ISSN 1729-5440

МАТЕМАТИКА В ВЫСШЕМ ОБРАЗОВАНИИ

16

2018

Московское математическое общество

Нижегородское математическое общество

Санкт-Петербургское математическое общество

МАТЕМАТИКА В ВЫСШЕМ ОБРАЗОВАНИИ

16

2018

Научно-методический журнал

Москва - Нижний Новгород - Санкт-Петербург

Редакционная коллегия:

В.А. Васильев, Москва Е.И. Гордон, Чарлстон (Иллинойс, США) И.С. Емельянова (зам. гл. редактора), Кэмпбелл (Калифорния, США) Н.Ю. Золотых, Нижний Новгород М.И. Кузнецов, Нижний Новгород С.К. Ландо, Москва Н.И. Мерлина, Чебоксары А.И. Назаров, Санкт-Петербург Г.М. Полотовский (гл. редактор), Нижний Новгород Л.Н. Посицельская, Москва Н.Х. Розов, Москва Г.И. Синкевич, Санкт-Петербург А.Г. Ягола, Москва

При перепечатке, переводе на иностранный язык, а также при ином использовании оригинальных материалов журнала ссылки на “Математика в высшем образовании” обязательны

Этот номер журнала опубликован Московским центром непрерывного математического образования

Электронные адреса: polotovsky@gmail.com; inna.yemelyanova@gmail.com Сайт: http://www.unn.ru/math

© Математика в высшем образовании, 2018

Moscow Mathematical Society

Nizhni Novgorod Mathematical Society

St. Petersburg Mathematical Society

MATHEMATICS IN HIGHER EDUCATION

16

2018

Academic Journal

Moscow - Nizhni Novgorod - St. Petersburg

Editorial Board:

V.A. Vassiliev, Moscow E.I. Gordon, Charleston (Illinois, USA) LS. Yemelyanova (Editor), Campbell (California, USA) N.Yu. Zolotykh, Nizhni Novgorod M.I. Kuznetsov, Nizhni Novgorod S.K. Lando, Moscow N.I. Merlina, Cheboksary A.I. Nazarov, St-Petersburg G.M. Polotovskiy (Editor-in-Chief), Nizhni Novgorod L.N. Positselskaya, Moscow N.Kh. Rozov, Moscow G.I. Sinkevich, St-Petersburg A.G. Yagola, Moscow

No reprint or any use of the material is allowed without reference to “Mathematics in Higher Education”

This issue of the journal is published by the Moscow center for continuous mathematical education

E-mails: polotovsky@gmail.com; inna.yemelyanova@gmail.com Website: http://www.unn.ru/math

© Mathematics in Higher Education, 2018

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие.......................................................................7

Содержание и технологии математического образования в вузе

Алексеев В. Н. Геометрические этюды в множестве классов подобия треугольников .....................................................................9

Валиуллин Ал. Р., Валиуллин Ар. Р., Галатенко В. В., Кудрявцев Д. К., Лукашенко Т. П. “Множественность истины” в математике: два примера из области математического анализа........................................ 21

Котелина Н. О., Певный А. В. Неотрицательная определённость полиномов Чебышева и её приложение.............................................. 29

Математические соревнования в вузах

Эвнин А. Ю. Задача о лягушке................................................. 35

История математики и математического образования.

Персоналии

Поздравляем!.................................................................... 43

Алгинкина Н. М. Об Инне Сергеевне Емельяновой............................. 45

Адамова Р. С, Звягин В. Г. О воронежской математической школе (посвящается 100-летию Воронежского государственного университета)........... 49

Емельянова И. С. О пользе смены ракурса (к 25-летию конференций МКО..... 59

Лодкин А. А. Малоизвестная страница истории Санкт-Петербургского математического общества...................................................... 67

Одинец В. П. Иммиграция в СССР в 1929-1936 гг.: профили математиков..... 71

Одинец В. П., Синкевич Г. И. Сто докладов по истории математики на семинаре в Санкт-Петербурге.................................................. 79

Пакшина Н. А. Главный выбор студента Александра Ляпунова................ 85

Полотовский Г. М. Так говорил Дмитрий Андреевич........................... 95

Синкевич Г. И. Математический Петербург.................................... 107

В Нижегородском математическом обществе

О деятельности Нижегородского математического общества в 2018 году...... 111

Письмо в редакцию (М. Б. Севрюк)............................................ 113

CONTENTS

Introduction........................................................................7

Subject and Technologies of Mathematical Education at University

Alekseev V. N. Geometric exercises into the set of classes of similarity of triangles........................................................................9

Valiullin Al.R., Valiullin Ar.R., Galatenko V.V., Kudryavtsev D.K., Lukashenko T. P. “Plurality of truth” in mathematics: two examples from mathematical analysis......................................................... 21

Kotelina N. O., Pevnyi A.B. Nonnegative definiteness of Chebyshev polynomials and its application...................................................... 29

Mathematical Competitions at Universities

Evnin A. Yu. Frog's problem...................................................... 35

The History of Mathematics and Mathematical Education. The Prominent Figures

Congratulation!.................................................................. 43

Alginkina N. M. About Inna Sergeevna Yemelyanova.............................. 45

Adamova R. S., Zvyagin V. G. About the Voronezh mathematical school (it is devoted to the 100 anniversary of Voronezh State University).................. 49

Yemelyanova I. S. About the benefit of change of perspective (to the 25th anniversary of the MCE conferences) ......................................... 59

Lodkin A. A.St. Petersburg Mathematical Society: an unknown page of the history........................................................................ 67

Odyniec W.P. The 1929 - 1936 immigration to the USSR: profiles of mathematicians............................................................... 71

Odyniec W.P., Sinkevich G.I. Hundred reports on mathematics history at a seminar in St. Petersburg..................................................... 79

Pakshina N. A. Main choice of student Alexander Lyapunov...................... 85

Polotovskiy G. M. Thus spake Dmitry Andreevich................................. 95

Sinkevich G.I. Mathematical Petersburg......................................... 107

In the Nizhni Novgorod Mathematical Society

About activity of the Nizhny Novgorod Mathematical Society in 2018............ 111

Letter to the editorial office (M.B. Sevryuk)..................................... 113

ПРЕДИСЛОВИЕ

Уважаемые читатели!

Этот номер журнала «Математика в высшем образовании» - последний, который подготовлен под моим руководством в качестве главного редактора: я решил «уйти в отставку». Мотивы этого вполне добровольного решения представляются мне вполне естественными - как редколлегию журнала, так и её руководство следует периодически обновлять.

В связи с этим решением хочу высказать ряд замечаний и соображений.

Мне представляется, что журнал «Математика в высшем образовании» занимает свою собственную нишу среди других журналов аналогичной направленности. Она определяется сочетанием трёх основных устремлений:

публиковать математически содержательные материалы, которые могут найти конкретное применение в процессе обучения математике в вузе;

публиковать материалы о математических соревнованиях в вузах;

отводить достаточное место работам по истории математики и математического образования.

При этом мы всегда избегали публикаций псевдометодического характера, посвященных разнообразным новомодным тенденциям, которые не способствуют, мягко говоря, повышению уровня математического образования.

Состояние журнала можно охарактеризовать как достаточно стабильное: портфель редакции формируется в основном за счёт «инициативных» работ, круг авторов и их география равномерно расширяются. Все поступающие материалы, кроме информационных и небольшого количества статей, заказанных редакцией (в основном это материалы юбилейного характера), проходят внешнее рецензирование.

Конечно, у журнала наверняка есть и недостатки, которые, как обычно, лучше видны со стороны. Здесь я бы отметил редкое появление некоторых рубрик - например, хотелось бы более регулярного появления материалов в разделах «Математика для специалистов различного профиля», «В перерыве между лекциями». Очень мало статей поступает и для рубрики «Философия и методология математического образования».

Я надеюсь, что обновлённый состав редколлегии во главе с новым главным редактором сохранит основные принципы нашего журнала, в частности - внешнее рецензирование поступающих рукописей, полную бесплатность публикаций для авторов, а также всё полезное из наработанного опыта, и при поддержке авторов и читателей журнал будет развиваться.

В заключение мне хотелось бы перейти к благодарностям.

Прежде всего я благодарю профессора Инну Сергеевну Емельянову - основателя, первого главного редактора, а ныне - заместителя главного редактора, в тесном контакте с которой мы работаем над журналом многие годы.

Я благодарю всех членов редколлегии - как тех, кто реально помогает выпускать журнал, так и тех, кто просто не мешает.

Специальная благодарность Людмиле Романовне Семёновой, осуществившей вёрстку первых пятнадцати номеров журнала и во многом определив-

шей «фирменный стиль» издания, а также Екатерине Фёдоровне Маяцких за вёрстку этого номера.

И совершенно особая благодарность за бескорыстную поддержку издательству Московского центра непрерывного математического образования (директор Иван Валериевич Ященко, главный редактор Юрий Николаевич Торхов) и Московскому независимому университету (ректор Юлий Сергеевич Ильяшенко), пришедшим на помощь журналу в трудный момент и продолжающим издание журнала.

Г. М. Полотовский, главный редактор

СОДЕРЖАНИЕ И ТЕХНОЛОГИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ В ВУЗЕ

УДК 514

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЭТЮДЫ В МНОЖЕСТВЕ КЛАССОВ ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

В. Н. Алексеев

Тюменский государственный университет, Ишимский педагогический институт им. П.П. Ершова (филиал) Россия, 627750, г. Ишим, ул. Ленина, 1; e-mail: alexvn_ 54 @mail. ru

Рассматривается ряд результатов, связанных с исследованием моделей множества классов подобия треугольников. Даются описания некоторых из этих моделей, на основе которых приведены новые примеры проявления парадокса Бертрана. Эти модели позволяют также рассмотреть некоторые специфические классы подобия треугольников. Обобщение пифагоровой конфигурации на произвольный треугольник приводит а) к определению медианного сопряжения в классах подобия; б) возникновению пары почти геометрических последовательностей, для которых здесь получены формулы общих членов. Для некоторых моделей приведено явное аналитическое описание медианного сопряжения с указанием кривых неподвижных точек. Рассмотрены примеры преобразования моделей, являющиеся аналогом бирациональных преобразований в алгебраической геометрии. Эти примеры помогают формированию наглядных представлений о перестройках - важнейшем инструменте исследований в алгебраической геометрии.

Ключевые слова: множество классов подобия треугольников, парадокс Бертрана, стягивание, раздутие, рекуррентные соотношения, медианное сопряжение.

1. Введение

Результаты классической евклидовой геометрии не только красивы, но и таят в себе высокий потенциал идей и методов для различных областей математики. Например, А.Н. Колмогоров писал: “В основе большинства математических открытий лежит какая-либо простая идея: наглядное геометрическое построение, новое элементарное неравенство и т. п.”[1]. Высокая степень формализации и абстрагирования обеспечила замечательные успехи, достигнутые современной геометрией и топологией, а также “пограничными” областями - алгебраической геометрией, алгебраической топологией и т. д. Д. Гильберт в 1932 г. отметил: “Что касается геометрии, то в ней тенденция к абстракции привела к грандиозным систематическим построениям алгебраической геометрии, римановой геометрии и топологии, в которых находят широкое применение методы абстрактных рассуждений, символики и анализа. Тем не менее и ныне наглядное понимание играет первенствующую роль в геометрии, и притом не только как обладающее большой доказательной силой при исследовании, но и для понимания и оценки результатов исследования” [2].

В данной статье мы опишем некоторые геометрические результаты, полученные при рассмотрении множества классов подобия треугольников, и их связь с различными разделами математической науки. Материал статьи может быть использован при проведении занятий по геометрии, математическому анализу, теории вероятностей, программированию, дискретной математике. На его основе можно писать курсовые и/или выпускные работы.

2. Различные модели множества классов подобия треугольников

Подобие является отношением эквивалентности на множестве треугольников евклидовой плоскости. Поэтому можно рассматривать соответствующее фактормножество, которое будем называть множеством классов подобия треугольников. Опишем некоторые наглядные модели этого фактормножества, опираясь на различные признаки подобия.

Признак подобия по трём сторонам. Будем считать стороны а, 6, с треугольника упорядоченными: а ^ Ь ^ с. В качестве представителя каждого класса подобия выделим треугольник со стороной с=2. Тогда стороны а и Ь будут удовлетворять очевидным условиям, которые и определят на плоскости аОЪ некоторую фигуру

(1)

Множество Mi далее будем называть первой моделью множества классов подобия треугольников. В ней условие а + Ъ ^ 2 обеспечивает существование треугольника, а равенство а + Ь = 2 позволяет компактифицировать модель за счет добавления классов вырожденных треугольников (отрезков длины 2 с заданным отношением длин составляющих отрезков) SingM\. Обозначим i?i(2;2), Ti(l; 1) и Vi(0;2) угловые точки модели М\ (рис. 1а). Тогда SingMi = T\V\. Очевидно также, что условие а2 + Ь2 = 4 выделяет классы подобия прямоугольных треугольников. Дуга этой окружности в пределах модели осуществляет разбиение множества М\ на множества классов подобия тупоугольных и остроугольных треугольников. Отметим также, что для вырожденных классов, представленных точками полуотрезка [ZiVi), однозначно определены углы треугольников соответствующих классов: 0, 0, 7г радиан. А для класса V\ два больших угла не определены (по вполне понятным интуитивно причинам). Поэтому этот класс особый среди классов вырожденных треугольников: V\ = Sing(SingMi).

Вновь, за счёт подобия, приведём наибольшую сторону к длине 2. Совместим её с отрезком, имеющим концами точки А{—1; 0) и V2( 1 ; 0) в декартовой системе координат хт2у - см. рис. 16. В силу осевой симметрии можно считать, что третья вершина треугольника С(х,у) лежит в первом квадранте. Тогда V2C - кратчайшая сторона, а А С - средняя по длине. В силу принятых соглашений, координаты точки С будут удовлетворять определенным ограничениям, которые зададут в плоскости хт2у полусегмент

(2)

Во второй модели М2 условие у=0 компактифицирует модель за счет добавления классов вырожденных треугольников. Отметим, что здесь для точки С(х;у) G М2 треугольник AV2C является представителем класса подобия, соответствующего точке С. Поэтому очевидно, что точки дуги окружности X2 + у2 = 1 представляют классы подобия прямоугольных треугольников, и эта дуга делит модель на множества классов подобия тупоугольных треугольников и остроугольных треугольников. Обозначим i?2(0; \/3) точку, представляющую класс равносторонних треугольников. Такая модель (без компактификации) названа в [3] естественной моделью. Относя классы вырожденных треугольников к особому множеству, получим SingMï = T2V2 и V2 = Sing(SingM2).

Рассмотрим признак подобия треугольников по двум углам. Будем считать углы а, /3,7 треугольника упорядоченными: а ^ ß ^ 7. Поскольку сумма углов треугольника равна 7г радиан, то можно задать величину только двух углов. Учитывая все эти условия, мы получаем ещё одну модель множества классов подобия треугольников:

(3)

Здесь условие а = О использовано для компактификации модели. Условие, выделяющее классы подобия прямоугольных треугольников, очевидно: а + ß = 77. Примем обозначения: Аз(§? §) ~~ класс подобия равносторонних треугольников; С/3(0, f ) ~ концевая точка множества классов подобия вырожденных треугольников; И^з(0, 0) - особый класс среди классов подобия вырожденных треугольников. Для этой модели SingM^ = C/3W3 и W% = = Sing(SignMs). Изображение модели приведено на рисунке 2а.

Применим признак подобия по углу и отношению длин сторон, заключающих угол. В качестве угла выберем наименьший угол треугольника а (для удобства согласования моделей). Этот угол заключён между наибольшей и средней сторонами треугольника. В силу подобия положим, что наибольшая сторона с = 2. Тогда отношение s большей стороны к средней

Рисунок 1.

равно |. Анализ связей параметров, определяющих класс подобия в данной ситуации, приводит к следующему описанию:

(4)

Условие на классы прямоугольных треугольников имеет вид s = sec а. Обозначим через i?4(^,l), Т^О, 2) и 1/4(0,1) угловые точки данной модели. Классы вырожденных треугольников составляют особое множество модели SingM^ = T4V4, где V4 = Sing{SingM^). Изображение М4 приведено на рисунке 26.

Отметим, что если при построении модели взять в качестве параметра отношение средней стороны треугольника к большей, т. е. t = |, то получим модель с иным набором ограничений:

(5)

Для каждой из рассмотренных моделей точка представляет класс подобия равнобедренных прямоугольных треугольников. Та область разбиения модели Mfc, к которой относится точка является областью классов подобия остроугольных треугольников. Отметим и ещё одно интересное обстоятельство. Во всех моделях классы подобия вырожденных треугольников удовлетворяют какому-либо признаку для невырожденных равнобедренных треугольников (либо равенство двух углов, либо равенство двух сторон). Тогда, относя эти классы к “условно” равнобедренным, мы получаем, что весь периметр каждой модели состоит из классов подобия равнобедренных треугольников. В [4] и [5] есть описания и некоторых других моделей, а также указано на возможность практически неограниченного расширения набора моделей.

3. Парадокс Бертрана и сопутствующие задачи

Построенные выше модели множества классов подобия треугольников позволяют использовать геометрический способ вычисления вероятностей некоторых событий с учётом равномерного распределения соответствующих параметров (хотя можно использовать и другие функции плотности вероятности).

Рисунок 2.

Для примера рассмотрим событие состоящее в случайном выборе класса подобия тупоугольных треугольников в модели Для вычисления вероятностей можно использовать как интегрирование, так (в некоторых ситуациях) и простые идеи. Ограничения на области интегрирования следует брать из (1) - (4), а также из описания кривых, определяющих классы прямоугольных треугольников.

Укажем только результаты соответствующих вычислений.

(6)

Значения, приведённые в (6), демонстрируют (на новом примере) суть парадокса Бертрана [6, с. 36 - 38] - вероятность вроде бы одного и того же события (случайный выбор класса подобия тупоугольного треугольника) различна. В то же время здесь отчётливо проступает и сама причина этого - случайный выбор класса осуществляется при условии выбора различных параметров с равномерным распределением.

Отметим ещё один интересный факт. Вычисления для модели M"]1'' дают значение вероятности

При этом из (4) и (5) очевидно, что модели м4 и связаны “послойными” преобразованиями (а = a, s = j). Нелинейность преобразования отношений длин сторон, взятых в разном порядке, привела к изменению вероятности. Такое преобразование каждого слоя является инверсией.

Приближённое численное решение задачи нахождения вероятностей рассматриваемых событий можно осуществить методами Монте-Карло, проводя численные эксперименты с привлечением ЭВМ. В книге [5] приведены программы проведения некоторых вычислений. Общая идея организации таких вычислений обсуждается в статье [7]. Результаты экспериментальной проверки очень хорошо согласуются с теоретическими результатами.

В качестве интересных сопутствующих задач, возникающих при построении рассматриваемых моделей, можно отметить задачи нахождения некоторых особых классов подобия треугольников и описания их свойств. Например, определить класс подобия, соответствующий центру инерции (центроиду) выделенной области модели. Выбирая, скажем, область тупоугольных треугольников для первой модели Mi, в качестве представителя класса подобия, соответствующего центру инерции, получаем треугольник со сторонами а = U3~8_i? « 0,78437, Ь = « 1,55155 и с = 2. Для второй модели центроидом множества классов тупоугольных треугольников будет точка С(т^г; ^г). Если по координатам этой точки вычислить длины сторон треугольника, то получим следующие приближенные значения: а ~ 0, 71514, Ъ « 1,48630 и с = 2. Аналогичные расчёты несложно провести и для других рассмотренных моделей. Третья модель в качестве центроида области тупоугольных треугольников дает точку, представляющую класс подобия с углами а = у^, ß = \ И7 = ^L. Если пересчитать эти параметры на длины

сторон при с = 2, то получим а œ О, 59772 и Ь « 1, 63299. Укажем, что приближенные координаты центров инерции можно вычислить усредняя координаты большого количества точек равномерно распределенных в интересующих нас областях. То есть вновь можно пользоваться методом Монте-Карло.

4. Преобразования моделей

Рассмотрим для модели 1 ^ к ^ 4, множество М£ = \ SingM^ невырожденных классов подобия. Интуитивно понятно, что между множествами МТ можно установить взаимно-однозначные соответствия (биекции)

тождественное преобразование. Здесь нас будет интересовать вопрос о продолжении этих соответствий на подмножества вырожденных треугольников. Например, для М\ и М.2 (построенных на основе одного признака подобия) такое продолжение будет биекцией, найти аналитическое описание которой достаточно просто.

Обратимся, например, к сравнению первой и третьей моделей. Выпишем явно формулы для задания соответствующих биекций:

(7)

(8)

При анализе (7) и (8) нужно учитывать ограничения (1) и (3). Попытаемся продолжить (/913 по формулам (7) на все точки первой модели. Здесь мы видим, что особенности возникают в единственной точке Vi(0;2) G М\ (говорят - в коразмерности 2). Рассмотрим прямые с уравнениями Ъ = та + + 2, где —1 ^ m ^ 0, проходящие через особую точку, и будем “приближать” точки модели к особой точке по этим направлениям (при а —>• 0 + 0). Вычисляя соответствующие пределы для разных значений m, мы получим точки (аш,/Зш) = (0, arccos(—m)). Учитывая ограничения на m, находим 0 ^ ßm ^ ^ 7J. Таким образом, мы наблюдаем “раздутие” точки V\ G М\ в отрезок [Н^с^з] с Мз. Посмотрим, как ведут себя точки особого множества [ViZi] С С Mi, где 6 = 2 — аиО^а^ 1. Непосредственные вычисления (для особой точки с переходом к пределу) по формулам (7) для всех точек дают одну точку М^з(0;0) G м3. Т. е. произошло “стягивание” особого (исключительного) множества в одну точку. Описанная ситуация является прекрасной иллюстрацией к технике перестроек в алгебраической геометрии за счёт разрешения особенностей с помощью моноидальных преобразований (раздутие, дилатация, <т-процесс и т. д.) [8]. Следует, конечно, учесть, что пример построен не на алгебраических многообразиях, но вскрывает все детали интуитивных представлений, включая использование касательного расслоения.

Рассматривая обратное соответствие cp^i (8), мы видим возникновение препятствий к однозначным вычислениям только в точке VI/3 (0; 0) G М3.

Вновь пытаясь произвести вычисления в особой точке за счёт близких точек, рассматриваем прямые с уравнением ß = ка, где 1 ^ к ^ +оо. Стандартные вычисления при а —>• 0 + 0 (при а = 0 и ß > О непосредственно) дают нам точки (dk,bk) = Fkl)- Учитывая диапазон изменений параметра /с, находим, что 0 ^ ak ^ 1 и а/е + Ьд. = 2. Это означает, что особая точка W3 G М3 раздувается продолжением отображения Lp^i в исключительную кривую (отрезок) модели М\. Непосредственные вычисления для точек отрезка [И^С/з] (в особой точке через предел) показывают, что исключительное множество модели Мз стягивается в особую точку V\ G М\.

Взаимосвязь моделей Ms и М4 (или М^) аналогично описывается расслоенной биекцией с соответствующей перестройкой особых множеств.

5. Продолжение пифагоровой конфигурации

К произвольному треугольнику добавим квадраты, построенные на его сторонах во внешнюю область, и соединим вершины соседних квадратов отрезками. Полученную комбинацию фигур для краткости назовем пифагоровой конфигурацией. На отрезках, соединяющих вершины квадратов, вновь построим квадраты во внешнюю область и соединим вершины соседних квадратов отрезками. Такие комбинации фигур будем называть продолжением пифагоровой конфигурации. В работах [9] и [5] поставлено несколько проблем, связанных с продолжением пифагоровой конфигурации. Здесь на них будут получены исчерпывающие ответы.

Рассмотрим произвольную тройку ненулевых векторов (хо; уо, ^о)? удовлетворяющих соотношениям

(9)

Здесь в - нуль-вектор. Первое из соотношений (9) указывает на то, что векторы, будучи отложены каждый следующий от конца предыдущего, образуют треугольник. Второе соотношение означает, что рассматривается невырожденный треугольник (хотя формально результаты дальнейшего изложения справедливы и для вырождения). Для определенности будем считать, что векторы в указанном порядке задают обход треугольника против хода часовой стрелки (положительная ориентация). Условимся обозначать z7v образ вектора V при повороте на 90° по ходу часовой стрелки. Тогда z?vv = — V. Для образования пифагоровой конфигурации теперь достаточно от начала и конца каждого вектора тройки отложить его образ при указанном повороте и соединить концы этих векторов вектором, равным исходному вектору. Тогда можно определить и векторы, которые соединяют вершины соседних квадратов:

(10)

Соответствующая конфигурация и два шага продолжений изображены на рисунке 3.

Рисунок 3.

Находим, используя (10),

Аналогичные вычисления для двух других векторов позволяют заключить, что

(11)

Опираясь на (11) и (10), произведем вычисление векторов “третьего уровня”: хз = х\ — $2 = х\ +4(^q — Xq) = Ъх\. Аналогичные вычисления для пары других векторов дают соотношение

(12)

Зависимости (11) и (12) образуют базис индукции и позволяют сформулировать гипотезу о существовании коэффициентов таких, что {х2п\Шп\^2п) — = к2п(х0; у0; z0) и, соответственно, (x2ri+i; Йп+lî ^2n+l) = fc2n+i(^iî VW Выполнение индукционного шага не представляет особой сложности и позволяет не только обосновать справедливость гипотезы, но и получить рекуррентные соотношения для вычисления членов последовательностей коэффициентов чётных и нечётных “уровней” продолжения пифагоровой конфигурации:

(13)

Из соотношений (13) легко получаем k<i = 4 и к% = 5. Полагая /с2П = рп и ^2n+i — 3Vi5 из (13) получим рекуррентные соотношения

(14)

Решая разностные уравнения (14), получим явные формулы для общих членов последовательностей рп и qn:

(15)

Из (15), в частности, применением стандартных приемов вычисления пределов, находим:

Теперь заметим, что векторы рассматриваемых троек определяют треугольники только из двух классов подобия. Причём соотношения (10) говорят о том, что векторы тройки первого уровня равны по длине удвоенным медианам исходного треугольника и перпендикулярны им. Таким образом, треугольники другого класса подобны треугольнику, построенному из медиан исходного треугольника, и обратно. Треугольник, построенный из медиан исходного треугольника, назовем медианным треугольником исходного. Тогда один из результатов рассмотрения продолжения пифагоровой конфигурации можно сформулировать так: “медианный треугольник медианного треугольника подобен исходному треугольнику”. Ввиду этого классы подобия получающихся при рассмотрении продолжения пифагоровой конфигурации треугольников назовем медианно сопряжёнными и поставим задачу аналитического описания медианного сопряжения (очевидно являющегося инволюцией = преобразованием г : X —>• X со свойством г2 = idx) в множестве классов подобия треугольников (во всяком случае, в множестве невырожденных классов).

6. Медианное сопряжение

В работе [10] получено описание медианного сопряжения на классах подобия треугольников первой модели. Вот эти результаты:

(16)

Вполне очевидным фактом является наличие медианно самосопряжённых классов (класс равностороннего треугольника). Из (16) можно получить необходимое и достаточное условие самосопряжённости класса, или, иначе, уравнение кривой неподвижных точек отображения ц\ в следующем виде:

(17)

Таким образом, кривой неподвижных точек медианного сопряжения является участок гиперболы, находящийся в пределах М\.

Дадим описание медианного сопряжения для некоторых других из рассмотренных моделей.

В модели м2 по параметрам х и у легко вычисляются длины медиан представителя класса, отвечающего точке (ж, у), что позволяет получить искомые формулы медианного сопряжения:

(18)

После преобразований условий самосопряжения получаем уравнение кривой неподвижных точек:

(19)

Таким образом, кривой неподвижных точек данного преобразования является дуга окружности, находящаяся в пределах рассматриваемой модели.

Аналогичным образом находится описание медианного сопряжения для модели М4:

(20)

Из (20) находим кривую неподвижных точек отображения //4:

(21)

В данной ситуации легко перейти к явной зависимости:

Иная ситуация складывается в модели М3. Как уже отмечалось, в множестве невырожденных треугольников медианное сопряжение будет инволюцией. Для М3 можно получить следующее её описание:

(22)

Рассмотрим теперь исключительное множество данной модели. Вначале рассмотрим вырожденные классы подобия, определяемые параметрами а = 0 и ß > 0. Из простых геометрических соображений понятно, что у всех представителей классов вырожденных треугольников одинаковые длины сторон: а = 0иЬ = с = 2. Медианы такого треугольника имеют длины 2, 1 и 1, т. е. это вырожденный треугольник, меньшие углы которого равны нулю:

а = ß = 0. Иными словами, все точки этой части исключительной кривой “отправляются” медианным сопряжением в одну точку (0, 0). Можно сказать, что исключительная кривая (за вычетом одной точки) стягивается в особую точку. Этот результат формально следует и из соотношений (22) с учётом указанных ограничений на параметры.

Но осталась одна особая точка 1^3(0,0), в которой формулы (22) теряют смысл. Геометрически в этой точке (если судить по длинам сторон) “спрессованы” классы подобия вырожденных треугольников с длинами сторон а + + & = 2,с = 2и0^а^5. Формально находя медианы такого треугольника мы получим

причём, в силу указанных связей,

т. е. медианный треугольник также является вырожденным (что вполне понятно и из результатов для модели Mi). Почти всегда такие вырожденные треугольники имеют меньшие углы а = ß = 0, т. е. им соответствует точка 1^3(0,0). Но среди них имеется треугольник с параметрами а = Ь = 1, медианы которого будут |, I и 0. Для треугольника с такими сторонами большие углы не определены однозначно и дают всю исключительную кривую третьей модели. Таким образом, всегда, за исключением одного набора параметров, особая точка отображается в себя. Для этого же одного набора особая точка “раздувается” в исключительную кривую модели. Поэтому формулы (22) можно распространить на всю модель за исключением особой точки, либо принять дополнительное соглашение об образе особой точки. В данной модели утрачивается биективность медианного соответствия.

