ISSN 1729-5440

МАТЕМАТИКА В ВЫСШЕМ ОБРАЗОВАНИИ

13

2015

Московское математическое общество

Нижегородское математическое общество

Санкт-Петербургское математическое общество

МАТЕМАТИКА В ВЫСШЕМ ОБРАЗОВАНИИ

13

2015

Научно-методический журнал

Москва - Нижний Новгород - Санкт-Петербург

Редакционная коллегия:

В.А. Васильев, Москва Е.И. Гордон, Чарлстон (Иллинойс, США) И.С. Емельянова (зам. гл. редактора), Кэмпбелл (Калифорния, США) Н.Ю. Золотых, Нижний Новгород М.И. Кузнецов, Нижний Новгород С.К. Ландо, Москва Н.И. Мерлина, Чебоксары А.И. Назаров, Санкт-Петербург Г.М. Полотовский (гл. редактор), Нижний Новгород Л.Н. Посицельская, Москва Н.Х. Розов, Москва Г.И. Синкевич, Санкт-Петербург А.Г. Ягола, Москва

При перепечатке, переводе на иностранный язык, а также при ином использовании оригинальных материалов журнала ссылки на ''Математика в высшем образовании" обязательны

Этот номер журнала опубликован Московским центром непрерывного математического образования

Электронные адреса: polotovsky@gmail.com; inna.yemelyanova@gmail.com Сайт: http://www.unn.ru/math

© Математика в высшем образовании, 2015

Moscow Mathematical Society

Nizhni Novgorod Mathematical Society

St. Petersburg Mathematical Society

MATHEMATICS IN HIGHER EDUCATION

13

2015

Academic Journal

Moscow - Nizhni Novgorod - St. Petersburg

Editorial Board:

V.A. Vassiliev, Moscow E.I. Gordon, Charleston (Illinois, USA) I.S. Yemelyanova (Editor), Campbell (California, USA) N.Yu. Zolotykh, Nizhni Novgorod M.I. Kuznetsov, Nizhni Novgorod S.K. Lando, Moscow N.I. Merlina, Cheboksary A.I. Nazarov, St-Petersburg G.M. Polotovskiy (Editor-in-Chief), Nizhni Novgorod L.N. Positselskaya, Moscow N.Kh. Rozov, Moscow G.I. Sinkevich, St-Petersburg A.G. Yagola, Moscow

No reprint or any use of the material is allowed without reference to “Mathematics in Higher Education”

This issue of the journal is published by the Moscow center for continuous mathematical education

E-mails: polotovsky@gmail.com; inna.yemelyanova@gmail.com Website: http://www.unn.ru /math

© Mathematics in Higher Education, 2015

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие.......................................................................7

Содержание и технологии математического образования в вузе

Бегунц А. В., Горяшин Д. В. О применении теоретико-числовых методов

при исследовании сходимости числовых рядов................................9

Егоров А. И. Тому ли мы учим студентов, что им потребуется в будущем?..... 17

Садовничий В. А. Математика в Московском университете: взгляд математика и ректора............................................................... 31

Математика для специалистов различного профиля

Богомолова Е. П. Ограниченная вариативность построения программ по математике в техническом вузе.............................................. 41

Гефан Г. Д. Проблемное обучение математике студентов нематематических специальностей и направлений подготовки высшего образования........... 51

Филимоненкова Н. В. Обучение функциональному анализу в техническом вузе: практико-ориентированный курс....................................... 65

Математические соревнования в вузах

Эвнин А. Ю. Олимпиада в форме командной игры............................. 81

История математики и математического образования.

Персоналии

Емельянова И. С. Красота мышления вслух.................................... 95

Полотовский Г М. Артемий Григорьевич Майер (к 110-летию со дня рождения) ....................................................................... 105

Симонов Р. А. Изучение творчества Кирика Новгородца за рубежом......... 125

Синкевич Г И. 200-летие Карла Вейерштрасса................................ 143

Широкова О. А. Основатель казанской геометрической школы Петр Алексеевич Широков (к 120-летию со дня рождения)........................... 165

Календарь знаменательных дат в области математики и математического образования на 2016 год.................................................... 185

В математических обществах

В Нижегородском математическом обществе.................................. 209

О Санкт-Петербургском математическом обществе............................ 211

CONTENTS

Introduction........................................................................7

Subject and Technologies of Mathematical Education at University

Begunts A. V., Goryashin D. V. On applications of number-theoretical methods to testing for the convergence of infinite series...................................9

Egorov A. I. Let us give knowledges to students that will need to them in future?........................................................................ 17

Sadovnichy V. A. Mathematics at the Moscow university: the view of the mathematician and rector..................................................... 31

Mathematics for Specialists of Different Types

Bogomolova E. P. Limited variability of composing program in mathematics at technical college............................................................... 41

Gefan G. D. Problem-based learning math students of non-mat hematic specialties and areas of training of higher education............................... 51

Filimonenkova N. V. Teaching functional analysis in a technical university: methodological aspect......................................................... 65

Mathematical Competitions at Universities

Evnin A. Yu. Olympiad in the form of a team game............................... 81

The History of Mathematics and Mathematical Education. The Prominent Figures

Emelyanova I. S. Beauty thinking aloud.......................................... 95

Polotovskiy G. M. Artemiy Grirorievich Maier (towards 80ts birthday)........... 105

Simonov R. A. The study of creativity Kirik the Novgorodian abroad............ 125

Sinkevich G. I. Karl Weierstrass's 200 anniversary............................... 143

Shirokova О.А. Founder of the kazan geometrical school Pyotr Alekseevich Shirokov (to the 120 anniversary since birth)................................. 165

Calendar of significant dates in the field of mathematics and mathematical education for 2016............................................................ 185

In mathematical societies

At the Nizhni Novgorod mathematical society................................... 209

About the St. Petersburg mathematical society.................................. 211

ПРЕДИСЛОВИЕ

Уважаемые читатели!

Номер журнала, который Вы держите в руках, выходит в новом формальном качестве: теперь наш журнал издаётся под эгидой трёх профессиональных общественных объединений: Московского математического общества, Нижегородского математического общества и Санкт-Петербургского математического общества. Частично изменился и состав редакционной коллегии журнала. Это явление вполне естественное — журнал существует уже более десяти лет, и «ротация» редколлегии неизбежна, в разумном объёме она будет продолжаться и впредь. Мы благодарны всем, кто входил в предыдущий состав редколлегии, и надеемся на активную работу новых членов редколлегии, которая составлена теперь главным образом из членов указанных математических обществ.

Особая наша благодарность издателю журнала — Московскому центру непрерывного математического образования.

Нам представляется, что вопросы эффективности методики преподавания математики, как и методико-педагогическая проблематика в целом, относятся к так называемым «вечным вопросам». С другой стороны, с сожалением приходится отметить, что ситуация с уровнем математической подготовки абитуриентов, поступающих в вузы, мягко говоря, не улучшается. Всё это даёт основания считать, что издание журнала, посвященного преподаванию математики в вузе, остаётся актуальным, а в данный момент должно способствовать решению особой «сверхзадачи»: как в условиях дефицита времени и «нулевых» начальных условий довести студента до приемлемого уровня владения математикой.

Учитывая всё вышесказанное, мы намерены, несмотря на отмеченные выше изменения, сохранять общую политику журнала и его направленность.

Мы будем продолжать действовать в рамках программы, поставленной ещё в самых первых номерах журнала: сохранять и передавать опыт обучения математике, накопленный поколениями вузовских преподавателей, в первую очередь — преподавателей российских вузов. Если говорить более детально, то это означает, что мы по-прежнему будем отдавать предпочтение статьям, содержащим конкретные схемы, методики, приёмы, наработки, методы организации и т. п. лекционных и практических занятий по математическим дисциплинам в вузах, студенческих математических олимпиад.

С другой стороны, мы будем продолжать публикации по истории математики и математического образования, считая важным — особенно в настоящих условиях — сохранение общего культурно-математического уровня и памяти о деятелях в области математики и её преподавания.

Наконец, мы будем стремиться к сохранению уровня журнала, поэтому все поступающие материалы, кроме материалов информационного характера

и статей, написанных по заказу редакции, будут, как и прежде, проходить внешнее рецензирование, и все публикуемые материалы будут подвергаться по возможности тщательному редактированию.

Мы надеемся на активность наших авторов и читателей, приглашаем всех к сотрудничеству, направленному на сохранение и развитие математического образования в России, с благодарностью воспримем критику, идеи открытия новых рубрик и другие замечания и предложения по работе над очередными номерами журнала.

Главный редактор Г. М. Полотовский

Зам. главного редактора И. С. Емельянова

СОДЕРЖАНИЕ И ТЕХНОЛОГИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ В ВУЗЕ

УДК 517.52; 511.42

О ПРИМЕНЕНИИ ТЕОРЕТИКО-ЧИСЛОВЫХ МЕТОДОВ ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ СХОДИМОСТИ ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ*

А. В. Бегунц, Д. В. Горяшин

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова Россия, 119991, г.Москва, Ленинские горы; e-mail: ab@rector.msu.ru, goryashin@mech.math.msu.su

На примерах, доступных широкому кругу математиков, показывается, каким образом методы и результаты теории чисел и, в частности, теоремы о приближении иррациональных чисел рациональными, применяются при исследовании сходимости числовых рядов. Кратко описывается история вопроса от классических работ до наших дней и указывается возможное направление дальнейших исследований.

Ключевые слова: числовой ряд, сходимость, теория чисел, диофантовы приближения, мера иррациональности.

Начнём с двух примеров числовых рядов, предлагаемых студентам младших курсов в качестве упражнений на применение основных методов исследования рядов на сходимость:

(см., например, [1, гл. V, задачи 2690 и 2691 соответственно]). Эти задачи вполне стандартны, хотя и решаются с помощью специальных приёмов. Так, для исследования первого ряда нужно заметить, что из равенства

следует равенство

так что данная сумма ограничена при всех 7V, и поэтому ряд сходится по признаку Дирихле. Чтобы показать, что второй из приведённых рядов расходится, достаточно убедиться в нарушении необходимого условия сходимости, т. е. показать, что sinn2 0, п —> оо.

Однако подобные рассуждения уже не срабатывают в случае естественных обобщений этих рядов, например,

* Работа выполнена при поддержке гранта НШ-1096.2014.1.

и похожих рядов с косинусами. Более того, в исследовании сходимости таких рядов важную роль начинают играть арифметические свойства параметров (их иррациональность, возможность хорошего приближения рациональными числами и т.д.). В 1914 г. Г. Харди и Дж. Литтлвуд [2] опубликовали исследование рядов вида

Случай рациональных значений х относительно несложен, так как тогда cos(n27rx) принимает конечное число значений. Если же число х иррационально, то авторы обнаружили, что ответ зависит от того, насколько хорошо x приближается рациональными числами. Для «плохо приближаемых» чисел x (какими, например, являются квадратичные иррациональности) они доказали сходимость таких рядов при р > — + е для любого е > 0, а среди «хорошо приближаемых» нашли такие значения ж, что указанные ряды расходятся даже при р = 1. Аналогичная ситуация имеет место для рядов такого же вида, в которых вместо п2 стоит другая чётная степень п. Интересно отметить, что для нечётных степеней п под знаком синуса или косинуса ситуация совершенно иная: так, Г. И. Архипов и К. И. Осколков [3] доказали, что для нечётных значений к ряд

сходится при всех действительных х.

Можно привести и другие примеры рядов вполне классического вида, при исследовании которых не обойтись без применения теоретико-числовых методов (см. [4, 5]):

Таким образом, небольшие и естественные изменения условий стандартных упражнений по математическому анализу могут приводить к весьма трудным и интересным задачам, актуальность которых сохраняется и в наши дни. Отметим, что, по нашему мнению, упоминание подобных задач на занятиях со студентами наглядно показывает взаимосвязь различных разделов математики и может способствовать росту интереса к предмету.

Цель настоящей статьи — на примерах, доступных широкому кругу математиков, продемонстрировать, каким образом вопросы приближения иррациональных чисел рациональными возникают при решении подобного рода задач и как аппарат теории чисел может применяться при исследовании числовых рядов на сходимость. Мы рассмотрим примеры, связанные с рациональными приближениями знаменитых чисел е и тт. В стандартных университетских курсах теории чисел доказывается, что они не только иррациональны, но и трансцендентны (см., например, [6, гл. 4]).

Начнём с примера, использующего рациональные приближения к числу е. Известно (см., например, [1, задача 72]), что для любого натурального числа п справедливо равенство

где 0 < 9п < 1. Из этого представления числа е, в частности, следует, что оно иррационально. Действительно, в противном случае е = — при некоторых натуральных m и п, но тогда число п\ \ е — I------ —...--- =--целое, что невозможно, так как 0 < вп < 1. Покажем, как это равенство может быть использовано при исследовании сходимости числовых рядов

Взяв в приближении числа е на одно слагаемое больше, имеем

и, обозначая

для некоторого целого М,

получаем

Таким образом, первый из приведённых рядов сходится условно. Аналогично,

поэтому ряд с таким общим членом расходится как гармонический. Отметим, что похожая задача содержится в книге [7] (гл. I, задача 295), однако в ней общий член ряда имеет вид nsin(27rn!e) и стремится к 27г, поэтому ряд, очевидно, расходится, так как не выполнено необходимое условие сходимости. В рассмотренном примере мы фактически заменили число е его рациональным приближением, а погрешность вошла в остаточный член, дав абсолютно сходящийся ряд.

Прежде чем перейти к примеру числового ряда, при исследовании которого естественным образом возникают рациональные приближения к числу 7г, приведём классический теоретико-числовой факт, известный как теорема Дирихле (см., например, [6, гл.4, §2]).

Теорема Дирихле. Пусть а — действительное число, а г — натуральное число. Тогда существуют такие целые числа тип, что выполняются неравенства

В частности, отсюда следует, что для любого иррационального числа а существуют рациональные числа — со сколь угодно большими знаменателями, для которых

Зачастую необходимость изучения вопроса, насколько хорошо число 7г может быть приближено рациональными числами, возникает при работе с рядами, содержащими тригонометрические функции. Хорошо известно, что последовательность |cosn|, п G N, всюду плотна на отрезке [0;1], причём не попадает в его концы. При возведении членов этой последовательности в положительную степень они уменьшаются, поэтому возникает вопрос о таком выборе показателя степени /(п), чтобы ряд ^ (cosny^71' сходился.

Сначала исследуем на сходимость ряд

Покажем, что его общий член не стремится к нулю. Для этого достаточно доказать, что существует бесконечно много натуральных чисел m, для которых выполняется неравенство

В самом деле, тогда

а поскольку последовательность

монотонно возрастает, получаем

Неравенство

выполняется тогда и только тогда, когда найдется такое целое число п, что

Заметим, что при всех х G (0; 1) справедливо двойное неравенство

(его правая часть потребуется нам при рассмотрении следующего примера). В самом деле, в нуле все три функции совпадают, а при х G (0; 1) для их производных имеем

В силу доказанного неравенства, чтобы показать расходимость ряда, достаточно доказать, что существует бесконечное множество натуральных чисел m, для которых выполнено условие

Поскольку число 7г иррационально, согласно следствию из теоремы Дирихле существует такая бесконечная последовательность рациональных чисел

с растущими натуральными знаменателями, что

Кроме того, при п ^ 4 для таких тип выполнены неравенства

Значит, неравенство

также имеет бесконечно много решений.

Как мы видим, при исследовании рассмотренного ряда существенную роль сыграла иррациональность числа тт. Более тонкое теоретико-числовое свойство числа 7г, а именно, конечность его меры иррациональности, позволяет ответить на следующий вопрос: существуют ли такие целые а > О, чтобы ряд cosU п сходился?

Определение. Показателем (или мерой) иррациональности действительного числа а называется такое наименьшее число /i = /i(a), что для любого е > 0 существует число по = no(s) > О, для которого при всех целых числах п > по и любых целых m выполнено неравенство

Если такого числа fi не существует, то полагают fi(a) = +00, а иррациональное число а в этом случае называется лиувиллевым числом.

Знаменитая теорема Рота [8, гл. VI] утверждает, что если а — иррациональное алгебраическое число, то //(а) = 2. Для трансцендентных чисел выполнено неравенство //(а) ^ 2. Точные значения мер иррациональности многих трансцендентных чисел, в том числе числа 7г, неизвестны, но для них получены оценки сверху. Наилучшая известная в настоящее время оценка показателя иррациональности числа тт доказана в 2010 г. В. X. Салиховым и имеет вид р,(тт) ^ 7,6063 (см. [9]).

Вернёмся к исследованию сходимости ряда

Рассмотрим вспомогательный ряд с общим членом этот ряд сходится по признаку сравнения при любых а > ß.

Попробуем мажорировать наш ряд вспомогательным рядом. Имеем

что выполняется тогда и только тогда, когда для некоторого натурального п будет иметь место неравенство

Поскольку при всех х G (0; 1) справедливо неравенство достаточно выполнения условия

то есть

Из приведённой выше оценки показателя иррациональности числа 7г вытекает, что для всех натуральных чисел п > по и любых целых m справедливо неравенство

Зафиксируем произвольное натуральное число п > tiq. Пусть натуральное число к таково, что

Тогда если m < к — 1 или m > к + 2, то

Если же m — одно из чисел к — 1, fc, к + 1, к + 2, то \тг — ^| < ^ , поэтому 7гп — 2 < m, откуда m > n, а значит,

где последнее неравенство выполнено, например, при ß = 13,4.

Итак, мы мажорировали исследуемый ряд вспомогательным рядом и установили, что при а > 13,4 ряд сходится (абсолютно). В частности, сходится ряд

Подчеркнём, что добавление множителя х к аргументу тригонометрической функции (как это сделано в некоторых из приведённых во введении рядов) может существенно повлиять на результат исследования. Например, очевидно, что при х = 7г ряд

не будет сходиться ни при каком a, a если ж = —, то аналогичные рассуждения с привлечением известного равенства /л(е) = 2 позволяют установить, что ряд сходится уже при а > 2.

В заключение отметим, что на настоящий момент вопросы сходимости многих рядов, тесно связанных с диофантовыми приближениями, остаются открытыми. Возможно, самый известный среди них — ряд

исследование которого, скорее всего, потребует привлечения более глубоких результатов о свойствах числа 7г (например, из его сходимости следует оценка //(тг) < 2,5, см. [10]).

ЛИТЕРАТУРА

1. Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. Любое издание.

2. Hardy G. H., Littlewood J.E. Some problems of Diophantine approximation // Acta Mathematica. 1914. V. 37. P. 155-191.

3. Архипов Г. И., Осколков К. И. Об одном специальном тригонометрическом ряде и его применениях // Мат. сборник. 1987. Т. 134, № 2. С. 147-157.

4. Laeng Е., Pata V. A convergence-divergence test for series of nonnegative terms // Expositiones Mathematical 2011. V. 29, № 4. P. 420-424.

5. Begunts A., Goryashin D. Diophantine Approximations and the Convergence of Certain Series // Int. J. of Math, and Comp. Sei. 2015. V. 10, № 2. P. 157-173.

6. Галочкин А. И., Нестеренко Ю. В., Шидловский А. Б. Введение в теорию чисел. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1984. 152 с.

7. Виноградова И. А., Олехник С.Н., Садовничий В. А. Задачи и упражнения по математическому анализу. В 2-х кн. Кн. 2. Ряды, несобственные интегралы, кратные и поверхностные интегралы: Учеб. пособие для университетов, пед. вузов. 2-е изд., перераб. — М.: Высш. шк., 2000. 712 с.

8. Касселс Дж. В.С. Введение в теорию диофантовых приближений. — М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1961. 213 с.

9. Салихов В.Х. О мере иррациональности числа тг // Матем. заметки. 2010. Т. 88, вып. 4. С. 583-593.

10. Alekseyev M. A. On Convergence of the Flint Hills Series: http ://arxiv.org/abs/1104.5100, 2011.

Поступила 08.08.2015

ON APPLICATIONS OF NUMBER-THEORETICAL METHODS TO TESTING FOR THE CONVERGENCE OF INFINITE SERIES

A. V. Begunts, D. V. Goryashin

Using examples which are intelligible to wide mathematical community we show how number-theoretical methods and in particular the theorems on approximation of irrational numbers by rational ones are applied to testing for the convergence of some infinite series. Short overview of the background of the problem from classic works to the present day is given and future perspectives of research are pointed out.

Keywords: infinite series, convergence, number theory, Diophantine approximation, irrationality measure.

СОДЕРЖАНИЕ И ТЕХНОЛОГИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ В ВУЗЕ

УДК 372.851 378.147

ТОМУ ЛИ МЫ УЧИМ СТУДЕНТОВ, ЧТО ИМ ПОТРЕБУЕТСЯ В БУДУЩЕМ?

А. И. Егоров

Московский физико-технический институт (государственный университет) Россия, 141700, г. Долгопрудный Московской обл.; e-mail: aegor@mail.mipt.ru.

Даётся краткий анализ современной системы математической подготовки студентов вузов. Излагаются возможности систем компьютерной математики в решении различных математических задач. Предлагаются пути совершенствования математической подготовки студентов на базе использования компьютерных технологий.

Ключевые слова: математическое образование, компьютерная алгебра, дифференциальные уравнения, Maple, Mathematica.

1. Введение

Высшая математика была и остается основным элементом базового образования студентов по естественно-научным и техническим специальностям. Содержание учебных программ по математике в значительной мере определяется учебными программами прикладных наук (физики, химии и т.д.). Эти науки широко используют её методы не только в решении конкретных задач, но и в аналитических исследованиях. Кризис народного образования в России (да и во всем мире) породил острую дискуссию на тему: «чему учить и как учить». В этой дискуссии особое место занимает вопрос о математическом образовании. В «Концепции развития математического образования в Российской Федерации» эта тема отмечена достаточно определенно: «Система профессионального образования должна обеспечивать необходимый уровень математической подготовки кадров для нужд математической науки, экономики, научно-технического прогресса, безопасности и медицины. Для этого необходимо разработать современные программы, включить основные математические направления в соответствующие приоритетные направления модернизации и технологического развития российской экономики1».

Сложившаяся к середине 20-го века система математического образования в нашей стране, которой мы пользуемся до сих пор, имеет две составляющие.

1. Обучение студента элементам теории основных математических дисциплин. При этом особое внимание уделяется привитию навыков практического решения элементарных аналитических задач (алгебры, геометрии, интегрального исчисления, дифференциальных уравнений и т.д.).

1 Распоряжение Правительства Российской Федерации от 24 декабря 2013 г. № 2506-р.

2. Обучение студента численным методам решения задач с использованием вычислительной техники (раньше арифмометров и логарифмических линеек, а сейчас — компьютерных программ типа Fortran, С, Basic).

В общих чертах эта система имеет место и в школе. Сначала школьника обучают простейшим арифметическим операциям. Чтобы повысить эффективность работы школьника обязывают выучить на память таблицу умножения. При изучении алгебры, геометрии и тригонометрии он должен запомнить еще ряд формул (нахождения корней квадратного уравнения, формулы для работы с тригонометрическими функциями и т.д.).

Первое направление в изучении высшей математики характеризуется прежде всего тем, что на лекциях излагается достаточно ограниченный теоретический материал, подробно анализируются практические методы аналитического решения различных (достаточно простых) задач. На семинарских занятиях происходит закрепление приобретенных навыков (т. е. частично повторяется лекционный материал). При этом опять же надо запоминать основные формулы анализа, геометрии и других дисциплин высшей математики. Затем в домашних заданиях решаются многочисленные задачи на соответствующую тему. В идейном плане эти задачи достаточно простые, однако их решение зачастую требует выполнения громоздкой рутинной работы.

Наглядным примером может служить изучение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Сначала рассматриваются однородные уравнения с простыми, кратными вещественными, а затем и комплексными корнями характеристического уравнения. После этого анализируются различные частные случаи неоднородных уравнений с квазиполиномами в правых частях. Аналогичные операции приходится выполнять при решении систем линейных уравнений с постоянными коэффициентами2.

Второе направление в изучении высшей математики практически не связано с первым направлением. В его основе лежат компьютерные технологии. Математика здесь служит своеобразным полигоном, на котором демонстрируются достоинства различных компьютерных программ по численному (приближённому) решению математических задач.

В частности, значительная часть выполняемых работ этого цикла посвящена приближённому решению обыкновенных дифференциальных уравнений. Используемые при этом компьютерные программы обычно не связаны с программами аналитического решения тех же задач. Ради непрерывности математической подготовки студента всё должно быть как раз наоборот. Программы численного (приближённого) решения задач должны быть тесно увязаны с программами их точного решения. Если не удается получить точное решение, то следует искать приближённое. Только совместный их анализ позволяет глубже понимать эффективность математических методов. Такой совместный анализ можно выполнять, используя аналитические вычисления на компьютерах.

Достижения последних лет в области компьютерных вычислений позволяют существенно повысить качество математической подготовки студентов

2 В МФТИ одно из двух семестровых домашних заданий состоит из 31 задачи этого типа.

естественно-научных и технических специальностей. При этом такое повышение можно обеспечить и в теоретической подготовке, и в умении решать конкретные прикладные задачи.

2. Немного о символьной компьютерной математике и о том, как этим разумно воспользоваться

С начала 90-х годов прошлого века стала бурно развиваться компьютерная математика, основой которой стали символьные вычисления. К настоящему времени имеются мощные и непрерывно совершенствуемые системы (Maple, Mathematica, Reduce и др.), достаточно просто решающие подавляющее большинство математических задач, с которыми имеет дело современный студент. При этом в каждом конкретном случае программа дает возможность проверить правильность полученного результата.

При желании можно дать графическое или численное представление выполненных вычислений. Можно также получить детальное описание процесса решения, выполненного программой. Главное достоинство этих пакетов состоит в том, что для практического их использования не требуется знание программирования (по крайней мере, на первом этапе). Освоить основные команды, необходимые для решения задач математического анализа, дифференциальных уравнений, алгебры и геометрии, студент может за 4-5 практических занятий.

Приведем простейшие наиболее употребительные команды в системе Maple и результаты их применения. Сначала задаем функции: пусть, для примера,

Результат применения различных команд при работе с этими функциями приведен в таблице.

Каждая из приведенных команд достаточно наглядна и при её введении в командную строку результат вычислений получается практически мгновенно. Однако этими свойствами пакета его достоинства не ограничиваются. Каждый пакет имеет мощную справочную систему. В частности, Maple имеет справочную систему, подкрепленную решением тысяч конкретных иллюстративных примеров3. Для решения более сложных задач пакет имеет довольно

3 Далее в статье будем ссылаться только на этот пакет.

развитый собственный язык программирования, содержащий типовые средства процедурного программирования (циклы, операторы, управляющие структуры и т.д.).

Таким образом, системы компьютерной математики имеют не только большие возможности для аналитического решения различных задач, но и для их глубокого анализа.

Чтобы последующим рассуждениям придать конкретный характер, ограничимся анализом преподавания дифференциальных уравнений (36 ч. лекций, 36 ч. практических занятий)4.

Первый большой раздел программы посвящен уравнениям первого порядка. В ныне действующей программе этому разделу отводится достаточно много места. Однако теоретический материал в ней весьма ограничен. Большую часть программы занимают практические методы решения различных типов уравнений (линейных, однородных, в полных дифференциалах и т. д.).

Для практического решения и анализа этих уравнений в Maple имеется большой набор команд. Их использование существенно упрощает решение каждого из указанных уравнений и не требует больших познаний в теории уравнений и в методах программирования. Отметим основные из них и приведем примеры их использования.

1. Чтобы наглядно определить понятие интегральных линий и соответствующих им понятий решений уравнений, требуется воспользоваться командами, определяющими поле направлений и нанесенные на него интегральные линии. Достигается это введением следующей команды:

Результат её выполнения выводится на экран компьютера и представлен на рис. 1.

2. Команда odeadvisor определяет тип уравнения.

3. Команда dsolve(eq) используется, чтобы решить уравнение eq.

4. Командой dsolve({leq,y(0)=l}) решается уравнение leq с начальным условием у(0) = 1.

Рис. 1.

4 Аналогичный анализ можно выполнить по другим математическим дисциплинам.

5 Символ ; (точка с запятой) ставится, если требуется вывести на экран результат выполнения введенной команды. В противном случае в конце команды следует ставить двоеточие.

6 Символ ==> означает, что команда, записанная слева, выводит на экран результат, записанный справа.

5. Команда parametricsol(req) находит решение уравнения req в параметрической форме.

6. Команда particularsol выполняет поиск частных решений, минуя поиск общего решения7.

8. Командой ödetest выполняется проверка решения дифференциального уравнения.

Этот список полезных команд можно продолжить8.

Такой большой набор средств практического решения конкретных уравнений позволяет внести существенные коррективы в изложение теоретического материала и, особенно, — в проведение семинарских занятий по дифференциальным уравнениям первого порядка. На лекциях можно больше внимания уделить теоретическим вопросам. В частности, можно более детально проанализировать понятия решения и интеграла уравнения9. Можно подробно рассмотреть проблему существования и единственности решения, проблему особых решений (см., например, [2] и [4]), более детально описать свойства различных типов уравнений первого порядка (однородные, линейные, Бернулли, Риккати и т.д.) и совсем не заниматься способами их практического решения.

Решение примеров должно полностью перейти на семинарские занятия, на которых следует решать уравнения исключительно с использованием компьютеров. При этом следует решать не только конкретные примеры с численными коэффициентами, но и текстовые задачи (например, из [5]). Подобные

7 В приведенном ниже ответе символом / обозначена мнимая единица.

8 Чтобы воспользоваться справочной системой Maple для получения информации о конкретной команде, можно набрать после символа > название этой команды вместе с вопросительным знаком. Например, ?dsolve.

9 Примерно так, как это сделано в [1-3].

задачи следует включить в домашние задания, которые должны выполняться также с использованием компьютеров.

Следующий большой раздел учебной программы по дифференциальным уравнениям посвящен уравнениям выше первого порядка. Пакет Maple предлагает обширный набор программных средств для решения задач по этому разделу. В этот набор включены указанные выше программы (иногда с новыми опциями).

Пример 1.

Командой

вводятся начальные условия:

решение задачи Коши.

Пример 2.

Командой

вводятся граничные условия:

решение краевой задачи.

В пакете имеется также большой набор программ для решения иных задач, относящихся к уравнениям выше первого порядка. Особое место в теории уравнений выше первого порядка занимают краевые задачи для уравнений второго порядка. Они послужили основой для введения ряда специальных функций, изучение которых, к сожалению, не предусматривается ныне действующими программами по дифференциальным уравнениям и математическому анализу. Все соответствующие краевые задачи представлены в Maple. Отметим некоторые из уравнений, решения которых выражаются через специальные функции.

Пример 3.

Командой

определяется тип уравнения.

Пример 4.

Для решения и исследования уравнений произвольного порядка команда dsolve используется со многими различными опциями. Это позволяет решать аналитически и численно разнообразные задачи, связанные с такими уравнениями. Отметим наиболее употребительные из них.

Пример 5.

- начальные условия;

- решение задачи Коши с использованием преобразования Лапласа.

Пример 6. DFactorsols — построение решения уравнения с помощью интегрирующего множителя.

во внутренних скобках два решения соответствующего однородного уравнения, а вне этих скобок — частное решение неоднородного уравнения.

Таким образом, использование Maple значительно упрощает процесс решения различных конкретных задач для уравнений выше первого порядка, которые должен решать студент в рамках действующей программы. Более того, Maple предоставляет возможность «одним махом» решать классы однотипных задач с помощью соответствующих процедур. Такие процедуры описаны в справочной системе Maple. Всё это позволяет значительно сократить время на изучение ныне существующего программного материала по уравнениям выше первого порядка.

Аналогичные выводы можно сделать и относительно теории систем уравнений первого порядка. Особенно это относится к системам линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Теоретической базой для их практического решения являются две теоремы.

Первая из них определяет структуру общего решения линейной однородной системы у' = Ау. Эта структура существенно зависит от того, являются ли собственные значения матрицы А простыми или кратными, вещественными или комплексными и т. д. На анализ всех этих деталей тратится много времени на лекциях и на семинарских занятиях.

Вторая теорема определяет структуру общего решения неоднородной системы у1 = Ау + f(x) как сумму общего решения соответствующей однородной системы и частного решения неоднородной системы. Практическое построение частного решения (обычно выполняемое вариацией постоянных) оказывается также достаточно громоздким.

Соответствующая программа из Maple решает задачу с помощью команды matrixDE. При этом даже не требуется выписывать систему уравнений. Достаточно указать независимую переменную ж, матрицу А и функцию /.

Пример 7.

Здесь полученное решение состоит из матрицы линейно независимых решений соответствующей однородной системы и вектора частного решения исходной неоднородной системы. Та же процедура применяется и для решения линейных систем с переменной матрицей А = но с использованием некоторых дополнительных опций, определяющих тот или иной метод решения. Соответствующую дополнительную информацию по этой теме можно получить в справочной системе Maple.

Как известно, при решении задачи Коши для системы с постоянными коэффициентами в качестве матрицы фундаментальной системы решений целесообразно использовать экспоненциальную матрицу еЛх. В Maple она находится командой MatrixExponential из пакета Linear Algebra.

Пример 8.

Если требуется проанализировать более или менее детально процесс решения дифференциального уравнения, то можно воспользоваться системной командой infolevel [dsolve] :=level, которая может сообщить пользователю информацию о процессе решения, включая сообщение об использованном алгоритме. Значение level можно выбирать от 0 (низший уровень) и до 5.

Пример 9.

В учебной программе уравнения с частными производными первого порядка (УЧП) преподносятся как одно из важнейших приложений обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Основой для такого вывода являются теоремы о связях между интегралами систем ОДУ и решениями УЧП.

В системе Maple этот вопрос достаточно детально проработан с использованием теории групп Ли10. Применяя эти группы можно обосновывать теоретически различные не связанные между собой методы решения ОДУ (замены переменных, выбор интегрирующих множителей и т.д.). Можно также находить способы решения конкретных уравнений. Многие из таких уравнений решить иным способом практически невозможно.

Применение групп Ли для решения уравнений, а также способы построения конкретных объектов теории этих групп (инварианты, коммутаторы и т.д.) представлены в пакете DEtools с анализом многочисленных примеров. Поэтому представляется естественным включение элементов теории групп Ли в программу ОДУ хотя бы в том небольшом объеме, который дан в [3]. Знание теоретического материала по этим группам поможет студенту в решении ряда задач при анализе конкретных ОДУ. Отметим лишь некоторые из них.

1. Находить группу Ли, допускаемую данным уравнением.

2. С помощью этой группы находить преобразование переменных, при котором понижается порядок уравнения.

3. С помощью той же группы находить интегрирующий множитель. Согласно теории группу Ли в пространстве двух переменных можно однозначно определить её оператором

Продолженные операторы X определяются формулами

Для данного уравнения

командой symgen находится оператор группы, порождаемый данным уравнением.

Пример 10.

Инварианты группы и её продолжений находятся командами

10 В Maple имеется пакет PDEtools, который содержит набор команд и процедур для решения и исследования УЧП.

Пример 11.

При этом под yl понимается производная у'.

Командой equinv получается дифференциальное уравнение, допускаемое данной группой.

Пример 12.

Команда Xcommutator определяет коммутатор операторов.

Пример 13.

Коммутатор fc-x продолжений операторов XI и Х2 определяется командой Xcommutator(XI,Х2,у(х) ,к).

Пример 14.

Здесь через у2 обозначается производная у". Набор этих и других команд служит основным аппаратом системы Maple для работы с группами Ли. В частности, с их помощью решаются многие задачи по дифференциальным уравнениям как с обыкновенными, так и с частными производными.

3. Приближенные решения и визуализация результатов

Известно, что достоинства каждого метода приближенного решения задачи характеризуются простотой процедуры, скоростью сходимости приближений и оценкой погрешности. В Maple представлены различные численные и приближенные аналитические методы. Можно воспользоваться командой dsolve с соответствующими опцией. Параметром 'abserr'=aerr можно задать величину абсолютной погрешности решения, а параметром 'minerr' = vain — величину погрешности. Вот простой пример.

Пример 15.

Более того, в этой системе можно усовершенствовать выбранную процедуру или даже разработать свою собственную. Для этого в Maple имеются необходимые программные средства.

Полученные результаты всегда можно проиллюстрировать соответствующими графиками и рисунками, что особенно полезно, когда на лекции или практическом занятии рассматривается конкретная прикладная задача. Всё это свидетельствует о том, что нет необходимости раздельно преподавать методы приближенного и точного решения дифференциальных уравнений. Использование этих методов предназначено для решения одной задачи (исследование поведения той или иной системы).

Визуализация решений (результатов вычислений) в системе Maple достаточно многообразна. Команда phaseportrait выдает рисунок с фазовым портретом уравнения (см. рис.1). С помощью команды odeplot можно построить интегральную линию или несколько таких линий на одном рисунке (рис.2). При этом решение уравнения находится приближенно (используется опция numeric).

Пример 16.

Большие возможности имеет пользователь системы Maple при анализе интегралов ОДУ и частных решений УЧП. С помощью программ пакета plots3D можно анализировать поверхности, рассматривая их с разных сторон. При анализе динамических систем иллюстративный материал можно представлять в виде анимационных картинок, с помощью которых можно наглядно демонстрировать протекание описываемого процесса.

Из всего изложенного следует, что использование системы Maple позволяют излагать точные и приближенные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений в едином лекционном курсе. С методической точки зрения такой подход к изложению материала представляется более естественным по сравнению с тем, что делается сейчас (если не получается найти точное решение, то следует искать его приближение и оценивать допускаемую погрешность).

Более того, существенное сокращение времени на изложение традиционного материала программы дает возможность вносить в неё дополнительные разделы теории.

Рис. 2.

Использование системы Maple позволяет принципиально изменить методику проведения семинарских занятий, их содержание, а также содержание самостоятельной работы студентов. При такой методике решения задач студент освобождается от выполнения значительной части рутинных работ (алгебраических преобразований, вычисления интегралов и т.д.). Он может сосредоточиться на анализе свойств дифференциальных уравнений и их решений. У него появляется реальная возможность значительное время уделять исследованию более сложных нелинейных систем.

В настоящее время идёт процесс активного использования компьютерных технологий при обучении студентов различным разделам математики. Так, кафедра дифференциальной геометрии и приложений МГУ, в течение многих лет успешно проводящая исследования по компьютерной геометрии, учебным пособием [6] иллюстрирует широкие возможности системы Mathematica при изучении геометрии. Имеется учебник по использованию системы Maple при изучении уравнений математической физики [7]. Представляет интерес опыт использования Maple в изучении графов [8]. Следует также отметить, что тема использования компьютерных технологий в преподавании высшей математики уже много лет обсуждается в различных статьях (см., например, [9-12]).

Всё это свидетельствует о том, что начался процесс активного использования компьютерных технологий при обучении студентов различным разделам математики. Ему следует придать новые формы.

4. Заключение и выводы

Приведенный выше анализ показывает, что ныне действующие программы по высшей математике не вполне соответствуют современным требованиям и возможностям качественной подготовки специалистов по естественным и физико-математическим наукам. Использование компьютерных систем может привести к существенному повышению качества математической подготовки специалистов. Это достигается за счет существенного сокращения времени на изучение достаточно простых типовых математических задач11. Тем самым появляется возможность включить в программу курса более детальное изучение теоретических вопросов существующей программы.

В курсе дифференциальных уравнений можно более детально рассматривать проблему единственности решений с анализом особых решений и уравнений с сингулярными возмущениями. Можно также включить вопросы математических теорий, широко используемых специалистами прикладных наук (теория устойчивости замкнутых систем управления, теория периодических колебаний нелинейных систем и др.). Соответствующие коррективы следует вносить в программу семинарских занятий и самостоятельной работы студентов. Главным при этом должно быть не решение простейших примеров, а

11 В дифференциальных уравнениях таковыми являются, например, задачи по уравнениям и системам с постоянными коэффициентами и других простых уравнений.

решение содержательных задач. Того же типа задачи должны выполняться и в домашних заданиях.

Приведенный анализ возможностей системы Maple в совершенствовании преподавания дифференциальных уравнений позволяет сделать достаточно общие выводы.

1. Качество теоретической и практической подготовки специалистов можно существенно повысить путем широкого использования систем компьютерной математики во всех направлениях учебного процесса (лекции, семинарские занятия и самостоятельная работа студента).

2. Системы компьютерной математики имеют большие возможности для более качественного решения практически всех типов математических задач, которые ныне решаются иными методами. Можно проверить правильность полученного решения, представить его геометрический образ (интегральную линию или интегральную поверхность), показать анимационную картину. Более того, использование таких технологий позволяет существенно расширить классы задач, изучаемых студентами.

3. Для использования Maple, Mathematica и других подобных систем не требуются глубокие познания в программировании. Каждая из этих систем содержит свои собственные типовые средства процедурного программирования. При решении конкретных задач (по крайней мере, в рамках учебного процесса) нет необходимости использовать Фортран, С, Бейсик и т.п. языки программирования, что существенно сокращает путь к практическому использованию системы компьютерной математики.

4. Использование систем компьютерной математики в преподавании математических дисциплин позволяет преподавателю и студенту обойтись без выполнения значительной доли рутинной работы, которую может выполнить компьютер. За преподавателем и студентом остается (в основном) та часть рутинной работы, которая связана с выводом новых формул, с доказательством теорем, с приведением нестандартных уравнений к тому виду, который может решать компьютер и т. д.

В заключение остановимся на нескольких общих вопросах, связанных с использованием компьютерных технологий в преподавании математики в вузах.

Для перехода к такой системе изучения высшей математики требуется, очевидно, существенно изменить учебные программы не только по высшей математике, но и по некоторым разделам вычислительной математики и программирования. Эта работа потребует провести переподготовку преподавателей. Потребуется также новая учебная литература по каждому предмету высшей математики. Учебная литература по компьютерной математике имеется (см., например, [13, 14]). Предлагаемая перестройка — это сложная и достаточно объёмная задача. Тем не менее этим делом надо заниматься сейчас.

Не так далеко то время, когда с использованием Maple, Mathematica и других подобных систем будут доказываться известные и новые теоремы. Поэтому математическая подготовка студента должна быть организована так, чтобы

во-первых, увеличить долю теории в преподавании основных математических дисциплин путем широкого применения компьютерных технологий;

во-вторых, студента следует научить решать на компьютере все те примеры и задачи, которые он не может решить «в уме». Пока же он это делает менее эффективно, используя карандаш и бумагу.

Содержание этой статьи неоднократно обсуждалось с профессором МГУ А.В.Аксеновым, которому автор искренне признателен за полезные замечания.

ЛИТЕРАТУРА

1. Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Наука, 2012. 344 с.

2. Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. - М.: Изд-во УРСС, 2003. 272 с.

3. Егоров А. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями. Изд. 3-е, испр. и доп. — М.: Физматлит, 2007. 448 с.

4. Егоров А. И. Теорема Коши и особые решения дифференциальных уравнений. — М.: Физматлит, 2008. 256 с.

5. Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям: Учебное пособие. Изд. 5-е. — М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2013. 240 с.

6. Иванов А. О., Ильютко Д. П., Носовский Г. В., Тужилин А. А., Фоменко А. Т. Компьютерная геометрия: практикум. Учебное пособие. — М.: БИНОМ, лаборатория знаний. 2010. 390 с.

7. Голоскоков Д. П. Уравнения математической физики. Решение задач в системе Maple. Учебник для вузов. — СПб.: Питер, 2004. 539 с.

8. Кирсанов М.Н. Графы в Maple. Задачи, алгоритмы, программы. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. 168 с.

9. Кетков Ю.Л., Кузнецов А. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения: MathLab versus MathCAD // Математика в высшем образовании. 2005. № 3. С. 27-52.

10. Коган Л. П. Визуальное исследование свойств функций комплексной переменной // Математика в высшем образовании. 2012. № 11. С. 85-92.

11. Коньков А.А. Об одном пакете компьютерных программ, облегчающем проведение зачётов по уравнениям в частных производных // Математика в высшем образовании. 2012. № 11. С. 57-62.

12. Котелина Н. О., Певный А. Б. Использование системы MAPLE для вычисления и оценки контактных чисел // Математика в высшем образовании. 2012. № 10. С. 49-56.

13. Аладьев В. 3. Программирование и разработка приложений в Maple: монография / В.З. Аладьев, В. К. Бойко, Е. А. Ровба. — Гродно: ГрГУ; Таллинн: Межд. Акад. Ноосферы, Балт. отд. 2007, 458 с.

14. Дьяконов В. П. Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании. — М.: СОЛОН-Пресс, 2006. 720 с.

Поступила 18.03.2015

LET US GIVE KNOWLEDGES TO STUDENTS THAT WILL NEED TO THEM IN FUTURE?

A. I. Egorov

A brief analysis of the modern system of mathematical training of University students. Outlines the capabilities of computer systems mathematics in solving various mathematical problems. The ways to improve the mathematical preparation of students based on the use of computer technology.

Keywords: mathematics education, computer algebra, differential equations, Maple, Mathematica.

СОДЕРЖАНИЕ И ТЕХНОЛОГИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ В ВУЗЕ

УДК 51

МАТЕМАТИКА В МОСКОВСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ: ВЗГЛЯД МАТЕМАТИКА И РЕКТОРА1

В. А. Садовничий

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова Россия, 119991, г.Москва, Ленинские горы; e-mail: info@rector.msu.ru

Глубокоуважаемые коллеги-математики!

Выступление на нашей конференции для меня значимо вдвойне. По призванию и образованию я математик. По велению судьбы и доверию коллектива — ректор. Как математик я смотрю на развитие математической науки и на роль математики в современной жизни, как ректор — на её место в системе образования. Оба этих взгляда на математику я постараюсь отразить в своём выступлении.

Приоритетное внимание к математике — отличительная черта российской системы образования, корни которой мы вполне можем назвать математическими. В 1701 году — это начало европейского Века Просвещения — открываются двери просвещения и в России. По указанию Петра I в Москве создаётся Школа математических и навигацких наук. Как писал Ломоносов, Пётр «усмотрел тогда ясно, что ни полков, ни городов надёжно укрепить, ни кораблей построить и безопасно пустить в море [невозможно], не употребляя математики».

Одним из первых учителей математики, работавших в этой школе, был Леонтий Магницкий, автор первого в России учебника по арифметике — того самого, который Ломоносов назвал «вратами своей учёности». Один из экземпляров первого издания этого учебника хранится в Научной библиотеке Московского университета.

Магницкий — псевдоним, данный математику Петром за то, что он притягивал к себе учеников, как магнит (по одной из версий, его настоящая фамилия Теляшин). Это важное свойство учителя — не только много знать, но и как магнит притягивать учеников — стало, можно сказать, нашим отечественным «ноу хау», профессиональным секретом (хотя ничего секретного здесь нет) успеха нашего математического образования.

Не могу не вспомнить ещё одного, так сказать, «Магницкого» — Сергея Александровича Рачинского, выпускника и профессора Московского университета, который был основателем и учителем первой в России сельской школы с общежитием для крестьянских детей.

1 Предоставленный редакции ректором МГУ им. М.В.Ломоносова В. А. Садовничим текст его доклада «Математика в университете. Взгляд математика и ректора», прочитанного 23 апреля 2015 г. на конференции «Математика в жизни общества: достижения, проблемы, перспективы».

Успехи российской математической школы сегодня общепризнанны. За сравнительно небольшой по историческим меркам срок Россия превратилась в одну из самых математически грамотных стран мира, а её математическая школа стала неотъемлемой, а по многим направлениям — и ведущей силой мирового математического сообщества. И роль Московского университета в этом трудно переоценить. С середины 19-го века именно здесь начинается постепенный расцвет и последующий блестящий взлёт математики.

Существенную роль в становлении математического образования в Московском университете сыграли профессора Н. Д. Брашман и Н. Е. Зернов. Надо помнить и о том, что Н. Д. Брашман был основателем и первым президентом Московского математического общества. Его ученик П. Л. Чебышев заложил основы русской школы теории чисел, конструктивной теории функций, основным элементом которой является теория наилучшего приближения функций, а также математической теории машин и механизмов.

С именем П. Л. Чебышева связан и любопытный поворот в истории российской математики — выпускник Московского университета, ученик основателя Московского математического общества, переехав в Петербург, становится главой петербургской математической школы, отношения которой с московской были не лишены драматизма. Так, например, когда петербуржец А. А. Марков подверг критике знаменитые результаты Софьи Ковалевской, касающиеся интегралов уравнений движения твёрдого тела вокруг неподвижной точки, Ковалевскую поддержали москвичи.

В таких конфликтах Московское математическое общество выступало в роли арбитра, как организация, деятельность которой носит не местный (московский!), а общенациональный характер. Постепенно Москва из просто заметного в Европе центра математических исследований стала превращаться в одну из ведущих мировых математических столиц. А Чебышев всегда оставался верным сыном своей Альма-матер и хранил благодарную память о своих учителях. Портрет Н. Д. Брашмана постоянно был у него на письменном столе.

В начале 20-го века в центре внимания математиков была теория функций действительного переменного. Ею занимались Д. Ф. Егоров и Н. Н. Лузин. Ими были доказаны основополагающие теоремы в теории функций — теорема Лузина и теорема Егорова. Так возникла одна из самых знаменитых математических школ 20-го века — Московская школа теории функций.

Лузина тоже можно назвать «Магницким» своего времени. Он тоже, как магнит, притягивал учеников — к себе и к математике, выращивал таланты. Лузитания — уникальный пример, когда научная школа вошла в историю по имени своего основателя. Невозможно представить себе мехмат МГУ без «Древа Лузина».

В области теории функций комплексного переменного выдающиеся результаты получили М. А. Лаврентьев и его ученик, будущий президент Академии наук СССР, главный теоретик космических программ М. В. Келдыш. Ещё молодым Келдыш решил сложную задачу развития скоростной авиации — обеспечение безопасности полётов, защиту самолёта от флаттера.

Учеником Лузина был А. Н. Колмогоров. Он предложил общепринятую сегодня аксиоматику теории вероятностей, что имело огромное значение для

развития этой теории и её применения во многих областях естествознания и техники, совместно с Л. А. Люстерником и Л. Г. Шнирельманом заложил основы функционального анализа.

А. Н. Колмогоров много сделал для развития школьного образования. Его имя носит школа-интернат Московского университета для одарённых детей. Среди выпускников этой школы около восьми тысяч кандидатов наук, более восьмисот докторов наук, пять членов Российской академии наук и Российской академии образования.

Учеником Лузина был и П. С. Александров — основатель советской топологической школы. Из этой школы, в свою очередь, вышли А. Н. Тихонов -автор основополагающих работ по общей топологии и функциональному анализу, по теории дифференциальных и интегральных уравнений, по математической физике и вычислительной математике, и Л. С. Понтрягин, чьи труды оказали определяющее влияние на развитие топологии и топологической алгебры и положили начало теории оптимального управления.

Усилиями этих и других выдающихся учёных в Московском университете была создана уникальная математическая школа. Достаточно сказать, что в те годы на мехмате МГУ одновременно функционировали более пятисот спецсеминаров и спецкурсов. Этот феномен и сегодня является предметом изучения историков науки в разных странах мира.

Важно и интересно задуматься о том, какие изменения происходят в мире науки вообще и в области математики в частности.

Сейчас много говорят об изменении соотношения «непрерывной» математики и «дискретной». Часто можно слышать, что раньше, то есть в «докомпьютерную эпоху», основная часть математики была как бы «непрерывной», а теперь положение поменялось на обратное — большая часть математики стала как бы «дискретной». Сегодня под словом «дискретная», кроме классического представления, понимается и математика, нацеленная на создание компьютерных алгоритмов.

Такой поворот развития математики стимулировал развитие вычислительных систем. А эти системы, в свою очередь, породили новые направления математики, которых не было раньше.

Неотъемлемой частью современной науки давно уже стали математическое моделирование различных объектов и процессов и вычислительные эксперименты, заменяющие реальные. Появился даже термин, обозначающий компьютерное моделирование эксперимента, — in silico, т. е. «в кремнии» (поскольку кремний как полупроводник применяется в производстве компьютеров), по аналогии с in vivo «в живом организме» и in vitro «в пробирке».

Сейчас на повестку дня выходят уже не просто вычисления, а супервычисления на мощных вычислительных комплексах с производительностью в сотни терафлопс, в несколько петафлопс, а в скором времени и более.

Московский университет располагает самым мощным в России и СНГ суперкомпьютерным комплексом и постоянно наращивает его производительность. Сейчас мы работаем над увеличением производительности нашего нового суперкомпьютера «Ломоносов-2», который занимает 22 место в мире. Впереди нас — только национальные вычислительные центры ведущих держав.

Супервычисления основаны на массовом параллелизме вычислительных операций и зачастую требуют использования принципиально иных математических методов и алгоритмов по сравнению с теми, которые казались оптимальными в случае обычных вычислений. Например, в последние 30-40 лет математики отдавали предпочтение неявным по времени разностным схемам решения систем дифференциальных уравнений. Теперь же выясняется, что при использовании массового параллелизма операций предпочтительными оказываются явные по времени схемы вычислений.

Сейчас уже обычные домашние компьютеры и даже мобильные телефоны, смартфоны используют многоядерные процессоры. Параллелизм вычислений и других операций становится обыденным явлением. Например, принцип параллелизма широко используется в видеокартах для компьютерных игр. Поэтому, видимо, пришло время подумать о том, чтобы включать начальные методики распараллеливания вычислений в школьные курсы математики и информатики.

Развитие вычислительных систем дало толчок для таких направлений математики, как распознавание образов и создание «думающих» систем.

Первое направление построено на новых идеях распознавания образов, использует тестовый подход и особые инварианты геометрических фигур. Оно с высокой степенью достоверности позволяет распознавать абстрактные и визуальные образы, включая печатные и письменные знаки, символы и буквы, то есть фактически читать текст.

Второе направление нацелено на извлечение смысла из текстов и чертежей, на «понимание» поставленной задачи и решение её с показом хода рассуждений. Здесь по-новому имитируются логические рассуждения человека, с использованием его формализованного опыта. Иными словами — понимается смысл и решается задача. Такая компьютерная интеллектуальная система построена и успешно функционирует в математической среде. Она решает до 90% задач из задачников по школьной математике, «поступает» на мехмат МГУ и даже «окончила» несколько курсов, «учась» на «хорошо» и «отлично», за секунды справляясь с предлагаемыми ей задачами. Её возможности намного превосходят все известные системы в этой области.

Развитие компьютерных технологий имело своим следствием информационную революцию со всеми вытекающими последствиями — как положительными, так и отрицательными. К положительным последствиям относится развитие новых направлений математики, обеспечивающих разные виды работы с информацией: хранение, обработку и передачу больших объёмов информации, защиту информации.

О важности работы с информацией говорит тот факт, что специалисты в области информационных технологий возводят её в ранг научной парадигмы. Например, Джим Грей, известный специалист в области информатики, лауреат премии Тьюринга, предложил определять современное положение дел как четвёртую научную парадигму.

Принято считать, что научная парадигма - это признанные научные достижения, которые в течение определённого времени дают научному сообществу модель постановки проблем и их решения. О чём в данном случае идёт речь? Вот идеи Джима Грея.

Тысячи лет назад наука была эмпирической — то есть она просто описывала природные феномены. Затем появилась теоретическая наука (последние несколько сотен лет) с законами Кеплера, законами динамики Ньютона, уравнениями Максвелла и т.д. Затем, по многим причинам, теоретические модели стали слишком сложными для аналитического решения, и пришлось заняться моделированием. Это — последние несколько десятилетий.

Сегодня, вместе с огромным увеличением объёмов данных от экспериментальных наук, такое моделирование образует колоссальные массивы данных. Эти данные, собранные приборами или созданные моделями, обрабатываются программным обеспечением и сохраняются в компьютере. Технологии для такой науки с использованием большого объёма данных настолько разнообразны, что эту науку имеет смысл выделять в качестве новой парадигмы исследований.

Идеологи такого подхода (а это, как правило, специалисты в области информационных технологий) считают, что в 21-м веке большая часть непрерывно получаемых научных данных будет сохраняться вечно в общедоступном состоянии в целях анализа. И этот анализ, предполагают они, приведёт к разработке множества новых теорий.

Я думаю, что в этой аудитории такой подход вряд ли найдёт сторонников. Новые научные теории так не рождаются. А как они рождаются?

Пока у нас нет ответа на это вопрос. Однако, возможно, мы вскоре его получим.

Сегодня исследования мозга являются одним из приоритетов в глобальном научном пространстве. Все ведущие научные державы создают свои программы исследований мозга. В Европе такие национальные программы объединены десятилетним мегапроектом «Человеческий мозг» — «Human Brain Project». Европейский Союз выделил более миллиарда долларов на разработку компьютерной модели мозга человека. В 2013 году Обама выдвинул «BRAIN Инициативу», по его словам, «великий вызов 21 века»; начальное финансирование — более 100 млн. долларов. Подобные программы есть в Австралии, Израиле, Японии, Корее, Индии. Китай создаёт программу «China Brain». Китайцы позиционируют её на уровне планов освоения Луны и вкладывают в неё в 10 раз больше средств, чем в США.

Вложение средств в развитие науки о мозге напоминает о таких научных и технических проектах, ориентированных на актуальные национальные приоритеты, как атомная энергетика, ядерное оружие, исследования космоса, альтернативные источники энергии и расшифровка генома.

Информационные технологии пронизывают нашу жизнь вплоть до самых повседневных дел и постоянно ставят перед нами всё новые проблемы. Возьмём, к примеру, облачные хранилища информации. Тренд, как представляется, состоит в том, что фактически современный мир в скором времени превратится в один виртуальный суперкомпьютер, предоставляющий людям различные сервисы. Кто будет владеть таким компьютером — тот будет править вселенной. Уже сейчас наша жизнь немыслима без социальных сетей, распределённых систем хранения данных, электронных платежей и т. д.

Понятно, что проблема информационной безопасности — и личности, и государства — выходит на первый план. И здесь уже зачастую не работают

классические методы защиты информации — такие, как классическая криптография, классические методы защиты компьютерных систем. Необходимо заниматься разработкой новых технологий защиты информации в облачных средах.

Одним из важных приложений современной математики является изучение таких индивидуальных характеристик человека, как геном и транскриптом. Речь идёт как о фундаментальном теоретическом изучении, так и о клинических приложениях, связанных с ранней диагностикой болезней, а также с прогнозированием течения заболевания и оптимальным выбором терапии.

В ряде случаев для достоверного выявления болезни или эффективного выбора лекарственных препаратов достаточно получить информацию об особенностях или об активности только одного гена. Однако в большинстве ситуаций для достоверного вывода требуется совместный анализ целой группы генов. Обычно при построении таких групп отбираются те гены, которые обладают наибольшей индивидуальной информативностью. В то же время совокупная информативность группы не равна сумме индивидуальных информативностей составляющих её генов, точно так же, как сила спортивной команды не сводится к силе её отдельных игроков, а важным фактором является согласованность, командное взаимодействие.

Группа математиков мехмата МГУ изучила возможность построения клинически значимых наборов генов, при котором максимизируется именно совокупная информативность. В силу огромного количества вариантов — сотни миллионов, даже миллиарды уже в случае небольшого размера групп — работа потребовала использования суперкомпьютерного комплекса МГУ: суперкомпьютеров «Ломоносов» и «Чебышев». Результаты оказались крайне интересными и при этом довольно неожиданными. Оказалось, что достоверность, обеспечиваемая в используемых сейчас клинических тест-системах наборами из десятков генов, достижима уже на паре генов, имеющих при этом довольно низкую индивидуальную информативность, зато крайне высоко значимых в совокупности.

Завершая свои рассуждения о математике как науке, хотел бы остановиться на такой актуальной для научного сообщества теме, которую можно обозначить как «гонка» наукометрических показателей: импакт-фактор и индекс Хирша относительно недавно и весьма решительно вошли в нашу жизнь.

Лозунг «Publish or Perish» — «Публикуй или погибнешь» — появился задолго до того, как были изобретены индекс цитирования и импакт-фактор журналов, который долгое время служил для планирования библиотечных подписок. Однако постепенно эти показатели, наукометрические по природе, стали иметь финансовые последствия. Зарплата учёных в западных странах стала зависеть от публикаций в высокорейтинговых журналах. Этим воспользовались издатели научной периодики, которые со временем монополизировали этот рынок, прибрав к рукам все высокоимпактные журналы и подняв на них цены.

Дерек Прайс, заложивший основы наукометрии, установил закономерность, гласящую, что половина всех научных работ написана учёными, число которых составляет квадратный корень от их общего числа. Сегодня ему пришлось бы скорректировать свои выводы.

Эта проблема, которая на западе воспринимается, прежде всего, в плане издержек псевдонаучности, для нашей страны несёт ещё один риск. Приоритетное внимание к публикациям в англоязычных журналах имеет и оборотную сторону для отечественной периодики, для русского научного языка.

Сегодня научная общественность во всём мире приходит к выводу, что научная информация должна быть открытой и доступной. На смену лозунгу «Publish or Perish» приходит «Liquid Publication» («жидкие», «текучие» публикации типа известного ArXiv.com).

Конечно, разговор о развитии математической науки и её приложений неизбежно выходит на тему школы — ведь именно там закладываются основы математического образования. Школа — и высшая, и средняя — во всём мире сейчас переживает период глубоких и всесторонних преобразований. Затронули они и математику.

Главное, что характеризовало школьное обучение математике в прошлом, вплоть до 70-х годов 20-го века — реализация принципа: иметь немного понятий, но уметь выявлять между ними как можно более глубокие связи. Это достигалось в основном за счёт решения значительного числа задач возрастающей сложности. Начиная с последней трети 20-го века, мы наблюдаем инвертирование этого принципа: иметь много понятий и выявлять неглубокие связи между ними. Это привело к тому, что можно назвать «рецептурным» обучением математике, часто бездоказательным.

Математическое образование — один из важнейших факторов, определяющих уровень экономического и общественно-политического развития страны. Неслучайно годы расцвета нашей математической школы стали годами космического приоритета нашей страны. Именно тогда была построена отечественная система математического образования, достижения которой признаны во всём мире.

И на сегодняшний день преподавание математики у нас пока ещё находится на очень высоком уровне. Несколько лет назад мы провели анализ учебных планов и программ по математике Московского университета, сравнив их с тем, что имеется в ведущих университетах мира. В этой работе участвовали авторитетные учёные университета, многие из которых работали и работают в известных зарубежных вузах. Оказалось, что наши учебные планы — наиболее полные и содержат все учебные курсы, которые в разных наборах и не в такой полноте представлены в других университетах. Из всей совокупности учебных курсов по математике, читаемых во всех университетах различных стран, в МГУ читается две трети, тогда как в каждом из сравниваемых университетов читается не более половины этих курсов.

