыночный механизм и внешнее давление), очевидно, взаимосвязаны. Планомерное «вытеснение всех анклавов социальной и культурной развитости и ликвидация программ развития под предлогом их рыночной нерентабельности» [1] сопровождается навязчивой «вестернизацией» мышления. В этих условиях, тем не менее, система образования проявила такой запас прочности, что устояла при экономической катастрофе 90-х годов, а интеллектуальные ресурсы России оказались востребованными на Западе не в меньшей мере, чем сырье. В связи с массовой эмиграцией высококвалифицированных специа-

листов ежегодные интеллектуальные потери для России оцениваются десятками млрд. долларов.

Огромный дефицит рабочей силы в ЕС [2] и неудобство ее импорта из бывших колоний (ввиду проблем с арабскими, турецкими и т.д. общинами в центре Европы) включили механизм «болонского процесса». Объявлена цель - обеспечение «крупномасштабной студенческой мобиль-ности». Очевидно, что это будет дорога с односторонним движением: «Лучшие наши выпускники поедут в Португалию и Испанию, а выпускники Португалии и Испании не поедут в Новосибирск, Читу, Хабаровск. Для такого переезда у них нет мотивации» [3]. Прогнозируемый урон от такой «утечки мозгов» может оказаться более ощутимым, чем вывоз трудовых ресурсов из СССР во время гитлеровской оккупации. По этой причине, например, Белоруссия отказалась подписывать Болонскую Декларацию [4]. Известно, что «к своим собственным выпускникам США относятся куда как бережнее и расчетливее. Если ты получил образование за счет штата или федерального правительства, то изволь сначала отработать затраченные на тебя деньги, можно и просто их вернуть, а уж потом гуляй, где хочешь» [5].

Хотя Декларация 1999-го года и подписана в исторической колыбели высшего образования, однако сам Болонский университет (как и другие престижные вузы Европы) к этой конвенции не присоединился, чтобы не затеряться в новом «образовательном Макдональдсе». Что касается лучших российских университетов (их уровень тоже выше среднеевропейского), то против министерских экспериментов они оказались беззащитными.

«Модернизация» в России захватывает также и среднюю школу, где реформаторы, преодолевая сопротивление научного и педагогического сообществ, навязывают новые образовательные стандарты. В перспективе они надеются сократить государственные расходы и наладить механизмы «самоокупаемости» школ, переводя часть учебных предметов в разряд «дополнительных». «По прогнозам главного идеолога модернизации образования ректора Государственного университета Высшей школы экономики (ГУВШЭ) Ярослава Кузьминова, данным ещё в 2003 году..., это дало бы возможность получить от российских семей дополнительных 7 млрд. долл» [6]. Не удивительно, что такой подход не находит поддержки в обществе: «Образование - это та сфера, которая не может быть экономически выгодной. Как экономически выгодной не может быть армия. За армию нужно платить для того, чтобы обеспечить безопасность. Чтобы сохранить свой нравственный, духовный генотип, нужно платить за образование всему обществу... Образование - это система передачи самого главного, что есть в народе, -фундаментальных ценностей, а также знаний, опыта предыдущих поколений» [7].

С конца 90-х годов через структуры, организованные с участием функционеров ГУ-ВШЭ, «только по займам Всемирного банка на реформы было направлено более 200 млн. долларов» [6]. При этом, «по признанию президента Высшей школы экономики Александра Шохина, до 2/3 сумм,

получаемых Россией от Всемирного банка, уходили на оплату самой же дающей в долг стороны (её консультантов, советников и пр.)» [6]. В результате «...стратегия развития образования в нашей стране начинает удивительным образом совпадать с пожеланиями Всемирного банка - как в целом, так и в деталях. Казалось бы, чем плохо, что такая известная финансовая организация помогает умственно отсталой стране выстраивать её образовательную политику? Дело в том, что репутация у Всемирного банка не слишком хороша... Кредиты выдаются на вполне определенных условиях: государство-заемщик должно выполнить некие нормативы и провести некие реформы» [6]. В одном из текстов («Россия: образование в переходный период» с грифом «Конфиденциально. Документ Всемирного банка. Только для служебного пользования»), попавшем в открытую печать, формулируются, например, рекомендации «закрыть педагогические институты и привлекать учителей из числа выпускников университетов»; «закрыть профессиональные училища, которые не могут провести структурную перестройку»; ввести «подушевое финансирование школ, исходя из уровня расходов на одного ученика»; «не повышать долю расходов на высшее или среднее профессионально-техническое образование в общем объеме ВВП, если они до этого не будут серьёзно реструктуризированы» [6]. Многие рекомендации Всемирного банка на сегодня уже внедрены. Как отмечается в бюллетенях Счетной палаты, «исходя из основных положений Концепции ГУ-ВШЭ, реструктуризации подлежат 5952 школы, что составляет 13,6 % от общего количества школ, расположенных в сельской местности, в результате чего существенно снизится доступность в получении среднего (полного) образования для значительной части сельских детей школьного возраста, а около 2859 деревень останутся вообще без образовательных учреждений. Причем концепция предполагает экономическую эффективность выявить в ходе намеченных экспериментом преобразований в сельской местности» [6]. Остается вспомнить, что во времена А.П. Столыпина строительство новой школы в глухой тайге считалось рентабельным.

Идеология «болонского процесса», вопреки традициям России (где просвещение считалось общественным благом), требует от нас признать образование исключительно товарной услугой. Отсюда - попытки ввести универсальные оценочные категории в виде компетенций (competences). По смыслу они близки к компетенциям (skills), воспроизводством которых занята массовая школа в США. Теперь американский прагматизм проникает в Россию. «В сфере специализированного образования и повышения квалификации мы непрерывно слышим жалобы со стороны обучаемых, сетующих на то, что им дают «слишком много теории», слишком много непрофильных знаний, которые вряд ли им пригодятся на конкретном рабочем месте. Но все дело как раз в том, что этот «излишек знаний» и является источником социально-экономической и промышленной динамики современных обществ» [1]. «Тут действует закон, хорошо известный каждому преподавателю: если ты объясняешь ребенку только А, он А не запомнит. Надо объяс-

нить А и Б, тогда он Б забудет, а А останется. В американской школе дети невесть сколько раз пишут заявление о приеме на работу - как же, "подготовка к жизни"! В итоге 80% выпускников этой несчастной бумажки написать не могут. От 15% до 25% американцев функционально неграмотны - не могут читать и писать в объеме, необходимом для полноценного функционирования в обществе!» [8]. Автор этой фразы - ученый физик, эмигрант из России, шокированный отсутствием в американской школе того, что мы называем «глубоким пониманием предметов»: вместо логических рассуждений - «глобальное завязывание шнурков». Само слово «éducation» не тождественно «образованию», оно ближе к понятию «тренинг». В итоге научные успехи США обеспечиваются не школьным образованием, а финансовыми вложениями и импортом интеллектуальных ресурсов из России, Китая, Индии и т.д. «Американская программа дебилизации, на которую планомерно переводят наши массовые школы, в самой Америке действует тоже, только в массовых школах. Элиту (где-то 1%) там учат по классической, советской системе» [9].

Навязанная России реформа образования обрастает педагогической риторикой, где основной мотив звучит как переход от «знаниевой» парадигмы к «компетентностной». Вспомнили о работах 1970-х годов (Кумбс Ф.Г. и др.), где впервые говорилось о кризисе европейского образования. Тогда сущность кризиса формулировалась как разрыв между знаниями, умениями и навыками учащихся и быстро меняющимися требованиями реальной жизни. Эти аргументы, справедливые по отношению к технологическим знаниям, теперь безосновательно распространяются на фундаментальные дисциплины, а также на школьную дидактику. Появились утверждения о том, что «предметно-знаниевая система безнадежно устарела». Если говорить конкретно про обучение математике, то здесь основная причина вульгаризации категории «знание» - в игнорировании специфических особенностей математического знания. Они обусловлены не только историческим первородством математики, ее «непостижимой эффективностью в естественных науках», универсальностью языка, но и, в первую очередь, логической строгостью. Это не позволяет понимать под «знанием» просто факты, считать способность к репродукции полноценным усвоением. Знание в математике -это переработанные смыслы, прошедшие ступени анализа, проверки на непротиворечивость, генетическую совместимость со всем предыдущим опытом, последовательно переведенные с уровня «абстрактного» на уровень «обыденного». В отличие от гуманитарных дисциплин, где соседствуют разные мнения, в математике обязательна истинность суждений. Каждый новый факт вписывается в логическую цепь, как в электрическую сеть.

В связи с развитием «компьютерных баз данных» иногда заявляют о «удвоении знаний каждый год», а лозунг «знание - сила» низводят до «знание - обуза». В большей мере это справедливо по отношению к технологическим знаниям, которые быстро устаревают, и в гораздо меньшей мере - к математическим. Следует говорить скорее не о росте объема знаний, а об

увеличении потока информации. За годы компьютерной революции не появилось новых текстов, сопоставимых с книгами Евклида или Ньютона. Наивно думать, что в информационном бульоне могли бы сами зарождаться литературные шедевры. Более того, обилие информационного мусора часто является препятствием к поиску фактов - сквозь рекламу и другие проявления информационной агрессии. Впрочем, проблема «необъятности» информации весьма древняя: уже в александрийской библиотеке количество папирусов намного превосходило возможности одного человека в течение всей его жизни. Конечно, с развитием интернета многократно увеличилась скорость отыскания материалов. Однако даже царю Птолемею, получавшему почти мгновенные ответы на любые вопросы, Евклид разъяснял, что «в геометрии нет царской дороги». Образно говоря, можно ускорить подачу пищи, но нельзя ускорить переваривание. Заметим, что с заменой книги на интернет не исчезает и проблема передачи смысла через текст. Известно [10], что научное знание можно передать через формальные языки только частично, а оставшаяся часть будет составлять личностное или неявное знание учёного, которое принципиально непередаваемо. Т.е. роль живого учителя (как толкователя смыслов и как методиста) никогда не уменьшится. Архитектура математического знания не допускает случайных построек и требует особой культуры как усвоения, так и преподавания.

Что же сегодня хотят изменить в дидактике? Методологической основой реформы стала идеология прагматизма, при которой упор делается на «бытовую математику» [11]. Такой «социальный заказ» возродил спрос на методики «развивающего обучения», которые в семидесятых годах в СССР не получили массового распространения ввиду отсутствия убедительных результатов [12]: «сама идея развивающего обучения кажется полезной и разумной лишь в том случае, если обучение опережает развитие, а не наоборот». Заметим, что увлечение «деятельностными методами» (в ущерб классно-урочной и предметной системе обучения) свойственно революционным эпохам. Наиболее показательными в этом смысле были эксперименты с заменой «школы учебы» на «школу труда» в России после 1917 г. Ее теоретики (А.В. Луначарский, Н.К. Крупская, П.П. Блонский и др.) следовали американским образцам того времени, беря на вооружение, в том числе, «метод проектов» Д. Дьюи и Э. Торндайка. Что из этого вышло, хорошо описано в книге [12]. Автор констатирует: «Сейчас, как и в первые десятилетия советской власти, воспитание главенствует над обучением (причем тогда воспитание идеологическое, а сейчас - рыночное)».

С отрицанием «знаниевой парадигмы» могут быть нарушены важнейшие дидактические принципы в обучении математике - принципы научности, систематичности и последовательности, прочности знаний и.т.д. Однако это отрицание - сознательное, ибо вместе с целями обучения меняется и его организация. Министр Фурсенко А.А. заявляет: «Разговор о том, что самое главное в нашей жизни - это фундаментальность образования, на самом деле лукавство» [11]. Среди необходимых приложений математики в

интервью [11] он называет только финансовые (подсчет налогов, пенсии и т.п.) и, увы, не вспоминает о важности для России освоения наукоемких технологий. Видимо, речь идет о возможности и «целесообразности» уменьшения уровня математического образования в России. Для сравнения: в США еще в 1994 г. конгресс принял закон «Образование - 2000», согласно которому в школе не только должна быть обеспечена фундаментальная подготовка, но «американские школьники должны стать первыми в мире по математике и естественным предметам» [12]. В феврале 2011 президент Б. Обама даже на фоне сокращения ассигнований на социальные нужды объявил: «Инженерное дело и математика, критическое мышление, способность к решению проблем — вот предметы и навыки, в которых наши дети должны достичь успехов в 21 веке. Именно поэтому мы стали инициаторами проекта по подготовке в течение следующих пяти лет более 10 тыс. новых преподавателей математики и точных наук, при дополнительном обучении 100 тыс. уже работающих учителей» [13]. Сегодня все больше школ в США переходят на математические программы по методике Сингапура, чьи школьники имеют высокий международный рейтинг. Для создания наукоёмкой экономики в Сингапуре отбирают студентов, которые «помимо знания содержания того или иного предмета обладали бы способностью обосновывать выводы, думать логически, быть изобретательными и творческими людьми» [14]. В России остается надеяться лишь на консервативность школы, которая сохранила традиции фундаментальности образования даже во время революционных экспериментов 1917-1927 гг. [12].

Специфика знаний в математике предопределила классический стиль преподавания, для которого, вообще говоря, не характерны известные недостатки предметно-знаниевой системы. Напротив, реальные преимущества (в том числе недостижимые в других дисциплинах) компетентностного подхода уже давно наличествуют в современных методиках обучения математике, где неуместна зубрежка, а на контрольных уже сто лет проверяют компетенции. Образно говоря, компетентностная парадигма является комплексной и содержит не только упомянутую реальную часть, но и мнимую часть - связанную с попыткой обойти естественные этапы обучения либо «перемешать» их с профессиональной деятельностью. Хочется верить, что этот соблазн дидактического нигилизма, как уже бывало в истории, будет отторгнут самой жизнью.

Библиографический список

1) Панарин А.С. Стратегическая нестабильность в XXI веке. - М.: Эксмо, 2004. - 640 с.

2) Садовничий В.А. О Болонской декларации: из выступления на VII съезде Росс, союза ректоров, http://www.journal.spbu.ru/2003/04/13.shtml

3) Болонский процесс, или Дорога с односторонним движением. Интервью с деканом НГУ В. Диевым, http://philos.nsu.ru/bolon/ index.htm

4) Рубинов А.Н. Педагогический зуд реформаторства.

5) Источник: Портал «Беларусь сегодня» http://www.sb.by/post/64375/

6) Шарыгин И.Ф. Об утечке мозгов. http://www.shevkin.ru./?action=Page&ID=234

7) Виктория Соколова. Серые кардиналы образования. http://www.sovsekretno.ru/magazines/article/2758

8) Общество должно платить за образование, убежден патриарх Кирилл. http://news.mail.ru/society/4572293/

9) Вейцман Б. Две школы - два образа жизни. 1998.

10) http://www.ozon.ru/context/detail/id/192065/

11) Богаевская Н. 22.05.2007. В сфере образования аналогом вступления в ВТО стало присоединение к Болонской конвенции об унификации системы высшего образования в Европе. http://www.vedu.ru/index.asp?cont=index&news=3374

12) Полани М. Личностное знание. - М.: Прогресс, 1985. - 343 с.

13) Логику происходящего в мире нельзя постичь без математических знаний (интервью с Фурсенко А.А.) //Матем. в школе. -2009. - №1. - С. 3-6.

14) Колягин М.Ю. Русская школа и математическое образование: Наша гордость и наша боль. - М.: Просвещение, 2001. - 318 с.

15) ВЗГЛЯД. Деловая газета, http://vz.ru/news/2011/2/14/468739.html

16) Система образования Сингапура. Марк Хонг, Посол Республики Сингапур в России, http://www.singbiz.ru/Article.aspx?ArticleID=26

Раздел I. ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИРОВОЗЗРЕНЧЕСКИЕ ВЗГЛЯДЫ ПЕДАГОГА-МАТЕМАТИКА В.Я ЦИНГЕРА

А.Ю. Грибов

В статье рассказывается о жизни и мировоззренческих взглядах удивительного педагога-математика XIX - начала XX столетия Василия Яковлевича Цингера, оставившего яркий след в Московском университете. Большую часть своей жизни он посвятил преподаванию математики, воспитав при этом ряд известных ученых в этой области.

Ключевые слова: В.Я. Цингер, Московский университет, позитивизм, мировоззренческие взгляды.

Во второй половине XIX века развитие математики в нашей стране поднялось на новый качественный уровень, чему в немалой степени способствовала деятельность московских математиков Н.Е. Зернова (1804— 1862), Н.Д .Брашмана (1796-1866), В.Я .Цингера (1836-1907), Н.В .Бугаева (1837-1903) и др. Названные ученые стояли у истоков создания Московского математического общества, в недрах которого зародилась Московская философско-математическая школа. Считается, что эта школа появилась в 70-х годах XIX столетия, однако ее родоначальниками являются именно Н.Д. Брашман и В.Я. Цингер. Они активно занимались философско-математическими проблемами, воспитав ряд известных продолжателей [3]. Мировоззренческие взгляды последнего из них представляют большой интерес (резкая и публичная критика им модного в то время позитивизма).

Мировоззрение - система принципов, взглядов, ценностей, идеалов и убеждений, определяющих как отношение к действительности, общее понимание мира, так и жизненные позиции, программы деятельности людей [7, с. 334]. Понятно, что для реконструкции мировоззрения В.Я Цингера необходимо исследовать его биографию, проанализировать его научную и педагогическую деятельность в разные периоды жизни.

В.Я. Цингер родился 30 января 1836 года в Москве в дворянской семье. Дворянское звание семейство Цингеров получило благодаря службе Христиана Ивановича, деда Василия Яковлевича, который перебрался в Россию в XVII веке и долгое время работал экономом в Голицинской больнице [6]. Он очень полюбил нашу страну и, будучи сам лютеранином, всех своих детей крестил в православие [4, с. 115].

Отец будущего ученого, Яков Христианович, был простым учителем математики, зарабатывавшим в основном частными уроками. Мать, Анна Васильевна, происходила из купеческого рода. Она рано овдовела, оставшись с тремя маленькими детьми, старшему из которых, Василию, было всего 11 лет.

Первоначальное воспитание Василий получил в семействе деда. Затем поступил в Первую Московскую гимназию. Однако к учебе сначала не проявлял интереса, лишь в 15 лет в характере юноши произошел резкий переворот. Он стал лучше учиться, быстро схватывал новые темы, особенно будущий ученый отличался хорошей зрительной памятью. Большое влияние на него оказал учитель математики Н.В.Соколов, возбудивший в юноше интерес к геометрии и к самостоятельному решению задач.

После окончания гимназии в 1853 году Цингер поступил на физико-математический факультет Московского университета и стал казеннокоштным студентом. Слушал лекции Н.Е. Зернова, Н.Д Брашмана, А.Ю. Давидова (1838-1889) и др.

В 1857 году Цингер закончил университетский курс со званием кандидата, а через год он был оставлен для подготовки к профессорскому званию.

В 1863 году Василий Яковлевич защитил магистерскую диссертацию «Способ наименьших квадратов», а в 1867 году - докторскую «О движении свободной жидкой массы» (заметно влияние Н.Д. Брашмана).

В этот период начинающий ученый активно занимался математикой. Его научные интересы были сосредоточены в основном в двух областях: аналитической механике и начертательной геометрии. Среди его работ, посвященных этим областям, следует выделить: «Об относительном движении брошенной точки» (1865), «Об основной теореме высшей геометрии» (1869), «Об одном случае равновесия жидкости» (1870), «О геометрическом значении неравенств» (1873).

Почти одновременно с защитой магистерской диссертации Цингер стал преподавать в университете. Он читал различные курсы: высшую алгебру, дифференциальное исчисление, аналитическую геометрию и др. Однако наиболее интересна ему была проективная геометрия, которую он сам ввел в факультетский курс и к которой прививал интерес своих учеников, внушая им любовь к синтетическим методам доказательства. Стоит заметить, что синтетической геометрии большое внимание уделял также наставник Василия Яковлевича Н.Д. Брашман, говоря про нее: «... эта наука, основываясь на непреложных началах, представляет уму ясные изображения понятий; во все продолжение деятельности ума, глаз поддерживает суждение так, что простой взгляд на чертеж часто поправляет ошибочное понятие или объясняет темное» [2, с. 22].

Педагог-математик проявлял большой интерес и к философским проблемам. Философ Л.М. Лопатин (1855-1920) так оценивал философские работы Цингера: «Немногие статьи его, посвященные философским вопросам,

всегда отличаются ясностью основных воззрений их автора и своеобразной глубиной его выводов» [5, с. 54].

Так, 12 января 1874 года на торжественном собрании, посвященном Татьяниному дню, ученый выступил с речью «Точные науки и позитивизм». В ней он подверг резкой критике английского философа и социолога О. Конта (1798-1857) и его последователей, называя его учение псевдофилософским, находящимся на самом низком, теологическом, уровне развития. А самих позитивистов обвинил в непонимании даже самых элементарных фактов математики, приводя дословно места их ошибок.

Это было очень смелым поступком, поскольку позитивизм тогда пользовался большим признанием в ученой среде, а Конт и Милль (1806-1873) были кумирами интеллектуальной среды 1870-х годов.

Позитивизм - направление в философии XIX-XX вв., объявляющее единственным источником истинного, действительного знания конкретные (эмпирические) науки и отрицающее ценность всех других видов познания, прежде всего, религиозного и философского. Основателем позитивизма был Конт, который ввел и термин «позитивизм». Исторически выделяют 3 этапа в развитии позитивизма. Представители первого - Конт, Э. Литтре (1801-1881), П. Лаффит (1823-1893), Милль, Спенсер (1820-1903) - кроме гносеологии и логики большое внимание уделяли социологии. Возникновение второго этапа (эмпириокритицизма) относится к 70-90-м гг. XIX в. и связано с именами Маха (1838-1916), Р. Авенариуса (1843-1896), отказавшихся даже от формального признания качественного различия между эмпирическим и теоретическим знанием в науке, которого еще придерживались представители раннего позитивизма. Третий этап позитивизма (неопозитивизм) связан с деятельностью Венского кружка (О. Нейрат (1882-1945), Карнап (1891-1970), Шлик (1882-1936) и др.) и Берлинского общества эмпирической философии (Рейхенбах (1891-1953) и др.). Основное место на этом этапе занимают философские проблемы языка, символической логики, структуры научного знания и др. [7, с. 431].

Очевидно, что Василий Яковлевич был знаком только с работами первых позитивистов. Он не мог согласиться с их точкой зрения в отношении человеческих познаний, поскольку большое значение придавал силе разума, говоря: «Это основное положение позитивизма не может быть признаваемо в безусловном смысле: в сущности, за ним скрывается, как умалчиваемый постулат, признание силы разума, без которого опыт не мог бы ничему научить и был бы даже совсем невозможен» [8, с. 22]. «Позитивисты признают точные и опытные науки главным основанием своего учения; но из отношения их к этим наукам обнаруживается только совершенное пренебрежение ко всякому истинному знанию... позитивизм не отличается ни глубиной, ни остроумием и, как философское учение, не представляет никакой привлекательности» [8, с. 22].

В пользу силы разума Цингер также утверждал, что цель всякой науки есть познание, отметив: «Познание есть результат размышления, резуль-

тат усилий разума. В деле мысли и науки существование разума есть основной, первоначальный факт, который не может без противоречия подвергаться сомнению... Разум в своих разнообразных проявлениях есть постоянно и всюду действующая способность человека: его участие присуще каждому нашему шагу и многое, что мы по привычке и вследствие крайней необыкновенности склонны считать непосредственным указанием чувства или инстинкта, в действительности оказывается делом разума. Даже сама возможность опыта, возможность всякого чувственного восприятия необходимо предполагает существование разума, без которого мы, имея глаза, были бы слепы и, имея уши, были бы глухи» [8, с. 24].

Сославшись на Канта (1724-1804), впервые показавшего, что причина простоты и убедительности исследований в математике заключается в источнике ее основных понятий, именно в способности чисто наглядного представления, ученый говорил: «В этой способности ум находит опору и поверяет себя как при установлении начальных математических понятий, так и во все продолжение исследования» [8, с. 24-25].

Отмечая в своей речи близость философии и математики, Василий Яковлевич говорил: «Науки математические, несмотря на свою более скромную задачу, находятся в весьма близком отношении к философии. В их основе лежат и в них развиваются простейшие и наиболее общие, каковы понятия о величине, о пространстве и времени, о материи и силе, о причине и действии; в науке о духе человеческом понятии эти также имеют основное значение. Умозрительный и вместе с тем строгий характер исследований в точных науках еще более сближает их с философией: математика является как бы одной из глав философии, - главой, простейшей по содержанию, но особенно способной к счастливому и успешному развитию, превосходя в этом отношении все другие науки» [8, с. 1].

Но, несмотря на сказанное выше, Цингер считает, что математика находится в более выгодном положении, нежели философия: «Время от половины XVIII до половины XIX века было самым блестящим временем как для философии, так и для математики, хотя судьба их впоследствии и не была одинакова. Все, добытое умом человеческим в области точных наук, остается навсегда признанным и неоспоримым достоянием науки; это плоды умственного труда, которые навсегда сохраняют свою цену. Иная участь выпала на долю философии: философские учения сменяются одно другим, представляя мало прочного и окончательного; многое, что считалось истинным и увлекало мыслителей в одно время, оказывалось потом сомнительным, опровергалось и заменялось новыми учениями, ожидавшими в свою очередь той же участи в недалеком будущем» [8, с. 3].

Большое значение ученый отводил идеальному характеру математических наук, говоря, что именно этому они обязаны своим развитием и завидным современным состоянием: «Все, что исследуется в точных науках, носит несомненный и резко выраженный характер идеальности; в мире математических понятий все доводится до идеальной простоты, будут ли эти

предметы, создаваемые самой мыслью, или предметы, внесенные в области путем внешних восприятий» [8, с. 27].

Делая вывод, касающийся идеализации, Цингер говорил: «Итак, идеализация есть постоянная и необходимая деятельность разума, прилагаемая им при всяком переносе какого бы то ни было содержания в области мысли. Составление представлений и понятий как материалов для логической обработки, для вывода истин, составляющих познание, необходимо сопровождается этой предварительной подготовкой. В этом отношении нет никакой разницы между понятиями априорическими и эмпирическими; различие происхождения оказывает влияние, и весьма существенное, но в другом отношении» [8, с. 25].

Стоит заметить, что, несмотря на резкую критику самого позитивизма, Василий Яковлевич признает высокую ценность опыта: «Опыт есть необходимое и великое средство для изучения внешнего мира; только он может дать материал для естествознания и нередко он же руководит разумом при стремлении постичь явления природы» [8, с. 27].

Он выстроил иерархию математических наук, основанных преимущественно на чистом представлении. На первое место Василий Яковлевич ставил геометрию: «Основные постулаты этой науки, не приводясь к более простым понятиям, признаются нашим сознанием за несомненные истины на основании очевидности представления».

Про математический анализ Цингер говорил: «Математический анализ, по существу своему вполне отвлеченный, пользуется также весьма нередко и в различных формах пособием наглядного представления».

В отношении кинематики высказывал такое мнение: «Кинематические представления так близки и сродны с геометрическими, что очень часто для наглядности чисто геометрических исследований мы невольно прибегаем к представлениям перемещения, изменению формы и т.д.» [8, с. 25].

Эта речь произвела на читателей потрясающий эффект. О ней много и долго спорили и обвиняли ее автора за резкость суждений. На такую борьбу с позитивизмом Василия Яковлевича побуждало его миросозерцание. Он оставался убежденным защитником духовной сущности сознания. В противоположность субъективному идеализму в духе Канта, математик являлся сторонником объективного идеализма в духе Шеллинга и Гегеля [5, с. 57-61].

Объективный идеализм - одна из основных, наряду с субъективным идеализмом, форм идеализма. Объективный идеализм в отличие от субъективного за первооснову действительности принимает надличностное универсальное, духовное образование (идея вообще, абсолютный дух, Бог, мировой разум. Наиболее известные представители этого направления - Платон (428 или 427 до н. э. - 348 или 347 до н. э.), Фома Аквинский (1225 или 1226 - 1274), Гегель, Шеллинг и др. [7, с. 392].

В этой речи нашли отражение и педагогические взгляды Цингера. В них обнаруживается влияние его наставника Н.Д. Брашмана. Василий Яков-

левич утверждал, что высшие части математики могут усваиваться только путем постоянного и долговременного навыка. Он делал большое различие между простым фактическим знанием и полным пониманием: «Один фактический материал, как бы он ни был богат, еще не составляет науки; наука создается стремлением к познанию» [8, с. 24].

Стоит сказать, что склонность к педагогической деятельности у Василия Яковлевича проявлялась всегда. Он был хорошим знатоком школьной математики и работал над составлением такого руководства по геометрии, чтобы вывести этот учебный курс из общепризнанного формализма.

Ученый всегда большое внимание уделял подготовке к лекциям, которые были оригинальными, яркими, глубоко обдуманными. Они хорошо усваивались и запоминались [4, с. 117]. «Что бы он ни читал, - писал К.А. Андреев, - он являлся перед слушателями не столько руководителем в усвоении содержания науки, сколько истолкователем, так сказать, существа идей. Придавая второстепенное значение формализму доказательств и выводов как бы они хитроумны ни были, он раскрывал перед слушателями внутреннее значение научных положений, как в отдельности, так и в их взаимоотношении. Пренебрегая до известной степени, так сказать, бренным телом науки, он умел показать слушателям существо ее души» [1, с. 14-15].

По свидетельству К.А. Андреева, Василий Яковлевич был строгим экзаменатором. Но главное для него было не знание фактов, доказательств, подробностей, а знание существа дела: «Экзаменующийся у него мог, собственно говоря, и не знать ни одного доказательства. Но ему не позволялось не знать для чего то или другое доказательство нужно» [1, с. 15].

Кроме математики и философии профессор активно увлекался ботаникой. В 1885 году он даже выпустил монографию «Сборник сведений о флоре средней России», объемом свыше 500 страниц.

Цингер проявил себя и на административных должностях. В 1870-1876 гг. он был секретарем физико-математического факультета, в 1876-1878 гг. - деканом, в 1878-1880 - проректором университета, в 1880-1886 -снова деканом.

Позже, освободившись от всех должностей в университете, в 1892 году Цингер стал директором Александровского коммерческого училища, которое покинул в 1898 году.

Личная жизнь ученого была непростой - он был вынужден трижды жениться. Впервые он связал себя узами брака в 1865 году. Его избранницей стала Магдалина Ивановна Раевская. Молодая семья стала притягивать к себе внимание всех близких родственников.

Василию Яковлевичу никогда не требовалось многого: зимой профессора занимали университет, научные занятия, летом - село, родственники и ботаника. Цингер был домоседом, он не любил часто выходить из дома. Но, несмотря на это, ученый с охотой посещал различные торжественные собрания, в которых принимал активное участие.

В 1888 году от неожиданной болезни скончалась Магдалина Ивановна. Семейное спокойствие ученого закончилось.

Василий Яковлевич привык к заботам близкого человека, и долго он не мог оставаться холостым, поэтому чуть позже женился на дочери бывшего профессора Московского университета А.В .Летникова Екатерине Алексеевне. Этот брак принес Цингеру еще большие испытания: неизлечимая болезнь младшей дочери, неожиданная смерть старшей, частые сердечные приступы жены. Скорее именно из-за этого ученый решил отказаться от научной деятельности и переехал в деревню. В 1903 году Екатерина Алексеевна умерла, оставив ему троих маленьких детей.

Несмотря на стойкий характер, было заметно, что все произошедшие события очень сильно повлияли на Василия Яковлевича, на его физическое и психологическое состояние, хотя он и пытался это скрыть [1, с. 39-40].

Позже, будучи в более почтенном возрасте, он еще раз решился на брак и переехал жить в Москву. По свидетельству К.А .Андреева, математик стал уже настоящим анахоретом, редко выходил из дома, а последние новости узнавал из газет или от друзей, посещавших его. При этом живо интересовался политическими событиями в нашей стране. Он подвергал сомнению правильность приобретающих господство направлений [1, с. 40]. Однако все это Василий Яковлевич оценивал со стороны, не принимая активного участия.

Умер В.Я. Цингер 16 февраля 1907 года от крупозного воспаления легких.

Он был настоящим патриотом своей страны. Дважды выезжал за границу, но возвращался раньше намеченного срока, поскольку тяжело переживал разлуку с Родиной.

Своими научными трудами, педагогической деятельностью, доброжелательным отношением Василий Яковлевич был известен далеко за пределами Московского университета. Большой вклад он внес в развитие Московского математического общества, у истоков основания которого стоял вместе с Н.Д. Брашманом, Н.В. Бугаевым и А.Ю. Давидовым. В нем Василий Яковлевич последовательно был секретарем, вице-президентом и президентом, отказавшись от этой должности в 1891 году.

Позже его научные успехи получили признание и со стороны Академии наук, членом-корреспондентом которой он был избран в 1900 году.

Большая заслуга принадлежит Василию Яковлевичу в воспитании сильных математиков, среди которых наиболее известным был П.А. Некрасов. Цингером была создана школа геометров, в которую входили К.А. Андреев, А.К. Власов, Б.К. Млодзеевский, Д.Ф. Егоров и др.

Итак, обобщая вышесказанное, можно сделать следующий вывод о мировоззренческих взглядах В.Я.Цингера: он был сторонником объективного идеализма и не поменял своих убеждений и через 20 лет после публичного выступления, когда представил слушателям еще одну философскую речь «Недоразумения во взглядах на основания геометрии» [1, с. 25].

Очевидно, что на формирование таких взглядов большое влияние оказал его университетский наставник Н.Д. Брашман, который был идеалистом [2].

Библиографический список

1) Андреев К.А. Василий Яковлевич Цингер. - М.: Типография Императорского Московского университета, 1908.

2) Брашман Н.Д. О влиянии математических наук на развитие умственных способностей. - М.: Университетская типография, 1841.

3) Колягин Ю.М., Саввина О.А. Математики-педагоги России. Забытые имена. Книга 4. Николай Васильевич Бугаев. - Елец: ЕГУ им. И.А. Бунина, 2009.

4) Левшин Л.В. Деканы физического факультета Московского университета. - М.: Физический факультет МГУ, 2002.

5) Лопатин Л.М. Философские взгляды В.Я. Цингера // Математический сборник. - Т.28. - Вып.1. - М., 1911.

6) Саввина О.А., Колягин Ю.М. «Ах, какой молодец Цингер!» // Математика в школе. - 2011. - №5.

7) Философский словарь под ред. И.Т.Фролова. - М.: Изд-во «Республика», 2001.

8) Цингер В.Я. Точные науки и позитивизм. - М.: Московский университет, 1874.

ИЗ ИСТОРИИ ОБРАЗОВАНИЯ В ПЕРВОПРЕСТОЛЬНОЙ: МАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИКИ В МОСКОВСКОЙ 3-ЕЙ ГИМНАЗИИ

Ю.М. Колягин, О.А. Саввина

В статье реконструируется история гимназического математического образования на примере преподавания математики в Московской 3-ей гимназии. Дается характеристика преподавательской деятельности известных московских педагогов того времени и приводится обзор учебников и гимназической программы по математике конца XIX века.

Ключевые слова: история гимназического образования в Москве, педагоги-математики - Л.К. Лахтин, В.П. Минин, Д.Ф. Назаров; дореволюционные учебники и программы по математике.

Школа должна воспитывать ... чувство порядка и долга, выдержку и настойчивость в труде, ибо без этих качеств человек не может быть полезным членом общества.

Д.Ф.Назаров

Сегодня часто говорят о перегрузках детей школьной программой. Растущий объем информации дает повод ставить под сомнение знаниевый подход к обучению. Современная официальная идеология образования зиждется на утверждении, что главная задача школы состоит в развитии личности, формировании метапредметных умений, например, умения искать информацию и т.п. Воспитание трудолюбия, усидчивости, дисциплинированности официальной педагогикой сегодня практически не востребовано. Да и знания, которыми предлагают овладеть нынешнему школьнику, ориентированы на чистую прагматику - знать надо только то, что полезно применять сразу. Фундаментальные теоретические знания перестали быть основой образования. А жаль. Ведь научить математике (как впрочем, и другому учебному предмету) нельзя только на основе внутренней мотивации и практически направленного интереса. Для овладения этим предметом необходим упорный труд, ибо, как давно известно, нет «царского пути в геометрии».

Конечно, идти по пути наименьшего сопротивления и легко, и приятно, но без элементов принуждения, зазубривания организовать обучение просто невозможно. Неумолимый судья - время - показало, что идеи Ж.Ж. Руссо и Л.Н. Толстого являются не более чем утопией. И дореволюционная школа это честно признавала: учиться в гимназии было для многих детей трудно, но и одновременно престижно. Случаи второгодничества и отчисления в гимназиях были делом обычным. Причем одинаково трудно было учиться и в столице, и в провинции.

Истоки гимназического образования в Москве, как известно, уходят в XVIII век, в то время, когда при Императорском Московском университете была учреждена своя гимназия. Реформа образования начала XIX века поставила целью не только широко распространить просвещение, но и упорядочить учебные заведения России, выстроив их сеть в четкой иерархии: приходские училища (первая ступень), уездные училища (вторая ступень), губернские училища (средняя ступень), университеты (высшая ступень). На территории России появились 6 учебных округов (Московский, Виленский, Дерптский, С.-Петербургский, Харьковский и Казанский). Согласно Уставу, принятому в 1804г., в каждой губернии планировалось открытие гимназии, обычно на базе Главного народного училища.

В Московском учебном округе для проведения реформы имелся необходимый задел (и свой университет, и Главное народное училище), поэтому преобразования в нем произошли довольно быстро и плавно. Уже в 1804 г. открылась мужская гимназия. Сначала ее называли просто губерн-

ской, а с 1833 г. она стала именоваться 1-й гимназией1. В 1834 г. попечитель округа граф С.Г. Строганов нашел, что 1-я гимназия переполнена учащимися и сделал представление министру просвещения о необходимости открыть в Москве еще одну гимназию[18, с.32]. Так в 1835 г. в Москве появилась 2-я гимназия2.

3-я гимназия была открыта в 1839 г.3 Правда, замышлялась она для решения иной задачи - распространения в России технического (реального) образования, а не классического. В Высочайшем Указе 1839 г. говорилось, что 3-я гимназия учреждается «как вообще для удовлетворения усиливающейся потребности в образовании юношества, так и в особенности для преподавания в Москве, в сем центральном пункте внутренней промышленности, технического курса наук» [14, ст. 1160]. Вместе с тем первоначально в гимназии существовали два курса: реальный и классический. Их учебные планы разнились. В учебный план реального курса входили такие предметы, как бухгалтерия, коммерческое законоведение, технология и товароведение, которые не изучались в классическом курсе. И наоборот, учебный план последнего включал латинский и немецкий языки, которые оставались за рамками реального направления. Несмотря на то, что классический курс был поставлен в этой гимназии на второе по значимости место, он оказался, по словам преподавателя П. Виноградова, более «живучим, более сильным, чем главный реальный курс». И это понятно - уже в 1845 г. выпускники классического курса 3-й гимназии были освобождены от вступительного экзамена в университет наравне с выпускниками двух других московских гимназий [13, с.862]. Попытка преобразовать в 1865 г. эту гимназию в реальную не увенчалась успехом. В 1868 г. директор направил «наверх» ходатайство об изменении статуса гимназии, указывая на наметившуюся опасную тенденцию резкого сокращения количества учеников в гимназии в связи с ее переходом на реальный уклон. Ходатайство было поддержано, и в 1869 г., накануне принятия нового Устава 1872 г., гимназия стала классической.

Большое двухэтажное здание гимназии располагалось на углу Большой Лубянки и Фуркасовского переулка (ныне на этом месте возведен Дом общества «Динамо», принадлежащий ФСБ). Со стороны улицы, на ограде высился образ Знамения Богоматери с лампадой, висела мемориальная доска

1 Московская губернская гимназия очень короткий срок называлась 2-й. Это было вызвано тем, что в 1830 г. благородный пансион при Московском университете был преобразован в гимназию, поэтому получил наименование Московской 1-й гимназии, а губернская получила соответственно номер 2-й. Однако вскоре была переименована в 1-ую, поскольку в 1833 г. 1-я гимназия (бывший благородный пансион) была преобразована в Московский дворянский институт.

2 О преподавании математики и учителях математики Московской 1-й гимназии см.: Колягин Ю.М., Саввина О.А. Математики-педагоги России. Забытые имена. Книга 4. Николай Васильевич Бугаев. - Елец: ЕГУ им. И.А. Бунина, 2009.

3 Об истории 4-й, 5-й и 6-й гимназий Москвы см.: Христофорова Н.В. Российские гимназии XVIII-XX веков. На материале г. Москвы. М.; Колягин Ю.М., Саввина О.А. Дмитрий Федорович Егоров. Путь ученого и христианина. - М.: Изд-во ПСТГУ, 2010.

с именем Пожарского. Напротив гимназии находилась Церковь Введения [6, с.325], о чем сохранилось такое лирическое свидетельство гимназиста В. Гофмана (1884-1911), будущего поэта Серебряного века, описывающего свою дорогу в гимназию:

...Вдоль длинных зданий, мимо храма

Протянут мой случайный путь,

Пойти ли влево или прямо,

Или направо повернуть?..

Люблю бесцельные прогулки

С тревогой перелетных дум.

Люблю глухие переулки

И улиц неустанный шум.

По воспоминаниям другого выпускника - Ильи Шнейдера, здание было построено на фундаменте бывшего дома Пожарского4, от которого сохранился лишь полуподвальный этаж с большими нависшими сводами. «Вся внеклассная жизнь 3-й гимназии, - свидетельствует И.Шнейдер, - кипела "под сводами". Этот термин вошел в быт гимназии, и "под сводами" проходила часть дня всех учеников, от приготовишек до восьмиклассников. Туда после звонка, возвещавшего об окончании урока, неслись по железным лестницам с нарастающим гулом и гамом детские и юношеские фигурки в серых форменных костюмах, перетянутых черными поясами с начищенными металлическими пряжками и надписью "М-З-Г". "Под сводами" проводились большие и маленькие перемены между уроками, отдельные длинные коридоры там были отведены под гардероб, где рядами висели серые гимназические шинели с серебряными пуговицами и синими петлицами, обшитыми белым кантом. Там же была тайная курилка, и там же за бывшей длинной партой, покрытой чистыми простынями, в большую перемену торговал булочник от Филиппова5» [19].

Гимназия курировала 3 уездных и (с 1872 г.) 13 городских училищ; имела воскресные классы технического рисования и педагогические курсы (курсы в свое время посещал будущий историк В.О. Ключевский). Здесь учительствовали ученый-механик А.С. Ершов (1818-1867), словесники Ф.И. Буслаев (1818-1897) и Л.И. Поливанов (1838-1899), педагоги известные, талантливые и инициативные. В 1868 г. Л.И. Поливанов, убежденный сторонник классического образования, открыл свою частную гимназию, которая получила известность под именем «Поливановская». А.С.Ершов пре-

4 Пожарский Дмитрий Михайлович (1578-1642) - князь, боярин (с 1919 г.), один из руководителей борьбы русского народа против польских и шведских интервентов.

5 Филиппов Иван Максимович (1824 (1825?) д. Кабаново Малоярославского уезда— 1890, Москва) — знаменитый русский купец, пекарь, меценат. Родоначальником династии знаменитых булочников Филипповых) считается отец Ивана - Максим Филиппов, бывший крепостной. С 1803 (1806) г. он занимался выпечкой и продажей в разнос в торговых рядах Москвы пирогов с различной начинкой, а затем и калачей. Первая собственная пекарня Филипповых появилась на углу Мясницкой улицы и Бульварного кольца.

подавал впервые введенную им в этой гимназии практическую механику, он же выступил одним из основателей Императорского Московского технического училища (Ныне МГТУ им. Н.Э.Баумана), открытого уже после его смерти в 1868 г.

Среди выпускников гимназии встречаем немало прославленных имен: министр юстиции (с 1894 по 1905 г.) Николай Валерианович Муравьев (1850-1908), адвокат и председатель I государственной Думы Сергей Андреевич Муромцев (1850-1910), филолог Николай Саввич Тихонравов (1832-1893), бактериолог Георгий Норбертович Габричевский (1860-1907) и др. Непосредственно с гимназией связано начало творческой деятельности поэтов Серебряного века Виктора Викторовича Гофмана и Владислава Фелициановича Ходасевича (1886-1939).

Дважды с гимназией пересекалась судьба будущего талантливого математика и ректора Императорского Московского университета Леонида Кузьмича Лахтина (1863-1927): он здесь учился (закончил с серебряной медалью в 1881 г.) и преподавал (1887-1892).

А в 1910 г. эту гимназию с серебряной медалью закончил Сергей Мечев (1892-1942), причисленный к лику святых Русской православной церковью в 2000 г.

Итак, с 1872 г. гимназия стала исключительно классической. Древним языкам и математике придавалось в ней огромное значение, на их изучение выделялось наибольшее количество часов. Такое внимание к математике обуславливалось не только формальным обстоятельством - классической направленностью гимназического курса, не менее важную роль в этом сыграл и личностный фактор. По счастливому стечению обстоятельств, первым директором гимназии был назначен педагог-математик Платон Николаевич Погорельский (1800-1852), который не только хорошо знал математику, но и горячо любил свой предмет и во вверенном ему учебном заведении задал высокую планку его преподавания. Об этом человеке стоит рассказать подробнее - яркая личность!

Платон Николаевич Погорельский родился в небогатой семье польского помещика, учился в Московской губернской гимназии, затем - в Московском университете. В 1822 г. он - учитель арифметики в Московском университетском пансионе, в 1829 г. - старший учитель математики в Московской губернской гимназии (параллельно вел занятия по аналитической геометрии и элементарной механике в Московском университете), в 1836г. -инспектор Московской 1-й гимназии. Ко всем своим обязанностям П.Н. Погорельский относился с большой ответственностью, и это не осталось не замеченным министерским начальством [16, с.111]. Когда была открыта 3-я реальная гимназия в Москве, П.Н.Погорельскому было предложено ее возглавить.

Как руководитель и наставник П.Н.Погорельский отличался чрезвычайной строгостью и требовательностью. Он осуществлял управление гимназией твердой рукой. Очевидцы рассказывали, что при его появлении уче-

ники дрожали, а учителя подтягивались [8, с.11]. Однако строгость и суровость директора не мешали воспитанникам любить его. И нередко, спустя годы, выпускники приходили в гимназию единственно для того, чтобы засвидетельствовать своему наставнику чувства почтения и благодарности [3, с.53].

О справедливости и участливости этого с виду несказанно сурового человека говорит, например, следующая история, связанная с одним из его учеников Алексеем Тарасенковым. Алексей выделялся своими способностями и прилежанием к учению, но его отец - торговец, посчитав для сына достаточным 3-х классов образования, забрал мальчика из гимназии и посадил за прилавок. Узнав об этом, Погорельский отправился к отцу и настоял, чтобы мальчика снова вернули в гимназию. В результате Алексей окончил гимназию, а затем и медицинский факультет университета. Впоследствии стал известным врачом, директором больницы6.

П.Н. Погорельский считался одним из лучших учителей математики в Москве. Его частные уроки пользовались огромным спросом. Однажды он был приглашен в качестве учителя математики к Пафнутию Львовичу Чебышеву (1821-1894) - будущему известному ученому. И, несомненно, именно П.Н. Погорельский сыграл определяющую роль в становлении и развитии у Пафнутия Чебышева интереса к математике.

В начале 1830-х гг. П.Н.Погорельский перевел с французского и переработал «Курс чистой математики», составленный по поручению генерала Беллавеня французскими профессорами Аллезом, Билли, Будро и Пюиссаном (1-е изд., СПб.,1825; 8-е изд., СПб., 1863). В «Курс» вошли алгебра, геометрия, прямолинейная тригонометрия с приложением к практическим задачам и приложения алгебры к геометрии, в том числе конические сечения. По словам историка математики В.Е. Прудникова, «этот перевод-переделка был так удачен и хорошо приспособлен к гимназической программе по математике, что в сравнительно короткое время выдержал многочисленные издания и был принят в качестве руководства для гимназий» [15, с.397]. (Заметим, что учебник П.Н. Погорельского сменил учебники Н.И. Фусса).

Понятно, что П.Н. Погорельский прилагал «деятельное попечение к преуспеянию» преподавания своего любимого предмета. Один из очевидцев П.Виноградов свидетельствовал:

«Не ограничиваясь наблюдением за преподаванием учителей, Платон Николаевич часто сам являлся руководителем учеников в рекрационное время. Входя во время перемен в класс, он слушал, как лучшие ученики объясняют своим товарищам непонятый теми урок. Он умел направлять на верную дорогу неумелые объяснения; слишком бойким он говаривал: "спус-

6 А.Т. Тарасенков получил также известность и как доктор, лечивший Н.В. Гоголя. См.: Тарасенков А.Т. Последние дни Н.В. Гоголя (описание его болезни). - СПб., 1857.

тись пониже, говори попроще, если хочешь, чтобы тебя поняли". Часто он сам брался за мел и начинал объяснение.

"Что посеешь, то и пожнешь". И мне кажется, не этим ли между прочим семенам, посеянным первым директором, 3-я гимназия обязана тем, что и до настоящего времени ученики ее высказывают какое-то особенное тяготение к математике: успехи их по этому предмету и теперь значительно выше, чем по другим предметам; и большая часть кончивших курс избирает себе математический факультет» [ 3, с.40-41].

Учителями математики в гимназию приглашались чаще всего выпускники Императорского Московского университета. Иногда, правда, такие приглашения получали и воспитанники Главного педагогического института.

В конце XIX века большую известность в Москве получили два преподавателя этой гимназии - Дмитрий Федорович Назаров (1840-1887) и Виктор Петрович Минин (1851?-?).

Виктор Петрович Минин закончил физико-математический факультет Московского университета кандидатом в 1873 г. и сразу же поступил на работу учителем математики и физики в 3-ю гимназию. Кроме того, с 1879 г. он состоял членом Испытательного комитета при попечителе Московского учебного округа.

Работая учителем, Виктор Петрович продолжал заниматься учебно-литературной деятельностью. Его перу принадлежат многие рецензии, статьи, учебные руководства. Судя по этим публикациям, первоначально научные интересы Виктора Петровича Минина были сосредоточены преимущественно в области физики, но постепенно все больше распространялись и на математику. Особую популярность имели его сборники задач по геометрии и тригонометрии (в 1918 г. вышло 11-е издание сборника задач по тригонометрии и 15-е - по геометрии). Помимо того, Виктор Петрович интересовался применением физики к фотографии и медицине.

Среди гимназистов В.П. Минин пользовался уважением и любовью. О характере его педагогической деятельности определенное представление дают воспоминания известного ученого-медика М.П. Кончаловского (1875-1942), окончившего гимназию в 1894г. «В.П. Минин, - рассказывает М.П. Кончаловский, - серьёзно и просто рассказывал нам о явлениях природы, у него была лекционная система, что приучало детей к вниманию, и, хотя он не был строгим, у него всегда сидели тихо. Как-то он моего брата Петра позвал домой, и на другой день брат в восторге рассказывал, что он его очень ласково принял и даже угостил красным вином. Такое обращение наших официальных начальников было совершенно необычно. В тот же год мой брат, тогда уже юный художник, написал его портрет» [7].

Другой учитель математики - Дмитрий Федорович Назаров (1840-1887) - был не менее незаурядной личностью. Он был старше В.П. Минина. Родился Дмитрий Федорович в 1840 г., физико-математический факультет Московского университета окончил в 1861 г. и начал службу надзирателем ре-

месленного училища. С 1863 г. преподавал математику в этом же училище и во 2-й гимназии, где одновременно служил надзирателем. В 1865 г. он покинул эти учебные заведения, получив место преподавателя математики в 5-й гимназии, с 1870 г. - инспектора этой же гимназии. В 1876 г. он перешел в 3-ю гимназию, где преподавал математику до самой смерти. Дмитрий Федорович скончался в 1887 г., и, по-видимому, Л.К. Лахтин как раз и принял у него эстафету, став преподавателем в родной гимназии.

О Д.Ф. Назарове остались очень теплые воспоминания как об активном, энергичном человеке:

«Дмитрий Федорович пользовался большою известностью между учащеюся молодежью, ее родителями и родственниками. Живой, подвижный, энергический, он обыкновенно имел массу уроков: рабочий день его начинался с 8, с 7 часов утра и кончался поздним вечером. Минутные промежутки между уроками достаточны были для него, чтобы проглотить чашку кофе или наскоро пообедать.

Маленького роста, тщедушный, он тем не менее обладал крепким здоровьем: случаи манкировок были так редки, что, как вспоминает один его ученик, за целые 8 лет он отсутствовал лишь три или четыре раза. Нужно заметить, что при таком громадном количестве уроков, доходившем до 50, до 60 в неделю, он успевал писать учебники, тщательно просматривать письменные работы, которых давал не мало; притом не отказывал себе и в развлечениях: то одного, то с семейством можно было встретить его на всех выдающихся спектаклях, концертах, вечерах и гуляньях. Это был человек общественный, услуга-человек, как говорили о нем сослуживцы и все знавшие его. Не к кому другому, а к нему обращались родители в затруднительных случаях для своих детей: он помогал им определить сына в гимназию, найти репетитора, устроить домашнее преподавание чрез приискание соответствующих учителей, а в прежнее время не редко поддерживал молодых людей и на самом экзамене. Он давал занятия студентам, рекомендуя их на уроки. Такая готовность услужить всем не мешала ему быть строгим исполнителем поручений начальства; при своей подвижности, энергии он раскрывал иногда такие вещи, которые могли бы ускользнуть от внимания другого» [3, с. 162-163].

Излюбленным предметом Д.Ф. Назарова, по-видимому, была арифметика. По этому предмету он написал несколько учебных руководств [11], [12]. А сборники задач по арифметике, написанные им в соавторстве с В.М. Арбузовым (1852-1919), А.П. Мининым и В.П. Мининым, были рекомендованы Министерством народного просвещения в качестве пособия для гимназий. Эти задачники использовали и в 3-ей гимназии.

О педагогическом мастерстве Д.Ф. Назарова свидетельствуют такие слова его современников: «каждый урок его можно было назвать художественным произведением по ясности, точности, сжатости и строгой обдуманности изложения. Внимательно прослушанное объяснение делало почти ненужным домашние занятия по объясненному отделу» [3, с. 162-163].

Имел Д.Ф. Назаров и особое представление о методах воспитания гимназистов. «Он не стеснялся, - пишет П. Виноградов, - уколоть невнимательного ученика остротой или подстрекнуть даже резким замечанием. И не на одно только усвоение предмета он обращал внимание учеников: за длинные волосы, за беспорядок мундира он одинаково язвил учеников и 1-го и последнего класса. Особенно он не терпел щегольства, фанфаронства, если подмечал их в молодых людях: его остротам, насмешкам в таких случаях не было границ. Д.Ф. постоянно заботился и о том, чтобы выработать характер юноши» [3, с. 162-163].

А по каким же учебникам математики учились в то время воспитанники этой гимназии? По свидетельству П. Виноградова, по арифметике в гимназии использовались руководство Н.В. Бугаева (1 и 2 части) и задачники Д.Ф. Назарова, В.П. Минина и др.; по алгебре и геометрии - учебники А.Ю. Давидова, а по тригонометрии - А.Ф. Малинина.

Все эти учебники были написаны в соответствии с программой, поэтому не будем останавливаться на характеристике их содержания, а приведем программу по математике, датированную 1879 г.:

«Арифметика7.

I класс (4 урока). Нумерация десятичной системы. Повторение действий над целыми отвлеченными числами. Таблицы русских мер наглядно и с объяснением. Раздробление и превращение именованных чисел. Действия над составными именованными числами. Устное и письменное решение задач. Ознакомление с простейшими дробями.

II класс (4 урока). Признаки делимости чисел на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 и 10. Разложение чисел на простые множители. Действия над обыкновенными и десятичными дробями как отвлеченными, так и именованными. Периодические дроби. Ознакомление учащихся с метрической системой мер. Об отношениях и пропорциях. Устное и письменное решение задач, относящихся ко всему пройденному.

III класс (2 урока). Приложение арифметических действий к решению разного рода задач так называемых: правила тройного простого и сложного, правила процентов, учета, векселей, правила цепного, пропорционального деления и смешения.

Алгебра

III класс (2 урока). Упражнения, служащие для перехода от арифметики к алгебре; алгебраическое знакоположение. Нахождение численных величин алгебраических выражений. Соединение подобных алгебраических количеств. Сложение, вычитание и умножение одночленов и многочленов. Деление одночленов. Решение простейших уравнений 1-й степени с одной известной и задач, к ним относящихся.

7 В VIII классе арифметика повторяется вместе с алгеброй.

IV класс (2 урока). Деление многочленов. Разложение алгебраических выражений на множители и нахождение общего наименьшего кратного нескольких данных количеств.

Действия над алгебраическими дробями.

Решение определенных уравнений I степени с одной и многими неизвестными и составление уравнений из условий данной задачи.

Возвышение одночленов в степени и извлечение корней из одночленов. Возвышение многочленов в квадрат. Извлечение квадратных корней из чисел и алгебраических количеств.

Пропорции и применение их к решению задач.

