Я. А. Шор

Преподаватель Московского педагогического училища № 1 имени К. Д. Ушинского

ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА В КУРСЕ IV КЛАССА

о втором полугодии нынешнего учебного года вводится новая тема «Целые числа», на изучение которой отводится значительное время— 60 часов.

Введение новой большой темы и включение в нее ряда новых моментов ставит перед собой задачи: а) создать преемственность между курсами арифметики IV и V классов; б) поднять, в доступных для учащихся данного возраста пределах, теоретический уровень изучения арифметики в начальной школе; в) дать материал по данной теме тогда, когда ученики уже накопили значительное число математических фактов, подготавливающих возможность обобщений, и как можно ближе к периоду перехода в V класс.

Преемственность курсов арифметики в IV и V классах является одним из наиболее острых вопросов. Почти десять лет прошло с того периода, когда обсуждение преемственности широко развернулось на страницах нашего журнала, но этот вопрос до сих пор оставался нерешенным.

Коллектив учителей школы №110 г. Москвы пишет: «При пересмотре программ следует ликвидировать тот разрыв, который существует теперь между программой начальной и средней школы по арифметике. Для установления преемственности в работе IV и V классов... следует систематизировать и обобщить в арифметике знания о целых числах, введя соответствующую тему» (журнал «Начальная школа», 1959, № 1, стр. 75).

Вопрос о необходимости поднять теоретический уровень преподавания арифметики в начальной школе также несколько лет ставится как первоочередная задача.

«Многие учителя, умеющие довести у своих учеников технику арифметических вычислений... до высокого уровня, не уделяют достаточного внимания вопросам теории арифметики» (журнал «Начальная школа», 1947, № 12).

«Дети, заканчивая обучение в IV классе, представляют арифметику как собрание разрозненных правил, знание которых нужно для решения всевозможных примеров и задач» (журнал «Начальная школа», 1956, № 2). «Основным объектом изучения по арифметике в IV классах являются целые числа. Поэтому учащиеся, окончившие IV класс, должны хорошо их знать» (журнал «Начальная школа», 1952, № 4, стр. 53).

Все эти недостатки учтены при составлении новой программы; в нее введена тема «Целые числа», значение которой определяется так: «Задача изучения этого раздела расширить, а главное, систематизировать, обобщить и глубже осмыслить знания, полученные учащимися за предыдущие годы..., с тем, чтобы создать прочную базу для успешного изучения систематического курса арифметики в V классе» ...и далее «устанавливается преемственность в работе IV и V клас-

сов и устраняется существовавший до сих пор разрыв в программах этих классов» (журнал «Начальная школа», 1959, № 7, стр. 74).

Усиление связи с практикой, с жизнью не только не снижает, а наоборот усиливает роль теории.

Между тем программа V класса уделяет ничтожно малое место изучению целых чисел, и этот важнейший раздел арифметики, основа основ математического образования, недостаточно обеспечивается программой восьмилетней школы.

Общие требования к изучению элементов теории. Все определения, правила, выводы должны быть изложены ясным и, по возможности, «простым языком.

Нельзя смешивать определение и правило, что, к сожалению, нередко имеет место в практике работы. Например, ученику ставятся вопросы в такой форме: «Что называется умножением? Скажи правило».

Под определением в математике понимают такое предложение, в котором новое понятие, новые термины разъясняются при помощи известных уже ранее понятий.

Под арифметическим правилом следует понимать описание строго установленного процесса, по которому выполняется та или иная операция. Для того чтобы ученики научились различать определение и правило, надо почаще ставить такие вопросы: «Что называется умножением? А как нужно умножить число на 10? на 100? на 1000? Скажи правило».

Как и в других разделах арифметики, основной метод изучения элементов теории индуктивный. Надо стремиться к тому, чтобы учащиеся сами или с некоторой помощью учителя формулировали выводы. Пусть эти выводы будут недостаточно четкими, но такими, которые содержали бы главное, основное, а затем учитель дает ту формулировку, которую ученику надо будет усвоить.

Не следует спешить с требованием заучить, запомнить формулировку. Весьма полезно, когда ученики сначала пользуются «правилом, читая его по учебнику. Пусть, например, дается задание найти неизвестный компонент действия. Ученикам предлагается пользоваться изложенным в учебнике правилом. Это приучает к более вдумчивому чтению учебника и в дальнейшем к более сознательному заучиванию формулировок. Математическая речь должна быть строгая, лаконичная. Нельзя оставлять без внимания неточности в ответах учеников, нужно привлекать класс к исправлению допущенных ошибок.

Формулировки свойств, выводы, правила необходимо подкреплять удачно подобранными примерами с отвлеченными и именованными числами. Ученик должен видеть и суметь показать практическую пользу изучаемого теоретического материала. Примеры, которые приводят учащиеся, должны быть убедительными, иллюстрирующими ту мысль, что теория служит практике. Для подтверждения переместительного свойства сложения и умножения от учеников IV класса следует добиваться примеров вида: 87 + 69+113, 25×17×4. Наряду с примерами нужно подбирать и задачи, в которых с успехом можно применять свойства арифметических действий.

Целесообразно после изучения каждого действия подвести итог, обобщающий все вопросы, связанные с изучением этого действия и провести самостоятельную работу по этим вопросам.

Нумерация. При изучении нумерации необходимо обратить серьезное внимание на различие между цифрой и числом. Смешение этих понятий ведет к искажению математической речи, к нечеткости в объяснении действий. Цифра — это знак, обозначающий количество единиц в разряде числа или их отсутствие, а число — это совокупность однородных единиц. Цифр десять (девять значащих цифр и нуль). Чисел множество, причем не существует самого большого числа. Для закрепления этих понятий можно предлагать вопросы: «Сколько единиц в числах 75? 23? 98? 569? 3333? Сколько цифр в изображении каждого из этих чисел? Сколько цифр вы знаете? Назвать эти цифры.

Можно ли назвать все числа, которые можно составить из цифр? В чем различие между числом и цифрой?»

Следует добиваться, чтобы учащиеся поняли структуру десятичной системы, основными понятиями которой являются: а) счетная единица, б) группировка единиц в разряды, в) группировка разрядов в классы. Надо показать, что как считают единицами, так же считают десятками, сотнями... миллионами, миллиардами.

Сложение. В начальной школе не представляется возможности дать определение сложения. Можно предложить задачи:

Один ученик принес 8 кг металлолома, а другой — 10 кг. Сколько килограммов металлолома принесли оба ученика?

В коробке было 5 карандашей, в нее положили еще 2 карандаша. Сколько карандашей стало в коробке?

В этих задачах надо было узнать, сколько всего металлолома или сколько всего карандашей. Для этого надо к 8 кг прибавить 10 кг или сложить 5 карандашей и 2 карандаша.

Действие, которое следует выполнять над числами для решения этих задач, называется сложением.

Сложением решаются и такие задачи, в которых нужно данное число увеличить на несколько единиц.

Следует предложить каждому ученику самостоятельно составить и записать в тетради две простые задачи на сложение. Желательно, чтобы вторая задача явилась преобразованием первой.

К самостоятельному выводу переместительного свойства учащиеся подходят, складывая в различном порядке 2 или 3 числа. Учащиеся находят суммы: а) 48 + 36, и 36 + 48; 61 + 18; 18 + 61; б) 24 + 63 + 36; 24 + 36 + 63; 36 + 63 + 24 и т. д. и устанавливают, что общего во всех этих примерах, чем они отличаются друг от друга, какой ответ получается.

Переместительное свойство сложения можно иллюстрировать не только на примерах, но и на задачах, сопровождая решение графиком.

Велосипедист выехал из села А и через 26 км сделал остановку в селе Б, после чего он проехал еще 36 км и прибыл в город В. Сколько километров проехал велосипедист?

Решение: 26 км + 36 км = 62 км.

На обратном пути велосипедист выехал из города В и через 36 км сделал остановку в селе Б, после чего он проехал еще 26 км и прибыл в село А. Сколько километров проехал велосипедист?

Решение: 36 км + 26 км — 62 км.

Путь от А до В и от В до А одинаков, поэтому 26 км + 36 км = 36 км + 26 км = 62 км.

Учащиеся должны сразу же почувствовать практическую значимость переместительного свойства сложения, для чего решаются устно примеры вида 36 + 79 +64; 187 + 56 + 113. Дети должны сами придумывать аналогичные примеры. Примеры обязательно предлагать и с именованными числами: 67 г + 39 га + 133 га; 158 куб. м + 76 куб. м + 142 куб. м; 2 руб. 65 коп. + 1 руб. 59 коп. + 2 руб. 35 коп. Нельзя ограничиться одними примерами. Надо решать и предлагать учащимся составлять задачи, решение которых записывается в строчку, а вычисление выполняется устно на основе переместительного свойства сложения:

Ученики выработали на работе в саду 163 трудодня, на огороде — 78 трудодней и на молочной ферме — 137 трудодней. Сколько всего трудодней выработали ученики?

Решение: 163 тр. + 78 тр. + 137 тр. = (вычисление выполняется устно).

Следует предлагать учащимся составление задач к примерам вида: 75 км +68 км +115 км; 248 т + 59 т + 152 т и т. д. Решение задач записывается в строчку и выполняется устно. Переместительное свойство сложения применяется для проверки сложения. После решения нескольких примеров ученики сами сделают выводы о способе проверки сложения.

Надо показать учащимся, что можно сделать проверку сложения при записи чисел столбиком, не переписывая примера, а считая один

раз сверху вниз, а второй снизу вверх (или наоборот).

Затем дети самостоятельно придумывают примеры, решают их и проверяют.

К сочетательному свойству сложения можно подвести учащихся, предлагая им найти двумя способами сумму нескольких чисел: а) последовательно, б) соединяя слагаемые в группы. Найдем, например, двумя способами сумму чисел 6, 14, 17 и 23.

Первый способ: 6 + 14 = 20; 20 + 17 = 37; 37 + 23 = 60.

Второй способ: соединим слагаемые в группы: (6 + 14) + (17 + 23) = 20 + 40 = 60.

Можно иллюстрировать сочетательное свойство сложения и наглядно:

Один самолет летел из города А в город Г. Пролетев 870 км, самолет сделал посадку в городе Б, через 470 км сделал вторую посадку в городе В, после чего ему осталось пролететь еще 530 км. Чему равно расстояние между городами А и Г?

Решение: 870 км + 470 км + 530 км = 1340 км + 530 = 1 870 км.

Другой самолет также летел из города А в город Г, но сделал только одну посадку в городе Б. Какое расстояние пролетел второй самолет?

Решение: 870 км + (470 км + 530 км) = 870 км + 1 000 км = 1 870 км.

Формулировка свойства дается учащимися и уточняется учителем: «Мы замечаем, что вместо того, чтобы прибавить к числу последовательно одно слагаемое за другим, можно рядом стоящие слагаемые соединить в группы и сразу прибавить их сумму», или короче: «Слагаемые можно соединять в какие угодно группы, при этом сумма не изменяется». Далее идут примеры с тремя, а затем и с четырьмя слагаемыми с отвлеченными и именованными числами вида: 34 км +47 км + 53 км ; 27 дней + 38 дней + 62 дня; 56 + 44 + 67 + 39 и т. д.

Сочетательное свойство удобно применить для объединения в группы слагаемых, когда число их велико. Полезно предлагать учащимся не только решать и составлять примеры вида: 3 172 + 6987 + 1 128 + 7 194 + 9 615 + 6 128 = 34 224, решение которых записывается так:

но и предлагать соответствующие задачи.

На элеватор в течение о дней поступило зерно в следующем количестве: 2 407 ц, 3 054 ц, 2 671 ц, 1 985 ц, 2 873 ц, 3 169 ц. Сколько всего зерна поступило на элеватор.

Указание: при сложении слагаемые соединить в группы, по 3 слагаемых в каждой.

В результате изучения сложения дается самостоятельная работа, содержащая: составление простых задач на сложение, решение примеров и задач с применением переместительного и сочетательного свойств, проверка сложения.

Вычитание. Здесь мы впервые имеем определение действия. Оно может быть дано на примере или на задаче.

Сумма двух слагаемых 840, одно из них 620. Чему равно другое слагаемое? Каким действием мы находим неизвестное слагаемое?

Исходным моментом для определения вычитания может служить задача:

Ученики изготовили для детского сада сначала 12 табуреток, а потом еще 8 табуреток. Сколько всего табуреток изготовили ученики для детского сада?

Эта задача решается сложением:

В этой задаче были известны слагаемые (12 и 8), а неизвестна сумма.

Составим обратную задачу (составление обратных задач должно быть известно учащимся) :

Ученики взялись изготовить для детского сада 20 табуреток. Они уже изготовили 12 табуреток. Сколько табуреток им осталось еще изготовить?

В этой задаче мы знаем все количество табуреток, т. е. сумму (20 табуреток), и одно из слагаемых (12 табуреток), нужно найти другое слагаемое. Такая задача решается вычитанием.

20 — 12 = 8

Можно рассмотреть еще одну такую же задачу.

В беседе намечаются основные элементы определения, которое затем читается по учебнику и попутно повторяются названия компонентов вычитания.

Сравнивая сложение и вычитание, мы замечаем:

Таким образом, число, которое при сложении неизвестно и его надо найти, оказывается при вычитании известным, и наоборот. Поэтому вычитание называется действием, обратным сложению.

Надо иметь в виду, что определение вычитания трудно для учащихся IV класса. Следует терпеливо работать над его сознательным усвоением. Можно предложить учащимся несложные простые задачи, решаемые сложением (нахождение суммы), записав данные на доске, и одновременно давать детям задание составить обратные задачи. Сопоставляя обе задачи, ученику легче будет дать определение вычитания.

Далее составляются простые задачи, решаемые вычитанием, в такой последовательности: 1) нахождение остатка; 2) уменьшение числа на несколько единиц; 3) нахождение разности двух чисел (на сколько одно число больше или меньше другого).

Зависимость между слагаемыми и суммой может быть объяснена на примере или на задаче. Затем делается вывод: «Одно из слагаемых равно сумме минус другое слагаемое». Отсюда выводится правило для нахождения неизвестного слагаемого и второй способ проверки сложения (при помощи вычитания): «Если из суммы вычесть одно из слагаемых, например первое, мы должны получить второе слагаемое». Здесь нужна оговорка: «Конечно, это будет только в том случае, если мы не сделаем ошибки при сложении и не сделаем ошибки при вычитании».

Затем решаются примеры на сложение с проверкой при помощи вычитания (или двумя способами). Разумеется, что часть примеров будут составлять сами ученики и что примеры должны быть и с именованными числами.

То же надо отнести и к примеру с X, как-то: х кв. м + 756 кв. м = 950 кв. м; × руб. + 6 742 руб. = 10 000 руб. и т. п.

Нахождение неизвестного уменьшаемого можно объяснить на задаче:

От куска материи отрезали на платье 3 м, после чего осталось 7 м. Сколько метров материи было в куске до того, как отрезали на платье?

Очевидно, что сначала в куске было 3 м материи и 7 м.

В куске было 10 м материи. Отсюда выводится правило нахождения неизвестного уменьшаемого и способ проверки вычитания.

Аналогично выводится правило нахождения неизвестного вычитаемого и второй способ проверки вычитания.

При изучении сложения и вычитания следует применять различную терминологию, расширяющую понятие о сложении и вычитании: «Найти сумму чисел... (даются числа).

Число... увеличить на... Одно слагаемое..., другое... Чему равна сумма? Сложить числа... Сколько останется, если от... отнять...? Уменьшить число... на... Найти разность чисел... Уменьшаемое... вычитаемое... Найти разность (или остаток). На сколько... больше... На сколько... меньше...». Наряду с этим следует предлагать для записи и решения примеры вида: «К сумме чисел... прибавить (или вычесть) сумму (или разность) чисел...» Или: «К разности чисел... прибавить (или из разности вычесть) сумму (или разность) чисел».

Изучение вычитания завершается самостоятельной работой, содержащей наиболее трудные «примеры на вычитание отвлеченных и именованных чисел, проверку двумя способами сложения и вычитания, составление задач, решение примеров с X.

Целесообразно выделить отдельный урок на систематизацию всего материала о сложении и вычитании.

Умножение. Определение умножения, простые задачи на умножение не представляют каких-либо затруднений. Для лучшего понимания определения умножения полезно давать такие примеры: заменить сложение умножением:

и обратно — заменить умножение сложением

На вопрос «Что значит 9×4 или 32 × 5?» ученики должны ответить: «Это значит 9 повторить слагаемым 4 раза, 32 повторить слагаемым 5 раз».

Заменяя умножение сложением в примерах 1×6; 1 × 9; 0 × 7; 0 × 5, делаются выводы о «произведении, если множимое равно единице или нулю. Записав примеры: 6×1 = 6; 143 × 1 = 143; 5 × 0 = 0; 426 × 0 = 0, ученикам предлагается запомнить: а) если множитель равен единице, то произведение принимается равным множимому; б) если множитель равен нулю, то произведение принимается равным нулю. Вряд ли здесь уместны попытки «объяснить» при помощи математических неверных рассуждений: «взять один раз», «взять ничего раз», тем более, что это противоречит основному определению умножения, главным в котором является: «повторить слагаемым», а повторить слагаемым можно самое меньшее два раза. Учащиеся должны самостоятельно составлять простые задачи на умножение.

Усвоение переместительного свойства умножения достаточно подготовлено предыдущим материалом. Его можно вывести, предлагая учащимся проверить ряд равенств вида:

Вместе с тем полезна и графическая иллюстрация, тем более, что ее можно затем использовать при изложении сочетательного свойства умножения.

Рассмотрим рисунок. На столе расставлены блюдца. Сколько блюдцев на столе? Можно сосчитать двумя способами.

Первый способ (по рядам): 7 блюдцев в каждом из четырех рядов, а всего: 7 + 7 + 7 + 7 = 7×4.

Второй способ (по столбикам). В одном столбике 4 блюдца, таких столбиков 7, а всего: 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 4×7. Двумя способами мы сосчитали одно и то же число блюдцев, поэтому 7×4=4×7.

Примеры, которыми ученики иллюстрируют переместительное свойство умножения, должны быть убедительными, как-то: 25 × 27 × 4; 5 × 39 × 20.

Устные вычисления следует проводить и с именованными числами, например: 20 кв. м × 19 × 5.

Переместительное свойство умножения облегчает и упрощает в ряде случаев и письменные вычисления. «Сколько надо заплатить за 3 854 м ситца по 7 руб. за метр?» Следует предлагать учащимся выбрать наиболее удобный порядок умножения в примерах вида: 6 × 24 357; 56 × 4 372; 300 × 568; 74 км × 2 671; 400 т × 567 и т. д.

Переместительное свойство умножения весьма полезно применять и

при решении специально подобранных задач, решение которых записывается в строчку, а вычисление выполняется устно.

Котлован имеет размеры: 25 м; 47 м; 4 м. Определить объем вынутой земли. Решение: 25 куб. м × 47 × 4 = 4 700 куб. м.

Соединение сомножителей в группу. Вернемся снова к графической иллюстрации, помещенной на странице и решим такую задачу:

На каждое блюдце положили по 3 яблока. Сколько яблок положили на все блюдца?

Решить задачу можно двумя способами.

Первый способ. На каждое блюдце положили по 3 яблока, а в одном ряду 7 блюдцев; всего в этот ряд положили 3×7 яблок. Таких рядов 4, значит всех яблок будет (3 × 7) × 4.

Второй способ. Всех блюдцев 7×4. На каждое блюдце кладут по 3 яблока, значит всех яблок будет 3 × (7×4). Следовательно: (3×7) × 4 = 3 × (7 × 4).

После ряда упражнений учащиеся делают вывод о возможности соединения сомножителей в группы и применяют это свойство для решения (устно) и составления примеров вида:

Это свойство должно найти применение и при решении задач:

Комбайн намолачивал 248 ц зерна ежедневно. Сколько зерна намолотят 5 комбайнов в течение двух дней?

Решение записывается в строчку и выполняется устно.

Сочетательное свойство умножения надо применять не только для соединения сомножителей в группы, но и для разложения произведения на сомножители.

Умножение суммы на число (распределительное свойство умножения) можно объяснить на задаче:

Определить площадь участка, состоящего из двух частей:

Первый способ:

Второй способ:

Следовательно:

Целый ряд применений получает это свойство. Пользуясь им, можно устно или полуписьменно решать примеры вида: 11 × 18; 12 кг × 31.

Применяя это же свойство в обратном порядке, а именно ас + вс = (а+в)с мы можем задачи на встречное движение и ряд других задач решать более рациональным способом, например:

В течение трех дней со станции отправляли уголь в вагонах по 48 т в каждом. В первый день отправили 73 вагона, во второй день — 64 вагона и в третий день — 63 вагона. Сколько тонн угля отправили за 3 дня?

Первый способ: 48 г × 73 + 48 т × 64 + 48 т × 63 = 9 600 т (4 действия, притом все они выполняются письменно).

Второй способ: 48 т × (73 + 64 + 63) = 48 т × 200 = 48 т × (2 × 100) = 48 т × 2 × 100 = 9 600 т (два действия, выполняемые устно; здесь удачно соединяется использование распределительного и сочетательного свойств умножения).

Полезно выделить урок на подведение итогов по материалу об умножении.

Деление. Определение действия можно дать при помощи задачи:

Ученики в школьной мастерской изготовляли для детского сада по 4 столика в день. Сколько столиков изготовлено за 6 дней?

Эта задача решается умножением.

Составим обратную задачу:

Ученики взялись за 6 дней изготовить для детского сада 24 столика. Сколько столиков они должны изготовить в день, чтобы закончить работу к сроку?

Эта задача решается делением:

Сравним эти задачи.

Следовательно, делением называется действие, посредством которого по данному произведению двух сомножителей и одному из этих сомножителей отыскивается другой сомножитель. Мы видим, что при умножении известны оба сомножителя, а неизвестно произведение и его надо найти. При делении, наоборот, известно произведение и один из сомножителей, а неизвестен другой сомножитель и его надо найти. Поэтому деление называется действием, обратным умножению. Определение это трудно и не следует спешить с его заучиванием. Давая учащимся для решения несложные задачи на умножение и предлагая им их преобразовывать так, чтобы один из сомножителей стал неизвестным, путем беседы повторяется и более сознательно усваивается определение деления.

Деление суммы на число можно вывести исходя из задачи:

Велосипедист в первый день проехал 60 км, а во второй день — 36 км и все время ехал со скоростью 12 км в час. За сколько часов он проехал весь путь?

Эту задачу можно решить двумя способами:

Первый способ:

Второй способ:

Сопоставляя ответы, устанавливаем, что

После рассмотрения еще одной аналогичной задачи учащиеся могут сделать вывод о правиле деления суммы на число и затем применить его к решению примеров и задач. Необходимо обучать подысканию тех слагаемых, на которые удобно разбить число. Например: 156 : 12 = (120 + 36): 12, 972: 9= (900 + 72): 9; 154 га: 14 = (140 га + 14 га) : 14 и т. д.

Нахождение неизвестного сомножителя, делимого, делителя можно вывести путем рассмотрения примеров и затем применить к проверке умножения и деления.

Делением решается целый ряд простых задач, усвоение которых имеет большое значение для понимания применения деления при решении составных задач, поэтому надо со всей тщательностью работать над этими задачами.

При умножении и делении, как и при сложении и вычитании, следует применять различную терминологию.

В процессе изучения деления надо дать ряд самостоятельных работ, а по окончании проработки провести заключительный урок, тщательно продуманный и заранее подготовленный. На этом уроке обобщить пройденное, выделив наиболее важные моменты.

НА РАЗНЫЕ ТЕМЫ

В. С. Митенев

Заведующий Кич-Городецким районным методическим кабинетом Вологодской области

О ТВОРЧЕСКОЙ ИНИЦИАТИВЕ УЧИТЕЛЯ НА УРОКАХ

Необходимое условие успешного проведения урока — возбуждение у учащихся любознательности, интереса к учению, сосредоточение внимания на изучаемом материале.

Уроки, обеспечивающие эти условия, проводит учительница Первомайской семилетней школы А. И. Дресвянкина. Интересен с этой точки зрения проводимый Анной Ивановной «Счет по кругу». Этот прием устного счета можно представить так: учительница указкой показывает в одном из секторов круга число 120, в центре круга знак «умножить», в малом внутреннем круге число 3, в центре знак «разделить», в малом круге — 4 и вызывает к доске одного из учеников. Ученик выходит и пишет: «90».

Это значит, что он и весь класс проделали такую умственную работу:

Интересна также практикуемая Анной Ивановной игра-счет «лабиринт». На классной доске чертятся четыре одна в другой окружности, каждая окружность разрывается в четырех местах — это ворота лабиринта. В них написаны числа. В центре внутреннего круга число — ответ. Числа в воротах каждой окружности требуют одного определенного арифметического действия. Задача игры состоит в том, чтобы путешествуя через число ворот лабиринта, произвести с ним требуемые арифметические действия и получить в ответе число центра круга. Причем числа первой окружности требуют деления на числа второй, частное от деления — умножения на числа третьего круга, произведение требует прибавления одного из чисел четвертого круга, а полученная сумма — вычитания такого произвольного числа, чтобы разность равнялась числу-ответу в центре. Например, в центре число-ответ 12, надо найти число и произвести в уме такие действия:

Дисциплину и внимание учащихся к предмету урока наиболее трудно обеспечить в I классе. Малыши — народ непоседливый и неспособный заставлять себя быть внимательным. Интересные с точки зрения обеспечения внимания детей уроки можно наблюдать у учительницы Кич-Городецкой средней школы А. И. Бушковской. Приводим в качестве примера один из них. На черном поле классной доски приколоты раскрашенные бумажные фигурки: хатка, старик, старуха, колобок, заяц, волк, медведь и лиса. Антонина Ильинична усаживает детей и говорит, что на этом уроке они сами будут рассказывать сказку «Колобок». Ее учительница читала классу вчера, а сегодня на материале сказки решила провести работу над предложением.

Урок был организован так: по вызову учительницы учащиеся выходили, передвигали колобок от одной фигуры к другой, рассказывали, к кому он катится, и передавали песенку колобка. А учительница, помогая детям членить речь на предложения, неоднократно спрашивала каждого: «Какое это предложение?» и т. д.

Вопросы адресовались классу. Таким образом, скучная для детей работа над предложениями проходила оживленно.

Развитие воображения играет большую роль в воспитании творческой личности. Необходимо строить преподавание так, чтобы дети, следуя за учебным материалом, учились мысленно переноситься из данной обстановки в воображаемые дали, преодолевали воображаемые преграды и совершали воображаемые героические подвиги.

Как этого добиться в процессе учебной работы, можно увидеть на уроке учительницы Макаровской начальной школы В. Ф. Барболиной. На классном столе стоят, вставленные в флаконы из-под одеколона, ветки ели, сосны и пихты. Между ними на середине стола виднеется спилок молодой березки, изображающей пенек. Все это имитация лесной полянки для чтения рассказа «Храбрый заяц».

Валентина Федоровна предлагает второклассникам посмотреть и определить породы деревьев по веткам. «Елка», «Сосна», «Пихта», — слышится в ответ.

— Вообразите, — говорит учительница, — что это не маленькие веточки, а большие сосны, ели и пихты. И перед вами не стол, а большой-большой лес. Зажмурьте глаза и представьте себе этот лес.

Сейчас, — после некоторой паузы продолжает учительница, — смотрите сюда, вот на эту полянку, среди леса. Я буду читать вам сказку о зайцах и волке. А на полянке вы увидите все, о чем говорится в этом рассказе. Заглавие рассказа «Храбрый заяц». Слушайте и смотрите!

Валентина Федоровна достает из ящика стола гуттаперчевого зайчика, ставит его на полянку и читает:

«Храбрый заяц. Родился зайчик в лесу и всего боялся (раздается треск ломаемого сучка). Треснет где-нибудь сучок, вспорхнет птица, ... — Никого я не боюсь! — крикнул он на весь лес. Вот не боюсь нисколько, и все тут!»

В это время на столе появляются старые зайцы, зайчихи и зайчата. Вся полянка заполнилась. Ребята смотрят и улыбаются, а Валентина Федоровна продолжает читать: «Эй ты, косой глаз, ты и волка не боишься?

— И волка не боюсь, и лисицы, и медведя, никого не боюсь...»

На полянке за деревьями появляется из стола учительницы волк. Ребята ахают. Казалось они забыли, что и зайцы, и волк — гуттаперчевые, а лес — только два-три десятка веток на классном столе. Воображение увело их в далекий дремучий лес, где злой волк подстерегает резвящихся зайцев.

Так на уроке Валентины Федоровны был дан широкий простор детскому воображению. Урок был умело организован учительницей.

На первый взгляд весьма трудной кажется задача прививать учащимся практические умения и навыки с первых дней их обучения в школе. Для устранения этой трудности на помощь учителю должна прийти игра.

Такой урок-игру нам пришлось наблюдать у учительницы Чекавинской начальной школы Т. Ф. Наволоцкой. Дело было перед новым годом. С учащимися III класса Таисия Федоровна изготовила елочные украшения. Их она использовала на уроке арифметики в I классе при знакомстве детей с решением задачи в два действия. На этом уроке учительница организовала игру «Магазин открыт». Разрисованные картонные домики, зайчики, петушки и другие игрушки были выставлены на «витрине».

Ребята покупали игрушки, платили деньги (цены на игрушки были от 1 до 5 копеек), получали покупку и сдачу и, поблагодарив продавца, возвращались на место. А там на своих счетах проверяли правильность расчетов. Так было решено несколько задачек в одно действие.

К задаче в два действия подошли так: Света купила звездочку стоимостью 3 копейки и петушка за 4 копейки. Продавцу же она подала 20 копеек. Перед классом встала задача узнать, сколько нужно Свете получить сдачи.

Подготовленные предварительной работой учащиеся легко догадались, что сначала надо узнать стоимость всей покупки, а потом уже, сколько следует Свете получить сдачи. Они ясно поняли, что эту задачу можно решить только за два приема.

После того как было решено несколько подобных задач, учительница объяснила детям, что задачи, которые решаются в одно действие, называются простыми, а задачи в два и более действия—сложными. На примерах Таисия Федоровна закрепила у детей понятие, что всякая сложная задача состоит из ряда простых и поэтому решается по частям или вопросам. Так на этом уроке в игре дети учились считать на счетах, сами составляли и решали простые жизненные задачи и без особого труда усвоили понятие о простых и сложных задачах.

Н. К. Крупская писала: «Методика органически связана с целями, которые стоят перед школой... все достижения науки будут использованы для того, чтобы научить самостоятельно мыслить, действовать коллективно, организованно, отдавая себе отчет в результатах своих действий, развивая максимум инициативы, самодеятельности».