Математика играет ключевую роль в образовании, являясь не только одной из учебных дисциплин, но и инструментом для освоения других областей знания, как естественнонаучных, так и социально-гуманитарных.

Самостоятельный интерес представляет математика и как отдельная наука, в которой есть свои законы и свой предмет исследования. История человечества показывает, что развитие самой математики обеспечивает прогресс во всех остальных научных исследованиях, опирающихся на математические методы.

Осознавая эту ведущую роль математики, я неоднократно ставил проблему математического образования на встречах ректоров университетов с Президентом нашей страны В. В. Путиным. И когда после этих встреч необходимость совершенствования математического образования в России стала отдельной строкой майского 2012 года Указа Президента «О мерах по реализации государственной политики в области образования и науки», я, как математик и как ректор, совместно с Ю. С. Осиповым, бывшим тогда президентом РАН, обратился к В. В. Путину, выразив готовность принять участие в работе над Концепцией математического образования.

В этой работе принимали участие и математики Московского университета. Обсуждалось несколько подходов к Концепции математического образования.

Предлагалось взять за основу дифференцированное обучение математике в старших классах и разделять: математическую грамотность (если школьник не приобрёл её к 10-му классу, то в выпускных классах он просто повторяет то, что учил раньше); математическую культуру (для тех, кому математика пригодится в вузе и в дальнейшей работе) и математическое творчество (для тех, кто может создавать «новую» математику).

Что можно сказать по этому поводу?

На мой взгляд, выбор жизненного пути, или образовательной траектории, происходит у людей в разном возрасте. Известно немало примеров, когда крупные учёные выбирали путь, на котором добивались признания, далеко не в юношеском возрасте. Следует прислушаться и к мнению учителя, подготовившего двух филдсовских лауреатов — С. Е. Рукшина, который говорит, что надо различать профилизацию, или дифференциацию обучения, о которой здесь идёт речь, и углублённое изучение предмета. Углублённое изучение достигается за счёт увеличения часов на математику, а профилизация — за счёт уменьшения в пользу других предметов.

Университетские математики, работавшие над Концепцией математического образования, представили своё видение, основанное на многолетних традициях, эффективность которых многократно подтверждена признанными во всём мире достижениями наших математиков. Теми самыми достижениями, которыми за рубежом объясняли, в частности, приоритет нашей страны в освоении космоса.

Что мы считаем важным?

Продуманное, проверенное опытом постепенное восхождение по лестнице математического образования от начальной школы до университета. Для каждого уровня образования, для каждого возраста — свои требования, по-разному унифицированные и дифференцированные в зависимости от способностей и потребностей учащихся. Есть рекомендации относительно того, когда лучше начинать профильное, специализированное обучение математике, какого типа задачи лучше давать в зависимости от уровня подготовки и заинтересованности учащихся (сложные, в том числе абстрактные, или задачи, связанные с практикой, логические задачи и т.п.), как строить обучение геометрии и т. д.

Развитию интереса к математике способствуют математические олимпиады и другие математические соревнования, где школьники знакомятся со множеством красивых и полезных математических идей, учатся общаться и честно соревноваться со сверстниками, начинают верить в свои творческие силы. Участвуя в олимпиадах, многие талантливые школьники правильно определяют свою образовательную траекторию.

Интенсивно развивающиеся электронные ресурсы позволяют делать ставку на различные дистанционные формы факультативной работы со школьниками.

В связи с проявившимся в последние годы резким снижением уровня математической подготовки школьников целесообразно, особенно в начальной школе, уменьшить идейную и абстрактно-понятийную нагрузку, увеличив время на решение текстовых и других смысловых (практических) задач. Конкретные задачи и применение именно арифметических (по действиям), а не алгебраических методов будут способствовать развитию базовых навыков логического мышления.

В основной и старшей школе надо сохранить задачи на решение уравнений и неравенств, как алгебраических, так и иррациональных, тригонометрических, логарифмических, показательных. Эти задачи учат работать с функциями. Они вполне доступны для школьного понимания (разумеется, при соблюдении меры сложности), но требуют определённой культуры выполнения алгебраических преобразований. Именно этой культуры не хватает многим абитуриентам — а она необходима, чтобы научить их делать более сложные вещи: вычислять интегралы и производные, исследовать функции, решать дифференциальные уравнения и многое другое.

Нужно вернуть внимание к изучению геометрии — этого уникального по своей роли в математическом образовании предмета, который не только учит логически мыслить, но и развивает воображение, интуицию, творческие способности, что особенно важно для подготовки будущих инженеров.

Математики также обсуждают вопрос о том, чтобы сдвинуть на более позднее время материал, связанный с теорией вероятностей и математической статистикой, комбинаторикой, теорией множеств и логикой, а также всё, что связано с формальной стороной дифференциального и интегрального исчисления.

Изучение математики в школе не должно быть излишне формализованным, содержать немотивированные общие понятия и конструкции, превращаться в заучивание текстов. Оно должно опираться на доступные школьникам рассуждения и сопровождаться посильными доказательствами. Для лучшего усвоения материала надо увеличить время на решение задач.

На мой взгляд, именно в этом направлении можно развивать утверждённую Концепцию математического образования.

А что в высшей школе?

Если программы бакалавриата должны быть в достаточной степени унифицированы и закреплены в государственных стандартах, то образование в магистратуре или на завершающей стадии специалитета может варьироваться в зависимости от желаний и способностей студента. Более того, воз-

можность дифференцированной специализации студента должна быть обеспечена свободой его выбора (в рамках избранной специальности) в отношении набора спецкурсов и практикумов, целенаправленных научных разработок и междисциплинарных научных исследований, стажировок в различных учебно-научных учреждениях, в том числе и зарубежных, и т. д.

Большим достижением стало то, что отныне в Московском университете на математическое образование отводится шесть лет.

И, наконец, о наших задачах. Что мы могли бы сделать для улучшения математического образования?

Провести детальный анализ школьных учебников по математике с участием представителей вузов, в случае необходимости организовать написание новых; разработать качественные мультимедийные курсы, учебники и пособия, помогающие части особо подготовленных учащихся самостоятельно усваивать школьные математические предметы.

Создать при ведущих университетах центры дистанционного математического образования по программам средней школы, программам различных естественнонаучных и инженерно-технических направлений.

Организовать педагогические отделения на математических факультетах ведущих университетов.

Организовать курсы повышения квалификации учителей при ведущих вузах страны и систему регулярной аттестации учителей.

Участвовать в разработке государственной программы поддержки фундаментальных математических исследований. Было бы особенно перспективно учредить 400-500 больших грантов для российских учёных (как известных математиков, так и молодых) для поддержки или создания научных школ по фундаментальным направлениям, перспективным с точки зрения приложений (при условии, что руководитель гранта использует его не для себя, а для молодых перспективных сотрудников, работающих в науке). Очень важно обеспечить финансовую поддержку математических школ и лицеев-интернатов для одарённых детей.

Нас не нужно убеждать в том, что среди всех школьных дисциплин математика занимает особое место, потому что она учит думать, учит правильно, логически последовательно рассуждать. А значит — не только решать примеры и доказывать теоремы, но и, в более широком смысле, правильно ставить задачи и принимать верные решения, просчитывая их близкие и отдалённые последствия. Хорошее математическое образование ценно ещё и тем, что оно сопряжено с воспитанием личности, с развитием в человеке таких важных свойств, как целеустремлённость, интеллектуальная честность, воля, стремление к творчеству и эстетическому совершенству.

В завершение — вспомним Льва Толстого. Один из героев «Войны и мира», старый князь Болконский говорил, что есть «только две добродетели: деятельность и ум». «Он сам занимался воспитанием своей дочери и, чтобы развить в ней обе главные добродетели, давал ей уроки алгебры и геометрии и распределил всю её жизнь в непрерывных занятиях».

Этим, то есть морально-нравственной стороной математического образования, о которой тоже необходимо помнить, я бы и хотел закончить своё выступление.

Поступила 23.06.2015

МАТЕМАТИКА ДЛЯ СПЕЦИАЛИСТОВ РАЗЛИЧНОГО ПРОФИЛЯ

УДК 372.8; 378

ОГРАНИЧЕННАЯ ВАРИАТИВНОСТЬ ПОСТРОЕНИЯ ПРОГРАММ ПО МАТЕМАТИКЕ В ТЕХНИЧЕСКОМ ВУЗЕ

Е. П. Богомолова

Национальный исследовательский университет «МЭИ» Россия, 111250, г. Москва, Е-250, Красноказарменная улица, 14; e-mail: bogep@yandex.ru

Рассматриваются допустимые альтернативные перестановки содержательных блоков дисциплины «Математика» в программах обучения бакалавров и магистров инженерных направлений подготовки.

Ключевые слова: Государственные образовательные стандарты, программа по математике, блочно-модульная система, дидактика высшей школы.

1. Государственные образовательные стандарты

Как мы помним, согласно стандартам ВПО 1 и ВПО 2 базовые дисциплины, относящиеся к высшей математике, входили в учебные планы 1, 2, 3 и 4 семестров. Специальные разделы высшей математики — «Уравнения математической физики», «Теория вероятностей и математическая статистика», «Методы оптимизации» и некоторые другие — включались в календарные планы 5 и 6 семестров. Порядок изложения материала соответствовал его традиционному расположению в классических учебниках по высшей математике для студентов технических специальностей.

При сроке подготовки специалиста (5,5 или 6 лет) и большом количестве часов аудиторных занятий такое следование математических дисциплин гармонично встраивалось в общий учебный процесс и позволяло студенту получить прочные базовые знания по математике, на которые и опирались в дальнейшем другие естественнонаучные и специальные дисциплины.

Переход на двухуровневую систему высшего профессионального образования и появление стандартов ФГОС ВПО 3, опирающихся на компетентностный подход к обучению, а также введение ЕГЭ (и связанная с подготовкой к ЕГЭ система школьного изучения элементарной математики) привели к появлению таких особенностей учебного процесса, которые потребовали кардинального пересмотра самой концепции изложения предмета математики. Программы были переосмыслены и подогнаны под необходимое число часов. Правда, не по всем направлениям подготовки число зачётных единиц (кредитов) определилось сразу. Ежегодно приходилось пересматривать уже готовые программы, внося в них те или иные изменения. При этом каждый раз мы сталкивались только с уменьшением числа часов аудиторной нагрузки, что часто приводило к механическому сокращению количества лекций и практических занятий, посвященных какой-либо теме.

Заметим, что математические компетенции в стандартах ВПО 3 [1] инженерных направлений подготовки отличаются как по качеству, так и по объёму. Поэтому при коррекции всех программ невозможно применять одну и ту же редукционную тактику.

На одном полюсе располагаются стандарты, предъявляющие минимальные по перечню, но очень объёмные по фактическому содержанию требования. Выпускник-бакалавр согласно таким стандартам может и должен: «владеть методами математического описания физических явлений и процессов, определяющих принципы работы различных технических устройств» (200100), «владеть методами построения математических моделей профессиональных задач и содержательной интерпретацией полученных результатов» (161700), «уметь применять методы математического анализа при решении инженерных задач» (140400).

На противоположном полюсе — стандарты с очень подробным перечнем объектов некоторых разделов математики. Иногда требования стандарта ставят в тупик. Например, нужно обладать «способностью использовать математическую логику для формирования суждений по соответствующим профессиональным, социальным, научным и этическим проблемам» (162700). Не ясно, как математическая логика поможет формированию столь разнообразных суждений, являясь лишь частью формальной логики, применяющей специальные символьные языки. Подразумевавшаяся, вероятнее всего, логика рассуждений, присущая математике, формально превратилась в раздел математики. Это же относится к встречающимся практически повсеместно требованиям применять математический анализ для широкого спектра задач. Удивительно выглядят требования ФГОС по направлению подготовки 190600 «Эксплуатация транспортно-технологических машин и комплексов» (квалификация «бакалавр») «владеть знаниями основных алгебраических структур, векторных пространств, линейных отображений», поскольку всё перечисленное (в совокупности) обычно входит только в учебный план подготовки профессионального математика.

В каких-то стандартах за краткими формулировками скрываются обширные и при этом узкоспециализированные требования, в которых математики не могут разобраться самостоятельно без помощи отраслевых специалистов. В других, более регламентированных, содержится главное противоречие: объём требуемых сведений не только не может быть усвоен студентом (в отведённые для этого сроки), но и не может быть даже внятно изложен преподавателем. Не зная, как решить все поставленные перед ними задачи, разработчики программ пошли по известному пути: перечисляют всё то, что изучалось до введения новых стандартов. Часто курс высшей математики разработчиками рабочих программ вынужденно излишне упрощается. Таким способом методисты пытаются установить соответствие между реально излагаемым на лекциях и занятиях материалом и установками ФГОС.

2. Уровень математической подготовки студентов

Недостаточная математическая подготовка подрастающего поколения уже проявляется во всем [2, 3]. К настоящему времени в России принята

новая концепция математического образования [4]. Она выдвигает задачу модернизации в связи с перегруженностью математических программ профессионального образования техническими элементами и устаревшим содержанием.

Для дидактики высшей профессиональной школы характерна приверженность основополагающим принципам. Так, принцип доступности [5] требует обоснованного ограничения задач обучения, объёма и содержания учебной информации, учёта уровня подготовленности студентов. Уверена, что большинство из программ, являющихся «уже потёртыми» кальками со своих полноценных предшественников, этому принципу не удовлетворяют.

Неплохим выходом из положения является основательное использование в процессе обучения математических вычислительных пакетов [6, 7]. Такое внедрение без ущерба для преподавания незыблемых основ современной математики может решить две задачи: снятие рутинной вычислительной нагрузки со студентов и формирование действительно востребованных для инженера компетенций.

3. Причины перманентного пересмотра программ по математике

Требования стандартов по некоторым направлениям подготовки предусматривают изучение в рамках бакалавриата новейших разделов математики. Так мы получаем ситуацию, в которой более объёмный и более сложный (по сравнению со стандартами ВПО 2) материал должен быть изучен за укороченный промежуток времени студентами, приспособленными к обучению, а тем более к самообразованию, хуже, чем было раньше.

Пересмотр программ по математике в настоящее время происходит под прямым влиянием следующих обстоятельств. Сокращается общее число часов, отводимых на изучение высшей математики. Это часто происходит из-за того, что в образовательных стандартах инженерных направлений подготовки зачётные единицы указываются не для математики, а для всего естественнонаучного цикла, в который входят математика, физика, информатика и химия. Последние три дисциплины законно пытаются расширить свои границы.

Непропорционально по отношению друг к другу уменьшилось число часов лекций и часов практических занятий (в большей степени — лекционные, в меньшей степени — часы практических занятий). Но определённые разделы математики требуют определённых пропорций для лекций и практики, а это может вступить в противоречие с числом часов в конкретном семестре. В этом случае целесообразнее не нарушать естественную пропорцию, а переместить раздел в другой семестр (но только если это не нарушает логику изучения).

В результате того, что изучение базовых разделов высшей математики сжалось по времени и сконцентрировалось в первых двух семестрах, студенты не имеют психологической и физической возможности усвоить абстрактные и непривычные для них понятия, привыкнуть к терминологии высшей математики и к требованиям логической строгости. Для достижения целей обучения иногда лучше более абстрактные разделы математики преподавать как можно позже.

Изучение физики, информатики, химии, теоретической механики, начертательной геометрии, теоретических основ электротехники и других дисциплин, для которых именно математика готовит первоначальную платформу, сместилось на более ранние семестры. Смещение на ранние семестры указанных выше дисциплин произошло не параллельно (относительно друг друга), а в достаточно произвольном порядке, поскольку некоторые из перечисленных дисциплин (или изучаемых там первоначальных разделов) не имеют между собой точек соприкосновения и могут быть прочитаны независимо друг от друга. Преподаватели математики вынуждены лавировать между «нужно научить студентов» (по требованию учебного плана) и «можно научить студентов» (по закону последовательного изложения материала).

Необходимые для научно-исследовательской работы разделы высшей математики при двухуровневой системе (бакалавр - магистр), могут быть и должны были быть перемещены (и это оправдано с научной точки зрения) в учебные планы магистратуры. Но там, за исключением неощутимого количества магистерских программ, как правило, не оказывается места для математических дисциплин. Напротив, в перечнях знаний и умений, содержащихся в государственных стандартах для программ подготовки бакалавров, появились ссылки на некоторые специфические разделы математики, изложение которых требует расширенной базовой подготовки.

По указанным причинам изложение высшей математики согласно выверенным годами канонам не представляется возможным. Невозможным является и механическое сокращение или даже изъятие из программы дисциплины «Математика» каких-либо разделов.

4. Вариативные построения

Одно из направлений улучшения ситуации кроется в применении хорошо известного принципа блочно-модульного построения основных образовательных программ ВПО по математике. Если блоки сделать достаточно малыми по объёму, то при пересмотре программы их легче будет соединять в самодостаточные модули.

Основой для изменения структуры общего плана преподавания дисциплины «Математика» должны быть:

• требования стандартов ФГОС ВПО 3;

• примерные программы дисциплины «Математика», рекомендованные в рамках рассматриваемых направлений подготовки;

• классическая, стандартная и общепринятая в технических университетах последовательность изложения тем дисциплин «Высшая математика», «Специальная математика» и т.п.;

• внутренняя структурная логическая взаимосвязь тем и разделов различных математических дисциплин, составляющих науку «Математика»;

• специфика использования математических объектов, понятий и методов в рамках указанных программ подготовки, их актуальность и востребованность при изложении дисциплин, входящих в учебные планы по конкретным направлениям подготовки и опирающихся на дисциплину «Математика», либо соприкасающихся с ней.

Удобно выделить следующие минимальные логически самодостаточные блоки (тематические единицы) дисциплины «Математика».

1. Элементарная математика.

2. Числовые множества.

3. Теория матриц и систем линейных алгебраических уравнений.

4. Линейные пространства; евклидовы пространства.

5. Аналитическая геометрия.

6. Дифференциальное исчисление функций одной переменной.

7. Интегральное исчисление функций одной переменной.

8. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.

9. Интегральное исчисление функций нескольких переменных.

10. Последовательности и ряды.

11. Обыкновенные дифференциальные уравнения.

12. Теория устойчивости.

13. Теория функций комплексного переменного.

14. Операционное исчисление.

15. Уравнения в частных производных (уравнения математической физики).

16. Теория вероятностей.

17. Математическая статистика.

18. Численные методы.

19. Методы оптимизации.

Последовательность, в которой могут быть расположены перечисленные выше блоки, обусловлена следующими особенностями изложения материала.

Элементарная математика не изучается в рамках учебного плана подготовки бакалавров, но знания элементарной математики достаточно для изучения блоков: № 2 «Числовые множества» и № 3 «Теория матриц и систем линейных алгебраических уравнений».

Блок № 2 «Числовые множества» может быть представлен как в кратком изложении (если оставаться в рамках действительных чисел), а так и в расширенном изложении (если ввести там понятие комплексного числа и элементарных операций с комплексными числами). Второй подход даёт хороший положительный эффект: чем раньше студент познакомится с понятием комплексного числа, тем проще ему будет усваивать специальные дисциплины, оперирующие комплексными числами.

Блок № 4 «Линейные пространства; евклидовы пространства» является, во-первых, очень сложным для восприятия в первом семестре, а во-вторых, в некотором роде факультативным, расширяющим математический кругозор. Он может быть востребован только при изучении более сложных абстрактных математических понятий, например, общей теории линейных дифференциальных уравнений и систем, функционального и гармонического анализа. Традиционно считается, что изложение материала блока № 3 будет более обоснованным, если это изложение опирается на понятие линейного пространства и его базиса (блок № 4). Но есть форма подачи материала, при которой обоснованный метод решения систем линейных алгебраических уравнений никак не задействует понятие линейного пространства. В случае дефицита аудиторных часов и целевой аудитории бакалавров инженерных, а не матема-

тических направлений, такая форма является предпочтительной. Материал блока № 4 может быть востребован только для подготовки научных инженерных кадров, а поэтому при необходимости его изучение можно включить в учебный план магистратуры.

«Аналитическую геометрию» — блок № 5 — удобно излагать, опираясь на теорию матриц и систем. В этом случае её изучение должно следовать после изучения блока № 3. Но блок № 5 можно изучать автономно. При этом придётся посвятить примерно 0,5-1 часа аудиторного времени для изложения минимального количества фактов, касающихся определения и свойств числовых определителей второго и третьего порядков (материал блока № 3). Такая ситуация вполне допустима и нередко используется в курсе «Линейная алгебра и аналитическая геометрия».

Блок № 6 «Дифференциальное исчисление функции одной переменной» опирается на блок № 1 и частично (при изучении графиков функций, заданных в полярной системе координат) на блок № 5. Допустимо (и часто именно так и реализовано) рассказывать о полярной системе координат в рамках блока № 6. Но указанная часть материала логически связана с такими объектами аналитической геометрии, как кривые и поверхности второго порядка. А рассмотрение полярной системы координат позволяет позднее ознакомить студентов и с цилиндрическими и сферическими системами координат в трёхмерном пространстве. Указанное расположение материала даёт возможность, во-первых, разгрузить тематически насыщенный блок № 6, а во-вторых, как можно раньше ознакомить студентов с системами координат, которые применяются в других дисциплинах. Хочу отметить, что целесообразно вводить понятие предела функции, не опираясь на последовательности и их пределы. Отнесение последовательностей в блок 10 не только даёт экономию времени, но и решает отдельную дидактическую задачу — ослабление понятийной нагрузки на первый семестр. Учитывая, что этот блок № 6 является базовым для всех последующих блоков, его следует поместить в первый семестр параллельно с блоком № 5.

Основными входными знаниями и умениями для блока № 7 «Интегральное исчисление функции одной переменной» и блока № 8 «Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных» являются выходные знания и умения блока № 6. Для блока № 7 опорными являются также некоторые части блоков № 3 и № 5, а для блока № 8 — часть блока № 3, но при необходимости, изложение блоков № 7 и № 8 можно построить таким образом, чтобы оно никак не зависело от материала блоков № 3 и № 5. Хотя, несомненно, расположение блоков № 7 и № 8 после блоков № 3 и № 5 даёт некоторую экономию лекционных часов.

Содержание блоков № 7 и № 8 взаимно независимо, поэтому их можно читать как последовательно (в любой последовательности), так и параллельно друг с другом, но обязательно после блока № 6.

Блок № 9 «Интегральное исчисление функций нескольких переменных» опирается сразу на четыре блока: № 3, № 5, № 7 и № 8, поэтому его обязательно следует разместить после этих указанных блоков. Этот блок является важным для тех разделов физики, в которых изучаются свойства скалярных и векторных полей.

Блок № 10 «Последовательности и ряды» является относительно самодостаточным. Его базовая составляющая опирается только на блок № 1 и в

некоторой степени на блоки № 6 и № 7 (при изложении теории функциональных рядов). Если в рамках блока № 2 студенты были ознакомлены с комплексными числами, то блок № 10 может содержать темы: «Степенные ряды в комплексной плоскости» и «Ряд Фурье в комплексной форме». Поскольку блок № 10 является опорным для некоторых частей блоков № 11, № 13, № 15 и № 16, то он должен быть расположен перед этими блоками. Допустимо его расположение параллельно блокам № 11 и № 13.

Для блока № 11 «Обыкновенные дифференциальные уравнения» обязательным является только блок № 7, который должен предшествовать блоку № 11. В зависимости от отведённого на блок № 11 объёма времени он может быть прочитан как с опорой на части блоков № № 2, 3, 7, 8, 10, 14, так и без опоры на них. Для формулировки теоремы существования и единственности решения задачи Коши и для решения уравнений в полных дифференциалах нужен блок № 8. Но классическую формулировку этой теоремы можно не приводить (а ограничиться только упоминанием об этой теореме), а указанные уравнения можно заменить другими уравнениями первого порядка. Независимо от блока № 2 можно, потратив 1 час лекций, дать необходимые сведения о комплексных числах в рамках блока № 11. Если не обосновывать, а постулировать метод Эйлера для решения уравнений и систем, то информацию, обычно содержащуюся в блоке № 3, можно коротко изложить и в рамках блока № 11, что потребует 1-2 часов лекционного времени. Но, как правило, этого делать не приходится, поскольку блок № 3 обычно размещают в начале первого семестра, а блок № 11 — не раньше последней трети первого семестра. Блок № 10 может потребоваться только при изложении часто используемого, но не обязательного для изложения метода решения дифференциальных уравнений с помощью рядов. Если блок № 14 уже изучен, то его использование является очень полезным и позволяет ознакомить студентов с операционным методом решения дифференциальных уравнений и систем с постоянными коэффициентами. (Заметим, что операционный метод используется и в дисциплине «Теоретические основы электротехники».) Если изучение блока № 14 отнесено на более поздние сроки, то операционный метод решения дифференциальных уравнений и систем с постоянными коэффициентами перемещается непосредственно в блок № 14.

Блок № 12 «Теория устойчивости» является надстройкой над блоком № 11, использует часть материала блоков № 2, № 3 и № 8 и востребован не для всех направлений подготовки бакалавров. Он обычно читается либо непосредственно после блока № 11, либо в рамках программ подготовки магистров.

Блок № 13 «Теория функций комплексного переменного» опирается на блоки № 2, № 8, № 9 и № 10. Блок № 2 может быть частично включён в блок № 13, если в рамках блока № 2 не вводилось понятия комплексного числа.

Блок № 14 «Операционное исчисление» традиционно изучается после блока № 13 и по сути своей является изложением операционного метода решения дифференциальных уравнений и систем с постоянными коэффициентами, а, следовательно, опирается на блок № 11. При необходимости изложение материала может быть построено так, что блок № 14, независимо от блока № 13, может быть размещён сразу же вслед за блоком № 11. Для такого последовательного расположения необходимо лишь предварительное знакомство студентов с понятием комплексного числа.

Код

Блок

Темы

Часы лекций (не менее)

База

Траектории изучения

1

Элементарная математика

Программа средней школы

3

Теория матриц и систем линейных алгебраических уравнений

Матрицы, определители, линейные алгебраические системы

14

1

1 2

2

4

Линейные и евклидовы пространства

Линейные пространства, линейные операторы, евклидовы пространства, ортогональные базисы

8

3, 5

3

1

3

5

Аналитическая геометрия

Векторы и операции с ними, прямые и плоскости, кривые и поверхности второго порядка, декартовы и криволинейные системы координат на плоскости и в пространстве

18

3

2 3

1

2

Числовые множества

Действительные и комплексные числа, действия с ними, операции над числовыми множествами

4

1

1

1

6

Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Пределы, дифференцирование, экстремумы, приближённые вычисления, графики функций одной переменной.

Понятие о вектор-функции

20

1, 5

1

7

Интегральное исчисление функций одной переменной

Неопределённые, определённые, несобственные интегралы, интегралы с параметром

12

3, 5, 6

10

Последовательности и ряды

Числовые и функциональные последовательности, числовые и функциональные ряды, степенные ряды (ряд Тейлора), гармонический анализ (ряд и интеграл Фурье), асимптотические ряды

16

1,6, 7

1

2

1

8

Дифференциальное исчисление функций многих переменных

Предел, непрерывность, дифференцируемость, экстремумы функций многих (двух и более) переменных

10

3, 6

9

Интегральное исчисление функций многих переменных

Двойные, тройные, п-кратные, криволинейные, поверхностные интегралы, скалярные и векторные поля, поток, циркуляция

26

3, 5, 7, 8

4

11

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Уравнения 1-го порядка: с разделяющимися переменными, в полных дифференциалах, линейные и т. д. ; линейные уравнения высшего порядка; нормальные системы уравнений

10

2, 3, 6, 7, 8, 10, 14

2

Код

Блок

Темы

Часы лекций (не менее)

База

Траектории изучения

12

Теория устойчивости

Устойчивость по Ляпунову, устойчивость точек покоя линейной и нелинейной систем двух уравнений

4

2, 3, 8, 11

4

4

13

Теория функций комплексного переменного

Аналитические функции, особые точки, интегралы

12

2, 8, 9, 10

1

3

14

Операционное исчисление

Преобразование Лапласа, его свойства, применение к решению дифференциальных уравнений и систем

6

11, 13

2

4

3

15

Уравнения в частных производных (уравнения математической физики)

Методы решения начально-краевых задач для уравнений математической физики

16

7, 8, 9, 10, 11

5

5

16

Теория вероятностей

Вероятности событий, случайные величины и их характеристики, предельные теоремы

16

7, 8 9, 10

17

Математическая статистика

Выборки, оценки, проверка гипотез, анализ

16

16

2

18

Численные методы

Методы вычислений, методы численного решения уравнений и систем, погрешности, оптимизация

16

3, 6 7, 11

1

19

Методы оптимизации

Экстремумы, вариационное исчисление, линейное программирование

16

6-9, 3-5, 11

Блок № 15 «Уравнения в частных производных (уравнения математической физики)» существенно опирается на блоки № № 7-11. В связи с этим он должен следовать позже них.

Блок № 16 «Теория вероятностей» частично опирается на блоки № 7 и № 10, а в случае изложения теории многомерных случайных величин (которая является специальной дополнительной компонентой стандартного курса) ещё и на блоки № 8 и № 9. Таким образом, стандартный курс теории вероятностей может быть прочитан уже во втором семестре, если это требуется для нематематических дисциплин.

Блок № 17 «Математическая статистика» является прямым продолжением блока № 16 и читается всегда после него. Попытки преподавания блока № 17 без блока № 16 приводят только к ситуации, когда существенная часть материала блока № 16 излагается в рамках блока № 17.

Блок № 18 «Численные методы», размещённый после всех указанных блоком, может опираться на любой из них. В зависимости от типов задач, изучаемых в блоке № 18, он может быть размещён в любом произвольном месте учебного плана, но обязательно после блока, в котором задачи рассматриваемого типа были уже исследованы аналитическими методами.

Блок № 19 «Методы оптимизации» в зависимости от выбранных объектов оптимизации может опираться практически на любой из предыдущих блоков. Поэтому его рекомендуется преподавать после всех упомянутых выше тем.

Рассмотренные блоки с указанием минимального числа лекционных часов, требующихся для изложения входящего в них теоретического материала, представлены в таблице.

В этой же таблице даны примеры возможного сочетания блоков в одном модуле и последовательности их изучения. Однотонные блоки одной вертикали в указанном цифрами порядке могут составлять один модуль. Любой модуль может быть разбит на части, содержащие любое число блоков, из которых собран модуль.

Такая методика формирования математических модулей позволяет:

• составлять индивидуальные модули для каждого учебного плана по направлению подготовки, обеспечивая общий для родственных направлений подготовки стандарт дисциплины «Математика», учитывая в то же время особенности и разнообразие конкретных учебных планов;

• оптимально вписывать математические модули в сетку учебного плана с учётом ограничений на количество зачётных единиц;

• размещать математические модули с учётом потребностей других дисциплин учебного плана;

• детализировать требования стандарта, предъявляемые к программе дисциплины «Математика».

ЛИТЕРАТУРА

1. ФГОС ВПО Архив файлов [Электронный ресурс] http://www.edu.ru/db/portal/spe/ archiv_new.htm.

2. Богомолова Е. П. Диагноз: математически малограмотный // Математика в школе. 2014. № 4. С. 3-9.

3. Максимова О. В., Богомолова, Е. П. Глобальный электронный ресурс и информационно-математические компетенции первокурсников: на что может опереться инженерное образование // Труды Международной научно-методической конференции «Информатизация инженерного образования» ИНФОРИНО-2014. — М.: Издательство МЭИ, 2014. С. 551-554.

4. Распоряжение Правительства Российской Федерации от 24.12.2013 № 2506-р. Номер опубликования: 0001201312270018. Дата опубликования: 27.12.2013 / Официальный интернет-портал правовой информации РФ http : //pravo.gov.ru:8080/Default. aspx?showsearchcard=0&viewspo=l&signer_org=gov#results

5. Архангельский С.И. Лекции по теории обучения в высшей школе. — М.: Высшая школа, 1984. 384 с.

6. Зимина О. В., Кириллов А. И. Практические занятия по высшей математике с использованием мобильного доступа к математическому серверу МЭИ. — М.: Изд. дом МЭИ, 2011. 222 с.

7. Очков В. Ф. «MCS на занятиях по математике, физике, информатике dots» // Компьютерные учебные программы и инновации. 2008. № 3. http://twt.mpei.ac.ru/ ochkov/Pendulum

Поступила 08.01.2015

LIMITED VARIABILITY OF COMPOSING PROGRAM IN MATHEMATICS AT TECHNICAL COLLEGE

E. P. Bogomolova

There is investigated the acceptable alternative permutation of blocks in content of discipline «Mathematics» in the training of bachelors and masters in engineering training areas.

Keywords: state educational standards, the program for mathematics, block-modular system, didactics of higher education.

МАТЕМАТИКА ДЛЯ СПЕЦИАЛИСТОВ РАЗЛИЧНОГО ПРОФИЛЯ

УДК 378.02 : 37.016

ПРОБЛЕМНОЕ ОБУЧЕНИЕ МАТЕМАТИКЕ СТУДЕНТОВ НЕМАТЕМАТИЧЕСКИХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ И НАПРАВЛЕНИЙ ПОДГОТОВКИ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

Г. Д. Гефан

Иркутский государственный университет путей сообщения Россия, 664074, г. Иркутск, ул. Чернышевского, 15; e-mail: grigef@rambler.ru

Ключевым понятием в проблемном обучении является проблемная ситуация. Это познавательная задача, требующая снятия противоречия между имеющимися знаниями и умениями с одной стороны и предъявляемым требованием с другой. На математических примерах показано, что при разрешении проблемной ситуации студенты являются не просто пассивными слушателями, а участниками процесса, активно овладевающими новыми знаниями и умениями.

Ключевые слова: проблемная ситуация, математика, теория вероятностей и математическая статистика.

Введение

Целью данной работы является обоснование эффективности проблемного обучения математическим дисциплинам. На конкретных примерах проиллюстрированы возможности проблемного обучения математике студентов нематематических специальностей и направлений подготовки.

Метод проблемного обучения возник в глубокой древности (лекции-беседы Сократа) и впоследствии переживал несколько периодов «оживления», но никогда не доминировал в системе образования [1]. Первую целостную педагогическую теорию создал Я. А. Коменский. Сложившаяся дидактическая система массового обучения не ставит во главу угла принцип проблемности, ориентируясь в основном на другое требование: строгое следование и учеников и преподавателей определённому регламенту обучения.

Справедливости ради надо сказать, что ни сам Коменский, ни выдающиеся педагоги более позднего времени (Руссо, Песталоцци, Ушинский) не были приверженцами чисто авторитарной педагогики, проповедуя необходимость активности и самостоятельности учащихся в атмосфере творчества и товарищества. Скорее всего, педагогические приёмы Сократа и средневековых схоластов не оказались востребованными из-за своей «утончённости», затрудняющей их реализацию [1]. Действительно, для реализации проблемного подхода в обучении необходима высокая квалификация педагогов и наличие у них «свободы маневра», определённая психологическая готовность учащихся, разработка соответствующих (т. е. построенных на проблемном принципе) учебных пособий. Это трудный путь для массового образования.

На рубеже XIX и XX веков американский психолог и педагог Джон Дьюи выдвинул и реализовал идеи, которые легли в основу современной теории проблемного обучения. Он основал экспериментальную школу, в которой занятия проводились не по строгому учебному плану, а в связи с познавательными потребностями учащихся: желанием конструировать, исследовать, выражать себя художественно и т. д. Роль учителя в этом случае состоит в постановке учебно-проблемной задачи, создании проблемной ситуации, а роль ученика — в осознании и разрешении проблемы, в процессе чего он приобретает новые знания и осваивает обобщённые способы их получения, а в дальнейшем применяет эти способы для решения конкретных задач. В нашей стране, начиная с 60-х годов прошлого века, вопросами проблемного обучения много занимались С.Л.Рубинштейн, А. М. Матюшкин, Т.В.Кудрявцев, И. Я. Лернер и другие.

Учебные курсы по математическим дисциплинам, как правило, строятся на логической цепочке «определения - свойства - теоремы - примеры - приложения». Центральное место здесь занимают теоремы — заранее сформулированные утверждения, которые нужно доказывать. Теоремы имеют огромное значение для математической теории и её изложения, однако, возможно, не всегда являются удачным звеном в методической системе обучения математике (в особенности, если речь идёт о нематематических специальностях и направлениях подготовки). Конечно, трудно спорить с тем, что обучение доказательствам — совершенно необходимый элемент обучения математике. Наличие в лекции доказательств развивает у студентов логику. Но доказательство теоремы — это, всё же, чужая логика, которую слушатель лучше или хуже усваивает. При применении проблемного подхода преподаватель пытается активизировать логику студентов, заставить их прилагать собственные усилия. Логическая цепочка в этом случае приобретает приблизительно следующий вид: «проблемная ситуация (часто имеющая прикладной характер) - её разрешение - определения новых понятий (возникающих при разрешении проблемы) - обобщения». При этом строгость рассуждений не исчезает, но облекается в форму исследования, т. е. движения к заранее неизвестному результату.

Учебная литература по математике, выдержанная в духе проблемного обучения, немногочисленна, но она есть. Попытку «живого изложения» высшей математики, построенного на задачах и примерах, представляет собой пособие [2]. Правда, надо отметить, что во многих случаях за вывеской «задача» скрывается перефразированная теорема, однако в этом тоже есть некоторый смысл, т. к. решать задачу обычно интереснее, чем доказывать теорему.

Эталоном учебной математической литературы, написанной не в виде канонического учебника, а в духе проблемного подхода, по нашему мнению, является книга Я.Б.Зельдовича и А. Д. Мышкиса [3]. Авторы (один из которых был физиком, а другой математиком) формулировали свою задачу так: «На простых примерах, взятых из физики, на различных математических задачах мы старались ввести читателя в круг идей и методов, широко распространённых сейчас в приложениях математики к физике, технике и другим областям». Блестяще писала математические книги с позиций

как объяснительно-иллюстративного [4], так и проблемного [5, 6] подходов Е. С. Вентцель.

О понятии проблемной ситуации

Довольно часто встречается представление, что проблемное обучение сводится к следованию принципу «от практики — к теории». Если говорить о математике, то это означало бы, что сначала нужно разобрать решение нескольких задач, а затем сформулировать общий принцип (правило). Такое понимание отчасти верно, но, конечно, является упрощением концепции проблемного обучения. А. М. Матюшкин [7] приводит в пример следующий эксперимент. Учащиеся 6-го класса обучались различными способами математическому правилу дистрибутивности: а(Ь + с) = ab + ас. Были созданы экспериментальные группы учащихся. Группе А сначала словесно объяснили правило, затем проиллюстрировали его несколькими примерами и дали примеры на закрепление. Группе Б сначала предложили вычислить а(Ь + с), не раскрывая скобки, затем показали, что полученные результаты соответствуют записанному выше равенству и сформулировали само правило. При этом не было обнаружено значимых различий в освоении и использовании данного правила экспериментальными группами. Матюшкин считает, что на основании подобных опытов нельзя делать выводы об эффективности проблемного обучения, поскольку здесь речь идёт просто о заданиях, которые предъявляются до или после теоретического материала. Эти задания не создают проблемных ситуаций и, следовательно, не вызывают необходимости в усвоении новых знаний.

Чем же различаются понятия «задача» и «проблемная ситуация»? Постановка задачи объективна, она существует отдельно от субъекта (учащегося). В отличие от этого, проблемная ситуация «характеризует прежде всего состояние субъекта, возникающее в процессе выполнения такого задания, которое требует открытия (усвоения) новых знаний о предмете, способах или условиях выполнения задания» [7]. Таким образом, проблемная ситуация — это не просто задача, а задача познавательная, требующая снятия противоречия между имеющимися знаниями и умениями с одной стороны и предъявляемым требованием с другой.

Рис. 1. К парадоксу Зенона «Ахиллес и черепаха»

В качестве примера проблемной ситуации рассмотрим парадокс Зенона об Ахиллесе и черепахе (рис. 1). Ахиллес находится в точке А на расстоянии

/о от черепахи, находящейся в точке В. В некоторый момент времени они начинают двигаться по прямой в одном и том же направлении. Разумеется, скорость Ахиллеса значительно больше скорости черепахи. Через некоторое время Ахиллес окажется в точке В, однако черепаха к этому моменту переместится в точку В\. Когда Ахиллес достигнет точки В\, черепаха уже будет находиться в точке i?2- Эти рассуждения можно продолжать сколь угодно долго. Вывод: Ахиллес никогда не догонит черепаху!

Первая реакция студенческой аудитории на данный парадокс всегда одинакова: отрицательное качание головами и улыбки. Студентам кажется, что их разыгрывают, и это естественно, поскольку сделанный вывод явно противоречит здравому смыслу и ежедневному жизненному опыту: если процесс не ограничен во времени и в пространстве, то быстро движущееся тело обязательно догонит и перегонит тело, движущееся в том же направлении с меньшей скоростью. Это нетрудно доказать, оперируя понятиями скорости, времени и пройденного пути. Если принять, что Ахиллес движется со скоростью va, а черепаха со скоростью vb, то из равенства

следует, что Ахиллес догонит черепаху на расстоянии

от своего первоначального положения.

Однако преподаватель выдвигает требование: не предлагайте своей логики, опровергните парадоксальный вывод, оставаясь в рамках логики самого парадокса! Иначе говоря, требуется оперировать последовательностью величин /о? hi h и т.д. (см. рис. 1).

Данная ситуация является проблемной, поскольку она требует снять противоречие, состоящее в том, что представление о времени и расстоянии как о конечных (т. е. не бесконечно малых) величинах приводит к явно абсурдному результату. На наш взгляд, рассказом об этом парадоксе можно предварять рассмотрение таких непростых разделов математического анализа, как «Предел числовой последовательности» и «Числовой ряд и его сходимость».

Действительно, студенты могут вполне самостоятельно записать, что

Пусть, например, /о = 1км, a vb/va = 0,01. Тогда 1п = 0,01п км, т.е. Ii = 10 м, /2 — 10 см, /3 = 1 мм и т. д. Мы видим, что расстояние, которое успевает пройти черепаха за время очередного «этапа гонки», катастрофически уменьшается (столь же катастрофически уменьшается продолжителъ-

ность каждого очередного «этапа»). Очевидно, правильным будет утверждение, что для любого сколь угодно малого е > 0 мы всегда сможем подобрать такое достаточно большое N, что из п > N будет следовать 1п = 0,01П < е.

Итак, в рассуждениях об Ахиллесе и черепахе мы подошли к понятию предела числовой последовательности (в данном случае этот предел равен нулю). Конечно, без помощи преподавателя студенты здесь вряд ли обойдутся, но эта помощь вполне может ограничиться наводящими вопросами.

Однако тот факт, что предел последовательности lo,h,fa, - - - ,1т • • • оказался равным нулю, ещё не означает, что сумма /о + h + h + • • • + In + • • • не будет стремиться к бесконечности. (Последнее означало бы, что Ахиллес действительно никогда не догонит черепаху!) Это уже вопрос о сходимости числового знакоположительного ряда. Запишем ряд

предел частичной суммы которого при п —> оо как раз и отвечает на вопрос о том, догонит ли Ахиллес черепаху, и если да, то где именно. Это сумма

бесконечно убывающей геометрической прогрессии, равная

Например, для выбранных нами выше исходных данных получается, что L = 1/0,99 = 1,010101... км, т.е. черепаха успеет отползти от начальной точки примерно на 10,1 м.

К точно такому же результату для L, как показано выше, можно прийти и без использования понятий последовательности и ряда. Это можно рассматривать и как подтверждение формулы для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Таким образом, противоречие между «старыми» знаниями (о соотношениях скорости, времени и пройденного пути) и новым, «дискретным» подходом к описанию движения двух тел снято за счёт введения новых понятий, связанных с последовательностями и рядами.

Столь пространный анализ парадокса Зенона объясняется тем, что он представляется нам удачным примером проблемной ситуации, которая может использоваться при изучении некоторых разделов математики. Конечно, приведённые нами математические рассуждения не разрешают в полной мере философской апории Зенона. Это лишь модель, позволяющая в учебных целях расширить круг математических понятий (предел последовательности, бесконечно малые и бесконечно большие величины, сходимость числового ряда и его сумма), и дающая при этом математически верный результат.

На наш взгляд, наиболее подходящим способом создания проблемной ситуации является постановка прикладной или занимательной задачи, которая потребует введения новых понятий, установления новых связей и соотношений, использования новых методов. В табл. 1 мы, без излишней конкретизации, пытаемся предложить пути конструирования проблемных ситуаций при изучении различных разделов математики.

Табл. 1

Вопросы курса математики

Задачи, которые могут служить отправными точками для создания и разрешения проблемных ситуаций

Комплексные числа

Задача решения квадратного уравнения

Понятие производной

Задача о мгновенной скорости, поставленная и решённая Ньютоном

Дифференциал функции

Задача о приближённом значении функции

График решения дифференциального уравнения

Задача об изоклинах и поле направлений

Формулы Грина и Стокса, понятие ротора векторного поля

Задача о циркуляции по некоторому контуру

Волновое уравнение. Метод Фурье

Задачи о колебаниях струны

Операционное исчисление. Преобразование Лапласа

Формальный метод Хевисайда, в котором дифференцирование и интегрирование заменяются алгебраическими операциями, дифференциальные уравнения — алгебраическими

Понятие вариационного исчисления

Задачи об экстремуме функционала, задача о брахистохроне, изопериметрическая задача (задача Дидоны)

Основные понятия линейного программирования

Задачи о наилучшем плане производства и о наилучшем использовании ресурсов

Двойственность в линейном программировании

Задача о торге между производителем, владеющим ресурсами, и перекупщике ресурсов

Графы, эйлеровы и гамильтоновы циклы

Задача о кенигсбергских мостах, задача коммивояжера

Интерполирование

Задача построения аналитического выражения для функции по известному набору её значений

Конечно, приведённый в табл. 1 перечень субъективен и может быть легко изменён или дополнен. Однако нам представляется, что при изложении, скажем, линейной алгебры значительно труднее реализовать проблемный подход, чем при обучении дифференциальным уравнениям, вариационному исчислению или теории оптимизации. Особенно плодотворен проблемный подход, как нам кажется, при построении лекций по вероятностно-статистической тематике.

Проблемные ситуации при изучении теории вероятностей и математической статистики

Для теории вероятностей проблемный подход эффективен тем, что он позволяет максимально использовать занимательность этой науки и тем самым повысить познавательный интерес обучающихся.

В математической статистике как в науке прикладной, проблемный подход выглядит совершенно естественным. Многие положения статистической теории были генерированы непосредственными нуждами естествознания,

техники, а также социальных и экономических наук. Необходимо также учитывать, что для инженеров, экономистов, естествоиспытателей, социологов знание статистики не является самоцелью. Крайне нежелательно, чтобы в глазах изучающих статистику она выглядела манипуляциями с наборами безликих цифр или символов. Увы, множество людей считают статистику либо абстрактной тяжеловесной теорией, либо рутинным счетоводством.

Важнее и труднее всего понять сам «дух» статистического метода. Этими соображениями и объясняется целесообразность проблемного подхода к преподаванию математической статистики.

Можно привести много примеров проблемного подхода к изложению теории вероятностей и математической статистики [8], мы ограничимся лишь несколькими.

1. Рассмотрим возможные способы построения лекции по теме «Формула полной вероятности». Первый (традиционный, объяснительно-иллюстративный) подход воспроизведём по учебнику Е. С. Вентцель [4]. Итак, Вентцель сначала определяет гипотезы как полную группу несовместных событий Hi [i = 1, 2,..., п), вместе с каждым из которых может произойти событие А. Затем доказывается теорема о том, что

Доказательство теоремы несколько искусственное, основанное на том, что событие А можно представить в виде

Затем рассматриваются примеры.

Теперь представим вариант проблемного подхода к той же теме. Студентам предлагается следующая задача. Имеются две корзины. В первой корзине лежат 2 зелёных и 2 красных яблока, во второй — 5 зелёных и 1 красное. Ребёнок сначала наугад выбирает корзину, затем из неё вслепую достаёт яблоко. Найти вероятность того, что это яблоко окажется красным.

Почему данное задание является проблемным? Дело в том, что текущее состояние слушателей (знание ими классического определения вероятности и некоторое представление об алгебре событий, о вероятности суммы и произведения событий) не позволяет студентам сразу выбрать верный способ решения. Кроме того, преподаватель намеренно «запутывает» ситуацию, предлагая следующее «простое решение» этой задачи. В двух корзинах в общей сложности лежат 7 зелёных и 3 красных яблока. Следовательно, из 10 возможных исходов опыта благоприятными являются 3. Согласно классическому определению вероятности, получаем: Р{А) = 3/10. Правильно ли это решение?

Разумеется, студенты с таким решением не согласны. Однако привести аргументы против него они затрудняются. Обычно приходится слышать: здесь две корзины, а не одна! Преподаватель «настаивает» на своём решении: «Я использую классическое определение вероятности, в котором про корзины ничего не сказано. Вы не согласны с классическим определением?» В этот

момент кто-то из студентов обязательно замечает, что в классическом определении вероятности говорится о равновозможных исходах, а в нашей задаче это условие не выполнено из-за того, что в корзинах неодинаковое количество яблок.

Преподаватель предлагает студентам применить алгебру событий, введя следующие обозначения: Hi и Н2 — выбор 1-й и 2-й корзины соответственно, Л — выбор красного яблока. Событие А может произойти либо вместе с Hi, либо вместе с Н2, т.е. А = Hi А + Н2А. Это сумма несовместных событий, причём каждое слагаемое является произведением зависимых событий. Дальнейшие выводы не составляют для студентов труда:

и полученный результат обобщается на произвольное конечное число гипотез, что приводит к формуле, называемой формулой полной вероятности. Обсуждение проходит в форме живого и заинтересованного диалога. Есть надежда, что теперь студенты будут легко узнавать тот тип задач, который требует применения формулы полной вероятности, использовать её по назначению, а не наугад (подобные ошибки описаны в статьях [9, 10]).

2. Рассмотрим теперь подходы к знакомству с числовыми характеристиками случайных величин — математическим ожиданием и дисперсией. Описательно-иллюстративный метод будет реализован в этом случае примерно по следующей схеме: формальное определение числовых характеристик (запись соответствующих формул для дискретного и непрерывного случаев); выяснение смысла числовых характеристик; примеры.

Проблемный подход к данной теме может быть реализован с помощью следующей задачи. По условиям игры каждый участник подбрасывает две игральных кости; результатом игрока считается произведение выпавших очков на 1-й и 2-й костях. Каким будет средний результат участников этой игры?

Проблемность ситуации объясняется тем, что слушатели не знают способа, позволяющего рассчитать среднее значение дискретной случайной величины. Кроме того, надо разделять понятия фактического среднего значения в некоторой реализации и теоретического, «ожидаемого» среднего (в задаче речь, конечно, идёт о последнем). Можно обсудить возможные подходы к решению задачи. Например, если минимальное значение произведения выпавших очков равно 1, а максимальное — 36, то означает ли это, что среднее значение равно (1 + 36)/2 = 18,5? Можно ли найти среднее значение случайной величины как среднее арифметическое от всех её возможных значений:

Конечно, эти подходы в общем случае не верны, поскольку они не учитывают распределение вероятностей случайной величины. Но как его учесть? Здесь следует вспомнить о близости понятий вероятности и относительной частоты наступления события.

Итак, прежде всего, составим ряд распределения. Вероятности значений случайной величины подсчитаем «классическим» способом. Существует п = = 36 равновозможных исходов опыта. Подсчитывая благоприятные исходы,

получаем, что случайная величина X — произведение очков, выпавших на двух костях — имеет следующий ряд распределения:

Вообразим теперь, что в игре участвуют 36 человек, и распределение их результатов идеально соответствует теоретическому распределению случайной величины. Это означает, что 1 очко набрал mi = 1 игрок, 2 очка -ш2 = 2 игрока, ..., 36 очков — mis — 1 игрок. Тогда среднее арифметическое их результатов будет равно

После этого даётся следующее определение: математическим ожиданием дискретной случайной величины X называется неслучайная величина М(Х) = = ^2 хгРг ? имеющая смысл среднего арифметического наблюдаемых значений X в идеальном случае, когда эти значения встречаются с относительными частотами, точно соответствующими закону распределения вероятностей.

Далее отмечается, что на практике случайная величина вовсе не обязана вести себя абсолютно так, как ей предписывает закон распределения. Поэтому можно говорить лишь о приближённом равенстве х ~ М(Х), которое, как правило, выполняется тем точнее, чем больше число наблюдений.

Возвращаясь к задаче, получаем, что средний (ожидаемый) результат участников игры будет таким:

В дальнейшем, при изучении свойств числовых характеристик, полученный результат может служить иллюстрацией к теоретическому положению о том, что для независимых случайных величин X и Y имеем M(XY) = = M(X)M(Y) (12,25 = 3,5x3,5).

Необходимость введения характеристики рассеивания случайной величины можно обосновать примером, показывающим, что две случайные величины, имеющие одинаковые математические ожидания, могут резко отличаться друг от друга по степени разброса возможных значений от среднего значения. Можно ли в качестве характеристики рассеивания взять математическое ожидание отклонения случайной величины от её среднего значения? Слушателям это кажется вполне логичным, и преподаватель просит их провести следующие преобразования:

Но величина, тождественно равная нулю, не может служить характеристикой чего-либо! Этому неожиданному, на первый взгляд, результату студенты быстро находят объяснение: дело в том, что положительные и отрицательные отклонения от среднего значения компенсируют друг друга. Как же

решить эту проблему? Чтобы избежать компенсирования, можно либо брать отклонения по абсолютной величине, либо возводить их в квадрат — тогда вклад всех (независимо от знака) отклонений будет положительным. Выбор второго из названных способов и приводит к понятию дисперсии:

3. Рассмотрим вариант проблемного изложения темы «Дисперсионный анализ». Оно начинается не с традиционного определения новых понятий, а со следующей проблемной ситуации. Имеется m сортов стали. Для проверки их прочности было взято несколько образцов каждого сорта, и для каждого образца замерен предел прочности на разрыв. Требуется оценить влияние фактора «сортность» на прочность стали, отделив его от влияния других, случайных факторов (индивидуальных, но не сортовых различий между отдельными образцами).

Данная ситуация является проблемной, поскольку единственный способ решения, который могут предложить студенты, опираясь на свои текущие знания, выглядит не очень убедительно. Обычно они предлагают для каждого сорта оценить средний предел прочности по имеющимся образцам и сравнить между собой эти выборочные средние. Правило проверки гипотезы о равенстве двух генеральных средних они уже знают. Сложность, однако, состоит в том, что мы должны сравнить не две, a m средних, то есть проверить гипотезу Hq : м(х\) = М(^) = ... = М(ХШ), где каждая генеральная средняя соответствует определённому сорту стали (так называемому уровню фактора). Для этого придётся сопоставлять средние попарно, но тогда при пяти (к примеру) сортах стали придётся проверить С| = 10 (десять!) гипотез о равенстве генеральных средних. И если ни одна из них не будет отвергнута, то влияние фактора будет признано незначительным. Если же фактор сорта стали будет признан существенным, то как оценить его роль по сравнению с ролью других факторов?

Возникает необходимость освоить иную схему решения подобной проблемы, разработанную английским статистиком, биологом и генетиком Рональдом Фишером. Идея Фишера заключалась в том, чтобы проверять гипотезу о влиянии некоторого фактора, анализируя характеристики вариации (различные виды дисперсии). Такой подход получил название дисперсионного анализа.

Дальнейший диалог может протекать по следующему сценарию. Преподаватель предлагает ввести следующие обозначения: к = 1, 2,..., m - номер сорта стали (уровень фактора); — число образцов стали сорта fc; общее число образцов; — предел прочности г-го образца к-го сорта стали.

Затем совместными усилиями записываются формулы для среднего предела прочности к-го сорта стали

(эти величины предлагается назвать групповыми средними), и для среднего предела прочности по всем образцам

(эта величина будет называться общей средней).

После этого преподаватель переходит к основной идее метода и предлагает рассмотреть различные характеристики вариации. Как описать всю вариацию предела прочности (связанную и не связанную с сортом стали)? Разумеется, для этого надо обычным способом найти выборочную дисперсию, используя все имеющиеся данные

и назвать эту величину общей дисперсией. Более сложный вопрос: как описать различие предела прочности между сортами стали, игнорируя внутрисортовые различия? Для этого надо описать рассеивание групповых средних относительно общей средней. Это делается с помощью межгрупповой дисперсии:

Наконец, как описать вариацию, не связанную с сортом? Для этого надо рассчитать дисперсии отдельно для каждого сорта:

Эти групповые дисперсии будут показывать степень рассеивания предела прочности среди образцов только одного сорта. Однако это нас не устраивает, поскольку необходим единый показатель вариации, не связанной с сортностью. Таким показателем предлагается считать средневзвешенную групповых дисперсий, в которую каждая групповая дисперсия входит с весом, прямо пропорциональным числу образцов данного сорта:

Итак, мы пришли к введению трёх характеристик вариации: (1) общая дисперсия D, описывающая всю вариацию, независимо от её причины; (2) межгрупповая дисперсия Dx, описывающая вариацию вследствие наличия сортов (уровней фактора); (3) средневзвешенная групповых дисперсий D, описывающая вариацию, не связанную с сортом (можно сказать, вариацию, связанную с другими, неизвестными нам факторами).

Какое соотношение между этими характеристиками будет логичным предположить? Ответ напрашивается: D = D% + D. Теперь можно выполнить преобразования записанных выше формул и убедиться в том, что данное предположение является верным. (Заметим, что доказательство данного факта может быть выполнено на лекции с абсолютной строгостью. Это говорит о том, что проблемный подход вовсе не обязан быть поверхностным или приблизительным. Доказательства в нём не исключаются, а смещаются к концу логической цепочки, усиливая и обобщая результат исследования.)

Каким относительным показателем мы можем описать ту долю вариации, которую обеспечивает исследуемый фактор (в данном случае — сорт стали?). Можно предложить величину, равную отношению соответствующей части к целому, т.е. D^/D.

Конечно, решение данной задачи не заканчивается выбором подходящей статистики. Нужно еще получить вид закона её распределения (распределение Фишера) и обосновать процедуру проверки гипотезы о существенности влияния фактора сорта стали на прочность образцов. Однако это весьма сложные вопросы. Их освещение на лекции вряд ли может происходить в форме диалога, более уместен обычный объяснительно-иллюстративный метод.

4. Перейдём к рассмотрению проблемной ситуации при изучении регрессионного анализа студентами экономического направления подготовки. После изучения моделей линейной регрессии приступают к нелинейным моделям. Проблема эта должна решаться комплексно, с учётом соображений как математического, так и экономического порядка.

Рассматривается следующая задача. В течение 10 сезонов регистрировались данные о количестве отдыхавших в санатории (X, человеко-дни) и среднедневном уровне затрат в расчёте на одного отдыхающего (У, условные денежные единицы (у.д.е.) / человеко-дни). Требуется оценить регрессию Y по X.

По виду графика (который мы не приводим) можно судить, что в среднем с ростом X происходит уменьшение Y. Текущие знания студентов позволяют им легко оценить параметры линейной регрессии. Коэффициент детерминации говорит о неплохом качестве регрессии, однако вид графика непривычен для студентов, и это создаёт проблемную ситуацию. В задачах, которые решались на предыдущих занятиях, точки, соответствующие наблюдениям, располагались хаотично вокруг прямой линии регрессии. Говоря точнее, остатки регрессии чередовались случайным образом по знаку и величине. В данном же случае явно присутствует иная тенденция: для небольших значений X остатки положительны (точки наблюдений находятся над линией регрессии), потом отрицательны (точки под линией), затем (для больших значений X) снова положительны... Это заставляют думать, что спецификация модели выбрана неверно. К какому же функциональному соотношению может быть на самом деле близка зависимость Y от XI Для ответа на этот вопрос потребуется обсудить экономическую суть рассматриваемого явления.

Студентам, специализирующимся в экономике, уже на младших курсах известно, что полные издержки обычно по своей структуре разбиваются на

две части: (1) условно постоянная часть и (2) часть, пропорциональная объёму производства (или обслуживания). Поэтому студенты сразу предлагают представить полные издержки санатория в виде

где /о — часть издержек, не зависящая от числа отдыхающих (содержание помещений, значительная часть расходов на зарплату персонала и коммунальные платежи и т.п.), а второе слагаемое представляет собой ту часть издержек, которая прямо пропорциональна числу отдыхающих (расходы на питание, лечение и др.). Тогда затраты в расчёте на один человеко-день равны

т. е. истинное соотношение между Y и X не линейно и характеризуется гиперболической зависимостью. (Конечно, речь идёт не о строгой функциональной зависимости, а о корреляции.) Вводя новую переменную Z = Х-1, получаем линейную функцию

Поскольку выборочные значения Z легко получаются пересчётом значений X, можно оценить линейную регрессию 7 по Z, после чего снова вернуться к переменной X.

Итог разрешения данной проблемной ситуации весьма ценен, поскольку не только освоен новый математический метод (линеаризация модели), но и имеется содержательная экономическая интерпретация. Действительно, полученные оценки параметров регрессии Iq и к являются косвенными оценками чисто экономических показателей: условно постоянная часть издержек санатория за сезон и прямые затраты на лечение и питание одного отдыхающего в течение одного дня. Удивительно, но эти оценки извлекаются из данных о полных издержках!

В заключение ещё раз отметим, что эффективность проблемного подхода зависит в первую очередь от квалификации, настойчивости и коммуникативных способностей преподавателя.

Следует подчеркнуть ещё одно важное требование. Уровень «проблемности» в обучении должен быть разумным. Имеется в виду, что разрешение проблемных ситуаций должно соответствовать интеллектуальным возможностям аудитории [1]. С этой целью задаются наводящие вопросы, возможны подсказки, и, более того, имеет смысл чередовать проблемные ситуации с обычным объяснительно-иллюстративным обучением. Если этого не делать, результат рискует превратиться в противоположный ожидаемому — слушатели разочаруются и станут апатичными. На наш взгляд, для проблемного изложения стоит отбирать важные разделы дисциплины, определяющие её концептуальное содержание.

ЛИТЕРАТУРА

1. Зимина О.В. Проблемное обучение высшей математике в технических вузах // Математика в высшем образовании. 2006. № 4. С. 55-78.

2. Власов В. Г. Конспект лекций по высшей математике. — М.: Айрис, 1996. 288 с.

3. Зельдович Я. В., Мышкис А. Д. Элементы прикладной математики. — М.: Наука, 1965. 616 с.

4. Вентцель Е. С. Теория вероятностей. — М.: Наука, 1969. 576 с.

5. Вентцель Е. С, Овчаров Л. А. Теория вероятностей и её инженерные приложения. — М.: Наука, 1988. 480 с.