V класс (2 урока). Решение простейших уравнений II степени с одной неизвестной и задач, к ним относящихся.

Исследование уравнений I степени и решение квадратных уравнений с одной неизвестной и задач, к ним относящихся.

Общее исследование квадратного уравнения и свойства корней этого уравнения. Свойство трехчлена II степени. Решение простейших уравнений II степени с двумя неизвестными.

Действия над радикалами.

Решение неопределенных уравнений I степени и задач, сюда относящихся.

VI класс (1 урок). Прогрессии и приложение их к решению задач. Логарифмы; применение их к вычислениям и к решению задач.

VII класс (1 урок). Общий наибольший делитель. Извлечение кубических корней. Непрерывные дроби и их простейшие применения. Теория сочетаний. Бином Ньютона.

Геометрия

IV класс (2 урока). Прямая и круговая линии; мера прямой линии. Прямолинейные углы и понятие о мере их.

Свойства перпендикулярных и наклонных линий. Равенство треугольников и свойства их.

Свойства параллельных линий. О четырехугольниках и многоугольниках вообще.

О круге. Свойства хорд, секущих, касательных и мера углов, составленных этими линиями.

Об относительных положениях двух кругов.

О треугольнике и правильных многоугольниках, вписанных в круг и описанных около него.

V класс (2 урока). Пропорциональность прямых линий и подобие треугольников и многоугольников.

Главнейшие соотношения между сторонами треугольника и четырехугольника и другими линиями, проведенными в них.

Пропорциональные линии в круге. О вычислении сторон правильных многоугольников, вписанных в круг и описанных около него.

О пределах; об отношении окружностей.

Понятие о вычислении отношения окружности круга к диаметру.

Несложные задачи на построение и численные примеры, относящиеся к каждому из пройденных отделов.

Измерение и отношение площадей прямолинейных фигур, круга и его частей.

О взаимном положении прямых линий и плоскостей в пространстве. Главные свойства и условия равенства пирамид и призм и о правильных многогранниках.

Измерение поверхностей призм и пирамид.

VI класс (1 урок). Измерение объемов призм и пирамид. О подобных многогранниках.

О происхождении конуса, цилиндра и шара и о их сечениях. Измерение поверхностей и объемов конуса, цилиндра, шара и его частей.

Отношение поверхностей и объемов подобных цилиндров и конусов, а также поверхностей и объемов шаров. Прямолинейная тригонометрия.

VII класс (2 урока). Предмет тригонометрии. Тригонометрические величины. Соотношения тригонометрических величин одного и того же угла.

Изменение тригонометрических величин с изменением угла от 0° до 360°.

Выражение синуса, косинуса и тангенса суммы и разности двух углов.

Выражение синуса, косинуса и тангенса двойного угла и половины угла. Отношение суммы синусов двух углов к их разности.

Понятие о вычислении натуральных тригонометрических чисел. Употребление тригонометрических таблиц.

Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника. Решение прямоугольных треугольников.

Соотношения между сторонами и углами косоугольных треугольников. Решение косоугольных треугольников. Вычисление площадей.

Измерение линий и углов на земной поверхности. Простейшие угломерные инструменты. Приложение прямолинейной тригонометрии к производству различных измерений на местности.

VIII класс (3 урока). Повторение всего пройденного по математике, причем арифметика повторяется в связи с алгеброй и при повторении курса алгебры решается возможно большее число задач в дополнение к тем, которые были решены в предыдущих классах. Кроме того, сообщается понятие о приложении алгебры к геометрии» [17].

Таким образом, гимназист на рубеже 1870-1880-х гг. должен был в 1-ми 2-м классах посещать 4 урока8 арифметики в неделю. Когда он пере-

8 Урок тогда длился обычно 50 минут.

ходил в 3-й класс, начиналось изучение алгебры (2 урока алгебры и 2 урока арифметики), а в 4-м - геометрии (2 урока геометрии и 2 урока алгебры). В 6-м классе начиналась физика, поэтому на изучение математики количество уроков было уменьшено - всего 2 урока в неделю (1 урок алгебры и 1 урок геометрии), в 7-м - 3 урока (1 урок алгебры и 2 урока тригонометрии), а в 8-м - тоже 3 урока (повторялся весь пройденный курс, а также давались представления о приложении алгебры к геометрии).

Примерно такой объем знаний по математике имелся в багаже выпускника гимназии конца XIX века. Он впечатляет, не правда ли?

Библиографический список

1) Арбузов А.П., Минин А.П., Минин В.П. и Назаров Д.Ф. Систематический сборник арифметических задач для гимназий и прогимназий, мужских и женских, реальных, уездных и городских училищ, учительских институтов и семинарий. Изд. 2-е. - М., 1882.

2) Арбузов А.П., Минин А.П., Минин В.П. и Назаров Д.Ф. Сборник арифметических задач, преимущественно для учеников старших классов средних учебных заведений. Материалы для практических упражнений учеников в течение учебного года и темы для письменных испытаний. Изд. 2-е. -М., 1878. Изд. 3-е.-М., 1880.

3) Виноградов П. Краткий исторический очерк пятидесятилетия Московской III гимназии (1839-1889). - М., 1889.

4) Колягин Ю.М., Саввина О.А. Дмитрий Федорович Егоров. Путь ученого и христианина. - М.: Изд-во ПСТГУ, 2010. - 302 с.

5) Колягин Ю.М., Саввина О.А. Математики-педагоги России. Забытые имена. Книга 4. Николай Васильевич Бугаев. - Елец: ЕГУ им. И.А. Бунина, 2009. - 276 с.

6) Кондратьев И.К. Седая старина Москвы. Исторический образ и полный указатель ее достопримечательностей. - М.: ООО «Фирма СТД», 2008. - 640 с.

7) Кончаловский М.П. Моя жизнь, встречи и впечатления.. Встречи и впечатления / М.П. Кончаловский; Вступ. ст. и публ. Максима Вл. Кончаловского; Фот. К. Фишера [и др.] // Наше наследие. - 1998. - № 47. - С. 50-60.

8) Любимов Н.А. Воспомианния об А.С.Ершове // Отчет Московского технического училища за 1869 год. - М., 1869. - С. 11.

9) Минин В.П. Сборник геометрических задач, примененных к курсам гимназий и реальных училищ. Задачи алгебраической геометрии. (Задачи на вычисления). Материалы для практических упражнений учеников в течение учебного года и темы для письменных испытаний. - М.: Тип. Гатцука, 1877.

10) Минин В.П. Сборник тригонометрических задач, примененный к курсам гимназий, реальных училищ и других средних учебных заведений.

Материалы для практических упражнений учеников в течение учебного года и темы для письменных испытаний. - М.: Наел. бр. Салаевых, 1881.

11) Назаров Д.Ф. Руководство к арифметике. М.: Тип. Грачёва и К0, 1870. IV.-259 с.

12) Назаров Д.Ф. Сборник арифметических задач. - М.: Бр.Салаевы. 1875.4, 188, IIс.

13) Об освобождении учеников 3-й Московской гимназии от испытания при поступлении в Университет //Сборник распоряжений по Министерству народного просвещения. - Т.2. 1835-1846. - СПб.: В Типографии Императорской Академии наук, 1866. - С. 862.

14) Положение о третьей Гимназии в Москве (от 29 марта 1839 г.) // Сборник постановлений по Министерству народного просвещения. Т.2. 1825-1855. Отделение I. 1825-1839. - СПб.: В Типографии Императорской Академии наук, 1864. Ст. 1160-1164.

15) Прудников В.Е. Русские педагоги-математики XVIII-XIX веков. -М., 1956.

16) Саввина О.А.Исторические очерки о преподавании высшей математики в средних учебных заведениях России. Ч.1 (XVIII- первая половина XIX вв.). - М.: МПУ, ЕГУ, 2001. - 143 с.

17) Учебные планы предметов, преподаваемых в мужских гимназиях Министерства народного просвещения. - СПб., 1879. - С.71-75.

18) Христофорова Н.В. Российские гимназии XVIII-XX веков. На материале г. Москвы. - М.: Греко-латинский кабинет, 2002. - С. 32.

19) Шнейдер И.И. Записки старого москвича. - М.: Сов. Россия, 1970.-203 с.

ИЗ ИСТОРИИ КОМБИНАТОРИКИ

Р.А. Мельников

В статье рассмотрена история становления и развития комбинаторики, которая теперь изучается в общеобразовательных школах.

Комбинаторика (комбинаторный анализ) - область математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из элементов некоторого множества.

Слово «комбинаторика» происходит от позднелатинского combino, которое означает «соединяю, сочетаю».

Возникновение основных понятий комбинаторики шло параллельно с развитием таких разделов математики, как теория чисел, алгебра, теория вероятностей. Существенный толчок к развитию комбинаторики дали азартные игры, существовавшие ещё в глубокой древности, но получившие но-

вый виток интереса к себе после крестовых походов. Наибольшее распространение получила игра в кости - два или три кубика с написанными на гранях числами от 1 до 6 бросались на стол, и денежную ставку забирал тот игрок, у которого сумма выпавших очков оказывалась наибольшей. Исследованием исходов этой игры занимались известные итальянские математики XVI века - Н. Тарталья (1499-1557) и Д. Кардано (1501-1576). Наиболее полно исследовал эту игру Г. Галилей (1564-1642) в 4VII в., но его рукопись оставалась неопубликованной до 1718 г.

Кроме азартных игр благодатной почвой для расцвета комбинаторных идей стали шифры и анаграммы. Для расшифровки тайных переписок политиков часто привлекали математиков, например, Ф. Виета (1540-1603) -создателя современной алгебры.

Рождение комбинаторики как раздела математики, в первую очередь, связано с работами П. Ферма (1601-1665) и Б. Паскаля (1601-1662). Их труды, с одной стороны, стали фундаментом для теории вероятностей, а с другой стороны, содержали принципы определения числа комбинаций элементов конечного множества. До них комбинаторные проблемы затрагивались в астрологии, логике и относились в большей мере к области математических развлечений. Следующей вехой в становлении комбинаторики стал выход в свет в середине 70 гг. XVII в. «Диссертации о комбинаторном искусстве» Г.В. Лейбница (1646-1716). В ней впервые используется термин «комбинаторный».

В 1713 г. появилась книга Я. Бернулли (1654-1705) «Искусство предположений». Она содержала формулу для подсчёта числа размещений без повторений из п элементов по к элементам и ряд других весьма ценных результатов.

Немалый вклад в развитие комбинаторики сделал Л. Эйлер (1707-1783). В наследство потомкам он оставил две задачи (о 7 кёнигсбергских мостах; о 36 офицерах из 6 разных полков), которые стали классическими задачами комбинаторики.

Итак, хронологической точкой отсчёта становления комбинаторики как части математической науки принято считать конец 4VII - начало 4VIII вв.

В конце 4VIII в. немецкий учёный Гинденбург и его ученики предприняли попытку построить общую теорию комбинаторного анализа. Однако она не увенчалась успехом. Главной причиной их неудачи была нехватка интересных комбинаторных задач, которые могли бы послужить фундаментом для построения такой теории.

В Ч1Ч в. комбинаторные исследования велись параллельно с формированием теории определителей (для подсчёта подстановок стали использовать перестановки из п элементов), математической логики и т.п.

При всём этом комбинаторика долгое время лежала как бы вне русла основного развития математики. Не было возможности (методической) ввести её в рамки школьного образования.

Первыми в России, кто предпринял попытку (в 1915 г.) ввести комбинаторику вместе с теорией вероятностей в школу, стали профессор Московского университета П.А. Некрасов (1853-1924) и директор Урюпинского реального училища П.С. Флоров. Но их усилия не были поддержаны. Более того, они были подвергнуты достаточно жёсткой критике со стороны многих известных отечественных математиков того времени.

В период существования СССР комбинаторика фрагментарно была представлена в учебниках для средней школы (конец 60-х годов). Благодаря усилиям некоторых популяризаторов комбинаторики, в первую очередь Н.Я. Виленкина (1920-1991) - автора нескольких монографий, книг научно-познавательного характера и множества статей, посвященных ей, комбинаторика вошла в школу в виде факультативных занятий.

В последние годы написан ряд экспериментальных учебников, которые в большей или меньшей мере содержат элементы комбинаторики и теории вероятностей.

Отметим лишь, что при конструировании новых методик преподавания комбинаторики нельзя забывать об истории её становления.

Библиографический список

1) Виленкин, Н.Я. Популярная комбинаторика / Н.Я. Виленкин. -М.: Наука, 1975.-208 с.

2) Ежов, И.И. Элементы комбинаторики / И.И. Ежов, А.И. Скороход, М.И. Ядренко. - М.: Наука, 1977. - 80 с.

ИЗ ИСТОРИИ ПАРАДОКСА Н.Е. ЖУКОВСКОГО

Р.А. Мельников

В статье кратко рассмотрена история появления в теории устойчивости парадокса Н.Е. Жуковского. Описывается вклад, сделанный А.М. Ляпуновым в решении этого парадокса.

Ключевые слова: парадокс Н.Е. Жуковского, теория устойчивости, орбитальная устойчивость, А.М. Ляпунов.

В 1877 г. известный английский математик Э.Д. Раус (1831-1907) в монографии «Об устойчивости заданного состояния движения» затронул вопрос, касающийся экстремальных критериев орбитальной устойчивости, и поднял проблему связи между вариационными принципами механики и теорией устойчивости.

В России первым в области экстремально-вариационных принципов глубокие исследования провёл М.В. Остроградский (1801-1861). Основные

результаты он получил в 40-х годах XIX в. Остроградский, независимо от ирландского математика У.Р. Гамильтона (1805-1865), но в значительно более общей форме, получил тот вариационный принцип, который теперь именуется «принципом Гамильтона»9.

Исследования Остроградского вызвали немалый интерес у других отечественных математиков. Этим направлением занимались Н.Д. Брашман (1796-1866), О.И. Сомов (1815-1876) и др. Однако вопросы, которые они рассматривали, непосредственно не затрагивали теорию орбитальной устойчивости.

Первой работой по теории орбитальной устойчивости, опирающейся на вариационные принципы динамики, стала докторская диссертация Николая Егоровича Жуковского (1847-1921) «О прочности движения», опубликованная в 1882 г.

В этом трактате впервые в систематизированном виде была подробно изложена теория орбитальной устойчивости как теория устойчивости по первому приближению, опирающаяся на экстремальные критерии и на соответствующие дифференциальные уравнения в вариациях, определяющих траекторию, смежную с данной невозмущённой [3].

Кстати, первая попытка установить общую теорию прочности движения была предпринята У. Томсоном (лордом Кельвином) (1824-1907) и Тетом в их незабвенном труде «Натуральная философия».

В первой главе своей диссертации Н.Е. Жуковский рассмотрел движение материальной точки по гладкой двумерной поверхности под действием заданного консервативного поля сил. Исходя из принципа «наименьшего действия» в форме Якоби, он вывел двучленное дифференциальное уравнение первого приближения траектории, смежной с данной, подобрав координаты специальным образом. Это уравнение имеет вид

(1)

В нём г равно действию невозмущённой траектории, выраженному с помощью интеграла энергии через координаты точки на невозмущённой тра-

Н.Е. Жуковский

9 Согласно этому принципу: в действительном движении системы под действием потенциальных сил функционал имеет стационарное значение по сравнению с близкими кинематически возможными движениями, для которых начальное и конечное положения системы и время движения одинаковы с таковыми для действительного движения. Т- кинетическая, a U - потенциальная энергии.

ектории, Ф - вариации вдоль нормали, умноженной на скорость невозмущённого движения. Затем он пришёл к обобщению уравнения (1), получив уравнение вида

(2)

где а и ß - функции точки на невозмущённой траектории.

Н.Е. Жуковский изучал геометрический смысл коэффициента у = V2 - а (3), связанного с a (v - скорость). Ему удалось получить формулы, выражающие/ (коэффициент орбитальной устойчивости Жуковского) через координаты точки на невозмущённой кривой.

После составления дифференциального уравнения для возмущённой траектории он перешёл к разработке критерия устойчивости траектории. В итоге Н.Е. Жуковский сделал вывод: «Таким образом, критерий прочности движения материальной точки заключается в положительности функции у; при этом движение будет тем прочнее, чем больше /. Функцию / натурально назвать мерой прочности движения». Именно это утверждение получило название «парадокс Жуковского».

Первое указание на ошибочность утверждения Жуковского (без упоминания имени и работы учёного) через 10 лет с момента появления трактата «О прочности движения» было сделано Александром Михайловичем Ляпуновым (1857-1918). В своей докторской диссертации «Общая задача об устойчивости движения» он сформулировал условия, достаточные для устойчивости тривиального решения уравнения вида (4), где р - периодическая функция, принимающая положительные или равные (но не тождественно) нулю значения. А.М.Ляпунов пишет: «... в том частном случае, когда функция р приводится к постоянной величине, ... уже одного условия р>0 достаточно, чтобы корни характеристического уравнения, соответствующего какому-либо вещественному периоду, обладали модулями, равными 1... Поэтому возникает вопрос, не будет ли того же самого и в общем случае» [2].

Этот «вопрос» Ляпунова - констатация «парадокса Жуковского», бывшего вместе с Б.К. Млодзеевским (1858-1923) оппонентом на защите у Ляпунова.

«Но на этот вопрос получается отрицательный ответ, ибо можно привести примеры, в которых функция р будет оставаться всегда положительной, а характеристическое уравнение тем не менее будет обладать вещественными корнями, из которых один по числовой величине будет больше, а другой меньше 1» [2] (другими словами, тривиальное решение двучленного

А.М. Ляпунов

уравнения будет неустойчивым, вопреки мнению Н.Е. Жуковского). Затем Ляпунов привёл пример (дифференциальное уравнение Ламэ), подтверждающий его предположение.

Пример Ляпунова был сообщён Н.Е. Жуковскому (предполагавшемуся оппоненту) в 1891 г., до опубликования докторской диссертации Александра Михайловича. Николай Егорович отреагировал публикацией [1], посвященной повторному разбору затронутой Ляпуновым проблемы. В конце этой статьи он привёл новую формулировку критерия устойчивости.

Историки математики установили, что источником ложности утверждения Жуковского (парадокса Жуковского) стало использование им в процессе доказательства методики Штурма-Лиувилля.

Статья Н.Е. Жуковского, опубликованная в Математическом сборнике, вместе с работой А.М. Ляпунова - образец плодотворного общения двух великих учёных, а не безумного противостояния друг другу.

Именно этот момент является весьма веским аргументом в пользу того, что современным (как молодым, так и маститым) учёным следует знать такие факты из истории математики, чтобы сохранять традиции русской математической школы.

Библиографический список

1) Жуковский Н.Е. Условия конечности интегралов уравнения —т + Р'У = 0.//Матем. сборник. - Т. 16. - 1891.

2) Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. - М.-Л., 1950.

3) Моисеев Н.Д. Очерки развития теории устойчивости. - М.-Л.: ГИТТЛ, 1949.-663 с.

ПАФНУТИЙ ЛЬВОВИЧ ЧЕБЫШЁВ И ЕЛЕЦКАЯ ЗЕМЛЯ

(к 190-летию со дня рождения выдающегося учёного)

А.Н. Мельников, Р.А. Мельников

В статье рассмотрены основные этапы жизни и деятельности выдающегося отечественного математика Пафнутия Львовича Чебышева. Приведены факты, подтверждающие связь рода Чебышёвых с елецкой землёй.

Ключевые слова: Пафнутий Львович Чебышев, выдающийся математик, елецкая земля.

В 2011 году исполняется 190 лет со дня рождения выдающегося отечественного математика Пафнутия Львовича Чебышева.

П.Л. Чебышев родился 4 мая 1821 г. в сельце Окатово Спас-Прогнанской волости Боровского уезда Калужской губернии в семье помещика Льва Павловича Чебышева (1789-1861). Редко встречающееся имя ребёнку было дано в честь святого Пафнутия (в 20 км от Окатово находится Боровский Свято-Пафнутьев монастырь).

Отец ученого служил регистратором в тульском губернском правлении. В 1812 г. в чине корнета Тульского 1-го Конно-казачьего полка участвовал в сражениях под Малоярославцем, Вязьмой и других важных битвах. Был награждён рядом боевых орденов. В 1815 г. вышел в отставку, избирался предводителем дворянства Боровского уезда. В 1817г. Лев Павлович женился на Аграфене Ивановне Поздняковой и поселился в ее имении Окатово. В семье Чебышёвых было 5 сыновей (Пафнутий, Павел, Пётр, Николай, Владимир) и 4 дочери (Елизавета, Екатерина, Надежда, Ольга).

Первоначальное образование будущий учёный получил дома под руководством своей матери и его двоюродной сестры.

В 1832 г. семья Чебышёвых переехала в Москву, чтобы продолжить образование старших сыновей Пафнутия и Павла. Для занятий были приглашены лучшие учителя. Математикой с будущим учёным занимался Платон Николаевич Погорельский (магистр Московского университета, автор популярного в то время учебника математики). Латинский язык, знание которого было обязательным при поступлении в университет, Пафнутию Львовичу преподавал студент медицинского факультета Московского университета Алексей Терентьевич Тарасенков (1816-1873), впоследствии муж старшей сестры Елизаветы Чебышёвой.

В 1837 г. Чебышев успешно сдал экзамен в Московский университет и стал студентом 2-го отделения философского факультета. Во время учёбы Чебышев участвовал в студенческом конкурсе с работой «О числовом решении алгебраических уравнений высших степеней». За неё он получил серебряную медаль и был отмечен как самый перспективный студент.

Среди университетских учителей, оказавших влияние на формирование научных интересов математика, следует отметить Н.Д. Брашмана, который познакомил его с работами французского инженера Ж.-В. Понселе.

После окончания с отличием в 1841 г. университета (в возрасте 20 лет), Чебышев был оставлен в нём для подготовки к профессорскому званию. В 1846 г. он защитил магистерскую диссертацию «Опыт элементарного анализа теории вероятностей». Оппонентами на защите были Н.Е. Зёрнов и Н.Д. Брашман.

П. Л. Чебышев (4.05.1821- 26.11.1894)

В 1847 г. переехал в Петербург, где после защиты диссертации (на право чтения лекций) «Об интегрировании с помощью логарифмов» стал приват-доцентом Императорского университета. В 1849 г. он получил учёную степень доктора за третью диссертацию - «Теория сравнений», удостоенную Демидовской премии. В 1850 г. стал профессором Петербургского университета, где работал в течение 35 лет (с 1847 г. по 1882 г.). В разное время ему доводилось читать лекции по различным дисциплинам: аналитической геометрии, высшей алгебре, теории чисел, интегральному исчислению, исчислению конечных разностей, теории определённых интегралов, теории эллиптических функций, теории вероятностей и другим.

В возрасте 32 лет Императорская Академия наук избрала Чебышева адьюнктом по кафедре прикладной математики, а в 38 лет - ординарным академиком. Через год он был избран членом-корреспондентом Парижской Академии наук, а в 1874 г. удостоился быть её иностранным сочленом. Кроме того, он был членом-корреспондентом многих учёных обществ Западной Европы и почётным членом всех русских университетов.

Наследие П.Л. Чебышева весьма велико. Он считается одним из основоположников теории приближения функций. Им выполнены работы по теории чисел, теории вероятностей, механике.

Из многочисленных достижений Чебышева прежде всего надо упомянуть труды по теории чисел. Начало исследований в данной области математики было положено им ещё в докторской диссертации «Теория сравнений». В 1850 г. вышел в свет «Mftmoire sur les nombres premiers», в котором даны асимптотические оценки для суммы ряда по всем простым числам р.

В 1853 г. в мемуаре «Об интегрировании иррациональных дифференциалов» (1853) в качестве следствия общих результатов он доказал теорему об интегрировании дифференциального бинома, согласно которой такое интегрирование в элементарных функциях возможно только в трёх случаях. Для каждого из этих случаев были даны подстановки, которые теперь часто называют «подстановками Чебышева».

В 1867 г. во II томе «Московского Математического Сборника» появился другой мемуар «О средних величинах». В нём содержится теорема, лежащая в основе различных вопросов теории вероятностей и заключающая в себе знаменитую теорему Якоба Бернулли как частный случай.

Наиболее оригинальным как по сути вопроса, так и по методу решения, является цикл работ Чебышева «О функциях, наименее уклоняющихся от нуля». Венцом этого направления его трудов стало появление в математике «многочленов Чебышева», относящихся к широкой группе под общим названием «ортогональные полиномы».

Одним из любимых приёмов Чебышева, которым он особенно часто пользовался, было приложение свойств алгебраических непрерывных дробей к различным вопросам математического анализа.

В теории вероятностей ему принадлежит заслуга введения в рассмотрение случайных величин и создание нового приёма доказательства пре-

дельных теорем - метода моментов. Им доказан закон больших чисел в весьма общей форме.

Ещё одним важным направлением его деятельности было создание и развитие российской математической школы, которая дала России ряд блестящих математиков: Г.Ф. Вороного (1868-1908), Д.А. Граве (1863-1939), Е.И. Золотарёва (1847-1878), А.Н. Коркина (1837-1908), А.М. Ляпунова (1857-1918), А.А. Маркова (старшего)(1856-1922), К.А. Поссе (1847-1928), Ю.В. Сохоцкого (1842-1927), В.А. Стеклова (1864-1926).

Умер Чебышев на 74 году жизни утром 8 декабря 1894 г. от паралича сердца, сидя за письменным столом в своём кабинете.

Похоронен ученый в фамильном склепе церкви Преображения села Спас-на-Прогнани Калужской губернии.

Документально установлено, что Чебышёвы - старинный дворянский род (с конца XVI столетия), выходцы из дворянского сословия города Серпейска, входившего некогда вместе с Ельцом в состав Карачевского княжества. В 1685 г. прадеду Пафнутия Львовича, царскому стольнику Павлу Ивановичу Чебышеву за верную службу Отечеству были выделены земли в Тульской губернии. Некоторые деревни, относившиеся к северо-западной части надела, поочерёдно переходили то к Тульским территориям, то - к Орловским, к последним относился и Елец.

Ранее мы упомянули о том, что сестра Пафнутия Львовича (Елизавета Львовна) вышла замуж за А.Т. Тарасенкова. В приданое она получила имение отца «Чебушов сад». В наше время имение «Чебушов сад» - это урочище близ деревни Реневка Становлянского района, расположенной севернее Ельца (эта часть Становлянского района до образования Липецкой области относилась к Ефремовскому уезду Тульской губернии). Чебышёвы были соседями Лермонтовых. «Чебушов сад» располагался рядом с родовой усадьбой предков великого русского поэта Кропотово-Лермонтово в Становлянском районе. Юрий Петрович Лермонтов (отец поэта) и Лев Павлович Чебышев вместе служили в тульском ополчении во время Отечественной войны 1812 г.

Факт владения землями отцом Чебышева и его сестрой в местах, весьма близких географически к Ельцу, стал поводом для дальнейших поисков следов дворян Чебышёвых на территории бывшего Елецкого уезда Орловской губернии (ныне Елецкого района Липецкой области).

Так местный краевед В.П. Горлов установил, что сам Пафнутий Львович Чебышев был елецким помещиком, владел родовым имением Чебушово в Афанасьевской волости Елецкого уезда (ныне д. Знаменка (Знаменское) Измалковского района Липецкой области). Знаменка располагается в 12-ти километрах южнее райцентра Измалково, на речушке Чёрник, впадающей в Чернаву. По ней проходила водная граница между Елецким и Ливенским уездами Орловской губернии.

Кроме того, вторая сестра учёного - Екатерина Львовна (1827-1910) вышла замуж за елецкого помещика Михаила Николаевича Лопатина (1823-

1900) - председателя департамента Московской судебной палаты, благодаря чему позднее Чебышёвы оказались в дальнем родстве с Пришвиными.

Кстати, Знаменка находится недалеко от села Лопатино (оно же Никольское), расположенного на реке Ясенёк в 30 верстах западнее Ельца.

Читаем выдержку из письма от 19 июня 1884 г. Елизаветы Николаевны Лопатиной (совладелицы поместья Лопатино) брату Михаилу: «...13 июня был у меня Пафнутий Львович с Лизаветой Львовной (сестрой) и Настасьей Петровной (жена их брата Петра Львовича (1824-1891), который ведал хозяйственными делами братьев; жил в имении Кулига в Елецком уезде). Я была очень рада с ними повидаться, и они отвезли меня к Чебышевым - Петру Львовичу, у них был и брат Николай, тоже Владимир Львович с женой, вместе провели день...Пафнутий Львович хотел к вам заехать, был на даче, вероятно, вы с ним виделись» [4, с. 182].

Таким образом, Пафнутий Львович Чебышев кровными узами был связан с елецкой землёй.

Библиографический список

1) Гнеденко Б.В. Очерки по истории математики в России. - М.-Л.: ГИТТЛ, 1946.-247 с.

2) Горлов В.П. Великий математик - елецкий помещик // Записки липецкого областного краеведческого общества. - Выпуск № 5. - Липецк, 2006.-С. 55-61.

3) Делоне Б.Н. Петербургская школа теории чисел. - М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1947.-421 с.

4) Лопатин В.М. Воспоминания из прошлой моей жизни // Записки липецкого областного краеведческого общества. - Выпуск № 7. - Липецк, 2009.

5) Лопатин Н.В. Пафнутий Львович Чебышев и версия происхождения его рода // Вопросы археологии, истории, культуры и природы Верхнего Поочья: Материалы IX конференции 21-23 марта 2001 г. Ч.1.- Калуга, 2001.

6) Лопатин Н.В., Бессонов В.А., Заурдина С.Я. История рода Чебышёвых. - Калуга, 2004. - 282 с.

МСТИСЛАВ ВСЕВОЛОДОВИЧ КЕЛДЫШ

В.В. Перцев

В статье рассматривается жизнь и творчество выдающегося русского математика М. В. Келдыша, Президента Академии наук СССР (1961-1975 гг.), внесшего огромный вклад в дело развития советской космической программы, которому в 2011 году исполнилось бы 100 лет.

Ключевые слова: 2011 год - год российской космонавтики, М.В. Келдыш - «теоретик космонавтики», биография, научные исследования, вклад В.М. Келдыша в мировую науку.

Как известно, первый полет человека в космос состоялся 12 апреля 1961 года. Советский летчик-испытатель Юрий Алексеевич Гагарин отправился на орбиту Земли с космодрома Байконур на корабле «Восток». Корабль Гагарина выполнил всего лишь один оборот вокруг Земли, пробыв на околоземной орбите около полутора часов.

В честь 50-летия этого события, 2011 год был объявлен годом российской космонавтики. Соответствующий указ Президент РФ Дмитрий Медведев подписал 31 июля 2010 г. Согласно указу Президента, правительство разработало и утвердило план праздничных мероприятий.

В юбилейный год, несомненно, будут вспоминать имена многих советских ученых, стараниями которых СССР стал первой страной, отправившей человека в космос. Конечно, центральной фигурой в реализации первых советских космических полетов был Королев. Однако наряду с ним следует вспомнить имя еще одного человека, внесшего сопоставимый с ним вклад в

развитие нашей ракетной и космической техники, — Мстислава Всеволодовича Келдыша.

Эту статью мы и хотели бы посвятить памяти М. В. Келдыша, выдающегося ученого в области математики и механики, теоретика космонавтики, Президента Академии наук СССР (с 1961-1975 гг.), внесшего огромный вклад в дело развития отечественной науки в целом и космической программы в частности. Тем более что в 2011 году отмечается 100 лет со дня его рождения.

Мстислав Всеволодович Келдыш родился 10 февраля 1911 г. в Риге в большой семье профессора Рижского политехнического института, крупного инженера-строителя, впоследствии академика архитектуры Всеволода Михайловича Келдыша. В новостной программе ГТРК «Россия-1» от 10 февраля 2011 г., в сюжете, посвященном 100-летию М.В. Келдыша, отмечалось, что родился он в дворянской семье, предки которого занимали высокие посты в царской армии (оба деда М.В. Келдыша дослужились до генеральского звания).

Из четырех «Келдышей», упоминающихся в Большой Советской Энциклопедии, трое - выходцы из этой семьи: отец, Всеволод Михайлович, сам Мстислав Всеволодович и его брат Юрий (Георгий) Всеволодович, советский музыковед, доктор искусствоведения. Все они добились выдающихся успехов каждый на своем поприще, о чем свидетельствует БСЭ. Так что можно констатировать, что родился Мстислав Всеволодович в интеллигентной и очень одаренной семье.

Нынешний ректор МГУ им. М.В. Ломоносова, академик Виктор Антонович Садовничий, был лично и хорошо знаком с М.В. Келдышем. В докладе на торжественном заседании Президиума РАН, посвященном 90-летию М.В. Келдыша, прошедшего в 2001 году он вспоминал известные ему факты биографии из жизни выдающегося ученого, оценивал его вклад в развитие отечественной науки.

Как отмечает В.А. Садовничий, в яркой личности Мстислава Всеволодовича Келдыша гармонично сочетались замечательный ученый, блестящий инженер и выдающийся организатор. Успех многих его прикладных работ в значительной мере был предопределен его высоким потенциалом математика, его умением в конкретной прикладной задаче найти лежащую в ее основе и математическую проблему, и, наоборот, во многих фундаментальных математических исследованиях найти прикладную тематику.

Возможно, в XXI веке не будет больше ученых, равных ему как в современной математике, так и в механике, и технике. В XX веке таковые еще встречались и одним из наиболее ярких примеров тому был Мстислав Все-

володович Келдыш10. (По воспоминаниям современников, М.В. Келдыш мог доказать практически любую теорему математики на пачке сигарет).

Как отмечает В.А. Садовничий, М.В. Келдыш - выпускник МГУ 1931 года. Сразу после окончания МГУ М.В. Келдыш пошел работать в Центральный аэрогидродинамический институт. Но еще будучи студентом он начал вести и преподавательскую деятельность: с 1930 г. - в Государственном электромашиностроительном институте, а затем, по окончании университета, преподавал и в МГУ (с 1932 г.).

В мае 1932 г. был обнародован теоретический результат его первого года работы в аэрогидродинамическом институте: на I всесоюзной конференции по механике он сделал доклад, где в общем случае с учетом сжимаемости воздуха была установлена формула Жуковского для подъемной силы профиля крыла, движущегося с дозвуковой скоростью. Обобщение формулы Жуковского имело принципиальное значение в аэромеханике.

В 30-е годы одной из важнейших проблем в авиации была проблема преодоления явления автоколебаний самолетных конструкций (флаттера), который неожиданно возникал при увеличении скоростей самолетов. С явлением флаттера столкнулось авиастроение всех передовых стран, но раньше других и в наиболее полном наборе всех его разновидностей флаттер был преодолен у нас в стране благодаря работам М.В.Келдыша. В новостной программе ГТРК «Россия-1» от 10 февраля 2011 г., в сюжете, посвященном 100-летию М.В. Келдыша, отмечалось, что из-за эффекта флаттера развитые западные страны, в том числе славящаяся своими инженерами Германия, потеряли сотни самолетов, в то время как Советский Союз - ни одного. Факт тем более удивительный, что подобный прорыв в самолетостроении случился всего лишь спустя неполных 20 лет после разрушительной революции 1917 года.

Значительная часть трудовой жизни М.В. Келдыша была связана с Московским университетом. Его узкой специализацией была теория функций комплексного переменного (ТФКП). В 1937 г. Келдыш стал профессором Московского университета, где читал курс ТФКП. В 1938 г. Келдыш защитил докторскую диссертацию на тему «О представлении рядами полиномов функций комплексного переменного и гармонических функций».

Из справки, приведенной в БСЭ, можно узнать, что М.В. Келдыш уже в возрасте 32 лет стал членом-корреспондентом, а в 35 лет академиком АН СССР: «акад. АН СССР (1946; чл.-корр. 1943), с 1953 чл. Президиума, в 1960-61 вице-президент и с 1961 Президент АН СССР. Трижды Герой Социалистического Труда (1956, 1961, 1971)»11. Там же отмечено, что М.В. Келдыш получил широкое научное признание и за рубежом, являлся

10 Садовничий В. А. О математических работах М.В. Келдыша (Доклад на Торжественном заседании Президиума РАН, посвященном 90-летию М.В. Келдыша) // Келдыш М.В. Творческий портрет по воспоминаниям современников. - М.: «Наука», 2002. - 56-66.

11 Миллионщиков М. Д. Келдыш Мстислав Вселодович // БСЭ в 30 томах. - Т. 12. - Изд. 3-е. / гл. ред. А.М. Прохоров. - М.: «Советская энциклопедия», 1972. - С. 22.

членом-корреспондентом многих иностранных академий: иностранный действительный член АН МНР (1961), иностранный член АН ПНР (1962), иностранный член АН ЧССР (1962), иностранный почётный член Академии СРР (1965), почётный член Академии искусств и наук в Бостоне (США, 1966), почётный член АН НРБ (1966), иностранный член-корреспондент германской АН в Берлине (1966), член-корреспондент Саксонской АН в Лейпциге (1966), почётный член Королевского общества в Эдинбурге (1968), почётный член АН ВНР (1970)], а также научных учреждений и обществ. Награждён 6 орденами Ленина, 3 другими орденами, а также медалями и 4 иностранными орденами12.

Как отмечает его коллега, академик Т.М. Энеев: «В 1954 г. М.В. Келдыш совместно с С.П. Королевым и М.К. Тихонравовым выдвинул предложение о создании искусственного спутника Земли и принял непосредственное участие в подготовке докладной записки для правительства на эту тему. В 1956 г. Мстислав Всеволодович был назначен председателем специальной комиссии Президиума АН СССР по ИСЗ (комиссия по объекту "Д"). В 1958 г. решением ЦК КПСС и СМ СССР М.В. Келдыш был назначен председателем Межведомственного совета по космическим исследованиям при Академии наук (МНТС по КИ). С этого момента и как руководитель комплексных научно-технических разработок, и как председатель МНТС по КИ М.В. Келдыш нес особую ответственность за ход выполнения космической программы СССР, даже в самый напряженный период его многосторонней деятельности, когда с 1961 г. по 1975 г. он был президентом Академии наук СССР.

Став президентом АН СССР, Мстислав Всеволодович получил возможность на новом, более высоком уровне руководить разработкой и реализацией советской космической программы. Круг научных проблем, которые решались в эти годы, необычайно широк и разнообразен. С его непосредственным участием исследовались общие проблемы космонавтики, тенденции и перспективы ее развития. В поле его зрения постоянно находились механика космического полета, теория управления, навигация, ориентация»13.

Как отмечается в БСЭ, запуск первого искусственного спутника земли (ИСЗ), ставшего первым искусственным небесным телом, созданным человеком, был осуществлён в СССР 4 октября 1957 и явился результатом достижений в области ракетной техники, электроники, автоматического управления, вычислительной техники, небесной механики и других разделов науки и техники. С помощью этого ИСЗ впервые была измерена плотность верхней атмосферы (по изменениям его орбиты), исследованы особенности распространения радиосигналов в ионосфере, проверены теоретические расчёты и основные технические решения, связанные с выведением ИСЗ на ор-

12 Там же.

13 Энеев Т.М., Аким Э.Л. Академик М.В. Келдыш. Механика космического полета. [http://www.keldysh.ru/events/fly]

биту. Успешный запуск ИСЗ позволил начать подготовку и к запуску в космос человека, который как уже было отмечено выше, впервые состоялся 12 апреля 1961 г.

Сразу после запуска первого ИСЗ под руководством М.В. Келдыша были развернуты работы по обеспечению слежения за полетом спутников Земли и других космических аппаратов. Сотрудниками М.В. Келдыша разработана методика и впервые осуществлено определение орбиты с помощью ЭВМ. Были развернуты работы по комплексному баллистическому проектированию космических полетов к Луне, Марсу и Венере. Под руководством М.В. Келдыша была просчитана траектория облета и фотографирования невидимой с Земли стороны Луны для космического аппарата «Луна-3». В этом проекте впервые в мировой практике был предложен и успешно реализован «гравитационный маневр» — целенаправленное изменение траектории космического аппарата в результате возмущения его движения небесным телом (Луной) и получена первая фотография обратной стороны Луны.

Как отмечает Т.М. Энеев, под руководством М.В. Келдыша была рассчитана и произведена первая посадка на поверхность Луны автоматической станции «Луна-9», выведен на орбиту первый искусственный спутник Луны «Луна-10» и впервые осуществившую забор и доставку на Землю образцов лунного грунта14.

Помимо руководящей работы, М.В. Келдыш не оставлял и собственных научных исследований. Как отмечается в БСЭ, Келдышу принадлежит большое число фундаментальных исследований в области математики, вычислительной математики, аэрогидродинамики, теории колебаний. Им внесён выдающийся вклад в разработку ряда актуальных вопросов авиационной, атомной и космической техники. Большой цикл работ Келдыша посвящен колебаниям и автоколебаниям авиационных конструкций. В них была разработана теория флаттера самолёта, созданы методы численного расчёта этого явления и его моделирования в аэродинамических трубах и предложены практические меры борьбы с ним.

Келдышем было также изучено явление шимми - самовозбуждающихся колебаний носового колеса шасси самолёта и найдены простые конструктивные решения для его устранения. В области аэрогидродинамики Келдышем впервые исследовано влияние сжимаемости среды на аэродинамические характеристики обтекаемых тел и обобщена Жуковского теорема о подъёмной силе.

Келдышу принадлежат фундаментальные результаты по гидродинамике движения тела под поверхностью жидкости и волнового сопротивления, теории удара тела о жидкость, теории колеблющегося крыла и теории винта.

14 Энеев Т.М., Аким Э.Л. Академик М.В. Келдыш. Механика космического полета. [http://www.keldysh.ru/events/fly]

Основные математические работы М.В. Келдыша посвящены теории функций действительного и комплексного переменного, уравнениям с частными производными, функциональному анализу. Келдыш поставил и разрешил основные вопросы устойчивости решений задачи Дирихле для уравнения Лапласа. Для эллиптических уравнений, вырождающихся на границе области, им были впервые найдены корректные постановки краевых задач, в зависимости от характера вырождения. Важные результаты получены Келдышем в области теории функций комплексного переменного и её приложений к гидродинамике. Им решена задача о равномерном приближении функций в замкнутой области многочленами и изучена задача об аппроксимации в среднем.

Келдыш впервые доказал полноту системы собственных и присоединённых функций для несамосопряжённых операторов с частными производными. Он внёс выдающийся вклад в развитие вычислительной и машинной математики в СССР, создание эффективных методов расчёта задач атомной и космической техники, развёртывание и проведение космических исследований15.

Умер М.В. Келдыш 24 июня 1978 года. Многие разработки, технические решения и математические вычисления, полученные как непосредственно академиком М.В. Келдышем, так и учеными, работавшими под его руководством, относящиеся к аэродинамике, баллистике и механике космического полета до сих пор засекречены. Как отмечает А. Артемьев, руководитель Центра космических знаний, группу руководителей советского ракетно-ядерного проекта - Келдыша, Королева и Курчатова в шутку называли тремя «К»: «Игорь Курчатов возглавлял создание ядерной и водородной бомб. Сергей Королев стоял во главе ракетной темы - средства доставки ядерных зарядов по назначению. А обеспечивал математический фундамент и научный поиск путей вышеназванных проектов Мстислав Келдыш, широко эрудированный ученый, умелый руководитель. Еще его называли «теоретиком космонавтики»16. Совместная плодотворная работа и дружба этих корифеев советской науки, а также научный труд других, менее известных советских ученых и инженеров, работавших под их руководством, позволили именно нашей стране стать пионером в освоении космоса.

Библиографический список

1) Артемьев А. Математик, покоривший Вселенную // Липецкая газета. - № 24-25 (23902-23903). - 10.02.2011.

15 Миллионщиков М. Д. Келдыш Мстислав Вселодович // БСЭ в 30 томах. - Т. 12. - Изд. 3-е. / гл. ред. А.М. Прохоров. - М.: «Советская энциклопедия», 1972. - С. 22.

16 Артемьев А. Математик, покоривший Вселенную // Липецкая газета № 24-25 (23902-23903).- 10.02.2011.

2) Большая энциклопедия Кирилла и Мефодия (БЭКМ) 2008 [Электронный ресурс]; Электрон, данн. - (Р) 2008 IDDK © 2008 Издательство компании «Кирилл и Мефодий» / гл. редактор А. В. Гришин. - 1 электрон, опт. диск (DVD-ROM). - (Электронная книга). - Систем, требования: Celeron 600 МГц; 128 Мб RAM, DVD-ROM, SVGA, Internet Explorer 5.54522 и DirectX 7.0 или выше. Windows 2000/XP/Vista.

3) Миллионщиков M. Д. Келдыш Мстислав Вселодович // БСЭ в 30 томах. - Т. 12. - Изд. 3-е. / гл. ред. А.М. Прохоров. - М.: «Советская энциклопедия», 1972. - С. 22.

4) Садовничий В.А. О математических работах М.В. Келдыша (Доклад на Торжественном заседании Президиума РАН, посвященном 90-летию М.В. Келдыша) // Келдыш М.В. Творческий портрет по воспоминаниям современников. - М.: «Наука», 2002. - С. 56-66.

5) Энеев Т.М., Аким Э.Л. Академик М.В. Келдыш. Механика космического полета, [http://www.keldysh.ru/events/fly]

О ПЕРИОДИЗАЦИИ ИСТОРИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ В ИМПЕРАТОРСКОМ МОСКОВСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ

М.И. Скрябина

В статье предложена периодизация истории математического образования в Императорском Московском университете; дается характеристика каждому периоду.

Ключевые слова: Императорский Московский университет, история математического образования в высшей школе.

Становление университетского образования в России проходило не просто. О создании университета в Москве еще в 1600 г. мечтал Борис Годунов, но Боярская дума и духовенство, как известно, не поддержало предложений царя.

Во время своих зарубежных поездок Петр I интересовался работой необычных для России научных (и образовательных) учреждений, встречался с иностранными учеными и проникся идеей о создании научного центра в России. Окончательное решение о создании Академии наук было оформлено указом Сената лишь 8 февраля (28 января по старому стилю) 1724 г. В Указе говорилось: «Вседержавнейший Петр Великий ... указал учинить Академию, в которой бы учились языкам, такоже прочим наукам и знатным художествам и переводились бы книги» [9, с. 134]. 7 декабря 1725 г. состоялось официальное открытие Академии наук.

При Академии были учреждены свои университет и гимназия. Однако академический университет просуществовал недолго - в 1767 г. он был упразднен. Поэтому становление университетской образовательной системы логичнее связывать со второй половиной XVIII века, когда 25 января 1755 г. был открыт Императорский Московский университет. В его состав вошли три факультета: юридический, медицинский и философский. Среди десяти созданных тогда кафедр имелись естественнонаучные: натуральной истории и анатомии, химии, теоретической и экспериментальной физики. Кафедры математики не было. Однако со временем представительство математики усилилось. В начале XX века в Московском университете зародилась одна из известнейших математических школ - школа теории функций действительного переменного.

История преподавания математики в Московском университете затронута в трудах В.Е. Прудникова, С.С. Демидова, Ю.М. Колягина, С.С. Петровой, О.А. Саввиной, А.П. Юшкевича и др. В 1948 г. вышел первый выпуск ежегодника «Историко-математические исследования», в который вошел цикл публикаций по истории математики в Московском университете. Авторы этих публикаций затронули и вопросы преподавания математики в ведущем ВУЗе страны. К сожалению, при этом вне поля зрения исследователей осталась проблема периодизации истории математического образования в Московском университете. Между тем периодизация позволяет представить длительный исторический процесс в компактном целостном виде, проследить главные тенденции в развитии истории математического образования, поэтому мы задались целью разработать такую периодизацию. Выберем в качестве параметров для определения границ периодов расширение содержания математики и методов преподавания.

С 1755 г. по 1917 г. жизнь Московского университета регламентировалась разными уставами 1804, 1835, 1863 и 1884 гг. и «Временными правилами», принятыми в августе 1905 г. Эти документы оказали влияние и на содержание математического образования.

Анализ документальных источников, уставов, публикации историков математики позволил выделить пять основных периодов в развитии математического образования в Московском университете.

1 период 1755-1804 гг. В этом полувеке математика служила вспомогательным предметом для изучения других наук и специальностей, студентам-медикам, естественникам, юристам, философам.

Первые 50 лет существования университета прошли под влиянием вольфовской педагогической мысли (Школа X. Вольфа - немецкая школа, которая во главу угла ставила логику и строгость), которая быстро отстала от требований времени. В заслугу математического образования этого периода можно записать подготовку первых московских преподавательских кадров. Учебники и преподавание были стабильными.

2 период. 1804-1835 гг. В это время было открыто самостоятельное физико-математическое отделение, которое выпускало астрономов, физиков,

математиков, механиков. Рубежом между этими двумя периодами явились начальные годы XIX века, годы серьезной переорганизации всего университета.

С 1804г. (с открытием физико-математического факультета) начинается подъем в преподавании математики. Совершенствовались программы и учебники. К читавшимся курсам алгебры, аналитической геометрии, дифференциального и интегрального исчисления были добавлены теория дифференциальных уравнений, вариационное исчисление, курсы начертательной геометрии, теории вероятностей, теории поверхностей и исчисления конечных разностей. На это время прошлась деятельность талантливых педагогов-математиков В.К. Аршеневского и Д.М. Перевощикова.

По справедливому мнению А.П. Юшкевича, первые два полувека резко отличались друг от друга. На протяжении первых 50 лет преподавание и руководство не изменялись. В начале же XIX в. программы и учебники быстро совершенствовались, отражая новые тенденции и течения. Как пишет А.П. Юшкевич, «в первой половине XIX в. среди московских математиков все больше встречаются специалисты, выдающиеся педагоги, люди с широкими интересами, в XVIII в. многие профессора обладали еще узким и ограниченным кругозором» [12, с.43].

3 период. 1835 - 1884 г. В это время происходило увеличение штатов, вводились новые дисциплины, в программы основных предметов вносились изменения, преподавание математики велось с соблюдением цикличности. В 1864 г. по инициативе Н.Д. Брашмана при университете было организовано Московское математическое общество - одно из старейших математических обществ в мире. Н.Д. Брашман был избран первым его президентом.

Существенную роль в улучшении математического образования в Московском университете сыграли профессора Н.Е. Зернов и Н.Д. Брашман. Начав свою профессорскую карьеру в Московском университете в середине 30-х годов, они подняли преподавание математики до уровня ведущих университетов Европы.

4 период. 1884-1907. В это время значительно увеличилось число часов, отводившихся на математику, по новому уставу вводились практические занятия, появляются дополнительные курсы по математике. Продолжалось развитие заложенных Н.Е. Зерновым и Н.Д. Брашманом и продолженных А.Ю. Давидовым традиций в области преподавания математики. Н.В. Бугаев начал регулярное чтение лекций по теории функций комплексного переменного, активно вводил новые идеи в свои лекции по теории чисел, теории эллиптических функции и др. Особые вклад в развитие математического образования в университете внес профессор Н.В. Бугаев. «При его деятельном участии, - пишут О.А. Саввина и А.А. Малютин, - был составлен и реализован план математических курсов, изучаемых на факультете» [8, с.7]. Как установила С.С. Петрова, в 1885 г. Н.В. Бугаев начал чтение нового курса «Введение в исчисление бесконечно малых», который с 1888 г. стал назы-

ваться просто «Введением в анализ» [5, с.142]. Этот курс послужил своеобразным мостиком между гимназической и университетской математикой.

5 период. 1908-1917. Этот период знаменуется зарождением новой формы научной работы со студентами - Б.К. Млодзеевский, Д.Ф. Егоров стали проводить специальные семинары [3]. В учебный план физико-математического факультета были включены следующие дисциплины: аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве, высшая алгебра, введение в анализ, дифференциальное исчисление, дифференциальная геометрия, интегральное исчисление, интегрирование дифференциальных уравнений, вариационное исчисление; теория вероятностей; уравнения с частными производными; исчисление конечных разностей; теория аналитических функций; эллиптические функции; теория чисел; проективная геометрия [7].

В этот период времени сильно возрос уровень преподавания, а московская школа математиков во главе с Д.Ф. Егоровым и Н.Н. Лузиным получила признание как одна из лучших мировых математических школ.

Библиографический список

1) Александров П.С, Гнеденко Б.В. и Степанов В.В. Математика в Московском университете в XX в. (до 1940 г.) // Историко-математические исследования. - 1948. - М.-Л. - Вып.1. - С. 9-42.

2) Демидов С.С. Бугаев Н.В. и возникновение Московской школы теории функции действительного переменного // Историко-математические исследования. - 1985. - Вып. 29. - С. 113-125.

3) Колягин Ю.М., Саввина О.А. Дмитрий Федорович Егоров: Путь ученого и христианина. - М.: Изд-во ПСТГУ, 2010. - 302 с.

4) Летопись Московского университета: в 3-х томах. - Т.1: 1755-1952 / Авт.-сост. Е.В. Ильченко. - М.: Изд-во МГУ, 2004. - 624 с.

5) Петрова С.С. Из истории преподавания математики в Московском Университете с 60-х годов - до начала XX века // Историко-математические исследования. Вторая серия. - Выпуск 11(46). - М.: «Янус-К», 2006. - С. 130-148.

6) Петрова С.С. Из истории преподавания математики в Московском университете в 1905-1917гг. // Историко-математические исследования. Вторая серия. - Выпуск 12(47). - М.: «Янус-К», 2007. - С. 55-68.

7) Саввина О.А. Традиции преподавания математики в Императорском Московском университете // Профессионально-педагогическая направленность математической подготовки учителя математики в педвузах и университетах в современных условиях: Материалы 29-го Всерос. науч. семинара преподавателей математики вузов. - М.: МГПУ, 2010. - С. 60.

8) Саввина О.А., Малютин А.А. О преподавании математического анализа в Императорском Московском Университете (по материалам лекций Н.В. Бугаева) // Проблемы теории практики обучения математике: Сб. науч.

работ, представленных на Межд. науч. конф. «62 Герценовские чтения». -СПб.: Изд-во РГПУ им. А.И. Герцена, 2009. - С. 7-14.

9) Саввина О.А., Телкова В.А. Двойной юбилей - академии и академика (статья) // Полином. - 2009. - №3. - С. 133-140. [электронный ресурс] http://www.mathedu.ru/polinom/polinom2009-3-view.pdf

10) Устав Императорских Московского, Харьковского и Казанского университетов. 5 ноября 1804 г. // Сборник постановлений по Министерству народного просвещения. - Т.1. 1802-1825. - СПб., 1864. - С. 264-302.

11) Шевырев С.П. История императорского Московского университета, написанная к столетнему ее юбилею. 1755 - 1855. / С.П. Шевырев. Репринтное издание. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 1998. - 600 с.

12) Юшкевич А.П. Математика в Московском университете за первые сто лет его существования // Историко-математические исследования. -1948.-Вып. 1.-С. 43-140.

ОРГАНИЗАЦИЯ ШКОЛЬНОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ В ОРЛОВСКОЙ ОБЛАСТИ

О.В. Тарасова

В статье идёт речь об организации школьного математического образования в г. Орёл и Орловской области в различные временные промежутки, основное внимание уделено современному периоду.

Ключевые слова: математическое образование, школьная математика, А.П. Киселёв, ЕГЭ, Орловская область.

В городе Орле создано единое образовательное пространство. Сегодня в городе успешно функционируют: Орловский государственный университет; Государственный университет - УНПК (ОрёлГТУ); Государственный аграрный университет; Юридический институт МВД России; Академия ФСО; Региональная академия государственной службы; Банковская школа (колледж); Государственный институт экономики и торговли; Государственный институт искусств и культуры; Железнодорожный техникум; Технический колледж; Медицинский колледж; Художественное училище; Колледж искусств.

Общее образование представлено 45 общеобразовательными учреждениями, в числе которых 25 средних школ, 4 гимназии, 8 лицеев, 5 школ с углубленным изучением отдельных предметов, 1 специальная (коррекционная) общеобразовательная школа, 2 открытые (сменные) школы, кроме того в 7 учреждениях, имеющих статус «Начальная школа-детский сад», и в 1 прогимназии ведется обучение учащихся 1 ступени.

В 2010-2011 учебном году в общеобразовательных учреждениях трудятся 3029 сотрудников. Из них к числу педагогических работников относятся 2241 человек, к учительскому корпусу - 1888 человек. Контингент обучающихся в образовательных учреждениях города Орла в этом учебном году составил 27919 человек.

В 2010/2011 уч.году в городе и области работают 1189 учителей математики. 308 из них имеют высшую квалификационную категорию, что составляет 27% от общего числа. 515 учителей математики имеют 1 квалификационную категорию (46%), 226 учителей - 2 квалификационную категорию (22 %), доля молодых специалистов - 3% (34 человека).

Преподавательский корпус учителей математики г.Орла и области обеспечивает довольно высокий уровень математической подготовки учащихся наших средних общеобразовательных школ.

Это формирование культурно-образовательной среды Орловской области проходило постепенно, через функционирование сети учебных заведений в XIX-XX веках. Институты, гимназии, училища как образовательные учреждения поднимали образование на качественно новый уровень. В разные годы в Орле действовало значительное количество учебных заведений. Среди них отметим следующие.

