ВЕСТНИК ЕЛЕЦКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

'10

выпуск 27

Серия "Педагогика"

(ИСТОРИЯ И ТЕОРИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ)

Елец

2010

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЕЛЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. И.А. БУНИНА»

ВЕСТНИК ЕЛЕЦКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

Выпуск 27

СЕРИЯ «ПЕДАГОГИКА»

(ИСТОРИЯ И ТЕОРИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ)

Елец-2010

УДК 004(07.07), (09); 514.8; 532.516; 514.7 + 514.8 ББК 22.1 г+ 22.11 В 38

Печатается по решению редакционно-издательского совета Елецкого государственного университета им. И.А. Бунина от 04.02.2010 г., протокол № 2

Редакционная коллегия серии «Педагогика» (История и теория математического образования):

В.П. Кузовлев, ректор, д-р пед. наук, проф., заслуженный деятель науки РФ, заслуженный работник высшей школы, академик Международной академии наук педагогического образования, член-корреспондент МСА (г. Москва), член-корреспондент Петровской академии наук и искусств (г. Санкт-Петербург); О.А. Саввина, д-р пед. наук, проф. (ответственный редактор раздела «История математики и математического образования»); Т.Е. Рыманова, канд. пед. наук, доц., С.В. Щербатых, канд. пед. наук, доц. (ответственные редакторы раздела «Теория и методика обучения математике в общеобразовательной школе и вузе»); И.А. Елецких, канд. физ.-мат. наук, доц. (ответственный редактор раздела «Научные сообщения»).

Ответственность за достоверность фактов несут авторы публикуемых материалов

В 38 Вестник Елецкого государственного университета им. И.А. Бунина. -Вып. 27.: Серия «Педагогика» (История и теория математического образования). - Елец: ЕГУ им. И.А. Бунина, 2010. - 284 с. ISBN 978-5-94809-442-7

Представленные в вестнике статьи, в первую очередь, отражают те научные результаты, которые получены на кафедре математического анализа и элементарной математики Елецкого государственного университета им. И.А. Бунина. Кроме учёных нашего вуза, авторами статей являются исследователи из Астрахани, Витебска (Беларусь), Волгограда, Вологды, Казани, Орла, Нижнего Новгорода, Ростова-на-Дону, Смоленска, Тулы.

Издание предназначено для математиков, преподавателей, учителей, аспирантов и студентов, интересующихся проблемами истории и теории математического образования, а также вопросами математики.

УДК 004(07.07), (09); 514.8; 532.516; 514.7 + 514.8 ББК 22.1 г+ 22.11

ISBN 978-5-94809-442-7

© Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина, 2010

Раздел I. ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ НА СТРАНИЦАХ УЧЕБНИКОВ ВТОРОЙ ПОЛОВИНЫ XVIII - НАЧАЛА XX ВЕКОВ

Л.Е. Князева

В статье прослеживается история изучения одной из важнейших тригонометрических теорем школьного курса математики - теоремы сложения; приведены различные варианты геометрических доказательств теоремы сложения, характерные для учебников математики второй половины XVIII- начала XX вв.

Ключевые слова: синус суммы, синус разности, косинус суммы, косинус разности, теорема сложения, геометрические доказательства.

История изучения тригонометрии чрезвычайно поучительна. Отказ некоторых авторов современных учебных пособий от изложения доказательства теоремы сложения в рамках школьного курса явился одной из причин изучения решения этой проблемы в отечественной школьной математике.

В публикациях, посвященных проблемам теории, истории и методики преподавания тригонометрии, особо подчеркивается тот факт, что теорема сложения занимает в тригонометрии особое место. Причину этого Н.И. Лобачевский объяснял так: «Геометрические рассмотрения до тех пор необходимы в начале тригонометрии, покуда они не послужат к открытию отличительного свойства тригонометрических функций и которое заключается в значении синуса суммы двух углов, определяемого помощью синусов и косинусов сих углов порознь. Отсюда делается тригонометрия совершенно независимой от геометрии и имеет все достоинства анализа» [3, с. 208].

Впервые теорема сложения была рассмотрена Птолемеем (II в. н.э., Александрия) в «Альмагесте» в связи с необходимостью составления тригонометрических таблиц: вычислить значения тригонометрических функций суммы и разности аргументов (а ± ß), зная значения тригонометрических функций а и ß. В «Альмагесте» теорема сложения доказывается геометрическим методом и представлена в форме «теоремы Птолемея». Теорема сложения была известна индийским математикам, в частности Бхаскара (XII в.), а также ученым средних веков стран Азии и Европы. В виде, близком к современному, теорема появилась в работах французского математика Ф. Виета (1540 - 1603). В 1706 г. петербургский математик Я. Герман (1678 -1733) получил общее правило вычисления tq(a + ß) и sec(or ± ß). В 1727 г.

петербургский академик Ф. Майер (1697 - 1729) сделал специальное сообщение на заседании Академии наук, посвященное систематизации теории сложения круговых функций. Л. Эйлер (1707 - 1783) в работе «Введение в анализ бесконечных» (1748) рассматривал формулы приведения как частные случаи теоремы сложения. Под влияние трудов Л. Эйлера, начиная с 70-х годов XVIII в. аналитический метод стал господствующим в тригонометрических работах. Так, в 1770 г. Г. Клюгель (1729 - 1812) - последователь Л. Эйлера - опубликовал трактат «Аналитическая тригонометрия» в Брауншвейге (Германия), в котором использовал аналитический метод для доказательства теоремы сложения. Однако обобщение теоремы сложения появилось только в XIX в. в работах французского математика Л. Карно (1753 -1823). Этому обобщению придавали большое значение французские математики А. Лежандр (1752 - 1833) и О. Коши (1789 - 1857).

Работы Л. Эйлера послужили фундаментом для первых учебников тригонометрии. Новая трактовка тригонометрии нашла отражение в учебниках С.Я. Румовского «Сокращенная математика» (1760); М. Головина «Плоская и сферическая тригонометрия с алгебраическими доказательствами» (1789); А. Кестнера «Начальные основания математики» (1794).

В учебниках С.Я. Румовского и М.Е. Головина изложения доказательств теорем сложения аналогичны. Заметим, что С.Я. Румовский особо отмечает: «Сии теоремы сверх великого употребления в алгебраических выкладках не мало служат к сочинению таблиц синусов и тангенсов» [7, с. 334]. Для того, чтобы рассмотреть структуру доказательства теоремы сложения из учебника М. Головина, приведем данные им определения синуса и косинуса (рис. 1): «В круге единичного радиуса с центром в С проводятся два взаимноперпендикулярных диаметра АСВ и ДСЕ. На четверти окружности АД берется где угодно точка М, тогда угол АСМ означается двояким образом, или длиною дуги между его боками находящеюся или числом градусов, кои действительно в угле АСМ, или дуге AM содержатся. Потом из точки М, приняв за непременное начало точку А, опусти к диаметру AB перпендикуляр MP, так же к диаметру ДЕ перпендикуляр MQ, а когда угол АСМ положится = ф, то линия MP называется синус угла ф, которой всегда означается так MP = sin. ф ; линия MQ синус угла MCQ = 90° - ф, которой есть дополнение угла ф до 90°, или до угла прямого, называется косинус угла ф . Поелику MQ = PC, то и линия PC будет косинус угла ф, которой обыкновенно так изображается: PC = cos ф» [1, с. 1-2].

Рис. 1

Рис.2

Как видно из приведенного фрагмента, М.Е. Головин использует современные, привычные для нас, обозначения тригонометрических функций, если не обращать внимания на точку, поставленную после знака каждой из функций. Условимся в дальнейшем опускать точку, поставленную после знака тригонометрических функций.

Приведем доказательство теоремы сложения из учебника М. Головина в сокращенном виде. В первой четверти круга единичного радиуса рассматриваются дуги (рис. 2): OA = а, AB = в, OA + AB = а + в. Проводятся тригонометрические линии: АР = sin a, CP = cos а,

Проводится QT\\ ОС. Из подобия треугольников САР и CQS следует:

Из подобия треугольников BQT и САР следует:

откуда

Получим:

также

Полученные формулы не обобщаются для случая любых дуг. Из них М.Головин выводит новые соотношения между тригонометрическими функциями - следствия теоремы сложения. На рисунке 3 помещен фрагмент из учебника М. Головина.

Рис. 3

Рис.4

Таким образом, доказательство теоремы сложения М. Головина чисто геометрическое. Общим для учебников XVIII в. и учебников первой половины XIX в. является геометрический характер доказательства теоремы сложения. Основное отличие в том, что в

учебниках первой половины XIX в. ставится вопрос об общности полученных формул.

Н.Фусс поместил теорему сложения в главу VI своего учебника «Начальные основания чистой математики. Часть третья» (СПб., 1812), после главы о решении треугольников. Для её доказательства он использовал теорему синусов и соотношение, выражающее одну из сторон треугольника через две другие стороны и два угла, к ней прилежащие. Приведем это доказательство, заметив, что Н. Фусс называет синусом угла или дуги соответствующий перпендикуляр в круге единичного радиуса.

Обозначив через п отношение каждой стороны к синусу противолежащего ей угла, а углы треугольника соответственно буквами р, q, г (рис. 4), будем иметь АС = п sin q, ВС = п sin р, AB = п sin г. Но так как

Опустим на AB перпендикуляр СД, получим:

Так как

то

Полагая в этой формуле

затем пользуясь соотношениями для дополнительных углов, Н. Фусс выводит остальные формулы сложения и вычитания.

В учебнике Д.М. Перевощикова «Гимназический курс чистой математики, содержащий Арифметику, Основания Алгебры и Геометрии, Прямолинейную Тригонометрию и Конические сечения» (М., 1837) при обосновании теоремы сложения используется теорема Птолемея. Приведем это доказательство.

По разные стороны от диаметра АН (рис. 5) построены углы ВАН = а и НАС = в. Соединим В и С с H, а также В с С В получившемся четырехугольнике АВНС углы АВН и ACH - прямые и потому угол ВНА = 90°- а, угол СНА = 90° - е. Далее, на том основании, что «синус угла при окружности есть половина соответствующей хорды» [4, с. 336], получаем

Но по свойству вписанного четырехугольника

откуда

На рубеже первой и второй половин XIX в. появляется новый подход к построению школьного курса тригонометрии: начинать курс - с теории решения треугольников, завершать - теорией тригонометрических величин.

Рис. 5

По мнению М.В. Остроградского, такое построение курса, с одной стороны, оправдывалось самим определением предмета тригонометрии (решение треугольников), а с другой стороны, позволяло значительно упростить его изложение [6]. Поэтому в учебниках этого периода («Программа и конспект Тригонометрии для руководства в военно-учебных заведениях» (СПб., 1851); Ф. Симашко «Учебные руководства для военно-учебных заведений. Математика. Часть IV. Тригонометрия» (СПб., 1852)) при доказательстве теоремы сложения использовались тригонометрические свойства треугольника.

Примером доказательства с использованием тригонометрических свойств треугольника может служить доказательство теоремы сложения, содержащееся в учебнике К. Торопова «Краткий курс прямолинейной тригонометрии» (Пермь, 1894).

На рисунке 6: АС - диаметр окружности радиуса i?, ВД LAC.

Получили: АС=АД + ДС,

но

Кроме того, sin В = sin (А + С), следовательно,

В случае, когда ВД - внешняя высота, получим АС = СД - АД,

Так как

то в результате получается та же формула.

В учебнике Ф. Обидзинского «Плоская тригонометрия» (СПб., 1868) в основе доказательства теоремы сложения лежат теорема синусов и теоремы проекций (рис. 7). В прямоугольном треугольнике ABC:

Получается:

Формулы синуса и косинуса разности двух углов Ф. Обидзинский получает, считая

и полагая

Рис. 6

Рис. 7

В школьных учебниках начала XX в. наряду с традиционными геометрическими доказательствами начинают встречаться доказательства теоремы сложения, основанные на теории проекций. Такие доказательства помещены в учебниках С.А. Будаевского «Прямолинейная тригонометрия. Полный систематический курс» (СПб., 1904), В.И. Шифф «Прямолинейная тригонометрия (СПб., 1907), Э. Бореля «Тригонометрия» (М., 1909), СП. Виноградова «Курс прямолинейной тригонометрии» (М., 1912), В.А. Крогиуса «Прямолинейная тригонометрия» (М.-Л., 1923), Б.Б. Пиотровского «Тригонометрия» (Л.-М.,1925), Н.М. Душина «Курс элементарной геометрии» (Харьков, 1923).

Объясняя причины такого подхода к доказательству теоремы сложения, С. Будаевский в предисловии к своему учебнику пишет: «Нам давно представлялось заманчивым включить в курс тригонометрии основные теоремы теории проекций и при посредстве их выводить тригонометрические величины суммы и разности дуг. Прием этот обнимает сразу общий случай каких угодно слагаемых дуг и избавляет от неизящного и утомительного вывода, основанного на сличении подобных треугольников и требующего целого ряда отдельных обобщений».

В качестве примера приведем доказательство теоремы сложения из учебника В.А. Крогиуса, построенное на основе теории проекций:

Пусть радиус-вектор ОД = R (рис. 8) составляет с осью ОХ угол а. ОС и ОД координаты точки Д. Поэтому ОС = Rcosa , СД = Rs'ma .

Проектируем вектор ОД и его составляющие ОС и СД на ось ОХь Учитывая, что сумма проекций составляющих векторов равна проекции замыкающего вектора, получаем:

Положительные смыслы осей ОХх и ОД составляют угол (а - ß), поэтому пр. ОД = = R cos (а - ß).

Положительные смыслы осей ОХ, и ОХ (на оси ОХ отложен вектор ОС) составляют угол Д

Положительные смыслы осей ОХх и ОУ (на оси параллельной ОУ отложен вектор СД ) составляют угол (ß - —), поэтому

Итак, получаем

Рис.8

Заменяя ОС и ОД их выражениями, имеем

Однако наряду с вышеприведенным общим доказательством В.А. Крогиус помещает и геометрическое доказательство для острых углов а и ß, основанное на тригонометрических свойствах прямоугольных треугольников, с последующим обоснованием общности полученных формул. В.А. Крогиус как бы не решается полностью отойти от традиционных канонов доказательства.

Только к середине XX в. в школьных учебниках математики общие способы доказательства теоремы сложения (координатный, векторный, на основе теории проекций) окончательно заменили геометрические. Однако и сегодня учителя используют геометрические подходы при обосновании справедливости теоремы сложения [2; 5]. Уступая в общности, геометрические выводы подкупают наглядностью, лаконичностью, простотой. Они позволяют продемонстрировать внутрипредметные связи (алгебра <-> геометрия). Кроме того, история изучения доказательства доступна учащимся основной школы и может служить предметом исследовательской работы школьников.

Рамки вузовского курса «Теория и методика обучения математике» не позволяют столь подробно знакомить будущих учителей с историей изучения теоремы сложения. Нами разработан курс по выбору «Методика углубленного изучения элементов тригонометрии». Курс предусматривает рассмотрение вопросов, иллюстрирующих иные подходы к построению школьного курса тригонометрии, отличающиеся от предлагаемых сегодня во многих учебниках.

Библиографический список

1. Головин М.Е. Плоская и сферическая тригонометрия с алгебраическими доказательствами. СПб., 1789.

2. И ваш ев-Мусатов О.С. О формуле «синус суммы» // Математика в школе, 2001.

№2.

3. Модзалевский Л.Б. Материалы для биографии Н.И Лобачевского. М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1948.

4. Перевощиков Д.М. Гимназический курс чистой математики, содержащий Арифметику, Основания Алгебры и Геометрии, Прямолинейную Тригонометрию и Конические сечения. М., 1837.

5. Поленок В.Ф. Советы старого учителя // Математика в школе, 2000. № 8.

6. Порно И.К. Учебники тригонометрии и вопросы ее преподавания в русской дореволюционной и советской средней школе. Дис. ... канд. пед. наук. М., 1950.

7. Румовский С.Я. Сокращения математики. Часть первая, содержащая начальные основания арифметики, геометрии и тригонометрии. СПб., 1760.

ДИНАМИКА ЦЕЛЕЙ УРОКА МАТЕМАТИКИ В СОВЕТСКОЙ СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

И. А. Марушкина

В статье анализируются цели урока математики (образовательная, воспитательная, развивающая и практическая). Показано, какие цели доминировали на разных исторических этапах в советской средней школе.

Ключевые слова: цель, образовательная, воспитательная, практическая, развивающая, политехнизация, программы, внимание, интерес, логика, нравственность.

В трудовой школе (1918-1932 гг.) классификации целей учебного занятия не было. Проанализируем их с позиций тех целей, которые характерны для современного урока (образовательные (обучающие), развивающие, воспитательные, практические).

В программах ГУСа II ступени трудовой школы сказано, что «математика сама по себе не имеет образовательной ценности в школе, математика важна лишь постольку, поскольку она убедительно помогает разрешать практические задачи» [15, с. 97]. В объяснительной записке к примерным программам по математике (1919 г.) указывалось, что «курс алгебры II ступени имеет своей целью, с одной стороны, дать каждому ряд полезных навыков и сведений, необходимых как будущим техникам, так и трудящимся в других областях и, с другой стороны, обогатить такими общими понятиями, которые необходимы каждому образованному человеку для установления отношения его к окружающему миру, снабдить его знакомством с общими научными методами, выработать в нем точность языка, освоить с символикой, выяснить ее обобщающее и экономизирующее значение» [11, с. 42] .

Под воспитательной целью понимали воспитание у учащихся коллективизма, сознательного отношения к труду и учебе, а также воспитание самостоятельности учащихся. Под развивающей целью понимали развитие личных качеств в детях, таких, как умение работать в коллективе, умение подчинять свои интересы интересам общества, развитие самостоятельности, инициативы и творческих способностей учащихся. В объяснительной записке к программе по геометрии (1919 г.) выделяли следующие цели: «а) развитие формально-логического мышления; б) развитие пространственного воображения; в) усвоение известных геометрических сведений и умение их прилагать к разрешению частных вопросов; г) развитие способности кратко и точно выражать свои мысли» [11, с. 32]. Сами же «школьные работники» того периода признавались, что, работая в группе над проектом, ученики не могли сами у себя правильно «развить точность мышления, пространственное воображение, представление о бесконечности, пределе, о числе, подчеркнуть эстетический элемент в математике и т. д.» [15, с. 97]. Т. е. в уче-

нических группах, работающих над проектом, такие цели, как умственное развитие учащихся, развитие памяти, речи, логического мышления, не всегда достигались.

Под практической целью понимали умение строить учащимися графики и диаграммы, умение пользоваться справочниками и таблицами [8]. Так, например, при подведении к курсу алгебры ставились такие практические цели: «определение положения грядок, угодий; маршрутная съемка, географические координаты места; углубление графического метода» [8, с. 125].

После возвращения в школу урока (1932 г.) теоретическое осмысление целеполагающей части урока математики было сделано лишь в конце 40-х годов прошлого века. Заслуженный учитель РСФСР М.Н. Покровская впервые классифицирует воспитательные цели урока математики, их она называла воспитательными задачами, это: 1) воспитание внимания на уроках математики; 2) воспитание умения сознательно переключать внимание с одного объекта на другой; 3) воспитание интереса и любви к математике [10]. Что касается первой и второй задачи, как видим, в сегодняшней классификации они входят в состав развивающей цели урока математики. Следовательно, в конце 40-х годов XX века развивающая цель входила в состав воспитательной цели так же, как и в дореволюционный период.

Осуществление первой воспитательной задачи М. Н. Покровская видела в том, что на уроках математики учащиеся должны были уметь концентрировать свое внимание на изучаемом объекте, уметь подмечать сходства, различия, зависимости в них, учитывать всевозможные случаи при анализе решения задачи. Также учащиеся должны были уметь логически строить цепочку рассуждений, переходить от частного к общему и, наоборот, должны уметь грамотно, пошагово оформлять решение задачи. Поэтому, по мнению автора, на уроках математики от учеников требуется не только непроизвольное (эмоциональное) внимание, но и произвольное. В связи с этим учитель должен обращать внимание на правильный, четкий, аккуратный почерк учащихся, на регулярное ведение тетрадей, на рациональные приемы вычислений, которые будут способствовать умению сосредоточиться на уроке.

Достижение второй воспитательной задачи М. Н. Покровская считала более сложным. Поэтому важной становится правильная организация урока, которая помогла бы переключать внимание с одного вида деятельности на другой.

Интерес и любовь к математике «могут воспитываться в учащихся при условии научного изложения материала и раскрытия идейной сущности изучаемых математических фактов» [10, с. 37]. Автор видит реализацию этой задачи в использовании исторического материала при объяснении нового, в проведении «обзорных лекций» и докладов, которые способствуют обобщению изученного материала, более глубокому его усвоению. Эти выступления могут содержать практический материал из области сельского

хозяйства о росте производства, что способствовало бы патриотическому воспитанию учащихся.

В программе же средней школы 1947/1948 г. речь шла и о других целях обучения математике: развитии умственных способностей учащихся, умении делать правильные умозаключения, устанавливать зависимости между величинами, выработке марксистского мировоззрения [13].

В 1952 г. М.Н. Покровская уточняет, что она понимает под воспитанием внимания на уроках математики. Во-первых, она дает определение понятию «внимание»: «Вниманием называется направленность и сосредоточенность психической деятельности человека на чем-либо определенном» [9, с. 20]. Во-вторых, говорит о роли внимания в умственной деятельности учащихся. Внимание ускоряет умственную деятельность, обеспечивает быстроту и прочность запоминания, повышает качество и точность работы, ускоряет процесс образования навыков. В-третьих, отмечает, что «внимание отнюдь не является какой-то неизменной, врожденной функцией сознания. Внимание - это свойство личности, формирующееся в процессе воспитания и находящееся в связи с другими сторонами этой личности» [9, с. 20]. В-четвертых, дает перечень рекомендаций для работы учителя математики, которые способствуют воспитанию внимания учащихся. М.Н. Покровская делает вывод о том, что «шаг за шагом мы, учителя математики, можем и должны воспитывать внимание учащихся, делая его все более произвольным, все более активным и устойчивым, вырабатывая у учащихся привычку быть внимательными. А привычка быть внимательным превращается во внимательность как черту характера личности» [9, с. 26].

В начале 1950-х гг. добавляется такая воспитательная цель на уроках математики, как воспитание культуры математической речи учащихся (устной и письменной). И.А. Гибш определял развитие правильной математической речи учащихся фундаментальным положением. Автор отмечал, что для глубокого сознательного усвоения математики требуется умение логически мыслить, правильно рассуждать. Язык, непосредственно связанный с мышлением, по мнению автора, воспроизводит результаты познавательной работы человека. Поэтому учащиеся должны ясно и точно излагать свои мысли, правильно строить свои предложения (с логической и стилистической стороны), быть краткими. В этом с ним солидарен В.М. Розентуллер. По его мнению, вновь вводимые математические термины должны быть четко написаны учителем на доске и переписаны учащимися в специальный математический словарь, который они должны вести в алфавитном порядке. Также В.М. Розентуллер обращал внимание на то, что учитель должен следить за аккуратными записями на доске и в тетради дробных выражений, на перенос знака равенства с одной строчки на другую, за оформлением решения геометрической задачи (символически записывать, что дано, что найти или доказать), за сокращениями наименований (кг, км и т. д.).

Работа учителя математики над речью учащихся связана с сознательным усвоением учебного предмета, с развитием логического мышления

учащихся. Таким образом, здесь опять происходит смешение воспитательной и развивающей целей на уроках математики.

В.М. Розентуллер предлагал учащимся (начиная с VI класса) давать математические сочинения и рефераты по разным вопросам (доказательство теоремы, объяснение решения задачи, вывод формулы, а также составление письменного сочинения на основе самостоятельного изучения некоторого вопроса). По его мнению, для развития речи учащихся следует на уроках по краткой записи, или уравнению, или по готовому чертежу предлагать составлять условия задач.

В директивах XIX съезда КПСС (1952 г.) указывалось на необходимость приступить к осуществлению в общеобразовательных школах политехнического обучения [5]. В 1958 году был принят Закон «Об укреплении связи школы с жизнью и о дальнейшем развитии системы народного образования в СССР». В Программе, принятой XXII съездом КПСС от 31 октября 1961 г., было сказано, что обучение и воспитание подрастающего поколения должно быть тесно связано с жизнью и с производственным трудом. Это позволит человеку после окончания школы сразу включиться в производство и сочетать работу с дальнейшим обучением и образованием в соответствии со своим призванием и потребностями общества. Таким образом, в учебную работу вводилась политехническая цель обучения, реализация которой на уроках математики выражалась усилением практической направленности в изучении дисциплины.

В программе средней школы за 1954/1955 учебный год сказано, что «целью преподавания математики является сообщение учащимся основ знаний по арифметике, алгебре, геометрии, тригонометрии, привитие умений и навыков для применения сведений из математики при решении различных практических задач, содействие развитию логического мышления и пространственного воображения.

В свете задач политехнического обучения особое значение имеет привитие учащимся счетно-конструктивных навыков, умение пользоваться таблицами, счетными приборами, измерительными и чертежными инструментами» [12, с. 5].

Советский педагог А.Я. Хинчин в 1960-х гг. обозначил, что в силу своей специфики предметом математики является не изучение объектов внешнего мира, а изучение количественных отношений и пространственных форм этих объектов. Поэтому, считал автор, возникает ошибочное мнение, что предмет «математика», в отличие от гуманитарных наук, не достаточно воспитывает нравственные качества и патриотизм у учащихся. А.Я. Хинчин обращал внимание на то, что воспитательное воздействие уроков математики на учащихся изучено поверхностно.

Педагог доказывал, что, занимаясь математикой, у учащихся формируются моральные личные качества, такие, как честность, правдивость, настойчивость, мужество, трудолюбие. Это, согласно автору, происходит, во-первых, тогда, когда учащиеся учатся полноценно аргументировать свое

решение. Во время разбора какого-либо доказательства учеником все остальные ученики «должны напряженно искать возможные возражения и немедленно их высказывать. Ученик, который «отобьется» от всех таких возражений, заставит умолкнуть всех таких критиков, неизбежно испытает законную радость победы. Вместе с тем он ясно почувствует, что именно логическая полноценность аргументации была тем орудием, которое дало ему эту победу» [14, с. 31]. Во-вторых, тогда, когда учащиеся строят логические схемы рассуждения («логический скелет»), у них воспитывается математический стиль мышления. Отметим, что развивающую цель А.Я. Хинчин понимал также входящей в состав воспитательной цели. Логическая схема рассуждений в максимальной степени, по мнению автора, позволяет следить за правильностью течения мысли и гарантирует от ошибок. Выработка умения строить «логический скелет» не встречается в столь полной мере ни в одной другой науке, кроме как математике. К математическому стилю мышления А.Я. Хинчин относил лаконизм - «сознательное стремление всегда находить кратчайший ведущий к данной цели логический путь, беспощадное отбрасывание всего, что не абсолютно необходимо для безупречной полноценности аргументации» [14, с. 35]. В-третьих, тогда, когда учащиеся приучаются к точности символики. Они на собственном опыте могут убедиться, что несоблюдение безукоризненной точности символической записи в математике ведет к непониманию смысла записанного. Поэтому учащиеся, по мнению автора, приучаются следить за собой, и постепенно строгая правильность математической символики становится им привычкой.

Идеи А.Я. Хинчина получили признание среди педагогов-математиков [2; 4]. Вместе с тем, нельзя не отметить, что они не были новы. А.Я. Хинчин через 60 с лишним лет повторил и развил мысли Н.В. Бугаева, высказанные им еще в 1869 г. в работе «Математика как орудие научное и педагогическое».

Отечественные методисты С. Е. Ляпин (1965 г.), Ю. М. Колягин и др. (1975 г.), Н. В. Метельский (1982 г.) и др. предложили классификацию целей урока математики, созвучную с классификацией В.Р. Мрочека и Ф.В. Филипповича (1910 г.). Согласно данной классификации следует различать: образовательные, воспитательные и практические цели обучения.

С.Е. Ляпин под образовательной целью понимал сообщение ученикам определенного круга знаний, «позволяющих понимать количественные отношения и зависимости от простейших явлений реального мира и разбираться в формах его» [6, с. 6]. Учащиеся в процессе обучения математике «должны овладеть простейшими вычислительными навыками, научиться обрабатывать самостоятельно получаемые данные при различного рода измерениях, уметь проверять достоверность получаемых сведений, т. е. овладеть научными методами доказательства и контроля... Умение систематизировать понятия и предложения, выделять из них существенно важные для построения общей схемы, установления общей закономерности» [6, с. 7]. Образовательная цель смешивается у него с развивающей и воспитательной:

«Кроме того, ученики должны уметь анализировать данный вопрос, вычленять из него частные случаи с учетом того, насколько частный случай исчерпывает все возможности. В задачу математического воспитания входит и приучение учеников к полноценной аргументации» [6, с. 7]. Также у него изучение математики должно «содействовать развитию логики умозаключений и на этой основе выработке грамотной речи, точности и лаконичности выражения мысли. В изложении математического материала нельзя допускать многословия; здесь особенно важно поставить каждое слово на свое определенное место. Научить учеников выражать мысли на языке математических символов и, наоборот, переводить с языка алгебры на родной язык -это задача первостепенной важности и не столь простая, чтобы ее не выделить в общем перечне задач, стоящих перед учителем» [6, с. 7].

Под воспитательными целями педагог понимал «воспитание у учащихся диалектико-материалистического мировоззрения, чувства советского патриотизма и национальной гордости... Задачи, материалом для которых являются факты из жизни, воспитывают любовь и чувство гордости за нашу страну, страну строителей коммунистического общества... Работа на уроках должна приучить ученика к настойчивости, упорству, аккуратности, точности, контролю за своими выводами и суждениями, воспитать требовательность и четкость в суждениях, ...воспитывать самостоятельность, инициативу, творческие способности, ...пробудить у детей интерес к самостоятельным поискам, открытиям и выводам, развить у них пытливость, воспитывает внимание» [6, с. 8]. К этой же цели он относит развивающую.

Практическую цель С.Е. Ляпин называл подготовкой к практической деятельности. Под ней автор понимал приобретение учащимися умений и навыков «прилагать теорию к практике, т.е. использовать знания при решении математических вопросов и задач, возникающих в повседневной жизни в быту и в производственных процессах», учащиеся «должны научиться пользоваться инструментами и приборами для измерения, таблицами, справочниками, графиками, логарифмической линейкой» [6, с. 8].

По мнению Ю.М. Колягина и др., общеобразовательная цель преподавания математики будет достигнута, если учитель сумеет:

«1) передать учащимся определенную систему математических знаний, умений и навыков;

2) помочь учащимся овладеть математическими методами познания реальной действительности;

3) научить учащихся устной и письменной математической речи со всеми присущими ей качествами (простота, ясность, полнота, лаконичность и т.д.);

4) помочь учащимся овладеть минимумом математических сведений, нужных для того, чтобы применять имеющиеся у них знания, навыки и умения для активной познавательной деятельности в процессе обучения и самообразования» [3, с. 18].

Суть воспитательной цели те же авторы видели в:

- воспитании у учащихся диалектико-материалистического мировоззрения;

- воспитании у учащихся устойчивого интереса к изучению математики;

- нравственном и эстетическом воспитание учащихся (уважение к труду, патриотизм, чувство долга, чувство красоты и т. д.);

- атеистическом воспитании учащихся (на фактах из истории науки, разоблачении числовых суеверий и т. д.);

- развитии математического мышления учащихся, воспитании у них математической культуры [3].

Таким образом, развивающие задачи вновь входят в состав воспитательной цели.

К практическим целям преподавания математики авторы относили:

1) умения применять полученные знания для решения простейших задач жизненной практики, в изучении других учебных предметов (физики, химии, черчения и т. д.);

2) умения пользоваться математическими инструментами и приборами;

3) умения самостоятельно добывать знания (работа с учебной и научно-популярной литературой) [3].

Н.В. Метельский делил цели преподавания математики на общие и специфические. К общим целям он относил образовательную, жизненно-практическую и воспитательную. Под образовательной («формальной») целью обучения математике в средней школе педагог понимал следующее: «Вооружить всех учащихся систематизированными знаниями основ науки математики и теми умениями и навыками, которые необходимы для полноценного, сознательного и прочного усвоения этих знаний, определяемых учебной программой. На этом основании образовательную цель в прошлом иногда называли формально-развивающей, подчеркивая этим то, что главным назначением усваиваемых знаний было умственное развитие школьников, а поэтому на знания смотрели как на формальный алгоритм - средство и показатель умственного развития» [7, с. 50]. Под жизненно-практической («материальной») целью автор понимал вооружение «учащихся теми знаниями, умениями и навыками, которые можно применять в жизни» [7, с. 50]. Под воспитательной целью Н.В. Метельский понимал «использование всех удобных моментов для всестороннего воспитания учащихся в процессе обучения математике», способность к «формированию научного, диалектико-материалистического мировоззрения» [7, с. 52].

Также Н.В. Метельский выделял специфические цели обучения математике: 1) обучение методам научного познания; 2) формирование и развитие у учащихся математического мышления; 3) развитие геометрической интуиции, пространственного воображения; 4) логика (ознакомление учащихся с важнейшими понятиями, законами и правилами логики); 5) познать

эстетическую сторону математики, ее красоту, удивительную стройность, четкость и строгость, изящество многих ее доказательств и решений, привить любовь и интерес к ней; 6) воспитать трудолюбие, настойчивость в преодолении трудностей [7].

Таким образом, отметим, что у советских педагогов воспитательная цель формировалась под влиянием марксистско-ленинской идеологии. Развивающая цель преподавания математики не рассматривалась как самостоятельная цель, она входила в состав воспитательной, или образовательной, или специфической целей обучения математике.

Подводя итог, отметим, что с 1990-гг. по настоящее время на уроках математики ставится обычно триединая цель, включающая обучающую (образовательную), воспитательную и развивающую цель. О том, как изменится понимание целей урока математики в связи с внедряемым сегодня в школу компетентностным подходом, покажет время...

Библиографический список

1. Гибш И.А. Развитие речи в процессе изучения школьного курса математики // Математика в школе, 1952. № 5.

2. Гнеденко Б. В. Воспитание моральных принципов и математика // Математика в школе, 1984. № 5.

3. Колягин Ю.М. и др. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика. М.: Просвещение, 1975.

4. Колягин Ю.М. Русская школа и математическое образование. Наша гордость и наша боль. М.: Просвещение, 2001.

5. Колягин Ю.М., Саввина О.А., Тарасова О.В. Русская школа и математическое образование: Наша гордость и наша боль. Часть I-III. Орел: ООО Полиграфическая фирма «Картуш», 2007.

6. Ляпин С.Е. Методика преподавания математики в восьмилетней школе. М.: Просвещение, 1965.

7. Метельский Н.В. Дидактика математики. Минск: Изд-во БГУ им. В.И. Ленина, 1982.

8. Новые программы для единой трудовой школы. Выпуск I. М.: Государственное издательство, 1923.

9. Покровская М.Н. Воспитание внимания на уроках математики // Математика в школе, 1952. № 4.

10. Покровская М.Н. Элементы воспитания в процессе обучения математике // Математика в школе, 1947. № 5.

11. Примерные программы по математике. Петербург: Издание отдела подготовки учителей Комиссариата Народного Просвещения Союза Коммун Северной Области, 1919.

12. Программа средней школы на 1954/1955 уч. год: математика. М.: Государственное учебно-педагогическое издательство министерства просвещения РСФСР, 1954.

13. Программа средней школы. Проект: математика. М.: Учпедгиз, 1947.

14. Хинчин А.Я. О воспитательном эффекте урока математики // Математика в школе, 1962. № 3.

15. Штейнгауз М.М., Толстой А.С. Работа по Дальтон-плану в школах второй ступени. М.: Государственное издательство, 1927.

ПРИМЕНЕНИЕ ИСТОРИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ

Д.В. Мастеркова

В статье раскрывается значение исторических сведений для развития личности ребенка; выделяется особое значение исторических сведений при изучении математики в начальной школе. Приведен план построения урока математики с использованием исторических сведений. Подобран конкретный исторический материал на уроки изучения геометрического материала во 2 классе по учебнику М.И. Моро «Математика».

Ключевые слова: методика преподавания математики, исторический материал, начальная школа.

Одной из главных задач современной начальной школы является развитие личности, кругозора, мировоззрения, познавательного интереса, творческой активности каждого ребенка.

Одним из учебных предметов, призванных обеспечить выполнение данной задачи, является - «царица наук» - математика, которая по праву занимает важное место в системе начального общего образования. Формирование познавательного интереса к изучению математики важно начинать в начальной школе разнообразными средствами: дидактические игры, использование наглядных пособий, элементы проблемного метода обучения, использование исторического материала и пр.

Использование исторических сведений на уроках математики в начальной школе - это одно из эффективных и эффектных средств формирования и активизации познавательного интереса учащихся. Исторические задачи, сведения из истории развития математики, вопросы, связанные с прикладным значением математики в других областях знаний и на производстве, беседа (рассказ) учителя на выбранную историческую тему, подготовка мультимедийной презентации, сообщения учащихся на заданную тему, подготовка и выпуск стенгазет - это лишь не многие формы подачи исторического материала на уроках математики.

Исторические сведения способствуют:

- формированию более прочных и глубоких знаний;

- формированию положительного эмоционально-познавательного отношения к учебному предмету или какому-либо виду деятельности;

- интеграции исторических и математических знаний;

- усилению творческой активности;

- повышению общего уровня культуры, расширению кругозора и пр.

Помимо того, вводимые исторические сведения позволяют ребенку самостоятельно осознать, вывести и сформулировать какие-либо математические законы, правила и доказательства.

Подготовка уроков математики, на которых используется исторический материал, строится по следующему плану:

1) определение места исторического материала на уроке;

2) установление связи исторического материала в рамках данной темы;

3) выбор наиболее эффективных средств использования исторических сведений;

4) установление межпредметных связей, которые становятся более явными при использовании исторического материала;

5) дальнейшее использование данного исторического материала на уроках и во внеклассной деятельности;

Работа по использованию элементов историзма на уроках математики в начальной школе должна начинаться с 1 класса и быть регулярной и систематической. Естественно, что содержание и объем вводимого исторического материала на уроках математики должны соответствовать возрастным особенностям и уровню подготовки учащихся, также и формы подачи будут изменяться от простой исторической справки до урока - исторического путешествия, а возможно, и до внеклассной историко-математической конференции по выбранной теме.

Особенно важно познакомить учащихся начальных классов с историей развития счета, римской и арабской нумераций, возникновения систем счисления, различных величин.

Особое внимание следует уделить урокам изучения геометрического материала, на них необходимо использовать исторический материал, который оживит урок и сделает изучаемый материал более наглядным. Иными словами, все исторические данные необходимо проиллюстрировать репродукциями картин, таблицами, схемами, презентациями и пр. Творчески работающий учитель, знакомя учащихся с начальными понятиями геометрии, обязательно расскажет:

S о греческой геометрии, где данный предмет причисляли к 7 свободным искусствам: арифметика, астрономия, музыка, грамматика, риторика, диалектика;

S о египетской геометрии, на примере одного из Чудес Света - египетских пирамид и пр.

Систематическая работа с историческим материалом постепенно станет неотъемлемой частью каждого урока математики. Методическая и педагогическая ценность уроков значительно повышается вследствие того, что такие уроки помогают учащимся интересно и увлекательно усваивать учебный материал, стимулируют развитие интереса к предмету, расширяют кругозор и повышают культуру нашего подрастающего поколения.

В заключение приведем возможный вариант введения исторического материала на уроках изучения геометрического материала по учебнику математики для 2 класса в 2-х частях М.И. Моро, 2007 г.

Изучаемая тема

Страницы учебника

Исторические сведения

1

2

3

1 часть

Многоугольники

С. 4

Учение о правильных многоугольниках в школе Пифагора. «Золотая пропорция», или вопрос о покрытии плоскости правильными многоугольниками. Задача о квадратуре круга.

Длина ломаной

С. 28

«Начала» Евклида. Понимание прямой, отрезка, луча. Из истории линейки, карандаша, ластика. Ломаные линии в астрономии (из истории открытия созвездий).

Периметр многоугольника

С. 36

Измерение границ земельных участков в древних цивилизациях.

2 часть

Прямой угол

С. 8

Инструменты для измерения углов. История транспортира.

Прямоугольник

С. 12

Архитектура древнерусских зодчих. Разложение фигур. Понятие равновеликости.

Свойства сторон прямоугольника

С. 28

Архитектура древнерусских зодчих. Разложение фигур. Понятие равновеликости.

Квадрат

С. 30

Квадрат в оригами и кириками. Японская мудрость и простота.

СТАНОВЛЕНИЕ И РАЗВИТИЕ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

Р.А. Мельников

В статье рассмотрены основные этапы развития весьма важного в приложениях раздела математики - операционного исчисления. Описаны достижения зарубежных и отечественных математиков, внесших наибольший вклад в его становление. Показана связь операционного исчисления с другими разделами математики.

Ключевые слова: символическое исчисление, операционное исчисление.

Операционное (символическое) исчисление является весьма эффективным аппаратом математического исследования многих прикладных задач, особенно тех, которые связаны с решением линейных функциональных уравнений. Известны приложения операционного исчисления в теории систем автоматического регулирования, к решению ряда задач электротехники, к исследованию некоторых вопросов радиотехники, теплопроводности, механики и т.п.

История символического исчисления ведет своё начало от Лейбница (1646-1716). В одной из статей, посвященных некоторым задачам дифференциального исчисления, Лейбниц указал, что n-ый дифференциал произведения двух функций по форме выражения подобен n-ой степени бинома:

На эту аналогию Лейбниц указывал и в письмах к И. Бернулли (1667-1748), который в ответ обратил внимание на то, что в определенных случаях с помощью аналогии по заданному дифференциалу можно найти интеграл.

Дальнейшее развитие символического исчисления шло, главным образом, во Франции (Лагранж, Арбогаст, Лаплас, Бриссон, Сервуа, Коши и др.) и в Англии (Грегори, Морфи, Кармайкл, Грэвс, де Морган, Буль).

Замечания Лейбница о «биномиальной» аналогии Лагранж (1736-1813) в 1772 г. развил в стройную схему своеобразного алгоритмического исчисления. Символ дифференцирования он рассматривал как фиктивную величину, к которой можно прилагать обычные правила алгебры. Следовало лишь в окончательном результате n-ую степень символа —, примененного к величине и, выражать в форме

Лагранж заметил, что сам принцип аналогии, на котором основано предложенное им исчисление, не очевиден. Несколько позже, в 1775 г., подобные результаты получил Лаплас (1749— 1827).

Сочинения Лагранжа и Лапласа вызвали к жизни большое количество исследований. Итальянский ученый А.М. Лорнья (1735-1796) по образцу исчисления Лагранжа разработал «новый вид «конечного и бесконечного исчисления», которое характеризовал следующим образом: «Новый вид исчисления, о котором идет речь в настоящем мемуаре, состоит в том, что символы которыми пользуются в обычном конечном или бесконечном исчислениях, рассматриваются в двух различных аспектах, а именно: или как условные знаки, предназначенные для указания на изменения состояния величин, перед которыми они поставлены, или же как алгебраические количества» [3, с. 189].

Д. Буль (1815-1864) в 1844 г. в своем очерке «On a General Method in Analysis» положил начало трансцендентной части символического исчисления с применением к решению линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами.

В России символическое исчисление стало известно из книг зарубежных ученых, в частности, из трёхтомного курса дифференциального и интегрального исчисления французского математика С.Ф. Лакруа (1765-1843).

В 1862 г. в Киеве была издана монография М.Е. Ващенко-Захарченко (1825-1912) «Символическое исчисление и приложение его к интегрированию линейных дифференциальных уравнений» [2]. В 1868 г. в Москве вы-

шла в свет книга А.В. Летникова (1837-1888) «Теория дифференцирования с произвольным указателем» [10], в которой были рассмотрены вопросы, по существу близкие к предмету символического исчисления.

Символическое исчисление достигло своего апогея в конце XIX в. в трудах английского инженера Оливера Хевисайда (1850-1925), давшего ему новые важные приложения. Изучив классические работы Максвелла и Томсона, Хевисайд исследовал вопросы, связанные со сложными проблемами электротехники, в частности с проблемами распространения электромагнитных колебаний вдоль проводов, положил начало созданию теории движения электрона в магнитном поле и т. д. Все положения операционного исчисления были выведены им эмпирически и независимо от других учёных. Он опубликовал в 1893, 1899 и 1912 гг. свои исследования, в которых был применен символический метод к решению обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и к решению некоторых типов дифференциальных уравнений в частных производных.

Вскоре в качестве основного положения операционного исчисления было принято преобразование Лапласа, на которое имеется ссылка и в трудах Хевисайда.

Строгое обоснование операционного исчисления было осуществлено английским математиком Б. Бромвичем (1875-1930) и американским инженером Д. Карсоном (1887-1940). Первая работа Бромвича, посвящённая этой проблеме, была напечатана в 1916 г. Метод Бромвича дает решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным и краевым условиям, в виде интеграла в комплексной области, который берется вдоль некоторого, соответствующим образом выбранного пути.

Д. Карсон в 1926 г. показал связь между операционным исчислением и интегральным преобразованием Лапласа. Он получил соотношение между начальной функцией и ее изображением в виде интегрального уравнения первого рода относительно начальной функции, в котором используется интеграл Лапласа.

Очевидно, назрела необходимость в том, чтобы два метода - один, основанный на преобразовании Лапласа, другой, опирающийся на интеграл Римана-Меллина, были бы соединены в одну общую теорию. Это и было сделано П. Леви (1886-1972) в 1926 г. Он показал, что решение интегрального уравнения первого рода относительно начальной функции, используемое Карсоном, представляется формулой Бромвича и наоборот.

Таким образом, результаты Бромвича, Карсона и Леви привели к тому, что дальнейшее развитие операционного исчисления пошло по пути применения контурных интегралов. Применением контурных интегралов в операционном исчислении занимались воспитанники харьковской математической школы А. М. Эфрос (1908-1941) и А. М. Данилевский (1906-1941). Плодом их деятельности стала вышедшая в 1937 г. в свет книга «Операционное исчисление и контурные интегралы» [15].

Немаловажный вклад в развитие теории преобразования Лапласа внёс профессор Фрайбургского университета Г. Дёч. В своих исследованиях, в частности в работе [4], он сделал акцент на возможности применения операционных методов при решении разнообразных задач математики и техники.

Обоснование операционного исчисления на основе общих принципов теории операторов функционального анализа дает математически строгое построение всей теории этого исчисления. В этом направлении работали В.А. Диткин (1910-1987) и А.И. Плеснер.

Операционное исчисление получило еще одно направление развития, связанное с алгебраическим его обоснованием. Это направление представлено в работах польского математика Я. Микусинского. Он использовал обобщенные функции. По методу Микусинского [13] построение операционного исчисления осуществляется с операторной точки зрения, не прибегая к преобразованию Лапласа-Карсона.

Отечественные ученые также внесли немалый вклад в развитие операционного исчисления. Они занимались как в области разработки теории, так и в области разнообразных приложений в математике, физике, механике, технике и др.

Н.Н. Боголюбов и Н.М. Крылов обосновали символический метод для дифференциальных уравнений в частных производных и показали возможности операционного исчисления в нелинейных задачах математической физики [8].

М.А. Лаврентьев и Б.В. Шабат занимались разработкой различных приложений операционного метода. А.И. Лурье рассматривал применение операционного исчисления к задачам механики [11]. В.А. Диткин - решением задач теплопроводности методом операционного исчисления [5]. И.З. Штокало - обобщением символического метода на линейные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами [14]. М.И. Конторович - применением операционных методов к рассмотрению нестационарных явлений в электрических цепях [7]. А.В. Иванов - обобщенным преобразованием Фурье в операционном исчислении [6].

Библиографический список

1. Александрова Н.В. История математических терминов, понятий, обозначений: Словарь-справочник. М: Изд-во ЛКИ, 2008.

2. Ващенко-Захарченко М.Е. Символическое исчисление и приложение его к интегрированию линейных дифференциальных уравнений. Киев, 1862.

3. Гусак А.А. и др. Теория функций комплексной переменной и операционное исчисление. Минск, 2002

4. Дёч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа. М.: Наука, 1965.

5. Диткин В.А., Прудников А.П. Операционное исчисление. М.: Высшая школа, 1966.

6. Иванов А.В. Обобщенное преобразование Фурье в операционном исчислении // Математический сборник, 1948. 23(65).

7. Конторович М.И. Операционное исчисление и нестационарные явления в электрических цепях. М.: Гостехиздат, 1949.

8. Крылов Н.М. Методы приближенного и символического решения дифференциальных уравнений математической физики и техники. Киев: Гостехиздат Украины, 1931.

9. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Гостехиздат, 1951.

10. Летников А.В. Теория дифференцирования с произвольным указателем. М., 1868.

11. Лурье А.И. Операционное исчисление и его приложения к задачам механики. М.: Гостехиздат, 1950.

12. Люстерник Л.А., Петрова С.С. Из истории символического исчисления // Историко-математические исследования. Вып. 22. 1977. С. 85-101.

13. Микусинский Я. Операторное исчисление. М.: ИЛ., 1956.

14. Штокало И.З. Операционные методы и их развитие в теории линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Киев: Изд-во АН УССР, 1961.

15. Эфрос А.М., Данилевский А.М. Операционное исчисление и контурные интегралы. Харьков: ГНТИ Украины, 1937.

МАТЕМАТИКА В ДОРЕВОЛЮЦИОННОЙ ГИМНАЗИИ

В.В. Перцев

В статье рассматриваются аспекты преподавания математики в дореволюционной мужской гимназии, роль и место этого предмета в учебном курсе, его воспитательный потенциал.

Ключевые слова: дореволюционная гимназия, история математического образования, роль математики в дореволюционной средней школе.

Исследуя программы дореволюционных гимназий, нельзя не отметить того факта, что больше всего времени в них было отведено изучению иностранных языков. К примеру, в учебном плане Елецкой гимназии за 1874-75 учебный год в общей сложности на изучение языков отводилось около 40% объема школьного курса: в гимназии обучали древним - латинскому, греческому и современным - французскому, немецкому языкам. Причем латинский язык гимназисты начинали изучать с первого класса, а остальные - со второго. Затем по количеству отведенных часов следует русский язык, математика, география, история. Русскую словесность изучали только в старших классах. Все годы обучения неизменное внимание уделялось Закону Божьему, которому были отданы два часа в неделю во всех классах [6]. К необязательным предметам относились пение, гимнастика и «занятие двумя языками вместе» [1]. Однако, несмотря на несомненный акцент в пользу гуманитарного образования, преждевременно было бы делать

вывод, что обучение в гимназии шло в ущерб естественнонаучных и математических дисциплин.

На возможность ошибиться в таком утверждении указывает хотя бы то, что, например, главным предметом гимназии считался Закон Божий, на который отводилось всего лишь два часа в неделю. Если же оценивать его по количеству отводимого времени, то окажется, что он эквивалентен рисованию. А по утверждению современников, религия занимала «самое высшее и главное место между предметами, преподаваемыми в гимназии» [7, с. 27]. Закон Божий стоял в первом пункте всех учебных программ среднеобразовательных заведений России 19 века. Как отмечает известный исследователи гимназического образования Г.Н. Козлова, он имел в гимназии «господствующее значение» не только в том смысле, что был первым среди учебных предметов, но и в том, что должен был пронизывать весь «образ жизни» школы [5, с. 75].

Таким образом, судить о приоритетах гимназического образования только лишь по количеству отводимого на тот или иной предмет времени было бы неправильно. Изучение языков во многом было обусловлено общим в дореволюционной России образовательным пространством с Европой. Система отечественного образования была выстроена таким образом, что многие европейские ученые работали в то время в наших университетах, а стажировка русских ученых в европейских вузах было необходимым условием для последующего занятия ими кафедр в России. Учебные программы гимназии, в особенности ее филологический уклон, с точки зрения ее места в системе образования становятся легко объяснимыми: ведь гимназии готовили слушателей в университеты, в которых просто необходимо было знать иностранные языки не только потому, что научный мир был тесно связан с Европой и в университетах преподавали иностранцы, но также из-за специфики университетского образования.

Четыре «университетских» факультета - физико-математический, историко-филологический, юридический и медицинский - уже сами по себе предполагали знание языков, в том числе древних. Только на физико-математическом, пожалуй, необходимость их изучения не столь очевидна. Но ведь для тех, кто собирался поступать на физико-математический факультет, в гимназии в должном объеме преподавалась математика и физика. По количеству учебного времени, отводимого на эти предметы, они занимают следующую строку после языков. Таким образом, гимназия четко выполняла свои функции подготовительного заведения для университета, не стремясь дать исчерпывающих знаний ни по языкам, ни по математике, программа которой не включала элементов высшей математики: предполагалось, что изучение последней осуществит высшее учебное заведение.

В гимназиях не стремились выращивать эрудитов, полагая, что глубокие специальные знания молодые люди приобретут в университетах. И в то же время гимназии хорошо подготавливали своих выпускников к получению высшего образования: окончившие гимназии с золотой или серебряной

медалью принимались в университет в первую очередь и без экзаменов, остальные - также без экзаменов, но по конкурсу аттестатов [4]. В госархиве Орловской области и сегодня можно найти письма к директорам гимназий от ректоров ведущих российских вузов с просьбой «поставить в известность молодых людей, оканчивающих курс гимназии, об условиях приема» в Лазаревский институт восточных языков в Москве, строительные курсы в г. Москве, Императорское Московское инженерное училище ведомства путей сообщения и др. [4, с. 88] - институты и университеты просто боролись между собой за право дальнейшего обучения гимназистов, им были рады везде! И это с учетом того, что выпускники гимназий обладали правом без экзаменов поступать в любые высшие учебные заведения страны, в том числе и на физико-математические факультеты: о своем выборе нужно было лишь написать заявку за полгода до окончания восьмого класса. Согласитесь, что такая практика могла успешно применяться, тем более на протяжении многих лет, лишь в случае абсолютно достаточной для усвоения университетского курса математической подготовки абитуриентов.

В редком фонде РГБ можно найти извлечение из речи для торжественного собрания 2-й Казанской гимназии, написанной ее директором Р. Шарбе в 1857 г. В этом издании излагаются мысли о воспитании в российских гимназиях, специфике учебного курса, анализируются учебные программы. Там же можно найти интересные замечания к вопросу об изучении математики, которые объясняют многие особенности преподавания этого предмета. Как отмечает Р. Шарбе, «человек не живет одной духовной жизнью, он состоит из души и тела, а потому, заботясь о душе, он должен заботиться и о другой части своего существа. Живя в природе, он назначен быть господином ее; а для этого он должен изучать ее, подводить ее явления под законы, и на этом основании, силою своего ума, покорить ее силы своей воле. Для этого служат науки математические и естественные со всеми их отраслями. Мы выше сказали, что гимназия есть заведение, только приготовляющее юношу к жизни, следовательно, и эти науки входят в гимназический курс в том только объеме, в каком их считают достаточными для развития способностей юноши; из них исключается то, что превосходит сферу юношеских понятий, как высшая математика, и что имеет непосредственное применение к жизни, как технология, механика, химия и проч.

Математика, как в объективном, так и в субъективном отношениях, занимает высшее место в числе этих наук. Подвергая числу и мере все предметы, она выводит законы, которым подчинены явления природы и искусств. Она определяет законы движения, света, теплоты; она исследует величину и пути небесных светил, она же - основа архитектуры и музыки, она указывает пропорции живописцу и живет в гекзаметре гомеровом. Доказывать необходимость математики для жизни, изъяснять значение арифметики, геометрии, алгебры и т.д. мы не считаем нужным и позволим себе только сделать вопрос, в каком объеме она должна входить в гимназический курс. Вопрос этот различно был решаем; одни включали более, другие менее. Как

бы то ни было, при определении границ надо твердо иметь в виду цель гимназии и силы ученика. И потому нам кажется нужным включить только то, что должно быть основанием при переходе ученика к специальному занятию и что составляет непременную потребность образованного человека; и уже предоставить университету или реальной школе дальнейшее развитие. Если же, напротив, иногда употребляют слишком большое усилие довести учеников до той высоты, достигнуть которой только у немногих достает сил, то они с трудом на ней удержатся. Как скоро не будет внешнего побуждения, ученик оставит это занятие, по известному закону физики, что за слишком сильным напряжением следует расслабление. Гораздо полезнее, если юноша достигнет меньшей высоты, по силам, но вполне поймет изученное и сумеет его применять. Только то, что приобретено таким образом, не оставляется и после учения; и если даже оставится дальнейшее занятие, то останутся общие результаты.

С субъективной стороны математика также приносит ученику непосредственную пользу. Строгая ее консеквентность и непоколебимость ее законов значительно способствуют последовательному и отвлеченному мышлению; память также усиливается удерживанием в голове различных формул, теорем, чисел, на которых основываются выводы. Чтобы убедиться в этом, стоит только следить за мальчиком, решающим математическую задачу: с каким напряженным вниманием занимается он ею, все постороннее для него не существует на это время! Наконец математика, как наука, приводящая внешние явления в числимую и измеримую известность, имеет влияние и на характер учеников, основывая его на твердых, но формальных законах. Однако ж эти законы не всегда соответствуют жизни, которая так разнообразна, переменчива и зависима от случайностей, между тем как законы математики неизменны. Строгая последовательность к делам людей неприменима; люди не суть определенные величины, которые можно было бы подвести под алгебраические формулы; они имеют свою индивидуальность. В делах людских чаще приходится судить и действовать по вероятности, нежели по несомненным посылкам. Вообще математика имеет непреложное применение только в науках о природе и не может иметь притязания на развитие чувств, фантазии и нравственной воли» [7].

Приведенный документ снимает многие вопросы относительно значения математики в курсе гимназии, а также понимания ее роли в воспитании учащегося. Больше - далеко не всегда значит лучше. По всей видимости, именно этот факт служил лейтмотивом преподавания предмета математики в курсе гимназии. И, несмотря на существовавший в гимназии акцент на преподавание языков, учащийся, тем не менее, получал прочные знания по всем предметам, достаточные для продолжения своего образования как в классическом университете, так и профильном вузе. Как отмечает Р. Шарбе, «сам опыт уже неоднократно доказал, что ученики, которые сначала прошли гимназический курс и потом переходили в реальные заведения, не только догоняли, но и перегоняли новых товарищей» [7, с. 15].

Приведенные Р. Шарбе объяснения о роли математики в гимназическом курсе, обоснования объема ее преподавания, на наш взгляд, не нуждаются в комментариях. В них завораживает своеобразная поэзия дореволюционной речи, манера и стиль изложения автора, широта его кругозора, тонкое знание психологии. Если еще добавить к тому факт присутствия в работе выдержек на иностранных языках, в том числе цитировании греческих первоисточников, то складывается впечатление, что читаешь размышления образованнейшего человека, который, сам, пройдя путь от гимназиста до директора гимназии, своим собственным примером учености приводит наилучший аргумент в пользу классического образования, за которое ратует.

В заключение хотелось бы отметить факт того, что ежегодно с первого по восьмой класс гимназии проводились итоговые экзамены, которые включали в себя различные задания по основным предметам школьного курса. Экзамены проводили сразу по нескольким дисциплинам в зависимости от изучаемой в каждом классе программы. И, что интересно, во все эти испытания были обязательно включены задания по арифметике или математике. В экзаменах отсутствовали вопросы по Закону Божьему, который официально признавался самым главным предметом гимназического курса, но обязательно в каждом классе учащиеся сдавали математику. Это, несомненно, является показателем того, насколько важное значение придавалось изучению математики в дореволюционной гимназии.

Для примера можно привести экзаменационную задачу по математике, которую обязаны были решить для прохождения в следующий класс учащиеся четвертого класса. Решение этой задачи мы оставляем читателям:

Экзаменационная задача по математике для IV класса [2, с. 12]: Сколько градусов содержит каждый из углов, если угол g на 13 lA ° больше угла /?

Библиографический список

1.ГАОО (Государственный Архив Орловской области) Ф. 64. Орловская губернская мужская гимназия. Оп. 1. Д. 376. Л. 18(06).

2. Архив В.А. Заусайлова. Отчет о состоянии Елецкой гимназии за 1874-75 учебный год. - Елец.: Типография А.Н. Новолоцкого, 1876. -61 с.

3. Авдеев Ф. С. Андрей Петрович Киселев / Ф. С. Авдеев, Т. К. Авдеева. - Орел: Издательство Орловской государственной телерадиовещательной компании, 2002. - 268 с.

4. Воробьева В. Я. Роль Орловской гимназии начала XX века в образовании и воспитании юношества // Первые Денисьевские чтения: Материалы науч. практ. конф. по

проблемам истории, теории и практики библ. дела, библиогр. и книговедения, г. Орел, 30-31 окт. 2003 г. / Орл. обл. публ. б-ка им. И.А. Бунина; Орл. гос. институт искусства и культуры; Сост. Н. З. Шатохина. - Орел: Издательский дом «Орлик», 2004. - С. 88 - 95.

5. Козлова Г.Н. Русская классическая гимназия как воспитательная система (вторая половина XIX века.). Дис. ... канд. пед. наук. - Н. Новгород, 1996. -200 с.

6. Шиков С. С. О программе прошлых лет// Красное знамя. - 1996. - 18 марта.

7. Шарбе Р. Мысли о воспитании в гимназиях. - Казань: Типография университета, 1857.-49 с.

ДОКУМЕНТЫ О ЖИЗНИ И ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ДМИТРИЯ ФЕДОРОВИЧА ЕГОРОВА

О.А. Саввина

Московские архивы располагают большим количеством материалов, касающихся жизни и деятельности удивительного ученого Д.Ф. Егорова (1869-1931). Недавно удалось обнаружить ряд новых документов, обзору которых посвящена предлагаемая статья.

Ключевые слова: Д.Ф. Егоров, математика, архивы, фонды, документы.

Дмитрий Федорович Егоров - уникальное явление в истории отечественной математики. Он родился в царской России, стал свидетелем печальных революционных событий 1917 г. и жертвой гонений на религию конца 1920-х. Значителен вклад Д.Ф.Егорова в дифференциальную геометрию, вариационное исчисление и теорию интегральных уравнений. Однако в историю науки он вошел, прежде всего, как основоположник знаменитой Московской школы теории функций, в которой было выпестовано не одно поколение крупнейших математиков XX века. Вместе с тем публикации о нем в советское время представляли собой преимущественно выхолощенные биографические справки в словарях и краткие характеристики его научной деятельности. В прошлом году исполнилось 140 лет со дня рождения этого ученого, а в следующем - 2011 г. - грядет еще одна круглая дата - 80 лет как он почил в Бозе.

Несмотря на появившиеся в последние десятилетия статьи о последних трагических годах жизни Д.Ф. Егорова [7, 12], подробностях его травли в Московском университете [11], детских и юношеских годах и семейной жизни [8, 10], в судьбе московского профессора все еще много остается для нас загадочного и неизвестного. Особенно большое число лакун связано с исследованием эволюции мировоззренческих взглядов ученого, приведших его к имяславию. Так и не установлена степень близости Дмитрия Федоровича к Великим Князьям Романовым. Мало известно о содержании его общения с зарубежными математиками. Заполнить эти досадные пробелы, не-

сомненно, помогут архивные документы, ряд из которых был недавно обнаружен в архивах Москвы.

Самый полный и менее всего изученный фонд (Ф.10), содержащий большую подборку материалов о Дмитрии Федоровиче Егорове, хранится в Отделе редких книг и рукописей Научной библиотеки МГУ им. М.В. Ломоносова (ОРКиР НБ МГУ им. М.В. Ломоносова). Больше половины этого фонда - 23 дела из 45 (Д.9, Д. 10, Д.11, Д.12, Д.13, Д.14, Д.15, Д.16, Д.17, Д.18, Д.20, Д.21, Д.22, Д.23, Д.24, Д.25, Д.26, Д.27, Д.28, Д.29, Д.30, Д.31) - составляют конспекты лекций Д.Ф. Егорова, которые он слушал во время научной стажировки 1902-1903 гг.

По этим конспектам можно реконструировать последовательность и содержание научных занятий во время этой «ученой» стажировки Дмитрия Федоровича в Германии и Франции. Судя по этим записям, русский ученый в июне 1902 г. прибыл в Германию, где посетил лекции по:

- синтетической геометрии, общей теории функций и эллиптическим функциям профессора Геттингенского и Берлинского университетов К.Г.А. Шварца (1843-1921),

- высшей алгебре и теории дифференциальных уравнений профессора Геттингенского университета Э.Г.Г. Ландау (1877-1938),

- теории чисел профессора Марбургского университета К.В.С. Гензеля (1861-1941),

- аналитической геометрии профессора Берлинского университета Ф.Г. Фробениуса (1849-1917).

