ВЕСТНИК ЕЛЕЦКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

'08

выпуск 17

Серия "Педагогика"

(ИСТОРИЯ И ТЕОРИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ)

Елец

2008

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЕЛЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. И.А. БУНИНА»

ВЕСТНИК ЕЛЕЦКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

Выпуск 17

СЕРИЯ «ПЕДАГОГИКА»

(ИСТОРИЯ И ТЕОРИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ)

Елец - 2008

УДК 004(07.07), (09); 514.8; 532.516; 514.7 + 514.8 ББК 22.1 г+ 22.11 В 38

Печатается по решению редакционно-издательского совета Елецкого государственного университета им. И.А. Бунина от 13.05.2008 г., протокол № 2

Редакционная коллегия серии «История и теория математического образования»:

В.П. Кузовлев, ректор, д-р пед. наук, проф., заслуженный работник высшей школы, академик Международной академии наук педагогического образования, член-корреспондент МСА (г. Москва), член-корреспондент Петровской академии наук и искусств (г. Санкт-Петербург); О.А. Саввина, д-р пед. наук, проф. (ответственный редактор раздела «История математического образования»); С.В. Щербатых, канд. пед. наук, доц. (ответственный редактор разделов «Теория и методика обучения математике в средней школе», «Теория и методика обучения математике в вузе», редактор-составитель); И.А. Елецких, канд. физ.-мат. наук, доц. (ответственный редактор раздела «Научные сообщения»).

В 38 Вестник Елецкого государственного университета им. И. А. Бунина.

Вып 17.: Серия «Педагогика» (История и теория математического образования). - Елец: ЕГУ им. И.А. Бунина, 2008. - 467 с. ISBN 978-5-94809-329-1

Представленные в вестнике статьи, в первую очередь, отражают те научные результаты, которые получены на кафедре математического анализа и элементарной математики Елецкого государственного университета им. И.А. Бунина. Кроме учёных нашего вуза, авторами статей являются исследователи из Витебска (Белоруссия), Барнаула, Вологды, Воронежа, Вятки, Калуги, Краснодара, Москвы, Мценска, Орла, Нижнего Новгорода, Смоленска, Чебоксар.

Издание предназначено для математиков, преподавателей, учителей, аспирантов и студентов, интересующихся проблемами истории и теории математического образования, а также вопросами математики.

УДК 004(07.07), (09); 514.8; 532.516; 514.7 + 514.8

ББК 22.1 г+ 22.11

ISBN 978-5-94809-329-1

© Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина, 2008

Раздел I. ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ТЯЖКИЙ КРЕСТ П.А. НЕКРАСОВА - АКАДЕМИК А.А. МАРКОВ

Ю.М. Колягин

Каждый христианин несет свой Крест, данный ему Господом, через всю жизнь. Павел Алексеевич жил нелегкой жизнью, самостоятельно пробивая себе дорогу и отдавая все свои силы православному просвещению.

Наверное, было суждено Выше, что на его жизненном пути на долгие годы возникнет весьма значимый противник - сначала в качестве научного оппонента, а потом уже и в качестве личного врага или, если сказать помягче, недоброжелателя. Прежде чем говорить о сути разногласий, познакомимся с биографией и жизненным кредо А.А. Маркова.

Андрей Андреевич Марков родился 14 июня 1856 года в Рязанской губернии. В начале 1860-х годов семья переехала в Петербург, где отец Маркова успешно занимался адвокатской практикой, а мальчика определили в 5-ю гимназию, которая была одной из лучших в столице (физику в ней, кстати, преподавал К.Д. Краевич). Андрей не относился к числу лучших учеников (особенно ему досаждали древние языки), его интересовала в основном математика. Уже в гимназические годы он приступил к самостоятельному изучению высшей математики и даже открыл, как ему казалось, новый метод интегрирования линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, который, однако, был не новым в науке. Это первое самостоятельное открытие привело к знакомству с университетскими профессорами А.Н. Коркиным и Е.И. Золотаревым, которым он сообщил о своем открытии, и определило его дальнейшую судьбу.

Еще одним увлечением юноши стали произведения Н.Г. Чернышевского и Д.И. Писарева, которые, естественно, оказали влияние на его мировоззрение.

В 1874 году А.А. Марков поступил в Петербургский университет, где слушал лекции у великого русского математика П.Л. Чебышёва. Влияние Чебышева на развитие и направление его научных интересов оказалось решающим.

Университет А.А. Марков окончил в 1878 г., получив золотую медалью за научную работу «Об интегрировании дифференциальных уравнений при помощи непрерывных дробей». В 1880 году он защитил магистерскую диссертацию и начал преподавать в Петербургском университете сначала в качестве приват-доцента, а с 1886 г. - в качестве профессора.

Педагогическая деятельность А.А. Маркова отличалась ясностью и одновременно строгостью изложения предмета. Теорию он иллюстрировал мастерски подобранными задачами, доводя решение которых, как правило, до числовых расчётов. Об этих особенностях стиля А.А. Маркова-педагога можно судить и по написанным им учебникам - Исчисление конечных разностей» (1889-1891) и Исчисление вероятностей» (1900). Математические и литературные достоинства этих книг столь велики, что сразу после появления их русского издания последовали их немецкие издания.

По предложению П.Л.Чебышёва, Академия наук избрала его в 1886 г. адъюнктом, через четыре года - экстраординарным академиком, а через шесть лет - ординарным академиком.

Научное творчество А.А.Маркова весьма разнообразно. Первые годы он интересовался теорией чисел, дифференциальными уравнениями, теорией функций и другими вопросами. С конца 90-х годов он целиком занялся теорией вероятностей. Поэтому самые значительные достижения А.А. Маркова принадлежат теории чисел и теории вероятностей, пожалуй, в первую очередь последней из них.

В 1905 году А.А. Марков подал в отставку со званием заслуженного профессора, но продолжал вести в университете спецкурсы по своему желанию.

Дальнейшая жизнь А.А. Маркова была в основном посвящена науке. Свой последний мемуар он представил Академии наук всего лишь за несколько месяцев до смерти.

Тяжёлый недуг свалил его в постель, и 20 июля 1922 года он умер.

А.А. Марков был не просто учёный. Это был учёный-скандалист. Всю жизнь он вёл яростную борьбу со всем, что шло вразрез с его научными и личными принципами.

Вот что пишет о нём его сын - академик АН СССР А.А. Марков младший:

Это был человек открытый, прямой и смелый, никогда не изменявший своим убеждениям, всю жизнь яростно боровшийся со всем, что считал глупым и вредным. Его гражданское мужество было очень стойким: он не считался ни с лицами, против которых выступал, ни с последствиями, которые его выступления могли иметь для него самого. Когда ему возразили как-то на одно его предложение, что оно идет вразрез с высочайшим постановлением», он во всеуслышание сказал: Я вам дело говорю, а вы мне -высочайшее постановление» [1, с.610].

А вот что говорит по поводу личности А.А. Маркова его современник-математик К.А. Андреев (в письме А.М. Ляпунову):

... я испытал на себе всю неприятность иметь полемику с человеком, не любящим стеснять себя в резких на чужой счет выражениях. А.А. Марков почти обругал меня» [3, с.42].

О том же свидетельствует и академик Петербургской Академии наук А.И. Чупров в одном из своих писем:

Марков относился к Пирсону1, можно сказать, с презрением. Характерец был у Маркова не легче, чем у Пирсона, и малейших противоречий он также не переносил. Можете себе представить, как он принял мои настойчивые указания на крупное научное значение трудов Пирсона» [11, с.46].

Даже к концу своей жизни, выступая в 1921 году с докладом на Юбилейной сессии Академии наук, посвященной 100-летию со дня рождения П.Л. Чебышева, А.А.Марков казался физически слабым и старым, но глаза его задорно блестели. Он сыпал язвительными и колкими намеками...» [12].

Создаётся впечатление, что А.А. Марков протестовал всюду, всегда и по любому поводу. Пресса прозвала его боевым академиком» и неистовым Андреем» [11, с.46].

Он протестовал против политики русского правительства по участию в русско-японской войне, протестовал против принятия выпускников семинарий на физико-математические факультеты университетов, протестовал по поводу выборов в Академию наук (был против избрания в члены академии С.В. Ковалевской) и, конечно же, выступал за полное отделение науки от религии.

Напомним, что в 1902 году правительство отменило избрание Максима Горького почетным академиком. А.А. Марков выступил с резким протестом, а когда с ним не посчитались, подал заявление об отставке. Она не была принята. В 1905 году А.А. Марков вновь потребовал внести имя г. Пешкова в список почетных академиков». В 1903 году А.А. Марков подал в правление Академии наук заявление о своем отказе получать какие-либо ордена от царского правительства. В 1907 году А.А. Марков, назвав III Государственную Думу незаконным сборищем, просил правление Академии наук не вносить его имя в списки избирателей.

В 1908 году царское правительство пыталось возложить на профессоров университетов полицейские функции. А.А. Марков подал министру просвещения заявление, в котором писал: Я решительно отказываюсь быть в Университете агентом правительства». В 1912 году А.А. Марков обратился в Святейший правительственный Синод» с прошением, которое начиналось так: Честь имею покорнейше просить Святейший Синод об отлучении меня от церкви». Дальше он аргументировал свое прошение. Как ученый, как специалист по теории вероятностей, А.А.Марков считал более чем сомнительной истинность религиозных сказаний. В конце прошения он говорил: ...и не сочувствую всем религиям, которые подобно православию поддерживаются огнем и мечом и сами служат им». Это прошение вызва-

1 Пирсон Карл (1857-1936) - английский математик, статистик, биолог и философ-позитивист.

ло бурную реакцию ... Революционная общественность России восхищалась его поведением» [2].

Итак, в конце мая 1912 года А.А. Марков был отлучен от Православной Церкви. Вот что по этому поводу писала газета Новое время» от 9 (22) мая 1912 года (в разделе Церковные дела»):

Академик А.А. Марков, признавая себя атеистом и не желая номинально считаться православным, подал в Синод прошение об отлучении его от церкви. Такого наказания, по желанию отдельных личностей, церковь не может налагать; но вместе с тем, церковь не может держать в своих недрах того, кто этого не желает, а потому Синод, получив прошение академика Маркова, передал его на рассмотрение петербургской епархиальной власти, так как дела об отпадении от веры ведаются в подлежащих духовных консисториях. К Маркову был послан для увещевания духовный пастырь и, ввиду неуспешности его миссии, состоялось постановление признать Маркова отпавшим от православия.

Любопытно бы знать, к чему академику Маркову потребовалась эта демонстрация его отпадения» от церкви? Публичные выступления этого академика вообще имеют характер юродства за последнее время».

Увы, А.А. Марков пошел и далее, утверждая, что он не видит разницы между иконами и идолами. Это не преминула заметить тогдашняя газета РСДРП Правда».

Вернемся теперь к Павлу Алексеевичу. Так случилось, что профессор П.А. Некрасов, уже известный в то время математик, в 1898 году включил в область своих интересов теорию вероятностей, причем включил ее сверхактивно» (и в математическом, и в мировоззренческом, и в педагогическом планах). Он, профессор Московского университета, специалист в области алгебры и математического анализа, вторгся в святая святых» - вотчину академика А.А. Маркова - теорию вероятностей. Уже первая статья П.А. Некрасова Общие свойства массовых независимых явлений» (Математический сборник, том XX) вызвала резкую критику А.А. Маркова. Поводом послужило то, что П.А. Некрасов позволил себе сделать критическое замечание по одной из работ П.Л. Чебышева, которого А.А. Марков считал своим учителем, а себя главным продолжателем его исследований.

П.А. Некрасову крупно не повезло. Его оппонент, академик А.А. Марков, как уже отмечалось, оказался весьма вздорным человеком, с гипертрофированным честолюбием, и ученым, далеко не самодостаточным в своих исследованиях. Так, его критике (причем критике резкой, нелицеприятной), когда справедливой, а когда и напрасной, подверглись в разное время весьма именитые ученые: академик В.Я. Буняковский, академик В.Г. Имшенецкий, член-корреспондент Н.В. Бугаев, член-корреспондент С.В. Ковалевская, профессор К.А. Андреев. К сожалению (а может быть и к счастью), названные выше ученые предпочитали отмалчиваться либо возражали единично (не вступая в открытую полемику). Показательно, что резкие высказывания А.А. Маркова в адрес своих коллег послужили причиной того, что в ноябре

1892 года Московское математическое общество постановило не принимать к обсуждению никаких резких суждений [4, с.380]. Увы, А.А. Маркова это не остановило.

Поначалу и П.А. Некрасов был готов к корректной полемике. Но, во-первых, выступления А.А. Маркова против его работ были не только несправедливы (по мнению самого П.А. Некрасова), но высказывались в весьма грубой форме и стали носить личностный характер. Во-вторых, область научных интересов П.А. Некрасова вошла органической частью в философские мировоззренческие проблемы (причем рассматриваемые с позиции православного ученого). А.А. Марков, как уже было сказано ранее, только считался православным (был крещен), но по существу был убежденным материалистом и атеистом. П.А. Некрасов стал отстаивать свое мировоззрение. Иначе он поступить не мог.

Наконец, будучи убежденным сторонником изучения теории вероятностей учителями и учащимися средней школы, он предпринял конкретные шаги по созданию школьной программы по теории вероятностей и математической статистике. И этот шаг вызвал яростные нападки академика А.А. Маркова.

Эта нервная полемика длилась 15 лет. Она окончилась, по сути, ничем, хотя бумаг (в том числе и официальных) накопилось много. К тому же и эти официальные реакции властей и Академии наук носили скорее характер чиновной отмашки. На стороне А.А. Маркова было руководство Академии наук (своих не сдавать) и некоторые соратники по академии. На стороне П.А. Некрасова стояло Министерство народного просвещения (тайный советник П.А. Некрасов был и ректором университета, и попечителем учебного округа, и членом Коллегии), которое также не сдавало своих. Начальство, таким образом, стремилось уклониться от любого решения, а полемисты уже остановиться не могли.

На наш взгляд, виновником этой, увы, далеко не научной дискуссии был А.А. Марков, его мировоззренческая и общественная позиция (вроде бы яркий борец за правду), а главное - присущий ему характер.

Вот что пишет известный математик К.А. Андреев2 (которого пытались оба лагеря втянуть в эту полемику).

К.А. Андреев А.М. Маркову, 1901.

Мыслит (Некрасов) вообще не ясно, хотя, может быть, и глубоко, а излагает свои мысли еще темнее. Удивляюсь только, что он так самонадеян».

2 Андреев Константин Алексеевич (1848 - 1921) родился в Москве. В детстве лишился одного глаза, что не помешало ему проявить блистательные успехи в математике и обратить на себя внимание профессоров А.Ю. Давидова, В.Я. Цингера и Н.В. Бугаева. В 1875 году защитил магистерскую диссертацию «О геометрическом образовании плоских кривых», в 1879 году - докторскую: «О геометрических соответствиях в применении к вопросу о построении кривых линий». В 1884 году избран Академией наук членом-корреспондентом. В 1873-1898 гг. работал в Харьковском университете (с 1879 г. - профессор); в 1898-1921 - профессор Московского университета. Был председателем образовавшегося в 1879 г. при Харьковском университете Математического общества и редактором его трудов. Автор известного трактата «Основной курс аналитической геометрии» (3 издания) и сборника упражнений по аналитической геометрии.

К.А. Андреев П.А. Некрасову, 1915.

(Марков) ... до сих пор остается старым закоренелым грешником по части провокации споров. Я уже давно понял это и нахожу, что единственное средство избавить себя от неприятности быть на удочке провокатора - это не реагировать ни на какие его выпады».

Как упоминалось ранее, поводом к полемике А.А.Маркова и П.А. Некрасова послужила статья П.А.Некрасова (1898), посвященная памяти П.Л. Чебышева. В своем письме П.А. Некрасову А.А. Марков обвинил его в недооценке мемуара, а в дальнейшем заметил, что Некрасов не счел нужным сослаться на него» [12].

Этапы этого больного» пути описаны самим П.А. Некрасовым в его письме от 29 сентября 1915 года на имя Вице-президенту Императорской Академии наук П.В. Никитина.

Член Совета министра народного просвещения тайный советник П.А. Некрасов письмом от 29 сентября 1915 года доложил Вице-президенту:

В течение многих лет я состою в ученой полемике по вопросам теории вероятностей и дифференциального и интегрального исчислений с академиком А.А. Марковым, к коему отчасти примыкает профессор К.А. Поссе3, я же примыкаю к школам, во главе коих стояли академик В.Г. Имшенецкий4 и профессор Н. В. Бугаев, иначе определявшие начала математики.

Этапы ученой полемики моей видны из прилагаемой статьи «По поводу статьи академика А.А. Маркова о проекте преподавания теории вероятностей в средней школе» (Журнал Министерства народного просвещения, июль 1915) и статьи Ответ на возражения К.А. Поссе» (Журнал Министерства народного просвещения, июль 1915). Кроме того, в делопроизводстве Физико-математического отделения Академии наук имеются про-

3 Поссе Константин Александрович (1847-1928). Окончил кандидатом физико-математический факультет Санкт-Петербургского университет. С 1871 по 1895 гг. преподавал высшую математику в институте инженеров путей сообщения. Преподавал некоторое время математику на высших женских курсах и в Санкт-Петербургском технологическом институте. В 1873 г. получил в Санкт-Петербургском университете степень магистра математики, после чего читал в университете лекции по аналитической геометрии в качестве приват-доцента, а в 1880 г. был избран в штатные доценты. Степень доктора математики получил в 1882 г. за сочинение «О функциях омега от двух переменных аргументов»; с 1883 г. -экстраординарный профессор университета, а с 1886 г. - ординарный профессор. С 1916 г.-почетный член Академии наук.

4 Имшенецкий Василий Григорьевич (1832-1892) родился в Ижевске. Окончил физико-математический факультет Казанского университета. В 1865 г. Имшенецкий защитил магистерскую диссертацию и получил место доцента чистой математики. В 1868 г. он защитил докторскую диссертацию и был избран экстраординарным, а в 1869 г. — ординарным профессором. С 1872 г. - профессор в Харьковском университете. Направления исследований В.Г. Имшенецкого относились к теории интегрирования дифференциальных уравнений в частных производных 1-го и 2-го порядков, к изучению чисел и функций Бернулли. В декабре 1881 г. был избран академиком и переехал в Петербург. Здесь по его инициативе в 1890 г. было организовано математическое общество.

тесты мои за 1898 год и за 1910 год против неправильных отношений академика А.А. Маркова к мемуару моему (1898), доложенному в 1898 году на Киевском съезде естествоиспытателей и врачей и посвященному памяти академика Чебышева, с критическим разбором отношения его гениальной первой теоремы о средних величинах ко второй теореме, содержащейся в его мемуаре «О двух теоремах относительно вероятностей». Вслед за тем А.А. Марков в изданиях Академии наук и в Известиях Казанского Физико-математического общества за 1898 г. опубликовал свое видоизменение второй теоремы Чебышева, скрыв от читателей, что это видоизменение есть следствие моего мемуара.

Я, со своей стороны, нисколько не уклоняюсь и не буду впредь уклоняться от продолжения ученого спора при условии ведения его общепринятыми академическими приемами.

Но дело в том, что, независимо от спора в печати и в ученых инстанциях, академик А.А. Марков, начиная с 1898 года, одолевает меня множеством грубых открыток. После того как моя давнишняя просьба не писать подобных открыток академиком А.А. Марковым не была уважена, и пока характер резкостей можно было считать хоть сколько-нибудь терпимым, я вынужденно отвечал А.А. Маркову, стараясь, с одной стороны, по возможности точно придерживаться его выражений и, с другой, не повышать в своих ответах степени их резкости.

Последняя открытка, на каковую, несмотря на крайнюю ее резкость, я счел еще возможным скрепя сердце ответить...» [8, с.55-56].

.. открытка А. А. Маркова за почтовым штемпелем 26 сентября 1915 г. была такого содержания: «Вздорные определения Н.В. Бугаева и П.А. Н. меня не интересуют. Надеюсь, что никакой другой статьи клеветнику П.А. Н. не дадут печатать: довольно он уже выяснил себя. Всё, что написано в Отповеди», совершенно верно, как верно и то, что находится в №5 Журнала Министерства народного просвещения». Лекций моих П. А. Н. не обязан знать, хотя и следовало бы ему поучиться основам, но приписывать мне утверждения, которых я никогда не делал, мог только ...5 А. М.».

Имея возражения по существу сей открытки, я не посылаю на нее ответа, так как форма ее выражений имеет уже определенно криминальный характер, могущий подлежать разбору в камере мирового судьи независимо от вопроса о бесконечно малых.

Но полагаю, что для члена Совета Министра народного просвещения неудобен путь к мировому, чтобы прекратить усвоенную членом Академии недопустимую форму полемики, - неудобен ввиду высокого положения учреждений, с коими они соприкасаются.

5 На месте этого многоточия стоит безобразная оскорбительная грубость, которая сообщена полностью в письме г. Вице-президенту Академии наук (примечание П.А. Некрасова).

Вследствие изложенного имею честь покорнейше просить Ваше Превосходительство поставить на обсуждение коллегии Академии два вопроса:

1. Совместимо ли со званием А.А. Маркова как члена Академии наук применение грубо оскорбительных выражений, допущенных им в открытом письме от 26 сентября на мое имя в копии, приведенной выше, и

2. Может ли коллегия Академии наук гарантировать мне, что академик А.А. Марков в дальнейшем будет сдержан в писании мне оскорбительных писем, так как только такого рода гарантия даст мне возможность не прибегать к указанному выше, менее желательному, пути воздействия на академика А. А. Маркова.

О последующем прошу почтить меня ответом. Присовокупляю, что копия сего письма мной доложена Его Сиятельству Господину Министру народного просвещения» [8, с.56-57].

Непременный секретарь Императорской Академии наук С.Ф. Ольденбург письмом от 20 ноября сообщил П.А. Некрасову следующее:

Физико-математическое отделение Императорская Академия наук, рассмотрев письмо Ваше на имя Вице-Президента не может входить в обсуждение вопросов, касающихся частной переписки и полемики ее членов; о чем честь имею известить Ваше Превосходительство».

Вместе с тем, было решено, по предложению академика А.А. Маркова, образовать Комиссию по обсуждению некоторых вопросов, касающихся преподавания математики в средней школе, в которую вошел сам А.А. Марков6. П.А. Некрасов на это решение отреагировал:

Если, согласно этому извещению, академик А.А.Марков, в частной деятельности злоупотреблявший своим положением, не подсуден Коллегии академиков, в которую принесена жалоба П.А. Некрасова от 29 сентября 1915 г., то почему же суду этой коллегии оказался подсуден принесший жалобу истец, П. А. П., и почему во главе 6-членного трибунала, судившего и «осудившего» П.А. Некрасова, оказался сам многократно обвиняемый

6 Помимо А.А. Маркова в состав Комиссии вошли А.М. Ляпунов, В.А. Стеклов, Д.К. Бобылев, А.Н.Крылов. Из перечисленных здесь учёных явным сторонником А.А. Маркова был лишь А.М. Ляпунов.

Ляпунов Алексей Михайлович (1857-1918) - русский математик и механик. Родился в Ярославле. В 1880 г. окончил Петербургский университет. С 1885 г. - доцент, с 1892 г. - профессор Харьковского университета; с 1902 г. работал в Петербургской АН. Ляпунов создал строгую теорию устойчивости равновесия и движения механических систем, определяемых конечным числом параметров.

В теории вероятностей Ляпунов предложил новый метод исследования (метод «характеристических функций»), замечательный по своей общности и плодотворности; обобщая исследования П.Л. Чебышева и А.А. Маркова (старшего), Ляпунов доказал так называемую центральную предельную теорему теории вероятностей при значительно более общих условиях, чем его предшественники.

А.А. Марков, торжествующе уведомивший П.А. Некрасова об этом следующими письмами:

Письмо А. А. Маркова от 30 янв. 1916 г.

В Февральском № Известий Академии наук дан надлежащий ответ на прекрасное письмо П. А. Н. к Вице-президенту Академии7. Ответ этот будет сообщен и г. Министру» [8, с.56-57].

Решение комиссии было характерным. В нем говорилось, что взгляды профессора П.А. Некрасова превращают науку в орудие религиозного и политического воздействия ... принесут непоправимый вред делу просвещения».

Официальным итогом этой полемики стали две вражеские» статьи, опубликованные в Математическом сборнике в 1912 году (Вып. XXVIII): А.А. Маркова Отповедь Некрасову» и П.А. Некрасова Общий основной метод производящих функций в применении к исчислению вероятностей и к законам массовых явлений. Четвертый совет академику А.А. Маркову».

Прочтение и первой статьи (А.А. Маркова) [7] и ответа на неё (данное П.А. Некрасовым [9], если даже не вникать в суть развернутой там полемики, производит тяжкое впечатление. Авторы только и ищут повода, чтобы придраться к чему-либо: к неверности ссылок, к разночтению в терминологии, в неполноте того или иного результата или его ошибочности (что сразу же опровергается оппонентами) и т.п.

Следует отметить и тот факт, что статья А.А. Маркова (небольшая по объёму) полностью посвящена критике П.А. Некрасова (и по поводу его утверждений и по поводу высказанных им ранее замечаний. Статья же П.А. Некрасова (весьма обширная) посвящена рассмотрению т.н. метода производящих функций». По ходу изложения (в подстрочных замечаниях) даются пояснения, связанные с критическими замечаниями А.А. Маркова, и только в конце её подводится некоторый итог этой многолетней дискуссии.

Статья А.А. Маркова (по утверждению её автора) имеет целью выяснить неправильность тех или иных ссылок, опровержение неверных утверждений П.А. Некрасова, ошибочность его результатов.

Статья П.А. Некрасова (в тех частях, где дается ответ на замечания А.А. Маркова) имеет явно выраженный пояснительный характер. Сам автор в начале её пишет: Признание А.А. Маркова этой связи (его статей со статьями П.А. Некрасова - Ю.К.) хотя и неприязненной, меня удовлетворяет. Эта связь дает читателям возможность сличить выводы заведомых противников; в столкновении сличении истина лучше высветится» [9, с.353].

Увы, и характер замечаний А.А. Маркова, и характер ответов П.А. Некрасова не дает, на наш взгляд, отчетливого представления о сущности их

7 Эту похвалу надо отнести не на мой счет, а на счет канцелярских порядков Академии, предоставивших А.А. Маркову удовольствие присоединить к прежним памфлетам еще один.

разногласий. Реакция на эту полемику и решение Московского математического общества понятны и правомерны.

Так как эта работа посвящена жизни и деятельности П.А. Некрасова, позволим себе (как говорят - в качестве сухого остатка) привести заключительный абзац статьи П.А. Некрасова:

Реформа индивидуальности в её внутреннем «я» (в храме её сознания, её идей, проверенных опытом веков) и в её трудоспособности и физическом развитии является главною из всех реформ и реформаций. Эта реформа -просветительная, рассматривающая все государство прежде всего как школу, а затем как Фемиду, рисуемую с завязанными по закону глазами (символ абстракции), с мячом в одной руке и с весами в другой» [9, с.460].

Этот абзац лишний раз свидетельствует, что расхождения А.А. Маркова и П.А. Некрасова имели глубинный характер: мировоззренческий и личностный, и математика оказалась лишь удобным полем сражения».

Результатом этих публикаций стало следующее письмо тогдашнего президента Московского математического общества академика Н. Е. Жуковского, адресованное А. А. Маркову (23 ноября 1912 (56 № 1)).

Милостивый Государь Андрей Андреевич!

Я могу только подтвердить то, что Вам писал С.А. Чаплыгин. Вместе с докладом о Вашей статье [1912] я высказал мысль, что следует ожидать на нее ответ от П. А. Некрасова. Общество, которое несочувственно отнеслось к возникшей полемике, решило печатать только две статьи, - Вашу, в конце которой было написано, что Вы сказали достаточно, и ответную статью П.А. Некрасова. Согласно этому решению и была напечатана статья П.А. Некрасова [1912], к которой прибавлено замечание, что она печатается по упомянутому постановлению Общества.

В заседании 20 ноября сего 1912 года Математическое общество единогласно подтвердило свое решение. В силу его на страницах Математического сборника полемика между Вами и П.А. Некрасовым продолжаться не может. Не могу не упрекнуть Вас за выражения Вашего письма относительно высокочтимого Сергея Алексеевича Чаплыгина, которые едва ли можно считать корректными.

С совершенным почтением Н. Жуковский» [10].

События 1892 года повторились. Научное сообщество Москвы высказалось, а полемика так и не утихла. Даже Первая мировая война не остановила. Остановила революция. Полемика ушла в вечность, а полемисты продолжали жить и трудиться.

Причуды истории удивительны. Одних видных деятелей прошлого она начисто забывает, другие заслуживают (правда, иногда незаслуженно) посмертной славы или бесславия. Павлу Алексеевичу Некрасову выпало на долю нести свой тяжкий крест и после своей кончины.

Закономерно было то, что православный профессор математики П.А. Некрасов в советское время не был упомянут ни в одном справочнике

(а не будем забывать, что он долгое время был ректором Московского университета). Однако его полемика с академиком А.А. Марковым не могла пройти мимо советских историков математики (или тех математиков, которые писали об отечественной истории математики). При этом следует иметь в виду, что академик А.А.Марков (как атеист, да еще отлученный от Церкви), как рьяный оппонент дореволюционной государственной власти России, был воспринят Советской властью (и Академией наук СССР) как неоспоримо свой человек, как крупный ученый математик (кем, вообще говоря, А.А. Марков и был) и как борец за правду.

Другая слава досталась его долголетнему оппоненту. Мало того, что П.А. Некрасов был предан забвению как учёный и как педагог, увы - в достаточно солидных работах, посвященных истории математики России, он был ошельмован, назван человеком психически нездоровым, махровым реакционером», человеком, забывшим о любимой науке на службе ненавистному царизму.

Судите сами по тем фрагментам, которые мы здесь приведем.

Вот что пишет известный математик и историк науки М.Я. Выгодский (1898-1965), в 1923 году окончивший Московский университет и начавший в том же году работать в Коммунистическом университете им. Я.М. Свердлова и в Институте Красной профессуры. Пишет в большой обзорной статье Математика и ее деятели в Московском университете во второй половине XIX века» [5, с.141-183].

Упоминая о самом П.А. Некрасове и его математических заслугах вскользь, М.Я. Выгодский останавливается на том периоде жизни П.А. Некрасова, когда тот был назначен ректором Московского университета: Царское правительство не ошиблось в своем выборе. Некрасов оказался нужным человеком ... Вскоре Некрасов перестал заниматься теми вопросами математики, которые прежде интересовали его (с 1898 года он начинает выпускать статьи и книги по теории вероятностей). П.А. Некрасов усваивает чиновничью манеру письма, состоящую в том, что он вещает» результаты, не давая себе труда их как следует обосновать» [5, с. 176] (как тут ни вспомнить П. Ферма и его теорему!). И далее, до конца статьи о полемике П.А. Некрасова и А.А. Маркова. Описывая эту историю, М.Я. Выгодский наводит уничижительную критику на П.А. Некрасова; выступает активным адвокатом на стороне А.А. Маркова. Достанется П.А. Некрасову попутно и за то, что он некоторое время был президентом Московского математического общества: ... в Москве, где Некрасов был после смерти Бугаева президентом Московского математического общества, ректором университета и попечителем учебного округа, он буквально терроризировал математические круги» [5, с.178-179].

Говоря о разногласии А.А. Маркова и В.Я. Буняковского, П.А. Некрасов писал: Разрушая приведенные выше основоположения акад. Буняковского, Марков тем самым облегчает насаждение основоположений историче-

ского материализма для математической пропаганды крайнего беспочвенного материализма...

Ныне мне остается апеллировать к миру ученых и педагогов..., прося обсудить, кто из нас, двух авторов, превращает чистую науку в орудие воздействия вредного относительно здравости гражданского и религиозного культа, коими подрастающее поколение воспитываются» [8, с. 18-19].

Приведя эту цитату, М.Я. Выгодский пишет: Таким образом, выступления Некрасова нельзя рассматривать лишь как проявление расстройства психики. Тем более печален тот факт, что Московское математическое общество терпело на посту президента человека, позорящего имя научного учреждения» [5, с.181].

Такую же уничижительную характеристику получил П.А. Некрасов и значительно позже. В четырехтомном издании книги История отечественной математики», вышедшей в 1967 году, говорилось: Непродолжительное время (1903 по 1905 гг.) общество возглавлял П.А. Некрасов, ярый реакционер, выступивший против всего прогрессивного, предав таких ученых, как А.А.Марков, П.Л.Чебышев» [6, с.429].

Попутно досталось П.А. Некрасову и за то, что он был учеником Н.В. Бугаева, продолжателем дела Московской философско-математической школы.

Так, М.Я. Выгодский писал: Правда, высказывания Бугаева в старческом его возрасте облегчали Некрасову выполнение его плана, но он разоблачил себя: Полнота миросозерцания и авторитета принадлежит всему союзу, не дозволяя отделить Н.В. Бугаева от В.Я. Цингера и Н.В. Бугаева от Ф.А. Бредихина, А.Ю. Давидова и П.Л.Чебышева и всех этих остальных» можно было бы принять выступления Некрасова за бред сумасшедшего, если бы они не обладали чрезвычайно целеустремленным характером...

Когда Некрасову было нужно, он умел перевести свои мысли на "общеупотребительный язык". Так было, между прочим, и в полемике с Марковым, о которой упоминалось выше...» (Математический сборник. T. XXV) (Ложка меда в бочке с дегтем - Ю.К.).

А вот что писали (для контраста) советские историки математики об А.А. Маркове:

А.А.Марков был страстным и убежденным борцом против произвола и несправедливости царского режима, выступал против попыток подчинить преподавание математики в школе религиозным взглядам и энергично протестовал против различных вредных экспериментов в этой области. Он отказался от царских орденов, подал в Синод просьбу об отлучении от церкви, указав в ней, что не сочувствует всем религиям, которые, подобно православию, поддерживаются огнем и мечом и сами служат им. Резкие выпады против веры в чудеса содержатся в учебнике А.А. Маркова Исчисление вероятностей», опубликованном в дореволюционное время. После выхода книги

ученого обвинили в безбожии и "подрыве основ". От преследований его избавил лишь крах царского режима» [10, с. 139-140].

Завершим изложенное мнением постороннего педагога-математика. Вот фрагменты любопытного письма:

Неизвестный А.А. Маркову, 23 апреля, 1916 (27 №4)

Милостивый Государь Андрей Андреевич,

Ваша открытка и Ваше мнение о моем знакомом напомнили мне академические споры вообще и в частности известного Клейна с не столь известным М. Симоном. Оба противника безусловно выдающиеся ученые, но оба обладают крайне выраженной индивидуальностью и горячим темпераментом. Спор дошел до личных оскорблений, т.е. принял форму далеко не соответствующую требованиям научного объективизма». В настоящее время выяснилось, что оба ученые, горячо любившие свою Родину, были в одинаковой степени виноваты.

Думаю, что и в данном случае наблюдается нечто подобное. Вы, конечно, не станете отрицать убожества преподавания математики в средней школе. Редкий преподаватель (а через мои руки прошло их немало) понимает основы своей науки. Популяризация основ математики со стороны людей науки крайне необходима. В противном случае мы никогда не приобщимся к народам европейски развитым. То же самое сознает и Ваш противник. Расходитесь вы только в способах осуществления и, благодаря горячности, топите в анализе бесконечно малых и в теории исчисления вероятностей плодотворнейшие идеи...

... не пора ли людям науки забыть спор теоретического характера и помочь средней школе пробраться к свету, а не предоставлять ее судьбы таким людям, которые открыто заявляют себя противниками математического образования и вводят какую-то эстетику, баллистику, пластические танцы и гимнастику».

Библиографический список

1. Биография А.А. Маркова (составлена его сыном Андреем Андреевичем Марковым (младшим) // Марков А.А. Избранные труды. - М.: Изд-во АН СССР, 1951.

2. Волькинштейн М.В. Наука людей // Новый мир. - 1969. -№11.

3. Гордиевский Д.З. К.А. Андреев - выдающийся русский геометр. - Харьков, 1955.

4. Демидов С.С. Математика в Российской Академии наук со времени ее основания до конца 30-х гг. XX столетия // Российская Академия наук - 275 лет служения России. -М.:Янус-К, 1999.

5. Историко-математические исследования. - Вып. 1. - М. -Л., 1948.

6. История отечественной математики. - Киев: Наукова Думка, 1967.

7. Марков А.А. Отповедь П.А. Некрасову // Математический сборник. - T.XXVIII. -Вып.2.- С. 215-227.

8. Некрасов П.А. Средняя школа, математика и научная подготовка учителей. - Пг.: Сенатская типография, 1916. - С. 55-56.

9. Некрасов П.А. Общий основной метод производящих функций в приложении к исчислению вероятностей и к законам массовых явлений. (Четвёртый ответ академику А.А. Маркову) // Математический сборник. - T. XXVIII. - Вып.3. - С. 351-460.

10. Третья хрестоматия по истории теории вероятностей и статистики // Составитель и переводчик О. Б. Шейнин. - Берлин: NG Verl., 2007.

11. Шейнин О.Б. А.А. Чупров. Жизнь, творчество, переписка. - М., 1993.

12. Шейнин О. Б. О взаимоотношениях П.Л. Чебышева и А.А. Маркова // Историко-математические исследования. Вторая серия. Вып.11(46). - М.: Янус-К, 2006.

Д. И. ПИСАРЕВ И ЕГО РАЗМЫШЛЕНИЯ О ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ

Ф.С. Авдеев, Т.К. Авдеева

Пытаясь разобраться в настоящем, мы все чаще обращаемся к прошлому, находя там порой решение актуальных проблем современности.

Видимо, с этим связаны исследования вклада известных земляков-орловцев, которые особенно активизировались на рубеже XX и XXI веков. Эта статья не исключение, она посвящена нашему земляку Дмитрию Ивановичу Писареву.

Д.И. Писарев родился 2 октября 1840 г. в дворянской семье, в родовом имении Знаменском, селений с таким названием в Орловской губернии было несколько десятков, Писаревым принадлежало небольшое из них, которое ютилось в юго-восточном уголке Елецкого уезда, на самой границе с Воронежской губернией [3]. Корни рода Писаревых уходят в глубокую древность. Юный Дмитрий с интересом внимал повествованиям домашних о былом, любил рассматривать герб Писаревых: дворянский щит с красным полем, серебром и золотом отливающий рыцарский шлем, над короной лев, стоящий на задних лапах, повернутый в правую сторону.

Фамилия Писаревых происходит от выехавшего в Москву к великому князю Василию Васильевичу из Польши в первой половине XV века Семена Писаря, коего великий князь пожаловал многими вотчинами. У него были дети Иван, по прозвищу Иванчин, от коего пошли Иванчины-Писаревы, и Никита. У Никиты Семенова был внук Иван Григорьевич Скорняков и от него пошли Скорняковы-Писаревы. Потомки Семена Писаря, прозванные Писаревы, Российскому престолу служили стольниками, стряпчими и в иных чинах и жалованы были от государей поместьями.

Александр Иванович Писарев, поручик Новгородского драгунского полка, в царствование Екатерины II был одновременно и отъявленным крепостником, и любителем просвещения. У него было семь детей, старший его сын Иван Александрович (дед Дмитрия Ивановича Писарева), по обычаю того времени записанный в полк еще младенцем, восьми лет был произведен в гвардии сержанты и выпущен к статским делам». Двадцати лет он поступил в Острогожский легкоконный полк, прослужил в нем 4 года и вышел

в отставку. Женившись на дочери костромского помещика Прасковье Александровне Чаплыгиной, И.А. Писарев большую часть своей жизни прожил в Знаменском. В семье И.А. Писарева было 8 детей. Старший Александр, обладал поэтическим даром и, окончив Благородный пансион при Московском университете, служил при московских театрах, умер в 1828 году от чахотки в возрасте 25 лет. Иван Александрович Писарев умер в 1832 году. В этот же год Прасковья Александровна Писарева определила семнадцатилетнего Ивана (отец Д.И. Писарева) в Новороссийский драгунский полк. В 1839 году Иван Иванович женился на девице Варваре Дмитриевне, дочери Елецкого помещика, полковника Данилова. Молодая чета поселилась в Знаменском.

Род Варвары Дмитриевны Даниловой был менее известным, но тоже обрел положение в обществе по указу Петра Великого. По воспоминаниям близких, с рождением Дмитрия в Варваре Дмитриевне проснулась страстная, нежная, заботливая мать, не знавшая для себя никакой высшей, ни вообще какой-либо иной задачи в жизни, как воспитание ребенка. В сыне она видела вундеркинда, чудо-ребенка, и он оправдал ее надежды: в три года овладел азбукой, а в четыре - читал по-французски, позднее читал Шиллера в подлиннике. Но только ли хорошее было в этом? Отец Дмитрия - Иван Иванович Писарев - полагал, что семилетнему мальчику лучше бы резвиться, чем сочинять сказки и более длинные повествования.

Кроме матери, воспитанием Д.И. Писарева занимались - бонна-немка Эмилия Францевна, гувернер-француз, дьякон со знанием латинского, кали-граф из соседнего поместья [6, с.88].

Со Знаменским связано детство Д.И.Писарева, осенью 1850 года семья переехала в село Грунец Тульской губернии, после продажи Знаменского. В декабре 1851 года Дмитрий прощается с родным домом, было решено, что он продолжит образование на берегах Невы.

29 января 1852 года: Сегодня я сделал первый шаг мой в жизнь ... я сдал экзамен на поступление в третий класс гимназии» [3, с.24-25]. Отметим, что директором гимназии был Федор Иванович Буссе, профессор Педагогического института, добрый человек, просвещенный и гуманный педагог, и экзамен по математике у Д.И. Писарева принимал он же. Гимназист с темно-карими глазами, светло-русыми волосами, румянцем во всю щеку. Жарко ловятся известия о баталиях Крымской войны, чтение прозы Цицерона, стихов Пиндора...», таким начинал Д.И. Писарев обучение в 3-ей Петербургской гимназии [6, с.89] .

А вот какими штрихами Д.И. Писарев рисует свое обучение в гимназии: Я принадлежал в гимназии к разряду овец; я не злился и не умничал, уроки зубрил твердо, на экзаменах отвечал красноречиво и почтительно и в награду за все эти несомненные достоинства был признан преуспевающим»... на критические статьи в журналах я смотрел как на кодекс иероглифических надписей... Русских писателей я знал только по именам... Два качества - способность к развитию и совершенная неразвитость - составляли

все мое умственное достояние в то время» [7, с.4]. Гимназическая система строилась на зубрежке. Предохранить гимназистов от угрожающего им отупления могли бы математика и физика, но они были пасынками в гимназической программе. Как отмечал Д.И. Писарев в своем дневнике, математика - это ряд удивительных фокусов, придуманных бог знает зачем... У каждого фокуса есть свой особенный ключ, и эту сотню ключей надо осилить памятью...» [3, с. 29]. Таким образом, вместо развития логического мышления в процессе обучения математике, гимназисты тренировали память, заучивая все доказательства наизусть.

Дмитрий Писарев был одним из первых учеников гимназии и ежегодно получал награды за успехи. Сам попечитель учебного округа Мусин-Пушкин удостоил Писарева своим одобрением. Вместе с аттестатом об окончании гимназии Дмитрий Иванович получил серебряную медаль, чин 14-го класса и преимущества второго разряда чиновников по воспитанию». Педагогический Совет гимназии ходатайствовал перед попечителем о назначении в студенты Петербургского университета без нового испытания, по прошлогодним примерам» 13 человек из 19 выпускников. Особо добавлялось: Писарев хотя еще не имеет 16 лет, но, по своему отличному приготовлению, с успехом может слушать лекции» [3, с. 37].

В 1856 году Д.И. Писарев поступил на историко-филологический факультет Петербургского университета. Курс в университете, на котором он учился, состоял всего из девяти студентов. Благовоспитанный юноша вначале сторонился сверстников, предававшимся спорам и утехам, щеголявших в пестрых жилетах, радужных галстуках, клетчатых штанах, носивших усы и бороды. Окунулся» в науки: Я нахожусь в самом блаженном настроении духа: утром штудирую Гегеля, вечером читаю Геродота. Наконец-то познакомился с настоящей наукой!» [6, с.89]

Перед нами Писарев-студент: открытое чистое лицо. Большой широко очерченный умный лоб. Глубокие, с печальными льдинками, прекрасные глаза. Боевитость, напористость. Всесокрушающая сила логики в отрицании и убеждении.

В 1861 году Д.И. Писарев заканчивает университет и начинает сотрудничать в радикальном журнале Русское слово», где публикуются его статьи Схоластика XIX в.», «Меттерних», Московские мыслители», Русский Дон-Кихот». Постигая диалектику бытия, Писарев приходит к выводу, что говорить правду - это такое счастье, которое выпадает на долю очень и очень немногих избранных натур». Избранным оказался и Дмитрий Иванович.

Сотрудничество в Русском слове» вовлекает его в центр петербургской журналистики. О работе в журнале Д.И. Писарев отзывался так: Один год журнальной работы принес больше пользы моему умственному развитию, чем два года усиленных занятий в университете и библиотеке» [4, т.3, с.59].

Это свидетельствует о том, насколько содержание университетского гуманитарного образования было оторвано от реальной жизни.

Во второй половине XIX в. в России решалась проблема о путях ее общественно-политического развития, а также о способах решения крестьянского вопроса. Как неравнодушный человек, яркая личность, Д.И. Писарев, активно участвуя в обсуждении этих проблем, быстро созрел политически и приобщился к революционному движению в России.

К наиболее решительным выводам в общественно-политических вопросах Дмитрий Иванович пришел в 1862 году. Его взгляды наиболее ярко были выражены в статье-прокламации Русское правительство под покровительством Шедо-Ферроти», которая пронизана убийственным сарказмом в адрес правительства и его либеральных прихвостней.

Посмотрите, русские люди, что делается вокруг нас, и подумайте, можем ли мы дальше терпеть насилие, прикрывающееся устарелою формою божественного права. Посмотрите, где наша литература, где народное образование, где все добрые начинания общества и молодежи... Воскресные школы закрыты, народные читальни закрыты, два журнала закрыты, тюрьмы набиты честными юношами, любящими народ и идею.

Династия Романовых и петербургская бюрократия должны погибнуть. Их не спасут ни министры, подобные Валуеву, ни литераторы, подобные Шедо-Ферроти. То, что мертво и гнило, должно само собой свалиться в могилу» [4, т.1,с. 325-326].

За эту прокламацию в июне 1862 г. Писарев был арестован и заточен в Алексеевский равелин Петропавловской крепости, где провел 4 года 4 месяца 18 дней. В Петропавловской крепости он написал 2240 с, это статьи «Наша университетская наука», «Цветы невинного юмора», «Реалисты», «Промахи незрелой мысли», «Сердитое бессилие», «Прогулки по садам российской словесности», Разрушение эстетики», «Мыслящий пролетариат», «Школа и жизнь» и др.

Благодаря хлопотам матери, Писареву после 11 месяцев заключения было разрешено печатать статьи в журналах с целью доставления семье средств к существованию.

1862 год был годом наивысшего революционного развития Д.И. Писарева, но вместе с тем в этом же году у него начинается отход от революционного пути. Он думает провести изменения общества посредством создания нового типа людей - мыслящих реалистов», в воспитании которых основная роль отводится естествознанию. Следует отметить, что в это время в России, как и во всей Европе, естествознание достигло высокой степени развития (Д.И. Менделеев, А.М. Бутлеров, И.М. Сеченов и др.). Благодаря своему таланту, Д.И. Писарев в своей публицистической деятельности сделал все, чтобы естествознание в России было в центре общественного внимания.

Наука должна перестать быть барской роскошью, сделаться насущным хлебом каждого здорового человека, стать доступной массе» - доказывал Д.И. Писарев [4, т.2, с.610].

Будучи убежденным и горячим просветителем, он не мог не оценить значения просвещения. В своих критических статьях Д.И. Писарев не оставил ни одного живого места» в господствовавшей тогда в России системе образования и воспитания. Действуйте на школу, для того чтобы подействовать на жизнь. ... Взять школу - значит упрочить господство своей идеи над обществом» [5, с.310-311].

Что же представляла школа России в середине XIX века? В статье Педагогические софизмы» Д.И. Писарев дает глубокую критику классического образования. По уставу 1864 года был введен только один тип средней школы - гимназия с двумя древними языками. Помещичье-дворянская бюрократия пыталась таким путем оградить школу от вредоносного» влияния естественно-научного образования. Писарев, напротив, выступал против изучения двух древних языков в школе, считая необходимым и полезным изучение естествознания. Отвергая классическое образование, Дмитрий Иванович предлагал внести изменения и в систему реального образования.

В статье Погибшие и погибающие» Д.И. Писарев сравнивает бурсу с каторгой, он показал, что весь бурсацкий режим (зубрежка, лишения, грязь и т.д.) создавали нравственно искалеченного человека. Ученая бурсацкая работа ... была лишена всякого смысла, все учение состояло в бесконечной, бессмысленной зубрежке, это все вселяло отвращение к учебе, ученики, естественно, проявляли непослушание, за что их секли» [4, т.5, с. 263].

Размышляя о роли школы в обществе, Писарев считал, что школа должна стремиться не к тому, чтобы избавить человека от трудов самообразования, а к тому чтобы сделать эти труды возможными и плодотворными.

Школа должна:

разбудить в человеке любознательность;

развернуть и укрепить силы его ума настолько, что человек, выходя из школы в жизнь, мог без посторонних руководителей искать и находить удовлетворение для своей пробудившейся любознательности» [5, с.338].

Писарев критиковал схоластические методы преподавания, учебники, отрыв от жизни, многопредметность, лоскутность знаний. Согласитесь, что качество учебников и лоскутность знаний учащихся и сегодня одна из актуальных проблем школьного образования.

Дмитрий Иванович отмечал, что в школе царит понукательная педагогика: дети измяты и усыплены воспитанием, они привыкли кому-нибудь повиноваться и не умеют ни рассуждать, ни горячо верить» [4, т.З, с.76]

Понукательная система ... пустила такие глубокие корни во все отрасли общественного преподавания, что уничтожить эту систему могут только самые радикальные реформы» [5, с.318].

Д.И. Писарев был сторонником радикальных реформ не только форм организации обучения, но и его содержания.

Предметы

Классы

Всего недельных уроков по 1,25 ч. каждый

I

II

III

IV

V

VI

VII

Закон Божий

2

2

2

2

2

2

2

14

Русский язык, церковно-славянский и словесность

4

4

4

4

3

3

3

25

Французский язык

3

3

3

4

3

3

3

22

Немецкий язык

3

3

3

3

4

4

4

24

Математика

3

4

4

4

4

3

3

25

История

-

-

2

3

3

3

3

14

География

2

2

2

2

-

-

-

8

Естественная история и химия

3

3

3

3

3

4

4

23

Физика и космография

-

-

-

-

3

3

3

9

Чистописание, рисование и черчение

4

4

4

2

2

2

2

20

Итого:

24

25

27

27

27

27

27

184

Рассматривая учебный план реальных гимназий [5, с.334], Дмитрий Иванович предлагал внести в этот учебный план существенные изменения: сократив число учебных предметов, оставить предметы естественно-научного цикла, отметил, что образовательное влияние всех естественных наук состоит исключительно в том, что они укореняют в человеке понятие о вечных и незыблемых законах» [5, с.334].

Безусловно, аргументация Д.И. Писарева имела в середине XIX века новаторское значение: она была направлена на введение в рутинную атмосферу тогдашней школы свежей струи научных знаний. По мнению Д.И. Писарева, еженедельные уроки в школе следовало распределить таким образом:

Предметы

Классы

Всего недельных уроков по 1,25 ч каждый

I

II

III

IV

V

VI

VII

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Закон Божий

2

2

2

2

2

2

2

14

Математика

6

6

6

6

6

6

6

42

Русский язык

4

4

4

4

4

6

6

32

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Французский язык

2

2

2

3

2

2

2

15

Немецкий язык

2

2

2

3

2

2

2

15

Чистописание

2

2

2

-

-

-

-

6

Физика и космография

-

-

-

-

2

6

6

14

Итого:

18

18

18

18

18

24

24

138

[5,с.337].

На первый взгляд удивляет отношение Дмитрия Ивановича (гуманитария по образованию!) к математике, на которую он отводит 30% всего бюджетного времени. Однако это не случайно. В своей статье Школа и жизнь» Писарев дает этому обоснование: Свойства чисел, свойства величин, линий, плоскостей и тел - вот те естественные явления, на которых прежде всего должны сосредотачиваться и изощряться умственные способности ребенка... Математика есть лучшее и даже единственное возможное введение к изучению природы. Без геометрии и алгебры невозможно изучение механики, без геометрии, алгебры, механики невозможно изучение астрономии, без геометрии, алгебры, механики, астрономии невозможно изучение физики и физической географии и т.д.

... Поэтому те люди, которым дорого распространение реальных знаний в России, должны желать ... чтобы изучение математики в гимназиях было доведено именно до тех колоссальных размеров, которые определены для нее в моей таблице» [5, с.337].

И сейчас, спустя полтора столетия, можно утверждать, Д.И. Писарев был прав в том, что:

обучение ребенка необходимо начинать с изучения свойств реальных окружающих его предметов и явлений;

необходимо соблюдать в обучении принципы последовательности изучения предметов и их межпредметной связи;

математика содержит колоссальные возможности по развитию мыслительных способностей ребенка.

Как видим из таблицы, Д.И. Писарев планировал на изучение математики 6 часов в неделю в каждом классе, что соответствовало практике обучения в советской школе до 70-х годов XX века, и, согласитесь, результаты обучения были высокими (по числу открытий советских ученых, по рейтингу команд советских школьников на олимпиадах по математике, физике, химии и, наконец, по качеству знаний школьников по основным общеобразовательным предметам).

Не забыл Дмитрий Иванович отметить в своих работах и роль математики в воспитании ребенка как личности. Он рассматривал ее как средство воспитания трудолюбивого и неустрашимого работника, для которого труд и скука окажутся двумя взаимно исключающими друг друга понятиями». Математиче-

ские упражнения приучают учеников пристраститься к голому процессу труда, не смягченного и не украшенного никакими посторонними ингредиентами». Математика при рациональном преподавании развертывает и упражняет умственные способности учащихся. Смышленость учеников постоянно растет. Польза от математических упражнений будет тогда очевидной, когда сами ученики почувствуют их развивающее действие. Все искусство учителя должно состоять в том, чтобы занятия были расположены по плану, который наводил бы учеников на эти полезные размышления. При таких условиях человек с молодых лет научится понимать и чувствовать ту великую истину, что суровый и утомительный труд доставляет человеку высокое наслаждение. ... Таким образом, математика сделается для ученика превосходной школой не только в умственном, но и нравственном отношении» [4, т. 4, с.568].

Д.И. Писарев, рассуждая о математике, касался и методики преподавания этого предмета, указывая, что при хорошем преподавании ученики должны полюбить математические занятия по той же самой психической причине, по которой они любят различные игры, дающие им возможность обнаружить перед собой и перед другими отвагу, силу, ловкость. Математика вся сплошь составлена из таких трудностей, которые учащийся должен преодолевать силой своего ума и постоянным упорным и энергическим напряжением внимания. Эти трудности приводят в ужас несведущих людей, но именно этими трудностями хороший преподаватель и может воспользоваться для того, чтобы внушить ученикам сильное влечение к математическим занятиям. Надо, чтобы каждый шаг вперед доставался ученику после тяжелой борьбы и чтобы в то же время эта тяжелая борьба никогда не превышала размеров его наличных умственных сил. При таких условиях математические занятия будут давать ученикам все обаятельные ощущения настоящей борьбы; ученик будет смело подходить к каждой новой трудности, будет с воодушевлением работать над ее усвоением и, одержавши над ней победу, будет выносить из этой победы новый запас силы и веселой энергии» [5, с.354].

Читая эти строки, поражаешься проницательности Д.И. Писарева, его гению. Не обучаясь ни математике, ни методике ее преподавания, ни педагогической психологии он, по сути, рассуждает о деятельностном подходе в обучении математике, о посильной трудности предлагаемых учащимся задач, о постановке проблемы в зоне ближайшего развития» ученика... Истины, которые доказаны практикой работы школы.

Конечно, предложенный Д.И. Писаревым учебный план, требует корректив по части набора учебных предметов и времени, отводимого на их изучение, но в части расстановки их приоритета в школьном обучении в работах Дмитрия Ивановича высказаны правильные и глубокие мысли, которые полезно перечитать авторам-составителям учебных планов для современной школы.

Торопился жить Д.И. Писарев, не давал себе ни минуты покоя, будто чувствовал, что слишком мало времени отвела ему судьба...

Неразгаданной тайной считают его гибель на Рижском взморье, в Дуббельне; многие обстоятельства трагедии остались неразъясненными. 4 июля 1868 года Д.И. Писарев утонул.

По поводу его смерти А.И. Герцен писал: Скрылась яркая звезда, которое много обещала...» [2].

Библиографический список

1. Беляев М.Ф., Д.И. Писарев об интересе. - Иркутск: Иркутское областное государственное издательство, 1950.- 131 с.

2. Елец. - Воронеж: Центрально-Черноземное книжное издательство, 1978. 232 с.

3. Коротков Ю.Н., Писарев. - М: Молодая гвардия, 1976. - 368 с. с ил.

4. Писарев Д.И., Избранные сочинения. - М.: Госполитиздат, 5. Т. I, II, V, VI-1894, т. III-1904, т. IV-1903.

6. Писарев Д.И. Избранные педагогические высказывания. - М: Учпедгиз, 1938.

7. Шальнев Б., Шахов В., Родное и близкое. - Ч. 1. - Липецк, 1993. - 112 с.

8. Шварцман А.Л. Д.И. Писарев и русское естествознание. - М.: Советская наука, 1955.-32 с.

МОЙ НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ - А.Н. КОЛМОГОРОВ

Ю.К. Беляев

Осенью 1956 года я поступил в аспирантуру Математического института Академии наук (МИАН). Моим научным руководителем стал Андрей Николаевич Колмогоров. Трудно переоценить вклад Колмогорова в развитие математики в мировом значении. Именно он завершил включение теории вероятности и математической статистики как строго математически обоснованных частей математики. Велик его вклад и в развитие многих других разделов математики. Но в этом рассказе речь пойдет о другом.

А.Н. Колмогоров был выдающимся учителем, внесшим несравнимый вклад в развитие отечественной математической школы. Посмотрите на спираль Колмогорова», вдоль которой в алфавитном порядке поставлены имена его учеников. С каждым именем связаны существенные результаты, развивающие различные разделы математической науки, в том числе и имеющие большое значение во многих приложениях.

Как же это было возможно, что одному человеку удалось совершить такой прорыв в развитии исследований математической науки? Что же, это был трудовой подвиг, в котором в жертву приносилась личная жизнь? Или это был результат гармонично организованной жизни, в которой естественным образом создавался гигантский вклад в развитие науки? Я склоняюсь к ответу да» на второй вопрос. Подтверждением этого могут быть мои воспоминания о том давно ушедшем времени. К сожалению, я не вел дневники, и

потому в памяти возникают и вновь забываются различные события, связанные с темой этого рассказа. Это не исследование, а рассказ очевидца или участника. Поэтому многие другие более важные события остаются вне этого описания. Начну по порядку.

Как становились аспирантами А.Н. Колмогорова, а, точнее, как я оказался аспирантом А.Н. Колмогорова? Осенью 1951 года я стал студентом математического отделения механико-математического факультета МГУ. На третьем курсе я выбрал геометрическую тематику, и руководителем моей курсовой был профессор Петр Константинович Рашевский - исключительный педагог и лектор. На четвертом курсе, не без влияния моего друга Бориса Михайловича Клосса, я решил сменить тематику. Вместе с развитием вычислительной техники стали привлекательными разделы дискретной математики, алгебры и теории вероятности. У нас был общий научный руководитель профессор кафедры функционального анализа Владимир Яковлевич Козлов, замечательный человек, вовлекший нас в серьезное исследование. Тема моей дипломной работы была связана с изучением аналитических свойств траекторий аналитических случайных процессов. Тематика была интересная, но далеко не простая. Времени на исследование мне катастрофически не хватало. Я старался посещать сразу много спецкурсов, думая, что после окончания университета эти знания мне пригодятся для решения серьезных прикладных задач и что это важнее, чем долгие размышления над поставленными задачами. Естественно, что я не годился к немедленному поступлению в аспирантуру, хотя абсолютно все 47 экзаменов за пять лет учебы на механико-математическом факультете я сдал на отлично. На четвертом и пятом курсах я получал именную (сталинскую) стипендию. Я отказался от предложения быть распределенным в аспирантуру мех-мата.

В это же время произошло событие, которое изменило мое отношение к собственной дипломной работе. Владимир Яковлевич как-то сказал мне: А Борис уже получил результат, которой будет фактически основой его кандидатской диссертации. А вы что же задерживаетесь?». После этого я стал пытаться хоть что-то сделать по поставленным задачам. Это было не легко, но где-то в апреле 1956 года, после очередного обсуждения моего диплома, Владимир Яковлевич сказал, что мне лучше всего идти в аспирантуру и что, может быть, из меня получится неплохой математик. Кстати, Андрей Николаевич в разговоре с ним о возможных кандидатах в аспирантуру предложил Владимиру Яковлевичу передать мне, что он хочет встретиться для обсуждения моей дипломной работы. В это время в аспирантуре МИАН им. Стеклова появились места. Поколебавшись несколько дней, я решился на встречу с Андреем Николаевичем. Разговор о моей дипломной работе оказался не таким уж напряженным. Оказалось, что тематика анализа траекторий случайных процессов интересна Андрею Николаевичу. Он также спрашивал о моих спортивных интересах (я имел спортивный разряд по плаванию), об отношении к музыке и многое другое. Через некоторое время от Владимира

Яковлевича я узнал, что Андрей Николаевич готов быть научным руководителем у меня и моего сокурсника Ростислава Федоровича Матвеева.

Позже пришла официальная заявка из МИАН на нас двоих. Андрей Николаевич также брал к себе в аспирантуру Льва Дмитриевича Мешалкина, но это место было в отделении математики мех-мата. Итак, из выпуска 1956 года трое стали аспирантами А.Н. Колмогорова: Р.Ф. Матвеев, Л.Д. Мешалкин и я. Осенью 1956 года Р.Ф. Матвеев и я были зачислены в аспирантуру МИАН. Для меня начался новый этап жизни - математика стала моей основной профессией. Той же осенью 1956 года А.Н.Колмогоров еще пятерым студентам пятого курса предложил темы дипломных работ: Виктору Петровичу Леонову, Юрию Анатольевичу Розанову, Якову Григорьевичу Синаю, Владимиру Михайловичу Тихомирову и Альберту Николаевичу Ширяеву. Наверное, не так и много примеров, когда научный руководитель предлагает сразу восьмерым студентам темы для серьезных научных исследований. Да и темы хотя и были как-то связаны с понятием случайности, но фактически по методам относящиеся к различным отделам математики.

Мне запомнился день осенью 1956 года, когда Андрей Николаевич собрал нас в одной из аудиторий (кажется на 13 этаже) главного здания МГУ. На длинной доске вертикальными полосами выделил пять направлений исследований: 1. - прогноз и интерполирование случайных векторных процессов; 2. - динамические системы; 3. - нелинейные преобразования случайных процессов; 4. - информация и приближение случайных функций; 5. - свойства траекторий случайных процессов (название тем я воспроизвожу по памяти).

Конечно, предварительно Андрей Николаевич обсудил с каждым из нас, кто и какую тему выбирает. Но на этом собрании он подробно рассказал о каждой из тем исследования, о возможных задачах и почему их решение будет существенно важным как с теоретической, так и с практической точки зрения. Первая тема была предложена Р.Ф. Матвееву и Ю.А Розанову, вторая - Л.Д. Мешалкину и Я.Г. Синаю, третья - В.П. Леонову и А.Н. Ширяеву, четвертая - В.М. Тихомирову, последняя - мне. В теме Свойство траекторий случайных процессов» был достаточный простор для постановки конкретных задач. Заметим, что в это время у Андрея Николаевича был еще один аспирант Слава Ерохин, но он как-то был в стороне от нашей университетской группы. Его тема была связана с мерами в функциональных пространствах.

Приведу некоторые методические советы аспирантам, которые я слышал от Андрея Николаевича:

(1) Во время обдумывания решения сложной математической задачи надо полностью сконцентрировать внимание только на этой задаче. Не должно быть параллельного решения других задач.

(2) Такая интенсивная концентрация должна быть короткой, скажем, не более трех дней. Иначе может быть потеря нормального сна и прочие последствия.

(3) Если задача не решается, то нужно сменить настрой на недостижимость решения в поставленных условиях и попытаться построить контр пример.

(4) Варианты решения можно, и может быть, более успешно найти во время прогулок, а не в течение длительного сидения за письменным столом.

(5) Полезно иметь не одну, а, скажем, две задачи, и тогда после трех дней безуспешного решения надо волевым образом переключить свое внимание на другую задачу.

(6) После небольшого перерыва можно снова вернуться к обдумыванию исходной задачи.

К этому набору полезных советов добавлю еще один.

(7) Неплохо попытаться объяснить задачу и препятствия в ее решении одному из своих коллег или друзей - математиков. Это может помочь привести к более глубокому пониманию проблемы.

Став научным руководителем восьмерых аспирантов, Андрей Николаевич считал важным расширить исследования, перспективные как для развития самой математической науки, так и для ее вспомогательных дисциплин. Безусловно, Андрей Николаевич был привлекательным ученым для молодых людей, решивших попробовать свои силы в решении актуальных задач математики. Это я слышал и от Владимира Яковлевича Козлова, что, получив задачи от Андрея Николаевича, я получаю возможность попытки сделать что-то существенное, новое и полезное. Удивительная проницательность и понимание важности получения решения отобранных Андреем Николаевичем задач, как магнит, притягивала к нему способных молодых людей. И еще одна не менее важная способность Андрея Николаевича - поразительная интуиция, помогавшая ему угадывать возможный ответ в поставленной задаче. Он без видимой цепочки логических преобразований чувствовал, каким, скорее всего, должен быть правильный ответ. Однако напрасно было ждать от него дальнейшей уточняющей подсказки, как достичь предсказанного результата. В лучшем случае он мог сказать: такой-то метод будет полезен. Эта изумительная способность указывать возможный правильный ответ решения сложной математической задачи была логически необъяснима. Я хотел выяснить, как это удается Андрею Николаевичу. Если вопрос был интересен ему, то он увлеченно и подробно рассказывал о понимании существа вопроса. Нужно было спрашивать в подходящее время. Интересным был его ответ на мой вопрос, что же было толчком» к построению им аксиоматики теории вероятностей. Но вернемся к вопросу об основе интуиции в понимании случайности. Почему одни люди могут более успешно, чем другие, ориентироваться в понимании случайных явлений? Среди сопутствующих этому факторов он считал, что главным является хорошая

пространственно-геометрическая ориентация. Однако этого недостаточно. Андрей Николаевич подчеркивал, что природа не дала человеку от рождения, т.е. на уровне безусловных рефлексов, автоматических навыков оценки риска в условиях случайности. Он говорил, что человеку присуще (и это может быть и неплохо) завышение благоприятного, желательного исхода в развитии сценариев возможных случайных событий. Таким образом, навыки правильной оценки риска нужно развивать у людей, используя факты теории вероятностей и математической статистики. Тем самым Андрей Николаевич подчеркивал важность нашей специальности с точки зрения ее полезности для общества, которое не вполне понимает ограниченность и переоценку использования детерминистических плановых сценариев развития событий. Однако он ставил определенные, я бы сказал, жесткие рамки, в вопросах изучения состояния и прогноза развития общества (на территории СССР) статистическими методами. Нужно вспомнить, что это были годы середины прошлого века.

