ISSN 1729-5440

МАТЕМАТИКА В ВЫСШЕМ ОБРАЗОВАНИИ

14

2016

Московское математическое общество

Нижегородское математическое общество

Санкт-Петербургское математическое общество

МАТЕМАТИКА В ВЫСШЕМ ОБРАЗОВАНИИ

14

2016

Научно-методический журнал

Москва - Нижний Новгород - Санкт-Петербург

Редакционная коллегия:

В.А. Васильев, Москва Е.И. Гордон, Чарлстон (Иллинойс, США) И.С. Емельянова (зам. гл. редактора), Кэмпбелл (Калифорния, США) Н.Ю. Золотых, Нижний Новгород М.И. Кузнецов, Нижний Новгород С.К. Ландо, Москва Н.И. Мерлина, Чебоксары А.И. Назаров, Санкт-Петербург Г.М. Полотовский (гл. редактор), Нижний Новгород Л.Н. Посицельская, Москва Н.Х. Розов, Москва Г.И. Синкевич, Санкт-Петербург А.Г. Ягола, Москва

При перепечатке, переводе на иностранный язык, а также при ином использовании оригинальных материалов журнала ссылки на “Математика в высшем образовании” обязательны

Этот номер журнала опубликован Московским центром непрерывного математического образования

Электронные адреса: polotovsky@gmail.com; inna.yemelyanova@gmail.com Сайт: http://www.unn.ru/math

© Математика в высшем образовании, 2016

Moscow Mathematical Society

Nizhni Novgorod Mathematical Society

St. Petersburg Mathematical Society

MATHEMATICS IN HIGHER EDUCATION

14

2016

Academic Journal

Moscow - Nizhni Novgorod - St. Petersburg

Editorial Board:

V.A. Vassiliev, Moscow E.I. Gordon, Charleston (Illinois, USA) I.S. Yemelyanova (Editor), Campbell (California, USA) N.Yu. Zolotykh, Nizhni Novgorod M.I. Kuznetsov, Nizhni Novgorod S.K. Lando, Moscow N.I. Merlina, Cheboksary A.I. Nazarov, St-Petersburg G.M. Polotovskiy (Editor-in-Chief), Nizhni Novgorod L.N. Positselskaya, Moscow N.Kh. Rozov, Moscow G.I. Sinkevich, St-Petersburg A.G. Yagola, Moscow

No reprint or any use of the material is allowed without reference to “Mathematics in Higher Education”

This issue of the journal is published by the Moscow center for continuous mathematical education

E-mails: polotovsky@gmail.com; inna.yemelyanova@gmail.com Website: http://www.unn.ru/math

© Mathematics in Higher Education, 2016

СОДЕРЖАНИЕ

Содержание и технологии математического образования в вузе

Бегунц А. В., Горяшин Д. В. Об актуальных подходах к преподаванию темы «неопределённый интеграл»...............................................7

Борзых Д. А. Формула Тейлора в нормированных пространствах и метод интегрирования по частям................................................... 17

Костин С. В. О методах доказательства свойств чисел Фибоначчи............ 25

Математика для специалистов различного профиля

Медведева Н. А. Реформы в высшем образовании — кто ответит за последствия? ........................................................................ 43

История математики и математического образования.

Персоналии

Михаил Васильевич Долов (5.11.1934-11.01.2016).............................. 47

Востоков С.В., Лурье Б. Б., Шафаревич И. Р. К 110-летию со дня рождения члена-корреспондента АН СССР Дмитрия Константиновича Фаддеева..................................................................... 51

Шрикришна Г. Дани. Знания о круге в древней Индии......................... 61

Ландо С. К. Виктор Анатольевич Васильев и российское математическое образование.................................................................. 77

Лерман Л. М. В начале было слово: к истории возникновения хаотической динамики..................................................................... 83

Лех Малигранда, Данута Цесельска. Альфред Розенблатт (1880-1947) - польский и перуанский математик........................................... 89

Одинец В. П. Арнольд Вальфиш — жизнь вопреки стереотипам (к 125-летию со дня рождения).................................................... 105

Календарь знаменательных дат в области математики и математического образования на 2017 год.................................................... 113

В Нижегородском математическом обществе

Список докладов, прочитанных на научных заседаниях Нижегородского математического общества.................................................. 151

CONTENTS

Subject and Technologies of Mathematical Education at University

Begunts A. V., Goryashin D. V. On the contemporary approach to teaching of indefinite integration............................................................7

Borzykh D. A. Taylor formula in normed spaces and the method of integration by parts....................................................................... 17

Kostin S. V. On the methods of proof of Fibonacci numbers' properties........... 25

Mathematics for Specialists of Different Types

Medvedeva N. A. Reforms in high education: who will be responsible for the consequences? ................................................................ 43

The History of Mathematics and Mathematical Education. The Prominent Figures

Mikhail Vasilyevich Dolov (5.11.1934-11.01.2016)................................ 47

Vostokov S. V., Lurie В. В., Shafarevich I. R. To the 110 anniversary since the birth of the corresponding member of Academy of Sciences of the USSR Dmitry Konstantinovich Faddeev.............................................. 51

Dani S. G. Cognition of the circle in ancient India................................ 61

Lando S. K. Victor Anatolyevich Vassiliev and Russian mathematical education..... 77

Lerman L. M. In the beginning was the word: to the history of occurrence of chaotic dynamics.............................................................. 83

Lech Maligranda, Danuta Ciesielska. Alfred Rosenblatt (1880-1947) — Polish and Peruvian mathematician.................................................. 89

Odyniec W. P. Arnold Walfisz — the life in spite of stereotype (to the 125 anniversary of the birth)..................................................... 105

Calendar of significant dates in the field of mathematics and mathematical education for 2017............................................................ 113

In the Nizhni Novgorod Mathematical Society

The list of the talks at scientific meetings of the Nizhny Novgorod mathematical society....................................................................... 151

СОДЕРЖАНИЕ И ТЕХНОЛОГИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ В ВУЗЕ

УДК 517.31

ОБ АКТУАЛЬНЫХ ПОДХОДАХ К ПРЕПОДАВАНИЮ ТЕМЫ «НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ»

А. В. Бегунц, Д. В. Горяшин

Механико-математический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова Россия, 119991, г.Москва, Ленинские горы, Главное здание МГУ; e-mail: ab@rector.msu.ru, goryashin@mech.math.msu.su

В статье описывается подход к преподаванию темы «неопределённый интеграл», основанный на понимании сути интегрирования, а не на отработке стандартных алгоритмов. На примерах демонстрируется зависимость формы ответа от метода интегрирования и области, в которой ищется первообразная. Подчёркивается важность понимания этих особенностей при применении программных средств к задачам интегрирования.

Ключевые слова: математическое образование, неопределённый интеграл, первообразная, интегрирование.

Методы отыскания первообразной функции действительной переменной являются неотъемлемой частью любого курса высшей математики и основой для нахождения точного значения определённого интеграла. Понятие неопределённого интеграла вводится ещё в старших классах средней школы, но наполняется содержательным смыслом именно в высшей школе. Студентам доказывают основные свойства первообразной, учат ключевым приёмам интегрирования, рассматривают конкретные методы отыскания первообразных, применимые к функциям из определённых классов. Многие выполняемые задачи на интегрирование носят алгоритмический, далеко не творческий характер. По нашему мнению, с появлением современных программных продуктов, позволяющих буквально за доли секунды найти первообразную, а также вычислить определённый интеграл, на первый план при работе со студентами выходят задачи, показывающие необходимость понимания сути понятия первообразной и владения основными приёмами интегрирования вне зависимости от наличия или отсутствия возможности для использования современной вычислительной техники, а также исследовательские задачи, позволяющие студентам глубже проникнуть в данную тему и раскрыть свои творческие способности. Кроме того, даже при решении с помощью компьютера задач, требующих громоздких вычислений (например, нахождения большого количества неопределенных коэффициентов), необходимо уметь анализировать и правильно интерпретировать выданный программой ответ, а также понимать, что форма его представления не обязательно оптимальна для тех или иных целей.

Начнём с одного примера на интегрирование рациональных функций (см. [1, задача 1920; 2, задача 199, с. 204]):

Студенты, «выполнившие» интегрирование при помощи вычислительной техники (например, с помощью программы Mathematica), без колебаний напишут ответ

(аддитивную константу С мы опустим) и, возможно, приведут правдоподобные выкладки. С другой стороны, для несобственного интеграла по лучу [0; +оо) та же программа даёт следующий ответ:

Возникает проблема, ставящая в тупик неподготовленных студентов: с одной стороны, F (ж) и в самом деле равна 6 ^ ^, а, с другой стороны,

поэтому данный несобственный интеграл не мог быть вычислен по формуле Ньютона-Лейбница для указанной функции F(x).

На этом месте как раз уместно подчеркнуть необходимость понимания того, что первообразная функции, непрерывной на промежутке, существует на всём этом промежутке, а значит, мы должны были найти первообразную на всей числовой прямой. Очевидно, функция F(x) таковой не является. Тем не менее, после некоторой «доработки» можно получить верный ответ. В точках ±1 функция F(x) имеет разрывы первого рода, причём

Таким образом, функция F(x) в этих точках совершает два скачка величин =F— • — соответственно. Значит, если доопределить функцию F(x), положив

и ввести функцию скачков <р(х), равную — • — на интервале (—1; 1) и равную нулю вне этого интервала, то ответ к задаче нахождения первообразной

функции —7- на всей числовой прямой можно записать в виде

где С — произвольная постоянная. Нестрого говоря, мы «склеили» три первообразные, определённые на промежутках (—оо; —1), (—1; 1) и (1; +ос), воспользовавшись тем, что каждая из них имела свою произвольную аддитивную постоянную, а разрыв точках ±1 был именно первого рода.

Конечно, ответ, требующий «склейки» (правда, только в одной точке), мог получиться не только при использовании компьютера, но и при решении задачи вручную, например, следующим образом:

В любом случае, имеет смысл предложить студентам найти элементарную функцию, являющуюся первообразной на всей числовой прямой. Это можно сделать, например, стандартным методом интегрирования рациональных функций, основанном на разложении её на простейшие дроби. Для данной подынтегральной функции такое разложение имеет вид

(и, кстати, подсчет коэффициентов в этом разложении как раз и можно поручить компьютеру как сугубо техническую процедуру с однозначным ответом), а интегрирование полученного выражения даёт

Отметим, что первоначальная форма ответа, найденная с помощью компьютера, является «упрощением» этой формы ответа — сумма арктангенсов в скобках заменена на arctg-~. Понятно, что такая замена (с точностью до константы) возможна отдельно на промежутках, не содержащих точек ±1, но не на всей числовой прямой. При желании можно попытаться записать сумму всех трёх арктангенсов в виде одного — в результате получится, вероятно, самая экзотическая форма ответа:

Она приводится в книге [3, с. 128] в качестве демонстрации эффекта, который мы уже видели выше: если формально воспользоваться этой первообразной и формулой Ньютона-Лейбница для вычисления определённого интеграла по отрезку [0; 1], то получится 0, в то время как подынтегральная функция положительна.

Другой, более короткий, но и более изобретательный способ нахождения первообразной на всей числовой прямой таков:

Здесь мы действовали «в обход» стандартной схемы интегрирования рациональной функции и быстрее получили ответ.

Отметим, что попутно нами было получено, что на каждом из лучей х < 0 X2 - 1 и X > 0 функция arctg-отличается от суммы arctg х + arctg ж3 на некоторую константу. На самом деле, при х ф 0 справедливо равенство

Аналогично, при х ф ±1 выполнено соотношение

Однако эти и иные подобные им формулы для сумм аркфункций выпадают из современных курсов математики, поэтому рассчитывать на их знание даже сильными студентами не приходится. Тем не менее, студентам можно предложить такую задачу: при всех а > 0 научиться подобным образом выражать функцию arctg-через арктангенсы и функцию скачков. Зачем это может потребоваться, покажем на примере ещё одной классической задачи, без рассмотрения которой (или её аналога) изучение темы интегрирования обычно не обходится:

(см. 1, задача 1884; 2, задача 189, с. 203; 4, задача 2.6.2]). В книгах [1] и [4] ответ к этой задаче имеет вид

а в книге 2 вместо arctg-~ значится arctg-Расширить работу со студентами можно, например, обсудив следующие дополнительные интересные вопросы.

1. Существует ли первообразная подынтегральной функции на всей числовой прямой? (Да.)

2. Являются ли указанные функции первообразными подынтегральной функции на всей числовой прямой? (Нет.)

3. Как следует «скорректировать» каждую из этих первообразных для того, чтобы исправить ситуацию? (Надо доопределить в точках разрыва и прибавить подходящую функцию, компенсирующую скачки в точках разрыва: 2 скачка в первом случае и 1 скачок во втором).

4. Какие методы решения данной задачи приводят к указанным ответам? (Вопрос не такой простой.)

5. Можно ли найти такую элементарную функцию, чтобы она была первообразной подынтегральной функции на всей числовой прямой?

Конечно, ответ на последний вопрос несложен: достаточно просто «честно» взять интеграл методом разложения на простейшие дроби. Полученный ответ будет иметь вид

Также можно обсудить со студентами вопрос о том, почему при любой попытке соединения двух арктангенсов в один происходит потеря этого важного свойства.

Если подынтегральная функция определена не на всей прямой, то возникает вопрос о нахождении первообразных на непересекающихся промежутках, объединение которых совпадает с областью определения подынтегральной функции. В качестве иллюстрации рассмотрим интеграл [2, задача 391, с. 223]

Программы Maple и Mathematica выдают в качестве ответа весьма громоздкие выражения, содержащие эллиптические функции. Прежде чем приступать к нахождению первообразной, необходимо сначала проанализировать, на каких участках числовой прямой определено подынтегральное выражение. Если sin ж cos ж ^ 0, cos ж ф 0, то либо

где п G Z; в первом случае sin ж и cos ж оба неотрицательны, а во втором - неположительны. Кроме того, из второй серии также следует исключить точки ж = —+Z7rn, в которых обнуляется знаменатель. эти серии промежутков не пересекаются, и на каждом из них первообразная находится отдельно.

Полагая

имеем

Мы видим, что на разных участках вид первообразной существенно различается. Схожая ситуация типична и для интегралов, содержащих корень из квадратного трёхчлена, имеющего два корня. Например, в случае интеграла

[2, задача 309, с. 220] первообразные на участках х < — - и х > 0 имеют вид arcsm —-- и — arcsm —-- соответственно. В данном случае можно записать общий для всей области определения ответ в следующем виде:

Таким образом, рассмотренные задачи являются несложными с технической точки зрения, а на первый план при их решении выходят вопросы анализа области существования подынтегральной функции и учёта этой области при проведении выкладок.

Особую роль при работе со студентами математических специальностей играют исследовательские задачи, позволяющие каждому заинтересовавшемуся данной темой уже на первом курсе совершить маленькое открытие и, возможно, представить результат исследования в качестве краткого доклада на семинаре.

Примером подобной задачи является следующая. Задана элементарная функция f{x). Возможно ли, чтобы на различных промежутках из её области определения первообразные имели существенно различный вид? Более строго говоря, пусть F[[x) = f(x) при X G (a; b) и F^x) = f(x) при х G (с; d), причём F\(x) и также элементарные функции. Может ли быть так, что эти функции принадлежат разным классам (например, одна — тригонометрическая, а другая нет). Опыт показывает, что студенты, придумавшие примеры подобных функций, выходят на более высокий уровень понимания данной темы.

Например, рассмотрим функцию

Заметим, что для вычисления определённого интеграла от функции /(ж), скажем, по отрезку [0; 2] (конечно, это будет несобственный интеграл), потребуются обе первообразные, которые надо будет «склеить» в точке 1. Разумеется, две указанные действительнозначные функции фактически являются различными записями одной и той же комплекснозначной функции. В этой связи добавим, что выход в комплексную область в ряде случаев упрощает задачу нахождения первообразной, поскольку все основные элементарные функции являются или рациональными, или их можно выразить через экспоненту и логарифм. Тем не менее, в данной статье мы остаёмся в рамках стандартных курсов и обсуждаем лишь действительнозначные функции.

К исследовательским задачам, безусловно, относятся неопределённые интегралы, зависящие от параметра (см., например, [4, задачи 5.197-5.234]). Выполняя такие задания, студент учится анализировать, внимательно перебирая случаи, и не тратит сил на излишнюю техническую работу.

Ещё один пример проблемы для самостоятельного исследования — отыскание наиболее подходящего метода интегрирования для тех функций, первообразная которых может быть найдена различными способами. В ряде случаев студенты могут прийти к содержательным выводам, выраженным в конкретных указаниях, когда следует предпочесть тот или иной метод. Например, таковы задачи на применение метода неопределённых коэффициентов и метода Остроградского к одной и той же рациональной функции, задачи на интегрирование тригонометрических функций (скажем, вида sinn х cos771 ж, п, m G Z), применение тригонометрических и гиперболических подстановок и иных методов при отыскании первообразной функции, содержащей л/а2 — ж2,

Мы остановимся на задаче, связанной с интегрированием выражений, содержащих корень из квадратного трёхчлена. В курсы математического анализа и популярные задачники обычно входят подстановки Эйлера (см., например, [1, 4]) и подстановка Абеля (см., например, [2, 4]). Вопрос об выборе конкретной подстановки (даже только подстановки Эйлера в том случае, когда применимы две и более из них) для нахождения данного интеграла может быть весьма интересен для исследовательской работы студентов.

В качестве примера рассмотрим интегралы

(см. [1, задачи 1960 и 1966]). Для первого из них особенно эффективна подстановка Абеля, а для второго — (первая) подстановка Эйлера.

Если применить к интегралу

подстановку Абеля

то он сведётся к такому интегралу от рациональной функции:

Если применить к этому же интегралу подстановку Эйлера л/ж2 + 2 = z — ж, то получится интеграл от другой рациональной функции, который также находится нетрудно:

Здесь арктангенс записан в другом виде (точнее, он отличается от арктангенса, возникшего в предыдущем случае, на — ). Заметим, что самый простой способ найти этот интеграл — применение подстановки х = у/2 igt — приводит к такому же ответу, как в первом случае. К интегралу

подстановка Абеля напрямую неприменима. Применение подстановки Эйлера сводит его к интегралу от рациональной функции

который легко находится разложением на простейшие дроби.

Отметим тот факт, что подстановки Эйлера связаны с рациональной параметризацией кривых второго порядка. Поскольку возможность рациональной параметризации кривых является одним из разделов алгебраической геометрии (см., например, [5]), рассмотрение этого аспекта может служить наглядной иллюстрацией взаимосвязи между различными областями математики.

Обсуждение неопределённого интеграла было бы неполным и без вопроса о том, что существуют элементарные функции, первообразные которых неэлементарны. В современных курсах математического анализа этот факт лишь упоминается и приводятся наиболее известные примеры, доказательство же этого утверждения относится, скорее, к алгебре. По нашему мнению, для самостоятельного изучения студентами данная тема достаточно сложна.

Заинтересованному читателю для более детального знакомства с вопросом можно порекомендовать статью [6].

Владение современными программными средствами необходимо современному исследователю (см., например, [7]), но вместе с тем он должен сознавать границы применимости этих средств и разумно относиться к их использованию. Нелишним будет упомянуть и тот факт, что такие программные продукты рассчитаны на профессионала, владеющего теорией функций комплексной переменной, знающего необходимый набор специальных функций и т. п. (зачастую программы дают ответ, содержащий комплекснозначные и специальные функции).

В заключение подчеркнём, что, по нашему мнению, понимание основных методов интегрирования и умение самостоятельно проводить письменные выкладки для нахождения первообразных по-прежнему являются обязательными для студентов математических специальностей и направлений подготовки. Поэтому отход от рутинного прохождения материала (с акцентом на технические преобразования и действия по шаблону), поиск новых постановок учебных задач в классической области, предоставление студентам возможности для самостоятельного исследования будут способствовать наиболее полному усвоению данной темы, стимулируя интерес к предмету и повышая качество математического образования в целом.

ЛИТЕРАТУРА

1. Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. Любое издание.

2. Виноградова И. А., Олехник С.Н., Садовничий В. А. Задачи и упражнения по математическому анализу: Пособие для университетов, пед. вузов. 3-е изд., испр. — М.: Дрофа, 2001. Ч. 1: Дифференциальное и интегральное исчисление. 725 с.

3. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том П. — М.: Наука, 1969. 800 с.

4. Кудрявцев Л. Д., Кутасов А. Д., Чехлов В. И., Шабунин М. И. Сборник задач по математическому анализу: Интегралы, ряды: Учеб. пособие для вузов. — М.: Наука, 1986. 528 с.

5. Шафаревич И. Р. Основы алгебраической геометрии. — М.: МЦНМО, 2007. 589 с.

6. Прасолов В. В. Неэлементарность некоторых интегралов элементарных функций // Математическое просвещение. Третья серия. — М.: МЦНМО, 2003. Вып. 7. С. 126-135.

7. Егоров А. И. Тому ли мы учим студентов, что им потребуется в будущем? // Математика в высшем образовании. 2015. Т 13. С. 17-30.

Поступила 03.09.2016

ON THE CONTEMPORARY APPROACH TO TEACHING OF INDEFINITE INTEGRATION

A. V. Begunts, D. V. Goryashin.

The paper considers the approach to teaching of indefinite integration based on understanding of its essence rather than working out standard algorithms. Various examples showing dependence of the answer form on the domain of integration and on the method employed are given. The importance of appreciation of these features when using software for integration is emphasized.

Keywords: mathematics education, indefinite integral, antiderivative, integration.

СОДЕРЖАНИЕ И ТЕХНОЛОГИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ В ВУЗЕ

УДК 517.988.54

ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА В НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ И МЕТОД ИНТЕГРИРОВАНИЯ ПО ЧАСТЯМ

Д. А. Борзых

Национальный исследовательский университет Высшая школа экономики Россия, 119049, г.Москва, ул. Шаболовка, 28; e-mail: borzykh.dmitriy@gmail. com

В работе приводится альтернативное доказательство известной формулы Тейлора для операторов, действующих в нормированных пространствах. В качестве способа доказательства используется метод интегрирования по частям. Этот способ ранее применялся при выводе формулы Тейлора с остаточным членом в интегральной форме для функции одной переменной. В данной работе показано, что этим же способом можно получить формулу Тейлора и для случая операторов.

Ключевые слова: формула Тейлора, оператор, нормированное пространство, производная Фреше, метод интегрирования по частям.

1. Предварительные сведения

Приведем необходимые определения и факты.

Отображение ж, определенное на отрезке [a; b] Ç M и принимающее значения в нормированном пространстве X, будем называть абстрактной функцией. Непрерывность и равномерная непрерывность таких функций определяется стандартным способом. Абстрактная функция х называется непрерывной в точке to G [а;Ь], если для любого е > 0 найдется такое ö > 0, что из условий t G [a; b] и \t — to\ < 6 вытекает неравенство \\x(t) — ж(£о)|| < s. Если абстрактная функция непрерывна в каждой точке отрезка [а; Ь], то она называется непрерывной. Абстрактная функция х называется равномерно непрерывной на отрезке [а; Ь], если для любого е > 0 можно указать такое ö > 0, что из условий ti, ^2 G [a; b] и \t\ — £2! < S следует неравенство ||x(ti) — ж(^2)|| < е. Для абстрактных функций справедлива теорема Кантора (см. [1, гл. VI, §25, с. 254]): всякая непрерывная на отрезке абстрактная функция равномерно непрерывна на этом отрезке.

Производной абстрактной функции х: [а;Ь]^1в точке to G (а; b) называется предел

Все основные свойства производных, известные из курса математического анализа, справедливы и для абстрактных функций (см. [1, гл. III, § 13, с. 137]).

Производные более высоких порядков от абстрактных функций вводятся индуктивно:

Понятие интеграла Римана также переносится на случай абстрактных функций х: [а; Ь] —> X. При этом предположение о полноте нормированного пространства X является существенным. Рассмотрим произвольный фиксированный набор точек а = to < t\ < ... < tjy = b. Совокупность Г = = {to, £i,...,£/v} называется разбиением отрезка [а;Ь]. Отрезки [U-i;ti] называются частичными отрезками разбиения Т. Диаметром разбиения Т будем называть величину diam (Г) = max А^, где Ati := t{ — t%-\. На каждом частичном отрезке выберем по точке в{. Эти точки будем называть промежуточными точками. Интегральной суммой Римана для абстрактной функции ж, отвечающей разбиению Г с отмеченными точками 0i,..., 0/у, называется сумма

Абстрактная функция х называется интегрируемой по Риману на отрезке [а; Ь], если существует такой элемент IgI, что для любой последовательности разбиений отрезка [а; Ь]

диаметры которых стремятся к нулю, и для любого выбора промежуточных точек в^п G [U-i^n] ti,n]j i = 1, 2,..., 7Vn, n = 1,2,..., справедливо равенство

При этом элемент / называется интегралом Римана от функции ж на отрезке [а; Ь] и обозначается J ж(£) (it.

Так же, как и для вещественных функций одной переменной, доказывается теорема о том, что всякая непрерывная на отрезке абстрактная функция является интегрируемой по Риману (см. [1, гл. VI, §25, стр.255]). При этом оказываются справедливыми и все основные свойства интеграла Римана (см. там же, гл. VI, §25, стр. 256-258). Ниже мы перечислим некоторые свойства интеграла, которые нам потребуются в дальнейшем.

1. Если X — непрерывная на отрезке [а; Ь] абстрактная функция, то справедлива следующая оценка:

2. Для непрерывно дифференцируемых на отрезке [а; Ь] абстрактных функций имеет место формула Ньютона - Лейбница:

3. Пусть X, У, Z — банаховы пространства, и для элементов х G X определено умножение справа на элементы у G У, т. е. задан некоторый ограниченный билинейный оператор В : X х У —> Z, с помощью которого определяется операция ху := В(х,у), именуемая операцией умножения справа. Тогда если абстрактные функции х и у непрерывно дифференцируемы на отрезке [а; Ь], то справедлива формула интегрирования по частям:

Теперь перейдем к теории дифференцирования операторов, действующих в нормированных пространствах. Оператор F, действующий из нормированного пространства X в нормированное пространство У, называется дифференцируемым по Фреше в точке i G I, если существует линейный ограниченный оператор A G L(X, У)1, для которого имеет место соотношение

где ||cj(x, h)\\ = o(||/i||), h —> 0, a именно, -ц^ц--► О (Л. —> 0). При этом линейный ограниченный оператор А называется производной Фреше оператора F в точке X G X и обозначается F'(x). Значение линейного ограниченного оператора Ff[x) G L(X, У) на элементе h Е X будем обозначать Ff(x)[h] G У.

Оператор F, действующий из нормированного пространства X в нормированное пространство У, называется дважды дифференцируемым по Фреше в точке X G X, если первая производная Фреше ^'(-) определена в некоторой окрестности точки х и существует линейный ограниченный оператор A G L(X,L(X,У)), для которого

где ||cj(x, Д)|| = o(||/i||), Л. —> 0. Данный оператор А называется второй производной Фреше оператора F в точке х и обозначается F“{x). Значение оператора F”{x) на элементе h\ G X будем обозначать F“(x)[h\\ G L(X, У); в свою очередь, значение оператора Fff(x)[h\] на элементе li2 £ X есть (F”(x)[hi]) [/12] G У, при этом удобно использовать запись:

1 L(X, Y) — пространство линейных ограниченных операторов из X в Y.

Помимо краткости, дополнительная причина для данного обозначения состоит в том, что определенное таким образом отображение Fn(x)\-, •] : X х X X —> Y является ограниченным билинейным оператором (см. [2, гл. X, § 1, стр.505] или [3, гл.2, §2.2, стр.136].

Аналогично вводится понятие производной Фреше более высокого порядка. А именно, оператор F: X —> Y называется п раз (п > 3) дифференцируемым по Фреше в точке iEl, если производная (п — 1)-го порядка F(n-1)(-) определена в некоторой окрестности точки х и существует линейный ограниченный оператор

для которого

Оператор А называется производной Фреше п-го порядка оператора F в точке ж, обозначается F^n\x): и аналогично случаю производной второго порядка, пишем

Для вывода формулы Тейлора нам понадобится следующее неравенство:

(1)

2. Формула Тейлора

Лемма. Если оператор F: X —> Y является п раз дифференцируемым по Фреше в точке х + îh (х, h G X, i G №), то

(2)

Доказательство. Докажем лемму для случая п = 1. Согласно определению производной абстрактной функции

(3)

Далее, поскольку оператор F дифференцируем по Фреше в точке x+th, имеет место соотношение

которое с учетом равенства (3) дает требуемое:

Здесь мы воспользовались тем, что

Теперь получим утверждение леммы при п = 2. По доказанному выше для п = 1, имеем

(4)

Из дифференцируемости по Фреше оператора F'(-) в точке х + следует

(5)

С учетом формулы (5) равенство

(4) может быть переписано в виде:

(6)

Тогда из соотношений

и равенства (6), получаем требуемое:

Доказательство общего случая аналогично случаю п = 2. ■ Теорема (формула Тейлора). Пусть X, Y — банаховы пространства, и производная F^n+1\-) оператора F: X —> Y непрерывна в некоторой выпуклой окрестности U точки х G X, п > 0. Тогда для любого элемента h такого, что х + h G U, имеет место формула Тейлора :

(7)

где остаточный член

Доказательство. Докажем соотношение (7). Используя формулу Ньютона-Лейбница, формулу интегрирования по частям, а также равенство (2), получаем

Теперь докажем оценку остаточного члена: ||cj(x, h)\\ = o(||/i||n), h —> 0. Поскольку производная F^n+1\') непрерывна в выпуклой окрестности U точки ж, для любой фиксированной точки h (ж + h G U) абстрактная функция является непрерывной по t на отрезке [0; 1]. Поэтому по теореме Вейерштрасса найдется такая константа С > 0, что для всех t G G [0; 1] справедливо неравенство ||F(n+1)(x + th)\\ < С. Кроме того, в силу неравенства (1) справедлива оценка

Следовательно,

откуда получаем требуемое:

ЛИТЕРАТУРА

1. Треногин В. А. Функциональный анализ. Изд. 3-е. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002.

2. Колмогоров А. Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. Изд. 7-е. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.

3. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. Изд. 3-е. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007.

Поступила 31.01.2016

TAYLOR FORMULA IN NORMED SPACES AND THE METHOD OF INTEGRATION BY PARTS

D. A. Borzykh

The paper provides an alternative proof of the well-known Taylor formula for operators mapping in normed spaces. As a method of the proof we use the method of integration by parts. This approach was previously applied to the derivation of Taylor formula with the residual member in the integral form for a function of one variable. In this article it is shown that the same method can be applied to obtain a Taylor formula for operators.

Keywords: Taylor formula, operator, normed space, the Frechet derivative, the method of integration by parts.

СОДЕРЖАНИЕ И ТЕХНОЛОГИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ В ВУЗЕ

УДК 511.176 + 519.111.3 + 378.147

О МЕТОДАХ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА СВОЙСТВ ЧИСЕЛ ФИБОНАЧЧИ

С. В. Костин

Московский технологический университет (МИРЭА) Россия, 119454, г.Москва, пр. Вернадского, 78; e-mail: kostinsv77@mail.ru

Приводятся пять различных доказательств одного важного свойства чисел Фибоначчи. Обсуждаются достоинства и недостатки рассмотренных доказательств. Отмечается возможность использования чисел Фибоначчи для стимулирования познавательной активности обучающихся.

Ключевые слова: числа Фибоначчи, линейное рекуррентное уравнение, производящая функция, метод математической индукции.

Введение

Рассмотрим линейную рекуррентную1 последовательность второго порядка, задаваемую рекуррентным соотношением

(1)

и начальными условиями /о — 0, f\ = 1. Эту последовательность называют последовательностью Фибоначчи2, а сами числа /о? fii /2? • • • называют числами Фибоначчи.

1 Слово «рекуррентный» происходит от латинского слова recurrens — возвращающийся. Русским синонимом прилагательного «рекуррентный» является прилагательное «возвратный». Подробнее о рекуррентных (возвратных) последовательностях можно прочитать, например, в книгах [1, 2].

2 Леонардо Пизанский (более известный по прозвищу Фибоначчи, что в переводе с латинского языка означает «сын Боначчо») (ок. 1170-ок. 1250) — итальянский математик, один из основоположников математики нового времени. Ознакомившись с достижениями античных и индийских математиков, Фибоначчи написал ряд математических трактатов, представляющих собой выдающееся явление средневековой западноевропейской науки. Главный труд Фибоначчи «Книга об абаке» (1202 г.) состоит из 15 глав и содержит почти все арифметические и алгебраические сведения того времени, изложенные с исключительной полнотой и глубиной. Именно по этой книге многие поколения европейских математиков изучали позиционную систему счисления (арабские цифры), более удобную для вычислений, чем непозиционная система счисления (римские цифры). Основную роль в своих книгах Фибоначчи отводил задачам, их решениям и комментариям. В одной из рассмотренных им задач (задаче о размножении кроликов) и появляются числа, которые сейчас называются числами Фибоначчи. Подробнее о Фибоначчи и числах Фибоначчи см., например, книги [3-5].

Числа Фибоначчи обладают огромным количеством интересных свойств и возникают (подчас весьма неожиданно) в самых различных разделах математики. Достаточно упомянуть тот факт, что числа Фибоначчи были использованы Ю. В. Матиясевичем при доказательстве того, что не существует алгоритма, позволяющего определить, разрешимо ли алгебраическое уравнение с целыми коэффициентами во множестве целых чисел (подробнее об этом можно прочитать в книге [6]). Тем самым была решена десятая проблема Гильберта.

В данной статье мы рассмотрим лишь одно из многочисленных свойств чисел Фибоначчи, а именно, мы рассмотрим равенство

(2)

Мы приведем пять различных доказательств равенства (2) и в конце статьи обсудим возможность использования чисел Фибоначчи при преподавании математики в школе и вузе для стимулирования познавательной активности обучающихся.

1. Доказательство, основанное на использовании формулы Бине

Пусть линейная рекуррентная последовательность второго порядка3 [#п]п^о удовлетворяет равенству

(3)

и начальным условиям хо = а, Х\ = Ъ.

3 Последовательность — это функция, определенная на множестве натуральных чисел N или на множестве Z^s = {х G Z | х ^ s} всех целых чисел, которые не меньше целого числа s. Мы записываем члены последовательности х: N —> Ш (ж: Z^s —> R) в квадратных скобках: х = [хп] = [х\, Х2, хз,...] (х = [хп] = [xs, xs+i, xs+2, • • •])• Иногда, чтобы подчеркнуть, что нумерация членов последовательности [хп] начинается с целого числа s, мы используем запись [xn]^s.

В некоторых книгах члены последовательности х записывают в фигурных (а не квадратных) скобках, то есть пишут х = {хп} = {х\,Х2,хз,...}. Это соглашение нельзя признать очень удачным, поскольку фигурные скобки в математике обозначают множество, а последовательность и множество — это разные математические объекты (в множестве элементы не упорядочены, а в последовательности у каждого члена есть свой индивидуальный номер).

В каком-то смысле последовательность похожа не столько на множество, сколько на матрицу, имеющую одну строку и бесконечное количество столбцов. Элементы матрицы в современных учебниках математики принято заключать в квадратные скобки. Поэтому члены последовательности мы тоже заключаем в квадратные скобки.

Рассмотрим два множества А = {1, 2, 3,4, 5,...}, В = {2,1, 3,4, 5,...} и две последовательности X = [1,2,3,4,5,...], у = [2,1,3,4,5,...]. Множества А и В состоят из одних и тех же элементов, а значит, эти множества равны: А = В. (Оба эти множества совпадают с множеством N натуральных чисел.) В то же время последовательности х и у не равны, поскольку первый член х\ — 1 последовательности х не равен первому члену у\ = 2 последовательности у (то есть x:N^Rhi/:N^R — это различные отображения, поскольку xi = х(1) = 1 ф 2 = 2/(1) = у\ ). Этот пример еще раз показывает, что члены последовательностей нецелесообразно записывать в фигурных скобках.

Составим для этой последовательности характеристическое уравнение:

(4)

Пусть имеет место невырожденный случай, то есть дискриминант D = = а2 + Aß уравнения (4) отличен от нуля. В этом случае уравнение (4) имеет два различных корня Ai и Л2 (если D > 0, то числа Ai и А2 являются действительными; если D < О, то числа Ai и А2 являются комплексными числами с ненулевой мнимой частью).

Как известно из теории линейных рекуррентных уравнений, общее решение уравнения (3) имеет в этом случае вид

(5)

где числа Ci и С2 находятся из начальных условий xq = а, Х\ = Ъ.

Применим все изложенное выше к последовательности Фибоначчи (1). В этом случае характеристическое уравнение (4) имеет вид

(6)

Корни этого уравнения

Числа С\ и С2 легко находятся из начальных условий /о = 0, /1 = 1 и равны С\ = —р, С2 =--—. Окончательно мы приходим к следующей формуле:

(7)

Эту формулу называют формулой Бине4.

Отметим, что, согласно теореме Виета, корни Ai и А2 уравнения (6) удовлетворяют равенствам

(8)

Применим формулу Бине (7) для доказательства равенства (2). Нам понадобится следующая довольно простая лемма.

Лемма 1. При всех натуральных п имеет место равенство

(9)

Доказательство. При п = 1 и при п = 2 равенство (9) проверяется непосредственно (при проверке целесообразно использовать формулы (8)):

4 Бине Жак Филипп Мари (1786-1856) — французский математик.

Пусть п = к (к ^ 3) и пусть равенство (9) справедливо при п = к — 1 и при п = — 2, то есть пусть имеют место равенства

(10)

(11)

Сложим равенства (10) и (11) почленно:

(12)

Учтем, что числа Ai и Л2 являются корнями уравнения (6), а значит, имеют место равенства Ai + 1 = Af, A2 + I = А^. Также учтем, что числа Фибоначчи fn удовлетворяют рекуррентному соотношению (1), а значит, имеют место равенства Д + fk_i = Д+1, Д_2 + Д_з = Д_ь В результате из равенства (12) мы получим равенство

(13)

Последнее равенство представляет собой не что иное, как равенство (9) при п = к.

Итак, равенство (9) доказано при всех натуральных п. □ Применим формулы (7) и (9) для вывода формулы (2). Имеем:

Равенство (2) доказано.

2. Доказательство, основанное на введении вспомогательных рекуррентных последовательностей

Мы хотим доказать справедливость равенства (2). В левой и правой частях этого равенства стоят некоторые числа. Обозначим эти числа символами дп и hn, то есть введем в рассмотрение последовательности [<7п]п^о? [^п]п^о со следующими членами:

(14) (15)

Выведем рекуррентное соотношение, которому удовлетворяет последовательность [дп]. При любом п ^ 2 имеем:

(16)

Теперь выведем рекуррентное соотношение, которому удовлетворяет последовательность [hn]. При любом п ^ 2 имеем:

(17)

Таким образом, согласно формулам (16) и (17), последовательности [дп] и [hn] удовлетворяют одному и тому же рекуррентному соотношению

(18)

Кроме того, эти последовательности имеют также одинаковые начальные условия:

Поскольку начальными условиями xq = 1, х\ = 2 и рекуррентным уравнением (18) числовая последовательность определяется однозначно, мы обязаны сделать вывод, что при всех п G Z, п ^ 0, имеет место равенство дп = hn. Последнее равенство представляет собой не что иное, как равенство (2).

Равенство (2) доказано.

3. Доказательство, основанное на использовании метода математической индукции

В первом рассмотренном нами доказательстве метод математической индукции использовался при доказательстве леммы. Во втором рассмотренном нами доказательстве метод математической индукции тоже фактически использовался (в неявном виде), когда на основании совпадения начальных условий и рекуррентных соотношений мы сделали вывод, что все члены рассматриваемых последовательностей совпадают.

Тем не менее, сейчас мы приведем еще одно доказательство равенства (2), также основанное на использовании метода математической индукции5. Это

5 Отметим, что различным аспектам метода математической индукции ранее уже были посвящены статьи автора [7] и [8]. В частности, в задаче 3 из статьи [8] рассматривается весьма любопытная двусторонняя линейная рекуррентная последовательность третьего порядка.

доказательство очень поучительно по той причине, что в нем мы столкнемся с таким явлением, как «парадокс индукции»6.

«Парадоксом индукции» называют ситуацию, когда для того, чтобы доказать некоторое утверждение с помощью метода математической индукции, это утверждение усиливают, то есть заменяют его на другое, более сильное, утверждение, из которого исходное утверждение получается как следствие. Такая ситуация имеет место, например, при доказательстве с помощью метода математической индукции некоторых неравенств (см. в качестве примера задачу 3.9.1* в задачнике [11]).

В нашем случае вместо того, чтобы доказывать с помощью метода математической индукции равенство (2), мы будем доказывать с помощью метода математической индукции одновременно два равенства: равенство (2) и равенство

(19)

База индукции. При п = 0 равенства (2) и (19) проверяются непосредственно:

Шаг индукции. Пусть к ^ 1. Предположим, что равенства (2) и (19) справедливы при п = к — 1, то есть предположим, что имеют место равенства

(20) (21)

Докажем, что тогда равенства (2) и (19) справедливы также при п = к. Прежде всего заметим, что из равенства (21) можно получить следующее равенство:

(22)

Теперь доказательство шага индукции не составляет большого труда:

(23) (24)

Полученные нами равенства (23) и (24) представляют собой не что иное, как равенства (2) и (19) при п = к.

Итак, согласно принципу математической индукции, равенства (2) и (19) доказаны при всех п G Z, п ^ 0.

6 В некоторых работах (см., например, [9, 10]) используются термины «парадокс исследователя» или «парадокс изобретателя». Эти термины представляются нам не очень удачными, поскольку из этих терминов непонятно, что они относятся к методу математической индукции (более того, из этих терминов непонятно даже, что они относятся к математике). Мы используем термин «парадокс индукции», который, по нашему мнению, является более информативным и точнее отражает суть дела.

Мы видим, что усиление доказываемого утверждения (замена одного равенства (2) на пару равенств (2), (19)) позволило очень эффективно доказать требуемое утверждение с помощью метода математической индукции. В то же время доказательство одного равенства (2) с помощью метода математической индукции было бы весьма и весьма затруднительным. Можно констатировать, что в данном случае мы столкнулись именно с «парадоксом индукции».

Автор должен отметить, что идея о том, что для успешного доказательства равенства (2) с помощью метода математической индукции это утверждение следует усилить (то есть следует доказывать сразу два равенства (2) и (19)), была заимствована автором из задачника [11] (см. задачу 3.9.2* на стр. 53). В этом очень интересном и содержательном задачнике можно найти целый ряд подобранных с большим вкусом задач, посвященных рекуррентным последовательностям (в частности, линейным рекуррентным последовательностям и последовательности Фибоначчи).

4. Доказательство, основанное на использовании производящих функций

Пусть имеется числовая последовательность [жп]^о и пусть существуют постоянные M и 7 такие, что при всех п G Z, и ^ 0, имеет место неравенство

(25)

В этом случае можно рассмотреть следующую функцию комплексной переменной t:

(26)

Функция X(t) определена и бесконечно дифференцируема (аналитична) при всех £, достаточно близких к нулю, во всяком случае, это имеет место в круге7

(27)

радиуса е 7 с центром в точке t = 0.

Функция X(t) называется производящей функцией8 последовательности [хп].

7 Отметим, что символ Kr(zo) (0 < г ^ +00, zo G С) ранее уже использовался автором для обозначения множества {z £ С \ \z — zç>\ < г} (круга радиуса г с центром в точке zq) в статье [12].