Осенью 1902 г. стажер перебрался в Париж, где и остался, очевидно, до конца своей командировки. Д.Ф. Егоров стремился узнать как можно больше, штудировал курсы по математике и физике, конспектировал статьи, опубликованные в математических журналах. Его жизнь была тогда весьма насыщена научными занятиями - только в ОРКиР НБ МГУ хранится более 1700 страниц его записей, сделанных за 5 месяцев пребывания во Франции. В это время он прослушал огромное число лекций по разным физико-математическим наукам:

- механике у Ж.А. Пуанкаре (1854-1912),

- геометрии у Ж.Г. Дарбу (1842-1917),

- вариационному исчислению у Ж.С. Адамара (1865-1963),

- дифференциальным уравнениям у М.Э.К. Жордана (1838-1922),

- математической физике у Ж.В. Буссинеска (1842-1929).

В Париже Дмитрий Федорович посещал лекции не только по математике, но и по физике (кинематике и термодинамике). При этом важно отметить, что курс по теории интегрального исчисления он прослушал дважды -первый раз у Э.Ж.Б. Гурса (1858-1936), а второй раз - у А.Л. Лебега (1875-1941). Лекции А.Л.Лебега, несомненно, уже тогда заинтересовали Д.Ф. Егорова. Именно в это время французский ученый активно размышлял над новой теорией интеграла и не мог не затронуть в ходе лекций волновавших его тогда математических вопросов. Судя по записям Дмитрия Федоро-

вича, А.Л. Лебег начал изложение своего курса с историко-критического анализа понятий функции и интеграла. Очевидно, что уже тогда молодой русский математик увидел в идеях А.Л. Лебега отражение той самой теории разрывных функций, которую в рамках своей аритмологии пытался строить его учитель Н.В. Бугаев [7].

С не меньшим удовольствием русский стажер слушал лекции Ж.С. Адамара, оценку которым он даст несколько позднее, рекомендуя их своему ученику Н.Н. Лузину: «Лекции Hadamard'a [Адамара] рекомендую Вашему вниманию; он читает великолепно и очень содержательно» [9, с.338].

Докторское исследование Д.Ф. Егорова, которое он защитил незадолго до поездки за границу, было посвящено одному из разделов геометрии -триортогональным семействам потенциальных поверхностей. Этим, очевидно, объясняется его особенное увлечение геометрией во время стажировки, тщательное конспектирование лекций Ж.Г. Дарбу, посещение семинара по дифференциальной геометрии Л. Раффи (1855-1910). Молодой ученый из России, очевидно, обратил на себя внимание известных французских геометров. Во время стажировки, в ноябре 1902 г., он был принят в состав Математического общества Франции, президентом которого тогда являлся Л. Раффи. Видимо, уже тогда Д.Ф. Егоров получил заслуженное признание и у маститого ученого Ж.Г. Дарбу, включившего через несколько лет результаты докторского исследования русского геометра в свой знаменитый трактат об ортогональных системах «Leçons sur les systèmes orthogonaux et les coordonnées curvilignes» (Paris, 1910).

В личном фонде ученого были обнаружены несколько записных книжек, содержание которых, к сожалению, оказалось очень скудным - это выписки из математических статей и работ (Д.6) и очень краткие отметки о расписании занятий Д.Ф. Егорова (Д.35, Д.36, Д.37, Д.39). Записные книжки заполнены не полностью, в них много чистых страниц, поэтому существенно новой и значимой информации из них почерпнуть не удалось.

Помимо конспектов научных занятий и записных книжек, в этом же фонде содержатся дела со следующими наименованиями:

- Теория интегральных уравнений с симметричным ядром. Курс лекций. Без даты (Д. 1);

- Теория чисел. Курс лекций, прочитанных на механико-математическом факультете Московского университета в весеннем семестре 1919 г. Запись одного из студентов. 1919 г. (Д.2);

- [Теория чисел]. Курс лекций. Гл. I-V. Без даты. (Д.З);

- [Дифференциальная геометрия]. Без даты. (Д.4);

- [Дифференциальная геометрия]. Без даты. (Д.5);

- Выписки из математических статей и работ. На немецком языке [не ранее 1903] (Д.7.);

- Записная книжка с черновыми материалами к работам. Без даты. (Д.8);

- Математическое общество при Московском университете. Список состава Математического общества. Оттиск из «Математического сборника». Т. XXXV. [1928?] (Д.32);

Счета Математическому обществу. Апрель 1912 г. (Д.ЗЗ);

- Веребрюсов Александр Степанович. Письма Д.Ф. Егорову. 19 января - 28 июля 1912 г. (Д.34);

- Тетрадь с записями по подготовке к занятиям, списками студентов и др. Без даты. (Д.38);

- Андреев К.А. Автобиография Андреева (Д.40);

- Материалы о К.А.Андрееве: копия отзыва Д.Ф.Егорова о научной деятельности Андреева; список научных трудов К.А.Андреева. [После 1921?]. (Д.41);

- Вржневский О. Доказательство «аксиомы» параллельных прямых (5-й постулат Евклида). Статья. Отдельное издание [1913] (Д.42);

- Тетрадь для записывания уроков и сведений об успехах и поведении ученика IV класса Московской второй гимназии Егорова Д.Ф. 1882-1883 (Д. 43);

- Дневник для записывания уроков ученика VI класса Московской шестой гимназии Егорова Дмитрия. 1884-1885 (Д. 44);

- Общество любителей естествознания, антропологии и этнографии. Свидетельство, выданное Д.Ф. Егорову в том, что он «признан непременным членом» Общества. 13 октября 1911 г. (Д.45).

Однако это не единственный личный фонд Дмитрия Федоровича. Личный фонд ученого (Ф. 209) хранится также и в Архиве Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова (Архиве МГУ). В описи фонда 30 наименований дел. Преимущественно это фотографии (Д. 16, Д.17, Д.18, Д.19, Д.20, Д.21, Д.22, Д.23, Д.24, Д.25) и дипломы Д.Ф. Егорова (Д. 1, Д. 2, Д.З, Д.5, Д. 13). Благодаря документам, хранящимся в Архиве МГУ, удалось установить одно из хобби ученого - в течение ряда лет он коллекционировал открытки, собранные им в двух альбомах (Д. 29, Д.30).

Несомненный исследовательский интерес представляет хранящийся в этом архиве поздравительный адрес в связи с 25-летием научной деятельности Д.Ф. Егорова (Д.7). Под этим адресом стоят подписи около 200 слушательниц Московских Высших женских курсов (среди подписавших этот адрес, между прочим, есть имя В.М. Соколовой - будущей супруги философа А.Ф. Лосева). В адресе дается характеристика Д.Ф. Егорова как педагога, поэтому уместно привести его содержание полностью:

«Глубокоуважаемый Дмитрий Федорович!

В текущем году исполнилось двадцать пять лет Вашей научной деятельности, и мы - слушательницы Высших Женских Курсов, просим Вас принять наши горячие поздравления и лучшие пожелания.

Мы не можем входить в оценку Вашей выдающейся обширной чисто научной деятельности, мы можем лишь высказать Вам нашу искреннюю благодарность как учителю за Ваши глубокие и ценные по своему содержа-

нию и законченные по обработке и изложению лекции. Прослушивая их, каждая из нас проходит образцовую, строгую школу математического мышления, и за такое обучение мы особенно благодарим Вас.

Не ограничиваясь аудиторным преподаванием, Вы оказываете на нас Ваше непосредственное, благотворное влияние, как ученого и учителя, в тесном и небольшом кругу слушательниц при семинарских занятиях. Позвольте же, глубокоуважаемый Дмитрий Федорович, еще раз искренне и горячо поблагодарить Вас за Ваше неустанное к нам внимание и пожелать, чтобы Ваша высокополезная, научная и преподавательская деятельность продолжалась еще долгие годы, и, чтобы новые поколения слушательниц сохраняли бы о Вас те же теплые воспоминания, какие остаются у нас, и покидали бы курсы с искренней признательностью Вам, как талантливому руководителю и профессору».

Остальные дела включают документы разного характера:

- сообщение ректора Московского университета о назначении экстраординарным профессором Московского университета по кафедре чистой математики. 26 августа 1903 г. (Д. 4.);

- билет на право езды на велосипеде по улицам г. Москвы. Книжка. Выдан Московской городской управой. 5 июня 1912 г. (Д.6);

- квитанция №03456 профессионального союза преподавателей Высших учебных заведений г. Москвы и ее окрестностей. 22 сентября 1919 г. (Д.8.);

- договоры с Госиздательством на издание своих работ и переводов. 1924 -1925 гг. (Д.9);

- заявление Егорова и удостоверения, выданные Московским университетом в КУБУ и домоуправление. 1922 г.(Д.Ю);

- письмо ректора Парижского университета с приглашением Д.Ф. Егорова прочесть курс лекций на математическом факультете Парижского университета. 25 апреля 1923 г. На французском языке (Д. 11);

- сберегательная и расчетная книжка № 544351. Прим.: внесена дата 1907 г. первого взноса. 5 ноября 1923 г. (Д. 12);

- членский билет №37741 Хамовнического районного рабочего общества потребителей. Книжка. 20 сентября 1929 г. (Д. 14);

- визитные карточки на русском и французских языках (Д. 15);

- общество математиков и природоведов (союз немецкой высшей школы). Список почетных и старейших членов объединенного общества. На немецком языке (Д.26);

- оттиски и брошюры со статьями Д.Ф. Егорова: «Об изгибании на главном основании при одном семействе плоских или конических линий», «Добавление к исследованию "Об одном классе ортогональных систем", «Константин Алексеевич Андреев» (некролог) (Д.27);

- пригласительный билет на заседание Московского математического общества при МГУ, посвященное памяти Д.Ф. Егорова. Февраль 1972. (Д.28).

Следующим по представительности материалов, касающихся жизни и деятельности московского профессора, следует назвать Центральный

исторический архив г. Москвы (ЦИАМ). Наибольший интерес представляют документы, сосредоточенные в следующих фондах этого архива: Ф. 215 (например, Оп. 2. Д. 483. Личное дело учащейся Егоровой Наталии - сестры ученого); Ф. 230 (Д. 5. Общий список учеников V класса 1875/6 уч. г.; Д. 107. Отчет о состоянии гимназии за 1896 г.; Д. 521. Протоколы заседаний Педагогического совета Московской 6-й гимназии); Ф. 418 (Оп. 62. Д. 525. 4.1. О назначении приват-доцента Д.Ф.Егорова; Оп. 95. Д. 855. Егоров Дмитрий Федорович - помощник ректора Московского университета; Оп. 301. Д. 241. Студенческое дело Дмитрия Егорова. 1887 г.; Оп. 487. Д. 123. Формулярный список о службе ординарного профессора ИМУ, статского советника Дмитрия Егорова. 1903; Оп. 501. Д. 5. Дело о деятельности Педагогического общества при Московском университете); Ф. 459 (Оп. 17. Д. 107. Формулярный список о службе директора Московского учительского института, действительного статского советника Федора Ивановича Егорова - отца Д.Ф. Егорова).

Среди материалов, хранящихся в Архиве Российской Академии наук (Архиве РАН), обнаружено эпистолярное наследие Дмитрия Федоровича. Самая большая коллекция писем адресована Н.Н. Лузину (Ф.606. Оп.2. Д. 157). Здесь также хранятся письма Д.Ф. Егорова В.И. Вернадскому (Ф.518. Оп.З. Д.565), И.А. Каблукову (Ф.474) и коротенькая записка, адресованная СП. Финикову (Ф.497. Оп.1. Д.53). Крайние даты этих писем и записок -1905-1914 гг.

Некоторые уточняющие детали к биографии Д.Ф. Егорова можно почерпнуть в Российском государственном архиве социально-политической истории (РГАСПИ) (например, Ф. 71. Оп.15. Д. 402. Тетрадь I В.А. Костицына) и Российском государственном архиве древних актов (РГАДА) (например, в Сборном личном фонде - Ф.1468 - хранятся материалы о Д.Ф. Егорове, датированные 1911 г.).

Справедливости ради надо сказать, что небольшая часть из перечисленных документов уже изучена исследователями (например, см. публикации: [6, 7, 8, 9, 10, 11]), но осмыслить их в целом - задача будущего. Остается надеяться, что эта задача окажется по силам современным историкам науки.

Библиографический список

1. Архив МГУ. Ф.209.

2. Архив РАН. Ф.474, Ф.497, Ф.518, Ф.606.

3. ОРКиР НБ МГУ им. М.В. Ломоносова. Ф.10.

3. РГАДА. Ф.1468.

4. РГАСПИ. Ф.71.

5. ЦИАМ. Ф.215, Ф.230, Ф.418, Ф.459.

6. Волков В.А. Д.Ф. Егоров: новые архивные документы (из истории Московской математической школы) // Историко-математические исследования. 2005. Вып. 10(45). 2-я серия. С. 14-19.

7. Демидов С.С. Профессор Московского университета Дмитрий Федорович Егоров и имеславие в России в первой трети XX столетия // Историко-математические исследования. 2-я серия. 1999. Вып. 4(39). С. 123-156.

8. Колягин Ю.М., Саввина О.А. Педагоги-математики Егоровы - отец и сын // Математика в школе. 2010. №1. С.67-72.

9. Письма Д.Ф. Егорова к Н.Н. Лузину // Историко-математические исследования. 1980. Вып. 25. С. 338.

10. Саввина О.А. Неизвестные факты из биографии Д.Ф. Егорова // Философия математики: актуальные проблемы: Тезисы Второй международной научной конфренции; 28-30 мая 2009 г. М.: МАКС Пресс, 2009. С. 173-176.

11. Форд Ч. Дмитрий Федорович Егоров: материалы из Архива Московского университета // Историко-математические исследования. 1996. 2-я серия. Вып 1(36). №2. С.145-165.

12. Щелкачев В.Н. Дорога к истине. М.: ЗАО «Издательство "Нефтяное хозяйство"», 2007.

ТЕМА «УРАВНЕНИЯ» В «КУРСЕ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ АЛГЕБРЫ» Н.А. ИЗВОЛЬСКОГО

И.С. Солосина

В статье приведены библиографические сведения из жизни НА. Извольского; рассмотрены уравнения из «Курса элементарной алгебры».

Ключевые слова: Н.А. Извольский, учебник алгебры, уравнения.

Николай Александрович Извольский родился в г. Епифани Тульской губернии в 1870 г. В 1881 г. поступил в Тульскую гимназию. Его преподавателем математики и физики был Евгений Станиславович Томашевич.

Уже с 6-го класса мальчик был увлечен решением сложных задач, которые посылал в выходивший в то время журнал «Вестник опытной физики и элементарной математики». Имя Николая Извольского появляется неоднократно во многих номерах этого журнала с 1886 по 1888 г. Николай Извольский дает изящные решения около 50 предложенных трудных задач.

Более того, будучи учеником, он выиграл две конкурсные темы: «Обратные фигуры» и «Параллелограммы, описанные около окружности», предложенные в журнале «Вестник опытной физики и элементарной математики».

Обе статьи были напечатаны, и автор получил премию - математическую библиотеку [1, с. 115].

К сожалению, биографические сведения о Н.А. Извольском очень скудны, а иногда и противоречивы. Например, И.К. Андронов [1] утверждает, что Н.А. Извольский окончил гимназию в 1883 г., а Л.А.Сидоров - в 1889 г. На наш взгляд, сведения Л.А. Сидорова более достоверные, т.к. Извольский окончил университет в 1893 г. А курс обучения в университете то-

гда составлял 4 года. Учитывая, что он поступил в университет сразу после окончания гимназии, остаётся признать верными сведения Л.А. Сидорова.

В 1889 г. Николай Александрович оканчивает гимназию и поступает на физико-математический факультет Московского университета. Его увлечение геометрией поддержали ученые-геометры В. Я. Цингер, Б.К. Млодзеевский и А.К. Власов.

В 1893 г. Извольскому присваивается звание кандидата наук за исследование «Изображение поверхности на плоскости».

В 1894 г. Н.А. Извольский назначен преподавателем математики во Второй Московский кадетский корпус. Он проходит путь от преподавателя из «платы по найму» до штатного преподавателя [1, с. 115].

В 1903-1904 гг. появляется в свет его первая работа - «Учебник арифметики» (части I и II), который выдержал четыре издания, совершенствовавшихся самим автором. В 1906 году в «Педагогическом сборнике» публикуется статья Николая Александровича «О сознательном выполнении арифметических действий». В 1907 и 1908 гг. печатаются «Сборники алгебраических задач», части I и П. Часть I была переиздана в 1912 г.

В 1914 г. Извольский пробует себя в новом качестве - начинает издавать и редактировать новый журнал «Математический вестник», посвященный вопросам преподавания арифметики и начал алгебры и геометрии [1, с. 118]. Этот журнал существовал недолго - до 1917 года, за это время вышло 24 номера, в которых большая часть статей написана самим редактором. Среди них были статьи методического характера по разным разделам математики, в том числе и по алгебре, например, «Арифметическая прогрессия с методической точки зрения» (1915 г.), «О степенях целых чисел» (1915 г.), «О задачах на пропорциональное деление», «Заметки по методике алгебры», «Переоценка значения графики для курса алгебры» и т.д.

В 1924 г. выходит «Курс элементарной алгебры», части I и II.

В предисловии данного учебника автор говорит, что алгебра отличается от арифметики введением «относительных чисел», подразумевая под ними отрицательные числа: «Относительные числа, если проанализировать вопрос об их генезисе, вошли в математику или 1) как необходимое обобщение понятия о числе, имеющее целью придавать определённый смысл выражению а - Ъ, каковы бы ни были а и b («чтобы вычитание оказалось всегда возможным») или 2) как обобщение понятия о числе, вызванное стремлением вылить в математические символы ряд фактов действительности, для каковой цели арифметические числа оказывались бы не совсем пригодными. Первая точка зрения, если развивать её последовательно, должна привести к теории пар чисел (в обычной или, быть может, несколько замаскированной форме). Отвлеченность этой теории должна явиться источником больших затруднений для педагога. Поэтому в элементарном курсе алгебры от неё следует отказаться. Вторая точка зрения позволяет придать каждому действию над относительными числами определённый конкретный смысл и, следовательно, более приемлема для педагога» [19, с. 1].

Любопытным представляется взгляд автора на методику изложения «теории рациональных преобразований и уравнений первой степени». По его мнению, вначале обязательно нужно привести примеры, а затем уже вводить правило: «... да и самый вывод правила должен быть не формальнологическом, как это имеет место в большинстве курсов алгебры (например, вывод правил умножения и деления дробей), а должен являться результатом тех постепенных обобщений, какие могли бы иметь место в сознании человечества при переходе от действий над арифметическими числами к действиям над алгебраическими выражениями; этим самым учащиеся приучаются смотреть на эти алгебраические выражения лишь как на новые формы тех же относительных чисел, действия над которыми уже усвоены учащимися» [19, с. 2].

Автор также говорит о том, что мало просто научить решать уравнения, «...надо, чтобы учащиеся привыкли к тому, что можно извлечь из уравнений помимо нахождения их корней; так уравнение первой степени с двумя неизвестными устанавливает определённую зависимость между двумя переменными, и это обстоятельство даёт хорошее средство подготовить учащихся к усвоению общего понятия о функции; неопределённые системы уравнений, не давая возможности найти корни уравнений, дают иной раз возможность установить какое-либо свойство входящих в него переменных» [19, с. 3].

Из предисловия также узнаём, что в то время было модным вводить уравнения в алгебру в начале курса, и даже в курс арифметики, на что автор категорически возражал: «... стремление заменить арифметические методы решения задач методом уравнений не целесообразно, ибо при этом в результате должна появиться односторонность в математическом развитии учащихся, тем более, что иногда арифметические методы куда изящнее и предпочтительнее метода уравнений» [19, с. 3].

Н.А. Извольский не придаёт значимости «введения в начала курса алгебры графиков: «... графики для математики дают (в начале курса) слишком мало, но поглощают много времени» [19, с. 4].

Остановимся подробнее на первой части. Сюда входят следующие темы:

1. Обзор арифметических действий.

2. Относительные числа.

3. Одночлены и многочлены; их преобразования.

4. Разложение многочленов на множители.

5. Алгебраические дроби.

6. Уравнения первой степени с одним неизвестным.

7. Уравнения первой степени с несколькими неизвестными.

8. Применение уравнений к различным вопросам.

Рассмотрим главу «Уравнения первой степени с одним неизвестным». Изложение первой темы об уравнениях начинается с рассмотрения

примеров. В конце первого примера появляются термины «переменная», «независимая переменная» [19, с. 101], «зависимая переменная» (здесь автор говорит, что «часто называют ещё зависимое переменное именем функция» и добавляют какого переменного [19, с. 102]). Так, рассматривая 1-й пример, автор пишет: «...двучлен 5х- 7 является функциею х», что является своеобразной пропедевтикой функциональной линии [19, с. 102]. К понятию «уравнение» автор приходит, поставив вопрос: «Какое число надо взять для X, чтобы двучлен оказался равен числу 55? Удобно записать этот вопрос в такой форме: 5х-7 = 55. Последняя запись носит название «уравнение». Наше уравнение 5х-7 = 55 выражает, следовательно, запись задачи: найти число для X, чтобы наш двучлен оказался равен 55» [19, с. 102]. В результате нахождения искомого числа х выводится ещё один термин «решение уравнения». Далее Н.А. Извольский ставит вопрос: «...нельзя ли записывать подобным же образом более сложные вопросы?» [19, с. 103] и приводит пример: «Возьмём два двучлена с одним и тем же независимым переменным, например, 4х + 3 и 7х -1. Если мы станем х давать различные значения, то, в зависимости от них, будем получать соответствующие значения для двучленов... Возникает вопрос: нельзя ли отыскать такое значение для х, чтобы оба наши двучлена оказались равными одному и тому же числу. Эту задачу возможно записать в форме уравнения: 4х + 3 = 7х-1» [19, с. 103]. В итоге преобразования получается х = 1 . Определение для уравнения автор выводит следующим образом: «В рассмотренных примерах мы имели лишь такие уравнения, где требовалось найти числовое значение лишь для одного переменного в каждом уравнении. Поэтому такие уравнения называются уравнениями с одним неизвестным» [19, с. 104]. Автор также указывает на то, что существуют уравнения с 2-мя, 3-мя и более неизвестными.

В пункте «Свойства равенств, на которых основывается решение уравнений», приводятся свойства преобразования равенств, при помощи которых можно решать уравнения: «1. К обеим частям уравнения можно прибавить или из них вычесть по одинаковому числу. 2. Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число, исключая случай, когда это число может оказаться равным нулю», но также делается оговорка насчёт операции деления: «По поводу деления следует, однако, иметь в виду, что в арифметике не имеется деления на нуль - мы не умеем, напр., число 5 разделить на нуль» [19, с. 105-106].

После подробного рассмотрения 2-х примеров даётся заключение: «Можно любой член уравнения перенести из одной части в другую, меняя знак у этого члена» [19, с. 108]. По ходу решения следующего примера автор одновременно приводит второй способ решения такого уравнения.

В пункте «Пропорции» вводится понятие пропорции: «... особенный вид равенства, а именно:

отношение числа а к числу Ъ равно от-

ношению числа с к числу d Иногда ещё читают и так: число а относится к числу Ь, как число с к числу d. Подобные равенства называются пропорциями. Итак, пропорция есть равенство 2-х отношений» [19, с. 112]. Вводится также основное свойство пропорций: «произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов». Приводится ещё 2 свойства пропорций: «...один из крайних членов пропорции равен произведению средних, делённому на другой крайний. ... Средний член пропорции равен произведению крайних, делённому на другой средний» [19, с. 113].

Далее автор приводит следующие пункты: «Более сложные примеры уравнений», «Примеры, где известные числа выражены буквами» (здесь автор приводит только буквенные примеры, решаемые с помощью обычных преобразований), «Задачи на составление уравнений с одним неизвестным», где приводится 5 задач с решениями, но общего алгоритма решения нет. Задачи все разнообразны.

Следующая глава - «Уравнения первой степени с несколькими неизвестными». Начиная пункт «Уравнение с двумя неизвестными» с разбора примера, автор в итоге даёт правило, с помощью которого можно решать данного типа уравнения: «...одно уравнение с двумя неизвестными имеет бесконечно много решений; для их получения надо одному неизвестному давать произвольные значения и из получаемых уравнений определять всякий раз другое неизвестное» [19, с. 127].

В пункте «Общий вид уравнения первой степени с двумя неизвестными» вводится общий вид уравнений такого типа: «Все предыдущие примеры объединяются общею формою уравнения с двумя неизвестными: ах + Ъу = m. Давая а, Ъ и m различные числовые значения, мы будем получать различные уравнения с двумя неизвестными» [19, с. 129]. Также автор указывает на то, что даже более сложные уравнения можно привести к общему виду с помощью преобразований, и приводит примеры.

В пункте «Совместное решение 2-х уравнений с двумя неизвестными. Способ подстановки» Николай Александрович рассказывает о способе решения такого типа уравнений. После разбора примера, как обычно, делается вывод: «...из одного уравнения (выбираем то, которое проще) определяем одно неизвестное через другое и полученное выражение подстанавливаем в другое уравнение на место этого неизвестного» [19, с. 131].

В следующем пункте приводится второй способ решения 2-х уравнений с двумя неизвестными: «сложения и вычитания или уравнивания коэффициентов» [19, с. 132]. При решении этим способом автор приводит 3 различных варианта, разбираемых на примерах. В первом случае складываются коэффициенты при х и у соответственно, в результате чего находят, например, X (при взаимном уничтожении у с одинаковыми по модулю коэффициентами, но противоположными по знаку). А затем, возвращаясь к этим же уравнениям и домножая второе уравнение почленно на -1, опять складыва-

ют уравнения и уже взаимно уничтожаются х (как и с у по аналогии) и, таким образом, из элементарного уравнения находится у.

Второй способ по аналогии с первым, но только используют вычитание. Здесь автор говорит, что могут получиться дробные коэффициенты.

Третий способ приводится для тех, кто желает работать с целыми числами. Т.е., если коэффициенты при у (или при х), например, не равны, то находят НОК для коэффициентов при у (или при х), а далее, как рассматривалось в случае первом или втором. Интересно описание этого способа решения 2-х уравнений с 2-мя неизвестными в общем виде: «Применим этот способ к решению двух уравнений с двумя неизвестными в общем виде:

Сначала умножим, как отмечено, обе части 1-го уравнения на d и обе части 2-го на Ъ. Получим:

Вычтем по частям из 1-го уравнения второе, получим: Вынесем в левой части х за скобки, получим:

Уравняем теперь коэффициенты при х, для чего обе части 1-го уравнения умножим на с и обе части второго на а. Получим:

Вычтем по частям из 2-го уравнения первое, получим:

Мы вычитали здесь из 2-го уравнения первое, а не наоборот, с целью получить тот же знаменатель ad -be, какой получился при определении х-а» [19, с. 135-136]. По сути, здесь шла речь о системе 2-х уравнений с двумя неизвестными, но термин «система» автор пока не употребляет.

В следующем пункте Николай Александрович рассматривает «Способ сравнения неизвестных». Вначале он указывает суть этого способа: «...из каждого уравнения определяем одно из неизвестных через другое -полученные выражения должны быть равны, благодаря чему получаем одно уравнение с одним неизвестным» [19, с. 136].

Приводятся примеры, включая пункт, который так и называется «Различные примеры на решение систем двух уравнений с двумя неизвестными». Заметим, что термин «система» применился впервые в этой части «Курса элементарной алгебры». В пункте «Особые случаи систем двух

уравнений с двумя неизвестными» рассказывается о случаях, когда невозможно решить систему двух уравнений с двумя неизвестными: «Иногда данные два уравнения представляют требования, противоречащие друг другу - тогда эти уравнения совместно решить нельзя. Вот наиболее простой пример:

Ясно, что сумма двух чисел не может одновременно равняться 11 и 13» [19, с. 141].

В пункте «Одно уравнение с тремя неизвестными» после разбора примера даётся вывод, что уравнения такого типа имеют бесконечное множество решений, для получения которых надо 2-м неизвестным присваивать какие-либо произвольные значения и затем находить третье, неизвестное, посредством подстановки первых двух в уравнение. Те переменные, которым даём произвольные значения, называются независимыми, а ту, которую получаем, называем зависимой. При решении 2-х уравнений с 3-мя неизвестными какой-то одной переменной присваиваем произвольные значения, а остальные находим с помощью подстановки этой переменной в уравнения, а далее решаем как систему 2-х уравнений с двумя неизвестными.

В пункте «Упрощение уравнений. Общий вид уравнения 1-й степени с тремя неизвестными» автор приводит общий вид уравнений 1-й степени с одним неизвестным: «...общий вид уравнения первой степени с тремя неизвестными - это есть уравнение:

Давая а, Ъ, с и m различные значения, мы получим всевозможные уравнения с тремя неизвестными.

Если уравнения даны в сложной форме (со скобками, с дробями и т.п.), то следует каждое из них упростить, причем следует стремиться привести их к форме, которая дана выше, к общему виду» [19, с. 154].

Приводятся также пункты «Примеры решения систем с буквенными коэффициентами. Особенные системы», «Особенные случаи систем уравнений с тремя неизвестными» (здесь речь идёт о решении системы несовместных уравнений). В пункте «Уравнения с четырьмя и более неизвестными» Николай Александрович говорит: «...одно уравнение с четырьмя неизвестными имеет бесконечно много решений, причём можно давать произвольные значения трем неизвестным, два уравнения с 4 неизвестными имеют бесконечно много решений, причем произвольные значения можно давать двум неизвестным, три уравнения с 4 неизвестными имеют бесконечно много решений, причём произвольные значения можно давать одному неизвестному, четыре уравнения с четырьмя неизвестными имеют лишь одно решение (конечно, если ни одно из этих уравнений не есть следствие остальных и не противоречит остальным)» [19, с. 162].

В главе 8 «Применение уравнений к различным вопросам» рассматриваются следующие пункты: пункт 69 «Нахождение особенностей чисел, входящих в уравнения». В этом пункте автор, рассматривая несколько примеров, указывает на особенности чисел, «...возьмём уравнение с двумя неизвестными в общем виде ax + by = m ... если известный член m = О, то отношение переменных х и у постоянно и его можно определить: из уравнения

получим

[19, с. 164]. По аналогии для двух уравнений с тремя неизвестными. В этом же пункте автор предлагает ученикам ряд вопросов для самостоятельного изучения:

« 1. Какою особенностью должно обладать уравнение ax + by = m, чтобы сумма переменных х и у оставалась постоянна и эту сумму можно было бы вычислить?

2. Какою особенностью должно обладать уравнение ax + by = rn, чтобы разность переменных х и у оставалась постоянною и её можно было бы вычислить?

3. Какими особенностями должны обладать уравнения ax + by = m и су + dz = п, чтобы сумма переменных х, у и z оставалась постоянною и её можно было бы вычислить? Составить несколько примеров, подходящих к этому случаю (один из них 1х + Зу = 11 и 4у + 7z = 1 ).

4. Из уравнений

(а и Ъ - известные числа).

Определить разность чисел х и z. Во сколько раз разность чисел х и z меньше разности чисел а и 6?» [19, с. 166].

Далее приводятся более сложные примеры.

Следующий пункт этой главы - «Свойства пропорций». Здесь приводятся дополнительные сведения о пропорциях, т.е. «...в пропорции можно переставлять её средние члены... в пропорции можно переставить её крайние члены... в пропорции можно переставить и крайние и средние члены...a:b = c:d, a:c = b:d, d:b = c:a, d:c = b:a, c:d = a:b, с :a = d :b, b : d = а : с, b :a = d :c » [19, c. 171].

В пункте «Сложные пропорции» показывается, как из двух пропорций можно получить новую, которая и называется «сложной пропорцией»: «...каждый член этой сложной пропорции является произведением соответствующих членов данных. ...можно делить данные две пропорции почленно» [19, с. 172]. В пункте «Производные пропорции» автор говорит, что если к обеим частям пропорции прибавить одно и то же число, то получим новую «производную пропорцию». Николай Александрович приводит 2 случая: 1) когда к = 1 и 2) когда к = -1.

Эти пропорции, сравнивая их с данною, можно прочесть словами: отношение суммы членов первого отношения данной пропорции :

своему последующему члену равно отношению суммы членов второго отношения к своему последующему,

отношение разности членов первого отношения данной пропорции

своему последующему члену равно отношению разности членов второго отношения к своему последующему.

Разделим по частям два равенства:

Получим:

Также точно из равенств

получим:

Полученные две новых пропорции, сравнивая их с данной, можно прочесть словами:

отношение суммы членов первого отношения данной пропорции к своему предыдущему члену равно отношению суммы членов второго отношения к своему предыдущему, отношение разности членов первого отношения данной пропорции к своему предыдущему члену равно отношению разности членов второго отношения к своему предыдущему» [19, с. 173-174].

Затем в пункте «Свойство ряда равных отношений» автор говорит: «...если имеем ряд равных отношений, то отношение суммы предыдущих к сумме последующих равно каждому из данных отношений» [19, с. 176].

В следующем пункте приводятся разнообразные задачи на составление уравнений.

В заключение кратко охарактеризуем вторую часть учебника. Сюда входят следующие темы:

1. Изучение действия извлечения корней.

2. Иррациональные числа.

3. Квадратные уравнения.

4. Преобразование иррациональных выражений.

5. Изучение корней квадратного уравнения.

6. Уравнения высших степеней, приводимые к квадратным. Уравнения второй степени с двумя неизвестными.

7. Прогрессии.

8. Обобщение понятия о степени.

9. Логарифмы.

10. Вычисления финансового характера.

Автор обращает внимание на то, что при изучении второй части курса элементарной алгебры следует учесть 3 замечания: в 1-ом замечании говорится, что «в статьях об извлечении квадратного корня и о преобразованиях иррациональных выражений» он старается не применять «формально-

механических правил»; во 2-ом делает акцент на том, что в его курсе алгебре присутствует «принцип концентричности»: «квадратные уравнения введены в курс дважды ...в первый раз - после извлечения квадратного корня из чисел... Во второй раз квадратные уравнения появляются после статьи о преобразованиях иррациональных выражений...»; в 3-ем замечании акцент делает на наглядность при изучении арифметических прогрессий [19, с. 5].

Помимо учебников алгебры («Алгебраические числа и действия над ними (числа со знаками). Для начинающих изучать алгебру» [2], «Курс элементарной алгебры» [19]), перу Н.А. Извольского принадлежат учебные руководства по геометрии, арифметике, выдержавшие несколько переизданий (см. [3, 4, 5]; [6, 7, 8, 9], [10, 11, 12, 13]). Немало работ он посвятил методике преподавания различных разделов математики: «Два предложения элементарной геометрии» [14], «Задачи из курса планиметрии, изданные курсисткой А. Ворошиловой с разрешения Н.А. Извольского» [15], «К вопросу об определении длины окружности» [16], «К учению об отношениях прямолинейных отрезков и об их пропорциональности» [17], «Комбинационная работа. Сборник упражнений по арифметике» [18], «Методика геометрии» [20], «Начальный курс геометрии» [21], «Некоторые изыскания о парах кругов» [22], «Основный курс проективной геометрии» [23], «По поводу нового проекта программ математики в средней школ» [24], «Проект новой постановки курса математики в средней школе» [25], «Сборник алгебраических задач» (2 издания) [26, 27], «Синтетическая геометрия» [28], «Указания к таблицам Н.А. Извольского для наглядного обучения сложению и вычитанию дробей с разными знаменателями» [29], «Упражнения по начальному курсу геометрии» [30].

Более того, интересы Н.А. Извольского были весьма разнообразны и не ограничивались только математикой. И.К. Андронов так писал об Извольском: «Николай Александрович увлекался поэзией, музыкой, но большую часть своего времени с удовольствием отдавал математике, находя в ней незвучащую музыку и высшую поэзию. Свои работы он писал с большой любовью, "что творится с любовью, не пропадет, а дает жизненные ростки"... Его труды еще долго будут изучать. Его работы вдохновляют молодых и старых учителей и методистов математики» [1, с. 121].

Библиографический список

1. Андронов И.К. Полвека развития школьного математического образования в СССР. М: Просвещение, 1967.

2. Извольский Н.А. Алгебраические числа и действия над ними (числа со знаками). Для начинающих изучать алгебру. М.: Кн. маг. В.В. Думнов под фирмою «Насл. бр. Салаевых», 1909.

3. Извольский Н.А. Арифметика изд. 3-е. Ч. 1-2. М, «Школа», 1914. 2 т. Ч.1. Курс 1-го класса. 91 стр., с черт. Ч.2. Курс 2 и 3 классов.

4. Извольский Н.А. Арифметика изд. 2-е. Ч. 1-2. М, «Сотрудник школ» А.К. Залеской, 1911. 2 т. Ч. 1 . Курс 1-го класса. 90 с. Ч.2. Курс 2 и 3 классов.

5. Извольский Н.А. Арифметика. Ч.1-2. M.: Тип. Г. Лисснера и А.Гешеля, 1903-1904. 2. т. (Ч.1. Курс 1-го класса. 1903. Ч.2 Курс 2 и 3 классов. 1904).

6. Извольский Н.А. Геометрия в пространстве. (Стереометрия). Изд. 4-е. Л., Гос. Изд., 1924. [4], 140с. (Учебники и учеб. пособия для труд, школы).

7. Извольский Н.А. Геометрия в пространстве. (Стереометрия). 3-е изд., испр. М-Пг.: Гос. Изд., 1923. [4], 140с.

8. Извольский Н.А. Геометрия в пространстве. (Стереометрия). Изд. 2-е. М: Т-во «В.В. Думнов, насл. бр. Салаевых», 1913. VIII, 142с.

9. Извольский Н.А. Геометрия в пространстве. (Стереометрия). М: Кн. маг. В.В. Думнов под фирмою «Насл. бр. Салаевых» в Москве, 1910. IV, 126 [1] с.

10. Извольский Н.А. Геометрия на плоскости. (Планиметрия). Изд. 4-е. Л.: Гос. изд., 1924. VI, 296с.

11. Извольский Н.А. Геометрия на плоскости. (Планиметрия). Изд. 3-е. Перераб. М-Пг.: Гос. изд., 1923. VI, 296с.

12. Извольский Н.А. Геометрия на плоскости. (Планиметрия). Изд. 2-е. Испр. и доп. М: «Сотрудник школ» А.К. Залеской, 1915. VI, 294с.

13. Извольский Н.А. Геометрия на плоскости. (Планиметрия). М.: «Сотрудник школ» А.К. Залеской, 1911. VI, [2] 266с.

14. Извольский Н.А. Два предложения элементарной геометрии. [Одесса: Тип. Акц. южн.-рус. о-ва печ. дела]. 1910. 30с.

15. Извольский Н.А. Задачи из курса планиметрии, изданные курсисткой А. Ворошиловой с разрешения Н.А. Извольского. М: Типо-лит. И.И. Любимова, 1909. 46с.

16. Извольский Н.А. К вопросу об определении длины окружности. Доклад, прочит, на 2-м Всерос. съезде препод, математики, и добавление к нему. М: Тип. Г. Лисснера и Д. Собко, 1914.33с.

17. Извольский Н.А. К учению об отношениях прямолинейных отрезков и об их пропорциональности. М: Печатня А.И. Снегиревой, 1913. 16с.

18. Извольский Н.А. Комбинационная работа. Сборник упражнений по арифметике. М, 1916. 42с.

19. Извольский Н.А. Курс элементарной алгебры. Ч. 1-2. Пб.: Брокгауз-Ефрон, 1924.2 т.

20. Извольский Н.А. Методика геометрии. Пб.: Брокгауз-Ефрон, 1924. 162с.

21. Извольский Н.А. Начальный курс геометрии. М.: «Школа», 1914. 105 с.

22. Извольский Н.А. Некоторые изыскания о парах кругов. Ярославль: Типо-лит. ЯГСНХ в Рыбинске. 1927. 13с.

23. Извольский Н.А. Основный курс проективной геометрии. М.-Л.: Гос техн.-теоретич. Изд., 5 тип. Треста «Полигаф-книга» в Мск, 1933. 166 с.

24. Извольский Н.А. По поводу нового проекта программ математики в средней школ. (Доклад, прочит, на заседании Комисс. Моск. мат. кружка, сост. для рассмотрения проекта программ). М.: Тип. Г. Лисснера и Д. Собко, 1916. 8с.

25. Извольский Н.А. Проект новой постановки курса математики в средней школе //Математический вестник, 1917. 26 [2]с.

26. Извольский Н.А. Сборник алгебраических задач. 2-е изд., вновь перераб. Ч.1. М.: В.В. Думнов, насл. бр. Салаевых, 1912. 66с.

27. Извольский Н.А. Сборник алгебраических задач. Ч.-1-2. М.: В.В. Думнов под фирмою «Насл. бр. Салаевых», 1907-1908. 2 т.

28. Извольский Н.А. Синтетическая геометрия. М.: Учпедгиз. 1941. 132с.

29. Извольский Н.А. Указания к таблицам Н.А. Извольского для наглядного обучения сложению и вычитанию дробей с разными знаменателями. М. 1912.

30. Извольский Н.А. Упражнения по начальному курсу геометрии. М., «Школа», 1914.36с.

31. Колягин Ю.М., Саввина О.А., Тарасова О.В. Русская школа и математическое образование: наша гордость и наша боль. Ч. II. Первая половина XX века. Орёл: ООО Полиграфическая фирма «Картуш», 2007.

32. Сидоров Л.А. Знаменательные даты // Ярославский педагогический вестник. 1995. №2. С.70-71.

33. Шемянов Н.Н. Николай Александрович Извольский // Математика в школе. 1938. № 5-6. С.2 [некролог].

АЛЕКСЕЙ НИКОЛАЕВИЧ ОСТРОГОРСКИЙ - АВТОР ПЕРВОГО МЕТОДИЧЕСКОГО ПОСОБИЯ ПО ГЕОМЕТРИИ В РОССИИ

О.В. Тарасова

В статье идёт речь о видном педагоге-математике А.Н. Острогорском, внёсшем значительный вклад в становление и развитие российской методики преподавания геометрии, проводится анализ пособия «Материалы по методике геометрии», опубликованного в 1883 году.

Ключевые слова: история отечественного математического образования, методика преподавания математики, школьный курс геометрии.

Для своего времени труд А.Н. Острогорского -большое событие, не имеющее прецедентов в мировой литературе.

А.В. Ланков

В 2010 году исполняется 170 лет со дня рождения видного педагог-математика, генерала, детского писателя, журналиста Алексея Николаевича Острогорского.

Вначале немного из биографии: Острогорский Алексей Николаевич родился в 1840 году. Преподавал в учебных заведениях военного ведомства, в учительской семинарии в Москве. В педагогических журналах («Учитель», «Чтение для юношества», «Образование») публиковал статьи, посвящённые различным сторонам школьного дела. В 1869-1877 гг. работал редактором журнала «Детское чтение», для которого писал научно-популярные статьи и художественные произведения, главным образом, о природе, мире животных. В 1883-1910 гг. - редактор журнала «Педагогический сборник», где были напечатаны его программные работы: «По вопросу о нравственности» (1887), «Справедливость в школьной жизни» (1888) и др. Особое место заняли его публикации по методике преподавания арифметики и геометрии. Он составил и издал «Педагогическую хрестоматию» (1907) с целью познакомить общественность с идеями крупнейших отечественных педагогов. А.Н. Острогорский опубликовал подготовленные К.Д. Ушинским материалы для 3-го тома «Педагогической

Алексей Николаевич Острогорский

антропологии» («Собрание неизданных сочинений» К.Д. Ушинского, 1908), снабдив их биографией автора. Активно занимался исследованием педагогической деятельности Н.И. Пирогова. Определяя педагогические задачи школы, Острогорский подчёркивал преимущества массового образования в подготовке человека к активной и полноценной жизни в обществе. Педагог различал понятия воспитания, формирующего убеждения и характер человека, и образования, призванного дать знания и кругозор. Умер в 1917 году.

Движение за реформу математического образования, возникшее в конце XIX века, без сомнения, было вызвано не только потребностями общества, но весьма значительную роль здесь сыграло и собственно развитие методико-математической мысли, которая к концу второй половины XIX века достигает пика своего развития. Значительным событием этого периода становится выделение методики преподавания геометрии в качестве самостоятельной зоны изучения.

В 1883 году систематический курс геометрии получает достаточно развитую методику геометрии. А.Н. Острогорским было написано первое методическое пособие на русском языке по геометрии «Материалы по методике геометрии» [2, с. 74-96].

Алексей Николаевич в тот период являлся редактором влиятельного учительского журнала «Педагогический сборник». В приложении к этому журналу была напечатана его работа [3]. Отдельной книгой «Материалы по методике геометрии» вышли в 1884 году (второе издание).

Эта книга была прекрасным пособием и для начинающих, и для уже опытных учителей, которая содержала материал, начиная с образования геометрических понятий, их определений и происхождения, понятия аксиом, теорем и заканчивался материал приемами доказательства теорем, разучиванием учащимися уроков по геометрии вне класса.

В книгу вошли следующие темы:

Общие замечания о геометрических определениях.

Определения прямой, угла, фигуры и т.д.

Аксиомы.

Происхождение и дидактическое значение их. Арифметические аксиомы. Геометрические аксиомы. Теорема, состав ее. Взаимная зависимость теорем. Значение обратных теорем. Образование обратных теорем. Доказательство теоремы.

Убеждение учеников в необходимости доказывать теоремы.

Доказательства с логической стороны.

Чертеж.

Вспомогательные линии.

Прямые и косвенные доказательства. Способ наложения. Способ пропорциональности. Способ пределов.

Алгебраические выкладки при доказательстве теоремы. Запись доказательства. Аналитический и синтетический методы. Проработка теоремы в классе.

Автор методики, имея колоссальный педагогический опыт в подготовке учителей математики, адресовал её преимущественно начинающим молодым учителям, но, бесспорно, она была полезна и опытным учителям.

А.Н. Острогорский важное значение уделяет вопросам дидактики и частным методикам, приоритетно геометрии. Он знакомит учителя с основными этапами процесса исторического развития основных понятий геометрии, сосредоточивает внимание учителей на различии требований, предъявляемых к пропедевтическому и основному курсу геометрии.

Педагог значительное внимание читателя обращает на проведение доказательств теорем, предлагая два способа доказательств: синтетический и аналитический. По его мнению, когда учащимся сообщается доказательство теоремы в синтетической форме, то это ведет к лучшему усвоению готовой мысли, но не позволяет предвидеть план доказательства. При этом ученик не проявляет необходимой инициативы и активности. Используя аналитический метод, который, по его мнению, «даёт направление уму», учащиеся лучше усваивают доказательство теорем, они учатся самостоятельно искать ход доказательства, устанавливать математические зависимости, сознательно решать поставленные задачи. Острогорский отмечает, что этот метод рекомендуется использовать лишь в том случае, если учащиеся обладают достаточным запасом знаний. Обрести запас знаний, необходимый для образования понятий, возможно, если «наблюдать факты или предметы и сличать их между собою. Это сличение дает возможность видеть их признаки как сходные, так и те, которыми они разнятся. Результатом такой умственной работы и является образование понятий» [2, с. 76-77]. Подготовкой к построенному таким образом обучению, работе над отвлеченным материалом «должна служить пропедевтика, т.е. она должна привести ученика к тому, чтобы он, исходя от наблюдения тел, граней, ребер, пришел к отвлеченному представлению поверхностей, линий, точек и т.д.» [2, с. 77]. Таким образом, Острогорский считает необходимым предварять изучение систематического курса геометрии пропедевтическим подготовительным курсом. Причем при изучении элементарного курса геометрии, особенно на его ранней стадии, объяснение терминов не может иметь места. Например, «почему треугольник и другие фигуры получили свое название по числу углов, а не по числу сторон, между тем как площадь ограничивается прямыми линиями, а не углами». Или «слово "перпендикуляр" происходит от слова "висеть" то, основываясь на прямом смысле слова, этим термином следовало бы обозна-

чать вертикальную линию, которая представляет только частный случай линий перпендикулярных» [2, с. 78-79].

По мнению А.Н. Острогорского, если «ученики, только что начинающие заниматься, положим, геометрией, особенно подготовленные пропедевтическим курсом, легко схватывают на глаз соотношения геометрических протяжений в простейших случаях и затем не сомневаются в верности своего наблюдения, не ищут доказательства справедливости своего вывода» [2, с. 83]. В связи с этим, Острогорский предупреждает, что учителю надо, особенно в начале изучения курса, убеждать учеников в необходимости проведения доказательств, доказывать факты, которые, на первый взгляд, кажутся очевидными. «Научить доказывать - формальная цель геометрии, у начинающих учиться нет не только умения доказывать строго логично, нет большей частью и потребности в таком доказательстве, они не подозревают, в чем оно может состоять, потому что не чувствуют недостатков своего способа мышления» [2, с. 84]. Проводя такого рода работу, А.Н. Острогорский на практике решал поставленную им задачу - объяснение на доступном для учащихся материале важнейших положений науки.

Таким образом, автор советовал учителям:

1) обращать особое внимание на материальное происхождение всех понятий и теорем;

2) не спешить с доказательствами теорем, воспитывая при этом у учащихся потребность в доказательстве тех истин, которые они изучают.

Во время жизнедеятельности А.Н. Острогорского вопрос о требованиях к системе аксиом еще не был научно обоснованным, поэтому он отмечал, что «мы признаем истину аксиомой вполне условно», и определял аксиому как «истину, не требующую доказательств». Любопытно, что Острогорский не одобрял перечисление аксиом в самом начале курса: «Значение аксиом всего лучше выяснится учениками тогда, когда последние ознакомятся с истинами, требующими доказательства, и увидят, с другой стороны, что в этих доказательствах мы ссылаемся на истины, принимаемые нами за бесспорные, стоящие вне сомнения» [2, с. 85]. А.Н. Острогорский находил, что «ученики, начинающие изучать геометрию, часто не чувствуют потребности в доказательстве тех истин, которые они встречают в начале курса геометрии. Ученик, прежде чем начал учиться геометрии, привык уже к вопросу: почему вы так думаете? Да и самому преподавателю геометрии приходилось не раз задавать ему этот вопрос, прежде чем он признал своевременным приступить к объяснению, что такое теорема и что такое доказательство. А поэтому при таком объяснении учителя главное дело заключается в том, чтобы указать преимущества умозрительного доказательства перед другими, его обязанность при решении геометрических вопросов» [2, с. 78-79]. Однако преподавателю «важно не поселить сомнение в справедливости содержания теоремы - ученики признают такое сомнение законным и не удивятся вопросу учителя: почему? докажите! - а внушить ученикам, как важно иметь возможность обобщить истину, найдя для нее умозрительное

доказательство» [2, с. 89]. Одновременно надо дать понять ученикам, что «общность рассуждения или умозрительного доказательства выводится не из повторения его на нескольких чертежах, а из разбора частей доказательства» [2, с. 90].

В своей методической работе А.Н. Острогорский детально и последовательно проанализировал проблемы, возникающие в процессе преподавания геометрии, особенно на начальном этапе обучения. Им разработаны конкретные рекомендации по их преодолению, которые остаются современными и в наше время. Например, обязательность повторения материала, необходимость организации самостоятельной работы учащихся, значение направляющей деятельности учителя в процессе организации учебной работы.

Работа Острогорского получила одобрение и поддержку со стороны многих заинтересованных этой проблемой людей. Книга Острогорского, «очень сочувственно встреченная, не ставит прямо и определенно программной проблемы, но из неё вытекает ряд важных выводов применительно к пересмотру программ (необходимость пропедевтического курса, связь между отдельными разделами, структура курса и т.д.)» [1, с. 149].

Бесспорно, методика геометрии Алексея Николаевича Острогорского оказала значительное влияние на учителей математики, их более глубокому пониманию основных приёмов и методов, используемых для эффективного преподавания геометрии. Этот труд получил заслуженное признание российского учительства. А.Н. Острогорским сделан значительный шаг вперед на пути становления российской методики преподавания геометрии.

Библиографический список

1. Ганелин Ш.И. Очерки по истории средней школы в России второй половины XIX века. 2-е изд. М: Учпедгиз, 1954.

2. Острогорский А.Н. Избранные педагогические сочинения / Сост. М.Г. Данильченко. М: Педагогика, 1985.

3. Педагогический сборник, 1883. № 5-12.

Раздел II. ТЕОРИЯ И МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ В ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ШКОЛЕ И ВУЗЕ

О ФОРМИРОВАНИИ СИСТЕМЫ АКСИОМ СТЕРЕОМЕТРИИ С ПОМОЩЬЮ ДИНАМИЧЕСКИХ КОМПЬЮТЕРНЫХ МОДЕЛЕЙ

А.Н. Бакуров

В статье говорится о формировании системы аксиом стереометрии с использованием динамических компьютерных моделей. Показано, что изучение аксиом с использованием 3D графики способствует лучшему формированию пространственного мышления, расширяет возможности исследовательской деятельности учащихся.

Ключевые слова: формирование системы аксиом; динамические компьютерные модели; плоские изображения; комбинирование объектов.

Система аксиом стереометрии является одним из наиболее трудных для понимания школьников разделов геометрии. О важности этих исходных утверждений говорить не стоит. Они закладывают основу всего курса стереометрии. Но так ли очевидны эти утверждения для школьника? Какова глубина их понимания? И насколько эффективны плоские изображения для демонстрации этих утверждений?

Современные средства обучения способны представить школьнику реальную картину: продемонстрировать не плоские изображения, а пространственные объекты или их модели, «потрогать» точку, прямую и плоскость, управляя ими, на собственном опыте прийти к формулировке аксиомы. Для этого нам понадобится один из 3D графических редакторов, выбор которого обуславливается его возможностью демонстрировать 3D-сцены. Одной из таких программ может служить 3D Мах. Конечно, для создания моделей учителю необходимо владеть навыками работы в указанном редакторе.

Например, на первом этапе мы представляем ученикам объекты: точку, прямую и плоскость (рис. 1).

Рис. 1

Затем, комбинируя нужные нам объекты, эмпирическим путем получаем систему аксиом. Выбор необходимых объектов и их комбинирование можно обосновать тем, что аксиомы описывают отношения между ними, напомнив при этом, что это - отношение принадлежности.

Продемонстрируем это на примере. Выберем для первого опыта несколько точек и плоскость. Изменяя положение точек в пространстве, мы видим, что некоторые из них лежат на плоскости, а другие не принадлежат ей (рис 2).

Рис. 2

Из этого эксперимента делаем вывод: существуют точки, принадлежащие и не принадлежащие данной плоскости.

Затем выбираем две плоскости, изображаемые параллелограммами (здесь необходимо смириться с этим допущением, так как изобразить безграничный объект можно только его частью). Задаем их расположение таким образом, чтобы они имели лишь одну общую точку (рис. 3).

Затем, изменяя «границы» одной из плоскостей (увеличивая размер параллелограмма), мы видим, что общей частью этих плоскостей является прямая линия, проходящая через их общую точку (рис. 4).

Делаем вывод: если две плоскости имеют одну общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

Итак, для формирования третьей аксиомы выберем прямую и не лежащую на ней точку. Вопрос о существовании точек, принадлежащих и не принадлежащих данной прямой на плоскости, уже рассматривался (аксиома планиметрии), нам же необходимо получить новое утверждение. Добавим к этим двум объектам третий - плоскость (рис. 5).

Изменяя её положение, сделаем так, чтобы она включила в себя точку (прямую) (рис. 6).

Рис. 3 Рис. 4

Рис. 5

Рис. 6

Затем, продолжая изменять положение плоскости, оставляя неизменной принадлежность точки (прямой), добьемся включения прямой (точки).

Здесь самое главное - натолкнуть детей на правильный вывод. Этим толчком может стать вопрос или система наводящих вопросов. Важно, чтобы вывод был сделан детьми самостоятельно.

Итак, делаем вывод: прямая и не лежащая на ней точка задают плоскость, и притом только одну.

Формируя, таким образом, систему аксиом, учащиеся сами выступают в роли исследователя. Они, хотя и под руководством учителя, но самостоятельно учатся делать выводы. Здесь важен не только сам результат получения аксиом, но и процесс работы с объектами в динамике.

Рис.7

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ И ДИСПЕРСИЯ КАК КРИТЕРИИ ПРИНЯТИЯ ЭКОНОМИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

Т.М. Бакурова

В статье описана методика преподавания темы «Критерии принятия решений» в курсе «Теория риска» студентам экономико-математических специальностей вуза.

Ключевые слова: принятие решений, риск, неопределенность, математическое ожидание, дисперсия.

В условиях рыночной экономики риск - ключевой элемент предпринимательства. Бизнесмен, умеющий рисковать вовремя, часто оказывается вознагражденным. В зарубежной экономике категории риска всегда уделялось большое внимание, риск-менеджмент является обязательным элементом профессиональной подготовки экономиста. В нашей стране только в последнее десятилетие стало бурно развиваться познание экономической сущности риска, началась разработка стратегий отношения к нему в предпринимательской деятельности, что нашло отражение и в системе подготовки будущих экономистов. Учебные курсы, отдельные главы, посвященные мето-

дам оценки и анализа риска, принятия решений в условиях риска и неопределенности, включены в программы подготовки по многим экономическим специальностям, специализациям и направлениям. Однако большинство студентов не готовы к восприятию теории риска как преимущественно математической дисциплины. На житейском уровне риском принято считать действие наудачу в надежде на счастливый случай, не требующее какого-либо обоснования. Кроме того, риск связывается только с негативными проявлениями неопределенности. Однако известно, что риск во многих ситуациях допускает и позитивную реализацию. Поэтому у будущих экономистов необходимо формировать навыки принятия решений в условиях риска и неопределенности, их количественного, математически строгого обоснования.

При изучении теории принятия решений в условиях риска студенты сначала знакомятся с понятиями «риск» и «неопределенность», с эволюцией этих понятий в экономической мысли, различными классификациями рисков. Затем изучают теорию ожидаемой полезности и с ее помощью обосновывают принятие решений, рассматривают свойства функции полезности, показатели, характеризующие степень приятия риска отдельным индивидом - относительное и абсолютное уклонение от риска.

На следующем этапе необходимо совместно со студентами установить, что указанные величины могут служить только в качестве показателя, характеризующего поведение индивидов в одной и той же рисковой ситуации, но не самой этой ситуации. Другими словами, необходимы показатели, более или менее объективно характеризующие уровень самого риска, а не отношение к нему отдельных индивидов. Самыми простыми из них являются математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение. Из курса теории вероятностей и математической статистики студентам эти понятия хорошо знакомы, их вычисление не должно вызывать трудностей, но теперь значения этих величин получат новую содержательную интерпретацию.

Для сохранения принципа последовательности обучения преподаватель должен увязать уже изученную теорию ожидаемой полезности с новыми критериями, например, следующим образом.

Предположим, что в результате анализа неопределенной ситуации возможные последствия действий описываются значениями одной случайной величины X, имеющей некоторое вероятностное распределение. Соответственно с точки зрения лица, принимающего решение, каждое значение данной величины имеет определенную полезность. Естественно, при этом будем предполагать, что большие значения полезности более предпочтительны, чем меньшие. Если величина X характеризует прибыль, то можно считать функцию полезности U(X)=X (чем больше прибыль, тем лучше). Если же величина X отражает уровень убытков, затрат, то в этом случае можно положить U(X) = - X, то есть чем больше убытки, затраты, тем меньше полезность, т.е. тем хуже. Так как X - случайная величина, то U(X) - также случайная величина. Простейшими характеристиками, описывающими случайную величину Y, являются ее математическое ожидание и дисперсия.

Напомним студентам, что эти параметры закона распределения принято наделять следующей экономической интерпретацией. Математическое ожидание M(Y) - средний прогнозируемый результат, но реальный результат может отклониться от этого прогноза как в положительную, так и в отрицательную сторону, причем величина этого отклонения характеризуется дисперсией V(Y). Это означает, что дисперсия V(Y) или (более точно) величина

(среднее квадратическое отклонение) является мерой неопределенности. Количественное выражение характеристики о как меры разброса возможных наблюдаемых значений случайной величины дает следующее неравенство Чебышева:

где Y - любая случайная величина, математическое ожидание которой равно а = M(Y), о - среднее квадратическое отклонение. Тогда вероятность того, что величина Y примет какое-либо значение за пределами диапазона {а - А, я+Д), не превосходит величины сг7 А .

В таком случае, мы можем принять величину о в качестве меры риска, т.е. придать ей новую интерпретацию.

При использовании среднего квадратического отклонения в качестве меры риска уровнем риска называется величина о = ^V(U(X)), где U(X) - функция полезности. При этом полезность конечного результата равна o(U(X)). Таким образом, полезность решения тем больше, чем меньше дисперсия его последствий.

Для более глубокого осмысления студентами описанных теоретических положений целесообразно привести пример использования среднего квадратического отклонения в качестве меры риска.

Пример 1. Предположим, что предпринимателю необходимо осуществить выбор между двумя решениями, в результате которых предполагается следующее вероятностное распределение значений прибыли X.

Решение 1 Решение 2

Считая функцию полезности U(X) равной значению прибыли, получаем для первого решения

Аналогично во втором случае M(U(X)) = 220, <т~ 24,49. Таким образом, второе решение характеризуется тем же ожидаемым значением прибыли, но меньшим уровнем риска. Следовательно, более рациональным будет принять второе решение.

Необходимо заострить внимание студентов на том, что в приведенном примере каждое из рассматриваемых решений характеризуется одним и тем же ожидаемым значением прибыли, поэтому предпочтительность второго решения очевидна, поскольку в этом случае прибыль ожидается та же, что и в первом случае, но с меньшим риском. Еще более очевидным было бы предпочесть второе решение, если бы в первом случае ожидаемое значение прибыли было меньшим (меньшая прибыль при большем уровне риска).

Выполнив решение задачи и обсудив указанные моменты, делаем вывод, что значение математического ожидания также играет большую роль. Преподаватель может задать вопрос: а может ли математическое ожидание выступать критерием при принятии решений? Стоит напомнить, что классическая теория отождествляет риск с математическим ожиданием потерь, которые могут произойти в результате выбранного решения. Однако критерий математического ожидания может оказаться несостоятельным, что иллюстрируется следующим примером.

Пример 2. Сравним две ситуации. В ситуации А индивид получает надежный доход в 10000 руб. В ситуации В индивид может нести как потери, так и выгоды с соответствующими вероятностями:

Ситуация А Ситуация В

Выбирая между А и В, многие индивиды, обеспокоенные возможностью потери 5000, пусть даже с небольшой вероятностью 0,2, предпочтут безрисковую ситуацию А, хотя в ситуации В с достаточной большой вероятностью 0,8 они могут получить 20000. Однако, оценивая альтернативы с помощью критерия математического ожидания, получаем:

т.е. должна быть выбрана альтернатива 5, что не соответствует реальному поведению многих индивидов.

Такое противоречие объясняется тем, что данный критерий не учитывает уровень риска и отношение к нему индивида. Продолжая расчеты, получим: (7а= 0, g в — 10000.

Итак, мы подвели студентов к пониманию того, что гораздо более распространенной является ситуация, когда большему ожидаемому значению прибыли соответствует и больший уровень риска, предприниматель поставлен перед соблазном польститься на более высокую ожидаемую прибыль, но с меньшей гарантией. В этом случае используется смешанный критерий, соответствующий полезности решения:

Данный критерий отражает подход, состоящий в том, что полезность решения тем больше, чем больше математическое ожидание полезности последствий принимаемого решения и чем меньше дисперсия этих последствий. Величина а - норма замещения между риском и доходом - некоторое фиксированное положительное число, отражающее склонность к риску ли-

ца, принимающего решение. Чем менее данное лицо склонно к риску, тем больше должно быть значение а. Для лучшего понимания студентами этого утверждения нужен пример.

Пример 3. Рассмотрим две альтернативные ситуации:

Ситуация I Ситуация II

Альтернатива II более рискованная, чем альтернатива I, так как

Как известно обучающимся, согласно теории ожидаемой полезности, для индивида, нейтрально относящегося к риску, эти альтернативы безразличны, т.е. ui(X) = uii(X) или 2,5 - 56,25а = 5 - 225а, откуда а=0,015. Если индивид уклоняется от риска, то альтернатива I для него более предпочтительна, т.е. ui(X) > uii(X) или 2,5 - 56,25а > 5 - 225а, откуда а > 0,015.

Итак, студентам становится ясно, что а растет по мере уменьшения склонности индивида к риску.

Таким образом, используя известные из теории вероятностей и математической статистики понятия и факты и наделяя их новым смыслом, студенты учатся использовать математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение в качестве критериев при принятии решений в рисковой экономической ситуации. У преподавателя есть возможность продемонстрировать тем самым межпредметные связи, показать широту применения математики, стимулируя интерес студентов к ее изучению.

ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС КАК ДИДАКТИЧЕСКИЙ СПОСОБ ПРЕОДОЛЕНИЯ ПРОБЛЕМ ПЕРЕХОДНОГО ПЕРИОДА ОТ НАЧАЛЬНОЙ К СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

Л.В. Болдина

В статье на примере элективного курса по математике для 6 класса «Решение текстовых задач с практическим содержанием» показано, как можно дидактическими способами решать проблему преемственности в преподавании математики между начальным и средним звеном школы.

Ключевые слова: элективный курс, преемственность в обучении, текстовые задачи, задачи с практическим содержанием.

Учителя-предметники, начиная работать с пятиклассниками, сталкиваются с разными проблемами, пробелами в знаниях детей, связанными с недостаточной работой коллектива школы по вопросу преемственности в обучении между начальным и средним звеном школы.

В настоящее время учитель имеет возможность через элективные курсы решить эти проблемы частично или полностью. При этом педагог имеет возможность самостоятельно выбрать тематику курса, время его проведения, периодичность, формы занятий и др., т.е. решать проблемы данного классного коллектива, осуществляя принцип дифференцированного подхода в обучении.

Традиционно выпускники начальных классов испытывают затруднения при решении текстовых задач, так как плохо владеют умениями, позволяющими переходить от условия задачи к математической модели. Для решения этой проблемы, выявленной при обучении математике в 5 классе, нами была разработана программа элективного курса «Решение текстовых задач с практическим содержанием» для учащихся 6 класса. Время изучения курса - II полугодие, после изучения действий с обыкновенными дробями.

Программа элективного курса по математике «Решение текстовых задач с практическим содержанием» (6 класс)

Пояснительная записка. «Что значит владение математикой? Это есть умение решать задачи, причём не только стандартные, но и требующие известной независимости мышления, здравого смысла, оригинальности, изобретательности.

Поэтому первая и самая главная обязанность курса математики состоит в подчёркивании методической стороны процесса решения задач».

д. Пойа

Прочное усвоение школьниками основ курса математики играет важную роль в формировании их математической культуры, предполагающей наличие умений изучать математику самостоятельно и творчески, создание предпосылок к активному применению математических знаний в дальнейшей жизни. Активизации самостоятельной познавательной деятельности школьников при изучении математики способствует эффективное использование учебных задач, являющихся важнейшим средством формирования у школьников системы основных математических знаний, умений и навыков, средством их математического развития.

Особенно большую роль приобрела проблема решения практических задач вследствие вступления нашего общества в новую фазу своего развития; экономика все больше ставится во главу угла при решении любой проблемы, умение считать собственную выгоду, просчитывать разные варианты развития событий приобретает всё большую значимость, даже если человеку в своей профессиональной деятельности мало приходится сталкиваться с математикой.

Несмотря на возникновение данной проблемы в современном обществе, школьные программы ещё не учитывают данный аспект, и обучению

решения задач с практическим содержанием, поиску новых, нестандартных путей их решения уделяется недостаточное количество времени. Возникает противоречие между уровнем знаний, с которыми школьник выходит из стен учебного заведения, и уровнем практических знаний и умений, которыми должен владеть человек в современном обществе. К тому же понимание школьниками практической важности решаемой задачи является непременным условием мотивации учебной деятельности.

Младшие подростки, вступая в пору отрочества, не воспринимают всерьёз слова взрослых об актуальности математических знаний в быту, профессиональной деятельности, поэтому важно показать практическую направленность математики в целом и текстовых задач в частности.

В связи с вышеизложенным целями предлагаемой программы являются:

• формирование математической культуры учащихся, умения представлять ситуацию в виде математической модели;

• систематизировать знания о типах задач, способах их решения;

• развитие логического мышления, математической интуиции. Задачи курса:

• систематизировать знания учащихся о различных типах задач;

• дать учащимся систему знаний, сформировать умения и навыки, необходимые для решения текстовых задач;

• учить планировать ход решения задачи;

• способствовать развитию абстрактного мышления, учить математизировать ситуации, развивать алгоритмическое мышление;

• с помощью проблемного обучения создавать ситуации для развития творческого мышления, раскрепостить учащихся;

• развивать познавательную активность школьников.

Содержание программы курса.

1. Задачи на зависимость между компонентами арифметических действий.

2. Задачи на сплавы и смеси.

3. Задачи на движение.

4. Задачи на нахождение дроби от числа и числа по его дроби.

5. Задачи на проценты.

6. Сложные задачи на проценты.

7. Задачи на пропорциональность.

8. Задачи на совместную работу.

9. Задачи с геометрическим содержанием. Тематическое планирование.

№ п/п

Темы занятий

Количество часов

Форма занятия

1

2

3

4

1

Введение. Роль задач в математике и жизни.

1

Урок - беседа.

2

Задачи на зависимость между компонентами арифметических действий.

1

Практикум.

3

Задачи на сплавы и смеси

1

Занятие «Мамина кухня»

4

Задачи на движение.

2

Семинар, занятие «Прокладывание маршрута»

5

Задачи на нахождение дроби от числа и числа по его дроби.

1

Занятие «Наша школа в цифрах»

6

Задачи на проценты.

2

Практикум, урок - проблема «Жить или курить?»

7

Сложные задачи на проценты.

2

Занятие «Считаем деньги»

8

Задачи на пропорциональность.

2

Занятие «Я - хозяин усадьбы»

9

Задачи на совместную работу.

1

Занятие «Я - экономист».

10

Задачи с геометрическим содержанием.

2

Урок - лаборатория.

11

Итоговое занятие.

1

Создание проекта дома.

Итого

16 часов

Учебно-методическое обеспечение курса.

1. Задачи на зависимость между компонентами арифметических действий.

а) У хозяйки было 20 кур и цыплят. Кур было в 4 раза меньше, чем цыплят. Сколько цыплят у хозяйки?

б) Когда 53 участника лыжных соревнований встали по парам -мальчик с девочкой, то 17 мальчиков остались без пары. Сколько мальчиков и сколько девочек принимали участие в соревнованиях?

2. Задачи на сплавы и смеси.

а) Маме для консервирования огурцов нужно 200 г 6 %-ного уксуса. У неё только 70 %-ная уксусная эссенция. Как ей нужно поступить, если от рецепта отступать нельзя?

б) Для приготовления ягодного компота берут 1 часть сахара на 3 части воды. Сколько нужно сахара и сколько воды, если компота планируется сварить 20 литров?

3. Задачи на движение.

а) Скорость моторной лодки, движущейся по течению реки Дон, равна 40 км/ч, а при движении против течения - 34 км/ч. Какова скорость течения реки Дон?

б) За 2 часа катер спустился по реке к озеру, пройдя 100 км. По озеру он двигался 3 ч со скоростью 48 км/ч, а потом поднялся по другой реке, которая впадает в то же озеро, за 4 часа. Узнайте путь, который прошел катер за всё время движения, считая скорости течения рек равными.

в) Часовая и минутная стрелки совпадают в полночь, и начинается новый день. В котором часу этого нового дня впервые снова совпадут часовая и минутная стрелки, если допустить, что стрелки часов движутся без скачков?

4. Задачи на нахождение дроби от числа и числа по его дроби.

а) В школьной библиотеке 1260 книг. всех книг - художественная литература, остальные - учебники. Сколько учебников в библиотеке?

о) 24 девочки нашей школы составляют — от всего количества учащихся. Сколько учащихся в нашей школе?

5. Задачи на проценты.

а) Статистика показывает, что среди курящих подростков мальчиков 60 %, а девочек - 40 %. Определите, сколько курящих детей в школе, если в ней 450 мальчиков и 620 девочек.

б) Курящие дети сокращают жизнь на 15 %. Определите, какова продолжительность жизни (предположительно) нынешних курящих детей, если средняя продолжительность жизни в России 56 лет.

в) Средний вес новорожденного ребенка 3 кг 300 г. Если отец у ребенка курит, то его вес будет ниже среднего на 125 г, если курит мать -меньше на 300 г. Определите, сколько % теряет в весе новорожденный, если:

а) курит папа б) курит мама в) курят оба родителя.

6. Сложные задачи на проценты.

а) Банк платит доход в размере 4 % в месяц от величины вклада. Доход начисляют каждый месяц. Студент положил на счет свою стипендию за месяц 300 рублей. Вычислите величину вклада через месяц; через два месяца, через три месяца.

б) Компания X выплачивает доход по своим акциям ежегодно из расчета 40 % годовых. Компания Y выплачивает доход по акциям один раз в полгода из того же расчета. В акции какой компании выгоднее вложить деньги на один год?

7. Задачи на пропорциональность.

а) На мельнице из 100 кг ржи получают 90 кг муки. Крестьянину нужно получить 675 кг муки. Сколько ржи надо привезти на мельницу?

б) Плодоводческое хозяйство наняло 120 сезонных рабочих для сбора яблок. Они выполнили работы за 25 дней. На сколько рабочих меньше можно было бы нанимать хозяйству, если бы погода позволяла собирать яблоки с той же площади в течение 40 дней?

8. Задачи на совместную работу.

а) Две трубы, работая вместе, могут заполнить бассейн за 15 минут. Если бы первая труба работала одна, то наполнила бы бассейн за 20 минут. Сколько времени понадобится для заполнения бассейна через вторую трубу?

б) Одна труба наполнит бассейн за 8 часа, другая - за 6 часов. Какая часть бассейна будет заполнена, если первая труба будет работать 3 часа, а вторая - 1 час?

9. Задачи с геометрическим содержанием.

а) Каким может быть периметр прямоугольника площадью 100 см2? Подумайте, какой из всех прямоугольников с такой площадью имеет наименьший периметр?

б) На сколько процентов изменится объем прямоугольного параллелепипеда, если все его измерения увеличить в два раза; уменьшить в два раза?

в) На покраску циферблата часов радиусом 1 м понадобилось 4 кг краски. Сколько краски понадобится для покраски циферблата часов радиусом 1,5 м?

г) Вычислить площадь сферы, объем данной модели шара.

д) Земной шар стянули обручем по экватору. Затем увеличили длину обруча на 1 м. Пролезет ли кошка в образовавшийся зазор?

Библиографический список

1. Зубарева И.И., Мордкович А.Г. Математика 5, 6 классы. Учебники. М.: Мнемозина, 2004.

2. Никольский С.М. и др. Арифметика 6 класс. Учебник. М.: Просвещение, 2003.

3. Семиряжко В.А., Лебедева Е.В. Теория и практика предпрофильной подготовки. Элективные курсы по математике. Учебно-методическое пособие. Липецк, 2006.

СОВРЕМЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ И ОСОБЕННОСТИ ПРЕПОДАВАНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ «МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА» ДЛЯ СПЕЦИАЛЬНОСТИ «ЮРИСПРУДЕНЦИЯ» В КЛАССИЧЕСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ

А.А. Быков

В статье рассматривается проблематика преподавания математики и информатики на специальности «Юриспруденция». Предлагаются методы решения данных проблем с учетом особенностей подготовки студентов и абитуриентов гуманитарных специальностей.

Ключевые слова: математика, информатика, образовательный стандарт, информатизация образования, математическая подготовка.

Информатизация современного общества влечет за собой следующие социальные последствия: увеличение числа занятых в информационной сфере, интеллектуализация многих видов труда и повышение требований к общеобразовательной подготовке специалистов, развитие у них способностей и навыков к самообразованию, включение их в систему непрерывного образования.

Ответом высшей школы на эти закономерности является тенденция к информационной ориентации системы образования, к формированию информационной культуры общества. В результате в государственный образовательный стандарт гуманитарных специальностей была включена дисциплина «Математика и информатика». Предлагаемое содержание образовательного стандарта показывает, что к данному вопросу руководство высшей школы подошло формально, содержание дисциплины напоминает обрезанный вариант стандартов физико-математических и технических специальностей.

В стандарте данной дисциплины предлагается изучить элементы математической логики, теории множеств, комбинаторики, теории вероятностей и статистики, математического моделирования, системы счисления, понятие алгоритма и языки программирования, а также стандартное программное обеспечение.

На наш взгляд, изучение многих разделов дисциплины не имеет смысла. Например, изучение теории множеств, комбинаторики, теории вероятностей и статистики - бесполезная деятельность по причине слабой математической подготовки большинства студентов первых курсов юридических специальностей. Причина заключается в том, что в школе в круг интересов абитуриентов, поступающих на гуманитарные специальности, математика не входит. Знания в данной области у них минимальные, необходимые только для получения аттестата и сдачи ЕГЭ.

Разделы информатики также следует подвергнуть критике. На наш взгляд, изучение систем счисления не имеет смысла, поскольку они практически не применяются в профессиональной деятельности. Изучение языков программирования также бесполезная деятельность по двум причинам: во-первых, студенты гуманитарного профиля, как мы уже отмечали, имеют слабую математическую подготовку, а во-вторых, дисциплина изучается всего два семестра, что очень мало для подготовки нормального программиста.

Обучение математике и информатике будущих юристов должно быть предметно ориентированным, т. е. предполагать получение знаний и навыков в области предметных приложений математики и информатики.

При рассмотрении разделов математики больше времени необходимо уделить изучению математической логики, поскольку она способствует развитию логического мышления, необходимого в профессиональной деятельности юриста, а также вопросов математического моделирования, которое

позволит полнее и адекватнее восстановить последовательность событий в уголовном или административном деле.

Обучение информатике также должно быть ориентировано на профессиональную деятельность будущего юриста. Студент уже на начальном этапе своей подготовки должен получить пропедевтические знания по использованию методов и средств информатики в юридической деятельности. Такой эффект может быть достигнут лишь в условиях решения в курсе информатики задач с юридически-правовым содержанием. Использование в обучении таких задач сформирует положительную мотивацию у студентов при изучении курса информатики. Будущие юристы должны ориентироваться в предметных средствах информатики, подбирать из них все необходимое для решения производственных проблем.

Преподавание дисциплины «Математика и информатика» должно исходить из следующих целей.

Общеразвивающая цель: человека XXI века необходимо подготовить к использованию средств математики и вычислительной техники в жизни, создать структуру сознания человека информационного общества.

Предметная цель: юриста XXI века нужно обучить методологии познания, основанной на современных методах познания действительности, сформировать структуру математического и информационно-технического сознания, предполагающую использование юристом новых информационных технологий.

Технологическая цель: в современном обществе увеличивается число преступлений, связанных с использованием информационных технологий, поэтому современный юрист должен обладать высоким уровнем информационной и технической культур.

Таким образом, исходя из всего выше изложенного, можно предложить следующее содержание курса математики и информатики для подготовки будущих юристов.

Структура и содержание теоретической части курса математики и информатики:

1. Элементы математической логики. Высказывания, операции над ними. Предмет математической логики. Основные понятия. Калькуляция высказываний. Калькуляция предикат.

2. Математические модели. Виды и свойства моделей. Этапы моделирования. Понятие модели, математическая модель и ее свойства. Классификация задач математического моделирования. Основные этапы моделирования. Методы оценки математических моделей.

3. Роль математики в становлении информатики. История развития информатики. Понятие информации. Информационные процессы. Понятие информатики. История развития информатики. Место информатики в ряду других фундаментальных наук, в системе подготовки и деятельности студента. Понятие «информация». Понятия «данные», «знания». Свойства информации. Классификация информации. Предметы и задачи информати-

ки. Эволюция средств вычислительной техники. Поколения современных компьютеров. Понятие «вычислительная система». Классы вычислительных машин. Классификация ПЭВМ.

4. Компьютер как средство автоматической обработки информации. Структура программного обеспечения современных компьютеров. Системное программное обеспечение. Операционные системы. Прикладное программное обеспечение. Обработка текстовой информации. Текстовые процессоры и издательские системы. Базы данных. Системы управления базами данных. Информационно-поисковые системы. Электронные таблицы и табличные процессоры. Обработка графической информации. Гипертекстовые системы.

5. Компьютер как средство хранения информации и как инструмент исследования. Компьютерные словари. Компьютерные справочники и картотеки. Вычислительная техника в гуманитарных исследованиях. Количественные методы в гуманитарных исследованиях. Использование информационных моделей в гуманитарных науках.

6. Технологии защиты информации. Защита от компьютерных вирусов. Основные пакеты антивирусных программ. Комплексные средства защиты информации. Технологии защиты информации. Виды информационных угроз. Технологии защиты информации. Задачи по защите от угроз, идентификация и пароли. Криптографическое закрытие защищаемых данных. Понятие ключа. Защита от компьютерных вирусов. Основные пакеты антивирусных программ. Комплексные средства защиты информации, программные и аппаратно-программные системы.

Структура и содержание практической части курса математики и информатики:

1. Работа с аппаратным обеспечением персонального компьютера. Овладение основными навыками работы с персональным компьютером (включение/выключение компьютера, работа с устройствами ввода и вывода информации: клавиатурой, дисплеем, принтером).

2. Базовое программное обеспечение. Операционные системы. Оболочки операционной системы.

3. Прикладное программное обеспечение. Текстовый редактор. Электронные таблицы. Табличные процессоры. Базы данных. Структура баз данных. Системы управления базами данных. Интегрированная среда для решения прикладных задач. Графические редакторы. Гипертекстовые системы. Машинный перевод. Создание компьютерных словарей, каталогов и картотек по дисциплинам. Разработка и реализация информационных моделей применительно к юридическим исследованиям.

4. Правовые и юридические системы баз данных. Основные виды, функциональные возможности, принципы построения правовых и юридических систем. Использование их в сфере юридических услуг.

Программное обеспечение курса: 1. Сетевая ОС Windows ХР и выше.

2. Web-браузер Microsoft Internet Explorer версии 7.0 и выше.

3. Пакет Microsoft Office XP и выше (MS Word, Excel, Access, Power Point, Outlook Express и др.).

4. Программы информационного взаимодействия в сети — ICQ, Skype.

5. Графические программные средства (графический редактор Paint, пакет CorelDraw, пакет Adobe Photoshop).

6. Программные средства обработки звуковой информации.

7. Правовые и юридические системы: Консультант, Гарант, Дело и др.

Применение описанной программы подготовки будущих юристов к использованию средств математики и информатики в профессиональной деятельности позволяет готовить в Смоленском государственном университете кадры, отвечающие современным требованиям, сформировать у них соответствующий уровень математической и информационной культуры.

Библиографический список

1. Астахов Е. Познавательная активность студентов: поиск форм оптимизации // Вестник Высшей школы. 2000. №11.

2. Удалов С.Р. Подготовка будущего учителя к использованию средств информатизации и информационных технологий в педагогической деятельности // Информатика и образование. 2003. № 12. С.105-108.

АКТУАЛИЗАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ЗНАНИЯ СТУДЕНТОВ В ПРОЦЕССЕ НИР

И.Н. Гридчина

В статье обсуждаются формы и методы научно-исследовательской работы студентов. Исследуются общие принципы научной работы со студентами. Особое внимание уделено научно-исследовательской деятельности студентов инженерно-физического факультета ЕГУ им. И.А. Бунина.

Ключевые слова: математическое знание, научно-исследовательская работа студентов, её виды и формы, студенческое конструкторское бюро.

Развитие и образование ни одному человеку не могут быть даны или сообщены. Всякий, кто желает к ним приобщиться, должен достигнуть этого собственной деятельностью, собственными силами, собственным напряжением.

А. Дистервег

На всех стадиях обучения студентов вузы должны готовить современного инженера специалистом, хорошо освоившим условия и направления развития своей отрасли производства, обладающего достаточно высоким творческим потенциалом, отличительной чертой которого должна быть способность к активному освоению и утверждению на практике передовых направлений в прикладной науке и практике. Важнейшим моментом в этом является образовательный процесс воспитания и развития у каждого студента интереса к изобретательству и рационализации. С освоением избранной специальности выпускник вуза должен овладеть определёнными знаниями о процессах рождения изобретения, его правовом оформлении, уметь на основе технико-экономического анализа существующих технических решений выбрать лишь одно необходимое, которое может быть патентно-способным.

Развитие научно-технического прогресса требует узкой специализации инженерных кадров и приводит к необходимости более глубокого изучения отдельных дисциплин.

Следует отметить, что в получении необходимых знаний и формировании указанных качеств особая роль отводится математике, т.к. профессиональная сфера деятельности инженера требует особого склада человеческого мышления, характеризующегося точностью, обоснованностью и определенностью, то есть теми качествами, которые воплощаются в математической деятельности. Как отмечал академик Колмогоров, математика - это универсальный инструмент познания и описания физических и производственных процессов, являющихся сферой деятельности инженерно-технического работника.

Деятельность - это способ активного отношения субъекта (человека) к миру, направленного на его целесообразное изменение и преобразование. Д. включает в себя два взаимодополняющих процесса: активное преобразование мира субъектом (опредмечивание) и изменение самого субъекта за счет «впитывания» в себя более широкой части предметного мира (распредмечивание) [8].

Д.В. Чернилевский деятельность делит на два типа: научно-исследовательскую и практическую. Первая имеет своей целью получение знаний об объектах и процессах, созданных природой и человеком, вторая -сознательное преобразование естественных и искусственных объектов для создания объектов и процессов со свойствами, удовлетворяющими определенные потребности человека. Рассмотрим классификацию деятельности, показанную на рис. 1 [8].

Рис. 1 .

Нас в данной статье интересует научно-исследовательская деятельность. Она является неотъемлемой частью учебной деятельности. По определению И.И. Ильясова, деятельность учения есть самоизмерение, саморазвитие субъекта, превращение его из не владеющего определенными знаниями, умениями, навыками в овладевшего ими [4].

Особое внимание необходимо уделить самостоятельной работе каждого студента в его учебной деятельности. Как отметил О.К. Филатов, главной целью самостоятельного изучения является приобретение умений понять текст, вычленить и переосмыслить постановки типовых проблем и рациональные образцы деятельности, составить на базе анализа учебных текстов предписания и алгоритмы для решения целевых задач, осмыслить и четко обрисовать в конспекте сущность теоретических построений, рассмотренных в тексте, и их место в системе профессиональных знаний [8].

Возникает вопрос, с каких курсов начинать привлекать студентов к самостоятельной деятельности, разновидностями которой являются учебно-исследовательская и научно-исследовательская работы.

Самым оптимальным решением данного вопроса является вовлечение студентов в научно-исследовательскую работу на 2-м курсе. Поясним почему. После окончания школы абитуриент испытывает колоссальный стресс, вызванный необходимость выбора своей дальнейшей профессии. Но вот, наконец, поступив в вуз, студент уже понимает, что заветная цель достигнута и можно немножко «перевести дух». Это приводит к тому, что после первой сессии отсеивается один - два человека. Ко второй сессии уже видно, кому из студентов интересно учиться и заниматься, кто ответственно подходит к процессу обучения, а кто просто учится, потому что это нужно.

После второй сессии в середине третьего семестра студентам можно предложить заняться научно-исследовательской работой.

НАУЧНЫЕ ОБЩЕСТВА - добровольные объединения ученых и других лиц, ведущих исследовательскую работу. Возникли в древности. В 15-16 вв. существовали как профессиональные объединения ученых (часто под названием академий), позже - как более широкие по составу. В 17 в. возникли специализированные научные общества (географические, медицинские и др.). Универсальные научные общества в 18 - 19 вв. становились общенациональными научными центрами (например, Лондонское королевское общество). Цель научного общества - координация исследований, обмен информацией, издание трудов [7].

Так или иначе научно-исследовательской работой занимаются все студенты. Это проявляется в написании курсовых работ, выпускной квалификационной работы. Но не каждый студент способен тратить своё свободное от занятий время на занятие более глубокой научно-исследовательской работой.

Всю исследовательскую работу можно условно разделить на две категории:

1. Учебная научно-исследовательская работа студентов, предусмотренная действующими учебными планами.

2. Исследовательская работа сверх тех требований, которые предъявляются учебными планами.

Рассмотрим более подробно данные категории. К первому виду НИРС (научно-исследовательской работе студента) можно отнести рефераты, курсовые работы, а в технических вузах ещё и курсовые проекты, расчетно-графические работы, домашние контрольные работы, а также дипломную работу.

К исследовательской работе 2-го вида следует отнести предметные кружки, проблемные кружки, проблемные студенческие лаборатории, участие в научных и научно-практических конференциях, участие во внутривузовских и республиканских конкурсах [6].

НИРС является одной из форм учебного процесса, в которой наиболее удачно сочетается обучение и практика. На первой ступени (научные и проблемные кружки) студент приобретает первые навыки исследовательской деятельности, затем, работая в различных студенческих лабораториях, студент воплощает полученные теоретические знания в практику, и в конце своего обучения в вузе уже немногие дошедшие до конца студенты принимают участие в различных конференциях. Огромная роль отводится научному руководителю, ведь от него зависит вся дальнейшая работа студента.

Отдельно хочется остановиться на научно-исследовательской работе студентов, проводимой в ЕГУ им. И.А. Бунина кафедрой прикладной механики и инженерной графики.

Учитывая важность проблемы подготовки молодых специалистов инженерного профиля в области патентно-лицензионной деятельности, в ЕГУ им. И.А. Бунина по линии НИРС, начиная с января 2002 г., функционирует студенческое конструкторское бюро (СКБ) с привлечением в него сту-

дентов 2-5-ых курсов инженерно-физического и экономического факультетов. Научным направлением СКБ является госбюджетная тема «Динамика, прочность и надёжность транспортных машин, машин агропромышленного комплекса и промышленного оборудования применительно к Чернозёмному региону РФ», выполняемая кафедрой прикладной механики и инженерной графики. Базой для данной темы служат договоры о творческом содружестве, заключённые с Управлением ЮВЖД, филиал ОАО «РЖД», Елецким отделением ЮВЖД филиала ОАО «РЖД», промышленными и автотранспортными предприятиями г. Ельца и т.д. Одновременно на 4-ом курсе в 7-ом семестре читается курс по выбору «Основы научных исследований в сервисе» объёмом 36 часов с зачётом. Для выполнения указанных работ студентами по утверждённой тематике НИРС осуществляется патентный поиск как по бумажным носителям патентной информации, так и по электронной с использованием сети Интернет. В результате составляются заявки на предполагаемые изобретения, которые отправляются в ФИПС (Федеральный институт промышленной собственности) РФ. Так, например, в период 2003-2006 гг. при участии 75 студентов подано 115 заявок, причём 96 из них на сегодняшний день признаны изобретениями. В итоге каждая из разработок используется студентами при написании ВКР, подготовке и издании статей в различных сборниках, а наиболее значимые из них представляются на Всероссийский конкурс на лучшую студенческую работу по техническим наукам в базовые вузы РФ, такие как МИИТ, МАДИ, Нижегородский технический университет и т.д. За прошедшие годы в таком конкурсе приняли участие 11 студентов, девять из которых отмечены соответствующими дипломами, а двое награждены медалью за лучшую научно-исследовательскую работу студента. В октябре 2006г. на подобный конкурс представлено семь работ студентов инженерно-физического факультета.

В процессе разработки вышеуказанных перспективных технических решений и обоснования их основных кинематических и геометрических параметров студентами разрабатываются расчётные схемы и математические модели, позволяющие проводить аналитические исследования, представляя реальные конструкции в виде многомассовых механических систем, учитывающих упругие связи, наличие зазоров, потери на преодоление сил трения, режимы работы, вязкое демпфирование и т.д. Для таких систем записываются дифференциальные уравнения, учитывающие пространственные связанные колебания масс, и составляются программы расчёта колебаний и динамических нагрузок на связи между массами на ЭВМ с использованием, например, программы на языке Delphi [1, 3, 5].

Рассмотрим примерную работу, характеризующую такой подход к решению конкретных задач по расчёту ряда параметров предложенных технических решений. Для удаления дикорастущей растительности с элементов железнодорожного пути разработано устройство RU2243145, в котором рабочим органом являются упругие колки, выполненные в виде гибких стерж-

ней. Для оценки надёжности крепления колков на диске разработана расчётная схема, представленная на рисунке 2.

Рис. 2

Для вывода уравнений, описывающих колебания и силовое нагружение колка и зная значения кинетической и потенциальной энергии такой системы, функционал Остроградского-Гамильтона для рассматриваемых случаев нагружения запишется в виде:

Решая такие уравнения известными методами, можно получить изображения искомых решений уравнений, которые с использованием известных соотношений

позволяют вычислить силовые факторы Ми, Pq и Mq, а следовательно, рассчитать напряжения, возникающие в заделках колков, и сравнить их с допускаемыми, используя известные зависимости:

В результате таких исследований студенты приобретают важную информацию и знания не только в области патентоведения, создания новой техники, но и использования на практике известных методов математического анализа и теории колебаний для оценки её работоспособности и прочности, что в итоге позволяет судить о соответствующем качестве подготовки инженерных кадров в области научно-технического творчества в университете [2].

Таким образом, научно-исследовательская работа нашей кафедры является важным фактором при подготовке молодого специалиста и учено-

го. Благодаря СКБ студенты могут заниматься научно-исследовательской работой, что позволяет им получить наиболее гармоничное и глубокое образование.

В настоящее время существует объективная необходимость повышения качества инженерного образования, обусловленная как стремительным развитием науки, внедрением наукоемких технологий в производственные процессы, так и возрастающими требованиями к специалисту-инженеру, в руках которого зачастую находится не только обеспечение нормальной жизнедеятельности людей, но и их безопасность.

В нашей статье мы ставили своей задачей раскрыть актуализацию математического знания студентов в процессе НИР. Ведь изучение математики должно проходить при постоянном контакте со специальными дисциплинами. В зависимости от специальности необходимо делать дополнительный упор на прикладные задачи, относящиеся к сфере будущей профессиональной деятельности обучаемых.

Научно-исследовательская работа студентов является важным фактором при подготовке молодого ученого и специалиста. НИРС необходимо уделять не меньше внимания, чем аудиторным занятиям.

Из приведенного примера (СКБ) хотелось бы, чтобы научно-исследовательской работой занимались не только отдельные энтузиасты, но и обычные преподаватели. Для этого необходимо повышать качество образования преподавательского состава, также не маловажную роль играет финансирование со стороны вуза (хотя бы на начальных стадиях исследований).

Цели и задачи, поставленные во введении, на наш взгляд, были раскрыты полностью. Была доказана необходимость проведения научно-исследовательской работы студентами в вузе. Ведь благодаря НИРС студенты будут заняты в своё свободное время «благородным делом», что позволит им в будущем стать полноценным членом общества и высококлассным специалистом, который сможет ориентироваться в современном мире.

Библиографический список

1. Бабаков И.М. Теория колебаний. М: Наука, 1968.

2. Гридчина И.Н., Сливинский Е.В. К использованию математического аппарата при расчётах конструктивных параметров перспективных технических решений при выполнении НИРС по линии СКБ в ЕГУ им. И.А.Бунина // Технические науки - региону. Сб. научн. тр. Липецк: ЛГТУ, 2007.

3. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов / Под ред. Б.П. Демидовича. М., 1968.

4. Ильясов И.И. Структура эвристических приемов решения задач. М., 1992.

5. Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. Сборник задач по математическому анализу. Предел. Непрерывность. Дифференцируемость Учебное пособие / Под ред. Л.Д. Кудрявцева. М: Наука., 1984.

6. Сачкова О.И. Лучшие рефераты по педагогике. Ростов-на-Дону: «Феникс»,

2001.

7. Современный энциклопедический словарь. Изд. «Большая Российская Энциклопедия». М, 1997.

8. Чернилевский Д.В., Филатов О.К. Технология обучения в высшей школе. Учебное издание / Под. ред. Д.В. Чернилевского. М: «Экспедитор», 1996.

РАЗВИТИЕ ВЕРОЯТНОСТНОГО МЫШЛЕНИЯ КАК СУЩЕСТВЕННАЯ КОМПОНЕНТА ПРОФЕССИОНАЛЬНОЙ КОМПЕТЕНЦИИ СПЕЦИАЛИСТА

С.Н. Дворяткина

В статье рассматривается соотношение профессиональной и математической деятельности, обеспечивающее развитие математического мышления, и установление роли в этом процессе вероятностного мышления.

Ключевые слова: профессиональные компетенции, профессиональная и математическая деятельность, математическое мышление, вероятностное мышление.

В связи с резким нарастанием темпов устаревания информации задача повышения качества образования сводится сегодня к вопросу о переходе знаниевой модели образования «ЗУН» к новой парадигме образования, базирующейся на компетентностном подходе. Цели профессионального образования, основанные на компетенциях, постулируются как установление взаимодействия между содержанием обучения и профессиональной деятельностью, обеспечение соответствия знаний, умений реальной сложности выполняемых задач и решаемых проблем. Для современного студента актуально решение не только академических задач, но и задач личностного развития, воспитания творческой инициативы, самостоятельности.

Исследование проблемы компетентностного подхода устанавливает необходимость сформулированности в результате обучения в вузе некоторого целостного социально-профессионального качества, позволяющего успешно решать производственные задачи, быть конкурентоспособным, мобильным специалистом. Это качество И.А. Зимняя [1] определяет как целостную социально-профессиональную компетентность, основанную на определенном уровне развития интеллектуальных и, прежде всего, мыслительных действий, на вероятностном прогнозировании действительности. Для различных видов деятельности исследователи выделяют свои ключевые компетенции. Например, для инженерной деятельности авторы работы [2] определяют математические компетенции, представленные двумя блоками: универсальные и профессиональные компетенции. В качестве универсальных компетенций ими выделена подгруппа личностных компетенций, где

важнейшей компетенцией является - «обладать математическим мышлением, математической культурой как частью профессиональной и общечеловеческой культуры». Очевидно, что вопрос соотношения профессиональной и математической деятельности, обеспечивающей развитие математического мышления, и установление роли вероятностного мышления в этом процессе заслуживают особого рассмотрения.

Мир профессий динамичен и изменчив, ежегодно появляется около 500 новых. Следует заметить, что многие из них либо исчезают, либо изменяются до неузнаваемости. Особенностью современного мира профессий является то, что на смену монопрофессионализма приходит полипрофессионализм. Это означает, что студенту необходимо овладевать не только одной профессией, а ещё и несколькими смежными. И наконец, в течение жизни у каждого человека может появиться желание или необходимость глобально изменить сферу профессиональных интересов и, как следствие, - квалификацию. Для этого необходимо быть готовым к тому, что знаний и умений, полученных в период обучения, будет не достаточно на весь период активной трудовой деятельности. Человеку придется заниматься самообразованием, самовоспитанием [3].

По мнению С.А. Розановой, превращение ученика в субъекта, заинтересованного в самоизменении, а затем превращение специалиста в профессионала характеризует главное направление развития учащегося в процессе профессионального обучения. Исследователь устанавливает основное различие между профессионалом и специалистом. Профессионал является субъектом профессиональной деятельности, а специалист только носителем совокупности знаний и умений. Профессионал способен к построению, изменению своей деятельности и развитию, то есть к саморазвитию. Приоритетная роль в саморазвитии личности отводится профессиональному мышлению. Мышление является обязательным компонентом любой деятельности, но мышление как профессионально важный признак, прежде всего, выделяют в тех специальностях, где приходится оценивать ситуацию неопределенности, которая побуждает к активизации мыслительной деятельности.

В последние годы усилилось внимание исследователей высшей школы к проблеме формирования профессионального мышления. З.А. Решетова подчеркивает, что термин «профессиональное мышление» в практический и научный обиход стал входить сравнительно недавно, в связи с интеллектуализацией всего общественного труда, вызванной научно-технической революцией. Автор употребляет «профессиональное мышление» в двух смыслах. В одном - когда подчеркивается высокий профессионально-квалифицированный уровень специалиста (качественный аспект мышления), в другом - когда подчеркиваются особенности мышления, обусловленные характером профессиональной деятельности [4].

Таким образом, связь мышления с видом человеческой деятельности очевидна, задача состоит лишь в ее экспликации. Следовательно, мы можем говорить о техническом мышлении инженера, о педагогическом мышлении

учителя, предпринимательском мышлении менеджера, математическом или физическом мышлении научного работника и т.д., то есть о типах мышления, функционально соответствующих определенным видам профессиональной деятельности и решаемым задачам. Эстонский психолог П. Тульвисте считает, что появление новых видов деятельности в связи с развитием производства влечет за собой порождение новых типов мышления при сохранении и функционировании «старых». Очевидной представляется связь между разнообразием видов деятельности и гетерогенностью мышления [5]. Нестандартные задачи, допускающие различные варианты решения, необходимость выбора оптимального пути достижения цели активизируют новые виды мышления.

Известно, что в становлении профессионального мышления практически по всем специальностям большое значение имеет совершенствование математического аппарата. Математика со своей универсальностью, логической стройностью, красотой, четкостью может повлиять как на рациональные и нерациональные стороны развития психики, интеллекта личности, так и на профессиональную компетентность.

Как показывает анализ многочисленных психолого-педагогических исследований и повседневная практика обучения, к основным воздействиям математики на формирующуюся личность можно отнести следующие: во-первых, решение математических задач формирует творческое мышление, которое способствует открытию принципиально нового или усовершенствованного решения той или иной задачи. Творчество будет мало продуктивным, если оно не будет дополнено критическим мышлением. Критическое мышление представляет собой проверку предложенных решений с целью определения области практического внедрения новых идей, и раскрывает такие свойства и отношения, которые первоначально оставались незамеченными в материале задачи, иногда они содержат и подсказку решения.

Во-вторых, занятия математикой развивают пространственное (наглядно-образное) мышление, которое является существенным компонентом в подготовке к практической деятельности по многим специальностям. Содержание пространственного мышления составляет оперирование пространственными образами, в результате которого происходит изменение структуры этих образов, или положения в пространстве (видоизменение образа), или комбинации этих преобразований. Специально организованная математическая деятельность способствует улучшению таких показателей пространственного мышления, как: точность создания образа, широта оперирования им, полнота и способ (тип) оперирования. Способность к созданию и оперированию пространственными образами во многом определяет успешность в различных видах деятельности, следовательно, стойкий интерес и склонность человека к этой деятельности.

И наконец, изучение математики позволяет освоить основные мыслительные операции (приемы мышления) - анализ, синтез, сравнение, абстрак-

цию и обобщение, систематизацию, конкретизацию, являющиеся основой высшей формы мышления - логического.

Таким образом, одна из задач профессионального обучения состоит в том, чтобы помочь студентам овладеть математическим мышлением. Под математическим мышлением, в основе которого лежат математические понятия и суждения, в педагогической теории понимается «совокупность взаимосвязанных логических операций; оперирование как свернутыми, так и развернутыми структурами, знаковыми системами математического языка, а также способность к пространственным представлениям, запоминанию и воображению» [6].

В структуре математического мышления можно выделить следующие типы: логическое; наглядно-образное (пространственное); функциональное; диалектическое; структурное; творческое (формы - дивергентное, конвергентное); критическое.

Известный математик и педагог А.Я. Хинчин указал отличительные признаки математического мышления:

1) «доведенное до предела доминирование логической схемы рассуждения...»;

2) «...лаконизм, сознательное стремление всегда находить кратчайший, ведущий к данной цели логический путь, беспощадное отбрасывание всего, что не абсолютно необходимо для безупречной аргументации»;

3) «.. .четкая расчлененность хода аргументации»;

4) «скрупулезная точность символики» [7].

Несомненно, указанные признаки важны и значимы, но в настоящее время стали актуальны и другие качества мышления, такие как гибкость, критичность, глубина, адаптивность, динамизм, способность действовать в условиях конкуренции и неопределенности. Современному специалисту необходим новый тип, или, как его называют, новый стиль мышления. У одних исследователей указанный тип мышления обозначен как «вероятностно-статистический» (Ж. Кудратов, Л.М. Кабехова, Д.В. Маневич, В.Д. Селютин, И.Б. Ларина, СО. Долгополова), у других - как «логическое мышление в ситуациях, имеющих неоднозначный характер» (С.А. Самсонова, Г.С. Евдокимова). Мы будем в дальнейшем называть этот тип мышления вероятностным. Приоритетная роль в совершенствовании и развитии нового типа мышления отводится, на наш взгляд, теории вероятностей и математической статистике. Теория вероятностей относится к наиболее сложным разделам математики, так как она представляет содержательную интеграцию в рамках понятийной, мировоззренческой, деятельностной и концептуальной форм.

«Из всех суждений Андрея Николаевича [Колмогорова] самым существенным для меня было, пожалуй, его часто повторявшееся высказывание, звучавшее примерно так: «Мы имеем, по крайней мере, одно весьма серьезное преимущество - владеем вероятностным мышлением». Он никогда не эксплицировал эту мысль, ее надо было понимать в зависимости от ситуации, в которой она произносилась. Мне кажется, что разговор о вероятност-

ном мышлении относится не столько к развитию самой математики (теория вероятностей такая же математическая дисциплина, как и все другие), сколько к использованию математики для вероятностного описания внешнего мира, минуя тот жесткий детерминизм, в который западная культура была погружена изначально» [8].

Не подвергая сомнению эти слова, так высоко значимые как для родоначальника советской теории вероятностей как науки, так и для его ученика, поставим перед собой вопрос, ответ на который А.Н. Колмогоров умалчивал: Почему так?

Термин «вероятностное мышление» не является в психологии общепринятым. Согласно К.К. Платонову, данный термин ввел в 1945 г. психолог Б.М. Теплов для обозначения «вида мышления, в структуру которого входят суждения о степени вероятности ожидаемых событий» [9, с. 17].

Вообще, источник мышления - проблемная ситуация [10]. Она характеризуется наличием некоторых условий, требующих сопоставления, преобразования и принятия на их основе решения. Мышление начинается с анализа проблемной ситуации и формулирования ее в виде задачи. Возникновение задачи означает хотя бы предварительное разделение данного (известного) и искомого (неизвестного). Тем самым намечается будущее решение задачи, которое все более четко прогнозируется в процессе мышления. В этом смысле мышление представляет собой своего рода прогнозирование.

В рассматриваемом случае мы имеем дело с вероятностным прогнозированием, т. е. с предвосхищением будущего, основанным на вероятностной структуре прошлого опыта и информации о наличной ситуации [11]. Это эволюционно сформировавшаяся способность человека предвидеть, как и с какой вероятностью изменится ситуация вслед за той, которая имеется в данный момент. Основание для такого прогноза - хранимая памятью информация о прошлом опыте. В соответствии с результатами вероятностного прогнозирования организм осуществляет преднастройку - подготовку к действиям, адекватным той предстоящей ситуации, которая предвидится с наибольшей вероятностью. Такая преднастройка, опережающая ситуацию, позволяет при возникновении этой новой ситуации реагировать быстро и точно [12].

Вероятностное мышление предполагает разрушение многих стереотипов, например, отказ от предпочтительности строго детерминированного поведения, исключающего вариативность, отказ от негативного отношения к случайному. Случай не только разрушает наши планы, но еще и создает новые возможности. Порядок, в свою очередь, может рождаться из Хаоса - через самоорганизацию. Более того, мир в целом - общество, человек, любое живое существо - все это примеры самоорганизующихся систем, и очень важно, что усложнение и развитие свойственно только открытым системам, тогда как замкнутые со временем деградируют (это - важнейший компонент современного миропонимания).

Согласимся с тем, что в условиях современной действительности человек вынужденно сталкивается с необходимостью решения весьма нестандартных задач. Ясно, что «основной механизм» творческого решения проблемных задач - вероятностное мышление, обслуживаемое воображением. Действительно, в процессе практической деятельности постоянно возникает необходимость реконструкции, мысленного воссоздания прошедших событий по отдельным сохранившимся следам, последствиям. Функционирование этого воссоздающего воображения возможно лишь на основе знаний всеобщих связей соответствующих явлений. Лишь на этой базе можно воссоздать рассматриваемое событие, ситуацию [13].

Практика показывает, что изыскание необходимого и возможного способа, приема исследования конкретной ситуации зависит от гибкости мышления и от сформированности воссоздающего воображения.

Как говорят психологи, проблемная задача - это начало мысли. Она характеризуется тем, что создает определенное противоречие между знаниями, которыми обладает человек, и явлениями, которые он не может объяснить в рамках имеющихся у него знаний. Появление этого затруднения порождает активизацию творческого мышления, воли, эмоций. Человек ищет решение задачи, выход из проблемной ситуации, устраняющий неопределенность в деятельности субъекта познания. Именно в процессе поиска формируются и развиваются лучшие качества мышления, характеризующиеся высокой степенью адаптивной эффективности.

Трудно назвать хотя бы одну область профессиональной деятельности, где вероятностному мышлению не отводится существенная роль. Поэтому развитие вероятностного мышления наряду с формированием профессиональных умений и навыков является одной из основных задач высшего образования при подготовке к практической деятельности по многим специальностям: педагог, инженер, математик, психолог, социолог, биолог, агроном, экономист и т.д.

Склонность человека к той или иной профессии проявляется в особенностях его деятельности и образе мышления. Целью деятельности педагога является становление и преобразование личности учащегося. Постоянное общение с детьми и корректировка их развития составляют содержание педагогической профессии. Известно, что большинство педагогов сталкиваются с трудностями при решении педагогических задач. Это боязнь класса, неумение быстро находить решение при непредвиденном, возможно, радикальном изменении обстановки в классе, несовпадение установок и т.п. Именно от качества личного контакта зависит положительная мотивация школьников, их одухотворенность и продуктивность учебного процесса. При работе с детьми ежедневно наблюдается влияние случайных факторов, обстоятельств, которые невозможно предвидеть и планировать. Следовательно, учитель должен обладать гибкостью и свободой мышления, способностью быстро находить оптимальные педагогические решения в условиях неопределенности. Даже владея исчерпывающими и достоверными сведе-

ниями об успеваемости учащихся конкретного класса, группы, зная психологические особенности этих детей, учитель, идя на урок, не должен ограничиваться только жёстко заданным конспектом, планом урока. «План должен быть в некотором смысле подобен живому организму, каждое мгновение меняющемуся, обновляющему и именно благодаря этому сохраняющему жизнеспособность» [14, с. 267]. Умение молниеносного создания необходимого плана действия в нужный момент согласно складывающейся ситуации и комбинаций частей исходного определяет важнейшие качества педагогической профессии - сочетание высокого уровня профессионализма с развитым вероятностным мышлением.

И педагогика, и психология имеют дело с процессами, определяющими судьбу живых людей. Специфика психологической профессии несколько отличается от других гуманитарных профессий, таких как педагог, социолог, лингвист и т.п. Специалист-психолог не только имеет дело с человеческим фактором, а вторгается в область конкретных межличностных и внутриличностных отношений. Он является посредником между людьми внутри ситуации. Своей деятельностью психолог может разрушить цепь сложившихся отношений, разрешает тупиковые ситуации, влияет на перестройку в оптимальном для другого человека отношении. Однако «убытки», грозящие от неожиданных результатов при неправильной организации экспериментального воздействия или недостаточной доказательности, чреваты опасными психологическими и моральными последствиями, которые не могут быть допущены даже при малой их вероятности. В профессиональной деятельности психолога встречаются ситуации, которые требуют быстрого или мгновенного решения, то есть когда необходимо быстро проанализировать, оценить, выбрать из возможных альтернатив и реализаций наиболее правильные идеи. Этот момент важен, так как принятие быстрого решения в ситуации неопределенности характеризует вероятностное мышление.

На первый взгляд может показаться, что мышление гуманитария и мышление математика - два абсолютно противоположных типа мышления. Однако можно выделить общие точки. Многими психологами (А.Пуанкаре, Ж.Адамар) установлено, что труд математика - это не просто механическая деятельность, построенная по законам логики с жестко детерминированным аналитическим мышлением. Согласно А. Пуанкаре, работа математика состоит не только в составлении возможных комбинаций по известным законам. «Истинная работа ученого состоит в выборе этих комбинаций, так, чтобы исключить бесполезные или, вернее, даже не утруждая себя их созданием» [15, с. 619-627]. Все эти комбинации формируются механизмом подсознания после длительной сознательной аналитической работы. Момент выбора, или, как часто его называют ученые-психологи, инсайт, наступает внезапно. И мы полностью согласны с А. Пуанкаре, что «наша воля выбирает их не случайным образом, цель была определена; выбранные атомы были не первые попавшиеся, а те, от которых разумно ожидать искомого решения». Правильный выбор возникает не только благодаря отточенной логике мате-

матика, которую он может применить уже после выбора, оценивая его результаты, а благодаря достаточно развитому вероятностному мышлению, направляющему этот выбор.

Руководителю в области сельского хозяйства часто приходится решать такие задачи, как выбор структуры и сроков посевов, уборки урожая, емкостей складов и хранилищ, характеристик строящихся объектов, составлять заявки на удобрения, технику. Обычно такая деятельность связана с решением экстремальных задач. Однако значения всех параметров, входящих в задачу оптимального планирования, часто не известны. Значения параметров - случайная величина, принимающая различные значения в зависимости от многих условий (урожайность сельскохозяйственных культур, продуктивность отраслей животноводства, выделение средств бюджетом области и края и т.п.). Таким образом, ориентация в условиях априорной неопределенности является необходимым профессиональным качеством специалиста агронома.

Профессия финансового аналитика - одна из самых молодых и самых востребованных не только в России, но и во всем мире. Основная задача данных специалистов - анализ ценных бумаг. Однако, владея полной информацией о финансовом положении конкретной компании, всегда есть вероятность риска вложения средств в предприятие в данный момент. Случайными факторами могут служить: макроэкономическая ситуация в целом (снижение или повышение евро и доллара, изменение стоимости ценных бумаг и т.п.), личностные качества руководителя компании, отношения внутри коллектива на предприятии и т.п. Поэтому кроме аналитического мышления финансовым аналитикам необходимо хорошо развитое вероятностное мышление. Подобные задачи возникают в любом виде экономической деятельности.

Вероятностный тип мышления способствует формированию более тонких, богатых отношений человека к миру, к себе - они первичны в ситуациях выбора, а значит, делают человека более свободным, активным, творческим, самостоятельным. Однако при всей значимости вероятностного мышления во всех сферах человеческой деятельности его развитие в процессе обучения осуществляется недостаточно. Нет общих методов его развития, а значит, нет верного пути, как это осуществить. Настоящее обозначило необходимость обоснования логики развития вероятностного мышления студентов и анализ обеспечивающих его психологических механизмов. В целом же полнота решения проблемы формирования вероятностного мышления как важнейшей компоненты профессиональных компетенций в условиях непрерывного образования является сложной психолого-педагогической и методической проблемой и требует своего скорейшего решения.

Библиографический список

1. Зимняя И.А. Ключевые компетенции - новая парадигма результата образования // Высшее образование сегодня, 2003. № 5. - С. 34-42.

2. Поспелов А.С., Розанова С.А., Кузнецова Т.А. Разработка сборника программ по математике для ФГОС ВПО третьего поколения (бакалавриат) // Тезисы докладов Международной научно-образовательной конференции «Наука в вузах: математика, физика, информатика. Проблемы высшего и среднего профессилнального образования». М: РУДН, 2009.

3. Розанова С.А. Математическая культура студентов технических университетов. М.: Физматлит, 2003.

4. Решетова З.А. Психологические основы профессионального обучения. М.: Изд-во Моск. Университета, 1985с.

5. Тульвисте П. Культурно-историческая природа вербального мышления / Психология мышления: хрестоматия по психологии. Под ред. Ю.Б. Гиппенрейтер, В.А. Спиридонова, М.В. Фаликман, В.В. Петухова. 2-е изд. перераб. и доп. М.: ACT: Астрель, 2008.

6. Икрамов Дж. Математическая культура школьника: математические аспекты проблемы развития мышления и языка школьников при обучении математике. Ташкент: Укутувчи, 1987.

7. Хинчин А.Я. Педагогические статьи. Вопросы преподавания математики. Борьба с методическими штампами. М.: Изд-во КомКнига, 2006.

8. Налимов В.В. Канатоходец. М.: Изд. Группа «Прогресс», 1994.

9. Платонов К.К. Краткий словарь системы психологических понятий. Учебное пособие. М.: Высшая школа, 1984.

10. Российская педагогическая энциклопедия. В двух т. М.: БРЭ, 1999. Т. 2.

11. Психология: Словарь / Под. общ. ред. А.В. Петровского, М.Г. Ярошевского. 2-е изд., испр. и доп. М.: Политиздат, 1990.

12. Фейгенберг И.М. Вероятностное прогнозирование в деятельности человека и животных. М.: Ньюдиамед, 2008.

13. Чуфаровский Ю.В. Юридическая психология. М.: Право и Закон, 1997.

14. Теплов Б.М. Избранные труды. В двух томах. Т. 1. М.: Педагогика, 1985.

15. Пуанкаре А. Математическое творчество / Психология мышления: хрестоматия по психологии. Под. ред. Ю.Б. Гиппенрейтер, В.А. Спиридонова, М.В. Фаликман, В.В. Петухова. 2-е изд. перераб. и доп. М.: ACT: Астрель, 2008.

ПРИМЕРЫ ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Е.А. Добрина

В статье мы приводим подробное описание лишь некоторых лабораторных работ, которые можно проводить в рамках курсов по выбору. Данные лабораторные работы помогают в осуществлении межпредметных связей, реализации личностно-деятельностного подхода, активизируют познавательную деятельность учащихся.

Ключевые слова: полярные координаты, азимут, гипербола, фокусы гиперболы.

Предлагаемые лабораторные работы по аналитической геометрии разработаны для учащихся старших классов. Их целесообразно проводить на курсах по выбору.

Выполнение данных лабораторных работ обеспечивает приобретение навыков построения точек в полярных координатах и кривых второго порядка и, в частности, способствует повышению познавательного интереса к математике, реализует задачу эстетического воспитания. Учащиеся знакомятся с распространенным в дореволюционной практике методом построения эллипса, гиперболы и параболы, строят важнейшие созвездия, используя полярные координаты, тем самым реализуя межпредметные связи (математика и астрономия).

Освоив построение кривых второго порядка, старшеклассники с большим удовольствием переходят к изучению кривых высших порядков.

Лабораторные работы по аналитической геометрии помогают также в осуществлении личностно-деятельностного подхода.

После выполнения данного блока лабораторных работ целесообразно провести зачет для проверки степени усвоения изучаемого материала с каждым старшеклассником.

Лабораторная работа №1 Полярные координаты Цели: сформировать навык построения точек в полярных координатах; повторить понятие азимута; повышение познавательного интереса к математике.

Оборудование: линейка, транспортир, карандаш, компас.

Задания:

1) Проделать и построить в классе план маршрута АВ=2м по азимуту 30°.

2) Построить план движения маршрута туристов в первой координатной четверти прямоугольной системы координат, если:

3) Найти полярные координаты точек А, В, С, D, Е.

Ход работы

I. Для выполнения данного задания школьнику, сидящему на первом ряду (вторая парта, I вариант, пусть это будет точка А), предлагается построить план маршрута АВ=2м по азимуту 30° и занять место в классе,

соответствующее точке В (для определения направления на север в классе необходимо воспользоваться компасом).

II. Для построения маршрута туристов необходимо выбрать: 1) направление на север (пусть оно совпадает с направлением оси Oy; 2) выбрать масштаб (например, в 1 см -1 км); 3) повторить с учащимися понятие азимута из географии шестого класса (азимут - это угол между направлением на север и каким-либо объектом местности). Например, в задании 1)-б) азимут равен 30°, следовательно, это будет угол между направлением на север и точкой С (должен получиться следующий чертеж).

Чертеж

III. Для нахождения полярных координат удобно опустить перпендикуляры из точек на ось Ох (во втором задании ось Ох принимаем за полярную ось) и применить теорему Пифагора (используя выбранный масштаб).

Лабораторная работа №2 Построение гиперболы Цели: построить гиперболу, активизировать познавательную деятельность учащихся, сформировать интерес к изучению математики. Оборудование: линейка, нитка, карандаш, скотч (кнопки). Задание. С помощью линейки, карандаша и нитки построить гиперболу.

Ход работы

Для построения гиперболы берут линейку, длина которой значительно больше расстояния FT; один конец линейки укрепляют в фокус Ff так, чтобы она могла вращаться около точки Ff; а к противоположному концу С прикрепляют нить, которая должна быть короче линейки на данную длину AfA=PQ; другой же конец нити прикрепляют в фокус F. Вращая линейку около фокуса Ff и острием карандаша удерживая нить на линейке, получают дугу гиперболы. Например, для точки М, находящейся на следе карандаша, имеем: FfM=r-FfC-MC, FM=r= ломаной FMC-MC, отсюда г-г=Р'С-ломаная FMC, что по условию равно постоянной величине А1 А; следовательно, точка M лежит на гиперболе.

Методические рекомендации: 1) концы нити удобнее прикрепить к концу линейки и в фокусе с помощью скотча; 2) линейку двигать плавно и равномерно; 3) на карандаш не нажимать (он должен оставлять за собой след только от действия силы движения линейки).

Библиографический список

1. Выготский Л.С. Мышление и речь. 5-е изд., перераб. М.: Изд-во «Лабиринт», 1999.

2. Добрина Е.А., Саввина О.А. Замечательные кривые. Уч. пособие. Елец: ЕГУ им. И.А. Бунина, 2005.

3. Российская педагогическая энциклопедия. В 2 т. М: Науч. изд-во «Большая Российская энциклопедия», 1999. Т. 2.

К ВОПРОСУ О МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПОДГОТОВКЕ СТУДЕНТОВ ФАКУЛЬТЕТА ПЕДАГОГИКИ И МЕТОДИКИ НАЧАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

И.А. Елецких, Т.М. Сафронова, Н.В. Черноусова

В статье представлена аннотация на подготовленное к публикации учебное пособие «Математика».

Ключевые слова: учебное пособие, компетентностный подход, структура пособия.

Современный учитель начальных классов поставлен перед выбором собственной методики обучения, направленной на всестороннее развитие личности младшего школьника средствами предмета. Учитывая, что в настоящее время в начальной школе используются как традиционные, так и вариативные учебники математики, от учителя требуется не только методическое мастерство, но и глубокое понимание сути математических понятий и фактов. Прежде всего, необходимо знание научных основ начального курса математики: различных подходов к определению понятия натурального числа, понятия величины и её измерения, понятия функции и функциональной зависимости между величинами, знание алгебры и геометрии.

В данной статье представлена аннотация на подготовленное к публикации учебное пособие «Математика». Пособие написано в соответствии с государственным образовательным стандартом специальности 031200 -«Педагогика и методика начального образования» и нацелено на решение задачи обеспечения будущего учителя начальных классов математической подготовкой, необходимой ему для грамотного, творческого обучения и воспитания младших школьников, для дальнейшей работы по углублению и расширению математических знаний.

Модернизация высшего образования предполагает использование компетентностного подхода. Высшая школа должна формировать целостную систему универсальных знаний, умений и навыков, а также опыт самостоятельной деятельности и личной ответственности студентов, то есть ключевые компетенции, определяющие современное качество содержания образования. Данное пособие предназначено для студентов очного и заочного отделений университетов. Его цель - организовать самостоятельную работу при изучении теоретического курса математики и осуществить контроль за качеством усвоения основных вопросов. Задачи учебного пособия: изложение системы знаний по темам учебной дисциплины; раскрытие содержания курса в форме, удобной для изучения и усвоения; управление познавательной деятельностью студентов.

Структура пособия такова: теоретический материал разбит на 18 тем, темы - на параграфы. Порядок расположения тем не произвольный, а в соответствии с рабочей программой дисциплины. Отличие пособие от ранее изданных [1, 2, 3] состоит в том, что в нем учтены преподавание дисциплины в рамках классического университета и разнообразие методических подходов в современных учебниках математики для начальной школы.

Приведем содержание тем, включенных в учебное пособие. Тема № 1: «Элементы теории множеств и математической логики»

Понятие высказывания. Операции над высказываниями. Формулы логики высказываний. Тавтологии. Множества, способы задания множеств. Подмножества. Равенство множеств. Универсальное множество. Круги Эйлера. Операции пересечения, объединения, разности двух множеств, допол-

нение множества до универсального. Свойства операций над множествами. Предикаты и кванторы. Область определения и область истинности предиката. Запись высказываний на языке логики предикатов. Декартово произведение множеств, его свойства. Разбиение множества на попарно непересекающиеся классы.

Тема № 2: «Отношения»

Понятие бинарного отношения между элементами множеств. Различные способы задания бинарных отношений. Отношения на множестве и их свойства. Основные типы бинарных отношений. Отношение эквивалентности. Связь отношения эквивалентности с разбиением множества на классы. Отношение порядка. Функциональные отношения между множествами. Отображения. Виды отображений. Понятие о мощности множества.

Тема 3: «Элементы комбинаторики»

Комбинаторика. Правила суммы и произведения. Понятие «п - факториал». Свойства чисел С* . Перестановки, размещения, сочетания без повторений. Перестановки, размещения, сочетания с повторениями.

Тема 4: «Математические утверждения и доказательства»

Математическое понятие. Определяемые и неопределяемые понятия. Объем и содержание понятия. Способы определения понятий. Требования к определению понятий. Отношение логического следования и равносильности между предложениями. Необходимые и достаточные условия. Строение и виды теорем. Умозаключения и их виды. Схемы дедуктивных умозаключений. Способы математического доказательства. Правильные и неправильные рассуждения. Простейшие правила вывода.

Тема 5: «Алгоритмы и системы счисления»

Понятие алгоритма и его свойства. Способы задания алгоритмов. Приёмы построения алгоритмов. Позиционные и непозиционные системы счисления. Десятичная система счисления. Запись чисел в позиционной системе счисления, отличной от десятичной. Переход от записи числа в одной системе исчисления к записи в другой системе исчисления. Алгоритмы арифметических действий во множестве натуральных чисел в десятичной системе счисления как примеры алгоритмов, изучаемых в начальной школе. Алгоритмические действия в системах счисления, отличных от десятичной. Применение двоичной системы счисления.

Тема 6: «Аксиоматическое построение множества целых неотрицательных чисел»

Краткие сведения о возникновении понятия натурального числа. Различные подходы к построению множества натуральных чисел. Понятие об аксиоматическом методе построения теории. Аксиомы Пеано. Простейшие следствия из аксиом Пеано. Метод математической индукции. Определения натурального числа, сложения и умножения натуральных чисел. Таблицы сложения и умножения. Законы сложения и умножения. Упорядоченность множества натуральных чисел. Свойства множества натуральных чисел. Ак-

сиоматическое определение вычитания и деления натуральных чисел. Множество целых неотрицательных чисел. Деление с остатком. Количественные натуральные числа. Понятие отрезка натурального ряда чисел и счета элементов конечного множества. Порядковые и количественные натуральные числа. Счет.

Тема 7: «Теоретико-множественный подход к построению множества целых неотрицательных чисел»

Теоретико-множественный смысл натурально числа, нуля и отношения «меньше». Определение суммы, её существование и единственность. Законы сложения. Определение разности, её существование и единственность. Теоретико-множественный смысл правил вычитания числа из суммы и суммы из числа. Определение произведения, его существование и единственность. Законы умножения. Определение произведения через сумму. Определение частного целого неотрицательного числа на натуральное, его существование и единственность. Теоретико-множественный смысл правил деления сумм и произведения на число.

Тема 8: «Натуральное число как мера величины»

Понятие положительной скалярной величины и её измерение. Смысл натурального числа, полученного в результате измерения величины. Смысл суммы и разности. Смысл произведения и частного натуральных чисел, полученных в результате измерения величин. Техника устного и письменного выполнения арифметических действий над целыми неотрицательными числами. Русские счеты.

Тема 9: «Теория делимости чисел»

Понятие об отношении делимости во множестве целых неотрицательных чисел и его свойства. Теоремы о делимости суммы, разности, произведения. Основные признаки делимости. Теорема о делении с остатком. Простейшие свойства простых чисел. Бесконечность множества простых чисел. Решето Эратосфена. Разложение целых чисел на простые множители. Число и сумма простых делителей натурального числа. НОД двух чисел. Алгоритм Эвклида. Линейное представление НОД двух чисел. Свойства НОД. Взаимно-простые числа. НОК двух чисел. Свойства НОК. Признаки делимости на составные числа.

Тема 10: «Расширение понятия числа»

Необходимость дальнейшего расширения понятия числа. Дробь как результат измерения отрезка. Отношение равенства дробей. Понятие положительного рационального числа. Несократимая запись рационального числа. Множество Q+ положительных рациональных чисел как расширение множества N. Определение суммы рациональных чисел, его корректность. Свойства сложения в Q+. Отношения «меньше» и «больше» на множестве Q+, их существование и единственность. Определение разности, её существование и единственность. Определение произведения чисел в Q+, его корректность. Свойства операции умножения. Понятие частного двух чисел из множества Q+, его существование и единственность. Свойства множества

Q+. Десятичные дроби, алгоритмы арифметических действий над ними. Рациональные числа как бесконечные периодические дроби.

Необходимость расширения множества Q+. Действительное число как результат измерения отрезка. Иррациональные числа. Множество R+ положительных действительных чисел как расширение множества Q+. Сравнение положительных действительных чисел. Операции над положительными действительными числами. Правила округления чисел и действия с приближенными числами. Отрицательные целые числа. Свойства множества целых чисел. Геометрическая интерпретация множества целых чисел. Множество отрицательных действительных чисел. Построение множества действительных чисел. Геометрическая интерпретация множества действительных чисел. Модуль числа и его свойства. Арифметические операции во множестве действительных чисел.