Советская школа должна воспитывать образованных, хорошо знающих основы наук активных строителей коммунизма. Чтобы осуществить эти цели, надо с первых дней пребывания ребенка в школе учить его активно мыслить и излагать свои мысли, самостоятельно работать, применять знания при выполнении практических заданий, психологически готовить детей к труду на благо своей великой Родины. Этими высокими соображениями и руководствуются в своей работе учителя опыт которых мы здесь в краткой форме изложили.

Н. В. Семенова

Учительница средней школы с. Невежкино, Поимского района, Пензенской области

ИГРЫ ДЛЯ ЗАКРЕПЛЕНИЯ ТАБЛИЦЫ УМНОЖЕНИЯ ВО II КЛАССЕ

Найди в кругу свое место

На полу чертится окружность, по длине которой должны уместиться участники игры. С внутренней стороны окружности мелом записываются результаты из таблицы умножения по числу играющих, например: 40, 32, 63, 14, 42 и т. д.

Учитель имеет заранее заготовленные карточки с примерами на каждое табличное произведение, которое находится з кругу, например:

Один из участников игры раскладывает перед учениками карточки в круг или дает в руки написанной стороной вниз. Результаты примеров, написанных в окружности, с примерами, находящимися у учеников, не совпадают.

По команде «раз» дети читают пример на карточке, разыскивают результат в окружности и становятся на это место. Учащийся, ставший на место последним или допустивший ошибку, получает замечание, так как нетвердо знает таблицу умножения. Затем учащиеся читают свои примеры. Наконец, карточки собираются, перемешиваются, и игра начинается снова.

Лото

Учитель заготовляет карточки по числу учащихся. Карточки делятся на клетки, в которые записываются результаты таблицы умножения. Результаты несколько раз повторяются на различных карточках.

По этим данным учитель заготовляет примеры у себя в тетради:

Вместе с карточками участникам игры выдаются фишки по числу клеток в карточке. К игре все приготовлены. Учитель читает примеры, учащиеся закрывают клетки фишками. Ученик, закрывший все клетки своей карточки, поднимает руку. Когда игру закончила половина учащихся, учитель прекращает чтение примеров и предлагает некоторым ученикам назвать свои примеры.

Цепочка

Учитель готовит карточки по числу учащихся. Каждая карточка разделена на две части: в первой записывается результат примера из предшествующей карточки, во второй — пример, ответ на который следует в следующей карточке. Например:

Результат на пример в последней карточке должен быть на первой карточке.

Игра заключается в следующем: один из учащихся читает пример, ответ читает другой ученик, у которого этот пример написан в левой стороне карточки; затем этот же ученик читает свой пример, но отвечает уже третий ученик и т. д. Заканчивает читать ученик, который начинал читать пример.

Найди свою пару

Одной половине учащихся раздаются карточки с примерами, другой — с ответами на эти примеры. Например:

Учащиеся должны найти свою пару и встать в колонну по два. Последняя пара получает замечание (они недостаточно быстро встали на место). После этого учащиеся по своим карточкам читают примеры и ответы на них. Затем карточки раскладываются на столе, по общей команде раз-

бираются учащимися, и игра начинается снова.

Описанные мною игры применялись во II классе с целью закрепления табличного умножения и проводились на уроках во время устного счета и на внеклассных занятиях.

Во всех играх использовались разнообразные карточки, которые делали сами учащиеся под моим руководством на уроках труда.

Описанные игры способствовали лучшему усвоению таблицы умножения. Никому из учеников не хотелось оказаться в числе последних, поэтому таблицу учили охотно без напоминаний.

Игры можно использовать при изучении всех арифметических действий.

М. И. Глазков

Начальная школа № 15, г. Володарск Горьковской области

НАГЛЯДНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ ИЗУЧЕНИЯ ТАБЛИЦЫ УМНОЖЕНИЯ В I И II КЛАССАХ

Изучение табличного умножения и деления начинается в I классе, во II — заканчивается полностью.

Для успешного изучения и прочного усвоения учащимися этого раздела я использовал в качестве наглядного пособия таблицу следующего содержания.

Первая часть этой таблицы предназначена для I класса и отличается от ее продолжения предметным изображением табличных чисел первых двух десятков. Это вызвано дидактическими требованиями к возрасту ученика.

Вторая часть таблицы построена по тому же принципу, что и первая, отличается только тем, что числа — равные слагаемые — показаны цифрами. Но это, так сказать, отвлечение опирается на конкретность первой части таблицы и поэтому не мешает дальнейшей успешной работе.

С целью привлечения внимания, табличные числа (результаты умножения) выделены в особый цвет.

Что же дает эта таблица учителю в его работе на уроке?

1. В таблице ясно показано, что умножение есть краткая запись сложения одинаковых слагаемых.

Так же проводится умножение и деление на 8 и на 9.

2. Наглядно можно показать взаимосвязь действий умножения и деления.

3. В доступной форме (виде) можно довести понятие о делении по содержанию, что достигается набором количества одинаковых слагаемых. Этот способ «набором» принесет и в дальнейшем свою пользу, в частности, при изучении внетабличного умножения и деления, деления круглых десятков на круглые десятки.

По этой таблице можно давать такие задания во время устного счета: «Считай семерками до 70. От 70 отсчитывай по 7, пока не получишь 0» и т. д., т. е. то, что называется счетом группами.

Такой вид устного счета необходимо, следовательно, проводить и при изучении сложения и вычитания с переходом через 10 в целях подготовки учащихся к устному усвоению как табличного, так и внетабличного умножения и деления.

4. Таблица дает возможность ярко и убедительно показать переместительное свойство умножения. Это очевидно, когда обращаешься непосредственно к строчке (3×7—7×3).

5. При изучении раздела «Деление с остатком» таблица также оказывает большую услугу. Дело в том, что понятие «деление с остатком» доводится до ученика на числах, входящих в табличное деление. Первая часть этой таблицы является отправным местом (на числах до 20). Начинаем с того, что, например, на 3 делятся только 3, 6, 9, 12, 15, 18, а числа, находящиеся, между ними, будут делиться с остатком. При этом таблица наглядно показывает, какой должен быть остаток, сколько остатков должно быть при делении и какой остаток будет предельным по величине. Итак, 20 разделим на 3, будет 6 и останется 2, т. е. 19-й и 20-й.

6. Наконец, для дальнейшего закрепления, прочного запоминания таблицы умножения и деления это наглядное пособие в общей сводной форме должно находиться перед учащимися в классе, по нему, как видно, можно вести заучивание и по вертикали.

Г. Т. Шушпанов

Заведующий Гвоздевской начальной школой, Чаинского района, Томской области

ПОВТОРЕНИЕ ПРОЙДЕННОГО ПО АРИФМЕТИКЕ ВО II КЛАССЕ ИЗ ОПЫТА ДВУХКОМПЛЕКТНОЙ ШКОЛЫ

Повторение пройденного по арифметике должно углублять знания и навыки детей по тем вопросам программы, которые еще недостаточно усвоены ими.

Чтобы успешно проводить повторение во II классе, кроме обычных приемов, во втором полугодии я практиковал решение задач и примеров по карточкам два-три раза в месяц. Ученики усердно работают на таких уроках, что безусловно способствует повышению успеваемости.

Для проведения такого урока я приготовлял 12—13 карточек (во II классе обучалось девять человек), на каждой из которых была одна задача и 10—15 примеров на повторение какого-либо раздела арифметики (например, на все случаи сложения в пределе 100, на все случаи вычитания в пределе 100 и т. п.). Для одного урока давались задачи и примеры в пяти-шести вариантах.

Вот некоторые задачи.

В колхозе имени Ленина в одном году построили 23 дома, во втором году — на 7 домов больше, чем в первом, а в третьем — на 2 дома меньше, чем в первом. Сколько домов построили в колхозе за три года? Школьники трех классов собирали для колхоза золу. Один класс собрал 23 ведра золы, другой — на 8 ведер меньше, чем первый, а третий — на 9 ведер больше, чем второй. Сколько ведер золы собрали школьники трех классов?

За один день магазин продал 28 кг сахара, за второй — на 4 кг больше, а за третий — на 5 кг меньше, чем за первый.

Сколько килограммов сахара было продано за три дня?

Получив карточки, второклассники приступали к решению задачи и примеров, а я в течение 20—25 минут занимался с IV классом. Перейдя ко II классу, я узнавал, кто из учащихся затрудняется решить задачу, выяснял, что именно непонятно, помогал разобраться и решить задачу. После этого тут же (если позволяло время) или на дом давал ученику аналогичную задачу из запасных карточек для самостоятельного решения. В конце урока спрашивал отдельных учеников (чаще слабых), как они решали задачу. За вторую половину урока я опрашивал почти всех учащихся.

В течение следующих 10—15 дней я добивался от всех учеников умения решать подобные задачи, уделяя особое внимание отстающим. Затем проводил второй урок, на котором давал в порядке повторения следующие задачи:

Для рабочих одного завода построили три дома. В первом доме было 20 квартир, во втором доме — вдвое больше, чем в первом, а в третьем — в 4 раза меньше, чем во втором. Сколько всего квартир было в трех домах?

Корова получала в сутки сена 9 кг, отрубей втрое меньше, а силоса в 4 раза больше, чем сена. Сколько всего килограммов корма получала эта корова в сутки?

Для школьной библиотеки дети принесли в первый день 27 книг, во второй день — в 3 раза меньше, чем в первый, а в третий день — вдвое больше, чем во второй. Сколько всего книг принесли дети за три дня?

На втором уроке (и последующих) учащиеся решали такие задачи, которые, как это видно из приведенных выше, расширяли и укрепляли полученные знания.

За несколько дней перед третьим уроком, на котором, кроме задачи, решались примеры на табличное умножение, я предупреждал учащихся, чтобы они повторили те случаи табличного умножения, которые знают слабо, некоторых спрашивал. После такой подготовки проводил третий урок.

Вот некоторые задачи для последующих уроков:

3-й урок

Один класс представил на выставку 28 тетрадей, другой — на 7 тетрадей больше. Третья часть всех тетрадей получила отличную оценку. Сколько тетрадей получили отличную оценку?

В швейной мастерской было 2 куска сатина. В одном куске было 39 м сатина, а в другом — на 4 м меньше. Половину всего сатина израсходовали на платья. Сколько метров сатина израсходовали на платья?

В школьном буфете в одном ящике было 6 кг сушек, а в другом — в 4 раза больше. Пятую часть всех сушек продали. Сколько килограммов сушек продали?

Брат поймал 30 рыбок, а сестра — втрое меньше. Пятая часть пойманных ими рыбок были окуни. Сколько было окуней?

4-й урок

Вера купила 3 карандаша и 4 тетради. Карандаш стоил 15 коп., а тетрадь — 13 коп. На сколько копеек Вера уплатила за тетради больше, чем за карандаши?

В магазин привезли яблоки. В пяти ящиках было по 15 кг яблок в каждом ящике и в трех корзинах — по 19 кг. На сколько килограммов яблок было меньше в корзинах, чем в ящиках?

Из купленного сатина в мастерской сшили 12 платьев и 4 рубашки. На каждое платье пошло 4 м сатина, а на каждую рубашку — 3 м. Во сколько раз меньше израсходовали сатина на все рубашки, чем на все платья?

Два отряда пионеров сажали деревья. Первый отряд посадил 4 ряда по 10 деревьев в каждом ряду, а второй отряд посадил 5 рядов по 16 деревьев. Во сколько раз больше посадил деревьев второй отряд?

5-й урок

Брат прочитал 80 страниц в 4 дня, а сестра — 50 страниц в 2 дня. Кто из них прочитывал в день больше страниц и на сколько?

5 карандашей стоят 95 коп., а 7 ручек стоят 98 коп. Что дешевле: карандаш или ручка и на сколько дешевле?

Для столовой купили 16 кг яблок за 96 руб. и 7 кг печенья за 84 руб. Что дороже: 1 кг яблок или 1 кг печенья и во сколько раз?

В двух одинаковых мешках было 68 кг сушеных фруктов, а в пяти ящиках — 85 кг. Где фруктов было меньше: в мешке или в ящике и во сколько раз?

По задачам 5-го урока мне пришлось провести два занятия со всеми учащимися, так как на первом уроке многие дети испытывали затруднения в постановке вопроса к последнему действию.

Чтобы легче было разобраться в карточках, т. е., не читая задачи, знать, для какого урока она предназначена, я вел особую нумерацию их. Карточки для первого урока имели номера в пределах 20, для второго в пределах 20—40, для третьего в пределах 40—60 и т. д. В классном журнале вел учет работы по карточкам: на одной странице по примерам, на другой по задачам. Страница имела такой вид:

Проверив решение задач по карточкам, я ставил каждому ученику в соответствующей графе оценку. Получившему неудовлетворительную оценку я помогал разобраться в решении задачи, после чего не один раз (в удобное время) давал ему на обычном уроке решать подобную задачу. Если эта задача встречалась в учебнике при изучении материала, я вызывал ученика к доске решать задачу и ставил ему новую оценку.

Такой учет знаний помогал мне видеть пробелы в знаниях каждого ученика, проводить занятия по восполнению выявленных пробелов и тем самым предупреждать неуспеваемость.

Н. М. Миткевич

Учительница школы № 240 г. Москвы

ПРАКТИЧЕСКИЕ РАБОТЫ НА УРОКАХ АРИФМЕТИКИ В III КЛАССЕ

рактические работы — один из лучших способов закрепления программного материала. В результате их выполнения у детей повышается активность, они сознательно усваивают знания, овладевают полезными навыками, необходимыми для их будущей трудовой деятельности. Создается основа для политехнического обучения в старших классах, для связи обучения с жизнью.

Практические работы по арифметике я начала проводить с I класса как при объяснении нового материала, так и при закреплении пройденного, систематически давая детям задания, которые они выполняли в особых тетрадях.

Поделюсь опытом организации практических работ в III классе. Большого количества практических работ потребовало усвоение мер длины, веса и времени.

Еще во II классе учащиеся научились измерять и делать чертежи, пользоваться линейкой, чертить по заданию отрезки прямых линий, применять масштаб и записывать результаты измерения.

В III классе учащиеся делали измерения с помощью самодельного метра, разделенного на дециметры, сантиметры и миллиметры, и записи в их тетрадях стали сложнее. Например:

Мой рост — 1 м 46 см

Длина моей комнаты — 4 м

Ширина моей комнаты — 3 м

Ширина классной доски — 1 м (или 10 дм)

Длина класса — 9 м 32 см

Ширина класса — 5 м 87 см

Высота шкафа в моей комнате — 2 м 70 см

Высота шкафа в классе — 2 м 50 см

Высота двери моей комнаты — 2 м 60 см (или 26 дм)

Высота двери класса — 3 м 10 см (или 31 дм)

Результаты измерений записывались составными именованными числами без округления.

После ряда упражнений по измерению предметов метром я стала тренировать детей в определении длины, ширины и высоты на глаз с последующей проверкой ответов.

Затем каждые два ученика, сидящие на одной парте, изготовляли 10-метровую веревку, с помощью которой мы измеряли длину коридора школы, различные расстояния на школьном дворе, длину и ширину школьного здания. Одновременно давались аналогичные задания на дом. В результате проведенной работы в тетрадях появилась такая запись.

Длина школьного здания — 60 м

Ширина здания школы — 30 м

Длина коридора школы — 47 м

Длина школьного сада — 39 м 50 см

Расстояние от ворот школьного двора до подъезда школы — 73 м

Ширина улицы (на которой стоит школа) — 14 м 86 см

При прохождении мер веса я принесла в класс весы и гири. На уроках учащиеся взвешивали разнооб-

разные предметы и числовые данные записывали, например:

Вес яблока — 120 г

Вес апельсина — 150 г

Вес булки — 203 г

Вес пачки сахара — 500 г

Вес луковицы — 40 г

Вес одной моркови — 30 г

Потом определили вес более крупного количества картофеля, лука, моркови и пакетов с крупой. Результаты взвешивания записали.

На уроках труда я показала ученикам, как нужно пользоваться циркулем. После этого они вырезали из картона правильный круг и нарисовали на нем циферблат для часов. Циферблат разделили на равные части, соответствующие часам и минутам. Прикрепили булавкой часовую и минутную стрелки. Каждый ученик сделал себе такие часы, что дало возможность почти все задачи на время решать практически с помощью самодельных часов (992, 994, 996, 997, 998 и др.).

В связи с закреплением мер времени на дом давались задания проверить свой режим дня и записать в тетрадь: когда ученик встает, завтракает, идет в школу, обедает, гуляет, готовит уроки, отдыхает, ужинает, ложится спать.

Все эти наблюдения и записи дали нам интересный материал для составления задач из жизни самих детей.

Разнообразная практическая работа носила индивидуальный характер. А выполняемые детьми задания учили их беречь и ценить время, правильно распределяя его между трудом и отдыхом.

Перед решением задач, в которых нужно было показать зависимость между ценой, стоимостью и количеством, я объяснила на рисунках значение этих терминов. На классной доске рисовала различное количество предметов (чашки, тарелки, игрушки), которые покупались по той же цене, и дети видели, как в зависимости от количества предметов меняется их общая стоимость.

Затем брала одно и то же количество предметов, но изменяла их цену, чтобы показать учащимся, как это влияет на стоимость.

Аналогичные зарисовки делали сами дети. После выполнения такого рода практических работ учащиеся сделали вывод, что стоимость зависит от цены и количества покупаемых предметов. В заключение дети под моим руководством составили таблицу и приступили к решению и преобразованию задач.

№ пп

Название предметов

Цена

Количество

Стоимость

1

2

3

Лимоны

Апельсины

Плитка шоколада

3 руб.

?

13

3 шт.

8 шт.

?

?

16 руб.

26 руб.

Тренировочные упражнения подготовили учащихся к самостоятельному решению задач 255 и 256, где нужно было проверить и составить счет.

Много практических работ выполняли мои ученики в связи с решением задач на движение.

Еще во II классе дети узнали, что в задачах на движение имеется три величины — расстояние, скорость и время, что все эти данные связаны между собой и зависят друг от друга.

После выполнения заданий по чертежам учащиеся уяснили способ решения задач на движение: если известны скорость и время, можно узнать расстояние; известны расстояние и время — можно узнать скорость; известны расстояние и скорость — находится время.

При решении и составлении задач на движение учащиеся пользовались следующей таблицей, которую они записали в свои тетради.

Название предметов

Скорость в час

Самолет ТУ-104 . . .

1000 км

Автомобиль .....

50—60 км

Поезд ........

50 км

Пароход ......

18—20 км

Велосипедист ....

12 км

Лошадь.......

10 км

Школьник на лыжах

6 км

Взрослый на лыжах

9 км

Школьник пешком . .

4 км

Взрослый пешком . .

5 км

Эта таблица служила справочником для составления новых задач на движение, где нужно найти расстояние, скорость или время. Большую помощь при этом оказывали учащимся чертежи.

Все задачи, к которым были сделаны чертежи или зарисовки, дети решали быстро и правильно.

Переходя к решению задач на встречное движение, учащиеся должны непосредственно видеть, как движутся предметы навстречу друг другу и как постепенно уменьшается между ними расстояние.

По моему заданию ученики, становясь друг против друга, отмеряли на школьном участке расстояние, равное 84 дм. Затем составлялась задача:

Расстояние между двумя учениками — 84 дм. Они идут навстречу друг другу. Коля идет со скоростью 10 дм в секунду, а Вова со скоростью 11 дм в секунду. Через сколько секунд они встретятся?

Дети вычислили, что за одну секунду ученики приблизились на 21 дм, и затем определили, через сколько секунд они встретились (84 дм:21 дм = 4 (секунды).

Дополнительно давались и такие задачи:

Отец и сын вышли на лыжах навстречу друг другу. Отец шел со скоростью 9 км в час, а сын со скоростью 6 км в час.

Расстояние между ними было 30 км. Через сколько часов они встретились?

Учащиеся сделали чертеж (принимая 1 клетку за 1 км) и самостоятельно решили эту задачу.

*

Развитие пространственных представлений у учащихся мы начинаем с I класса. Большие возможности для этого дает геометрический материал.

В III классе геометрический материал изучался в четвертой четверти. К этому времени ученики уже ознакомились с вертикальными и горизонтальными линиями, умели не только измерять и чертить отрезки прямых линий, но и определять расстояние на глаз, находить длину и ширину предметов, пользоваться масштабом. Для закрепления понятия о вертикальных линиях учащиеся сделали отвес, при помощи которого проверяли отвесные линии, т. е. вертикальные прямые линии шкафа, двери, окна, стен, доски и др.

Знакомство с прямым углом было дано путем сгибания бумаги. В тетрадях для практических работ при помощи линейки и угольника дети начертили несколько прямых углов с разными сторонами и сделали вывод, что все прямые углы равны.

После наглядного знакомства с особенностями прямоугольника и квадрата начертили их в тетрадях и отметили цветным карандашом 4 прямых угла, 4 равные стороны у квадрата и противоположные стороны у прямоугольника.

Затем по данным мной размерам учащиеся чертили и вырезывали квадраты и прямоугольники из картона или плотной цветной бумаги. Вырезанные фигуры наклеивались в тетрадях для практических работ.

Позднее я познакомила учащихся с пособием, при помощи которого образуются прямой, тупой и острый углы.

Эти углы дети складывали из двух карандашей, сравнивали их и делали вывод: тупой угол больше, а острый меньше прямого угла.

В тетрадях начертили прямой, острый и тупой углы и подписали эти названия.

В классе учащиеся находили прямые углы у доски, у оконной рамы, у книг, учебников, классного журнала, портрета, у коробки с цветными карандашами. Указывали, какие предметы в классе имеют прямоугольную и какие квадратную форму.

Путем измерения в классе находились предметы прямоугольной формы, у которых равны противоположные стороны (доска, подоконник, крышка парты, дверь и стены). Выйдя на школьный двор, дети заметили, что стены школы и учебно-опытный участок имеют тоже форму прямоугольника.

Знакомство с километром я дала при помощи 10-метровой веревки,

которой мы раньше измеряли расстояние на школьном дворе. Во время экскурсии от памятника Пушкина до Никитских ворот (это расстояние равно одному километру) учащиеся получили представление о километре. Там же они измерили определенный отрезок расстояния шагами, а потом мерной веревкой.

Полученный от измерения результат разделили на количество шагов (80 м), узнали длину своего шага (при этом я брала трех учеников разного роста). Длина шага первого ученика оказалась равной 80 см, второго — 70 см и третьего — 64 см.

Много практических работ проделали дети при нахождении суммы сторон прямоугольника и квадрата. Все эти измерения были записаны учениками в тетради для практических упражнений.

Давались следующие задания. В классе: измерить, какой длины нужны полоски цветной бумаги для окантовки стенной газеты; измерить, сколько метров деревянных планок потребуется для четырех сторон классной доски; сколько метров плинтуса потребуется для четырех сторон нашего класса. На дом: измерить и записать, сколько потребуется кружева для обшивки четырех сторон носового платка; сколько потребуется шнура для обшивки четырех сторон подушки-думки; подсчитать, сколько потребуется тесьмы для окантовки кармана фартука.

В процессе работы дети убедились, что для вычисления длины всех сторон квадрата нужно знать размер только одной стороны, а для вычисления длины всех сторон прямоугольника надо знать размеры двух сторон, т. е. длины и ширины.

Самостоятельные работы вызывали у детей большой интерес.

Так я осуществляла связь теории с практикой. Результаты годовой контрольной работы показали, что весь программный материал по арифметике учащимися был усвоен хорошо.

И. Д. Павлов

Учитель Тешиловской двухкомплектной школы Загорского района, Московской области

ПОВТОРЕНИЕ ПО АРИФМЕТИКЕ В IV КЛАССЕ НА ОСНОВЕ ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ

зучение программного материала в IV классе заканчивается в апреле. После этого происходит повторение пройденного. В это время учитель обязан особенно внимательно учитывать индивидуальные особенности каждого ученика и, исходя из них, планировать работу по повторению.

Проверка состояния знаний учащихся в течение года дает материал, по которому учитель определяет качество знаний и навыков по каждому разделу программы, намечает разделы для углубленного повторения как со всем классом, так и с отдельными учащимися путем индивидуальных занятий.

Составляется тематический план, в котором указывается количество часов, необходимое на повторение темы в целом и каждого вопроса. Здесь же выделяются отдельные частные вопросы, на которые следует обратить особое внимание на основании анализа знаний и навыков учащихся данного класса. Повторением не следует занимать весь промежуток времени до конца учебного года. На него нужно отвести примерно не более двух третей всего количества часов. В оставшиеся часы целесообразно организовать практические работы, при выполнении которых учащиеся повторяют изученный ими программный материал во взаимосвязи.

Практические работы в этот период должны быть направлены на применение полученных знаний в составлении и решении задач жизненного характера.

Это вовсе не означает, что только в этот период должны решаться и составляться такие задачи. Они решаются учащимися на протяжении всего учебного года, при изучении всех программных тем. Но в период повторения в конце учебного года предоставляется полная возможность использовать все полученные знания и навыки одновременно.

Интересной и плодотворной является работа по составлению новых задач практического характера на местном материале.

Составляя условия задач, учащиеся должны подбирать реальные числа, соответствующие действительности.

Приведем пример. Учащимся предлагается для решения задача без числовых данных:

Отец и его десятилетний сын вышли одновременно друг другу навстречу из двух деревень, расстояние между которыми ... км. Отец проходит в час ... км, а сын ... км. Через сколько часов они встретятся?

Ученик должен начать решение этой задачи с составления плана:

1. Сколько километров пройдут одновременно за час отец и сын?

2. Через сколько часов отец и сын встретятся?

Составив план решения, учащийся приступает к подбору числовых данных к условию. Необходимо подобрать скорость ходьбы в час отца, скорость ходьбы в час сына и расстояние между деревнями.

Ученик первоначально определяет возможную скорость ходьбы сына и считает ее примерно равной 3 км в час, потом скорость ходьбы отца в час, считая ее равной примерно 5 км в час.

Наметив эти данные, ученик решает первое действие:

3 км + 5 км = 8 км.

Далее находится третье число, которое при этом должно быть кратно 8, т. е. делиться на 8. Такими числами могут быть — 8, 16, 24, 32 и т. д.

Допустим, что ученик остановился на числе 24. Он решает второй вопрос задачи:

24 км:8 км = 3 (часа).

В задачах подобного вида нужно рекомендовать учащимся сначала брать такие числа, которые соответствуют их физическим возможностям. Этот прием исключает различного рода ошибки и приближает условие задачи к реальной действительности.

Ученик еще до решения задачи должен определить те арифметические действия, которыми он будет пользоваться при решении каждого вопроса плана. Это он сможет сделать, указав в скобах после записи каждого вопроса действие для его решения. Так, в данном случае для первого вопроса ученик должен поставить в скобках плюс ( + ), а для второго — знак деления (:). Такая запись правильно ориентирует ученика в выборе каждого отдельного действия.

После окончания решения задачи можно рекомендовать детям составить графическую схему условия. При решении задач на движение графическое изображение условия обязательно выполняется в определенном масштабе.

Для данной задачи таким масштабом может быть: размер одной клетки в тетради равен 1 км на местности или 5 мм равняются 1 км.

До начала вычерчивания графической схемы учащиеся чертят масштаб в своей тетради и делают запись:

в 1 клетке — 1 км, или в 5 мм — 1 км.

Далее вычерчивается графическая схема.

Мы рассмотрели только один пример, который указывает на необходимость использования связанных с жизнью данных.

В период изучения программного материала зимой в классных условиях возникает много различных трудностей, препятствующих выполнению значительного количества практических работ.

Весна самое благоприятное время года для занятий с учащимися вне класса. Работа вне стен школы в природных условиях совершенно необходима, она важна главным образом для закрепления знаний всего программного материала.

С этой целью полезно практиковать решение таких задач, когда повторяется одновременно несколько разделов с выполнением ряда практических работ.

В условиях двухкомплектной школы учитель одновременно ведет работу с двумя классами. Как в таком случае выполняются практические работы?

Мы решаем этот вопрос следующим образом. Приглашаем учащихся IV класса для занятий на час раньше, чем учащихся II класса, или оставляем четвероклассников после занятий без нарушения общей нагрузки детей урочной работой. В зависимости от состояния погоды подобные занятия проводятся нами два-три раза в неделю (за апрель — май до 12—15 занятий).

После каждого занятия практического характера учащиеся работают в классе. Собранный фактический материал используется для составления и решения задач, содержание которых непосредственно вытекает из практической необходимости.

Все работы вне класса выполняются группами или звеньями. В зависимости от количества учащихся класс разделяется на несколько групп (звеньев), по три-четыре человека в каждой. В состав каждой группы входят ученики с различными способностями, чтобы при выполнении работы сильные могли оказывать нужную помощь слабым. Желательно создавать постоянные

группы на весь период практических работ, это повышает ответственность каждой отдельной группы перед всем коллективом.

Каждой группе учитель дает самостоятельное задание с указанием всех видов работ и с необходимыми пояснениями.

Первое занятие практического характера посвящается упражнениям по определению на глаз небольших расстояний, проведению и измерению отрезков прямых линий на местности и построению прямых углов с помощью эккера. Провешенная линия ограничивается колышками. Полученный отрезок, например в 10 м, проходят три-четыре ученика и измеряют его шагами. Потом вычисляется средняя длина шага каждого ученика и определяется средняя длина шага для возраста учащихся IV класса. Размер длины шага для четвероклассников колеблется от 40 до 60 см (крупный шаг), т. е. у трех учеников может быть в среднем (25 + 20+ 18) : 3 = 63 : 3 = 21 шаг. Следовательно, на 10 м приходится 21 шаг, длиной около 47 см каждый.

В классе решаются задачи, помогающие учащимся закреплять навыки измерения, полученные на занятиях по измерению прямой на местности.

Вот несколько примеров устных задач:

1. Ученики измеряли расстояние от школы до клуба веревкой длиной 10 м и уложили ее 27 раз. Сколько шагов сделает ученик, проходя это расстояние, если длина его шага 50 см?

2. От правления колхоза к школе провели телефонную линию. Провода привезли в 54 катушках по 10 м в каждой. После проводки телефонной линии проводов осталось 23 м. Какое расстояние от правления колхоза до школы? (Телефонная линия протянута в два провода.)

3. Расстояние от деревни Уголки до деревни Тешилово 3 км 200 м, а от Васьково до Тешилово 2 км 800 м. Петя шел из Тешилово в Уголки, а Витя в Васьково. Кто больше сделал шагов и на сколько больше, если средняя длина шага 40 см? (Решить двумя способами.)

После устных задач решаются письменные задачи усложненного вида.

Вторая практическая работа посвящается построению квадрата, площадь которого равна 1 ару.