Институт благородных девиц. В 1851 году дворяне Орла сочли, что городу необходимо учебное заведение для девочек и написали письмо Николаю I с просьбой дать высочайшее разрешение. Разумеется, оно было получено, однако помимо слов требовались и деньги. Для открытия института необходимо было собрать 220 тысяч рублей. Император разрешил добавить к этой сумме доходы от имений графини Анны Орловой-Чесменской. Здание на дворянской стороне города было построено и освящено только спустя 14 лет, в 1865 году.

В женских учебных заведениях учителя зачастую пользовались учебниками математики для гимназий, при этом преподаватели самостоятельно их сокращали и упрощали изложение. Созданные для женских учебных заведений специальные курсы (П. Зеленина, М. Малыхина, В. Михельсон и др.) отличались краткостью и бездоказательностью изложения.

Кадетский корпус Бахтина. Устроен по инициативе орловского помещика, отставного полковника М.П. Бахтина (1768-1838), пожертвовавшего на его создание 1,8 млн. рублей и крупное имение. На церемонии закладки главного здания в 1837 г. присутствовал наследник-цесаревич, будущий император Александр II. В сентябре 1842 г. строящиеся здания осматривал Николай I. Спустя год было открыто первое в Орле военное учебное заведение для детей военнослужащих и дворян. В его стенах учились многие известные представители военной школы, деятели культуры и революционного движения.

С 1925 года в зданиях бывшего кадетского корпуса размещалась Ивано-Вознесенская пехотная школа, реогранизованная в 1930 году в танковую школу. Первым ее начальником и комиссаром был известный воена-

чальник комбриг, впоследствии комкор Шаумян Сурен Степанович, а первым комсоргом - Микоян Артем Иванович, будущий авиаконструктор. В 1937 г. школа была преобразована в училище им. Фрунзе, действовавшее в Орле до начала войны. Многие выпускники школы и училища стали Героями Советского Союза. Большинство построек бывшего кадетского корпуса, в том числе и главное здание, были разрушены в период оккупации Орла в 1941-43 гг. и не восстанавливались.

Это учебное заведение славилось своей фундаментальной подготовкой. Как свидетельствуют архивные данные, число успевающих учащихся Орловского кадетского корпуса достаточно велико. Так, из обучающихся к 1 января 1917 года из 491 учащегося только 9 были уволены до окончания курса за неуспехи в науках (в сравнении: за проступки - 23 человека) [1].

Прогрессивным было то, что в кадетском корпусе обучение геометрии осуществлялось в два этапа: пропедевтический и систематический. Программы постоянно рецензировались, в них вносились важные изменения. Пропедевтический курс составлял неотъемлемую часть целостного курса геометрии. Программа подготовительного курса геометрии строилась, как правило, по книге А.М. Астряба «Наглядная геометрия». После изучения подготовительного курса предусматривалось изучение систематического курса геометрии. При этом в кадетских корпусах содержание этого курса несколько видоизменялось при условии, что за основу был использован один из лучших отечественных учебников - учебник А.П. Киселёва.

Мужская гимназия. В марте 1808 г. на базе Главного народного училища была открыта 4-классная мужская гимназия. Спустя четыре года здание гимназии было предоставлено под госпиталь, созданный по приказу Кутузова. В 1859 г. это учебное заведение посетил император Александр II. В 1833 г. гимназия преобразована в 7-летнюю губернскую гимназию, в 1864 г. реорганизована в классическую гимназию и переименована в Орловскую мужскую гимназию.

В Орловской губернской гимназии, согласно Уставу 1804 года, среди учебных предметов математического профиля были чистая и прикладная математика и статистика.

В 1844 году исключена из гимназического курса статистика. Спустя два года уменьшен курс математики - исключены начертательная и аналитическая геометрии, усилено преподавание географии математической и физической. На следующий год исключена из гимназического курса логика.

Среди воспитанников гимназии Леонид Николаевич Андреев, который уже в гимназии открыл в себе дар слова: списывая задачки у друзей, он взамен писал за них сочинения; писатель Николай Семёнович Лесков, публицист Николай Яковлевич Данилевский, профессор медицины - Петр Иванович Дьяконов, астроном Павел Карлович Штернберг, физик - Константин Дмитриевич Краевич, математик -Андрей Петрович Киселёв.

Андрей Петрович Киселев - один из наиболее известных педагогов-математиков нашего Отечества, родился 30 октября 1852 г. в г. Мценске Ор-

ловской области. Начальное образование получил в церковно-приходском училище. Способности к точным наукам он проявил еще во Мценском уездном училище, где все три года обучения был первым учеником, а потом и в Орловской мужской гимназии, в которой обучался на средства своего родственника - торговца (в течение шести лет учился сам и учил его детей). Гимназию закончил в 1871 году с золотой медалью.

Как свидетельствуют архивные данные Орловской Губернской гимназии, в период обучения в ней Андрея Петровича Киселёва (1865-1871гг.) преподавание математики велось в основном по учебникам Ф.И. Буссе [2].

Затем поступил в Петербургский университет, где слушал лекции П.Л. Чебышева, О.И. Сомова, Ю.В. Сохоцкого, А.Н. Коркина и Д.И. Менделеева и др. После окончания работал преподавателем в реальном училище и кадетском корпусе Воронежа. Работая учителем, Киселёв стал готовить свои учебники для средней школы.

В 1884 г. вышел его учебник арифметики, уже 2-е издание которого было одобрено Министерством народного просвещения; до 1938 г. он выдержал 36 изданий. В 1888 г. А.П. Киселев издал учебник алгебры, а через четыре года - учебник геометрии; до революции каждый из них выдержал 30 изданий. Кроме этих, ставших знаменитыми учебников, им написаны «Краткая арифметика для горных училищ», «Краткая алгебра для женских гимназий и духовных семинарий», «Начала дифференциального и интегрального исчислений» и другие учебные пособия. Проработав в школе 25 лет и выйдя в отставку в 1901 г., А.П. Киселев занимался в основном улучшением своих учебников. После революции А.П. Киселев некоторое время снова работал в школе. В 1937-1938 гг. его учебники стали стабильными для советской средней школы, он продолжил работу над их совершенствованием.

В итоге учебники Андрея Петровича Киселева стали самыми долго живущими учебниками в России. Каждый из них существовал в школе без малого 60 лет! Ни один школьный учебник этим похвастаться не может.

В Журнале Министерства Народного Просвещения на следующий год после издания, дана рецензия на «Элементарную геометрию» А.П. Киселева. Уже первое издание «Элементарной геометрии» было высоко оценено: «...нельзя не признать, что одно из важных достоинств этого учебника состоит в соблюдении меры; автор нигде не переходит в излишества (ни в подробностях, ни в сокращениях), а стремится лишь по возможности сделать учебник доступным и полезным».

В 1917 году, когда случилась Октябрьская революция, ему было 65 лет. Школьное преподавание в первые годы советской власти подверглось резкой реформе, которой отвергалось все старое как ненужное для нового поколения новой страны. В течение 14 лет его учебники имели перерыв. Сам Андрей Петрович в это время трудился, а его учебники лежали и не издавались. Существовало мнение, что книги А.П. Киселева мешают продвижению новой революционной педагогики. В первые годы Советской власти учеб-

ники Киселева не переиздавались, но начиная с 1922 года стали небольшими тиражами выходить, особую популярность они получили в период возникновения рабфаков. И опять наш земляк оказывает значительное влияние на организацию школьного математического образования России.

С 1933 года в школы вводят учебники геометрии Ю.О. Гурвица и Р.В. Гангнуса (ч.1 и II). Затем учебник «Элементарная геометрия» А.П. Киселева выходит переработанным и дополненным профессором Н.А. Глаголевым. Этот учебник оставался долгое время стабильным учебником советской школы. Не будем сейчас оценивать эти учебники, поскольку, на наш взгляд, результаты переработки достаточно двояки.

В 1956 году первую часть учебника (планиметрию) заменяют учебником Н. Н. Никитина.

А ведь еще и после того, как школьные учебники сменялись, учебник Киселева издавался, им еще пользовались учителя, методисты.

Учебник А.Н. Колмогорова, оставивший значительный след в практике школьного преподавания геометрии, заменил учебник Киселева. Учебник А.Н. Колмогорова - это учебник совсем другой идеологии, но он в массовой школе не получил всеобщего признания. Не будем оценивать реформу, которую называют «колмогоровской», но зафиксируем тот факт, что после известного выступления академика Понтрягина на заседании отделения математики, возник лозунг «Назад к Киселеву», этот призыв до сих пор звучит в высказываниях некоторых математиков, ученых и методистов - педагогов.

Наша история хранит в себе большое количество всевозможных учебников разных авторов, но феномен Андрея Петровича Киселева очевиден, и все дело, видимо, в том, что, как отмечал Иван Козьмич Андронов, «в его книгах нет ничего излишнего и недостающего, ничто не опережает и не отстает, все находится на своих местах».

Умер педагог, ученый, автор в 1940 году. Его скромная могила на Волковском кладбище Санкт-Петербурга находится рядом с могилой Д.И. Менделеева. На средней школе №3 г. Мценска, где столетие назад размещалось уездное училище, установлена ныне мемориальная доска с его именем. Значится имя Андрея Петровича Киселева и в перечне знаменитых выпускников Орловской мужской гимназии, у здания которой любой орловчанин и гость города может сегодня увидеть бюст знаменитого земляка.

Рассказ о нашем выдающемся земляке закончим словами моего учителя академика РАО Ю.М. Колягина: «Не думайте, что Ваше мнение ничего не значит, что Ваша борьба за свой предмет бесполезна. Учитесь оптимизму у А.П. Киселева. Как почти 70 лет назад он практически один (!) удержал знамя русского учебника математики для школы, так и сейчас авторитет школьного математического образования должен поддерживать каждый из нас».

Сохранение традиций, уровня школьного математического образования - главная задача учителей математики современной школы. Поскольку

формирование «математической базы» происходит в начальной школе, поэтому несколько слов и о ней.

В школах области более 60% учащихся начальных классов обучаются по традиционному учебнику «Математика» автора Марии Игнатьевны Моро, входящему в серию «Школа России».

Широко представлена вариативность обучения. Каждый пятый учитель работает по Учебно-методическому комплекту авт. Людмилы Георгиевны Петерсон. Больше всего этот учебник осваивается в Орле, Мценске, Ливнах. Апробацию учебников Александра Леонидовича Чекина ведут учителя на пилотных площадках в школах г.Орла, в школах Сосковского, Кромского, Урицкого, Ливенского, Должанского, Верховского, Орловского районов. Успешно осваивается учебник по системе Д. Эльконина - В. Давыдова авт. Эльвиры Ивановны Александровой в школах №5, 13, 20, 45 г. Орла, Змиёвской средней школе и Змиёвском лицее Свердловского района).

На старшей ступени обучения преподавание ведётся также по нескольким учебно-методическим комплектам.

На завершающем этапе обучения в средней школе в школах города и области по учебнику Андрея Николаевича Колмогорова преподавание идёт в 62% 10-11 классов. По учебнику Александра Григорьевича Мордкович преподавание идёт в 23% классов. 11% классов обучаются по учебнику, написанному под руководством Сергея Михайловича Никольского. 3% от общего числа 10-11 классов обучаются по учебнику, написанному под руководством Юрия Михайловича Колягина. Примерно по одному проценту учащихся обучается по учебниками авторов Наума Яковлевича Виленкина и Шавкат Арифджановича Алимова. Геометрию по учебнику Алексея Васильевича Погорелова изучает 55% учащихся, Левон Сергеевича Атанасяна -45%.

Результаты единого государственного экзамена (ЕГЭ) как формы внешней независимой объективной аттестации выпускников общеобразовательных учреждений стали одним из элементов региональной системы оценки качества образования.

Анализ результатов ЕГЭ, проведённый Областным государственным учреждением «Региональный центр оценки качества образования» [3] позволяет выявить уровень подготовки выпускников общеобразовательных учреждений Орловской области.

При сравнении результатов единого государственного экзамена 2010 года с результатами ЕГЭ прошлых лет выявились тенденции повышения среднего тестового балла по 10 общеобразовательным предметам, что, несомненно, определяет положительную динамику в развитии системы образования в регионе. Так, например, по математике средний тестовый балл увеличился на 0,7 %, по информатике и ИКТ - на 5,4 %).

Одним из важных показателей совершенствования образовательного процесса является наличие участников ЕГЭ, набравших по результатам эк-

замена 100 баллов. Количество таких детей в 2010 году возросло в 2,3 раза по сравнению с показателями 2009 года.

В ходе реализации национальной образовательной инициативы «Наша новая школа» в регионе делается акцент на повышение качества образования, как интегральной характеристики региональной системы образования, отражающей степень соответствия реальных достигаемых образовательных результатов нормативным требованиям, социальным и личностным ожиданиям. Одним из показателей качества образования является прохождение выпускниками государственной (итоговой) аттестации и получение ими аттестата о среднем полном (общем) образовании.

В Орловской области в 2010 году 99,86 % выпускников получили аттестат о среднем полном (общем) образовании, что на 0,64 % больше, чем в 2009 году.

В Орловской области процент участников, не преодолевших «минимальный порог» по 9 из 13 общеобразовательных предметов, ниже, чем по России, это свидетельствует о том, что усвоение экзаменуемыми основных знаний, умений и навыков, проверяемых требованиями образовательного стандарта, в 2010 году было в достаточной степени результативно.

В 2010 году регион принял активное участие в проведении государственной (итоговой) аттестации выпускников IX классов в новой форме. Оценивая качество полученных результатов, можно констатировать стабильный рост отличных оценок по математике. Средний балл по региону составил 3,8 балла.

В истекшем учебном году все выпускники справились с экзаменационной работой по математике, на 5 % по сравнению с предыдущим годом увеличилось количество отличных оценок по предмету.

Необходимым условием создания образовательного пространства, способствующего самоопределению учащегося, явилось введение предпрофильной подготовки, позволяющей более полно учитывать интересы, склонности и способности учащихся, что дало возможность старшеклассникам обучаться в соответствии со своими профессиональными запросами и ориентациями.

На сегодняшний день в общеобразовательных учреждениях Орловской области реализуются программы подготовки выпускников по 15 различным профилям, физико-математический профиль входит в число наиболее распространённых. Из 266 профильных классов, физико-математический профиль реализуется в 12 классах.

Количество обучающихся в 2010-2011 учебном году по программам профильной подготовки и углубленного изучения отдельных общеобразовательных предметов в городских общеобразовательных учреждениях в среднем в четыре раза выше, чем в сельских учреждениях образования.

34,74% выпускников профильных классов продолжают обучение в вузах по выбранному направлению. С целью развития творческих способностей детей организована работа факультативов, элективных курсов.

В этом году выпускников 11-х классов орловских школ 1915. И мы ждём от них достойных результатов деятельности учителей математики Орловщины.

В 2010 году увеличено количество премий Губернатора Орловской области с 6 до 8 за лучшую научно-исследовательскую работу в размере 25 тыс. рублей каждая. Ежегодно две премии Губернатора Орловской области вручаются преподавателям и студентам образовательных учреждений, победителям конкурса им. А.П. Киселева, за лучшую работу в области методики преподавания математики. Я горжусь тем, что в 2004 году стала победителем этого конкурса, а в 2009 и 2010 годах мои дипломники Мастеркова Дарья и Горбачёва Елена стали победителями этого конкурса.

Есть полная уверенность сказать, что традиции достойного школьного математического образования, заложенные Андреем Петровичем Киселёвым, будут и дальше сохраняться и преумножаться.

Библиографический список

1) ГАОО. Ф.512. Оп. 1. Д.6. Орловский-Бахтина кадетский корпус. Переписка с Главным управлением военно-учебных заведений о личном составе воспитанников, организации учебного процесса и др. (январь 1917г. -11 сентября 1918г.).

2) ГАОО. Ф.64. Оп. 1. Д. 64. Книга Орловской Губернской Гимназии на записку прихода и расхода книг и денег за книги.

3) Областное государственное учреждение «Региональный центр оценки качества образования» // http://www.orcoko.ru

Раздел II. ТЕОРИЯ И МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ В ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ШКОЛЕ И ВУЗЕ

ОБ ОРГАНИЗАЦИИ ПРОЕКТНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ УЧАЩИХСЯ ПРИ ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ

В.Л. Александрова

В статье рассматриваются вопросы организации проектной деятельности в школе. Автор обосновывает актуальность темы, рассматривает условия эффективности использования метода проектов в учебной деятельности, а также освещает проблемы, с которыми может столкнуться учитель, не имеющий достаточного опыта в проведении работы по созданию проектов с учащимися.

Ключевые слова: проектная деятельность, ключевые компетентности, проектное исследование, личностно ориентированная технология обучения.

Быстро меняющиеся условия жизни и труда предъявляют совершенно новые требования к уровню образованности, к личности выпускника. Новая парадигма педагогики смещает центр проблем с формирования знаний, умений и навыков на целостное развитие школьника. Современному обществу нужен человек, который сумеет самостоятельно мыслить, ставить перед собой социально значимые задачи, проектировать пути их решения, прогнозировать результаты и достигать их.

Система образования должна формировать такие новые качества выпускника как инициативность, мобильность, гибкость, динамизм и конструктивность.

Поэтому одними из важнейших задач современного общего образования в школах являются следующие:

- научить организовывать свою деятельность: определять цели и задачи, выбирать средства реализации и применять их на практике, взаимодействовать с другими людьми в достижении общих целей, оценивать достигнутые результаты;

- научить объяснять явления действительности (природной, социальной, культурной, технической среды), т.е. выделять их существенные признаки, систематизировать и обобщать, устанавливать причинно-следственные связи, оценивать их значимость;

- сформировать ключевые навыки (ключевые компетентности), имеющие универсальное значение для различных видов деятельности: навыки решения проблем, принятия решений, поиска, анализа и обработки информации, коммуникативные навыки, навыки измерений, навыки сотрудничества;

- подготовить к профессиональному выбору, т.е. научить ориентироваться в мире профессий, в ситуации на рынке труда, в системе профессионального образования, в собственных интересах и возможностях.

Очевидно, что актуальным в педагогическом процессе становится использование методов и методических приемов, которые формируют у школьников навыки: самостоятельного добывания новых знаний, сбора необходимой информации, умения выдвигать гипотезы, делать выводы, строить умозаключения. К таким методам и приемам могут быть отнесены проектные технологии, которые учителя-предметники могут использовать как на уроке, так и во внеурочной и внеклассной работе.

На сегодняшний день проектная деятельность - одна из самых обсуждаемых технологий обучения, при этом неправильно думать, что это понятие новое. Метод учебных проектов в системе отечественного образования возродился в начале 90-х годов прошлого столетия, в то время как в российской школе его начали использовать более ста лет назад. «Знание само по себе, вне отношения к развитию ума, имеет в образовании очень мало значения: всего не узнаешь, всем наукам не обучишься. Важно, чтобы человек сам мог учиться, чему нужно, а не то, чтобы он в школе приобретал возможно больше знаний. Самое важное приобретение учащихся - уменье правильно мыслить и говорить, уменье учиться», - как современно звучат эти слова, сказанные российским педагогом и психологом П.Ф.Каптеревым в начале прошлого века [3].

Основоположником метода проектов считается американский философ-прагматик, психолог и педагог Джон Дьюи (1859-1952), хотя в своих работах он не использовал слова «проект». В книге «Школа и общество» он писал: «С точки зрения ребенка самый большой недостаток школы происходит от невозможности для него свободно, в полной степени использовать опыт, приобретенный вне школы, в самой школе. И, наоборот, с другой стороны он оказывается неспособным применить в повседневной жизни то, чему научился в школе» [2]. Родившись из идеи свободного воспитания, метод проектов постепенно интегрировался в структуру образовательных методов.

Но суть его остается прежней - стимулировать интерес учеников к знанию и научить применять эти знания для решения конкретных проблем вне стен школы. При этом до сих пор еще не сформировалось представление о том, какой должна быть проектная деятельность. Проектом могут называть работу самого различного жанра: от обычного реферата (к сожалению, иногда просто скаченного из Интернета) и нестандартного выполнения стандартного задания (например, подготовка и проведение урока-

путешествия, урока-игры, урока-спектакля) до действительно серьезного исследования с последующей защитой по принципу курсовой или дипломной работы. При таком многообразии видов проектов учителя не всегда могут ответить на вопрос, что же они используют в своей работе: проект (метод проектов, проектирование, проектную деятельность, проектировочную деятельность) или проектное исследование? И какую задачу они определили для себя и своих учеников: создание проекта или проведение исследования? Достаточно распространенная ситуация, когда учитель, много лет применяющий метод проектов в работе со школьниками, не различает эти виды деятельности или подменяет одно понятие другим. При этом у проектного метода есть еще немало «подводных камней», которые учитель должен уметь обходить, обучая школьников проектированию. Например, превращение проекта в обычный списанный реферат с красивыми картинками; опасность переоценить результат проекта или недооценить трудоёмкость процесса его создания; несоответствие глубины содержания проекта количеству оформленных на него документов, представляемых к защите; чрезмерное увлечение проектированием в ущерб систематическому предметному обучению.

Еще более серьезная проблема заключается в том, что увлечение проектами стало просто модным. Причем, часто целью этих работ является желание учителя «засветиться» на каком-нибудь конкурсе. Конкурсы проектов учеников довольно часто представляют собой «Выставку достижений учителей». Эта тенденция может принести много вреда, поэтому нужно четко определить, зачем выполняется тот или иной проект, чему могут научиться школьники, что именно должен делать каждый участник работы (и ученики, и руководитель), чтобы достичь собственных целей, поставленных в самом начале работы над проектом.

Проектное обучение - полезная альтернатива классно-урочной системе, но оно отнюдь не должно вытеснять её и становиться некоторой панацеей. Специалисты из стран, имеющих обширный опыт проектного обучения, считают, что его следует использовать как дополнение к другим видам прямого или косвенного обучения, как средство ускорения роста и в личностном смысле, и в академическом, как одну из личностно ориентированных технологий обучения, интегрирующую в себе проблемный подход, групповые методы, рефлексивные, презентативные, исследовательские, поисковые и прочие методики. Он используется не вместо систематического предметного обучения, а наряду с ним как компонент системы образования.

При этом на одних уроках метод проектов «работает» лучше, а на других не дает таких заметных результатов, это отмечают российские и зарубежные педагоги. В чем же причина? Все учебные предметы условно можно разделить на две группы по целевой направленности: предметы, формирующие систему специальных и общеучебных знаний и умений учащихся (математика, физика, химия, и т.п.) и предметы, ориентированные на формирование гражданской, коммуникативной, информационной компе-

тентностей (иностранный язык, экология, ИКТ). Очевидно, что в первом случае создание проектов в рамках классно-урочного изучения предмета менее эффективно. Более успешно проходит работа над созданием межпредметных, внеурочных, внеклассных проектов, в которых отражаются не только вопросы программы, но и также и внепрограммные.

Примером могут служить следующие темы творческих проектов по математике: «Многогранники в архитектуре и живописи», «Геометрия кисти Леонардо», «Невозможный мир М. Эшера», «Золотое сечение», «Загадки пирамид», «Гармония вокруг нас» - безусловно, этот материал увлекателен для любого ученика, но можем ли мы сказать, что это темы проектов по математике? Да. Но только в том случае, если в них помимо привлечения очень интересного материала по истории, живописи, искусствоведению, археологии достигается еще одна важная цель - решение математических задач. В противном случае мы не можем говорить о проекте по математике, поскольку под проектной деятельностью (проектом) по математике следует понимать такую учебно-познавательную деятельность учащихся, которая направлена на получение некоторого заранее спланированного личностно-значимого для них материального результата и которая предполагает самостоятельное решение учащимися математических задач. К сожалению, в методической литературе, посвященной проектной деятельности, редко встречаются темы проектов по математике, что подчас наводит учителя на мысль о низкой результативности такой работы по данному предмету. В действительности же можно предложить различные темы проектов, при создании которых учащиеся разного возраста будут изучать программный материал, расширять свой кругозор и решать задачи как базового уровня, так и повышенной сложности.

Например:

«Мой город в цифрах и диаграммах» (иллюстрированный справочник);

«Моя школа в цифрах и процентах» (школьный учебник); «Теория графов и усовершенствование схем автобусных маршрутов»; «Старинные меры длины в задачах» (чудо-задачник с картинками); «Её Величество Пропорция» (сборник задач практического содержания);

«Проценты, без которых нам не обойтись» (справочник для учащихся 5-11 классов).

Библиографический список

1) Гузеев В.В. Образовательная технология: от приёма до философии.-М., 1996.

2) Дж. Дьюи. Школа и общество. — Москва, 1925.

3) Каптерев П.Ф. Избранные педагогические сочинения / Под ред. А.М. Арсеньева. - М.: Педагогика, 1982. - С. 704.

4) Методология учебного проекта. Материалы городского методического семинара. — М.: МИПКРО, 2001.- 144 с.

5) Пахомова Н. Ю. Метод учебных проектов в образовательном учреждении: Пособие для учителей и студентов педагогических вузов. — М.: АРКТИ, 2003. — 112с. (Методическая библиотека).

6) Экспериментальные площадки в московском образовании. Сб. статей № 2. — М.: МИПКРО, 2001.- 160 с.

7) http://schools.keldysh.ru/labmro — Методический сайт лаборатории методики и информационной поддержки развития образования МИОО.

ОСОБЕННОСТИ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ НА АНГЛИЙСКОМ ЯЗЫКЕ В ВУЗЕ

Д.В. Берзин

Статья основана на опыте автора преподавания на английском языке курса линейной алгебры на Международном финансовом факультете Финансового университета при Правительстве Российской Федерации.

Ключевые слова: математика в вузе, английский язык, методика обучения

В период усиливающейся глобализации и выхода российских компаний на мировой рынок, когда английский язык приобретает статус официального языка общения в деловом мире, обучение на английском языке приобретает особую значимость. Экономика и финансовая сфера здесь не является исключением. Неизбежное сближение российской и зарубежной систем финансовой отчетности, правил бухгалтерского учета, привлечение на российский рынок передовых форм и методов корпоративного управления, а также новых финансовых и инвестиционных инструментов представляет собой вызов образовательному сообществу России. В связи с этим важное значение приобретает подготовка кадров, не только обладающих современными экономическими знаниями, но и способных применять их на практике в условиях глобализации, в том числе ведя документацию и общение на английском языке. В 2008 году в Финансовом университете при Правительстве Российской Федерации заработал новый факультет — Международный Финансовый (сокращенно МФФ). Миссия факультета — стать международным центром инновационного развития Финансового университета, эффективным инструментом его трансформации в национальный исследовательский университет, путем формирования образовательных и исследовательских программ мирового уровня. МФФ готовит кадры высшей квалификации по международной Болонской двухуровневой системе. Одной из главных особенностей факультета является преподавание всех предметов (в том числе

математики) на английском языке. Все студенты бакалавриата при поступлении свободно владели русским языком и являлись выходцами республик бывшего СССР. По состоянию на апрель 2011 года в бакалавриате МФФ обучается примерно 190 человек. Приблизительные цифры таковы: 50 человек на третьем курсе, 80 - на втором, и 60 - на первом.

С сентября 2008 года автор читает лекции и ведет практические занятия по линейной алгебре на первом курсе бакалавриата МФФ.

В [1] был дан краткий обзор существующих авторских методик преподавания математики на английском языке. Все они основываются либо на преподавании в средней школе, либо на оказании специфических репетиторских услуг. Таким образом, наш опыт на МФФ является уникальным.

Преподавание на английском языке дает неоспоримые преимущества:

1. Студенты поддерживают языковые навыки, полученные в средней школе.

2. Студенты совершенствуют свой английский, читая учебную литературу, выполняя письменные работы, слушая преподавателей и однокурсников, выступая во время занятий у доски, докладов и презентаций.

3. Студенты обучаются по хорошо проработанным и эффективным западным учебникам, написанным признанными экспертами в своей области. Учебники качественно оформлены, и, как правило, выдержали не менее 5-6 переизданий.

4. Акцент профессиональной части учебной программы МФФ сделан на международные стандарты бухгалтерского учета, корпоративного управления и инвестиционного менеджмента. Поэтому изучать такие дисциплины (особенно финансовой направленности) целесообразнее и эффективнее на английском языке.

5. Студенты овладевают специальной лексикой, не только финансово-экономической, но также и математической. Это дает им возможность не только увереннее читать статьи и учебники на английском языке, но и подготовит их к дальнейшему обучению, например, по программе «двойного диплома», совместных магистерских программ (например, с университетом-партнером города Глазго в Великобритании), а также к заграничным командировкам и стажировкам на английском языке.

6. Обучающиеся могут намного эффективнее подготовиться к экзаменам и тестам типа IELTS, TOEIC, TOEFL, GMAT, GRE. Эти тесты, как правило, являются необходимым условием для продолжения учебы или работы за границей.

7. Студенты получают возможность свободного обращения с англоязычной периодикой и литературой финансово-экономического профиля, которой выходит значительно больше на английском языке, чем на русском.

8. Обучающиеся получают возможность значительно лучше подготовиться к сдаче экзаменов для получения авторитетных и широко признанных международных сертификатов типа АССА и CFA.

В то же время обучение математике на английском языке имеет некоторые недостатки. Студентам труднее воспринимать материал на языке, не

являющемся родным. Скорость прохождения материала на английском языке может быть несколько ниже, чем на «русскоязычных» факультетах. Например, преподаватель вынужден дублировать некоторые термины и понятия на русский язык, на что тратится определенное время и усилия со стороны студентов.

Англоязычная математика имеет существенные отличия от «нашей» математики. Главная и общая особенность связана с принципиальным различием менталитетов и проявляется в том, что англоязычная математика в гораздо большей степени нацелена на практические приложения. Не зря говорят, что основной целью западного математического образования является «know how», а российского - «know why». В результате многие студенты российских вузов, умеющие преобразовывать громоздкие выражения с комплексными числами, обращать матрицы и решать системы линейных уравнений, часто оказываются бессильными уже в простейших комбинаторных, статистических или финансовых расчетах, путаются в графической информации, не могут формализовать и решить задачу, описанную в терминах конкретной житейской ситуации. Другая особенность связана с изложением материала в учебниках. В обычных российских учебниках задачи по каждой теме даются примерно одинаковой сложности. В западных учебниках на английском языке, как правило, вначале приводятся совсем простые задачи на понимание основ пройденного материала.

Все студенты МФФ подключены к инновационной интерактивной системе обучения «VALUE» (см. [2]). Все общение между преподавателем и студентами на VALUE происходит на английском языке. За базовый учебник курса принят [3].

Выяснилось, что успешное написание студентами контрольных работ и сдача экзаменов по линейной алгебре мало зависит от базовой языковой подготовки студента, а в большей мере обусловлено стараниями студента и его хорошими математическими навыками, полученными в средней школе. На лекциях и практических занятиях по линейной алгебре не требуется применения сложных грамматических конструкций на английском языке. С другой стороны, не следует «упрощать» язык, он должен быть достаточно богатым и живым.

Занятия по линейной алгебре на английском языке должны быть весьма динамичны, нужно пытаться поддерживать постоянный интерес аудитории, и делать это значительно труднее, чем во время проведения аналогичных занятий на русском языке. Поскольку для слушателей английский язык не является родным, им труднее сосредоточиться на излагаемом материале. В связи с этим поддержание тишины в аудитории и дисциплины становится особенно важным. Автор пришел к выводу, что во время практических занятий все основные математические термины должны переводиться на русский язык. Таким образом, студенты усваивают математическую терминологию не только на английском, но и на русском языке. В начале каждого занятия на доске пишется тема на английском языке, и тут же дается

устный перевод на русский язык. В связи с этим, студенты сразу понимают, какой материал им предстоит освоить на занятии. Для лучшего понимания во время занятия приходится больше писать на доске, в то время как в «русскоязычных» группах многие из фраз достаточно произнести вслух. Студенты, вызываемые для решения задач к доске, обязаны говорить по-английски и не переходить на русский язык. Преподаватель в случае необходимости поправляет студента и достаточно громко повторяет фразу для аудитории. Все тесты, контрольные работы и экзамены по линейной алгебре выполняются студентами МФФ только в письменной форме и только на английском языке [4]. Таким образом, на занятиях по линейной алгебре у студентов есть хорошая возможность поддерживать и улучшать свой английский язык. А самое главное - усваивается стандартный для финансово-экономических специальностей вузов курс линейной алгебры, подкрепленный эффективными западными учебниками и задачниками с разбором множества практических примеров.

Библиографический список

1) Берзин Д.В. Преподавание университетской математики на английском языке // Математика в образовании: сб. статей. Вып. 6. - Чебоксары: Изд-во Чувашского университета, 2010. - С. 250-253.

2) Берзин Д.В. Преподавание математики на английском языке в высшем учебном заведении // Математическое образование в школе и вузе в условиях перехода на новые образовательные стандарты: материалы Всероссийской научно-практической конференции с международным участием (15 октября 2010 г.)-Казань, 2010.-С. 101-102.

3) Anton H., Rorres С. Elementary linear algebra. Application version // John Wiley & Sons, 8th edition, 1999.

4) Берзин Д.В. Методика и особенности преподавания математики на английском языке в высшем учебном заведении // Математика, информатика и методика их преподавания: материалы Всероссийской конференции, посвященной 110-летию математического факультета МПГУ (14-16 марта 2011 г.).-М., 2011.-С. 117-118.

ОСОБЕННОСТИ СОВРЕМЕННОГО УРОКА

Е.А. Божкова

В статье рассматриваются требования к современному уроку и его признаки в условиях развивающейся школы. В работе использованы элементы уроков автора.

Ключевые слова: современный урок, системно-деятельностный подход, личностно-ориентированное обучение, учитель-консультант, социализация личности.

Хороших методов существует столько, сколько существует хороших учителей.

(Д. Пойя)

На вопрос о том, что такое современный урок, одиннадцатиклассники дали ответы: ««Современный урок - это урок непохожий на предыдущий, когда интересно и понятно, и на котором чувствуешь себя свободно и уверенно»; «Я считаю, что через несколько лет уровень развития детей будет намного выше, и поэтому уроки будут проходить в виде дебатов между учениками и учителем»; «Современный урок - частично дистанционный, или чтобы некоторые предметы изучались экстерном».

Так что же такое современный урок? И каким он должен быть? И почему будет правомерным задавать такие вопросы? Наука, мир, общество изменяются, приобретают новые качества, реформы происходят во всех сферах жизни нашего общества, в том числе и в образовании. В результате понятие современного урока получает новую трактовку, новый смысл, новую окраску. Учитель в таких условиях стоит перед необходимостью совершенствования всех сторон процесса обучения. Современный этап общественного развития характеризуется рядом особенностей, предъявляющих новые требования к школьному образованию. Изменяются приоритеты и акценты в образовании, оно становится направленным на развитие личности, на формирование у обучающегося таких качеств и умений, которые в дальнейшем должны позволить ему самостоятельно изучать что-либо, осваивать новые виды деятельности и, как следствие, быть успешным в жизни.

Итак, актуальность вопроса «Что такое современный урок?» налицо.

Современный урок - это урок, характеризующийся следующими признаками:

1. Главной целью урока является развитие каждой личности в процессе обучения и воспитания.

2. На уроке реализуется личностно-ориентированный подход к обучению.

3. На уроке реализуются идеи гуманизации образования.

4. На уроке реализуется деятельностный подход к обучению.

5. Организация урока динамична и вариативна.

6. На уроке используются современные педагогические технологии. Основы концепции деятельностного подхода:

• усвоение содержания обучения происходит не путём передачи школьникам информации, а в процессе их собственной активной деятельности;

• знания и приобретаются, и проявляются только в деятельности;

• за умениями и навыками учащихся всегда стоят действия, имеющие определённый характер и образующие полный цикл учебно-познавательной деятельности.

Безусловно, необходимо обращать внимание на мотивацию деятельности учащихся. Они сами на уроке должны захотеть сделать открытие, а учитель должен создать для этого условия. Если же он всегда говорит и объясняет всё сам, не привлекая к поиску знаний учащихся, ему будет невозможно создать условия и «смотивировать» на деятельность учащихся.

Вспомним сцену из фильма «Джентльмены удачи»: Леонов: «Сегодня завтрак в детском саду отменяется ...»

Все: «УРА!»

Леонов: «Мы сегодня будем готовиться к космическому полёту» Все: «УРА!»

Леонов: «Для этого необходимо заправиться! Берём ложки и ...» Из этого следует...

«Сегодня у нас не будет урока, у нас состоится обсуждение такой проблемы...» Или

«У нас вечер вопросов и ответов. Учимся задавать вопрос. Учимся подвергать сомнению любую высказанную идею».

Пример урока по теме: «Разложение многочлена на множители». Этап изучения новой темы. Задания ученикам:

При выполнении заданий ученики могут воспользоваться учебником, интернетом, телефоном, помощью соседа по парте или «сходить в гости к другу», то есть, возможно свободное перемещение по классу.

1. Умножьте (2х-3)-(х + 2)

2. Запишите многочлен 2х2+х-6 в виде произведения. Вывод: многочлен разложили на множители.

3. Решите уравнение 2х2 + х - 6 = 0.

Вывод: когда используется разложение на множители?

4. Найдите значение выражения

Вывод: ещё для чего используется разложение на множители?

5. Найдите подтверждение выводам в тексте учебника.

6. Разложите на множители 2х + 2у . Как можно назвать этот способ разложения? В чём он заключается?

7. Вынесите общий множитель за скобки: х2 + ху. Найдите описание разложения на множители способом вынесения общего множителя в учебнике.

8. Разложите на множители 2х + 2у + х~+ху. Что позволило выполнить задание? Как можно назвать этот способ? А если по-другому сгруппировать? Попробуйте!

В результате постановки вопросов и решения микрогруппами учеников возникающих проблем с выдвижением гипотез создаются условия для активной познавательной деятельности учащихся. Они чувствуют себя уверенно и свободно, на подобных уроках нет места стрессу. Каждый имеет право высказать свою точку зрения.

Пример урока геометрии в 7 классе по теме: «Окружность» Этап изучения новой темы. Практическая работа с элементами исследования:

1. Начертите произвольный треугольник ABC.

2. Проведите серединные перпендикуляры к отрезкам АС и ВС.

3. Каково взаимное расположение серединных перпендикуляров?

4. Обозначьте точку пересечения серединных перпендикуляров точкой О.

5. Каково расположение точки О по отношению к точкам А, В, С?

6. Измерьте длины отрезков OA, OB, ОС.

7. Каково расположение точек А, В, С, относительно точки О?

8. Существуют ли ещё точки, обладающие аналогичным свойством?

9. Какую фигуру они образуют?

10. Как можно описать взаимное расположение окружности и треугольника?

11. Как найти центр окружности, описанной около треугольника?

Роль и позиция учителя в таком действии: организатор деятельности, консультант, человек, создающий условия для работы. Он поддерживает, подталкивает, «подливает масло в огонь», консультирует, незаметно направляет, откровенно удивляется успехам и находкам. Методика обучения, стимулирующая самостоятельность учащихся, их практическую и интеллектуальную инициативу, исключает принуждение, монополию педагогов на интерпретацию знаний, пассивное восприятие учащимися готовой информации. Роль учителя усложняется тем, что он обобщает сказанное детьми, находит выход из тупиковой ситуации. Вроде бы импровизирует, но вместе с тем чётко ведёт свою линию, держит установленные рамки. Учитель повторяет то, что им же может быть и подсказано, но в такой ситуации дети выдают это как свою находку. Это другие эмоции. Это другое настроение. Они все - участники открытия. Вместе радуются друг за друга. При каких условиях это сработает?

Необходимо, чтобы учащиеся были обеспечены всем необходимым для их поисковой деятельности. Хорошо, если есть возможность сидеть в кругу «глаза в глаза», а не «глаза в спины». Заранее проведены инструктажи по порядку работы. Учащиеся знают основные законы коллективной деятель-

ности, такие как «закон круга», «не перебивай говорящего», «критикуешь -предлагай», «все идеи имеют место, т.к. даже из самой смешной мысли может родиться гениальная мысль»... и т. д.

Что важно в этой деятельности? Совместные эмоции и переживания, совместный поиск, ошибки, находки. Высказал мнение два раза даже не по делу - герой! Почувствовал себя умнее, потянул верёвочку знаний сам, подумал: «А не такой уж я ...». Общение в группе продвигает всех на новый уровень. Расширяются рамки каждого. Роль учителя - всё это заметить, правильно и своевременно оценить.

Урок современный отличается, прежде всего, организацией учебной образовательной деятельности. Только в процессе деятельности активизируется мозг, память, приобретается и накапливается опыт. Идёт социализация учащегося. Только в процессе деятельности могут появиться открытия, и может ощущаться радость от них, и создаваться мотивация к дальнейшей деятельности. Самое страшное в школе - это ничего не делать шесть уроков подряд в течение 11 лет, просто тихо сидеть и что-то фиксировать. А ещё большое внимание уделяется дисциплине: «Не крутись, не разговаривай...» А ведь это больше 10000 уроков! Такие ученики не умеют работать, а могут только брать (или отнимать). Важно бережно относиться к малейшим стремлениям ученика что-либо сделать самому, поддерживать его любое разумное предложение, поощрять инициативу на уроке. И тогда наши ученики будут приобретать умения и качества, необходимые человеку 21 века.

Библиографический список

1) Поташник М.М. Требования к современному уроку. Методическое пособие. - М.: Центр педагогического образования, 2011. - 272 с.

2) Машарова Т.В. Использование личностно-ориентированных технологий в образовании. Материалы семинара. - Киров, 2000.

ПРОПЕДЕВТИЧЕСКИЙ КУРС КАК СПОСОБ ПРЕОДОЛЕНИЯ ПРОБЛЕМ ПРЕЕМСТВЕННОСТИ МЕЖДУ НАЧАЛЬНЫМ И СРЕДНИМ ЗВЕНОМ ШКОЛЫ

Л.В. Болдина

В статье рассмотрены различные подходы к определению преемственности в преподавании школьного курса математики, предложен один из способов преодоления проблемы преемственности между начальным и средним звеном школы - пропедевтический курс математики в 4 классе.

Ключевые слова: преемственность в обучении математики, математическая дидактическая игра, пропедевтический курс.

На современном этапе развития системы образования в нашей стране на первый план выдвигается задача ее модернизации с целью достижения высокого качества подготовки к жизни выпускников школы. Утвержденный Министерством образования и науки Российской Федерации в 2009 году Федеральный государственный образовательный стандарт начального общего образования «направлен на обеспечение: преемственности основных образовательных программ ... начального общего, основного общего ... образования» [3].

Как показывает анализ педагогических исследований, понятие преемственности в обучении рассматривается учеными, методистами, педагогами в нескольких аспектах:

- во-первых, это межпредметные связи, позволяющие ребенку видеть целостную картину мира в его многообразии и многоаспектности, формировать собственное мировоззрение. Межпредметные связи, по Коменскому, являются необходимым условием целостности и системности знаний. Для системности необходимо, чтобы знания преподносились в последовательности и непрерывной связи. При этом Коменский имеет в виду естественные, внутренние связи между родственными учебными предметами. «Все, имеющее связь, преподавать в связи», - так формулирует свою позицию в этом вопросе Я.А. Коменский [1]. Преподавание математики может быть связано с изучением естествознания (природоведения) в начальном звене школы, а в дальнейшем - физики, химии, астрономии, экономики, физической географии. Прослеживание межпредметных связей позволяет успешнее мотивировать к изучению математики обучающихся с различными склонностями и интересами. В ходе бесед педагоги школ отмечают, что внеклассные занятия «Математика в литературе», «Музыка и математика» и подобные заинтересовывают школьников, позволяют успешнее мотивировать к изучению предметов естественно-математического цикла обучающихся гуманитарного склада ума. На практических примерах школьникам необходимо показать, что математическое моделирование различных процессов позволяет не только глубже осмыслить многие бытовые ситуации, но и развиваться техническому прогрессу. Так, например, при изучении темы «Равноускоренное движение» в курсе физики 9 класса школьники могут выполнить задание на расчет тормозного пути автомобиля в зависимости от его массы и скорости движения, характеристик дорожного покрытия и автопокрышек, а затем сделать вывод об опасности нарушения правил дорожного движения пешеходами, а при изучении темы «Искусственные спутники Земли» понять, как много математических вычислений пришлось сделать конструкторам, прежде чем спутник начал движение к орбите;

- во-вторых, это связи между разными блоками одной учебной дисциплины; при изучении математики это приобретают особую важность, т.к. эта наука носит целостный характер, новый материал, изучаемый школьниками, базируется на уже известном, что позволяет глубже понять и осмыс-

лить изученные ранее понятия, естественным путем организуется повторение пройденного материала [2]. Так, например, изучение вопроса о зависимости результата действий от его компонентов можно проследить от начальных классов до темы «Функции»: младшие школьники изучают эту проблему на наглядных образах, при решении задач практического характера:

1. Что произойдет с периметром/площадью прямоугольника при увеличении/уменьшении одной из его сторон?

2. Как изменится пройденный путь, если скорость увеличить/уменьшить в несколько раз?

3. Как влияет угловой коэффициент линейной функции на положение ее графика?

Игнорирование педагогом данной связи приводит к изучению курса науки отдельными порциями, оторванными по смыслу друг от друга, что влечет за собой негативные последствия;

- в-третьих, это процесс перехода обучающегося с одной ступени системы образования на другую: дошкольное образование - начальная школа - основная школа - старшая школа - профессиональное образование.

Этап перехода школьников из начального звена в среднее осложнен не только проблемами психологического характера - начало подросткового периода, но другими объективными причинами: увеличивается дистанция между учителем и обучающимся: если учительница начальной школы была «второй мамой», знала все тонкости характера, особенности семейного воспитания, выслушивала и помогала, то перед учителем-предметником, особенно учителем математики (математика - один из двух обязательных для аттестации предметов) поставлена жесткая задача: качество знаний школьника, выполнение которой безапелляционно проверяется ГИА и ЕГЭ.

Изучение школьного курса математики усложняется также тем фактом, что мало учебников начальной школы имеют логическое продолжение в среднем звене. Эта проблема стоит перед методистами давно, но до сих пор решается с трудом.

При переходе в пятый класс школьник сталкивается с изменением системы преподавания, требований со стороны учителя-предметника. Из бесед с педагогами начальных классов можно сделать выводы, что они ставят, в основном, перед собой задачи сформировать навыки для успешного обучения в дальнейшем: чтение, письмо, устный и письменный счет. Немного выпускников начальной школы умеют размышлять, рассуждать, а ведь общеизвестно, что осмысленные, не «вызубренные» знания более прочны. Причин неумения рассуждать, доказывать собственную точку зрения может быть несколько: недостаточное развитие речи младшего школьника; боязнь ответить неправильно, заслужить неодобрение учителя; наконец, инициатива размышлять должна исходить первоначально от учителя, если не приучать к этому, потребности в рассуждениях у детей не возникнет. Посещение уроков математики в начальных классах в рамках осуществления преем-

ственности между начальным и средним звеном школы доказывает, что дети очень редко слышат вопрос: «докажи, обоснуй, почему именно так?», от них требуется действие по шаблону, алгоритму; в дальнейшем действие в измененной ситуации вызывает затруднения.

Решение обозначенных проблем будет максимально успешным, если ими озаботятся как учителя математики, так и учителя начальных классов. Школьный курс математики должен стать непрерывным, независимо от того, какой учитель его преподает, а значит, учитель начальных классов должен видеть перспективу математического развития своих учеников, а предметник обязан в деталях познакомиться с программой математики начальных классов. Это было бы возможным, если бы учитель математики вел пропедевтический курс в 4 классе, 1 час в неделю - факультатив или кружок, готовя детей к требованиям средней школы. Так как именно в этот период начинает формироваться абстрактно-логическое мышление, детям нужно предлагать задачи исследовательского характера, применение усвоенных знаний в нестандартных, измененных ситуациях. При этом важно постоянно побуждать детей к рассуждению, обоснованию своего мнения, следить за тем, чтобы ответы детей не были формальными. Нередко можно наблюдать, как ребенок дошкольного возраста, играя, беседует, спорит, убеждает в чем-либо воображаемого собеседника; эту потребность дискутировать, делая обоснованные выводы, необходимо поддерживать в школьнике, вооружая его теоретическими знаниями как источниками аргументов, нормами этики спора.

Занятия указанного пропедевтического курса необходимо организовать таким образом, чтобы обучение проходило в ненавязчивой форме; это могут быть дидактические игры - проекты «Магазин», «Усадьба», «Ремонт квартиры» и др.; в классе, численность которого позволяет, можно организовать работу групп: одна группа организует работу магазина: закупает товар, вычисляет наценку, торгует; вторая группа просчитывает рентабельность функционирования домашней усадьбы: каких сельскохозяйственных животных держать выгоднее, какое здание фермы построить для них, какую технику закупить для обработки земли, какие культуры выращивать на ней и т.д.; третья группа планирует ремонт дома: определяет объем работ, выбирает строительные материалы, исходя из соотношения цена/качество, просчитывает необходимое количество материалов и инструментов. Группа детей получает набор исходных данных, например, группа по ремонту дома может получить макет кукольного домика с заданным масштабом с указанием объема работ по ремонту, прайс-лист из магазина строительных материалов с образцами товаров и план работы группы: выбрать бригадира, распределить задания между участниками группы, выполнить задания, бригадиру проверить работу участников, отчитаться о проделанной работе. На таком «богатом» материале у учителя есть возможность составлять задачи любого вида, типа и уровня сложности. Есть возможность осуществлять межпредметные связи: строительные материалы нужно подбирать с учетом экологичности,

комфортности цветовосприятия, долговечности. Воспитательный потенциал этой дидактической игры также велик: формируются организаторские способности, навыки планирования деятельности, умение работать в коллективе, ответственность за порученный участок общего коллективного дела. Учиться рассуждать можно, решая логические задачи, например:

- Толя веселее, чем Катя. Катя веселее, чем Алик. Кто веселее всех?

- Саша сильнее, чем Вера. Вера сильнее, чем Лиза. Кто слабее всех?

- Вера тяжелее, чем Катя. Вера легче, чем Оля. Кто легче всех?

- Миша умнее, чем Нина. Нина умнее, чем Света. Кто умнее всех?

- Вера веселее, чем Катя и легче, чем Маша. Вера печальнее, чем Маша и тяжелее, чем Катя. Кто самый печальный и самый тяжелый?

Развитие речи ученика при решении подобных заданий имеет также немаловажное значение, ведь увлечение современного школьника компьютером, широкое внедрение в школьную практику тестирования обедняет активный словарь обучающегося, который и без того небогат математическими терминами.

Таким образом, в процессе изучения такого пропедевтического курса решаются психологические проблемы преемственности между начальным и средним звеном общеобразовательной школы:

- учитель-предметник знакомится с будущими учениками: изучает уровень познавательной активности, мотивации, способности и склонности детей, чтобы в дальнейшем выбрать стратегию работы с данным классным коллективом;

- младшие школьники привыкают к личности учителя, стилю его работы.

На занятиях курса младшие школьники будут учиться высказывать и отстаивать собственную точку зрения, аргументируя терминами, правилами, обогатят свой активный словарь. Несомненно, что занятия сыграют положительную роль в повышении интереса к изучению математики, осознанию детьми практической направленности одной из самых сложных школьных дисциплин.

Библиографический список

1) Коменский Ян Амос: Учитель учителей. - М.: Карапуз, 2009.

2) Преемственность в обучении математике. Пособие для учителей. Сост. Пышкало А.М. - М.: Просвещение, 1978.

3) Федеральный государственный образовательный стандарт. Приложение к приказу Министерства образования и науки Российской Федерации от 06.10.2009 г. № 373.

ДУХОВНО-НРАВСТВЕННЫЙ ПОТЕНЦИАЛ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ В КОНТЕКСТЕ ФГОС

С.Н. Дворяткина

В статье рассматривается актуальная проблема духовно-нравственного воспитания школьников с помощью использования потенциала теории вероятностей в контексте ФГОС. Разработка элективных курсов о научных, философских и религиозных поисках великих математиков, тем рефератов, математических эссе, направленных на воспитание духовно-нравственных основ личности, будет способствовать ее более гармоничному развитию и формированию духовно-нравственной культуры школьников.

Ключевые слова: духовно-нравственное развитие, случайность, вероятностно-статистический стиль мышления.

2011-2012 учебный год проходит под знаком внедрения Федерального государственного образовательного стандарта и решения актуальной проблемы проектирования в развивающемся пространстве новой модели образования, ориентированной на формирование в школе системы духовно-нравственного воспитания. В связи с этим в рамках нового ФГОС была разработана Концепция духовно-нравственного развития и воспитания личности гражданина России. В этой Концепции определен современный национальный воспитательный идеал - «это высоконравственный, творческий, компетентный гражданин России, принимающий судьбу Отечества как свою личную, осознающий ответственность за настоящее и будущее своей страны, укорененный в духовных и культурных традициях многонационального народа Российской Федерации» [1, с. 14].

Содержание духовно-нравственного развития и воспитания личности в ФГОС определяется в соответствии с базовыми национальными ценностями и приобретает определенный характер и направление в зависимости от того, какие ценности общество разделяет, как организована их передача от поколения к поколению [1].

Для нашего региона духовно-нравственное развитие личности в рамках общего образования актуализовано, прежде всего следующими факторами:

- историко-культурными особенностями, связанными с героическим прошлым города Ельца, определяющими гражданско-патриотическое воспитание школьников;

- социокультурными особенностями, связанными с глубокими православными и святоотеческими традициями воспитания (педагогическое наследие святителя Тихона Задонского), определяющими духовно-

просветительское воспитание, когда акцент при формировании ценностей переносится на истоки внутреннего мира человека.

Традиционно принято считать, что приоритетная роль в формирование духовно-нравственной, созидающе целостной личности отводится историческим и культурным дисциплинам школьного учебного плана, а также новой дисциплине «Основы духовной культуры и светской этики», которая внедрена в практику преподавания в средних образовательных учебных заведениях России с 2010 года. Однако большой потенциал имеется у математических дисциплин. Хотелось бы определить их возможность в формировании духовно-нравственной сферы и мировоззрения личности. Перед учителями-математиками в этом большом и ответственном деле стоит серьезная задача. Они также могут ярко и убедительно осветить вопросы нравственности, привлекая для этого данные как истории математики, так и её современного развития. Приведем обоснование выбора из всех математических дисциплин познание «Теории вероятностей» как наиболее тесно связанной с проблемой духовно-нравственного воспитания школьников.

1. Исторический аспект

Понятие вероятности (с лат. probabilitas - вероятность, правдоподобие) известно со времен античности. Истолкование идеи вероятности получало разное, иногда альтернативное обоснование с помощью таких понятий, как случайность, необходимость, свобода, событие. Довольно интересные мысли о детерминированных и случайных явлениях можно найти в трудах Платона, Демокрита, Эпикура. Древние греки вначале отрицали случайность, однако постепенно стали обращаться к анализу роли случайности в природе.

Самые первые примеры случаев, иллюстрирующих случайное отклонение от закономерных явлений природы и приведших тем самым к трагическому последствию, можно найти в библейских преданиях. «И сказал отрок, рассказавший ему: и случайно пришел на гору Гелвуйскую, и вот, Саул пал на свое копье, колесницы же и всадники настигали его» [2 Цар. 1:6]. Ведь отрок мог и не придти на гору, и не убил бы он тогда помазанника Господня. Или следующий пример: «А один человек случайно натянул лук и ранил царя Израильского сквозь швы лат» [3 Цар. 22:34].

В большинстве своем люди верили, что события любого рода предопределены волей Божией, то есть действует Его промысел. В противовес этому математическая теория говорила о том, что случайное явление можно изучить, предвидеть, предсказать, но для этого необходимо изучить закономерные явления, наблюдаемые в нем. Такие закономерности в случайных явлениях явственнее проявляются при игре в кости. Христианство всегда не одобряло азартные игры, в том числе и кости. Единице приписывали грех против единого Бога, двойке - против Бога и Богородицы, тройке - против Троицы и т. д. Издавались запрещающие игру указы, угрожавшие отлучением от церкви. При этом можно обнаружить один любопытный исторический феномен. Изучением закономерностей в случайных явлениях занимались в

основном математики, которых сегодня мы называем основоположниками теории вероятностей. Большинство их них имело прямое или косвенное отношение к Святой Церкви.

Первым, кто поставил вопрос изучения случайностей, был французский епископ Виболд из Кэмбре. В 965 году он изобрел игру «Ludus Clericalis», состоящую из 56 комбинаций трех игральных костей. Выпадение определенной комбинации обозначало какую-либо человеческую добродетель. Например, (1,1,1) - любовь, (1,1,2) - вера, (1,1,3) - справедливость, (1,1,4) -надежда, (1,1,5) - благоразумие, (1,1,6) - сдержанность,..., (1,3,3) - чистота помыслов,..., (3,3,5) - моление и так до (6,6,6) - смирения. При игре монах, которому выпадала та или иная добродетель, получал право обучать ей остальных монахов. Самая лучшая добродетель, по мнению епископа, была любовь.