Для самосопряжённых классов в этой модели можно получить неявную зависимость между параметрами, либо использовать (22). На ЭВМ достаточно легко написать программу, которая построит кривую неподвижных точек (с заданной точностью приближения). Результат работы такой программы приведен на рисунке 4.

7. Заключение

Для рассмотренных моделей классов подобия треугольников, а также для различных других моделей, можно решать разные другие проблемы. Например, в работе [10] описано высотное сопряжение для модели Mi. Можно построить описание этого сопряжения в других моделях. Рассмотренные объ-

Рисунок 4.

екты являются прекрасным полигоном как для овладения навыками различных преобразований, так и для развития математической интуиции и более глубокого понимания математических абстракций.

ЛИТЕРАТУРА

1. Колмогоров А.Н. Математика - наука и профессия / Сост. Г.А. Гальперин. - М.: Наука, 1988. - 288 с.

2. Гильберт Д., Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия / Пер. с нем. - 3-е изд. - М.: Наука, 1981. - 344 с.

3. Осташков В.Н. Практикум по решению инженерных задач математическими методами. - Тюмень: ТюмГНГУ, 2010. - 204 с.

4. Алексеев В.Н., Алексеева А.К. Радость открытия. - Ишим: Изд-во ИГПИ им. П.П. Ершова, 2012. - 120 с.

5. Афанасьев В.В., Алексеев В.Н., Тихомиров С.А. Наглядная математика. Ч. 2. - Ярославль: Изд-во ЯГПУ им. К.Д. Ушинского, 2013. - 190 с.

6. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. 4-е изд. - М.: Наука, 1965. - 400 с.

7. Алексеев В.Н. О проблемах геометрического способа вычисления вероятностей // Труды VI международных Колмогоровских чтений. - Ярославль: Изд-во ЯГПУ, 2006. - С. 153 - 157.

8. Мамфорд Д. Алгебраическая геометрия. Т.1. Комплексные проективные многообразия. - М.: Мир, 1979. - 256 с.

9. Алексеев В.Н. Обобщение продолжения теоремы Пифагора // Вестник Ишимского государственного педагогического института им. П.П. Ершова. 2012. № 1(6). С. 4 - 10.

10. Алексеев В.Н. Медианное и высотное сопряжения на множестве классов подобия треугольников // Ярославский педагогический вестник. 2013. Т.III (Естественные науки), № 4. С. 7 - 13.

Поступила 07.07.2017

GEOMETRIC EXERCISES INTO THE SET OF CLASSES OF SIMILARITY OF TRIANGLES

V. N. Alekseev

We consider a number of results related to the study of the models of the set classes of similarity of triangles. The article provides descriptions of some of these models. On this basis, some new examples of the paradox of Bertrand are given. They also allow us to consider some specific classes of similar triangles. The generalization of the Pythagorean configuration at an arbitrary triangle leads to: a) the definition of the median conjugation in the classes of similarity; b) the appearance of two almost geometric sequences, for which there are presented formulas for general members. The article provides an explicit analytical description of the median conjugation for some models indicating the curves of fixed points. There considered examples of transformations of models, being the analogue of the birational transformations in the algebraic geometry. These examples help to form the visual intuitive representation about surgery - the tool for research in algebraic geometry.

Keywords: set of classes of similarity of triangles, Bertrand paradox, blow down, blow up, recurrence relations, the median conjugation.

СОДЕРЖАНИЕ И ТЕХНОЛОГИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ В ВУЗЕ

УДК 517.38+517.521.5

“МНОЖЕСТВЕННОСТЬ ИСТИНЫ” В МАТЕМАТИКЕ: ДВА ПРИМЕРА ИЗ ОБЛАСТИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Ал. Р. Валиуллин, Ар. Р. Валиуллин, В. В. Галатенко, Д. К. Кудрявцев, Т. П. Лукашенко

Механико-математический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова Россия, 119991, г. Москва, Ленинские горы, Главное здание МГУ; e-mail: albert. valiullinl997@gmail. com arthur. valiullin97@gmail. com vgalat@imscs.msu.ru kdk97@rambler.ru lukashenko@mail.ru

Распространенным заблуждением является убеждение в том, что в математике истина единственна или, более конкретно, что могут существовать различные подходы к определению одного и того же понятия, но эти подходы либо эквивалентны друг другу, либо же один из них обобщает другой. Представляется важным показать студентам математических специальностей, что в математике могут существовать естественные и при этом существенно различные подходы, дающие на один и тот же вопрос разные ответы. В настоящей заметке приводятся два несложных примера такого рода из области математического анализа, один из которых связан с интегрированием, а другой — с суммированием двойных рядов.

Ключевые слова: математическое образование, существенно различные подходы, несобственный интеграл Римана, Л-интеграл, двойные ряды, примеры и контрпримеры.

1. Введение

Обсуждая взаимосвязь и взаимопроникновение физики и математики, Р. Фейнман указывал: “математика позволяет доказать, что в физике исходя из разных точек зрения можно прийти к одним и тем же выводам” [1, Л. 2]. Зачастую этому и аналогичным фактам придается чрезмерная общность, и это приводит к ошибочному, но весьма распространенному убеждению о единственности истины в математике, или, более конкретно, о том, что в математике возможны различные подходы к определению одного и того же понятия, но всегда эти подходы либо эквивалентны друг другу, либо же один из них обобщает другой. Примерами такого рода из стандартных математических курсов являются, в частности, эквивалентные друг другу подходы Коши и Гейне к определению предела [2, Гл. III], или же интегралы Римана [2, Гл.VII], [3, Гл.9, § 1] и Лебега [4, Гл. V, §5], [5, Гл. 3] (второй обобщает первый).

Представляется важным показать студентам математических специальностей, что в математике могут существовать естественные и при этом существенно различные подходы, дающие на один и тот же вопрос разные ответы.

Яркими результатами XX века, способствующими осознанию этого факта, являются, например, утверждение о невозможности ни доказать, ни опровергнуть континуум-гипотезу [6] и теорема Геделя о неполноте [7]. Эти результаты могут (и, с точки зрения авторов, должны) быть сформулированы, хотя бы в нестрогой форме, студентам уже на младших курсах. Но строгий и детальный разбор этих результатов требует существенного времени и даже отдельных учебных курсов.

В настоящей заметке приводятся два примера, иллюстрирующих “множественность истины” в математике, каждый из которых можно обсудить на математических факультетах в рамках базовых практических занятий по математическому анализу или же спецсеминаров для младшекурсников (так называемых просеминаров). Так, эти примеры обсуждались на спецсеминаре “Теория функций действительного переменного” для студентов 1-2 курсов механико-математического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова. Каждый из примеров можно разобрать примерно за один академический час, но более эффективным представляется разбить обсуждение на две части -сначала определить вводимые понятия и сформулировать в качестве домашнего задания вопрос для размышлений, а на следующем занятии это задание разобрать.

Отметим, что помимо примеров, подробно обсуждаемых в заметке, существуют и другие примеры подобного рода. Упомянем, в частности, вопрос о размерности — топологической и хаусдорфовой — множества Кантора [5, Гл. 2, § 11], а также классический парадокс Бертрана, связанный с определением “случайности” [8, Гл. 1, §11].

2. Несобственный интеграл Римана и A-интеграл

2.1 Используемые понятия

Стандартный несобственный интеграл Римана определяется в терминах срезки по оси аргументов. Например, если рассматривается несобственный интеграл по промежутку [0; 1) (с особенностью в точке 1), он определяется как предел собственных интегралов по отрезкам [0; 1 — 5] (о —>• 0+). Однако естественным является и подход со срезками по оси значений. Этот подход может быть формализован следующим образом. Обозначим через [-]п срезку по уровню п:

Положим

Эта конструкция была предложена Э.Ч. Титчмаршем в 1928 году [9] получаемый предел Э.Ч. Титчмарш назвал Q-интегралом. В работе [9] отмечено, что Q-интеграл не обладает свойством аддитивности, то есть необязательно

однако аддитивность появляется, если дополнить определение Q-интеграла ограничением на интегрируемую функцию:

(1)

Q-интеграл, ограниченный на класс функций, удовлетворяющих этому условию, называется Л-интегралом.

При определении Л-интеграла часто используют другой вариант срезки:

(см., например, [10, 11]). В случае Q-интеграла такое изменение срезки является существенным: Э.Ч. Титчмарш назвал аналог Q-интеграла со вторым вариантом срезки (^'-интегралом и показал, что Q- и (/-интегралы неэквивалентны даже на классе монотонных функций [9, Theorem 15]. Но для А-интеграла в силу ограничения (1) изменение варианта срезки, очевидно, несущественно.

С А-интегралом связан целый ряд результатов о сопряженных функциях и тригонометрических рядах [12, 14] (Q-интеграл вводился Э.Ч. Титчмаршем как раз в рамках изучения сопряженных функций). Но этим приложения А-интеграла не ограничиваются: например, А.Н. Колмогоров использовал этот интеграл (и его обобщение, связанное с рассмотрением произвольной вероятностной меры) в своей классической работе “Основные понятия теории вероятностей” [15, 16] для обобщения понятия математического ожидания (Гл. VI, §4).

Естественным является вопрос об эквивалентности или неэквивалентности подходов к определению интеграла, основывающихся на срезках по разным осям. Оказывается, несложно привести пример функции, интегрируемой в обоих смыслах, для которой несобственный интеграл Римана и Q-интеграл (или А-интеграл) различны.

2.2 Пример функции

Пример основывается на двух фактах — возможность изменения суммы условно сходящегося ряда перестановкой его членов (имеется в виду утверждение классической теоремы Римана о перестановках условно сходящегося ряда [2, Гл. XV, § 6], [3, Гл. 11, § 4]) и независимость Q-интеграла (А-интеграла) от “перестановок функции”. Рассмотрим условно сходящийся к нулю ряд

его члены обозначим через ат (га = 1, 2, 3,...). Возьмем произвольное ненулевое число С и найдем такую перестановку а множества натуральных чисел, что

Сопоставим членам ряда ü2k+i и ct2k+2 длину промежутка

и значения

соответственно. Определим функцию f(x) следующим образом. Положим ее равной va(i) на полуинтервале [0; do-(i)), равной va(2) на полуинтервале [do-(i) 5 ^cr(i) +^о-(2))? равной Уа(з) на полуинтервале

Функция /(ж), тем самым, определена на полуинтервале [0;1).

Так как для каждого промежутка, на котором функция принимает некоторое свое фиксированное положительное значение, существует промежуток той же длины, на котором функция принимает противоположное значение, для любого порога срезки п интеграл равен нулю. Следовательно,

Несложно проверить и дополнительное условие (на ц{х: \f(x)\ > п}), показав тем самым, что вместо Q-интеграла здесь можно говорить и про Л-интеграл. В то же время, несобственный интеграл Римана

то есть отличен от нуля.

Конструкция может быть тривиальным образом модифицирована так, чтобы рассматриваемая функция f(x) была непрерывной на полуинтервале [0; 1). Например, вместо того, чтобы брать функцию, равную vm = ^ на промежутке длины dmi можно на этом промежутке брать кусочно-линейную функцию, быстро изменяющуюся от нуля до значения sgn vm{\vm\ + l), равную этому значению практически до конца промежутка, а в конце возвращающуюся в ноль, интеграл от которой по промежутку равен ат.

3. Суммирование двойных рядов по квадратам и кругам

3.1 Используемые понятия

Рассмотрим двойной ряд X &га,п (индексирование для удобства дальнейшего изложения начнем с нуля). Встает вопрос об определении сходимости такого ряда. Естественными подходами являются суммирование по прямоугольникам и по квадратам. В рамках этих подходов вводятся частичные суммы Sm,n — X X am,n- В случае суммирования по прямоугольникам говорят, что сумма ряда равна S, если для каждого положительного е найдется такой номер К, что при любых M и 7V, больших К, выполняется неравенство

\Sm,n — S\ < e (см., например, [2, Гл. 15, § 8] или [3, Гл. 11, § 5]). В случае суммирования по квадратам суммой ряда называется lim SH, где = Sn n-

Легко понять, что если двойной ряд суммируется по прямоугольникам к 5, то и по квадратам он также суммируется к S, но при этом из суммируемости по квадратам суммируемость по прямоугольникам не следует.

Рассматривая суммируемость по квадратам, естественно рассмотреть и суммируемость по кругам (точнее, по четвертям кругов). Обозначим через S'р сумму ^2 ат,п- Будем говорить, что двойной ряд суммируется по кругам к Sj если существует и равен S предел ^ Ihn S^.

При сравнении суммируемости по квадратам и кругам одним из возникающих вопросов является следующий: существует ли двойной ряд, который по квадратам и кругам суммируется к разным (конечным) суммам. Ответ на этот вопрос положительный. Иными словами, существует двойной ряд, сумма которого, неформально выражаясь, зависит от того, какой из двух естественных способов суммирования использовать.

3.2 Пример двойного ряда

Чтобы построить пример, можно ограничиться рассмотрением членов ат^п среди которых от нуля отличны лишь некоторые из членов ао,п и ат^т, причем члены ао,п? помимо нулевого, принимают только единичное значение, а члены ат^т — значение —1. Опишем конструкцию примера, обеспечивающую равенство всех частичных сумм по квадратам нулю, а частичных сумм по кругам S^ — единице. В рамках конструкции индуктивно будем строить возрастающую последовательность натуральных чисел {п^}^=1\ члены ряда ао,пк будут браться равными 1, члены ряда аПк,пк ~ равными —1, остальные члены будут полагаться нулевыми. Положим ni = 1. Тогда аод = 1, одд = —1, = 0, Si = 1. Предположим, что уже построен элемент ri*;, построим 7ifc+i. Пусть rtj (j ^ к) — первый из уже построенных элементов последовательности, для которого 2rîj > п| (такие члены заведомо есть, например, сам Пк). В качестве Пк+\ возьмем такое наименьшее натуральное число, что 2п2а ^ п\+\- Получим, что при n& < m < rik+i выполняются равенства =

Описанную конструкцию иллюстрирует Рис. 1. На этом рисунке узлы (m,n) целочисленной решетки, для которых ат^п взят равным 1 и —1, выделены серым и черным, соответственно, невыделенным узлам соответствуют нулевые члены ряда.

Приведенный пример может стать основой для серии дальнейших исследовательских задач для студентов: например, какова асимптотика последовательности п/е, или же сохранится ли утверждение, если в определении суммирования по кругам устремлять R к бесконечности не по множеству натуральных, а по множеству всех действительных чисел.

Отметим, что вместо суммирования по кругам (или вместе с ним) можно рассмотреть и классическое суммирование по треугольникам (возникающее,

Рис. 1.

например, в теореме Мертенса о произведении рядов [2, Гл. XV, § 7], [3, Гл. 11, §4]). В этом случае под сходимостью двойного ряда понимается сходимость последовательности его треугольных частичных сумм = (R G N). При сравнении суммирования по квадратам и треугольникам пример, аналогичный обсужденному выше, легко записывается в явном виде:

Можно заметить, что в суммировании по треугольникам, кругам и квадратам в частичные суммы входят все точки целочисленной решетки, удаленные от начала координат не более чем на заданное расстояние (то есть во всех трех случаях речь идет о кругах), просто расстояние понимается в разных смыслах: Манхэттенское расстояние (расстояние городских кварталов, I1) \т\ + \п\ в случае суммирования по треугольникам, классическое евклидово (£2) расстояние у/т2 + п2 в случае суммирования по кругам и £°°-расстояние max{|m|, \п\} в случае суммирования по квадратам.

4. Заключение

Осознание возможности существования в рамках абсолютно строгой математики принципиально разных, неэквивалентных подходов к ответу на заданный вопрос представляется важным для того, чтобы сильнее почувствовать творческую составляющую математических исследований. Описанные в заметке примеры иллюстрируют, что “множественность истины” присутствует

и в математике. Они легко могут быть интегрированы в базовые практические занятия по математическому анализу на математических факультетах или же в спецсеминары для младшекурсников.

ЛИТЕРАТУРА

1. Фейнман Р. Характер физических законов. 2-е изд. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. - 160 с.

2. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу. - М.: Дрофа, 2004. - 640 с.

3. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. T. II. -СПб.: Лань, 2018. - 800 с.

4. Колмогоров А.Н., Фомин СВ. Элементы теории функций и функционального анализа. - М.: Физматлит, 2004. - 572 с.

5. Дьяченко М.И., Ульянов ПЛ. Мера и интеграл. - М.: Факториал, 1998. - 160 с.

6. Коэн П.Дж. Теория множеств и континуум-гипотеза. - М.: Мир, 1969. - 347 с.

7. Успенский В А. Теорема Геделя о неполноте в элементарном изложении // УМН. 1974. Т. 29. Вып. 1 (175). С. 3-47.

8. Секей Г. Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике. - М.: Мир, 1990. - 240 с.

9. Titchmarsh Е.С. On conjugate functions // Proc. London Math. Soc, Ser 2. 1929. Vol. 29. No. 1677. P. 49-80.

10. Лукашенко Т.П. А-интеграл и его применение в исследованиях ПЛ. Ульянова и других математиков // Изв. вузов. Матем. 2008. №5. С. 77-82.

11. Ефимов М.П. О свойствах Q-интеграла // Матем. заметки. 2011. Т. 90. Вып. 3. С. 340-350.

12. Ульянов П.Л. Применение А-интегрирования к одному классу тригонометрических рядов // Матем. сб. 1954. Т 35 (77). №3. С. 469-490.

13. Ульянов ПЛ. А-интеграл и сопряженные функции // Уч. записки Моск. гос. ун-та. Математика. 1956. Том VIII. Вып. 181. С. 139-157.

14. Lukasenko Т.P. On the A-integral representation of the Hilbert transform and conjugate function // Analysis Math. 1982. Vol. 8. P. 263-275.

15. Kolmogorov A.N. Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung. - Berlin: Springer-Verlag, 1933. - 62 p.

16. Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. - М.-Л.: ОНТИ, 1936. -80 с.

Поступила 10.07.2018

“PLURALITY OF TRUTH” IN MATHEMATICS: TWO EXAMPLES FROM MATHEMATICAL ANALYSIS

Al.R. Valiullin, Ar.R. Valiullin, V. V. Galatenko, D. K. Kudryavtsev, T. P. Lukashenko

There exists a common misbelief that the truth in mathematics is unique or, more specifically, that different approaches to a definition of a notion are possible, but these

approaches are either equivalent or some of them generalize the others. We think that it is important to show students of mathematical departments that natural but essentially different approaches may exist in mathematics that give mutually contradicting answers to the same question. In this paper we discuss two simple examples of this kind: one of them deals with integration, and the other one — with double series.

Keywords: mathematics education, essentially different approaches, improper Riemann integral, A-integral, double series, examples and counterexamples.

СОДЕРЖАНИЕ И ТЕХНОЛОГИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ В ВУЗЕ

УДК 517

НЕОТРИЦАТЕЛЬНАЯ ОПРЕДЕЛЕННОСТЬ ПОЛИНОМОВ ЧЕБЫШЕВА И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЕ

Н. О. Котелина, А. Б. Певный

Сыктывкарский государственный университет Россия, 167001, г. Сыктывкар, Октябрьский пр., д. 55; e-mail: nkotelina@gmail.com pevnyi@syktsu.ru

Кратко рассказывается история полиномов Чебышева. Следуя методу, указанному П.Л. Чебышевым, устанавливаются свойства полиномов Чебышева, включая малоизвестное свойство неотрицательной определённости.

Ключевые слова: полиномы Чебышева, неотрицательная определённость.

К 195-летию со дня рождения П.Л. Чебышева

1. Введение

Полиномы Чебышева изучаются в курсе “Численные методы”. На отрезке [—1, 1] оптимальными узлами интерполирования являются корни полинома Чебышева Tn(t) = cos (n arccos t). Другим применениям полиномов Чебышева посвящена книга [7].

Полиномы Чебышева введены знаменитым русским математиком П.Л. Чебышевым в 1853 г. в мемуаре “Теория механизмов, известных под названием параллелограммов” [1]. Эта работа послужила началом большого ряда статей разных авторов по теории приближений, которые иногда объединяют под названием “Круг идей Чебышева”.

Поясним мотивы, побудившие Чебышева заняться задачей о полиноме, со старшим коэффициентом 1, наименее уклоняющемся от нуля на данном отрезке.

В своей речи “Черчение географических карт”, написанной для торжественного акта в С.-Петербургском университете в 1856 г., Чебышев говорил: “Сближение теории с практикой даёт самые благотворные результаты, и не одна только практика от этого выигрывает, сами науки развиваются под влиянием её.” Так и при написании мемуара “Теория механизмов...” отправной точкой послужило исследование параллелограмма Уатта, применявшегося в балансирных паровых машинах для преобразования возвратно-поступательного движения поршня в непрерывное вращение колеса. Для увеличения плавности хода механизма необходимо было решить задачу о полиноме, наименее уклоняющемся от нуля.

В §3 мемуара Чебышев ставит общую задачу о нахождении полинома U(х) степени п, наименее уклоняющегося от данной непрерывной функции f(x) на отрезке [a — h,a + h]. Чебышев формулирует свойство: “Между наибольшим и наименьшим значением разности f(x) — U в пределах от х = a — h до х = a + h встречается по крайней мере п + 2 раза одно и то же численное значение”.

Дадим современную формулировку теоремы Чебышева [8, с. 343]: для того, чтобы полином Pn(t) был полиномом наилучшего приближения для непрерывной на [а, Ь] функции /(£), необходимо и достаточно, чтобы на [а, Ь] нашлись по крайней мере п + 2 точки to < t\ < • • • < £n+i, в которых разность Q(t) = f(t) — Pn(t) принимает поочерёдно значения d(Q) и —d(Q). Здесь d(Q) = maxiG[a?5] |Q(t)| - уклонение от нуля функции Q(t). Точки to, ti,..., £n+i называются точками альтернанса.

Если /(t) = tn, а Pn-i(t) - полином наилучшего приближения степени не выше п — 1, то полином Q(t) = tn — Pn-iif) будет иметь п + 1 точку альтернанса.

Об обобщениях теоремы Чебышева см. [2].

Мы приводим важнейшие свойства полиномов Чебышева, включая малоизвестное свойство неотрицательной определённости. На основании этого свойства даётся очень простое доказательство неравенства Сидельникова для единичных векторов на плоскости.

2. Некоторые свойства полиномов Чебышева

П.Л. Чебышев решил задачу о нахождении полинома Q(t) = tn + a\tn~l + + • • • + an, для которого уклонение от нуля

d{Q) = m^\Q{t)\

минимально. Полином наименее уклоняющийся от нуля, имеет уклонение от нуля d(Q*) = l/2n_1 и имеет п + 1 точку альтернанса — 1 = to < t\ < < ... < tn = 1, в которых Q*(ti) = (-l)n+id(Q*), г = 0,1,... ,n.

Можно показать, что крайние точки альтернанса to и tn совпадают с концами отрезка [—1,1] и Q*(l) = +rf(Q*).

Введём полином Чебышева Tn\t) = 2n-1Q*(t). Для него Тп(и) = (-l)n+i, г = 0,1,...,п, и \Tn(t)\ < 1 на [-1,1]:

Точки ti,... ,tn_i являются корнями производной T^(t) и двойными корнями полинома 1 - T%(t). Поэтому

Для функции у = Tn(t) выводим дифференциальное уравнение

Поскольку у' > О на (£п-ъ 1], то

Аналогичное уравнение есть у Чебышева, но для интервала 1 < t < оо (см. [1], с. 622).

Мы сознательно поставили знак минус слева и справа, чтобы легче получить решение y(t). Имеем arccos?/ = narccost + С, а из условия у{1) = 1 получаем С = 0 и у = cos (narccost). Это равенство доказано только для t G (£n_i,l]. Но учтём, что функция (pn(t) = cos (n arccost) является полиномом. Действительно, из тождества cos (к + 1)9 = 2 cos 9 cos кв — cos (к — 1)9 следует соотношение (pk+i(t) = 2£(^(£) — /с = 1, 2,..., п. А поскольку tpo(t) = 1, ^i(t) = t, то (^n(t) - полином степени п. Если два полинома Тп и <рп равны на (£n_i, 1], то Тп(£) = <pn(t).

Итак, мы установили следующие свойства полиномов Чебышева:

(2.1) (2.2)

Отсюда, в частности, Т2(£) = 2t2 — 1.

Мы видим, что информация об альтернансе помогла найти явную формулу для полинома Tn(t). Аналогично информация об альтернансе может помочь в решении других задач, например, задач Е.И. Золотарёва (ученика П. Л. Чебышева) - см. [2].

Из (2.1) вытекает свойство ортогональности:

(2.3)

В частности,

Для дальнейшего нам потребуется разложение полинома t2k по полиномам Чебышева. Соотношение (2.2) можно переписать в виде

(2.4)

При п = 1 имеем t2 = 2^2^) + 2^о(^)- Умножим это равенство на t и снова применим (2.4). Получим

Продолжив аналогично, придём к равенству

(2.5)

где Q > 0, / = 0,1,..., к. Нам также потребуется значение последнего коэффициента с/е. Умножим (2.5) на — £2 и проинтегрируем по [—1,1]. Ввиду (2.3) справедливо равенство

Второй интеграл равен 7г, а первый легко вычисляется заменой

В результате

3. Неотрицательная определённость полиномов Чебышева

Это свойство использует скалярное произведение векторов на плоскости. Для векторов х = (х^\ х^2)), у = (у^\у^) из Ш? введём обычное скалярное произведение (ж, у) = х^'у^1* + х^у^ и норму ||х|| = ^/(х, х). Пусть S1 = = {хЕМ:||х|| = 1}- единичная окружность.

Следующая теорема устанавливает свойство неотрицательной определённости полиномов Чебышева Тп.

Теорема 3.1. Пусть m - натуральное число. Для любых векторов xi,..., хт из S1 справедливо неравенство

(3.1)

Доказательство. Из формулы (2.1) следует тождество

(3.2)

Запишем вектор Х{ G S в виде Х{ = (cosö^ sinö^). Тогда

(3.3)

Через Sn(X) обозначим сумму в левой части (3.1). В силу (3.3) и (3.2) имеем

Совершенно аналогично можно доказать, что

для любых xi,..., хт е S1 и любых вещественных чисел ai,..., ат.

4. Неравенство Сидельникова

В.М. Сидельников получил своё неравенство в процессе исследований плотнейшей упаковки шаров в пространстве Rn. Удивительно, что ему сразу удалось получить довольно трудное неравенство с точной константой.

Теорема 4.1. Пусть к, m - натуральные числа. Для любых векторов xi,..., хт G S1 справедливо неравенство

Прежде, чем мы дадим доказательство этой теоремы, заметим, что В.М. Сидельников [3] доказал более общее неравенство для векторов сферы в пространстве Шп. Гётальс, Зайдель [4] и Б.Б. Венков [5] дали более простые доказательства. Мы приводим совсем простое доказательство для векторов из S1 на основе свойства неотрицательной определённости полиномов Чебышева (см. раздел 3).

Доказательство теоремы 4.1. Возьмём произвольную систему векторов X = {xi,..., хт} С S1. Обозначим

Положим t = (xi,xj) в равенстве (2.5) и просуммируем по г, j G 1 : га. Получим ,

(4.1)

где с/ > 0 и S2k-2i ^ 0. Поэтому S ^ cjçSo(X) = с&га2. Для с& в конце раздела 2 получено значение с& = (2fc — l)!!/(2fc)ü. □

5. Когда неравенство Сидельникова обращается в равенство

Предложение. Для системы X = {xi,..., хш}; где xj = (cosöj, sinöj), равенство

(5.1)

выполняется тогда и только тогда, когда

(5.2)

Доказательство. Перепишем равенство (4.1) в виде

Если S = С/еШ2, ТО S2k-2l(X) = О, I = 0,..., к — 1, или Sn(X) = О, п = = 2, 4,..., 2fc. В силу (3.4) выполнены равенства (5.2). □

Обратно, если (5.2) выполнено, то Sn(X) = 0, п = 2, 4,..., 2/с, откуда

5 = С/еШ2.

Условия (5.2) выполнены, если m ^ fc+1 и {xi,..., хт} - половина вершин правильного 2ш-угольника:

Неравенство Сидельникова справедливо и для векторов сферы S71-1 в п-мерном пространстве. Одно из самых простых доказательств приводится в статье [6].

ЛИТЕРАТУРА

1. Чебышев П.Л. Избранные труды. - М.: Изд-во АН СССР, 1965.

2. Malozemov V.N. Nonlinear Chebyshev approximations and nonsmooth optimization // http://dha.spb.ru/PDF / nonlinearApproxPresentation.pdf

3. Сидельников В.М. Новые оценки для плотнейшей упаковки шаров в n-мерном эвклидовом пространстве // Матем. сб. 1974. Т. 95(137) №1(9). С. 148-158.

4. Goethals J.M., Seidel J.J., Spherical designs // Proc. Symp. Pure Math. A.M.S. 1979. V. 34. P. 255-272.

5. Venkov B. Réseaux et designs sphériques // Réseaux Euclidiens, Designs sphériques et Formes Modulaires, L'Enseignement mathématique Monograph, Genève. 2001. No. 37. P. 10-86.

6. Котелина Н.О., Певный А.В. Неравенство Сидельникова // Алгебра и анализ. 2014. Т. 26. №2. С. 229-236. Эл. версия: http://dha.spb.ru/reps13.shtml#1025.

7. Пашковский С. Вычислительные применения многочленов и рядов Чебышева. - М.: Физматлит, 1983.

8. Березин И.С, Жидков Н.П. Методы вычислений. Т. 1. - М.: Физматлит, 1962.

Поступила 03.11.2016

NONNEGATIVE DEFINITENESS OF CHEBYSHEV POLYNOMIALS AND ITS APPLICATION

N. O. Kotelina, A.B. Pevnyi

It is told about history of Chebyshev polynomials. The properties of Chebyshev polynomials including little-known property of nonnegative definiteness are established.