Площадь, равную одному ару, учащиеся находят следующим образом: провешивается первая сторона длиной в 10 м, под прямым углом по эккеру — вторая длиной в 10 м. Эккер переносится на одну из конечных точек первых двух сторон, и под прямым углом провешивается третья, а затем и четвертая сторона. Рядом с первой площадью строится и вторая площадь в 1 а, но длина прямоугольника берется в 20 м, а ширина в 5 м. Учащиеся получают одну и ту же площадь в один ар, но различной формы: первая — квадрат, вторая — прямоугольник. Дети сами выясняют, что ар можно построить при длине в 25 м и ширине в 4 м.

Данный урок заканчивается измерением площадей около школы по заданию учителя (площадки для игр, сада, огорода, места, занимаемого строением и др.).

После практических занятий учащиеся выполняют различные задания по этой теме в классе.

Очень интересной и полезной работой на уроке является решение задач на сопоставление норм выработки. В конце учебного года занятия по труду проводятся на учебно-опытном участке. В связи с этим полезно выяснить и уточнить среднюю производительность ручного труда учащихся при копке земельной площади. Для этой цели выбираются три ученика различного физического развития. Им предлагается одновременно начать работу на отведенной каждому площади. На всю работу отводится 30 минут; по истечении этого времени определяется фактическая работа каждого ученика, затем находится средняя величина. Она выражается четырьмя квадратными метрами за 30 минут (копка с боронованием граблями).

На уроке арифметики полученные данные полезно использовать для решения примерно такой задачи:

Сколько времени потребуется для того, чтобы вскопать 1 га, если работать ежедневно по 8 часов и если за 30 минут ученик вскапывает 4 кв. м.?

Задача интересна тем, что получается ответ 1250 часов. Когда учитель сообщит учащимся норму выработки колесного трактора за 8 рабочих часов (2 га 50 а), то легко установить, во сколько раз производительность трактора больше производительности ручного труда одного ученика.

После этого следует решить задачу:

Скольких учеников заменяет трактор при пахоте и одновременном бороновании, если он за 8 часов вспахивает и боронит 2 га 50 о, а ученик за 8 часов может вскопать и заборонить граблями 64 кв. м?

Ответ получается весьма внушительный: трактор может заменить одновременный труд 390 человек. Если вместо нормы колесного трактора взять норму трактора «ДТ-54» или «С-80», то результат будет еще более поразительным.

Из данных примеров практического характера учащиеся убеждаются в преимуществе техники, заменяющей труд человека; нет лучших доказательств, понятных и доступных каждому ребенку, чем практические вычисления, взятые из окружающей действительности.

При повторении кубических мер полезно предложить измерение колхозных построек: ферм, птичников, свинарников, хранилищ. Вот несколько примеров заданий практического характера.

1. Вычислить объем овощехранилища, полезную его площадь и кубатуру.

2. Вычислить объем фермы крупного рогатого скота и узнать его полезную площадь.

3. Вычислить объем и площадь парниковых котлованов, узнать потребное количество навоза на один котлован и перегноя.

Организуя одновременную работу учащихся на нескольких объектах, учитель поочередно проверяет работу звеньев на каждом объекте. На последующих уроках учащиеся составляют самостоятельно задачи с числовыми данными о своей работе.

Вот задача, составленная учеником Сашей П.:

Овощехранилище колхоза имеет засеки. Они расположены по обе стороны прохода, вдоль стен длиной 25 м, шириной 3 м и высотой 2 м. Сколько потребуется подвод для заполнения его картофелем, если одна подвода доставляет за одну поездку 300 кг? На сколько гектаров хватит этого картофеля для посадки, если высаживать на гектар 2500 кг? (Справка: 1 куб. м картофеля весит 650 кг.)

Приведем еще одну задачу, составленную учеником Колей М. по материалам измерений свинарника:

Колхозный свинарник имеет длину 20 м, ширину 6 м. 2/3 его площади занимают клетки для свиней, остальная площадь занята проходами и подсобными помещениями. Какова площадь одной клетки, если их в свинарнике 16 и они равны между собой?

Эту задачу на одном из последующих уроков ученик изменил, когда по радио он услыхал о новом методе бесклеточного содержания свиней:

В колхозном свинарнике площадью 120 кв. м содержится 96 свиней. По групповому способу содержания можно размещать свиней из расчета на 10 кв. м площади — 20 голов. На сколько можно увеличить поголовье свиней в колхозном свинарнике, если содержать их по новому способу?

Весной 1959 г. учащиеся нашей школы помогали колхозу в посадке картофеля. Они сажали его под конный плуг с внесением минеральных гранулированных удобрений. Навоз был внесен ранее. Бригадир привез для посева на площадь 1,5 га три мешка удобрений по 40 кг в каждом. Это количество удобрений нужно было равномерно внести под клубни на указанную площадь. Такое малое количество удобрений удивило учащихся. Бригадир объяснил, почему так мало их требуется на гектар.

В классе была составлена и решена задача на эту тему следующего содержания:

В бригаде колхоза будет посажено 60 га картофеля. На 1 га требуется при посадке 80 кг гранулированных удобрений. Сколько потребуется подвод для перевозки всех удобрений на эту площадь, если на одну подводу грузят по 400 кг?

Интересными и нужными являются задачи-расчеты, решение которых побуждает каждого ученика к анализу и познанию действительности. Так, мы с учащимися решали задачу-расчет о здании нашей школы. Определяли объем здания, объем стен, площадь и объем всех внут-

ренних помещений, площадь побелки и покраски, количество необходимых материалов для ремонта школы, стоимость всех работ по ремонту.

На решение этой задачи потребовалось нескольких дней, так как условие включало до сорока различных пунктов плана. Решив эту задачу, все учащиеся практически анализировали ход решения, привлекали данные своих измерений.

Перед детьми был поставлен вопрос, сможем ли мы вычислить, сколько было затрачено кирпича на постройку здания нашей школы.

Сначала все учащиеся ответили отрицательно. Но когда они подошли к практическому разрешению этого вопроса и получили все необходимые данные, то узнали требуемое количество кирпича, сколько нужно автомашин для перевозки этого кирпича, количество времени для кладки стен и многое другое.

При решении задач практического характера учащимся нужны различные справочные таблицы. В наши таблицы были включены данные о весе 1 куб. м различных материалов, стоимости, нормы выработки, скорости движения в час, грузоподъемность и многое другое.

Интересным видом работы является составление таких задач, при решении которых учащиеся должны пользоваться географической картой и определять расстояния по масштабу.

Вот одна из задач, составленная учащимися по карте:

Пассажир на самолете «Ту-104» летел из Москвы в Иркутск. Скорость самолета 800 км в час, на остановку в Омске тратится 40 минут. Сколько времени займет полет от Москвы до Иркутска? (Расстояние измеряется прямой масштабной линейкой с использованием указанного масштаба.)

При решении задач по карте и составлении задач самими учащимися можно ставить различные вопросы: определение скорости движения, расстояния, времени движения.

В минувшем учебном году при решении задач на местном материале мы давали и такие задачи, которые знакомили учащихся с работой Героев Социалистического Труда нашего колхоза.

Вот одна из них:

Наша колхозница-доярка работает на ферме 10 лет. Средний годовой удой от каждой коровы составил 1900 л. У доярки ежегодно было по 10 коров. Сколько доярка надоила молока за 10 лет работы? Сколько потребовалось бы сделать рейсов колхозной автомашине с этим молоком на молокозавод, если за один рейс можно грузить 40 бидонов по 40 литров в каждом?

Ответ получается весьма внушительный — 118 рейсов!

Учащиеся решают и такие задачи, которые отражают их жизнь.

Например:

Расстояние от деревни Уголки до школы 3 км. Сколько километров ученик прошел за 4 года обучения в школе при ходьбе в школу и обратно, если в учебном году 205 рабочих дней?

В ответе получилось 4920 км, т. е. расстояние, почти равное расстоянию от Москвы до Иркутска.

Приведенные задачи сближают ученика с окружающей действительностью.

Необходимо подчеркнуть важность разнообразия видов работ при повторении изученного материала по арифметике. Значительное место при организации повторения должно быть уделено практическим задачам, связанным с жизнью.

П. М. Эрдниев

Старший преподаватель Ставропольского педагогического института, кандидат педагогических наук

ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА В КУРСЕ АРИФМЕТИКИ

процессе обучения арифметике важно не столько получение частных результатов, понимание отдельных способов решения тех или иных задач, сколько понимание логических переходов, связей между задачами и способами их решения, овладение способом решения не отдельных задач, а группы задач, родственных в том или ином отношении.

В предлагаемой статье речь будет идти о преобразовании исходных задач в родственные и обратные им.

Рассмотрим особенности работы над обратной задачей.

Пусть решена следующая задача:

Для детского дома купили 5 платьев по 80 рублей и 4 пальто по 130 рублей. Сколько стоит вся покупка?

Решение:

После решения этой задачи учитель проводит примерно следующую беседу (в скобках даны примерные ответы учащихся).

— Сколько чисел было дано в условии решенной задачи? Какие это числа? Выпишите их. (В задаче были даны четыре числа: 5 платьев, 80 рублей, 4 пальто, 130 рублей.)

— В условии задачи были даны четыре числа, пятое найдено при решении — это ответ к задаче — 920 рублей. Запишем ответ в рамочке:

Дальше учитель поясняет процесс составления обратной задачи:

— Если поменяем местами число 920 рублей с любым из четырех других чисел, то мы получим новую задачу, обратную решенной. Например, вместо числа 920 рублей сделаем искомым число 5 платьев, а число 920 рублей пусть будет известным, его мы введем в условие обратной задачи. Схема обратной задачи запишется так:

— Каков будет вопрос обратной задачи? («Сколько платьев было куплено?»)

— Составьте обратную задачу. Для этого в условии расскажите про четыре оставшихся числа.

Учащиеся составляют такую обратную задачу:

I. Для детского дома купили 4 пальто по 130 рублей и несколько одинаковых платьев по 80 рублей. Всего израсходовали на покупку 920 рублей. Сколько купили платьев?

Решают ее так:

После решения обратной задачи полезно иногда сравнить условия обеих задач, а также способы их решения.

— Чем отличаются друг от друга прямая и обратная задачи? Какие числа являются искомыми в прямой и обратной задачах? (В прямой задаче искомым было число 920 рублей, а в обратной — число 5 платьев.)

— Какие числа входят в условия обеих задач? (В условия прямой и обратной задач входят числа: 80 рублей, 4 пальто, 130 рублей.)

— Сравним решения прямой и обратной задач. Что здесь общего? (Каждая задача решается тремя действиями. Количество действий одинаково.)

— Какими действиями решается каждая задача? (Прямая задача решена двумя умножениями и сложением, а обратная — умножением, вычитанием и делением.)

— Значит, при решении обратной задачи появились два новых действия, которых не было в решении прямой задачи; второе действие — вычитание (920 руб. — 520 руб. = 400 руб.); третье — деление (400 руб. : 80 руб. = 5 (пл.).

— Как мы находили число 400 рублей, при решении прямой задачи? (В прямой задаче мы знали цену одного платья. Чтобы найти стоимость 5 платьев, мы 80 рублей умножили на 5.)

— А как мы находим в обратной задаче число 400 рублей, стоимость всех платьев? (В обратной задаче известна стоимость всей покупки — 920 рублей.) Чтобы найти стоимость платьев, мы от 920 рублей отнимаем 520 рублей, получаем 400 рублей.

— Рассмотрите действия первой и второй задач. Какие действия одинаковы? (Первые действия в обеих задачах одинаковы. Там и тут находят стоимость 4 пальто умножением: 130 руб. × 4 = 520 руб.)

Если такой сравнительный анализ решения задач выполняется в II—IV классах (после ознакомления учащихся с названиями членов арифметических действий), то можно использовать в рассуждениях эти названия.

— Во втором действии обратной задачи определяется стоимость платьев: 920 руб. — 520 руб. = 400 руб. С каким действием первой задачи связано это действие? (Оно связано с третьим действием прямой задачи. Если в прямой задаче находится сумма: 520 руб. + 400 руб. = 920 руб., то в обратной находится одно из слагаемых по сумме и известному другому слагаемому: 920 руб. — 520 руб. = 400 руб.)

— Рассмотрим третье действие обратной задачи. С каким действием прямой задачи оно связано? (Оно связано со вторым действием прямой задачи. Если в прямой задаче находится произведение: 80 руб. × 5 = 400 руб., то в обратной — множитель по известному произведению и известному множителю: 400 руб. : 80 руб.= 5 (пл.).)

— В прямой задаче вторым действием находим стоимость всех платьев по цене и количеству купленного товара. Какая величина определяется в обратной задаче? (В обратной задаче находится количество купленного товара. Для этого стоимость делят на цену.)

Подобные беседы проводятся обычно не полностью, а частично, для выявления отдельных зависимостей между прямой и обратной задачами.

Последующее за решением обсуждение прямой и обратной задач — хорошее упражнение для развития логического мышления учащихся: дети учатся обобщать математические понятия, связывать конкретное (80 руб., 400 руб.) с абстрактным (цена товара, стоимость товара); учатся видеть за числами (80 руб., 5 пл., 400 руб.) члены действий (множимое, множитель, произведение).

При составлении обратной задачи учащиеся нередко пытаются включить в условие результаты промежуточных действий (так, в нашем примере они могут попытаться использовать числа 520 руб., 400 руб.). Учитель должен указать, что в условие обратной задачи включается лишь ответ задачи, т. е. результат третьего действия (920 руб.).

Аналогично составляются и три обратные задачи, схемы которых таковы:

Составлением обратных задач учащиеся могут успешно заниматься уже со II класса1.

Проведенные нами наблюдения говорят, что такая методика доступна и понятна учащимся.

Разумеется, условие обратной задачи записывать нет смысла, достаточно записать лишь соответствующую схему — строку из чисел, входящих в ее условие.

Учащийся, видя число без рамки, включает его в условие задачи; число в рамке не включается в условие, оно должно быть скрыто, сделано неизвестным; для числа, находящегося в рамке, учащийся подбирает соответствующий вопрос.

Таким образом, числа, заключенные в рамку, становятся опорными пунктами для условия обратной задачи.

Вся работа над обратной задачей (составление условия, формулировка вопросов, вычисления) большей частью выполняется устно, записываются только действия.

Полезно иногда предлагать ученикам фиксировать лишь последовательность действий знаками, не записывая даже чисел. Например, для указанной выше обратной задачи дети напишут так: 1) Х; 2) —; 3) :.

В других случаях можно потребовать, чтобы записывались только результаты действий без знаков. Для той же задачи запись будет выглядеть так: 1) 520 руб.; 2) 400 руб.; 3) 5 пл.

Составление и решение обратной задачи — в психологическом плане ценная работа, развивающая математическое мышление детей:

1. Преобразуя задачу, учащиеся выявляют и используют взаимно обратные связи между величинами: если в прямой задаче, скажем, определялась стоимость по цене и количеству товара, то в обратной определяется цена или количество товара.

2. Ученики практически познают связи между действиями: если в прямой задаче использовалось умножение, то при решении обратной применено действие, обратное умножению, т. е. деление.

3. Дети выявляют, что количество комбинаций при составлении обратной задачи ограничено: оно равно количеству данных в задаче.

4. Решая обратную задачу, учащиеся перестраивают суждения и умозаключения, использованные при решении прямой задачи, преодолевая при этом в мышлении инерцию действий, выполненных при решении прямой задачи.

Обычные арифметические задачи в три действия

Рассмотрим разновидности задач в три действия.

Пусть числа 20 и 10 означают два значения одной величины (скажем, цены), а 6 и 4 — соответствующие значения другой величины (количества товара).

Составим первую прямую задачу2.

I. Куплено 6 метров полотна по 20 рублей и 4 метра сатина по 10 рублей. Сколько стоит вся покупка?

Решение:

Формула решения такова:

Обратными рассмотренной могут быть следующие задачи:

Iа. Искомое число — количество метров (6 м).

1 Н. С. Попова, Методика преподавания арифметики, Учпедгиз. 1955, стр. 148.

2 Во всех задачах мы берем для удобства «круглые» числа. Учитель может изменить как числа, так в равной мере и сюжет.

Куплено несколько метров полотна по 20 рублей, 4 метра сатина по 10 рублей, всего на сумму 160 рублей. Сколько метров полотна было куплено?

Решение:

Iб. Искомое число — цена 1 метра полотна (20 руб.).

Куплено 4 метра сатина по 10 рублей и 6 метров полотна, всего на сумму 160 рублей. Сколько стоит 1 метр полотна?

Решение:

Две другие обратные задачи подобны только что рассмотренным, поэтому мы на них не останавливаемся.

В первой прямой задаче последним (третьим) действием определялась сумма двух именованных чисел. Вместо этого эти два числа можно было сравнить вычитанием (или делением). Так мы получаем еще две группы задач.

II. Формула второй прямой задачи такова:

Куплено 6 метров полотна по 20 рублей и 4 метра сатина по 10 рублей. По скольку рублей уплатили за полотно больше, чем за сатин?

Решение:

Составляются обратные задачи. В прямой задаче были числа:

Схемы обратных задач будут выглядеть соответственно так:

IIб. Куплено несколько метров полотна по 20 рублей и 4 метра сатина по 10 рублей. За полотно уплачено на 80 рублей больше, чем за сатин. Сколько метров полотна куплено?

Решение:

В задачах Iб и IIг определяется одна и та же величина (количество товара); однако решение их отличается вторыми действиями.

Аналогична связь между задачами IIа и IIв. Пары задач (IIа и IIб; IIв и IIг), имея одну и ту же последовательность действий, отличаются в третьем действии видом деления (по содержанию и на равные части). Поэтому во второй группе все четыре обратные задачи должны считаться как различные.

Два произведения можно было сравнить и делением (кратное сравнение). Так получаем третью группу задач.

III. Формула третьей прямой задачи:

Куплено 6 метров полотна по 20 рублей и 4 метра сатина по 10 рублей. Во сколько раз за полотно уплачено больше, чем за сатин?

Решение:

Схема прямой задачи такова:

Схемы обратных задач будут соответственно следующими:

Рассматривается одна обратная задача

IIIа. Куплено 4 м сатина по 10 рублей и 6 л полотна. За сатин уплачено в 3 раза меньше денег, чем за полотно.

Сколько стоит 1 м полотна?

Решение:

Как и во втором случае, все задачи, обратные третьей, различны.

В рассмотренных выше задачах мы находили сумму, разность и

частное двух произведений. Аналогично можно поступить с двумя частными. Тогда соответственно формулы других трех прямых задач будут следующие:

Рассматриваются примеры, причем к каждой прямой задаче приводится по одной обратной.

IV. Турист проехал пароходом 60 км, затем прошел пешком 24 км. Пароходом проезжал в час по 30 км, а пешком проходил в час по 4 км. Сколько часов был в пути турист?

Решение:

Турист был в пути всего 8 часов. Из них пешком он прошел 24 км, проходя в час по 4 км. Пароходом он проезжал в час по 30 км. Сколько километров проехал турист пароходом?

Решение:

V. Турист проехал пароходом 60 км, затем прошел пешком 24 км. Пароходом проезжал в час 30 км, а пешком он проходил в час 4 км. На сколько часов больше он шел пешком, чем ехал пароходом?

Решение:

Турист проехал пароходом 60 км, проезжая в час по 30 км. Пешком он шел на 4 часа больше, чем ехал пароходом. Пешком проходил в час 4 км. Сколько километров турист прошел пешком?

Решение:

VI. Турист проехал пароходом 60 км, затем прошел пешком 24 км. Пароходом проезжал в час 30 км, а пешком проходил в час 4 км. Во сколько раз больше времени турист шел пешком, чем ехал пароходом?

Решение:

VIг. Схема обратной задачи:

Турист проехал пароходом 60 км, проезжая в час по 30 км. Пешком он шел 24 км, причем шел он в 3 раза больше времени, чем ехал пароходом. Сколько километров в час проходил турист пешком?

Решение:

Оставшиеся три обратные задачи каждой группы по виду отличны друг от друга.

Иногда бывает уместным предложить задачу без вопроса с тем, чтобы учащиеся сформулировали недостающий вопрос. Такие задания встречаются в школьных задачниках. Мы же акцентируем внимание на необходимости постановки к одному условию всех возможных вопросов для того, чтобы учащиеся могли сравнить родственные задачи и их решения, чтобы они уясняли принцип вариации, который позволяет получить не одну задачу, а группу взаимосвязанных задач.

Например, задание должно выглядеть так:

Турист проехал пароходом 60 км, затем прошел пешком 24 км. Пароходом проезжал в час по 30 км, а пешком проходил в час по 4 км.

Поставить три разных вопроса и решить получившиеся задачи.

Учащиеся придумывают следующие вопросы: «Сколько часов был в пути турист?», «На сколько часов турист пешком шел дольше, чем ехал пароходом?», «Во сколько раз турист пешком шел дольше, чем ехал пароходом?»

Осмысление того, что задачи эти тесно связаны, что их решение зависит от вопроса, что мыслимы всего три варианта вопросов, что эти три задачи составляют определенную группу взаимосвязанных задач, есть приобретение нового знания, качественно более сложного и потому более ценного, нежели овладение в отдельности способами решения готовых задач.

Такая работа содержит элемент творчества, содействует активизации мыслительных процессов ученика.

ПОЛВЕКА НА ПОСТУ

К 70-ЛЕТИЮ СО ДНЯ РОЖДЕНИЯ А. С. ПЧЕЛКО

28 марта этого года педагогическая общественность нашей страны отмечала семидесятилетие со дня рождения и пятидесятилетие научно-педагогической работы Александра Спиридоновича Пчелко, широко известного советскому учительству, видного методиста-арифметика, автора стабильных учебников по этому предмету для начальных классов, одного из организаторов советской начальной школы, заведующего сектором методики начального обучения Института методов обучения АПН РСФСР.

Александр Спиридонович родился в 1890 г.

Свою трудовую деятельность он начал с 1903 г. в качестве помощника учителя церковно-приходского училища, а затем учителя школы грамоты. Тогда ему было немногим более 13 лет.

Александра Спиридоновича увлекла преподавательская работа. Он стремился совершенствоваться в ней и поступил в учительскую семинарию, окончив которую стал учителем высшего начального училища. Затем окончил учительский институт, учился на Высших научно-педагогических курсах. С 1920 г. в течение 26 лет Александр Спиридонович работал в Народном комиссариате просвещения. Здесь ему посчастливилось работать под руководством Н. К. Крупской. «Мы благоговели перед ней, — рассказывает Александр Спиридонович, — прислушивались к каждому ее слову,

читали и перечитывали ее статьи учились у нее, ждали ее отзыва на свои работы. Не раз приходилось и мне выслушивать мудрые, полные глубокого смысла советы Надежды Константиновны».

Одновременно с работой в Наркомпросе А. С. Пчелко в течение ряда лет состоял преподавателем Московского вечернего педагогического института, работал в различных методических учреждениях. С 1934 по 1947 г. А. С. Пчелко состоял депутатом Куйбышевского районного Совета г. Москвы, а затем Московского городского Совета.

С момента создания Академии педагогических наук РСФСР и до настоящего времени А. С. Пчелко работает в Научно-исследовательском институте методов в качестве старшего научного сотрудника и заведующего сектором.

С 1947 г. Александр Спиридонович является заместителем редактора журнала «Начальная школа».

А. С. Пчелко написал по вопросам методики арифметики около 80 работ, среди которых особенно известна учительству его «Методика преподавания арифметики в начальной школе», выдержавшая несколько изданий и переведенная на ряд иностранных языков (польский, венгерский, чешский, болгарский, китайский и др.). Можно назвать также ряд других известных работ А. С. Пчелко, таковы, например: «Элементы политехнического обучения в начальной школе», (совместно с П. А. Завитаевым), «Очерк истории развития методики арифметики в XIX и начале XX века в России», «Методическое письмо о преподавании арифметики в начальной школе», «Письменные вычисления в начальной школе», «Развитие логического мышления в процессе обучения в начальной школе» (совместно с Н. А. Менчинской) и др.

После принятия Закона об укреплении связи школы с жизнью А. С. Пчелко провел большую работу по созданию основных программно-методических документов для I—IV классов, разработал программу по арифметике.

На протяжении последних лет Александр Спиридонович уделил большое внимание работе по созданию учебников арифметики для начальной школы. В настоящее время все начальные школы нашей страны работают по учебникам арифметики А. С. Пчелко и Г. Б. Поляка.

А. С. Пчелко постоянно выступает с докладами на учительских совещаниях, семинарах, конференциях, курсах. Его часто можно встретить среди учителей не только Москвы, но и других городов. Тесная дружба завязалась у Александра Спиридоновича с чехословацкими педагогами во время его поездки в Чехословакию в 1957 г. Научные контакты поддерживаются и по сей день. Теплые поздравления, полученные в адрес юбиляра, — одно из свидетельств этой дружбы.

«В методических работах Александра Спиридоновича, — пишет заведующий сектором математики Пражского научно-исследовательского института педагогики доктор Иржи Кабеле, — нахожу я и все наши учителя основы советской методики арифметики для начальной щколы. Его учебники являются для нас примером при составлении наших учебников, по его статьям в журнале «Начальная школа» мы знакомились с проблематикой обучения арифметике в советской начальной школе и с ее решением в принципиальных вопросах. Посещение Александра Спиридоновича принесло нам большую пользу».

Все это создает А. С. Пчелко заслуженную известность в педагогическом мире, репутацию активного научного работника и крупного деятеля по народному образованию, тесно связанного с жизнью, с учительскими массами.

Обо всем этом много и тепло говорили на заседании Ученого совета Института методов обучения АПН РСФСР, когда чествовали А. С. Пчелко.

В адрес юбиляра поступило около 150 поздравительных телеграмм.

Д. В. Пшеничный

Учитель Воровсколесской средней школы № 2 Курсавского района Ставропольского края

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КВАДРАТНЫХ ЧИСЛОВЫХ ФИГУР В I КЛАССЕ

Дети семилетнего возраста мыслят конкретно и потому на уроках арифметики в I классе следует особенно широко использовать наглядные пособия.

Одним из наглядных пособий на этой ступени обучения являются квадратные числовые фигуры (рис. 1).

Если с помощью этих фигур проводить достаточное количество упражнений в счете, то учащиеся гораздо легче усвоят два действия в пределе десяти, которые они постепенно научатся производить и отвлеченно.

Однако ценность квадратных числовых фигур не только в том, что они служат хорошим пособием для счета, но и в том, что в процессе работы с ними дети легче овладевают составом чисел первого десятка.

Образцы квадратных числовых фигур помещены в задачниках для I класса и служат зрительными образами изучаемых чисел.

Но одни зрительные восприятия от числовых фигур не могут дать вполне положительного результата при обучении счету. Кроме зрительных представлений числовых фигур, учащиеся должны действовать с этими фигурами, складывая их. Этой цели служат счеты. Однако употребляемые в школе обычные классные счеты малопригодны при изучении чисел первого десятка, потому что косточки их при счете часто сдвигаются очень близко и не дают детям возможности усваивать состав чисел.

Мною введен в I классе прибор, пригодный для складывания на нем квадратных числовых фигур из косточек.

В отличие от классных счет прибор имеет только два проволочных стержня, на которых могут двигаться всего десять косточек (рис. 2).

Между косточками на тех же стержнях имеются тростниковые или деревянные трубочки, которые не дают возможности косточкам сдвигаться вплотную (рис. 3).

Учащиеся под руководством учителя могут складывать на приборе разные числа и ясно видеть результаты проделанных действий.

На рисунке 3 показано откладывание числа 3 в левой стороне счет.

К трубочкам на приборе прикасаться нет надобности, так как они передвигаются при движении косточек. На рисунке 4 к числу 3 прибавлено 2, а на рисунке 5 от 5 отнято 3.

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

Рис. 4

Рис. 5

Таким образом, упражнения на нашем приборе помогут учащимся быстрее усвоить отвлеченный счет в пределе десяти.

В начале работы с прибором косточки надеваются не все сразу, а последовательно, начиная с одной согласно порядка прохождения чисел.

Прибор можно использовать и при изучении второго десятка, прибавив еще два стержня с десятком косточек.

При работе на описанном мною приборе полезно использовать еще 10—15 счетных карточек из картона, дерева или пластмассы. На каждой из десяти одинаковых карточек изображается один черный кружок — элемент числовой фигуры (рис. 6). На остальных пяти — такие числовые фигуры: на трех — по два кружка на каждой, а на двух — по четыре кружка (рис. 7).

Пользуясь этими карточками, учащиеся могут складывать любую числовую фигуру. Они передвигают карточки по заданию учителя, подсчитывая или отсчитывая изображенные на них кружочки.

Такие упражнения дадут детям ясные представления о составе чисел первого десятка. Следует добивать, что при упражнениях в счете с использованием счетных карточек (рис. 6 и 7) учащимся нужно обязательно предлагать складывать карточки, когда это возможно, в полный квадрат, а между квадратом и его частью оставлять промежуток, как это видно на рисунках 8 и 9, где сложены числа 3, 5, 6 и 7.

На рисунке 10 показано присчитывание 2 к 3 с результатом, равным 5, а отсчитывание 2 от 6 видно на рисунке 11.

На счетных карточках можно вместо черных кружков помещать рисунки яблок, орехов и т. д.

Рис. 6

Рис. 7

Рис. 8

Рис. 9

Рис. 10

Рис. 11

П. С. Исаков

КАК ИЗГОТОВИТЬ РАЗБОРНУЮ МОДЕЛЬ КУБИЧЕСКОГО МЕТРА

Простейшая модель кубического метра изготовляется из планок или брусков квадратного сечения, которые поставлены перпендикулярно друг другу и скреплены между собой в вершине. Скрепление может быть осуществлено следующим образом. Из жести, по возможности более толстой, а еще лучше из листового железа толщиной 0,7—0,8 мм вырезается полоска длиной 6—7 см и шириной 1,5—2 см. Посередине эта полоска изгибается под прямым углом и прибивается к одной из планок (рис. 1). В выступающих ее концах делается по отверстию и к полученным таким образом ушкам (А) шурупами прикрепляются две другие планки. Для того чтобы модель можно было складывать, на концах этих планок предварительно делаются закругления (Б). На время работы в классе модель может быть закреплена тремя небольшими гвоздями. Для этого нужно только прибить к свободным концам планок небольшие угольники (В), также вырезанные из жести.

В обращении, конечно, гораздо удобнее переносная модель кубического метра, но, к сожалению, она слишком громоздка. Ее практически нельзя перенести из класса в

класс, неудобно хранить в течение того довольно продолжительного времени, пока ею не пользуются. Поэтому желательно иметь разборную модель в виде каркаса куба. Однако и здесь есть своя трудность: неудобно всякий раз, когда это потребуется, сколачивать гвоздями или скреплять шурупами планки, образующие каркас, не говоря уже о том, что такое скрепление очень быстро разрушает концы планок. Поэтому следует сделать несложные приспособления для соединения планок в вершинах куба. Ниже дается описание трех таких приспособлений. Они достаточно просты и могут быть изготовлены в школьных мастерских.