8 В нашей статье мы рассматриваем производящую функцию как обычную функцию комплексной переменной. В книге [13] такое определение производящей функции названо классическим. В принципе, этого определения достаточно для целей нашей статьи и это самый простой для нас путь, поскольку в этом случае не надо определять такие понятия, как «сумма производящих функций», «произведение производящих функций» и т.д.

Однако надо учитывать, что «классическое определение в комбинаторном анализе не всегда применимо, так как указанный ряд для многих последовательностей расходится при любом X ф 0, либо возникают затруднения при доказательстве его сходимости при ненулевых х. Поэтому в качестве производящих функций последовательностей в общем случае используются формальные степенные ряды» ([13], стр. 65). Подробнее об определении производящих функций числовых последовательностей как формальных степенных рядов можно прочитать, например, в книгах [13] и [14].

Производящие функции являются исключительно мощным и эффективным инструментом исследования числовых последовательностей (в частности последовательностей, заданных с помощью рекуррентных соотношений). Но этим их значение не ограничивается. Производящие функции находят важные применения в самых разных областях математики, например, в теории вероятностей.

Как, видимо, читатель уже заметил, числовые последовательности мы обозначаем строчными латинскими буквами. Для обозначения производящих функций этих последовательностей мы будем использовать соответствующие прописные латинские буквы. Например, производящую функцию последовательности [ап] мы будем обозначать символом A(t), производящую функцию последовательности [fn] (последовательности Фибоначчи) мы будем обозначать символом F(t) и т.д.

Можно доказать, что условие (25) выполняется для любой линейной рекуррентной последовательности и вообще для всех тех последовательностей, которые мы будем рассматривать в нашей статье. Для краткости мы не будем это каждый раз оговаривать.

Крайне важным фактом, на котором основано использование производящих функций для исследования числовых последовательностей, является тот факт, что между числовыми последовательностями (удовлетворяющими условию (25)) и производящими функциями существует взаимно однозначное соответствие.

Поэтому, например, если мы установили, что производящие функции A(t) и B(i) последовательностей [ап] и [Ьп] совпадают (A(t) = B(t)), то отсюда можно сделать вывод, что совпадают сами эти последовательности (то есть что при всех п имеет место равенство ап = Ъп).

Символом X^s\t) (s G N) мы будем обозначать производящую функцию последовательности [(xn)s], то есть функцию

(28)

В дальнейшем нам понадобится следующая лемма, доказательство которой можно найти в статье [15].

Лемма 2. Пусть линейная рекуррентная последовательность второго порядка [хп] удовлетворяет равенству (3), пусть имеет место невырожденный случай (корни Ai и А2 характеристического уравнения (4) различны) и пусть ж о = 0. Тогда имеют место следующие формулы для производящей функции X{t) последовательности [хп] и для производящей функции X^2\t) последовательности [(жп)2]:

(29)

(30)

Замечание. В статье [15] приведены общие формулы для функции (t) при произвольных значениях хо, х\ и при произвольном натуральном значении s. К сожалению, эти формулы являются достаточно громоздкими. Но они сильно упрощаются в том случае, если xq = 0. Имея в виду, что нам потребуются функции X(s\t) лишь для последовательностей [fn] и [(/п)2]? для которых /о = 0 и s = 1, 2, мы выше в формулировке леммы ограничились лишь частными случаями хо = 0 и s = 1, 2.

Введем следующие обозначения:

A(t) — производящая функция последовательности [ап], где ап = /^ ; B(i) — производящая функция последовательности С(£) — производящая функция последовательности [сп], где сп = /271+1 5 £>(*) — производящая функция последовательности [d га] ? где <^га — /2га •

Равенство (2) будет доказано, если мы докажем равенство

(31)

В случае последовательности Фибоначчи [fn] имеем а = 1, ß = 1, ^1 ф ^2, /о — 0, fi = 1. Согласно приведенной выше лемме (см. формулу (30)), получаем:

(32)

Теперь находим производящую функцию B(t). Имеем:

(33)

Осталось найти производящие функции C(t) и D(t):

Имеем:

(34)

(35)

Два последних равенства можно рассмотреть как систему линейных уравнений относительно переменных C(t) и D(t):

(36)

Решая эту систему, находим:

(37)

После того, как все производящие функции найдены, проверка справедливости равенства (31) превращается в тривиальную выкладку:

(38)

Равенство (31), а значит, и равенство (2), доказано.

Отметим, что рассмотренное нами сейчас доказательство заметно отличается от трех предыдущих доказательств. Сразу бросается в глаза рутинный, аналитический характер доказательства. Это характерно для метода производящих функций. Дело в том, что использование производящих функций позволяет преобразовать дискретный объект (числовую последовательность) в непрерывный объект (аналитическую функцию), что делает возможным применить для решения задачи мощный и хорошо разработанный аппарат математического анализа (степенные ряды, ряды Тейлора, дифференцирование, интегрирование и т.д.).

Однако нам не хотелось бы заканчивать статью именно на этом сугубо аналитическом доказательстве. Ведь математика — это не только рутинные вычисления и горы исписанных листов бумаги. Это еще и вдохновение, и полет фантазии, и интуиция, и приходящее (иногда совершенно внезапно) озарение.

Поэтому в конце нашей статьи мы хотели бы привести пятое и, пожалуй, самое красивое доказательство формулы (2). Это доказательство основано на интересной комбинаторной интерпретации чисел Фибоначчи.

5. Доказательство, основанное на комбинаторной интерпретации чисел Фибоначчи

Рассмотрим прямоугольник размера 1 х и и зададим себе следующий вопрос: сколькими способами9 этот прямоугольник можно разрезать на детали размера 1 х 1 и 1 х 2?

Обозначим это количество способов символом уп.

9 Два способа разреза считаются различными, если они отличаются хотя бы в одной позиции разреза. При этом считается, что положение самого прямоугольника 1 х п фиксировано.

Очевидны значения первых двух членов последовательности [уп]:

(39)

Пусть п ) 3 и пусть прямоугольник размера 1 X п разрезан на детали размера 1 х 1 и 1 х 2. Расположим прямоугольник горизонтально и будем смотреть на него слева направо. Если первой идет деталь размера 1 х 1, то далее следует прямоугольник размера 1 х (п — 1), который можно разрезать на детали уп-\ способами. Если первой идет деталь размера 1 х 2, то далее следует прямоугольник размера 1 х (п-2), который можно разрезать на детали Уп-2 способами. В результате мы приходим к рекуррентному соотношению

(40)

Положим по определению при всех натуральных п

(41)

(здесь fn — это п-й член последовательности Фибоначчи).

Легко находятся значения первых двух членов последовательности [zn] :

(42)

При п ^ 3 легко вывести рекуррентное соотношение, которому удовлетворяют члены последовательности [zn]:

(43)

Сравнивая (39) и (42), а также (40) и (43), мы видим, что последовательности [уп] и [zn] являются линейными рекуррентными последовательностями второго порядка, причем эти последовательности имеют одинаковые начальные условия и удовлетворяют одинаковым рекуррентным соотношениям. На основании этого мы обязаны сделать вывод, что последовательности [уп] и [zn] совпадают, то есть что при всех натуральных п имеет место равенство

(44)

Из равенства (44) следует, что равенство (2) будет доказано, если мы докажем равенство

(45)

Рассмотрим произвольное разбиение прямоугольника размера 1 х 2п на детали размера 1 х 1 и 1 х 2. Возможны два случая.

Случай 1. Одна из линий разреза проходит ровно посредине прямоугольника (см. рис. 1). В этом случае прямоугольник размера 1 х 2п разбивается на два прямоугольника размера 1 хп, каждый из которых можно разрезать на детали уп способами. Поскольку способы разреза этих прямоугольников можно комбинировать произвольным образом, то всего получается у\ способов.

Случай 2. Посредине прямоугольника линия разреза не проходит (см. рис. 2). Это означает, что в этом месте находится деталь размера 1x2. «Вынем» эту деталь. В результате останутся два прямоугольника размера 1 х X (п — 1), каждый из которых можно разрезать на детали уп-\ способами. Поскольку способы разреза этих прямоугольников можно комбинировать произвольным образом, то всего получается у\_\ способов.

Рис.1

Рис.2

Случаи 1 и 2 не могут иметь место одновременно и в то же время какой-то из них обязательно реализуется. Поэтому мы приходим к равенству (45). Равенство (45), а значит и равенство (2), доказано10.

Заключение

Мы рассмотрели пять доказательств одного из свойств чисел Фибоначчи. Эти доказательства основаны на различных соображениях, в основе этих доказательств лежат различные методы и принципы. Вполне возможно, что существуют и другие (шестое, седьмое и т.д.) доказательства.

Что это означает? Это означает, что математика — это единая и очень цельная система знаний, в которой из одной точки в другую можно прийти многими, иногда совершенно различными, путями.

В замечательном детском фильме «Приключения Электроника» один из главных героев (Электроник) приводит на уроке математики двадцать доказательств теоремы Пифагора. Правда, по понятным причинам, подробности этих доказательств в самом фильме не приводятся, и кто-то может подумать, что это преувеличение. Всем сомневающимся автор предлагает прочитать замечательную статью А. Ю. Эвнина [17]. Правда, в этой статье приводятся

10 Отметим еще одну красивую комбинаторную интерпретацию чисел Фибоначчи (см. задачу 286 в книге [16]). Прыгун перемещается слева направо вдоль клетчатой ленты, совершая прыжки на одну или на две клетки. Найти количество способов, которыми прыгун может переместиться из 1-й клетки в п-ю клетку. Достаточно легко доказать, что указанное количество способов равно числу Фибоначчи fn.

Эта комбинаторная интерпретация тоже может быть использована для доказательства равенства (2). Действительно, пути прыгуна из 1-й клетки в (2п + 1)-ю клетку делятся на два класса: пути, проходящие через (п + 1)-ю клетку, и пути, не проходящие через (п + 1)-ю клетку. Путей первого типа fn+i, а путей второго типа f%. В результате мы приходим к равенству (2).

Разумеется, эта комбинаторная интерпретация чисел Фибоначчи по большому счету эквивалентна интерпретации, рассмотренной в основном тексте статьи (то есть интерпретации, основанной на разрезании прямоугольника на детали размера 1 х 1 и 1 х 2).

доказательства не теоремы Пифагора, а теоремы Евклида (о бесконечности множества простых чисел), но ведь важен сам принцип, заключающийся в том, что множество математических знаний ни в коей мере нельзя считать линейно упорядоченным множеством.

Если говорить конкретно про числа Фибоначчи, то наш опыт преподавания математики показывает, что эта тема неизменно воспринимается обучающимися с очень большим интересом. Количество различных (как правило, очень красивых) тождеств, которым удовлетворяют эти числа, поражает любое, даже самое богатое, воображение. Многие из этих тождеств могут быть доказаны с помощью метода математической индукции. Автор данной статьи использовал в учебном процессе домашнее задание, включающее в себя целую серию из 43 свойств чисел Фибоначчи, для того, чтобы студенты лучше освоили метод математической индукции (это домашнее задание приведено в приложении к данной статье). Для составления данного домашнего задания автору пришлось основательно перерыть литературу, посвященную числам Фибоначчи, как на русском, так и на английском языке (специально отметим очень интересную и содержательную книгу [5]). Домашнее задание вызвало огромный интерес студентов, многие студенты нашли нестандартные и оригинальные решения задач, а также предложили свои собственные тождества для пополнения коллекции. Неудивительно, что на экзамене в конце семестра преподаватели отмечали, что метод математической индукции студенты знают просто великолепно.

По нашему мнению, именно на таких очень красивых математических сюжетах, как числа Фибоначчи, и следует прививать обучающимся интерес к математике, формировать их вкус, пробуждать тягу к собственному математическому творчеству.

Автор надеется, что данная статья заинтересовала читателей, и будет очень благодарен за любые комментарии или замечания по затронутым в статье вопросам.

ЛИТЕРАТУРА

1. Краснов М.Л., Киселев А. И., Макаренко Г. И. и др. Вся высшая математика. Т. 7. Дискретная математика: теория чисел, общая алгебра, комбинаторика, теория Пойа, теория графов, паросочетания, матроиды. — М.: ЛЕНАНД, 2014. 208 с.

2. Маркушевич А. И. Возвратные последовательности. 3-е изд. — М.: Наука, 1983. 48 с. (Популярные лекции по математике. Вып. 1).

3. Аракелян Г. Математика и история золотого сечения. — М.: Логос, 2014. 403 с.

4. Воробьев Н. Н. Числа Фибоначчи. 6-е изд., доп. — М.: Наука, 1992. 192 с. (Популярные лекции по математике. Вып. 6).

5. Koshy Т. Fibonacci and Lucas Numbers with Applications. — New York etc.: Wiley, 2001. 652 p.

6. Матиясевич Ю.В. Десятая проблема Гильберта. — M.: Физматлит, 1993. 224 c.

7. Костин С.В. Возможности и ограничения метода математической индукции // Бесконечномерный анализ, стохастика, математическое моделирование: новые задачи и методы. Проблемы математического и естественнонаучного образования: сборник статей международной конференции. — М.: РУДН, 2015. 477 с. С. 422-430.

8. Костин С.В. О необходимости обучения школьников и студентов различным формам метода математической индукции // Образование, наука и экономика в вузах и школах. Интеграция в международное образовательное пространство: труды международной научной конференции. — М.: РУДН, 2015. 559 с. С. 291-296.

9. Пойа Д. Как решать задачу. — Львов: Квантор, 1991. 216 с.

10. Цинман Л. «Парадокс исследователя» // Квант. 1976. №11. С. 9-12.

11. Башмаков М. П., Беккер Б. М., Гольховой В. М., Ионин Ю. И. Алгебра и начала анализа: задачи и решения: учеб. пособие. — М.: Высш. шк., 2004. 296 с.

12. Костин С.В. Несколько замечаний о степенных и двусторонних степенных рядах // Математика в высшем образовании. 2011. No 9. С. 23-38.

13. Сачков В. Н. Курс комбинаторного анализа. — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2013. 336 с.

14. Ландо С. К. Лекции о производящих функциях. 3-е изд., испр. — М.: МЦНМО, 2007. 144 с.

15. Stanica P. Generating functions, weighted and non-weighted sums for powers of second-order recurrence sequences // Fibonacci Quarterly. 2003. V.41. №4. P. 321-333.

16. Эвнин А. Ю. Задачник по дискретной математике: Более 400 задач с подробными решениями. 6-е изд., испр. и доп. — М.: ЛЕНАНД, 2016. 272 с.

17. Эвнин А. Ю. Девятнадцать доказательств теоремы Евклида // Квант. 2001. №1. С.35-38.

Поступила 09.03.2016

ON THE METHODS OF PROOF OF FIBONACCI NUMBERS' PROPERTIES

S. V. Kostin

Five different proofs of one important property of Fibonacci numbers are given. Advantages and disadvantagies of these proofs are discussed. Possibility of the use of Fibonacci numbers for the stimulation of cognitive activity of the students is noted.

Keywords: Fibonacci numbers, linear recurrence relation, generating function, mathematical induction.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Домашнее задание

(доказательство свойств чисел Фибоначчи с помощью метода математической индукции)

Рассмотрим следующие две рекуррентные последовательности11: 1) последовательность Фибоначчи:

2) последовательность Люка12:

Доказать справедливость приводимых ниже равенств.

Замечание 1. Все равенства следует доказывать с помощью метода математической индукции. Исключением являются равенства, помеченные звездочкой (*). Эти равенства можно доказывать как с использованием, так и без использования метода математической индукции.

Замечание 2. Если относительно п ничего не сказано, то это означает, что равенство надо доказать при п G N. Если написано п ^ по, то это означает, что равенство надо доказать при n G Z, n ^ по-

Замечание 3. Равенства следует доказывать последовательно (сначала (1), затем (2), затем (3) и т.д.). При этом можно использовать ранее доказанные равенства.

Замечание 4. В задачах (30) и (31) пункты а) и б) целесообразно доказывать с помощью метода математической индукции совместно (базу индукции образуют два равенства, получающиеся при п = 2).

11 В приводимом ниже домашнем задании члены последовательности Фибоначчи и члены последовательности Люка обозначены прописными латинскими буквами (тогда как в основном тексте статьи члены последовательностей обозначались строчными латинскими буквами). Дело в том, что строчные варианты / и I латинских букв F и L, к сожалению, очень похожи друг на друга, что сильно затрудняет зрительное восприятие формул. Поэтому было сочтено целесообразным в домашнем задании обозначить члены последовательности Фибоначчи и члены последовательности Люка прописными латинскими буквами.

12 Люка Франсуа Эдуард Анатоль (1842-1891) — французский математик, основные работы которого связаны с теорией чисел. Ввел числа (сейчас их называют числами Люка), свойства которых тесно связаны со свойствами чисел Фибоначчи.

Отметим, что в русскоязычной литературе встречаются разные варианты написания фамилии данного математика: Люка, Лукас, Лукач, Лукаш. Мы следуем написанию, указанному в справочнике «Выдающиеся математики» (авторы А. И. Бородин, А. С. Бугай. 2-е изд. Киев: Рад. шк., 1987).

(3*) (4) (5)

(6*)

(7) (8)

(9) (10)

(11) (12)

(13) (14) (15)

(16) (17) (18) (19) (20) (21)

(формула Кассини).

(22) (23)

(24)

(формула Бине).

(42) Рассмотрим матрицу А

Доказать, что при всех п ^ 2 имеет

место равенство

(25)

(26*) (27*)

(28)

(29*) (30) (31)

(32*) (33) (34) (35)

(36*)

(37*) (38)

(39) (40)

(41)

(43) Рассмотрим следующую матрицу размера п х п:

Доказать, что определитель \А\ матрицы А равен i^+i.

МАТЕМАТИКА ДЛЯ СПЕЦИАЛИСТОВ РАЗЛИЧНОГО ПРОФИЛЯ

УДК 51

РЕФОРМЫ В ВЫСШЕМ ОБРАЗОВАНИИ — КТО ОТВЕТИТ ЗА ПОСЛЕДСТВИЯ?

Н. А. Медведева

Московский государственный строительный университет (НИУ МГСУ) Россия, 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, 26; e-mail: medvedeva-nat@yandex.ru

Статья посвящена обсуждению критического положения, сложившегося в технических вузах в связи с сокращением количества учебных часов, выделяемых на фундаментальные дисциплины — математику и физику. Показано, что нынешнее состояние дел заслуживает пристального внимания российского математического сообщества. На примере кафедры высшей математики Национального исследовательского строительного университета показаны отличия декларируемых намерений от осуществляющегося на деле.

Ключевые слова: фундаментальное образование в технических вузах, сокращение объема аудиторных часов, несоответствие уровня подготовки большинства выпускников технических вузов требованиям сегодняшнего дня.

В последние годы в технических вузах произошло и продолжается резкое сокращение учебных часов, отводимых на фундаментальные курсы — математику и физику [1, 2]. Так, например, в Национальном исследовательском университете МЭИ преподавание математики сокращено с четырёх до трёх семестров; из четырёх кафедр, обеспечивающих подготовку по разным специальным разделам математики, осталось только три. В Национальном исследовательском строительном университете МГСУ количество учебных часов, отводимых при обучении бакалавров на дисциплину «Высшая математика», сократилось за 2014-2015 учебный год с 630 до 360; физика преподается один семестр вместо трёх: всё от механики до ядерной физики — восемь практических занятий и восемь лабораторных работ, лекций — восемнадцать. И это -Национальный исследовательский строительный университет! Как известно, без математики и физики невозможно подготовить технически грамотных специалистов. В результате качество подготовки выпускаемых специалистов можно охарактеризовать строкой из А. С. Пушкина: «Родила царица в ночь не то сына, не то дочь, не мышонка, не лягушку, а неведому зверюшку».

Бакалавриат в настоящее время — это основной контингент обучающихся. По мнению работодателей, качество сегодняшних выпускников-бакалавров не соответствует требованиям времени. Так, руководитель проектов ООО «Си Би Ричард Эллис» Е. А. Дядченко (сам выпускник МГСУ) отмечает неспособность нынешних выпускников использовать свои знания для решения проблем, возникающих в профессиональной деятельности, и неспособность быстро изучить, опираясь на свой багаж вузовских знаний, то, что появилось совсем недавно: «Нам нужна обучаемость» — говорит он. «Вчерашние знания сегодня уже безнадежно устарели, поэтому мы сами часто обучаем поступивших к нам на работу выпускников, но они должны как следует знать азы

нашей специальности. Мы ожидаем, что вуз даст им фундамент их будущей профессии — классические знания по математике, физике, сопротивлению материалов, строительной механике. За последние годы чрезвычайно мало соискателей продемонстрировали приемлемый уровень владения основами».

Руководитель ООО «Евгения 2000» М. А. Агаджанян отмечает низкий уровень нынешних выпускников как в плане теоретических, так и в плане практических знаний и навыков: «Их может взять на работу только родственник, который согласен их ещё пять лет учить. Теорию они не поняли в вузе, поэтому она у них полностью выветрилась из головы, а практики у них недостаточно даже для того, чтобы претендовать хотя бы на должность персонала среднего звена». Этот перечень мнений можно продолжать. В этом нет ничего удивительного — все специальные кафедры используют математический аппарат, закладываемый на первых курсах. В НИУ МГСУ математику с четырёх семестров ныне урезали до двух, исключили из курса такие необходимые для инженера разделы, как дифференциальные уравнения, числовые и степенные ряды, ряды Фурье.

Что же произошло за последние годы, что могло так сильно повлиять на состояние дел в фундаментальной подготовке по математике и физике? По-видимому, это многоплановая проблема, но одна из её частей очевидна -декларируется, что внимание к математической подготовке на первом плане, а на деле сокращается вдвое (как в НИУ МГСУ) количество учебных часов, при этом центр тяжести переносится на самостоятельную работу студентов. Но российские школьники, никогда не сдававшие ранее устные экзамены по математике и не приученные работать с учебником, не в состоянии самостоятельно работать над курсом, их ещё надо «научить учиться»!

У нас в России замечательные студенты! В большинстве своём — это умные и быстрые молодые люди, с большим творческим потенциалом. Нельзя допустить, чтобы они были обделены профессиональными знаниями и навыками в самом начале образовательного цикла. Эта потеря невосполнима. Никакие специальные курсы, никакие специальные дисциплины, не имея фундамента в виде достаточно полного традиционного курса высшей математики и физики, освоены быть не могут. Как известно, в Петербургском университете до революции курс математики для технических специальностей составлял пять дней в неделю по восемь часов в день! Вот в такой образовательной среде осуществлялась подготовка настоящего инженера!

Знание, а главное, понимание приводят к ответственности. Безответственность порождает хаос и техногенные катастрофы. Многие специальности в настоящее время требуют более сложных профессиональных знаний и навыков, чем раньше. Нельзя допустить, чтобы в сферу профессиональной деятельности попадали выпускники, прошедшие поверхностное, не опирающееся на понимание обучение. Декларируется, что обучение бакалавров должно закладывать фундамент последующего обучения в магистратуре и аспирантуре. На деле в магистратуре, в НИУ МГСУ, например, вообще нет математических курсов, в других вузах рассматриваются только специальные главы (например, функциональный анализ, который невозможно освоить без глубокого знания основного курса высшей математики). В итоге мы получаем

полный хаос, и цена всему этому — качество человеческих жизней, поскольку образование — это то, что сохраняет культуру нации, и недополучение фундаментального образования напрямую сказывается на возможности реализовать себя как творческую личность.

Сколько уже было мотивированной критики реформ российского образования с самого начала их проведения как со стороны выдающихся академиков (В.И.Арнольда, Д.В.Аносова и др.), так и со стороны неравнодушных школьных учителей и преподавателей вузов, но под лежачий камень вода не течет, а молчаливое наблюдение целенаправленного разрушения фундаментального образования в стране, особенно в области физико-математических специальностей, на наш взгляд, граничит с безнравственностью и преступлением.

Это «принятие по умолчанию» существующей практики разрушения образования уже привело к тому, что приказом ректора НИУ МГСУ с 1.09.2016 года кафедра высшей математики прекращает существовать. «В целях улучшения контроля над учебным процессом» предлагается объединить кафедры высшей и прикладной математики, образовав единую кафедру прикладной математики, сократив при этом численность преподавателей кафедры высшей математики на одну треть.

Общеизвестно, что высшая и прикладная математика - это две разные математические дисциплины, и нетрудно догадаться, к чему приведет такая реорганизация.

Совершенно очевидно, что никакими методологическими средствами и прочими ухищрениями невозможно компенсировать столь резкое и немотивированное «урезание» физико-математических курсов. Тем не менее, мы пытаемся противопоставить этому хоть что-нибудь. Отдельные преподаватели-энтузиасты бывшей кафедры высшей математики НИУ МГСУ (поскольку до 01.09.2016 эта кафедра ещё существовала в прежнем составе) на свой страх и риск ухитрились втиснуть в учебное время элементы теории дифференциальных уравнений, но в этом мало пользы, поскольку, как очевидно, поверхностное изучение не приносит хороших результатов.

Кроме того, очень хорошо зарекомендовали себя встречи с успешными выпускниками, недавно закончившими вуз и быстро добившимися значительных результатов в своей работе. На таких встречах, организованных преподавателями бывшей кафедры высшей математики, поддерживается обстановка откровенности и дружелюбия, в которой традиции высшего образования в целом передаются самой атмосферой. Студенты неоднократно подтверждали, что такое взаимодействие с выпускниками позволяет им по-новому взглянуть на приоритеты в обучении.

Автор отдает себе отчет в том, что отдельные статьи по затронутой выше теме сами по себе не в состоянии изменить существующее положение в сфере преподавания фундаментальных курсов математики и физики. Поэтому автор обращается к научно-образовательному сообществу, прежде всего к преподавателям высшей школы, разделяющим приведенные в статье доводы о недопустимости сокращения учебных часов на фундаментальные курсы по математике и физике в технических вузах, с призывом поднять свой голос в защиту российских традиций образования.

ЛИТЕРАТУРА

1. Андреев В. И. Фундаментальное образование в строительном университете (к начинающим свое профессиональное становление) // Вестник МГСУ. 2015. №7. С. 5.

2. Смирнов В. Что имеем, не храним... Грозит ли сокращение часов по математике национальной безопасности? // Учительская газета, № 36 от 2 сентября 2003 г.

Поступила 16.06.2016 Переработанный вариант 16.09.2016

REFORMS IN HIGH EDUCATION: WHO WILL BE RESPONSIBLE FOR THE CONSEQUENCES?

N. A. Medvedeva

The article deals with the problems that have arisen in recent years in teaching mathematics. Teaching hours devoted to subjects of fundamental education in teaching primary students is declining. Arguments are presented why this trend deserves close attention of the Russian mathematical community. Solutions to emerging problems is outlined, This is done on the example of the Department of higher mathematics Moscow civil engineering University. Basic general education courses, as we know are coaching in addition to specific skills on the subject, the ability to think logically, to formulate and solve problems.

Keywords: fundamental education in technical universities, the reduction of classroom hours, the discrepancy of the level of training of most graduates of technical universities to the needs of today.

ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ. ПЕРСОНАЛИИ

МИХАИЛ ВАСИЛЬЕВИЧ ДОЛОВ

(5.11.1934-11.01.2016)

11 января 2016 года после тяжелой болезни скончался доктор физико-математических наук, профессор Михаил Васильевич Долов.

М. В. Долов родился 5 ноября 1934 года в селе Михайловка Чернухинского района Горьковской области в многодетной крестьянской семье. В 1953 году он окончил с отличием Арзамасский учительский институт (специальность «Физика и математика»), затем работал учителем математики, служил в армии. В 1957 году М. В. Долов поступил в Горьковский (ныне Нижегородский) университет, с которым оказалась неразрывно связана вся его дальнейшая жизнь. Он учился на физико-математическом факультете, затем - на механико-математическом (специальность «Математика»), был ленинским стипендиатом и в 1962 году получил диплом с отличием. С 1962 по 1964 год Михаил Васильевич — ассистент кафедры математического анализа и дифференциальных уравнений механико-математического факультета ГГУ, в 1964-1967 гг. — аспирант (руководитель профессор Н. Ф. Отроков). Кандидатскую диссертацию «Некоторые методы исследования предельных циклов» М. В. Долов защитил в 1967 году в Куйбышевском педагогическом институте. С 1971 года Михаил Васильевич доцент. В 1972 году он начинает работать на кафедре математической физики, затем переходит на кафедру теории функций. Свою докторскую диссертацию «Канонические интегралы и предельные циклы» М. В. Долов защитил в 1984 году в Ленинградском университете. Официальными оппонентами выступили академик АН Молдавской ССР профессор К. С. Сибирский, профессор Ю.С.Богданов (Минск) и профессор А. Ф.Андреев (Ленинград); ведущая организация — Математический институт имени В. А. Стеклова АН СССР. В 1985-1989 гг. М. В. Долов заведует кафедрой теории функций, в 1989-2000 гг. — кафедрой дифференциальных уравнений и математического анализа, а затем до 2014 года -профессор этой кафедры.

Научные интересы М. В. Долова принадлежат пересечению аналитической и качественной теории дифференциальных уравнений. Он создал и развил теорию канонических и квазиканонических интегралов, определяемых для двумерных и трёхмерных систем автономных дифференциальных уравнений, рассматриваемых как во всём пространстве, так и на цилиндре или торе.

Каноническим интегралом, отвечающим замкнутой траектории I : х = = у = ф(Ь) периода Г системы х = Р(х, у), у = Q(x, у), М. В. Долов назвал определённое в окрестности траектории / действительное решение z = F(x,y) уравнения у) • z'x + Q(x,y) - z'y = 0 такое, что: 1) некоторая ветвь Fo(x,y) функции F(x,y) регулярна хотя бы в одной точке на /; 2) последующая ветвь, получающаяся из Fo(x,y) после одного полного обхода по / при убывании £, отличается от Fo(x,y) постоянным множителем eh,

Помимо весьма неожиданных эффектов, делающих теорию канонических интегралов интересной самой по себе, она применима для решения различных задач теории динамических систем. В частности, она эффективна при исследовании вопросов существования предельных и особых циклов, а также для различения простых и кратных предельных циклов.

Используя аппарат многозначных первых интегралов, М. В. Долов получил ряд сильных результатов. В частности, он решил проблему Еругина о существовании двумерных полиномиальных динамических систем, имеющих центр и предельные циклы, и опроверг гипотезу Сибирского о том, что множество двумерных автономных полиномиальных систем с чисто мнимыми корнями характеристического уравнения, допускающих интеграл Дарбу, всюду плотно в множестве автономных полиномиальных систем с центром. М. В. Долов получил также результаты, относящиеся ко второй части 16-й проблемы Гильберта. Так, для некоторых классов полиномиальных систем им найдены оценки для числа предельных циклов, устранены неточности доказательства в известной работе Н.Н. Баутина1 и получено обобщение результатов Н.Н. Баутина из этой работы (см. [15]).

М. В. Долов — автор более 150 научных работ. Список основных научных публикаций М. В. Долова по 2004 год содержится в [1]. Несколько статей, посвященных оценке числа линейных интегралов двумерных систем дифференциальных уравнений с полиномиальными правыми частями произвольной степени, Михаил Васильевич подготовил к печати уже после ухода в июне 2014 года на пенсию. Список трудов М. В. Долова, опубликованных позже 2004 года, приведён ниже — см. [2-18].

Под руководством Михаила Васильевича защитились девять аспирантов: А.А.Алексеев, Е. В. Круглов, Б.В.Лисин, Т.В.Лухманова, Е. Н. Махрова, А.Н.Мулько, Ю.В.Кондратьева (Павлюк), О. М. Солычева, Ю. В. Третьяченко. Учениками М. В. Долова являются также В. В. Косарев, С. А. Чистякова, Р. В. Кузьмин и др.

1 Н.Н. Баутин. Оценка числа алгебраических предельных циклов системы х = Р(х,у)\ у = Q(x,y) с алгебраическими правыми частями // Дифференциальные уравнения, 1980. Т. 16, №2. С. 362.

М. В. Долов был членом, затем — заместителем председателя Диссертационного совета Д 212.166.06 при ННГУ, входил в состав аналогичного совета при Мордовском государственном университете, был членом редколлегий ежегодного межвузовского сборника «Дифференциальные и интегральные уравнения» (1977-1991), журнала «Математика в высшем образовании», Вестника Нижегородского университета (серии «Математика», «Математическое моделирование и оптимизация»). Он был членом Нижегородского математического общества со дня его основания.

М. В. Долов читал курсы «Математический анализ», «Дифференциальные уравнения», «Теория функций комплексного переменного», «Методы вычислений»; специальные курсы «Аналитическая теория дифференциальных уравнений», «Теория первых интегралов» и другие. Его лекции были образцом безупречности с точки зрения логики и полноты изложения и корректности подачи материала.

В течение многих лет М. В. Долов был членом Ученого совета ННГУ и Ученого совета механико-математического факультета. Как руководитель он был прежде всего справедливым человеком, заботящимся о каждом сотруднике, не терпящим халтуры ни в каком виде деятельности. За работу, которую брался делать Михаил Васильевич, не нужно было беспокоиться -результат всегда был близок к идеальному.

М. В. Долов награждён медалью «Ветеран труда», нагрудным знаком «Почётный работник высшего профессионального образования России», званием «Почетный работник ННГУ им. Н. И. Лобачевского».

Видный специалист в области качественной и аналитической теории дифференциальных уравнений, педагог, воспитавший за 52 года тысячи студентов, Михаил Васильевич Долов останется в памяти знавших его примером преданности науке, примером точности, скрупулезности, честности.

1. Авдонин Н.И., Алексеев А.А., Круглов Е. В. 70 лет Михаилу Васильевичу Долову // Вестник Нижегородского университета им. Н. И. Лобачевского. Серия Математика. 2005. Вып. 1 (3). С. 172-178.

2. Долов М.В., Чистякова С. А. О предельных циклах полиномиальных векторных полей с интегрирующим множителем Дарбу // Вестник Нижегородского университета им. Н. И. Лобачевского. Серия Математика. 2005. Вып. 1(3). С. 11-24.

3. Долов М. В., Павлюк Ю. В. Линейные частные интегралы и интегрируемость по Дарбу // Труды СВМО. 2006. Т. 8. №1. С. 69-81.

4. Долов М.В., Чистякова С. А. Линейные частные интегралы и предельные циклы систем дифференциальных уравнений с интегрирующим множителем Дарбу // Труды СВМО. 2007. Т. 9. №1. С. 24-31.

5. Долов М.В., Чистякова С. А. О числе линейных частных интегралов кубической системы дифференциальных уравнений с вырожденной бесконечностью // Труды СВМО. 2007. Т. 9. №2. С. 62-74.

6. Долов М. В., Бубнова Е. В. Системы с линейными частными интегралами // Известия Российской академии естественных наук. Серия Дифференциальные уравнения. 2006. №11. С. 79-80.

7. Долов М. В., Чистякова С.А. О предельных циклах динамических систем с нелинейностями четвертого порядка и инвариантными кривыми эллиптического типа. // Труды СВМО. 2009. Т. 11. №1. С. 10-18.

8. Долов М.В., Чистякова С. А. О числе линейных частных интегралов полиномиальных векторных полей с вырожденной бесконечностью // Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Тезисы докладов. Суздаль, 2010. С. 76-77.

9. Долов М.В., Чистякова С. А. О линейных частных интегралах полиномиальных векторных полей четвертой степени с вырожденной бесконечностью. I // Вестник Нижегородского университета им. Н. И. Лобачевского. 2010. №6. С. 131-137.

10. Долов М.В., Чистякова С. А. О линейных частных интегралах полиномиальных векторных полей четвертой степени с вырожденной бесконечностью. II // Вестник Нижегородского университета им. Н. И. Лобачевского. 2011. №1. С. 139-148.

11. Долов М.В., Чистякова С. А. О линейных частных интегралах полиномиальных векторных полей четвертой степени с вырожденной бесконечностью. III // Вестник Нижегородского университета им. Н. И. Лобачевского. 2011. №2. С. 123-129.

12. Долов М.В., Чистякова С. А. О предельных циклах систем с частными интегралами//Дифференциальные уравнения. 2012. Т. 48. №8. С.1193-1195.

13. Долов М. В. О точности оценки числа алгебраических кривых алгебраически неинтегрируемых полиномиальных векторных полей // Вестник Нижегородского университета им. Н. И. Лобачевского. №2(1). 2013. С.135-137.

14. Долов М.В., Круглов Е. В. О числе линейных частных интегралов полиномиальных векторных полей // Вестник Нижегородского университета им. Н.Н. Лобачевского. 2014. №3(1). С. 91-93.

15. Долов М. В. Теорема Баутина о числе алгебраических предельных циклов полиномиальных векторных полей // Вестник Нижегородского университета им. Н.Н. Лобачевского. 2014. №4(1). С. 259-262.

16. Долов М.В., Круглов Е. В. О числе линейных частных интегралов алгебраических дифференциальных уравнений // Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Тезисы докладов. Суздаль, 2014. С. 58-59.

17. Долов М.В., Круглов Е. В. О числе линейных частных интегралов алгебраических дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. 2015. Т. 51. №4. С. 553-555.

18. Долов М.В., Круглов Е. В. О числе линейных частных интегралов полиномиальных векторных полей // Журнал СВМО. 2016. Т. 18. №1. С.27-30.

А. А. Алексеев, П. И. Авдонин, Е. И. Гордон, И. С. Емельянова, Г. М. Ерахтина, Л. С. Ефремова, Е. В. Круглов, М. И. Кузнецов, Л. М. Лерман, М. И. Малкин, Е. П. Махрова, А. Д. Морозов, Г. М. Полотовский, В. И. Сумин, М. И. Сумин, А. М. Терентьев

ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ. ПЕРСОНАЛИИ

УДК 529

К 110-ЛЕТИЮ СО ДНЯ РОЖДЕНИЯ ЧЛЕНА-КОРРЕСПОНДЕНТА АН СССР ДМИТРИЯ КОНСТАНТИНОВИЧА ФАДДЕЕВА

С. В. Востоков1, Б. Б. Лурье2, И. Р. Шафаревич3

1 Санкт-Петербургский государственный университет Россия, 198504 г- Санкт-Петербург, Петродворец, Университетский пр. 28; e-mail: sergei. vostokov@gmail. com

2 Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова РАН Россия, 191023, г. Санкт-Петербург, наб. р. Фонтанки, 27; e-mail: lurje@pdmi. ras.ru

3 Математический институт им. В. А. Стеклова РАН Россия, 119991, г.Москва, ул.Губкина, 8; e-mail: shafarev@mi.ras.ru

О жизни и научной деятельности выдающегося математика, основателя современной Санкт-Петербургской алгебраической школы Дмитрия Константиновича Фаддеева (1907-1989).

Ключевые слова: Дмитрий Константинович Фаддеев, современная алгебра, гомологии и когомологий групп.

В нашем эссе речь пойдет о человеке, который был основателем современной алгебраической школы в Ленинграде (Петербурге), человеке, который оказал огромное духовное влияние на своих современников, человеке высочайшей культуры, истинно по-петербургски интеллигентном — Дмитрии Константиновиче Фаддееве.

Дед Дмитрия Константиновича происходил из крестьян Самарской губернии, и фамилия его возникла вместе с вольной, полученной незадолго до отмены крепостного права. Надо сказать, что в семье всегда с большим трепетом относились к этой фамилии, несмотря на невысокое её происхождение, и не любили, когда её путали с более распространённой фамилией «Фадеевы». Дмитрий Константинович говорил, что лучше уж писать в ней три «д», чем одну.

Дмитрий Константинович рос, как сказали бы мы теперь, в типичной интеллигентской семье начала XX века. Отец его, Константин Тихонович, был человеком весьма незаурядным. При поддержке родственников он окончил Высшую техническую школу в Москве, где был замечен А. Н. Крыловым. Тот рекомендовал его по окончании указанной школы на Невский завод в Санкт-Петербурге, а оттуда К. Т. Фаддеева уже инженером послали на стажировку в Германию. Родословная матери, Любови Германовны, восходит к древнему дворянскому роду Гулевичей. В имении деда, которое находилось в небольшом городке Юхнове Смоленской губернии (ныне Калужская область)

Д. К. Фаддеев

и родился 30 июня 1907 года мальчик Митя. В доме матери Митя получил прекрасное музыкальное образование и, имея абсолютный слух и большую тягу к музыке, уже после гражданской войны он поступает в консерваторию на композиторское отделение. Однажды сестра Дмитрия Константиновича, работая в Колтушах у академика И. П. Павлова, пригласила брата проверить музыкальный слух. Эту проверку, добровольно, разумеется, проходили многие известные тогда дирижеры. Так вот, Дмитрий Константинович превзошёл очень многих из них.

Параллельно в 1923 году он успешно держит экзамен в Петроградский университет, так как, судя по всему, унаследовал от отца математические способности. Но такая раздвоенность не могла продолжаться долго, и на третьем курсе Дмитрию пришлось выбирать между музыкой и математикой. Выбор пал на математику, которой в итоге он посвятил всю жизнь, не бросая при этом заниматься музыкой на очень высоком, практически профессиональном уровне.

Первыми учителями Дмитрия Константиновича в университете были такие выдающиеся математики как И. М. Виноградов и Б. Н. Делоне (у первого Фаддеев писал диплом, а у второго учился в аспирантуре), а потому сначала его заинтересовала в математике классическая теория чисел, точнее, диофантовы уравнения. Ему удалось значительно расширить класс уравнений 3-й и 4-й степеней, допускающих полное решение, он получил оценки ранга группы рациональных точек на эллиптических кривых ж3 + у3 = А, причём для таких больших Л, что Андре Вейль, ознакомившись с результатами, не поверил тому, что они были получены вручную.

Как рассказывал сам Дмитрий Константинович, после окончания университета найти работу по специальности было достаточно трудно, и он работал в разных местах, в том числе и в Палате мер и весов, где пристрастился к курению из-за больших перерывов в наблюдениях за приборами. И всё же ему хватило силы воли позднее бросить эту вредную привычку.

Любопытная деталь — характерной чертой того времени был дефицит практически во всём, в том числе и в бумаге, поэтому свои вычисления, а они были достаточно большими, Дмитрию Константиновичу приходилось проводить на обратной стороне обоев.

Начиная с 1933 года Дмитрий Константинович преподавал в Ленинградском университете, с которым была связана вся его жизнь и деятельность вплоть до кончины 30 октября 1989 года. В 1935 году он защитил диссертацию столь блестяще, что за неё сразу была присуждена докторская степень, а в 1937 году стал профессором Ленинградского университета. Отметим, что в послевоенные сталинские годы (1952-1954) он занимал очень непростую должность декана математико-механического факультета.

В математическом институте Академии Наук Д. К. Фаддеев работал с момента его создания в 1932 году до 1934-го и с 1940-го — до своей кончины. После переезда в Москву своего учителя — Бориса Николаевича Делоне -Дмитрий Константинович стал признанным главой ленинградских алгебраистов. Многие годы он руководил лабораторией алгебраических методов в Ленинградском отделении математического института им. В. А. Стеклова (ЛОМИ). С 1964 года Д. К. Фаддеев — член-корреспондент Академии Наук СССР. Он был основателем и руководителем общегородского алгебраического семинара (ныне семинар имени Д. К. Фаддеева), много лет занимал должность президента Ленинградского математического общества.