Раскручивая дальше нить истории становления и развития теории вероятностей, выявляем, что богословский контекст явно присутствует в появлении или развертывании той или иной ветви теории вероятностей. Основополагающей базой для диалога между математикой случайного и религией являются труды основоположников теории вероятностей -Л. Пачоли (1445-1517 гг.), Дж. Кардано (1501-1575 гг.), Б. Паскаля (1623-1662), Я. Бернулли (1654-1705), Т. Байеса и других [2]. Ученые через познание природы познавали Бога-Творца, открывали математические законы, данные Богом. Применение методов теории вероятностей к изучению процессов, происходящих в окружающем нас мире, дало неожиданные результаты. Ученые пришли к выводу, что без разумного направления случайного возникновения жизни на нашей планете не было бы и одного шанса из миллиардов.

2. Философско-религиозное значение теории вероятностей

Теорию вероятностей мы рассматриваем как дисциплину, для которой характерен дуалистический характер. С одной стороны, теория вероятностей - это раздел математической науки, изучающий закономерности случайных явлений, их свойства и операции над ними. С другой, мы трактуем теорию вероятностей как мировоззрение, направленное на восприятие и познание окружающего мира в системе сложных взаимосвязей, на постижение и применение системообразующих отношений, инвариантных под воздействием процессов реальности.

Наше положение разделяют многие ученые и специалисты в области теории вероятностей. В качестве примера изложим некоторые мировоззренческие идеи профессора П.А. Некрасова (один из первых педагогов-математиков в начале XX века не только предложивший идею о введении в школьный курс математики элементов теории вероятностей и статистики, но и написавший учебные пособия по теории вероятностей для учителей и учащихся) о философско-религиозном значении теории вероятностей в миропознания «Теория вероятностей есть врожденная категорическая функ-

ция сознания, мысленно предвосхищающая сменные явления природы и многообразно согласуемая с функциями души и тела. Роль вероятностей по вопросам жизни познавательная и многосторонне посредническая, междусубъективная в регулировании течений блага, строящая систему посредствующих, ограждающих и искупающих запасов, залогов, банков для умного выпуска явлений против многообразных «огневых» народных бедствий и устанавливающая исчислением, измерением, формулами и словом или иными знаками и графиками критерии сродства и соотношение или связь между составными частями, секциями и самостоятельным органами живого Всего (Целого) и их функциями» [3, с. 86 ]. И далее: «В исторической эволюции участвуют три духовные силы: вера, наука и власть; эти три силы мирового порядка составляют в нормальных условиях триединство. Где высший источник этих сил? Их источник, их солнце, по мнению того культурного человечества, к которому склоняется психология верующих, от Бога, познаваемого трансцендентными концепциями веры» [3, с. 89].

Таким образом, век назад П.А. Некрасов указывал на значимость нравственных, практических, познавательных аспектов в школьном образовании, к которым мы стремимся сегодня и которые сегодня особенно актуальны.

3. Особый вероятностно-статистический стиль мышления

Данный выбор аргументируем словами В.В. Налимова, ученика А.Н. Колмогорова. «Из всех суждений Андрея Николаевича [Колмогорова] самым существенным для меня было, пожалуй, его часто повторявшееся высказывание, звучавшее примерно так: «Мы имеем, по крайней мере, одно весьма серьезное преимущество - владеем вероятностным мышлением». Он никогда не эксплицировал эту мысль, ее надо было понимать в зависимости от ситуации, в которой она произносилась. Мне кажется, что разговор о вероятностном мышлении относится не столько к развитию самой математики (теория вероятностей такая же математическая дисциплина, как и все другие), сколько к использованию математики для вероятностного описания внешнего мира, минуя тот жесткий детерминизм, в который западная культура была погружена изначально» [4].

Не подвергая сомнению эти слова, так высоко значимые как для родоначальника советской теории вероятностей как науки, так и для его ученика, поставим перед собой вопрос, ответ на который А.Н. Колмогоров умалчивал: Почему так? Почему же наш народ, в отличие от западных народов, владеет вероятностным мышлением? Какие основания этой мысли можно привести? Эти основания кроются в особом многовековом философско-религиозном воспитании нашего народа, в силу особенностей развития нашего отечества, не зараженного буржуазной психологией, как это случилось на Западе.

В настоящее время преподавание математики предусматривает в основном формирование логического, алгоритмического, в последнее время

креативного стиля мышления. Однако крайне мало внимания уделяется необходимости развития вероятностно-статистического стиля мышления. Вероятностное мышление предполагает разрушение многих стереотипов, например, отказ от предпочтительности строго детерминированного поведения, исключающего вариативность; отказ от негативного отношения к случайному. Ведь случай не только разрушает наши планы, но еще и создает новые возможности. Порядок, в свою очередь, может рождаться из Хаоса через самоорганизацию.

При этом целесообразно вспомнить специфические черты вероятностного мышления, на которые обратили внимание израильские психологи Дэниэл Канеман и Амос Тверски [5]. В основном они сосредоточились на таких его чертах, как доступность, репрезентативность, закрепление и корректировка. Доступность - это склонность людей переоценивать вероятность события, если примеры подобного рода легко приходят в голову. Репрезентативность - это склонность оценивать вероятность события, исходя из того, в какой степени это событие соотносится с подходящей психической моделью. Закрепление и корректировка - это процесс вынесения суждения, при котором изначальный ответ действует как якорь, а дополнительная информация используется лишь для того, чтобы корректировать этот ответ.

Мышление духовно-нравственной личности, способной к целеполаганию, рефлексии и их составляющих, должно содержать эти черты: из Хаоса жизненных событий и ситуаций человек собирает очевидные, отвечающие заданной теме (доступность), затем переоценивает их. Вместе с этим происходит переоценка духовно-нравственных ценностей, представлений, норм, смыслов, форм деятельности в социально-педагогическом контексте современности (репрезентативность). В этом проявляется психическая модель человека, который или удовлетворяется полученным с первого раза результатом, или сомневается и продолжает рефлексировать, находя, очень возможно, новые - менее очевидные, забытые события, те, над которыми еще и еще надо поразмышлять... Естественно, закрепление и корректировка - непременное продолжение предыдущего процесса. Таким образом, человек действительно приближается к духовно-нравственному идеалу, если он совершает описанные действия регулярно.

В связи с выше изложенным, на наш взгляд, особого рассмотрения требует содержательная составляющая. Едва ли сегодня можно соотнести современную жизнь с воззрениями Аристотеля, Платона и других древних ученых. Однако до наших дней сохранились уникальные памятники культуры, которые мы воспринимаем не только как нечто, обладающее авторитетом седой древности, но и как носителей и вестников высших духовных ценностей, которые определяют взгляды, нравственные принципы и устои, образ жизни и поведение многих миллионов людей, к чему, как к

идеалу, на протяжении всей истории стремится человечество. На наш взгляд, работа с подобными источниками является полезной не только с целью познания внешнего и внутреннего мира, познания законов объективной реальности, а следовательно, развития мышления учащихся -как высшей формы познания, но и передачи общекультурных навыков поведения, обретения учениками универсальных способов духовно-нравственной деятельности.

Обращение к нравственным постулатам, канонам, источникам этических норм поведения, определяющим степень опоры в сложных ситуациях морального и ценностного выбора, заложенным в исторических источниках, может принять следующие формы:

1. Разработка элективных курсов по теории вероятностей различной тематики, ориентированных на духовно-нравственное воспитание школьников. Мы предлагаем следующие темы: «Поиск логических структур из Священного Писания», «Правдоподобные рассуждения в достижении истины», «Грани взаимодействия науки и религии в трудах основателей теории вероятностей» и др.

2. Подготовка рефератов или математических эссе о жизни, поисках великих ученых. Например, «Спор А.А. Маркова и П.А. Некрасова», «Духовная эволюция Луки Пачоли», «Бинарность взглядов Джероламо Кардано», «Бог Б. Паскаля и рождение теории вероятностей», «Разумная вера Я. Бернулли или «Азартные игры и теория вероятностей».

Продуманная организация учебного процесса, направленная не только на освоение знаний, развитие умений и навыков, но и на воспитание свободы, веры, ответственности, толерантности, достоинства, гражданственности и других качеств, выступающих в роли идеала и целей жизни, являющихся ценностными ориентирами, необходимыми современному гражданину России, обеспечивает динамику развития ценностных ориентации учащихся.

Библиографический список:

1) Данилюк, А.Я. Концепция духовно-нравственного развития и воспитания личности гражданина России в сфере общего образования: проект/ А.Я. Данилюк, А.М. Кондаков, В.А. Тишков. I М.: Просвещение, 2009. Ï 29 с.

2) Дворяткина, С.Н. Роль математики случайного в духовно-нравственном воспитании молодежи: поиск истины / С.Н. Дворяткина // Вестник Московского государственного областного университета. Серия «Педагогика». - М.: Издательство МГОУ, 2009. - № 4. - С. 79-85.

3) Колягин Ю.М. Математики-педагоги России. Забытые имена. Книга 3. Павел Алексеевич Некрасов / Ю.М. Колягин. - Орел: ГОУ ВПО «ОГУ», ООО «Картуш-ПФ», 2008. - 113 с.

4) Налимов, В.В, Канатоходец / В.В, Налимов. - М.: Изд. Группа «Прогресс», 1994. - 456 с.

5) Канеман, Д. Проблема ограниченной рациональности / Д. Канеман, А. Тверский // Психология мышления: хрестоматия психологии / под. ред. Ю.Б. Гиппенрейтер, В.А. Спиридонова, М.В. Фаликман, В.В. Петухова. -М.: ACT Астрель, 2008. - С. 152 - 169.

К ВОПРОСУ ТЕСТОВОГО КОНТРОЛЯ ЗНАНИЙ СТУДЕНТОВ

И.А. Елецких, Н.В. Черноусова

В статье рассматриваются проблемы и возможности проведения тестового контроля знаний студентов.

Ключевые слова: контроль и оценка знаний, тест, виды тестов, повышение успеваемости и качества знаний студентов, дидактическая единица.

Качество обучения напрямую зависит от количества, глубины, своевременности и объективности оценки получаемых знаний. Средствами контроля знаний и умений студентов являются задания, которые предлагаются с целью выявления результатов обучения. Общепризнано деление средств контроля знаний по математике на задания свободного выбора ответа (вопросы и задачи) и тесты.

Напомним, что слово «тест» английского происхождения и на языке оригинала означает «испытание», «проверка». Тест для выявления результатов обучения — это совокупность заданий, сориентированных на определение уровня усвоения содержания обучения. В последнее время тестовый контроль широко применяется не только в школе, но и в вузе.

В высшем учебном заведении для оценки качества подготовки студентов на соответствие требованиям государственных образовательных стандартов используется модель, построенная на оценке освоения всех дидактических единиц дисциплины на уровне требований ГОС. При этом под дидактической единицей (ДЕ) понимается раздел дисциплины или структурный элемент обязательных компонентов содержания дисциплины, описанные в ГОС. Дидактические единицы определяются по ГОС соответствующей специальности. Если описание обязательных компонентов содержания дисциплины отсутствует в стандарте, то дидактические единицы определяются по рабочей учебной программе дисциплины.

Согласно такой модели качество подготовки студента оценивается по каждой дидактической единице сравнением количества правильно выполненных заданий теста с критерием освоения. Знания и умения студента считаются соответствующими требованиям стандарта, если он освоил все кон-

третируемые дидактические единицы государственного образовательного стандарта.

Показателем освоения дисциплины для каждой учебной группы является доля студентов, освоивших все дидактические единицы дисциплины. Знания и умения студентов учебной группы считаются соответствующими требованиям стандарта, если 50% студентов группы освоили все контролируемые дидактические единицы государственного образовательного стандарта.

Естественно, что особую значимость имеет грамотность в составлении тестовых заданий. Только грамотно составленные тесты позволяют определять уровень усвоения знаний и степень формирования навыков в процессе обучения.

Согласно общепризнанным критериям теории и методики преподавания математики правильно составленные тесты должны быть:

относительно краткосрочными, т. е. не требовать больших затрат времени;

однозначными, т. е. не допускать произвольного толкования тестового задания;

правильными, т. е. исключать возможность формулирования многозначных ответов;

относительно краткими, требующими сжатых ответов;

информационными, т. е. такими, которые обеспечивают возможность соотнесения количественной оценки за выполнение теста с порядковой или даже интервальной шкалой измерений;

удобными, т. е. пригодными для быстрой математической обработки результатов;

стандартными, т. е. пригодными для широкого практического использования — измерения уровня обученности возможно более широких контингентов обучаемых, овладевающих одинаковым объемом знаний на одном и том же уровне обучения.

Тесты для контроля знаний студентов могут применяются на всех этапах процесса обучения. С их помощью обеспечивается предварительный, текущий, тематический и итоговый контроль знаний, умений, учет успеваемости, академических достижений.

Приведем примеры тестовых заданий по математике для студентов факультета педагогики и методики начального образования, которые предлагались студентам при проведении промежуточного контроля знаний на ректорских контрольных работах.

Успех изучения любой темы (раздела или курса) зависит от степени усвоения тех понятий, терминов, положений теории, которые изучались на предшествующих этапах обучения. Если информации об этом у преподавателя нет, то он лишен возможности проектирования и управления в учебном процессе, выбора оптимального его варианта. Необходимую информацию преподаватель получает, применяя предварительный контроль знаний с по-

мощью тестирования, которое осуществляется с помощью специально разработанных для этой цели заданий. Например, при изучении темы «Расширение понятия числа» можно предложить студентам следующий тест на проверку их школьных знаний и умений по этой теме. Тест № 1.

В заданиях A1 - А5 выберите правильный ответ

A1. Между дробями

можно поставить знак

1) > 2) = 3) < 4) >

А2. Сумма равна

A3. Значение выражения в виде несократимой дроби равно

A4. Значение выражения равно

А5. Результат выполнения действий равен

В задании В1 приведите полное решение

В1. Цена товара в течение года дважды повышалась на одно и то же число процентов. На сколько процентов происходило повышение цен каждый раз, если первоначальная цена была 1200 руб., а окончательная - 1452 руб.?

Текущий контроль необходим для диагностирования хода дидактического процесса, выявления динамики последнего, сопоставления реально достигнутых на отдельных этапах результатов с запланированными. Текущий контроль по теме «Расширение понятия числа» можно выполнить с помощью следующих тестов.

Тест №2.

В заданиях A1 - А5 выберите правильный ответ или ответы

A1. Наименьший общий знаменатель дробей равен

1) 3024 2) 15120 3) 7560 4) 15124

А2. Среди перечисленных дробей выберите те, которые находятся между числами

A3. Число можно записать следующей десятичной дробью

1) 0,70(83) 2) 0,7083 3) 0,708(3) 4) 0,7(083)

А.4. Значение выражения равно

А5. Как изменится дробь, если ее числитель умножить на 2,5, а знаменатель разделить на 0,2?

1) увеличится в 5 раз 2) уменьшится в 5 раз 3) уменьшится в 2 раза 4) не изменится

В заданиях В1 - В2 приведите полное решение

В1. Решите задачу арифметическим методом: «Грибы при сушке теряют 80% своей массы. Сколько надо взять свежих грибов, чтобы получить 1кг сушеных?»

В2. Докажите, что если дробь несократима, то и дробь тоже несократима.

При составлении тематического тестового задания значительную роль играют синтетические, комплексные задания, объединяющие вопросы об отдельных понятиях темы, направленные на выявление информационных связей между ними. Поэтому мы считаем, что в тесты такого рода можно включать задания и на контроль не только практических умений, но и на знание теоретического материала. Для примера приведем тест по теме «Метод координат».

Тест № 3.

В заданиях A1 - A3 вместо точек вставьте пропущенные слова так, чтобы получилось истинное утверждение

A1. Координатной плоскостью называется ...

А2. Точка М{х-1уХ лежащая на отрезке М±Мг и делящая его в заданном отношении л, имеет координаты ...

A3. При параллельном переносе системы Оху в систему (У ху/ точка (У имеет координаты (а;Ь). Координаты точки WŒ, получаемые при переходе из в Оху равны ...

В заданиях В1 - ВЗ выберите правильный ответ и запишите решение, с помощью которого он получен

В1. Координаты точки, лежащей на оси ординат и равноудаленной от точек А(-\0; 4)иВ(6; 8), равны

1) (-2; 0) 2)(0;-2) 3) (2; 0) 4) (0; 2)

В2. Прямоугольные координаты точки равны

В3. Точка М(х\у), лежащая на отрезке и делящая его в отношении л=4, имеет координаты

В задании C1 приведите полное решение

C1. В прямоугольной декартовой системе координат Оху дан ДАВС с вершинами в точках А(2; -6), 5(-4; 0), С(2; 2). Найти координаты вершин треугольника в системе oVj/, полученной из системы Оху поворотом на угол сс = т против часовой стрелки и параллельным переносом точки О в точку

Итоговый контроль осуществляется во время заключительного повторения, а также в процессе экзаменов (зачетов). Именно на этом этапе дидактического процесса систематизируется и обобщается учебный материал. С высокой успешностью могут быть применены соответствующим образом составленные тесты обученности. Примером такого теста может служить

Тест № 4.

В предложенных заданиях выберите правильный ответ

A1. Множества А = {х \ х е 7?,х > 0} и В = {у \ у е N, у > 0} находятся в соотношении

А2. Пересечение множеств А и В, если равно

A3. Множество А состоит из целых чисел от - 5 до 10. Множество В состоит из натуральных чисел от 3 до 15. Сумма всех элементов, входящих во множество равна

1) 50 2) 53 3) 55 4)49.

A4. Количество двузначных чисел, составленных из множества {5, 2, 3} равно

1) 6 2) 9 3) 5 4) 3.

В1. Среди следующих предложений высказываниями являются

В2. На множестве Z задан предикат В{у) :"у + 3 < 5" . Множеству истинности предиката Z принадлежит число

В3. На множестве Р={1, 2, 3, 4, ... ,20} заданы предикаты А(х): "число х кратно 5" и В(х): "число х чётное". Сумма элементов, входящих во множество истинности предиката А(х) л В(х) равна

1)20 2) 32 3)28 4) 30.

В4. Среди следующих предикатов укажите такой, которому не удовлетворяет ни одно действительное число:

C1. Десятичной записью числа 75428 является 1) 3938 2) 3939 3)4038 4) 3940.

С2. Запись числа 879110 в восьмеричной системе счисления есть

1) 221278 2) 211278 3) 221178 4) 211178.

С3. Запись числа 569 в четверичной системе счисления есть

1) 3134 2) 3034 3) 1334 4) 1134.

С4. Результат выполнения действия равен

1) 2468 2) 4268 3)2248 4) 2648.

Практика преподавания математики на факультете педагогики и методики начального образования показала, что альтернативные тесты рациональнее использовать при проведении ректорских контрольных работ, а смешанные - при проведении зачетных и экзаменационных проверок. Но и само использование проведение тестового контроля знаний не столь привычно студентам и находится в стадии разработки.

Так, например, в ходе проведения в сентябре 2010 -2011 учебного года теста по дисциплине «Математика» для студентов специальности «050708 - Педагогика и методика начального образования» предлагалось выполнить 12 заданий, распределенным по 4 задания в каждой дидактической единице (тест №4). В качестве основных для проверки качества знаний студентов были выбраны 3 дидактические единицы:

ДЕ1 - материал темы «Множества. Операции над множествами» (задания A1-A4);

ДЕ2 - материал темы «Высказывания» (задания В1-В4);

ДЕ3 - материал темы «Системы счисления и алгоритмы действий» (задания С1-С4).

Все перечисленные темы согласно рабочей программе были изучены студентами на 1 курсе (1 и 2 семестры). Итоги выполнения заданий по ДЕ 1: 17 человек из 24 освоили темы (выполнено не более 50% заданий). Итоги выполнения заданий по ДЕ 2: 23 человека из 24 освоили тему. Итоги выполнения заданий по ДЕ3: только 1 человек освоил тему. Доля освоенных дидактических единиц дисциплины высчитывалась по формуле ОДЕс / ОДЕгос, где ОДЕс - количество ДЕ, освоенных студентом, ОДЕгос - количество ДЕ дисциплины. Учитывали, что освоение дидактической единицы дисциплины означает правильное выполнение 50% заданий, входящих в дидактическую единицу. По выполнению тестирования делались следующие выводы по освоению дисциплины студентами: дисциплина освоена, если студент освоил все ДЕ дисциплины; дисциплина освоена условно, если студент освоил не менее 70% всех ДЕ дисциплины; дисциплина не освоена, если студент освоил менее 70% всех ДЕ дисциплины.

В практической деятельности преподавателям чаще приходится встречаться с тестами первой группы. Такие тесты могут измерять общие умения в речевой деятельности или достижения определенного уровня умений в процессе усвоения конкретного курса обучения.

Грамотно составленные тесты позволяют определять уровень усвоения знаний и степень формирования навыков в процессе обучения. Задания тестов всегда имеют однозначное решение, определение правильности ответа осуществляется по заготовленному ключу. Применение тестов при контроле целесообразно потому, что они задают направление мыслительной деятельности студентов, приучают их варьировать процесс переработки воспринимаемой информации.

Нельзя не отметить, что устный контроль знаний больше способствует выработке быстрой реакции на вопросы, развивает связную математическую речь, но, считается, что он не обеспечивает надлежащей объективности. Письменная проверка, обеспечивая более высокую объективность, кроме того, способствует развитию логического мышления, целенаправленности: обучаемый при письменном контроле более сосредоточен, он глубже вникает в сущность вопроса, обдумывает варианты решения и построения ответа. Письменный контроль приучает к точности, лаконичности, связности изложения мыслей.

Библиографический список

1. Квашко Л. Тестовая проверка уровня усвоения знаний/ Л. Квашко// Математика в школе. - 1994. - №4. - с.49-52.

2. Государственный образовательный стандарт высшего профессионального образования по специальности «050708 - Педагогика и методика начального образования». Министерство образования и науки РФ, Россия: Академия образования. - М., 2005.

3. Талызина Н.Ф. Теоретические основы контроля в учебном процессе. -М., 1983.

4. Хуторской А.В. Современная дидактика. - СПб., 2001.

5. http://www.elitarium.ru

ВЗАИМОСВЯЗЬ ПРИЁМОВ УЧЕБНОЙ И МЫСЛИТЕЛЬНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ В ПРОЦЕССЕ РЕШЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

Л.В. Жук

Предметным содержанием учебной деятельности студента в аспекте активизации мышления в области геометрии выступает процесс усвоения наряду с системой геометрических знаний обобщенных приемов логического и пространственного мышления. В статье показывается соответствие между учебными действиями и мыслительными операциями, обеспечивающими выполнение этих действий, в процессе решения геометрических задач.

Ключевые слова: предметное содержание учебной деятельности, деятельностный подход к обучению, интериоризация, экстериоризация, учебные действия, мыслительные операции.

Эффективность обучения в вузе в значительной степени зависит от того, насколько активно протекает учебно-познавательная деятельность студентов. Поэтому в проводимых сегодня психолого-педагогических исследованиях большое внимание уделяется поиску активных форм и методов обучения, в том числе в области геометрической подготовки.

В нашем исследовании реализуется идея активизации мыслительной деятельности при обучении геометрии посредством формирования положительной мотивации к изучению геометрии, а также обобщенных приемов логического и пространственного мышления на продуктивном уровне. Поскольку управлять мышлением непосредственно нельзя, то целесообразно управлять теми предметными (учебными) действиями, из которых мышление рождается и которые направляют его. В связи с этим предметным содержанием учебной деятельности должен выступать процесс усвоения наряду с системой геометрических знаний обобщенных приемов мышления в области геометрии. Теоретико-методологическую основу данной идеи составляет концепция деятельностного подхода к обучению.

В трудах Л.С. Выготского, В.В. Давыдова, А.Н. Леонтьева, С.Л. Рубинштейна (1,3) сущность психического развития рассматривается как последовательная смена процессов интериоризации и экстериоризации деятельности. Интериоризация - перенос действий во внутренний план, в ходе которого ориентировочная основа деятельности свертывается, обобщается, формируются новые способности и психические свойства. Экстериоризация - перенесение психического содержания изнутри вовне, выражается в объективизации мысли, представлении ее в форме воспроизводимой структуры, доступной для рефлексии и критики. Эти два психических процесса тесно

взаимосвязаны: внешние (составляющие поведение) и внутренние (составляющие мышление) элементы деятельности являются взаимозаменяемыми.

В обучении взаимосвязь процессов экстериоризации и интериоризации проявляется в соответствии между приемами учебной и мыслительной деятельности при решении задач. Согласно Е.Н. Кабановой-Меллер, оба ряда приемов не могут формироваться один без другого (2, с. 12). Учебный прием является внешней формой организации мыслительной работы: через определенные учебные действия в процессе решения задачи реализуются мыслительные операции. И обратно, управляя последовательностью учебных действий, можно оказывать воздействие на мыслительную деятельность.

Проиллюстрируем, например, связь между учебным приемом составления уравнения геометрического места точек плоскости и приемами мышления в структуре учебной деятельности по решению следующей задачи: «Отрезок AB неизменной длины 21 скользит своими концами по сторонам прямого угла. Из вершины угла на этот отрезок опущен перпендикуляр ОС. Найти уравнение геометрического места оснований таких перпендикуляров в полярной системе координат. Построить фигуру, заданную этим уравнением».

Учебный прием составления уравнения геометрического места точек на плоскости включает следующие учебные действия: 1 ) выбрать на плоскости систему координат;

2) сделать чертеж;

3) на линии взять произвольную точку, обозначив ее координаты (х;у), если уравнение выводится в прямоугольных координатах, или (г,с), если уравнение выводится в полярных координатах;

4) выразить символически заданное геометрическое свойство линии а) парой уравнений х = ç{t),у = y/(t), если требуется составить параметрические уравнения линии; б) уравнением связи F(x,y) = О, если требуется составить неявное уравнение кривой; в) уравнением связи G(r,cp) = О, если требуется получить полярное уравнение линии;

5) построить линию по ее уравнению.

Выполнение учебных действий (1)-(3) обеспечивается следующими мыслительными операциями, входящими в состав мыслительного приема содержательного анализа геометрической задачи: выявление структуры задачи (данные, искомые, свойства и отношения); выявление существенных отношений в системе данных задачи.

Во внешнем плане результатом выполнения указанных операций является вывод о том, что полюс полярной системы координат необходимо поместить в вершину прямого угла, а полярную ось направить по одной из сторон прямого угла, например, OB.

Выполнение учебного действия (4) обеспечивается мыслительными операциями, входящими в состав мыслительного приема работы с математической моделью геометрической задачи:

— построение математической модели задачи;

— преобразование математической модели задачи.

Результатом выполнения указанных операций во внутреннем плане является обнаружение и выделение определенного всеобщего отношения (отношений) данного геометрического объекта - совокупности его свойств, инвариантных относительно всяких преобразований системы координат. Во внешнем плане результат (выделенное отношение) представляется в знаково-символической форме:

(1)

В процессе выполнения учебного действия (5) - построения линии по ее уравнению - выполняется мыслительная операция определения геометрической фигуры как носителя понятия, ее видовая идентификация, входящая в состав мыслительного приема создания пространственного образа геометрического объекта.

Линия, заданная уравнением (1) в полярной системе координат, называется четырехлепестковой розой.

Рассмотрим еще один пример взаимосвязи мыслительных операций, составляющими примем целеполагания, и учебных действий в процессе решения следующей геометрической задачи: «Найти угол между главной нормалью винтовой линии и осью цилиндра, на котором она лежит».

Учебные действия в процессе решения задачи

Мыслительные операции, входящие в состав приема целеполагания

Выявление структуры задачи

Выдвижение гипотезы:

(дана винтовая линия своими параметрическими уравнениями; искомое - угол между главной нормалью винтовой линии и осью цилиндра).

угол между главной нормалью винтовой линии и осью цилиндра есть величина постоянная в каждой точке пространства.

Составление плана решения задачи

Планирование проверки гипотезы:

а) выделить искомый угол,

б) вычислить угол и сделать вывод относительно его зависимости от координат текущей точки кривой.

Построение чертежа к задаче

Расчленение задачи на подзадачи:

Построение и преобразование математической модели

а) определение искомого угла как угла между главной нормалью винтовой линии в произвольной точке и образующей цилиндра;

б) вычисление косинуса искомого угла как угла между единичным вектором главной нормали к винтовой линии и ортом к прямоугольной декартовой системы координат.

Интерпретация результатов работы с моделью

Вывод: найденный угол не зависит от текущих координат точки кривой.

Таким образом, между учебными действиями и мыслительными операциями, обеспечивающими выполнение этих действий, может быть установлено соответствие. Поэтому предметным содержанием учебной деятельности студента является процесс усвоения обобщенных приемов логического и пространственного мышления, опосредующий субъектные изменения в

интеллектуальном плане, которые выражаются в повышении уровня продуктивности мыслительной деятельности.

Библиографический список

1) Давыдов, В.В. Новый подход к пониманию структуры и содержания деятельности [Текст] / В.В. Давыдов // Вопросы психологии. - 2003. -№2. - С. 42-49.

2) Кабанова-Меллер, Е.Н. Формирование приемов умственной деятельности и умственное развитие учащихся [Текст] / Е.Н. Кабанова-Меллер. - М.: Просвещение, 1968. - 288 с.

3) Рубинштейн, С.Л. Основы общей психологии [Текст] / С.Л. Рубинштейн. - СПб: ЗАО «Изд-во «Питер», 1999. - 720 с.

МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ ЕСТЕСТВЕННОНАУЧНЫХ ДИСЦИПЛИН НА ФАКУЛЬТЕТЕ ОТКРЫТОГО ОБРАЗОВАНИЯ ФИНУНИВЕРСИТЕТА

Н.В. Калачев, А.Н. Ланских, Е.В. Райкина

Описаны методы преподавания естественнонаучных дисциплин (математики) на факультете открытого образования Финансового университета, приведено описание образовательного портала, обобщен опыт работы со студентами заочного и дистанционного отделений и с абитуриентами.

Ключевые слова: открытое образование, образовательный портал, заочное и дистанционное отделения, преподавание естественнонаучных дисциплин.

Постиндустриальное общество с информационной экономикой изменяет ряд условий и требований к системе образования. Во-первых, возрастает количество заказчиков на подготовку специалистов с высшим образованием: это государство, частные предприятия и отдельные личности. Становятся востребованными понятия «человеческий капитал», «социальный капитал», в структуре которых предстоит детерминировать составляющую, формируемую в процессе получения высшего образования. Во-вторых, возрастают требования к качеству подготовки специалиста, переход от знаниевой оценки уровня подготовки к компетентностной, рассматривающейся как способность и готовность личности к профессиональной деятельности. В-третьих, готовность выпускника работать в условиях глобализации, вести конкурентную борьбу за рабочие места со специалистами, подготовленными

зарубежными вузами. В-четвертых, возрастает темп изменений, сокращается продолжительность жизненного цикла технологий, бизнес-процессов [1].

Проведенные исследования, мнения экспертов позволяют сформулировать некоторые направления наиболее значимых, ожидаемых преобразований в образовательном процессе [2,3]. Это переход к вариативному подходу к формам, методам подготовки, изменение отношения к формализации образовательных процедур, переход от линейного к открытому, нелинейному, расширяющемуся представлению содержания учебных дисциплин, изменение порядка и содержания взаимодействия вуза и профессионального сообщества. В Финансовом университете вопросы разработки, апробации и внедрения технологий дистанционного обучения в образовательный процесс делегированы факультету открытого образования (ФОО) [4].

ФОО - структурное подразделение Финуниверситета, важнейшей функцией которого является разработка, апробация и внедрение в учебный процесс технологий дистанционного обучения. В последние годы четко прослеживается тенденция на увеличение количества обучающихся с применением Интернет-технологий. Еще в 2007 году количество обучающихся с применением Интернет-технологий в 3,76 раза превысило количество обучающихся на базе кейс-технологий и с использованием аудиторного фонда Финуниверситета.

Наряду с обучением по программам первого, второго высшего образования ФОО участвует в повышении квалификации государственных служащих с применением Интернет-технологии, предполагающей обеспечение обучаемого электронным учебно-методическим комплексом на оптическом диске с компьютерной обучающей программой и системой тестирования. Всего в прошлом году факультет обеспечил повышение квалификации более 33 ООО государственных служащих.

Организационно-технологическую основу ИОС составляют базы данных, обеспечивающие хранение, обновление и формализацию доступа обучаемых к учебным, информационно-справочным материалам, в том числе к банку видеолекций. Администрирование совместной деятельности участников образовательного процесса осуществляется с помощью АСУ «Электронный деканат». Наряду с представлением учебной информации, возможности тестирования, формирования статистических данных, система ДО обеспечивает интерактивное общение студента и преподавателя.

Основной принцип дистанционного обучения - непосредственное интерактивное взаимодействие обучаемого с преподавателем. Технология дистанционного обучения ориентирована, в первую очередь, на проведение традиционных, понятных, удобных обучаемым занятий, проводимых виртуально, в форме видеоконференции, проводимой средствами Интернет. Одновременная передача видеоизображения, звука, слайдовой, графической информации, тона, мимики, эмоций от преподавателя к обучаемому и обратно создает эффект очного обучения и позволяет достичь в дистанционном обучении результата, близкого к результату очного обучения.

Из общего многообразия образовательных технологий дистанционное образование выделяет ряд его особых характеристик, таких как:

1. Разделение процессов преподавания и обучения во времени и пространстве.

2. Освоение обучаемым образовательных программ по месту жительства или профессиональной деятельности при доминанте самостоятельной работы, с периодическими встречами группы обучающихся.

3. Управление самостоятельной работой обучаемого средствами вуза, ведущего дистанционное обучение посредством учебных планов, специальным образом подготовленных учебно-методических и учебных материалов и особых процедур контроля.

4. Обязательное применение коммуникационных технологий для передачи знаний, опосредованного, диалогового и интерактивного взаимодействия субъектов обучения и решения административных задач.

5. Организация, осуществляющая ДО, используя ИКТ, создает информационно-образовательную среду.

6. Дистанционное обучение предполагает применение принципов индустриализации в обучении с элементами разделения труда преподавателя и соответствующей специализацией.

Процесс обучения с применением технологий ДО имеет некоторые отличия по сравнению с традиционным обучением. Во-первых, функция преподавателя реализуется опосредованно, через средства ИКТ. Во-вторых, проектирование всего учебного процесса, разработка ЭУМК, системы заданий, контроля осуществляется, как правило, за год до начала учебного процесса. В традиционной педагогике преподаватель, разрабатывая материалы к очередному занятию, учитывает результаты предыдущего занятия. В-третьих, проектирование осуществляется с учетом проведения занятий в неоднородных группах студентов (возрастная, социальная, профессиональная диверсификация обучаемых).

В дистанционном обучении принято выделять две различные модели представления знаний (контента) обучаемым, это асинхронная модель и модель распределенной аудитории. Асинхронная модель предопределяет, что преподавание и обучение происходят не только в разных местах, но и в разное время. В модели распределенной аудитории обучение происходит удаленно от преподавателя, но одновременно с применением технологий Интернет-видеоконференций. Современный Интернет позволяет обеспечить общение в реальном масштабе времени (Интернет-конференции, Skype и т.д.) и дискуссионные форумы, работающие асинхронно. Поэтому современная модель ДО строится на интеграции асинхронной модели и модели распределенной аудитории и классифицироваться как виртуальная аудитория [5].

Разработка и доставка контента представляет собой структурированное, алгоритмированное, формализованное отражение сущности предмета, навыков специалиста в электронной форме, обеспечивающей результатив-

ную самостоятельную работу обучаемого. Функция взаимодействия с обучаемым, с учетом возможностей современных технологий, предполагает организацию и осуществление взаимодействия нескольких типов. Во-первых, взаимодействие «обучающийся - содержание обучения» отражает процесс самостоятельной работы обучаемого с учебными материалами в соответствующей форме (ЭУМК). Во-вторых, взаимодействие типа «обучающийся -преподаватель» - форма диалогового общения с преподавателем как синхронного, так и асинхронного. В-третьих, взаимодействие «обучающийся -обучающийся» - процесс совместной работы в групповых проектах и самостоятельно инициируемых коммуникативных актах.

Интеграция образовательной деятельности педагога и обучаемого происходит на портале www.dofa.ru. Информационно-образовательный портал объединяет мини-порталы филиалов и представительств с базовыми элементами технологии дистанционного обучения, позволяющими реализовать функции преподавателя по разработке и доставке контента, виртуальному общению субъектов образовательного процесса, оценку уровня подготовки обучаемого и консультационную работу и управляемую самостоятельную работу обучаемого.

Контент представляется обучаемому в форме электронного учебно-методического комплекса на оптическом диске и информационной части, размещенной на сервере Интернет-обучения. Обеспечивает работу преподавателя по созданию контента компьютерная программа «Электронный преподаватель 2.0», разработанная центром сетевых технологий факультета. Компьютерная обучающая программа позволяет объединить учебные, учебно-методические и справочные материалы, представленные в текстовой, графической форме в виде Интернет-текста, видео- и звуковых файлов с системами тестирования и статистики. Эта же программа позволяет управлять самостоятельной работой обучаемого на основе разрешения/запрещения доступа к информационным разделам в соответствии с графиком, разработанным преподавателем, фиксирования времени работы и результатов тестирования, направлять обучаемого на повторную работу с материалами темы или предоставлять ему заранее подготовленную «подсказку» преподавателя. Файл «статистика» обучаемого может предоставляться преподавателю по его запросу для последующей аналитической обработки.

Общение преподавателя и обучаемого обеспечивается использованием режима видеоконференций, программ форум, электронной доски объявлений и электронной почты.

Контроль результатов осуществляется при помощи сервера Интернет-обучения (подсистем тестирования) и самотестирования обучаемого с предоставлением результатов преподавателю, используя подсистему контроля электронного учебно-методического комплекса. Система Интернет-видеоконференция позволяет проводить синхронные устные экзамены в диалоговой форме.

Консультационная работа преподавателя осуществляется с использованием форума, электронной доски объявлений и электронной почты, как правило, в асинхронном режиме.

После отработки тем учебной дисциплины и виртуальной консультации преподавателя обучаемый выполняет контрольную работу и представляет ее по электронной почте преподавателю. Положительная оценка за выполненную контрольную работу является допуском к сдаче экзамена (зачета).

Сущность оценки знаний состоит в отслеживании хода и результатов работы обучаемого и предполагает текущий, итоговый контроль и контроль по ходу работы, результаты которого позволяют вносить управляющее воздействие, корректирующее траекторию обучаемого. Особое внимание уделяется разработке и внедрению компьютерной программы «Электронный экзамен (зачет)» и методике приема синхронного устного экзамена в режиме Интернет-видеоконференции.

Эффективность образовательного процесса зависит и от формы представления результатов. Это должна быть открытая, полностью прозрачная, предсказуемая и понятная система с минимальной субъективной составляющей, способствующая созданию соревновательных отношений между обучаемыми.

Особо значима функция консультирования (поддержки) студента. Это своеобразный способ оживления виртуального безмолвия. Консультирование осуществляется для учебной группы в целом и индивидуальное для отдельного обучаемого.

На факультете открытого образования Финансового университета в процессе преподавания естественнонаучных дисциплин (математики) используется система Интернет-тестирования, реализующая педагогическую концепцию оценивания как непрерывный процесс, позволяющий анализировать текущую работу субъектов учебной деятельности и проводить их коррекцию, т.е. получать необходимые данные для принятия управленческих решений. В цели проведения тестирования интегрируется ряд компонентов, таких как диагностический, формирующий (характеризующий деятельностный процесс), итоговый (количественная мера учебных достижений), потребности в обучение и удовлетворенности учебным мероприятием. Оценка как результат должна быть надежной (воспроизводимой при повторном измерении), валидной и с интерпретацией полученных баллов по нормирующему подходу. Индивидуальные тестовые задания формируются заданной сложности и предполагают выбор тестовых заданий случайным образом [6]. Полный протокол результатов тестирования содержит информацию о слушателе, наименование учебной дисциплины (учебной темы), название и номер каждого тестового задания, результаты его выполнения, окончательные характеристики прохождения теста - суммарный балл, процент набранных баллов, фактическое время прохождения теста. Кроме того,

преподаватель может получить распечатку каждого тестового задания с указанием эталонного ответа и решения обучаемого.

Наряду с контролем результатов учебной деятельности студента, учебной группы, система имеет возможность описывать ход учебной работы студента путем формирования таблицы сводной активности обучаемого, отражающей данные об обращении слушателя к учебно-методическим материалам, о выполнении тестов, участия в консультациях, посылке сообщений и т.д. Статистическая отчетность актуализируется подсистемой создания и регистрации настраиваемых статистических отчетов. Форма отчетов и их содержание задаются администратором системы.

Студенты, обучающиеся по заочной форме с применением дистанционных образовательных технологий вместо выполнения домашних заданий в бумажном или электронном виде (которые, как показывает опыт, они не все сами выполняют) сначала должны выполнить около 60 тренировочных заданий-тестов по теме занятия. Время для выполнения этих заданий-тестов неограниченно. Затем учащийся, если считает, что он готов выполнить зачетный тест, делает запрос на сервер факультета о своей готовности. В этом случае ему предоставляется возможность в течение двух часов провести зачетное тестирование по теме занятия. Система Интернет-тестирования осуществляет аналитическую обработку результатов тестирования учебной группы, готовит протоколы случайных и повторяющихся ошибок и их частоту. Преподаватель выбирает инструмент педагогического воздействия в соответствии с представленной частотой ошибки, так, если 70% обучаемых допустили одинаковую ошибку, то предстоит внести изменение в содержательную часть учебного материала. Если ошибку допустили от 50 до 69% обучаемых, то предстоит изменить методику отработки данного раздела и разместить дополнительный поясняющий материал, используя электронную доску объявлений. Если ошибку допустили от 30 до 49% обучаемых, следует пересмотреть методику изложения учебного материала раздела (темы), представить обучаемым алгоритм решения подобного процесса в среде форума и рекомендовать повторно отработать этот элемент. Если ошибка допущена до 30% обучаемыми, преподавателю удобнее провести индивидуальные консультации, общаясь асинхронно средствами электронной почты.

Работа студента ведется в соответствии с расписанием занятий и индивидуальным сетевым графиком. В установленное время он принимает участие в on-line лекциях, семинарах, практических занятиях, проводимых в режиме Интернет-видеоконференции. Затем отрабатывает в установленном преподавателем порядке разделы, темы учебной дисциплины, проходит тестирование. При возникновении трудностей обучаемый обращается к помощи виртуальной учебной аудитории, общение в которой организовано в среде «Форум».

После отработки тем учебной дисциплины и виртуальных консультаций преподавателя обучаемый выполняет контрольную работу по всему разделу изучаемой дисциплины и представляет ее по электронной почте

преподавателю. Положительная оценка за выполненную контрольную работу является допуском к сдаче экзамена (зачета).

Сущность оценки знаний состоит в отслеживании хода и результатов работы обучаемого и предполагает текущий, итоговый контроль и контроль по ходу работы, результаты которого позволяют вносить управляющее воздействие, корректирующее траекторию обучаемого. Особое внимание уделяется разработке и внедрению компьютерной программы «Электронный экзамен (зачет)» и методике приема синхронного устного экзамена в режиме Интернет-видеоконференции.

Система Интернет-тестирования была опробована при изучении дисциплин «Линейная алгебра и элементы аналитической геометрии», «Основы математического анализа», «Теория вероятностей и математическая статистика» на 1 и 2-м курсах факультета открытого образования Финансового университета [7].

Сложившаяся система оценки результатов учебной работы студента, ее инструментарий, ориентирована, в основном, на итоговый контроль, но нелинейное, открытое представление учебной информации ставит во главу угла контроль коррекционного типа всех этапов работы обучаемого, результаты которого позволяют вносить изменения как в методику работы преподавателя и обучаемого, так и в содержание учебных материалов. Эти изменения осуществляются в ходе учебного процесса, поэтому, с учетом коррекционного воздействия, мы можем говорить о гарантированном достижении заданного уровня качества обучения.

При работе с абитуриентами нами были разработаны системы контрольных заданий, разбитых по 10 темам, соответствующим структуре билетов, предлагаемых на вступительных испытаниях по математике до 2008 года (введения ЕГЭ). Каждый желающий мог после регистрации на портале www.abit.fa.ru получить логин и пароль для доступа к этим заданиям. После изучения теоретического материала (к каждой теме предоставлялись теоретические разработки и подробные решения типичных задач), абитуриент имел возможность прорешать от 35 до 50 задач по изучаемой теме. Каждая из предлагаемых задач имела 4-6 ответов, из которых только один был верным. Доступ и время для решения этих задач были неограниченны. После подробного изучения заданной темы как теоретически, так и практически, абитуриент получал задание из 15-20 вопросов и задач, которые он мог сделать только один раз и за ограниченное время. Присланные задания проверялись преподавателями кафедры математики, и результаты через некоторое время сообщались испытуемому. При работе с абитуриентами существовала обратная связь (offline), при которой преподаватели отвечали на любые вопросы абитуриентов по электронной почте. После выполнения заданий по данной теме, абитуриент получал возможность приступить к изучению следующей. При условии выполнения всех заданий по всем темам, абитуриенту высылался сертификат об окончании Интернет курсов по математике. Ана-

логичные курсы были разработаны и проводились по всем ведущим дисциплинам.

Заочные Интернет курсы для абитуриентов, проводимые в Финансовом университете в 2005 - 2008 гг., позволили нескольким сотням абитуриентов из разных регионов РФ получить актуальную информацию об особенностях подготовки к вступительным испытаниям и подготовиться к их проведению. Большая часть курсантов поступила и успешно учится в Финансовом университете.

Выводы.

Разработанные и применяемые в Финансовом университете с 2002 года в учебном процессе дистанционные образовательные технологии показали свою эффективность, результативность и достаточно высокую надежность. За это время разработаны, внедрены четыре поколения технологий от частичного применения Интернет до полномасштабной Интернет технологии реализующей возможности Web - 2.0.

В настоящее время по этим технологиям в Финансовом университете обучается более 25 000 слушателей и студентов.

Это открытая система, позволяющая адаптироваться к новым технологиям, создающая предпосылки для модернизации образовательного процесса во всех формах обучения, имеющая потенциал инновационного развития, позволяющая перейти от экстенсивных методов развития, к интенсивным, снижающая субъективную зависимость результатов образовательного процесса. Это живая, расширяющаяся система с творческим компонентом, совершенствующаяся вместе с формированием информационного общества, экономики, основанной на знаниях, и имеющая индивидуальную направленность.

Библиографический список

1) Драйден Г. , Вос Д., Революция в обучении: Пер. с англ. - М.: ОО «ПАРВИНЭ», 2003. - С. 75.

2) Каган М.С., Системно-синергетический подход к построению современной педагогической теории. - Синергетическая парадигма. Синергетика образования. - М.: Прогресс - Традиция, 2007. - С. 232 - 234.

3) Моисеева М.В., Полат Е.С., Бухаркина М.Ю., Нежурина М.И. Интернет-обучение: технологии педагогического дизайна. - М.: Издательский дом «Камерон», 2004. - С. 114 - 125.

4) Ланских А.Н. Технологии дистанционного обучения в модернизации образовательного процесса Финакадемии / Теоретические и методические проблемы инновационной системы образования в Финансовой академии при Правительстве Российской Федерации»: Монография. - М.: Финакадемия, 2008. - 60 с.

5) Лямзин М.А., Баруздина И.А. Совершенствование преподавания дисциплин естественнонаучного цикла в вузе с применением инфор-

мационных технологий "http://www.firstjob.ru/?ScienceView&ID=7" 08 февраля 2006 г.

6) Никитин Н.В., Уваров А.Ю., Телекоммуникации, обучение, профессионализм. - М,: Логос, 2008. - С. 193-200.

7) Калачев Н.В., Ланских А.Н. Особенности преподавания естественнонаучных дисциплин в условиях открытого образования // Математическое образование в школе и вузе в условиях перехода на новые образовательные стандарты: в материалах Всероссийской научно-практической конференции с международным участием (Казань, 15 октября 2010 г.) / Отв. ред. Л.Л. Салехова, К.Б. Шакирова. - Казань, 2010. - С. 20-22.

ИЗБРАННЫЕ ВОПРОСЫ ПРОФЕССИОНАЛЬНО-МЕТОДИЧЕСКОЙ ПОДГОТОВКИ БУДУЩИХ БАКАЛАВРОВ ПЕДАГОГИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ

И.К. Кондаурова, О.С. Кочегарова

В статье рассматривается один из возможных вариантов подготовки будущих бакалавров педагогического образования к реализации дополнительного математического образования школьников.

Ключевые слова: профессионально-методическая подготовка; будущие бакалавры педагогического образования; дополнительное математическое образование школьников.

Дополнительным математическим образованием школьников будем называть систематическое освоение математических компетенций, не входящих в инвариант математического образования.

Будущий организатор дополнительного математического образования школьников должен иметь: 1) математические знания и методическую подготовку, предусмотренные ФГОС ВПО для соответствующего направления подготовки; 2) представления о значимости и актуальности дополнительного математического образования, его сущности и особенностях организации; знания о взаимосвязи основного и дополнительного образовательных компонентов, специфике различных типов образовательных учреждений; 3) умения и навыки разработки и реализации образовательных программ дополнительного математического образования, аргументированного отбора форм организации деятельности детей, обоснованного выбора технологического инструментария для реализации и управления образовательным процессом в соответствии с возрастными, интеллектуальными и другими личностными особенностями контингента.

Сравнительный анализ различных подходов к формированию в условиях вуза профессионала, способного в последующей деятельности к реали-

зации дополнительного предметного образования школьников, позволил рассмотреть исследуемую готовность как структурное образование, состоящее из пяти взаимосвязанных компонентов: мотивационного, побуждающего к профессиональной деятельности по реализации дополнительного предметного образования школьников и выражающегося в стремлении студента к ней; когнитивного, оснащающего студентов базой психолого-педагогических, общекультурных, математических, специальных знаний и ориентирующего будущих профессионалов в представлениях об особенностях и условиях эффективной реализации дополнительного математического образования школьников; операционного, создающего базу для самостоятельного осуществления данной деятельности и проявляющегося в соответствующих умениях; эмоционально-волевого, обеспечивающего студента возможностью самосовершенствоваться и целенаправленно саморегулировать свое поведение; оценочного, выполняющего коррекционно-контролирующую функцию.

Один из возможных вариантов профессиональной подготовки будущих бакалавров педагогического образования к осуществлению дополнительного математического образования школьников можно реализовать посредством изучения дисциплины «Дополнительное математическое образование школьников».

Основное содержание дисциплины.

Тема 1. Дополнительное образование школьников: традиции и современность.

Система дополнительного образования: основные понятия и нормативно-документальное обеспечение. Формирование отечественной системы дополнительного образования детей. Место дополнительного образования в системе общего образования. Учреждения дополнительного образования. Основные модели организации дополнительного образования школьников в РФ. Педагогические программы дополнительного образования.

Тема 2. Внеклассная, внешкольная работа и дополнительное образование школьников по математике: основные понятия.

Цели, содержание, типы, виды и основные формы внеклассной работы по математике. Методические рекомендации по организации внеклассной работы с отстающими учащимися и школьниками, проявляющими интерес к математике. Индивидуальная, групповая и массовая внеклассная работа. Цели, содержание и основные формы внешкольной работы по математике. Развитие учащихся на внешкольных занятиях по математике. Структура, цели и формы современного дополнительного математического образования школьников. История развития и современное состояние отечественного дополнительного математического образования школьников. Общие черты и характерные отличия основного, дополнительного образования и внеклассной работы по предмету. Особенности организации дополнительного математического образования детей разных возрастных групп.

Тема 3. Математический кружок (группа, студия).

Роль, цели и задачи математического кружка (группы, студии). Организационные вопросы частоты и периодичности занятий, формы работы на кружке (в группе, студии); планирование работы кружка (группы, студии), подготовка и проведение занятий, организация выступлений членов кружка (группы, студии); выбор материала, первое и заключительное заседание кружка (группы, студии); накопление материалов занятий кружка и др. Разработка тематики занятий математического кружка (группы, студии) с учетом возрастных особенностей учащихся. Обеспечение преемственности в работе математического кружка (группы, студии). Разновозрастные математические кружки (группы, студии).

Тема 4. Система факультативных занятий и спецкурсов.

История появления, общая характеристика, цели и содержание спецкурсов и факультативных занятий. Разработка программы факультативного курса и спецкурса. Подбор и анализ учебных пособий для занятий. Разработка содержания и методика проведения факультатива и спецкурса. Методы сообщения нового материала; системы упражнений, вопросов и задач, предлагаемых учащимся в соответствии с дидактическими целями занятий. Организация самостоятельной работы учащихся. Активизация мыслительной деятельности слушателей. Контроль за работой учащихся на занятиях. Система оценок, поощрений и порицаний. Специфика организации спецкурсов и факультативных занятий по математике для учащихся разных возрастных групп (7-9; 10-11 классы). Математические факультативы, спецкурсы и подготовка учащихся к ЕГЭ.

Тема 5. Математические игры и развлечения.

Цели, задачи и теоретико-методологические аспекты игровой технологии. Структурные элементы игры. Классификации игр. Целесообразность использования игровой формы занятий в системе дополнительного математического образования с учащимися разных возрастов. Условия, при которых игровые формы эффективны. Описание и методика организации различных математических игр.

Тема 6. Математические соревнования, конкурсы, фестивали.

Примерное содержание. Описание и методика организации различных математических соревнований (математические бои, конкурсы, игры, турниры, карусели, регаты; математические олимпиады; математические эстафеты, викторины; математическое ориентирование). Интеллектуальные марафоны. Математические фестивали. Целесообразность использования указанных разновидностей соревнований в системе дополнительного математического образования с учащимися разных возрастов.

Тема 7. Математические олимпиады.

Значение математических олимпиад для развития способностей, мышления и расширения математического кругозора учащихся. История возникновения и распространения математических олимпиад. Традиционные математические олимпиады. Нестандартные олимпиады по математике.

Олимпиады для абитуриентов вузов. Многоуровневые, устные олимпиады. Особенности олимпиадных задач. Работа по подбору и составлению олимпиадных задач. Критерии оценки за их решение. Подготовка материалов для проведения школьных олимпиад в 5-11 классах.

Тема 8. Школьная математическая печать.

Роль школьной математической печати в расширении математического кругозора учащихся. Различные формы школьной математической печати (математическая стенная газета, математический листок, журнал математического кружка, тематический стенд и математический уголок в кабинете математики, альбом с решением задач повышенной сложности, задач олимпиадного характера, занимательных задач и задач для поступающих в вузы, календарь знаменательных дат, фотогазета, выставка, учебный иллюстративный журнал и др.). Система методических требований к различным формам математической печати (цели выпуска, название, содержание, оформление, периодичность выпуска, работа над ее составлением). Разработка тематики математических газет на один год для учащихся одного из классов.

Тема 9. Дополнительное чтение математической литературы.

Роль дополнительного чтения математической литературы в повышении у учащихся интереса к предмету, в углублении их знаний, в приобретении навыков самостоятельной работы с книгой. Анализ трудностей, связанных с чтением математической литературы, и составление методических рекомендаций по организации внеклассного чтения. Составление рекомендаций для учащихся по работе с математической литературой. Подготовка перечня книг для дополнительного чтения по математике с краткими аннотациями. Конференция по дополнительному чтению математической литературы.

Тема 10. Математические вечера.

Роль математических вечеров в повышении интереса школьников к математике. Воспитательное значение математических вечеров. Классификации вечеров. Подготовка вечера (организация, подбор материала, оформление). Особенности проведения математических вечеров для учащихся разных возрастных групп, проблема выбора тематики, использование ТСО и средств наглядности на вечере. Разработка тематики математических вечеров, а также сценария одного из них.

Тема 11. Учебно-исследовательская деятельность школьников в системе дополнительного предметного образования. Научные общества учащихся. Научно-практические конференции.

Учебно-исследовательская деятельность школьников на уроках и в системе дополнительного предметного образования. Виды учебных исследований. Организация учебно-исследовательской деятельности учащихся. Роль сетевого взаимодействия образовательных учреждений в организации учебно-исследовательской деятельности школьников. Способы оценки результатов учебно-исследовательской деятельности учащихся. Научные об-

щества учащихся: положение, цели, задачи, структура, устав. Основные направления и формы работы научного общества учащихся (секция, лаборатория, клуб, студия, мастерская). Школьный математический клуб. Научно-практические конференции школьников.

Тема 12. Недели (декады) математики.

Задачи, содержание и структура математической недели (декады). Значение конкурсов по решению задач, математической стенной печати, докладов, математических игр и других форм работы в период математической недели (декады). Особенности ее проведения с учащимися разного возраста. Составление развернутого плана проведения математической недели (декады). Разработка подробного сценария одного из мероприятий.

Тема 13. Центры дополнительного математического образования школьников.

Центр дополнительного математического образования как одна из форм внеклассной работы с учащимися. Наиболее известные центры: цели, структура, обобщение опыта работы.

Тема 14. Очные, очно-заочные, заочные и каникулярные математические школы и лагеря.

Очные, очно-заочные, заочные и каникулярные математические школы и лагеря как одна из основных форм работы с учащимися в системе дополнительного математического образования. Цели данной формы работы. Существующие классификации. Формы проведения занятий. Организация работы наиболее известных школ и лагерей.

Тема 15. Репетиторское образование школьников. Тьюторство. Менторство. Гувернерство. Самообучение.