Самое простое приспособление из картона. Для его изготовления вполне годится тонкий картон толщиной 0,6—0,7 мм, который легко режется и сгибается. Из листа картона вырезается квадрат со стороной 20 см (рис. 2, а).

Через середины противоположных сторон квадрата проводятся две прямые (на чертеже обозначены пунктиром), по которым делаются неглубокие надрезы для того, чтобы картон удобнее было согнуть. По линии АБ квадрат разрезается, затем складывается по надрезам в виде трехгранного угла и в таком виде склеивается (рис. 2, б). На гранях трехгранного угла прокалываются отверстия. Расположение отверстий и расстояния от них до ребер и между ними показаны на чертеже. Через каждую пару отверстий концами наружу пропускается тесьма. Цвет тесьмы следует выбрать близким к цвету картона.

Таких приспособлений должно быть изготовлено восемь по числу вершин куба. С их помощью соединение планок, образующих каркас кубического метра, производится так, как показано на рисунке 3. Удобнее, однако, вместо планок брать бруски квадратного сечения. Длина брусков в зависимости от того, как они будут расположены в модели, должна быть различной. Четыре бруска следует взять равными 1 м; остальные (для случая, когда сторона квадрата в сечении бруска равна 1,5 см) —97 см. Собирая модель, надо укреплять длинные бруски так, чтобы они торцами упирались в грани соединительного трехгранного угла. При этом короткие бруски упрутся сбоку в длинные и тем самым образуют ребра длиной в 1 м.

На ребрах брусков против отверстий в соединительном приспособлении должны быть сделаны неглубокие вырезы для тесьмы (на длинных брусках на расстояниях 3 см и 8 см от концов; на коротких — на расстояниях 1,5 см и 6,5 см от концов).

Полезно нанести на бруски черной краской полосы шириной в 10 см со светлыми интервалами между ними также в 10 см (на коротких брусках крайние полосы должны быть шириной 8,5 см). Такие раскрашенные бруски следует применять при сборке модели кубического метра и в других указанных здесь случаях.

Описанное приспособление, несмотря на его кажущуюся непрочность, на деле оказывается вполне надежным. Надо лишь крепче завязывать узелки, чтобы обеспечить необходимую устойчивость модели.

В то же время мы должны отметить, что сборка модели с завязыванием 48 узелков представляет собой довольно громоздкую операцию. Даже при условии, что сборку будут производить два человека, на нее потребуется около 10 минут. Это, конечно, серьезный недостаток предлагаемого устройства.

Гораздо удобнее в обращении устройство, изображенное на рисунке 4. Пред-

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

ставляет оно собой своего рода тройник, изготовленный из железа толщиной не менее 0,7—0,8 мм.

Развертка тройника показана на рисунке 5. Размеры на чертеже даны в миллиметрах. Линии сгиба обозначены пунктиром.

Когда тройник будет сделан, стыки надо тщательно запаять или заварить. Не следует запаивать лишь стыков по линиям A1Б1, A2Б2 и A3Б3 (рис. 4). Это нужно для того, чтобы четырехгранные трубки, в которые будут вставляться концы брусков, слегка пружинили.

Расход материала для изготовления восьми тройников незначителен. Даже при самом нерациональном раскрое железа потребуется лист размером не более 32 см × 14 см. Работа по изготовлению тройников не очень трудоемкая. Автор имел возможность убедиться в этом, собственноручно изготовив опытные образцы моделей обоих видов.

Бруски, из которых составляется каркас куба, должны быть одинаковой длины, равной 97 см. Удобнее всего брать бруски приблизительно квадратного сечения толщиной около 1,5 см. На расстоянии 17 мм от концов они должны быть запилены и срезаны так, чтобы в сечении получился квадрат со стороной 12 мм (рис. 6). Эти последние размеры необходимо выдержать по возможности точно, так как от этого зависит прочность соединения и, следовательно, устойчивость модели.

Для еще большей прочности (а также и для того, чтобы не растерять мелкие детали) все тройники следует прикрепить гвоздями или шурупами к концам четырех брусков.

Третий вид соединительного приспособления показан на рисунке 7. Он представляет собой деревянный куб с ребром 5—8 см (размер выбирается в зависимости от прочности материала). На каждой из трех взаимно перпендикулярных граней куба пробиваются квадратные отверстия, в которые вставляются концы брусков. При этом, как и в случае металлических тройников, надо добиваться, чтобы толщина брусков и размеры отверстий как можно точнее соответствовали друг другу.

Указанное приспособление вместе с моделью кубического метра демонстрировалось на выставке учебных и наглядных пособий во время работы первого Всероссийского съезда преподавателей математики в Москве в 1911—1912 гг. Оттуда оно и заимствовано нами.

В заключение отметим, что, какое бы из описанных приспособлений мы ни применяли, во время сборки модели необходимо соблюдать строго определенную последовательность работ. Показана эта последовательность на рисунке 8. Сначала

Рис. 4 Рис. 5

Рис. 6

Рис. 7

Рис. 8

Рис. 9

(8, а) собирается каркас квадратного метра, представляющего собой нижнюю грань. В таком же порядке собирается каркас верхней грани (8, б). Затем становятся боковые ребра (8, в) и, наконец, на концы их надевается каркас верхней грани (8, г). При разборке работы выполняются в обратном порядке. Несоблюдение указанной последовательности может вызвать сильный перекос модели что неизбежно повлечет за собой повреждение соединительных приспособлений.

На приведенной выше фотографии (рис. 9) показана модель кубического метра с соединениями в вершинах в виде металлических тройников.

П. И. Холопова

Учительница школы № 283 г. Москвы

ОТРАЖЕНИЕ ЖИЗНИ НА УРОКАХ АРИФМЕТИКИ

Закон о перестройке системы народного образования поставил перед учителями в качестве одной из главных задач — укрепление связи обучения и воспитания учащихся с жизнью.

С самого начала текущего учебного года каждый учитель прекрасно понимал, что его внимание должно быть направлено прежде всего на разрешение этой главной задачи.

По мере своих сил и возможностей мы стремились проводить обучение и воспитание учащихся в тесной связи с окружающей действительностью, с практикой коммунистического строительства в нашей стране.

В моей практической работе связь обучения арифметике с жизнью проявлялась в особенности при обучении решению задач. Поэтому я поделюсь своим опытом именно в этом направлении.

С самого начала занятий остро встал вопрос, откуда черпать данные для составления таких жизненных задач, которые бы соответствовали изучаемому программному материалу.

В учебнике для III класса задачи по своему содержанию реалистичны, и многие из них отражают деятельность самих детей, их общественно полезную работу, игры. Однако эти задачи составлены по «общим» данным и поэтому не всегда могли отвечать фактам из действительной жизни учащихся моего класса.

Так, в условии задачи 1 сказано: «В классе 19 учеников и 20 учениц. Сколько всего учащихся в классе?», а в нашем классе 18 мальчиков и 14 девочек. Изменив соответствующим образом числовые данные, мы получили задачу о нашем классе. Таким образом дети под моим руководством «пересоставляли» многие задачи из учебника. На примере нескольких задач покажу, как это делалось.

Решив на уроке задачу 109 из учебника:

В школьном саду в один день собрали 110 кг яблок, а в другой день на 48 кг больше. Сколько килограммов яблок собрали за два дня?

учащиеся по моему заданию составили такую же задачу о собственной работе:

В парке имени Дзержинского в первый раз наш класс собрал 48 кг желудей, а в другой раз на 24 кг больше. Сколько всего желудей собрал наш класс?

Числовые данные, использованные в задаче, взяты из жизни нашего класса.

По аналогии с задачей 119

Для библиотеки куплено в первый раз 355 книг, во второй раз на 172 книги больше. Сколько книг куплено во второй раз?

учащимися была составлена такая задача:

Библиотекой нашей школы куплено для старших классов 117 книг, а для младших классов на 46 книг больше. Сколько всего книг куплено нашей библиотекой?

Перед составлением этой задачи в классе двум учащимся было поручено получить соответствующие сведения у школьного библиотекаря.

Большой интерес вызвала у детей задача 555, в которой требуется проверить счет, выданный школе мебельным магазином. Эта задача дала повод для составления нескольких задач из жизни нашей школы.

Например, такой:

Для начальной школы выписали счет на газеты и журналы. Проверьте этот счет:

Наименование

Количество

Цена

Стоимость

руб.

коп.

руб.

коп.

«Учительская газета» . . . .

1

46

80

46

80

«Пионерская правда» ....

3

10

80

32

40

«Начальная школа». . .

1

18

18

«Семья и школа». . .

1

30

30

«Пионер»

1

30

30

Итого

157

20

При проверке и составлении разнообразных счетов в одних случаях вычисления проводились устно, в других — на счетах или в тетради. Дети самостоятельно составляли подобные таблицы-счета, в которых подсчитывалось, сколько стоит весь комплект учебников, тетрадей и учебных пособий для ученика III класса и др.

Учащиеся довольно быстро освоились с составлением задач по аналогии на основе данных, взятых из окружающей жизни. Составляя собственные задачи, дети всегда были активны и проявляли большую находчивость и осведомленность в самых разнообразных вопросах.

В повседневной жизни (и в школе и вне ее) детям часто приходится производить различные подсчеты. В начале учебного года начались ежедневные и еженедельные расчеты со школьным буфетом, от времени до времени нам приходилось производить покупки различных материалов для уроков труда, некоторых учебных принадлежностей, покупать билеты в кино и в театр и др. Решение такого рода практических задач-расчетов раньше проводилось либо самим учителем, либо отдельными учениками, получившими соответствующее задание. В нынешнем году все такие задачи решались на уроке. Иногда это делалось в качестве проверки расчетов, проведенных ответственными за то или иное мероприятие учащимися, но чаще еще до выполнения поручения. Приведу пример таких задач:

В нашем классе 30 человек. Мы решили выписать до 1 января газету «Пионерская правда» для трех звеньев. Постановили выписать для каждого звена по 2 экземпляра. На год подписка 1 экземпляра «Пионерской правды» стоит 10 руб. 80 коп. Сколько денег должен внести каждый ученик, чтобы собрать нужную сумму?

Для уроков труда нужно купить: для каждого учащегося коробку пластилина за 3 руб. и шпатель за 8 коп. Сколько денег нужно собрать для этой покупки?

Многие жизненные задачи были решены нами в связи с изучением мер времени. Каждый учащийся составил задачу, при решении которой рассчитал, когда он должен выйти из дому в школу, чтобы прийти вовремя к зарядке. Вот пример такой задачи:

В школе зарядка начинается в 8 час 15 мин., на дорогу от дома до школы я трачу 15 мин., на раздевание в раздевалке — 5 мин., на подготовку к уроку и зарядке — 5 мин. Когда нужно выходить из дому, чтобы аккуратно приходить к зарядке?

Другая задача:

Репетиция к выступлению на празднике началась в 12 час. 15 мин., а закончилась в 13 час. 20 мин. Сколько времени продолжалась репетиция? И т. п.

Детям часто в быту приходится выполнять различные расчеты при выполнении поручений родителей. Много таких практических расчетов проводилось нами и на уроках арифметики. Например:

Сколько надо уплатить за пачку соли, которая стоит 64 коп., и за 2 лимона ценой по 2 руб. 50 коп.? Сколько следует получить сдачи, если дать в кассу 10 рублей?

Сколько денег надо взять, чтобы купить буханку черного хлеба за 1 руб. 30 коп., буханку белого за 2 руб. 90 коп. и килограмм сахара?

При решении таких задач часто цены на наиболее знакомые детям товары не указывались, они должны были называться самими учащимися.

Мы проводили экскурсию в продовольственный магазин, во время которой дети записали цены на основные продукты питания как развесные, так и расфасованные. На основе этих данных были составлены красочные таблицы, напоминающие прейскуранты цен, и таблица, которая иллюстрировала расфасовку товаров (мешок муки — 90—100 кг, мешок картофеля — 50 кг, пачка сахара-рафинада — 500 г и 1 кг, пачка масла — 200 г и т. п.).

Постоянное использование этих таблиц в классе при составлении и решении задач помогло детям запомнить много цен и хорошо знать соответствующие цифровые данные; учащиеся стали значительно быстрее ориентироваться в том, сколько и за что нужно заплатить, сколько нужно получить сдачи, в какой упаковке продаются те или иные товары.

С большой практической пользой прошло и решение задач-расчетов, связанных с транспортными расходами. Выяснив, что некоторые учащиеся нашего класса ездят в школу на троллейбусе или на трамвае, мы подсчитали, сколько денег приходится им расходовать на проезд в школу в течение месяца. Оказалось, что одни из них пользуются проездным месячным билетом, а другие — нет. Дети составили в классе задачу, решая которую выяснили, сколько денег экономит в месяц тот, кто покупает месячный проездной билет. После этого ученица нашего класса Люба С. попросила своих родителей приобрести ей проездной билет и доказала им, что это значительно выгоднее, чем оплачивать проезд ежедневно.

Иногда в проведение таких подсчетов на уроке я ввожу элемент игры: мы играем в «магазин», в «трамвай» и т. п. Вопросы к учащимся формулируются по-разному: «Как удобнее заплатить за билеты в трамвае, если у меня есть две монеты по 20 копеек, одна— 15 коп. и одна — 10 коп?», или «Мы едем в трамвае. Мне нужно взять два билета. Сколько сдачи я должна получить с 3 рублей?», или «Я взяла в автобусе три билета и с 5 рублей получила сдачи 3 руб. 80 коп. Правильно ли мне дали сдачи?» И т. п.

Большое значение придаю общественно полезному труду детей. Результаты выполненной работы всегда стараюсь использовать и на уроках арифметики. Таким образом, все, что сделали дети, над чем они потрудились, еще раз отмечается. Это вызывает у детей желание выполнять порученные им дела быстро и хорошо. Мы решали, например, такие задачи:

Учащиеся нашего класса отремонтировали всего 128 библиотечных книг. Из них 48 отремонтировало первое звено, а остальные книги были разделены поровну между вторым и третьим звеньями. Которое из звеньев отремонтировало больше книг и на сколько больше, чем другие?

Уборка классной комнаты влажной тряпкой заняла у второго звена 35 мин., третье звено произвело эту работу на 5 мин. скорее, а первое — в 2 раза быстрее, чем третье, За сколько минут может произвести уборку комнаты первое звено?

За месяц II классы нашей школы собрали 56 кг макулатуры, III — на 15 кг больше, а IV — в 3 раза больше, чем III. Сколько всего макулатуры собрали II, III и IV классы нашей школы?

Много практических задач было решено в связи с занятиями на уроках труда. Эти задачи включали в себя результаты собственных измерений учащихся. Нам нужно было, например, рассчитать, сколько материи должно быть закуплено для шитья нарукавников. По заданным размерам (длина 32 см, ширина 40 см) сделали выкройку из газеты. Затем двум учащимся было поручено узнать ширину нужной нам материи. По этим данным подсчитали, сколько потребуется материи на изготовление 30 пар нарукавников. Так же точно подсчитывали, сколько нужно листов бумаги для изготовления газетниц, которые мы

делали в подарок мамам ко дню 8 Марта и т. п.

Богатый материал для составления задач с большими числами, отражающими жизнь и труд советского народа, дают газеты. Однако составление задач на основе данных, взятых из газет, для учащихся III класса оказалось очень трудным. Нам пришлось провести большую подготовительную работу, прежде чем дети смогли более или менее самостоятельно справляться с подобными заданиями.

С самого начала года в классе были заведены специальные тетрадочки, по внешнему виду напоминающие словарики (в 1/4 размера тетради). В них дети должны были записывать интересные жизненные числовые данные, которые они узнали на уроке, при решении задач из учебника, из радиопередач и из книг и газет, в результате наблюдений в классе, дома, во время экскурсий. На первых порах записи производились на уроке по моему указанию. Так, перед проведением экскурсии на почту я предложила детям во время экскурсии узнать, сколько стоит открытка, конверт, марки, как оплачиваются телеграммы и т. п. Соответствующие числовые данные были записаны всеми учащимися. Далее, когда решались задачи на движение, мы одну из страничек тетради озаглавили «скорость» и по мере того, как при решении задач встречались со скоростями различных видов транспорта, заносили соответствующие числа в тетради и т. п.

Эти данные (в особенности те из них, которые учащимся, на мой взгляд, полезно запомнить) мы часто использовали при составлении задач на уроке и дома. Когда дети освоились с этой работой, я постепенно стала требовать от них большей самостоятельности в подборе числовых данных из жизни. Внимательно прочитывая дома газеты (главным образом «Пионерскую правду»), я выбирала такие заметки, которые содержали интересные сведения, полезные для составления задач. В классе я читала заметку вслух, а дети должны были выбрать из нее все то, что необходимо для составления задачи, затем составить и решить задачу. В дальнейшем я стала спрашивать у учащихся, кто из них дома при чтении газеты или слушая радио узнал какие-нибудь интересные факты, которые можно было бы использовать на уроках арифметики. Иногда я прямо говорю ребятам, что, например, в сегодняшнем номере «Пионерской правды» приводится много интересных цифр, по которым можно составить не одну интересную задачу, и предлагаю дома составить одну-две задачи по этим материалам.

К концу года мы стали использовать не только «Пионерскую правду» и радиопередачи для детей, но и «Комсомольскую правду» и другие газеты, которые имеются в нашей школьной библиотеке. Однако в тех случаях, когда задача должна быть составлена по материалам газет, я, как правило, указываю детям не только номер, но и страницу, а чаще всего называю и ту статью, в которой имеется доступный для их понимания числовой материал.

Урок у нас теперь обычно начинается с вопроса «Кто записал что-нибудь новое и интересное в свои тетради?» Оказывается, что одни записали одно, другие — другое. Каждый, кто читает свою запись в классе, должен дать все необходимые пояснения. Наиболее интересные и полезные данные из записанных учащимися используются для составления задач. Большая часть таких задач решается устно, так как дети обычно составляют либо простые задачи (на разностное сравнение, на кратное сравнение и др.), либо задачи в два-три действия, но «прозрачные». На решение таких задач на уроке мы не затрачиваем много времени, но все же из урока в урок такие задачи решаются.

Большие трудности в работе учителя возникают при проведении проверки записи у каждого ученика, а также тех задач, которые они составляют по этим данным самостоятельно. Я сразу всех тетрадей для проверки, как правило, не беру,

а проверяю их по одной (при опросе ученика, после уроков, а иногда и во время перемены). Это, конечно, не решение вопроса, но из-за этой трудности не хочется отказываться от работы, приносящей такое удовольствие и несомненную пользу детям.

В заключение можно сказать, что мои учащиеся научились наблюдать факты, события, явления, которые могут быть положены в основу составления и решения задач, они лучше, правильнее стали понимать многое в окружающей их действительности, проявляют большую самостоятельность и инициативу в решении задач. Значительно расширился кругозор детей. Часто они ставят такие вопросы, которых прежде у них не возникало. Все это говорит о том, что тесная связь с жизнью при обучении детей арифметике — действительно одно из важнейших и ценнейших условий развития их мышления, самостоятельности, инициативы.

ОБУЧЕНИЕ ПО НОВЫМ ПРОГРАММАМ

Материалы института методов обучения АПН РСФСР1

АРИФМЕТИКА

Проект программы по арифметике, по которому школы работали в прошедшем году, при доработке и окончательном утверждении программы претерпел незначительные изменения.

Программы I и II классов остались без изменения.

В программе III класса несколько сокращен раздел дробей; изъяты доли 1/3, 1/5, 1/6. Оставлено знакомство с долями 1/2, 1/4, 1/8, 1/10.

Более значительные поправки внесены в программу IV класса и касаются они главным образом системы расположения учебного материала. Основная и существенная поправка состоит в том, что тема «Целые числа», отнесенная в проекте к концу года, в утвержденной программе поставлена в середине курса с тем, чтобы изучение ее начиналось со второго полугодия и продолжалось в течение всей третьей четверти. Это сделано с той целью, чтобы знания, умения и навыки, предусмотренные этой темой, могли быть закреплены на достаточном для этого отрезке времени.

Таким образом, система работы по арифметике в IV классе сводится к следующему.

Вначале изучается тема «Четыре действия над числами в пределах 1 000 000», рассчитанная на 40—45 учебных часов. В это время, во-первых, повторяется пройденное в III классе и, во-вторых, учащиеся овладевают навыками письменного умножения и деления на трехзначное число и изучают порядок действий. Основное внимание обращается на выработку у детей твердых вычислительных навыков. На этом заканчивается изучение концентра «Миллион», начатого в III классе. При повторении нумерации в пределах миллиона программа предусматривает ознакомление детей с чтением и записью семи-, девятизначных чисел, которые могут встретиться в дальнейшем при установлении связи обучения арифметике с жизнью, а также повторение и некоторое расширение знаний о долях.

Затем следует тема «Измерение длины и веса. Действия с составными именованными числами». Изучение этих действий должно тесно связываться с практикой в измерениях. Таким образом, ликвидируется недостаток старых программ, в которых действия с составными именованными числами были лишены своей «материальной» базы — измерений и превращались в значительной мере в формальный процесс манипулирования числами. При изучении этой темы происходит закрепление вычислительных навыков, которые учащиеся приобрели по предыдущей теме. Действия над составными именованными числами надо изучать, как указано в объяснительной записке к программе, преимущественно на небольших числах с тем, чтобы не затруднять детей слишком длинными и громоздкими вычислениями.

Третья тема «Измерение площади» изобилует практическими упражнениями жизненного характера. Здесь практика вычислений все время перемежается с практикой в измерениях. Сформированные ранее навыки устных и письменных вычислений находят свое широкое применение при решении доступных детям жизненно практических вопросов.

Изучением этой темы заканчивается первое полугодие учебного года.

Второе полугодие начинается с темы «Целые числа» которая по существу является главной центральной темой IV класса, готовящей детей к обучению в V классе. На материале этой темы, во-первых, закрепляются вычислительные навыки на действиях с большими числами (класса миллионов и миллиардов), во-вторых, систематизируются и обобщаются знания учащихся о нумерации и четырех арифметических действиях. Изучение этой темы должно значительно поднять уровень доступных детям теоретических знаний об арифметических действиях, учащиеся должны научиться свободно владеть арифметической терминологией, связанной с арифметическими действиями, понимать связь действий, зависимость между компонентами действия, основные свойства действий, правила их проверки, порядок их выполнения в сложном примере. Изучение этой темы призвано развить математическое мышле-

1 Данные материалы разработаны научными сотрудниками Сектора методики начального обучения: А. С. Пчелко в М. И. Моро (арифметика), М. С. Васильевой (история), И. Г. Розановым (трудовое обучение).

ние и речь учащихся в такой мере, какая необходима для установления полной преемственности в работе IV и V классов.

Заканчивается курс арифметики IV класса двумя темами «Измерение объема» и «Измерение времени».

О связи с жизнью при обучении арифметике

Рассмотрим основные требования к преподаванию арифметики в начальных классах, вытекающие из Закона о связи школы с жизнью, и на конкретных примерах покажем, как они могут быть реализованы в практике.

I

Каждый шаг вперед в изучении арифметики. Будь то ознакомление с новыми арифметическими действиями, понятиями, задачами, с отдельными конкретными фактами или формирование обобщений — каждый шаг вперед можно делать только на прочной базе жизненного опыта учащихся.

Это требование обязывает учителя постоянно учитывать опыт собственных жизненных наблюдений, практических действий, накопленный детьми опыт применения приобретенных ранее знаний, умений и навыков и отдавать предпочтение тем методам и приемам обучения, которые создавали бы условия для максимального использования этого опыта при овладении новым учебным материалом.

С другой стороны, если дети не обладают достаточным жизненным опытом для сознательного восприятия того или иного отвлеченного математического понятия, учитель должен позаботиться о том, чтобы учащиеся приобрели этот опыт под его руководством.

Пусть, например, учитель должен во II классе познакомить детей с задачами на разностное сравнение. В практическом плане все дети с этой операцией, как правило, не раз встречались в жизни. Редко найдется в классе ученик, который не может определить, которая из двух лент длиннее, а которая короче, многие покажут, на какой именно кусок одна длиннее (больше) другой. Однако арифметическое решение такой задачи, если и известно, то только отдельным учащимся.

Задача учителя в данном случае состоит в том, чтобы, опираясь на имеющийся у детей опыт практически-действенного решения, перевести их на более высокую ступень в овладении умением решать такие задачи.

С этой целью полезно начать изучение нового материала с самостоятельной работы. Детям раздаются по две полоски бумаги различной длины (или кусочки тесьмы, веревки) и предлагается выяснить, которая из них длиннее и на сколько. Дети выполняют это задание практически (накладывая одну полоску на другую) и ответ дают наглядно (показывают, на какой кусок одна полоска длиннее другой).

Учитель предлагает учащимся рассказать, как они узнали, на сколько одна полоска длиннее другой, и в ответах оттеняет, что для этого пришлось оторвать (или отогнуть) от большей полоски полоску, равную другой. После этого перед учащимися ставится такой, например, практический вопрос-задача: «Как на соревнованиях по прыжкам в длину определить, кто из двоих учеников прыгнул на большее расстояние?» Под руководством учителя выясняется, что если прыжок производился от одной и той же черты, то для ответа на вопрос можно измерить только расстояние между концами прыжка первого и второго ученика. (Еще лучше, если подобный вопрос будет поставлен в жизненных условиях, при проведении таких соревнований на уроке физкультуры или во внеурочное время. При этом снова подчеркивается, что при таком сравнении от большего отрезка отбрасывается (отнимается) часть, равная меньшему.)

Все эти задания, вопросы направлены на активизацию приобретенных детьми ранее практических знаний и умений. После того как учащиеся хорошо разобрались в самом смысле разностного сравнения, практически провели сравнение, припомнили способ, которым решается подобная задача в жизни, можно пойти дальше, заставив детей задуматься над решением того же вопроса в более сложных условиях, когда сравниваемые предметы отсутствуют, но известны численные значения их длин. Например, дается такая задача: «При проведении городских соревнований в одной школе победил мальчик, который прыгнул на .... см, в другой школе рекордным оказался прыжок на расстояние... см. Чей результат лучше и на сколько сантиметров?»

Учитель согласится с теми учащимися, которые предложат практическое решение этой задачи (аналогичное тому, которое только что применялось), однако тут же покажет, что такое решение очень трудно выполнить, если сравниваются большие величины, например, когда нужно узнать, на сколько 40 м больше 27 м и т. п.

Так дети постепенно при опоре на их собственный опыт, при их непосредственном активном участии в работе подводятся к необходимости научиться проводить разностное сравнение не только практическим, но и арифметическим путем. Оживленный в сознании детей опыт практических действий, связанных с проведением разностного сравнения, послужит прочной базой для уяснения главного — почему в данном случае нужно применить вычитание.

Аналогичные примеры можно было бы привести и из программы III—IV классов, но в этих классах относительно большее значение приобретает опора на опыт оперирования числами и арифметическими понятиями, приобретенный детьми за годы обучения в школе.

Особенно большое значение имеет такая форма работы в IV классе при изучении обобщающей темы «Целые числа». Все обобщения, которые предусмотрены в этой теме, должны опираться на богатый опыт

вычислений и решения разнообразных задач, приобретенный детьми в начальных классах, на сопоставление и сравнение различных примеров и задач с целью более глубокого осознания детьми свойств арифметических действий, связи, существующей между действиями, различных случаев применения полезного действия и т, n.

II

Обучению арифметике в начальной школе должна быть придана главным образом практическая направленность. Это означает, во-первых, отказ от излишнего теоретизирования. Именно в этой связи из проекта программы для IV класса исключены определения арифметических действий, сложные формулировки зависимости между компонентами действий и оставлены требования знания связи действий, проверки правильности произведенных вычислений и умения найти один из компонентов по двум другим, требующие практического применения этих теоретических положений.

Кроме того, в начальных классах вовсе не рассматривается в отвлеченном плане распределительное свойство умножения и ряд других свойств арифметических действий, но дети должны научиться умело пользоваться ими в устных и письменных вычислениях.

Практическая направленность в изучении арифметических действий должна проявляться также и в том, чтобы рассмотрение новых случаев, новых действий связывалось с жизненными задачами, требующими их применения. Например, изучение действий с составными именованными числами следует рассматривать как средство, необходимое для решения ряда практических задач, связанных с определением площадей, объемов и др.

При обучении решению задач требование практической направленности преподавания реализуется главным образом в двух направлениях. Прежде всего надо стремиться к тому, чтобы знакомить детей с новым видом задач на примере жизненной, близкой интересам учащихся задачи, возникшей в их собственной практической деятельности. Так, к задачам на нахождение двух чисел по их сумме к кратному отношению хорошо (как это отмечается в объяснительной записке) подвести детей на основе практической работы по делению отрезка на две части, одна из которой в несколько раз больше другой. Сначала можно провести практическое деление полоски бумаги, скажем, на четыре равные части (перегибанием) и, отделив одну и три четверти ее, обратить внимание детей на то, что одна из полученных таким образом частей в три раза больше другой. После того как ученики сами проделают два-три таких упражнения, полезно поставить перед ними вопрос: «На сколько равных частей нужно сначала разделить полоску, чтобы получить потом такие 2 части ее, одна из которой в 5 (6, 7 и т. д.) раз больше другой?» А затем предложить подумать, как не перегибая, разделить страницу тетради на две части так, чтобы одна была в два раза больше другой (предварительно измерив ее ширину).

Такие подготовительные практические упражнения помогут учащимся разобраться в сущности задач данного вида и позволят перейти к решению таких жизненных задач, которые связаны с делением любого числа на кратные части.

После ознакомления с новым видом задач следует сразу же показать детям, в каких разнообразных случаях решаются такие задачи в жизни, кому приходится их решать. Так самые разнообразные практические задачи могут быть составлены при рассмотрении задач на пропорциональное деление, на нахождение среднего арифметического и др.

Далее в ходе обучения арифметике у детей должен быть сформирован целый ряд практических умений и навыков, связанных с решением различных жизненных задач и выполнением простейших трудовых заданий. Здесь имеются в виду навыки в выполнении простейших подсчетов, составлении некоторых таблиц, диаграмм, элементарные навыки черчения и измерения и др.

Для выполнения таких требований, предусмотренных программой каждого класса, на уроках арифметики необходимо систематически проводить соответствующие практические упражнения. Эти упражнения должны по возможности органически связываться с изучением арифметических действий и решением задач. Так, краткая запись условий одних задач должна проводиться в форме таблиц, других — в форме графика, диаграммы. Такие виды работ следует использовать, начиная с I—II классов, при решении задач на увеличение и уменьшение числа на несколько единиц или в несколько раз, на разностное и кратное сравнение и др. Сначала учитель сам показывает, как это делается, а затем постепенно привлекает к схематическому изображению условий задач в виде графической схемы диаграммы самих учащихся. Выполняя такого рода задания самостоятельно, дети не только обучаются одному из очень важных средств анализа условий, помогающему в поисках пути решения, но и овладевают умением чертить отрезки заданной длины, сравнивать отрезки в разностном и кратном отношении.