6. Вентцель Е. С. Исследование операций. — М: Высшая школа, 2001. 208 с.

7. Матюшкин А.М. Проблемные ситуации в мышлении и обучении. — М.: Директ-Медиа, 2008. 392 с.

8. Гефан Г. Д. Статистический метод и основы его применения: Учебное пособие. — Иркутск: ИрГУПС, 2003. 208 с.

9. Гефан Г. Д., Кузьмин О. В. Типология ошибок и заблуждений, связанных с задачами курса теории вероятностей. Часть 1: Случайные события // Вестник Иркутского государственного технического университета. 2012. № 12 (71). С. 193-199.

10. Гефан Г. Д., Кузьмин О. В. Типология ошибок и заблуждений, связанных с задачами курса теории вероятностей. Часть 2: Случайные величины // Вестник Иркутского государственного технического университета. 2013. № 02 (73). С. 131-136.

Поступила 11.03.2015 переработанный вариант 08.07.2015

PROBLEM-BASED LEARNING MATH STUDENTS OF NON-MATHEMATIC SPECIALTIES AND AREAS OF TRAINING OF HIGHER EDUCATION

G. D. Gefan

A key concept in the problem-based learning is a problem situation. It is a cognitive task that requires the removal of contradictions between existing knowledge and skills on the one hand, and the requirements on the other. It is shown on the examples from the math that in the resolution of the problem situation, students are not just passive listeners, but participants in the process, actively acquiring new knowledge and skills.

Keywords: problem situation, mathematics, probability theory, mathematical statistics.

СОДЕРЖАНИЕ И ТЕХНОЛОГИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ В ВУЗЕ

УДК 517.98, 378.147

ОБУЧЕНИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНОМУ АНАЛИЗУ В ТЕХНИЧЕСКОМ ВУЗЕ: ПРАКТИКО-ОРИЕНТИРОВАННЫЙ КУРС

Н. В. Филимоненкова

Санкт-Петербургский государственный политехнический университет Петра Великого Россия, 195251, г. Санкт-Петербург, ул. Политехническая, 29; e-mail: nf33@yandex.ru

Работа посвящена решению проблем, возникающих при изложении дисциплины «Функциональный анализ» будущим инженерам. Подведены итоги создания нового учебного комплекса. Указаны его характеристики и рекомендации к использованию.

Ключевые слова: функциональный анализ, вычислительная математика, учебный комплекс, прикладная ориентация.

1. Проблемы обучения функциональному анализу в техническом вузе

Предметом изучения курса «Функциональный анализ» являются в основном пространства функций и их отображения, откуда и происходит название дисциплины. Функциональный анализ как самостоятельный раздел математики сложился в начале прошлого века в результате обобщения конструкций математического анализа, линейной алгебры и геометрии. С тех пор его идеи и методы проникают во все области математики, физики и в прикладные науки на правах мощной обобщающей теории и удобного инструмента исследования конкретных задач.

Изучение функционального анализа характерно для математических факультетов классических университетов. Но и в техническом вузе этот курс встречается в учебных планах специальностей «Прикладная математика», «Информатика и вычислительная техника», «Прикладная математика и информатика», «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем», «Механика и математическое моделирование», «Прикладные математика и физика», «Фундаментальная информатика и информационные технологии». В соответствии с ФГОС ВПО основная образовательная программа бакалавриата по перечисленным специальностям предусматривает изучение элементов функционального анализа. Обычно это базовая часть математического и естественнонаучного цикла, время изучения — один семестр, количество аудиторных часов небольшое.

Тесные рамки учебного времени, прикладная направленность и уровень базовой подготовки современных студентов технического вуза не позволяют им освоить столь сложную математическую дисциплину с позиций классического подхода, подразумевающего фундаментальность и самодостаточность подачи сугубо теоретического материала. Кроме того, прагматически настроенных студентов трудно заинтересовать идеей обобщения и формализации математических конструкций. Очевидно, мотивация повышается, если приблизить академический курс к вычислительной практике с обязательным привлечением электронных вычислительных средств. Для будущих математиков-инженеров и математиков-программистов необходимо акцентировать прикладную роль функционального анализа, которая сводится к аналитическому обоснованию эффективной работы численных методов.

Среди опубликованных учебных ресурсов лишь немногие ставят и решают похожую методологическую задачу. Например, теоретические учебники В. А. Треногина [1], В.И.Лебедева [2] ориентированы на прикладные специальности. Однако, они слишком объёмны, сложны (особенно [1]) и, хотя освещают функциональный анализ с точки зрения численных методов, проходят не полностью путь от идеи до расчетной формулы, что затрудняет их использование в рядовом техническом вузе. Требуется существенная адаптация.

В задачниках по функциональному анализу не принято акцентировать ни вычислительную, ни даже алгоритмическую компоненту и тем более не принято активно привлекать компьютерные технологии. В существующих сборниках преобладают теоретические упражнения. Они, как правило, начинаются со слова «доказать», оперируют сугубо абстрактными схемами (пространство X, норма р, оператор А и т.д.). Подавляющее большинство таких упражнений являются антиподами типовых расчетов и зачастую превышают способности студентов технического вуза. Воплощением такого подхода является сборник А. А. Кириллова, А. Д. Гвишиани [3], предназначенный для классических университетов, однако в той или иной мере все задачники по функциональному анализу тяготеют к погружению в формально-логический аппарат. При постановке учебных задач будущим инженерам, как минимум, следовало бы видоизменить форму подачи традиционных сюжетов: перейти от абстрактных к конкретным пространствам, нормам, операторам и от эксклюзивных упражнений на доказательство к более типовым, алгоритмичным вычислениям и построениям. Этот путь реализован в практикуме Белорусского государственного университета [4], хотя и не до конца: в ассортименте задач не хватает «мягкой пищи» — простейших одношаговых упражнений, нацеленных на отработку элементарных инструментов дисциплины. Другой путь приближения функционального анализа к вычислительной практике состоит в том, чтобы поставить в центр задачи применение какого-либо численного метода, вытекающего из теории. Такая тенденция эпизодически проступает в задачнике А. В. Треногина, В. М. Писаревского, Т. С. Соболевой [5]. Следуя учебнику [1], этот задачник основательно штурмует численные приложения функционального анализа, но, к сожалению, в основном со стороны теории, а не практики, причем на солидном уровне абстракции. К тому же применение численных методов естественно требует использования ЭВМ, и такие попытки встречаются в [4, 5], но их вес незначительный. Можно сделать

вывод, что в существующих сборниках задач по функциональному анализу почти нет таких выходов к численным методам, которые были бы по плечу среднему студенту и предполагали бы как математическую аргументацию, так и реализацию с использованием вычислительной техники.

Недостаток практического внимания к численным методам в существующих пособиях по функциональному анализу, составленных для прикладных специальностей, можно объяснить несколькими обстоятельствами. Во-первых, сама идеология функционального анализа настроена на взлет абстрагирующей мысли. Во-вторых, учебные траектории этой дисциплины складывались в то время, когда компьютерные технологии были ещё далеки от ведущей роли в образовании, а стало быть, их подключение к учебному процессу ещё не воспринималось как нечто естественное и необременительное. В-третьих, численные методы по традиции укомплектованы в отдельный курс вычислительной математики. Но как отметил А. Д. Мышкис [6], в техническом вузе «небезопасно выделение всех вычислительных вопросов в отдельный раздел курса математики: такое выделение может существенно понизить идею алгоритмичности в остальных разделах курса, которые оказываются как бы противопоставленными вычислениям и тем самым обескровленными в прикладном отношении». Добавим к этому непреходящему аргументу еще и другой, обусловленный сегодняшним положением технического образования: для современного студента, у которого знания последней сессии не доживают до начала следующего семестра, нет смысла разрывать обоснование метода и его первое пробное испытание. Приближение курса функционального анализа к вычислительной математике служит непрерывности и связности профессиональной подготовки прикладника. Возможно, это даже единственный способ для обустройства функционального анализа в техническом вузе.

Сближение с вычислительной математикой должно быть таким, чтобы полностью довести теоретический факт до числа: проследить проекцию абстрактных идей на плоскость численных методов и дать возможность сразу апробировать методы в вычислительной практике. Конечно, мера этого сближения должна быть разумной, чтобы функциональный анализ не потерял свою идентичность, не подменялся курсом вычислительной математики.

Для решения описанных проблем проведено научно-методическое исследование и разработан комплекс из двух учебных пособий: конспект лекций [7] и сборник задач [8] по функциональному анализу для технических вузов. Сформулируем основные концепции, положенные в основание этой разработки:

• адаптация учебного материала к уровню подготовки и аналитических способностей студентов;

• культивирование прикладной составляющей дисциплины, которая осуществляется сочетанием функционального анализа и вычислительной математики;

• модернизация курса под использование электронных вычислительных средств (прикладных математических пакетов).

Далее в данной статье описано, каким образом эти концепции реализованы в учебных пособиях [7], [8] и в организации учебного процесса.

2. Адаптация теоретического курса

Конспект лекций [7] содержит краткие теоретические сведения об основных модулях функционального анализа: теории сжимающих операторов, теории рядов Фурье в гильбертовом пространстве и теории линейных операторов. Причем из рассмотрения исключены некоторые сложные конструкции с сугубо академическим значением, не обладающие скорым и наглядным приложением в вычислительной практике.

Например, исключены почти все элементы топологии, понятие сепарабельного пространства, понятия компактного множества, компактного оператора и все смежные с ними теоремы, понятия сопряженного пространства и оператора, понятия непрерывного и остаточного спектра линейного оператора, теорема Банаха об обратном операторе, теорема о пополнении метрического пространства (оставлена на уровне упоминания), теоремы о продолжении оператора, функционала и другие.

Понятие ограниченности линейного оператора, ключевое для большинства учебников по функциональному анализу, заменено на эквивалентное ему понятие непрерывности. Причина замены заключается к том, что традиционное определение ограниченного линейного оператора не соответствует принятому в курсе математического анализа определению ограниченной функции, тогда как универсальное понятие непрерывности для оператора в метрических пространствах согласуется с непрерывностью функции из курса математического анализа. Непрерывность оператора определена как способность сохранять сходимость последовательности, поскольку это определение самое простое и востребовано приближенными методами.

Курс обходится беглым абрисом интеграла Лебега, включенным ради описания пространств Лебега, и строится без опоры на теорию меры, поскольку данные разделы зачастую исключены из бакалаврского курса математического анализа, читаемого для прикладных специальностей, и никак не помещаются в урезанный курс функционального анализа.

Изложение ориентировано на две базовые задачи, стоящие на пересечении фундаментальной и прикладной математики: аппроксимацию функций и решение операторных уравнений. При рассмотрении аппроксимации функций посредством ортогональных систем затронуты вопросы точности и качества приближения. При решении операторных уравнений выделены на первый план вопросы сходимости приближенных методов и контроля точности приближенного решения. Проблема единственности решения также не упущена из поля зрения. А вот проблема существования, нелегкая для восприятия прикладника, отведена на второй план и в некоторых местах умалчивается.

В каждом модуле конспекта лекций сюжетная линия проходит путь от введения основных понятий к доказательству ключевых теорем, имеющих прямой выход к широко известным численным методам. Эти «выходы», как правило, описаны в последних параграфах модулей. Для их составления была проанализирована база из нескольких десятков существующих учебников как по функциональному анализу, так и по различным областям вычислительной математики.

Первый модуль посвящен метрическим пространствам и сжимающим операторам. Он завершается обзором ситуаций, в которых возможно применение принципа сжимающих операторов и метода простых итераций для приближенного решения уравнений разного типа.

Второй модуль представляет теорию рядов Фурье в гильбертовом пространстве. Значительное внимание уделено разнообразию ортогональных систем: тригонометрических, полиномиальных, систем ступенчатых функций. Модуль завершается описанием связи ряда Фурье с задачей аппроксимации и пояснением таких существенных особенностей, как характер сходимости ряда Фурье, специфика тригонометрической и полиномиальной аппроксимаций, различия между рядами Фурье и Тейлора.

Третий модуль посвящен теории линейных операторов и захватывает смежные вопросы оптимизации функционала. Изложение завершается описанием вариационного и проекционного подхода к приближенному решению линейных операторных уравнений. Подробно разобраны метод наименьших квадратов и метод Галеркина. Кроме того, в третьем модуле есть и другие выходы к вычислительной математике, представленные в разных параграфах: поиск решения уравнения в виде ряда Фурье по собственным функциям оператора, решение интегрального уравнения методом замены ядра на вырожденное, приближенная минимизация функционала методом Ритца.

Кроме строго дедуктивного стиля изложения, используются рациональные обоснования (с помощью аналогии, выборочной проверки) и прочие доводы в пользу правдоподобия выводов, в том числе основанные на неформальном смысле математических конструкций. Большинство параграфов снабжены предисловием, указывающим на «грубый» смысл предложенных конструкций, на связь с их предтечами из математического анализа, геометрии или линейной алгебры, на некоторые из ярких приложений в естествознании и технологиях.

Таким образом, курс не претендует на полноту и замкнутость в изложении теории, но делает акцент на алгоритмическую составляющую функционального анализа. Изложение теоретических конструкций упрощено до элементарного при попытке сохранить классическое качество данной дисциплины и не упустить идеологию происходящего. Абстрактная энергия функционального анализа существенно укрощена по сравнению с академическим курсом, но удержана как раз в таком объеме, чтобы давать питание для приложений: обоснование и мотивировку.

Радикальные сокращения, упрощения, нововведения и отступления от академического стиля изложения, допущенные в конспекте лекций, делают его уязвимым для критики со стороны опытных математиков. Главный аргумент защиты состоит в том, что «в преподавании нужно стремиться к пониманию, соответствующему уровню учеников — а не преподавателя или рецензента» [6]. Все модификации прошли тщательный отбор, упрощение курса происходило в несколько этапов, и зафиксированный в конце концов силуэт еще долгое время будет нуждаться в мудрых замечаниях и в отладке.

3. Модернизация практического курса

Для преобразования практической части курса согласно принятым концепциям разработана новая база заданий по функциональному анализу. Сборник задач [8] включает 58 заданий, 20 вариантов условия в каждом, все задания снабжены образцами решения либо указаниями к решению и ссылками на определенные места в конспекте лекций [7], содержащие теоретическую справку. Варианты условия в каждом задании не всегда однотипны и не всегда жестко привязаны к образцу решения — остается место для творческой мысли учащихся. Большинство задач являются результатом авторской разработки: составлены новые варианты условий на классические сюжеты и новые сценарии задач. Преобладают задания вычислительного характера, что соответствует прикладной ориентации курса. Ресурсы абстракции, по природе присущие функциональному анализу, использованы для взгляда сверху на вычислительные задачи с разнообразным конкретным содержанием. В этом заключается отличие данного сборника от большинства существующих задачников, где практикуется уход от конкретного содержания к абстрактным схемам и от вычислений к упражнениям на доказательство.

Все задачи можно разделить на два типа. К первому типу относится большое количество задач, которые можно выполнить без привлечения электронных средств вычисления. Фундамент практического курса выстроен на простейших одношаговых задачах, решение которых сводится к грамотному использованию определения или формулы. Например, проверка принадлежности элемента какому-либо пространству, вычисление нормы, метрики, скалярного произведения для конкретных функций, применение неравенств треугольника, Коши-Буняковского, Гельдера, проверка линейности пространства или оператора и т. д. Эта группа «детских» задач составлена специально, чтобы компенсировать существующее пренебрежение к примитивной разминке со стороны академического функционального анализа. На эти задания опирается надстройка из более состоятельных аналитических упражнений, примерно соответствующих типичным представителям классических сборников. Например, исследование сходимости конкретной последовательности в данном пространстве, вычисление размерности линейного подпространства, проверка полноты системы, построение обратного оператора, поиск собственных чисел и функций оператора, исследование непрерывности и непрерывной обратимости оператора, оптимизация простейших функционалов. При разработке таких заданий наибольшую пользу принес лабораторный практикум [4].

Ко второму типу относятся достаточно объёмные задания, заведомо рассчитанные на численную реализацию с помощью прикладных математических пакетов. Блок таких заданий завершает каждый из изучаемых модулей. Методическая разработка в этом направлении начиналась с исследования численных методов, органично вытекающих из теории функционального анализа. Затем последовал поиск типовых расчетов с использованием этих методов, которые можно было бы приспособить к языку и целеполаганию адаптированного курса «Функциональный анализ». Однако в конце концов

пришлось самостоятельно вывести гибридную породу задач, которые предполагают как алгоритмизацию численного метода, так и обоснование его эффективной работы средствами функционального анализа. Получился ряд новых солидных задач, актуальность которых была отмечена еще тридцать лет назад в книге [5]. Далее приводим обзор заданий этого типа, которые вошли в предлагаемый сборник.

В первом модуле, посвященном теории сжимающих операторов, имеется широкая подборка уравнений, для которых следует применить принцип сжимающих операторов и в одном из математических пакетов найти приближенное решение методом простых итераций. Особое внимание уделяется грамотному использованию априорной и апостериорной оценок числа итераций. Представлено несколько типов уравнений.

1. Дано числовое уравнение, т.е. уравнение с одной вещественной неизвестной. Преобразовать уравнение к виду, пригодному для применения принципа сжимающих операторов. Методом простых итераций найти приближенное решение с точностью Ю-5, используя априорную и апостериорную оценки числа итераций.

2. Дана система линейных алгебраических уравнений с четырьмя неизвестными. Преобразовать систему к виду, пригодному для применения принципа сжимающих операторов. Методом простых итераций найти приближенные решения с точностью Ю-2 и с точностью Ю-4, используя априорную и апостериорную оценки числа итераций. Найти точное решение системы и сравнить с приближенными.

3. Дано нелинейное уравнение в пространстве непрерывных функций С[а;Ь]. Используя принцип сжимающих операторов, доказать, что данное уравнение имеет единственное решение x(t) G С[а;Ь]. Методом простых итераций найти приближенное решение этого уравнения с точностью s = 0.01, используя априорную оценку числа итераций. В качестве ответа предъявить график приближенного решения.

4. В пространстве С[0; 1] дано интегральное уравнение Фредгольма с вырожденным ядром, содержащее числовой параметр Л > 0. Определить, при каких значениях параметра Л к этому уравнению применим принцип сжимающих операторов. Взять любое подходящее значение Л и методом простых итераций найти приближенное решение этого уравнения с указанной точностью s используя априорную оценку числа итераций. Найти точное решение уравнения и сравнить с приближенным.

5. Дана задача Коши для линейного дифференциального уравнения первого порядка. Найти точное решение задачи Коши. Преобразовать задачу Коши

к интегральному уравнению Вольтерры и методом простых итераций найти несколько первых приближений к точному решению. Проиллюстрировать графически сходимость приближенных решений к точному.

Второй модуль, посвященный теории рядов Фурье в гильбертовом пространстве, завершается задачами на аппроксимацию функции частичной суммой ряда Фурье по тригонометрической системе или по одной из полиномиальных систем с реализацией в одном из математических пакетов. Особое внимание уделено графической иллюстрации происходящего. Представлены такие виды заданий.

6. Провести процесс ортогонализации конечной системы {1, £, £2, £3, £4} в гильбертовом пространстве L2'^(a,&), где скалярное произведение оснащено весом

7. Дана функция х = x(t) в гильбертовом пространстве L2( —1; 1) со стандартным скалярным произведением. Для функции х в этом пространстве требуется найти многочлен наилучшего приближения первой степени и многочлен наилучшего приближения второй степени. Построить графики функции х и полученных многочленов.

8. Вычислить несколько первых коэффициентов Фурье для функции х = x(t) по указанной системе многочленов. Подтвердить графически сходимость ряда Фурье к функции х.

9. Аппроксимировать функцию х = x(t) в пространстве L2(—1; 1) двумя способами: при помощи ортогональной тригонометрической системы и при помощи ортогональных многочленов Лежандра. Число п — заданный порядок аппроксимации. Построить графики функции х и полученных аппроксимаций. Сравнить точность аппроксимаций в метрике пространства L2(—1; 1).

10. Аппроксимировать функцию х = x(i) на промежутке [—1; 1] двумя способами: при помощи ортогональных многочленов Чебышева I рода и при помощи многочлена Тейлора с центром в нуле. Число п - заданный порядок аппроксимаций. Построить графики функции х и полученных аппроксимаций. Ответить на следующие вопросы, обосновав ответы численно: а) какой способ дает лучшую аппроксимацию вблизи нуля; б) какой способ дает лучшую равномерную аппроксимацию на промежутке [—1; 1]?

11. Даны числа Ck — коэффициенты разложения некоторой элементарной функции X = x(t) в ряд Фурье по указанной системе многочленов. Восстановить функцию х: построить график частичной суммы ряда Фурье достаточно высокого порядка; по виду графика сделать предположение о том, что представляет из себя функция х (какова её формула). Обосновать предположение численно.

— многочлены Чебышева I рода.

Третий модуль нацелен на практическое освоение теории линейных операторов и оптимизации функционалов. Особое внимание уделено переходу от частной формулировки задачи к постановке в абстрактной операторной форме и наоборот, а также грамотной оценке точности приближенного результата и графической интерпретации. В этом модуле имеются следующие типы расчетных заданий с реализацией в математических пакетах.

12. Найти решение уравнения А[х] — Хх = у в виде ряда Фурье по собственным функциям симметричного дифференциального оператора А, действующего в одном из весовых пространств L2'^(a; b). Проиллюстрировать решение графически.

13. Имеется симметричный интегральный оператор Фредгольма А : L2(a;b) —> —► L2(a;b) с ядром K(t,s). Построить систему собственных чисел и собственных функций оператора А. Найти решение уравнения А[х] — Хх = у в виде ряда Фурье по собственным функциям оператора А. Проиллюстрировать решение графически.

14. Имеется интегральный оператор Фредгольма А : С[0; 1] —► С[0; 1] с ядром K(t,s). Доказать, что оператор I — А непрерывно обратим, где / — тождественный оператор. Найти приближенное решение уравнения х — А[х] = у с точностью £, используя сочетание метода замены ядра на вырожденное и метода простых итераций. Проиллюстрировать решение графически.

15. Имеется нелинейный функционал F : L2(a;b) —► R, принимающий единственное экстремальное значение на своей области определения Dp- При помощи уравнения Эйлера-Лагранжа найти экстремум функционала F и установить его тип (максимум или минимум). Методом Ритца провести приближенную оптимизацию функционала F. Проиллюстрировать графически сходимость приближений, полученных методом Ритца, к точному решению экстремальной задачи.

Dp — множество дважды непрерывно дифференцируемых функций, удовлетворяющих граничным условиям х( — 1) = 2, х(1) = — 1.

16. Дано линейное дифференциальное уравнение второго порядка с однородными граничными условиями (задача Дирихле). Обосновать единственность его решения и возможность применения методов Галеркина и наименьших квадратов. Найти приближенное решение с точностью е = Ю-2, используя указанный метод с координатной системой е&, к = 1, 2, 3,... Проиллюстрировать решение графически.

метод Галеркина,

17. Дано линейное интегральное уравнение Фредгольма. Обосновать единственность его решения и возможность применения методов Галеркина и наименьших квадратов. Найти приближенное решение с точностью е = 10_3, используя указанный метод с координатной системой = tk, к = 0,1,2,3... Проиллюстрировать решение графически.

метод наименьших квадратов.

18. Даны коэффициенты р и q симметричного положительно определенного оператора Штурма-Лиувилля А[х] = — {рхг)' + qx. Дана функция х. Для оператора А составить задачу Дирихле на промежутке (а; fr), решением которой является функция х. Апробировать на этой задаче метод Галеркина с тремя разными произвольно выбранными координатными системами. Провести сравнительный анализ скорости сходимости. Выводы проиллюстрировать графически и численно.

Все перечисленные задания двусоставны: решение предполагает аналитическую часть и расчеты на компьютере. Объем расчетов таков, что их невозможно проделать вручную. Образцы решения содержат необходимый теоретический анализ и конечные результаты компьютерной реализации, численные и графические. Расчетные программы не приводятся, чтобы не ограничивать свободу выбора среды и средств программирования, да и, кроме того, поставить дополнительное препятствие нетворческому копированию образца решения. Для реализации расчетов достаточно владеть элементарными навыками программирования в одном из математических пакетов (при составлении образцов использован пакет Maple).

Задания такого типа воплощают в себе сочетание функционального анализа и вычислительной математики, поскольку для их решения предлагается, во-первых, принять язык и точку зрения функционального анализа, во-вторых, по возможности пройти теоретический путь к расчетным формулам, а не пользоваться готовыми рецептами. Для примера приведем с некоторыми сокращениями образец решения задачи 15 (см. выше условие), которая относится к наиболее сложным.

Образец решения задачи 15

Данный функционал F действует в гильбертовом пространстве L2( —1; 1). Поставлена классическая задача оптимизации. Требуется найти единственное экстремальное значение функционала:

и элемент х G Dp, на котором оно достигается. Решение этой задачи опирается на принципы точной и приближенной оптимизации функционала в гильбертовом пространстве, которые предоставляет § 18 конспекта лекций, пункты 18.2-18.3.

А. Найдем экстремум функционала F при помощи уравнения Эйлера - Лагранжа.

Необходимое условие экстремума выражается операторным уравнением Эйлера-Лагранжа:

где F'[x\ — градиент функционала F. Продемонстрируем наиболее прямой способ его вычисления, который заключается в том, чтобы непосредственно выделить линейную часть приращения функционала (первую вариацию) и преобразовать её к виду скалярного произведения, затем выразить градиент.

Зафиксируем функцию х G Df, рассмотрим такие приращения Ах G H, что х + Ах G Др. Отсюда ясно, что функция Ах должна быть дважды непрерывно дифференцируемой и должна удовлетворять нулевым граничным условиям Ах(—1) = = Ах(1) = 0. Составим приращение функционала:

Выделяем в этом приращении компоненту, которая линейна относительно Ах. Получается первая вариация функционала:

Далее необходимо преобразовать получившееся выражение первой вариации к виду скалярного произведения F'[x] на функцию Ах в пространстве L2(—1; 1). Для этого в первом интеграле используем интегрирование по частям и свойства функции Ах:

Отсюда получаем градиент функционала F:

Таким образом, уравнение Эйлера-Лагранжа в данном случае равносильно задаче Дирихле для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка:

Решая задачу Дирихле, находим единственную функцию, которая обеспечивает экстремум функционалу F:

Тип экстремума — минимум, поскольку на любой другой функции значение функционала F получается больше:

В. Проведем приближенную оптимизацию функционала F методом Ритца и проиллюстрируем графически результат.

Заметим, что область определения функционала не является линейным подпространством в L2( — 1; 1) (из-за ненулевых граничных условий) — это препятствие для реализации классического метода Ритца, но легко преодолимое. Выберем и зафиксируем произвольную функцию Xq G Dp, например, Xq(s) = - — - s. Тогда любой элемент х G Dp можно представить в виде суммы х = :го + х. где х G Dp — множество дважды непрерывно дифференцируемых функций, удовлетворяющих нулевым граничным условиям х(—1) = х(1) = 0. Множество Dp является линейным подпространством в L2(—1; 1).

Далее согласно методу Ритца выберем полную линейно независимую систему {zk}k=1 в пространстве L2( —1; 1), такую что е& G Dp:

Минимизацию функционала F на Dp заменим минимизацией на элементах вида

Поскольку элементы хп отличаются друг от друга только набором числовых коэффициентов с/е, то F[xn] = F(ci, с2, • • •, сп) — числовая функция п вещественных переменных. Необходимое условие экстремума для функции нескольких переменных — равенство нулю её градиента, т. е. всех частных производных:

(18.7)

Дифференцирование интеграла по параметрам с^ и несложные преобразования приводят к системе п линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных

Проведем численное решение этой системы для разных п. Построим несколько приближений хп, например, х\, £5, xj. На рисунках 1, 2, 3 изображены график функции X и графики приближений х\, £5, xj (пунктиром).

Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3

По графикам можно наблюдать сходимость приближений, полученных методом Ритца, к точному решению экстремальной задачи. Задача решена.

Среди перечисленных задач 1-18, предназначенных для реализации в математических пакетах, многие обладают синтетическим характером: для их решения требуется привлечь инструменты из разных модулей курса или из других разделов математики, изученных ранее (таковы задания 2, 5, 10, 12, 13, 14, 15).

Поскольку задачи 1-18 тяжелы для тщательной пошаговой проверки, то в большинстве образцов решения присутствуют элементы самоконтроля: с помощью сравнения приближенного решения с точным, с помощью подстановки приближенного решения в уравнение, посредством графической констатации сходимости и т.д. Причем отрабатывается способность различать полноту проверки: есть методы, позволяющие контролировать достоверность решения, а есть действия, приводящие к выводу только лишь о правдоподобии решения.

Некоторые задачи оснащены элементами творческого исследования:

• сравнительный анализ эффективности родственных методов решения (задачи 9, 10, 18);

• анализ зависимости от параметра (задача 4);

• возможность самостоятельного выбора некоторых исходных данных (задачи 4, 18);

• решение путем выдвижения гипотезы и её проверки (задача 11). Однако эти элементы включены в задачи в деликатных дозах, поскольку главную цель разработки составляет создание широкой базы вычислительных задач, доступных для среднего студента, а не только для продвинутого.

Таким образом, описанные задания второго типа, занимают центральное место в модернизированном практическом курсе функционального анализа [8]. Они достаточно крупные и представляют некий многошаговый вычислительный проект, направленный как на постижение архитектуры расчета, так и на получение практически приемлемого результата.

4. Принципы организации учебного процесса

Рассматриваемый учебный комплекс [7, 8] позволяет и отчасти вынуждает реорганизовать учебный процесс по дисциплине «Функциональный анализ» в соответствии со следующими принципами.

Во-первых, конспект лекций и сборник задач построены таким образом, чтобы сделать предмет максимально доступным для самостоятельного освоения и с первых же занятий активизировать учебную деятельность студентов в условиях жестких ограничений учебного времени. Если не тратить занятия на последовательный и подробный разбор всего материала, а перевести учебный процесс в режим обзорных лекций и консультаций по задачам, то удается оптимизировать расход аудиторных часов. Обзорные лекции целесообразно ограничить небольшим количеством формальных данных и посвятить разностороннему обсуждению ключевых математических идей и сопутствующих внематематических ассоциаций. Курс функционального анализа остро нуждается в таком подходе, поскольку подводит определенный итог накопленному и разрозненному опыту при изучении других разделов математики. В обзорные лекции можно включить, например, такие вопросы: проблема сходства и различия между объектами, которая численно решается с помощью подходящей метрики; какой бывает сходимость и каковы причины её видового разнообразия; линейность как универсальное позитивное качество математических конструкций и нелинейность как источник неприятностей; разложение и аппроксимация функций — в чем отличие и как это делается; общее понятие непрерывности и роль, которую играет непрерывность во всех сценариях приближенных методов; относительная простота и привлекательность конечномерных пространств, приближенные методы, основанные на редукции к конечномерной задаче. Конспект лекций призван подготовить и подтолкнуть читателя к размышлениям об идеологии происходящего в математике. Соответствующие обзорные лекции могут существенно усилить этот эффект.

Во-вторых, предлагаемый сборник задач удобен для использования балльно-рейтинговой системы учета знаний. Как известно, она отличается тем, что обеспечивает определенную вариативность обучения (в предложенных рамках позволяет студенту выбрать задания по вкусу и по силам), мотивирует сильных студентов к решению сложных задач и дает возможность найти свою нишу для слабых, создает естественные условия для дифференцированного зачета по практике, что весьма актуально в ситуации постепенной дискредитации теоретического экзамена. Обширный банк разноуровневых задач с большим количеством вариантов был специально разработан для потенциального распределения баллов: например, от 1 балла за простейшую одношаговую задачу до 10 баллов за многошаговый расчет с реализацией в математическом пакете (такого типа расчеты могут также использоваться для постановки курсовых задач).

В-третьих, при проведении практических занятий на базе данного учебного комплекса происходит перенос акцентов с техники ручного счета на организацию электронного вычислительного процесса. Такой перенос неизбежен

в современных условиях (по крайней мере после изучения основ дифференциального и интегрального исчисления), востребован студентами прикладных специальностей, отвечает потребностям их будущей профессии. Новые поколения студентов испытывают несомненную симпатию к вычислительной технике, однако грамотное использование математических пакетов не формируется само собой. Базой, разумеется, является уверенное владение языком (синтаксисом) того или иного математического пакета. Для этого служат отдельные курсы в рамках учебной программы прикладных специальностей и множество самоучителей, размещенных в интернете. Но остаются нетронутыми специфические проблемы, связанные с различиями схоластической (учебной, книжной) и компьютерной математики, которые требуют внимания на начальном этапе эксплуатации математических пакетов.

Для примера перечислим типичные трудности, которые возникают у студентов, когда после продолжительных рукопашных схваток с интегральным исчислением они наконец получают право пользоваться компьютером. Большинство учащихся теряются, если компьютер выдает ответ в виде символьного выражения со специальными функциями, многие их которых студент видит впервые (или вообще не помнит, что бывают «неберущиеся» интегралы). Студенты подозревают сбой программы, поскольку до сих пор ни на одной контрольной работе они такого не встречали. Многих ставит в тупик ситуация, когда разные математические пакеты дают разные (по виду) ответы для одного и того же интеграла. Начинают распространяться слухи, что «такой-то пакет интегрирует неправильно, считай лучше в этом». Кроме того, большинство студентов не догадываются, что во многих случаях компьютер вычисляет определенный интеграл не по формуле Ньютона-Лейбница, а прибегает к численному интегрированию, причем ответ получается приближенным и допущенную погрешность бывает важно контролировать. Наконец, математические пакеты требуют гораздо более ответственного отношения к работе с типами данных (числами, переменными, выражениями, функциями), чем это принято в беглых расчетах на листочке бумаги. В частности, мало кому из студентов удается избежать недоразумений, когда в программе задействованы интегралы с переменным верхним пределом или с параметром, которые участвуют в каких-то операциях в качестве функций.

На самом деле опыт компьютерного интегрирования не отбивает охоту в аналитическом изучении интеграла, а помогает убедиться, что это не пустая трата времени. Иногда вручную вычислить несложный интеграл проще, чем переваривать полученный в математическом пакете ответ, упакованный почему-то не в оптимально компактном виде. К тому же компьютер регулярно капризничает, «не хочет считать» или «врет». Зачастую это связано с тем, что начинающий пользователь не знаком с какими-то подводными камнями в работе математического пакета. Понимание свойств интеграла способствует скорейшему выявлению таких нюансов, да и вообще помогает контролировать корректность выполнения многошаговой программы и находить ошибки в составленном алгоритме.

Вообще говоря, есть такие вычислительные навыки, которые оттачиваются именно на многошаговых компьютерных расчетах, а не при выполнении отдельных элементарных действий вручную. В первую очередь это касается округления числовых величин. При решении учебных задач, подобранных для ручного счета, идея что-то округлить, как правило, приходит не из-за реальной необходимости, а скорее по вдохновению: почему бы не взять 7Г ~ 3,14. А зачастую даже так: 7Г = 3,14. Всё равно окончательный ответ никуда больше не идет, кроме как на проверку преподавателю. В компьютерной программе, где несколько десятков числовых операций

с неотобранными данными, без округлений обойтись невозможно. Если же в самом начале присвоить 7Г = 3,14, как это делают по привычке некоторые студенты, то к концу программы накопленная погрешность может быть столь велика, что результат будет очевидно искаженным. Эта примитивная ловушка уже заставляет задуматься об ответственности за каждое из предпринятых округлений. А сколько еще более тонких сетей расставляют математические пакеты, чья эффективность зиждется на приближенных расчетах.

Вряд ли будет ошибкой сказать, что грамотное использование электронных вычислительных средств и квалифицированная интерпретация результатов должны стать одной из основных целей обучения не только функциональному анализу, но вообще математике в техническом вузе. В связи с этим предлагаемый сборник задач [8] дает возможность, с одной стороны, повторить изученные ранее навыки ручного счета, с другой стороны, позволяет всем желающим как можно скорее обращаться к математическим пакетам для реализации технических выкладок и подталкивает к этому, когда учебный процесс в конце каждого модуля подходит к объемным задачам, рассчитанным на использование компьютера.

ЛИТЕРАТУРА

1. Треногин В. А. Функциональный анализ. — М.: Физматлит, 2007. 488 с.

2. Лебедев В. И. Функциональный анализ и вычислительная математика. — М.: Физматлит, 2005. 296 с.

3. Кириллов А. А., Гвишиани А. Д. Теоремы и задачи функционального анализа. — М.: Наука, 1988. 400 с.

4. Антоневич А.В., Ваткина Е.И., Мазель М.Х. и др.; / под ред. Антоневича А.В., Радыно Я. В. Функциональный анализ и интегральные уравнения: лабораторный практикум. — Минск: БГУ, 2003. 179 с.

5. Треногин В. А., Писаревский В. М., Соболева Т. С. Задачи и упражнения по функциональному анализу. — М: Наука, 1984. 256 с.

6. Мышкис А. Д. О преподавании математики прикладникам // Математика в высшем образовании. 2003. № 1, С. 37-52.

7. Филимоненкова Н. В. Конспект лекций по функциональному анализу. — СПб.: Лань, 2015. 276 с.

8. Филимоненкова Н.В. Сборник задач по функциональному анализу. — СПб.: Лань, 2015. 240 с.

Поступила 18.08.2015

TEACHING FUNCTIONAL ANALYSIS IN A TECHNICAL UNIVERSITY: METHODOLOGICAL ASPECT

N. V. Filimonenkova

The paper is devoted to the solving of problems in teaching functional analysis to future engineers. It summarizes methodological approaches that form the basis of a new educational complex and gives its characteristics and recommendations for use.

Keywords: functional analysis, computational mathematics, educational complex, applied orientation.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СОРЕВНОВАНИЯ В ВУЗАХ

УДК 51-8

ОЛИМПИАДА В ФОРМЕ КОМАНДНОЙ ИГРЫ

А. Ю. Эвнин

Южно-Уральский государственный университет Россия, 454080, г. Челябинск, пр. Ленина, 76; e-mail: evnin@prima.susu.ac.ru

Приведены задачи открытой командной олимпиады по математике, проводившейся в Южно-Уральском государственном университете в 2012-2014 гг.

Ключевые слова: математические олимпиады, интернет-олимпиада, командная олимпиада.

Одной из задач, которые современное общество ставит перед высшим образованием, является поиск и отбор способных студентов, а также побуждение их к углублённому изучению выбранных наук. Известна важная роль, которую играют в решении этих задач предметные олимпиады. Они стимулируют интеллектуальное развитие студентов и содействуют их профессиональному самоопределению.

Большой интерес у студентов вызывают командные олимпиады, в которых заметную роль играет умение участников команд работать в коллективе. Популярной формой командной олимпиады являются математические бои [1]. Этот вид олимпиад рассчитан на очень узкий круг самых подготовленных участников и требует больших временных затрат от организаторов и участников.

Более «демократичной» является командная игра, проводимая одновременно для большого числа команд. Об идеологии таких олимпиад, позволяющих сочетать массовость, зрелищность и математическую содержательность, подробно и эмоционально написано в статье [2].

Формат командной игры состоит в следующем. Состав каждой команды — 3-4 человека. Задачи предъявляются командам последовательно (по одной) с указанием времени на решение данной задачи. Баллы за задачу начисляются обратно пропорциональны числу команд, её решивших. Промежуточные итоги подводятся после каждой задачи. Такая форма проведения олимпиады позволяет сохранить интригу до самого конца: одна задача может решить исход всего соревнования.

Материалы командных интернет-олимпиад, организованных Ариэльским университетом (Израиль) в 2009-2014 гг., а также очных командных олимпиад, проводившихся в рамках суперфиналов международной интернет-олимпиады по математике в Израиле в 2011-2014 гг., можно найти на сайте i-olymp.net.

В Южно-Уральском государственном университете в 2012-2014 гг. командная олимпиада проводилась по несколько иному формату.

Основной контингент участников олимпиады составили студенты I и II курсов. Наряду с ними состязались старшекурсники и даже аспиранты. Вне

конкурса выступили школьники знаменитого челябинского лицея 31 (победители и призёры Всероссийских олимпиад по математике и информатике). Ясно, что при таком широком спектре участников нужна более гибкая схема проведения олимпиады.

Мы объединяли задачи в блоки по две или три задачи. Этим достигались сразу две цели. Во-первых, оказалось возможным предлагать задачи более широкой тематики, оставляя шанс показать хороший результат более молодым участникам (в каждом блоке должна быть задача, доступная школьникам и студентам первого курса). Во-вторых, усиливается командный характер олимпиады. Дело в том, что если на заданный промежуток времени предлагается для решения всего одна задача, то один сильный «игрок» может решить судьбу всей игры. В случае же нескольких задач, которые нужно решить за тот же промежуток времени, усилий только одного участника команды, скорее всего, окажется недостаточным для победы (если в соревнованиях участвуют достаточно подготовленные и относительно равные по силам команды).

Всем командам предлагался один и тот же набор задач, но результаты подводились по разным номинациям: школьники, I курс, II курс, III курс и старше. В 2012 г. в олимпиаде приняли участие 18 команд, а в 2013 г. и в 2014 г. — уже по 41 команде (в том числе гости из Челябинского госуниверситета и Челябинского государственного педуниверситета). Технические результаты олимпиад можно найти на сайте http://vk.com/club6779920 (группа «Математический конкурс в ЮУрГУ» социальной сети «В контакте»).

Итак, приведём условия задач (вместе с ответами и решениями) командных олимпиад ЮУрГУ.

Командная олимпиада 10 ноября 2012 г.

1-й раунд (3 задачи на 20 минут)

1. Часы показывают 8 ч 20 мин. Через сколько минут минутная стрелка в четвёртый раз догонит часовую стрелку?

2. Дан прямоугольный треугольник, в котором высота, опущенная из вершины прямого угла, в 4 раза меньше гипотенузы. Чему равен наименьший угол этого треугольника (в градусах)?

3. Вычислите интеграл

2-й раунд (3 задачи на 25 минут)

4. Найдите площадь фигуры, задаваемой на координатной плоскости неравенством х2 + у2 < X + у.

5. Комплексное число а является корнем уравнения z2 — z + 1 = 0. Вычислите значение выражения а11 + а.

6. Вычислите

3-й раунд [2 задачи на 20 минут)

7. Лариса, Вера и Саша собирали грибы. Вера собрала грибов на 25% больше, чем Саша, но на 25% меньше, чем Лариса. На сколько процентов Саша собрал грибов меньше, чем Лариса?

8. Найдите целую часть числа

4-й раунд (3 задачи на 30 минут)

9. (По мотивам молдавской народной сказки.) Как-то шли по дороге двое знакомых. У Штефана в котомке шесть хлебов, а у Петра пять. Проголодавшись, уселись они в тени ветвистой ракиты, у колодца. Только вынули хлеб из котомок, подходит к ним незнакомый прохожий, здоровается и просит его попотчевать: очень ему есть захотелось, а с собой съестного из дому не прихватил и купить негде.

- Садись, добрый человек, и кушай с нами, — сказали путники. Стали они все трое голый хлеб уписывать, студеной водой колодезной запивать. Ели они втроём, пока не исчезли все 11 хлебов, словно их и не было. Вынул тогда незнакомец из кошелька 11 лей.

- Возьмите, люди добрые, в благодарность за то, что накормили меня досыта.

Сколько из этих денег полагается Штефану, а сколько Петру (если делить деньги по справедливости)?

10. Пусть

Вычислите /(5)(3). 11. Вычислите

5-й раунд (2 задачи на 30 минут)

12. На плоскости проведено п прямых, среди них нет параллельных и никакие четыре не проходят через одну точку. Всего имеется 16 точек пересечения этих прямых, причём ровно через 6 точек проходит по три прямые. Чему равно п?

13. Вычислите

Командная олимпиада 9 ноября 2013 г.

1-й раунд (2 задачи на 20 минут)

14. Назовём год лихим, если в записи его номера есть повторяющиеся цифры. Например, все года с 1988 по 2012 были лихими. Каково максимальное количество лихих лет, идущих подряд, среди уже прошедших лет нашей эры?

15. Решите систему уравнений

2-й раунд (3 задачи на 25 минут)

16. Иван Петрович каждый день в одно и то же время выезжает на своём автомобиле на работу. Если он едет со средней скоростью 40 км/ч, то он прибывает на работу в 8 ч 04 мин. Если его средняя скорость 60 км/ч, то он приезжает в 7 ч 56 мин. С какой средней скоростью нужно ехать Ивану Петровичу, чтобы прибыть на работу ровно в 8 ч?

17. Решите уравнение

18. Вычислите криволинейный интеграл по длине

где С — линия пересечения поверхностей x2 + y2 + z2 = lnx + y + z = l.

3-й раунд (3 задачи на 30 минут)

19. На окружности отмечены 13 точек. Сколько существует выпуклых многоугольников с вершинами в этих точках?

20. Вычислите интеграл

21. На прямой у = X найдите точку, сумма расстояний от которой до кривых X2 + 14х — 2у + 53 = 0 и х2 + у2 + 2х — 10у + 22 = 0 минимальна.

4-й раунд (2 задачи на 25 минут)

22. Азимут — это угол от 0° до 360°, отсчитанный по часовой стрелке от направления на север до направления на заданный ориентир. Аристарх видит телебашню, водонапорную башню и колокольню соответственно под азимутами 60°, 90° и 120°. Борис видит телебашню и водонапорную башню соответственно под азимутами 270° и 240°. Под каким азимутом Борис может видеть колокольню?

23. Сходится ли последовательность с общим членом

Если да, найдите её предел.

24. В первом ряду театра 12 мест. Сколькими способами обладатели билетов на эти места могут разместиться на них так, чтобы каждый оказался на своём месте (согласно купленному билету) или на соседнем с ним?

25. Имеется матрица А = (g^j) размера 6x6с общим членом aij = г • j. Пусть /(ж) — определитель матрицы А + ж/, где / — единичная матрица размера 6x6. Вычислите /'(О).

Командная олимпиада 15 ноября 2014 г.

1-й раунд [2 задачи на 20 минут)

26. Имеется клетчатое поле размером 8 х 8. У Игоря три краски — белая, серая и чёрная. Он должен раскрасить клетки так, чтобы соседние клетки были разного цвета, но при этом не было резкой смены цвета, т. е. запрещается соседство белой клетки и чёрной. (Клетки называются соседними, если у них есть общая сторона.) Сколько способов у Игоря покрасить доску?

27. Под какими углами кривая

пересекает ось 0x1

2-й раунд (3 задачи на 25 минут)

28. Вычислите произведение

29. Найдите все функции / : Ш —> Ш такие, что для любого числа х

30. Определите знак числа

31. Решите в целых числах уравнение

32. Вычислите интеграл

33. Барон Мюнхгаузен изобразил в некотором 3D-редакторе 2015 попарно неколлинеарных векторов и утверждает, что для любых двух из них найдётся такой вектор из им нарисованных, который перпендикулярен каждому из этих двух векторов. Может ли заявление барона быть правдивым?

4-й раунд (2 задачи на 25 минут)

34. Сколько есть пар чисел ж и у, для которых выполняется матричное равенство

35. В какое наименьшее число цветов можно покрасить натуральные числа, чтобы числа, разность которых — простое число, были разного цвета?

5-й раунд (3 задачи на 30 минут)

36. А — двоичная (т. е. её элементы — нули и единицы) невырожденная матрица размера 6x6. Какое наибольшее число единиц может быть в такой матрице?

37. На параллельных верёвках длиной а подвешена балка длиной Ъ.

Её повернули вокруг вертикальной оси на угол tp < тт (центр балки остался на этой оси, но немного сдвинулся вверх) так, что верёвки остались натянутыми. На какую высоту поднялась балка?

38. Барон Мюнхгаузен утверждает, что знает два различных натуральных числа таких, что если сложить их квадраты, получится куб, а если сложить их кубы, получится квадрат. Может ли заявление барона быть правдивым?

Ответы и решения

1. Через 220 мин.

В начальный момент времени минутная стрелка составляет с направлением на 12 часов угол в 120°, а минутная — в 250°. К моменту, когда минутная стрелка в четвёртый раз догонит часовую стрелку, она должна повернуться по сравнению с часовой стрелкой на 130 + 360 • 3 градусов больше. За один час ее угол поворота на 33U оольше. Значит, искомое время = — (в часах), или 220 мин.

Замечание. Можно было рассуждать и так. Ясно, что в 12 ч минутная стрелка догонит часовую. Промежуток времени между их встречами — часа. Исходя из этого нетрудно прикинуть, что встреча в 12 ч как раз четвёртая по счёту!

2. 15°.

Пусть в треугольнике ABC угол С — прямой, ZA < ZB, СН и CD -высота и медиана.

По свойству медианы, проведённой из вершины прямого угла, CD = AD = = — AB. По условию, С H = — AB. Значит, в прямоугольном треугольнике CDH катет С H вдвое меньше гипотенузы CD. Отсюда ZCDH = 30°. Этот угол является внешним для треугольника ADC. Внешний угол равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с этим внешним. Поскольку AD = DC, имеем равенство углов ZD АС = ZACD. Значит, ZA = 15°.

Очевидно, а3 = — 1. Отсюда а11 = —а2. Значит, а 6. 10.

Используя второй замечательный предел, имеем

Как известно, аа — 1 ~ a ln а (при а —> 0). Поэтому

Значит,

Замечание. Точно так же доказывается, что предел среднего степенного двух положительных чисел равен их среднему геометрическому:

7. 40.

Пусть Саша собрал х грибов, а Лариса — у грибов. Тогда Вера собрала 1,25ж = 0,75у грибов. Отсюда х = 0,6у, т.е. Сашины грибы составляют 60% от Ларисиных.

8. 1997.

Суммируя неравенства

по п от 2 до 106, получаем

Суммируя неравенства

по п от 1 до 106, получаем

Значит, 1997 < s < 1998.

9. Штефану полагается 7 лей, а Петру — 4.

На каждого едока пришлось по 11/3 хлебов. Значит, прохожий получил от Штефана 6 — 11/3 = 7/3 хлебов, а от Петра 4/3 хлебов. В такой же пропорции 7 : 4 они должны разделить деньги.

10. 3 • 5! = 360.

Представим функцию в виде суммы простейших дробей:

Отсюда

Благодаря симметричности области интегрирования относительно прямой у = X имеем

Отсюда

12. 8.

Немного пошевелим прямые, чтобы они стали прямыми общего положения. При этом каждая точка пересечения трёх прямых даст по три точки попарного пересечения этих прямых. Всего получится 16 + 2-6 = 28 точек.

Поскольку п прямых общего положения пересекаются в точках, имеем уравнение

из которого п = 8.

13. -44,5. Пусть

Тогда

Отсюда А = 2~44'5.

14. 104.

С 1099 по 1202 все года лихие. Рассмотрим нелихие года 102, 203, 304, 405, 506, 607, 708, 809, 910, 1023, 1098; 1203, 1304, 1405, 1506, 1607, 1708, 1809, 1907, 1987, 2013. Кроме рекордного промежутка между соседними годами в этой последовательности, все остальные промежутки — более короткие!

15. (2;3), (3;2), (1; 5), (5;1).

Замена и = х + у, v = ху. После этого трижды применяем (обратную) теорему Виета.

16. 48 км/ч.

Пусть Иван Петрович едет на работу со скоростью 60 км/ч, а обратно со скоростью 40 км/ч. Тогда его средняя скорость совпадёт с искомой скоростью. Задача сведена к весьма известной. Ответом служит среднее гармоническое скоростей из условия задачи.

Из-за симметрии кривой С относительно координатных плоскостей

поскольку линия пересечения сферы х2 + у2 + z2 = 1 и плоскости x + y + z = 1 радиуса. Л (как несложно.

Многоугольник определяется своими вершинами, их должно быть не меньше трёх. Поэтому из всех подмножеств 13-элементного множества нужно исключить множества из 0, 1 и 2 элементов. Искомых многоугольников

21. (1;1).

Окружность (х + I)2 + (у — 5)2 = 4 и парабола = - (х + 7)2 + 2 расположены выше прямой / с уравнением у = х. Отразив окружность симметрично относительно данной прямой (от этого расстояния от точек прямой до окружности не изменятся), получим окружность С с уравнением [х — 5)2 + + {у + I)2 = 4. Расстояния от любой точки / до С меньше расстояния до центра окружности 0(5; —1) на 2. Поэтому решаемая задача равносильна такой: на / найти точку с минимальной суммой расстояний до параболы и до точки О. Ясно, что это будет точка пересечения нормали к параболе, проведённой из точки О, с прямой /.

Уравнение нормали

- точка параболы. Обозначим а = xq. Тогда

Из условия, что нормаль

проходит через точку 0(5; —1), получаем уравнение

Это уравнение сводится к кубическому, и у него единственный корень а = 5. Осталось найти точку пересечения найденной нормали с /.

22. От 120° до 270° (не включительно).

Пусть А — точка, в которой находится Аристарх, В — телебашня, С -Борис, D — водонапорная башня, К - колокольня. Из условия следует, что ABCD — параллелограмм. Рассмотрим четырёхугольник АВСК. В нём ZA = 60°, ZB = 150°. Отсюда ZC < 150°. При К -> оо (вдоль соответствующего луча) ZC —> 150°, а азимут стремится к 120°. Если же устремить К к А, а С к бесконечности (по соответствующим лучам), то азимут будет стремиться к 270°.

23. Сходится к 1.

24. 233.

Пусть ап — количество перестановок чисел от 1 до п, в которых для каждого г число г стоит на i-м месте или на соседнем с ним. В задаче требуется найти ai2-

Очевидно, а\ = 1, a 2 = 2. Число п стоит на п-м месте или на (п — 1)-м. В первом случае количество перестановок равно ап-\. А во втором случае на п-м месте может стоять только число п — 1; таких перестановок an_2- Отсюда получаем рекуррентное соотношение

с помощью которого последовательно находим аз = 3, = 5, а§ = 8, üq = 13, а? = 21, as = 34, ад = 55, аю = 89, ац = 144, ai2 = 233. 25. 0.

1-й способ. Сначала для г = 2, 3,..., 6 из г-й строки вычтем 1-ю строку, умноженную на г. Затем для j = 2, 3,..., 6 к 1-му столбцу определителя прибавим j-й столбец, умноженный на j:

2-й способ. Широко известен следующий факт. Пусть элементы определителя п-го порядка являются функциями от т. Тогда производная определителя равна сумме п определителей; в i-м определителе г-й столбец исходного определителя заменяется столбцом производных, а остальные столбцы не меняются. В данной задаче получается, что в изменяющемся столбце на i-м месте 1, а остальные элементы — нули. Когда же мы будем вычислять алгебраическое дополнение к единице, подставив х = 0, то увидим в нём пропорциональные столбцы. Значит, каждое из шести слагаемых равно нулю.

3-й способ. Пусть д(х) — характеристический многочлен матрицы А. Тогда f(x) = д(—х). Ранг матрицы А равен 1, поэтому 0 является кратным корнем характеристического многочлена. Отсюда </(0) = 0 и /'(0) = 0.

26 . 233.

Если заменить (временно) белый и чёрный цвет зелёным, то у Игоря должна получится шахматная серо-зелёная раскраска. Таких раскрасок ровно две. Теперь осталось для каждой из 32 зелёных клеток выбрать один из двух цветов.

27. 45°. График функции

пересекает ось абсцисс в двух точках х\ и х2- Найдём производную функции в этих точках: поскольку

Другое решение основывается на такой цепочке преобразований:

29.

Положим t = 1-х. Тогда (1— t) ( 1-/(1—£)) = f(t) для любого t. Подставив в тождество

выражение

получим

откуда после несложных преобразований находим

Проверка

подтверждает, что найденная функция удовлетворяет условию задачи.

30. Это число равно нулю.

Подынтегральная функция является нечётной.

31. (0; 0), (-15; 0), (14,14).

Если у = 0, то ж2(ж + 15) = 0 и х = 0 или х = —15. При х = 0 новых решений уравнения не обнаруживается. Пусть теперь ху ф 0. Тогда и X — 2у + 15 ф 0. При этом

а равенство возможно лишь при \х\ = \у\ их — 2y + 15 = =hl, а именно:

• если X = у, то X — 2у + 15 = 1 и ж = у = 14;

• если ж = —у, то ж — 2у + 15 = —1 и решения в целых числах нет.

».§.

33. Может.

Пусть один из векторов перепендикулярен плоскости, в которой лежат остальные векторы, разбитые на пары взаимно перпендикулярных векторов (и при этом среди этих 2014 векторов нет коллинеарных). Тогда утверждение барона будет выполнено.

34. 2014.

35. 4.

Пример. Можно разбить N на 4 прогрессии с разностью 4, и члены каждой прогрессии покрасить своим цветом.

Оценка. Числа 1, 3, 6 и 8 должны быть разного цвета, поскольку их попарные разности — простые числа.

36. 31.

Если в матрице не менее 32 единиц, то нулей не более четырёх и найдётся два столбца из одних единиц, в силу чего матрица будет вырожденной. Пример невырожденной матрицы с 31 единицами:

Её определитель можно подсчитать так. Оставив неизменным первый столбец, из всех остальных столбцов вычтем первый. Получится нижнетреугольный определитель, у которого на диагонали есть одна единица, а на остальных местах стоит —1.

Пусть балка AB, висящая на верёвках DA жСВ, заняла положение А\В\. Отрезок А\В\ параллелен горизонтальной плоскости, длина его, как и отрезка AB, равна Ъ. Пусть А'В' — проекция А\В\ на горизонтальную плоскость, в которой лежит отрезок AB.

В треугольнике АО А1', где О — середина отрезка AB, имеем АО = OA' = Ъ/2 и ZAOA' = (р. Отсюда АА' = 6sin((^/2). Теперь в прямоугольной трапеции DAA'А\ нам известны длины трёх сторон. Легко найти длину меньшего основания этой трапеции А'А\. Это и есть высота, на которую поднялась балка. 37. Может. Пример: 54 и 2 • 54.

В заключение отметим, что только задачу 21 не удалось решить ни одной из команд, наиболее сложными из остальных задач оказались задачи 8, 11, 13, 18, 24, 25, 31, 35, 38.

О других формах математических соревнований, проводимых в ЮУрГУ, рассказывается в публикациях [3-7].

ЛИТЕРАТУРА

1. Игнатов Ю.А., Шулюпов В. А., Эвнин А. Ю. Задачи студенческих математических боёв. — Челябинск: изд-во ЮУрГУ, 2005. 43 с.

2. Домошницкий А. Интернет-олимпиада по математике для студентов и некие размышления о месте математических соревнований в общем контексте математического просвещения // Математическое образование. 2011. № 3-4 (59-60). С. 2-5.

3. Эвнин А. Ю. Южно-Уральская региональная математическая олимпиада // Математическое образование. 2009. № 1 (49). С. 2-12.

4. Эвнин А. Ю. Математический конкурс в ЮУрГУ — Челябинск: Издательский центр ЮУрГУ, 2012. 86 с.

5. Эвнин А. Ю. Олимпиада в форме компьютерного теста // Математика в высшем образовании. 2013. № 11. С. 97-102.

6. Заляпин В. И., Эвнин А.Ю. Заочные студенческие математические олимпиады // Математика в высшем образовании. 2014. № 12. С. 51-60.

7. Эвнин А.Ю. Сто пятьдесят красивых задач для будущих математиков. — М.: КРАС АНД, 2014. 224 с.

Поступила 20.03.2015

OLYMPIAD IN THE FORM OF A TEAM GAME

A. Yu. Evnin

Problems of the open team mathematical olympiads carried out at the Southern Ural State University are presented.

Keywords: mathematical olympiads, Internet olympiad, team olympiad.

ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ. ПЕРСОНАЛИИ

УДК 51+378.147.31

КРАСОТА МЫШЛЕНИЯ ВСЛУХ

И. С. Емельянова

г. Кэмпбелл, Калифорния (США) e-mail: inna.yemelyanova@gmail. com

Воспоминания M. А. Миллера и его учеников о лекционном мастерстве нижегородских математиков и физиков.

Ключевые слова: лекция в вузе, педагогическое мастерство.

Недавно в Институте прикладной физики РАН была издана книга «Михаил Адольфович Миллер»1 [1]. Тираж книги невелик, и она быстро расходится. Мне бы хотелось, по возможности, расширить круг знающих об этом удивительном человеке, моём профессоре, а всем читающим лекции для студентов, на мой взгляд, будет очень полезно узнать его мнение о мастерстве чтения лекций. Вот как вспоминают Миллера-лектора его бывшие студенты.

Геннадий Михайлович Фрайман2 [1, с. 283-284]:

«Он нам читал несколько лекций по векторному и тензорному анализу, потому что (как потом он мне рассказывал) считал, что этот раздел математики — сугубо физическая область и его нужно обязательно читать физикам. Многие из нас сами лекторы, свой курс знают во всех деталях, но мне кажется, что лекции Миллера и весь курс в целом — это какая-то общая картина, это что-то цветное, очень красивое. Я вспоминаю его власть над аудиторией: на его лекции всегда сбегалась масса народа. Ведь это было настоящее явление и в мое студенческое время, и потом, когда уже через много лет он читал дополнительный курс электродинамики... Приходило очень много людей, потому что это нужно было и лично увидеть, и лично послушать. Я видел конспекты его лекций: они всегда были тщательнейшим образом проработаны, бесконечное количество тетрадей, все записано, но без самого лектора (хотел сказать — артиста) это понять было невозможно. Надо обязательно видеть и слышать».

Лев Сергеевич Долин3 [1, с. 123]:

«При первом взгляде на МА бросалась в глаза его неординарность: он одевался, говорил и даже молчал «не как все». К нему нужно было привыкнуть. С аудиторией он общался уважительно, но очень непринуждённо, а объяснение написанных формул перемежал шутками и неожиданными аналогиями,

1 Миллер Михаил Адольфович (1924-2004) — физик-теоретик, профессор, заведующий кафедрой электродинамики радиофизического факультета Нижегородского государственного университета, работал в институтах ГИФТИ, НИРФИ, ИПФ РАН.

2 Фрайман Геннадий Михайлович (р. 1945), профессор, доктор физико-математических наук (ИПФ РАН).

3 Долин Лев Сергеевич (р. 1936), кандидат физико-математических наук, гл. научный сотрудник ИПФ РАН.

к чему мы не были заранее приучены. Его речь была правильной и образной, но местами непривычной, в ней присутствовали самобытные словечки и словесные конструкции, которые заставляли нас взбодриться и напрячь свои извилины».