Обсуждение вариантов решения поставленных им задач происходило обычно во время долгих прогулок в окрестностях Комаровки, где Андрей Николаевич проводил на даче несколько дней в неделю. В зимнее время обсуждения проходили после лыжных походов, обеда и небольшого отдыха. Традиционно день заканчивался после того, как все приглашенные обсудят свои последние достижения и проблемы в решении поставленных задач. Вечером ученики ужинали со своим учителем, а потом слушали какое-либо музыкальное произведение из сочинения, например, Вивальди, Моцарта, Баха и многих других композиторов. В Комаровке у Андрея Николаевича и Павла Сергеевича Александрова была собрана огромная коллекция пластинок с записями выдающихся исполнителей. Эта коллекция пополнялась после каждой зарубежной поездки А.Н. Колмогорова или П.С. Александрова. Это постоянное общение с выдающимися русскими учеными и наблюдение их хорошо организованного сочетания интенсивной работы и отдыха, безусловно, оказывало большое влияние на усилия организовать и собственную жизнь.

Когда в Москву приезжали известные зарубежные математики, А.Н. Колмогоров обычно приглашал к себе своих аспирантов на ужин с именитыми гостями. Каждого из нас он представлял лично с краткими комментариями к тематике наших исследований. Если не все, то многие из нас (аспирантов) присутствовали на таких встречах на квартире А.Н. Колмогорова в МГУ. Было видно, что ему приятно показать зарубежным гостям, какие у него аспиранты и как их много. Так по представлению А.Н. Колмогорова я был выделен помощником профессору Джерси Нейману (США, Беркли), крупнейшему ученому в области математической статистики, на время его краткого визита в Москву.

Андрей Николаевич никогда не вмешивался в ход решения задач, не опекал во время исследования. Но в тоже время он был готов лично сущест-

венно помочь каждому из нас в решении многих вопросов, не связанных непосредственно с наукой. В начале третьего года аспирантуры у меня родился сын. Денег стало не хватать даже на скромное, но полноценное питание. Я обратился к Андрею Николаевичу с просьбой посоветовать мне, где можно подработать таким образом, чтобы это было бы близко связано с решением серьезных задач прикладной математики. Через краткое время А.Н. Колмогоров связал меня с доктором наук Давидом Борисовичем Юдиным, который тогда возглавлял исследовательский отдел в одном из крупных научно-исследовательских институтов электронно-технического направления. В этом институте я проработал на полставки сначала (до защиты диссертации) в должности ведущего инженера, а затем еще пару лет в должности старшего научного сотрудника. Я работал вместе с блестящими математиками Григорием Евгеньевичем Гольдштейном и Виктором Александровичем Волконским. Я гордился званием ведущего инженера, но быстро понял, что мое положение ученика А.Н. Колмогорова внушает окружающим гораздо больше уважения ко мне.

В МИАНе я занимался исследованием свойств траекторий и других задач, связанных с Гауссовскими процессами. У Д.Б. Юдина я решал различные задачи, связанные с расчетом надежности, на английском языке это называлось бы survival analysis, и близкие по методам задачи теории массового обслуживания. В итоге с существенным улучшением материального положения уже через год я был готов защищать диссертацию по прикладной математике. Между прочим, там были и теоремы, и новые методы решения классов прикладных задач. Там же я начал исследования и задач математической статистики. Несомненно, что одновременный интерес и работа сразу в нескольких направлениях были навеяны многогранной деятельностью А.Н. Колмогорова. Этап моей аспирантуры завершился формальной сдачей в срок переплетенной диссертации и, что важно, распределением в качестве младшего научного сотрудника в отдел теории вероятности МИАН. Открывалась возможность эффективной собственной исследовательской работы в области теории вероятности.

Но! В это время у А.Н. Колмогорова созрел замысел создания крупного исследовательского учреждения в области статистики в составе Московского университета им. Ломоносова. Появились планы переезда Бориса Владимировича Гнеденко в Москву. Андрей Николаевич настаивал, чтобы я и А.Н. Ширяев перешли на работу в МГУ для оказания ему помощи в организации этого проекта. Я не устоял, хотя из МИАНа отпускать меня не хотели. Произошел серьезный разговор с Сергеем Михайловичем Никольским. К сожалению, его многие предсказания о судьбе планируемого А.Н. Колмогоровым в МГУ центра исследований сбылись. Но это совсем другая тема.

В итоге получился этот очень краткий рассказ. Написан он по настоятельной просьбе моего ученика, бывшего аспиранта, Александра Александровича Русакова, деятельность которого неразрывно связана со школой-интернатом имени А.Н. Колмогорова.

РУКОВОДСТВА ПО НАЧАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ В СОВЕТСКОЙ ШКОЛЕ 1920-Х ГОДОВ

В.М. Бусев

Введение

Идея о необходимости изучения пропедевтического курса геометрии активно обсуждалась в первое пятнадцатилетие XX века. Идея эта, видимо, отчасти принадлежит отечественным педагогам и методистам, но нет сомнения, что на некоторых из них заметное влияние оказали работы зарубежных авторов: П. Трейтлена, В.А. Лая, М. Симона и др. В результате обсуждений и практической работы дореволюционными методистами и педагогами был создан ряд пропедевтических курсов геометрии. Элементы начальной геометрии были введены в программы кадетских корпусов8.

После октября 1917 года преподавание математики претерпело некоторые, порой весьма значительные, изменения. Одним из таких изменений стало значительное расширение геометрического материала, подлежащего изучению на I ступени школы, где обучались дети 8-13 лет. Если дореволюционные программы ограничивались в основном включением в курс начальной школы фигур отрезка, прямоугольника и параллелепипеда с измерением их длины, площади и объема соответственно, то теперь предлагалось изучать треугольники, четырехугольники, различные многогранники и тела вращения (вплоть до экспериментального вывода формул для нахождения площадей поверхности и объема). Важное место уделялось измерительным работам на местности. Составители программ видели в них ту самую связь с жизнью и трудом, которой не хватало дореволюционной школе. И хотя программы по математике на протяжении 1920-х годов, как и образовательная политика в целом, подвергались изменениям, геометрический материал в начальной школе всегда был представлен достаточно широко.

Конечно, при оценке преподавания начальной геометрии необходимо иметь в виду, в каком состоянии находилась страна и школа в тот непростой период. В первые годы после революции не было самого элементарного: тетрадей и чернил, не говоря уже о линейках, циркулях, транспортирах и, тем более, приборах для проведения измерений на местности. Это же касается и учебников. В таких условиях многие положения программ оставались только на бумаге. Но жизнь постепенно налаживалась: учебники и пособия постепенно стали поступать в школу. Не стали исключением и книги по начальной геометрии. Часть из них были написаны еще до революции и представляли собой фактически переиздания, другие же появились уже в 1920-е годы.

8 Подробнее см.: Тарасова О.В. История школьной геометрии в России с конца XIX века до революции 1917 года. - Орел, 2005.

В статье рассмотрен ряд руководств по начальной геометрии, которые использовались в школе первых лет советской власти. Отметим, что предметом нашего рассмотрения будут именно книги для учащихся: их структура, система задач и др. Методические же идеи авторов, изложенные во введении к учебнику или в отдельной книге, будут привлекаться по мере необходимости.

А.Р. Кулишер «Учебник геометрии»

Одну из главных проблем в построении курса начальной геометрии А.Р. Кулишер видит в частом недопонимании существенных особенностей такого курса. В результате либо недооценивается способность учащихся осмысливать предлагаемый материал, либо, наоборот, эта способность переоценивается. В первом случае курс превращается в набор геометрических сведений об окружающем мире, между которыми учитель не старается установить каких-то связей; во втором случае курс имеет настолько законченный характер, что становится недоступным учащимся 8-13 лет. А.Р. Кулишер полагает, что ни одна из этих крайностей не должна преобладать; курс начальной геометрии следует строить так, чтобы совмещать интуитивную и логическую составляющие.

В результате изучения курса дети должны овладеть рядом понятий и идей, например: равенство, равновеликость, симметрия, соответствие, порядок, подобие и др. Кроме того, учащиеся должны осознать «приложимость всех добытых сведений к большому кругу явлений повседневной жизни, к задачам строительного и повседневного дела, к измерениям на местности и вопросам изучения природы...» [6, с. 9].

Следуя во многом за П. Трейтленом, А.Р. Кулишер строит свой курс в виде системы заданий, последовательно выполняя которые, дети под руководством учителя смогут прийти к каким-то выводам или определениям. Приведем два задания, взятые из начала курса.

Часть I, глава I, задание 2 (с. 13-14). Проведите рукой по крышке стола, перед которым вы сидите. Какова сверху по форме (на ощупь) крышка стола? Таков ли будет по форме (на ощупь или на глаз) шар, если проведем по нему (поверх него со всех его сторон) рукой?

Часть II, глава I, пункт Б, задание 5 (с. 22). Согнем кусок бумаги. Какой вид имеет место сгиба? Похож ли сгиб на кружок или на прямую линию? Нельзя ли согнуть этот кусок бумаги еще раз, но так, чтобы получился прямой угол? Как это сделать?

Эти задания являются типичными для всей книги. Вообще все задания учебника можно разбить на два типа: 1) задания, выполнение которых подготавливает базу для введения нового понятия или открытия факта; 2) зада-

ния, выполнение которых способствует закреплению введенного понятия или открытого факта (например, построить ромб по стороне). Между блоками заданий первого и второго типа формулируются (далеко не всегда явно) определения и свойства.

Теперь приведем полностью систему заданий, в результате выполнения которых учащиеся должны составить представление о симметрии. Эта система заданий наиболее ярко отражает основные особенности учебника, о которых мы скажем далее.

Часть II, глава IV, пункт Б Симметрия» (с. 38-39).

1. Рассмотрим две руки, расположив их так, как это показано на рис. 34.

Укажите, какие части левой руки можно считать соответствующими и равными тем или другим частям правой? Почему нельзя надеть перчатку с левой руки на правую руку? Что надо сделать с перчаткой, чтобы надеть ее с левой руки на правую?

Говорят, что одна рука симметрична другой, или иначе говорят, что обе руки симметричны.

2. В каком смысле можно сказать, что две части здания, изображенного на рис. 35-м, симметричны? Почему мы вправе это сказать? На куске бумаги начертите чернилами или карандашом какую-нибудь фигуру; согните бумагу и постарайтесь получить отпечаток. Какие фигуры получатся?

3. Где можно видеть совершенно симметричное изображение руки или нашего лица?

Изготовить из папки или картона пару равных друг другу фигур (треугольников, четырехугольников с неравными сторонами) и выяснить с их помощью, какая связь существует между равенством двух фигур и их симметрией.

4. Как разделить комнату, в которой мы находимся, на две симметричные части? Всякую ли комнату можно разделить на две симметричные части? Сколькими различными способами это можно сделать? Чем и как разделяем мы комнату на две симметричные части*)? (Примечание автора: *). В этом месте задачи спрашивается, каков должен быть характер разреза для того, чтобы получились две симметричные части, а также, где этот разрез пройдет?). В каких буквах русского алфавита можно отметить симметрию?

РИС. 34. Рис. 35.

5. Как разделить на симметричные части куб? цилиндр? шар? стол? круг? конверт? квадрат? прямоугольник? ромб?

6. Чем разделяется на две симметричные части куб? квадрат? прямоугольник? лист бумаги? шар?

7. Назовите еще другие известные вам случаи симметрии фигур и тел.

Первое, что бросается в глаза, - обилие текста. В учебнике имеются задания, состоящие из 7-10 и более предложений, причем использоваться такие задания начинают уже с первых страниц учебника. Сами предложения составлены достаточно сложно: в них используются перечисления, деепричастные обороты, дополнительные пояснения оформлены в виде отдельных предложений и помещены в скобки внутри текста задания и т.д. Между тем задания предназначены для учащихся школ I ступени 1-3 года обучения, т.е. детей 8-10 лет, которые еще или не умеют читать, или не имеют достаточного опыта в чтении сложных текстов. Однако книга при этом носит статус учебника, т.е. предполагается для учащихся. Об этом же говорит сам автор в предисловии: Предлагаемая первая часть учебника геометрии предназначена для учащихся; она окажет помощь преподавателю в классной работе и кое-что позволит самостоятельно сделать детям, почему-либо пропустившим тот или иной урок» [6, с. 10].

Следующее, что можно увидеть из приведенной системы упражнений, - то, что понятие симметрии так и не вводится. Безусловно, в каждом упражнении идет речь о симметрии, но в результате выполнения всех упражнений дети получат лишь смутное представление о симметрии, которое словами выразить будут не в состоянии. Действительно, что можно ответить на вопрос что такое симметрия?», владея только той информацией, которая дана в заданиях? Очевидно, что ничего, поскольку понятие симметрии (точнее, зеркальной симметрии) не было вербализовано. Но вербализация является необходимым условием усвоения понятия, поэтому ясно, что выполнение учащимися этой серии заданий во многом бесполезно.

«Бессловесное» введение понятий неслучайно. Свои идеи, связанные с начальным курсом геометрии, А.Р. Кулишер излагал на I Всероссийском съезде преподавателей математики. В выступлении он привел пример работы с понятиями «перпендикулярность» и «параллельность плоскостей», после чего заявил: «Опять повторяю, что ни тот, ни другой термин ни здесь, ни позже в первом классе не упоминаются» [9, с. 398-399]. Таким образом, интуитивное введение понятий является позицией автора. Нужно отметить, что к некоторым понятиям, введенным интуитивно, он возвращается, иногда неоднократно, и соответствующие определения появляются (это относится и к квадрату, и к симметрии).

Вместе с тем не редкостью является употребление терминов, содержание которых до этого появления вообще никак не было раскрыто в курсе.

Таковы, например, понятия равнобедренного и правильного треугольников, правильного многогранника.

Вернемся к системе заданий о симметрии. Она вызывает нарекания и с других точек зрения. В задании 1 сказано: «Укажите, какие части левой руки можно считать соответствующими и равными тем или другим частям правой?» Ясно, что говорить о равенстве пальцев правой и левой рук неправильно, поскольку в жизни они не равны. Но даже если их равенство в каком-то смысле было возможно, то сначала учащиеся должны получить от учителя разъяснения о смысле выражения «две фигуры равны», чего в данном учебнике нет.

Далее автор спрашивает: «Почему нельзя надеть перчатку с левой руки на правую руку? Что надо сделать с перчаткой, чтобы надеть ее с левой руки на правую?» Непонятны, как минимум, два момента. Во-первых, всем известно, что при некотором усилии надеть перчатку с левой руки на правую вполне возможно (особенно если она сделана из мягкого материала). Во-вторых, какое отношение эти вопросы имеют к формированию математического понятия симметрии относительно оси?

Далее «вводится» понятие симметрии.

В задании 2 учащимся задаются вопросы: «В каком смысле можно сказать, что две части здания, изображенного на рис. 35-м, симметричны? Почему мы вправе это сказать?» Что должен ответить ребенок 8 лет, прочитав подобную формулировку? В самом деле, в каком смысле две части здания симметричны? Очевидно, что правильный ответ будет связан с понятиями «расстояние», «равенство», «соответствующий» (например, что одинаковые части здания удалены от вертикальной прямой на рисунке на одни и те же расстояния). Вряд ли ребенок 8 лет обладает этими понятиями на таком уровне, что может соединить их в осмысленное предложение. Скорее всего, ответ будет расплывчатым: потому что они одинаковые», потому одно и то же» и т.д.

Здесь же дано задание: «На куске бумаги начертите чернилами или карандашом какую-нибудь фигуру; согните бумагу и постарайтесь получить отпечаток. Какие фигуры получатся?» Какой ответ должны дать дети: симметричные» или равные»?

Близко к этому примыкает задание 3: «Изготовить из папки или картона пару равных друг другу фигур (треугольников, четырехугольников с неравными сторонами) и выяснить с их помощью, какая связь существует между равенством двух фигур и их симметрией». Очевидно, что если фигуры зеркально симметричны, то они равны. Обратное справедливо, только если равные фигуры расположены определенным образом - так, что они имеют ось симметрии. Если предполагается эта связь, то возникает вопрос: должны ли дети ее формулировать в таком виде или в каком-то другом? И нужно ли требовать от них воспроизведения какой-то осмысленной фразы при контроле знаний?

В заданиях 5 и 6 наряду с геометрическими фигурами используются объекты материального мира: стол, конверт, лист бумаги. Тут же возникает вопрос, о каких объектах идет речь; ведь, например, лист бумаги может иметь и непрямоугольную форму.

Интересно, хотя и непонятно, задание 7: «Назовите еще другие известные вам случаи симметрии фигур и тел». Нетрудно видеть, что А.Р. Кулишер везде под словом «симметрия» понимает только осевую симметрию. Что же имеется в виду в этом задании: что дети приведут примеры других фигур, имеющих ось симметрии, или приведут другой случай (вид) симметрии?

Мы неслучайно так подробно остановились на этой системе заданий, поскольку во многом она является типичной для всей книги. Небрежность автора в терминологии, некорректные (педагогически или математически) вопросы, употребление терминов без пояснения - все это нашло отражение во многих темах курса.

Скажем несколько слов о структуре книги. Она делится на три части:

Часть I. Знакомство с телами. Прямая линия. Шар и круг. Ромб. Диагонали четырехугольника. Площадь прямоугольника и ромба. Изготовление модели куба.

Часть II. Расположение прямых и плоскостей в пространстве. Перпендикулярность прямой и плоскости. Параллельные плоскости. Параллельные линии (здесь же параллелограмм и трапеция). Призмы. Объем прямоугольного параллелепипеда. Площади и периметры многоугольников. Измерение углов и их оценка на глаз. Построение правильных многоугольников. Длина окружности и площадь круга.

Часть III. Окружность, эллипс, циклоида, винтовая линия. Цилиндр. Объем призмы и цилиндра. Пирамида, конус, шар и их объемы. Подобие фигур. Отношение площадей подобных фигур.

Из приведенного списка тем видно, что близкие вопросы (например, прямоугольник, ромб, параллелограмм и трапеция) оказались разбросанными по курсу, автор отнес их изучение к разным годам. Возможно, это объясняется желанием концентричности курса, но в целях пропедевтики систематического курса вряд ли оправдано: ведь там эти фигуры будут изучаться вместе, поэтому логично рассматривать их рядом и при первом знакомстве (при этом, для сохранения концентричности, возможен вариант изучения их свойств на первом году обучения, а площадей - на втором). Видно, что тема Круг и шар» является искусственно вставленной между прямыми линиями и четырехугольниками. Логично отнести эту тему на конец года. Трудно понять, по каким соображениям в курс включены сведения об эллипсе, циклоиде и винтовой линии - достаточно сложных кривых, которые в основной школе не встретятся.

Самое же странное в курсе начальной геометрии А.Р. Кулишера -практически полное игнорирование треугольника - основной фигуры всей

последующей геометрии школы II ступени. Главной фигурой начального курса является прямоугольник, о чем автор говорит прямо [5, с. 51]. Треугольник же возникает «попутно»: при разделении диагоналями четырехугольников, при рассмотрении подвижных моделей, при вычислении площадей поверхностей треугольных призм. Необходимость использования в качестве основной фигуры прямоугольника автор обосновывает сначала математически (прямоугольник играл важную роль в исследованиях Дж. Саккери по теории параллельных) и педагогически (И.Г. Песталоцци активно использовал квадрат в обучении детей). Даже если принять такую точку зрения, трудно представить, как у детей возникнут отчетливые представления о треугольнике и его элементах, если специально не заострять на этом внимание.

Одной из особенностей системы задач к каждой теме является наличие среди них малого числа заданий, в которых требуется что-то начертить. Дети вырезают из бумаги, измеряют аршином, моделируют прямые из тесьмы, лепят шары из воска и глины, но практически не чертят. Это неслучайно. А.Р. Кулишер вслед за зарубежными педагогами полагает, что опыт, движение в обучении геометрии важнее чертежа [там же, с. 32]. С другой стороны, систематический курс геометрии активно пользуется чертежом, поэтому странно не уделять должного внимания графическим навыкам в подготовительном курсе геометрии.

А.М. Астряб «Наглядная геометрия»

Еще до революции А.М. Астряб написал книгу Наглядная геометрия» и составил задачник к ней. Однако по разным причинам задачник вышел лишь в 1922 г. (на украинском языке), Наглядная геометрия» к тому времени выдержала уже 5 изданий. Наличие задачника, однако, не означает, что весь задачный материал содержится только в нем. Упражнения и практические работы имеются и в учебнике, но в гораздо меньшем количестве. По замыслу автора, задачник нужен для расширения и углубления знаний, в учебнике же должен содержаться лишь самый необходимый их минимум.

Четырехлетний курс начальной геометрии состоит из трех частей. В первой части дети знакомятся с основными геометрическими телами: кубом, прямоугольной призмой, шаром, цилиндром и др. Во второй части изучаются начала измерительной геометрии: линейные, квадратные и кубические единицы, вводятся фигуры - угол, треугольник, квадрат, прямоугольник. Содержание третьей части, рассчитанной на 3-й и 4-й годы обучения, наиболее близко подходит к систематическому курсу. Здесь изучаются вертикальные и смежные углы, различные виды треугольников и четырехугольников, параллельные прямые, вычисляются поверхности и объемы тел. Последняя глава курса посвящена графикам и диаграммам. Ее содержание мы здесь рассматривать не будем, поскольку графический метод не имеет пря-

мого отношения к начальной геометрии и, скорее, относится к алгебре и началам математической статистики.

Рассмотрим особенности курса А.М. Астряба.

Весь первый год посвящен работе с геометрическими телами. Автор начинает с них неслучайно: «Геометрия есть наука о пространственных формах. Вот почему я обращаю особое внимание на развитие у детей геометрических представлений, но так как наиболее сложным и трудным, а вместе с тем и наиболее важным, является изучение геометрических форм трех измерений, то я начинаю свой курс с приготовления и изучения геометрических тел, из которых дети и выделяют потом все основные геометрические элементы: точку, линию, поверхность и объем» [2, с. 6].

Изучение тел построено по одной и той же схеме: лепка из глины или воска - вырезывание и склеивание развертки - изучение свойств тела по глиняной или картонной модели. При рассмотрении многогранников вводятся термины вершина, ребро, грань, подсчитывается их число у куба, прямоугольной призмы, пирамиды. С помощью линейки проверятся плоскость граней, затем даются пояснения понятий вертикальное и горизонтальное направления.

При рассмотрении шара выясняется кривизна его поверхности. В связи с рассечением шара из глины появляется круг, понятия радиуса, диаметра, центра круга и шара. С помощью вращения картонных круга, прямоугольника и треугольника показано, как образуются шар, цилиндр и конус соответственно.

Второй год открывается главой об измерении прямой линии. С помощью проволочных сантиметров дети составляют отрезки заданной длины, затем измеряют длины с помощью линейки. Здесь впервые появляются работы на местности - провешивание прямой линии. Выясняется, что отрезок является кратчайшей из всех линий, соединяющих две точки. В связи с рассмотрением углов вводится термин «перпендикуляр», прямые углы строятся на местности с помощью эккера. Как и для отрезков, показано, как складывать и вычитать углы. Глава X посвящена окружности и эллипсу, что несколько выбивается из логики курса. Логично от отрезков и углов сразу перейти к треугольникам, которые рассматриваются сразу после окружности. В этой части курса автор ограничивается лишь классификацией треугольников по длинам сторон и по величине углов. Затем изучается первый концентр вопросов, связанных с прямоугольником: опытным путем выясняется равенство диагоналей, с помощью разрезания квадрата и прямоугольника на полосы и затем на единичные квадраты устанавливается правило для вычисления их площадей. Отсюда делается естественный переход к площади поверхности куба и его объему, а затем - к прямоугольной призме. Как видно, при изложении А.М. Астряб выдерживает одну и ту же схему рассуждений, неукоснительно следуя принципу «от простого к сложному».

Третья часть начинается с измерения углов, выясняются свойства смежных и вертикальных углов, с помощью астролябии проводится измерение углов на местности. Далее рассматриваются вопросы параллельности, свойства углов, образованных параллельными прямыми и секущей, опытным путем устанавливается постоянство суммы углов треугольника. Признаки равенства треугольников применяются для определения недоступных расстояний на местности. Затем автор переходит к четырехугольникам и выводит формулы для их площадей. Наконец, проводится измерение длины окружности и площади круга, также вычисляются площади поверхностей и объемы геометрических тел. В этой части, наиболее близкой к систематическому курсу, было бы уместно рассмотреть понятия медианы и биссектрисы треугольника и остановиться на свойствах равнобедренного треугольника -вопросах, которые затем неоднократно в курсе геометрии школы II ступени. Однако А.М. Астряб практически не уделяет этим вопросам внимания, если не считать нескольких задач задачника (600, 602, 621, 644-646).

Охарактеризуем теперь систему задач курса. Большая часть заданий носит экспериментальный характер: дети лепят, вырезают фигуры из картона и цветной бумаги, накладывают их друг на друга, измеряют длины нитью, склеивают развертки (в том числе правильные многогранники), чертят, измеряют линейкой и транспортиром. Опытный характер курса - принципиальная установка автора, он считает, что для полноценного восприятия детьми геометрических фигур они должны задействовать не только глаза, но и руки. С этой точки зрения очень интересна задача 665 задачника, в ней дети должны с завязанными глазами на ощупь определить вид картонного четырехугольника, который они держат в руках. Имеются задачи на разрезание фигуры и складывание из частей ее другой фигуры (задачи 786-791 задачника). Со временем экспериментальный характер заданий претерпевает некоторые изменения: вырезание из бумаги и лепка уступают все большее место вычерчиванию фигур на плоскости. Ряд из таких задач практически дублирует задачи на построение с помощью циркуля и линейки систематического курса геометрии. Таким образом, дети не только получают обширные навыки в изображении плоских фигур, но и готовятся к решению задач на построение. Упомянем еще о двух задачах (713 и 714 задачника) на достроение треугольника до параллелограмма - прием, который часто используется при решении задач систематического курса геометрии.

Несмотря на опытный характер курса, доля логического элемента в нем достаточно велика и неуклонно возрастает по мере продвижения вперед. На втором и третьем годах обучения появляются задачи-вопросы типа «В чем сходство между прямоугольником и квадратом?», «В чем сходство и различие между параллелограммом и прямоугольником?» (задачи 355 и 591 учебника соответственно).

Затем логический элемент возрастает еще больше: Нарисуйте ромб, у которого одна диагональ равна стороне. Чему равны углы его?» (задача 680

задачника). Это своеобразная задача на полудоказательство». С одной стороны, ученик может нарисовать ромб и с помощью транспортира убедиться, что углы его будут равны 60° и 120°. С другой стороны, к этому моменту уже пройдены свойства равностороннего треугольника, а также сложение углов. Нетрудно, опираясь на эти знания, получить требуемый результат, не прибегая к измерению. И учитель, и ученик находятся в выгодном положении: если ребенок «не созрел» для логического рассуждения, он может ограничиться измерением (ведь нет слова «докажите»); учитель же может после экспериментального решения обратить внимание на возможность другого решения (не такого уж сложного). Таким образом, формулировка задачи и опытный характер курса снимают неизбежный конфликт, веками сопутствующий болезненному переходу от наглядности в геометрии к логике.

Немало задач курса имеют привычную формулировку со словом «докажите». Важно, что задачи на доказательство отделены друг от друга большим количеством заданий экспериментального или вычислительного характера и появляются только тогда, когда проведено уже достаточное число опытов, вывод из которых напрашивается сам собою, остается его лишь закрепить должным рассуждением.

Наконец, нельзя не отметить задачи исторического характера (все номера даны из задачника): трисекция прямого угла (588), землемерные задачи древних египтян (661-663), определение древними египтянами сторон света (909), классические задачи о сломанном стебле тростника на теорему Пифагора (915, 916), число п в Талмуде, Библии и папирусе Ринда (1053, 1054, 1097), квадратура круга у Леонардо да Винчи (1100), задача об удвоении куба (1145).

Скажем еще несколько слов о количестве текста в книгах. Задачи первого и отчасти второго года формулируются коротко, от 1 до 3 предложений. Затем количество текста возрастает, и на четвертом году условия заданий включают в себя иногда 5-6 предложений. Также увеличивается количество текста в выводах формул.

Подводя итог, можно сказать, что А.М. Астрябу удалось создать хорошо структурированный содержательный курс начальной геометрии с четкой направленностью на подготовку учащихся к восприятию последующего систематического курса. При этом автор смог не только изложить основные свойства геометрических фигур, но и создать сбалансированную систему задач - от простых заданий опытного характера до весьма сложных, включающих логический элемент. Таким образом, А.М. Астрябом был создан учебный комплект по наглядной геометрии: учебник, включающий задачи, пояснения и указания для учащихся, и задачник.

И.Н. Кавун Начальный курс геометрии»

Учебник И.Н. Кавуна состоит из двух частей. Из предисловия к первой части можно понять, что предлагаемый курс рассчитан на 4 года - на 3-6

годы обучения, про первые два года сказано лишь, что «занятия геометрией теснейшим образом связаны с арифметикой, служа для нее иллюстративным материалом» [3, ч. 1, с. 7]. Таким образом, подготовительный курс геометрии, по И.Н. Кавуну, начинается только с 3-го года обучения.

Рассмотрим первую часть курса. Она состоит из 5 глав: «Куб и квадрат», «Прямоугольный брус (параллелепипед) и прямоугольник», «Прямой параллелепипед (брус) и параллелограмм», Трехгранная призма и треугольник», Многоугольники». Все главы, за исключением последней, построены похожим образом: выясняются свойства плоской фигуры, лежащей в основании соответствующего многогранника, проводится преобразование этой фигуры в другие многоугольники (квадрат и прямоугольник), вычисляется ее площадь, вычисляется объем многогранника. Важную роль в построении курса играют превращения одних фигур в другие, им равносоставленные, это позволяет вычислять площади, а затем объемы. Причем автор рассматривает не одно возможное преобразование, а несколько.

Рассмотрим для примера, как излагается материал в первой главе. Сначала вводятся понятия, которые неоднократно потребуются в дальнейшем: точка, прямая, грань, прямой угол, квадрат. Показано, как строить прямой угол и квадрат на местности. После введения метрических мер автор переходит к более детальному рассмотрению куба, в частности, показано, как склеить куб из развертки. Затем снова рассматривается квадрат и его превращение в другие фигуры - прямоугольник, параллелограмм, треугольник и трапецию (все понятия тут же вводятся). Далее показано, как куб диагональным сечением делится на две треугольные призмы, из которых можно составить призму с основанием в виде параллелограмма (такую призму автор называет прямым брусом). Завершается глава выводом площади квадрата и объема куба.

Переходя к особенностям первой части начального курса геометрии И.Н. Кавуна, можно сразу заметить, что автор сосредоточивается на рассмотрении прямоугольных и треугольных форм, игнорируя различные кривые линии и поверхности. Так, окружность появляется только в самом конце книги, но лишь во вспомогательных целях - для построения равнобедренного и равностороннего треугольников с помощью циркуля. При таком внимании к фигурам, состоящим из отрезков прямых, автор все же практически не останавливается на их свойствах, оставляя их рассмотрение на вторую часть курса. Фактически основное его внимание приковано к проблеме измерения прямолинейных фигур и связанного с этим их превращения.

Последовательное изучение сходных форм - квадрат, прямоугольник, параллелограмм - делает возможным их сравнение, чему И.Н. Кавун уделяет внимание. Свойства различных призм также сравниваются.

Одна из особенностей курса - неявное введение новых объектов «по ходу дела», без акцентирования внимания на их свойствах. Так вводятся трапеция (с. 28), двугранный угол (с. 42), параллельные плоскости (с. 43). Тра-

пеция появляется в связи с делением квадрата на равные части прямой, проходящей через его центр, двугранный угол и параллельность плоскостей возникают из рассмотрения свойств прямоугольного параллелепипеда. Затем введенные понятия и объекты надолго исчезают со страниц книги и появляются обычно во второй части курса.

Среди задач, рассматриваемых в курсе, есть несколько экстремальных: об определении прямоугольника наибольшей площади данного периметра и об определении наибольшей площади параллелограмма данного периметра. Во второй части курса в связи с рассмотрением правильных многоугольников рассказано о пчелиных сотах (при данном периметре площадь шестиугольника будет наибольшей из площадей треугольника и квадрата).

Вторая часть учебника приближена автором к систематическому курсу - вплоть до введения доказательств. Она состоит из 5 глав: «Треугольник. Равенство и подобие треугольников», «Четырехугольники», Многоугольники», «Объемы многогранников», «Круг. Цилиндр. Конус». Уже из названий видно, что содержание второй части курса частично дублирует содержание первой. Так, глава «Четырехугольники» практически дословно повторяет сказанное ранее о вычислении площадей.

Доказательство впервые появляется в первой главе при вычислении суммы углов треугольника. И.Н. Кавун обращает внимание на то, что эмпирическое нахождение этой суммы неточно, приблизительно. «Кроме того, мы рассмотрели только несколько треугольников и потому не знаем, чему могла бы оказаться равной сумма углов у других нерассмотренных треугольников» [3, ч. 2, с. 44]. Дальше излагается обычное рассуждение, основанное на свойствах углов, образованных параллельными прямыми и секущей. После доказательства автор делает вывод: теперь утверждение доказано для любого треугольника. Однако что ответить ребенку, который спросит: «А чем треугольник на чертеже лучше треугольника из бумаги?» Идея доказательства сложна для детей 12-13 лет, вряд ли этот пример является лучшим образцом для мотивировки необходимости рассуждений.

Более удачным является изложение вопроса о признаках равенства треугольников. Сначала автор на примере двух бумажных равных треугольников показывает, каким свойством обладает их равенство - треугольники могут быть совмещены. Затем он решает две задачи на построение треугольника по данным элементам. В первом случае даны сторона и угол, чего для построения недостаточно. Во втором случае даны три стороны и два угла, данных оказывается избыточное число. На этих примерах показывается, что треугольник определяется тремя элементами, и формулируется первый признак равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Затем дается признак равенства по стороне и двум углам. Далее изложение вопросов о равенстве треугольников перемежается с вопросами их подобия. Полученные сведения применяются к измерению расстояний на местности.

В главе «Многоугольники» рассматриваются правильные многоугольники, вычисляются их площади. Это позволяет рассказать о вычислении площади круга с помощью вписывания в него многоугольников (полного доказательства, конечно, не дается). Объем цилиндра вычисляется с помощью вписывания многогранных призм, объем конуса фактически постулируется, но со ссылкой на то, что вычисление проводится аналогично пирамиде. При вычислении объема пирамиды автор пытается проводить какие-то рассуждения в частном случае: сначала он ищет объем пирамиды специального вида, получающейся при делении куба его диагоналями на 6 равных пирамид. Но поскольку такой способ рассуждения в общем случае не проходит, не остается ничего другого, как использовать опытные рассуждения -переливание воды из пирамиды в прямоугольную призму той же высоты.

Скажем еще несколько слов о системе задач курса Н.Н. Кавуна. Во-первых, задач очень мало. Во-вторых, многие из них, особенно во второй части курса, носят вычислительный характер и близки к систематическому курсу. Опыт, эксперимент, таким образом, исчезают под конец курса практически полностью.

А.И. Никитин «Первая ступень из геометрии» и «Вторая ступень из геометрии»

Как видно из названия, курс начальной геометрии состоит из двух частей. На какой возраст рассчитаны книги, не сказано, но косвенно об этом можно судить по следующим словам автора в предисловии к первой части: «Учащиеся приходят в школу с довольно значительным опытом и запасом сведения из области математики... Работа школы - выявить, разъяснить и закрепить принесенный детьми материал, исходя в этой работе из рассмотрения, измерения, сравнения окружающих предметов» [8, с. 3].

Первая часть руководства состоит из 31 урока, открывает ее введение Немного о новых (метрических) мерах». Здесь естественным образом используются числа, большие 1000, обыкновенные и десятичные дроби, смешанные числа. Поскольку дети на первых годах обучения не знакомы с этим материалом, то можно предположить, что к введению они будут обращаться по мере своего продвижения в изучении арифметики.

Первый урок является своеобразным дополнением к введению: здесь рассматриваются коробка спичек, кирпич, сундук, мяч и стакан, о них сказано, что все они имеют три измерения. Три измерения имеет и комната, с их помощью можно вычислить объем комнаты, «т.е. пространство (место), которое занимает комната» [там же, с. 11]. Эти краткие сведения безо всяких пояснений остаются невостребованными в дальнейшем изложении - вплоть до 26 урока, где изучаются объемы.

Далее автор на примере куба выясняет понятие плоской поверхности и переходит к изучению прямой линии: показывает, как ее провести на бумаге, на доске, на местности, как измерить отрезок прямой с помощью линей-

ки, рулетки, циркуля. После этого рассматриваются углы. Смежные углы вводятся с помощью рисунка, на котором изображены два участка поля, ограниченные с одной стороны дорогой и разделенные межой. Показано, как строить прямые углы с помощью угольника и с помощью эккера на местности. После кратких сведений об окружности выясняется вопрос об измерении углов с помощью транспортира. Урок 15 посвящен параллельным прямым, их построению с помощью угольника. Обзорно рассказано о видах треугольников и четырехугольников, решаются простейшие задачи на построение циркулем и линейкой. Начиная с 21 урока, изучаются площади фигур и затем объемы. На отдельных примерах показывается, как найти площадь прямоугольника, прямоугольного треугольника, равнобокой трапеции и параллелограмма; правило для вычисления площади круга приводится без пояснений. Также без пояснений даны правила вычисления объемов цилиндра, пирамиды, конуса, шара.

Вторая часть курса практически полностью дублирует первую: рассматриваются те же самые вопросы в том же самом порядке. Однако изложение более кратко и формально. Отличия в основном сводятся к введению новых понятий (например, «грань» для куба) и к более широкому использованию математической символики: значков для обозначения угла, перпендикулярности и т.д. Есть и элементы доказательств: так, доказано, что вертикальные углы равны. Свойства углов при параллельных прямых и секущей (которых не было в первой части курса) даны без доказательств, затем сделана попытка доказать теорему о сумме углов треугольника. Новым является наличие признаков равенства треугольников, изложенных, правда, весьма сжато. В главе о площадях автор останавливается на превращении фигур, говорит о равновеликих фигурах. Рассмотрены правильные многоугольники, приводится правило для вычисления их площадей (полупериметр умножить на апофему). Изучается подобие фигур, рассказано об устройстве параллельного масштаба; сведения о подобии применяются для определения недоступных расстояний и высот. Несколько иначе, чем прежде, изложены сведения об объемах. На этот раз автор не всегда дает готовые правила, а приводит правдоподобные рассуждения. Например, объем пирамиды находится с помощью деления треугольной призмы на три равновеликие пирамиды, шар представляется составленным из множества пирамидок с общей вершиной в центре шара. Однако правила для вычисления объемов цилиндра и конуса снова даны без доказательств, хотя пройденного материала достаточно, чтобы разумно пояснить их. Упомянем еще об интересном опытном определении объема тела с помощью погружения его в стеклянный сосуд (тело вытесняет объем воды, равный своему объему).

Главная особенность курса начальной геометрии А.И. Никитина - его ознакомительный характер. Из трех целей - ознакомление с геометрическими фигурами, подготовка к систематическому курсу, развитие учащихся (конструктивные навыки, пространственные представления и др.) - явно

доминирует первая. Эксперимент, опыт, их осмысление, содействующие достижению других целей, практически в курсе не представлены. Примечательно, что такой обширный курс геометрии практически не обеспечен задачами: 37 - в первой части и 56 - во второй части. При этом большая часть задач носит вычислительный практико-ориентированный характер.

Е.Г. Шалыт «Наглядная геометрия»

Курс начальной геометрии предназначен для 1-4 годов обучения и делится на два концентра. Первый концентр включает три части (главы): Линии», Фигуры» (имеются в виду плоские фигуры) и Тела». В первой главе даются первичные сведения о прямых и кривых линиях, их взаимном положении, вводится понятие прямого угла, параллельных прямых. Во второй главе изучаются треугольники, четырехугольники (квадрат, прямоугольник, ромб, параллелограмм). В третьей главе изучаются шар, куб, призма, цилиндр, конус и пирамида.

В первой части курс имеет ярко выраженный опытный характер: дети с помощью лучинок изучают прямые линии, чертят их в тетради, вырезают и наклеивают полоски, проводят мысленные эксперименты по проведению прямых в пространстве. Автор приводит много иллюстраций из окружающей жизни. Так, при изучении кривых линий из задач-вопросов дети узнают (точнее, вспоминают), что окружности появляются на воде от брошенного в нее камня, что годичные кольца на стволе дерева также представляют собой окружности, что движение на карусели происходит по окружности и т.д.

Необходимые интуитивные определения вводятся в небольшом числе, внимание на них не заостряется. Задания первой части, особенно первой главы, нацелены только на выработку правильных геометрических представлений, и потому практически не содержат вопросов обобщающего или сравнительного характера. Приведем несколько заданий первой главы, иллюстрирующих сказанное.

31. Возьмите две лучинки одинаковой длины. Положите их обе на стол так, чтобы они не пересекались между собой и чтобы их правые концы были на таком же расстоянии друг от друга, как и левые концы. Пересекутся ли лучинки, если вы будете увеличивать их длину?

54. Двумя линиями начертите улицу, на которой находится ваша школа; школу обозначьте кружком. Мальчик идет серединой улицы в школу. Наметьте третьей линией путь мальчика.

72. Вырежьте из тонкой бумаги кружок и согните его вдвое, а затем вчетверо. Распрямите кружок и отыщите место, где пересеклись линии сгиба. Это место - середина кружка. Она отстоит от любого места окружности на одинаковом расстоянии. Проверьте это. Середина круга называется иначе центром круга.

Постепенно наряду с упражнениями ознакомительного характера появляются несложные вопросы, нацеленные на выяснение уже некоторых свойств плоских фигур. Так, в упражнении 113 требуется сравнить треугольники, полученные в результате разрезания квадрата по диагонали. В упражнениях 121 и 122 ромб и параллелограмм требуется разрезать на 4 треугольника, которые затем нужно сравнить по величине.

Третья глава - «Тела» - совсем короткая. Дети вылепливают фигуры из глины, склеивают модели из разверток, собирают их из лучинок. Чертежей самих фигур нет, как нет и разверток (они приводятся во второй части, и автор отсылает учащихся туда). Куб предлагается получить из шара сплющиванием последнего в трех взаимно перпендикулярных направлениях. Отсутствие чертежей и разверток в этой главе вряд ли будет способствовать формированию правильных представлений о геометрических телах.

Второй концентр курса отличается от первого, в первую очередь, по количеству текста. Если в первом концентре весь текст ограничивался относительно краткими формулировками упражнений, то теперь появляется обширный объяснительный текст. Уже в первой главе появляются метрические меры длины и для самостоятельного решения приводятся вычислительные задачи, характерные для систематического курса.

Значительная часть второго концентра посвящена более подробному изучению прямых линий и связанных с ними понятий вертикального и горизонтального направлений. Если в первой части изучение, например, параллельности проводилось на небольшом числе упражнений, то теперь этому вопросу посвящена целая глава, полностью состоящая из текста (в котором, впрочем, даются указания экспериментального характера - продолжить отрезки прямых, наклоненных друг к другу под очень маленьким углом). Отдельные главы посвящены отвесу, горизонтальной линии и уровню, прямому углу.

В главе «Фигуры» более подробно изучаются треугольники: дается их классификация по величине углов, сторон, опытным путем устанавливается неравенство треугольника, величина суммы углов треугольника. Далее снова изучаются четырехугольники, а также многоугольники и окружности, но опять-таки более широко, чем в первом концентре. При этом автор ограничивается лишь некоторыми наиболее простыми свойствами: например, в параллелограмме выясняется параллельность и равенство сторон, но не говорится о свойстве его диагоналей. Ряд свойств четырехугольников отнесен к самостоятельному лабораторному изучению детьми. Характерна с этой точки зрения задача 402:

Вырежьте из бумаги прямоугольник, ромб, параллелограмм, согните их по диагоналям и сравните между собой длину обеих диагоналей в каждой фигуре. Равны ли диагонали прямоугольника? ромба? параллелограмма? Какие диагонали длиннее: соединяющие острые или соединяющие тупые углы?

Новым для учащихся в этой главе является пункт «Подобие фигур». Автор подходит к вопросам подобия с точки зрения практики: как измерить высоту предмета по длине отбрасываемой тени? Лабораторным методом с помощью набора реек выясняется главное свойство тени: отношение длины тени к длине предмета постоянно в течение небольшого промежутка времени.

Последние три главы курса посвящены измерению площадей и объемов. Изучение площадей проводится лабораторно. Сначала очень подробно выясняются общие принципы измерения. На конкретных примерах из жизни автор подводит учащихся к проблеме измерения частей пространства, занимаемых плоскими или объемными фигурами. Затем выясняется целесообразность принятия какой-либо единицы измерения. Для подведения к выбору такой единицы площадей используется система задач (498-503), в которых квадрат из 64 клеток делится на несколько частей и затем вычисляется площадь полученных фигур. Автор акцентирует внимание на том, что непосредственного измерения площади здесь не проводится, результат получается вычислением. После этого делаются выводы: 1) при вычислении площадей каждый раз в качестве меры выступал квадрат, 2) площадь можно находить не наложением фигур, а вычислением. Далее выводятся правила вычисления площадей четырехугольников, треугольника, шестиугольника и круга. Среди задач этой главы отметим задачи 559-574, в решении которых используется теорема Пифагора и обратная ей (в терминах площадей квадратов, построенных на катетах и гипотенузе).

Измерение объемов проводится также достаточно подробно лабораторным методом. Используя интуитивные представления учащихся об объеме, автор на ряде задач о равновеликости подводит их к идее выбора основной единицы для измерения объемов. Для вычисления объема пирамиды используются соображения опытного характера, связанные с пересыпанием песка или переливанием воды, но затем показано, как разделить треугольную призму на три равновеликие части. Экспериментально устанавливаются правила для вычисления объемов цилиндра, конуса и шара.

Главные особенности курса начальной геометрии Е.Г. Шалыт - широкое использование лабораторного метода, наличие большого числа задач, обилие текста (во втором концентре). В отличие от курсов других авторов книга «Наглядная геометрия» имеет солидный объем: 216 страниц увеличенного формата. Учитывая все названные особенности, можно сказать, что «Наглядная геометрия» является скорее не учебником, а книгой для чтения, органически совмещенной с задачником.

П.А. Карасев «Элементы геометрии, изучаемые на перегибании листка бумаги»

Во всех перечисленных выше курсах начальной геометрии большое внимание уделяется лабораторному методу обучения: дети постигают осно-

вы геометрии путем вырезывания и склеивания из бумаги, опытов с палочками (лучинками), подвижными моделями, черчения и измерения в тетради и на местности. Лишь изредка при изучении геометрии используется сгибание фигур. Этот редко употребляющийся прием положил в основу всего курса начальной геометрии П.А. Карасев.

Идея проста: из обычного куска писчей бумаги с помощью перегибания можно получить большое количество прямолинейных фигур и опять-таки при помощи перегибания получать многие их свойства. Так, перегибанием легко установить, что диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам, причем под прямым углом. П.А. Карасев применяет перегибание и к изучению круга.

В предисловии к книге о предлагаемом способе построения курса автор пишет: «Педагогическая ценность его в том, что он открывает сравнительно простой путь введения приема лабораторного метода в геометрию; кроме того он выводит ученика при решении практических вопросов, где требуется помощь геометрии, из привычного (и кажущегося непреходимым) круга обычных чертежных приемов, требующих применения циркуля и линейки» [4, с. 6]. Вместе с тем П.А. Карасев полагает, что курс начальной геометрии не следует строить на перегибании куска бумаги полностью, необходимо сочетать различные методы. Также он считает, что перегибание листа бумаги будет уместно и при изучении систематического курса геометрии: учащийся будет опытным путем открывать геометрические законы и лишь затем их обосновывать. Еще одна причина, побудившая автора разработать именно такой курс, - отсутствие в большинстве сельских школ необходимых учебных пособий - циркулей, линеек, транспортиров.

Перейдем к структуре и особенностям курса. Избранный способ его построения - образование всех фигур перегибанием листа бумаги - накладывает ограничение на количество фигур, которые можно рассмотреть. В курсе П.А. Карасева изучаются лишь одномерные и двумерные фигуры: прямые (в том числе параллельные и перпендикулярные), углы, треугольники, четырехугольники, многоугольники и круг.

Перегибание листа бумаги дает в руки учителя хороший способ для изучения симметрии, чем автор пользуется уже в самом начале курса. Этот же прием оказывается весьма полезным в рассмотрении свойств четырехугольника, равнобедренного треугольника, свойств хорд в круге (равноотстоящих и неравноотстоящих от центра). С помощью деления окружности на части создается бумажный транспортир. В главе о треугольниках легко получаются высоты, биссектрисы и медианы - достаточно аккуратно сгибать лист бумаги. Устанавливается их свойство пересекаться в одной точке.

Несколько сложнее обстоит дело с равенством треугольников. Автор предлагает учащимся вырезать два равных треугольника, а потом представить, что у них имеется по три равных элемента, об остальных ничего неизвестно. Наложением учащиеся должны установить, что трех элементов дос-

таточно для равенства треугольников. Методическая трудность заключается в том, что треугольники заранее брались равными, и смогут ли дети от этого абстрагироваться, неясно.

Сумма углов треугольника получается перегибанием, причем свойства параллельности изучаются позднее (с введением термина «соответственные углы»). Свойства углов параллелограмма устанавливаются наложением друг на друга треугольников, на которые параллелограмм делит диагональ. Исходя из площади прямоугольника, автор получает правила для вычисления площадей сначала прямоугольного, а затем, опираясь на выведенные формулы, произвольного треугольников, после - ромба и трапеции.

В отличие от всех остальных курсов наглядной геометрии немало внимания уделяется кругу. Помимо названных выше свойств хорд в круге, рассматриваются и другие вопросы: свойства вписанных углов; измерение углов, образованных хордами, хордой и касательной, двумя касательными.

В главе «Правильные многоугольники» показано, как их получать сгибанием листа. Изученные ранее свойства вписанных углов позволяют вычислить величину внутренних углов. Автор приводит ряд задач на вычисление площадей правильных многоугольников, ставит вопросы о количестве осей симметрии.

Длина окружности и площадь круга изучаются обычно, как и во всех других курсах начальной геометрии.

Заключение

Из проведенного обзора можно видеть, что усилиями педагогов и методистов 1920-х годов был создан ряд разнотипных учебных пособий по начальной геометрии. Рассмотрим, в чем заключались различия между этими пособиями.

В зависимости от того, какие цели преследовал тот или иной автор, курс геометрии получался с тем или иным уклоном. Так, курс геометрии А.И. Никитина носит явно ознакомительный характер. Другие же авторы, которые старались развить в учениках умения (например, сравнивать, обобщать) попытались придать своим учебникам иной характер, включив в систему задач соответствующие задания (Е.Г. Шалыт, А.Р. Кулишер). Третьи направили усилия и по пути целенаправленной подготовки учащихся к систематическому курсу (А.М. Астряб, И.Н. Кавун).

Учебники начальной геометрии отличаются и по структуре: одни авторы начинают изучение с прямых линий (Е.Г. Шалыт), другие - с прямоугольника (А.Р. Кулишер), третьи - с пространственных тел (А.М. Астряб).

Разную роль играет опыт и чертеж: от практически полного игнорирования чертежа (А.Р. Кулишер, П.А. Карасев) до широкого его использования (А.М. Астряб).

Можно назвать множество других отличий: разное количество и характер задач, использование кратких или длинных формулировок, отсутствие

или наличие обширного пояснительного текста и т.д. Но и сказанного достаточно, чтобы увидеть главное - непохожесть, уникальность каждого из созданных учебников. Важно, что все они были написаны не умозрительно, а испробованы в течение ряда лет на практике. Об этом иногда говорят сами авторы, а иногда - тиражи и количество изданий. Но если все рассмотренные курсы начальной геометрии пользовались популярностью у учителей, то сам собой напрашивается важный вывод: пропедевтический курс геометрии можно успешно построить многими способами, а разработанные ранее в России курсы начальной геометрии, могут оказаться небесполезными при разработке аналогичных курсов для школы XXI века.

Библиографический список

1. Астряб А.М. Задачник по начальной геометрии. - М. -Пг.: Госиздат, 1924.

2. Астряб А.М. Наглядная геометрия. - 6-е изд. - М. -Пг.: Госиздат, 1923.

3. Кавун И.Н. Начальный курс геометрии. - Ч. 1,2.- Пг.: Госиздат, 1923.

4. Карасев П.А. Элементы геометрии, изучаемые на перегибании листка бумаги. -М. -Пг.: Госиздат, 1923.

5. Кулишер А.Р. Методика и дидактика геометрии. - Пг.: Сеятель, 1923.

6. Кулишер А.Р. Учебник геометрии. - Берлин: Госиздат, 1922.

7. Никитин А.И. Вторая ступень из геометрии. -4 изд. М. -Пг.: Госиздат, 1923.

8. Никитин А.И. Первая ступень из геометрии. - 8-е изд. - М. -Л.: Госиздат, 1926.

9. Труды I Всероссийского съезда преподавателей математики. - T. I. - СПб., 1913.

10. Шалыт Е.Г. Наглядная геометрия. - М. -Пг.: Госиздат, 1923.

К ВОПРОСУ О ЕДИНСТВЕ ИСТОРИЧЕСКОГО И ЛОГИЧЕСКОГО В ПРЕПОДАВАНИИ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

С.Н. Дворяткина

Уровень современного образования и его педагогический успех зависят от того, насколько процесс индивидуального опыта адекватно воспроизводит образовательный опыт истории науки. И это не просто историческая ретроспектива научного знания, а необходимость овладения конкретно-историческими формами знания в их преемственности как живой связи поколений.

В современной науке можно зайти чрезвычайно далеко в построении абстрактных моделей обучения. Поэтому для преподавания фундаментальных теорий необходимо применять принципы, касающиеся логического строения математических теорий, понятий, их генезиса, являющиеся наиболее продуктивными и содержательными. Таковым является принцип историзма. Экскурс в историю предмета возвращает целостность мира, дифференциально отображаемого в сегодняшнем разделении внутри науки и практики.

Одним из фундаментальных понятий теории вероятностей является понятие случайной величины. Любой математический термин проходит длительный и сложный путь, прежде чем войти в научное употребление. В настоящей статье мы хотим не просто использовать историческое исследование как форму анализа самого понятия случайной величины или как путь углубления и изменения этого понятия. Чтобы исторический анализ был более продуктивным, нужно изменить дальнейшее представление о современных методах введения самого понятия в методику преподавания в вузе, обогатить и углубить методологию понятия.

На разных этапах развития теории вероятностей понятие случайной величины играло свою роль в формировании научного знания. Первый этап -это период зарождения теории вероятностей, когда само это понятие не было введено в научный обиход, оно уже фактически использовалось многими учеными при решении практических задач. Это были практические задачи, возникшие в статистических исследованиях при изучении демографических проблем, для обработки астрономических наблюдений, и задачи из области различных азартных игр, которые явились мощным стимулом развития теории вероятностей. В работах Д. Граунта (1620-1674) и В. Петти (1623-1687) в области демографической статистики (использовались акты регистрации смертности в Лондоне с XVI века) впервые водится понятие устойчивости частоты события. Что касается понятия случайной величины, то поставленные задачи - определения вероятности смертности по возрастным категориям, средней продолжительности жизни человека подводят к важнейшим понятиям функции распределения и математического ожидания. Например, F(x) обозначает вероятность того, что продолжительность жизни человека, случайно выбранного из некоторой группы населения, не превышает х единиц времени, а средняя продолжительность жизни определяется равенством Ех = jxf(x)dx. Систематически применял вероятностные понятия во многих своих работах И. Ньютон (хотя чаще за разрешением проблем, как известно, консультировался с Муавром), он первым применил случайные методы к истории. Ньютон рассматривал вопросы о длительности правления династий, суммы случайных сроков правлений отдельных династий, что и представляет собой примеры случайных величин. Ньютон первым высказал идею, лежащую в основе закона больших чисел. Подобные примеры встречаются у Э. Галлея (1656-1742) при составлении им таблиц смертности по возрастным группам. На основе его данных Муавр получил нормальное непрерывное распределение, тем самым доказал единый закон смертности. На этом же этапе следует отметить вклад X. Гюйгенса (1629-1695), автора первого практического руководства по теории вероятностей, в развитие понятия случайной величины. Рассматривая азартные задачи различного характера в книге «О расчетах в азартной игре», в роли случайной величины выступает

количество недостающих партий в примере о разделении ставок, возможные выигрыши по разным играм и т. д. Здесь Гюйгенс впервые вводит понятие математического ожидания как суммы произведений отдельных выигрышей на их вероятности. Основная заслуга Гюйгенса в области теории вероятностей - это построение кривой убывания числа оставшихся в живых современников. Анализируя эмпирические данные, полученные Граунтом, Гюйгенс строит первую кривую плотности распределения случайной величины, где вероятностями служили статистические частоты.

Следующий этап в формировании понятия случайной величины - это «искусство умозаключений Я. Бернулли». Бернулли (1654-1705) рассмотрел число появлений интересующего события в п независимых испытаниях, которые могут принимать значения 0,1,2,...,п с определенными вероятностями. Сегодня это пример случайной величины, распределенной по биномиальному закону. Зафиксировав тот факт, что вероятности могут меняться от опыта к опыту, и применив частотный подход к определению вероятности, исследуемый Граунтом, Бернулли доказал первую предельную теорему для последовательности независимых случайных величин. Редактор посмертного издания «Искусство умозаключений» (1713) Н. Бернулли вывел формулу для определения математического ожидания. Его задача, сформулированная в области демографических проблем, была первой, в которой вводилось непрерывное равномерное распределение. Таким образом, в науку властно постучалась необходимость введения нового понятия - случайной величины, но все перечисленные ученые этого не заметили и ограничивались изучением схемы последовательности случайных событий.

Третий этап - этап математического формирования теории ошибок, связанный с такими именами как Р. Котс, Т. Симсон, Д. Бернулли, П. Лаплас и др. Ошибка измерения в зависимости от случая может принимать различные значения. Такими случайными факторами могут быть качество изготовления прибора и причины, влияние которых невозможно учесть, они меняются от случая к случаю. Эта позиция была высказана еще Галилеем. Он и ввел термины «случайная» и «систематическая ошибка» измерения. Ведущей идеей этого этапа является то, что ошибка измерения представляет собой случайную величину с неизвестным распределением. Котс в статье «Оценка ошибок и т.д.» (1722) отмечал, что ошибки равномерно распределены в некотором отрезке (-а; а). Симеон (1755) вводит треугольное непрерывное распределение ошибок наблюдений, плотность которого равна 0 в отрезках от -со до -а и от а до оо; в отрезке (-а;0) ее уравнение будет х-2а2у = -а, в отрезке (0;а) она имеет уравнение х + 2а2у = а. Но ни Коте, ни Симеон не рассматривали самого понятия плотности распределения. На данном этапе заслуживает внимания работы Д. Бернулли. Впервые для оценки неизвестного параметра применяется метод максимального правдоподобия. В качестве плотности распределения Д. Бернулли рассмат-

ривает функцию

Не владея термином плотности распределения, Томас Байес (1702-1761) определяет априорную вероятность падения материальной точки в единичном испытании правее некоторой случайной прямой so на единичный квадрат со стороной а=1

, где р - вероятность падения правее этой прямой, q - вероятность падения левее этой прямой. Результаты Байеса повторил П. Лаплас, изменив только экспериментальную модель. Лаплас также умело оперирует с плотностями распределений вероятностей, но нигде ни вводит само понятие случайной величины. В 1774 году была получена формула, выражающая закон распределения ошибок наблюдений ср(х) = —е 11 (т>0), используя результаты астрономических наблюдений и опираясь на байесовкую теорию. Чуть позже в «Мемуарах о вероятности причин по событиям» (1778) Лаплас принял для плотности распределения погрешностей наблюдений функцию <р(х) = — In . Лаплас получил ряд важных результатов как в теории ошибок измерений, так и в работах, связанных с предельными теоремами для сумм независимых случайных величин. Он предложил оценивать неизвестную величину по результатам наблюдений (измерений). В качестве оценки неизвестного значения измеряемой величины использовать медиану. Большой вклад в дальнейшее развитие теории ошибок и формирования понятия случайной величины внес С. Пуассон. Решая проблему установления истинности, что среднее арифметическое дает лучший результат по сравнению с отдельным наблюдением, Пуассон указал на такое распределение, для которого это правило оказалось ошибочным. Плотность распределения имеет вид

Более того, Пуассон обнаружил, что сумма двух независимых случайных величин с указанной плотностью распределения имеет такое же распределение, а так же среднее арифметическое из независимых наблюдений над такой случайной величиной имеет указанное распределение.

Завершающий этап - период формирования понятия случайной величины и ее характеристик. Исследования многих ученых подготовили фундамент для введения понятия случайной величины. Первый шаг в этом направлении был сделан Пуассоном в работе «О вероятности средних результатов наблюдений» (1832), в которой он пишет о некоторой вещи, которая способна принять значения ai, ai, а^ соответственно с вероятностями pi, р2,

рх. Термин «вещь» был и вскоре заменен П.Л. Чебышевым на понятие «величина». В работах А.М. Ляпунова систематически используется термин случайная величина» с оговоркой на независимость этих величин. В одной из его работ «Об одном приложении теории вероятностей» Ляпунов определил функцию распределения в том виде, в котором мы используем ее сейчас. А вот понятие случайной величины, данное Пуассоном, сегодня нельзя считать математическим, оно скорее носит описательный характер, которое можно использовать в школьном курсе обучения элементам теории вероятностей. Строго формализованное определение случайной величины было дано А.Н. Колмогоровым в начале прошлого столетия в знаменитой книге Основные понятия теории вероятностей» (1933).

Исторический анализ позволяет увидеть невидимые» стороны содержания понятия и динамику понятийно-концептуального аппарата. Так как каждая эпоха эгоистична по-своему, она использует те стороны единой научно-теоретической культуры, которые другая эпоха отводит на задний план или вовсе забывает. Из всего многообразия можно сделать следующие выводы, которые сегодня необходимо использовать в современной методике преподавания теории вероятностей и математической статистики при введении понятия случайной величины.

1. Вначале, когда никакого знания о новом понятии, в частности случайной величины, нет и его необходимо получить, в качестве источника научного знания должен выступать эксперимент, в ходе проведения которого на эмпирическом уровне выявляются определенные закономерности об исследуемом объекте. Результатом эксперимента будет служить некоторая функция с определенным графиком. Поэтому на данном этапе вводится понятие случайной величины как некоторой функции и ее основного способа задания - плотности распределения.

2. Знание, полученное в эксперименте, соотносится с теоретическим, и результаты этого соотношения служат основой построения нового знания, но уже аналитическим путем. Рекомендуется изучение свойств плотности распределения, а также числовых характеристик случайной величины.

3. Когда же мы имеем дело с развитой теоретической системой, внутри которой логическим путем возможно выдвижение новых утверждений, и эти утверждения являются теоретически обоснованными знаниями. Но вновь встает проблема проверки этого нового знания на предметную истинность. Теперь возможно определение общего понятия случайной величины с указанием ее видов, числовых характеристик и их свойств.

Библиографический список

1. Вилейтнер Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия / Перевод с немецкого по ред. А.П. Юшкевича. - М.: Физматлит., 1960.

2. Гнеденко Б.Б. Очерк по истории теории вероятностей. - М.: УРСС, 2001.

3. История математики с древнейших времен до начала XIX столетия: В 3 т. / Под ред. А.П. Юшкевича. - М.: Наука, 1970.

4. Колмогоров А.Н. Основные понятия теории. - М.,1933.

ОБЗОР АРХИВНЫХ ДОКУМЕНТОВ ИЗ ЛИЧНОГО ФОНДА МОСКОВСКОГО ПРОФЕССОРА НИКОЛАЯ ВАСИЛЬЕВИЧА БУГАЕВА

Ю.М. Колягин, О.А. Саввина

Николай Васильевич Бугаев (1837-1903) - удивительная и многогранная личность, математик, философ, общественный деятель, педагог и блестящий шахматист. Среди его учеников - В.Г. Алексеев, К.А. Андреев, П.А. Некрасов, П.А. Флоренский и др. Им восхищались Л.Н. Толстой, И.С. Тургенев, П.И. Чайковский и другие его современники - представители русской интеллектуальной элиты рубежа XIX-XX вв. Он явился основателем уникальной философско-математической школы, которая стала основой образовавшейся в дальнейшем Московской математической школы. По учебникам арифметики Н.В. Бугаева [2], [3], [4] учились гимназисты в 1870-1890-х гг. [8], а сам ученый принимал деятельное участие в обсуждении и решении проблем образования как в средней, так высшей школы (участвовал, например, в работе совещания, проходившем в Московском учебном округе по вопросам о средней школе в 1899 г.). Так случилось, что личность Н.В. Бугаева долгое время оставалась тайною за семью печатями, да и в настоящее время его наследие в области методологии математики и ее преподавания еще совершенно не изучено и не осмыслено.

Имя Н.В. Бугаева пробивалось к нам непросто и даже до сих пор все еще пробивается. Долгое время о Н.В. Бугаеве упоминали лишь литературоведы, в контексте анализа творчества его сына - Андрея Белого. В 1948 г. фрагментарные сведения о Н.В. Бугаеве привел М.Я. Выгодский в статье «Математика и ее деятели в Московском университете 40-х годов XIX века» [5]. К сожалению, оценки автора этой статьи носят субъективно предвзятый характер, поскольку его мировоззренческие взгляды соответствовали духу того времени и, соответственно, диссонировали с идеалистическими» взглядами Н.В. Бугаева. Небольшое внимание характеристике математических трудов Н.В. Бугаева уделил А.П. Юшкевич [12]. Лишь только с 1980-х гг., благодаря работам С.С.Демидова и др. (см., например [6], [7], [11]), Н.В. Бугаев открылся нам как математик и философ. И, наконец, к счастью, сегодня мы получили уникальную возможность - изучить наследие Н.В. Бугаева практически всесторонне. И этому во многом способствует тот отрадный факт, что в 2006-2007 гг. (заметим, что более, чем через 100 лет после смерти ученого) специалистами в области лингвистики и компьютерных технологий Научно-исследовательского вычислительного центра МГУ А.В. Уланова и Н.Т. Тарумова проделали колоссальную работу и упорядо-

чили документы из личного фонда Н.В. Бугаева, хранящегося в Отделе рукописей и редкого фонда Фундаментальной научной библиотеки Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова [10]. Заметим, что начало описания фонда было положено еще в конце 50-х годов XX века (см.: Историко-математические исследования. Вып. XII. 1959). Этот фонд в настоящий момент содержит 437 единиц хранения (единицы хранения №№1-431 и литерные единицы хранения: 89а, 135а, 269а, 180а, 207а, 267а), среди которых студенческие тетради Н.В. Бугаева [Ед.хр. 9-30], его конспекты по математике, механике, оптике, астрономии и геодезии [Ед.хр. 31-152]; материалы, связанные с работой Н.В. Бугаева деканом физико-математического факультета [Ед.хр. 153-180а]; семейная и научная переписка [Ед.хр. 303-391] и многое другое.