Не менее важно систематически упражнять детей в измерениях. В этом отношении особенно большое значение приобретает укрепление связи обучения арифметике с работой по труду и другим учебным предметам. Единицы измерения длины, площади и др., с которыми дети знакомятся на уроках арифметики, должны постоянно использоваться в практике, при выполнении разнообразных трудовых заданий в классе или на школьном участке. Особое внимание должно быть уделено развитию у детей наблюдательноти, уме-

ния на глаз, примерно определять расстояния, размеры предметов и др., пользуясь различными удобными ориентирами. Например, зная, что высота комнаты обычно равна 3—3,5 метра, легко прикинуть примерно высоту пяти-шестиэтажного дома; высоту фабричной трубы можно примерно определить, сравнивая ее с высотой расположенных рядом домов; длину дома часто бывает легко приблизительно определить, если предварительно оценить ширину окон и простенков между ними, и т. д.

Такого рода умения имеют большое практическое значение и вместе с тем способствуют развитию у детей наблюдательности, находчивости, сообразительности.

Практическая направленность в обучении арифметике должна выражаться также и в том, чтобы занятия арифметикой использовались для сообщения учащимся некоторых полезных в практическом отношении сведений, таких, например, как некоторые цены на более употребительные продукты питания, предметы ширпотреба, некоторые нормы расхода материала на шитье одежды, вместимости таких широко используемых в практике тар, как ведро, мешок и др.

Не перегружая память детей большим числом сведений такого рода, нужно все же стремиться к тому, чтобы наиболее полезные из них были ими усвоены.

Работа над некоторыми полезными в практическом отношении числовыми данными, почерпнутыми из учебника арифметики или из собственных наблюдений учащихся, вплотную примыкает к следующей, одной из самых важных задач, стоящих перед обучением арифметике в свете Закона о перестройке школы — к углублению знаний детей об окружающей действительности, о жизни и труде советских людей, о развернутом строительстве коммунизма в нашей стране.

III.

Учителя начальной школы в прошедшем году многое сделали для разработки конкретных форм осуществления связи обучения арифметике с жизнью, с трудом, с практикой коммунистического строительства.

Больше всего внимания было уделено в этой связи именно составлению и решению задач на основе числовых данных, взятых из жизни. Работа в этом направлении велась лучшими учителями нашей страны в течение многих лет, и сейчас накоплен уже большой и разнообразный опыт, заслуживающий внимательного анализа, обобщения и распространения.

Первый вопрос, который возникает у учителя, желающего использовать жизненные данные при составлении задач, вопрос об источниках, из которых могут быть почерпнуты эти данные. Вот те источники, которые с успехом использовались в опыте многих учителей.

1. Данные собственной практической деятельности детей. На уроках труда, во время работы на школьном учебно-опытном участке, при выполнении того или иного общественно полезного трудового задания учитывались результаты труда отдельных учащихся, октябрятских звездочек, пионерских отрядов и т. п. В I—II классах, например, это были сведения о числе изготовленных детьми елочных игрушек, о собранных во время экскурсии осенних листьях, о работе, проделанной дежурными, и т. п. В III—IV классах — сведения о сборе макулатуры, о работе по ремонту книг школьной библиотеки, о работе, проводившейся на уроках труда и на школьном учебно-опытном участке, о общественно полезном труде по охране зеленых насаждений и т. п.

2. Богатейшим источником самых разнообразных числовых данных оказались собственные наблюдения детей, проводившиеся на уроке, в школе, во дворе, на улице, дома, во время экскурсий. Начиная с данных систематических наблюдений за природными изменениями, проводившихся во всех классах (за прорастанием семян, за изменениями температуры воздуха и т. п.), наблюдениями на улице (за строительством новых домов, за работами по уборке улиц, за движением городского транспорта, озеленением и пр.) и кончая наблюдениями во время разнообразных экскурсий на промышленные предприятия, в совхоз и др.

3. Собственные наблюдения учащихся в значительной степени пополнялись за счет числовых данных, выяснявшихся в беседах со взрослыми в школе, дома, во время экскурсий и пр. Так, интересный материал для составления задач из жизни давали беседы с руководителем школьных мастерских, со школьным библиотекарем, врачом, заведующим хозяйственной частью и др. От родителей дети узнают много интересного не только о жизни семьи, но и о работе отца или матери на производстве; в беседах с работниками производства во время экскурсии получают целый ряд таких сведений, которые на основе собственных наблюдений они не могли бы выяснить (сравнительные данные, характеризующие рост производительности труда, размеры плановых заданий для работников производства, размах строительства, борьбу за механизацию труда и пр.).

4. И, наконец, так называемые литературные источники, начиная с учебника арифметики, учебных книг и школьных стенных газет до «Пионерской правды», местных и центральных газет, радиопередач. К литературным источникам, используемым для составления задач, относятся также разнообразные плакаты, справочные таблицы, специальные справочники.

Богатство сведений, которые могут быть получены из всех этих источников, совершенно необозримо, и здесь одним из основных вопросов становится вопрос об отборе таких данных, которые были бы полезны при обучении решению задач в I—IV классах. А с этим вопросом неразрывно связан и другой — кто и как должен проводить сбор и отбор числовых данных для составления и решения задач.

С одной стороны, опыт показывает, что числовые данные, собранные самими учащимися, вызывают у них больший интерес, лучше запоминаются и более удачно используются при самостоятельном составлении задач. С другой стороны, опыт убеждает в необходимости проведения большой обучающей работы с детьми для того, чтобы подготовить их к самостоятельному подбору жизненных данных для задач.

В подавляющем большинстве случаев сбор числовых данных проводится детьми под непосредственным руководством или по прямым указаниям учителя. Так, в I—II классах учитель дает отдельным учащимся задание узнать в магазине канцелярских принадлежностей цену пера, карандаша, ручки и т. п., узнать в книжном киоске или в читальне, сколько стоит номер газет «Пионерская правда», «Правда», номер журналов и др. Готовясь к проведению с детьми той или иной экскурсии, он заранее намечает, какой может быть собран на этой экскурсии материал для уроков арифметики, и во время подготовительной беседы распределяет соответствующие задания между учащимися.

Постепенно задания такого рода усложняются: так, если в I классе дети уже были приучены к выполнению простейших заданий по сбору числовых данных во время экскурсии, то во II классе, готовя их, скажем, к экскурсии на почту, можно уже не перечислять все те виды корреспонденции, стоимость которых следует выяснить, а напомнить только о необходимости собрать такие сведения и предупредить, чтобы они не пропустили ни одного из «окошек», распределив их между собой (одни выяснят стоимость различных писем, другие — телеграмм, третьи — стоимость подписки на газеты и журналы и т. п.).

В отдельных случаях, однако, детям дается возможность совершенно самостоятельно решить вопрос о том, какие сведения, полезные для составления задач, могут быть получены во время той или иной экскурсии; какие интересные вопросы могут быть поставлены в связи с ней на уроках арифметики (например, при проведении экскурсии в продовольственный магазин в III—IV классах в связи с изучением мер веса и др.).

Характер помощи и руководства в этом деле со стороны учителя зависит прежде всего от сложности наблюдаемых явлений и от тех учебных задач, которые преследует данная экскурсия. Так, при проведении экскурсии на производство необходимо заранее указать учащимся, на что они должны обратить особенное внимание, какие данные важны для более полного и точного понимания вопросов, разъяснение которых является целью данной экскурсии. Если, например, мы хотим довести до сознания детей мысль о преимуществах, связанных с механизацией труда, то нужно посоветовать им расспросить работников производства о том, как выглядело данное производство до внедрения новых машин, как производилась работа какова была производительность труда и себестоимость продукции, собрать такие числовые данные, которые позволили бы потом провести сравнение. Если таких указаний детям не дать, то легко может случиться, что они соберут много разнообразных и, может быть, даже по своему интересных данных, но не дающих материала для разъяснения именно этого вопроса.

Учитель непременно должен помочь детям выделить главное, учитывая, что во время экскурсий на производство дети встречаются с массой новых впечатлений. Вместе с тем опыт свидетельствует о том, что интерес детей к экскурсии значительно снижается, если круг их наблюдений и вопросов чрезмерно сужается, строго регламентируется учителем.

Очень хорошо, если обстоятельства позволяют учителю в подготовительной беседе выдвинуть такие вопросы, которые могут быть разрешены средствами арифметики. Поставив перед учащимися эти вопросы, вызвав у них интерес к ним, учитель может предложить детям самим подумать, какие числовые данные необходимо узнать во время экскурсии для ответа на эти вопросы.

Особенно трудной для детей оказывается работа с печатными материалами, поэтому здесь особенно важно постоянное руководство. Сначала учитель прямо указывает на заслуживающие внимания числовые данные, которые встретились, скажем, при чтении какой-нибудь статьи из книги для чтения или (чаще) при решении задач из учебника арифметики и др. Он рекомендует запомнить эти данные (или выписать их) с тем, чтобы в дальнейшем использовать при составлении собственных задач. При использовании газетного материала также следует указывать совершенно точно, в какой именно заметке или статье дети могут найти полезные числовые сведения. Если подобная работа проводится систематически, то в дальнейшем необходимость в столь подробных указаниях отпадает, учащиеся начинают по собственной инициативе искать интересные числа в читаемом, у них пробуждается интерес к жизненным числам и часто между детьми возникает своего рода соревнование — кто добудет и принесет в класс больше интересных фактов для составления задач. Такое настроение нужно, конечно, поддерживать, а для этого необходимо, чтобы выписываемые детьми числовые данные действительно постоянно использовались на уроках.

В связи с этим возникает другая трудность — не все из собираемых детьми данных оказываются удачными: некоторые из них уводят за пределы программы обучения арифметике в данном классе, другие касаются подчас трудных для понимания специальных вопросов, третьи не вызывают интереса у основной массы учащихся и т. д. Возникает необходимость отбора наиболее подходящих для использования данных.

В практике учителей III—IV классов это делается, например, так; каждый ученик

ведет специальную тетрадочку для записи чисел, взятых из жизни (тетрадочки эти иногда называются «Арифметика в жизни», или «Числа в жизни» и т. п.). В этой тетрадочке записывается го, что показалось интересным ученику. Выполняя различные задания по составлению задач, он пользуется этой тетрадочкой. Если выписанные им числа хороши, то и остальным учащимся предлагается записать их, и эти числа в тетрадях подчеркиваются. Таким образом, постепенно происходит пополнение записей в тетрадочках у каждого ученика. Кроме того, ведется классный альбом-тетрадь, в которой выписываются наиболее интересные и отвечающие учебным целям числовые данные.

Когда и в какой форме используются все эти взятые из жизни числовые данные на уроке? Однозначного ответа на этот вопрос быть не может. Все зависит от того, какие учебно-воспитательные цели ставятся на данном уроке. Так, после проведения экскурсии в колхоз или на производство хорошо посвятить урок арифметики решению задач с использованием собранного на этой экскурсии числового материала. В данном случае решение задач будет направлено на пополнение, углубление знаний, приобретенных на экскурсии. Собственно арифметическое их содержание отступает здесь на второй план. На таком уроке решение задач становится одним из элементов беседы по экскурсионным материалам вообще. Однако эта беседа должна быть использована для того, чтобы показать детям, в частности, как много нового могут они узнать благодаря знанию арифметики. Такого рода уроки полезны, но они не являются основными. Главное в данном случае состоит в том, чтобы использовать числовой материал для формирования у детей математических понятий в плане выполнения программы.

Как правило, работа по составлению и решению задач на основе жизненных данных должна проводиться в строгих рамках системы обучения, определяемой программой и уч°бником арифметики.

Это требование приводит к необходимости специального отбора числовых данных, собранных детьми ранее, с тем, чтобы о и подсказывали составление такой задачи и на таком числовом материале, которые соответствовали бы изучаемому в данный момент вопросу программы.

Такой отбор может быть произведен только самим учителем. Учитель, готовясь к рассмотрению на уроке нового вида задач с учащимися, отбирает такие данные (из числа собранных ранее), выписывает их в виде таблицы или просто на доске и продумывает задание, которое направило бы детей на составление по этим данным задачи изученного вида. Это может быть и составление задачи по аналогии с решенной, и составление задачи заданного вида (например, «на увеличение числа в несколько раз» или «на нахождение арифметического среднего» и др.), и составление задачи с использованием того или иного словесного выражения (например, «составьте задачу, в условиях которой было бы выражение «во столько-то раз дороже»), и составление задачи по заданному вопросу (например, «чтобы нужно было узнать, сколько тонн овощей собрала каждая бригада») и т. п.

В этом случае на близком, знакомом по собственным наблюдениям материале дети будут упражняться в решении задач новых для них видов, и сюжетное содержание задач будет подчинено целям обучения арифметике.

Развитие самостоятельности и активности на уроках арифметики

I

Самостоятельная работа учащихся — важное и необходимое условие высокой активности учащихся на уроке. Знания, полученные в результате самостоятельной работы, отличаются высоким качеством — глубокой осмысленностью и большой прочностью. Самостоятельность, как и всякая другая способность, развивается, совершенствуется. Это обязывает учителя вести работу по развитию этой способности. Задача школы — сделать самостоятельную работу по арифметике составной частью всего педагогического процесса обучения арифметике.

Советская методика всегда ориентировала учителей на использование самостоятельной работы, но она рекомендовала делать это главным образом на этапе закрепления знаний учащихся. Современная методика рекомендует внести в этот вопрос существенную поправку, а именно: распространить самостоятельную работу на все этапы усвоения знаний по арифметике там, где это возможно и разумно, где позволяет подготовка учащихся и содержание самого материала. Таким образом, речь идет о том, чтобы и на этапе первичного восприятия учебного материала и при подготовке к нему имели место элементы самостоятельной работы, но при обязательном соблюдении следующих двух условий:

1. Для самостоятельной работы давать только такой материал, к восприятию которого учащиеся подготовлены или предыдущей учебной работой, или же жизненным опытом, материал, который не содержит в себе чего-либо принципиально нового по сравнению с тем, чему ученики обучались ранее.

2. После того как учащиеся самостоятельно поработают над новым материалом, учитель обязан провести серьезную объяснительную работу, в процессе которой углубляется понимание детьми самостоятельно воспринятого, уточняется восприятие, исправятся ошибки (если они допущены), дети подводятся к возможным обобщениям.

Только при строгом соблюдении этих условий самостоятельная работа может иметь то значение и дать те результаты, о которых говорилось выше. Может возникнуть вопрос — если после самостоятель-

ного выполнения учениками задания от учителя требуются обстоятельные объяснения, равнозначные почти объяснению учебного материала заново, то какое значение имеет тогда самостоятельная работа учеников.

Она имеет большое педагогическое значение, состоящее в том, что при первичном самостоятельном восприятии учебного материала ученик как бы пробует свои силы, выясняет, что он может и чего не может сделать, что он знает и чего не знает, проявляет при этом высокую активность и глубокое внимание. Если данный ученик не справится с заданием, то потом он с удвоенным вниманием и повышенным интересом слушает объяснения учителя, ищет в них ответы на свои недоуменные вопросы, старается преодолеть те трудности, с которыми он встретился в процессе самостоятельной работы.

Какой же конкретный материал можно давать ученикам, исходя из первого условия, для самостоятельного первичного восприятия?

В I классе для этого можно давать усвоение отдельных вычислительных приемов на каждое арифметическое действие. То же во II классе, когда речь идет о сложении и вычитании в пределах 100. При изучении же табличного умножения и деления первые две таблицы (умножение и деление на 3 и на 4) составляются с учителем, а остальные части таблицы могут быть даны для самостоятельного составления учениками.

Первоначальное объяснение арифметических понятий (разностного и кратного сравнения, увеличения и уменьшения в несколько раз и др.) дается на основе объяснений учителя (разумеется, с опорой на жизненный опыт самих учащихся), так как каждое из них специфично и содержит в себе нечто принципиально новое по сравнению с другими понятиями.

В III классе при изучении четырех действий в пределах 1000 каждое из них вначале требует объяснения учителя, так как здесь вводятся впервые приемы письменных вычислений, существенно отличающиеся от приемов устных вычислений. Зато при переходе к изучению действий в пределах одного миллиона ознакомление с каждым действием можно проводить на основе самостоятельной работы учащихся, так как способы вычислений с четырьмя-шестьюзначными числами по существу ничем не отличаются от способов действии с трехзначными числами, изученными в предыдущем концентре.

Первоначальное знакомство с типовыми задачами как в III, так и в IV классах дается на основе объяснения учителя (с опорой на практические задания и жизненный опыт детей), так как каждый тип задачи имеет своеобразный способ решения, иногда резко отличающийся от способа решения других задач.

В IV классе при формировании навыков письменных вычислений в пределах класса миллионов и миллиардов уже на первых уроках могут быть элементы самостоятельной работы учащихся, так как здесь повторяются те же способы вычислений, которые ученикам известны из предыдущих концентров, но при изучении свойств арифметических действий, связи между действиями и между компонентами действия большее значение приобретают непосредственные объяснения учителя с применением эвристического метода и с последующей за ними самостоятельной работой учащихся.

На первых уроках по темам «Измерение площади» и «Измерение объема» должны быть обстоятельные объяснения учителя, так как площадь и объем — новые для учащихся величины.

Многие случаи вычислений с составными именованными числами могут рассматриваться и усваиваться учащимися по заданию учителя самостоятельно с последующим подробным разбором и объяснением под непосредственным руководством учителя.

При этом следует подчеркнуть, что самостоятельная работа учащихся на этапе первичного восприятия материала требует, чтобы учитель внимательно следил за ходом работы учеников, предупреждал возможные ошибки, не давал уклоняться в сторону от решения прямой задачи.

В какой форме могут даваться задания для самостоятельной работы учащихся над новым для них учебным материалом?

Основная форма заданий при объяснении вычислительных приемов — показ готового образца решения с предложением рассмотреть этот образец под данным углом зрения, ответить на предложенные учителем вопросы и там, где это посильно для учеников, сделать те или иные выводы.

Приведем примеры таких заданий по классам.

I класс. Приступая к изучению сложения в пределах 20 без перехода через десяток (13 + 5; 11 + 8 и т. д.), учитель дает детям задание: к 12 палочкам прибавить 4 палочки; после этого рассмотреть на странице 64 учебника соответствующий рисунок и развернутую запись решения;

По выполнении этих заданий учащиеся по вопросам учителя объясняют, как они к 12 прибавляли 4. Так же, на подробной записи и на палочках, решается и объясняется еще один пример. После этого учитель демонстрирует рассмотренный прием на классном пособии и уточняет формулировки, которые давались детьми при объяснении ими хода решения. Заканчивается объяснение решением аналогичного примера и его подробной записью.

II класс. Самостоятельные работы указанного вида можно широко практиковать при ознакомлении второклассников с новыми случаями сложения и вычитания в пределах 100. Например, пусть изучается

новый случай вычитания двузначного числа из двузначного (82—27). Сформулировав цель урока, учитель предлагает детям из 82 вычесть 27 на наглядном пособии (палочках и пучках палочек), а затем рассмотреть развернутую запись решения этого примера на странице 39 учебника:

Учитель спрашивает, как произведено вычитание, что вычли сначала, что — потом. Таким же образом сначала на наглядном пособии, а потом с развернутой записью учащиеся самостоятельно решают второй пример. После этого учитель демонстрирует рассмотренный прием на классном наглядном пособии, на подробной записи, дает при объяснении точные формулировки и подводит учащихся к выводу правила. Затем выполняются упражнения сначала в порядке устного счета, затем с записью решения.

III класс. Как указано выше, в этом классе на основе самостоятельной работы могут проходить объяснения всех случаев каждого арифметического действия в пределах миллиона. Например:

— Вы умеете складывать трехзначные числа, — говорит учитель. — Сложите числа 368 и 575.

— А сумеете ли вы выполнить сложение, если придется складывать два четырехзначные числа? Сложите:

— Прочитайте слагаемые. Какое число получилось в сумме?

— А кто может безошибочно сложить еще большие числа — пятизначные? Сложите:

— Какие числа были даны для сложения? Прочитайте число, которое получилось в сумме.

— Если вы смогли самостоятельно выполнить сложение пятизначных чисел, то, может быть, справитесь и со сложением шестизначных чисел. Сложите:

— Прочитайте слагаемые. Прочитайте сумму.

Опыт показывает, что со всеми этими заданиями подавляющая масса учащихся справляется вполне успешно. Подобная работа проходит при высокой активности детей.

Далее учитель на решенных примерах уточняет сложение многозначных чисел, дает необходимые формулировки, подводит учащихся к выводам правила сложения многозначных чисел.

— С каких разрядов всегда начиналось сложение? Единицы каких разрядов складывали последовательно? Складывайте, называя разрядные единицы, например: четыре единицы да пять единиц, получим девять единиц, пишем их пол единицами... Четыре тысячи да одна тысяча, получится пять тысяч. Подписываем их под тысячами. В сумме получилось 5589.

После таких объяснений третьеклассники выполняют многочисленные упражнения в решении более сложных примеров.

IV класс. При ознакомлении с новым материалом организации самостоятельной работы учащихся в этом классе помогает в большой мере учебник арифметики, в котором даются соответствующие задания. Таковы номера задач: 60, 76, 273, 313, 342, 766 и др. К некоторым примерам учитель сам может дать задания; как, например, № 295

Задание учителя: «Рассмотрите внимательно решение этого примера и ответьте на следующие вопросы: «Какова особенность даных чисел — уменьшаемого и вычитаемого? Что сделано с данными числами при выполнении действия? Что сделано с полученной разностью при записи ее в строчку?

По данному образцу решите следующий пример: 5 кг 85 г — 2 кг 95 г =.

Придумайте сами пример на вычитание, который было бы удобно решать таким же способом».

В процессе работы учитель тщательно проверяет выполнение этих заданий, а в заключение сам дает объяснение решенных примеров, показывая образец тех рассуждений, которые должны сопровождать решение, объяснение преобразований чисел в процессе решения.

Некоторые задачи в учебнике сопровождаются заданиями, что облегчает учителю возможность их использования для организации самостоятельной работы детей. Таково, например, задание к задаче 76:

«Совхоз отправил в город 102 вагона пшеницы по 425 г в каждом. Сколько всего центнеров пшеницы отправил совхоз в город?

Решение:

Рассмотрите решение и объясните, почему во втором неполном произведении цифра 5 подписана не под десятками, а под сотнями первого произведения.

Прочитайте первое неполное произведение.

Прочитайте второе неполное произведение».

Для развития самостоятельности нужно использовать и решение задач.

О том, как знакомить учащихся с новым видом или типом задач, развивая

у детей творческую инициативу и самостоятельность, сказано выше. Но и упражнения в решении задач нужно проводить, опираясь на детскую самостоятельность. Как правило, каждую задачу даже повышенной трудности нужно давать детям для предварительного самостоятельного продумывания, для самостоятельных индивидуальных поисков путей ее решения, и уже после этого приступать к коллективному разбору, к фронтальному ее решению.

«Сейчас решите задачу №... Прочитайте ее внимательно. Продумайте план ее решения и когда план наметите, поднимите руку». Так обычно многие учителя приступают к решению задачи. И это — правильно.

Можно давать и более конкретные, частные задания, вроде следующих: «Прочитайте про себя задачу и запишите кратко ее условие», «Прочитайте про себя задачу и проиллюстрируйте с помощью рисунка ее условие в своей тетради», «Прочитайте задачу, продумайте план ее решения и запишите решение формулой», «Ознакомьтесь с условием задачи, продумайте план ее решения и запишите в тетради первые два вопроса этого плана» и т. д.

От цели урока, от характера задачи и других условий зависит, какое из этих заданий следует давать в каждом конкретном случае.

Особенно полезны для самостоятельной работы такие задачи, при решении которых ученику приходится прибегать к сравнениям, сопоставлениям, к выявлению тех или иных особенностей задачи. Например: «Решите задачу 766 (по задачнику для IV класса) и ответьте на вопросы: Что особенного в решении этой задачи (решается с помощью только вычитания, которое в разном смысле повторяется четыре раза). Какой смысл имеет вычитание при решении каждого вопроса?» Или (из задачника для II класса): «Решите первую и вторую задачи 436 и сравните их решения. Почему вторая задача решается тремя действиями, а первая — двумя?»

Число такого рода заданий следует увеличить: в задачниках их недостаточно.

II

Тесная связь обучения арифметике с жизнью, широкое использование самостоятельных работ — необходимые условия, способствующие активизации учащихся в процессе обучения арифметике. Там, где на уроке практикуются регулярные самостоятельные работы учащихся, где учитель побуждает детей к составлению своих задач, учащиеся не могут быть пассивны при изучении арифметики.

Но кроме этих основных условий, существует еще ряд частных методических приемов, которые способствуют активизации учащихся. Так, при проверке домашних заданий учащиеся работают весьма активно, если они привлекаются к взаимопроверке выполненных работ. Проверяя работу своего товарища, ученик глубоко сосредоточивается и прилагает все усилия к тому, чтобы заметить ошибку, не пропустить ее. Повышается активность учеников и в тех случаях, когда им при опросе разрешается ставить опрашиваемым товарищам дополнительные вопросы.

Вообще же активность учеников на данном этапе урока во многом зависит от стиля работы учителя. Если учитель научит детей слушать ответы своих товарищей, выработает у них привычку следить за этими ответами, быть всегда готовым к тому, чтобы по первому вызову исправить замеченную ошибку или дополнить ответ, то этого достаточно, чтобы внутренняя активность учеников была на высоком уровне.

Вместе с тем опыт показывает, что активизации учащихся на данном этапе урока много способствует привнесение в занятия устным счетом элементов игры. Класс оживает и проявляет большой интерес к устным вычислениям, если они проводятся в форме игры. Даже такие незатейливые игры, как всем известные «Молчанка», «Лесенка», «Лото» и др., повышают интерес к упражнениям и привлекают к ним внимание даже рассеянных детей.

Имея в виду большое значение игры для активизации учащихся, необходимо увеличить их удельный вес в школьной практике, особенно в младших классах.

При объяснении нового учебного материала мыслительную деятельность учащихся активизирует эвристический метод объяснения, когда учитель путем применения наглядности и системы умело поставленных вопросов подводит учащихся к определенным обобщениям и выводам. Этому же способствует, как говорилось выше, организация самостоятельной работы детей при первоначальном знакомстве с новым материалом, когда детям дается задание провести то или иное наблюдение, сравнить решение двух задач или двух примеров, заметить, что в них сходного, в чем они отличаются, сделать отсюда необходимый вывод, сформулировав его.

В объяснительной записке к программе по этому вопросу сказано: «При разъяснении новых знаний необходимо смелее опираться на жизненный опыт ребенка и приобретенные ранее знания, побуждая учащихся к активной мыслительной деятельности (наблюдение, сравнение, анализ и синтез, обобщение) с тем, чтобы готовить учащихся к самостоятельным выводам и к умению приводить примеры, раскрывающие то или иное понятие или правило».

На этапе закрепления полученных знаний активизирует учащихся широкое применение самостоятельных упражнений и в особенности выполнение заданий, требующих применения приобретенных знаний, умений и навыков при решении некоторых практических вопросов.

Наконец, для активизации учащихся в процессе выполнения домашних заданий следует вводить в содержание заданий, наряду с примерами и задачами учебника, вопросы практического характера, требующие подбора и использования числовых данных из жизни семьи или окружающей действительности. Сюда относится состав-

ление задач, аналогичных данным, с использованием чисел, которые можно получить в семье. Например, решив в классе задачу 15 (третью) (учебник IV класса), учитель может предложить учащимся решить аналогичную задачу дома, использовав при этом задание учебника: «Составьте и решите задачу о подписке на газеты и журналы в вашей семье». Или, решив в классе задачу 280 (учебник IV класса), учитель может предложить учащимся сделать такие же вычисления по счетам, получаемым в семье.

Оборудование занятий по арифметике

Перестройка содержания, организации и методов обучения арифметике требует хорошего оборудования занятий по этому учебному предмету, при этом нужно не только умело и эффективно использовать то оборудование и те наглядные пособия, которые применялись раньше, но и ввести некоторые новые виды оборудования учебных занятий.

Связь обучения арифметике с жизнью, трудом осуществляется, как уже было сказано, в значительной мере через задачи, составляемые самим учителем и учащимися. Но для составления таких задач нужны «живые» числа, характеризующие количественную сторону окружающей действительности. Отсюда вытекает необходимость систематически собирать и иметь хорошо оформленные таблицы, содержащие в себе: числовые данные о жизни и труде своего колхоза (размер земельных угодий, количество скота, удои, урожаи, производительность труда и т. д.); числовые данные о жизни и труде на ближайшем производстве (число рабочих, производительность труда, количество выпускаемой продукции, затрачиваемого сырья и т. д.).

Кроме того, для той же цели нужны таблицы с числами — нормативами из разных областей жизни: некоторые средние скорости; наибольшие скорости различных автомашин; средний вес некоторых тел; средние нормы расхода горючего для различных автомашин; средние нормы высева различных сельскохозяйственных культур; средние нормы кормления домашней птицы и др.

Такие числа нужно постепенно накапливать, с годами их обновлять и фиксировать в таблицах, которые могут быть использованы как учителем, так и учениками для составления своих задач. Для собирания таких чисел следует широко использовать экскурсию, местную печать, специальные посещения правления колхоза и т. д.

Для самостоятельной работы учащихся требуется в большом количестве дидактический материал. Частично такой материал издается готовым, но в основном он должен готовиться в школе силами учителя и самих учащихся на уроках труда. Дидактический материал, используемый на уроках арифметики, носит самый разнообразный характер в зависимости от класса и от содержания различных разделов арифметики.

Так, для I класса требуются: счетные палочки, кружочки, квадратики, таблички для изучения нумерации в пределах 20, а затем в пределах 100, самодельные метры, таблицы с кармашками для изучения сложения и вычитания в пределах 20 с переходом через десяток. Многие из этих пособий могут быть изготовлены на уроках труда учащимися III и IV классов.

Для II класса нужны: палочки и пучки (десятки) палочек, бруски и кубики, дециметры из картона, циферблаты, нумерационные таблички для изучения нумерации в пределах 1000, карточки, содержание задачи или примеры. И эти пособия могут быть (за исключением карточек) изготовлены на уроках труда силами учащихся старших классов.

В III классе необходимы для самостоятельной работы учащихся абаки (для изучения нумерации в пределах 1000 и 1 000 000), метры, разделенные на дециметры, сантиметры и миллиметры, циферблаты, колышки и вешки для измерительных работ на местности, набор карточек с задачами и примерами. Такого рода дидактический материал могут изготовить сами учащиеся III класса и в помощь им ученики IV класса на уроках труда.