Keywords: Chebyshev polynomials, nonnegative definiteness.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СОРЕВНОВАНИЯ В ВУЗАХ

УДК 519.21

ЗАДАЧА О ЛЯГУШКЕ

А. Ю. Эвнин

Южно-Уральский государственный университет Россия, 454080, г. Челябинск, пр. Ленина, 76; e-mail: graph98@yandex.ru

Рассматривается олимпиадная задача, связанная с распределением двумерной случайной величины и допускающая разнообразные подходы к своему решению.

Ключевые слова: математические олимпиады, геометрическая вероятность, распределение суммы случайных величин.

Начиная с 2009 г. в Южно-Уральском государственном университете регулярно проводятся математические конкурсы [1-5]. В числе участников этих конкурсов студенты и аспиранты ЮУрГУ, других вузов, а также взрослые любители математики из разных городов России и стран ближнего зарубежья.

В заметке разбирается задача из 55-го конкурса.

Задача. Лягушка совершает прыжки, каждый — на метр. Направление каждого прыжка выбирается случайно (считаем, что случайная величина, равная углу поворота, распределена равномерно на отрезке [—7г; 7г]). С какой вероятностью после трёх прыжков лягушка окажется на расстоянии не больше 1 м от начальной точки?

1. Неверное решение

Эта задача взята из материалов олимпиады AMC (American Mathematics Competitions) 2010 г. Авторы предложили такое решение. Пусть первый прыжок лягушки был из точки А в точку О (рис. 1). Тогда после ещё двух прыжков лягушка может находиться в любой точке круга радиуса 2 с центром в точке О (будем называть этот круг большим кругом).

Благоприятное событие состоит в попадании лягушки в маленький круг — круг единичного радиуса с центром в точке А. Отношение площади маленького круга к площади большого равна |. Здесь получен верный ответ, но решение неверное!

Действительно, в нём неявно предполагается, что распределение положения лягушки после двух прыжков (если она начинает прыгать из точки О) является равномерным в большом круге. Основанием к такому выводу может служить следующее наблюдение: из точки О в любую точку внутри большого круга и отличную от его центра можно за два прыжка попасть ровно двумя способами.

Рис. 1

Однако указанное распределение не является равномерным. О том, каково оно, мы поговорим в конце статьи. А сначала решим задачу, не находя самого распределения.

2. Три верных решения

1-й способ. Пусть лягушка прыгает по комплексной плоскости, стартуя из начала координат. Направим действительную ось в направлении её первого прыжка. Пусть направления второго и третьего прыжка составляют с действительной осью соответственно углы а и ß. Можно считать, что а и ß — случайные величины, равномерно распределённые на отрезке [—7г; 7г]. Нас интересует вероятность выполнения неравенства

Имеем:

Заметим, что, в наших предположениях, —7г ^ ^ 7г. Поэтому окончательно имеем —7г ^ ^ — § или § ^ ^ 71 • Двумерная случайная величина

(f ' 2 ) РавномеРно распределена на квадрате D = [—§; §] х [—§; f ] • Найденным неравенствам между а и ß (описывающим интересующее нас событие) соответствуют закрашенные треугольники на рис. 2.

Искомая вероятность равна отношению площади закрашенной области к площади квадрата D. Как видно, это |.

2-й способ. Пусть лягушка прыгает по маршруту А —>• В —> С —» D. Обозначим а = ZABC, ß = ZBCD (рис. 3). Удобно считать, что а и ß -случайные величины, равномерно распределённые соответственно на отрезках [0;тг] и [0;2тг].

Достроим треугольник ABC до ромба АБСЕ. Для того, чтобы точка D оказалась в единичном круге с центром в точке Л, необходимо и достаточно выполнение неравенства

(*)

Двумерная случайная величина (а; ß) равномерно распределена на прямоугольнике G = [0; 7г] X [0;27г]. А соотношению (*) (т. е. интересующему нас событию) соответствует закрашенный треугольник на рис. 4.

Искомая вероятность равна отношению площади треугольника к площади прямоугольника. Как видно, это \.

Рис. 2

Рис. 3

Рис. 4

3-й способ. (M. Д. Бронштейн, Э. Ю. Лернер)

Лемма.1 Пусть а, Ъ и с — компланарные, но попарно неколлинеарные единичные векторы. Тогда из векторов а + Ь + с, а — Ь + с, а — Ь — с, а + Ь — с ровно один будет иметь длину, меньшую единицы.

Доказательство. Пусть ÂÔ = a, oè = Ь, OÔ = с, = Ъ + с, 0(j = — -Ъ + с, OÈ = -Ъ - с, Ш = Ь - с (рис. 5).

Точки F, G, i7, / есть вершины ромба. Центр его — точка О, а сторонам соответствуют векторы = 2с. Если

провести теперь четыре единичных окружности с центрами в F, G, i7, / (рис. 6), то первая и вторая, вторая и третья, третья и четвертая, четвертая и первая окружности касаются друг друга в серединах сторон ромба (точках С, D, Е, В).

Точка А лежит на единичной окружности с центром в точке О. Эта окружность проходит через точки В, (7, Е, которые делят её на четыре дуги. Точка А отлична от точек £?, (7, Е (из-за неколлинеарности векторов а, Ъ и с) и лежит на одной из указанных четырёх дуг. Например, на дуге ЕВ, как на рис. 6. Ясно, что точка А не попадает в единичные круги с центрами в точках F и H (эти круги внешним образом касаются круга с центром в точке /). Не попадает она и в единичный круг с центром в точке G. В самом деле, если AI < 1, AG < 1 и АО = 1, то, рассмотрев треугольники AI О и AGO, имеем неравенства для их углов:

Рис. 5

1 Как позднее выяснили авторы, формулировка леммы не оригинальна, именно её в качестве ещё одного (уже правильного) решения предложили составители задач AMC.

Рис. 6

Поскольку углы AOI и AOG смежные, сложение этих неравенств даёт

Но тогда сумма двух углов в треугольнике AIG больше 180°. Противоречие!

Таким образом, ровно одна из вершин ромба находится на расстоянии, меньшим единицы, от точки А. Это и требовалось доказать.

Замечание. То, что точка А не попадает в пересечение двух кругов, можно было доказать и таким рассуждением. Пусть какие-то два вектора из указанных четырёх имеют длину меньше 1, например, \а + Ъ — с\ < 1 и \а — Ъ + с\ < 1. Тогда

откуда \а\ < 1 — противоречие.

Из леммы следует, что искомая вероятность в задаче по лягушку есть |. Действительно, пусть в прямоугольной системе координат Оху направления 1-го, 2-го и 3-го прыжка составляют углы а, ß и 7 с осью Ох и /(а, /3,7) -индикатор интересующего нас события (эта величина равна единице, когда событие происходит, и равна нулю в противном случае). Тогда искомая вероятность Р может быть вычислена как

где D — декартов куб отрезка [0; 27г] (интеграл от индикатора существует, поскольку множество точек разрыва индикатора имеет меру нуль). Интеграл

от каждой из функций /(а, /3 + 7г, 7), /(а, /3,7+7г), /(а, /3 + 7г, 7+7г) (аргументы складываются по модулю 2тт) даст тот же результат. Поэтому интеграл от суммы индикаторов

будет в 4 раза больше. Сумма же индикаторов, как показывает лемма, почти всюду равна единице. Отсюда 4P = 1 и Р = |.

3. Распределение суммы двух величин, равномерно распределённых на единичной окружности

Вернёмся к задаче нахождения плотности распределения суммы двух случайных величин, каждая из которых равномерно распределена на единичной окружности с центром в начале координат.

В силу симметрии, плотность распределения /(ж, у) в точке М(ж, у) зависит только от ОМ = г = \J'X1 + у2. Пусть а — угол поворота направления второго прыжка относительно первого. Тогда (проверьте это!) г = 2 cos 77. Случайная величина ср = ^ равномерно распределена на отрезке [— -§;§]• Поэтому для функции распределения случайной величины г имеем

где 0 ^ X ^ 2.

По одномерному закону распределения г двумерную плотность /(ж, у) найдём с помощью рассуждения, предложенного проф. Л. Д. Менихесом. В тождестве

перейдём к полярным координатам (р, у?), полагая /(ж, у) = д(р).

Отсюда

Дифференцирование по г даёт

Итак,

Получилось, что плотность распределения бесконечна в центре круга (этого следовало ожидать, поскольку есть бесконечное число способов попасть за два прыжка лягушки из точки О в точку О) и на его границе. Последнее весьма неожиданно!

Теперь (ещё раз!) найдём вероятность попадания в маленький круг

Автор выражает благодарность М.Д. Бронштейну, С.М. Воронину, Э.Ю. Лернеру, Л. Д. Менихесу за продуктивное обсуждение данного сюжета. Из участников «Математического конкурса в ЮУрГУ» с задачей про лягушку справились студенты М. Евгеньев (Челябинск, ЮУрГУ), Е. Кичак (Москва, МИРЭА), К. Чернышёв (Санкт-Петербург, СПбГУ).

О других формах математических соревнований студентов, проводимых в ЮУрГУ, рассказывается в [6-8]. Публикация [9] посвящена задачам по теории вероятностей, предлагавшимся в последние годы на различных студенческих олимпиадах.

ЛИТЕРАТУРА

1. Эвнин А. Ю. Математический конкурс в ЮУрГУ. — Челябинск: Издательский центр ЮУрГУ, 2012. - 86 с.

2. Эвнин А. Ю. Математический конкурс в ЮУрГУ 2012-2016 гг. — Челябинск: Издательский центр ЮУрГУ, 2017. - 176 с.

3. Эвнин А. Ю. 150 красивых задач для будущих математиков. Изд. 3-е, испр. и доп. -М.: ЛЕНАНД, 2017. - 224 с.

4. Эвнин А. Ю. Ещё 150 красивых задач для будущих математиков. — М.: ЛЕНАНД, 2018. - 216 с.

5. Эвнин А. Ю. Задачи математического конкурса в ЮУрГУ // Математическое образование. 2015. №4(76). С. 26-52.

6. Эвнин А. Ю. Олимпиада в форме компьютерного теста // Математика в высшем образовании. 2013. №11. С. 97-102.

7. Эвнин А. Ю. Олимпиада в форме командной игры // Математика в высшем образовании. 2015. №13. С. 81-94.

8. Эвнин А. Ю. Математические олимпиады в ЮУрГУ — Челябинск: Издательский центр ЮУрГУ, 2016. - 63 с.

9. Эвнин А. Ю., Лернер Э. Ю., Игнатов Ю. А., Григорьева И. С. Задачи по теории вероятностей на студенческих олимпиадах // Математическое образование. 2017. №4(84). С. 45-60.

Поступила 09.04.2018

FROG'S PROBLEM

A. Yu. Evnin

We consider an interesting problem associated with the distribution of two-dimensional random variable. There are different approaches to its solution.

Keywords: mathematical olympiads, geometric probability, distribution of the sum of random variables.

ПОЗДРАВЛЯЕМ!

24 июня 2018 года исполнилось 80 лет основателю и первому главному редактору нашего журнала, доктору физико-математических наук, профессору Инне Сергеевне Емельяновой.

Инна Сергеевна - известный специалист в области группового анализа дифференциальных уравнений, автор более 100 научных работ, нескольких монографий и учебных пособий, организатор серии международных научных конференций, одна из организаторов межрегиональной ассоциации «Женщины в науке и образовании» - все её занятия и достижения в краткой заметке перечислить невозможно.

В издании журнала «Математика в высшем образовании» она играет исключительную роль, начиная с самой идеи создания журнала и распространения его первых номеров. Переехав по семейным обстоятельствам в США, Инна Сергеевна в качестве заместителя главного редактора продолжает принимать самое активное участие в жизни журнала - от заботы о портфеле редакции до согласования всех публикуемых материалов.

Ниже мы публикуем поступивший в редакцию очерк об Инне Сергеевне -не только и не столько о математике, сколько о человеке большой души1.

Редакционная коллегия журнала «Математика в высшем образовании» и Нижегородское математическое общество от всей души поздравляют Инну Сергеевну с замечательным юбилеем, желают ей крепкого здоровья и уверены в продолжении плодотворного сотрудничества.

1 См. также: Кузнецова Н.Б. Женщина и математика. К юбилею И.С. Емельяновой // Нижегородский музей. 2008. №16. С. 64 - 69.

ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ. ПЕРСОНАЛИИ

УДК 929

ОБ ИННЕ СЕРГЕЕВНЕ ЕМЕЛЬЯНОВОЙ

Н. М. Алгинкина

Нижний Новгород

Очерк об Инне Сергеевне Емельяновой, написанный по случаю её юбилея. Ключевые слова: Емельянова Инна Сергеевна.

Участвовать в жизни другого человека можно словами (значимые фразы; телефонные звонки в самое нужное время; пространные письма), можно делами (что-то подарить; чем-то покормить; куда-то пригласить), можно просто всегда быть рядом (реально или виртуально). Такое участие поддерживает, вдохновляет, радует, т. е. помогает жить. Всё это прекрасно умеет делать Инна Сергеевна Емельянова - мой давний надёжный друг.

Она выросла в очень интересной семье, где было четыре сестрички и она -самая младшая, самая нежная, покладистая и ласковая. Ей досталось море любви, внимания и заботы, и свою семью впоследствии она построила на тех же принципах1.

Её сестра Лара, интереснейший человек, много лет проработавшая на Кубе, провела последние свои годы в доме Инны, окружённая таким теплом, вниманием и пониманием, которых я больше ни у кого не наблюдала, только читала о таких взаимоотношениях в литературе XIX века. Уважительное отношение ко всем окружающим свойственно Инне Сергеевне так же, как традиционная («патриархальная») домовитость. Её дом всегда готов принять гостей - друзей, родных и знакомых. Там всегда найдётся еда, питьё, постельное бельё и насыщенная миром и покоем беседа, даже если затронуты острые темы: рядом с Инной Сергеевной агрессивность, так распространённая сейчас, немыслима - она гаснет и, затухая, превращается в логичное, рациональное и позитивное действие. Таково одно из прекрасных качеств Инны Сергеевны.

В её большой генеральской квартире на улице Грузинской бережно хранится память обо всех, живших с Инной в разные времена. Портрет свёкра, посуда и испанские безделушки свекрови. В 30-е годы в Горьком жили испанцы-изгнанники, и среди них были сердечные друзья старших Емельяновых. Когда в 50-х годах испанцы вернулись на родину, Инна выучила испанский язык и переписывалась с ними до самой их кончины.

Целый книжный шкаф занимают морские и прочие диковинки с Кубы -это от сестры Лары. Бросается в глаза яркий осенний пейзаж маслом - это Татьяна Ильинична Емельянова писала. Под стеклом, в рамах - большие

1 Инна Сергеевна опубликовала воспоминания своей мамы о детстве: Варыпаева А.М. «А в детство заглянуть так хочется... » // Нижегородский музей. 2009. №17. С. 142 - 151. (Это примечание и иллюстрации ниже добавлены редакцией.)

«полотна», вышитые мамой и сестрами. На шкафу берестяные туеса и лыковые короба - память о доме в деревне Заводь, где Инна растила детей и внучек. И, конечно, книги: унаследованные или подаренные на память, с очень любопытными посвящениями от очень известных людей, но большая часть - тщательно подобранные самой владелицей. На особом месте папка со стихами-экспромтами Евгения Ильича Емельянова. Потолки в квартире выше трёх метров, и книжные стеллажи - чуть не до потолка. В её рабочем кабинете, окна которого выходят в унылый, но очень тихий двор, у этих стеллажей, за её рабочим столом с новейшей компьютерной аппаратурой (компьютер и всю периферию установил и периодически обновлял младший сын Саша) мы провели прекрасное время! Фракталы, синергетика, нелинейный мир - всё это меня восхищало и вдохновляло. В то время я преподавала в музыкальном училище «Основы философских знаний». В программе 4 часа отводилось теме «Естественнонаучная картина мира». Я попросила Инну прочитать двухчасовую лекцию моим учащимся-музыкантам. С каким вниманием слушали её пианисты и струнники! А вокалисты и эстрадники даже задавали вопросы. Духовики, народники и дирижёры сидели необычно тихо, с широко открытыми глазами - для них многое было удивительным. Для каждой группы Инна Сергеевна подбирала разные способы подачи материала, приёмы активизации внимания и наглядности. В том, что Инна -прекрасный лектор и педагог, я не сомневалась, но поймут ли её музыканты, далёкие и от математики, и от других точных наук? Они поняли заразительную увлечённость незнакомого лектора своей профессией. Не всё понятно, но всё интересно, тема захватывает - то, что надо музыкантам.

Такой творческий подход, такая результативность любого дела - ещё одна привлекательная черта Инны Сергеевны. Большие цветные фотографии фракталов с компьютера Инны Сергеевны до сих пор украшают мою комнату: «Древо жизни», «Горы туманные», «Шелка улиток» - так я назвала эти поразительные иллюстрации совсем непонятных мне формул. Я влюбилась в них с подачи Инны Сергеевны.

Тяжёлой, но доставляющей удовлетворение работой стало для Инны Сергеевны редактирование журнала «Математика в высшем образовании». Иногда она доверяла мне вычитывание некоторых статей - было интересно. Её разговор с авторами - образец доброжелательности, такта и ... твёрдости редактора. Вдоль стен прихожей в квартире располагались связки готовых журналов. Их надо было рассылать чуть ли не по всей стране, и она сама носила их на почту. Были тяжёлые времена, но журнал выходил регулярно, он оказался главным делом жизни в рушащемся мире. Он занимал огромное количество времени и сил, изнурительно - но положительный результат.

И так всегда и во всём. Донимали хронические болезни, но - диета, лекарства по сложному графику, общение с такими же больными по интернету помогали справляться и с болезнями, и с другими сложностями жизни. Например, с такими, как мытьё высоких старых окон, стирка, глажение и развешивание больших оконных штор - всё сама, никого не напрягая просьбами, хотя отёкшие ноги не влезают ни в какую обувь. Но блеск весеннего солнца в свежевымытые окна - источник радости. Всегда и во всём - позитив.

Инна Сергеевна не кулинарка, но её диетическая еда добротно сделана, красиво подана, сытна и вкусна! С какой выдумкой кормила внучек: травки-приправки с окружающих деревню лугов, «чёрная соль», запечённая в русской печи, «кисель в крапинку»... Всё интересно, весело и полезно. Сейчас так же занимается с двумя внуками, озорными, развесёлыми и очень деловыми мальчишками, которым с бабушкой хорошо открывать-познавать мир.

Есть и такое качество у Инны Сергеевны - она всегда чувствует, когда нужна её поддержка. Как-то она уехала судьёй по конькобежному спорту на мировое первенство в далёкий Саппоро. Мобильников тогда не было, только городские домашние телефоны. И вот спокойный милый голос, обещание привезти подробный рассказ и фотографии, пожелания здоровья - моё настроение улучшается, беды отступают, и я со всем справляюсь.

В перестройку многое рухнуло катастрофически. Мне надо вытащить родных из Казахстана, нужны доллары и поддержка на всём их длинном пути домой. Инна выкраивает время помочь. В то время нам иногда зарплату выдавали вещами (товарами). Инна делится со мной белым простынным полотном. До сих пор я иногда стелю эти односпальные натуральные х/б простыни, на них все боли проходят. Боже, как были тогда они нужны! А ведь я не жаловалась, Инна почувствовала сама... То же качество Инны проявилось, когда я работала на трёх работах, везде бегом с одной на другую, часто по улице Грузинской. Инна знает моё расписание и просит забегать к ней ненадолго. Забегаю. В кухне накрытый стол, вместе обедаем или ужинаем и разговариваем. Так ненавязчиво Инна меня вечно голодную подкармливает.

Инна всегда находила способы удовлетворять свою страсть к путешествиям, ибо неосуществлённые желания разъедают изнутри. Поездки судьёй на соревнования, автобусные экскурсии по нашей стране, участие в конференциях... Хочется в Африку - выучила английский, сделала доклад на международной конференции на английском языке в этой самой Африке. Хочется в Скандинавию - найдём человека, там живущего, чей учебник переведём и издадим. Кропотливейшая годовая работа, но Скандинавия изучена и оценена. Хочется в наши хиреющие после перестройки научные городки - посмотреть научные силы, встряхнуть, подбодрить - серия научных конференций «Нелинейный мир». Мне повезло, когда конференцию принимал наш университет им. Н.И. Лобачевского и заказал экскурсию на озеро Светлояр, в таинственный Китеж. Как много мнений, объяснений, споров по поводу китежских тайн было высказано. На конференцию цикла «Нелинейный мир» в Пущино-на-Оке Инна Сергеевна пригласила меня как участника, т. к. секция «Языки науки. Языки искусства» близка и мне.

Титульный лист учебника, переведённого И.С. Емельяновой

Законы художественного восприятия, законы художественной сферы творчества, парадоксы музыкального мышления, парадоксы музыкального звука -везде искусство, везде математика. Инна старалась не пропускать концерты известных хоров в нашем городе. Мы вместе слушали пластинки с записями ростовских звонов: церковный колокол - это и тайна, и чудо, и строгая математическая формула.

Где-то в 80-х годах мы увлеклись восточными гороскопами, правда, очень поверхностно. По году рождения Инна Сергеевна -Тигр. По дню рождения - между Близнецами и Раком. Характеристики знаков зодиака очень точно описывают характер Инны Сергеевны:

«Близнецам интересно всё, и чаще всего они находят в книгах неиссякаемый источник знаний и превращаются в заядлых книгочеев. Даже в XXI веке они не прекратили читать, хотя с удовольствием ныряют в безграничные пространства Интернета. По их мнению информации много не бывает. Близнецы деятельны и старательны, чувствительны и изобретательны, нерешительность компенсируется быстротой реакции».

«Материнское сочувствие и доброта свойственны представителям знака зодиака Рак. Им легко понимать состояние других людей. Одновременно с этим они очень зависимы от внешнего мира, в особенности от ближайшего окружения. Рак предан семье, традициям и обычаям того общества, в котором вырос и живёт. Тяжело переживает обманы».

Сейчас она вышивает крестом российские пейзажи. Ездит на экскурсии в парки и по историческим местам западного побережья Америки. На круизных океанских судах отправляется смотреть достопримечательности Мексики или арктические фьорды. Она всегда в своём расширяющемся мире, приводит в гармонию микро- и макрокосм. У неё это прекрасно получается. И около неё хорошо.

Поступила 04.12.2018

Обложка двуязычного (русско-греческого) издания трудов Н.И. Лобачевского -инициатор и редактор-составитель И.С. Емельянова

ABOUT INNA SERGEEVNA YEMELYANOVA

N. M. Alginkina

The sketch about Inna Sergeevna Yemelyanova written on the occasion of her anniversary.

Keywords: Yemelyanova Inna Sergeevna.

ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ. ПЕРСОНАЛИИ

УДК 51(091)

О ВОРОНЕЖСКОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ШКОЛЕ (посвящается 100-летию Воронежского государственного университета)

Р. С. Адамова, В. Г. Звягин

Воронежский государственный университет Россия, 394018, г. Воронеж, Университетская пл., 1; e-mail: adamova_rs@mail.ru; zvg_vsu@mail.ru

В статье описывается история создания и развития воронежской математической школы по нелинейному функциональному анализу, история возникновения Воронежской зимней математической школы и её значение, а также рассказывается о последних успехах математиков Воронежского университета.

Ключевые слова: Воронежский университет, математики, воронежская математическая школа, М.А. Красносельский, С.Г. Крейн.

Воронежский государственный университет возник в результате перевода Юрьевского университета в Воронеж летом 1918 года. Перевод состоялся уже тогда, когда город Юрьев (ныне Тарту) был занят войсками Германии. Благодаря профессионализму преподавателей юридического факультета удалось защитить права сотрудников и студентов университета, обеспечить переезд всех желающих в Россию, в город Воронеж. Бесценное имущество университета в большей своей части было заблаговременно эвакуировано и содержалось в вагонах в Ярославле и Нижнем Новгороде.

С двумя эшелонами, состоящими в большинстве из товарных вагонов, прибыло 25 профессоров, 30 преподавателей и около 800 студентов. Кроме того, самостоятельно добрались до Воронежа 14 профессоров и 17 преподавателей. Среди добиравшихся самостоятельно был профессор математики

У поезда в день отправления студентов и преподавателей Юрьевского университета из г. Юрьева в г. Воронеж (17 июля 1918 г.)

Платон Платонович Граве, ушедший пешком, не дождавшись поездов и не надеясь на них ввиду трудности переговоров с военной комендатурой.

Для занятий и общежития студентов университету было предоставлено здание бывшего Михайловского кадетского корпуса со всеми принадлежащими ему землями. Здание до этого было занято школой Красной Армии, но местные власти заблаговременно договорились о передаче его университету, а школа была переведена в Тамбов.

Поначалу в Воронежском университете преподавателей математики было всего двое: профессор Виссарион Григорьевич Алексеев, последний ректор Юрьевского университета, и упомянутый выше профессор Граве. Отметим патриотизм П.П. Граве, проявленный в то непростое время. Одна из его работ была высоко оценена за рубежом и ему предлагали ехать в Великобританию, но он отказался, сказав: «Я русский и работаю для России». Вскоре в Воронеж по приглашению Алексеева приезжает из Петрограда бывший студент Юрьевского университета Николай Петрович Самбикин. Своему приезду он посвятил такие строки:

Когда же мой физмат покинул навсегда Эстонские далёкие границы, Быстрее быстрокрылой птицы За ним примчался я сюда, В неведомый Воронеж. Ассистентом Я избран был, а через десять дней Я жарил лекции на кафедре своей Не знавшим арифметики студентам.

(Н.П. Самбикин, 1918, Воронеж, ВГУ, Физмат.)

Самбикин один вёл всю математику в университете, поскольку после освобождения Воронежа от деникинцев Алексеев уехал в Польшу, в свои родные места, а Граве был болен и не вёл занятий. Самбикин свободно владел иностранными языками, был весел, играл в студенческих театрах, писал шутливые поэмы о жизни университета, о нём любил вспоминать лауреат Нобелевской премии по физике П.А. Черенков, бывший в 1924 - 1926 гг. студентом Воронежского университета (см. [1]).

Эти обстоятельства подтверждает в своих воспоминаниях и профессор кафедры зоологии беспозвоночных Воронежского университета Константин Карлович Сент-Илер [2]: «Заведовал кафедрой профессор П.П. Граве, но по болезненному его состоянию фактически всеми учебными предметами занимался ассистент Н.П. Самбикин и, надо сказать, - блестяще».

Облегчение принёс приезд в 1921 году Антона Казимировича Сушкевича, который в 1913 году учился в Берлине, где слушал лекции И. Шура, К. Шварца. Через два года после прибытия Сушкевич защитил докторскую диссертацию, в которой заложил основы теории полугрупп, идеи которой широко используются в современном функциональном анализе.

Н.П. Самбикин

А.К. Сушкевич

В начале тридцатых годов в коллектив математиков Воронежского университета влились новые силы. После окончания аспирантуры Института математики и механики МГУ приехали М.М. Гринблюм, Д.А. Гайков, Н.В. Ефимов и C.B. Фролов. Затем из Саратовского университета перевёлся в Воронеж

Израиль Исаакович Гордон, бывший первым аспирантом Л.С. Понтрягина. В 1935 году он защитил диссертацию, в которой одновременно и независимо от А.Н. Колмогорова и Дж. Александера ввёл кольцо когомологий. Его конструкция умножения когомологий отличалась от конструкций Колмогорова и Александера, которые были одинаковыми. Впоследствии изоморфизм колец Гордона и колец Колмогорова-Александера был доказан Г. Фройденталем.

Из Томского университета приехал уроженец Воронежа Борис Абрамович Фукс, который в 1938 году защитил докторскую диссертацию.

Максимилиан Михайлович Гринблюм стал читать лекции по дифференциальным уравнениям, Дмитрий Абрамович Гайков - курс теории функций действительного переменного и аналитическую теорию чисел. Профессор ВГУ, специалист по функциональному анализу Владимир Иванович Соболев, бывший в то время студентом, писал в [3]: «Что касается Д.А. Райкова, то он уже в те годы проявил себя разносторонне образованным человеком.. . В лекциях по аналитической теории чисел Д.А. Райков дошёл до связи асимптотики распределения простых чисел с дзета-функцией Римана».

Сергей Васильевич Фролов, ученик П.С. Александрова, стал читать лекции по курсу общей топологии, Николай Владимирович Ефимов - по основаниям геометрии. В 1951 году Н.В. Ефимов был удостоен премии имени Н.И. Лобачевского за решение проблемы неизгибаемости поверхности в окрестности точки уплощения, а в 1966 году - Ленинской премии за исследования особенностей на поверхностях отрицательной кривизны.

Знаменательным событием для математиков Воронежского университета стала организация Гринблюмом семинара по изучению книги С. Банаха “Теория линейных операторов”, вышедшей незадолго до этого в Польше. Книга была на французском языке, и участники семинара выполнили почти полный её перевод. Более того, под руководством Гринблюма шла научная работа по тематике этой книги, а в 1935 году его аспирант ЛА. Гуревич защитил диссертацию.

О научной работе Гринблюма в то время читаем в [4]: «До сих пор остаётся неразрешённым вопрос: во всяком ли сепарабельном пространстве существует базис? Это обстоятельство придаёт особый интерес исследованиям, посвященным изучению различных характеристик базиса. Ряд ценных результатов в этом направлении был получен М.М. Гринблюмом, руководившим научной работой в области функционального анализа в Воронеже, а затем в Ташкенте».

И.И. Гордон

М.М. Гринблюм

Большую заслугу M.M. Гринблюма в повышении уровня математического образования в университете отмечал профессор Б.А. Фукс, заведовавший в тот период кафедрой математического анализа Воронежского университета [5]: «Именно педагогическая и научная работа М.М. Гринблюма имела важнейшее значение для создания в ВГУ культурного математического центра».

В 1935 году в Воронежском университете впервые в нашей стране был прочитан курс лекций по функциональному анализу. Лектором был профессор МГУ Лазарь Аронович Люстерник, одним из слушателей - В.И. Соболев. По окончании университета Соболев поступил в аспирантуру к Люстернику и впоследствии написал вместе с ним книгу по функциональному анализу, которая выдержала несколько изданий, получила мировую известность и была переведена в ГДР, Индии, США, Польше, Болгарии, Японии, Китае.