Владимир Львович Братман4 [1, с. 154-155]:

«Лекции М. А. Миллера я слушал в 1964 году, когда ему было 40, и, несмотря на уже преследовавшие его болезни, он был, по-видимому, вблизи пика своей формы. Незадолго до этого я перевелся на радиофак5 с казанского физфака. В чужом городе было несладко, но после встречи с МА сразу появилась надежда, что случайно очутился в нужном месте. Хотя первое впечатление о нем могло и разочаровать: моложавый, казавшийся не очень серьезным, с коротким ежиком волос, скромно одетый. После общения с доской рукава, а часто и спина в мелу, на что он не обращал никакого внимания. Но надо было его немного послушать, чтобы надолго попасть под обаяние его личности.

Лекции МА были действительно великолепны: фейерверк эрудиции, физической глубины, остроумия. Но не менее хороши были и лирические отступления, которые очень расширяли наше мировоззрение и воспитывали вкус. Одним из главных было впечатление незашоренности взгляда, интеллектуальной свободы, отсутствия провинциальности... Один и тот же курс читался совершенно по-разному и был не похож на доступные учебники. Лекции и особенно предлагаемые по ходу задачи не были простыми и всегда требовали серьезных размышлений. На экзаменах МА работал в стиле сеанса одновременной игры — сразу с половиной группы обходя студентов по кругу и беседуя с каждым в течение нескольких минут за проход. Нашему курсу он предложил три варианта программы, которые отличались объемом и потенциальной оценкой, причем на экзамене надо было выбрать один из вариантов и тем самым сразу обозначить свои претензии. Это был удачный психологический тест, очень непростой для студентов. Решившись на выбор средней программы, я тут же получил вопросы по самой сложной, и хотя на главные вопросы отвечал не очень удачно, по видимому, за отвагу получил высшую отметку.

К лекциям и научным выступлениям МА всегда готовился очень тщательно, разрабатывая заранее не только учебную или научную их часть, но и шутки. И это несмотря на его всем известную способность к великолепным экспромтам. Его невозможно было застать врасплох. Будучи всегда максимально мобилизован, он нервно воспринимал невнимательность слушателей. Если кто-то опаздывал на утреннюю лекцию, МА не делал замечаний, но останавливал рассказ и стоял в красноречивой, почти трагической позе, потом очень медленно входил в роль. Когда он настраивался, своей благородной манерой казался мне похожим на Смоктуновского в роли Гамлета».

4 Братман Владимир Львович (р. 1945), доктор физико-математических наук, зав. отделом ИПФ РАН.

5 Радиофак (РФФ) — первый в СССР радиофизический факультет, открытый в Нижегородском (в то время — Горьковском) университете 1 декабря 1963 года, в день рождения Н.И. Лобачевского.

Будучи студентом, МА пережил потрясение, связанное с переходом своего молодого преподавателя Михаила Львовича Левина6 (по выражению МА, «нашего, из нашей братии») в ранг лекторов. МА описывает это так: [1, с. 370]: «... в совестливо-стеснительной молодости ещё, кажется, теплится биопамять об отпущенном тебе месте среди людей. Вот мы подсознательно считали: лабораторки, упражнения — это наше. Как говорил киношный Чапаев: «Если малость подучиться, то смогу!» А вот чтение лекций — это для избранных, это нам не по рангу, это нечто! Тем сильнее было наше ошеломление, когда наш Левин, наш старшой, наш бригадир, стал читать нам один из основных профессиональных курсов «Теория электромагнитного поля», в укорочении просто «Теория поля». По Лоренцевой классификации, он перескочил в иной ранг, в секту лекторов, перескочил, нас не покидая. Я думаю (сейчас думаю), это было решающее воспитательное событие — снятие с нас «стресса ранга», то есть избавление от раболепного почтения к обладателям ранга повыше. Никакой широковещательный психолог не сумел бы это излечение произвести убедительней! Я отнюдь не утверждаю, что мы выздоровели окончательно, безрецидивно. У нас всё ещё было впереди... » МА вскоре сблизился и подружился с М. Л. Левиным и считал его Учителем и Другом всю жизнь [2].

В очерке «Лекторы и личности» [1, с. 374-391] МА так пишет «Про лекции вообще»: «На протяжении активного отрезка своей жизни я перебывал на многих лекциях, да и сам поизощрялся читать их разноманерно. И неоднократно задумывался, так ли уж это оптимально — переносить знания из одной головы в другие с помощью слуховых и зрительных лекционных манипуляций. Ответа не нашёл. Возможно, его и нет, ибо лекционирование -одна из многих разновидностей взаимодействия между людьми, в некоторых случаях удачное, достигающее исполнения задумок, а в других случаях — никудышное, но живучее в силу веками сложившихся привычек. Забавно, что по-русски исполнение лекций выражается глаголом читать (по-английски -to deliver — преподносить, доставлять...). Наверное, талдычно читаемые (!) лекции лучше вообще не читать, а раздавать размноженными заготовками -на бумаге, или на дискетках, или через подключение к сетям — сообразно техническим возможностям. Но заведомо должны сохраниться «в живом виде» лекции-творенья (выделение наше), в которых демонстрируется процесс мышления, используются преимущества устной речи перед словесно-письменной, и даже при заранеевой подготовленности что-то досоздаётся по ходу действия и приспосабливается к обстановке — к реакции слушателей, даже пассивной... Ибо в таком исполнении лишь одна треть (примерно) информации передается “по вербальным каналам”.»

В чём, согласно МА, состоит «Главная тайна мастерства» [1, с. 374-375]? «Первые лекторы РФФ почти все (при единичных исключениях) не относи-

6 Левин Михаил Львович (1921-1992) [2], доктор физико-математических наук. Будучи студентом МГУ, был в 1944-45 гг. репрессирован. После амнистии преподавал в Горьковском университете (1945-1948). С 1956 г. — в Радиотехническом институте АН СССР, с 1957 г. по совместительству профессор МФТИ. Физик-теоретик, блестящий педагог и историк науки.

лись к чтецам-талмудистам: они предъявляли себя личностями, и даже при изложении чужих сведений — а любая учебная лекция в основном и должна состоять из таковых — выглядели не как излагатели, а как соавторы! В этом умении, наверное, как раз и заключается тайна лекционного мастерства.»

После тяжёлой болезни в 1965 году МА не мог читать лекции в течение нескольких месяцев. Он при моральной поддержке профессора Дмитрия Андреевича Гудкова (ДА)7 решил “употребить себя в качестве «лекционного инспектора-проверщика на добровольных началах»” [3, с. 277-279]. Он посетил все лекции, читавшиеся в то время на своём факультете, по одной лекции у каждого читающего. Казалось бы, какие выводы можно было получить по результатам такого эксперимента? Но МА с ДА «в пылу обменных взаимодействий» «придумали интересные критерии оценок лекторов, которые вполне работают уже при одноразовом посещении».

Первый критерий — когда, в каком предельно году из прошлого выполняемая лекция могла быть прочитана. Второй — порядок записи на доске и стирания, выявление «меловых структур». «Обнаружилось, что практически любая лекция обладает, по крайней мере, скрытой свежестью. Мы сами порой не отдаём себе отчёта в том, насколько мы захватываемся окружающей нас «нынешней средой» — манеры, словесность, думательность... Я понял, что ажиотажное развитие «компьютерного мышления» невольно сказывается на излагательности даже тех лекторов, которые тщательно оберегают себя от умения «думать в клавиши» и вводить обратную связь через дисплей. Лекторы вынуждены быть излагательно современны, ибо таковы их слушатели! Таким образом, возникла, по существу, новая ветвь (ну, веточка) науки о думанье.»

Согласно второму тесту все лекторы разделялись по таким группам: «одни заполняют доску педантично-строчечно, как текст на странице (впоследствии такая письменность была названа линейной)..., другие лекторы мечутся по доске, раскрашивая доску куда попало распределёнными меловыми ляпушками, так что зазевавшийся или опоздавший слушатель вынужден соединять разбросанные истины самостоятельно... И, конечно, это не всегда совпадает с задуманной лектором сюжетной схемой. Между этими крайностями размещаются лекторы смешанных стилей... Кстати, сам ДА выглядел в этом тесте лектором здраво-смешанного типа с перевесом в сторону линейной письменности, но с применением изолированных вкраплений, тем дольше живущих, чем выше их содержательная весомость... Сейчас — и снова под влиянием компьютерики — линейная (последовательная) письменность (а значит, и думанье!) постепенно теряет свою непогрешимую признанность даже в так называемых естественных науках, и выпускается в свободный полёт скачкообразная (неаналитическая, многомерная) письменность (а значит, и думанье!).

7 Гудков Дмитрий Андреевич (1918-1992), профессор Нижегородского университета. Докторская диссертация посвящена решению 16-й проблемы Гильберта. Основал кафедру математики радиофизического факультета, заведовал кафедрой геометрии и высшей алгебры мехмата. Помимо математических курсов, возобновил после 35-летнего перерыва чтение в ННГУ курса истории математики, опубликовал книгу о начальном периоде жизни Н.И. Лобачевского.

Она более открыта для воображения, более монтажно-способна, она позволяет вольнее каждому соединять кажущиеся «разрозненности смысла». Какую-то роль в этом сыграло неаналитическое искусство (Феллини, Тарковский... авангардисты в живописи и в музыке типа «clipart»), но ведь это тоже, поди, отражало способы создания и восприятия дум человеческих».

Обратимся к воспоминанию МА о своих первых лекторах. Начинает он с академика Александра Александровича Андронова (АА)8. Его очерк озаглавлен «Колоритность Андронова» [1, с. 375].

«Впервые я попал на его лекцию в 41-м году, в Индустриальном институте, случайно забредя в чужую аудиторию. Я был первокурсником автомобильного факультета, а лекция — по моему последующему переосмысливанию — читалась для третьего курса радиофака (кстати, он... считался тогда спецфаком, что освобождало его студентов от воинской повинности! В войну!) и посвящалась теории электромагнетизма. Я был поражен его колоритностью: артистически лохматый, крепко сложенный здоровяк, похожий на грузчика, кидал в аудиторию какие-то веские слова, мне тогда не понятные. Но я запомнил слово «дивергенция» — он очень красочно объяснял его смысл какими-то притеканиями и вытеканиями. Конечно, то было упрежденное знание, и я воспринял его художественно, спектакльно. Но я вобрал в себя человека, этим знанием обладавшего, и несколько лет спустя (легко сказать, несколько лет — войну спустя!!), увидев его снова и уже исполненный к нему объяснимым почтением, выкопал из своей памяти тот эпизод и не мог избавиться от ассоциации АА с той самой дивергенцией, правда, её содержание за это время у меня обогатилось и формализовалось. Сейчас я считаю, это был удивительный и редкостный путь вхождения тонкого математического понятия в меня — через образность в логику, причем с большим перерывом. При этом артистичность лектора сыграла не последнюю роль!».

Следующий отрывок назван «У доски Великий Мира Сего» [1, с. 375-376]: «А в конце университетского обучения нам удалось прослушать несколько цельных лекций АА — одну, две, три... Речь АА по-прежнему была твердословной, я представлял себе, что так говорил Маяковский, вбивая слова, как гвозди (однако, может, мои представления исходили не от самого Маяковского, а от памятника ему в Москве!). Свои мысли АА озвучивал четко, последовательно, но иногда всё же возвращался к только что выпущенной фразе, чтобы переформулировать её точнее или ярче. Было ясно — у доски стоит Необыкновенный Мира Сего! Великий Человек! Почти каждое утверждение АА выглядело аксиомно. Он чувствовал эту опасность и старался расшатывать свое высказывание (помню, в частности, речь тогда шла о теореме Флоке) обобщениями, отклонениями, мотивированными сомнениями (в том примере — переходом к квазипериодичности). Остались в памяти кое-

8 Андронов Александр Александрович (1901-1952), академик АН СССР (1946). Окончил МГУ в 1925г. Аспирант Л.И.Мандельштама (1925-1929). Переехал в Нижний Новгород (г. Горький) в 1931 г. Доктор физико-математических наук (1935), профессор Горьковского университета (1934). Депутат Верховного Совета РСФСР (1947), депутат Верховного Совета СССР (1950). Основатель школы теории колебаний и автоматического регулирования. Талантливый деятель советской высшей школы.

какие правила его общения с аудиторией. Он говорил: «Вы можете задавать мне любые вопросы, но я не всегда смогу отвечать сразу, иногда отвечу потом, в более подходящем месте, а иногда — на следующей лекции, более продуманно, и, наконец, в некоторых случаях буду вынужден признаться, что не знаю ответа вообще». Он держал слушателей под впечатлением присутствия при сотворении. Даже в известную задачу он как бы вникал заново: и, наверное, так оно и было, и, наверное, он неоднократно в процессе объяснения вскрывал какие-нибудь «новинки» и для себя самого. Поражало его вдумчивое, внимательное, бдительное отношение к деталям, к подробностям, к тонкостям, к нюансам. Да и не только на лекциях — в отношениях к людям тоже».

Ещё один фрагмент «Любовь к Слову» [1, с. 376-377]:

«АА отлично владел Словом и любил Слово. Ему принадлежит изрядное число терминов, обозначений, словечек и целых оборотов, введенных в научный обиход и прижившихся в нем «по-домашнему». Мне почему-то с первого взгляда полюбился термин «фазовый портрет»... «Составим фазовый портрет движения!.. У этой системы такой удивительный (простой, странный, оригинальный...) фазовый портрет!» И т.д. Это был прекрасный наглядный образ — ведь именно АА понял, сам понял и других убедил, что движение в пространстве координат-импульсов (или их аналогов), то есть в фазовом пространстве, описывается в известном смысле проще и совокупнее, чем в привычном координатно-временном пространстве. Формально АА не был первооткрывателем этой мысли, но, как говаривал один из классиков, открыл тот, кто открыл убедительно! А он поистине убедительно (после Гамильтона, Пуанкаре, Биркгоффа и др.) переоткрыл эти векторные «пейзажи» на фазовых плоскостях и в фазовых пространствах. И научил людей работать с ними: сёдла, фокусы, предельные циклы..., устойчивости и неустойчивости траекторий... запасы устойчивости, «грубость и негрубость» поведения по отношению к внешним и внутренним воздействиям... Создав Новую Науку (ну, под-под-Науку), АА сразу же снабдил её адекватной и выразительной лексикой! И это было редкостное сочетание аналитичности и образности, а если не побояться, то можно сказать и художественности! Да и на формулы он глядел своеобразно, по-человечески, оживляя их: «Нехорошо через с обозначать переменную величину — у неё очень постоянный вид! А вот у х -вид переменного аргумента!».

«Превосходным обучателем» назвал МА Габриэля Семёновича Горелика9 [1, с. 349]. На его «потрясающие воображение» лекции «ходили сразу несколькими курсами — одни по расписанию, другие вдогонку, третьи просто так. Это был праздник научной поэзии! Любой лектор, как спортсмен, воодушевляется откликами переполненных трибун. ГС создавал лекционные спектакли, исторические инсценировки, он любил конфликтную драматур-

9 Горелик Габриэль Семёнович (1906-1956). Учился в МГУ (1923-1929), научный наставник профессор Л. И. Мандельштам. Работал на радиофаке Горьковского университета под руководством академика А. А. Андронова. Учёный-радиофизик и педагог, автор популярного учебника «Колебания и волны». В 1952 году подвергся травле в связи с «идеологическими ошибками» в своём учебнике.

гию физики» [1, с. 363]. «Каждая лекция — маленький спектакль в Театре Одного Актёра. Он говорил прерывисто, выбрасывая фразы очередями. Старался заразить слушателей неожиданными поворотами сюжета. Любил держать аудиторию в непрерывном (ну почти!) удивлении. Физика была для него Миром Чудес, сейчас сказали бы — Полем Чудес! Иногда строил свой рассказ по схеме детектива, отправляясь вместе со слушателями в логические (индуктивно-детективные! осциллирующая логика!) поиски причин демонстрируемого эффекта. И заражал восторгом всех и вся, ежели причина оказывалась нетривиальной: нейтрино в законах сохранения появлялось у него так же неожиданно, как обезьяна в знаменитом рассказе Эдгара По. Это не моя, это его аналогия. Он жил и творил по причудам французского темперамента, да и язык Франции знал с детства в совершенстве. La froide raison n'a jamais rien fait d'illustrel (Холодный рассудок не создаст ничего замечательного!)» ([1, с. 379-380]). Далее МА пишет, как много позже Горелик делился с ним своими «методическими приёмами»: «Излагая какое-нибудь физическое явление или событие, полезно притвориться, будто это тобою самим открытый факт. Свежеоткрытый. Настроить себя на уважение к себе, на восторг от первооткрывательства, и этот восторг целёхонько передать слушателям. И ещё делиться с ними муками творения, как своими... Они захватятся сценической искренностью переживаний, и психологическая сложность исторического конфликта надолго и, главное, поучительно западёт в их память» [1, там же].

MA вспоминает: «ГС умел, как никто, «заводиться» чужими результатами. Это обязательное умение для лектора, потому что обычно то самое -«своё кое-что» с трудом втискивается в общие курсы. Зато все мы про своё умеем лучше, чем про чужое. Я рассказал ему про эти «наблюдения» над собой, лекции получаются на порядок живее, если излагается полученное самим, но такое редко вставляется, так сказать, не по знакомству, а по справедливости.

Единственный случай, когда ГС поделился со мной «приёмом» в чистом виде. Надо в «чужом деле» попытаться додуматься до своего «методического открытия»: вывод, понимание, подход, взгляд. Такие «методические открытия» — точный термин ГС — позволяют внести в лекцию столь важный эмоциональный момент, который можно было бы назвать «радостью собственного участия в великом и общем»...

Рецепт прост и работает безотказно, но к нему нужно ещё желание и талант делать «открытия за так», нужен педагогический профессионализм, работать ещё нужно к нему, а не выполнять «педнагрузку». Последнее слово ГС яростно ненавидел.

Сейчас нередко услышишь, что лекции должны быть правильными и «содержательными» и что надо успеть «прочесть» то-то и то-то, и почти никогда — что они должны быть самобытными, своими, что они должны отличаться от того, что уже написано в учебниках и даже от того, что может быть написано. Иначе это — коллективная читка. Допотопный способ размножения истин: книга - звук - тетрадки - снова звук...

Но я ещё не кончил про лекции ГС. Вот ещё одна их важная примечательность — доброкачественная историчность. Про некоторые эпизоды ГС любил говорить, что лекция — сжатая, компактная инсценировка действительного исторического события; у неё, как у драмы, в отличие от жизни, свои приёмы, свои условности, свои способы» [3, с. 207-208].

Приведём характерное для Г.С.Горелика его высказывание об А.А.Андронове: «А. А. Андронов исследует дифференциальные уравнения так, как зоолог исследует зверей (определяет вид и подвид, узнаёт их повадки и структуру внутренних органов)... Андроновский «звериный питомник», или андроновская «клиника» дифференциальных уравнений, представляет огромный интерес. В них выясняется... какие могут быть «уродства» или «болезни», и как следует их лечить» [1, с. 383].

MA сравнивает манеру чтения лекций Г. С. Горелика и С. М. Рытова. Сергей Михайлович Рытов10 был лектором в Горьковском университете в 1947-1948 гг. «Ни раньше, ни позже ни я, ни мы не встречали ничего похожего. Если попытаться охарактеризовать одним словом, это слово «изысканность». Среди унылой серости послевоенной провинциальной жизни наше приобщение к физике, науке, возвышающейся над дерьмовостью бытия, было вообще какой-то внеземной светлостью: даже в любом преподнесении оно было наполнено красотой целесообразности. А потому порой не приходило в голову, что она может быть ещё и облечена в красоту художественного образа, в красоту искусства слова о ней, в красоту мышления вслух. Пожалуй, два человека — Г.С. Горелик и С. М. Рытов... являли собой примеры артистического исполнения физики. И оба совершенно разные по жанру. Г. С. -патетизм, СМ. — та самая светская изысканность.

СМ. не выставлялся импровизатором — он всегда держал в руках узенькие, продолговатые листочки, исписанные мелким каллиграфическим почерком. .., но говорил — излучал мысли — оторвано от них, они как бы были ему партитурной подсказкой. И лились незаменимые, казавшиеся единственно возможными слова, накладываемые тоже, казалось бы, на единственно возможные формулы, создававшие представление о, казалось бы, единственно возможной науке — осветлённой, лишённой слабостей.» [1, с. 309].

«Главным математиком» в годы своей учёбы МА считал Артемия Григорьевича Майера11 [1, с. 386]. «Это был пример антипеданта. Никакого занудства. Никакого «профессорства». Блестящая сообразительность и лёгкость... Я думаю, он был Математиком Полёта... В пламенных лекциях, экспромтных, свежеизготовляемых прямо на виду у публики, он достигал максимального успеха, какой только можно представить: в конце каждого

10 Рытов Сергей Михайлович (1908-1996), советский учёный, член-корреспондент АН СССР (1968), член-корреспондент РАН (1991). Специалист в области радиофизики. Научный руководитель: Л. И. Мандельштам. Работал в МГУ, ФИАН, РТИ АН СССР, МФТИ.

11 Майер Артемий Григорьевич (1905-1951), профессор Горьковского (Нижегородского) университета, известный специалист в области качественной теории дифференциальных уравнений, сотрудник академика А.А. Андронова. На протяжении многих лет читал курс истории математики; в этом курсе по ряду вопросов он придерживался неканонических точек зрения, что послужило поводом для организации в 1950 г. травли А. Г. Майера за «идеологические ошибки в курсе». См. подробнее статью [4] в этом номере журнала.

присутствия мне хотелось стать математиком! Возможно, не только мне! Пожалуй, не такой плохой критерий оценки “захватываемости профессией”!»

Одним из моих первых лекторов в университете была Александра Григорьевна Любина (АГ)12. Она читала лекции увлечённо, сопровождая их многочисленными убедительными демонстрациями, и осталась в памяти как неподражаемый мастер своего дела. МА пишет о ней: «У неё редкая профессия: она — педагог, обучатель людей, она — преподаватель-профессионал... Почему-то принято считать — и зарплата так начисляется — умей ты кропать диссертации и обряжаться в разные степени, тогда тебя можно смело запускать в преподавательские дела... А ведь это куда более сложное занятие в жизни — обучать не самого себя, довольно хорошо известного себе самому, а обучать других, неизвестных тебе людей — поначалу неизвестных... И главное, почти (не полностью, а почти) независимое занятие... АГ несомненно является педагогической наследницей Г. С. Горелика, сумевшей, при сохранении высокой преемственности достижений учителя, найти «свою игру», свою манеру, свой стиль, своё продолжение» [3, с. 293].

Сам Михаил Адольфович Миллер тоже читал нам лекции. Сразу два факультета — наш радиофизический и физико-математический — слушали эти лекции в актовом зале, обладающем странным акустическим свойством: звук хорошо доходил до студентов, которые сидели близко от сцены-помоста и в конце зала. А в середине зала был акустический провал, и МА со свойственной ему заботливостью сам помог нам занять комфортные места в зале. Этому предшествовал забавный эпизод. У МА был обострённый слух, который иногда мешал ему сосредоточиться. Однажды какая-то девушка, не из нашего потока, села на последний ряд зала, заткнула уши пальцами и стала что-то негромко «учить». МА прервал лекцию и стал повторять то, что она произносила. Не сразу девушка обнаружила, что все головы студентов обращены к ней... Не буду повторять, что лекции МА были необычными, блестящими и очень непростыми. Сложность материала не была постоянной. В конце практически каждой лекции было нечто, доступное для понимания единицам. И эти единицы в последние минуты лекции нередко задавали вопросы и поднимались на сцену к МА, чтобы продолжить обсуждение. Дважды за семестр МА устраивал «мини-опрос». Его интересовало не только то, как мы усвоили основные понятия, но и то, как мы воспринимаем прослушанное. Такая «обратная связь» заканчивалась его кратким комментарием на следующей лекции. Наиболее одиозные ответы он зачитывал. Помню ответы «больше рисуйте силовых линий» и «не подпрыгивайте на словах». Один студент написал: «Я мало понимаю на лекции, а дома перечитываю и понимаю больше». Были и короткие: «нормально, только много» и «интересно, даже очень».

Позднее, будучи преподавателем радиофака, я слушала курс необычных лекций, который МА читал для пятикурсников и всех желающих. Это были

12 Любина Александра Григорьевна (1910-2005), по окончании 2-го МГУ работала с 1931 года в Горьковском университете. С 1946 года — на вновь образованном радиофизическом факультете. 1953-1957 гг. — зав. кафедрой общей физики, с 1957 года — профессор кафедры.

обзорные лекции по электродинамике, частично отражённые в его «Похвальном слове уравнениям Максвелла» [3, с. 36-56]. Уравнения Максвелла он называл «одним из Величайших Достижений (а затем и Достояний!) нашей Цивилизации» [3, с. 38] и убедительно доказывал это. Лекции были тщательно продуманы и содержали, помимо основной канвы, блестящие ответвления, исторические справки, обобщающие рассуждения и импровизации. МА показывал мне конспекты этих лекций в тетрадях в клеточку, с чётко выписанными разноцветными фломастерами формулами, с подчёркиваниями, рамочками и скорописными вставками.

В наше время значение лекций в обучении студентов явно недооценивается. Уверена, что никакая «самоподготовка» неспособна дать настоящие, прочные знания, для приобретения которых важно личное общение с настоящими Лекторами, своеобразными, глубоко эрудированными и искренне считающими преподавание своим призванием. Такие Лекторы были, есть и будут. Совершенно необходимо научиться их выращивать, готовить и оценивать их работу по достоинству. Повторим ещё раз замечательные слова Михаила Адольфовича Миллера: «... лекционирование — одна из многих разновидностей взаимодействия между людьми... Заведомо должны сохраниться «в живом виде» лекции-творенья (выделение наше), в которых демонстрируется процесс мышления, используются преимущества устной речи перед словесно-письменной, и даже при заранеевой подготовленности что-то досоздаётся по ходу действия и приспосабливается к обстановке — к реакции слушателей... » [1, с. 374]. Хочется надеяться, что эти слова не останутся «гласом вопиющего в пустыне».

ЛИТЕРАТУРА

1. Михаил Адольфович Миллер. «Из спектров чувств и сгустков дум... » Жизнь. Воспоминания. Творчество / Рос. акад. наук, Ин-т приклад, физики. — Нижний Новгород: ИПФ РАН, 2015. 448 с.

2. Михаил Львович Левин. Жизнь, воспоминания, творчество. — Нижний Новгород: ИПФ РАН, 1995. 464 с.

3. Миллер М. Всякая и не всякая всячина, посвящённая собственному 80-летию. — Нижний Новгород, ИПФ РАН, 2005. 480 с.

4. Полотовский Г. М. Артемий Григорьевич Майер (к 110-летию со дня рождения) // Математика в высшем образовании. 2015. № 13. С. 105-124.

Поступила 20.07.2015

BEAUTY THINKING ALOUD

I. S. Emelyanova

Memories M. A. Miller and his students about the lecture skill Nizhny Novgorod mathematicians and physicists.

Keywords: lecture at the university, pedagogical skills.

ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ. ПЕРСОНАЛИИ

УДК 529

АРТЕМИЙ ГРИГОРЬЕВИЧ МАЙЕР

(к 110-летию со дня рождения)

Г. М. Полотовский

Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского Россия, 603950, г. Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23, корп. 6; e-mail: polotovsky@gmail.com

Очерк о жизни и научно-педагогической деятельности нижегородского математика профессора Артемия Григорьевича Майера.

Ключевые слова: качественная теория дифференциальных уравнений, профессор Артемий Григорьевич Майер.

Артемий Григорьевич Майер был математиком высокой культуры, который наряду с чисто-математическими работами не только мог, но и любил заниматься прикладными задачами. Математические работы А. Г. Майера в настоящее время являются классическими.

Е. А. Леонтович-Андронова

Имя и научные результаты замечательного нижегородского математика Артемия Григорьевича Майера хорошо известны специалистам по качественной теории дифференциальных уравнений. Однако, насколько мне известно, до самого последнего времени не было ни одной сколько-нибудь обстоятельной публикации о его жизни и научно-педагогической деятельности.

Артемий Григорьевич Майер (6 сентября 1905 - 20 сентября 1951)

Работа поддержана проектной частью госзадания № 1.1410.2014/К Министерства науки и образования Российской Федерации.

Научные результаты и публикации

Список опубликованных работ А. Г. Майера по нынешним меркам весьма короткий — он насчитывает 25 позиций1, причём в известных библиографических справочниках [1, стр. 435-436] и [2, стр.826] опущены 8 следующих публикаций А. Г. Майера:

M1. К теории связанных колебаний двух самовозбуждённых генераторов // Горький, Учён. зап. ГГУ, вып. 2 (1935). С. 3-12.

М2. Исследование уравнений Рэлея и Ван-дер-Поля // Изв. ГГУ, вып. 2 (1936).

М3. К теории вынужденных колебаний в сложном генераторе // Горький, Учён, зап. ГГУ, вып. 6 (1937). С. 25-36.

М4. De trajectoires sur les surfaces orientées // Comptes Rendus (Doklady) de L'Académie Des Sciences de L'URSS. Vol. 24, № 1 (1939). P. 673-675.

M5. О задаче Вышнеградского в теории прямого регулирования // ДАН СССР, 43 (1945). С. 345-348 (совм. с А.А.Андроновым).

М6. Задача Вышнеградского в теории прямого регулирования. I // Автоматика и телемеханика, т. 8, вып. 5 (1947). С. 314-334 (совм. с А.А.Андроновым).

М7. Задача Вышнеградского в теории прямого регулирования. II. Теория регулятора прямого действия при наличии кулоновского и вязкого трения (продолжение) // Автоматика и телемеханика, т. 14, вып. 5 (1953). С. 505-530 (совм. с А.А.Андроновым).

М8. Теория «ударной машины» // Горький, Учён. зап. ГГУ, вып. 27 (1954). С. 3-22 (совм. с А.А.Андроновым).

Попытаюсь кратко охарактеризовать математическое наследие А. Г. Майера, опираясь на имеющуюся у меня небольшую (менее двух машинописных страниц) неопубликованную заметку Е. А. Леонтович-Андроновой2 «О работах Артемия Григорьевича Майера», ссылки на которую помечены ниже инициалами «Е.Л.» Из этой же заметки взята и фраза, приведённая выше в эпиграфе.

Представляется естественным разделить все результаты А. Г. Майера на следующие пять групп.

I. «Это, во-первых — его работа, касающаяся динамических систем на двумерных поверхностях» [Е.Л.]. Этот круг результатов представляют три статьи (ДАН СССР, 14 (1937), с. 251-254 (совм. с Е. А. Леонтович); М4 из списка выше; Матем. сб. 12(54) (1943), с. 71-84) и кандидатская диссертация Майера «О траекториях на ориентируемых поверхностях», защищенная им в Институте Математики при МГУ в 1939 г., содержанием которой «является установление возможного характера траекторий на поверхностях. Для систем на двумерных поверхностях им создана теория, аналогичная классической теории Пуанкаре - Бендиксона в случае плоскости (или сферы).

1 Трудно удержаться от замечания, что с такой «публикационной активностью» — за без малого 20 лет работы «всего» 25 публикаций, да ещё не входящих в Web of Science или Scopus, — А. Г. Майер не мог бы в наши дни претендовать на руководство проектом по гранту РНФ.

2 Евгения Александровна Леонтович-Андронова (1905-1997) — профессор Нижегородского университета, жена академика А. А. Андронова, сотрудничала с А. Г. Майером на протяжении всего периода его работы в Нижнем Новгороде. О жизни и деятельности Е. А. Леонтович-Андроновой см. [3-5].

< ... > Эта работа Артемия Григорьевича является основой почти любого изучения динамических систем на двумерных поверхностях» [Е.Л.].

II. Статья «Грубое преобразование окружности в окружность» (Учён. зап. ГГУ, вып. 12, с. 215-229. — Горький, 1939), в которой «установлены некоторые основные факты — например, необходимые и достаточные условия грубости диффеоморфизмов окружности, непрерывная зависимость числа вращения от параметра и указано, что функция, дающая зависимость числа вращения от параметра, есть, вообще говоря, функция Кантора» [Е.Л.].

III. «Наиболее сильной математической работой Артемия Григорьевича является его работа “О центральных траекториях в проблеме Биркгофа”» [ЕЛ.]. Здесь речь идёт о пяти статьях (ДАН СССР, 55 (1947), с. 477-480; ДАН СССР, 55 (1947), с. 583-586; УМН, том 2, вып. 2 (18) (1947), с. 193-194; ДАН СССР, 59 (1948), с. 1393-1396; Матем. сб., 26 (1950), с. 265-290), на которых основана докторская диссертация А. Г. Майера «О центральных траекториях и проблеме Биркгофа3», защищенная им в 1947 г.

IV. Работы об инварианте, названном «схема динамической системы». После двух совместных с Е. А. Леонтович статей (ДАН СССР, 14 (1937), с. 251-254, и ДАН СССР, 103 (1955), с. 557-560) построение схемы динамической системы (а также многие другие вопросы качественной теории динамических систем на плоскости) было подробно изложены в двухтомной монографии [6, 7], которая до настоящего времени остаётся настольной книгой специалистов по качественной теории и студентов, изучающих этот предмет. В предисловии к [6] написано: «Настоящая книга была начата в 1949 году А. А. Андроновым совместно с Е. А. Леонтович и А. Г. Майером и после смерти А. А. Андронова (в 1952 г.) и А. Г. Майера (в 1951 г.) дописана Е. А. Леонтович и И. И. Гордоном4. Окончательный вариант принадлежит Е. А. Леонтович».

V. Работы, посвящённые прикладным задачам, о которых Е. А. Леонтович написала: « Трудно указать математика, который при решении конкретных задач проявлял такую быстроту ориентировки, способность использовать всевозможные математические средства и мастерство» [Е.Л.]. Среди этих работ — самая первая статья А. Г. Майера и Е. А. Леонтович «Об одном неравенстве, связанном с интегралом Фурье» (ДАН СССР, 4 (1934), с. 353-360),

3 Дж. Биркгоф ввёл инвариант динамической системы, называемый «порядковым числом центральных траекторий», и, в частности, поставил вопрос о существовании трёхмерной динамической системы, у которой этот инвариант >3. А. Г. Майер показал, что для любого заданного трансфинита 2-го класса можно построить трёхмерную систему с порядковым числом множества центральных траекторий, превышающим этот трансфинит.

4 Израиль Исаакович Гордон (1910-1985) — выпускник Ленинградского университета, первый аспирант Л. С. Понтрягина. В 1935 г. в своей диссертации (см. также [8]) ввёл кольцо когомологий. Таким образом, когомологии были независимо и одновременно введены А. Н. Колмогоровым, Дж. Александером и И. И. Гордоном, причём все они сделали на эту тему доклады на международной топологической конференции 1936 года в Москве. С 1944 г. И. И. Гордон — доцент Горьковского университета. Подробнее об И. И. Гордоне см. [9].

о которой Л. П. Шильников5 писал в [3]: «Она относится к теории линейных систем и содержит ответ на вопрос Л. И. Мандельштама о соотношении между продолжительностью радиоимпульса и размытостью. По существу, Е. А. Леонтович и А. Г. Майер в этой заметке дали точную формулировку классического аналога квантового соотношения неопределённости, имеющего фундаментальное значение для теории связи».

О другой работе из этой группы — «Задача Мизеса в теории прямого регулирования и теория точечных преобразований поверхностей» (ДАН СССР, 43 (1944), с. 58-60 (совм. с А.А.Андроновым)) во введении к книге [12] написано: «|it Трёхмерная нелинейная задача, получающаяся при учёте сухого трения в муфте, оставалась нерешённой из-за своей большой математической трудности, несмотря на то, что ею занимались Н. Е. Жуковский, Стодола, Грдина, Мизес и многие другие исследователи. Эта задача была решена А. А. Андроновым и А. Г. Майером».

В правоте Е. А. Леонтович, определившей работы А. Г. Майера как классические (см. эпиграф), сомневаться не приходится: основные идеи и результаты Майера получили развитие в работах математиков последующих поколений. Так, динамические системы на поверхностях интенсивно изучались и изучаются до сих пор, в том числе в Нижнем Новгороде. В частности, результаты Майера, касающиеся асимптотического поведения траекторий динамических систем на поверхностях, и идеи А. Вейля и Д. В. Аносова позволили С. X. Арансону и В. З. Гринесу получить топологическую классификацию транзитивных потоков на ориентируемых поверхностях, подробности см. в [13].

О роли преобразований окружности в изучении динамических систем говорить излишне. Отмечу только, что некоторые результаты из упомянутой в п. II статьи 1939 года были переоткрыты В.И.Арнольдом [14] и В. А. Плиссом [15].

Исследования Майера о проблеме Биркгофа, показавшие, что трёхмерные системы могут быть чрезвычайно сложными, тоже имели продолжение: один из примеров Майера был усилен Л. П. Шильниковым в 1969 г. [16], а в 2000 г. результаты Майера были передоказаны другим методом в диссертации С.А.Шаповалова (МГУ).

Наконец, продолжалась и тематика, связанная со схемой динамической системы. Так, в работах С.Ю.Пилюгина [17] и Я. Л. Уманского [18] подобные конструкции введены для определённых классов динамических систем размерности > 3, а одним из истоков работ Л. М. Лермана и Я. Л. Уманского по четырёхмерным гамильтоновым интегрируемым системам (см., например, [19]) также является геометрический подход Майера.

5 Леонид Павлович Шильников (1938-2011) — профессор Нижегородского университета, один из крупнейших специалистов по теории бифуркаций многомерных динамических систем. О жизни и научных результатах Л. П. Шильникова см. [10, 11].

Родословная и биография А. Г. Майера

Фрагмент генеалогического дерева «наших»6 Майеров приведён на рис. 1. Из него видно, что Артемий Григорьевич является прямым потомком Николая Васильевича Майера (1806-1846). Как следует из многочисленных воспоминаний7, Н. В. Майер был человеком очень ярким8. В 1827 г. он окончил в Санкт-Петербурге Медико-хирургическую академию и стал врачом. С 1830 г. он служил в Ставрополе, где в 1837 г. познакомился с М. Ю. Лермонтовым, которому послужил прототипом для образа доктора Вернера из «Княжны Мери»9.

Вот словесный портрет доктора Вернера из «Княжны Мери»: «Вернер человек замечательный по многим причинам. Он скептик и материалист, как почти все медики. < ... > Его наружность была из тех, которые с первого взгляда поражают неприятно, но которые нравятся впоследствии,

Рис. 1

6 Фамилия Майер довольно распространена на территории Германии и России и происходит, скорее всего, от немецкого слова «meier», которое означает «фермер», либо «владелец молочной фермы».

7 Г. И. Филипсона (1809-1883) (русский генерал, сенатор, участник Кавказской войны), Н.П. Огарёва (1813-1877) (поэт, ближайший друг А.И.Герцена), Н.М.Сатина (1814-1873) (поэт-переводчик) и других — см. очень интересную статью [20].

8 Среди его потомков помимо А. Г. Майера много других неординарных личностей; за недостатком места — кратко только о Евгении Мальм-Майере, племяннике А. Г. Майера. Отец Евгения был репрессирован. С началом войны семья из Севастополя эвакуировалась в Элисту, но всё же оказалась под немецкой оккупацией. Затем через лагерь для перемещённых лиц в Австрии семья попала в Аргентину, где Евгений окончил консерваторию, был организатором и руководителем русских хоров «Ивушка» и «Знаменный». В 1976 г. он участвовал в постановке «Бориса Годунова» в оперном театре Буэнос-Айреса, позже был стипендиатом Института им. Гнесиных в Москве. Вернувшись на короткий срок в Аргентину, затем он переехал с женой в Барселону, где живёт уже более 30 лет. Е. Мальм-Майер работал с хором Каталонской православной церкви, в настоящее время он один из руководителей камерного хора « Арс-Аниме» (сайт этого хора в Интернете http : //www.arsanimae.org).

9 По утверждениям литературоведов, доктор Вернер — единственное действующее лицо романа «Герой нашего времени», чей прототип не вызывает сомнений.

когда глаз выучится читать в неправильных чертах отпечаток души испытанной и высокой. < ... > Вернер был мал ростом, и худ, и слаб, как ребёнок; одна нога была у него короче другой, как у Байрона; в сравнении с туловищем голова его казалась огромна: он стриг волосы под гребёнку, и неровности его черепа, обнаруженные таким образом, поразили бы френолога странным сплетением противоположных наклонностей. Его маленькие чёрные глаза, всегда беспокойные, старались проникнуть в ваши мысли. В его одежде заметны были вкус и опрятность; его худощавые, жилистые и маленькие руки красовались в светло-жёлтых перчатках. Его сюртук, галстук и жилет были постоянно чёрного цвета. Молодёжь прозвала его Мефистофелем... Мы друг друга скоро поняли и сделались приятелями, потому что я к дружбе неспособен».

У Артемия Григорьевича хранился приведённый здесь автопортрет Н. В. Майера, который он предоставил известному лермонтоведу И. Л. Андроникову (1908-1990) по просьбе последнего. Андроников считал, что «кроме глаз Вернера, которым Лермонтов сообщил чёрный цвет, в остальных деталях его наружность совершенно совпадает с автопортретом Майера и впечатлениями очевидцев».

Перейдём к биографии А. Г. Майера. В архиве сохранился рукописный черновик автобиографии, расшифровка10 которого приведена ниже.

Автобиография Майера А. Г.

Родился в 1905 г. (В г. Дмитриев Курской губернии — Г.П.) Отец — инженер (умер в 1942 г.), мать — дом. хозяйка (ныне живёт в Москве).

Окончил в 1926 г. физ.-матем. факультет Моск. Гос. Университета по специальности «теория чисел». В 1930 г. закончил аспирантуру в Ин-те Матем. и Мех. при МГУ. (Руководителем А. Г. Майера в аспирантуре был известный математик А. Я. Хинчин (1894-1959) — Г.П.).

Во время аспирантуры работал:

В 26/27 г. вёл курс высшей математики на геолого-географическом факультете МГУ.

(?)-1928 гг. работал ст. статистиком в Центр. Статист, [управлении] СССР.

В 8/9 г. преподавал на подготов. отделении Мех.-Маш. Ин-та им. Каган-Шабшая.

В 29/30 г. был ст. ассистентом в Моск. Мех.-Маш. Ин-те им. Баумана.

10 Здесь «расшифровка» — всего лишь общепринятый термин: почерк А. Г. Майера вполне разборчивый.

По окончании аспирантуры был направлен НКПросом в Горьк. Педаг. Ин-т, доцентом по кафедре математики, где и работал в 1930/31 и 1931/32 гг.

С 1931 г. работаю ст. научн. сотр. Горьк. Иссл. Физико-Техн. Ин-та, с осени 1931 г. — доцентом кафедры математич. анализа Горьк. Гос. Университета; с сент. 1946 г. — заведую ею11.

Научную работу вёл в основном в области качественной теории дифференц. уравнений и её приложений к теории колебаний и к теории автоматич. регулир. Всего напечатано 10 работ, [готовятся] 2.

Диссертацию на степень кандид. ф.-м. наук защитил в 1939 г., в Ин-те Матем. при МГУ.

Имею семью: жена, трое детей.

1947 А. Майер

О том, как А. Г. Майер попал в группу Андронова в ГИФТИ12, рассказывала13 Е. А. Леонтович-Андронова: «Он [А. Г. Майер] был по распределению распределён в Нижний Новгород. Так что когда мы сюда приехали с Александром Александровичем [Андроновым — Г.П.], то он уже там был, он работал в пединституте, и Александр Александрович его к себе перетянул и пригрел. В пединституте он чем-то занимался, чем-то очень трудным, по-моему, он занимался теорией чисел. Он говорил, что вот когда он работал по той тематике, которая у него была в Москве, что он как-то доходил до пределов мысли, что это очень тяжело. Так что он с большим удовольствием, по-моему, связался с Александром Александровичем. Сменил тематику, которая для него была очень тяжела».

Ещё один пункт в автобиографии Майера требует разъяснения: что такое «Мех.-Маш. Ин-т им. Каган-Шабшая», на подготовительном отделении которого А. Г. Майер преподавал в 1928-1929 гг.?

В 1920 году на свои личные средства Я. Ф. Каган-Шабшай14 организовал в Москве ВТУЗ для подготовки полноценных инженеров за 2-3 года против обычных в то время 6-7 лет. Позже этот ВТУЗ получил название «Государственный Электромашиностроительный Институт имени Каган-Шабшая» (ГЭМИКШ). Вступительных экзаменов было пять (алгебра, геометрия, тригонометрия — устно, геометрия и алгебра с тригонометрией — письменно).

11 А. Г. Майер не упомянул, что с апреля 1933 г. по февраль 1934 г. он был деканом физико-математического факультета (Центральный архив Нижегородской области (ЦАНО), ф. 377, он. 6, д. 9, л. 53а) - Г.П.

12 Горьковский исследовательский физико-технический институт, образован в 1930 г. как научное учреждение республиканского значения, в 1932 г. включен в систему Горьковского госуниверситета.

13 В 1996 г. Е. И. Гордон (профессор Восточного Иллинойского университета, сын И. И. Гордона; в то время был профессором Нижегородского университета) и я попросили Е. А. Леонтович-Андронову рассказать о Майере; приводится фрагмент из аудиозаписи её рассказа.

14 Яков Фабианович Каган-Шабшай (1877-1939) был совершенно неординарной личностью. Он получил разностороннее образование и благодаря чрезвычайной энергичности и работоспособности воплотил в жизнь многие свои проекты. Коллекционировал предметы искусства, поддерживал молодых художников, в том числе Марка Шагала. Более подробно о Каган-Шабшае можно прочитать, например, в [21, 22].

Студент 4 дня в неделю работал на заводе, а 2 дня по 10-12 часов (!) проходил теоретическое обучение. Институт имел шесть курсов и только один месяц каникул, так что в год проходилось по три курса, и через два года студент получал звание инженера, если не проваливался на каком-нибудь экзамене. В случае хотя бы одного провала студент оставался на курсе второй раз. Третий раз оставаться на одном курсе было нельзя. Максимальный срок пребывания студента в институте — три года.

В 1933 г. ГЭМИКШ был расформирован. Позднее в его здании (Страстной бульвар, дом 27/16) располагался Московский авиационный технологический институт (МАТИ), а станкоинструментальный факультет ГЭМИКШа был преобразован Каган-Шабшаем в институт, который сейчас называется МГТУ «Станкин».

Вернёмся к автобиографии Майера — к пункту «Имею семью: жена, трое детей». А. Г. Майер женился в 1926 году на Нине Фёдоровне Морошкиной (1901-1971), внучке известного русского юриста, профессора Московского университета Ф. Л. Морошкина (1804-1857). Их сыновья стали известными химиками: старший, Александр (1927-1997), был заслуженным деятелем науки и техники, профессором Российского химико-технологического университета им. Д. И. Менделеева, заведовал кафедрой химической технологии керамики и огнеупоров, затем кафедрой химии и технологии кристаллов; второй сын, Николай (1932-2012), был членом-корреспондентом НАН Беларуси15. Младшая дочь, Наталия, в замужестве Казакова, — кандидат физико-математических наук, преподавала в Нижегородском архитектурно-строительном университете.

В 1950 г. А. Г. Майер оставил семью, вне семьи у него в 1950 г. родился сын Алексей.

А. Г. Майер в Нижегородском (Горьковском) университете

Артемий Григорьевич Майер начал работать в Нижегородском университете осенью 1931 г. доцентом кафедры математического анализа, а с 1946 г. до конца своей жизни заведовал этой кафедрой; в 1948 г. он был утверждён ВАК в звании профессора. Этот короткий послужной список не раскрывает участие А. Г. Майера в жизни университета и его роль в развитии математики в Нижнем Новгороде. Об этом и будет рассказано ниже.

Начну с заметки из архива профессора Д. А. Гудкова16, которая, насколько мне известно, не публиковалась и, вероятно, предназначалась для местной или стенной печати. Краткость заметки позволяет привести её текст полностью.

15 В органической химии есть реакция Разуваева-Ольдекопа-Майера; H.A. Майер и член-корреспондент НАН Беларуси Ю. А. Ольдекоп (1918-1992) были учениками академика АН СССР Г. А. Разуваева (1895-1989), основателя Института металлоорганической химии (в настоящее время — Институт металлоорганической химии им. Г. А. Разуваева РАН).

16 Дмитрий Андреевич Гудков (1918-1992) — замечательный математик, решивший задачу о кривых степени 6 из 16-й проблемы Гильберта, а также автор книги [23] о нижегородском периоде биографии Н. И. Лобачевского. О жизни и деятельности Д. А. Гудкова см. [24, 25].

Артемий Григорьевич Майер

Профессор А. Г Майер играл заметную роль в повышении математической культуры в Горьковском госуниверситете. А. Г. Майер участвовал в разработке курса математического анализа (наряду с проф. И. Р. Брайцевым17 и проф. А. Г. Сигаловым18).

Традиции, созданные им, сильны и сейчас. Читал А. Г. Майер и многие другие курсы: дифференциальные уравнения, теорию чисел, качественную теорию дифф. уравнений и т. д. Отмечу содержательный курс истории математики. Этот курс в Горьковском университете теперь забыт. Я особенно сожалею об этом, т. к. ценю исторический подход к развитию математических теорий в современной математике.

А. Г. Майер принадлежал к коллективу учёных, организованному академиком А. А. Андроновым. А. Г. Майер вёл большую научную работу и был симпатичным и привлекательным научным руководителем для своих учеников.

Вспоминается, что создание кафедры математики на радиофаке и “уход” с физмата был идеей Артемия Григорьевича. Очень жаль, что он не дожил до осуществления этой идеи, т. к. живо интересовался приложением математики к радиофизическим проблемам.

Артемий Григорьевич любил стихи, математику и людей.

23.9.76 г. Ученик проф. А. Г. Майера проф. Д. Гудков.

Отмечу, что именно Д. А. Гудков реализовал идею Майера «ухода с физмата»: Гудков организовал в 1961 г. кафедру математики радиофизического факультета, которой руководил до 1978 г. Перейдя на мехмат в качестве заведующего кафедрой геометрии и высшей алгебры (1978-1988 гг.), Гудков восстановил чтение лекций по истории математики — он разработал новый курс, который, постоянно перерабатывая, читал до 1992 года.

Приведу несколько воспоминаний о лекциях А. Г. Майера. Так, Б.Н. Верещагин19, вспоминал:

«Одним из близких и талантливых сотрудников Андронова, игравшим также весьма серьёзную роль в преподавании таких важных дисциплин, как теория дифференциальных уравнений и уравнения в частных производных математической физики, был доцент, впоследствии профессор математик Артемий Григорьевич Майер. Его прекрасные лекции давали нам, студентам, очень много».

17 Иван Романович Брайцев (1870-1947) — инициатор создания (1931 г.) и первый декан (до 1939 г.) физико-математического факультета Нижегородского университета, с 1942 г. заведовал кафедрой теории функций, созданной по его инициативе. И. Р. Брайцеву посвящена книга [26].

18 Александр Григорьевич Сигалов (1913-1969) — выдающийся математик, решил 20-ю проблему Гильберта. Об А. Г. Сигалове см. статью [27].

19 Борис Николаевич Верещагин (1918-2008), однокурсник Д. А. Гудкова, студентом участвовал в работе семинара Андронова, защитил дипломную работу «Некоторые случаи рождения циклов для квадратичного уравнения». Однако обстоятельства сложились так, что он оставил математику и стал крупным дипломатом-китаистом. Приводимый фрагмент взят из http://www.mccme.ru/~smirnoff/family/.

Об отношении студентов к А. Г. Майеру (или А. Г. Майера к студентам?) много говорит фрагмент из воспоминаний неизвестного мне автора А. Борисова (газета «Горьковский Университет» за 28 сентября 1965 года):

«Студент получил двойку и уходит с экзамена без тени недовольства. Ему ясно, где его ошибки, что он недоработал. Вам случалось видеть такое? Мне вспоминается в этих случаях экзамен по математическому анализу у профессора А. Майера».

Из воспоминаний члена-корреспондента РАН физика В. А. Зверева (личное сообщение):

«Будучи студентом, я с невероятным наслаждением, прямо с упоением слушал лекции Артемия Григорьевича. В его изложении математика выглядела необычайно увлекательной наукой, с необыкновенной захватывающей интригой. < ... > Лекции он читал без бумажки, беседуя с аудиторией запросто, все формулы выписывал по памяти. Он пояснял нам при этом, что каждая лекция от него требует длительной и тщательной подготовки, что у него есть и припасена шпаргалка, которая лежит в кармане и в любой момент может быть задействована, но таких моментов не было. Но всего того, что сказано выше о педагогической деятельности Артемия Григорьевича, ещё крайне мало. Он умел много больше. Он передавал слушателям, а точнее мне, как его слушателю, своё наслаждение научной работой. Это неизвестно, как и чем передаётся, но как-то это передаётся. Для этого необходимо самому испытывать это наслаждение в такой сильной степени, чтобы оно, существенно ослабляясь с дистанцией, достигало до слушателя ещё в такой сильной дозе, которая способна его зажечь».

Ещё одни буквально восторженные воспоминания о лекциях Майера, которые приводит М. А. Миллер20 в своей книге [28], см. в статье о М. А. Миллере [29] в этом номере журнала (стр. 102).

Ещё об одной стороне педагогической деятельности Майера рассказал мне П. Э. Сыркин21: в 1939 году, учась в 10-м классе, он был слушателем цикла лекций для школьников, читавшихся известными нижегородскими учёными, в том числе А. А. Андроновым, Г. С. Гореликом22, С. С. Четвериковым23 и другими. Был в числе лекторов и А. Г. Майер, который рассказывал школьникам, что такое топология. По-видимому, это была первая лекция по топологии, прочитанная в Нижнем Новгороде.

Следует сказать, что А. Г. Майер вообще уделял школьному математическому образованию большое внимание — он был хорошо известен школьным

20 Михаил Адольфович Миллер (1924-2004) — физик-теоретик, профессор и заведующий кафедрой электродинамики радиофизического факультета Нижегородского университета. См. статью [29] о нём в этом номере журнала.

21 Павел Эммануилович Сыркин (род. в 1922 г.) — профессор Нижегородского государственного технического университета, создатель семейства V-образных автомобильных двигателей.

22 Габриэль Симонович (Семёнович) Горелик (1906-1956) — физик, автор знаменитого учебника «Колебания и волны», за «идеологические ошибки» в котором в 1952 г. подвергся травле. О жизни и деятельности Г. С. Горелика см. книгу [30].

23 Сергей Сергеевич Четвериков (1880-1959) — выдающийся советский генетик; о его жизни и деятельности см. [31]

учителям как лектор Горьковского областного института усовершенствования учителей, организовал в университете математическую олимпиаду для школьников.

Помимо интенсивной научной и преподавательской работы, А. Г. Майер активно участвовал в других сторонах университетской жизни. В характеристике24, подписанной ректором университета, говорится: «За время работы в университете тов. Майер принимал и принимает активное участие в общественной работе — работал членом бюро секции научных работников, хорошо работал на трассе оборонного строительства, за что получил грамоту Горьковского Комитета Обороны. Сейчас работает председателем ревизионной комиссии Месткома и является председателем студенческого научного общества при университете». В военные годы А. Г. Майер был назначен членом «столовой комиссии» университета, ездил со студентами на лесозаготовки, сдавал кровь для раненых.

Приведу фрагменты из воспоминаний А. Я. Левина25 (личное сообщение), который состоял в руководстве студенческого научного общества в то время, когда председателем общества был А. Г. Майер.

«Мы постоянно встречались с А. Г. Майером на заседаниях президиума общества. Он обычно приносил с собой виноград или другие фрукты для угощения студентов. < ... > Он уговаривал меня заняться историей русской денежной системы времён Ивана Грозного. По его мнению, это очень интересная тема, так как сложность этой системы свидетельствует, что математические знания того времени были более продвинутыми, чем принято считать26. Я тогда сказал, что уже влез в историю Флоренции 14-16 веков. Он со знанием дела стал обсуждать со мной историю дома Медичи. Разносторонность его знаний была потрясающей. На юбилее профессора Некрасова27 он заявил, что может прочитать получасовую лекцию по любой заданной теме. Не помню, какие две темы ему предложили, но, как рассказывали очевидцы, он справился с ними блестяще. < ... >

А.Г. был остроумен и быстро реагировал на ситуацию. Был у нас в университете профессор Воронцов28. Он заведовал кафедрой зоологии на биофаке и занимал должность проректора по науке при ректоре Мельниченко29.

На Учёном Совете университета ... шла защита физической диссертации. Я не помню, был Горелик руководителем соискателя или оппонентом. В ходе обсуждения Воронцов взял слово и, признавшись, что он ничего не

24 Хранится в ЦАНО, ф. 377, оп. 8а, д. 44, л. 46.

25 Авраам Яковлевич Левин (1922 г. р.) в 1951г. окончил с отличием исторический факультет Горьковского университета. Заведовал кафедрой психологии Нижегородского университета. С 1999 г. живёт в США.

26 Эта мысль А. Г. Майера находит подтверждение в недавних исследованиях — см., например, [32, 33] (ГП.).

27 Алексей Дмитриевич Некрасов (1874-1960) — советский зоолог, эмбриолог и историк биологии. С 1928 г. заведовал кафедрой зоологии Нижегородского университета (Г.П.).

28 Евгений Михайлович Воронцов (1899-1971), с 1 января по 22 апреля 1946 г. — и.о. ректора ГГУ, с 1947г. заведовал кафедрой зоологии (Г.П.).

29 Андрей Николаевич Мельниченко (1904-1998), биолог, ректор ГГУ с апреля 1946 г. по август 1952 г. (ГП.).

понимает в содержании диссертации, упрекнул диссертанта в злоупотреблении иностранными словами. Горелик взорвался: «Так что, вместо скинэффекта говорить шкур-эффект? Есть международные термины».

После защиты в повестке дня Совета был отчёт Воронцова о работе кафедры зоологии. Докладывая о различных направлениях, он сказал: «В области орнитологии ...»

Тут Майер прервал его и бросил реплику: «Уважаемый коллега, Вы, вероятно, имеете в виду птицеведение?» Воронцов застыл, раскрыв рот. Члены совета рассмеялись. Потом хохотал весь университет.

Он любил всякие розыгрыши. Например, когда кто-нибудь в отделе ГИФТИ чихал, он не реагировал. Потом, после какого-нибудь чихания, неожиданно говорил: «Будьте здоровы». Оказывается, он считал эти чихания и желал здоровья только на пятый чих. Объяснял эту странность поговоркой: “На каждый чих не наздравствуешься”».

На ту же тему из книги М. А. Миллера [33]:

«Даже в житейском юморе он умел придавать своим высказываниям теоремно-подобную форму. < ... > А вот ещё одна забавная и вполне педагогичная «теоремка Майера» (увы! Но в моей обработке!) : “Всякую мысль, сколь угодно сложно выраженную, можно представить в ещё более сложном виде, причём любым сколь угодно сложным образом усложняя её далее и далее”».

«Об идеологических ошибках профессора Майера в курсе истории математики»

Наряду с лекциями по различным чисто математическим дисциплинам А. Г. Майер много лет читал курс истории математики. Долгое время мне была известна только одна лекция из этого курса30 — у меня была «Стенограмма лекции по Истории математики, прочитанной т. Майер для студентов 6-го курса Университета, группа математиков» (17 страниц машинописного текста формата A4) с указанием даты «7 февраля 1950 г.» и с несколько неожиданной пометкой «отп. 3 экз. л.к.».

Три года назад в фонде академика А. А. Андронова в Архиве РАН обнаружились четыре документа, касающиеся курса Майера по истории математики. Один из них (ф. 1938, оп. 1, д. 461, лл. 33-42) — другой экземпляр только что упомянутой стенограммы, второй (ф. 1938, оп. 1, д. 461, л. 1) — написанный рукой Майера черновик «Программа по курсу истории математики» — вполне стандартное оглавление начала хронологически построенного курса. Третий документ (ф. 1938, оп. 1, д. 461, лл. 2, 2 об., 3) — рукописные наброски Майера, озаглавленные «О природе (зачёркнуто) математике». Это девять тезисов о происхождении математики, её сопоставление с другими науками, о появлении и роли математических доказательств. Приведу только замечания по поводу «Начал» Евклида — «Никчемность ряда постулатов.

30 Кроме этого, в архиве Д. А. Гудкова я обнаружил написанный А. Г. Майером в 1948 г. неоконченный текст «Александр Михайлович Ляпунов» (6 машинописных страниц).

Отсутствие у Эвклида ряда математических фактов. Особое внимание к математическим проблемам, имеющим мистический смысл» — и геометрии Лобачевского: «Крах абсолютной истинности — роль Лобачевского. Его неосознанность до настоящего времени. Концепция аксиом в современной математике, воззрения Энгельса. Смысл доказательства в настоящее время в его фактическом употреблении».

Четвёртый, наиболее объёмный документ (ф. 1938, оп. 1, д. 461, лл. 4-31) - это разлинованный блокнот формата A4 «История математики. 1950-1951 год». Однако это не запись лекций Майера, а весьма краткий (некоторые лекции занимают всего один лист) их конспект, написанный неизвестным мне почерком. Как по упомянутой выше стенограмме, так и по этому конспекту составить чёткое мнение о лекциях трудно, но можно отметить два обстоятельства: отсутствие каких-либо точных математических формулировок и стремление А. Г. Майера излагать историю математики прежде всего как историю идей, что, конечно, непросто.

Конспект вообще производит довольно странное впечатление: в нём совершенно нет геометрических чертежей, почти нет указания конкретных дат, конкретных задач и т. п., зато на каждом листе красным карандашом отведены довольно широкие поля, на которых отмечаются ссылки, данные лектором на труды классиков марксизма-ленинизма, а также моменты, когда на лекции возникала дискуссия. Запись весьма аккуратная, причём первые после титульного три листа документа первоначально вполне разборчиво написаны на отдельных листах, а затем дословно переписаны более аккуратно тем же почерком в блокнот. По-видимому, этот конспект составлялся по какому-то особому заданию.

Всего законспектированы 19 лекций: один раз в неделю с 2.09.1950 до 30.12.1950, плюс последняя лекция 12.02.1951, посвящённая предыстории анализа (Кеплер, Роберваль, Ферма, Паскаль, Валлис, Кавальери). Не имея возможности из-за большого объёма привести здесь конспект лекций полностью, ограничусь только тем, что необходимо для дальнейшего изложения.

Из конспекта лекции 7: «Эвклид и его “Начала”, обычная оценка Эвклида как высокого образца логической строгости, оказавшего тем самым существенное и положительное воздействие на последующее развитие математики. Моя личная точка зрения: сознательный отрыв от практики, закреплённый в логической строгости изложения, гибелен для науки. Наличие в Эвклиде обобщений ради обобщений — первый признак ложного пути».