Тема №11: «Числовые выражения. Тождества»

Алфавит математического языка. Числовое выражение и его значение. Числовые равенства и неравенства. Свойства числовых равенств и неравенств. Выражение с переменной, его область определения. Тождественные преобразования выражений с переменной. Тождества. Математические выражения.

Тема № 12: «Числовые функции»

Числовые функции. Способы задания функций. Графики функций. Область определения и множество значений. Монотонность. Четность и нечетность. Прямая пропорциональность, обратная пропорциональность, их свойства и графики. Линейная функция, ее свойства и график. Квадратичная функция, ее свойства и график. Графики функций, аналитическое выражение которых содержит знак абсолютной величины. Геометрические преобразования графиков функций. Понятие обратной функции, сложной функции и функции нескольких переменных.

Тема № 13: «Уравнения»

Уравнения. Уравнения с одной переменной. Равносильные уравнения. Теоремы о равносильности уравнений. Уравнения с одной переменной в начальном курсе математики. Понятие алгебраического уравнения. Линейное уравнение. Квадратное уравнение. Теорема Виета. Графический способ решения квадратного уравнения. Биквадратное уравнение. Рациональные алгебраические уравнения. Иррациональные уравнения. Потерянные и посторонние корни при решении уравнений. Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля. Системы и совокупности уравнений. Уравнения с двумя переменными. Уравнение со многими переменными. Системы уравнений с двумя переменными.

Тема № 14: «Неравенства»

Понятие неравенства. Неравенства с переменной. Равносильные неравенства. Теоремы о равносильных неравенствах. Основные свойства неравенств. Действия с неравенствами. Приемы доказательства неравенств. Функциональные неравенства. Линейные неравенства. Квадратные и дроб-

но-линейные неравенства. Метод интервалов. Решение иррациональных неравенств. Неравенства, содержащие переменную под знаком модуля. Системы и совокупности неравенств с одной переменной. Неравенства с двумя переменными. Геометрическое изображение множества решений неравенства с двумя неизвестными. Системы неравенств с двумя переменными. Графическое решение системы неравенств с двумя переменными.

Тема № 15: «Текстовые задачи»

Понятие математической задачи. Понятие текстовой задачи. Классификация задач. Этапы решения текстовых задач. Приемы анализа содержания задачи, поиска плана решения задачи и его выполнения. Методы решения текстовых задач. Метод математического моделирования. Основные способы проверки решения текстовых задач.

Тема № 16: «Величины и их измерение»

Понятие величины. Основные свойства скалярных величин. Понятие об измерении величины. Из истории развития системы единиц величин. Международная система единиц. Длина отрезка, её основные свойства. Измерение длины отрезка. Стандартные единицы длины, отношения между ними. Площадь фигуры. Способ нахождения площадей фигур. Равновеликие и равносоставленные фигуры. Объем тела и его измерение. Другие величины, рассматриваемые в начальном курсе математики: масса, стоимость, время, скорость, путь, периметр, площадь. Единицы их измерения, зависимость между ними.

Тема 17: «Геометрические фигуры. Геометрические величины»

Краткие исторические сведения о возникновении геометрии. О геометрии Лобачевского и аксиоматике евклидовой геометрии. Отрезок, луч, угол. Длина отрезка, ее основные свойства. Измерение длины отрезка. Стандартные единицы длины, отношения между ними.

Треугольник. Подобные треугольники. Виды треугольников. Основные свойства для прямоугольного треугольника. Теоремы синусов и косинусов. Основные линии в треугольнике, их определения, свойства и формулы для вычисления.

Четырехугольники. Виды четырехугольников. Вписанные и описанные четырехугольники. Основные свойства четырехугольников. Нахождение площадей прямоугольника, параллелограмма, ромба, треугольника, трапеции, круга.

Окружность. Хорды и углы. Касательные, их свойства.

Элементарные задачи на построение. Этапы решения задач на построение. Понятие преобразования. Примеры преобразования фигур. Движения и равенство фигур.

Формулы для вычисления объема параллелепипеда, пирамиды, цилиндра, конуса, шара.

Тема № 18: «Система координат. Линии на плоскости»

Координаты на прямой. Преобразование координат на прямой линии. Некоторые задачи аналитической геометрии на прямой линии. Координаты

на плоскости. Декартова прямоугольная система координат на плоскости. Преобразования системы координат. Уравнение прямой линии. Общее уравнение прямой. Взаимное расположение двух прямых на плоскости. Линии второго порядка на плоскости.

Работа с данным пособием позволит преподавателям осуществлять уровневую дифференциацию обучения, сокращать время на развитие у студентов практических навыков, включать студентов в активную учебную деятельность и повышать ее мотивацию.

Применение пособия «Математика» в учебном процессе обусловлено целым рядом факторов, среди которых - опыт преподавателя, уровень знаний и умений студентов, специфика решаемых учебных проблем. Студентам предоставляется: структурированный теоретический материал, образцы записи доказательств теорем и примеры решения типовых задач. Материал пособия может быть использован при подготовке к практическим занятиям, написании курсовых работ, промежуточной и государственной итоговой аттестации.

Библиографический список

1. Виленкин Н.Я., Пышкало А.М., Стойлова Л.П., Рождественская В.Б. Математика. М.: Просвещение, 1977.

2. Стойлова Л.П., Пышкало А.М. Основы начального курса математики. М.: Просвещение, 1988.

3. Стойлова Л.П. Математики. М.: Издательский центр «Академия», 1997.

О КЛАССИФИКАЦИИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

Л.В. Жук

В статье раскрывается роль геометрических задач как средства реализации предметного содержания учебной деятельности. Представлена классификация задач по степени продуктивности мышления в области геометрии.

Ключевые слова: мыслительная деятельность в области геометрии, мыслительная активность, продуктивное мышление, проблемная ситуация, детерминация мышления.

На протяжении длительного периода времени в теории и методике высшего профессионального образования не снижается актуальность проблемы развития и активизации мыслительной деятельности как одного из базовых компонентов целостной личности, обеспечивающего эффективное овладение системой знаний, умений и навыков. Математическому образованию в решении этой проблемы отводится особое место. Уникальный разви-

вающий потенциал математических дисциплин, в том числе геометрии, определяется спецификой математического метода мышления, который является мощным исследовательским методом, включающим все способы научного познания - индукцию, дедукцию, обобщение, сравнение, аналогию и т.д.

Мыслительная деятельность в области геометрии - сложная динамичная структура, представленная мотивационным, содержательным, операциональным, контрольно-оценочным компонентами. Ее функционирование характеризуется диалектически противоречивым единством двух тенденций - к сохранению приобретенного (репродуктивной) и к модификации, преодолению «барьера прошлого опыта» (продуктивной). Характеристикой интенсивности и эффективности мыслительной деятельности в области геометрии выступает мыслительная активность. Она выражается в наличии положительной мотивации к изучению геометрии, сформированности на продуктивных уровнях обобщенных приемов геометрического мышления.

Стимулировать активность мышления в области геометрии можно посредством управления теми предметными действиями, из которых мышление возникает, рождается. С этой целью предметным содержанием учебной деятельности на занятиях по геометрии должен выступать процесс усвоения наряду с системой геометрических знаний обобщенных приемов геометрического мышления, опосредующий субъектные изменения в интеллектуальном плане, выражающиеся в повышении уровня сформированности мыслительных умений.

Средством реализации предметного содержания учебной деятельности выступают геометрические задачи. «Решение задач - это непосредственно наблюдаемая деятельность мышления...» [3, с. 210]. В психолого-методической литературе (Ю.М.Колягин, И.Я. Лернер, М.И. Махмутов, Дж.Пойа, Я.А.Пономарев, Л.М.Фридман) решение задач характеризуется как ведущее средство математического развития, подчеркивается его связь с продуктивной мыслительной деятельностью, существенным повышением качества обучения.

Условием существования задачи является осознание субъектом проблемности некоторой ситуации. В ходе осознания задачи осуществляется детерминация (причинная обусловленность) мыслительной деятельности: «задача как объект мыслительной деятельности, ее условия и требования являются той причиной, которая направляет мыслительный процесс на глубокое познание объекта, на раскрытие внутренних условий существования объекта» [1, с. 14]. Результат такого анализа закрепляется в языке в виде сформулированной задачи.

Понимание задачи как знаковой модели проблемной ситуации обусловливает возможность активизации мыслительной деятельности в области геометрии путем моделирования учебной проблемы с учетом принципа детерминизма, направления мыслительного процесса на раскрытие существенных характеристик геометрического объекта, выявление его составных

частей, установление связей и отношений между ними, на усвоение новых понятий и формирование приемов мышления. Управление мыслительной активностью возможно регулированием объективной сложности и субъективной трудности задач.

Для обеспечения постепенного перехода с низкого (репродуктивного) уровня активности мыслительной деятельности на более высокие (продуктивные) необходима классификация геометрических задач по степени продуктивности мышления в процессе их решения.

Репродуктивные задачи рассчитаны на применение некоторого алгоритмического правила, а также применение этого правила с небольшими вариациями (по образцу); решаются с помощью непосредственной актуализации знаний на базе изученных теоретических положений и усвоенных практических приемов деятельности. Несмотря на то, что сложность репродуктивных задач может быть достаточно весомой (большое число данных, существенных взаимосвязей между данными и искомым, преобразований, приводящих к искомому), их субъективная трудность снижена. Роль репродуктивных задач состоит в том, чтобы научить действовать стандартно в соответствующих ситуациях, достичь автоматизации деятельности, необходимой при решении более сложных задач. Самостоятельное решение задач данного класса обеспечивает формирование репродуктивного уровня активности мыслительной деятельности в области геометрии.

Задача 1. Найти сопровождающий трехгранник винтовой линии

Предложенная задача является типовой, и ее решение можно представить в виде алгоритмического правила, известного студентам:

1) найти точку винтовой линии, соответствующую значению параметра to=rc;

2) сформулировать определение: сопровождающим трехгранником пространственной линии называют три взаимно перпендикулярные плоскости - нормальная, соприкасающаяся, спрямляющая, заданные соответственно точкой M и своими направляющими векторами (М, г, V ) - соприкасающаяся плоскость, (М, v,ß ) - нормальная плоскость, (М,г,/? ) - спрямляющая плоскость;

3) записать формулы для нахождения направляющих векторов плоскостей трехгранника:

единичный направляющий вектор касательной к кривой,

единичный направляющий вектор бинормали,

единичный направляющий вектор главной нормали;

4) найти координаты векторов канонического репера, используя умения вычислять производную, длину вектора, векторное произведение векторов;

5) задать параметрическими уравнениями плоскости сопровождающего трехгранника.

Решение реконструктивно-вариативных задач требует осмысления логики зависимостей и отношений, применения уже известных закономерностей в относительно новых условиях, предполагающих более или менее значительную перестройку знакомых способов решения. Новый материал соотносится с имеющимися знаниями, выявляются существенные отношения в системе данных задачи, выстраивается программа умственных действий, осуществляется коррекция мыслительного поиска. Самостоятельное решение задач данного класса обеспечивает формирование у студентов низкопродуктивного уровня активности мыслительной деятельности в области геометрии.

Задача 2. Показать, что винтовая линия х = a cost, у = asmt.z = bt лежит на цилиндре и главная нормаль в каждой точке линии перпендикулярна оси цилиндра.

Решение начинается с выявления структуры задачи (данных, искомых, отношений между ними) и сопоставления данной задачи с известными классами задач с целью отыскания решения. Известными являются методы решения задач на построение канонического репера и сопровождающего трехгранника в данной точке винтовой линии. Наличие главной нормали в качестве искомого в структуре задачи подтверждает необходимость отыскания векторов канонического репера г :

но уже с целью показать перпендикулярность направляющего вектора главной нормали v и направляющего вектора оси цилиндра. Снова включается поиск известных методов решения задач: показать перпендикулярность векторов можно посредством вычисления их скалярного произведения. Остается определить координаты направляющего вектора оси цилиндра - «увидеть» в качестве такого вектора орт к (0,0,1). к • v = 0 для любых значений t, следовательно, главная нормаль в каждой точке винтовой линии перпендикулярна оси цилиндра Oz. Далее необходимо показать принадлежность винтовой линии круглому цилиндру, для чего проверить, удовлетворяют ли координаты произвольной точки винтовой линии уравнению цилиндра с осью Oz

В эвристических задачах цель задана в достаточно сложных условиях ее достижения, однако условия и требования являются известными частями задачи, в то время как способ не только неизвестен, но прямо не выводится из положений данной предметной области; его нужно «сконструировать» на основе этих положений. Для решения эвристической задачи необходимо выявить некоторые скрытые связи между элементами условия и требованиями; найти способ решения, не являющийся очевидной конкретизацией некоторого общего правила; раскрыть еще не известные конкретно-содержательные отношения, через которые определяется искомый объект. Деятельность по решению эвристических задач обусловливает среднепродуктивный уровень активности мыслительного процесса.

Задача 3. Составить уравнение цилиндра, описанного около двух сфер:

Решение начинается с подключения пространственного мышления: необходимо мысленно создать комбинацию трех геометрических объектов в соответствии с условием задачи и выявить существенные взаимосвязи между ними. Результатом этой мыслительной работы становится вывод о том, что образующие цилиндра будут параллельны прямой, соединяющей центры данных сфер. Это и есть скрытое содержательное отношение, через которое определяется искомый объект. Параметрические уравнения найденной прямой составляются по двум точкам: x=t, y=2t, z=-2t. Тогда искомую поверхность - цилиндр - можно рассматривать как геометрическое место окружностей (х -t)2 +(у- 2t)2 + (z + 2t)2 = 36, причем координаты центров этих окружностей удовлетворяют уравнению связи х + 2у - 2z - 9t = О . Исключив параметр t, получим уравнение цилиндра:

Решение продуктивно-творческих задач предполагает открытие новых причинно-следственных связей, закономерностей, выделение новых приемов, комбинирование новых способов деятельности из известных, выявление «новых» свойств фигур или их взаимосвязей. К продуктивно-творческим задачам следует отнести задачи, подводящие к самостоятельному открытию того или иного геометрического факта в новой ситуации, приема решения, установлению связей между геометрическими понятиями; формирующие способность к самостоятельному обобщению, осмысленному использованию опыта; дающие возможность проведения самостоятельных поисковых исследований посредством изучения результатов решения, изменений условий задачи; допускающие различные способы решения. Деятельность по решению продуктивно-творческих задач детерминирует высокопродуктивный уровень активности мыслительного процесса.

Задача 4. Получить трехосный эллипсоид вращением эллипса вокруг оси Ох и последующим равномерным сжатием пространства к плоскости Оху.

Требование задачи состоит в получении новой, пространственной, геометрической фигуры из имеющейся, плоской, с помощью цепочки преобразований. Отыскание этой цепочки есть малое «открытие», а способ деятельности получения эллипсоида комбинируется из нескольких известных.

Первое преобразование состоит во вращении эллипса вокруг оси Ох. Уравнение эллипса содержит две переменные (х и у), в то время как уравнение поверхности вращения - эллипсоида - содержит три текущих координаты x,y,z. Следовательно, уравнение вращающейся линии надо преобразовать так, чтобы оно стало уравнением поверхности вращения, произвести замену в уравнении этой линии

Замена означает, что текущая координата х, одноименная с осью вращения Ох, должна быть оставлена без изменения. Тогда преобразованное уравнение будет содержать текущие координаты x,y,z:

Второе преобразование состоит в равномерном сжатии пространства к плоскости Оху: z' = kz . Уравнение эллипсоида примет вид:

или

где с2 = b2k2. Таким образом, получено уравнение трехосного эллипсоида.

Библиографический список

1. Крупич В.И. Теоретические основы обучения решению школьных математических задач. М: Прометей, 1995.

2. Сборник задач по геометрии. Учеб. пособ. для студ. мат. и физ.-мат. фак. пед. ин-тов / В.Т. Базылев, К.И. Дуничев, В.П. Иваницкая [и др.]; Под ред. В.Т. Базылева. М: Просвещение, 1980.

3. Славская К.А. Детерминация процесса мышления // Исследования процесса мышления в советской психологии. М., 1966.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ДИКТАНТ КАК ФОРМА ПРОВЕРКИ ЗНАНИЙ

Л.А. Киселёва

В статье говорится о форме проверки знаний на уроках математики - о математических диктантах.

Ключевые слова: математический диктант, контроль знаний, виды математических диктантов.

Важным и чрезвычайно тонким моментом учебно-воспитательного процесса как для учителя, так и для ученика является контроль знаний. Контроль - составная часть процесса обучения и обеспечивает учителю возможность получения информации о ходе познавательной деятельности учащихся в процессе обучения, а ученикам - получения информации о своих успехах. Контроль знаний имеет обучающее и воспитывающее значение, способствует более глубокому изучению учащимися основ наук, совершенствованию их знаний и умений.

Математические диктанты - хорошо известная форма контроля знаний. Учитель сам или с помощью звукозаписи задает вопросы, учащиеся записывают под номерами краткие ответы на них. Как правило, ребятам трудно воспринимать задания на слух. Но если проводить часто, то школьники овладевают этим навыком. А ценность этого умения неоспорима. Иногда слуховому восприятию нужно помочь. Для этого одновременно с чтением задания делаем запись или чертеж на доске.

Прежде чем перейти к объяснению нового материала, целесообразно убедиться, что предыдущая порция знаний учащимися усвоена. Традиционная методика рекомендует в этом месте педагогического процесса организовать опрос учащихся. Опрос, как форма проверки знаний, неэффективен, и прежде всего потому, что для большей части учащихся ответ одноклассника у доски вовсе не помогает повторить ранее изученное. Всякого рода уплотненные опросы, когда одновременно готовятся до 10 учеников, лишь усугубляют дело: вызванные не слушают ответ товарища на законном основании.

Опрос у доски обычно дополняют так называемым устным счетом. Недостаток традиционного «устного счета» в том, что в нем участвуют не все ученики. Альтернатива опроса и «устного счета» - математический диктант. Отсюда - его место в учебном процессе: в начале урока, на котором начинается изложение новой порции знаний. Отсюда - требование к его содержанию: ответы на вопросы должны показывать, усвоено ли содержание ранее изложенного материала. Математический диктант может заменить опрос по теме, заданной для повторения. Его продолжительность обычно 10-15 минут.

Рассмотрим различные виды заданий, с которыми сталкиваются ученики в диктантах.

1. Задания репродуктивного типа выполняются учащимися на основе известных формул и теорем, определений, свойств тех или иных математических объектов.

Репродуктивные задания позволяют выработать основные умения и навыки, необходимые для изучения математики. И хотя они мало способствуют развитию мышления учащихся, однако создают базу для дальнейшего изучения математики и таким образом способствуют выполнению заданий более высокого уровня сложности.

2. Реконструктивные задания указывают только на общий принцип решений или на соотнесение к тому или иному материалу. Выполнение таких заданий возможно только после того, как ученик сам реконструирует их, соотнесет с несколькими репродуктивными. К такого рода заданиям можно отнести задания на построение графиков, задания, при выполнении которых учащимся приходится использовать несколько алгоритмов, формул, теорем. Эти задания характерны тем, что, приступая к их выполнению, ученик должен проанализировать возможные общие признаки объекта, использовать несколько репродуктивных задач. Реконструктивные задания - наиболее распространенный вид заданий, используемый на всех этапах учебного процесса.

3. Более высоким уровнем воспроизводящей деятельности и переходом ее в творческую характеризуются задания вариативного характера. При выполнении их ученику необходимо из всего арсенала математических знаний отобрать нужные для решения данной задачи, воспользоваться интуицией, найти выход из нестандартной ситуации. К такого рода заданиям относятся так называемые задачи на сообразительность, задачи «с изюминкой», многие задачи на доказательство и т.д.

Чтобы развивать мышление учащихся, формировать у них различные виды деятельности на всех этапах обучения математике, необходимо использовать различные виды заданий.

Математический диктант - это один из способов организации самостоятельной деятельности учащихся. Система математических диктантов, с одной стороны, должна обеспечивать усвоение необходимых знаний и умений, с другой стороны, их проверку.

Математические диктанты можно разделить на следующие виды: проверочные, обзорные, итоговые. Каждый вид математических диктантов имеет свои особенности, свои цели, и, следовательно, требования, предъявляемые к составлению этих работ, должны быть различны.

Проверочные диктанты предназначены для контроля усвоения отдельного фрагмента курса в период изучения темы. При их выполнении учитель своевременно получает информацию о том, как усваивается тема, что позволяет ему вовремя выявить ошибки, обнаружить плохо усвоивших тот или иной материал и в зависимости от этого строить работу по изучению

данной темы. Учащиеся же получают дополнительную практику в самостоятельном решении задач и тем самым готовятся к контрольной работе по данной теме. Например:

1. Первый член арифметической прогрессии равен 4, второй 6. Найти разность d.

2. Первый член арифметической прогрессии равен 6, второй 2. Найдите третий член.

3. Найти десятый член арифметической прогрессии, если ее первый член равен 1, а разность d равна 4.

4. Является ли последовательность четных чисел арифметической прогрессией ?

5. (Ьп)-арифметическая прогрессия. Выразите через bi и d, Ью ? Ьюо5 bk, bk+i.

6. Определение арифметической прогрессии. Понятие разности арифметической прогрессии. Вывод формулы п-го члена арифметической прогрессии.

Обзорный диктант позволит учащимся повторить материал, систематизировать знания, установить связи между изученными вопросами.

Для этого необходимо определить, какие основные понятия должен усвоить ученик при прохождении этого раздела, какие умения и навыки должен приобрести, какие задания уметь выполнять, каков уровень сложности этих заданий. Задания должны быть четкими, конкретными, понятными. Сюда входят вопросы по проверке изученных определений, теорем, правил, задания на решение несложных задач и упражнений. Основу обзорных диктантов составляют задания репродуктивного характера. Составленный таким образом диктант дает возможность учителю проверить усвоение узловых вопросов этого раздела. Например:

1. Из данных выражений выберите то, которое является одночленом:

2. Упростите выражение

3. Приведите выражение

к многочлену стандартного вида.

4. Разложите на множители выражение

5. Найдите значение выражения при

6. Решите уравнение

Итоговые диктанты являются завершающим моментом повторения в конце года по основным содержательным линиям изученного курса.

В них следует включать задания репродуктивного и реконструктивного характера, которые должны проверять основные умения и навыки; за-

дания на повторение основных теоретических вопросов: воспроизведение определений и свойств математических объектов. Например: 1. Найдите корни уравнения:

2. Составьте уравнение по условию задачи.

Расстояние между двумя пристанями 150 км. Теплоход тратит на путь от одной пристани до другой и обратно 14 ч. Найдите скорость теплохода в стоячей воде, если скорость течения реки 3 км/ч.

Итоговые диктанты, составленные по вопросам курса, дают возможность ученику сосредоточиться на одном вопросе. Если учитель найдет время провести все итоговые диктанты или самостоятельные работы, то в результате их выполнения учащиеся повторят весь материал и продемонстрируют основные знания и умения, приобретенные в период изучения математики.

Способы проведения диктантов:

а) спроецирован на доску с помощью компьютера;

б) зачитан учителем;

в) воспроизведен с помощью звукозаписи;

г) с графической записью ответа.

Организация проверки: обычный способ проверки, когда учитель собирает и проверяет дома, малоэффективен: ребенок жаждет узнать результаты своей работы непосредственно после завершения, на следующий день они его интересуют меньше. Поэтому организовать проверку можно так: учащиеся пишут диктант под копирку, первый экземпляр сдается учителю сразу, а копия остается у ученика и используется для проверки правильности выполнения работы: учитель записывает на доске правильные ответы. Можно проверить диктанты с помощью сигнальных карточек. О совпадении или не совпадении ответов должны одновременно сигнализировать все ученики. Например, совпадение - поднимается зеленая карточка, не совпадение -красная. Учитель видит одновременно ответы всех учащихся и может сказать каждому, верен ли его ответ.

Процесс обучения - процесс двусторонний; для успеха обучения требуется не только высокое качество работы учителя, но и активная деятельность учащихся, их желание овладеть передаваемыми учителем знаниями, их интерес к обучению, сосредоточенная и вдумчивая работа под руководством учителя. Все эти реакции у учащихся должен вызвать к действию учитель, опираясь на свой авторитет, на контакт с учащимися, на свою увлеченность предметом, любовь и благожелательное отношение к детям.

Систематически применяя на уроках диктанты наряду с другими формами проверки знаний, убеждаемся в том, что они являются эффективным средством активизации учебной деятельности. С их помощью можно проверить, усвоили ли учащиеся обязательный минимум знаний, но нельзя организовать углубленную проверку. Поэтому было бы ошибкой противопоставлять диктанты другим формам контроля. В математическом диктанте контроль может вестись лишь по конечному результату.

ТЕОРЕТИКО-МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДОВ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ В ОБУЧЕНИИ ИНФОРМАТИКЕ

О.М. Киселёва

В статье рассматриваются вопросы, посвященные автоматизации учебного процесса и использованию методов математического моделирования как основы для создания образовательных систем автоматизированного проектирования.

Ключевые слова: математическая модель, система автоматизированного проектирования, автоматизация учебного процесса.

В современных условиях основным источником образовательного запроса к системе образования становится личность учащегося. Его интересы, потребности, способности, мотивы должны во все большей степени учитываться при проектировании и организации процесса обучения. Появление нового источника образовательного запроса делает востребованным учет индивидуальных особенностей учащихся, их личности.

Существующая система образования, на наш взгляд, не удовлетворяет сегодняшнему социальному заказу. Причин такого положения дел несколько. Первая обусловлена процессами глобальной информатизации. Речь в данном случае идет о росте информационной составляющей цивилизации, процессе становления информационного общества, о развитии социальной информатики, в частности, занятой изучением вопросов влияния информатизации на систему образования.

Вторая причина: изменился источник запросов к системе образования. Теперь, когда все большую роль в этом процессе играют учащиеся, их семьи или микросоциальные группы, школа вынуждена учитывать специфические, уникальные запросы каждого конкретного ученика. Но чтобы школа действительно могла это делать, необходима гибкая система, способная быстро адаптироваться к большому числу меняющихся факторов.

Одно из свидетельств кризиса в системе образования — появление и широкое распространение внесистемных источников образовательных ус-

луг, в том числе репетиторства. Его причина — неудовлетворенность учащихся и их родителей качеством или количеством того, что им доступно в рамках системы образовании. Не поднимая вопроса о необходимости коренного изменения в целом роли и места образования в обществе, будем рассматривать указанное противоречие, ограничившись пределами самой образовательной системы [2].

Для учителя новые условия деятельности означают заметное увеличение объема информации, обрабатываемой в процессе подготовки к уроку, его проведения и анализа результатов. Выход — передать часть его функций компьютеру, создав компьютеризованные обучающие системы, обрабатывающие часть информации и выдающие некоторые управленческие решения. Система средств обучения, реализующая определенные функции учителя, называется системой автоматизированного проектирования.

В настоящее время автоматизация учебного процесса практически сводится к разработке и использованию автоматизированных обучающих систем. Эти системы ориентированы на учащегося, которого они рассматривают как основного пользователя, и отводят учителю пассивную роль. Предполагается даже отрыв учителя от подготовки учебного материала.

В таком подходе отражается основная черта ранних этапов разработки всех автоматизированных систем - недооценка роли человека как субъекта управления (в учебном процессе эта роль принадлежит учителю). Термин «автоматизированная система» понимается, скорее, как «автоматическая система», в которой роль человека сводится к минимуму. Однако главная, наиболее трудная, творческая роль в принятии решения принадлежит человеку, а ЭВМ играет лишь вспомогательную роль.

В процессе работы учитель находится в динамически изменяющейся среде. Уровень знаний и навыков учащихся постоянно колеблется. Разные классы предъявляют различные требования к уровню сложности объяснения материала и самостоятельных знаний. В учебном процессе творческий учитель вынужден постоянно решать сложнейшие проблемы в процессе подготовки к объяснению нового материала, подбора демонстрационных примеров, закрепляющих и контролирующих заданий. Эта работа требует от учителя поистине титанических усилий, направленных на переработку множества учебных, методических и дидактических материалов. Однако их количество с каждым годом растет, и ориентироваться в этом потоке одному человеку невозможно.

Для того чтобы облегчить подготовку учителя и создаются системы автоматизированного проектирования работы учителя. Однако для создания таких систем необходима предварительная формализация содержания той предметной области, в которой они должны функционировать.

В общем виде формализация понимается как сведение некоторого содержания (содержания текста, смысла научной теории, воспринимаемых сигналов и пр.) к выбранной форме.

Например, оглавление книги - это формализация ее содержательных частей, а сам текст книги можно рассматривать как формализацию посредством языковых конструкций мыслей, идей, размышлений автора. Итогом формализации научной теории является, как правило, совокупность формул, графиков, схем, таблиц и пр. План действий в результате формализации превращается в алгоритм [1].

В настоящее время существует много методов математического моделирования (графовые, вероятностные, алгебраические методы и др.), поэтому моделирование может стать удобным средством формализации.

Основу математического моделирования составляет использование формул. Считается, что математическое моделирование - это наиболее распространенный вид моделирования в науке, именно поэтому язык математики называют универсальным языком науки. Математические формулы возникают в большинстве случаев как результат исследования реальных физических, экономических, социальных и педагогических систем. Основное их назначение - описание наблюдаемого поведения систем и предсказание свойств и поведения этих систем за пределами видимых наблюдений.

Математическое моделирование - мощный метод познания, прогнозирования и управления процессом обучения. Анализ математических моделей позволяет проникнуть в сущность изучаемых педагогических явлений. Это обусловливает широкое распространение данного вида моделирования в педагогической науке и в практической деятельности педагога, а также особую роль математических моделей в обучении [3].

Использование математических моделей в обучении позволяет:

- давать описание педагогического объекта в наиболее компактном виде;

- отразить причинно-следственные связи процесса обучения;

- передать такие свойства педагогического объекта, которые не поддаются описанию другими средствами;

- предсказать свойства и поведение моделируемого педагогического объекта за пределами видимых наблюдений.

Библиографический список

1. Бешенков С. Моделирование и формализация. Метод, пособие. М.: Лаборатория базовых знаний, 2002.

2. Бояринов Д.А. О формализации некоторых теоретических понятий методики преподавания математики // Вестник высшей школы, 2003. № 3. С. 27-30.

3. Емельченков Е.П. Математические модели в педагогических исследованиях // Методология и методика информатизации образования: концепции, программы, технологии. Материалы Всероссийской научно-практической конференции, 17-19 октября 2005 года. Смоленск: СГПУ, 2005. Вып. 1. С. 32-51.

ИЗУЧАЕМ СВОЙСТВА ТРАПЕЦИИ

Г.И. Ковалёва

Статья посвящена изучению свойств трапеции, предложен вариант включения «неизвестных» свойств в содержание школьного курса планиметрии.

Ключевые слова: трапеция, свойство, признак, средняя линия трапеции, среднее арифметическое, среднее геометрическое, среднее гармоническое.

Читая лекцию по элементарной математике на математическом факультете педагогического университета, автор статьи попросила сформулировать будущих учителей математики известные им свойства трапеции. Пятикурсники припомнили свойство средней линии трапеции и свойства равнобедренной трапеции. Эксперимент был продолжен при встрече с учителями математики. Результат был не на много богаче. Какими же замечательными свойствами обладает трапеция? Где и когда их изучать в школьном курсе геометрии?

После изучения свойства средней линии трапеции можно сформулировать и доказать свойство отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции. Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности оснований.

МО - средняя линия треугольник ABC и

MQ - средняя линия треугольника ABD и равна

Тогда

следовательно

Отрабатывая основной прием решения задач на трапецию «провести две высоты», учащимся необходимо предложить задачу: «Пусть ВТ — высота равнобедренной трапеции ABCD с основаниями ВС и AD. ВС = а, AD = Ъ . Найдите длины отрезков АТ и TD».

Решение задачи не вызывает у учащихся затруднения, главное усилие педагога должно быть направлено на отработку свойства высоты равнобедренной трапеции, проведенной из вершины тупого угла:

высота равнобедренной трапеции, проведенная из вершины тупого угла, делит большее основание на два отрезка, меньший из которых равен полуразности оснований, а больший - полусумме оснований.

Тема «Подобие фигур» очень благодатна для изучения свойств трапеции. Например, диагонали трапеции разбивают ее на четыре треугольника, причем треугольники, прилежащие к основаниям, подобны, а треугольники, прилежащие к боковым сторонам, равновелики. Назовем это утверждение свойством треугольников, на которые разбивается трапеция ее диагоналями. Причем первая часть утверждения доказывается очень легко через признак подобия треугольников по двум углам. Вторую часть можно предложить учащимся в виде задачи.

Треугольники ВОС и COD имеют общую высоту, если принять за их основания отрезки ВО и OD. Тогда

Следовательно,

Аналогично, треугольники ВОС и АОВ имеют общую высоту, если принять за их основания отрезки СО и OA. Тогда

Из этих двух предложений следует, что SCOD = SAOB .

Было бы замечательно не останавливаться на сформулированном утверждении, а найти связь между площадями треугольников, на которые разбивается трапеция ее диагоналями, предложив учащимся решить задачу: «Пусть О - точка пересечения диагоналей трапеции ABCD с основаниями ВС и AD. Известно, что площади треугольников ВОС и AOD равны соответственно 5, и S2. Найдите площадь трапеции».

Так как SCOD = SAOB . Отсюда

из подобия треугольников ВОС и AOD следует, что

Следовательно,

Тогда

С использованием подобия доказывается и свойство отрезка, проходящего через точку пересечения диагоналей трапеции параллельно основаниям. Предлагаем учащимся решить задачу: «Пусть О - точка пересе-

чения диагоналей трапеции ABCD с основаниями ВС и AD. ВС = а, AD = Ъ . Найдите длину отрезка PK, проходящего через точку пересечения диагоналей трапеции параллельно основаниям. На какие отрезки делится PK точкой О».

Из подобия треугольников AOD и ВОС следует, что

Из подобия треугольников АОР и АСВ следует, что

Отсюда

Аналогично, из подобия треугольников DOK и ВВС следует, что

Отсюда

Добиваемся от учащихся осознания доказанного свойства: отрезок, параллельный основаниям трапеции, проходящий через точку пересечения диагоналей и соединяющий две точки на боковых сторонах, делится точкой пересечения диагоналей пополам. Его длина есть среднее гармоническое оснований трапеции.

Следующее свойство четырех точек не вспомнили ни студенты, ни учителя, что является свидетельством того, что учащиеся тоже его не знают. В трапеции точка пересечения диагоналей, точка пересечения продолжения боковых сторон, середины оснований трапеции лежат на одной линии.

Треугольники BSC и ASD подобны, и в каждом из них медианы ST и SG делят угол при вершине S на одинаковые части. Следовательно, точки 5, Т и G лежат на одной прямой. Точно так же на одной прямой расположены точки Г, О и G Это следует из подобия треугольников ВОС и AOD. Значит, все четыре точки 5, Г, О и G лежат на одной прямой.

Знакомя учащихся с подобием фигур (не треугольников), можно предложить найти длину отрезка, разбивающего трапецию на две подобных.

Если трапеции ALFD и LBCF подобны, то

Отсюда

Таким образом, отрезок, разбивающий трапецию на две подобные трапеции, имеет длину, равную среднему геометрическому длин оснований.

После вывода формулы площади трапеции полезно доказать свойство отрезка, делящего трапецию на две равновеликие.

Пусть площадь трапеции равна S. h\ и Ï12 - части высоты, ах- длина искомого отрезка. Тогда

Составим систему

Решение системы Таким образом, длина отрезка, делящего трапецию на две равновеликие, равна

(среднему квадратичному длин оснований).

Итак, для трапеции ABCD с основаниями AD и ВС ( AD = Ъ , ВС = а ) доказали, что отрезок

1 ) MTV, соединяющий середины боковых сторон трапеции, параллелен основаниям и равен их полусумме (среднему арифметическому чисел а и Ь);

2) PK, проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции параллельно основаниям, равен

(среднему гармоническому чисел а и Ь);

3) LF, разбивающий трапецию на две подобные трапеции, имеет длину, равную среднему геометрическому чисел а и Ъ, yfab ;

4) EH, делящий трапецию на две равновеликие, имеет длину

(среднее квадратичное чисел а и Ь).

Чтобы учащиеся осознали связь между указанными отрезками, необходимо попросить построить их для данной трапеции. Без труда учащиеся построят среднюю линию трапеции и отрезок, проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции параллельно основаниям. Где будет лежать третий и четвертый отрезок? Ответ на этот вопрос должен привести учащихся к открытию связи между средними величинами.

Признак и свойство вписанного четырехугольника должны быть конкретизированы для всех известных учащимся четырехугольников, в том числе и для трапеции. Свойство вписанной трапеции: трапеция может быть вписана в окружность в том и только в том случае, когда она равнобедренная.

Необходимое условие. Доказать, что около равнобедренной трапеции можно описать окружность. Так как ZA + ZB = 180° (как углы прилежащие к боковой стороне трапеции) и ZB = ZC (как углы при основании равнобедренной трапеции), то ZA + ZC = 180°.

Аналогично, ZB + ZD = 180° . Имеем ZA + ZB = ZB + ZD = 180°, следовательно, около трапеции можно описать окружность.

Достаточное условие. Трапеция вписана в окружность. Доказать, что она равнобедренная. ZA + ZB = \$0° (по свойству трапеции) и ZA + ZC = 180° (так как трапеция вписана в окружность). Следовательно, ZB = ZC и трапеция ABCD - равнобедренная.

Свойства описанной трапеции. Около окружности можно описать трапецию тогда и только тогда, когда сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон.

Необходимое условие. Известно, что сумма длин оснований трапеции равна сумме длин ее боковых сторон. Доказать, что в трапецию можно вписать окружность.

Доказательство полностью совпадает с признаком описанного четырехугольника (№ 724 «Геометрия 7-9» под ред. Л.С. Атанасяна).

Достаточное условие. Трапеция описана около окружности. Доказать, что сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон. Отрезки AM и AL равны как отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности. Аналогично,

Тогда

Для решения задач очень полезны следствия:

1. Высота описанной трапеции равна двум радиусам вписанной окружности.

2. Боковая сторона описанной трапеции видна из центра вписанной окружности под прямым углом.

Первое очевидно. Для доказательства второго следствия необходимо установить, что угол COD прямой, что также не составляет большого труда. Зато знание этого следствия позволяет при решении задач использовать прямоугольный треугольник.

Для осознания учащимися следствий попросим конкретизировать их для равнобедренной описанной трапеции.

Высота равнобедренной описанной трапеции есть среднее геометрическое оснований трапеции.

Каждое предложенное свойство не должно стать для учащихся догмой. Некоторые из них являются продолжением работы по закреплению изученных теорем, другие предъявляются в форме задач и закрепляются через задачи. Изучение этих свойств не является обязательным, но если учитель сумеет естественным образом встроить их в учебный процесс, то это позволит учащимся не только познать трапецию, но и поможет научиться решать задачи на трапецию. А для этого учитель математики (или будущий учитель) как минимум должен знать свойства трапеции.

ИНТЕРАКТИВНАЯ ДОСКА - ИНСТРУМЕНТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

Е.А. Курилина

В статье делается акцент на значимость использования интерактивной доски в учебном процессе, рассматриваются вопросы, связанные с особенностями применения информационных технологий в образовательном процессе.

Ключевые слова: интерактивная доска

Новые аппаратные, программные и коммуникационные средства существенно повысили роль информационных технологий в образовании. Информационные технологии лежат в основе накопления, обработки, представления и использования информации с помощью электронных средств. К числу крупномасштабных инноваций, пришедших в российскую школу в последние десятилетия, относится компьютеризация школьного образования. Многие методики образования связаны сегодня с применением интерактивных методов обучения. Интерактивное обучение - это диалоговое обучение, в ходе которого осуществляется взаимодействие учителя и ученика.

Интересную часть новых технических средств информационных технологий сегодня представляют интерактивные доски, которые постепенно могут вытеснить традиционные доски на основе мелков и маркеров. Полностью функционирующие интерактивные доски интегрируют в себе четыре компонента: компьютер, мультимедийный проектор, программное обеспечение и собственно доска [1].

Известно, что на интерактивной доске можно делать все то же, что и на обычном компьютере: набирать, редактировать, форматировать и сохранять текст, показывать слайды и фильмы. Достаточно всего лишь коснуться поверхности доски, чтобы открыть нужный файл с используемым документом. Специальное программное обеспечение позволяет работать с текстами и объектами, аудио- и видеоматериалами, Internet-ресурсами. Интерактивная доска значительно расширяет возможности представления учебной информации и позволяет усилить мотивацию учеников. Применение мультимедиа технологий (цвета, графики, звука и современных средств видеотехники) позволяет моделировать различные ситуации, активизировать познавательную деятельность обучающихся и усиливает усвоение материала. Развитие электронных средств мультимедиа открывает для сферы обучения принципиально новые дидактические возможности. Так, системы интерактивной графики и анимации позволяют в процессе анализа изображений управлять их содержанием, формой, размерами, цветом и другими параметрами для достижения наибольшей наглядности.

При условии внедрения интерактивных досок в образовательный процесс необходимо знать технические возможности компьютера, хорошо ориентироваться в компьютерных программах и программном обеспечении интерактивных досок, владеть методикой применения их в учебном процессе. К сожалению, преподаватели в большинстве случаев используют интерактивную доску либо как проектор, либо как традиционную меловую, используя электронный маркер как мел часто даже без сохранения проделанной работы. Но интерактивный урок — это не только презентация в традиционном понимании, тут можно было бы просто применить проектор. При использовании интерактивной доски нужно работать с учебным материалом, например, что-то вычеркивать, компоновать, демонстрировать работу одного ученика всем остальным ученикам класса, демонстрировать веб-сайты

через интерактивную доску всем слушателям, использовать групповые формы работы, осуществлять совместную работу над документами, таблицами или изображениями, управлять компьютером без использования самого компьютера и т.д. Интерактивные доски, компьютеры и информационные технологии - это удобные инструменты, которые при разумном использовании способны привнести в школьный урок элементы новизны, повысить интерес учащихся к приобретению знаний, облегчить учителю задачу подготовки к занятиям. При условии систематического использования электронных мультимедиа обучающих программ в учебном процессе в сочетании с традиционными методами обучения и педагогическими инновациями значительно повышается эффективность обучения детей с разноуровневой подготовкой. Нет сомнения в том, что именно такая организация обучения, в котором внедряются интегрированные уроки с использованием информационных технологий, позволит воспитать образованных и творческих людей.

Поэтому важной задачей для преподавателя является не просто освоить новые технологии, а научиться эффективно, целесообразно и экономно соединять их со всем наработанным ранее опытом. Новые информационные технологии в образовании дают возможность педагогам не только сделать изучение материала более наглядным и проблемно-ориентированным, но и показать связь между отдельными предметными областями. Разумеется, как и при классических уроках, центральное место при проведении уроков с интерактивными досками принадлежат тематическому наполнению, зависящему от направленности и назначения уроков.

Библиографический список

1. Галишникова Е.М. Использование интерактивной доски в процессе обучения // Учитель, 2007. №4. С. 8-10.

2. Голодов Е.А., Гроцкая И.В., Бельченко В.Е. Интерактивная доска в школе. Волгоград: Учитель, 2010.

3. Роберт И.В. Современные информационные технологии в образовании. М: Школа-Пресс, 1994.

4. http://www.smartboard.ru/view.pl?mid=l 140503470

МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОБУЧЕНИЯ СТУДЕНТОВ-ЭКОНОМИСТОВ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ С ПРИВЛЕЧЕНИЕМ ЗАДАЧ ПРОГНОСТИЧЕСКОГО ХАРАКТЕРА

Е.В. Лебедева, В.Д. Селютин

В статье излагается способ обучения студентов-экономистов вероятностно-статистическим методам на основе прогнозирования. Раскры-

вается сущность разработанного содержания курса теории вероятностей и методических приёмов его изучения с привлечением задач прогностического характера.

Ключевые слова: прогнозирование, теория вероятностей, прикладная направленность, студенты-экономисты, статистические представления.

На современном этапе своего развития общество предъявляет все более высокие требования к высшей школе. В условиях рыночной экономики особенно остро встает вопрос подготовки высококвалифицированных специалистов экономического профиля. При этом особую роль играет овладение ими вероятностно-статистическими методами, поскольку любая предпринимательская деятельность связана с неопределенностью достижения конечного результата из-за влияния большого числа случайных и неконтролируемых факторов. Важное значение имеет изучение основ науки о случайном для формирования умений планировать и прогнозировать экономические процессы. Высшими образовательными учреждениями накоплен достаточно богатый опыт в обучении теории вероятностей будущих специалистов в области экономики. Однако проблема прикладного характера этого раздела вузовской математики остается не решенной. Современные учебные пособия, как правило, не содержат задач с профессионально ориентированным содержанием, с помощью которых студенты могли бы утвердиться в мысли, что теория вероятностей действительно важна в их будущей профессиональной деятельности.

Данное обстоятельство заставляет нас обратить внимание на то, что в изучении теории вероятностей не задействованы механизмы мотивации, связанные с заинтересованностью студентов в овладении умениями планировать и прогнозировать экономические процессы. Они не осознают тех возможностей, которые даёт изучение теории вероятностей для предвидения кризисных явлений, для построения прогнозов о перспективах развития экономических объектов и процессов в будущем.

Поэтому прогнозирование должно быть внедрено в методическую систему обучения теории вероятностей будущих экономистов в качестве способа реализации его прикладной направленности, а это позволит существенно повысить качество усвоения базовых вероятностных понятий, одновременно способствуя формированию и актуализации определенных профессионально значимых умений выявления экономических тенденций.

Предложенный способ соответствует требованиям к подготовке студентов по теории вероятностей, установленным в Государственном образовательном стандарте высшего профессионального образования по экономическим специальностям. Однако традиционно сложившееся содержание и последовательность изучения теории вероятностей становятся в некоторой степени помехой его осуществлению, так как некоторые понятия теории вероятностей, изучаемые по традиционной методике, не согласуются с идей

прогнозирования как способа осуществления прикладной направленности. Поэтому изучение теории вероятностей должно базироваться на статистических представлениях, которые составляют ее эмпирическую основу. Необходимо начинать с темы «Первичная обработка результатов опытов», которая будет способствовать формированию у студентов первичных статистических представлений и позволит развить умения и навыки, необходимые для осуществления начальных этапов прогнозирования.

Сведенные в таблицу или представленные графически статистические данные наталкивают студента на попытки экстраполировать подмеченные свойства объектов выборки на всю генеральную совокупность, спрогнозировать динамику экономических показателей.

Пример. Владелец фирмы считает, что добиться более высоких финансовых результатов ему помешала неравномерность поставок комплектующих по месяцам года, несмотря на то, что поставщик в полном объеме выполнил свои обязательства за год. Распределение поставок по месяцам года представлено на рис. 1.

На какой объем поставок может рассчитывать владелец фирмы в будущем? Изобразите «предполагаемый» отрезок на графике.

Взаимодействие с накопленным в целях прогнозирования эмпирическим материалом, знакомство с конкретными экспериментальными проявлениями закона больших чисел способствуют развитию представлений о статистической устойчивости в мире случайностей, упорядоченности случайных факторов. В результате складываются благоприятные возможности для естественного перехода к некоторым вероятностным понятиям непосредственно от своих статистических предшественников в терминологии прогнозирования.

Базовые вероятностные понятия (вероятность, математическое ожидание, график функции распределения, график плотности распределения и др.) целесообразно вводить на основе «теоретически ожидаемых» математических абстракций в ходе мысленного прогнозирования при неограниченном увеличении числа опытов:

- вероятность события как результат прогнозирования значений частоты;

- математическое ожидание случайной величины как результат прогнозирования выборочной средней;

- график функции распределения вероятностей случайной величины как результат прогнозирования конфигураций ломаных накопленных частот;

Рисунок 1 - Распределение поставок комплектующих

- график плотности распределения вероятностей как результат прогнозирования конфигурации гистограммы;

- линия регрессии как результат прогнозирования ломаной средних (эмпирической линии регрессии);

- коэффициент корреляции двух случайных величин как результат прогнозирования эмпирического коэффициента корреляции двух признаков.

При данном подходе к введению базовых вероятностных понятий предлагается рассматривать мотивирующие примеры, обеспечивающие через их анализ переход от конкретного к абстрактному и только затем к формальным построениям.

Например, рассматривая сведения о времени, определяющем длительность инвестиционного проекта жилищного строительства, ставим задачу спрогнозировать, насколько велика вероятность того, что длительность инвестиционного проекта составит менее 12 месяцев.

Построив гистограмму, студенты делают вывод, что вероятность завершения инвестиционного проекта менее чем за 12 месяцев можно приближенно оценить в 55%. Более того, они прогнозируют поведение конфигурации гистограммы в условиях массового статистического исследования. Создается благоприятная ситуация, чтобы сформулировать свойство устойчивости гистограммы: при увеличении числа опытов и измельчении интервалов группировки конфигурация гистограммы непрерывного признака приближается (за редким исключением) к некоторой линии. Эту теоретически ожидаемую линию называют графиком плотности распределения у = f(x) (рис.2).

Введение каждого нового вероятностного понятия требует закрепления путем прямого и непосредственного вычисления (нахождения или построения). Закрепление изученных вероятностных понятий и методов следует проводить путем математического моделирования статистических экономических ситуаций прогностического характера. При этом возможно осуществление всех этапов решения прикладных задач: от постановки цели на языке прогнозирования, через выбор вероятностно-статистических средств ее достижения и получения математического результата, к истолкованию его в терминах построения прогноза.

Например, с целью закрепления формул полной вероятности и Байеса студентам предлагаются данные, полученные в ходе обследования населения по вопросам занятости (табл.1), и поручается сделать предположение (прогноз) об уровне образования лица, которое в ближайшее время может

Рисунок 2 - Гистограмма и график плотности распределения

стать безработным, если из 250 безработных оказалось 82 мужчины и 168 женщин.

Таблица 1 - Распределение безработного населения Орловской области по уровню образования

Пол

Мужчины

Женщины

Образование

Высшее образование

0,189

0,811

Средне-профессиональное образование

0,458

0,542

Общее среднее образование

0,306

0,694

Не имеют среднего образования

0,375

0,625

Информация о распределении мужского и женского экономически активного, занятого и безработного населения по уровню образования и её вероятностная интерпретация позволяют студентам рассматривать относительные частоты как оценки условных вероятностей появления соответствующих событий.

Например, если 0,304 - доля имеющих высшее образование лиц среди безработных женщин, то 0,3 - оценка вероятности наличия у безработного высшего образования при условии, что это женщина.

Используя формулу полной вероятности, студенты выполняют расчеты, которые позволяют предположить, что у лиц с общим средним образованием возможность стать безработным выше, чем у лиц с высшим образованием в 0,607/0,515 =1,18 раза.

Как показывает практика, обучение студентов-экономистов теории вероятностей с использованием элементов прогнозирования способствует лучшему усвоению вероятностно-статистических понятий. Студенты более осознанно применяют изученные методы в сфере профессиональной деятельности, связанной с экономическим прогнозированием.

МУЗЫКА В МАТЕМАТИКЕ

С.Ю. Луконина, Л.Р. Шакирова

Статья посвящена проблеме взаимосвязи науки и искусства на примере математики и музыки. Рассматриваются средства развития интереса учащихся к математике.

Ключевые слова: наука, искусство, математика, музыка, Пифагор.

Раздумывая об искусстве и науке, об их взаимных связях и противоречиях, я пришел к выводу, что математика и музыка находятся на крайних полюсах человеческого духа, что этими двумя антиподами ограничивается и определяется вся творческая духовная деятельность человека и что между ними размещается все, что человечество создало в области науки и искусства.

Генрих Нейгауз

Наука и искусство тесно связаны между собой. Нельзя воспитать гармонически развитую личность, не учитывая принципы художественной педагогики, художественного познания жизни. Влияние искусства на развитие эмоциональной сферы школьника, личностные качества, развитие фантазии, интуиции, воображения - доказывают и научные исследования и повседневная жизнь. Эмоционально развитый ребенок во много раз быстрее освоит науки, справится с любыми проблемами успешнее, чем человек-робот, многому обученный, но мало чувствующий. Искусство повышает творческий потенциал и познавательную активность. Очень важно, чтобы способы познания мира - научный и художественный - гармонично сочетались в урочной и внеурочной деятельности. Только единство этих двух видов познания, их гармония могут дать нам мыслящую, чувствующую личность, способную к преобразованию жизни по законам красоты.

Математика с древних времен была связана с искусством. Долгое время затруднялись, куда ее отнести: к естественным или гуманитарным наукам. Первые теоретические образы прекрасного и первые абстракции, понятия о прекрасном были связаны с математикой и развивались на ее основе.

Математика - это язык, на котором говорят не только наука и техника, математика - это язык человеческой цивилизации. Она практически проникла во все сферы человеческой жизни. Современное производство, компьютеризация общества, внедрение современных информационных технологий требуют математической грамотности. Это предполагает и конкретные математические знания, и определенный стиль мышления, вырабатываемый математикой.

Идеи, заложенные в методике преподавания, основаны на нестандартности подачи материала, который более полно раскрывает красоту окружающего мира и показывает связь с ним, объясняет совершенство окружающих нас форм. Это проявляется в использовании путей и методов для реализации эстетического потенциала математики на уроках и во внеурочной деятельности, в изучении математики как части искусства и культуры.

Самое важное - вызвать у учеников интерес к предмету и пробудить желание заниматься математикой в дальнейшем.

Успешными средствами в развитии интереса к математике являются:

1. Разработка разовых интегрированных уроков и элементов уроков.

2. Разработка компьютерных презентаций и уроков, объединяющих материал одного или ряда предметов.

3. Рождение новых спецкурсов, обновляющих содержание математики, и спецпредметов в рамках предпрофильной и профильной подготовки учащихся.

4. Рассказ учителя или реферативный доклад учащегося - красивая история или легенда о математическом открытии, числе, формуле.

Рассмотрим опыт работы учителей математики медико-биологического лицея № 116 Вахитовского района г. Казани. В данную школу ребята идут целенаправленно изучать биологию и химию. Поэтому учителя алгебры и геометрии особое внимание уделяют развитию интереса к их предметам, так как эти две науки нужны для изучения профилирующих предметов, для развития логического мышления, воображения и красоты мысли, для сдачи ЕГЭ.

Так, например, под руководством учителя I категории Салиной Натальи Юрьевны ее учеником проведена и представлена на Ломоносовских чтениях исследовательская работа по взаимосвязи математики и искусства под названием «Алгебра музыки», занявшая I место. В данной работе ученик показал, что математика и музыка - два полюса человеческой культуры, две системы мышления.

Математика связана со строгим логическим мышлением, упорядоченным и неограниченным пространством чисел. Музыка связана с воображением, фантазией, многогранным и многоцветным восприятием, с таинственным и также безграничным миром звуков. Музыка принимает многообразие, математика - единственность. Музыка действует на чувства, душу, математика - на разум. Однако связь математики и музыки обусловлена как исторически, так и внутренне, несмотря на то, что математика - самая абстрактная из наук, а музыка - наиболее отвлеченный вид искусства. И эту связь можно найти уже в «назначении» математики и музыки. Цель человека - познание мира, а в идеале - истины мира. Поскольку человек - не каменное образование, не бездушная машина, в нем присутствует то, что не поддается логике (и можно назвать «это» красивым словом иррациональность). Однако без «почвы под ногами» также невозможно представить себе жизни, поскольку каждая вещь материального мира несет эмоциональную нагрузку, а значит, нельзя и без рациональности.

Музыка, на наш взгляд, является «идеальным» из всех видов искусства, поскольку она способна непосредственно воздействовать на чувства человека, а значит, на его иррациональную часть. Из вышесказанного можно заключить, что если человек не может жить либо без одной, либо без другой своей части, значит части не могут жить друг без друга, как не могут быть разъединены и идеальные инструменты их познания, откуда следует, что музыка и математика навек соединены в человеке. И именно человек, как существо думающее и стремящееся дать оценку и объяснение всему проис-

ходящему, действительно оценил и сам нашел взаимосвязь музыки и математики.

Также в этой работе рассматривались такие вопросы, как музыкальная гармония Пифагора и пифагорова комма.

Пифагор был не только математиком и философом, но и теоретиком музыки. Он занимался поисками музыкальной гармонии, поскольку верил в то, что такая музыка необходима для очищения души и врачевания тела и способна помочь разгадать любую тайну. Однажды, проходя мимо кузницы, Пифагор случайно услышал, как удары молотов создают вполне определенное созвучие, и после этого занялся экспериментами, пытаясь найти соотношения между высотой тона и числами. С помощью чаши с водой и однострунной арфы он изучил взаимосвязь между уровнем воды и длиной струны и обнаружил, что половина длины струны поднимает ноту на одну октаву вверх. Восемь звуков — до, ре, ми, фа, соль, ля, си, до — древнейшая музыкальная гамма. В наши дни темперированная гамма включает в себя двенадцать нот, включая диезы и бемоли, но в основе ее лежит изобретение, за которое мы должны благодарить Пифагора.

Необычность открытия заключалась в том, что сочетание звуков, издаваемых струнами, наиболее благозвучно, если длины струн музыкального инструмента находятся в правильном численном отношении друг к другу.

В основе музыкальной системы были два закона, которые носят имена двух великих ученых - Пифагора и Архита. Вот эти законы:

1. Две звучащие струны определяют консонанс, если их длины относятся как целые числа, образующие треугольное число 10=1+2+3+4, т.е. как 1:2, 2:3, 3:4. Причем, чем меньше число п в отношении п/(п+1) (п=1, 2, 3), тем созвучнее получающийся интервал.

2. Частота колебания w звучащей струны обратно пропорциональна ее длине 1. w=a/l, где а - коэффициент, характеризующий физические свойства струны.

Рассмотрим сущность пифагоровой коммы.

Итак, для того, чтобы иметь возможность переходить из лада в лад и из тональности в тональность, строй должен быть равномерным, т.е. иметь одинаково высотные расстояния (интервальные коэффициенты) между звуками.

Рассмотрим ряд, составленный из степеней числа 3/2:

Оказывается, с помощью этого красивого симметричного ряда можно получить все интервальные коэффициенты пифагорова строя. Начнем с середины ряда и все получаемые звуки будем сводить в одну октаву, умножая или деля их интервальные коэффициенты на нужные степени числа 2 (интервальный коэффициент октавы). Новые звуки будем обозначать либо ближайшим снизу основным звуком с добавлением слова «диез» при движе-

нии по квинтам вверх, либо ближайшим сверху основным звуком с добавлением слова «бемоль» при движении по квинтам вниз. Это означает соответственно повышение или понижение основного звука. Итак,

Получается, что простой математический анализ многих музыкальных шедевров позволяет совершенно иными глазами взглянуть на них, увидеть их скрытую внутреннюю математическую красоту, которую мы только ощущаем, слушая произведение.

Таким образом, исследовательская работа формирует интерес к научному творчеству, обучает методике и способам самостоятельного решения научно-исследовательских задач, развивает творческое мышление и самостоятельность, а также воображение и красоту мысли. Это способствует и повышению интереса учащихся к получению знаний вообще и к изучению математики в частности.

Библиографический список

1. http://www.mathforum.ru

2. Пенкин М. Искусство и наука. М.: Современник, 1982.

КОМПОНЕНТЫ ПОЗНАВАТЕЛЬНОЙ САМОСТОЯТЕЛЬНОСТИ СТУДЕНТОВ ПРИ ИЗУЧЕНИИ МАТЕМАТИКИ

Е.Н. Лыков

В статье рассмотрены компоненты познавательной самостоятельности студентов при изучении математики и указаны некоторые способы их формирования.

Ключевые слова: познавательная самостоятельность студентов, мотивационный компонент, задачи на практическое содержание, диффе-

ренциальные уравнения, содержательно-операционный компонент, научные общества, волевой компонент, летние математические школы.

Вопрос о познавательной самостоятельности уходит своими корнями в глубокую древность. Ещё Сократ подчёркивал важность специального руководства познавательной активности и самостоятельности в процессе обучения. Углубление мысли о познавательной самостоятельности как средстве активизации обучения получило в работах Я.А. Каменского, а затем в трудах И.Г. Песталоцци.

Исследователи вкладывают разный смысл в содержание понятия познавательной самостоятельности. Очевидно, это интегративное свойство личности, требующее системного подхода к его анализу.

Познавательная самостоятельность характеризуется такими проявлениями, как саморегуляция познавательной деятельности, синтез познавательного мотива и способов самостоятельного поведения, устойчивое отношение обучаемых к познанию [6].

Можно выделить следующие компоненты познавательной самостоятельности студентов.

1. Мотивационный компонент.

Мотив - это внутренний стимул к действию, осознанное побуждение для определённого вида действия. Мотивационный компонент познавательной самостоятельности характеризуется побуждением к деятельности, которое возникает на основе осознания противоречия между возникшей познавательной потребностью и возможностью её удовлетворения своими силами. Он включает мотивы долга и интереса.

Для развития интереса студентам необходимо на занятиях давать различные задачи на практическое содержание, а также задачи, которые имеют оригинальные решения.

Например, при изучении темы «Системы дифференциальных уравнений» студентам может быть предложена следующая задача:

Миноносец охотится за подводной лодкой в густом тумане. В какой-то момент времени туман поднимается и подводная лодка оказывается обнаруженной на поверхности воды на расстоянии 3 миль от миноносца. Скорость миноносца вдвое больше скорости подводной лодки. Требуется определить траекторию (кривую погони), по которой должен следовать миноносец, чтобы он прошёл точно над подводной лодкой, если последняя сразу же погрузилась после её обнаружения и ушла на полной скорости прямым курсом в неизвестном направлении [1, с. 38].

Решение данной задачи сводится к решению системы дифференциальных уравнений :

где V - скорость подводной лодки, — скорость, с которой миноносец удаляется от полюса, а — линейная скорость вращения миноносца относительно полюса.

Дифференциальные уравнения дают возможность решать многие вопросы общетехнических и специальных прикладных дисциплин: физики, теоретической механики, сопротивления материалов, гидравлики, химии, биологии, экономики. Поэтому вместо приведённого примера можно было бы привести и бесконечное множество других ещё более интересных и оригинальных. То же самое наблюдается и при изучении других тем и разделов математики.

Проводилось анкетирование среди студентов физико-математического и инженерно-физического факультета. Более 95% опрашиваемых студентов высказались за то, что им необходимо решать задачи, которые имеют практический смысл. Более 60% считают, что недостаточным решить задачу одним способом и при решении задачи необходимо продумать другие возможные способы её решения.

2. Содержательно-операционный компонент.

Этот компонент познавательной самостоятельности студентов включает в себя систему ведущих знаний и способов учебно-познавательной деятельности, которые определяют умение самостоятельно овладевать новыми знаниями и способами деятельности.

Студенты должны уметь планировать свою деятельность, рационально её организовывать, определять пути и средства выполнения работы, осуществлять самоконтроль, организовывать её достижение и т.д.

Для того чтобы человек имел знания в какой-либо сфере деятельности, необходимо систематически заниматься этим вопросом.

Например, учащиеся музыкальных школ каждый день не менее чем по одному часу играют на музыкальном инструменте, тем самым оттачивают мастерство, и уже на пятом году обучения могут исполнять очень сложные музыкальные произведения известных классиков.

Для организации самостоятельной работы большую роль могут сыграть научные общества, где заинтересованные студенты хотя бы один раз в неделю смогут собираться и обсуждать подготовленные доклады, научные статьи, возможно, какие-то задачи и проблемы.

Руководитель научного студенческого общества поможет студентам организовать работу в поиске информации и её изучении. И только еже-

дневный кропотливый труд поможет студенту на пятом году обучения самостоятельно изучать труды выдающихся математиков. 3. Волевой компонент.

Самостоятельное продвижение в познании даже при наличии стремления к овладению знаниями и чёткой организации работы может не произойти, если обучаемый не совершит определённого волевого усилия. Поэтому волевой компонент, в основе которого лежит готовность к совершению волевого усилия по преодолению познавательного затруднения и её реализация в деятельности, является неотъемлемой частью познавательной самостоятельности.

Как сказано выше, только кропотливый труд может привести к какому-либо результату. Однако определённые бытовые причины могут помешать грамотно спланировать свою работу и достигнуть желаемого.

Приведём ещё одну аналогию, используя уже студентов спортивных факультетов. Иногда для спортсменов организуются сборы на учебно-спортивной базе. Здесь студенты тренируются на свежем воздухе, для них организовано питание и созданы условия для достижения отличных результатов.