Этот фонд - настоящий кладезь редких и интересных материалов для исследователей наследия Н.В. Бугаева. Здесь можно найти новые факты не только о жизни, деятельности, взглядах Н.В.Бугаева, но и любопытные сведения о событиях, произошедших в этот период в образовании в России.

Опись фонда имеет следующую структуру: I. Личные документы; II. Физико-математический раздел; III. Астрономия и геодезия; IV. Материалы по работе Н.В. Бугаева деканом физико-математического факультета; V. Материалы по вопросам развития и реформы средней школы; VI. Работы Н.В. Бугаева, не вошедшие по тематике в основные разделы описи; VII. Материалы (рукописные и печатные), отложившиеся в фонде; VIII. Переписка. На наш взгляд, для исследователей истории математического образования особый интерес представляют документы, которые целесообразно структурировать иначе, объединив их в следующие три раздела: I. О взглядах Н.В. Бугаева на проблемы начального, среднего и высшего образования; П. Об учебниках Н.В. Бугаева для средней школы; III. Содержательная характеристика преподавания математики на физико-математическом факультете Императорского Московского университета. Рассмотрим обзорно содержание этих разделов.

I. О взглядах Н.В. Бугаева на проблемы начачьного, среднего и высшего образования.

• Записка Н.В. Бугаева по вопросу о начальном образовании с сопроводительным письмом Николаю Павловичу (Ед.хр. 183);

• К вопросу о подготовке преподавателей для средних учебных заведений (Ед.хр. 186);

• Об особых дополнительных занятиях для слабых учеников (Ед.хр. 192);

• К вопросу об университетском преподавании (Ед.хр. 180а);

• Ответ Н.В.Бугаева на статью в Московских ведомостях» по поводу классической системы школьного преподавания (Ед.хр.203).

II. Об учебниках Н.В. Бугаева для средней школы.

• Объяснительная записка Н.В. Бугаева при представлении в Ученый комитет Министерства народного просвещения 2-го издания руководства арифметики в 2-х частях (Ед.хр. 181);

• Объяснительная записка Н.В.Бугаева Ученому комитету Министерства народного просвещения при представлении в Комитет задачника по арифметике (Ед.хр. 194);

• Ответ Н.В.Бугаева автору рецензии на его учебник (Ед.хр. 198);

• Ответ Н.В.Бугаева на рецензию его учебника алгебры (Ед. хр.

199);

• Ответ на рецензию учебника с изложением взглядов на некоторые педагогические вопросы в интересах нашей школы и математического образования (Ед. хр. 200);

• Возражение Н.В. Бугаева на рецензию его учебника алгебры (Ед.хр. 201);

• Выписка из журнала Ученого комитета Министерства народного просвещения о допущении учебника Н.В. Бугаева Арифметика» в 2-х частях (изд.2) в качестве учебного пособия для средних школ (Ед.хр. 210);

• Письмо Павлу Алексеевичу с просьбой разрешить напечатать ответ рецензенту его учебника Начальная алгебра» (Ед.хр.332).

III. Содержательная характеристика преподавания математики на физико-математическом факультете Императорского Московского университета.

• Конспект лекций заслуж. проф. МУ математики Н.Е. Зернова, том в твердом переплёте (Ед.хр. 18);

• Чистая математика». Лекции Н.В. Бугаева в записи студента IV курса А. Потемкина Теория эллиптических функций», тетрадь (Ед. хр. 44);

• Высшая алгебра. Конспект лекций, читанных Н.В. Бугаевым с 15/XI 1866г. (Ед.хр. 47);

• Теория чисел. Курс читался Н.В. Бугаевым в 1866-67 гг., блокнот (Ед.хр. 48);

• Задания по математике для студентов (Ед.хр. 75);

• Программа преподавания математики (черновик) (Ед.хр. 76);

• Конспекты лекций Н.В. Бугаева, составленные студентом IV курса математического факультета А. Кутуковым (без начала) (Ед.хр. 77);

• Программа по интегральному исчислению (Ед.хр. 153);

• Программы по высшей алгебре и теории вероятностей (Ед.хр. 154);

• Программа по математике и механике (Ед.хр. 155);

• Расписание лекций на физико-математическом факультете (математическое и естественное отделение) (Ед.хр. 168);

• Обозрение преподавания на физико-математическом факультете Императорского Московского университета. Распределение лекций и практических занятий (Ед. хр.176).

Следует заметить, что большая часть фонда представлена неопубликованными документами, причем нередко плохо сохранившимся и трудно читаемыми. Например, рукопись «Об особых дополнительных занятиях для слабых учеников» (написана карандашом) и рукопись к вопросу о подготовке преподавателей для средних учебных заведений» (написана чернилами) в настоящий момент не обнаружены среди опубликованных работ Н.В. Бугаева.

Даже такой краткий обзор документов из личного фонда Н.В. Бугаева позволяет утверждать, что сегодня у нас появилась редкая возможность восстановить некоторые пробелы в биографии ученого и подвергнуть всесторонней реконструкции его философские и методико-математические взгляды. Первую попытку такого анализа авторы настоящей заметки и предполагают осуществить в ближайшее время.

Библиографический список

1. Научная библиотека им. А.М.Горького Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова. Отдел редких книг и рукописей. Ф.41. Оп.1 (Ед. хр. 155, ед. хр.176, ед.хр. 181, ед. хр. 183, ед.хр. 186, ед.хр.192, ед.хр. 194, ед.хр. 199, ед.хр. 200, ед.хр. 203, ед.хр.210 и др.).

2. Бугаев Н.В. Задачник к арифметике целых чисел. - М.: Тип. Моск. ун-та (Катков и К°), 1874.

3. Бугаев Н.В. Руководство к арифметике. Арифметика целых чисел. Изд. 10. - М.: Издание Н.И. Мамонтова, 1898.

4. Бугаев Н.В. Руководство к арифметике. Арифметика дробных чисел. Изд.7. -М.: Издание Николая Ивановича Мамонтова, 1893.

5. Выгодский М.Я. Математика и ее деятели в Московском университете 40-х годов XIX века // Историко-математические исследования. - М. -Л.: ОГИЗ, 1948. - Вып.1. -С.141-183.

6. Годин А.Е. Развитие идей Московской философско-математической школы. -Изд.2. - М.: Красный свет, 2006. - 379 с.

7. Демидов С.С. Н.В.Бугаев и возникновение московской школы теории функций действительного переменного // Историко-математические исследования. - 1985. - Вып.29. -С.113-124.

8. Колягин Ю.М., Саввина О.А., Тарасова О.В. Русская школа и математическое образование: наша гордость и наша боль. В 3-х частях. - Часть I. От древнейших времен до XX века. - Изд.3. - Орел: ООО Полиграфическая фирма Картуш», 2007.

9. Программы, учебные планы, утвержденные 20 июня 1890 г., мужских гимназий и прогимназий / Сост. П.Е. Горбунов. - Изд.З. - М., 1895.

10. Уланова А.В. Архивный фонд Николая Васильевича Бугаева в Отделе редких книг и рукописей Научной библиотеки МГУ им. М.В. Ломоносова // Рукописи, редкие издания, архивы. - М., 2008 //http://bugayeff.narod.ru/ulanova.pdf.

11. Юшкевич А.П. История математики в России до 1917 г. - М.: Наука, 1968.

12. Шапошников В.А. Философские взгляды Н.В. Бугаева и русская культура XIX - начала XX вв. // Историко-математические исследования. 2-я серия. 2002. - Вып. 7(42). - С.62-91.

РЕФОРМА МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ 1960-70-х гг. В СВЕТЕ ИСТОРИЧЕСКОЙ РЕТРОСПЕКТИВЫ

И.П. Костенко

Настоящее есть следствие прошедшего, а потому непрестанно обращай взор свой на зады, чем сбережёшь себя от знатных ошибок

Козьма Прутков

Сегодня научная и педагогическая общественность встревожена угрозами очередной реформы образования. Планируется резкое сокращение учебных часов на математику, исключение из школьной программы синусов и логарифмов, изъятие геометрии, объединение физики, химии и биологии в единый предмет и др. Всё это называется «десайентифизация».

Мотивировка: программы перегружены, поэтому школьники плохо усваивают предметы, да эти знания людям и не нужны, - на рынке нужна «толерантность», умение общаться с другими и разговаривать по-иностранному [1,с.39].

На этот план очень резко среагировали учёные РАН (не РАО!). Они назвали его «торжеством мракобесия» (акад. В. И. Арнольд [1, с. 40]) и потребовали «задержать реформы» [1, с. 265]. Свои взгляды и аргументы они высказали в сборнике «Образование, которое мы можем потерять» [1], изданном в 2002 г. Среди авторов - академики Ж.И. Алфёров, В.А. Садовничий, В.И. Арнольд, С.М. Никольский, Д.В. Аносов, А.И. Солженицын, член-корр. АН Л.Д. Кудрявцев. Основная мысль - российская система образования «пока ещё одна из лучших в мире» [1, с. 10], его базовая ценность в фундаментальности, которую стремятся уничтожить реформаторы [1, с. 21, с. 257-258].

Своя логика (или её видимость) есть у обеих сторон. Чтобы разобраться в «споре», надо взглянуть на проблему с исторической точки зрения. Надо объективно оценить реальное состояние нашего образования и понять причины, приведшие к нему. Понять причины и тенденции можно, только проследив историю развития (или деградации) образования за длительный исторический промежуток. Это и есть цель данной статьи. Речь пойдёт о математическом образовании, среднем и высшем. Ситуация в других естественнонаучных дисциплинах аналогична.

Забегая вперёд, сообщу сразу некоторые факты, освещающие «спор».

В течение примерно тридцати лет, с середины тридцатых по конец пятидесятых годов XX в., наше естественнонаучное образование (среднее и высшее) было стабильным. Стабильными были программы и учебники. Учебники - высшего качества (Киселёв, Лузин). Большая часть учащихся (в средней школе - три четверти) хорошо усваивали предмет. На перегрузку

никто не жаловался. Результат этого периода - взлёт науки и техники в 60-х годах, поразивший Европу и Америку. Оценка американцев - советское образование лучшее в мире.

Следующее тридцатилетие прошло под знаком реформы-70, объявленная цель которой - сделать наше образование ещё лучше, повысить теоретический уровень» (в школе и в вузе). Результат - перегрузка, резкое падение качества знаний, отвращение школьников и студентов к учёбе. В науке -резкое уменьшение числа научных открытий.

И теперь, якобы в целях избавления от «перегрузки», искусственно созданной, предлагается «гуманитаризировать» (или «десайентифизировать») общее образование, т. е. освободить его от знаний вообще.

Таким образом, исторический взгляд позволяет заметить простую логику перманентных реформаторов: дёрнуть в одну сторону, потом в другую, выдернуть и выбросить. Это - схема. Мы проследим историю в её конкретности, тогда схема наполнится жизнью и смыслом и станет убедительной. Факты, их система позволят глубже понять причины и сделать немало ценных выводов.

В сущности, мы будем следить за зарождением, развитием и внедрением в образование нового «дидактического» принципа «высокого теоретического уровня» преподавания. Назовём его кратко - принцип ВТУ. С внедрения этого принципа в школы (и вузы !) в 60-70-х гг. и началась стремительная деградация качества обучения, которая не прекращается до сегодняшнего дня. Но вначале оценим конечный результат и определим причины.

Поскольку дальнейшее изложение апеллирует к фактам истории, оно необходимо потребует много ссылок и цитат. Я постараюсь органично вплетать их в текст. Значками (!) и (?) выделяются слова и фразы, на смысл которых следует обратить внимание. Иногда такие фразы набираются курсивом.

Всё ещё «одно из лучших»?

С недавних пор высшие управленцы стали официально заявлять о низком качестве нашего образования. В. Болотов (тогда замминистр) признаёт, что 70% школьников «не осваивают математику и физику» [2, 2000, № 34-35, с. 9]. В. Филиппов (тогда министр) ссылается на международное тестирование, по результатам которого наши школьники оказались «в последней, самой слабой группе» стран. [1, с. 117]. Эти данные «озвучивают» и другие представители Правительства РФ, например, В. Матвиенко. [2, 2001, № 37, с. 5].

От этих данных отталкиваются в своих планах реформаторы [1, с. 41-42]. Однако академики [1, с. 42] и автор учебников И. Шарыгин [1, с. 117-118] не доверяют иностранным тестам. Аргумент последнего - можно ли оценивать российский футбол по правилам американского?» [1, с. 116].

Кто же прав? Возможно, что иностранные тесты, действительно, не соответствуют нашему менталитету. Ну, так давайте проверим качество зна-

нии (объективно!) по своим тестам. Однако, этого почему-то никто не делает.

До реформы-70 традиционным методом контроля качества знаний учащихся были фронтальные контрольные работы, которые регулярно проводились Минпросом по всей стране [3, с. 24]. После осуществления реформы министр М.А. Прокофьев заменил объективный контроль показухой «проценто-мании». Цель - прикрыть результаты своей реформы. Тем самым, был снят барьер, препятствующий снижению качества обучения и, более того, стимулировалась его дальнейшая деградация.

Сегодня Учёный Совет МИАН требует от МО «провести объективную проверку состояния школьного математического образования в стране. В последний раз такая проверка проводилась Минпросом СССР совместно с Математическим институтом в середине 80-х годов» [1, с. 260-261].

Добавлю, последнюю проверку вынудил Минпрос провести акад. Л.С. Понтрягин, который при поддержке журнала «Коммунист» поднял Академию наук СССР на резкий протест против проводимой реформы и новых учебников [4, с. 99-110, 5, с. 124-126]. Результаты этой проверки остались не известными общественности.

Объективная оценка качества знаний современных школьников существует. В международных тестах 1995 г. была такая задача: «В классе 28 человек; отношение числа девочек к числу мальчиков равно 4/3 . Сколько в классе девочек?». Эту задачу решили лишь 37% наших восьмиклассников. [6, с. 9]. В 1949 г. подобные и более сложные текстовые задачи решали 82% шестиклассников (подробнее об этом сравнении будет сказано чуть ниже).

И. Шарыгин возражает: «Ни с одним школьником, участвовавшим в этом исследовании, встретиться не удалось. У меня даже возникло сомнение в существовании таковых» [1, с. 117]. Сомневающимся можно посоветовать самим провести подобное исследование. Я давал эту задачу разным группам студентов и слушателей подготовительных курсов. Сумели решить её - от 20 до 30% «респондентов».

А вот другое исследование. В одной из обычных школ г. Краснодара в 1998 г. проведено сравнение уровней обученности учащихся сегодня и полвека назад [7]. Для этого использовались результаты проверочных работ, приведённые в книге [8], изданной Сектором методики математики Института методов обучения АПН РСФСР в 1949 г. Простые примеры и задачи брались тогда и сегодня из действующих задачников. Все ученики решали одинаковые задания. Вот обобщённый фрагмент получившейся картины (проценты округлены).

Темы

Решение верное

Решение не начато или не окончено

1949 г.

1998 г.

1949 г

1998 г.

Арифметика V-VI кл.

1. Текстовая задача

2. Вычислительный пример

82% 70%

44% 50%

7% 4%

28% 16%

Алгебра VII-IX кл.

3. Тождественные преобразования

4. Задача на составление уравнения

75% 73%

19% 21%

9% 9%

54% 37%

Выводы:

1. Все показатели ухудшились в 1,5-6 раз.

2. В 40-х гг. полноценно усваивали математику почти 75% старшеклассников, в 90-х - менее 20%.

3. В 40-х гг. наблюдалась стабильность знаний по всем годам обучения, в 90-х - резкое ухудшение в старших классах.

4. В 90-х гг. больше половины 5-6-класссников не решают текстовую задачу и лишь четверть старшеклассников решают её с помощью уравнения. Симптом обессмысливания обучения. В 40-х гг. уверенно решали смысловые задачи более 80% (!) школьников.

5. В 90-х гг. - резкое увеличение числа детей, абсолютно не владеющих математикой: не заканчивает решение каждый третий ученик ( « 30%), в то время как в 40-х - лишь каждый четырнадцатый!

Отметим, что данные 1949 г. получены на очень большом статистическом материале (14193 работы из 72 школ 15 областей РСФСР), а данные 1998 г. - только по одной школе. Тем не менее, результаты согласуются с другими свидетельствами. Приведу некоторые.

Преподаватели МГУ пишут в открытом письме министру: «Почти каждый второй абитуриент Московского университета не в состоянии решить несложное алгебраическое неравенство ... почти две трети абитуриентов не могут решить планиметрическую задачу» [9, с. 1].

Результаты вступительных экзаменов в МАДИ в 2000 г.: «не решили ни одной задачи (из 10-ти - И.К.) 30% абитуриентов и только 35% решили не менее 4-х задач ... Но самую большую трудность, как и всегда, вызывают задачи по геометрии (задачи 9 и 10): их решил всего 1% экзаменующихся». [9, 2002, № 2, с. 63]. Обратите внимание на согласованность с нашими данными (п. 5) - там и там примерно 30%.

Итак, кто же прав? Реформаторы или И. Шарыгин? Надо признать, что правы первые. Но почему же второй не мог согласиться с очевидными фактами? Потому, что он автор учебников геометрии.

Добавлю свидетельство из личного опыта. В 40-50-х годах, когда страна училась по учебникам легендарного Киселёва, геометрия была самым любимым предметом. Стереометрическая задача с применением тригонометрии была обязательным элементом экзаменов на аттестат зрелости. Учащиеся успешно справлялись с такими задачами. А сегодня абитуриенты МГУ не могут справиться с простой планиметрической задачей.

По данным международного тестирования 1995 г. российские школьники оказались на 52-м месте. Главный качественный вывод - неспособность наших детей мыслить [10, с. 6-11]. Не страшно ли это? Исследование ОЭСР 2001 г. констатирует: «Большая часть подростков в России испытывает трудности с пониманием содержания текстов» [11 с. 11].

С этими выводами согласятся многие практические педагоги. Мой личный опыт подтверждает: студенты не понимают смысла слов. И не потому, что глупы от природы. Природный механизм осмысления атрофирован. Школой! Вопрос: Почему и как происходит оглупление учащихся? - обсудим позже. Сегодня я учу 20% первокурсников складывать дроби и вычитать целые числа, положительные и отрицательные. 15% претендентов на высшее образование не знают таблицы умножения. Логика и абстрактное мышление отсутствуют почти у всех студентов. Раскрыть для них смысл понятий и методов невозможно.

В заключение приведу вывод Исследовательского Центра Гособразования СССР по проблемам управления качеством подготовки специалистов: «В последний период (80-е годы, после реформы-70 - И.К.) всё больший размах приобретает снижение качества обучения на всех ступенях школы ... Это уже сказалось на квалификации и культуре специалистов и учёных. Допущенные ими профессиональные ошибки стали одной из основных причин недавних промышленных и экологических катастроф» [12, с. 127].

Итак, надеюсь, доказано следующее утверждение: сегодня качество знаний и уровень мыслительного развития подавляющего большинства российских учащихся (школы и вуза) устрашающе низки.

То ли это образование, «которое мы можем потерять»? Можно ли, в свете данной реальности утверждать, что наше образование «пока ещё (?) одно из лучших в мире»? Подтверждающий аргумент, касающийся «неоспоримых олимпиадных успехов наших школьников» [1, с. 42], рассчитан на впечатление. Ведь из существования в России XVIII в. Ломоносова не выводится суждение о качестве образования.

Причины тридцатилетней деградации

Из того факта, что школьники не усваивают математику и физику, ре-форматоры-2000 делают логичный, по их мнению, вывод: надо упростить (на самом деле выхолостить) содержание учебных предметов. Акад. В.И. Арнольд передаёт суть этого вывода иронически, но точно: «...главная цель реформы ... состоит в том, чтобы осчастливить родителей, сделав их

детей-двоечников отличниками, меняя не уровень их знаний и умений, а просто уровень требований к ним» [1, с. 44].

Реформаторы, желающие действительно улучшить образование, начали бы с выяснения вопроса: почему школьники не усваивают математику? И если бы они знали историю, то дополнили: почему учащиеся 30-60-х годов XX в. хорошо усваивали математику, а учащиеся XXI века -очень плохо?

Ответ найти не трудно, ибо известен момент начала деградации, - ре-форма-70 [1, с. 124]. Ответ, следовательно, надо искать в идеологии реформы. Её руководящая идея - «поднять теоретический уровень» преподавания (принцип ВТУ). Декларированная цель - «дальнейшее (?) повышение» научной (?) культуры детей, «формирование научного мировоззрения» [13, с. 133]. На самом же деле повысилась абстрактность изложения, его формальная точность и формальная логичность, которые заблокировали содержательное мышление. Естественнонаучные дисциплины обессмыслились и стали непонимаемыми.

Вот где причина «перегрузки» учащихся - в обессмысливании обучения. Детей заставили заниматься бессмысленными для них формализмами и подорвали психику.

Слово «перегрузка» провоцирует у реформаторов-2000 впечатление, что детям преподносится слишком много знаний. Из этого впечатления они делают вполне логичный для них вывод: надо сократить количество конкретных знаний, а лучше - выбросить их из учебных программ вообще.

На самом же деле имеет место перегрузка психики учащихся из-за невозможности понять «уродливую схоластическую заумь» (по выражению акад. В. И. Арнольда), в которую превратились учебные предметы. Проблема не в объёме знании, а в форме их изложения в учебниках. Проблема - во ВТУ-учебниках! И в авторах этих учебников.

Вот об этом, о главной причине деградации образования (принцип ВТУ!), мало кто говорит. Говорят о ней неустанно много лет одни только старые Новочеркасские учителя В.К. Совайленко и О.В. Лебедева [3]. «Школа и дети в опасности!», - кричат они [14]. Крик этот, как будто, никто не слышит. От лени или от безнадежности?

В высокоавторитетном сборнике [1] главная причина замалчивается. Некоторые его авторы осторожно касаются реформы-70. Акад. Д.В. Аносов признаёт: «Неудачным (?) ... был сам замысел (?) реформы» [1, с. 27]. Но акад. Л.С. Понтрягин, глубоко и профессионально проанализировавший по свежим следам принципы и результаты реформы, назвал этот «замысел» гораздо более откровенно - «порочным» (!). И выражался он точнее: «Главный порок, конечно же, в самом ложном принципе (!) - от более совершенного его исполнения школа не выиграет» [4, с. 106].

Проф. Л.Д. Кудрявцев (он был участником реформы и идеологом для высшей школы [13, с. 286]), на мой взгляд, пытается перевести внимание на

несущественные особенности, «связанные с его (образования, - И.К.) политехнизацией» [1, с. 53]. Вместе с тем он признаёт, что «учебные планы, объём материала его распределение в соответствии с возрастом учащихся, принятые в нашей десятилетней школе конца тридцатых - начала пятидесятых (?) годов, были весьма целесообразными и удовлетворяли необходимым требованиям. В последующий период уровень (?) обучения в средней школе стал постепенно (?) падать ... этому способствовали (?) проводимые тогда реформы» [1, с. 53].

И. Шарыгин: «Реформа была недостаточно (?) обоснованной (?), плохо продуманной и совсем скверно организованной» [1, с. 124]. Опять осторожные выражения и увод от главного, от порочности самого принципа реформы - принципа ВТУ. Сдвиг акцентов на организацию реформы. Но как раз организация для достижения цели реформаторов была ими очень тщательно продумана и подготовлена: «Те же, кто разрабатывал реформу, сами у себя принимали работу» [1, с. 27].

Почему даже самые авторитетные и титулованные учёные [1, с. 283-285] теряют присущую учёным точность выражений, когда касаются рефор-мы-70? На этот вопрос надо знать ответ, чтобы понимать, почему деградация не прекращается до сего дня.

Первая причина: учёные не считают для себя возможным затронуть честь одного из лучших своих представителей - академика А.Н. Колмогорова, который принимал решающее участие в реформе-70 (среди авторов сборника [1] есть его непосредственные ученики).

Вторая: среди авторов [1] есть авторы и «подредакторы» действующих учебников для средней и высшей школы - учебников, построенных на том самом «порочном» принципе ВТУ, который внедрён в 60-х годах в высшую школу, а в 70-х - в среднюю. Профессора математики, в силу своего высочайшего научного профессионализма, не могут адекватно оценить и признать огромный педагогический вред, нанесённый образованию именно их идеей - ВТУ.

Первая причина не столь существенна, как может казаться. На самом деле А. Н. Колмогоров отнюдь не был «инициатором» реформы-70, как его представляют [1, с. 55, 124]. Его даже нельзя назвать главным идеологом. Инициатором надо считать проф. А.И. Маркушевича, а видных идеологов было множество ещё с 30-х годов (например, проф. А.Я. Хинчин). Словосочетание «Колмогоровская реформа», внедрённое в общественное сознание, это миф. Имя и высочайший научный авторитет Андрея Николаевича использовались и продолжают использоваться перманентными реформаторами в качестве «прикрытия». Всё вышесказанное будет доказано дальше.

Вторая причина помогает понять, почему деградация образования не может быть остановлена вот уже сорок лет. До сего дня в нашей школе (средней и высшей) действует принцип ВТУ - тот самый «порочный» принцип, который потрясающе успешно (а не «неудачно») внедрили реформато-

ры-70. Искусственная живучесть этого принципа поддерживается спаянным за десятилетия кланом их сподвижников и последователей, захвативших власть в этой сфере и монополизировавших очень прибыльный бизнес составления и издания учебной литературы (см. Перечень учебных изданий на 2003-2004 учебный год в [9. 2003, № 5]).

Прежде чем перейти к истории принципа ВТУ, надо сформулировать ещё одно положение, связанное с вопросом, поставленным в заголовке раздела.

Роль и значение учебника

Реформаторы-70 сделали, в сущности, только два деяния: 1) изменили программы и 2) заменили учебники. Вот эти новые ВТУ-учебники и являются главной причиной деградации знаний и мыслительных навыков учащихся. Приведу свидетельство, сделанное по свежим следам реформы.

В дискуссии «Учебник для вуза: каким ему быть?», которую проводил в течение всего 1980 г. журнал «В мире книг», приводились экспериментальные данные: «90,3% учащихся (московских школ - И. К.) не имеют навыков смыслового чтения ... 60% будущих учителей не смогли правильно составить развернутый план или тезисы ответа по сравнительно несложной проблеме ... 50% студентов пользуются только конспектами ... Среди причин - непривлекательность (?) учебников, неприученность (?) студентов систематически работать с книгой. Это неумение, можно сказать, катастрофически сказывается на будущей работе специалистов» [15, с. 127]. Позволю себе поправить вывод: главная причина - непонятность ВТУ-учебников. Навык смыслового чтения формируется именно и только понятным, доступным учащемуся учебником.

Существует мнение, что учитель яваляется более важным фактором обучение, нежели учебник. Мнение ошибочное. Ведь учебник влияет и на учителя, определяя характер и качество массового преподавания. Хороший учебник - «фундамент хорошего преподавания» (К.Д. Ушинский [16, с. 219]). С хорошим учебником и средний учитель будет иметь хорошие результаты. Истина старая, забытая современной учёной педагогией, нацеленной на «инновации» и диссертации.

Сегодня эта истина имеет научное доказательство. В 70-х годах в некоторых развивающихся странах был проведён международный эксперимент, который дал следующие результаты: 83% статистических показателей обнаружили положительное влияние учебника на успеваемость учащихся и только 54% - влияние качества подготовки учителей [17, с. 47].

В высшей школе зависимость преподавания и качества знаний учащихся от учебника сильнее, чем в средней. Это связано с более сложным учебным материалом и более слабой педагогической подготовкой преподавателей (точнее, с её отсутствием).

Будем считать установленным второе утверждение: главный фактор, определяющий качество массового преподавания и качество знаний уча-

щихся - это учебник. Следовательно, первопричина деградации качества знаний - непонятные ВТУ-учебники.

Когда-то был прогресс

Итак, на вопрос: Почему учащиеся 30-60-х годов хорошо усваивали математику, а в 70-90-х и по сей день очень плохо? - мы отвечаем: потому, что первые учились по понятным учебникам, а вторые - по непонятным.

Первые с 1-го по 10-й класс последовательно познавали арифметику, алгебру и геометрию по учебником одного и того же «коллектива авторов» -учителя Воронежского реального училища А.П. Киселёва. Вторые - по учебникам разных профессоров и академиков математики или по учебникам, изготовленным «коллективом авторов под редакцией» какого-нибудь очень титулованного учёного.

Учитель создавал и совершенствовал свои учебники всю жизнь. «Коллектив авторов» делал это под заданную реформу или очередной министерский конкурс, на котором распределялись деньги. А.П. Киселёв «прежде всего ставил себе целью достигнуть трёх качеств хорошего учебника: точности в формулировке и установлении понятий, простоты в рассуждениях и сжатости в изложении» [18, с. 3]. «Коллектив авторов под редакцией» ориентировался на ВТУ.

Характерное сравнение: «В учебнике Киселёва "Алгебра. Часть 2" для 8, 9 и 10 классов издания 1956 г. содержится 232 страницы, то есть меньше, чем по 80 страниц на каждый учебный год. А в нынешнем учебнике алгебры под редакцией Теляковского только для одного 9 класса содержится 256 страниц» [3, с. 39].

Учебники А. П. Киселёва, отнятые у детей в 20-х годах и возвращённые им в 1933-1937 годах, мгновенно подняли качество знаний. Много объективных подтверждений этому можно найти в журнале 30-х годов «Высшая школа».

ВТУ-учебники академиков мгновенно обрушили образование. Вот как об этом свидетельствует очевидец и непосредственный участник той реформы, заслуженный учитель (!) школы РФ, академик РАО Ю.М. Колягин. Когда были обнародованы результаты приёмных экзаменов, полученные первыми ВТУ-абитуриентами престижных московских вузов, «среди учёных-математиков АН СССР и преподавателей вузов началась паника. Было повсеместно отмечено, что знания выпускников школ страдают формализмом, навыки вычислений, элементарных алгебраических преобразований, решения уравнений фактически отсутствуют. Абитуриенты оказались практически не подготовленными к изучению математики в вузе» [19, с. 200].

Могут возразить: не только от учебников зависит качество знаний. Справедливо. Но я сказал, что учебник - главный фактор, а не единственный. Второй важный фактор - качество управления. Сравним и в этом отношении 30-е и 90-е годы.

Вот как управленцы 30-х годов работали над повышением качества обучения. Они ежегодно проводили массовые, выборочные, всесторонние обследования школ с письменными контрольными работами по всем предметам. Анализ работ с выявленными типичными ошибками и методическими рекомендациями по их исправлению (!!) оперативно рассылался учителям. На следующий год показатели каждого учителя и каждой проверенной школы сравнивались с предыдущими.

Впечатляющи цифры: «В 1932 г. было проверено 65 средних школ 9 областей с охватом 25 тыс. учащихся; в 1933 г. было проверено 182 школы 10 областей с охватом до 165 тыс. учащихся. Весной 1934 г. было проверено 120 школ 14 краёв и областей с охватом до 100 тыс. учащихся по всем предметам ... В 1935 г. будет проверено около 400 школ с очень большим охватом учащихся» [20, с. 14].

Качество знаний после такой по настоящему управляющей (с обратной связью) работы возрастало удивительными темпами: «Если вас интересует продвижение учащихся IV класса, то можно указать, что упражнения на целые числа в массовой школе в 1933 г. дали 29% решаемости контрольной работы, весной 1934 г. - 58%, а в декабре 1934 г. - 79%», - сообщала в своём докладе методист (автор задачника для начальной школы) и по совместительству управленец Е.С. Березанская [20, с. 18].

Следует подчеркнуть объективность Наркомпросовского контроля. В том же докладе признаётся: «...числовые результаты, которые мы получали, всегда были значительно (!) ниже тех показателей, которые давала нам школа» [20, с. 15]. Для управленцев 30-х годов не было нужды в фальсификации, - они умели делать дело, а не создавать доктрины и концепции. Можно ли представить, чтобы современные управленцы работали подобным образом?

Словесная работа руководителей-2000: «Мы имеем значительные организационные (?) резервы (?) обеспечения (?) качества образования, в частности, путём совершенствования (?) организации (?) учебного процесса, внедрения новых педагогических и информационных технологий (?) ... совершенствования (?) процедур аттестации педагогических кадров» (В. Филиппов [21, № 2, с. 2]. Пустые слова, за которыми ничего не стоит.

Нынешние управленцы-бюрократы знают, что качество их работы никто не проконтролирует. Все они, с низа до самого верха, связаны одной психологией, одними интересами и одной клановой этикой. Их деловая озабоченность только в том, чтобы создать видимость прогрессивной деятельности. Имитаторы!

Поучительно заглянуть в историю ещё глубже. Прогресс образования, неторопливый и основательный, характерен для развития императорской России на протяжении всего XIX века. Вот, например, как русское правительство готовило реформу в 60-х гг. XIX века.

К мысли о необходимости перемен Министерство просвещения пришло после длительного (!) и внимательного (!) изучения состояния среднего образования. В 1856 г. оно поручило своему Учёному Комитету начать разработку, взамен устава 1828 г. нового школьного устава, «более сообразного с современным (!) взглядом на обучение и воспитание и более отвечающего действительным (!) потребностям в учении» [22, с. 20]. В подготовке проектов приняли участие видные педагоги, в том числе соратники К. Ушинского В. Водовозов и Д. Семёнов. В 1860 г. «был выработан Учёным Комитетом проект устава низших и средних училищ который и был препровождён попечителям учебных округов для обсуждения его в педагогических советах гимназий и обнародован в Журнале Министерства Народного Просвещения, в С.-Петербургских и Московских Ведомостях ... По замечаниям, полученным от учебных заведений и явившимся в разных периодических изданиях, а также по доставленным в рукописях, был снова переделан в Учёном Комитете. Изменённые и исправленные проекты ... снова сделались предметом публичного обсуждения и были разосланы в университеты и педагогические советы учебных заведений, некоторым частным лицам и некоторым педагогам Германии, Англии и Франции. Отзывы на проекты, поступившие из России, были напечатаны в шести (!) больших томах под заглавием "Замечания на проект устава общеобразовательных учебных заведений". Замечания эти, составляя капитальное педагогическое сочинение, как сбор разнообразных мнений русских педагогов, служат вместе с тем и выражением различных взглядов, с которыми смотрели на задачу и средства русского воспитания и образования. Составленный на основании этого обширного материала устав был снова подвергнут обсуждению в Учёном Комитете в 1863 г. и составлена для гимназий новая редакция ... В таком виде проект устава был вынесен в 1864 г. в Государственный Совет, а затем, согласно удостоенным Высочайшего одобрения замечаниям на оный Государственного Совета, составлен был Министерством новый проект по этому предмету. После сделанных в этом проекте Государственным Советом перемен устав гимназий и прогимназий был удостоен 19-го ноября 1964 года Высочайшего утверждения» [23, с. 421].

Впечатляюще, не правда ли? Как осторожны, взвешенны, всесторонне связаны с жизнью действия русских государственных людей XIX в.! Действия созидателей, стремящихся к пониманию истины и к действительному улучшению дела. И как отчётливо, в сравнении с ними, становится видна примитивность и пошлость методов современных управленцев!

Их реформа-70 начиналась с априорной ложной идеи, не связанной с действительными потребностями школы. Затем шла массированная идейно-пропагандистская компания, в которой тонули отдельные критические голоса. Мнение учительства цинично игнорировалось. Реализация навязывалась школе под жёстким давлением, не допускающим неповиновения. Объектив-

ная оценка результатов блокировалась и заменилась «показухой» процентомании. Результат управления без обратной связи всегда один - разрушение.

Подобная методика сохраняется поныне. Один из участников съезда Союза ректоров РФ признаётся: «Филиппов как-то на предыдущем совещании ставил вопрос даже так: если вы не будете изменяться сейчас вот по этому образцу, то мы будем реформировать без вас» [21, № 24, с. 3].

Исток идеи-ВТУ

Теперь сосредоточимся на главной идее реформы-70, идее «высокого теоретического уровня» обучения, её генезисе. Предстоит выяснить вопросы: откуда родилась эта идея? в чём она состоит? Предстоит отчётливо выявить антипедагогическую сущность этой идеи.

Предпосылки идеи-ВТУ возникли в результате объективных особенностей развития науки математики в XIX веке. Это век кризиса основ математики и век выхода из этого кризиса. Кризис состоял в обнаружении серьёзных логических противоречий (парадоксов) внутри математики, а также в возникающих при её бурном теоретическом развитии противоречиях с интуицией. Кризис был преодолён (или так казалось) сложной и утончённой формальной логикой. В результате, математические дисциплины стали "строго" строиться на базе теории множеств и аксиоматики. К началу XX в. многие из них приобрели почти (!) совершенную логическую обоснованность и упорядоченность. Это не могло не влиять на преподавание.

Другой объективный фактор, влиявший на образование, - развитие науки и техники и их растущая роль в жизни общества. В начале XX в. этот фактор стал постепенно трансформировать и приземлять цели обучения. В умах европейских педагогов стали возникать такие мысли: «Надо начинать изучение наук с сообщения самых нужных умений, на науках основанных» (Д. Перри); «Учить надо только полезному» (О. Лодж) [22, с. 69].

Но русское образование всегда направлялось высшей целью нравственного совершенствования (развития?) личности учащегося. Эта главная цель пронизывала все официальные правительственные циркуляры и направляла все реформы. Например, в «Объяснительной записке к проекту устава общеобразовательных учебных заведений МНП» 1862 г. сказано: «Главная задача ... воспитание человека ... Для достижения такой высокой цели необходимо...» [22, с. 22].

Цель эта светила маяком русской педагогической мысли: «Главное достоинство ... преподавателя в том, чтобы он умел воспитывать учеников своим предметом» (К.Д. Ушинский, [24, с. 64]). Две грани образования -воспитание и обучение - представлялись неразделимыми, с приоритетом первой.

Такое православно-христианское понимание образования выражалось прекрасным русским словом «просвещение». О нём напоминает нам сегодня Патриарх Алексий II: «Живой, личностный характер православного образования не может не вести к разумному преобладанию духовно-нравственного

начала воспитания души человеческой над обучением, как способом развития абстрактного, отвлечённого мышления, над обучением, как накоплением всевозможной информации. Идеалом православного воспитания всегда было ... вести человека к духовному совершенству...» [25].

В начале XX в. и в русское образование стали проникать прагматические взгляды. Проф. А.К. Власов, крупный учёный математик и мыслитель-педагог (автор замечательного по педагогическим достоинствам учебника высшей математики) в своей речи на 2-м Всероссийском съезде преподавателей математики в 1913 г. констатировал: «В официальных объяснительных записках к различным программам даётся решение поставленного вопроса (о целях обучения - И.К.) примерно в таком виде: задача средней школы - дать учащимся общее научное образование. Из этого выводится, что цель преподавания математики - развитие строго логического мышления. Средством достижения этой цели является изучение способов доказательств математических истин и систематическое изложение предмета» [26, с. 67].

Вот они, первые и главные симптомы принципа-ВТУ: строгая логика доказательств и научная систематика построения учебного предмета.

Фетишизация логики привела в 70-х гг. к уродливой формализации изложения в учебниках, к обессмысливанию учебных предметов. Дедуктивно-аксиоматическая систематика лишила преподавание психологических мотивировок, привела его к догматизму, а учащихся - к отвращению от математики и вообще от учения. Особенно разрушительно эта систематика проявила себя в геометрии. Вот почему новые реформаторы, не понимающие причин, намереваются выбросить геометрию из школы вообще.

Подтвердим наши выводы заключением акад. В.И. Арнольда: «Выхолощенное и формализованное преподавание математики на всех уровнях сделалось, к несчастью, системой» [27, с. 109].

Русская педагогика против ВТУ: А.К. Власов, А.П. Киселёв

И ведь эти опасности предвидели русские педагоги сто лет назад.

А.К. Власов: «Говорить о строго логическом мышлении, как цели, независимо от содержания этого мышления, по-моему, вряд ли возможно ... Поэтому не изучение способов доказательств математических истин составляет главную задачу изучения математики, само содержание её, содержание (смысл - И.К.) того, что доказывается, представляет большую ценность» [26, с. 68].

И далее: «Вызывает у меня сомнение и ... систематичность изложения предмета, ... при некоторых условиях и систематичность изложения отдельных частей предмета, ведущая по строго определённой тропе, не сбивающейся в стороны, может совершенно убить самостоятельность мысли, может обратиться в шаблон» [там же].

Задача средней школы, по Власову, «дать образование, возбуждающее (!) работу мысли и интерес к знанию» [там же]. В этом направлении идёт и

общая педагогическая мысль): общественное образование не есть «изучение предметов, а есть развитие личности предметами. На первом плане стоит личность, субъект, его интересы, а предметы - на втором, предметы - только средства, цель - личность, именно, её развитие» (П.Ф. Каптерев, [28, с. 2; 29, с. 11]).

Оцените, насколько русская мысль глубже и возвышеннее утилитарной западной. Она возвращается к Ученику и, прежде всего, заботится о его человеческой сущности.

Цель преподавания математики - понимание смыслов, возбуждение содержательного, осмысленного мышления учащегося. Логика при этом -вспомогательное средство, необходимое и ценное средство, но не самоцель. А.К. Власов: «Непонимание тех или иных моментов в сложной логической системе не всегда и не совсем исключает понимание целого. ... Понять -первая стадия усвоения, формальная логика есть средство привести в порядок понятое, а умение и навык - необходимое завершение процесса усвоения ...» [26, с. 69].

Итак, мы видим, что русская педагогика не принимала ВТУ-тенденций в преподавании математики. Но она их учитывала! Она ориентировалась, прежде всего, на понимание учащимися сути научных истин, а не на их научно-логическую форму. И заботилась о правильном, подлинно научном понимании этих истин. Она стремилась гармонично объединить свои высшие ценности с объективными тенденциями времени. Это стремление получило замечательное воплощение в лучших учебниках (Киселёв - в средней школе, Власов, Лузин - в высшей).

Вдумайтесь в слова А.П. Киселёва, приведённые ранее: «Автор ... прежде всего ставил себе целью достигнуть трёх качеств хорошего учебника: точности (!) в формулировке и установлении понятий, простоты (!) в рассуждениях и сжатости (!) в изложении». Глубокая педагогическая значительность этих слов как-то теряется за их простотой. Но давайте вдумаемся.

Современные авторы так же, как и авторы-70, следуя наказу А.Н. Колмогорова, стремятся «к более строгому (зачем? - И.К.) с логической стороны построению школьного курса математики» [13, с. 98]. Киселёв заботился не о «строгости», а о точности (!) формулировок, которая обеспечивает их правильное понимание, адекватное науке. Точность - это соответствие смыслу. «Строгость» - соответствие форме. Пресловутая формальная «строгость» ведёт к отдалению от смысла и, в конце концов, полностью уничтожает его.

Киселёв даже не употребляет слова «логика» и говорит не о «логичных доказательствах», вроде бы неотъемлемо свойственных математике, а о «простых рассуждениях». В них, в этих «рассуждениях», разумеется, присутствует логика, но она служит высшей педагогической цели - понятности и убедительности (!) рассуждений, что достигается их сжатостью и простотой.

Таким образом, выкристаллизовываются два фундаментальных принципа классической русской методики - принцип научности и принцип понятности. Современный модернистский принцип-ВТУ противоречит им обоим и уничтожает их. Он ставит на первое место предмет, науку, а не личность ученика. Более того, он абстрагируется от личности. Но претензия его на высокую научность превращается на деле в многословное бессмысленное наукообразие, вызывающее закономерное отвращение учащихся.

Международная модернизация и русские педагоги

В начале XX в. в международных научных кругах родилась ещё одна идея, использованная позднее нашими реформаторами-70, - идея «обогащения» школьного курса элементами высшей математики. Акад. Д.В. Аносов подводит итог: «Надо изъять элементы математического анализа - этот эксперимент в массовой школе не удался» [1, с. 31]. И этого результата тоже опасались русские педагоги начала XX в.

Вопрос о возможности и способах введения в программу общеобразовательной школы элементов высшей математики серьёзно рассматривался на 1-м (1911 г.) и 2-м (1913 г.) Всероссийских съездах преподавателей математики. Реформаторы-70, привлекая решения съездов себе в поддержку, создавали впечатление, что съезды чуть ли не требовали реформ, вопрос о реформах ими «настойчиво ставился» (А.И. Маркушевич [13, с. 18]). Однако при внимательном прочтении резолюций замечаем, что международная идея модернизации имела весьма осторожную поддержку российской педагогической и научной общественности.

В резолюции первого съезда сказано: «Ознакомить учащихся с простейшими и наиболее доступными (!) им идеями аналитической геометрии и анализа». И далее: «Сознавая всю сложность (!) высказанных здесь пожеланий, съезд признаёт необходимым проявить соответствующую осторожность (!) при всех начинаниях, касающихся проведения их в жизнь» [30, с.156].

А. И. Маркушевич сфальсифицировал первое решение, принципиально изменив его смысл, - вместо слова «наиболее» поставил «несомненно» [13, с. 5]. Призыв съезда к осторожности не цитировался.

Второй съезд уточнил желательные меры: «а) пересмотр программ аналитической геометрии и анализа; б) назначение на эти предметы достаточного количества времени; в) установление связи анализа с предыдущими частями курса; г) более правильная методическая постановка преподавания аналитической геометрии и анализа» [30, с. 158].

Таким образом, мы видим, что речь шла не о коренном «обновлении» программ общеобразовательной школы, а о введении новых учебных предметов. И не «за счёт (выделено мною - И. К.) отказа от второстепенных и устаревших разделов», как пишет Р.З. Гушель [там же, с. 152], а при условии добавления достаточного учебного времени. «Освобождение курса от

отделов, утративших своё значение» признавалось желательным [там же, с. 158].

Более того, проф. К.А. Поссе (председатель российской подкомиссии международной комиссии по реформе) в своём докладе на первом съезде резко ставит вопрос: «Можно ли составить такую программу математики в средней школе, которая удовлетворяла бы общеобразовательным задачам её и специальным требованиям высшей школы? Я утверждаю, что общей, обязательной для всех учеников, программы такого рода составить невозможно (!)» [там же, с. 162]. К.А. Поссе предложил ввести дополнительный, «специальный курс математики ... в специальных математических классах» [там же, с. 163]. Съезд признал «желательной подробную разработку вопроса» [там же, с. 155].

Невысказанные опасения участников первых Всероссийских съездов, к несчастью, подтвердились жизнью. В конце 50-х гг. А.И. Маркушевич стал заместителем министра просвещения РСФСР, а затем - вице-президентом АПН СССР и претворил-таки в жизнь программу международных модернистов, причём именно за счёт выбрасывания методически необходимых частей курса - «несколько (?) тесня традиционный и включая новый материал» [13, с. 18]. Т. е. путём разрушения исторически сложившейся, педагогически выверенной системы преподавания и перемешивания старого материала с новым. А ведь именно это считал «недопустимым» К.А. Поссе. И здесь жизнь подтвердила правоту мудрой осторожности наших предков.

Метод выбрасывания «устаревших»

Заметьте, разрушительную роль сыграла не сама идея добавления элементов анализа в школы, а маленькая и как будто естественная деталь плана: «за счёт отказа от устаревших (?) разделов». Она уничтожила учебный предмет «алгебра» и заменила его кентавром «алгебра и начала анализа». Тем самым учебник Киселёва автоматически выбрасывался из школы.

В 20-х годах реформаторы русской литературы (РАПП и его руководитель Авербах) требовали: «сбросим Пушкина с парохода современности», потому что он «устарел». Фразочка «устарело» используется разрушителями всегда. Она легко вызывает в сознании слушателей простые и убедительные ассоциации и блокирует критику. С её помощью уничтожается качество, добытое предками.

Сегодня наследники реформаторов-70, среди которых есть активные участники той реформы, «думают» над той же «проблемой» - что бы ещё выкинуть из традиционного курса математики? Член-корр. РАО А.М. Абрамов (он, по его собственному признанию [2, 1994, № 5, с. 12-13], участвовал в написании «Геометрии» Колмогорова) предлагает «освобождение от архаичного (?) материала (например, тем «Логарифмы» и «Тригонометрические формулы»)», а также «от задач». Правда, формулируется это благопристойно: «от бессодержательных задач с псевдодидактическими целями» [31, с. 52]. Его поддерживает Р.Г. Хазанкин: «...уже нет никакой необходимости

заниматься тригонометрическими изощрённостями, трудными задачами ... и прочими тупиковыми (?) задачами» [там же, с. 38]. Предлагается обратно ввести в программу комплексные числа и комбинаторику, но умалчивается, что это то самое «архаичное», что было выкинуто ими в 70-х гг.

Относительно "архаичности" логарифмов интересно послушать акад. В.И. Арнольда: «При моих попытках объяснить экономистам ... значение для экономики логарифмов (оценивающих возраст Евы и закон Мальтуса роста народонаселения Земли и нужных также для вычисления сложных процентов в банке, или нынешней стоимости царских долгов, или долговременного эффекта малой ежегодной инфляции) - при этих моих попытках выяснилось, что реформаторы-экономисты ни в одном из указанных предметов (не говоря уже о законах Лотка-Вольтерра конкуренции и борьбы за существование) не разбираются. А ведь понимание логарифмов абсолютно необходимо во всех этих теориях, как и во множестве других» [1, с 43].

Уместно напомнить здесь и методологическое предостережение В.И. Арнольда: «Хочу предупредить возможных российских реформаторов-последователей: математика - живой организм, вдобавок подобный лестнице, в которой выкидывание даже отдельных ступенек чрезвычайно опасно» [27,с.112].

Но психология реформаторов всегда неизменна, - они не слышат никаких аргументов, потому что для их целей они им не нужны. Закон всех реформаторов: энергия пропорциональна невежеству, ибо «ущербное нуждается в самоутверждении» [25, с. 2].

20-е годы: «отречёмся от старого»

20-е и начало 30-х гг. XX в. - это период тотального и жестокого погрома русской культуры и русской элиты. Погромом образования занимался Наркомпрос. Главные установки всех его реформ заложены в 1918 г. Вот маленькая выписка из протокола № 45 заседания 14-20 июля 1918 г.

«Тов. Лепешинский оглашает тезисы, выработанные отделом реформы школы: 1. Учебное время продолжается круглый год; ..3. Учителя должны избегать пользоваться учебниками ... Крупская: Учебники не должны быть отменены ... Другое дело - как он будет использован ... Тов. Полянский: Наша первая задача - изгнание из школы ненужного хлама ... старая математика и словесность должны быть изгнаны из школы. ... Шапиро: Мы глубоко опечалены тем, что наша минно-подрывная работа идёт недостаточно интенсивно, и зовём всех, в ком жива энергия творческого подъёма, спешить с разрушением школы» [32, с. 99-100]. Не чувствуется ли здесь перекличка с сегодняшними реформаторами?

Официальное указание «учебники вообще должны быть изгнаны из школы» было директивно спущено в циркулярном письме отдела школ Наркомпроса в августе 1918 г. Мало кто замечает, что современная (будто бы новая) идея «вариативных» учебников преследует ту же цель. Сегодня учебники также «изгнаны» из школы.

Как и в 90-х, в 20-х боролись с «авторитарной» педагогикой: «учиться надо свободно, без давления». В конце 20-х отменили диктант как принудиловку (сегодня отменяют сочинение). Через некоторое время даже лучшие ученики делали по десятку ошибок в изложении. Страна стала безграмотной. Как и сегодня.

Современная передовая педагогическая идея «интегрированных учебных курсов» тоже была практически опробована в 20-х в виде «комплексных программ». Результат - школьники не знали элементарных научных понятий и фактов (сила, законы Ньютона, клетка, географическая карта и др.) [33, с. 60].

В 20-х годах была сделана первая попытка уничтожения русской педагогической мысли и замены её на «педагогическую науку», которую назвали «педологией». Одноимённый журнал редактировал педолог А.Б. Залкинд. Его «научные» идеи: «Отбросим возрастные особенности, индивидуальность, личность, духовность, религию, мораль!» [33].

Гораздо более эффективный инструмент создан в 1943 г. - Академия педагогических наук. В ней, в частности, готовились кадры, теоретически обосновавшие реформу-70.

20-е годы: погром научной элиты

Социальным инструментом для уничтожения научной элиты явилась ВАРНИТСО - Всесоюзная ассоциация работников науки и техники для содействия социалистическому строительству. Зародилась она в апреле 1927 г. перед выборами в АН. Инициатор - биохимик А. Н. Бах, народоволец, вернувшийся в Россию в 1917 г. после 32-летней эмиграции и ставший в 1929 г. академиком [34, с. 117]. «В закрытых документах, написанных этими (интересно бы знать, какими, - И.К.) людьми, их программа предстаёт без грима: ... немедленная компания в печати против АН (старой, русской, Петербургской АН - И.К.); ... линия на моральное уничтожение лидеров прежней науки; ... репрессии против тех, кто может оказать им поддержку; ослабление материальной базы АН; разрушение её связей; завоевание командных высот в АН, а затем и полное овладение ею» [35, с. 173].

«Линию на моральное уничтожение» реализовала газета «Ленинградская правда» (гл. ред. М.А. Рафаил), которая регулярно печатала погромные, клеветнические статьи на «учёных-обскурантов» АН [там же, с. 172, 174, 177, 189]. 14 февраля 1929 г. она подвела победоносный итог: «Академия освежена, она пополнена новой, революционной кровью» [там же, с. 177].

Глава Московской математической школы, почётный член АН Д.Ф. Егоров арестован в 1930 г., как член «религиозной секты», в следующем году выпущен и умер в больнице. Создатель Московской школы теории функций, великий, несравненный педагог Н.Н. Лузин вынужден в 1930 г. уйти из МГУ. Сам МГУ был под угрозой закрытия.

Старейший русский математический журнал «Математический сборник», издаваемый Московским математическим обществом (президент об-

щества Д.Ф. Егоров, вице-президент Н. Н. Лузин, секретарь И. И. Привалов), тоже освежился «революционной кровью». В выпуске 1931 г. (т. 39, вып. 3-4) помещено объявление: «Материалы для "Советского математического сборника" направлять по следующим адресам: Отв. редактору: Лазарю Ароновичу Люстерник ... Отв. секретарю: Александру Иосифовичу Гельфанд". Свежая, "пролетарская", "революционная кровь"».

Погромом Ленинградской математической школы занималось «Общество математиков-материалистов», организованное в декабре 1928 г. перед выборами в АН и «состоящее всего из 5 человек (А.Р. Кулишер, Л.А. Лейферт, В.В, Люш, В.И. Милинский и Е.С. Рабинович)» [36, с. 14]. «Общество» это выросло из зародыша «группы левой профессуры» Петроградских учебных заведений, созданного в 1922 г. (А.Г. Вальнер, Н.П. Каменьщиков, К.А. Кржишковский, Л.А. Лейферт, А.П. Пинкевич). Откровенно циничное и лицемерное описание деятельности этого «общества» изложено в сборнике «На Ленинградском математическом фронте» [36], составленном Л.А. Лейфертом, Б. И. Сегалом, Л.И. Фёдоровым.

Симптоматично действенное внимание «общества» к вопросам международной реформы преподавания математики в вузе и школе. Они осуждают «торможение ... движения в пользу реформы» в «царской чиновничьей России». По их предложению «была произведена в 1923/24 учебном году значительная реформа физико-математического факультета, его преподавательский состав пополнен новыми силами, изменены целевые установки, изменён учебный план, введены новые методы преподавания» [там же, с. 10]. Они озабочены тем, что «начали появляться вновь в массовых изданиях "Киселёвы" и их подражатели» [там же, с. 13].

30-е годы: восстановление русской школы

В начале 30-х произошло нечто, совершенно неожиданное для реформаторов, - была восстановлена русская школа. Быстро и решительно! За 3-4 года! Этот факт тоже называют «реформой». Не верно. Не реформа, а реставрация, восстановление разрушенного («так открыто и говорили тогда в Наркомпросе») [29, 1995, № 2, с. 84-86]. Новшество было только одно -идеологизация гуманитарного образования. Естественнонаучное образование полностью вернулось к дореволюционным формам, программам, учебникам и методике.

Восстановление-30 началась с честного признания: «Обучение в школе не даёт достаточного объёма общеобразовательных знаний» (Постановление ЦК от 05. 09. 31). И далее: инновационные методы (метод проектов) «вели фактически (!) к разрушению (!) школы» (Правда. 29. 08. 32); «нескончаемое проектирование учебников» (вариативность, говоря современным языком) вызвали «полный хаос и дезорганизацию» (1933 г.); «учебные планы подвергаются ежегодным изменениям, чем нарушают устойчивость и системность прохождения наук в школе» (1935) [19, с. 161-166].

Оцените простоту и ясность управленческого языка того времени. Готовил эти решения новый нарком просвещения А.С. Бубнов, сменивший в 1929 г. А.В. Луначарского.

Меры были приняты простые и точные: возврат к предметной системе обучения, чётко очерченному кругу систематизированных знаний и единым стабильным учебникам. Произошёл быстрый и решительный поворот к учебным планам, программам, методике и организационным формам дореволюционной русской школы.

Программа по литературе стала почти гимназической. Русский язык и математика - основными предметами (максимальное число учебных часов). Если выпускник имел по русскому языку четвёрку, он не получал медали даже при всех остальных отличных оценках.

Зарплата учителя поднята до средней зарплаты в промышленности (с конца 50-х её стали планомерно снижать) [37, с. 8]. Возвеличен моральный престиж учителя и вузовского преподавателя: газета «Правда» писала 01.04.39: «Страна должна знать имена лучших педагогов, как знает имена прославленных лётчиков, героев труда, ...» [19, с. 166].

Учебник А.П. Киселёва, вернувшийся в школу в 1934 г., мгновенно поднял качество знаний. К примеру, в 80-х гг. «...среди поступающих и студентов-первокурсников ведущих вузов Санкт-Петербурга доля молодых людей, успешно справлявшихся со стандартными заданиями по физике и математике, по сравнению с концом 30-х годов сократилась в 1,5-2 раза» [17, с. 127].

Надо бы и сегодня вернуться к замечательным учебникам Киселёва, но нас упорно толкают к поиску «инноваций», к «информационным технологиям». В то время как в Израиле, по свидетельству акад. Н.Н. Скатова, «умные израильтяне обучают алгебре по нашему хрестоматийному Киселёву» [9, 2003, №2, с. 75].

Фантастически быстрое восстановление качественного образования стало возможным потому, что была государственная воля, и потому, что сохранились кадры - носители традиций «старой» педагогической культуры.

30-е годы: первые проявления вируса-ВТУ

Но сохранились и модернизаторы. В изменившихся условиях они закономерно должны изменить методы. Откровенные - на гораздо более тонкие.

Объективная ВТУ-тенденция вдруг сконцентрировалась в узком слое элитных московских математиков и обрела вид передовой педагогической идеи. Развитие своё эта идея (вирус-ВТУ) начала в высшей технической школе.

Вредный педагогический эффект ВТУ-тенденции и механизм её влияния на преподавание разглядел Н.Н. Лузин еще в начале 20-х годов. Учебник для высших технических школ «имитирует (!) университетский курс анализа», подвергнутый «осторожному процессу сокращения, ... вследствие

чего в учебник проскальзывают многие весьма затруднительные (!) для учащихся рассуждения ... хотя ... они ... всегда могут быть заменены другими, более интуитивными и столь же научными (!)» [38, с. V-VI].

Между прочим, в этих словах Лузиным вскрыта вся примитивная суть принципа-ВТУ - «имитация университетского курса».

Акад. А.Н. Крылов, знаменитый кораблестроитель, математик и педагог, выступая в 1936 г. перед студентами и профессорами Ленинградского кораблестроительного института, бил тревогу: "В преподавании математики начинает выступать на первый план чисто логическое умозрение (!) в ущерб наглядности и прикладной стороне дела ... такой характер преподавания ... в технических школах ... противоестественен (!), ибо не соответствует ни склонностям, ни направлению ума слушателей, ни цели учебного заведения" [39, вып. 8, с. 35].

Возражал А.Н. Крылов и против схоластической идеи повышения строгости изложения математики. «Для инженера ... такая всеобъемлющая строгость является бесцельной. На инженера эти строгие, лишенные наглядности доказательства и рассуждения наводят тоску и уныние, он видит в них топтание на месте, жевание жвачки, стремление доказать очевидное, что давно им понято и что ему до доказательства кажется более ясным и понятным, нежели после доказательства» [40, с. 9].

Тем не менее, среди части математиков непреодолимо росло желание поднять инженерам теоретический уровень преподавания. Зачем? Какие будут последствия? Над этими вопросами они не задумывались. Ими, видимо, управляло желание, связанное с профессиональным самоудовлетворением.

Это были молодые честолюбивые специалисты, в основном сотрудники Института математики МГУ (директор А.Н. Колмогоров, учёный секретарь А.Ф. Бермант) и Математического института АН. Характерная их особенность - отсутствие педагогического опыта. К середине 30-х гг. они набрали «критическую массу» в Группе математики АН и использовали её для достижения своих целей. Об этом чуть позже.

В начале 30-х годов в Москве шли бурные дискуссии. Проф. М.Я. Выгодский, автор оригинального вузовского учебника, премированного Наркомпросом в 1932 году, и автор действующих по сию пору справочников, а в сущности, кратких учебников по элементарной и высшей математике, выступая 3 мая 1930 г. на заседании Общества физиков и математиков-материалистов, разъяснял специалистам их педагогическую ошибку: "Понятно стремление преподавателя, вводя студента в математику, поднять его на возможно более высокую ступень теоретического развития науки. Однако такое изложение, перепрыгивая через целый этап развития научной мысли, затрудняет для учащегося процесс выкристаллизовывания теории из практики (генетический закон педагогики - И.К.), а следовательно, делает более трудным и приложение теории к практике" [39, вып. 1, с. 57].

Не странно ли, что столь ясный довод не был воспринят математиками-специалистами? Мешал высокий профессионализм и ограниченность специального мышления. Ограниченность эта может быть ослаблена длительным педагогическим опытом, которого не было у энтузиастов.

Обратите внимание: инженеры и педагоги - против, а математики-специалисты - за. Крылов говорит, что инженерам такое преподавание не нужно и противно. Выгодский объясняет, почему оно ведет к непонимаемости. Но энтузиасты не слышат. Только ли в профессиональной глухоте причина?

Учебник Лузина

Русская педагогическая культура опять не позволила исказить преподавание. Стабильным учебником для втузов стал с 1934 г. учебник акад. Н.Н. Лузина [41].

Великий Николай Лузин (1883-1950), человек уникального философско-математического склада ума, обладавший магическим даром педагога. Человек, гениальный Дух которого создал всю советскую математическую школу и вывел её на одно из первых мест в мире. Вот как характеризуют личность и научное творчество Н. Н. Лузина его знаменитые ученики.

«Это был человек исключительного (!) духовного богатства» [42, с. 482]. «Благодаря исключительной интуиции и способности видеть самое существо вопроса, Н.Н. Лузин нередко предсказывал математические факты, доказательство которых оказывалось возможным только много лет спустя и требовало создания совершенно новых методов математики. Он был одним из крупнейших математиков-мыслителей (!) своего времени» [43, 1953, вып. 2 (54), с. 102].

Такими же пророческими оказываются сегодня глубокие педагогические размышления Лузина. О них мы можем немного узнать из предисловий к его учебникам и редактируемым им книгам.

Педагогический талант Лузина живо рисует нам один из его студентов 20-х годов, известный историк математики А.П. Юшкевич: «Это был удивительный лектор ... Каждая его лекция представлялась нам вдохновенным процессом поиска и открытия истины ... мы чувствовали себя взволнованными, почти как в Художественном театре после какого-либо монолога Качалова» [39, вып. 6, с. 101-102]. Печать поиска истины несёт в себе и учебник Лузина.

В 1921 году Лузин ввел в высшую школу учебник американского педагога В.Э. Грэнвиля (1863-1943), ежегодно редактировал его и совершенствовал. В конце концов написал свой учебник, но по редкой деликатности оставил на титуле имя Грэнвиля. В этом проявилось глубокое понимание необходимой органической преемственности.

Главный педагогический принцип Лузина тот же, что и у Киселёва, -принцип понимаемости. Вот что сказано в предисловии: «Благоприятное отношение учащихся нашей страны к этому учебнику (имеется в виду учебник

Грэнвиля [38] - И.К.) - о чем свидетельствует самое число (пятнадцать) его изданий - побуждает нас сохранить основную его установку, ориентирующуюся целиком на понимание (!) учащимся и читателем излагаемого материала» [41,ч. 1, с. 3].

И цель эта достигалась - учащиеся принимали учебник. Поэтому в 30 -50-х годах, когда действовали учебники Киселёва и Лузина, проблемы качества математических знаний не существовало.

Полезно было бы раскрыть этот принцип и выяснить, какими приёмами достигалась понятность изложения? Это тема другого исследования. Здесь лишь отметим, что большую долю старых учебников составляли неформальные, образные разъяснения.

Учебник Лузина отличался «необыкновенной живостью (!) и ясностью (!) изложения, красочностью (!) языка; автор не только доказывает, но и в живой, образной форме разъясняет (!) содержание курса» [42, с. 481]. Сравните это с современным примитивом: «Лучший (??) способ объяснить теорему - это доказать теорему» [44, с. 7].

В современных ВТУ-учебниках образная педагогическая составляющая исчезла, она объявлена «не научной». Традиция понятного изложения отсечена. Богатейший опыт отечественной методики забыт.

Второй фундаментальный принцип - принцип научности. Излагаемые в учебнике понятия, факты, их объяснения должны соответствовать современному состоянию знания, должны вызывать «в уме своего читателя совершенно правильные в современном смысле понятия и образы (!)» [38, с. VII]. Обратите внимание, как изумительно трактует Лузин этот принцип. Он акцентирует не адекватность учебного текста и науки, а адекватность науки и тех «образов» (!), которые возникают в уме учащегося. Он органически объединяет оба принципа - один без другого не должен реализовываться в обучении.

В соединении научности и понимаемости заключается главная трудность. Вот почему так редок хороший учебник - «элементарные руководства наук ... требуют высших (!) способностей» (из отчета Академии наук России за 1853 г.).