Репетиторство как одна из форм работы с учащимися в системе дополнительного математического образования. Формы проведения занятий. Организация репетиторской работы на основе изучения регионального опыта. Составление плана и подбор материалов для занятий с учащимися избранной возрастной группы. Тьюторство, менторство, гувернерство, самообучение.

Тема 16. Подготовительные курсы.

Подготовительные курсы для поступающих в вузы как одна из форм работы с учащимися в системе дополнительного математического образования. Основные цели данной формы работы. Виды и формы подготовительных курсов. Основные формы проведения занятий. Организация работы подготовительных курсов на основе изучения регионального опыта. Составление плана и подбор материалов для занятий с учащимися.

Тема 17. Дистанционные формы дополнительного математического образования школьников.

Образовательный web-квест. Дистанционные игровые турниры. Дистанционные конкурсы и проекты. Дистанционные математические олимпиады. Дистанционные обучающие олимпиады по математике. Дистанционные предметные недели. Интернет-карусель по математике. Веб- и чат-занятия.

Дистанционные лекции. Сравнительный анализ мирового и отечественного опыта.

Тема 18. Проектная деятельность учащихся в системе дополнительного математического образования.

Цели, задачи и теоретико-методологические основы технологии проектного обучения. Классификация типов проектов. Этапы работы над проектом. Экспертная оценка проекта. Организация проектной деятельности школьников в системе дополнительного математического образования на основе изучения передового опыта.

Тема 19. Специфика дополнительного математического образования школьников в условиях предпрофильной и профильной подготовки.

Сущностные характеристики профильного обучения. Реализация дополнительного математического образования школьников в условиях предпрофильной и профильной подготовки. Профильное Интернет-обучение школьников.

Тема 20. Дополнительное математическое образование школьников с особыми образовательными потребностями.

Дополнительное математическое образование одаренных школьников. Специфика дополнительной работы с детьми с дисгармоничным развитием и трудностями в освоении учебных программ.

Процесс формирования исследуемой готовности немыслим без включения в учебную деятельность студентов фрагментов практической профессиональной деятельности учителя математики по реализации дополнительного математического образования школьников. В связи с этим планируются: организация производственных практик в соответствующих образовательных учреждениях, формирующих у студентов адекватные представления о профессиональной деятельность в этой области; организация учебных ситуаций, имитирующих реальную действительность; создание на занятиях игровых ситуаций, активизирующих процесс формирования готовности к реализации дополнительного математического образования школьников; использование индивидуальных заданий различной степени сложности по формированию соответствующих умений.

В качестве дидактических средств обучения предлагается использовать учебно-методические пособия [1] и [2], предоставляющие студенту реальные возможности достижения поставленной цели (формирование исследуемой готовности) через проявление различных видов активности, самостоятельности и инициативы в учебно-профессиональной деятельности, способствующее переходу из позиции пассивного потребителя учебных знаний в позицию творца собственных знаний.

Для оценки сформированности структурных компонентов готовности будущих бакалавров педагогического образования к реализации дополнительного математического образования школьников разработан соответствующий критериально-диагностический инструментарий, выявлены и охарактеризованы четыре уровня исследуемой готовности.

Библиографический список

1) Кондаурова, И.К. Избранные главы теории и методики обучения математике: дополнительное математическое образование школьников / И.К. Кондаурова. - Саратов: ИЦ «Наука», 2010.- 192 с.

2) Кондаурова, И.К. Дополнительное математическое образование школьников: практикум / И.К. Кондаурова, О.С. Кочегарова, Н.А. Терновая. - Саратов: ИЦ «Наука», 2010.- 120 с.

ЭСТЕТИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ МАТЕМАТИКИ В ФОРМИРОВАНИИ МОТИВАЦИИ УЧЕБНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ

Ю.Г. Кузнецова

В статье анализируется проблема реализации эстетического потенциала математики как средства формирования интереса учащихся к предмету и мотивации их учебной деятельности.

Ключевые слова: эстетическое воспитание, эмоциональное и эстетическое воздействие, заинтересованность математикой, творческая активность учащихся, развитие интереса к математике, принципы педагогической деятельности.

В формировании гармонически развитой личности особое место занимает эстетическое воспитание, и именно математика имеет много только ей присущих возможностей для решения этой проблемы. Дети любят красивое, интересное, увлекательное, и математика богата этим, как никакая другая наука. Источниками эмоционального и эстетического воздействия математики на школьников являются математическая стройность, точность, связанность всех её частей, непременность её выводов, универсальность применений, совершенство языка, романтичность её истории, занимательные задачи и т.д. [3] .

Как утверждают многие учёные, от эмоциональности ученика зависит работа его памяти [2]. Если ученику нравится изучаемый материал, если предмет вызывает у него интерес, то запоминание происходит как бы само собой, без особых усилий. Человеческая память недолго хранит то, что не затрагивает чувств. "Только там, где разум и чувства в союзе, осуществляется глубокое понимание. Взволнованное отношение к познанию носит активный характер, эмоциональный подъём увеличивает возможности школьника" [2].

Дидактическими условиями эстетического воздействия на учащихся являются умения безукоризненно, точно и ясно объяснить содержание изучаемого материала, предложив продуманную систему вопросов и задач, ор-

ганизовать на уроке поиск рациональных их решений, показать красивые приёмы быстрых вычислений. Между тем часто математику преподают формально: ученики зазубривают теоремы, формулы, законы, а об их авторах не слышат ни слова. Необходимо постоянно знакомить учащихся с жизнью и деятельностью выдающихся математиков, рассказывать об исторических предпосылках научных исследований. В работах и высказываниях таких учёных-математиков нашей страны, как Н.Н. Лобачевский, А.А. Марков, Н.А. Крылов, С.В. Ковалевская, раскрывается всё великолепие математики. Слова великих учёных, прозвучавшие на уроке, являются сильным воспитательным средством.

Успешность учебной деятельности по изучению математики определяется, прежде всего, сформированностью мотивационного компонента -желанием школьников овладеть основами науки, а это возможно лишь тогда, когда ученик заинтересован предметом. Именно интерес к предмету является важнейшим фактором успеха в обучении, следовательно, и учебник, и урок должны быть увлекательными. «Обучение должно вызывать удовольствие. Математику можно представить в виде рассуждений, требующих творческого мышления. В процессе такого обучения появляется интерес, то есть желание учиться, а "где есть желание, найдётся путь"» [1].

Учителю необходимо создать оптимальные условия для развития интереса школьников к математике через восприятие её как красивой и увлекательной науки. Учитель должен заинтересовать математикой учащихся, и в этом плане личное мастерство учителя нельзя недооценивать. Немало зависит от того, как поставить даже очевидный вопрос, и от того, как задействовать всех учащихся в обсуждение сложившейся ситуации. Перед учителем математики возникает ряд задач, которые ему в ходе учебной деятельности необходимо решить: как привить вкус, интерес, видение красоты в математических задачах, как сформировать творческую деятельность учащихся. Творческую активность учащихся необходимо развивать с помощью методических приёмов, которые выбирает учитель, от которых целиком зависит успех урока.

Учёные выделяют ряд психолого-педагогических условий, связанных с формированием личностных психологических механизмов развития интереса к математике как к предмету и науке в целом. К ним относятся: ощущение чувства удовлетворения от обучения, компетентности в различных вопросах, понимание цели выполняемой работы, эмоциональная окраска обучения, эстетическое восприятие мира, ощущение чувства успеха, адекватная оценка себя в соответствии со своими индивидуальными возможностями [1].

Проанализировав современное состояние эстетического воспитания учащихся, можно выделить следующие принципы педагогической деятельности на уроках математики:

• системность обучения: предполагает соблюдение взаимного соответствия целей, содержания, форм, методов, средств обучения и оценива-

ния результатов; создаёт целостность математических знаний; обеспечивает видение математики через призму эстетики;

• организация совместной работы учителя и учащихся: предполагает планирование, реализацию, оценивание процесса и результата обучения;

• креативность обучения: предполагает реализацию творческих возможностей учителя и ученика;

• опора на имеющийся ценностный потенциал учащихся;

• развитие познавательных потребностей: предполагает выявление наличия устойчивого интереса к изучению математики, что способствует осознанному усвоению математических знаний, умений, навыков, приводящему, в свою очередь, к высокому уровню освоения учебного материала;

• демократизация отношений: предполагает соблюдение принципа диалога «учитель-ученик» [3].

Методы работы на уроках математики по развитию эстетического воспитания нужно ориентировать, прежде всего, на природу, психологические особенности восприятия ребёнка. При этом необходимо уделять особое внимание развитию активного, творческого участия учеников в уроке. Желательно развивать их нравственно-эстетические взгляды.

Эстетическое воспитание как компонент педагогического процесса традиционно реализуется на таких предметах, как литература, музыка, изобразительное искусство. При этом эстетический потенциал математики в практике обучения часто недооценивают. Как отмечает О.А. Саввина, из истории мы знаем, что пути математики и различных видов искусства нередко переплетались. Именно исторические сведения являются благодатным материалом для развития эстетического вкуса учащихся [4].

При эстетическом воспитании на уроках математики необходимо показывать учащимся стройность формул, доказательств, красоту различных фигур, изящество связей между величинами, решать задачи и доказывать теоремы разными методами. Также, при объяснении материала, необходимо привлекать исторические сведения.

Необходимо помнить, что обучение математике немыслимо вне кабинета. Поддержание чистоты и порядка - это тоже дело эстетической направленности. Светлый, чистый, уютный кабинет создаёт такую обстановку, которая сама по себе заставляет учащихся вести себя культурно, не допускать неряшливости.

Немаловажным качеством личности является аккуратность. Учителям необходимо добиваться от учащихся аккуратного выполнения любой работы: ведение тетрадей, построение графиков и др. Это, прежде всего, воспитывает прилежность, внутреннюю собранность, вырабатывает умение любую работу доводить до совершенства. Учителю необходимо учить детей не только видеть прекрасное, но и создавать его.

В ходе обучения у учащихся должен сложиться определённый образ красоты математики, который в дальнейшем поможет им легче осваивать эту сложную, но интересную науку.

Библиографический список

1) Болтянский В.Г. Математическая культура и эстетика // Математика в школе. - 1982. - № 2.

2) Ведерникова Т.Н., Иванов О.А. Интеллектуальное развитие школьников на уроках математики // Математика в школе. - 2002. - № 3.

3) Зенкевич И.Г. Эстетика урока математики. - М.: Просвещение,

1981.

4) Саввина О.А. Эстетический потенциал истории математики // Математика в школе. - 2001. - № 3.

ПРОГРАММА КУРСА ПО ВЫБОРУ «ВВЕДЕНИЕ В КОМБИНАТОРИКУ» (в рамках предпрофильной подготовки)

Е.В. Лебедева

В статье приводится программа курса по выбору в рамках предпрофильной подготовки «Введение в комбинаторику». Курс рассчитан на 16 часов. Приводится содержание, тематическое планирование и формы организации итогового контроля знаний.

Пояснительная записка

Важнейшим направлением модернизации школьного курса математики на современном этапе является включение в него элементов комбинаторики, теории вероятностей и статистики. Комбинаторные задачи могут использоваться как средство расширения и развития математических способностей учащихся. Освоение теории решения таких задач необходимо для их эффективного использования.

Материал курса по выбору «Введение в комбинаторику» дополняет и гармонично сочетается с программой математики основной школы в условиях предпрофильной подготовки. Представленный курс занимателен, интересен, развивает математические навыки и повышает общую математическую культуру. Учитывая перспективы включения заданий стохастической линии в ГИА по математике, все приобретенные в ходе изучения курса знания и умения будут востребованы при решении заданий базового, повышенного и особенно высокого уровня сложности.

Цели курса: изучение избранных вопросов комбинаторики и методов решения комбинаторных задач, подкрепленное необходимым теоретическим материалом.

Задачи курса:

1. Обобщение, углубление и систематизация знаний учащихся по учебной теме «Комбинаторика».

2. Приобретение практических навыков при решении задач рассматриваемой темы.

3. Знакомство учащихся с некоторыми моментами в истории становления и развития математики в целом и комбинаторики как раздела математики.

4. Подготовка к государственной (итоговой) аттестации за курс основной школы по математике.

Формы организации занятий: лекции, практикумы по решению задач, дискуссии, семинар, дидактические игры и др.

Требования к знаниям и умениям (выходной контроль)

После изучения курса учащиеся должны знать

- основные определения и понятия по программе курса;

- правило определения вида соединения;

- правила суммы и произведения;

- формулы для подсчета числа соединений без повторений;

- формулу бинома Ньютона;

- основные свойства треугольника Паскаля.

После изучения курса учащиеся должны уметь

- правильно употреблять термины и формулы;

- решать задачи на применение правил суммы и произведения;

- определять тип соединения;

- применять формулы для подсчета числа комбинаторных соединений без повторений;

- применять бином Ньютона для решения практических задач;

- использовать треугольник Паскаля и свойства С"1.

Содержание программы

Тема 1. Основные понятия комбинаторики. Примеры комбинаторных задач. Правило определения типа соединения. Правила суммы и произведения.

Тема 2. Перестановки. Понятие дерева решений. Факториал. Понятие перестановки. Формула для подсчета количества соединений.

Тема 3. Размещение. Понятие размещения. Вывод формулы для подсчета количества соединений.

Тема 4. Сочетания. Понятие сочетания. Вывод формулы для подсчета количества соединений. Некоторые свойства числа Сm.

Тема 5. Соединения с повторениями. Понятия размещения с повторениями, перестановки с повторениями и сочетания с повторениями. Формула для подсчета числа таких соединений.

Тема 6. Треугольник Паскаля. Историческая справка о Б. Паскале и треугольнике Паскаля. Свойства чисел, входящих в треугольник Паскаля. Примеры решения задач.

Тема 7. Бином Ньютона. Доказательство бинома Ньютона с помощью метода математической индукции. Формула общего члена. Некоторые свойства биномиальных коэффициентов.

Тема 8. Комбинаторные уравнения, неравенства и тождества. Обобщение изученного материала. Примеры задач, приводящиеся к комбинаторным уравнениям и неравенствам. Доказательство комбинаторных тождеств.

Тема 9. Комбинаторные задачи геометрического содержания.

Графы. Примеры решения комбинаторных задач геометрического содержания. Понятие графа и его основных элементов. Понятие уникурсальных графов. Теорема об уникурсальном графе. Задача Эйлера о кенигсбергских мостах.

Итоговое занятие.

Тематическое планирование курса

Тема занятия

Кол-во часов

Форма организации занятия

1.

Основные понятия комбинаторики

1

1

2.

Перестановки

2

12

3.

Размещения

2

12

4.

Сочетания

2

12

5.

Соединения с повторениями

1

1

6.

Треугольник Паскаля

2

3

7.

Бином Ньютона

2

23

8.

Комбинаторные уравнения, неравенства и тождества

2

22

9.

Комбинаторные задачи геометрического содержания.

1

3

10.

Итоговое занятие

1

4

итого

16

ф- лекция; ©-практикум по решению задач; ©-занятие с элементами игровой/исследовательской деятельности; ©-контроль.

Организация и проведение аттестации учащихся Организация итогового контроля по результатам изучения данного учебного курса может быть проведена в нескольких вариантах.

1. Итоговая контрольная работа в двух вариантах, предполагающая развернутый ответ с записью решения [см. 4, с.63-64].

2. Тестовые задания [см. 1, с. 221-223].

3. Защита коллективных творческих работ или мини-проектов по результатам групповой учебно-исследовательской деятельности учащихся.

Библиографический список

1) Кузнецова Л.В. Алгебра: сб. заданий для подготовки к гос. итоговой аттестации в 9 кл. / [Л.В. Кузнецова, СБ. Суворова, Е.А. Бунимович и др.]. - М.: Просвещение, 2009.

2) Лебедева Е.В. Комбинаторика: учебно-методическое пособие для учителей математики / Е.В. Лебедева, В.А. Семиряжко. - Липецк: ЛГТУ, 2008.

3) Смирнова И.М. Комбинаторные задачи по геометрии / И.М. Смирнова, В.А. Смирнов. - М.: Чистые пруды, 2006.

4) Сурвилло Г.С. Дидактические материалы по алгебре для 9 класса с углубленным изучением математики / Г.С. Сурвилло, А.С. Симонов. - М.: Просвещение, 2006.

5) Успенский В.А. Треугольник Паскаля: популярные лекции по математике / В.А. Успенский. - М.: Наука, 1981.

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СОВРЕМЕННЫХ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ ДЛЯ РАЗВИТИЯ ПОЗНАВАТЕЛЬНОЙ САМОСТОЯТЕЛЬНОСТИ СТУДЕНТОВ

Е.Н. Лыков

В статье рассмотрены некоторые аспекты использования информационных технологий для развития познавательной самостоятельности студентов.

Ключевые слова: познавательная самостоятельность студентов, информационные технологии, веб-квест.

Одним из факторов развития познавательной самостоятельности студентов при обучении математическим дисциплинам являются современные информационные технологии. Их применение способствует усвоению и закреплению знаний, а также формированию умений самостоятельного поиска знаний и использованию их в профессиональной деятельности.

Основной задачей использования информационных технологий в образовательном процессе является приведение в движение механизмов познавательной деятельности и ценностных ориентации на познавательную самостоятельность.

В университетском образовании наработан целый комплекс информационных средств и методик обучения, среди которых - методика обучения с использованием компьютеров, методика обучения на основе Интернет-технологий и др. Особую популярность в сфере обучения получили Web-технологии, к основным достоинствам которых относят возможность выделения большого времени для работы со студентами на индивидуальных и мелкогрупповых занятиях, обеспечение улучшения качества учебно-методических материалов.

Web-технологии позволяют студентам усваивать материал в любой форме (иллюстративной, звуковой, видеофильм и др.), в любое удобное для него время, в любом месте. Обучение на основе Web-технологий не только стимулирует переход на интерактивное онлайновое и дистанционное обучение, но и оказывает воздействие на содержание преподавания и совершенствование педагогического мастерства. Именно такие профессиональные качества становятся необходимыми составляющими для преподавателей высшей школы в новом XXI веке.

Одним из Web-технологий является Веб-квест. Quest в переводе с английского означает продолжительный целенаправленный поиск, который может быть связан с приключениями или игрой. Веб-квест (web quest) в педагогике - проблемное задание с элементами ролевой игры, для выполнения которого используются информационные ресурсы Интернета.

Разработчиками веб-квеста как учебного задания являются Bernie Dodge и Tom March. Веб-квест направлен на развитие у студентов навыков аналитического и творческого мышления; преподаватель, создающий веб-квест, должен обладать высоким уровнем предметной, методической и инфокоммуникационной компетенцией.

Тематика веб-квестов может быть самой разнообразной, проблемные задания могут отличаться степенью сложности. Результаты выполнения веб-квеста, в зависимости от изученного материала, могут быть представлены в виде устного выступления, компьютерной презентации, эссе, веб-страницы и т.п.

Специально разработанные шаблоны веб-страниц позволяют преподавателю создавать собственные веб-квесты. Создание веб-квеста можно разбить на следующие этапы.

1. Определить тему.

2. Выбрать сайт, на котором есть матрица (шаблон) для создания веб-квеста.

3. На этом этапе подбираются задания. Они могут быть различны и по степени сложности, и по форме подачи. Есть несколько вариантов формы задания:

1) в виде презентации. Используется программа Power Point. На слайде размещаем картинку и пишем вопрос.

2) В виде текста.

3) Визуальный материал. Выглядит как набор картинок или фотографий.

4. На этом этапе необходимо придумать систему оценивания. Здесь необходимо выявить какое количество баллов нужно дать за то или иное задание. Какому количеству баллов, какой уровень соответствует. В случае если ни одного конкретного ответа нет, то необходимо описать, как оценить устный рассказ, если он аргументированный и дополнен собственными знаниями или наоборот неполный и неточный.

5. Здесь необходимо определить источники информации, которыми будут пользоваться студенты для поиска ответов. Источниками информации могут быть проверенные адреса сайтов, коллекции электронных образовательных ресурсов, образовательные Интернет-порталы. Необходимо здесь использовать сайт кафедры или личные сайты преподавателей.

6. Непосредственно размещение веб-квеста на сайте.

Для создания качественного веб-квеста потребуется не мало дополнительных усилий от преподавателя. Однако это стимулирует развитие у студентов интереса к предмету. При выполнении домашнего задания в виде веб-квеста студенту необходимо использовать дополнительные источники знаний, которые часто дополнены интересными иллюстрациями, графиками, чертежами. Иногда в процессе выполнения задания находятся оригинальные решения той или иной задачи, а также некоторые исторические сведения. Всё это вовлекает студента в исследовательский процесс, и качество обучения выходит на более высокий уровень.

Современные информационные технологии можно назвать неким «лекарством» для современного образования. Однако, как и любым другим лекарством не стоит злоупотреблять. Необходимо помнить, что есть и другие составляющие развития познавательной самостоятельности студентов, например студенческие научные общества, где студенты общаются между собой и с преподавателем «в живую». А такое общение иногда даёт больший эффект, чем компьютерные инновации. Или, например, летние математические школы, где студенты изучают не только науку, но и приобретают необходимые для жизни культурные ценности.

Современное общество стоит на пороге новой эпохи, которую называют веком информации, эрой знаний, когда именно информация и знания становятся наиболее важными факторами успеха. При этом «обучение через всю жизнь» становится неотъемлемой частью образовательной политики многих стран, что существенно повышает роль познавательной самостоятельности как студентов, так и выпускников вузов. Особенно важна рассматриваемая проблема для стран, подписавших Болонское соглашение, к которым относится и Россия, так как именно познавательная самостоятельность студентов является основой успешной подготовки будущих высококвалифицированных специалистов.

Библиографический список

1) Быховский Я.С. Образовательные веб-квесты // Материалы международной конференции «Информационные технологии в образовании. ИТО-99». - http://www.bitpro.ru/ito/l 999

2) Садова В.А. Современные информационные технологии как фактор развития познавательной самостоятельности студентов университета // Вестник ОГУ. - №9 (115). - сентябрь 2010.

3) Соловьёва Н.А. Формирование познавательной самостоятельности студентов в условиях кредитной системы обучения: Дис. ...канд. пед. наук. - Троицк, 2008. - 180 с.

4) http://www.itlt.edu.nstu.ru/webquest.php

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В СОВРЕМЕННЫХ УЧЕБНИКАХ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ 5-6 КЛАССОВ

М.А. Мацыгин

В статье представлен анализ школьных учебников по математике 5-6 классов различных авторов в контексте использования арифметических задач. В связи с этим рассматриваются результаты экспериментальной работы по развитию интеллектуальных способностей учащихся.

Ключевые слова: арифметические задачи, интеллектуальные способности, учебники, арифметический способ.

5 и 6 классы занимают особое место в школьном курсе математики: именно в это время происходит переход от арифметического способа решения задач к алгебраическому. Долгое время в отечественной педагогике и методике математики ведутся споры относительно соотношения этих методов при решении задач в школе. В настоящее время наметилась тенденция к более активному использованию арифметического способа решения задач в

5-6 классах с целью развития интеллектуальных способностей учащихся. Поэтому важно выяснить ряд вопросов методического характера, касающихся использования арифметических задач в этих классах, в частности, последовательность и равномерность введения арифметических задач в учебный процесс, их количество и сложность, есть ли задачи развивающего характера, старинные, нестандартные; когда и каким образом происходит переход к алгебраическому способу и другие вопросы.

Современные учебники по математике разрабатываются в соответствии с требованиями Государственного образовательного стандарта, который включает в обязательный минимум решение текстовых задач арифметическим способом [9]. В требования к уровню подготовки выпускников основной школы по арифметике стандарт включает умение «решать текстовые задачи, включая задачи, связанные с отношением и с пропорциональностью величин, дробями и процентами» [9]. В большей степени стандарт направлен на подготовку школьника к решению несложных практических задач, с которыми он может встретиться в своей будущей деятельности.

В последние годы в отечественных школах обучают математике по различным авторским учебникам и программам. Рассмотрим несколько наиболее популярных в школах учебников по математике 5-6 классов на предмет использования арифметических задач в обучении.

1. Учебники Н.Я. Виленкина, В.И. Жохова, А.С. Чеснокова, С.И. Шварцбурд [1, 2]. Внедрение алгебраического способа решения задач происходит довольно рано. Уже в 5 классе, в п.8 главы I, рассматриваются буквенные выражения; затем решаются задачи на составление выражений, а в п. 10 «Уравнение» впервые показывается решение задачи алгебраическим способом [1].

Арифметические задачи распределены по всему курсу математики, в основном, встречаются в 5 классе. Преобладает алгебраический способ решения, который вводится рано - в начале 5 класса. В некоторых темах, как в п. 22 «Пропорция» (6 класс) для решения задач сразу предлагается составление уравнения. Арифметический способ используется для несложных задач на изучаемый материал. Старинных задач очень мало - всего 2 задачи в 6 классе. Также крайне мало число нестандартных задач. Несмотря на то, что общее количество упражнений в учебниках достаточно большое: в 5 классе - более 1100, а в 6 - достигает почти 1600, отдельные виды арифметических задач и специальные способы их решения не рассматриваются. Таким образом, учебники ориентированы в большей степени на алгебраический способ решения задач.

2. В учебниках Г.В. Дорофеева, И.В. Шарыгина [3, 4] уделяется много внимания различным типам арифметических задач и способам их решения. Арифметические задачи в учебниках присутствуют в большей степени в 5 классе, чем в 6; они отсутствуют только в главах неарифметического содержания. Хотя с самого начала 5 класса составление выражений часто используется для решения задач, алгебраический способ предлагается уча-

щимся лишь в конце 6 класса, в предпоследней теме «11. Уравнения и формулы» [4].

В учебниках Г.В. Дорофеева изучение арифметических задач, в целом, происходит одновременно с подачей теоретического материала. Множество типовых арифметических задач сопровождаются объяснением их решения. Объясняются и некоторые специальные способы решения арифметических задач. Однако большинство арифметических задач не сложные, задач нестандартных и развивающих немного. Встречаются задачи с выбором готового ответа. В 6 классе встречаются задания составить задачу по действию, найти ошибку в условии или решении; есть даже задачи-исследования. Присутствуют задачи, взятые из исторических источников. В учебнике для 5 класса их два десятка, из них половина находится в специальном разделе «Старинные задачи на дроби». В 6 классе - всего 6 таких задач.

Основная особенность рассматриваемых учебников состоит в том, что она ориентирована на решение задач арифметическим способом.

3. Учебники по математике (авторы: С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин) [7, 8]. В учебниках ярко выражена арифметическая направленность. Геометрический материал большей частью распределен по арифметическим главам, а решение задач с помощью уравнения появляется лишь в 6 классе (в главе 3 «Рациональные числа»). В целом эти учебники предусматривают систематическую работу по развитию у учащихся умения решать задачи арифметическими способами, нацелены на развитие мышления.

Отметим, что помимо тщательно подобранных и систематизированных задач на изучаемый материал, в конце каждой главы включено дополнение, где обязательно присутствует пункт «Занимательные задачи». В нем рассматриваются задачи развивающего характера, нестандартные (например, на нахождение лишних условий, на нахождение ошибок в условии), а также задачи, взятые из исторических источников. Среди них большинство - это задачи повышенной сложности. Также в учебниках предусмотрены задания для устной работы, в том числе и текстовые задачи. Старинных задач довольно много: в 5 классе их насчитывается 28, а в шестом - 21.

Таким образом, по количеству и разнообразию арифметических задач из старинных источников, а также нестандартных, повышенной трудности и носящих занимательный характер, учебники С.М. Никольского и др. намного опережают учебники для 5-6 классов других авторов. При этом, много внимания уделяется объяснению решения задач как типовых, так и специальных, нестандартных. Однако для многих сложных задач учащимся предоставляется самим находить способ решения.

4. Учебники (авторы И.И. Зубарева и А.Г. Мордкович) [5, 6] построены на идеях и принципах развивающего обучения, сформулированные отечественными педагогами и психологами Л.С. Выготским, Л.В. Занковым и другими.

Текстовые задачи используются на всем протяжении курса математики, они присутствуют даже в геометрических параграфах с целью повторения. Арифметический метод решения задач до середины 6 класса является основным. Алгебраический метод впервые появляется в 5 классе как альтернативный арифметическому, однако на этом этапе учащиеся должны овладеть умением составлять уравнения, не обязательно решая их до конца. При возникновении затруднений с решением уравнения учащимся рекомендуется решить задачу арифметическим способом, и полученный результат подставить в уравнение, проверив тем самым правильность его составления. Полностью алгебраический метод дается только в §20 учебника для 6 класса, когда учащиеся овладеют приемами решения уравнений. Арифметический способ в течение двух лет обучения используется для решения задач на изучаемый материал.

Учебники для 5 класса И.И. Зубаревой, А.Г. Мордкович в качестве основного способа решения задач используют арифметический. В 6 классе часто учащимся предоставляется самим выбрать способ решения. Кроме задач на изучаемый арифметический материал, даются и некоторые задачи, решаемые специальными способами. Есть задачи повышенной сложности, но их немного. Задач из исторических источников крайне мало.

Исходя из рассмотренного выше, можно сделать вывод о том, что программы и учебники по математике для 5-6 классов различных авторов имеют существенные различия в большинстве интересующих нас показателей. Обучаясь по различным учебникам и программам, школьники находятся в неодинаковых условиях относительно использования арифметических задач. Для проверки возможности использования арифметических задач для развития интеллектуальных способностей в течение 2009-2011гг. было проведено экспериментальное исследование в ряде школ г. Ельца. Исследуемые классы разделялись на две группы с одинаковыми начальными показателями. В отличие от контрольных групп, в процесс обучения экспериментальных внедрялся специально разработанный комплекс арифметических задач. Предварительные результаты показали, что использование комплекса в условиях разных учебников приводит к различным результатам в развитии интеллектуальных способностей учащихся. В частности, учащиеся, занимающиеся по программе С.М. Никольского, М.К. Потапова и др., показали более высокие результаты в целом, однако итоговая разница между контрольными и экспериментальными группами оказалась незначительной. В классах, где использовались учебники Н.Я. Виленкина и др., выявлены наиболее резкие отличия в итоговых результатах между группами учащихся. По-видимому, это произошло из-за различных подходов авторов учебников к использованию арифметических задач в курсе математики.

Таким образом, комплекс арифметических задач в 5-6 классах эффективнее использовать в тех классах, в которых применяются учебники, в которых недостаточно внимания уделяется арифметическому методу решения задач, нестандартным, старинным задачам.

Библиографический список

1. Виленкин А.В., Жохов В.И. и др. Математика. 5 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. - М.: Мнемозина, 2008.

2. Виленкин А.В., Жохов В.И. и др. Математика. 6 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. - М.: Мнемозина, 2008.

3. Дорофеев Г.В., Шарыгин И.В. и др. Математика. 5 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений. - М.: Просвещение, 2009.

4. Дорофеев Г.В., Шарыгин И.В. и др. Математика. 6 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений. - М.: Просвещение, 2009.

5. Зубарева И.П., Мордкович А.Г. и др. Математика. 5 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений. - М.: Мнемозина, 2005.

6. Зубарева И.П., Мордкович А.Г. и др. Математика. 6 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений. - М.: Мнемозина, 2005.

7. Никольский СМ., Потапов М.К. и др. Математика. 5 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений. - М.: Просвещение, 2009.

8. Никольский СМ., Потапов М.К. и др. Математика. 6 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений. - М.: Просвещение, 2009.

9. Программы общеобразовательных учреждений. Математика. 5-6 классы / сост. Т.А. Бурмистрова. - М.: Просвещение, 2009.

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КОМПЛЕКСА АРИФМЕТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ДЛЯ РАЗВИТИЯ ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНЫХ СПОСОБНОСТЕЙ УЧАЩИХСЯ

М.А. Мацыгин

В статье рассматриваются проведение и итоги экспериментальной работы по развитию интеллектуальных способностей учащихся 5-6 классов с помощью комплекса арифметических задач.

Ключевые слова: арифметические задачи, интеллектуальные способности, комплекс задач, эксперимент.

Задача школьного образования в настоящее время сводится не только к приобретению базовых знаний, умений и навыков. На первый план сегодня выходят умения получать новые знания, творческие и креативные способности, развитость и гибкость мышления. В связи с этим особое значение приобретает разработка и внедрение педагогических технологий, направленных на развитие интеллектуальных способностей учащихся.

Интеллектуальные способности как способности решать возникающие перед человеком задачи на основе имеющихся знаний, являются одной из главных предпосылок успешной учебной деятельности. В дальнейшем

они выступают основой успешного саморазвития выпускников школ в профессиональной и других сферах деятельности.

Благоприятным периодом для совершенствования интеллектуальных способностей являются 5-6 классы. В это время начинается активное формирование абстрактного мышления. В этом возрасте активно формируются важнейшие качества мышления, такие как сила, глубина, конструктивность, критичность и др. С одной стороны, учащиеся уже способны к достаточно сложным умозаключениям, с другой стороны - их мышление все еще доступно для внешнего педагогического воздействия.

Наибольшие возможности по формированию интеллектуальных способностей среди школьных предметов, несомненно, имеет математика. В курсе математики основным средством развития мышления являются задачи. В 5-6 классах постепенно происходит переход от арифметического способа задач к алгебраическому, который в большинстве случаев позволяет быстрее и легче найти решение текстовой задачи по сравнению с арифметическим. Однако в последнее время среди исследователей (Н.А. Менчинская, М.И. Моро, А.В. Скрипченко, А.В. Шевкин и др.) становится популярной идея увеличения роли арифметических задач в курсе математики [1], что объясняется важнейшей ролью этих задач в развитии мышления. Психологические особенности решения задач арифметическим способом, способствующие развитию мышления, были выявлены и подтверждены в исследовании Л.Я. Юрцевой [2]. Поэтому актуальной задачей стало создание комплекса арифметических задач для развития интеллектуальных способностей учащихся 5-6 классов и экспериментальная проверка его эффективности.

Проведенный анализ современных программ и учебников по математике для 5-6 классов показал, что их авторы по-разному подходят к месту и роли арифметических задач в обучении. Например, программа и учебники Г.В. Дорофеева, И.В. Шарыгина, С.Б. Суворова и др. ориентированы на решение задач арифметическим способом; алгебраический способ предлагается учащимся лишь в конце 6 класса. Широко используются нестандартные и развивающие арифметические задачи. Программа Н.Я. Виленкина, В.И. Жохова и др., напротив, основное внимание уделяет алгебраическому способу решения задач, активно используя его с самого начала 5 класса. Арифметический способ используется, главным образом, для решения несложных задач. Таким образом, возникла необходимость проведения педагогического эксперимента в условиях различных учебных программ и условий обучения. Такими учебными заведениями в нашем эксперименте стали: МОУ СОШ № 2 г. Ельца Липецкой области, МОУ СОШ № 22 г. Ельца Липецкой области, НОУ гимназия «Альтернатива» г. Ельца Липецкой области и МОУ СОШ с. Закопы Каменского района Тульской области. В эксперименте принимали участие по 2 группы от каждого класса - экспериментальная и контрольная. Их отличие состоит в том, что в формирующем эксперименте - внедрении развивающего комплекса - участвовала только экспериментальная группа.

Педагогический эксперимент проводился в течение трех учебных лет (2008 - 2011 гг.) и включал в себя четыре этапа:

1) подготовительный 2008-2009 гг. (частично - в 2009-2010 гг.).

На данном этапе проводились отбор и проверка тестовых заданий для диагностики интеллектуальных способностей, консультации с учителями, формировался первоначальный состав экспериментальных и контрольных групп.

2) констатирующий (2009-2010 гг.).

В это время происходит проверка уровня развития интеллектуальных способностей экспериментальной и контрольной групп. По итогам эксперимента вносятся небольшие изменения в состав контрольных и экспериментальных групп для выравнивания среднегрупповых показателей, характеризующих интеллектуальные способности учащихся.

На констатирующем и контрольном этапах с помощью системы заданий, разработанных специально для данной возрастной группы учащихся, производилась диагностика соотношения уровня интеллектуальных способностей в экспериментальных и контрольных группах. Тестовые задания разрабатывались на основе тестов на определение уровня интеллекта Амтхауэра, Векслера и Кеттелла, а также отечественных - ГИТ и ШТУР. Использовались тесты на вербальный, невербальный интеллект, математическое мышление. В ходе эксперимента использовались традиционный способ тестирования с помощью бумажных бланков, а также компьютерная диагностика.

3) формирующий (2009-2011гг.).

В ходе этого этапа в учебный процесс экспериментальной группы включаются 60 специально подобранных арифметические задач. Учащиеся экспериментальных групп во время уроков, а также на дополнительных занятиях (факультативах) решали все предложенные им арифметические задачи. Решались задачи учащимися индивидуально или по парам. Задачи, вызывавшие наибольшие затруднения, решались у доски с обсуждением, в котором участвовала вся экспериментальная группа.

4) контрольный (2010-2011гг.).

На этом этапе устанавливалось итоговое соотношение уровней интеллектуальных способностей в экспериментальной и контрольной группах.

По предварительным результатам контрольного эксперимента количество правильно выполненных заданий во всех экспериментальных группах оказалось выше, чем в контрольных. По абсолютным значениям лучшие результаты показали учащиеся гимназии «Альтернатива» (программа и учебники по математике С.М. Никольского, М.К. Потапова и др.). Однако разница в показателях между экспериментальными и контрольными группами здесь оказалась незначительной. В школах, занимающихся по другим учебникам и программам, абсолютные результаты оказались несколько ниже, но разница между группами, в которых проводился и не проводился формирующий эксперимент, обнаружена более значительная.

Наибольшую эффективность разработанный комплекс арифметических задач показал в математических тестах, затем - вербальный интеллект. Наименьшая эффективность в развитии невербального мышления (особенно - пространственного, геометрического). У участвующих в эксперименте школьников более значительное увеличение показателей отмечено у среднеуспевающих по математике детей (преобладающая оценка - 4).

Таким образом, проведенный эксперимент показал, что разработанный комплекс арифметических задач оказывает положительное влияние на развитие интеллектуальных способностей учащихся. Наибольшую эффективность комплекс показал в классах, занимающихся по учебникам, не ориентированным на использование арифметических задач в развивающих целях. Комплекс не только улучшил математические способности учащихся, но и вербальную составляющую их интеллекта, что указывает на положительный эффект решения арифметических задач на развитие мышления в целом.

Библиографический список

1) Шевкин А.В. Текстовые задачи в школьном курсе математики/ Роль текстовых задач в школьном курсе математики. Лекции 1-4. - М., 2006.

2) Юрцева Л.Я. Особенности умственной деятельности учащимися в процессе решения задач алгебраическим и арифметическим способами: автореф. дис. ... канд. пед. наук. -М., 1971.

РАЗВИТИЕ ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНЫХ СПОСОБНОСТЕЙ В ПРОЦЕССЕ РЕШЕНИЯ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

М.А. Мацыгин

В статье рассматриваются вопросы влияния решения арифметических задач на развитие мышления школьников в связи с традициями и опытом, накопленными в отечественном образовании.

Ключевые слова: арифметические задачи, интеллектуальные способности, арифметический способ, мышление.

В настоящее время приоритет развития «способностей к самоопределению личности, создание условий для ее самореализации» стал нормой Закона об образовании, то есть нормой деятельности каждого учителя [1]. При этом самостоятельная деятельность ребенка, рассматриваемая как основной фактор его развития, обусловливается развитостью его мышления. Самым значительным потенциалом для развития интеллектуальных способностей среди школьных предметов, несомненно, обладает математика. Важнейшим

средством развития математической культуры, математического мышления, а следовательно - и общих интеллектуальных способностей учащихся, по мнению ряда исследователей (И.В. Арнольд, А.В. Шевкин и др.), являются арифметические задачи [2, 3].

Подход к пониманию природы математических способностей был в свое время намечен К. Дункером, который анализируя ход процессов решения математических задач, пришел к выводу, что нахождение решения всегда связано с переконструированием проблемной ситуации.

Исследователь отмечал, во-первых, что математические образы могут быть более богатыми или более бедными в отношении тех аспектов ситуации, которые человек может сразу обозреть одним взглядом без длительной работы «распутывания». «У "нематематика" математический образ беден аспектами» [4].

Во-вторых, существуют большие индивидуальные различия в способности абстрагироваться от отдельных перцептивных свойств ситуации, что необходимо, чтобы обнаружить ее общие существенные отношения.

В-третьих, плохой математик отличается от хорошего тем, что «не может легко осуществлять преобразование, потому что мыслимое им содержание является относительно неподвижным, жестким и поэтому с трудом поддающимся перестройке» [4].

Намеченные К. Дункером особенности, которые отличают лиц, способных и не способных к математике, отчетливо выступили и в обширном экспериментальном исследовании В.А. Крутецкого (1968), посвященном изучению психологии математических способностей школьников. Этот исследователь достаточно ясно и подробно изложил в своей книге точку зрения К. Дункера и отчасти соотносил с ней некоторые из полученных результатов. В.А. Крутецкий разработал обширную систему задач для исследования математических способностей школьников.

Отдельные группы задач были направлены на выявление следующих показателей математического мышления у способных, среднеспособных и неспособных к математике учащихся:

1) особенности восприятия логико-математических отношений и конкретных данных задач;

2) особенности запоминания отношений и конкретных данных задач;

3) способность к обобщению логико-математических отношений задач и методов рассуждения;

4) гибкость мыслительных процессов как способность переключаться с одного способа решения на другой (на другие);

5) обратимость мыслительных процессов как способность к перестройке направленности мыслительного процесса, переключение с прямого на обратный ход мысли;

6) способность к свертыванию процесса математического рассуждения и системы соответствующих действий. Способность мыслить свернутыми структурами [5].

Для выявления этих особенностей использовались задачи с отсутствующим вопросом, который предлагалось сформулировать самому ученику, задачи с неполным составом условия, вследствие чего дать точный ответ на вопрос задачи не представлялось возможным, и задачи с избыточным составом условий, т.е. с лишними данными, маскирующими данные, необходимые для решения, и другие задачи. Успешность их решения, как показал В.А. Крутецкий в своем исследовании - это результат действия одного общего фактора - способности к формализованному восприятию функциональных связей задачи, «очищенных» от конкретных значений, «отделенных от предметной и числовой формы, когда в конкретном воспринимается его общая структура» [5].

Особое место в развитии мышления принадлежит арифметическим текстовым задачам, которые традиционно всегда занимали особое место в отечественной теории и практике математического образования. По словам А.В. Шевкина: «... пристальное внимание обучающих к текстовым задачам, которое было характерно для России, - почти исключительно российский феномен» [2]. Большой интерес представляет, в частности, метод целесообразных задач С.И. Шохор-Троцкого. Этот метод состоит в том, что при помощи целесообразно подобранной системы упражнений ученики приходят к самостоятельным выводам. При этом задачи должны предшествовать всяким определениям и правилам, а не только следовать за ними. Исследователь показал, что задачи могут использоваться не только для закрепления изученного арифметического материала и выработки практических навыков, но и в самом процессе непосредственного изучения теории. Распространения метод целесообразных задач так и не получил, однако его влияние заметно в школьных учебниках и в настоящее время (например в современных учебниках по математике для 5-6 классов И.И. Зубаревой, А.Г. Мордкович).

Исследователи И.К. Андронов, И.П. Богуславский, А.Н. Левин, М.В. Потоцкий, А.С. Пчелко и др. выделяют арифметический способ решения задач как первостепенный в развитии мышления и, соответственно, в успешном овладении курсом математики. В связи с вопросом об использовании в обучении арифметических задач Н.Ф. Талызина отмечала, что «формирование уже самых начальных знаний должно быть организовано так, чтобы это было одновременно и формированием мышления, определенных умственных способностей учащихся» [6]. При решении арифметических задач, по мнению исследователя, формируются такие познавательные умения, которые выходят за рамки изучаемого предмета - математики, но тем не менее, обеспечивают успех в его овладении. Причина этого в том, что арифметический способ решения задач требует осмысления всех арифметических действий на каждом шаге решения, соотнесение каждого шага решения с искомым и с описанной в задаче проблемной ситуацией в целом.

При этом процесс решения не может быть ограничен ранними этапами анализа, а требует более высокого уровня анализа, в процессе которого исходные данные включаются в новые связи, благодаря чему выявляются

новые по сравнению с исходной формулировкой сведения о значении величин и отношениях между ними. Синтез в процессе арифметического решения задач имеет эвристический, поисковый характер, приводит к постоянному исследованию зависимостей между исходными данными и получаемыми на промежуточных этапах решения. В арифметическом способе синтез данных опирается на выявление новых связей, т.е. постоянный процесс переформулирования условия задачи.

Указанные психологические особенности решения арифметическим способом были подтверждены в исследовании Л.Я. Юрцевой [7]. В арифметическом решении задачи осмысливание всех преобразований, соотнесение каждого шага с проблемной ситуацией в целом приводит к более полному ее представлению, пониманию. В процессе решения задачи арифметическим способом выделяются важнейшие стороны этой ситуации - математические соотношения. По этой причине даже безуспешные попытки арифметического решения задачи повышают уровень анализа и синтеза.

Исследователи Н.А. Менчинская, М.И. Моро, А.В. Скрипченко считают, что арифметические задачи приучают учащихся к анализу, синтезу, упражняют в нахождении математических зависимостей. При этом подчеркивается значение арифметического способа для лучшего понимания задачи и процесса нахождения ее решения, а также роль арифметических задач в развитии не только математических, но и общеинтеллектуальных способностей. И.В. Арнольд отмечал: «Арифметические задачи таят огромные возможности для того, чтобы научить решающих их школьников самостоятельно думать, анализируя неочевидные жизненные ситуации, приходя к пониманию первопричин разных явлений природы и жизни (а также к оценке возможных последствий принимаемых решений).

Дело в том, что за одной и той же (и даже иногда простой) математической процедурой скрываются порой совершенно разные жизненные ситуации, и арифметические задачи - прекрасный путь к умению в этих ситуациях разбираться» [2].

Для проверки эффективности использования арифметических задач для развития интеллектуальных способностей был разработан комплекс арифметических задач, предназначенный для учащихся 5-6 классов. Данный комплекс был экспериментально апробирован в нескольких школах г. Ельца. Согласно полученным результатам, учащиеся, решавшие арифметические задачи комплекса в экспериментальных группах, показали более высокие результаты по сравнению со своими сверстниками. Улучшение было особенно заметным в тестах на математическое мышление, вербальный интеллект. Меньшая положительная динамика была отмечена в тестах на логическое мышление, память. Тесты на пространственное, геометрическое мышление не выявили существенной разницы между контрольными и экспериментальными группами. Таким образом, арифметические задачи могут быть использованы в качестве средства для развития мышления школьников.

Библиографический список

1) Федеральный закон РФ «Об образовании». - М.: Омега-Л, 2009.

2) Арнольд И.В. Принципы отбора и составления арифметических задач.- М.:МЦНМО, 2008..

3) Шевкин А.В. Текстовые задачи в школьном курсе математики/ Роль текстовых задач в школьном курсе математики. Лекции 1-4. - М., 2006.

4) Дункер К. Психология продуктивного мышления // Психология мышления / Под ред. А.М. Матюшкина. - М.: Прогресс, 1965.

5) Крутецкий В.А. Психология математических способностей школьников. -М., 1968.

6) Талызина Н.Ф. Педагогическая психология. - М., 1998.

7) Юрцева Л.Я. Особенности умственной деятельности учащимися в процессе решения задач алгебраическим и арифметическим способами: автореф. дис. ... канд. пед. наук. -М., 1971.

РЕАЛИЗАЦИЯ ИДЕЙ ПРОБЛЕМНОГО ОБУЧЕНИЯ ПРИ ИЗУЧЕНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Н.Н. Морозова, Л.К. Проскурякова

В статье проанализированы основные особенности проблемного обучения и условия создания проблемных ситуаций. На примере изучения отдельных разделов дифференциального исчисления функций нескольких переменных продемонстрированы возможности создания проблемных ситуаций и возможные способы их разрешения.

Ключевые слова: проблемное обучение, проблемная ситуация.

Среди профессионально значимых качеств личности выпускников технических вузов одними из ведущих являются творческое мышление, способность к самостоятельному проведению научных исследований, умение оперативно ориентироваться и принимать правильные решения в нестандартных ситуациях, готовность к успешному освоению новых областей профессиональной деятельности. Несомненно, такие качества могут быть сформированы лишь в ходе целенаправленной, систематически проводимой работы. Важнейшим условием ее успешности служит соответствующая организация учебно-познавательной деятельности обучающихся, предполагающая использование педагогических методов и технологий, стимулирующих их личностно-профессиональное становление, готовность к предстоящей плодотворной деятельности в условиях все более ускоряющихся темпов научно-технического прогресса. Несмотря на всё более растущий дефицит

учебного времени и постоянно обновляющийся научный арсенал, образовательный процесс вуза призван удовлетворять потребности молодого человека в его стремлении к познанию мира, к приобретению знаний и, вместе с тем, к интеллектуальному развитию, максимальному раскрытию и использованию своих способностей и познавательных возможностей. В связи с этим возникает необходимость рационального синтеза традиционного «сообщающего» преподавания и проблемного обучения при соблюдении требований модернизации содержания преподаваемых курсов, оптимизации баланса учебного времени, отводимого для различного вида аудиторных занятий, органичной реализации основных дидактических принципов: научности и посильности, проблемности и системности, историзма и последовательности и т.д. (О.В. Зимина).

Проблемное обучение представляет собой разновидность развивающего обучения, детерминированного системой проблемных ситуаций, в котором самостоятельная поисковая деятельность обучающихся сочетается с усвоением готовых научных понятий, выводов и способов деятельности, а процесс взаимодействия преподавания и учения ориентирован на развитие познавательной самостоятельности и мыслительных способностей обучающихся, формирование устойчивых мотивов учения (М.И. Махмутов). Механизмом реализации проблемного обучения является создание проблемных ситуаций в условиях двуединого процесса - процесса проблемного преподавания и проблемного учения.

Проблемные ситуации представляют собой поисковые учебно-познавательные задачи, для решения которых необходимо самостоятельно найти специальный способ, механизм действия или сгенерировать недостающие знания. Основными этапами мыслительной деятельности обучающихся в условиях проблемной ситуации (созданной преподавателем или самими обучающимися) являются: формулировка проблемы; ее анализ, в результате которого происходит осознание трудностей и их источников в решении этой проблемы; выдвижение гипотез решения; определение механизмов обоснования и проверки правильности гипотез; собственно проверка гипотезы; анализ правильности решения проблемы; исследование и систематизация полученного результата, например, определение оптимальности реализованного способа решения проблемы, оценка теоретического и практического значения результата и др.

Для создания проблемных ситуаций необходимы следующие условия: осознание обучающимися недостаточности имеющихся у них знаний для объяснения нового факта, решения поставленной задачи, ответа на предложенный проблемный вопрос; необходимость использования ранее усвоенных знаний в новых, незнакомых условиях; выявление противоречия между теоретически возможным способом решения задачи и его практической невыполнимостью; отсутствие необходимых знаний для теоретического обоснования полученного практического результата (А.М. Данченко). Кроме того, содержательная сторона возникающих проблемных задач

должна представлять интерес для обучающихся, и эти задачи должны быть им, в принципе, посильны, поскольку они требуют от обучающихся самостоятельного поиска специальных, оригинальных способов решения. В связи с этим для проблемного обучения принципиально важен подготовительный этап, в ходе которого преподаватель определяет готовность обучающихся к предстоящему усвоению нового материала, оценивает их индивидуальные возможности с тем, чтобы очертить круг ближайших проблем, доступных их пониманию (О.В. Зимина).

Продемонстрируем возможную реализацию идей проблемного обучения на примере преподавания отдельных разделов темы «Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных».

На первом занятии по теме предполагается знакомство обучающихся с понятием функции нескольких переменных, рассмотрение ее предела, непрерывности, частных производных первого и более высоких порядков.

Приступая к рассмотрению первого учебного вопроса «Функции нескольких переменных, основные понятия» вначале, на подготовительном этапе, обучающимся предлагается сформулировать понятия функции одного действительного переменного, её области определения и множества значений. Повторяются возможные способы задания функции, при этом делается акцент на особенностях графического способа. Затем обучающимся предлагается самостоятельно сформулировать понятие функции двух переменных (обобщив для этого понятие функции одного переменного), понятие функции трех переменных и, наконец, понятие функции п переменных. При этом выясняется то общее, что имеется в формулировке понятий «функция одного переменного» и «функция п переменных»: это правило (закон), согласно которому каждому элементу множества D. соответствует единственный элемент множества Е. Специфика же этих понятий состоит в том, что в случае функции одного переменного у - f(x) множества D и Е - числовые промежутки или их объединение. Тогда как в случае функции нескольких переменных, D есть область или объединение областей плоскости или п-мерного пространства ( п > 3 ), т.е. множество точек, имеющих две и более координат, а множество значений функции Е - по-прежнему некоторый числовой промежуток или объединение промежутков. В результате появляется возможность выяснить, что только функции одного и двух переменных допускают графическое представление. В конечном итоге обучающиеся убеждаются в целесообразности введения более компактного, нежели функция п переменных, понятия функции точки: u = f (M), где М(х\ ;х2 .

Далее возникает потребность в распространении понятий предел и непрерывность функции одного переменного на случай функции точки. Так выстраивается очередная проблемная ситуация, предполагающая самостоятельное введение обучающимися определения предела функции точки. Они вспоминают понятие предела, изученное ранее для функции одного переменного у =f(x). Затем, делая попытки практически дословного его вое-

произведения применительно к функции точки и — f (M), как правило, записывают некорректное неравенство 0 < \м - Mq \<ös. Его анализ актуализирует необходимость рассмотрения понятия расстояния между двумя точками ^-мерного пространства как обобщения геометрической иллюстрации модуля разности |х—xq| . В результате для обучающихся становится понятной необходимость аргументированного использования метода аналогий, и вместе с тем решается одна из задач проблемного обучения - борьба с «очевидным» (О.В. Зимина).

Кроме того, задача формулировки определения предела функции на языке «окрестностей» порождает необходимость введения понятия окрестности точки ^-мерного пространства. Последнее понятие успешно самостоятельно формулируется обучающимися после предварительного «вспоминания» геометрической иллюстрации понятия окрестности точки числовой прямой, с последующим распространением его на случай точек 2-х и 3-хмерного пространства и анализом геометрической иллюстрации этих окрестностей. В последующем обучающиеся на языке «s-о» и языке «окрестностей» сами формулируют определение предела функции точки как осознанное обобщение понятия предела функции одного переменного и записывают это определение в символах математической логики.

где р(М;М$)- расстояние между точками M и Mq . При этом фиксируется внимание обучающихся на том, что, как и в случае с функцией одного переменного, точка Mq- предельная точка соответствующего множества D œR*1 , и потому это понятие также формулируется в ходе учебной дискуссии.

В итоге введения понятия предела функции точки с целью его закрепления обучающимся предлагается конкретизировать это понятие, например, для случая функции двух переменных с конкретизацией также формулы для нахождения расстояния между двумя точками на плоскости.

При реализации такого подхода к формулировке понятия предела функции точки формулировка понятия функции п переменных, непрерывной в точке, не вызывает затруднения и требует лишь повторения уже известного соответствующего понятия для функции одного переменного.

Подводя итог этого учебного вопроса, ещё раз подчеркивается тот факт, что функция одного переменного является частным случаем функции

нескольких переменных (функции точки), когда число переменных (число координат точки) равно единице. Отмечается, что при введении понятия функции использовался индуктивный метод, хотя возможен и дедуктивный подход к введению этого понятия, который предполагает вначале введение понятия функции точки с любым конечным числом координат, а затем уже его конкретизацию на случай функций трех, двух, одного переменного. Однако такой подход является более сложным для осознания базовых понятий и изначально не допускает сопутствующих графических иллюстраций, которые существенно облегчают понимание и усвоение материала, кроме того он фактически не опирается на школьные знания понятия функции.

Следующий учебный вопрос занятия посвящен рассмотрению частных производных функций нескольких переменных на примере функции двух переменных z = f(x,y).

После повторения понятия производной функции одного переменного обучающимся предлагается попытаться самостоятельно сформулировать определение частных производных функции двух переменных. И тогда естественно возникает вопрос, что из себя представляет в данном случае приращение функции, как оно может быть получено и какая величина должна стоять в знаменателе дроби под знаком предела. Как правило, в ходе дискуссии обучающиеся приходят к мнению, что в числителе соответствующей дроби должно стоять приращение функции по двум переменным, а вот что должно стоять в знаменателе - до конца не ясно. После анализа с геометрической точки зрения понятия «приращение аргумента» для случая функции одного переменного обучающиеся, как правило, приходят к выводу, что это - расстояние между первоначальной и новой, «наращенной» точкой. В итоге, чаще всего формулируется понятие производной, но не частной, как требовалось, а производной по направлению. Обучающимся приходится объяснить, что такое понятие существует в математике и они его будут изучать в дальнейшем, но оно не является равносильным понятию «частная производная». Более того, производная по направлению вычисляется специальным образом, и потому ограничиться одними лишь известными правилами и формулами дифференцирования для ее нахождения не удается. В результате приходится дополнительно фиксировать внимание обучающихся на формулировке учебного вопроса: «Частные производные функции нескольких переменных», подчеркивая слово «частные». И тогда уже большинство обучающихся понимают, что поскольку это - именно частные производные (их несколько), то и приращение функции должно быть частным, по одной из переменных, а в знаменателе дроби под знаком предела должно стоять соответствующее приращение аргумента. Благодаря такому подходу к введению понятия «частная производная» обучающиеся без труда формулируют определения частных производных zx, zy, указывают метод их нахождения и достаточно корректно формулируют соответствующее правило, распространяя его на случай функции произвольного числа переменных.