Для того чтобы студенты-математики имели такие же возможности, необходимо организовывать летние математические школы.

Летние математические школы могут быть различны и по содержанию занятий, и по принципам организации, но во всех школах создаётся высокоинтеллектуальная, творческая атмосфера, осуществляется программа обучения, в которой органично соединены и занятия, и культурный досуг, и отдых, и обучение. В круг интересов входят не только наука, но и вопросы общественной жизни, культуры.

Юность неразлучна со спортом, и спортивные соревнования, секции, туристические походы обеспечат ребятам здоровье.

Можно закрепить со временем определённые традиции, например, «симпозиум фантастических проектов», как в Новосибирском государственном университете, или спортивно-математические состязания и празднование Дня математика, как в Красноярской летней школе, и многое другое.

Наличие возле летней математической школы крупного водоёма или реки может поспособствовать проведению математическо-спортивной эстафеты под названием «Дифференциальный катамаран», суть которой состоит в том, что участники должны продемонстрировать не только быструю скорость при передвижении на катамаране, но и быструю смекалку при решении дифференциальных уравнений. При этом и то и другое они должны делать одновременно.

Организовывать такую работу смогут молодые преподаватели, однако на отдельные мероприятия необходимо приглашать выдающихся деятелей науки, профессоров, академиков, организовывать Интернет-общение.

Студенты, обучаемые в летней математической школе, могут также проводить математические олимпиады среди воспитанников детских оздо-

решительных лагерей, тем самым будет организована профориентационная работа с молодёжью на самом раннем этапе.

Итак, мы рассмотрели компоненты познавательной самостоятельности студентов. Очевидно, решение проблемы формирования познавательной самостоятельности надо искать на пути моделирования всех трёх выше названных компонентов, и только через их единение мы придём к высоким результатам.

Библиографический список

1. Амелькин В.В. Дифференциальные уравнения в приложениях. М.: УРСС, 2003.

2. Вестник ЕГУ им. И.А.Бунина. Вып. 17.: Серия «Педагогика» (История и теория математического образования). Елец: ЕГУ им. И.А.Бунина, 2008.

3. Лунгу К.Н., Норин В.П., Письменный Д.Т., Шевченко Ю.А. Сборник задач по высшей математике. 2 курс. Под ред. С.Н. Федина. М: Айрис-пресс, 2004.

4. Пономарёв К.К. Составление и решение дифференциальных уравнений инженерно-технических задач. М: Просвещение, 1962.

5. Профессиональная подготовка в высшей педагогической школе накануне XXI века. Межвузовский сборник научных трудов. Под ред. Э.Д. Новожилова. М: МПУ, ЕГПИ, 1997.

6. Саранцев Г.И. Формирование познавательной самостоятельности студентов педвузов в процессе изучения математических дисциплин и методики преподавания математики. Саранск: МГПИ, 1997.

7. 7. Энциклопедический словарь юного математика. Сост. А.П. Савин. М.: Педагогика, 1989.

К ВОПРОСУ О ПОДГОТОВКЕ К ГИА ПО АЛГЕБРЕ В КЛАССАХ С УГЛУБЛЕННЫМ ИЗУЧЕНИЕМ МАТЕМАТИКИ

Т.К. Малечкина

В статье говорится о методике подготовки к ГИА учащихся 9 классов (классы с углубленным изучением математики)

Ключевые слова: ГИА, подготовка к экзамену, алгебра 9 класс.

Вопрос, касающийся подготовки к ГИА учащихся в 9 классах по алгебре в новой форме, достаточно объемный и несомненно актуальный.

В первую очередь в силу новизны формы. Экзамен по алгебре - итог работы и ученика, и учителя на протяжении пяти лет обучения в школе, и подготовка к нему является важной составляющей учебного процесса. Несомненно, эта фраза характеризует идеальный вариант: когда, зная, к чему в итоге мы должны прийти, гораздо легче создавать систему не только подготовки к экзамену, но и обучения в целом.

Но, как показывает практика, наиболее остро проблема подготовки к экзамену встает в 8 классе. В нашей гимназии это связано, в первую очередь, с тем, что именно на этом этапе организации учебного процесса осуществляется внешняя дифференциация (учащиеся впервые выбирают профиль в 8-х классах).

Таким образом, возникает ряд психолого-педагогических и методических проблем.

Во-первых, социальная адаптация учащихся данной возрастной группы проходит более длительно и остро по сравнению, например, с учащимися 10-х классов, что связано непосредственно с переходным возрастом детей. Именно в этот период психологи наблюдают спад в мотивации обучения учащихся. Нельзя не упомянуть о такой проблеме, как демографический спад, и в связи с ним определенную борьбу за учеников. Многие учащиеся приходят в класс не совсем готовые к углубленному изучению математики, хотя и имеют определенные задатки и математические способности. Поэтому при внешней дифференциации классов просто необходимо производить внутреннюю дифференциацию, то есть индивидуализацию обучения.

Вторая проблема связана с выбором учебника. К сожалению, невозможно создать один идеальный учебник, и даже если нам дать только одну книгу, то творчески мыслящий учитель все равно будет что-то придумывать, доставать еще какие-то учебники, чтобы посмотреть, «а что же там?». На эту проблему нужно взглянуть под другим углом, а именно как на проблему существования единой системы оценки качества знаний, которую как раз и призван решить ГИА, а дальше пусть учитель подбирает себе то, что ему ближе. Поэтому при выборе учебника мы остановились на учебном комплекте «Алгебра 8, 9», авт. Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова и учебном пособии «Алгебра. Дополнительные главы к школьному учебнику 8, 9 класса», авт. Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк. С одной стороны, комплект содержит материал обязательного минимума основной общеобразовательной программы, с другой стороны, материал, соответствующий профильному изучению математики, строится по принципу модульного дополнения действующих учебников и естественным образом примыкает к курсу, углубляет и расширяет его. Такой подход к изложению материала дает большие возможности для внутренней дифференциации и позволяет удовлетворить интересы всего класса.

Планируя свою работу, каждый учитель создает систему не только подготовки к экзамену, а обучения в целом! Система работы учителя включает в себя несколько аспектов - методический, организационный, психолого-педагогический. Здесь и выбор учебника, подходящего учителю и учитывающего специфику конкретного класса, и особенности планирования (кто-то, например, любит блочное изложение материала), и система контроля знаний (сочетание письменного контроля и устного), и разнообразные формы организации урока, включая уроки нестандартные, интегрированные, проекты и пр. У каждого учителя своя система работы, свой «конек». Чтобы

система функционировала должным образом и выдавала хорошие результаты, надо отладить ее компоненты, их взаимодействие. Это происходит с годами и с опытом. А опытом надо обмениваться, примеряя к себе то, что заинтересовало в работе коллег.

Так как в данной статье идет речь о работе в классах с углубленным изучением математики, то такой путь, как натаскивание, для учащихся не приемлем, хотя и позволяет решить сразу несколько проблем. А именно, во-первых, справиться с психологическим барьером (задания в форме тестов, распределение времени на легкие и сложные задания), во-вторых, выявить пробелы в знаниях учащихся, начиная с 5-го класса, повторить сравнительно давно изученные темы. Но такой тип обучения направлен на применение знаний в стандартных условиях. От учащихся в профильных классах требуется более глубокое знание и понимание материала: умение интегрировать знания из различных тем курса алгебры, уверенное владение формально-оперативным математическим аппаратом, а также широкий набор приемов и способов рассуждений, умение математически грамотно и ясно записывать решения, приводя при этом необходимые пояснения и обоснования.

Учитывая выше перечисленные требования к подготовке учащихся профильных классов, не удивительно, что атрибутом практически всех экзаменационных работ высокого уровня становятся задачи с параметрами. Решение уравнений и неравенств с параметрами - один из труднейших разделов школьного курса математики. Здесь, кроме использования определенных алгоритмов решения уравнений и неравенств, приходится обдумывать, по какому признаку нужно разбить множество значений параметра на классы, следить за тем, чтобы не пропустить какие-либо тонкости. Здесь проверяется не «натасканность» ученика, а подлинное понимание материала.

Предлагаем один из вариантов урока по изучению решения уравнений с параметром в 8 классе.

Тема: «Решение линейных уравнений и уравнений, приводимых к линейным, содержащих параметр».

Тип урока: комбинированный.

Цели: способствовать овладению алгоритмом решения линейных уравнений с параметром; сформировать умение решать уравнения, приводимые к линейным, содержащие параметр; развивать логику мышления; обучать рациональным способам познавательной деятельности.

Ход урока.

I. Организационный момент.

II. Повторение изученного.

На данном этапе целесообразно повторить основные понятия темы «Одночлены» и «Многочлены» и привести примеры.

III. Изучение нового материала.

Объяснение учителя: сообщение общих подходов к решению линейных уравнений.

Определение. Уравнение вида А(а)х - В (а) = 0, где А(а) и В (а) - выражения, зависящие только от параметра а, а х - неизвестное, называется линейным уравнением относительно х.

Далее следует сделать обобщение данного определения на случай уравнения не с одним, а с несколькими параметрами. Например А(а,Ь)х -В(а, Ь) = 0

Способ решения:

Уравнение приводится к виду А(а)х = В (а)

1) при А(а)ф О имеет единственное решение

при каждой паре допустимых значений параметров.

Допустимыми мы будем считать те значения параметров, при которых А (а) и В (а) - действительные числа.

2) при А(а) =0иВ(а) = 0

мы приходим к уравнению вида 0х=0, где х- любое число,

3) приА(а) =0иВ(а)ф0

мы приходим к уравнению видаА(а)х=0, корней нет.

IV. Первичное осмысление и закрепление изученного.

Так как алгоритм решения известен, то разбор примера решения линейного уравнения с параметром можно предложить одному, более сильному ученику класса у доски с подробным объяснением. Если таких учащихся нет, целесообразно учителю самому разобрать решение примера.

Пример 1.

-это уравнение является линейным относительно х. Оно имеет смысл при любых действительных значениях параметра а. Приведем его к виду:

При а = 1 оно принимает вид: Ох = 0, т.е. решением его служит любое действительное число.

При а = - 1 уравнение имеет вид: Ох = 2, т.е. корней нет.

При а Ф ± 1 уравнение имеет единственное решение (это значит, что каждому допустимому значению а соответствует единственное значение х).

При записи ответа стоит напомнить учащимся, что решить уравнение с параметром - значит для каждого значения параметра указать множество корней соответствующего уравнения.

Следующее уравнение решает на доске учащийся. Пример 2. Решить относительно х:

Решение. По смыслу задачи (т-1)(х+3)ФО, т.е. тф1, хф-3. Умножив обе части уравнения на (т-1)(х+3)ф0 и выполнив тождественные преобразования, получим уравнение

Получили линейное уравнение с параметром, алгоритм решения которого известен. Подводим итог решения данного уравнения.

Теперь необходимо проверить, нет ли таких значений т, при которых найденное значение х равно - 3.

Таким образом, при тф2,25 и тф-0,4 уравнение имеет единственное решение

При m = 2,25 и m = - 0,4 корней нет, При m = 1 уравнение не имеет смысла.

Далее следует провести обсуждение решения, обобщение, сделать выводы. Задать вопрос учащимся: «Верно ли обратное утверждение?»

Необходимо иметь в виду, что если при каком-нибудь значении параметра m = то данное уравнение не имеет смысла, то, разумеется, и решения нет при m = то. Обратное утверждение неверно. Нельзя утверждать, например, что при m = - 0,4 решенное выше уравнение не имеет смысла. Если в уравнение (1) подставить m = - 0,4, получится вполне определенное уравнение

(2)

Значит, при m = - 0,4 уравнение (1) имеет смысл. Однако корней это уравнение не имеет, т.к. корень х = - 3 уравнения 53х = - 159, к которому сводится уравнение (2), является для него посторонним.

Таким образом, допускается следующая форма записи ответа.

При решении следующего уравнения можно предоставить учащимся большую самостоятельность, не исключая возможности консультирования с учителем или одноклассниками.

ПримерЗ. Решить относительно х:

Решение: хф±Ь2.

Умножив обе части уравнения на Ъ1 -х2^0 и выполнив тождественные преобразования, получим уравнение

При а=Ь оно принимает вид: Ох=х, т.е. удовлетворяет любым значениям х, кроме X = ±Ь2.

Найдем теперь те значения аи Ь, при которых

V. Самостоятельная работа. (Дифференцированные задания) Для контроля можно дать задание: самостоятельно решить уравнения по вариантам.

Вариант 1.(для менее подготовленных учеников)

Вариант 2.

Вариант 3.

Вариант 4. (для более подготовленных учеников)

VI. Подведение итогов урока.

Учитель. Сегодня мы применили алгоритм решения линейных уравнений к уравнениям, содержащим параметр, т.е. к более общим случаям. Приобретенные навыки позволят вам в дальнейшем решать не только линейные уравнения в общем виде, но и нелинейные уравнения, неравенства.

VII. Домашнее задание.

К ВОПРОСУ ОБ УГЛУБЛЕННОМ ИЗУЧЕНИИ МАТЕМАТИКИ В СРЕДНЕМ ЗВЕНЕ (8, 9 КЛАССЫ)

Т.К. Малечкина

В статье рассмотрены некоторые аспекты углубленного изучения математики школьниками в среднем звене (8, 9 классы)

Ключевые слова: профильное обучение, углубленное изучение математики.

Профильное обучение в старших классах стало требованием времени, но переход к нему достаточно труден. Актуальным остается вопрос дифференциации обучения математике в среднем звене, позволяющей, с одной стороны, обеспечить базовую математическую подготовку, а с другой -удовлетворить потребности каждого, кто проявляет интерес и способности к предмету.

Математическое образование в системе основного общего образования занимает одно из ведущих мест, что определяется безусловной практической значимостью математики, ее возможностями в развитии и формировании мышления человека, ее вкладом в создание представлений о научных методах познания действительности. Таким образом, математика является не только учебным предметом, необходимым для будущей профессиональной подготовки по многим специальностям, но и предметом, обладающим большим общеобразовательным и развивающим потенциалом.

В классах физико-математического профиля основная цель обучения математике состоит в том, чтобы заложить фундамент математической культуры, включающий достаточно высокий уровень логического мышления, развитое пространственное воображение, глубокое понимание логических связей в построении курсов алгебры и начал анализа и геометрии, понимания роли математических понятий и методов в других разделах естествознания; высокий уровень вычислительных и других математических на-

выков, знакомство с программированием и использованием в обучении ИКТ. Другая важная сторона, тесно связанная с фундаментальной математической подготовкой, - развитие творческого начала, воспитание интереса к математическому творчеству.

Открытые уроки в математических классах обычно впечатляют умными ответами ребят, кажущейся легкостью работы учителя, интересным диалогом учителя и учеников, да и самих детей.

Приходится признать, что для занятий математикой на профильном уровне необходимы особые способности, но с одной оговоркой. Способности можно развивать, здоровый ребенок может очень многое. Гораздо чаще школьник не желает заниматься математикой, так как это занятие требует от него терпения и усидчивости и на первых порах не всегда вознаграждается. Поэтому основная проблема, стоящая перед учителем, работающим в профильном классе, заключается в том, чтобы его ученики, развивая свои способности к математике, не теряли интерес к решению сложных проблем. А интерес к углубленному изучению математики может появиться только тогда, когда уже есть некоторые успехи, когда ребенок не испытывает трудностей с основными законами математики и освоил школьную программу.

Подбор учеников, специальная программа заставляют много времени уделять изучению предмета. Но при подготовке к уроку на первое место выходит, как ни странно, не проблема подачи материала, а деятельность детей на уроке. Цель учителя - удовлетворить их глубокий интерес к познанию предмета.

Движущей силой учебного процесса является противоречие между выдвигаемыми ходом обучения познавательными и практическими задачами и уровнем знаний, умений и умственного развития школьника. А успех проведения урока в немалой степени зависит и от того, насколько точно удалось определить уровень сложности задач, которые позволили бы наиболее эффективно организовать процесс обучения.

Искусство учителя и заключается в том, чтобы, вооружая знаниями учащихся, последовательно подводить их к все более усложняющимся задачам и готовить к выполнению этих задач с таким расчетом, чтобы выполнение каждой новой задачи требовало от учащихся ровно столько самостоятельного труда и напряжения мысли, сколько могут проявить они при учете их возрастных и индивидуальных различий в данных условиях обучения.

Профильный класс требует меньше работы по усвоению алгоритмов решения, причем учащиеся значительно быстрее и часто самостоятельно обобщают показанные им приемы сразу на целый класс задач и с интересом применяют их в нешаблонных ситуациях. Конечно, и здесь должна быть проведена серьезная работа по осознанию каждого этапа алгоритма, но она проводится не на однотипных задачах.

Рассмотрим урок алгебры в 8 классе.

Тема: Корень из произведения и частного.

Тип урока: изучение нового материала.

Цели: доказать свойства квадратного корня из произведения и частного и показать их применение; формировать умение вычислять квадратные корни, упрощать выражения, решать уравнения, используя свойства; вооружить учащихся средствами управления своим мышлением и практическими действиями.

I. Мотивационный момент. Цель — настроить ребят на мыслительную деятельность, сосредоточить их внимание на усвоении не только действий с корнями, но и «приемов человеческой мысли». Главное, чтобы ученики поверили, что на уроке они действительно будут учиться практически применять приемы человеческой мысли.

II. Записывается в тетради выражение

Предлагается сократить эту дробь.

Ребята знают, что при

и что

и поэтому интуитивно приходят к такому решению:

III. Выписываются главные моменты решения:

1)

2)

значит

(4).

Вопрос: всегда ли эти равенства верны? Истинность равенств (1) и (3) следует из определения арифметического корня, а равенства (2) и (4) подсказала интуиция, а значит, это надо еще доказать.

IV. Доказывается, что

а) Выделите основные моменты доказательства:

1. Подкоренное выражение неотрицательно.

2. Правая часть неотрицательна.

3. Квадрат правой части равен подкоренному выражению, стоящему в левой части.

б) Проведите это доказательство про себя.

в) Проведите это доказательство вслух соседу по парте.

г) Сформулируйте словами то, что доказали (корень из квадрата неотрицательного числа равен произведению корней из этого числа, а так как

то корень из произведения двух одинаковых неотрицательных чисел равен произведению корней из этих чисел).

д) Прочитайте последнюю фразу и подумайте, верно ли аналогичное утверждение для разных множителей:

Учащиеся записывают в тетрадь и доказывают.

V. В тетради записывается пример, опровергающий утверждение: корень из произведения двух чисел равен произведению корней из этих чисел

Вопрос: а как же поправить его, чтобы оно стало верным?

Учащиеся делают обобщения:

VI. Итак, доказано, что

Но по аналогии с истинностью этого равенства можно предположить, что верно и такое равенство:

VII. а) Вопрос: кто возьмется доказать равенство (**)?

б) Вводим ограничения:

в) Предлагается придумать способ доказательства, при котором используется равенство (*)

VIII. Рассматриваются еще раз последовательно доказанные на уроке равенства:

2) 3)

Подводится итог: извлечение корня из произведения сначала распространили на случай, когда подкоренное выражение есть произведение двух не обязательно равных неотрицательных множителей, а затем и на случай трех различных неотрицательных множителей.

Предлагается сделать еще обобщение (это свойство распространяется на корни третьей, четвертой, п-й степени из произведения m чисел).

IX. Устно:

№1. Вычислите:

№2. Определите, верны ли равенства, и если верны, то при каком условии:

X. Теперь докажем, что

но сначала докажем более общее утверждение:

Это равенство доказывается традиционным способом, затем учитель предлагает такое доказательство:

но

следовательно

Равенство оказалось недоказанным. Учащиеся должны заметить это и доказать его:

XI. На обложке тетради (или в рамочке в тетради, или в блокноте формул) записывается:

XII. Закрепление изученного. № 1. Устно вычислить:

Обсудить два способа решения: как корень из произведения и как корень из частного.

№ 2. Решить уравнения (1-4 решаются устно, в 5-7 достаточно записать область допустимых значений).

№ 3. На «сладкое» дается задание: упростить выражение

Ответ: 2.

XIII. Итог урока.

Обратить внимание учащихся на полученные на уроке равенства и проговорить их словесную формулировку.

XIV. Постановка домашнего задания.

(в соответствии с пунктами и номерами учебного комплекта).

Итак, прокомментируем некоторые этапы урока.

Первое задание урока (сократить дробь) сразу включило учащихся в работу, знакомую по сути. Справиться же с теми моментами, которые еще не изучались и явились темой обсуждения, должны были помочь интуиция и понимание определения корня. Но этот пример позволял вплотную подойти к новой теме, выделить круг вопросов, которые надо решить в первую очередь. IV этап урока продуман с точки зрения организации деятельности учеников: намечен план, предложено осуществить его самостоятельно, предоставлена возможность сравнить доказательство с образцом и сформулировать его словами.

На V этапе продолжалась работа по достижению глубины понимания доказанного факта, его формулировки. Для этого правило формулировалось с умышленным пропуском слов о неотрицательности множителей произведения, стоящего под знаком корня. Для его опровержения необходимо было привести пример. Обобщение, сделанное учащимися, учитывает и тот случай, когда аЪ>0, но а<0, Ь<<0.

На VI этапе делается еще одно обобщение, затем уточняются условия его выполнения и дается доказательство (этап VII).

Этот этап, как впрочем и некоторые предыдущие, открывает простор догадке ребят, предлагает им участвовать в работе по поиску свойств квадратных корней и доказательству их. Причем постоянно возвращаются они к результатам, добытым ранее. Так появляется более простой способ доказательства равенства:

VIII этап урока — остановка, осмысление сделанного, закрепление в памяти учеников самых важных результатов.

IX этап — конкретизация. Дается ряд «безобидных» примеров, легких, причем связанных друг с другом одним способом решения. Казалось бы, материал понят и сомнений в этом не должно быть, но все-таки совершенно оправдано появление следующего задания этого этапа, которое контролирует понимание, а не простое механическое запоминание условий, при которых равенство л[аЬ=л[а4ь имеет смысл.

X этап возвращает к III этапу урока, обсуждается последняя проблема: будет ли верно равенство J^- =^jL, где а>0, Ь>01 Еще раз рассматривается традиционное доказательство. Появляется возможность убедиться в том, что только что полученные результаты можно сразу пускать в работу, использовать при доказательстве следующих фактов. Но для этого в данном случае требуется увидеть в частном -^fL произведение у[а • -J=. Момент интересен еще и тем, что ученики не успевают насладиться красотой доказательства, как сразу же им предлагается обнаружить то место, где их «обманули». Такие ситуации учат ребят осмысливать каждый этап при проведении любого доказательства. Действительно, их просто поражает, как это они пропустили момент, когда воспользовались тем, что надо доказать

Таким образом, наряду с развитием познавательного интереса к предмету, внедрением в процесс обучения ИКТ не стоит забывать о фундаментальности и научности предмета. Оставляя традиционно «сухим» и стандартным язык изложения профильного курса, необходимо использовать разнообразные методы обучения для активизации деятельности учащихся на уроке. Преподавать нужно всегда интересно.

О НЕКОТОРЫХ ОСОБЕННОСТЯХ ПРОЦЕССА ОБУЧЕНИЯ В МАЛОЧИСЛЕННЫХ КЛАССАХ

В.В. Малиновский

В статье предлагается определение понятия «малочисленный класс», рассматривается ряд особенностей процесса обучения в таких классах.

Ключевые слова: малочисленный класс, малокомплектная школа, дифференциация.

В настоящее время термин «малочисленные классы» в методической литературе стал достаточно распространенным. Увеличение частоты использования данного термина указывает на актуализацию проблем, связанных с преподаванием в таких классах. Однако точного определения понятия «малочисленный класс» до сих пор не предложено. Данный термин используется в методической литературе как интуитивно понятный и связывается, прежде всего, с понятием «малокомплектная школа», в качестве которых рассматриваются [5, с. 540] «неполные средние и средние школы с малой наполняемостью классов». Укажем, что там же используется и понятие «класс с обычной наполняемостью». Однако такая связь не является бесспорной. «Малокомплектность» школы указывает, прежде всего, на малое число классов-комплектов (число учеников в этих классах при этом не оговаривается). Малочисленность же класса явно указывает на число учеников в классе без указания типа школы (как показала практика, такие классы появляются и в «полнокомплектных» школах). Иными словами, «малокомплектность», как правило, влечет «малочисленность». Обратное - выполняется не всегда. Отсутствие взаимно однозначного соответствия указанных понятий указывает на некорректность их взаимной подмены и требует более детальной разработки понятия «малочисленный класс».

Любой учебный класс с точки зрения психологии является реальной формальной малой группой, нижняя граница размера которой определяется в 2-3 человека. Однако указанный термин нельзя использовать в качестве синонима понятия «малочисленный класс», поскольку верхняя граница такой группы превосходит размеры реальных классов, относящихся к малочисленным. Более правильным, на наш взгляд, будет соотнесение малочисленного класса с термином «микрогруппа». Ее границы, в частности в [1, 2], определяются как 3-15 человек. Однако полного отождествления указанных терминов производить нельзя в силу того, что психологи разрабатывали свои понятия и определяли границы групп, исходя из своих задач, которые не всегда совпадают с педагогическими.

Мы предлагаем следующее определение: «Под малочисленным классом будем понимать формальную микрогруппу школьников численностью до 12 человек, созданную для решения учебных задач».

Укажем, что данное определение не противоречит приведенному в [6] понятию «класс».

В соответствии с предложенным определением «малочисленным классом» будет не только привычный, устоявшийся класс с малым числом учеником, но и подгруппа для проведения каких-либо занятий (в том числе и факультативов), группа для занятий кружка и пр.

Учителя-практики отмечают, что с уменьшением числа учеников в классе субъективно становится легче работать. Однако если количество учеников переходит некоторое критическое число, то субъективные трудности работы начинают возрастать. В педагогической энциклопедии [5, с. 540] указывается, «малая наполняемость классов ограничивает возможность

применения ряда педагогических методов и приёмов, обусловливает повышенный контроль и опеку со стороны учителя, снижает темп урока, но в то же время создает лучшие условия для индивидуализации обучения».

Р.С. Немов [4, с. 562] указывает, что величина групп (то есть класса) не оказывает однозначного влияния на успешность ее деятельности. Однако увеличение или уменьшение количества членов в зависимости от задачи группы, ее структуры и взаимоотношений ее членов может повлиять на результаты работы. Положительными психологическими следствиями увеличения числа членов группы являются, в частности, следующие: с увеличением группы в ней появляется больше людей с ярко выраженной индивидуальностью; с ростом группы обычно повышается ее «ресурс талантов». Очевидно, что в малочисленных классах эти положительные факторы могут отсутствовать или оказаться весьма ограниченными. В то же время рост числа членов группы имеет и отрицательные педагогические и психологические следствия. В частности, большой группой трудно управлять, организовывать взаимодействие ее членов, налаживать между ними нормальные деловые и личные взаимоотношения; рост группы может привести к увеличению расхождений во мнениях и обострению взаимоотношений. Для малочисленных классов, когда число членов группы достаточно мало, некоторые из приведённых следствий из разряда негативных перейдут в разряд позитивных, то есть станут факторами, дающими возможность обеспечения хороших результатов работы группы, и наоборот, положительные факторы роста числа членов группы в малочисленном классе могут либо вообще не проявляться, либо сказываться в незначительной степени. В частности, очевидно, что малочисленный класс, по сравнению с обычным, более прост в управлении. Однако в таких классах в условиях недостаточности «ресурса талантов», малого расхождения во мнениях поиск методов выполнения заданий, отличных от традиционных, может оказаться весьма проблематичным. В то же время малое число учеников позволяет учителю уделить больше времени ученику, упрощает индивидуализацию заданий и т.п.

В достаточно большой степени различные традиционные методические приемы учителей направлены на увеличение времени непосредственного или опосредованного контакта с учеником. В малочисленных же классах, когда такая задача перед учителем не стоит, применение таких приемов теряет свою целесообразность. Даже самая простая работа у доски, когда несколько учеников выполняют задания учителя, может привести к ситуации, когда у доски работает большая часть класса.

В настоящее время большинство методистов связывают термин «малочисленный класс» исключительно с сельской школой, рассматривая проблемы преподавания в таких классах не с позиций малого числа учеников, а с позиций сельскости школы, выделяя проблемы общей организации ее работы в условиях села. Таким образом, мы оказываемся перед фактом, когда дидактические, методические, психологические исследования не ак-

туализированы на создание теории оптимального использования реально существующего источника организации индивидуального познания. По нашему мнению, это объясняется сложностью поиска путей преодоления отрицательных сторон явления «малочисленности» и выявления, максимального использования положительных сторон «малочисленного класса».

Возможность деления класса на подгруппы влечет появление малочисленных классов в условиях обычных полнокомплектных, а иногда и перегруженных, школ. Такие классы, как правило, имеют ярко выраженную профильную дифференциацию. Особенности обучения в этих классах рассматриваются только с позиций их профильности. Второй путь появления малочисленных классов в полнокомплектных (больших) школах - это факультативы. Учебная группа, организованная для факультативного изучения какого-либо предмета, достаточно часто является фактически малочисленным классом. Однако методика рассматривает факультативы также с позиций профильной дифференциации и не учитывает малочисленность учебных групп для этих занятий.

В последнее время ряд авторов указывают на специфичность преподавания в сельских школах, связанную, прежде всего, не с географическим положением таких школ, а с количеством учеников в классе. Эта специфика будет проявляться в любых «малочисленных классах» как в городских, так и в сельских школах. Этими авторами, в частности, указывается, что в малочисленных классах резко проявляются индивидуально-психологические особенности детей, нестабильность типологических групп учащихся, отсутствие в классе ученического актива, атмосферы соревновательности в усвоении знаний, что согласуется с указанными ранее психологическими следствиями малого числа членов класса. Кроме того, если исходить из наличия в классе трех типологических групп: хорошо и отлично успевающих учеников (I группа); среднеуспевающих (II группа) и слабоуспевающих школьников (III группа), то отсутствие в классе или на конкретном уроке одной или двух типологических групп учащихся - явление не редкое в малочисленных классах. Здесь же необходимо добавить и то, что в силу малочисленности классов границы типологических групп проявляются очень резко. Добавим также, что наблюдения автора позволяют сделать вывод о том, что малочисленность классов иногда провоцирует проблемы личной психологической совместимости учеников между собой, учеников и учителя. Методические особенности преподавания учебных дисциплин в таких условиях только разрабатываются, и, более того, в ряде работ явно указывается на недостаточность такой работы. Одной из необходимых составляющих успешной работы в условиях малочисленных классов, по мнению ряда авторов, является наличие специального учебника для таких классов. Подчеркнем, не просто учебника для сельских школ, а учебника для малочисленных классов.

Современная сельская школа, с одной стороны, малокомплектная, с другой стороны, школа, удаленная от крупных населенных пунктов, в

которых имеется возможность реализовать дифференцированный подход в обучении в рамках профильной дифференциации.

Количество учеников в каком-либо классе малокомплектной школы так мало, что организация параллели, содержащей профильный класс в этой школе, оказывается невозможной.

Эти обстоятельства, разумеется, не отменяют для сельских школьников необходимость их дифференцированного обучения. Важно, чтобы и сельские школьники имели возможность реализовать свои способности и желания так же, как и ученики городских школ.

Деление часто и без того малочисленных классов требует определенных материальных затрат, на которые государство идет, но при этом следует иметь в виду, что такие затраты будут оправданными только в том случае, когда исчерпаны все возможности уровневой дифференциации, которая часто экономически более выгодна, поскольку реализуется в рамках уже существующих классов.

В настоящее время организация уровневой дифференциации является фактически личным делом учителя, делом его совести, его профессионального отношения к своей работе. Естественно, при таком положении дел (учитывая, что не все школьники обучаются в рамках профильной дифференциации) невозможно гарантировать, что все ученики реализуют свое право на дифференцированное обучение. Выходом из сложившейся ситуации, как мы считаем, будет эффективное использование имеющихся и создание новых педагогических условий для учеников и учителей, когда уровневая дифференциация станет естественной составной частью педагогической технологии.

К таким условиям мы относим следующие. Во - первых, сложившуюся естественным путем в сельских школах малочисленность классов и такую же малочисленность классов, которая появляется даже в условиях городских школ в результате реализации профильной дифференциации. Во - вторых, создание уровневых учебных пособий, которые позволили бы учителю при минимальной специальной подготовке иметь возможность дифференцированно работать с учениками на каждом уроке, а в малочисленных классах - практически индивидуализировать обучение.

Частичное продвижение в исследовании в этом направлении применительно к преподаванию математики в средней школе сделано автором в [3]. В исследовании предложен вариант решения указанных проблем на основе уровневых учебных материалов. Использование таких материалов позволяет осуществить дифференциацию в обучении по: уровню освоения учебного материала, времени, затраченному на изучение материала, степени помощи учителя ученику при работе с материалами. Практика показала, что ориентация на максимально возможное самостоятельное изучение предмета приводит к тому, что ученики чрезвычайно сильно «расслаиваются» по материалу. Учителю становится сложно контролировать учебную работу, ока-

зывать индивидуальную помощь ученикам. Малочисленный же класс, снимая указанные проблемы, позволяет в полной мере реализовать все преимущества малого числа учеников не только для дифференцированного обучения, но и фактически реализовать идею индивидуализации обучения.

Библиографический список

1. Десев Л. Психология малых групп. М: Прогресс, 1979.

2. Коломинский Я.Я. Психология взаимоотношений в малых группах. Минск: Изд-во БГУ, 1976.

3. Малиновский В.В. Уровневые учебные материалы по математике как средство осуществления дифференцированного обучения // Вестник Елецкого государственного университета. Выпуск 17. Серия «Педагогика». Елец: ЕГУ им. И.А. Бунина, 2008. С. 221-237.

4. Немов Р.С. Психология. Учеб. для студентов высш. пед. учеб. заведений. В 3 кн. Кн. 2. Психология образования. 3-изд. М.: гуманит. изд. центр. ВЛАДОС, 1997.

5. Российская педагогическая энциклопедия. В 2 том. Гл. ред. В.В.Давыдов. М.: Большая Российская энциклопедия. 1993.

6. Современный словарь по педагогике. Сост. Рапацевич Е.С. Минск: Современное слово, 2001.

ОБ ОПЫТЕ РАЗРАБОТКИ ЭЛЕКТИВНОГО КУРСА «ПРЕРЫВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ»

А.А. Малютин

Статья посвящена описанию элективного курса «Прерывная геометрия». Этот курс адресован учащимся 10-х классов физико-математического профиля.

Ключевые слова: элективный курс, Н.В. Бугаев, разрывные функции, Е(х).

В настоящее время эксперимент по введению профильного обучения учащихся в общеобразовательных учреждениях практически завершен. В связи с реализацией этого эксперимента в базовых учебных планах школы появились элективные курсы, которые позволяют поддерживать изучение основных профильных предметов на заданном стандартом уровне или служат для внутрипрофильной специализации обучения и построения индивидуальных образовательных траекторий.

В современном школьном курсе математики изучаются преимущественно непрерывные функции. Между тем огромную роль в математике играют разрывные функции. «В соответствии с канторовской теорией множества всех непрерывных функций на отрезке имеет мощность континиума, множества всех числовых функций - мощность гиперконтиниума, то есть разрывных функций гораздо больше» [4, с. 29]. Разрывные функции являют-

ся объектом изучения дискретной математики и одного из разделов функционального анализа «Обобщенные функции». Поэтому согласно принципу научности требуется включение в школьный курс математики разрывных функций. Одним из простейших примеров разрывных функций является кусочно-непрерывная функция Е(х). Интересные идеи об изучении этой функции (с помощью графического метода) были высказаны еще в конце 19 века московским профессором математики Н.В. Бугаевым. Эти идеи и легли в основу концепции разработанного нами элективного курса «Прерывная геометрия».

Элективный курс «Прерывная геометрия» предлагается учащимся 10-го класса физико-математического профиля. Его целями являются: развитие логического мышления учащихся; формирование навыков и умений, необходимых для реализации полученных знаний на практике (на уроках математики, физики, информатики) и в продолжении образования; развитие общей культуры учащихся.

Данный курс служит продолжением и развитием трех содержательных линий школьной математики: функциональной, геометрической и линии уравнений и неравенств. Он также выполняет важную пропедевтическую роль в подготовке к изучению разрывных функций и функций нескольких переменных в вузе. Его частно-методическая задача состоит в том, чтобы углубить знания учащихся о координатном методе, познакомить с графиками линий, уравнения которых содержат Е(х), и научить решать простейшие уравнения с целой и дробной частью числа.

Учебно-тематический план

ТЕМА

Количество часов

1. История координатного метода. Прямоугольные координаты.

1

2. Свойства и графики функций Е(х) и {х}

1

3. Решение уравнений с целой и дробной частью числа

1

4. Элементарные преобразования графиков функций Е(х) и {х}.

1

5. Уравнения линий и фигур (окружности и круга, квадрата и пр.)

1

6. График линии Е(х) = Е(у)

1

7. Графики линий, уравнения которых содержат х, Е(х), У, Е(у).

2

8. Контрольная работа

1

Итого

9

Содержание

Тема 1. История координатного метода. Прямоугольные координаты.

Тема 2. Свойства и графики функций Е(х) и {х}

Тема 3. Решение уравнений с целой и дробной частью числа

Тема 4. Элементарные преобразования графиков функций Е(х) и {х}.

Тема 5. Уравнения линий и фигур (окружности и круга, квадрата и пр.)

Тема 6. График линии Е(х) = Е(у)

Тема 7. Графики линий, уравнения которых содержат х, Е(х), у, Е(у).

Тема 8. Контрольная работа

Приведем примерные конспекты нескольких занятий.

Занятие 2. Свойства и графики функций Е(х) и {х}.

Определение 1. Целой частью числа х называется наибольшее целое число п, такое, что п < х.

Обозначение: [х] или Е(х). (Здесь Е - первая буква французского слова entier - целый).

Определение 2. Дробной частью числа х называется разность х - [х].

Обозначение: {х} = х - [х].

Примеры.

Графики функций у = [х] и у ={х} строятся непосредственно по определению (рис. 1 и рис.2).

Рис.1

Рис. 2

Отметим некоторые свойства функций у = [х]иу={х}:

1. Обе функции имеют смысл для всех значений переменной х.

2. Функция у = [х] - кусочно-постоянная и неубывающая:

3. Функция у = {х} - ограниченная: 4. Для всех целых п справедливы равенства:

Замечание. Последнее равенство означает, что функция у = {х} является периодической с периодом Т=1. 5. Если X - не целое число, то

6. Пусть п - целое число, тогда

Все эти свойства доказываются непосредственно с помощью определений 1 и 2 и могут быть проведены школьниками самостоятельно.

Занятие 3. Решение уравнений с целой и дробной частью числа

Основные уравнения с целой и дробной частью имеют вид:

Рассмотрим примеры решения уравнений с целой и дробной частью числа.

Пример 1. Решить уравнение

Рассмотрим правую часть уравнения

т.е. не является целым числом, поэтому уравнение не имеет корней.

Пример 2. Решим уравнение [х] = - 6.

По свойству 6 это уравнение равносильно неравенству - 6 < X < - 5 . Поэтому решением уравнения будет промежуток [-6;-5).

Используя определения и свойства, решаются следующие уравнения

Занятие 4. Элементарные преобразования графиков функций Е(х) и {х}.

Простейшие преобразования графиков.

1. Параллельный перенос (сдвиг).

Рассмотрим сначала параллельный перенос вдоль оси абсцисс. Пусть дан график функции у = f(x). Как по отношению к нему будет расположен график функции у =f (х - а) , а > 0. Для всякой точки Мо(х0 ; у0), принадлежащей графику функции у = f(x - а), точка Mj(x0 - а ; у0), смещенная по сравнению с точкой Мо(х0 ; у0) на а единиц влево, будет принадлежать графику функции у = f(x). В самом деле, это означает, что у о = f(x0 - а).

Построим график функции у = Е(х - 1) (рис. 3).

Рис. 3

Подобным же образом легко установить, что если точка М2(х2; yi) принадлежит трафику функции у = f(x), то точка Мз(х2 + а ; У2), смещенная по сравнению с ней на а единиц вправо, принадлежит графику функции y=f(x—а). В самом деле, это означает, что

У2 = f(x2) . Отсюда заключаем, что если а>0, то график функции y=f(x—а) получается из графика функции у = f(x), смещением на а единиц вправо.

Ясно, что если а<0, то график функции у = f(x—а) получается из графика функции у = f(x) смещением на \а\ единиц влево. Замечание. Тот же результат можно получить, если перенести ось у влево (при а>0) или соответственно вправо (при а<0) на \а\ единиц.

Рассмотрим теперь параллельный перенос вдоль оси ординат. В этом случае график функции у = f(x) + b получается из графика функции у = f(x) при Ь>0 смещением на b единиц вверх, а при b <0 — на \b\ единиц вниз.

Так, чтобы построить график функции у = Е(х) - 1, сначала строим рафик функции у= Е(х), а затем сдвигаем его вниз на единицу (рис. 4).

Рис.4

2. Деформация (растяжение и сжатие) графика.

График функции у = f(kx), k>0 получается из графика функции у = f(x) «сжатием» к оси у в к раз при к>1. Например, если к = 2, то график функции у = Е(2х) получается сжатием графика функции у = Е(х) в 2 раза, (рис. 5, а)

и «растяжением» от оси у в к раз при 0< к <1. у = Е( — ) (рис. 5,6).

График функции у = kf(x), k>0 получается из графика функции y=f(x) «растяжением» от оси х в к раз при к>1, что можно предложить проиллюстрировать на графиках самостоятельно и «сжатием» к оси х в — раз

Рис. 5, а

Рис.5, б

3. Отражение.

График функции у = - f(x) получается зеркальным отражением графика функции у = f(x) относительно оси х (рис.6),

Рис.6

График функции у = f(-x) получается зеркальным отражением графика функции у = f{x) относительно оси у (рис. 7).

Занятие 6. График фигуры Е(х) = Е(у)

Пусть требуется построить фигуру, заданную уравнением Е(х) = Е(у).

Замечаем, что для х, заключенных между 0 и 1, Е(х) = 0. Следовательно, у найдется из равенства Е(у) = 0.

Из этого равенства видно, что у принимает все значения от 0 до 1 (1 не включая).

Аналогично рассуждая, для х, заключенным между 1 и 2, Е(х) = 1. Следовательно, у найдется из равенства Е(у) = 1. Из этого равенства видно, что у принимает все значения от 1 до 2 (2 не включая). И так далее...

Рис. 7

Графиком этих решений является фигура, заштрихованная на рисунке (рис. 8).

Финский педагог-математик Р. Неванлинна говорил: «Существует много различных способов преподавать, а еще больше - преподавать плохо, а наихудший способ - преподавать скучно» [5, с.253]. Надеемся, что данный элективный курс не только закрепит знания в области алгебры, но и вызовет интерес у школьников.

Рис.8

Библиографический список

1. Бугаев Н.В. Прерывная геометрия. М: Университетская типография, 1891.

2. Добрина Е.А., Саввина О.А. Замечательные кривые. Учебное пособие. Елец: ЕГУ им. И.А.Бунина, 2005.

3. Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л., Мерлина Н.И., Мерлин А.В., Саввина О.А., Авдеева Т.К., Терентьева Л.П. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика. Учеб. пособие. Чебоксары: Изд-во Чуваш, ун-та, 2009.

4. Еровенко В.А., Михайлов Н.В. Философия прерывности Н.В.Бугаева и математических импровизаций в терминах целой и дробной части числа// Математическое образование, 2001. № 4(19). С. 26-37.

5. Райхмист Р.Б. Графики функций: задачи и упражнения. М.: «Школа - Пресс», 1997.

6. Неванлинна Р. Реформа в преподавании математики // Успехи математических наук, 1967. Т. 22. Вып. 2. С. 241-253.

ОТБОР И КЛАССИФИКАЦИЯ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ, НАПРАВЛЕННЫХ НА РАЗВИТИЕ ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНЫХ СПОСОБНОСТЕЙ УЧАЩИХСЯ

М.А. Мацыгин

В статье рассматриваются различные виды классификаций арифметических задач и предлагается собственная классификация, используемая для развития интеллектуальных способностей учащихся 5-6 классов средней общеобразовательной школы.

Ключевые слова: арифметические задачи, интеллектуальные способности, отбор задач, классификация задач.

В настоящее время активно осуществляется процесс переориентации школьного математического образования со знаниевой парадигмы (усвоения знаний, умений, навыков) на развивающую (развитие мышления учащихся).

Арифметические задачи признаются многими психологами и педагогами основным средством развития математических и общеинтеллектуальных способностей, необходимых для становления личности в целом. Уровень интеллектуальных способностей является одним из определяющих условий хорошей успеваемости не только по математике, но и практически по всем школьным предметам [1]. Этот факт объясняется психологическими особенностями, проявляющимися у личности в процессе решения задач арифметическим методом. Необходимость осмысления всех арифметических действий на каждом шаге решения, соотнесение каждого шага решения с искомым и с описанной в задаче проблемной ситуацией в целом и другие особенности решения задач арифметическим способом установлены в исследованиях Л.Я. Юрцевой [2]. Однако решение задач арифметическим способом используется главным образом в начальной школе, а уже в 5-6 классах происходит переход к алгебраическому методу, который остается единственным способом решения задач в курсе алгебры. По мнению ряда исследователей [1, 3], существующий подход к использованию арифметических задач в школе не является в полной мере обоснованным.

Исходя из возрастных психологических особенностей учащихся 5-6 классов, именно в этот период можно попытаться повлиять на процесс формирования интеллектуальных способностей путем изменения практики текстовых задач, внедрив в школьную программу по математике небольшой комплекс арифметических задач. Как современные методические разработки, так и дореволюционные учебники по арифметике дают нам богатый материал для подбора и разработки арифметических задач, направленных на развитие интеллектуальных способностей школьников. Очевидно, что для достижения поставленной цели необходимо объединение этих задач в единый комплекс.

Отбор арифметических задач для целей развития мышления сводится к выделению ряда критериев, согласно которым он и будет производиться. Такие возможности нам предоставляют исследования математических способностей В.А. Крутецкого [4], Н.А. Менчинской [5], а также методические разработки по использованию задач в обучении Ю.М. Колягина [6] и В.И. Крупича [7]. При этом главным принципом отбора становится положение о том, что процессы решения задач должны преимущественно влиять на способности учащихся, а не на уровень их знаний, умений и навыков. Учитывая данный принцип, можно выделить следующие критерии отбора задач.

1) Исключение типовых задач, изучаемых в школьном курсе математики, кроме тех, которые в качестве исключения даются с опережением школьной программы. Задачи, в значительной степени удовлетворяющие этому критерию, часто называют нестандартными.

2) Наличие поисковых (проблемных) задач, процесс решения которых имеет творческий характер, развивает приемы и навыки самостоятельного нахождения ответа.

3) Подборка задач должна удовлетворять принципу минимакса, разработанному в концепции программы «Школа 2000...» [8], согласно которому должен осуществляться подбор задач разных уровней сложности. Этот принцип обеспечивает как доступность большинства этих задач для многих учащихся, так и наличие задач повышенной сложности для учащихся с высоким уровнем математической подготовки. При этом степень сложности задач варьируется от высокого уровня («максимума») до уровня образовательного стандарта («минимума).

4) Очень важным представляется введение исторического материала - старинных арифметических задач, использовавшихся в отечественном математическом образовании на протяжении столетий. В наше время старинные задачи, имеющие отношение к многовековым традициям развития мышления у учащихся, неизменно вызывают у школьников повышенный интерес и к тому же играют важную роль в приобщении молодого поколения к культурному наследию своего народа.

Если процесс отбора задач не представляет существенных трудностей, то их объединение в единый комплекс сталкивается со значительными затруднениями, связанными в первую очередь с проблемами классификации арифметических задач, не преодоленными до конца и в настоящее время.

В методической литературе встречаются классификации арифметических задач при помощи четырех арифметических действий с точки зрения их содержания, приемов решения и др.

Классификация по числу действий делит все арифметические задачи на 2 группы: 1) простые (решаемые одним из четырех арифметических действий) и 2) сложные (составные). Сложные в свою очередь подразделяются по действиям и числу действий. Предполагалось, что сложность задач возрастает по мере увеличения действий, однако на практике эта зависимость не получила достаточного подтверждения. Поэтому использование класси-

фикации задач по числу действий может быть оправдано только в начальных классах.

С точки зрения содержания задачи наиболее старой является классификация арифметических задач по типам, которые соответствовали частным случаям их практического применения («Арифметика» Магницкого и др.). Она хорошо соответствовала направленности математического образования того времени на нужды повседневных бытовых и торговых расчетов. В старину задачи обычно группировали по внешним признакам содержания, приемам решения или их сочетаниям.

И в настоящее время, положив в основание классификации содержание задачи, чаще всего выделяют группы задач: «на движение», «на работу», «на смеси и сплавы», «на смешение и концентрацию», «на проценты», «на части», «на время», «на покупку и продажу» и т.п. Классифицировать задачи таким образом очень сложно, так как тематика условий задач бывает очень разнообразной. Кроме того, как показали исследования Н.Ф. Талызиной, трудность задачи определяется не ее сюжетом и не арифметическими действиями, используемыми при ее решении, а логикой отношений, представленных в условии задачи [9].

Задачи, в которых имеется одинаковая зависимость между величинами, при возможном различии их числовых данных и сюжета образуют определенный вид задач. Арифметические задачи одного вида имеют одну и ту же алгебраическую модель. Поэтому в основание классификации можно положить способы решения задач:

1) задачи на тройное правило;

2) задачи на нахождение неизвестных по результатам действий;

3) задачи на пропорциональное деление;

4) задачи на исключение одного из неизвестных;

5) задачи на среднее арифметическое;

6) задачи на проценты и части;

7) задачи, решаемые с конца, или «обратным ходом», и т.д.

Еще один признак классификации был выделен отечественным методистом А.И. Гольденбергом, который подразделял задачи на «чисто арифметические» и «алгебраические» в курсе арифметики. В качестве критерия служил субъективный фактор «простоты» зависимости между данными задачи и искомым числом.

Е.С. Березанская отмечает, что содержание задач не может быть основным критерием классификации: как задачи «чисто арифметические», так и задачи «алгебраические в курсе арифметики» могут иметь своим содержанием одну и ту же фабулу: движение тел, выполнение определенной работы, оплату покупки и т.д. [10]. Е.С. Березанская строит классификацию задач, совмещая зависимость между данными и искомым задачи с приемами, методами решения.

Если в качестве основания классификации выбрать соответствие числа данных и искомых задачи, выделяют задачи следующих видов:

1) Определенные задачи (в которых условий столько, сколько необходимо и достаточно для получения ответа).

2) Задачи с альтернативным условием (в ходе их решения необходимо рассматривать несколько возможных вариантов условия, а ответ находится после того, как все эти возможности будут исследованы).

3) Неопределенные задачи (задачи с недостающими данными).

4) Переопределенные задачи (задачами с избыточными данными) -задачи, имеющие условия, которые не используются при их решении выбранным способом (лишние условия). Обычно лишние условия при решении задачи не используются и не влияют на ответ. Однако может оказаться, что при решении задачи другим способом лишними могут стать уже другие условия.

Таким образом, классификации арифметических задач достаточно многочисленны, разнообразны и не всегда являются строгими, т.е. не всегда позволяют отнести конкретную задачу к единственному типу. В зависимости от методических целей классификации выбирают одно или несколько оснований для ее проведения и на его основе получают те или иные группы текстовых задач. В то же время представляется очевидным, что одной только математической классификации недостаточно для разработки комплекса задач с целью развития интеллектуальных способностей учащихся. Для этой цели большое значение имеет и психологический компонент. В работе В.А. Крутецкого «Психология математических способностей школьников» [4] в основу классификации положены серии - специальные виды экспериментальных задач. Эти серии сгруппированы по разделам, три из которых соответствуют трем основным этапам решения задачи, а четвертый касается исследования типов математических способностей. Внутри каждого раздела серии объединяются в группы согласно компонентам математических способностей, исследованию которых они служат. Поскольку в любой выделенной таким образом серии задачи могут влиять на различные компоненты математических способностей, в основу классификации было положено главное назначение серии задач. Классификация В.А. Крутецкого, использующая психологический компонент, наряду с упомянутыми выше «математическими» классификациями послужила основой для разработки классификации задач, направленной на развитие интеллектуальных особенностей. Отметим, что процесс мышления тесно связан с восприятием, вниманием, памятью, творческими особенностями личности. При разработке системы арифметических задач, направленной на формирование интеллектуальных способностей, важно охватить как можно больше компонентов. В связи с этим отметим, что в структуре интеллектуальных способностей учащихся большое значение имеет качество мыслительных операций: сравнения, анализа и синтеза, абстракции, обобщения и конкретизации. Выделяют и особые свойства мышления: гибкость, критичность, логичность рассуждения и др. Рассмотрим разработанную классификацию и приведем примеры задач из различных серий.

1. Задачи на восприятие условия. Развивают такие качества мышления, как критичность, креативность, самостоятельность.

1.1. Задачи с несформулированным вопросом. В этих задачах не формулируется вопрос, но этот вопрос логически вытекает из данных в задаче математических отношений. Учащиеся упражняются в осмысливании логики данных в задаче отношений и зависимостей. Задача решается после того, как ученик сформулирует вопрос (иногда к задаче можно поставить несколько вопросов).

Образец задачи. «До конца суток осталось 4/5 того, что уже прошло с начала суток» (Сколько сейчас времени?).

1.2. Задачи с недостающими и (или) излишними данными.

В задачах с недостающими данными отсутствуют некоторые данные, вследствие чего дать точный ответ на вопрос задачи не представляется возможным. Школьник должен проанализировать задачу и доказать, почему нельзя дать точного ответа на вопрос задачи, чего не хватает, что надо добавить.

В задачи с излишними данными введены дополнительные ненужные данные, маскирующие необходимые для решения показатели. Ученики должны выделить те данные, которые необходимы для решения, и указать на лишние, ненужные.

Образец задачи. «На стоянке находятся 40 транспортных средств: автомобили и мотоциклы. У них вместе 100 колес и 40 рулей. Сколько тех и других машин?»

II. Задачи на обобщение. Развивают способности к обобщению, анализу.

2.1. Разнотипные задачи. В каждой группе есть задачи со сходными отношениями и внутренней структурой, но отличающиеся внешне по содержанию. Другие же задачи внешне похожи, но разнотипны. Учащиеся должны выявить сходные задачи.

Образец группы задач.

«1. Имеются кролики и клетки. Если в каждую клетку посадить по одному кролику, то один кролик останется без места. Если в каждую клетку посадить по два кролика, то одна клетка окажется пустой. Сколько было кроликов и сколько было клеток?

2. Во дворе бегают куры и кролики. У них вместе 35 голов и 94 ноги. Сколько тех и других?

3. Если на каждую скамью в классе посадить по 5 учеников, то четверо останутся без места. Если же посадить на каждую скамью по 6 человек, то два места останутся свободными. Сколько учеников в классе и сколько скамеек?

4. Рубль разменяли на монеты 10 коп. и 15 коп. Сколько получили тех и других монет, если всего их было 9?

5. Девочка наклеивала в альбом картинки. Если на каждой странице наклеивать по 1 картинке, то останутся 4 картинки, если же на каждой стра-

нице наклеивать по 2 картинке, то одна страница останется пустой. Сколько было картинок и страниц в альбоме?»

2.2. Задачи на доказательство. Сущность этих задач в доказательстве определенных утверждений. Учащиеся упражняются в построении правильного, обоснованного, последовательного рассуждения.

Образец задачи. «Написать любое трехзначное число, цифры сотен, десятков и единиц которого есть последовательные числа натурального ряда. Затем написать число теми же цифрами, но в обратном порядке. Из большего числа вычесть меньшее. Доказать, что во всех случаях должно получиться 198».

III. Задачи на гибкость мышления. Воздействуют на процессы как анализа, так и синтеза, обобщения.

3.1. Задачи с несколькими способами решения. Для упражнения гибкости мышления важно, чтобы школьник умел находить несколько решений одной и той же задачи. Если эти решения неравноценны с точки зрения экономичности и рациональности, то ученик должен дать с этой точки зрения оценку каждому решению. Надо побуждать школьника найти наиболее рациональное, ясное, простое, изящное решение.

Образец задачи. «Найти сумму всех целых чисел от 1 до 50».

3.2. Задачи с альтернативным условием. В ходе решения этих задач необходимо рассматривать несколько возможных вариантов условия, а ответ находится после того, как все возможные варианты будут исследованы.

Образец задачи. «На дереве сидело 7 галок и несколько воробьев. Сколько на дереве было воробьев, если после того, как 3 птицы улетели, галок и воробьев стало поровну».

3.3. Задачи на соображение. Отличаются нестандартностью нахождения решения. Для решения указанных задач не требуется никаких специальных знаний, однако в ряде случаев необходимо проявить изобретательность.

Образец задачи. «Для нумерации страниц словаря потребовалось 6869 цифр. Сколько страниц было в словаре?».

3.4. Задачи на логическое рассуждение. На задачах этой серии тренируется способность логически рассуждать, смекалка и сообразительность. К этой категории относятся в основном старинные арифметические задачи.

Образец задачи. «Шли 12 человек и несли дюжину хлебов. Каждый мужчина нес по 2 хлеба, каждая женщина по полхлеба, а каждый ребенок по четверти хлеба. Сколько было мужчин, женщин и детей?»

IV. Задачи на математическую память.

4.1.Задачи со сложным для запоминания условием. Эти задачи отличаются либо большим количеством числовых данных, либо сложностью отношений между данными. Кроме необходимости удерживать в памяти необходимую информацию, задачи данного типа развивают воображение; процессы синтеза, выявления главного в отношениях между данными. Учащимся предъявляется карточка с заданием. После однократного прочтения карточка отбирается или закрывается. Если учащийся не может воспроизвести

условие задачи, показ карточки повторяется. Образец задачи. «Число 80 разделить на две неравные части так, чтобы половина большей части была на 10 больше меньшей части».

V. Задачи, связанные с пространственным представлением. Являются мощным средством для развития воображения, образной стороны мышления, творческих способностей.

5.1. Задачи с наглядным решением. Эти задачи сравнительно легко решаются с применением наглядно-образных средств (рисунков, схем, чертежей). Тренируется способность наглядно выражать математические соотношения задачи. Сначала ученика просят решить указанные задачи рассуждением, без опоры на наглядные образы.

Образец задачи. «Пассажир, проехав полпути, заснул. Когда он проснулся, ему оставалось ехать еще половину того пути, что он проехал спящим. Какую часть пути он проспал?»

Подобранные таким образом арифметические задачи следует внедрить в программу математики 5-6 классов с целью формирования интеллектуальных способностей.

Библиографический список

1. Шевкин А.В. Текстовые задачи в школьном курсе математики / Роль текстовых задач в школьном курсе математики. Лекции 1-4. М., 2006..

2. Юрцева Л.Я. Особенности умственной деятельности учащимися в процессе решения задач алгебраическим и арифметическим способами. Автореф. дисс. ... канд. пед. наук. М., 1971.

3. Арнольд И.В. Принципы отбора и составления арифметических задач / Вопросы методики математики. Известия АПН РСФСР. Вып. 6. М., 1946. С. 7-28.

4. Крутецкий В.А. Психология математических способностей школьников. М., 1968.

5. Менчинская Н.А., Моро М.И. Вопросы методики и психологии обучения арифметике в начальных классах. М.: Просвещение, 1965.

6. Колягин Ю.М. Задачи в обучении математике. М.: Просвещение, 1977.

7. Крупич В.И. Теоретические основы обучения решению школьных математических задач. М.: Прометей, 1995.

8. Кубышева М.А. Математика. 5-6 классы. Методические материалы к учебникам Г.В. Дорофеева, Л.Г. Петерсон. М.: Ювента, 2006. С. 5-6.

9. Никола Г., Талызина Н.Ф. Формирование общих приемов решения арифметических задач // Формирование приемов математического мышления. М.: ТОО «Вентана-Граф», 1995.

10. Березанская Е.С. Методика арифметики для учителей средней школы. М.: УЧПЕДГИЗ, 1955.

ФОРМИРОВАНИЕ ПОЗНАВАТЕЛЬНОГО ИНТЕРЕСА УЧАЩИХСЯ В ПРОЦЕССЕ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ

И.А. Михайлова, А.А. Удот

В статье рассматриваются результаты исследования познавательного интереса у школьников, полученные в результате анкетирования учащихся.

Ключевые слова: познавательный интерес, стадии познавательного интереса, средства формирования познавательного интереса учащихся к математике, задачи по математике.

Познавательный интерес - интерес к учебно-познавательной деятельности - является мощным двигателем в обучении. Наличием познавательного интереса обеспечивается самостоятельно совершаемый встречный процесс в деятельности ученика, усиливается эффект воспитания, развития, обучения.

Вопрос о формировании познавательного интереса учащихся в процессе обучения не является новым. К нему в разное время обращались А.С. Белкин, Г.Ж. Танеев, В.А. Крутецкий, С.Л. Рубинштейн, Л.М. Фридман, Г.И. Щукина и др. В этих работах неоднократно подчеркивалось, что важнейшая задача, стоящая перед каждым учителем, - забота о создании, поддержании и развитии интереса к предмету, к процессу познания. А.В. Антипова, В.Б. Бондаревский, Л.В. Виноградова, Н.А. Демченкова, Е.А. Моисеева и др. рассматривают вопросы необходимости и целесообразности дальнейшего изучения и разработки этой проблемы при изучении математики.

Все вышесказанное актуализирует необходимость исследований, посвященных формированию познавательного интереса в процессе обучения учащихся. Каковы основные средства формирования познавательного интереса учащихся при обучении математике? Какие факторы влияют на этот процесс? Эти и другие проблемы, связанные с познавательным интересом, несомненно, актуальны для современного школьного математического образования, так как они позволяют не только выявить условия успешной реализации этого процесса, но и наметить перспективные направления его совершенствования.

Мы попытались выяснить, как обстоят дела на практике, найти ответы на поставленные выше вопросы. С этой целью нами был разработан анонимный опросный лист, направленный на определение специфики формирования познавательного интереса в процессе обучения математике. Вопросы листа были сгруппированы по следующим направлениям:

1) выявление характера зависимости уровня развития познавательного интереса учащихся от уровня их успеваемости;

2) определение отношения учащихся к различным средствам формирования познавательного интереса;

3) раскрытие основных тенденций в деятельности учащихся в процессе решения математических задач как одного из средств формирования познавательного интереса.

Инструкция, расположенная в начале опросного листа, предлагала определить отношение к изучению математики для того, чтобы сделать преподавание этого предмета более интересным и увлекательным. Кроме того, что респондентам были предложены различные варианты ответов, им предоставлялась возможность указать свое мнение по тому или иному вопросу.

К исследованию нами были привлечены учащиеся 7-х и 9-х классов МОУ гимназия №10 г. Шахты Ростовской области. В опросе приняли участие 52 ученика 7-х классов и 55 учеников 9-х классов.

Проанализируем полученные результаты.

Субъективное мнение респондентов об уровне их познавательного интереса к математике мы получили в процессе анализа ответов на вопрос №2 опросного листа, в котором респондентам предлагалось оценить этот уровень по шкале:

а) интерес к математике поверхностный, не систематический, нравятся отдельные фрагменты уроков, учебного материала;

б) стремление к более глубокому, основательному изучению математики, к пониманию закономерности материала, его связи с ранее изученным;

в) привлекает сама учебная деятельность, нравится самостоятельно открывать что-то новое, ранее неизвестное, искать закономерности;

г) стремление к осуществлению самостоятельной, творческой, поисковой деятельности по математике.

Каждая из перечисленных характеристик характеризует уровень развития познавательного интереса: любопытство, любознательность, познавательный интерес и творческий интерес соответственно [1].

Результаты опроса показали, что большее количество учащихся 9-х классов определили для себя более высокие стадии развития познавательного интереса (18,2% - творческий интерес и 29,1% - познавательный интерес). Для учащихся седьмых классов эти показатели составляют 15,4% и 19,2% соответственно. Это объясняется тем, что учащиеся 9-х классов уже оканчивают основную школу. Некоторые из них (9%) посещают школу для одаренных детей «Эрудит», 7,3% составляют основу сборной команды 9-11 классов гимназии для участия в математических боях. Учащиеся 7-х классов только приступили к изучению систематического курса алгебры, и поэтому многие еще находятся на начальных стадиях развития познавательного интереса. Переход к более высокой стадии осуществляется целенаправленно, последовательно. Для этого нужны специально организованные учителем предпосылки и условия.

При исследовании зависимости уровня развития познавательного интереса учащихся от уровня их успеваемости возник вопрос об измерении ко-

личественной характеристики этой зависимости, на который мы попытались получить ответ с помощью корреляционного анализа. Для характеристики уровня познавательного интереса учащихся мы выбрали следующую шкалу оценок:

«1» - творческий интерес;

«2» - познавательный интерес;

«3» - любопытство;

«4» - любознательность.