В IV классе для самостоятельной работы учащимся необходимы: абаки, таблицы для фиксации измерений различного рода предметов в классе и дома, набор прямоугольников и квадратов для вычисления их периметра и площади, набор кубов и прямоугольных параллелепипедов для вычисления их объемов, набор карточек с задачами и примерами, приборы для измерения на местности (эккер, колышки, вехи), табель-календарь и др. Большая часть этого раздаточного материала изготовляется самими учащимися IV класса или учащимися старших классов в школьных мастерских.

Выше было сказано, что активизации учащихся на уроках арифметики способствует применение математических игр и разного рода занимательных упражнений. Сюда относятся игры: лото, домино, «молчанка», «лесенка», игра в угадывание задуманных чисел и др.

К числу занимательных упражнений относятся: занимательные квадраты, круговые примеры, разного рода занимательные задачи.

Полезно приготовить целые наборы занимательных упражнений и задач с тем, чтобы их можно было раздавать учащимся для самостоятельной работы с ними.

Здесь названо только то оборудование, которое связано с самостоятельной работой учащихся, с задачами укрепления связи обучения арифметике с жизнью и с активизацией учащихся на уроке. Но, разумеется, что для наглядности обучения арифметике необходимо использовать множество других наглядных пособий как демонстрационных, так и предназначенных для индивидуального пользования учащимися. Такого рода пособия подробно описаны в существующей методической литературе, они должны найти самое широкое применение в практике работы каждого учителя в каждом классе.

А. М. Афиногенова1

Заслуженная учительница школы РСФСР

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ НА УРОКАХ АРИФМЕТИКИ

ИЗ ОПЫТА РАБОТЫ ШКОЛЫ № 115 г. ЛЕНИНГРАДА

Одним из путей активизации педагогического процесса является организация практических работ учащихся. Коллектив нашей школы в течение 1959/60 учебного года работал над темой «Практические работы на уроках арифметики».

При разработке темы мы исходили из положения, что практические работы должны проводиться на разных этапах обучения. Так, практические работы могут являться начальным моментом при изучении какого-либо раздела программы арифметики (например, измерение длины и ширины различных предметов, взвешивание при объяснении составного именованного числа); могут быть организованы при закреплении учебного материала (узнав, что такое периметр, как вычисляется площадь, учащиеся измеряют различные прямоугольники, производят вычисления); в ходе экскурсий, во время занятий на школьном учебно-опытном участке; при выполнении общественно полезного труда. Практические работы детей проводятся при прохождении всех разделов программы. Учителя продумывали, как организовать практические занятия, формируя у учащихся навыки устных и письменных вычислений, при решении арифметических задач, при прохождении геометрического материала, мер длины, веса, объема, времени.

При выполнении учащимися письменных и устных вычислений большое внимание уделялось работе на счетах. На счетах демонстрировались различные приемы устных вычислений. Учитель, организуя работу на счетах, упражнял детей в умении пользоваться различными приемами, найти более рациональный и быстрый способ вычисления. Постоянно проводились задания с целью совершенствования техники вычисления на счетах.

Наши учителя стремились к тому, чтобы решение задач по учебнику всегда сопровождалось составлением и решением своих задач, связанных с окружающей действительностью. Для того чтобы учащиеся составляли задачи на материале из собственных наблюдений, начиная со II класса, мы ведем справочники, в которых постоянно записываются различные данные о классе, о школе, о городе, стране, различные цены и т. п.

Справочники оформляются и заполняются по мере сбора материала. Так, в начале года учащиеся III—IV классов проводили измерения на местности: измерялась длина и ширина двора, школы, газонов, школьного участка. На уроках, при подведении итогов сделанной работы, полученные данные записывались в справочники. Наш школьный участок: длина 70 м, ширина

1 А. М. Афиногенова являлась делегатом Всероссийского съезда учителей и Указом Президиума Верховного Совета СССР награждена высшей наградой — орденом Ленина.

55 м; газон № 1: длина 31 м, ширина 4 м; газон № 2: длина 16 м, ширина 11 м; газон № 3: длина 40 м, ширина 12 м; дорожка: длина 43 м, ширина 4 м. Длина улицы Александра Матросова 860 м, ширина 20 м.

Эти данные нам понадобились впоследствии при изучении действий над многозначными числами, при упражнении в вычислении периметра, в IV классе при вычислении площадей.

Учащиеся составляли задачи:

Длина школьного участка 70 м, ширина 55 м. Какой длины забор, поставленный вокруг участка? (III класс).

Длина улицы Александра Матросова 860 м, ширина 20 м. Ширина тротуара 3 м, мостовой 10 м. Тротуар и площадь асфальтированы, остальная площадь покрыта зелеными насаждениями. Какая площадь покрыта асфальтом и какая площадь покрыта зелеными насаждениями? (IV класс).

Ценный материал для составления задач был получен в результате экскурсий в магазины, на почту, на железную дорогу, в ателье по пошиву одежды.

Экскурсии проводились под руководством учителей, а также отдельными октябрятскими звездочками, пионерскими звеньями. В беседе на уроке выяснялось, что нового узнали учащиеся в ходе экскурсии, полученный числовой материал записывался в справочники.

Особенно больших результатов в этой работе достигла учительница III класса М. А. Борбатенко. Во время экскурсии в продовольственный магазин учащиеся ее класса узнали цены на продукты, увидели разные виды весов. Они наблюдали взвешивание тонны товара, центнера. Дети убедились в том, что мешок риса весит 100 кг, сахара 70 кг и т. д.

На станции Кушелевка, куда была организована экскурсия, учащиеся познакомились со скоростями поездов, увидели двухколейный путь, шпалы, рельсы, весы для взвешивания вагонов. Задачи № 627, 628 из задачника А. С. Пчелко и Г. Б. Поляка после этой экскурсии для учащихся были понятны и жизненно важны.

На материале этих и других экскурсий учащиеся М. А. Борбатенко сознательно и с большим интересом составляли различные задачи.

При составлении задач широко привлекались данные из газет, цифры семилетнего плана.

Таким образом, учащиеся использовали материал, полученный в результате проведения различного рода практических работ, в процессе ознакомления с жизнью.

Новая программа больше внимания уделяет геометрическому материалу, изучению различных мер, а это требует постоянной организации практических работ. При их проведении у учащихся развивались навыки измерения, построения, происходило осмысленное овладение мерами длины, площади, объема, развивался глазомер детей, пространственные представления. Геометрический материал использовался в качестве средства наглядности при изучении различных математических зависимостей.

В I классе геометрические фигуры применялись как счетный материал. В результате первоклассники усваивали геометрические формы, а также приемы вычисления.

Геометрические темы изучались на специально выделенных для них уроках и на протяжении всего года при изучении других разделов арифметики.

Во II и III классах большое внимание учителя уделяли практическим работам с отрезками прямой при изучении тем: «Увеличение и уменьшение числа на несколько единиц и в несколько раз», «Кратное и разностное сравнение». Вначале работы практического характера проводились в тетрадях без разлиновки, а потом на местности.

Такие задания, как начертить один отрезок длиной в 5 см, а другой в 3 раза или на 3 см больше; начертить три отрезка, чтобы один больше другого был в 2 раза, а третий — на 2 см больше первого, давались не только на первых уроках при объяснении, но и при закреплении, повторении материала.

После того как дети научились выполнять практические задания в

классе, эта работа продолжалась на местности.

Постоянные работы на местности дают возможность применять полученные знания в жизни. Для того чтобы провести по возможности больше практических заданий, они выполнялись учащимися не только на специальных уроках, но и в ходе экскурсий, при выполнении общественно полезного труда, при работе на школьном участке.

При рыхлении почвы, прополке определялась на глаз длина и ширина участка с последующей проверкой. В других случаях проводили провешивание прямой на местности, измеряли расстояние шагами, определяли глубину вскопанной почвы, площадь участка на глаз, а потом путем измерения и вычисления проверяли глазомер учащихся.

Формирование пространственных представлений, измерительных навыков хорошо осуществляется в ходе экскурсий в природу. Так, весной учителями III класса были организованы экскурсии в парк Лесотехнической академии по наблюдению изменений в природе. В план экскурсии включили практическое знакомство с километром, упражнение в навыках измерения. Каждая звездочка была снабжена веревкой длиной в 10 м. В звездочке выделялся один ученик для записи, сколько раз отложили по 10 м. Измерением руководил командир звездочки. Через каждые 100 м приступала к измерению новая звездочка.

С самого начала при изучении геометрического материала учителя школы уделяли большое внимание технике выполнения практических работ. Учащихся учили пользоваться инструментами. При построении отрезков уже от учащихся II класса требовали точности. В III классе детей учили точному, технически правильному построению прямоугольника.

Учащиеся выполняли различные задания: начертить прямоугольник с заданными сторонами; длина прямоугольника 10 см, а ширина на 4 см меньше; ширина прямоугольника 3 см, а длина в 4 раза больше; начертить квадрат, сумма сторон которого равна 20 см.

Для того чтобы у детей сформировались навыки точного измерения и построения, мы пользовались специальными тетрадями с неразлинованной бумагой.

Эффективность различного рода практических заданий зависит от того, в какой мере в ходе их проведения активны все учащиеся. Поэтому вначале практические работы проводятся под руководством учителя, но потом ученики выполняют подобные задания самостоятельно.

Для того чтобы все дети принимали активное участие в практических работах, большое значение имеет их оборудование. Мы старались по возможности обеспечить всех инструментами, дидактическим материалом, счетами. Если учащиеся знакомились с метром, то метр должен был приготовить каждый ученик. Если на уроке выполнялось построение чертежа, то работу делал тоже каждый ученик. При упражнении в измерении и на уроке, и в ходе экскурсии все дети имели измерительные инструменты, выполняли различного рода задания по измерению и т. д.

Большую роль в подготовке к урокам арифметики имели уроки труда. На уроках труда заготавливался дидактический материал для уроков арифметики; полоски бумаги, прямоугольники, циферблаты, кубы и т. д. С другой стороны, связь уроков арифметики с уроками труда, рисования, географии позволила закрепить, применить математические знания.

Г. Б. Поляк

УЧИТЕЛЮ НЕОБХОДИМЫ ПОЛНЫЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ И ПРИМЕРОВ

При подготовке к урокам арифметики некоторые учителя ограничиваются наметкой номеров задач и примеров для решения в классе и для задавания на дом, но сами не решают их. Это не может не сказаться отрицательно на эффективности учебных занятий. Не зная ответа, какой должен получиться при решении данной задачи или примера (а при действиях с многозначными числами, преобладающих в III и IV классах, это трудно знать без предварительного решения), учитель при получении учениками различных ответов теряется, какой из нескольких названных ответов одобрить и какой из них отвергнуть.

Не решив предварительно примера, не имея под руками правильного решения, учитель часто не может быстро установить, в чем допущена ошибка тем или иным учеником. В результате нередко на уроке тратится много лишнего времени на выяснение и исправление ошибок. Так, иногда на уроке полностью решается такой пример, как 376 × 408—504 × 190, в котором ученик при выполнении домашнего задания допустил ошибку в последнем действии (вычитании), тогда как достаточно было бы ограничиться выполнением только этого действия. Допущенная здесь излишняя потеря времени не имела бы места, если бы учитель предварительно, при подготовке к урокам, решил этот пример. Он мог бы тогда легко выявить, в чем учащийся ошибся, спросив его, какой результат получился у него в каждом из трех действий, либо просмотрев его письменную работу и сличив полученные учеником результаты действий со своим решением.

Пробел в подготовке к урокам, о котором идет здесь речь, затрудняет проверку ученических тетрадей, так как, не прорешав предварительно данных примеров и задач, не имея их решения под руками, учитель обычно затрачивает значительно больше времени и усилий на исправление детских работ. В практике таких учителей при коллективной проверке примеров и задач на уроке, как и при проверке ими ученических тетрадей, иногда даже остаются неисправленными некоторые из допущенных детьми ошибок.

Во избежание отмеченных выше недочетов при подготовке к урокам арифметики следует, как это делают опытные учителя, не только намечать, какие задачи и примеры подлежат решению, но и решать их.

Предварительное решение учителем задач и примеров необходимо не только потому, что это облегчает его работу при проверке ученических тетрадей. Когда учитель сам выполняет работу, которую предстоит сделать его учащимся, он гораздо лучше осознает трудности, с которыми могут встретиться дети при выполнении данного задания. Очевидно, что при планировании и проведении урока такой учитель лучше учтет эти трудности.

Выше говорилось главным образом об ответах. Но к намечаемым задачам и примерам учителю надо подготовлять не только ответы, но и их полное решение.

Пусть ученик получил неверный результат при решении примера 765×849. Если учитель будет иметь у себя только ответ к этому примеру, без полного решения его, то при проверке ученических тетрадей, а особенно при проверке примера на уроке, ему трудно будет установить, где допущена ошибка: в нахождении ли неполных произведений, в каком из них и в чем именно; в подписывании ли неполных произведений, в нахождении ли суммы и т. д. Такой более или менее точный «диагноз» ошибок учащихся учитель может установить лишь тогда, когда у него имеется не только ответ, но и полное решение данного примера. Между тем очевидно, что для эффективной работы по восполнению пробела в знаниях, о котором свидетельствует ошибка ученика, учитель должен знать, в чем именно допущена ошибка и, по возможности, даже, отчего она произошла.

Учителю надо иметь полные решения не только примеров, но и задач. Что касается последних, то предварительное решение их необходимо, в частности, потому, что многие задачи решаются разными способами, что может ускользнуть от внимания учителя в том случае, если он предварительно не решает задачи. А не заметив этого, учитель может на уроке не только не стимулировать учащихся к решению задачи различными способами, но, как это иногда наблюдается в школьной практике, даже отвергнуть, как неправильный, предложенный кем-либо из детей другой возможный способ решения данной задачи.

Читатель вправе спросить, а почему бы не издать печатных решебников к задачникам, чтобы освободить учителя от этой работы. Но такие решебники, будь они изданы, могут быть приобретены и учениками. Нечего говорить о том, какой вред может получиться оттого, что некоторые дети, вместо самостоятельного решения примеров и задач, могут списывать готовые печатные решения.

Но вынужденные сами составлять решебники для себя, учителя должны, по возможности, рационализировать эту работу, чтобы она требовала от них минимальной затраты сил.

Прежде всего надо заботиться, чтобы решебник, однажды составленный, сохранялся и мог быть использован в течение нескольких лет. Далее, учителям одной школы, а иногда и соседних школ целесообразно кооперировать свою работу по составлению решебников так, чтобы к новому учебному году учитель III класса взамен составленного им решебника для этого класса мог получить у своего товарища решебник к задачнику для IV класса.

Решения задач и примеров при подготовке к урокам целесообразно записывать в особой тетради, которая была бы удобна для хранения и обмена.

Некоторые учителя каждый год старательно собирают и затем в течение нескольких лет хранят у себя полные комплекты исписанных тетрадей двух-трех своих учеников.

В некоторых классах практикуется ведение так называемой «круговой тетради», в которой ежедневно какой-либо ученик, по назначению учителя, выполняет учебные работы текущего дня. Как и упомянутые выше комплекты ученических тетрадей, «круговая тетрадь» хранится у учителя в течение нескольких лет.

Легко видеть, что полные комплекты тетрадей и «круговые тетради» по арифметике могут в дальнейшем быть использованы учителем и как решебники.

Составление решебника к задачнику требует от учителя затраты труда, но это в определенной мере экономит время, затрачиваемое им на проверку ученических работ, а главное — повышает эффективность учебных занятий по арифметике.

А. Я. Шор

Преподаватель московского педагогического училища № 1 имени К. Д. Ушинского

О ФОРМИРОВАНИИ У УЧАЩИХСЯ ПЕРВИЧНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ О ПРИБЛИЖЕННЫХ ВЕЛИЧИНАХ

На практике в подавляющем большинстве случаев мы имеем дело с приближенными величинами. Это обстоятельство должно найти свое отражение уже в курсе начальной арифметики.

Конечно, в начальной школе не может быть и речи о приближенных вычислениях ввиду их сложности даже для учащихся старших классов, но подготовительные шаги в этой области могут и должны быть сделаны. В методической литературе этот вопрос не разработан. Цель настоящей статьи поставить его. Если работа в данном направлении будет вестись, то, собирая и обобщая накапливаемый опыт, можно внести существенный вклад в методику преподавания арифметики в начальной школе. Задача в первую очередь состоит в том, чтобы внимательно проанализировать программный материал и наметить ряд моментов, которые, будучи естественно связаны с программой, в то же время дадут первичные представления о приближенных величинах. Со временем можно будет уточнить эти вопросы по годам обучения, по темам.

Большие возможности в отношении создания представления о приближенных значениях величин имеются при различного рода измерительных работах. В особенности это связано с работами, направленными на развитие глазомера и выявления допущенной ошибки при сравнении результатов, определенных на глаз, с результатами измерений при помощи инструмента. Черчение на глаз отрезков заданной длины и определение допущенной ошибки — важная и полезная работа. Здесь возможны разные варианты, в частности могут быть начерчены произвольные отрезки, длину которых надо определить на глаз. Это же относится к определению на глаз линейных размеров различных предметов в классе. Работы по измерению можно выполнять и на местности, где учащимся дается задание определить на глаз или шагами длину какого-либо расстояния.

Если все эти работы сопоставлять с результатами измерения при помощи инструментов, то у детей будет постепенно развиваться представление о приближенном значении измеряемой величины, о размерах погрешности, о степени приближения.

Черчение на глаз прямых углов, прямоугольников, квадратов позволяет наметить отклонение начерченного угла от прямого, отклонение

противоположных сторон прямоугольников от их равенства. Построение на глаз прямоугольников, квадратов с заданными сторонами, периметром или площадью или же аналогичные работы в классе или на местности и сравнение с результатами измерения инструментами служат тем же целям. Это может быть сделано и при вычислении объема и веса. Само собой разумеется, что нужна продуманная методика, эти работы должны быть тщательно подготовлены. В частности, прежде чем предлагать учащимся определять длину, площадь, объем на глаз, надо давать ориентиры, предварительно обсуждать с детьми ожидаемые результаты при определении на глаз, учить выполнять данную работу. Это явится серьезной подготовкой к приближенной оценке величин. Из класса в класс эти работы должны проводиться систематически, постепенно усложняясь.

Перейдем к измерению при помощи инструментов. И здесь следует вносить элементы приближенных работ. Полезно иметь метры без всяких делений, затем с делениями только на дециметры и наконец с делениями и на сантиметры; масштабные линейки (учащиеся сами могут их изготовить) — с делениями только на сантиметры, а затем уже с делениями и на миллиметры. При выполнении работы с такими инструментами можно получить приближенный результат с той или иной степенью точности. Так, измеряя длину доски или класса, учащийся устанавливает целое количество метров, а излишек или недостаток определяет на глаз: «почти 3 м», «немного больше 6 м» и т. д. Так же можно измерять длину линейкой, имеющей деления только на сантиметры, взвешивать предметы, не имея всех гирь, определять вес приближенно. Наполняя посуду стаканами, приближенно измерять этой единицей объем.

Можно упражнять детей в простейших действиях с приближенными величинами. Например, при определении на глаз длины двух отрезков предложить учащимся сложить эти величины и найти приближенную сумму (или разность); при определении на глаз сторон прямоугольника, квадрата, ребра куба, прямоугольного параллелепипеда дать задание найти приближенное значение периметра, площади, объема, т. е. по существу говоря, складывать и умножать приближенные значения величин. Аналогичные работы полезно проводить и при помощи инструментов, измеряя с допусками небольших погрешностей. Можно предлагать и такие задания: разделить на глаз отрезок на 2, 3... разные части; разрезать на глаз буханку или кусок хлеба на равные части; разрезать на равные части кусок картона или доски неправильной формы и затем путем взвешивания сопоставить полученные части.

Измерительные и глазомерные работы дают в пределах программы начальной школы обширный материал для выработки первичных понятий о приближенных значениях величин и даже простейших вычислений с ними.

Вырабатывая у учащихся первичные представления о приближенных значениях величин, следует вместе с тем учить детей максимально стремиться к аккуратным измерениям в пределах той степени точности, которую допускает инструмент.

Проводя измерительные работы, можно совместно с учениками устанавливать возможную или желательную степень точности. Например, нужно ли учитывать миллиметры при измерении длины класса, следует ли измерять с точностью до миллиметра или до одного сантиметра материал на костюм или платье, будут ли учитывать единицы граммов при взвешивании продуктов на весах и т. д.

Другим важным источником пропедевтики приближенных вычислений является так называемая «прикидка», т. е. предварительная грубая оценка ожидаемого результата. Необходимо расширить круг заданий, в которых возможно и интересно сделать прикидку. К ним относятся задачи, связанные с

определением цены (стоимости) одного предмета, скорости различных видов движения, урожайности различных культур, плодов, овощей, удойности, грузоподъемности, расхода материала, веса или емкости при определенной таре, норм питания, кормов, посева, настриг шерсти, производительности некоторых машин и т. д.

Здесь мы подходим к очень важному, с точки зрения связи преподавания арифметики с жизнью, вопросу о том, что обучение арифметике должно также служить приобретению детьми ряда практических важных и необходимых сведений из различных областей жизни. Следует, во-первых, отобрать наиболее типичные данные, которые желательно запомнить, избегая перегрузки памяти учащихся ненужным материалом, во-вторых, надо учесть специфику местного, краеведческого характера. Кроме того, необходимо эту работу связать с составлением задач учащимися и с работой над справочным материалом. Поясним сказанно примерами.

Допустим, что решается задача на движение, в которой требуется определить скорость движения поезда (парохода, автомобиля, самолета и т. д.). Прежде чем приступить к выполнению решения задачи, полезно оценить ожидаемый результат. Можно в отдельных случаях рекомендовать учащимся заглянуть в справочник, если таковой имеется в учебнике. Если в задаче нужно определить урожайность, удойность, или расход кормов на одну голову скота (птицы) в сутки, или вес одного мешка картофеля, сахара и т. д., то при этом также полезно предварительно оценить ожидаемый результат.

Из года в год расширяется круг сведений, приобретаемых учащимися. В связи с этим возникает вопрос об известных границах: «от— до», о наличии справочного материала, в котором данные также выражаются в известных пределах, и наличии в учебниках таких заданий, ответы на которые выражались бы в некоторых пределах.

Пусть, например, удойность одной коровы в сутки на ферме колеблется от 12 до 16 кг молока. По этим данным могут быть решены различные задачи: 1) «Сколько молока можно получить от ... коров при удойности в 12 кг в сутки? 16 кг? При средней удойности?» 2) «Какое количество коров нужно иметь, чтобы получать в сутки . . . килограммов молока, если удойность составит 12 кг? 16 кг? При средней удойности?»

Надо приучать учащихся выражать ожидаемый результат в некоторых границах, например, скорость пассажирского поезда от 50 до 60 км в час, вес мешка муки (зерна) от 75 до 80 кг и т. д. Нахождение ожидаемого ответа в известных границах, выполнение вычислений в этих пределах является важным элементом в выработке понятий о приближенных величинах, о приближенных вычислениях, об отклонении этих результатов от средней величины. Можно, например, решить задачу, вычислив сбор пшеницы при 24 ц с 1 га, при 28 ц с I га, и сравнить сбор пшеницы при этих урожаях со средними величинами.

Предварительная оценка результата с успехом может быть использована при решении примеров, при устных и письменных вычислениях. При делении иногда ставятся вопросы о высшем разряде ожидаемого частного и, следовательно, о количестве цифр частного. Это как бы первый шаг в предварительной оценке результата. Если к этому иногда добавлять вопрос о том, какая будет первая цифра частного, то можно установить, что ожидаемый результат больше, например, чем 600 или чем 4000, и т. д. То же самое может иметь место и при других упражнениях. Даже в I классе при сложении, например, чисел 7 и 5 можно выяснить, что результат будет больше 10, во II классе при сложении 28 и 36 — больше 6 десятков, в III классе при сложении 278 и 365 — больше 6 сотен, умножение 392 × 3 составит почти 12 сотен и т. д. Круг таких возможных

упражнений весьма широк и может сопровождать устные и письменные вычисления.

В связи с этим встает вопрос об округлении чисел. Имело бы смысл поставить вопрос о применении в начальной школе записи округления, принятой для старших классов, т. е. 78 м ~ 80 м.

Надо не только ограничиваться примерами на округление, но и давать задачи, в которых это округление выступало в практически жизненном применении. Приведем, например, такие задачи:

Из одной тонны картофеля получали 162 кг крахмала. Сколько килограммов крахмала можно получить из 5980 кг картофеля?

Указание: 5980 кг округлить до тысяч килограммов, и полученное число превратить в тонны.

Один шофер обязался на каждые 100 км пробега экономить 1 кг 250 г бензина, а другой — 1 кг 176 г. Оба шофера выполнили свои обязательства. Сколько они вместе сэкономили бензина, если первый проехал 1188 км, а второй — 1614 км?

Указание: Числа 1188 км и 1614 км округлить до сотен километров.

Разработка поднятых в настоящей статье вопросов послужит усилению связи преподавания арифметики в начальной школе с жизнью.

составляли задачи о желудях, шишках, листьях на сложение и вычитание. Вот некоторые из них:

«Я сорвала 6 дубовых листьев и 3 березовых. Сколько всего листьев я сорвала?»

«Коля нашел 5 желудей, а Миша — 4. Сколько желудей всего нашли ученики?»

На уроках ручного труда первоклассники вырезали треугольники, квадраты, кружки. Этот дидактический материал мы также использовали при составлении задач.

На некоторых уроках я предлагал учащимся составлять задачи по картинкам.

На листе картона я нарисовал опушку леса, на которой растут грибы. Грибы вставлены в прорези. По такому рисунку можно составлять задачи на сложение и вычитание. Например:

«На опушке леса росло 8 грибов. Дети сорвали 5 грибов. Сколько грибов осталось?»

Вызванный ученик, решая задачу, вынимал из прорези 5 грибов и видел, что осталось 3.

Такие рисунки иллюстрировали задачу, помогали учащимся лучше усвоить ее содержание.

Затрудняет детей составление задач на данное действие и с заданными числами. Успех выполнения этой работы зависит во многом от того, насколько ученики научились составлять задачи на конкретном материале, по картинке, в связи с наблюдениями. Ученики моего класса справляются с таким заданием в основном хорошо.

Однако нередко при составлении задачи ученики опускают вопрос, сообщая сразу ответ: «У меня было 7 яблок. 2 яблока я съел, а 5 осталось».

Надо обращать внимание учащихся на необходимость ставить вопрос, на -который следует найти ответ при решении задачи. Выделение вопроса способствует более глубокому усвоению условия задачи.

Задачи на определенное действие без заданных чисел мои ученики составляют почти без затруднений. Я предложил детям придумать задачу, в которой надо сложить два числа. Была составлена такая задача:

«Для детей детского сада пионеры сделали сначала 13 игрушек, а потом еще 5. Сколько всего игрушек сделали пионеры для детского сада?»

При изучении темы «Увеличение и уменьшение числа на несколько единиц» я учу детей составлять задачи, аналогичные данным в задачнике. А через некоторое время предлагаю ученикам придумать самим задачу, в которой одно число надо увеличить (уменьшить) на несколько единиц. Например:

«До начала уроков возле кормушки было 12 птичек, а после уроков я увидела на 3 птички больше.

Сколько птичек было возле кормушки после уроков?»

Большое значение в успешном обучении решению задач имеет дополнение данных в задаче.

«Валя купила карандаш за 12 коп. и еще ручку. Сколько всего денег заплатила Валя?»

В этой задаче требуется дополнить второе данное (стоимость ручки).

«Валя купила карандаш и ручку. Сколько всего денег заплатила она за покупку?»

Здесь ученики должны были подобрать цифровые данные, соответствующие действительности.

Придумывание вопроса к задаче является также дополнением задачи.

Когда первоклассники научатся составлять и решать задачи, надо учить их преобразовывать одну задачу в другую.

Миша К. составил такую задачу: «У Раи было 20 коп. За 7 коп. она купила карандаш. Сколько копеек у нее осталось?»

Учащиеся по моему заданию придумывают соответствующую задачу: «У Раи было 20 коп. Она купила ручку за 10 коп. и карандаш за 7 коп. Сколько у Раи осталось денег?»

Составление задач самими учениками способствуют глубокому пониманию условия задачи, успешному их решению.

Г. Т. Шушпанов

Учитель Гвоздевской начальной школы Чаинского района Томской области

КАК НАУЧИТЬ УЧАЩИХСЯ I КЛАССА СЛОЖЕНИЮ И ВЫЧИТАНИЮ БЕЗ ПЕРЕСЧИТЫВАНИЯ СУММЫ И РАЗНОСТИ

Большинство детей, поступающих в I класс, уже владеют некоторыми вычислительными навыками сложения и вычитания, пользуясь при этом примитивным приемом пересчитывания суммы и разности.

Чтобы отучить учащихся от пересчитывания суммы и разности и научить их присчитыванию и отсчитыванию, я применяю такой метод.

Как научить присчитыванию.

Показываю детям 5 карандашей. Ученики

считают их, после чего карандаши опускаются в коробку, которая закрывается. Сообщаю, что к карандашам, которые находятся в коробке, нужно прибавить (присчитать) 3 карандаша (показываю 3 карандаша).

— Сколько карандашей в коробке? (5.)

— К 5 карандашам прибавим 1 карандаш (опускаю в коробку 1 карандаш). Сколько теперь карандашей в коробке? (6.)

— Значит, если к 5 карандашам прибавить 1 карандаш, то сколько получится?

Ученики отвечают полным предложением: «К 5 карандашам прибавить 1 карандаш, получится 6 карандашей».

— Теперь к 6 карандашам прибавим 1 карандаш (опускаю в коробку карандаш). Сколько карандашей получится? (К 6 карандашам прибавить 1 карандаш, получится 7 карандашей.)

— А теперь к 7 карандашам прибавим еще 1 (опускаю в коробку). Сколько карандашей получится? (К 7 карандашам прибавим 1 карандаш, получится 8 карандашей.)

— Правильно. Так сколько карандашей было в коробке сначала. (5 карандашей.)

— Сколько карандашей мы прибавили? (К 5 карандашам мы прибавили 3 карандаша.)

— Сколько карандашей получилось? (Получилось 8 карандашей.)

— Давайте проверим, 8 ли карандашей в коробке? (Карандаши пересчитываются.) Кто из вас может сказать, как к 5 карандашам прибавить 3 карандаша? (К 5 карандашам прибавить 1 карандаш, получится 6 карандашей; к 6 карандашам прибавить 1, получится 7 карандашей; к 7 карандашам прибавить 1 карандаш, получится 8 карандашей.)