Воронеж становится заметным центром математической науки. Связи математиков Воронежского университета с математиками МГУ способствуют тому, что в университет с лекциями приезжают видные математики: А.Г. Курош, Л.С. Понтрягин, В.В. Степанов, А.Н. Тихонов, С.А. Яновская.

Налаженную работу столь сильного коллектива математиков нарушила война. Спешная, а потому плохо организованная эвакуация разбросала преподавателей, часть их ушла на фронт.

В 1943 году университет вернулся в Воронеж, но город был полностью разрушен, библиотека была вывезена гитлеровцами. Титаническими усилиями работников библиотеки она была найдена в Курске. Занятия шли в полуразрушенных зданиях, отапливаемых железными печурками.

В 1944 году в Воронеж вернулся В.И. Соболев, работавший в Томске по распределению после окончания аспирантуры. В 1947 году была опубликована его статья об обратных элементах в полуупорядоченных кольцах - это была первая послевоенная научная работа воронежских математиков.

В нижнем ряду слева Л.А. Гуревич и Н.В. Ефимов, в центре Л.С. Понтрягин, во втором ряду справа C.B. Фролов. 1935 г.

В.И. Соболев

В 1952 г. Соболев становится деканом физико-математического факультета ВГУ и приглашает на работу в университет Марка Александровича Красносельского, молодого доктора физико-математических наук из Института математики АН УССР. Позже, в 1954 году, в Воронеж также из Киева переезжает доктор технических наук Селим Григорьевич Крейн. Он становится заведующим кафедрой математики и механики в Лесотехническом институте.

В годы молодости М.А. Красносельский посещал семинар С.Г. Крейна, которым наездами из Одессы руководил и Марк Григорьевич Крейн, старший брат Селима Григорьевича. Впоследствии М.Г. Крейн стал научным руководителем Красносельского.

Совместная научная работа двух талантливых математиков, семинары в Воронежском университете и в Лесотехническом институте, их общие заседания радовали результатами. Вокруг М.А. Красносельского и С.Г. Крейна бурлит математическая жизнь. Их энергия, творческий потенциал привлекают математиков из других городов. Из Казани приезжает Юрий Григорьевич Борисович, только что защитивший кандидатскую диссертацию. Он самостоятельно выбрал тему по работам Красносельского и прекрасно с ней справился. Приезжают П.Е. Соболевский, Я.Б. Рутицкий.

Основными направлениями исследований были: топологические методы теории нелинейных уравнений в банаховых пространствах, теория операторов в банаховых пространствах с конусом, теория уравнений с частными производными, гидродинамика, теория интерполяции линейных операторов, прикладные задачи естествознания.

В 1956 году вышла первая монография М.А. Красноселького «Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений». Изложенные в ней результаты получили мировую известность. Теория бифуркаций решений нелинейных интегральных уравнений, явившаяся содержанием этой книги, продолжает развиваться и поныне в работах математиков США, Франции, Италии, Германии, Бельгии, Китая и т. д. Красносельским написаны 14 монографий, переведённых на все основные языки мира.

В марте 1957 года в Воронеже состоялся семинар, на который съехались крупнейшие специалисты страны по функциональному анализу и теории дифференциальных уравнений: Ю.М. Березанский (Киев), М.И. Вишик (Москва), И.И. Ворович (Ростов-на-Дону), А.Г. Костюченко (Москва), О.А. Олейник (Москва), А.Я. Повзнер (Москва), Л.Д. Фаддеев (Ленинград), О.А. Ладыженская (Ленинград), А.И. Кошелев (Ленинград). В результате работы этого семинара получили дальнейшее развитие целые разделы математики, такие, как математическая гидродинамика, теория интерполяции линейных операторов, теория параболических систем, некорректные задачи, теоремы о гомеоморфизмах, исследование положительных решений операторных уравнений на основе теории конусов и т. д.

В Воронеже появились молодые соратники М.А. Красносельского и С.Г. Крейна: И.А. Бахтин, Г.А. Бессмертных, Ю.Г. Борисович, В.Ш. Бурд,

Г.М. Вайникко, В.П. Глушко, П.П. Забрейко, И.А. Киприянов, B.C. Климов, Ю.С. Колесов, ЛА. Ладыженский, А.Ю. Левин, А.И. Перов, Ю.И. Петунин, А.И. Поволоцкий, Ю.В. Покорный, Б.П. Пугачев, Е.И. Пустыльник, B.C. Рублёв, Т.С. Сабиров, Б.Н. Садовский, Е.М. Семенов, В.Я. Стеценко, В.В. Стрыгин и другие. Все они получили значительные результаты, обогащающие теорию указанных выше разделов математики. Появился ряд монографий, посвященных вопросам линейного и нелинейного функционального анализа.

Подрастало молодое поколение, также преданное математике, как и их учителя: Т.Я. Азизов, P.P. Ахмеров, А.Д. Баев, А.Г. Баскаков, Н.А. Бобылёв, В.А. Бондаренко, Б.Д. Гельман, В.М. Герштейн, Ю.Е. Гликлих, А.В. Глушко, И.В. Емелин, В.Г. Задорожний, М.Г. Зайденберг, В.Г. Звягин, М.И. Каменский, B.C. Козякин, В.А. Костин, В.Г. Курбатов, ГА. Курина, П.А. Кучмент, Е.А. Лифшиц, Л.Н. Ляхов, Э.М. Мухамадиев, И.Я. Новиков, В.В. Обуховский, В.И. Овчинников, В.П. Орлов, А.А. Панков, А.В. Покровский, А.С. Потапов, А.Е. Родкина, Ю.И. Сапронов, Ю.С. Сысоев, К.И. Чернышов и др.

Об обстановке творческого горения, в которой росла эта молодёжь, рассказывает в своих воспоминаниях Пётр Абрамович Кучмент, ныне сильнейший в мире специалист по томографии, профессор Техасского университета, учёба которого в ВГУ пришлась на вторую половину шестидесятых годов: "К тому времени математический факультет ВГУ был уже широко известен благодаря блистательным успехам М.А. Красносельского и С.Г. Крейна и их учеников.

Ещё школьником в западной Украине я, как и многие другие, знал об этом. .. Благодаря руководству М.А. Красносельского и С.Г. Крейна научная обстановка на факультете была тогда уникальной, в особенности для университета, считавшегося провинциальным. Я до сих пор с наслаждением вспоминаю, как мы, студенты, постоянно пытались остановить какого-

А.В. Покровский и М.А. Красносельский

П.А. Кучмент

нибудь товарища или ухватить за пуговицу профессора, чтобы поделиться только что пришедшей в голову идеей, обсудить задачу, задать вопрос и т. д. Студенческие научные конференции были заполнены вполне квалифицированными докладами и были настоящим праздником для всех. Помню, как на одну из них буквально ворвались ученики С. Г. Крейна Миша Зайденберг и Саша Панков, в то время студенты 3-го и 2-го курсов, и заявили, что они “ну вот только что, минуту назад” решили некую задачу и должны икровь из носу“ рассказать решение немедленно. Эта обстановка научной восторженности создавалась и поддерживалась усилиями ведущих специалистов. . . ”

Отдельно нужно рассказать о Воронежских зимних математических школах. Они были уникальным явлением в математической жизни страны. Идея их организации была предложена С.Г. Крейном в 1966 году. Они проходили во время зимних студенческих каникул в окрестностях Воронежа в домах отдыха, санаториях, на турбазах - в зависимости от того, где удавалось найти возможность для работы школы. Первоначально цель школы состояла в ознакомлении молодых учёных

Воронежа с последними достижениями математики, но довольно быстро школа приобрела большую популярность среди математиков всего Советского Союза. В разные годы лекторами и активными участниками этих школ были выдающиеся математики: академики СП. Новиков, В.И. Арнольд, В.П. Маслов, А.Т. Фоменко, член-корреспонденты Академий наук В.М. Бухштабер (Россия), Ю.М. Березанский, Ю.Л. Далецкий (Украина) и др.

Организация таких школ требовала неимоверных усилий со стороны С.Г. Крейна, потому что каждый год возникали те или иные препятствия.

С.Г. Крейн

Воронежская зимняя математическая школа, 1967 год

Но они преодолевались его энергией, целеустремлённостью и горячим желанием.

Он рассказывает о шестой школе: “Снова угроза нависла над школой. Дом отдыха им. Горького стал санаторием, дом отдыха им. Дзержинского -пансионатом. Кто-то из начальства сказал мне сакраментальную фразу: «Наши путёвки предназначены для трудящихся»”.

Счастливым случаем удалось найти турбазу “Коммунальник”. Вот что о ней далее пишет С.Г. Крейн [3]:

"Турбаза находилась в живописном месте. Но состояла она из двухкомнатных деревянных домиков без фундаментов и без удобств. Как назло в каждом домике висел термометр. Занятия можно было проводить лишь на веранде и в столовой. .. .

Одним из лекторов был Ю.И. Манин. Он подошёл ко мне и сказал: «Я всё понимаю, но 8 градусов!». Немедленно он был переселён в другой домик, где было 13, и остался доволен.

Оргкомитет закупил электроплитки, которые спасали от холода. Кроме того, Ю.Г. Борисович каждую ночь будил истопника и заставлял его топить (естественно за дополнительное поощрение)".

В 1967 году был открыт Научно-исследовательский институт математики при Воронежском университете. Его создание - целиком заслуга С.Г. Крейна. Вероятно, не один год до этого он вынашивал такую идею. Но вот ему предлагают, и даже уговаривают, стать деканом физико-математического факультета. И он перед ректоратом выставляет условие - организация Математического института. Помощь ректората была обещана, но сколько инстанций ещё предстояло пройти! И каждый раз убеждать, доказывать, принимать порой молниеносные решения!

С.Г. Крейн поздравляет М.А. Красносельского с 70-летием (фото С.М. Семёнова)

На торжественном заседании, посвященном 70-летию М.А. Красносельского. В первом ряду 4-й слева - профессор Ю.Г. Борисович, за ним во втором ряду -профессор В.И. Соболев, слева его сын, А.В. Соболев, доктор технических наук. Воронеж, ВГУ (фото СМ. Семёнова).

В Комитете по науке и технике при Совмине СССР потребовалось подробное обоснование целесообразности открытия такого института и перспективный план его развития, причём составителем его должен был быть чиновник министерства, который после тщательного изучения вопроса составил бы такой документ. С.Г. Крейн вспоминал [6]: “Стало ясно, что составление такого документа для любого постороннего человека является трудной задачей, для выполнения которой нужны месяцы. В связи с этим я предложил, что сам составлю эти документы. Предложение было принято, мне выделили стол, за которым я работал, и в течение двух дней перспективный план развития института по 16 научным направлениям был составлен”.

Открытие института имело большое значение для развития воронежской математической школы, кроме того, появилась возможность оставлять в НИИ математики после аспирантуры наиболее способных молодых специалистов, которые потом пополняли ряды сотрудников математического факультета. Первым директором НИИ математики был В.И. Соболев. Впоследствии институтом руководили С.А. Скляднев, В.П. Трофимов, Ю.В. Покорный. Последние двадцать лет директором НИИ математики Воронежского университета является В.Г. Звягин.

В 2017 году коллектив НИИ математики ВГУ участвовал в конкурсе на получение мегагранта Правительства РФ с темой «Исследование задач математической гидродинамики». Из сорока грантов этого конкурса математике было выделено два, и один из них получил коллектив института.

Сегодня воронежские математики участвуют в совместных научных проектах с учёными Италии, Франции, Португалии, Англии, Канады, США, Тайваня, Китая, выступают с пленарными докладами на международных конференциях, получают приглашения для чтения лекций в зарубежных университетах.

В юбилейный для Воронежского университета год учёные математичного факультета приняли участие во многих научных конференциях, среди которых “20th European Conference on Mathematics for Industry” (Будапешт, Венгрия), “16th school on interactions between dynamical systems and partial differential equations” (Барселона, Испания), “12th AIMS conference on dynamical systems, differential equations and applications” (Тайбэй, Тайвань), Международная конференция «PDE's and Mathematical Hydrodynamics: in honor of Vsevolod Alekseevich Solonnikov's 85th Birthday» (Санкт-Петербург, Россия), “International Workshop on Wavelets, Frames and Applications III” (Дели, Индия).

ЛИТЕРАТУРА

1. Российские физики - лауреаты нобелевских премий. Черенков Павел Алексеевич. -http: / / www.fio.vrn.ru/2005/14/!Physics/2/cherenkovl.htm

2. К. Сент-Илер. К истории Воронежского университета. - Воронеж: Издательский дом ВГУ, 2016. - 15 с.

3. Материалы к истории математического факультета ВГУ: сборник. Составители Е.Ю. Дробченко, Е.С. Романенко, Б.Н. Садовский. - Воронеж: Воронежский университет, 1998. - 118 с.

4. Математика в СССР за 30 лет (1917 - 1947). - М.-Л.: Гостехиздат, 1948. - 1044 с.

5. Личное дело профессора Максимилиана Михайловича Гринблюма. - Ташкент: Ташкентский Государственный университет, 1946. - 11 с.

6. Крейн С.Г. Воспоминания. - http://bookfi.net/book/1221480.

Поступила 25.10.2018

ABOUT VORONEZH MATHEMATICAL SCHOOL (IT IS DEVOTED TO THE 100 ANNIVERSARY OF VORONEZH STATE UNIVERSITY)

R. S. Adamova, V. G. Zvyagin

The article is devoted to the centenary of Voronezh State University and tells the creation and development of Voronezh Mathematical School on Nonlinear Functional Analysis. The significance of Voronezh Winter Mathematical School and the latest achievements of mathematicians at Voronezh State University are presented.

Keywords: Voronezh State University, Mathematicians, Voronezh Mathematical School, M.A. Krasnoselsky, S.G. Krein.

ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ. ПЕРСОНАЛИИ

УДК 061.3 + 061.22

О ПОЛЬЗЕ СМЕНЫ РАКУРСА (к 25-летию конференций МКО)

И. С. Емельянова

Кемпбелл, Калифорния, США; e-mail: inna.yemelyanova@gmail.com

Статья приурочена к 25-летию межрегиональных конференций «Математика. Компьютер. Образование».

Ключевые слова: междисциплинарные конференции, конференция «Математика. Компьютер. Образование», ассоциация «Женщины в науке и образовании».

Не только груды гравия Тревога в путь отправила, Но реки грязи, чавкая, Сносили камни тяжкие, Крошилось побережье И гибло в тьме кромешной. Трещали горы, сблизясь. Я знал, в мои воззренья Всеобщий вторгся кризис.

Но, отступив на шаг, Я спасся от смятенья. Пронесся мимо мрак. Затихли дождь и ветер, И снова полдень светел.

Роберт Фрост, «Отступление на шаг». Из сб. «Таволга», пер. А. Сергеева.

МКО - это конференции «Математика. Компьютер. Образование». Они проводятся ежегодно вот уже 25 лет попеременно в подмосковных Дубне и Пущино. Поддерживают конференции Объединённый Институт Ядерных исследований (Дубна) и Пущинский Научный центр (Институты Теоретической и прикладной биофизики и Биофизики клетки РАН), а также Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, Институт Прикладной математики им. М.В. Келдыша и Институт философии РАН. Инициаторами и организаторами конференций является российская ассоциация «Женщины в науке и образовании».

А начиналось всё в далёком 1993 году. Это было время крушения СССР. Экономический удар, который привёл к уменьшению государственного финансирования во многих сферах, катастрофически сказался на науке и образовании. Смена приоритетов в обществе привела к тому, что в бедственном положении оказались школы и вузы, учителя и преподаватели. Это послужило толчком к созданию общественных организаций, призванных противостоять прогрессирующим разрушительным тенденциям. Возникла ассоциация,

объединившая женщин, преподающих математику и занимающихся чистой или прикладной математикой. Они мыслили по государственному и ощущали себя хранительницами очага российской науки и культуры. Члены новой ассоциации были озабочены не столько тендерными проблемами, сколько кризисной ситуацией в науке и образовании в России, и они начали действовать незамедлительно. Через год ассоциация «Женщины-математики», переросла в ассоциацию «Женщины в науке и образовании» (АЖНО) которую бессменно возглавляет профессор МГУ Галина Юрьевна Ризниченко1.

В отличие от европейских и американских ассоциаций, имеющих аналогичные названия, образованная в России ассоциация «Женщины в науке и образовании» практически сразу отказалась от проведения чисто женских мероприятий и с самого начала поставила цель «объединить активную часть научно-образовательного сообщества для сохранения и развития его творческого и культурного потенциала» [1, с. 68].

По инициативе АЖНО сложилась устойчивая традиция проведения в России международных конференций «Математика. Компьютер. Образование», «Языки науки - языки искусства», «Нелинейный мир». В мировой практике нелегко найти примеры неизменно успешных конференций с периодичностью раз в год (таких, как конференции МКО) в течение четверти века! Ассоциация взяла на себя роль определения узловых проблем, которые необходимо в первую очередь обсудить на очередных конференциях. Приглашение основных докладчиков, хлопотная работа по подготовке конференций (выбор места и времени их проведения, подача заявок на поддерживающие гранты, формирование программы, создание комфортных условий для участников, публикация материалов... ) - вся эта работа опирается на энтузиазм, на волонтёрство, что позволяет движению успешно существовать и развиваться.

Конференции, которые проводит ассоциация - это содержательные доклады, живое общение, поиски решения проблем образования и науки. За 25 лет только на конференциях МКО заслушано более 800 пленарных и около 7000 секционных и стендовых докладов, публикуются тезисы и труды. Последние содержат более 2000 отобранных редакционным советом статей. И если в 1993 году была проведена одна конференция (учредительная), а в 1994 - две (МКО и «Женщины-математики. Образование. Информационные технологии»), то в последующие 10 лет проводилось по три ежегодных конференции (добавилась конференция «Нелинейный мир»), а, начиная с 2006 года, число ежегодных конференций выросло до четырёх (добавились «Курдюмовские

1 Галина Юрьевна Ризниченко родилась в Москве окончила физический факультет МГУ (1972). После окончания МГУ работает на кафедре биофизики биологического факультета МГУ, заведует сектором информатики и биофизики сложных систем. Профессор, доктор физико-математических наук (1990). Автор 25 книг, среди которых учебник «Лекции по математическим моделям в биологии» (2002), монографии «Математические модели первичных процессов фотосинтеза» (1991) и «Математические модели в биофизике и экологии» (2003), учебные пособия. Опубликовала более полутора сотен научных статей по математическому моделированию субклеточных процессов и большое количество публицистических статей (см. сайт https://istina.msu.ru/workers/467909/). Председатель и сопредседатель оргкомитетов междисциплинарных конференций АЖНО, редактор трудов этих конференций (сайт www.mce.su/).

чтения»). Москва, Суздаль, Воронеж, Волгоград, Новороссийск, Чебоксары, Астрахань, Краснодар, Ростов-на-Дону, Нижний Новгород, Тверь, Тамбов... - география конференций охватывает всю Россию. В последние годы ежегодно проводится конференция МКО и через год - конференция «Математика. Экономика. Образование» на базе Абрау-Дюрсо Южного федерального университета (Ростов-на-Дону).

Ежегодные встречи стали потребностью для ученых разного возраста, стремящихся найти общее между, казалось бы, совершенно непохожими идеями. Достаточно обратиться к краткой выборке названий пленарных докладов на этих конференциях, чтобы убедиться, насколько разнообразна и актуальна их тематика.

Конференции МКО (указаны год, название доклада и автор):

2018 «Структура алгоритмов - вызов для вычислительных наук» (член-корр. РАН Влад.Вал. Воеводин, НИВЦ МГУ);

2018 «Гравитационные волны: наши знания о Вселенной на пороге перемен» (профессор Д.В. Фурсаев, ректор государственного университета «Дубна» ) ;

2018 «Актуальные проблемы социально-экономического развития» (профессор А.Е. Варшавский, ЦЭМИ РАН);

2017 «Роль базовых моделей в науке и образовании. Д. С. Чернавский -автор базовых моделей» (профессор Г.Ю. Ризниченко, МГУ, Председатель Оргкомитета конференций МКО);

2017 «Электронные процессы в биополимерах. Нанобиоэлектроника» (профессор В.Д. Лахно, Институт математических проблем биологии РАН, 1998-2016 - директор);

2017 «Синергетика и теория информации» (профессор Г.Г. Малинецкий, ИПМ РАН);

2016 «Инновационные принципы ИТ-образования в Университете 'Дубна"» (профессор E.H. Черемисина, директор Института системного анализа и управления Университета «Дубна»);

2014 «Анализ сложных биологических систем. Эксперимент и модели» (Член-корр. РАН А.В. Рубин., зав. каф. биофизики биологического ф-та МГУ);

2014 «Конструкция из нейропроцессоров, способная мыслить» (профессор Д.С. Чернавский (1926-2016), ФИАН, МГУ);

2014 «Креативный класс» (ст.н.с. Н.А. Винокурова, Центральный экономико-математический институт РАН);

2013 «Групповой анализ - микроскоп математического моделирования» (профессор Н.Х. Ибрагимов, директор центра ALGA, Швеция);

2011 «Эволюция идей и ценностей образования» (профессор Н.Х. Розов, декан факультета педагогического образования МГУ);

2011 «XXI век. Что такое жизнь с точки зрения физики» (член-корр. РАН Г.Р. Иваницкий, директор института биофизики РАН (1976-1987), директор (2001-2015) и научный руководитель Института теоретической и экспериментальной биофизики РАН);

2010 «Топология вещественных алгебраических кривых: история и результаты» (доцент Г.М. Полотовский, Нижегородский государственный университет им. Н.П. Лобачевского (ННГУ));

2010 «Проблемы здоровья населения и демографический кризис в России» (член-корр. РАН Н.М. Римашевская (1932-2017), зав. сектором Института социально-экономических проблем народонаселения РАН);

2008 «Новые идеи в статистической физике. Биллиарды с возмущенными границами» (профессор А.Ю. Лоскутов (1959-2011), МГУ);

2007 «Механизмы влияния солнечной активности на биологические и социальные процессы» (профессор СИ. Аксёнов, МГУ);

2007 «Некоторые фундаментальные проблемы создания пакетов прикладных программ для высокопроизводительных систем» (академик РАН Б.Н. Четверушкин, директор ИПМ (2005-2015), МГУ);

2007 «Проблемы экономики современной России» (профессор Д.С. Чернавский (1926-2016), ФИАН, МГУ);

2007 «Князь С.Н. Трубецкой и профессор С.А. Кожевников» (профессор С.Э. Шноль, МГУ);

2007 «Феномен русского математика и педагога Киселева» (доцент ЛА. Битюцкая, Воронежский государственный университет);

2006 «Самоорганизация роёв» (профессор Вернер Эбелинг, Берлинский университет);

2005 «Интернет и образование» (академик РАН Вал.Вас. Воеводин (1934-2007), Институт вычислительной математики РАН, МГУ);

2005 «Молекулярная динамика био- и наноструктур» (профессор К.В. Шайтан, МГУ);

2005 «Общая теория роста населения Земли» (профессор СП. Капица (1928-2012), МФТИ);

2003 «Нелинейный мир и режимы с обострением» (член-корр. РАН СП. Курдюмов (1928-2004), ИПМ РАН, директор (1990-1999));

2000 «История и перспективы развития математического моделирования. Теория. Практика», (академик РАН А.А. Самарский (1919-2008), директор института математического моделирования РАН, зав. кафедрой ВМК МГУ);

1998 «Из истории отечественной науки» (профессор А.М. Молчанов (1928-2011), организатор и директор Института математических проблем биологии РАН);

1998 «Современное биолого-экологическое образование» (профессор О.П. Мелехова, Биофак МГУ);

1996 «Моделирование процессов переноса в системах с оптическим нелинейным цилиндром» (профессор ЛА. Уварова, Станкин, Москва);

1996 «Математическое моделирование нелинейных свойств ДНК» (д.ф.-м.н Л.В. Якушевич, Институт биофизики клетки, Пущино).

Приведём мнение о конференциях МКО А.В. Коганова (зав. отделом Института системных исследований РАН, руководитель секций «Математические теории и численные методы» и «Математическое моделирование» конференций МКО): «С 1996 года я принимаю активное участие в работе Ассоциации женщин в науке и образовании. . .. Здесь создаётся новое научное сообщество, . .. мы устанавливаем контакты с представителями других организаций, иногда смежных направлений, иногда абсолютно других направ-

лений. Формируется свой коллектив единомышленников. Мы все уже друг друга хорошо знаем, даже корректируем в какой-то степени работу друг друга. Например, если какое-то научное направление становится несколько зацикленным, то здесь мы можем это увидеть и обсудить. В результате представители этого направления начинают искать возможность оживить свою деятельность. . .. Здесь делается настоящая серьёзная наука, в которой нет конъюнктуры. Я бы так сказал, что мы противостоим конъюнктурному узкому образованию. .. . Здесь люди . .. решают задачу коллективного самоутверждения. А это, в конце концов, в интересах каждого. .. Я чувствую, что здесь попал в «свою» среду. Отличить «своего» человека очень просто. Это тот человек, который может увлечься научной проблемой, не думая при этом о том, можно ли будет продать результаты, как заработать на этом, что это даст для карьеры. Это тот человек, который видит проблему, и у него возникает желание её исследовать, которого влечёт неизвестное.» [1, с. 195-197].

Слова «если какое-то научное направление становится несколько зацикленным» здесь весьма существенны. Нередко, чтобы сдвинуться с «мёртвой точки» в исследовании, требуется отойти в сторону, посмотреть на проблему глазами другого специалиста. Как с одной позиции не получишь представление о скульптуре, так и в науке - наступают моменты, когда требуется сменить привычный ракурс. Вот почему мы вынесли в эпиграф статьи стихотворение американского поэта Роберта Фроста о том, как полезно иногда «отступить на шаг» чтобы преодолеть кризис («stepping back, I escaped from confusion»).

Конференции серии «Нелинейный мир» отличаются ещё большим разнообразием. Главным организатором и душой этих конференций была писательница из Санкт-Петербурга Зоя Евгеньевна Журавлёва2. О конференции «Языки науки - языки искусства» этой серии она писала: «. .. Для человека главное - это язык, какой бы он при этом специальности ни был. Во-первых, на языке сам думаешь, а если сам про себя ничего не мог подумать, то ни на каком профессиональном языке ты ничего не выразишь. Во-вторых, пре-

2 З.Е. Журавлёва (1935-2011) - член Союза писателей России. О себе она писала: «Самой странно, но, оказывается, я написала порядочно книг. Может, что-то Вам попадалось. Детские: «Путька», «Сними панцирь», «Ожидание», «Кувырок через голову». В основном - взрослые: «У меня есть голова», «Островитяне», «Роман с героем - конгруэнтно - Роман с собой» и другие. Все мои книги населены очень густо. Может - перенаселены. Люблю людей, коз, ящериц, ворон. Кобр, верблюдов, жуков-томзоков, всех соображающих и рефлектирующих. С ними утомительно, но не соскучишься, поневоле проживаешь их жизнь, раздвигая свою, единственную, до необозримых просторов, живёшь -практически вечно». Была составителем книг «Потёмкин. От вахмистра до фельдмаршала» и «Потёмкин. Последние годы» (Изд-во «Пушкинского фонда», Санкт-Петербург, 2002, 2003). Участвовала в движении АЖИО с его основания. Конференции «Языки науки - языки искусства» (Суздаль - 1996, 1998, 2002, Пущино - 2006) без её руководства и деятельного участия («режиссёрства») были бы невозможны. Труды этих конференций (1997, 1999, 2004) - её заслуга. Она была главным редактором газеты АЖИО «Госпожа Удача» (1997-2002, 2004). Последняя её книга - «Мне нужно быть. С.П. Курдюмов» (редактор-составитель - Зоя Журавлева). - М.: Красанд, 2010. (См. также сайт https://ru.wikipedia.org/wiki/Журавлёва,_Зоя_Евгеньевна)

подавание или общение - это только говорение и слушание. ... И конференции «Языки науки - языки искусства», объединительные и совершенно невозможные, потому что всё равно люди говорят на разных языках, но в то же время помогающие как-то выпрыгнуть из этой колеи, в которую тебя жизнь сунула. Эти конференции - особенно трудные и особенно пленительные для меня. Там приобретена масса людей из каких-то для всех нас неожиданных отраслей» [1, с. 192].

В качестве примера приведём неполный список пленарных докладов на одной их этих конференций.

Нелинейный мир, 2005, Нижний Новгород

«Жизнь общества как игра людей» (профессор Ю.И. Неймарк (1920-2011), ННГУ):

«Гомоклинические орбиты Пуанкаре» (профессор Л.П. Шильников (1934-2011), ННГУ);

«Нелинейно-динамическая история антарктической озонной дыры» (профессор А.М. Фейгин, ИПФ РАН, г. Нижний Новгород);

«Нелинейные модели аномально высоких волн на поверхности океана» (профессор E.H. Пелиновский, с.н.с. А.В. Слюняев, ИПФ РАН, Нижний Новгород);

«Российские ножницы. Причины демографической ситуации в современной России» (член-корр. РАН Н.М. Римашевская (1932-2017) зав. отделом Института социально-экономических проблем народонаселения, г. Москва);

«Нелинейные модели экономических процессов» (профессор Д.С. Чернавский (1926-2016), ФИАН, МГУ);

«О результативности российской науки» (профессор А.Е. Варшавский, ЦЭМИ РАН);

«Динамический хаос в ядерных реакторах» (с.н.с. Н.С. Постников, НИИ механики при ННГУ);

«Нелинейные модели в теории очередей и выходные потоки» (профессор MA. Федоткин, Е.В. Пройдакова, (ННГУ, г. Нижний Новгород);

«Распределение ресурсов в дискретно управляемых системах» (профессор М.Х. Прилуцкий, ННГУ);

«Нелинейности в законах грамматики кодирования генов» (профессор М.Я. Эйнгорин, ННГУ);

«Смена парадигмы в социальных науках» (профессор З.Х-М. Саралиева, ННГУ);

«Прелесть и коварство языка» (член Союза писателей З.Е. Журавлёва (1935-2011), Санкт-Петербург);

«Парадоксы музыкального мышления» (профессор Т.Б. Сиднева, Нижегородская государственная консерватория им. М.И. Глинки).