Из конспекта лекции 9: «Общая оценка Эвклида, идеалистический пифагорейский дух его и сознательный подчёркнутый отрыв его от практических задач. Применение ленинской формулы о гносеологических корнях идеализма. Последующее влияние Эвклида. <... > Резюме: в последующем Эвклид икона, на которую охотно молятся, но которой фактически не пользуются (масса почтения, мало применения)».

В архивных материалах есть много других фрагментов, ясно показывающих, что А. Г. Майер был «евклидоборцем»31 и этого не скрывал32. Это послужило основным поводом для развёрнутой советом факультета травли33 Майера. Однако истинные мотивы предпринятого «обсуждения» — это присущее homo sapiens «видовое свойство»: людские сообщества, в частности, профессиональные, не любят выдающихся индивидуумов, особенно если те ведут себя независимо. При этом в стремлении повысить или сохранить своё положение, не имея для этого достаточных оснований, всегда удобно использовать в качестве универсального инструмента официальную идеологию. «Вообще, Д. А. [Гудков] считал, что организаторы этой кампании травли А. Г. Майера сознательно хотели довести его до смерти, прекрасно зная о его тяжелой гипертонии. Естественно, эти люди преследовали чисто корыстные цели. После изгнания настоящих математиков и педагогов с механико-математического факультета они сами возглавили кафедры, бездельничали и бдительно стремились избавляться от постоянно появлявшихся способных молодых людей, чувствуя в них потенциальную угрозу» (из статьи Е. И. Гордона [24] в его переводе).

Кульминация наступила на трёх заседаниях совета физико-математического факультета: 20 и 23 декабря 1950 года и 5 января 1951 года. В Центральном архиве Нижегородской области имеется дело 130 (фонд 377, опись 7), которое содержит тезисы и текст доклада А. Г. Майера «Предыстория создания математического анализа» (20.12.1950), ответы докладчика на вопросы (43 машинописных листа формата A4), стенограмму обсуждения этого доклада на заседании 23.12.1950 (50 листов) и стенограмму заседания 05.01.1951 (продолжение обсуждения, заключительное слово докладчика, обсуждение проекта решения Совета и принятие решения на (всего 66 листов). Не только привести, но даже обсудить здесь такой объёмный материал не представляется возможным. Подробное изложение см. в [36]34, а само «Дело 130» доступно в Интернете: см. http://www.unn.runnet.ru/nnmo/abstracts/2014-04-08/

Но есть короткий документ, характеризующий существо и стиль обсуждения, позиции участников, принятые решения (и, конечно, дух времени) -это статья в многотиражной газете «За Сталинскую науку»35 от 19.02.1951 (см. рис.2), название которой вынесено в заголовок этого раздела. Приведу выдержки из этой статьи (текстовые выделения мои).

31 Такая позиция не является исключением — резким критиком Евклида был французский математик Пётр Рамус (1515-1572), погибший во время событий «Варфоломеевской ночи» (см., например, [34]).

32 Е. А. Леонтович-Андронова рассказывала: «С ужасной яростью Майер говорил: “Я с этого Эвклида штаны сниму!”»

33 Которая готовилась, по-видимому, долго и тщательно: ещё в 1947 году на закрытом партсобрании ректор А. Н. Мельниченко говорил, что «доцент А. Г. Майер в своих лекциях по истории математики совершенно не говорит о борьбе материализма и идеализма в науке, не рассматривает диалектическое развитие науки, не говорит об историческом процессе того или иного течения в науке». (Государственный общественно-политический архив Нижегородской области, ф. 377, оп. 8, д. 360. Цитируется по [35, с. 259].)

34 Эти материалы обсуждаются также в [35].

35 Сейчас газета называется «Нижегородский университет».

Рис.2

Выступавшие отметили, что проф. Майер допустил в докладе, а ранее и в вводной лекции по истории математики, серьёзные ошибки антимарксистского и космополитического характера.

Несмотря на стремление некоторых членов Совета (доцент Сигалов, доц. Гордон, доц. Неймарк) смазать остроту критики при обсуждении решения, Совет принял развёрнутое и острое решение, осуждающее ошибки проф. Майера. < ... >

Проф. Майер ошибочно указывает на отсутствие сознательного использования метода диалектического материализма советскими математиками.

Безусловно, ошибочна оценка эвклидовых «Начал», данная проф. Майером. Он пытался охарактеризовать «Начала» и лежащее в их основе стремление к формальной логической строгости как явление реакционное, сыгравшее «очень тяжёлую роль» в развитии математики.

Позиция проф. Майера в этом вопросе находится в резком противоречии с общепринятой в советской математике точкой зрения. < ... >

Следует отметить, что в заключительном слове проф. Майер в категорической форме отверг критику членов Совета и продолжал упорно отстаивать свои взгляды.

Странным было и поведение доц. Сигалова, который не присутствовал на первых двух заседаниях Совета (следовательно, не слушал доклад и прения) и в то же время нашёл возможным выступить против всех пунктов проекта решения. В грубой и демагогической форме он обвинил всех членов Совета в незнании основных фактов истории математики.

Напомню, что этот текст, подписанный «Доц. Беневоленский — декан физико-математического факультета, проф. Я. Шапиро, проф. В. Котов, доц. И. Лохин, доц. Н. Отроков», опубликован в начале 1951 года: он вполне мог инициировать уголовное преследование.

Из стенограммы заседаний очевидно, что в роли главного обвинителя -преследователя Майера выступал профессор В. Ф. Котов, а «дирижировали» процессом доценты В. И. Беневоленский36 и Н. Ф. Отроков.

Про В. Ф. Котова следует сказать несколько слов. По специальности он был механиком, с 1936 г. заведовал кафедрой теоретической механики, организовал аэродинамическую лабораторию. Я не знаю, имел ли он какие-либо результаты в области механики: основные его публикации — в журналах «Под знаменем Марксизма», в Трудах института истории естествознания и техники, в Историко-математических исследованиях. Все эти работы сильно идеологизированы — точнее, написаны под знаком критики с идеологических позиций. Нет сомнений, что в этой «идеологической борьбе под знаменем марксизма» и состояло истинное призвание профессора Котова: кроме лидерства в травле А. Г. Майера, 1952 г. он сыграл аналогичную роль в травле замечательного физика Г.С.Горелика37. Приведу в подтверждение сказанного две цитаты.

«Главным же травителем ГС [Габриэля Семёновича Горелика — Г.П.] вне всяких групп — был “теормеханик” В. Ф. Котов — он то работал воистину с упоением хищника! < ... > и довёл ГС до состояния агрессивной истерики, а по протоколу всего лишь до обзыва Котова “бесплодной смоковницей”» [28, с. 147].

«Как-то ещё в мои студенческие годы Майер завёл меня в общежитие, где его поджидали В. Ф. Котов и И. Ф. Лохин (кстати, по моим представлениям, довольно талантливый математик, он преподавал у нас матфизику, а потом куда-то уехал). Ждал нас полунакрытый стол, так что Майер стал «третьим», а я «четвёртым». После нескольких «приложений» Котов вдруг встал и произнёс фразу, которую я запомнил на всю доставшуюся мне жизнь. Он сказал: “Должен вас покинуть. Меня ждёт работёнка. Мне надо мозги вправлять интеллигентам на семинаре”. (Философском, между прочим, и даже, кажется, общегородском)» [28, с. 148].

36 Показательно прозвище, данное ему студентами, о котором мне сообщил А. Я. Левин: «нибенимениволенский».

37 О «Деле Горелика» см., например [28, 30, 37].

Из стенограммы (да и из газетной заметки) видно, что организовать «единодушное осуждение» не удалось: помешало «стремление некоторых членов Совета (доцент Сигалов, доц. Гордон, доц. Неймарк38) смазать остроту критики», т. е. стремление названных учёных, а также Д. А. Гудкова39, защитить Майера и перевести осуждение в деловое обсуждение. А. Г. Сигалов, в частности, сказал: «Рассмотрение этих вопросов требует от тех, кто берётся эти вопросы решать, каких-то конкретных определённых знаний по истории математики. Я этих знаний не имею и голосовать за резолюцию не буду, и я сомневаюсь, [что] хотя бы один член совета обладает такими знаниями, включая и всю комиссию.

Я думаю, что составители этой резолюции поступили, как начётчики, не зная существа дела, взяв отдельные положения марксизма, цитируя их вкривь и вкось».

Поразительное по прямоте и смелости выступление, особенно если учесть, что в это время в совете МГУ находилась докторская диссертация40 А. Г. Сигалова!

Что касается поведения на совете А. Г. Майера, то никакого покаяния не было. В своём «заключительном слове» он, в частности, сказал:

«Курс истории математики я веду не по доброй воле — каждый год я прошу меня от него освободить. Почему он мне труден? Он требует охвата огромного материала — большего, чем тот, которым я располагаю, и у меня нет даже надежды овладеть всем этим материалом. Таково, например, положение с историей Индии, историей арабов — иногда я просто заявляю студентам, что не знаю истории этих народов, по крайней мере, не знаю настолько, что мог бы её им вкратце рассказать».

Уже практически завершая своё выступление, А. Г. Майер заявил: «Должен сказать ещё раз: читать не то, что я думаю, я не буду».

* * *

Разумеется, в лекциях А. Г. Майера по истории математики были недостатки (да и никто не обязан разделять точку зрения Майера — скажем, на роль Евклида в развитии математики; кстати, в лекциях Майер всегда указывал, где излагает свою личную точку зрения). В любом случае это не может служить оправданием развязанной травли замечательного математика.

Официальному преследованию после описанных заседаний совета Майер не подвергался, но курс истории математики не читался после этого 30 лет. Да и кто может поручиться, что ранняя смерть А. Г. Майера (ему было только

38 Юрий Исаакович Неймарк (1920-2011) — доктор технических наук, профессор, один из организаторов в ГГУ первого в СССР факультета Вычислительной математики и кибернетики.

39 Д. А. Гудков, получив диплом с отличием об окончании университета 21 июня 1941 г., сразу попал на ускоренные артиллерийские курсы и затем прошёл всю войну, участвовал во взятии Берлина. В 1951 г. в свои 32 года он был аспирантом и не являлся членом совета факультета.

40 Напомню, что эта диссертация, успешно защищенная позже в том же 1951 году, содержит решение 20-й проблемы Гильберта.

46 лет!), последовавшая 20 сентября 1951 года от инсульта, спровоцированного гипертонией, не зависима от описанных событий? М. А. Миллер пишет [28, с. 112] что на похоронах А. Г. Майера звучало: «Затравили!». А гонители Майера ещё долгое время «правили бал» на факультете.

Я хочу закончить этот текст, посвящённый памяти Артемия Григорьевича Майера, словами А.Я.Левина (личное сообщение, 2014г.:

«Мне очень интересно всё, что относится к жизни и творчеству Артёма Григорьевича. Удивительное обаяние исходило от него. Каждая минута общения с ним была подарком».

ЛИТЕРАТУРА

1. Математика в СССР за сорок лет 1917-1957. Том второй. — М.: Наука, 1959. 821 с.

2. Математика в СССР 1958-1967. Том второй, выпуск второй. — М.: Наука, 1970. 762 с. (нумерация тома начинается со стр. 821)

3. Шильников Л. П. Леонтович-Андронова Евгения Александровна. Сб. «Личность в науке. Женщины-ученые Нижнего Новгорода», вып. 2. — Нижний Новгород: Изд-во ННГУ, 1999. С. 83-102.

4. Shilnikov L. P. Evgeniya Aleksandrovna Leontovich-Andronova // Methods of Qualitative Theory of Differential Equations and Related Topics, AMS Translations, Ser. 2. Vol. 200, 2000. P. 1-14.

5. Шильников Л. П. К 100-летию со дня рождения Евгении Александровны Леонтович-Андроновой (1905-1997) // Вестник ННГУ, серия Математика. 2005. Вып. 1(3). С.191-204.

6. Андронов А. А., Леонтович Е. А., Гордон И. И., Майер А. Г. Качественная теория динамических систем второго порядка. — М.: Наука, 1966. 568 с.

7. Андронов А.А., Леонтович Е. А., Гордон И. И., Майер А. Г. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости. — М.: Наука, 1967. 487 с.

8. Gordon I.I. On intersection invariants of a complex and its complementary space // Ann. of Math. 1936. Vol.37, № 3. P. 519-525.

9. Гордон Е. И. Адресат Л. С. Понтрягина — И. И. Гордон (Вступительные заметки) // Историко-математические исследования, Вторая серия, вып. 9(44). — М.: Янус-К, 2005. С. 14-26. (См.также http://7iskusstv.com/2011/Nomerll/EGordonl.php)

10. Аносов Д. В., Афраймович В. С, Бунимович Л. А., Гонченко С. В., Гринес В. 3., Ильяшенко Ю. С, Каток А. В., Кащенко С. А., Козлов В. В., Лерман Л. М., Морозов А. Д., Нейштадт А. И., Песин Я. В., Самойленко А.М., Синай Я. Г., Трещёв Д. В., Тураев Д. В., Шарковский А.Н., Шильников А. Л. Леонид Павлович Шильников (некролог) // УМН. 2012. Т. 67, вып.3(405). С. 175-178.

11. Afraimovich V. S., Gonchenko S. V., Lerman L. M., Shilnikov A. L., Turaev D. V. Scientific heritage of L. P. Shilnikov // Regular and Chaotic Dynamics. 2014. Vol. 19, Issue 14. P. 435-460. (См. также ещё: Editorial Leonid Pavlovich Shilnikov // International Journal of Bifurcation and Chaos. 2014. V. 24, № 8. P. 1-7.)

12. Памяти Александра Александровича Андронова — М.: Изд. АН СССР, 1955. 718 с.

13. 13. Арансон С.Х., Гринес В. З. Топологическая классификация потоков на замкнутых двумерных многообразиях // УМН. 1986. Т. 41, вып. 1(247). С. 149-169.

14. Арнольд В. И. Малые знаменатели. I. Об отображениях окружности на себя // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1961. Т. 25, вып. 1. С. 21-86.

15. Плисс В. А. Нелокальные проблемы теории колебаний. — М.-Л.: Наука, 1964. 369 с.

16. Шильников Л. П. К работам А. Г. Майера о центральных движениях // Мат. заметки. 1969. Т. 5, № 3. С. 335-339.

17. Пилюгин С. Ю. Фазовые диаграммы, определяющие системы Морса-Смейла без периодических траекторий на сферах // Дифф. уравн. 1978. Т. 14, № 2. С. 245-254.

18. Уманский Я. Л. Необходимые и достаточные условия топологической эквивалентности трехмерных динамических систем Морса-Смейла с конечным числом особых траекторий // Матем. сб. 1990. Т. 181, вып. 2. С. 212-239.

19. Lerman L.M., Umanskii Ya. L. Four-Dimensional Integrable Hamiltonian Systems with Simple Singular Points (Topological Aspects) // Translations of Mathem. Monographs, AMS, v. 176, 1998.

20. Бронштейн Н. Доктор Майер // Литературное наследство. 1948. Т. 45/46. С. 473-496.

21. Топоровский Я. Человек Запада // Еврейское слово. № № 31, 32 — Москва, 2006. (В настоящее время доступны на сайте http://chitayu-i-zapisyvayu.blogspot.ru/)

22. Брук Я. Яков Каган-Шабшай и Марк Шагал // Бюллетень Музея Марка Шагала. Вып. 16-17. — Витебск, 2009. С. 85-101. (См. также http://chagal-vitebsk.com/ node/229)

23. Гудков Д. А. Н. И. Лобачевский. Загадки биографии. — Нижний Новгород: изд-во ННГУ, 1992. 241 с.

24. Gordon E.I. Recollection of D. A. Gudkov //In «Topology of Real Algebraic Varieties and Related Topics», AMS Translations, Ser. 2, V. 173, 1996. P. 11-16.

25. Polotovskiy G. M. Dmitrii Andreevich Gudkov //In «Topology of real algebraic Varieties and Related Topics», AMS Translations, Ser. 2, V. 173, 1996. P. 1-9.

26. Иван Романович Брайцев (1870-1947) (Серия «Личность в науке») / сост. Кузнецова Н.Б. — Нижний Новгород: изд-во Нижегородского ун-та, 2004. 192 с.

27. Жислин Г. М. О работах А. Г. Сигалова по математической физике (к 100-летию со дня рождения) // Математика в высшем образовании. 2013. № 11. С. 105-114.

28. Миллер М. А. Избранные очерки о зарождении и взрослении радиофизики в горьковско-нижегородских местах. — Н.Новгород: изд-во ИПФ РАН, 1997. 224с.

29. Емельянова И. С. Красота мышления вслух // Математика в высшем образовании. 2015. № 13. С. 95-104.

30. Личность в науке. Г.С.Горелик. Документы жизни / Сост. Н.В.Горская, М.Б.Локтева. — Нижний Новгород: ННГУ, 2006. 298 с.

31. Артёмов Н. М., Калинина Т. Е. Сергей Сергеевич Четвериков. 1880-1959. — М.: Наука, 1994. 160 с.

32. Цайгер М. А. Арифметика в Московском государстве XVI века. — Беэр-Шева: Берилл, 2010. 72 с.

33. Симонов Р. А. К истории счёта в допетровской Руси (рецензия на книгу: Цайгер М. А. Арифметика в Московском государстве XVI века. Беэр-Шева: Берилл, 2010) // Математика в высшем образовании. 2010. № 8. С. 133-140.

34. Матвиевская Г. П. Рамус. 1515-1572. — М.: Наука, 1981. 152 с.

35. Идеология и наука. Дискуссии советских ученых середины XX века / Отв. ред. Касьян А.А. — М.: Прогресс-Традиция, 2008. 288с.

36. Полотовский Г. М. Нижегородский математик Артемий Григорьевич Майер и его курс истории математики / В кн. Полотовский Г. М. Очерки истории российской математики. — Нижний Новгород: изд-во Нижегородского госуниверситета, 2015. 320 с. С.210-294 (см. также http://7iskusstv.com/2015/Nomer2/Polotovskyl.php)

37. Касьян А.А. История с физикой (Горьковский университет, середина XX века). — Нижний Новгород, 2004. 187 с.

Поступила 17.11.2015

ARTEMIY GRIRORIEVICH MAIER (towards 80ts birthday)

G. M. Polotovskiy

Sketch about life and scientific and pedagogical activity of the Nizhny Novgorod mathematician professor Artemy Grigoryevich Mayer.

Keywords: qualitative theory of the differential equations, professor Artemiy Grigorievich Maier.

ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ. ПЕРСОНАЛИИ

УДК 94(47):929Кирик Новгородец

ИЗУЧЕНИЕ ТВОРЧЕСТВА КИРИКА НОВГОРОДЦА ЗА РУБЕЖОМ

Р. А. Симонов

Московский госуниверситет печати Россия, 127550, г. Москва, ул. Прянишникова, 2А; e-mail: kafedra kb@mail.ru

Представлен обзор зарубежных исследований, посвященных творчеству Кирика Новгородца (XII в.), опубликованных с XVI по начало XXI в. Один из ключевых моментов, рассматриваемых в статье, связан с вероятным использованием Кириком абака античного типа.

Ключевые слова: Кирик Новгородец, «Учение о числах» (1136 г.), «Вопрошание» (середина XII в.), абак античного типа, зарубежная историография науки.

Факты обращения к творчеству Кирика Новгородца за рубежом интересны сами по себе, но ещё имеют некий практический смысл. Так, в недавнем обсуждении реформирования российской науки член-корреспондент РАН Ю. М. Батурин показал [1], что в глазах наших научных властей та наука «хороша», которая находит отклик у зарубежных учёных и поддерживает статус власти: «Продуктивность РАН (как представляется реформаторам) упала, и её продукция мало востребована, а также ввиду того, что иностранные учёные лучше отечественных выполняют функцию поддержания статуса власти, согласно реформаторам, необходимо провести реформу науки... Задача реформ — клишировать западную модель». Зная, какие аспекты творчества Кирика выделяют зарубежные учёные, мы более ясно можем представить, какие перспективные пути открываются перед «кириковедами»1.

Интерес к творчеству Кирика Новгородца за рубежом появился в XVI в., когда в Базеле был издан перевод его произведения в составе книги барона Сигизмунда Герберштейна [4]. Там речь шла о богословском «Вопрошании» Кирика, и сам он выступал под именем Кирилла (подробнее см. [2], с. 356). В начале XX века Л. Гетц ([5], с. 176) усомнился в том, что «Учение» и «Вопрошание» принадлежат одному автору — Кирику Новгородцу. Позже идею двух Кириков разрабатывал М. Ф. Мурьянов. Эта точка зрения не получила поддержки у современных исследователей (см. [2], с. 26-27, 355). Кроме того, Гетц изучал структуру «Вопрошания» Кирика. Это произведение является сложным по составу, состоящим из бесед Кирика с архиепископом Нифонтом и другими священнослужителями. «Вопрошание» также содержит вопросы неких Саввы и Ильи. Гетц считал, что все три части принадлежали Кирику.

1 Термин «кириковед» введен В. В. Мильковым в [2, с. 18], и поддержан группой ученых, изучающих творчество Кирика Новгородца, см. [3, с. 2].

Сейчас в науке утвердилось мнение, что эти части являются самостоятельными произведениями2.

В середине XX в. А.М.Амман ([7], с. 44) в связи с изучением истории церкви у восточных славян рассмотрел «Учение» Кирика как текст, якобы основанный на данных византийской хронологии. Мурьянов не согласился с такой трактовкой «Учения». Он полагал, что это произведение написано в традициях западной науки: «Теория календаря получила новый импульс для своего развития в XI-XII вв., когда Европа ознакомилась с достижениями арабской математики и астрономии. Почти одновременно в странах латинского Запада появляется ряд работ по компутистике. Трактат Кирика «Учение им же ведати человеку числа всех лет» мы считаем необходимым отнести к этому ансамблю, вопреки тому, что до сих пор его обычно рассматривали либо изолированно, как чисто русское явление, либо считали основанным на данных византийской науки» — [8]3, с.75.

В 1982 г. вышла посвященная Древней Руси работа Г. Подскальски [9]. Здесь довольно оперативно было сообщено о выходе в СССР книги о Кирике Новгородце [10] (см. с. 375 русского перевода [9]), что, по-видимому, стимулировало внимание зарубежных ученых к этому древнерусскому ученому. Во всяком случае, британский исследователь Саймон Франклин в своей книге [11] (с. 264, сноска 86) при ссылке на [10] сообщает о книге [9]. Подскальски характеризовал «Учение» Кирика Новгородца как «единственное хронологическое сочинение домонгольской поры» (с. 374 русского перевода [9]).

Известный британский ученый В. Ф. Райан, ещё обучаясь в университете, обратился к русской естественнонаучной тематике, защитив в итоге докторскую диссертацию «Астрономическая и астрологическая терминология в древнерусской литературе» (Оксфорд, 1970). В последующие годы он продолжал разрабатывать эту проблематику, обобщив свои исследования в книге [12]. В 2006 г. её русский перевод [13] был издан в России. Отмечая, что текст «Учения» Кирика лишь предположительно можно рассматривать основанным на греческой Пасхалии («даже если он основан на греческой Пасхалии»), Райан пишет, что на Руси формировались знания практического счёта, что там «знали толк в торговых расчетах и в исчислении налогов; возможно, что там был известен абак античного образца» ([13], с. 537). При этом последнее заключение Райан сопровождает ссылкой на книгу [14]4.

В 1987 г. на английском языке вышла работа известного слависта Ф. Томсона [16], название которой содержит имя Кирика Новгородца. Томсон посчитал, что изложенный в «Вопрошании» вопрос архиепископу Нифонту о

2 См. [2], с. 352. Савва (предположительно) — священник, позже (1162 г.) игумен Духова монастыря ([2], с. 459). Св. Иоанн (в миру Илья) — священник церкви Власия (Василия), позже глава Новгородской епархии (1163-1186 гг.), архиепископ (с 1165 г.) (см. статью «Иоанн» А. С. Хорошева в [6], с. 224).

3 До указанного переиздания эта работа М. Ф. Мурьянова плохо была известна читателям — отечественным потому, что вышла в советское время за рубежом, а иностранцам из-за того, что была напечатана на русском языке.

4 См. новейшую (с учетом данных последнего времени) трактовку проблемы древнерусского абака в книге [15] (глава 4 «Вычисления Кирика в свете данных о древнерусском приспособлении для счета — абаке»).

рекомендации Иоанном Постником возможного послабления причащающимся Великим постом якобы опирался на трактовку, изложенную в «Пандектах» Никона Черногорца, которую к тому же Кирик исказил, так как излагал по памяти. С. Франклин с лёгкой иронией комментирует сложную схему Томсона: «Томсон вынужден выдвинуть гипотезу, что тот (Кирик — Р. С.) привёл цитату по памяти» ([11], с. 265 русского перевода).

Иоанн Постник — авторитетный церковный деятель, был в 582-596 гг. Константинопольским патриархом. Но не только это сделало популярным составленный им Номоканон (сборник церковных правил), а то, что эпитимийник (перечень наказаний за проступки) Иоанна Постника содержал наиболее либеральные меры воздействия из всех подобных рекомендаций отцов Церкви. К этому эпитимийнику обращался не один Никон Черногорец, и поиски настоящего посредника (если он был) между Иоанном Постником (VI в.) и Кириком Новгородцем (XII в.) могут длиться очень долго.

По-видимому, необходимости в этом нет, так как, по новейшим данным (2011 г.), Кирик действительно мог обратиться непосредственно к тексту Иоанна Постника, как он говорит о том в «Вопрошании». Недавний анализ показал (см. [2], с. 420-421, 451), что в греческом оригинале Иоанна Постника стоит словосочетание «по недомыслию», переводящееся как «невозможно понять», что в кириковском контексте трактовки вопроса № 71 из «Вопрошания» приобрело смысл «безвыходное положение», как объясняющее причину возможного послабления причащающимся в Великий пост.

Изучением древнерусских пасхальных расчетов (в связи с творчеством Кирика Новгородца) занимался немецкий ученый Г. Н. Зименс [17]; имеется русский перевод [18]. Зименс обратил внимание на то, что в «Учении» Кирик указал в качестве даты христианской Пасхи в 1136 г. (когда он работал над своим произведением) 22 марта, что соответствовало принятой в расчётной пасха листике традиции. Однако, если исходить из астрономической действительности, то Пасха в 1136 г. должна была бы праздноваться «пятью неделями позже». Это связано с тем, что церковные пасхальные таблицы создавались с III века н. э. на основе «весьма приблизительных формул», и их «неточность приводит каждые 310 лет к разнице в один день, которая с III до XII в. успевает вырасти до трех дней» ([18], с. 122-123). Кирик мог знать об этом факте, но опирался на традиционный христианский расчет Пасхи, чтобы избежать разнобоя в трактовке её даты.

Зименс также указал на неточность числа недель в «Учении»: «Тут Кирик ошибается; правильный ответ на одну неделю больше» ([18], с. 126). К сожалению, Зименс не сообщил, как он об этом узнал — путём собственных расчётов или из литературы. Археографически факт указанной неточности был зафиксирован ещё в начале XIX в. переписчиком Румянцевского списка «Учения»5. Кроме того, Зименс излишне категоричен в приписывании рассматриваемой погрешности Кирику («Кирик ошибается»). Установлено, что Погодинский список «Учения», где указано неточное число недель, повидимому, подвергался правке переписчика. Так, в историографии фикси-

5 См. фототипическое издание Румянцевского списка «Учения» Кирика начала XIX в. в [2], с. 335.

руется случай исправления дня Петрова поста в Погодинском списке «Учения». По мнению С. В. Цыба (см. [19], с. 76, 123, прим. 135) в соответствии с церковно-хронологической традицией Петров день (29.06) самим Кириком был, скорее всего, отнесён к седьмой неделе поста (о чем свидетельствуют Софийский и Румянцевский списки «Учения»), а переписчиком (редактором) Погодинского списка он был перенесён на шестую неделю поста. В [20] отмечен и случай правки конвоя текста «Учения» Кирика переписчиком Погодинского списка.

Возвращаясь к записи числа недель в Погодинском списке, на которую обратил внимание Зименс, следует сказать, что в остальных списках «Учения» это число либо не сохранилось, либо представлено в усечённом виде. Из этого можно заключить, что эти списки восходят к общему протографу, содержавшему соответствующий дефект в записи числа недель. Именно такой список (с повреждением) и мог попасть в руки переписчика в XVI в., а он добавил в свой список (ставший Погодинским) недостающие части числа, но ошибся на одну неделю. Значит ошибка, которую Зименс безоговорочно приписывает Кирику Новгородцу, в действительности могла принадлежать переписчику Погодинского списка «Учения».

Наиболее убедительным свидетельством того, что Кирик правильно подсчитал число недель, было бы открытие нового списка «Учения», в котором полностью сохранилась первоначальная запись числа недель. Сохранившийся Румянцевский список может приоткрыть завесу над исходным видом этого числа. В Румянцевском списке сохранилась последняя цифра числовой записи, и хорошо видно, что это «буквенная цифра» «и-восмеричное» в кириллической форме H = 8 ([2], с. 335). Значит, на месте ожидаемой четвёрки (ею должно заканчиваться правильное число недель 346674) в Румянцевском списке «Учения» стоит «буквенная цифра» восемь. Её появление можно объяснить так. Число четыре откладывалось на абаке четырьмя счётными косточками; если же одна из этих косточек откатывалась в сторону (влево), то она могла сойти за косточку-пятёрку. Тогда эта косточка-пятёрка и оставшиеся три косточки давали число восемь (5 + 3 = 8) (подробнее см. в [15], с. 182-183).

Если четыре счётных косточки на древнерусском абаке могли «превратиться» указанным образом в число восемь, то и наоборот — число восемь аналогичным путём подкатывания по гладкой поверхности абака могло превращаться в четвёрку. Такой случай зафиксирован в древнерусском задачнике XI-XII вв. (сохранился в составе некоторых позднейших списков «Правды Русской»), предназначенном для обучения счёту на абаке6. Здесь в задаче о стоимости 256 роёв пчел (по полугривне за рой) приводится неверный итог:

6 Г. Н. Зименс считал вероятным использование Кириком абака («Трудно сказать, как Кирик умножал эти числа, вероятно, при помощи абака», добавляя: «Р. А. Симонов подтверждает 900-летие древнерусского абака» ([18], с. 126). Позже Зименс не сомневался, что абак со счётными косточками в россыпи («счёт костьми») использовался на Руси с XI в.: «Трудно сказать, каким образом Кирик справлялся с громоздкими числами порядка десятков миллионов, вероятно при помощи абака, древнейшего «счета костьми», распространенного на Руси с XI в.» (см. [6], с. 239).

124 гривны ([21], с. 104) — как нетрудно подсчитать, правильно должно быть 128 гривен. Ошибка связана с появлением на месте верной «буквенной цифры» «и-восмеричное» в кириллической форме H = 8 ошибочной четвёрки, выражавшейся кириллической буквой Д = 4 («добро»)7 — подробнее см. [15], с. 172-173.

При этом не следует забывать, что с XIX в. из-за нелепейших просчетов П. В. Хавского, которые принял за истину В. В. Бобынин, в науке надолго утвердилось ошибочное мнение о якобы систематических ошибках в расчетах Кирика и — отсюда — о слабости древнерусской математики8. Однако А. П. Юшкевич, некогда выражавший определённую приверженность подобным взглядам [23], впоследствии признал ([24], с. 20), что «все приводимые <Кириком> результаты вычислены точно». Такой вывод согласуется с мнением о надежности расчётов Кирика, к которому пришли изучавшие его творчество современные историки математики — см., например, [25-28].

В 1995 г. французский исследователь М. Кавиршин опубликовал в [29] полный текст «Учения» Кирика Новгородца на французском языке с научными комментариями. В них он, в частности, отметил (с. 277), что указанные в предваряющем текст Кирика Хронологическом Перечне сведения о «расстояниях» (в годах) между Священными Соборами (с 1-го по 7-й) не соответствуют действительности. Наоборот, в «Учении» Кирика все данные, которые допускают проверку, достоверны.

Известно, что Н.В.Степанов ещё в 1910г. установил (см. [30]), что математическая обработка хронологических данных этого Перечня имеет изъян, состоящий в том, что одна его часть вычислена при условии разницы между Сотворением Мира и началом новой эры в 5500 лет, а другая — в 5508 лет, то есть «состыковка» данных отсутствует. Указанное математическое несовершенство Перечня ставилось А.Г.Кузьминым ([31], с. 258, 280) в вину Кирику, который как предполагаемый составитель якобы не смог справиться с этой задачей. Недавнее исследование Г. А. Зверкиной [25] показало, что для Средневековья Кирик был исключительно хорошо математически «подкован»: «От других произведений древнерусской книжности трактат Кирика («Учение» — P.C.) отличается очень высоким уровнем математической культуры. .. Важной частью европейского «высшего» образования была достаточно продвинутая для того времени математика. В «Учении о числах» Кирик продемонстрировал как раз такой продвинутый уровень подготовки... » ([25], с. 59). Отсюда напрашивается вывод: крайне мала вероятность, что Перечень составлен Кириком. В [31, 32] сделано предположение, что Перечень может принадлежать перу кого-то из братии Антониева монастыря, кого он знал лично, возможно, основателю новгородского Антониева монастыря св. Антонию Римлянину (7-1147).

7 В Музейском II списке XVI в. Правды Русской в задаче «О пчёлах» стоимость 256 роёв пчёл дана правильно — 128 гривен, но записано число в виде суммы: 124 + 4, что может говорить о позднейшем исправлении исходного числа 124 ([21], с. 448; [22], с. 183).

8 Необоснованный вывод о слабой вычислительной культуре в Древней Руси сделан, например, на стр. 63 1-го тома «Истории отечественной математики» в 4 томах (отв. ред. И. 3. Штокало. Киев, 1966).

В 1996 г. была опубликована работа [34] болгарской исследовательницы Т. Славовой. Она выступила с мнением, что произведение Кирика не оригинально и является воспроизведением некоего не сохранившегося болгарского произведения конца IX или начала X вв. Чтобы разобраться в этом вопросе, возникла необходимость усиления источниковедческого изучения труда Кирика в контексте древнерусских естественнонаучных представлений. В соответствии с указанной задачей, критическое изучение «Учения» Кирика Новгородца приобрело новую форму. Она заключалась в «расшивке» текста Кирика на последовательно идущие смысловые фрагменты, снабжаемые научными комментариями о времени их возникновения, возможном авторстве и о соответствии данных этих фрагментов предполагавшемуся Славовой болгарскому протографу. Результат оказался таким (см. [35]): гипотетический болгарский текст может считаться не протографом «Учения», а в лучшем случае возможным отдалённым образцом для Кирика. Кирик, несомненно, использовал доступную ему византийскую, западную, болгарскую и др. соответствующую календарную историографию. Вместе с тем, «Учение» Кирика содержит материал, ярко характеризующий его самобытность — это математические расчёты, которые, собственно говоря, и составляют основное содержание его трактата, чего Славова вовсе не касается.

Такой подход получил одобрительный отклик в современной историографии и дальнейшее развитие. В. В. Мильков, рассмотрев в [36] тематически близкие «Учению» так называемые семитысячники (см. [37]) — хронологические тексты, написанные глаголицей в Моравии или Болгарии, вероятно, в последней трети IX - первой половине XI вв., заключил, что «связь семитысячников с «Учением» Кирика несомненна». «Однако текст Кирика представляет собой усложнённую переработку семитысячника. Последний послужил ему образцом и схемой для решения собственных расчётных задач. Нельзя не учитывать, что Кирик самостоятелен в расчётах, которые он делал применительно к своему времени. В отличие от семитысячников Кирик подробно описывает, какие надо производить действия для решения поставленных задач. Наконец, самое главное — Кирик дал совершенно точные календарно-математические вычисления, тогда как известные в то время списки семитысячников изобиловали ошибками и погрешностями. Самобытность «Учения» Кирика, его неповторимость определяются арифметическими расчётами, которые могли иметь целью корректировку ошибок, совмещённую с руководством по математическому обеспечению календарной хронологии» [36].

В 2002 г. к творчеству Кирика Новгородца неоднократно обращался в своем фундаментальном труде о книжной культуре Древней Руси [11]9 упоминавшийся выше С. Франклин. Он уделил внимание соединению в творчестве Кирика гуманитарной подготовки в области музыки с расчётной точностью восприятия окружающего мира: «Кирик подвизался в качестве регента в хоре монастыря Антония Римлянина, причем, кажется, у него было особенное при-

9 В 2009 г. эта книга была переведена на русский язык, ссылки ниже даются на страницы русского издания.

страстие к разработке разных правил и классификации объектов. В 1136 г. он составил краткий справочник по хронологии и календарным расчётам» ([11], с. 263-264). На эту особенность творчества Кирика ранее в предисловии к книге ([10], с. 5) указывал член-корреспондент РАН Я.Н.Щапов: «Это -нарочитая точность, внимание к мелочам, которые очень важны в математических вычислениях, но кажутся ему столь же существенными и в деятельности духовника, и в беседах с Нифонтом, когда он ссылается на письменные и устные источники информации и обсуждаемые казусы».

Анализируя содержание «Вопрошания» Кирика, Франклин находит ему аналогию у Иоанна, Киевского митрополита периода ок. 1077-1087 гг.: «Главнейшие темы у Кирика сходны с теми, которые разбираются в ответах митрополита Иоанна (когда речь идёт о духовенстве, обсуждаются вопросы церковной дисциплины, литургики и обрядов; когда речь идет о мирянах, наставления переходят к вопросам о пище и одежде, о половой жизни и браке, о чистых и нечистых предметах, о языческих обычаях), однако приведённые Кириком примеры более конкретны, детали обрисованы более скрупулёзно... ». Детальность вопросов Кирика обусловлена также тем, что «запретных тем нет, так что вопросы Кирика представляют собой наиболее полный свод источников, отражающих свойственные его времени взгляды на половую жизнь» [11].

Франклин обращает внимание и на вопрос Кирика из «Вопрошания» о возможной греховности попирания ногами грамоты: «Деятели церкви осуждают всякое неуважительное обращение с письмом: в канонических сводах, конечно же, запрещалась порча книг, но Кирик Новгородский в тексте, датирующемся примерно серединой XII в., задаётся вопросом, не грех ли топтать ногами вообще любую грамоту». Олицетворяя Кирика в образе некоего церковного деятеля, Франклин усматривает у него более высокое уважение к написанным буквам, чем это было распространено среди населения: «Какой-то церковный деятель осуждает тех, кто устилает землю грамотами и потом топчет их ногами; но ведь это очевидным образом показывает, что уважение к написанным буквам как сакральному предмету никоим образом не было столь распространённым, как бы того хотел наш церковный деятель» [11].

Следует учитывать, что Франклин обратился к изложенному вопросу Кирика в предпоследней 7-й главе «Письменность и магия» своей книги, где пришёл к выводу, что на Руси «редко случается, что письменность сама по себе применялась или востребовалась как средство коммуникации, наделённое магическими свойствами» [11]. Получается, что сюжет «Вопрошания» с осуждением Кириком попирания ногами грамоты в Новгороде середины XII вв. Франклин рассматривает как своего рода редкий случай магического (в указанном смысле) восприятия представителем духовенства любого письменного текста.

Этот казус нуждается в прояснении. Смысл вопроса № 65 «Вопрошания» (<Кирик:> Нет ли в том греха, если по грамотам [будут] ходить ногами? <Нифонт:> Если кто, изрезав [их], выбросит, а слова будет знать, [то нет

беды] [38]) не был до конца понятен. С открытием в 1951 г. берестяных грамот этот вопрос интерпретируют как древнейшее свидетельство об их широком распространении в Новгороде, где они валялись под ногами прохожих (см. [39, 40] и [10], с. 22). Но были противники такой трактовки. Так, М. И. Слуховский считал [41], что такое «толкование вряд ли может быть принято». Новейшие исследования внесли определенную ясность в рассматриваемый вопрос: «... Суть вопроса следует понимать шире, чем отражение бытовой практики отношения новгородцев к письмам, которые выбрасывались после прочтения за ненадобностью. За вопросом может стоять сакральное отношение древнерусского грамотника к письму вообще, ибо письмом в первую очередь передавались древние тексты. То, что причастно к выражению священных истин, не может быть попираемо ногами. Так что возможность расширительного толкования, одинаково подразумевающего тексты на бересте и пергамене, остается в силе» [42].

Отдельную группу изданий, связанных с исследованием творчества Кирика Новгородца, образуют произведения постсоветской поры, написанные на украинском языке или опубликованные украинскими учёными в российских научных изданиях10. Хронологически первым в этой череде трудов идет перевод «Учения» Кирика Новгородца на украинский язык (с примечаниями) С. В. Бондаря [43]. Как отмечалось выше, «Вопрошание» Кирика вышло на латыни (и немецком языке) ещё в XVI в. «Учение» Кирика стало переводиться в конце XX в. на Украине (1993 г.) и во Франции (1995 г.).

В основе украинской публикации лежит Погодинский список «Учения» в изданиях СП. Обнорского, С. Г. Бархударова и В. П. Зубова, Т. И. Коншиной. Текст перевода не подразделён на параграфы. Переводчик древнерусского трактата кандидат философских наук С.В. Бондарь предпослал публикации научное введение, в котором отметил важную роль Кирика в развитии средневековой философской и математической мысли. Украинский текст иллюстрируется страницей из подлинника Погодинского списка XVI века. К сожалению, в информационные сведения вкралась досадная неточность; исправляя её, уточняем: Погодинский список «Учения» хранится не в Москве, а в Санкт-Петербурге11.

В 2002 г. большое значение для науки произведения Кирика «Учение им же ведати человеку числа всех лет» отметил украинский археолог Олексий Комар в статье [44]. Подчеркивая возрастающую роль математических (статистических) методов исследования в археологии, О. Комар поставил ряд вопросов: таким ли простым для древнего населения Руси было понятие пропорции? Как за угадываемыми в археологических артефактах математическими

10 Изучение творчества Кирика Новгородца в других государствах СНГ, возможно, не ведётся, или данные о них не попадают в информационные сети.

11 К сожалению, С. В. Бондарь недавно скончался. Российские ученые скорбят по поводу безвременного ухода из жизни этого увлечённого исследователя, см.: Мильков В. В. С. В. Бондарь как исследователь религиозно-философской мысли Древней Руси // Древняя Русь: во времени, в личностях, в идеях. Альманах / Под ред. д. и. н. П. И. Гайденко. СПб.; Казань, 2014. Вып. 1. С. 225-241.

знаниями увидеть измерения и расчёты? По О. Комару, чтобы ответить на эти и другие подобные им вопросы нужно установить, насколько точно средневековые представления соотносились со знаниями таких талантливых «числолюбцев», как Кирик Новгородец, который в процессе расчёта времени писал, какие числа уже «не делятся». По мнению О. Комара, «Кирик Новгородец безусловно был уникальным явлением Древней Руси, высокое состояние его математических знаний нельзя механически переносить на обычный уровень просвещённого древнерусского населения. Тем более это касается широких масс, где даже азами арифметики владел далеко не каждый. Поэтому большинство основ «демократических» знаний необходимо искать в знаменитом «Учении о числах» Кирика» [44]12.

В том же 2002 г. О. Комар опубликовал еще одну работу [45], имеющую отношение к творчеству Кирика. В её начале (на с. 181) отмечается, что «главным произведением, которое иллюстрирует уровень математических знаний Руси, традиционно считается труд XII в. «Учение о числах» Кирика Новгородца, однако не меньшее внимание историков математики притягивают и статьи с математическими задачами, включенные в Карамзинскую группу списков «Правды Русской»... Наиболее полно эта идея была развита в работах Р. А. Симонова». Далее О. Комар анализирует структуру математических упражнений древнерусского задачника, пытаясь воссоздать абак, которому они могли соответствовать. Однако автор не обосновал, к какому историческому периоду такой абак может относиться (если реконструкция достоверна), ограничившись утверждением, что «реконструированный нами вариант древнерусского абака не является “архаичным”» ([45], с. 193).

В 2009 г. известный украинский историк, член-корреспондент НАН Украины А. П. Толочко, в [46] уделил внимание «Вопрошанию» Кирика в связи с изучением загадочной судьбы автокефального митрополита Климента Смолятича (XII в.). Толочко пришел к выводу, что после низложения с кафедры Киевской митрополии Климент Смолятич несколько лет (из периода 1154— 1164 гг.) провёл в русском монастыре на Афоне. Основанием для Толочко послужили данные «Вопрошания» Кирика, сообщающие, что Климент находится/живёт в месте, где соседствуют два монастыря — русский и греческий, в которых церковный обряд «Воздвижения креста» проводится несколько по-разному. В русском монастыре этот обряд осуществляет иеромонах, а в греческом — игумен13.

Из всех возможных мест, считает Толочко, более всего подходит Афон (см. [46], с. 549, 550): «Такое место было бы напрасно искать в Новгороде или даже на Руси. В середине XII в. было одно место, где русский монастырь соседствовал с греческим — Афон». «Русский монастырь на Афоне (Ксилургу) существовал по крайней мере со второй половины XI в. Но вот близко

12 Здесь и ниже цитаты даны в переводе с украинского Р. А. Симонова.

13 [46], с. 548. Это вопрос № 21 «Вопрошания»: «В том монастыре, где Клим (Климент Смолятич — Р. С), кресты водружает иеромонах, а не игумен. Так поступают в русском монастыре, тогда как в греческом крест водружает игумен» ([38], с. 416).

ко времени, которое нас интересует, в августе 1169 г., этому монастырю был придан другой — св. Пантелеймона, и с тех пор русский монастырь известен именно под этим именем. До присоединения св. Пантелеймон был греческим монастырём... Это бы объяснило странность фразы Кирика Новгородца, буквально смысл которой состоит в том, что в монастыре «иде-то Клим (Климент Смолятич — Р. С.)», есть, собственно, два монастыря: русский и греческий, различающиеся деталями службы». Толочко также отметил, что в историографии «Вопрошание» привычно датируется временем правления архиепископа Нифонта в Новгороде (1130-1156), тогда как датировку можно уточнить: «Из наших рассуждений следует, что Кирик вопрошал Нифонта в 1155-1156 гг. (что, кстати, давало бы и более узкую дату, по крайней мере, для этой части Вопрошания)».

Исследователи заинтересованно отнеслись к гипотезе Толочко, указав, что ряд деталей в ней нуждаются в доказательном усилении: «А. П. Толочко полагает, что Кирик вопрошал Нифонта как раз в последние годы его жизни, а когда состоялись его встречи с Климом, он не уточняет. По логике получается, что после низложения с митрополии и после перемещения в русский монастырь на Афоне. Но как туда мог попасть Кирик? Никаких греческих реалий в «Вопрошании» нет. Не легче ли предположить, что хорошо осведомленный в особенностях византийской культуры Климент сравнил известные ему порядки. Да и монастырь, о котором сказано, что в нём пребывает Клим, мог быть митрополичьей резиденцией, где проходили встречи. Там обряд Воздвижения креста Кирик мог наблюдать непосредственно, что и послужило поводом для вопроса, либо он просто записал сопоставление, на которое указал Климент Смолятич. Подчеркнуть отличие от греков логично для представителя русской партии» ([42], с.438-439).

При всем при том, к словам Толочко необходимо внимательно прислушаться. Так, он отметил недостаточность усилий учёных по изучению уникального произведения, каким является «Вопрошание» Кирика Новгородца: «К сожалению, Вопрошание Кириково всё ещё изучено в объёме предисловия А.С.Павлова к публикации текста в “Русской исторической библиотеке”»14. Кроме того, в «Вопрошании» сообщается о желании Кирика принять схиму, каковое не благословил Нифонт. Однако смерть последнего в 1156 г. открыла Кирику доступ к схиме, он мог принять её с обретением нового имени Кирилл, под которым известны некоторые поздние списки «Вопрошания» (в том числе и опубликованный С. Герберштейном текст) — см. [47].

Учитывая указанный факт смены имени (Кирик на Кирилл) в поздних списках «Вопрошания», В. О. Парфененков [48] недавно обратил внимание на деталь, которая ускользала от исследователей: «... Заглавия, где в качестве автора фигурирует Кирилл, не согласованы с именем вопрошателя внутри текста. Так, в Краткой редакции «Вопрошания» начала XVI в. (по «Древнеславянской Кормчей XIV титулов»), несмотря на имя Кирилл в заглавии, в

14 Очевидно, имеется в виду издание «Вопрошания» в РИБ. СПб., 1880. Том 6.

статье № 33 читается имя Кириче (звательная форма от имени Кирик). Ясно, что правка коснулась исключительно надписания произведения и первоначально в заглавии, как и в указанной статье читалось имя Кирика». Итак, имя Кирилл в надписании «Вопрошания» появилось не в результате случайной описки переписчика, а благодаря целенаправленному редактированию заголовка произведения. На первый взгляд, его целью могло быть исправление монашеского имени автора (Кирик) на схимонашеское (Кирилл). Но целью редактирования также могло быть указание имени самого редактора (некоего Кирилла) — последнего творческого преобразователя (путем купирования?) текста «Вопрошания». Могла быть и какая-то иная цель, которую ещё придётся установить последующим исследователям.

Заключение

В последнее время интересы учёных дали толчок к появлению междисциплинарных подходов. Это, в свою очередь, привело к формированию методов комплексного анализа. Одним из них является метод пострепрезентативного анализа. Согласно этому подходу, большего внимания учёных (чем обычно) заслуживает тот факт, что исторические источники не отражают в достаточной мере реальность, а дают ей субъективную интерпретацию. Не вдаваясь в эпистемологическую оправданность такого подхода, согласимся, что в процессе исследовательского поиска важно знать не только о научных достижениях в изучаемой области, но нередко в неменьшей степени о том, что еще осталось нерешённым. В качестве примера можно сослаться на статью И. В. Саблина [49] о применении пострепрезентативного анализа к определенному географическому контексту. Речь в ней идет о геоинформационном изучении нескольких географических карт, «снятых» с одной и той же территории в конце XIX - начале XX вв. Сравнение выявило различия между картами: «Учитывая то, что все карты выполнены примерно в одном масштабе, различия между ними обусловлены не техническими аспектами, а целями и задачами их авторов и издателей». Анализ этих различий привел автора статьи к ряду выводов, важных для регионоведения картографированной территории. Для цели настоящего исследования интерес представляет общий вывод Саблина о том, что обобщённые им данные «делают пострепрезентативный анализ новым методом исторического исследования, позволяющим решать исследовательские задачи, которые ранее решить было чрезвычайно трудно».

Изложенные в настоящей статье сведения об исследовании творчества Кирика за рубежом достаточно мозаичны и не отражают историографию вопроса в необходимой полноте, а являются её субъективной интерпретацией. Наша попытка применения интердисциплинарного подхода к анализу этих сведений привела к следующему результату. Выяснилось, что различия в трактовке творчества Кирика проявляются в понимании способа обеспечения точности его вычислительной работы (включая огромные числа, достигаю-

щие величин порядка десятков миллионов). На Западе допускается, что этого Кирик достигал путем использования абака античного типа (Г. Н. Зименс, В. Ф. Райан), либо отмечается ценность «Учения» как справочника по хронологии и календарным расчетам (С. Франклин), либо считается, что вопрос об использовании абака в домонгольской Руси не вышел из стадии предварительной гипотезы (О. Комар).

Так, украинский исследователь по указанному вопросу пишет ([45], с. 190): «По мысли Р. А. Симонова, В. К. Кузакова и Б. Я. Виленчика, вычисления производились с помощью счётного приспособления типа абака. В действительности, факт использования древнерусским населением абака сегодня ещё не может считаться доказанным, будучи не более, нежели гипотеза, заполняющая лакуну в наших знаниях. Ещё более скептически следует относиться к реконструкции древнерусского абака, предлагаемой Р. А. Симоновым». Однако эта реконструкция получила положительную оценку в научной печати. Например, известный историк математики С.С.Демидов пишет в [50]: «Исследуя «Учение» и ряд других текстов («Русской Правды», латинской арифметики 1759 г. Я. Накциановича) и археологические находки (содержимое кошелька из славянского захоронения XI века, пряслица из Билоозера XIII в.), Р.А.Симонов реконструировал оригинальный древнерусский абак, существование которого предположил в 1952 году И. Г. Спасский, и о счёте на котором средневековые источники сохранили термин «счёт костьми». Тем самым он восстановил и саму процедуру этого “счёта”».

П. В. Кузенков в своем исследовании [51], ссылаясь на книгу [10], пишет: «... Весьма убедительным представляется предположение о связи дробных у Кирика с практикой счета на распространенном в средневековой Руси вычислительном инструменте — 6-уровневом абаке» и приходит к выводу, что в отдельных вопросах «русский учёный (Кирик Новгородец — Р. С.) оказывается более осведомлённым, чем византийский философ Пселл». Также гипотеза Симонова получила подробное освещение в археологической научной печати [52], поскольку в 1985 г. она нашла археологическое подтверждение. В указанном году у деревни Новоселки Суздальского района археологи в захоронении XI в. обнаружили при мужском костяке сумочку с инвентарем древнерусского вычислителя, состоящим из нескольких счётных косточек (вишневых и сливовых), четверти немецкого серебряного денария Х в., весов для взвешивания монет и гирьки. Эта находка свидетельствовала о том, что древнерусский абак (условно — «счёт костьми») представлял собой архаический счет плодовыми косточками, которые раскладывались по определённым правилам на столе, лавке и другой ровной поверхности (полу, земле, счётной доске) — см. [53].

По-видимому, причина отрицательного отношения О. Комара к работам Симонова о существовании абака в домонгольской Руси состоит в том, что все работы об абаке, используемые в его статье, отражают ранний период обсуждения соответствующей гипотезы. Самая «свежая» публикация Симонова, упоминаемая О. Комаром — публикация 1988 г., которая вышла за пять

лет до появления в научной печати прямых данных о существовании абака в Древней Руси. Можно предположить, что мнение О. Комара об отсутствии в домонгольской Руси абака, чему была посвящена его специальная статья 2002 г., обусловлено недостаточной обеспеченностью исследователя научной литературой.

Однако недостаток информации, по-видимому, не единственная причина позиции О. Комара. Создается впечатление, что он хотел познакомить научную общественность со своими предварительными решениями задач из «Русской Правды». На их основе он строил модель абака, которую не считал соответствующей первоначальному древнерусскому абаку, но приближающей решение «проблемы абака», которое могли дать лишь дальнейшие исследования («Реконструйований нами варіант давньоруського абака не э «архаічним»... Саме подальші дослідження в цьому напрямку і здатні, на наш погляд, справді наблизити нас до розв'язання проблеми давньоруського рахунку» — [45], с. 193-194).

Есть ещё одна причина, затрудняющая усвоение факта использования абака в Древней Руси. Это — отсутствие в русском научном тезаурусе понятия «абак» в значении вычислительного устройства. Так, в обстоятельном учебнике по метрологии Л. В. Черепнина [54] вообще нет данных о способах счёта на Руси, хотя понятие «счёт» используется Черепниным широко — вот некоторые названия глав и разделов учебника: «Монетная стопа и денежный счёт», «Денежный счёт Русской Правды», «Московская и новгородская системы денежного счёта», «Происхождение московского денежного счёта», «Происхождение новгородского денежного счёта». Поскольку о способах счёта не сообщается, то студенты, для которых предназначен учебник Черепнина, могли неверно заключить, что население Руси поголовно производило счёт любых чисел исключительно в уме, без применения инструментальных средств.

Об отсутствии в русском тезаурусе термина, обозначающего архаичный инструмент счёта, с античных времен называемого «абак»15, свидетельствует Академический словарь русского языка [55], в котором слову «абак» дается следующее толкование: «АБАК и АБАКА. Архит. Плита, составляющая верхнюю часть капители колонны». Более свежий пример: в вышедшей в 2014 г. энциклопедии «Древняя Русь в средневековом мире» также отсутствует статья «Абак», а о способах счёта рассказывается в статье «Арифметика» — см. [56]. По этому поводу отметим ещё, что в XXI веке число иноязычных заимствований в русском языке увеличилось и приблизилось в

15 «Абак (лат. abacus — доска). 1. Счетный инструмент (доска, стол), напоминающий совр. счеты. Доска разделялась на полосы или столбцы, по к-рым передвигались или перекладывались счетные марки, обозначавшие определ. денежные единицы, единицы меры и веса. Отдельные античные экземпляры сохранились до наших дней. Наибольшее распространение А. получил в период средневековья в Европе и Азии. Начиная с 19 в. А. вытесняется методом письм. счета с помощью индо-арабских цифр. 2. В греч. архитектурных ордерах — верхняя плита капители колонны» (Словарь античности / Пер. с нем. М., 1989. с. 7).

общеупотребительной и специальной лексике к 20000 слов. «Для школьников, студентов, всех желающих верно понимать значение иностранных слов и грамотно использовать их в своей речи» был издан соответствующий словарь: Большой словарь иностранных слов (М., 2007. 707 с). В нём слову «абак» даются три толкования, включая «счётное средство»: «АБАК. 1. архит. Верхняя часть капители в форме четырёхугольной плиты... 2. ист. Счётный прибор у древних греков и римлян в виде рамки с поперечными стержнями, на которые нанизаны шарики, служившие в качестве единиц счёта. 3. мат. В номографии: особый чертёж с числовыми отметками для приближённого решения данного уравнения». Во второй трактовке абак как «счётное средство» рассматривается лишь в качестве «счётного прибора», тогда как аналогичная трактовка, даваемая в «Словаре античности» (см. прим. 15 настоящей статьи), предусматривает два варианта античного счётного абака — в виде прибора, «напоминающего современные счёты», где единицы счёта «передвигались», и счётного средства, где единицы счёта «перекладывались», то есть не были закреплены на стержнях. В Древней Руси, очевидно, использовался абак античного типа второго вида — со счётными элементами (плодовыми косточками) в россыпи. Значит, «Большой словарь иностранных слов» (М., 2007), хотя ввёл для слова «абак» значение «счётное устройство», но не в той архаичной форме, в какой мог использоваться абак в Древней Руси.

Русские люди чутки к памяти своих великих предков (политиков и полководцев, поэтов и писателей, учёных и композиторов). При этом они даже готовы увлечённо верить в достоверность заведомых фальшивок (типа «Велесовой книги») или в древность позднейших литературных стилизаций. Возникает вопрос, почему русские люди не замечают (в отличие от иностранцев) действительно ценнейшей интеллектуальной реликвии своей нации, каковой является хронолого-математическое «Учение» (1136 г.) Кирика Новгородца? При том, что учёные, осознающие ценность «Учения», настойчиво (но тщетно) стараются обратить внимание российских властей и народа на указанный факт [27].

Пострепрезентативный анализ, нацеленный на вскрытие факторов, препятствующих восприятию исторической реальности, позволяет подойти к установлению естественной причины, казалось бы, необъяснимой «слепоты» российских властей и народа в отношении творчества Кирика Новгородца16.

16 В том, что имя Кирика Новгородца остается «пустым звуком» для широкой общественности России, вина частично лежит на Министерстве образования и науки России: Минобрнауки было своевременно проинформировано о необходимости чествования Кирика Новгородца в связи с исполнившимся в 2010 г. его 900-летием, но отделалось пустой отпиской: «Департамент государственной политики и образования Минобрнауки России рассмотрел Ваше обращение, поступившее из Администрации Президента Российской Федерации, по вопросу о праздновании юбилея Кирика Новгородца и сообщает, что Ваше предложение принято к сведению и при наличии возможностей будет учтено». «Возможностей» у Минобрнауки, как следовало ожидать, не появилось. Полный текст процитированной «отписки» опубликован: Симонов Р. А. XVI век: К вопросу математизации российского фиска (историко-антропологический аспект) // Вопросы истории естествознания и техники. 2011, № 4. С. 94. Подлинник находится в личном архиве Г. А. Зверкиной.

В связи с этим затруднительно выразить в адекватной словесной форме и осознать ценность для человека вычислительной культуры вообще. Что, в частности, проявляется в недооценке представленных в «Учении» Кирика расчётов, в действительности являющихся показателем выдающейся интеллектуальной работы древнерусского учёного.

ЛИТЕРАТУРА

1. Батурин Ю.М. Реформа РАН: метафорические срезы (Скрытая концепция с неизвестным авторством. Попытка реконструкции) // Институт истории естествознания и техники им. СИ. Вавилова РАН. Годичная научная конференция, 2014. — М., 2014. С. 24.

2. Мильков В. В., Симонов Р. А. Кирик Новгородец: ученый и мыслитель. — М.: КругЪ, 2011. 544 с.

3. Кирик Новгородец и древнерусская культура / Отв. ред. В. В. Мильков. — Великий Новгород: Новгородский госуниверситет им. Ярослава Мудрого. 2014. Ч. 3. 322 с.

4. Herberstein S. Rerum Moscoviticarum commentarii. Basiliae, 1556. Русский перевод немецкого варианта: Герберштейн С. Записки о Московии. — М., 1988. С. 96-99.

5. Goetz L.K. Kirchenrechtliche und kulturgeschichtliche Denkmaler Altrusslands nebst Geschichte des russischen Kirchenrechts. — Stuttgart, 1905. 403 s.

6. Великий Новгород. История и культура IX-XVII веков: Энциклопедический словарь. - СПб., 2009. 552 с.

7. Ammann А. М. Abriss der ostslavischen Kirchengeschichte. — Wien, 1950.

8. Мурьянов М. Ф. О новгородской культуре XII века // Мурьянов М. Ф. История книжной культуры России. Очерки: В 2 ч. — СПб., 2007. Ч. 1. 624 с.

9. Podskalsky G. Christentum und theologische Literatur in der Kiever Rus': (988-1237). — München, 1982; русский перевод: Подскальски Г. Христианство и богословская литература в Киевской Руси (988-1237гг.). — СПб., 1996. 576 с.

10. Симонов Р. А. Кирик Новгородец — ученый XII века. — М., 1980. 112 с.

11. Franklin S. Writing, Society and Culture in Early Rus, c. 950-1300. — Cambridge: Cambridge University Press, 2002. Русский перевод: Франклин С. Письменность, общество и культура Древней Руси (около 950-1300 гг.). — СПб., 2010. 552 с.

12. Ryan W. F. The Bathhouse at Midnight. An historical Survey of Magic and Divination in Russia / The Pennsilvania State University Press, 1999.

13. Райан В. Ф. Баня в полночь: Исторический обзор магии и гаданий в России / Отв. ред. А. В. Чернецов. — М., 2006. 720 с.

14. Симонов Р. А. Математическая мысль Древней Руси. — М., 1977. 120с.

15. Симонов Р. А. Кирик Новгородец — русский ученый XII века в отечественной книжной культуре. — М., 2013. 396 с.