Понимая это, следовало бы беречь лучшие учебники. И не надеяться легкомысленно на то, что, «подобрав» «авторский коллектив» и поручив ему написание учебника, можно получить что-то хорошее.

30-е годы: ВТУ - атака на учебники

Итак, 30-е годы. Уничтоженная русская школа чудесным образом возродилась. Качество знаний учащихся росло «не по дням, а по часам». Что должны были предпринять в такой ситуации модернизаторы?

Ответ почти очевиден - дискредитировать всё лучшее, прикрываясь заботой о более лучшем. Это стратегический метод и линия: дискредитация

- уничтожение - замена - удержание. В 20-х годах не удержали. После этого

- проанализировали, скорректировали, подготовили и в 80-х удержали.

Что лучшее в образовании-30? Высокоэффективная управляющая деятельность Минпроса и высококачественные учебники. На этих двух конкретных целях и был сосредоточен удар.

В качестве главного инструмента для удара использована «обновлённая» Академия наук, точнее, Группа математики АН СССР. Доводы, обосновывавшие вторжение АН в педагогику: учебники «не отвечают», содержат научные «ошибки», надо «поднять» их «научный уровень», т.е. внедрить принцип ВТУ.

Из многочисленных фактов приведу один. Вот выдержки из резолюции декабрьской сессии 1936 г. Группы математики Академии наук СССР:

«Заслушав доклады: 1) проф. Г.М. Фихтенгольца "О программах по математике и о постановке преподавания математики в средней школе", 2) чл.-корр. АН СССР Л.Г. Шнирельмана "О стабильных учебниках математики в средней школе", 3) акад. С.Н. Бернштейна "О программах по математике во втузах", 4) проф. Л.А. Тумаркина "Об учебниках математики во втузах", 5) проф. Л.А. Люстерника "О подготовке преподавателей математики в педвузах". ...

Причинами ...

а) недостаточная квалификация большинства преподавателей ...

б) неудовлетворительность учебных планов и программ Наркомпроса ..

в) полная непригодность некоторых стабильных учебников и многочисленные недостатки остальных ...

г) неудовлетворительное руководство ...

За истекшие со времени постановления партии и правительства пять лет Наркомпросом ничего не сделано для изменения указанного положения вещей ...

По высшим техническим учебным заведениям:

1. ... распространённые учебники ... Грэнвиль-Лузин ... не удовлетворяют полностью (?) потребностям (каким? - И.К.) высших учебных заведений ...

2. ...утверждение одного учебника по математике для втузов в качестве стабильного противоречит (?) интересам успешного преподавания математики и не соответствует духу высшей школы ...

4. необходимо всячески поощрять создание новых учебников ... (вариативность? - И.К.)

Обсуждение докладов о программах и учебниках по математике для втузов вышло далеко за рамки непосредственных тем этих докладов ...» [43, 1938, вып. IV, с. 312-317].

Последняя фраза свидетельствует, что в Группе было активное неприятие («далеко (!) за рамки») взглядов докладчиков. Протоколист, как водится, зафиксировал подготовленное «общее мнение». О самом важном история всегда умалчивает.

Многозначителен уверенный, агрессивный тон резолюции. Тщательную организационную подготовку выдаёт скоординированность действий: в это же время несколько других сходных «организаций» поддержали и усилили удар.

Вот фрагменты резолюции, принятой на общем (?) собрании работников математического института им. В.А. Стеклова Академии наук СССР 1 ноября 1936 г.

«...До сих пор отсутствует научный контроль (?) со стороны авторитетных учёных (?) и научных учреждений над вышеуказанными учебниками, в результате чего в них встречаются неверные (?) утверждения ...

...Учебники не должны содержать неясных (?) формулировок.

Коллектив института им. Стеклова охотно придёт навстречу Наркомпросу в деле составления рецензий на учебники ...

Председатель собрания: член-корр. Академии наук СССР, проф. СЛ. Соболев» [45, № 11, с. 57-58].

Ещё одна резолюция: «Математический комитет НКП РСФСР (руководитель А. Я. Хинчин - И.К.) в своём заседании от 16/XI 1936 г. обсудил вопрос о качестве стабильных учебников по математике для средней школы (докладчики Люстерник, Шнирельман, Тартаковский) ...

Учебник Киселёва (алгебра) комитет признаёт в общем удовлетворительным, но требует при переиздании тщательной редакции и исправления многочисленных (до 200) ошибок (?) ...

... комитет просит Наркомпрос войти с ходатайством в соответствующие инстанции о ... коренной (?) переработке (?) ряда отделов в учебнике Киселёва по алгебре, в задачниках Шапошникова и Вальцова (алгебра), Рыбкина (геометрия) ...» [там же, с. 58-59].

И добились-таки, - А.Я. Хинчин «переделал» Арифметику Киселёва, Н.А. Глаголев - Геометрию.

Передельщики руководствовались ВТУ-принципом: «...каждый учебник ... должен представлять собой единое логически систематизированное целое» [46, с. 7] (из предисловия А.Я. Хинчина к переделанной им Арифметике Киселёва, 1940 г.). Но почему «должен»? На этот вопрос они никогда не отвечали.

На деле этот принцип сводился к перемешиванию параграфов, выбрасыванию «устаревших» и добавлению новых, требуемых логической систематикой. Т. е. разрушалась психологическая последовательность изложения, выработанная многолетней практикой обучения и нацеленная на понимание. Передельщик оправдывает это тем, что учебник «не должен (?) в точности (?) воспроизводить живой педагогический процесс» [Там же, с. 8]. И вот к чему это привело на практике. Из 115 первых параграфов «переработанного» Киселёва изучался только 21 параграф в таком порядке: 11, 12, 109, 11, 42,61, 109,81,82, ... (см. [47]).

Сам «автор переработки» признаёт в предисловии, что «требование логической цельности заставило ввести в учебник некоторую (?) долю материала, который, как правило (?), может быть надлежащим образом усвоен учащимися лишь в старших классах при повторении курса» [46, с. 8]. Эта витиеватая фраза пытается хитроумно смягчить тот вопиющий факт, что совершенно сознательно добавлен материал, который не мог быть понят учащимися!

И это нисколько не смущало «переработчика». Он, не беспокоясь о логике, утверждает далее, что стремился «к большей научной чёткости и большей доступности (?) изложения» [там же]. Т. е. он попросту отождествляет научную чёткость и доступность, декларирует доступность. Вот какова логика и совесть модернизаторов. А ведь русская педагогика давно поняла, что «строгая научность изложения не обеспечивает его доступности» [19, с. 113].

«Научно» переделывались и задачники. Журнал «Математическое просвещение» обеспокоился: «надо следить, чтобы не было порчи (!) с методической стороны в так называемых «обработках» и «переделках» прежних классических руководств для средней школы (что имело, например, место в последних переизданиях алгебраического задачника Шапошникова и Вальцова)» [45, № 12, с. 58].

Уничтожь лучшего!

В 1936 году проведена атака на академика Н.Н. Лузина и его учебник. Организована хорошо скоординированная и жестокая политическая травля нашего лучшего математика, «выдвинувшего советскую математику на одно из первых мест в мире». Поражающие документы «дела Лузина» недавно опубликованы [48].

Сегодня документально установлены имена организаторов и сподвижников этого дела: Л.З. Мехлис, Э.Я. Кольман, Н.П. Горбунов, В.И. Гальперин, О.Ю. Шмидт, П.С. Александров, СЛ. Соболев, Л.А. Люстерник, А.О. Гельфонд, А.Н. Шнирельман, А.Я. Хинчин, А.Н. Колмогоров, Б.И. Сегал, С.А. Яновская, Н.Н. Бухгольц, А.Ф. Бермант, Ф.Р. Гантмахер, Д.А. Райков и др. (см. [48], а также [43, 1937, вып. 3], [49, 1936, 1989, № 4, с. 102-113], [50, с. 109]).

В защиту Н.Н. Лузина выступили П.Л. Капица, И.П. Павлов, В.И. Вернадский, Н.В. Насонов, Н. С. Курнаков, А.Н. Крылов, С.Н. Бернштейн.

Вопрос о тайных целях участников травли всё еще считается открытым. Так бывает, когда страшновато посмотреть правде в глаза и она невольно «вытесняется» из сознания. Правда, некто А.Е. Левин, философ-эмигрант из России, недавно дал в иностранном издании установку объяснять «дело Лузина» некими стратегическими замыслами И.В. Сталина по воспитанию патриотизма (?) советских учёных. С этим предположением как будто соглашаются авторы книги «Дело академика Николая Николаевича

Лузина». Вместе с тем они признают, что «инициаторами» были Мехлис (главный редактор «Правды») и Кольман (зав. отделом науки МК ВКПб), а «прокурором» - математик П.С. Александров.

Следует обратить внимание на связь «дела Лузина» с «реформой-70»: именно математики, травившие Н.Н. Лузина в 30-е годы, в 60-х изгнали из высшей школы его учебник, после чего началась деградация математического образования инженеров [51]. В 70-е гг. они же провели школьную реформу, разрушившую фундамент математического образования.

Принцип этой реформы (строго-формализованное и обобщённо-абстрактное преподавание) отрицался всей научной и педагогической жизнью Н.Н. Лузина. Принцип этот родился в абстрактных умах московских математиков именно в 30-е годы. Тогда же началась его теоретическая разработка (Хинчин, Бермант) и первые попытки внедрения. Существенным препятствием для ВТУ-идеологов стал учебник Лузина. В случае успеха "дела" его учебник уничтожался бы автоматически. В качестве замены был подготовлен и прославлен Л.Г. Шнирельманом учебник А.Ф. Берманта [43, 1939, вып. VI, с. 287-288].

40-60-е годы: подготовка реформы

Размеры журнальной статьи не позволяют столь же детально, фактологически проследить дальнейшую историю подготовки, проведения и закрепления реформ 60-70. Для высшей школы её готовил и начал осуществление в 1959 году А.Ф. Бермант. Методы подготовки, механизмы реализации и результаты Бермантовской реформы высшего математического образования освещены в статьях ([51, № 6, с. 14-18; № 8, с. 21-26; № 9, с. 32-35], [52, с. 10-37], [53, с. 98-109]). Там же проявлена согласованность действий по реализации реформ в высшей и средней школах, их управление «из одного центра».

Начало реформы в средней школе следует датировать 1966 годом, когда министром просвещения СССР был поставлен депутат ВС СССР, химик М.А. Прокофьев (с 1967 г. - академик АПН, с 1971 г. - член ЦК) [34]. Он возглавлял министерство 18 лет! Он выдержал всю критику реформы, удержал её и сделал необратимой. Самый долгий министр просвещения за всю историю России! Следующий за ним по длительности министр (1833-1849, 16 лет) - граф С.С. Уваров.

Главный организатор математической ВТУ-реформы в средней школе - проф. А.И. Маркушевич, действительный член Академии педагогических наук с 1950 г. В период подготовки реформы А.И. Маркушевич - заместитель министра просвещения СССР (1958-1964). В период реализации реформы он «уходит в тень», но контролирует её ход, как вице-президент АПН (1967-1975) [34].

Еще в 1949 г. он сделал на сессии АПН доклад «О повышении идейно-теоретического уровня преподавания математики в средней школе» [9, 1950, № 1, с. 1-4]. В этом докладе не было серьёзного обоснования необходимости

«повышения уровня». Звучал один эмоциональный мотив - программы и учебники «устарели». В то же время признавалось, что они выполняют свою главную функцию подготовки к обучению в высшей школе. Признавалась «жизненность» существующей системы образования. И в то же время утверждалось, что она «устарела». Вот уровень аргументации!

В 50-60-х годах А.И. Маркушевич развернул огромную идеолого-«просветительскую» работу по обработке учительского сознания. Я в это время учился в пединституте и помню его приезд (вместе с академиком АПН математиком Н. Ф. Четверухиным) и вдохновляющие выступления перед студентами, преподавателями, учителями.

В 1957 г. А.И. Маркушевич возобновил издание журнала 30-х годов «Математическое просвещение» (с 1957 по 1961 гг. вышли 6 выпусков). Плеяда его сподвижников видна из оглавлений этого журнала: В.Г. Ашкинузе, В.Г. Болтянский, И.Н. Бронштейн, Н.Я. Виленкин, Г.Б. Гуревич, Е.Б. Дынкин, Я.С. Дубнов, В.И. Левин, А.М. Лопшиц, А.А. Ляпунов, А.З. Рывкин, А.Д. Семушин, Л.Я. Цлаф, И.М. Яглом. В этом списке все -авторы материалов, разрабатывавших идеологию предстоящей реформы.

Во всех номерах журнала можно найти только одну маленькую трёхстраничную методическую заметку А.Н. Колмогорова (№ 2, 1957 г.). Во главе реформы его поставили в последний момент. Его высокий научный авторитет и личные качества эффективно использовались для «пробивания» реформы. Саму реформу назвали «Колмогоровской», сделав его таким образом ответственным за все запланированные результаты. Подлинные же вдохновители и организаторы остались для массового зрителя «за кадром».

Как объяснить?

Знаменательно, что ещё раньше, в 60-х годах, подобная реформа была проведена в ведущих западных странах и окончилась крахом. На II Международном конгрессе по математическому образованию (Эксетер, Англия, 1972 г.) все идеи модернистов были подвергнуты резкой критике [13, с. 228-241, 264-274]. На III конгрессе (Карлсруэ, ФРГ, 1976 г.) во всех докладах звучало, что «реформа не оправдала надежд» [там же, с. 287] и требуется возврат к традиционным методам преподавания.

Знаменитый французский математик, автор теории катастроф Рене Том сделал доклад на II конгрессе [там же, с. 264-274; 9, 1973, № 1, с. 89-93], в котором «со злой иронией» проанализировал идеологию реформаторов и доказал её принципиальную порочность, которую не видят «лишь догматические умы (а их среди модернистов хватает)» [13, с. 264]. Его вывод: «Наступило время прекратить давать обещания, которые являются простым обманом (!). Чудес не бывает, и нельзя надеяться на что-либо большее, чем ос-

торожное, маленькими шагами, локальное улучшение существующего положения» [Там же, с. 274].*)

Наши реформаторы-70 знали всё это и, тем не менее, провели свою реформу. После (!) краха их реформы на Западе. Как это можно объяснить?

Более того, после того, как результаты их реформы стали так же очевидны (катастрофическое падение знаний абитуриентов ведущих московских вузов в конце 70-х [19, с. 200]), реформа продолжалась (?!). Академия наук и журнал "Коммунист" [4, 5] требовали вернуться к традиционному обучению и учебникам, но оказались бессильны. Оцените факт: даже сам ЦК не смог остановить продолжение реформы в 80-х (??!) Как это можно понять? И что за непобедимые силы вели и держали реформу??

Академик Л.С. Понтрягин сравнил реформу-70 с «огромной общегосударственной диверсией» [54, с. 14].

Итоги

Сегодня нам предлагают новые объяснения деградации образования, наиболее массово понятное из которых - недостаток финансирования. Переводят наше внимание и активность на новые ложные цели - всеобщую компьютеризацию и информационные технологии обучения. Сокращают учебные часы, выбрасывают базовые разделы и при этом строго сохраняют главные ВТУ-"достижения" реформы-70 - схоластический формализм и абстрактность преподавания, непонятные учебники, суррогат высшей математики.

Реформа-70 отдаляется и отдаляется. И мы забываем, что деградация началась именно с этой реформы, и её идеология (принцип ВТУ) - главная, коренная, исходная причина катастрофического падения качества математического образования (и школьного, и вузовского).

Принцип ВТУ изгнал из учебников педагогику и методику, изгнал Ученика. Он ответствен за деградацию мышления, а значит, и личности учащихся. Именно он привёл учащихся к массовому отвращению от учёбы. Он породил государственную ложь (так называемую прокофьевскую «процентоманию»), которая заблокировала все возможности исправления ситуации. До сего дня наша школа живёт под тяжким бременем этой реформы. И мало кто помнит и понимает истоки сегодняшних бед.

Несомненна связь между организованным массовым отуплением молодёжи, начатым в 60-х гг. прошлого века, и тем, что происходит с нашей страной с 90-х гг. То, что пытаются сделать с нашим образованием сегодня и что безуспешно пытается остановить Российская Академия наук (см. [1]),

*) Более раннюю (1966 г.) критику модернистов другим крупным математиком Л. Неванлинной [13, с. 228-241 можно найти в журналах «Математика в школе», 1968, №1, с. 83-89 и УМН, 1967, вып. 2 (134), т. XXII, с. 241-253. Его вывод: «Несерьёзные попытки "модернизации" преподавания исходили от людей, которые были обуреваемы близоруким восхищением перед всяческими новшествами, но не понимали основных особенностей развития математики за последние годы» [13, с. 238].

нельзя правильно понять, не зная или забыв то, что сделано в 60 - 70-х гг. Первопричина - там. А корни - ещё глубже.

Забыв прошлое, не поняв истинных причин и движущих сил, глупо надеяться на будущее.

Библиографический список

1. Образование, которое мы можем потерять. - М, 2002.

2. Учительская газета. - 1994, № 5. - 2000, № 34-35. - 2001, № 37.

3. Совайленко В.К., Лебедева О.В. Что с детьми и школой?! Педагогический обзор на исходе века. - Новочеркасск, 2000.

4.Понтрягин Л.С. О математике и качестве её преподавания // Коммунист. - 1980. -№14.

5. Коммунист. - 1982. -, № 2.

6. Народное образование. - 1998. - № 4.

7. Костенко И.П., Захарова Н.М. Причины деградации математических умений и пути её преодоления // Математика в школе. - 2001. -№ 9.

8. О преподавании математики в V-IX классах. АПН РСФСР. - М., 1949.

9. Математика в школе. - 1950, № 1. - 1973, № 1. - 1996, № 1. - 2002, № 2. - 2003, №2, №5.

10. Народное образование. - 1998. - № 4.

11. Эксперт.-2001.-№46.

12. Пахомов Н.Н. Превратности перестройки (синдром политического мессианизма российской академической элиты) // Современная высшая школа. - 1991. -№ 4.

13. На путях обновления школьного курса математики. Сборник статей и материалов. Составители: Маркушевич А.И., Маслова Г.Г., Черкасов Р.С. - М., 1978.

14. Совайленко В.К., Лебедева О.В. Школа и дети в опасности // Педагогический вестник. - 1999. - № 5-7.

15. В мире книг.-1980.-№5.

16. Ушинский К.Д. Собр. соч. В 11-ти т. - Т. 2. - М., 1948.

17. Перспективы. Вопросы образования. - 1984. -№3.

18. Орловский университет. - 2002. - № 7.

19. Колягин Ю.М. Русская школа и математическое образование. - М., 2001.

20. Материалы Всероссийского совещания преподавателей математики средней школы, март-апрель 1935.-М., 1935.

21. Вузовские вести. - 2000, № 2, № 24.

22. Очерки истории школы и педагогической мысли народов СССР. Вторая половина XIX в.-М., 1976.

23. Григорьев В.В. Исторический очерк русской школы. - М., 1900.

24. Ушинский К.Д. Три элемента школы. Собр. соч.: В 2-х т. - Т. 2. - М., 1976.

25. Алексий II, Патриарх. Основы православного образования в России // Педагогический вестник. - 1996, № 7 (197).

26. Власов А.К. Какие стороны элементарной математики представляют ценность для общего образования? // Математическое образование. - М., 1997. -№ 3.

27. Арнольд В.И. Математика и математическое образование в современном мире // Математическое образование. - 1997. -№ 2.

28. Каптерев П.Ф. Об основах реформы средней школы // Школа и жизнь. - 1911. -№ 10.

29. Педагогика. - 1993, № 4. - 1995, № 2.

30. Гушель Р.З. По материалам Всероссийских съездов преподавателей математики 1911 и 1913 годов // Математическое образование. - M, 1999, № 2-3 (9-10).

31. Всероссийская конференция «Математика и общество. Математическое образование на рубеже веков». - М., 2000.

32. Цирульников А.М. Из тайных архивов русской школы. - М., 1992.

33. Нанивская В.Т. Анатомия репрессированного сознания // Вопросы философии. -1990.-№5.

34. Советский энциклопедический словарь. - М., 1980.

35. Перчёнок Ф.Ф. Академия Наук на «великом переломе» // Звенья. Исторический альманах. - Вып. 1.-М., 1991.

36. На Ленинградском математическом фронте. - М. -Л. 1931.

37. Педагогический вестник. - 1996. -№ 7.

38. Грэнвиль В. Элементы дифференциального и интегрального исчислений. - Ч. 1-2. -3-е изд.-Л., 1924.

39. Сборник научно-методических статей по математике. - М., 1971-1978, 1981-1989, 1991.

40. Крылов А.Н. О курсе и постановке преподавания математики во втузах. - М., 1936.

41. Грэнвиль В., Лузин Н. Курс дифференциального и интегрального исчислений. -Ч. 1-2.-М.-Л., 1937.

42. Лузин Н.Н. Собр. соч. - Т. 3. - М., 1959.

43. Успехи математических наук. 1937-1939, 1953, 1959.

44. Кудрявцев Л.Д. Математический анализ. - М., 1973.

45. Математическое просвещение. - М. 1937. -№ 11, № 12.

46. Киселёв А. П. Арифметика. - М.: Физматлит, 2002.

47. Зайцев Н. Я. и др. Планы уроков по арифметике в 5-м классе. - М.: Учпедгиз.

1954.

48. Дело академика Николая Николаевича Лузина. - СПб., 1999.

49. Вестник АН СССР, 1936, №8-9; 1989, №4.

50. Природа. - 1997.-№9.

51. Университетская книга. - 1997, № 6, № 8, № 9.

52. Костенко И.П. Коренная проблема втузовского учебника математики (суть проблемы, истоки, история, результаты) // Математическое образование. - 2006. -№ 1 (36).

53. Костенко И.П. Вузовский учебник математики: узел проблем // Педагогика. -2005.-№9.

54. Жизнеописание Л.С. Понтрягина, математика, составленное им самим. - М., 1998.

АНАЛИЗ ПРОГРАММ ПО МАТЕМАТИКЕ РЕАЛЬНЫХ УЧИЛИЩ

Т.В. Лукашова

В 1871 г. реальные гимназии были переименованы в реальные училища. Согласно Уставу 1872 г., в первых 4-х классах реальных училищ давалось общее образование, а с 5-го начиналось изучение специальных предметов по двум отделениям: основному и коммерческому. Причем при старшем основном после 6-и лет обучения разрешалось открывать дополнительный класс, который включал в себя 3 направления: общее - для подготовки в высшие специальные учебные заведения, механическое и химическое - для

получения среднетехнического образования [2]. Так, утвержденная Министерством народного просвещения в 1873 г. первая примерная программа по математике для реальных училищ состояла из следующих разделов [4]:

Арифметика

I класс. Нумерация десятичной системы. Действия над целыми отвлеченными числами. Употребление русских счетов; сложение и вычитание на счетах. Таблицы русских мер. Раздробление и превращение именованных чисел. Действия над составными именованными числами. Устное и письменное решение задач. Ознакомление с простейшими дробями.

II класс. Признаки делимости чисел на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 и 10. Разложение чисел на простые множители. Действия над обыкновенными и десятичными дробями, как отвлеченными, так и именованными. Периодические дроби. Ознакомление учащихся с метрической системой, а также с главнейшими мерами и монетами Франции, Германии и Англии. Об отношениях и пропорциях. Устное и письменное решение задач, относящихся ко всему пройденному.

III класс. Приложение арифметических действий к решению разного рода задач так называемых: правила тройного простого и сложного, правила процентов, учета векселей, правила ценного, пропорционального деления и смешения.

Примечание. В VI классе арифметика повторяется вместе с алгеброй.

Алгебра

III класс. Упражнения, служащие для перехода от арифметики к алгебре; алгебраическое законоположение. Нахождение численных величин алгебраических выражений. Соединение подобных алгебраических количеств. Сложение, вычитание, умножение и деление одночленов и многочленов. Разложение алгебраических выражений на множители и нахождение общего наименьшего кратного нескольких данных количеств. Действия над алгебраическими дробями. Решение определенных уравнений 1-й степени с одной неизвестной и составление уравнений из условий данной задачи.

IV класс (1 урок). Решение определенных уравнений 1-й степени со многими неизвестными. Возвышение в степени и извлечение корней из одночленов. Извлечение квадратных корней из чисел и алгебраических многочленов. Пропорции и прогрессии.

V класс (3 урока). Решение квадратных уравнений с одной неизвестной. Исследование уравнений 1-й и 2-й степени. Извлечение кубических корней из одночленов и чисел. Решение двучленных уравнений 3-й степени. Решение уравнений высших степеней, приводимых к решению уравнений 2-й степени и двучленных 3-й степени. Решение неопределенных уравнений 1-й степени. Действия над радикалами. Логарифмы с приложением к решению задач.

VI класс (2 урока). Непрерывные дроби и их простейшие приложения. Теория соединений. Бином Ньютона с целым и положительным показателем. Общий наибольший делитель.

Дополнительный класс Дополнительные статьи к курсу алгебры:

Извлечение квадратных корней из количеств вида . Мнимые величины и преобразование выражения

Приложение свойств трехчлена 2-й степени к разысканию maximum и minimum. Способ неопределенных коэффициентов. Бином Ньютона со всяким показателем. О рядах и разложении степенных количеств в строки. Логарифмические и тригонометрические строки и приложение их к составлению таблиц. Способ пределов. Теория соединений с повторениями.

Геометрия

IV класс. Прямая и круговая линия; мера круговой линии. Прямолинейные углы и понятие о мере их. Свойства перпендикулярных и наклонных прямых. Равенство треугольников и их свойства. Свойства параллельных линий. О четырехугольниках и многоугольниках вообще. О круге. Свойства хорд, секущих, касательных и мера углов, составленных этими линиями. Об относительных положениях двух кругов. О треугольнике и правильных многоугольниках, вписанных в круг и описанных около него. Пропорциональность прямых линий и подобие треугольников и многоугольников. Главнейшие отношения между сторонами треугольника, четырехугольника и другими линиями, проведенными в них. Понятие о способе пределов; об отношении окружностей. Понятие о вычислении отношения окружности круга к диаметру. Задачи на построение и численные примеры, относящиеся к каждому из пройденных отделов.

V класс. Измерение и отношение площадей прямолинейных фигур, круга и его частей. О взаимном положении прямых линий и плоскостей в пространстве. Главные свойства двугранных и многогранных углов. Главные свойства и условия равенства пирамид и призм и о правильных многогранниках. Измерение поверхностей призм и пирамид. Измерение объемов призм и пирамид. О подобных многогранниках и об отношении их поверхностей и объемов. О происхождении конуса, цилиндра и шара и об их сечениях. Измерение поверхностей и объемов конуса, цилиндра, шара и его частей. Отношение поверхностей и объемов подобных цилиндров и конусов, а также поверхностей и объемов шаров. Задачи и примеры, относящиеся ко всему курсу геометрии.

Прямолинейная тригонометрия Предмет тригонометрии. Тригонометрические величины. Соотношение тригонометрических величин одного и того же угла. Изменение тригонометрических величин с изменением угла от 0° до 360°. Выражение синуса, косинуса и тангенса суммы и разности двух углов. Выражение синуса, косинуса, тангенса двойного угла и половины угла. Отношение суммы синусов двух углов к их разности. Понятие о вычислении натуральных тригонометрических величин. Употребление тригонометрических таблиц. Графические способы для решения треугольников; инструменты для того употребляемые: линейные масштабы, транспортир, масштаб хордовой и масштабы тригонометрических линий. Соотношение между сторонами и углами прямоугольного треугольника. Решение прямоугольных треугольников. Соотношения между сторонами и углами косоугольных треугольников. Решение косоугольных треугольников. Вычисление площадей. Вычисление формул и решение задач с помощью натуральных тригонометрических величин в тех случаях, когда этим упрощается решение задачи или если при вычислении не требуется большой точности. Преобразование нелогарифмируемых формул в логарифмируемые. Решение простейших тригонометрических уравнений. Измерение линий и углов на земной поверхности. Простейшие угломерные инструменты. Приложение прямолинейной тригонометрии к производству различных измерений на местности.

Приложение алгебры к геометрии Предмет приложения алгебры к геометрии. Необходимость выражать протяжения числами. Линейные числа и формулы. Количества и формулы двух и трех измерений. Числа нулевого измерения. Примеры решения геометрических задач с помощью алгебры:

a) Разделить линию на две части так, чтобы одна была более другой на данную величину.

b) На данном основании построить прямоугольник, равномерный данному квадрату, с) Начертить прямоугольный треугольник, у которого один катет менее другого на линию а, и менее гипотенузы на линию b. d) Площадь данного треугольника разделить пополам прямой, параллельной основанию, е) По данным сторонам четырехугольника, вписанного в круг, вычислить его диагонали. Однородность уравнений, получаемых при решении геометрических задач. Случаи, когда эта однородность нарушается. Восстановление однородности. Построение формул рациональных и иррациональных. Построение корней квадратного уравнения. Задачи для приложения приемов построения формул и для исследования

вопросов: а) По известному расстоянию двух данных линий, перпендикулярных к третьей, отыскать на этой последней такую точку, чтобы прямая, проведенная от этой точки к концам перпендикуляров, составили с этой третьей линией равные углы. Ь) В данном треугольнике вписать квадрат, с) К двум кругам провести общую касательную, d) Разделить прямую линию в крайнем и среднем отношении, е) В данном круге начертить окружность концентрическую, разделяющую данный круг в крайнем и среднем отношении, f) От площади прямоугольной трапеции отрезать часть, равную площади данного прямоугольника, посредством прямой, параллельной основанию трапеции, g) Шар пересечь плоскостью, перпендикулярной к его диаметру, в таком расстоянии от конца диаметра, чтобы вся поверхность отсеченного сегмента была равна площади данного круга, h) Шар и цилиндр, лежащие на горизонтальной плоскости, пересечь другой горизонтальной плоскостью, так, чтобы объемы этих тел, заключающиеся между плоскостями, находились в данном отношении.

Начала начертательной геометрии Понятие о проекции геометрического предмета на плоскости. Способ изображения точки с помощью ортогональных проекций на двух взаимно перпендикулярных плоскостях, горизонтальной и вертикальной. Условие, которому должны удовлетворять проекции точки, при совмещении плоскостей проекций в одну плоскость. Различные случаи расположения проекций точки. Проекции и следы прямой и кривой линий на плоскостях проекций. Видимые и закрытые части проекций линии. Определение следов по данным проекциям. Определение проекций прямой линии по данным ее следам. Определение проекций и длины прямой линии по данным проекциям ее крайних точек. По данным проекциям прямой линии и проекциям точки, не находящейся на этой прямой, найти проекции прямой параллельной данной и проходящей через данную точку. Изображение плоскости посредством ее следов на плоскостях проекций. Определение следов плоскости, которая должна проходить: а) через две пересекающиеся прямые, Ь) через три точки, не находящиеся на одной прямой, с) через данную точку и данную прямую, d) через две параллельные прямые. Определение пересечения двух плоскостей по данным следам этих плоскостей. По данным следам плоскости и одной из проекций прямой линии, находящейся в этой плоскости, найти другую проекцию. По данным следам плоскости и одной из проекций точки, находящейся в этой плоскости, найти другую проекцию. Определение пересечения прямой с плоскостью. Условие перпендикулярности прямой к плоскости. Определить расстояние точки от плоскости. Условие параллельности двух плоскостей. Провести плоскость через данную точку перпендикулярно к данной прямой. Провести плоскость через данную прямую перпендикулярно к другой плоскости. Провести плоскость через данную точку перпендикулярно к двум данным плоскостям. Определение: а) угла двух прямых, Ь) угла двух плоскостей и с) угла наклонения прямой к данной плоскости. Определение расстояния двух параллельных плоскостей и кратчайшего расстояния между двумя непересекающимися прямыми. Изображение пирамиды, призмы и других наиболее замечательных многогранников посредством проекций вершин и ребер. Развертка трехгранной пирамиды. Построение трехгранной пирамиды при помощи ее развертки. Понятие о происхождении поверхности движением линии. Линейчатые поверхности. Поверхности конические и цилиндрические. Изображение прямого кругового конуса, прямого кругового цилиндра, поверхности вращения и шара на плоскостях проекций. Понятие о касательной плоскости к поверхности в данной точке. Свойство касательной плоскости к конусу и цилиндру. Пересечение прямого кругового конуса и прямого кругового цилиндра с плоскостью. Развертка цилиндра и конуса. Понятие о винтовой линии. Начертание винта с треугольной или квадратной нарезкой. План, фасад, профиль и главные разрезы здания. Примеры. Основные правила перспективы и пояснение их примерами.

В 1888 г. появились средние технические учебные заведения, в связи с этим устав реальных училищ был пересмотрен, а технические отделения закрыты [3]. Изменения коснулись и программ по отдельным предметам:

появился приготовительный класс, который включал в себя рассмотрение 4-х основных действий над целыми отвлеченными числами. Курс арифметики 1-го класса пополнялся следующими темами: «Изображение чисел цер-ковно-славянскими и римскими знаками» и «Изменение суммы, разности, произведения и частного в зависимости от изменения чисел, данных для вычисления». Во 2-м классе впервые происходит ознакомление учащихся с нахождением НОД и НОК, здесь же более подробно изучались отношения и пропорции, которые исключались из курса алгебры 4-го класса. В 3-м классе вводилось повторение арифметики, а в 4-м классе она повторялась в связи с алгеброй и пополнялась пунктом о вычислениях по приближению [4].

Из курса алгебры 4-го класса в конец 3-го было перенесено решение и составление определенных уравнений 1-й степени со многими неизвестными, из 5-го в 4-й - извлечение квадратных и кубических корней, решение и составление уравнений 2-й степени с 1-й неизвестной и многими неизвестными. В 5-м классе вводилась задача о курьерах, при исследовании уравнений 2-й степени с 1-й неизвестной, изучались действительные и мнимые корни, рассматривался случай, когда 1-н из корней равен бесконечности, но исключалось решение двучленных уравнений 3-й степени. Прогрессии в 5-м классе выделились в отдельную тему, а в 6-м - непрерывные дроби и их приложения изучались теперь в конце курса алгебры. Важно заметить, что в программу дополнительного класса по алгебре вошел вопрос о максимуме и минимуме дробно-рациональной функции ах2 +Ьх + с Iтх2 +пх + р и способ неопределенных коэффициентов.

Изложение геометрии 4-го класса начиналось с рассмотрения основных понятий о геометрических телах, поверхностях, линиях, точке, плоскости, прямой линии, окружности и угла. В 6-м классе на обучение геометрии отводился всего 1-н урок, в течение которого планировалось повторение всего курса со следующими добавлениями: 4-е замечательные точки в треугольнике; равенство трехгранных углов, призм и пирамид; симметричные и подобные многогранники; подобные цилиндры и конусы; отношение поверхностей и объемов.

Изложение курса прямолинейной тригонометрии в 6-м классе не менялось, за исключением введения пункта Преобразование формул в выражения, удобные для логарифмирования. В программу дополнительного класса входило повторение всего курса тригонометрии и решение задач.

К концу XIX века в области математического образования обнаружились определенные недостатки, которые касались как содержания учебного предмета математика, так и организации его преподавания. В 1895-1896 гг. состоялся 2-й съезд русских деятелей по техническому и профессиональному образованию, на котором было решено, что программа по математике в реальных училищах должна быть пересмотрена [2]. Так в 1895 г. 26 июля Министерством народного просвещения, была утверждена новая программа по математике для реальных училищ [4].

Согласно этой программе, в приготовительном классе на арифметику отводилось 6 уроков, в 1-м - 3 урока, во 2-м - 2, а в 3-м по 2 урока в неделю. Дроби теперь рассматривались только в курсе 2-го класса, в 1-м их изучение опускалось. Изложение отношений и пропорций переходило из 2-го класса в начало 3-го.

На алгебру в 3-м и 6-м классах выделялось по 2 урока в неделю, а в 4-м и 5-м - по 3. Рассмотрение количеств и их показателей переходило в программу 5-го класса. С разложения целых алгебраических выражений на сомножители начинался курс 4-го класса, далее вводилось решение систем определенных уравнений 1 -й степени со многими неизвестными и возвышение многочленов в квадрат. В 5-м классе вводились новые пункты: «Условие существования корней», «Зависимость между коэффициентами и корнями квадратного уравнения (определение знаков корней квадратного уравнения по знакам его коэффициентов, восстановление квадратного уравнения по его корням)», «Разложение трехчлена 2-й степени на линейные сомножители», «Решение простейших систем уравнений 2-й степени с 2-я неизвестными». Исследование уравнений 1-й степени с 1-й неизвестной и задача о курьерах теперь относились к курсу 6-го класса. Далее исследовались системы уравнений 1-й степени с 2-я неизвестными, здесь рассматриваются случаи невозможности и неопределенности.

Обратим внимание на то, что программа по геометрии дополнялась изучением геометрического черчения. Здесь в курсе 4-го класса решались задачи на построение, относящиеся к следующим группам: задачи, основанные на построении перпендикулярных прямых и относящиеся к построению секущих между пересекающимися и параллельными прямыми и к определению положения точки на плоскости по заданным условиям; задачи на построение косоугольных и прямоугольных треугольников по заданиям, заключающим в себе углы, стороны, высоты, биссектрисы и медианы, а также суммы или разности сторон и высот; задачи на построение параллелограммов и четырехугольников по заданиям, заключающим в себе углы, стороны, высоты и диагонали, а также суммы и разности сторон и диагоналей; задачи, относящиеся к разделению прямой на пропорциональные части; построение поперечных масштабов для различных линейных мер, русских и метрических. В пятом классе планировалось решать задачи другого содержания: задачи на построение треугольников и прямоугольников, решаемые при помощи теории пропорциональных линий; задачи на вписывание и описывание одних фигур в другие, решаемые на основании теорем о подобии треугольников; геометрические места, относящиеся к учению о хордах, секущих и касательных к окружности, о мере углов и относительном положении окружностей; задачи на построение касательных к одной и к двум окружностям, а также на построение хорд и секущих в данной окружности при различных условиях; задачи на построение окружностей, касательных к данным прямым и окружностям; задачи на построение треугольников и парал-

лелограммов, решаемые на основании учения о пропорциональных линиях в круге и о мере углов; задачи на построение треугольников, когда в числе данных есть радиус вписанного или описанного круга; задачи на превращение прямолинейных фигур в другие, им равновеликие; задачи на построение фигур, равновеликих данным фигурам; задачи на деление прямолинейных фигур на части при различных условиях. В программы геометрического черчения шестого класса основного отделения входило изучение главнейших методов решения задач на построение (метод геометрических мест, метод симметрии, метод подобия, метод параллельного перенесения, метод вращения, метод обращения задачи и метод алгебраический). Вообще на геометрию в 4-м классе отводилось по 5 уроков в неделю, в 5-м и 6-м классах основного отделения по 4. Все изложение геометрии оставалось прежним, только некоторый материал (начиная с соотношений между сторонами и другими линиями треугольников и четырехугольников) переходил в курс 5-го класса. В свою очередь курс 6-го класса начинался с материала, который ранее относился к 5-у. На обучение в 5-м классе коммерческого отделения отводилось по 2 урока в неделю, здесь изучались планиметрия, стереометрия, решались простейшие уравнения 2-й степени.

Что касается тригонометрии, то на нее в 6-м классе выделялось 2 урока. Эта программа теперь рассматривала изменение тригонометрических величин с изменением дуг от 0 до оо и от 0 до -оо, соотношения между тригонометрическими величинами одной и той же дуги, выражения синуса, косинуса, тангенса суммы и разности 2-х дуг, а также двойной дуги и половинной дуги, отношение суммы синусов 2-х дуг к их разности. Изучение тригонометрии заканчивалось решением простейших тригонометрических уравнений.

Математику в дополнительном классе проходили по 3 урока в неделю, сюда входило повторение всего 6-и классного курса математики и решение задач на все ее отделы. По арифметике в дополнительном классе рассматривались основные теоремы и вычисления по приближению.

Курс алгебры был расширен следующими темами: иррациональные числа, рассматриваемые как пределы; количества с иррациональными показателями; теорема о существовании логарифма у всякого положительного числа при положительном основании; логарифмы, рассматриваемые как члены арифметической прогрессии; основание натуральных логарифмов; модуль. Комплексные выражения теперь рассматривались только в алгебраическом виде. Далее вводилось исследование уравнений 2-й степени, решение неравенств 2-й степени, решение двухчленных уравнений и трехчленных вида ах Р+Ьхр+с=0. Равносильные (тождественные) уравнения переходили из начала курса в конец.

В начале 1900 г. начала работать министерская подкомиссия по составлению программ математики для средних учебных заведений, которую возглавил директор Санкт-Петербургского реального училища Н.И. Бибилин,

известный в то время математик. Среди основных изменений, внесенных в программу по математике, особо следует отметить попытку включить в программу элементы аналитической геометрии для 8-ми классных реальных училищ. Это ознакомление с некоторыми системами координат на плоскости, представление простейших функций кривыми в различных системах координат и т.д. Несмотря на то, что эта программа так и не была введена в действие, работа подкомиссии Н.И. Бибилина оказала большое влияние на развитие математического образования в последующие годы [4].

В 1906 г. Министерство народного просвещения издает циркуляр, в котором утверждается новая программа по математике для 7-го (дополнительного) класса реальных училищ, состоящая из следующих разделов [4] :

Арифметика

Основные теоремы о делимости чисел. Общий наибольший делитель двух целых чисел. Решение неопределенных уравнений 1-ой степени с двумя неизвестными в числах целых и положительных.

Алгебра

Комплексные числа. Действия над ними: сложение, вычитание, умножение, деление, возвышение в степень (бином Ньютона) и извлечение квадратного корня. Основные свойства целой функции и ее корней. Частные случаи: функции х" -а'1 и функция ах2р+Ьхр+с. Посторонние решения. Исследование уравнений I степени с одною неизвестною и системы двух уравнений I степени с двумя неизвестными. Тригонометрия. Тригонометрические (круговые) функции дуги. Изменения значений тригонометрических функций при изменении дуги (аргумента) от -? до +?. Формулы приведения тригонометрических функций какой ни есть дуги, заключенной между 0 и я/4. Соотношения между тригонометрическими функциями одной и той же дуги. Теорема сложения. Тригонометрические функции кратной дуги и половины дуги. Представление суммы и разности синусов и косинусов в виде произведений. Понятие об обратных круговых функциях. Тригонометрические уравнения. Неравенства sinx<x<tgx и 0< x-sinx< х3/4 для дуг, заключенных между 0 и я/2 , и вытекающая из этих неравенств возможность приближенного вычисления тригонометрических функций.

Основания аналитической геометрии

Определение положения точки на плоскости прямоугольными координатами. Расстояние двух точек, выраженное в прямоугольных координатах их. Выражение прямоугольных координат середины прямолинейного отрезка через координаты его концов. Прямая. Различные виды уравнений прямой: 1) уравнение, решенное относительно одной из координат; 2) уравнение, содержащее отрезки осей координат; 3) нормальное уравнение прямой; 4) общее уравнение I степени. Уравнение прямой, проходящей через данную точку. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки. Координаты точки пересечения двух данных прямых. Угол между двумя прямыми; условия их параллельности и перпендикулярности. Расстояние точки от прямой. Выражение площади треугольника. Перенесение начала координат. Круг. Его уравнение в прямоугольных координатах. Полярные координаты. Архимедова спираль. Общая идея координат и геометрических мест. Сечения поверхности прямого кругового конуса плоскостями, не проходящими через вершину. Три типа сечений: эллипс, парабола, гипербола. Характеристическое свойство их, выражающееся в постоянстве отношения расстояний каждой точки их от фокуса и директрисы. Уравнения в полярных координатах. Уравнения в прямоугольных координатах, отнесенные к вершине. Уравнения эллипса и гиперболы в биполярных координатах. Уравнение касательной в данной точке кривой. Диаметры эллипса, гиперболы и параболы.

Основания анализа бесконечно-малых

Основания учения о пределах. Приложение учения о пределах к измерению длины окружности, площади круга, поверхностей т объемов цилиндра, конуса и шара. Предел отношения sinx/x при стремлении х к нулю. Предел бинома (1 + 1/и)" при неограниченном возрастании п. Натуральная система логарифмов. Модуль. Переменная независимая (аргумент) и зависимая (функция). Явная и неявная функции. Непрерывное изменение аргумента. Понятие о непрерывности функции для данного значения аргумента и для данной области аргумента. Примеры непрерывных функций; функция а\ Геометрическое представление функций. Понятие о производной и дифференциале функции. Геометрическое и механическое значение производной. Производные суммы, разности, произведения и частного. Производная и дифференциал сложной функции. Производная обратной функции. Производные функций: степенной, показательной, логарифмической и тригонометрических. Геометрическое представление свойства непрерывной функции: если функция непрерывна в некоторой области аргумента и на границах этой области имеет противоположные знаки, то она обращается в нуль внутри этой области. Геометрическое представление теоремы Ролля; теорема Лагранжа. Признаки возрастания и убывания функций. Наибольшее и наименьшее значения функции для данной области аргумента; их разыскание. Уравнения касательной и нормали к данной кривой в данной точке; касательная к эллипсу, гиперболе и параболе. Понятие об определенном интеграле. Приложение к определению площадей. Понятие о неопределенном интеграле.

Распределение часов в программе 1916 г. для реальных училищ частично оставалось прежним, только на арифметику в 1-м классе отводилось теперь 4 урока, а на геометрию в 4-м и 5-м по 3 урока в неделю. В конце 1-го класса снова вводилось ознакомление с простейшими дробями с помощью задач во 2-м классе исключалось рассмотрение понятий первоначальных и составных чисел, а в 3-м классе при решении задач уже не использовались правила учета векселей и цепное правило [1].

В курсе алгебры 3-го класса при изучении действий над одночленами и многочленами деление переходило в начало алгебры 4-го класса. Далее выделились следующие темы: «Квадрат и куб двучлена», «Произведение: (а+в)(а-в)» и «Решение численных уравнений 1-й степени с 1-м неизвестным». В программу алгебры 4-го класса снова вводится изучение действий над количествами.

На изложение геометрического черчения в 4-м классе выделялся всего 1 урок. Программа по алгебре 5-го класса пополнялась темами: «Извлечение квадратных корней из чисел с точностью до 1», «Иррациональный квадратный корень», «Понятие об иррациональных числах и действие над ними», а также «Периодические десятичные дроби». Курс геометрии 5-го класса начинался с тем: «Измерение углов», «Пропорциональные прямолинейные отрезки» и «Подобие треугольников и многоугольников», которые ранее относились к курсу геометрии 4-го класса. Далее все оставалось без изменений (до измерения и отношения площадей), остальные темы переходят в начало 6-го класса, вместо них рассматривались начала однородности. Количества с нулевыми, отрицательными, дробными показателями и логарифмы переходили из 5-го класса алгебры в начало 6-го. Здесь же вводилось рассмотрение сложных процентов и срочных уплат, решались показатель-

ные уравнения. В курсе тригонометрии 6-го класса стали изучать логарифмы тригонометрических величин, устройство тригонометрических таблиц, пропорциональность стороны треугольника синусу противолежащего угла, выражение тангенса половины угла треугольника в его сторонах, отношение разности сторон треугольника к их сумме и решение прямоугольников.

Несмотря на указанные различия в программах по математике для реальных училищ, в целом объем изучаемого материала в них был одинаков, и даже динамика его изучения в основном была одинакова, а именно: наиболее нагруженными оказывались средние классы. В 1-м, 2-м классах реальных училищ изучалась только арифметика. Последний класс отводился на повторение и обобщение пройденного. Особая роль в течение всех лет обучения после каждого раздела отводилась решению различного вида задач. Объем изучаемого материала в реальных училищах в принципе совпадал с объемом классических гимназий. Но их программа в каждом классе была более насыщенной, чем в гимназиях, за счет меньшей продолжительности обучения и одновременно большего количества часов в течение года.

Библиографический список

1. Алексеев П. Правила и программы всех классов реальных училищ ведомства МНП.-Школа, 1916.-208 с.

2. Колягин Ю.М. Русская школа и математическое образование: Наша гордость и наша боль. - М: Просвещение, 2001. -318 с.

3. Кондратьева Г.В. Школьное математическое образование в России (вторая половина XIX века). - М.: Изд-во МГОУ, 2005. - 128 с.

4. Саввина О.А. Исторические очерки о преподавании высшей математики в средних учебных заведениях России. Часть II (вторая половина XIX - первые семнадцать лет XX вв.): Монография. - М.: МПУ, ЕГУ, 2002. - 246 с.

ОРГАНИЗАЦИЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО ПРОЦЕССА В ЕДИНОЙ ТРУДОВОЙ ШКОЛЕ В 1917-1931 ГГ. (НА ПРИМЕРЕ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ)

И.А. Марушкина

Октябрьская революция 1917 г. повлекла за собой ряд судьбоносных преобразований в системе русского просвещения. Особенно разрушительными они явились для средней школы. Как известно, благими намерениями. Разрушительный характер преобразований был завуалирован «многообещающими» декларациями и постановлениями.

В 1918 году было принято Положение об единой трудовой школе РСФСР, согласно которому было введено всеобщее обучение для всех детей [7, с. 133]. В школы пошли дети из семей рабочих и крестьян. Из каждого ребенка планировалось «сделать идеального советского человека» для

строительства будущего социалистического государства. Согласно этому постановлению, система образования должна была стать единой. Она касалась детского сада, средней школы и далее ВУЗа.

В основу школьной жизни был положен производительный труд: «...трудовое начало станет мощным педагогическим средством в том случае, если труд в школе будет творчески радостным, свободным от приемов насилия над личностью учащегося и при всем этом планомерно и социально организованным» [7, с. 135]. Стремление привлечь труд в обучение вытекало из практического соображения, требовалось «ознакомить учеников с тем, что больше всего им будем нужно в жизни, с тем, что играет доминирующую роль в ней в настоящее время, земледельческим и промышленным трудом во всех разновидностях его» [7, с. 138].

В идеале все занятия в трудовой школе должны были способствовать трудовому знакомству с окружающей ребенка природой и общественной средой [7, с. 138]. Считалось, что сами трудовые процессы будут воспитывать в детях ту внутреннюю дисциплину, без которой немыслим рационально поставленный коллективный труд [7, с. 138]. Т. о., много внимания уделялось сознательному отношению учащихся к учебе и труду.

Обучение в школе сначала разделялось на две ступени. Первая ступень - это был пятилетний курс для детей от 8-ми до 13-ти лет. Вторая ступень -это был четырехлетний курс для детей от 13-ти до 17-ти лет.

18 декабря 1923 г. был принят Устав единой трудовой школы. Согласно этому уставу I ступень обучения была сокращена до 4-летнего обучения, она включала 4 возрастных группы, а II ступень увеличилась до 5-летнего обучения и включала 5 возрастных групп. Школа II ступени должна была включать в себя 2 законченных концентра. Первый объединял первые три года обучения, второй - 2 последних года обучения.

В течение года жизнь в школе была построена следующим образом: «1) обычные школьные занятия, примерно с 1 сентября по 1 июля; 2) школьные занятия под открытым небом, примерно с 1 июня по 1 июля: площадки, летние колонии, экскурсии для знакомства детей с природой и жизнью; 3) полные вакации, примерно с 1 июля по 1 сентября, с 23 декабря по 7 января и с 1 апреля по 14 апреля» [7, с.135].

Единые трудовые школы работали в течение всей недели, без выходных. Деление на классы было «заменено делением на группы по степени подготовленности учащегося к соответствующему роду занятий» [7, с. 136].

Процесс обучения в школе должен был строиться на новых началах, так как элементы старой школы были упразднены. Была ликвидирована классно-урочная система, учебные дисциплины не изучались как отдельные предметы, а все рассматривались в комплексе. Отменялись экзамены и обязательные домашние задания. Перестала существовать балльная система оценки знаний учащихся. Отменялась должность учителя, его функции должны были выполнять школьные работники.

Классно-урочная система перестала существовать, но некоторые характерные ее черты продолжали присутствовать в учебном процессе. Учебный процесс предполагал изучение нескольких учебных предметов, связанных между собой комплексным методом (т.е. все предметы изучались в рамках одной комплексной темы). Имело место расписание учебных предметов и программный минимум по каждому предмету. Документального подтверждения, как называлась форма занятий школьного работника с учащимися, найти не удалось. Но это были занятия с группой учащихся одного возраста постоянного состава, занятия проводились согласно расписанию и были ограничены по времени. Можно сделать вывод, что урок как форма организации учебного процесса сохраняется, но официально не называется, поэтому мы в дальнейшем называем его просто занятием.

Сломав старый режим школы, приходилось вносить изменения во все элементы учебного процесса. В первую очередь это коснулось:

- программ,

- форм организации учебного процесса,

- целей обучения и методов преподавания.

Программы

В «Положении о единой трудовой школе» и «Основных принципах единой трудовой школы», принятых в сентябре 1918 г., были определены лишь основные принципы содержания учебно-воспитательной работы в советской школе, а об учебных программах ничего не говорилось. В 1918-1920 гг. общегосударственные программы разработаны не были. Работали тогда по программам дореволюционной школы. В 1921 году было утверждено положение о научно-педагогической секции Государственного ученого совета (ГУСа), во главе которого была назначена Н.К. Крупская. Научно-педагогическая секция ГУСа стала центром разработки новых программ для общеобразовательной школы.

Разработка программ для первого и второго концентров II ступени (т.е. для 5-7-го и 8-9-го годов обучения) проводилась комиссией под руководством М.М. Пистрака, в которой участвовали научные сотрудники Института методов школьной работы и педагоги Московской опытно-показательной школы-коммуны им. П.Н. Лепешинского.

К концу 1922 г. были разработаны общие схемы программ единой трудовой школы 1, 2-го концентра II ступени. 5 марта 1923 г. Коллегия Наркомпроса приняла эти схемы как основу для дальнейшей более подробной разработки программ.

15 июля 1923 г. Коллегия Наркомпроса одобрила программы для 1-го года обучения школы II ступени. Они были опубликованы для обсуждения и проверки их в опытно-показательных школах.

Сборник программ для 1-го концентра II ступени (т. е. для 5, 6, 7-го годов обучения) был издан в 1925 году. Переход на новые программы для 5, 6, 7-го годов обучения был определен сроком на 3 года - с 1926/27 по 1928/29 учебный год.

В 1927 году были изданы переработанные с учетом опыта школ программы для школ II ступени. Программы для 2-го концентра II ступени (8-й и 9-й годы обучения) по общеобразовательным предметам были изданы в 1927 году.

В основу программ были положены следующие принципы трудовой школы:

1) принцип наблюдения и вывода законов природы;

2) принцип человеческого труда с развитием орудий труда;

3) принцип развития человеческих обществ, рационально организующих коллективный труд человека [1, с.28].

Исходя из принципов трудовой школы, схемы программ были построены по трем колонкам: природа и человек, труд, общество.

В основу программ II ступени был положен человеческий труд, как центральное явление, исходя из которого, с одной стороны, познается природа, ибо в процессах труда человек познает природу, конструирует свое миросозерцание; с другой стороны, в том же труде возникает постепенно наш общественный строй [4, с.5].

Система расположения материала по каждому предмету была подчинена общим комплексным темам, отраженным в схемах программ.

Советское правительство не приняло программ старой школы, т. к. считало их не связанными между собой и оторванными от реальной жизни. Поэтому для устранения первого недостатка был введен так называемый комплексный метод, который как бы объединял все предметы общими темами изучения.

Второй «недостаток» (оторванность от реальной жизни) надо было устранить путем изучения трудовой деятельности людей и ее организации, на основе которой развивается общественная жизнь и сущность которой состоит в подчинении природы потребностям человека. Трудовая деятельность людей должна была изучаться на региональном уровне, чтобы осуществить связь с действительностью.

Отсюда следует, что в обязанность учителя входило самостоятельно изучать историю труда, политэкономию, экономическую географию, организацию труда в своем регионе.

Требовалось, чтобы учителя каждого района «имели представление о том, как постепенно росла власть человека над природой в этих областях, как наука помогала все более и более овладевать силами и богатствами, лежавшими до тех пор мертвыми капиталами. Нужно показать перспективы дальнейшего овладения этими силами и богатствами. Если учитель будет обладать этими знаниями, он сумеет вдохнуть в своих учеников стремление к знанию, сумеет разжечь и направить в должное русло их исследовательские инстинкты, сделать их своего рода пропагандистами научного знания в их семьях» [5, с. 19]. Нужно было изучать индустрию и сельское хозяйство региона, исследовать динамику экономического развития предприятий в го-

роде и селе. Учитель обязан был создать текстовые сборники задач на основе регионального материала.

Предполагалось, что в эту работу будут вовлечены Губ и Уоно, союз работников просвещения, педагогические вузы и педтехникумы.

Большое значение приобретало краеведение в деле преподавания. Трудовая школа диктовала определенный уклон в постановке краеведения: «Не памятники старины, не архитектурные стили построек, не фольклор должны составлять стержневую ось школьного краеведения. Такой осью должна быть трудовая деятельность людей и ее организация. Другой вопрос краеведения, тесно связанный с вопросом о трудовой деятельности людей и рассматриваемый с точки зрения этой последней, — это изучение природных богатств и сил природы и их использования Они должны были вести коллективную работу, организовывать кружки, устраивать конференции и совещания по обмену опытом работы по комплексным программам» [5, с. 19].

В методическом письме «О работе на местах над новыми программами и о порядке перехода школ к ним» отмечается, что губернские методические бюро должны заняться собиранием соответствующих материалов, характеризующих местную природу, экономические и социальные условия (производство, торговля, финансовое положение, состав населения), управление, быт, фольклор, историю края и т. д. Желателен был бы подбор такого рода материалов для школ и издание соответствующих местных руководств. Здесь широко могут быть использованы местные журналы и газеты за разное время, отчеты всякого рода, протоколы, справочники.

Система занятий II ступени была очень сложной и очень трудоемкой, как и подготовка к этим занятиям школьных работников.

В школе II ступени в каждой группе преподает не один, а несколько школьных работников, т. к. занятия ведутся по отдельным предметам. На занятиях по разным предметам обсуждается одновременно один и тот же вопрос с разных точек зрения. Чтобы это было осуществимо, «необходима полная спетость между учителями, полная согласованность в их занятиях. Спайка между отдельными дисциплинами проведена в новых программах, но каждая программа рассчитана на целый год, а надо, чтобы спаянность была и в более короткие промежутки времени. Нужно добиться ее и на протяжении месяца и на протяжении недели. Комплексность на второй ступени требует от каждого учителя работы по плану, во-первых, а затем согласованности планов отдельных преподавателей. Комплексный метод требует дружной, коллективной работы всех учителей. Место отдельного учителя занимает коллектив учителей» [4, с.99]. Соотношение между различными предметами могло видоизменяться на протяжении всего учебного года. Расписание учебных занятий может меняться в зависимости от того, на что надо в тот или иной момент обратить главное внимание. «Если ребята увлекутся каким-нибудь вопросом, надо на него уделить больше времени за счет уменьшения часов на данный предмет в дальнейшем» [4, с.99].

Итак, в трудовой школе нет занятий по отдельным предметам, все дисциплины подчинены единым комплексным темам. Каждый учитель, в том числе и учитель математики, должен был начать изучение программ со схем, в которых представлены комплексные темы для всех предметов.

К примеру, рассмотрим схему программы 1-го концентра II ступени. (1-ый год II ступени (12—15 лет)).

I. Природа, ее богатства и силы.

II. Использование этих богатств и сил человека. (Трудовая деятельность людей).

III. Общественная жизнь.

1. Физика и химия, поскольку они нужны для понимания климата, жизни почвы, жизни растений.

1. Добывающая сельскохозяйственная промышленность, ее виды и формы. Характеристика земледельческих районов СССР. Обработка и удобрение почвы. Плодосмен. Уход за растениями в поле. Орудия труда и сельского хозяйства. Культурные сельскохозяйственные растения. Скотоводство, птицеводство и др. отрасли животноводства. Мелкое и крупное хозяйство.

Крестьяне и помещики. Крепостное право, возникновение его. Борьба крестьян против помещиков. Дворянство. Царь и дворянство. Самодержавный строй. Диктатура дворянства. Крымская война. Освобождение крестьян. Крестьянское бесправие. Выкупные платежи. Крестьянское малоземелье. Крестьянское хозяйство. Помещичье хозяйство. Статистика сельского хозяйства до войны. Мечты крестьян о земле. Союз рабочих и крестьян. Завоевание власти. Закон о земле.

Борьба крестьян на Западе. Жакерии. Крестьянские войны. Великая французская революция [4, с. 10].

2. Почва, ее состав и свойства. Характеристика почв в разных районах России.

3. Наблюдение за погодой. Метеорология. Климат разных районов СССР.

2. Земледелие в Западной Европе и Америке. Результаты применения науки к земледелию. Обновленная земля.

4. Биология, жизнь растения, зависимость его от окружающих условий. Распределение растительности по СССР. Мир животных; связь между их строением и образом жизни Животные, имеющие положительное и отрицательное значение в сельском хозяйстве.

Анализ данной схемы показывает, что математических комплексных тем, которые предлагались для изучения в трудовой школе, нет. Также как нет тем по русскому языку, литературе, иностранным языкам. Рассматриваются темы по биологии, географии, истории, физике, химии. Получается, что такая наука, как математика, выступала как второстепенный предмет, как средство для изучения перечисленных выше предметов.

Каждую тему программы по математике надо было рассматривать с трех позиций: природа и человек, труд, общество, используя региональный материал и подгоняя под комплексные темы, отраженные в выше приведенной схеме.

Итак, «школьный работник» должен был самостоятельно, опираясь на свой опыт, интуицию создать рабочий материал для урока, ориентируясь на схемы, разработанные ГУСом и на материал, который разрабатывают его коллеги. Всем этим школьные работники должны были заниматься во внеурочное время.

Подведем итог. Данная система программирования учебного процесса не дала желаемых результатов: ребенок не получал упорядоченных знаний, не видел результатов своего труда, имел абстрактное представление обо всем. Способным ученикам в дальнейшем для достижения своей цели приходилось много работать самостоятельно, заново постигать многие учебные предметы, которые изучались на недостаточном уровне для поступления в ВУЗы.

Формы организации учебного процесса

Согласно «Постановлению об единой трудовой школе» отменялась классно-урочная форма организации учебного процесса. Деление на классы заменялось делением на возрастные группы. В Декларации о единой трудовой школе сказано, что «школьный день должен быть лишь отчасти не более 5-6 часов на II ступени занят программными работами, остальное время должно быть предоставлено ученикам частью для свободного использования внутри школы с утилизацией ее ресурсов, частью для полного отдыха. Само расписание должно составляться с таким расчетом, чтобы не утомлять ученика однообразием» [6, с. 141]. Обучение велось по отдельным дисцип-

линам, объединенным общей комплексной темой. Занятия проводили школьные работники-предметники.

В программах предусмотрено следующее распределение занятий в школе: один день в неделю занимают экскурсии, остальные пять дней в первой половине ведется учебный процесс, во второй половине проводятся занятия по рисованию, черчению, пению, моделированию, ручному труду, практическим занятиям, экскурсиям, гимнастике, также проводятся школьные собрания и пр.

В исследованных нами документах нет данных о конкретной форме организации учебного процесса в трудовой школе. Деление учебного процесса на предметы заменено работой по комплексным темам. Есть программы по отдельным предметам, но темы, рассматриваемые там, должны были быть подчинены схемам ГУСа и изучаться в комплексе с остальными предметами.

В программах отражается режим работы школы: один день в неделю посвящать экскурсиям, в остальные 5 дней проводить занятия в школе.

Можно выделить три формы организации учебного процесса в трудовой школе этого периода. Это:

1. Экскурсии.

2. Занятия, на которых использовалась индивидуально-групповая форма обучения.

3. Занятия, на которых использовалась коллективная форма обучения.

Экскурсии давали учащимся возможность ближе прикоснуться к жизни, расширить кругозор, сформировать мировоззрение. Они могли собрать статистический материал, который, считалось, мог бы потом пригодиться для дальнейшей учебы.

Программами 1923 года рекомендовано в 1 -й год II ступени (сентябрь, октябрь) использовать, главным образом, для экскурсий хозяйство, природу. 10-12 экскурсий дадут очень много. Заранее надо было разработать план этих экскурсий: статистические обследования, измерения участков, составление планов построек, обследование инвентаря, систем хозяйства, земельных отношений, определение количества и пород скота, ряд ботанических исследований и т. д. [4, с. 99-100].

Поэтому на занятиях по математике перемешиваются сведения из арифметики, геометрии, алгебры. Сельскохозяйственную статистику связывали с закономерностями явлений природы и закономерностями в общественной жизни. На основе этих закономерностей делали вывод «о значении алгебраических обобщений, формул, о переводе закономерных явлений на алгебраический язык. Выяснение самой сути того, что такое алгебра, выяснение ее отличия от арифметики, перевод пространственных (геометрических) отношений на алгебраический язык» [4, с. 100].

В целом все последующие занятия по математике должны были вращаться около данных, полученных во время этих экскурсий. Рассматрива-

лись задания, связанные с вычерчиванием кривых погоды, с сельскохозяйственной статистикой и т. п.

Зимой экскурсии в деревне продолжались, но цель их становилась другой. Теперь исследованию подвергался культурный уровень деревни, деревенские нужды, классовые отношения, связь деревни с городом, условия транспорта и т. д. Дети должны были посетить заседания сельсовета, волсо-вета, побывать в местном кооперативе и т. д.

Зимой параллельно с экскурсионной работой проводилась «лабораторная работа по физике и химии, моделирование орудий сельскохозяйственного труда, изучение их истории, работа по анализу почв и по минералогии, по наблюдению над погодой, по физической географии, по определению земледельческих районов в СССР., по зачерчиванию соответствующих карт, по сравнению земледельческих систем, составлению диаграмм урожайности, выяснению характера земельной собственности, классовых отношений, изучению всех условий данного района, его особенности, изучению роли кооперации в деревне и т. д. и т. д. В результате у учащихся этого года должна получиться картина состояния земледелия и земельных отношений данного района и представление о возможностях его развития» [4, с. 100].

Весной экскурсии продолжаются, их цель - «дать почувствовать земледельческий труд, слить его с жизнью природы» [4, с. 100].

Из проведенного анализа целей экскурсий 1-го года II ступени трудовой школы заключаем, что выполнять программу по математике учащимся было некогда, систематически она не велась, а математический аппарат использовался только на других предметах для вычислений.

Всевозможные тематические экскурсии действительно активизировали познавательную деятельность, давали профессиональную ориентацию, служили сплочением коллектива, умению подчинять свои интересы интересам общества, умению собирать необходимый материал для дальнейших занятий по разным предметам, но, к сожалению, по математике - менее всего.

Школьные занятия проходили в первой половине дня вместе со школьным работником. Такие занятия имели индивидуально-групповую и коллективную формы работы.