Задачи, которые поставила перед собой ассоциация «Женщины в науке и образовании», так охарактеризовал профессор А.Е. Варшавский (ЦЭМИ РАН): «А цель, разумеется, должна оставаться всё той же: сохранить науку, научный фонд, который создавался в нашей стране столетиями и который не должен погибнуть» [1, с. 219].

Недавно я прочла статью Альберта Эйнштейна [2], приуроченную к юбилею Арнольда Берлинера3, редактора журнала “Die Naturwissenschaften” («Естественные науки»). Поясняя, за что он так ценит самого А. Берлинера и его труды, А. Эйнштейн пишет:

«Границы царства научно доказанных фактов сильно расширились, теоретические познания во всех до единой областях науки стали куда глубже. Однако восприимчивость человеческого ума была и остаётся строго ограниченной. Следовательно, сфера человеческих познаний, на которую направлена деятельность отдельного исследователя, неизбежно сужается. Хуже того, в результате подобной специализации становится всё труднее даже примерно представлять себе положение в науке в целом, а без этого подлинный исследовательский дух неизбежно слабеет, - всё труднее поспевать за прогрессом. Развитие ситуации начинает напоминать библейскую историю о вавилонской башне. Любой серьёзный научный работник, к своему огорчению, понимает, что область его знаний волей-неволей сужается, а это грозит лишить исследователя широты кругозора и свести до уровня механика.

Все мы так или иначе подвержены этому злу - и не прилагаем никаких усилий для борьбы с ним. Однако на помощь нам пришёл Берлинер - по крайней мере, немецкоязычному миру, - причём самым восхитительным образом. Он понимал, что имеющиеся периодические издания вполне способны наставлять и вдохновлять широкого читателя; а ещё он понимал, что научным работникам, которые стремятся получать достаточное представление о последних достижениях науки, о её проблемах, методах и результатах и судить о них самостоятельно, совершенно необходим первоклассный, профессионально изданный журнал. Берлинер посвятил своему изданию долгие годы тяжких трудов, проявил великую мудрость и не менее великое упорство, и оказал всем нам - и науке - услугу, на которую никакой благодарности не хватит... Борьба Берлинера за ясность и понятность подачи очень поспособствовала тому, чтобы донести научные проблемы, методы и результаты до множества читателей. В наши дни понять, что происходит в научной жизни, без его издания попросту невозможно. Оживлять научное знание и поддерживать в нём жизнь так же важно, как решать научные задачи» [2, с. 40-43].

Это написано в 1932 году. Прошло три четверти века, но сегодня эти слова ничуть не потеряли актуальность. А конференции МКО и другие сопутствующие им конференции - тоже инструмент «донесения научных проблем, методов и результатов» до множества людей, занимающихся наукой и образованием.

Приведём отзыв одной из постоянных участниц конференций, проводимых АЖНО, метеоролога из Санкт-Петербурга Людмилы Неёловой: «Соратники мои по Ассоциации всегда поражали меня своим «инакомыслием». Вообще, думать по-иному, не как все - это удивительная особенность прак-

3 Берлинер, Арнольд (1862-1942) - немецкий физик, основатель и редактор еженедельника «Естественные науки». В 1935 году был уволен с поста редактора в связи с «неарийским» происхождением. Покончил с собой накануне отправки в концентрационный лагерь.

тически всех людей, близких к нашей Ассоциации. Мы все дружно пытаемся осознать многозначность истины, многомерность знания о каком-то конкретном объекте. Нам почему-то хочется понять язык другого учёного, другого специалиста - будь то математик или биолог, или, вообще, хореограф. Может быть, поэтому мне как одному из представителей отряда «нелинейщиков» (или нелинейников!) «неравновесников», междисциплинарников (вон сколько смешных слов я тут придумала!) всегда хочется говорить и думать не только о предмете исследования - погоде - но и об ином» [1, с. 259].

А вот что писал в газете «Госпожа Удача» доктор философских наук В.Г. Буданов (Институт философии РАН): «Как это удаётся - собирать в одном месте в одно и то же время интересных учёных и молодёжь, гуманитариев и естественников разных школ и направлений, зачастую не принимающих друг друга, но очень скоро находящих общность целей и языка? .. . Есть ощущение светлой ауры, простоты взаимопонимания, да некой постоянной анонимной помощи - одной их высших ценностей в науке и в этике вообще. В наш век невысоких слов, деконструкции смыслов и шкурного интереса это и есть, видимо, та магия самосборки научно-культурного сообщества будущего» [3, с. 9].

ЛИТЕРАТУРА

1. АЖНО (Ассоциация «Женщины в науке и образовании») или Российские женщины в борьбе за сохранение отечественного интеллекта. / Под редакцией Н.А. Винокуровой. -М: Прогресс-Традиция. 2008. - 336 с.

2. Эйнштейн А. Мир, каким я его вижу. - М: ACT, 2014. - 223 с. (Гордость человечества) (Albert Einshtein. The World As I See It).

3. Буданов В.Г. О том, что устроили «Женщины в науке и образовании» мужчинам от науки в городе Пущино // Газета «Госпожа Удача». 1997. № 1. С. 9.

Поступила 05.09.2018

ABOUT THE BENEFIT OF CHANGE OF PERSPECTIVE (TO THE 25TH ANNIVERSARY OF THE MCE CONFERENCES)

I. S. Yemelyanova

The article is timed to the 25th anniversary of interregional conferences “Mathematics. Computer. Education”.

Keywords: interdisciplinary conferences, conference “Mathematics. Computer. Education” , the association “Women in Science and Education”.

ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ. ПЕРСОНАЛИИ

УДК 51 + 929

МАЛОИЗВЕСТНАЯ СТРАНИЦА ИСТОРИИ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБЩЕСТВА

А.А. Лодкин

Санкт-Петербургский государственный университет Россия, г. Санкт-Петербург, 198504, Старый Петергоф, Университетский пр., дом 28; e-mail: alodkin@gmail.com

Публикуемый документ, свидетельствующий о попытке воссоздания Ленинградского математического общества в 1930-е годы, дополняет картину непростых взаимоотношений учёных и власти в СССР.

Ключевые слова: Санкт-Петербургское математическое общество, Ленинградское математическое общество, история математики, Н.М. Гюнтер, А.Р. Кулишер.

Возникшее в 1890 году Санкт-Петербургское математическое общество, хронологически бывшее третьим в России, после московского и харьковского, прерывало свою работу несколько раз. О трёх периодах работы Общества рассказано в статьях [1, 2].

Причиной первого перерыва была тяжёлая обстановка в стране, вызванная Первой мировой войной и революциями 1917 года. В условиях, когда на первый план выходила проблема добывания хлеба насущного, деятельность Общества тогда тихо сошла на нет. Воссозданное после окончания Гражданской войны в 1921 году, оно стало работать очень успешно. Большую активность проявляли входившие в его состав замечательные математики (напомним, что в то время Академия наук и Математический институт находились в Петрограде). В 1924-25 гг. ленинградские математики публиковали свои работы в основном в московском «Математическом сборнике», благодаря содействию введённого в его редколлегию В.А. Стеклова. Это был шаг к смягчению традиционной конфронтации математических школ двух столиц. В 1926 г. В.А. Стеклов основал и ленинградский «Журнал Ленинградского физико-математического общества». Создались предпосылки для нормализации научной и, в частности, математической жизни.

Однако к середине десятилетия обстановка изменилась к худшему. Отпраздновавшая свое 200-летие Академия наук была перестроена и превратилась из республиканской во всесоюзную, подчинённую СНК СССР. Таким образом, быстрыми темпами строилась вертикаль власти, в результате чего власть получила возможность вторгаться в научную жизнь. Постепенное изменение общественного и научного климата в стране к концу 20-х годов

0 Поддержано грантом РФФИ № 17-01-00433.

способствовало всё более частым прямым нападкам на многих ведущих учёных со стороны их менее успешных, но «классово близких» власти коллег, что ею поощрялось. Первым эти нападки почувствовало Московское математическое общество. В 1929 году его президент член-корреспондент Академии наук Дмитрий Фёдорович Егоров был подвергнут гонениям за религиозные убеждения. В 1930 году он был арестован, а в 1931 г. после голодовки умер в казанской тюрьме. С этого времени не оставалось места даже намёкам на идеологическое инакомыслие.

В период «реконструкции» тучи стали сгущаться и над Ленинградским математическим обществом. Начались «бои на математическом фронте» [3]. На выборах в Академию столкнулись группы «правых», сторонников президента Ленинградского физико-математического общества (ЛФМО) Николая Максимовича Гюнтера (к ним причисляли также В.И. Смирнова и Г.М. Фихтенгольца), и «левых», которые поддерживали выдвинутого многими советскими учреждениями и организациями Ивана Матвеевича Виноградова. За поражением Гюнтера последовали бурные дискуссии в Академии и университете. Левые, ведомые Л.А. Лейфертом, А.Д. Дроздом и А.Р. Кулишером, объединились в «Общество математиков-материалистов при Ленинградском отделении Коммунистической академии (ЛОКА)». В марте 1931 г. инициативная группа выступила с пространной декларацией по реорганизации ЛФМО, в которой её участники осудили «группу Гюнтера», «проводившую в жизнь лозунги независимой от идеологии чистой математики». О накале противостояния и драматизме обстановки можно догадаться, прочитав список математиков, подписавших эту декларацию. Не хочется приводить его здесь: слишком много в нем имён самых уважаемых ленинградских математиков, которых не смог обезопасить даже переход на примиренческую позицию.

Под оказываемым давлением, уже зная судьбу Д.Ф. Егорова, Н.М. Гюнтер был вынужден в письме в газету «Ленинградский университет» признать свою неудачу в установлении «связи его [ЛФМО] деятельности с нуждами социалистического строительства» и свою непригодность к занятию руководящих постов: он отказался от кафедры в университете и от поста председателя ЛФМО (от своего поста, «идейно разоружившись» на диспуте, был вынужден отказаться также «пропагандист чистой и свободной науки» заведующий кафедрой математики Педагогического института им. Герцена профессор С.А. Богомолов). Ленинградское физико-математическое общество фактически самораспустилось.

Принято считать, что после этих событий общественная жизнь ленинградских математиков (если не считать таковой пропаганду в советских учреждениях лозунга «Математику на службу социалистическому строительству и обороне страны») надолго замерла, возобновившись лишь после войны, когда в 1953 году В.И. Смирновым был организован Ленинградский общематематический семинар при Доме Учёных. После долгих мытарств этот семинар был преобразован, благодаря тогдашнему ректору ЛГУ А.Д. Александрову, в ЛМО при Ленинградском университете [1]. Однако недавно удалось обнаружить документ, который свидетельствует о том, что еще до войны пред-

принимались первые попытки воссоздания Общества.

Оказывается, в январе 1937 г. в НИИ Математики и Механики при ЛГУ было проведено совещание, на котором было принято решение обратиться в Наркомпрос1 за разрешением об организации Ленинградского математического общества. Мы ниже приводим этот документ.

Может вызвать недоумение, что председательствовал на этом совещании один из организаторов былых гонений на ведущих ленинградских математиков А.Р. Кулишер. Дело в том, что этот не оставивший в математике заметного следа2 «красный профессор» являлся в 1932 - 1937 годах директором НИИММ и непосредственным начальником основавшего (в 1932 г.) институт

1 Народный комиссариат просвещения РСФСР.

2 А.Р. Кулишер - автор статей в области элементарной математики и методики преподавания математики. Перевел ряд трудов европейских математиков.

академика В.И. Смирнова: Владимир Иванович был всего лишь его заместителем по научной работе3. Таковы были правила игры.

Очевидно, что эта попытка воссоздания Общества успеха не имела. Для А.Р. Кулишера 1937 год ознаменовался исключением из ВКП (б) «за притупление классовой бдительности» и высылкой в г. Киров. Адресат документа директор Наркомпроса А.С. Бубнов, имя которого к тому же в то время носил Ленинградский университет, был в сентябре 1937 г. арестован и в августе 1938 г. расстрелян.

ЛИТЕРАТУРА

1. Вершик А.М. О Ленинградском математическом обществе // Труды Ленинградского математического общества. 1990. Т. 1. С. 4-8.

2. Лодкин А.А. О Санкт-Петербургском математическом обществе // Математика в высшем образовании. 2015. Т. 13. С. 211-212.

3. На ленинградском математическом фронте. - М.-Л., 1931. - 44 с.

Поступила 11.09.2018

ST. PETERSBURG MATHEMATICAL SOCIETY: AN UNKNOWN PAGE OF THE HISTORY

A. A. Lodkin

A document witnessing about attempt to reestablish the mathematical society in Leningrad (then was St. Petersburg) in 1937 complements the picture of the difficult relationship between science and authorities in the USSR.

Keywords: St. Petersburg mathematical society, Leningrad mathematical society, history of mathematics, N.M. Günter, A.R. Kulisher.

3 Позже, в том же 1937 г., В.И. Смирнов стал директором НИИММ и оставался в этой должности до 1952 г. В 1988 г. институту было присвоено его имя. В 1990-е годы, вследствие реорганизации структуры университета, НИИММ фактически прекратил свое существование, хотя приказа о его ликвидации никогда не было.

ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ. ПЕРСОНАЛИИ

УДК 519

ИММИГРАЦИЯ В СССР В 1929-1936 ГОДАХ: ПРОФИЛИ МАТЕМАТИКОВ

В. П. Одинец

Санкт-Петербург, Россия; e-mail: w.p.odyniec@mail.ru

Описаны жизнь и творчество Стефана Кон-Фоссена (1902-1936) и Абрама Плеснера (1900-1961).

Ключевые слова: Стефан Кон-Фоссен, овалоиды, внутренняя геометрия, Абрам Плеснер, теорема Плеснера о тригонометрическом ряде, спектральная теория линейных операторов.

Мы остановимся на судьбе только двух математиков, приехавших в СССР в 1929 - 1936 годы и оставшихся в СССР: это восходящая звезда в геометрии Стефан Кон-Фоссен и внесший значительный вклад в теорию тригонометрических рядов и спектральную теорию линейных операторов Абрам Плеснер. Отметим, что математиков, приехавших в СССР в это время, было больше тех четверых, которых пригласил в СССР Г. Мюнтц [1] - [3]1.

1. Стефан Кон-Фоссен (Stephan Cohn-Vossen) родился 28 мая 1902 г. в Бреслау (ныне г. Вроцлав, Польша) в семье еврейского предпринимателя

Эммануила Кон-Фоссена (Emmanuel Cohn-Vossen). Нам неизвестны подробности детства Стефана (когда ему было 12 лет, началась Первая мировая война), но известно [4], что учился он в средней школе с 1911 по 1920 г. и по её окончании поступил в университет города Бреслау. Учебный год 1921-1922 он провёл в Гёттингене и снова вернулся в Бреслау [4]. В университете г. Бреслау руководителем его диссертационной работы «Особые точки веществен-

1 Например, в [1], с. 196-197, Г. Лорентц упоминает ещё двух математиков. Это живший в СССР в 1935 - 1937 гг. экс-чемпион мира по шахматам Эммануэль Ласкер (1868-1941), бывший сотрудником Математического института АН СССР. Ласкер родился в городке Берлинхен (ныне Барлинек, западная Польша), в 1901 г. он защитил в Эрлангене диссертацию «О рядах на границе сходимости» [5] под руководством Макса Нётера, отца Эмми Нетер и Фрица Нётера (см. [2]). Наиболее известна теорема Ласкера о существовании примарного разложения в кольцах многочленов [6], обобщённая в 1921 г. Эмми Нетер [7]. Другим математиком, приехавшим в СССР, был родившийся в Праге и учившийся в Карловом университете в 1910-1913 гг. (в том числе у А. Эйнштейна, преподававшего там математику) Эрнест Кольман (Arnost Kolman, 1892-1979). Его творчество в области математики - популяризация математики и её истории (вполне полезное для страны, где люди стремятся к знаниям) - под влиянием ложных догматов, введённых Лениным и Сталиным в философию, сопровождалось (зачастую из конъюнктурных соображений) нападками на математиков (Н.Н. Лузина, С.А. Богомолова и др.), профессионально сформировавшихся до 1917 года (см. [8], [9]).

ного однолистного семейства кривых, дифференциальное уравнение которого задано»2 с июля 1924 г. стал профессор Адольф Кнезер (Adolf Kneser, 1862-1930)3. После защиты диссертации С. Кон-Фоссен поехал в Гёттинген. Там в 1927 г. появилась его первая работа по проблемам изгибания поверхностей «в целом»: «Особенности выпуклых поверхностей» [10].

Во второй статье [11] того же года Кон-Фоссен доказал, что любая замкнутая выпуклая поверхность со всюду положительной кривизной (называемая овалоидом4) не допускает изометрических отображений кроме движений. Добавим, что поверхность, не допускающую бесконечно малых изгибаний кроме движений, называют жёсткой. Второй результат, доказанный Кон-Фоссеном в [11] - изометричные овалоиды конгруэнтны, т. е. овалоиды не допускают изометрических отображений кроме движений. Отсюда можно доказать, что, если из любого овалоида вырезать любой кусок, то он становится нежёстким. На этот результат обратил внимание А.Д. Александров в своём обзоре [12] работ Кон-Фоссена.

Наконец, в работе [13] 1929 года Кон-Фоссен доказывает существование замкнутых нежёстких поверхностей (без плоских кусков)5.

Другой замечательный результат в той же работе Кон-Фоссена: всякая замкнутая поверхность вращения есть предел последовательности нежёстких поверхностей вращения.

На основе этих трёх статей, а также статьи [14] 1928 года, где изучаются изгибания поверхностей «в малом», в 1929 году Кон-Фоссен защищает вторую диссертацию (хабилитируется) в университете Гёттингена. В это же время, учитывая значение творчества Кон-Фоссена для геометрии, Давид Гильберт, преподававший в Гёттингене, выбирает его для совместной работы над книгой «Наглядная геометрия» [15], основанной на лекциях, прочитанных Гильбертом в Гёттингене в 1921 году. Эта книга опубликована в Германии в 1932 году, а в 1936 году выходит её первое издание на русском языке.

В 1930 году Кон-Фоссен становится приват-доцентом университета в Кёльне. В это время в Европе, да и в Америке, бушевал сильнейший экономический кризис, начавшийся биржевым крахом 24 октября 1929 года. На этом фоне в Германии резко выросла поддержка идей национал-социализма. 30 января 1933 года Гитлер назначается рейхсканцлером Веймарской республики - начинается открытый переход к фашистской диктатуре6.

2 «Singulare Punkte reeller, schlichter Kurvenscharen, deren Differentialgleichung gegeben ist».

3 Руководителями диссертационной работы А. Кнезера были Кронекер и Куммер. Интересно, что в 1889 г. Кнезер едет на несколько лет в Россию и становится экстраординарным профессором в Дорпате (ныне Тарту, Эстония).

4 Чтобы представить себе овалоид, достаточно взять любую замкнутую строго выпуклую поверхность, даже с острыми углами, и обкатить шаром любого радиуса - граница нового тела и будет овалоидом. При этом очевидно, что любую строго выпуклую замкнутую поверхность можно аппроксимировать овалоидами.

5 Если поверхность содержит плоский кусок, то она всегда нежёсткая [12].

6 Уже 20 марта 1933 года создаётся концлагерь Дахау около Мюнхена для содержания политически неугодных лиц. Закон «О восстановлении профессионального чиновничества» от 7 апреля 1933 г. позволил не только уволить «неарийских» чиновников, но начать изгонять преподавателей-евреев из университетов.

В конце весны 1933 года Кон-Фоссен был уволен из Кёльнского университета. Он успевает ещё послать заметку [16] по внутренней геометрии поверхностей в журнал Французской академии наук, положившую начало циклу его работ по этой тематике. Сам же Кон-Фоссен едет в Швейцарию, вначале в Локарно, а затем в Цюрих, где в 1933/34 учебном году работает учителем математики в одной из школ. Благодаря переписке с Мюнтцем (см. [2]) Кон-Фоссен принимает решение эмигрировать в СССР.

С осени 1934 года Стефан Эммануилович Кон-Фоссен (так его называют в СССР) становится профессором Ленинградского государственного университета им. А.С. Бубнова7. Одновременно он становится сотрудником («ученым специалистом») Математического института им. В.А. Стеклова АН СССР и Научно-исследовательского института при математико-механическом факультете ЛГУ. В последнем он возглавляет группу, занимавшуюся дифференциальной геометрией, в которую, кроме него, входил Онуфрий Константинович Житомирский8 (1891-1942).

После работы [13], о которой речь была выше, в 1935 году Кон-Фоссен посылает статью «Кратчайшие пути и полная гауссова кривизна на поверхностях» в основанный Л.Я. Брауэром9 в Нидерландах новый журнал «Compositio Mathematica» (т. 2, с. 69-133). В этой работе Кон-Фоссен получил знаменитый результат: полная поверхность со всюду положительной гауссовой кривизной гомеоморфна или сфере, или проективной плоскости, или евклидовой плоскости.

В том же году выходят две статьи Кон-Фоссена в ДАН СССР: «О существовании кратчайших путей» (т. 3(8), 8, с. 339-342) и «Полные римановы пространства положительной кривизны» (т. 3(8), 9, с. 387-389), в которых изучена связь между топологическими свойствами поверхности, её полной кривизной и поведением геодезических линий на ней. В следующей работе «Существование кратчайших путей» («Compositio Mathematica», 1936, т. 3, s. 441-452) даны подробные доказательства изложенных в ДАН результатов.

Автобиография Кон-Фоссена, написанная им 8 июля 1924 г. в Бреслау

7 ЛГУ носил имя наркома просвещения РСФСР А.С. Бубнова с апреля 1933 г. по октябрь 1937 г.

8 Отметим, что О.К. Житомирский в 1939 г. публикует работу «О несгибаемости овалоидов» (ДАН, 25, с. 347-349), развивающую идеи статьи Кон-Фоссена [11].

9 Лейтзен Ян Брауэр (Luitzen Egbertus Jan Brouwer, 1881-1966), создатель интуиционизма. Ввёл понятия симплициальной аппроксимации и гомотопической классификации отображений. Ему же принадлежит знаменитая теорема о неподвижной точке (1911).

В работе [17] для полной поверхности, гомеоморфной евклидовой плоскости, называемой римановой плоскостью, Кон-Фоссен получает, в частности:

а) Если на римановой плоскости В есть прямая10, то В не может иметь всюду положительную полную кривизну.

б) Две полные геодезические со всюду положительной кривизной на римановой плоскости всегда пересекаются.

Сравнительно короткие статьи «Аппроксимативная теорема синусов для маленького треугольника на изогнутой поверхности» («Compositio Mathematiса», 3 (1936), с. 52-54) и «Коллинеации11 n-мерных пространств» (Math. Ann. (1937), с. 80-86) фактически закрывают список публикаций Кон-Фоссена12.

В феврале 1936 года Кон-Фоссен, будучи в Москве, простудился, началось воспаление легких, и 25 июня того же года он умер. Из некролога в УМН (1936, т. 1, № 5): «25 июня с. г. после продолжительной и тяжелой болезни скончался в Москве один из наиболее выдающихся современных геометров С.Э. Кон-Фоссен... Смерть застигла С.Э. Кон-Фоссена в расцвете его творческой деятельности».

Некоторые вопросы, поставленных Кон-Фоссеном, были решены, кроме упомянутого выше О.К. Житомирского, Сергеем Пантелеймоновичем Оловянишниковым (1910-1941)13 и Александром Даниловичем Александровым (1912-1999).

2. Абрам Плеснер (Abraham Ezechiel Plessner) родился в г. Лодзь (Российская Империя, ныне Польша) 13 февраля 1900 года в богатой еврейской семье фабриканта текстиля Иезекииля Плеснера (Ezechiel Plessner). Мать - Мария Некрич (Marie Nekritsch) ([18], s. 533-534). Первоначально (с 1909 г.) Абрам учился в русской гимназии. После занятия Лодзи немцами в конце 1914 г. основным языком в гимназии стал немецкий, а в последнем классе гимназии (в 1918/19 г.) - польский.

В 1919 году А. Плеснер поступает в университет города Гиссен и учится под руководством профессоров Людвига Шлезингера (Ludwig Schlesinger, 1864-1933)14 и Фридриха Энгеля (Friedrich Engel, 1861-1941)15. После трёх семестров в Гиссене, Плеснер едет в Гёттинген,

10 Полной геодезической линией называется геодезическая линия, бесконечно продолженная в обе стороны. Прямой называется полная геодезическая, каждый отрезок которой есть кратчайшая линия между его концами.

11 Коллинеацией называют проективное преобразование проективного пространства, представимое в виде произведения конечного числа перспектив.

12 Не считая перевода статьи [13].

13 Погиб на Ленинградском фронте в декабре 1941 г. Его работы сохранила во время блокады Ленинграда его жена. Изданы после войны А.Д. Александровым.

14 Основные работы Л. Шлезингера связаны с теорией функций, теорией дифференциальных уравнений, геометрией. В 1909 г. он был удостоен премии имени Н.И. Лобачевского (вручена в 1912 г.).

15 Ф. Энгель - ученик Ф. Клейна, с 1899 г. - чл.-корр. Петербургской АН, основные работы - по неевклидовой геометрии, группам преобразований, дифференциальной геометрии.

где с мая по август слушает лекции по теории Галуа у Эдмунда Ландау (1877-1938), по алгебраическим числовым полям - у Эмми Нетер (1882-1935), а по вариационному исчислению - у Рихарда Куранта (1888-1972) [19].

Зимой 1921/22 года Плеснер учится в Берлине, посещая лекции Рихарда фон Мизеса (1883-1953) по дифференциальным и интегральным уравнениям и Людвига Бибербаха (1886-1982) по дифференциальной геометрии [19]. Возвратившись в Гиссен во второй половине 1922 года, Плеснер защищает первую диссертацию: «К теории сопряжённых тригонометрических рядов»16, написанную под руководством Л. Шлезингера и Ф. Энгеля.

Последующие 6 лет (до 1928 года) Плеснер живёт в Марбурге, редактируя вместе с профессором местного университета Куртом Хензелем (1861-1941)17 избранные труды Леопольда Кронекера (1823-1891). В своей работе «О сходимости тригонометрических рядов»18 (1925) Плеснер доказывает теорему, называемую теперь теоремой Колмогорова-Селиверстова-Плеснера (или просто теоремой Плеснера19), а в статье «О поведении аналитических функций на границе их области определения»20 определяет на границе единичного круга точки, называемые ныне точками Плеснера. (Подробнее о точках Плеснера см., например, в [20].)

Вместе со своим учителем Л. Шлезингером в 1926 г. А. Плеснер издаёт книгу «Интегралы Лебега и ряды Фурье»21. В 1928 г. Плеснер возвращается в Гиссен, становясь ассистентом Шлезингера. В феврале 1929 года Плеснер подаёт в университет Гиссена свою вторую диссертацию (хабилитационную работу), 54-страничный манускрипт «О суммируемости тригонометрических рядов арифметическими средствами»22. Несмотря на положительный отзыв математиков, сенат университета отклоняет возможность защиты под тем предлогом, что у Плеснера нет немецкого гражданства23, хотя он жил в Германии уже 20 лет. Истинной причиной отказа в хабилитации был антисемитизм руководства университета [18].

Летом 1929 года Плеснер едет в Берлин, надеясь там поправить своё финансовое положение. Разразившийся в конце октября экономический кризис

16 Zur Theorie der konjugierten trigonometrischen Reihen // Mitteil. d. Math. Sem. d. Uniw. Giessen. 1923, 10, s. 1-36.

17 K. Хензель (Kurt Hensel), ученик Леопольда Кронекера, известен своими работами по р-адическим числам, впервые описанным им в 1897 г. Издатель избранных трудов Л. Кронекера в 5 томах.

18 Uber die Konvergenz von trigonometrischen Reien // Journ. Rein, und Angew. Math. 1925. Bd. 155. S. 15-25.

19 Теорема Плеснера: Если тригонометрический ряд сходится всюду на множестве А положительной меры, то его сопряжённый ряд сходится почти везде на А.

20 Uber das Verhalten analitischer Functionen am Rande ihres Definitionsbereichs // Journ. Rein, und Angew. Math. 1927. Bd. 158. S. 219-228.

21 Schlesinger L., Plessner A. Lebesguesche Integrale und Furiersche Reihen. - Berlin: Walter de Gruyter GmbH, 1926. -226 s.

22 Uber Summirbarkeit der trigonometrischen Reien durch arithmetische Mittel. Этот манускрипт не был никогда напечатан. Некоторые результаты из него появились в справочнике: Plessner A. Trigonometrische Reihen Pascals. “Repertorium der h?heren Analysis”. Bd.l. -Leipzig und Berlin, 1929., и в статье «О сопряжённых тригонометрических рядах» в ДАН СССР, 4, (1935), с. 235-238.

23 Осталось старое российское гражданство.

ставит крест на этих усилиях. Летом 1931 года Абрам Плеснер решается эмигрировать в СССР.

Благодаря знанию русского языка Плеснер с февраля 1932 года начинает чтение в МГУ им. М.В. Ломоносова лекций, пользующихся большой популярностью у студентов. Одновременно с 1934 г. и до 1949 г. Плеснер работает в Математическом институте им. В.А. Стеклова АН СССР.

В июне 1934 года в составе московской делегации Плеснер участвует в работе Второго Всесоюзного математического съезда в Ленинграде. По своим научным интересам Плеснер до 1936 г. входит в круг Николая Николаевича Лузина (1883-1950). С осени 1934 года он вместе с Лазарем Ароновичем Люстерником (1899-1981)24 начинает вести один из первых в СССР научных семинаров по функциональному анализу25, популяризируя идеи Стефана Банаха (1893-1945) по теории линейных операторов26, с которыми он познакомился ещё до приезда в СССР. Спектральный анализ операторов становится основной темой его дальнейшего научного творчества.