Для характеристики уровня успеваемости учащихся мы выбрали следующую оценочную шкалу:

«1» - отличная успеваемость;

«2» - хорошая успеваемость;

«3» - удовлетворительная успеваемость;

«4» - неудовлетворительная успеваемость.

Полученный нами коэффициент корреляции Гх>М),6 позволяет констатировать, что изменение оценок в исследуемом случае на 60% зависит от уровня познавательного интереса учащихся к математике.

Здесь мы считаем необходимым заметить, что для большей репрезентативности полученных данных необходимо привлечь к исследованию больше учащихся из разных школ. В дальнейшем мы планируем такое исследование. Пока же мы описываем лишь результаты начального этапа нашего опыта, не претендуя при этом на проведение полномасштабного педагогического эксперимента.

Один из вопросов нашего опросного листа имел форму задания, в котором мы обратились к учащимся с просьбой оценить по 5-балльной системе наиболее значимые средства формирования познавательного интереса учащихся в процессе обучения математике: математические задачи, самостоятельные исследования, дидактические игры, софизмы, кроссворды по математике, заочные и очные конкурсы по математике, математические сказки и др.

Анализ результатов показал, что самыми высокими баллами по средним показателям учащиеся 7-х классов достаточно единодушно оценили дидактические игры на уроках математики и математические сказки. В то время как учащиеся 9-х классов отвели им третье место после самостоятельных исследований и математических задач. При этом надо отметить, что в значениях средних оценок наблюдается довольно значительный разрыв. Это отличие вполне объяснимо: учащиеся 7-х классов не обладают достаточно большим опытом в проведении самостоятельных исследований. Результаты опроса по этому показателю вселяют оптимизм и говорят о том, что есть резерв тех учащихся, которым еще предстоит попробовать себя в исследовательской деятельности, и есть надежда, что к 9-му классу мнение станет другим. Для ученика наиболее ценным будет тот материал, который он пропустил через себя путем глубокого изучения, исследования и т.д. Умение и

желание заниматься исследованием также необходимо для развития и формирования познавательного интереса.

Настораживают следующие данные. Некоторую солидарность учащиеся 7-х и 9-х классов проявили в оценке очных и заочных конкурсов по математике. Обе группы респондентов поставили практически одинаковые и не очень высокие баллы этим средствам формирования познавательного интереса. На наш взгляд, это свидетельствует о том, что участие в таких мероприятиях требует определенного рода усилий, что не по плечу всем учащимся. Подавляющее большинство школьников не принимает участие в таких конкурсах по разным причинам: отсутствие необходимой математической подготовки, неуверенность в своих силах и др. Дл того чтобы преломить ситуацию в положительном направлении, необходима систематическая, трудоемкая и планомерная работа учителя.

Решение задач является одним из самых важных умений в обучении математике. Ведь если учащийся хочет переходить на более высокий уровень развития познавательного интереса, то ему нужно владеть не только теорией, но и применять ее в нестандартных ситуациях. Поэтому для нас особую важность имела оценка учащимися результатов решения задач. Поэтому мы обратились к респондентам с просьбой оценить по пятибалльной системе различные виды задач по математике. Для ответа на выбор были предложены следующие варианты:

1) олимпиадные задачи;

2) задачи, содержащие элементы историзма;

3) задачи-шутки;

4) задачи-головоломки;

5) другие задачи.

Наибольшей популярностью у учащихся 7-х и 9-х классов пользуются задачи-головоломки. Им были поставлены самые высокие баллы (4,6 и 4,8 соответственно). Следующий тип задач, который вызывает наибольший интерес учащихся, - задачи, содержащие элементы историзма. Это вполне понятно и еще раз свидетельствует о том, что история математики является одним из основных средств реализации гуманитаризации [2] в процессе обучения. В качестве другого вида задач, вызывающих интерес, 13% учащихся назвали задачи с интересным сюжетом.

Для того чтобы исследовать особенности работы с задачами в процессе обучения, мы предложили учащимся ответить на следующий вопрос: с какой целью вы решаете задачи по математике? Для удобства анализа ответов мы предложили на выбор следующие варианты:

1) чтобы получить положительную оценку, поощрение со стороны родителей и учителя;

2) для того чтобы избежать отрицательной реакции со стороны родителей и учителя;

3) получаю удовольствие от процесса решения;

4) для того чтобы совершенствовать свои знания в области математики;

5) другое.

Более трети опрошенных нами учащихся 7-х и 9-х классов (32,7% и 38,2%) указали, что получают удовольствие от процесса решения и преодоления возникающих при этом трудностей. Следующие показатели свидетельствуют о том, что зачастую для учащихся результат имеет самое большое значение. 19,2% и 16,4% респондентов соответственно в качестве основной цели назвали желание получить положительную оценку. И только 14% от общего количества опрошенных нами школьников указали, что хотят совершенствовать свои знания в области математики. Несмотря на то, что мы предлагали вписать свой вариант ответа на поставленный вопрос, ни один из учащихся не заявил других целей.

Далее мы уделим подробнее внимание задачам по математике как одному из основных средств формирования познавательного интереса. Нас заинтересовал вопрос: какие виды деятельности при решении задач вызывают наибольший интерес у учащихся? Для ответа на выбор были предложены следующие варианты:

1) поиск различных способов решения задачи;

2) выбор наиболее рационального способа решения задачи;

3) самостоятельное составление задач;

4) другое.

Более чем две трети опрашиваемых (70%) выбрали первый вариант ответа. 38,5% семиклассников и 34,5% девятиклассников утверждают, что им нравится самостоятельно составлять задачи. При этом 38,3% от общего числа респондентов никогда не пытались по разным причинам заниматься этим видом деятельности. Хотя очевидно, что процесс составления задач иногда может быть и сложнее процесса решения задачи. Показательно, на наш взгляд, также и то, что ни один из учащихся не заявил свой вариант ответа. Эти результаты свидетельствуют о необходимости использовать в учебном процессе различные виды деятельности при решении задач.

Далее сосредоточимся на анализе ответов учащихся на вопрос об источниках, из которых они могут заимствовать занимательные задачи. К ним мы отнесли следующие:

1) математические журналы;

2) историко-математическую литературу;

3) различные сайты сети Интернет;

4) другое.

Прежде всего, обращает на себя внимание тот факт, что только 32% респондентов выделили математические журналы и историко-математическую литературу. И это несмотря на относительную распространенность и доступность этих источников информации. Немаловажное значение в сложившейся ситуации имеют библиотеки учителей математики, которые должны помочь в решении данной проблемы. Важно отметить, что

для формирования познавательного интереса к математике работа с дополнительной литературой - одна из самых эффективных и действенных.

В качестве одного из потенциально эффективных средств развития познавательного интереса учащихся сегодня выступают информационно-коммуникационные технологии. 35% учащихся указали, что активно использую этот источник информации при подготовке к урокам. Использование сети Интернет в качестве источника информации оживляет образовательный процесс, делая его ярким, запоминающимся и интересным для ученика.

Итак, в этой статье была выполнена попытка описать результаты проведенного нами исследования. Мы надеемся, что полученные данные позволят скорректировать работу учителя математики для решения вопроса формирования познавательного интереса в процессе обучения математике.

Библиографический список

1. Виноградова Л.В. Методика преподавания математики в средней школе. Ростов-на-Дону: Феникс, 2005.

2. Полякова Т.С. Историко-методическая подготовка учителя математики в педагогическом университете. Дис. ... докт. пед. наук. СПб., 1998.

НЕКОТОРЫЕ АСПЕКТЫ ДИФФЕРЕНЦИРОВАННОГО ПОДХОДА К ОРГАНИЗАЦИИ УЧЕБНО-ПОЗНАВАТЕЛЬНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ В ПЛАНЕ ЛИЧНОСТНО-ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО РАЗВИТИЯ ОБУЧАЮЩИХСЯ

Н.Н. Морозова, Л.К. Проскурякова

В статье изложены некоторые подходы к реализации методики уровневой дифференциации в процессе преподавания математики. Проанализирована специфика компоновки наборов дифференцированных задач в целях обеспечения успешного усвоения студентами дисциплины и развития их профессионально-значимых качеств. Рассмотрены примеры таких наборов с аргументацией их содержания.

Ключевые слова: дифференциация, профессионально-значимые качества, личностное развитие.

Основными направлениями повышения качества и эффективности образовательного процесса являются его четкое планирование и организация; оптимальный отбор учебного материала; рациональное сочетание традиционных и инновационных подходов и методов; гуманизация и демократизация, создающие условия для проявления и использования личностного

потенциала субъектов образовательного процесса, развития способностей и профессионально-значимых качеств.

Эффективным механизмом комплексной реализации указанных направлений при обучении математике служит дифференциация образовательного процесса, предполагающая определенную вариативность содержания, методов и интенсивности обучения, исходя из индивидуально-типологических особенностей обучающихся. В частности, применение методики уровневой дифференциации при соблюдении требования обязательного достижения всеми обучающимися программного минимума дисциплины (В.В.Фирсов) позволяет преподавателю более четко и адресно организовать учебно-познавательную деятельность студентов; реально ее активизировать; обеспечить студентам оперативную помощь в усвоении учебного материала; предупредить их устойчивое отставание; способствовать развитию навыков самообразования; создавать психологически комфортную атмосферу на занятиях; формировать у студентов позитивное отношение к учебному труду; в целом, повысить качество математической подготовки и обеспечить личностный рост каждого студента. Вместе с тем, обучающиеся получают возможность гарантированно овладеть базовым уровнем знаний и умений; создать прочный фундамент для дальнейшего, более глубокого изучения дисциплины и применения математического аппарата при решении прикладных задач; сформировать навыки эффективного планирования и выполнения учебной работы; почувствовать удовлетворение от ее успешного протекания; всемерно раскрыть свои способности и возможности.

Реализуемая форма методики уровневой дифференциации предполагает изложение нового материала проводить одновременно для всех студентов потока или учебной группы. Дифференцируются лишь задания, предлагаемые обучающимся для самостоятельной работы, которая является доминирующей на групповых занятиях при формировании у обучающихся практических умений и навыков. Характерная особенность такой самостоятельной работы состоит в том, что она протекает в условиях отсутствия жестких временных рамок ее выполнения, что обеспечивает оптимальный темпо-ритм и психологический комфорт обучающихся на занятии и, вместе с тем, высокую интеллектуально-познавательную активность.

Для проведения этой работы студентам на каждом занятии предлагается определенный набор типовых задач, условия которых дифференцируются на 3-5 вариантов, различающихся по содержанию, степени сложности и трудоемкости, а также характеру методических рекомендаций. При этом обучающимся предоставляется право самостоятельного выбора того или иного варианта, исходя из их познавательных потребностей, уровня подготовки, психологического состояния. Подобный прием, с одной стороны, способствует повышению ответственности студентов за результаты своей работы, а с другой - формированию у них адекватной самооценки, что особенно важно для студентов-первокурсников в период их адаптации к специфике образовательного процесса в вузе.

Задания подбираются таким образом, чтобы студенты с соответствующим уровнем готовности при достаточно интенсивной работе имели возможность выполнить их непосредственно на занятии полностью самостоятельно, или, при необходимости, прибегая к помощи товарища или преподавателя. В случае, если обучающийся не справляется со всем объемом задания на занятии, ему предоставляется возможность завершить работу во внеаудиторное время. Зная об этом, студенты не испытывают на занятиях эмоциональных и интеллектуальных перегрузок, осмысленно усваивают программный материал, получая настоящее эмоционально-нравственное удовлетворение от результатов «посильной» учебной работы в условиях максимально психологически комфортного ее протекания. При этом частичный перенос аудиторной работы на самостоятельную внеаудиторную работу не приводит к серьезным перегрузкам студентов в силу соответствующей адекватности предлагаемых учебных заданий.

Компоновка дифференцированных вариантов заданий происходит с учетом требований целесообразности, полноты, посильности (доступности), ориентации на «зону ближайшего развития» (по Л.С.Выготскому) личности обучающегося.

Требование полноты обусловливает тот факт, что добросовестное выполнение студентом даже самого простого варианта задания гарантирует овладение им предусмотренным учебной программой минимумом знаний и умений. Реализация этого требования потребовала на подготовительном этапе работы необходимость детального анализа учебной программы, глубинных внутридисциплинарных связей, имеющихся в курсе математики, а также выявления в процессе совместной работы с представителями смежных кафедр и последующего учета междисциплинарных связей.

Требование «посильности» непосредственно связано с эмоционально-психологическим комфортом обучающегося на занятии, с его самоанализом готовности к выполнению конкретного варианта заданий определенной степени сложности, с рациональным использованием учебного времени занятия и предотвращением его непродуктивных потерь. Причем последнее имеет место не только тогда, когда неоправданно много времени тратится на одно задание и, в результате, весь запланированный объем заданий оказывается невыполненным в аудитории, но и тогда, когда студент очень быстро, практически не задумываясь, выполняет все задания, и оставшееся время занятия проводит впустую, подчас лишь создавая иллюзию занятости. Но даже в том случае, когда весь объем задания полностью и своевременно выполнен и чисто внешне не наблюдается потерь учебного времени, возможны его потери психологического характера. Они возникают в том случае, если студент выполняет задания заниженной степени сложности по отношению к своему уровню интеллектуально-познавательной подготовки, и при этом одна из основных целей любого учебного занятия - развитие познавательных способностей обучающихся - оказывается не достигнутой. Вот почему выбор студентом заниженного по уровню сложности варианта задания, при отсут-

ствии объективных на то причин, является показателем невысокого уровня развития его познавательной активности и становится предметом особого внимания преподавателя.

Выполнение студентом задания, адекватного его уровню предметно-познавательной подготовки, обеспечивает результативность учебной работы, подлинный познавательно - психологический комфорт ее выполнения, порождает потребность в такой работе, стимулирует интерес и познавательную активность, формирует у студента уверенность в своих силах, создает предпосылки личностного роста. В связи с этим, изучив познавательно-интеллектуальные возможности и личностные особенности студентов, при выявлении устойчивых фактов неадекватности выбора вариантов заданий для самостоятельного выполнения некоторыми из них целесообразно убедить таких студентов в необходимости выполнения заданий, соответствующих их уровню подготовки, причем убедить, аргументируя, но не навязывая свои рекомендации. С особым тактом подобные рекомендации необходимо давать тем студентам, которым предлагается для выполнения самый простой вариант. В этих случаях непременно оговаривается тот факт, что в дальнейшем студент, наверное, будет делать более сложные задания и что выполнение этого простого варианта - лишь временное явление, которое позволит студенту быстрее устранить пробелы в его предметной подготовке и сформировать необходимый фундамент для последующей успешной учебной работы.

На протяжении всего периода изучения дисциплины полезно проводить регулярную, четкую фиксацию выбираемых студентами вариантов заданий, поскольку наблюдаемая при этом динамика является одним из показателей развития их познавательной активности, учебной мотивации, культуры самооценки. Вместе с тем, анализ такой динамики дает важную информацию для соответствующей оперативной корректировки преподавания дисциплины.

Непосредственно с требованием «посильности» связано требование ориентации на «зону ближайшего развития», поскольку успешное обучение обусловлено предметно-познавательным, творческим ростом и самосовершенствованием обучающихся. Каждое занятие должно быть шагом вперед, но не шагом на месте. Выполнение студентами заданий опережающего характера способствует их целенаправленной пропедевтической подготовке к эффективному восприятию нового материала и интенсивному развитию интеллектуально-познавательных способностей.

Наряду с обязательным набором дифференцированных заданий, на каждом занятии полезно предлагать студентам дополнительные задания оригинального, нередко междисциплинарного содержания, требующие нестандартного, исследовательского подхода к решению, что является одним из реальных направлений профессионального становления личности обучающихся. Введение таких заданий предназначено для развития математической интуиции, гибкости мышления. Их выполнение углубляет процесс

дифференциации, приобщает студентов к поисковой, творческой учебно-познавательной работе, а частота обращения к таким заданиям является показателем высокого уровня учебной мотивации и развития познавательной активности.

Необходимо отметить, что применение дифференцированных заданий обеспечивает известную индивидуализацию образовательного процесса в том объеме, который возможен в условиях массового обучения.

Очевидно, что успешность реализации дифференцированного подхода особенно на начальном этапе обучения в значительной мере зависит от умения преподавателя выявлять и анализировать особенности предметно-познавательной работы обучающихся, их личные качества, особенности социально-психологического развития, и согласно результатам этой своеобразной диагностики необходимо выстраивать эффективную стратегию и тактику организации и управления образовательным процессом.

Примером дифференцирования по возрастающей степени трудоемкости заданий может служить следующий набор заданий по исследованию функций на экстремум:

Все эти функции имеют критическую точку, в которой первая производная бесконечна. Для первой функции критическая (нестационарная) точка единственная, она является и точкой экстремума. Интерес исследования данной функции обусловлен, прежде всего, наличием именно критической, но не более часто встречающейся стационарной точки, а также необходимостью, как и в последующих случаях, построения графика функции с выяснением его особенностей в связи с наличием вертикальной касательной в точке, абсциссой которой служит точка экстремума. Вторая функция также имеет единственную критическую точку, но, в отличие от первой функции, эта точка не является точкой экстремума, поскольку, как выясняется в ходе исследования, функция убывает на своей области определения, и потому при всей внешней простоте этого задания его выполнение имеет важное методологическое значение в плане демонстрации взаимосвязи между множествами критических точек и точек экстремума. Третья - пятая функции имеют также и стационарную точку. Но по сравнению с третьей четвертая функция труднее дифференцируется, да и сам способ задания третьей функции отчетливо указывает на необходимые для использования формулы таблицы производных. Исследование пятой функции и построение ее графика осложняются наличием точки бесконечного разрыва.

Примером содержательной дифференциации может служить набор задач (представленных, как и в первом случае, по возрастающей сложности) на составление уравнения плоскости, проходящей: 1) через две данные точки параллельно данному вектору; 2) через данную точку параллельно двум данным прямым с каноническими уравнениями; 3) через данную точку и прямую, заданную параметрически; 4) через данную точку перпендикулярно прямой, представленной общими уравнениями; 5) через одну из координатных осей и заданную точку, не лежащую на этой оси.

Решение любой из этих задач студентам рекомендуется выполнять по методу, который основывается на использовании условия компланарности трех векторов и предполагает необходимость взятия на плоскости произвольной точки M (точки с текущими, переменными координатами) и нахождение соответствующей тройки компланарных векторов, для одного из которых эта произвольная точка является концом.

При решении первой задачи этого набора (рис.1) студенту достаточно взять на плоскости произвольную точку, найти вектор, лежащий в плоскости, и тройка компланарных векторов становится практически очевидной.

Решение второй задачи (рис.2) предполагает определение вектора на плоскости и анализ уравнений данных прямых на предмет определения их направляющих векторов с целью получения необходимой тройки.

При решении третьей задачи (рис. 3) возникает необходимость рассмотрения структуры уравнения задан-

Рис.1

Рис.2

Рис. 3

Рис. 4

ной прямой для выявления ее точки и направляющего вектора с последующим выбором тройки компланарных векторов.

Для решения четвертой задачи (рис. 4) принципиально важен анализ способа задания указанной в условии прямой в связи с особенностями ее взаимного расположения с искомой плоскостью и установление того факта, что нормальные векторы плоскостей, пересечением которых служит данная прямая и которые могут быть найдены из уравнений этих плоскостей, в совокупности с вектором, который может быть построен в искомой плоскости, образуют интересующую тройку компланарных векторов.

Процесс решения пятой задачи (рис. 5) базируется на осознании факта задания в условии задачи координатной оси, что в свою очередь приводит к выводу о необходимости и вместе с тем достаточности рассмотрения не только орта данной оси, но и некоторой ее точки, например (и это проще всего), начала координат, и выявления тройки векторов, лежащих в этой плоскости.

Таким образом, решение любой из задач данного набора требует от обучающихся синтеза их знаний и умений по таким разделам курса математики, как аналитическая геометрия в пространстве, векторная алгебра, теория определителей и, вместе с тем, определенного развития образного мышления, причем последнее существенно помогает поиску пути решения. При этом отпадает необходимость механического запоминания различных видов уравнений плоскости и искусственных приемов решения отдельных задач подобного класса.

Индивидуальный выбор студентами в условиях дефицита времени выполняемых заданий на занятии не исключает возможности, но в некоторых случаях предполагает последовательное выполнение всех вариантов одного задания, что (при подобном подходе к содержательной дифференциации задач) обеспечивает углубление предметных умений, а осознание специфики отдельных задач при проведении их сравнительного анализа способствует разностороннему освоению механизма решения, расширяя диапазон познавательных возможностей.

Практически все комплекты предлагаемых дифференцированных заданий апробируются в экспериментальном режиме на занятиях и проходят экспертную проверку ведущими преподавателями. Лишь после этого они рекомендуются к изданию в соответствующих пособиях, призванных существенно облегчить организационные моменты проведения занятий.

Таким образом, функциональное сочетание организационных и содержательных аспектов дифференциации обеспечивает максимальную отдачу данной методики в плане личностного, предметно-познавательного и профессионального развития обучающихся.

Рис. 5

УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА, СОДЕРЖАЩИЕ ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

В.П. Перекалина

В статье рассмотрены методы решения уравнений и неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции.

Ключевые слова: обратные тригонометрические функции, уравнения, неравенства.

Задачи, связанные с обратными тригонометрическими функциями, часто вызывают у учащихся старших классов значительные трудности. Связано это, прежде всего, с тем, что в действующих учебниках и учебных пособиях подобным задачам уделяется не слишком большое внимание, и если с задачами на вычисление значений обратных тригонометрических функций учащиеся ещё как-то справляются, то уравнения и неравенства, содержащие эти функции, нередко ставят их в тупик. Последнее не удивительно, поскольку практически ни в одном учебнике не излагается методика решения даже простейших уравнений и неравенств такого рода. Предлагаем вашему вниманию методы решения уравнений и неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции. В связи с этим, вспомним важнейшие свойства обратных тригонометрических функций.

1. Функция у = aresin х определена и монотонно возрастает на отрезке [-1;1]. Область значений функции^ = aresin х - отрезок

arcs in (-х) = - arc s in x, при | x \ < 1

2. Функция^ = arc cos x определена и монотонно убывает на отрезке [-1;1]. Область значений функции у = arecosx отрезок [0;;г].

arc cos (-x) = я- arec о s х, при | x | < 1

3. Функция y = arctg x определена и монотонно возрастает на R. Область значений функции у = arctg х интервал

arctg (-х) = - arctg x, на множестве R.

4. Функция у = arc ctg х определена и монотонно убывает на R. Область значений функции^ = arcetgx интервал (0; я).

Свойства монотонности и ограниченности обратных тригонометрических функций являются ключевыми при решении многих уравнений и неравенств.

Рассмотрим теперь уравнения и неравенства, левые и правые части которых являются одноимёнными обратными тригонометрическими функциями.

Решение уравнений и неравенств данного вида основывается, прежде всего, на таком свойстве этих функций, как монотонность. Учитывая, что функции y=arcsin х и y=arctg х монотонно возрастают, а функции y=arccos х и y=arcctg X монотонно убывают на своих областях определения, то при решении уравнений и неравенств справедливы следующие равносильные переходы.

1. Уравнение aresin f(x) = aresin g(x) равносильно любой из двух систем:

Неравенство arcsin f(x) < arcs in g(x) равносильно системе:

2. Уравнение arc cos f(x) = arc cos g(x) равносильно любой из двух систем:

Неравенство arccos f(x) < arc cos g(x) равносильно системе:

Какой из двух систем пользоваться при решении уравнений, зависит от того, какое неравенство проще \ f (х)| < 1 или |g(x)| < 1.

3. Уравнение arctgf(x) = arctgg(x) равносильно уравнению f(x)=g(x). Неравенство acrtgf(x) <arctg g(x) равносильно неравенству f(x) <g(x).

4. Уравнение arectg f(x) = arectg g(x) равносильно уравнению f(x)=g(x). Неравенство arectg f(x) < arectg g(x) равносильно неравенству f(x)>g(x).

Пример 1. Решить уравнение arcsinßx-ХЪ) = arcsin(x^-6x-8). Решение. Уравнение равносильно системе

Пример 2. Решить неравенство arccos(x^-3) < arccos(x+3)

Решение. Неравенство равносильно системе

Рассмотрим уравнения и неравенства, левая и правая части которых являются разноимёнными обратными тригонометрическими функциями.

При решении уравнений и неравенств данного вида удобно использовать известные тригонометрические тождества. Эта группа задач является более сложной, по сравнению с предыдущей. В связи с этим целесообразно не обсуждать вопрос о равносильности преобразований, а сразу переходить к уравнению - следствию и после его решения делать необходимую проверку.

1. aresin f(x) = arecos g(x). Пусть xq - решение данного уравнения. Обозначим aresin f(xo) = arecos g(xo) через а. Тогда sina =f(xo), cos а = g(xo) и, зная, что sin2а + cos2а = 1, получим f (xo)+g2(xo) = 1. Таким образом, из уравнения aresin f(x) = arecos g(x) следует f (x)+g2(x) = 1.

Рассуждая аналогично и используя известные тригонометрические формулы, получим следующие переходы.

Корнем каждого из уравнений 1-4 могут быть только такие значения хо, для которых f(xo) > 0 и g(xo) > 0. В противном случае, множество значений левой и правой частей уравнений не пересекаются.

Пример 3. Решить уравнение

Решение. Перейдём к уравнению - следствию

Проверка.

Пример 4. Решить уравнение

Решение. Перейдём к уравнению - следствию

Проверка:

Следовательно, Ответ: О

При решении неравенств, левая и правая части которых представляют собой разноимённые обратные тригонометрические функции, целесообразно использовать метод интервалов, а в некоторых случаях учитывать свойства монотонных функций. Однако следует понимать, что метод интервалов является более универсальным, потому что его можно применять и в тех случаях, когда использование свойств монотонных функций не приводит к искомому результату.

Пример 5. Решить неравенство

Решение. Перепишем данное неравенство в следующем виде:

Поскольку функция у = arccos х является убывающей, то данное неравенство равносильно системе

Пример 6. Решить неравенство

Решение. Перепишем данное неравенство в следующем виде:

Рассмотрим функцию

и решим неравенство f(x) < О методом интервалов.

Перейдём к уравнению - следствию После преобразований получим:

Проверкой убеждаемся, что х = -2 - посторонний корень уравнения

f(x) = 0.

2. Решим неравенство f(x) < 0 методом интервалов.

Таким образом, решением данного неравенства является отрезок И;1]

Ответ: [-2;l]

Рассмотрим уравнения, решаемые с помощью замены переменной.

Некоторые уравнения и неравенства, содержащие обратные тригонометрические функции, можно свести к алгебраическим, сделав соответствующую замену переменной. При этом следует помнить об ограниченности обратных тригонометрических функций.

Пример 7. Решить уравнение

Решение. Пусть

Тогда получим уравнение

корни которого

Учитывая ограничения для t, запишем

Пример 8. Решить неравенство

Решение. Пусть Тогда получим неравенство

решение которого

Учитывая ограничения для t, получим

откуда

Зная, что функция у = arccos х монотонно убывает, получим

МЕТОДИКА ФОРМИРОВАНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПОНЯТИЙ У ШКОЛЬНИКОВ В РАМКАХ ПРОПЕДЕВТИЧЕСКОГО КУРСА ГЕОМЕТРИИ В 5-6 КЛАССЕ

М.В. Подаев

Традиционная система обучения математике учащихся 5-6 классов не направлена на подготовку школьников к изучению систематического курса геометрии 7-11. Обучение геометрии должно строиться на более раннем этапе. При организации учебной деятельности необходимо обращать внимание на формирование интереса к предмету. Основные средства формирования мотивации - историзм и прикладная направленность.

Ключевые слова: мотивация, учебная деятельность, пропедевтический курс геометрии, формирование понятий.

В последнее время все чаще стал подниматься вопрос об актуальности подготовительного курса геометрии для 5 - 6-х классов. Так, за последние годы совершенно независимо различные авторы пришли к мысли о разделении курса математики для 5-6 классов на отдельное предметное изложение. Появляются отдельные учебники для 5-6 классов по арифметике и элементам алгебры, на которые уже имеется гриф Министерства образования Российской Федерации, и отдельные учебники по геометрии для этих классов.

В то же время одной из самых больших проблем в преподавании как геометрии, так и вообще математики в школе является формально-дедуктивный подход [1]. Смысл его в том, что учащимся без особых оснований или объяснений (без специальной мотивации) предъявляется некоторый

список исходных понятий и положений (определений, аксиом, правил). Вслед за тем - опять-таки без мотивации - формируются и доказываются свойства «объектов изучения», связи между ними.

По словам Я.И. Перельмана, «какой интерес может представлять для учащегося изучение формальной геометрии? Почти никакого - главным образом потому, что ему непонятна цель её изучения. ...Пока в глазах ученика единственное применение свойств геометрических фигур состоит лишь в том, что с помощью их выводятся другие геометрические свойства, нельзя ожидать, чтобы такая неуловимая цель могла поддерживать интерес к изучению предмета» [2].

Главный и очевидный недостаток формально-дедуктивного стиля преподавания математики состоит в том, что полностью игнорируются вопросы «Почему?», «Зачем?». То есть оказывается изъятым существенный в воспитательном отношении момент мотивации.

Мотивацию здесь имеет смысл рассматривать внутреннюю, именно психическую по отношению к субъекту - обучающемуся, а не внешнюю (оценка или материальный стимул). Главным рычагом такой мотивации является интерес к учению, который должен быть заложен в таких его качествах, как интересность содержания и процесса учения.

Особую значимость вопрос мотивации приобретает в условиях обучения элементам геометрии в 5 - 6 классах, поскольку именно на этом этапе, в соответствии с базовыми учебными программами, происходит переход от наглядно-образного, конкретного, индуктивного характера изложения предмета геометрии к дедуктивному изложению на абстрактном формализованном уровне, что создаёт известные трудности у учащихся в усвоении геометрии как одного из самых абстрактных разделов математики.

Что касается объективных предпосылок развития мотивации, то можно выделить две: историчность и прикладная направленность учебного повествования.

Первая реализуется посредством введения на уроках культурно-исторического дискурса. Под ним будем понимать практику постоянного и систематического вовлечения в процесс изучения собственно математики сведений культурно-исторического ряда [1]:

- привлечение конкретно-исторического материала, связанного с возникновением тех или иных конкретных математических содержаний (задач, понятий и определений, моделей, конструкций, подходов и идей);

- использование относящихся к математическому содержанию сведений, касающихся конкретно-исторических общеобразовательных, культурных обстоятельств, оказавших прямое или опосредованное влияние на развитие математики;

- привлечение материалов историографического и биографического характера, показывающих роль личностных факторов и межличностных отношений.

Так, к примеру, в начале изучения курса геометрии 5-6 на первом уроке, полезно будет рассказать учащимся об истории ее возникновения в Древнем Египте, показав ее прикладное применение. При изучении различных геометрических понятий можно познакомить школьников с их переводом, например:

«линия» — от латинского слова linea (черта, линия), образовалось от слова linum — лён, льняная нить, шнур, веревка. Шнуром или веревкой пользовались для измерений римские землемеры;

«перпендикуляр» — от латинского слова perpendicularis— «отвесный». Термин был образован в средние века;

«биссектриса» — от латинских слов bis (дважды, надвое) и sectrix (секущая);

«радиус» — от латинского radius — луч, спица в колесе;

«диаметр» — от греческого «диаметрос» — поперечник, насквозь измеряющий («диа» — между, сквозь);

«хорда» — от греческого «корде» — струна, тетива.

Раскрывая вторую объективную предпосылку формирования мотивации, обратимся к словам того же Я.И. Перельмана: «...Когда учащиеся почти на каждом шагу убеждаются, что знание свойств геометрических фигур с успехом применимо к разрешению многочисленных и разнообразных задач, возникающих в действительной жизни - в обиходе, в технике, в естествознании..., тогда и только тогда изучение геометрии с первых же уроков приобретает живой интерес для учеников» [2].

Примеров прикладного использования геометрии, в том числе и в рамках культурно-исторического дискурса, можно привести множество. Так, при изучении признаков равенства треугольников полезно познакомить учащихся с тем, как Фалес использовал эти геометрические данные при вычислении недоступных расстояний (например, от точки на береговой линии до корабля). При изучении теоремы Пифагора - о ее применении в Древнем мире при измерении земельных участков и при строительстве зданий (построение прямого угла).

Рассмотрим, как можно в условиях культурно-исторического дискурса и с использованием прикладных возможностей предмета вводить геометрические понятия на уроках геометрии 5-6 класса.

Понятия являются одной из главных составляющих содержания любого предмета, в том числе — и предметов математического цикла.

С самого начала встреча с понятиями происходит у учащихся при изучении и других математических дисциплин. Так, начиная изучать геометрию, учащиеся сразу же встречаются с понятием точки, линии, угла, а далее — с целой системой понятий, связанных с видами геометрических объектов (линий, углов, треугольников и др.).

Задача учителя — обеспечить полноценное усвоение этих понятий. Если мы обратимся к школьной практике, то увидим, что эта задача решает-

ся далеко не так успешно, как того требуют цели общеобразовательной школы.

Главный недостаток школьного усвоения понятий — формализм. Суть его состоит в том, что учащиеся, правильно воспроизводя определения понятий, т. е. осознавая их содержание, не умеют пользоваться ими при ориентировке в предметной действительности, при решении задач на применение этих понятий.

Примеров неумения учащимися пользоваться математическими (геометрическими) понятиями при работе с реальными объектами, при анализе условий задачи можно привести очень много. И все они свидетельствуют следующем: хранение определения понятия в памяти еще не говорит о том, что это понятие усвоено учеником по существу, а не формально [3].

Приведем методическую схему, которую полезно использовать при формировании геометрических понятий у учащихся 5 - 6-х классов:

1. Формирование первоначальных представлений с помощью объяснительного текста или с помощью задач прикладного содержания, заменяющих его.

2. Переход от представлений к соответствующим им понятиям посредством выполнения специальных упражнений.

3. Углубление и закрепление изучаемых понятий через решение определенной системы задач дидактического, познавательного и развивающего характера.

4. Проверка качества усвоения понятий посредством выполнения соответствующей самостоятельной работы.

5. Подведение итогов (выделение главного).

В качестве примера продемонстрируем введение понятий расстояния между двумя точками и от точки до прямой.

1. Учащимся предлагается следующая ситуация.

Из одного города (А) в другой (В) (Рис. 1) можно добраться разными способами:

- по реке;

- по дороге на автобусе (с пересадкой в городе С);

- по воздуху напрямик.

Рис. 1

Вопрос: скажите, какие геометрические фигуры представляют данные пути движения? Какой путь является самым коротким?

Школьники обнаруживают, что это путь AB - напрямик. Далее выясняется, что AB - это отрезок. Его длину и называют расстоянием между точками А и В.

2. Вводится определение:

Расстоянием между точками является длина отрезка, соединяющего эти точки.

Приводится ряд упражнений, демонстрирующих данное понятие на наглядном примере.

Задание №1. Примерно 300 лет тому назад русский царь Пётр Первый решил построить новую российскую столицу на берегу Невы - Петербург. И для возведения первых и главных зданий Петербурга он пригласил швейцарского архитектора, жившего в Копенгагене, Доминико Трезини. Через некоторое время в Петербург был приглашён другой архитектор - флорентиец Франческо Растрелли, который жил в Париже.

Посмотрите на карту и скажите, кто из этих архитекторов - Трезини или Растрелли - находился дальше от Петербурга, когда их приглашал Пётр I?

3. С помощью ряда упражнений производится закрепление введенного понятия.

Задание №2. Отметьте в тетради точку О и постройте пять точек, находящихся от неё на расстоянии 3 см. Что представляет собой множество точек, удалённых от точки О на 3 см?

Задание №3. Отметьте в тетради точку M и покажите штриховкой множество всех точек, расположенных от M на расстоянии, большем 2 см; на расстоянии, меньшем 3 см.

Далее продемонстрируем те же три первых пункта нашей схемы на примере введения понятия расстояния от точки до прямой.

1. Часто в геометрии говорят о расстоянии и в более сложных случаях: например, расстояние от точки до некоторого объекта.

Посмотрите на карту. (Рис. 2)

Расстояние от дома лесника до озера - это опять же длина кратчайшего пути, которое леснику необходимо преодолеть для того, чтобы попасть из дома к озеру.

Посмотрите на карту. (Рис. 3) На ней изображён дом (А) и дорога (Ь). Давайте теперь найдём расстояние от дома до дороги. Как вы думаете, какой из отрезков является расстоянием до дороги? Это кратчайший отрезок - AD.

Посмотрите, чем AD является по отношению к прямой Ъ? Под каким углом они расположены?

Они составляют прямой угол. AD - перпендикуляр к Ь. Длина любого другого пути будет больше.

2. Здесь вводится само понятие.

Рис. 2 Рис. 3 Рис. 4

Расстоянием от точки до прямой является длина перпендикуляра, опущенного на эту прямую.

Далее поясняется, что, говоря о расстоянии, мы имеем в виду не геометрическую фигуру - отрезок, а длину этого отрезка. Также здесь полезно с помощью одного - двух заданий привести несколько примеров и контрпримеров.

3. Далее с помощью ряда упражнений производится закрепление введенного понятия.

Задание №4. Проведите прямую. Отметьте две точки по разные стороны от этой прямой. Найдите расстояние от точек до прямой.

Задание №5. Найдите расстояния от точки А до прямых а и Ь.

Рис. 5

Задание №6. Отметьте в тетради две точки А и В. Где может быть расположена такая точка С, для которой сумма расстояний от А до С и от В до С наименьшая?

Задание №7. Найдите расстояние от точки О до отрезка AB, изображённых на рис. 6.

Рис. 6

Данная методика была использована нами при внедрении подготовительного курса геометрии в МОУ СОШ №15 г. Ельца Липецкой области, и по анализу результатов эксперимента очевиден следующий факт: необходимо поставить обучение элементам геометрии в 5 - 6-х классах так, чтобы заинтересовать учащихся, создать объективные предпосылки для формирования внутренней мотивации к изучению предмета.

Библиографический список

1. Земляков А. Психодидактические аспекты углубленного изучения математики в старших классах общеобразовательной средней школы // Математика, 2005. № 6. С. 17-21.

2. Гусев В.А., Орлов В.В., Панчишина В.А. и др. Методика обучения геометрии. Учебное пособие для студ. высш. пед. учеб. заведений. Под ред. В.А. Гусева. М.: «Академия», 2004.

3. Талызина Н.Ф., Буткин Г.А., Володарская И.А., Салмина Н.Г. Формирование приёмов математического мышления. Под ред. Н.Ф. Талызиной. М.: Вентана-Граф, 1995.

ОТ ФОРМИРОВАНИЯ ЗУНОВ - К РАЗВИТИЮ КУЛЬТУРНЫХ БАЗОВЫХ СПОСОБНОСТЕЙ

Н.Г. Подаева

Социокультурное содержание учения в области математики состоит в усвоении предметных знаний, навыков, умений как форм освоения культурных ценностей. В новой парадигме образования учебно-воспитательный процесс должен опираться на мыследеятельностное содержание - формирование культурных базовых способностей, которые не являются в чистом виде продуктом индивидуального развития, это результат освоения культурных способов мышления и деятельности.

Ключевые слова: социокультурный подход; ценность; ценностная ориентация; адаптация; коммуникация; продуцирование; культурные базовые способности; мыследеятельностное содержание.

Образованию России нужна сегодня новая вдохновляющая идея, и такой национальной педагогической идеей является ускоренная модернизация, вокруг необходимости которой формируется общенациональный консенсус. Однако тревожит то обстоятельство, что в заявлениях о модерниза-

ции образования отсутствует слово «культура». Все чаще звучит мнение о том, что в наши дни прошлый опыт уже не только недостаточен, но часто даже вреден, поскольку мешает смелым и прогрессивным подходам. Популярность приобретает префигуративная культура (когда взрослые учатся у своих детей), ориентирующаяся на будущее, предполагающая не только информационный поток от родителей к детям, но и встречную тенденцию -молодежную интерпретацию современной ситуации и культурного наследия, оказывающую влияние и на старшее поколение [5, с. 191]. Между тем начальная, средняя и высшая школы России сегодня уже показали признаки деградации, и не столько потому, что там нет современного оборудования, а потому что уходит поколение учителей и профессуры - носителей культуры высокого образца, потому что уже затронута корневая система культуры -подготовка кадров. Может ли модернизация образования без культуры быть успешной? В кратковременном измерении - да. Культура распадается медленно - не через пять-десять лет, а по мере того, как из жизни уходят поколения, которые накапливали ее в течение предшествующих десятилетий. Но надо понимать, что и возвращаться к высоким культурным стандартам придется также в течение нескольких поколений.

Таким образом, мы считаем, что сегодня в сфере образовательной практики с необходимостью должна быть востребована социокультурная концепция, в ракурсе которой образование определяется как форма человеческой культуры, направленная на трансляцию и усвоение накопленного опыта, знания как носителей культурных ценностей.

Социокультурный подход к образованию, как известно, предполагает выделение в качестве ведущей категории ценность. В таком контексте познавательную деятельность личности (учение) будем рассматривать как феномен культуры, внутреннюю динамику освоения ценностей, а социокультурное содержание учения - как состоящее в усвоении предметных и общенаучных знаний, навыков, умений, являющихся формами освоения культурных ценностей. Причем в философском понимании ценность - это не просто вещь и даже не мыслимый образ вещи, а отношение. Ценности не материальны и не идеальны, они социальны и субъективны. Использование таких понятий, как «материальные ценности», «духовные ценности», некорректно [1]. Необходимо говорить о материальных и духовных носителях ценностей. При этом выработанный человечеством способ, благодаря которому субъект оказывается способным обнаруживать, усваивать, создавать, передавать ценности, необходимо рассматривать в контексте культуры. Культура создает ценностное отношение к ценностям - саморефлексию.

По мнению Ю. Лотмана, культуры задают характер, направленность личности. Он выделяет два типа культуры: первый ориентирует человека преимущественно на предметную деятельность и объективное познание, а второй больше ценит созерцание, интроспекцию, автокоммуникацию. Первый тип культуры подвижнее, динамичнее, но может быть подвержен опасности духовного потребительства; второй тип культуры развивает духовную

активность, однако часто оказывается менее динамичным в удовлетворении нужд человеческого общества. Интересно, что в этой типологии прослеживается канва дискуссии «Восток - Запад»: активистски предметная, ориентированная на деяние культура Европы и склонная к самопогружению во внутреннее духовное пространство «малого Я», растворяющегося в абсолюте гармонии мира, культура Азии [4]. В контексте такой дискуссии известный математик И.Ф. Шарыгин отмечал, что именно в геометрии особо заметен евразийский характер русской культуры. В истории геометрии ярко видны две ветви - западная и восточная. Западная геометрия строилась по Евклиду, а затем по Декарту. Здесь во главу угла ставились точные логические конструкции, систематичность, общие теории. Восточная геометрия опиралась на наглядность, была скорее элементом культуры, искусства, нежели наукой. И эти две ветви тесно переплелись в России, географически служившей мостом между Западом и Востоком. Само положение России наиболее благоприятствовало развитию синтетической, элементарной геометрии, которая в последнее время особенно привлекает внимание математиков и специалистов в области математического образования [6, с. 73].

На наш взгляд, представление о современном математическом образовании не может быть полным без раскрытия соотношения образования и культурогенеза (культурного развития) личности, поскольку выпадает главный содержательный объект усвоения опыта в образовании - математические категории и методы как носители культурных ценностей. Концептуальная идея данной статьи в том, что социокультурное содержание учения в области математики состоит в усвоении предметных знаний, навыков, умений как форм освоения культурных ценностей. Так, например, по мнению И.Ф. Шарыгина, геометрия есть феномен общечеловеческой культуры. «Некоторые теоремы геометрии являются одними из древнейших памятников мировой культуры. Человек не может по-настоящему развиться культурно и духовно, если он не изучал геометрию в школе; геометрия возникла не только из практических, но и из духовных потребностей человека» [6, с. 73].

Познавательную деятельность (учение) в области математики представим как системное образование, выделяя структурно-функциональные компоненты, которые одновременно могут рассматриваться и как фазы цикла культурного освоения субъектом ценностей (носители которых - математические категории, объекты, методы), как динамику деятельности познания (учения) в области математики: ценностная ориентация, побуждение, адаптация, коммуникация и продуцирование.

Ценностная ориентация (или рефлексия ценности) складывается из разных форм аналитико-синтетической, поисковой, оценочной, конструктивной и другой познавательной деятельности в области математики: поиск смысла математических объектов, выявление связей идей, заложенных в фундаментальных понятиях (предельного перехода, непрерывности, конти-

нуума, функции, доказательства, математической структуры, алгебраической операции и др.).

По мнению И.Ф. Шарыгина, геометрия, да и математика в целом, представляет собой «действенное средство для нравственного воспитания человека». Он цитирует роман «Война и мир», в котором старый князь Болконский сам занимался воспитанием своей дочери и, чтобы развить в ней главные добродетели (деятельность и ум), давал ей уроки алгебры и геометрии. Научной и нравственной основой курса геометрии И.Ф. Шарыгин считает принцип доказательности всех утверждений. «И это единственный школьный предмет, включая даже предметы математического цикла, полностью основанный на последовательном выводе всех утверждений. Людьми, понимающими, что такое доказательство, трудно и даже невозможно манипулировать» [6, с. 74].

Методологический смысл доказательства - отражение причинно-следственных связей в логической, дедуктивной форме. Известно даже мнение, что «математика - это доказательство» (Н. Бурбаки). А понятие функции математически отражает категорию движения. Объединяющим современную математику началом является понятие математической структуры. Математические структуры «говорят» на языке теории множеств. Понятие алгебраической операции (в структурах алгебраического типа) выражает идею вычисления. В порядковых структурах отношение порядка позволяет сравнивать элементы «по величине». Топологическая структура выражается в понятии топологического пространства, формализующего идеи непрерывности и предельного перехода.

Побуждение служит детерминантом всех других звеньев цикла и предполагает соединение внешней необходимости в мотиве с внутренней потребностью, его ценностными ориентациями. При этом мотивация имеется в виду внутренняя, психическая по отношению к субъекту - обучающемуся, а не внешняя (мотив достижения, материальный стимул) по отношению к процессу учения. Главным рычагом такой мотивации является интерес к учению, который должен быть заложен не только и не столько в принципах доступности и наглядности, сколько в таких качествах, как интересность содержания и процесса учения.

В этом качестве отражаются уже внешние предпосылки, такие, как содержание образования (программы, учебники), принятая манера его преподнесения (стиль преподавания, образовательная парадигма), методическая поддержка учебного процесса, успешность достижений учащихся (чувство удовлетворения от изучения того или иного фрагмента предмета), ориентация процесса учения от зоны актуального до зоны ближайшего или даже проблемного развития (наличие у учащихся понятных целей как результата их учебной деятельности).

Мы считаем, что реализация мотивационного аспекта должна осуществляться через его содержание и целевые установки содержательными, учебными и методическими средствами по двум основным линиям: исто-

ричность и прикладная направленность учебного процесса. Мотивационный аспект усиливается межпредметностью математики, её прикладной направленностью: прикладная направленность математики реализуется через другие науки, опосредованно. Математические модели (например, модель экспонентного роста) конкретизируются на внематематических примерах (например, моделями радиоактивного распада, линейного роста биологических популяций).

Адаптация - это внутреннее содержание действий субъекта, выработка разнообразных действий, способов деятельности с объектом - носителем ценности (основными математическими категориями и методами) в форме предметного умения, навыка. Механизмы осуществления адаптации: ассимиляция - включение нового объекта в старые схемы, простое приспособление имеющихся форм действия и аккомодация - приспособление актуализируемых исходных схем к новым объектам действия путем изменения структуры последних, изменения прежней структуры действий (Ж. Пиаже).

Коммуникация (или трансляция ценности) служит звеном обратной связи в структуре познавательной деятельности в области математики. Она предполагает адресность, направленность на потребителя. Рычаги осуществления коммуникации: кодирование - закрепление за предметом-знаком его значений; трансляция - передача ценностного отношения; коммутация -распознавание новых значений.

Основным рычагом осуществления коммуникации является обучение, ориентированное на понимание. Два важных для организации такого обучения метода - содержательный анализ учебного материала и диалог.

Содержательный анализ в дидактическом процессе реализуется как умение раскрывать сущность вещей (закономерные связи, внутренние отношения), генетическую основу объектов, устанавливать связи единичных явлений внутри некоторого целого и др. Но процесс понимания необходимо активизировать: проблемы, вопросы, ассоциативные стимулы - зародыши будущих мыслей. В связи с этим преподаватель должен мыслить вместе со студентами, вести с ними диалог, а не диктовать готовые истины. Под диалогом понимается не наличие двух или нескольких субъектов, но наличие двух или нескольких полноценных мнений, смысловых позиций.

Продуцирование опредмечено внешней предметной стороной. Преобразовывая внешние объекты, субъект вступает в коммуникацию с другими субъектами, со всем миром ценностей, с культурой. Продуцирование осуществляется в форме репродуцирования и преобразования (творчества). Осуществление процессов геометризации математических знаний и связи их с физической реальностью способствует усилению продуцирования и решает задачу разработки методических систем, основанных на максимальном использовании образно-ассоциативного способа переработки математической информации. Геометрический подход представляет особый инструмент видения мира, не сводимый к аналитическому или символьному. Система

творческо-проблемных геометрических задач выступает средством развития продуктивного мышления.

Таким образом, мы раскрыли социокультурное содержание учения в области математики как состоящее в усвоении предметных знаний, навыков, умений, являющихся формами освоения культурных ценностей. Познавательную деятельность (учение) в области математики мы представили как системное образование, выделяя структурно-функциональные компоненты, которые одновременно могут рассматриваться и как фазы цикла культурного освоения субъектом ценностей, как динамика деятельности познания (учения) в области математики.

Однако общеизвестно, что все более широкое распространение получает такое негативное явление, как обученная (выученная) беспомощность -интрапсихический фактор, внешне выражающийся как отказ от поиска в тех или иных проблемных ситуациях, как распространенное объяснение своей отрицательной оценки учеником - «Я ничего не понял!». Как отмечают психологи, это качество не является данностью от природы, оно приобретается в результате разнообразного негативного опыта. То, что ученик не понял материал, не его вина. Он не освоил способы понимания текста, ему не был передан культурный образец. В связи с этим необходимо, на наш взгляд, ориентировать познавательную деятельность в области математики не столько на усвоение предметных знаний, навыков, умений, сколько на развитие культурных базовых способностей - мышления, понимания, действия, коммуникативных способностей, рефлексии, воображения, которые являются достоянием и ценностью нашей культуры и должны передаваться новым поколениям. Культурные базовые способности - это результат освоения учащимся существующих в культуре способов мышления и деятельности. Это наличие целостно освоенного способа, который человек может переконструировать, а также наличие собственного осмысления ситуации, в которой он действует, применяет способ. Только на основании развитых способностей может быть сформирована компетентность - рефлексивная огранка способностей, интегративная характеристика качеств личности, результат её подготовки для деятельности в определенных областях. Это социально востребованная сторона способностей. Компетенция - предметная область, в которой человек хорошо осведомлен и в которой он проявляет готовность к деятельности [7].

Национальный проект «Образование» формирует условия, обеспечивающие возможность перехода школы (общеобразовательной и высшей), ориентированной на ЗУНы, к школе развития культурных базовых способностей и компетентностей, что означает для педагога прежде всего новые цели обучения, новое видение результата своей работы. Действительно, культурные способности нельзя воспитывать как умение делать что-либо по известным алгоритмам, без опоры на принцип личной значимости, позволяющий соотнести существующую цель обучения с личностно значимыми мотивами (стремление добиться успеха, быть лидером, познавательный ин-

терес и др.). Для учащегося важно «бытийствовать» в культуре, а не просто распредмечивать продукты культурного опыта без опоры на внутреннее «Я».

Сотрудники НИИ ИСРОО в рамках концепции мыследеятельностной герменевтики (искусства понимания текста) [7] разработали технологии освоения культурных образцов. В основе их - метапредметы, развивающие особые способности: схематизацию, способность работать с понятиями, идеализацию, способность работать с парадигмальными текстами, моделирование. Эти способности формируют теоретическое мышление, признаваемое как ценность, культурный образец, который должен быть передан следующим поколениям. В рамках реализации такой концепции для педагога акцент переносится с тематического планирования на сценирование образовательных ситуаций - разработку технологий, в основе которых лежат сценарии, развивающие ту или иную способность на определенных этапах обучения.

Таким образом, в настоящее время можно дифференцировать три подхода к отбору и структурированию содержания образования. Традиционный подход: учебный материал, который учащемуся нужно освоить, отождествляется с содержанием образования. Деятельностный подход опирается на формы различных типов деятельности, в которых происходит освоение данного материала. Наконец, в новой парадигме образования качественный учебно-воспитательный процесс должен опираться на мыследеятельностное содержание - формирование культурных базовых способностей, которые не являются в чистом виде продуктом индивидуального развития, это результат освоения культурных способов мышления и деятельности. Здесь, на наш взгляд, уместно еще раз процитировать И.Ф. Шарыгина, отмечавшего: «Геометрия, впрочем, как и алгебра, является носителем собственно метода познания мира. Овладение этим методом - важнейшая цель образования» [6, с. 75].

Библиографический список

1. Добреньков В.И., Нечаев В.Я. Общество и образование. М: ИНФРА-М, 2003.

2. Каган М.С. О философском понимании ценностей // Вестник Ленингр ун-та. Сер. 6. 1983. Вып.3.№20.

3. Кузовлев В.П., Подаева Н.Г., Жук Л.В. Психолого-дидактические аспекты обучения математике: активизация мышления в области геометрии. Монография. Елец: ЕГУ им. И.А. Бунина, 2008.

4. Лотман Ю.М. О двух моделях коммуникации в системе // Труды по знаковым системам. Тарту, 1973. Вып. 6

5. Мид М. Культура и мир детства / Избранные произведения. М, 1989.

6. Шарыгин И.Ф. Нужна ли школе XXI века геометрия? // Математика в школе, 2004. № 4. С. 72-79.

7. Шутенко Т. «Я ничего не понял!» // Учительская газета, 15 декабря 2009. № 50.

РАЗВИТИЕ МОТИВАЦИОННОЙ СФЕРЫ УЧАЩИХСЯ (ИЗ ОПЫТА РАБОТЫ)

Э.И. Приймак

В статье говорится о средствах развития мотивационной сферы учащихся.

Ключевые слова: развитие мотивационной сферы, методы, приемы.

Важным условием организации учебно-воспитательного процесса является выбор учителем рациональной системы методов и приемов обучения с учетом их возрастных особенностей. В своей работе мы реализуем сочетание традиционных и новых методов обучения.

Одной из основных задач при обучении математике является выработка у учеников навыка устного счета. В начале 5-го класса проводим диагностику подготовленности учащихся, которая позволяет скорректировать дальнейшую работу по развитию навыков устного счета. На каждом уроке находим время для развития вычислительной культуры учащихся, используя различные способы быстрых вычислений, таблицы трудных случаев умножения и деления, блок-схемы и математические тренажеры.

Нравятся ребятам задания «восстановите записи», «найди ошибку», задания с выбором ответов, на отыскание закономерностей, «кодированный ответ» и другие.

Включение игровых моментов на уроках математики делает процесс обучения интересным, занимательным, стимулирует работу учащихся. Даже самые пассивные из детей включаются в игру.

После изучения каждой темы проводим обобщающий урок, очень часто используя при этом нетрадиционную форму.

В 5-6 классах проводим уроки-сказки, решаем задачи сказочного содержания. В 7-8 классах проводим уроки - путешествия, например, по нашему городу, где ученики знакомятся с предприятиями города, с профессиями людей, работающих там. А также проводим уроки-путешествия в царство «Алгебры», где ученики проводят исследования в математических лабораториях.

Прекрасным средством развития мотивационной сферы учащихся является внеклассная работа по математике.

Приведу в качестве примера конспект внеклассного мероприятия.

Викторина: «Математика - гимнастика ума» (в 6-ых классах).

Цели: развитие интереса к математике, активизация мыслительной деятельности через:

• развитие творческого мышления в ходе решения нестандартных задач, в процессе чередования решения простых и более сложных задач;

• развитие критичности мышления в ходе выполнения задании, в которых требуется найти ошибки;

• развитие восприятия в ходе выполнения упражнений с геометрическими фигурами;

• развитие внимания, а именно таких его характеристик, как распределение, устойчивость, концентрация, в ходе выполнения устных заданий, заданий с геометрическими фигурами, с выбором ответов.

Оборудование: проектор.

Оформление: с помощью проектора на доску выведены слайды (на слайдах задания к уроку).

Ход мероприятия:

1. Организационный момент.

2. Постановка цели, правил проведения викторины.

3. Выступления учащихся.

4. Задание для двух команд (разгадать девиз викторины). Выполните вычисления. Используя найденные в таблице ответы, разгадайте девиз викторины

Девиз викторины: «Вместе мы сила».

5. Вопросы командам.

Прибор для измерения углов. (Транспортир) Инструмент для построения окружности. (Циркуль). Сумма сторон треугольника. (Периметр). Величина прямого угла. (90°).

Отрезок, соединяющий точку окружности с ее центром. (Радиус). Часть прямой, ограниченная с одной стороны. (Луч).

Какую часть суток составляют 6 часов? ( )

Чему равен диаметр окружности, если радиус ее 8 см? (16 см). Тройка лошадей проскакала 90км. Сколько километров проскакала каждая лошадь? (90км).

Что легче: килограмм пуха или килограмм железа? (Одинаково).

6. Вопросы с выбором ответов (с использованием перфокарт)

1) Какие часы показывают верное время только два раза в сутки?

А. Песочные. Б. Которые стоят. В. Солнечные. Г. Наручные.

2) Прямоугольник с равными сторонами.

А. Прямоугольник. Б. Четырехугольник. В. Квадрат. Г.Ромб.

3) Сколько концов у пяти палок? У пяти с половиной палок? А. 10 и 11 Б. 10 и 10 В. 10 и 12 Г. 10 и 10,5

4) Горело семь свечей, две погасло, Сколько свечей осталось? А. 5 Б. 7 В Л Г. 6

5) Две дочери, две матери, да бабушка с внучкой. Сколько всех? А.3_ Б. 4 В. 5 Г. 2

7. Решите уравнения. Используя найденные множества решений, заполните пропуски в таблице названиями стран.

Германия Италия

Дания Великобритания

Таблица

Множество решений

Имена сказочников

Страны

-23

Ганс Христиан Андерсен

Дания

-23; 23

Братья Гримм

Германия

0

Льюис Кэрролл

Великобритания

Корней нет

Шарль Перро

?

23

Джанни Родари

Италия

8. Вычислите площадь фигуры

Ответ: 131

9. Конкурс капитанов. Исключите лишнее.

1. Сумма, разность, множитель, частное. Ответ: множитель.

2. 17; 3; 40; 2 Ответ: 40

3. Прямая, угол, отрезок, луч. Ответ: угол.

4. Гектар, сотка, метр, Ответ: метр.

10. Найти периметр фигуры 4. Р 1=16см и Р2=24см

Задание: на рисунке изображены фигуры, причем 1, 2, 3 и 4 являются квадратами.

Ответ: 64см.

11. Загадки командам.

1. Хоть есть среди них большие, судьба их такова: Делителей у каждого всего лишь только два.

С давних пор числа такие называются... (простые)

2. Мы числа эти учим тоже, делители найти их можем.

У каждого числа - смотри- должно быть их хотя бы три... Эти числа не простые, эти числа... (составные).

3. Окружность мы нарисовали, на ней две точки разных взяли, Отрезком их соединим, ему название дадим.

Отрезок именуют гордо: ведь он не что-нибудь, а...(хорда).

4. Хорда через центр прошла, важный вид приобрела, Потому что перед нами круга этого...(диаметр).

12. Задание командам.

Из карточек сложили неверное равенство. 101-102=1

Как, передвинув лишь одну карточку, сделать его верным? Ответ: надо передвинуть карточку с цифрой 2 вверх.

13. Прочитайте поговорку.

1) « ПШЬОПЕШИС - ЙЮДЛЕ ШЕСАМЬШИН» ( «Поспешишь- людей насмешишь»)

2) «ИОДНО A3 ХЕВС, ВЕС ЗА ОГОДНО» (« Один за всех, все за одного»)

14. Поиск закономерностей.

Выберите недостающую фигуру из пронумерованных.

Варианты ответа:

Ответ: 6.

15. Подведение итогов. Награждение.

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ФОРМИРОВАНИЯ ПОЗНАВАТЕЛЬНОГО ИНТЕРЕСА ШКОЛЬНИКОВ К МАТЕМАТИКЕ

Т.Е. Рыманова

В статье рассматривается моделирование процесса формирования познавательного интереса школьников к математике на основе педагогической технологии В. М. Монахова.

Ключевые слова: познавательный интерес, педагогические технологии, моделирование.

Сегодня наше образование переживает сложные времена. За красивым словом «модернизация» как-то уходят в тень непосредственные участники учебно-воспитательного процесса. А ведь от того, какие сегодняшние школьники, зависит будущее страны. Ещё Л.С. Выготский указывал, что «правильно организованное обучение ребёнка ведёт за собой детское умственное развитие ...» [1]. Его критерием, по праву, можно считать наличие у человека познавательного интереса. И в этом нам близка позиция Н.А. Менчинской.

Рассмотрим некоторые положения методической концепции воспитания интереса к математике.

С нашей точки зрения, познавательный интерес — это интегративное образование личности, определяющее ее избирательную направленность и обращенную к познанию одной или нескольких научных областей, к их предметной стороне (содержанию), а также к процессу деятельности.

В процессе обучения и воспитания школьника познавательный интерес выступает в многозначной роли: и как средство увлекающего ученика обучения, и как сильный мотив отдельных учебных действий школьника и учения в целом, побуждающий к интенсивному протеканию познавательной деятельности, и как устойчивая черта личности ребенка, в конечном итоге способствующая ее направленности [5]. В этом состоит интегративность интереса.

Как и любое другое свойство личности, познавательный интерес формируется в деятельности, причем не изолированно, а в тесном взаимодействии с потребностями и с другими мотивами [2]. От того, как организована эта деятельность, зависит степень его сформированности.

Проектирование и конструирование учебно-познавательной деятельности невозможно без мотивов: познавательный интерес выращивается в «сфере целей» [5]. Эффективность учебного процесса способствует перемещению интереса с выполнения учебного действия на содержание, задачи.

Под его влиянием деятельность становится продуктивной, в свою очередь, успешная познавательная деятельность укрепляет и усиливает интерес к познанию. Он проникает в каждый компонент деятельности школь-

ника и фигурирует в ней дважды - как мотив деятельности и как мотив учебного действия.

Результатом нашего теоретического исследования явилась схема, которая дает представление о познавательном интересе не только как об интегративном образовании личности, но и позволяет увидеть, что мы используем в своей методической концепции.

Независимо от типа познавательного интереса мы условно выделяем в учебном процессе 3 фазы:

1.Фаза появления интереса. 2.Фаза активного интереса. З.Фаза закрепления интереса.

Для каждой фазы подбираются приемы, способствующие решению поставленной задачи.

Обычные конспекты уроков не дают возможности проследить «поведение» познавательного интереса на отдельных этапах учебного процесса. Авторская педагогическая технология В.М. Монахова позволяет смоделировать процесс его формирования. Работая по ней, учитель создает технологическую карту учебного процесса, информационные карты уроков и информационную карту развития учащихся (ИКРУ) [3]. Приведем фрагмент ИКРУ (последний урок) по теме «Линейная функция» (учебник А.Г.Мордковича «Алгебра 7класс») [4].

Информационная карта развития учащихся Линейная функция.

Содержание учебно-познавательной деятельности

Методический инструментарий

Развитие (ориентиры формирования познавательного интереса)

1 .Проверка домашнего задания.

Задание 1. Составьте опорный конспект.

Задание 2. Заполните таблицу: «Взаимное расположение графиков функций».

Первое и второе задания выполняются у доски.

В это время проводится фронтальный опрос.

Фаза появления интереса. Широкие познавательные и учебно-познавательные мотивы в сочетании с мотивом самоутверждения. Результат: познавательный интерес как мотив; субъективно-объективные отношения.

2.Самостоятельная работа.

I вариант: № 903; № 921 (в).

II вариант: № 904; № 921 (г).

Контролирующая самостоятельная работа.

(После выполнения тетради собираются).

Широкие познавательные мотивы с мотивами ответственности, самоутверждения. Познавательная активность.

Результат: познавательный интерес как качество личности; объектно-субъектные отношения.

3.Устные упражнения. №906, №940, №941.