Занятия, на которых использовалась индивидуально-групповая форма работы, в некоторых источниках названа бригадно-лабораторным методом. Бригадно-лабораторный метод, как известно, был трансформирован из американского Дальтон-плана. Суть этой формы обучения заключалась в том, что в начале учебного года учитель с каждым учащимся составлял индивидуальный план изучения каждого учебного предмета в нужном объеме к конкретному сроку. В школе создавались кабинеты-лаборатории, в которых находились нужное оборудование, пособия, литература. В каждом учебном кабинете дежурил учитель-консультант. Учащийся работал в своем темпе, в удобное для себя время и в том кабинете, который избирал сам; для отчетности отводились специальные часы.

Бригадно-лабораторный метод по математике осуществлялся следующим образом: «... общей для всего класса была лишь тема работы и математическая, и комплексная, сама же работа в некоторой части должна быть проведена по небольшим групповым содружествам — звеньям (в 3-5 человек). Каждое звено получает тот тип математических упражнений, который наиболее соответствует его интересам в данный момент (непосредственные измерения, вычисления, изготовление диаграмм, систематические наблюдения с записью и т. п.). В выполнении работы звено отчитывается перед всем классом в целом, который таким образом будет стоять в курсе всей работы, но каждый из его членов будет активно прорабатывать в пределах данного вопроса лишь некоторые виды упражнений. Задания звеньев последовательно меняются так, что каждое звено в общем пройдет через все виды работы» [3, с. 19]. На одном занятии таких подгрупп могло быть 8-20, если всего к примеру 40 учащихся.

Самостоятельно разобраться в новом учебном материале учащимся без наводящих вопросов учителя очень сложно. Доказать теорему или вывести формулу среднему ученику бывает не по силам. А учителю обойти все группы, чтобы послушать рассуждения и направить учащихся на правильное решение за 1 астрономический час, физически невозможно. Как бы тихо учащиеся ни рассуждали, в дискуссиях они участвуют все, поэтому в помещении обязательно будет стоять шум. О каком уровне обученности на таких занятиях может идти речь? Не было аттестации учащихся, поэтому не было видно результатов обучения. Это сказалось позже, когда такие воспитанники поступали в высшие учебные заведения. Оказалось, что они не владеют программой по математике.

Есть основания сделать предположение, что структура занятия по математике, на котором использовалась индивидуально-групповая форма работы, выглядела следующим образом. В начале был организационный момент, где объявлялась тема занятия и шло распределение учебного материала по группам учащихся в 3-5 человек. Далее происходит учебный процесс по подгруппам. В конце подводится итог проделанной работы. Т. о., выделяются следующие этапы таких занятий по математике:

1) орг. момент;

2) занятия в группах по 3-5 человек, с использованием бригадно-лабораторного метода;

3) подведение итогов работы.

Также можно предположить, что занятия по математике были часовые, т. к., «если учебный год равен 190 дням, математика потребует расхода около 190 часов времени (в среднем считаем 1 час в день)» [3, с. 15]. В программах отмечено, что нет строгого расписания по проведению занятий, следовательно, расписание могло меняться и, следовательно, занятий по математике вообще могло не быть.

Коллективная работа учащихся проходила во время обработки статистических данных, собранных на экскурсиях.

На основе изученных нами архивных документов по Тульской области можно сделать вывод: педагоги на местах видели, что программный материал по математике не усваивается учащимися, что нужно как-то корректировать свою работу.

Так, в 1926 г. Тульским ГУБОНО были разработаны следующие «Мероприятия по повышению успешности учащихся школ 1 и 2 ступени»:

• «Строить занятия в классе таким образом, чтобы в них активно участвовали все ученики данной группы.

• В целях оживленности преподавания и развития речи учащихся ответы их должны быть полными, а в старших группах в форме связных, хотя и кратких рассказов.

• Вменить в обязанность преподавателям внимательно исправлять письменные работы учащихся в классе коллективным путем и периодическим просмотром их на дому. Причем за грамотностью работ, связностью изложения мысли и аккуратным выполнением должны следить все преподаватели.

• Впредь до установления нормальных условий работы школы как временную меру рекомендовать задавание на дом работ, имеющих целью не заучивание материала по книге, а развитие у учащихся самостоятельности и умения самостоятельно работать с книгой и производить доступные наблюдения над окружающей жизнью. Причем самый характер, сложность и объем заданий должны находиться в зависимости от возраста и развития учащихся, времени, которым учащиеся располагают, и условий, в которых они живут дома.

• Во 2-й ступени для самостоятельного выполнения учащимися на дому работ можно рекомендовать следующие примерные формы работ.

По математике:

а) решение задач;

б) составление графиков и диаграмм;

в) вычерчивание чертежей;

г) подготовка докладов на темы, данные преподавателем.

• Чтобы заданиями на дом не создавать перегрузки учащимся в школе, необходимо иметь орган по регулированию этих работ и в отношении их объема и степени посильности.

• Проверка знаний и навыков учащихся должна производиться в процессе повседневной работы школы.

• Помимо того, после проработки определенной темы с учащимися должны быть проведены обобщающие беседы и письменные и устные задания для приведения в порядок и систему знаний учащихся по известной теме.

• Домашняя работа учащихся проверяется путем бесед и письменных обобщающих работ, характер тем для которых обсуждается в группах или предметных комиссиях.

• Считать норму учеников в классе не более 35 для 2-й ступени» [2, с.202-203].

Перечисленные мероприятия показывают, что в структуру занятия по математике были возвращены такие его элементы, как постановка и проверка домашнего задания, устный и письменный опрос учащихся. После прохождения темы учащиеся должны были быть готовы к обобщающим занятиям. Возвращается проверка письменных и домашних работ. По их итогам учитель уже может судить об уровне обученности учащихся. Заостряется внимание на развитии речи учащихся, на умении строить свой ответ в виде связанного рассказа, т.е. на умении строить ответ логически. Занятия рекомендуют проводить так, чтобы в них активно участвовали все ученики данной группы, т. е. требуют проводить фронтальную работу с группой.

Цели и методы преподавания

В трудовой школе выделялись следующие цели учебно-воспитательного процесса:

1) общеобразовательная: активизация познавательной деятельности учащихся;

2) развивающая: развитие таких качеств в детях, как умение работать в коллективе, умение подчинять свои интересы интересам общества, развитие самостоятельности, инициативы и творческих способностей учащихся;

3) воспитательная: воспитание подрастающего поколения, активного строителя будущего социалистического государства.

Проанализируем, как конкретно решались поставленные цели на занятиях по математике.

Во-первых, как таковую общеобразовательную цель на занятиях по математике не ставили. Ее понимали не как систематическое изучение дисциплины, а как изучение трудовой деятельности людей с точки зрения статистических данных и экономики региона. Это привело к низкому уровню овладения программным материалом учащимися.

Во-вторых, в качестве развивающей цели занятий по математике можно выделить развитие самостоятельности, инициативы, расширение кругозора. А таких задач, как развитие памяти, речи, логического мышления учащихся, на занятиях по математике в трудовой школе не выделяется.

В-третьих, в качестве воспитательных целей, которые ставились на занятиях по математике, следует выделить воспитание коллективизма, воспитание сознательного отношения к труду и учебе, коммунистическое воспитание.

Итак, для достижения поставленных целей нужно было менять и методы обучения. В «Положении о единой трудовой школе» сказано, что «истинно воспринятым является только воспринятое активно. Ребенок жаждет

подвижности, его держали в неподвижном состоянии. Он с чрезвычайной легкостью усваивает знания, когда они передаются ему в веселой активной форме игры или труда, которые при умелой постановке совпадают, а его учили на слух и по книге. Дитя гордится приобретением всякого практического умения, а ему их не давали вовсе» [8, с. 138]. Раскритиковав методы старой школы, советские педагоги принялись за разработку новых методов преподавания, которые отвечали бы потребностям времени.

В «Новых программах единой трудовой школы» рекомендуются активно-трудовые методы: метод проектов, исследовательский метод, бригадно-лабораторный метод, экскурсионный метод.

Основная идея метода проектов заключалась в выполнении учебного задания - проекта. Область приобретаемых знаний учащимися ограничена рамками этого проекта. На занятиях по математике учащиеся или группа учащихся брали некоторую тему - проект - и самостоятельно ее исследовали под руководством учителя. Между детьми, которым нравилась математика, организовывался кружок по математике.

Сущность исследовательского метода состояла в том, что он знакомил учащихся с основными этапами поисковой деятельности, с умением логически мыслить, делать собственные выводы и обобщения. Учащиеся при рассмотрении темы по математике должны были сами вывести формулу или доказать теорему. Всякое исследование имело конечный результат, к которому учащиеся приходили самостоятельно. Несомненным положительным моментом этого метода было то, что знания, добытые опытным путем, лучше запоминались учащимися, нежели знания, полученные со слов учителя.

Исследовательский метод тесно связан с бригадно-лабораторным методом, который следует отнести к индивидуально-групповой форме организации учебного процесса.

Цель учебных занятий в трудовой школе состояла в том, чтобы научить ученика, «как приобретать знания, как их добывать, как исследовать предмет или явление, как извлекать правила и выводы, делать их самому и добытые знания и навыки применять в жизни» [5, с. 15-16]. Поэтому для активизации познавательной деятельности исследовательский метод был наиболее действенным средством.

При исследовательском методе «должно быть внесено в работу коллективное начало, при котором работа разбивается на части; учащиеся разделяются на небольшие звенья (по 2-5 человек), каждое звено берет па себя свою особую задачу - таким способом осуществляет принцип разделения труда. Вся работа завершается коллективной проработкой» [5, с.63]. Работая малыми группами, учащиеся должны были сами, с помощью логических рассуждений, делать собственные выводы и обобщения.

Лабораторный метод заключался в том, что учащиеся получали знания опытным путем, путем проб и ошибок. В качестве сельскохозяйственной лаборатории выступал пришкольный участок, в качестве индустриальной - школьная мастерская и лаборатория. На пришкольном участке уча-

щиеся могли ставить опыты по биологии, географии. В школьных лабораториях - опыты по физике и химии. Но оборудования не хватало, так что приходилось прибегать к экскурсионному методу и следить или ставить опыты в реальной жизни.

Лабораторный и экскурсионный методы применялись на занятиях по математике, где учащиеся измеряли на местности различные геометрические фигуры и тела, исследовали статистические данные и устанавливали алгебраические зависимости.

Итак, можно сделать следующие выводы:

1. Организация образовательного процесса в единой трудовой школе 1917-1930 гг. носила скорее стихийный характер, нежели строго регламентированный, и уже к 1931 году она изжила себя. Возникли ножницы между школой и вузом: школьная подготовка не давала необходимого уровня знаний, позволявшего продолжить выпускникам обучение в вузе. Стране же понадобились грамотные, хорошо образованные люди, способные в дальнейшем составить цвет советской интеллигенции и двигать вперед науку, язык, искусство, чего не могла дать трудовая школа. И с 1931 года наше образование вернулось к классно-урочной системе.

2. Несмотря на отрицательный в целом опыт единой трудовой школы, можно в нем выделить следующие положительные моменты:

• разработку и внедрение активных методов обучения (метода проектов, исследовательского метода, лабораторного и экскурсионного методов);

• применение индивидуально-групповых и коллективных форм обучения;

• использование краеведческого материала.

Библиографический список

1. Андронов И.К. Полвека развития школьного математического образования в СССР. - М.: Просвещение, 1967. - 177 с.

2. ГАТО. Отдел народного образования Тульского губернского исполнительного комитета (ГУБОНО). Фр. 326. Он. 2. Д. 2054. Л.202-203.

3. Ланков А. В. Математика и комплекс. - Л.: Государственное издательство, 1926. - С. 88.

4. Новые программы для единой трудовой школы. - Вып. I. - Москва - Петроград: Государственное издательство, 1923.-С. 142.

5. Новые программы единой трудовой школы первой ступени. - М.: Работник просвещения, 1924.-С. 122.

6. Основные принципы единой трудовой школы от 16 октября 1918 г. Народное образование в СССР. Общеобразовательная школа. Сборник документов. 1917-1973 гг. / Под ред. А.А. Абакумова. - М.: Педагогика, 1974. - С. 540.

7. Положение об единой трудовой школе РСФСР от 30 сентября 1918 г. Народное образование в СССР. Общеобразовательная школа. Сборник документов. 1917-1973 гг. / Под ред. А.А. Абакумова. - М.: Педагогика, 1974. - С. 540.

8. Устав Единой трудовой школы от 18 декабря 1923 г. Народное образование в СССР. Общеобразовательная школа. Сборник документов. 1917-1973 гг. / Под редакцией А.А. Абакумова. - М.: Педагогика, 1974. - С. 540.

ОБ АКТУАЛЬНОСТИ ИЗУЧЕНИЯ АРИФМЕТИКИ В СОВРЕМЕННОЙ ШКОЛЕ

М.А. Мацыгин

Из истории математики известно, что долгое время математические знания передавались из одного поколения в другое в виде содержания практических задач вместе с их полными решениями. В давние времена обученным человеком считался тот, кто умел решать задачи (арифметические задачи) определенных типов и которые неизбежно встречались на практике (к примеру, задачи торговых расчетов и пр.).

Первый учебник по арифметике в России появился более 300 лет назад, это была Арифметика Л.Ф. Магницкого (1703 г.). Этот учебник по арифметике вобрал в себя лучшие переводы иностранных авторов того времени. В нем содержалось огромное число текстовых задач, которые решались с помощью различных арифметических правил. Среди дореволюционных педагогов-математиков, занимавшихся методикой преподавания арифметики, следует отметить В. Беллюстина, Д.Д. Галанина, СИ. Шохор-Троцкого и др.

По-видимому, в связи с этим задачи всегда занимали особое место в школьном обучении математике. С одной стороны, практика применения задач в процессе обучения во всех цивилизованных государствах идет от глиняных табличек Древнего Вавилона и других древних письменных источников, то есть имеет родственные корни. С другой — пристальное внимание обучающих к задачам, которое было характерно для России, — почти исключительно российский феномен [8].

Причиной столь большого внимания к арифметике в России (а именно, к арифметическим задачам) является то, что исторически долгое время целью обучения детей арифметике было освоение ими вычислительными умениями, связанными с практическими расчетами. По мнению А. Шевкина, «основная линия арифметики (линия числа) тогда еще была не разработана, а обучение практическим вычислениям велось только через задачи. Поэтому в России не только переняли и развили старинный способ передачи с помощью текстовых задач математических знаний и приемов рассуждений, но и научились формировать с помощью задач важные общеучебные умения, связанные с анализом текста, выделением условий задачи и главного вопроса, составлением плана решения, постановкой вопроса и поиском условий, из которых можно получить на него ответ, проверкой полученного результата. Немаловажную роль играло также приучение школьников к переводу текста на язык арифметических действий, уравнений, неравенств, графических образов. Использование арифметических способов решения задач способствовало общему развитию учащихся, развитию не только логического, но и образного мышления, лучшему освоению естественного языка, а это повышало эффективность обучения математике и смежных дисциплин.

Именно поэтому текстовые задачи играли столь важную роль в процессе обучения в России, и им отводилось так много времени при обучении математике в школе» [8].

К сожалению, уже до революции стали высказываться мысли о непригодности арифметических методов решения задач. Так, обсуждение методики арифметики имело место на страницах журнала «Вестник опытной физики и элементарной математики» периода 1900-1917 гг.

В начале XX века в этом журнале развернулась горячая дискуссия между А. Арндтом и И. Александровым. В журнале было помещено выступление А. Арндта на заседании секции математики и физики Юрьевского педагогического общества на тему «О некоторых вопросах преподавания арифметики». В нем Арндт выступал решительно за «алгебраизацию курса от громоздких задач» [5]. Вниманию читателей был предложен опыт изложения способов решения специальных задач в виде конспекта гражданских правил арифметики. Основные выводы статьи Арндта были направлены против книги И. Александрова Методы решения арифметических задач. Отвечая Арндту, Александров выступил за защиту чисто арифметических задач по способам решения. Александров выступил против решения задач по формулам, считая, что при этом учащиеся действуют механически, не осмысливая задачи [5]. Итак, И. Александров и А. Арндт стояли на весьма противоположных точках зрения. Но, к сожалению, тогда эта дискуссия, по сути, закончилась ничем.

В 1917-1930 гг. ситуация в математическом образовании в СССР была сложной и противоречивой, поэтому о преподавании (изучении) арифметики в этот период судить не просто. О ситуации с практикой обучения в нашей стране к середине 40-х гг. можно судить по словам И.В. Арнольда: «Учеников — в том или ином порядке — знакомят с соответствующими "типами" задач, причем обучение решению задач, сплошь и рядом сводится к рецептуре и натаскиванию, к пассивному запоминанию учениками небольшого числа стандартных приемов решения и узнаванию по тем или иным признакам, какой из них надо применить в том или ином случае. Количество задач, которые ученики решают действительно самостоятельно, с тем напряжением мысли, которое и должно являться источником полезности процесса решения задачи, ничтожно. В итоге — полная беспомощность и неспособность ориентироваться в самых простых арифметических ситуациях, при решении чисто практических задач...»[1].

К середине 50-х годов XX в. арифметические задачи были хорошо систематизированы и методика их применения в учебном процессе уже была разработана, но после реформы математического образования конца 60-х годов все изменилось. Самым главным аргументом к предлагаемым изменениям была критика непригодной практики обучения решению задач. Критикуя практику обучения решению задач, К.И. Нешков и А.Д. Семушин совершенно справедливо задавались вопросом: «Разве возможно проявление

хотя бы незначительных элементов сообразительности при решении задач по заученной схеме? Ответ напрашивался сам собой: Невозможно! Но правда заключается в том, что сама методика обучения не требовала решать задачи по заученной схеме, необходимо было менять не методику, а только непригодную практику ее применения. Еще одним аргументом, который послужил изменениям, был поиск резерва времени, необходимого для обновления содержания математического образования» [4].

Итак, по справедливому мнению А. Шевкина, «пересматривая роль и место арифметики в системе школьных предметов, стремясь повысить научность изложения математики за счет более раннего введения уравнений и функций, математики и методисты-математики посчитали, что на обучение арифметическим способам решения задач тратится слишком много времени» [8].

«Авторитетное» на этот счет мнение приведено в книге Н.А. Менчинской и М.И. Моро: «Академики С.Л. Соболев, А.Л. Минц и другие заявляют, что обучение математике в школах проводится вопреки правилам оптимальной стратегии, и основной недостаток состоит в том, что детей обучают арифметике, а в дальнейшем им приходится затрачивать силы на переучивание абстрактному мышлению в алгебраических образах. Под наибольшим ударом, с этой точки зрения, оказываются именно арифметические задачи. По мнению С.Л. Соболева, как правило, после овладения алгеброй тот же школьник уже не в состоянии решить прежнюю задачу арифметическими приемами. Зачем же тогда обманывать детей, а не приучать их к абстрактному мышлению с самого младшего класса» [3].

К тому времени сложилась развитая типология задач, включавшая задачи на части, на нахождение двух чисел по их сумме и разности, по их отношению и сумме (разности), на дроби, на проценты, на совместную работу и пр. Методика обучения решению задач была разработана достаточно хорошо, но ее реализация на практике не была свободна от недостатков. Критики этой методики обоснованно отмечали, что учителя, стремясь ускорить процесс обучения, разучивали с учащимися способы решения типовых задач, как бы следуя своим давним предшественникам. Они считали также, что в процессе обучения решению задач школьников учили способам действий, которые не применяются или почти не применяются в жизни.

Таким образом, очевидно, что нам не стоило отказываться от арифметических способов решения, которые стимулируют учащихся к поиску более простых и рациональных решений. С их помощью можно создавать разнообразные и интересные ситуации, развивающие способности учащихся (а именно, интеллектуальные способности) к рассуждениям, «в то время как применение уравнений не дает такого разнообразия» [8]. Так что из этого следует то, что арифметические способы решения задач были не излишними в обучении математике.

Для сравнения преподавания арифметики в России и за рубежом обратимся к опыту А.Л. Тоома. В одной из своих статей, опубликованных в России, он пишет: «Когда я приехал в США девять лет назад и начал преподавать, я обнаружил, что многие университетские студенты очень плохо справляются с решением текстовых задач. Когда я стал читать некоторую американскую образовательную литературу, я обнаружил странный (для меня) подход к текстовым задачам, совершенно отличный от того, к какому я привык в России. Похоже, что многие считают, что задачи, решаемые на уроках математики, должны быть как можно ближе к повседневной жизни» [6].

Далее А.Л. Тоом приводит очень важное наблюдение: «Создаётся впечатление, что текстовые задачи почти всегда преподавались настолько плохо, что большинство учащихся не могли отделить сами текстовые задачи от отвратной манеры преподавания. Ральф Рейми — один из тех, кто сумел это сделать: Я был послушным учеником и делал то, что мне велели, а велели мне помещать определённые числа в определённые клеточки таблицы и делали мы это для настолько ограниченного круга задач, что их можно было все запомнить. Это шло с трудом, и впоследствии я понял, как легки были эти задачи, но поскольку мне говорили, как их делать, и поскольку меня хвалили, я это и делал, без малейшего проблеска понимания. Понимание не возникло даже, как это бывает в изучении иностранных языков, когда составляешь из слов предложения и спрягаешь глаголы, постепенно овладевая языком. С алгеброй у меня так не получилось, и когда я одолел её впоследствии и увидел, какими глупыми были мои школьные упражнения, это произошло не благодаря таблицам, которые я заполнял раньше. Беда была не в задачах, не в идее типов. Беда была в преподавании» [7].

Как видим, практика обучения решению задач без опоры на понимание учащимся смысла выполняемых им действий была характерна не только для России.

В завершении мы сделаем несколько выводов из рассмотренного нами выше рассказа о влиянии арифметических задач на развитие способностей школьников:

1. Арифметические задачи являются, несомненно, очень важным средством обучения математике. С их помощью учащиеся получают не только опыт работы с величинами и взаимосвязи между ними, но и получают большой опыт применения математики к решению практических задач.

2. Использование арифметических способов решения задач развивает:

- смекалку и сообразительность;

- умение ставить вопросы, отвечать на них (то есть развивает естественный язык и готовит школьников к дальнейшему обучению);

- умение анализировать задачные ситуации;

- строить план решения (т.е. умение планировать);

- истолковывать результат каждого действия в рамках условия задачи.

3. Арифметические способы решения задач приучают детей:

- к первым абстракциям;

- позволяют воспитывать логическую культуру;

- способствуют созданию благоприятного эмоционального фона обучения;

- развитию у школьников эстетического чувства применительно к решению задачи (красивое решение!) и изучению математики;

- вызывая интерес сначала к процессу поиска решения задачи, а потом и к изучаемому предмету.

Подведем итоги вышесказанного: использование интересных и разнообразных старинных способов их решения обогащает не только опыт мыслительной деятельности (а именно, интеллектуальных способностей) учащихся, но и позволяет им развивать важное культурно-историческое наследие человечества, связанное с поиском решения задач.

Осталось согласиться с Л.Д.Кудрявцевым, который говорит: «Многие десятилетия в русских школах и гимназиях математическое мышление формировалось у учащихся третьих-шестых классов с помощью решения ими большого числа текстовых арифметических задач (в том числе и достаточно трудных) на основе последовательной постановки вопросов и получения ответов на них. Исходя из того, что взрослые люди решают задачи такого типа алгебраическим путем, составляя нужное уравнение или систему уравнений, было решено сразу учить детей алгебраическим методам. Приведенное логическое обоснование сделанного нововведения выглядит, конечно, несколько странно: ведь никого не удивляет, что дети, прежде чем научиться ходить, ползают, и никто не пытается учить их сразу ходить, хотя взрослые люди ходят, а не ползают. Справедливости ради следует отметить, что были и другие обоснования целесообразности существенного сокращения в программе обучения в средней школе раздела, относящегося к решению текстовых задач арифметическими методами. Так или иначе, предложение было принято, и отрицательные последствия этого не заставили себя долго ждать [2].

Таким образом, уже до революции была разработана добротная методика арифметики, включающая учебники по арифметике, в которых приводится много интересных заданий. Дореволюционные учебники дают нам благоприятный материал для разработки системы арифметических задач, направленных на развитие интеллектуальных способностей школьников.

Библиографический список

1. Арнольд И.В. Принципы отбора и составления арифметических задач /Вопросы методики математики. - М, 1946. - С. 7-28. (Изв. АПН РСФСР, вып. 6).

2. Кудрявцев Л .Д. Образование и нравственность. - М: ПАИМС, 1994. - С. 12.

3. Менчинская Н.А., Моро М.И. Вопросы методики и психологии обучения арифметике в начальных классах. - М.: Просвещение, 1965. - С. 224.

4. Нешков К.И. Единый курс математики I-V классов / Проблемы совершенствования содержания и структуры школьного курса математики. - М.: НИИСиМО АПН СССР, 1981.-С. 59-68.

5. Охременко Д.В. Развитие математической культуры в России. - М: 1973. -С. 154-155.

6. Тоом А.Л. Наблюдения математика над математическим образованием /Архимед: Научно-методический сборник. - Вып. 1, 2005. - С. 100.

7. Тоом А.Л. Между детством и математикой: Текстовые задачи в математическом образовании // Математика. - 2005. - № 14.

8. Шевкин А. Текстовые задачи в школьном курсе математики // Роль текстовых задач в школьном курсе математики (www.shevkin.ru).

СТАНОВЛЕНИЕ И РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Р. А. Мельников

Интегральным уравнением называется уравнение, которое содержит искомую функцию под знаком интеграла.

Интегральные уравнения - это функциональные уравнения специального типа, история которых тесно связана с задачами математической физики, в частности с проблемой колебания твердого тела.

Одним из первых (в 1823 г.) к интегральному уравнению пришёл Н.Х. Абель9 при решении задачи о таутохроне. Применяя интегральное преобразование, называемое теперь интегральным преобразованием Абеля, он получил и решил интегральное уравнение вида

Интегральные уравнения стали объектом особого внимания математиков после того, как удалось свести решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа к исследованию линейного интегрального уравнения. Таким обра-

9 Абель Нильс Хенрик (1802 - 1829) - норвежский математик. С 16 лет проявил исключительные математические способности. Окончил в 1825 г. университет в Осло. Доказал, что алгебраические уравнения степени выше 4-й неразрешимы в радикалах (1824). Развил теорию сходимости степенных рядов, впервые полностью исследовал проблему сходимости биномиального ряда для комплексных значений переменных (1826). Изучал интегралы от алгебраических функций - абелевы интегралы (1827). Заложил основы теории интегральных уравнений (1823). За создание теории эллиптических функций ему (посмертно), совместно с Якоби, присуждена премия Парижской академии наук (1830). Работы Абеля оказали большое влияние на развитие математики, привели к возникновению новых математических дисциплин. На родине при жизни Абель не был признан, жил в нужде. В 1908 г. в Осло ему воздвигли памятник.

зом, они появились как результат преобразования дифференциальных уравнений в XIX веке.

Для решения интегральных уравнений в то время использовался метод последовательных приближении, который был весьма эффективным инструментом при решении обыкновенных дифференциальных уравнений. Немалый вклад в разработку этого метода внёс К.Г. Нейман (1832-1925), а общеизвестную форму ему придал французский математик Ш.Э. Пикар (1856-1941) в 1893 г.

Ж. Лиувилль (1809-1882), Р.Л. Бэр (1874-1932), И.Л. Фукс (1833-1902) и Дж. Пеано (1843-1932) решили некоторые конкретные интегральные уравнения, не выписывая их в явном виде и не выделяя как предмет самостоятельного исследования. Все доказательства проводились средствами математического анализа, но одновременно была отмечена аналогия с алгеброй [8, с. 117].

Построение общей теории линейных интегральных уравнений было начато в конце XIX века.

Линейными называются интегральные уравнения, в которые искомая функция входит линейно.

Основоположниками теории линейных интегральных уравнений принято считать В. Вольтерра, Э. Фредгольма, Д. Гильберта и Э. Шмидта. Первые важные результаты в теории интегральных уравнений были получены итальянским математиком

Начиная с 1896 г., В. Вольтерра опубликовал серию мемуаров, в которых решил интегральное уравнение вида

(1)

где <р{х)- неизвестная функция, f{x) и k(x,t)- данные функции. Функцию k(x,t) называют ядром интегрального уравнения (1).

Основная идея метода решения уравнения (1) у В. Вольтерра состояла в том, что, разбивая интервал интегрирования на п равных частей, он полу-

Вито Вольтерра10.

10 Вольтерра Вито (Volterra Vito) (03.05.1860, Анкона - 11.10.1940, Рим) - иностранный член-корреспондент (13.12.1908 г.) и почетный член (02.01.1926 г.) Петербургской АН. Член Национальной академии деи Линчей в Риме (1899), профессор университетов в Пизе (с 1883), Турине (с 1893), Риме (с 1900). Основные труды по дифференциальным уравнениям с частными производными, интегральным уравнениям (уравнениям Вольтерра), интегро-дифференциальным уравнениям, функциональному анализу и теории упругости [15, с. 678].

чил алгебраическую систему из п линейных уравнений с переменными ср\ ç>2 ---ïtyn ' Решение которой в то время не вызывало трудностей.

Уравнение (1) принято называть уравнением Вольтерра 2-го рода. Заметим, что интегральное уравнение, которое получил и решил Н.Х. Абель, по современной классификации относится к интегральным уравнениям Вольтерра. Оно является интегральным уравнением Вольтерра 1-го рода.

Следующим, кто внёс огромный вклад в развитие теории интегральных уравнений, был Фредгольм Эрик Ивар11.

Он в 1900 г. изложил основные свойства и теоремы теории интегральных уравнений, разработал общие методы решения некоторых их видов. В частности, он построил общую теорию решения интегральных уравнений вида (1).

Наиболее детально он изучил уравнения вида

(2)

Уравнение (2) принято называть интегральным уравнением Фредгольма 2-го рода.

В 1903 г. Э.И. Фредгольм опубликовал статью Об одном классе функциональных уравнений, в которой подчеркнул важность изучения уравнения (1): Большинство проблем математической физики выражаются этим уравнением [8, с. 117].

Отличие уравнения (2) от уравнения (1) состоит в том, что в записи уравнения (1) стоит интеграл с переменным верхним пределом, а в уравнении (2) промежутком интегрирования является отрезок [а, Ь]. Более того, уравнение (1) является частным случаем уравнения (2).

Кроме линейных интегральных уравнений 2-го рода были выделены линейные интегральные уравнения 1-го рода:

(3) (4)

11 Фредгольм Эрик Ивар (Fredholm Eriklvar) (07.04. 1866 г., Стокгольм, - 17.08.1927 г., Мерою). Окончил Стокгольмский ун-т (1893), с 1906 проф. там же. Основные труды по интегральным уравнениям [15, с. 757].

Уравнения (3) и (4) называют интегральным уравнением Фредгольма 1-го рода и интегральным уравнением Вольтерра 1-го рода соответственно.

Основное их отличие от уравнений 2-го рода состоит в том, что неизвестная функция (р(х) стоит только под знаком интеграла. В интегральных уравнениях 2-го рода она находится как под знаком интеграла, так и вне его.

Э.И. Фредгольм доказал ряд важных теорем о структуре решения интегрального уравнения Фредгольма. Одна из теорем носит название Альтернатива Фредгольма.

При этом он использовал теорию бесконечных определителей, развитой в трудах Ж. А. Пуанкаре (1854-1912) и шведского математика X. Коха (1870-1924).

При изучении уравнения колеблющейся мембраны А. Пуанкаре пришёл в 1896 г. к идее введения числового параметра Я в уравнение (2). Им же была высказана гипотеза о том, что решение интегрального уравнения (2) является мероморфной функцией параметра Я. Эту гипотезу успешно доказал Э. Фредгольм при построении знаменателя Фредгольма.

В 1901 г. один студент из Швеции принес на семинар Давида Гильберта12 недавно опубликованную работу по интегральным уравнениям, принадлежавшую его соотечественнику И. Фредгольму. Интегральные уравнения полностью захватили Гильберта. Отныне он говорил со своими студентами только об интегральных уравнениях. В первой работе, опубликованной в виде сообщения Геттингенского научного общества, он предложил один простой и оригинальный вариант теории Фредгольма, который раскрывал ее основную идею более отчетливо, чем работа самого Фредгольма. Обладая интуитивным пониманием связей, лежащих в основе различных частей математики, а также между математикой и физикой, Гильберт пришел к выводу, что уравнения Фредгольма смогут приоткрыть завесу над целой серией ранее недоступных проблем анализа и математической физики. Теперь он поставил перед собой цель объединить на единообразной теоретической основе как можно больший круг вопросов, связанных с линейными задачами анализа.

Отметим заслуги Д. Гильберта в развитии теории интегральных уравнений:

12 Гильберт Давид (Hilbert David) (23.1.1862, Велау, близ Кенигсберга, - 14.2.1943, Гёттинген) - немецкий математик, иностранный чл.-корр. (1922) и иностранный почётный чл. (1934) АН СССР. Окончил Кенигсбергский ун-т, в 1893-95 гг. проф. там же, в 1895-1930 гг. - проф. Геттингенского ун-та, до 1933 г. продолжал читать лекции в ун-те. Его исследования оказали большое влияние на развитие многих разделов математики [15, с. 683].

1) он показал, что ряд важных задач математической физики сводится к особому виду уравнения (2), когда ядро K(x,t) является симметричной функцией, т.е. удовлетворяет условию K(x,t) = K(t9x) ;

2) ввёл в уравнение (2) параметр Я, рассмотрев уравнение

(5)

3) предложил построить общую теорию уравнения (5) с симметричным ядром по аналогии с алгебраической теорией ортогональных преобразований квадратичных форм к каноническому виду [8, 118];

4) показал, что теоремы Фредгольма можно доказать путём строгого обоснования процесса предельного перехода, и построил общую теорию линейных интегральных уравнений на основе теории линейных и билинейных форм с бесконечным числом переменных.

Свои идеи он изложил в трёх статьях, которые вышли в свет в 1904-1905 гг.

Важную роль в теории интегральных уравнений Гильберта играли разложения по системе ортонормированных функций.

Немецкий математик Э. Шмидт13 (ученик Д. Гильберта) придал более простую и общую форму результатам своего учителя. В 1907 г. в диссертации «К теории линейных интегральных уравнений» он ввёл термин полная ортонормированная система функции. Он же первым ввёл в теорию интегральных уравнений язык геометрии, но основная его заслуга состоит в том, что он построил теорию линейных интегральных уравнений с симметричным ядром, не опираясь на теорию Фредгольма. Шмидт использовал представление действительного ядра интегрального уравнения в виде суммы вырожденного и «малого ядра».

Построенная Д. Гильбертом и Э. Шмидтом теория интегральных уравнений с симметричным ядром составила одну из основ современного функционального анализа и особенно спектральной теории линейных операторов. В их честь одна из важнейших теорем теории интегральных уравнений с симметричным ядром носит название «теорема Гильберта - Шмидта».

Э. Шмидт.

13 Шмидт Эрхард (Schmidt Erhard) (14.1.1876, Дерпт, - 6.12.1959, Берлин) - немецкий математик, с 1917 г. - профессор Берлинского университета. В 1946-58 гг. - первый директор Института математики АН ГДР. Основные труды по теории функций, интегральным уравнениям, функциональному анализу [15, с. 764].

Значительного ослабления требований, налагаемых в теории Гильберта - Шмидта интегральных уравнений 2-го рода на ядро и другие компоненты, добился шведский математик Т. Карлеман (1892-1949). Идея метода Карлемана состоит в том, что он менял ядро интегрального уравнения на более простое, изучив спектр решения нового уравнения, предельным переходом исследовал спектр исходного уравнения.

Интегральные уравнения 3-го рода появились в исследованиях Г. Бейтмана, Э. Пикара и Дж. Фубини в период с 1907 по 1912 гг.

Так закончился первый этап развития теории интегральных уравнений, а результаты, полученные за это время, сейчас называют классической теорией интегральных уравнений.

Дальнейшее развитие теории интегральных уравнений шло параллельно с формированием идей функционального анализа, становление которого происходило в 1907-1930 гг.

Среди основоположников этого раздела математики особо следует выделить польского математика С. Банаха (1892-1945), венгерского учёного Ф. Рисса (1880-1956), немца Э. Фишера (1875-1954) и Ю. Шаудера. Благодаря их работам в теорию интегральных уравнений вошли такие понятия, как пространство, оператор и др.

Ф. Рисс (ученик Д. Гильберта) в 1907г. опубликовал статью «О системах ортогональных функций и уравнении Фредгольма». Он заметил, что в классической теории интегральных уравнений ядро и другие компоненты уравнения предполагаются непрерывными функциями. Рисс построил теорию функций, квадрат которых суммируем в смысле Лебега, а также ввёл в рассмотрение пространство L2. Углубление и конкретизацию идей Ф. Рисса осуществил С. Банах. В 1922 г. он опубликовал работу под названием «Об операциях в абстрактных множествах и их приложении к интегральным уравнениям», которая внесла ясность в трактовку идей Рисса.

В 1930 г. Шаудер, дополнив результаты Ф. Рисса, обобщил теоремы Фредгольма для некоторого класса линейных операторных уравнений в банаховых пространствах.

Весьма важное место в теории интегральных уравнений занимают нелинейные интегральные уравнения (т. е. уравнения, содержащие неизвестную функцию нелинейно).

Разработка теорий таких уравнений была начата А.М. Ляпуновым (в 1906 г.) и Э. Шмидтом (в 1908 г.). В известной работе А.М. Ляпунова, посвященной исследованию устойчивости равновесных фигур во вращающейся жидкости, им применён метод последовательных приближений к нелинейным интегральным уравнениям и исследован вопрос ветвления решения.

В 1922 г. спектр собственных значений нелинейного интегрального уравнения изучил советский математик П.С. Урысон14.

Уравнение вида

(6)

называется уравнением Урысона. П.С. Урысон при определённых ограничениях исследовал спектр собственных значений уравнения (6), которым соответствуют положительные собственные функции [29].

Частным случаем уравнения Урысона является уравнение вида

(7)

которое называется уравнением Гаммерштейна.

Ещё один важный класс интегральных уравнений - уравнения Винера-Хопфа (уравнения типа свёртки).

Уравнением Винера-Хопфа называется интегральное уравнение на полупрямой с ядром, зависящим от разности аргументов, т. е. уравнение вида

(8)

Уравнения типа (8) возникают при решении задач математической физики, например, в теории переноса излучения (проблема Милна 1921 г.), в теории дифракции.

Впервые однородное уравнение типа (8) появилось в 1931 г. в совместной работе американского учёного Норберта Винера (1894-1964) и немецкого математика Эберхарда Хопфа (1902-1983). Ими был разработан метод факторизации, который сыграл ключевую роль в развитии теории этих уравнений.

Весьма эффективным инструментом при решении уравнений типа свёртки оказался операционный метод, опирающийся на интегральные преобразования Лапласа, Фурье и Меллина.

Если линейное интегральное уравнение не является уравнением Фредгольма, то его называют сингулярным (особым) уравнением.

Под одномерными сингулярными уравнениями понимают такие интегральные уравнения, в которых несобственные интегралы, распространённые по некоторой плоской кривой, рассматриваются в смысле главного значения по Коши [10, с. 774].

14 Урысон Павел Самуилович (22.1.1898г., Одесса, - 17.8.1924, Ба, Бретань, Франция) - советский математик. В 1919 г. окончил Московский университет. Основные труды по топологии, теории нелинейных интегральных уравнений [15, с. 754].

Исследование одномерных сингулярных интегральных уравнений началось почти одновременно с построением теории Фредгольма в работах А. Пуанкаре в связи с разработкой математической теории приливов и Д. Гильберта в связи с изучением граничных задач теории функций комплексного переменного.

Впервые сингулярное уравнение с ядром Коши было рассмотрено в докторской диссертации Ю.В. Сохоцкого15 (1842-1927), опубликованной в Петербурге в 1873 г., но эта работа осталась незамеченной.

Существенные результаты в построении общей теории сингулярных интегральных уравнений были получены в 20-х гг. XX века Ф. Нётером и Т. Карлеманом.

Ф. Нетер доказал три теоремы, описывающие общие свойства таких уравнений, известные в настоящее время как теоремы Нётера.

Т. Карлеман поставил и предпринял попытку решить следующую задачу: для сингулярного интегрального уравнения построить такое уравнение Фредгольма, чтобы всякое решение сингулярного уравнения оказалось бы решением построенного уравнения Фредгольма.

Эта задача получила называние задача о регуляризации.

Для её решения были предложены два метода: метод регуляризации с помощью умножения операторов и метод регуляризации с помощью характеристического уравнения.

Метод регуляризации с помощью умножения операторов берёт своё начало в работах А. Пуанкаре и Д. Гильберта.

Первое исследование многомерных сингулярных интегральных уравнений произвёл в 1928 г. итальянский математик Ф.Д. Трикоми (1897-1978) [28].

В построении теории интегральных уравнений не остались в стороне и представители русской, а затем и советской математической школы.

Непосредственное влияние на развитие теории интегральных уравнений оказали работы В.А. Стеклова (1863-1926), связанные с разложениями функций в тригонометрические ряды (равенство Парсеваля-Стеклова). Его исследования нашли отражение в работах (Д. Гильберта и его учеников), посвященных разложениям функций в ряды по системе ортонормированных функций. В.А. Стеклов рассматривал эту тему в переписке с немецким математиком А. Гурвицем (1859-1919), а тот делился информацией с Гильбертом.

Уже отмечался вклад А.М. Ляпунова, П. С. Урысона в развитие теории нелинейных интегральных уравнений.

15 Сохоцкий Юлиан-Карл Васильевич (24.1(5.2). 1842, Варшава - 14.12.1927, Ленинград). Ординарный профессор математики в Санкт-Петербургском университете. Начальное образование получил в варшавской губернской гимназии; университетский курс прослушал в Санкт-Петербурге [15, с. 749].

Аналитические методы исследования нелинейных интегральных уравнений были развиты в работах А.И. Некрасова (в 1922 г.) [22] и Н.Н. Назарова (в 1937 г.) [21]. Некрасов разработал общую теорию уравнений типа Гаммерштейна. Однако результаты, полученные им, не были опубликованы и поэтому эти уравнения носят название «уравнения Гаммерштейна», хотя были сообщены математическому сообществу лишь в 1930 г. Идея метода решения таких уравнений у А.И. Некрасова состоит в разложении решения по малому параметру и установлении его сходимости методом мажорант.

Важную роль в теории нелинейных интегральных уравнений сыграли методы нелинейного функционального анализа. Топологические методы этого анализа были разработаны Д.Д. Биркгофом (1884-1944), Келлогом, Шаудером, А.Н. Тихоновым (1906-1993), В.В. Немыцким [23] (1900-1967), М.А. Красносельским (1920-1997) [12] и другими, вариационные методы -Гаммерштейном, Л.А. Люстерником (1899-1981) [14], М.М. Вайнбергом (1908-1980) [2] и др. [14, с. 798].

Большой вклад в популяризацию проблематики нелинейных интегральных уравнений внёс В.В. Немыцкий, который на основе принципов Шаудера и Банаха доказал ряд теорем о существовании и единственности решения для некоторых классов нелинейных интегральных уравнений.

Теория интегральных уравнений с использованием понятий «функция области» и «интеграл Радона» была построена в 1932 г. Н.М. Гюнтером16.

Неоднородное уравнение Винера-Хопфа при условиях, более общих, чем у основоположников этой теории, было рассмотрено В.А. Фоком17 в 1944 г. [30].

Существенные результаты для уравнений типа свёртки получили в конце 50-х годов XX века Ф.Д. Гахов [5], Ю.И. Черский, Г.С. Литвинчук, С.В. Яновская и др.

16 Гюнтер Николай Максимович (5(17). 12.1871, Петербург - 4.5.1941, Ленинград) -советский математик, чл.-корр. АН СССР (с 06.12.1924). Окончил Петербургский университет (1894), с 1904 г. профессор там же. Основные труды по дифференциальным уравнениям и математической физике. Впервые дал строгое и систематическое изложение современного состояния теории потенциала (1934). Им широко использовались идеи и методы теории функций и функционального анализа при решении задач математической физики [15, с. 687].

17 Фок Владимир Александрович (10(22). 12.1898, С.-Петербург - 27.12.1974, Ленинград) - физик, академик (1939). В 1922 г. окончил Петроградский университет, с 1932 г. -профессор этого университета. Работы Фока по математике и математической физике охватывают широкий круг вопросов: интегральные уравнения, теория численного интегрирования, различные приложения конформных преобразований.

Задачи теории дифракции и теории упругости привели к необходимости изучения уравнений типа свёртки 1-го рода и интегро-дифференциальных уравнений. Здесь значительные результаты получены А.Н. Тихоновым и М.А. Лаврентьевым (1900-1980).

Наиболее интенсивно в Советском Союзе развивалась теория сингулярных интегральных уравнений. Первая работа - обзорная статья В.Д. Купрадзе О некоторых сингулярных интегральных уравнениях математической физики, появилась в 1936 г. В 1937 г. Ф.Д. Гахов решил граничную задачу для одномерного сингулярного интегрального уравнения. Некоторые важные результаты, продолжающие идеи Карлемана, в 1939 г. получил С.Г. Михлин [17-19]. В 1940 г., сопоставив идеи Карлемана и Гахова, И.Н. Векуа [4] дал полное решение в квадратурах неоднородного сингулярного уравнения с ядром типа Коши по замкнутому гладкому контуру.

Немалый вклад в развитие теории сингулярных интегральных уравнений внесли представители грузинской (Б.В. Хведелидзе, Н.И. Мусхелишвили [20], Н.П. Векуа, А.В. Бицадзе [1]) и украинской (Н.И. Ахиезер, И.И. Данилюк [6], И.Б. Симоненко [26]) математических школ.

Интегральные уравнения продолжают интенсивно развиваться и в настоящее время.

Поскольку к одному и тому же интегральному уравнению сводятся нередко самые разнообразные краевые задачи, можно утверждать, что интегральные уравнения представляют собой мощнейший аппарат для решения и исследования задач математической физики.

Интегральные уравнения играют большую роль в различных приложениях математики: теории упругости, теории колебаний, теории игр, электротехнике, экономике и др.

Точные решения интегральных уравнений играют большую роль для формирования правильного понимания качественных особенностей многих явлений и процессов в различных областях естествознания. Эти решения можно использовать для проверки корректности и оценки погрешности различных численных, асимптотических и приближённых методов [25, с. 13].

Долгое время интегральные уравнения были разделом функционального анализа, а сейчас их относят к математической физике, но можно смело утверждать, что они уже приобрели статус самостоятельной математической дисциплины.

Библиографический список

1. Бицадзе А.В. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка. -М.: Наука, 1966.-203 с.

2. Вайнберг М.М. Вариационные методы исследования нелинейных операторов. -М.: Гостехтеориздат, 1956. - 344 с.

3. Васильева А.Б., Тихонов Н. А. Интегральные уравнения. - М.: Изд-во МГУ, 1989. -157 с.

4. Векуа И.Н. О сингулярных интегральных уравнениях, содержащих интегралы в смысле главного значения по Коши. - ДАН СССР. - 1940. - Т. 26. - № 4. - С. 335-338.

5. Векуа И.Н. Системы сингулярных интегральных уравнений и некоторые граничные задачи. - М. -Л.: ГТТИ, 1950. - 252 с.

6. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. - М.: Физматгиз, 1963.-639 с.

7. Данилюк И.И. К теории одномерных сингулярных уравнений. - В книге: Проблемы механики сплошной среды. Изд-во АН СССР. - М, 1961. - С. 135-144.

8. Дорофеева А. В. Развитие теории интегральных уравнений и создание функционального анализа // Сб. ст.: Л. Эйлер и современная наука. - С.-П., 2007. - С. 117-121.

9. Зон Б.А. Лекции по интегральным уравнениям. - М: Высшая школа, 2004. - 92 с.

10. История отечественной математики. - Киев. - Т. 4. - 884 с.

11. Краснов М.Л., Киселёв А.И., Макаренко Г.И. Интегральные уравнения (задачи и примеры). - М.: УРСС, 2003. - 192 с.

12. Красносельский М.А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений. - М.: Гостехиздат, 1956. - 392 с.

13. Ловитт Ч.В. Линейные интегральные уравнения. - М. - Л.: ГИТТЛ, 1957. - 266 с.

14. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. - М.: Наука, 1965.-518 с.

15. Математический энциклопедический словарь // Гл. ред. Ю.В. Прохоров. - М.: Сов. энциклопедия, 1988. - 847 с.

16. Михайлов Л.Г. Новый класс особых интегральных уравнений и его применения к дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентам. - Душанбе, 1963. - 183 с.

17. Михлин С.Г. Сингулярные интегральные уравнения. - Усп. мат. наук, 1948. - Т. 3, вып. 3(25), стр. 29-112.

18. Михлин С.Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям. - М.: ГИФМЛ, 1959.-232 с.

19. Михлин С.Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. -М.: Физматгиз, 1962. -254с.

20. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. Граничные задачи теории функций и некоторые их приложения к математической физике. - М.: Физматгиз, 1962.-599 с.

21. Назаров Н.Н. К теории нелинейных интегральных уравнений. - Труды Ср.-Аз. ун-та, 1937, т. 17, стр. 1 -13.

22. Некрасов А.И. О волнах установившегося вида. - Изв. Ивановск. политех, ин-та, 1922.-№6.-С. 155-171.

23. Немыцкий В.В. Об одном общем классе нелинейных интегральных уравнений. -Мат. сб. - 1934. - Т. 41. - Вып. 4. - С. 655 -658.

24. Петровский И.Г. Лекции по теории интегральных уравнений. - М. - Л.: ГИТТЛ, 1951.-127с.

25. Полянин А.Д., Манжиров А.В. Справочник по интегральным уравнениям. - М.: Физматлит, 2003. - 608 с.

26. Симоненко И.Б. О некоторых интегро-дифференциальных уравнениях типа свертки. - Изв. вузов. Математика. - 1959. - № 2. - С. 213 -226.

27. Смирнов В. И. Курс высшей математики. - T. IV. - М. - Л.: ГИТТЛ, 1951. - 804 с.

28. Трикоми Ф. Интегральные уравнения: Пер. с англ./ Векуа И.Н. (ред.). - М.: Изд-во иностр. лит., 1960. -299 с. - Пер. изд.: Integral equations/ Tricomi F.G.- 1957.

29. Урысон П.С. Об одном типе нелинейных интегральных уравнений. - Мат. сб. -1924. - Т. 31. - Вып. 2. - С. 236 - 255.

30. Фок В. А. О некоторых интегральных уравнениях математической физики. -Мат. сб.-1944.-Т. 14 (56).-Вып. 1.-С. 3-50.

31. Цлаф Л.Я. Вариационное исчисление и интегральные уравнения. - С.-П.: Лань, 2005.-192 с.

ПРЕДМЕТ МАТЕМАТИКИ В КУРСЕ ДОРЕВОЛЮЦИОННОЙ ГИМНАЗИИ

В.В. Перцев

В энциклопедическом словаре Брокгауза и Ефрона дореволюционный историк образования В.В. Бобынин отмечает, что для России период самостоятельной деятельности в области математики начался с конца первой четверти XIX в. Именно с этого времени русская математическая наука получила общее признание в Западной Европе, а труды русских математиков стали нередко появляться в иностранных периодических изданиях, причем «даже и в русском оригинале» [1]. К этому времени период ученичества, период постановки преподавания отдельных университетских дисциплин выписанными из-за границы учеными, характерный для конца XVIII - начала XIX в., закончился, а значение статуса профессора российского университета стало в полном смысле сознаваться носителями этого звания, что позволяло им на равных держаться с западноевропейскими коллегами. Как отмечает Ф.А. Петров, российские ученые все чаще стали избираться членами различных западноевропейских академий и научных обществ, участвовали в международных конгрессах, совершали длительные поездки с научными целями, программа которых составлялась ими самими [4, с.66].

Помимо достижений в математике российская наука добивается значительных успехов и в других отраслях знаний - в химии, медицине, биологии и т.д. Всего этого, безусловно, нельзя было бы достичь, без существенного прогресса в деле устройства отечественной системы образования, которая к этому времени окончательно оформляется и начинает полноценно функционировать. Заимствованный Александром I из Германии дуализм университет - гимназия к концу его царствования уже приносит конкретный положительный результат. Отечественная гимназия фактически монополизирует право на подготовку слушателей к университетскому курсу, что, с одной стороны, возвышает ее среди других типов средних учебных заведений, с другой - ставит на первую ступень в системе подготовки российских ученых.

В общем виде Ф. А. Петров приводит следующую схему подготовки профессорских кадров, действующую в России в то время [4, с.63]:

1. Гимназия. Окончание в возрасте 16-17 лет - основной источник комплектования студентов.

2. Университет: окончание одного из факультетов (в Московском университете - отделение нравственных и политических наук, отделение словесных наук, отделение физико-математических наук (по уставу 1835 г. разделилось на две ветви - математических и естественных наук), отделение врачебных или медицинских наук). Срок обучения - четыре года (на меди-

цинском факультете - пять) и получение первичной ученой степени кандидата.

3. Стажировка в одном или нескольких иностранных университетах и других научных учреждениях по строго определенной программе за государственный счет. Первичный срок - два года, но часто стажировка продлевалась до трех и более лет.

4. Сдача магистерских экзаменов, подготовка и защита магистерской диссертации (как минимум год) и получение звание адъюнкта после защиты, в случае наличия вакансий.

5. Служба адъюнктом, чтение вспомогательных курсов, сдача докторских экзаменов, подготовка и защита докторской диссертации (как минимум год). Получение звания профессора и занятие кафедры - в случае наличия вакансий.

Как видно из приведенной схемы, гимназии отводилась роль основного источника комплектации университетов студентами, что, безусловно, определяло многие аспекты образовательного процесса этого учебного заведения.

Что касается содержательной стороны обучения в гимназиях, то следует отметить, что в учебном плане гимназии больше всего часов было выделено на изучение иностранных языков. Так, например, в Елецкой гимназии на первом месте по количеству часов стояли древние языки - греческий и латинский. Кроме того, изучались и современные иностранные языки - немецкий и французский. Причем латинский язык гимназисты начинали изучать с первого класса, а все остальные со второго. Затем по количеству отведенных часов следует русский язык, математика, география, история. Русскую словесность изучали только в старших классах. В целом же на изучение языков (иностранных и на изучение русского языка - прим. авт.) отводилось около 41% учебного времени. Столько же времени в сумме занимали математика, физика, естествознание. Остальное учебное время уделялось истории, географии, рисованию, черчению. Все годы обучения неизменное внимание уделялось Закону Божьему, на который отводилось два часа в неделю во всех классах [6]. К необязательным предметам относились пение и гимнастика.

Однако, несмотря на то, что значительная часть учебного времени была отведена на изучение древних языков, преждевременно было бы делать вывод, что они были главными предметами гимназического курса. На возможность ошибиться в таком утверждении указывает хотя бы то, что, например, главным предметом старой гимназии считался Закон Божий, на который отводилось всего лишь два часа в неделю. По утверждению современников, религия занимала «самое высшее и главное место между предметами, преподаваемыми в гимназии» [5, с.27]. Закон Божий стоял в первом пункте всех учебных программ среднеобразовательных заведений России XIX века. Как отмечает известный исследователь гимназического образования Г.Н. Козло-

ва, он имел в гимназии «господствующее значение» не только в том смысле, что был первым среди учебных предметов, но и в том, что должен был пронизывать весь «образ жизни» школы [3, с.75]. Если же оценивать его по количеству отводимого времени, то окажется, что он эквивалентен рисованию. Поэтому распространенное мнение о том, что учебный процесс в гимназии шел в ущерб математическому образованию, следует принимать с осторожностью.

В редком фонде РГБ нам удалось найти любопытный документ - Извлечение из речи, написанной для торжественного собрания 2-й казанской гимназии директором Раймундом Шарбе. В нем директор гимназии описывает особенности гимназического образования и подробно характеризует значимость различных предметов учебного курса. Существенную часть своего доклада он отводит вопросам изучения математики. В частности, Р. Шарбе отмечает: «Математика, как в объективном, так и в субъективном отношениях, занимает высшее место в числе наук. Подвергая числу и мере все предметы, она выводит законы, которым подчинены явления природы и искусств. Она определяет законы движения, света, теплоты; она исследует величину и пути небесных светил, она же - основа архитектуры и музыки, она указывает пропорции живописцу и живет в гексаметре геометровом. Доказывать необходимость математики для жизни, изъяснять значение арифметики, геометрии, алгебры и т.д. мы не считаем нужным и позволим себе только сделать вопрос, в каком объеме она должна входить в гимназический курс. Вопрос этот различно был решаем; одни включали более, другие менее. Как бы то ни было, при определении границ надо твердо иметь в виду цель гимназии и силы ученика. И поэтому нам кажется нужным включать только то, что должно быть основанием при переходе ученика к специальному занятию и что составляет непременную потребность образованного человека; и уже предоставить университету или реальной школе дальнейшее развитие. Если же, напротив, иногда употребляют слишком большое усилие довести учеников до той высоты, достигнуть которой только у немногих достает сил, то они с трудом на ней удержаться. Как скоро не будет внешнего побуждения, ученик оставит это занятие, по известному закону физики, что за слишком сильным напряжением следует расслабление. Гораздо полезнее, если юноша достигнет меньшей высоты, по силам, но вполне поймет изученное и сумет его применять. Только то, что приобретено таким образом, не оставляется и после учения; если даже оставится дальнейшее занятие, то останутся общие результаты.

С субъективной стороны математика также приносит ученику непосредственную пользу. Строгая ее консеквентность и непоколебимость ее законов значительно способствуют к последовательному и отвлеченному мышлению; память также усиливается удерживанием в голове различных формул, теорем, чисел, на которых основываются выводы. Чтобы убедится в этом, стоит только следить за мальчиком, решающим математическую зада-

чу: с каким напряженным вниманием занимается он ею, все постороннее для него не существует на это время! Наконец, математика, как наука, приводящая внешние явления в числимую и измеримую известность, имеет влияние и на характер учеников, основывая его на твердых, но формальных законах. Однако эти законы не всегда соответствуют жизни, которая так разнообразна, переменчива и зависима от случайностей, между тем как законы математики неизменны. Строгая последовательность к делам людей неприменима; люди не суть определенные величины, которые можно было бы подвести под алгебраические формулы; они имеют свою индивидуальность. В делах людей чаще приходится судить и действовать по вероятности, нежели по несомненным посылкам. Вообще математика имеет непреложное применение только в науках о природе и не может иметь притязания на развитие чувств, фантазии и нравственной воли...» [5, с.42-44].

Приведенный документ снимает многие вопросы относительно значения математики в курсе гимназии, а также понимания ее роли в воспитании учащегося. Больше - далеко не всегда значит лучше. По всей видимости, именно этот факт служил лейтмотивом преподавания предмета математики в курсе гимназии. И, несмотря на существовавший в гимназии акцент на преподавание языков, учащийся, тем не менее, получал прочные знания по всем предметам, достаточные для продолжения своего образования как в классическом университете, так и профильном вузе. Как отмечает Р. Шарбе, «сам опыт уже неоднократно доказал, что ученики, которые сначала прошли гимназический курс и потом переходили в реальные заведения, не только догоняли, но и перегоняли новых товарищей» [5, с. 15]. То, что гимназия давала своим воспитанникам фундаментальные знания, подтверждает еще и тот факт, что выпускник гимназии обладал правом на поступление в любое высшее учебное заведение страны, на любой факультет (в том числе и физико-математический - прим. авт.) без экзаменов, по конкурсу аттестатов [2]. О своем выборе нужно было лишь написать заявку за полгода до окончания восьмого класса.

Таким образом, математическое образование, получаемое в гимназии, считалось вполне достаточным для поступления на физико-математический факультет университета без экзаменов, а в дальнейшем, после получения высшего образования, для занятия научной деятельностью. Тот факт, что расцвет отечественной математической мысли приходится именно на период после принятия такой модели образования, говорит нам о том, что дореволюционная гимназия успешно справлялась не только с гуманитарной составляющей образования, но и на достаточно высоком уровне в этом учебном заведении преподавалась математика.

Библиографический список

1. Бобынин В.В. Математика // Энциклопедия Брокгауза и Ефрона: В 86 т. / Подгот. по печат. изд. Ф.А. Брокгауза (Лейпциг) и Е. Ф. Эфрона (С.-Петербург) издан. 1890-1907 гг. в 86 томах. - Электрон, данн. - (Р) 2002 IDDK © 2002 Мультимедиа-издательство Адепт / гл. редактор Е. Александрова. - 1 электрон, опт. диск (DVD-ROM). - (Электронная книга).

2. Воробьева В.Я. Роль Орловской гимназии начала XX века в образовании и воспитании юношества // Первые Денисьевские чтения: Материалы науч.-практ. конф. по проблемам истории, теории и практики библ. дела, библиогр. и книговедения, г. Орел, 30-31 окт. 2003 г. / Орл. обл. публ. б-ка им. И.А. Бунина; Орл. гос. институт искусства и культуры; Сост. Н.З. Шатохина. - Орел: Издательский дом Орлик, 2004. - С. 88 - 95.

3. Козлова Г.Н. Русская классическая гимназия как воспитательная система (вторая половина XIX века.): Дис. ... канд. пед. наук. - Н. Новгород, 1996. -200 с.

4. Петров Ф.А. Формирование системы университетского образования в России: Российские университеты и люди 1840-х годов. Часть I: Профессура / Ф.А. Петров. - М.: Изд-во Московского ун-та, 2003. - Т. 4. - 584 с.

5. Шарбе Р. Мысли о воспитании в гимназиях. - Казань: Типография университета, 1857.-49 с.

6. Шиков С.С. О программе прошлых лет // Красное знамя. - 1996. - 18 марта.

КОГДА И ПОЧЕМУ ВОЗНИКЛО НАЧАЛО ПОНТРЯГИНСКИХ ЧТЕНИЙ?18

Ю.В. Покорный

Начало «Понтрягинских чтений» было связано с серьезными временами в организации научной жизни в России. Дело в том, что «Понтрягинские чтения» были задуманы академическим институтом им. Стеклова, а точнее, его сотрудником - Виктором Ивановичем Благодатских. Он долгое время был помощником и личным секретарем Понтрягина. Эти чтения сначала проводились в Кемерово. Туда ездили и воронежские математики (в частности, Борисович), и москвичи (Мищенко А.И.), ну и некоторые люди из ближайшего окружения. Эти чтения, как некая школа, проводились раз в два года. Они были удобны для математиков европейской части России (приезжали как на экскурсию). В Кемерово очень красивая природа, их всегда радушно встречали. А в основном собиралась научная общественность окружающего региона. Но в одно время все «полетело», и у организаторов возникло ощущение, что на эти чтения никто не приедет. Обычно приезжало

18 В начале марта 2008 г. именно с таким вопросом я обратилась к заведующему кафедрой уравнений в частных производных и теории вероятностей Воронежского государственного университета, профессору А.В.Глушко. А.В.Глушко проявил чрезвычайную отзывчивость и выступил с инициативой проинтервьюировать организатора чтений, доктора физико-математических наук, профессора Ю.В.Покорного. В публикации приводится фрагмент интервью Ю.В. Покорного от 20 марта 2008г., за организацию которого приношу искреннюю признательность глубокоуважаемым Ю.В. Покорному и А.В. Глушко (прим. О.А. Саввиной).

несколько десятков человек из европейской части России. А здесь возникла угроза, что не будет никого. Почему? Слишком далеко. Поэтому люди вспомнили, что рядом с Москвой, в Воронеже, регулярно проводятся Весенние математические школы, на которые приезжает достаточно большое количество активно действующих ученых. Поэтому, чтобы спасти сам принцип «Понтрягинских чтений», было решено попроситься с проблемой продолжения на Воронежские математические Весенние школы. К тому времени они в Воронеже проходили уже несколько лет с 1986-го года. Проходили очень успешно, поэтому обратились сначала к Ильину (он был председателем ОРГКОМИТЕТА). Он сказал, что это не он, а Покорный. Меня спросили, возьмемся ли мы. Команда была очень хорошая. И мы сказали: Ради Бога. Это - внешний повод.

Внутреннее мое убеждение: то, что Понтрягин имел какое-то отношение к Воронежу в довоенные годы (приезжал с лекциями), это для меня -предание старины глубокой. Поэтому это было для меня не только данью традициям, которые в Воронеже к тому времени не понятно, сохранились или нет, потому что после войны Понтрягин в Воронеже практически не был. Однако имя Понтрягина у меня лично вызывало чрезвычайно глубокое уважение по двум причинам. С одной стороны, еще в студенческие годы я, получив очень красивую задачу от своего шефа - Красносельского, связанную с топологическими группами, как основной источник по этим группам нашел книгу Понтрягина, еще довоенную. Изучая ее (я был уже студентом 3-го курса), я обратил внимание на изящество и глубину, пронзительную ясность, научную и методическую мощь автора этой книги. Основы топологических знаний и знаний из функционального анализа, которые мне были известны из разных учебников, включая Колмогорова и Хаусдорфа, все это не шло ни в какие сравнения с книгой Понтрягина, поэтому я был чрезвычайно восхищен именно его научной мощью. Дальше мне пришлось читать курс по методам оптимизации. Это было в конце 60-х годов. Курс был еще тогда новым для всей нашей страны. Для того чтобы осваивать его, были только книги типа Понтрягина и др. И я, изучая этот материал по книге Понтрягина и по другим, в очередной раз убедился в его оригинальности и мощи его идей. Не зря же принцип максимума Понтрягина был признан самым ярким математическим достижением середины 20-го века. Это было признание мировой математической общественности. Ну и, наконец, почему у меня возник уже общественный пиетет перед Понтрягиным - потому что во времена довольно бурной реформы математического школьного образования, которая шла под знаменем Колмогорова, реализовывалась Маркушевичем и которая привела к резкому подрыву качества школьного образования. Я этому был свидетелем, потому что я в это время несколько лет возглавлял предметную комиссию по математике в университете и мог сравнить уровень подготовки по старой программе и по новой. Я воочию видел, насколько губительна эта реформа для качества нашего школьного образования. В

то же время, поскольку реформа возглавлялась нашими главными мэтрами, поднять голос осмелился только Понтрягин. Он впервые открыто выступил. Я помню, как воронежские математики дружно пытались встать на защиту идей Колмогорова. Я был солидарен именно с Понтрягиным. И уже поэтому я его искренне зауважал. По этим причинам я с большим уважением относился к имени Понтрягина и поэтому я счел для себя за честь сохранить эту линию (Понтрягинские чтения) с помощью той организационной деятельности, которую мы и без того уже проводили, и достаточно успешно, в рамках Весенних математических школ. В 1986 году мы провели первую Весеннюю школу. Она была маленькая, но все равно она всем очень понравилась. В 1987 году была проведена уже полноценная школа. Уже Ильин был председателем ОРГКОМИТЕТА. В 1990 году мы провели мощную школу в честь юбилея Мышкиса. В этом же году мы присоединили и юбилей Борисовича. А в 1991 году мы начали проводить Понтрягинские чтения уже в рамках той школы, которая до этого уже 5 лет работала.