Первая, формирующая математическую индивидуальность, часть научного пути Д. К. Фаддеева приходится на эпоху, когда советская математика только складывалась и приобретала ту форму, которую мы знаем по временам её расцвета. Это была эпоха, очень интересная своими контрастами. В частности, некоторые области математики тогда находились на крайне высоком уровне, в то время как другие, часто весьма важные классические её разделы, были совершенно неизвестны. Почти полная изоляция от математики Запада, наступившая к 1935 году, оставляла преодоление этих контрастов исключительно нашим внутренним силам. И такая работа составляла большую часть тогдашней математической деятельности, часть невидимую, мало, а то и совсем никак не отразившуюся в научных публикациях.

В качестве примера таких контрастов напомним, что у нас тогда сложилась школа теории функции действительного переменного, вряд ли имевшая равную себе в мире (Д.Ф.Егоров и Н.Н.Лузин). Была прекрасно известна теоретико-множественная топология (П.С.Александров и П. С. Урысон). На высоком уровне находился функциональный анализ в духе теории банаховых пространств. Позднее очень популярной стала абстрактная алгебра (А. Г. Курош). Но и в некоторых классических областях поддерживался высокий уровень — продолжалась, например, работа Петербургской (в то время — Ленинградской) школы теории чисел, не ослабевал интерес к теории дифференциальных уравнений (Н. М. Гюнтер, В.В.Степанов). С другой стороны, совершенно неизвестными оставались такие разделы, как классическая теория компактных римановых поверхностей алгебраических функций, или, тем более, алгебраическая геометрия. Неизученной была теория полей классов, даже теория самосопряжённых операторов в гильбертовом пространстве и теория расширений операторов стали широко известны лишь к самому концу 30-х годов.

Изучение многих классических разделов математики было не «учебным процессом», происходило не на семинарах и спецкурсах, а больше походило на творческий процесс или, по крайней мере, на сотрудничество с истинными авторами. Во многих случаях само осознание того, что существует совершенно неизвестный глубокий раздел математики, было откровением. Такое положение делало работу учёного исключительно интересной. Стиралась грань между изучением математической литературы и собственными научными исследованиями — всё это сливалось в один процесс «открытия математики».

Но эта ситуация порождала и большие трудности. Много сил, которые можно было бы потратить на собственные исследования, уходило на продумывание и понимание уже давно сложившихся и неизвестных только у нас разделов. А нередко работа в таких областях грозила тем, что радовавшее душу открытие оказывалось лишь переоткрытием известного результата. Но именно здесь сказалась удивительная черта Дмитрия Константиновича. Он был редким математиком, готовым с радостью выслушать собеседника, что бы тот ни хотел ему рассказать. В его реакции на математический результат отступало на задний план то, кем он был получен, — шла ли речь о его собственном открытии или о результате того, кто ему об этом рассказывал, или о старой, но раньше неизвестной говорящему теореме, — основное значение придавалось красоте результата.

Это качество определило ту громадную роль, которую Д.К.Фаддеев играл в развитии нашей математики — роль, далеко не полностью отразившуюся в его научных публикациях.

Чтобы проиллюстрировать характер занятий математикой в 30-е годы, приведем следующий пример. Дмитрий Константинович привез в Москву работу о строении кольца целых чисел поля алгебраических чисел как модуля над кольцом целых чисел некоторого подполя. В частном случае — это «теорема о фундаментальном базисе», присутствующая во всех учебниках теории полей алгебраических чисел, начиная со знаменитого «Обзора» Д. Гильберта. Вскоре выяснилось, что теорема не нова — её доказал Е. Штейниц в форме теоремы о преобразовании прямоугольных матриц. И все же жаль, что Фаддеев не опубликовал свою работу (например, как методологическое новшество). Ведь результат Штейница мало известен алгебраистам, его и сейчас нет в основных руководствах по коммутативной алгебре. А много позже, уже после войны, Э. Артин переоткрыл и опубликовал его!

Дмитрий Константинович внёс вклад почти во все разделы современной ему математики, но в центре его творчества всегда была алгебра, ему принадлежат значительные результаты в алгебраической теории чисел, алгебраической геометрии, теории Галуа, теории алгебр, теории представлений, он был одним из создателей гомологической алгебры. Он много работал и в других областях математики — теория функций, геометрия, теория вероятностей, геометрическая кристаллография — и особенно плодотворно — в численных методах математики. В списке его трудов более 160 названий.

При всем разнообразии математических интересов Дмитрия Константиновича была одна тема, которой он отдал больше всего сил и которая была особенно близка его душе, — это теория Галуа, и, в частности, так называемая задача погружения. Речь идёт о следующем вопросе. Классическая теория Галуа изучает группу, которая появляется в так называемых расширениях полей Галуа и связывает подгруппы этой группы с промежуточными расширениями. «Обратная задача теории Галуа» исследует, каким расширениям соответствует заданная группа. Естественным обобщением обратной задачи теории Галуа является задача погружения, которой занимались ведущие алгебраисты того времени, в том числе и Д. К. Фаддеев.

Смысл решения задачи погружения в том, что зная, какие группы реализуются как группы Галуа расширения данного поля и как решается задача погружения для них, можно методами теории Галуа описать всю совокупность сепарабельных расширений этого поля. Особенно красива задача погружения с абелевым ядром, тесно связанная с обратной задачей теории Галуа для разрешимых групп. И как раз к этому случаю относятся исследования Д. К. Фаддеева.

Дмитрий Константинович открыл очень важное условие, необходимое для разрешимости задачи погружения, названное им условием согласности. Некоторое время было неясно, не является ли это условие достаточным. X. Хассе переоткрыл условие согласности на несколько лет позже (тут сыграла роль слабая циркуляция журналов во время войны) и высказал предположение, что оно и достаточно. Д. К. Фаддеев такой гипотезы не высказывал, и ему принадлежит один из первых примеров недостаточности условия согласности для разрешимости задачи погружения. Разделение условий разрешимости этой задачи на условие согласности и дополнительные условия — пример очень важного явления, потом встретившегося в различных областях алгебраической теории чисел.

Прогресс в теории Галуа во второй половине двадцатого века обязан в наибольшей степени усилиям московской и ленинградской школ, возглавляемых соответственно И. Р. Шафаревичем и Д. К. Фаддеевым. Так, было доказано, что в случае локальных полей при абелевом ядре условие согласности гарантирует разрешимость задачи погружения (С. П. Дёмушкин и И. Р. Шафаревич). Полностью задача погружения полей в случае абелева ядра была изящно решена А.В. Яковлевым — учеником Д. К. Фаддеева. Итогом деятельности Д. К. Фаддеева в этой области стала написанная им в соавторстве со своими учениками В. В. Ишхановым и Б. Б. Лурье книга «Задача погружения в теории Галуа» (сам Д. К. Фаддеев не дожил нескольких месяцев до выхода книги в свет).

Занимаясь задачей погружения, Дмитрий Константинович столкнулся с формализмом так называемых «систем факторов» и обнаружил, что он является частным случаем гораздо более общей закономерности. Так была открыта теория когомологий групп. По воспоминаниям Людвига Дмитриевича, сына Дмитрия Константиновича, когда они находились в эвакуации в Казани в 1943 году в какой-то из вечеров отец ходил по комнате возбуждённый, восклицая, что он открыл нечто замечательное (как оказалось позже — это были коциклы). Сын спросил его: «А сколько людей в мире поймет то, что ты сейчас сделал?». «Ну, человек, может быть, пять», — ответил отец. Одновременно теорию когомологий групп открыли С. Эйленберг и С. Маклейн, которые пришли к ней, исходя из совсем другого вопроса. Создание этой теории (когомологий групп) было одним из самых значительных математических событий середины XX века. Ряд математиков предчувствовал существование такой теории. Так, А. Вейль в комментариях к своему собранию сочинений вспоминает, как в 30-е годы говорил своим друзьям, что ему хотелось бы определить «числа Бетти конечной группы». Трёхмерная группа когомологий встречалась у О. Тейхмюллера, и, приведя соотношение, опре-

деляющее трёхмерный коцикл, он пишет, что обобщение этого соотношения для случая п > 3 ему указал Е. Витт. Возможно, Витт знал общее определение групп когомологий (или, по крайней мере, коциклов), но не опубликовал его. Дело, конечно, не сводилось к одному определению, необходимо было систематическое развитие теории — это сделали Д. К. Фаддеев и независимо С. Эйленберг и С. Маклейн. Теория когомологий групп была зерном, из которого выросло мощное дерево гомологической алгебры, обильно плодоносящее и до сих пор. Одним из наиболее значительных достижений гомологической алгебры было создание алгебраической if-теории. И в этой области в школе Фаддеева были достигнуты воистину впечатляющие успехи. Самым ярким примером является теорема Меркурьева-Суслина, определяющая в явном виде группу Брауэра почти произвольного поля. Известный математик А. Алберт ещё до войны сформулировал в виде гипотезы часть полученного позже А. С. Меркурьевым и А. А. Суслиным результата, и чувствовалось, насколько безнадёжной и недоступной эта гипотеза казалась. Такой сильный математик, как Р. Брауэр, пытался проверить одно её следствие (всякое тело имеет поле разложения с разрешимой группой Галуа), но смог сделать это лишь для тел очень небольшой размерности.

Есть ещё одна большая и находящаяся только в начале своего развития область алгебры, где влияние Дмитрия Константиновича было исключительно глубоко, — это исследование неполупростых объектов (колец, модулей). Классическим объектом здесь является теория представлений конечных групп над полем ненулевой характеристики. Пожалуй, никакая другая часть алгебры не имеет таких многочисленных приложений в математике и математической физике. Во всех этих вопросах алгебраическая сторона выяснена, в принципе, до конца: по-видимому, последним завершающим результатом является теорема Меркурьева - Суслина о строении группы Брауэра, упоминавшаяся выше. Но, выходя за пределы полупростых колец и модулей, мы попадаем в совершенно неисследованную область, а несколько десятилетий назад здесь вообще ничего не было известно. К этой области относятся теория представлений неполупростых алгебр, а также конечных групп над полем конечной характеристики. Но к ней же надо отнести и ряд «целочисленных» вопросов, например, теорию целочисленных представлений конечных групп. По аналогичной причине сюда же естественно отнести и теорию представлений колец алгебраических чисел.

Уже очень давно Дмитрий Константинович обратил внимание на эту громадную неисследованную область, которой принадлежит большое будущее. В результате исследований, как его собственных, так и его многочисленных учеников, здесь теперь имеются существенные продвижения. Они касаются, в основном, структуры соответствующих колец и строения их представлений. На ряде примеров (представления конечных групп, неполупростых алгебр) было обнаружено существование такого типа задач, которые в некотором смысле (точно определённом) имеют «финитный» ответ, и проведено почти исчерпывающее исследование таких задач (они называются «ручными»). Особенно яркие результаты получены учениками Д. К. Фаддеева -Л. А. Назаровой и А. В. Ройтером. Все достижения Дмитрия Константинови-

ча и его учеников в этом направлении являются первым серьёзным прорывом в алгебру неполупростых объектов, когда от хаоса, каким эта область до того представлялась, была отвоевана большая её часть, управляемая красивыми закономерностями.

Удивительная способность Дмитрия Константиновича видеть простое в сложном проявилась ещё в одной, может быть, не столь известной работе: о мультипликативной группе циклического ^-расширения локального поля. Он изучал её относительно двух различных структур — операторов из группы Галуа и символа Гильберта — и увидел прямую связь с обычным, только записанным мультипликативно, линейным пространством с оператором и скалярным произведением, и далее применил аналог хорошо известной теории жордановой формы. Как и многие другие работы Д. К. Фаддеева, эта работа стала началом целого цикла исследований — здесь речь идёт об изучении мультипликативных структур в локальных полях, а также симплектических пространств с операторами, развитых его учениками, в первую очередь 3. И. Боревичем и А.В.Яковлевым. Последний применил разработанную Фаддеевым теорию симплектических пространств к изучению топологической структуры группы Галуа алгебраического замыкания локального поля.

Несколько особняком в научном наследии Д. К. Фаддеева стоят его работы в области вычислительной математики. Но и здесь в полной мере проявилась способность Дмитрия Константиновича видеть глубокие связи и едва намечающиеся тенденции. В основном эти работы относятся к исследованию устойчивости численного решения систем линейных алгебраических уравнений и оценке результатов вычислений.

Надо отметить, что на рубеже 50-х годов в вычислительной математике происходили поистине революционные изменения, связанные с быстрым развитием электронно-вычислительной техники, и монография Д. К. Фаддеева «Вычислительные методы линейной алгебры», написанная им совместно с женой Верой Николаевной Фаддеевой, оказалась одной из первых книг, отвечающих на целый ряд вопросов, возникших в этой новой ситуации. Глубина подхода к рассматриваемым задачам обеспечила этой книге редкое для подобной литературы долгожительство: монография переведена на многие языки, до сих пор переиздается и является настольной книгой новых поколений математиков-вычислителей. За эту монографию Дмитрий Константинович и Вера Николаевна были удостоены Государственной премии (1981 г.).

Подчеркивая свою любовь к вычислениям, Дмитрий Константинович любил повторять: «Я бухгалтер», выговаривая при этом каждую букву.

Дмитрий Константинович обладал несомненным даром математического предвидения. Вспоминаются его слова, когда до Ленинграда дошла весть, что Великую теорему Ферма переформулировали на языке эллиптических кривых (Г. Фрей, 1985). Он предсказал, что теперь очень скоро эта знаменитая твердыня падёт, что и произошло в скором времени (А. Вайлс и Р. Тейлор, 1994), правда уже, к сожалению, после кончины Фаддеева.

Д. К. не жалел времени на помощь своим коллегам. Как-то один из сотрудников решил сложную проблему, но не сумел изложить решение достаточно

ясно. Статья долго путешествовала по разным журналам, и рецензенты её усердно отпасовывали. Когда Д. К. узнал об этом, он сам вызвался посмотреть статью и потратил более месяца на то, чтобы её понять. В результате он не только разобрался, но и сумел переработать решение так, что оно стало понятно специалистам! При этом он сформулировал несколько новых понятий и доказал важные вспомогательные утверждения. От соавторства Д. К. решительно отказался, а в дальнейшем даже отрицал своё участие в этом процессе (по этой причине мы не считаем возможным назвать имя сотрудника и решённую проблему).

Нам неизвестно, насколько верующим человеком был Дмитрий Константинович (в то время это не обсуждалось так прямо, как сегодня, и это, как нам кажется, было лучше нынешнего акцентирования своих религиозных взглядов), но он, несомненно, ставил Человека, его интеллект, выше всего. Об этом могут свидетельствовать такие два эпизода. Первый раз он радовался превосходству человека над машиной, когда П. С. Новиков в 1957 году в отрицательном смысле решил проблему о тождестве слов в группах, т. е. выяснилось, что невозможно алгоритмически различить элементы группы, по-разному записанные, и человек, тем самым, оказался незаменимым. Второй случай произошел на защите докторской диссертации Ю. В. Матиясевича, доказавшего отсутствие общего алгоритма для решения диофантовых уравнений (10-я проблема Гильберта). Возник философский спор между С.И. Адяном, который считал отрицательный результат в проблеме Гильберта большой философской неудачей, и Д. К. Фаддеевым, который, напротив, ликовал по поводу превосходства человека над машиной.

Вообще, Дмитрий Константинович был оптимистом не только в вопросах гносеологии. Не закрывая глаза на недостатки и пороки существующего строя, он всегда рассчитывал на его эволюцию в лучшую сторону. Чтобы обосновать это, он предлагал сравнить сталинский и послесталинский периоды в СССР. С воодушевлением воспринял Д. К. и перестройку. На одном из банкетов Дмитрий Константинович произнес тост «за оптимизм» (И. Р. Шафаревич меланхолически добавил — и чтобы он иногда был оправдан).

Много сил Д. К. Фаддеев отдавал перестройке математического образования. Он автор многих замечательных задачников и учебников для школ и университетов. Достаточно вспомнить знаменитый многократно переизданный «Сборник задач по высшей алгебре» (написанный совместно с И. С. Соминским), а также «Лекции по алгебре». Нам кажется уместным процитировать самого Дмитрия Константиновича, чтобы был понятен его подход к обучению: «Я считаю, что их [абстрактные понятия] следует вводить по мере того, как удаётся возбудить в учащихся потребность в обобщении или, по крайней мере, если имеется возможность достаточно иллюстрировать общие понятия более конкретным материалом» (из предисловия к книге «Лекции по алгебре»).

Дмитрий Константинович был одним из организаторов Всесоюзных математических олимпиад, стоял у истоков Юношеской математической школы в Петербурге (1960 год), а также знаменитого физико-математического 45-го

интерната (1964 год). С марта 2015 года в имени интерната звучит имя его великого основателя: учебному заведению было присвоено название «Академическая гимназия им. Д. К. Фаддеева СПбГУ».

Он живо откликался на любую просьбу прочитать популярную лекцию для школьников, например, читал лекции в Выборге в первой Летней математической школе (1973 год). Постоянно вне лекционных сеток он вел кружок по алгебре для первокурсников, что тогда было совершенно естественным, а нынче, пожалуй, показалось бы многим экзотикой.

Зная, как легко Дмитрий Константинович отдаёт свои идеи, как мало он склонен подчёркивать свой личный вклад, как много сил готов тратить на обсуждение работ своих учеников и коллег, можно было предсказать, что его влияние на развитие математики не будет столь наглядно видимо и так широко признано, как оно того заслуживает. Так и случилось. К Д. К. Фаддееву очень подходят сказанные Пушкиным слова о Жуковском, к которому он и в других отношениях близок по духу: «Его переводили бы на все языки, если бы он сам не переводил так много». Только слово «переводить» надо заменить, например, на «цитировать». Действительно, вклад Дмитрия Константиновича в математику оценен сейчас, как нам представляется, совершенно недостаточно. Да и роль Д. К. Фаддеева как одного из двух независимых создателей теории когомологий групп упоминается далеко не всегда. А. Гротендик пришёл к своей теории группы Брауэра, видимо, не зная работ Фаддеева. Но и в более поздних исследованиях и обзорах на эту тему ссылки на работы Д. К. Фаддеева чаще всего отсутствуют, хотя теперь видно, что его чисто алгебраический подход к некоторым вопросам, например, к проблеме Люрота, даёт более простой и естественный аппарат. Примеры можно было бы множить.

Самого Дмитрия Константиновича такое положение нисколько не огорчало. И он был, конечно, глубоко прав. Если справедлив принцип «рукописи не горят», то тем более «не горят» математические идеи. И не только в том смысле, что будущие математики или историки математики восстановят истинное положение вещей. Гораздо существеннее то, что для самого Дмитрия Константиновича важна была лишь красота создаваемых им математических идей, а эта красота будет существовать всегда и будет нести в себе отпечаток его индивидуальности.

Приведем ещё одно воспоминание о Д. К. Фаддееве, принадлежащее писателю Евгению Шварцу: «Я не могу представить, что он изображает профессора, видит себя со стороны и любуется: «Я декан! Ай да я! Я выдающийся. Мы учёные!..» и тому подобное. От врождённого отсутствия позы он, как таковой, стоит против предмета и смотрит на него не с условной, а с естественной точки зрения, без посредников».

Вера Николаевна Фаддеева (урождённая Замятина) прожила с Д. К. более полувека. (О юной Вере Замятиной написал В. В. Вересаев в рассказе «Мимоходом»). Она — близкая родственница писателя Евгения Замятина, но об этом (по понятным причинам) долгое время не распространялись. Вера Николаевна работала в ЛОМИ, в лаборатории приближенных вычислений. Умерла она в 1983 году. Последние годы жизни Дмитрий Константинович

был женат на Марианне Леонидовне Александровой. Марианна Леонидовна (урождённая Георг) была участницей первой математической олимпиады школьников, в дальнейшем окончила физический факультет и стала женой замечательного геометра академика А. Д. Александрова. Работала она в Радиевом институте им. В. Г. Хлопина. Фаддеевы и Александровы долгие годы дружили семьями, в семидесятые годы Александр Данилович и Марианна Леонидовна расстались. Марианна Леонидовна умерла в 2003 году. У Д. К. и В. Н. Фаддеевых родилось трое детей. Дочь — Мария Дмитриевна — стала химиком, сыновья — Людвиг и Михаил Дмитриевичи — окончили физический факультет Ленинградского университета. Старший из сыновей, Людвиг -знаменитый математик, академик, лауреат многочисленных премий, долгие годы возглавлял ЛОМИ, в настоящее время — академик-секретарь отделения Математики РАН. Михаил Дмитриевич работал на физическом факультете, умер в 1992 году.

Дмитрий Константинович навсегда запомнится нам таким — обсуждающим математическую работу, с улыбкой, слегка склонившим голову, как будто прислушивающимся к какой-то ему одному слышной красивой музыке.

Поступила 17.04.2016

ТО THE 110 ANNIVERSARY SINCE THE BIRTH OF THE CORRESPONDING MEMBER OF ACADEMY OF SCIENCES OF THE USSR DMITRY KONSTANTINOVICH FADDEEV

S. V. Vostokov, В. B. Lurie, I. R. Shafarevich

About life and scientific activity of the outstanding mathematician, the founder of modern St. Petersburg algebraic school Dmitry Konstantinovich Faddeev (1907-1989).

Keywords: Dmitry Konstantinovich Faddeev, modern algebra, homology and cohomology of groups.

ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ. ПЕРСОНАЛИИ

УДК 51(091)

ЗНАНИЯ О КРУГЕ В ДРЕВНЕЙ ИНДИИ

Шрикришна Г. Дани

Индийский технологический институт Бомбея Индия, 400076, Повай, Мумбаи; e-mail: sdani@math.iitb.ac.in

Перевод и примечания Г. И. Синкевич

В статье обсуждается понимание геометрии круга в древней Индии с точки зрения различных принципов описания, построения, применения и проч. на различных этапах истории и в различных культурных контекстах.

Ключевые слова: знания о круге, шульба-сутра Баудхаяны, джайнская математика, астрономия сиддхант, керальская математическая школа.

От переводчика: Профессор Дани любезно согласился написать эту статью специально для журнала «Математика в высшем образовании». Он выбрал темой историю классической задачи о построении круга, равновеликого квадрату, и показал, как она решалась в Индии в различные периоды её истории в различных культурных традициях. Читатель может найти дополнительные сведения в следующих русских изданиях: Володарский А. И. Очерки истории средневековой индийской математики. — М.: Наука, 1977. 182 с; Юшкевич А. П. История математики в средние века. — М.: ГИФМЛ, 1961. 448 с; Матвиевская Г. П. Очерки истории тригонометрии. Ташкент: ФАН, 1990. 160 с. Переводчик выражает свою признательность главному научному сотруднику Музея антропологии и этнографии им. Петра Великого (Кунсткамера) РАН, доктору филологических наук Я. В. Василькову за ценные замечания и проверку индийских имён и цитат.

После треугольников и прямоугольников круг стал следующей простейшей геометрической фигурой, вошедшей в человеческую жизнь ещё на примитивной стадии развития общества, особенно после появления колеса. Помимо обыденного применения, круг играл большую роль в ритуале и духовных отношениях. В древние времена было достигнуто значительное понимание его различных геометрических свойств. Прогресс знаний о круге сопутствовал прогрессу всей человеческой цивилизации. Наши знания об истории древних культур весьма ограничены как относительно сохранившихся источников, так и их понимания. Тем не менее, в индийском контексте мы располагаем информацией из таких источников, как шульба-сутры1, сочинения джайнов2, работы по математической астрономии, традиция которой ведётся от Арьябхаты3,

1 Сутра — текст, составленный из максимально лаконичных фраз, заучивавшийся наизусть. Сутры содержали изложение ведийских вспомогательных дисциплин, прежде всего - ритуала. Шульба-сутры (букв.: «сутры измерительного шнура») относятся приблизительно к VIII—III вв. до н. э. и представляют собой практические руководства по изготовлению алтарей, решавшие задачи построения геометрических фигур и преобразования их в равновеликие фигуры, а также вычислительные задачи. — Примечание переводчика.

2 Джайнизм — одна из национальных религий Индии, в текстах которой встречаются математические и астрономические сведения. — Примечание переводчика.

3 Индийский астроном и математик (476-550 н. э.). Не путать с Арьябхатой Вторым (ок. 920-ок. 1000), индийским математиком и астрономом, автором трактата «Махасиддханта». — Примечание переводчика.

и, наконец, трактаты керальской математической школы4. Они относятся к различным историческим периодам, и это открывает широкую перспективу плодотворного развития идей.

Период шульба-сутр

Шульба-сутры представляют собой каноны конструкций алтарей (vedi) и огневых платформ (citi) для ведийских ритуалов5. Помимо того, что каноны содержали подробные инструкции по укладке брусков (т. е. простых прямолинейных форм — квадратов, треугольников и проч.), чтобы достичь тщательного приближения к таким фигурам, как сокол, черепаха, колесо, они также включали формулировки различных геометрических принципов и геометрических построений практической или теоретической значимости, что даёт нам представление о математических знаниях того времени. Среди многочисленных шульба-сутр особенно выделим имеющие математическое значение Баудхаяна6 -(Baudhäyana sulvasütra), Апастамба7-, Манава8- и Катьяяна9- шульба-сутры. Временные рамки написания шульба-сутр весьма неопределённы, так как внутри этих текстов нет никаких, кроме языка и стиля, ключей для их датировки, но учёные пришли к общему мнению, что эти сутры относятся к периоду приблизительно между 800 и 200 гг. до н. э. «Баудхаяна» — самая старая, а «Катьяяна» — последняя. Подробности можно найти в [18], [12], [1] и в указанных там источниках, здесь мы сосредоточимся на рассматриваемой конкретной теме, связанной с кругом.

Первое, что сразу приходит в голову — это проблема отношения длины окружности к диаметру. Как и в других древних культурах, в древней Индии это отношение принимали равным трём. В контексте ведийской традиции это отразилось косвенным образом в утверждении «Лунки для жертвенных шестов имеют 1 паду в диаметре, 3 пады в окружности» (Baudhäyana sulvasütra 4.15, см. [18]); «пада», что буквально означает ногу, была мерой длины, примерно равной 28 см. Вторая часть фразы, видимо, уточняет первую часть, и убеждает нас, что длина окружности считалась в три раза большей диаметра.

Выбор значения 3 для этого отношения сейчас может показаться удивительным; повседневный опыт должен был бы убедить, что оно чуть больше.

4 Научная школа в Индии в XIV-XVII веках. — Примечание переводчика.

5 Жертвоприношения (yajna), огненные ритуалы, совершаемые ради материальных и/или духовных благ, являются одной из основных особенностей ведийской культуры. В них участвовали как цари, так и миряне из жреческой касты того времени. По поводу специфики жертвоприношений, различавшихся в зависимости от целей, и процедур, которым необходимо следовать, были подробные предписания.

6 Баудхаяна (Baudhäyana) — автор группы ведических дхармических сутр, включавших математические тексты, работавший приблизительно в VIII-VII вв. до н. э. —Примечание переводчика.

7 Apastamba Dharmasütra — текст на санскрите приблизительно первого тысячелетия до н.э. Назван по имени Апастамба, автора-составителя либо переписчика. — Примечание переводчика.

8 Mänava (ок. 750-690 гг. до н.э.) — автор геометрических текстов шульба-сутр. — Примечание переводчика.

9 Kätyäyana (прибл. III в. до н. э.) — грамматик, математик и ведический жрец. — Примечание переводчика.

Мне представляется правдоподобным следующее объяснение (которое, кажется, не отражено в литературе): отношение 3 восходит к тому времени, когда человечество ещё не мыслило понятия дроби (кроме, возможно, «половины», что могло означать существенную часть целого, а не точное значение в нашем понимании), и преобразовалось в верование (возможно, в связи с религией). Отношению было присвоено значение 3 в том смысле, что это, допустим, не 2 или 4, или даже не «три с половиной». Давно укоренившееся мнение долго не пересматривалось, даже после того, как появилось понятие дроби. В то время как нашему знакомству с кругом, особенно с его обиходным воплощением — колесом — более 5000 лет, дроби, видимо, основательным образом появились в индийской, а также в египетской культуре, существенно позже, возможно, лишь в первом тысячелетии до нашей эры. Если для определения исторически раннего понятия используют более позднюю систему категорий, это модернизированное представление неизбежно вступит в противоречие с историческим контекстом.

«Манава шульба-сутра», однако, ломает шаблоны, и мы сталкиваемся со следующим:

viskambhahpancabhägasca viskambhastrigunasca yah | sa mandalapariksepo na välam atiricyate 11

(Mänava Sulvasütra 10.3.2.13) Трёхкратный диаметр и его пятая часть будет длина окружности, даже толщины волоска не останется.

Несомненно, с годами было признано, что отношение действительно немного больше трёх. В «Манава шульба-сутре» эта разница уже, по-видимому, осознана и дана более точная оценка. Явное улучшение!

В отличие от длины окружности, площадь круга интересовала авторов сутр (sütrakära) самым непосредственным образом. В шульба-сутрах нет прямого указания об их осведомлённости о том, что отношение длины окружности к диаметру такое же, как отношение площади круга к квадрату радиуса; видимо, не было повода к тому, чтобы сравнить эти два отношения. Вопрос о площади при строительстве алтарей рассматривался отдельно. Огневые платформы могли быть построены в форме колеса повозки, круглого корыта и т. п. Площадь такой платформы определялась в зависимости от особенностей ритуала и должна была быть одинаковой у всех платформ независимо от их формы. Это побуждало думать, как преобразовать квадрат в круг такой же площади.

Преобразование квадрата в круг

Баудхаяна описывает процедуру построения круга такой же площади, как данный квадрат, в нашем пересказе состоящую в следующем: нарисовать круг, радиус которого равен половине стороны квадрата, увеличенной на одну треть разности половины диагонали и половины стороны квадрата,

т. е. QR = - QS, а именно, радиуса PR (см. рис. 110).

10 Рисунки 1 и 2 были первоначально опубликованы в работе автора [1] и перепечатываются с любезного разрешения издателя.

Рис. 1. Построение в «Баудхаяна шульба-сутре»

Рис. 2. Построение в «Манаса шульба-сутре»

Для квадрата со стороной а мы легко получаем, что радиус построенного круга равен -, его площадь в случае а = 1 равна l,U17z5, а вычисление величины 7г, исходящее из описанного построения, даёт 3,0883... вместо 3,14159... Следует иметь в виду, что это была процедура построения круга, а не нахождения числового значения 7г; последнее не выделилось как понятие и как отношение не вычислялось. Сравнение здесь и в аналогичных контекстах ниже проводится лишь для облегчения общего представления о различных приближениях числа тт.

«Апастамба шульба-сутра» даёт то же построение круга, что и «Баудхаяна». «Манава», видимо, предусматривает другое построение для круга с площадью данного квадрата. Автору принадлежит следующая интерпретация строфы «Манава шульба-сутры», изложенная в [1]. Для удобства я буду обсуждать строфу и окружающий контекст после того, как сначала опишу процедуру в соответствии с интерпретацией. Последовательность действий иллюстрирует рис. 2. Нарисуйте отрезки, разделяющие квадрат на три горизонтальные полосы. Продолжите эти линии до пересечения с описанной окружностью. На отрезке QS поставьте точку R на расстоянии - длины этого отрезка от точки Q. Круг радиуса PR, где Р — центр квадрата, и объявляется искомым, т. е. с площадью, равной площади исходного квадрата.

Для квадрата со стороной 1 получим Qb = -, так что для радиуса г круга имеем

Площадь такого круга составит 0,9946..., это более точное приближение по сравнению с предыдущим, погрешность составляет всего — %, сейчас с избытком. Значение тт в этом случае равно 3,1583...

Строфа из «Манава шульба-сутры», о которой идёт речь, такова:

caturasram navadhä kuryäddhanuhkotyastridhätridhä | utsedhätpancamam lumpetpurïseneha tävatsamam 11

(Mânava sulvasutra 11.15)

В литературе имеются большие разночтения этой строфы. В работе [18] предполагается, что, возможно, «квадраты нарисованы без всякого математического смысла». В [12] приводится толкование, вывод из которого явно неверен. Есть ещё одна интерпретация в [7], приводящая к заключению, что, согласно сутре, величина тт должна быть —-, но интерпретация первой строки этой строфы не играет никакой роли, в то время как вторая строка выражает смысл вполне конкретно. Ключом проблемы является адекватный перевод.

Я предлагаю следующий перевод; первое предложение по существу такое же, как в [18].

Раздели квадрат на девять частей, разделив каждую сторону на три равные части. Отметь пятую часть выступающей части (квадрата) и покрой (соответствующий круг с центром в начале) рыхлой землёй.

Согласно моей интерпретации, смысл этого объяснит рисунок 211. Здесь неуместно вдаваться в лингвистические тонкости. В пользу нашего толкования приведём две причины. Во-первых, это приводит к значительному улучшению результата, что не могло быть простым совпадением. Во-вторых, если попробовать догадаться, как современники Манавы пытались исправить отклонение результата, то построение возникает как естественное развитие: после построения Баудхаяны долгое время круг рисовали чуть больше ожидаемого. Поскольку оказалось, что деление квадрата пополам не даёт желаемого, решили делить квадрат на три части. Прежние переводы были неточными. Ключом здесь является выбор точки на линии, делящей квадрат на три части, что естественно, но не было замечено предыдущими авторами. Кроме того, по аналогии с предыдущим построением, точка должна выбираться на внешнем продолжении отрезка, который отсекает треть квадрата. В более раннем построении для получения радиуса искомого круга такой отрезок увеличивался на одну треть выступающей наружу части, и заметим, что хотя описанный круг в этом стихе не упоминается, он незримо присутствует в их построении. Добавление - , вероятно, основано на специальном наблюдении, что без этого радиус получался несколько меньше, чем в построении Баудхаяны.

Очевидно, что построение Манавы является плодом настойчивых попыток улучшить исходное построение Баудхаяны путём уточнения общей схемы. Остаётся неясным, как продумывались конкретные детали, как и до какой степени их старались уточнить.

Заметим, что существуют и другие построения, принятые в более широком ведийском сообществе; хотя ведийская культура содержала некоторый общий свод знаний, в различных шульба-сутрах появилось множество вариаций в возникших позже общинах. Менее известная шульба-сутра под названием «Майтраяния шульба-сутра» (Maiträyamya), которая сродни «Манава

11 Добавим, что условие деления на 9 частей, возможно, означает, что указанные точки должны быть нарисованы на всех 8 выступающих отрезках и искомый круг нужно проводить через них. Это облегчит рисование от руки.

шульба-сутре» (она принадлежит к той же самхите12), предлагает построение с помощью поворота квадрата: взять радиус искомого круга как 9/16 стороны квадрата, см. [9]. Для единичного квадрата полученный круг оказывается 0,9940..., что сравнимо с вышеприведённым результатом и соответствует величине 7г, равной 3,1604... Здесь следует напомнить, что египтяне полагали площадь круга радиуса г равной ( 1 .

Квадратура круга

Обратная задача о «квадратуре круга», то есть о нахождении квадрата той же площади, что и данный круг13, также рассматривается в шульбасутрах. «Баудхаяна» даёт следующее выражение для отношения стороны квадрата к диаметру круга (в источнике дано словесное описание):

(1)

Это соответствует значению отношения 3,0883..., т. е. чуть более 98,3% истинной величины. Заметим, что погрешность составляет 1,7% с недостатком. Заметим, что погрешность составляет 1,7%, причём с недостатком. Последнее не случайно, а, видимо, связано с тем, что решение обратной задачи выполнялось как обратная последовательность этапов решения прямой задачи (см. [19, 17]). Из-за отсутствия геометрической процедуры для решения обратной задачи, т. е. нахождения квадрата, равновеликого кругу, они получали значение стороны квадрата из формулы выражения радиуса [через сторону квадрата], приведённой в предыдущем разделе. До сих пор не выяснены детали этой процедуры.

Чтобы выразить сторону квадрата через радиус, т. е. получить обращение дроби -—5 необходимо понимание приближения л/2 рациональным числом — имевшегося у древних индусов представления о л/2 как об определённом отрезке было недостаточно.

Квадратный корень из двух

Три из четырёх шульба-сутр, «Баудхаяна», «Апастамба» и «Катьяяна», дают следующее выражение л/2 (словами):

(2)

12 Каждая сутра относилась к определенной ритуалистической школе, а каждая школа по своей специализации тяготела к определённой веде как к интеллектуальному направлению, которое было основано на «собраниях» или «сводах» (samhita) гимнов. В то же время весь корпус почитался и изучался сообществом в целом. — Примечание переводчика.

13 Не следует путать эту проблему с греческой проблемой нахождения такой же площади с помощью построения циркулем и линейкой. Контекст сутракаров (авторов сутр) был совсем другой, их целью было только найти квадрат, равновеликий кругу, в пределах возможного уровня точности. Возможно, у них не было повода заниматься циркулятурами. Их задача заключалась в нахождении квадрата какими-нибудь доступными средствами.

В десятичном выражении это величина 1,4142157... Это удивительно близко к фактическому значению 1,4142136..., и этот факт был предметом многих восхищённых комментариев в литературе. Кстати, можно напомнить, что около тысячи лет ранее вавилоняне также имели величину, описывающую у/2 в шестидесятиричной системе, в десятичном выражении равную 1,4142129... (см., например, [4]). Различные представления этого числа и существенные различия в значениях, как с избытком, так и с недостатком, исключают их общее происхождение. Были содержательные предположения и дискуссии о том, как в шульба-сутре было получено значение у/2; однако мы не будем здесь отвлекаться на эти детали (см., например, [1] и другие указанные там источники).

Стремление найти величину у/2 приводит к выражению, подобному формуле (zj, и видимо, происходит из задачи обращения - для получения формулы квадратуры круга (1). Численное значение у/2 не упоминается в других местах шульба-сутр. В других контекстах, видимо, используется лишь геометрическая форма у/2 как диагонали единичного квадрата, которая имела специальное название dvikarani.

Насколько успешными были решения задач о стороне квадрата, равновеликого данному кругу, где использовалось вышеуказанное значение у/2, рассмотрено у Ж. Тибо [19], а также у других более поздних авторов. Прежние объяснения, однако, без всякого основания приписывают авторам сутр ловкость в обращении с дробями. В своей недавней работе С. Кичченассами [11] предложил решение вопроса, которое более соответствует характеру шульбасутр; в его статье также подробно обсуждается несостоятельность других аргументаций.

Было бы также целесообразно отметить ещё одно построение из шульбасутр, относящееся к свойствам круга. В «Баудхаяна шульба-сутре» описано построение квадрата, которое включает восставление перпендикуляра к данной линии, скажем, L, из точки Р на L, путём вычерчивания окружностей с центрами в равноудалённых от Р точках на L радиусом, превышающим это расстояние, и соединение точек пересечения двух окружностей (точно так же, как этому сегодня учат в школах). Это построение основано на знании того, что отрезок, соединяющий точки пересечения окружностей, ортогонален отрезку, соединяющему их центры. Хотя построение делалось для окружностей одного радиуса, разумно предположить, что этот «принцип ортогональности» распространялся на любые окружности. В большинстве задач, требующих построения перпендикуляра, использовалось, однако, обратное утверждение теоремы Пифагора14, а не вышеприведённое построение (произведённое определённым образом, оно оказывается проще, см. [1]).

14 Теорема Пифагора была известна в Индии, по крайней мере, во времена «Баудхаяна шульба-сутры» (ок. 800г. до н.э.), в которой имеется её чёткая формулировка. Обратное утверждение теоремы, а именно, что треугольник, квадрат стороны которого равен сумме квадратов двух других сторон, прямоугольный, широко использовалось для построения перпендикуляров (подробнее см. [1]).

Позвольте мне завершить этот раздел о шульба-сутрах следующим комментарием. В толковании шульба-сутр была тенденция приписывать авторам стремление к высокому уровню точности. Хотя значение у/2 представляется тому примером, тщательное прочтение шульба-сутр показывает, что это нетипично. Во многих текстах описаны иные вспомогательные величины и приближённые построения наряду с некоторыми более точными. Это показывает, что общая практика была преимущественно ориентирована на ритуальные действия. В отличие от строгих академических исследований, здесь приближённые построения не приносят серьёзного ущерба.

Математику древних культур необходимо воспринимать и оценивать в её конкретном контексте, а не через общие абстрактные критерии. Вопрос о квадратуре круга возник, в частности, из желания получить огневые платформы одинаковой площади, что не требует высокой точности, и было бы неверно удивляться её отсутствию.

Джайнская традиция

Помимо ведической религии в течение первого тысячелетия до нашей эры (и позже в течение определённого времени) в Индии процветали джайнизм и буддизм. Давней традицией джайнов была связь с математикой, о чём свидетельствуют многочисленные дошедшие до нас сочинения. Что касается буддизма, то хотя включённые в буддийские практики конструкции, называемые мандалами, имеют сложное построение, которое кажется математически значимым, до нас не дошло их сочинений с использованием математических понятий.

Мотивация джайнов к математике, по существу, происходит не из каких-либо ритуалов, которых они действительно гнушались, но от созерцания космоса, благодаря чему они развили свою собственную сложную и уникальную концепцию. В космографии джайнов плоский мир бесконечен и состоит из концентрических колец, окружающих самую внутреннюю круговую область с диаметром 100 ООО йоджан15, известную как остров Джамбу (Jambudvïpa, что соответствовало Земле), а кольцевые области состоят попеременно из воды и суши, ширина каждого следующего кольца вдвое больше предыдущего. Геометрия круга играла важную роль в общем дискурсе, даже когда учёные, занятые в нём, были более философами, нежели математиками. К сожалению, многие исторические и хронологические детали традиции джайнизма неясны (даже более, чем традиции индуизма) и являются предметом догадок. Наиболее полное изложение свойств круга, известных в традиции джайнизма четвёртого и пятого века, можно найти в работе [14, с. 59]. Однако, как заметил Б. Датта в [2], все они находятся в Tattväthädhigama-sütra-bhäsya («Комментарий на Таттвартхадхигама-сутру»), философском труде Умасвати16, который, согласно традиции шветамбаров, жил около 150г. н.э., а со-

15 Йоджана (yojana) была мерой длины, порядка от 15 до 20 км, с некоторыми вариантами.

16 Умасвати (Umäsväti) — один из первых индийских уччных первого тысячелетия н. э., основоположник джайнской систематической философии на санскрите. — Примечание переводчика.

гласно традиции дигамбаров17 — во втором веке нашей эры. Б. Датта в [2] предполагает, что Умасвати, вероятно, не был первооткрывателем формул, они были известны за много веков до него, и обсуждает некоторые обоснования этого утверждения. Т. А. Сарасвати Амма [15, с. 63] приписывает основные формулы «Сурьяпраджняпти» (Süryaprajnäpti), сочинению, которое, как полагают, относится к пятому веку до н. э.

В традиции джайнизма отказ от того, что число 3 является отношением длины окружности к диаметру, проявлен достаточно ярко; в «Сурьяпраджняпти» сначала написано традиционное значение 3, а затем автор отказывается от него в пользу y/ÏÔ. Джайны также знали, что отношение площади круга к квадрату радиуса даёт то же число, что и отношение длины окружности к диаметру. Фактически они имели формулу площади круга как произведения четверти длины окружности на диаметр, откуда непосредственно следуют два названных отношения. Между прочим, y/ÏÔ , который составляет около 3,16227..., является лучшим приближением 7г, чем в построении Баудхаяны, обеспечивая погрешность всего лишь около - %.

Это значение было очень удобно для теологов-математиков джайнизма в их вычислениях. Например, в «Джамбудвипапраджняпти» величина окружности Джамбудвипы (Земли) диаметром 100 ООО йоджан вычисляется при помощи величины y/ÏÔ как отношения длины окружности к диаметру, путём извлечения квадратного корня из 1011.