В 1935 году Абраму Иезекииловичу Плеснеру без защиты диссертации присваивается степень доктора физико-математических наук, а в 1938 году -звание профессора. На 30-е годы приходится и женитьба А.И. Плеснера. В 1935 году вышла единственная работа Плеснера по теории вероятностей27, обобщившая результат А.Я. Хинчина (Comptes Rendus, t. 188 (1929), p. 477) и дающая критерий для применимости закона больших чисел с использованием одних первых моментов.

С 1939 года выходят работы Плеснера по спектральному анализу максимальных операторов (ДАН, 22 (1939), с. 225-228; ДАН, 26 (1940), с. 10-12), полуунитарных операторов (ДАН, 23 (1939), 708-710), эрмитовых операторов (УМН, 1:1(11) (1946), 192-216).

В октябре 1941 г. Плеснеры эвакуируются в Казань вместе с Математическим институтом АН СССР. Возвращаются они в Москву в начале 1944 года.

В 1941 и в 1946 годах вышла в двух частях (вторая часть - в соавторстве с В.А. Рохлиным) знаменитая статья «Спектральная теория линейных операторов» (УМН, 9 (1941), с. 3-125; УМН, 1:1(11), (1946), с. 71-191).

В 1948 году А.И. Плеснер начинает работу над книгой «Спектральная теория линейных операторов». Начавшаяся в СССР «борьба с космополитизмом» приводит к увольнению Плеснера вначале из МГУ (конец 1948 г.), а через полгода и из Математического института АН СССР. Одиннадцать лет

24 Люстерник был практически земляком Плеснера - родился в том же воеводстве, в г. Здуньска-Воля в 50 км от Лодзи; учился в МГУ. С 1936 г. заведовал в МГУ первой в СССР кафедрой функционального анализа, и, вслед за Плеснером, стал читать курс функционального анализа.

25 Профессор Владимир Абрамович Рохлин (1919-1984), будучи со студенческих лет участником этого семинара, восхищался умением А. Плеснера кратко и понятно выразить то, что докладчик зачастую объяснял длинно и путанно. Об этом В.А. Рохлин говорил и автору статьи (автор был его дипломником), и редактору книги А. Плеснера [22] Б.М. Макарову.

26 Книга С. Банаха «Теория линейных операторов» на польском языке появилась ещё в 1931 г. (S. Banach. Teorja operacyj, Tom I. Operacje liniowe. - Warszawa: Kasa im. Mianowskiego, 1931. - VIII+236 s.).

27 Plessner A. Über das Gezetz der grossen Zahlen // Мат. сб. Т.1(43), №2 (1936), с. 165-168.

(до оформления пенсии в марте 1960 г.) Плеснер нигде постоянно не работает. Единственным источником средств к существованию становятся случайные переводы и заработок жены Нины Андреевны Плеснер. Он с трудом ходит -даёт себя знать операция на колене в 1922 году в Берлине, когда он пролежал в госпитале больше полугода. Посетившие Плеснеров в конце 50-х годов иностранцы поражены были бедностью их семьи [19].

18 апреля 1961 года, когда страна ещё праздновала успешный полёт Ю.А. Гагарина, Абрама Иезекииловича Плеснера не стало. Его жена умерла 21 год спустя (1982). Детей у них не было ([18], с. 533).

Вскоре после смерти А.И. Плеснера, благодаря инициативе и настойчивости В.А. Рохлина, называвшего себя его учеником ([21], с. 520-521), редакцией физико-математической литературы издательства «Наука» была принята к печати оставшаяся после Плеснера рукопись книги «Спектральная теория линейных операторов» [22]. По предложению Рохлина и под его контролем некоторые незавершенные параграфы последних трёх глав книги дописал Л.М. Абрамов (1931-1995)28, а редактором книги был назначен Б.М. Макаров; по словам Б.М. Макарова, Рохлин тщательно просматривал отредактированные главы. Книга была опубликована в 1965-м году, а в 1969-м она была переведена на английский язык.

Среди тех, кто учился у А.И. Плеснера и на кого он оказал особое влияние, следует назвать Израиля Моисеевича Гельфанда (1913-2009).

В заключение автор благодарит профессора Б.М. Макарова за ценные замечания, учтённые автором, а профессоров Збигнева Липецкого (Вроцлав) и Жака Сезиано (Лозанна) за помощь в получении автобиографии С. Кон-Фоссена и в её расшифровке.

ЛИТЕРАТУРА

1. Lorentz G.G. Mathematics and Politics in the Soviet Union from 1928 to 1953 // Journal of Approx. Theory. 2002. V. 116. P. 169-223.

2. Одинец В.П. Иммиграция в СССР в 1929-1936 гг.: профили математиков. Ч.1. // Вестник Сыктывкарского университета. Сер. 1. 2018. Вып. 1(26). С. 84-104.

3. Одинец В.П. Арнольд Вальфиш - жизнь вопреки стереотипам (к 125-летию со дня рождения) // Математика в высшем образовании. 2016. №14. С. 105-112.

4. Автобиография, написанная С. Кон-Фоссеном (Бреслау, 08.07.1924). Архив Вроцлавского университета. (Список защищенных диссертаций, с необходимыми документами, в хронологическом порядке.)

5. Lasker Е. Uber Reihen auf der Konvergenzgrenze // Philos. Transact, of the Royal Soc. of London. Series A. 1901. V. 196. P. 431-477.

6. Lasker E. Zur Theorie der Moduln und Ideale // Math. Ann. 1905. T.60. S. 19-116.

7. Noether E. Idealtheorie in Ringbereichen // Math. Ann. 1921. T. 83(1). S. 24-66.

8. Дело академика Николая Николаевича Лузина (Отв. ред. С.С. Демидов и Б.В. Левшин). - СПб.: РХГИ, 1999. - 312 с.

28 Лев Михайлович Абрамов, первый аспирант ВА. Рохлина, переехал в Ленинград в 1959 г. и с 1960 г. стал работать на новообразованной кафедре экономико-математических расчётов (экономической кибернетики) экономического факультета ЛГУ. Борис Михайлович Макаров к моменту начала работы над книгой Плеснера был ассистентом кафедры математического анализа математико-механического факультета ЛГУ им. А.А. Жданова (имя А.А. Жданова ЛГУ носил с 1946 по 1989 гг.).

9. Kolman E. Мы не должны были так жить. (We Should Not Have Lived That Way).-New York: Chalidze Press, 1982. - 302 c.

10. Cohn-Vossen S. Singularitäten konvexer Flächen // Math. Ann. 1927. T. 97. S. 377-386.

11. Cohn-Vossen S. Zwei Sätze Uber die Starrheit der Eiflächen // Göttinger Nachrichten. 1927. S. 125-134.

12. Александров А.Д. О работах С.Э. Кон-Фоссена // УМН. 1947. Т. 2. Вып. 3(19). С. 107-141.

13. Cohn-Vossen S. Unstarre geschlossene Flächen // Math. Ann. 1929. T 102. S. 10-29. (Кон-Фоссен С.Э. Нежёсткие замкнутые поверхности // УМН. 1954. Т.9. Вып. 1(9). С. 63-81).

14. Cohn-Vossen S. Die parabolische Kurve (Beitrag zur Geometrie der Berührungstrans-formationes der partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung und der Flächenverbiegung) // Math. Ann. 1928. T. 99. S. 273-308.

15. Hilbert D., Cohn-Vossen S. Anschauliche Geometrie. - Berlin: Verlag von Julius Springer, 1932. (Д. Гильберт, С. Кон-Фоссен. Наглядная геометрия. - M.: ОНТИ НКТП СССР, 1936. - 302 с.)

16. Cohn-Vossen S. Sur la courbure totale des surfaces ouvertes // Comp. Rend. Acad. Sei. Paris. 1933. V. 197. P. 1165-1167.

17. Cohn-Vossen S. Totalkrümmung und geodätische Linien auf einfachzu-sammenhängenden offenen vollständigen Flächenstücken // Матем. сб. (новая серия). 1936. T 1(43). №2. С. 139-164.

18. Neue Deutsche Biographie. (Plessner Abracham.) Band 20. - Berlin: Duncker&Humblot, 2001.

19. O'Connor J.J., Robertson E.F. Abracham Ezechiel Plessner. http://www-history.msc.st-andrews.ac.uk/Biographies/Plessner.html

20. Берберян С.Л. О некоторых типах граничных точек гармонических функций // Известия вузов. Математика. 2014. №5. С. 3-11.

21. Вершик А.М. Воспоминания о В А. Рохлине / В книге: В А. Рохлин. Избранные работы. (Изд. второе, под ред. А.М. Вершика). - М.: Изд-во МЦМНО, 2010. С. 517-545).

22. Плеснер А.И. Спектральная теория линейных операторов. - М.: Наука, 1965. - 625 с.

Поступила 05.09.2018

THE 1929 - 1936 IMMIGRATION ТО THE USSR: PROFILES OF MATHEMATICIANS

W. P. Odyniec

The life and work of two mathematicians Stephan Cohn-Vossen (1902-1936) and Abraham Plessner (1900-1961) are discussed.

Keywords: Stephan Cohn-Vossen, ovaloids, intrinsic geometry, Abraham Plessner, Plessner's theorem upon trigonometrical series, spectral theory of linear operators.

ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ. ПЕРСОНАЛИИ

УДК 51(091)+ 51:061.2/.3

СТО ДОКЛАДОВ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ НА СЕМИНАРЕ В САНКТ-ПЕТЕРБУРГЕ

В. П. Одинец1, Г. И. Синкевич2

1 Санкт-Петербург, Россия e-mail: W.P.Odyniec@mail.ru 2 Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет Россия, 190005, г. Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская ул., д.4; e-mail: Galina.sinkevich@gmail.com

Сообщение о пятилетней деятельности Санкт-Петербургского семинара по истории математики.

Ключевые слова: история математики, семинар, Санкт-Петербург.

Наш семинар начал работу в Петербургском отделении математического института имени В.А. Стеклова РАН 2 октября 2013 г., с тех пор ежемесячно по первым четвергам в течение учебного года проходят доклады, видеозаписи и сопутствующие материалы (ppt, pdf) которых можно посмотреть на сайте семинара http://www.mathnet.ru/conf504. Каждому докладчику предоставляется, как правило, 45 минут. Семинар посещают вузовские преподаватели математики, исследователи истории математики, аспиранты и студенты.

На данный момент момент (08.09.2018) уже состоялось 100 докладов (считая заседание 06.02.2014, посвященное обсуждению докладов). Все доклады условно можно разделить на следующие группы (в скобках указано количество докладов):

доклады, посвящённые истории математических теорий и идей (28); история научных школ (5);

научные биографии и история идей отдельных математиков (43); история математики и математического образования в отдельных регионах (3);

история математических артефактов (5);

историография и методология истории математики (10);

история математики в учебных заведениях (1);

феномены социальной истории математического сообщества (4).

Всего на семинаре выступили 56 докладчиков. Приведём географию авторов докладов: 37 человек из Санкт-Петербурга, 6 - из Москвы, 2 - из Оренбурга, по одному из Коврова, Нижнего Новгорода, Ростова-на-Дону, Петрозаводска. Из других стран: из Польши (Краков, Познань) - 2, по одному докладчику из Азербайджана (Баку), Франции (Тулуза), Швейцарии (Лозанна), Финляндии (Хельсинки), Германии (Саарбрюккен).

Ниже приводится список докладов в соответствии с введённым выше разбиением их по тематике.

Доклады, посвящённые истории математических теорий и идей:

1. История теоремы Ролля. - Г.И. Синкевич. 03.10.2013.

2. К 100-летию открытия полиномов Бернштейна. B.C. Виденский. 07.11.2013.

3. Леонард Эйлер и теория кораблестроения. - Л.В. Коновалова. 06.02.2014.

4. История понятия числовой прямой. - Г.И. Синкевич. 06.03.2014.

5. Проблема меры Анри Лебега и первые её решения. - Л. И. Брылевская. 03.04.2014.

6. От наивного бесконечно малого к аксиоматическому нестандартному анализу. - Ю.Н. Ловягин. 05.06.2014.

7. Общая теория дифференциальных уравнений с частными производными в XIX-XX столетиях: диалектика концептуального развития. - С.С. Демидов. 06.11.2014.

8. Основные концепции финансовой математики в 20-21 веке. - Я.И. Белопольская. 04.12.2014.

9. Возникновение в XIV веке финансовой математики и формирование категории риска на материале торговых книг эпохи позднего Средневековья и Возрождения. - Г.И. Синкевич. 04.12.2014.

10. Об истории применения теории графов для целей хозяйствования и культуры. - В.П. Одинец. 05.03.2015.

11. История развития задачи нелинейной оптимизации с ограничениями в XVIII-XIX веке. - А.В. Петрова. 02.04.2015.

12. История языка эпсилон-дельта от Коши до Вейерштрасса. 200-летию со дня рождения Вейерштрасса посвящается - Г.И. Синкевич. 04.06.2015.

13. История метода сходящихся последовательностей или метода вложенных отрезков от Архимеда до Кантора. - Г.И. Синкевич. 01.10.2015.

14. Закон взаимности - история и современное состояние. - C.B. Востоков. 05.05.2016.

15. История линейного программирования в нашей стране и в США как приложение структурной формулы В.Я. Проппа (1895-1970) решения трудной задачи. - В.Б. Кирьянов. 01.09.2016.

16. История расширения числовой области. - Ж. Сезиано. 06.10.2016.

17. К истории центральной предельной теоремы. И.А. Ибрагимов. 02.03.2017.

18. О вероятности взаимной простоты двух наугад выбранных натуральных чисел (задача Чебышева и ее история). - Я.Ю. Никитин, С.М. Абрамович. 06.04.2017.

19. История построения правильных многоугольников с помощью циркуля и линейки от Евклида до Гаусса. - Ж. Сезиано. 04.05.2017.

20. Последняя геометрическая теорема Пуанкаре: история и драма идей. -А.Н. Кириллов. 07.09.2017.

21. Прогулки с Эйлером. Задача обхода шахматным конём досок различной формы. - Ж. Сезиано. 05.10.2017.

22. История комплексных чисел и их геометрических представлений. -Г.И. Синкевич. 04.01.2018.

23. Бикомплексные и гиперкомплексные числа и их приложения. Краткая история. - В.Б. Кирьянов. 04.01.2018.

24. Краткая история проблемы Варинга. - Ж. Сезиано. 01.03.2018.

25. История функционального уравнения дзета-функции и роль различных математиков в его доказательстве. - Я.В. Благушин. 01.03.2018.

26. От регулярной динамики к хаосу. - С.Ю. Пилюгин. 03.05.2018

27. История математической лингвистики. - C.B. Лесников. 05.04.2018.

28. Краткая история конечных непрерывных дробей. - Ж. Сезиано. 06.09.2018

Доклады, посвящённые истории научных школ:

1. История польской математической школы. Феномен возникновения польской математической школы (до 1939 года). - В.П. Одинец. 05.12.2013.

2. История польской математической школы. Вацлав Серпинский и основание варшавской школы теории множеств. - Г.И. Синкевич. 05.12.2013.

3. Ещё несколько слов об Академии Знаний (Краков) конца 19 века. -В.П. Одинец. 06.02.2014.

4. Философия логики и математики в Варшавской школе (на англ. яз.) -Р. Муравский. 13.05.2014.

5. История математики в Ленинграде второй половины XX века. Л.И. Брылевская. 07.06.2018.

Доклады, посвящённые научным биографиям и истории идей отдельных математиков:

1. Академик А.Н. Крылов - известное и неизвестное. - Н.С. Ермолаева. 06.03.2014.

2. Продолжение доклада о жизни и научной работе академика А.Н. Крылова. - Н.С. Ермолаева. 03.04.2014.

3. Жизнь и деятельность Павла Петровича Мельникова. - М.М. Воронина. 05.06.2014.

4. Довоенные работы СЛ. Соболева и их значение для последующего развития математики. - В.М. Бабич. 02.10.2014.

5. Судьба переводов Кантора в России. - Г.М. Синкевич. 02.10.2014.

6. К 100-летию Н.М. Матвеева (1914 - 2014). - Л.В. Коновалова. 06.11.2014.

7. Вольфганг Дёблин (1915 - 1940). - Г.А. Зверкина. 05.02.2015.

8. Труды профессора Г.В. Колосова по биомеханике. - И.И. Демидова. 05.02.2015.

9. Габриэль Ламе - русский период жизни и творчества. - М.М. Воронина. 05.03.2015.

10. Нижегородский математик Артемий Григорьевич Майер и его курс истории математики. - Г.М. Полотовский. 07.05.2015.

11. О научной, педагогической и государственной деятельности механиков и инженеров, пяти братьев Кирпичёвых. - Н.М. Репникова. 07.05.2015.

12. Насиреддин Туси (1201 - 1274). - А.А. Бабаев. 04.06.2015.

13. Кто Вы, месье Леблан? - Д.Е. Апушкинская. 03.09.2015.

14. Время и судьбы: Вороные. - Н.В. Локоть. 03.09.2015.

15. П.Ф. Лесгафт - один из основоположников экспериментальной биомеханики в России. - И.И. Демидова. 01.10.2015.

16. Осип (Иосиф) Иванович Сомов: жизнь и творчество глазами его брата. - Н.С. Ермолаева. 20.10.2015.

17. О научной и педагогической деятельности И.И. Сомова. - И.Е. Лопатухина. 20.10.2015.

18. Работа О.И. Сомова в институте инженеров путей сообщения. М.М. Воронина. 20.10.2015.

19. Давид Фомич Харазов (к 100-летию со дня рождения). - В.П. Одинец. 05.11.2015.

20. 200-летие Карла Вейерштрасса. - Г.И. Синкевич. 01.12.2015.

21. О математическом творчестве Карла Вейерштрасса. - В.М. Тихомиров. 01.12.2015.

22. Диофант и его алгебра. - Ж. Сезиано. 03.12.2015.

23. Ко je ko? Никола Салтиков. - Н.В. Локоть. 03.12.2015.

24. Жизнь и деятельность академика Б.Г. Галеркина. - Н.Н. Демидова. 22.12.2015.

25. О значении метода Галеркина для анализа дифференциальных уравнений. - СИ. Репин. 22.12.2015.

26. Дмитрий Дмитриевич Мордухай-Болтовской и развитие математики в Ростове-на-Дону. - Ю.С. Налбандян. 04.02.2016.

27. Рассказ об отце. Поляхов Николай Николаевич (17.12.1906 - 27.01.1987). - Н.Н. Поляхов. 04.02.2016.

28. Об инвариантах в ранней истории алгебраических поверхностей. Альфред Розенблатт (1880 - 1947) и его результаты (на англ. яз.). - Д. Чесельска. 07.04.2016.

29. Новое о Павле Некрасове: из истории развития статистики в России. Социальные проблемы в контексте математического творчества. - И.В. Исак. 07.04.2016.

30. Об истории двух работ Колосова и Мусхелишвили. - Н.Н. Поляхов. 01.09.2016.

31. Жан Лерон Д'Аламбер. К 300-летию со дня рождения. - Л.В. Коновалова. 05.01.2017.

32. Вулих Захар Борисович (1844 - 1897) - первый в династии известных математиков-педагогов. - В.П. Одинец. 05.01.2017.

33. Т.Ф. Осиповский - математик, механик, философ, астроном, писатель, педагог, переводчик. К 250-летию со дня рождения. - О.О. Барабанов. 02.02.2017.

34. Время и пространство Р.И. Пименова (1931 - 1990). - P.P. Пименов. 02.03.2017.

35. Основатель первой в СССР лаборатории фотоупругости Л.Э. Прокофьева-Михайловская. - И.И. Демидова. 06.04.2017.

36. Андерс Йохан Лексель (1740 - 1784) - финский математик и Российский академик (на англ. яз). - Й. Стен. 01.06.2017.

37. Александр Васильевич Васильев и математика в России в конце XIX -начале XX веков. - Ю.Ю. Царицанская. 05.10.2017.

38. Владимир Иванович Смирнов (1887 - 1974) - математик и просветитель. - А.И. Назаров. 02.11.2017.

39. Адольф Львович Фуксман (1937 - 1978) и развитие Вычислительного центра в Ростове-на-Дону. - Ю.С. Налбандян. 02.11.2017.

40. Зенон Иванович Боревич (1922 - 1995). К 95-й годовщине со дня рождения. Взгляд из Польши. - В.П. Одинец. 07.12.2017.

41. Евграф Степанович Фёдоров - российский кристаллограф, минералог и математик. - И.В. Романовский. 01.02.2018.

42. Великий швейцарский математик Иоганн Бернулли (к 350-летию со дня рождения). - Л. В. Коновалова. 05.04.2018.

43. Профессор Д.А. Гудков (1918 - 1992) - выдающийся математик и исследователь биографии Н.И. Лобачевского (к 100-летию со дня рождения). -Г.М. Полотовский. 06.09.2018.

История математики и математического образования в отдельных регионах:

1. Математики первых петергофских гимназий (1880 - 1917). - Н.В. Локоть. 02.04.2015.

2. История математического образования в Иркутске в первой половине 20-го века. - Н.А. Перязев, Ю.В. Перязева. 06.10.2016.

3. Об истории математического образования в Оренбургском крае. И.К. Зубова. 02.02.2017.

История математических артефактов:

1. История коллекции Механического кабинета Санкт-Петербургского университета. - Г.А. Кутеева. 04.09.2014.

2. “Плакаты Сомова” в Санкт-Петербургском университете. - Г.А. Кутеева. 20.10.2015.

3. История и современность математических моделей из каталога Мартина Шиллинга. - Г.А. Кутеева. 04.05.2017.

4. История создания и воссоздания кабинета практической механики Санкт-Петербургского госуниверситета. - Г.А. Кутеева, Г.В. Павилайнен, E.H. Поляхова, Т.С. Шугайло. 07.12.2017.

5. Книги по математике издательства «Матезис» (Одесса, 1904 - 1925). -Н.А. Перязев. 01.02.2018.

Историография и методология истории математики:

1. Социологический анализ античной науки. - Л.Я. Жмудь. 03.03.2016.

2. Презентация новой научно-биографической книги о Л. Эйлере американского историка математики Рональда Кэлинджера (Вашингтон, США) «Leonhard Euler. Mathematical Genius in the Enlightenment by Ronald S. Calinger» (Леонард Эйлер. Математический гений эпохи Просвещения). -E.H. Поляхова. 03.03.2016.

3. Был ли Дедекинд логицистом? - О.А. Антонова. 05.05.2016.

4. Воспоминания об историках математики. - Г.П. Матвиевская. 02.06. 2016.

5. Методы реконструкции в истории математики. - С.Н. Бычков. 02.06. 2016.

6. Развитие отечественной истории математики до 1917 года. - Н.В. Локоть. 03.11.2016.

7. Историко-математические исследования в Москве в XX столетии. -С.С. Демидов. 01.12.2016.

8. Теория доказательств и математика: Аристотель vs Гильберт. - О.А. Антонова. 01.06.2017.

9. Историография истории математики. Ранний этап развития Historia Matheseos. - Г.И. Синкевич. 07.09.2017.

10. О некоторых причинах и последствиях реформирования математики с XIX в. по начало XX в. - Г.А. Зверкина. 03.05.2018.

История математики в учебных заведениях:

1. К 110-летию открытия Высших женских политехнических курсов. -Н.М. Репникова. 07.01.2016.

Феномены социальной истории математического сообщества:

1. Бестужевки-математики ученицы Д. Гильберта. - З.С. Галанова, Н.М. Репникова. 04.09.2014.

2. Петербургские математики и реформирование Академии наук в послереволюционное время. - Л.И. Брылевская. 05.11.2015.

3. Репрессии в отношении ленинградских ученых в блокадные 1941-42 гг. -С.Б. Шевелёв. 07.01.2016.

4. Первая Международная топологическая конференция. Москва, 1935 г. -Г.С. Смирнова. 07.06.2018.

Иногда, в важных случаях, семинар по истории математики совмещался с заседаниями Санкт-Петербургского математического общества. Тогда он проходил либо в здании Дома ученых (Дворцовая наб., Дубовый зал), либо в представительных помещениях ПОМИ (Белый зал или ауд. 311).

В рамках подготовки к проведению в 2022 году в Санкт-Петербурге Международного Конгресса Математиков участники семинара при поддержке ПОМИ и Санкт-Петербургского математического общества подготовили и издали в мае 2018 г. сборник «Математический Петербург. История, наука, достопримечательности. Справочник-путеводитель» (редактор-составитель Г.И. Синкевич, научный редактор А.И. Назаров. - Санкт-Петербург: Образовательные проекты. 2018. - 336 с.)1.

Программа семинара формируется на год вперёд. В 2018-2019 учебном году предполагаются доклады о трудах Галилео Галилея, Э. Галуа, А. Гротендика, А. Пуанкаре, И.А. Лаппо-Данилевского, Г. Фреге, о математиках-иммигрантах (Г. Мюнц, С. Кон-Фоссен, Ф. Нетер, Ц. Бурстын, Ф. Франкль), об истории нелинейных интегральных уравнений, об основаниях геометрии XIX-XX вв. в работах одесских математиков, об истории петербургского Политехнического института, об истории создания интерактивных музеев по математике, об истории китайской астрономии. Ожидаются докладчики из Санкт-Петербурга, других городов России и стран Западной Европы.

Популярность семинара растёт как в России, так и за рубежом, о чём можно судить по увеличивающемуся объёму рассылки, количеству просмотров видеозаписей семинара и откликам. Сотым, юбилейным докладом, был доклад Г.М. Полотовского (Нижний Новгород) «Профессор ДА. Гудков (1918 -1992) - выдающийся математик и исследователь биографии Н.И. Лобачевского (к 100-летию со дня рождения)».

Участники семинара выражают благодарность Президенту Санкт-Петербургского математического общества академику РАН Ю.В. Матиясевичу и директору ПОМИ РАН академику РАН C.B. Кислякову за поддержку работы семинара. Благодарим Общероссийский математический портал Math-Net.Ru и его сотрудника Д.Е. Чебукова за техническую поддержку в размещении видеозаписей заседаний семинара.

Поступила 04.10.2018

HUNDRED REPORTS ON MATHEMATICS HISTORY AT A SEMINAR IN ST. PETERSBURG

W. P. Odyniec, G. I. Sinkevich

Report on the five-year activity of the St. Petersburg Workshop on the History of Mathematics.

Keywords', mathematics history, seminar, St. Petersburg. 1 Подробнее об этой книге см. в настоящем выпуске журнала.

ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ. ПЕРСОНАЛИИ

УДК 378.4:51

ГЛАВНЫЙ ВЫБОР СТУДЕНТА АЛЕКСАНДРА ЛЯПУНОВА

Н. А. Пакшина

Арзамасский политехнический институт (филиал) НГТУ им. P.E. Алексеева Россия, 607227, Арзамас, ул. Калинина, 19; e-mail: Nataliapakshina@mail.ru

Рассказывается о первых годах студенчества великого российского математика Александра Михайловича Ляпунова. Рассмотрен поворотный период в жизни будущего ученого, когда он сделал свой выбор в пользу математики. Впервые публикуются письма Александра Ляпунова-студента своей матери Софье Александровне Ляпуновой. Рассказывается также об организации учебного процесса на математическом отделении Санкт-Петербургского Императорского университета, где учился А.М. Ляпунов.

Ключевые слова: Александр Ляпунов, математика, Санкт-Петербургский университет.

«Мне несравненно лучше быть на математическом, чем на естественном отделении»

А. Ляпунов

Осенью 2018 года исполняется 100 лет со дня кончины великого российского математика и механика академика Александра Михайловича Ляпунова. Эта дата даёт повод ещё раз поразмышлять о жизненном пути учёного и его вкладе в мировую науку. В данной статье рассмотрим один небольшой, но очень важный период в его жизни - время, когда он решал, кем же ему быть, и выбор был сделан в пользу математики.

Общеизвестным является тот факт, что Александр Михайлович Ляпунов поступил на естественное отделение физико-математического факультета Санкт-Петербургского университета, а вскоре перешел на математическое отделение [1, с. 90]. Чаще всего упоминается, что решение сменить отделение (специализацию) возникло у Александра через месяц, «так как всегда имел особенную склонность к наукам математическим» [2, с. 5; 3, с. 88].

Если отсчитывать от даты подачи документов в университет, то действительно, прошло около месяца. На самом же деле на естественном отделении Александр практически не учился, разве что прослушал несколько лекций. Уточнить это удалось благодаря его письмам к матери Софье Александровне Ляпуновой [4]. В них говорится, что приехав в Петербург вечером 14 августа 1876 года, он незамедлительно 15 августа в первой половине дня пошёл в университет решать организационные вопросы. Располагался университет в здании Двенадцати коллегий на набережной Большой Невы (совр. Университетская набережная) Васильевского острова (рис. 1).

Окончательная подача документов состоялась 21 августа. Александр отнёс копии всех бумаг, сделал взнос в размере 25 рублей за право слушать

Рис. 1. Здание Императорского Санкт-Петербургского университета. 1880 г.

лекции в первые полгода, после чего получил квитанцию и свидетельство, что он действительно может «свободно проживать в Петербурге сроком на 1 марта 1811 года» [4, л. 23].

Официальной датой начала учебного года, как и сейчас, считалось 1 сентября. Но в этот день состоялся торжественный молебен, а реально днём начала занятий стало 2 сентября, причём это относилось ко всем другим отделениям, кроме естественного. Почему?

В 1876 году с началом учебного года совпало такое крупное научное мероприятие, как 5-й съезд русских естествоиспытателей и врачей, проходивший в Варшаве с 31 августа по 9 сентября и собравший 344 участников [5, с. 156]. На съезде присутствовали большинство профессоров естественного отделения. В университете было вывешено объявление, в котором значилось, что профессора, уехавшие в Варшаву, вернуться оттуда не раньше 12-го сентября. По словам А.М. Ляпунова, в первые дни месяца «начал читать лекции только Бекетов» [4, лл. 28, 31]. Напомним, что Андрей Николаевич Бекетов (1825-1902) - крупный специалист в области физиологии и географии растений, в 1876 году был избран ректором Санкт-Петербургского университета.