Очень мощным был первый заезд, потому что приезжала почти вся кафедра Понтрягина. Я тогда познакомился с младшим Никольским. Первое время приезжал от москвичей Благодатских. Он заложил ту традицию, что кроме него сюда никто не приезжает. Ну а потом, когда его не стало, начали приезжать. В этом году обещал приехать Тихомиров (один из главных московских оптимальщиков). Со мной сохраняет некоторые контакты М.С. Никольский. А так - они замкнулись в себе. Проводятся оптимизационные конференции в рамках Института проблем управления. Они практически никак не завязаны с этим крылом (с учениками Понтрягина).

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНТЕРНАТ ИМЕНИ А.Н. КОЛМОГОРОВА: СТАНОВЛЕНИЕ И РАЗВИТИЕ, НАУЧНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ

А.А. Русаков

В последние годы ввиду сложностей процесса модернизации школьного российского образования, ослабления принципов фундаментальности математического образования, недооценки при построении современной профильной школы уникального опыта в создании и функционировании школ и классов с математической специализацией (60-е годы прошлого века) наблюдается определенный скепсис в отношении возможности развития школьного математического образования в России с учетом исторического опыта и имеющихся прототипов в этой области. Симптоматично, что современная школа при всей своей потенциальной ориентированности на гуманистические и демократические ценности и декларативно провозглашенную концепцию модернизации, постоянно сталкивается с проблемами их реализации в педагогической действительности. В современной педагогической теории и практике вопросы углубленного школьного математического обра-

зования, бесценный опыт школьной математической специализации (60 -70-е годы 20 столетия), методика работы с математически, творчески одаренными детьми19 и создание глобальной системы поиска, отбора и развития таких детей не находят должного освещения. Все это, вместе взятое, настоятельно требует теоретического, историко-педагогического, методического, ретроспективного и прогностического исследования данной сложной актуальной проблемы.

Развитие российской математической школы никогда не строилось с абсолютного нуля. Обычно одна образовательная форма, как прототип, превращалась в другую, более совершенную и более соответствующую духу времени. Одним из первых революционных новаторов перестройки российского школьного математического образования считается П.Л. Чебышев, который, начиная с 1857 года, провёл реформу гимназий, носившую радикальный характер (кульминационный момент которой приходится на 1885 год) [1].

Первым примером в системе российского национального математического образования, когда новая форма создаётся с нуля, является школа-интернат, созданная И.К. Кикоиным и А.Н. Колмогоровым. Следует констатировать, что становление физико-математической школы-интерната им. А.Н. Колмогорова уже в то время рассматривалось не как факт создания отдельно взятой школы. Многие математики оценивали и видели большую роль в будущем факта создания и функционирования такой физико-математической школы-интерната для реформирования как профильного школьного математического образования для математически, творчески одаренных детей, так и для создания нового содержания школьного математического образования в рамках начинающейся в тот период фундаментальной реформы советской школы. Радикальное совершенствование содержания школьного математического образования, естественно, потребовало развития и совершенствования методики обучения математике и естественнонаучным дисциплинам. Факт создания физико-математической школы-интерната и его функционирование следует рассматривать с сегодняшних позиций как уникальную всесоюзную педагогическую лабораторию, в задачи которой входил широкий спектр методических проблем от организации учебного процесса для математически одаренных школьников, обеспечивающего их дальнейшее профессиональное естественнонаучное образование, до постановки теоретических проблем дидактики взаимосвязи школьного и вузовского образования.

В основе создания физико-математической школы-интерната лежит система идей поистине великого отечественного математика А.Н. Колмогорова.

19 Автор, отдавая дань традиции колмогоровской школы-интерната, где термин «математическая, творческая одаренность» получил признание, использовался еще в 60-е годы XX века и употребляется до сих пор, использует эту стилистику в своей работе. Более подробно см. далее.

ИДЕЯ ПЕРВАЯ. А.Н. Колмогоров высказался за необходимость в тот исторический период приступить к дифференциации содержания школьного отечественного образования, что получило реализацию в создании в 60-е годы профильного обучения: школы и классы с математической специализацией и др. Сама идея создания школы-интерната восходит к А.Н. Колмогорову. Это было великое решение в непростое время.

При переосмыслении наследия Андрея Николаевича Колмогорова поражает его гениальность, его способность предвидения. Он в образовательном пространстве России нашел для школы нишу, в которой она оказалась вне конкуренции. СУНЦ МГУ - это и не средняя школа, это и не подготовительные курсы, но это и не высшее учебное заведение.

2 декабря 1963 года в аудиториях специализированной школы-интерната физико-математического профиля №18 Главного управления народного образования г. Москвы при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова (так до 1988 года называлась колмогоровская школа-интернат) собрались первые ученики.

ИДЕЯ ВТОРАЯ. Понимание А.Н. Колмогоровым специфики поиска и отбора математически, творчески одаренных школьников со всей страны для дальнейшего обучения в школе-интернате при МГУ и постоянного поиска оптимальной формы её реализации. Каждый год в школе-интернате начинается с приема новых учеников. Для этого весной в местах проживания будущих абитуриентов проводятся вступительные экзамены (письменные и устные), затем школьников, успешно выдержавших экзамены, приглашают в небольшую летнюю школу, по итогам которой и происходит окончательный отбор учащихся. В первую очередь среди абитуриентов отбирают тех, кто не только обладает определенной суммой знаний, но и проявляет стойкий интерес к учебе, умеет нестандартно мыслить, хорошо восприимчив к новому материалу. Другими словами, в первую очередь отбираются математически одаренные, творчески настроенные дети.

Стандартной практикой в ситуации, когда на трех экзаменаторов более 100 абитуриентов, стало первоначальное проведение 50-минутного письменного тестирования, включающее в себя стандартный набор типовых заданий. Приведем пример такого теста.

Школа им. А.Н. Колмогорова Тестовая работа на 50 мин (для поступающих в 10 класс) 1. Длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую: у = —X - 8 равна

Варианты ответов:

2. Пусть xl, х2 - корни квадратного уравнения 10х2 + 13х+ 1=0. На-[исать уравнение, корнями которого являются числа -3x7 , -3x2 . Варианты ответов:

3. Уравнение |б|х|-8| = -9х-3 имеет ровно

Варианты ответов: 1) 0 корней; 2) 1 корень; 3) 2 корня; 4) 3 корня; 5) 4 корня.

4. На сторонах KL и LM треугольника KLM расположены точки А и В соответственно. При этом LA=AK и MB : BL = 1 : 8. Какой процент от площади четырехугольника КАВМ составляет площадь треугольника ALB?

Варианты ответов: 1)25%; 2)40%; 3)60%; 4)75%; 5)80%.

5. Какой угол образуют стрелки часов в 3 часа 6 минут?

Варианты ответов:

1)54°; 2)56°; 3)57°; 4)58°; 5)60°.

После прохождения теста остается порядка 40% учащихся, допущенных к экзамену, способных побороться за право учиться в СУНЦ МГУ им. М.В. Ломоносова.

Резко возрастает интерес к олимпиадам по математике и физике. В 1960 году на традиционную XXIII Московскую математическую олимпиаду, кроме москвичей, были приглашены команды из союзных республик и некоторых областей Российской Федерации. Опыт оказался настолько удачным, что уже в следующем году в Москве состоялась первая Всероссийская математическая олимпиада школьников с участием команд всех союзных республик и областей РСФСР. (По существу, это была первая Всесоюзная олимпиада, однако так она не называлась по причине вполне бюрократической — в стране не было Министерства просвещения СССР! Лишь в 1967 году, когда министерство появилось, прошла первая Всесоюзная математическая олимпиада.)

На волне всеобщего интереса к точным наукам во многих школах Москвы, Ленинграда и других городов, где были ученые и учителя-энтузиасты, стали появляться математические и физические кружки и физико-математические классы, а иногда и профильные школы.

К 1963 году ученики физико-математических школ и классов, существовавших на птичьих правах в Москве (школы № 2, 7, 444, 57) и во многих других городах (первая Всесибирская физико-математическая олимпиада школьников 1962 г.), показали замечательные успехи на олимпиадах различного уровня и вступительных экзаменах в вузы. Стало ясно, что углубленное изучение точных наук в школе не только многим по силам, но и приносит большую пользу - и детям, и стране.

Многие выдающиеся ученые пришли в школы для непосредственного руководства подготовкой будущей научной смены.

Летом 1963 года по инициативе всемирно известных ученых - академиков П.С. Александрова, А.Н. Колмогорова, И.К. Кикоина, М.А. Лаврентьева, И.Г. Петровского - было издано постановление Совета Министров СССР об образовании школ-интернатов при МГУ, ЛГУ, НГУ и КГУ.

На самом деле специализированный интернат при НГУ существовал еще до этого постановления. Его в 1962 году организовал (после проведения Первой летней физико-математической школы, проходившей в Новосибирском Академгородке в июле и августе) академик М.А. Лаврентьев — президент Сибирского отделения АН СССР (этому, конечно, способствовала и удаленность Новосибирска от московской бюрократии).

Весной 1963 года началась подготовка к созданию школы-интерната при МГУ. Победители заключительного тура Всероссийской математической олимпиады школьников были приглашены в летнюю школу, проходившую в августе на базе МГУ имени М.В. Ломоносова в подмосковном Красновидово. Всего пригласили 46 ребят. Работу школы возглавил великий ученый и просветитель А.Н. Колмогоров. Андрей Николаевич все три недели находился в Красновидово, сам вел занятия, читал лекции, устраивал походы по окрестностям. Ему помогали студенты и аспиранты, сами со временем ставшие известными математиками и педагогами. Так, например, директором этой школы был известный математик, доктор физико-математических наук Николай Христович Розов, его весомое научное математическое творчество органично дополняется педагогической деятельностью. Ныне член-корреспондент РАО Розов Н.Х. - ведущий профессор, декан факультета педагогического образования МГУ им. М.В. Ломоносова. А летом 1963-го он проявил незаурядные организаторские способности в реализации идеи летней школы, ведь все было впервые. Осенью того же года по 49 областям России и Белоруссии для проведения вступительных экзаменов в школу-интернат по математике и физике разъехались экзаменационные комиссии, состоявшие из преподавателей и аспирантов МГУ и МФТИ. Экзаменаторы получили инструкции проверять не знания и навыки, а сообразительность и смекалку, умение решать простые, но нестандартные задачи. Важная интересная деталь: собирали школьников для экзаменов сотрудники областных отделов народного образования. В письме Министерства просвещения РСФСР им было предложено приглашать на экзамен победителей областных олимпиад, а также школьников, рекомендованных учителями. На каждую область полагалась определенная квота. Скажем, не больше 30 человек. Однако приехавшие из Москвы комиссии обнаруживали по 100-150 школьников, стремившихся поступить в интернат. Что делать? Приходилось комиссии из трех - четырех человек за 2-3 дня экзаменовать всех без исключения.

Окончательное решение о зачислении кандидатов в школу выносила приемная комиссия под председательством ректора МГУ им. М.В. Ломоносова академика И.Г. Петровского, заседавшая в его университетском кабинете (присутствовал и А.Н. Колмогоров). Каждая из выездных комиссий сообщала свой вердикт, после обсуждения решали: принять или не принять.

ИДЕЯ ТРЕТЬЯ. Предложение о необходимости проведения летней физико-математической школы (ЛФМШ) как одной из форм просмотра математически одаренных детей. Эта идея А.Н. Колмогорова о создании такой летней физико-математической школы возникла одновременно с идеей об организации самой ФМШ №18 при МГУ. Программа обучения в ней строилась так, чтобы помочь будущим учащимся школы-интерната прежде всего подготовиться к восприятию основной программы обучения в школе-интернате. Первые летние школы проходили в Красновидово (в 1963, 1964, 1965, 1968 и 1970 годах), затем - в Пущино на базе филиала МГУ (в 1971, 1972, 1975, 1977 годах); в последнее время они проводятся на базе СУНЦ. В 60-е - 70-е годы в работе практически всех летних школ активно участвовал А.Н. Колмогоров, а форму, содержание и специфику подготовки к проведению таких летних школ и лагерей А.Н. Колмогоров постоянно обсуждал с П.С. Александровым, который в ЛШ 1963 прочел курс по теории множеств.

Важное изменение произошло в 1988 году, когда на базе школы-интерната был создан Специализированный учебно-научный центр МГУ им. М.В. Ломоносова (СУНЦ МГУ). Появилось звание учащийся Московского университета, а не просто школьник. А сама школа-интернат стала школой имени А.Н. Колмогорова. Были организованы кафедры, преподавание велось и ведется так же, как в вузах: лекции, семинары, зачеты, экзамены. Работают специальные семинары, читаются спецкурсы, увеличилось число специализаций.

ИДЕЯ ЧЕТВЕРТАЯ. В идеале, как хотел А.Н. Колмогоров, каждый выпускник школы-интерната, или в интернате, или в ВУЗе, имел бы возможность включиться в настоящую реальную научную работу. Иногда так и получалось, чаще — нет, но ведь идеал, как известно, недостижим...

Школа небольшая - около 350 учеников, в ней есть только десятые и одиннадцатые классы (поступать можно и в десятый — на двухгодичный цикл обучения, и в одиннадцатый - на одногодичный). Классы разделены по профилям, их в настоящее время пять - физико-математический, компьютерно-информационный, химический, биологический и биофизический (для одногодичного обучения - только физико-математический). Во всех классах много времени отводится информатике и практической работе на компьютерах. На каждом уроке по профилирующим предметам, как правило, с учениками работают два преподавателя - это позволяет больше внимания уделять каждому школьнику и значительно повысить эффективность и индивидуальность обучения. Когда мы говорим о школе научного творчества, то имеются в виду не только профилирующие дисциплины.

ИДЕЯ ПЯТАЯ. Выступая на заседании педагогического совета школы-интерната, А.Н. Колмогоров высказал фундаментальную идею, специально под-

черкнув, что соприкосновение школьников с творческой мыслью должно происходить при изучении любого предмета, а главным методом познания при этом должна стать имитация научного исследования: ...шаг за шагом находить, вычислять нечто, а не давать готовенькое... [2].

ИДЕЯ ШЕСТАЯ. Идея А.Н. Колмогорова о необходимости и возможности всестороннего развития и воспитания школьников в интернате оказалась пророческой. Он писал Я думаю... в душе вы, конечно, увлечены всеми сторонами человеческой культуры, музыкой, литературой, искусством, хотите понимать жизнь человеческого общества всесторонне и всесторонне в ней участвовать.

ИДЕЯ СЕДЬМАЯ. Идея А.Н. Колмогорова о том, чтобы в школе-интернате были три математические дисциплины: алгебра, геометрия и математический анализ (9 часов в неделю, по три на каждый предмет, и из них один час - лекционный) изучались раздельно, а не так, как в общеобразовательной школе, где курсы алгебры и математического анализа объединены в один. Эта идея методически была реализована в школе-интернате еще при А.Н. Колмогорове, она продолжает жить и принята за основу рядом общеобразовательных школ с математической специализацией (Московские математические школы №2, №54, №57, №444, №1543 и др.). В колмогоровской школе-интернате в строгом понимании стабильных математических программ не существует, даже в рамках одной специализации (физико-математические классы разделены на два потока), не говоря уже о всех специализациях, вместе взятых. Следует заметить, что созданное в дальнейшем элитарное образовательное учреждение Международные колледжи (первый - Атлантик колледж, Великобритания, второй - Адриатик колледж, Италия) в определенной степени продолжило реализацию идей А.Н. Колмогорова, не подозревая об этом. В этих международных колледжах также нет специальных учебных пособий и нет стабильных учебных программ. И только к 90-ым годам были сделаны первые попытки создания и издания комплектов учебных программ.

В колмогоровской школе-интернате образовательный процесс регламентируется индивидуальным учебным планом преподавателя, отражающим его методические вкусы, накопленный опыт работы (не только школьный), а также традиции, сложившиеся в колмогоровской школе-интернат. Такая отмеченная индивидуальность учебного плана сказывается не более чем на 20—25% от всего отводимого на учебную дисциплину времени. В остальном доминирует уже сложившаяся методическая традиция. Главная задача колмогоровской школы-интерната - стремиться к тому, чтобы все учебные занятия по всем предметам не только увеличивали сумму знаний учащихся, но и систематически воспитывали те качества, которые необходимы любому человеку: уважение к коллективу, ответственное отношение к делу, привычка к систематическому труду, стремление к качественному выполнению работы, поиску нового, упорству в достижении цели и, что самое главное, самостоятельности мышления.

ИДЕЯ ВОСЬМАЯ. Эта идея А.Н. Колмогорова была неожиданной, нетрадиционной, но весьма и весьма продуктивной. Эта идея - привести в общеобразовательную школу, а тем более в его школу-интернат активно работающих учёных, продолжающих выдавать научную продукцию, преподавателей ВУЗа, чтобы реализовать те педагогические и методические задачи обучения и воспитания, сформулированные в идее седьмой. Немного истории. Из гимназии Е.А. Репман школьник А.Н. Колмогоров вынес идею привлечения вузовских преподавателей, занимающихся наукой, к работе в школе с целью пробуждения у ребят интереса к серьезным занятиям наукой, а также необходимость привлечения ярких в личностном плане, увлеченных своим делом учителей, в том числе по непрофилирующих предметам. Личность преподавателя, обладающего качествами духовного лидера (искренностью собственных убеждений; полным соответствием собственных поступков своим заявлениям; предоставлением ученикам возможностей и свободы выбора пути), оказывает значительное влияние на мотивацию школьника к изучению конкретной науки.

ИДЕЯ ДЕВЯТАЯ. Стержнем проектируемой методической системы обучения в школе-интернате должна была выступать, по мнению А.Н. Колмогорова, методико-математическая ситуация, естественно ставящая школьника в положение, когда он, осваивая новый учебный математический материал, не только накапливает сумму знаний, но в процессе успешного решения некой системы задач у него формируется ощущение, что он сам решил математическую задачу, по сложности доступную студентам математических специальностей. Самое важное при этом, чтобы школьник это ощущение успешности и необходимости пронес через всю жизнь.

Курс алгебры двухгодичного потока (физико-математического отделения) включает в себя довольно обычный для нас набор основных тем: математическая индукция, комбинаторика, алгоритм Евклида и основная теорема арифметики, арифметика остатков, рациональные и иррациональные числа, многочлены, комплексные числа и отображения комплексной плоскости, алгебраические неравенства, уравнения, системы.

Школьная алгебра сейчас довольно далека от современной алгебры как науки, что вполне естественно, так как на самом деле в этом школьном курсе сильно переплетаются элементы трех математических дисциплин (трех великих А, по выражению Ф. Клейна, — Арифметика, Алгебра, Анализ). В школе-интернате алгебраический курс, в основном, ориентирован не на теории и аксиоматику, а на конкретные ситуации, примеры и задачи (в рамках первых двух великих А). Конечно, на лекциях (да и на семинарских занятиях тоже) доказываются теоремы, закладываются основы теорий, но все-таки лицо курса определяет система задач, которые обсуждаются на семинарах. Немало внимания уделяется и истории математики, как важной воспитательной составляющей учебного процесса — это способствует расширению кругозора учеников и повышению их математической культуры.

Общие цели изучения геометрии в нашей школе мало чем отличаются от основных целей, которых пытаются достичь в обычной средней (да и выс-

шей) школе. Коротко, это изучение свойств геометрических фигур на плоскости и в пространстве, формирование пространственных представлений в широком понимании этого слова, развитие логического мышления.

ИДЕЯ ДЕСЯТАЯ. Эта идея А.Н. Колмогорова об арифметизации школьной геометрии. Другими словами, речь шла о необходимости построения курса геометрии, когда в основе курса лежат геометрические преобразования. Следует особо подчеркнуть, что сам А.Н. Колмогоров идею арифметизации школьной геометрии относил к самому Н.И. Лобачевскому (Геометрическое преобразование - это функция. Современное определение функции дал Н.И. Лобачевский). В истории школы-интерната А.Н. Колмогоров дважды прочитал интереснейший курс геометрии для вновь поступивших в школу-интернат. Колмогоровский цикл лекций приобщал школьников к самостоятельным исследованиям. Следует заметить, что методическую интерпретацию фундаментальных идей Колмогорова проводил блистательный методист-математик А.А. Шершевский. Впоследствии эти материалы легли в основу курса геометрии, читавшегося в течение многих лет различными преподавателями (Земляковым А.Н., Буровым А.А., Веселовым А.П., Скопенковым А.Б., Довбышем С.А., Дубровским В.Н., А.А. Русаковым и др.). Одним из итогов этой многолетней экспериментальной работы явился задачник (Задачник по планиметрии), собранный и отредактированный В.В. Прасоловым и изданный в различных вариантах, позднее в соавторстве с И.Ф. Шарыгиным, на котором выросло уже не одно поколение выпускников колмогоровской школы-интерната, в котором нашла отражение огромная учебно-методическая работа большого коллектива преподавателей, реализующих в течение многолетней истории интерната эту идею А.Н. Колмогорова.

ИДЕЯ ОДИННАДЦАЯ. А.Н. Колмогоров считал, что курс математического анализа в школе-интернате должен выполнять пропедевтическую функцию по отношению к более сложному и содержательному мехматовскому курсу анализа. Методическое решение этой идеи А.Н. Колмогоров видел в том, чтобы по возможности интернатовский курс не дублировал основные темы и содержание мехматовского курса анализа (первый год обучения). При реализации этой идеи возникли и продолжают возникать острые дискуссии. Здесь две главные проблемы. Первая — это строгость и уровень изложения курса анализа. А.Н.Колмогоров всегда считал, что изложение анализа должно быть доступным и образным; этого мы традиционно придерживаемся и сейчас. Следует еще раз напомнить, что в тот период А.Н. Колмогоров был председателем математической секции Комиссии по определению содержания среднего образования АН СССР, АПН СССР. Сегодня можно утверждать, что, видимо, его идеи по созданию физико-математической школы-интерната перекликались с его научно-методической позицией по реформированию школьного образования страны в целом. Тогда председателем Комиссии по реформированию школьного образования был профессор механико-математического факультета МГУ А.И. Маркушевич (он же вице-президент АПН СССР), и позиция А.И. Маркушевича полностью совпадала с идеями А.Н. Колмогорова.

А.Н. Колмогоров писал: «Опыт наглядного преподавания начал анализа говорит, что эти начала могут быть изложены в форме, в которой они совсем не воспринимаются как что-либо более трудное, чем обычный, чисто алгебраический материал». Другая проблема связана с неизбежным дублированием университетских программ, а из-за этого у выпускников, поступивших в университет, возникает иллюзия, что они и так все уже знают, что приводит к неприятностям на первом же экзамене. При обучении математическому анализу в школе-интернат стремятся к тому, чтобы важные математические понятия сначала были сформированы, и только потом появлялись их строгие определения.

Целенаправленная и интенсивная подготовка к вступительным экзаменам в вузы самого высокого уровня (МГУ, МФТИ, МИФИ и др.) проходит, как правило, вне основного учебного времени. Все выпускники колмогоровской школы-интерната становятся студентами, школа и кафедра математики тщательно анализируют итоги их поступления в вузы, а также их пробелы в самой предэкзаменационной подготовке.

ИДЕЯ ДВЕНАДЦАТАЯ. Эту идею А.Н. Колмогорова в организационном плане фактически следовало бы поставить на первое место. С первого дня возникновения физико-математической школы-интернат важнейшее значение в организации его жизни, деятельности, развития и управления А.Н. Колмогоров отдавал такой организационной форме, как «ПОПЕЧИТЕЛЬСКИЙ СОВЕТ», он его и возглавил и был до конца жизни его бессменным председателем.

Членами попечительского совета являлись ректор МГУ И.Г. Петровский, академик П.С. Александров, обязательно входил в состав совета директор школы-интерната. Известно, что дольше других живет школа, сохраняющая и почитающая свои традиции: они связывают поколения, подтверждая известный тезис о том, что нет ничего более здорового, чем здоровый консерватизм.

Все перечисленные идеи А.Н. Колмогорова за годы становления были реализованы, приняты педагогическим коллективом, получили свое развитие и разную интерпретацию, но, что является главным, позволили чётко сформулировать основную цель школы-интерната - подготовка хороших студентов: математиков, физиков и физико-техников - из числа школьников, начавших свое образование на периферии. Интернат не только готовит их к конкурсным экзаменам, но и знакомит с математикой и физикой в более широкой перспективе, чем это предусмотрено обычными школьными программами, чтобы в высшей школе они могли сознательно выбрать себе более узкую специализацию и поскорее включиться в научную работу.

Исторические периоды развития интерната можно отдифференцировать по следующим признакам:

- А.Н. Колмогоров активно работает в ФМШ №18.

- ФМШ №18 продолжает функционировать и развиваться уже без участия А.Н. Колмогорова.

- Последние 10-15 лет развития колмогоровской школы-интерната, т.е. когда интернат стал СУНЦ при МГУ им. М.В. Ломоносова, школой имени А.Н. Колмогорова.

Ситуация появления особого элитарного образования была в середине прошлого века совсем не свойственна системе общего образования СССР. Однако опыт больших учебно-научных центров как в нашей стране (МГУ, НГУ, КиевГУ), так и подобных заведений за рубежом (Будапешт, Пекин, США, Париж - школа А. Пуанкаре) диктует необходимость существования своего рода инкубатора для абитуриентов, некоторого нулевого курса.

Конечно, путь от идеи, которая уже витала в воздухе и занимала умы ведущих ученых-педагогов, до создания самой колмогоровской школы-интерната достаточно трудный и долгий. Бесспорная заслуга академика А.Н. Колмогорова в том, что он сумел возглавить это движение и дать жизнь и особый статус четырём школам-интернатам при ведущих университетах страны.

I период (1963-1968) существования Специализированной физико-математической школы-интерната № 18 Главного управления народного образования при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова был обусловлен необходимостью решения задач, напрямую вытекающих из принципов существования этой школы:

• что есть одаренность;

• как отобрать одаренных детей (задача набора в школу);

• целеполагание обучения одаренных детей;

• чему их учить (учебные материалы, методика) и др.

Идеи А.Н. Колмогорова, уже систематизированные выше, явились основополагающими для ФМШ №18. В те годы школа представляла собой большую методическую Лабораторию по поиску решений поставленных проблем, поиску необходимой административной структуры, педагогического коллектива школы.

1968 год можно считать годом подведения первых итогов становления колмогоровской школы-интерната. Этот год был звёздным в педагогической карьере А.Н. Колмогорова: закончена работа математической секции Комиссии над программой по математике для общеобразовательной школы, которую он возглавлял. Андрей Николаевич публикует результаты работы Комиссии [3], [4], хотя всем ясно, что львиная доля напряженной работы по созданию концепции реформирования школьной математики принадлежит лично ему. Таким образом, с одной стороны, А.Н. Колмогоров становится родоначальником реформы математического образования всей страны, а с другой стороны, его новое детище - успешно развивающаяся ФМШ №18 становится функционирующим учебным заведением, известным далеко за пределами нашей страны:

• ежегодно выпускники поступают в ведущие ВУЗы страны;

• налажен набор в школу-интернат;

• есть учебные планы;

• есть программы [5];

• есть ядро складывающего педагогического коллектива; и т.д.

Другими словами, из идеи о необходимости создания специальной школы-интерната для детей из глубинки А.Н. Колмогоровым получена хорошо отлаженная функционирующая реальная школа-интернат.

II период (1969 - 1980).

• Появился журнал Квант (1970 год).

• Четкое оформление учебного процесса на две специализации (математическая и физическая): появляется математический и физический цикл.

• Нормальная работа педагогического коллектива, сформированного лично А.Н. Колмогоровым.

• Наряду с вкладом величайшего математика велика роль личностей, талантливых педагогов-преподавателей, которые поверили в А.Н. Колмогорова, нашли себя в ФМШ №18 и считали за честь работать рядом с ним.

• Сформировались первые традиции.

• Отработан инструмент набора школьников - Летние школы, выездные комиссии в 49 регионов-областей Европейской части РФ.

• Стабилизировалось содержание индивидуальной работы с поступающими (выработалась методическая система приёма).

• Отработано содержание цикла лекций.

• Решается задача осмысления, становления и развития эмпирической методики работы с одаренными детьми, характерной для колмогоровской школы-интерната.

Что же такое одаренность? Ознакомившись с определениями одаренности, данными такими педагогами-психологами, как А.М. Матюшкин, М.А. Холодная, Б.Ф. Баев и др., автор все же придерживается следующей дефиниции понятия «математическая одаренность», идущего еще от А.Н. Колмогорова и выведенного эмпирически на основе многолетнего практического опыта.

Математически, творчески одаренный ученик - это школьник, способный производить математические вычисления, т.е. умело преобразовывать сложные буквенные выражения, находить удачные пути для решения уравнений, не подходящих под стандартные приемы и правила; обладающий хорошим геометрическим воображением или геометрической интуицией; владеющий искусством последовательного правильно расчлененного логического рассуждения; имеющий успех в математике.

• А.А. Русаков (а также Нина Бовт, Евгений Федоров), как комсорг школы-интерната, является одним из основателей музея школы, появившегося в 1977 году. Пришло время собирать наработанное и накопленное. Ра-

бота была разнообразной: например, сохранились альбомы участников и победителей Международных физических и математических олимпиад учащихся ФМШ №18 с задачами по физике и математике соответствующих, и международных в том числе, олимпиад. Предметные олимпиады на тот момент являлись основным критерием продуктивности, эффективности функционирования школы-интерната. Другими словами, достаточно ли подготовлен молодой человек для поступления в ВУЗ, Московский университет. Далеко не каждый способен стать первым среди равных и стать лидером. Главное, что школа-интернат уже умела к тому времени успешно готовить из математически, творчески одарённых школьников победителей предметных олимпиад.

• Библиотека школы была очень архаична. Она была интересна и познавательна, но понятна далеко не всем ученикам. Учитывая специфичность статуса колмогоровской школы-интерната, которая не являлась Московской школой, ФМШ №18 была лишена обычных источников поставки литературы и учебников, поэтому на повестке дня администрации вопрос наполняемости библиотеки школы до сегодняшнего дня стоит очень остро.

• Начинают появляться первые небольшие методички как первые промежуточные результаты фиксации эмпирической методики работы с одаренными детьми.

• Методический семинар методобъединения математики. (Заводилы семинара - А.А. Егоров, А.Н. Земляков, руководитель объединения математиков В.В.Вавилов). Высказанная А.Н. Колмогоровым идея от самоучителя игры на гитаре до самоучителя по математике реализована как пропедевтика (подготовка) к формированию базовой математической культуры школьников для занятия научными исследованиями в математике. Важно отметить внимание А.Н. Колмогорова к роли научного руководителя не только в познавательном, но и в воспитательном аспекте.

• Интернатовский учебник по алгебре (А.Н. Колмогоров, А.А. Шершевский и др.) выпуск 1971 года. Преподаватели интерната - авторы учебника - сделали первое приближение к методике обучения одаренных детей.

Мажорным финалом второго периода становления колмогоровской школы-интерната (стабилизация) стало появление первых десяти докторов физико-математических наук в возрасте моложе тридцати лет - из выпускников колмогоровской школы-интерната. Это наивысшее достижение школы творчества, которая сумела подготовить не только победителей предметных олимпиад, не только качественных студентов МГУ им. М.В. Ломоносова, но и выдающихся молодых ученых.

Приведем воспоминания одного из выпускников ФМШ №18: «Обучение в колмогоровской школе-интернате для нас не столько означало профессиональную реализацию, сколько открывало новые горизонты: хотелось стать самостоятельными, понять, на что мы способны, приобщиться к столичной жизни. Приехав в Москву, мы попадали в совершенно новую

для нас среду с другими ритмом жизни и менталитетом». После окончания интерната почти все выпускники были способны поступить в университет или другие престижные и крупные вузы столицы, например в МФТИ. Мало кто возвращался домой. Большинство оставалось работать в Москве и в ближайшем Подмосковье, в хорошо известных научных центрах, где становились ведущими сотрудниками. Именно колмогоровская школа-интернат давала им возможность активной жизненной самореализации.

III период (1980-1988):

• Андрей Николаевич сфокусировал всё внимание на важном прикладном курсе математики Теория вероятностей. А.Н. Колмогоров переходит от общих своих идей к их реализации на практике, на объединённом потоке в ФМШ№18, где он заложил на некотором адаптированном, понятном школьникам интерната языке, как он считал, основы своей большой статистической теории. Создается семинарская поддержка лекций А.Н. Колмогорова по теории вероятностей. А.А. Русаков - ассистент А.Н. Колмогорова. Можно утверждать, что роль диссертанта в этот период идентична роли А.А. Шершевского в первые годы преподавательской деятельности А.Н. Колмогорова в ФМШ №18.

• В стране появляется большое количество математических специализированных классов и физико-математических школ, т.е. пошла лавина, своего рода мода на такое образование.

• Начало работать общество «Знание», в том числе и «Библиотека физмат школы».

• Не только А.Н. Колмогоров создавал интернат, но и сама школа-интернат, развиваясь и эволюционируя, меняла А.Н. Колмогорова (его взгляды, настроение, кругозор).

• Огромная трудность в издании методичек (цензура, отсутствие издательской базы), так необходимых в школе творчества. Огромную поддержку оказал в это время НИИ механики МГУ им. М.В. Ломоносова, который под своей обложкой наладил выпуск различных методичек для колмогоровской школы-интерната.

• Издаются первые методические брошюры, образуя первые контуры методики работы с математически, творчески одаренными детьми.

• Вышли в свет и подверглись критике всесоюзные учебники по математике А.Н. Колмогорова. Началась разнузданная травля А.Н. Колмогорова.

• Вводится понятие факультатива в общеобразовательной школе (аналог спецкурсов, спецсеминаров в ФМШ №18). Создана система факультативных курсов в НИИ содержания и методов обучения АПН СССР, которая была реализована под научным руководством директора НИИ содержания и методов обучения АПН СССР В.М. Монахова и получила одобрение А.Н. Колмогорова (Журнал «Математика в школе», 1965-1968 гг.).

• Делаются первые попытки перехода от простого изложения содержания того или иного курса к методическому осмыслению различных вариантов его преподавания, т.е. зачатки первой методики работы с одаренными детьми. Только сейчас становится понятным, почему эту методику нельзя было привнести в школу-интернат извне.

• Первое оформление, хотя бы приблизительное, методики работы с математически, творчески одаренными детьми. Школьное научное общество. «Физико-математический вестник» народного учителя РСФСР Г.Г. Григорьева.

• Поступок Народного учителя СССР, Народного учителя России, создателя Волгоградского Мужского педагогического лицея (единственного пока в стране, который готовит сельских учителей) Фёдора Фёдоровича Слипченко, который в Олимпийский год в стране вечного дефицита помог приобрести для колмогоровской школы-интерната «олимпийскую» мебель. Имидж школы-интерната преобразился.

• 1988 год подвел итог работы А.Н. Колмогорова в школе-интернате (первые три этапа развития школы). Стабилизация работы школы (колмогоровский интернат работает по накатанному).

IV период (1988-1997) новый статус ФМШ №18 - СУНЦ МГУ им. М.В. Ломоносова, школа им. А.Н. Колмогорова.

• Выживание интерната без А.Н. Колмогорова в период спасения образования, которое объясняется политической и общественной ситуацией в стране. Частая смена директоров (см. приложение 2).

• Число докторов наук растет.

• Перестройка интерната, как структурного подразделения МГУ, под структуру механико-математического факультета. Появились кафедры, другая факультетская структура. Лаборатории открывались и закрывались. Создание НТО как попытка привлечения школьников к занятию наукой, включения учащихся и преподавателей в эту работу. Однако попытка в лоб решить проблему вовлечения учащихся в большую науку не дала ожидаемых результатов.

• Разгул административного режима (например, в 1990 году по воле зав. кафедрой математики закрыт кружок «Олимпиадные задачи», результат - нет победителей международных олимпиад по математике.

• Появление предмета и кафедры информатики, открытие нового профиля.

• Спад олимпиадного движение в течение всего периода.

• Преподаватели-единомышленники А.Н. Колмогорова теряют свои позиции.

• 1988-89 г. - методически продуктивные годы А.А. Русакова (Н. Андриянов, В. Рагулин в 1988, А. Городецкий, А. Бачурин, Н. Андрианов, А. Скопенков в 1989) группа ФМШат призеров Всесоюзной олимпиады под-

готовленных на кружке «Олимпиадные задачи» (руководитель кружка А.А. Русаков), характеристика работы колмогоровской школы-интерната.

• Появление компьютерных классов.

V период (1998 - наши дни).

Заканчивается формирование эмпирически создаваемой методики работы с математически одаренными детьми. К этому времени разработан ряд математических курсов, изданных в виде учебников и задачников. На базе методики работы с одаренными детьми проектируется методическая система обучения и воспитания математически, творчески одаренных детей в колмогоровской школе-интернате.

В лаконичных характеристиках отдельных периодов развития колмогоровской школы-интерната нетрудно хронологически проследить различные уровни реализации основных идей А.Н. Колмогорова в новых формах работы с математически одаренными детьми, продолжение реализации идей А.Н. Колмогорова преподавателями СУНЦ, а также трудности, преодолимые и непреодолимые. Система идей проецируется на историю становления и развития интерната, которая неотделима от создания эмпирической методики работы с математически, творчески одаренными детьми.

Мысли, слова, идеи А.Н. Колмогорова актуальны и сегодня.

А.Н. Колмогоров - великий ученый, гениальный естествоиспытатель, выдающийся математик-энциклопедист мирового масштаба и уровня, а также уникальный методист, его педагогическое и методическое наследие во многом определяет наше время.

Библиографический список

1. Русаков А.А., Нижников А.И. Профилизация подготовки учителя математики // Тезисы докладов 3-й международной конференции Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования, поев. 85-летию Л.Д. Кудрявцева. - М.: МФТИ, 2008.-С. 671-673.

2. Катаев Г.И. Об А.Н. Колмогорове (HOMO UNIVERSALES) // Колмогоров в воспоминаниях / Редактор-составитель А.Н. Ширяев. - М.: Наука, 1993.

3. Колмогоров А.Н. К новым программам по математике // Математика в школе. -1968. - № 2. - С. 21-22.

4. Колмогоров А.Н. и др. Программа по математике для средней школы // Математика в школе. - 1968. - № 2. - С. 5-20.

5. Колмогоров А.Н., Вавилов В.В., Тропин И.Т. Физико-математическая школа при МГУ. - М.: Знание, 1981. - 64 с. - (Новое в жизни, науке, технике. Серия: Математика, кибернетика. - № 5).

ИЗ ИСТОРИИ ШКОЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ В ПЕРИОД ПЕРВЫХ ЛЕТ СОВЕТСКОЙ ВЛАСТИ

О.В. Тарасова

К началу XX века в целом определилось содержание систематического курса геометрии в отечественной школе, а к революции 1917 года оно уже сформировалось практически. Однако двухступенчатое обучение геометрии (начальный и систематический курсы) не всегда осуществлялось на практике. Зачастую в средней школе сразу приступали к изучению систематического курса геометрии. Правда, в передовых учебных заведениях - коммерческих училищах, частных школах, кадетских корпусах - пропедевтический курс проводился с заметным успехом.

Тем не менее, к началу революции 1917 года сложилась и система школьного образования, и методическая система преподавания математики в целом, и геометрии в частности (хотя не все проблемы с преподаванием геометрии были, естественно, решены).

К концу 1917 года вся Россия переживала кризис почти во всех областях своей жизнедеятельности. Повсеместное разрушение прежних порядков не могло не коснуться средней и высшей школы. Придя к власти, большевики, естественно, не могли пренебречь вопросами образования и воспитания молодёжи. 9 ноября 1917 года (на следующий день после проведения 2-го Всероссийского съезда Советов) совместным решением ВЦИК и СНК была учреждена Государственная комиссия по просвещению для руководства всей системой народного образования и культуры. А. В. Луначарский и Н. К. Крупская выдвинули на первый план замену «школы учебы» на «школу труда». Во главу угла была поставлена прагматика, щедро оснащенная к тому же новой идеологией. Общеобразовательный уклон школы отвергался полностью, была отменена классно-урочная система и традиционные формы организации школьной жизни. Наступил период разрушения старой системы образования и построения новой как идеологически, так и организационно.

В течение первого 1917/18 учебного года и летом 1918 г. Государственная комиссия по просвещению работала над принципами построения новой школы. В феврале 1918 года вышло постановление «О советской школе». 30 сентября 1918 года ВЦИКом было утверждено «Положение о единой трудовой школе», а 16 октября Советская власть утвердила «Основные принципы единой трудовой школы».

Производительный труд стал основой школьной жизни. По замыслу реформаторов, школа должна была, прежде всего, помочь учащимся овладеть полезными индустриальными и сельскохозяйственными навыками, а не какими-то учебными предметами. Содержание обучения должно было теоретически обеспечивать тот или иной производительный труд. Произошло растворение всех учебных предметов, в том числе и математики, в так назы-

ваемом производственном обучении. Геометрия из самостоятельного раздела школьного курса математики получила двойное растворение - в недрах самой математики и вместе с математикой - в производственном обучении.

Предлагаемые программы обучения стали существенно отличаться от дореволюционных программ начальной и средней школы.

Преподавание велось по рабочим книгам, журналам-учебникам. Излагающийся в них материал, в частности по геометрии, не давал систематических научных знаний, а стал обслуживать практические производственные задачи, иллюстрировать те или иные измерения и вычисления.

Школа работала по новой идеологии без программ и учебников. В этих условиях трудно было ожидать каких-либо успехов, тем более что большинство учителей не принимали или не понимали идей новой реформы.

После окончания Гражданской войны в России (1918-1920) встала задача восстановления разрушенного народного хозяйства. Для этого прежде всего нужны были рабочие кадры, причем профессионально подготовленные. Остро встал вопрос о профессиональном обучении молодежи. К тому времени многим стало ясно, что «левацкий» отказ от школы учёбы с заменой на школу труда терпит крах. Реакцией на ошибочную политику Наркомпроса, которая велась под лозунгом политехнизма, возникла концепция монотехнического образования, в которой выдвигался примат профессионального образования над общим.

Попытки построить отечественную советскую педагогику успехом не увенчались. Тогда руководство советским образованием обратилось к зарубежному опыту (метод проектов, комплексного метода преподавания, тестовая система оценки, Далтоновский лабораторный план, бригадно-лабораторный метод обучения и т.д.).

Результаты насаждения «чужого на родное» были неутешительны, но это мало смущало тех, кто строил (пусть и на песке) новое здание советской школы. Особое внимание и особую любовь наркома просвещения в 20-е годы вызывало именно комплексное построение учебного материала (и соответственно - процесса обучения), в противоположность буржуазному -предметному. 21 февраля 1923 г. президиум ГУСа принял решение, по которому предметное преподавание в школе было окончательно отвергнуто и принята комплексная система построения школьных программ обучения.

Исходным пунктом в школьном обучении по-прежнему признавалась трудовая деятельность. Поэтому программа начальной школы строилась по трем колонкам, объединенным общей темой: природа и человек, труд, общество. Так, для первого года обучения предлагались такие комплексные темы: Жизнь ребенка до школы - летом. Знакомство со школой. Охрана здоровья детей. Октябрьская революция. В методической записке отмечалось, что привычные задачники по математике должны отмереть и быть заменены практикумами по математике, приспособленными к нуждам новой

школы и местным условиям; предполагалось, что такие пособия школа будет создавать сама.

Знания по предмету, предназначенные для изучения в городской и сельской школе, был различные. Математика, и в том числе геометрия, превратились в оформление изучаемых производственных тем.

Ни о каком поэтапном изучении геометрии не могло быть и речи. Все геометрические сведения выступали как вспомогательные знания для организации трудовой деятельности.

С 1924 г. началась профессионализация старшей ступени (8-9 классы). Однако профессионализация школы также себя не оправдала, так как ее выпускники не обладали ни должной профессиональной квалификацией, ни общеобразовательным уровнем, достаточным для поступления в вуз.

В учебных программах ГУСа (1924 г.) геометрические сведения излагались в разделе «Математика» и носили эпизодический и чисто прикладной характер. В это время появляются переработанные специальные учебные пособия А.М. Астряба, А.Р. Кулишера, И.Н. Кавуна и др.

Именно к этому периоду относится использование книг типа «Математика токаря», «Математика летом» или книг «Паровоз на уроках математики», «Самолет на уроках математики» и т.п. В то же время появились и так называемые рабочие книги по математике (М.Ф. Берга, М.А. Знаменского, Е.С. Березанской и др.), которые обычно строились так: исходный комплекс - определенный объем математических сведений - их использование для обслуживания комплекса.

В 1925 году в постановлениях Всесоюзного учительского съезда отмечалось, что «у детей нет прочных знаний, умений и навыков по родному языку и математике в связи с проведением комплексной системы». Однако эта система продолжала настойчиво внедряться в практику работы школы. Продолжала иметь место также и недооценка роли русского языка и литературы, математики (и геометрии, как составной части), то есть недооценка основ элементарной грамотности детей.

Зрели новые перемены. С 1926/27 учебного года в городах и поселках организуются фабрично-заводские семилетки (ФЗС и ФЗУ), а в селе - школы крестьянской молодежи (ШКМ).

Пленумы ЦК ВКП(б) 1928-1929 гг. неоднократно указывали Наркомпросу на необходимость подвергнуть тщательному рассмотрению учебный план и программы средней школы с целью разгрузить их от излишнего учебного материала, обеспечить преемственность семилетней школы и школы второй ступени.

Летом 1930 г. состоялся XVI съезд ВКП(б), на котором с отчетом выступил И.В. Сталин. В своем докладе он подчеркнул еще раз, что достижения страны в области просвещения не отвечают насущным задачам дня. Особенно резкой критике был подвергнут старший концентр школы II ступени, который, будучи оторван от производства, не может обеспечить

поступление работающих подростков в вузы. Все в большей степени подчеркивалось значение общеобразовательных учебных предметов (особенно предметов естественно-математического цикла) для профессионального обучения молодежи.

И только в этот период начинает формироваться целостная система советского школьного образования, в том числе и геометрического, которая в дальнейшем станет признанной, одной из лучших в мире.

Предметное преподавание, систематические учебные курсы, в том числе и систематический курс математики: арифметика, алгебра, геометрия, тригонометрия (практически в дореволюционном виде) возобновились в советской школе с начала 30-х годов, после исторических постановлений ЦК ВКП (б) и Правительства о школе от 5.09.1931 г. и от 25.08.1932 г. «О программе и режиме в начальной и средней школе». В этих Постановлениях уже жестко отмечалось, что основной недостаток школы заключается в том, что она не даёт достаточного объёма общеобразовательных знаний, не готовит к получению среднего и высшего профессионального образования.

Особенно важно, что Постановление 1932 года устанавливало урок -основной формой организации учебной работы в школе. С этого времени начинается усиленная работа по перестройке школьного преподавания на новой основе.

29.10.1931 г. опубликован переработанный учебный план начальной школы, утвержденный Коллегией Наркомпроса. Достоинством этого плана являлось то, что он построен по предметной системе преподавания. Вслед за планом в 1932 г. изданы программы, построенные также по предметам.

В период с 1931 по 1934 гг. значительно увеличился выпуск учебников и учебных пособий - в десятки раз, что позволило снабдить ими почти всех учащихся страны. К 1933 г. всеобщее начальное обучение было полностью осуществлено в масштабе всей страны.

С 1934 года в начальных, неполных средних и средних школах подготовительный курс геометрии начал занимать достойное место.

В 1935 г. была составлена новая программа по математике с более рациональным распределением учебного материала, где он определенным образом упрощен и согласован с потребностями физики. Переход на новую программу сопровождался и переходом на стабильные учебники и задачники: арифметики (И.Г. Попов, Е.С. Березанская), алгебры (А.П. Киселев, Н.А. Шапошников и Н.К. Вальцов), геометрии (Ю.О. Гурвиц и Р.В. Гангнус, Н.А. Рыбкин), тригонометрии (Н.А. Рыбкин).

И только, начиная с 1938 года, а затем в течение 20 лет, дореволюционный курс геометрии со всеми его особенностями (реализованный в учебниках А.П. Киселёва) становится основным курсом советского периода. Этот период был назван периодом стабильности отечественной школы, именно он пошел на пользу стране.

Библиографический список

1. Колягин Ю.М., Саввина О.А., Тарасова О.В. Русская школа и математическое образование: Наша гордость и наша боль. Ч. III. Вторая половина XX века и начало XXI века. 3 изд. - Орел: ООО Полиграфическая фирма «Картуш», 2007.

РАЗВИТИЕ И СТАНОВЛЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ В МЕНЕДЖМЕНТЕ И ЭКОНОМИКЕ

Л.В. Тихонова

Математика как наука и практика создавалась человечеством на протяжении всей его истории для решения трех фундаментальных жизненных задач:

> осуществления счета и измерения количества всевозможных предметов и величин;

> измерения пространственных форм окружающего мира;

> изучения структур, т.е. строения и связей элементов сложных объектов.

Все эти три задачи объединяет общий для математики отвлеченный (иногда говорят - абстрактный) подход к изучаемым величинам, формам и объектам: математику не интересует конкретное воплощение изучаемого предмета, математические законы и правила одинаковы при подсчете количества голов скота, учете числа единиц произведенных товаров, расчетах денежных сумм. Теорема Пифагора действует как при измерении земельных участков, так и при определении расстояний на водной поверхности. По одним и тем же законам больших систем живут организации различной природы и назначения.

Для математики как науки характерно, что ее основные понятия, уходящие корнями в конкретные потребности практики, в ходе их изучения абстрагируются от реальности и начинают развиваться по собственным - математическим - законам. А полученные в результате этого развития математические (теоретические) результаты возвращаются в реальный мир, помогая его обустройству в интересах человека и общества.

Например, числа поначалу были привязаны к конкретному предмету измерения: два человека, четыре топора. Но потом числа два и четыре зажили собственной жизнью: говоря «четыре», совсем не обязательно стало иметь в виду топор. И правило «дважды два - четыре» связано не с конкретным предметом, а с математикой. Но, выработав свои собственные правила, математика возвращает их в жизненную практику, в данном случае - в виде всем известной, весьма практичной таблицы умножения.

Сегодня математика выступает в качестве необходимого и вполне работоспособного инструмента, используемого для повышения эффективности

результата в различных областях целенаправленной человеческой деятельности.

Одной из таких областей является управление предприятиями и другими организациями, ведение современного хозяйства - менеджмент и экономика.

История создания и применения математических методов в интересах управления и экономики насчитывает тысячелетия.

Вначале, в незапамятные доисторические времена, эти методы сводились к примитивному счету с помощью камешков, зарубок, палочек, узелков; появились понятия «равно», «больше», «меньше». Без этого математического инструментария нельзя было успешно заниматься охотой и скотоводством.

Затем математические методы понадобились для измерения расстояний, площадей и объемов, необходимых для земледелия.

В Древней Греции математика усилиями ученых стала превращаться в науку со своими законами, в стройную систему знаний.

Важно отметить, что уже в ту пору двигателем математики были не только повседневные практические потребности людей, но и социальные условия жизни. Так, появление демократии было связано с необходимостью свободного мышления, опирающегося не на безапелляционное мнение вождя, а на обоснованные, разделяемые большинством, логически не противоречивые доказательства - аксиомы и теоремы.

К появлению математики как науки - системы объективных знаний -относится и начало математического образования. Причем характерно, что если в странах с деспотическими режимами - Древнем Египте и Вавилоне -математика изучалась будущими чиновниками лишь как необходимый аппарат для практической деятельности (в первую очередь - сбора налогов) и давалась без каких-либо обоснований, то в демократических Греции и Риме, наряду с прикладными задачами, значительное внимание уделялось математическим абстракциям, философии математики. Именно этот период можно считать исходным для разделения математики на теоретическую («чистую») и практическую («прикладную»).

Огромный вклад в прикладную математику был сделан в странах Древнего Востока, особенно в Вавилоне, Индии и Китае. Тамошние математики умели вести календарное планирование и связанные с ним расчеты, учитывать налоги, распределять урожай, организовывать весьма сложные и масштабные общественные работы (например, строительство гигантских, даже по современным меркам, сооружений).

В клинописных текстах Древнего Вавилона есть решения задач на сложные проценты, уравнения, другие математические задачи, остающиеся недоступной премудростью и для некоторых наших современников.

Великим математиком-прикладником древнего мира был Архимед (287-212 г. до н. э.). Его знаменитый закон «О плавающих» телах до сих пор

находит широкое применение в судостроении, мореплавании и воздухоплавании.

Идеи математиков древности получили развитие в европейских странах в эпоху Возрождения и последующие за ней века.

В 1637 году была опубликована «Геометрия» Репе Декарта (1596-1650), заложившая начала современной науки о пространственных формах.

В 1638 году Пьер Ферма (1601-1665) открыл метод нахождения максимумов и минимумов. В эпоху промышленных революций XVIII-XIX веков, появления паровой машины, двигателя внутреннего сгорания и электромотора, массового производства и мировой торговли возникла потребность в более глубоком изучения законов природы и общества, связанных с возникшими новшествами.

К этому времени относится бурное развитие теоретической и прикладной математики.

Исаак Ньютон (1642-1727) и независимо от него Вильгельм Лейбниц (1646-1716) открыли метод дифференцирования и интегрирования, на котором построен современный функциональный анализ.

Леонард Эйлер (1707-1783) разработал теорию отыскания оптимальных решений.

Фундаментальный вклад в развитие математической теории и ее приложений внес Пьер Лаплас (1749-1827) — автор «Аналитической теории вероятностей».

В России курс теории вероятностей начал преподаваться в 1829-30 годах в Вильнюсском университете магистром философии Сигизмундом Ревковским (1807-1893). Ревковский дал теории вероятностей замечательное название, отражающее ее прикладное значение: «мера надежды».

В XIX-XX веках идет быстрая математизация знаний. Математика становится подлинным языком науки.

Справедливости ради надо сказать, что по сравнению с другими науками экономика и менеджмент были на одном из последних мест по глубине проникновения в них математических знаний, созданию количественных методов исследования. Многие ученые-экономисты считали (а некоторые считают и по сей день), что экономика, управление организациями, как и другие общественные науки, дают знания чисто описательного характера.

Потребности практики, однако, требовали от экономики и менеджмента все более точных и изощренных расчетов. И тут без математики было не обойтись.

Пронизаны математикой работы одного из адептов «монетаризма» Милтона Фридмена (родился в 1912 г.). Это труды по статистическому анализу, теории риска, экономико-математическим моделям. В своих работах Фридмен доказывает, что можно успешно управлять экономическими процессами, рационально регулируя денежную массу. В 1976 году Фридмен получил Нобелевскую премию по экономике.

С математикой связаны и работы основоположника противостоящего «монетаризму» «кейнсинианства» —Джона Кейнса (1883-1946). Кейнс отстаивал идеи активного вмешательства государства в экономические процессы. Ему принадлежит фундаментальная работа «Общая теория занятости, процента и денег» (1936 г.).

Выдающимся экономистом-математиком был Николай Кондратьев (1892-1938), исследовавший закономерности колебаний в экономике страны. Периоды таких колебаний и сегодня во всем мире называют «циклами Кондратьева».

Американскому экономисту, лауреату Нобелевской премии, Василию Леонтьеву (родился в 1912 г.) принадлежит широко применяемый метод экономико-математического анализа «затраты-выпуск».

Наполнены математическими методами классические, признанные во всех странах учебники по современной экономике, созданные Полом Самуэльсоном (родился в 1915 г.). В своих книгах Самуэльсон утверждает, что с помощью математики в экономике можно объяснить не меньше, чем в точных науках, например в физике. В 1970 году Самуэльсону присуждена Нобелевская премия.

Не все знают, что в царской России (которую часто до сих пор называют «отсталой») прикладные математические методы всегда были в почете среди экономистов, управленцев и коммерсантов. Об этом, в частности, говорит тот факт, что в дореволюционное время обучение этим методам велось в 250 коммерческих училищах (первое из них открылось в Москве в 1773 году!) и трех коммерческих институтах (в Москве, Киеве и Харькове). Существовали коммерческие факультеты и в ряде вузов, например в Петербургском Политехническом институте. По мнению авторитетных современников, уровень преподавания в этих учебных заведениях был в то время выше европейского и американского.

Успехи прикладной математики в XIX, а особенно в XX веке во многом связаны с революционным развитием математической теории, созданием прочной научной базы.

Здесь следует назвать работы отечественных математиков: П.Л. Чебышева (1821-1894), А.М. Ляпунова (1857-1919), С.Н. Бернштейна (1880-1968), А.И. Хинчина (1894-1959), А.И. Колмогорова (1903-1987).

Развитие предпринимательства сопровождалось появлением и быстрым совершенствованием науки о рыночном управлении предприятиями и производством — становлением научного менеджмента.

В середине XX века трудами ученых разных стран была создана особая, базирующаяся на математике, наука об управлении (целенаправленном воздействии) сложными системами разной природы. Она получила название кибернетики (в переводе с греческого — «искусство управления»). Выдающуюся роль в ее становлении сыграл американский математик Норберт Винер, а в нашей стране — академики А.И. Берг, А.Н. Колмогоров,

В.M. Глушков и другие ученые. Кибернетику в нашей стране ожидала нелегкая судьба. В 1950-е гг. она подвергалась необоснованным нападкам со стороны догматиков и рутинеров. Между тем кибернетика заняла в системе знаний об управлении свое место. Ее главная заслуга — раскрытие неразрывной связи управления с процессами целенаправленной переработки информации.

Кибернетика стимулировала широкое внедрение в управление сложными системами, в том числе и производственными, электронной вычислительной техники, послужила теоретической основой их работы. Благодаря кибернетике процессы, связанные с получением и переработкой информации, заняли на производстве подобающее место наряду с процессами переработки материалов и энергии. Инициированное кибернетикой применение точных математических методов дало возможность внести в науку управления строгую обоснованность и доказательную целесообразность. Академик А.И. Берг по этому поводу писал: «Кибернетика — наука о целесообразном и оптимальном управлении сложными системами».

В самом конце Второй мировой войны оформилась в качестве самостоятельной научной дисциплины новая ветвь прикладной математики, получившая название методов исследования операций. Эта молодая наука поставила перед собой задачу количественного обоснования решений, принимаемых в различных областях целенаправленной человеческой деятельности: в военном деле, медицине, экономике и т. д.

В создание методов исследования операций выдающийся вклад внесли американские и английские ученые: физик Филипп Морз и химик Джордж Кимбелл, привлеченные во время Второй мировой войны к разработке военных операций. С окончанием войны разработанные ими и их группой (по некоторым данным, она насчитывала 800 человек) методы были сразу же использованы в мирной жизни для решения сложных экономических и управленческих задач.

Применительно к экономической деятельности методы исследования операций вскоре получили название экономико-математических методов. Они-то и дали менеджменту тот необходимый математический аппарат, то количественное обоснование, которые были столь необходимы. Об экономико-математических методах и их применении разговор впереди, пока лишь отметим то обстоятельство, что у истоков этих плодотворных методов стояли и отечественные ученые. Еще в конце 1930-х годов двадцатипятилетний ленинградский математик Леонид Витальевич Канторович (1912-1986) открыл новую область прикладной математики, которая впоследствии получила название линейного программирования (планирования). Открытие Канторовича давало возможность обосновать и наилучшим образом (оптимально) распределять всевозможные ресурсы, решать плановые задачи, вести раскрой материала и т. д. Это открытие впоследствии стало одним из краеугольных камней методов исследования операций, экономико-

математических методов, принесло автору в 1975 году Нобелевскую премию (совместно с Т.Ч. Кумпансом).

Дальнейшим развитием математических количественных методов в менеджменте является системный подход - применение к вопросам управления организациями общей теории систем, разработанной еще в 30-х годах Людвигом фон Берталанфи (1901-1971), австрийским биологом-теоретиком, работавшим в США и Канаде.

Основная идея общей теории систем заключается в том, что для систем любой природы, в том числе и для производственно-экономических систем, существуют общие закономерности, которые могут быть выражены на точном языке математики. Это раскрывает большие возможности проведения количественных исследований систем-организаций с помощью точных наук и присущих им строгих методов.

Методы, применяемые в теории систем, получили название «системного анализа». Этот анализ позволил построить математические модели целевого управления, планирования, финансирования и других важнейших процессов, интересующих менеджмент, и получить важные теоретические и практические результаты.

В последние десятилетия XX века менеджмент воспринял ряд весьма оригинальных, существенно обогативших его идей, почерпнутых из арсенала синергетики — математизированной науки, которую называют современной теорией эволюции.

Появление синергетики связано с именем Ильи Пригожина (род. в 1917 г.) — бельгийского физика русского происхождения, лауреата Нобелевской премии (1977 г.).

Синергетический подход дает возможность рассматривать управление как самоорганизующийся процесс перехода от хаоса к порядку. В качестве источника, «организатора» такого упорядочивания синергетика рассматривает внутренние факторы самоорганизации и самоуправления.

Синергетика научно доказывает, что в сложных системах любой природы и любого уровня упорядоченности, находящихся в неравновесном состоянии, слабые управляющие сигналы на «входе» могут самопроизвольно усиливаться на «выходе», приводя к коренным изменениям в организации системы. Знание этих законов дает менеджеру возможность использовать синергетические эффекты самоорганизации и самоуправления в своих целях.

В становлении «исследования операций» как прикладной математической науки во второй половине XX века значительную роль сыграли российские ученые-математики, работавшие в военной области: Е.С. Вентцель, И.Я. Динер и другие.

Параллельно с развитием теории исследования операций появились весьма необходимые оригинальные работы, позволяющие реализовать применение экономико-математических методов на практике. Все эти работы

так или иначе связаны с решением насущных задач менеджмента и экономики.

Одна из важнейших проблем в этой области, решенная во второй половине XX века, - задача оптимизации, выработки наилучшего возможного решения для заданных условий в конкретной ситуации.

Научная база оптимизации была заложена в работах Георга Кантора (1845-1918) - одного из основоположников теории множеств, Камилла Жордана (1838-1922), внесшего значительный вклад в матричную алгебру, а в более позднее время - в трудах Дж. Б. Данцига - создателя симплекс-метода линейного программирования.

Решение задач динамического программирования связано с именем Ричарда Беллмана.

Значительный вклад в развитие теории оптимального управления сделан Л.С. Понтрягиным.

С именем А.К. Эрланга (1878-1929) связано создание теории массового обслуживания (ее иногда называют «теорией очередей»).

Математик Джон фон Нейман в 1955-56 годах разработал научные основы метода статистических испытаний (метод Монте-Карло).

XX век дал теоретической и прикладной математике замечательную науку о рациональном поведении при столкновении интересов сторон в конфликтной ситуации — теорию игр и статистических решений. Ее создатели Джон фон Нейман и Оскар Моргенштерн — авторы вышедшего в 1953 году основополагающего труда Теория игр и экономическое поведение.

Одновременно с развитием математических методов для экономики, математика конца XX века стала все чаще использоваться и для решения управленческих и организационных задач. Здесь следует назвать труды наших ученых Б.В. Гнеденко, Н.Н. Воробьева, много сделавших для внедрения математических методов в управление.

Небывалый расцвет математических методов в управлении и экономике в конце XX века, несомненно, связан с развитием электронно-вычислительной техники, появлением персональных компьютеров. В этой связи необходимо отметить выдающуюся роль одного из предтеч современной компьютеризации - В.М. Глушкова (1923-1982).

Математика - язык, на котором сегодня говорит любая точная наука. Современная физика, химия, астрономия немыслимы без математики. В наши дни математика прочно вошла и в такие науки, как биология, психология, в науку о языке. Не отстает и экономика. Сбываются слова великого французского ученого, родоначальника рационализма Репе Декарта (1596-1650): «Все исследования, направленные на изучение порядка и меры, принадлежат математике».

Математические идеи пронизывают современные макро- и микроэкономику, служат основой автоматизации управленческих и производственных процессов, базой для совершенствования компьютерных программ.

В настоящее время математический аппарат является признанным инструментом менеджмента и экономики. С его помощью разрабатываются конкретные прикладные задачи управления предприятиями и организациями, оптимизации бизнеса и производства, финансового регулирования, с которыми мы будем знакомиться на страницах данного учебника.

ИЗ ИСТОРИИ ПРОВЕДЕНИЯ ПИСЬМЕННЫХ ВЫПУСКНЫХ ЭКЗАМЕНОВ ПО МАТЕМАТИКЕ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ РОССИИ

С.В. Толоконников

Вопрос о выпускных экзаменах (экзаменах на аттестат зрелости) всегда находился в центре внимания педагогической общественности. Особенно остро он обозначался в переходные периоды истории развития России. Такой период, проводимый под лозунгом модернизации образования, мы переживаем и сейчас. Как известно, одной из ведущих идей модернизации является внедрение единого государственного экзамена. Жизнь показала, что у этой идеи есть как сторонники, так и противники. Чтобы осознать перспективность единого государственного экзамена, необходимо осмыслить исторический опыт, накопленный нашей дореволюционной и советской школой.

До наших дней дошло немало источников, позволяющих реконструировать общую картину истории проведения выпускных экзаменов в России. Среди них - публикации в дореволюционных журналах «Русская школа», «Образование», «Журнал Министерства народного просвещения» и других периодических изданиях, в которых приводятся тексты контрольных работ и их анализ. Данной проблеме посвящены также работы дореволюционных исследователей А. Алмоева, Ф. Бычкова, Б.И. Исачкина, советских -А.В. Соколовой, Е.И. Перовского, Д. Гончарова, Р.А. Юхно и современных - А.П. Карпа и др.

Прежде всего отметим, что в дореволюционное время на выпускных экзаменах предлагались так называемые комбинированные задачи, которые представляли собой соединение нескольких вопросов. Примером такого задания может служить задача, которая в 1913 году предлагалась гимназистам города Вятка:

«Лета отца, увеличенные в 17 раз и сложенные с летами сына, увеличенными в 25 раз, равны тому коэффициенту в члене разложения бинома

в котором X вошло в степени, равной корню уравнения

причём сумма лет отца и сына меньше 100 и больше 90.

Найти, сколько лет каждому» [3].

Весьма высокие требования предъявлялись к выпускникам не только гимназий, но и реальных и коммерческих училищ. По задаче, предложенной

на экзамене семиклассникам Киевского коммерческого училища, можно судить о том, что требовалось от учеников. Для подтверждения приведем текст самой задачи:

«К параболе у = 2рх в точке M проведена касательная. Отрезок этой касательной от точки M до пересечения с осью абсцисс служит гипотенузой прямоугольных треугольников. Определить площадь наибольшего из них. Координаты точки M определяются из следующих условий: абсцисса равна общему наибольшему делителю чисел 4816 и 2852, а ордината равна коэффициенту VI-го числа бинома (а2+Ь3)6» [10].

Из этих примеров видно, как многообразна тематика заданий. Для решения первой задачи необходимо знание таких разделов математики, как: арифметика, показательная и степенная функции, бином Ньютона, комбинаторика, умение решать текстовые задачи. Для решения второй задачи необходимым условием являлось глубокое и сознательное усвоение тем как по элементарной математике, так и по высшей (парабола и ее касательная, наибольшее значение функции и другие).