16. Thomson F.J. The Problem of the Reception of the Works of John IV Ieiunator of Constantinople Among the Slavs: Nikon of Black Mountain and Cirycus of Novgorod // Palaeobulgarica. 1987. T. 11, № 1. P. 23-45.

17. Simens H. Kirik von Novgorod und die Berechung des Osterdatums // Jahrbucher fur Geschichte Osteuropas. Sitz Stuttgart / Germany. 1991. Bd. 39. H. 1.

18. Зименс Г. Вычисление Пасхи в Новгороде в XII веке // Новгородский исторический сборник. — СПб., 1997. Вып. 6 (16). С. 121-127.

19. Цыб СВ. Древнерусское времяисчисление в «Повести временных лет». — Барнаул, 1995. 147 с.

20. Симонов Р. А. Соотношение списков «Учения им же ведати человеку числа всех лет» (1136 г.) Кирика Новгородца (источниковедческий аспект) // Институт истории естествознания и техники РАН. Годичная научная конференция 2012. — М., 2012. Т. 1. С.179-182.

21. Правда Русская / Под общ. ред. акад. Б.Д.Грекова. Том 3: Факсимильное воспроизведение текстов. — М., 1963. 472 с.

22. Комар О. Математичні статті “Правди Руськоі” та способи рахунку в Давній Русі // Rutenica. Киів, 2002. Т.П. С. 181-184.

23. Юшкевич А. П. Математика и ее преподавание в России XVII-XIX вв. // Математика в школе. 1947. № 1. С. 29.

24. Юшкевич А. П. История математики в России до 1917 года. — М., 1968. 592 с.

25. Зверкина Г. А. Кирик Новгородец как зеркало культуры средневековой Руси // В сб. Кирик Новгородец и средневековая культура. — Великий Новгород: Новгородский госуниверситет им. Ярослава Мудрого, 2012. Ч. 1. С. 57-71.

26. Зверкина Г. А., Зверкина И. А. Кирик и экспериментальная наука Древней Руси //В сб. [3], С. 72-78.

27. Антонюк П.Н. Новейшие исследования наследия Кирика Новгородца // В сб. [3], С. 289-307.

28. Пронин Д. И. Кирик Новгородец — открытия свидетельств научного потенциала Древней Руси // Труды IX Международных Колмогоровских чтений. — Ярославль, 2011. С. 243-247.

29. Kavyrchine M. Le traite de Kirik sur la chronologie: Novgorod, XIIe siecle // Revue des etudes slaves. Tome 67, fascicule 2-3, 1995. S. 265-286.

30. Степанов Н. Заметка о хронологической статье Кирика (XII век) // Известия Отделения русского языка и словесности Императорской Академии наук. 1910. Т. 15. Кн. 3. С.144-149.

31. Кузьмин А. Г. Начальные этапы древнерусского летописания. — М.: Изд-во МГУ, 1977. 408 с.

32. Симонов Р. А. Научное творчество Кирика Новгородца // Кирик Новгородец и древнерусская культура. — Великий Новгород: Новгородский госуниверситет им. Ярослава Мудрого. 2012. Ч. 1. С. 104-109.

33. Симонов Р. А. О возможной принадлежности св. Антонию Римлянину хронологического перечня, приписываемого Кирику Новгородцу // Румянцевские чтения - 2013: В 2ч. / РГБ. М., 2013. 4.2. С. 163-170.

34. Славова Т. «Учение за числата» (Учение им же ведати человеку числа всех лет), приписвано на Кирик Новгородец / / Медиевистични изследования: В памет на Пейо Димитров: IV младежка медиевистична конф. Шумен, 1-3 декабря 1004 г. / Отв. ред. Тотю Тотев. Шумен, 1996. С. 53-57. См. также: Славова Т. Календарни текстове в България през ранното средновековие. Палейният календар и Учение им же ведати человеку числа всех лет, приписвано на Кирик Новгородец // Slavia. Praha, 2000. Roc. 69. Ses.3. S. 269-288.

35. Симонов Р.А. «Учение» Кирика — оригинальное древнерусское произведение // Историко-математические исследования. Вторая серия. — М., 1999. Вып. 4 (39). С. 25-56; переиздание с. 37-69 в книге: Симонов Р. А. Естественнонаучная мысль Древней Руси: Избранные труды. — М: Моск. гос. ун-т печати. 2001. 346 с.

36. Мильков В. В. История изучения. Споры об объеме наследия // Мильков В. В., Симонов Р.А. Кирик Новгородец: ученый и мыслитель. — М., 2011. С. 13-29.

37. Турилов А. А. О датировке и месте создания календарно-математических текстов — «семитысячников» // Естественнонаучные представления Древней Руси. — М., 1988. С.27-38.

38. Мильков В. В. Вопрошание Кириково (перевод) // Мильков В. В., Симонов Р. А. Кирик Новгородец: ученый и мыслитель. — М., 2011. С. 413-429.

39. Щапов Я. Н. Кирик Новгородец о берестяных грамотах // Советская археология. 1963. № 2. С. 251-253.

40. Янин В. Л. Я послал тебе бересту... 2-е изд., испр. и доп. — М., 1975. 238 с.

41. Слуховский М. И. Русская библиотека XVI-XVII вв. — М.: Книга, 1973. 252 с.

42. Гайденко П. И., Макаров А. И., Мильков В. В. Вопрошание Кириково (комментарии) // Мильков В. В., Симонов Р. А. Кирик Новгородец: ученый и мыслитель. — М., 2011. С.429-473.

43. Бондар С.В. «Вчення» Кирика Новгородца (перекладач С. В. Бондар) // Філософська і соціологічна думка. 1993. № 3. С. 145-149, примітки с. 149-150. См. также: Симонов Р. А . Российско-украинское взаимодействие в изучении творчества Кирика Новгородца (к 900-летию ученого) // Историко-культурное взаимодействие на пространстве СНГ в контексте развития книгоиздания, книгообмена и науки о книге: Материалы Международной научной конференции (Киев, 4-6 октября 2011г.). Киев; Москва, 2011. С. 155, 159.

44. Комар О. Поняття частини та пропорції в Давній Русі // Нові технології в археології. Киів-Львів, 2002. С. 73-77.

45. Комар О. Математичні статті «Правди Руськоі» та способи рахунку в Давній Русі // Ruthenica. Киів. 2002. Том П. С. 181-194.

46. Толочко А.П. Клим Смолятич после низвержения из митрополии // Хорошие дни. Памяти Александра Степановича Хорошева. — М., 2009. С. 547-551.

47. Симонов Р.А. Об именах Кирика Новгородца // Румянцевские чтения-2006. — М., 2006. С. 246-249.

48. Парфененков В. О. Соавторы «Вопрошания» — Кирик и Нифонт: новгородцы по духу // Кирик Новгородец и древнерусская культура / Отв. ред. В. В. Мильков. — Великий Новгород, 2014. Часть 3. С. 79.

49. Саблин И. В. Историческая геоинформатика: от визуализации к пострепрезентативному анализу // Историческая информатика. 2013, № 1. С. 10-16.

50. Демидов С. С. Об историко-математических работах Р. А. Симонова // Симонов Р. А. Естественнонаучная мысль Древней Руси. Избранные труды. — М., 2001. С. 4.

51. Кузенков П. В. Календарно-пасхалистические традиции в Византии и на Руси в XI-XII вв.: Сопоставление календарных трактатов Михаила Пселла (1092 г.) и Кирика Новгородца (1136 г.) // Вестник церковной истории. 2006. Вып. 2. С. 140, 154.

52. Симонов Р. А. Археологическое подтверждение использования на Руси в XI веке архаического абака («счёта костьми») // Истоки русской культуры (археология и лингвистика): Материалы по археологии России. — М., 1997. Вып. 3. С. 178-196; перепечатка: Симонов Р. А. Естественнонаучная мысль Древней Руси. Избранные труды. — М., 2001. С. 12-29.

53. Симонов Р. А. 900-летний возраст древнерусского абака («счёта костьми») // Вопросы истории естествознания и техники. 1993. № 1. С. 96-98; Simonov R. A. Die Archéologie bestätigt 900 jahriges Alter des altrussischen Abacus (des «Zahlens mit kernen») // Jahrbucher fur Geschichte Osteuropas. Stuttgart, 1993. Bd. 41.

54. Черепнин Л.В. Русская метрология. — M., 1944. 94 c.

55. Словарь русского языка: В 4 т. / Ин-т русского языка АН СССР. 2-е изд. / гл. ред. А.П. Евгеньева. — М., 1981. Т. 1. 698с.

56. Симонов Р. А. Арифметика // Древняя Русь в средневековом мире / Под общ. ред. Е.А.Мельниковой, В. Я. Петрухина. — М., 2014. С. 36-37.

Поступила 08.06.2015

THE STUDY OF CREATIVITY KIRIK THE NOVGORODIAN ABROAD

R. A. Simonov

The article presents a review of foreign researches, devoted to the work of Kirik the Novgorodian (XII century), published from the XVI century to the beginning of XXI century. One of the key points covered in the article, is associated with the likely use of the antique type abacus.

Keywords: Kirik the Novgorodian, «The Doctrine of numbers» (1136), «Asking» (mid XII century), antique type abak, foreign historiography of science.

ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ. ПЕРСОНАЛИИ

УДК 51 (092)

200-ЛЕТИЕ КАРЛА ВЕЙЕРШТРАССА

Г. И. Синкевич

Санкт-Петербургский Архитектурно-строительный университет 190005, г. Санкт-Петербург, ул. 2-я Красноармейская, 4; e-mail: galina.sinkevich@gmail.com

Научная биография Карла Вейерштрасса, его основные работы, влияние его учения на развитие математики.

Ключевые слова: Карл Вейерштрасс, научная биография.

В 2015 году математический мир отмечает 200-летний юбилей великого немецкого математика Карла Вейерштрасса (1815-1897), одного из создателей современного математичекого анализа.

Детство и юность. Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс родился 31 октября 1815 года в Остенфельде (Вестфалия) в католической семье секретаря бургомистра, Вильгельма Вейерштрасса, и Теодоры, урождённой Вондерфорст. Карл был старшим ребёнком. Ему было 12 лет, когда умерла его мать. Служба отца была связана с налоговым управлением, и семья часто переезжала. Отец был интеллигентным человеком, детей учили французскому и английскому. Карл начал посещать школу в Мюнстере, а в 14 лет поступил в католическую Теодорианскую гимназию в Падеборне. В гимназии он получил хорошую не только общую, но и математическую подготовку: стереометрия, тригонометрия, неопределённый анализ, разложение в ряды. Школьное образование было основательным, недаром после Франко-прусской войны Отто фон Бисмарк сказал, что победу одержал школьный учитель. В гимназии была научная библиотека. Известно, что Вейерштрасс просматривал там математические журналы, главным образом, журнал Крелле (Journal for die reine und angewandte Mathematik). Каждый номер журнала состоял из четырёх тетрадей, в некоторые годы выходило два номера. Благодаря такой периодичности авторы могли обсуждать общие темы, возникал диалог и атмосфера сотрудничества. За годы обучения Вейерштрасса в гимназии (до 1834 года) вышло 12 номеров журнала, в которых были опубликованы 30 статей Н. Абеля и его переписка с А. Лежандром; 34 статьи К. Якоби; 13 статей X. Гудермана, будущего учителя Вейерштрасса. В основном они были посвящены теории эллиптических функций, что на всю жизнь определило научный интерес Вейерштрасса: как впоследствии признавался

Карл Вейерштрасс

он сам, он был сильно увлечён эллиптическими функциями и процессом творения в работах Абеля, Якоби и Гудермана.

Помимо этих авторов, журнал Крелле в те годы опубликовал статьи К. Гаусса, П. Лежена-Дирихле, Ж. Лиувилля, А. Лежандра, Э. Куммера, Й. Раабе, что послужило формированию немецкой национальной математической школы.

Университет Бонна. Материальное положение семьи было очень скромным, Карлу даже приходилось подрабатывать, помогая вести бухгалтерию торговке маслом и ветчиной. Он окончил школу в 19 лет с определением primus omnium — первый из всех. Отец возлагал на сына большие надежды, избрав для него карьеру чиновника, и Карл отправился в университет Бонна учиться камеральным, то есть правовым, административным и экономическим наукам, необходимым для государственной службы, хотя склонности к административной деятельности он не имел. Пребывание в университете Бонна захватило Карла только студенческими пирушками, дуэлями и прочими проказами. Карл был искусным фехтовальщиком и всю жизнь гордился, что ни разу не был ранен на дуэли. В студенческой корпорации (землячестве) Саксония он получил особый чин Fuchsmajor (старший новичок). Он прослушал курс геометрии Ю. Плюккера и тепло вспоминал предшествующего ему преподавателя, профессора К. Д. фон Мюнхова (1778-1836), математика, астронома и физика. Иоганн Гёте, друг фон Мюнхова, писал: «В прошлом году г. проф. фон Мюнхов не только преподавал нашим дорогим княжнам1 математику в Йене, но также подготовлял их здесь к урокам профессора Вейнхардта, наблюдал и помогал, наезжая время от времени; к тому же он влиял на нравственность, умонастроение и поведение, привлекал и удерживал внимание, не говоря о прочих его заслугах перед дорогими воспитанницами» [1, с. 841]. Фон Мюнхов, помимо знания математики и педагогического таланта, обладал высокими человеческими качествами, добротой и искусством общения, его тепло вспоминал Вейерштрасс.

Карл проучился в университете всего 3 семестра, но остался в Бонне ещё на 2 года. Фон Мюнхов ободрял Вейерштрасса в его намерениях заниматься математикой. Как писал сам Вейерштрасс 29 февраля 1840 г., «заветное желание ближе ознакомиться с этими моими любимыми предметами влекло меня всегда к ним, и чем больше я ими занимался, тем ревностнее становилось моё стремление пытаться посвятить мои силы их изучению, причём мне выпало счастье увидеть в покойном профессоре фон Мюнхове в Бонне благожелательного советчика и руководителя. Всё более растущее убеждение в том, что выбор моей будущей профессии был ошибкой, так как я чувствовал, что у меня нет склонности и способностей стать дельным камералистом или юристом, наконец, привело меня к решению посвятить себя целиком изучению того, что совпадает с моими склонностями и от чего я питаю надежду ожидать успеха» [2, с. 27-28]. Вейерштрасс самостоятельно изучал «Небесную механику» Лапласа и работу Якоби «Новые основания эллиптических функций», в которой ставится проблема обращения абелевых интегралов и их

1 Веймарским княжнам Марии и Августе, внучкам Павла I.

систем. У Карла были конспекты лекций Гудермана по теории модулярных функций, данные ему одним из студентов. Эти конспекты помогли Карлу в изучении названных выше работ [2, с. 24].

Эллиптические интегралы возникли в задачах геометрии и механики ещё на заре дифференциального исчисления, у Исаака Ньютона и Готфрида Лейбница. Их пытались свести к более простым. Леонард Эйлер нашёл, что они, подобно дугам и логарифмам, выдерживают сложение и умножение. Их исследовали Жозеф Луи Лагранж, Андриен Мари Лежандр, Абель и Якоби. Вейерштрасс поставил себе задачу продолжить эти исследования. Много лет спустя он писал: «Когда я в студенческие времена узнал о письме Абеля к Лежандру, опубликованном в журнале Крелле, это имело для меня величайшее значение. Первой математической задачей, которую я поставил перед собой, был непосредственный вывод формы представления функции, обозначенной Абелем А(ж), из дифференциального уравнения, определяющего эту функцию; и удачное решение этой задачи определило моё намерение целиком посвятить себя математике; это случилось во время моего седьмого (зимнего 1837/38) семестра» [3].

Речь идёт о письме, где Абель пишет о функции у = А(ж), такой, что

и которая может быть представлена как частное двух всюду сходящихся бесконечных рядов, называемых сейчас тета-рядами:

В письме Абеля не было доказательства, и

Вейерштрасс выполнил его самостоятельно. Вейерштрасс вычислил коэффициенты рядов и применил этот же метод к другим эллиптическим функциям.

Противоречия между желанием заниматься математикой и требованиями отца привели к глубокому внутреннему конфликту. За 4 года Вейерштрасс не сдал ни одного экзамена и вернулся домой. Он похудел и ужасно выглядел. Его брат Петер рассказывал Магнусу Гёста Миттаг-Леффлеру: «Как плохо выглядел Карл, когда вернулся домой! Какая глубокая боль была видеть моего старшего брата в таком состоянии! Четыре года и никакого экзамена!» [3].

Мюнстер. В октябре 1838 года Вейерштрасс по совету одного из друзей семьи отправился в Мюнстерскую академию, где была надежда быстро пройти курс и получить статус школьного учителя. В академии преподавал Христоф Гудерман — второй после Якоби лектор в Германии, читавший эллиптические функции. Вейерштрасс прослушал только его курсы: аналитической геометрии, исчисление бесконечно малых, о модулярных функциях и об аналитической сферике, причём два последних курса Гудерман читал только ему одному. Это продолжалось один семестр, и уже осенью 1839 года Вейерштрасс по специальному разрешению из Берлина начал готовиться к государственным экзаменам. Весной 1840 года Вейерштрасс получил три задания: написать философскую работу на латинском языке, математическую работу, состоящую из решения предложенных задач, и педагогическое сочинение. Гудерманом были поставлены три математические задачи. Первая, основная, «О развитии модулярных функций», соответствовала жела-

нию Вейерштрасса и имела примечание, что она вообще трудна для молодого аналитика и поставлена с согласия комиссии только по настоятельному его ходатайству. Вторая задача была из элементарной геометрии, третья из теоретической механики. В этой работе Вейерштрасс, опираясь на некоторые результаты Абеля и Якоби, получил свойства функций Абеля, различные их разложения и представления Якоби.

Вот отзыв Гудермана о решениях задач его учеником: «1°. В этой работе автор не только оправдал ожидания комиссии, но, исходя из системы до сих пор неизвестных дифференциальных уравнений, которые не замедлят возбудить в высокой степени интерес аналитиков и которые он выводит прямым путём, последовательно и частично одно за другим, он пролагает новый путь в теории модулярных функций и на нём, как это и можно было бы ожидать, приходит не только к известным представлениям этих величин, но также к совершенно новым результатам. Тем самым кандидат входит достойным образом в ряд увенчанных славой исследователей2.

Если подумать, что он при слушании в Мюнстере первой лекции по модулярным функциям с ними почти не был знаком, то ещё большее изумление вызывают его исключительные успехи в этой сравнительно новой области анализа. Это объясняется не только направленным к науке трудолюбием кандидата, но и в особенности наличием исключительного таланта, который, если не будет распылён, без сомнения в будущем будет успешно содействовать науке. 2°. Вполне удовлетворительно. 3°. Также и эта работа удовлетворительна.

При таких исключительных успехах кандидата для выяснения объёма и основательности его математических познаний не требуется больше никакого устного испытания, если он покажет, что в состоянии дать урок по элементам математики по хорошо продуманной методике. Однако для него самого и для науки совершенно нежелательно, чтобы он стал учителем гимназии, но нужно, чтобы ему были созданы условия для того, чтобы он мог действовать в качестве академического доцента. Гудерман» [2, с. 29].

Позднее (в письме Шварцу в 1888 г.) Вейерштрасс писал, что если бы ему стал известен отзыв Гудермана, он смог бы почувствовать ценность своей работы и своего творчества и активнее боролся бы за место в высшей школе. Его работа вполне могла бы стать докторской диссертацией, но в те годы Академия Мюнстера не имела доктората [4]. Эта работа была опубликована лишь 54 года спустя в собрании сочинений Вейерштрасса.

Остальные его экзаменационные работы были оценены вполне удовлетворительно, на пробных уроках он показал достаточный для преподавания в младших классах уровень латыни, греческого и немецкого, но полностью провалил уроки по естественным наукам (экспериментальной физике, химии, минералогии, ботанике и зоологии). Такой кандидат не мог стать школьным учителем. По этому поводу возникла переписка с министерством. В результате ему было разрешено преподавать математику и математическую физику в старших классах, а латынь, греческий и немецкий — только в младших

2 Эта фраза не вошла в окончательную редакцию отзыва.

классах. Недостаточность других знаний была записана в дипломе. В течение года (1841-42) он стажировался (рефендариат) в гимназии Paulinum в Мюнстере.

В Мюнстере он написал ещё три работы по теории функций комплексной переменной. В одной из них аналитические функции одной переменной определяются с помощью алгебраических дифференциальных уравнений. Теорема существования в том же 1842 году была доказана Коши, но Вейерштрасс тогда этого не знал. Его работа содержит также и другие результаты, которых нет у Коши. В этой работе содержится понятие равномерной сходимости и аналитического продолжения. Именно Вейерштрасс ввёл определение аналитической функции как равномерно и безусловно сходящегося ряда3 (Лагранж вообще не писал о сходимости, а Огюстен Луи Коши и Абель писали только о безусловной сходимости). Вейерштрасс не формулирует понятие равномерной сходимости, для него оно просто вытекает из леммы Абеля. Вейерштрасс впервые говорит об аналитическом продолжении функций, причём указывает возможность существования таких особенных точек, при приближении к которым радиус сходимости уменьшается до нуля. В третьей работе Вейерштрасс получает разложение функции в сходящийся ряд по отрицательным и положительным степеням за два года до Пьера Альфонса Лорана (1813-1854). Работа Лорана не была опубликована, она была послана им на конкурс Парижской академии с опозданием и известна только по пересказу Коши 1843 года [6], где Коши напоминает свою теорему из «Конспекта лекций по дифференциальному исчислению» 1823 года: «Пусть х обозначает действительную или мнимую переменную; действительная или мнимая функция от X может быть разложена в сходящийся ряд по возрастающим степеням этой переменной, если модуль переменной сохраняет значение, не превышающее наименьшей из величин, для которых функция или её производная перестаёт быть конечной или непрерывной». Далее Коши говорит, что Лоран обобщил эту его теорему так: «Пусть х обозначает действительную или мнимую переменную; действительная или мнимая функция х может быть представлена в виде суммы двух сходящихся рядов, одного по целым возрастающим степеням ж, и другого, по целым нисходящим степеням ж; пока модуль X принимает в интервале значения, для которых функция либо её производная остаётся конечной и непрерывной». В этой статье Коши придаёт теореме Лорана статус незначительного следствия из своей теоремы, хотя использовал это разложение в дальнейшем. Согласно [9, с. 349], Вейерштрасс в дальнейшем обходился без этого разложения.

Эти три работы Вейерштрасса тоже впервые опубликованы только в его собрании сочинений.

Дейч-Крона. В 1842 году Вейерштрасс получил назначение ассистентом учителя в прогимназию (младшую гимназию) в маленький город Дейч-Крона (теперь Валч, Польша). Нагрузка достигала 30 часов в неделю. Он должен

3 Первые представления о равномерной сходимости возникли независимо в 1847 году в работах Дж. Стокса и Ф. Зайделя. Правда, у них речь шла о сколь угодно медленной сходимости, само понятие сформировалось к 1870-м годам в работах Гейне (1869) и других математиков [5].

был преподавать математику, физику, немецкий, ботанику, историю, географию, гимнастику и чистописание. Именно на уроках чистописания появилось начертание буквы р — функции Вейерштрасса — в виде р. Уроки гимнастики были новшеством, и учителя сами проходили обучение. Вейерштрасс для этого ездил в 1844 году в Берлин, где познакомился с геометром Я. Штейнером и с А. Л. Крелле (1780-1855), математиком, архитектором, основателем и редактором «Журнала чистой и прикладной математики» (1826). Август Крелле был самоучкой, его заслугой было то, что, создав журнал, он объединил немецких математиков. Он угадывал талантливых авторов и публиковал их. Именно он распознал талант Абеля и привлёк его в качестве сотрудника в свой журнал, напечатал в своём журнале большинство работ Абеля и заботился о его судьбе. Но неуверенность Вейерштрасса в ценности своих работ помешала ему показать их Крелле.

Условия жизни в Дейч-Кроне были тягостными, — в городе не было библиотеки, маленькое жалование (348 талеров в год) не позволяло даже купить марки для отправки рукописей в журналы. Вейерштрасс опубликовал две своих первых работы в ежегодном сборнике-отчёте прогимназии Дейч-Кроне: «Замечания об аналитических факультетах (факториалах)» и «Приведение некоторого определённого трёхкратного интеграла». Первая из них связана с исследованиями Крелле, в работе которого имелись противоречия, он позже предложил Вейерштрассу проанализировать их в другой статье, которая была напечатана в 1856 г. в журнале Крелле.

В годовом отчёте 1844/45 прогимназии Дейч-Крона была опубликована ещё одна статья Вейерштрасса, «О сократовом методе учения и его применимости в школьном обучении», которая представляет собой его выпускную работу в Мюнстере. Метод Сократа назывался «маевтикой» — родовспоможением. Задавая наводящие вопросы, учитель подводил ученика к самостоятельному умозаключению. Этому методу противопоставляется другой греческий метод — акроама, приятное чтение вслух, который чаще используется для лекций в большой аудитории. Сократ начинал свои занятия с одним учеником и доводил его до определённой высоты состояния духа. Вейерштрасс пишет «Общий метод для школы Сократ не мог установить. Но было бы прекрасно, если бы его дух, из которого проистекало его влияние, всюду составлял душу воспитания и образования — его высокое стремление к истине, красоте и добру и любовь его чистого права» [2, с. 50]. Вейерштрасс в своих лекциях предпочитал метод майевтики — вовлечение слушателей в научный поиск, требовал мыслительных усилий, порицал французский метод чтения лекций как завершённого текста. Этот метод принёс свои плоды позже, в Берлине, а напечатанные работы остались незамеченными, так как этот сборник не попадал в поле зрения специалистов.

В 1875 году Вейерштрасс вспоминал годы преподавания в гимназии как 14 лет ссылки в страну велатов и оботритов (славянские племена, жившие на территории Померании и Мекленбурга) [4, с. 11]. Долгое время он совсем не имел научных контактов.

В период пребывания в Дейч-Кроне произошёл эпизод с неудачной помолвкой, где Вейерштрасс играл роль обманутого жениха, о чём впослед-

ствии рассказал Герман Амандус Шварц [10, с. 167]. Вейерштрасс долго болел и медленно поправлялся, всё больше времени уделяя научной работе.

В 1843 году гимназию в Дейч-Кроне проверял старший инспектор, который в своём отчёте высоко отозвался о Вейерштрассе. Благодаря этому Вейерштрассу немного повысили жалование (до 400 талеров в год), он был представлен к повышению в должности с переводом в католическую гимназию Браунсберга (Бранёво, Польша). Но прошло ещё 5 лет, пока это назначение состоялось.

Браунсберг. С осени 1848 года Вейерштрасс начал работать в католической гимназии Браунсберг (Бранево) в восточной Пруссии недалеко от Кенигсберга, сейчас территория Польши. Условия там были гораздо лучше — была библиотека, директор поощрял научную работу. Вейерштрасс много работал над научными статьями, преимущественно ночами. Однажды утром он не пришёл на урок, и пришедший за ним директор застал его сидящим при свете лампы и погружённым в работу. В 1850 году Вейерштрасс сильно заболел и два года не мог заниматься научными исследованиями. Его мучили сильные головные боли и головокружения, сопровождавшие его на протяжении 12 последующих лет.

В Браунсберге Вейерштрасс написал «Вклад в теорию абелевых интегралов» о проблеме обращения для гиперэллиптического случая, опубликовано в годовом отчёте гимназии Браунсберга в 1848/49 года. Работа содержала исследование по явному представлению абелевых интегралов посредством тета-рядов нескольких переменных. Но и этот сборник был не замечен.

Когда в 1851 году умер Гудерман, кандидатура Вейерштрасса рассматривалась в качестве его замены. Но Плюккер, мнение которого было решающим, сказал: «Вейерштрасс неизвестен мне даже по имени» [4]. Правда, Вейерштрасс не узнал об этой утраченной возможности. Но будучи на летних каникулах дома, в Вестфалии, он смог прочитать отзыв Гудермана на свою выпускную работу со словами «Тем самым кандидат входит достойным образом в ряд увенчанных славой исследователей». Это вдохновило его на создание работы «К теории абелевых функций», которая была написана в 1853 году. В этой работе Вейерштрасс решает основную задачу, поставленную Якоби, об обращении абелевых интегралов первого рода. Он послал эту работу в журнал Крелле, где она была напечатана в 47 томе (1854).

Благодаря этой работе к Вейерштрассу пришло признание. Эта статья привлекла внимание математиков, получила высокую оценку Дирихле и повлияла на судьбу Вейерштрасса. Карл Борхард (1817-1880), доцент Берлинского университета и ученик Якоби, специально приехал в Браунсберг, чтобы познакомиться с Вейерштрассом. Это стало началом их долгой дружбы. Затем Браунсберг посетила делегация из Кенигсберга во главе с Ф. Ришело (1808-1875), учеником Якоби, чтобы вручить Вейерштрассу диплом доктора наук honoris causa. При вручении диплома Ришело сказал: «Все мы нашли в г-не Вейерштрассе своего учителя». Эти слова Вейерштрасс вспоминал как самые дорогие в день своего 80-летия, заметив: «Всё в этой жизни приходит, но слишком поздно» [2, с. 60]. Благодаря этому диплому Вейерштрасса назначили старшим преподавателем в школе Браунсберга.

Давид Гильберт в статье, посвященной памяти Вейерштрасса, писал: «Решение якобиевой проблемы обращения, которую Вейерштрасс в этих работах дал впервые, и которая для любых абелевых интегралов сначала была дана Риманом, а потом другим путём проведена в лекциях самим Вейерштрассом, представляется мне одним из величайших достижений анализа» [11, с. 62].

Август Крелле состоял в министерстве просвещения консультантом по математическим вопросам, и в 1854 году в письме в министерство написал о только что появившейся работе Вейерштрасса и о желательности предоставления ему подходящего места. Во втором письме 1855 г., уже незадолго до своей смерти, Крелле написал министру о необходимости поддержать выдающийся талант Вейерштрасса. Если Вейерштрассу не предоставить достойное место, «этот уже не совсем молодой и вследствие двойной нагрузки — учителя и исследователя — уже склонный к болезням человек рано погибнет, как это случилось с Абелем и Эйзенштейном. Но это была бы новая прискорбная потеря для математики. Ведь если имеется много выдающихся учителей, то редко появляются настоящие учёные, являющиеся учителями самой науки, т. е. учителями учителей» [12, с. 45]. Статья Вейерштрасса сразу же была переведена на французский и опубликована в 1854 году в 19-м номере журнала Лиувилля.

1 февраля 1855 года сам Вейерштрасс обратился к министру с письмом, приложив к нему оттиски своих статей и сообщив об их одобрении: «Но чем дороже для меня это одобрение и чем больше оно побуждает меня приняться с удвоенным усердием за завершение начатых мною больших работ, тем болезненнее чувствую я, что шаткое состояние моего здоровья угрожает сделать это почти невозможным, если я останусь в моём теперешнем положении» [12, с. 45]. После ещё нескольких писем 29 сентября 1855 г. ему предоставили годовой отпуск.

Берлин. Смерть Гаусса в 1855 году повлекла много перемещений в университетах Германии. Дирихле покинул Берлин, чтобы занять место Гаусса в Геттингене, Куммер покинул Бреслау, чтобы занять место Дирихле в Берлине. Вейерштрасс надеялся получить место в Бреслау, но Куммер отговорил его, так как там пришлось бы читать только канонические курсы. Дирихле 19 мая 1855 года написал письмо министру просвещения, прося за Вейерштрасса. Австрия предложила Вейерштрассу персональную профессуру в любом своём университете с жалованием 2000 гульденов. Вейерштрасс колебался. Куммер написал об этом Александру фон Гумбольду, и через три дня Вейерштрассу предложили место профессора в Промышленном институте Берлина с жалованием 1500 талеров в год (тогда талер равнялся 1,5 австрийских гульдена, к тому же в Австрии гульден быстро обесценивался). Вейерштрасс занял это место в июле 1856 года. Вскоре Вейерштрасс стал читать лекции и в Берлинском университете, сначала как экстраординарный профессор (по хлопотам Куммера), и был избран в Королевскую академию наук Берлина. Избрание в Академию давало профессору право выбирать и читать лекционные курсы по собственной программе. Вейерштрасс поселился в Берлине с двумя сестрами, Кларой и Элизой, через два года к нему переехал овдовевший отец и прожил у него до своей смерти в 1869 г.

Вейерштрассу был 41 год. Он читал 12 часов в неделю в Промышленном институте и две лекции университете, занимался научной работой, кроме того, были обязанности в Академии и рецензирование в журнале Крелле. Переутомление сказалось 16 декабря 1861 года — во время лекции в университете Вейерштрасс упал в обморок. Он на год прекратил читать лекции в Промышленном институте, хотя числился в нём до 1864 года. Со 2 июля 1864 года он стал ординарным профессором университета вместо ушедшего в отставку Мартина Ома (1792-1872). Вейерштрасс читал лекции в течение 33 лет, до 1889 года, после чего начал заниматься подготовкой к изданию своих сочинений.

Сам он характеризовал эпоху 1864-1883 гг. как время общих усилий Куммера, Кронекера и своих, как стремление дать молодёжи в университете за два года «сформировать общую базу с очень большим веером самых важных математических дисциплин». Это было «блестящее созвездие трёх» [13, с. 123], Берлин стал центром, привлекавшим молодёжь всех стран к изучению новых разделов математики. Профессор прежде всего играл роль исследователя, а потом уже учителя.

Как сказал в 1869 году Г. Ганкель, после смерти Коши в 1857 году «княжество математики теперь бесспорно переместилось в Германию, и, хотя во Франции ещё есть энергичные ветераны, такие как Шаль и Лиувилль, но у них нет достаточного количества достойных последователей, способных конкурировать с немцами» [14, с. 29]. Именно создание национальной школы с сильными лидерами и многочисленными последователями и произошло в эпоху Вейерштрасса.

В течение 20 лет его совместная работа с Куммером, Кронекером и Борхардтом представляла собой дружелюбный союз (лига взаимного восхищения, как их называли), но с 1880-х годов отношения с обидчивым и тщеславным Кронекером стали портиться, на что Вейерштрасс жаловался в 1885 году в письме к С. Ковалевской: «чего мне не хватает всё больше и больше — дружественного сотрудничества с коллегами, основанного на согласии в принципах и искреннем взаимном признании. В нашем университете это в течение ряда лет нарушено, причины мне не вполне ясны. Одно лишь могу с уверенностью сказать, не я тому причиной.

Мой друг Кронекер, с которым у нас прежде было единодушие по важнейшим вопросам, а также и Фукс противодействуют мне: один сознательно и намеренно, другой — отчасти покоряясь авторитету первого, а отчасти недостаточно представляя себе значимость вопроса, о котором идёт речь. Нередко бывает так, что я на лекции доказываю какое-нибудь положение, которое на другой лекции признаётся неправильным и не выдерживающим критики» [15, с. 255].

Арифметический подход. Разработка теории функций в XIX веке была начата Гауссом, который владел всем кругом проблем, проработал их на полвека вперёд, но хранил всё в тайне, почти ничего публикуя и ни с кем не делясь. В 1798 году Гаусс написал работу по эллиптическим функциям, и положил её в стол, никому о ней не сообщая. Когда в 1827 году Гаусс прочитал работы Абеля и Якоби, он был поражён совпадением не только идей,

но манеры изложения и даже обозначений. Об этом свидетельствуют два письма Гаусса своим ученикам. Первое написано Г. X. Шумахеру: «Результаты Якоби представляют часть моей собственной большой работы, которую я собираюсь когда-нибудь издать. Она будет представлять исчерпывающий труд на эту тему, если только небесам будет угодно продлить мою жизнь и даровать мне силы и душевный покой». Второе письмо Ф. В. Бесселю: «Господин Абель предвосхитил многие мои мысли и примерно на треть облегчил мою задачу, изложив результаты с большой строгостью и изяществом. Абель шёл тем же путём, что и я в 1798 г., поэтому нет ничего невероятного в том, что мы получили столь похожие результаты. К моему удивлению, это сходство распространяется даже на форму, а местами и на обозначения, поэтому многие его формулы кажутся списанными с моих. Но чтобы никто не понял меня неправильно, я должен добавить, что не помню ни одного случая, когда я говорил об этих исследованиях с кем-нибудь из посторонних» [16, с. 345-346].

К середине XIX века Коши разработал основные положения и структуру математического анализа: теорию пределов, представление о непрерывности, сходимости4, обогатил теорию функций комплексной переменной интегральной теоремой и теорией вычетов. На аналитическую функцию он налагал только условие дифференцируемости. Произвольная функция могла быть представлена интегралом. В работах Коши наметилось два подхода к развитию теории функций: геометрический Римана и арифметический Вейерштрасса. Подход Римана позволял наглядно представить свойства эллиптических функций, конформные преобразования. Подход Вейерштрасса был аналитичен, логически обоснован и позволял подняться на более высокие уровни абстракции, невозможные для геометрических представлений. Его разработка понятия числа, функции, непрерывности, точной верхней грани создавала базу для дальнейшего развития теории. «Функция для него -степенной ряд, «элемент функции», ограниченный кругом сходимости. Вне этого круга существует процедура аналитического продолжения. Всё, таким образом, базируется на теории рядов, основанной на арифметической базе. Это может быть распространено на функции нескольких переменных. Метод Римана есть прежде всего метод открытий, метод Вейерштрасса прежде всего есть метод доказательства» [17].

Вейерштрасс в своих лекциях, судя по конспектам, выводит большинство результатов из тождества Абеля [18, v. II, с. 54], как пишет М. А. Тихомандрицкий: «Отсюда он получает формы нормальных интегралов второго и третьего рода, соотношения, аналогичные лежандровскому в теории эллиптических функций между периодами интегралов первого и второго рода, прим-функции и выражение через них интегралов всех трёх родов, а также алгебраические функции, зависящие от той же иррациональности; отсюда, как простое следствие, теорему Абеля. Частный случай последней приводит к решению задачи Якоби, а именно, он выражает через новые переменные -значения сумм с интегралов первого рода, — суммы интегралов второго и

4 Коши во многом гениально изложил и обобщил идеи Б. Больцано [7].

третьего рода, и рассматривает частные производные по ним сумм интегралов второго рода; оказывается, что эти последние суть частные производные некоторой вспомогательной функции, через которую всё может быть выражено. Если эту функцию взять показателем степени числа е, то получается однозначная, конечная и непрерывная функция новых переменных, обладающая свойствами, аналогичными свойствам якобиевой О-функции. Вейерштрасс в заключение выводит её разложение в ряд. Таким образом, теория Абелевых трансцендентных сводится к теории О-функций многих переменных самым натуральным, а не искусственным образом, как у других исследователей» [19, с. 45].

Его лекции, его концепция аналитической функции вызывали огромный интерес во всём мире и послужили началом целого ряда исследований. Количество опубликованных работ по общей теории функций резко возросло под влиянием лекций Вейерштрасса (хотя количество публикаций по абелевым функциям выросло незначительно).

Лекции. Основные результаты исследований Вейерштрасса содержались в его лекционных курсах, которые он не публиковал. Как писал Г. Э. Гейне: «Принципы г-на Вейерштрасса изложены непосредственно в его лекциях и косвенных устных сообщениях, в рукописных копиях его лекций, и имеют весьма широкое распространение, но они не опубликованы в авторской редакции под контролем автора, что мешает целостному восприятию» [20, с. 26]. Вейерштрасс считал, что передача научных знаний возможна только при непосредственном контакте с учениками, причём по материалам собственных исследований лектора, когда ученик посвящается в процесс поиска и обучается методам исследования. Этот «индивидуальный» метод создал сильную школу, учение Вейерштрасса распространилось по всей Европе.

Письмо Миттаг-Леффлера. 19 февраля 1875 года Г. Миттаг-Леффлер, один из самых любимых и талантливых учеников Вейерштрасса, писал на родину шведскому профессору Хольмгрену: «Моим пребыванием в Берлине в научном отношении я очень доволен. Нигде не нашёл я так многого для изучения, как здесь. Вейерштрасс и Кронекер имеют необычайное для Германии свойство избегать, насколько возможно, печатных публикаций. Вейерштрасс почти ничего не печатает, а Кронекер печатает только результаты без доказательств.

В лекциях они излагают результаты своих исследований. Едва ли может математика наших дней показать что-нибудь, что может сравниться с теорией функций Вейерштрасса или с алгеброй Кронекера.

Вейерштрасс излагает теорию функций в двух- или трёхгодичном цикле лекций и строит на простейших и самых ясных понятиях полную теорию эллиптических функций и её приложения к абелевым функциям, вариационному исчислению и т.д. Его систему характеризует преимущественно то, что она полностью аналитична. Геометрию он применяет редко и, если это случается, только для иллюстрации. Это кажется мне несомненным преимуществом перед школой Римана, так же, как и Клебша.

В действительности, хорошо известно, что, исходя из теории римановых поверхностей, можно совершенно строго построить теорию функций, и что

геометрическая система Римана достаточна, чтобы выяснить до сего времени неизвестные свойства абелевых функций, но, с другой стороны, она недостаточна, чтобы выяснить свойства трансцендент5 высшего порядка, — в противном случае элементы теории функций были бы введены также таким путём, который им полностью чужд <...>.

Другое свойство Вейерштрасса — он избегает всех общих определений и всех доказательств, которые относятся к функциям вообще. Для него функция есть степенной ряд, и из степенного ряда он выводит всё. Это, однако, кажется мне в высшей степени трудным путём, и я не убеждён, что, вообще говоря, нельзя к этому прийти так, как Коши и Лиувилль, из общих и вполне строгих определений.

Как Вейерштрасс, так и Кронекер отличаются полнейшей ясностью и строгостью доказательств. В то же время они унаследовали от Гаусса страх перед всяким видом математики при установлении основных математических понятий, и это даёт их выводам простоту и естественность, которые раньше едва ли вводились так систематически с такой высокой степенью строгости <...>.

С совершенно формальной точки зрения, по крайней мере, способ чтения Вейерштрасса ниже всякой критики и даже самый незначительный французский математик был бы сочтён с такой лекцией полностью неспособным как преподаватель. Однако если кому-нибудь удаётся после большой и тяжёлой работы привести лекцию Вейерштрасса к такому виду, в каком он её задумал, тогда всё становится ясным, простым и систематичным. Вероятно, этот удивительный недостаток формального таланта объясняет, что очень немногие из его многочисленных учеников понимают его полностью, и что литература в развиваемом им направлении всё ещё так незначительна. Однако это не препятствует тому, что он пользуется почти идолопоклонническим почитанием» [21, с. 213-214].

Постепенно его лекции сформировались в цикл из четырёх семестров: два семестра «Введение в теорию аналитических функций», «Абелевы функции», «Вариационное исчисление и приложений эллиптических функций», который он читал до зимнего семестра 1889/90 года, его последним курсом было вариационное исчисление. Многолетняя работа над лекциями отражена в конспектах его учеников, позже вошедших в собрание сочинений Вейерштрасса. Это лекции 1868 г., записанные В. Киллингом, 1878 г. - А. Гурвицем и другие. Лекции по вариационному исчислению стали известны благодаря конспектам Г. Кобба (1892/93 г.) и диссертации Цермело (1894 г.). Ученики Вейерштрасса публиковали и своё изложение его лекций: Е. Коссак, «Элементы арифметики» (1872) [22], по материалам лекций 1865/66)6; В. Дантшер, «Лекции по вейерштрассовой теории иррациональных чисел [23]; С. Пинкерле, «Опыт введения в теорию аналитических функций по принципам Вейерштрасса» (по записям лекций 1878г.) [24]; О.Бирман, «Теория аналитических функций».

К. Каратеодори, внесший большой вклад в теорию вариационного исчисления, написал в «Немецкой литературной газете» в 1928 г.: «На протяжении

5 Класс функций, невыразимых через известные.

6 В 1885 году переведено на русский язык И. Красовским и издано в Киеве [8].

поколения математики всех стран, занимающиеся вариационным исчислением, сожалели, что основополагающие открытия, которые сделал Вейерштрасс в вариационном исчислении, нельзя было найти ни в какой подлинной его публикации. Возможно, что это единственный случай с начала книгопечатания, когда идеи большого мастера, который революционизировал целую науку, только через подземные каналы доходят до сведения общества» [2, с. 140-141]. Лекции Вейерштрасса по вариационному исчислению содержали теорию как абсолютных, так и относительных максимумов и минимумов функций одной и нескольких переменных.

В курсе 1861 года уже содержится понятие непрерывности на языке £-6 -решающий шаг в анализе; понятие окрестности, строгое определение бесконечно малой, определение производной в форме f(x+h) — f(x) = f'(x)h+h(h), где (h) = o(h). Но тогда у Вейерштрасса ещё не было теории иррациональных чисел. Есть только набросок: «Но существуют также величины, которые не выражаются через единицу и части единицы, к ним применяют форму бесконечных рядов» [25, с. 177]. Первые несколько лекций обычно были посвящены понятию числа и четырём операциям над числами.

Теория иррациональных чисел, использующая предельную точку, появилась у Вейерштрасса после 1872 года, когда понятие предельной точки как точки аккумуляции появилось у Ганкеля (1870) и было разработано Кантором как точки, в окрестности которой находится бесконечно много точек данного множества.

Предельная точка уже есть у Вейерштрасса в записи лекций 1874 года (конспект G.Hettner, р. 163-170). После того, как Кантор ввёл понятие открытого и замкнутого множества, в курсе Вейерштрасса 1874 года появляется 6-окрестность точки в Rn. Это привело к созданию Вейерштрассом своей концепции континуума [9, с. 396]. Там же Вейерштрасс вводит в теорию иррациональных чисел понятие точной верхней грани. Изложение теории обогащалось из года в год, что видно по конспектам лекций последующих лет [10].

С 1874 года Вейерштрасс разрабатывает понятие верхней грани множества [10, с. 77], введённое Больцано в 1817 году. Вейерштрасс при этом пользовался методами вариационного исчисления [26].

Кантор создавал теорию множеств с 1872 по 1884 год. В его понимании континуум был связным совершенным множеством. Связность Кантор понимал так: множество Г по определению связно, если для t и из Г для любого £ > 0 в Г существует конечное число точек £ь #2,..., £п, таких, что все расстояния tt\, t\t2, £2^3? • • • ? tn-itm tntf не превосходят £. Подмножество в Rn определено по Кантору как континуум, если оно совершенно и связно.

Вейерштрасс нуждался в понятиях связности и континуума для приложений в области аналитических функций. В своих лекциях он рассматривал континуум как вполне связное совершенное множество. Понятие связности у Вейерштрасса иное, мотивированное задачами аналитического продолжения. Множества, рассматриваемые Вейерштрассом — это, как правило, счётные множества точек, исключённых из области определения функции (особые точки функции), или их дополнения. Если граница области представляет собой такое счётное множество, это препятствует аналитическому продолже-

нию из внутренней части круга во внешнюю, так как аналитическое продолжение у Вейерштрасса производится с помощью конечной цепочки открытых дисков, каждый из которых имеет общую точку с предыдущим. Вейерштрасс определял связность так: если в окрестности точки а содержится точка Ь, в окрестности точки Ъ содержится точка с и так далее, то любая точка s, по которой мы можем перейти из а в с, называется связной или смежной с точкой а [27, с. 71]. Это условие связности более сильное, чем у Кантора, где требуется только соединение для любого £ конечной последовательности точек, каждая из которых удалена на расстояние £ от следующей. Посредством таких последовательностей можно проникнуть из внутренней области круга во внешнюю.

В 1883 году Миттаг-Леффлер писал Кантору по поводу обоих концепций: «Я вполне согласен с вашим определением континуума, но хотел бы, однако, сослаться на то, что Вейерштрасс называет континуумом «вполне связное точечное множество». Из моей работы будет следовать достаточность того, что такое вполне связное точечное множество имеет своё необходимое место в теории аналитических функций, и не может быть заменено на ваш континуум» [28, с. 114]. Миттаг-Леффлер проанализировал разницу в концепциях Кантора и Вейерштрасса в 1883 году в письмах к своему ученику Э. Фрагмену, который продолжил исследование этой темы7.

Вейерштрасс строго определил понятие непрерывности функции в окрестности точки жо на созданном им языке £-6 [7]. Им сформулированы свойства таких функций, а также свойства функций, непрерывных на отрезке: 1) Функция, непрерывная на отрезке [а, Ь], ограничена на нём. 2) Функция, непрерывная на отрезке, принимает на нём наибольшее и наименьшее значения8. 3) Теорема о приближении функции: для любой действительной непрерывной на отрезке [а, Ъ] функции f(x) существует последовательность многочленов Ро(х), Р\{х),..., Рп(х),..., равномерно сходящихся на [а, Ъ] к /(ж). Конструктивное доказательство этой теоремы дал С. Н. Бернштейн в 1912 г.

Задолго до Фреше и Хаусдорфа в лекциях Вейерштрасса формируется понятие связности, аксиоматика метрического и топологического пространства [29]. Но эти понятия для него вспомогательные, они нужны для развития идеи аналитического продолжения и для вариационного исчисления, поэтому они отличаются от таковых же, создаваемых Кантором. Развитие этих идей повлекло создание теории метрических пространств М. Фреше и Ф. Хаусдорфом и теории функционалов в работах В. Вольтерра и Дж. Асколи [30].

Вводный курс Вейерштрасса содержал концепцию числа и функции на основе степенного ряда, понятия непрерывности и дифференцируемости, аналитического продолжения, аналитической функции нескольких переменных, в частности, подготовительную теорему Вейерштрасса о факторизации, и контурные интегралы.

Вейерштрасс вместе с Куммером вёл научный семинар для подготовленных студентов. В 1872 году этот семинар был посвящён геометрии Лобачев-

7 Phragmen, Е. A new theorem in the theory of point sets. (En ny sats inom teorien fnr punktmnngder.) (Swedish) Stockh., Ufv. XLI. No. 1.121-124 (1884).

8 Впервые эту теорему сформулировал Коши, а полное доказательство дал Гейне.

ского, где Вейерштрасс ввёл свои неевклидовы координаты. Его аудитория собирала слушателей не только со всей Германии, но и со всей Европы, благодаря чему его идеи проникли в другие страны. В 1873/74 году он был избран ректором университета.

Вейерштрасс как лектор. Особенность преподавания Вейерштрасса заключалась в том, что он в своём целостном курсе сначала давал основания. Он рекомендовал новоприбывшим слушать свой цикл с начала. Манера его чтения не была выразительной, его дикция не была безупречной, он путал листы конспекта, смущался, мог воспользоваться зонтиком вместо губки; он импровизировал, ошибался, передоказывал свои теоремы, иногда закрывал глаза и задумывался. Но он излагал только свои результаты со своими доказательствами, так как, будучи академиком, имел право читать лекции по своей программе и со своими результатами. Вейерштрасс излагал теорию эллиптических функций на своих лекциях двояким образом: один раз он исходил из интегралов — это тот курс, который, по-видимому, слушал Миттаг-Леффлер; другой раз — и этот курс был повторяем — он принимал за исходную точку теорему сложения.

По словам Шварца, он показывал математику как поле неоткрытых проблем.

Но вот Феликс Клейн отказался посещать его лекции, о чём потом сожалел. Клейн говорил, что Вейерштрасс «пользовался абсолютным и непререкаемым авторитетом, все его теории принимались его слушателями как непреложные нормы мышления. Его интеллектуальное превосходство скорее подавляло его слушателей, чем толкало их на путь самостоятельного творчества» [31, с. 327].

Как правило, на первых лекциях Вейерштрасса присутствовало много студентов, от 100 до 250 человек9, а к концу цикла оставалось всего 5-7 человек, но это были уже глубоко продвинутые в математике студенты, способные к самостоятельным исследованиям. Более 100 бывших студентов Вейерштрасса стали университетскими профессорами.

Речь Вейерштрасса. Метод Вейерштрасса выражен им в речи, сказанной в 1873 году, когда он принимал обязанности ректора: «Успех академического преподавания основывается на том, что учитель непрестанно направляет учащегося к самостоятельным изысканиям. Это достигается тем, что учитель при изложении предмета самим расположением материала и выставлением руководящих идей показывает учащемуся тот путь, следуя которому зрелый и владеющий уже всеми исследованиями мыслитель доходит в правильной постепенности до новых результатов или до лучшего обоснования уже известных.

Учитель не упускает при этом случая указать на те границы, которые наука в то время ещё не переступила, а также упомянуть те пункты, исходя из которых возможно в ближайшем будущем ожидать дальнейшего развития науки. Он не отказывает также ученику в посвящении в ход своих собственных исследований, не скрывая при этом даже и сделанных промахов и испы-

9 На лекциях Римана максимально было 13 человек.

танных разочарований. Правда, таким образом получаются не столь красочные, изящные и для умственно косных слушателей более понятные лекции (подобные, например, тем, которые излагаются большинством французских профессоров по вполне обработанным согласно установленной программе литографированным запискам, иногда даже поручаемым их ассистентам для прочтения).

В старинных мало читаемых сборниках научных учреждений, а также в обширной научной переписке учёных прежних времён заключается громадное количество научного материала, из которого всякий, кто сумеет, может вычитать многое побуждающее к собственной работе, попутно может и научиться многому полезному» [32, с. 1327].

В 1989 году вышло издание конспекта лекций Вейерштрасса, прочитанных в весеннем семестре 1886 года «Избранные главы по теории функций» [27]. Вейерштрасс читал 3 раза в неделю, приблизительно по 60 минут, с начала мая до конца июля10. Студенты записывали его лекции дословно, благодаря чему мы можем услышать прямую речь Вейерштрасса. На русском языке опубликован перевод нескольких лекций [26].

Издание трудов. В конце 1885 года Вейерштрасс, отметив своё 70-летие, попросил годовой отпуск и провёл весь 1886 год с сестрами в Швейцарии. По возвращении он занялся изданием своих работ. С 1894 по 1927 год вышло семь томов. Первые три содержат опубликованные и неопубликованные работы Вейерштрасса. В четвёртом томе содержатся лекции по теории абелевых функций, в основном по записям лекций, сделанным Хеттнером и Кноблаухом (1875/76). Пятый том содержит лекции по теории эллиптических функций, шестой — лекции по применению эллиптических функций. Седьмой том вышел в 1927 году с лекциями по вариационному исчислению. В 1988 году вышли «Избранные вопросы комплексного анализа», содержащие лекции Вейерштрасса 1886 года. В 1975 году были опубликованы найденные Пьером Дюгаком в институте Миттаг-Леффлера в Швеции самые ранние записи лекций Вейерштрасса, читаных им в 1861 году в Промышленном институте и записанные 18-летним Г. Шварцем [10]. На русский язык А. П. Юшкевичем переведён небольшой фрагмент этих лекций [33, с. 188-192]. Если добавить перевод речи Вейерштрасса, сделанный Крыловым в 1918 году [32], и [26], мы получим все тексты Вейерштрасса на русском языке. Пересказ некоторых работ Вейерштрасса есть в книге [2].

Ученики. В 1871 году Германия воссоединилась в единое государство, что вызвало национальный подъём, стимулировавший научные исследования в математике, а затем в физике. Ведущую роль играли университеты Берлина и Геттингена. Огромен вклад не только в немецкую, но и мировую науку многочисленных учеников Вейерштрасса, не только тех, кто защищался под его руководством, но и непосредственно слушавших его лекции, либо признававших его опосредованное влияние.

10 Раньше в течение года были два учебных семестра — зимний, продолжавшийся с первой половины октября приблизительно до февраля (в конце декабря были рождественские каникулы длительностью до двух недель), и летний, продолжавшийся с начала мая до конца июля.

Первым учеником Вейерштрасса был Лео Кенигсбергер (в 1860 получил учёную степень), он продолжил исследования учителя по эллиптическим функциям и дифференциальным уравнениям. Понимая относительность этой классификации, назовём последователей и учеников Вейерштрасса, работавших в русле основных направлений его исследований, в хронологическом порядке: Л. Фукс, А. Н. Коркин, Н. В. Бугаев, К. Й. Томе, Г. А. Шварц, М. А. Тихомандрицкий, Э. Коссак, В.П.Ермаков, Г. М. Миттаг- Леффлер, Е.И.Золотарёв, Ф. Г. Фробениус, Л. Гегенбауэр, Ф.Клейн, С.Ковалевская, Ф. Шоттки, A. В. Васильев, К. Рунге, О. Больца, П. М. Покровский, А. Гурвиц, О. Гельдер, М. Лерх, А. Кнезер.

В других направлениях, в том числе и создав свои собственные, работали П. Бахман, Н.В.Бугаев, Э. Лампе, Ф. Мертенс, С. Ли, Я. Люрот, Г. Кантор, B. Киллинг, Ф.Клейн, Ф. Г. Фробениус, Л. Гегенбауэр, А. Шёнфлис, А.В.Васильев, Д. Ф. Селиванов, К. Рунге, А. Гурвиц, Э. Гуссерль, О. Гельдер, А. Кнезер, Г. Минковский.

Влияние Вейерштрасса распространяется и на учеников Эрмита: Г. Дарбу, А.Пуанкаре, Э. Пикара, Э. Гурса.

В Италии его идеям следовали Ф. Бриоши, Ф. Казорати, С. Пинкерле, У. Дини [34] и Дж. Пеано [35].

Софья Ковалевская. Софья Ковалевская (1850-1891) стала любимой ученицей Вейерштрасса. Приехав к нему в 1870 году, она уговорила его давать ей частные уроки, так как не была допущена к слушанию лекций в университете. Вейерштрасс, убедившись в её уме и подготовленности (она прослушала курс лекций по эллиптическим функциям у Кенигсбергера в Геттингене, а также решила несколько предложенных Вейерштрассом задач), начал с лекций по гиперэллиптическим функциям. Дважды в неделю она приезжала к нему, один раз в неделю он приезжал к ней. В 1872 году он преподавал ей вариационное исчисление. Её благодарное внимание побуждало его к новым математическим размышлениям. Он называл свою ученицу единственным настоящим другом, а себя считал её духовным отцом. С 1884 года она преподавала в университете Стокгольма. К 1886 году относятся её успехи в исследовании вращения твёрдого тела вокруг неподвижной точки, за что в 1888 году она получила премию Парижской академии наук. На зимних каникулах 1890/91 года Ковалевская была в Берлине. Вернувшись в Стокгольм, она простудилась, заболела и умерла 10 февраля 1891 года. Ей был 41 год. Вейерштрасс был так потрясён смертью своей любимой ученицы, что близкие опасались за его жизнь. Он послал на похороны венок белых лилий с надписью на ленте «Соне от Вейерштрасса». Письма Ковалевской он сжёг, но сохранились и опубликованы его письма к ней [15, 36].

Шарль Эрмит. Эрмит был лидером математиков Франции и считал себя учеником Вейерштрасса, о чём он писал 27 января 1882 г. Ковалевской: «Наш общий учитель — это г-н Вейерштрасс, и наши лекции в Сорбонне и Политехнической школе имеют главным образом целью изложить слушателям его труды и его великие открытия. К тому же и Вы, милостивая государыня, являетесь звеном симпатии между мной и великим геометром» [37, с. 654]. Ковалевская познакомилась с Эрмитом по совету Вейерштрасса

в начале 1882 года, Вейерштрасс же советовал Ковалевской познакомиться с учениками Эрмита П. Аппелем, Э. Пикаром и А. Пуанкаре.

Магнус Гёста Миттаг-Леффлер. Швед Миттаг-Леффлер был одним из самых ярких учеников Вейерштрасса (1846-1927). После окончания университета в Упсале в 1873-76 гг. он поехал совершенствоваться в математике за границей. В Париже он получил от Эрмита совет ехать к Вейерштрассу, слушателем которого и стал в 1874/75. Миттаг-Леффлер называл Вейерштрасса «своим великим учителем и отеческим другом» [28, с. 52].

Вейерштрасс писал Ковалевской 15 августа 1878 года: «Миттаг-Леффлер был для меня очень приятным учеником; наряду с основательными знаниями он обладает удивительными способностями к усвоению предмета и умом, направленным к идеалу: я уверен, что общение с ним оказало бы на Тебя стимулирующее действие» [15, с. 218]. Там же Вейерштрасс говорит о положении Миттаг-Леффлера в Гельсингфорсском университете: «Там идут дальше, чем где бы то ни было, в создании национально-финской математики, и так как за время пребывания там Леффлера в местных газетах в каждом семестре появляются передовые против математики Вейерштрасса, Леффлер допускает неосторожность, упоминая моё имя в своих лекциях и статьях чаще, чем это необходимо» [15, с. 218]. Теорема Миттаг-Леффлера (1876) возникла как обобщение проблемы, поставленной и решённой Вейерштрассом. Своё название она получила в статье Вейерштрасса и была озвучена Эрмитом, когда он читал лекцию в Сорбонне [28, с. 51]. В письме от 16 декабря 1874 года Вейерштрасс писал Ковалевской, что в связи со своими лекциями размышляет об одной нерешённой проблеме: «Если произвольно берётся бесконечный ряд чисел ai, а2,..., оо, то спрашивается, всегда ли будет существовать такая целая трансцендентная функция одного переменного ж, что при х = ai,a2,... она исчезает, а при любом другом значении нет? <... > Для утвердительного ответа на этот вопрос оказывается необходимым условие, чтобы, как только п превысит определённый предел, ап по своей абсолютной величине было больше произвольно заданной величины» [28, с. 51].

Вейерштрасс доказал и достаточность условия, представив искомую функцию в виде

где мп — целое положительное, в частности

Это первичные множители. Их открытие Пуанкаре считал главным вкладом Вейерштрасса в теорию функций. Статья Вейерштрасса «К теории однозначных аналитических функций» с этим и другими результатами была опубликована в 1876 году.

Высказанные в статье теоремы Вейерштрасс излагал ещё летом, читая лекции по введению в теорию аналитических функций. Среди слушателей был Миттаг-Леффлер и эти лекции побудили его поставить аналогичную проблему в случае, когда для функции рационального характера вместо нулей заданы «константы точек бесконечности» (главные части). В 1876 году он опубликовал два сообщения, содержащих так называемую теорему Миттаг-Леффлера о разложении мероморфной функции: «Для любой последователь-

ности чисел ßn (n = 1,2,...), принадлежащей комплексной плоскости, не имеющей в ней предельных точек, существует мероморфная функция G с полюсами в точках ßn и только в этих точках, главные части которой в точках ßn совпадают с заранее заданными многочленами от \j[z — ßn). При этом функция G может быть представлена в виде, вообще говоря, бесконечной суммы мероморфных функций, каждая из которых имеет полюс только в одной точке».

Итоги. Заслугой Вейерштрасса является создание строго обоснованных математического анализа, теории эллиптических и абелевых функций, вариационного исчисления. В этом русле им развита теория целых и мероморфных функций, дано каноническое представление целой функции, имеющей конечное или бесконечное количество нулей. В его системе эллиптических функций вместо трёх функций Якоби всего одна р(и), самая простая. Вейерштрасс определил существенные особенности алгебраических кривых, которые не изменяются при бирациональных преобразованиях и которые теперь называют «точками Вейерштрасса». Вейерштрасс разработал не только теорию гиперэллиптических интегралов, но исследовал общие абелевы интегралы, зависящие от иррациональности.