Следует показать учащимся на предметах, что 5 и 3 можно сложить и по-другому: 5 + 1 + 2, или 5 + 2 + 1.

Не видя опущенных в коробку карандашей, дети не могут их пересчитать, а вынуждены присчитывать. Таким же образом можно присчитывать и другие предметы, опуская их в мешочек, в приоткрытую банку и т. д.

Как научить отсчитыванию.

— Сосчитайте, сколько листьев в конверте. (Ученики считают.) (5 листьев.)

Предлагаю от 5 листьев отнять по одному 2 листа.

— От 5 листьев отнимаем 1 лист. (Дети убирают из конверта один лист.) Сколько листьев осталось?

Ученики отвечают полным ответом: «От 5 листьев отнять 1 лист, останется 4 листа».

— Теперь от 4 листьев отнимем еще 1 лист. (Дети вытаскивают из конверта 1 лист.) Сколько листьев осталось? (От 4 листьев отнять 1 лист, останется 3 листа.)

— Верно. Так сколько листьев было в конверте сначала? (5 листьев.)

— Сколько листьев мы отняли? (Отняли 2 листа.)

— Сколько листьев осталось? (Осталось 3 листа.)

— Проверьте, сколько листьев осталось в конверте. (Ученики пересчитывают оставшиеся листья.) Как, дети, от 5 листьев отнять 2 листа? (От 5 листьев отнять 1 лист, останется 4 листа; от 4 листьев отнять 1 лист, останется 3 листа.)

Подобные упражнения в присчитывании и отсчитывании удобно производить и на классных счетах. Для этого левая часть счетов закрывается листом фанеры или картона, который одним гвоздиком прикрепляется к верхней планке классных счетов. Фанерный лист свободно откидывается в сторону.

Ученику нужно, например, к 5 прибавить 4. На правой стороне счетов, где находятся косточки, он отсчитывает 5 косточек и двигает их по проволоке влево, чтобы они «спрятались» за фанеру. Затем на той же проволоке отсчитывает 4 косточки и, двигая их по одной или группами влево, присчитывает к 5 спрятанным косточкам.

Если нужно от 9 отнять 4, то ученик поступает так: отсчитывает 9 косточек и двигает их по проволоке влево, за фанеру. Затем слегка отклоняя лист фанеры влево, чтобы не было видно остающихся косточек, отодвигает вправо 4 показавшиеся из-за фанеры косточки и по одной косточке или группами отсчитывает их от девяти.

Результаты присчитывания и отсчитывания легко проверить. Для этого фанерный лист откидывается, и косточки пересчитываются.

На многих примерах дети убеждаются, что нет надобности в пересчитывании суммы и разности.

Подобные упражнения не только способствуют выработке у учащихся умения присчитывать и отсчитывать, они в значительной мере облегчают переход от сложения и вычитания предметов к сложению и вычитанию отвлеченных чисел.

В. И. Михельсон

О ДВОЯКОМ ЗНАЧЕНИИ ЦИФР

Отчетливое усвоение основ десятичного счисления требует знания не только соотношения между разрядами, но и знания двоякого значения цифр — собственного и поместного, которое дает возможность изображать всякое число с помощью десяти цифр.

Знакомство с поместным значением цифр я начинала после усвоения нумерации двузначных чисел до ста.

Переходя к письменной нумерации, указывала, на каком месте от правой руки будут стоять единицы и на каком десятки.

Двоякое значение цифр объясняла так: даю детям задание записать цифры 2 и 5. При этом пишу: 2 = 1 + 1. Напоминаю, что цифра 2 означает две единицы и носит название «два». Затем пишу: 5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1. Цифра 5 означает пять единиц (счетных) и носит название «пять». Это собственное значение цифр 5 и 2.

Предлагаю учащимся этими цифрами записать два числа. Дети называют числа 25 и 52 и записывают. Объяснение ведется в таком плане. Цифры в том и другом случае одни и те же, а числа разные.

В первом случае цифра два стоит на втором месте от правой руки, и хотя ее собственное значение не изменилось, но благодаря тому что она стоит на втором месте, она будет означать уже 2 десятка. Это уже не простые единицы, означающие каждый отдельный предмет, а десятки. Таким образом мы получаем второе значение цифры, которое зависит от занимаемого ею места и называется поместным. Цифра 5 стоит на первом месте и означает единицы. Те же объяснения даю относительно числа 52, провожу сравнение с числом 25. На других примерах учащиеся уясняют, что каждая цифра имеет два значения, собственное и поместное.

На последующих уроках напоминаю детям о поместном значении цифр.

Поместное значение цифр подчеркиваю и при изучении многозначных чисел. Так, во II классе при изучении нумерации чисел в пределе 1000 провожу следующие упражнения: вызванный ученик записывает на доске число, например 378, и прочитывает каждую цифру отдельно: 3 сотни, 7 десятков, 8 единиц, и обратно. Далее предлагаю учащимся записывать числа и прочитывать каждую цифру отдельно, называя ее поместное значение.

На следующем уроке после повторения дети записывают число, состоящее из 7 сотен, 5 десятков и 2 единиц или из 6 сотен и 7 единиц, и читают его сразу. После записи таких примеров ученики повторяют, что единицы пишутся на первом, десятки на втором, сотни на третьем месте, считая от правой руки, и обратно: сотни на третьем месте, десятки на втором и единицы на первом.

Затем диктую числа, у которых, например, на первом месте стоит цифра 5, на втором 7, на третьем 3. Записанное число читается сразу. Или даю задание написать число, у которого на третьем месте стоит цифра 9, а на первом — цифра 2. Нумерацию повторяю на каждом уроке, уделяя на это 5—10 минут.

При изучении четырехзначных чисел в III классе обращаю внимание учащихся на то, что для записи тысяч нам не потребовалось новых цифр, мы использовали те же самые цифры. Если цифру 1, которая означала одну единицу, или один десяток, или одну сотню, поставить на четвертом месте, то она будет означать теперь одну тысячу. Еще раз напоминаю, что значение цифры 1, а также и остальных цифр зависит от места, которое она занимает. Что мы можем сказать о цифре нуль? Необходима она или нет? Необходима: с помощью куля мы можем записывать числа, поставив каждую цифру на свое место.

После решения задач диктую четырехзначные числа, например 7345. Учащиеся читают это число, называя каждую цифру отдельно: 7 тысяч, 3 сотни, 4 десятка, 5 единиц. Затем детям залаю вопросы: «Сколько всего сотен в этом числе? Как сосчитать? Сколько всего десятков? Сколько единиц?» Так разбираются подряд несколько чисел, после чего учащимся предлагается записать число, состоящее из 2 тысяч, 5 сотен, 4 десятков и 5 единиц, или 4 тысяч, 8 десятков и 3 единиц, или 6 тысяч, 2 сотен, 4 десятков, или 7 тысяч и 9 десятков. Эти числа записываются и прочитываются.

Предлагаю учащимся записывать двузначные числа, затем трехзначные, четырехзначные и прочитывать эти числа, потом читать цифры отдельно и объяснять поместное значение каждой цифры.

Проведенная мной работа по ознакомлению учащихся с двояким значением цифр способствует различению понятий «число» и «цифра» и усвоению разрядного состава чисел.

Со своим подшефным

Вербская средняя школа Дубновского района Ровенской области

П. С. Исаков

ИЗУЧЕНИЕ МЕР ДЛИНЫ И ВЕСА В III КЛАССЕ

В соответствии с требованиями Закона об укреплении связи школы с жизнью новые программы предусматривают, что в основе полученных учащимися в школе знаний должны лежать конкретные факты и примеры, взятые из жизни, и что приобретенные знания дети должны научиться применять на практике. В преподавании арифметики принцип практической направленности наиболее яркое выражение находит при изучении мер. Здесь наряду с задачами формирования наглядного представления об отдельных единицах измерения и усвоения таблиц мер длины, площади, объема, веса и времени большое значение имеет формирование знаний, умений и навыков, необходимых для решения всевозможных практических вопросов, связанных с измерениями. В соответствии с этими задачами к методике изучения мер должны быть предъявлены следующие требования:

1) обеспечить наглядность при ознакомлении учащихся с единицами измерения;

2) насытить занятия работами практического характера;

3) включить в проведение измерительных и практических работ каждого ученика.

С учетом этих требований изучение мер длины и веса в III классе целесообразно вести по такому плану.

Тема: «Знакомство с миллиметром, тонной и центнером»1.

1-й урок — «Знакомство с миллиметром. Упражнения в измерениях».

2-й урок — «Составление таблицы мер длины».

3-й урок — «Составление практической таблицы длин».

4-й урок — «Таблица мер веса».

Экскурсия: знакомство с процессом взвешивания больших грузов (от 1 ц до 1 г).

5-й урок — «Упражнения во взвешивании».

6-й урок — «Контрольная работа».

Особенность этого плана в том, что значительная часть времени, затраченного на изучение темы (более 50%), отводится на практические и измерительные работы в классе и на местности. При этом практическое ознакомление с центнером и тонной проводится во внеурочное время.

Из приводимого ниже краткого описания уроков, в основу которых положен опыт работы в одном из третьих классов школы № 353 г. Москвы, видно, как рекомендуемый план может быть претворен в жизнь.

1-й урок — «Знакомство с миллиметром».

Урок начинается с повторения уже известных учащимся мер длины и соотношений между ними

1 Практическое знакомство с километром было дано раньше — в связи с изучением 1000.

(сантиметр, дециметр, метр, километр). Для того чтобы дети вспомнили все это, им предлагаются вопросы: «Какие вы знаете меры длины? Сколько в дециметре сантиметров?» И др.

Затем учащиеся показывают на своих линейках дециметр и сантиметр.

Далее проводятся упражнения в измерении длин. Ученики измеряют деревянным метром длину и ширину классной комнаты, длину классной доски, расстояние от угла комнаты до двери.

Организуется эта работа следующим образом. Сначала двое вызванных учеников измеряют по указанию учителя ширину или длину классной комнаты. Делается это с той целью, чтобы напомнить учащимся, как надо проводить измерения. Поэтому важно, чтобы за действиями вызванной пары мог следить весь класс. Этого можно достигнуть таким образом. Проводящие измерения будут откладывать метр не на полу, а по стене.

Другая цель этой предварительной работы состоит в том, чтобы предупредить возможные ошибки. Дело в том, что при измерении остатка длиной меньше метра учащиеся иногда укладывают метр так, что своим концом, на котором стоит отметка «100 см», метр упирается в стену. При этом конец его с отметкой «0» оказывается за пределами измеряемого отрезка. Подобная ошибка нередко допускается не только при измерении длины и ширины комнаты, коридора, зала, но также и при измерениях рулеткой с внутренней стороны длины и ширины огороженного участка, когда получается остаток меньше длины рулетки.

Кроме того, при измерениях деревянным метром некоторые учащиеся, не зная, как измерить оставшийся отрезок длиной меньше метра, ставят метр под углом к полу, прислоняя его к стене, и пытаются на глаз определить длину оставшейся части. Поэтому учитель должен еще раз напомнить, что метр надо класть так, чтобы начало его («Тот конец метра, где стоит отметка 0», — говорит учитель) совпадало с одним из концов измеряемого отрезка.

По окончании этой вводной части работы учащиеся приступают к самостоятельным измерениям. Одна пара измеряет длину классной комнаты, вторая — длину классной доски и т. д. Причем каждый результат обязательно проверяется следующими двумя учениками. В случае большого расхождения (более одного дециметра) измерение проводится в третий раз.

Когда измерения закончены, учитель разъясняет, что для того, чтобы полученные результаты было легче запомнить, их можно выразить приближенно только в метрах, т. е. округлить. Сущность округления состоит в том, что если отрезок «немножко больше метра», то он просто отбрасывается, если же «до метра не хватает очень немного», то измеряемый отрезок считается за целый метр. Когда дети назовут округленные результаты измерений, учитель формулирует правило округления более точно:

— Если при измерении остается отрезок меньше половины метра, то он просто отбрасывается. В остальных же случаях он считается за целый метр (иллюстрирует только что полученными результатами).

По окончании измерений метром ученикам раздаются листки нелинованной бумаги, на которых один под другим начерчены два отрезка длиной 8 см 7 мм и 9 см 2 мм. Учитель предлагает измерить эти отрезки и в тетрадях записать, сколько приблизительно содержится в них сантиметров, напомнив, что линейка прикладывается к отрезку тем ребром, на котором нанесены деления, и при этом с краем отрезка совмещается черточка, у которой стоит отметка «0».

Чтобы наглядно показать это учащимся, учитель заготавливает демонстрационную линейку в виде бумажной полоски шириной 6—7 см и длиной 50—70 см. Полоска разбивается на дециметры и сантиметры так, чтобы деления были хорошо видны всему классу. У чер-

точек, разделяющих дециметры, должны стоять ясно написанные числа: 0, 10, 20, 30 и т. д. Особенностью этой линейки является то, что у нее, так же как и у обычной линейки, имеется несколько делений до черточки с отметкой «0» (например, 3—4 см). Вызванный ученик измеряет полоской начерченный на доске отрезок. В этот момент учитель и показывает учащимся, как надо правильно прикладывать линейку.

Когда дети заканчивают измерения отрезков, учитель сообщает, что сегодня они познакомятся еще с одной мерой длины. Он обращает внимание на то, что при измерении неравных между собой отрезков были получены одинаковые результаты.

— Это объясняется тем, что мы измерили длины отрезков приблизительно. А для того, чтобы наши измерения были более точными, нужно взять более мелкую меру.

Ученикам предлагается взять в руки линейки и рассмотреть, на какие части разделен каждый сантиметр. Пересчитав деления между черточками с отметками «0» и «1», потом между черточками с отметками «1» и «2», «5» и «6» и т. д., ученики убеждаются, что каждый сантиметр разделен на 10 равных частей. Учитель говорит, что одно маленькое деление, т. е. один маленький отрезочек, называется миллиметром, и записывает на доске: «Миллиметр». Здесь же он поясняет, что каждая пятая черточка делается несколько длиннее остальных просто для удобства счета. Показывает, как сокращенно пишется слово «миллиметр», иллюстрируя свои слова примерами: 3 мм, 7 см 4 мм — и напоминает, что сокращенные наименования (в том числе и мм) ставятся только при числах.

Затем классу задаются вопросы: «Сколько в одном сантиметре миллиметров? Сколько миллиметров в одном дециметре? в одном метре?»

После этого ученики упражняются в измерении с точностью до миллиметра. Они измеряют еще раз данные им отрезки и снова записывают результаты измерений. Учитель в это время проверяет положение линеек и исправляет ошибки.

В заключение детям раздаются узкие полоски бумаги, длины которых выражаются составными именованными числами, например: 12 см 2 мм, 6 см 3 мм, 16 см 8 мм, для самостоятельных упражнений в измерении. Измерив полоски, учащиеся записывают результаты в своих тетрадях. В тетрадях же чертят отрезок указанной учителем длины (например, 10 см 6 мм).

Дома они должны выполнить задания 486 (418) и 490—2 (417)1.

2-й урок — «Составление таблицы мер длины».

Занятие начинается с повторения мер длины и соотношений между ними. При этом учитель под диктовку учащихся записывает на доске таблицу мер длины, а ученики переписывают ее в тетради.

Затем детям предлагается несколько вопросов и примеров такого типа:

— Сколько сантиметров в 4 дм?

— Сколько метров составляют 700 см?

2 см — 12 мм =; 4 мм × 5 = ; 25 см × 8 = .

На доске записывается ряд чисел: 40 см, 40 мм, 4000 м, 4 см, 4 км, 4 дм. Учащиеся должны переписать их в тетради, изменив расположение таким образом, чтобы равные числа можно было соединить знаком равенства (например, 40 см = 4 дм).

После этого объясняется, как измеряется длина таких объектов, к которым невозможно приложить линейку на всем их протяжении. В качестве примера показывается, как измеряется рост человека с помощью специального прибора. Такой прибор можно взять в кабинете врача. После одного-двух измерений роста с прибором рост нескольких учеников измеряется без прибора. Один ученик становится спиной к стене, шкафу или двери, а второй

1 Здесь и далее номера задач, примеров и заданий указываются по учебнику издания 1960 г. В скобках указаны номера по учебнику издания 1958 г.

ученик с помощью угольника, книги, пенала и т. п. отмечает его рост и затем измеряет метром. В этом случае угольник должен быть расположен в вертикальной плоскости так, чтобы один его катет лежал на голове ученика, а второй был прижат к стене. Подобным же образом могут быть поставлены книга, классный журнал, пенал.

После таких упражнений можно прикрепить к стене в классе вертикально расположенную двухметровую бумажную ленту, имеющую сантиметровые деления, для того чтобы учащиеся могли сами поупражняться в измерении своего роста.

— Отметить рост, — говорит учитель, — мы могли бы и не пользуясь угольником или книгой, а мысленно проведя линию к стене (рукой показывает, как должна идти эта линия от верхней точки головы ученика). Так поступают и в других случаях, когда не требуется, чтобы измерение было очень точным.

В качестве примера одним-двумя учениками измеряется высота нескольких растений в цветочных горшках в классе.

После этого каждый из учащихся определяет на глаз длину своего карандаша и своей ручки, проверяет путем измерения этих предметов и результаты записывает в тетрадь.

Дома дети выполняют задания 488 (419) и 489 (421). Кроме того, им даются задачи и примеры на повторение ранее пройденного материала.

3-й урок — «Составление практической таблицы длин».

После проверки домашнего задания и знания учащимися таблицы мер длины устно решаются задачи 503 (425) и 505 (427). Затем предлагается несколько вопросов и примеров такого типа:

— Сколько метров составляют 4 км 500 м?

— Сколько сантиметров в 6 м?

3 см : 5 = ; 1 м — 1 дм = .

После этого составляются таблицы длин предметов, с которыми учащимся постоянно приходится иметь дело, и некоторых расстояний. Цель этой работы состоит в том, чтобы познакомить детей с некоторыми размерами, знание которых может быть использовано при глазомерной оценке и приближенных измерениях. Измеряя названные учителем предметы и расстояния, учащиеся записывают результаты в свои тетради в виде таблицы. Перед измерением длина каждого предмета определяется на глаз. Таблица составляется таким образом, что указанные в ней размеры располагаются в порядке возрастания. Причем все они берутся округленно. В тетрадях учеников появляется такая примерно запись:

Длина спичечной коробки .... 5 см

Расстояние между разведенными большим и указательным пальцами 15 см

Неотточенный карандаш .... 20 см

Рука от локтя до конца пальцев . 35 см

Затем каждый ученик, выйдя из-за парты, берет свой бумажный метр, прижимает на полу его кончик носком ботинка и вытягивает ленту вдоль туловища. Замечает, где заканчивается лента, и записывает полученный результат в таблицу. Например, «Расстояние от пола до груди.........1 м».

После этого ученик берет бумажный метр за концы и отводит одну руку в сторону до отказа, а второй натягивает ленту перед грудью на уровне плеч. Учитель предлагает запомнить, какое должно быть положение рук, чтобы между концами пальцев было расстояние, равное одному метру. В связи с тем, что учащимся трудно передать в краткой форме содержание выполненной работы, этот результат в таблицу не заносится.

Совершенно ясно, что записанные в таблице данные будут различны у разных детей, за исключением длины спичечной коробки (5 см) и длины неотточенного карандаша (18 см или округленно 20 см).

После окончания работы по составлению таблицы учитель говорит, что ее нужно запомнить, с тем чтобы в необходимых случаях применять на практике. И здесь же дает задание: пользуясь данными

этой таблицы, приближенно измерить длину и ширину откидной крышки парты, а потом проверить с помощью линейки.

В оставшееся до конца урока время решается задача.

4-й урок — «Составление таблицы мер веса».

В краткой беседе дети вспоминают, какие меры веса им известны (1 кг, 1 г), а также устанавливают соотношение между этими мерами: 1 кг = 1000 г. После этого учитель знакомит учащихся с центнером и тонной. Здесь уместно привести примеры, позволяющие создать наглядное представление об этих мерах веса (два больших мешка картофеля весят приблизительно 1 ц; легковой автомобиль «Москвич» без пассажиров весит приблизительно 1 т).

После этого показываются сокращенные записи наименований центнера и тонны. Затем на доске и в тетрадях записывается таблица мер веса.

Для закрепления нового материала учащимся предлагаются примеры на раздробление и превращение мер веса. Здесь же устно решаются задачи 513 (441) и 514 (442). Для самостоятельной работы дается задача 524 (445), которая решается с записью плана решения.

Дома учащиеся должны выучить таблицу мер веса и решить задачи и примеры как по новому материалу, так и на повторение. Кроме того, детям даются задания принести в класс к следующему уроку арифметики несколько картофелин, яблок, морковок, луковиц и т. п. Каждое такое задание дается не одному ученику, а нескольким, с той целью, чтобы иметь возможность из нескольких картофелин, нескольких яблок и т. д. выбрать средние по величине.

Учитель показывает учащимся модели циферблатов торговых циферблатных весов.

В заключение урока учитель сообщает о предстоящей экскурсии и назначает время для сбора учеников.

Экскурсия с целью ознакомления с процессом взвешивания больших грузов проводится на ближайший склад (магазина, базы и т. п.), где имеется возможность показать, как взвешиваются грузы от 1 ц до 1 г. На экскурсии учащиеся должны узнать, на каких весах взвешиваются большие грузы, познакомиться с самим процессом взвешивания таких грузов, получить наглядное представление о центнере и тонне.

5-й урок — «Упражнения во взвешивании».

Урок начинается с того, что учитель предлагает классу ряд вопросов с целью выяснить, как дети усвоили таблицу мер веса. Например: «Сколько в 1 тонне центнеров? Сколько килограммов в 8 тоннах?» Затем устно решаются примеры: 1 ц — 20 кг =; 1 кг — 300 г = ; 40 кг × 5 =.

Перед тем как перейти к взвешиванию предметов учитель проводит упражнения в чтении чисел, установленных на демонстрационном циферблате весов.

Работу по взвешиванию можно провести следующим образом. Учащиеся поочередно подходят к весам и взвешивают картофелины, яблоки и т. д. Получив два-три веса каждого из однородных объектов, дети с помощью учителя выбирают округленный средний. В отдельных случаях сразу выбирается луковица, яблоко, морковка среднего размера, взвешивается и полученный результат округляется до десятков граммов. По мере выполнения работы результаты взвешиваний записываются в виде таблицы на доске и в тетрадях:

Яблоко...........150 г

Луковица..........100 г

Стакан воды......... 250 г

Книга........... 300 г

и т. д.

Перед взвешиванием ученики всякий раз называют предполагаемый вес картофелины, яблока, книги и т. п. В некоторых случаях решается вопрос о том, сколько в 1 кг яблок» сколько картофелин.

Полученная таблица прочитывается вслух одним-двумя учениками.

На дом даются примеры на раздробление и превращение мер веса и примеры на повторение.

6-й урок — «Контрольная работа».

В контрольную работу следует включить: вопросы, связанные с приближенной оценкой величин, задания на измерения; примеры на раздробление и превращение именованных чисел и действия над простыми именованными числами; задачу.

В качестве примера приведем содержание контрольной работы, которая давалась после изучения мер длины и веса в московской школе № 353.

Детям раздаются бумажные полоски длиной 24 см 6 мм (первый вариант) и 26 см 3 мм (второй вариант). Дети должны:

1. Определить на глаз длину полоски.

2. Измерить полоску приближенно без помощи линейки, сравнивая ее с карандашом, расстоянием между большим и указательным пальцами и т. д.

3. Измерить полоску линейкой.

На доске чертятся два отрезка (45 см длиной для первого варианта и 55 см длиной для второго варианта). Дается задание: определить на глаз длину начерченного отрезка.

Далее учащиеся должны записать, сколько яблок средней величины идет на 1 кг; сколько приблизительно весит учебник арифметики (книгу разрешается подержать в руках).

Задача (для первого варианта): «В кузницу должны доставить 1 т угля. Привезли 9 мешков по 50 кг в каждом мешке, потом еще 200 кг. Сколько килограммов угля осталось привезти?»

Примеры (для первого варианта):

Аналогичные задачи и примеры были даны во втором варианте.

Работа, таким образом, состояла из двух частей: 1) глазомерной оценки и измерения величин; 2) решения задачи и примеров. При проверке первой части результаты считались удовлетворительными, если погрешности измерений и приближенных оценок находились в указанных ниже пределах:

1. При определении длины полоски бумаги на глаз и вспомогательными средствами (карандаш, расстояние между пальцами и т. д.) —+5 см.

2. При измерении полоски бумаги линейкой — +2 мм.

3. При определении на глаз длины отрезка, начерченного на доске, — + 15 см.

4. Ответ на вопрос о количестве яблок в 1 кг считался верным, если ученик называл от 5 до 10 яблок.

5. Ответ на вопрос о весе книги считался верным, если ученик ошибался не более чем в 2 раза.

Результаты проверки показали, что большинство учащихся с заданием справились. Причем характерно, что если дети и допускали ошибки, то они не были грубыми. Во всяком случае порядок величин учащиеся указывали верно. Поясним сказанное примером. При оценке на глаз длины полоски бумаги, равной 26 см 3 мм у учащиеся называли числа от 19 см до 34 см. Таким образом, абсолютная погрешность не превышала 8 см. Когда же это упражнение было предложено в другом классе, где измерительные работы проводились в меньшем объеме, то среди ответов встретились такие: 2 см 5 мм, 4 см, 10 см и т. п. Иначе говоря, учащиеся ошибались в два раза, в шесть раз, даже в десять раз!

Надо сказать, однако, что результаты контрольной работы получились не такими, какими их хотелось бы видеть. Особенно это относится к результатам по измерению линейкой. Причина этого в том, что вся работа по ознакомлению с новыми мерами длины и веса, включая упражнения в измерениях, проводилась на весьма ограниченном отрезке времени. Ясно, что за два-три занятия даже при хорошей их организации невозможно научить всех детей безошибочно проводить измерения и более или менее точно оценивать величины на глаз.

После ознакомления с новыми мерами длины и веса практические и измерительные работы в классе проводились в дальнейшем систематически на уроках труда и арифме-

тики. Особое внимание при этом было уделено технике измерений длины. Когда же незадолго до конца учебного года была дана контрольная работа, во многих пунктах совпадающая с той, о которой мы уже говорили, то выяснилось, что учащиеся сделали большие успехи. Например, при измерении длины полоски бумаги дали верный ответ (с погрешностью, не превышающей 2 мм) 92% учащихся. И только 3 ученика ошиблись более чем на 2 мм. То же задание и при тех же условиях в предыдущей контрольной работе выполнили верно только 46% учеников.

Таким образом, если практическим и измерительным работам уделять должное внимание и проводить их систематически, то, не выходя за пределы времени, отводимого программой на изучение тем, связанных с измерениями, можно добиться весьма ощутимых результатов.

Урок в I классе

Школа № 223 г. Москвы

А. Я. Котов

Заслуженный учитель школы РСФСР

О МЕТОДИКЕ РАЗБОРА СОСТАВНЫХ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

В новой программе по арифметике большое внимание уделено связи преподавания этого предмета с жизнью, с практикой коммунистического строительства. И это вполне понятно: в школе уже с I класса необходимо психологически готовить детей к трудовой деятельности, а при изучении арифметики число и мера дают большие возможности для связи задач с трудом.

Вместе с тем в новой программе мы видим отказ от введения чрезмерно сложных задач.

Уменьшение степени сложности арифметических задач, решаемых в I—IV классах, совсем не означает, что снижены требования и к развитию логического мышления детей. Следует иметь в виду, что система арифметических задач, указанная в программе для каждого класса, вполне соответствует возрастным особенностям учащихся начальной школы и вместе с тем является достаточной основой для успешного формирования и развития логического мышления детей. Поэтому, работая по новой программе, учитель должен попрежнему (и даже более активно) вести систематическую и целенаправленную работу по развитию у школьников логического мышления.

Один из способов развития логического мышления учащихся — правильно поставленная методика обучения детей решению составных арифметических задач. При решении же задач основным является их разбор (анализ). Конечно, и объяснение выполняемых действий при решении составных задач имеет далеко не последнее значение для развития логического мышления. Однако научить детей объяснять арифметические действия значительно проще, чем научить их разбирать составные задачи. Усвоив все виды простых задач на сложение, вычитание, умножение и деление (предусмотренные программой), ученик сможет затем объяснить любое действие при решении любой составной задачи. Однако этого еще совсем недостаточно для того, чтобы ученик научился разбирать составные задачи. Не умея же разбирать составные задачи, ученик не сможет и решить их. Поэтому-то при решении составных задач главное значение имеет именно разбор задач.

Наблюдения показывают, что далеко не каждый учитель начальной школы сам владеет рациональными приемами разбора составных арифметических задач, несмотря на то, что в методических пособиях дано много ценных указаний по этому вопросу. Не владея рациональными способами проведения разбора задач, отдельные учителя, разумеется, не могут и учащимся привить необходимые навыки и умения.

Каковы же недостатки в методике проведения разбора составных арифметических задач, которые допускают отдельные учителя?

I. Смешение разбора задачи с обоснованием выбора действий и их объяснением

Приведем такой пример. Учительница Н. решает с учащимися задачу № 1189 из учебника для III класса:

Надо было провести телефонную линию длиной 40 км. В первые 5 дней рабочие проводили по 2 км, а затем по 3 км линии в день. Во сколько дней они провели всю линию?

Задача прочитана, условие кратко записано, данные величины и вопрос уяснены. Начинается разбор в форме так называемого анализа (переход от неизвестного к известному, от вопроса задачи к ее данным величинам). Ответы учащихся даны в скобках.

— Итак, что же требуется узнать в задаче? (Во сколько дней рабочие провели всю телефонную линию.)

— Можем ли мы это узнать сразу, одним действием? (Нет, не можем.)

— Почему? Что мы знаем для ответа на вопрос задачи, а чего еще не знаем? (Мы знаем, что рабочие сначала затратили 5 дней, но не знаем, сколько дней они затратили еще на окончание работы.)

— Верно. Значит, нам придется узнавать, сколько дней потребовалось рабочим для окончания работы. А можно ли это узнать? (Нет, сразу узнать нельзя.)

— Почему? Что мы знаем для ответа на этот вопрос, а чего еще не знаем? (Мы знаем, что остальную часть линии рабочие проводили по 3 км в день, но не знаем, сколько всего километров им оставалось еще провести.)

— Правильно. Значит, нам придется узнавать, сколько километров телефонной линии рабочие провели, делая по 3 км в день. А можно ли это узнать? (Тоже нельзя сразу узнать.)

— Почему? Что известно, а что неизвестно для ответа на этот вопрос? (Известно, что рабочие должны были провести всего 40 км телефонной линии, но неизвестно, сколько километров линии они провели сначала, за первые 5 дней.)

— Верно. Значит, нам придется узнавать, сколько километров телефонной линии рабочие провели за первые 5 дней. А можно ли это узнать? (Это узнать можно.)