«Комбинированные» задачи имели достаточно много сторонников. Как утверждает А.П. Карп, «распространенная тогда форма экзаменационных вариантов призвана была, по мнению её защитников, решать, по крайней мере, две задачи - исключить получение удовлетворительной оценки учащимся, не знающим хотя бы одну тему из затронутых, и создать условия для проверки не только умения выполнять те или иные шаблонные операции, но и умения хоть как-то расчленить сравнительно сложный текст» [3, с. 41-42].

Такие задачи вызывали и немало критики. Так, на I Всероссийском съезде преподавателей математики (1912-1913 гг.) с критикой комбинированных задач выступил Б.А. Маркович: «...эти задачи отличает сложность, громоздкость и совершенно фантастические комбинации математических заданий, которые не могут встретиться ни в практических применениях, ни на какой-либо последующей ступени теоретического обучения математике» [3].

На съездах преподавателей математики преобладали противники экзаменов, хотя речь в большинстве случаев шла об экзаменах переводных, но предложение К.Ф. Лебединцева об отмене экзаменов для всех, кроме экстернов. Ш.Р. Ганелин высказывает свою точку зрения относительно переводных и выпускных экзаменов: «Если переводные испытания вызывали после себя серьезные возражения, то выпускные признавались почти всеми. Даже те, которые выступали против переводных, считали нужным выпускные не только не ликвидировать, но еще усилить их значение» [3, с. 35].

Революция 1917 г. все поставила с ног на голову. В «Положении об единой трудовой школе Российской Социалистической Федеративной Советской Республики» от 30 сентября 1918 г. в статье 19 говорилось: «Все экзамены - вступительные, переходные и выпускные - отменяются» [9, с. 135].

В Циркуляре Главсоцвоса от 24 июля 1922г. «Об учёте учебной работы и проверке знаний в школе» отмечалось, что отсутствие контроля знаний учащихся являлось слабым местом школьного дела. В этом циркуляре форма контроля и учёта знаний учеников подразделялись на три группы: 1) нежелательная форма, 2) терпимая форма, 3) желательная. «К первой (нежелательной) отнесены были испытания и экзамены, имевшие место в старой школе. Ко второй были отнесены: а) вопросы, обращенные к группе в целом; б) зачёты по отдельным частям проработанных курсов на основании суммы впечатлений от общей работы учащегося; в) письменные работы зачётного характера. К третьей форме были отнесены дискуссии, рефераты, доклады» [5, с. 191-192].

Возобновились экзамены лишь в 1932 г. В Постановлении ЦК ВКП (б) от 1932 г. говорилось: «5 основу учёта школьной работы должен быть положен текущий индивидуальный, систематически проводимый учёт знаний учащихся. Преподаватель должен в процессе учебной работы внимательно изучить каждого ученика. На основе этого изучения преподаватель обязан в конце каждой четверти составлять характеристику успеваемости каждого ученика по данному предмету. Всякие сложные схемы и формы учёта и отчётности - запретить.

Считать необходимым установление в конце года проверочных испытаний для всех учащихся» [8, с. 163].

Если сравнивать проведение экзаменов до революции и после, можно сказать, что требования к проведению экзаменов ужесточились. В этот период снова (как и до революции) часто встречаются комбинированные задачи, которые теперь чаще именуют составными. Но появляется много их противников, которые считают, что такие задачи не допустимы. Например, Е.С. Березанская пишет: «Такие задачи не дают возможности судить о подлинных знаниях учащихся, ибо ошибка в одной из составляющих не даёт возможности довести основную задачу до конца» [1].

Анализ тематики выпускных работ конца 1930-х гг. позволяет утверждать, что в них обязательными были: текстовая задача с параметрами, задание на разложение бинома Ньютона, арифметический пример и решение квадратного уравнения с использованием теоремы Виета. Приведем примеры, предлагаемые в одесской гимназии в 1937 г.:

«1)Для учеников приготовили а тетрадей с расчётом распределить тетради поровну между учениками. Но так как учеников оказалось на два человека меньше, нежели предполагалось, то на каждого учащегося пришлось одной тетрадкой больше. Сколько было учеников? Исследовать, при каких значениях а корни удовлетворяют условию задачи. 2) Найти тот член разложения в который входит Ь4, если известно, что коэффициент третьего члена этого разложения равен 66» [3].

В 1944 году была введена цифровая пятибалльная система оценки знаний учащихся, установлены выпускные экзамены по окончании начальной и семилетней школы и экзамены на аттестат зрелости.

В это время разрабатываются программы по предметам, в том числе и по математике. Объяснительные записки программ носили идеологическую направленность. Так, в сборнике «Народное образование в СССР» говорится: «Учебные программы советской школы строятся прежде всего на основе коммунистической идейности и научности, единства и взаимосвязи содержания учебных предметов, систематичности и последовательности в изучении основ наук, единства теории и практики» [7].

С начала 1950-х годов письменные экзамены по алгебре не проводились. «Положение о переводных и выпускных экзаменах в начальной, семилетней и средней школах и экзаменах на аттестат зрелости» 1952 г. ограничивается одним письменным экзаменом - по геометрии с тригонометрией.

Возобновление проведения письменных экзаменов по алгебре происходит лишь в 1967 году. Сначала они проводятся в порядке эксперимента по желанию учебного учреждения, а с 1968 г. - в обязательном порядке [3].

Тогда отмечалось, что письменный экзамен дает возможность проверить не только знание основных вопросов курса, но и умение применять эти знания к решению конкретных задач. Продолжительность экзамена была определена в четыре часа.

В 1960-1961 гг. Министерством просвещения РСФСР были введены новые нормы оценки знаний учащихся, которые ориентировали учителей на существенное изменение требований, предъявляемых к знаниям школьников.

В экзаменационную работу обычно входило 4 задания, тематика которых была разнообразной: решение текстовой задачи, задачи с параметрами, численные вычисления, упрощение выражений, решение логарифмических уравнений, тригонометрических, построение графиков функции, задания с комплексными числами. Приведем текст контрольной работы, который предлагался на выпускном экзамене в Москве в 1948г.: «1) Две бригады рабочих укладывают шпалы на железнодорожном полотне. Первая бригада работала на t дней больше другой и за время работы уложила шпалы на s км полотна, вторая бригада укладывала в день на m км пути больше первой и за время своей работы уложила на п км пути меньше, чем первая. Сколько километров пути укладывает каждая бригада в один день? 2) Вычислить [3].

С 1962 года курс математики выпускного класса изменился. Вместо трех предметов (алгебра, геометрия, тригонометрия) учебный план предусматривал изучение алгебры, в которую входило изучение элементарных

функций и геометрии. Основное внимание сосредотачивалось на усвоении учащимися важнейших понятий и методов математики, на их практическом применении. Чтобы дать школьникам некоторые представления о содержании и методах современной математики, в программу были включены элементы математического анализа и геометрических преобразований [6, с. 80-81].

В конце 1964 года Президиум Академии наук СССР и Президиум Академии педагогических наук РСФСР создали специальную комиссию, которой было поручено определить содержание общего и политехнического образования в средней школе и в соответствии с этим разработать проекты новых учебных планов и программ.

В курсе математики «преодолен разрыв в преподавании алгебры и арифметики», определено последовательное осуществление функционального подхода к изучению программного материала. Усилено внимание к математическим понятиям и методам, имеющим значение для естествознания и техники [6, с. 87-88].

Переход к новым программам в то время повлек за собой изменения в тематике экзаменационных заданий и форме экзаменационного варианта. Заданий в варианте было пять: одно связано с тригонометрией, другое - с первообразной или интегралом, третье - неравенство с логарифмами. Так же в вариант стала входить одна геометрическая задача. Рассмотрим вариант экзаменационной работы в общеобразовательных школах в 1977 г.: «1) Решите неравенство:

2) Вычислите интеграл:

3) Решите уравнение:

4) Покажите равенство:

5) Пусть X - длина высоты правильной призмы ABCDAiBjCiDj. BjD=2^ß дм. Выразив объем призмы У(х)как функцию от X, найдите угол между (B^D) и (£>СС,)<? призме, имеющей ^»[3].

В постперестроечный период по вопросу о проведении письменных экзаменов было немало острых дискуссий. В это время существовали классы с углубленным изучением математики. Тематика заданий и уровень сложности в этих классах отличались от обычных общеобразовательных. Тематика в этот период была в основном стабильна, составных задач не было. В каждом экзаменационном варианте присутствовали такие задания, как: решение тригонометрических, логарифмических или показательных уравнений и неравенств, решение иррациональных уравнений. Также в варианты стали включаться задачи с параметрами, которые ранее не были типичными. Приведём пример заданий для математических классов в 1996 году:

« 1) Решите неравенство:

2) Найти а, если известно, что прямая у=2х+1 является касательной к графику функции

По словам Ю.П. Дудницына, «экзаменационные варианты (рассчитанные на пять часов) включали три стандартные задания, которые, по замыслу составителей, должны были проверить наличие основных и зафиксированных в памяти знаний основных разделов курса» [2].

Начиная с 2001 года, для проверки знаний выпускников в качестве эксперимента введен единый государственный экзамен, который организуется следующим образом. Экзаменационные материалы выдаются выпускнику на нумерованных бланках ответов, которые состоят из трёх типов заданий А, В, С. Часть А содержит задания обязательного уровня, составленных только на материале курса 10-11 классов. В части А используются задания с выбором ответа. К каждому из таких заданий предлагается четыре равнопривлекательных ответа, из которых только один верен. Проведем конкретный пример:

А6. Упростите выражение: cos(;r - х) + sin(l,5;r + х) - 2cos(2;r - х).

Часть В включает задания повышенного (по сравнению с базовым) уровня, при решении которых учащемуся требуется применить знания в изменённой ситуации, используя основные методы, известные из школьного курса. Содержание этих заданий отвечает как программе средней школы, так и программе вступительных экзаменов в высшем учебном заведении. В эту часть также включаются задачи из курса геометрии. В этой части используются задания с кратким ответом. При их выполнении надо только записать ответ, не приводя соответствующего решения или обоснования. Рассмотрим пример:

В2. Найдите наибольшее число из области определения функции:

Часть С включает самые сложные алгебраические и геометрические задачи, которые можно сравнить с заданиями традиционных письменных экзаменационных работ по курсу алгебры и началам анализа, которые предлагались на выпускных экзаменах в школе. Эти задания позволяют выявить и дифференцировать учащихся, имеющих высокий уровень математической подготовки. Пример:

C1. Решите неравенство:

Таким образом, организация проведения письменных экзаменов по математике и тематика их заданий были неодинаковыми в разные эпохи.

Библиографический список

1. Березанская Е.С., Маргулис А.Я. Письменные контрольные испытания в X классе весной 1937 года // Математика в школе. - 1938. -№3. - С. 60-68.

2. Дудницын Ю.П., Смирнова В.К. Содержание и анализ письменных экзаменационных работ по алгебре и началам анализа за курс средней школы. - Львов: Квантор, 1991. -95 с.

3. Карп А.П. Письменные выпускные экзамены по алгебре в России за 100 лет. -СПб.: Санкт-Петербургский государственный университет педагогического мастерства, 1998.-86 с.

4. Колягин Ю.М., Саввина О.А., Тарасова О.В. Русская школа и математическое образование: наша гордость и наша боль (учебное пособие). - Орел: ООО Полиграфическая фирма Картуш, 2007. - Ч.II, III.

5. Королёв Ф.Ф., Корнейчик Т.Д., Равкин З.И. Очерки по истории советской школы и педагогики 1921 - 1931 / Под редакцией Ф.Ф. Королёва и В.З. Смирнова.- М.: Изд-во АПН РСФСР, 1961.- 508с.

6. Народное образование в РСФСР / Под ред. М. П. Кашина, Е. М. Чехарина. - М.: Просвещение, 1970. - 352 с.

7. Народное образование в СССР / Под ред. И. А. Каирова и др. - М.: Изд-во Академии пед. наук, 1957. - 783 с.

8. Об учебных программах и режиме в начальной и средней школе. Постановление ЦК ВКП(б). 25 августа 1932 г. // Народное образование в СССР. Образовательная школа. Сборник документов 1917-1973 гг. / Сост.: А.А. Абакумов, Н.П. Кузин, Ф.И. Пузырев, Л.Ф. Литвинов. - М.: Педагогика, 1974.-С. 163.

9. Положение об единой трудовой школе Российской Социалистической Федеративной Советской Республики. 30 сентября 1918 г. // Народное образование в СССР. Образовательная школа. Сборник документов 1917-1973 гг. / Сост.: А.А. Абакумов, Н.П. Кузин, Ф.И. Пузырев, Л.Ф. Литвинов. - М.: Педагогика, 1974. - 560 с.

10. Саввина О.А. Исторические очерки о преподавании высшей математики в средних учебных заведениях России. Часть 2 (вторая половина XIX - первые семнадцать лет XX вв.): Монография. - Елец: ЕГУ им. И.А. Бунина, 2002. - 246 с.

МЕТОДИЧЕСКОЕ НАСЛЕДИЕ М.Г. ПОПРУЖЕНКО В ОБЛАСТИ ПРЕПОДАВАНИЯ АНАЛИЗА БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

А.Ю. Туртаева

Введение элементов высшей математики в курс средней школы на рубеже XIX и XX столетий вызывало бурные споры в педагогических кругах. Многие педагоги-математики, такие как П.А. Некрасов, Ф.В. Филиппович, Б.Б. Пиотровский, Д.М. Синцов, С.И. Шохор-Троцкий и другие, поддерживали эту идею. Так, Ф.В. Филиппович, выступая на I Всероссийском съезде преподавателей математики, говорил, что «прошли безвозвратно те добрые старые времена, когда возможно было обходиться без азбуки высшей математики... Вообще, без высшей математики явления природы вполне понятны быть не могут. Стало быть, начала дифференциального и интегрального исчислений должны войти в общеобразовательный курс средней школы, ибо

они дают нам великолепное орудие в руки, чтобы удовлетворять запросам жизни» [10, с. 102-103]. Сторонники этой позиции приводят убедительные аргументы в пользу реализации принципа связи обучения с жизнью и практикой, который требует, чтобы процесс обучения стимулировал учеников пользоваться полученными знаниями в решении практических задач, вызванных необходимостью изучения проблем окружающей действительности [7, с.36-37]. «Современное развитие науки о природе и технике требует введения в общую школу многих математических сведений, выходящих за рамки обычного курса элементарной математики» [7, с. 34].

Кроме того, развитие познавательного интереса, который возрастает у учащихся при изучении нового раздела математики, является одним из важных принципов эффективности учебного процесса. Еще одним важным фактором введения начал анализа в курс средней школы является реализация преемственности школьного курса математики с вузовским. Это, по мнению В.Б. Струве [8], позволит преодолеть «пропасть» между математикой средней и высшей школы.

Одним из важных моментов развернувшейся дискуссии был вопрос о доступности высшей математики школьникам. Для получения реальных результатов по названной проблеме необходим длительный эксперимент. Но уже первый опыт оказался весьма успешным. Так, в прениях на I Всероссийском съезде преподавателей математики прозвучало: «Начатки дифференциального и интегрального исчисления гораздо легче целой массы вопросов не только алгебры, геометрии и учения о тригонометрических числах, но даже учений так называемой теоретической арифметики» [6, с. 120].

Существенное влияние на решение вопроса о включении элементов высшей математики в курс средней школы оказал международный характер движения за реформу математического образования. На это ссылается М.Г. Попруженко: «Это настоящее культурное завоевание 20-го века, это победа и школы, и культуры, казавшаяся невозможной 10-20 лет тому назад и теперь, наконец, воплотившаяся в жизнь. Франция сделала решительный почин в этой области, затем - в Германии - в реальных школах преподавание анализа бесконечно малых - если не всюду обязательно, то всюду возможно; в Австро-Венгрии, В Швейцарии и Голландии тоже сделаны попытки введения этого курса; В Бельгии почти все учебные заведения высказались в его пользу; движение в сторону улучшения преподавания математики в средних школах Англии и Америки имеет ту же тенденцию - введение в курс анализа бесконечно малых» [4, с.2].

В связи с введением в программы школ новых разделов математики необходимы были учебные руководства. В период с 1907 по 1917 год вышли десятки учебников и задачников таких ученых, как А.П. Киселев, А.Д. Воинов, Д.Д. Мордухай-Болтовской, К.Б. Пениожкевич, М.Г. Попруженко, К.Н. Рашевский, Д.М. Синцов, А.Н. Шапошников и других. В 1912 году появилось первое в России методическое пособие по математическому ана-

лизу «Материалы по методике анализа бесконечно малых М.Г. Попруженко» [3, 4-5].

«Материалы по методике анализа бесконечно малых» Михаила Григорьевича Попруженко предваряют написание им учебного руководства «Начала анализа». «Материалы» разделены на две части. Первая посвящена анализу уже существующей зарубежной методической и учебной литературы, описанию немецких и французских книг по анализу бесконечно малых. Главным достоинством книги, на наш взгляд, является выделение Попруженко условий, которым должен удовлетворять курс анализа в средней школе:

- общедоступность курса:

- честность;

- краткость;

- органическая связность с общим курсом математики средней школы.

Общедоступность автор предлагает реализовать с помощью разбора понятий, входящих в состав исследуемого курса. Кроме того, анализируется русская и зарубежная практика преподавания. Из заключений, предложенных Попруженко, мы можем сделать вывод, что построение курса анализа в средней школе должно отличаться от университетского, но, с другой стороны, научная сторона преподавания также не должна отставать. Вопрос о строгой научности преподавания анализа в школе составляет основу второго выделенного условия - честности. Учителю необходимо называть вещи своими именами и избегать всяческих фальсификаций. Краткость курса обусловливается недостатком отведенного времени и необходимостью создать прочные ассоциации между старым и новым материалом. Но с позиций внедрения нового самостоятельного курса анализа бесконечно малых потребуется пересмотр действующей программы математики. Об этом говорилось еще в середине XIX века. П.Л. Чебышев, предложивший в 1858 году проект программы по математике, включил в него понятие функции, графические методы, производную [2, с.80]. В.П. Шереметевский одним из первых выдвинул идею построения курса школьной математики на основе функциональной зависимости, показал необходимость модернизации этого курса [11]. На I Всероссийском съезде преподавателей математики говорилось, что идея функциональной зависимости, которой отводится важная роль в реформе преподавания математики, является важнейшим средством сближения школьной математики с современной наукой, с жизнью. «Основное понятие переменной величины и функциональной зависимости, изложенной в наглядной форме, должно проходить красной нитью через курс средней школы» [11, с. 156]. М.Г. Попруженко активно поддерживал идею такой модернизации школьного курса математики.

Проведя подробный анализ зарубежных и русских учебников, М.Г. Попруженко говорит, что в существующей литературе присутствуют «три направления:

- французское: маленькая программа, правильные исходные точки зрения, преобладание интуиции в младших классах и довольно точное изложение в старших;

- немецкое: большая программа, неправильные исходные точки, метафизика, педагогические увлечения, неприемлемая интуиция, разнообразные попытки построения курса;

- русское: средняя программа, правильные отправные точки зрения, изложение довольно точное» [4, с. 29-30].

Представленный автором обзор позволил ему выделить главную задачу курса анализа бесконечно малых в средней школе - это «исследование функциональной зависимости. Здесь это осуществляется в полной мере и воплощается в график, построенный на основании всестороннего исследования функции. На первом плане стоит учение о производной, на втором -интегрирование» [4, с. 31].

Далее Попруженко предлагает следующую программу курса:

- Функция.

- Пределы.

- Бесконечно-малые величины.

- Непрерывность.

- Методы древних (количество как предел суммы ряда и как предел суммы бесконечно малых величин).

- Производная и ее разыскание.

- Признаки возрастания, убывания и постоянства функции.

- Максимумы и минимумы.

- Выпуклость и вогнутость кривых линий.

- Точки перегиба. Асимптоты.

- Дифференциал.

- Интеграл.

- Простейшие приемы интегрирования.

- Вычисление площадей.

- Вычисление объемов тел вращения.

На основе этой программы был построен учебник «Начала анализа». Органическую связанность курса анализа с общим курсом математики средней школы Попруженко видит в пропедевтическом курсе. Это может быть построение графика, для которого определяются угловые коэффициенты касательной и нащупываются возрастание и убывание функции, ее максимумы и минимумы. «Такое введение в курс анализа бесконечно малых я считаю чрезвычайно важным и необходимым» [4, с.31-32].

Что касается характера изложения материала, Попруженко рекомендует учителям избегать метафизики, подавать материал ясно, научно, строго. Кроме того, полезным было бы использование на уроках исторических сведений.

Учебник «Начала анализа» разделен автором на 16 частей, указанных в оглавлении:

- Бесконечно малые и бесконечно большие числа.

- Стремление к пределу.

- Натуральные логарифмы. Модуль.

- Эквивалентные бесконечно малые числа.

- Функции.

- Непрерывность.

- Производная.

- Исследование процесса изменения функции.

- Максимум и минимум функции.

- Направление вогнутости кривой.

- Асимптоты.

- Примеры исследований функции.

- Определение функции по ее производной.

- Дифференциал функции.

- Интегралы.

- Геометрические приложения интегралов.

Как видим из оглавления, концептуально программа и содержание учебника не разнятся, но существенным отличием представляется порядок рассмотрения бесконечно малых величин и понятия функции: в программе предлагается рассмотреть понятие функции раньше, чем бесконечно малые величины, а в учебнике наоборот.

Первая статья учебника начинается с определения бесконечно малого числа: «Переменное число называется бесконечно малым, если, при некотором определенном процессе изменения этого числа, абсолютная величина его может сделаться и оставаться меньше всякого наперед заданного положительного числа» [5, с.1]. В «Материалах» Попруженко в соответствующем пункте касается исторического аспекта развития представлений о бесконечно малых числах. Рассматриваются: метод замен Лейбница (кривая заменяется периметром многоугольника с бесконечно большим числом бесконечно малых сторон, движение неравномерное - совокупность равномерных и т.д.), метод «первых и последних отношений» Ньютона (основан на понятии предела в сложной кинематической форме, лишен точных определений), способ замены анализа бесконечно малых, основанной на рядах алгебраической теорией (предложен Лагранжем), принцип «компенсации ошибок» Карно [5, с. 45-52].

Далее указывается последовательность изучения свойств бесконечно малых: «После определения бесконечно малых следует установить основные выводы относительно действий над ними, особенно внимательно разобрать случай отношения двух бесконечно малых величин. Принцип замены одних бесконечно малых величин другими основывается на двух теоремах, которые непременно должны войти в состав курса, ибо они уясняют самую сущность пользования бесконечно малыми величинами: очень сложные бесконечно малые величины мы можем заменить весьма простыми, им эквивалентными» [5, с. 52].

Пункт учебника «Стремление к пределу» построен следующим образом: сначала рассмотрены факты из алгебры и геометрии, приводящие к понятию предела, затем дано определение предела: « Число А называется пределом переменного числа X при некотором определенном процессе его изменения, если: 1) А есть число постоянное; 2) Разность А-Х есть число бесконечно мало»е. Далее сформулированы основные теоремы о пределах, даны выводы первого и второго замечательных пределов. Здесь, очевидно, М.Г. Попруженко следует тому принципу, который он высказал в «Материалах»: «на понятии о пределе строится весь курс анализа бесконечно малых, и поэтому оно должны быть усвоено учениками с полной отчетливостью» [4, с. 42]. Это представляется нам наиболее значимым и важным. Кроме того, М.Г. Попруженко советует учителям статьи о пределах «иллюстрировать хорошо подобранным рядом примеров и задач. Мне кажется, надо начинать с таких, где требуется доказать, что предел данного выражения равен а, ибо они уясняют саму идею предела» [5, с. 43].

Рассмотрение функции в учебнике сводится к формулировке определения: «Если каждому значению переменного числа х соответствует одно или несколько определенных значений другого переменного числа у, то х называется независимым переменным или аргументом, а у функцией ч или функцией аргумента», причем далее делается оговорка, что если функция имеет единственное значение при каждом аргумента, то такая функция является однозначной, в противном случае - многозначной, и приводятся примеры. Затем выясняется вопрос о наличии обратной функции, упоминанию об «исключительных» значениях х, при которых функция не имеет смысла. Также рассматриваются примеры нахождения значения функции в точке и приводятся простейшие функции: алгебраические и трансцендентные. В отличие от учебника, методическое руководство в вопросе о функциях идет немного дальше: Попруженко приводит различные варианты определения функции (определения, данные Э. Дирихле, Л. Эйлером, Н.И. Билибиным). В «Материалах» автор останавливается на способах задания функции:

- с помощью одной или нескольких формул (аналитический способ);

- с помощью чертежа (графический способ);

- с помощью правила (словесный способ).

Статья учебника, касающаяся непрерывности, включает в себя определение непрерывности функции в точке, на интервале, рассматривается вопрос о разрыве функции, способах устранения разрыва непрерывности, а также указывается основное свойство непрерывной функции: «функция переходит в данном интервале от одного своего значения а к другому Ъ, проходя один или несколько раз через все значения, промежуточные между а и Ъ» [5, с. 28].

Предваряя рассмотрение производной, Попруженко обосновывает необходимость изучения этого раздела, применение его в жизни: «Та часть курса анализа бесконечно малых, которая подлежит нашему изучению, занимается исследованием изменений функции, т.е. разысканием областей их возрастания, убывания, постоянства, достижения ими максимумов и минимумов; она также дает общие приемы для построения касательных к кривым для вычисления площадей, объемов и пр., количественное изучение всякого определенного процесса природы сводится к установлению некоторой функциональной зависимости между числами, измеряющими входящие в данный процесс величины. Следовательно, анализ бесконечно малых неизбежно найдет себе применение во всех физических, механических, химических и технических вопросах при исследовании встречающихся там функциональных зависимостей» [5, с.29].

Статья «Производная» содержит следующий материал:

- Предварительные соображения об изменении функции. Понятие о производной (рассматривается график некоторой функции у = f(x), вводится новая функция у = F'(x), «выражающая собою угловой коэффициент касательной» и дается определение производной: «Функцию у -F\x) называют производной по отношению к данной и обозначают так, как это сейчас указано»).

- Что такое касательная к кривой (с помощью чертежа устанавливается алгоритм нахождения значения производной в точке касания, рассматриваются примеры).

- Общее выражение производной (указан способ «отыскания производной»).

- Некоторые замечания о производной.

- Разыскание производных простейших функций (рассматривается производная постоянной, степной функции с положительным показателем, у = sin X , у = cos X, у = \ga X ).

- Общие теоремы, касающиеся разыскания производной (доказываются основные правила дифференцирования).

- Производная сложной функции.

- Производная х" (рассматривается производная степенной функции с отрицательным и дробным показателем).

- Производная ах (рассматривается производная показательной функции).

- Круговые функции и их производные (рассматривается нахождение производных для обратных тригонометрических функций).

Статью завершает сводная таблица основных формул [5, с. 29-47].

Методическая помощь учителю предложена Попруженко в виде обзора мнений на вопрос об обозначении производной. Сам Попруженко придерживается способа, предложенного Лагранжем - у'. Ценным, на наш взгляд, является указание на ошибки, встречающиеся в нахождении отношения приращения функции к приращению аргумента и его предела, и на некоторые оговорки: «при выводе теорем о производной суммы, произведения функции от функции и пр. необходимо определенно оговаривать, при каких условиях теоремы эти имеют место» [4, с. 53-65].

Исследовать изменение функции Попруженко предлагает ученикам только с помощью теоремы Лагранжа. В Материалах Попруженко указывает еще и теорему Ролля, как «достаточно простой и точный прием, ведущий к цели». Доказательство теоремы Лагранжа предваряет рассмотрение свойств производной, где проводится «точное установление признаков постоянства, возрастания и убывания функции» [5, с. 51].

Изучение максимумов и минимумов в учебнике начинается с определений этих понятий. Далее рассматриваются наличие экстремумов в двух случаях (при обращении производной в нуль и при разрыве производной). Как и весь материал учебника, «догадки» в определении максимумов и минимумов далее подтверждаются «точным исследованием»: доказываются теоремы о существовании экстремумов при непрерывности производной и при ее разрыве. Отметим, что в статье отдельно выделено «практическое правило для разыскания максимумов и минимумов функции». Попруженко считает этот аспект в изучении изменений функций «не представляющим никаких затруднений», поэтому предлагает несколько «беглых замечаний», касающихся способа подачи материала ученикам. Автор настаивает на том, что «вопрос должен быть хорошо иллюстрирован подобранным рядом задач из всевозможных научных областей» [4, с. 28].

Теме о направлении вогнутости кривой, точках перегиба, асимптотах Попруженко не уделяет много внимания в «Материалах». Он объясняет это тем, что «вопрос о вогнутости и выпуклости кривых решается в элементарных курсах из рассмотрения чертежа». Учебник содержит более точную разработку вопроса о направлении вогнутости кривых; для определения асимптот кривой формулируется соответствующее правило. Исследование функции, таким образом, обосновывается всем изученным материалом, и Попруженко, как вывод, приводит план исследования изменения функции [4, с. 74-75; 5, с.64-77].

Рассмотрение дифференциала функции является окончанием, по мнению Попруженко, изучения раздела дифференциального исчисления: «До

порога интегрального исчисления понятие о дифференциале вводить нет оснований» [4, с. 75]. В соответствующей статье дается определение дифференциала через приращение функции: «Главный член приращения функции называется дифференциалом функции и обозначается так: df (х) », при этом присутствует оговорка, что дифференциал есть новое обозначение производной.

Считая, что можно без особых затруднений начинать ознакомление учеников с интегральным исчислением с площадей, т.е. суммирования, М.Г. Попруженко реализует в «Началах анализа» обратный порядок - рассматривает вопрос о неопределенном интеграле. Дав определение первообразной «дана некоторая функция f (х) и спрашивается, какова та функция Ф(х), производная которой равна f (х). Функция Ф(х) называется первообразной относительно f (х) », автор говорит, что «первообразная функции называется также неопределенным интегралом». Далее рассматриваются основные свойства интеграла, простейшие приемы разыскания неопределенного интеграла (разложение на слагаемые, введение нового переменного, интегрирование по частям); вводится понятие об определенном интеграле. Проведя некоторые рассуждения, указывается, что определенный интеграл

вычисляется по формуле:

Завершает учебник «Начала анализа» статья «Геометрические приложения интегралов». На конкретных примерах рассматривается нахождение площадей фигур и объемов тел вращения. Небольшой объем материала, посвященного интегральному исчислению, аргументируется М.Г. Попруженко следующим образом: «Техника интегрирования не входит в задачи средней школы, и посвящать ей много времени - было бы крупной ошибкой» [4, с. 81].

Таким образом, взгляды М.Г. Попруженко на вопрос о введении начал анализа в курс средней школы в течение года, прошедшего между выпуском методического руководства «Материалы по методике анализа бесконечно малых» и учебного руководства «Начала анализа», претерпели эволюцию. Несмотря на общее идейное сходство, есть некоторые различия. Главным из них, по нашему мнению, является порядок рассмотрения тем в «Материалах» отличается от порядка изложения в учебнике. На наш взгляд, учебник имеет более удачную структуру. Хотя можно предположить, что в методическом руководстве указаны ключевые позиции курса. Это следует из того, что, рассматривая пункт о пределах раньше бесконечно малых величин, Попруженко использует их в рассмотрении пределов. Кроме того, при изучении возрастания и убывания функции в учебнике рассматривается только теорема Лагранжа, а «Материалы» предлагают воспользоваться также теоремой Ролля.

Введение анализа в курс средней школы является ценным не только с математической, но и с общеобразовательной стороны. Являясь автором первого методического пособия по анализу бесконечно малых, Михаил Григорьевич Попруженко внес ценный вклад в решение проблемы введения начал анализа в среднюю школу и реализации нового учебного плана. Методические идеи, высказанные им еще в начале XIX столетия, представляют большой интерес для ученых и педагогов-математиков до сих пор.

Библиографический список

1. Маркович Б.А. Аналитическая геометрия в средней школе // Педагогический сборник. Приложение. Книга 586. Ноябрь.

2. Метельский Н.В. Очерки истории методики математики: К вопросу о реформе преподавания математики в средней школе. - Минск, 1968.

3. Методика обучения высшей математике в средней школе России: история становления. Хрестоматия / Сост. Р.З. Гушель, В.П. Кузовлев, О.А. Савина. - Елец: ЕГУ им. И.А. Бунина, 2002.- 144 с.

4. Попруженко М.Г. Материалы по методике анализа бесконечно малых в средней школе.-СПб., 1912.

5. Попруженко М.Г. Начала анализа. - СПб., 1913.

6. Прения по докладам М.Г. Попруженко и Ф.В. Филипповича // Труды I Всероссийского съезда преподавателей математики. - T. 1. - СПб., 1913.

7. Саввина О.А. Исторические очерки о преподавании высшей математики в средних учебных заведениях России. Часть 2 (вторая половина XIX - первые семнадцать лет XX вв.): Монография.-М.: МПУ, ЕГУ, 2001.-246 с.

8. Струве В.Б. К вопросу о согласовании программ математики в средней и высшей школе// Математическое образование. - 1913. -№3.-С. 127-134.

9. Труды I Всероссийского съезда преподавателей математики. - T. 1. - СПб., 1913.

10. Филиппович Ф.В. Постановка преподавания начал анализа в средней школе // Труды 1-го Всероссийского съезда преподавателей математики. - T. 1. - СПб., 1913.

11. Юшкевич А.Н. Математика и ее преподавание в России XVII - XVIII вв. // Математика в школе. - 1947. - №№6, 7.

ОБ ОПЫТЕ ПРЕПОДАВАНИЯ ШКОЛЬНОЙ СТОХАСТИКИ (СОВЕТСКИЙ ПЕРИОД)

С.В. Щербатых

Попытки введения элементов стохастики в школьную математику предпринимались и после революции 1917 г. Характеризуя советскую статистику (описательную) как статистику нового типа, В.И. Ленин говорил: «Статистика была в капиталистическом обществе предметом исключительного ведения казенных людей или узких специалистов, - мы должны понести её в массы, популяризировать её, чтобы трудящиеся постепенно учились сами понимать и видеть, как и сколько надо работать, как и сколько надо отдыхать, - чтобы сравнение деловых итогов хозяйства отдельных коммун стало предметом общего интереса и изучения» [10, с. 192].

Н.К. Крупская в статье «Главное в преподавании математики» в 1937 г. отмечала, что В.И. Ленин «настаивал, чтобы преподавание статистики (описательной - примеч. автора) было введено в наших школах» [8, с.700]. Далее, в числе основных вопросов, которым нужно уделить внимание в преподавании математики, она указывала статистические вопросы. Н.К. Крупская писала, что нужно «обратить особое внимание на увязку теории с практикой, на увязку математики с окружающей, хорошо знакомой учащимся общественной жизнью, со знакомыми фактами в области естествознания, техники. Совершенно особое внимание надо обратить на статистику, на чём настаивал Ленин...» [8, с.701]. Вместе с тем, вышесказанное констатирует необходимость усиления прикладной направленности школьного курса стохастики.

Так, в учебнике «Элементарная алгебра» А.П. Киселёва хотя и нет отдельного раздела, в котором бы рассматривались элементы стохастики, но всё же присутствуют некоторые статистические сведения. Так, в отделе III «Графическое изображение функций» в п.110 «Диаграммы» на примере даётся понятие диаграммы (средний прирост населения Европейской России и других государств за пятилетие 1908-1912), рассматриваются её основные виды (столбчатая и круговая), в п.111 Графики температуры, влажности и пр. строится не что иное, как полигон частот [6, с.111-123]. Следует отметить, что каждая задача носит строго прикладной характер. Приведём в качестве примера некоторые из них:

«№ 1. Изобразите посредством секторов сравнительную величину океанов, зная, что Великий океан занимает 175 млн. кв. км, Атлантический океан - 90, Индийский - 75, Южный Ледовитый - 15, Северный Ледовитый -11.

№ 7. В одном селении во время эпидемии заболело: 1-го августа 5 человек, 2-го - 7 человек, 3-го - 9 человек, 4-го - 10 человек, 5-го - 8 человек, 6-го - 4 человека, 7-го - 2 человека. Построить график заболеваемости за неделю с 1-го по 7 августа включительно» [6, с. 131-132].

После революции 1917 года создается единая трудовая школа с определенными образовательными и воспитательными задачами. Советская средняя школа, оставаясь единой в смысле программы, на протяжении I ступени и двух первых классов II ступени разделялась затем по трём направлениям: науки гуманитарные; науки естественно-математические; науки технические. В программу для физико-технического направления входили следующие разделы: «Основы теории вероятностей (прямое и косвенное определение вероятности), сложение и умножение вероятностей. Понятие о математическом ожидании. Исторические сведения». Для биологической и естественных групп предусматривалось изучение таких тем, как: «Происхождение теории вероятностей. Случайность. Понятие о вероятности. Математическое выражение вероятности. Приложение теории вероятностей к статистике. Обработка экспериментальных данных» [2; 16].

Элементы теории вероятностей входили в примерные программы по математике советской школы в 20-е годы, и по ним был в 1926 году издан учебник С.П. Виноградова. В 1925 г. для школ II ступени и рабочих факультетов вышла программа, в которую вошли следующие вопросы по стохастике: «Понятие о вероятности явлений. Сложение и умножение вероятностей. Понятие о законе больших чисел, его опытная проверка. Элементы математической статистики. Закон случайных ошибок». Программы для рабочих факультетов в 1925 г. также содержат вопросы теории вероятностей [12, с.61-62].

О присутствии комбинаторики в школьном обучении можно судить по содержанию программ 1933, 1934 гг. [5; 23].

К сожалению, вышеназванные программы не нашли реального воплощения в жизни. Это объясняется двумя основными причинами: слишком велик объём материала; нехватка квалифицированных преподавательских кадров.

В программах 1947, 1952, 1954, 1956, 1961, 1963 гг. стохастика была представлена лишь сведениями из комбинаторики, причём круг изучаемых вопросов постоянно оставался прежним: «соединения: размещения, перестановки и сочетания, а также формула бинома Ньютона и свойство биномиальных коэффициентов». Знакомство с комбинаторикой осуществлялось лишь в 10 классах [15; 17-21].

В раздел «Арифметика» для технического класса отделения экспериментальных наук программы 1956 г. было включено понятие вероятности события и вычисление вероятностей. Однако эти программы не были претворены в жизнь. Впоследствии в течение длительного периода в средних школах изучались лишь элементы комбинаторики.

Вопрос о модернизации математического образования в отечественной школе был поставлен в начале 60-х годов XX века выдающимися математиками Б.В. Гнеденко, И.И. Кикоиным, А.Н. Колмогоровым, А.И. Маркушевичем, А.Я. Хинчиным. Обращаясь к широкому кругу читателей - математиков, педагогов и методистов, Б.В. Гнеденко писал: «Давно назрел и не терпит дальнейших отлагательств вопрос о введении в школьный курс математики элементов вероятностно-статистических знаний. Законы жёсткой детерминации, на изучение которых целиком ориентировано наше школьное образование, лишь односторонне раскрывают сущность окружающего мира. Случайный характер многих явлений действительности оказывается за пределами внимания наших школьников. В результате этого их представления о характере многих природных и общественных процессов носят однобокий характер и неадекватны современной науке. Необходимо познакомить их со статистическими законами, раскрывающими многогранные связи бытия предметов и явлений» [4].

В.И. Левин считал: «Происходящие в нашей стране экономические преобразования требуют сейчас организаторов и участников производства,

хорошо владеющих основами вероятностно-статистических методов расчета... Столь необходимую для их деятельности статистическую культуру надо воспитывать с ранних лет. Не случайно в развитых странах этому уделяется большое внимание: с элементами теории вероятностей и статистики учащиеся знакомятся уже с первых школьных лет и на протяжении всего обучения усваивают вероятностно-статистические подходы к анализу распространенных ситуаций, встречающихся в повседневной жизни» [9].

Программа по математике 1967 года содержала такую тему, как Начала теории вероятностей, на изучение которой отводилось 23 часа в 10 классе в курсе «Алгебра и начала анализа» [14]. Однако при утверждении новой программы начала теории вероятностей пришлось пока отклонить и рекомендовать как факультатив; тогда же А.Н. Колмогоровым была дана его разработ-ка [7].

В связи с реформой школьного математического образования появился целый ряд работ учёных-методистов, которые ставили своей целью разработать методику преподавания стохастики (вероятностной составляющей) как отдельной темы школьного курса математики. В этот же период появляются пробные учебники по «Алгебре и началам анализа» [3], в которых присутствовали элементы стохастики (в основном представленные комбинаторной составляющей).

Также можно выделить следующие исследования, которые были ориентированы на стохастическую содержательную линию: Велиев Б. «Методика преподавания элементов теории вероятностей в курсе математики средней школы»; Гайсинская И.М. «Некоторые вопросы методики изучения элементов теории вероятностей в школьном курсе математики»; Кудратов Ж. «Теория вероятностей и математическая статистика в курсе математики средней школы» и т.д. Эти исследования охватывают общие вопросы преподавания элементов стохастики в школе, но были и такие, которые ориентировались на достижение конкретных целей: формирование мышления средствами стохастики (Велскер K.P. «Рассмотрение элементов теории вероятностей и математической статистики в школе и развитие статистического образа мышления»; Фирсов В.В. «Некоторые проблемы обучения теории вероятностей как прикладной дисциплине»), разработку факультативных курсов (Хайитмурадов М. «Изучение элементов теории вероятностей с использованием системы средств обучения (факультатив)») и др.

К сожалению, стохастический материал так и не был включён в школьный курс математики. Этому способствовало распространённое представление о стохастике как о бесполезном, абстрактном разделе математики, не имеющем практической ценности. Исследование же данного вопроса показывает, что полноценный современный общеобразовательный курс математики невозможен без стохастической линии [22].

Реформой 80-х годов элементы теории вероятностей и статистики вошли в программы профильных классов, в частности, физико-математиче-

ского и естественнонаучного, а также в факультативный курс изучения математики.

Особого внимания заслуживает изданная в то время книга В.С. Лютикаса «Школьнику о теории вероятностей» (учебное пособие по факультативному курсу для учащихся 8-10 классов). В предисловии к этой книге автор отмечает: «Книга написана так, чтобы старшеклассник мог ею пользоваться и для подготовки к факультативным занятиям, а учитель как конспектом для проведения факультативных занятий по теории вероятностей.

Термин «упражнения» здесь означает большее, чем просто набор учебных примеров для тренировки по усвоению прочитанного материала. В действительности здесь содержатся и некоторые задачи для размышлений, самостоятельного поиска [11, с.4].

Элементарная теория вероятностей, изложенная автором в пособии, доступна ученику старших классов, учащемуся техникума и каждому читателю, получившему среднее образование. В книге содержится довольно большой материал: «Случайные события и операции над ними. Комбинаторика. Вероятность события: операции над вероятностями, независимые повторные испытания. Случайные величины и их характеристики». Тематика сопровождается задачами, причём многие из них решены. Имеется также глава занимательных задач, среди которых и прикладные. Однако данное пособие не лишено недостатков. Во-первых, знакомя школьников с независимыми повторными испытаниями, необходимо было избегать формулы Пуассона, т.к. её введение предполагает оперирование целым рядом понятий математического анализа (предел, показательная функция и т.д.), многие из которых изучались школьниками лишь в 10 классе. Поэтому данный материал желательно было отнести в приложения. Аналогично дело обстояло и с подробным выведением формул Муавра-Лапласа, которые можно было бы привести в готовом виде, при этом акцентируя внимание на том факте, что изучение формул является не самоцелью, а лишь результатом необходимости решения конкретных задач. Во-вторых, в пособии совершенно отсутствовал статистический материал, что явилось барьером для полноценного формирования мышления, позволяющего принимать решения в ситуации неопределённости.

Примером могут послужить и пособия для учащихся «Избранные вопросы математики» (9-10 классы, факультативный курс) и пособие для учителей «Методика факультативных занятий в 9-10 классах» (избранные вопросы математики), составленное Никольской И.Л., Фирсовым В.В. Рассмотрим структуру методического пособия. В нём авторы рассматривают схему изучения основ стохастики. В круг рассматриваемых на факультативных занятиях вопросов отнесены следующие: «Элементы комбинаторики. Элементы теории вероятностей: случайные события, случайные величины. Составители приводят тематическое планирование материала, касающегося непосредственного изучения теории вероятностей» [13, с. 46].

И опять же, среди основных недостатков предложенной методической системы можно выделить отсутствие в изучаемом материале статистической составляющей.

Таким образом, учитывая назревшую необходимость развития отдельных качеств мышления учащихся, появляются авторские разработки факультативных курсов по стохастике. Примером тому может быть курс Н.Н. Авдеевой [1] по статистике для V (VI) и VIII (IX) классов и курс элементов математической статистики для IX (X) класса средней школы. Разработанный курс был апробирован на факультативных занятиях в базовой школе № 352 МОПИ им. Н.К. Крупской (ныне МГОУ) и в Школе юных математиков при этом институте.

В IX (X) классе были проведены проверочные работы, результаты которых, а также наблюдения преподавателей и опрос учащихся показали, что предлагаемый материал был вполне доступен учащимся, вызывал у них большой интерес, показывая конкретное применение математики к решению практических задач науки и техники [1].

Процесс внедрения элементов стохастики в обязательный курс школьной математики оказался делом специфическим и трудным. Возникшие трудности и противоречия были проанализированы в ряде педагогических исследований (В.В. Фирсов, К.Н. Курындина и др.), одним из важнейших результатов которых следует считать тезис о том, что для усвоения начал теории вероятностей необходим предварительный запас идей, представлений, привычек, коренным образом отличающихся от тех, которые развиваются у школьников при традиционном обучении в рамках ознакомления с закономерностями строго детерминированных явлений. Поэтому, по их мнению, стохастическая линия должна войти в школьную математику в качестве самостоятельной линии, которая обеспечивала бы формирование, систематизацию и развитие представлений о стохастической природе явлений окружающего нас мира.

Библиографический список

1. Авдеева Н.Н. О статистическом образовании в школе // Математика в школе. -1973.-№3.-С.4-8.

2. Андронов И.К. Полвека развития школьного математического образования в СССР. - М.: Просвещение, 1967.

3. Вейц Б.Е., Демидов И.Т. Алгебра и начала анализа: пробный учебник для 9 кл. / Под общ. ред. А.Н. Колмогорова. - М: Просвещение, 1969. - 264 с.

4. Гнеденко Б.В. Политехнические аспекты преподавания математики в средней школе // На путях обновления школьного курса математики. - М, 1978.

5. История математического образования в СССР. - Киев, 1975.

6. Киселёв А.П. Элементарная алгебра. - Изд. 3-е, перераб. согласно программам труд, школы 2-й ступени. С 54 черт, и многочисленными упражнениями. - М. -Пг.: Гос. изд., 1923.-382 с.

7. Колмогоров А.Н. Введение в теорию вероятностей и комбинаторику // Математика в школе. - 1968. - № 2. - С.63-72.

8. Крупская Н.К. Главное в преподавании математики: педагогические сочинения: В 10-ти т. - М., 1960. - Т. 9. - С.700-701.

9. Левин В.И. Некоторые вопросы преподавания математики в средней школе // Математическое просвещение. - 1959. -№4. - С.9.

10. Ленин В.И. Полное собр. соч. - М., 1973. - Т. 36. - С. 192.

11. Лютикас В.С. Школьнику о теории вероятностей: учеб. пособие по факультативному курсу для учащихся 8-10 кл. - М.: Просвещение, 1976. - 112 с.

12. Маневич Д.В. Совершенствование содержания общего среднего образования на основе теории вероятностей и статистики: Дис. ... д-ра пед. наук. - Ташкент, 1990. -416 с.

13. Методика факультативных занятий в 9-10 классах: Избр. вопросы математики: пособие для учителей / И.Н. Антипов, В.Н. Березин, А.А. Егоров и др.; сост.: И.Л. Никольская, В.В. Фирсов. - М.: Просвещение, 1983. - 176 с.

14. Программа средней школы. Переработанный проект. Математика. - М., 1967.

15. Программа средней школы. Проект. Математика. - М., 1947. - С. 19.

16. Программы советской единой трудовой школы I и II ступени. - Минск, 1919. .

17. Программы средней школы на 1954/55 учебный год. Математика. - М., 1954.

18. Программы средней школы на 1956/57 учебный год. Математика. - М., 1956. Программы средней школы на 1963/64 учебный год. Математика. - М., 1963.

19. Программы средней школы. Математика. V-X классы. - М., 1961.

20. Программы средней школы. Математика. Утверждена Министерством просвещения РСФСР.-М., 1952.

21. Селютин В.Д. Научные основы методической готовности учителя математики к обучению школьников стохастике: Дис. ... д-ра пед. наук. - Орёл, 2002. - 344 с.

22. Указания к программам для неполной средней и средней школы на 1934/35 уч.г. Математика. - М. -Л., 1934. - С. 104-105.

Раздел II. ТЕОРИЯ И МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

ОБ ИЗУЧЕНИИ ПЕРВЫХ ТЕМ ТРИГОНОМЕТРИИ

П.А. Алмаев

В последние годы у многих выпускников общеобразовательной школы отмечаются неудовлетворительные знания тригонометрии. Так, например, А.Г. Мордкович в журнале «Математика в школе» (№ 6 за 2002 г., с. 32) пишет: «Когда я прошу первокурсников выразить их отношение к школьной тригонометрии, они отвечают коротко и ясно: «Ой!». Это «ой» расшифровывается так: тригонометрия - набор огромного числа жутких формул, которые ни один нормальный человек запомнить не в состоянии».

Одной из объективных причин такого положения, на наш взгляд, является то, что при изучении первых тем тригонометрии не просматривается связь с тригонометрическими понятиями, которые школьникам известны из курса геометрии. В этой связи необходимо пересмотреть методическую систему преподавания тригонометрии.

Мы предлагаем проводить изучение первых тем тригонометрии, начиная с градусной меры угла. Это обосновывается тем, что определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса произвольного угла необходимо вводить с опорой на геометрические знания.

Особое внимание в начале изучения тригонометрии следует уделить модели «числовая окружность», которая является основным инструментом для решения простейших тригонометрических уравнений и неравенств. В противном случае для многих учеников становится непосильной задача отсеивания посторонних корней уравнения, запись множества решений одной формулой. В конечном счете тригонометрия превращается в набор формул, которые трудно запомнить.

Часто приходится наблюдать, как учащиеся испытывают затруднения при выполнении следующих действий: изображение угла точкой числовой окружности; надписывание точек, т.е. определение всех углов, которые соответствуют данным точкам или точке; определение координат точек, расположенных на числовой окружности; построение точки числовой окружности по одной из ее координат. Для того чтобы научить десятиклассников выполнению этих действий, достаточно сформулировать и доказать свойства координат точек числовой окружности.

1°. Если точки Ра и Pß симметричны относительно оси Oy, то 1) их ординаты равны, а абсциссы противоположны; 2) ß = 180° - а (рис. 1).

2°. Если точки Ра и Pß симметричны относительно оси Ох, то 1) их абсциссы равны, а ординаты противоположны; 2) ß = -а (рис. 2).

3°. Если точки Ра и Pß симметричны относительно начало координат, то их и ординаты, и абсциссы противоположны; 2) ß = 180° -h ce (рис. 3).

Обучение работе с моделью «числовая окружность» и рассмотрение свойств координат точек числовой окружности следует сделать до введения определений синуса и косинуса любого угла. Такая последовательность изучения материала позволит устранить недостаток, который присущ большинству учебников, - недооценка важности изучения самой модели «числовая окружность» и слишком поспешное, чуть ли не на первом уроке, введение понятий синуса и косинуса «по окружности», что приводит к наложению двух трудностей: непривычная модель и непривычный способ введения функций (синус как ордината, косинус как абсцисса точки числовой окружности).

Выполняя упражнения на применение умения работать на числовой окружности, следует обратить внимание учащихся на количество точек и их расположение относительно осей и начала координат для всех углов, соответствующих этим точкам. В результате решения таких упражнений должен быть сделан вывод, что существует пять способов записи углов. От того, как учащиеся усвоят данный материал, будет зависеть успех решения уравнений и неравенств.

1. Запись углов, соответствующих одной точке числовой окружности: а + 360° • п , где п - целое число.

2. Запись чисел, соответствующих двум диаметрально противоположным точкам числовой окружности: <2 + 180°-я, где п - целое число.

3. Запись чисел, соответствующих двум точкам на числовой окружности с одинаковыми абсциссами: ±ог + 360°-#, где п - целое число.

4. Запись чисел, соответствующих двум точкам на числовой окружности с одинаковыми ординатами: (-1)" - а + \80° • п, где п - целое число.

Рис. 1 Рис.2 Рис. 3

5. Запись чисел, соответствующих точкам, делящим числовую окружность на к равных частей: а л--п, где к > 1, к е N , п - целое число.

При введении понятий «синус угла» и «косинус угла» следует учитывать, что синус и косинус углов от 0° до 180° учащиеся знают из курса геометрии. Поэтому введение этих понятий для углового аргумента с опорой на имеющиеся знания облегчает школьникам усвоение тригонометрии.

Заметим, что определение синуса и косинуса любого угла является рабочим, т.к. им постоянно приходится пользоваться при решении различных задач, но практически ни один школьник не может его воспроизвести. Оно громоздко. Поэтому мы предлагаем сформулировать определения следующим образом:

Ордината точки Ра, соответствующая углу а на числовой окружности, называется синусом угла а.

Абсцисса точки Ра, соответствующая углу а на числовой окружности, называется косинусом угла а.

Правда, для этого при рассмотрении вопроса об угле поворота необходимо ввести понятие «точка, соответствующая углу».

Часто приходится наблюдать, как некоторые учащиеся считают, что, например, sin 30° в курсе геометрии и sin30° в курсе алгебры - разные понятия. Поэтому здесь нужно учащимся доказать эквивалентность двух определений. В результате чего делается вывод, что определения синуса и косинуса, которые им известны из курса геометрии, представляют собой частный случай тех определений, что были сформулированы выше.

Рассмотренные выше некоторые свойства координат точек числовой окружности позволяют сформулировать и доказать свойства синуса и косинуса угла.

1°. Для любого угла а справедливы равенства

2°. Для любого угла а справедливы равенства

3°. Для любого угла а справедливы равенства

Наши наблюдения привели к выводу, что большинство учащихся заглядывают в шпаргалку, которая выполнена по таблице-образцу из учебника, для того, чтобы посмотреть значение синуса или косинуса некоторого угла. Мы считаем, что «наизусть» нужно знать только таблицу значений синуса и косинуса трех основных углов: 30°, 45°, 60°, так как вычисление

синуса и косинуса любого угла можно свести к вычислению синуса и косинуса острого угла. Покажем применение предложенного способа на демонстрационных примерах.

Пример 1. Найдем значение синуса и косинуса угла 150°. Для этого на числовой окружности отметим точку Р150о5 соответствующую углу 150°.

Проведем прямую, параллельную оси Ох, через точку Р150о. Пересечение этой прямой с числовой окружностью обозначим Ра . Соединим точку Ра с точкой О (рис. 4). Так как точки Р150О и Ра симметричны относительно оси Oy, то а = 30° (180° -150°), т.е. Ра - точка, соответствующая углу 30°.

Кроме того, у таких точек ординаты равны, а абсциссы противоположны. Поэтому sin 150° = sin30° , cosl50° = -cos30°. Используя таблицу, получим: sinl50° = -, cosl50° = -—.

Пример 2. Вычислим sin 225° и cos 225°. Для этого на числовой окружности отметим точку Р225о, соответствующую углу 225°. Проведем прямую через начало координат и точку Р2250 . Пересечение этой прямой с числовой окружностью обозначим Ра (рис. 6). Так как точки Р2250 и Ра симметричны относительно начала координат, то а - 45° (225°-180°), т.е. Ра - точка, соответствующая углу 45°. Кроме того, у таких точек и ординаты, и абсциссы противоположны. Поэтому sin 225 0 = - sin 45 0 , cos 225° = - cos 45°. Используя таблицу, получим: sin 225° =--,

Пример 3. Найдем значение синуса и косинуса угла 300°. Для этого на числовой окружности отметим точку Р3оо°, соответствующую углу 300°.

Проведем прямую, параллельную оси Oy, через точку Р300О. Пересечение этой прямой с числовой окружностью обозначим Ра (рис. 5). Так как точки

Рис. 4 Рис. 5 Рис. 6

Р3оо° и ?а симметричны относительно оси Ох, то а = 60° (360°-300°), т.е. Ра - точка, соответствующая углу 60°. Кроме того, у таких точек одна и та же абсцисса, но противоположные ординаты. Поэтому cos300° = cos 60°, sin 300° = - sin 60°. Используя таблицу, получим: cos 300° = —,

Решая эти достаточно простые примеры, мы фактически пользовались определенным алгоритмом. Сформулируем его.

Алгоритм вычисления значений синуса и косинуса любого угла.

1) Для любой точки числовой окружности можно построить три точки, симметричные данной, относительно: а) оси абсцисс; б) оси ординат; в) начала координат. Строим одну из трех точек, симметричных данной, а именно ту, которая окажется в I четверти.

2) Определяем угол, которому соответствует точка, симметричная данной.

3) Определяем синус и косинус угла.

4) Сравнивая координаты симметричных точек, находим синус и косинус данного угла.

После введения определений синуса и косинуса, тангенса и котангенса учащимся нужно предложить решение простейших тригонометрических уравнений и неравенств без формул, желательно провести их в общем виде, т.е. рассмотреть все случаи. Подобные уравнения имеются в задачнике А.Г. Мордковича и в его же методическом пособии для учителя для X-XI классов. При рассмотрении данного вопроса в систему упражнений можно включить простейшие дробные тригонометрические уравнения, чтобы учащиеся уже на ранней стадии изучения тригонометрии начали привыкать к выбору корней уравнения, к отсеиванию посторонних корней, рациональной записи ответа.

К сожалению, объем статьи не позволяет привести решения некоторых уравнений в качестве иллюстрации. Решение каждого такого уравнения проводится по схеме, которая предложена С.А. Владимирцевой:

• записывают конструкцию (систему или совокупность) уравнений и неравенств, равносильную данному уравнению;

• на числовой окружности изображают множество решений каждого уравнения или неравенства, входящего в конструкцию;

• находят (в случае необходимости) пересечение или объединение соответствующих множеств точек, при этом углы, не входящие во множество решений, вычеркиваются (или помечаются крестиком);

• полученное таким образом множество точек надписывают и фиксируют ответ.

Далее вводится радианная мера угла, которая позволяет ввести определения тригонометрических функций числового аргумента. Для дальнейшего изучения тригонометрического материала можно использовать любой школьный учебник по алгебре.

Изложенный выше подход к изучению первых тем тригонометрии позволяет устранить недостаток, который присущ большинству учебников: -определения синуса и косинуса, тангенса и котангенса произвольного угла необходимо вводить с опорой на геометрические знания. Сформулированные выше выводы, связанные с расположением точек на числовой окружности, в будущем могут оказаться полезными в записи множества решений уравнения меньшим числом формул. Основное же достоинство предложенного подхода состоит в том, что учащимся при изучении первых тем тригонометрии можно обойтись без шпаргалок, так как «наизусть» нужно знать только таблицу значений синуса и косинуса трех основных углов: 30°, 45°, 60°.

Библиографический список

1. Беляева Э.С. Единичная окружность в подготовительном курсе тригонометрии // Математика в школе. - 2000. - № 7. - С. 15-19.

2. Владимирцева С.А. Об изучении первых тем тригонометрии // Математика в школе. - 2005.-№ 7. - С. 16-21.

3. Колмогоров А.Н. и др. Алгебра и начала анализа. Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. / Под ред. А.Н. Колмогорова. - М.: Просвещение, 1993.

4. Мордкович А.Г. и др. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений. - М.: Мнемозина, 2002.

5. Мордкович А.Г. и др. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл.: Задачник для общеобразоват. учреждений. - М.: Мнемозина, 2000.

ИНТЕГРИРУЮЩИЕ СВЯЗИ КАК СРЕДСТВО ПОВЫШЕНИЯ МОТИВАЦИИ ИЗУЧЕНИЯ СТОХАСТИКИ

И.Л. Атепалихина

Никому не надо доказывать тот факт, что какой бы деятельностью ни занимался человек, ее результаты всегда зависят от мотивов, побудивших его к этой деятельности. Не является исключением и такой вид деятельности, как учение. Отсутствие необходимой мотивации приводит к нежеланию учиться, что в свою очередь отрицательно сказывается на эффективности процесса обучения. Главной особенностью математических знаний является их абстрактный характер, поэтому учащиеся считают эти знания, за исключением, может быть, умения выполнять арифметические действия, да и то лишь на множестве рациональных чисел, не нужными, не пригодными в жизни. В результате у школьников нет интереса к изучению математики, так

как «не возникает интерес к тому, что не имеет для школьников объективного смысла, значимости» [1, с. 292]. Но именно интерес является важнейшим побудителем любой деятельности. Таким образом, интерес к математике, мотивация учения являются основой успешного учения. В.И. Ильин считает, что мотивы, в том числе и мотивы учения, активизируют протекание мыслительных процессов, положительно сказываются на качестве знаний [86]. Мотивация учения «должна иметь место на каждом уроке и включать показ необходимости изучения нового материала, значимость его в разных сферах окружающей ребенка жизни» [3, с. 27].

В.А. Гусев выделяет следующие средства, побужающие формирование мотивации учения [1]:

о практическая значимость изучаемого материала для ученика;

о доступность учебного материала;

о новизна;

о соответствие содержания учебного материала наличным или вновь возникающим потребностям ребенка;

о наглядность и занимательность материала.

В учебном пособии [3] выделяются такие факторы поддержания интереса учащихся к учебному предмету:

о высокая собственная активность ученика при изучении предмета;

о разнообразие видов деятельности на уроке;

о понимание нужности и целесообразности изученного;

о связь с ранее изученным;

о посильность обучения;

о яркость, эмоциональность изложения;

о систематическая проверка и оценка деятельности ученика учителем.

На наш взгляд, к средствам, повышающим интерес к предмету, необходимо отнести и интегрирующие связи. Вообще, понятие «интеграция» происходит от латинского integration, что в переводе означает восстановление, восполнение - объединение в целое каких-либо частей. Интегрированный подход в обучении - это подход, при котором образовательный процесс строится на основе выделения, вычленения, а затем соединения знаний внутри одной науки или же различных областей наук в качественно новую систему, имеющую единую философскую основу [4]. Под интегрирующими связями мы будем понимать такие связи, на основе которых осуществляется или, другими словами, реализуется интеграция при обучении. Реализация интегрирующих связей в учебном процессе может происходить различными способами:

- через изучение темы, опирающейся на знания других тем по предмету;

- через освещение фактов, опирающихся на знания учащихся по различным предметам школьного цикла;

- через решение задач внутрипредметного и межпредметного характера;

- через формирование общих для родственных предметов понятий;

- через создание проблемных ситуаций;

- через постановку проблем, общих для ряда предметов и др. Остановимся далее на том, какое значение имеют интегрирующие связи для повышения мотивации изучения стохастики. Вообще, введение данной темы в программу по математике было вызвано тем, что она имеет большое прикладное и практическое значение. Изучение теории вероятностей и статистики на таких задачах как подбрасывание монеты, игрального кубика, вытягивание карт, шаров, составление слова не приводит к желаемому результату. Такие задачи лишь вначале вызывают интерес у учащихся, который быстро пропадает. Это связано с тем, что, во-первых, решение большого числа однотипных задач быстро надоедает, во-вторых, учащиеся не видят ни практического, ни прикладного значения темы. Вообще, как отмечает Е.А. Бунимович, преподавание основ вероятности на абстрактно-формальном уровне, в традиционной схеме урока дало в основном негативные результаты и привело к изъятию этого материала из школьных программ. Поэтому повысить мотивацию у учащихся к изучению стохастики мы можем тогда, когда покажем значение темы для изучения других предметов школьного курса и применимость знаний по данной теме в практической жизни. Для этого необходимо использовать при обучении интегрирующие связи.

Интегрирующие связи помогают ученику понять значимость рассматриваемой нами темы. Например, ученик очень увлекается биологией, но не любит математику. При изучении генетики в курсе биологии необходимо показать связь биологии с математикой. В этом случае ученик убеждается в том, что современная биология не может существовать без математики. При выполнении лабораторных работ по физике учащимся часто приходится обрабатывать результаты, полученные при опытах, что непосредственно связано со статистикой, но учителя редко обращают на это внимание. От ребят опять ускользает тот факт, что именно статистика разрабатывает методы обработки данных эксперимента, наблюдения, измерения.

Уильям Глассер отмечает, что многие знания, получаемые в школе, никак не связаны с жизнью ребенка, поэтому учащиеся не видят в них смысла. В учебниках довольно много задач по стохастике, связанных с практической деятельностью людей. Это и изучение качества продукции, изучение производительности, изучение урожайности, обработка результатов, полученных при переписи населения. Дети, конечно же, понимают значение таких задач, но знания, получаемые при их решении, они не используют непосредственно в своей жизни прямо сейчас, поэтому нужны такие задания, которые стали бы личностно значимыми для них. Например. 1. Многие девочки любят украшения, для них может быть полезной такая задача: Маша ре-

шила сплести себе бусы. Дома у нее нашлось лишь 7 бусинок. Как определить, сколько бусинок еще надо купить девочке, чтобы получились бусы необходимой длины? (Необходимо найти среднее значение диаметра бусинки). 2. У Артема мама открывает аптеку. Ей необходимо закупить витамины для подростков. Витамины каких фирм лучше закупить? (Детям предлагается провести опрос и сделать вывод).

Благодаря таким заданиям у учащихся вырабатывается положительная мотивация к изучению темы «Теория вероятностей и статистика», так как они осознают практическую значимость темы.

Реализация интегрирующих связей внутри предмета, с другими предметами и с практической жизнью является одним из эффективных средств повышения научного уровня образования, более глубокого усвоения знаний, формирования познавательной активности учащихся, является одним из способов формирования мотивации учения.

Библиографический список

1. Гусев В.А. Психолого-педагогические основы обучения математике. - М: ООО «Издательство «Вербум-М», ООО «Издательский центр «Академия», 2003. - 423 с.

2. Ильин В.И. Проблемы воспитания потребности в знании у школьников. - Ростов н/Д.,1971.

3. Методика и технология обучения математике. Курс лекций: пособие для вузов/ Под научн. ред. Н.Л. Стефановой, Н.С. Подходовой. - М: Дрофа, 2005. - 416 с.

4. Харунжев А.А. Интеграция в образовании: теория и практика. - Киров: Изд-во ВятГГУ, 2003.-96 с.

ОБ ЭЛЕКТИВНОМ КУРСЕ «ГЕОМЕТРИЯ И ОРИГАМИ»

О.В. Весновская

В настоящее время геометрическое образование является необходимым для людей многих профессий. В связи с этим проблема развития геометрических способностей учащихся приобретает еще большую остроту и актуальность. К сожалению, в процессе преподавания геометрии не учитывается, что геометрия - наука, опирающаяся на наглядность, возникшая из опыта человека, из его наблюдений за окружающим миром. Вот поэтому в школе при ее изучении картина обстоит следующим образом: живая наука превращается в формальное изложение учебного предмета; исчезает связь с окружающим миром, в результате чего остается только формальная логическая схема, множество чисто формальных определений. А абстрактный характер и сложность материала приводят к тому, что при решении геометрических задач уже на самом первом шаге часто возникают трудности и учащимся совершенно непонятно решение многих геометрических задач. Даже сам этап изображения на листе бумаги данных фигуры не прост. Выходит, что изуче-

ние геометрии в школе должно сопровождаться особенно наглядным и чисто практическим подходом.