В 1876 г. в статье «Теория однозначных аналитических функций» [38] Вейерштрасс доказал теорему: если f(z) имеет характер целой рациональной функции в окрестности каждой конечной точки, то она может быть представлена в виде отношения двух целых функций. Там же введены первичные множители и сформулирована теорема: вблизи существенно особой точки с функция f(x) может к любому заданному числу приблизиться сколь угодно близко; при х = с она не имеет определённого значения. (У нас она называется теоремой Сохоцкого-Вейерштрасса, так как на восемь лет раньше эта теорема была получена независимо друг от друга Ф. Казорати и Ю. В. Сохоцким [39].)

Вейерштрасс показал возможность построить однозначную функцию по данным её нулям и однозначную функцию с данным числом особых точек.

Исследования Вейерштрасса распространились на случай функций многих переменных. Приведём подготовительную теорему Вейерштрасса, сформулированную в 1886 году в «Очерках учения о функциях»: пусть F{x, a?i, а?2, • • • ? хп) — аналитическая функция в окрестности начала; предположим, что F(0, 0,..., 0) = 0, Fo(x, 0,..., 0) / Ои пусть р такое целое число, что Fo(x) = xpG(x)1 G(0) ф 0. Тогда существует «избранный» полином Дж, xi,..., хп) = хр + a\xv~x + ... + ар, коэффициенты которого аналитические функции aj(xi,..., хп) в окрестности начала, и функция xi,... хп), аналитическая и не равная нулю в окрестности начала, такие, что F = / • g в окрестности начала. Из подготовительной теоремы следует, что при и > 1, в отличие от случая одного комплексного переменного, во всякой окрестности любого нуля аналитической функции находится бесконечное множество её нулей. Эту теорему Вейерштрасс включал в лекции с 1860 года, она была представлена в литографированном издании 1879 года.

Теория абелевых функций не была полностью завершена Вейерштрассом. Понятие абелевых функций, то есть 2р-периодических мероморфных функ-

ций р переменных, было введено Вейерштрассом на основе теоремы обращения Якоби. В 1869 году Вейерштрассом сформулирована фундаментальная теорема о том, что между р + 1 абелевыми функциями с одинаковыми периодами имеет место алгебраическая связь, однако к доказательству он не пришёл [40]. В последующие десятилетия он возвращался к этой теореме, но без успеха, так как представление мероморфных функций усложнялось с повышением размерности. Теперь эта задача решена [21, с. 123].

18 июля 1872 года Вейерштрасс указал примеры непрерывных функций действительного переменного, которые ни для какого значения этого переменного не имеют определённой производной. (Функция Вейерштрасса: w(x) = Yl bn cos(an7rx), где a — произвольное нечётное число, не равное единице, а Ъ — положительное число, меньшее единицы. Была построена как контрпример к гипотезе Ампера.)

В 1880 в работе «Zur Functionentheorie» он показал, что можно построить такой сходящийся ряд, который в разных областях будет представлять различные функции. Ряды и привели его к непрерывным функциям, нигде не имеющим производную.

Принцип Дирихле был так назван в 1851 г. в докторской работе Римана, студента Дирихле. Дирихле использовал принцип существования минимума в своих лекциях неявно и не доказывал его. Вейерштрасс показал, что в некоторых ситуациях принцип неверен. Как показал Вейерштрасс, предположение о том, что среди допустимых функций должна существовать та, на которой интеграл должен принимать своё наименьшее значение, не является обоснованным с математической точки зрения. Риман, исходя из распространения электричества в проводнике, считал, что задача, которая «разумна физически», будет «разумна математически». Вейерштрасс в 1869 г. построил известный контрпример. Его идея была продолжена Чезаре Арцела в 1889 году.

В 1882 году Ф. Линдеман доказал, что число еа трансцендентно для любого ненулевого алгебраического а, а в 1885 году Вейерштрасс доказал более общее утверждение, носящее сейчас имя теоремы Линдемана-Вейерштрасса.

Традиции школы Вейерштрасса были плодотворны. Математический анализ в изложении Вейерштрасса приобрел канонический характер и распространился по Европе благодаря его ученикам и последователям.

Последние три года жизни Вейерштрасс провёл в инвалидном кресле; иногда слуга вывозил его в парк. Окружённый почитанием, он умер в Берлине 19 февраля 1897 года.

ЛИТЕРАТУРА

1. Габричевский А. Автографы Гёте в СССР / Литературное наследство т. 4-6. 1932. С.817-854.

2. Кочина П. Я. Карл Вейерштрасс: 1815-1897. — М.: Наука, 1985. 272 с.

3. Biermann K.-R. Weierstrass, Karl Theodor Wilhelm. Complete Dictionary of Scientific Biography. 2008. 700 p. http://www.encyclopedia.com/doc/lG2-2830904588.html

4. Elstrodt J. Karl Weierstrass (1815-1897). Lecture on the occasion of the unveiling of the memorial tablet in honor of the famous mathematicians Karl Weierstrass and Wilhelm

Killing in Braniewo, July 24, 2008. c. 11. Электронный ресурс: http://www.docstoc. com/docs/153909916/kw#top

5. Медведев Ф. А. К истории понятия равномерной сходимости рядов // Историко-математические исследования. - М.: Наука. 1974. XIX. С. 75-93.

6. Cauchy A. Rapport sur un mémoire de M. Laurent qui a pour titre: Extension du théorème de M. Cauchy relatif à la convergence du développement d'une fonction suivant les puissances ascendantes de la variable x (30 Octobre 1843) // Oeuvres complètes, 1st ser., VIII. - Paris, 1893. P. 115-117.

7. Синкевич Г. И. К истории эпсилонтики // Математика в высшем образовании. 2012. № 10. С. 149-166.

8. Коссакъ Э. Основы ариѳметики. Историческій очеркъ введенія въ ариѳметику различнаго рода чиселъ (дробныхъ, несоизмѣримыхъ, отрицательныхъ и мнимыхъ) и современно-научная на этотъ предметъ точка зрѣнія / Пер. съ нѣмецк. И. Н. Красовскаго. — Кіевъ. (Унив. тип.). 1885. 47с.

9. Bottazzini U., Gray С, Hidden Harmony — Geometric Fantasies: The Rise of Complex Function Theory. Springer. 2013. 848 p.

10. Dugac P. Éléments d'analyse de Karl Weierstrass / Archive for History Exact Sciences. 1973. V. 10. P. 41-176.

11. Hilbert D. Zum Gedächtnis an Karl Weierstrass / Gotting. Nachr. Geschäft. Mitt. 1897. S.60-69.

12. Biermann K.-R. Die Berufung von Weierstrass nach Berlin / Festschrift zur Gedächtnisfeier für Karl Weierstrass. — Köln; Opladen: Westd. Verl. 1966. S. 41-52.

13. Biermann K.-R. Die Mathematik und ihre Dozenten an der Berliner Universität, 1810-1920 / Univ. Bibl., 1968. 265 s.

14. Hankel H. Die Entwicklung der Mathematik in den letzten Jahrhunderte / H.Hankel // Ein Vortrag beim eintritt in den akademischen senat der Universität Tübingen ein 29 April 1869. 36 S.

15. [Вейерштрасс К.] Письма Карла Вейерштрасса к Софье Ковалевской. 1871-1891 / Под. ред. П. Я. Кочиной. — М.: Наука, 1973. 312 с.

16. Гиндикин С. Рассказы о физиках и математиках. — МЦНМО, НМУ. 2001. http: //pskgu.ru/ebooks/gindikinpdf/g09.pdf

17. Пуанкаре А. Математическое творчество Вейерштрасса // В кн. Кочина П. Я. Карл Вейерштрасс: 1815-1897. — М.: Наука, 1985. 272 с. с. 246-258.

18. Abel N. Sur une propriété remarquable d'une classe très étendue de fonctions transcedentales // Abel N. Oeuvres complétés, 1881, v. II. p. 54.

19. Тихомандрицкий М. А. Карл Вейерштрасс. Речь, произнесённая на заседании математического общества 28 февраля 1897 года / Сообщения Харьковского математического общества. — Харьков 1899. Вторая серия, т. VI. С. 35-56.

20. Гейне Э. Г. Лекции по теории функций. Перевод и примечания Г. И. Синкевич // Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ: межвузовский тематический сборник трудов. Выпуск 18. Под редакцией д-ра физ.-мат. наук, проф. Б. Г. Вагера / СПбГАСУ. - СПб. 2012. С. 26-46.

21. Festschrift zur Gedächtnisfeier für Karl Weierstrass, 1815-1965 / Hrsg. Von H. Behnke, K. Kopfermann. — Köln; Opladen: Westdt. Verl. 1966. 612 s.

22. Kossak E. Die Elemente der Arithmetik. — Berlin, Gedruckt in der Nauckschen Buchdruckerei. 1872. 29 s.

23. Dantscher V. Vorlesungen über die Weierstraß'sehe Theorie der irrazionalen Zahlen. — Leipzig: Teubner, 1908.

24. Pincherle S. Saggio di una introduzione alla teoria delli funzioni analitiche secondo i prineipi del prof. С. Weierstrass compilato dal Dott. S. Pincherle // Giornale di Mathematiche di Battaglini. 1880. № 18.

25. Дюгак П. Понятие предела и иррациональные числа. Концепции Шарля Мере и Карла Вейерштрасса // Историко-математические исследования. — Москва: Наука. 1973. XVIII. с. 176-180.

26. Синкевич Г. И. Формирование топологических понятий в лекциях Вейерштрасса 1886 года / Г. И. Синкевич // Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ: межвузовский тематический сборник трудов. Выпуск 19. Под редакцией д-ра физ.-мат. наук, проф. Б. Г. Вагера / СПбГАСУ. — СПб. 2013. С. 4-23.

27. Weierstrass К. Ausgewählte Kapitel aus der Funktionenlehre. Vorlesung gehalten in Berlin 1886 mit der Akademischen Antrittsrede, Berlin 1857 und drei weiteren Originalarbeiten von K. Weierstrass aus den Jahren 1870 bis 1880/86. Teubner-Archiv für mathematic. Band 9, 272 s. Reprint 1989.

28. Turner L. The Role of Goesta Mittag-Leffler. 2011. 291 p. http://css.au.dk/fileadmin/ www.ivs.au.dk/css.au.dk/Turner_PhD_Thesis_2012.pdf

29. Sinkevich G. Concepts of a Numbers of C.Méray, E.Heine, G. Cantor, R. Dedekind and K. Weierstrass / G. Sinkevich // Technical Transactions. Krakyw. 2014. 1-NP. p. 211-223.

30. Kotsier T., van Miln J. By their fruits ye shall know them: some remarks on the interaction of general topology with other areas of Mathematics.

https://staff.fnwi.uva.nl/j.vanmill/papers/papers1999/teun.pdf

31. Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии. М.-Л.: ОНТИ, 1937. 4.1. 432 с.

32. [Вейерштрасс К.] Речь Вейерштрасса, произнесённая при вступлении в должность ректора Берлинского университета 15 октября 1873 года. Перевод А. Н. Крылова // УФН 1999. Т. 169. № 12. С. 1325-1328. (Впервые опубликована УФН 1918 г. 1(2) 85.)

33. Хрестоматия по истории математики / Под ред. А. П. Юшкевича. — М.: Просвещение. 1977. 224 с. С. 188-192.

34. Синкевич Г. И. Улисс Дини и понятие непрерывности // История науки и техники. 2012. № 10. С. 3-11.

35. Borgato M. Т. Continuity and discontinuity in Italian Mathematics after the unification: from Brioschi to Peano / Organon 41: 2009. P. 219-231.

36. Кочина П.Я. Софья Васильевна Ковалевская (1850-1891). — M.: Наука. 1981. 312 c.

37. Эрмит Ш. Письма к С. В. Ковалевской / Публ. П. Я. Полубариновой-Кочиной // Труды Института ИИЕТ. 1957. Т. 19. С. 654.

38. Weierstrass К. Zur Theorie der eindeutigen analytischen Functionen / Aus den Abhandlungen der Königl. Akademie der Wissenschaften vom Jahre 1876. Berlin, 1876. S. 11-60.

39. Ермолаева Н. С. Аналитические исследования Ю. В. Сохоцкого // Историко-математические исследования. Вып. 34. М.: Наука, 1993. С. 60-103.

40. Weierstrass К. Uber die allgemeinsten Eindeutigen und 2n-fach periodischen Functionen von n Veränderlichen / Monatsber. Akad. Wiss. Berlin. 1869. S. 853-857.

Поступила 06.07.2015

KARL WEIERSTRASS'S 200 ANNIVERSARY

G. I. Sinkevich

Karl Weierstrass bicentenary, scientific biography, major works, the significance of his teachings for mathematics.

Keywords: Karl Weierstrass, scientific biography.

ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ. ПЕРСОНАЛИИ

УДК 929.52

ОСНОВАТЕЛЬ КАЗАНСКОЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ШКОЛЫ ПЕТР АЛЕКСЕЕВИЧ ШИРОКОВ (к 120-летию со дня рождения)

О. А. Широкова

Казанский (Приволжский) федеральный университет, Институт математики и механики им. Н. И. Лобачевского Россия, 420008, г. Казань, ул. Кремлевская, 35; e-mail: oshirokova@mail.ru

О научном и педагогическом наследии выдающегося ученого-геометра, профессора Казанского университета, основателя Казанской геометрической школы Петра Алексеевича Широкова.

Ключевые слова: П.А.Широков, Н.И.Лобачевский, Казанская геометрическая школа.

«Идеи Николая Ивановича Лобачевского дали развитию геометрии, да и всей математики в целом, мощный импульс, который в начале XX столетия привёл благодаря и другим открытиям аналогичного масштаба к радикальной перестройке всего здания математики» [1]. Однако в России до конца XIX века имя Николая Ивановича Лобачевского оставалось в забвении, а значение его открытия для развития мировой науки было мало кому известно. Несомненно, этому способствовала и та резко негативная позиция, которую заняла в отношении работ Лобачевского Российская Академия наук. Лишь «после десятков лет забвения в России его величайшего открытия неевклидовой геометрии буквально за несколько лет в конце XIX в. она получила широкое признание» [2]. Ключевую роль в этом признании сыграла деятельность организованного в 1890 году Физико-математического общества при Казанском университете (КФМО), которое одной из главных своих целей поставило популяризацию идей Лобачевского, издание его трудов и увековечение его памяти.

Главным организатором и вдохновителем этой деятельности стал Председатель КФМО профессор Александр Васильевич Васильев (1853-1929) -талантливый педагог, ученый широчайшего кругозора и энциклопедических знаний1. Он не был геометром по специальности, но при его участии в 1883 г. появился первый том Полного собрания сочинений по геометрии, а в 1886 г. - том, содержавший работы по геометрии, написанные Лобачевским на иностранных языках2. А.В.Васильев организовал в 1893г. празднование 100-летия со дня рождения Н.И.Лобачевского3 [5], в 1896г. - открытие в Казани памятника Лобачевскому. В 1897 году был издан первый выпуск сборника

1 О жизни и деятельности А. В. Васильева см., например, [3, 4].

2 Вопрос об издании сочинений Н. И. Лобачевского был поставлен в Совете университета деканом М.А. Ковальским ещё в 1867 году.

3 Верная дата рождения Н. И. Лобачевского — 20 ноября (по ст. стилю) 1892 года — в то время не была известна.

«In memoriam N. I. Lobatschevskii» [6], и с этого же года Казанским университетом на базе собранного денежного фонда начали проводиться Международные конкурсы на премию имени Лобачевского4. А. В. Васильевым была проведена огромная работа по изучению жизни Лобачевского, написана его первая обстоятельная научная биография [7]5.

Приведём характеристику из [8] деятельности других казанских учёных по распространению идей Лобачевского: «Большой вклад в дело развития и популяризации научных идей Лобачевского внесли профессора Казанского университета Федор Матвеевич Суворов (1845—1911) (см. [9]6), Александр Петрович Котельников (1865-1944) (см. [10]), Дмитрий Матвеевич Синцов (1867-1946), Дмитрий Николаевич Зейлигер (1864-1936), Николай Николаевич Парфентьев (1877-1943). Это были яркие личности, активные члены правления КФМО, принимавшие деятельное участие в организации международных конкурсов, писавшие отзывы о поступивших работах, имевшие собственные научные достижения и воспитавшие большое количество учеников. Так, Ф. М. Суворову принадлежат первые в России исследования по теории дифференциальных инвариантов римановых пространств. А. П. Котельников известен геометрам своими работами по теории винтов евклидова и неевклидовых пространств и геометрическому истолкованию принципа относительности. Д. Н. Зейлигер, выступавший оппонентом на защитах обеих диссертаций А. П. Котельникова, использовал принцип перенесения (получивший впоследствии название принципа перенесения Котельникова - Штуди) в линейчатой геометрии и кинематике [11]. Д. М. Синцов, написавший в Казани работы по теории коннексов, после переезда в Харьков создал оригинальное научное направление в области неголономной геометрии [12]. Н. Н. Парфентьевым написаны интересные статьи о проблеме пространства и натурфилософии Лобачевского (см., например, [13]). При его активнейшем участии были проведены седьмое и восьмое присуждение международной премии Н. И. Лобачевского в 1927 и 1937гг., изданы книги [14-16].

В 1895 г., опубликовав на страницах журнала «Известия КФМО» свои работы по теории поверхностей постоянной отрицательной кривизны, вступил в тесный контакт с казанскими геометрами В. Ф. Каган (1869-1953), впоследствии глава московской геометрической школы [17]. По инициативе Кагана и под его главным редакторством было предпринято издание Полного собрания сочинений Лобачевского, в работе над которым приняли деятельней-

4 Лауреаты Международной премии имени Н. И. Лобачевского, присуждавшейся Казанским университетом: 1897г. — Ли Софус (1842-1899) (Норвегия); 1900 г. — Киллинг Вильгельм (1847-1923) (Германия) (по жребию с А. Уайтхедом); 1904 г. — Гильберт Давид (1862-1943) (Германия); 1906 г. — Леви Беппо (1875-1961) (Италия) (Почетный отзыв); 1909 г. -Шлезингер Людвиг (1864-1933) (Германия); 1912г. — Шур Фридрих (1856-1932) (Германия); 1927г. — Вейль Герман (1885-1955) (Германия); 1937г. — Картан Эли (1869-1951) (Франция) и Вагнер Виктор Владимирович (1908-1981) (СССР).

5 Уже отпечатанный тираж этой книги пролежал несколько лет на складе Госиздата и затем был уничтожен. Книга восстановлена по чудом сохранившемуся оттиску верстки казанскими профессорами А.П.Широковым и В. А. Бажановым и опубликована в 1992 году к 200-летию со дня рождения Н. И. Лобачевского.

6 Здесь и ниже в этой цитате некоторые ссылки добавлены автором статьи.

шее участие многие ученые Казанского университета. В 1946 г. вышел первый том этого собрания [18]. В последующих томах [19-22] отражена большая работа по переводу и комментированию трудов Лобачевского, выполненная казанскими учеными А. П. Норденом, Б. Л. Лаптевым, Н. Г. Чеботаревым, А. Н. Хованским, Г. Г. Тумашевым, А. Д. Дубяго.

Своего рода завершением Полного собрания сочинений явился том [23], в подготовке которого большую роль сыграли Б. Л. Лаптев и московский математик И.Н. Бронштейн. В подготовке тома приняли также участие А. П. Норден и М. Т. Нужин, подробный анализ преподавания механики произвёл для этого тома В. В. Морозов. Однако указанный том не подводит итог работе над наследием Лобачевского. О задачах в этой области хорошо сказано в докладе И.Н.Бронштейна [24].»

Несмотря на интересные геометрические работы рубежа XIX-XX веков, отмеченные в этой цитате, фактическое формирование Казанской геометрической школы произошло позднее. Должен был появиться талантливый и энергичный молодой ученый, который, основываясь на богатом творческом наследии Лобачевского, сумел бы объединить вокруг этих идей своих единомышленников и вместе с ними двигать вперед геометрическую науку. И такой ученый в Казанском университете появился — им стал Пётр Алексеевич Широков: «П. А. Широкову принадлежит заслуга в организации широких геометрических исследований в Казанском университете. Его оригинальные результаты по теории симметрических пространств составляют сегодня одну из замечательных глав современной геометрии. В частности, Петр Алексеевич нашел все типы конформно евклидовых симметрических пространств, детально изучил проективно евклидовы симметрические пространства и симметрические пространства первого класса. Приступив к изучению А-пространств, которые известны теперь как пространства Широкова-Келера (см. [25, 26]), он положил начало исследованиям по теории пространств над алгебрами, которая вот уже долее полувека является одной из ведущих тем для казанских геометров... С именем Петра Алексеевича связано возникновение Казанской геометрической школы, воспитавшей целый ряд блестящих ученых-геометров. Первые из них — ученики П. А. Широкова: Б. Л. Лаптев, И. П. Егоров, А. 3. Петров, П. И. Петров, В. Г. Копп, А. П. Заборская и другие. Петр Алексеевич первым возглавил и кафедру геометрии КГУ, открывшуюся в 1937 г. Вместе с Н. Г. Чеботаревым и Н. Г. Четаевым он принял активное участие в организации Научно-исследовательского института математики и механики при КГУ, в котором возглавил сектор геометрии. <... > Благодаря его трудам в Казанском университете возродилась школа геометров, преемственно связанная с исследованиями Н. И. Лобачевского» [27].

С биографическими данными и анализом творчества П. А. Широкова можно познакомиться в [27-31]. В данной статье также использованы воспоминания сына П. А. Широкова, Александра Петровича Широкова, и сына Н. Г. Чеботарёва, Григория Николаевича Чеботарёва, воспоминания студентов и аспирантов тех лет. Некоторые из этих воспоминаний собраны в дипломной работе Е. Филипповой, выполненной под руководством Г. Н. Чеботарёва в 1991 году.

В дальнейшем ввиду того, что будут часто повторяться имена Петра Алексеевича Широкова и Николая Григорьевича Чеботарёва, мы будем использовать сокращения: ПА и НГ соответственно.

Краткие биографические сведения

Петр Алексеевич Широков родился 9 февраля 1895 года в семье преподавателя естественных наук Казанского реального училища Алексея Саввиновича Широкова. Начальное образование ПА получил дома и в 1907 году был принят сразу во второй класс Казанской Третьей гимназии.

В годы ранней юности его особенно привлекало изучение жизни природы. Он собрал прекрасную коллекцию бабочек и обладал глубокими знаниями в энтомологии. Однако с 13 лет он начинает интенсивно заниматься математикой и сфера его интересов перемещается. Начальным толчком для этого послужил упрёк учителя математики, давшего безнадежную оценку математическим познаниям и способностям гимназиста Широкова.

Ещё в старших классах гимназии он самостоятельно изучил энциклопедию элементарной математики Вебера и Велльштейна, некоторые работы Клейна, Пуанкаре, Гильберта, связанные с неевклидовой геометрией, а также геометрические работы Лобачевского. Математику в старших классах этой гимназии преподавал Н. Н. Парфентьев, бывший в то время доцентом университета.

В 1914 г. после окончания гимназии с золотой медалью ПА поступил на физико-математический факультет Казанского университета. В 1917 г. он представил на факультет сочинение «Интерпретация и метрика квадратичных геометрий», которое было отмечено золотой медалью и рекомендовано к печати (опубликовано посмертно в 1966 г.). Профессор Парфентьев в отзыве об этой работе пишет: «Сочинение представляет собой выдающийся учёный труд и по новизне результатов, добытых автором, и по оригинальному, совершенно самостоятельному освещению до него неизвестных научных фактов... Для создания своих собственных исследований автору пришлось изучить в корне такие ветви математики, как неевклидова геометрия по сочинениям Лобачевского, Klein'a, Killing'a, Bianchi, Foincare, Riemann'a, Beltrami, Schur'a, Hilbert'а и других — это с одной стороны, — но мы видим в авторе продолжателя работ Лобачевского, с другой стороны, — тот аналитический метод, коим искусный автор иллюстрировал и пояснил свои синтетическо-геометрические положения и теории, базировался исключительно на методе теории групп бесконечно малых преобразований, — и это обстоятельство заставило автора углубиться в изучение творений Софуса Ли, а впоследствии, по счастливой интуиции, и знаменитой работы профессора А. П. Котельникова «Проектив-

Петр Алексеевич Широков

ная теория векторов». Но самым примечательным является, конечно, не то, что у автора солидная научная эрудиция по изученному вопросу, а то, что автор от изученных им творений обратился к самостоятельным исследованиям и достиг ценных научных результатов... Чтение работы автора требует всегда геометрических представлений и воображения, как работы истого геометра, но автор является и искусным аналистом: его вычисления всюду просты, лаконичны и не сложны; ... Бесспорно, ... автор заслуживает высшей награды — я ходатайствую перед физико-математическим факультетом о присуждении ему золотой медали... »

В августе 1920 года после двухлетнего пребывания в армии ПА был освобожден от военной службы «для прикомандирования к Казанскому университету», где он и становится профессорским стипендиатом (это соответствует современной аспирантуре). Он специализируется под руководством Парфентьева в области неевклидовой геометрии, теории групп, векторного и тензорного исчисления. К началу 1922 года им было написано 13 самостоятельных работ.

17 ноября 1923 года ПА назначается доцентом на кафедру математики после блестяще сданных магистерских экзаменов. Но его педагогическая деятельность началась несколько раньше: возвратившись в Казань осенью 1920 года, ПА преподавал на рабфаке университета и политехнического института. На факультете он сначала руководил практикой по анализу и механике, а затем стал читать собственные курсы: проективную геометрию, теорию римановых пространств.

В 1930 году ПА присваивают звание профессора и в связи с отъездом Д. Н. Зейлигера и переходом Н. Н. Парфентьева на другую работу ему поручают (как бы на общественных началах) заведование кафедрой математики (приказ от 26 ноября 1933 года). После разделения кафедры математики в 1934 году ПА заведует кафедрой геометрии. И еще большее внимание он уделяет руководству работой своих учеников — студентов, аспирантов, ассистентов.

Приезд в Казань блестящего математика Н. Г Чеботарева является во многом заслугой ПА. «Петр Алексеевич знал Чеботарева как автора интереснейших работ, посылаемых с 1924 г. в «Известия Казанского физико-математического общества». Совместно с Н. Н. Парфентьевым он организовал приглашение Николая Григорьевича в Казань. После приезда Н. Г. Чеботарева деловые отношения между ним и П. А. Широковым, являвшимся секретарем редакции журнала общества, переходят в непрекращавшееся личное дружеское общение, сыгравшее значительную роль в решении Н. Г. Чеботарева окончательно избрать Казань местом своей работы», — вспоминает Б.Л.Лаптев в [28].

Н. Г. Чеботарев, П. А. Широков, Н. Н. Парфентьев и Н. Г. Четаев ведут интенсивную исследовательскую работу и, стремясь шире развить научную деятельность молодых математиков и механиков университета, приходят к мысли о необходимости создания НИИ математики и механики (НИИММ) при Университете. В 1934-1935 гг. ПА заведует (по совместительству) отделом геометрии НИИММ. Работа его большого геометрического семинара, действовавшего с 1933 года, расширяется и протекает совместно с плановой работой отдела.

Кроме университета, ПА читал лекции в Педагогическом институте (1922-1930 гг.) и был профессором в авиационном институте (1932-1934 гг.; в течение одного года заведовал кафедрой механики), где читал теорию функций комплексного переменного, уравнения в частных производных, гидродинамику и другие курсы. 1 февраля 1936 года высшая аттестационная комиссия при Наркомпросе утвердила ПА в ученой степени доктора физико-математических наук без защиты диссертации.

ПА вёл большую работу в Казанском физико-математическом обществе. С 1924 года он фактически осуществлял руководство изданием «Известий Физико-математического общества» и значительно повысил уровень журнала.

Личность и жизнь Н. И. Лобачевского всегда интересовали ПА. Он ряд лет читал факультативные курсы по геометрии Лобачевского и выступал с научно-популярными лекциями, посвященными его открытию. ПА являлся членом юбилейной комиссии и принимал горячее участие в праздновании столетия открытия неевклидовой геометрии, происходившем 25 февраля 1926 г. в Казанском университете. Он выступал с докладом, редактировал материалы юбилейных торжеств [14] и [15].

Живейшее участие принимал ПА в организации и проведении двух международных конкурсов на премию имени Лобачевского — седьмого (в 1927 г.) и восьмого (в 1937г.). Он был членом комиссии по присуждению премий, в 1927 г. рецензировал представленные комиссии работы Дирка Стройка (D. Struik, Роттердам). В 1940 году ПА осуществил издание сборника избранных трудов лауреатов восьмого конкурса.

ПА привел в полный порядок библиотеку им. Н. И. Лобачевского, находившуюся в Геометрическом кабинете КГУ, и неустанно трудился над её расширением, ведя переписку с виднейшими геометрами мира. Благодаря этому библиотека представляет собой ценнейшее собрание литературы по неевклидовой геометрии.

В 1943 году в канун празднования 150-летнего юбилея Н. И. Лобачевского7 ПА совместно с НГ подготовили докладную записку8 об организации музея-квартиры Н. И. Лобачевского. В этом же году, будучи больным, ПА написал замечательное изложение геометрической системы Лобачевского [34] и статью «Н. И. Лобачевский как творец новой геометрической системы».

16 июля 1941 года, т. е. с первых дней войны, ПА был назначен деканом физико-математического факультета. Преодолевая невероятные трудности, он добивается улучшения работы факультета. По воспоминаниям Б. Л. Лаптева, для поднятия качества обучения в это время ПА «привлекал ряд находившихся тогда в Казани крупнейших математиков Москвы и Ленинграда к чтению лекций для научных работников, аспирантов и студентов старших курсов». Студентка того времени Н. К. Кузнецова вспоминает, что слушала лекции А. Я. Хинчина по математическому анализу, П.С.Александрова по теоретико-множественной топологии, А. Д. Александрова по геометрии выпуклых поверхностей, Л. С. Понтрягина по комбинаторной топологии, Б. Н. Делоне по аналитической геометрии, С. Л. Соболева, М. Ф. Бокштейна.

7 И в это время верная дата рождения Н. И. Лобачевского не была ещё установлена.

8 Текст этого документа приводится в конце данной статьи.

Хотя административная работа и прочие обязанности отнимали у ПА почти всё время и требовали большого напряжения сил, он не переставал интенсивно вести научную работу. В перерывах между лекциями или на заседаниях его можно было видеть углубившимся в расчеты. Именно в эти трудные годы его исследования по теории симметрических пространств и спиноров продвигались особенно успешно.

Но с осени 1943 года у ПА обострилось заболевания сердца, начавшееся ещё в детстве. Больной, лежа в постели, за месяц до смерти, он сожалел, что не может работать более двух часов в день. Последние его исследования остались незавершенными. 26 февраля 1944 года Петр Алексеевич Широков скончался.

Основные направления научной работы

Первые самостоятельные исследования ПА возникают как приложения теории групп к механике и геометрии. По воспоминаниям Б. М. Гагаева, ПА при сдаче в гимназии экзамена Е. А. Болотову излагал механику на основе теории групп так, что сам экзаменатор сознался, что попал в затруднительное положение, ибо во время экзамена часто не мог охватить излагаемое.

Специализируясь по математике, ПА занимался, главным образом, вопросами, смежными между геометрией и механикой: линейчатой геометрией и теорией винтов. Он изучал работы Лебега, Бореля, Лузина по теории функций действительного переменного, но особенно глубоко — труды Н. И. Лобачевского. В своих первых работах, посвященных пространствам Лобачевского, он рассмотрел группы конформных преобразований, вопросы векторного исчисления, механики.

Уже с 1925 года ПА начинает применять в своих геометрических исследованиях методы тензорного исчисления. Его интересуют римановы пространства. В области тензорного анализа ПА принадлежат две работы по эрмитовым формам и замечательная книга «Тензорное исчисление» [35], написанная по материалам читанных им в течение ряда лет курсов лекций для студентов и аспирантов. Таким образом, ПА создал курс аффинной дифференциальной геометрии. Сохранившиеся конспекты лекций после обработки их его сыном профессором А. П. Широковым были изданы в виде монографии «Аффинная дифференциальная геометрия» [36, 37]. Работы ПА представляют собой крупный вклад в неевклидову геометрию и в теорию римановых пространств. Им были найдены в конечном виде все типы симметрических пространств.

Научный кругозор ПА был чрезвычайно широким. Темы, которые он ставил своим аспирантам, отличались большой глубиной и актуальностью, так что в дальнейшем они становились предметом их последующих исследований на всю жизнь.

В.В.Морозов в книге [32] пишет: «...он стал одним из крупнейших и наиболее эрудированных наших геометров. Вряд ли существовала геометрическая работа, укрывшаяся от его внимания... Работы свои он печатал исключительно в «Известиях КФМО»9, секретарем редакции которых был; этот его патриотизм и нелюбовь к поездкам в другие города привели к тому,

9 А также в «Ученых записках Казанского университета» (примечание автора).

что его крупнейшие научные достижения остались малоизвестными за пределами Казани и, случалось, воспроизводились другими исследователями. Впрочем, он никогда не стремился к славе и предпочитал спокойно работать, оставаясь в тени».

Б.Л.Лаптев пишет (см. [27, 28]): «Благодаря сознанию высокой ответственности и долга перед Советской наукой и Родиной, благодаря выдающимся личным качествам и всесторонней математической эрудиции, Петр Алексеевич был молчаливо признан казанскими математиками своим главой и окончательным судьей в возникающих спорах... ».

Петр Алексеевич как лектор

Ученик Петра Алексеевича Б. Л. Лаптев в своих замечательных воспоминаниях пишет: «Студенты физико-математического факультета, посещавшие лекции, признавали неоспоримым, что он — лучший лектор и, можно сказать, преклонялись перед ним. Широкий научный кругозор и глубокая эрудиция в соединении с особым мастерством делали его лекции образцом педагогического искусства» [29]; «Исключительно глубокие по содержанию лекции Петра Алексеевича включали в предельно ясной и сжатой форме новейшие научные результаты, преподносимые им с выдающимся педагогическим мастерством» [28].

В. В. Морозов вспоминал: «Лекции его, всегда тщательно обдуманные, были великолепны; студенты относились к нему с благоговейным уважением и утверждали, что на экзаменах он дает такие задачи, решать которые может только один он... Страдая заиканием, он настолько контролировал свою речь, что недостаток этот почти становился незаметным» [32].

Н. К. Кузнецова вспоминает так: «Петр Алексеевич читал лекции чётко, размеренно, не спеша. Мы успевали записывать все формулировки определений и теорем, основные математические выкладки доказательств и делать соответствующие рисунки так, что при самостоятельной работе над конспектом могли восстановить детали, додумать тонкости рассуждений. Каждая лекция была у него тщательно подготовлена, обдумана и излагалась ясным, доходчивым языком. Эти лекции всегда доходили до нашего сознания, и мы уходили удовлетворенные и обогащенные новым материалом. Лекции его врезались в мою память настолько, что через многие годы сохранились в моей памяти и общий их ход, и отдельные объяснения, и даже фразы».

По словам А. П. Широкова, сына ПА, «лекции он очень любил, каждая лекция была для него праздником». И этого не могли не замечать студенты, по достоинству ценившие талант ПА. Вот фрагмент из рассказа А. П. Заборской, ученицы ПА: «Лекции его мне всегда доставляли удовольствие; умение предварительно сообщить слушателям о тех вопросах и стиле их изложения, которые будут развиты в курсе, затем паузы при чтении — я всегда воспринимала именно так его тщательно разработанное усовершенствование, чтобы дефект речи был не так сильно заметен (он слегка заикался)».

ПА никогда не шутил на лекциях, не отвлекался. Его лекции производили огромное впечатление. Так, Г. В. Бушманова, студентка Педагогического института, где ПА в 1938-1939 гг. читал курс лекций по основаниям геометрии

из двух частей — аксиоматика Евклида и геометрия Лобачевского — вспоминает: «Лекции П. А. Широкова и Б. Л. Лаптева так подействовали на меня, что я решила специализироваться по геометрии».

Н. К. Кузнецова вместе с подробным письмом прислала сохранившиеся со времен учёбы в университете конспекты своих лекций по семестровому курсу оснований геометрии. Курс состоит из трёх частей: вводная часть, геометрия Лобачевского и аксиоматика. Основную часть курса составляет геометрия Лобачевского, разбитая на планиметрию, стереометрию и тригонометрию. Перед тем, как приступить к чтению геометрии Лобачевского, ПА обрисовал в общих чертах те вопросы, которыми они будут заниматься на протяжении последующих 13 лекций. Лекции по объему разные, видимо, это связано со степенью сложности и неоднородности материала. Как в каждом курсе геометрии, в этих лекциях встречается много чертежей. Лекции очень насыщенные, подробные и изложены простым и доступным языком.

Заканчивая рассказ о ПА как о лекторе, необходимо отметить, что курсы лекций ПА готовил заранее, в летнее время. При чтении лекций, несмотря на отсутствие внешних эмоций, ПА умел показать своё внутреннее отношение к полученным результатам, что, несомненно, передавалось слушателям.

Работа Петра Алексеевича со студентами и аспирантами

Все ученики ПА отмечали наличие у него педагогического таланта. Так, в замечательной статье «Мой учитель Петр Алексеевич Широков» в [28], которая начинается эпиграфом из Ф. И. Тютчева «На древе человечества высоком Ты лучшим был его листком, Воспитанный его чистейшим соком, Развит чистейшим солнечным лучом\» В. Г. Копп вспоминает: «... Я перешёл на математическое отделение с энтузиазмом, свойственным молодости. Меня пленили блестящие имена тех, кто преподавал на этом отделении... Это было целое созвездие блестящих имён. На мехмате работали: Николай Григорьевич Чеботарев, Петр Алексеевич Широков, Николай Гурьевич Четаев, Николай Николаевич Парфентьев, Борис Михайлович Гагаев, Василий Андреевич Яблоков, Константин Петрович Персидский, Евгений Иванович Григорьев. Тогда я и познакомился с профессором Петром Алексеевичем Широковым, сыгравшим огромную роль в моей дальнейшей жизни.

И что бы вы думали начал вести у нас на втором курсе Петр Алексеевич? .. Математический анализ! Он придавал большое значение знанию студентами этого предмета, а потому сам взялся за его чтение. Но это ещё не всё. Параллельно с курсом математического анализа Петр Алексеевич стал вести курс «Теоретические основы анализа»... Какую дополнительную нагрузку взял на себя Петр Алексеевич! Но таково было жизненное кредо этого выдающегося геометра. В служении университету, в научной деятельности он шел навстречу любым трудностям во имя выполнения долга...

На втором курсе Петр Алексеевич читал и чисто геометрические курсы. Он вел дифференциальную геометрию, векторный анализ (точнее, векторную алгебру).

Я должен отметить высокое качество лекций, читаемых Петром Алексеевичем. Прежде всего, он всегда к своим лекциям тщательно готовился и никогда не опаздывал. Голос его был громким и немного напевным. Дело в том, что Петр Алексеевич слегка заикался и, чтобы заикание не чувствовалось, слова напевал. Иногда он привлекал и посторонние слова: «именно что», «видите ли». Его фразы были продуманы и точны. Записать можно было почти всё, что он говорил. Пётр Алексеевич был очень требователен к ассистентам, ведущим практику. Однажды в разговоре со мной он сказал, что мы часто недооцениваем роль преподавателя, ведущего практику. Совершенно необходимо, чтобы он прорешал все без исключений задачи, имеющиеся в задачнике...

Когда Пётр Алексеевич задавал задачи на дом, то обычно задавал одну-две трудные задачи для того, чтобы студент подумал над их решением... Он считал, что если студент трудную задачу решит сам, то польза будет большая, чем при разборе решений нескольких таких задач...

Молва приписывала Широкову такой разговор с каким-то студентом: «Нет, Вы ничего не знаете. Это ещё полбеды, Вы ничего не понимаете! Некоторые люди от математики с ума сходят. Вам, видите ли, и сходить-то не с чего». Как видите, налицо явный каламбур...

Пётр Алексеевич был справедлив. Раз я слышал, как он в геометрическом кабинете говорил Николаю Григорьевичу Чеботареву про какого-то математика: «Я не против того, что он добивается, но пусть он добивается честно... ». Пётр Алексеевич знал только честные пути в жизни. Это аксиома Широкова, или лучше сказать, одна из его заповедей... »

Н. К. Кузнецова вспоминает: «Всем известна была требовательность профессора Широкова. Требователен он был и к сотрудникам, и к студентам, и к себе. Если бы он не был таким требовательным к себе, то, может, сумел бы пережить суровые военные годы и не умер бы раньше времени.

Студенты волновались, готовясь к экзамену по его предмету, бегали к нему на консультацию, спрашивали друг у друга, какие вопросы он задает...

Впервые я столкнулась с профессором Широковым в январе 1938 года на первом нашем экзамене по аналитической геометрии. Читал нам этот курс в первом полугодии профессор Григорьев (старший), а практические занятия вел его сын Григорьев или, как его звали студенты, «Григорьев-штрих». Но в январе 1938 года в связи с переходом профессора Григорьева на работу в авиационный институт, экзамен принимал Григорьев-штрих. Однако он был ещё только ассистент и по положению не имел права принимать экзамен, поэтому присутствовал ещё Петр Алексеевич. Но он вёл себя на экзамене очень скромно и корректно. Он организовал экзамен так, что один студент подсаживался к Григорьеву и отвечал только ему, а другой — только П. А. Широкову, т. е. они принимали экзамен у студентов параллельно и экзамен прошел очень быстро. Но многие студенты уже знали, что Широков очень строгий, и старались сдавать Григорьеву. Когда я подошла к их столу, то оказался свободным стул перед Петром Алексеевичем. Мне был задан какой-то вопрос из аналитической геометрии в пространстве. Я рассказала его во всей полноте, в какой только было можно. Широков не задал мне ни одного дополнительного вопроса, ни в чём не копался, а сказал: «Достаточ-

но». Я была ошеломлена такой краткостью ответа и сдачи экзамена. Это был мой первый экзамен в ВУЗ'е. Он сказал: «Достаточно» — и выставил мне «отлично». Этот первый экзамен в университете я запомнила на всю жизнь».

Иногда студенты приходили сдавать экзамены к ПА домой. По словам Г. Е. Изотова это было так: «Я сдавал экзамены дома у Петра Алексеевича 2-3 раза. Посадит за стол, даст вопросы и уйдет к себе в кабинет. Когда подготовишься, позовёшь его. Он внимательно выслушивал и задавал дополнительные вопросы. А вообще, экзамены мы сдавали вольно, т. е. если кто-то подготовился раньше назначенного срока, то подходили к нему, спрашивали, он назначал время. Пётр Алексеевич всегда мог дополнительно встретиться, т. е. в помощи никогда не отказывал... Так, например, по нашей просьбе для желающих он повторил заново “Векторный анализ”».

Б.Л.Лаптев в [27, 28] пишет: «Пётр Алексеевич был человеком исключительной скромности и высоких личных качеств. Хотя он был несколько замкнут в своих отношениях с посторонними и весьма требователен к окружающим его сотрудникам и ученикам, но за всем этим скрывалась горячая любовь и уважение к людям, отдающим свои силы, свой честный труд на пользу общества. Нуждающийся в совете научный работник, стремящийся к знанию студент и просто технический служащий, обращавшийся к нему, всегда встречали у него помощь и поддержку. Не раз консультировались у него математики из других городов, осведомлённые о его необыкновенной эрудиции. .. На практических занятиях он часто, выписав условия нескольких задач на доске, прохаживался по аудитории, выясняя, как студенты справляются с заданиями, чтобы задать 2-3 вопроса или дать указания. Он всегда ценил оригинальный ход мысли».

Это подтверждают воспоминания Г. Е. Изотова: «При решении трудных задач он наталкивал на верный путь, указывая, где можно посмотреть, где поискать, а сам не решал. Пётр Алексеевич уделял большое внимание самостоятельности ».

На большом геометрическом семинаре, организованном ПА в начале 30-х годов, он читал курсы аффинной дифференциальной геометрии, делал подробные обзоры работ принстонской школы [30]. В этом семинаре, помимо геометров, нередко принимали участие научные работники и аспиранты других кафедр и студенты старших курсов (профессор В. А. Яблоков, аспиранты Н. Г. Чеботарева И. Д. Адо, В. В. Морозов и другие).

Наиболее яркие впечатления об аспирантуре под руководством ПА сохранились в воспоминаниях В. Г. Коппа, Н. К. Кузнецовой, Г. В. Бушмановой.

Н. К. Кузнецова, которая стала аспиранткой ПА в 1942 году и лично испытала на себе его требовательность, пишет, что ПА аспирантов подбирал себе сам, они принимались в аспирантуру с его личного согласия, а «не по настоянию ректора или общественности, как это раньше бывало. Петр Алексеевич ко всем своим аспирантам предъявлял высокие требования, всем им аспирантура давалась трудно, и защищать диссертации им удавалась только через несколько лет после окончания аспирантуры... Поступила-то я не к кому-нибудь, а к профессору Широкову, который никогда, никому и ни при каких обстоятельствах не делал скидок. Ещё раньше, когда-то на лекции нашей группы, он говорил нам, что если у человека есть талант и стремление

к науке, то они прорвутся, невзирая ни на какие обстоятельства, что и в военные годы, сидя в военных окопах, человек может работать над наукой. Пётр Алексеевич составил для меня большой список литературы, которую я должна была изучить, и почти все книги были на иностранных языках... »

Выпускница Педагогического института Г. В. Бушманова стала аспиранткой ПА в 1943 году. Она вспоминала, что первая её попытка поступить в аспирантуру была неудачной: ПА отказал ей, мотивируя это тем, что в Педагогическом институте геометрия дается в недостаточном количестве. «Но с ним поговорил проректор Дюков и предложил все-таки ещё раз посмотреть меня. Тогда я второй раз встретилась с Петром Алексеевичем. Он сказал, что геометрию Римана мы не изучали, дал мне книжку и неделю срока, сказав, что на экзамене будет спрашивать. На экзамене я ответила прилично -на 4 и поступила в аспирантуру... Да, это был строгий, но в тоже время доброжелательный человек.»

В. Г. Копп, аспирант ПА с декабря 1937 года, вспоминает: «Своим аспирантам Петр Алексеевич дал темы из самых различных разделов геометрии. А. 3. Петров работал над классификаций пространств Эйнштейна, ... у А. П. Заборской была тема: «Некоторые вопросы конгруэнций пространства Лоренца». Я работал над темой: «Теория винтов в трехмерном пространстве Лоренца». И. П. Егоров занимался группами движений пространств аффинной связности. П. И. Петров, следуя казанскому геометру Суворову, находил дифференциальные инварианты римановых пространств. Я не упомянул ещё о Б. Л. Лаптеве, который проходил аспирантуру в 1930-1933 годах и работал над исследованием движений пространств Финслера с помощью производной Ли. Кандидатская диссертация была защищена Борисом Лукичем в 1939 году.

П. А. Широков читал для всех нас лекции — спинорный анализ, различные вопросы римановой геометрии, линейчатой геометрии...

И чем только мы не занимались в аспирантуре. И Э. Картана с французского переводили, и «Проблему Пфаффа» Гурса. Наши переводы Петр Алексеевич собственноручно правил красными чернилами. И каких только геометрических дисциплин мы не изучали, которые, конечно, расширяли наш кругозор...

Пётр Алексеевич часто давал трудные задачи для самостоятельного решения. Особенно он любил задачи из курса Бляшке «Дифференциальная геометрия». Над решениями этих задач «ломали головы» как студенты, так и аспиранты. Помню, что Пётр Алексеевич очень восхищался блестящим решением одной из таких задач И. П. Егоровым и часто ставил его другим в пример. А также он часто в пример другим ставил работу Б. Л. Лаптева, говоря: «Смотрите, ведь он горы своротил».

Однако я должен отметить, что стиль работы Петра Алексеевича со своими учениками был несколько неровен. То он уж всё говорил, подавляя ученика своими знаниями и эрудицией, то не говорил ни слова, требуя, чтобы аспирант сам решил задачу. Поэтому, когда Пётр Алексеевич рассердился на меня, он, по сути дела, перестал мной руководить, требуя, чтобы я сам писал свою диссертацию. Так он сердился почти на всех своих учеников, даже на тех, кто потом стали докторами... Почему Пётр Алексеевич сердился?

Да потому, что он был человеком с весьма развитым чувством долга. Это было чувство долга по отношению к семье, по отношению к университету, по отношению к своей Родине. Чувство долга по отношению к университету заставило его быть деканом физико-математического факультета в тяжелые дни войны. Ясно, что столь развитое чувство долга привело к преждевременной смерти этого выдающегося геометра.

Позднее я извинил своего учителя, поняв, что настоящий ученый должен до всего доходить сам, и только так можно достичь вершин науки... ».

В заключение В. Г. Копп пишет: «Я часто вспоминаю моего дорогого учителя Петра Алексеевича Широкова, оказавшего на меня такое влияние, что многие его слова и фразы помню до сих пор. По сути дела, Петр Алексеевич научил меня самостоятельно работать».

П. А. Широков и Н. Г. Чеботарёв

Как уже было сказано выше, П. А. Широков и Н. Н. Парфентьев в 1927 году организовали приглашение Н. Г. Чеботарёва в Казань. ПА и НГ были близкими друзьями на всём протяжении совместной работы, немногим менее 20 лет. Вместе с тем и складом ума, и характером они чуть ли не контрастировали друг с другом. Поэтому любопытно сравнить их человеческие черты и стиль педагогической работы.

В. В. Морозов в воспоминаниях [32, 33] пишет, что с ПА «НГ встретился впервые на московской конференции по дифференциальной геометрии в 1927 году, после чего обоих ученых связала дружба, прекратившаяся только стараниями «разрушительницы собраний». «Вода и камень, стихи и проза, лёд и пламень не столь различны меж собой» — экспансивный, увлекающийся и торопливый НГ находил свое дополнение в рассудительном, вдумчивом и медлительном ПА».

Сын НГ Григорий Николаевич рассказывал: «Мне не довелось слушать лекции ПА или беседовать с ним о математике. Тем не менее, постоянно с двухлетнего возраста общаясь с Широковыми, я могу попытаться сравнить характеры ПА и НГ. Я буду говорить о жизненных ситуациях, однако их можно экстраполировать на стиль преподавания.

Н. Г. Чеботарёв и П. А. Широков

Если ПА, по моим представлениям, был настоящим преподавателем, способным заставить ученика потрудиться, пострадать, если это ему полезно, с элементами разумной жестокости, то НГ в этом отношении был даже, в некотором смысле, беспринципен.

ПА иронизировал, что НГ не ставит неудов, якобы однажды он поставил студенту неуд, но немедленно раскаялся, побежал, догнал его и потребовал зачетку со словами: «Я решил поставить “удовлетворительно”» (рассказ Б. Л. Лаптева в передаче А. П. Широкова)».

Далее Григорий Николаевич рассказывал: «Один студент пришел к НГ домой и умолял поставить ему «отлично» условно, ссылаясь на обстоятельства, обещая оправдать оценку после срока. Боюсь, что НГ не умел отказывать в таких случаях (я умею). Папа закричал: «Девчушка (моя мама), дай иглу Франка». Он заставил студента выдавить каплю крови и дать кровью расписку, что он, такой-то, обязуется сдать экзамен в такой-то срок не менее, чем на «отлично».

О ПА я знаю из разных источников такую историю: сдававший на дому студент более часа рыдал и клянчил: «Пётр Алексеевич, хоть тройку, пожалуйста!». ПА отпаивал его водой, уговаривал успокоиться, но остался твёрд.

ПА обучал своего сына грести на ялике, садился за руль и они ездили в 10 м от берега вверх и вниз по течению. Мой отец, чтобы научить меня плавать, предлагал сбросить меня с лодки, но я не соглашался (слишком острый совет).

НГ вносил во всё, чем он занимался, элемент игры. Ему свойственна известная беззаботность, во всём, во всяком случае, в материальных вопросах. Жизненная философия включала в себя элементы риска. Он охотно провоцировал меня совершать рискованные поступки, говоря: «Пусть лучше один из тысячи детей сорвётся и убьётся, прыгая по крышам, зато остальные вырастут ловкими и счастливыми».

Однажды мы с Широковыми ехали на трамвайчике по Волге и попали в бурю. Нас загнали в трюм и капитан сказал: «Волга шутить не любит». Мы с Сашей10 затеяли кататься на трюмных перилах. ПА прикрикнул: «Тут мы можем каждую минуту потонуть, а вы играете!». Папа возразил: «Пусть дети последнюю минуту своей жизни проведут весело».

И НГ, и ПА оба прожили трудные 30-е годы. События 1937-1938 гг. вызывали у НГ ярость и ненависть к опричникам, но не оказали заметного влияния на общий стиль жизни в семье. НГ оставался общительным.

ПА тяжело пережил ужасы этих двух лет. Он находился в подавленном состоянии. Замкнутый по натуре, ПА стал ещё более замкнутым и осторожным. Но для этого у него были довольно серьёзные основания: брат ПА, выбравший путь священнослужителя, был в эти годы репрессирован.

Для НГ характерны открытость, интерес к людям разного типа, «демократизм». Для него характерным было отрицание «предрассудков», нешаблонное поведение. Например, на даче он носил короткие, чуть ниже колен застегивающиеся брюки, сандалии на босу ногу, что шокировало профессорских жен, особенно старшего поколения. Они считали, что ходить в сандалиях в столовую неприлично. Он не любил галстуки, обычно носил воротник

10 Александр Петрович Широков.

апаш. Если ему говорили, что так никто не делает, он отвечал: «Так пусть я буду первым».

ПА было свойственно глубокое чувство долга по отношению к работе, семье и т. д. К ученикам и к сыну он относился довольно сурово.

Как-то, живя на даче, мы с Сашей собрались в «геологическую экспедицию». В районе Кызыл-Байрака встречаются вкрапления красивого гипса. ПА скептически заметил: «Вы бы лучше сходили в деревню и купили масло». Экспедиция не состоялась.

Эти особенности НГ и ПА отражались и на стиле их работы. НГ придерживался в отношении к людям вообще «презумпции невиновности», проявляя в преподавательской деятельности мягкость, доходящую порой до беспринципности (расписка кровью, например). У учеников НГ старался вызвать спортивный интерес к математике, к решению трудных задач. Системность в преподавании, пожалуй, ему не свойственна. Лекции он читал нередко экспромтом, иногда рассказывая не программный материал, а разделы, которые его самого увлекали... ПА была свойственна систематичность в преподавании. ..

Любопытно, что статьи и книги НГ писал сразу набело, лишь изредка внося исправления. ПА, напротив, тщательно обрабатывал свои статьи, книги и курсы лекций».

Дополним сказанное выше воспоминаниями о ПА его сына А. П. Широкова: «Он был заботливым отцом. Часто папа покупал мне книги Перельмана, описания из жизни животных, научную фантастику, т. е. он старался, чтобы у меня была пища для ума, но давление никогда не оказывал.

Когда я заинтересовался математикой, он внимательно к этому подошёл. Пытаясь расширить мой кругозор, он рассказывал о дивергенции, об основных понятиях векторной алгебры, векторного анализа и об их приложениях к аэродинамике и гидродинамике. Таким образом, он неплохо подготовил меня к учебе в университете. Основы по многим наукам у меня были заложены именно им.

Он следил, когда я решал задачи, предлагал решения других задач. Когда папа садился рассказывать о гидродинамике, объясняя, он конструировал выводы на ходу.

Он был всегда серьёзным человеком. К научным трудам относился очень аккуратно и внимательно. Всё у него было всегда в системе.

Но на меня оказало сильное влияние то, что он проявлял интерес к вопросам сельского хозяйства. Это было вынужденно. В предвоенные годы на первом плане для него были научные исследования. И поэтому отец никогда не обращал внимания на наш сад. Там была метровая трава, на деревьях паутина. Затем он решил сад обновить. Мы ходили с ним в питомник, брали яблони. Он стал изучать литературу по яблоням. Отец всё тщательно изучал: количество калорий, которое получает человек от того или иного растения; у него была тетрадь, куда он всё записывал. В военные годы мы ходили с ним сажать картошку. В свою тетрадь он записывал, сколько можно взять картофеля с одного куста, какой в итоге урожай может получиться. Папа считал, что работа на огороде — это спасение от гибели, единственный выход избежать голода во время войны».

Хотя административная работа и не привлекала ПА, он добросовестно относился к своим обязанностям. «В военные годы мне было страшно жалко отца. Он был целыми днями в Университете, занимаясь деканской работой», - говорил А. П. Широков. «Если возникали ситуации, в которых в чем-либо обвинялись студенты, ПА всегда старался защитить их, решить вопросы в пользу студентов. Я помню, в те годы часто небольшие провинности могли серьёзно повлиять на судьбу человека. Как-то по телефону отец беседовал в отношении какого-то студента, которого обвиняли в том, что он разбил лампочку, но отец, как мог, защищал его».

ПА очень любил музыку. Из музыкантов близок ему был Чайковский и, по словам сына, он собирал литературу о жизни Чайковского. А. П. Широков рассказывал: «Он познакомился с одним умельцем, который сделал ему приемник. Это был один из первых приемников в то время. Вечерами отец сидел и ловил музыку, ночами слушал концерты».

Он глубоко знал художественную литературу. Дома у него была большая библиотека. Особенно ПА любил Чехова и Достоевского. По этому поводу очень характерно высказалась А. П. Заборская: «Чехов для него, мне кажется, был близок не только как писатель, но и как человек. И даже сходны внешне. Оба высокие, стройные, склонные к изяществу даже в одежде. Их дни рождения стоят рядом. Портрет Чехова висел в кабинете Петра Алексеевича».

О проекте создания музея Н. И. Лобачевского

Ещё в 1941 г. в двадцатом томе «Известий КФМО» было сообщено о планах казанских математиков создать библиотеку Lobatschevskiana и музей Н. И. Лобачевского. Усилиями ряда поколений библиотека была создана и в настоящее время насчитывает свыше 5000 названий книг и оттисков научных статей. Что касается музея, то создать его в Казанском университете оказалось значительно труднее.

А. П. Широков в [27] пишет об отце: «В его документах сохранилась написанная им «Докладная записка об организации в Казани музея имени Лобачевского», которую должен был подписать председатель юбилейной комиссии Н. Г. Чеботарев. С тех пор прошло свыше пятидесяти лет, в этом году открыт дом-музей Лобачевского в Козловке, а Казанский университет так и не может организовать открытие музея-квартиры Лобачевского, несмотря на большие старания директора Музея истории университета Стеллы Владимировны Писаревой. Будем всё же надеяться, что к своему 200-летнему юбилею Казанский университет сумеет создать музей-квартиру Лобачевского, и я хочу завершить свои воспоминания текстом указанной докладной записки, которую можно рассматривать как завещание, с которым Петр Алексеевич Широков и его друг Николай Григорьевич Чеботарёв обратились к своим потомкам:

«Основной задачей создания музея им. Лобачевского является объединение в одном месте и хранение всех многочисленных материалов, относящихся к жизни и деятельности великого геометра, а также организация научно-исследовательской работы по глубокому и всестороннему изучению

его биографии и творчества. Материалы эти в настоящее время разбросаны в самых разнообразных местах (различных библиотеках, кабинетах Казанского университета, музеях, архивах, в Государственном издательстве и т. д.); сохранность их ничем не гарантирована, не произведен учет этих материалов, не организовано их систематическое изучение. Между тем творчество Лобачевского, выдвинувшего русскую науку ещё в начале прошлого века на одно из первых мест в мире, его изумительная педагогическая и административная работа, его кипучая деятельность, направленная к просвещению народных масс и насаждению в нашей стране культуры во всех проявлениях жизни нашего народа, заслуживает такого же серьёзного изучения, как и деятельность таких наших гениев, как Ломоносов, Пушкин, Менделеев и др. Прошло уже 87 лет со смерти этого исключительного революционера в области научной мысли, но до сих пор не создана серьёзная его биография, не изучены пути его творчества, и даже некоторые его рукописи не только не опубликованы, но даже неизвестны для научных исследователей. Как это ни тяжело, но нужно прямо признать, что наша страна до сих пор не уделяла должного внимания этому своему гению, между тем как за границей было сделано многое для выяснения его творчества и популяризации его идей; следует отметить, что серьёзные исследования, устанавливающие несомненный приоритет Лобачевского в создании неевклидовой геометрии и независимость его работ от исследований Гаусса, принадлежат западноевропейским ученым. Только Казанское Физико-Математическое Общество и некоторые отдельные ученые, как проф. А. П. Котельников и В. Ф. Каган, приложили много усилий к популяризации идей Лобачевского и увековечению его памяти, между тем как Академия наук и другие университеты, кроме Казанского, до сих пор оставались в стороне от разработки и распространения его идей.

В Казани существуют 2 музея, посвященных двум гениям нашего народа — Ленину и Горькому. Теперь необходимо создать музей им. Лобачевского, отдавшего всю свою жизнь служению науке, Казанскому университету и насаждению народного просвещения в Приволжском крае. В связи со 100-летним юбилеем со дня рождения Лобачевского (179311 г.) Казанским Физико-Математическим Обществом был сооружен памятник Лобачевскому перед Казанским университетом. В торжественный день 150-летнего юбилея наша страна должна отметить величие своего гения созданием нового, более величественного памятника — научно-исследовательского учреждения его имени, посвященного увековечению его памяти, разработке и популяризации его идей.

Музей им. Лобачевского должен быть учрежден как самостоятельное научно-исследовательское учреждение при Наркомпросе РСФСР. Основной базой для создания материальной части музея послужит библиотека им. Лобачевского при Казанском Физико-Математическом Обществе, включающая в себя богатейшее собрание математических книг, относящихся к эпохе создания неевклидовой геометрии, а также её развития в XIX и XX столетиях. В музей должны быть переданы все рукописи Лобачевского, храня-

11 Указанная дата ошибочна — см. сноску 3 выше.

щиеся в различных архивах, библиотеках, кабинетах Казанского университета и музеях, а таксисе материалы, относящиеся к его жизни и творчеству (подлинники портретов, графические материалы, относящиеся к его деятельности как члена строительного комитета Казанского университета, и т.п.). Музей должен производить систематическое собирание материалов, характеризующих постановку научной и педагогической работы в Казанском университете эпохи Лобачевского, рукописи его учителей, современных ему казанских профессоров и его учеников, записи его лекций, переписку, характеризующую его деятельность и состояние Казанского университета того времени.