В переписке с матерью Александр Ляпунов впервые упоминает о переходе с естественного отделения на математическое уже 13 сентября 1876 года [4, л. 30]. Он пишет: «Профессора теперь у нас съехались все, и лекции пошли аккуратно. Профессора у нас на математическом отделении (я тебе не писал ещё, кажется, я перешёл с естественного отделения физико-математического факультета на математическое), вообще очень хорошие, в особенности Менделеев, профессор химии»1. Через две недели, получив от встревоженной матери письмо из Нижнего Новгорода, Александр в ответном письме от 27 сентября 1876 года очень подробно пояснил ей своё решение:

«Милая мама!

Ты желаешь знать, вследствие каких причин я перешёл с естественного отделения на математическое. Причин этих очень много. Во-первых,

1 Здесь и ниже цитируемые фрагменты писем даются в современной орфографии и пунктуации.

на естественном отделении не читают математику, а между тем проходится физика в довольно большом объёме, а знание физики тесно связано со знанием математики, да кроме того, что математика необходима для изучения физики и многих других естественных наук. Мне и без этого не хотелось бы бросать совершенно математики. Во-вторых, химия главный предмет на естественном отделении, проходится также и на математическом, хотя и не в таком большом объёме, но всё-таки достаточно для того, чтобы познакомиться с этой наукой, тем более, что профессор химии Менделеев у нас очень хороший, так что, переходя с естественного отделения на математическое, если я и потеряю, то, во всяком случае, немного.

В-третьих, я всегда желал познакомиться с астрономией, а основательно познакомиться с ней можно только обладая большими сведениями из высшей математики. Кроме того, на естественном отделении астрономия не проходится даже в самом кратком объёме. В-четвёртых, поступая на естественное отделение, я думал заниматься преимущественно естественной географией и метеорологией, а эти две науки проходятся, как я теперь узнал, на общих отделениях в совершенно одинаковых объемах; следовательно, я и тут опять-таки ничего не теряю. В-пятых, окончив курс на математическом отделении и получив, таким образом, основательную подготовку к занятиям естественными науками, я всегда буду в состоянии, если захочу, заниматься естественными науками с большим успехом, чем теперь. А окончив курс на естественном отделении и желая заниматься частным образом математикой и астрономией, я едва ли имел бы в этом успехи. В-шестых, окончив курс математического отделения, я буду более обеспечен в материальном отношении, чем окончив курс на естественном отделении. Вот те причины, вследствие которых я перешёл с естественного отделения на математическое. Хотя каждая из них в отдельности, может быть, и не имеет слишком большого значения, но принимая во внимание все эти причины вместе, я понял, что мне несравненно лучше быть на математическом, чем на естественном отделении.. .

Целую тебя и братьев. Таше кланяюсь.

А. Ляпунов» [4, л. 33, 34].

Эти доводы впечатляют взвешенностью и убедительностью, и даже не верится, что человеку, написавшему их, всего 19 лет, и он только-только окончил гимназию.

В следующих письмах Александр довольно подробно описывает особенности организации учебного процесса на математическом отделении. Он отмечает, что лекции ежедневно начинаются в 9 утра, причем распределены они чрезвычайно неравномерно:

«Так, в понедельник - 3 лекции от 9 до 12,

во вторник - также 3,

в среду - 2 от 9 до 11, и одна от 2 до 3,

в четверг - 3 от 9 до 12, и одна от 2 до 3,

в пятницу - 6 лекций от 9 до 3, в субботу - от 9 до 10» [4, л. 40].

Как видим, продолжительность лекций - 1 час, и иногда между лекциями были «окна», что создавало определённые неудобства далеко живущим студентам. Александр Ляпунов относился именно к таким, хотя весь университетский период квартировал на Васильевском острове. Но, как известно, чем дальше от университета, тем дешевле стоили квартиры и комнаты. Первый семестр он проживал очень далеко - на 17-й линии. Потом были попытки перебраться поближе. Во втором семестре местом его проживания была 11-я линия, в третьем и четвёртом - примерно середина Большого проспекта.

Как бы там ни было, удаленность от университета была ощутимой. Да и переходя из одной аудитории в другую приходилось шагать немало: протяжённость коридора здания Двенадцати коллегий, в котором располагался университет (и сейчас это здание считается главным корпусом Санкт-Петербургского университета) - порядка 400 метров (рис. 2). Кроме того, нередко случались различные нестыковки. Так, в уже упоминавшемся письме от 13 сентября Александр Ляпунов пишет:

«Так, например, сегодня на объявлении было написано, что профессор Фон-дерг-Флит2 будет читать лекцию в аудитории №1, и потому мы собра-

Рис. 2. Университетский коридор

2 Первокурсник Александр Ляпунов ошибается в написании имени и в звании: Пётр Петрович Фан-дер-Флит (1839-1904) - русский физик, в 1876 году читал в университете лекции в качестве приват-доцента, после защиты в 1877 году докторской диссертации был в 1880 году избран экстраординарным профессором, и только в 1886 году был назначен ординарным профессором Санкт-Петербургского университета.

лись в этой аудитории и уселись по местам, через некоторое время явился сторож и объявил, что Фон-дерг-Флит будет читать в аудитории №111, только мы перебрались в аудиторию 111 (а так как на 1 курсе математического факультета 300 человек студентов, а аудитория № 111 очень мала, то каждый старался поскорее занять место, чтобы не пришлось во время лекции стоять, вследствие чего происходила сильная толкотня и давка), только мы перебрались в эту аудиторию, так опять явился сторож и сказал, чтобы мы переходили в аудиторию №5, так там читает Фон-дерг-Флит. Подобные беспорядки происходят почти перед каждой лекцией» [4, л. 31].

Причинами таких неувязок были не только недоработки администрации, но и удивительно жадные до знаний студенты. Многие, желая получить дополнительные сведения из смежной области или просто расширить свой кругозор, приходили послушать лекции, читаемые на других отделениях или даже факультетах. Примером может служить В.П. Вернадский, который в течение первых двух лет учёбы в Санкт-Петербургском университете слушал лекции не только на естественном, но и на математическом отделении физико-математического факультета, а также посещал отдельные лекции по истории и филологии [6].

Общеизвестно, что самую большую роль в формировании будущего учёного А.М. Ляпунова сыграли такие знаменитые профессора математики и механики, как П.Л. Чебышев, А.Н. Коркин, О.И. Сомов, Д.К. Бобылёв, К.А. Поссе, Е.И. Золотарёв. Но это будет позже, а в начальный период учёбы Александра Ляпунова в университете, судя по переписке, существенное влияние на него оказали А.Н. Бекетов, П.П. Фан-дер-Флит, Д.И. Менделеев и О.Ф. Миллер (рис. 3-6).

Рис. 3. А.Н. Бекетов

Рис.4. П.П. Фан-дер-Флит

Рис. 5. Д.И. Менделеев. 1878 г Худ. И.Н. Крамской

Рис.6. О.Ф. Миллер

Наверное, одной из самых ярких иллюстраций к сказанному будет фрагмент из письма первокурсника Ляпунова от 11 октября 1876 года о лекции Миллера3:

«.. . .В среду на этой неделе у нас в университете было очень сильное движение. Причина его была следующая: в понедельник профессор Миллер, любимый профессор студентов, читал вступительные лекции на III и IV курсах филологического факультета, где, между прочим, касался славянского вопроса и политики Европы в настоящее время. Т. к. все студенты желали присутствовать на этой лекции, а многие студенты не знали о ней, то студенты просили Миллера прочесть её второй раз в среду. Для этой лекции назначена была XI аудитория - самая большая аудитория в университете. К 12 часам (так как лекция была назначена от 12 до 1 часа) XI мало-помалу наполнялась студентами.

Все лавки, столы, окна, всё решительно было занято студентами. Скоро аудитория переполнилась так, что даже кафедру заняли студенты, оставив только небольшое место для профессора, а между тем студенты всё подходили, и так как в самой аудитории больше не было места, то они становились около дверей в коридоре. Одним словом, тут собрались студенты всего университета, человек до 1000. Теснота была такая, что решительно невозможно было повернуться, а тем более сдвинуться с места. Вследствие этого студенты потребовали, чтобы отперли Актовую залу, и все отправились туда. Зала у нас очень большая, так что все студенты могли поместиться, и всем было слышно профессора. Излагать содержание лекции я не стану, т. к. это заняло бы слишком много места; я скажу только, что он читал с большим воодушевлением, и студенты принимались ему хлопать три раза. Особенно неистово ему аплодировали по окончании лекции. Если ты желаешь знать более подробностей об этой лекции, то можешь это найти в 222 номере газеты «Новое время», там помещена статья под заголовком «Лекция Миллера», где все описано довольно подробно, и при этом изложено содержание самой лекции.

А. Ляпунов».

Орест Федорович Миллер читал лекции по истории только на филологическом факультете и, тем не менее, математик Александр Ляпунов пошёл его слушать. Что способствовало популярности этого профессора среди студентов? С одной стороны - это блестящий оратор, выступления которого становились событием. С другой стороны, широко известной была и общественная

3 Миллер Орест Федорович (1833-1889) - историк русской литературы и фольклорист, профессор Петербургского университета с 1863 года, один из представителей славянофильства. Автор книг «Славянство и Европа», «Русские писатели после Гоголя», многочисленных других публикаций. Известен как искусный оратор. Его магистерская диссертация была подвергнута необычайно резкой критике в написанной страстным языком рецензии Добролюбова в «Современнике». Ни один журнал не принял его возражений на рецензию, более того, в результате «никакая другая статья его в течение трёх лет не принималась ни одною редакцией» [Б.Б. Глинский. Орест Федорович Миллер // Исторический вестник, 1889. Т. 37. № 8. С. 340-364].

деятельность Миллера, ведь именно он был одним из основателей Общества вспомоществования студентам Санкт-Петербургского университета [7].

Скажем ещё несколько слов о желании Александра Ляпунова получить глубокие познания не только в сфере математики. Мы уже знаем - желание это всегда жило в нём, но удалось ли реализовать ему свои мечты в период обучения в университете? Его ответ - в письме от 13 октября 1877 года:

«.. . Занятий теперь у меня очень много - гораздо больше, чем было в прошлом году. Я раньше думал, что <.. . > можно будет в университете избрать какую-нибудь специальность - я думал избрать астрономию, - но теперь вижу, что это положительно невозможно. Если будешь заниматься какой-либо специализацией, то нельзя будет сдавать экзамены, и потому приходится заниматься всеми предметами нашего факультета, которых очень много, и каждый из которых чрезвычайно обширен. А при такого рода занятиях нет возможности изучать что-нибудь основательно, и потому университетское образование не даёт каких-либо положительных сведений; оно представляет только материал, который придётся впоследствии самому разрабатывать.. . ».

Судя по всему, учебный процесс был насыщенным, график занятий плотным и изучаемый материал обширным. В связи с этим следует отметить, что уже в эти годы проявились основательность и умение сосредотачиваться на главном будущего академика А.М. Ляпунова - кстати, в приведенном фрагменте он употребляет слово «основательно».

Позднее сын его двоюродной сестры Софьи Викторовны академик Алексей Николаевич Крылов, говоря о скрупулезности Александра Михайловича при подготовке лекций и докладов, отмечал «тщательность отделки, к которой он привык во всякой своей работе» (ср. [8, с. 5214]).

Пройдет много лет, и об этих чертах напишет в своих воспоминаниях «Ляпунов в Одессе» бывший ректор Новороссийского университета, математик Антон Дмитриевич Билимович: «Что особенно поражало у Александра Михайловича - это исключительная способность сосредотачивать свою мысль для достижения одной, главной цели. <.. . > Получалось впечатление, что эта способность к сосредоточенности и углублению - какое-то чисто структурное, физиологическое свойство природы самого организма Александра Михайловича. Таким же был и его брат, Борис Михайлович, позже тоже академик, который с такой же упорностью добивался решения вопросов сравнительного языкознания. Поэтому естественно заключить, что эта способность была родовым свойством Ляпуновых. .. » [9, с. 5, 6].

И действительно, одним из главных источников основных качеств любого человека является наследственность или, как сейчас принято говорить, генетика. Род Ляпуновых дал миру целое созвездие учёных. Причина появления больших талантов навсегда, видимо, останется загадкой, как и все великие тайны природы. Но всё-таки накапливаются интересные наблюдения историков, психологов и, конечно, генетиков. Например, в [10, с. 65] утверждается, что среди выдающихся ученых высок процент лиц межэтнического происхождения. Случай с Ляпуновым является иллюстрацией к этому утверждению: его бабушка по матери Екатерина Ивановна (урожденная Мессинг)

была немкой. Возможно, именно от неё он унаследовал такие характерные немецкие черты, как упорство, скрупулезность и тщательность в работе (ср. [8, с. 5215]).

Но вернёмся, однако, в Санкт-Петербург конца 70-х годов XIX столетия. Иван Михайлович Сеченов в своей книге «Автобиографические записки», говоря про молодых представителей родственных семей Ляпуновых-Сеченовых-Крыловых, писал: «Старики доживали свой век, а молодежь училась с таким рвением.. . » [11, с. 182]. Интенсивно занимались и Александр Ляпунов, и его двоюродная сестра Наташа Сеченова, и двоюродный брат Николай Ляпунов, который станет видным инженером, строителем железных дорог в России, и будущий известный математик и учёный-кораблестроитель Алексей Крылов (ср. [12, с. 39]).

Упоминания о напряжённом ритме самостоятельных занятий и подготовки к экзаменам проходят через все письма Александра Ляпунова к матери; приведём только несколько выдержек, расположив их в хронологическом порядке.

«Четверг 14 Апреля 1811 г.

.... Теперь у меня очень много занятий, готовлюсь к экзамену, до которого осталось уже меньше двух недель. Писать больше нечего, так как я весь день сижу дома и выхожу только пообедать в кухмистерскую. .. ».

«Понедельник 25 Октября 1816 г.

. .. .Экзамен будет у нас только из трёх предметов: из химии, начертательной геометрии и богословия. Всего труднее для меня будет экзамен по начертательной геометрии».

«13 Октября 1811 года.

. .. Теперь я чрезвычайно доволен, что занимался на вакацию4 дифференциальным исчислением; теперь можно будет на другие предметы уделять более времени. А кроме дифференциального исчисления экзамен придется сдавать из физики за два года, из физической географии, из высшей алгебры - предмета очень трудного и чрезвычайно обширного, который читают у нас весьма подробно. Кроме того, приходится заниматься очень много интегральным исчислением и астрономией».

«5 Марта 1818 года.

. .. .Новостей я никаких сообщить не могу, потому что всю неделю просидел дома и ничего интересного не видел и не слыхал. Даже газет я теперь не читаю, так как совсем нет свободного времени. Только по воскресеньям я даю себе полный отдых.

Но, вероятно, скоро и воскресенья придется просиживать за занятиями, так как экзамены уже недалеко».

«21 Апр. 1818 г.

. .. Сегодня я сдал первый экзамен (из физики), который сошёл у меня очень хорошо. Теперь мне предстоит сдать ещё более трудный экзамен из Высшей алгебры, который должен быть 5 мая, т. е. ровно через две недели».

4 Вакация (лат. vacatio, от vacare - делать пустым) - время, свободное от учения или службы, каникулы.

Как можно судить по приведённым фрагментам и другим письмам, сессия, как правило, включала 3-4 экзамена, которые по времени отстояли друг от друга на 10-14 дней. Зачёты по другим прослушанным предметам не предполагались.

Известно, что Александр Ляпунов был человеком разносторонних интересов. В студенческие годы любил ходить в Мариинский театр, бывать в музеях, прогуливаться по садам и паркам. Но всё это - исключительно в первую половину каждого семестра. А приблизительно за месяц до начала сессий он переставал бывать даже у ближайших родственников Сеченовых и Михайловских, поскольку учёба требовала полной отдачи. Однако изнуряющие экзаменационные сессии не погасили то восторженное отношение к математике, которое было у Александра в первый месяц его занятий в Санкт-Петербурге. В подтверждение сказанному приведём в заключение слова двадцатилетнего Александра Ляпунова из письма от 13 октября 1877 года [4]:

«.. . Теперь только я вижу, что наука действительно <... > бесконечна. Хотя я и прежде это знал, но слова эти оставались для меня только словами, не имея определённого смысла, потому, что один университет только и даёт понятие о том, что такое наука - иначе невозможно составить себе истинного понятия о ней. Те сведения, которые я мог приобрести в гимназии - не более как капля в море перед тем, что открывает университет. И чем дальше будешь идти, тем шире будет становиться горизонт.. . ».

ЛИТЕРАТУРА

1. Меркулова Н.М., Соколов П.Б. О научном наследии А.М. Ляпунова. - В кн. История и методология естественных наук. Выпуск IX. Математика, механика. - М.: Изд-во МГУ, 1970. С. 90-110.

2. Ляпунов Б.М. Краткий очерк жизни и деятельности А.М. Ляпунова. // Известия Академии Наук СССР. VII серия. Отделение физико-математических наук, 1930. № 1. С. 1-24.

3. Шибанов А.С. Александр Михайлович Ляпунов - М.: Молодая гвардия, 1985. - 336 с.

4. СПб филиал архива РАН. Ф. 257. Оп. 3. Д. 42.

5. Валькова О.А. Женщины - участницы съездов русских естествоиспытателей и врачей (1867-1913): статистические данные // ВИЕТ. 2014. № 2. С. 153-158.

6. Бильвина О Л. В.И. Вернадский и Университетское образование в России // Санкт-Петербургский университет. 2013. №5 (3863) - URL: http://journal.spbu.ги/-р=9916

7. Общество вспомоществования студентам Императорского Санкт-Петербургского университета // Энциклопедия благотворительности. Санкт-Петербург - URL: http://encblago.lfond.spb.ru/showObject.do-object=2806468923

8. Pakshina NA. Aleksandr Lyapunov: remembered by his contemporaries // IFACPapersOnLine. 2017. V. 50. T. 1. P. 5208-5218.

9. Билимович А.Д. А.М. Ляпунов в Одессе // Труды Математического института Сербской Академии наук. 1956. С. 1-7.

10. Голубовский М.Д. А.А. Ляпунов и полтора века интеллектуальной династии. Размышления о книге Н.Н. Воронцова // Природа. 2012. № 3. С. 60-68.

11. Сеченов И.М. Автобиографические записки. 4-е. изд. - Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского университета, 1998. - 342 с.

12. Пакшина Н.А. Некоторые аспекты становления молодых учёных в среде дворянской интеллигенции в последней трети XIX века // Социология науки и технологий. 2018. Т. 9. №1. С. 31-42.

Поступила 28.05.2018

MAIN CHOICE OF STUDENT ALEXANDER LYAPUNOV

N. A. Pakshina

The article tells about the first years of students of great mathematician, Alexander Mikhailovitch Lyapunov. We describe an important, turning period in the life of the future scientist, when he made his choice in favor of mathematics. The unpublished letters of a student of St. Petersburg Imperial University to his mother Sofya Alexandrovna are presented. Particular attention is given to the arguments of Alexander Lyapunov of mathematics and other disciplines. It is also told about the organization of the educational process at the mathematical department of this university

Keywords: mathematics, Alexander Lyapunov, university, St. Petersburg

ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ. ПЕРСОНАЛИИ

УДК 929

ТАК ГОВОРИЛ ДМИТРИЙ АНДРЕЕВИЧ

Г. М. Полотовский

Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского Россия, 603950, г. Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23, корп. 6; e-mail: polotovsky@gmail.com

Материал к 100-летию со дня рождения профессора Д.А.Гудкова, содержащий подборку его высказываний.

Ключевые слова: Дмитрий Андреевич Гудков, 100-летие со дня рождения.

О милых спутниках, которые наш свет Своим сопутствием для нас животворили, Не говори с тоской: их нет] Но с благодарностию: были.

В. А. Жуковский

18 мая 2018 года исполнилось 100 лет со дня рождения выдающегося математика и замечательного человека, профессора Нижегородского университета Дмитрия Андреевича Гудкова (1918 - 1992). Дмитрию Андреевичу принадлежат знаменитые результаты по первой части 16-й проблемы Гильберта: топологическая классификация неособых плоских проективных кривых степени 6, сравнение по модулю 8 для неособых кривых чётной степени («сравнение Гудкова», высказанное им в 1971 году в качестве гипотезы и вскоре после этого доказанное В.И. Арнольдом (частично) и В.А. Рохлиным

Дмитрий Андреевич Гудков (фото 1973 г.)

(полностью)) и др. Широко известна также книга Д.А. Гудкова [1] о загадках нижегородского периода биографии Н.И. Лобачевского, где, в частности, обоснована версия, согласно которой Николай Иванович Лобачевский и его братья Алексей и Александр являются сыновьями землемера и капитана С.С. Шебаршина. По понятным причинам менее широко известно о вкладе Дмитрия Андреевича в развитие математики в Нижегородском (ранее -Горьковском) университете - вкладе, который трудно переоценить.

Столетию со дня рождения Д.А. Гудкова было посвящено совместное заседание Учёного совета Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского и Нижегородского математического общества. К этой дате была издана книга [2], имеется ещё целый ряд публикаций [3] - [11], [13], посвященных жизни и деятельности Дмитрия Андреевича. Ввиду последнего обстоятельства вместо стандартно построенной юбилейной статьи (биография, обзор основных научных результатов юбиляра и т. п.) ниже приводится подборка высказываний Дмитрия Андреевича из его писем и опубликованных текстов, а также из воспоминаний его коллег и учеников. Я благодарю детей Дмитрия Андреевича, Юрия Дмитриевича и Александру Дмитриевну, за предоставленные письма Дмитрия Андреевича.

***

Я достал у товарища книгу «Маугли» (брат волков) очень интересная мы поочереди четаем, а остальные чинют какое-нибудь бельё. Милая мамочка скорее приезжай любящий тебя Дима целую 1.XI. 1930 г. (Из письма маме; здесь и ниже орфография и пунктуация сохранены.)

***

Милая Мамочка и Костя1. Сижу я сейчас и отдыхаю, выходной. Передо мной расстилается Москва, видно далеко и всё дома и дома. Много фабричных труб, это замена церквей. Когда была война 1812 года, то бросалось в глаза множество церквей, теперь множество труб. Ровно на столько же изменился облик войны, облик мира ... и идеология. Человечество движется вперёд. (Из письма из Артиллерийской академии им. Дзержинского от

10 августа 1941 г.)

***

Милые мамочка и Костя. Живём пока всё в одной и той же деревне. Все дороги сейчас развезло и трудно передвигаться даже пешком. <... > В газетах пишут, что устье Волги свободно ото льда. Скоро там будет половодье. Черёмуха, ивняк, берёзы, ландыши. Очень хочется сейчас попасть в Затон, а не в Горький. Побродить по лесу, сходить к спускам, к пристани. И потом позаниматься чем-нибудь интересным, полезным. (Из письма с фронта от

11 апреля 1942 г.)

1 Константин Гурьевич Гудков (1931 - 2015), брат Д.А. Гудкова от второго брака его матери Нины Павловны Гудковой (в девичестве - Чекалова) (1893 - 1972).

Милая мамочка, Елец мне очень понравился. Много зелени и много церквей, которые очень удачно поставлены и являются продолжением возвышенностей. Много тополей и акаций. Лесов поблизости мало, больше полей. От тебя получил письма и отвечаю. Погода здесь тёплая, но нельзя сказать, что прекрасная, для хлебов, картошки и прочего, говорят, хорошая. Хлеба здесь отличные. Теперь я взялся читать одну серьёзную книгу, буду грызть помаленьку. Целую тебя и Костю крепко. Любящий вас Дима.

***

Почитываю Хаусдорфа «Теорию множеств». Решил, хотя и немного, заняться серьёзной математикой. (Из двух писем с фронта от 16 июня 1942 г.)

***

Время всё также летит и медленно и быстро. Всё время удивляюсь богатству и многообразию людей, мыслей и чувств. (Из письма с фронта от 11 августа 1942 г.)

***

Уже чувствуется движение осени. Иногда даёт себя знать дождь. Стоят последние дни лета. Бывают уже моменты кристальной осенней ясности. Должно быть, дубы перед нашими окнами уже начинают желтеть, и Волга начинает думать свою осеннюю думу, превратившись из голубой в серую. (Из письма с фронта от 24 августа 1942 г.)

***

Милые мои мамочка и Костя. Сегодня стоит у нас прекрасная осенняя погода. Ясно, ясно так, как не бывает ясно летом и даже зимою. Дождей очень немного и это наше счастье. Недавно прочёл книгу рассказов Куприна, очень понравились, например такие: «Сирень», «Белая акация». Критические статьи и письма. Что-то теперь часто ударяюсь в воспоминания. Очень бы хотелось побывать сейчас в Горьком, затоне и прочих местах. Увидеть бы всех вас. <... > Соскучился по Волге. Здесь виден Дон, он здесь примерно как Ока, даже уже. (Из письма с фронта от 23 сентября 1942 г.)

***

Хочется почитать какую-нибудь хорошую книгу. У нас откуда то достали пианино, сначала пальцы не слушались, но понемногу вспомнил то немногое, что я мог играть. Пианино прекрасное и мне его жалко. У нас хотя к нему относятся очень хорошо. (Из письма с фронта от 24 сентября 1942 г.)

Милые мои мамочка и Костя. Уже несколько дней не получаю писем. Пока что осень стоит на редкость хорошая, листья уже обильно опадают. Но лиственный лес ещё густой. По утрам бывают заморозки. Прочёл книгу Корнейчука «Фронт», очень правдивая и нужная сейчас вещь. Перечитал целиком Гладкова. Наводит на многие мысли. Как говорит там один из героев, «сердце у нас должно быть твердокаменным» и видит в этом доблесть, это, несомненно, признак силы. Вообще вспоминаю одну из сказок Щедрина, где он говорит, что большое преступление считается в истории подвигом. Математикой совершенно не занимаюсь. (Из письма с фронта от 28 сентября 1942 г.)

***

Сейчас работы много, хотя работа довольно волокитная и малоинтересная, но такова психология человека, в любой работе находишь некоторое удовлетворение. Время летит, и я надеюсь, что оно быстро пролетит до конца войны. Хочу перечитать «Войну и мир» Раньше я всегда с большим удовольствием читал «мир» и с трудом «войну», посмотрим, что будет теперь. Целую и обнимаю вас крепко. Любящий вас Дима. (Из письма с фронта от 13 декабря 1942 г.)

***

Милые мамочка и Костя. Нахожусь сейчас на земле, ранее занятой немцами. Между Воронежем и Курском. Климат здесь несколько мягче, чем в Горьковской области. Больше всё чернозёмные степи. Сейчас много снега. Деревни большие, км по 10-15 и почти одна с другой соединяются. Располагаются вдоль речек в долинах. Работы сейчас много, и связь с вами очень плохая из-за постоянной перемены места. Получил лишь письмецо от 16.01.43 и с тех пор никаких вестей. Нашел тут «Капитал» т. III, очень мне понравился. Читал немного «Консуэло» Жорж Занд. От наших уже совсем давно не имею весточки. Им сейчас тяжело. Лушу взяли и Аркадий убит. Это очень мрачно.

Пока всего счастливого. Целую крепко тебя и Костю. Любящий вас Дима. (Письмо с фронта от 10 февраля 1943 г.)

***

За войну меня поражает громадное количество городов. К тем, которые я видел, прибавились Рыльск, Львов, Глухов, Севск. Работа у меня приблизительно такая же, только теперь я зенитчик. Деревни здесь все в зелени, Северная Украина. Мы движемся на запад! Волнуют события в Европе, о них мы знаем всё же очень мало. Целую вас крепко. Любящий вас Дима. (Из письма с фронта от 16 сентября 1943 г.)

Живу в городе, дома кирпичные, крыши под черепицей, дороги хорошие и почва дрянная - Германия. Век живи, век учись, вижу сейчас. Время идёт, а война не кончается. Но теперь уже осталось немного. (Из письма с фронта от 3 марта 1945 г.)

***

Жизнь моя проходит по-прежнему. Всё утро до обеда работа, после обеда час отдыхаю, потом опять работа до ужина, после ужина занимаюсь, читаю и гуляю. Сейчас прочёл сочинение Чехова о Сахалине, книга страниц на 300, очень подробная с описанием природы, климата, нравов Сахалина, получаешь полное представление. Очень интересно. Понемногу занимаюсь немецким. На дворе стоит прекрасная золотая осень. Очень люблю гулять по опавшим листьям. (Из письма из армии от 23 октября 1945 г.)

***

Я решил уже поступать в аспирантуру. Когда приеду, то в крайнем случае месяца два не буду нигде работать и подготовлюсь, но всё же сдам. (Из письма из армии от 28 октября 1945 г.)

***

Занимаюсь сейчас по немецкому и по политэкономии. Конечно, для занятий остаётся времени мало. Если бы здесь побыть месяца 2-3 без работы, то можно очень сильно продвинуться. Это, конечно, проклятие нашего времени, повседневное делячество, собрания и прочее, которые ничего не дают для развития. Наверное, это и есть причина нищеты нашего духа, вернее, полузнайства и невежества даже в своей области. (Из письма из армии от 1 ноября 1945 г.)

***

Милая мамочка. Пришёл приказ о моей демобилизации. Осталась кое-какая работа. Больше не пиши. Надеюсь выехать 10-12 декабря. Может быть, письмо придёт скорее, чем я. Целую и обнимаю крепко вас с Костей. Поцелуй наших. Привет соседям. Любящий тебя сын Дима. (Последнее письмо из армии, 6 декабря 1945 г.)

***

Ещё в шестом классе под влиянием замечательного учителя - Петра Михайловича Безелева - я полюбил математику. Я сначала мечтал стать инженером. В десятом классе уже твёрдо решил стать математиком и даже говорил друзьям, что буду профессором. Почему полюбил математику? Видимо, сказался мой характер. Математика даёт человеку больше независимости, чем какие-либо другие науки. (Д.А. Гудков. Артиллерийский техник. В книге [11], с. 142-147.)

Математика для радиофизика необходима, как хлеб. Это касается радиофизика-студента, радиофизика-учёного, радиофизика-инженера. (Из статьи Д.А. Гудкова «Необходимая наука», газета «Горьковский университет» №3 (1112) от 20.01.1976.)