Последующее рассмотрение несложного примера на нахождение частных производных функции двух переменных, с которым практически всегда обучающиеся успешно справляются, позволяет им закрепить чувство явного удовлетворения от осознания своего познавательного роста и, вместе с тем, лишний раз убедиться в востребованности тех знаний и умений, которые они приобрели ранее. Затем на основе повторения физического и геометрического смысла производной функции у = f(x) обучающиеся самостоятельно формулируют геометрический и физический смысл частных производных функции z = f(x,y). При этом весьма полезна сопоставительная наглядная демонстрация геометрического смысла производной функции у = f{x) и частных производных zx, zy с использованием, например, кадров статической проекции.

Рассмотрение учебного вопроса о частных производных высших порядков практически не требует предварительного этапа. Обучающиеся сами формулируют понятие частной производной второго порядка. Однако на вопрос о том, сколько существует частных производных второго порядка функции двух переменных, как правило, дают ответ: «Две». И лишь более детальный анализ понятия частных производных второго порядка в сопоставлении с результатами решения рассмотренного ранее примера на дифференцирование конкретной функции двух переменных позволяет дать верный ответ. Затем обучающимся предлагается найти частные производные второго порядка для той же функции, первые производные которой они уже нашли. Анализируя полученные смешанные производные, они приходят к выводу, что эти производные равны, а когда узнают о существовании теоремы Шварца о равенстве смешанных производных понимают, что полученный результат не случаен.

Так в ходе дискуссии, совместной, достаточно продуктивной работы проходит это занятие. Несомненно, большими возможностями для реализации проблемного метода располагает и материал лекции «Экстремум функции двух переменных». На предварительном этапе рассмотрения учебного вопроса «Точки экстремума и экстремумы функции двух переменных. Необходимое условие экстремума» экспресс-повторение с использованием компьютерных технологий (в условиях дефицита учебного времени) основных положений и структуры соответствующего учебного вопроса, рассмотренного в теме «Дифференциальное исчисление функции одного переменного» существенно активизирует работу обучающихся. Уже тот факт, что эти вопросы даже практически одинаково формулируются, является для обучающихся показателем их смысловой и логической взаимосвязи. В результате проведенного повторения, обучающиеся сами определяют последовательность изложения учебного материала, пытаются формулировать необходимые понятия, теорему, выражающую необходимые условия экстремума функции двух переменных, предлагают способ ее доказательства на основе

использования известных фактов, связанных с экстремумом функции одного переменного.

Таким образом, важнейшая особенность проблемного обучения состоит в том, что оно представляет собой специфическую интеллектуальную деятельность обучающихся по моделированию и усвоению новых понятий и способов действий в условиях специально создаваемых проблемных ситуаций, обеспечивающую осознанную глубину и прочность знаний, развитие логического мышления, совершенствование навыков самостоятельной поисковой деятельности и, что характерно, протекающую в атмосфере эмоциональной, мыслительной и познавательной активности, существенно ее стимулируя. Не вызывает сомнения необходимость внедрения проблемного обучения в практику высшего образования. Более того, по мнению О.В. Зиминой, игнорирование методов проблемного обучения в массовом высшем образовании является одной из причин резкого снижения качества фундаментальной подготовки специалистов.

РЕАЛИЗАЦИЯ МЕЖПРЕДМЕТНЫХ СВЯЗЕЙ МАТЕМАТИКИ И ФИЗИКИ В ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ШКОЛЕ

Н.Г. Подаева, А.М. Меркулова

В статье раскрываются этапы реализации межпредметных связей математики и физики в 7-м классе общеобразовательной школы на примере интегрированного урока «Прямая пропорциональность и закон Гука».

Ключевые слова: межпредметные связи, элективный учебный предмет, интегрированный урок.

Известно, что в основе концепции математического образования находятся два основных аспекта: адекватная мотивация к обучению и ориентация на развитие способностей. При этом мотивация имеется в виду внутренняя по отношению к обучающемуся, а не внешняя (мотив достижения, материальный стимул). Главным «рычагом» такой мотивации является интерес к учению, который должен быть заложен не только и не столько в принципах доступности и наглядности, сколько в таком качестве, как интересность содержания и процесса учения. В этом качестве отражаются уже внешние предпосылки, такие как содержание образования, принятая манера его преподнесения, методическая поддержка учебного процесса, успешность достижений учащихся, ориентация процесса учения от зоны актуального до зоны ближайшего или даже проблемного развития. Основным принципом реализации описанного выше мотивационного аспекта мы считаем принцип прикладной направленности. Мотивационный аспект усиливается межпредметными связями: прикладная направленность математики реализуется

через другие науки, опосредованно. Математические модели (например, модель прямой пропорциональности) конкретизируются на внематематических примерах (например, законом Гука).

Разработанный нами элективный учебный предмет входит в школьный компонент базисного учебного плана и предназначен для учащихся 7-го класса в рамках предпрофильной подготовки, именно в 7-м классе завершается общеобразовательная подготовка по базовым предметам основной школы, и создаются условия для осознанного выбора профиля обучения в старшем звене. Наш интегрированный предмет направлен на мотивацию школьников к выбору физико-математического профиля.

Большинство учёных-педагогов при изучении интеграционных процессов в образовании рассматривают интеграцию как одну из форм связи между науками, а синтез знания - как результат переноса знаний, приёмов, методов из одной науки в другую, частичного совмещения их концептуальны полей с целью получения «субъективно нового знания». Так, например, при изучении нашего элективного предмета учащиеся воспринимают, что математическая формула служит для более краткой, сжатой записи соотношения между физическими величинами, а также для более удобного производства вычислений, а прямая пропорциональность является основой «субъективно нового знания» школьников о физическом законе Гука.

В науке выделяют три уровня интеграции:

1) уровень межпредметных связей (критерием интегративности является объединение вокруг одной темы материала нескольких предметов, которое предполагает наличие двух или более компонентов, отражающих содержание учебных дисциплин);

2) уровень дидактического синтеза (характеризуется содержательной интеграцией учебных предметов, определенным процессуальным синтезом, возникновением новых форм занятий, естественных связей между компонентами содержания);

3) уровень целостности (характеризуется полной содержательной и процессуальной интеграцией в рамках образования нового целостного предмета).

Основные формы организации интегрированного обучения - предметно-образная, понятийная, мировоззренческая, деятельностная, концептуальная.

В отличие от традиционного предметно ориентированного обучения, в содержании которого представлена одна какая-либо дисциплина, интегрированное обучение построено на объединении двух или более дисциплин. Наличие естественных связей обусловлено тем, что мир представляет собой целостность, а каждая учебная дисциплина отражает в себе какую-то его часть. Изучение реальных взаимосвязей между объектами и предметами окружающего мира невозможно без установления взаимосвязей между учебными дисциплинами. Многие дисциплины изучают общие объекты, законы.

Именно это дает возможность интегрировать содержание различных учебных предметов в единое целое.

Выделяют следующие способы интеграции обучения.

- «Склеивание» характеризуется слабой степенью интегрированности при равноправных отношениях между компонентами. Это соединение компонентов, имеющих общую тематическую направленность. Компоненты расположены последовательно, способы деятельности различны.

- «Симбиоз» - средняя сила интеграции при отношениях равенства компонентов. Он позволяет переплетаться и объединяться отдельным фрагментам урока, образуя общее информированное поле, которое решает общие для обоих компонентов задачи.

- «Размывание» - наивысшей силы взаимодействие при равноправии компонентов. Содержание компонентов сливается воедино. Их можно выделить только путем специального анализа.

- «Соподчинение» - средней силы интеграция неравных компонентов. Один (стержневой) компонент служит средством передачи другого.

- «Снятие»: один компонент, стержневой, полностью поглощает другой на основе их сильного взаимодействия. Вспомогательный компонент содержания не решает специфических задач.

- «Ретроспективное сопряжение»: содержание вспомогательного компонента становится средством решения целей и задач стержневого компонента. Предполагается сильное взаимопроникновение компонентов и интеграция способов учебной деятельности.

Выделяются три уровня интеграции компонентов структуры учебной деятельности в обучении.

- Слабая степень взаимодействия компонентов (соприкосновение) характерна для способа «склеивание».

- Средняя степень взаимодействия (неполное взаимопроникновение) характерна для способов «симбиоз» и «соподчинение».

- Сильная степень (слияние, переплетение) - для способов «ретрансляционное сопряжение», «снятие».

В содержательном плане двухкомпонентное обучение состоит из ориентировочной, исполнительской и результативной частей. Существуют три варианта их взаимодействия.

- Два вида учебной деятельности связаны общей темой и функционируют независимо друг от друга. Интегрированные процессы слабо выражены.

- Ориентировочные части совпадают. Исполнительские части автономны, то есть способы деятельности не интегрируются. Средняя сила интеграции.

- Переплетаются все части компонентов учебной деятельности, что соответствует сильной степени взаимодействия.

Таким образом, сила интеграционных процессов связана со степенью взаимопроникновения компонентов учебной деятельности. Каждый способ интеграции сопряжен с определенным вариантом взаимодействия.

В нашем исследовании мы раскрываем содержание интеграционного обучения на уровне межпредметных связей, предполагающем среднюю степень интеграции компонентов структуры учебной деятельности, характерную для способов «симбиоз» и «соподчинение». Основание для реализации интегрированного обучения дает возможность органичного сочетания компонентов учебной деятельности по предметам «Математика» и «Физика».

В рамках данной статьи покажем содержание интеграционного обучения на примере урока «Прямая пропорциональность и закон Гука», который входит в тематический план разработанного нами элективного учебного предмета. Урок проводит учитель математики, и это требует от него дополнительной подготовки в области физики.

Начнём анализировать урок с его целей. Обучающая цель: актуализация знаний по математике («Прямая пропорциональность», 7 класс) и по физике («Закон Гука», механика, 7 класс), а также синтез полученных знаний при взаимосвязанном их изучении на уроке. Следует сказать, что на уроке происходит закрепление ранее полученных знаний по каждому из предметов через осуществление межпредметных связей. На данном уроке учитель пытается развить логическое мышление, инициативу, самостоятельность и математическую речь учащихся. На уроке происходит также воспитание чувства товарищества, доброжелательности, коммуникативной культуры в процессе коллективной творческой деятельности при выполнении лабораторных заданий.

Перейдём к ходу урока. Начнём с организационного момента: учитель сообщает учащимся тему урока, рассказывает о том, чем они будут заниматься на протяжении всего урока и какой цели они должны достичь в конце. Актуализация знаний осуществляется в ходе проверки домашнего задания с помощью мультимедиа проектора, в виде фронтального опроса. Сначала учитель останавливается на математическом материале. Вызывает к доске одного ученика, который изображает на проекторе решённое домашнее задание. Оно представляет собой графики шести функций, изображенные в одной декартовой системе координат:

Затем задаёт перечень вопросов: Какая функция называется линейной? (Функция, задаваемая уравнением y=kx+b) Что является графиком такой функции? (Прямая) Что необходимо сделать для построения графика линейной функции? (Взять две точки) Каков геометрический смысл коэффициента b в формуле, задающей линейную функцию? (Точка пересечения графика с осью ординат) [1]. Далее учитель задаёт перечень вопросов по физике: Когда возникает сила упругости? (При деформации тела) Что называют деформацией тела? (Физическое явление, при котором изменяется форма или размеры тела) Какие виды деформаций вы знаете? (Растяжение, сжатие, изгиб, кручение, сдвиг) Какой физической величиной характеризуют деформацию? (Смещением) Какая формула выражает закон Гука? (F = -кх) [3]. На все эти вопросы ученики отвечают, поднимая руку. В конце этого этапа учитель обращает внимание учащихся на то, что формула y=kx+b, характеризующая прямую пропорциональность, при Ь=0 совпадает с формулой, выражающей закон Гука.

На следующем этапе урока происходит обобщение и систематизация знаний по физике в ходе выполнения лабораторной работы «Изучение зависимости силы упругости от деформации тела». Цель работы - проверить справедливость закона Гука. В качестве исследуемых тел учитель предлагает взять учащимся резиновый шнур и пружину динамометра и измерить модуль силы упругости динамометром с точностью до 0,1 H, а также удлинение шнура и пружины линейкой с точностью до 0,001 м. После соответствующего инструктажа учителя ученики приступают к выполнению работы: кладут на стол измерительную линейку, а на неё динамометр. За крючок динамометра цепляют петлю резинового шнура, а свободный конец прижимают пальцем к нулевому делению шкалы линейки. На резиновый шнур около его конца с петлёй наносят метку А (рис.) [4].

Ученики постепенно увеличивают натяжение шнура с помощью перемещения динамометра и через каждые 0,1 H записывают модуль силы упругости шнура и его удлинение. О последнем они судят по положению метки А на шнуре относительно шкалы линейки. Результаты, полученные в ходе эксперимента, ученики записывают в составленную ими таблицу и на их основании строят график зависимости силы упругости резинового шнура F (H) от его удлинения X (м):

В конце ученики делают вывод: сила упругости, возникающая при деформации тела, пропорциональна удлинению тела и направлена в сторону, противоположную перемещению частиц тела при его деформации.

На следующем этапе урока учитель выходит на прямую пропорциональность и формулировку закона Гука, тем самым осуществляя синтез знаний математики и физики. Для этого он обращает внимание учащихся на график, полученный в результате выполнения лабораторной работы, и просит ответить на вопросы:

1) Какую зависимость представляет собой данный график? (Линейная)

2) Чему равно значение коэффициента b в данной зависимости? (Нулю)

3) Как выглядит формула, задающая эту зависимость? (Fynp=kx) [2].

Исходя из этого, учитель поясняет, что график, иллюстрирующий закон Гука, представляет собой прямую, проходящую через начало координат, которая совпадает с графиком прямой пропорциональности при b=0. А также, что для построения графика прямой пропорциональности достаточно отметить какую-либо точку графика, отличную от начала координат, и провести через неё и начало координат прямую. Затем учитель предлагает рассмотреть с точки зрения математики функцию у=кх, где х - независимая переменная, к - не равное нулю число. Это есть прямая пропорциональность, и коэффициент к, характеризующий расположение графика функции и скорость изменения графика функции, - это угловой коэффициент. С точки зрения физики, проверенный в ходе лабораторного эксперимента закон Гука

ученики должны формулировать точнее, нежели они это делали в начале урока, а именно: модуль силы упругости при растяжении (или сжатии) тела прямо пропорционален изменению длины тела. И записать его в виде: I Fynp I = kx, где к - коэффициент пропорциональности, который называют жёсткостью, а x - удлинение тела.

На последнем этапе учитель подводит итоги урока, выставляет оценки, задаёт домашнее задание и комментирует его.

В дальнейшем мы планируем продолжить исследование проблемы реализации интеграционного обучения на уровне межпредметных связей математики и физики в 8-9-х классах общеобразовательной школы.

Библиографический список

1). Мордкович А.Г. Алгебра. 7-9 кл.: Методическое пособие для учителя. - М.: Мнемозина, 2000. - 143 с.

2). Тамашев Б.И. Некоторые вопросы связи между школьными курсами физики и математики // Физика в школе. - 1982. - № 2. - С. 54.

3). Физика. 7 кл.: Учеб. для общеобразоват. учеб. Заведений / Перышкин А. В. — 4-е изд., испр. — М.: Дрофа, 2007. — 192 с.

4). Фронтальные лабораторные занятия по физике в 7—11 классах общеобразовательных учреждений: Кн. для учителя / В.А. Буров, Ю.И. Дик, Б.С. Зворыкин и др.; Под ред. В.А. Бурова, Г.Г. Никифорова. — М.: Просвещение 2009. - 368 с.

ФОРМИРОВАНИЕ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ МЛАДШИХ ПОДРОСТКОВ ПО ОСВОЕНИЮ ПРИЁМОВ РЕШЕНИЯ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

Н.Г. Подаева, А.В. Саввина

В статье рассматриваются основные положения методической системы формирования у младших подростков приёмов решения арифметических задач, которые представляются авторам наиболее важными и доступными для реализации в рамках базовых и вариативных дисциплин в средней школе.

Ключевые слова: когнитивно-поведенческая концепция; ориентировочная основа действия; формирование обобщённых понятий; понятие о времени протекания процесса; форма действия; степень обобщения; мера развернутости; мера освоения.

Математика обычно считается одним из самых трудных предметов для понимания и усвоения, и это обусловлено тем, какое понимание природы человеческих способностей реализуется в процессе обучения математи-

ке, как представляется процесс развития интеллекта и характер отношений между обучением и развитием, какой психологический подход положен в основу образовательного процесса.

Наиболее давнюю традицию имеет так называемый когнитивный подход, разрабатываемый главным образом в рамках психологии и рассматривающий учение как разновидность познания в особых условиях обучения и управления познанием учащихся. Бихевиористское направление исходит из того, что познавательные способности индивида развиваются в ходе его опыта, поведения и определяет учение не только как усвоение знаний, но и усвоение опыта, связывает его с изменением поведения людей. Психологическая школа, ведущим представителем которой является Ж. Пиаже, объединила когнитивный и поведенческий подходы в общую когнитивно-поведенческую концепцию, трактующую учение как приобретение познавательного опыта, формирование умений как умственных действий, как совершенствование умственных, познавательных способностей, которые характеризуют развитие человека, а интеллект - как систему производных от предметных действий операций, взаимодействующих между собой таким образом, что они образуют некоторую целостную структуру. Согласно теории Ж. Пиаже, до стадии логических операций человек доходит к подростковому возрасту. Вместе с тем логические операции необходимы ребенку уже с первых шагов изучения математики. Если согласиться с точкой зрения Ж. Пиаже, то надо либо не изучать математику до подросткового возраста, либо изучать неадекватно, мириться с плохой успеваемостью. Принятие такой точки зрения означает, что учение должно опираться на достигнутый уровень развития, «идти сзади него». Такой подход отражает генетическую точку зрения на природу человеческих способностей, согласно которой развитие способностей подчиняется биологическим закономерностям. Если преподаватель придерживается такой точки зрения, то есть считает, что «математиками рождаются», то его главная задача состоит в выявлении этих способностей и в создании условий для самореализации учащихся.

Сторонники социальной природы законов развития человеческой психики по-другому решают вопрос соотношения учения и развития: во-первых, исходят из понимания того, что человеческие способности имеют не наследственную, а социальную детерминацию. Источник способностей - социальный опыт. Социальный опыт пополняется индивидуальными достижениями, но эти достижения имеют место только после того, как человек усвоит определенную часть этого опыта.

В русле такого подхода разработана когнитивно-поведенческая концепция поэтапного формирования умственных действий под руководством П.Я. Гальперина [1], [2]. Знание рассматривается как производное от действий и их усвоения. Само действие как предмет усвоения включает в себя предмет преобразования, продукт (цель), средства, процесс преобразования, а также отражение и знание обо всех перечисленных компонентах действия (ориентировочная основа действия - ООД). Процесс учения предстает в ви-

де операций, выполняющих три вида функций: 1) создание (построение) или актуализация имеющейся ООД (ориентировочные операции действия); 2) осуществление самого преобразования (исполнительские операции); 3) контроль и коррекция выполнения (контрольные операции). При этом ориентировочные операции действия - психологический механизм регуляции исполнительских и контрольных операций.

При раскрытии процесса интеллектуального развития учитывается, что оно идет по двум линиям. Первая линия - функциональное развитие. Она связана с накоплением все новых и новых видов интеллектуальных действий. Это линия количественных накоплений. Вторая линия интеллектуального развития - линия качественных изменений в функционировании интеллекта, его перехода с одной стадии на другую. Обучение имеет прямое отношение к первой из указанных линий развития, а через нее влияет и на вторую.

Такой подход к решению вопроса о соотношении учения и развития разделяет точку зрения Л.С. Выготского: «обучение ведет за собой развитие». Принятие такой точки зрения ставит проблему выявления условий, при которых учение дает наибольший эффект развития, определения таких видов познавательной деятельности, усвоение которых эффективно влияет на развитие.

Именно такой контекст рассмотрения вопроса о соотношении учения и развития позволяет нам говорить об актуальности проблемы формирования у младших подростков приёмов решения арифметических задач (в частности, задач на «процессы»). В основе нашей обучающей программы лежит теория поэтапного формирования умственных действий П.Я. Гальперина. Работая над проблемой, мы исходили из того, что психологической доминантой обучения должна быть ориентировочная основа действия - ООД. Учащиеся прежде всего должны освоить составляющие - ориентировочную основу, элементы - ориентировочные операции, действия, отношения, в которых они находятся, и метод их применения к условиям конкретной задачи.

В нашей программе обучения арифметике младших подростков основное внимание уделено формированию у учащихся общего метода составления ориентировочной основы приёма решения, на базе которого учащиеся могли бы самостоятельно определить его исполнительную часть, соответствующую условиям конкретной задачи. Мы придерживались следующих этапов формирования ориентировочной основы приёма решения.

1. Формирование обобщённых понятий о трёх основных величинах, составляющих специфику всех ситуаций, описываемых в задачах «на процессы».

А. Результат («продукт») протекания какого-либо процесса (количество продуктов труда, пройденный путь и т. д.) или то, что должно быть «уничтожено» этим процессом (семена, которые должны быть посажены; корм, который должен быть скормлен; объём воды, который должен вытечь и т.д.). В дальнейшем эту величину мы будем обозначать S .

Б. Время протекания процесса Т.

В. Скорость протекания процесса V, то есть та часть S, которая получается («уничтожается») в единицу времени.

2. Усвоение отношений, существующих между величинами. Определение каждой из них, как функции от двух других.

A. Результат любого процесса (S) является функцией от времени ( Т ) и скорости ( V ), т. е. S — V -Т.

Б. Время протекания процесса находится в зависимости от величины продукта и от скорости протекания процесса: Т = S \ V .

B. Скорость протекания процесса определяется как V = S \Т .

3. Усвоение отношений между частным (ч) и общим (о) значениями каждой величины. При условии, что в процессе действуют несколько участников, каждая величина выступает не только как зависимая, функция ( f ) от других величин, но и как функция от частных (общих) значений самой этой величины:

4. Формирование общего метода моделирования любой ситуации, описываемой в задачах «на процессы».

При формировании деятельности по усвоению отношений между общим и частным значениями рассматриваемых величин мы предлагали ситуации «с одним участником процесса», затем переходили к рассмотрению задач «с несколькими участниками». В ситуации «совместного действия» происходило расширение содержания как самих основных величин, так и функциональных отношений между ними. Сначала каждая величина должна быть рассмотрена в том плане, является ли она «частной» или «общей», то есть относится только к одному «участнику» процесса или ко всем.

Формирование понятий об основных величинах процесса доводилось до речевой и умственной форм; формирование методов моделирования проблемных ситуаций, предложенных в задаче, оставалось в материализованной форме.

Остановимся подробнее на формировании деятельности учащихся по усвоению понятия о времени протекания процесса, что предполагает создание условий, обеспечивающих овладение следующими мыслительными приемами и соответствующими им умениями: 1) умение выделять начало и конец отсчёта времени; 2) дифференцировать такие понятия, как момент времени и временной интервал; 3) выделять единицы времени; 4) измерять время.

В нашей методике мы опирались на так называемые «пространственные модели». Рассмотрим подробно процесс организации усвоения понятия о времени протекания процесса на примере следующих заданий. Учащимся предлагалось с помощью отрезка изобразить единицы времени и временные промежутки. Это способствовало формированию умения дифференцировать момент времени и временной интервал. Так, например, мы

предлагали учащимся изобразить 1 час в виде отрезка длиной в 1 см., а затем показать интервал в 5 часов. При этом давались указания: «Покажите первый час, последний», «Заштрихуйте синим карандашом первые 2 часа», «Обведите красным карандашом последние 3 часа». Особое внимание уделялось интервалам времени с переходом через 12 часов дня и 12 часов ночи. Учащимся предлагалось, например, задание: «Изобразите время, в течение которого вы спите». Как правило, это был временной интервал с 10 вечера до 7 утра. Учащиеся фиксировали начало отсчёта (10 часов вечера), а затем каждый последующий час. В результате подсчитывали число единичных отрезков. Постепенно количество действий сокращалось. Школьники изображали временные интервалы с 10 вечера до 12 ночи, а затем с 12 ночи до 7 утра. Предлагалось задание: «Определите количество часов между 6 часами вечера и 10 часами утра». Её модель всеми учащимися была записана следующим образом: счёт проводился сначала от 6 до 12, а затем от 12 до 10 , полученные числа складывались, результат соответствовал временному интервалу между 6 часами вечера и 10 утра.

Умения выделять начало и конец отсчёта времени, дифференцировать такие понятия, как момент времени и временной интервал, выделять единицы времени, измерение времени было достаточно легко освоено учащимися и доведено до речевой формы. В материализованной форме предлагалось 5-7 заданий, затем школьники устно, без опоры на модели решали задачи такого типа, то есть переходили к речевой форме. Рассмотрим один из примеров.

«Ученик Саша А.

Учитель: Сколько часов от 8 утра до 12 дня?

Ученик Саша А.: С 8 до 12? Здесь нет перехода через 12, поэтому из 12 вычитаем 8, получаем 4. Ответ - 4 часа. Учитель: А с 8 утра до 12 ночи?

Ученик Саша А.: А здесь уже имеем переход через 12. С 8 утра до 12 дня - 4 часа, а с 12дня до 12 ночи - 12 часов. Складываем 4 и 12, получаем 16. Ответ - 16».

В речевой форме рассматривалось 5-6 заданий, где были и сюжетные, в которых время выступало как часть какого-либо процесса: «сколько времени занимает дорога из школы домой?»; «сколько времени вы решаете задачу?»; «сколько часов вы проводите в школе?» и др.

Дальнейшее формирование понятия времени и доведение его до умственной формы проходило в процессе усвоения понятий «продукта процесса» и «скорости процесса».

В нашей методике формирования понятий о продукте (результате) процесса (S) и скорости (V) для материализации продукта процесса использовались полоски бумаги, а также изображение в виде отрезков прямой. При работе с понятием продукта (результата) процесса внимание учащихся обращалось на сам процесс, на время его протекания, на выделение участников процесса (действующих сил), на установление принадлежности продукта и времени его получения одной и той же действующей силе. Учащиеся отдельно моделировали продукт (результат) процесса и время протекания процесса. Например, в задаче говорилось, что за 20 минут мальчик решает 5 примеров. Модель задачи представляла собой два отрезка. Верхний отрезок обозначался символом S, нижний - Т, при этом он был разделен на 20 равных частей. Мы предлагали учащимся задания: «покажите на моделях время работы, её начало и конец», «покажите результат работы». Для выделения времени и продукта, относящихся к одному участнику процесса, отрезки, изображающие эти величины, соединялись стрелками. Наглядно это выглядит следующим образом.

При проведении количественной и качественной оценки результатов, полученных при обучении приёмам решения арифметических задач «на процессы» посредством формирования ориентировочной основы действия, мы исходили из тех независимых характеристик, которые выделяются для действий и знаний в теории П.Я. Гальперина [1]: форма действия, степень обобщения, мера развернутости и мера освоения.

Что касается формы действия, то при формировании у младших подростков приёмов решения задач на «процессы» каждый из компонентов переносился в идеальный план или целиком (ориентировочная и исполнительская части), или частично в их ориентировочной части. Чаще всего до умственной формы доводилась ориентировочная часть, а исполнительная часть оставалась материализованной. В нашей программе основное внимание уделено формированию у учащихся общего метода составления ориентировочной основы приёма решения, на базе которого учащиеся могли бы самостоятельно определить его исполнительную часть, соответствующую

условиям конкретной задачи. Мы придерживались следующих этапов формирования ориентировочной основы приёма решения.

1. Формирование обобщённых понятий о трёх основных величинах: результат («продукт»); время протекания процесса; скорость.

2. Усвоение отношений, существующих между величинами.

3. Усвоение отношений между частным и общим значениями каждой величины.

4. Формирование общего метода моделирования ситуации, описываемой в задачах.

Формирование понятий об основных величинах процесса доводилось до речевой и умственной форм; формирование методов моделирования проблемных ситуаций, предложенных в задаче, оставалось в материализованной форме.

Что касается степени обобщения, то для того чтобы была обобщена предметная часть умения по решению арифметических задач, необходимо «восхождение от общего к частному»: при составлении заданий следует учитывать все типичные ситуации, описываемые в задачах «на процессы», с которыми может встретиться учащийся. Например, результат («продукт») протекания какого-либо процесса - это может быть количество продуктов труда, пройденный путь и т.д., или то, что должно быть «уничтожено» этим процессом - семена, которые должны быть посажены; корм, который должен быть скормлен; объём воды, который должен вытечь и т.д.

Для того чтобы действие было развернутым, при формировании у младших подростков действия по решению арифметических задач необходимо строгое и последовательное выполнение учащимся всех операций, составляющих содержание этого действия. Так, например, при формировании действия по измерению времени протекания процесса необходимо строгое и последовательное выполнение всех операций, составляющих содержание этого действия: 1) определение начала и конца отсчёта времени; 2) дифференцирование момента времени от временного интервала; 3) выделение единиц времени как определённых временных интервалов; 4) измерение времени. В результате при переходе с этапа на этап состав реально выполняемых операций уменьшается, действие становится сокращённым, свернутым.

Мера освоения включает в себя быстроту выполнения действия и степень автоматизированности. При переходе ориентировочной части действия с материализованной формы на умственную (в идеальный план) время по выполнению действия сокращается.

Таким образом, обобщенное умение решения арифметических задач (в частности, задач на «процессы») состоит из четырёх компонентов, адекватных совокупности объективных условий, обеспечивающих безошибочное выполнение любого элементарного задания. Каждая конкретная задача при этом выступает как частный случай реализации общих компонентов.

Для диагностики усвоения сложных умений решения арифметических задач (в частности, задач на «процессы»), трудно усваиваемых учащимися, мы разделили их на составляющие простые умения. Например, формирование умения измерять время протекания процесса предполагает создание условий, обеспечивающих овладение следующими составляющими его простыми умениями: 1) выделять начало и конец отсчёта времени; 2) дифференцировать такие понятия, как момент времени и временной интервал; 3) выделять единицы времени. Текст диагностической самостоятельной работы состоял из тренировочных упражнений по выполнению простых умений. Выполнение работы оценивалось поэлементно. Сравнивая результаты выполнения простых умений, мы определили, какое из них не доведено до автоматизма и представляет собой причины общего «сбоя».

Библиографический список

1) Гальперин, П.Я. Основные результаты исследований по проблеме «Формирование умственных действий и понятий» / П.Я. Гальперин. - М., 1965.

2) Гальперин, П.Я. Развитие исследований по формированию умственных действий / П.Я. Гальперин // В сб.: Психологическая наука в ССР. -Т.1.-М, 1959.

3) Формирование приемов математического мышления / Под ред. Н.Ф. Талызиной. - М., 1995.

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АКТИВНЫХ МЕТОДОВ ОБУЧЕНИЯ ДЛЯ ПРОФЕССИОНАЛЬНО-ЛИЧНОСТНОГО РАЗВИТИЯ И ВОСПИТАНИЯ КОНКУРЕНТОСПОСОБНОГО СПЕЦИАЛИСТА

О.Н. Прокуратова

В статье рассматривается актуальность и возможности использования некоторых активных методов обучения для профессионально-личностного развития и воспитания конкурентоспособного на рынке труда специалиста.

Ключевые слова: активные методы обучения, неимитационные и имитационные методы, дискуссия, эвристическая беседа, теория решения изобретательских задач, метод организованных стратегий, метод синектики.

В современных условиях актуальным становится уровень профессионального мастерства выпускника вуза, связанный с изменениями на рынке труда. Первостепенное значение приобретают профессионально-значимые

личностные качества как основа конкурентоспособности. Как показывают исследования, усиливается потребность инструментального наполнения образования: оно должно дать те знания и умения, сформировать те качества личности, которые пригодятся в любой сфере трудовой деятельности. Одними из центральных задач обучения (в частности математике) являются формирование активного, деятельного отношения развивающейся личности к познанию мира и себя в этом мире, вынесение оценки миру и сосредоточенным в нем ценностям, а также изменение мира. Решение этих задач требует использования содержания, форм, методов, направленных на активизацию обучения, которая, в свою очередь, реализуется за счет создания дидактических и психологических условий осмысленности учения, включения в него студента на всех трех уровнях интеллектуальной, личностной и социальной активности.

Сущность активного обучения выражается в переходе от преимущественно регламентирующих, алгоритмизированных, программированных форм и методов организации дидактического процесса к развивающим, проблемным, исследовательским, поисковым, обеспечивающим рождение познавательных мотивов и интересов, условий для творчества в обучении (А.А. Вербицкий). Так называемое активное обучение реализуется через систему активных методов обучения.

Активные методы обучения (АМО) - это методы обучения, которые побуждают обучаемых к активной мыслительной и практической деятельности в процессе овладения материалом.

Для них характерны следующие признаки:

- высокая степень включенности студентов в процесс обучения;

- их активность в процессе разных видов учебной деятельности; -совпадение познавательных интересов преподавателя и студентов; -интенсификация процесса обучения;

- коллективное форсирование усилий; -наличие обратных связей в обучении;

-мотивация обучения не только лично, но и социально значимая; -возможность моделирования целостного содержания будущей профессиональной деятельности благодаря формам обучения. Познавательная активность проявляется в трех видах:

1) в активности воспроизведения, выраженной в стремлении студентов понять, запомнить, воспроизвести знания, овладеть способами применения по образцу;

2) в активности интерпретации, проявляющейся в стремлении студентов постичь смысл изучаемого, установить связи, овладеть способами применения знаний в измененных условиях;

3) в творческой активности, предполагающей самостоятельный поиск решения проблем, интенсивное проявление познавательных интересов.

Показателем активности обучаемого становится интеллектуально-эмоциональный отклик на процесс познавания, стремление к творческой ин-

терпретации индивидуальных и коллективных учебных заданий, интерес к деятельности преподавателя и других студентов.

При использовании АМО на конкретном учебном занятии преподаватель решает ряд довольно сложных задач. Например, формирование навыков продуктивного общения в условиях учебного процесса, в той или иной мере приближенных к реальным условиям; развитие умения аргументировать свою точку зрения, четко формулировать и ясно излагать свои мысли или способности анализировать сложные ситуации, выделять главные и второстепенные причины их возникновения, находить средства и способы их разрешения.

Значение АМО определяется и тем, что они обеспечивают переход от организации всего учебного процесса преподавателем к самоорганизации этого процесса обучающимися. Данный тезис положен в основу довольно большой группы современных личностно ориентированных технологий обучения. Существует несколько классификаций АМО. Традиционная классификация разделяет их на две большие группы:

1) неимитационные методы, нацеленные преимущественно на активизацию восприятия теоретического материала, самостоятельной переработки и осмысления учебно-научной информации с установкой на её воспроизведение;

2) имитационные методы, предполагающие моделирование будущей реальной деятельности специалиста.

Первая группа методов формирует у студентов и коммуникативные навыки, и аналитические - в виде умения строить доказательства, формулировать собственную позицию в понимании проблемы и искать творческие пути её решения. Методы второй группы разделяются на неигровые (анализ конкретных ситуаций, исследовательские задания) и игровые (деловые, ролевые, тренинг).

Исходя из практики преподавания дисциплин математического профиля на физико-математическом и экономическом факультетах ЕГУ им. И.А. Бунина, считаю наиболее актуальными следующие активные методы обучения:

- дискуссия (в том числе групповая дискуссия);

- эвристическая беседа;

- теория решения изобретательских задач;

- метод организованных стратегий;

- метод синектики.

Библиографический список

1. Педагогика профессионального образования / Под редакцией В.А. Сластенина. - М.: «Академия», 2007.

2. Морева Н.А. Технологии профессионального образования. - М.: «Академия», 2007..

3. Чернилевский Д.В., Морозов А.В. Креативная педагогика и психология.- М.: «Академия», 2002.

4. Чернилевский Д.В., Моисеев В.Б. Инновационные технологии и дидактические средства современного профессионального образования.- М.: «Академия», 2002.

ТИПЫ И СТРУКТУРА СОВРЕМЕННОГО УРОКА

Н.В. Романова

В статье «Типы и структура современного урока» рассматриваются типология уроков, структура и этапы урока (организационный, проверочный, усвоения и понимания учащимися новых знаний, информирования о домашнем задании, подведение итогов урока ).

Ключевые слова: уроки, знания, умения, навыки, обобщения и систематизация, контроль, коррекция и компетенции.

Типы и структура современного урока

I. Урок - это клеточка педагогического процесса. В нем, как солнце в капле воды, отражаются все его стороны. Если не вся, то значительная часть педагогики концентрируется в уроке.

Хороший урок - дело не простое даже для опытного учителя. Рождение любого урока начинается с сознания и правильного, четкого определения его конечной цели - чего учитель хочет добиться; затем установления средства - что поможет учителю в достижении цели, а уж затем определения способа - как учитель будет действовать, чтобы цель была достигнута.

II. Типология уроков

Исходя из дидактической цели, цели организации занятий, содержания и способов проведения уроков, выделяют пять традиционных типов уроков:

• Уроки изучения нового учебного материала (1-й тип);

• Уроки совершенствования знаний, умений и навыков (сюда входят уроки формирования умений и навыков, целевого применения усвоенного и др.) (2-й тип урока);

• Уроки обобщения и систематизации (3-й тип);

• Комбинированные уроки (4-й тип);

• Уроки контроля и коррекции знаний, умений и навыков (5-й тип).

Нетрадиционные формы урока:

• ролевые и деловые игры;

• урок-путешествие;

• круглый стол или конференция;

• урок-состязание;

• пресс-конференция;

• урок-соревнование;

• урок-КВН;

• урок-викторина;

• урок-брифинг;

• урок-диспут;

• межпредметный интегрированный урок;

• урок-конкурс...

III. Структура уроков

А теперь поговорим о структуре урока.

Структура урока - это совокупность различных вариантов взаимодействий между элементами урока, возникающая в процессе обучения и обеспечивающая его целенаправленную действительность.

Каждый тип урока имеет свою структуру. Но каким бы ни был тип урока, основными этапами являются классические. А именно:

I. Организационный этап

• Дидактическая задача этапа. Подготовить учащихся к работе на уроке, определить цели и задачи урока.

• Содержание этапа. Взаимные приветствия учителя и учащихся; фиксация отсутствующих; проверка внешнего состояния классного помещения; проверка подготовленности учащихся к уроку; организация внимания и внутренней готовности.

• Требования к реализации дидактической задачи урока, кратковременная организация процесса (1-1,5 минуты).

II. Этап всесторонней проверки домашнего задания

• Дидактическая задача этапа. Установить правильность и осознанность выполнения всеми учащимися домашнего задания; выяснить степень усвоения заданного на дом материала; устранить в ходе проверки обнаруженные проблемы в знаниях.

• Показатели выполнения дидактической задачи урока. Возможность учителя за короткий промежуток времени (5-7 минут) установить уровень знаний у большинства учащихся и типичные недостатки.

• Ошибки, допускаемые при реализации. Однообразие уроков и методов опроса; отсутствие учета индивидуальных особенностей учащихся и специфики изучаемого материала.

III. Этап всесторонней проверки знаний

• Дидактическая задача этапа. Различными методами глубоко и всесторонне проверить знания учащихся; выявив причины обнаруженных пробелов в знаниях и умениях; стимулировать опрашивае-

мых и весь класс к овладению рациональными приемами учения и самообразования.

• Условия достижения положительных результатов. Использование самых различных методов проверки знаний, начиная с фронтальной беседы, индивидуального опроса и кончая тестовой проверкой, которая дает возможность за 10-15 минут получить ответы всего класса на 10-20 вопросов.

IV. Этап подготовки учащихся к активному и сознательному усвоению нового материала

• Дидактическая задача этапа. Организовать и направить к цели познавательную деятельность учащихся.

• Содержание этапа. Сообщение цели, темы и задачи изучения нового материала; показ его практической значимости; постановка перед учащимися учебной проблемы.

• Условия достижения положительных результатов. Предварительная формулировка учителем цели, оценка значимости для учащихся нового учебного материала, учебной проблемы.

V. Этап усвоения новых знаний

• Дидактическая задача этапа. Дать учащимся конкретное представление об изучаемых фактах, явлениях, основной идеи изучаемого вопроса, а также правила, принципы, законы. Добиться от учащихся восприятия, осознания, первичного обобщения и систематизации новых знаний, усвоения учащимися способов, путей, средств, которые привели к данному обобщению; на основе приобретаемых знаний вырабатывать соответствующие ЗУН.

• Условия достижения положительных результатов. Использование приемов, усиливающих восприятие существующих сторон изучаемого материала. Полное и точное определение отличительных признаков изучаемых объектов и явлений; вычисление в изучаемых объектах, явлениях наиболее существенных признаков и фиксация на них внимания учащихся; использование приемов мышления. Постановка перед учащимися проблемной ситуации, постановка эвристических вопросов.

VI. Этап проверки понимания учащимися нового материала

• Дидактическая задача этапа. Установить, усвоили или нет учащиеся связь между фактами, содержание новых понятий, закономерностей, устранить обнаруженные проблемы.

• Содержание этапа Проверка учителем глубины понимания учащимися учебного материала, внутренних закономерностей и связей сущности новых понятий.

• Основной критерий выполнения дидактической задачи - уровень осознанности нового материала большинством слабых и средних учеников.

VII. Этап закрепления нового материала

• Дидактическая задача этапа. Закрепить у учащихся те знания и умения, которые необходимы для самостоятельной работы по этому материалу.

• Показатели выполнения дидактической задачи урока. Умение учащихся соотносить между собой факты, понятия, правила и идеи; умение воспроизводить основные идеи нового материала, умение выделить существенные признаки ведущих понятий, конкретизировать их. Активность учащихся.

VIII. Этап информирования учащихся о домашнем задании, инструктаж по его выполнению

• Дидактическая задача этапа. Сообщить учащимся о домашнем задании, разъяснить методику его выполнения и подвести итоги работы.

• Содержание этапа. Дать инструктаж по его выполнению; проверка понимания учащимися содержания работы и способов ее выполнения.

• (!!!) Ошибки, допускаемые при реализации Информация о домашнем задании после звонка. Большой объем и высокая сложность. Отсутствие инструктажа, ясности цели и способов выполнения.

IX. Подведение итогов урока

• Дидактическая задача этапа. Проанализировать, дать оценку успешности достижения цели и наметить перспективу на будущее.

• Содержание этапа. Самооценка и оценка работы класса и отдельных учащихся.

Другие типы уроков обязательно должны включать в себя следующие этапы:

• организация начала урока;

• подготовка к активному усвоению нового учебного материала;

• информация о домашнем задании; инструктаж о его выполнении.

В качестве основного этапа выступает этап, отвечающий основной обучающей цели данного урока.

После каждого этапа урока надо подводить небольшой итог и давать логическую установку к следующему.

Итог урока подводят дети, но значительную точку ставит учитель, где он повторяет цель урока и обговаривает с учащимися, насколько поставленная задача на урок была выполнена, и в полном ли объеме достигнута цель.

И последнее: многие из нас пользуются методичками для планирования и проведения уроков. Но, я думаю, не открою тайну, если скажу, что эти методички создаются для виртуального среднестатистического ученика. Поэтому настоятельно рекомендую при использовании методичек учитывать

индивидуальные и возрастные особенности не только разных классов в параллели, но и конкретных учеников. Всем удачи!!!

Библиографический список

1) Х.Лау. Руководство по информационной грамотности для образования на протяжении всей жизни. Русский перевод МОО ВПП Юнеско «Информация для всех», 2006г. http://archive.ifla.org/VII/s42/pub/IL-Guide/lines2006-ru.pdf

2) Воровщиков С.Г. «Продуктивные деловые игры во внутришкольном управлении». Теория, технология: Учебное пособие. - М.: ЦГЛ, 2005.

3) Зинченко В.П. Психологические основы педагогики. - М., 2002.

4) Концепция информации образовательного процесса в системе Департамента образования г. Москвы http://www.educom.ru/ru/downloads/koncepinfrazv.doc

5) Бабанский Ю.К. Оптимизация учебно-воспитательного процесса: (Методические основы). - М.,1982.

6) Клингберг Л. Проблемы теории обучения. - М., 1984.

7) Куписевич Ч. Основы общей дидактики. - М., 1986.

8) Леднев В.С. Содержание образования. - М., 1989.

9) Лернер И.Я. Дидактические основы методов обучения. - М., 1981.

10) Мрев И. Методологические основы дидактики. - М., 1987.

11) Оконь В. Введение в общую дидактику. - М., 1990.

12) Ситаров В.А. Дидактика. - М., 2004.

13) Джуринский А.Н. Развитие образования.

14) Далингер В.А. Методика реализации внутрипредметных связей при обучении математике. - М.: Просвещение, 1991.

15) Джуринский А.Н. Развитие образования в современном мире. - М.: ВЛАДОС, 1999.

16) Епишева О.Б., Крупич В.И. Учить школьников учиться математике: Формирование приемов учебной деятельности. - М.: Просвещение, 1990.

17) Ингенкамп К. Педагогическая диагностика. - М.: Педагогика, 1991.

ИНТЕНСИФИКАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ В РАМКАХ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ

Т.Е. Рыманова

В статье рассматриваются методические аспекты обучения математике в современных условиях. Подводятся некоторые итоги экспериментально-исследовательской деятельности по интенсификации математического образования.

Ключевые слова: интенсификация математического образования, оптимизация образовательного процесса, экспериментально-исследовательская деятельность.

С 2006 года в МОУ СОШ №15 г. Ельца Липецкой области реализуется программа экспериментально-исследовательской деятельности «Оптимизация образовательного процесса». В данном проекте рассматривается вопрос соотношения здоровья, развития и обучения. Поиск возможностей решения этой проблемы составляет суть экспериментальной деятельности. Работа включает в себя три аспекта:

- оптимизацию образовательного пространства в 5-6 классах;

- оптимизацию предпрофильной составляющей образовательного процесса в рамках технологического подхода;

- оптимизацию модели внутришкольной профилизации с учётом педагогики оздоровления.

Цель исследования заключалась в создании инновационных моделей оптимизации образовательного процесса на основе системного и технологического подходов, а также педагогики оздоровления на разных ступенях обучения. Экспериментальная работа велась в двух направлениях: естественнонаучном и гуманитарном.

Составной частью реализуемого проекта является программа «Интенсификации математического образования». Анализ состояния школьного образования убедил нас в необходимости осуществления экспериментальной деятельности.

В начале исследования мы провели в 5 и 6 классах апробирование учебников по математике (Г.К. Муравин, О.В. Муравина) [1,2]. Это позволило уплотнить материал базового курса. В результате в 5 классе изучался как материал традиционный, так и дополнительные вопросы из 6 класса («Рациональные числа»). Для реализации принципа доступности был разработан подкрепляющий курс «Арифметика». Необходимо отметить, что одни классы участвовали в этой программе, другие - нет. Тем не менее, курс «Арифметика» рассматривался как школьный предмет, был внесён в учебный план и являлся обязательным для всех учащихся [5]. В результате к концу 5 класса школьники достаточно свободно работали с дробями. В шестом - для изучения осталась одна тема «Отрицательные и положительные числа». Резервное время позволило изучить отдельные вопросы из алгебры 7 класса. Таким образом, стало возможным определенные темы переносить из одного класса в предшествующий. Кроме подкрепляющего курса в систему обучения математике в 5 классе входят коррекционный курс и курс развивающего характера. Модель образовательного процесса представлена на рисунке:

В 6 классе обязательным является изучения пропедевтического курса «Основы геометрии», цель которого, кроме развивающей, помочь учащимся адаптироваться в изучении базового предмета геометрии [3].

Конструирование образовательного процесса по математике в 6 классе предполагает ещё изучение вспомогательных курсов, направленных на раскрытие межпредметных связей, а также учитывающих индивидуальные склонности и потребности школьников. Разработаны такие курсы, как «Геометрия в мониторе компьютера», «Геометрия и искусство», «Геометрия в родном городе». Довольно интересен последний. Он имеет краеведческую направленность. Особенно хочется подчеркнуть, что этот курс мобилен. Его можно адаптировать к историческому материалу любой местности. Математическая составляющая остается неизменной, меняется только краеведческое наполнение. Образовательную модель для 6 класса можно представить следующим образом:

Реализация в учебном процессе рассмотренных выше курсов позволяет интенсифицировать и математическое образование в 7-9 классах. Это способствует опережающему обучению и ускорению темпов изучения основного материала. Кроме базовых, в образовательный процесс вводятся новые учебные предметы: «Геометрия в пространстве» (7-8классы), «Избранные вопросы аналитической геометрии» (8 класс), «Векторы на плоскости и в пространстве» (7 класс), «Тригонометрия» (8-9 класс) [6].

Модели математического образовательного пространства в 7-9 классах представлены на рисунке:

Все представленные здесь модели являются гибкими. Они позволяют, при необходимости, вносить определенные коррективы в учебный процесс. Тем не менее, мы считаем обязательным изучение таких предметов, как: «Арифметика» (5 класс), «Основы геометрии» (6 класс), «Геометрия в пространстве» (7-8 классы), «Тригонометрия» (8-9 классы).

Особенно хочется подчеркнуть, что предложенная система реализует воспитательный и развивающий потенциал математики.

Анализ психологического, физиологического и интеллектуального состояния детей соответствующего возраста показал, что предложенная нами интенсификация математического образования вполне оправдана.

Оценивая результаты экспериментально-исследовательской деятельности, можно сказать следующие:

- в ходе реализации проекта были созданы комфортные условия для учащихся и учителей;

- раскрыты, по возможности, индивидуальные способности и внутренние резервы обучающихся;

- качество знаний по математике выросло (средний балл по ЕГЭ в 2009 году - 69);

- учащиеся стали успешнее заниматься по дисциплинам естественнонаучного направления (средний балл по ЕГЭ по информатике - 64, по физике - 64,7);

- уровень успеваемости по предметам гуманитарного цикла повысился.

Когда мы приступали к осуществлению исследовательского проекта, о стандартах второго поколения ещё не говорили. Но если сейчас внимательно посмотреть эти документы [4], то наша работа органично в них вписывается и отражает современные тенденции математического образования.

Библиографический список

1) Муравин Г.К. Математика. 5кл.: учеб. для общеобразоват. учреждений / Г.К. Муравин, О.В. Муравина. - М.: Дрофа, 2005. - 315 с.

2) Муравин Г.К. Математика, бкл.: учеб. для общеобразоват. учреждений / Г.К. Муравин, О.В. Муравина. - М.: Дрофа, 2006. - 317 с.

3) Подаев М.В. Методика формирования геометрических понятий у школьников в рамках пропедевтического курса геометрии в 5-6 классах. Вестник Елецкого госуд. ун-та им. И.А.Бунина - Вып.27. Серия «Педагогика (История и теория математического образования)». - Елец: ЕГУ им. И.А. Бунина, 2010. - С. 173-179.

4) Примерные программы по учебным предметам. Математика. 5-9 классы: проект. - 3-е изд., перераб. - М.: Просвещение, 2011. - 64 с.

5) Рыманова Т.Е., Саввина А.В. Новые исследовательские проекты по математике. Вестник Елецкого госуд. ун-та им. И.А. Бунина. - Вып.11.: Серия «История и теория математического образования». - Елец: ЕГУ им. И.А. Бунина, 2006. - С. 265-269.

6) Рыманова Т.Е., Токарева Е.С. Тригонометрия как учебный предмет. Вестник Елецкого гос. ун-та им. И.А.Бунина. - Вып. 17. Серия «Педагогика (История и теория математического образования)». - Елец: ЕГУ им. И.А.Бунина, 2008. - С. 270-272.

КОМПЕТЕНТНОСТНЫЙ ПОДХОД В СОВРЕМЕННОМ РОССИЙСКОМ ОБРАЗОВАНИИ И ЕГО РЕАЛИЗАЦИЯ ПРИ ПОДГОТОВКЕ УЧАЩИХСЯ К ЕДИНОМУ ГОСУДАРСТВЕННОМУ ЭКЗАМЕНУ ПО МАТЕМАТИКЕ

Т.М. Сафронова, Г.А. Симоновская, Н.В. Черноусова

В статье говорится о компетентностном подходе и его реализации при подготовке учащихся к ЕГЭ.

Ключевые слова: компетенция, компетентность, образовательная компетенция, компетентностный подход, ЕГЭ.

Опыт показывает, что кратковременная форсированная подготовка к ЕГЭ не может привести к успешному результату. Эта цель достижима лишь при организации эффективного учебного процесса в течение всех лет обучения математике на той базе, которая закладывается в основной школе.

Эта задача связана не только с отбором содержания образования, соответствующего образовательному стандарту по математике, но и с реализацией компетентностного подхода, с использованием современных технологий обучения.

Компетентностный подход в современном российском образовании предложен для модернизации и адаптации системы образования к новым социально-экономическим условиям. Идея данного подхода заключается в том, что учащийся должен усваивать не отдельные знания, умения и навыки (по конкретным предметам), а овладевать ими в комплексе. Это положение подчеркивается в определении компетентностного подхода В.А. Болотова -«...компетентностный подход есть обобщенное условие способности человека эффективно действовать за пределами учебных сюжетов и учебных ситуаций».

Внутри компетентностного подхода выделяются два базовых понятия: компетенция и компетентность, при этом первое из них «включает совокупность взаимосвязанных качеств личности, задаваемых по отношению к определенному кругу предметов и процессов». Компетентность же определяют как общую способность и готовность личности к деятельности, основанную на знаниях и опыте, которые приобретены благодаря обучению, ориентированы на самостоятельное участие личности в учебно-познавательном процессе и направлены на ее успешную интеграцию в социум. В этом же контексте функционирует и понятие «образовательной компетенции». Под образовательными компетенциями понимают совокупность смысловых ориентаций, знаний, умений, навыков и опыта деятельности ученика по отношению к определенному кругу объектов реальной действительности, необходимых для осуществления личностно и социально-значимой продуктивной деятельности (Хуторской А.В.).

В этой связи, образовательные компетенции дифференцируются автором по тем же уровням, что и содержание образования:

• ключевые (реализуемые на метапредметном, общем для всех предметов содержании);

• общепредметные (реализуемые на содержании, интегративном для совокупности предметов образовательной области);

• предметные (формируемые в рамках отдельных предметов).

Подготовка школьников к ЕГЭ должна представлять собой процесс формирования особого рода компетенций. Важную роль в этом процессе

играет именно предметная подготовка школьников как формирование умений («предметных компетенций»), применимых не только в рамках подготовки и сдачи ЕГЭ, но и в самом широком спектре других жизненных ситуаций.

Изучение математики в старшей школе направлено на достижение ряда целей, которые в свою очередь должны формировать математическую (прагматическую), социально-личностную, общекультурную и предметно-мировоззренческую компетентности выпускника старшей школы.

Математика изучает математические модели.

Математическая модель - это то, что остается от реального процесса, если отвлечься от его материальной сути. Математические модели описываются математическим языком. Изучая математику, мы фактически изучаем специальный язык, «на котором говорит природа». Особая цель математического образования - развитие речи на уроках математики. В наше прагматичное время культурный человек должен уметь излагать свои мысли четко, кратко, раскладывая «по полочкам», умея за ограниченное время сформулировать главное, отсечь несущественное.

Математическое образование, с точки зрения компетентностного подхода, играет, пожалуй, одну из самых важных ролей в достижении поставленной цели. Однако методы обучения должны быть усовершенствованы в связи с изменениями в подходах к среднему (полному) образованию. С позиций компетентностного подхода функциональная математическая грамотность определяется как способность человека видеть и понимать роль математики в мире, в котором он живет, высказывать хорошо обоснованные математические суждения и использовать математику так, чтобы удовлетворять в настоящем и будущем потребности, присущие созидательному, заинтересованному и мыслящему гражданину. Конкретизация понятия математической грамотности выражена в следующих положениях:

• распознавать проблемы, возникающие в окружающей действительности, которые могут быть решены средствами математики;

• формировать эти проблемы на языке математики;

• решать эти проблемы, используя математические знания и методы;

• анализировать использованные методы решения;

• интерпретировать полученные результаты с учетом поставленной проблемы;

• формулировать и записывать окончательные результаты решения поставленной проблемы.

Итак, компетентностный подход в обучении акцентирует внимание на результате образования.

Говоря о результатах образования, нельзя не обратить внимания на условия, которые должны быть созданы для реализации поставленной цели.

В частности, к таким условиям необходимо отнести содержание математического образования, а также соответствующую методику обучения.