Это значение 7г использовалось более тысячелетия, даже после того, как стали известны лучшие приближения; действительно, его использование в джайнских текстах настолько обыденно, что его часто называют величиной джайна для тт. Это значение было также принято в «Панчасиддхантика»18 и в целом в традиции сиддхант (астрономических книг), процветавшей в период с первого по шестой век нашей эры.

Имеется несколько предположений по поводу того, как стал значением для тт. Одно объяснение, приписываемое Гунрату (Hunrath), излагается следующим образом: ([15, с. 65]): квадрат стороны правильного 12-угольника, вписанного в окружность единичного радиуса, очевидно, равен и при выборе как приближения для таким образом, периметр правильного 12-угольника составляет около у/10 его основной диагонали, но немного меньше. Возможно, это способствовало возникновению формулы длины окружности. Однако объяснение включает в себя много недостаточно обоснованных предположений. Заинтересованный читатель может также найти различные другие объяснения в [6].

17 Svetämbara и Digambara (шветамбары и дигамбары) — две древние ветви джайнизма, с некоторыми различиями относительно философской терминологии, а также относительно повседневного обихода.

18 «Панчасиддхантика» (Pancasiddhäntika) — «Трактат, включающий пять сиддхант», астрономическое сочинение Варахамихиры (Varähamihira, 505-587). — Примечание переводчика.

Вирасена (VTrasena), джайнский математик восьмого века, утверждал:

vyäsam sodasagunitam sodasa sahitam trirüparüpairbhaktam | vyäsam trigunitam süksmädapi tadbhavet suksmam |

(Satkhandägama, vol. IV, p. 42) Шестнадцатикратный диаметр вместе с 16 раздели на 113 и трёхкратный диаметр будет очень хорошей величиной (длины окружности).

В этой формуле «вместе с 16» выглядит странно — безусловно, автору было известно, что длина окружности пропорциональна диаметру, и что добавление 16, независимое от величины диаметра, не будет с этим согласовываться. Если пренебречь этой частью19, мы получим величину 7г, составляющую о H--= -, что представляет неплохое приближение, которое автор оценивает как «sükshmadapi sükshamam» (лучшее из лучших!). В Китае приближение для 7г было дано Цзу Чунчжи (Chong-Zhi, 429-500). Его значение 3,1415929... вместо 3,1415926.. .даёт 6 верных десятичных знаков.

В «Трилокасаре» (Trilokasära), другом трактате джайнской школы, составленном Немичандрой20, который жил около 980 г. н. э., можно найти иное (16 \^ — J , которое мы уже видели в «Майтраяния шульба-сутре», (общее с египетским). Это может свидетельствовать в пользу связи с индуистской традицией, но разрыв во времени весьма интригующий.

Помимо круга в целом, джайнские математики также интересовались связью между круговыми дугами и соответствующими им хордами. Это связано с их представлением о географии Джамбудвипы, включая различные области, горы и т.д. Умасвати отмечает различные связи между длиной хорды с, высотой h соответствующей стрелы (т. е. отрезка, соединяющего середину хорды с серединой дуги) и диаметром d круга. Одно из отношений выражено как с = у/fAh[d — h). Также представлены различные другие формулы, с современной точки зрения алгебраически эквивалентные этой. Заинтересованный читатель может обратиться к [17, 2], а также [8] за дальнейшим обсуждением этого вопроса, в двух последних источниках приведены также некоторые подробности по поводу аналогичных формул в других древних культурах.

Есть ещё интересная формула для длины а минорной дуги (меньшей из двух дуг, отсекаемых хордой): а = л/6/i2 + с2 (в тех же обозначениях, что и выше). Это приближённое соотношение. Можно заметить, что в частном случае, когда хорда является диаметром, а дуга является полукругом, равенство

19 Не много нужно, чтобы в чём-то исказить окончательный смысл при переводе; здесь важны и смысл и грамматика. Можно, например, истолковать слова sodasa sahitam «с шестнадцатью» буквально, подчеркнув, что делить на 113 нужно всю ту сумму, в которую уже добавлено 16, т.е. «вместе с 16», что даст неверный результат, который вряд ли имел в виду автор.

20 Немичандра (ок. 10 в.), по прозвищу «Сиддхантачакравартин» («Император философии») — индийский учёный, известный духовный наставник джайнской традиции. — Примечание переводчика.

соответствует длине полукруга с радиусом л/П), так что отношение этих величин даёт значение 7г. Как только мы переходим к малым дугам, отношение отклоняется от тт. Удивительно, однако, то, что формула всё время продолжает быть частью джайнской литературы, в том числе в знаменитой математической работе «Ганитасарасанграха» (Ganita sära sangraha) Махавиры21 в 850 г. (Глава VII, стих 73 — , см. [14, с. 469]). Формула также появляется в «Трилокасаре» Немичандры (см. [3]).

Зная хорду, можно помимо длины фрагмента дуги искать площадь отсекаемого сегмента (со стороны меньшей дуги). «Ганитасарасанграха» даёт значение площади - VlOch, где с — длина хорды, ah — высота над хордой (длина стрелы). Эта же формула находится в «Трилокасаре». Эта формула справедлива только для полукруглого сегмента с тт вместо л/ÎÔ, но даёт отклонение от фактического значения при малых дугах.

Иная формула площади сегмента, отсекаемого хордой, дана в «Тиршатике» (Trisatika) Шридхары (около 750 г.)22, она же цитируется в более поздних работах, в том числе у Бхаскары (Bhäskara, о нём подробнее ниже). Возможно, стоит упомянуть, что Шридхара не вполне вписывается в традиции астрономов-математиков — его известные работы относятся исключительно к математике, и он хорошо известен своей процедурой решения квадратного уравнения. Согласно Шридхаре, площадь А сегмента между хордой и соответствующей дугой выражается как

Очевидно, что здесь y/ÏÔ предназначен заменить тт.

Казалось бы, многие формулы для дуговых сегментов, отсекаемых хордами, были написаны путём упрощённой экстраполяции отношения полукруга к его части и имели некоторые (эвристические) основания, но никаких записей не найдено. С исторической точки зрения это подчёркивает трудности, стоявшие перед древними математиками в освоении длин дуг и площадей ограниченных ими областей, и их стремление обойти эти трудности до возникновения тригонометрии, а затем дифференциального и интегрального исчисления.

Арьабхата и астрономическая традиция

Арьабхата (Aryabhata), родившийся в 476 году нашей эры (о чём он сам говорит23 в своей работе «Арьябхатия» (Aryabhatïya)), был пионером в том,

21 Махавира — здесь: джайнский математик 9 века. Не путать с основателем джайнизма Джиной Махавирой, 6 в. до н. э. — Примечание переводчика.

22 Хотя до некоторого времени не было аргументов по поводу его происхождения и времени жизни, сейчас достигнуто общее мнение, что Шридхара жил в 8 веке н. э. и был джайном, по крайней мере, во время своего сочинительства — с этим согласуется его математическая работа.

23 «Когда шестьдесят раз по шестьдесят лет текущей юги истекло [499г. н.э.], минуло двадцать три года с моего рождения». — Примечание переводчика.

что называется традицией сиддханты (siddhänta) астрономов-математиков Индии, которая процветала почти восемь столетий, до Бхаскары (Бхаскарачарьи, Bhäskarächärya) в 12 веке, и даже позже, что, в свою очередь, привело к возникновению математической школы Керала24. Несмотря на явные связи с более древней эллинистической математической астрономией, традиция преодолела влияние раннего периода и наметила собственный курс. Были разработаны новые математические идеи, отвечавшие теоретическим требованиям изучения астрономии, а также в стремлении к чистой математической мысли. В частности, развивалось более глубокое понимание круга как с точки зрения геометрии, так и тригонометрии. В работе «Арьабхатия» мы находим следующее:

Caturadhikam satamastagunam dväsastistathä sahasränam | ayutadvayaviskambhasyäsanno vrttaparinahah 11

(Ganitapäda 10, in Aryabhatïya)

Длина окружности круга с диаметром двадцать тысяч есть приблизительно сто и четыре по восемь раз, и шестьдесят две тысячи (т.е. 62 834).

Это соответствует величине тт приблизительно 3,1416, что в самом деле совпадает с правильным округлением до четырёх знаков после запятой. Нужно напомнить, что в греческой астрономии Птолемей имел значение в шестидесятиричной системе, соответствующее 3,14166... Прямой информации, указывающей на то, как Арьябхата получил это значение, нет. Можно ожидать, что, как и в аналогичных случаях в других культурах, значение было получено путем многократного применения формулы

где Sn — сторона правильного п-угольника в круге единичного радиуса. Формула следует из теоремы Пифагора, которая, как уже отмечалось, была известна в Индии со времён «Баудхаяна шульба-сутры». Согласно Ганеше (Ganesa), который комментировал «Арьабхатию» в шестнадцатом веке, для аппроксимации круга строился вписанный многоугольник с 384 сторонами, и использовалась вышеприведённая формула: начиная с шестиугольника (сторона которого совпадает с радиусом окружности), и достигая многоугольника с количеством сторон 384 = 6 х 26. Выбор 20000 в качестве диаметра легко объясняется облегчением вычисления квадратных корней в целых числах, величины могли округляться с избытком или с недостатком, чтобы получать целые значения на различных этапах применения формулы, как описано выше, а квадратный корень вычислялся с помощью хорошо известной предназначенной для этого процедуры, приписываемой Арьабхате. Можно заметить, что значение 7г, как и выше, несколько больше фактического, несмотря на

24 Kerala — штат в Индии. Керальская научная школа астрономии и математики существовала в XIV-XVII веках. — Примечание переводчика.

его представление через периметр вписанного правильного многоугольника — это из-за округления на некоторых этапах.

В «Арьабхатии» имеются также тригонометрические функции синус и косинус25. «Арьабхатия» содержит в стихотворной форме таблицу синусов для углов до 90°, кратных 3°45/ (24-я часть прямого угла26): для облегчения расчёта длин хорд радиус R выбирали как радиус окружности, длина которой 21 600 (мера всей окружности в минутах). Использование в качестве значения радиуса большого целого числа позволяло избежать вычисления корней из дробных чисел. Для последовательных величин угла а составлялась таблица значений Rsina. Аналогичная таблица приведена в «Панчасиддхантике», более древнем сочинении первых веков нашей эры, в которой значение R принималось равным 120. Этот выбор имел другие преимущества: расчёт начинали с половины радиуса, т. е. с числа, которое является основанием 60-ричной системы. Подробности этого способа малоизвестны.

Располагая такими таблицами, можно рассчитать длины дуг окружностей с использованием таблицы синусов не обращаясь к специальной формуле, как в математике джайнов. Также в «Арьабхатии» применялись интерполяционные методы для действий с некоторыми вспомогательными углами. Помимо таблицы синусов там содержится также любопытная приближённая формула для функции синуса, часто используемая в традиции сиддханты. Как правило, её относят к Бхаскаре Первому (7-й век н.э.), так как она является частью его «Махабхаскария», (Mahäbhäskariya), но независимо от этого она обнаружена в работе Брахмагупты «Брахмаспута сиддханта» (Brähmasputa siddhänta), относящейся к тому же времени. В современных обозначениях формулу можно представить так:

где в — угол, измеряемый в градусах. Формула выглядит удивительно точной, допуская погрешность менее 1%, за исключением очень малых углов. Неясно, как она могла быть получена (см. подробнее [5, 20]).

Знание различных свойств круга и тригонометрии постепенно становилось важной частью обучения в традиции сиддханты, как необходимое условие для занятий математической астрономией. Традиция поддерживалась, хотя, возможно, в некоторые периоды слабее, чем в другие, и отдельные представители сделали собственные открытия, наряду с совершенствованием корпуса математических знаний в целом. Здесь мы не будем углубляться в исторические подробности относительно этого. Бхаскара Второй, 12 век (также известный как Bhäskaräcärya, Бхаскара-учитель), считается последним крупным представителем этой традиции. Помимо освоения традиционных

25 В то время как греки создавали геометрию хорд, именно в Индии возникла тригонометрия полухорд.

26 Синус такой дуги по величине равняется радиусу. Поэтому радиус и тригонометрические линии в круге, в т. ч. линия синуса, выражали в частях окружности, сравнивая по величине дугу и прямолинейный отрезок (Матвиевская Г. П. Очерки истории тригонометрии. — Ташкент, 1990. с. 42). — Примечание переводчика.

знаний, Бхаскара внёс собственный вклад. В его время в обществе широкое распространение и приложения получили вспомогательные для математической астрономии виды математики, особенно арифметика и геометрия. Бхаскара написал обширный труд, «Сиддханташиромани» (Siddhänta Siromanî), содержавший, в традиции сиддханты, главу, посвященную названным выше математическим темам, под названием «Лилавати» (Lïlavatï). Эта глава, однако, приобрела свою собственную жизнь и репутацию математической работы, получив широкое распространение. На протяжении нескольких веков она служила учебником математики почти для всей Индии. В частности, относительно круга я только упомяну следующую (приближённую) формулу из Лилавати для длины дуги окружности; сама формула, видимо, связана с формулой Бхаскары для функции синуса, в радианах:

где р означает длину окружности (периметр) круга, а другие обозначения такие же, как выше, а именно, а — длина дуги, с — длина хорды, и d -диаметр круга; первое выражение такое же, как оно даётся в первоначальном стихе, а второе является его упрощением. Видно, что в связи с развитием геометрии окружности и тригонометрии развивалось и более общее знание.

Керальская школа

В контексте нашей темы мы закончим эту статью несколькими замечаниями о математической школе Кералы. Она ведёт своё начало со второй половины 14 века от работы Мадхавы (Mädhava), и непрерывной преемственностью от учителя к ученику на протяжении приблизительно 250 лет достигла процветания. В рамках этой школы были получены замечательные результаты в инфинитезимальных методах, и, в частности, получены ряд Грегори-Лейбница для арктангенса и ряд Ньютона для синуса (за два века до того, как их открыли в Европе). Мы не будем вдаваться в подробное обсуждение вопроса о математике керальской школы, последние годы этот вопрос глубоко изучался. Заинтересованный читатель может обратиться к [10, 14] и [16]. По-видимому, предметом увлечения этой школы было вычисление точного значения числа 7г, что относится к нашей теме. В частности, Шанкараварияр (Sankara Väriar,1556) в трактате «Криякрамакари» (Kriyâkramakarï, см. [14]) приписывает Мадхаве следующее удивительно хорошее приближение 7г: мера окружности для круга диаметром 900 ООО ООО ООО есть 2 827 433 388 233. Таким образом, вместо 3,141592653589..., с точностью 11 знаков после запятой, если округлить. В формуле

Длина окружности =

ряд сходится очень медленно. Чтобы избежать этого недостатка, Мадхава ввёл остроумный приём, называемый antya samskära, «окончательная поправка». Для последовательности частичных сумм Sn он ввёл последовательность ап такую, что последовательность Sn + ап сходится быстрее. Это даёт последовательность

Её пятидесятый член как раз обеспечивает 11 знаков.

ЛИТЕРАТУРА

1. Dani S. G. Geometry in the Sulvasutras. Studies in History of Mathematics. — Proceedings of Chennai Seminar, Ed. C. S. Seshadri, Hindustan Book Agency, New Delhi, 2010. P. 9-37.

2. Datta Bibhutibhushan. The Jaina School of Mathematics // Bull. Cal. Math. Soc. 21. 1929. P. 115-145.

3. Datta Bibhutibhushan. Mathematics of Nemicandra // Jaina Antiquary 1. 1935. P. 25-44.

4. Fowler D., Robson E. Square Root Approximations in Old Babylonian Mathematics: YBC 7289 in Context // Historia Math. 25. 1998. P. 366-378.

5. Gupta R. C. Bhaskara Fs approximation to sine // Indian J. History Sei. 2. 1967. P. 121-136.

6. Gupta R. C. Mädhavacandra's and other octagonal derivations of the Jaina value 7г = y/TÖ II Indian J. Hist. Sei. 21. №2. 1986. P. 131-139.

7. Gupta R. C. New Indian values of 7г from the Mänava sulva sutra // Centaurus 31. №2. 1988. P. 114-125.

8. Gupta R. C. Area of a bow-figure in India // Studies in the history of the exact sciences (Pingree Volume). Brill, Feiden, 2004. P. 517-532.

9. Gupta R. C. Sulvasutras: earliest studies and a newly published manual // Indian J. Hist. Sei. 41. 2006. P. 317-320.

10. Joseph G.G. A Passage to Infinity: Medieval Indian Mathematics from Kerala and Its Impact. — Delhi: Sage Publications (Inda) Pvt. Ftd., 2009. 236 p.

11. Kichenassamy S. Baudhäyana's rule for the quadrature of the circle // Historia Mathematica, 33. 2006. P. 149-183.

12. Kulkarni R. P. Char Sulvasutra (in Hindi). — Ujjain: Maharshi Sandipani Rashtriya Vedavidya Pratishthana, 2000. Fill + 334.

13. Padmavathamma. Sri MahävTräcarya's Ganitasärasarigraha. — Shimoga: Sri Siddhäntakrlithi Granthamäla, Sri Hombuja Jain Math, Hombuja, 2000. 834 p.

14. Plofker K. Mathematics in India: 500 ВСЕ - 1800 CE. — Princeton: Princeton University Press, 2008. 360 p.

15. Saraswati Amma T. A. Geometry in Ancient and Medieval India. — Delhi: Motilal Banarsidas, 1979. 280 p.

16. Ramasubramanian K., Srinivas M. D. Development of calculus in India / In: Studies in the history of Indian mathematics. Cult. Hist. Math., 5. — New Delhi: Hindustan Book Agency, 2010. P. 201-286.

17. Seidenberg A. The ritual origin of geometry //Archive for History of Exact Sciences. 1. 1962. P. 488-527.

18. Sen S. N., Bag A. K. The Sulvasutras of Baudhäyana, Apastamba, Kätyäyana, and Mänava. Indian National Science Academy, 1983. 293 p.

19. Thibaut G. On the Sulvasutras // The Journal Asiatic Society of Bengal, Part I. 1875. (Printed by С.В.Fewis, Baptist Mission Press, Calcutta). 134 p.

20. Van Brummelen G. The mathematics of the heavens and the earth; The early history of trigonometry. — Princeton: Princeton University Press, 2009. 352 p.

Примечание: работы P. К. Гупты, цитируемые здесь, доступны также в сборнике Ganitänanda, опубликованном под редакцией К. Рамасубраманиана Индийским обществом истории математики (IndianSociety for History of Mathematics) в 2015 г.

Поступила 23.10.2016

COGNITION OF THE CIRCLE IN ANCIENT INDIA

S. G. Dani

In this article we discuss the understanding concerning geometry of the circle in ancient India, in terms of enuciation of various principles, constructions, applications etc., during various phases of history and cultural contexts.

Keywords: understanding the circle, Bäudhayana sulvasutras, Jaina mathematics, Siddhänta astronomy, Kerala school of mathematics.

ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ. ПЕРСОНАЛИИ

УДК 51 (091)

ВИКТОР АНАТОЛЬЕВИЧ ВАСИЛЬЕВ И РОССИЙСКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

С. К. Ландо

Высшая школа экономики Россия, 119048, г. Москва, ул. Усачева, 6; e-mail: lando@hse.ru

О вкладе академика В.А.Васильева в российское математическое образование.

Ключевые слова: Виктор Анатольевич Васильев, российское математическое образование.

У математиков свой мир, своя система представлений, например о том, какие рассуждения считать верными, а какие неверными или вообще бессмысленными. Это какая-то часть ноосферы, которая отличается от других. Очень важная часть, помогающая всем остальным не завраться вконец. И если прервется связь времен, этот мир просто отомрет. Этого же нельзя допустить! Поэтому нужно его хранить и передавать молодежи. Это наш долг и наша ответственность.

В. А. Васильев [1]

10 апреля 2016 года члену редколлегии журнала «Математика в высшем образовании» Виктору Анатольевичу Васильеву исполнилось 60 лет. В. А. Васильев — один из лучших мировых топологов, академик РАН, президент Московского математического общества, член редакционных коллегий нескольких математических журналов, в прошлом — член Исполнительного комитета Международного союза математиков. Среди его многочисленных обязанностей — преподавание на факультете математики в Высшей школе экономики. Он также оказал существенное влияние на то, как и по каким

учебникам преподают математику в российских школах. Математические достижения В. А. Васильева хорошо известны (хотя, быть может, недостаточно глубоко поняты), здесь же речь пойдет о его вкладе в российское математическое образование. Нижеследующий текст не дает исчерпывающего описания этого вклада. К мнению Васильева прислушиваются различные образовательные структуры — от разработчиков стандартов школьного математического образования до комиссии по совершенствованию ЕГЭ по математике. Мы ограничиваемся лишь теми областями его влияния, где его личность и профессиональные качества сыграли центральную роль.

1. Школа

Когда Виктор Васильев поступил на первый курс мехмата МГУ и немного пообвыкся там, Николай Николаевич Константинов посоветовал ему походить на семинар Владимира Игоревича Арнольда, посвященный теории особенностей. Виктор прикипел как к семинару, так и к самому Владимиру Игоревичу, став одним из наиболее последовательных и наиболее ярких среди десятков его учеников. Впоследствии, по смерти В. И. Арнольда в 2010 году, В. А. Васильев, к тому времени сам уже академик, примет на себя обязанности одного из соруководителей семинара и Президента Московского математического общества. Подходам к преподаванию Виктор Анатольевич также учился у Владимира Игоревича, сочетавшего качества блестящего лектора, умеющего завораживать большую аудиторию, с искусством написания монографий и учебников и мастерством индивидуальной беседы с учениками.

В конце 60-х годов прошлого века Николай Николаевич Константинов, постоянно искавший новые базы для выстраивания высококачественного обучения школьников математике, пришел с этой целью в 57-ю школу. Обучение математике в школах константиновской сети происходило и продолжает происходить по «системе Константинова». В идеале эта система выглядит так. Преподаватель представляет излагаемый в курсе материал в виде последовательности задач. Набор задач, отвечающих изучаемой теме, предлагается школьникам в виде «листочка», и освоение темы состоит в самостоятельном решении задач, с последующим обсуждением этих решений и возникающих проблем с преподавателем. Такая система обучения требует большого количества преподавателей — как правило, в этой роли выступают студенты математических факультетов, работающие под руководством более опытного наставника.

Поиск студентов — потенциальных преподавателей матшкол был постоянной заботой Н.Н. Константинова. Многих из них такой приход в школу привязывал к ней на долгие годы, для кого-то учительство становилось профессией. В 80-х годах в орбиту константиновского влияния попал и Виктор Васильев. В отличие от большинства студентов, с которыми имел дело Николай Николаевич, Виктор не учился до поступления на мехмат в математической школе, а успехи, которые он демонстрировал на олимпиадах, нельзя было отнести к числу выдающихся. В школе Виктор начал с того, с чего начинают все — проверки решений задач из листков и разговоров со школьниками. Но вскоре переключился на чтение курса лекций по топологии для

узкого круга старшеклассников из заброшенного класса. Кажется, сейчас все четверо его тогдашних слушателей — заметные в математическом мире фигуры.

2. Независимый Московский университет и Высшая школа экономики

Проведенные Васильевым в школе несколько лет послужили отправной точкой в его дальнейшей преподавательской деятельности. В сентябре 1991 года начал свою работу Независимый Московский университет (НМУ) негосударственное образовательное учреждение высшего образования. Он начинался с двух факультетов, названных колледжами, — Математического колледжа и Высшего колледжа математической физики. Организаторы НМУ предполагали дальнейший рост университета, увеличение количества факультетов, превращение его в полноценный классический университет. Этого не произошло — НМУ в его настоящем виде учит лишь будущих математиков. Однако не произошло и другого — почти все негосударственные высшие учебные заведения, бурно создававшиеся в начале 90-х годов прошлого века, тихо скончались к началу века нынешнего, тогда как НМУ свою образовательную деятельность продолжает.

Виктор Анатольевич Васильев работал в НМУ с первого дня его создания. Этот момент пришелся на пик его научной активности: результаты, принесшие ему впоследствии широкую известность, сыпались один за другим, и свой математический уровень он, безусловно, осознавал. В 1992 году он защитил в Математическом институте им. В. А. Стеклова РАН докторскую диссертацию. Это не мешало ему выполнять самые скромные преподавательские обязанности — вести семинары по анализу для первокурсников, придумывать задачи, проверять контрольные работы. По мере развития университета на плечи В. А. Васильева легла топологическая подготовка студентов — разработка и чтение курсов, научное руководство старшекурсниками и аспирантами.

Материализованным результатом этой работы стал учебник «Введение в топологию» [2], вскоре переведенный и изданный по-английски. В учебнике в концентрированном виде излагается базисный топологический материал, без которого не может обойтись современный исследователь — математик или специалист в области математической физики. Его принципиальная особенность — ориентация на студентов 1-3 курсов, тогда как традиционно топология считается сложным разделом математики, пригодным для изучения лишь аспирантами и старшекурсниками, получившими до этого специализированную подготовку. В то же время, нельзя не заметить, что топология по своей сути является наукой о фундаментальных, и потому простейших свойствах геометрических объектов, а значит, продвижение в геометрии без понимания её топологических основ невозможно. То же самое справедливо и для всех остальных областей математики, использующих геометрию, - алгебраической геометрии, теории динамических систем, теории алгебр и групп Ли, и многих других. Разумеется, освоение топологии требует владения навыками геометрического мышления и основами математической куль-

туры. К счастью, в России не переводятся выпускники средней школы, обладающие этими умениями. Недавно вышел обновленный вариант учебника В.А.Васильева [3].

Написание математических текстов — наиболее сильная сторона педагогического таланта В. А. Васильева. Устное общение дается ему с гораздо большим трудом — он не принадлежит к числу лекторов, свободно чувствующих себя у доски в потоке собственной легко текущей речи под взглядами десятков слушающих. Как и многие выдающиеся математики, он не всегда способен реально оценивать уровень подготовки студентов, приписывая им собственную способность сходу глубоко проникать в математическую суть излагаемого материала, проводить в уме разнообразные вычисления. Однако привычка учиться и понимание необходимости развивать педагогические качества позволили Виктору Анатольевичу значительно улучшить свои лекторские навыки.

В 2008 году НМУ и Высшая школа экономики договорились о создании в ВШЭ факультета математики. Опыт обучения хорошо подготовленных студентов, наработанный к этому времени преподавателями НМУ, был перенесен на административно более благоприятную почву. В первом призыве сотрудников вновь созданного факультета оказался и В. А. Васильев, избранный за несколько лет до этого в Российскую академию наук. До недавнего времени он читал на матфаке все курсы топологии, и сейчас эти курсы преподаются по его лекалам. Помимо собственно преподавания В. А. Васильев возглавляет Базовую кафедру Математического института им. В. А. Стеклова на факультете математики ВШЭ, выступая связующим звеном между исследователями сложившимися и исследователями будущими, помогая им найти друг друга.

3. Школьные учебники

К добру или к худу, но Академия Наук СССР (равно как и её преемница Российская академия наук) всегда приглядывала за школьными учебниками. Выдающиеся ученые-академики А. Н. Колмогоров, Л. С. Понтрягин, А. В. Погорелов не считали зазорным разрабатывать для школы учебники математики и отстаивать свой взгляд на её преподавание вплоть до перехода на личные оскорбления. В. А. Васильев школьных учебников не писал, ему выпала иная стезя.

Действовавшая в СССР образовательная модель предусматривала для всех школ страны единый учебник, отобранный и одобренный министерством образования и изданный, как правило, государственным издательством «Просвещение». Вариации допускались лишь при использовании дополнительных образовательных материалов в различных специализированных школах.

Смена социального строя привела поначалу к появлению большого количества негосударственных издательств, а затем и авторов, желающих издать написанные ими учебники. Для многих авторов открылись возможности реализовать давно зревшие в их сознании идеи. Издательства оказались в этих учебниках заинтересованы — тиражи учебников, используемых в большом

количестве школ, могут возрастать до десятков, а то и сотен тысяч; к тому же, учебники требуют регулярного переиздания. Так что к концу XX века борьба за школьные рынки разгорелась нешуточная, с применением всего арсенала дозволенных и недозволенных приемов.

Школьные учебники принадлежат к особому виду литературы — на доведение даже потенциально хорошего учебника до состояния, делающего его пригодным к широкому распространению, требуется порой несколько десятков лет упорного труда его авторов, сопряженного с экспериментальным применением в школах. Этого времени скороспелые учебники начала 90-х годов для своего развития не получили, и к началу нового века учителя и директора школ оказались перед спектром весьма разнообразных учебных пособий, настойчиво внедряемых в школу издательствами и начальством. И если учителя с большим опытом, имеющие основательную подготовку, получили возможность самостоятельно подобрать для себя качественные учебники, то в огромном большинстве случаев среднестатистический учитель следовал путем, представлявшимся ему простейшим.

Осознав масштаб возникших проблем, министерство образования и науки в 2004 году решило поставить на пути некачественных учебников в школу заслон в виде двух комиссий — Российской академии наук и Российской академии образования. Одобрение учебника этими двумя комиссиями стало необходимым условием для получения грифа министерства, разрешающего использование учебника. В течение последовавших 8 лет В. А. Васильев возглавлял математическую подкомиссию в Комиссии РАН по школьным учебникам, положив на это значительную часть своей жизни. Отдаленное представление об объемах и характере выполненной им работы можно составить по тем рецензиям, которые выложены на его персональной странице в МИАН [4].

Согласно положениям, в ведение комиссии РАН попадали лишь вопросы «соответствия текста научной картине мира». В случае с математикой речь идет о корректности утверждений, об их осмысленности. Методические подходы, порядок изложения, взаимодействие с другими предметами были отнесены к компетенции РАО. Действуя в рамках этих ограниченных полномочий, не имея возможности оценивать принципы, которым следовали авторы анализируемых им текстов, Виктор Анатольевич — за редкими исключениями

- имел дело с учебниками, изобиловавшими арифметическими, логическими и фактическими ошибками. Иногда в течение года количество таких учебников, требовавших анализа, переваливало за полсотни.

Написать хороший школьный учебник трудно. Сделать это, оставаясь практикующим исследователем, практически невозможно — автор учебника должен, помимо знания предмета, понимать особенности восприятия в каждом школьном возрасте, для чего необходимо повседневное общение со школьниками. Однако исследователь может сыграть другую важную роль

- объяснить образовательному сообществу, почему по тому или иному учебнику нельзя учить детей в школах. Ровно эту роль в течении 8 лет и исполнял В. А. Васильев. Результаты этой работы невозможно переоценить -достаточно мысленно представить себе те сотни тысяч школьников, которых

после нескольких лет обучения по неграмотным учебникам нельзя было бы научить уже ничему.

В последние годы комиссии РАН и РАО изменили свои функции и методы работы. Министерство образования и науки повело речь об унификации учебников и учебных пособий по всем предметам. Этот путь выглядит столь же тупиковым, как и господствовавшая в течение нескольких лет на рубеже веков вольница с отсутствием профессионального контроля за качеством учебной литературы. В поисках баланса, позволяющего, с одной стороны, новым учебникам, написанным талантливыми авторами, находить пути к школьникам, а с другой — не допускающего в школу безграмотную халтуру, опыт В. А. Васильева представляется незаменимым.

Хочется завершить этот текст словами юбиляра [5]: «... я убежден, что в столь критических вопросах, как умственное развитие детей нашей страны, наличие и сохранение своего собственного, основанного на подлинной компетентности, мнения и своей принципиальной позиции — это безальтернативный путь, на котором Академия может и должна продемонстрировать свою необходимость и поддержать репутацию, в конечном итоге — оправдать свое существование в качестве уникального и уважаемого субъекта нашего общества».

ЛИТЕРАТУРА

1. Виктор Васильев. Учителя. С. 15-19 в ки: Поколения ВШЭ. Учителя об учителях. — М.: Изд. дом Высшей школы экономики, 2013. 304 с.

2. Васильев В. А. Введение в топологию. Библиотека студента-математика. — М.: ФАЗИС, 1997. xii+127p. Introduction to topology. Translated from the 1997 Russian original by A. Sossinski. Student Mathematical Library, 14. American Mathematical Society, Providence, RI, 2001. xiv+149 p.

3. Васильев В. А. Топология для младшекурсников. — M.: МЦНМО, 2014. 160 с.

4. Интернет-ресурс http://www.mi.ras.ru/~vva/test.html

5. Васильев В. А. Памятная записка к заседанию комиссии РАН по анализу и оценке научного содержания Государственных образовательных стандартов и учебной литературы для высшей, средней и начальной школы под председательством Вице-президента РАН, академика В.В.Козлова. 17 ноября 2010 — Интернет-ресурс http://www.mi.ras.ru/~vva/test.html, раздел «Actual Documents». 6 с.

Поступила 05.10.2016

VICTOR ANATOLYEVICH VASSILIEV AND RUSSIAN MATHEMATICAL EDUCATION

S. К. Lando

On academician V. A. Vassiliev's contribution to Russian mathematical education. Keywords: Victor Anatolyevich Vassiliev, Russian mathematical education.

* * *

Редакционная коллегия журнала «Математика в высшем образовании» поздравляет Виктора Анатольевича Васильева с замечательным юбилеем. Мы желаем Виктору Анатольевичу крепкого здоровья, личного благополучия, новых достижений в математике и успехов в тяжёлом, но благородном деле сохранения российского математического образования.

ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ. ПЕРСОНАЛИИ

УДК 51.001.8 + 517.938

В НАЧАЛЕ БЫЛО СЛОВО: К ИСТОРИИ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ХАОТИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ

Л. М. Лерман

Национальный исследовательский Нижегородский государственный университет имени Н. И. Лобачевского Россия, 603950, г. Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23; e-mail: lermanl@mm.unn.ru

Данный текст является вступительной лекцией перед демонстрацией фильма «Тайная жизнь хаоса» (ВВС, 2010) для широкой аудитории в рамках фестиваля, проведённого Парком науки ННГУ «Лобачевский Lab» в 2015 году. Даётся краткое обсуждение предыдущей парадигмы описания и развития динамических процессов, описываемых дифференциальными уравнениями, и случайных явлений, введение в тему хаотической динамики и показывается, что современные успехи хаотической динамики были подготовлены предыдущим развитием таких разделов математики, как теория функций, теория множеств, топология, качественная теория дифференциальных уравнений.

Ключевые слова: дифференциальное уравнение, функция Вейерштрасса, канторовское множество, ковер Серпинского, грубая система, неустойчивость, нелинейность.

Сейчас вы увидите фильм, посвященный новому разделу современной науки — теории сложного поведения систем, или теории хаоса, описывающей явления из совершенно различных областей науки: от астрофизики до биологии и химии. Если какая-то теория позволяет описать или хотя бы качественно объяснить явления из столь разных разделов современной науки -это означает, что идеи, лежащие в основе этой теории, имеют принципиально новый характер. Поэтому перед тем, как смотреть и обсуждать сам фильм, стоит понять, что предшествовало этому прорыву, тем более, что, на мой взгляд, это совершенно опущено в фильме.

Для этого вспомним, что современный подход к науке, я бы назвал его динамическим, был сформулирован и развивался с середины 17 века, когда благодаря работам Ньютона и Лейбница (предтечей которых следует назвать Ферма) появился математический анализ и сразу после этого — дифференциальные уравнения. Это позволило сформулировать на математическом языке основные законы механики, оптики, а затем, с развитием экспериментальной физики, и законы электромагнетизма (Фарадей, Максвелл), движения жидкостей и газов (Эйлер, Навье, Пуассон, Стокс). Математическим языком для описания всех этих законов служат именно дифференциальные уравнения. Вы знакомы с ними со школы. Например, все вы знаете, что второй закон Ньютона формулируется так: ускорение тела прямо пропорционально действующей на него силе и обратно пропорционально его массе. На математическом языке это означает, в частности, что если тело движется по прямой

по некоторому закону то вторая производная по времени sff(t) от перемещения т.е. ускорение тела в момент времени £, равна отношению силы, действующей на тело, к его массе. Обычно силы, действующие на движущееся тело, известны. Например, если мы бросим камень, то на камень, после его первоначального подбрасывания, будет действовать при движении только сила тяжести, если пренебречь сопротивлением воздуха, а то, как мы его подбросили, будет определять его начальное положение и скорость. При движении ракеты, кроме силы тяжести, на неё действует реактивная сила двигателя, которая известна, если мы знаем конструкцию двигателя, а также силу сопротивления воздуха. Дальше нам нужно определить траекторию движения тела. В ситуациях, которые изучались в механике и теории дифференциальных уравнений, движение тела полностью определялось уравнениями и заданными начальными условиями движения, например, в законе Ньютона нужно было задать начальное положение тела и его скорость, после чего его движение можно было рассчитать в любой заданный момент времени. Я не обсуждаю сейчас, насколько это было сложно, какие средства для таких расчётов были развиты, и что развитие методов расчёта двигало науку в течение столетий, но выработавшийся взгляд на такие расчёты можно сформулировать так: если мы знаем дифференциальные уравнения и знаем с любой точностью начальные условия, то мы можем рассчитать движение с любой степенью точности. Ошибки возможны, но они происходят из трёх источников: 1) мы не знаем достаточно точно начальные условия, 2) мы не можем абсолютно точно рассчитать решение уравнения (например, приходится использовать рациональные числа вместо иррациональных), или 3) наша модель описания движения недостаточно точна. Предположим, что мы в состоянии учесть все действующие силы, имеем точную модель описания движения и можем провести расчет с произвольной точностью. На этих предположениях основано известное утверждение Лапласа: «Современные события имеют с событиями предшествующими связь, основанную на очевидном принципе, что никакой предмет не может начать быть без причины, которая его произвела... Мы должны рассматривать современное состояние Вселенной как результат её предшествующего состояния и причину последующего. Разум, который для какого-нибудь данного момента знал бы все силы, действующие в природе, и относительное расположение её составных частей, если бы он, кроме того, был достаточно обширен, чтобы подвергнуть эти данные анализу, обнял бы в единой формуле и движения самых огромных тел во Вселенной и самого легкого атома; для него не было бы ничего неясного, и будущее, как и прошлое, было бы у него перед глазами... Кривая, описываемая молекулой воздуха или пара, управляется столь же строго и определенно, как и планетные орбиты: между ними лишь та разница, что налагается нашим неведением». Этот взгляд позже получил название «лапласовского детерминизма».

Существовал также и подход к явлениям, которые считались принципиально непредсказуемыми, их называли случайными. Изучение таких явлений возникло из азартных игр, например, когда игроки пытались найти какие-то

тайные способы, позволяющие предсказать исход игры в кости, где основным элементом было случайное бросание костей, и где исход, в предположении честности игры и «правильности» костей, был непредсказуем, т. е. случаен. Позже на этих основах была построена статистическая физика, исходящая из того, что поскольку все тела состоят из огромного числа атомов (молекул), то невозможно задать все начальные условия, даже если мы знаем сами законы движения атомов или молекул. Поэтому можно и нужно рассчитать только некие средние величины, выражающие усредненные характеристики движения, например, среднюю энергию, которая пропорциональна температуре тела, и т.д. Другими словами, установился такой взгляд: случайность появляется там, где есть либо большое число частиц, либо большое число испытаний, исход каждого из которых непредсказуем. Этот взгляд развивался и был общепризнанным до середины прошлого века, когда он был полностью пересмотрен. Об этом вы узнаете из фильма.

Но я хочу показать, что истоки этого нового знания развивались в математике задолго до этих событий, только они не замечались и сначала не влияли на этот механистический взгляд на природу.

После создания математического анализа основное внимание в исследованиях уделялось функциям, которые являются очень гладкими, их называют аналитическими. Их основная особенность состоит в том, что аналитическая функция сразу определена в целом, если мы знаем хотя бы маленький её кусок: локальное поведение функции около любой точки определяет ее полностью. Считалось, что только такие функции и нужно изучать, и именно они описывают все законы в природе. Однако, как обычно бывает, развитие приводит к появлению диссидентов, взгляды которых существенно отличаются от взглядов большинства. Почти всегда общество старается отвергнуть таких диссидентов и изолировать их, а их взгляды подвергаются остракизму. Поэтому, когда стали появляться необычные примеры негладких функций, а один из первых примеров функции, негладкой в каждой точке, был построен знаменитым немецким математиком Карлом Вейерштрассом (1872), много сделавшим в теории аналитических функций, то многие даже очень хорошие математики стали относиться к этим функциям отрицательно. Приведу замечание французского математика Шарля Эрмита в письме к голландскому математику Томасу Стильтьесу: «Я с ужасом и отвращением отворачиваюсь от этой разрастающейся язвы функций, не имеющих производной».

Затем стали появляться всё более изощрённые примеры негладких функций и связанных с ними множеств, особенно по мере развития понятия интеграла. Это развитие было инспирировано работами немецкого математика Георга Кантора, который заложил основы теории множеств. В частности, ему принадлежит пример известного множества, называемого канторовским. Напомню его конструкцию. Берем единичный отрезок на числовой прямой, делим его на 3 равные части точками 1/3 и 2/3, и удаляем среднюю треть, т.е. интервал между точками 1/3 и 2/3. Остаются два отрезка длины 1/3. Поступаем с ними также. Получаем 4 отрезка длины 1/9. Процесс продолжаем до бесконечности. То, что останется на единичном отрезке, и называется стандартным канторовским множеством. Если подсчитать общую дли-

ну удалённых интервалов, то получим 1, т.е. число, равное длине исходного отрезка. Казалось бы, ничего не осталось. Тем не менее, оказывается, что осталось достаточно много: множество точек канторовского множества можно поставить во взаимно-однозначное соответствие с точками исходного отрезка: они, как говорят, равномощны! Здесь мы встречаемся с процедурой бесконечного применения одного и того же алгоритма для получения множества. Так полученные множества обладают свойством самоподобия: любая их часть подобна целому. Такие процедуры потом стали использоваться для получения множеств, называемых фрактальными.

Но это было только начало. В начале 20 века стала бурно развиваться новая математическая наука — топология, одним из основателей которой был знаменитый французский математик Анри Пуанкаре. Она изучает свойства фигур, которые не меняются при преобразованиях без разрывов и склеек. Например, сфера (поверхность шара) и поверхность куба топологически одинаковы, а сфера и тор (поверхность бублика) — различны.

Развитие общей топологии привело к таким, казалось бы, тривиальным вопросам: что следует понимать под кривой, поверхностью, и т. д. Если функции, описывающие кривую, являются гладкими, то эти вопросы более или менее ясны, хотя и не тривиальны, но если эти функции только непрерывны, то в качестве такой кривой можно, например, получить квадрат на плоскости (кривые Пеано). Другой пример, являющийся обобщением конструкции канторовского множества — так называемый ковёр Серпинского (Вацлав Серпинский — известный польский математик). Он строится так: единичный квадрат на координатной плоскости делим двумя вертикальными и двумя горизонтальными отрезками на 9 равных квадратов и выкидываем средний из них, остаются 8 квадратов. С каждым из них проделываем ту же операцию. Процесс продолжаем до бесконечности. То, что останется, и называется ковром Серпинского. Это множество можно считать кривой, т. к. его топологическая размерность равна единице. А его мера, т. е. характеристика, обобщающая площадь, равна нулю.

Короче говоря, к середине 20-х годов XX века были построены различные примеры так называемых диких континуумов, потом интерес к их построению и изучению стал спадать, и они долгое время оставались некой экзотикой. А затем началась другая история, где все эти объекты стали появляться регулярно, причём из простых дифференциальных уравнений, и эти континуумы оказались геометрическими образами хаоса!