Большое внимание уделяется поиску новых методик преподавания. И одна из методик, эффективно решающих вышеуказанные проблемы, представляет необычный подход к урокам геометрии. Этот подход помогает создать, например, элективный курс «Геометрия и оригами». Само оригами -это искусство складывания фигур из бумаги, которое очень важно при ее изучении. Искусство оригами знакомит со всеми геометрическими объектами и облегчает освоение систематического курса геометрии. «Здесь объектом непосредственных преобразований служит реальная ситуация» [3].

Главной целью элективного курса «Геометрия и оригами» является развитие геометрического мышления и формирование геометрических знаний средствами оригами, которые помогают преодолеть указанные трудности и позволяют учащимся «войти в пространство».

Изучение геометрии с использованием оригами в школе можно разбить на три этапа. Программа первого этапа может быть рассчитана для учащихся 1-4 классов, второго этапа - для учащихся 5-9 классов, третьего этапа - для учащихся 10-11 классов. На первом этапе учащиеся в ходе изучения геометрии с использованием оригами знакомятся с основными геометрическими фигурами (треугольник, прямоугольник, квадрат, ромб, четырехугольник), понятиями (сторона угол, вершина угла, диагональ, центр фигуры), их свойствами и учатся основам техники оригами. Сами занятия проходят в игровой форме.

У учеников, складывающих бумагу, достигается наглядное представление о геометрических фигурах и их свойствах. В игровой и занимательной форме в практической деятельности они каждый раз находят самое приблизительное сходство предметов. Складывая фигурки, ребенок познает окружающий мир. Он начинает видеть самое характерное, доделывает, додумывает, создает образ в своем воображении. Стремление разобраться во всем самостоятельно и освоить всю предоставляемую информацию по геометрии помогает преодолеть препятствия, которые стоят на пути к этому освоению. А это преодоление невозможно без активной и целенаправленной работы воображения. Уходя с урока, ребенок еще долго помнит радость, которую доставило ему интересное, необычное занятие. На этом этапе оригами при изучении геометрии выступает важнейшим средством, стимулирующим мышление, фантазию и предпосылки к творческой деятельности. Полученные знания помогают учащимся изучать геометрию на следующем уровне.

Программа второго этапа логично развивает систему знаний, умений и навыков, приобретенных на начальной стадии обучения. Здесь учитель особое место может уделить работе по схемам, процессу складывания плоскостных фигур. Эта деятельность направлена на развитие высшей формы восприятия, которое связано с различными операциями мышления. На этой ступени важно уделить внимание ознакомлению с орнаментами, которые

очень красивы по своей форме. Складывая их в различных комбинациях, можно получить многогранники. При этом развивается пространственное воображение учащихся, что способствует успешному усвоению стереометрии в старших классах. Важность этой ступени состоит в том, что здесь особое место занимает метод решения задач на построение без помощи циркуля и линейки. Особая ценность этого метода в том, что он позволяет построить правильные многоугольники, построение которых с помощью циркуля и линейки затруднительно, а в некоторых случаях невозможно.

Таким образом, навыки, накопленные во время обучения на первом и втором этапах, позволяют ученикам 10-11-х классов успешно обучаться на третьем этапе.

На третьей этапе изучения геометрии с использованием оригами ведется целенаправленная работа по формированию содержательного логико-математического мышления. Большое значение для развития воображения имеет изготовление геометрических фигур, в которых прослеживается определенная закономерность расположения модулей, наглядное восприятие которых помогает учащимся понять эту особенность и справиться с геометрическими задачами. Сюда входят построения правильных, полуправильных и неправильных многогранников, их сечения, нахождение площадей боковых поверхностей и объемов геометрических тел.

Оригами, как основа различных направлений искусства, является наиболее логичной и гармоничной формой изучения геометрии. Логика здесь выступает как средство подтверждения наглядности и практической значимости. На основе конструирования моделей процесс освоения геометрии представляется последовательным развертыванием всего процесса познания. Выполняя геометрические фигуры в технике оригами, учащиеся знакомятся с новыми геометрическими понятиями, основными определениями и наглядно изучают закономерности поведения двухмерной плоскости в трехмерном пространстве. «Знаково-символические операции составляют основу как оригамской, так и геометрической деятельности. На основе геометрических преобразований условные знаки в оригами служат указанием к действиям и направлены на создание реальных изделий, а в геометрии - отражением свойств объекта (когда действия уже представлены в свернутом виде) и представляют абстрактные модели» [5].

Особо важно отметить, что совместное изучение оригами и геометрии взаимообогащает друг друга на всех этапах (начальная школа, среднее звено, старшие классы). В начальной школе роль оригами заключается в том, что в игровой, творческой форме оно позволяет формировать у школьников предпонятия геометрических фигур. В среднем звене роль оригами заключается в том, что вопросы, возникающие на практике при складывании бумажного листа, приводят к необходимости геометрического обоснования построений на основе метрических теорем геометрии, а также возможностям применений полученных теоретических результатов для разработки новых методов

построения моделей оригами. В старших классах оригами выступает как иллюстративный материал при проведении исследовательской работы.

Ниже представлена программа курса «Геометрия и оригами» для учащихся 5-8 классов и приведена схема складывания фигурки в технике оригами. Данная программа является вспомогательным материалом, который может использовать учитель совместно с учебником «Геометрия для 5-9 классов» под редакцией Гусева [2].

Программа курса «Геометрия и оригами».

1. Знакомство с оригами.

1.1. История возникновения и развития оригами.

1.2. Условные знаки, принятые в оригами, и основные приемы складывания.

1.3. Используемая терминология. Построение фигур в технике оригами.

2. Основные построения с помощью оригами.

2.1. Точка и прямая. Почему именно прямая?

2.2. Пересекающиеся прямые. Смежные и вертикальные углы.

2.3. Построение перпендикуляра к прямой. Перпендикулярные прямые.

2.4. Построение прямой, параллельной данной. Параллельные прямые.

2.5. Деление отрезка пополам с помощью оригами.

2.6. Построение биссектрисы угла с помощью оригами.

3. Геометрия треугольника с помощью оригами.

3.1. Виды треугольников и их свойства.

3.2. Замечательные точки и линии в треугольнике. Построение медианы треугольника. Точка пересечения медиан треугольника.

3.3. Построение биссектрисы треугольника. Точка пересечения биссектрис треугольника.

3.4. Построение высоты треугольника и нахождение точки пересечения высот треугольника.

3.5. Признаки равенства треугольников.

3.6. Сумма углов треугольника. Доказательство с помощью оригами.

4. Геометрия четырехугольника с помощью оригами

4.1. Прямоугольник и его свойства. Построение фигур из прямоугольника.

4.2. Квадрат и его свойства. Два положения квадрата. Используемая терминология. Построение фигур из квадрата.

4.3. Параллелограмм и его свойства. Построение фигур из параллелограмма.

4.4. Ромб и его свойства. Построение фигур из ромба.

4.5. Трапеция, ее свойства.

4.6. Произвольный четырехугольник.

5. Освоение приема «циркуля» с помощью оригами

5.1. Центр круга. Задания на нахождение центра круга с помощью оригами.

5.2. Пересечение окружности с прямой. Способ нахождения точек пересечения с помощью оригами.

6. Начало есть квадрат. Построение многоугольников с помощью оригами.

6.1. Из квадрата равнобедренный треугольник.

6.2. Равносторонний треугольник в квадрате. Фигурка «Мозаика».

6.3. Правильный треугольник в квадрате, имеющий с ним одну общую вершину. Фигурка «Звезда Давида».

6.4. Из квадрата правильный пятиугольник. Фигурка «Додекаэдр».

6.5. Из квадрата правильный шестиугольник. Фигурка «Цветок».

6.6. Из квадрата правильный восьмиугольник. Фигурка «Кусудама Оксана».

6.7. Из квадрата правильный десятиугольник. Фигурка «Ребристая коробка».

6.8. Паркеты из правильных многоугольников, бордюры и орнаменты.

Сколько любопытных тайн кроется в обычном листочке бумаги, который всегда под рукой! Например, при изучении темы «Замечательные точки треугольника» учащиеся убеждаются в том, что каждая тройка биссектрис, медиан, высот, серединных перпендикуляров треугольника пересекаются в одной точке, а потом свои убеждения пробуют подтвердить математически. Возможности перегибания листа бумаги велики, что обеспечивает решение большого количества разнообразных задач.

Из чего же состоит любая оригамская задача?

1. Из постановки задачи.

2. Из оригамского решения, проверки или способа построения.

3. Из математического обоснования, то есть доказательства того, что в результате действительно получается фигура с требуемыми свойствами.

Для примера решим несложную задачу.

Задача. Методом оригами разделить один из углов квадрата на три равных угла.

При решении данной задачи методом оригами необходимо знание некоторых условных обозначений, принятых в оригами и которые приводятся в следующей таблице:

1. Постановка задачи. Разделить один из углов квадрата на три равных угла.

2. Оригамское решение.

1. Наметьте сгиб, делящий верхнюю сторону квадрата пополам.

2. Совместите вершину правого нижнего угла квадрата с некоторой точкой намеченной линии сгиба.

3. Перегните левую верхнюю часть фигурки и вернитесь в исходное положение квадрата.

4. Проверьте результат. Вершина левого нижнего угла квадрата линиями сгиба разделена на три равных угла.

5. В квадрате угол В разделен на три равных угла. 3. Математическое обоснование.

Используя чертеж рис. 5, можно записать: А ВАС - равносторонний, значит ZABC=60°.

Z OBA=900-600=30°, Z ABN=30°, Z OBA=Z ABN=Z NBC=30°. Итак, данным методом мы разделили угол квадрата на три равные части.

Сама работа по изучению элективного курса «Геометрия и оригами» проводилась на базе муниципального образовательного учреждения «Гимназия № 11» г. Новочебоксарска с 1994 по 2002 год. За счет школьного компонента во внеурочное время раз в неделю проводились занятия во всех классах.

Результатами работы явились многие достижения учащихся, одним из которых является следующий: в 2001 г. ученицы 11 класса школы-гимназии №11 г. Новочебоксарска Чувашской Республики Кузнецова Ирина и Мартынова Надежда с работой по оригами и геометрии участвовали в 1-ой республиканской научной конференции молодежи и школьников, получив дипломы первой степени. В этом же году, участвуя в Четвертой Российской конференции молодых исследователей «Шаг в будущее», девочки получили дипломы второй степени, свидетельства результативности научно-исследовательской деятельности авторов и творческих достижений в научной области, соответствующей тематике работы, и были зачислены в МГТИ им. Н.Э. Баумана без экзаменов.

По результатам городских и республиканских конференций школьников смело можно сказать, что оригами помогает не только в изучении курса геометрии, но и направляет учащихся к исследовательской деятельности.

Вопрос объективной научной оценки результатов занятий оригами и бумажным моделированием (не только детей, но и взрослых) уже не первый год привлекает профессиональное внимание психологов и педагогов. Вот как, например, докладывает об экспериментальных психологических исследованиях особенностей развития занимающихся оригами детей психолог гимназии № 139 г. Омска С.Н. Дутко: «Психологическим обоснованием концепции развития детей посредством занятий оригами являются следую-

щие положения: связь физического движения и общего психического развития; связь точного (мелкого) движения с развитием речемыслительных центров; связь целенаправленного психического развития ребенка с личностным ростом ...точные движения пальцев рук очень тесно связаны с развитием мышления» [6].

Результаты исследований также неоднократно докладывались, например, на всероссийских конференциях «Оригами и педагогика» в Санкт-Петербурге, 1996-1999 гг., и Сибирской конференции по оригами в г. Омске, 1997-1998 годах.

Российские мастера и пропагандисты оригами из Ростова-на-Дону -Юрий и Екатерина Шумаковы, по профессии психологи, - открыли, что оригами не только интересное развлечение, но и полезное занятие, в процессе которого происходит естественный массаж кончиков пальцев рук, развивается подвижность и точность движений пальцев как правой, так и левой руки. Это уникальное средство для развития тонкой моторики и повышения чувствительности пальцев. Активная работа обеих рук влечёт за собой повышение активности полушарий головного мозга и развивается не только левое, отвечающее за логику и речь, полушарие, но и правое, ответственное за творчество, интуицию, воображение. Занятия оригами способствуют развитию пространственного воображения, глазомера, внимания, памяти, фантазии и творческого мышления.

Независимое исследование психологов Ю.В. Шумакова и Е.Р. Шумаковой из Ростова-на-Дону также показало определенное положительное влияние занятий оригами на повышение коэффициента интеллекта. Эти показатели дали исследователям основание считать, что «занятия оригами способствуют развитию креативного мышления, то есть способности искать, изобретать, создавать нечто такое, что не встречалось у детей в их прошлом опыте».

Шумаковы активно внедряют методику оригами для лечения. Ими было проведено обширное исследование влияния оригами на психомоторные функции детей. Результаты показали, что активная ручная работа стимулировала активность как левого («научного»), так и правого («творческого») полушарий головного мозга, а с помощью систематических занятий оригами развиваются интенсивнее и на более высоком уровне следующие психические процессы: восприятие (целостность и структурность образа); внимание (концентрация и устойчивость); память (зрительная и кинестетическая); мышление (пространственное, креативное) [6]. Их исследования также показали определенное положительное влияние занятий оригами на повышение коэффициента интеллекта, снижение уровня внутренней тревожности, причем не только для детей, но и для взрослых (родителей, воспитателей, ведущих занятия по оригами). Эти результаты были доложены на II Всероссийской конференции «Оригами и педагогика» в Санкт-Петербурге (весна 1997 г.) и имеются в архивах Петербургского центра оригами.

Хорошее развитие руки ведет автоматически к развитию некоторых важнейших центров головного мозга. Взаимосвязь «рука-мозг» состоит в том, что благодаря новому освоенному умению развивается мозг ребенка, его ум! Каждое новое умение - это новый шаг в умственном развитии. Занимаясь ручным трудом, ребенок приводит в действие те стороны мыслительной активности, которые ранее были не задействованы. Мозг берет не себя функции управления новым для ребенка видом деятельности и, управляя ею, развивается. Чем больше и разнообразнее сфера дел, в которых участвует ребенок, тем более развиты те центры его мозга, которые можно развивать только в процессе овладения навыками ручного труда.

Приобретая новое умение, ребенок делает шаг вперед в развитии многих своих способностей. Все это нужно не только для того, чтобы у него были золотые руки, но и для того, чтобы у него была умная голова, а тот, кто не привык работать руками, умен только наполовину: во многих ситуациях обычной практической жизни он не сможет проявить смекалку, сообразительность, окажется просто беспомощным! А развитие таких качеств, как точность, трудолюбие, терпение и целеустремленность, помогает учащимся перейти на ступеньку творчества, являющуюся основой для самостоятельных открытий.

Здесь важно подчеркнуть самое главное: развитие мелкой моторики рук жизненно необходимо для формирования мышления, которое учит выдвигать продуктивные идеи и претворять их в жизни. От того, как элементы творческой деятельности будут формироваться в школе, во многом зависит будущее нашего общества.

Библиографический список

1. Весновская О.В. Оригами: орнаменты, кусудамы, многогранники. - Чебоксары: Изд. «Руссика», 2003. - 52 с.

2. Гусев В.А. Сборник задач по геометрии. - М.: Изд. «Мир и образование», 2005. - 480 с.

3. Гусев В.А. Методика обучения геометрии. - М.: Изд. «Академия», 2004. - 376 с.

4. Нуркова В.В. и Березанская Н.Б. Психология. - М.: Изд. «Юрайт», 2004. -498 с.

5. Хохлова Н.И. Оригами как пропедевтика к формированию системы геометрических понятий: Автореф. дис. ... канд. психол. наук: 19.00.07. - М.: МГУ им. М.В. Ломоносрва, Сургут, гос. ун-т, 2002. - 22 с.

6. Шумакова Е.Р. Межполушарная функциональная асимметрия в динамике бимануальной активности у детей 7-11 лет при обучении оригами: Автореф. дис. ... канд. психол. наук: 19.00.02. - Ростов н/Д.: Рост. гос. ун-т, 2000. -22 с.

ОСНОВНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ ОБРАЗОВАНИЯ

М.А. Гончарова

Основными направлениями в развитии школьного образования являются его гуманизация, гуманитаризация, а также информатизация.

Гуманизация образования

Гуманизация образования предполагает усиление внимания к формированию личности человека. Психологами (В.В. Давыдов, В.В. Репкин и др.) и методистами (А.М. Пышкало, О.Б. Епишева и др.) показано, что задачи развития и воспитания личности могут быть эффективно решены путем формирования учебной деятельности.

Согласно В.В. Давыдову, Д.Б. Эльконину, учебная деятельность - процесс, в котором получение знаний, овладение соответствующими способами является главной и осознаваемой целью субъекта обучения. Основным результатом учебной деятельности является изменение самого ученика, уровня его развития. Формирование учебной деятельности связано с превращением ученика из объекта в субъект обучения. Оно становится той основой, на которой происходит становление личности.

Именно поэтому учитель должен строить обучение так, чтобы каждый ученик выступал активным субъектом учебной деятельности. Это означает, что ученик знает и понимает, зачем он учится, желает и умеет учиться, умеет строить отношения с самим собой как с другими, может определить границы своего знания и незнания, способен расширить границы собственного знания, подвергает свои действия анализу. На уроке ученик выступает не в роли пассивного слушателя, а занимает активную жизненную позицию. Ясно, что это не может произойти само собой - по желанию самого школьника. Мы говорим о том, что для формирования ученика как субъекта обучения на уроке должны быть созданы учителем определенные условия. Остановимся на некоторых из них.

Проектируя урок по определенной теме, учитель ставит перед собой конкретные цели. Не всегда учащиеся принимают эти цели. Это чаще всего происходит потому, что учитель порой не обращает внимания на процесс целеобразования, который связан с формированием мотивационной сферы учения. Если ученик принимает и понимает цель, поставленную учителем, самостоятельно ставит цели перед собой и формулирует их, то далее он стремится к удовлетворению потребности - к выполнению учебного действия.

Для побуждения учащихся к выдвижению целей предстоящей деятельности учитель на начальных этапах обучения должен ориентировать школьников на цели урока и на конечный результат, а затем формировать у уча-

щихся умения самостоятельной постановки цели предстоящей деятельности. Так как ученик должен выступать в современном обучении субъектом учебной деятельности, то задача педагога состоит в том, чтобы обеспечить стремление учащихся самим поставить и сформулировать цель урока (учебную задачу).

Одними из наиболее эффективных приемов стимулирования учащихся к самостоятельному выдвижению цели деятельности являются создание учителем проблемной ситуации и постановка им вопросов, которые помогают школьникам осознать противоречие и сформулировать учебную проблему. Учебная проблема отражает цель предстоящей деятельности учащихся.

После постановки учащимися цели педагог должен обеспечить стремление учащихся к реализации предстоящей деятельности на уроке. Для этого он учит школьников способам и приемам достижения целей выполнения учебных действий; формирует умения, необходимые для реализации поставленных целей; поддерживает возбужденные мотивационные состояния учащихся.

Так, после того, как учениками сформулирована учебная проблема, учитель организует поиск ее решения, который включает в себя два принципиально разных шага. Первый шаг - выдвижение гипотезы. Второй шаг -проверка гипотезы.

Для выдвижения гипотезы и поиска решения учебной проблемы через гипотезы учитель строит диалог - побуждающий или подводящий. Заметим, что побуждающий диалог состоит из отдельных стимулирующих вопросов и предложений учителя, а подводящий - включает посильные ученику вопросы и задания, которые подводят его к открытию мысли.

Коротко этап постановки цели на основе создания проблемной ситуации и ее реализацию можно представить в виде схемы:

Приведем пример фрагмента урока алгебры в 8 классе по теме «Решение иррациональных уравнений» (учебник «Алгебра, 8» А.Г. Мордковича). На уроке учитель обеспечил стремление учащихся самостоятельно поставить цель за счет создания проблемной ситуации и найти выход из этой ситуации, т.е. реализовать цель самими учащимися.

На этапе актуализации знаний педагог проводит фронтальную работу с учащимися по решению следующих заданий:

1) Найдите область допустимых значений выражений:

2) Решите уравнения:

Учащиеся, привлекая имеющиеся знания, при решении уравнения д) получают такие значения переменной: х=0, х=1.

Учитель предлагает проверить полученные значения. Учащиеся делают проверку и недоумевают: мы опирались на известное правило, но х=0 не является корнем. После чего учитель побуждает школьников к формулиро-

ванию учебной проблемы (цели) в виде вопроса: «Как решить данное уравнение?». Итак, цель поставлена самими учениками. Учитель уточняет формулировку цели: «Найти способ решения уравнений, в левой части которых произведение множителей, причем один из множителей - иррациональное выражение, а в правой - нуль». Цель урока принята всеми учащимися.

Затем педагог стимулирует учащихся к выдвижению гипотезы. В случае затруднения он дает подсказку-вопрос: «Почему х=0 не является корнем данного уравнения?». Далее учащиеся пытаются сами сформулировать правило равенства нулю произведения множителей. Учитель систематизирует и обобщает высказывания учащихся. Появляется правило: произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом существует.

Решение уравнения, опираясь на сформулированное правило, выглядит так:

Для того, чтобы представить словесную интерпретацию правила в виде наглядной опоры, учитель предлагает учащимся записать его, используя математическую символику. После обсуждения появляется опора:

В дальнейшем учащиеся используют эту опору для формирования умений решать уравнения вида:

f (х) • g(x) = 0, где f (х), g(x) - выражения, содержащие переменную х.

Заметим, очень важно научить самого ребенка принятию и активной постановке целей. На языке теории учебной деятельности (по В.В. Давыдову) это значит научить ребенка постановке и принятию учебной задачи, которая для него является личностно значимой. В этом случае учение для ребенка становится осознанным, у него складывается привычка длительное время удерживать цели своих действий и подчинять им свое поведение. Ребенок становится целеустремленным, упорным в достижении целей и в преодолении трудностей. В дальнейшем он стремится самостоятельно ставить для себя все новые цели, превращая свои интересы в потребность к учению. Это свидетельствует о том, что школьник становится субъектом своей учебной деятельности.

Гуманитаризация образования

Термин «гуманитарный» происходит от латинского «humanitas», что означает «духовная культура». Смысл гуманитаризации состоит в том, чтобы приобщать ученика к духовной культуре, творческой деятельности, вооружать его методами научного поиска, среди которых особую роль играют эвристические приемы и методы научного познания. Гуманитаризация призвана создавать условия, побуждающие школьника к активной творческой деятельности и обеспечивать его участие в ней.

Гуманитаризация образования направлена на формирование личностной зрелости обучаемых. Говоря о гуманитаризации математического образования, мы подразумеваем такой подход к обучению, который направлен на усвоение личностью гуманитарного знания, гуманитарной культуры, гуманитарного потенциала математики. При этом гуманитаризация предполагает не простое усвоение гуманитарного знания, а овладение особым способом мышления, позволяющим осмысливать возникающие ситуации, быть готовым к диалогу культур, самообразованию и самореализации в системе отношений «человек - мир».

Гуманитаризация школьного математического образования основана на гуманитарной ориентации обучения математике. Гуманитарная ориентация является одним из основных признаков новой концепции и выражается, условно говоря, тезисом «Не ученик для математики, а математика для ученика», означающим усиление акцента обучения математике на личность, на человека.

На уроках математики необходимо формировать систему ценностей, с которой человек вступает в мир. Нужно показывать учащимся, что ценность науки определяется не только тем, что она помогает создавать материальные блага, среди которых мы живем. Для человека, наряду с материальными ценностями, важны интеллектуальные - знания, умения последовательно рассуждать, анализировать факты, обобщать их. Всему этому школьник учится на уроках математики.

В качестве основополагающего принципа новой концепции школьного математического образования в аспекте «математика для каждого» на первый план выдвигается принцип приоритета развивающей функции в обучении математике. Иными словами, обучение математике ориентировано не столько на собственно математическое образование в узком смысле слова, сколько на образование с помощью математики.

В соответствии с этим принципом главной задачей обучения математике становится общеинтеллектуальное развитие - формирование у учащихся в процессе изучения математики качеств мышления, необходимых для полноценного функционирования человека в современном обществе, для динамичной адаптации человека к этому обществу.

Формирование условий для индивидуальной деятельности человека, которая основывается на приобретенных конкретных знаниях для познания

и осознания им окружающего мира средствами математики, является существенной компонентой школьного математического образования.

Гуманитаризация школьного курса математики осуществляется по нескольким направлениям. Раскроем некоторые из них.

1. Восстановление гуманитарных начал математики (использование элементов историзма - знакомство с творцами идей, история возникновения и развития математических теорий, вскрытие философских начал математики, раскрытие духовного назначения математики). При изложении новой темы необходимо рассказывать о возникновении и развитии математики, об области её приложений. Многие математические теории при формализованном изложении кажутся искусственными, оторванными от жизни, просто непонятными. Если же подойти к этим проблемам с позиции исторического развития, то будет виден их глубокий жизненный смысл, естественность, необходимость.

Для формирования мировоззрения у учащихся важно ознакомить их не только с развитием математических идей, но и с биографиями творцов этих идей. В воображении школьников должны предстать живые люди с их прозрениями и ошибками, глубокие мыслители, преданные своему делу, отдающие ему всю жизнь, вступающие друг с другом в споры, смело борющиеся за распространение новых идей, а порой и отступающие, скрывающие под давлением обстоятельств результаты своих исследований. Например, рассказывая школьникам о трудах Галилея, о том, что он претерпел от инквизиции, можно показать, какие гибельные последствия имел разгром школы Галилея для развития науки и техники в Италии. Мысль о том, что гонения на науку приводят к гибельным последствиям, можно продемонстрировать на примере запретов развития кибернетики в нашей стране, что, во многом, привело нас к отставанию в вычислительной технике. Элементы истории математики привлекают внимание школьников, склонных к гуманитарным наукам; придают силы и тем, кто по разным причинам отстает от своих одноклассников и, не зная, как справиться со сложными заданиями, начал терять надежду на дальнейшее успешное обучение по математике.

Вводимый на уроках исторический материал усиливает творческую активность учащихся. Это происходит посредством включения их в поиск новых способов решения интересных исторических задач. Через образы жизни и деятельности великих математиков учитель, уже как воспитатель, имеет возможность познакомить учащихся с самим понятием «творчество», с творчеством в науке, коснуться многих решающих нравственных категорий, связанных с этим процессом.

С помощью исторических примеров на уроке учитель может дать возможность ученикам приходить к формулировке теорем, как бы вновь «открывая» их, давать ученикам возможность искать их доказательство, побуждать в учениках желание самостоятельно выбирать любопытные факты истории, связанные с математическими открытиями, делиться ими со своими

одноклассниками. Все это способствует обучению школьников умению самоопределяться, учиться быть уверенным в своих способностях и отстаивать собственные взгляды и убеждения.

Исторический материал призван повышать уровень грамотности, расширять знания, кругозор учащихся, приучать их мыслить, быть способными принимать решение в сложных жизненных ситуациях.

2. Использование в обучении математике методов, форм и средств, присущих гуманитарным наукам:

а) привлечение материала из гуманитарных дисциплин (стихотворения, музыкальные паузы, репродукции картин, фразы на иностранных языках, изречения, эпиграфы к урокам и т.д.). Например, пропорциональность, симметрию, периодичность мы ощущаем повсюду: в музыке, архитектуре, живописи, кулинарии, медицине, природе. На уроках геометрии можно использовать репродукции Рафаэля («Афинская школа», «Обручение Марии» и т.д.), рисунок Леонардо да Винчи, связавший совершенные геометрические фигуры с пропорциями человека, который стал своеобразным символом синтеза математики и искусства. Велико значение симметрии в природе (например, бабочка «парусник-махаон» - прекрасный пример симметрии в природе, морская звезда - пример живого организма с поворотной симметрией 5-го порядка, этим же типом симметрии обладают цветы незабудки, гвоздики, колокольчиков, вишни и т.д.). На уроках математики можно слушать прекрасную музыку, сообщив при этом, что длины струн музыкальных инструментов строго пропорциональны. Математическая теория музыки пифагорейцев явилась вообще первой теорией музыки в истории. Именно в музыке впервые была обнаружена таинственная направленность роли числа в природе, а родство музыки с арифметикой обогатило музыку методами построения музыкальной гаммы. В математике и музыке существуют одни и те же понятия, которые имеют один и тот же смысл (подобие, сдвиг, равновесие, инверсия, пропорция и т.д.);

б) проведение уроков-сказок, уроков-диспутов, уроков-судебных заседаний, уроков-рассуждений и т.д.

3. Приближение математики в процессе её обучения к человеку и общественному бытию:

а) показ области приложений математических знаний в повседневной практике;

б) применение математических знаний в жизни;

в) показ личностной значимости изучения математики.

Обучение математике - это, в первую очередь, решение задач, которые являются эффективным и часто незаменимым средством гуманитаризации курса математики. Они выступают и как цель, и как средство обучения. Процессуальная сторона решения математической задачи способствует выработке умений и навыков составления математической модели, работы с ней и перевода полученных результатов на язык данной задачи; переносу

сформированных умений в другие предметные области, в том числе и гуманитарные.

Математическое моделирование является одним из методов гуманитаризации содержания школьного математического образования, методом, посредством которого с помощью математики изучается окружающий нас мир.

Для формирования представления о математическом моделировании могут быть использованы преимущественно задачи межпредметного характера. Например, при изучении темы «Производная» в 10 классе можно показать, как с помощью нахождения производной решаются практические задачи по физике на нахождение скорости механического движения, скорости радиоактивного распада, скорости движения жидкости и газа; на нахождение теплоемкости тел при нагревании, мгновенной величины тока и т.п. При изучении темы «Масштаб» целесообразно использовать сведения из географии.

Иллюстрация учебного материала по математике примерами из других учебных дисциплин позволяет раскрыть перед учащимися практическую значимость математики, широкую общность ее выводов, своеобразие отражения математических законов в природе, производстве.

Задачи прикладного и практического характера могут быть использованы на уроках математики:

- для мотивации введения новых математических знаний;

- иллюстрации значимости учебного материала;

- закрепления и углубления знаний.

Такие задачи повышают познавательный интерес у учащихся, раскрывают приложение математики в смежных дисциплинах, знакомят учеников с методами решения задач, применяемых на практике, не используемых в школе, но доступных для их понимания.

4. Осуществление языковой деятельности на уроках математики. Этот вид деятельности включает:

- работу над этнологией математических терминов;

- знакомство с историей русской математической терминологии;

- работу с математическими знаками, знакомство с историей их возникновения;

- формирование умений читать математические тексты (расстановка логического ударения, лексическая работа с текстом, грамматический анализ текста).

5. Предоставление возможности реализации индивидуальных способностей учащихся через разнообразные виды творчества и стимулирование их самостоятельного творчества:

а) введение творческих, исследовательских работ для всех;

б) разработка и внедрение в практику индивидуальных заданий, учитывающих особенности развития ребенка;

в) систематичность и разнообразие внеклассной работы.

Задача учителя - развернуть перед взором школьников спектр разнообразных видов деятельности, отвечающих их интересам и возможностям, и особо поощрять самостоятельные поиски, самостоятельное творчество.

Учитель должен помочь ученику узнать свои способности, увлечь и поддержать, показать ему результат его творчества, перспективы роста. Установка на реализацию роста - это и есть движущая сила самосовершенствования.

Информатизация образования

Под информатизацией образования подразумевается, с одной стороны, организованный процесс, направленный на реализацию возможностей средств информационных и коммуникационных технологий (ИКТ), с другой, - новая область педагогического знания, которая позволяет решать задачи саморазвития личности обучаемого в условиях массовой коммуникации и глобализации современного информационного общества. Под информационно-коммуникационными технологиями мы понимаем совокупность знаний, методов и средств, помогающих создавать, обрабатывать, хранить, выводить, искать и передавать информацию в компьютерных сетях.

Переход к информатизации образования ставит перед школой новые задачи: 1) корректировка содержания образования с учетом особенностей информатизации общества; 2) совершенствование методов, средств обучения и способов организации деятельности учащихся на основе использования ИКТ; 3) информатизация управления образовательным процессом.

Для решения обозначенных задач необходимо преодолеть отставание от запросов современной жизни, а это значит, что в подготовке учеников необходимо учитывать не только проблемы и потребности сегодняшнего дня, но и те, что появятся в будущем. Поэтому в школе нужно учить не просто использованию средств ИКТ, а формировать информационную культуру личности учащегося. Решение перечисленных задач возможно при условии создания в школе информационно-образовательной среды, которая является составной частью единой информационно-коммуникационной среды, организуемой в рамках образовательного учреждения. Отдельно можно выделить информационно-коммуникационную предметную среду, в рамках которой и происходит процесс изучения учебных предметов (в частности, изучение математики).

Информационно-коммуникационную предметную среду создают учебные материалы нового поколения (УМНП): цифровые образовательные ресурсы, информационные источники сложной структуры, инновационные учебно-методические комплексы.

Соотношение понятий, включенных в понятие «информационно-коммуникационная среда», графически показано на схеме:

Подводя итог вышесказанному, необходимо подчеркнуть: современные тенденции развития школьного образования (гуманизация, гуманитаризация, информатизация) требуют разработки модели создания и использования такой информационно-коммуникационной среды в школе, которая обеспечивала бы формирование и развитие у учащихся вначале учебной деятельности, а затем образовательной.

Библиографический список

1. Давыдов В.В., Слободчиков В.И., Цукерман Г.А. Младший школьник как субъект учебной деятельности // Вопросы психологии. - 1992. - № 3-4.

2. Дорофеева А.П. Гуманитарные аспекты преподавания математики // Математика в школе. - 1900.-№ 1,2.

3. Каплунович В.Я. Гуманизация обучения математике, некоторые подходы // Педагогика. - 1999. -№ 1.

4. Маркова А.К., Матис Т.А. Формирование мотивации учения. - М., 1990.

5. Мейдер В.А. Концепция гуманизации и гуманитаризации образования: сущность, направления, проблемы. - Волгоград: Изд-во Волгоградского государственного университета, 1998.

6. Мельникова Е.Л. Проблемный урок, или Как открыть знания с учениками: Пособие для учителя. - М., 2002.

7. Роберт И.В. Основные направления процесса информатизации образования в отечественной школе // № 6. - 2006. - с. 19-27.

8. Самойлик Г.А. Использование исторического материала в обучении // Математика. Приложение к газете «Первое сентября». - 2001. -№ 20.

9. Саранцев Г.И. Гуманизация математического образования // Математика в школе. -2004.-№ 5.

10. Сенько Ю.В. Гуманитарные основы педагогического образования. - М., 2000.

11. Турченко В.Н. Современные идеи гуманизации и гуманитаризации образования на уроках математики. Возможно ли это? // Математика в школе. - 2001. - № 4.

12. Юнина Е.А. Парадигма образования: сущность и технологии // Школьные технологии. - 2005. - №2.

ПРИМЕРЫ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ДЛЯ ОБУЧЕНИЯ УЧАЩИХСЯ СРЕДНИХ ШКОЛ МЕТОДУ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

Т.И. Ковтунова

Согласно современному стандарту одной из целей обучения математике учащихся средних общеобразовательных школ является формирование представлений о математических методах познания действительности. Обучение учащихся методу математического моделирования осуществляется, главным образом, посредством решения текстовых задач на составление уравнений, неравенств и их систем, задач на оптимизацию, задач с практическим содержанием по разным темам школьного курса математики. Основное внимание при этом уделяется этапам формализации и интерпретации. Как правило, именно с определением параметров модели связаны значительные затруднения учащихся.

Соответствующую подготовку можно проводить в рамках внеклассной работы по математике, элективных курсов. Приведем пример математических задач, с помощью которых можно формировать у учащихся умения, необходимые для осуществления формализации и интерпретаций в процессе моделирования [2].

Сформулируем общую математическую задачу. В условии задана величина, значение которой изменяется определенным образом, известны некоторые значения величины. Требование задачи связано с возможными значениями величины, характером ее изменения. Например, значение величины с каждой операцией изменяется одинаково, то есть величина от количества операций зависит линейно f{n) = а + Ъ-п, где а - известное значение величины, Ъ - ее изменение за одну операцию, п - количество операций, в этом случае дальнейшее решение задачи может сводиться к решению уравнения.

Согласно поставленной учебной задаче формирования умений формализации данных задачи и интерпретации результатов внутримодельного решения в ходе работы над сформулированными математическими задачами необходимо ориентировать учащихся на нахождение величин, имеющих место в задаче, связей между этими величинами.

Примеры задач.

1. Шоколадка разделена бороздками на 24 дольки, на которые ее надо разломить. За один ход можно разломить саму шоколадку или любой из уже получившихся кусков вдоль одной бороздки. Какое наименьшее число необходимых разломов нужно сделать?

Ответ: 23 разлома.

Учащиеся обычно приводят пример разламывания шоколадки. В этом случае дальнейшая работа по задаче может состоять в следующем. 1) Выдвижение гипотезы: способ разламывания неважен.

2) Проверка гипотезы. Проводим эвристическую беседу:

- Разламываем шоколадку, что при этом изменяется?

- Количество кусочков.

- Разламывание шоколадки можно охарактеризовать двумя величинами: количество разломов и количество кусочков. Эти величины связаны между собой?

- С каждым разломом количество кусочков увеличивается на 1.

- В начале 1 кусочек, в конце 24. Значит, необходимо 23 разлома.

Можно записать зависимость количества кусочков от количества разломов в виде формулы f(n) = \ + n. Количество разломов находим из уравнения 24 = 1 + п.

2. В соревнованиях по теннису участвуют 20 игроков. Каждый теннисист выбывает из турнира после первого поражения. Сколько следует провести встреч, чтобы выявить победителя?

Ответ: 19 встреч.

3. На столе лежит куча из 1001 камня. Ход состоит в том, что из какой-либо кучи, содержащей более одного камня, выкидывают камень, а затем одну из куч делят на две. Можно ли через несколько таких ходов оставить на столе только кучки, состоящие а) из трех камней; б) из пяти камней?

а) Количество куч зависит от количества ходов: через п ходов будет 1 + л? куч. Количество камней зависит от количества ходов: через п ходов останется 1001 — л? камень.

Поскольку в каждой куче по три камня, то всего камней 3 • (l + п) или 1001 — л? камень. Получили уравнение 3 • (l + п) = 1001 - п. Натуральных решений это уравнение не имеет, поэтому нельзя.

б) Можно. Всякий раз отделяем кучу из пяти камней.

4. Шеренга новобранцев стояла лицом к сержанту. По команде «налево» некоторые повернулись налево, некоторые направо, а остальные кругом. Всегда ли сержант может стать в строй так, чтобы с обеих сторон от него оказалось поровну новобранцев, стоящих к нему лицом?

В какое место строя сержант бы ни встал, его положение можно охарактеризовать двумя величинами: число новобранцев, смотрящих на него справа, и число новобранцев, смотрящих на него слева.

Поставим сержанта на крайние позиции.

С одного края строя число новобранцев, смотрящих на него слева, равно нулю, а справа -п, п е N.

С другого края строя число новобранцев, смотрящих на него слева, равно m, m е N, а справа - 0.

Будем перемещать сержанта с одного края на другой. При переходе через очередного новобранца либо число смотрящих на сержанта справа уменьшается на 1, либо число смотрящих на него слева увеличивается на 1,

либо эти количества не изменяются (или наоборот, если перемещаем сержанта в противоположном направлении).

Разность между смотрящими справа и смотрящими слева при этом уменьшается на 1 или не изменяется.

С одного края строя эта величина больше нуля, с другого - меньше нуля. Значит, в каком-то месте строя она равна нулю, а количество новобранцев, смотрящих на сержанта справа, равно количеству новобранцев, смотрящих на него слева.

5. Семерка, Пятерка и Двойка Пик перекрашивали розы в саду Червонной Королевы: красные - на белые, белые - на красные. Докажите, что был момент, когда число натуральных красных роз было равно числу окрашенных красных роз. (В любой момент перекрашивали только одну розу. Каждую розу перекрашивали ровно один раз.)

Любой момент времени можно охарактеризовать двумя величинами: количество натуральных красных роз и количество окрашенных красных роз.

Пусть изначально количество красных роз равно п, а количество белых роз - т.

В начале работы количество натуральных красных роз равно п, а количество окрашенных красных роз равно нулю.

В конце работы количество натуральных красных роз равно нулю, а количество окрашенных красных роз - т.

С каждой перекрашенной розой либо количество натуральных красных роз уменьшалось на 1, либо количество окрашенных красных роз увеличивалось на 1.

Разность натуральных красных роз и окрашенных красных роз при этом уменьшается на 1.

В начале эта разность положительна, в конце отрицательна, поэтому однажды она была равна нулю, а количество натуральных красных роз было равно количеству окрашенных красных роз.

6. Лист бумаги разрезали на 4 части. Затем некоторые или все из этих частей опять разрезали на 4 части и т.д. Можно ли в результате получить 50 листочков любого размера?

Количество кусочков зависит от количества операций. С каждой операцией количество листочков увеличивается на число, кратное трем. Значит, число 50-1=49 должно делиться на 3, а это не так. Поэтому нельзя.

Или количество кусочков всегда дает остаток 1 при делении на 3, а 50 дает остаток 2.

7. На доске написаны четыре числа. Разрешается выбрать любые два из них, прибавить к ним по единице и записать полученные числа вместо выбранных. Можно ли с помощью таких операций из чисел а) 2, 0, 0, 7; б) 2, 0, 0, 8 получить четыре равных числа?

а) Способ 1. С каждой операцией сумма всех чисел увеличивается на два. Через п ходов сумма равна 9 + 2п. Сумма четырех одинаковых чисел есть четное число, а 9 + 2п выражает нечетное число.

Способ 2. Пусть в конце эти числа равны а. К первому числу нужно прибавить а-2 единицы, ко второму и к третьему по а-0 единиц, к третьему а-1 единиц. Всего нужно добавить а-2 + 2а + а — 1 = 4а-9 единиц. За одну операцию прибавляем по единице дважды, значит, 4а-9 должно делиться на 2, а это не так.

б) Можно. Сначала прибавляем по единице ко второму и к третьему числам до тех пор, пока не получим 2, 5, 5, 8. Затем прибавляем по единице к первому и ко второму числам, пока не получим 5, 8, 5, 8. Затем прибавляем по единице к первому и к третьему числам, пока не получим восьмерки.

8. В вершинах куба расставлены числа: семь нулей и одна единица. За один ход разрешается прибавить по единице к числам в концах любого ребра, а) Можно ли добиться того, чтобы все числа стали равными? б) Можно ли добиться, чтобы все числа делились на три?

а) С каждой операцией сумма всех чисел увеличивается на два. Через п ходов сумма равна \ + 2п. Сумма восьми одинаковых чисел есть четное число, а 1 + 2п выражает нечетное число.

б) Вершины куба можно разбить на две группы так, что никакие две вершины из одной группы не принадлежат одному ребру. С каждой операцией добавляется по единице к сумме чисел каждой группы. Через п операций сумма чисел одной группы равна п, а другой \ + п. Остатки от деления на 3 этих сумм разные, а если каждое число делится на 3, то остатки этих сумм равны нулю, то есть одинаковые. Поэтому нельзя.

9. На подносе стоят 16 стаканов: 15 правильно и 1 перевернутый. Разрешается за один ход перевернуть любые 4 стакана. Можно ли за конечное число таких переворачиваний добиться того, чтобы все стаканы стояли правильно?

Каждый раз количество правильно стоящих стаканов либо не изменяется, либо изменяется на 2, либо на 4. Поэтому, если в начале нечетное число правильно стоящих стаканов, то это число всегда остается нечетным. Если в начале четное число правильно стоящих стаканов, то это число всегда остается четным. Так как в начале 15 правильно стоящих стаканов, то 16 получиться не может.

10. В банке лежат белые и черные зерна. Мы наугад достаем два зерна. Если зерна одного цвета, то мы их выбрасываем, а в банку добавляем черное зерно. Если зерна разного цвета, то черное выбрасываем, а белое кладем обратно. В конце концов, осталось одно зерно. Какого оно цвета, если известно исходное число белых зерен?

Каждый раз количество белых зерен либо уменьшается на 2, либо не изменяется. Значит, сохраняется четность количества белых зерен. Таким образом, если в начале четное количество белых зерен, то останется чер-

ное зерно, а если в начале нечетное количество белых зерен, то останется белое зерно.

11. Дана шахматная доска. Разрешается перекрашивать в другой цвет сразу все клетки какой-нибудь горизонтали или вертикали. Может ли при этом получиться доска, у которой ровно одна черная клетка?

Каждый раз количество черных клеток либо не изменяется, либо изменяется на 2, либо на 4, либо на 6, либо на 8, поэтому сохраняется четность количества черных теток. 32 и 1 дают разные остатки от деления на 2, поэтому нельзя.

12. У Змея Горыныча 1000 голов. Сказочный богатырь может отрубить ему одним ударом меча 33, 21,17 или 1 голову, но при этом у Змея вырастают в замену соответственно 48, 0, 14 или 349 голов. Если отрублены все головы, то новые не вырастают. Может ли богатырь победить Змея?

Каждый раз количество голов Змея изменяется на число, кратное трем. Значит, какой остаток от деления количества голов на 3 был в начале, такой будет всегда. 1000 дает остаток 1. Количество голов Змея при делении на 3 всегда будет давать остаток 1. Ноль дает остаток 0. Поэтому нельзя.

13. На а) 7 елках сидят 7 чижей, б) 6 елках сидят 6 чижей, на каждой елке по одному. Елки растут в ряд с интервалом 10м. Если какой-то чиж перелетает с одной елки на другую, то другой чиж обязательно перелетает на столько же метров, но в обратном направлении. Могут ли все они собраться на одной елке?

а) Могут. Все чижи собираются на центральной елке. Перелетают парами с равноудаленных елок.

б) Пронумеруем елки: 1, 2, 3, 4, 5, 6. При данном преобразовании сумма номеров елок, на которых сидят чижи, не изменяется, то есть она всегда равна 1+2+3+4+5+6=21. Пусть все чижи собрались на елке с номером а. Тогда сумма номеров равна 6а. Получили уравнение 6а=21, которое не имеет натуральных решений.

14. Круг разделен на 6 секторов. В каждом секторе стоит по фишке. Разрешается за один ход какие-нибудь две фишки передвинуть в соседние с ними сектора. Можно ли с помощью таких операций собрать все фишки в одном секторе?

Пронумеруем сектора. При данном преобразовании не изменяется четность суммы номеров секторов, на которых стоят фишки. В начале эта сумма 1+2+3+4+5+6 - нечетная. Она всегда будет нечетной. В конце 6а - четная.

15. Фишка ходит по квадратной доске, каждым своим ходом сдвигаясь либо на клетку вверх, либо на клетку вправо, либо по диагонали вниз-влево. Может ли она обойти всю доску, побывав на всех полях ровно по одному разу, и закончить на поле, соседнем справа от исходного?

Введем на доске систему координат, пронумеровав тетки по горизонтами и по вертикали. Каждый раз остаток от деления на 3 суммы координат фишки увеличивается на 1 (...^>1^>2^>0^>1^>2^>0^>...). Чтобы обойти всю доску, побывав на каждом поле ровно один раз, нужно сделать п2 -1 ход (размер доски пхп). На клетке соседней справа от исходной остаток от деления на 3 на один больше, чем на исходной. Значит, после предыдущего хода он был равен остатку на исходной клетке. Для этого нужно сделать количество ходов кратное трем. Однако п2 -2 не делится на 3 ни при каком натуральном п:

16. В парламенте у каждого его члена не более 3-х врагов. Докажите, что парламент можно разбить на две палаты так, что у каждого парламентария в одной с ним палате будет не более одного врага (Считается, что если А враг В, то В враг А).

Каждой рассадке парламентариев по двум палатам соответствует единственное число - суммарное количество пар врагов, оказавшихся в каждой палате. Рассадим парламентариев как-нибудь. Посмотрим, как изменяется суммарное количество пар врагов при переходе к другой рассадке. Переходить к другой рассадке будем так: если у парламентария в одной с ним палате оказалось два или три врага, то пересадим его в другую палату, в ней у него не более одного врага. При этом преобразовании суммарное количество пар врагов уменьшается. То есть функция суммарного количества пар врагов от количества операций монотонно убывающая. Величина «суммарное количество пар врагов» принимает конечное число значений. Значит, однажды будет достигнуто то значение, которое соответствует требуемой рассадке. Если требуемая рассадка еще не получена, то возможен переход к новой рассадке.

17. Задано несколько красных и несколько синих точек. Некоторые из них соединены отрезками. Назовем точку «особой», если более половины из соединенных с ней точек имеют цвет, отличный от ее цвета. Особые точки разрешено перекрашивать: на каждом шагу выбирается особая точка и перекрашивается в другой цвет. Докажите, что через несколько шагов не останется ни одной особой точки.

Каждой раскраске точек соответствует единственное число - количество отрезков с разноцветными концами. С каждым шагом количество отрезков с разноцветными концами уменьшается. Величина «количество отрезков с разноцветными концами» принимает конечное число значений. Значит, однажды будет получено то значение, которое соответствует требуемой раскраске. Если раскраска еще не требуемая, то есть особая точка и ее можно перекрасить.

18. Докажите, что любые 2п точек на плоскости являются концами п непересекающихся отрезков.

Любому варианту соединения точек отрезками соответствует единственное число - сумма длин всех отрезков. Соединим точки отрезками как-нибудь. Если получилось пересечение, то исправим (рис. 1). При этом сумма длин отрезков уменьшается (неравенство треугольника). Величина «сумма длин всех отрезков» принимает конечное число значений. Значит, однажды будет получено то значение, которое соответствует требуемому варианту соединения точек отрезками. Если еще какие-то отрезки пересекаются, то можно выполнить операцию и перейти к новому варианту соединения точек отрезками.

19. На плоскости дано п точек, никакие 3 из которых не лежат на одной прямой, и п прямых, никакие 2 из которых не параллельны. Докажите, что из этих точек можно опустить попарно не пересекающиеся перпендикуляры на эти прямые так, чтобы на каждую прямую был опущен ровно один перпендикуляр.

Каждому варианту соответствует единственное число - сумма длин всех перпендикуляров. Опустим перпендикуляры как-нибудь. Если где-то получилось пересечение, то исправим (рис.2). При этом сумма длин перпендикуляров уменьшается (перпендикуляр и наклонная, неравенство треугольника). Величина «сумма длин всех перпендикуляров» принимает конечное число значений. Значит, однажды будет получено то значение, которое соответствует требуемому варианту проведения перпендикуляров. Если еще какие-то перпендикуляры пересекаются, то можно выполнить операцию и перейти к новому варианту проведения перпендикуляров.

20. При дворе короля Артура собрались 2N рыцарей, причем каждый из них имеет среди присутствующих не более N-1 врага. Докажите, что Мерлин, советник Артура, может так рассадить рыцарей за Круглым Столом, что ни один из них не будет сидеть рядом со своим врагом.

Рис. 1

Рис. 2

Каждой рассадке рыцарей соответствует единственное число - суммарное количество пар врагов соседей. Рассадим рыцарей как-нибудь. Пересаживать рыцарей будем следующим образом. Выберем пару врагов соседей -рыцарей А и В (рис. 3). Затем найдем рыцаря С - друга рыцаря В, слева от которого сидит рыцарь D - друг рыцаря А. Такой рыцарь С обязательно найдется иначе у А более, чем N-1 враг (слева от каждого друга В, а их больше, чем N-1, сидит враг А). Развернем часть стола так, что В окажется рядом с С, А - рядом с D. Остальные пары не изменятся. Количество пар врагов при этом уменьшается. Величина «суммарное количество пар врагов соседей» принимает конечное число значений. Значит, однажды будет получено то значение, которое соответствует требуемому варианту рассадки рыцарей. Если еще какие-то враги сидят рядом, то можно выполнить операцию и перейти к новому варианту рассадки.

Материал статьи может быть полезен при подготовке дополнительных занятий с учащимися, проявляющими интерес к математике, разработке элективного курса по теме «Функции и их свойства».

Рис. 3

Библиографический список

1. Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В. Ленинградские математические кружки. -Киров, 1994.-270 с.

2. Егорченко И.В., Гришакина Т.В. Особенности процесса формализации и осуществления интерпретаций в обучении математике // Современное образование: научные подходы, опыт, проблемы, перспективы: Материалы Всероссийской научно-практической конференции / Под ред. М.А. Родионова. - Пенза, 2005. - С.62-64.

3. Каннель-Белов А.Я., Ковальджи А.К. Как решают нестандартные задачи. - М: МЦНМО, 2004. - 96с.

КРАТКИЙ ОБЗОР ПРОГРАММНЫХ СРЕДСТВ В ПОМОЩЬ ШКОЛЬНОМУ УЧИТЕЛЮ

Е.А. Курилина

Информационные технологии, вторгшиеся в современную жизнь, меняют наше представление о мире знаний и самих себе. Осмысление воздействий этих изменений на сферу образования - задача отнюдь не простая, но насущная.

Сейчас молодой человек не может считаться подготовленным к жизни, функционально грамотным, если он не умеет обращаться с прикладными программами и работать в глобальных компьютерных сетях. Комизм нынешней образовательной ситуации состоит в том, что большая часть учителей не владеет этими навыками, т.е. по существу не может быть отнесена к числу функционально грамотных людей, а компьютерная грамотность учеников в государствах СНГ куда выше, чем у большинства учителей-предметников.

Отсюда вытекает проблема: как обеспечить внедрение компьютерных технологий в процесс обучения, если сами учителя не обладают для этого необходимым уровнем знаний?

Рассмотрим некоторые педагогические программные средства, которые дадут педагогам не только представление о возможностях программных средств ИТО, создаваемых профессионалами разработчиками, но и позволят реализовать свои методические находки в электронном виде, не требуя навыков программирования.

В настоящее время существует огромное множество обучающих программ по самым разным предметам, ориентированных на самые различные категории учащихся. Но все же можно выделить основных четыре типа обучающих программ.

1) программы-тренажеры и контролирующие программы;

2) наставнические;

3) имитационные и моделирующие;

4) развивающие игры.

Программы-тренажеры предназначены для закрепления умений и навыков, а также для самоподготовки обучаемых. Разработка подобных программ требует небольших затрат педагогического и программистского труда, поэтому они довольно многочисленны и достаточно разнообразны по тематике. Применение в учебном процессе освобождает преподавателя от рутинной работы и позволяет интенсифицировать его деятельность по организации самостоятельной работы учащихся.

Контролирующие программы предназначаются для контроля определенного уровня знаний и умений. Затруднения, которые испытывают преподаватели при традиционных способах контроля усвоения знаний, можно

частично или полностью устранить при использовании ПК. Контролирующие программы можно использовать на различных этапах учебного занятия, а также при текущем, тематическом и итоговом контроле знаний по любому предмету.

Наставнические программы предназначены для наглядной демонстрации учебного материала описательного характера. Задачи и вопросы служат в этих программах для организации человеко-машинного диалога, для управления ходом обучения. Так, если ответы, даваемые учеником, неверны, программа может «откатиться назад» для повторного изучения теоретического материала.

Имитационно-моделирующие программы основаны на графически-иллюстративных возможностях, с одной стороны, и вычислительных, с другой, и позволяют осуществить компьютерный эксперимент. Эти программы предназначены для имитации различных объектов, явлений, и предоставляют ученику возможность наблюдать на экране дисплея некоторый процесс, влияя на его ход подачей команды с клавиатуры, меняющей значения параметра.

Развивающие игры предоставляют в распоряжение ученика некоторую воображаемую среду, существующий только в компьютере мир, набор каких-то средств и возможностей их реализации. Использование предоставляемых программой возможностей, связанных с изучением мира игры и деятельностью в этом мире, приводит к развитию обучаемого, формированию у него познавательных навыков, самостоятельному открытию им закономерностей, отношений объектов действительности, имеющих всеобщее значение.

Отдельным пунктом в обучающих программах можно и нужно выделить электронный учебник. Всем известно, что одним из важнейших средств обучения является учебник. Электронный его вариант имеет ряд преимуществ: дает возможность быстро найти нужное место в большом объеме информации, позволяет преподавателю разделить материал на фрагменты, соединив их гиперссылками в логические цепочки, помогает лучше иллюстрировать изучаемый материал благодаря применению мультимедиа, дает возможность оперативно обновлять и дополнять учебный материал, формировать банк материалов по изучаемому курсу. Таким образом, электронный учебник сочетает в себе черты всех перечисленных выше типов обучающих программ и в обучении решает ряд задач:

о обеспечение самостоятельной работы обучаемых по овладению новым материалом;

о реализация дифференцированного подхода к учебной деятельности; о реализация контроля качества обучения и т.д.

Для решения перечисленных задач в электронный учебник возможно включение следующих электронных учебных материалов: о учебные и рабочие программы,

о хрестоматии,

о энциклопедии и словари,

о сборники задач и упражнений,

о вопросы и тесты для самопроверки,

о программы для проведения контроля качества обучения и развития обучаемых,

о моделирующие программы для проведения компьютерных экспериментов и т.д.

Описанный электронный учебник достаточно легко создается средствам программы Help&Manual.

Эта программа обладает достаточно простым пользовательским интерфейсом, что позволяет работать с ней даже непрофессионалам. С ее помощью возможно создание электронных учебников, имеющих, с одной стороны, стандартный и привычный для пользователей операционной системы Windows интерфейс, с другой же - позволяющих создать эффективную среду обучения.

Особую актуальность для преподавателей школ и вузов приобретают программы для создания компьютерных тестов - тестовые оболочки. Подобных программных средств существует множество. Однако наиболее часто в учебном процессе применяются программы Test Master и «Конструктор тестов», поскольку распространение в школе других тестовых оболочек ограничивается их высокой стоимостью. Как следует из теории, тест может быть эффективным, если он удовлетворяет определенным требованиям. Прежде всего, тест должен быть валидным, надежным и обеспечивать дискриминативность.

Тестовые оболочки «Test Master» и «Конструктор тестов» обеспечивают работу с различными типами вопросов: вопросы закрытого типа с одиночным и множественным выбором варианта ответа, вопросы с вводом ответов с клавиатуры, вопросы на выяснение соответствия; установка последовательности правильных ответов (для «Конструктора тестов»), вопросы с указанием области на рисунке (для Test Master). Кроме того, Test Master и «Конструктор тестов» выводят оценку в баллах после ответа на каждый вопрос, что дает возможность преподавателю оценить результаты тестирования тех студентов, которые не успели выполнить все тестовые задания, при оценке знаний учитывается степень важности вопроса, уровень усвоения учебного материала, уровень осознанности материала обучаемым и уровень научности учебного материала.

В состав любой из этих систем входят:

1) подсистема, позволяющая вводить и редактировать вопросы создаваемого теста;

2) подсистема диалогового обучения, содержащая различные интерпретаторы, обеспечивающие диалог с обучаемыми;

3) подсистема сбора и обработки результатов обучения (статистика) -совокупность программ, обеспечивающих вывод на печать вопросников и различной информации, помогающей преподавателю оценить качество обучения с помощью автоматизированных обучающих систем (АОС).

Типы компьютерных тестовых заданий определяются способами однозначного распознавания ответных действий тестируемого:

1) типы тестовых заданий по блоку «знания» предполагают наличие следующих типов вопросов: альтернативные (требуют ответа да - нет), с выбором (ответ из набора вариантов), информативные на знание фактов (где, когда, сколько), на знание фактов, имеющих формализованную структуру (в виде информационной модели или схемы знаний), по темам, где имеются однозначные общепринятые знаковые модели: математические формулы, законы, предикативные представления, таблицы;

2) типы тестовых заданий по блоку «навыки» (распознавание деятельности: манипуляции с клавиатурой; по конечному результату), содержащие задания на стандартные алгоритмы (альтернативные да - нет, выбор из набора вариантов) и выполнение действия;

3) типы тестовых заданий по блоку «умения». Те же самые, что навыки, но использующие нестандартные алгоритмы и задачи предметной области при контроле времени их решения.

Наиболее важным условием правильного проведения тестирования является предварительная подготовка. При тестировании не должны возникать непредвиденные обстоятельства, поэтому нужно принять специальные меры для того, чтобы заранее предупредить возникновение возможных случайностей. Только так можно обеспечить единообразие процедуры тестирования. Важным предварительным шагом является подготовка тестовых материалов. Как правило, материалы должны располагаться на столе, вблизи места тестирования таким образом, чтобы они были легко доступны проводящему тест, но не отвлекали внимание обследуемого. При проведении группового тестирования, все тестовые бланки, листы для ответов, специальные карандаши и др. материалы заранее должны быть тщательно проверены, пересчитаны и разложены на рабочих местах испытуемых. Стандартизация затрагивает не только словесные инструкции, время выполнения заданий, материалы и другие аспекты самих тестов, но и обстановку тестирования. Определенное внимание нужно уделять выбору подходящего для тестирования помещения. Оно должно быть изолировано от чрезмерного шума и всего того, что отвлекает внимание, организовать удобные рабочие места для испытуемого, следует принять также специальные меры, предотвращающие прерывание тестирования.

Использование данных педагогических программных средств в обучении дает возможность: наглядно представлять изучаемый учебный материал, индивидуализировать и дифференцировать процесс обучения за счет возможности изучения с индивидуальной скоростью усвоения материала;

осуществлять контроль с обратной связью, с диагностикой ошибок и оценкой результатов учебной деятельности, а также осуществлять самоконтроль и самокоррекцию, тренировку в процессе усвоения учебного материала. Таким образом, рассмотренные в статье программные системы являются для педагога простыми, надежными и эффективными средствами создания образовательных электронных ресурсов профессионального уровня.

Библиографический список

1. Аванесов В.С. Научные проблемы тестового контроля знаний. - М, 1994.

2. Могилев А.В., Пак Н.И., Хеннер Е.К. Информатика: Учебное пособие для студентов педагогических вузов. - М.,1999.

3. Наумов С.В. Разработка программных педагогических средств // Информатика и образование, 1999. -№3. - С.36- 40.

4. Селевко Г.К. Современные образовательные технологии. - М.: Народное образование, 1998.

5. CD: Конструктор тестов. Универсальная программа для контроля знаний, 1999 - 2004.

6. Анастази А. Психологическое тестирование: Книга 2; Пер. с анг. / Под ред. К.М. Гуревича, В.И. Любовского. - М.; Педагогика.

7. Акимова М.К., Гуревич К.М. Психологическая диагностика: Учебник для вузов. -СПб.: Питер, 2005.

8. Практическая психология в тестах, или как научиться понимать себя и других. -М.: ACT-ПРЕСС КНИГА, 2003.

УРОВНЕВЫЕ УЧЕБНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ПО МАТЕМАТИКЕ КАК СРЕДСТВО ОСУЩЕСТВЛЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИРОВАННОГО ОБУЧЕНИЯ

В.В. Малиновский

Социально-экономические процессы в современном обществе усиливают актуальность решения традиционно стоящей перед школьным образованием задачи воспитания активной, творчески мыслящей личности. На первый план выдвигается реализация идеи интеллектуально-развивающего обучения. Указанное требует организации учебной деятельности школьников с учетом их индивидуальных особенностей, возможностей, склонностей, желания, что невозможно без дифференциации процесса учения школьников. Более того, именно дифференциация является основой практического воплощения в практику работы школы идеи личностно-ориентированного обучения, значение которого в современных условиях возрастает. Одним из инструментов реализации дифференцированного обучения школьников могут стать уровневые учебные материалы.

Поскольку уровневая дифференциация является неотъемлемой частью профильной дифференциации, то, естественно, что для каждого профиля преподавания могут быть свои уровневые учебные материалы. Однако мы

первоначально установим требования, присущие любым уровневым материалам, а затем укажем на некоторые особенности, накладываемые на такие материалы для специализированных классов.

Уровни изложения материала. Уровень изложения следует отличать от уровня усвоения (изучения) материала. Уровень усвоения материала учеником - это фактические знания и умения, которые ученик получил при изучении какого-либо раздела. Очевидно, что уровень изложения и уровень усвоения материала могут не совпадать.

С указанных позиций уровень изложения материала может изначально задаваться программой, и тогда мы получим уровни изложения материала, определяющие профильную дифференциацию. Аналогично, одни и те же вопросы математики можно изложить с разной степенью точности, научности, эвристичности, различать их по подбору упражнений и пр., и тогда мы получим уровни изложения материала, определяющие уровневую дифференциацию. Не исключено, что ученик, изучая математику на общеобразовательном уровне, может усвоить материал на уровне, предусмотренном для учеников, изучающих математику на более высоком уровне, и наоборот. Получаем, что, исходя из уровня усвоения материала, для уровневой дифференциации мы должны рассматривать уровни изложения материала, относящиеся как к уровневой дифференциации, так и к профильной.

Из сказанного следует, что для профильной дифференциации уровень изложения материала определяется программой, а для уровневой дифференциации — уровни изложения материала, имея единое содержание, заданное программой, есть различная степень погружения в материал, различный подбор фактического материала, различная степень строгости изложения и пр.

В настоящее время существуют различные подходы к подразделению учебного материала на уровни. В частности, В.Г. Болтянским и Г.Д. Глейзером в [2] указывается на необходимость выделения следующих уровней: общекультурного, прикладного, творческого. В ряде работ предлагается следующая классификация: базовый, повышенный, углубленный. Указанные классификации не противоречат друг другу, а лишь отражают суть задач, которые авторы ставят и решают, излагая материал на определенном уровне, и соответствуют различным видам дифференциации. Однако во всех классификациях указывается на необходимость выделения трех уровней, что соответствует выявленным практикой трем основным степеням подготовленности учеников (трем основным типологическим группам учеников). Отметим также, что И.Я. Лернер в [5] выделяет три этапа усвоения нового материала и на основе этого — три уровня усвоения знаний: 1) восприятие, понимание, запоминание материала и готовность к опознанию объекта и воспроизведению знаний о нем; 2) готовность к применению знаний по образцу и в сходных ситуациях; 3) готовность к творческому применению знаний в новых, незнакомых ситуациях. Если считать, что указанные уровни

усвоения знаний будут последовательно достигаться при изучении учениками материала, изложенного на различных уровнях (при уровневой дифференциации), то снова получаем необходимость трех уровней изложения материала.

Далее мы также будем полагать, что учебный материал следует излагать, исходя из трех уровней.

В психологии [6, с. 592] рассматриваются два вида мотивов: мотив достижения успеха - как потребность человека добиться успехов в различных видах деятельности, особенно в ситуациях соревнования с другими людьми; и мотив избегания неудач - как стремление человека в любой ситуации действовать так, чтобы избежать неудачи, особенно там, где результаты его деятельности воспринимаются и оцениваются другими людьми. Исходя из наличия