Содержание математического образования в настоящее время определяется стандартами базового и профильного уровней. Однако обеспечить подготовку выпускников, обладающих ярко выраженными математическими способностями, или выпускников, чья будущая профессия будет неразрывно связана с использованием математических методов, можно не только за счет расширения или углубления программы, но и путем сопряжения программ, модульного обучения, индивидуально-личностного образования, внедрения интерактивных форм обучения, использования информационных технологий. Вместе с тем содержание математического образования должно учитывать и психологические особенности современных обучающихся, в том числе и такие, как нежелание изучать то, что, с их точки зрения, не имеет практического и реального обоснования.

Компетентностная модель образования предполагает диагностику полученных результатов по трем уровням, а именно:

• элементарная математическая грамотность;

• функциональная математическая грамотность;

• креативная математическая грамотность.

Заметим, что для успешной сдачи единого государственного экзамена по математике школьника или испытуемого нужно готовить разносторонне.

Во-первых, необходима психологическая подготовка к организации и форме проведения самого экзамена. Атмосфера экзамена не должна быть стрессовой для учащегося. Как адаптировать школьника, как снять стрессовую ситуацию? На наш взгляд необходимо:

• проведение контрольных работ «директорских», «отчетных», то есть проведение контрольно-тестовых работ, составленных не учителем, работающем в данном классе;

• проведение таких контрольно-тестовых работ учителями, которые не ведут учебные занятия в данном классе.

Проводить такие эксперименты нужно обоснованно и не придавать этому окраски чрезвычайной ситуации. В такой ситуации важно поведение учителя-предметника - в его силах учить школьников концентрировать внимание на экзамене. Отметим также, что здесь огромное поле деятельности для школьного психолога. Положительный настрой на экзамене - это если не половина, то третья часть успешной его сдачи.

Во-вторых, школьники должны обладать прочными знаниями по предмету, которые образуют так называемую «базовую часть».

И, наконец, в-третьих, необходимо научить школьника правильно работать с экзаменационным тестом по математике - экономить время, часть вычислений производить в уме - устно, полно и аргументировано описывать решение заданий части С. В этой связи заметим, что на ЕГЭ школьнику нельзя пользоваться не только компьютерами, современными средствами

связи, но и калькулятором. Однако сегодняшние ученики совершенно разучились считать. Поэтому в ходе беседы со школьником редко можно получить от него правильный ответ, например, на вопрос: «Сколько будет 7 умножить на 8?». Ответы можно услышать весьма разные: 54, 58, 53 ...

Важно отметить, что наиболее позитивные результаты во время концентрированной подготовки к ЕГЭ могут быть достигнуты, если в учебном процессе ведется активная познавательная деятельность обучающихся с использованием всех видов учебной информации, развиваются аналитические, классификационные умения, систематизируются знания.

Очевидно, что в рамках предэкзаменационного повторения невозможно затронуть все учебные темы, прорешать все типовые задачи, поэтому необходимо привлечь внимание обучающихся к ключевым, базовым вопросам курса, воспроизвести умения выполнять задания различных видов, выделить и проработать наиболее сложные вопросы. Ученикам можно предложить некий общий алгоритм предэкзаменационного повторения:

• определить круг задач для обязательного повторения каждой из тем;

• вычленить задачи, чтобы закрепить ранее полученные знания;

• отработать типовые задачи разного содержательного характера по определенной теме, разделу как базового, так и повышенного уровня.

Обратимся теперь к контрольно-измерительным материалам по математике. ЕГЭ в России проводится почти 10 лет, и каждый год в его содержание, в правила проведения и учета результатов вносятся изменения. В 2010 году структура экзамена несколько упростилась - из нее была исключена часть А, ранее содержавшая задания тестовой формы с выбором ответов. Это позволило несколько увеличить наполнение частей В и С.

Изучая регламентирующие документы единого государственного экзамена по математике, мы не находим перечисления компетенций, которыми должен владеть испытуемый. В них указаны лишь проверяемые элементы содержания.

Предложим конкретные приемы реализации компетентностного подхода в подготовке школьников к ЕГЭ.

Так, например, задания группы В1 проверяют вычислительные навыки. Задания составлены на основе реальных или близких к реальным ситуаций. Для решения задач данной группы достаточно уметь выполнять арифметические действия, делать прикидку и оценку значений выражений, знать понятия процента.

Задание В1.1.

В пачке бумаги 500 листов формата A4. За неделю в офисе расходуется 800 листов. Какое наименьшее количество пачек бумаги нужно купить в офис на 9 недель?

Решение.

За 9 недель расходуется 800 • 9 = 7200 (листов). В пачках должно быть не менее, значит, округляем до целых с избытком частное:

7200:500 = 14-^15.

Ответ: 15 пачек. Задание В 1.2.

Сырок стоит 7 рублей 20 копеек. Какое наибольшее число сырков можно купить на 60рублей?

В большинстве задач группы В1 упоминаются проценты, которые изучались в 5-6 классах. Следует отметить, что вычисления с процентами вызывают у школьников определённые трудности.

Задание В 1.3.

В городе N живёт 250000 жителей. Среди них 15% детей и подростков. Среди взрослых 35% не работает (пенсионеры, студенты, домохозяйки и т.п.). Сколько взрослых работают?

Решение.

В этой задаче две части, в каждой из которых за 100% принимается своя величина.

1) В городе N взрослых: 100-15=85 (%), а именно

250000-0,85=212500 (чел.).

2) Работающих взрослых в городе N: 100-35=65 (%), а именно

212500-0,65=138125 (чел.).

Ответ: 138125 взрослых работают.

Задание В 1.4.

Розничная цена учебника 132 рубля, она на 20% выше оптовой цены. Какое наибольшее число таких учебников можно купить по оптовой цене на 6600 рублей?

Обращение к примерам из жизни дает учителю возможность формировать у учащихся информационную компетенцию. Такая компетенция отражает предметно-деятельностную составляющую общего образования и призвана обеспечивать комплексное достижение его целей.

Задачи, данные в которых представлены в виде таблиц, диаграмм, графиков и т.д., задачи прикладного характера формируют информационную компетенцию у учащихся, накапливают у них жизненный опыт. Благодаря таким задачам, школьники видят, что математика находит применение в любой области деятельности, и это, в свою очередь, должно повышать интерес к предмету. Для развития данного вида компетентности можно предложить учащимся практико-ориентированные задачи - задания с практическим содержанием, ориентирующие учащихся на математические исследования явлений реального мира.

К таким видам заданий можно отнести задания групп В2, В5, B10 из контрольно-измерительных материалов единого государственного экзамена по математике.

В заданиях группы В2 проверяется умение читать графики и диаграммы. Как правило, в задачах требуется найти наибольшее, наименьшее значение величины или разность между наибольшим и наименьшим значениями величины.

Задание В2.5.

На рисунке показано изменение температуры воздуха на протяжении трех суток. По горизонтали указывается дата и время суток, по вертикали — значение температуры в градусах Цельсия. Определите по рисунку разность между наибольшей и наименьшей температурами воздуха 22 января. Ответ дайте в градусах Цельсия.

Решение.

Нужно выделить часть графика, соответствующую 22 января, и указать ординату самой высокой точки (-10°С) и ординату самой низкой точки (-23°С). Далее найти разность полученных значений: -10-(-23)=13.

Ответ: 13° С.

Задания группы В5 проверяют умение анализировать практические ситуации. С этой целью предлагаются текстовые задачи на нахождение оптимального решения с использованием данных, представленных в виде таблиц.

Задание В5.6.

Для транспортировки 42 тонн груза на 1100 км можно воспользоваться услугами одной из трех фирм-перевозчиков. Стоимость перевозки и грузоподъемность автомобилей для каждого перевозчика указана в таблице. Сколько рублей придется заплатить за самую дешевую перевозку?

Перевозчик

Стоимость перевозки одним автомобилем (руб. на 100 км)

Грузоподъемность автомобилей (тонн)

А

3200

3,5

Б

4100

5

В

9500

10,5

Решение.

Так как стоимость перевозки одним автомобилем для всех перевозчиков определена на одно и то же расстояние, то достаточно вычислить, сколько автомобилей понадобится и сколько будет стоить перевозка груза на 100 км, а затем выбрать наименьшую стоимость из трёх вариантов и умножить на 11, так как 1100 км-это 11 сотен км.

А: 42:3,5=12 (авт.),

12-3200=38400 (р.), Б: 42:5-9 (авт.) - округляем с избытком.

Имеем

9-4100=36900 (р.). В: 42:10,5=4 (авт.).

Имеем

4-9500=38000 (р.).

Самая дешёвая перевозка будет у перевозчика Б и стоить она будет

36900-11=405900 (р.).

Ответ: 405900 рублей.

В заданиях группы B10 формулами описываются физические, химические и другие процессы. В большинстве задач нужно подставить указанные значения величин в формулу, составить линейное или квадратное неравенство, найти граничные значения и записать весь промежуток искомых значений. При этом, как правило, совершенно не обязательно разбираться с физическим или коммерческим смыслом описываемых процессов.

Задание B10. 7.

В боковой стенке цилиндрического бака вблизи дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём меняется по закону H[f)= 1,8 - 0,96/ + 0,128/2, где t -время в минутах. В течение какого времени вода будет вытекать из бака?

Решение.

Вода будет вытекать, пока её уровень в баке не станет нулевым. Нулевое значение квадратный трёхчлен 1,8 - 0,96/ + 0,128/2 принимает при t = 3,75 (мин).

Ответ: 3,75 мин. Задание В 10.8.

При температуре VTC рельс имеет длину /0 = \ 2,5м. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по законуl{t0 ) = /0 (l + а • t° ), где *= Ю 5( С) 1 — коэффициент теплового расширения, Г — температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 6 мм? Ответ выразите в градусах Цельсия.

Овладение различного рода компетенциями становиться основной целью и результатом процесса обучения, управление достижением которых в учебном процессе и определяет его эффективность, т.е. качество.

Библиографический список

1. Хуторской А.В. Ключевые компетенции и образовательные стандарты // Интернет-журнал «Эйдос». - 2002. - 23 апреля. http://www:eidos.ru/journal/2002/0423.htm.

2. Федеральный государственный образовательный стандарт общего образования. Среднее (полное) общее образование. Проект. Министерство образования и науки РФ. - М., 2010.

3. Математика: учебное пособие /М.А. Ляшко, С.А. Ляшко, О.В. Муравина. - М.Дрофа, 2010. - 151 с.

4. Математика. Всё для ЕГЭ 2011. Часть 1: учебно-методическое пособие/ Под ред. Д.А. Мальцева. - Ростов н/Д: Издатель Мальцев Д.А.; м.: НИИ школьных технологий, 2010.-221 с.

ИЗУЧЕНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ СТАТИСТИЧЕСКИХ ОЦЕНОК ПАРАМЕТРОВ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ИНТЕГРАЛОВ

В.Д. Селютин, И.А. Уман

В статье приводится вариант изложения материала из темы «Эффективность статистических оценок параметров» студентам математических отделений классических университетов. Раскрываются методические приемы доказательства неравенства Рао-Крамера с привлечением интегралов.

Ключевые слова: оценка параметра, эффективность оценки, интеграл, случайная величина, плотность распределения, дисперсия.

Изучение и анализ опыта обучения математической статистике в университетах приводит к выводу о том, что рассмотрение оценок статистических параметров при повышенном уровне логической строгости изложения приводит к затруднениям в восприятии обучаемыми. Одной из причин этого факта является распространенный подход, при котором обоснования проводятся на основе дискретных вероятностных распределений. Привлечение непрерывных распределений случайных величин, напротив, значительно облегчает усвоение материала студентами. В условиях статистического анализа многомерных выборок они значительно охотнее оперируют с интегралами, чем с конечными суммами и рядами.

Рассмотрим краткий фрагмент изложения материала из темы «Эффективность статистических оценок параметров» студентам математических отделений классических университетов.

Отмечая предпочтительность оценки параметра в с меньшей дисперсией по сравнению с другими, перед обучающимися ставится задача нахождения оценки, имеющей минимальную дисперсию.

Пусть в*(х) = <р(х]9 х2,... ,хп) = <р(х) - оценка параметра в по выборке Хр х29 . . . ,хп. И пусть f (tl,t2,...,tn;e) = f{t\6) - совместная плотность распределения случайных величин хх, х2 , . . . ,хн; зависящая от в. Вводится обозначение = jV^)* f(t;0)-dt, условившись многомерную область интегрирования понимать по умолчанию. По свойству плотности распределения jf(t;e)-dt = 1. Налагая условия, позволяющие дифференцировать рассматриваемые интегралы по параметру в :

(1),

(2),

даем следующее определение: «информацией Фишера относительно семейства f(t;0) называется математическое ожидание квадрата производной по в логарифма f{x\6)\

l{ß) - количество информации о параметре в , содержащееся в выборке». Условия (1) и (2) позволяют доказать неравенство Рао-Крамера, которое

выражает следующая теорема: если семейство плотностей f{t\9) и оценка параметра в* = <р{х) удовлетворяет условиям (1) и (2), то выполняется неравенство:

(3).

Доказательство теоремы проводится следующим образом. Так как

то

Поэтому равенства (1) и (2) можно записать в эквивалентном виде:

(4),

(5).

Умножим (4) на g(ß) и вычтем из (5):

(6)

Положив

применяем неравенство Коши - Буняковского:

Возводя в квадрат обе части равенства (6) и производя замену в полученном неравенстве, получаем

откуда следует неравенство (3), и теорема доказана.

В правой части неравенства (3) имеем минимально возможное значение дисперсии. Неравенство информации позволяет найти тот минимум, который должна иметь дисперсия оценки, чтобы быть эффективной.

Теорема, доказанная на примере непрерывного распределения, справедлива и для дискретных распределений, если плотности f{t\6) заменить вероятностями, а интегралы - суммами. Количество информации Фишера о параметре в, содержащееся в выборке, в дискретном случае определяется следующим образом:

Полезно обратить внимание студентов на то, что если в* - несмещенная оценка параметра в , то giß) = 1. Действительно: g{ß) = Мб* =в' =1.

Также важно обратить внимание, что из (4) следует:

поэтому

Если хх, х2 , . . . , хп - независимы, то их совместная плотность равна произведению одномерных плотностей. В этом случае l{ß) = n-Ix\0\ где /, (в)- информация Фишера одного А:-того наблюдения, где к = 0,1, 2,... ,п , тогда (3) принимает вид

(7).

В качестве конкретного примера целесообразно рассмотреть независимую выборку из нормального распределения с параметрами а и <у для случая, когда значение а- известно.

В данном случае неравенство (7) обращается в равенство. Таким образом, выборочная средняя повторной выборки из нормально распределенной генеральной совокупности является эффективной оценкой математического ожидания (генеральной средней). Далее вводится определение эффективности оценки в*:

Очевидно, что 0<е(в')<1. Оценка в* называется эффективной, если £(в*)=\. В частности, если оценка в* такова, что неравенство (3) превращается в равенство, то ее эффективность равна отношению минимально возможной дисперсии к дисперсии данной оценки, то есть

При нарушении условий теоремы неравенство (3) может не выполняться, и тогда могут существовать «сверхэффективные» оценки с дисперсией D6*,

убывающей при п —» оо быстрее, чем . Это связано с понятием асимптотической эффективности. Асимптотической эффективностью ^0(^С) оценки 6*п ( хх, Х2 , . . . ? ), полученной по независимой выборке Xj, х2, . . . ,1^, называется предел если он существует. Оценка называется асимптотически эффективной, если 'ofc')=l.

Таким образом, привлечение интегралов к обоснованию свойств оценок статистических параметров существенно меняет методические приемы обучения, что способствует формированию ключевых компетенций будущего математика-профессионала.

ИЗ ОПЫТА ВНЕДРЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ СТОХАСТИКИ В ШКОЛЫ ОРЛОВСКОЙ ОБЛАСТИ

В.Д. Селютин

В статье представлен опыт по обучению детей элементам науки о случайном, накопленный учителями школ Орловской области, начиная с 70-х годов XX века по настоящее время.

В 1972 году известный математик-методист В.Л. Минковский обратил наше внимание на идеи академика Б.В. Гнеденко о необходимости формирования статистического мышления школьников [1]. В содержание факультативных занятий в 10-х классах средних школ № 31 и 36 г. Орла мы включили начальные сведения из теории вероятностей. Параллельно с этим приступили к подготовке методических материалов для учителей. В 1973 году в обществе «Знание» опубликована брошюра, знакомящая учителей со способами решения ориентированных на школьников вероятностных задач [2]. Поиск наиболее приемлемых методических подходов привел к убежденности в необходимости реализации предложений Б.В. Гнеденко и В.В.Фирсова, касающихся прикладной направленности обучения математике. В 1974-1975 годах опубликованы брошюры, в которых учителям предлагался материал, направленный на ознакомление учащихся с возможностями применения вероятностно-статистических методов [3,4]. Следует заметить, что в те годы учителя не имели права по собственному усмотрению вносить изменения в утвержденные «сверху» учебные программы. Поэтому инициативные педагоги находили иные пути для пробуждения интереса детей к «внешкольным» разделам математики. Этому служили факультативные за-

нятия, которые только начинали вступать в свои права, а также кружковая внеклассная работа.

Подводя первые итоги, мы пришли к выводу, что для изучения вероятностных понятий необходим некоторый фундамент, определенный жизненный опыт учащихся. Таким фундаментом является определенный запас первоначальных статистических представлений. Процесс формирования первоначальных статистических представлений в качестве длительной пропедевтической подготовки должен предшествовать изучению учащимися элементов теории вероятностей [5].

Поиск приемлемого для этого содержания осуществлялся в период с 1980 по 1983 годы на базе кружковых и факультативных занятий в 4-8 классах средней школы № 19 г. Орла. Опытно-экспериментальная работа подтвердила, что наиболее подходящими для такой пропедевтической подготовки являются элементы наглядной и описательной статистики [6]. Их изучение влечет эффективное формирование отдельных вероятностных понятий, естественным образом «вырастающих» из соответствующих им эмпирических прототипов.

Учителей-экспериментаторов заинтересовала идея привлечения статистической информации о явлениях из окружающей школьников жизни при изучении понятий наглядной и описательной статистики. Однако было обнаружено, что предоставление учащимся готовых статистических сведений не дает должного эффекта. В то же время было замечено, что у детей вызывают оживленный интерес те вопросы, которые связаны с игровой тематикой. Это привело к мысли об использовании игр и экспериментов при обучении школьников элементам наглядной и описательной статистики. Соответствующие разработки были предложены учителям.

С самого начала их проверки выявились как преимущества, так и недостатки. Преимущества заключались в том, что изучение материала вызывало большой интерес у учащихся, формирование статистических представлений осуществлялось ненавязчиво, акцентировалось внимание школьников на ярко выраженном характере стохастических явлений, как бы само собой напрашивалось введение многих понятий.

Объединение результатов испытаний, проводимых учащимися, позволило обратить их внимание на проявляющиеся факты статистической устойчивости случайных явлений. При этом было замечено, что школьники во многих случаях правильно предсказывают наиболее вероятные значения частот событий и указывают тенденции в изменении эмпирических распределений уже при сравнительно небольшом числе испытаний. Это навело на мысль о необходимости выяснения роли мысленного эксперимента при переходе к вероятностным понятиям.

Недостатки состояли в том, что, во-первых, учащиеся 7-8 классов не проявляли столь сильного интереса к статистическим экспериментам как ученики более младшего возраста и, во-вторых, введение некоторых понятий выглядело искусственно (например, показатели вариации), а многие по-

нятия не могли быть введены при проведении статистических экспериментов (например, понятия, связанные со статистической зависимостью). Кроме того, при проведении одних только статистических экспериментов учащиеся имели дело лишь с явлениями, имеющими ярко выраженную стохастическую природу.

Анализ указанных недостатков привел к выводу о необходимости использования элементарных статистических исследований и моделирования при обучении учащихся элементам наглядной и описательной статистики. Был разработан окончательный вариант методики, опирающейся на широкое привлечение стохастических игр, статистических экспериментов, статистических исследований, мысленных статистических экспериментов и моделирования. Он был реализован в изданном учебно-методическом пособии [7], по которому работали учителя средней школы № 19 и Знаменской школы-интернат г. Орла в 1983-1984 учебном году, и которое постепенно получило распространение среди учителей других школ Орла и Орловской области в последующие годы. С каждым годом увеличивалось число учителей, желающих подключиться к использованию материала данной книги. В дальнейшем этому способствовало введение нового порядка аттестации педагогов, при котором появились стимулы в демонстрации внедрения нового содержания в образовательный процесс при прохождении аттестации на первую и высшую категории.

Вторая половина 80-х и начало 90-х годов были посвящены выявлению трудностей, с которыми сталкиваются учителя при попытках внедрения в школьную математику элементов статистики, комбинаторики и теории вероятностей. Анализ занятий показал, что значительную помеху создают учителям сложившиеся стереотипы, ориентация на проторенный путь «классической вероятности». Многие слабо воспринимали значимость внемодельных этапов статистического исследования.

В беседах с учителями выявилось достаточно настойчивое желание ограничиться введением понятий по определению с последующей иллюстрацией примерами и задачами вычислительного характера. Другим, более важным, формам математической деятельности они не придавали должного значения. Большинству было непонятно, на какие итоговые результаты следует ориентироваться. Это привело к необходимости осуществления разработки планируемых результатов обучения школьников элементам стохастики.

Параллельно с этим, было обращено внимание на то, что ряд учителей воспринимает составные части содержания обучения изолированно, в отрыве друг от друга три блока: блок вероятностных понятий, блок статистических понятий и блок комбинаторных понятий, не выстраивая их в одну, общую линию. Это послужило сигналом для расширения круга задач, включения в обучение заданий, иллюстрирующих тесное взаимодействие указанных составных частей.

Самые большие «неприятности» подстерегали учителей там, где приходилось направлять рассуждения учеников. Неожиданные порой выводы учеников, их разногласия и бурная реакция приводили в некоторых случаях к растерянности учителя. Нестандартность подходов к анализу случайных явлений и необычность стохастических умозаключений служили отпугивающими факторами, приводили к разочарованию. Поэтому появление в пробных учебниках начала 90-х годов разделов, содержащих элементы статистики, комбинаторики и теории вероятностей, не вызвали энтузиазма учителей.

Учитывая сложившиеся положение, было подготовлено учебно-методическое пособие [8], помогающее педагогу сориентироваться в специфике обучения детей элементам науки о случайном.

С 1995 года в Орловском областном институте усовершенствования учителей организован цикл лекций по проблемам изучения в школе элементов стохастики. Ещё раньше в Орловском государственном университете начали проводить ежегодный семестровый 50-часовой методический спецкурс «Элементы стохастики в средней школе». Было осуществлено методическое проецирование стохастики на школьное обучение, разработано содержание практикума по решению стохастических задач, и создана система методических примеров, направленных на обеспечение компонентов готовности учителя к обучению детей стохастике.

Использование учителями книг [9,10], ориентированных на овладение специальной методикой обучения стохастике, способствовало формированию определенной системы умений и навыков, связанных с квалифицированным решением ими соответствующих специфических методических задач. В частности, методических задач, успешное решение которых требует умений, связанных с особенностями стохастических умозаключений, истолкованием статистико-вероятностных моделей, выбором средств и способов математизации [11].

Когда, начиная с 2003 года, в российских школах началось повсеместное изучение стохастического материала, выявился целый ряд новых трудностей. Это, прежде всего, проблема нехватки учебного времени для изучения элементов стохастики на уроках. Несмотря на методически удачное фрагментарное изложение в ряде учебников, элементы стохастики оставались не охваченными внутрипредметными связями, и им не удавалось преодолеть статус «инородности» внутри традиционной математики. Новое содержание представлено в учебниках преимущественно в виде отдельных разделов или параграфов, в которых слабо задействованы сведения из других частей тех же учебников. Традиционные разделы, с другой стороны, оставались без изменений, тогда как использование статистико-вероятностных понятий могло бы способствовать закреплению изученного материала «обычных» тем математики.

Это обстоятельство инициировало разработку учебно-методического пособия [12], где сделана попытка позаботиться о внутрипредметном взаи-

модействии нового содержания обучения со старым, о реализации интегрирующего потенциала стохастики, который до этого времени не использовался с должным эффектом. Оно помогло учителям математики использовать благоприятные возможности, которые создаются с появлением стохастики для возникновения новых, глубоко обоснованных внутрипредметных связей и которые позволяют органически переплести ее в канве традиционно изучаемого материала. Таким образом, статистико-вероятностное содержание органично переплетается внутри «обычных» тем математики, способствуя их закреплению. Открываются резервы поиска учебного времени для новой линии. Уже не за счет повторения пройденного материала, а путем реализации потенциала внутрипредметных связей.

Библиографический список

1) Гнеденко Б.В. Статистическое мышление и школьное математическое образование // Математика в школе. - 1968. - №1. - С.8-16.

2) Селютин В.Д. Некоторые задачи теории вероятностей. - Орел: Знание,1973.- 35 с.

3) Ветров В.В., Селютин В.Д. Статистические методы решения производственных задач. - Орел: Знание, 1974. - 27 с.

4) Селютин В.Д., Ветров В.В. О воспитании статистического мышления молодежи. - Орел: Знание, 1975. - 25 с.

5) Селютин В.Д., Ветров В.В. О воспитании статистического мышления учащихся // Методические рекомендации к рассмотрению отдельных вопросов в связи с переходом школы на новые программы по математике (сборник научных трудов). - Орел: Орл. обл. отд.пед.об-ва, 1976. - С. 24-27.

6) Селютин В.Д. Наглядная статистика. - Орел: Знание, 1983. - 33 с.

7) Селютин В.Д. Элементы математической статистики в школе. -Орел: Орл. обл. отд.пед.об-ва, 1983. - 72 с.

8) Селютин В.Д. Новое в математике 5-го класса. - Орел: ОГПУ-ООИУУ, 1996. - 63 с. (3,9п.л.).

9) Селютин В.Д. Содержательные основы анализа данных в средней школе. - Орел: ОГУ, 2001. - 98 с.

10) Селютин В.Д. Методика формирования готовности учителя к обучению школьников стохастике. - Орел, ОГУ, 2001. - 164 с.

11) Селютин В.Д. Статистика и вероятности в школе. - Орел: ООИУУ, 2004 - 94 с.

12) Селютин В.Д., Терехова Л.А. Стохастика в канве школьной математики. - Орел: ООИУУ, 2007. - 106 с.

ФАКУЛЬТАТИВНЫЕ КУРСЫ ПО МАТЕМАТИКЕ НА СТАРШЕЙ СТУПЕНИ ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

Я.В. Скибина

В статье дан краткий исторический обзор возникновения и развития факультативных курсов по математике. Исторический анализ важен в связи с появлением новой для отечественной школы формы обучения -элективных курсов, которые являются преемниками школьных факультативов.

Ключевые слова: факультативный курс, элективный курс, курс по выбору обучающихся.

Еще до введения факультативных занятий отечественной школой уже был накоплен значительный опыт по организации и проведению таких форм дифференцированного обучения, как классы и школы с математической специализацией, предоставляющие возможность способным к математике учащимся повысить уровень своего математического развития, получить дополнительные знания, умения, навыки, реализовать свои интересы и способности. Таким образом, повышенной математической подготовкой охватывался узкий круг математически одаренных детей, хотя интерес к математике проявлялся у значительно большего числа учащихся. Это пробел был заполнен с введением факультативных курсов по математике.

Началом истории факультативных курсов в общем образовании можно считать 10 ноября 1966 года, когда было опубликовано правительственное постановление «О мерах дальнейшего улучшения работы средней общеобразовательной школы». В постановлении, кроме всего прочего, было сказано, что для углубления знаний по физико-математическим, естественным и гуманитарным наукам, а также для развития разносторонних интересов и способностей учащихся, в школьную практику вводится новая форма обучения - факультативные занятия.

Факультативные курсы явились новой формой дифференциации обучения. Они стали весьма популярной формой обучения по следующим причинам [1]:

1) они являлись самой подвижной, доступной и массовой формой обучения, так как могли вводиться практически в любой школе;

2) учитель со своими учениками, опираясь на примерные программы факультативных курсов, мог создать свой собственный курс, отвечающий интересам и способностям конкретных учеников.

И.М. Смирновой было выделено несколько этапов в истории становления факультативных курсов по математике [1]. Первый этап начинается с 1967/1968 учебного года, когда факультативные занятия вошли в практику работы общеобразовательной школы.

Первые факультативные курсы по математике назывались «Дополнительные главы и вопросы математики» и «Специальные курсы». В журнале «Математика в школе» были опубликованы программы этих курсов.

В это время факультативные курсы были ориентированы на новую программу по математике и являлись местом апробации новых тем. После широкой экспериментальной проверки на факультативных занятиях некоторые темы были включены в основной курс по математике. Например, такие темы, как «Метод координат», «Множества и операции с ними», «Бесконечные множества», «Геометрические преобразования», «Производная» и др.

К 1980 году был завершен переход средней школы на новую программу по математике. Начался второй этап введения факультативных занятий в школе. Факультативный курс «Дополнительные главы и вопросы математики» был заменен новым курсом, который включил в себя три следующие раздела:

1. Избранные вопросы математики. 8-11 классы.

2. Математика в приложениях. 10, 11 классы.

3. Алгоритмы и программирование.9-11 классы.

В помощь учителям были выпущены соответствующие методические пособия, программа и примерное тематическое планирование данных факультативных курсов.

В декабре 1988 года в Москве состоялся съезд работников народного образования, который считают началом новой реформы образования. На нем была принята Концепция общего среднего образования, основным направлением которой была провозглашена широкая дифференциация обучения. Реформой предусматривалось дальнейшее развитие всех форм дифференциации, в том числе и факультативных курсов, основной целью которой является возможность углубленного изучения отдельных предметов. С этого момента начался третий этап введения факультативных занятий по математике.

В старших классах углубление основного курса носит систематический характер и выполняет функции подготовки к продолжению образования и к сдаче вступительных экзаменов в вузы.

Поэтому в старших классах появляется так называемый подготовительный факультатив, который имеет конкретную направленность, а именно подготовку учащихся к продолжению образования в вузе. Преподавание на факультативе строилось как углубленное изучение вопросов, предусмотренных программой основного курса математики.

В помощь учителям были выпущены соответствующие методические пособия, программа и примерное тематическое планирование данных факультативных курсов.

Правда, вскоре учителям было официально разрешено работать по любой из опубликованных программ, в том числе и по авторским. Это решение было принято из-за того, что обучение на факультативных занятиях по единой программе, обязательной для всех, оказалось несостоятельным.

Дело в том, что учителя зачастую вели факультативные занятия по собственной программе, учитывая специфику своего конкретного класса, интересы и запросы ребят.

В 2002 году была принята новая Концепция профильного обучения на старшей ступени общего образования, которая ознаменовала начало четвертого этапа в истории факультативной формы обучения. Согласно этой концепции, любое общеобразовательное учреждение может создавать свою систему профилей, каждый из которых определяется конкретным набором общеобразовательных предметов и системой элективных курсов (курсов по выбору обучающихся).

Элективные курсы по праву можно считать преемником факультативных курсов. Действительно, и те, и другие, прежде всего, направлены на удовлетворение индивидуальных склонностей, интересов учащихся, развитие их способностей. Но есть и отличия. Например, факультативные курсы не были обязательными для всех учащихся. Существовала специальная программа факультативов по математике, которой должен был руководствоваться каждый учитель, ведущий факультативные занятия, были изданы учебные пособия.

Элективные курсы обязательны для всех учащихся. Школьник должен выбрать один или несколько из предложенных курсов. Это лишает ученика возможности вообще отказаться от изучения какого-либо предмета, что, по мнению некоторых исследователей, в воспитательном смысле необходимо именно при пассивных и ленивых учениках. Кроме того, это активизирует учащихся, ставит их перед необходимостью осуществить выбор. А возможность свободного выбора уже сама по себе стимулирует возникновение интереса [2].

Содержание элективов определяется образовательным учреждением, а значит, в идеале, зависит от пожеланий и интересов самих школьников. Таким образом, предполагается с помощью курсов по выбору для каждого ученика построить индивидуальную образовательную программу, или траекторию. Причем, обязательная часть основной образовательной программы среднего (полного) общего образования, согласно проекту Федерального государственного образовательного стандарта общего образования, составляет 60 %, а часть, формируемая участниками образовательного процесса, - 40 % от общего объёма содержательного раздела основной образовательной программы среднего (полного) общего образования [3].

Разработчики Концепции профильного обучения отмечают, что количество элективных курсов, предлагаемых в составе профилей, должно быть избыточным, с целью удовлетворения максимально возможному числу интересов и склонностей школьников. А значит, актуальным направлением в методике преподавания учебных дисциплин становится создание как можно большего числа элективных курсов, в частности по математике.

В заключении хотелось бы отметить, что идея факультативных курсов по математике появилась в трудах отечественных педагогов задолго до

1966 года. Так, например, выступая на I Всероссийском съезде преподавателей математики, В.В. Лермантов говорил о понижении общих требований до уровня, доступного почти всем ученикам и, с другой стороны, о повышении этих требований для ребят, способных к математике, за счет внеклассного ее изучения. Таким образом, он внес предложение о факультативном изучении математики.

Библиографический список

1) Смирнова И.М. Педагогика геометрии. Монография. - М.: Прометей, 2004.

2) Элективные курсы в профильном обучении/Министерство образования РФ - Национальный фонд подготовки кадров. - М.: Вита-Пресс, 2004.

3) http://mon.gov.ru

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ КОМПЛЕКТЫ ПО ГЕОМЕТРИИ ДЛЯ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ

Д.В. Ставцева

В данной статье рассмотрены некоторые учебно-методические комплекты по геометрии для младших школьников, выделены их бесспорные достоинства и недостатки. Проведенный анализ позволяет скорректировать работу учителя и работать над созданием курса наглядной геометрии для начальной школы.

Ключевые слова: учебно-методические комплекты, наглядная геометрия, начальная школа

Дискуссии о форме, содержании и методах изучения геометрического материала в начальной школе ведутся уже несколько столетий. За этот период времени были выдвинуты и обоснованы разнообразные дидактические концепции и положения, разработаны пропедевтические курсы и учебно-методические комплекты. Остановимся более детально на некоторых курсах и программах изучения геометрического материала, реализуемых в современной начальной школе.

Рассмотрим подробнее программу формирования геометрических представлений у младших школьников «Гармония», осуществляемую по учебно-методическому комплекту «Наглядная геометрия» Н.Б. Истоминой. По мнению автора, данный учебно-методический комплект реализует концепцию развивающего обучения младших школьников математике. В связи

со сказанным, «можно выделить следующие взаимосвязанные цели обучения геометрии в начальной школе:

• развитие пространственного мышления детей как разновидности образного;

• ознакомление ребенка с ограниченными для него методами познания как естественной составляющей математических методов;

• подготовка школьников к усвоению систематического курса геометрии» [8, 38].

Изложим последовательность изучения материала в данных пособиях. Работа в 1 классе начинается с изучения темы «Взаимное расположение предметов», цель которой - уточнить и скорректировать пространственные представления учащихся. В следующей теме происходит знакомство с поверхностями, линиями и точкой. Первым этапом в формировании геометрических представлений младшего школьника автор считает целостное восприятие геометрической фигуры. «В дальнейшем необходимо сосредоточить его внимание на выделении тех элементов, из которых состоят геометрические фигуры, и на их существенных признаках. Для этой цели геометрические фигуры изучают в определенной последовательности, выполняя с моделями различные практические действия» [6, 150]. Обучение во 2 классе начинается с повторения изученного материала, затем изучается тема «Углы. Многоугольники. Многогранники». Появляются задания на построения, как от руки, так и с помощью угольника, например, построение различных углов и определение их вида, достраивание ломаных линий до многоугольников и др. Также в этой теме начинается знакомство с многогранниками, вводятся понятия граней и ребер, задания на разрезание многогранников. В 3 классе при изучении темы «Кривые и плоские поверхности» систематизируются и углубляются уже имеющиеся знания у учащихся, но и происходит перенос данных знаний на объемные тела. Изучение пересечения фигур происходит сначала на материале плоских фигур, а затем - на объемных телах, а в 4 классе происходит знакомство с пересечением тел вращения и вводится понятие сечения, на практической основе устанавливают зависимость между шаром и кругом. В 4 классе опытным путем происходит знакомство с телами вращения: конус, цилиндр и др., вводится понятие тело вращения.

Вся система заданий данного курса направлена на развитие внимания, мышления, математической речи, мыслительных операций младших школьников. Курс, по утверждению авторов, построен на принципах постепенного усложнения материала, наглядности, фузионизма, системности и научности. Все формулировки заданий даны в понятных и простых для детей фразах и отражают знакомые ситуации. В курсе реализуются не только внутрипредметные, но и межпредметные связи с чтением, изобразительным искусством, трудовым обучением. Большую положительную роль играет практическая направленность многих заданий. Таким образом, теоретические знания под-

тверждаются учащимися в результате опыта, эксперимента, например, вырезание и склеивание из разверток моделей геометрических тел.

А.В. Белошистая является автором дополнительного курса «Наглядная геометрия». По замыслу автора, данный курс может быть использован в сочетании с любым действующим учебником математики в начальной школе, а также для проведения кружковой и внеклассной работы. Автор считает, что главной целью курса геометрии в начальной школе является развитие математического мышления ученика. Данную цель автор активно реализовывает не только в этом курсе, но и в соответствующих учебных материалах для 5-6 классов и в дошкольных программах.

Автором обозначены такие цели наглядной геометрии:

• «развитие математического мышления с преимущественным вниманием к развитию пространственного мышления ребенка;

• формирование основных логических умений, позволяющих в дальнейшем развивать умение доказывать математические положения (обучение рассуждениям и умению строить логически обусловленную доказательную «цепочку» высказываний, связанных причинно-следственной связью);

• развитие основных общеучебных умений, влияющих на развитие учебной самостоятельности школьника: умение работать с учебной книгой, самостоятельность, самоконтроль, умение планировать свою деятельность, умение оценивать ее результаты и умение строить перспективные учебные планы (в пределах изучения данного содержания, в частности)» [3,3].

Основные задачи курса - обучение ребенка моделированию, по средствам которого формируются начальные геометрические понятия; развитие основных приемов умственной деятельности и графических умений и навыков; формирование конструкторского мышления.

Отличительной особенностью данного курса является отсутствие строгого регламента, автор предлагает учителю самостоятельно пользоваться материалами по наглядной геометрии, начиная с любого года обучения, учитывая уровень подготовки учащихся, количество часов и др. Автор большое значение придает наглядности при обучении геометрии, поэтому были разработаны не только тетради на печатной основе с большим количеством иллюстраций, но и наглядные методические пособия: «Дидактический набор», геометрическая мозаика, рамка, развивающая кинестетические способности, мелкую мускулатуру рук и др.

По каждому классу автором разработаны методические рекомендации и тематическое планирование, что помогает учителю в разбиении всего учебного материала на уроки. В начале 1 учебного года автор предлагает провести тестирование учащихся. Проанализировав первичное тестирование, учитель «может судить об умении ребенка воспринимать геометрические фигуры (сформированность представлений), умении слушать и слышать инструкцию учителя, самостоятельно распознавать геометрическую фигуру

(адекватность восприятия), выполнять рисунок с помощью рамки (умение работать по образцу), сформированности внимания и самоконтроля; уровне развития мелкой моторики и зрительно-моторной координации; интуитивных представлениях преобразований на плоскости (чтобы рисунок получился точным, рамку надо двигать, переворачивать, координировать составные части рисунка)» [2, 14]. В дальнейшем подобные тесты проводятся дважды: до изучения темы и после изучения темы. Сравнивая две работы ученика, учитель может судить о его продвижении в процессе обучения, пробелах в знаниях и др. В 1 классе происходит знакомство с основными геометрическими фигурами, учащимся даются начальные геометрические понятия. Автор рекомендует обучать, используя большое количество игр, игровых ситуаций (например, «Внимание», «Сложи круг» и др.) и заданий аппликативного и мозаичного характера, в технике оригами. По мнению автора, в хорошо подготовленном классе будет уместно использовать игры семьи Никитиных, игры «Танграм» и др. Многие задания данного курса тесно связаны с уроками трудового обучения и изобразительного искусства. Отдельную линию работы в данном курсе представляет конструирование из конструктора, а при его отсутствии предлагаются такие задания: на конструирование из деталей мозаики, из деталей игры-головоломки «Танграм»; на конструирование и трансформацию (спичечная геометрия); на распознавание геометрических фигур в объемных телах; работа с кубиками Никитиных. Работу во 2 классе, по мнению автора, учитель должен начать с повторения, учитывая результаты итогового теста 1 класса. Знания учащихся углубляются и систематизируются. В 3 классе большее внимание уделяется измерительной составляющей геометрии - «Площадь квадрата и прямоугольника», «Площадь и единицы ее измерения», «Числовой луч. Шкала», «Углы. Градусная мера углов» и др. Так же учащиеся знакомятся с координатными прямой, углом и плоскостью. Эта тема позволяет строить геометрические фигуры более осознанно. Расширяется арсенал игр - это и разнообразные зрительные иллюзии, и лист Мебиуса, и игры «Координатный бой» и др. А.В. Белошистая рекомендует проводить занятия по наглядной геометрии с привлечением компьютера. В 4 классе главной задачей учителя является «не столько формирование новых математических понятий (собственно обучение математическому содержанию), сколько организация самостоятельной деятельности ребенка с задачником-справочником по выполнению различных учебных заданий» [3, 3] и подготовка детей к переходу в среднюю школу. Основные темы направлены на повторение и систематизацию знаний. Однако в 4 классе автор выделяет тему «Объемные фигуры», которая уточняет и систематизирует уже имеющиеся знания школьников и вводит начальные стереометрические понятия: многогранники и их виды, основание, грань, ребро и др. Автор уделяет особую роль заданиям (задачам) на построение, которые необходимы для «формирования у ребенка практических умений построения геометрических фигур с помощью циркуля, угольника и линейки и подготовки к обучению рассуждениям и доказательству является важнейшей задачей курса началь-

ной математики с точки зрения дальнейшего математического образования ребенка» [1, 232].

По нашему мнению, курс «Наглядная геометрия» А.В. Белошистой носит ярко выраженный интегрированный характер; изобилует большим количеством наглядного материала, игр и игровых ситуаций, является пропедевтикой к систематическому курсу геометрии. Система заданий курса способствует развитию мышления, воображения, мыслительных операций, самостоятельности, интереса, активности, конструкторских способностей, творчества школьников. Существенными недостатками данного курса, на наш взгляд, является изложение материала без учета принципа фузионизма, отсутствие строгого регламента.

И.В. Шадриной представлен комплект рабочих тетрадей, реализующий фузионистский подход к обучению геометрии младших школьников. Этот подход основывается на изучении качественных свойств геометрических фигур и построении «только на интуитивно-содержательной основе» [7, 58]. Под качественными свойствами геометрических фигур автор подразумевает «фазу освоения пространственных форм и отношений» [7, 4] как первичных и в последнюю очередь знакомство с метрическими свойствами геометрических объектов. При освоение данной фазы происходит «не только раскрытие основных геометрических понятий, но и развитие таких интеллектуальных процедур, как воображение, представление, вращение, трансформация, которые позволяют работать с образными компонентами концептуальных фигур» [7, 11]. Приоритетными целями при обучении геометрии в начальной школе автор считает развитие пространственного мышления и воображения; овладение графическими умениями и навыками; знакомство школьников с математическими методами познания; подготовка учащихся к усвоению систематического курса геометрии.

По мнению автора, работа с геометрическим материалом в 1 классе должна основываться на уточнении и обобщении имеющегося у учащихся опыта, должна быть направлена на осмысление опыта оперирования пространственными телами и отношениями». Этот замысел автора реализуется в таких темах: «Взаимное расположение тел в пространстве», «Поверхности. Линии. Точки». Тема «Взаимное расположение тел в пространстве» выявляет умения детей ориентироваться в пространстве. Система заданий хорошо проиллюстрирована, происходит постепенный переход к более сложным заданиям. Автор использует большое количество заданий со сказочными героями. При выполнении многих заданий можно предложить учащимся работу с объемными аналогами предметов из заданий. Каждое задание содержит подробную инструкцию к выполнению. Смысловую нагрузку задания автор выделяет жирным шрифтом, что поможет привлечь внимание ребенка. В теме «Поверхности. Линии. Точки» автор большое внимание уделяет моделированию разнообразных поверхностей с использованием бумаги, пластилина, глины. Подобные задания помогают младшим школьникам лучше осознать природу объемных тел и ориентироваться в трехмерном пространстве

окружающего мира. Во 2 классе повторяются и углубляются ранее полученные знания. Учитель вводит и новый материал - аффинные преобразования. Сам термин, естественно, не вводится, однако, автор предлагает задания, которые помогают понять суть аффинных преобразований. В теме «Многогранники и многоугольники» учащиеся работают с плоскими и объемными фигурами. Автор считает, что необходимо донести до сознания учащихся то, что объемные тела получаются из плоских фигур. С этой целью разработаны разнообразные задания на моделирование, раскрашивание, дорисовывание и др. В теме «Угол» учащиеся учатся строить и находить не только плоские, но и телесные углы. В 3 классе материал значительно усложняется и абстрагируется. Автор предлагает для изучения такие темы: «Равенство геометрических фигур», «Равные и равносоставленные многоугольники», «Площадь плоской фигуры». Изучению данных тем предшествует повторение пройденного материала. В теме «Равенство геометрических фигур» учащиеся с помощью циркуля и методом совмещения находят равные фигуры. Тема «Равные и равносоставленные многоугольники» является логическим продолжение предыдущей темы, помогает усвоить и закрепить на практике ранее изученные знания, способствует развитию логического и пространственного мышления и воображения. В заключительной теме «Площадь плоской фигуры» рассматриваются не только площади плоских фигур, но и площади разверток объемных тел. В 4 классе учащиеся рассматривают такие важные понятия геометрии, как симметрия, объем параллелепипеда, построение геометрических фигур. Тема «Построение геометрических фигур» очень сложна для учащихся начальной школы, однако, по нашему мнению, данная тема введена автором для большей подготовки учащихся к изучению систематического курса геометрии и переходу в среднее звено школы. Задания в данной теме посвящены построениям с помощью линейки и циркуля.

Исходя из всего выше сказанного, следует отметить, что пропедевтический курс И.В. Шадриной «Решаем геометрические задачи» носит углубленный характер, способствует развитию мыслительных процессов, содержит большой по объему и сложный по тематике материал, хорошо иллюстрирован, отвечает основным дидактическим принципам.

Интегрированный курс «Математика и конструирование» (авторы С.И. Волкова, О.Л. Пчелкина), который в школе действует уже многие годы, в качестве возможного дополнения к учебнику М.И. Моро и др. и «объединяет в один учебный предмет два разноплановых по способам изучения, но эффективно дополняющих друг друга школьных предмета: математику, которая имеет развитую теоретическую основу, но реализация практического и прикладного потенциала ее теоретических возможностей не всегда достаточно полно осуществляется в процессе обучения, и трудовое обучение, которое не имеет теоретической базы, но овладение основами этого предмета носит ярко выраженный практический характер» [4, 3]. По мнению авторов, такой подход к изучению геометрии и трудового обучения позволяет максимально раскрыть и использовать положительные стороны каждого из этих

предметов и существенно повысить результаты обучения, за счет одновременного развития мыслительной и практической деятельности учащихся. В данном курсе отобранный и логически выстроенный математический материал (особенно его геометрическая составляющая) выступает в качестве базы, на которой строится практическая деятельность школьников, в процессе которой обращается особое внимание на использование математических знаний для освоения способов моделирования и конструирования различных объектов. Основные цели преподавания данного курса в начальных классах состоят в том, чтобы повысить математическую и геометрическую грамотность школьников, развивать их практическую деятельность, «познакомить с основами конструкторско-практической деятельности и сформировать элементы конструкторского мышления, графической грамотности и технических умений и навыков учащихся» [5, 3]. Изложенные выше идеи и концепции курса определяют его содержание и структуру, отраженную в основных авторских положениях - преемственность с действующими курсами математики, усиление геометрического содержания начального курса математики, расширение содержания курса за счет интеграции двух учебных предметов, усиление графической линии курса трудового обучения и геометрии. Весь материал курса условно можно разделить на геометрическую составляющую и материал для организации конструкторско-практической деятельности младших школьников. Причем геометрическая составляющая курса, реализуемая в процессе конструкторско-практической деятельности, является приоритетной и направлена на расширение, обогащение и углубление геометрических знаний, умений и представлений учащихся и на создание прочной основы для развития графической грамотности, конструкторского мышления, умений и навыков. Авторы предлагают такую линию введения геометрических понятий: точка —> плоскостные фигуры —> объемные тела. По каждому классу авторами разработаны методические рекомендации и тематическое планирование. В 1 классе учащиеся знакомятся с геометрическими фигурами: точкой, линией, отрезком, лучом, многоугольниками, углами и их видами; учатся обозначать их латинскими буквами, выполняют построение прямоугольника, квадрата на клетчатой бумаге. Конструкторско-практическая деятельность предусматривает: знакомство с разными видами бумаги и их назначением и основными способами ее обработки; правилами техники безопасности при работе с инструментами и правильной организацией рабочего места; основными приемами и правилами разметки; конструированием из бумажных полосок; изготовление аппликаций и изделий в технике оригами. В течение 2 года обучения геометрическая сторона курса расширяется и уточняется как за счет введения новых понятий и рассмотрения некоторых свойств, так и при рассмотрении новых геометрических фигур и их элементов: окружность, круг, радиус, диаметр. Практическая работа направлена на формирование умений читать и выполнять простые чертежи и технологические карты и изготавливать по ним изделия. В 3 классе учащиеся знакомятся с объемным телом - треугольная правильная пирамида и ее эле-

ментами, учатся изготавливать ее разными способами. Появляется много заданий на построение: отрезка, равного данному, с использованием циркуля и линейки без делений; треугольника по трем сторонам с использованием циркуля и линейки без делений и др. Практическая деятельность младших школьников направлена на изготовление моделей треугольников разных видов, правильной треугольной пирамиды, аппликаций по чертежам и др. В 4 классе изучаются основные многогранники и их элементы - прямоугольный параллелепипед, куб; некоторые тела вращения - прямой круговой цилиндр, шар. Также дети знакомятся с осевой симметрией.

Данный курс может использоваться как самостоятельный предмет, так и органично включаться в уроки математики; в нем соблюдены все основные дидактические принципы. Система заданий способствует совершенствованию геометрических представлений, знаний и умений школьников, формированию конструкторско-практических и графических умений и навыков, развитию воображения, пространственного и логического мышления. Однако существенным недостатком является концентрирование внимания учащихся на формировании одно- и двумерных представлений и отсутствие целенаправленной работы по формированию умений связывать эти представления с трехмерным пространством и наоборот.

В результате анализа некоторых действующих курсов и программ нами выявлены следующие методические достоинства изложения начал геометрии:

• широкое использование принципа наглядности при изучении геометрического материала;

• развивающая направленность современных курсов;

• применение системы игр, обеспечивающих формирование математической культуры младших школьников;

• организация изучения каждой темы: от постановки проблемы - до конечного вывода;

• знакомство со способами построения с помощью основных чертежных инструментов;

• внутри- и межпредметная интеграция геометрического материала;

• использование системы нестандартных и творческих заданий.

Однако основные причины низкого уровня геометрических знаний и математической культуры младших школьников объясняются следующими методическими недочетами:

• малочисленность и даже отсутствие практических и лабораторных работ и экскурсий, которые выполнялись бы всеми учениками класса; подмена их демонстрациями, в ходе которых ученики являются лишь пассивными наблюдателями;

• отсутствие краеведческого материала;

• недостаточное использование принципа фузионизма в обучении и др.

Ликвидация выявленных недочетов и создание «идеального» курса наглядной геометрии, отвечающего всем педагогическим и методическим требованиям, является приоритетной задачей современной методики преподавания математики.

Библиографический список

1) Белошистая, А.В. Методика обучения математике в начальной школе: курс лекций: учеб. пособие для студентов высш. пед заведений. - М.: ВЛАДОС, 2005.-455 с.

2) Белошистая, А.В. Наглядная геометрия в 1 классе: Пособие для учителя. - М.: Классикс Стиль, 2004. - 112 с.

3) Белошистая, А.В. Наглядная геометрия в 4 классе: Пособие для учителя. - М.: Классикс Стиль, 2004. - 56 с.

4) Волкова С.И. Методическое пособие к курсу «Математика и конструирование»: 1 - 4 кл.: пособие для учителя / С.И. Волкова. - 2-е изд. -М.: Просвещение, 2007. - 143 с: ил.;

5) Волкова С.И., Пчелкина О.Л. Математика и конструирование: 1 класс. Пособие для учащихся общеобразовательных учреждений. - М.: Просвещение, 2008. - 92 с: ил.;

6) Истомина, Н.Б. Методика обучения математике в начальных классах: Учеб. Пособие для студ. сред, и высш. пед. учеб. заведений. - 5-е изд., стер. - М.: Издательский центр «Академия», 2002. - 288 с.

7) Шадрина, И.В. Решаем геометрические задачи. Рабочая тетрадь: 3 класс. - М.: Школьная Пресса, 2008. - 48 с.

8) Шадрина, И.В. Принцип построения системы обучения младших школьников элементам геометрии //Начальная школа. - 2001. - №10. - С. 37-46.

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПАКЕТА SCILAB ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ОПТИМИЗАЦИИ

Д.А.Таров, И.Н. Тарова

В статье рассматриваются способы применения математического пакета SciLab для решения задач оптимизации. Приводится пример применения функции linpro для решения задач линейного программирования.

Ключевые слова: математический пакет SciLab, задачи оптимизации, функция linpro.

В пакете SciLab предусмотрены также средства для решения задач оптимизации (линейного программирования). Знакомство с данными задачами начнем на примере задачи об оптимальном рационе.

Задача об оптимальном рационе формулируется следующим образом. Имеется четыре вида продуктов питания: Pi, Р2, Рз, Рф Известна стоимость единицы каждого продукта Ci , С2 , сз , с4 . Из этих продуктов необходимо составить пищевой рацион, который должен содержать не менее bi единиц белков, не менее b2 единиц углеводов, не менее Ьз единиц жиров. Причем известно, что в единице продукта Pi содержится ац единиц белков, ai2 единиц углеводов и ап единиц жиров и т.д. Требуется составить пищевой рацион, чтобы обеспечить заданные условия при минимальной стоимости.

Содержимое белков, углеводов и жиров в продуктах:

Элемент

белки

углеводы

жиры

Pi

ац

ai2

ап

Р2

a2i

а22

а2з

Рз

аз1

аз2

азз

Р4

a4i

а42

а4з

Пусть xi , х2 , хз , х4 количества продуктов Pi , Р2 , Рз , Р4 • Общая стоимость рациона равна:

(1)

Сформулируем ограничение на количество белков, углеводов и жиров в виде неравенств. В одной единице продукта Pi содержится ац единиц белков, в xi единицах - ац xi , в х2 единицах продукта Р2 содержится a2iX2 единиц белка и т.д. Следовательно, общее количество белков во всех четырех типах продукта равно и должно быть не меньше Ъ\. Получаем первое ограничение:

(2)

Аналогичные ограничения для жиров и углеводов имеют вид:

(3) (4)

Приняв во внимание, что xl , х2 , хЗ , х4 - положительные значения, получим еще четыре ограничения:

Таким образом, задачу о рациональном рационе можно сформулировать следующим образом: найти значения переменных xi, Х2, Х3, х4, удовлетворяющие системе ограничений (2)-(5), при которых линейная функция (1) принимала бы минимальное значение.

Задача об оптимальном рационе является задачей линейного программирования, функция (1) называется функцией цели, а ограничения (2) -( 5) системой ограничений задачи линейного программирования.

В задачах линейного программирования функция цели L и система ограничений являются линейными. В общем случае задачу линейного программирования можно сформулировать следующим образом. Найти такие значения xi , Х2 , . . ., хп , удовлетворяющие системе ограничений

при которых целевая функция L достигает своего минимального (максимального) значения:

Для решения задач линейного программирования в Scilab предназначена функция linpro следующей структуры:

Здесь:

• с - массив (вектор-столбец) коэффициентов при неизвестных функции цели, длина вектора п совпадает с количеством неизвестных х.

• А - матрица при неизвестных из левой части системы ограничений, количество строк матрицы равно количеству ограничений m, а количество столбцов совпадает с количеством неизвестных п.

• b - массив (вектор-столбец) содержит свободные члены системы ограничений, длина вектора т.

• ci - массив (вектор-столбец) размерности п содержит нижнюю границу переменных (cij < Xj ), если таковая отсутствует, указывают

• es - массив (вектор-столбец) длиной п, содержит верхнюю границу переменных (csj > Xj ), если таковая отсутствует, указывают [].

• к - целочисленная переменная используется, если в систему ограничений кроме неравенств входят и равенства, в матрице они будут находиться в к первых строках, оставшиеся 1 строк займут неравенства, т.е. m = к + 1.

• хО - вектор-столбец начальных приближений длиной п. Функция linpro возвращает массив неизвестных х, минимальное значение функции f и массив множителей Лагранжа kl.

Рассмотрим использование функции linpro на примере решения следующей задачи линейного программирования.