Занимательность; игровой момент.

Фаза активного интереса.

Широкие познавательные мотивы. Познавательная активность.

Результат: познавательный интерес как мотив; познавательный интерес как качество личности; субъектно-объектные отношения.

4.Решение тренировочных упражнений.

Задание 1. Найти длины любых двух сторон треугольника, отсекаемого графиком линейной функции у=-0,5х+4 от осей координат.

Задание 2. Из уравнения t+2S-8=0 выразить S через t. Можно ли считать полученное равенство аналитической записью линейной функции? Если да, то чему равен угловой коэффициент?

Задание 3. Какую реальную ситуацию описывает уравнение из задания 2?

Программированный контроль. Учащиеся решают, получив результат, указывают, под каким номером он находится в таблице. Последний вопрос № 2 и № 3 выполняют устно.

Фаза активного интереса.

Учебно-познавательные мотивы.

Познавательная деятельность.

Познавательная активность.

Результат: познавательный интерес как мотив; познавательный интерес как средство обучения; познавательный интерес как качество личности; субъектно-объектные отношения.

5. Домашнее задание Напишите сочинение-сказку «Страна "Линейная функция"», (или выполнить исследовательское задание)

Творческое задание. Диалог на уроке.

Фаза закрепления интереса.

Мотивы самообразования. Познавательная деятельность. Познавательная активность. Результат: познавательный интерес как мотив; познавательный интерес как средство обучения; познавательный интерес как качество личности; субъектно-субъектные отношения.

6. Итог урока.

Вопрос. Для чего нам нужны знания о функциях?

Фаза закрепления интереса.

Познавательная активность.

Результат: познавательный интерес как качество личности; объектно-субъектные отношения.

В этой части информационной карты развития учащихся показаны все аспекты формирования познавательного интереса: мотивационная сфера проявления интереса, различные его модификации в учебном процессе, отношения в учебно-познавательной деятельности, можно также указать приёмы и технологии обучения, используемые для решения поставленной проблемы. Всё это иллюстрируется следующим образом:

Обозначения:

1) 1,2,... 6 - этапы учебного процесса;

(М) - познавательный интерес как мотив;

(С) - познавательный интерес как средство;

(К) - познавательный интерес как качество личности.

3) «поведение» интереса в учебном процессе:

Ф/П - фаза появления познавательного интереса; Ф/А - фаза активного интереса; Ф/3 - фаза закрепления интереса;

) ,(3) - мотивационная сфера;

отношения в учебно-познавательной деятельности;

Графическое представление процесса формирования познавательного интереса позволяет учителю более объективно оценить результаты своей деятельности. Это своеобразный итог моделирования программы «Интерес».

Библиографический список

1. Выготский Л.С. Педагогическая психология. Под ред. В.В. Давыдова. М: Педагогика, 1991.

2. Маркова А.К. и др. Формирование мотивации учения. Кн. для учителя М.: Просвещение, 1977.

3. Монахов В.М. Аксиоматический подход к проектированию педагогической технологии // Педагогика, 1997. № 6. С. 26-31.

4. Рыманова Т.Е. Технологический подход к формированию познавательного интереса учащихся к математике. Учебное пособие. Елец: ЕГУ им. И А. Бунина, 2004.

5. Щукина Г.И. Педагогические проблемы формирования познавательных интересов учащихся. М.: Педагогика, 1988.

ФОРМИРОВАНИЕ ПРИЁМОВ МЫШЛЕНИЯ МЛАДШИХ ПОДРОСТКОВ ПРИ РЕШЕНИИ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

А.В. Саввина

В статье мы рассматриваем формирование мышления младших подростков в процессе решения арифметических задач, опираясь на то, что в центре внимания обучающегося должна лежать ориентировочная основа деятельности. Учащиеся прежде всего должны освоить основные элементы, составляющие ориентировочную основу, их отношения и метод составления её в условиях конкретной задачи.

Ключевые слова: стихийный и управляемый пути усвоения, ориентировочная основа деятельности, теория поэтапного формирования умственных действий.

Вслед за Н.Ф. Талызиной и другими учёными её школы при постановке данного исследования мы исходили из понимания мышления не как некой готовой формальной функции, которая применяется при решении арифметических задач, а из понимания её как содержательной системы актов деятельности, формирующихся в процессе решения соответствующих задач, проходящих ряд закономерно сменяющих друг друга этапов. [2]

Как в случае понятий, при анализе общих приёмов мышления необходимо учитывать, что может быть два пути их усвоения: стихийный и управляемый. В первом случае приёмы мышления не выступают как специальные предметы усвоения, их становление идёт лишь по ходу усвоения знаний, в процессе решения задач, где они занимают место средств и поэтому не осознаются. В этом случае процесс формирования методов (приёмов) мышления растягивается и не всегда приводит к желаемому результату. Но даже там, где формируются приёмы мышления, они остаются недостаточно осознанными, недостаточно обобщёнными, и в результате этого ограниченными в своём применении теми частными условиями, в которых они возникли. [2]

При втором пути приёмы мышления выступают как предметы специального усвоения. В силу управления процесс их формирования резко со-

кращается во времени и приводит к усвоению этих приёмов с заранее намеченными качествами. В нашем исследовании мы шли этим путём.

В том числе мы придерживались положения о том, что успешность формирования действий определяется качеством их ориентировочной основы.

Наше внимание привлекли арифметические задачи в силу того, что содержание ориентировочной основы действий, входящих в приёмы решения этих задач, лежит вне арифметики.

Раздел задач в арифметике носит прикладной характер. Учащиеся должны описать приведённую в условии задачи ситуацию математическим языком. Это можно сделать, лишь умея выделять основные величины и поняв отношения между ними. В данном случае в качестве ориентировочной основы, определяющей ход решения задачи, выступают специфические особенности, описанные в предложенной ситуации.

Значительное место среди арифметических задач отводится задачам на «куплю-продажу». Проблема состоит в том, что при обучении школьников решению задач на куплю-продажу и на «процессы» учитель, как правило, руководствуется тем жизненным опытом, который имеется у учащихся, но в то же время не уделяет должного внимания той предметной ситуации, которая должна моделироваться. При решении задач данного вида необходимо усвоить такие понятия, как «цена», «стоимость» и отношения между ними и количеством товара.

Если при решении задач на «куплю-продажу» жизненный опыт учащихся оказывается достаточным, то этого нельзя сказать о задачах на «процессы»: «на бассейны», «движение», «работу» и других. Главное внимание учащихся направляется на систему исполнительских операций. Если ситуация и анализируется, то только в конкретном виде, применительно только к условиям предложенной задачи: время, потраченное на движение; семена, необходимые для посадки; работа, выполненная за час. При этом предполагается, что учащиеся уже знакомы с такими понятиями, как «скорость», «время» и отношениями между ними. Конкретно с основными величинами, характеризующими задачи на процессы, школьники встречаются на уроках физики в 7-м классе. Арифметические задачи предлагаются учащимся намного раньше, включая в себя не только задачи на движение, но и ряд других задач, связанных с разными процессами.

Проводя своё исследование, мы пришли к мнению о том, что основные трудности, возникающие у школьников при решении задач «на процессы», заключаются не в исполнительной арифметической части деятельности, а в ориентировочной, содержание которой лежит вне арифметики. Вследствие этого в своём исследовании мы обращаем внимание именно на ориентировочную основу действий.

В первую очередь необходимо установить содержание и структуру ориентировочной основы действий, для чего необходимо выделить все элементы, входящие в неё, и проанализировать отношения между ними.

Анализируя ряд арифметических задач «на процессы» - работа, движение, расход энергии и др., мы увидели общность их ориентировочной основы. Замечено, что задачи, отличающиеся друг от друга сюжетом, операционной системой исполнительной части приёма решения, требуют ориентировки на три величины, которые служат характеристиками любого процесса. К ним относят: скорость протекания процесса (V), время его протекания (Т) и продукт (результат) процесса (S). Для успешного решения задач данного класса ученики должны хорошо понимать отношения, связывающие между собой эти величины. В частности, что величина продукта прямопропорциональна скорости и времени, а время прямопропорционально величине продукта, но обратнопропорционально значению скорости. Школьники должны понимать, что по двум величинам всегда можно определить третью. Важно обратить внимание на то, когда продукт создают несколько участников процесса, в данном случае возникает новая система отношений и между отдельными участниками процесса.

Большинство задач «на движение», «на бассейны», «на работу» и другие представляют собой лишь частные случаи ситуации «совместного действия».

Рассмотрим следующие задачи:

1. Школьный бассейн наполняется при помощи 3-х кранов, каждый из которых пропускает за час 200 литров воды. Сколько времени понадобится, чтобы заполнить бассейн вместимостью 1800 литров.

2. Расстояние между домами двух друзей составляет 900 метров, решив погулять, они вышли навстречу друг другу. Дима спешил к другу и шёл со скоростью 50 метров в минуту, а Серёжа со скоростью 40 метров в минуту, потому что у него постоянно звонил телефон. Через какое время мальчики встретятся?

3. Двум школьникам надо выполнить домашнюю работу по арифметике, состоящую из 18 примеров, прежде чем пойти гулять. Один из них -«отличник» - и успевает за один час решить 5 примеров, а другой - «хорошист» - и решает по 4 задания в час. Через сколько времени ребята смогут отправиться на прогулку?

4. В школьной столовой заготовлено 240 килограмм фруктов. По 40 килограмм ежедневно расходуется на учащихся начальной школы и по 80 выделяется на школьников среднего и старшего звена. На сколько дней работникам столовой хватит фруктов?

Во всех этих задачах необходимо рассчитать время (Т) протекания какого-либо процесса - наполнение бассейна, встречи, решения домашней работы, расходования продуктов. В данном случае время процесса можно рассматривать как функцию от «общего продукта» и суммы скоростей участников процесса.

Способ решения задачи зависит от характера функциональной зависимости между величинами. Поэтому решение задач данного вида опирается

на усвоение основных понятий «процесса» и установление связей между ними.

Рассматривая в нашем исследовании формирование мышления младших подростков в процессе решения арифметических задач, мы опираемся на то, что в центре внимания обучающегося должна быть ориентировочная основа этой деятельности. Учащиеся прежде всего должны освоить основные элементы, составляющие ориентировочную основу, их отношения и метод составления её в условиях конкретной задачи.

Первоначально мы рассматриваем «продукт», скорость и время процесса, устанавливаем отношения между данными величинами, учитывая, каким является процесс (изолированного или совместного действия). Затем мы переходим к разработке общих методов анализа величин в условиях любой предложенной задачи «на процессы».

1. Констатирующий эксперимент мы проводили в рамках экспериментальной площадки, открытой на базе общеобразовательных школ г. Ельца Липецкой области (2006-2008 гг., МОУ СОШ № 15; 2008-2010 гг., МОУ СОШ№ 1).

2006-2007 гг. В качестве испытуемых взяты 39 пятиклассников (22 человека - 5 «А» класс, 17 человек - 5 «Б» класс). Учащиеся 5 «А» класса обучаются по учебнику Муравина Г.К., учащиеся 5 «Б» класса по учебнику Виленкина Н.Я.

Цель констатирующего этапа эксперимента заключалась в установлений тех знаний, умений и навыков, необходимых для решения задач «на процессы», которыми обладали учащиеся на момент перехода из начальной школы в среднее звено. Были проанализированы следующие понятия и умения:

1. Понятие скорости, способы её определения, единицы измерения.

2. Понятие о времени протекания процесса, умение отличать промежуток времени от временного интервала.

3. Понятие о «продукте» процесса и единицах его измерения. Эксперименты проводились индивидуально.

5 «А» класс: Определение, наиболее близко соответствующее понятию скорости, дали 5 человек. Они определяли скорость как отношение расстояния ко времени. В 5 «Б» классе таких учащихся оказалось только двое.

20 школьников от общей группы давали ответы следующего вида: «Может быть маленькая и большая», «Она, когда идёшь или едешь», «Темп передвижения». (5 «А» - 13 человек, 5 «Б» - 7 человек).

И 12 человек совсем не справились с заданием, отвечая, что они не помнят.

Рассмотрим некоторые примеры типичных ответов:

1. Испытуемый Олег. П.

Экспериментатор: Как можно найти скорость?

Испытуемый: Делением.

Экспериментатор: Что на что нужно делить?

Испытуемый: Время на метры.

2. Испытуемый Паша М. Экспериментатор: Как можно найти скорость? Испытуемый: Умножением. Экспериментатор: Что будем умножать? Испытуемый: Метры на секунды.

3. Испытуемый Дима Д. Экспериментатор: Как можно найти скорость? Испытуемый: Спидометр показывает.

Самые простые задачи вызывали затруднения у учащихся. «За 5 часов путешественник прошёл путь в 20 км. Сколько километров он проходил за 1 час?» Испытуемый Иван Г. отвечал: « 20 умножить на 5... или... сложить надо». Остальные действовали аналогично.

Вот условие одной из задач, с которой успешно справились только трое учеников. «Собственная скорость теплохода 27 км/ч, скорость течения реки 3 км/ч. Сколько времени затратит теплоход на путь по течению реки между двумя причалами, если расстояние между ними равно 120 км?»

Далее разговор зашёл о времени протекания процесса. Большинство школьников не отличают понятие интервала времени от момента времени.

1. Испытуемый Паша Д.

Экспериментатор: Сколько времени вы спите? Испытуемый: Целую ночь.

Экспериментатор: Хорошо, а сколько часов длится ночь? Испытуемый: 7, меня поднимают в это время.

2. Испытуемый Ангелина А.

Экспериментатор: Сколько часов проходит с 9 вечера до 10 утра? Испытуемый: 1 час, конечно.

3. Испытуемый Оля Д.

Экспериментатор: Что больше: 120 минут или 2 часа? Испытуемый: 2 часа, наверное, больше.

Ответы учащихся показали, что большинство из них определяют время как нечто абстрактное и пространственное, а не как данную, конкретную величину, характеризующую процесс.

Следующая задача вызвала затруднения у 34 испытуемых. «Автомобилист отправился в командировку в 9 часов утра, он двигался со скоростью 80 км/ч. В какое время он будет на месте, если ему необходимо преодолеть путь в 640 км?» Учащиеся умножали 80 на 9, при этом обосновывая свои действия тем, что для нахождения пути надо скорость умножить на время. В данном случае они ошибочно за время процесса приняли начальное время отправления автомобилиста.

Понятие «продукта» процесса (результата) испытуемым оказалось тоже незнакомо. Читая вопрос задачи, школьники затрудняются определить, что именно им нужно найти. Это происходит, в первую очередь, по причине того, что они совершенно не понимают отношения между скоростью, вре-

менем и «продуктом» процесса. В заключение была предложена следующая задача: «Из двух портов, расстояние между которыми 650 км, отправились навстречу друг другу два теплохода со скоростями 30 км/ч и 35 км/ч (с учётом скорости течения реки). Какой путь проделает первый теплоход до момента встречи?»

Эта задача оказалась для испытуемых самой сложной. С ней справились всего 2 человека (5 «А» класс). Остальные же перебирали все возможные варианты: «надо сложить...или... умножить», «нет, надо 650 разделить на 30...». Поиск решения проходил путём «проб и ошибок».

В результате констатирующего эксперимента мы убедились, что основная проблема при решении задач «на процессы» заключается не в исполнительной (арифметической) части действий, а в ориентировочной, которая включает в себя знание величин, характеризующих процесс и чёткое понимание отношений между ними. Кроме того, у учащихся не сформирован ни приём решения задач «на процессы», ни система основных понятий, лежащих в основе ориентировочной основы этого приёма.

Библиографический список

1. Талызина Н.Ф. Педагогическая психология. Учеб. пособие для студ. сред. пед. учеб. заведений. М.: Издательский центр «Академия», 1998.

2. Формирование приемов математического мышления. Под ред. Н.Ф. Талызиной. М, 1995.

3. Формирование интереса к учению у школьников. Под ред. А.К. Марковой. М.,

1998.

НЕДЕЛЯ МАТЕМАТИКИ В МОУ ГИМНАЗИИ № 11

Н.А. Самко

В статье рассказано о проведении недели математики в МОУ гимназия № 11 г. Ельца Липецкой области, предложен план-конспект внеклассного мероприятия «Математическое поле чудес».

Ключевые слова: неделя математики, познавательно-развлекательная игра.

В МОУ гимназия № 11 стало традицией проведение недель математики. Проходят они один раз в год, обычно в октябре, согласно учебному плану гимназии. В подготовке участвуют все учителя математики, учащиеся. Примерно за две - три недели в каждой параллели создаются инициативные группы из учащихся, проявляющих повышенный интерес к математике. Руководят работой групп учителя, работающие в этих классах. Задача каждой группы - подготовить и провести внеклассные мероприятия, выпустить

газету, выступить с лекцией или докладом по математике, принять участие в исследовательской работе, помочь учителю в проведении олимпиады или конкурса. В первый день недели на общем стенде вывешиваются стенные газеты. Материал для газет подбирается из различных журналов, книг по математике, астрономии, физике, информатике. Все это благотворно сказывается на развитии кругозора учащихся, на их навыках чтения научной литературы, на развитии культуры математической речи. Уже само название газеты должно привлечь внимание учащихся. Вот несколько примеров названий: «В мире математики», «математика и жизнь», «Этот удивительно симметричный мир», «Старинные русские меры», «Знаешь ли ты, что...» и другие. В конце недели авторы лучших газет награждаются призами.

В течение следующих дней в классах проводятся математические КВНы, конкурсы, викторины, вечера, математические игры.

В завершение недели проводится школьная математическая олимпиада. Руководит проведением олимпиады гимназический оргкомитет под председательством руководителя школьного методического объединения. Для участия в олимпиаде допускаются все дети, желающие участвовать в ней. Первые задания - более легкие. Их выполняют почти все учащиеся. Нужно дать почувствовать каждому ребенку, даже слабому, что учителя верят в их силы и возможности. Пусть даже незначительный успех на олимпиаде вселит в них уверенность в свои силы. Ведь это может привести и к действительным успехам.

Олимпиады по математике в гимназии проводятся и в начальной школе. Победители награждаются призами и направляются на городские олимпиады.

Неделя заканчивается подведением итогов, отмечаются лучшие работы, намечается план дальнейшей работы в этом направлении.

Приведем пример одного из внеклассных мероприятий, проводимом в 5 классе.

Уильям Томсон писал: «Не думайте, что математика есть нечто черствое, сухое, противное здравому смыслу. Наоборот, она лишь делает здравый смысл подобным эфиру».

Мы проводим познавательно-развлекательную игру «Математическое поле чудес». Задумывались ли вы над тем, что вся наша жизнь, с юных лет до самой глубокой старости, связана с математикой?

Математика является тем инструментом, без которого в настоящее время невозможно полноценное развитие никакой науки. Без знания математики нельзя понять ни основ современной техники, ни того, как ученые изучают природные и социальные явления. Вспомним, с чем мы встречаемся на уроках физики, химии, географии, истории и других предметов. Мы изучаем формулы, производим различные вычисления, учим даты, чертим схемы, таблицы, диаграммы и так далее. А ведь всё это-математика.

Значит, изучение почти любого предмета в школе предполагает хорошее знание математики, и без неё мы не сможем освоить эти предметы.

Поэтому тема нашей сегодняшней игры - «Математика».

План-конспект внеклассного мероприятия в 5 классе «Математическое поле чудес».

Цели: привить интерес к предмету математика; развитие творческой активности; расширение кругозора.

Оборудование: барабан, шкатулки, призы.

1. Вступительное слово учителя.

2. Определение троек игроков.

3. Представление.

4. Игра.

Задание 1-ой тройке: Назовите геометрическое понятие, в названии которого 11 букв. (Ответ: «треугольник» )

Игра со зрителями. Дайте ответ на вопрос: «Сколько раз закидывал невод старик из сказки А.С. Пушкина «О золотой рыбке»? (Ответ: 3 раза)

Задание 2-ой тройке: Назовите геометрическое понятие, в названии которого 7 букв. (Ответ: «отрезок»)

Игра со зрителями. Дайте ответ на вопрос: «В каком городе впервые стали измерять углы в градусах?» (Ответ: Вавилон.)

Задание 3-ей тройке: Назовите геометрическое понятие, в названии которого 5 букв. (Ответ: «точка»)

Игра со зрителями. Дайте ответ на вопрос: «Сколько раз старик кликал золотую рыбку?» (Ответ: 4 раза)

Финальная игра. Назовите геометрическое понятие, в названии которого 11 букв. (Ответ: «многоугольник»)

Игра со зрителями. Дайте ответ на вопрос: «В долине какой реки в древнем Египте было сосредоточено земледелие?» (Ответ: Нил.)

Суперфинал. Назовите чертежный инструмент, в названии которого 7 букв. (Ответ: «циркуль»)

5. Подведение итогов.

6. Вручение призов.

7. Заключительное слово учителя.

К ВОПРОСУ О ВНЕКЛАССНОЙ РАБОТЕ С ОДАРЁННЫМИ ДЕТЬМИ

Т.М. Сафронова, Т.Н. Зайцева

В статье рассмотрен один из аспектов организации и проведения внеклассных занятий с одаренными детьми в школе.

Ключевые слова: внеклассная работа, одаренные дети, факультативный курс.

В последние годы российская школа переживает качественно новый этап своего развития, обусловленный изменением социального заказа общества на деятельность системы образования: не просто усвоение учащимися определенного набора знаний, умений и навыков, а максимальное развитие личности каждого ученика с учетом его интересов, способностей, потенциальных возможностей и образовательных потребностей.

Одним из путей развития личности ученика в процессе обучения математике является включение учащихся в систему внеклассной работы по предмету.

Под внеклассной работой по математике понимаются необязательные, добровольные систематические занятия учащихся с преподавателем во внеурочное время [1].

Основы методики внеклассной работы по математике были заложены еще в 30-х годах XX века (П.С. Александров, П.Ю. Германович, Б.Н. Делоне, А.Н. Колмогоров, Л.А. Люстерник и др.). Тогда наметились основные направления развития внеклассной работы по математике, ее цели, виды и формы, методы и средства. Постепенно наряду с существовавшими кружками, математическими олимпиадами развивались такие формы внеклассной и внешкольной работы, как математическая печать, математические соревнования, конкурсы, викторины, вечера, экскурсии, факультативные занятия, школы юных математиков и другие [3].

Разработкой методики и содержания внеклассных занятий для учащихся занимались М.Б. Балк, Н.Я. Виленкин, П.Ю. Германович, Б.В. Гнеденко, В.А. Гусев, Н.П. Жукова, А.А. Колосов, А.Н. Колмогоров, Ю.М. Колягин, Б.А. Кордемский, И.В. Кузнецова, Г.Л. Луканкин, А.И. Маркушевич, В.М. Монахов, П.В. Стратилатов, С.И. Шварцбурд, В.Д. Степанов и другие. Исследователи отмечали, что внеклассная работа по математике формирует и развивает способности и личность ребенка. Управлять этим процессом - значит не только развивать и совершенствовать заложенное в человеке природой, но и формировать у него потребность в постоянном саморазвитии и самореализации, так как каждый человек воспитывает себя, прежде всего сам, здесь добытое лично - добыто на всю жизнь [3].

Сегодня в теории и методике обучения математике различают несколько типов внеклассной работы, которые в свою очередь делятся на виды. В своей статье мы остановимся на проблеме организации внеклассной работы с одаренными детьми.

В настоящее время педагогическое сопровождение талантливых учащихся является подлинно массовым явлением, которое затрагивает все уровни общего образования и направлено на формирование национальной интеллектуальной элиты, содействуя их самоопределению и, в перспективе, формированию как будущих высококвалифицированных специалистов. Очевидно, что перспектива развития общества и его процветание напрямую связаны с проблемой выявления и обучения одаренных детей.

В психологии понятия «одаренность», «одаренный ребенок» определяются следующим образом.

Одаренность - это системное, развивающееся в течение жизни качество психики, которое определяет возможность достижения человеком более высоких, незаурядных результатов в одном или нескольких видах деятельности по сравнению с другими людьми.

Одаренный ребенок - это ребенок, который выделяется яркими, очевидными, иногда выдающимися достижениями (или имеет внутренние предпосылки для таких достижений) в том или ином виде деятельности. При этом особое значение имеют собственная активность ребенка, а также психологические механизмы саморазвития личности, лежащие в основе формирования и реализации индивидуального дарования.

В педагогической литературе и практике в особую категорию - академически одаренных детей - выделяют учеников, которые хорошо обучаются в школе.

Заметим, что вопросы обучения, воспитания и развития одаренных детей сегодня достаточно активно обсуждаются на страницах периодической печати, поднимаются и исследуются в кандидатских и докторских диссертациях, находятся в поле зрения педагогической науки и практики. Исследователи отмечают, что одаренные дети могут проявить особую успешность в достаточно широком спектре деятельностей, поскольку их психические возможности чрезвычайно пластичны на разных этапах возрастного развития. Отметим, что еще Платон восклицал: «Разве ты не заметил, что способный к математике изощрен во всех науках в природе?». Однако у этих детей могут возникать проблемы в том случае, если не учитываются их повышенные возможности: когда обучение становится слишком легким. Очень важно создать для этих детей оптимальные по трудности условия для развития их одаренности. В этой связи ставится вопрос о разработке всевозможных образовательных программ развития одаренных детей на основе учета их возрастных и индивидуальных особенностей, начального уровня их подготовки, мотивации к изучению предмета и пр. Именно с учетом вышеперечисленного нами разработан факультативный курс по математике для занятий с академически одаренными детьми.

Целями организации факультативных занятий являются:

• расширение и углубление знаний и умений учащихся по математике;

• развитие способностей и интересов учащихся;

• развитие логического мышления, смекалки, математической речи;

• формирование активного познавательного интереса к предмету;

• содействие профессиональной ориентации учащихся в области математики и ее приложений;

• подготовка учащихся к олимпиадам по математике.

Перечислим основные принципы, используемые при проведении данного факультатива.

1. Регулярность (посещения занятий и выполнения домашних заданий). Для достижения указанных выше целей недостаточно посещать отдельные эпизодические занятия, выполнять некоторые домашние задания, необходимы системность и последовательность в работе.

2. Опережающая сложность (дома предлагается решить 5 задач за неделю, причем 4 задачи доступны всем ученикам и 1 не доступна ни одному ученику). В определенном смысле навыки самообучения есть у всякого одаренного ребенка. Одаренный ребенок тем и выделяется из основной массы, что он сам задает вопросы, сам читает книги по интересующей его теме, сам находит и решает более сложные, чем «полагается», задачи. Стихийно каждый одаренный ребенок занимается самообучением. Однако переход от некоторой почти природной склонности к самообучению к сознательной позиции самообучения совершенно необходим одаренному ребенку для того, чтобы в дальнейшем профессионально состояться.

3. Вариативность (сравнение различных методов и способов решения одних и тех же математических задач). Дело в том, что человеку, изучающему математику, часто полезнее решить одну и ту же задачу тремя различными способами, чем решать три - четыре различные задачи. Многие математические задачи допускают несколько вариантов решения. Часто избранный бывает далеко не самым удачным. Нахождение «наиболее простых», оригинальных путей решения нередко является результатом длительной и кропотливой работы. Умение решать задачу различными способами является одним из признаков хорошей математической подготовки. Большую пользу для развития теоретического мышления и логической культуры учащихся приносит решение одной задачи несколькими различными способами.

Основными формами организации учебно-познавательной деятельности на факультативе являются лекции, практические занятия, дискуссии, обсуждения, выступления с докладами, математические викторины, интеллектуальные марафоны.

Программа факультатива составлена на учебный год в объеме 34 часов и предусматривает занятия с учащимися 8-х классов. Занятия планируется проводить по 1 академическому часу в неделю.

Тематика факультативных занятий:

1. Текстовые задачи (6 часов).

2. Логические задачи (4 часа).

3. Принцип Дирихле (4 часа).

4.Четные и нечетные числа. Признаки делимости чисел. (3 часа).

5. Решение олимпиадных задач (7 часов).

6. Модуль числа. Графики функций, содержащих знак модуля (3 часа).

7. Математические ребусы (2 часа).

8. Арифметика остатков (3 часа).

9. Круги Эйлера (2 часа).

Перечислим некоторые критерии подбора задач для проведения занятий, математических викторин, интеллектуальных марафонов.

1. Понятность условия. Условие задачи должно быть понятным. В частности, должно быть понятно, что нужно найти, в чем состоит главный вопрос задачи.

2. Доступность решения. Задача должна допускать решение, которое можно легко объяснить школьнику. Это важно и для того, чтобы ученику было легче записать свое решение. В решении должна быть прозрачная идея, поняв которую школьник сможет решать исходные задачи.

3. Системы задач составляются «по идеям». Умение применять идеи, усвоенные при решении (или разборе) задачи, для решения новых задач - одно из важнейших умений, которым обучает математика.

Главная цель проведения математических викторин, интеллектуальных марафонов - приобщить школьников к получению удовольствия от математики. Еще одна цель - научить связно и аргументированно излагать свои мысли, учить анализировать то, как пришли к решению, что сделали сами, а в чем помогли.

В заключение отметим, что факультативный курс успешно апробирован на базе МОУ гимназия № 11 г. Ельца Липецкой области среди учащихся 8-х классов.

Библиографический список

1. Балк М.Б. Организация и содержание внеклассных занятий по математике. Пособие для учителей. М.: Просвещение, 1956.

2. Немов Р.С. Психология. Учеб. для студентов высш. пед. учеб. заведений. В 3 кн. 3-е изд. М: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 1997.

3. Оганесян В.А., Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л., Саннинский В.Я. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика. Учебное пособие для студ. физ.-мат. фак. пед. ин-тов. 2-е изд. М.: Просвещение, 1980.

К ВОПРОСУ ОБ ОРГАНИЗАЦИИ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ШКОЛЬНИКОВ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ

Т.М. Сафронова, Т.И. Суханова

В статье рассматривается проблема организации исследовательской деятельности школьников на уроках математики, приводится конспект урока - лабораторной работы по алгебре в 7 классе.

Ключевые слова: исследовательская деятельность, лабораторная работа, развитие личности.

В настоящее время главной задачей работы школы является создание условий для развития личности, способной адаптироваться к быстро меняющемуся социуму. Основными принципами и целями обучения становятся: внимание к внутреннему миру детей, их интересам и потребностям и развитие их творческих способностей, самостоятельности, инициативы, стремления ребенка к самореализации.

В связи с этим появляется проблема обеспечения новых подходов к организации образовательного процесса, акценты в котором делаются на развитие и реализацию детских способностей, навыков исследовательской деятельности.

Под исследовательской деятельностью учащихся сегодня понимается такая форма организации учебно-воспитательной работы, которая связана с решением учащимися творческой, исследовательской задачи с заранее неизвестным результатом. Эта деятельность предполагает наличие основных этапов, характерных для научного исследования: постановку проблемы, ознакомление с литературой, овладение методикой исследования, сбор собственного материала, его анализ и обобщение, собственные выводы [2].

Необходимо отметить, что подростковый период и период ранней юности являются самыми благоприятными для формирования основ исследовательской деятельности. В каждом ученике живет страсть к открытиям и исследованиям. Даже плохо успевающий ученик обнаруживает интерес к предмету, если ему удается что-то открыть самому. Задача учителя - вызвать интерес к процессу исследовательской деятельности, увлечь содержанием и способом выполнения работы. Поиск решения поставленной задачи приводит к развитию устойчивых познавательных интересов. В процессе выполнения исследовательской деятельности проявляется и формируется самостоятельная мыслительная деятельность учащихся: им приходится сравнивать, анализировать, делать выводы [2].

Исследовательская деятельность учащихся может осуществляться на уроке и во внеурочное время. С учетом возрастных особенностей учащихся и уровня их подготовки каждое отдельное исследование может быть краткосрочным или рассчитанным на длительное время. Исследовательские работы выполняются индивидуально (старшая школа) или коллективно (основная школа). Представленные работы должны содержать результаты исследований. Завершается работа над исследованием его защитой - одним из главных этапов обучения начинающего исследователя.

Любое самостоятельное исследование руководимо: педагог помогает определить его содержание, корректирует цели и задачи, выступает консультантом. При выборе содержания ученических исследований необходимо учитывать возрастные особенности учащихся. Кроме того, необходимо, что-

бы задания были простыми по содержанию, доступными для понимания. Более сложные задания разбиваются на простые и понятные.

Приведем пример организации исследовательской деятельности на уроках математики, а именно при проведении лабораторных работ. Мы привыкли слышать о лабораторных работах по физике, химии, биологии и т.д., а вот сочетание «лабораторная работа по математике» вызывает у многих некоторое недоумение. Тем не менее, есть масса тем, которые можно донести до учащихся в этой форме. Вместе с тем лабораторные работы интересны любому школьнику по сравнению с «сухой» теорией, преподносимой учителем. Лабораторную работу можно рассматривать как исследовательскую деятельность, правда, в этом случае результаты этой деятельности заранее известны учителю.

Приведем конспект урока - лабораторной работы по алгебре в 7 классе.

Тема урока «Взаимное расположение графиков линейных функций».

Цели урока:

- рассмотреть случаи взаимного расположения графиков функций вида у = kx + b в зависимости от значений коэффициентов к и Ъ\

- развивать навыки графической культуры, исследовательской деятельности;

- воспитывать аккуратность, усидчивость, чувство ответственности, учить работать в группе.

План урока

1. Организационный момент (1 мин).

2. Актуализация базовых знаний (3 мин).

3. Исследование (7 мин).

4. Защита результатов исследования (25 мин).

5. Постановка домашнего задания (3 мин).

6. Подведение итогов. Анкетирование (6 мин).

Ход урока

1. Организационный момент

Учитель проверяет готовность класса к уроку, объявляет цели урока.

2. Актуализация базовых знаний

Учащимся предлагается ответить на вопросы:

1). Что называют линейной функцией?

2). Как построить график линейной функции?

3). Какие из указанных ниже функций являются линейными:

4). Приведите примеры линейных функций.

5). Что называют прямой пропорциональностью? Приведите примеры.

3. Исследование

Учитель формулирует проблему, которой посвящены исследования. Учащиеся класса, заранее поделившиеся на 4 группы, получают задания для исследования: у каждой группы-лаборатории своя работа.

Задания группам - лабораториям. Лаборатория №1. Роль знака углового коэффициента. Выяснить, как влияет значение углового коэффициента на расположение графиков линейных функций относительно положительного направления оси абсцисс.

Постройте графики функций:

Сделайте выводы:

Если к >0, то угол наклона, образованный графиком линейной функции с положительным направлением оси абсцисс ...

Если к <0, то угол наклона, образованный графиком линейной функции с положительным направлением оси абсцисс ...

Если к =0, то ...

Лаборатория №2. Угловые коэффициенты функций равны.

Выяснить, как расположены графики линейных функций, если их угловые коэффициенты равны.

В одной системе координат постройте графики функций:

Сделайте вывод:

Если угловые коэффициенты линейных функций равны, то их графики расположены ...

Лаборатория №3. Свободные члены линейных функций равны.

Выяснить, как расположены графики линейных функций, если равны их свободные члены.

В одной системе координат постройте графики функций:

Сделайте вывод:

Если свободные члены линейных функций равны, то их графики ...

Лаборатория №4. Общий случай.

Выяснить, как расположены графики линейных функций, если не равны их угловые коэффициенты и свободные члены.

В одной системе координат постройте графики функций:

Сделайте вывод:

Если угловые коэффициенты и свободные члены линейных функций не равны, то их графики...

Прокомментируем работу групп. Каждый участник группы выполняет построение графиков заданных функций на листах формата A4. Получив результаты, группа делает выводы, записывает их, готовится к защите.

4. Защита результатов исследования

Каждая группа по очереди демонстрирует результат своего исследования перед участниками других групп, которые в тетради записывают выводы, делают необходимые чертежи, задают (если необходимо) вопросы.

5. Постановка домашнего задания

Учащимся предлагается дома на листах формата A4 оформить результаты исследования других групп и таким образом создать исследовательский проект по данной теме.

6. Подведение итогов. Анкетирование Учитель задает вопросы:

1). Какую проблему мы рассматривали сегодня на уроке? 2). Какие результаты исследований были получены? Далее учащимся предлагается ответить на вопросы небольшой анкеты.

Анкета

Ф.И.О._

Класс_

Дата заполнения_

Тема лабораторной работы_

Какую проблему исследовала Ваша группа?_

Что нового Вы узнали при выполнении данной работы?_

Наиболее ценным для Вас было:_

Что привлекло Ваше внимание в ходе выполнения лабораторной работы?_

Было ли Вам интересно на уроке?_

Библиографический список

1. Алгебра. Учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова; Под ред. С.А. Теляковского. 9-е изд. М.: Просвещение, 2000.

2. Исследовательская деятельность учащихся в профильной школе. Авт.-сост. Б.А. Татьянкин, О.Ю. Макаренков, Т.В. Иванникова, И.С. Мартынова, Л.В. Зуева. Под ред. Б.А. Татьянкина. М., 2007.

3. Математика. Арифметика. Алгебра. Анализ данных. 7 класс. Учеб. для общеобразоват. учеб. заведений / Г.В. Дорофеев, СБ. Суворова, Е.А. Бунимович, Л.В. Кузнецова, С.С. Минаева; Под ред. Г.В. Дорофеева. 2-е изд. М.: Дрофа, 1998.

4. Опыт организации исследовательской деятельности школьников: «Малая Академия наук». Авт.-сост. Г.И. Осипова. Волгоград: Учитель, 2007.

5. http://S24.stanovoe.lipetsk.ru.

6. http://www.festival®1September.ru

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ИНТЕГРАЛОВ ПРИ ИЗУЧЕНИИ ВЕРОЯТНОСТНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ

В.Д. Селютин, И.А. Уман

В статье приводятся отдельные фрагменты взаимодействия аппарата интегрального исчисления и стохастики в условиях междисциплинарных связей при обучении студентов физико-математического факультета. Раскрываются методические приемы доказательств некоторых теорем о вероятностных распределениях с привлечением интегралов.

Ключевые слова: межпредметные связи, интеграл, случайная величина, плотность распределения.

В настоящее время происходит усиление межпредментых связей при изучении различных дисциплин. Такая тенденция имеет два основных выражения. Во-первых, достаточно перспективным оказалось изучение отдельных тем одной дисциплины как вытекающих из другой. При этом следует отметить, что данный способ позволяет экономить учебное время, т.к. две дисциплины изучаются параллельно. Во-вторых, использование средств и методов одного раздела науки при изучении другого позволяет облегчить и ускорить понимание обучающимися материала.

Возможности использования межпредметных связей хорошо прослеживаются на примере стохастики и математического анализа. С одной стороны, достаточно прозрачным является использование стохастического знания при изучении таких понятий математического анализа, как «производная» и «интеграл». С другой стороны, не представляется возможным изучение некоторых разделов стохастики без использования аппарата математического анализа.

Обратимся к изучению вероятностных распределений. Рассматривая некоторые распределения случайных величин, используют так называемую гамма-функцию, которая определяется через интеграл. Например, она участвует в доказательстве теоремы: если gl9é;29...9é;n независимые нормально распределенные одномерные случайные величины с параметрами

то случайная величина

имеет распределение с п степенями свободы.

Проводя доказательство этого утверждения, студенты предпринимают попытки найти плотность распределения случайной величины радиуса ^-мерной сферы. Вероятность события можно получить из плотности распределения случайной величины

интегрируя по ^-мерному сферическому слою, толщиной dx , так как

Так как объем ^-мерного слоя пропорционален х п ' \ то

, где Сп - коэффициент пропорциональности. Коэффициент Сп находят из условия

Предварительно доказывается, что

поэтому

Получают

Зная эту плотность, находят плотность распределения случайной величины

Последнее выражение представляет собой плотность %~ - распределения с п степенями свободы для х >0. Этим и завершается доказательство рассматриваемой теоремы.

Заметим, что многие студенты испытывают потребность в пояснениях к доказательству. Поэтому преподавателю необходимо обратить их внимание на следующие факты.

1. Для одномерной нормально распределенной случайной величины

с параметрами (0, 1) имеем

2. Для двумерной случайной величины, имеющей сферическое нормальное распределение, имеем dp = dV = Sha - ф (х), где

При п = 3 имеем

с точностью до бесконечно малых, более высокого порядка по сравнению с dx.

площадь круга (объем двумерного шара), площадь кольца (объем двумерного слоя) пропорционален х; — л • х -объем трехмерного шара, объем трехмерного сферического слоя пропорционален х 2 , и так далее: объем ^-мерного сферического слоя пропорционален

3. Из теории вероятностей известно, что если г/ = (руд) , то плотность распределения случайной величины ц находится следующим образом

где у/ - функция, обратная ср, если ср - непрерывная, монотонная и интегрируемая. Например, если

Двойной интеграл приходится применять при доказательстве следующего утверждения: если <^0, çf,,... 9gn независимые случайные величины, имеющие нормальное распределение с параметрами (0, 1), то случайная величина имеет распределение Стьюдента с ^-степенями свободы.

Студентам предлагается представить случайную величину тп в виде отношения двух случайных величин

Числитель имеет нормальное распределение с параметрами (o,Vw)5 а знаменатель имеет плотность распределения (1). Напоминая студентам, что плотность совместного распределения независимых случайных величин равна произведению их плотностей, записываем:

Дифференцируя по х, получим плотность распределения Стьюдента с п степенями свободы.

Здесь также приходится давать необходимые пояснения к доказательству, которые касаются способа нахождения интеграла.

Эффективность методических приемов доказательства теорем о вероятностных распределениях с привлечением интегралов подтверждается практикой обучения студентов физико-математического факультета Орловского государственного университета.

ПРОБЛЕМЫ ПОДГОТОВКИ ШКОЛЬНИКОВ К ЕДИНОМУ ГОСУДАРСТВЕННОМУ ЭКЗАМЕНУ ПО МАТЕМАТИКЕ

Г.А. Симоновская, Н.В. Черноусова

В статье рассмотрены проблемы, связанные с подготовкой к сдаче школьниками единого государственного экзамена по математике в 2010 году, предложен один из возможных путей решения представленных проблем.

Ключевые слова: единый государственный экзамен, математика, подготовка к сдаче школьного экзамена.

Вот уже около десяти лет выпускники средней школы сдают государственный экзамен по математике в форме единого государственного экзамена (ЕГЭ). И, казалось бы, что за это время содержание экзамена, структура экзаменационного варианта, методика проверки и выставление итоговых баллов должны были бы отшлифоваться и быть удовлетворительными для двух сторон, участвующих в экзамене: учеников и учителей.

Но каждый год мы видим изменения: то меняется структура контрольно-измерительных материалов, то содержание (особенно это касается части С), то особенности выставления итоговых баллов для аттестата или для сертификата. И такая лихорадка каждый год.

И в этом году школьников ожидают новшества и в структуре, и в содержании, и в оценивании.

Итак, в контрольно-измерительных материалах отсутствует часть А. Таким образом, школьники, особенно успевающие ниже среднего, лишены возможности выполнять задания (или зарабатывать необходимые баллы), в которых тестируемые могли воспользоваться элементами самопроверки: решил и сравнил с возможными ответами. А как показывает практика, чаще всего ответ, полученный школьником, не совпадал ни с одним из приведенных. Далее тестируемый подходил к выполнению данных заданий «творчески»: или пытался угадать верный ответ, или проводил грубую оценку, или, если это возможно, решал задачу подстановкой ответов в само задание.

В части В изменены задания, они стали более приближены к практической стороне. Например, задания Bi, В2, В5, В9, В12 (часть заданий - задачи на движение, на смеси и растворы). А задания Вб - интегрируемы с физикой, причём возможны задания, редко используемые при обучении математике в школе, чаще такие задания решаются при изучении физики. Например, такое задание:

Задание В6.

Заданы точки О(0; О), A(S; 4), F(5; -2). Найдите работу силы F -OF по перемещению материальной точки из точки О(0; О) в точку Л (8; 4).

Рассматривая отдельно данное конкретное задание, можно заметить следующее:

- даны точки с координатами и рисунок с координатной плоскостью и построенными на ней точками (данное построение тестируемый мог бы выполнить самостоятельно), необходимо отметить, что в ходе решения школьник, скорее всего, и не обратится к чертежу;

- при изучении школьного курса физики такого типа задачи можно решать двумя способами, но в курсе математики к таким заданиям очень редко обращаются;

- решение задачи требует прочных навыков работы с векторами (нахождение координат векторов, правила нахождения скалярного произведения двух векторов).

Всё выше сказанное говорит о том, что не самая сложная задача вряд ли будет верно решена.

К такому виду задач может быть отнесено и следующее задание.

Задание B10.

Сцепленные зубчатые колёса вместе в сумме делают 240 оборотов в минуту. Найдите количество зубьев у второго колеса, если у первого их 100 и делает оно на 80 оборотов в минуту больше, чем второе колесо.

Данная задача не очень сложная, может быть решена фактически устно путём логических рассуждений. Но если школьник столкнётся с ней впервые на экзамене, то он окажется в затруднительном положении. На наш взгляд, такие задания могут вызвать у школьников больше затруднений, чем задания с параметрами из части С (к заданиям с параметрами особое внимание: они прорешены, разобраны до экзаменов).

Анализируя часть В контрольно-измерительных материалов по математике, можно сделать вывод о несогласованности уровня сложности заданий по одним и тем же темам. В различных версиях тематики заданий весьма амплитудно разнятся по сложности. А что ожидает школьников на экзамене - тайна для всех.

Переходя к рассмотрению части С, нужно сказать, что число заданий увеличилось. Да и содержание подверглось корректировке. Особенно настораживает задание С6. Оно представляет собой смесь комбинаторики, теории вероятностей, логики, решение уравнений на множестве натуральных или целых чисел и т.п. Да и с оформлением этой задачи много сложностей, а, учитывая субъективность проверки, следует отметить, что максимальное число баллов за него получить практически невозможно.

Задания части С настораживают ещё и тем, что из года в год на самом экзамене предлагаются задания, откровенно говоря, выходящие за рамки школьного курса дисциплин естественно-математического цикла, да и коренным образом изменённые по сравнению с аналогичными заданиями из демоверсий. Поэтому предположить, что ожидает выпускника на экзамене, весьма трудно.

Таким образом, в ходе подготовки школьника к единому государственному экзамену по математике необходимо предлагать для решения задания нестандартные, интегрируемые по дисциплинам естественно-математического цикла. При решении таких задач от школьника требуются не только прочные знания по школьному курсу математики, но и умения применять знания в других областях. На наш взгляд, таких заданий должно быть достаточное количество и не нужно дублировать их однотипными. Такие задачи и хороши своей непохожестью и нестандартностью. К таким задачам можно отнести следующие задания:

1. В 500 кг руды содержится некоторое количество железа. После удаления из руды 200 кг примесей, содержащих в среднем 12,5% железа, в оставшейся руде содержание железа повысилось на 20%. Какое количество железа осталось в руде?

5. В равнобедренной трапеции с высотой 2-V2 и углом — между её диагоналями, противолежащими боковой стороне, средняя линия равна

Среднее арифметическое всех чисел я е Z, при которых дробь является также целым числом, равно

11. Строительная фирма построила один дом за 81 день; при уменьшении производительности на 20% другой дом этой фирмой был построен за 50 дней. За сколько дней фирма могла бы построить оба дома, если бы строительство шло с постоянной производительностью на 10% больше первоначальной?

Библиографический список

1. http //www.edu.ege.ru

2. http //www.fipi ru

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ВОЗМОЖНОСТЕЙ MATHCAD ПРИ ИЗУЧЕНИИ ДИСЦИПЛИНЫ «ПРАКТИКУМ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ НА ЭВМ»

И.Н. Тарова, Д.А. Таров

В статье рассматриваются различные аспекты применения математической системы Mathcad в учебном процессе.

Ключевые слова: математическое моделирование, математический пакет, Mathcad, учебный процесс.

В настоящее время значительное место занимает использование различных информационных технологий при изучении учебных дисциплин как в средней, так и в высшей школе. При этом большое внимание уделяется созданию компьютерных моделей, что, в свою очередь, способствует развитию творческих способностей студентов, визуализации изучаемых процессов, явлений и понятий.

Одним из средств математического компьютерного моделирования является математическая система Mathcad, снабженная инструментарием для численного и символьного решения не только математических, но и технических задач различной степени сложности. Облегчая решение сложных математических задач, она снимает психологический барьер, делая обучение более интересным и понятным, поэтому без преувеличений можно сказать, что грамотное применение системы в учебном процессе способствует повышению качества математической подготовки студентов.

Как математический пакет вышеуказанная система характеризуется некоторыми особенностями, выгодно отличающими его от других программных средств, в частности, наличием текстового и графического редакторов, позволяющих эффективно работать с формулами, графиками, таблицами, текстовыми фрагментами, рисунками, создавая тем самым высококачественные документы, а также максимальная приближенность языка моделирования к реальному физико-математическому языку. Все это позволяет эффективно использовать Mathcad как средство автоматизации решения разнообразных математических задач.

Возможности математической системы Mathcad широко используются нами в процессе преподавания студентам V курса физико-математического факультета, обучающимися по специальности «Математика» с дополнительной специальностью «Информатика», учебного курса «Практикум по решению задач на ЭВМ». Кроме того, следует заметить, что рассматриваемый математический пакет находит значительное применение при преподавании на физико-математическом факультете таких дисциплин, как «Информационные технологии в математике», «Программное обеспечение ЭВМ», «Системное и прикладное программное обеспечение»

Задания на осуществление элементарных вычислений, решение систем уравнений, матричные вычисления, решение дифференциальных уравнений, вычисление интегралов в математической системе Mathcad выполняются студентами в ходе лабораторных занятий.

Кроме решения типовых заданий вышеназванный математический пакет применяется нами при рассмотрении более сложных задач в рамках подготовки курсовых работ, семестровых заданий и выпускных квалификационных работ.

Использование математической системы освобождает студентов от большого объема рутинных вычислений, способствует визуализации рассматриваемых понятий и исследуемых процессов, но ни в коем случае не

умаляет роли творческого мышления в поисках решения той или иной задачи, грамотного владения математическими понятиями и методами.

Следует особо отметить значительную роль рассматриваемой математической системы в организации самостоятельной работы студентов.

Задания, выполняемые в системе Mathcad, занимают значительный объем в общем курсе дисциплины, практически на них приходится большая часть 10 семестра.

К позитивным моментам использования данного пакета следует также отнести большое количество литературы по различным разделам математики с поддержкой данной системы, в том числе и литературы, подготовленной преподавателями нашего ВУЗа (в частности учебно-методическое пособие «Практикум по решению задач на ЭВМ» авторов: Таровой И.Н., Терехова Ю.П., Масиной О.Н., Скокова А. - Елец, ЕГУ им. И.А.Бунина. 2005), а также наличие у ЕГУ им. И.А.Бунина лицензии на использование Mathcad в учебном процессе.

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ В МАТЕМАТИЧЕСКОМ ОБРАЗОВАНИИ: ПРОБЛЕМА ПОНИМАНИЯ

В.А. Тестов

Переход к «информационному обществу» несет в себе не только позитивные возможности, но и мало учитываемые негативные тенденции, в частности «бегство от мышления». Конечный смысл образования - не знание, а понимание. С этих позиций информационные технологии следует вводить продуманно, не заменяя обычное обучение, а дополняя его.

Ключевые слова: информация, знание, понимание, познавательные математические ситуации, роль учителя, диалог.

Двадцать первый век все больше связывают с развитием и преобладанием информационных технологий, проникновением их во все большее число сфер социальной жизни. Это явление приводит к тому, что значительная часть информационных процессов, происходящих в обществе, может быть реализована с помощью тех или иных технических информационных систем. При этом воздействие информации на общество выступает важнейшим инструментом управления. Сегодня мы являемся свидетелями и участниками формирования нового типа общества, характер и содержание которого можно обозначить как «постиндустриальное общество», «информационное общество», «общество знаний» и т. п. В качестве фундаментального признака такого общества можно выделить возможность всякого субъекта (человека, группы и т.п.) фактически в любое время получить любую информацию по интересующему вопросу. В течение всего нескольких десяти-

летий информация превратилась в самый ценный по содержанию и массовый по форме товар, потребителем которого является все общество.

Становится очевидным, что становление нового типа общества требует и новой системы образования, радикального обновления его целей и содержания, внедрения в обучение новых информационных технологий. В российском образовании в этом направлении был сделан ряд шагов, происходит процесс информатизации школ и вузов, насыщение их компьютерами и программными средствами, создание «цифровых» школ, предоставление учителям и школьникам доступа в Интернет.

Широкое распространение новых информационных технологий, несомненно, облегчило доступ каждому человеку, в том числе школьникам и студентам, к самой современной информации, но вместе с тем привело к тому, что человек наряду с действительно нужной и полезной информацией получает много совершенно бесполезной, искаженной и даже ложной информации, так называемых «информационных шумов», «информационных отходов». В целом можно говорить о переизбытке информации.

Тем самым переход к «информационному обществу» несет в себе не только позитивные возможности, но и мало учитываемые негативные тенденции. Во многом именно этим объясняется наступление антропологического кризиса и «бегства от мышления». Торжество технократического мышления приводит, в условиях компьютерной революции и победного шествия по планете Интернета, к тому, что сегодня знание зачастую отождествляется с информацией, а вместо понимания говорят о памяти.

Как отмечает И.М. Ильинский, «что касается молодых людей, то они попадают в своего рода ножницы, когда знания, получаемые от учителя, из учебника, перекрываются потоком хаотичной информации, идущей, прежде всего, от Интернета и СМИ. Причем эта информация, не имеющая структурно-содержательной логической связи, подаваемая не системно, а бисерно, не просто не вписывается в рамки стационарного образования, но представляет собой качественно иной тип, где, в частности, принципиально меняется сочетание зрительного и слухового восприятия [4].

Порой высказывается точка зрения, что роль учителя с развитием информационных технологий в современном мире уменьшилась, что теперь главное в обучении - это применение инновационных информационных технологий. Да, действительно, в сфере образования информационные технологии занимают все больше места, у школьников сегодня настолько широкое поле для получения информации, что 15-20 минут, которыми располагает учитель на уроке для изложения нового материала, могут некоторым показаться пустой формальностью, данью традиции.

Между тем в последнее время многие вузы обнаружили, что интеллектуальный уровень выпускников школ стал стремительно падать. Не прослеживается ли здесь непосредственная связь между двумя этими процессами?

Следует отметить, что имеется существенное различие во владении человеком информацией и знаниями. Знаменитый ЗУН, конечно, не устраняется, без знаний нет образования. Но, как известно, многие знания в нашу эпоху устаревают так быстро, что студент, не успев получить диплом, вынужден снова учиться. Человечество подошло к такому моменту своего развития, когда оно не успевает осознавать происходящее и адаптироваться к нему. Дело не только и не столько в количестве знаний, которыми владеет человек. Давно известно, что многознание уму не научает. В этой связи академик Раушенбах справедливо говорил о «кроссвордном образовании». А Н.Н. Моисеев отмечал, что «мир информационного многознания дан человеку как готовое информационное пространство, как формальная образованность и в сочетании с информационно-образной наркоманией неизбежно ведет к ситуации "информационного тоталитаризма"».

Информация выступает в качестве обязательного и необходимого структурного элемента процесса познания, однако знание не тождественно информации. Информация является фундаментом знания, она перерабатывается, осознается, упорядочивается, сохраняется и только тогда превращается в знание. В отличие от информации, которая может быть передана с помощью тех или иных материальных носителей, знание, в том числе теоретическое, не транслируемо, оно носит сугубо личностный характер, потому что оно неразрывно связано со структурами сознания. Завершенная мысль вообще не передается, передается только незавершенная мысль и незавершенное знание. Незавершенность же знания состоит в том, что оно требует понимания: его нужно нарастить, напитать собственным опытом сознания, который невоспроизводим, нетранслируем, который уникально-событиен и в этом плане незавершен. (М.К. Мамардашвили и А.М. Пятигорский).

Процесс коммуникации знаний происходит гораздо сложнее, чем передача информации. Сообщение, посланное другому человеку, наталкивается на мощные и разнообразные барьеры - интеллектуальные, психологические, социально-психологические, коммуникативные, культурные, эстетические. В итоге результат воздействия сообщения может быть противоположным ожидаемому. Однако в практике обучения этот эффект, как правило, не учитывается. Интенсивное применение современных информационных технологий зачастую приводят к тому, что происходит «паралич человеческого мышления», полное подчинение сознания Интернету или телевидению.

Компьютер отучил детей не только писать и слушать, но и говорить. Это уже проявляется в московских вузах, когда студент, зная на экзамене ответ, стесняется говорить вслух. Слишком увлекаясь компьютеризацией, мы лишаем молодежь возможности самовыражения, а это ведет человека к изоляции, делает его одиноким. Мы все помним крылатую фразу: «Счастье - это когда тебя понимают». Неумение словами выразить свои мысли и чувства приводит к непониманию, то есть делает людей несчастными [8].

При получении знаний ученик сталкивается с проблемой понимания. Любой познавательный цикл, начиная с момента выделения предмета познания и заканчивая его относительным завершением, есть процесс понимания, глубина которого всякий раз обусловлена психофизическими возможностями индивида. Конечный смысл образования - не знание, а именно понимание. Эта истина справедлива для всех времен, но сегодня проблема понимания остра, как никогда. Понимание служит созиданию и в этом смысле является условием выживания человечества. Кризис понимания берет свое начало в избытке информации. Идти дальше в образовании и науке путем наращивания только компонента знаний бессмысленно.

Современная школа стонет от перегрузки, число обязательных дисциплин оказывается все большим и большим. Существует стремление рассказать ученикам обо всем на свете. Поток информации оказывается предельно насыщенным. Но он фактически слабо развивает интеллект и тем более чувственно-волевую сферу. Все подменяется натаскиванием, зубрежкой, нравственным безразличием. Насущной потребностью для того, чтобы сформировать человека думающего и понимающего, становится изменение общераспространенной модели образования, пересмотр содержания образования и смысла обучения. Образование должно рассматриваться не только как форма трансляции накопленного количества информации в результате чужих умственных усилий, но в первую очередь как преемственность человеческого понимания и осознанности бытия. Школа и вуз должны через знание развивать мышление до стадии понимания. В этом и состоит назначение образования, а не в том, чтобы выпустить в жизнь людей, нашпигованных специальными знаниями, но не способных разобраться в происходящем.

Понимание - это способность разума адекватно реагировать на каждое событие жизни, как оно случается, а не согласно программе или алгоритму. Понимание - это логика творческого восприятия канонов бытия. Понимание - это творческая деятельность, соответствующая сущности человека. Поэтому, как отмечает О. Долженко, феномен образованности связан не столько с эрудицией или «знаниями, умениями, навыками», сколько с творческой одаренностью, проективным характером понимания, опережающим мышлением и предвосхищающей осознанностью. Такой идеал не может быть формализован. Образовательный стандарт может формализовать только нижний, минимальный порог обученности - этот своеобразный показатель «остановленного умственного усилия», предназначенный для безупречного функционирования социотехнической системы. Смысл образования состоит не в том, чтобы только дать выпускнику узкую специализацию, а в том, чтобы он смог отыскать свою область раскрытия таланта и одаренности. Развитие человека - это развитие его способностей и дарований, его уникальной самобытности. Но самобытность может раскрыться только в процессе самостоятельного развития человека, т.е. развития, движимого не извне, а изнутри. Такой задаток одаренности свойствен каждому человеку [2].

Однако современная система образования все менее способствует осуществлению задатка одаренности, зачастую разрушает творческие способности, подавляет предпосылки интеллектуального и художественного развития, стремится к уничтожению творческой сущности человека. Природная творческая одаренность детей нередко атрофируется в процессе «получения образования». Задача подлинного образования - восстановить и приумножить эту одаренность, подняв человека к высотам творчества, освободив его от подчиненности технике, компьютеру, Интернету.

Насущной потребностью для того, чтобы сформировать человека думающего и понимающего, становится изменение общераспространенной модели образования, основанной на отождествлении мышления с навыком, понимания с многознанием. Школа и вуз должны через знание развивать мышление до стадии понимания. Знать и понимать - это не одно и то же. Можно загрузить мозг полезной информацией, но ослабить вместе с тем ресурсы осознавания, рефлексии, творчества.

Хотя проблема понимания достаточно широкая и отсутствует даже однозначное определение самого термина «понимание», однако во всех трактовках этого понятия имеется инвариантное ядро - выделение существенных связей, определяющих некоторую целостность. Понимание достигнуто, если в результате получена некоторая целостность (целостное знание). Иными словами, понять можно только целостный объект. И процесс понимания характеризуется движением от целого к частям и обратно.

Следовательно, в подходе к обучению, нацеленном на понимание, текст должен быть специальным образом структурирован с целью придания ему свойства целостности, а учащийся специальным образом сориентирован на обнаружение свойства целостности изучаемого материала. Поэтому в процессе изучения материала любого предмета, в том числе математике, важно соблюдать принцип взаимосвязанности знаний, который предполагает рассмотрение совокупности устойчивых связей, обеспечивающих целостность изучаемого объекта, его принадлежность к некому общему. То, чему учат, должно иметь много связей - этого требовал еще Я.А. Коменский.

Как установлено психологами, чем больше разных связей изучаемого объекта может быть установлено с уже имеющимися в долговременной памяти знаниями, тем глубже и шире понимание, тем прочнее и эффективнее запоминание. О необходимости установления многосторонних связей писал и известный математик-методист М.В. Потоцкий: «Понять какое-нибудь явление - это значит осознать сущность этого явления, характерные его черты, его истоки и следствия, его взаимосвязь с другими явлениями, его место в системе окружающих явлений. Короче говоря, явление может быть осознано, если оно рассматривается в причинно-следственной связи с окружающими явлениями. Чем этих связей устанавливается больше, чем они многостороннее, тем понимание оказывается глубже и полнее.» [6, с. 14].

Как известно, научные связи в математике наиболее полно отражаются в виде математических структур, а при обучении формируются и развиваются соответствующие им когнитивные структуры. Поэтому можно утверждать, что формирование и развитие представлений о математических структурах, иными словами, о когнитивных математических структурах, является основой и условием достижения понимания в процессе обучения математике [7].

При таком взгляде обеспечивается единство научной концепции, выделение системы ведущих понятий, определение на этой основе содержательно-методических линий курса, группирующих другие понятия, и определение наиболее эффективной с точки зрения внутрипредметных связей структуры курса и последовательности его изучения. Математические структуры, будучи тесно взаимосвязанными, создают объективную основу такого построения учебного процесса, при котором как при изложении теоретического материала, так и при формировании практических умений и навыков происходит интеграция различных содержательно-методических линий в этом процессе. Среди этих линий обязательно должны присутствовать линия обобщающего повторения и линия формирования потребностей к углублению знаний.

Через установление связей между различными математическими структурами достигается должная научность содержания, выраженная не столько в строгости его изложения, сколько в логически правильной последовательности и систематичности построения в системе его внутренних взаимосвязей. Разумеется, что при этом необходим полный учет и психолого-педагогических факторов.

Особую актуальность приобретает взаимосвязанность знаний в вузовском преподавании математики. Вуз должен дать студентам представление о математике в целом, чему в значительной степени препятствуют «стены» между отдельными вузовскими предметами, отсутствие между ними необходимых связей. Одной из основных задач происходящей перестройки высшего образования является интеграция различных отраслей наук, в частности, различных разделов математики.

Идея математических структур в значительной степени может облегчить решение этой проблемы, снять барьеры между алгеброй, геометрией, теорией чисел, математическим анализом. Эта «большая упрощающая идея, - отмечал известный французский математик Г. Шоке, - дает возможность перебросить мосты между различными дисциплинами».

При обучении с помощью компьютера необходимо особое внимание уделить тому, чтобы у учащихся (студентов) при изучении математики возникала потребность понимать. Между тем часто у них такой потребности не возникает. Одним из объяснений этого явления может быть следующее: в школе детям учитель (компьютер) старается объяснить как можно лучше, подробнее, всё растолковать. А ведь понимание - это я, мои мысли, мои су-

ждения, мой опыт. Если обучение протекает гладко, без видимых противоречий, то потребности в понимании вообще не возникает.

Психологи (Л.М. Беккер, А.А. Залевская и др.) называют понимание продуктивно-личностным процессом, так как результатом (продуктом) этого процесса является нечто личностно-новое. Непонятая мысль, если в ней действительно отсутствуют проблески понимания, перестаёт быть мыслью и может быть только механически воспроизведённым фактом, что и происходит при заучивании материала. Такой ситуации, когда кто-то передаёт своё личностное знание другому, поскольку у того его ещё недостаточно, просто не может быть: личностное знание можно только «наработать» самому, но не взять у кого-то в готовом виде.

Понимание выступает как присвоение знания и обращение его в составную часть психологического механизма, регулирующего деятельность в соответствии с практикой. В результате понимания знание становится частью внутреннего мира личности и влияет на реализацию ее деятельности.