Это уже связано с нашим городом и его наукой. В 1931 году в Нижний Новгород приехал молодой физик Александр Александрович Андронов со своей семьёй — женой Евгенией и дочерью Ириной. Андронов был учеником известного московского физика Леонида Исааковича Мандельштама, а жена Андронова, Евгения Александровна, выпускница МГУ, была из знаменитой московской математической школы Лузина. Вместе с ними в Нижний приехала еще одна научная семья: Виктор Иванович Гапонов и его жена Мария Тихоновна Грехова с сыном Андреем. Эти люди заложили основы настоящей науки в Нижнем. В частности, Андронов создал здесь научную школу по теории колебаний, известную теперь во всем мире. Хотя сам он был физиком по

образованию, он имел большой вкус к точной постановке и изучению чисто математических задач, в основном — из теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Он заложил основы математической теории колебаний и теории бифуркаций, изучающей, как меняется поведение решений дифференциального уравнения, если вы непрерывно меняете его параметры — например, в приборе, работа которого описывается этими дифференциальными уравнениями, крутите какую-нибудь ручку настройки. Чтобы придать этим понятиям точный математический смысл Андронов и знаменитый математик Понтрягин в 1937 г. выделили класс дифференциальных уравнений, которые при малых изменениях параметров не меняют свои свойства. Они назвали их «грубыми системами». Если дифференциальное уравнение содержит производные не выше второго порядка, то структура таких грубых систем оказалось простой. Долгое время, до 60-х годов XX века, считалось, что и для грубых систем, описываемых дифференциальными уравнениями, содержащими производные более высокого порядка, всё обстоит примерно также, и их структура достаточно проста. Андронов к тому времени уже умер (1952), но школа, которую он создал, продолжала успешно работать.

Всё изменилось в 1961 г., когда знаменитый молодой американский математик Стефен Смейл, лауреат престижной Филдсовской премии за работы по топологии, построил пример, который можно интерпретировать как описывающий поведение решений некоторого дифференциального уравнения, содержащего производную третьего порядка, и это поведение оказалось очень сложным, хотя уравнение было грубым. Оказалось правильным известное изречение Андронова, что в теории дифференциальных уравнений, как в счете дикарей: три — это уже много.

Так началась новейшая история в теории дифференциальных уравнений, когда основным объектом исследований стали системы со сложным поведением или, как их сейчас называют, со стохастическим поведением. Одно из существенных открытий в этой области было сделано здесь, в Горьком, молодым тогда членом Андроновской школы Леонидом Павловичем Шильниковым (1965). Он показал, что к сложной динамике приводят простые дифференциальные уравнения, и эти условия существования сложной динамики можно легко проверить. Затем здесь было сделано много других существенных открытий, и это движение продолжается до сих пор. В частности, то, что вы узнаете из фильма об Эдварде Лоренце и его знаменитой системе дифференциальных уравнений, было детально исследовано здесь, в Горьком, в работах Шильникова и его учеников (Афраймович и Быков).

Основные прорывы, которые были сделаны за последние полвека в теории дифференциальных уравнений, были сделаны именно в этой области. Неудивительно, что Абелевская премия по математике за 2014-й год (аналогичная Нобелевской — как известно, Нобель в своём завещании не включил математику в число наук, за которые присуждается премия его имени) была присуждена за работы по теории хаоса академику РАН Якову Григорьевичу Синаю1, с которым Шильников и члены его школы долгое время поддерживали тесные научные связи.

1 См. Абелевскую лекцию Я. Г. Синая «Начало теории детерминированного хаоса» — Математика в высшем образовании, №12 (2014), с. 139-148.

Что же является основой хаотического поведения? Это, во-первых, нелинейность изучаемых дифференциальных уравнений, и, во-вторых, наличие сильной неустойчивости в поведении решений, когда решения с близкими начальными условиями могут быстро расходиться друг от друга. Тогда любое малое изменение этих начальных условий приводит большому различию в поведении решений, что в результате и ведет к хаосу. При этом не нужно иметь много уравнений: трёх уже достаточно, как в системе Лоренца.

Подводя итог, я хочу сказать перед просмотром фильма, что революция в мировоззрении, которая произошла на наших глазах в понимании природы и процессов, происходящих в ней, была подготовлена развитием математики в областях, которые, казалось бы, не имели никакого отношения к этой революции, но это развитие подготовило умы к восприятию всей этой сложности. Очень важно, чтобы семя легло в подготовленную почву. В противном случае могло бы произойти то, что произошло в химии, когда работу про знаменитую теперь колебательную химическую реакцию, открытую Борисом Павловичем Белоусовым в 1958 году, отказались публиковать в журналах, сказав, что это не может быть, потому что этого не может быть никогда!

Поступила 14.04.2016

IN THE BEGINNING WAS THE WORD: TO THE HISTORY OF OCCURRENCE OF CHAOTIC DYNAMICS

L. M. Lerman

This text is the introductory lecture before a film screening «The Secret Life of Chaos» (ВВС, 2010) for the broad audience in the program of the festival organized by «Park of the science Lobachevsky Lab» of the NNGU in 2015. It is briefly discussed the previous paradigm on the description and development of dynamical processes whose mathematical models are differential equations, some probabilistic phenomena, the introduction to the topic of chaotic dynamics. It is shown that the contemporary advances in chaotic dynamic were prepared by the preceding development of such branches of mathematics as theory of functions, set theory, topology, qualitative theory of differential equations.

Keywords: differential equation, Weierstrass function, Cantor set, Sierpincki carpet, structurally stable system, instability, nonlinearity.

ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ. ПЕРСОНАЛИИ

УДК 929

АЛЬФРЕД РОЗЕНБЛАТТ (1880-1947) — ПОЛЬСКИЙ И ПЕРУАНСКИЙ МАТЕМАТИК

Лех Малигранда1, Данута Цесельска2

1 Department of Engineering Sciences and Mathematics, Luleâ University of Technology, SE-971 87 Luleâ, Sweden e-mail: lech.maligranda@ltu.se

2 L.&A. Birkenmajer Institute for the History of Science, Polish Academy of Sciences ul. Nowy Swiat 72, 00-330 Warsaw, Poland e-mail: smciesie@cyfronet.krakow.pl

Описана жизнь и деятельность математика Альфреда Розенблатта (1880-1947), которому принадлежат почти триста научных работ в различных областях математики и её приложений. А. Розенблатт выступал с докладами на Международных конгрессах математиков в Кембридже (1912), Страсбурге (1920), Болонье (1928) и Цюрихе (1932).

Ключевые слова: математика 20 века и математики в Европе и Южной Америке, биографии, Альфред Розенблатт.

Перевод и примечания Г. И. Синкевич

1. Биография Розенблатта

Альфред Розенблатт родился 22 июня 1880 года в Кракове в семье профессора права Ягеллонского университета Иозефа Михала и Клары Коппельманн. У него было четыре сестры: Евгения, Паулина, Карола и Хелена.

7 июня 1898 года Альфред окончил гимназию св. Анны в Кракове. В 1899-1902 гг. он учился на факультете машиностроения в Техническом университете Вены. Розенблатт окончил университет, но диплом инженера не получил. Возможно, его не привлекала профессия инженера. С 1902/1903 по 1906/1907 гг. он изучал математику и физику на философском отделении Ягеллонского университета в Кракове, посещая также практические занятия по физике и химии, однако в 1904/05 учебном году прервал занятия из-за нервного заболевания.

28 февраля 1908 года Розенблатт защитил работу «О целых трансцендентных функциях» («О funkcjach calkowitych przestçpnych»), выполненную под формальным руководством профессора Станислава Зарембы (Zaremba, 1863-1942), и стал доктором философии Ягеллонского университета. В 1908— 1910 гг. он учился в университете Гёттингена у Феликса Клейна, Давида Гильберта и Эдмунда Ландау (Landau, 1877-1938). 11 июня 1913 года Розенблатт защитил в Ягеллонском университете хабилитацию1 (диссертацию, да-

1 Процедура хабилитации в Польше состояла из двух этапов — защиты диссертации и хабилитационной лекции. — Прим. авт.

ющую право на чтение лекций и на занятие профессорской должности) «Исследование некоторых классов алгебраических поверхностей и бирациональных преобразований таких поверхностей», опубликованную на 100 страницах в «Докладах Польской Академии знаний» в 1912 г. Сокращённая французская версия была опубликована в том же году в «Бюллетене Краковской Академии» [R4]. Хабилитационная лекция Розенблатта, представленная 3 марта 1913 года, называлась «О периодических интегралах проблемы трёх тел».

Через семь лет, 26 июня 1919 г., Розенблатт стал приват-доцентом Ягеллонского университета. Это звание позволяло ему читать лекции, но не было связано с постоянной академической должностью.

Обретение Польшей независимости в 1918 году способствовало созданию национального математического общества. 2 апреля 1919 года было образовано Краковское математическое общество, среди 16 основателей которого был Альфред Розенблатт, сделавший 30 апреля 1919 г. на втором заседании Общества доклад по вариационному исчислению. В 1920 году Краковское математическое общество было реорганизовано в Польское математическое общество (Polskie Towarzystwo Matematyczne).

9 сентября 1920 года Розенблатт был назначен титулярным экстраординарным профессором математики. Это назначение давало ему лишь возможность использовать титул профессора, но не предоставляло ни кафедры, ни жалования. Поэтому Розенблатт вынужден был зарабатывать на жизнь чтением оплачиваемых лекций. Конечно, он по-прежнему надеялся получить должность профессора с кафедрой. В 1923 году Гуго Штейнгауз (1887-1972) представил его в качестве второго кандидата (первым был Казимеж Куратовский) на открывшуюся кафедру математики в университете Познани. В характеристике от 31 января 1924 он написал: «Работы профессора Розенблатта относятся к разнообразным областям и опубликованы в различных отечественных и зарубежных журналах. Они отражают глубокое математическое образование и владение такими сложными разделами, как теория алгебраических поверхностей и вариационное исчисление».

Эта должность в конечном итоге досталась Антонию Ломницкому (Antoni Lomnicki, 1881-1941), который в мае 1924 года отказался от неё из-за отсутствия подходящей квартиры. В том же году Штейнгауз предлагал в качестве кандидатов на кафедру математики университета Стефана Батория в Вильно Розенблатта, затем Казимежа Куратовского, Александра Райхмана (Rajchman, 1890-1940), Бронислава Кнастера (Knaster, 1893-1990) и Станислава Сакса (Saks, 1897-1942). Кафедру, однако, получил Стефан Кемписты (Kempisty, 1892-1940).

Розенблатт в 1927 году и его личная подпись

29 июня 1924 года Розенблатт женился на Паулине Унгер (род. 8 июля 1885 г. в Бяла (в настоящее время Бельско-Бяла), ум. в марте 1959 г. в Лиме), их свадьба состоялась в Величке. Супружество было бездетным.

В 1926 году при создании кафедры математики общего факультета Львовской Политехники, которую получил Казимеж Куратовский, Самуил Дикштейн в письме от 19 апреля назвал «Г-на Доктора Альфреда Розенблатта» в качестве кандидата на заведование.

В 1928 году в университете Познани вновь открылась кафедра математики, и вновь Штейнгауз рекомендовал Розенблатта в качестве второго кандидата (первым он предложил Станислава Сакса), а место в результате досталось Мечиславу Бернацкому (Biernacki, 1891-1959).

В 1930-1931 учебном году Розенблатт должен был выступать с лекциями в университете Ла-Плата в Аргентине. Для этой поездки он добился в Ягеллонском университете оплаченного отпуска и служебного паспорта. Он получил также предложение возглавить кафедру в Аргентине, и принял его, но ни отъезд, ни принятие кафедры не состоялись в связи с военным переворотом в Аргентине в сентябре 1930 года. В итоге Розенблатт остался в Кракове в должности адъюнкта.

Первый польский математический конгресс, 7-10 сентября 1927г., г.Львов. Второй справа — Альфред Розенблатт. В первом ряду слева направо -Максимилиан Титус Хубер (Huber, 1872-1950), Леон Лихтенштейн (Lichtenstein, 1878-1933), Самуил Дикштейн (Dickstein, 1851-1939), Казимеж Бартель (Bartel, 1882-1941), Вацлав Серпинский (Sierpinski, 1882-1969), Виктор Станевич (Staniewicz, 1866-1932), Ян Лукасевич (Lukasiewicz, 1878-1956), Казимеж Куратовский (Kuratowski, 1896-1980) и Стефан Банах (Banach, 1892-1945)

20 марта 1930 года члены Польской академии знаний (Polskiej Akademii Umiejçtnosci) в Кракове С. Заремба, физики Владислав Натансон (Natanson, 1864-1947) и Чеслав Бялобржеський (Bialobrzeski, 1878-1953) и химик Кароль Дзевоньский (Dziewonski, 1876-1943) выдвинули кандидатуру Альфреда Розенблатта на звание члена-корреспондента III отделения Польской академии знаний. Документы содержали составленный самим Розенблаттом список трудов, включающий 130 работ по математическому анализу, 32 по геометрии и 27 по теоретической механике. В тот день на заседании III отделения было названо 13 кандидатов на звание члена-корреспондента, однако среди них не было Розенблатта. На следующем заседании об этом также не упоминали. Другие подробности этой странной истории неизвестны.

Вот какие лекции и семинары вёл Розенблатт в Ягеллонском университете2: «Теория плоских алгебраических кривых» (1913-1914, 1915, 1918), «Понятие кривой и поверхности» (1915/1916), «Теория геометрических построений» (1915/1916), «Теория обыкновенных дифференциальных уравнений» (1915/1916), «Дополнительные главы исчисления бесконечно малых» (1916/1917), «Начертательная геометрия» (1916/1917), «Теория поверхностей второго порядка» (1916/1917, 1917/1918), «Введение в анализ» (1917), «Аналитическая геометрия на плоскости» (1917/1918), «Геометрические преобразования, в частности, окружности и сферы» (1918/1919), «Методы геометрических построений» (1918/1919), «Аналитическая геометрия» (1919/1921, 1924/1925, 1929/1930, 1930/1931, 1931/1935), «Основания геометрии» (1919/1920), «Теория алгебраических функций и интегралов» (1922/1923), «Геометрия (высший курс)» (1923/1924), «Высшая алгебра и теория чисел» (1925/1926, 1928/1929), «Высшая геометрия с упражнениями» (1926/1927); семинары: «Теория потенциала» (1926-1927), «Теория аналитических функций» (1927, 1934), «Теория вероятностей с приложениями» (1930, 1935), «Гильбертово пространство» (1931-1932), «Математические основы современной квантовой теории» (1932-1933), «Теория алгебраических кривых» (1933-1934).

В 1926-1936 гг. Розенблатт выезжал с лекциями в Рим (1926 — алгебраическая геометрия), Париж (1931 — три лекции в Сорбонне по гидродинамике), Болонью (1928 — Конгресс), Льеж (1930), Софию (две лекции), Афины и Белград.

В 1933 году Розенблатт посетил лабораторию механики жидкости Института механики в Сорбонне, директором которого был Анри Вийя3, специалист в области гидродинамики. Результаты исследований Розенблатта в этой области встретили признание известных математиков, Вийя предложил ему издать монографию [R12], а спустя два года ещё одну, о решении уравнений гидродинамики [R13]. Приходится сожалеть, что в Кракове не удалось сформировать научно-исследовательский центр по гидродинамике, хотя работы Розенблатта и их признание за рубежом создавали условия для этого.

2 Информация взята из «Списка лекций, читаемых в Ягеллонском университете в 1910— 1935 гг.», автобиографии Розенблатта от 15 мая 1920 г. и из «Отчёта деятельности Фонда им. д-ра В. Кретковского». — Прим. авт.

3 Henri René Pierre Villat (1879-1972), французский математик и механик.

Другая возможность получить кафедру математики появилась у Розенблатта в 1936 году — вместо Францишека Лея (Leja, 1885-1979), который перешёл с кафедры математики химического факультета Варшавского Политехникума на кафедру математики в Ягеллонский университет. Тогда Штейнгауз предложил его вторым кандидатом (первым был Бронислав Кнастер), но в итоге кафедру получил Владислав Никлиборц (Nikliborc, 1899-1948).

Розенблатт получил кафедру в университете св. Марка в Лиме, где благодаря ему сформировалось целое поколение математиков, среди которых наиболее известным стал его докторант Хосе Тола Паскель (José Tola Pasquel, 1914-1999), основатель современной перуанской математической школы. Значительный вклад Розенблатта в математику отражён в испаноязычных работах, малодоступных в Европе. Розенблатт упомянут среди четырёх самых значительных перуанских математиков XX века: Федерико Вийяреаль (Federico Villarreal, 1850-1923), Годофредо Гарсйа Диаз (Godofredo Garcia Diaz, 1888-1970), Альфред Розенблатт и Хосе Тола Паскель (см. [5, с. 3; 13] и [15, с. 57-61]). К сожалению, молодое поколение математиков в Перу, равно как и в Польше, мало знает о нём.

Как Розенблатт в 1936 году оказался в Перу? Годофредо Гарсйа, который был деканом факультета точных наук, во время одной из своих поездок в Европу посетил Польшу. Возможно, он был на Втором съезде Польского математического общества в Вильно (сентябрь 1931) с докладом по теоретической механике. Вероятно, тогда он познакомился с профессорами Серпинским и Розенблаттом, что положило начало дружеским научным отношениям. Близкое знакомство Гарсйа и Розенблатта состоялось уже на Международном конгрессе математиков 1932 года в Цюрихе. В первой половине тридцатых годов Розенблатт написал ему об опасностях, связанных с преследованиями многих поляков еврейского происхождения, в том числе и о преследованиях его самого и его семьи. Гарсйа, используя своё научное и административное положение в Перу, пригласил Розенблатта читать лекции в университете св. Марка в Лиме. Розенблатт принял приглашение и в 1936/37 учебном году начал годовые курсовые занятия в этом университете.

Розенблатт с женой прибыли в Лиму 10 августа 1936 года, и с 1 сентября этого года он стал ординарным профессором. Заметим, что университет святого Марка (Universidad Nacional Mayor de San Marcos, UNMSM) в Лиме -признанный университет Северной и Южной Америки и один из старейших университетов мира, ведущий свою историю с 1553 года. Он также является главным вузом Перу. Ещё до Розенблатта в этом университете работали поляки, например, в 1876-1885 гг. деканом физико-математического факультета был Владислав Фолкьерски (Folkierski, 1841-1904). Кроме него, в Перу работал польский математик и инженер Эдвард Ян Хабих (Habich, 1835-1909), основавший в Латинской Америке первый Политехникум.

Прибытие Розенблатта в Перу открыло новую страницу в истории математики этой страны. Отметим два факта, связанных с этим событием.

По контракту Розенблатт был принят на кафедру астрономии и геодезии вместо капитана Хосе Р. Гальвеса: письма Розенблатта Освальду Веблену (Veblen, 1880-1960) написаны на бланках с шапкой Главный университет св.

Марка, Факультет биологии, физики и математики, Кабинет астрономии и геодезии. Кроме того, в хронике университета св. Марка за март 1937 года он записан как доктор Альфред Розенблатт, кафедра астрономии и геодезии.

Вторым важным обстоятельством было то, что степень доктора философии Ягеллонского университета в Кракове не могла быть подтверждена в университете Лимы как степень доктора математики. Поэтому, несмотря на свои значительные научные достижения, Розенблатт должен был представить в университете св. Марка докторскую диссертацию. В этом качестве Розенблатт предложил работу «О конформном представлении ограниченных плоских областей», опубликованную позже (декабрь 1936) в [R14]. Церемония присвоения степени состоялась 21 октября 1936 года в офисе ректора доктора Альфредо Сольф и Муро (Alfredo Soif у Muro, 1872-1969), впоследствии премьер-министра Перу (1939-1944). Характеристику и обзор достижений Розенблатта представлял декан естественного факультета Годофредо Гарсйа. Дискуссия опубликована в [10], где имеется фото церемонии. В то время в Перу первой научной ступенью был бакалавриат, а второй — докторат. Доктората достигали немногие.

Уже в качестве профессора кафедры (catedratico principal) Розенблатт 23 декабря того же года принимал участие в последнем заседании факультета естественных наук, на котором Эмиля Пикара (Picard, 1856-1941) избрали почётным профессором университета. В декабре следующего года он участвовал в присвоении звания почётного профессора Полю Монтелю (Montel, 1876-1975).

Годофредо Гарсйа вместе с Альфредом Розенблаттом и несколькими другими математиками университета святого Марка поддержали создание Национальной Академии точных, физических и естественных наук в Лиме, которое состоялось 6 августа 1938 года. Первым президентом был избран Годофредо Гарсйа, который оставался на этом посту до самой своей смерти. Гарсйа и Розенблатт начали издавать журнал «Actas de la Academia Nacional de Ciencias Exact as, Fisicas y Naturales de Lima». 23 октября 1939 года правительство Перу издало указ о присвоении Академии государственного статуса. Создание Академии было самым значительным событием для развития науки в Перу.

Серия работ Розенблатта и Гарсйа, опубликованных в журналах Академии наук и «Revista de Ciencias de la Facultad de Ciencias Biologicas, Fisicas y Matematicas de la Universidad Mayor de San Marcos» («Научный журнал факультета биологии, физики и математики главного университета св. Марка», основан в 1897 г.), значительно повысила статус этих журналов. Напомним также, что благодаря контактам Розенблатта и Гарсйа, в «Revista» опубликовали свои работы такие известные математики, как Р. П. Агню (Agnew, 1900— 1986), Г. Бейтман (Bateman, 1882-1946), С.Бергман (Bergman, 1895-1977), К. Борсук (Borsuk, 1905-1982), Дж. Биркгоф (Birkhoff, 1884-1944), Л. М. Блюменталь (Blumenthal, 1901-1984), С. Бохнер (Bochner, 1899-1982), H. Данфорд (Dunford, 1906-1986), M. Эйдельхайт (Eidelheit, 1910-1943), Л. Годо (Godeaux, 1887-1975), С. Голомб (Goïçb, 1902-1982), Д. X. Хайерс (Hyers, 1913-1997), В. Ярник (Jarnik, 1897-1970), M. Кац (Кас, 1914-1984), Е. Карамата (Kara-

mata, 1902-1967), Дж. Курепа (Kurepa, 1907-1993), Дж.П.ЛаСаль (LaSalle, 1916-1983), Т. Леви-Чивита (Levi-Civita, 1873-1941), С. Любельский (Lubelski, 1902-1941), Э. Макшейн (McShane, 1904-1989), К. Менгер (Menger, 1902-1985), А. Д. Михал (Michal, 1899-1953), Р. фон Мизес (von Mises, 1883-1953), Д. Митринович (Mitrinovic, 1908-1995), О. Оре (Ore, 1899-1968), Дж. Рей Пастор (Rey Pastor, 1888-1962), Л. Сантал о (Santalö, 1911-2001), В. Серпинский (Siepinski, 1882-1969), В. Слебодзиньский (Slebodzinski, 1884-1972), M. Стоун (Stone, 1903-1989), А.Э.Тейлор (Taylor, 1869-1945), Т.Томас (T.Y.Thomas, 1899-1983), Э.Ч. Титчмарш (Titchmarsh, 1899-1963), К.Ф. Ветулани (Vetulani, 1889-1941), Г. Вейль (Weyl, 1885-1955), А. Винтнер (Wintner, 1903-1958), С. К. Заремба-сын (Zaremba, 1903-1990).

Многие математики приезжали в университет св. Марка с лекциями. Например, Т. Леви-Чивита приехал 4 августа 1937 года с двумя докладами: «Новый элементарный подход к теории относительности» и «Тригонометрия малого криволинейного треугольника», а также с курсом из девяти занятий «Релятивистская задача двух тел, её решение в первом приближении и возможность астрономического контроля» (см. [16, с. 115]). Вступительное слово перед лекциями о его научных достижениях, произнесённое Р Гарсйа, было затем опубликовано в «Математических ведомостях» (Wiadomosci Matematyczne) в польском переводе Розенблатта. В период с апреля по май 1942 года приезжал Гаррет Биркгоф (Birkhoff, 1911-1996) с лекциями о проблеме п тел, о понятиях времени и гравитации, а также о современной логике и математике (краткое изложение этих лекций было опубликовано на испанском языке в Revista de Ciencias, 44 (1942)).

В 1939 году Академия наук Мексики избрала Розенблатта и перуанского патологоанатома и дерматолога Педро Вайса (Weiss, 1893-1985) своими членами-корреспондентами.

После того, как 10 сентября 1939 года в Лиму пришла весть о начале Второй мировой войны в Европе, Розенблатт принял перуанское гражданство. А. Ортиз так оценивает важность его пребывания в Перу [14, с. 22]: «Приезд Розенблатта имел решающее значение для развития математики в Перу. С этого момента начался новый этап в истории математики нашей страны. Как профессор университета св. Марка (единственного университета страны, в котором чистая математика является предметом исследования), он ввёл новые методы преподавания и новые курсы, в которых изучалась теория комплексного переменного, топология, дифференциальные уравнения, алгебра, современная дифференциальная геометрия и многое другое. На их базе он сформировал новое поколение математиков, хотя и немногочисленное, но достаточное, чтобы открыть новые перспективы для дальнейших исследований».

В годы Второй мировой войны Розенблатт проявил высокую научную активность, опубликовав в 1940-1945 гг. около 60 работ. После того, как 24 мая 1940 г. сильное землетрясение в Лиме разрушило большую часть города, он занялся проблемой сейсмических волн, опубликовав 6 работ по этому вопросу-

В 1946 году Розенблатт опубликовал две статьи на английском языке в Revista de Ciencias, заметив при этом, что «поменял язык, но остался верен друзьям». Получив в 1946 году декабрьский номер Revista de Ciencias, Розенблатт увидел долгожданную статью С.К.Зарембы с патетическим окончанием: «Армия Польска, Ближний Восток». Прочитав это, Розенблатт расплакался4 (см. [16, с. 133]).

Среди учеников Розенблатта в университете св. Марка были Годофредо Гарсйа Диаз, Хосе Тола Паскель, Флавио Вега Вильянуэва (Flavio Vega Villanueva, 1915-2011), Хосе Ампуэро (José Ampuero, 1922-1998) и Томас Нуньес Базалар (Tomas Nunez Bazalar, 1912-1997). Гарсйа, на самом деле, только работал с Розенблаттом, но был учеником Федерико Вийяреала (Federico Villarreal, 1850-1923), под руководством которого защитил докторскую диссертацию в 1912 году. Тем не менее, он считал себя учеником Розенблатта, так как написал с ним шесть совместных работ и одну книгу.

Самым выдающимся из учеников Розенблатта был Хосе Тола Паскель, который 13 ноября 1941 года защитил докторскую диссертацию «Эквивалентность непрерывности на языке последовательностей и окрестностей в топологических пространствах», руководителем которой был Розенблатт. В 1945 году Тола был назначен профессором и стал директором (1945-1961) Института физических и математических наук (EICFYM) факультета точных наук в университете св. Марка. Он был также деканом и ректором Папского католического университета в Лиме (PUCP) в 1977-1989 гг., написал 21 статью и 18 книг.

Как уже отмечалось, Розенблатт был членом Польского математического общества с 1919 года и членом корреспондентом Мексиканской академии наук (с 1939 г.). Он был также членом Польского физического общества, Американского математического общества (с 1914 г.), Эдинбургского математического общества (с 1914 г.), Немецкого математического общества, Французского математического общества, Королевского чешского научного общества, Перуанского научного общества, Перуанского географического общества, членом-корреспондентом Королевского научного общества Льежа, почётным членом Греческого математического общества и, спустя несколько лет, — редактором Revista de Ciencias и президентом секции точных наук Национальной академии точных, физических и естественных наук в Лиме (1941-1944), а также редактором бразильского журнала Summa Brasiliensis Mathematicae, издаваемого с 1945 г. в Рио-де-Жанейро.

Он был удостоен французского «Ордена Академических пальм» и за работу 1931 г. [R11] награждён медалью Университета Льежа. Но нам не удалось найти никаких документов, подтверждающих получение этих наград.

В 1946/47 учебном году Розенблатт прочёл восемь лекций в Институте международного образования в Нью-Йорке. К сожалению, ни название, ни содержание этих лекций нам неизвестны.

4 Это важный фрагмент истории Польши. Подробнее см. https://en.wikipedia.org/ wiki/Polish_Armed_Forces_in_the_East — Прим. авт.

В 1947 году в течение полугода (с 1 января по 30 июня) Розенблатт был стипендиатом Принстонского Института перспективных исследований. Это стало возможным благодаря Альберту Эйнштейну, который ранее рекомендовал Розенблатта на работу по контракту в Аргентине в 1930 году. Напомним также, что Эйнштейн получил звание доктора honoris causa в университете св. Марка в Лиме. В начале 1947 года Розенблатт выехал в Соединённые Штаты и жил в Принстоне. Его пребывание в Соединенных Штатах описано в [16, с. 133].

26 февраля 1947 года Розенблатт прочитал первую лекцию в Принстонском университете, где его представлял Соломон Лефшец (1884-1972). В еженедельной газете Princeton University Bulletin (T. 26, №23 от 22.02.1947) написано, что в среду, 26 февраля, в 16.45 на заседании математического клуба профессор Альфред Розенблатт прочитает лекцию «Уравнение гиперболического рога с эллиптическими сечениями». Вторая лекция — «Единственность и существование решения обыкновенного дифференциального уравнения» -была прочитана на следующий день в университете в Филадельфии. Следующая лекция состоялась 6 марта 1947 года в Гарвардском университете, она называлась «Некоторые неравенства для функций Грина в плоскости», и затем 10 марта в университете Чикаго — «Простые интегральные задачи с переменными границами в исключительных случаях». Наконец, пятая лекция «Гравитационные волны в двух измерениях» состоялась 11 марта в Иллинойском университете в Урбана-Шампейн. Розенблатт получил высокую оценку выдающихся профессоров, слушавших его. Розенблатта приглашали также читать лекции в университетах Колумбия (Нью-Йорк), Брауна (Провиденс), Торонто, однако по состоянию здоровья он не смог принять эти приглашения и вернулся в Перу 15 апреля 1947 года.

Розенблатт дважды болел бронхопневмонией. Первый раз всё обошлось благополучно, но во второй раз конец оказался трагическим. Он умер 8 июля 1947 года в клинике Дельгадо де Мирафлорес в Лиме [12, с. 47]. Розенблатт похоронен на еврейском кладбище Лимы. На его смерть было опубликовано пять некрологов.

Розенблатт принимал активное участие в международной математической жизни. Среди самых престижных международных конференций — Международный конгресс математиков (ICM), который проводится раз в четыре года. Большая честь — получить приглашение выступить с пленарным докладом (всего их бывает около 20), или с секционным докладом (обычно их бывает около двухсот, а в предвоенные годы было около ста) на таком мероприятии. Розенблатт принимал участие в четырёх таких конгрессах (V в Кембридже (22-29 августа 1912 г.), VI в Страсбурге (22-30 сентября 1920 г.), VIII в Болонье (3-10 сентября 1928 г.) и XI в Цюрихе (4-12 сентября 1932 г.)) и выступал на двух из них, четырежды сделав секционные доклады: в Болонье у него было три доклада на двух секциях — «Алгебраические многообразия размерности 3 и выше» и «Об алгебраических многообразиях размерности три, характеристики которых подчиняются некоторым неравенствам» на Секции II (Геометрия), и «О некоторых движениях стационарных вязких несжимаемых жидкостей» на секции IIIВ (Гидродинамика, пластичность и

уравнения математической физики), председателем которой он был; в Цюрихе он сделал доклад «О гравитационных волнах» на секции VIB (Механика и математическая физика).

Розенблатт участвовал в III Международном Конгрессе по прикладной механике в Стокгольме (24-29 августа 1930 г.) с докладом «О некоторых движениях стационарной вязкой несжимаемой жидкости»), в Съезде немецких математиков в Праге (сентябрь 1929 г.), Втором конгрессе румынских математиков в Дробета-Турну-Северин (5-9 мая 1932 г.). Он также принимал участие в работе Второго съезда математиков славянских стран в Праге (23-28 сентября 1934 г.) с докладом «Об уравнениях в частных производных параболического типа с двумя независимыми переменными». В материалах этой конференции можно найти названия лекций (с аннотациями) многих польских математиков, однако на съезде их не было, так как польские власти отказались выдать им паспорта в Чехословакию. Это было связано с ухудшением польско-чехословацких отношений в результате дискриминации поляков в Заользье5. Из Польши должны были приехать 26 математиков, но единственным польским математиком там был Станислав Заремба (отец), который смог приехать в Прагу сразу после визита во Францию.

В Польше Розенблатт участвовал в XI Съезде польских естествоиспытателей и врачей в Кракове (18-21 июля 1911 г.) с докладом «Теория алгебраических поверхностей», в котором сделал обзор развития теории до 1911 г. (расширенная версия опубликована в 142-страничной статье [R3]), в I Конгрессе польских математиков во Львове (7-10 сентября 1927г.), на котором сделал три доклада: «О трёхмерных многообразиях, касательные пространства которых отвечают некоторым дифференциальным условиям», «Теорема Кутта - Жуковского в аэродинамике», «Регуляризация задачи трёх тел», а также во II Конгрессе польских математиков в Вильно (23-26 сентября 1931 г.), где тоже сделал два доклада: «О существовании и единственности интегралов дифференциальных уравнений» и «Проблема турбулентности».

К сожалению, Розенблатта как математика мало знают в Польше, хотя его достижения были значительными. Более достойно его оценили в Перу, где в знак признания его заслуг в области математики руководство научного факультета университета св. Марка в Лиме присвоило библиотеке факультета название Biblioteca de Matemâtica «Alfred Rosenblatt» UNMSM. Надо признать, что это хороший способ увековечивания памяти крупного деятеля науки, внёсшего огромный вклад в польско-перуанское сотрудничество в области научных исследований. В Лиме есть также Центр образования и математики имени Альфреда Розенблатта (CIEMAR, Centro de Investigaciön en Educaciön y Matemâtica «Alfred Rosenblatt») и улица Альфреда Розенблатта. Улица находится в районе Santiago de Sucro в Лиме в зоне «Huertos de San Antonio». Там же находятся улицы Годофредо Гарсйа и многих других известных перуанских учёных.

5 Заользье (польск. Zaolzie, чеш. Zaolzï, Zaolsï) — восточная часть Тешинской Силезии. В первой половине XX века был спорным регионом между Чехословакией и Польшей, в настоящее время — в составе Чехии.

Закончим этот параграф цитатой из Алехандро Ортис Фернандеса (личное сообщение второму автору от 7 мая 2013г.): «Перу должна гордиться Альфредом Розенблаттом, великим математиком!»

2. Несколько слов о научных достижениях Розенблатта

Розенблатт опубликовал около трёхсот работ на польском, немецком, французском, итальянском, испанском и английском языках: по дифференциальным уравнениям (обыкновенным и в частных производных), по элементарной геометрии, алгебраической геометрии, действительному и комплексному анализу, вариационному исчислению, топологии, теории вероятностей, теоретической физике, истории математики, а также по приложениям математики: по небесной механике, проблеме трёх тел, гидродинамике, движению несжимаемых вязких жидкостей, теории смазки, аэродинамике, теории упругости, теории гравитации, геометрической оптике, математической генетике, бактериологии, теории музыкальной шкалы. В Польше он был первым математиком, занимавшимся алгебраической геометрией.

За годы работы в Польше (1907-1936) он опубликовал примерно 180 статей, и ещё около 120 за годы работы в Перу (1936-1947). Последняя его работа была напечатана только в 1949 г. В статьях [6] и [7] авторы постарались собрать информацию обо всех работах и лекциях Розенблатта, а также о его докладах. В настоящее время этот список содержит 292 опубликованные статьи и 7 книг.

Результаты Розенблатта по дифференциальным уравнениям естественным образом привели к формулировке условия Розенблатта, или к теореме Розенблатта-Нагумо6 -Камке7. А именно, Розенблатт уже в 1909 году в [R1] нашел условие более слабое, чем условие Липшица, которое обеспечивает единственность решения задачи Коши. Идея Розенблатта далее была усовершенствована Нагумо (1926) и Камке (1930), после чего это условие стало носить имя Розенблатта-Нагумо. К сожалению, сейчас принято говорить «теорема Нагумо», либо «теорема Нагумо-Камке», а имя Розенблатта исчезло, хотя оригинальная идея принадлежит именно ему (см. [17, 19-22, 24]).

Очень рано Розенблатт начал интересоваться алгебраической геометрией, его интерес к этой области удивителен: это не могло быть связано с обучением в Вене или Кракове. Вероятно, этот интерес зародился во время его научной поездки в Гёттинген и развился в настоящую страсть при изучении работ мастеров. В круг интересов Розенблатта входили теория плоских алгебраических кривых с особым вниманием к их топологическим свойствам, неплоские алгебраические кривые и теория алгебраических поверхностей, более всего — теория развёртывающихся поверхностей. В 1911 году на съезде естествоиспытателей и врачей Розенблатт представил обширный доклад о достижениях теории алгебраических поверхностей [R3].

6 Mitiü Nagumo (1905-1995), японский математик.

7 Erich Kamke (1890-1961), немецкий математик.

Особенно важной среди работ Розенблатта оказалась диссертация «Исследование некоторых классов алгебраических нерегулярных поверхностей и бирациональных преобразований, не изменяющих этих поверхностей». В статье Г. Кастельнуово и Ф. Энрикеса8[18] авторы дают обзор достижений теории алгебраических поверхностей. В этой работе упоминаются три результата Розенблатта, опубликованные в [R2, R4, R6, R7], где Розенблатт улучшил результаты Кастельнуово и Севери9 относительно зависимости между инвариантами алгебраических поверхностей. Особое значение приобрела работа [R7], в которой определяется связь между геометрическим и арифметическим родом. Её цитирует Оскар Зарисский10 на страницах 195 и 253 своей монографии [25] об алгебраических поверхностях.

Розенблатт интересовался и многомерными алгебраическими поверхностями, особенно трёхмерными. В частности, он нашел соотношение между геометрическим и арифметическим родом трёхмерной поверхности. Эти результаты изложены в работах 1923-1931 гг., они тесно связаны с темой выступления Розенблатта на Международном конгрессе математиков в Болонье в 1928 г. (см. выше), где на секции геометрии он сделал доклад [R10]. В работе этой секции принимали участие Дж. Фано, Г. Фубини, Б. Сегре11, Ф. Севери и О. Зарисский.

В 1926-1932 гг. Розенблатт интенсивно занимался гидродинамикой. Его интересовало плоское и пространственное течение вязких жидкостей, вопрос о стабильности ламинарных течений, соображения, связанные с допустимостью линейной аппроксимации в гидродинамике вязких жидкостей. Он также изучал границы применимости теоремы Кутта-Жуковского.

Перу Розенблатта принадлежат четыре учебника и монографии [R12, R13] и [R20] (последняя написана в соавторстве).

По истории математики он написал статьи об Анри Пуанкаре [R5], о Маурице Рудцком12 как о математике [R8], о научной деятельности Франца Мертенса13 [R9], об Эмиле Пикаре [R16], Анри Лебеге [R17] и Вито Вольтерра [R18], а также большую статью о роли Коперника в истории науки [R19]. Работа [R15] посвящена памяти Джорджа Грина в связи со столетием со дня его смерти.

Авторы рассказывали о жизни и избранных научных достижениях Розенблатта на конференциях по истории польской математики в 2012, 2013, 2015 гг., а также на международных конференциях в 2015 и 2016 гг., и опубликовали собранную информацию в статьях [6] и [7]. При этом были использованы публикации о Розенблатте, написанные по-испански, такие как [12-14] и [16]. Более подробное описание научных достижений Розенблатта требу-

8 Guido Castelnuovo (1865-1952), Federigo Enriques (1871-1946) — итальянские математики.

9 Francesco Severi (1879-1961), итальянский математик.

10 Oscar Zariski (1899-1986) — американский математик, один из наиболее известных алгебраических геометров XX века.

11 Gino Fano (1871-1952), Guido Fubini (1879-1943), Beniamino Segre (1903-1977) - итальянские математики.

12 Maurycy Pius Rudzki (1862-1916), польский астроном и геофизик.

13 Franciszek (Franz) Mertens (1840-1927), польско-австрийский математик.

ет больше места, ведь только список его опубликованных работ (его можно найти в [7]) занимает 20 страниц.

3. Книги, монографии и избранные публикации Розенблатта

[R1] Uber die Existenz von Integralen gewöhnlicher Differentialgleichungen, Arkiv für Mat., Astron. och Fysik 5 (1909), Nr. 2, s. 1-4 (по-немецки).

[R2] Sur les surfaces algébriques admettant une série discontinue de transformations birationnelles, C. R. Acad. Sei. Paris 153 (1911), p. 1460-1461 (по-французски).

[R3] Postępy Teoryi powierzchni algebraicznych, Prace Mat.-Fiz. 23 (1912), s. 51-192 (по-польски).

[R4] Badania nad pewnymi klasami powierzchni algebraicznych nieregularnych i nad biracjonalnymi przekształceniami nie zmieniającymi tych powierzchni, Rozprawy Akademii Umiejętności, WydziaŁ Mat. — Przyrodniczy, Kraków 52 (1912), 100 s. (хабилитация, по-польски); см. также Sur certaines classes de surfaces algébriques irréguliéres et sur les transformations birationnelles de ces surfaces ellesmêmes, Bull. Internat. Acad. Cracovie, Cl. Sei. Math. Natur., Ser. A Sci. Math., 1912, p. 761-810 (по-французски).

[R5] Henryk Poincare 1854-1912, Czas R. 45, nr 325, Kraków, piątek 19 lipca 1912, s. 3 (по-польски).

[R6] Algebraische Flächen mit diskontinuierlich unendlich vielen birationalen Transformationen in sich, Rend. Cire. Mat. Palermo 33 (1912), s. 212-216 (по-немецки).

[R7] Sur les surfaces irrégulières dont les genres satisfont à Vinégalite pg > 2(pa + 2), Rend. Cire. Mat. Palermo, 35 (1913), p. 237-244 (по-французски).

[R8] Maurycy Rudzki jako matematyk, Kosmos 41 (1916), s. 119-130 (по-польски).

[R9] Działalność naukowa Franciszka Mertensa, Wiad. Mat. 30 (1927), s. 79-85 (по-польски).

[R10] Sopra le varietà algebriche a tre dimensioni fra i cui caratteri intercedono certę disuguaglianze, Atti del Congresso Internazionale dei Mat. (Bologna, 3-10 Sept. 1928), Sez. II(A-B), Vol. 4, Nicola Zanichelli, Bologna 1931, p. 123-128 (по-итальянски).

[R11] Sur la variété de Grassmann qui représente les espaces linéaires à к dimensions contenus dans un espace linéaire à r dimensions, Mémoires Soc. Roy. Sei. Liège (3) 16 (1931), nr. 1, p. 1-36 (по-французски).

[R12] Sur certains mouvements des liquides visqueux incompressibles, Institut de Mécanique des Fluides de l'Université de Paris, Gauthier-Villars, Paris 1933, 41 p. (по-французски).

[R13] Solutions exactes des équations du mouvement des liquides visqueux, Mémorial Sci. Math. 72, Gauthier-Villars, Paris 1935, 66 p. (по-французски).

[R14] Sobre la representación conforme de dominios pianos limitados variables, Revista de Ciencias (Lima), 38 (1936), nr. 418, p. 75-102 (по-испански).