Задача. Найти такие значения переменных xl , х2 , хЗ , х4 , при которых функция цели L = -Х2 _ 2хз + Х4 достигает своего минимального значения и удовлетворяются ограничения:

Следует обратить внимание, что в четвертом ограничении присутствует знак «>». Для приведения системы ограничений виду (1) необходимо четвертое уравнение умножить на -1. Решение задачи представлено ниже:

Результаты решения задачи:

Проанализируем решение задачи. Если присвоить результат вычислений функции вектору из трех компонент, то первая из них будет содержать вектор неизвестных х, вторая множители Лагранжа kl, а третья минимальное значение целевой функции f.

Если поставлена задача на нахождения максимума функции, коэффициенты целевой функции следует умножить на -1, тем самым сведя задачу к нахождению минимума. После получения решения полученное значение целевой функции также следует умножить на -1.

СЕТЕВЫЕ ТЕХНОЛОГИИ: ПЕРЕХОД К НОВОЙ ПАРАДИГМЕ В ОБРАЗОВАНИИ

В.А. Тестов

В статье рассматриваются трудности, возникающие в традиционной (индустриальной) парадигме образования при использовании современных информационных технологий. Показывается, что преодоление этих трудно-

сшей невозможно без перехода к новой парадигме в образовании, называемой сетевой (постиндустриальной).

Ключевые слова: информационное общество, кризис понимания, проектная деятельность, сетевое образование, Интернет-проекты, обучение математике.

В настоящее время мы являемся свидетелями и участниками формирования нового типа общества, характер которого можно обозначить как «информационное общество» или «постиндустриальное общество». Очевидно, что становление нового типа общества требует не просто внедрения в обучение информационных технологий, а новой методологической основы системы образования, радикального обновления его целей и содержания, форм, методов и средств обучения.

Традиционная система обучения, идущая еще от Яна Амоса Коменского и базировавшаяся на принципе «учить всех всему», приходит все в большее противоречие с реалиями информационного общества. Широкое распространение новых информационных технологий несомненно облегчило доступ каждому человеку к самой современной информации, но вместе с тем привело к тому, что человек наряду с действительно нужной и полезной информацией получает много совершенно бесполезной, искаженной и даже ложной информации, так называемых «информационных шумов», «информационных отходов». В целом можно говорить о переизбытке информации.

Молодые люди попадают в своего рода ножницы, когда знания, получаемые от учителя, из учебника, перекрываются потоком хаотичной информации, идущей, прежде всего, от Интернета и СМИ. Причем эта информация, не имеющая структурно-содержательной логической связи, подаваемая не системно, а бисерно, не просто не вписывается в рамки стационарного образования, но представляет собой качественно иной тип.

В первую очередь компьютеризация опасна тем, что воздействует на самую хрупкую и уязвимую составляющую ноосферы - на живую интеллектуальную среду. Человек в своей жизнедеятельности опирается не только на ту информацию, которую он получает в сфере образования, но, в значительно большей степени, на информацию, получаемую в сфере общения с электронными средствами информации, которые оказывают на восприятие информации гораздо большее влияние, поскольку опосредованы более высоким уровнем мотивации, более значимым эмоциональным фоном, наличием образной составляющей. Именно эта сфера в значительной степени формирует у человека когнитивные, коммуникативные и эмоциональные стереотипы, определяющие его деятельность. В процессе интенсивного применения современных информационных технологий происходит «паралич человеческого мышления», полное подчинение сознания интернету или телевидению, что закрывает человеку фазу

размышления - важнейшую фазу формирования мыслительных структур, человек утрачивает способность думать, понимать и чувствовать.

Можно говорить о кризисе понимания, который берет свое начало в избытке информации и о котором сейчас многие пишут (См. например [5]). Стиль мышления молодежи сегодня за счет постоянного общения с масс-медиа - образно-эмоциональный, и именно на этом построена информация, подаваемая с помощью СМИ. Мышление школьников и студентов все меньше тяготеет к абстрактным построениям. Все это идет вразрез с традиционным, вербальным стилем изложения учебного материала. Для современной эпохи характерно фрагментарно-клиповое сознание, человек перестает чувствовать необходимость воссоздания целостной смысловой картины мира, отдельные фрагменты знаний, полученные из сетей, дают ему возможность чувствовать себя находящимся на переднем крае науки и техники, не прилагая значительных умственных усилий.

В результате многолетних исследований Н.А. Лызь и Н.А. Познина пришли к выводу о том, что компьютеризированная образовательная среда в одном случае обеспечивает условия для саморазвития студентов, а в другом - оказывает негативное сияние на их личностное развитие. Определяющим фактором того, что это будет - позитивное или негативное влияние, является уровень развития личности, ее ценностно-смысловой сферы и субъектности как способности управлять своей жизнью [3].

К сожалению, даже в юношеском возрасте необходимый уровень зрелости достигается далеко не каждым человеком, в связи с чем погружение в такую среду может повлечь за собой личностные деформации. В качестве примера таких деформаций можно привести компьютерные зависимости, в частности, интернет-зависимость, которая проявляется в навязчивом желании подключиться и воспользоваться ресурсами Интернета и болезненной неспособности вовремя отключиться от него. Интернет-зависимость также характеризуется стремлением пользователей к уходу от реальности, так как виртуальный мир создает некоторую иллюзию свободы и независимости от окружающих, от их мнений и действий. Такие учащиеся в реальном мире, по сравнению с «простым и понятным» виртуальным, чувствуют себя неуверенно.

Все эти процессы у многих ученых и преподавателей вызывают впечатление надвигающейся в образовании катастрофы. Но не являются ли эти процессы вполне закономерными, а педагогическое сообщество оказалось просто к ним не готовым?

В любой науке, согласно Т. Куну, время от времени происходят кризисы. Как пишет Т. Кун, в нормальной науке через некоторое время в результате постановки вполне корректных вопросов иногда обнаруживается, что ответы на них не могут быть получены в рамках существующей парадигмы. Это означает, что наука перестает быть «нормальной» и вступает в период кризиса, в период обновления парадигмы.

Термин «парадигма» в последнее время часто используется в многочисленных педагогических публикациях. Однако этот термин не всегда явно определяется, используется в разных значениях, а соответственно и количество выделяемых типов парадигм в педагогике превышает два десятка. В последние десятилетия в педагогической науке создается иллюзия псевдопарадигмальных скачков, что объясняется не только неравномерностью роста научного знания, но и отсутствием однозначности в понимании этого термина. Мы, следуя Т. Куну, под парадигмой понимаем понятийную систему, которую принимает сообщество ученых и которая обеспечивает их схемами постановки проблем и их решений. Педагогическая парадигма - это система научно-педагогических взглядов, представляющая собой совокупность теоретических положений, методологических оснований, понятий и ценностных критериев педагогической деятельности.

В ситуации кризиса появляются различные подходы к объяснению мира, возникают разные школы, опирающиеся на противостоящие друг другу системы взглядов, поскольку единого метода, гарантирующего правильный результат при корректной постановке вопроса, больше не существует.

Таким образом, мы можем считать, что в педагогике в конце XX века наступил период кризиса, т.е. (по мнению Куна) то состояние дисциплины, в котором осознана неудовлетворительность старой парадигмы, необеспеченность ее претензий на объяснение всех явлений, относящихся к сложившейся предметной области. Этот кризис продолжается и поныне. Именно этим, на наш взгляд, объясняется наличие в педагогике столь разных подходов и взглядов.

Переход в образовании и в педагогике к новой парадигме - процесс не быстрый и достаточно болезненный. Можно констатировать, что пока научное педагогическое сообщество больше ставит проблемы, чем указывает пути их решения.

Разработка инновационной системы обучения и воспитания должна учитывать все революционные изменения в культурном контексте современного общества, обусловленные массовым вхождением в жизнь человека мировой информационной сети.

Эти изменения кардинально поменяли основную цель образования. В минувшие времена основная цель образования формулировалась по-разному. Это было или получение профессии или приобретение научно-технических знаний, или совсем призрачное «всестороннее развитие личности». Все эти цели ныне утеряны. Ещё совсем недавно практически каждый человек всю свою жизнь существовал в рамках одной-единственной профессиональной деятельности. Смена профессии была большой редкостью, воспринималась как «несостоятельность».

В информационном обществе нет необходимости концентрировать людей в одном месте, их работа все больше переносится с фабрик и из массовых офисов в малые офисы и дома, они могут быть разбросаны по всему миру, связанные между собой почти мгновенной связью.

Современные средства коммуникации многократно увеличили скорость обмена информацией, а вместе с тем и скорость принятия решений. Возросли темпы развития новых технологий. Они подошли к той черте, когда за 10 - 12 лет (а в некоторых областях, например, в компьютерной, - и ещё быстрее) технологии практически любой сферы человеческой деятельности существенно обновляются, радикально меняются настолько, что освоить новую технологию в своей «старой» профессии по затратам времени и сил - всё равно, что приобрести новую профессию. Отражением этого является тот факт, что в новом обществе смена специальностей, профессии, работы все чаще происходит несколько раз на протяжении жизни конкретного человека.

В любом случае человек должен учиться заново и фактически менять свою деятельность. Из потребности участия в деятельности вытекает цель образования. Как совершенно верно пишут А.В. Боровских и Н.Х. Розов, эта цель не зависит ни от политической конъюнктуры, ни от социального строя, ни от уровня технологий, ни от воли или капризов людей, ни от идеологии, ни от решений партии и правительства. Она может быть сформулирована так: цель образования - подготовка к участию в деятельности человеческого общества [2].

В информационном обществе для успешного участия в деятельности требуется умение принимать критические решения, которые достаточно быстро устанавливают новые отношения в быстро меняющейся реальности. Для этого надо уметь работать с информационными потоками, уметь анализировать происходящее вокруг, быть динамичным, коммуникабельным и т.д. Меняются и формы деятельности. Как отмечает А.М. Новиков, социально-экономические процессы породили такую форму организации труда, как проектная деятельность. Работники объединяются для реализации определенного проекта, после его реализации трудовой коллектив распадается, а отдельные участники перетекают в другие проекты уже в рамках других трудовых коллективов. Такой тип организации труда требует умения работать в команде, зачастую разнородной, коммуникабельности, толерантности, навыков самоорганизации, умения самостоятельно ставить цели и достигать их. Если кратко сформулировать что такое образованность в постиндустриальном обществе - это способность общаться, учиться, анализировать, проектировать, выбирать и творить [4].

Основным средством обучения в информационном обществе, в отличие от традиционной системы обучения становится не учебная книга, а компьютерные сети. Применение информационных технологий и компьютерной техники в обучении ведет к тому, что образовательная среда приобретает совсем другие возможности и ограничения, порождая новую педагогическую реальность. Компьютерные сети в обучении можно применять для совместного использования программных ресурсов, осуществления интерактивного взаимодействия, своевременного получения информации, непрерывного мониторинга качества полученных знаний и т.д.

Одним из видов деятельности студентов при использовании сетевых технологий является учебный сетевой проект, успешность выполнения которого во многом зависит от четкости его планирования и организации. При изучении математики сетевые проекты являются удобным средством для совместной отработки студентами навыков решения задач, проверки уровня знаний, а также формирования интереса к предмету.

При таком образовании учебную деятельность студент осуществляет во взаимодействии с другими пользователями сети, т.е. учебная деятельность становится не индивидуальной, а коллективной. В силу этого на такое обучение нам надо смотреть как на процесс, происходящий в учебном сообществе. В сообществе, в котором и ученики, и учителя выполняют свои вполне определённые функции. И результат обучения можно расценивать именно с точки зрения исполнения этих функций, а не по тем или иным внешним, формальным параметрам, характеризующим чисто предметное знание у отдельных учащихся. По мнению А.В. Боровских и Н.Х. Розова, они не в том, чтобы что-то выучить, а в том, чтобы максимально освоить те деятельностные социальные функции, которые потом позволят человеку «вписаться» в общество, найти там свое место, свою роль, свою ценность для окружающих. Деятельностный подход ставит предметное знание на второе, подчиненное место (да и по существу учебный предмет - это действительно только предмет деятельности, в данном случае учебной) [2].

Следует заметить, что в современном мире практически уже вся деятельность является коллективной. Поэтому коллективная учебная деятельность в гораздо большей степени способствует формированию компетенций, чем индивидуальная. Однако у отдельных индивидов возникают трудности с получением понимания, поскольку для сетевого образования характерны эклектичность, неоднородность, отсутствие иерархии в получаемых знаниях.

Сетевое пространство характеризуется как вторая виртуальная реальность жизнедеятельности личности, а для многих людей она становится первым и основным полем жизнедеятельности, где люди чувствуют себя наиболее комфортно и где они проводят большую часть своей жизни. Такая виртуальная среда общения позволяет компенсировать личности отсутствие возможностей для удовлетворения ее потребностей (в самореализации, в межличностных отношениях и т.д.) в среде традиционного взаимодействия как с преподавателями, так и со сверстниками.

По мнению Г.А. Берулавы, сетевое образование относится к новой образовательной парадигме, которую она так и называет сетевой. Ее отличительными особенностями является обучение на основе синтеза объективного мира и виртуальной реальности посредством активизации как сферы рационального сознания, так и сферы интуитивного, бессознательного. Сетевая образовательная стратегия исходит из того, что появление новых информационных технологий расширяет познавательный диапазон человека. Такое взаимодействие обучаемого и компьютера характеризуется как интел-

лектуальное партнерство, представляющее так называемый «распределенный интеллект». В отличие от традиционной, сетевая образовательная стратегия ориентирована не на систематизацию знаний и усвоение очередного основного ядра информации, а на развитие способностей и мотивации к генерированию собственных идей [1].

Для сетевой парадигмы характерно обучение на основе решения конкретных проблем, что предполагает эклектичность в самостоятельном получении знаний, но более высокую мотивационную обеспеченность. Возникает вопрос: а как при такой системе обучения решается проблема понимания? Понимание - это субъективное качество, оно связано с другими психическими процессами, прежде всего с мышлением, с памятью, с эмоциями, с воображением. Поэтому правильнее говорить не об отсутствии или наличии понимания, а о различных уровнях понимания. Для выполнения человеком той или иной персональной роли в деятельности сообщества совсем не обязателен для всех одинаковый уровень понимания. Скажем, нужно ли требовать от менеджера или юриста такого же уровня понимания математики, как у математика-профессионала или инженера? Достаточно, чтобы он представлял роль математики в современном мире и умел применять некоторые математические методы. Разумеется, имеются виды деятельности, в которых без должного уровня понимания невозможно творить новое. Поэтому всегда должна быть возможность достичь необходимого уровня понимания в том или ином вопросе.

Таким образом, в сетевой парадигме сфера взаимодействия обучаемых в значительной степени смещается в сферу виртуального пространства Интернета, где они должны совместно решать поставленные перед ними проблемы, а также те проблемы, которые они формулируют самостоятельно. На первый план выдвигается проективное начало, сеть используется не столько для получения информации, сколько для сотрудничества, получения опыта профессиональной деятельности. Для коллективных учебных проектов хорошо подходит ВИКИ-технология. Использование Вики-технологии позволяет вести речь об обучении как процессе создания студентами совместного сетевого контента. В современной системе образования технология ВикиВики должна использоваться как среда сетевого соучастия и организации совместной деятельности обучаемых. Тем самым реализуется принцип обучения в кооперации и сотрудничестве в решении учебных и профессиональных проблем. Взаимодействие в виртуальной среде во многом снимает проблемы субъективно-психологического характера, мешающие решению поставленных задач, что в условиях реального общения часто выдвигается на передний план.

В Вологодском педуниверситете учебные Интернет-проекты с использованием ВИКИ-технологии применяются уже несколько лет, но пока только при обучении математике студентов-гуманитариев. Для таких студентов на первое место выдвигается не проблема понимания, а проблема мотивации, развития познавательной активности. Сетевые технологии спо-

собствуют решению этой проблемы, сопряжению гуманитарных и математических знаний, сближению процессов обучения и исследования, обучения и воспитания. Как показали исследования, если в процессе обучения математике студентов-гуманитариев применить разработанную методику использования учебных сетевых проектов с использованием современных информационных технологий, построенную на решении задач, профессионально значимых для студентов, то это приведет к повышению познавательной активности студентов. Главное в таком обучении - максимальная доступность знаний, возможность для преподавателя разрабатывать индивидуальный подход для каждого студента, что открывает принципиально новые возможности ускоренного индивидуального развития каждого студента.

Библиографический список

1) Берулава Г.А. Инновационная сетевая парадигма обучения и воспитания студентов в условиях современного информационного пространства //Гуманитаризация образования. - № 4. - 2010. - С. 8-23.

2) Боровских А.В., Розов Н.Х. Деятельностные принципы в педагогике и педагогическая логика. - М.: МАКС Пресс, 2010. - 80 с.

3) Лызь Н.А., Познина Н.А. Педагогические риски технизированных образовательных сред //Педагогика. - №4. - 2010. - С. 33-42.

4) Новиков А.М. Постиндустриальное образование. - М.: Издательство «Эгвес», 2008. - 136 с.

5) Тестов В.А. Информационные технологии в математическом образовании: проблема понимания. Вестник Елецкого государственного университета. Вып. 27. Серия «Педагогика» (История и теория математического образования). - Елец: ЕГУ им. И.А.Бунина, 2010. - С. 221-233.

МЕТОДИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ИЗУЧЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИИ В ОСНОВНОЙ ШКОЛЕ

Е.С. Токарева

В статье подводятся первые итоги внедрения в образовательный процесс школы учебного предмета «Тригонометрия».

Ключевые слова: тригонометрия, образовательные стандарты, конструктивная модель, содержательная модель.

Сейчас российское образование стоит на пороге очередных преобразований. Они коснутся и школы, и вуза. В данных условиях очень хочется сохранить всё лучшее, что было накоплено в нашей отечественной педаго-

гике. Согласно образовательным стандартам второго поколения обучение в старших классах станет профильным. Уровень образования будет определять ученик.

Несомненно, что все акценты в области образованности сместятся в основную школу. Знания, полученные учениками в средних классах, во многом будут определять дальнейшую судьбу ребёнка: его успешность, умение самостоятельно добывать знания, реализовать свои притязания.

К сожалению, стандарты второго поколения вызывают много вопросов. Конечно, хорошо, когда в процесс изучения математики вводятся новые вопросы, например, из теории множеств, логики, теории вероятностей, истории математики. Однако из курса алгебры исчезла тригонометрия. Планируется, что эти вопросы будут рассматриваться в геометрии.

Таким образом, тригонометрия рассматривается как средство решения геометрических задач. А о том, что возможности этой математической области значительно шире, к сожалению, забывают.

Тригонометрию необходимо рассматривать и как аппарат математического анализа. Этот взгляд позволяет в дальнейшем выпускникам освоить на достаточно хорошем уровне вопросы высшей математики.

Вот уже на протяжении четырёх лет в МОУ СОШ №15 г. Ельца преподается учебный предмет «Тригонометрия». Курс изучается 2 года (8-9 классы). Конструктивная модель представлена на рисунке:

Изучаемый курс рассматривает тригонометрию, прежде всего, как аппарат изучения математического анализа. В результате чего удается сформировать у школьников целостное представление о тригонометрии как математической дисциплине. Это также способствует реализации метапредметного направления образовательного направления образовательного стандарта второго поколения.

Данный курс органично вписывается в основные линии построения школьного курса математики: функциональную, уравнений и неравенств, геометрическую. Содержательная модель состоит из нескольких модулей:

Необходимо отметить принципиально важные методические моменты:

- определение синуса и косинуса дается через координаты числовой окружности;

- детально прорабатываются понятия синуса, косинуса, тангенса и котангенса, а затем вводятся арксинус, арккосинус, арктангенс, и арккотангенс;

- изучение тригонометрических функций предшествует рассмотрению уравнений и неравенств;

- при решении уравнений и неравенств используются и числовая окружность, и графики, причём на начальном этапе приоритет отдается графическому методу.

Концептуальная линия изучения тригонометрического материала выстраивается следующим образом:

Мониторинг и обработка первых результатов внедрения в образовательный процесс учебного предмета «Тригонометрия» позволили сделать выводы:

- учащиеся, изучившие курс в 8 - 9 классе, не испытывают особых проблем при решении заданий по ЕГЭ;

- в 10 классе освобождается до 50% времени, отводимого на рассмотрение вопросов тригонометрии;

- школьники успешно усваивают материал физики по теме «Колебания и волны».

В заключении отметим, что предложенный курс способствует воспитанию познавательного интереса у школьников к математике, формирова-

нию качеств мышления, необходимых для адаптации молодого поколения в современном обществе.

Библиографический список

1) Рыманова Т.Е., Токарева Е.С. Тригонометрия как учебный предмет. Вестник Елецкого государственного университета им. И.А.Бунина. -Вып. 17. Серия «Педагогика» (История и теория математического образования). - Елец: ЕГУ им. И.А. Бунина, 2008. - 467 с.

2) Токарева Е.С. К вопросу изучения тригонометрии в школе. Вестник Елецкого государственного университета им. И.А. Бунина. - Вып.27. Серия «Педагогика» (История и теория математического образования). -Елец: ЕГУ им. И.А. Бунина, 2010. - 284 с.

ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ, СТАТИСТИКИ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: ШАГ К ГИА В 9-Х КЛАССАХ (ОПЫТ ЛИПЕЦКОЙ ОБЛАСТИ)

С.В. Щербатых, Е.В. Лебедева, О.В. Швырёва

В конце 80-х - начале 90-х гг. XX века проводилось международное исследование по сравнительной оценке математической подготовки учащихся. В нём принимали участие представители 20-ти стран, среди которых и бывший Советский Союз. По теме «Анализ данных, статистика, вероятность» (элементы стохастики) все страны, кроме двух (Словения и Португалия), показали результаты лучше, чем у нас. Аналогичные результаты были получены и в 2003 году, когда проводилось международное исследование (PISA-2003) уровня математической грамотности 15-летних учащихся. Включение вероятностно-статистических вопросов в тест свидетельствует о той важности, которую придают этому материалу в других странах, а полученные по некоторым странам достаточно высокие результаты показывают, что его изучению уделяется значительное внимание. Например, по сравнению с требованиями по математике, предъявляемыми к абитуриентам российских вузов, тест на поступление в Оксфордский университет предполагает наличие у поступающих знаний по комбинаторике и элементарной теории вероятностей.

Однако дело не только в том, что европейские или американские школьники знакомятся с элементами стохастики и одним из приоритетных направлений модернизации российского образования является интеграция в международную систему, а скорее в том, что вероятностно-статистические методы уже сегодня широко используются самыми различными областями знаний. Таким образом, знакомство с элементами данной науки открывает широкие возможности для иллюстрации применимости математики к реше-

нию важных прикладных задач. Материал новой линии, помимо того, способствует развитию личности, совершенствованию коммуникативных способностей, умений ориентироваться в общественных процессах. Школьники получают знания и умения, которые помогают воспринимать и анализировать статистические сведения, встречающиеся в современных средствах массовой информации, дают возможность на их основе делать выводы и принимать решения в распространенных ситуациях.

Согласно федеральному компоненту базисного учебного плана, примерным учебным планам для средней школы и государственным образовательным стандартам начального общего, среднего общего и среднего (полного) общего образования по математике, утверждённым в 2004 году, нововведением для курса математики отечественной школы является, включение в программы содержательной линии - «Анализ данных», предполагающей изучение элементов комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики.

Идея модернизации российского образования открывает возможности для совершенно иного построения среднего общего и среднего (полного) общего математического образования. Включение в школьный курс стохастической линии открывает перед учащимися совершенно иную сторону математики - поворот от детерминированности к случайности. За период обучения школьники знакомятся с основными положениями комбинаторики, статистики и теории вероятностей, учатся решать простейшие стохастические задачи, применяют полученные знания в конкретных реальных ситуациях.

Липецкая область в числе не многих областей, в которых проходил продолжительный по времени эксперимент по внедрению стохастической линии в школьный курс математики (с 2002 года). Данный опыт дал как положительные результаты, так и вскрыл ряд негативных моментов (например, неготовность учителей к реализации содержательной линии и др.). Преподавание нового раздела требует переориентации взглядов на обучение математике, перестройки самого этого процесса. За прошедший период были проведены: массовое анкетирование учителей математики, срезы знаний учащихся, курсы повышения квалификации учителей по программе «Теория и методика обучения стохастике в общеобразовательной школе», а также осуществлена подготовка учащихся основной школы к сдаче ГИА, содержащей задачи новой линии.

Остановимся подробнее на анализе некоторых результатов.

Так, в течение 2009/2010 учебного года на базе ряда общеобразовательных учреждений Липецкой области функционировали экспериментальные площадки, основной целью организации которых являлась отработка методики обучения содержательной линии «Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей» школьного курса математики в условиях внедрения контрольно-измерительных материалов для проведения государ-

ственной (итоговой) аттестации за курс основной школы, включающих задания по указанному разделу содержания.

В экспериментальной работе принимало участие 28 классов с общей численностью 585 учащихся. В ходе проведения эксперимента проверке и последующему анализу подвергались знания, умения, а также навыки использования приобретённых знаний и умений в практической деятельности и повседневной жизни в рамках изучения раздела «Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей» выпускников 9-х классов общеобразовательных учреждений.

Основой для указанной проверки являлось проведение диагностической работы, содержащей задания базового и повышенного уровней, предлагаемых в форме теста.

В предложенной учащимся диагностической работе был сделан акцент на проверку сформированности умений и навыков, зафиксированных в государственном стандарте 2004 года. Приведём в качестве примера один из вариантов контрольной работы, ответы и указания к решению, а также краткий анализ выполнения заданий.

Структура и содержание работы

На работу учащимся отводилось 40-45 минут. В контрольную работу для учащихся 9 классов общеобразовательных школ были включены 5 заданий базового уровня и одно задание повышенного уровня. Все расчеты проводились без калькулятора.

Работа содержала одно задание на соотнесение, одно задание с выбором ответа из четырех предложенных, три задания с кратким ответом и одно задание с развернутым ответом. Задания располагались по возрастанию сложности и отвечали требованиям обязательного минимума государственного стандарта основной школы по математике.

Задание № 1. Задание на соотнесение (содержало материал по теме «Средние результатов измерений» и предназначалось для проверки умения вычислять средние значения результатов измерений (медиана, среднее арифметическое, мода, размах)).

Задание № 2. Задача с кратким ответом (простейшая комбинаторная задача, решаемая либо путем систематического перебора возможных вариантов, либо с использованием правила умножения).

Задание № 3. Задание с кратким ответом (содержало материал по теме «Описательная статистика» и предназначалось для проверки умения соотносить данные столбиковой диаграммы со словесной формулировкой).

Задание № 4. Задание с выбором из четырех предложенных (проверяло умение применять правило умножения).

Задание № 5. Задание с кратким ответом (содержало материал по теме «Вероятность» и проверяло умение вычислять простейшие вероятности событий, составленных из равновозможных исходов эксперимента).

Задание № 6 (повышенный уровень). Задание с развернутым ответом (содержало материал по теме «Вероятность»).

Критерии оценивания выполнения работы Отметка «отлично» выставлялась за верное выполнение пяти заданий, причем одно - повышенного уровня; отметка «хорошо» - за выполнение четырех любых заданий; отметка «удовлетворительно» - за выполнение трех любых заданий.

Вариант диагностической работы Базовый уровень

1. Выборка 132; 141; 151; 142; 129; 144; 129; 147; 145; 150 содержит сведения о росте (в сантиметрах) каждого из 10 обследованных школьников. Для каждой статистической характеристики укажите ее значение. В таблице ответа под каждой буквой запишите номер соответствующего ответа.

а) размах; 1) 141;

б) медиана; 2) 22;

в) среднее арифметическое роста школьников; 3) 143;

4) 129.

Ответ:

2. В конференции участвовало 10 человек. Каждый участник с каждым обменялся визитной карточкой. Сколько всего понадобилось карточек?

Ответ:_.

3. На диаграмме представлены данные (в усл. ед.) Госкомстата России по выбросам твердых веществ наиболее загрязняющих атмосферу, отходящих от стационарных источников, в ряде городов с наиболее неблагоприятной экологической обстановкой (за 2005 г.)

С помощью диаграммы ответьте на вопрос: В каком городе по отношению к г. Липецку наблюдалось наиболее резкое различие по выбросам в атмосферу твердых веществ и на сколько (дайте примерный ответ в усл. ед.)?

Ответ:_.

4. Сколько всего трехзначных чисел можно составить из цифр 0, 2, 4, 6, чтобы число оканчивалось на 4?

а) 16;

б) 9;

в) 12;

г) 48.

5. Эксперимент состоит в последовательном бросании двух костей. Пусть событие А={на одной из костей выпала двойка}, событие В= {сумма очков на костях больше 8}. Используя таблицу элементарных событий, определите, какое из двух событий более вероятно: событие А или событие В1

(1,1)

(1,2)

(1,3)

(1,4)

(1,5)

(1,6)

(2,1)

(2, 2)

(2,3)

(2, 4)

(2, 5)

(2, 6)

(3,1)

(3,2)

(3,3)

(3,4)

(3,5)

(3,6)

(4,1)

(4, 2)

(4,3)

(4, 4)

(4,5)

(4,6)

(5,1)

(5,2)

(5,3)

(5,4)

(5,5)

(5,6)

(6,1)

(6, 2)

(6,3)

(6, 4)

(6,5)

(6, 6)

Ответ:_.

Повышенный уровень

6. Мила складывала в шкатулку только двухрублевые монеты. Однажды Даша взяла из шкатулки 7 двухрублевых монет и взамен положила туда 14 монет по одному рублю. После этого вероятность наудачу вынуть из шкатулки двухрублевую монету стала равна —. Сколько монет было в шкатулке?

Ответы и указания к решению

1. Ответ:

а

б

в

2

3

1

2. Ответ: 90.

Каждый из 10 участников конференции раздал 9 визитных карточек. Значит всего было роздано 10-9 = 90 визитных карточек.

3. Ответ: в г. Москва; ответ на второй вопрос может быть близким к 24 усл.ед. Следует принять как правильный любой ответ, разумно согласующийся с данными, представленными на диаграмме, например 23 или 25 усл.ед.

4. Ответ: 12.

Выбор первой цифры может быть осуществлен 3 способами, второй -четырьмя способами, третьей - единственно возможным способом. Тогда по правилу умножения получим: 3-4-1 = 12.

5. Ответ: событие А.

Всего элементарных событий 36, из них событию А благоприятствуют 11, а событию 5-10. Тогда вероятность события А равна —, события В следовательно вероятнее событие^.

6. Ответ: 38 монет.

Пусть двухрублевых монет было х. Тогда, после того, как Даша взяла из шкатулки 7 двухрублевых монет и взамен положила туда 14 монет по одному рублю, монет в шкатулке стало х — 7 + 14 = х + 7, из них двухрублевых х — 1. По условию х + 7 равно или кратно 45, а х — 1 равно или кратно 31. Так как в шкатулке 14 монет по одному рублю, а вероятность вынуть из шкатулки наудачу монету по рублю стала равна —, очевидно, что x — 1 = 31, откуда x = 38. Значит, в шкатулке было 38 монет.

Анализ результатов выполнения контрольной работы

На диаграмме наглядно представлены результаты контрольной работы (отметки и процент от общего числа участников).

Задание 1.

Не приступали к решению

Неверно выполнили (хотя бы одно соотношение неверно или не указано)

Верно выполнили (все три соотношения верные)

1%

7,7%

91,3%

Указание. Для верного выполнения этого задания необходимо было исходить из определений статистических характеристик. При анализе результатов выполнения работ, была выявлена следующая особенность: большая часть учащихся, не выполнивших данное задание, верно определяли размах и среднее арифметическое, а значение, соответствующее медиане, не указывали вовсе. Подобное обстоятельство говорит о несформированности понятийного аппарата, в данном случае понятия «медиана».

Задание 2.

Не приступали к решению

Неверно выполнили

Верно выполнили

0,2%

5,3%

94,5%

Указание. Самый высокий процент верного выполнения. Следует отметить, что в задаче не требовалось знание определенных понятий или правил. Достаточно было представить себе данную ситуацию в повседневной жизни.

Задание 3.

Не приступали к решению

Верно ответили на обе части вопроса

Неверно ответили на обе части вопроса

Верно ответили только на первую часть вопроса

3%

73,8%

11,1%

12,1%

Указание. От учащихся требовалось не только уметь работать со столбиковой диаграммой, но корректно воспринимать условие задачи. Так наиболее резкое различие наблюдалось как в сторону увеличения выбросов по отношению к рассматриваемому объекту, так и в сторону уменьшения. Необходимо было определить разницу в обоих случаях, наибольшая из них и была ответом на вопрос. Почти каждый пятый учащийся смог верно определить город, с которым наблюдалось наиболее резкое отличие, что требовало лишь умения визуально сравнивать элементы диаграммы. А отсутствие ответа на второй вопрос говорит о неумении работать с диаграммой, в данной случае считывать и анализировать численные показатели.

Задание 4.

Выбрали вариант а)

Выбрали вариант б)

Выбрали вариант в)

Выбрали вариант г)

3%

3,8%

89,4%

3,8%

Указание. Учащиеся, выбравшие вариант ответа а), не учли, что число не может начинаться с нуля. В вариант ответа б) была заложена типичная ошибка: учащихся не учитывали, что цифры в числе могут повторяться. А учащиеся, выбравшие в качестве правильного вариант г), нашли количество всех трехзначных чисел, которые могут быть составлены из предложенных цифр. Вероятнее всего, это говорит об их невнимательности и поспешности при чтении условия задачи.

Задание 5.

Не приступали к решению

Неверно выполнили

Верно выполнили

9,6%

17,9%

72,5%

Указание. В данном задании (среди заданий базового уровня) самый большой процент учащихся, не приступивших к его решению. Возможно, это явилось следствием того, что в тексте отсутствовал стандартный вопрос «Найдите вероятность события». Учащиеся, приступившие, но не выполнившие это задание, неверно определили число событий, благоприятствую-

щие событиям А и 5, а значит, неверно подсчитали вероятности наступления каждого из этих событий. Задание 6.

Не приступали к решению

Неверно выполнили

Верно выполнили

Фрагмент решения

53,3%

3,8%

33,7%

9,2%

Указание. Очевидно, что для большинства учащихся данная задача представляла значительные трудности, поэтому более половины из них даже не приступили к ее решению.

Анкетирование учителей

На протяжении всего эксперимента проходило анкетирование учителей математики (124 учителя) с целью установления их готовности к реализации стохастической линии курса математики в общеобразовательной школе.

Проведём качественный и количественный анализ ответов на вопросы, предлагающейся им анкеты.

На первый вопрос «Считаете ли Вы, что содержание школьной математики на современном этапе оторвано от реальной жизни?» учителям предлагалось ответить либо «да», либо «нет». Так, 75,3% учителей ответили, что школьная математика оторвана от жизни. А если она оторвана от жизни, значит её содержательная сторона не удовлетворяет идеям, заложенным в стандарт по математике, и нужно что то менять.

73,6% учителей, отвечая на второй вопрос «Стоит ли, на Ваш взгляд, модернизировать школьный курс математики? Чем обусловлен Ваш выбор?» отдали предпочтение модернизации, мотивировав это тем, что «выпускники не умеют применять свои знания в реальной жизни», «ученики (родители) должны иметь право выбора уровня изучения предмета», «убрать лишнее из курса», «оторванность от жизни» и т.д. Оставшиеся 26,4% учителей, ответившие «нет», свой выбор не мотивировали. Подобное обстоятельство ещё раз подтвердило наше предположение о том, что модернизация должна идти в направлении реализации прикладной направленности, что как раз и обеспечивает стохастическая линия.

На третий вопрос «Как Вы относитесь к введению в школьный курс математики стохастической линии?» 42,3% учителей ответили «положительно», 49,8% - «нет определённого ответа» и 7,9% - «отрицательно». Подобное обстоятельство позволяет сделать предположение о том, что педагогическая общественность окончательно не пересмотрела свои взгляды относительно важности стохастики, как прикладного раздела математики.

Четвёртый вопрос «В чём Вы видите практическую значимость элементов науки о случайном в школе?» предполагал широкий диапазон ответов. Так, наиболее популярными среди учителей оказались следующие: «приближенность к реальной жизни», «для общего развития», «способность рассуждать», «расширение кругозора», «развитие интеллекта», «развитие мышления», «действовать нестандартно в незнакомых ситуациях», «повы-

шает культуру», «может пригодиться в дальнейшем», «практическая направленность», «развивает критичность мышления, неоднозначность суждений», «адаптация выпускников к жизненным ситуациям» и т.д. Таким образом, большинство учителей видят за стохастикой выход в реальную действительность, способность с её помощью развивать особые качества мышления и интеллекта в целом. То есть, всё то, что отражено в «Пояснительной записке» к программе по математике. Однако в дальнейшем беседа с учителями указала на совершенно иной факт. Начав работать в 7-9 классах, они использовали учебники, в которых, по их мнению, стохастика была представлена «только применительно к играм» и не имела никаких приложений к описанию процессов реальной действительности. В этой связи стохастический материал ими просто-напросто игнорировался.

Ответы на пятый вопрос «Как Вы оцениваете свои знания в области стохастики?» нас, по крайней мере, насторожил. Так, 35,2% учителей ответили, что «знания практически отсутствуют», 62,7% - «имею определённые знания» и лишь 2,1% ответили, что «знаю хорошо». Этот результат указал на неготовность учителей к обучению стохастике.

В этой связи ответ на шестой вопрос «Считаете ли Вы, что проведение учебно-методических занятий позволит подготовить Вас к преподаванию стохастической линии?» был очевиден - все учителя ответили, что «да». Поэтому актуальным оказался вопрос подготовки и переподготовки учителя к обучению стохастике в общеобразовательной школе, который можно решить путём введения методического курса по выбору «Теория и методика обучения стохастике в общеобразовательной школе» для студентов физико-математических факультетов вузов, слушателей курсов повышения квалификации и переподготовки педагогических кадров, либо наполнением вузовского курса «Теория и методика обучения математике» дополнительным содержанием.

Цель последнего седьмого вопроса «Что бы Вы хотели получить от учебно-методических занятий?» состояла в установлении круга проблем, которые в большей степени интересуют учителей при реализации стохастической линии. А именно, «научиться решать задачи», «понять, чему и как учить детей», «получить теоретические и практические знания и умения», «уверенность в себе при проведении уроков данной тематики», «повторить теоретический материал», «узнать методику обучения решения задач», «определиться с тем, что и в каком классе удобнее давать учащимся», «иметь конкретный методический материал и методические разработки для проведения уроков в школе», «видеть практическую направленность стохастики» и т.д.

Выводы:

1) Вслед за интересом к комбинаторике, статистике и теории вероятностей у школьников начал повышаться интерес к математике в целом. Теперь математика - это «живая» наука, которая существует не только сама по себе и ради себя, но и для описания процессов реальной (а не псевдоре-

альной, которую авторы большинства учебников именуют реальной) действительности.

2) Результаты диагностической работы позволяют судить о степени готовности девятиклассников к ГИА по математике, содержащей стохастические задачи. Так, задания по темам «Элементы комбинаторики» и «Элементы статистики» наиболее успешно решаются учащимися. Большинство приступают к решению, и весьма незначительная часть допускает в них ошибки. Можно говорит о сформированности соответствующих умений и навыков, и достижении требований государственного стандарта.

Менее успешно выполняются задания на вероятность и работу с диаграммами. Можно говорить об отсутствии у значительной части учащихся навыков вычисления вероятностей в простейших случаях. Чтение диаграмм вызывает значительные трудности у почти трети учащихся.

Данное обстоятельство ещё раз подтверждает правильность подхода к изложению стохастики, отражённому в действующем стандарте (во главе угла поставлен частотный подход к понятию вероятности). Однако данное требование реализуется не во всех ныне действующих школьных учебниках.

3) Основные показатели по качеству усвоения учащимися стохастической линии будут «отставать» от других линий школьного курса математики до тех пор, пока не будет решена основная проблема, связанная с методической подготовкой и переподготовкой учителя математики. Поэтому обучение учащихся элементам комбинаторики, статистики и теории вероятностей нужно начинать только тогда, когда будет готов к этому учитель, что по существу является делом не трудным.

Раздел III. НАУЧНЫЕ СООБЩЕНИЯ

РЕШЕНИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ОПЕРАЦИОННЫМ МЕТОДОМ

Р.А. Мельников, Е.А. Попова

В статье рассмотрены возможности применения операционного метода для решения функциональных уравнений (дифференциальных, интегральных, интегро-дифференциальных). Особый акцент сделан на применении этого метода к функциональным уравнениям, содержащим специальные функции.

Ключевые слова: операционный метод, дифференциальное уравнение, интегральное уравнение, специальные функции, функция Бесселя.

Операционное исчисление в настоящее время стало одним из мощнейших инструментов практического математического анализа. Операционный метод позволяет решать обыкновенные дифференциальные уравнения и системы таких уравнений, интегральные уравнения типа свёртки, интегро-дифференциальные уравнения, функционально-дифференциальные уравнения. Его можно использовать и при решении дифференциальных уравнений в частных производных, а также при решении уравнений, содержащих специальные функции.

Операционное исчисление обратило на себя внимание после того, как английский инженер-электрик Хевисайд, используя символическое исчисление, получил ряд важных результатов. Но недоверие к символическому исчислению сохранялось до тех пор, пока Джорджи, Бромвич, Карсон, А.М. Эфрос, А.И. Лурье, В.А. Диткин и другие не установили связи операционного исчисления с интегральными преобразованиями.

Идея решения дифференциального уравнения операционным методом состоит в том, что от дифференциального уравнения относительно искомой функции-оригинала /(t), удовлетворяющей известным требованиям, переходят к уравнению относительно другой функции F(p), называемой изображением функции f{t). В результате такого перехода получается (операторное) уравнение, обычно уже алгебраическое (значит более простое по сравнению с исходным). Решая его относительно изображения F(p) и переходя затем к соответствующему оригиналу, находят искомое решение исходного дифференциального уравнения.

Операционный метод решения дифференциальных уравнений можно сравнить с вычислением различных выражений при помощи логарифмов, когда, например, при умножении вычисления ведутся не над самими числа-

ми, а над их логарифмами, что приводит к замене умножения более простой операцией - сложением.

Большинство книг, содержащих операционное исчисление, посвящена описанию возможностей применения операционного метода к решению обыкновенных дифференциальных уравнений. В меньшей степени подобная литература содержит описание операционного метода применительно к решению интегральных уравнений и уравнений с частными производными. Библиографической редкостью являются те книги, в которых показано применение операционного метода к решению функциональных уравнений, содержащих специальные функции.

Под специальными функциями обычно понимаются функции, заданные с помощью рядов или интегралов, содержащих параметр (или параметры). Наиболее часто они встречаются в различных задачах математической физики. К таковым, например, относят: цилиндрические функции (функции Бесселя, функции Неймана, функции Ханкеля (Ганкеля)) и их модификации (функции Вебера, функции Макдональда); ортогональные многочлены (полиномы Лежандра, полиномы Лагерра, полиномы Эрмита, полиномы Чебышева); гипергеометрическую функцию и ряд других.

Возьмем, к примеру, функцию jv (z) (функцию Бесселя первого рода порядка v), которая возникла из интеграла Бесселя. Она определяется равенством

Перейдём теперь к демонстрации возможностей операционного метода при решении функциональных уравнений, содержащих бесселевы функции.

Рассмотрим интегральное уравнение Вольтера 2-го рода типа свёртки:

Решение.

Составим операторное уравнение, используя теорему Бореля. Оно будет иметь вид

Из него найдём функцию U(р) :

Очевидно,

Следовательно, и(х) = 1.

Рассмотрим теперь интерго-дифференциальное уравнение, содержащее специальную функцию

Решение.

Составим операторное уравнение, используя теорему Бореля и свойство дифференцирования оригинала. Операторное уравнение будет иметь вид

Получаем

Находим отсюда U(р) :

Следовательно,

Библиографический список

1. Васильева А.Б., Медведев Г.Н., Тихонов Н.А., Уразгильдина Т.А. Дифференциальные и интегральные уравнения. Вариационное исчисление. -М.: Физматлит, 2005. - 432 с.

2. Волков И.К., Канатников А.Н. Интегральные преобразования и операционное исчисление: Учеб. для вузов. 2-е изд./ Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002. - 228 с.

3. Дёч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и Z-преобразования (серия «Физико-математическая библиотека инженера»). - М.: Наука, 1971. - 288 с.

4. Краснов М.Л., Киселёв А.И., Макаренко Г.И. Операционное исчисление. Теория устойчивости: Задачи и примеры с подробными решениями: Учебное пособие. Изд. 3-е. - М.: Едиториал УРСС, 2003. - 176 с.

5. Шелковников Ф.А., Такайшвили К.Г. Сборник упражнений по операционному исчислению. Изд. 2-е. - М.: Высшая школа, 1968. - 256 с.

СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ

Александрова Виктория Львовна - методист лаборатории математики, старший преподаватель кафедры математики Московского института открытого образования.

Берзин Дмитрий Викторович - кандидат физико-математических наук, доцент ФГБОУ ВПО «Финансовый университет при Правительстве РФ (Финуниверситет)».

Божкова Елена Адиевна - учитель математики МОУ СОШ №10 с углублённым изучением отдельных предметов г. Елец.

Болдина Людмила Витальевна - директор МОУ ООШ с. Докторово Лебедянского района Липецкой области, аспирант кафедры математического анализа и элементарной математики ЕГУ им. И.А. Бунина.

Грибов Алксандр Юрьевич - аспирант кафедры математического анализа и элементарной математики ЕГУ им. И.А. Бунина.

Дворяткина Светлана Николаевна - кандидат педагогических наук, доцент кафедры математического анализа и элементарной математики, докторант кафедры педагогики начального обучения ЕГУ им. И.А. Бунина.

Елецких Ирина Адольфовна - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа и элементарной математики, декан факультета ПиМНО ЕГУ им. И.А. Бунина.

Жук Лариса Викторовна - кандидат педагогических наук, доцент кафедры алгебры и геометрии ЕГУ им. И.А. Бунина.

Калачев Николай Валентинович кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики, старший научный сотрудник ФГБОУ ВПО «Финансовый университет при Правительстве РФ (Финуниверситет)».

Каюмов Олег Рашидович - доктор физико-математических наук, заведующий кафедрой математики и экономики филиала Омского государственного педагогического университета в г. Таре.

Колягин Юрий Михайлович - академик РАО, заслуженный деятель науки РФ, заслуженный учитель РФ, доктор педагогических наук, профессор.

Кондаурова Инесса Константиновна - кандидат педагогических наук, доцент, заведующая кафедрой математики и методики её преподавания Саратовского государственного университета имени Н.Г. Чернышевского.

Кочегарова Ольга Сергеевна - старший преподаватель кафедры «Математика, информатика, моделирование» Саратовского государственного аграрного университета имени Н.И. Вавилова, соискатель кафедры математики и методики её преподавания Саратовского государственного университета имени Н.Г. Чернышевского.

Кузнецова Юлия Геннадьевна - магистрант физико-математического факультета ЕГУ им. И.А. Бунина.

Ланских Анатолий Николаевич - кандидат физико-математических наук, доцент ФГБОУ ВПО «Финансовый университет при Правительстве РФ (Финуниверситет)».

Лебедева Екатерина Владимировна - методист по математике кафедры преподавания естественно-математических дисциплин Липецкого института развития образования, учитель математики высшей категории, секретарь Ассоциации учителей математики Липецкой области.

Лыков Евгений Николаевич - ассистент кафедры математического анализа и элементарной математики ЕГУ им. И.А. Бунина.

Мацыгин Максим Александрович - аспирант кафедры математического анализа и элементарной математики ЕГУ им. И.А. Бунина.

Мельников Анатолий Никитович - елецкий краевед

Мельников Роман Анатольевич - кандидат педагогических наук, доцент кафедры математического анализа и элементарной математики ЕГУ им. И.А. Бунина.

Меркулова Алёна Михайловна магистрант физико-математического факультета ЕГУ им. И.А. Бунина.

Морозова Наталия Николаевна - кандидат физико-математических наук, доцент Академии Федеральной Службы Охраны (г. Орёл).

Перцев Владимир Владимирович - кандидат педагогических наук, старший преподаватель кафедры математического анализа и элементарной математики ЕГУ им. И.А. Бунина.

Подаева Наталия Георгиевна - доктор педагогических наук, профессор, заведующий кафедрой алгебры и геометрии ЕГУ им. И.А. Бунина.

Попова Елена Александровна - студентка 5 курса физико-математического факультета ЕГУ им. И.А. Бунина.

Прокуратова Оксана Николаевна - старший преподаватель кафедры алгебры и геометрии ЕГУ им. И.А. Бунина.

Проскурякова Людмила Константиновна - кандидат физико-математических наук, доцент Академии Федеральной Службы Охраны (г. Орёл).

Райкина Елена Викторовна - старший преподаватель ФГБОУ ВПО «Финансовый университет при Правительстве РФ (Финуниверситет)».

Романова Наталья Владимировна - учитель математики государственного бюджетного образовательного учреждения «Московское хореографическое училище Л.М. Лавровского».

Рыманова Татьяна Евгеньевна - кандидат педагогических наук, доцент кафедры математического анализа и элементарной математики ЕГУ им. И.А. Бунина.

Саввина Анастасия Владимировна - ассистент кафедры алгебры и геометрии ЕГУ им. И.А. Бунина.

Саввина Ольга Алексеевна - доктор педагогических наук, профессор, заведующий кафедрой математического анализа и элементарной математики ЕГУ им. И.А. Бунина.

Сафронова Татьяна Михайловна - кандидат педагогических наук, доцент кафедры математического анализа и элементарной математики ЕГУ им. И.А. Бунина.

Селютин Владимир Дмитриевич - доктор педагогических наук, профессор, заведующий кафедрой алгебры и математических методов в экономике Орловского государственного университета.

Симоновская Галина Александровна - кандидат педагогических наук, доцент кафедры математического анализа и элементарной математики ЕГУ им. И.А. Бунина.

Скибина Яна Владимировна - ассистент кафедры информационных систем Кубанского государственного аграрного университета, аспирант кафедры элементарной математики Московского педагогического государственного университета.

Скрябина Маргарита Ивановна магистрант физико-математического факультета ЕГУ им. И.А. Бунина.

Ставцева Дарья Владимировна - специалист по довузовской подготовке и связям с образовательными учреждениями Орловского государственного университета.

Тарасова Оксана Викторовна - доктор педагогических наук, профессор, заведующий кафедрой геометрии и методики преподавания математики Орловского государственного университета.

Таров Дмитрий Анатольевич - кандидат педагогических наук, доцент кафедры вычислительной математики и информатики ЕГУ им. И.А. Бунина.

Тарова Инна Николаевна - кандидат педагогических наук, доцент кафедры вычислительной математики и информатики ЕГУ им. И.А. Бунина.

Тестов Владимир Афанасьевич - доктор педагогических наук, профессор, заведующий кафедрой алгебры, геометрии и теории обучения математике Вологодского государственного педагогического университета.

Токарева Екатерина Сергеевна - лаборант кафедры вычислительной математики и информатики ЕГУ им. И.А. Бунина.

Уман Илья Аркадьевич - преподаватель кафедры математического и информационного анализа экономических процессов Орловского государственного университета.

Черноусова Наталья Вячеславовна - кандидат педагогических наук, доцент кафедры математического анализа и элементарной математики ЕГУ им. И.А. Бунина.

Швырёва Ольга Викторовна - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики и теоретической механики Воронежского государственного аграрного университета им. К.Д. Глинки.

Щербатых Сергей Викторович - кандидат педагогических наук, доцент кафедры математического анализа и элементарной математики, докторант кафедры педагогики ЕГУ им. И.А. Бунина.

СОДЕРЖАНИЕ

Недосказанная благодарность.............................................

3

ВМЕСТО ВВЕДЕНИЯ: В ПЛЕНУ РЕФОРМ

Каюмов О.Р.

К вопросу об уместности компетентностной доминанты в обучении математике ...

4

Раздел I. ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Грибов А.Ю.

Мировоззренческие взгляды педагога-математика В.Я. Цингера.....................

11

Колягин Ю.М., Саввина О.А.

Из истории образования в первопрестольной: математика и математики в Московской 3-ей гимназии..................

18

Мельников Р.А.

Из истории комбинаторики..................

30

Мельников Р.А.

Из истории парадокса Н.Е. Жуковского ...

32

Мельников А.Н., Мельников Р.А.

Пафнутий Львович Чебышев и елецкая земля (к 190-летию со дня рождения выдающегося учёного) ............................

35

Перцев В.В.

Мстислав Всеволодович Келдыш...........

39

Скрябина М.И.

О периодизации истории математического образования в Императорском Московском университете .........................

46

Тарасова О.В.

Организация школьного математического образования в Орловской области.........

50

Раздел II. ТЕОРИЯ И МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ В ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ШКОЛЕ И ВУЗЕ

Александрова В.Л.

Об организации проектной деятельности учащихся при обучении математике.......

58

Берзин Д.В.

Особенности преподавания математики на английском языке в вузе..................

62

Божкова Е.А.

Особенности современного урока..........

65

Болдина Л.В.

Пропедевтический курс как способ преодоления проблем преемственности между начальным и средним звеном школы ..

69

Дворяткина С.Н.

Духовно-нравственный потенциал теории вероятностей в контексте ФГОС............

74

Елецких И.А., Черноусова Н.В.

К вопросу тестового контроля знаний студентов .........................................

80

Жук Л.В.

Взаимосвязь приёмов учебной и мыслительной деятельности в процессе решения геометрических задач....................

87

Калачев Н.В., Ланских А.Н., Райкина Е.В.

Методика преподавания естественнонаучных дисциплин на факультете открытого образования Финуниверситета.......

91

Кондаурова И.К., Кочегарова О.С.

Избранные вопросы профессионально-методической подготовки будущих бакалавров педагогического образования......

99

Кузнецова Ю.Г.

Эстетический потенциал математики в формировании мотивации учебной деятельности ........................................

105

Лебедева Е.В.

Программа курса по выбору «Введение в комбинаторику» (в рамках предпрофильной подготовки) ................................

108

Лыков Е.Н.

Использование современных информационных технологий для развития познавательной самостоятельности студентов ..

111

Мацыгин М.А.

Арифметические задачи в современных учебниках по математике для 5-6 классов

114

Мацыгин М.А.

Использование комплекса арифметических задач для развития интеллектуальных способностей учащихся.................

118

Мацыгин М.А.

Развитие интеллектуальных способностей в процессе решения арифметических задач ..............................................

121

Морозова Н.Н., Проскурякова Л.К.

Реализация идей проблемного обучения при изучении дифференциального исчисления функций нескольких переменных ..

125

Подаева Н.Г., Меркулова А.М.

Реализация межпредметных связей математики и физики в общеобразовательной школе.............................................

131

Подаева Н.Г., Саввина А.В.

Формирование деятельности младших подростков по освоению приёмов решения арифметических задач...................

137

Прокуратова О.Н.

Использование активных методов обучения для профессионально-личностного развития и воспитания конкурентоспособного специалиста ...........................

144

Романова Н.В.

Типы и структура современного урока ....

147

Рыманова Т.Е.

Интенсификация математического образования в рамках экспериментальной деятельности....................................

151

Сафронова Т.М., Симоновская Г.А., Черноусова Н.В.

Компетентностный подход в современном российском образовании и его реализация при подготовке учащихся к единому государственному экзамену по математике ...........................................

155

Селютин В.Д., Уман И.А.

Изучение эффективности статистических оценок параметров с использованием интегралов ..........................................

163

Селютин В.Д.

Из опыта внедрения элементов стохастики в школы Орловской области..............

167

Скибина Я.В.

Факультативные курсы по математике на старшей ступени общего образования.....

172

Ставцева Д.В.

Учебно-методические комплекты по геометрии для младших школьников.............

175

Таров Д.А., Тарова И.Н.

Использование математического пакета Scilab для решения задач оптимизации ...

183

Тестов В.А.

Сетевые технологии: переход к новой парадигме в образовании.........................

186

Токарева Е.С.

Методические аспекты изучения тригонометрии в основной школе.................

193

Щербатых С.В., Лебедева Е.В., Швырёва О.В.

Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей: шаг к ГИА в 9-х классах (опыт Липецкой области).........

196

Раздел III. НАУЧНЫЕ СООБЩЕНИЯ

Мельников Р.А., Попова Е.А.

Решение функциональных уравнений операционным методом.......................

206

СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ.................................................

209

Научное издание

ВЕСТНИК ЕЛЕЦКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

Выпуск 28

СЕРИЯ «ПЕДАГОГИКА» (ИСТОРИЯ И ТЕОРИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ)

Редакторы - С.Е. Гридчина, Ю.Ю. Саввина Технический редактор - П. П. Безногих Техническое исполнение - В. П. Бутов Переплет и обложка выполнены в МУП "Типография"г. Ельца

Лицензия на издательскую деятельность ИД №06146. Дата выдачи 26.10.01. Формат 70 x 108 /16. Гарнитура Times. Печать трафаретная. Усл.-печ.л. 13,5 Уч.-изд.л. 13,7 Тираж 500 экз. (1-й завод 1-60 экз.). Заказ 91

Отпечатано с готового оригинал-макета на участке оперативной полиграфии Елецкого государственного университета им. И.А.Бунина.

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина» 399770, г. Елец, ул. Коммунаров, 28