В обучении важна не только языковая информация. Это могут быть и графические иллюстрации, и наглядные пособия, и опыты, и даже мимика и жесты преподавателя. Но языковая информация является преобладающей. Одну и ту же мысль можно выражать и понимать в разной языковой форме.

По М.К. Мамардашвили и А.М. Пятигорскому, знание всегда представляет собой знаковую систему. Но знак не исходен. Знаку предшествует символ. Чтобы возникло знание, сначала должен возникнуть символ, который затем будет преобразован в знак. Таким образом, генезису всякого знания, в том числе научно-теоретического, предшествует определенное состояние сознания и определенный опыт пребывания в нем. Процесс порождения знания связан с погружением в некую «символическую «среду обитания». Порождаемое знание фиксируется в явлениях науки и культуры, и лишь после этого становится возможным его анализ с применением объектных терминов, к которым мы обращаемся, рассматривая знаковые (знание), логические (наука) и ценностные (культура) структуры. При «распаковке» знания, т.е. при «извлечении информации из знаковых систем», необходим обратный ход - от знаков к символам, что предполагает, в свою очередь, активизацию деятельности сознания. «Извлечение и есть переход к структуре сознания, понимаемый как переход от знания к пониманию» [5].

Говорящий всегда переводит свою мысль с внутреннего, семантического языка на естественный язык, а слушающий (читающий) - с естественного языка на семантический. В этом смысле под пониманием следует считать перевод с естественного языка на внутренний. С психолого-педагогической позиции каждый человек мыслит на своем собственном языке. При традиционной системе обучения преподаватель общается не с одним студентом, а сразу с группой студентов, и ему приходится иметь в виду некий усредненный «язык мышления».

Но, как отмечают многие ученые, понимание возникает тогда, когда есть активное обучение, есть диалог, поскольку мышление неразрывно от речи, и в этом суть диалогичности понимания.

На диалог надо уделить особое внимание, так как восприятие нового материала, его понимание возникают исключительно в процессе общения (диалога). При этом не исключается и общение с самим собой (если нет собеседника), ведь когда хочешь что-то узнать, то «мозг сам ищет ответ на вопрос, примеряя рассматриваемую ситуацию к разным явлениям или воспринимая внешнюю информацию». В итоге проясняются вопросы, ранее казавшиеся запутанными. И не только потому, что участники общения узнают что-то новое, хотя это тоже очень важно. Тут, прежде всего, играет важную роль то, что «общение будит мысль» [1].

В.П. Зинченко утверждает, что понимание неизбежно диалогично. «Я знаю что-то лишь, в то время как я это тебе объясняю, приглашая тебя делать поправки, перебивать, задавать вопросы на ходу» [3].

Поэтому, чтобы нацелить обучение на понимание, необходимым является наличие диалога или его модификации, но чтобы он возник (в силу специфики математики), нужна определенная организация учебного материала. Основная цель обучения, к которой следует стремиться, в том числе и средствами математики, - это воспитать, развить человека думающего, мыслящего. Для этого необходимо нацелить процесс обучения на понимание. При таком подходе обычно нарушается линейность процесса накопления знаний, сам процесс становится более объемным и трудоемким, появляются параметры глубины и т.п.

Дело в том, что любое проявление понимания связано с двумя универсальными субъектно-личностными факторами - мышлением и языком. Если говорить о мыслительной деятельности, то она совершается с помощью мыслительных операций (анализ, синтез, сравнение, абстрагирование, обобщение, конкретизация). Чем большим числом операций владеет человек, тем быстрее и осознаннее он воспринимает новый материал. Но для понимания нужны еще и другие действия, такие как моделирование; различные интерпретации, вскрывающие смысл понятия; перевод с одного языка на другой; системы вопросов; особая организация учебного материала; диалог и др.

При реализации в вузе процесса обучения, рассчитанного на понимание, может возникнуть ряд проблем: определенные ограничения дают установленная программа обучения, регламентированное время, планируемые результаты обучения, требуются другие средства обучения, формы организации процесса обучения и т.п.

Образование с помощью компьютера создает все условия для решения этих проблем, нужно лишь правильно ими воспользоваться. Необходимо создание при обучении проблемных ситуаций, т.е. таких ситуаций, при которых, с одной стороны, происходит осознание некоторого незнания, а с другой стороны, возникает потребность преодоления этого незнания. Такие

проблемные ситуации при изучении математики могут быть названы познавательными математическими ситуациями.

Под познавательными математическими ситуациями понимается конкретный математический материал, представленный в целостном виде, в котором обозначено противоречие. Этот материал представляет математические факты, содержательные связи между математическими фактами, способы их организации и изучения. Познавательные математические ситуации направлены на приобретение новых смыслов. Но так как понимание по своему характеру диалогично, то разрешение таких ситуаций возможно и эффективно в диалоге со студентами.

Познавательные учебные ситуации выступают условием, средством для познания, связаны с конкретизацией фактов, установлением содержательных связей, с обнаружением незнания, порождением сомнения. Одной из важнейших психолого-педагогических особенностей познавательной учебной ситуации является ее большая или меньшая проблемность. Разрешение таких ситуаций возможно и эффективно в диалоге студент - преподаватель, студент - студент. Такой диалог неизбежно возникает в коллективной учебно-проектной деятельности.

Кроме проектной деятельности для создания познавательных учебных ситуаций можно использовать проблемные лекции и проблемные семинары. Проблемные лекции должны дополнять обзорные лекции и посвящаться отдельным, наиболее важным и трудным вопросам изучаемого модуля. Проблемные лекции и проблемные семинары должны предшествовать занятиям-тренингам, их основная цель - добиться понимания студентами узловых вопросов модуля.

Проблемные лекции должны читаться наиболее квалифицированными и опытными преподавателями. Как известно, мастерство преподавателя достигается после 10-15 лет работы в вузе. Как правило, только такие преподаватели могут овладеть приемами диалогового обучения. Основным и исходным компонентом диалогового обучения, кроме хорошего владения материалом, является умение ставить вопросы. Без вопросов невозможно усвоение новых знаний, обмен мыслями между людьми. Все истины современной науки есть не что иное, как с трудом обретенные ответы на когда-то стоявшие перед наукой вопросы. В прямом противоречии с общепринятым мнением наукой, еще со времен Платона, было осознано, что зачастую вопрос труднее ответа.

Непревзойденным примером диалога являются «Диалоги о математике» известного венгерского математика А. Реньи. В этой книге автор не поучает читателя, не стремится вложить в него уже готовые собственные мысли, а как бы беседует с ним. В результате читатель сам становится как бы участником диалога - предмет изложения перестает быть для него чем-то навязываемым извне, и обсуждаемые проблемы воспринимаются уже как собственные. Такую диалогичность изложения можно организовать в учебных материалах, особенно электронных, по любому предмету.

В зависимости от содержания можно выделить следующие виды диалога учебного материала: диалог по актуализации знаний, по установлению связей с прошлым опытом; диалог по установлению и раскрытию связей нового материала со старым или между компонентами нового знания; диалог проецирования изучаемого вопроса в разные сферы его применения.

На проблемных семинарах каждый вид диалога может проходить на разных смысловых уровнях.

1. Вопросно-ответный уровень диалога. Этот уровень диалога характеризуется обращением к памяти студентов до обращения к их мыслительной деятельности. Связи в учебном материале, таким образом, устанавливаются на основе уже имеющихся знаний учащихся.

2. Диалог, в основе которого обобщение разнообразных позиций по одной теме. Этот уровень диалога характеризуется тем, что студенты сами видят противоречие и предлагают свой выход из него. Каждый устанавливает удобные ему взаимосвязи. Кто-то высказывает мысль, а кто-то другой, слушая это высказывание, понимает его, но это понимание зависит от индивидуального «контекста», который может измениться.

3. Диалог, в процессе которого идёт совместный поиск смысла. Этот уровень диалога характеризуется высокой степенью заинтересованности студентов, проявляется в стремлении «докопаться до истины». В такой ситуации фоновые знания не сразу пополняются, как в предыдущем случае, а ставятся под сомнение. Если говорить о понимании, то этот уровень диалога наиболее предпочтителен.

Процесс обучения с помощью компьютера, организованный по традиционной схеме, представляет собой легко просматриваемый, последовательный и контролируемый порядок с четко заявленными стадиями и их результатами: от восприятия к запоминанию и затем тестовому контролю. Но диалогичность обучения при этом отсутствует. Для успешного ответа на тесты не надо обладать развитым мышлением: глубоко понимать материал, понимать скрытые смыслы, иносказания, метафоры, достаточно помнить информацию о предмете и механически ее применять. Естественно, в каждом из компонентов этой последовательности присутствуют, в определенной мере, процессы понимания, но они в основном спонтанны, зависят только от индивидуального проявления студентов, не расчленены и не осознаваемы. А потому малорезультативны для развития личности и продуктивного усвоения учебного материала.

И хотя запоминания совсем без понимания не бывает, как и понимания без запоминания, однако еще в 1966 г. А.А. Смирнов доказал, что запоминание материала будет продуктивным, только если оно осуществляется на основе понимания. Именно поэтому в обучении математике становится значимой другая последовательность усвоения знаний: восприятие, понимание («знание-понимание»), запоминание, воспроизведение.

«Знание-понимание» включает в себя и знание на основе первичных действий осознанного понимания, и подлинное понимание, то есть установ-

ление глубинных связей между ранее присвоенными знаниями, даже и в том случае, когда они в основном заучены (запомнены). «Смысловая память» обязательно выделяется среди различных характеристик математических способностей, т.е. память, опирающаяся на смысл, на понимание, пусть и разного уровня глубины.

Таким образом, для того, чтобы процесс обучения математике при использовании информационных технологий был нацелен на понимание, необходима несколько иная последовательность усвоения математических знаний: восприятие, понимание («знание-понимание»), запоминание, воспроизведение. Для этого после обзорной лекции при изучении каждого модуля должны следовать проблемные лекции и проблемные семинары, а только после этого выполнение домашних заданий и коллективные тренинги. При чтении проблемных лекций и написании рабочих учебников необходимо широко использовать диалог со слушателями (читателями).

Восприятие не должно сводиться только к зрительному восприятию информации, необходимо задействовать и слуховой и кинестетический каналы. Известно, что люди сильно различаются по тому, какой сенсорный канал в них является преобладающим: выделяются визуалы, аудиалы и кинестетики. Компьютерное обучение, как правило, отдает предпочтение первым, дискриминируя остальных.

Очень важным для обретения понимания является этап воспроизведения. У многих учащихся понимание достигается только после того, как они проговорят учебный материал. Именно этим можно объяснить давно замеченную педагогами эффективность работы учащихся в парах. Однако при компьютерном обучении этот этап чаще всего выпадает. Ответы на вопросы теста никак нельзя назвать воспроизведением. По этой же причине устные экзамены приносят гораздо больше пользы.

Преподаватель по-прежнему остается критичным звеном процесса обучения, с двумя важнейшими функциями поддержки мотивации, содействия формированию познавательных потребностей и модификации процесса обучения группы или конкретного ученика. Электронная образовательная среда способствует формированию его новой роли. В такой высокоинформативной среде преподаватель и ученик равны в доступе к информации, содержанию обучения, поэтому преподаватель уже не может быть главным или единственным источником фактов, идей, принципов и другой информации. Его новую роль можно охарактеризовать как наставничество. Он поводырь, который вводит учащихся в образовательное пространство, в мир знания и мир незнания.

Профессиональные качества преподавателя всегда являлись основой качества образования. Роль педагога в современном мире не только не уменьшилась с развитием информационных технологий, а наоборот возросла в связи со становлением личностно-ориентированной парадигмы образования. Установлено, что нет лучшего способа научить людей чему-нибудь, как на личном примере пробудить в них высокие душевные и познаватель-

ные качества и помочь их развитию. Среди преподавателей этими качествами обладают далеко не все, поэтому такие преподаватели студенческой аудиторией не воспринимаются.

Исследования показывают, что для личностно-ориентированного образования наиболее благоприятной дистанцией между учителем и учащимися можно считать «личную» (от 40 см до 1,5 м), которая характерна для друзей и коллег. При этой дистанции, как показывают исследования, оптимально организуется общение, взаимопонимание и взаимодействие людей. При общении же учителя и учащегося через компьютер (экран телевизора) дистанция между ними становится «открытой», и для того, чтобы ученик без волевых усилий воспринимал учителя, от педагога требуется специальная подготовка и наличие у него ораторских и актерских способностей. Однако при этом есть большая опасность превращения преподавателя в диктора, транслятора знаний.

Как мы видим, обучение с применением информационных технологий не является панацеей. Оно имеет ряд существенных недостатков и ограничений. С этих позиций эти технологии следует вводить продуманно, не заменяя обычное аудиторное обучение, а дополняя его. Однако само по себе использование новых информационных технологий еще не делает образование эффективным. Необходимо приложить много усилий психологам, педагогам, методистам, преподавателям, чтобы разработать принципиально новые учебные пособия, выработать новые, нетрадиционные методы, приемы и средства учебной деятельности, которые обеспечили бы высокий образовательный эффект обучения с применением информационных технологий.

Подводя итог, следует подчеркнуть, что интенсивное внедрение информационных и коммуникационных технологий в образование - процесс неизбежный. Именно поэтому при проектировании и внедрении таких технологий необходимо нацелить процесс обучения на понимание. При таком подходе обычно нарушается линейность процесса накопления знаний, сам процесс становится более объемным и трудоемким, появляются параметры глубины и т.п.

Библиографический список

1. Брудный А.А. Психологическая герменевтика. Учебное пособие. М: Издательство «Лабиринт», 1998.

2. Долженко О.В., Тарасова О.М. Будущее: общество информационного многознания или Человек понимающий? // Высшее образование в России, 2009. № 8. С. 32-40.

3. Зинченко В.П. Психологическая педагогика. Материалы к курсу лекций. Ч. 1. Живое слово. Самара: «Самарский дом печати», 1998.

4. Ильинский И.М., Гуревич П.С. Понимание как цель образования // Знание. Понимание. Умение. Научный журнал Московского гуманитарного университета, 2006. № 1.С. 5-15.

5. Мамардашвили М.К., Пятигорский А.М. Символ и сознание. Метафизические рассуждения о сознании, символике и языке. М.: Школа «Языки русской культуры», 1997.

6. Потоцкий М.В. Преподавание высшей математики в педагогическом институте. М: Просвещение, 1975.

7. Тестов В.А. Стратегия обучения математике. М: Технологическая школа бизнеса. 1999.

8. Щадриков В.Д., Шемет И.С. Информационные технологии в образовании: плюсы и минусы // Высшее образование в России, 2009. № 11. С. 61-65.

К ВОПРОСУ ИЗУЧЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИИ В ШКОЛЕ

Е.С. Токарева

Анализируются вопросы изучения тригонометрии в современной школе, а также рассматриваются возможности обучения школьников тригонометрии в рамках отдельной учебной дисциплины.

Ключевые слова: тригонометрия.

В древности тригонометрия возникла в связи с потребностями астрономии, землемерия и строительного дела, то есть носила чисто геометрический характер и представляла главным образом «исчисление хорд». Со временем в нее начали вкрапляться некоторые аналитические моменты. В первой половине XVIII века произошел резкий перелом, после чего тригонометрия приняла новое направление и сместилась в сторону математического анализа. Это имеет не только математико-исторический, но и методико-педагогический интерес.

В настоящее время изучению тригонометрии отводится мало времени в школьном курсе. Сейчас тригонометрия является только аппаратом для вычисления. А ведь темы, рассматриваемые в курсе тригонометрии, например, тригонометрические функции, представляют собой наиболее удобное и наглядное средство для изучения всех свойств функций (до применения производной), а в особенности такого свойства многих природных процессов, как периодичность. Поэтому изучению тригонометрии следует уделить пристальное внимание.

Большие трудности при изучении тригонометрии в школьном курсе возникают из-за несоответствия между достаточно большим объемом содержания и относительно небольшим количеством часов, выделенны на изучение данного раздела. Таким образом, проблема состоит в необходимости устранения этого несоответствия за счет тщательного отбора содержания и разработки эффективных методов изложения данного материала, а также внедрения специальных учебных предметов за счет школьного компонента.

В настоящее время вопросы тригонометрии изучаются в 8 классе в курсе геометрии, в 9 классе - в курсе алгебры, в 10-11 классах - в рамках 85-часового курса «Алгебра и начала анализа». В разных вариантах темати-

ческих планов, опирающихся на учебники разных авторов, отводится от 15 до 28 часов; при этом в основном ставятся следующие цели:

- ввести понятие синуса, косинуса, тангенса и котангенса для произвольного угла;

- систематизировать, обобщить и расширить уже имеющиеся у учащихся знания о тригонометрических функциях углового аргумента;

- изучить свойства тригонометрических функций;

- научить учащихся строить графики тригонометрических функций и выполнять некоторые преобразования этих графиков.

Ни в одной математической дисциплине нет столь резкого разрыва между школьным курсом и наукой, как в тригонометрии. Школьные курсы алгебры и геометрии, хотя и далеки по своему содержанию от современной науки, но, во всяком случае, не содержат ничего противоречащего ей. Эти курсы содержат элементы науки, и ученик, усвоивший их, может беспрепятственно изучать математику дальше. Школьный же курс тригонометрии прививает ученикам антинаучные навыки, приносящие при дальнейшем изучении математики прямой вред. При изучении высшей математики приходится отучаться от многих идей, прививаемых в школьном курсе тригонометрии.

Поэтому содержание школьного курса тригонометрии следует обсудить с точки зрения того, даёт ли этот курс необходимую подготовку для изучения высшей математики и для изучения физики в средней школе и содействует ли он расширению кругозора учащихся в области изучения функций. Говоря о высшей математике, мы будем подразумевать потребности студентов втузов. Во-первых, это — самый многочисленный контингент «потребителей» тригонометрии. Во-вторых, если будет доказано, что школьный курс тригонометрии не годится в качестве фундамента даже для курса высшей математики во втузах, то это тем более будет относиться к гораздо более солидному курсу математики, проходимому на математических факультетах университетов и пединститутов.

Часто приходится сталкиваться с возражением: не существует особой науки — тригонометрии. В современной математике тригонометрия никогда не выделяется в особую науку, равноправную с алгеброй или геометрией. О науке, называющейся «тригонометрия», говорят только в школьном курсе. Всё это верно, и тем не менее, в рамках школьного курса, выделение тригонометрии в особую науку вполне законно. Тригонометрия есть глава математического анализа, изучающая свойства некоторого класса функций и некоторые приложения этих функций. Поскольку курс анализа в средней школе отсутствует, эта глава уже перестаёт быть главой, и её значение вырастает до ранга науки.

Могут ещё сказать, что тригонометрия — не единственный раздел анализа, проходимый в средней школе. Прогрессии, показательная и логарифмическая функции, изучаемые в курсе алгебры, тоже относятся к анализу. Однако нецелесообразно присоединять эти вопросы к тригонометрии.

Поскольку в средней школе отсутствуют общие методы исследования функций, теорию тригонометрических функций, с одной стороны, и аналитические элементы в курсе алгебры, с другой стороны, следует рассматривать как обломки анализа, связь между которыми (при тех точках зрения, какие даются в средней школе) незаметна. Если бы изучались какие-нибудь общие вопросы, относящиеся к функциям, то эти обломки осознавались бы как части единого целого. При существующем же положении вполне естественно и законно, говоря о школьном курсе, рассматривать тригонометрию как автономную науку.

Анализируя такое положение дел, был разработан и внедрен курс «Тригонометрия», основной целью изучения которого является формирование у школьников целостного представления о тригонометрии как математической дисциплине. В процессе курса решаются следующие задачи:

1. Подготовить учащихся к глубокому и прочному усвоению математического материала школьной программы.

2. Воспитать устойчивый интерес у школьников к математике.

3. Расширить кругозор учащихся.

Данный курс затрагивает две из четырех основных ведущих линий алгебры, а именно тригонометрические функции и тригонометрические уравнения и неравенства.

Учебный предмет работает за счёт школьного компонента учебного плана. Он способствует созданию положительной мотивации. Помогает ученикам проверить себя, ответить на вопросы: «Могу ли я, хочу ли я учить это, заниматься этим?». Вместе с тем надо помнить, что чрезмерная перегруженность курса новым содержанием может не позволить ученику ответить на главные вопросы. В связи с этим вполне возможна ситуация, когда не весь объём элективного курса является строго обязательным. Может быть, какой-то его объём минимально необходим, а всё остальное - «по потребностям». Доминанта умений и позитивного опыта может быть обеспечена на любом завершённом содержательном модуле или блоке. Возможен и такой вариант, при котором ученик может выполнить обязательный набор заданий на одной содержательной теме.

Курс построен так, что он позволяет в полной мере использовать активные формы организации занятий, информационные, проектные формы работы.

Программа курса включает себя пояснительную записку, тематический план, содержание курса, основные требования к знаниям и умениям учащихся, список литературы. Пояснительная записка определяет цели, задачи курса, его место в процессе изучения той или иной учебной дисциплины, его особенности и актуальность. Тематический план включает название тем и количество часов, выделяемое на их изучение. Содержание программы включать в себя краткую аннотацию каждой темы. Отбирая содержание, учитель (автор программы, учебника) должен ответить на вопросы: «Почему ученик выберет именно этот курс, а не другой? Чем он ему поле-

зен, интересен?». По нашему мнению, изучать тригонометрию целесообразно в 8-ом и 9-ом классах. Во-первых, чтобы разгрузить 10-ый класс: предлагаемый материал по математике содержит очень трудные и важные вопросы. Во-вторых, это позволяет рассматривать тригонометрию как средство решения прикладных задач, прежде всего, геометрических. В-третьих, проведенные нами исследования показывают, что уровень интеллектуального развития и знаний восьмиклассников достаточен для усвоения новой математической дисциплины. Предлагаемый курс рассчитан на два года, 1 час в неделю (всего 36 часов за год). В классах естественно-математического направления это профильный учебный предмет, в классах гуманитарного направления -элективный учебный предмет.

Курс тригонометрии предназначен для того, чтобы учащиеся восьмых - девятых классов смогли углубить свои знания по математике. Полученные знания должны расширить кругозор учащихся.

Исходя из этого, отбор содержания курса осуществлялся на основе факторов, стимулирующих развитие познавательных интересов школьников.

Содержание большинства занятий носит проблемный характер, рассматриваются вопросы, имеющие прикладное значение.

В значительной мере формирование интереса стимулирует связь содержания изучаемого материала с другими школьными предметами, как геометрия, физика, алгебра.

Ещё один немаловажный фактор - это свобода действий учителя и учащихся в выборе формы занятий, технологий обучения. Поэтому данные методические рекомендации следует рассматривать как примерные.

В настоящее время оснащённость школ средствами обучения различна. В одних нет даже наборов современных таблиц, в других имеются все необходимые средства обучения, включая видеомагнитофоны и компьютеры. Методические рекомендации проведения занятий разработаны с учётом того, что, в зависимости от имеющегося учебного оборудования, а также особенностей учащихся, возможно внесение коррективы в методику их проведения.

На рубеже третьего тысячелетия в образовании происходят существенные перемены. Основной целью образования становится формирование субъекта культуры - всесторонне образованного человека, способного к самостоятельному выбору, поступку, открытого к диалогу. Модернизация образования включает личностно-ориентированное направление. Преемственность школьного и вузовского обучения особенно возросла в последние годы. Она объективно существует и должна соблюдаться между частями, разделами учебного предмета. Но проведенный анализ выявил противоречие между возросшими требованиями, предъявляемые государством, к выпускникам школы и недостаточной разработанностью отдельных вопросов изучения математики в школе.

ОРГАНИЗАЦИЯ ДОМАШНЕЙ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ ПО МАТЕМАТИКЕ С ЦЕЛЬЮ ФОРМИРОВАНИЯ ИХ ПОЗНАВАТЕЛЬНОЙ САМОСТОЯТЕЛЬНОСТИ

А.М. Черкасова

В статье рассматривается один из методов формирования познавательной самостоятельности младших школьников - самостоятельная работа. Самостоятельную работу учащиеся выполняют не только на уроке, но и дома. Активизировать детей к проявлению познавательной самостоятельности при выполнении домашней самостоятельной работы могут задания, связанные с жизненным опытом детей.

Ключевые слова: младший школьник, познавательная самостоятельность, самостоятельная работа, учитель, школа, задания, жизненный опыт, домашняя работа, математика.

Задача современной школы состоит в формировании личности самостоятельной, мобильной, способной быстро проанализировать любую жизненную ситуацию, найти различные варианты ее разрешения, выбрать из них оптимальный на данный момент, не дожидаясь помощи со стороны. Личность, обладающая такими свойствами, необходима современному обществу.

Учебно-воспитательный процесс должен быть ориентирован на формирование такого личностного качества, как познавательная самостоятельность.

Согласно Т.И. Шамовой [4], познавательной самостоятельностью школьника является такое качество его личности, как готовность своими силами вести целенаправленную познавательно-поисковую деятельность.

Одним из методов формирования познавательной самостоятельности является самостоятельная работа.

Т.И. Шамова, считая самостоятельную работу формой организации познавательной деятельности учащихся, называет пять ее признаков:

■ наличие цели;

■ наличие конкретного задания;

■ чёткая форма выражения результата работы;

■ определение формы проверки результата;

■ обязательное выполнение работы каждым учеником [4].

По словам Б.П. Есипова, «...самостоятельная работа учащихся, включаемая в процесс обучения, - это такая работа, которая выполняется без непосредственного участия учителя, но по его заданию в специально предоставленное для этого время; при этом учащиеся сознательно стремятся достигнуть поставленной цели, проявляя свои усилия и выражая в той

или иной форме результаты своих умственных или физических действий» [2, с. 34].

Раскрывая сущность самостоятельной работы, Н.Г. Дайри указывает: «...учащийся ведет ее сам, без посторонней помощи» [1, с. 415].

Цель самостоятельной работы - добиться проявления познавательной самостоятельности всех детей в классе. Необходимо достичь того, чтобы каждый ребенок проявил свою самостоятельность и решил задание без помощи учителя. Необходимым условием для проявления самостоятельности ребенка является его мотивация.

Мотивация как процесс изменения состояний и отношений личности основывается на мотивах, под которыми понимаются конкретные побуждения, причины, заставляющие личность действовать, совершать поступки [3, с. 360].

При организации самостоятельной работы на уроке у учителя есть возможность для мотивации детей различными способами: словами, действиями и т. д. Однако при выполнении ребенком домашней самостоятельной работы учитель не имеет возможности непосредственно общаться с ним, и организация мотивации затруднена. Поэтому мотивировать ребенка к проявлению самостоятельности в домашних условиях могут только сформулированные учителем задания. Задание должно так заинтересовать ребенка, чтобы ему захотелось сразу решить его, не дожидаясь помощи родителей.

Такими заданиями служат задания, связанные с жизненным опытом детей: играми, в которые играют дети, мультфильмами, которые они смотрят.

Мы предлагаем объектами заданий делать героев сказок, мультфильмов. Рассмотрим организацию домашней самостоятельной работы на примерах некоторых тем.

Тема «Дециметр»

Задача. Длина Удава 98 см, а длина попугая 1 дм. Каким количеством попугаев можно измерить длину Удава?

Дети вспоминают известный им мультфильм, где Удава измеряют попугаями. Детям интересна задачная ситуация. Интерес заставляет их вспомнить тему, которую они изучали на уроке, материал, который им объяснял учитель. Если им не удается вспомнить пройденный материал, ребята обращаются к учебнику и восстанавливают весь материал при помощи учебника. Вспомнив, что 1 дм = 10 см, дети приходят к выводу, что 98 см = 9 дм и 8 см. Так как длина попугая равна 1 дм, необходимо 9 попугаев, чтобы измерить длину Удава.

Тема «Единицы времени» Задача. Красная Шапочка, выйдя из дома в 12 ч. 30 мин., должна была прийти к бабушке в 14 часов. На дорогу до встречи с волком она потратила 45 мин., на разговор с волком - 15 мин., на сбор цветов для бабушки - 10

мин., на оставшуюся дорогу - 35 мин. Успела ли Красная Шапочка прийти в назначенное время?

Детям становится интересно, успела ли Красная Шапочка прийти к бабушке вовремя. Это активизирует детей к поиску решения задачи.

Дети могут решать задачу разными способами.

1 способ.

Если Красная Шапочка вышла из дома в 12 ч. 30 мин., а должна прийти к бабушке в 14 часов, значит, на весь путь она должна потратить 14 ч. - 12 ч. 30 мин. = 1 ч. 30 мин. Далее они складывают все отрезки времени, которые потратила Красная Шапочка (45 мин. + 15 мин. + 10 мин. + 35 мин. = 105 мин.). Так как 1 час = 60 мин, значит, 105 мин = 1 ч. 45 мин. Красная шапочка потратила 1 ч. 45 мин., а должна была потратить 1 ч. 30 мин.; 1 ч. 45 мин. - 1 ч. 30 мин. = 15 мин. Красная Шапочка опоздала на 15 мин.

2 способ.

Дети последовательно прибавляют все отрезки времени к тому времени, когда Красная Шапочка вышла из дома (12 ч. 30 мин. + 45 мин. + 15 мин. + 10 мин. + 35 мин. = 14 ч. 15 мин.). Так как Красная Шапочка должна была прийти к бабушке в 14 часов, значит, 14 ч. 15 мин. - 14 ч. = 15 мин. Красная Шапочка опоздала на 15 мин.

3 способ.

Дети последовательно вычитают из того времени, когда Красная Шапочка должна прийти к бабушке, все отрезки времени, которые она потратила на дорогу от своего дома до домика бабушки (14 ч. - 45 мин. - 15 мин. -10 мин. - 35 мин. = 12 ч. 15 мин.). А так как Красная Шапочка вышла из дома в 12 ч. 30 мин., то 12 ч. 30 мин. -12 ч. 15 мин. = 15 мин. Красная Шапочка опоздала на 15 мин.

Тема «Умножение» Задача. Волк не может перепрыгнуть через забор высотой больше 2 метров. Три поросенка, защищая свой домик от волка, построили забор из кирпичей. Высота одного кирпича 10 см. Поросята построили забор высотой в 30 кирпичей. Сможет ли волк перепрыгнуть через такой забор и съесть поросят?

Прочитав задачу, ребята вспоминают известную им сказку. Им становится очень интересно узнать, смогут ли поросята защитить себя от волка с помощью такого забора.

Дети рассуждают так «Если высота одного кирпича 10 см, то высота 30 кирпичей будет 10 • 30 = 300 см. Так как 1 м = 100 см, то 300 см = 3 м. Волк не может перепрыгнуть забор высотой больше 2 м, поэтому через построенный поросятами забор в 3 м он перепрыгнуть не может».

Практика показывает, что подобные задания заинтересовывают детей и активизируют их к проявлению самостоятельности.

Библиографический список

1. Дайри Н.Г. Обучение истории в старших классах. М: Просвещение, 1996.

2. Есипов Б.П. Самостоятельная работа учащихся на уроках. М., 1961.

3. Подласый И.П. Педагогика: Новый курс. Учеб. для студ. высш.учеб. заведений. В 2 кн. М: изд. ВЛАДОС, 2001. Кн. 1.

4. Шамова Т.П. Активизация учения школьников. М., 1979.

МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ СТАРШЕКЛАССНИКОВ ЭЛЕМЕНТАМ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

С.В. Щербатых

В статье описан один из возможных подходов к изучению стохастической составляющей школьного курса математики в профильных классах общеобразовательной школы.

Ключевые слова: профильное обучение, математическая статистика, статистические характеристики.

В профильных классах статистическая составляющая стохастики получает своё продолжение и не является новой для учащихся. Из курса основной школы они знакомы с такими понятиями, как «генеральная совокупность», «выборка», «столбчатая и круговая диаграммы», «гистограмма», «среднее арифметическое», «выборочная средняя», «выборочная дисперсия», «мода», «медиана», «размах». Поэтому основная задача учителя состоит в обобщении ранее изученного материала и его углублении с целью дальнейшего изучения таких важных с точки зрения профессионально-прикладной направленности тем, как «Проверка статистических гипотез», «Элементы теории корреляции». Обобщение целесообразно начать с места и значения математической статистики в математике, естествознании, гуманитарных науках, будущей профессиональной деятельности старшеклассников, её предмета и задач, краткого исторического экскурса.

Так, учащимся сообщается, что математическая статистика - это раздел математики, в котором изучаются математические методы планирования экспериментов, систематизации, обработки и использования статистических данных для научных и практических выводов. Математическая статистика использует математический аппарат и выводы теории вероятностей. Связующим звеном между теорией вероятностей и математической статистикой являются предельные теоремы. В математической статистике предполагается, что результаты опытных данных и наблюдений являются реализацией различных случайных процессов, имеющих те или иные законы распределения (причём неизвестные заранее), а иногда и детерминированные составляющие.

Далее приступают к повторению понятий «генеральной» и «выборочной совокупностей». Пусть требуется изучить совокупность однородных объектов относительно некоторого качественного или количественного признака, характеризующего эти объекты. Лучше всего произвести сплошное обследование, т.е. изучить каждый объект. Однако в большинстве случаев по разным причинам это сделать невозможно (например, нельзя обследовать все произведённые лампочки на длительность их работы или все банки с консервами, произведёнными на данном заводе и т.д.). Если обследование объекта связано с его уничтожением или требует больших материальных затрат, то проводить сплошное обследование практически не имеет смысла. В таких случаях случайно отбирают из всей совокупности (генеральная совокупность) ограниченное число объектов (выборочная совокупность или выборка) и подвергают их изучению. Число объектов генеральной совокупности и выборки называют соответственно объёмом генеральной совокупности (N) и объёмом выборки (п) (например, 120 плодов одного растения обследуют на наличие специфического для данного сорта вкуса, для чего отбирают 20 плодов, тогда 7V = 120 - объём генеральной совокупности, а п = 20 - объём выборки). Очень важно показать старшеклассникам разницу между генеральной совокупностью и выборкой как отношений целого и его части.

Новым для учащихся может быть факт формирования выборок. Так, если выборку отбирают по одному объекту, который обследуют и снова возвращают в генеральную совокупность, то в этом случае выборку называют повторной. Если объекты выборки уже не возвращаются в генеральную совокупность, то выборка называется бесповторной. На практике чаще используется бесповторная выборка. Если объём выборки составляет небольшую долю объёма генеральной совокупности, то разница между повторной и бесповторной выборками незначительна. С другой стороны, свойства объектов выборки должны правильно отражать свойства объектов генеральной совокупности, или, как говорят, выборка должна быть представительной или репрезентативной, т.е. каждый объект генеральной совокупности должен иметь одинаковую вероятность попасть в выборку (Например, для того чтобы оценить стандартность произведённых в цехе изделий, необходимо сделать выборку из генеральной совокупности и исследовать их характеристики (размер, форму и т.д.)). Если вся выборка будет сделана с одного станка, то она не будет репрезентативной. Репрезентативная выборка должна состоять из случайно выбранных изделий со случайно выбранных станков).

Не вызывает трудности у учащихся понятие о ряде, в котором все его элементы расположены в порядке возрастания, т.е. о ранжированном ряде. После операции ранжирования опытные данные можно сгруппировать так, чтобы в каждой группе признак принимал одно и то же значение, которое называется вариантом (xz- ). При этом число элементов в каждой группе называется частотой варианта {П} ). Следует отметить, что общая сумма час-

тот всегда равна объёму данной совокупности. В том случае, если будет найдено отношение частоты того или иного варианта к сумме всех частот ряда, то говорят, что будет найдена относительная частота (частость) ( wl ). И в этом случае общая сумма частостей всегда равна единице.

Ряд чисел, показывающий, каким образом числовые значения признака ( Xj ) связаны с их повторяемостью ( /7, или Wj ) в данной совокупности, называется вариационным рядом, который изображается с помощью таблицы:

Таблица 1.

В теории вероятностей под распределением понимают соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями, а в математической статистике - соответствие между наблюдаемыми вариантами и их частотами, или относительными частотами. Поэтому, основываясь на законе больших чисел, можно считать, что вариационный ряд является прообразом закона распределения случайной величины.

При изучении статистического материала учащиеся приобретают умения, связанные с использованием таблиц и диаграмм для представления результатов опытов в наиболее наглядном и компактном виде. Помимо того школьники учатся анализировать данные, видеть за ними конкретные явления с присущими им особенностями и причинными связями, обуславливающими наблюдаемые закономерности.

Самыми наглядными для учащихся средствами графического изображения статистических данных являются столбчатые и круговые диаграммы. Они показывают структуру совокупности, а также могут показывать динамику явлений.

Эти диаграммы дают обобщающую картину взаимосвязей единиц статистической совокупности и помогают выявить некоторые закономерности в её развитии. Столбчатые диаграммы могут давать представления как о дискретных распределениях, так и о непрерывных. По ним учащиеся могут делать выводы и о степени разброса значений.

Хорошее наглядное представление о дискретной статистической информации может быть получено с помощью многоугольника распределения эмпирических данных. Эта ломаная, построенная в декартовой системе координат, позволяет оценить всю статистическую совокупность или стохастическое явление, которые она изображает, отмечая при этом и общие черты, и особенности. Ещё большими возможностями в формировании статистических представлений обладает полигон частот. При увеличении числа опытов во многих случаях можно наблюдать тенденцию при-

ближения многоугольников, построенных на основе эмпирических данных, к некоторой «предполагаемой» теоретической линии. Наблюдения за изменениями конфигураций полигонов частот при увеличении числа опытов помогут учащимся осознать факт равновозможности результатов (там, где это имеет место), а также и факт устойчивости относительных частот.

Эмпирическим прообразом графика плотности распределения вероятностей непрерывной случайной величины (в частности, нормального распределения) является гистограмма.

Рассматривая гистограмму как особый вид столбчатой диаграммы непрерывного распределения, можно очень просто и доступно рассказать о ней учащимся. Она, как и полигон, даёт представление о разбросе значений, определяет моду, позволяет сделать суждение о центре группирования. Она даёт возможность интерпретировать частоты как площади соответствующих фигур, что определяет подход к понятию вероятности как площади соответствующей криволинейной трапеции под некоторой частью графика плотности распределения вероятностей случайной величины, таким образом создавая предпосылки для установления внутрипредметных связей «начала анализа» - «математическая статистика».

Графическое представление всей совокупности экспериментальных данных позволяет многими способами осмыслить длинные ряды наблюдений. Тем не менее, построение графиков и таблиц представляет собой только первый шаг при анализе данных. Следующий - представление результатов в компактной форме, удобной для хранения, сопоставления с другими данными и т.д. При этом желательно, чтобы характерные особенности распределения численностей выражались небольшим числом показателей. Графические представления распределений численностей очень существенно отличаются друг от друга. Однако у всех них существуют и общие характерные особенности - числовые характеристики, которые позволяют их сравнивать между собой. Понимание многих фактов, изучаемых в школьных предметах, невозможно без использования числовых характеристик генеральной совокупности и выборки. Материал предложенного раздела даёт учащимся возможность развивать умение пользоваться ими при выявлении общих тенденций и типических свойств изучаемых явлений. Следует отметить, что все распределения группируются относительно некоторого центра. Для измерения положения этого центра существует группа показателей, носящих название характеристик положения (средняя арифметическая (выборочная средняя), мода и медиана). Другой характерной особенностью распределений численностей является разброс экспериментальных значений относительно центра распределения. Количественная оценка этого разброса осуществляется с помощью характеристик разброса (размах, дисперсия, среднее квадратичное отклонение).

Формулы нахождения статистических показателей старшеклассникам знакомы, поэтому на данный момент можно ограничиться их повторением и закреплением при решении профессионально-прикладных задач.

Учащимся напоминают, что генеральной средней (хг) называют среднее арифметическое значений признака генеральной совокупности. При этом, если все значения X], х2,xN признака генеральной совокупности объёма N различны, то генеральная средняя находится по формуле

а если значения признака X], х2,хк имеют соответственно частоты

то

Можно доказать, что ЕХ = хг, если признак X рассматривать как случайную величину. Действительно, так как каждый объект генеральной совокупности может быть извлечён с одной и той же вероятностью

Выборочной средней (х) называют среднее арифметическое значений выборки. В том случае, если все значения выборки X], х2,хп различны, то

а если же варианты

имеют соответственно частоты

то

Учащиеся должны понимать, что среднее, представляющее меру центральной тенденции, является координатой точки, относительно которой группируются все значения ряда данных.

Рассмотрим пример применения выборочной средней на практике.

Задача. Осуществляя в 10 пробирках реакцию этерификации между этиловым спиртом (С2Н5ОН^ и уксусной кислотой (СН^СООН\ лаборант получил в каждой из них этилацетат (СН^СООС2Н5 ), причём массы эфира в пробирках соответственно равны (г): 2,5; 4; 3; 4,5; 3; 5; 2,5; 4; 4; 5. Определить среднее значение эфира в каждой пробирке.

Решение. Для начала проранжируем данный ряд:

Закрепление понятия «мода» может идти на примере. Пусть ученик получил в течение четверти следующие отметки по обществознанию: 4, 3, 5, 4, 5, 2, 4, 3, 5, 4, 3, 4. Интересно, например, знать, какая отметка является типичной для ученика по предмету, т.е. какое число встречается в ряду данных чаще всего. Нетрудно заметить, что таким числом является число 4. Говорят, что число 4 - мода рассматриваемого ряда. В отличие от выборочной средней, которую можно вычислить для любого числового ряда, моды может вообще не быть или может быть несколько мод.

Моду ряда данных обычно находят тогда, когда хотят выявить некоторый типичный показатель. Например, если изучаются данные о размерах мужских сорочек, проданных в определённый день в универмаге, то удобно воспользоваться таким показателем, как мода, который характеризует размер, пользующийся наибольшим спросом. Находить в этом случае среднюю выборочную не имеет смысла. Мода является наиболее приемлемым показателем при выявлении расфасовки некоторого товара, которой отдают предпочтение покупатели, цены на товар данного вида, господствующей на рынке, и т.п.

Внимание учащихся следует акцентировать на тот факт, что средняя выборочная ряда чисел может не совпадать ни с одним из этих чисел, а мода, если она существует, обязательно совпадает с двумя или более числами ряда. Кроме того, в отличие от средней выборочной, понятие «мода» относится не только к числовым данным. Например, проведя опрос учащихся, можно получить ряд данных, показывающий, каким видом спорта они предпочитают заниматься, какую из развлекательных телевизионных программ они считают наиболее интересной. Модой будут служить те ответы, которые встретятся чаще всего. Этим и объясняется само название «мода».

Понятие «медианы» можно закрепить при решении задачи.

Задача. Пять школьников прочитали соответственно за год 4, 16, 19, 20 и 21 книгу. Какое количество прочитанных книг наилучшим образом характеризует читательский интерес пяти этих школьников?

Решение. Как видно, моды выборка не имеет (все данные различны по величинам). Среднее значение:

оказалось меньше всех значений в данной выборке, кроме одного. Поэтому более точной характеристикой выборки можно считать число 19, расположенное в середине данных, записанных в порядке возрастания, и называемое медианой (число, которое «делит» пополам упорядоченную совокупность данных).

Учитель напоминает учащимся, что для нахождения медианы существует следующий алгоритм. Так, если имеется совокупность из п чисел Хлш х9..... хп , расположенных в порядке возрастания, то:

1 ) медианой упорядоченного ряда чисел с нечётным числом членов называется число, записанное посередине: Me — хт+\, если п = 2т + 1 ;

2) медианой упорядоченного ряда чисел с чётным числом членов называется среднее арифметическое двух чисел, записанных посередине:

Но есть и такие явления, которые трудно охарактеризовать какой-либо из центральных тенденций. Например, на планете Меркурий средняя температура +15°С. Исходя из этого статистического показателя, можно подумать, что на Меркурии умеренный климат, удобный для жизни людей. Однако, на самом деле это не так. Температура на Меркурии колеблется от -150 до +350°С. Учитель должен сделать акцент на то, что для обоснованных выводов и прогнозов на их основе помимо средних значений надо ещё указать, насколько используемые данные различаются между собой. Одной из характеристик разброса является размах, определяемый как разность наибольшего и наименьшего значений ряда данных: R = хтах — xmjn .

Тогда для температуры на Меркурии, например, размах равен 350°С - (-150°С) = 500°С. Конечно, такого перепада температур человек выдержать не может.

Из определения размаха видно, что он является довольно грубой мерой рассеяния, так как не несёт никакой информации о характере изменчивости распределения численностей внутри диапазона возможных изменений измеряемого признака. Кроме того, величина размаха зависит только от значений двух крайних членов ряда, так что появление хотя бы одного резко выделяющегося наблюдения существенно изменяет размах. Эта неустойчивость сужает возможности использования размаха как показателя рассеяния, несмотря на очень ясный смысл и простоту вычисления.

Для того, чтобы охарактеризовать рассеяние значений признака X генеральной совокупности вокруг своего среднего значения, в курсе основной школы вводилось понятие генеральной дисперсии (Бг) - среднего арифметического квадратов отклонений значений признака X генеральной совокупности от генеральной средней. В том случае, если все значения генеральной совокупности различны, то

а если значения генеральной совокупности имеют соответствующие частоты, то

Можно доказать, что DX — Sa , если признак X рассматривать как случайную величину Действительно, так как каждый объект генеральной совокупности может быть из-

влечён с одной и той же вероятностью

то

Выборочной дисперсией (S ) называется среднее арифметическое квадратов отклонений наблюдаемых значений от выборочного среднего. Так, если все значения выборки различны, то

а если значения выборки имеют соответствующие частоты, то

Учащимся стоит напомнить, что дисперсия измеряется в квадратных единицах относительно размерности генеральной (выборочной) средней, поэтому целесообразно пользоваться другой характеристикой - квадратичным отклонением, которое равно арифметическому квадратному корню из генеральной (выборочной) дисперсии:

Для закрепления данных понятии целесообразно предложить следующую задачу.

Задача. Имеется следующее распределение работников по стажу работы:

Стаж работы, лет

До 1

1-5

5-10

10-20

20-40

Число работников

7

15

14

16

8

Таблица 2.

Найти выборочную дисперсию и выборочное среднее квадратичное отклонение.

Решение. По условию задачи произведена выборка объёмом п = 60. Для удобства вычислений составим следующую таблицу:

Анализ статистических данных убеждает учащихся, что собранный материал выступает не как самоцель, а лишь как некоторая пробная группа, представляющая только один из возможных вариантов исследования. На основании результатов наблюдений или измерений старшеклассники учатся делать выводы относительно более широкого круга явлений. Так, они начинают познавать основные идеи и понятия выборочного метода и учатся в простейших случаях пользоваться им на практике, что позволяет применять полученные знания в смежных областях.

Глава III. НАУЧНЫЕ СООБЩЕНИЯ

ИССЛЕДОВАНИЕ МОДЕЛИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ МЕЖДУ НЕЙРОНАМИ В БИОЛОГИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ

И.М. Буркин, К.С. Елецких

В статье изучается модель, которая используется при анализе взаимодействия между тормозящим и возбуждающим нейронами в биологической системе. С помощью критерия Пуанкаре-Бендиксона проверяется существование периодических орбит. Построены фазовые портреты системы и классифицированы бифуркации, возникающие при изменении параметра.

Ключевые слова: фазовый портрет системы дифференциальных уравнений, критерий Пуанкаре-Бендиксона, бифуркация Андронова-Хопфа, периодическая орбита.

Мир динамических моделей стал поистине необъятным. Помимо механики, техники, физики, астрономии ныне он охватывает такие менее традиционные области, как химия, биология, медицина, экология, экономика. Для нелокального анализа таких моделей, то есть для решения вопросов устойчивости и неустойчивости «в целом» состояний равновесия, а также задач существования и устойчивости циклов различного типа, часто неприменимы многочисленные приближенные методы исследования. Если эти методы все-таки применяются, то, как хорошо известно, они иногда приводят к ошибкам качественного характера. Достоверные же результаты при нелокальном анализе динамических систем удается получить, лишь используя точные (качественные) методы.

Известен классический принцип Пуанкаре-Бендиксона [2], позволяющий доказывать существование циклов у динамических систем второго порядка и устанавливать их устойчивость. Использование этого принципа при исследовании конкретных систем позволяет утверждать существование в некоторой ограниченной области фазового пространства по крайней мере одного орбитально устойчивого цикла, но не позволяет гарантировать его единственность. В то же время хорошо известна бифуркационная теорема Андронова-Хопфа [3], утверждающая, говоря несколько неточно, что при наличии суперкритической бифуркации существует малый интервал изменения бифуркационного параметра, гарантирующий наличие в малой окрестности точки покоя единственного орбитально устойчивого цикла, притягивающего все траектории системы из указанной окрестности. Существование цикла при значениях параметра,

далеких от точки бифуркации, при применении теоремы Андронова-Хопфа может быть подтверждено, как правило, только с использованием численного эксперимента. Поэтому при исследовании конкретных систем, встречающихся в приложениях, целесообразно сочетать все упомянутые приемы исследования: принцип Пуанкаре-Бендиксона, теорему Андронова-Хопфа и численный эксперимент. Именно такое сочетание продемонстрировано в данной работе.

В статье изучается модель, которая используется при анализе взаимодействия между тормозящим и возбуждающим нейронами в биологической системе [1]. В своей простейшей форме эта модель описывает взаимодействие двух нейронов. Переменными состояниями являются х/ - выход возбуждающего нейрона и х? - выход тормозящего нейрона. Уравнения системы имеют вид

где т- > О- постоянная времени ил- коэффициент усиления.

Для установления условий существования периодических орбит используем критерий Пуанкаре-Бендиксона [2]. Обозначим

Система (1) имеет единственную точку равновесия х, = 0,х? = 0. Матрица Якоби системы

в точке равновесия имеет вид:

(2)

Ее собственные значения

При fa *> 1 вещественные части собственных значений положительны, а при Ят < 1 они отрицательны. Видим, что в случае Дт .> 1 выполняется одно из условий критерия Пуанкаре-Бендиксона [2]. Проверим выполнение второго условия. Положим

Легко видеть, что M замкнуто, ограничено и содержит только одно состояние равновесия, в котором Якобиан имеет собственные значения с положительными

вещественными частями. На поверхности

мы имеем

Так как

Поскольку

Следовательно, по критерию Пуанкаре-Бендиксона [2], в множестве M существует периодическая орбита.

Матрица Якоби (2) при Лт <\ имеет собственные значения с отрицательными вещественными частями. Следовательно, точка равновесия (0,0) является устойчивым фокусом (рис.1).

При Лт > 1. Матрица Якоби имеет собственные значения с положительными вещественными частями. Точка равновесия (0,0) является неустойчивым фокусом.

Значение Лт ™ 1 является бифуркационным значением параметра Лт, т.е. именно при этом значении качественно меняется фазовый портрет системы дифференциальных уравнений (1). В малой окрестности точки покоя (0,0), пренебрегая членами порядка 0(х*) в разложении tanhÜÄj и и-шЦлл п)5 запишем систему (1) в виде

Рис.1. Фазовый портрет системы

Обозначим

и

Рассмотрим функцию

Пусть

Легко проверить, что

Поэтому

Следовательно, по теореме Ляпунова [2], при

положение равновесия асимптотически устойчиво. Итак, при Ят £ 1 положение равновесия в точке (0,0) асимптотически устойчиво, а при Ä? > 1 оно неустойчиво, и рождается устойчивый предельный цикл, т.е. происходит суперкритическая бифуркация Андронова-Хопфа [3]. Наличие такой бифуркации гарантирует существование единственного орбитально устойчивого цикла при малых положительных значениях разности Ят-\.

Пользуясь численными экспериментами, покажем, что при любых положительных значениях этой разности система имеет единственный орбитально устойчивый цикл, притягивающий все остальные фазовые траектории системы [рис. 2-4].

Рис.2. Фазовый портрет системы

Рис.3. Фазовый портрет системы

Рис.4. Фазовый портрет системы

Библиографический список

1. Tonnelier A., Meignen S., Bosch H. and Demongeot J. Synchronization and desychronization of neural oscillators. Neural Networcks, 1999. P. 1213-1228.

2. Khalil Hassan K. Nonlinear Systems. Michigan State University: Prentice-Hall, 1996.

P. 64-80.

3. Магницкий Н.А., Сидоров С.В. Новые методы хаотической динамики. М.: УРСС, 2004. С. 58-64.

ПРИМЕНЕНИЕ КРИТЕРИЯ МЕЛЬНИКОВА ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ХАОТИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ НЕЛИНЕЙНОГО ОСЦИЛЛЯТОРА С СИНУСОИДАЛЬНОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ

И.М. Буркин, И.В. Новикова

В статье речь идёт о том, как применяется известный в нелинейной динамике критерий Мельникова для исследования хаотической динамики осциллятора с синусоидальной нелинейностью. Изложена суть критерия, выведены условия существования гомоклинической структуры у нелинейного осциллятора с синусоидальной нелинейностью, показаны фазовый портрет системы и область существования гомоклинической структуры.

Ключевые слова: нелинейный осциллятор, критерий Мельникова, хаотическая динамика, гомоклиническая структура, сепаратриса, устойчивое многообразие, неустойчивое многообразие, уравнения Гамильтона, состояние равновесия типа седла, метод разделения переменных.

Хорошо известно [1-2, 4], что наличие пересечения устойчивого и неустойчивого многообразий седловой особой точки двумерного отображения влечет существование в фазовом пространстве системы, для которой построено это отображение, гомоклинической структуры. В свою очередь, наличие гомоклинической структуры позволяет сделать заключение [1,2] о наличии в системе хаотической динамики, а именно, о наличии в малой окрестности гомоклинической структуры бесконечного числа периодических движений и асимптотических к ним устойчивых, по Пуассону, непериодических движений рассматриваемой системы.

Рассмотрим задачу, для которой известен простой и изящный критерий присутствия гомоклинической структуры - критерий Мельникова [3]. Изложим суть этого критерия, следуя книге С. Кузнецова [2].

Пусть динамика невозмущенной системы описывается уравнениями Гамильтона

(1)

На функцию Гамильтона

накладывается требование, чтобы система имела состояние равновесия типа седла, причем неустойчивая сепаратриса, совершив петлю, возвращалась бы в то же седло. Внешнее периодическое воздействие, диссипацию, прочие поправки будем рассматривать как малое возмущение, и запишем уравнения в виде

(2)

где г — малый параметр, а/и g являются периодическими функциями времени t. Подчеркнем, что возмущение (f, g), вообще говоря, может выводить систему из класса гамильтоновых.

Пусть x = X(t), р = P(t) есть решение невозмущенных уравнений (1), отвечающее движению по сепаратрисе из седла в седло. Будем искать решение возмущенной задачи в виде

(3)

Подстановка в (2) в первом порядке по s дает

(4)

На невозмущенной сепаратрисе вектор скорости движения изображающей точки на фазовой плоскости есть (л\ Р)} это вектор, касательный

к сепаратрисе. Ортогональным к нему будет вектор

Скалярное произведение этого вектора на вектор возмущения (:?,, р) можно рассматривать как меру смещения изображающей точки по нормали от невозмущенной сепаратрисы («Mel'nikov's distance» — «расстояние по Мельникову»). Обозначая его символом Д имеем

(5)

Вычислим производную по времени:

(6)

Подставляя сюда выражения для производных в соответствии с (1) и (4), обнаруживаем, что большинство членов сокращается, и получаем:

(7)

Мы можем рассмотреть два решения уравнений (4), отвечающих устойчивому и неустойчивому многообразиям возмущенной системы, которые будем обозначать, соответственно, {^rVs) и Расстояния по Мельникову от невозмущенной сепаратрисы для этих двух решений, Dj и DU9 будут подчиняться одному и тому же уравнению (7), но разным условиям на бесконечности. Устойчивое многообразие при i -? ос- и неустойчивое при f —ce- должны стремиться к одной и той же неподвижной точке, так что

соответственно,

Интегрируя (7), для произвольно взятого момента времени t = г можно записать:

(8)

Вычитая друг из друга эти два равенства, получаем расстояние по Мельникову между устойчивой и неустойчивой возмущенными сепаратрисами:

(9)

Напомним, 4ToX(t), P(t) есть решение невозмущенных уравнений (1), отвечающее движению по петле сепаратрисы из седла в седло. Сдвигом начала отсчета времени на произвольную константу в можно получить однопараметрическое семейство таких решений. При подстановке этих решений вида Х^Г +0), P(t +6) в формулу (9) получаем функцию А(в). Если функция А(в) знакопеременная, то это свидетельствует о наличии трансверсального пересечения устойчивого и неустойчивого многообразий неподвижной точки в возмущенной системе и служит признаком присутствия гомоклинической структуры, а также связанной с ней сложной динамики (бесконечное счетное множество периодических орбит, континуум непериодических траекторий). В этом и состоит критерий Мельникова.

В книге [2] критерий Мельникова применен для нахождения условий существования гомоклинической структуры у нелинейного осциллятора с квадратичной и кубической нелинейностями в предположении малой диссипации и малой амплитуды внешнего воздействия на систему. В данной работе при аналогичных предположениях получены условия существования гомоклинической структуры у нелинейного осциллятора с синусоидальной нелинейностью.

Рассмотрим нелинейный осциллятор, находящийся под воздействием внешней периодической силы

(10)

Это уравнение, которое можно переписать в виде системы двух уравнений первого порядка:

(11)

Это соответствует форме (2), где следует положить

(12)

Решение невозмущенной задачи, отвечающее движению по сепаратрисе, оказывается возможным получить в явном виде через элементарные функции. Выпишем интеграл энергии

(13)

и выберем значение константы С=1 так, чтобы равенство (13) удовлетворялось в точке седла È — 0}Х — Im. Тогда из (13) находим:

(14)

Используя стандартный метод разделения переменных, получаем:

(15)

где в — константа интегрирования. Выражая отсюдаX, имеем:

(16)

и, соответственно,

(17)

С учетом (16) и (17), выражение для мельниковского расстояния между возмущенными сепаратрисами (9) принимает вид:

(18)

Фигурирующие здесь интегралы вычисляются аналитически:

Представим подынтегральную функцию в виде ряда

следовательно,

Применяя формулу интегрирования по частям, имеем:

Из полученного уравнения находим:

Тогда

Итак,

Сумма последнего ряда находится с помощью формулы суммирования Пуассона.

Введем обозначение

и в соответствие с формулой суммирования Пуассона имеем:

Используя этот результат, получаем:

Эта функция становится знакопеременной, если

Согласно критерию Мельникова, при выполнении этого условия возникает гомоклиническая структура и сложная динамика вблизи сепаратрисы. На рис. 1 показано расположение области сложной динамики на плоскости параметров Г>тД, -).

Рис. 1. Фазовый портрет невозмущенной системы (а) и область существования гомоклинической структуры (б).

Библиографический список

1. Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.А. Введение в теорию нелинейных колебаний. М: Наука. 1976.

2. Кузнецов С.П. Динамический хаос. М: Физматлит, 2001.

3. Мельников В.К. Устойчивость центра при периодических во времени возмущениях // Труды Московского математического общества, 1963. Т. 12. С. 3-52

4. Неймарк Ю.И, Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. М. Наука. 1987.

О ДВУМЕРНЫХ АНАЛОГАХ ПОЛУПРИВОДИМЫХ РИМАНОВЫХ ПРОСТРАНСТВ

О.С. Германов

В статье приведена классификация римановых поверхностей, являющихся аналогами полуприводимых римановых пространств (в связности этих поверхностей разрешимы, так называемые, уравнения полуприводимости). Поверхности классифицируются по характеру корней характеристического уравнения.

Ключевые слова: риманова поверхность, полуприводимость риманова пространства, характеристическое уравнение поверхности и его корни, изотермические координаты.

Риманово пространство V„ называется [1, 2] полуприводимым, если существует такая система координат, в которой его метрика имеет следующий вид

где dsl и dsf - самостоятельные т- и (п-т)-мерные метрики, зависящие каждая только от "своих" переменных, а функция v зависит только от переменных из dsl. Поэтому говорить о полуприводимости римановых поверхностей, вообще говоря, некорректно, ибо [3] все они конформно-приводимы (всегда найдется такая (изотермическая) система координат, в которой метрика поверхности приводится к виду ds1 - g[s(dy1)2 +(dy2)2]

Однако полуприводимые римановы пространства характеризуются, как известно [1], тем, что их связность допускает существование

невырожденного тензорного поля atj (/, j\ к = \,п,п = dim Vn ), тензор которого удовлетворяет в данной связности вместе с некоторым градиентом qj уравнению

(1)

(здесь V^- символ ковариантного дифференцирования в Vn). Таким образом, возникает задача исследования этих уравнений и их решений на римановой поверхности и построения, тем самым, некоторых, в известном смысле, аналогов полуприводимых пространств.

Известные решения этой задачи [1, 2] соответствуют тому случаю, когда характеристическое уравнение

(2)

имеет действительные корни, число которых не меньше двух, а характеристическая матрица, соответствующая (2), имеет простые элементарные делители.

В настоящей работе уравнения (1) исследуются, учитывая характер корней уравнения (2), которые могут быть различными действительными или комплексными или же это уравнение имеет один действительный корень (кратности 2).

Рассмотрим риманову поверхность V2, отнесенную к изотермическим ([3] стр. 300) координатам у , у . В этой системе координат метрическая форма поверхности и форма, порожденная полем atj , будут выглядеть соответственно так

(3) (4)

поэтому

и, следовательно,

корни характеристического уравнения (2) действительны и различны, при аци22<0 - комплексно-сопряженные, и если а и или я?2 равны нулю, то это уравнение имеет один действительный кратный корень.

Расписав (1) во введенных координатах, будем иметь:

(5) (6) (7)

Положив, учитывая, что вектор qk градиентен,

некоторые функции указанных координат.

Введем новые функции g и я, полагая

запишем (3) и (4) соответственно так

Это позволяет ввести такую систему координат

в которой вид (3), (4) значительно упростится:

Дальнейшее изучение уравнений (1) будем проводить в этой системе координат.

Записав (6) следующим образом

получим

Условия интегрируемости последнего требуют, чтобы

Положив

где к]9к2 - постоянные, выводим отсюда

где с и у/ - произвольные

функции указанных переменных, а из уравнений (6) заключаем, что

Перейдем теперь к исследованию уравнений (7).

После очевидных преобразований их можно записать так

Отсюда следует

некоторая функция указанной переменной, связанная с у/ так:

Кроме того,

Отсюда получаем, что

(8)

При исследовании (8) приходится учитывать знак s . А. £ = +\. При этом характеристическое уравнение (2) имеет два различных действительных корня.

Интегрируя последнее, получаем Ф = Б. е = -\. В этом случае уравнение (2) имеет пару комплексно-сопряженных корней.

Из (8) выводим

Теперь осталось рассмотреть последний возможный случай, - случай, когда характеристическое уравнение (2) имеет один действительный (и поэтому кратный) корень.

В. Будем считать, что Л, = Л2 за счет того, что ап = О (случай, когда а22 = О приводится к предыдущему "переименованием" координат). При этом из (5) получаем

Так же, как и выше, введем новые функции g и а, полагая g = gnn22, а = апя22, и с их помощью приведем метрическую форму рассматриваемой поверхности и форму, порожденную полем ау, к виду

получаем

а из (7) -

В новых координатах из (6) при г=2

Их интегрирование дает

постоянны, <т,г - произвольные функции X2, поэтому

Все изложенное можно сформулировать в виде теоремы, достаточность которой проверяется непосредственно.

Терема. Для того, чтобы на римановой поверхности были разрешимы уравнения полуприводимости (1), необходимо и достаточно,

чтобы существовала такая система координат, в которой метрика этой поверхности приводилась бы к виду ds2 = 2gdx}dx2, а форма, порожденная

полем тензора (1), к виду

А. при s = +1 (корни характеристического уравнения (2)

действительны и различны)

Б. при s - -1 (корни характеристического уравнения - комплексные)

и соответственно к виду

В. (в этом случае характеристическое уравнение имеет лишь один действительный корень).

Здесь А, В, С, к ,к\, к2 - постоянны, а, т - произвольные функции х2.

Библиографический список

1. Кручкович Г.И. Об одном классе римановых пространств. Труды семинара по векторному и тензорному анализу, 1961. Т. 11.C. 103-128.

2. Шапиро Я.Я. Об одном классе римановых пространств. Труды семинара по векторному и тензорному анализу, 1963. Т. 12. С. 203-212.

3. Норден А.П. Пространства аффинной связности. 2-е изд. М: Наука, 1976.

ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ НАПРАВЛЕНИЯ ДВУМЕРНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ ПРИ ТОЧЕЧНЫХ СООТВЕТСТВИЯХ ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВ

В.И. Грачёва

В статье изучаются точечные соответствия собственно евклидовых, вполне ортогональных в Е2п пространств Еп,Еп . При некоторых особенностях расположения векторов вынужденной кривизны линий сети графика отображ