[R15] Sobre la función de Green de dominios acotados en el espacio euclidiano de très dimensiones, Revista de Ciencias (Lima), 43 (1941), no. 436, p. 291-318 (по-испански).

[R16] Obituary: Emile Picard, Revista de Ciencias (Lima), 44 (1942), p. 311-356 (по-испански) .

[R17] Obituary: Henri Lebesgue, Revista de Ciencias (Lima), 44 (1942), p. 357-364 (по-испански).

[R18] Obituary: Vito Volterra, Revista de Ciencias (Lima), 44 (1942), p. 423-442 (по-испански).

[R19] La position de Copérnico en la historia de la ciencia («Место Коперника в истории науки»), Actas Acad. Ci. Lima 6 (1943), p. 165-198 = Revista de Ciencias (Lima), 45 (1943), no. 445, p. 409-442 (по-испански).

[R20] (совместно с Г. Гарсйа), Anâlisis algebraico: numéros reales, conjuntos, succesiones infinitos, series y productos infinitos («Алгебраический анализ: действительные числа, множества, бесконечные последовательности, бесконечные ряды и произведения»), Sanmarti у Compania, Lima, 1955, 252 р. (по-испански).

ЛИТЕРАТУРА

I. Источники об Альфреде Розенблатте

1. Альфред Розенблатт. Материалы в Архиве новых записей в Варшаве, MWRiOP, Ref. 5381 (99 страниц, в том числе 21 страница — автобиография от 15 мая 1920 г. и принадлежащее Розенблатту описание содержания его работ) (по-польски).

2. Borzymińska Z., Zbikowski A. Rosenblatt Alfred. В кн: «Polski Słownik Judaistyczny » («Польский словарь иудейский»), T. 2. Prószyński i S-ka. — Warszawa, 2003. 433s. (по-польски) .

3. Brzozowski S. Alfred Rosenblatt. В сб: «Österreichisches Biographisches Lexikon 1815-1950» («Австрийская Биографическая энциклопедия 1815-1959»). Bd. 9 (1986), 252p. (по-немецки).

4. Brzozowski S. M. Rosenblatt Alfred (1880-1947) // Polski Słownik Biograficzny (Польский биографический словарь) 32 (1989-1991). S. 66-67 (по-польски).

5. Carranza С. Historia de la matemâtica peruana, Ciclo de Conferencias («История перуанской математики. Серия лекций). 2007. Р. 1-14 (по-испански).

6. Ciesielska D., Maligranda L. Alfred Rosenblatt (1880-1947). Wiad. Mat. 50 (2014), №2. S. 2-45 (по-польски).

7. Ciesielska D., Maligranda L. Alfred Rosenblatt (1880-1947). Publikacje, odczyty i wykłady // Antiq. Math. 7 (2014). S. 3-45 (по-польски).

8. Ciesielski К., Pogoda Z. Conversation with Andrzej Turowicz // Math. Intelligencer 10 (1988). №4. P. 13-20.

9. Duda R. Rosenblatt Alfred (1880-1947). В кн: «Matematycy XIX i XX wieku związani z Polska». — Wydawnictwo Uniwersytetu Wrocławskiego, Wrocław, 2012. S. 399-400 (по-польски) .

10. Garcia G. G rado del Prof. A. Rosenblatt («Докторская степень проф. А. Розенблатта») // Revista de Ciencias, Lima 38 (1936). №418. P. 21-28 (по-испански).

11. Gołąb S. Alfred Rosenblatt. В кн: «Studia z dziejów katedr Wydziaku Matematyki, Fizyki, Chemii Uniwersytetu Jagiellonskiego» («Исследования об истории кафедр факультета математики, физики, химии Ягеллонского университета»). — Wydawnictwa Jubileuszowe, t. XV, Uniwersytet Jagielloński, Kraków, 1964. T. XV. S. 124-127 (по-польски) .

12. Nucez Bazalar T. Vida i obra de A. Rosenblatt («Жизнь и творчество А. Розенблатта») // Revista de la Facultad de Ciencias Matematicas de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos, Lima 2 (1988). P. 45-65 (по-испански).

13. Ortiz Fernandez A. Alfred Rosenblatt. В кн: A. Ortiz Fernandez. «Artistas, Cienthficos y Maestros» («Художники, ученые и преподаватели»). — Lima 1999. P. 163-168 (по-испански).

14. Ortiz Fernandez A. Alfred Rosenblatt. В кн: A. Ortiz Fernandez. «Integrales Singulares. La Escuela de Chicago» («Сингулярные интегралы. Чикагская школа»). — Lima, 2011. Р. 21-25 (по-испански).

15. Ortiz Fernandez A. La Matemâtica en el Peru. Breve Vison (Математика в Перу. Краткий обзор). — Lima, 2012. Р. 1-84 (по-испански).

16. Velasquez Lopez R. Alfred Rosenblatt en el Peru. В кн: «Hacer ciencia en el Peru. Biografaa de ocho cientHficos» («Научная деятельность в Перу. Биографии восьми ученых»). - Lima, SOPHICYT, 1990. Р. 107-134 (по-испански).

II. Другая цитированная литература

17. Agarwal R. P., Lakshmikantham V. Uniqueness and Nonuniqueness Criteria for Ordinary Differential Equations. — World Scientific, New Jersey, 1993, xii+312 p. [Розенблатт: 177, 295, 309].

18. Castelnuovo C, Enriques F. Die algebraischen Flächen vom Gesichtspunkte der biration-len Transformation aus. В сб: W. F. Meyer, H. Mohmann. «Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften», IIIc 6b, Berlin 1921, 676-768 [Розенблатт: 676, 693, 711, 753].

19. Flett T. M. Differential Analysis. Differentiation, differential equations and differential inequalities — Cambridge University Press, Cambridge-New York, 1980, vii+359 p. [Розенблатт: 161, 348].

20. Hartman Ph. Ordinary Differential Equations. 2nd ed. — SIAM, Philadelphia, 2002. xx+612 p. [Розенблатт: 44, 448, 601]; русский перевод: Хартман Ф. «Обыкновенные дифференциальные уравнения». — М.: Мир, 1970. 720 с.

21. Катке Е. Differentialgleichungen reeller Funktionen, Akademische Verlagsgesellschaft, Leipzig 1930, xii+436 p. [Розенблатт: 58]; русский перевод: Камке Э. «Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям», пятое издание. — М.: Наука, 1976. 576 с.

22. Sansone G. Equazioni Differenziali nel Campo Reale, Tom 2, Zanichelli, Bologna, 1949, xvi+475p. [Розенблатт: 85, 95-97, 103-104, 114, 135-136, 391]; русский перевод: Сансоне Дж. «Обыкновенные дифференциальные уравнения», том 2. — М.: ИЛ, 1954. 415 с. [Розенблатт: 91, 92, 98, 107, 127, 128, 400, 401].

23. Snyder V., Coble А.В., Emch E., Lefschetz S., Sharpe F.R., Sisam G.H. Selected Topics in Algebraic Geometry. — Chelsea, New York, 1970 [Розенблатт: 215, 246, 250, 364, 389, 394, 427, 436].

24. Walter W. Differential and Integral Inequalities. — Springer-Verlag, New York-Berlin, 1970. x+352p. [Розенблатт: 32, 82, 33].

25. Zariski O. Algebraic Surfaces. — Springer-Ver lag, Berlin, 1935. v+198p. [Розенблатт: 195]; 2nd ed. 1971, xi+270 p. [Розенблатт: 253].

Поступила 12.05.2016

ALFRED ROSENBLATT (1880 1947) — POLISH AND PERUVIAN MATHEMATICIAN

Lech Maligranda, Danuta Ciesielska

The life and work of Alfred Rosenblatt (1880-1947) is described. He published almost three hundred scientific papers in many areas of mathematics and its applications. Rosenblatt participated with talks in four International Congresses of Mathematicians: in Cambridge (1912), Strasbourg (1920), Bologna (1928) and Zurich (1932).

Keywords: 20th century mathematics and mathematicians in Europe and South America, biographies, Alfred Rosenblatt.

ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ. ПЕРСОНАЛИИ

УДК 529 + 511

АРНОЛЬД ВАЛЬФИШ — ЖИЗНЬ ВОПРЕКИ СТЕРЕОТИПАМ

(к 125-летию со дня рождения)

В. П. Одинец

Сыктывкарский государственный университет им. Питирима Сорокина Россия, 167001, Северо-Западный федеральный округ, Республика Коми, г. Сыктывкар, Октябрьский пр., 55; e-mail: w.p.odyniec@mail.ru

Кратко описана биография польского математика Арнольда Вальфиша и некоторые из его многочисленных научных результатов.

Ключевые слова: А. З. Вальфиш, теория чисел, целочисленные точки, тригонометрические суммы.

Широко известно об «утечке» на Запад в 20-е годы XX века крупных математиков из СССР1. Но в суровые для советской интеллигенции 30-е годы об отъезде на Запад уже не было и речи. Репрессии шли по нарастающей. Приближался 1937 год — пик «ежовщины». И в это время (конец октября 1936 года) в СССР переселяется на постоянное жительство Арнольд Вальфиш (Arnold Walfisz) — крупный математик, основавший2 в 1935 г. всемирно известный математический журнал «Acta Arithmetica».

Родился Арнольд Вальфиш 2 июля 1892 г. в Варшаве в еврейской семье. Его отец Зельман (Зыгмунт) (Zelman (Zygmunt)) Вальфиш (1867-1939) был коммерсантом средней руки. После погромов 1905 года семья Вальфишей перебралась в Германию и в 1906 году осела в Висбадене. Там Арнольд два года посещал реальную гимназию [2]. Поскольку родители связывали будущее Арнольда с Российской Империей, то в 1908 г. Арнольд вернулся в Варшаву и стал приватно готовится к выпускным экзаменам на базе престижной 6-й государственной3 гимназии Варшавы, которую окончил с отличием в 1909 г. Он прекрасно говорил и по-русски, и по-немецки. Была у Арнольда возможность продолжить своё образование в Императорском университете

1 Напомним хотя бы об Абраме Самойловиче Безиковиче (1891-1970), награждённом уже в Великобритании медалями де Моргана (1950) и Сильвестра (1952), или о Якове Даниловиче Тамаркине (1888-1945), избранном в США вице-президентом Американского математического общества (1942-1943), или о Якове Викторовиче Успенском (1883-1947), академике АН СССР, ставшем профессором Стэнфордского университета.

2 Совместно с Соломоном Любельским (Salomon Lubelski (1902, Варшава — 1941, концентрационный лагерь в Люблине)) [1, с. 159]. О С. Любельском достоверно знаем ещё, что он защитил докторскую диссертацию (соответствует кандидатской в России) в 1928 году, а также участвовал в работе X (последнего предвоенного) Международного конгресса математиков в Осло (13-18 июля 1936 г.) [1, с. 94, 196].

3 Окончание русской государственной гимназии давало право продолжения учёбы в вузе. Казимир Куратовский (1896-1980), закончивший четырьмя годами позже частную польскую гимназию, для продолжения своего образования за границей был вынужден поехать под Орёл, чтобы сдать выпускные экзамены в местной гимназии [3].

Варшавы, где преподавание шло, главным образом, на русском языке, но он предпочёл поехать в Мюнхен и поступить там в университет, давший ему возможность учиться по году в университетах и в Берлине, и в Гейдельберге, и в Гёттингене (с 1912 до лета 1914 гг.), т.е. в важнейших математических центрах Германии.

В планах Вальфиша было продолжение учёбы (после сдачи университетских выпускных экзаменов) под руководством Эдмунда Ландау4 (Edmund Landau, 1877-1938), но этим планам помешала Первая мировая война, начавшаяся в 1914 году. Все четыре года войны Арнольд провел с родителями в Висбадене, но в декабре 1918 года он продолжил учёбу в Гёттингене, а уже в 1920 году в журнале математического кружка Палермо выходит его совместная с Э.Ландау работа5 (см. [4]).

В 1921 году Вальфиш передаёт в Университет Гёттингена свою докторскую диссертацию «О суммируемых функциях некоторых рядов Дирихле», написанную под руководством Э. Ландау. В ноябре 1921 года диссертация была успешно защищена [2]. В отзыве на диссертацию Э.Ландау отмечает, в частности, что «при обобщении тождества Вороного А. Вальфишу удалось существенно упростить специальные случаи оригинального доказательства Вороного» [2]. (О Г. Ф. Вороном (1868-1908) см. [3]).

После защиты Вальфиш переезжает на пять лет в Висбаден6, к родителям, не прерывая связи с Э. Ландау. При посредничестве последнего Вальфиш пишет свою первую работу на английском языке7 (всего Вальфиш написал 5 работ по-английски) совместно с Джоном Литлвудом8 (John Edensor Litlwood, 1885-1977), которая была посвящена целочисленным решёткам в круге ([4-6]). Эта тема станет для Вальфиша одной из любимых — ей он посвятит свыше 30 работ (см. [4, 6, 7]), рассматривая также решётки в шарах и эллипсоидах.

В том же году Вальфиш публикует работу, в которой приводится доказательство асимптотической формулы Харди (опубликованной последним в 1918 г. без доказательства) для количества представлений натурального числа п суммой к квадратов целых чисел (см. [4, 5]).

В 1925 году в журнале «Wiadomosci Matematyczne» вышла первая работа Вальфиша на польском языке9 — обзор «Новые результаты в области теории

4 Э.Ландау — один из крупнейших специалистов по теории чисел в первой трети XX века.

5 Über die Nichtfortsetzbarkeit einiger durch Dirichletsche Reihen definierte Fimktione n (O непродолжимости некоторых функций, определяемых рядами Дирихле). Rend. Circ. Math. Palermo, 44 (1920). S. 82-86 [4].

6 Висбаден находится в 256 км от Гёттингена. Переезд в Висбаден был связан с рождением дочери Дороты в январе 1921 г. За год до этого Арнольд женится на Грете Сейд (Greta Seyd) [2].

7 The lattice points of circle. Proc. Royal Soc. (A), 106 (1924). P. 478-488 [3].

8 Литлвуд, наряду с Годфри Харди (Godfrey Harold Hardy, 1877-1947), был одним из крупнейших британских математиков (не только в теории чисел) первой трети XX века. Он учился в Тринити колледже Кембриджского университета, позже преподавал в Оксфорде и Кембридже. С 1911 года сотрудничал с Харди. В числе его наград — медали де Моргана и Сильвестра.

9 Всего А. Вальфиш опубликовал 3 работы на польском языке и одну — на чешском [4, 6].

А. Вальфиш

чисел» (см. [6, 7]). В том же году А. Вальфиш был принят в члены Немецкого математического общества [2].

До 1927 года включительно выходят ещё 10 работ Вальфиша, в том числе две работы совместно с Габором Шегё10 (Gabor Szegö, 1895-1985; в русской транскрипции часто передаётся как Сеге) (см. [6]) и одна работа совместно с Войтеком Ярником11 (Vojtëch Jarnik, 1897-1970) [6].

Не ясно, на какие средства Вальфиш жил в Висбадене. Э.Ландау очень хотел иметь Вальфиша в качестве своего ассистента12 и с этой целью обратился в фонд Рокфеллера за финансовой поддержкой для Вальфиша, но получил отказ, в частности, потому, что «родное государство (в данном случае Польша) по окончании времени получения стипендии должно предоставить подходящее место работы» [2].

Итог был предсказуемым: в 1927 году Вальфиш возвращается в Польшу, намереваясь защитить хабилитацию (соответствует докторской диссертации в России) по уже опубликованным после 1922 года работам. А пока он получает работу математика в страховой компании «Европа»13, проживая в небольшом местечке в 100 км от Варшавы по направлению к Белостоку [7]. В сентябре 1929 г. в Варшаве проходит Математический Конгресс славянских народов. На этом Конгрессе Вальфиш делает по-немецки прекрасный доклад про целочисленные точки [2]. Хабилитация Вальфиша состоялась 24 октября 1930 года в Варшавском университете на основе представленных 23 статей [2]. После её успешной защиты А. Вальфиш, как приват-доцент, получил право (и воспользовался им) преподавания в университете, но без денежного содержания [7].

В 1931 году (при посредничестве Дж. Литлвуда) у Арнольда Вальфиша выходит совместная с Сарвадаманом Чоула14 (Sarvadaman D.S. Chowla,

10 Габор Шегё родился в Венгрии, учился в Берлинском Университете. Написал совместно с Г. Пойя (венг. György Pölya, англ. George Polya; 1887-1985) книгу «Задачи и теоремы из анализа», вышедшую в 1924 г. в Берлине. Тогда же он знакомится с А. Вальфишем. В 1934 г. Шегё покидает нацистскую Германию и переезжает в США. С 1938 г. Шегё — декан математического факультета Стенфордского университета. Он остаётся в этой должности до выхода на пенсию в 1960 г., не прерывая преподавания математического анализа [8].

11 В. Ярник родился в Праге, учился в Каролинском университете. В 1923 г. он едет на один год в Берлин для совместной работы с Э.Ландау, тогда же и знакомится с А. Вальфишем. В 1924-1968 гг. Ярник заведует кафедрой математики в Каролинском университете, занимаясь, главным образом, теорией чисел. В 1930 году он построил знаменитый «жадный» алгоритм в теории графов, переоткрытый через 26 лет Робертом Примом (р. 1941) и названный именем последнего [9].

12 Мы приводим здесь портрет Арнольда Вальфиша из фотоальбома Эдмунда Ландау, опубликованный в статье [2].

13 Офис её располагался на главной улице Варшавы: Маршалковска, 136 [2].

14 Сарвадаман Чоула родился в Лондоне в семье профессора математики из Лахора. В Лахоре же в 1928 г. Чоула получает степень магистра. Затем он едет в Кембридж для учебы в докторантуре (соответствует аспирантуре в России) под руководством Дж. Литлвуда.

1907-1995), аспирантом Литлвуда, работа «On a trigonometric sum». Позже (1935 г.) выходит ещё одна совместная с Чоула работа, в которой дано доказательство знаменитого тождества Римана для тригонометрических рядов. Как и предполагал Риман, тождество оказалось верным для всех рациональных аргументов в. Но, помимо этого, как доказали Вальфиш и Чоула, тождество оказалось верным для всех алгебраических иррациональностей. Более того, оно оказалось верным для почти всех вещественных в ([4, 5]).

В 1935 г. Арнольд Вальфиш и Соломон Любельский основывают третий по значимости15 международный научный математический журнал в Польше «Acta Arithmetica», в редколлегию которого были включены крупнейшие специалисты в теории чисел со всего мира. До октября 1936 г. в этом журнале Вальфиш успевает опубликовать 4 статьи, однако результат, принесший ему славу и вошедший в анналы аналитической теории чисел как теорема Зигеля - Вальфиша, был опубликован16 в журнале «Mathematische Zeitschrift»,

После получения К. Энгелем степени PhD, Гёттинген, июнь 1920 года (В центре в каталке К. Зигель, за ним в шляпе — А. Вальфиш, крайний справа — А. Кнезер)

После защиты PhD возвращается в Индию, где преподает в разных вузах. После обретения Индией независимости в 1947 году уезжает в США, где в 1963 году получает пост профессора-исследователя в государственном университете Пенсильвании и работает там до выхода на пенсию в 1976 году. За время работы в США подготовил 24 доктора наук и ещё одного — в Индии. Среди разных наград С. Чоула отметим премию Рамануджана Академии Наук Индии [10].

15 После журналов «Fundamenta Mathematicae» (1920), основанного В. Серпинским и 3. Янишевским, и «Studia Mathematica» (1929), основанного С. Банахом и X. Штейнгаузом. (Подробнее см. [3], с. 32-39.)

16 Название статьи: «Zur additiven Zahlentheorie, II» («К аддитивной теории чисел, II») ([4, 6]).

40 (1) (1935), s. 592-607. Эта теорема была получена Вальфишем как приложение к теореме Зигеля17 (Carl Ludwig Siegel, 1896-1981) о простых числах в арифметической прогрессии, опубликованной в «Acta Arithmetika», 1(1) (1935), s. 83-86.

1935 год характеризуется началом социального кризиса в Польше. 12 мая умер маршал Юзеф Пилсудский (Jözef Klemens Pilsudski, 1867-1935), установивший после майского переворота 1926 года авторитарный режим (формально Польша оставалась парламентской республикой). В апреле 1935 года в Польше была принята новая конституция, создававшаяся «под Пилсудского», превратившая страну в президентскую республику [12].

13 мая 1935 года генеральным инспектором вооружённых сил был назначен Эдвард Рыдз-Смиглы18 (Rydz-Smigly, 1886-1941). Он помог переизбраться президентом бывшему профессору-химику Игнацию Мощчицкому (Ignacy Moscicki, 1867-1946), став формально вторым, а фактически первым лицом в государстве. Политика Рыдзя-Смиглы характеризовалась крайним национализмом и антисемитизмом. Не случайно созданный под его руководством в июне 1937 года «Союз молодой Польши» организовал «боювки» (группы боевиков), избивавшие евреев и изгонявшие их из вузов, включая заслуженных профессоров. Это коснулось, в частности, и профессора истории математики Варшавского университета Самуэля Дикштейна (Samuel Dickstein, 1851-1930), изгнанного из университета в ноябре 1937 года ([3, 13]).

Арнольд Вальфиш отдавал себе отчет, что оставаться в Польше опасно. Вопрос был только в другом: куда ехать? Во Францию или США, или в СССР? Вальфиш знал, что даже великая Эмми Нётер19 (Amalie Emmy

17 Карл Зигель родился в Берлине и там же в 1915 г. стал учиться в Университете им. Гумбольта. После окончания Первой мировой войны переехал в Гёттинген и стал учиться у Э. Ландау. В 1920 г. защитил докторскую диссертацию. Будучи пацифистом, он не мог вынести нацистский режим и в 1938 г. эмигрировал через Норвегию в США, где стал работать в Институте Перспективных исследований (Принстон). После Второй мировой войны вернулся в Гёттинген, где, став в 1951 г. профессором, работал до выхода на пенсию в 1959 г. В числе защищенных под его руководством докторантов — Курт Малер и Юрген Мозер, один из создателей KAM теории. В 1978 году был награжден Премией Вольфа по математике [11].

18 Эдвард Рыдз (это его настоящее имя) учился на художника в Академии изящных искусств в Кракове, продолжил обучение живописи в Вене и Мюнхене. К 1914 году считался талантливым пейзажистом и портретистом. Критики предсказывали ему великое будущее. С началом Первой мировой войны служил в польских легионах: командир батальона, полка, бригады. В ноябре 1918 года он военный министр. Оставаясь все годы верным Пилсудскому, Рыдз-Смиглы не имел политического чутья последнего, что в немалой степени предопределило катастрофу 1939 года [12].

19 Э. Нётер родилась и училась в Эрлангене, где преподавал её отец-математик. В 1907 году там же защитила (под руководством специалиста в теории инвариантов Пауля Гордана (Paul Gordan, 1837-1912)) докторскую диссертацию. Затем работала в Математическом институте университета Эрлангена (бесплатно). Переехав в Гёттинген в 1916 г., ещё три года продолжала исследования по теории инвариантов и числовых полей. Итогом была хабилитация (1919). К этому же периоду относится знаменитая теорема Нетер, связывающая с каждой дифференцируемой симметрией физической системы некоторый закон сохранения. В 1920-26 гг. вела исследования в области абстрактной алгебры. 1927/28 учебный год провела в Москве, читая лекции в МГУ. С 1927 г. и до своей кончины исследовала некоммутативные алгебры и гиперкомплексные числа [14]. Её и Марию Склодовскую-Кюри (Maria Sklodowska-Curie, 1867-1934) считают крупнейшими женщинами-учёными первой половины XX века.

Nöther (амер. Noether), 1882-1935) после изгнания в апреле 1933 года из университета Гёттингена смогла устроится в США только в конце 1933 года, в колледже Брин-Мор, штат Пенсильвания (и то благодаря гранту фонда Рокфеллера), где она должна была учить школьниц азам математики! В то же время её младший брат Фриц20 (Fritz Alexander Nöther, 1884-1941) был принят на должность профессора Томского университета.

Важная для Вальфиша информация была связана с берлинским математиком Хаимом (Германом) Мюнтцем (Chaim (Hermann) Müntz, 1884-1956), который, как и Вальфиш, был польским евреем. Арнольд был знаком с ним ещё со времени учебы в Берлине ([15, с. 364]). Хотя Мюнтц занимался другой тематикой (уравнениями математической физики) и был старше Вальфиша на 8 лет, они переписывались. В 1929 году Мюнтц уехал в Ленинград и стал заведующим кафедрой математики в одном из вузов21. В середине 1935 года Вальфиш просит Мюнтца похлопотать о получении работы в СССР. В 1934 году в Ленинграде выходит на русском языке книга Мюнтца «Интегральные уравнения» (см. [16, с. 491]), заинтересовавшая Н. И. Мусхелишвили (1891-1976), избранного годом ранее членом-корреспондентом АН СССР. Поскольку Николай Иванович был наиболее влиятельным математиком в Грузии, то именно через него Мюнтц просит за Вальфиша. В конце 1935 года Вальфиш получает приглашение выступить на семинаре Тбилиского математического института. В январе 1936 г. он приезжает в Тбилиси (в тот момент ещё Тифлис — переименован в Тбилиси он будет в конце 1936 года; соответственно и университет и математический институт именовались Тифлисскими) и выступает на общеинститутском семинаре. В итоге Арнольд Вальфиш получает приглашение Тбилисского математического института им. А. М. Размадзе на работу, и в конце октября 1936 года он переезжает в Тбилиси ([2, 7]).

В Тбилиси Вальфиш сразу включается в работу по созданию в математическом институте отдела теории чисел и руководит этим отделом, а в 1940-1944 гг. руководит отделом теоретической математики. В 1948 г. по инициативе Н. А. Мусхелишвили, который в 1941-1976 гг. был директором математического института, Вальфиш назначается руководителем отдела алгебры и геометрии. В этой должности он остаётся до самой смерти в 1962 г. ([3, 7]).

Отметим небольшой штрих: до начала Великой Отечественной войны Вальфиш публикует свои работы в СССР на немецком языке, во время войны — на английском, после войны до 1956 года (т. е. до начала «оттепели») -только по-русски или по-грузински. С 1957 г. Вальфиш возобновляет издание своих работ на немецком языке. Всего за 26 лет работы в СССР Вальфиш опубликовал 55 работ, и не только в грузинских математических журналах (см. [4, 6]). Так, в 1952 году, кроме 90-страничной книги «Уравнение Пелля», изданной в Тбилиси, в журнале «Успехи математических наук» в Москве выходит его большая статья «О представлении чисел суммами квадратов. Асимптотические формулы» (том 7, вып. 6, с. 97-178).

20 Фриц Нётер был профессором Технического университета в Бреслау (ныне Вроцлав, Польша), занимался прикладной математикой. В ноябре 1937 года был арестован в Томске и в октябре 1938 г. был приговорён к 25 годам лишения свободы по обвинению в шпионаже в пользу Германии. Расстрелян 10 сентября 1941 г. под Орлом. Реабилитирован полностью в 1988 г. ([14, с. 60]).

21 Хаим Мюнтц был выслан из СССР в октябре 1937 года (уехал в Стокгольм) ([2, 15]).

В следующем 1953 году в ДАН СССР (т. 90, №4 и №5) выходят его две статьи22: «О функции Эйлера» и «Изолированные простые числа». В первой впервые дано улучшение оценки Мертенса (Franciszek Mertens, 1840-1927) для функции Эйлера ip(n) ([4-6]).

В 1956 г. А. Вальфиш выступает на III Всесоюзном математическом съезде с сообщением «К теореме Виноградова о трёх простых числах» ([4, с. 127]).

В 1957 г. в Варшаве на немецком языке выходит книга Вальфиша «Целочисленные точки в многомерных шарах» (471 с.)23. Через 5 лет в Берлине выйдет, изданная Вальфишем, книга его учителя Э. Ландау «Избранные труды в учении о целых точках»24. Ещё раньше в 1959 г. им была издана в Берлине неопубликованная Ландау книга «Diophantische Gleichungen mit endlich vielen Lösungen» («Диофантовы уравнения с конечным числом решений»). Наконец, в 1963 г., уже после смерти Вальфиша, в Берлине вышла его книга «Вейлевские экспоненциальные суммы в новой теории чисел»25.

Уже с зимы 1936 года А. Вальфиш начинает читать лекции в Тбилисском университете. С 1947 по 1953 гг. он по совместительству работает в Тбилисском педагогическом институте, а также выезжает для чтения лекций в Кутаисский педагогический институт. При этом учебником для студентов служит его книга «Курс теории чисел» (объёмом 310 с), изданная в 1947 г. в Тбилиси на грузинском языке.

В 1947 г. Арнольд Вальфиш получает диплом доктора физико-математических наук, а в 1948 г. — аттестат профессора26 ([16, с. 114]). Под его руководством защищают кандидатские диссертации по теории чисел: в Тбилисском университете — Георгий Арсеньевич Ломадзе (1948); в Математическом институте им. А. М. Размадзе АН Грузии — Александр Петрович Лурсманишвили (1952); в Ташкентском государственном университете — Анна Арнольдовна Вальфиш27 (1962), а уже после смерти Вальфиша в 1963 г. в Тбилисском университете защитилась Роза Шалвовна Гонгадзе.

Сотрудники и преподаватели математического центра в Тбилиси, даже далекие от теории чисел, относились к Арнольду Зельмановичу с глубоким уважением, ценили, что среди них есть такой ученый28.

А. Вальфиш, 1956 г.

22 В 1956 г. они переведены на английский язык в США. Заметим, что ещё в 1941 г. в Тбилиси вышла книга Л.Е.Диксона «Введение в теорию чисел» (409 с), переведенная А. Вальфишем и с его добавлениями.

23 Русское издание этой книги вышло в 1960 г. в Тбилиси.

24 Landau Е. Fusgewählte Abhandlungen zur Gitterpunktlehre. (292 s.)

25 Weyische Exponentialsummen in der neueren Zahlentheorie. (231 s.)

26 СССР подписал Парижскую декларацию о признании степеней и аттестатов профессоров европейского региона только в 1982 году.

27 Название диссертации было: «О сумме коэффициентов некоторых рядов Дирихле». (Подробнее о младшей дочери Арнольда Вальфиша Анне (р. 1936) и о нём самом во время работы в Тбилисси можно прочитать в интервью с Марко Иосифовичем Вишиком (р. 1921) [17].)

28 Автору этой статьи довелось говорить о Вальфише со своим научным руководителем профессором Д. Ф. Харазовым, который жил в Тбилиси 1915-1961 гг.

ЛИТЕРАТУРА

1. Przeniosło M. Matematicy polscy w dwudziestoleciu międzywojennym. Studium historiczne. — Kielce: Wyd-wo Uniwersytetu Humanistyczno-Przyrodniczego Jana Kochanowskiego, 2011. 492 s.

2. Kratzel E., Lamm С. Von Wiesbaden nach Tiflis. Die wechselvolle Lebensgeschichte des Zahlentheoretikers Arnold Walfisz // Mitteilungen der Deutschen Mathematiker Vereinigung, Band 21 (1), 2013. S. 42-51.

3. Одинец В.П. Предтечи и первые творцы польской математической школы (1860-1922). - Сыктывкар: Изд-во КГПИ, 2014. 58 с.

4. Ломадзе Г. А., Чогошвили Г. С. Арнольд Зельманович Вальфиш (некролог) // УМН. 1963. Т. 18, вып. 4 (112). С. 118-128.

5. Lomadse G. The scientific work of Arnold Walfisz // Acta Arithmetica. 1964. V. 10. S. 227-237.

6. Bibliography of scientific works of Arnold Walfisz // Acta Arithmetica. 1964. V. 10. S.239-244.

7. O'Connor J. J., Robertson E.F. Arnold Walfisz. Mac Tutor History of Mathematics archive. University of St. Andrews, Scotland. — Интернет-ресурс: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Walfisz.html

8. Gabor Szego. The New York Times, AP, August 17, 1985.

9. Одинец В.П. К истории двух знаменитых оптимизационных алгоритмов в теории графов // Математика в высшем образовании. 2013. №11. С. 121-128.

10. O'Connor J. J., Robertson E.F. Sarvadaman Chovla. Mac Tutor History of Mathematics archive. University of St. Andrews, Scotland. — Интернет-ресурс:

http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Chowla.html

11. O'Connor J. J., Robertson E.F. Carl Ludwig Siegel. Mac Tutor History of Mathematics archive. University of St. Andrews, Scotland. — Интернет-ресурс:

http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Siegel.html

12. Roszkowski W. Historia Polski 1918-2004. — Warszawa: PWN, 2005. 500 s.

13. Gleichgewicht В. Wspomnienie o Samuelu Dicksteinie. — Matematika czasów Weierstrassa (red. Stanislaw Fudali) — Szczecin: Wyd-wo Szczecinskiego Oddziału PTM, 2002. S. 148-151.

14. Segal S.L. Mathematicians under the Nazis. — Princeton: Princeton University Press, 2003. 536 p.

15. Siegmund-Schultze R. Mathematician Fleeing from Nazi Germany. Individual Fates and Global Impact. — Princeton and Oxford: Princeton University Press, 2009. 504 p. / Transi, from Germany Edition, 1999.

16. Математика в СССР за сорок лет 1917-1957. Т. 2. Библиография (Под ред. А. Г. Куроша и др.). — М.: Физматлит, 1959. 819 с.

17. Демидович В. Б. Интервью с М. И. Вишиком. Семь искусств, № 1 (59), январь 2015 // 7iskusstv.com/2015/Nomerl/Demidovichl.php

Поступила 16.08.2016

ARNOLD WALFISZ — THE LIFE IN SPITE OF STEREOTYPE (to the 125 anniversary of the birth)

W. P. Odyniec

The biography of the Polish mathematician Arnold Valfish and some of his numerous scientific results are briefly described.

Keywords: A. Walfisz, number theory, lattice points, trigonometric sum.

ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ. ПЕРСОНАЛИИ

КАЛЕНДАРЬ ЗНАМЕНАТЕЛЬНЫХ ДАТ В ОБЛАСТИ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ НА 2017 ГОД

В этом номере журнала мы продолжаем публикацию справочников по знаменательным датам, связанным с тематикой журнала, начатую в двух предыдущих номерах. Напомним, что по принятому соглашению отмечаются прошедшие с момента события интервалы, не меньшие 75 лет и кратные 10 или 25 годам, а в календарных статьях даются только самые краткие справочные данные, сопровождаемые указанием источников (включая Интернет-ресурсы) биографического характера. В тех случаях, когда русскоязычные источники отсутствуют или представляются недостаточными, даются ссылки на англоязычные материалы, чаще всего — на архив MacTutor History of Mathematics archive, который содержит биографии многих математиков, а также информацию по истории математики. Этот архив, ссылки на который обозначены аббревиатурой МТ, расположен на сайте университета Сент-Эндрюс (Шотландия) и поддерживается Джоном О'Коннором и Эдмундом Робертсоном.

Составитель благодарит Р. 3. Гушель, И. С. Емельянову и В. П. Одинца за полезные советы.

— 2425 лет назад (около 408 года до н.э.) родился выдающийся древнегреческий учёный Евдокс Книдский (Εϋδοξος, ум. около 335 года до н. э.). Сочинения самого Евдокса до нас не дошли. Основные его математические открытия — метод исчерпывания (прообраз теории пределов) и теория отношений величин (прообраз теории действительных чисел) изложены в «Началах» Евклида.

1) Башмакова И. Г. Лекции по истории математики в Древней Греции // Историко-математические исследования. — М.: Физматгиз, 1958. Т. 11. С. 306-346.

2) Родин А. В. Евдокс. — Интернет-ресурс «Новая философская энциклопедия » : http://iphras. ru/elib /1061.html

— 530 лет назад (около 1487 г.) родился немецкий математик Михаэль Штифель (Michael Stifel, ум. 19.04.1567), оставивший заметный след в развитии алгебры: построил теорию отрицательных чисел, изучил возведение в степень и впервые использовал понятия «корень» и «показатель степени», опубликовал правило образования биномиальных коэффициентов и составил их таблицы до 18-й степени. Впервые высказал идею сопоставить арифметическую и геометрическую прогрессии, что привело позже к изобретению логарифмов.

МТ : http://www-history.mes.st-and.ас.uk/Biographies/Stifel.html

— 280 лет назад родился итальянский математик, астроном и писатель, аббат Томмазо Вальперга Калузо (Tommaso Valperga Caluso, ум. в 1815 г.). Его труды по математике публиковались в «Mémoires de

l'Académie de Turin» (1786-1811) и в «Mém. délia Società italiana délie scienze» (1802-1809).

Энциклопедический словарь Ф.А.Брокгауза и И.А.Ефрона, т. XIV (1895), с. 97.

1 января — 100 лет со дня рождения известного советского математика и педагога Залмана Алтеровича Скопеца (ум. 03.11.1984), создателя ярославской геометрической школы и научно-методической школы в области преподавания геометрии.

1) Розенфельд Б. А., Элькина Е. М. Памяти 3. А. Скопеца // Математическое просвещение 2004. Сер. 3, вып. 8. С. 15-19.

2) Иванова Т. А. Вспоминая учителя // Математика в высшем образовании. 2012. №12. С. 81-92.

3 января — 240 лет назад родился французский математик и механик, академик Французской Академии наук (1813) Луи Пуансо (Louis Poinsot, ум. 05.12.1859). Основные труды в области геометрии и механики.

1) Веселовский И. Н. Очерки по истории теоретической механики. — М.: Изд-во ЛКИ, 2010. 290 с.

2) Тюлина И. А. История и методология механики. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1979. 282 с.

3 января — 100 лет со дня рождения академика Юрия Алексеевича Митропольского (ум. 14.06.2008), специалиста в области нелинейных колебаний и асимптотических методов нелинейной механики.

Арнольд В. И., Владимиров В. С, Козлов В. В., Мищенко Е. Ф., Осипов Ю. С, Патон Б. Е., Сисакян А.Н., Суханов А. Д., Фаддеев Л. Д., Фролов К. В. Юрий Алексеевич Митропольский (к 90-летию со дня рождения) // УМН. 2007. 62:4(376). С. 179-185.

7 января — 110 лет назад родился английский математик Раймонд Пэли (Raymond Edward Alan Christopher Paley, погиб 07.04.1933). Основные труды относятся к теории рядов и интегралов Фурье (теорема Пэли-Винера), ортогональным и гармоническим функциям. На русский язык переведена написанная им совместно с Н. Винером книга «Преобразование Фурье в комплексной области».

МТ: http://www-history.mes.st-and.ас.uk/Biographies/Paley.html

7 января — 80 лет со дня рождения известного специалиста по теории дифференциальных уравнений и по математической физике, академика НАН Украины Евгения Яковлевича Хруслова.

Березанский Ю.М., Горбачук Н.Л., Королюк В.С., Луковский И. А., Марченко В. А., Митропольский Ю. А., Нижник Л.П., Пастур Л. А., Самойленко А. М., Шарко В. В. Евгений Яковлевич Хруслов (к 70-летию со дня рождения) // Укр. мат. журн. 2007. 59:4. С. 549-550.

8 января — 100 лет со дня рождения американского математика Джона Форсайта (George Elmer Forsythe, ум. 09.04.1972), специалиста по численным методам, одного из пионеров дисциплины «computer science».

МТ : http://www-history.mes.st-and.ас.uk/Biographies/Forsythe.html

8 января — 100 лет со дня рождения американского математика Леонарда Гиллмана (Leonard Gillman, ум. 07.04.2009). Работы в области теории множеств, топологии, колец непрерывных функций. Президент математической ассоциации Америки в 1987-1988 гг.

МТ : http://www-history.mes.st-and.ас.uk/Biographies/Gillman.html

11 января — 310 лет со дня рождения итальянского математика Винченцо де Риккати (Vincenzo de Riccati, ум. 17.01.1775). Известен как создатель теории гиперболических функций. Иностранный почётный член Петербургской АН (1760). Сын математика Якопо Франческо Риккати (1676-1754), в честь которого названо уравнение Риккати.

МТ: http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Riccati.html

13 января — 180 лет со дня рождения Алексея Васильевича Летникова (ум. 11.03.1888), русского математика, автора работ по аналитической геометрии, тригонометрическим и сферическим функциям.

1) Слудский Ф.А. Жизнь и труды А. В. Летникова. — М., 1889. 189 с.

2) Шостак Р. Я. Алексей Васильевич Летников // Историко-математические исследования. - M.-Л.: ГИТТЛ, 1952. Т. 5. С. 167-238.

14 января — 130 лет со дня рождения известного польского математика и популяризатора науки Гуго Штейнгауза (Hugo Dyonizy Steinhaus, ум. 25.02.1972), одного из основателей львовской математической школы.

МТ: http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Steinhaus.html

17 января — 170 лет со дня рождения русского механика и математика Николая Егоровича Жуковского (ум. 17.03.1921). Основные труды относятся к аэродинамике. Член-корреспондент Императорской АН (1894).

Лейбензон Л. С. Николай Егорович Жуковский (К столетию со дня рождения). — М.-Л.: Издательство Академии Наук СССР, 1947.

19 января — 100 лет назад родился английский математик Грэхем Хигман (Graham Higman, ум. 08.04.2008), крупный специалист по теории групп.

МТ: http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Higman.html

21 января — 120 лет назад родился Александр Юльевич Вайнштейн (ум. 06.11.1979), американский математик российского происхождения. Основные результаты относятся к краевым задачам математической физики.

МТ : http://www-history.mes.st-and.ас.uk/Biographies/Weinstein.html

22 января — 425 лет назад родился французский философ, математик, астроном и историк науки Пьер Гассенди (Pierre Gassendi, ум. 24.10.1655), один из друзей и корреспондентов Марена Мерсенна — организатора кружка учёных, из которого выросла Французская академия наук.

1) Зубов В. П. Пьер Гассенди // Вопросы истории естествознания и техники. 1956. Вып. 2. С. 61-75.

2) Быховский Б. Э. Гассенди. — М.: Мысль. 1974. 204 с.

28 января — 150 лет назад император Александр II утвердил Московское математическое общество. С этого момента Общество начало своё существование не только де-факто (первое его заседание было собрано в сентябре 1864 года на квартире инициатора создания Общества профессора Н. Д. Брашмана), но и де-юре.

1) Демидов С. С., Тихомиров В. М., Токарева Т. А. История Московского математического общества, http://mms.mathnet.ru/history.php

2) Демидов С. С. К 150-летию Московского математического общества // Труды XII международных Колмогоровских чтений. — Ярославль, Изд-во ЯГПУ. 2015. С. 72-85.

2 февраля1— 175 лет со дня рождения российского математика польского происхождения Юлиана Васильевича Сохоцкого (ум. 14.12.1927). Основные полученные им результаты относятся к теории аналитических функций и к теории чисел.

1) Маркушевич А. И. Вклад Ю.В. Сохоцкого в общую теорию аналитических функций // Историко-математические исследования, 1950. Вып. 3. С. 399-406.

2) Ермолаева Н. С. Юлиан Васильевич Сохоцкий // Труды Санкт-Петербургского математического общества. 1996. Т. 4. С. 359-364.

3 февраля — 100 лет назад родился советский математик Георгий Евгеньевич Шилов (ум. 17.01.1975). Основные труды по теории функций действительной переменной, функциональному анализу, обобщённым функциям, теории дифференциальных уравнений в частных производных, рядам Фурье. Автор ряда классических учебников.