***

Я считаю, что при наличии фундаментальных знаний выпускник университета может стать хорошим специалистом в любой из смежных областей -в равной мере школьным учителем и учёным-теоретиком. <... >

... основная цель у школы2, пожалуй, другая, более широкая - повышение математической культуры общества. Это и есть задача университета. <... >

Во-первых, вообще в нашем государстве умственный труд принижен, его престижность потеряна. В вузах происходит отток от специальностей, которые не дают материального обеспечения после выпуска. И от нашей в том числе.

Плохо готовят к вузу школы. Я считаю, что в своё время школу неосмотрительно искорёжили псевдополитехническим обучением. Она должна быть резко дифференцирована, по крайней мере в старших классах.

Ещё один колоссальный недостаток школы - она ориентируется не на высший, а на средний, а то и низший, уровень. Есть в классе пять-шесть плохих учеников - учитель только с ними и занимается.

«Разврат» всеобучем развратил школу. У всех должна быть свободная возможность учиться, но зачем тянуть тех, кто не может и не хочет? <... >

Некомпетентность связана с общественным настроением, с ситуацией, сложившейся в нашем обществе. Возникла такая общественная психология, когда человек принципиально не заинтересован в раскрытии своих способностей. (Из интервью Д.А. Гудкова «Престиж творческой личности», газета «Горьковский рабочий» №280(11799) от 5.12.1989.)

***

Вообще, он был из числа тех немногих моих друзей, с которыми я мог говорить обо всём откровенно. Или, вернее, почти откровенно, т. к. вполне откровенно мы даже думать опасались - ведь на лице может быть написано, что ты думаешь! (Из рукописных воспоминаний Д.А. Гудкова о его друге Александре Ароновиче Розенблюме (1918 - ?), 10 февраля 1991 г.)

***

... хороший преподаватель математики в средней школе (и тем более в высшей) должен в достаточной мере понимать современную математику. Это необходимо для того, чтобы преподаватель видел цели обучения математике, мог ориентироваться в изменениях программы в наш стремительный век

2 Речь идёт о ЗМШ - заочной математической школе для школьников региона, которую на мехмате ННГУ организовал и возглавлял Д.А. Гудков.

научно-технической революции и не упустил тех талантов, которые ему могут встретиться в учениках, сумел развить своевременно эти таланты. <... > ... преподавание математики является интересной и благородной профессией, особенно заманчивой для людей, которые не только любят математику, но и ценят общение с людьми (особенно с молодёжью). (Из рукописи статьи Д. А. Гудкова «Теоретическая математика», посвященной информации о механико-математическом факультете для поступающих в университет.)

***

Биография гения всегда поучительна. Должно быть, многие рождаются гениями, но лишь возможными: в математике, музыке, скульптуре и т. д. Однако для того, чтобы эта возможность стала действительностью, должно произойти колоссальное число благоприятных совпадений. Это явление сходно с явлением возникновения жизни на Земле. ([1], с. 11.)

***

Я упоминаю об А.А. Андронове потому, что идея использования различения кривых по степеням негрубости была высказана им устно и до него не применялась. Если не упомянуть, то получится, что идея принадлежит мне, что неверно. (Из письма Д.А. Гудкова к О.А. Олейник, 1970 или 1971 г.)

***

Помню, как один раз, вскоре после того, как он стал профессором, по пути на рыбалку он на минутку зашёл за чем-то к нам. На голове у него была какая-то старая измятая соломенная шляпа с оторванными наполовину полями. Мама, увидев её, воскликнула: «О, боже, что это у Вас на голове, Д.А.?» На что он, смеясь, разъяснил: «А это я вчера встретил Виктора Ивановича Гапонова3 и он, глядя на мою кепку, сказал: профессор должен в шляпе ходить! А у меня другой шляпы нет». (Здесь и ниже до следующих звёздочек -фрагменты из воспоминаний Е.И. Гордона [12].)

Помню, как незадолго до кончины Дмитрия Андреевича, когда мы выходили из университета, он сказал мне: «То, что у нас в стране фашизм, я понял ещё в 38-м году». - «Каким образом, Дмитрий Андреевич?» - «Видишь ли, я в то время очень уважал Бухарина. Сейчас-то я понимаю, что он был не лучше других, а тогда очень уважал. И когда во время процесса над ним в газетах писали, что по его указанию в масло подмешивают толчёное стекло,

3 Виктор Иванович Гапонов и его жена Мария Тихоновна Грехова - физики, переехавшие вместе с А.А. Андроновым в Горький. Мария Тихоновна была крупным учёным и замечательным организатором. Её выдающиеся заслуги в создании Горьковской радиофизической школы хорошо известны. В.И. Гапонов был больше известен своей преподавательской деятельностью. По его знаменитому учебнику «Электроника» училось несколько поколений специалистов в этой области. Многие годы он заведовал кафедрой электроники радиофака {Примечание Е.И. Гордона).

я понял, что это фашизм, что надо быть очень осторожным, нельзя ни с кем откровенничать».

После отъезда С.Г.4 Дмитрий Андреевич посетовал в разговоре со мной, что тот как-то не по-боевому относится к организации защиты докторской. «Он обязательно должен приложить все усилия, чтобы стать доктором. Очень плохо, что у нас сильные доктора ходят в кандидатах, а слабые кандидаты в докторах».

Помню, когда как-то мы с ним вдвоём были на кафедре, пришла какая-то женщина, кажется, из музея боевой славы, с просьбой к ДА. выступить перед студентами в связи к годовщиной победы. ДА. ответил ей грустно и устало: «Знаете, мне не хочется выступать. Я человек мирный. После войны прошло уже сорок лет, и за эти сорок лет я, как мне кажется, принёс гораздо больше пользы, чем за время войны. Но за эти годы меня только травили. И лишь перед праздником Победы вспоминают, какой я хороший, и просят, чтобы я рассказал о войне. Пожалуйста, я могу выступить, но рассказать всё и сказать то, что я об этом думаю». Этот вариант не устроил сотрудницу музея, и она удалилась с обиженным видом.

Помню, как-то раз мы выходили в конце рабочего дня из НИИУАвтопрома после нескольких часов бесполезных разговоров, и ДА. сказал «Вот у нас на предприятиях бывают субботники, а таким предприятиям, как это, надо бы наоборот, в качестве субботника не выходить в понедельник - какая была бы экономия для государства!»

Как было сказано выше, ДА. не делал никаких протестных заявлений, носивших политический характер, считая их бесполезными, и не одобрял, когда их делали другие. Марк Кушельман5 рассказывал мне, что когда он был ещё студентом, в газетах началась травля Евтушенко из-за опубликования им автобиографии за рубежом. Группа студентов, включавшая Кушельмана, собралась писать против этого протест, а ДА. его уговаривал этого не делать. Когда Марк спросил - «А как же справедливость?», ДА. ответил: «Учись как следует, работай честно - это и будет твой вклад в борьбу за справедливость».

Через несколько дней после того, как у папы случился инфаркт, ДА. разговаривал с профессором А.П. Матусовой, которая руководила папиным лечением. Она спросила: «А что было раньше? Нам важно знать, что было раньше». «Что было, что было - ответил ДА., - двадцать лет травли было!»

От университетской бюрократии приходило неимоверное количество бумаг с требованием срочно предоставить какие-нибудь сведения. Эта работа была неподъёмной, но ДА. нашёл способ, как с этим бороться. Он мне рассказывал: «Когда бумага приходит первый раз, я её выбрасываю в корзину,

4 Семён Григорьевич Гиндикин.

5 Аспирант Д.А. Гудкова.

когда второй - тоже, и отвечаю, только если она приходит третий раз. Так вот, третий раз приходят не больше 10% бумаг!»

Вскоре после того, как я начал работать на кафедре, Д.А. пришёл ко мне на занятие. После этого он дал мне два совета. Один я использовал потом всегда: когда студент у доски решает задачу, пусть он её за собой не стирает - пусть она повисит, пока ты вызываешь следующего, другие на неё ещё посмотрят, может, у них вопросы возникнут. Второй совет был связан с тем, что в университете тогда был очень плохой мел, а в магазинах мела не было: «О меле ты должен сам заботиться».

***

Если вы хотите стать моим учеником, то, во-первых, должны получить тему у меня, а во-вторых - по моей тематике. Я не руковожу работами, в которых не считаю себя специалистом. (Из воспоминаний И. С. Емельяновой, опубликованных в [2].)

***

Помню его выступление на школе молодого лектора. Он говорил, что надо стремиться так составлять расписание, чтобы лекции были в первой половине дня, а перед лекциями не было других занятий, лекцию надо подготовить накануне, а с утра мысленно её повторить. Дмитрий Андреевич принёс конспект своей лекции, написанный столбиком на тетрадке в клетку, сложенной пополам вдоль. Он говорил, что так удобно держать конспект в руке. Лектор может заглядывать в конспект, чтобы не пропустить что-нибудь или уточнить формулировку. (Здесь и ниже до следующих звёздочек - фрагменты из воспоминаний Н.И. Жуковой, опубликованных в [2].)

Однажды ему предложили выступить перед студентами нашей группы с воспоминаниями. Помню, меня поразили его слова: «Воевать - это тоже работа, и мы старались выполнять её как можно лучше».

Однажды, когда мы работали уже на кафедре геометрии и высшей алгебры, нас пригласили на студенческую пресс-конференцию во время «Дня мехмата». Дмитрию Андреевичу задали вопрос: «Чем отличается топология от трепологии?» Он ответил: «Тем, что топологией, в отличие от трепологии, может заниматься не каждый!»

***

Самое примечательное из моих воспоминаний о нём я описал в книге6 -когда он во время новой вспышки антисемитизма (57-58 годы) и скандала из-за аспирантки, в результате которого Сигалов7 ушёл из университета, на

6 Левин А. Свидетельство о войне и мире. - Нижний Новгород: PRO SVET, 2016. - 502 с.

7 Александр Григорьевич Сигалов (1913 - 1969), профессор Горьковского университета. Решил 20-ю проблему Гильберта.

собрании откровенно сказал о сути конфликта на физмате: «Тут разные ко мне претензии предъявляли, а суть проста и состоит в том, что Миролюбов8 считает, что на факультете слишком много евреев, а я никакой проблемы в этом не вижу». (Из воспоминаний А.Я. Левина, опубликованных в [2].)

***

«Кровать - это диван». Как я позже узнал, это объявление, означавшее, что на кровать можно садиться, Дмитрий Андреевич делал для всех впервые к нему приходящих. (Здесь и ниже до следующих звёздочек - фрагменты из моих воспоминаний о Дмитрии Андреевиче, опубликованных в [2].)

Не надо учить меня ставить запятые - это бесполезно. Но как математик я представляю частоту запятых в русском тексте, поэтому, написав текст, я разбрасываю по нему необходимое количество запятых.

И Арнольд, по-видимому, в продолжение какого-то предыдущего разговора с Дмитрием Андреевичем, сказал: «Дмитрий Андреевич, а всё же Лобачевский не был великим математиком!»9 «Ну, не знаю, Владимир Игоревич, может быть, - ответил Дмитрий Андреевич. - Но он был великим учёным!»

«Понимаешь, - ответил Дмитрий Андреевич, - задач у меня много, но они довольно трудные, так что я не могу гарантировать человеку защиту диссертации. Поэтому я беру только тех, кто приходит ко мне сам. С другой стороны, я не считаю, что у меня мало учеников - вот, например, ленинградских ребят, которые очень многому научили меня, я тоже чему-то научил».

Конечно, я консультировал соискателя и читал его работы, но это входит в мои обязанности научного руководителя. Соискатель работал вполне самостоятельно, а я ставлю свою подпись под работой с учеником только тогда, когда мне принадлежат не менее 70% труда.

«Дмитрий Андреевич, зачем вся эта возня, переживания и прочее? Ну, есть диссертация, нет диссертации - какая разница?» Ответ оказался неожиданным: «Ну, ты ещё не понимаешь! Вот представь себе: ты стоишь в набитом автобусе - ни читать, ни дышать. Смотришь на лица пассажиров и думаешь: а кто из них кандидат наук? И тебе становится легче и приятнее».

После 1970 года Дмитрий Андреевич благодаря своим замечательным результатам стал очень известным математиком, его стали приглашать на различные математические конференции на Западе. Однако ни в одной из них он

8 Анатолий Алексеевич Миролюбов (1922 - 1985), профессор Горьковского университета, зав. кафедрой теории функций (с 1964 г.).

9 В.И. Арнольд всегда принижал достижения Лобачевского (на мой взгляд, не слишком обоснованно), например: «Восхвалители Лобачевского восторженно говорят, что он свою геометрию построил. Но точный смысл этих слов - только то, что его попытки опровергнуть её не удались ему» (из интервью с В.И. Арнольдом в книге В.Б. Демидовича «К истории мехмата МГУ» - М.: Изд-во попечительского совета мехмата МГУ. 2013).

так и не принял участия - в последний момент из Москвы приходило сообщение, что в советской делегации уже нет мест. По-видимому, случаем поехать за рубеж не преминул воспользоваться кто-то из околонаучных функционеров или сотрудников органов. Однажды Дмитрий Андреевич сказал мне: «Ты знаешь, я на них не обижаюсь - я уже бывал за границей10, а они, возможно, ещё нет».

***

Почему вы здесь, в Москве, не боретесь с бюрократами? Ведь они препятствуют тому, чтобы старым русским городам были возвращены их исторические названия. Стыдно бездействовать в такой ситуации!

Желаю счастливо пережить трудные времена! (Оба фрагмента - из воспоминаний И.Б. Смирновой, опубликованных в [2].)

***

На кафедру пришла очередная «указивка» из министерства (довольно глупая). По молодости (мне было 28 лет) я начал бурно возмущаться. Д.А. с некоторой ехидцей мне сказал:

- А что ты, собственно говоря, возмущаешься? Ты знаешь, кто работает в министерстве?

- А кто?

- Вот ты пойдёшь на работу в министерство?

- Не пойду.

- И я не пойду. Поэтому там и работают одни дураки! (Из воспоминаний М.М. Шульца, опубликованных в [2].)

***

Бывает тяжело и обидно, но я говорю себе, что я профессор, и я решил 16-ю проблему Гильберта, и просто так меня не возьмёте.

Я счастливый человек - всегда занимался тем, что хотелось. (Оба фрагмента - из воспоминаний Е.И. Шустина, опубликованных в [2].)

ЛИТЕРАТУРА

1. Гудков Д.А. Н.И. Лобачевский. Загадки биографии. - Н. Новгород: изд-во ННГУ, 1992. - 240 с.

2. Дмитрий Андреевич Гудков: документы - переписка - воспоминания. Личность в науке. XX век. Люди. События. Идеи / редактор-составитель Г.М. Полотовский. -Н. Новгород: ННГУ им. Н.И. Лобачевского, 2018. - 332 с.

10 Имелось в виду, что во время войны Дмитрий Андреевич дошёл до Берлина.

3. Арнольд В.И., Виро О.Я., Леонтович-Андронова Е.А., Никулин В.В., Новиков С.П., Олейник О.А., Полотовский Г.М., Харламов В.М. Дмитрий Андреевич Гудков (к семидесятилетию со дня рождения) // УМН. 1989. Т. 44. Вып. 1. С. 223-225.

4. Арнольд В.И., Вершик А.М., Виро О.Я., Корчагин А.В., Леонтович-Андронова Е.А., Новиков СП., Олейник О.А., Полотовский Г.М., Уткин Г.А., Шустин Е.И. Дмитрий Андреевич Гудков (некролог) // УМН. 1992. Т. 47. Вып. 6. С. 195-198.

5. Гордон Е.И., Полотовский Г.М. Об авторе этой книги / В книге [1], с. 237-239.

6. Gordon E.I. Recollection of D.A. Gudkov // AMS Translations. Series 2. 1996. Vol. 173. P. 11-16.

7. Polotovskii G.M. Dmitrii Andreevich Gudkov // AMS Translations. Series 2. 1996. Vol. 173. P. 1-9.

8. Полотовский Г.М. Дмитрий Андреевич Гудков // Вестник Нижегородского университета «Математическое моделирование и оптимальное управление». 2001. Вып. 1 (23). С. 5-16.

9. Миллер М.А. Воспоминания о Д.А. Гудкове. Педагогические тексты и исторические изыскания / С. 275-284 в книге: М.А. Миллер. «Всякая и не всякая всячина, посвящённая собственному 80-летию». - Нижний Новгород: ИПФ РАН, 2005. - 480 с.

10. Полотовский Г.М. Вспоминая Дмитрия Андреевича // Газета «Нижегородский университет». 2008. №5(2064). С. 23.

11. Полотовский Г.М. В.В. Морозов, Д.А. Гудков и первая часть 16-й проблемы Гильберта // Учён. зап. Казан, ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. 2012. Т. 154, кн. 2. С. 31-43.

12. Защитившие Родину. Вып. 3. - Н. Новгород. 1991.

13. Гордон Е.А. Дмитрий Андреевич Гудков в моей жизни // Сетевой журнал «Семь искусств». 2018. №9. http://7i.7iskusstv.com/2018-nomer9-egordon/

Поступила 28.08.2018

THUS SPAKE DMITRY ANDREEVICH

G. M. Polotovskiy

The material to the 100 anniversary since the birth of Professor D.A. Gudkov containing a selection of his statements.

Keywords'. Dmitry Andreevich Gudkov, 100 anniversary since birth.

ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ. ПЕРСОНАЛИИ

УДК 51 (091), 51 (092)

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЕТЕРБУРГ

Г. И. Синкевич

Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет Россия, 190005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская ул., д. 4; e-mail: galina.sinkevich@gmail. com

Обзор новой книги «Математический Петербург. История, наука, достопримечательности. Справочник-путеводитель». Редактор-составитель Г.И. Синкевич, научный редактор А.И. Назаров. - Санкт-Петербург: Образовательные проекты. 2018. - 336 с.

Ключевые слова: книга «Математический Петербург. История, наука, достопримечательности. Справочник-путеводитель».

Новая книга «Математический Петербург. История, наука, достопримечательности. Справочник-путеводитель» (Редактор-составитель Г.И. Синкевич, научный редактор А.И. Назаров. - Санкт-Петербург: Образовательные проекты. 2018. - 336 с.) сочетает историко-научное содержание и форму популярного путеводителя. 57 авторов, написавших 132 статьи, создали панораму более чем 300-летнего периода развития математики в Санкт-Петербурге. Среди авторов - ведущие математики города, историки математики, сотрудники учебных и академических учреждений Санкт-Петербурга.

Книга содержит 4 раздела:

I. Математика в истории Петербурга.

II. Математика на карте Петербурга.

III. Математика Петербурга в лицах.

IV. Прогулки по математическому Петербургу.

Первый раздел, «Математика в истории Петербурга», включает в себя статьи «Математика в Санкт-Петербурге в XVIII - XIX веках», «Съезды, проходившие в Санкт-Петербурге в XIX - начале XX века», «Математика XX века», «Санкт-Петербургское математическое общество» и рубрику «Основные научные направления во второй половине XX - начале XXI вв.», которая содержит 21 параграф: параграфы, посвящённые основным направлениям исследований («Математический и функциональный анализ», «Алгебра и теория чисел», «Геометрия и топология», «Обыкновенные дифференциальные уравнения», «Уравнения в частных производных», «Теория дифракции и распространения волн», «Спектральная теория операторов», «Математическая физика», «Динамические системы», «Теория вероятностей и математическая статистика», «Теория управления», «Вычислительная математика», «Математическая логика, теория вычислимости, теория алгоритмов», «Математические методы в экономике», «Теория упругости», «Теоретическая механика», «Гидроаэромеханика», «Теоретическая астрофизика», «Небесная механика», «История математики»), и параграф «Учебники и монографии»,

содержащий перечень первых изданий наиболее значимых книг, изданных петербургскими математиками.

Завершает первый раздел статья «Основные премии, полученные математиками Ленинграда-Петербурга в XX - начале XXI века».

Второй раздел, «Математика на карте Петербурга», состоит из 7 частей: «Математика в высших учебных заведениях» (Санкт-Петербургский государственный университет, Горный университет, Университет путей сообщения, Архитектурно-строительный университет, Педагогический универси-

тет, Электротехнический университет «ЛЭТИ», Политехнический университет, Бестужевские курсы - первый женский университет в России, Высшие женские политехнические курсы);

«Математика в академических институтах»;

«Пулковская обсерватория (Главная астрономическая обсерватория)»;

«Архив и библиотеки» (Архив Академии наук, Библиотека ПОМИ, Научная библиотека им. М. Горького СПбГУ, Библиотека Главной астрономической обсерватории);

«Музеи» (Музей истории СПбГУ, Коллекция моделей механизмов на мат.-мех. Факультете СПбГУ, Астрономический музей Пулковской обсерватории); «Физико-математические школы Санкт-Петербурга»;

«Олимпиады».

Третий раздел, «Математика Петербурга в лицах», содержит краткие биографии 80 математиков. Начинается эта серия с биографий учёных, приехавших в город в XVIII веке по приглашению только что созданной Петербургской Академии наук: Христиана Гольдбаха, Даниила и Николая Бернулли, Леонарда Эйлера. Их работы положили начало петербургской математической школе. В XIX веке иностранные имена сменяются отечественными - М.В. Остроградский, В.Я. Буняковский, П.Л. Чебышев, О.И. Сомов, Е.И. Золотарёв, C.B. Ковалевская, А.А. Марков. Благодаря работе этих учёных сформировалась проблематика и характерные черты петербургской математической школы. Серебряный век петербургской математики знаменуют А.М. Ляпунов, В.А. Стеклов, А.Н. Крылов, Б.Г. Галёркин, Н.М. Гюнтер, А.А. Фридман. Вопреки трагическим потрясениям XX века новый стимул ленинградской школе дали В.И. Смирнов, С.Н. Бернштейн, Г.М. Фихтенгольц, Д.К. Фаддеев, И.П. Натансон, С.Г. Михлин, А.Д. Александров, В.А. Рохлин, О.А. Ладыженская, Л.Д. Фаддеев. Они явились достойными продолжателями исследований Эйлера, Чебышева и других математиков предшествующих веков.

Четвёртый раздел, «Прогулки по математическому Петербургу», содержит две части: «Памятные математические места Санкт-Петербурга», включающую адреса, мемориальные доски и кладбища, и «Экскурсионные математические маршруты с картами». В истории Санкт-Петербурга были счастливые периоды, когда город притягивал таланты, сообщество прирастало извне; были драматические периоды, когда город преследовал и изгонял своих питомцев. Улицы, набережные и дома Петербурга сохраняют тепло людей, живших и работавших здесь. Петербург чтит память Л. Эйлера, П.Л. Чебышева, Г.М. Фихтенгольца, О.А. Ладыженской и многих других математиков, приехавших и оставшихся здесь навсегда. Петербург помнит Д. Бернулли, Г. Кантора, C.B. Ковалевскую, Д.Ф. Селиванова, СП. Тимошенко, Я.Д. Тамаркина, А.С. Безиковича, СЛ. Соболева, Л.В. Канторовича, отдавших городу многие годы. Все они сохраняли память о Петербурге. На склоне лет Георг Кантор писал «Мои первые чудесные 11 лет, проведенные в прекрасном городе над Невой, к сожалению, никогда не повторятся».

Книга содержит как развёрнутую историческую, так и справочную информацию, более 250 иллюстраций, в том числе редкие фотографии из ар-

хивов Санкт-Петербурга и личных архивов, а также именной указатель, содержащий около 1000 имён.

Коллектив авторов, работавших над книгой, надеется, что она будет интересна школьникам, краеведам, историкам, математикам-петербуржцам и тем, кто бывал или намерен побывать в Петербурге.

Поступила 29.07.2018

MATHEMATICAL PETERSBURG

G. I. Sinkevich

A review of a new book “Mathematical Petersburg. History, science, sights. Guide” (editor-compiler G. Sinkevich, scientific editor A. Nazarov. - St. Petersburg: Educational projects, 2018. - 336 pp.), which combines the historical and scientific content and form of the popular guidebook.

Keywords: book “Mathematical Petersburg. History, science, sights. Guide”.

В НИЖЕГОРОДСКОМ МАТЕМАТИЧЕСКОМ ОБЩЕСТВЕ

О ДЕЯТЕЛЬНОСТИ НИЖЕГОРОДСКОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБЩЕСТВА В 2018 ГОДУ

Ниже приводится информация о деятельности Нижегородского математического общества (ННМО) в 2018 году, в том числе список докладов, прочитанных на научных заседаниях ННМО. Аннотации этих докладов (как и почти всех докладов за предшествующие годы) можно найти на сайте ННМО (http://www.unn.runnet.ru/nnmo/zasedania.html).

Заседание 22 февраля 2018 г.

М.А. Мальков (Университет Калифорнии, Сан-Диего, США). «Точное решение уравнения Фоккера-Планка».

Заседание 02 марта 2018 г.

Д. Б. Мокеев (ИИТММ ННГУ им. Н.И. Лобачевского).

«Об упаковках и вершинных покрытиях и о кёниговых графах».

Заседание 13 марта 2018 г.

В.П. Голубятников (Институт математики им. С.Л.Соболева, Новосибирск).

«Некоторые решённые и нерешённые задачи геометрической томографии».

Заседание 15 марта 2018 г.

В.П. Голубятников (Институт математики им. С.Л.Соболева, Новосибирск).

«Динамические системы, моделирующие поведение генных сетей». Заседание 05 апреля 2018 г.

И. С. Кащенко (Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова).

«Асимптотика быстро осциллирующих пространственно-неоднородных структур в нелинейно-оптических средах».

Заседание 17 мая 2018 г.

Е. И. Гордон (Восточный Иллинойский университет, Чарльстон, США). «Станет ли нестандартный анализ анализом будущего?»

Заседание 23 мая 2018 г.

Совместное открытое заседание Ученого Совета ННГУ им. Н.И. Лобачевского и Нижегородского математического общества, посвященное 100-летию со дня рождения выдающегося математика, профессора ННГУ Дмитрия Андреевича Гудкова.

Г.М. Полотовский (ИИТММ ННГУ им. Н.И. Лобачевского). «Профессор Д.А. Гудков - выдающийся математик и исследователь биографии Н.И. Лобачевского».

Презентация книги «Дмитрий Андреевич Гудков: документы - переписка - воспоминания».

Заседание 17 октября 2018 г.

А. Э. Рассадин (Нижний Новгород).

«О некоторых скрытых взаимосвязях между одномерными вейвлетами и выпуклыми фигурами на плоскости».

Заседание 06 декабря 2018 г.

Совместное научное заседание Семинара по дискретной математике и Нижегородского математического общества, посвященное юбилею профессора В.Е. Алексеева.

В.Е. Алексеев (ИИТММ ННГУ им. Н.И. Лобачевского). «Наследственные классы графов».

Совместно с Нижегородским государственным университетом им. Н.И. Лобачевского в мае 2018 г. издана книга «Дмитрий Андреевич Гудков: документы - переписка - воспоминания. Личность в науке. XX век. Люди. События. Идеи» (редактор-составитель Г.М. Полотовский. - Н. Новгород: ННГУ им. Н.И. Лобачевского, 2018. - 332 с).

Президент ННМО Г. М. Полотовский

Поступила 15.12.2018

ПИСЬМО В РЕДАКЦИЮ

В (прекрасной в целом) статье С.К. Ландо “Владимир Игоревич Арнольд (к 75-летию со дня рождения)”, опубликованной в журнале “Математика в высшем образовании” (2012, № 10, с. 99-110, http://www.unn.ru/math/no/10/ _noml0_011_lando.pdf) и в журнале “Семь искусств” (июнь 2013 г., http:// 7iskusstv.com/2013/Nomer6/Lando1.php), утверждается, что В.И. Арнольд “полагал, что основные продвижения в проблеме Гильберта о представлении функции в виде композиции функций от меньшего числа переменных и в теории КАМ получены его учителем А.Н. Колмогоровым, а его собственный вклад состоит лишь в уточнении и подробной записи результатов Колмогорова”. Это утверждение совершенно не соответствует действительности — ни с точки зрения объективной роли Арнольда в решении 13-й проблемы Гильберта и в становлении теории КАМ, ни с точки зрения того, как Арнольд сам оценивал свой вклад в соответствующие области математики. Это видно, например, из аутентичных текстов Арнольда в юбилейном сборнике “Владимир Игоревич Арнольд. Избранное-60” (М.: ФАЗИС, 1997, http://www.vixri.com/ d2/Arnold%20V.I.%20_Izbrannoe-60_1997g.pdf), подготовленном к шестидесятилетию Арнольда, см. стр. XXXIX, XLIII и 727-740 в этом сборнике. Более подробная аргументация приведена в моем комментарии к статье С.К. Ландо в журнале “Семь искусств”, в моей статье “О Владимире Игоревиче Арнольде” в том же журнале (июль 2014 г., http://7iskusstv.com/2014/Nomer7/Sevrjuk1. php) и в юбилейном сборнике “В.И. Арнольд. К восьмидесятилетию”, М.: Изд-во МЦНМО, 2018, с. 306-307.

М.Б. Севрюк, доктор физ.-мат. наук Поступила 21.09.2018

Математика в высшем образовании

№ 16, 2018

Научно-методический журнал Соучредители:

Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского; Нижегородское математическое общество

Свидетельство о регистрации средства массовой информации Министерства РФ по делам печати, телерадиовещания и средств массовых коммуникаций ПИ № 77-15825 от 7 июля 2003 г.

ISSN 1729-5440

Адрес редакции: 603022, Нижний Новгород, пр.Гагарина, 23

Электронные адреса: polotovsky@gmail.com; inna.yemelyanova@gmail.com Сайт: http://www.unn.ru/math

Компьютерная верстка Е.Ф. Маяцких Оригинал-макет подготовлен с использованием пакета LATeX

Издательство Московского центра непрерывного математического образования. 119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11

Отпечатано с предоставленных файлов в ППП «Типография “Наука”». 119002, Москва, Шубинский пер., 6

Номер подписан в печать ХХ.ХХ.ХХХХ. Заказ № ХХХХ Тираж 250 экз. Цена свободная.

Индекс 87966

ISSN 1729-5440 Математика в высшем образовании, 2018, № 16