— Почему? (Мы знаем, что в первые 5 дней рабочие проводили ежедневно по 2 км линии.)

— Итак...

Как видно, сам разбор задачи проведен учительницей вполне удовлетворительно: соблюден строгий переход от неизвестного к известному; в каждом отдельном случае к разбираемому вопросу указываются лишь по две необходимые величины (известные или неизвестные); после ответов учащихся внимание детей акцентируется на том, что же именно придется узнавать предварительно, прежде чем ответить на вопрос задачи (иногда говорят, на главный вопрос). Кажется, остается лишь компактно перечислить все вопросы, на которые придется отвечать при решении задачи, и план решения готов, а затем можно приступать и к вычислениям с обоснованием выбора действий и объяснением самих действий. Но учительница продолжает работу с учащимися своеобразно, она все еще только беседует.

— Итак, что же мы будем узнавать первым действием? (Сколько километров телефонной линии рабочие провели за первые 5 дней.)

— Что мы должны будем для этого делать? (2 км умножим на 5.)

— Почему мы так будем делать? (Потому, что в первые 5 дней рабочие проводили ежедневно по 2 км линии.)

— А что будем узнавать вторым действием? (Сколько километров телефонной линии рабочим осталось провести.)

— Как мы это узнаем? (От 40 км отнимем результат первого действия.)

— Почему так нужно будет делать? (Потому, что рабочим нужно было провести всего 40 км телефонной линии, а мы будем знать, сколько километров линии они уже провели.)

— Что будем узнавать третьим действием? (За сколько дней рабочие провели оставшуюся часть линии.)

— Как мы это узнаем? (Результат второго действия разделим по 3 км.)

— Почему так нужно будет делать? (Потому, что сколько раз по 3 км содержится в оставшейся части линии, столько дней рабочим придется затратить на окончание работы.)

— Какой это вид деления? (Деление по содержанию.)

— Что узнаем четвертым действием? (Во сколько дней рабочие провели всю линию.)

— Что для этого будем делать? (К 5 дням прибавим результат третьего действия.)

— Почему именно так надо будет делать? (Рабочие провели всю телефонную линию в два приема: сначала работали 5 дней, делая по 2 км в день, а затем еще несколько дней, делая по 3 км в день.)

— Правильно. Значит, эта задача во сколько действий? (В четыре действия.)

Как видно, даже при условии удачных ответов учащихся подобный разбор составной задачи в четыре действия занимает 12—15 минут. Фактически же на уроках арифметики учащиеся не всегда сразу дают нужные и правильные ответы, и беседа порой затягивается до 15—20 минут; учащиеся пока еще ничего не пишут, ничего не вычисляют — идет лишь чистое «теоретизирование».

Затем вызывается к доске ученик и начинается решение задачи: запись плана и действий, вторичное обоснование выбора действий, их объяснение. Наконец, задача решена, но и время урока истекает.

Решить за урок лишь одну составную задачу — это чрезмерное расточительство учебного времени.

В рассмотренном нами случае разбор задачи следовало закончить составлением плана, не вдаваясь пока в обоснование выбора действий и не делая преждевременного объяснения этих действий. От этого сам разбор нисколько не ухудшается; наоборот, учащиеся при этом более четко схватывают ход решения задачи, не говоря уже о значительной экономии времени. В таком случае уже через 5—8 минут после начала разбора план решения был бы вполне ясен учащимся и они смогли бы более активно продолжать решение задачи. Вызванный ученик с помощью других учащихся формулировал бы вопросы, выбирал необходимые действия, обосновывал их, объяснял вычисления.

В данном примере после ответа учащихся «Это можно узнать» учителю следовало бы закончить беседу вопросом «Итак, мы выяснили, что нам придется узнавать при решении задачи. Кто скажет план решения?» Этот план формулирует один ученик, но это могут сделать последовательно и несколько учащихся по своему желанию или по выбору учителя.

При решении составных задач, конечно, нужен не только их разбор, но и обоснование выбора действий, и объяснение самих действий. Однако все это следует делать в свое время, на определенном этапе решения задачи. Ошибка учительницы Н. состояла не в том, что она требовала от учащихся обосновывать выбор действий и объяснять выбираемые действия, а в том, что она это делала несвоевременно. Тем самым разбор задачи искусственно настолько усложнился и затянулся, что многие учащиеся к концу разбора так и не усвоили плана решения, как говорят, из-за деревьев и леса не увидели. Кроме того, выбор действий, обоснование этого выбора, а также объяснение действий пришлось делать дважды: первый раз при разборе задачи, второй при записи вычислений (во время ответа вызванного ученика). В результате было потеряно драгоценное время.

II. Недостаточная подготовка учащихся к разбору задачи

Приведем такой пример. Учительница К. решает с учащимися задачу № 1192 из учебника III класса:

В начале года в школе было 16 юннатов. К середине года их число увеличилось в 3 раза, а к концу года увеличилось еще на 30 человек. Сколько юннатов прибавилось за год?

Начало решения было проведено обычным способом: задачу прочитала учительница, затем ученик, условие было кратко записано, данные величины и вопрос задачи уяснены. Начинается разбор.

— Что нужно узнать в этой задаче? (Сколько юннатов прибавилось за год.)

— Можем ли мы узнать это сразу? (Нет, не можем.)

— Почему? Что известно, а что неизвестно для ответа на этот вопрос? (Известно, что в начале года в школе было 16 юннатов, не неизвестно, сколько их стало в конце года; если мы это узнаем, то ответим и на вопрос задачи, говорит один ученик. Нет, не так надо решать задачу, говорит другой ученик. Известно, что к концу года число юннатов увеличилось на 30 человек (это значит за второе полугодие), но неизвестно, сколько юннатов прибавилось за первое полугодие; если мы это узнаем, то ответим и на вопрос задачи — узнаем, сколько юннатов прибавилось за целый год (за первое и второе полугодие вместе).

Часть учащихся класса согласилась с мнением первого ученика и поэтому не хотела понимать логики ответа второго ученика. Другая часть согласилась с мнением второго ученика и поэтому не хотела понимать логики ответа первого ученика. Третья часть учащихся, сбитая с толку разнобоем ответов, не понимала логики ни того, ни другого ответа. Поэтому в классе был нарушен рабочий порядок с самого начала, и учительнице потребовалось немало усилий, чтобы более или менее благополучно довести до конца решение задачи.

В чем же тут дело? Почему решение задачи прошло так неорганизованно и бесполезно было истрачено 10—15 минут на уроке? А суть дела в том, что рассмотренная задача может быть решена двумя способами. Но в подобных случаях методика разбора задач своеобразна: чтобы избежать недоразумений на уроке, учитель обязан провести специальную подготовку учащихся и настроить их мышление на единый способ решения задачи; второй же способ следует рассмотреть после того, как задача уже решена первым способом.

Чтобы подготовить учащихся к пониманию вполне определенного способа разбора задачи, необходимо проводить соответствующие подготовительные упражнения, содержание которых определяется самим способом решения задачи. В данном случае задача может быть решена так:

I

II

1. Сколько юннатов стало в школе к концу первого полугодия?

16 юн. × 3 = 48 юн.

1. Вопрос тот же. Действие то же.

2. Сколько юннатов стало в школе к концу года?

48 юн.+30 юн. = 78 юн.

2. Сколько юннатов прибавилось за первое полугодие?

48 юн.—16 юн.= 32 юн.

3. Сколько юннатов прибавилось за год?

78 юн.—16 юн. = 62 юн.

3. Вопрос тот же.

32 юн.+ 30 юн.= 62 юн.

Как видно, на вопрос задачи можно ответить двумя различными действиями: или найти разность между числом юннатов в школе на конец и начало учебного года, или найти сумму увеличений (прибавок) числа юннатов за первое и за второе полугодие. Если учитель намерен на уроке разбирать с учащимися эту задачу первым способом, то в устный счет, помимо других упражнений, необходимо включить две-три простых задачи вида:

1. В начале года в школе было 36 отличников, а в конце года их стало 50. Сколько отличников прибавилось за год?

2. При прибытии в санаторий ученик имел вес 38 кг, а при отъезде из санатория — 41 кг, На сколько килограммов поправился ученик в санатории?

3. В начале года в школьной библиотеке было 600 книг художественной литературы, а к концу года число книг увеличилось до 750. Сколько книг прибавилось в школьной библиотеке за год? И т. п.

Если же учитель намерен на уроке разбирать с учащимися ту же задачу вторым способом, то в устный счет необходимо было включить, помимо других упражнений, две-три простых задачи вида:

1. В первом полугодии в школу вновь прибыло 18 учащихся, во втором полугодии число учащихся увеличилось еще на 1 человека. Сколько учащихся прибавилось в школе за год?

2. В первой половине дня в магазин поступило для продажи 38 костюмов, во второй половине дня — еще 24 костюма. Сколько костюмов поступило в магазин за день?

3. В течение первого полугодия школьная библиотека приобрела 120 художественных книг, а во втором полугодии число книг в библиотеке увеличилось еще на 80 штук. Сколько художественных книг прибавилось в библиотеке за год? И т. п.

При такой предварительной подготовке учащихся к решению рассматриваемой задачи разбор ее не вызвал бы каких-либо недоразумений и разнобоя в ответах: весь класс был бы настроен на один и тот же способ рассуждений. После же решения задачи одним из указанных способов учитель должен был сообщить учащимся, что данную задачу можно решить и другим способом. При этом один из учащихся, самостоятельно осмысливших второй способ решения, мог

бы дать связный рассказ всего хода решения. Тем самым можно было бы сэкономить время и не делать дополнительного разбора той же задачи. Лишь в том случае, когда в классе не найдется ни одного ученика, самостоятельно понявшего второй способ решения задачи, учителю придется сделать несколько наводящих замечаний. Однако, как правило, учителю достаточно лишь сообщить, что задачу можно решить другим способом, и в классе найдутся сообразительные ученики, которые расскажут всем остальным об этом.

Таким образом, при разборе задач, допускающих два-три способа решения, а также при решении особенно трудных задач необходимы предварительные упражнения, подготавливающие учащихся к ясному пониманию намеченного учителем хода решения задачи.

III. Однообразие способов разбора задач

Приведем такой пример. Решается задача № 1111 из учебника IV класса:

В прошлом году колхоз собрал 15 744 ц зерна. Четверть этого количества составила кукуруза, полученная при среднем урожае 48 ц с 1 га. В будущем году колхоз решил увеличить посевную площадь под кукурузу вдвое, а урожай с гектара повысить на 4 ц. На сколько больше предполагается собрать кукурузы в будущем году по сравнению с прошлым?

Учительница П. наметила разобрать эту задачу непременно в форме так называемого анализа. Однако сделать это на уроке было не так просто: задача слишком сложна для такого разбора (в шесть действий!) и беседа не была доведена до логического конца.

— Что требуется узнать в этой задаче? (На сколько больше предполагается собрать кукурузы в будущем году по сравнению с прошлым.)

— Можем ли мы это узнать одним действием? (Нет, не можем.)

— Почему? Что мы должны знать для ответа на этот вопрос? (Сколько кукурузы собрали в прошлом году и сколько кукурузы предполагается собрать в будущем году; ни то ни другое нам неизвестно.)

— А можем ли мы это узнать?

Учащиеся не смогли ответить на последний вопрос, потому что он относится к двум неизвестным величинам. Однако учительница упорно старалась довести анализ задачи до конца и, разумеется, потеряла слишком много времени, хотя и не добилась полного понимания каждым учеником хода решения.

В данном случае и не было особой необходимости продолжать разбор в «чистой» аналитической форме. Не следует забывать, что в любом случае разбор задачи носит аналитико-синтетический характер. А это значит, что учащимся постоянно приходится переключать свое внимание от вопроса задачи к ее данным, а от данных величин к вопросу (к «главному» вопросу).

Выяснив, что для ответа на вопрос задачи нужно знать, сколько кукурузы собрали в прошлом году, учительнице следовало бы переключить внимание детей на первую часть условия задачи, сформулировать вместе с учащимися первый вопрос задачи и ответить на него (15744 ц : 4 = 3936 ц).

Затем следовало приступить к выяснению способа отыскания второй необходимой величины — количества кукурузы, которое предполагается собрать в будущем году. Однако и в этом месте разбора бесполезно задавать вопрос «Можем ли мы это узнать?» или «Что нужно знать для ответа на этот вопрос?» Вторую необходимую величину найти не так просто, и поэтому учащимся трудно догадаться, что же именно нужно знать для определения этой величины. Поэтому и здесь учительнице следовало бы обратить внимание на условие, на упоминаемые в тексте задачи величины, относящиеся к той величине, которую необходимо найти, а именно: «В будущем году... площадь под кукурузу... урожай с гектара...». Только после этого каждому ученику станет ясно, что же именно нужно знать для ответа на вопрос «Сколько кукурузы предполагается собрать в будущем году?» Учащиеся легко бы сообразили, что урожай кукурузы с гектара в буду-

щем году найти очень просто (48 ц + 4 ц = 52 ч).

Однако, чтобы найти площадь под кукурузой в будущем году, учительнице необходимо было снова обратить внимание детей на условие задачи: «В будущем году... увеличить... площадь под кукурузу вдвое», а затем поставить вопрос «Увеличить площадь под кукурузу вдвое по сравнению с чем?» Тогда учащиеся поймут, что необходимо знать и площадь, занятую под кукурузой в прошлом году. А поняв это, они должны и найти эту величину [3936 ц : 48 ц = 82 (га)].

Критический момент в разборе задачи прошел, и дальше разбор следовало бы продолжать в форме «чистого» синтеза. Зная площадь, занятую под кукурузой в прошлом году (82 га), и то, что в будущем году площадь под кукурузу решено увеличить вдвое, можно найти планируемую площадь (82 га × 2 = 164 га). Зная же площадь и урожай с 1 га, можно определить, сколько кукурузы предполагается собрать в будущем году (52 ц × 164 = 8598 ц). А если известен сбор кукурузы в прошлом и в будущем году, можно ответить на вопрос задачи (8528 ц — 3936 ц = 4592 ц).

Мы рассмотрели тот случай, когда учительница неудачно пыталась разбирать с учащимися задачу в форме «чистого» анализа. Однако многие учителя в подобных случаях отдают предпочтение «чистому» синтезу. Но и в этом случае разбор проводится неудачно с самого начала. Например, зная общий сбор зерна (15 744 ц) и какую часть этого количества составляла кукуруза (четверть), конечно, можно узнать, сколько кукурузы было собрано в прошлом году. Однако, если не ориентироваться на вопрос задачи, то учащимся будет совершенно не ясно, а нужно ли это узнавать. Не ясна им будет необходимость отыскания и других промежуточных величин. Следовательно, ход решения задачи будет отыскиваться учащимися вслепую, без осознания причинно-следственных связей между вопросом задачи и данными величинами в ее условии. Кроме того, как известно, учащиеся зачастую при этом находят одну-две таких промежуточных величины, которые найти можно, но для последующего решения не нужные (так называемые посторонние, побочные величины).

Таким образом, учитель должен в совершенстве владеть умением разбирать составные задачи не столько в форме «чистого» синтеза или анализа, сколько в аналитико-синтетической форме.

Мы разобрали более или менее детально три типичные ошибки, которые допускаются при обучении учащихся решению составных арифметических задач. Однако имеются и другие существенные недостатки в практике работы отдельных учителей. Из этих недостатков кратко отметим лишь некоторые.

Полное понимание учащимися содержания задачи — одно из необходимых условий, обеспечивающих успешное проведение на уроке разбора задачи. С этой целью надо использовать разнообразные приемы уяснения учащимися условия. А между тем отдельные учителя порой забывают об этом требовании. Нередко учитель знакомит учащихся с условием задачи так: сам читает задачу, затем ученик, вызванный для ответа, после этого кратко записывает условие на доске, уясняются числовые данные и вопрос (в лучшем случае отвечают еще три-четыре ученика — столько, сколько величин в условии задач), и начинается разбор задачи.

Как видно, в активном уяснении условия задачи принимают участие далеко не все учащиеся. Следовательно, при этом совсем не исключено, что отдельные ученики, не полностью поняв условие задачи, не поймут и самого хода решения, а будут механически списывать решение с доски. Для лучшего понимания учащимися содержания задачи необходимо, чтобы каждый ученик не только услышал текст, но и самостоятельно прочитал задачу

(причем это можно делать не только зрительно, но иногда и вслух — шепотом). В процессе же решения задачи учащиеся пусть почаще заглядывают в учебник, а не только слушают рассуждения учителя и отвечающего ученика.

Часто приходится наблюдать, что учитель после уяснения условия учащимися сейчас же предлагает им приступать к разбору задачи или ее решению. Так, конечно, и следует делать, если задача достаточно «прозрачна». Однако, если условие более или менее сложно и замысловато, то целесообразно дать учащимся две-три минуты для самостоятельного обдумывания хода решения. После этого, как правило, учащиеся легче понимают разбор задачи, а иногда даже сразу высказывают весь план ее решения. Время, затраченное на самостоятельное обдумывание хода решения, компенсируется в дальнейшей работе над решением задачи.

Наблюдения показывают, что некоторые учителя не умеют правильно ставить логические ударения при чтении задачи. А между тем это очень важно как для понимания учащимися структуры задачи, так и для понимания математических терминов, зависимостей между данными величинами и вопросом.

Учителям необходимо продолжать упорную работу над совершенствованием методики обучения детей решению составных арифметических задач вообще, и в частности методики проведения их разбора как средства развития логического мышления учащихся. Новая программа по арифметике предусматривает необходимость подготовки учащихся к жизни, к практической деятельности, а для этого дети должны владеть не только умениями и навыками, но и обладать хорошо развитым логическим мышлением.

П. И. Сорокин

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ НА ИЗМЕРЕНИЕ ПЛОЩАДИ

собенность предлагаемых задач состоит в том, что при решении их учащиеся в классе или дома должны непременно определять размеры фигур, практическим подсчетом квадратных единиц проверять величину площади, подыскивать подходящие масштабы для чертежей и планов площадей, вырезывать фигуры или квадратные единицы и составлять из них другие фигуры и т. п. В этом смысле такие задачи и являются практическими. Они могут решаться параллельно с задачами стабильного учебника для усиления измерительных и конструктивных элементов при обучении арифметике.

Для решения практических задач у учащихся всегда должны иметься налицо карандаши (обыкновенный и цветные), ученическая линейка в 30 см и циркульная ножка. Все чертежные работы дети производят карандашом, а надписи на чертежах и записи решений задач — чернилами. Ниже приводим некоторые задачи с практическим содержанием.

1. Начертите с помощью линейки в клетчатой тетради квадратный сантиметр. Ответьте устно, сколько клеток будут занимать 2 кв. см, 5, 10, 25, 100 кв. см.

2. Вырежьте из клетчатой бумаги два квадратных сантиметра, составьте из них прямоугольник, определите его площадь и длину всех сторон (периметр). Сделайте чертеж этого прямоугольника.

Указание1. Желательно, чтобы учащиеся составили и начертили такой прямоугольник двумя способами: взяв за основание 2 см и за высоту 1 см; взяв за основание 1 см, а за высоту 2 см. Практически дети должны убедиться в том, что площадь и периметр и в том и в другом случае будут одинаковы.

3. Длина всех сторон квадратного листка бумаги 36 см. Сколько квадратных сантиметров содержит площадь этого квадрата? Сначала вычислите, а затем разрежьте этот квадрат на квадратные сантиметры и разложите их в один ряд. Какая получится фигура? Какова ее площадь? Какова длина всех сторон?

Указание. Построив квадрат со стороной в 9 см на отдельном листке клетчатой бумаги, учащиеся разрежут его на 9 полос по 9 кв. см и приложат их одну к другой в одну линию. Получится прямоугольник длиной в 81 см и шириной в 1 см, площадь которого равна 81 кв. см, а периметр 164 см. Надо обратить внимание детей на то обстоятельство, что данный квадрат и полученный прямоугольник имеют равные площади (они равновелики), периметры же их намного отличаются друг от друга.

4. Вырежьте из клетчатой бумаги 16 кв. см и составьте из них квадрат, а затем сделайте чертеж этого квадрата. Какова площадь и длина стороны полученного квадрата?

Указание. Фактически в этой задаче площадь искомого квадрата дана, она равна 16 кв. см, а найти длину его стороны дети могут практически — путем подсчета или угадыванием, рассуждая так: «Сторона квадрата должна быть равна 4 см, так как 4 кв. см × 4 = 16 кв. см».

5. Начертите фигуру из двух квадратов, примыкающих друг к другу так, чтобы их стороны в 4 см и 3 см составляли одну прямую. Найдите площадь и длину всех сторон (периметр) полученной фигуры.

Указание. Чертеж полученной фигуры:

1 Все указания даны для учителя.

Площадь этой фигуры равна 25 кв. см, а периметр 22 см.

6. Вырежьте из бумаги квадратный дециметр, отрежьте от него квадрат со стороной в 5 см, вычислите площадь оставшейся части и проверьте подсчетом квадратных сантиметров. Сделайте чертеж в масштабе: длина клетки за сантиметр.

7. Начертите прямоугольник, периметр которого 20 см, а длина 7 см. Какова площадь этого прямоугольника?

Ответ: площадь равна 21 кв. см.

8. Ученик сделал чертеж прямоугольника, в котором длина была втрое больше ширины, а сумма длины и ширины составляла 12 см. Постройте и вы этот прямоугольник и определите его площадь.

9. Квартал, в котором расположена школа, имеет вид прямоугольника, длина и ширина которого вместе составляют 320 м, причем ширина втрое меньше длины. Определите: 1) площадь, занимаемую всем кварталом; 2) время обхода пешком, если идти со скоростью . . , метров в секунду (для ответа на второй вопрос поставьте вместо точек свою среднюю скорость пешеходного движения).

Ответ: площадь, занимаемая кварталом, составляет 19 200 кв. м.

10. Для иллюстрации задачи на вычисление площадей ученик построил в тетради прямоугольник длиной в 15 см и шириной в 6 см и разделил его площадь (параллельно ширине) на две такие части, что одна часть была вчетверо больше другой. Требуется: 1) определить вычислением площадь каждой части этого прямоугольника, 2) построить этот прямоугольник и практическим подсчетом квадратных сантиметров проверить правильность вычисления.

11. Постройте прямоугольник со сторонами 20 см и 16 см и определите сначала вычислением, а затем подсчетом, сколько поместится в этом прямоугольнике квадратов со стороной в 2 см.

Указание. Для практического подсчета нужно прямоугольник разграфить прямыми, параллельными длине и ширине, через 2 см. Но можно, впрочем и не графить, а только наметить разграфку.

Полезно предложить учащимся после решения этой задачи сочинить для нее текст на «вольную» тему, в котором постараться раскрыть, для чего нужно уметь решать такие задачи.

12. Начертите квадрат, равный по площади прямоугольнику со сторонами 4 см и 9 см, и определите сначала вычислением, а затем подсчетом, сколько раз в этом квадрате уложится другой квадрат со стороною в 3 см.

Указание. После решения задачи предложить учащимся то, что рекомендовано в предыдущей задаче.

13. Определите, во сколько раз площадь пола вашей классной комнаты больше площади всех окон ее.

Указание. Для измерений необходимо иметь как можно больше измерительных инструментов (линеек, рулеток), чтобы можно было вовлечь в работу возможно большее число учащихся.

14. Постройте квадрат со стороной в 8 см и квадрат со стороной вдвое меньшей. Определите сначала вычислением, а затем подсчетом, во сколько раз площадь малого квадрата меньше площади большего квадрата.

Указание. Площадь квадрата со стороной вдвое меньшей, как известно, вчетверо меньше площади большего квадрата. Этот результат можно легко проверить и на данном примере, построив квадрат со стороной в 8 см и в нем от какой-нибудь вершины — квадрат со стороной в 4 см. Тогда без всякого подсчета можно будет увидеть, что меньший квадрат занимает 1/4 большего.

15. Вырежьте из бумаги квадрат площадью в 64 кв. см, отрежьте от какой-нибудь его вершины квадрат со стороной в 6 см, из оставшейся части вырежьте два равных прямоугольника и один квадрат, измерьте их общую площадь вычислением и подсчетом квадратных сантиметров.

Указание. Учащиеся догадаются, что квадрат площадью в 64 кв. см должен иметь сторону длиной в 8 см, так как 8 кв. слХ8 = 64 кв. см. По чертежу видно, что когда будет построен квадрат со стороной в 8 см и в нем квадрат со сторой в 6 см, то достаточно продолжить стороны меньшего квадрата до пересечения со сторонами большего, чтобы оставшаяся часть большего квадрата разделилась на два прямоугольника по 12 кв. см и один квадрат площадью в 4 кв. см.

16. Определите на глаз площади прямоугольников и квадратов, находящихся в классе. Для учета работы предварительно сделайте в тетради таблицу для учета глазомерных определений площади:

Название фигуры

Площадь

Ошибка при определении площади на глаз

определенная на глаз

измеренная

1. Прямоугольник на доске. . . .

2. Квадрат на доске .......

3. Сиденье табуретки (квадрат). .

4. Классная доска и т.п......

150 кв.см

121 кв.см

900 кв.см

500 кв.см

120 кв.см

144 кв.см

1225 кв.см

374 кв. см

30 кв.см

23 кв.см

325 кв.см

126 кв.см

Указание. Объекты для глазомерных измерений площадей сначала называет учитель, а затем сами учащиеся. Работа происходит строго индивидуально, иначе она не будет иметь смысла. Желательно такую работу провести несколько раз, можно ее выполнять и дома. Необходимо обратить внимание детей на методику измерений: надо наиболее точно определить на глаз длину и ширину фигуры, а площадь вычислить (устно или письменно).

17. Площадь, занятая школьным двором вместе с постройками, имеет форму прямоугольника. На плане, сделанном в масштабе 1 мм за 1 м, длина составляет 80 мм, ширина 60 мм. Постройте в тетради этот план и найдите: 1) действительную площадь, занятую под школу вместе с двором, 2) площадь, не занятую постройками, если площадь под постройками занимает 2 000 кв. м, 3) длину всего забора, считая и длину здания по кварталу.

Ответ: 1) 4 800 кв. м, 2) 2 800 кв. м. 3) 280 м.

Указание. Желательно, чтобы учащиеся составили такую же задачу о своем школьном дворе.

18. Квадратный пол комнаты имеет сторону 6 м 25 см. Найти: 1) площадь пола, 2) длину всех плинтусов, 3) подобрать подходящий масштаб и построить план.

Ответ: 1) 39 кв. м 625 кв. см, 2) 25 м.

3) при масштабе сантиметр за метр сторона квадрата на плане будет 6 см 2,5 мм или 61/4 см.

Указание. Желательно, чтобы учащиеся составили такую же задачу про свою классную комнату.

19. Учащимся IV А и IV Б классов было поручено засеять сельскохозяйственные участки кукурузой. Учащимся IV А класса был дан участок размерами 40 м на 20 м, а учащимся IV Б класса — участок размерами 50 м на 20 м и для посева учащимся IV Б класса выдано кукурузы на 1 кг больше, чем учащимся IV А класса. Сколько всего кукурузы выдано для посева каждому классу? Сделайте иллюстрацию к задаче.

Указание. Если принять 1 ар за клетку, то иллюстрация задачи поймет следующий вид:

1 клетка =1 ар

Ответ: IV А класс получил кукурузы для посева 4 кг, IV Б — 5 кг.

20. Школа имеет в поле два небольших земельных опытных участка, формы которых представляют собой прямоугольники размерами 60 м на 40 м и 80 м на 60 м. Школа пожелала иметь два равных участка такой же площади, как два прямоугольных участка. Какую площадь должен иметь каждый из этих участков? Постройте в подходящем масштабе данные земельные участки и затем искомый участок.

Указание. В масштабе 1 см за 10 м первый участок будет иметь вид прямо угольника длиной в 6 см и шириной в 4 см. его площадь. следовательно, равна 24 кв. см. Второй участок будет иметь вид прямоугольника размерами 8 см на 6 см (площадь 48 кв. см).

Для решения задачи потребуется найти среднюю арифметическую площадь этих двух прямоугольников: (24 кв. см + 48 кв. см) : 2 — 36 кв. см. Эта площадь

(36 кв. см) и есть искомая масштабная площадь, которую можно построить или в виде квадрата со стороной в 6 см или в виде различных прямоугольников. Действительная сторона этого квадрата будет в 1000 раз больше, т. е. 6000 см или 60 м, а его площадь составит 3600 кв. м. Две же таких площади составят 7200 кв. м, т. е. такую же площадь, как и два данных участка.

21. Ученик принес на урок ручного труда два квадратных куска картона со сторонами в 6 см и 8 см. Учитель сказал, что лучше было бы, если бы оба куска были одинаковы, но вместе содержали ту же площадь, что и принесенные квадратные куски картона. Определите: 1) какую площадь имел бы в таком случае каждый кусок картона, 2) какими прямоугольниками (какой длины и ширины) можно было бы представить эти равные куски картона. В тетрадях постройте квадраты, соответствующие принесенным кускам картона, и тот из равных искомых кусков, чертеж которого поместится на одной странице тетради.

Указание. Среднеарифметическая площадь двух принесенных квадратов равна (36 кв. см + 64 кв. см) : 2 = 50 кв. см. Следовательно, учителю хотелось, чтобы ученик принес два куска картона по 50 кв. см — это ответ на первый вопрос задачи.

Прямоугольники, имеющие площадь в 50 кв. см, можно построить с такими сторонами (выраженными целыми числами): 1) 1 см и 50 см (так как 1 кв. см × 50 = 50 кв. см), 2) 2 см и 25 см (так как 2 кв. см × 25 = 50 кв. см), 3) 5 см и 10 см (так как 5 кв. см × 10 = 50 кв. см).

Из этих трех прямоугольников 3-й (длиной в 10 см и шириной в 5 см) может быть вычерчен на одной странице тетради, следовательно, он и отвечает на второй вопрос задачи, так как два таких прямоугольника имеют такую же площадь, как и два квадрата со сторонами 6 см и 8 см.

22. Ученик хотел сделать записную книжку в 50 страниц в виде прямоугольника с размерами листа 12 см на 8 см, но чтобы избежать излишней потери бумаги на обрезки, пришлось избрать квадратную форму листка записной книжки, приняв за сторону квадрата длину отрезка, среднеарифметического между 12 см и 8 см. Начертите листок записной книжки в виде прямоугольника и в виде квадрата. Определите, на сколько квадратных сантиметров площадь всех 50 страниц записной книжки квадратного формата больше площади всех 50 страниц в виде прямоугольника.

Ответ: на 200 кв. см.

Примечание: задачи № 8, 9 и 10 на нахождение двух чисел по сумме и кратному отношению; они могут быть решены после ознакомления учащихся с задачами данного вида в третьей четверти.