Александров П. С, Гельфанд И.М., Горин Е.А., Грушин В. В., Колмогоров А.Н., Олейник О.А., Паламодов В. П., Фомин С.В. Георгий Евгеньевич Шилов (некролог) // УМН. 1976. 31:1(187). С. 217-228.

5 февраля — 220 лет со дня рождения французского математика, члена Французской АН (1840) Жана-Мари Дюамеля (Jean-Marie Constant Duhamel, ум. 29.04.1872). Занимался анализом бесконечно малых, задачами математической физики (теория смычка), открыл существование обертонов.

МТ: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Duhamel.html

1 По другим источникам — 5 февраля.

5 февраля — 110 лет со дня рождения немецкого математика Вильгельма Магнуса (Wilhelm Magnus, ум. 15.10.1990). С 1948 г. работал в США, в том числе в 1950-1973 гг. в Курантовском институте математических наук в Нью-Йорке. Получил важные результаты по комбинаторной теории групп, по эллиптическим функциям, по неевклидовым мозаикам. Автор 9 монографий. Под его руководством защищены более 70 диссертаций.

МТ: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Magnus.html

7 февраля — 140 лет со дня рождения английского математика, члена Лондонского королевского общества (1910) Годфри Харольда Харди (Godfrey Harold Hardy, ум. 01.12.1947). Известен своими работами по теории чисел и математическому анализу. Одним из своих самых больших открытий Харди называл открытие индийского математика Рамануджана, с которым впоследствии он написал много работ. На русский язык переведено эссе Харди «Апология математика».

МТ: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Hardy.html

7 февраля — 120 лет назад родился английский математик и криптоаналитик, член Лондонского королевского общества (1939) и президент Лондонского математического общества в 1949-1951 гг. Максвелл Ньюман (Maxwell Herman Alexander Newman, ум. 22.02.1984). Решил для специального случая 5-ю проблему Гильберта, один из создателей алгебраической топологии. Оказал значительное влияние на карьеру Алана Тьюринга. Руководил группой дешифровщиков, создававших программу для первого полностью электронного компьютера «Colossus».

1) Одинец В. П. Зарисовки по истории компьютерных наук. — Сыктывкар, 2013. 420 с.

2) МТ: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Newman.html

9 февраля — 110 лет назад родился выдающийся геометр XX века, канадский математик британского происхождения Гарольд Коксетер (Harold Scott MacDonald Coxeter, ум. 31.03.2003). Автор 12 монографий, три из которых переведены на русский язык.

МТ: http://www-history.mes.st-and.ас.uk/Biographies/Coxeter.html

9 февраля — 90 лет со дня рождения японского математика Масаёси Нагата (äcffl ЯВИ, ум. 27.08.2008), крупного специалиста по коммутативной алгебре и алгебраической геометрии. В 1958 г. решил 14-ю проблему Гильберта, построив контрпример к её утверждению.

МТ: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Nagata.html

10 февраля — 270 лет назад родился японский математик Айда Ясуаки (z* Ш И; Айда — фамилия, Ясуаки — личное имя; другой вариант личного имени — Аммэй), представитель национального японского независимого направления математики васан, успешно развивавшегося в период Эдо (1603-1867), когда Япония была изолирована от европейского

влияния. Айда является автором восьми книг и 2000 рукописей, он внёс заметный вклад в теорию чисел и геометрию, способствовал развитию методов упрощения непрерывных дробей.

МТ: http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Aida.html

11 февраля — 360 лет назад родился французский писатель, учёный и популяризатор науки, член Французской академии (1691) и её непременный секретарь в 1699-1741 гг. Бернар де Фонтенелъ (Bernard le Bovier de Fontenelle, ум. 09.01.1757). Из математических трудов Фонтенеля отметим «Eléments de la géométrie de l'infini» (Париж, 1727).

Момджян Х. Н. У истоков французского Просвещения XVIII века — Предисловие к книге: Фонтенель Б. Рассуждения о религии, природе и разуме. — М.: Мысль. 1979. 304 с.

11 февраля — 120 лет со дня рождения выдающегося американского математика и логика Эмиля Поста (Emil Leon Post, ум. 21.04.1954), одного из основателей многозначной логики, автора первого примера (1947) «внутриматематической» неразрешимой проблемы (проблемы А. Туэ равенства для полугрупп). Имя Поста увековечено в терминах «алгебра Поста», «классы Поста», «машина Поста» и др.

1) Одинец В. 77. Зарисовки по истории компьютерных наук. — Сыктывкар, 2013. 420 с.

2) МТ: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Post.html

11 февраля — 100 лет со дня рождения польского математика Андснсея Алексиевича (Andrzej Tadeusz Alexiewicz, ум. 11.07.1995). Главной областью его научных интересов был функциональный анализ.

МТ: http://www-history.mes.st-and.ас.uk/Biographies/Alexiewicz.html

11 февраля — 90 лет со дня рождения румынского математика Димитра Станку (Dimitrie D. Stancu, ум. 17.04.2014). Основные труды относятся к теории приближений и численному анализу.

МТ: http://www-history.mes.st-and.ас.uk/Biographies/St ancu.html

14 февраля — 140 лет со дня рождения немецкого математика Эдмунда Ландау (Edmund Georg Hermann Landau, ум. 19.02.1938). Основные результаты по аналитической теории чисел, комплексному анализу, основаниям математики. На русский язык переведены его книги «Основы анализа» (М.: ИЛ, 1947) и «Введение в дифференциальное и интегральное исчисление» (2-е изд. — М.: КомКнига, 2005). Э.Ландау был избран иностранным членом-корреспондентом Российской академии наук (1924) и иностранным почётным членом АН СССР (1932).

Беркович Е.М. Символы Ландау. — Интернет-ресурс: http://booknik.ru/today/all/simvoly-landau/

16 февраля — 125 лет со дня рождения известного математика-методиста, члена-корреспондента АПН РСФСР (1950) Павла Афанасьевича Ларичева (ум. 12.03.1963), автора знаменитого «Сборника задач по алгебре» для средней школы (первая часть впервые опубликована в 1948 г., вторая - в 1949).

Андронов И. К. Ларичев Павел Афанасьевич (1892-1963) — в кн. Полвека развития математического образования в СССР. — М.: Просвещение, 1967. С.156-159.

16 февраля — 80 лет со дня рождения члена-корреспондента РАН (1991) лауреата Ленинской премии (1967) Юрия Ивановича Манина. Основная область научных интересов — алгебраическая геометрия. Кроме этого, им получены важные результаты по дифференциальным уравнениям, теории кодов, теории чисел, математической физике, суперсимметрии, квантовым группам, квантовым вычислениям. В 1993-2005 гг. Ю. И. Манин был содиректором Института Макса Планка (Бонн).

Дринфельд В. Г., Псковских В. А., Кострикин А. И., Тюрин А.Н., Шафаревич И. Р. Юрий Иванович Манин (к шестидесятилетию со дня рождения) // УМН. 1997. 52:4(316). С. 233-242.

Март (точная дата неизвестна) — 375 лет назад родился японский математик периода Эдо (1603-1867) Такакадзу Сэки (известен также как Кова Сэки) (цд ф^р, Takakazu Shinsuke Seki, ум. 05.12.1708), основатель японской математической школы. Получил многие результаты независимо и раньше, чем в Европе, в частности, ввёл детерминант и результант, числа Бернулли, версию интерполяционной формулы Ньютона.

МТ: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Seki.html

1 марта — 420 лет назад родился Жан Шарль де ла Файль (Jean Charles de La Faille, ум. 04.11.1597), голландский монах-иезуит, географ и математик, ученик Григория из Сен-Винцента. В работе «О центрах тяжести частей круга и эллипса» (1632) впервые нашёл центр тяжести сектора круга.

МТ: http://www-history.mes.st-and.ас.uk/Biographies/La_Faille.html

3 марта — 180 лет со дня рождения русского математика Александра Николаевича Коркина (ум. 01.09.1908). Основные результаты в области дифференциальных уравнений с частными производными. Выдающийся педагог, к числу учеников которого относили себя А. Н. Крылов, Д. А. Граве, И. И. Иванов, H. М. Гюнтер.

Ожигова Е. П. Александр Николаевич Коркин. 1837-1908. — СПб.: Наука, 1968. 148 с.

5 марта — 130 лет со дня рождения немецкого математика Отто Хаупта (Otto Haupt, ум. 10.11.1988), специалиста в области геометрии и вещественного анализа.

МТ: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Haupt.html

5 марта — 100 лет со дня рождения венгерского математика Иштвана

Фенье (Istvân Fenyö, ум. 28.07.1987), специалиста по функциональному анализу и автора учебников математики для химиков и инженеров.

МТ: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Fenyo.html

6 марта — 170 лет со дня рождения итальянского математика Чезаре Алрцела (Cesare Arzelà, ум. 15.03.1912). Основные результаты относятся к алгебре, теории функций, математической физике.

МТ: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Arzela.html

13 марта — 175 лет назад родился член Французской АН Жозеф Валантен Буссинеск (Joseph Valentin Boussinesq, ум. 19.02.1929). Основные работы относятся к гидродинамике, термодинамике, оптике, теории упругости.

МТ: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Boussinesq.html

13 марта — 100 лет назад родился канадский и американский математик Ирвинг Капланский (Irving Kaplansky, ум. 25.06.2006), президент Американского математического общества в 1985-1986 гг. Основные труды относятся к разным разделам алгебры.

МТ: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Kaplansky.html

14 марта — 120 лет со дня рождения Клавдии Яковлевны Латышевой (ум. 11.05.1956), первой женщины Украины, ставшей доктором физико-математических наук. Специалист по аналитической теории дифференциальных уравнений.

Интернет-ресурс: http://ru.convdocs.org/docs/index-69614.html

14 марта — 100 лет со дня рождения члена-корреспондента АН СССР (1970), лауреата Государственной премии (1989, посмертно) Алексея Фёдоровича Леонтьева (ум. 14.04.1987). Основные научные интересы — функции комплексной переменной, последовательности полиномов из экспонент, аппроксимация решений уравнений свёртки, теория уравнений бесконечного порядка. Создатель уфимской научной школы по теории функций комплексной переменной.

Витушкин А. Г., Владимиров В.С., Гончар А.А., Напалков В. В., Никольский С. М., Седлецкий А.М., Ульянов П. Л., Фролов Ю. Н. Алексей Федорович Леонтьев (некролог) // УМН. 1987. 42:5(257). С. 177-182.

21 марта — 110 лет со дня рождения советского математика Елены Сергеевны Вентцель (ум. 15.04.2002), крупного специалиста по теории вероятностей, автора известных учебников и задачников по теории вероятностей, исследованию операций, теории игр, а также рассказов, повестей и романов, опубликованных под псевдонимом «И. Грекова».

1) Е. С. Вентцель-И. Грекова. К столетию со дня рождения / сост. Р. П. Вентцель, Г. Л. Эпштейн. — М.: Юность, 2007. 240 с.

2) Зверкина Г. А., Эпштейн Г. Л. Елена Сергеевна Вентцель // Математика в высшем образовании. 2008. №6. С. 123-142.

23 марта — 110 лет назад родился Хасслер Уитни (Hassler Whitney, ум.

10.05.1989), известный американский тополог, один из основателей теории особенностей.

МТ: http://www-history.mes.st-and.ас.uk/Biographies/Whitney.html

24 марта — 125 лет назад родился американский математик Марстон Морс (Harold Calvin Marston Morse, ум. 22.06.1977). Получил выдающиеся результаты в анализе, вариационном исчислении и дифференциальной топологии. Его имя вошло в математическую терминологию (теория Морса, лемма Морса и др.). Президент Американского математического общества в 1941-1942 гг.

МТ: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Morse.html

27 марта — 160 лет со дня рождения члена Лондонского королевского общества (1896), основателя математической статистики Карла Пирсона (Karl Pearson, ум. 27.04.1936).

МТ: http://www-history.mes.st-and.ас.uk/Biographies/Pearson.html

30 марта — 125 лет со дня рождения выдающегося польского математика Стефана Банаха (ум. 31.08.1945), одного из создателей современного функционального анализа и львовской математической школы. Член-корреспондент Польской АН (1924) и АН УССР (1939), вице-президент (с 1932 г.) и президент (с 1935 г.) Польского математического общества.

1) Стефан Банах (некролог) // УМН. 1946. 1:3-4. С. 13-16.

2) Синкевич Г. И. Георг Кантор & польская школа теории множеств. — СПб.: СПбГАСУ, 2012. 349 с.

31 марта — 100 лет со дня рождения швейцарского математика Бено Экмана (Beno Eckmann, ум. 25.11.2008). Его основные научные интересы относились к теории категорий, гомологической алгебре, теории групп. Секретарь Международного математического союза (1956-1961) и президент Швейцарского математического общества (1961-1962).

МТ: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Eckmann.html

3 апреля — 125 лет со дня рождения немецкого математика Ганса Радемахера (Hans Rademacher, ум. 07.02.1969), с 1934 года работал в Филадельфии (США). Основные результаты относятся к аналитической теории чисел, математической генетике, теории функций, квантовой теории. На русский язык переведена книга: Ганс Радемахер, Отто Тёплиц. Числа и фигуры. Опыты математического мышления. — ЛКИ, 2007. 266 с.

МТ: http://www-history.mes.st-and.ас.uk/Biographies/Rademacher.html

3 апреля — 110 лет со дня рождения выдающегося советского математика Марка Григорьевича Крейна (ум. 17.10.1989). Автор более 250 работ (в том числе 7 монографий) по различным разделам алгебры, анализа, теории функций, функциональному анализу, теории интегральных

и дифференциальных уравнений, математической физике и аналитической механике.

1) Кусьмирская Г., Фишман И. Математик Крейн Марк Григорьевич: к столетию со дня рождения. — Интернет-ресурс:

http: //berkovich-zametki.com /2007/Zametki/Nomer11/Fishmanl .htm

2) Рикун И. Э. Крейн Марк Григорьевич (1907-1989). — Интернет-ресурс: http: / / odessa-memory, info / index.php?id=94

4 апреля — 175 лет назад родился французский математик Франсуа Люка (François Edouard Anatole Lucas, ум. 03.10.1891). Известен своими результатами по теории чисел: критерий определения простоты числа Мерсенна (тест Люка - Лемера), формулы для чисел Фибоначчи и чисел Люка. Изобрёл головоломку «Ханойская башня».

МТ: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Lucas.html

7 апреля — 160 лет со дня рождения английского математика-самоучки Генри Дьюдени (Henry Ernest Dudeney, ум. 24.04.1930), прославившегося своими головоломками. Сборники его головоломок переведены на русский язык и периодически переиздаются.

1) Зеленский А. С. Классики мира головоломок: Генри Эрнест Дьюдени // Математика для школьников. 2013. №2. С. 56-60.

2) МТ: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Dudeney.html

7 апреля — 140 лет назад родился крупный немецкий специалист по арабской астрономии и математике Карл Шой (Carl Schoy, ум. 06.12.1925).

МТ: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Schoy.html

12 апреля — 170 лет назад родился русский математик Егор Иванович Золотарёв (ум. 19.07.1878). Основные результаты по теории комплексных чисел, по интегральному исчислению, известен также как автор простого доказательства закона взаимности.

1) Ожигова Е.П. Егор Иванович Золотарёв, 1847-1878. — Л.: Наука, 1966. 144 с.

2) Кузьмин Р. О. Е.И.Золотарёв // УМН. 1947. 2:6. С. 21-51.

14 апреля — 110 лет со дня рождения советского математика, академика АН Белорусской ССР, Героя Социалистического Труда (1969) Николая Павловича Еругина (ум. 12.02.1994), специалиста по теории дифференциальных уравнений. В 1953-1957 гг. директор Ленинградского отделения Математического института имени В. А. Стеклова АН СССР; организатор и первый директор Института математики АН Белорусской ССР; с 1965 г. — редактор журнала «Дифференциальные уравнения».

Интернет-ресурс: http://csl.bas-net.by/anewsl.asp?id=25627

14 апреля — 100 лет со дня рождения канадского математика Натана Мендельсона (Nathan Saul Mendelsohn, ум. 19.07.1878), специалиста по комбинаторной теории групп.

МТ: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Mendelsohn.html

15 апреля — 310 лет со дня рождения Леонарда Эйлера (Leonhard Euler, ум. 18.09.1783), швейцарско-немецко-российского математика, внёсшего выдающийся вклад в развитие почти всех математических дисциплин и ряда других наук.

1) Юшкевич А. П. Леонард Эйлер. Жизнь и творчество // Развитие идей Леонарда Эйлера и современная наука. Сб. статей. — М.: Наука, 1988. С. 15-47.

2) Тиле Р. Леонард Эйлер. — Вища Школа, 1983. 192 с.

3) Емельянова И. С. Читайте, читайте Эйлера // Математика в высшем образовании. 2008. №5. С. 113-120.

18 апреля — 140 лет со дня рождения русского и советского математика и педагога Надежды Николаевны Гернет (ум. в 1943 г. в блокадном Ленинграде), одна из первых в России женщин-математиков с учёной степенью доктора наук. Занималась задачами вариационного исчисления.

Интернет-ресурс: http://www.math.ru/history/people/gernet_NN

18 апреля — 125 лет со дня рождения члена-корреспондента АН СССР (1953) Дмитрия Евгеньевича Меньшова (ум. 25.11.1988). Автор фундаментальных результатов по тригонометрическим рядам и по теории функций комплексной переменной. Лауреат Сталинской премии (1950).

1) Виноградова И. А., Владимиров В.С, Гончар А.А., Долженко Е.П., Козлов В. Я., Никольский С. М., Ульянов П. Л. Дмитрий Евгеньевич Меньшов (некролог) // УМН. 1989. 44:5 (269). С. 149-151.

2) Долженко Е. П., Ульянов П. Л. Дмитрий Евгеньевич Меньшов (к 100-летию со дня рождения) // УМН. 1992. 47:5 (287). С. 5-14.

18 апреля — 110 лет со дня рождения Ларса Альфорса (Lars Valerian Ahlfors, ум. 11.10.1996), финский и американский математик, один из первых двух математиков, награждённых Филдсовской премией (1936), лауреат премии Вольфа (1981). Основные результаты относятся к теории римановых поверхностей, комплексному анализу, квазиконформным отображениям.

МТ: http://www-history.mes.st-and.ас.uk/Biographies/Ahlfors.html

22 апреля — 425 лет со дня рождения Вильгельма Шиккарда (Wilhelm Schickard, ум. 24.10.1635), немецкого астронома, математика и востоковеда, создателя первого арифмометра.

1) Гутер Р. С, Полунов Ю. Л. От абака до компьютера. Изд. 2-е, испр. и доп. — М.: Знание, 1981. 208 с.

2) Частиков А. П. Архитекторы компьютерного мира. — СПб.: БХВ-Петербург, 2002. 383 с.

22 апреля — 130 лет со дня рождения Харальда Бора (Harald August Bohr, ум. 22.01.1951), датского математика (а также футболиста, серебряного призера Олимпийских игр 1908 года). Научные работы относятся в основном к теории функций.

МТ: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Bohr_ Harald.html

23 апреля — 110 лет со дня рождения советского математика и механика Ильи Несторовича Векуа (ум. 02.12.1977), вице-президента (1964-1965) и президента (1972-1977) АН Грузинской ССР. Основные труды в области математики относятся к различным направлениям математической физики.

Александров П. С, Бицадзе А. В., Вишик М. И. , Олейник О. А. Илья Несторович Векуа (к семидесятилетию со дня рождения) // УМН, 1977. 32:2. С. 3-21.

27 апреля — 180 лет назад родился немецкий математик Пауль Альберт Гордан (Paul Albert Gordan, ум. 21.12.1912), который известен как «король теории инвариантов». В частности, он доказал, что кольцо инвариантов бинарных форм конечной степени является конечно порождённым.

МТ: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Gordan.html

27 апреля — 90 лет назад начал свою работу Всероссийский съезд математиков. Этот съезд проходил в Москве под председательством Д. Ф. Егорова и послужил толчком к дальнейшему формированию математического сообщества в СССР.

Труды Всероссийского съезда математиков в Москве (27 апреля - 4 мая 1927 г.). - М.-Л.: Госиздат, 1928. 280 с.

28 апреля — 80 лет назад родился английский математик и историк математики Давид Фаулер (David Herbert Fowler, ум. 13.04.2004). В области математики его интересы принадлежали математическому анализу. Специалист по истории ранней греческой математики, где выдвинул нестандартную реконструкцию открытия несоизмеримости.

МТ: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Fowler_David.html

30 апреля — 240 лет со дня рождения «короля математиков» Карла Фридриха Гаусса (Johann Carl Friedrich Gauss, ум. 23.02.1855). С его именем связаны фундаментальные исследования почти во всех основных областях математики. Иностранный член Шведской (1821) и Российской (1824) Академий наук, Лондонского королевского общества.

1) Бюлер В. Гаусс. Биографическое исследование. — М.: Наука, 1989. 208 с.

2) Гиндикин С. Г. Рассказы о физиках и математиках. 3-е изд. — М.: МЦНМО, 2001. 448 с.

Май — 325 лет назад родился член Лондонского королевского общества (1726) и Берлинской АН (1746), шотландский математик Джеймс Стирлинг (James Stirling, ум. 05.12.1770). Обнаружил четыре типа, пропущенных Ньютоном в классификации кривых степени 3. В книге «Дифференциальные методы» (1730) изучал ряды, квадратуры, гамма-функцию, интерполирование, асимптотические представления (в том числе формулу Стирлинга).

МТ: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Stirling.html

2 мая — 150 лет со дня рождения русского и советского математика Бориса Михайловича Кояловича (ум. 29.12.1941). Докторская диссертация «Об одном уравнении с частными производными четвёртого порядка» (1902), с 1903 г. — профессор, преподавал различные математические дисциплины в нескольких вузах Санкт-Петербурга. Известный шахматист.

1) Михельсон Н. Н. Борис Михайлович Коялович Историко-математические исследования, 1973. Вып. 18. С. 310-321.

2) Гродзенский С. Я. Шахматы в жизни учёных. — М.: Наука, 1983. 173 с.

3 мая — 175 лет со дня рождения австрийского математика Отто Штольца (Otto Stolz, ум. 25.10.1905). Основные результаты относятся к математическому анализу.

МТ: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Stolz.html

5 мая — 120 лет со дня рождения итальянского математика, члена Национальной академии деи Линчеи (1962) Франческо Трикоми (Francesco Giacomo Tricomi, ум. 21.11.1978). Автор многих важных результатов по теории дифференциальных и интегральных уравнений, теории функций, теории вероятностей и её приложениям.

Фикера Г Франческо Джакомо Трикоми (к девяностолетию со дня рождения) // УМН, 1987. 42:3(255). С. 203-211.

6 мая — 225 лет со дня рождения члена-корреспондента Баварской АН (1832), немецкого математика Мартина Ома (Martin Ohm, ум. 01.04.1872). Основные исследования относятся к теории чисел и геометрии. В труде «Опыт логического изложения математики» заложил основы формализованной алгебры, сформулировал принцип расширения числовой области. В 1835 ввёл термин «золотое сечение».

МТ: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Ohm_Martin.html

6 мая — 75 лет назад родился французский математик Тьерри Обен (Thierry Emilien Flavien Aubin, ум. 21.03.2009), специалист по дифференциальной геометрии и нелинейным уравнениям с частными производными. Доказал (1976) гипотезу Калаби о кэлеровых многообразиях.

МТ: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Aubin.html

9 мая — 140 лет со дня рождения известного советского статистика Бориса Сергеевича Ястремского (ум. 28.11.1962), сыгравшего большую роль в развитии математической статистики. В частности, он предложил носящий его имя способ сглаживания динамических рядов скользящими отрезками парабол.

1) Боярский А., Кильдишев Г. В.С. Ястремский (к 90-летию со дня рождения) // Вестник статистики. 1967. №5. С. 35-40.

2) 130 лет со дня рождения Бориса Сергеевича Ястремского. — Интернет-ресурс: http://demoscope.ru/weekly/2007/0289/nauka01.php

10 мая — 170 лет назад родился немецкий математик, лауреат Международной премии имени Лобачевского (1900) Вильгельм Киллинг (Wilhelm Karl Joseph Killing, ум. 11.02.1923), внёсший важный вклад в дифференциальную геометрию, теории алгебр Ли, групп Ли и неевклидову геометрию.

Стюарт Иэн. Истина и красота. Всемирная история симметрии. — М.: Астрель, Корпус, 2010. 461 с.

11 мая — 130 лет назад родился американский математик, член Национальной АН США (1933) Гриффит Конрад Ивенс (в другой транскрипции — Эванс: Griffith Conrad Evans, ум. 08.12.1973). Исследования относятся к интегральным и функциональным уравнениям, гармоническим функциям, теории потенциала. Совместно с учениками развил теорию динамической экономики, используя в экономических исследованиях производные по времени и функционалы.

МТ: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Evans.html

12 мая — 160 лет со дня рождения немецкого математика Оскара Больцы (Oskar Bolza, ум. 05.07.1942). Его именем («задача Больца», 1913) названа одна из основных задач вариационного исчисления.

МТ: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Bolza.html

14 мая — 100 лет назад родился член Лондонского королевского общества (1987) Вильям Tamm (William Thomas Tutte, ум. 02.05.2002). Химик по образованию и по первым работам, он был выдающимся криптоаналитиком — в начале Второй мировой войны он взломал крайне сложный шифр «Lorenz SZ», которым шифровались, в частности, послания Гитлера. Для расшифровки сообщений было построено первое полностью электронное вычислительное устройство « Colossus ». В послевоенные годы Татт получил фундаментальные результаты в теории графов. В 1948-1996 гг. и после 2000 г. жил в Канаде. На русском языке издана книга: У. Tamm. Теория графов. — М.: Мир, 1988. 428 с.

МТ: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Tutte.html

17 мая — 90 лет со дня рождения советского и российского математика Семёна Яковлевича Хавинсона (ум. 30.01.2003). Основной круг математических интересов — аналитические функции; теория потенциала; ёмкости; экстремальные задачи; аппроксимация функций нескольких переменных.

1) Хавинсон Семен Яковлевич. Из серии «Наши юбиляры». — М.: МГСУ, 2012. 81с.

2) Витушкин А. Г., Гончар А. А., Самохин М. В., Ульянов П. Л. Семен Яковлевич Хавинсон (к семидесятилетию со дня рождения) // УМН. 1997. 52:3(315). С. 187-188.

3) Витушкин А. Г., Гончар А.А., Самохин М.В., Тихомиров В.М., Ульянов П. Л., Хавин В. П, Эйдерман В. Я. Семен Яковлевич Хавинсон (некролог) // УМН. 2004. 59:4(358). С. 186-192.

19 мая — 90 лет со дня рождения американского математика, члена группы «Николя Бурбаки» Сержа Ленга (Serge Lang, ум. 12.09.2005). Основные результаты относятся к алгебре, теории чисел и алгебраической геометрии. На русский язык переведены 8 монографий Ленга.

МТ: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Lang.html

21 мая — 225 лет со дня рождения французского математика, механика и инженера, члена Французской АН (1836) Гаспара-Гюстава де Кориолиса (Gaspard-Gustave de Coriolis, ум. 19.09.1843). Первым сформулировал понятие «механическая работа» в его современном понимании, переопределил введённое Лейбницем понятие «живая сила» (в современной терминологии — кинетическая энергия), добавив множитель 1/2. В 1835 году ввёл в рассмотрение силы, названные позже силами Кориолиса.

1) Погребысский И. Б. От Лагранжа к Эйнштейну. Классическая механика XIX века. — М.: Наука, 1966. 327 с.

2) Фрейман Л. С. К истории доказательства теоремы Кориолиса // Труды института истории естествознания и техники. — М.: АН СССР, 1956. Т. 10. С.213-244.

21 мая — 130 лет со дня рождения норвежского математика Туральфа Альберта Скулема (Thoralf Albert Skolem, ум. 23.03.1963), автора выдающихся результатов в области оснований математики и математической логики (теорема Лёвенгейма-Скулема, парадокс Скулема и др.), а также по общей алгебре и теории чисел.

МТ: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Skolem.html

23 мая — 100 лет назад родился американский математик и метеоролог, член Национальной АН США (1975) и иностранный член АН СССР (1988) Эдвард Нортон Лоренц (Edward Norton Lorenz, ум. 16.04.2008), один из основоположников теории динамического хаоса, открывший аттрактор Лоренца и автор метафоры «эффект бабочки ». В 2004 г. Эдвард Лоренц был награждён Большой золотой медалью им. М. В. Ломоносова.

МТ: http://www-history.mes.st-and.ас.uk/Biographies/Lorenz_Edward.html

26 мая — 350 лет назад родился английский математик французского происхождения, член Лондонского королевского общества (1697), Парижской (1754) и Берлинской (1735) академий наук Абрахам де Муавр (Abraham de Moivre, ум. 27.10.1764), который внёс большой вклад в теорию комплексных чисел (формулы Муавра), в комбинаторику и в теорию вероятностей.

МТ: http://www-history.mes.st-and.ас.uk/Biographies/De_Moivre.html

27 мая — 120 лет со дня рождения Абрама Мироновича Лопшица (ум. 22.05.1984), советского математика научные интересы которого относятся к векторному и прикладному анализу, дифференциальной геометрии, методике преподавания.

1) Секацкий В. В., Коршунова Н. И. К 100-летию со дня рождения Абрама Мироновича Лопшица // Ярославский педагогический вестник. 1997. №2. С.105-106.

2) Рыбакова Т. Л. А. М. Лопшиц (воспоминание об учителе) // Ярославский педагогический вестник. 1997. №2. С. 107-108.

3) Баренблатт Г. И., Бескин Н. М., Скопец 3. А., Яглом И. М., Ястребов А. В. Абрам Миронович Лопшищ (некролог) // Математика в школе. 1984. №5. С. 80.

27 мая — 110 лет со дня рождения известного немецкого тополога Герберта Зейферта (Herbert Karl Johannes Seifert, ум. 01.10.1996). Его именем назван ряд математических объектов (расслоения Зейферта, поверхности Зейферта, матрица Зейферта), на русский язык переведены написанные им совместно с В. Трельфаллем классические книги «Топология» и «Вариационное исчисление в целом».

МТ: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Seifert.html

30 мая — 90 лет со дня рождения Джоан Бирман (Joan Sylvia Lyttle Birman), американского математика, крупного специалиста по теории узлов и по теории кос. В 2015 году избрана почётным членом Лондонского математического общества.

1) МТ: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Birman.html

2) Батлер-Боудон Т. Стать успешным никогда не поздно. — Из-во Попурри, 2013. 272 с.

6 июня — 160 лет со дня рождения выдающегося русского математика Александра Михайловича Ляпунова (ум. 03.12.1918), академика Петербургской АН (1901) и Национальной академии деи Линчеи в Риме (1908), члена-корреспондента Французской АН. Важнейшее достижение Ляпунова — создание теории устойчивости равновесия и движения механических систем.

1) Ишлинский А. Ю. Выдающийся математик и механик Александр Михайлович Ляпунов — С. 509-522 в кн.: Ишлинский А. Ю. Механика: идеи, задачи, приложения. — М.: Наука, 1985.

2) Шибанов А. С. Александр Михайлович Ляпунов. — М.: Молодая гвардия (ЖЗЛ), 1985. 336 с.

3) Цыкало А. Л. Александр Михайлович Ляпунов. 1857-1918. — М.: Наука, 1988. 245 с.

8 июня — 380 лет назад вышел из печати трактат Р.Декарта «Рассуждение о методе» с приложениями «Диоптрика», «Метеоры» и «Геометрия». «“Геометрия” знаменитого французского философа Декарта, изданная в 1637г., несомненно, явилась в истории новой математики поворотным пунктом» (А.П.Юшкевич, см. 1), с. 257).

1) Декарт Ренэ. Геометрия. С приложением избранных работ П. Ферма и переписки Декарта / Перевод, примечания и статья А.П.Юшкевича. — М.-Л.: ГОНТИ, 1938. 296 с. (Новое издание: М.: Либроком, 2010.)

2) Матвиевская Г. П. Рене Декарт. — М.: Наука, 1976. 271с.

10 июня — 130 лет со дня рождения академика Владимира Ивановича Смирнова (ум. 11.02.1974). Основные результаты относятся к теории функций комплексной переменной, исследованию фуксовых групп и фуксовых функций, исследованию полноты системы многочленов, ортогональных на спрямляемом замкнутом контуре. Автор пятитомного «Курса высшей математики» (1924-1947).

1) Владимир Иванович Смирнов (1887-1974) / Ладыженская О. А. (отв. ред.) — М.: Наука, 2006. 328 с. (Научно-биографическая литература).

2) Матвиевская Г. П., Ожигова Е. П. Владимир Иванович Смирнов (1887-1974). - СПб.: Наука, 1994. 287 с.

11 июня — 80 лет со дня рождения американского математика Дэвида Мамфорда (David Bryant Mumford), одного из крупнейших специалистов по алгебраической геометрии, лауреата Филдсовской премии (1974), а также премий Шао (2006) и Вольфа (2008). В 1995-1998 гг. Мамфорд был президентом Международного математического союза, некоторые его книги переведены на русский язык.

МТ: http://www-history.mes.st-and.ас.uk/Biographies/Mumford.html

12 июня — 440 лет назад родился швейцарский математик и астроном Пауль Гульдин (Paul Guldin, ум. 03.11.1643). В своём четырёхтомном трактате «О центре тяжести» (1635-1641) дал определение центра тяжести и доказательство теорем об объёме и площади поверхности тела вращения {теоремы Паппа-Гульдина).

МТ: http://www-history.mes.st-and.ас.uk/Biographies/Guldin.html

12 июня — 80 лет со дня рождения выдающегося советского и российского математика, академика Владимира Игоревича Арнольда (ум. 03.06.2010). В.И.Арнольд — автор более 400 публикаций, в том числе более 30 книг, по различным областям математики (топология, теория

особенностей, дифференциальные уравнения, вещественная алгебраическая геометрия и др.), по данным портала Math-Net.Ru он самый цитируемый российский математик. Обладатель многочисленных наград, среди которых Ленинская премия (1965, совместно с А.Н.Колмогоровым), премия им. Н. И. Лобачевского РАН (1992), премия Вольфа (2001), Государственная премия России (2007), премия Шао (2008). В 1996-2010 гг. был президентом Московского математического общества.

1) Ландо С. К. Владимир Игоревич Арнольд (к 75-летию со дня рождения) // Математика в высшем образовании. 2012. №10. С. 99-110.

2) Страница памяти В. И. Арнольда на сайте Московского центра непрерывного математического образования: http://www.mccme.ru/arnold/

14 июня — 100 лет назад родился норвежский математик Атле Сельберг (Atle Seiberg, ум. 06.08.2007), получивший важные результаты по аналитической теории чисел и теории автоморфных функций. Член Норвежской АН, Датской королевской АН, лауреат Филдсовской премии (1950), премии Вольфа (1986). С 1947г. работал в Институте перспективных исследований в Принстоне (США).

МТ: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Selberg.html

20 июня — 100 лет назад родилась Хелена Расёва (Helena Rasiowa, ум. 09.08.1994), известный польский специалист в области математической логики и информатики. Её совместная с Р. Сикорским книга «Математика метаматематики» переведена на русский язык.

МТ : http://www-history.mes.st-and.ас.uk/Biographies/Rasiowa.html

22 июня — 180 лет со дня рождения немецкого математика Пауля Бахманна (Paul Gustav Heinrich Bachmann, ум. 31.03.1920). Основные интересы Бахманна относились к теории чисел, по которой он написал несколько книг.

МТ: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Bachmann.html

30 июня — 110 лет назад родился крупный советский алгебраист, член-корреспондент АН СССР (1964) Дмитрий Константинович Фаддеев (ум. 30.10.1989), основатель современной Санкт-Петербургской алгебраической школы.

Востоков С. В., Лурье Б. В., Шафаревич И. Р. К 110-летию со дня рождения члена-корреспондента АН СССР Дмитрия Константиновича Фаддеева // Математика в высшем образовании. 2016. №14. С.ХХ-ХХ.

2 июля — 125 лет назад родился один из создателей современной аналитической теории чисел польский математик Арнольд Зельманович Вальфиш (Arnold Walfisz, ум. 29.05.1962), в октябре 1936 года переселившийся из Польши в Тбилиси, где он до конца своей жизни руководил различными отделами Математического института им. А. М. Размадзе, создав в Грузии школу по теории чисел.

1) Одинец В.П. Арнольд Вальфиш — жизнь вопреки стереотипам (к 125-летию со дня рождения) // Математика в высшем образовании. 2016. № 14.

с.хх-хх.

2) Ломадзе Г. Ф., Чогошвили Г. С. Арнольд Зельманович Вальфиш (некролог) // УМН, 1963. 18:4(112). С. 118-128.

4 июля — 100 лет со дня рождения крупного специалиста по функциональному анализу Михаила Самуиловича Лившица (ум. 30.03.2007). Работал в Одессе, затем (с 1957г.) в Харькове, в Тбилиси (с 1975 г.), с 1978 г. — в Беэр-Шеве (Израиль).

Дубовой В. К., Золотарев В. А., Янцевич А.А., Руткас А. Г. Михаил Самуилович Лившиц (04.07.1917-30.03.2007) // Журн. матем. физ., анал., геом., 2007. 3:4. С. 490-495.

8 июля — 125 лет со дня рождения шведского математика Торстена Карлемана (Tage Gillis Torsten Carleman, ум. 11.01.1949). Член Шведской королевской АН (1926). Основные работы относятся к теории функций (квазианалитические классы, приближение функций, тригонометрические ряды и др.), интегральным уравнениям, спектральной теории.

МТ: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Carleman.html

9 июля — 100 лет назад родился Борис Владимирович Шабат (ум. 23.07.1987), советский математик, специалист по теории функций комплексного переменного и её приложениям.

Витушкин А. Г., Гончар А. А., Зорич В. А., Ульянов П. Л. Борис Владимирович Шабат (к семидесятилетию со дня рождения) // УМН, 1987. 42:4(256). С.217-218.

12 июля — 80 лет со дня рождения советского и американского математика Семёна Григорьевича Гиндикина. Опубликовал около 300 научных статей, 16 книг. В широкий круг его математических интересов входит популяризация науки — он опубликовал более 50 научно-популярных статей. Лауреат Государственной премии РФ (1998).

Интервью с Гиндикиным — Ithaca, March 31, 2010 (англ.) — Интернет-ресурс: http: / / dynkincollection.library.cornell.edu / sites / default / files / Gindikin3-SG-Aug%208.pdf

12 июля — 80 лет со дня рождения американского специалиста по теории чисел Дэвида Хайеса (David Ryan Hayes, ум. 10.04.2011).

МТ: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Hayes_David.html

15 июля — 100 лет назад родился Селим Григорьевич Крейн (ум. 16.08.1999), советский математик, один из создателей воронежской школы функционального анализа.

С. Г. Крейн (в воспоминаниях учеников и коллег). — Воронеж: Воронежский гос. университет, 2008. 154 с.

19 июля — 200 лет назад родился французский математик Шарль Брио (Charles Auguste Albert Briot, ум. 20.09.1882). Работы по математической теории света, теории тепла, алгебре, геометрии, теории особых точек алгебраических кривых, теории дифференциальных уравнений. Много работ по теории функций выполнил в соавторстве с Ж. К. Буке. В частности, они ввели термины «голоморфный» и «мероморфный».

МТ: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Briot.html

20 июля — 120 лет со дня рождения советского математика Бориса Михайловича Гагаева (ум. 01.08.1975), специалиста по дифференциальным уравнениям, теории функций вещественной переменной, истории математики.

1) Лаптев Б. Л., Норден А. П., Габдулхаев Б. Г. Памяти Бориса Михайловича Гагаева // Известия вузов. Математика. 1975. №10. С. 100-101.

2) Шерстнев А. Н. Борис Михайлович Гагаев, 1897-1975. — Казань: Изд-во Казанского ун-та, 2002. 19 с.

24 июля — 125 лет со дня рождения советского математика-методиста и историка математики Бориса Владимировича Болгарского (ум. 03.04.1980).

Закиров В. 3., КолягинЮ. М., Круглов Г. И., Махмутов М. И., Федотов И. К., Черкасов Р. С, Юльметьев Р. М. Борис Владимирович Болгарский (некролог) // Математика в школе. 1980. №4. С. 77.

26 июля — 80 лет назад родился известный отечественный математик Эрнест Борисович Винберг, специалист по группам и алгебрам Ли, теории однородных пространств, симплектической геометрии и другим областям математики. Основоположник систематического изучения групп, порождённых отражениями.

Алексеевский Д. В., Бугаенко В. О., Ольшанский Г. И., Попов В. Л., Шварцман О. В. Эрнест Борисович Винберг (к шестидесятилетию со дня рождения) // УМН. 1997. 52:6(318). С. 193-200.

27 июля — 350 лет со дня рождения швейцарского математика (а также механика, врача и филолога) Иоганна Бернулли (Johann Bernoulli, ум. 01.01.1748), самого знаменитого представителя семейства учёных Бернулли, иностранного члена Французской (1699), Берлинской (1701), Петербургской (1725) АН и Лондонского королевского общества (1712). Один из первых разработчиков математического анализа.

1) Никифоровский В. А. Великие математики Бернулли. — М.: Наука, 1984. 177 с.

2) Виппер Ю. Ф. Семейство математиков Бернулли. — М., Изд.-во Московского университета, 1875. 24 с.

27 июля — 150 лет назад родился американский математик Деррик Лемер (Derrick Norman Lehmer, ум. 08.09.1938), специалист по теории чисел. Разработал ряд механических и электромеханических вычислительных устройств.

МТ : http://www-history.mes.st-and.ас.uk/Biographies/Lehmer_Derrick_N.html

27 июля — 110 лет со дня рождения советского геометра Петра Константиновича Рашевского (ум. 12.06.1983). Полученные им результаты относятся к римановой геометрии, тензорному анализу, пространствам аффинной связности, проективной геометрии, теории однородных пространств, теории представлений групп Ли и алгебр Ли, к математической физике. Ввёл в рассмотрение полиметрическую геометрию (геометрию с более чем одним расстоянием между точками).

Новиков С.П., Фоменко А. Т. Петр Константинович Рашевский (к семидесятилетию со дня рождения). // УМН. 1977. 32:5(197). С. 205-209.

31 июля — 240 лет со дня рождения шотландского математика Уильяма Спенса (William Spence, ум. 22.05.1815). В 1809 г. опубликовал таблицу обратных значений тангенса с 9 знаками после запятой, одним из первых изучал специальную функцию дилогарифм. Занимался задачей разрешимости в радикалах алгебраических уравнений.

МТ: http://www-history.mes.st-and.ас.uk/Biographies/Spence.html

31 июля — 90 лет со дня рождения члена Американской академии наук и искусств (1959) и Национальной АН (1973), американского математика Феликса Браудера (Felix Earl Browder). Известен своими результатами по нелинейному функциональному анализу. Президент Американского математического общества в 1999-2000 гг.

МТ: http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Browder_Felix.html

1 августа — 80 лет со дня рождения английского и американского математика Барри Джонсона (Barry Edward Johnson, ум. 05.05.2002). Известен своими работами по банаховым алгебрам, операторным алгебрам и др. Президент Лондонского математического общества в 1980-1982 гг.

МТ : http://www-history.mes.st-and.ас.uk/Biographies/Johnson_Barry.html

11 августа2— 175 лет со дня рождения основателя итальянской алгебро-геометрической школы Энрико Д'Овидио (Enrico D'Ovidio, ум. 21.03.1933). Среди его учеников были Джузеппе Пеано, Коррадо Сегре, Гвидо Кастельнуово, Беппо Леви, Джино Лориа и другие итальянские математики.

МТ: http://www-history.mes.st-and.ас.uk/Biographies/D ' О vidio.html

2 В некоторых источниках указаны другие даты того же года.

12 августа — 125 лет со дня рождения отечественного математика и педагога Василия Андреевича Яблокова (ум. в 1975 г.). Круг его научных интересов составляли проективная и дифференциальная геометрии, дифференциальные уравнения (обыкновенные и в частных производных 1-го порядка), вариационное исчисление.

Василий Андреевич Яблоков (к 70-летию со дня рождения) // Изв. вузов. Матем. 1962. №4. С. 173-174.

13 августа — 130 лет назад родился польский математик, один из основателей Польского математического общества (1919) Отто Никодим (Otton Marcin Nikodym, ум. 04.05.1974). С 1948 г. жил в США. Получил важные результаты в теории меры и функциональном анализе (теорема Радона-Никодима, 1930), математических основах квантовой механики.

МТ: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Nikodym.html

14 августа — 280 лет назад родился английский математик Чарльз Хаттон (Charles Hutton, ум. 27.01.1823), автор ряда учебников и монографий. В 1774 г. изобрёл изогипсы (линии равных высот на географических картах) и дал оценку массы Земли (5 • 1021 тонн).

МТ: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Hutton.html

14 августа3— 175 лет назад родился французский математик Жан Гастон Дарбу (Jean Gaston Darboux, ум. 23.02.1917), член Французской АН (1884) и её секретарь (1890), иностранный член-корреспондент Петербургской АН (1895). Автор важных результатов в математическом анализе, теории аналитических функций, дифференциальной геометрии. Был биографом Анри Пуанкаре.

МТ: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Darboux.html

16 августа — 180 лет со дня рождения бельгийского математика Джозефа де Тилли (Joseph Marie de Tilly, ум. 04.08.1906). Де Тилли был профессиональным военным, по этой причине примерно до 1870 г. занимался математикой в изоляции от коллег. В 1860 г. он, ничего не зная о результатах Лобачевского, в работе «Исследования по основаниям геометрии» получил близкие результаты. В более поздних работах 1878 и 1892 гг. он изложил аксиоматическое построении римановой, евклидовой и гиперболической геометрий на основе разных понятий расстояния. Член (1878) и президент (1887) Королевской бельгийской академии.

1) МТ: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Tilly.html

2) Пападопулос А. О гиперболической геометрии и истории её признания // Математическое просвещение. (Третья серия.) 2010. Вып. 14. С. 10-29.

3 В некоторых источниках указано 13 августа.

16 августа — 175 лет со дня рождения немецкого математика и шахматиста Якоба Розанеса (Jakob Rosanes, ум. 06.01.1922). Занимался алгебраической геометрией и теорией инвариантов.

МТ: http://www-history.mes.st-and.ас.uk/Biographies/Rosanes.html

16 августа — 110 лет назад родился сербский югославский математик Джюро Курепа (серб. Тэуро Курепа / Büro Kurepa; ум. 02.11.1993), автор более 700 публикаций. Основные научные интересы — теория множеств, математическая логика, теория чисел. Действительный член Сербской академии наук и искусств, играл главную роль в организации югославского математического сообщества.

МТ: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Kurepa.html

19 августа — 130 лет со дня рождения одного из учредителей и многолетнего секретаря Петроградского физико-математического общества Александра Феликсовича Гаврилова (ум. в 1961 г.). Автор ряда результатов и учебников по методам интегрирования, гармоническому анализу, дифференциальным уравнениям.

1) Яковлев В. И. Из истории физико-математического факультета ПГУ (1916-1960) // Вестник Пермского университета — Математика. Механика. Информатика. 2010. Вып. 3(3). С. 4-15.

2) Интернет-ресурс: https://www.sut.ru/teaching/ft/fakultfp/kaf-vm/istoriya-kafedry

21 августа — 80 лет назад родился академик НАН Украины (1990) Леонид Андреевич Пастур, один из основателей спектральной теории случайных и почти периодических операторов.

1) Ерёменко В. В. О себе и моих учителях, коллегах, друзьях. — http://scientists-academia-ussr.blogspot.ru/ (Глава «Марченко В. А. и его ученики (Л. А. Пастур и Е. Я. Хруслов)»)

2) МТ: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Pastur.html

22 августа — 90 лет назад родился немецкий математик Генрих-Вольфганг Леопольдт (Heinrich-Wolfgang Leopoldt, ум. 28.07.2011), специалист по алгебраической теории чисел.

МТ: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Leopoldt.html

23 августа — 220 лет назад родился французский математик и инженер Адемар Жан-Клод Барре де Сен-Венан (Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant, ум.06.01.1886). Внёс важный вклад в развитие теории упругости, гидравлики, гидродинамики (уравнения Сен-Венана, принцип Сен-Венана и др.)- Член Французской АН (1868).

МТ: http://www-history.mes.st-and.ас.uk/Biographies/Saint-Venant.html

25 августа — 150 лет со дня рождения члена-корреспондента АН СССР (1931) Гурия Васильевича Колосова (ум. 07.11.1936). Его основной научный результат — метод решения плоской задачи теории упругости с применением аналитических функций комплексного переменного.

Мусхелишвили П. П. Гурий Васильевич Колосов (некролог) // УМН. 1938. Вып. 4. С. 279-281.

25 августа — 100 лет назад родился японский математик Тосио Като {ШШ ; Tosio Kato, с 1962 г. работал в США, ум. 02.10.1999), крупный специалист по функциональному анализу, автор классической монографии «Теория возмущений линейных операторов» (русский перевод -1972 г.). Получил важные результаты об уравнениях Кортевега-де Фриза и Навье-Стокса. Лауреат премии Винера (1980).

МТ: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Kato.html

28 августа — 150 лет со дня рождения американского математика, члена Национальной АН США (1909) Максима Бохера (Maxime Bôcher, ум. 12.09.1918). Основные работы посвящены теории дифференциальных и алгебраических уравнений, геометрии. В 1909-1910 гг. — президент Американского математического общества, присуждающего с 1923 года (раз в три года) Премию имени Бохера за наиболее значительные работы в области анализа.

МТ: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Bocher.html

30 августа — 110 лет со дня рождения одного из создателей первого в мире электронного компьютера ENI АС (1946), американского физика и инженера Джона Мокли (другая транскрипция — Мочли; John William Mauchly, ум. 08.01.1980).

1) Одинец В. 77. Зарисовки по истории компьютерных наук. — Сыктывкар, 2013. 420 с.

2) МТ: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Mauchly.html

30 августа — 100 лет со дня рождения советского математика и историка математики Бориса Абрамовича Розенфельда (ум. 05.04.2008; с 1990 жил в США). Математические интересы и результаты в основном относятся к геометрии. В области истории математики — крупный специалист по истории математики средневекового Востока, математики эпохи Возрождения, истории геометрии и др. Опубликовал более 450 работ.

Замаховский М. 77. Борис Абрамович Розенфельд (к 90-летию со дня рождения) // Математическое просвещение. 2007. Вып. 11. С. 15-20.

5 сентября — 350 лет назад родился итальянский математик Джироламо Саккери (Giovanni Girolamo Saccheri, ум. 25.10.1733). В своём главном труде «Евклид, очищенный от всех пятен» (Милан, 1733 г.) он

заменяет пятый постулат Евклида на альтернативный постулат гиперболической геометрии и доказывает целый ряд теорем этой геометрии. Рассматривая четырёхугольник с двумя равными сторонами, перпендикулярными основанию (четырёхугольник Саккери), он правильно отвергает гипотезу тупого угла (одну из трёх альтернатив относительно четвёртого угла). Однако в результате вычислительной ошибки он отвергает и гипотезу острого угла, которая, на самом деле, не может быть опровергнута в рамках абсолютной геометрии.

1) Васильев А. В. Иезуит Саккери, итальянский предшественник Лобачевского // Известия Физ.-математ. общества при Казанском унив., 2-я серия. 1893. T.III. С. 53-57.

2) МТ: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Saccheri.html

5 сентября — 90 лет со дня рождения канадского математика, президента Канадского математического общества с 1973 по 1975 гг. Уильяма Мозера (William Oscar Jules Moser, ум. 28.01.2009). Основные математические интересы — абстрактные группы и геометрические конфигурации.

МТ: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Moser_William.html

11 сентября — 100 лет назад родился японский математик Кэнкити Ивасава (Sflfi!^; Kenkichi Iwasawa, ум. 26.10.1998; в 1967-1986 гг. работал в США). Получил важные результаты по алгебраической теории чисел, арифметической алгебраической геометрии, по теории групп. На русский язык переведена книга Ивасавы «Локальная теория полей классов» (М., 1983).

МТ: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Iwasawa.html

12 сентября — 140 лет назад родился немецкий математик Георг Хамель (Georg Karl Wilhelm Hamel, ум. 04.10.1954). Работы относятся к теории функций, дифференциальным уравнениям, гидродинамике, основаниям математики. Его диссертация (1901), выполненная под руководством Давида Гильберта, касается четвёртой проблемы Гильберта. Разделял взгляды национал-социалистов.

1) МТ: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Hamel.html

2) Яглом И. М. К четвёртой проблеме Гильберта / в кн. Проблемы Гильберта. — М.: Наука, 1969. 239 с.

14 сентября — 140 лет назад родился член-корреспондент Императорской Санкт-Петербургской академии наук (1879), один из учредителей-организаторов и вице-президент (1886), а затем президент (с 1891 г.) Московского математического общества русский математик и философ Николай Васильевич Бугаев (ум. 11.06.1903). В области математики занимался в основном анализом и теорией чисел. Работы Бугаева

привели к созданию в 1911 г. его учеником Д. Ф.Егоровым (1869-1931) московской школы теории функций вещественных переменных.

1) Лахтинъ Л. К. Николай Васильевичъ Бугаевъ (біографическій очеркъ) // Матем. сб., 1905. 25:2. С. 251-269.

2) Белый А. Московский чудак. — М.: Круг, 1926.

3) Белый А. На рубеже двух столетий. — М.-Л.: Земля и фабрика, 1930.

14 сентября — 130 лет со дня рождения академика Румынской АН Симеона Стоилова (Simion Stoilow, ум. 04.04.1961), известного специалиста по теории функций комплексных переменных.

1) МТ: http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Stoilow.html

2) Шабат Б. В. Предисловие к русскому изданию — с. 7-9 в кн. Стоилов С. Лекции о топологических принципах теории аналитических функций. — М.: Наука, 1964. 227 с.

20 сентября — 175 лет назад родился немецкий математик Александр Вильгельм фон Брилль (Alexander Wilhelm von Brill, ум. 08.06.1935). Основные исследования посвящены теории алгебраических функций и теории алгебраических кривых. Вместе с М. Нётером написал трактат по теории алгебраических функций (1874). Следуя Ф.Клейну, занимался методологией математики, реформой преподавания, руководил изготовлением математических моделей. Член Академии деи Линчеи, Баварской АН, академии Леопольдина, Гёттингенской АН, президент Немецкого математического общества (1927).

МТ: http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Brill.html

20 сентября — 130 лет со дня рождения немецкого математика Эриха Гекке (Erich Hecke, ум. 13.02.1947). Внёс важный вклад в теорию чисел. На русском языке издана книга Э. Гекке. Лекции по теории алгебраических чисел. - М.-Л.: ГИТТЛ, 1940.

МТ: http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Hecke.html

22 сентября — 110 лет со дня рождения немецкого математика Вильгельма Шпехта (Wilhelm Otto Ludwig Specht, ум. 19.02.1985). Получил результаты в различных разделах алгебры.

МТ: http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Specht.html

26 сентября — 90 лет со дня рождения британского математика Брайана Гриффитса (Brian Griffiths, ум. 04.06.2008). Областью его научных интересов была топология многообразий. Уделял большое внимание вопросам математического образования, автор и соавтор ряда учебников.

МТ: http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Griffiths_Brian.html

7 октября — 80 лет со дня рождения российского математика и популяризатора науки Алексея Брониславовича Сосинского. Основные его математические интересы относятся к топологии, в частности — к теории узлов, по которой им (и в соавторстве) опубликованы несколько

книг. Член редколлегии журнала «Квант» (с 1975 года) и редколлегий нескольких математических журналов. Организатор и сотрудник российско-французской «лаборатории Понселе». Офицер французского Ордена Академических пальм (2004), вручаемого за заслуги в образовании и науке, лауреат премии Правительства РФ в области образования (2012).

1) Смирнов Е. Ю. Алексей Брониславович Сосинский: На каком языке разговаривать о математике? / с. 42-46 в книге: Поколения ВШЭ. Ученики об учителях. — М., Изд. дом Высшей школы экономики, 2013. 232 с.

2) Наталья Дёмина. Математика Сосинского / Интернет-ресурс: http://polit.ru/article/2012/10/07/abs_75/

7 октября — 110 лет со дня рождения Бориса Абрамовича Фукса (ум. 25.05.1985), советского математика, специалиста по теории аналитических функций многих комплексных переменных.

Айзенберг Л. А., Гиндикин С. Г., Шабат Б. В. Борис Абрамович Фукс (к шестидесятилетию со дня рождения) // УМН. 1968. 23:2(140). С. 229-233.

11 октября — 130 лет со дня рождения бельгийского математика Люсьена

Годо (Lucien Godeaux, ум. 21.04.1975). Опубликовал в общей сложности более 1200 статей и книг (из которых 669 в Mathematical Reviews), причём только одна из работ написана в соавторстве. Основные результаты получены им в алгебраической геометрии. Организатор и президент (1948-1966) Бельгийского Центра математических исследований.

Интернет-ресурс: http://www.opale-opaal.be/lucien-godeaux/

12 октября — 125 лет со дня рождения академика Всеукраинской академии наук и АН УССР (1929) Михаила Филипповича Кравчука (ум. 09.03.1942 в лагере ГУЛАГа на Колыме). Автор около 180 научных работ, относящихся к алгебре, теории чисел, теории функций, дифференциальным и интегральным уравнениям, математической статистике, теории вероятностей, истории математики и др.

1) Добровольский В. А. Выдающийся украинский математик Михаил Филиппович Кравчук (к семидесятипятилетию со дня рождения) // УМН. 1968. 23:1 (139). С. 236-239.

2) Гупало С. Судьба академика Михаила Кравчука — Интернет-ресурс: http://gazeta.zn.ua/SOCIETY/sudba_akademika_mihaila_kravchuka.html

14 октября — 330 лет со дня рождения шотландского математика и доктора медицины Роберта Симсона (Robert Simson, ум. 01.10.1768). Основные труды относятся к геометрии.

МТ: http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Simson.html

15 октября — 180 лет со дня рождения немецкого математика, члена-основателя Гейдельбергской АН и члена Венской АН Лео Кенигсбергера (Leo Konigsberger, ум. 15.12.1921). Основные направления исследований

- эллиптические функции, гиперэллиптические интегралы, дифференциальные уравнения в комплексной области, аналитическая механика, интегралы трансцендентных функций.

МТ: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Konigsberger.html

15 октября — 90 лет со дня рождения Ганса Вуссинга (Hans Wussing, ум. 26.04.2011), одного из крупнейших историков математики XX века, члена Международной академии истории науки (1982) и Саксонской АН (1984). Среди его интересов — история теории групп, математика Античности и Средних веков, биографии выдающихся математиков.

Визгин Вл. П., Володарский А. И., Демидов С. С, Петрова С. С. Памяти Ганса Вуссинга (1927-2011) // Вопросы истории естествознания и техники. 2012. № 1. С.212-213.

17 октября — 90 лет назад родился немецкий математик, иностранный член АН СССР (позже РАН) с 1988 г. Фридрих Хирцебрух (Friedrich Ernst Peter Hirzebruch, ум. 27.05.2012). Получил важные результаты по алгебраической геометрии, if-теории, комплексному анализу. Среди его многочисленных наград — премия Вольфа (1988), премия им. Н.И.Лобачевского (1989), Большая золотая медаль им. М. В. Ломоносова (1996). Основатель (1980) и первый директор (до 1995 г.) Математического института Общества Макса Планка в Бонне. Почётный президент Берлинского конгресса математиков (1988), первый президент (1990-1994) Европейского математического общества.

1) МТ: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Hirzebruch.html

2) Фридрих Хирцебрух (к 85-летию со дня рождения) // УМН. 2012. 67:5 (407). С. 179.

21 октября — 330 лет со дня рождения швейцарского математика Николая (I) Бернулли (Nicolaus (I) Bernoulli, ум. 29.11.1759). Внёс вклад в теорию вероятностей, математический анализ, теорию дифференциальных уравнений. Член Берлинской АН (1713), Лондонского королевского общества (1714), Болонской АН (1724).

Никифоровский В. А. Великие математики Бернулли. — М.: Наука, 1984. 177с.

22 октября — 110 лет назад родился индийский и американский математик Сарвадаман Чоула (Sarvadaman Chowla, ум. 10.12.1995). Получил важные результаты в различных разделах теории чисел, комбинаторики, анализа, по диофантовым уравнениям. Член Индийской национальной АН.

МТ: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Chowla.html

22 октября — 90 лет назад родился отечественный математик Александр Иванович Скопин (ум. 15.09.2003), известный специалист по абстрактной алгебре.

1) МТ: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Skopin.html

2) Биография А. И. Скопина — Интернет-ресурс: http: //www.mathsoc.spb.ru/pers/skopin/skopinl.htm

27 октября — 90 лет со дня рождения отечественного математика, лауреата Ленинской премии (1961) Михаила Михайловича Постникова (ум. 27.05.2004). Крупный специалист в области алгебраической и дифференциальной топологии. Автор многочисленных монографий и учебников.

1) Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мальцев А. А., Мищенко Е. Ф., Новиков С. П., Рудяк Ю. Б. Михаил Михайлович Постников (к шестидесятилетию со дня рождения) // УМН. 1989. 44:6(270). С. 163-164.

2) Рудяк Ю. Б. Михаил Михайлович Постников // Математическое образование, 1997. №2. С. 34-39.

28 октября4 — 170 лет со дня рождения почётного члена Петербургской АН (1916) отечественного математика Константина Александровича Поссе (ум. 24.08.1928). Основные области интересов — математический анализ и теория функций.

Сергеев А. А. Константин Александрович Поссе. 1847-1928. — М.: Наука, 1997. 72 с.

28 октября — 110 лет со дня рождения советского логика и теоретика-электротехника Виктора Ивановича Шестакова (ум. 03.05.1987). В 1930-е годы предложил интерпретацию булевой алгебры на релейно-контактных схемах (опубликовано в 1941 г.).

1) Бажанов В. А. В. И. Шестаков и К.Шеннон. Разные судьбы творцов одной красивой идеи // Вопросы истории естествознания и техники, 2005. №2. С.112-121.

2) Левин В. И. Виктор Иванович Шестаков и логическое моделирование // Логическое моделирование, 2010. Вып. 16. С. 67-95. (См. также: http://iphras.ru/uplfile/logic/log16/LI-16_levin.pdf)

29 октября — 130 лет назад родился советский математик и баллистик Лев Александрович Вишневский. В 1937 г. был арестован по обвинению в шпионаже в пользу Германии (по тому же «делу», что Фриц Нётер) и умер в тюрьме во время следствия в октябре 1938 г. Исследования Л. А. Вишневского по теории функций бесконечного числа переменных и вариационному исчислению имели существенное значение для развития и систематизации вариационных методов точного и приближенного решения дифференциальных, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений математической физики.

Лев Александрович Вишневский. Биография, указатель трудов. — Томск: Томский госуниверситет, 1999. 28 с.

(См. также http://wiki.tsu.ru/wiki/images/3/3f/VishnevskyLA.pdf)

4 В различных источниках приводятся разные даты рождения.

30 октября — 110 лет назад родился английский математик, член Лондонского королевского общества (1940) Гарольд Давенпорт (иначе -Дэвенпорт: Harold Davenport, ум. 09.06.1969), крупный специалист по теории чисел.

МТ: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Davenport.html

1 ноября — 75 лет со дня рождения отечественного математика Виталия Витальевича Федорчука (ум. 09.12.2012), специалиста в области общей топологии.

МТ: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Fedorchuk.html

3 ноября — 150 лет назад родился немецкий математик Мартин Вильгельм Кутта (Martin Wilhelm Kutta, ум. 25.12.1944). Его имя закрепилось, в частности, в названии открытого им в соавторстве семейства методов приближённого интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений: методы Рунге - Кутты.

МТ: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Kutta.html

7 ноября — 75 лет со дня рождения академика РАН (2011), крупного специалиста по алгебраической геометрии и теории чисел Алексея Николаевича Паршина. В круг интересов А. Н. Паршина входят также история математики и проблемы русской религиозной философии. Лауреат премий Гумбольдта (1996) и премии им. И.М.Виноградова (2004). Награждён Золотой медалью им. П. Л. Чебышева.

Востоков С. В., Торчинский С. О., Жеглов А. В., Зархин Ю. Г., Нестеренко Ю. В., Орлов Д. О., Осипов Д. В., Попов В. Л., Сергеев А. Г., Шафаревич И. Р. Алексей Николаевич Паршин (к семидесятилетию со дня рождения) // УМН. 2013. 68:1 (409). С. 201-207.

12 ноября — 90 лет назад родился японский математик Ютака Танияма (®|1г Й, покончил с собой 17.11.1958). Занимаясь алгебраической теорией чисел, Танияма в 1955 г. высказал гипотезу о модулярных формах - гипотезу Таниямы, позже ставшую теоремой Таниямы - Симуры. Затем было обнаружено (и позже (1986) доказано Кеном Рибетом), что из справедливости этой теоремы следует Великая теорема Ферма. На этом пути Эндрю Уайлс и Ричард Тейлор в 1995 г. доказали великую теорему Ферма, а сама теорема Таниямы-Симуры была полностью доказана в 1999 г.

МТ: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Taniyama.html

15 ноября — 110 лет назад родился польский математик, президент Польского математического общества в 1957-1959 гг. Эдвард Марчевский (Edward Marczewski, ум. 17.10.1976.) Работы относятся к теории мно-

жеств, топологии, теории функций действительного переменного, теории аналитических функций, общей алгебре, теории вероятностей.

1) МТ: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Marczewski.html

2) Синкевич Г. И. Георг Кантор & польская школа теории множеств. — СПб.: СПбГАСУ, 2012. 349 с.

16 ноября — 120 лет назад родился Иосиф Захарович Штокало (ум.

05.01.1987), украинский математик, член-корреспондент (1948) и академик (1951) АН УССР, почётный член Международной академии истории науки (1978). Работы по дифференциальным уравнениям и истории математики на Украине. Награждён орденом Ленина, медалью им. А. Койре.

Боголюбов А.Н., Еругин Н. П., Митропольский А. Ю., Парасюк О. С. Иосиф Захарович Штокало (к 70-летию со дня рождения) // Дифф. уравнения, 1967. 3:10. С. 1801-1809.

17 ноября — 300 лет со дня рождения французского учёного-энциклопедиста Жана Лерона Даламбера (Jean Le Rond d'Alembert, ум. 29.10.1783), члена Французской АН (1740), Французской Академии (1754), Петербургской АН (1764). В области математики основные результаты Даламбера относятся к анализу и теории дифференциальных уравнений. Им сформулирован фундаментальный «Принцип Даламбера», сводящий динамику несвободной системы к статике, что заложило основу аналитической динамики.

1) Добровольский В. А. Д'Аламбер. — М.: Знание, 1968. 32 с.

2) Мор Т. Оуэн. Дидро. Д'Аламбер. Кондорсе. Биографические повествования. - Челябинск: Урал ЛТД, 1998. 490 с.

20 ноября — 150 лет со дня рождения отечественного математика, академика АН УССР (1939), председателя Харьковского математического общества (с 1906 г.) Дмитрия Матвеевича Синцова (ум. 28.01.1946). Основные результаты — по теории коннексов и её приложениям к интегрированию дифференциальных уравнений, по изучению уравнений Пфаффа и Монжа, по неголономной дифференциальной геометрии.

1) Бернштейн С. Н., Гиршвальд Л. Я. Д. М. Синцов (некролог) // УМН. 1947. 2:4(20). С. 191-206.

2) Наумов И. А. Д.М.Синцов // Математика в школе, 1967. №6. С. 84-85.

3) Бобрицкая Г. С. Вклад выдающихся учёных в становление, развитие и деятельность Харьковского математического общества с 1879 по 1917 гг. // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Серия: Математика. Физика. 2014. Т. 34, вып. 5 (176). С. 168-182.

20 ноября — 100 лет назад родился американский математик Леонард Джимми Сэвидж (Leonard Jimmie Savage, ум. 01.10.1971). Получил важные результаты в области статистики — минимаксный критерий Сэвиджа в теории принятия решений (1951), закон 0-1 Хьюита- Сэвиджа

в теории вероятностей, предложил теорию субъективной ожидаемой полезности (1954).

МТ: http://www-history.mes.st-and.ас.uk/Biographies/Savage.html

23 ноября — 100 лет со дня рождения российского математика Николая Михайловича Коробова (ум. 25.10.2004). Автор более 60 научных работ (в том числе двух монографий) по теории чисел и приближённым вычислениям. Лауреат премии им. П. Л. Чебышева АН СССР.

Быковский В. А., Виноградов А. И., Локуциевский О. В., Фельдман Н. И. Николай Михайлович Коробов (к семидесятилетию со дня рождения) // УМН. 1988. 43:1(259). С. 221-222.

23 ноября — 90 лет со дня рождения бразильского математика Карлоса де Лиры (Carlos Benjamin de Lyra, ум. 21.07.1974). Работы в области алгебраической топологии. Организатор Института математики и статистики в Сан-Пауло.

МТ: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Lyra.html

24 ноября — 110 лет назад родился советский математик и механик Иоэль Гильевич Малкин (ум. 14.06.1958). Получил результаты, вносящие значительный вклад в развитие второго метода Ляпунова в теории устойчивости. Автор монографий «Методы Ляпунова и Пуанкаре в теории нелинейных колебаний» (М.-Л.: ГИТТЛ, 1949; 2-е изд. М.: Едиториал УРСС, 2004), «Теория устойчивости движения» (М.-Л.: ГИТТЛ, 1952), «Некоторые задачи теории нелинейных колебаний» (М.: ГИТТЛ, 1956).

Интернет-ресурс: http://imkn.urfu.ru/interesting/biography/

24 ноября — 100 лет со дня рождения отечественного математика Николая Ивановича Гаврилова (ум. 13.03.2004). Специалист по теории дифференциальных уравнений. Автор четырёх монографий.

Интернет-ресурс:

http: / / onu.edu.ua/ru / structure / institutes / imem / imem_differ_equation

26 ноября — 125 лет со дня рождения советского математика, механика и историка науки Ивана Николаевича Веселовского (ум. 24.06.1977). Перевёл на русский язык сочинения Клавдия Птолемея, Аристарха Самосского, Архимеда, Коперника, Диофанта, Герона и др.

Житомирский С. В. Переводчик «Альмагеста» И. Н. Веселовский / С. 452-455 в кн. Клавдий Птолемей. Альмагест или математическое сочинение в тринадцати книгах. — М.: Наука, 1998. 671 с.

27 ноября — 150 лет со дня рождения английского математика, члена Лондонского королевского общества (1912) и президента Лондонского математического общества (1924-1926) Артура Ли Диксона (ум. 20.02.1955). Работы посвящены алгебре и её приложениям к геометрии, эллиптическим и гиперболическим функциям, теории исключения.

МТ: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Dixon_Arthur.html

30 ноября — 130 лет со дня рождения советского математика и педагога Якова Семёновича Дубнова (ум. 30.12.1957). Его математические результаты относятся в основном к дифференциальной геометрии.

1) Лопшиц А. М. Яков Семенович Дубнов — ученый, педагог, человек // Матем. просв., 1960. Сер. 2. Вып. 5. С. 3-16.

2) Материалы на стр. 5-17 сборника «Математическое просвещение», 2009, вып. 13 (серия 3).

3) Андронов И. К. Дубнов Яков Семёнович (1887-1957) / в кн. Полвека развития математического образования в СССР. — М.: Просвещение, 1967. С.139-145.

1 декабря — 225 лет со дня рождения выдающегося русского математика Николая Ивановича Лобачевского (ум. 24.12.1856), одного из создателей гиперболической геометрии, а также автора ряда важных результатов в алгебре и анализе. Ректор Казанского университета в 1827-1845 гг.

1) Васильев А. В. Николай Иванович Лобачевский. — М.: Наука, 1992. 229 с.

2) Гудков Д. А. Н. И. Лобачевский. Загадки биографии. — Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 1992. 242 с.

3) Полотовский Г.М. Как изучалась биография Н.И.Лобачевского // Историко-математические исследования, 2007. №47. С. 32-49.

4) Вселенная Лобачевского / составители Голубин Р. В., Емельянова Е.Н., Ильина И. С, Кузнецов А.А., Маслов А. П., Морохин А.В., Полотовский Г. М., Уткина Н. А. - Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 2015. 155 с.

1 декабря — 125 лет назад родился австрийский математик и инженер Феликс Поллачек (Лео Felix Pollaczek, ум. 29.04.1981). Работы по теории чисел, математическому анализу, математической физике, теории вероятностей (формула Поллачека-Хинчина в теории массового обслуживания). Лауреат Теоретической премии фон Неймана (1977).

МТ: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Pollaczek.html

9 декабря — 350 лет назад родился английский учёный-энциклопедист Уильям Уистон (William Whiston, ум. 22.08.1752). В 1701 г. был назначен помощником И. Ньютона в Кембридже. Публикатор издания Евклида для студентов (1703) и лекций Ньютона по алгебре (« Универсальная арифметика», 1707).

МТ: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Whiston.html

9 декабря — 110 лет со дня рождения немецкого математика Макса Дойринга (Max Deuring, ум. 20.12.1984). Специалист по теории алгебраических функций. Член Гёттингенской АН и академии Леопольдина.

МТ: http://www-history.mes.st-and.ас.uk/Biographies/Deuring.html

9 декабря — 100 лет со дня рождения советского математика и педагога Сергея Васильевича Фомина (ум. 17.08.1975). Работы по абстрактной алгебре, топологии, динамическим системам в функциональных пространствах, бесконечномерным представлениям групп Ли, математическим проблемам биологии. Соавтор (с А. Н. Колмогоровым) классической книги «Элементы теории функций и функционального анализа».

Александров П. С, Гельфанд И. М., Колмогоров А. Н., Майков Е. В., Маслов В. П., Олейник О.А., Синай Я. Г., Смоляное О. Г., Тихомиров В.М. Памяти Сергея Васильевича Фомина // УМН. 1976. 31:4(190). С. 199-212.

13 декабря — 130 лет назад родился венгерский, швейцарский и американский математик, педагог и популяризатор науки Дьердь Пойа (Pölya György, ум. 07.09.1985). Основные труды — по теории чисел, функциональному анализу, комбинаторике и математической статистике. Несколько книг Д. Пойа — среди них «Как решать задачу», «Математика и правдоподобные рассуждения» — переведены на русский язык.

Яглом И. М. Джордж Пойа (к 100-летию со дня рождения) // Математика в школе. 1988. №3. С. 67-70.

15 декабря — 170 лет со дня рождения французского математика Гастона Флоке (Achille Marie Gaston Floquet, ум. 07.10.1920), автора результатов о свойствах решений и о строении пространства решений системы линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами (теорема Флоке, теория Флоке - Ляпунова).

МТ: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Floquet.html

16 декабря5— 380 лет назад родился член Лондонского королевского общества (1663), английский математик Уильям Нейл (или Нейль: William Neile ум. 24.08.1670). Первым вычислил (1657) длину дуги алгебраической кривой (полукубической параболы — парабола Нейля).

МТ: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Neile.html

16 декабря — 130 лет со дня рождения австрийского математика Иоганна Радона (Johann Karl August Radon, ум. 25.05.1956). Член-корреспондент (1939), затем член (1947) Австрийской АН, Президент Австрийского математического общества (1948-1950). Получил ряд важных результатов, в частности, в функциональном анализе (теорема Радона -Никодима, мера Радона), в интегральной геометрии (преобразование Радона).

МТ: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Radon.html

17 декабря — 175 лет назад родился выдающийся норвежский математик Софус Ли (Marius Sophus Lie, ум. 18.02.1899), почётный член Лондонского математического общества (1878), член Лондонского королев-

5 В некоторых источниках — 7 декабря.

ского общества (1895), первый лауреат премии им. Н. И. Лобачевского Казанского физико-математического общества (1897). Основатель теории непрерывных групп и их приложений в теории дифференциальных уравнений.

1) Полищук Е. М. Софус Ли (1842-1899). - Л., 1983. 214 с.

2) Яглом И. М. Феликс Клейн и Софус Ли. — М.: Знание, 1977. 44 с.

18 декабря — 100 лет со дня рождения американского математика Роджера Линдона (Roger Conant Lyndon, ум. 08.06.1988). Получил важные результаты в разных областях математики, в том числе в комбинаторной теории групп. Несколько его книг переведены на русский язык.

МТ: http://www-history.mes.st-and.ас.uk/Biographies/Lyndon.html

19 декабря — 80 лет со дня рождения члена Национальной академии наук США (1982) Барри Мазура (Barry Charles Mazur). Получил важные результаты в геометрической топологии (доказательство гипотезы Шенфлиса, пример стягиваемого компактного 4-мерного гладкого многообразия с краем, не гомеоморфного шару (многообразие Мазура). Доказал ряд теорем по арифметической геометрии, сильно повлиявших на развитие теории чисел, в том числе теорему Мазура о кручении в арифметике эллиптических кривых. Результаты Мазура о рациональных точках модулярных кривых были использованы Э. Уайлсом при доказательстве Великой теоремы Ферма. Лауреат различных престижных премий, в том числе премии Стила (2000) Американского математического общества.

МТ: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Mazur_Barry.html

22 декабря — 140 лет назад родился итальянский математик, член Туринской АН (1924) Томмазо Боджио (Tommaso Boggio, ум. 25.05.1963). Автор работ по математической физике, дифференциальной геометрии, анализу, финансовой математике. Был приглашённым докладчиком на Конгрессе математиков в Риме (1908).

МТ: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Boggio.html

22 декабря — 130 лет со дня рождения гениального индийского математика-самоучки Сринивасы Рамануждана (Srinivasa Aiyangar Ramanujan, ум. 26.04.1920). Обнаружил глубокие результаты в разных областях математики (магические квадраты, ряды, разбиения чисел, специальные функции, определённые интегралы, эллиптические и модулярные кривые и др.).

1) Левин В. И. Рамануджан — математический гений Индии. — М.: Знание, 1968. 49 с.

2) Харди Г. Двенадцать лекций о Рамануджане. — М.: Институт компьютерных исследований, 2002. 336 с.

22 декабря — 120 лет со дня рождения чешского математика Войтека Ярника (Vojtech Jarnik, ум. 22.09.1970). Основные труды по теории чисел, математическому анализу, математической физике. Открыл (1930) оптимизационный алгоритм в теории графов, называемый алгоритмом Прима. Изучал деятельность Б. Больцано.

Одинец В. П. К истории двух знаменитых оптимизационных алгоритмов в теории графов // Математика в высшем образовании. 2013. №11. С. 121-128.

23 декабря6— 525 лет назад родился немецкий математик-самоучка Адам Ризе (Adam Riese (или Ries, или Ryse), ум. 30.03.1559). Автор учебных руководств по арифметике (правила и техника счёта), геометрии и алгебре (решение линейных и квадратных уравнений), написанных не на латыни, а на немецком языке.

МТ: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Ries.html

26 декабря — 110 лет назад родился американский математик Леонард Карлиц (Leonard Carlitz, ум. 17.09.1999), опубликовавший около 800 работ и внёсший важный вклад в теорию конечных полей, теорию чисел и комбинаторику.

МТ: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Carlitz.html

26 декабря — 80 лет назад родился английский математик, член Лондонского королевского общества (1981) Джон Хортон Конвей (John Horton Conway), автор важных результатов в теории групп, теории узлов, теории чисел и др., а также создатель клеточного автомата «Жизнь». Лауреат премии Пойа (1987), премии Стила (2000) и других наград. Три его книги переведены на русский язык.

МТ: http://www-history.mes.st-and.ас.uk/Biographies/Conway.html

30 декабря — 120 лет со дня рождения польского математика Станислава Сакса (Stanislaw Saks, погиб в варшавском гестапо 23.11.1942). Основные результаты — в области математического анализа, в частности, по теории интеграла.

Синкевич Г. И. Георг Кантор & польская школа теории множеств. — СПб.: СПбГАСУ, 2012. 349 с.

30 декабря — 75 лет назад родился действительный член (1993) и вице-президент (1997-2005) Международной академии истории науки, крупный отечественный историк математики Сергей Сергеевич Демидов. Автор более 150 работ по разным аспектам истории математики.

Аносов Д. В., Башмакова И. Г., Боголюбов А.Н., Кудрявцев Л. Д., Паршин А.П., Петрова С. С, Рыбников К. А., Тихомиров В.М., Ширяев А. П. Сергей Сергеевич Демидов (к 60-летию со дня рождения) // УМН. 2003. 58:6(354). С. 189-192.

6 В некоторых источниках указана другая дата.

31 декабря — 80 лет назад родился российско-шведский математик, член Шведской АН (2002) Владимир Гилелевич Мазья. Автор и соавтор более 500 работ, в том числе более 20 монографий. В круг его научных интересов входят изопериметрические и интегральные неравенства, нелинейные потенциалы, оценки для дифференциальных операторов, контрпримеры к 19-й проблеме Гильберта, поведение решений краевых задач, граничные интегральные уравнения, пространства Соболева и асимптотическая теория эллиптических краевых задач в сингулярно возмущённых областях. Отдельно следует отметить научную биографию Адамара (русское издание — Мазья В. Г., Шапошникова Т. О. Жак Адамар — легенда математики. — М.: МЦНМО. 2008. 526 с), за которую авторы получили специальную премию Французской АН.

1) Анолик М.В., Бураго Ю.Д., Демьянович Ю.К., Кисляков С.В., Леонов Г. А., Морозов Н. Ф., Поборчий С. В., Уральцева Н. П., Хавин В. П., Широков П. А. Владимир Гилелевич Мазья (к семидесятилетию) // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1. Математика. Механика. Астрономия. 2008. №4, С. 3-6.

2) Агранович М. С, Бураго Ю.Д., Вайнберг Б. Р., Вишик М.И., Гиндикин С. Г., Кондратьев В. А., Маслов В. П., Поборчий С. В., Решетняк Ю. Г., Хавин В. П., Шубин М. А. Владимир Гилелевич Мазья (к 70-летию со дня рождения) // УМН. 2008. f 63:1(379). С. 183-189.

Добавления к календарю на 2016 год

(см. журнал «Математика в высшем образовании» №13 за 2015 год)

17 мая 2016 года — 80 лет со дня рождения отечественного математика Виталия Ильича Левина, специалиста в области теории автоматов и системного анализа. В круг интересов В. И. Левина входит большинство дисциплин, составляющих современную прикладную математику, а также социология, история, библеистика. Автор более 3000 работ, в том числе более 30 монографий (см. Персональный библиографический указатель публикаций В. И. Левина. Пенза: Изд-во Пенз.гос.технол. академии, 2006. 318 с).

Интернет-ресурсы:

1) http://mmtt29.sstu.ru/mmtt-29.nsf/SearchViewRu/ 877F82F4627F602FC3257FB6002780EB?OpenDocument

2) http://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/1003785

9 июня 2016 года — 80 лет со дня рождения отечественного математика и педагога, организатора (1972) и бессменного директора летней физико-математической школы «Квант» при Казанском университете, заслуженного учителя РФ Валентины Алексеевны Сочневой.

Интернет-ресурс: http://ayaris.ru/ru/persons/list.php?SID=1814

21 декабря 2016 года — 90 лет со дня рождения известного отечественного геометра Александра Петровича Широкова (ум. 29.09.1998). Основные работы — по теории пространств над алгебрами и её приложениям (к линейчатой геометрии, геометрии неевклидовых пространств, теории касательных расслоений), по алгебраическим структурам в неевклидовых пространствах.

1) Шапуков Б.Н., Кайгородов В. Р. Широков Александр Петрович (К семидесятилетию со дня рождения) / Межвуз. темат. сб. науч. тр., Тр. геом. сем. 1997. Вып. 23. — Казань, Изд-во Казанского математического общ-ва. С.231-244.

2) Шапуков Б. Н. Александр Петрович Широков (1926-1998). — Казань: Изд-во Казанского ун-та, 2016. 2-е изд. 24 с.

Составитель: Г. М. Полотовский

В НИЖЕГОРОДСКОМ МАТЕМАТИЧЕСКОМ ОБЩЕСТВЕ

СПИСОК ДОКЛАДОВ, ПРОЧИТАННЫХ НА НАУЧНЫХ ЗАСЕДАНИЯХ НИЖЕГОРОДСКОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБЩЕСТВА

Ниже приводится список докладов, прочитанных на научных заседаниях Нижегородского математического общества (ННМО) в период, прошедший после предыдущего отчёта (см. [1]) до сдачи этого номера журнала в печать. Аннотации этих докладов (как и почти всех докладов за предшествующие годы) можно найти на сайте ННМО — http://www.unn.runnet.ru/nnmo/ zasedania.html.

Заседание 18 декабря 2015 г.

A. Ю. Окуньков (Колумбийский университет (США), ВШЭ-Москва). «Разностные уравнения: классика и современность».

Заседание 19 февраля 2016 г.

С. К. Ландо (ВШЭ-Москва).

«Комбинаторные решения интегрируемых иерархий». Заседание 23 марта 2016 г.

Г. М. Полотовский (Нижегородский университет им. Н.И. Лобачевского, ИИТММ).

«Математики глазами нематематиков».

Заседание 14 апреля 2016 г.

B. В. Чистяков (ВШЭ-Нижний Новгород).

«Принцип сжимающих отображений в контексте модулярных пространств».

Заседание 13 мая 2016 г.

C. ван Стрин (Империал колледж, Лондон).

«Жёсткость и пространства параметров в одномерной динамике». Заседание 8 июня 2016 г.

М. А. Алексеев (Университет Джорджа Вашингтона, США). «Последние достижения в анализе эволюционных транспозиций».

Заседание 29 ноября 2016 г.

Е.М. Вечтомов (Вятский государственный университет, г. Киров). «К теории полуколец».

ЛИТЕРАТУРА

1. Список докладов, прочитанных на научных заседаниях Нижегородского математического общества // Математика в высшем образовании. 2015. №13. С. 209-210.

Президент ННМО Г. М. Полотовский

Поступила 10.12.2016

Математика в высшем образовании

№ 14, 2016

Научно-методический журнал

Свидетельство о регистрации средства массовой информации Министерства РФ по делам печати, телерадиовещания и средств массовых коммуникаций ПИ № 77-15825 от 7 июля 2003 г.

ISSN 1729-5440

Электронные адреса: polotovsky@gmai 1 .com; inna.yemelyanova@gmai 1 .com Сайт: http://www.unn.ru/math

Компьютерная верстка Л. Р. Семеновой Оригинал-макет подготовлен с использованием пакета LATEX

Издательство Московского центра непрерывного математического образования. 119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11

Отпечатано с предоставленных файлов в ППП «Типография “Наука”». 119002, Москва, Шубинский пер., 6 Заказ № 2226

Индекс 87966

ISSN 1729-5440 Математика в высшем образовании, 2016, №14