Помещение. Музей необходимо организовать в той квартире, в которой жил Лобачевский в эпоху создания неевклидовой геометрии; в настоящее время в ней помещается геометрический кабинет Казанского университета, в котором находится библиотека им. Лобачевского, 2 подлинных его портрета и бюст работы Диллон. Академии наук необходимо принять срочные меры к восстановлению в первоначальном виде 3 комнат этого кабинета, временно отведенных под квартиру академику Чудакову.

Научно-исследовательская работа музея им. Лобачевского должна быть сосредоточена в первое время на глубоком изучении биографии Лобачевского и его научного творчества по архивным материалам. После того, как будут в достаточной мере выяснены эти вопросы, музей должен включить в свою работу темы более широкого характера: 1) детальное изучение истории возникновения неевклидовой геометрии; 2) изучение постановки преподавания математических дисциплин в школах и университетах нашей страны в эпоху XVIII и первой половины XIX в.; 3) историю физико-математического факультета Казанского университета; 4) историю распространения идей неевклидовой геометрии в нашей стране и за границей и т. д.

Штат музея им. Лобачевского включает в себя: 1) директора музея (он же руководитель научно-исследовательской работы); 2) старшего научного сотрудника; 3) хранителя музея; 4) двух технических служителей».

Далее А. П. Широков пишет: «Я не буду здесь останавливаться на вопросе о том, что, как выяснилось впоследствии, музей-квартиру Лобачевского следует создать не в здании бывшего геометрического кабинета, а на втором этаже кабинета механики. В остальном начертанная программа ждет своего воплощения».

Заметим, что это было написано в 1994 году, когда был открыт музей Н. И. Лобачевского в Козловке, в доме, построенном самим Лобачевским в 1848 году. Сегодня это единственный в России музей Лобачевского.

В 1992 году в дни празднования 200-летия со дня рождения Н. И. Лобачевского в Казанском университете была открыта экспозиция, посвященная его жизни и деятельности. К сожалению, в 2011 году эта экспозиция была демонтирована. Её экспонаты теперь хранятся в фондах музея истории Казанского университета, в экспозиции которого остался лишь небольшой уголок, посвящённый Н. И. Лобачевскому. Между тем, есть ректорский дом, где Н. И. Лобачевский жил в период ректорской деятельности. Там находился его ректорский кабинет. Ныне в этом здании размещаются кафедры и аудитории Института математики и механики им. Н. И. Лобачевского...

В заключение этой статьи хочется привести слова В. В. Морозова из его очерка [32]: «Большой ученый никогда не умирает совсем, творчески он бессмертен».

ЛИТЕРАТУРА

1. Вишневский В. В. Творческое наследие Н.И.Лобачевского и его роль в становлении и развитии Казанского университета. — Казань: Изд-во Казанского ун-та, 2006. 68 с.

2. Изотов Г. Е. Казанское физико-математическое общество. — Казань: Изд-во Казанского ун-та, 2003. 32 с.

3. Парфентьев Н.Н. Заслуженный профессор А.В.Васильев // Известия Физико-математического общества при Казанском университете. 1924. Т. 24. № 2. С. 2-7.

4. Бажанов В. А. Александр Васильевич Васильев, 1853-1929: Ученый, организатор науки, общественный деятель. — Казань: Изд-во Казанского ун-та. 2002. 32 с.

5. Празднование императорским Казанским университетом столетней годовщины со дня рождения Н.И.Лобачевского. — Казань: Типо-лит. ун-та, 1894. 210с.

6. In memoriam N. I. Lobatschevskii. — Казань: Тип. Имп. Казан. Ун-та, 1897.

7. Васильев А.В. Николай Иванович Лобачевский, 1792-1856. — М.: Наука, 1992. 229 с.

8. Норден А. П., Широков А. П. Наследие Н. И. Лобачевского и деятельность казанских геометров // УМН. 1993. Т. 48, вып. 2 (290). С. 47-74.

9. Олоничев П. М. Казанский геометр Петр Матвеевич Суворов // Ист.-мат. исследования. № 9. — М.: ГИТТЛ, 1956. С. 271-316.

10. Путята ТВ., Лаптев Б. Л., Розенфельд Б. А., Фрадлин Б.Н. Александр Петрович Котельников (1865-1944). — М.: Наука, 1968. 124с.

11. Зейлигер Д. Н. Комплексная линейчатая геометрия. Поверхности и конгруэнции. — М.-Л.: ОНТИ ГТТИ, 1934. 196 с.

12. Синцов Д. М. Работы по неголономной геометрии. — Киев: Вища школа, 1972. 296 с.

13. Парфентьев Н. Н. Натурфилософия Н. И. Лобачевского // Уч. зап. Казанского ун-та. 1930. Т. 90. № 3-4. С. 303-312.

14. Столетие неевклидовой геометрии Н. И. Лобачевского. — Казань: Изд. Казан. Физ.-мат. об-ва при Казанском ун-те, 1927.

15. In memoriam N. I. Lobatschevskii. II. — M.: Главнаука, 1927.

16. Международный конкурс на соискание премии имени Николая Ивановича Лобачевского (1937). Отчет. Казань: изд. Казан, физ.-мат. об-ва при Казан, ун-те, 1937. Приложение к отчету: Э. Картан. Группы голономии обобщенных пространств. С. 61-110. Э. Картан. Теория групп и геометрия. С. 111-141. Э. Картан. Метрические пространства, основанные на понятии площади. С. 143-194. В. Вагнер. Дифференциальная геометрия неголономных многообразий. С. 195-262.

17. Рикун И. Э. Научная и педагогическая деятельность Вениамина Федоровича Кагана // Математика в высшем образовании. 2014. № 12. С. 121-138.

18. Лобачевский Н. И. Полное собрание сочинений. Под общей ред. В. Ф. Кагана, А. П. Котельникова, В.В.Степанова, Н.Г.Чеботарева, П.А.Широкова. Т. 1. Сочинения по геометрии. — М.-Л.: ГИТТЛ, 1946.

19. Лобачевский Н. И. Полное собрание сочинений. Под общей ред. В. Ф. Кагана, А. П. Котельникова, А. П. Нордена, В.В.Степанова, Н.Г.Чеботарева, П.А.Широкова. Т. 2. Сочинения по геометрии. — М.-Л.: ГИТТЛ, 1949.

20. Лобачевский Н. И. Полное собрание сочинений. Под общей ред. В. Ф. Кагана, А. П. Котельникова, А. П. Нордена, В. В. Степанова, Н. Г. Чеботарева, П. А. Широкова. Т.3. Сочинения по геометрии. — М.-Л.: ГИТТЛ, 1951.

21. Лобачевский Н. И. Полное собрание сочинений. Под общей ред. В. Ф. Кагана, А. П. Котельникова, В.В.Степанова, Н.Г.Чеботарева, П.А.Широкова. Т. 4. Сочинения по алгебре. — М.-Л.: ГИТТЛ, 1948.

22. Лобачевский Н. И. Полное собрание сочинений. Под общей ред. В. Ф. Кагана, А. П. Котельникова, А. П. Нордена, В.В.Степанова, Н.Г.Чеботарева, П.А.Широкова. Т. 5. Сочинения по математическому анализу, теории вероятностей, механике и астрономии. — М.-Л.: ГИТТЛ, 1951.

23. Лобачевский Н. И. Научно-педагогическое наследие. Руководство университетом. Фрагменты. Письма / Под общей ред. П.С.Александрова, И.Н.Бронштейна, Б.Л.Лаптева, А. И. Маркушевича, В.В.Морозова, А. П. Нордена. Отв. редакторы П.С.Александров и Б.Л.Лаптев. — М.: Наука, 1976.

24. Бронштейн И. Н. Выявление наследия Н.И.Лобачевского и материалов его биографии. В кн.: Сто двадцать пять лет неевклидовой геометрии Лобачевского (1826-1951). - М.-Л.: ГИТТЛ, 1952. С. 61-74.

25. Широков П. А. Постоянные поля векторов и тензоров 2-го порядка в римановых пространствах. В кн.: Широков П. А. Избранные работы по геометрии. — Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1966. С. 256-280.

26. Широков П. А. Геодезические отображения поверхностей с неопределенным мероопределением. В кн.: Широков П. А. Избранные работы по геометрии. — Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1966. С. 383-388.

27. Лаптев Б. Л., Широков А. П., Вишневский В. В. Петр Алексеевич Широков, 1895-1944. — Казань: Изд-во Казанского ун-та, 2001. 28 с.

28. Петр Алексеевич Широков (человек и ученый). — Казань: Казанский фонд «Математика», 1995. 88 с.

29. Очерки истории НИИ математики и механики имени Н. Г. Чеботарева. — Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1989. 175 с.

30. Широков П. А. Избранные работы по геометрии. — Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1966. 432 с.

31. Норден А.П. Геометрия (в цикле статей «Казанская математическая школа за 30 лет») // УМН. 1947. T. II, Вып. 6 (27). С. 8-15.

32. Николай Григорьевич Чеботарев, 1894-1947. — Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1994. 92 с.

33. Шафаревич И. Р., Морозов В. В. Николай Григорьевич Чеботарев, 1894-1947. — Казань: Изд-во Казанского ун-та, 2002. 56 с.

34. Широков П. А. Краткий очерк основ геометрии Лобачевского. 2-е изд. — М.: Наука, 1983. 77 с.

35. Широков П. А. Тензорное исчисление. Ч. 1. Алгебра тензоров. — Л.-М., 1934. 464 с. (Переиздано Казанским университетом в 1961 г.)

36. Широков П. А., Широков А.П. Аффинная дифференциальная геометрия, (с приложением статьи А.П. Нордена «О внутренней геометрии 2-го рода на гиперповерхности аффинного пространства»). — М.: Физматгиз, 1959. 319 с.

37. Schirokov Р. und A. Affine Differentialgeometrie. — В. G. Teubner Verlagsgesellschaft. Leipzig. 1962, 275 s.

Поступила 09.08.2015

FOUNDER OF THE KAZAN GEOMETRICAL SCHOOL PYOTR ALEKSEEVICH SHIROKOV (to the 120 anniversary since birth)

О. A. Shirokova

About scientific and pedagogical heritage of the outstanding scientist in geometry, professor of the Kazan university, the founder of the Kazan geometrical school Pyotr Alekseevich Shirokov.

Keywords: P. A. Shirokov, N. I. Lobachevsky, Kazan geometrical school.

ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ. ПЕРСОНАЛИИ

КАЛЕНДАРЬ ЗНАМЕНАТЕЛЬНЫХ ДАТ В ОБЛАСТИ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ НА 2016 ГОД

Этот календарь продолжает начатую в 12-м номере публикацию справочников по знаменательным датам, связанным с тематикой журнала. Напомним, что в календарь включаются даты, отмечающие интервалы, прошедшие с момента события, не меньшие 75 лет и кратные 10 или 25 годам, а в календарных статьях даются только самые краткие справочные данные, сопровождаемые указанием источников (включая Интернет-ресурсы) биографического характера, по возможности — на русском языке; в тех случаях, когда такие источники отсутствуют или представляются недостаточными, даются ссылки на англоязычные материалы, чаще всего — на архив MacTutor History of Mathematics archive, который содержит биографии многих математиков, а также информацию по истории математики. Этот архив, ссылки на который обозначены аббревиатурой МТ, расположен на сайте университета Сент-Эндрюс (Шотландия) и поддерживается Джоном О'Коннором и Эдмундом Робертсоном.

Составитель благодарит за полезные советы Р. 3. Гушель и В. П. Одинца.

Январь — 490 лет назад, в январе 1526 года (день неизвестен), родился итальянский математик и инженер-гидравлик Рафаэль Бомбелли (Rafael Bombelli, ум. в 1572 г.). Ввёл в математику комплексные числа и указал основные правила действий с ними, ввёл также ряд общеупотребимых сейчас обозначений (скобки, числовое обозначение показателя степени), доказал, что задачи удвоения куба и трисекции угла можно свести к решению тригонометрического уравнения, перевёл и опубликовал «Арифметику» Диофанта.

МТ: http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Bombelli.html

6 января — 175 лет со дня рождения немецкого математика Рудольфа Штурма (Friedrich Otto Rudolf Sturm, ум. 12.04.1919), автора многочисленных работ по проективной геометрии, алгебраической геометрии, перечислительной геометрии Шуберта.

МТ: http:/ /www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Sturm_Rudolf.html

12 января — 110 лет со дня рождения известного специалиста по теории групп немецкого математика Курта Хирша (Kurt Hirsch, ум. 12.11.1986). С 1934 года жил в Англии. Перевел на английский язык много монографий по алгебре советских математиков (А. Г. Куроша, Ф. Р. Гантмахера, Б. И. Плоткина, И. Р. Шафаревича и др.)

МТ: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Hirsch.html

13 января — 140 лет со дня рождения немецкого математика Эрхард а Шмидта (Erhard Schmidt, ум. 16.12.1959). Его основные научные интересы относятся к теории интегральных уравнений в гильбертовом пространстве. Имя Шмидта вошло в математическую терминологию (процесса ортогонализации Грама-Шмидта, оператор Гильберта-Шмидта и др.)

МТ: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Schmidt.html

13 января — 140 лет назад родился американский математик Лютер Эйзенхарт (Luther Pfahler Eisenhart, ум. 28.10.1965), крупный специалист в области дифференциальной геометрии.

МТ: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Eisenhart.html

16 января — 110 лет назад родился немецкий математик Эрих Кэлер (Erich Kahler, ум. 31.05.2000). В 1932 г. ввёл метрику, называемую теперь кэлеровой, и положил начало развитию кэлеровой геометрии, имеющей важное значение для теории струн.

МТ: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Kahler.html

17 января — 310 лет со дня рождения известного американского политического деятеля, учёного и изобретателя Бенджамина Франклина (Benjamin Franklin, ум. 17.04.1790). В области математики занимался магическими квадратами. Первый американец, ставший иностранным членом Российской академии наук.

Бенджамин Франклин. Биография. — М.: «Манн, Иванов и Фербер», 2013. 480 с.

18 января — 160 лет со дня рождения итальянского математика Луиджи Бьянки (Luigi Bianchi, ум. 06.06.1928), известного своими работами по дифференциальной геометрии. Иностранный член-корреспондент Петербургской АН (с 1911 года).

МТ: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Bianchi.html

21 января — 170 лет со дня рождения голландского математика Питера Хендрика Схоуте (Pieter Hendrik Schoute, ум. 18.04.1913), занимавшего многомерной геометрией.

МТ: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Schoute.html

22 января — 150 лет со дня рождения Густава де Вриса (другое написание фамилии — де Фриз) (Gustav de Vries, ум. 16.12.1934), голландского математика, первым исследовавшего важное уравнение из теории нелинейных волн, называемое уравнением Кортевега-де Фриза (уравнение КдФ).

МТ: http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/De_Vries.html

23 января — 210 лет со дня рождения российского математика немецкого происхождения Фердинанда Готлибовича Миндинга (Ernst Ferdinand Adolf Minding, ум. 03.05.1885). Работал в разных разделах математики, важнейшие его результаты относятся к внутренней геометрии поверхностей. Описал псевдосферу, послужившую для интерпретации Бельтрами геометрии Лобачевского. Был членом-корреспондентом (с 1865 г.) и почётным членом (с 1879 г.) Петербургской АН. Лауреат Демидовской премии (1861) за работы по дифференциальным уравнениям.

1) Математика XIX века. Том 2. Геометрия. Теория аналитических функций (под ред. А. Н. Колмогорова и А. П. Юшкевича). — М.: Наука, 1981. 269 с. С. 19-23.

2) МТ: http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Minding.html

24 января — 125 лет со дня рождения российского и британского математика Абрама Самойловича Безиковича (ум. 02.11.1970). Получил ряд ярких результатов по теории меры, теории функций, топологии.

Костицын В. И. Ректоры Пермского университета. 1916-2006. Изд. 2-е, перераб. и доп. — Пермь: Перм. ун-т., 2006. 352 с. С. 35-44.

25 января — 280 лет со дня рождения выдающегося французского математика, механика и астронома Жозефа Луи Лагранжа (Joseph-Louis Lagrange, ум. 10.04.1813), создателя (наряду с Л.Эйлером) вариационного исчисления.

Тюлина И. А. Жозеф Луи Лагранж: 1736-1813. — М.: «Либроком», 2010. 224 с.

25 января — 100 лет со дня рождения английского математика Фредерика Валентина Аткинсона (Frederick Valentine Atkinson, ум. 13.11.2002), с 1960 г. работал в Торонто (Канада). Основные результаты связаны с исследованием дзета-функции Римана и теорией граничных задач.

МТ : http://www-history.mes.st-and.ас.uk/Biographies/Atkinson.html

30 января — 130 лет со дня рождения итальянского математика Анибале Комесатти (Annibale Comessatti, ум. 13.09.1945), внёсшего важный вклад в алгебраическую геометрию.

МТ: http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Comessatti.html

30 января — 100 лет со дня основания Нижегородского университета — сейчас Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского (ННГУ) — национальный исследовательский университет: 17 января (по старому стилю) 1916 года состоялся Торжественный акт открытия Нижегородского городского народного университета; 28 марта 1918 года было принято постановление о реорганизации трех высших учебных заведений: Народный университет был объединен с высшими сельскохозяйственными курсами, открытыми в сентябре 1917 г. и эвакуированным ранее из Варшавы политехническим институтом. В 1956 году по инициативе и в результате многолетних усилий ака-

демика А. А. Андронова (1901-1952) указом президиума Верховного Совета СССР университету было присвоено имя Н. И. Лобачевского. В разные годы в Нижегородском университете работал ряд выдающихся математиков (А. А. Андронов, А. Ф. Леонтьев, А. Г. Сигалов, А. Г. Майер, Д. А. Гудков, Ю. В. Глебский, Л. П. Шильников и др.)

1) Хохлов А. Ф. Университет, рождённый трижды: История создания и становления Нижегородского университета. — Н.Новгород: ННГУ, 1968. 377 с. (2-е изд. — 2001.)

2) Полотовский Г. М. Феномен провинции (очерк истории математики в Нижнем Новгороде) / С. 302-319 в кн.: Полотовский Г. М. Очерки истории российской математики. — Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского университета, 2015. 320 с.

31 января — 130 лет со дня рождения английского математика Джорджа Невилла Ватсона (другое написание фамилии — Уотсон) (George Neville Watson, ум. 02.02.1965). Основные его результаты в области комплексного анализа, теории специальных функций, теории чисел. Кроме этого, Ватсон изучал рукописи Рамануджана и опубликовал много работ, связанных с его результатами.

МТ : http://www-history.mes.st-andrews.ас.uk//Biographies /Watson. html

31 января — 120 лет со дня рождения отечественного математика Софьи Александровны Яновской (ум. 24.10.1966). Основные труды — в области математической логики, философии и истории математики.

1) Башмакова И. Г., Марков А. А.(мл.), Рыбников К. А., Успенский В. А., Юшкевич А. П. Софья Александровна Яновская (к семидесятилетию со дня рождения) // УМН. 1966. Т. 21, № 3. С. 239-247.

2) Бирюков Б. В., Борисова О. А. С. А. Яновская — мыслитель, исследователь, педагог // Вопросы философии. 2004. № 5. С. 133-142.

3) Кушнер Б. А. Мои воспоминания о Софье Александровне Яновской: http: / / www.vestnik.com / issues /2001 /0703/ win/kushner.htm

1 февраля — 100 лет назад родился американский математика Джордж Маккей (George Whitelaw Mackey, ум. 15.05.2006), специалист в области теории представлений и функционального анализа.

МТ : http://www-history.mes.st-andrews.ас.uk//Biographies/Mackey. html

2 февраля — 230 лет назад родился французский математик и механик Жак Бине (Jacques Philippe Marie Binet, ум. 12.05.1856). Первым опубликовал правило умножения матриц (1812); см. также формулу Бине для чисел Фибоначчи, формулу Бине-Коши в теории определителей.

МТ:

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Binet.html

2 февраля — 120 лет со дня рождения Казимира Куратовского (Kazimierz Kuratowski, ум. 18.06.1980), выдающегося польского математика,

специалиста в области топологии и теории множеств, члена многих академий, в том числе Академии наук СССР (1966).

1) Синкевич Г. И. Георг Кантор & польская школа теории множеств. — СПб.: СПбГАСУ, 2012. 349 с. С. 290-293.

2) МТ:

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Bio^

7 февраля — 200 лет со дня рождения французского математика и механика Жана Френе (Jean Frédéric Frenet, ум. 12.06.1900). Автор ряда важных результатов в дифференциальной геометрии (формулы Френе).

МТ: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Frenet.html

11 февраля — 180 лет со дня рождения заслуженного профессора Императорского Московского университета, одного из основателей Московского математического общества и его президента в 1886-1891 гг. Василия Яковлевича Цингера (ум. 01.03.1907).

Годин А. Е. Развитие идей Московской философско-математической школы. Издание второе, расширенное. — М.: Красный свет, 2006. 379 с. С. 60-64.

11 февраля — 80 лет со дня рождения члена-корреспондента РАН Михаила Ильича Зеликина. Основные труды по теории дифференциальных уравнений, теории оптимального управления и дифференциальных игр, геометрии грассмановых многообразий.

Мехматяне вспоминают. — М.: МГУ, 2008. 126 с. С. 31-67 (см. также электронную версию: http://7iskusstv.com/2011/Nomer6/Demidovichl.php)

12 февраля — 75 лет со дня рождения лауреата премии Вольфа американского математика Денниса Салливана (Dennis Parnell Sullivan). Основные труды относятся к топологии и теории динамических систем.

МТ: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Sullivan.html

13 февраля — 125 лет со дня рождения члена-корреспондента АН СССР (1939) Ивана Ивановича Привалова (ум. 13.07.1941). Специалист в области теории функций комплексной переменной, его классический учебник «Введение в теорию функций комплексного переменного» в 2015 г. вышел 15-м изданием. Вице-президент Московского математического общества (с 1915 г.).

Кузнецов П. И., Соломенцев Е. Д. Иван Иванович Привалов (к девяностолетию со дня рождения) // УМН. 1982. Т. 37, № 4. С. 193-211.

13 февраля — 110 лет со дня рождения английского математика Эдварда Райта (Edward Maitland Wright, ум. 07.12.2011), специалиста в области аналитической теории чисел, соавтора Г. X. Харди.

МТ : http : / / www-gap. des. st- and. ас. uk/ ~history/Biographies /Wright. html

13 февраля — 90 лет со дня рождения Тони Альберта Спрингера (Tonny Albert Springer, ум. 02.02.2005), голландского математика, специалиста в области алгебры (йордановы алгебры, линейные алгебраические группы, группы отражений).

МТ: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Springer.html

14 февраля — 90 лет со дня рождения заслуженного деятеля науки РФ Александра Александровича Абрамова, специалиста в области вычислительных методов и их приложений в математической физике.

http://www.ccas.ru/alalabr/index.html

16 февраля — 125 лет со дня рождения акдемика АН СССР (1939) Николая (Николоза) Ивановича Мусхелишвили (ум. 15.07.1976). Основные результаты — по теории упругости, интегральным уравнениям, теории функций. Награждён Золотой медалью им. М.В.Ломоносова (1972).

1) Николай Иванович Мусхелишвили (К восьмидесятилетию со дня рождения) // УМН. 1972. Т. 27, № 4. С. 3-20.

2) Келдыш М. В., Соболев С. Л. Николай Иванович Мусхелишвили (К шестидесятилетию со дня рождения) // УМН. 1951. Т. 6, № 2. С. 185-190.

17 февраля — 125 лет назад родился израильский математик Абрахам Френкель (Abraham Halevi (Adolf) Fraenkel, ум. 15.10.1965). Известен своими работами по аксиоматической теории множеств (аксиоматика Цермело - Френкеля).

МТ: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Fraenkel.html

17 февраля — 120 лет со дня рождения советского математика, члена-корреспондента АН УССР Евгения Яковлевича Ремеза (ум. 31.08.1975). Основные работы — по конструктивной теории функций и приближенному анализу.

Митропольский Ю. А., Дзядык В. К., Гаврилюк В. Т. Евгений Яковлевич Ремез (к девяностолетию со дня рождения) // Укр. мат. жури. 1986. Т. 38, № 4. С.128-131.

21 февраля — 425 лет со дня рождения Жерара Дезарга (Girard Desargues, ум. 09.10.1661), французского математика, одного из создателей проективной геометрии.

МТ: http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Desargues.html

23 февраля — 110 лет со дня рождения советского математика и историка науки Иосифа Бенедиктовича Погребысского (ум. 20.05.1971). Автор более 100 работ по истории науки, в том числе ряда научных биографий классиков математики и механики.

1) Боголюбов Н. Н., Гнеденко Б. В., Дринфельд Г И., Ишлинский А. Ю. Иосиф Бенедиктович Погребысский (некролог) // УМН. 1972. Т. 27, № 1. С. 227-235.

2) Штрихи к портрету выдающегося историка науки // Вопросы истории естествознания и техники. 1996. № 4. С. 124-132.

25 февраля — 90 лет назад родился японский математик Масаточи Икеда (Masatoshi Gündüz Ikeda, ум. 09.02.2003), специалист по алгебраической теории чисел.

МТ: http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Ikeda.html

26 февраля — 90 лет назад родился английский математик Джеймс Грин (James Alexander «Sandy» Green, ум. 07.04.2014), работал в области теории представлений.

МТ : http : / / www-gap. des. st- and. ас. uk/ ~histогу/Biographies/Green_S andy. html

2 марта — 180 лет со дня рождения Юлиуса Вайнгартена (Julius Weingarten, ум. 16.06.1910), немецкого математика, внёсшего вклад в дифференциальную геометрию.

МТ: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Weingarten.html

2 марта — 110 лет назад родился советский математик Борис Павлович Демидович (ум. 23.04.1977). Основные результаты — в области дифференциальных уравнений и динамических систем. Автор знаменитого задачника по математическому анализу.

Левитан Б. М., Папуш 77. Н. Борис Павлович Демидович (к шестидесятилетию со дня рождения) // УМН. 1966. Т. 21, № 6. С. 155-160.

3 марта — 100 лет со дня рождения известного американского математика венгерского происхождения Пола Халмоша (Paul Richard Haimos, ум. 02.10.2006). П. Халмош был также блестящим методистом и преподавателем, многие его книги и статьи переведены на русский язык.

МТ : http : / / www-history, mes. st- and. ас. uk/Biographies/Haimos. html

4 марта — 150 лет со дня рождения Эжена Коссера (Eugene Maurice Pierre Cosserat, ум. 31.05.1931), французкого математика, основными научными интересами которого были проективная геометрия и теория упругости.

МТ : http://www-history.mes.st-andrews.ас.uk//Biographies/ Cosserat. html

4 марта — 100 лет со дня рождения американского математика, специалиста в области теории вероятностей Джилберта Ханта (Gilbert Agnew Hunt, ум. 30.05.2008). В 60-е годы XX в. совместно с Джозефом Дубом он обнаружил связи между теорией потенциала и теорией марковских процессов, привлекшие к теории потенциала внимание многих математиков, занимающихся теорией вероятностей.

МТ: http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Hunt.html

6 марта — 150 лет со дня рождения итальянского математика Этторе Бартолотти (Ettore Bortolotti, ум. 17.02.1947). Основные работы в области дифференциальной геометрии и истории математики.

МТ: http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Bortolotti.html

16 марта — 170 лет назад родился шведский математик Магнус Густав (Гёста) Миттаг-Леффлер (Magnus Gustaf (Gösta) Mittag-Leffler, ум. 07.07.1927). Основные его результаты относятся к теории аналитических функций. В 1882 г. основал журнал «Acta mathematica».

Кочина П. Я. Гёста Миттаг-Леффлер: 1846-1927. — М.: Наука, 1987. 224 с.

18 марта — 220 лет со дня рождения швейцарского математика Якоба Штейнера (Jakob Steiner, ум. 01.04.1863), основные труды относятся к развитию проективной геометрии синтетическими методами.

Математика XIX века. Том 2. Геометрия. Теория аналитических функций (под ред. А. Н. Колмогорова и А. П. Юшкевича). — М.: Наука, 1981. 269 с. С. 41-43.

22 марта — 90 лет назад родился чешско-американский математик Иво Милан Бабушка (Ivo Milan Babuska). Получил важные результаты по методу конечных элементов.

МТ: http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/history/Biographies/Babuska.html

29 марта — 120 лет со дня рождения Вильгельма Аккермана (Wilhelm Friedrich Ackermann, ум. 24.12.1962), немецкого математика и логика, соавтора Д. Гильберта по монографии «Основы теоретической логики».

МТ : http : / / www-gap. des. st- and. ас. uk/history/Biographies / Ackermann.html

30 марта — 130 лет со дня рождения польского математика и философа Станислава Лесьневского (Stanislaw Lesniewski, ум. 13.05.1939). В математике специализировался в области математической логики.

1) Воленьский Я. Лесневский (Lesnewsky) Станислав. Философский словарь. — http://enc-dic.com/philosophy/Lesnevskij-Stanislav-4053.html

2) МТ: http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/history/Biographies/Lesniewski.html

30 марта — 420 лет со дня рождения выдающегося французского учёного Ренэ Декарта (René Descartes, ум. 11.02.1650) — математика, философа, механика, физика, физиолога. В области математики — один из создателей аналитической геометрии и современной алгебраической символики.

Матвиевская Г. П. Рене Декарт, 1596-1650. — М.: Наука, 1976. 271 с.

1 апреля — 240 лет со дня рождения выдающейся французской женщины-математика, философа и механика Софи Жермен (Marie-Sophie Germain, ум. 27.06.1831). Внесла важный вклад в дифференциальную геометрию, теорию чисел («первый случай» Великой теоремы Ферма) и механику.

Дайан-Дальмедико Э. Софи Жермен //В мире науки. 1992. № 2. С. 60-66.

7 апреля — 150 лет назад родился Эрик Ивар Фредгольм (Erik Ivar Fredholm, ум. 17.08.1927), шведский математик, автор классических результатов в теории операторов и теории интегральных уравнений.

МТ : http://www-history.mes.st-andrews.ас.uk//Biographies/Fredholm. html

28 апреля — 110 лет со дня рождения Курта Геделя (Kurt Gödel, ум. 14.01.1978), австрийского логика, математика и философа математики, автора знаменитой «теоремы Геделя о неполноте».

Крайзель Г. Биография Курта Геделя. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. 144 с.

28 апреля — 110 лет со дня рождения британского математика германского происхождения Ричарда Радо (Richard Rado, ум. 23.12.1989), получившего важные результаты по комбинаторике и теории графов.

МТ: http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Rado_Richard.html

29 апреля — 140 лет со дня рождения французского математика Поля Монтеля (Paul Antoine Aristide Montel, ум. 22.01.1975), автора более 200 работ по теории аналитических функций.

МТ: http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Montel.html

29 апреля — 80 лет со дня рождения немецкого математика Фолькера Штрассена (Volker Strassen), специалиста по теории сложности алгоритмов и по разработке быстрых алгоритмов.

МТ: http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Strassen.html

30 апреля — 100 лет назад родился основоположник теории информации американский инженер и математик Клод Шеннон (Claude Elwood Shannon, ум. 24.02.2001).

МТ : http://www-history.mes.st-andrews.ас.uk//Biographies / Shannon. html

1 мая — 125 лет со дня рождения английского математика Луи Милн-Томсона (Louis Melville Milne-Thomson, ум. 21.08.1974). Автор нескольких монографий (по прикладной математике, гидродинамике и др.), некоторые из которых изданы в русском переводе.

МТ: http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Milne-Thomson.html

1 мая — 90 лет со дня рождения американского математика (родился и жил до 1941 года в Венгрии) Питера Лакса (Lax Péter David), лауреата многочисленных наград и премий, в том числе премии Вольфа (1987) и Абелевской премии (2005).

МТ: http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Lax_Peter.html

6 мая — 180 лет со дня рождения русского педагога-математика Василия Андриановича Евтушевского (ум. 23.09.1888), автора «Методики арифметики» (1871), «Сборника арифметических задач» (1871) и других сочинений по преподаванию математики.

Прудников В. Е. Русские педагоги-математики XVIII-XIX веков. — М.: Учпедгиз, 1956. 640 с. С. 588-608.

6 мая — 110 лет назад родился французский математик Андре Вейль (André Abraham Weil, ум. 06.08.1998), один из организаторов группы «Николя Бурбаки», автор фундаментальных работ по алгебраической геометрии, функциональному анализу и теории чисел, лауреат премии Вольфа (1979).

МТ: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Weil.html

7 мая — 120 лет со дня рождения академика АН СССР (1953) Павла Сергеевича Александрова (ум. 16.11.1982). Основные труды по теории множеств, теории функций, топологии. Президент Московского математического общества в 1932-1964 гг.

1) Архангельский А. В., Колмогоров А. Н., Мальцев А. А., Олейник О. А. Павел Сергеевич Александров (к восьмидесятилетию со дня рождения) // УМН. 1976. Т. 31, № 5. С. 3-15.

2) Колмогоров А. П. Воспоминания о П. С. Александрове // УМН. 1986. Т. 41, № 6. С. 187-203.

3) Александров П. С. Страницы автобиографии // УМН. 1979. Т. 34, № 6. С. 219-249; УМН. 1980. Т. 35, № 3. С. 241-278.

9 мая (по некоторым источникам 10 мая) — 270 лет со дня рождения французского математика и государственного деятеля, создателя начертательной геометрии Гаспара Монжа (Gaspard Monge, ум. 28.07.1818).

1) Боголюбов А.Н. Гаспар Монж, 1746-1818. — М.: Наука, 1978. 184 с.

2) Демьянов В. П. Геометрия и Марсельеза: О французском математике и революционере Г. Монже. — М.: Знание, 1986. 256 с.

9 мая — 80 лет со дня рождения известного отечественного математика Александра Александровича Кириллова, специалиста по теории представлений, топологическим группам, группам Ли.

1) Ilyashenko Yu. S., Lando S. К., Minlos R. A., Olshanskii G. Г, Shchepochkina I. M., Sossinski A. В., Tsfasman M. A., Vershik A. M. Alexandre A. Kirillov // Mose. Math. J., 6:3, 2006. P. 409.

2) МТ: http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Kirillov.html

18 мая — 100 лет со дня рождения профессора РГПУ им. А. И. Герцена Георгия Яковлевича Арешкина (ум. 17.02.2005), специалиста в области теоретико-множественной топологии, внешних мер и функциональных уравнений.

Попов В. А. Об одном научном семинаре кафедры математического анализа ЛГПИ им. А. И. Герцена в 1970-1973 гг. В сб. Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Герценовские чтения-2012. - СПб.: БАН, 2012. С. 19-22.

22 мая — 100 лет со дня рождения британского алгебраиста Альбрехта Фрёлиха (Albrecht Fröhlich, ум. 08.11.2001), родившегося в Германии

и покинувшего её в 1933 году. Работал в Бристоле, затем в Лондоне. Основные результаты относятся к теории полей классов.

МТ : http : / / www-groups. des. st- and. ас. uk/ ~history/Biographies/Fröhlich. html

26 мая — 120 лет со дня рождения советского математика и механика, члена-корреспондента АН УССР (1939) Юрия Дмитриевича Соколова (ум. 02.02.1971). Основные математические работы относятся к теории дифференциальных уравнений.

Митропольский Ю. А., Лучка А. Ю., Шевело В. Н. Юрий Дмитриевич Соколов (к 90-летию со дня рождения) // Укр. мат. ж. 1968. Т. 38, № 5. С. 666-667.

28 мая — 340 лет со дня рождения итальянского математика и механика Якопо Франческо Риккати (Jacopo Francesco Riccati, ум. 15.04.1754). Автор трудов по интегральному исчислению, дифференциальным уравнениям («уравнение Риккати»), дифференциальной геометрии.

МТ: http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Riccati.html

31 мая — 90 лет со дня рождения Джона Джорджа Кемени (Kemény Jânos György, ум. 26.12.1992), американского специалиста по информатике и математика венгерско-го происхождения. Совместно с Томасом Курцем разработал язык BASIC (1964).

МТ: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Kemeny.html

1 июня — 220 лет со дня рождения французского математика и физика, основоположника термодинамики Сади Карно (Nicolas Leonard Sadi Carnot, ум. 24.08.1832).

1) Фрадкин Л. 3. Сади Карно. Его жизнь и творчество. К 100-летию со дня смерти. 1832-1932 гг. - М.-Л., 1932. 56 с.

2) Бродянский В. М. Сади Карно. — М.: Наука, 1993. 160 с.

2 июня — 100 лет со дня рождения американского математика Абрахама Зайденберга (Abraham Seidenberg, ум. 03.05.1988). Его работы содержат важный вклад в коммутативную алгебру, алгебраическую геометрию, историю математики.

МТ: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Seidenberg.html

3 июня — 110 лет назад родился канадский математик Гилберт Робинсон (Gilbert de Beauregard Robinson, ум. 08.04.1992). Основные труды — по комбинаторике и теории представлений групп.

МТ:

http://www-history.mes.st-andrews.ас.uk//Biographies/Robinson_G_de_B. html

5 июня — 90 лет назад родился французский математик Клод Берж (Claude Jacques Roger Berge, ум. 30.06.2002). Основные труды относятся к комбинаторике, теории игр, теории графов. Автор известной монографии «Теория графов и её применение» (М.: Иностр. лит., 1962. 319 с).

МТ : http://www-history.mes.st-andrews.ас.uk//Biographies/Berge. html

6 июня — 580 лет назад родился немецкий математик и астроном Иоганн Мюллер (Региомонтан) (Johannes Müller (Regiomontanus), ум. 06.07. 1476). Основал в Нюрнберге типографию и обсерваторию, в 1464 г. написал «О треугольниках всех видов» — первый в Европе труд, в котором тригонометрия является самостоятельной дисциплиной.

Белый Ю. А. Иоганн Мюллер (Региомонтан). 1436-1476. — М.: Наука, 1985. 128 с.

6 июня — 110 лет со дня рождения американского математика немецкого происхождения Макса Цорна (Мах August Zorn, ум. 09.03.1993). Основные труды по теории множеств («лемма Цорна»), теории групп, численному анализу.

МТ: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Zorn.html

14 июня — 220 лет назад родился (в Чехии) отечественный математик и механик, член-корреспондент Императорской Санкт-Петербургской академии наук (1855) Николай Дмитриевич Брашман (ум. 13.05.1866) - основатель и первый президент (1864) Московского математического общества, организатор журнала «Математический сборник».

1) Бюграфiя Н. Д. Брашмана, заслуженнаго профессора Императорскаго Московскаго университета // Матем. сб. 1866. Т. 1, № 1. C.XI-XXVI.

2) Лихолетов И. И., Майстров Л.Е. Николай Дмитриевич Брашман. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1971. 81 с.

14 июня — 160 лет со дня рождения выдающегося отечественного математика, ординарного академика Императорской Санкт-Петербургской академии наук (1896) Андрея Андреевича Маркова (ум. 20.07.1922). Автор классических работ по теории вероятностей, математическому анализу, теории чисел.

Гродзенский С. Я. Андрей Андреевич Марков (1856-1922). — М.: Наука, 1987. 259 с.

22 июня — 110 лет назад родился немецкий математик Эдуард Келлер (Eduard Ott-Heinrich Keller, ум. 05.12.1990). Основные труды по геометрии, топологии, алгебраической геометрии, теории чисел.

МТ: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Keller.html

27 июня — 210 лет со дня рождения шотландского математика и логика, первого президента (1865-1866) Лондонского математического общества Августа де Моргана (Augustus De Morgan, ум. 18.03.1871). Основные труды относятся к математической логике и теории рядов.

1) Математика XIX века. Том 1. Математическая логика. Алгебра. Теория чисел. Теория вероятностей (под ред. А.Н.Колмогорова и А.П.Юшкевича). - М.: Наука, 1978. 255 с. С. 18-22.

2) МТ: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Albanese.html

1 июля — 370 лет назад родился выдающийся немецкий учёный, дипломат и юрист Готфрид Вильгельм Лейбниц (Gottfried Wilhelm von Leibniz, ум. 14.11.1716). В математике Лейбницу принадлежат дифференциальное и интегральное исчисления в сохранившейся в главных чертах до нашего времени форме, создание комбинаторики как науки, основ математической логики и многое другое. Основатель (1700) и первый президент Берлинской академии наук. Подробно обсуждал с Петром I проект создания в России Академии наук.

1) Погребысский И. Б. Готфрид Вильгельм Лейбниц. Изд.2-е, перераб. и доп. - М.: Наука, 2004. 270 с.

2) Нарский И. С. Готфрид Лейбниц. — М.: Мысль, 1972. 239 с.

1 июля — 110 лет со дня рождения французского математика, одного из основателей группы «Бурбаки» Жана Дьёдоне (Jean Alexandre Eugène Dieudonné, ум. 29.11.1992). Основные работы - по спектральной теории операторов, общей топологии, группам Ли, алгебраической геометрии, истории математики и методике обучения математике в школе. Ряд монографий Дьедонне переведён на русский язык.

МТ: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Dieudonne.html

1 июля — 100 лет со дня рождения Давида Фомича Харазова (ум. 07.02.1975), видного представителя грузинской и ленинградской математических школ. Основные труды по обобщению классической теории Гильберта - Шмидта на неограниченные операторы и нормированные пространства, по спектральной теории операторнозначных функций, по граничным задачам в теории дифференциальных уравнений.

Арешкин Г. Я., Ильин В. П., Хведелидзе Б. В., Чогошвили Г. С. Давид Фомич Харазов (некролог) // УМН. 1975. Т. 30, № 6. С. 152-157.

7 июля — 110 лет со дня рождения американского математика (родом из Хорватии) Вильяма Феллера (William Feller, ум. 14.01.1970). Основные результаты - по теории вероятностей и её приложениям, функциональному анализу, теории меры, дифференциальным уравнениям.

МТ: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Feller.html

15 июля — 110 лет со дня рождения выдающегося отечественного историка математики Адольфа [Андрея) Павловича Юшкевича (ум. 17.07.1993). В 1965-1968 гг. был президентом Международной академии истории науки. Основатель (1948, совместно с Г.Ф.Рыбкиным) серии «Историко-математические исследования». Автор более 200 научных работ по истории математики, издатель трудов классиков математики.

1) Адольф Павлович Юшкевич (1906-1993) // Историко-математические исследования. 1995. Вып. 36, № 1. С. 9-12.

2) Демидов С. С, Токарева Т. А. Адольф Павлович Юшкевич и советская историко-математическая школа // Историко-математические исследования. 2006. Вып. 46. С. 48-84.

20 июля — 140 лет со дня рождения немецкого математика Людвига Отто Блюменталя (Ludwig Otto Blumenthal, погиб в концлагере 13.11.1944). Основные исследования относятся к теории функций многих переменных, целых функций бесконечного порядка, обобщенных сферических функций, теории функций комплексной переменной. Написал биографию и исследовал научную деятельность своего учителя Гильберта. В 1906-1938 гг. издавал «Mathematische Annalen».

МТ: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Blumenthal.html

24 июля — 160 лет со дня рождения выдающегося французского математика Шарля Эмиля Пикара (Charles Emile Picard, ум. 11.12.1941). Основные труды относятся к математическому анализу, теории дифференциальных уравнений, теории функций, топологии, теории групп, истории и философии математики. Почётный член АН СССР (1925).

МТ : http://www-history.mes.st-andrews.ас.uk//Biographies/Picard_Emile. html

27 июля — 140 лет со дня рождения отечественного математика, историка математики и методиста Дмитрия Дмитриевича Мордухай-Болтовского (ум. 07.02.1952). Опубликовал более 300 работ по различным разделам математики (математический анализ, теория чисел, дифференциальная и проективная геометрия, дифференциальные уравнения, математическая логика), по истории и философии математики, по методике преподавания математики. Переводчик и автор комментариев академических изданий «Начал» Евклида и «Математических работ» Ньютона на русском языке.

1) Минковский В. А., Мокрищев К. К., Налбандян М.Б., Хапланов М.Г. Д. Д. Мордухай-Болтовской (к 100-летию со дня рождения) // Вопросы истории естествознания и техники. 1977. Вып. 3-4 (56-57). С. 102-103.

2) Пырков В. Е. Лекция «Д. Д. Мордухай-Болтовской как ученый-энциклопедист и создатель первой научно-математической школы на Дону». Электронный ресурс: http://sfedu.ru/pls/rsu/docs/umr/43824.pdf

31 июля — 190 лет назад родился немецкий математик Эрнст Майсель (Daniel Friedrich Ernst Meissel, ум. 11.03.1895). Основные результаты -по теории чисел, тэта-функции, эллиптическим функциям, дифференциальным уравнениям, функциям Бесселя.

МТ : http : / / www-history, mes. st- and. ас. uk/Biographies/Meissel. html

14 августа — 150 лет назад родился бельгийский математик Шарль Жан де ла Валле Пуссен (Charles Jean Etienne Gustave Nicolas de la Vallée Poussin, ум. 02.05.1962). Получил важные результаты в математическом анализе, теории чисел, комплексном анализе.

МТ:

http : / / www-groups. des. st- and .ac.uk/ ~history/Biographies / Vallee_Poussin. html

24 августа — 240 лет назад родился польский математик и философ-мистик Юзеф Мария Вроньский (в другой транскрипции - - Вронский)

(Jözef Maria Hoene-Wronski, настоящая фамилия Хёне (Hoene), ум. 09.08.1853). Его именем называется функциональный определитель, введённый им в 1812 г.

Бобынин В. В. Гоёне Вронский и его учение о философии математики — М.: ред. журн. «Физико-математические науки в их настоящем и прошедшем», 1894. 84 с. (Биографии знаменитых математиков XIX столетия; вып. 3). (Доступно также по адресу http://books.e-heritage.ru/book/10076484)

16-26 августа — 50 лет назад в Москве, в МГУ, проходил XV Международный конгресс математиков. Президентом конгресса был ректор МГУ академик И. Г. Петровский, Филдсовские медали и премии на этом конгрессе были присуждены Майклу Атья, Полу Коэну, Александру Гротендику и Стивену Смейлу.

18 августа — 80 лет со дня рождения австралийского математика венгерского происхождения Ласло Ковача (Laszlö György Kovâcs, ум. 28.07.2013), специалиста по теории групп и теории представлений.

МТ: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Kovacs.html

30 августа — 160 лет назад родился немецкий математик и физик Карл Рунге (Carl David Tolmé Runge, ум. 01.01. 1927). Он считается первым немецким профессором прикладной математики. Совместно с М. Куттой разработал методы Рунге-Кутты численного интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Получил ряд результатов по теории аппроксимации.

МТ: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Runge.html

30 августа — 110 лет со дня рождения Ольги Таусски-Тодд (Olga Taussky-Todd, ум. 07.10.1995), математика австрийского происхождения, работавшей в разные годы в Гемании, Англии и США. Основные результаты относятся к теории матриц. Была редактором издания трудов Д. Гильберта.

МТ:

http:/ /www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Taussky-Todd.html

14 сентября — 140 лет со дня рождения академика Ивана Матвеевича Виноградова (ум. 20.03.1983). Основной его вклад в математику — создание метода тригонометрических сумм в аналитической теории чисел. Был директором МИАН им. В. А. Стеклова (1934-1983 с перерывом в 1941-1944).

1) Александров 77. С. Иван Матвеевич Виноградов как математик и как директор Института (несколько слов к его девяностолетию) // УМН. 1981. Т. 36, № 6. С.17-20.

2) Академик Иван Матвеевич Виноградов (некролог) // УМН. 1983. Т. 38, № 6. С. 105-106.

15 сентября — 130 лет назад родился член Парижской АН французский математик Поль Пьер Леви (Paul Pierre Levy, ум. 15.12.1971). Основные труды по теории вероятностей (основоположник теории случайных процессов), функциональному анализу, теории функции и механике.

МТ: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/BiograpMes/Levy_Paul.html

15 сентября — 90 лет назад родился член Французской АН, иностранный член РАН, лауреат многочисленных премий, в числе которых Филдсовская (1954) и Абелевская (2003), Жан-Пьер Серр (Jean-Pierre Serre). Принимал участие в работе группы «Николя Бурбаки». Основные труды по алгебраической геометрии, теории чисел и топологии. На русском языке издан ряд его монографий и 4 тома собрания сочинений.

МТ : http://www-history.mes.st-andrews.ас.uk//Biographies / Serre. html

17 сентября — 190 лет со дня рождения выдающегося немецкого математика Бернхарда Римана (Georg Friedrich Bernhard Riemann, ум. 20.07.1866). Исследования относятся к теории функций комплексной переменной, математической и теоретической физике, теории дифференциальных уравнений, теории чисел. Создатель римановой геометрии.

1) Монастырский М. И. Бернхард Риман. Топология. Физика. — М.: Янус-К, 1999. 188 с.

2) Дербишир Дж. Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешённая проблема в математике. — Астрель, 2010. 464 с.

20 сентября — 110 лет со дня рождения отечественного математика Веры Николаевны Фаддеевой (ум. 15.04.1983), специалиста в области вычислительной математики.

1) Керимов М. К. Памяти Веры Николаевны Фаддеевой (к столетию со дня рождения) // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2007. Т. 47, № 7. С. 1276-1280.

2) Кублановская В. Н. Вклад В. Н. Фаддеевой и Д. К. Фаддеева в развитие вычислительных методов линейной алгебры // Алгебра и анализ. 1990. Т. 2, вып. 6. С. 34-39.

24 сентября — 120 лет назад родился советский математик и методист, член-корреспондент АПН РСФСР (1944) Василий Леонидович Гончаров (ум. 30.10.1955), автор работ по теории функций комплексной переменной, приближениям функций, комбинаторике, методике преподавания математики.

Андронов И. К. Выдающиеся советские педагоги-математики // Математика в школе. 1963. № 3. С. 4-9.

29 сентября — 140 лет назад родился итальянский математик Бернардино Гаэтано Скорца (Bernardino Gaetano Scorza, ум. 20.03.1983). Основные труды по теориям групп, алгебр, римановых матриц и проективной геометрии (теория алгебраических кривых и поверхностей).

МТ: http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Scorza.html

30 сентября — 125 лет со дня рождения выдающегося советского учёного академика Отто Юльевича Шмидта (ум. 07.09.1957). В области математики ему принадлежат работы и монография по теории групп.

1) Корякин В. С. Отто Шмидт. — М.: Вече, 2011. 416 с.

2) Черников С. Н., Зайцев Д. И., Сысак Я. П. О. Ю. Шмидт и теория групп // Укр. мат. жури. 1981. Т. 33, № 5. С. 700-703.

3) Черников С. Н. Отто Юльевич Шмидт (к 80-летию со дня рождения) // Укр. мат. жури. 1971. Т. 23, № 5. С. 581-585.

Октябрь — 150 лет со дня выхода журнала «Математический сборник». Подготовку первого тома возглавлял Н. Д. Брашман, основатель и первый президент Московского математического общества.

Демидов С. С. «Математический сборник» в 1866-1935 гг. // Историко-математические исследования. Вторая серия. 1996. Вып. 1(36). No2. С. 127-145.

2 октября — 90 лет со дня рождения японского математика Мичио Сузуки (Michio Suzuki, ум. 31.05.1998) (с 1953 г. работал в университете Урбана-Шампейн, США). Получил важные результаты в теории групп.

МТ: http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Suzuki_Michio.html

6 октября — 80 лет со дня рождения иностранного члена РАН, лауреата премии Вольфа (1996) канадского математика Роберта Ленглендса (Robert Phelan Langlands). Автор ряда важных результатов по теории групп, теории представлений, автоморфным формам. Предложил «программу Ленглендса», содержащую ряд гипотез и фактов, связывающих указанные области и развивающуюся до настоящего времени.

МТ: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Langlands.html

15 октября — 240 лет со дня рождения английского физика и математика Петра Барлоу (Peter Barlow, ум. 01.03.1862). Автор «Новых математических таблиц» (1814), содержащих таблицы квадратов, кубов, квадратных, кубических корней и обратных величин всех целых чисел до 12 500, занимался также совершенными числами.

МТ: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Barlow.html

15 октября — 170 лет со дня рождения русского астронома и математика Платона Сергеевича Порецкого (ум. 22.08.1907). Автор первых в России трудов по математической логике, первый из русских учёных, кто читал лекции по математической логике. Его результаты (логическая теория канонических форм и др.) оказали влияние на последующие работы в этой области.

1) Бажанов В. А. Жизнь и научная деятельность пионера исследований в области математической логики в России П. С. Порецкого // Вопросы истории естествознания и техники. 2005. № 4. С. 64-73.

2) Слешинский И. Памяти Платона Сергеевича Порецкого (некролог) // Вестник опытной физики и элементарной математики. 1909. № 487. С. 145-148.

24 октября — 110 лет со дня рождения советского математика, члена-корреспондента АН СССР Александра Осиповича Гельфонда (ум. 07.11. 1968). Известен своими работами по теории чисел, а также решением седьмой проблемы Гильберта.

1) Пятецкий-Шапиро И. П., Шидловский А. Б. А. О. Гельфонд (К шестидесятилетию со дня рождения) // УМН. 1967. Т. 22, № 3. С. 247-256.

2) Евграфов М.А., Коробов Н.М., Линник Ю.В., Пятецкий-Шапиро И. П., Фельдман П. И. Александр Осипович Гельфонд (некролог) // УМН. 1969. Т. 24, № 3. С. 219-220.

25 октября — 90 лет со дня рождения американского математика Джеймса Иллса (James Eells, ум. 14.02.2007). Основные результаты в области нелинейного функционального анализа.

МТ: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Eells.html

30 октября — 110 лет назад родился академик Андрей Николаевич Тихонов (ум. 07.10.1993), основатель факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ. Основные результаты относятся к топологии, функциональному анализу, теории разностных схем, теории некорректных задач.

1) Бицадзе А. В., Ильин В. А., Олейник О. А., Попов Ю. П., Самарский А. А., Свешников А. Г., Соболев С. Л. Андрей Николаевич Тихонов (к восьмидесятилетию со дня рождения) // УМН. 1987. Т. 42, № 3. С. 3-12.

2) Андрей Николаевич Тихонов (некролог) // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1994. Т. 34, № 2. С. 318-319.

3 ноября — 120 лет со дня рождения американского математика Раймонда Уайлдера (Raymond Louis Wilder, ум. 07.07.1982). Был президентом Американского математического общества (1955-1956). Основные труды относятся к математической логике и основаниям математики.

МТ: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Wilder.html

5 ноября — 150 лет со дня рождения австрийского математика Альфреда Таубера (Alfred Tauber, погиб в концлагере примерно в 1942 г.). Основные труды относятся к теории чисел и теории функций. В математическом анализе важную роль играют тауберовы теоремы.

МТ: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/ history/Biographies/Tauber.html

7 ноября — 110 лет со дня рождения французского математика Жана Лере (Jean Leray, ум. 10.11.1998), работал в области алгебраической топологии, функционального анализа, дифференциальных уравнений с частными производными. Член Французской АН и многих других академий, в том числе иностранный член АН СССР (1966). Награждён Большой золотой медалью имени М.В.Ломоносова АН СССР (1988).

1) Олейник О. А. Золотые медали им. М. В. Ломоносова за 1988 г. — С. Л. Соболеву и Ж. Лерэ // Природа. 1998. № 7. С. 106-108.

2) МТ: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Leray.html

8 ноября — 360 лет со дня рождения выдающегося английского учёного Эдмунда Галлея (Edmond Halley, ум. 14.01.1472). В области математики является основателем теории актуарных расчётов в сфере страхования жизни. Убедил Исаака Ньютона опубликовать «Математические начала натуральной философии» и финансировал публикацию.

МТ : http : / / www-groups. des. st- and. ас. uk/ ~history/Biographies/Halley. html

8 ноября — 170 лет со дня рождения итальянского математика Эугенио Бертини (Eugenio Bertini, ум. 24.02.1933), автора классических результатов по алгебраической геометрии.

МТ: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Bertini.html

9 ноября — 170 лет назад родился венгерский математик, член Венгерской

АН Мор Рети (Mor Réthy, ум. 16.10.1925), исследователь и продолжатель творчества Яноша и Фаркаша Бояи.

МТ: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Rethy.html

9 ноября — 125 лет назад родился член-корреспондент АН СССР Родион Осиевич Кузьмин (ум. 24.03.1949). Основные труды относятся к теории чисел и математическому анализу. Решил проблему Гаусса из теории вероятностей, доказал трансцендентность квадратично иррациональной степени алгебраического числа.

1) Венков Б. А., Натансон И. П. Родион Осиевич Кузьмин (1891-1949) (некролог) // УМН. 1949. Т. 4, № 4. С. 148-155.

2) Свидерская Г Е. 110 лет со дня рождения: Родион Осиевич Кузьмин (1891— 1949) // Математика в ВУЗе (Общественный научный и методический интернет-журнал Санкт-Петербургского государственного технического университета). 2001-2002, № 2.

http: / / www.spbstu.ru / publications / m_v/N_002/Kuzmin_R_0 / Sviderskaia.html

9 ноября — 110 лет со дня рождения советского математика, академика АН Украинской ССР (1965) Ярослава Борисовича Лопатинского (ум. 10.03.1981). Основные работы относятся к теории дифференциальных уравнений с частными производными.

Вишик М. И., Данилюк И. И., Олейник О. А., Скрыпник И. В., Соболев С Л. Ярослав Борисович Лопатинский (некролог) // УМН. 1982. Т. 37, № 3. С. 167-169.

10 ноября — 110 лет назад родился немецкий математик Хайнц Прюфер (Ernst Paul Heinz Prüfer, ум. 07.04.1934). Основные результаты относятся к теории абелевых групп, алгебраической теории чисел, теории узлов и теории Штурма-Лиувилля.

МТ: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Prufer.html

18 ноября — 125 лет назад родился Николай Фёдорович Четверухин (ум. 07.03.1974), крупный математик-методист, академик АПН СССР.

Организатор и руководитель Московского семинара по начертательной геометрии и инженерной графике (с 1936 г.) и семинара «Методы преподавания геометрии и графических дисциплин» (с 1945 г.). Труды по высшей, проективной и начертательной геометриям, по истории и методике преподавания, в том числе учебники и учебные пособия для педагогических и технических вузов.

Семушин А. Д. Николай Фёдорович Четверухин (К 80-летию со дня рождения) // Математика в школе. 1971. № 5. С. 90-91.

19 ноября — 140 лет со дня рождения Татьяны Алексеевны Эренфест-Афанасьевой (ум. 14.04.1964) — русского и голландского математика и физика, автора глубокого анализа и аксиоматики теоретической термодинамики. Внесла большой вклад в развитие математического образования в Нидерландах.

МТ: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/ Ehrenfest-Afanassjewa.html

23 ноября — 400 лет назад родился английский математик Джон Валлис ( Уоллес) (John Wallis, ум. 28.10.1703), автор значительных результатов в области математического анализа, геометрии, теории чисел.

МТ: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/ history/Biographies/Wallis.html

25 ноября — 175 лет назад родился немецкий математик Эрнст Шредер (Friedrich Wilhelm Karl Ernst Schröder, ум. 16.06.1902). Занимался главным образом теорией функций, комбинаторикой, основаниями математики. Его работы по математической логике оказали большое влияние на последующие исследования в этой области.

1) Математика XIX века. Том 1. Математическая логика. Алгебра. Теория чисел. Теория вероятностей (под ред. А.Н.Колмогорова и А.П.Юшкевича). - М.: Наука, 1978. 255 с. С. 34-36.

2) МТ: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Schroder.html

26 ноября — 75 лет со дня рождения итальянского математика, лауреата Филдсовской премии (1974) Энрико Бомбьери (Enrico Bombieri). Основные труды — по теории чисел, комплексному анализу, дифференциальным уравнениям.

МТ: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Bombieri.html

30 ноября — 80 лет со дня рождения выдающегося отечественного математика, академика РАН (1992) Дмитрия Викторовича Аносова (ум. 05.08.2014), специалиста по теории динамических систем и дифференциальных уравнений, дифференциальной геометрии и топологии.

1) Арнольд В. И., Болибрух А.А., Гамкрелидзе Р. В., Маслов В. П., Мищенко Е.Ф., Новиков СП., Осипов Ю.С, Синай Я. Г., Степин А.М., Фаддеев Л. Д. Дмитрий Викторович Аносов (к шестидесятилетию со дня рождения) // УМН. 1997. Т. 52, № 2. С. 193-200.

2) Мищенко Е. Ф. От ответственного редактора Трудов МИАН. — В кн. «Динамические системы и смежные вопросы». Сборник статей. К 60-летию со дня рождения академика Дмитрия Викторовича Аносова. Тр. МИАН, 216. — М.: Наука, 1997. С. 7-8.

3) Асеев С. М., Бухштабер В. М., Григорчук Р. И., Гринес В. 3., Гуревич Б. М., Давыдов А.А., Жиров А.Ю., Жужома Е.В., Зеликин М.И., Каток А. Б., Клименко А. В., Козлов В. В., Лексин В. П., Монастырский М. И., Нейштадт А. И., Новиков СП., Сатаев Е.А., Синай Я. Г., Стёпин А.М. Дмитрий Викторович Аносов (некролог)// УМН. 2015. Т. 70, № 2. С. 181-191.

4 декабря — 130 лет со дня рождения немецкого математика Людвига Бибербаха (Ludwig Georg Elias Moses Bieberbach, ум. 01.09.1982). Автор работ по теории функций, комплексному анализу, геометрии. Придерживался нацистских взглядов.

1) МТ: http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Bieberbach.html

2) Табачников С. Нацизм и математика // Квант. 1990. № 10. С. 14-20.

6 декабря — 160 лет со дня рождения немецкого математика Вальтера фон Дика (Walther Franz Anton von Dyck, ум. 05.11.1934). Внёс вклад в теорию функций, теорию групп, топологию, теорию потенциала.

МТ: http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Von_Dyck.html

7 декабря — 80 лет со дня рождения академика НАН Украины (2006), советского и украинского математика Александра Николаевича Шарковского. Основные труды по дифференциальным уравнениям, теории динамических систем, топологии.

МТ: http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Sharkovsky.html

9 декабря — 110 лет со дня рождения Грейс Хоппер (Grace Brewster Murray Hopper, ум. 01.01.1992), контр-адмирала флота США, создательницы первого в истории компилятора для языка программирования.

МТ: http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Hopper.html

14 декабря — 80 лет со дня рождения английского математика Терри Болла (Charles Terence Clegg «Terry» Wall). Основные работы в области геометрии, алгебраической топологии, теории бордизмов, теории катастроф.

МТ : http : / / www-groups. des. st- and. ас. uk/ ~history/Biographies /Wall. html

22 декабря — 110 лет со дня рождения советского математика Бориса Яковлевича Левина (ум. 24.08.1993). Исследования относятся к теории целых функций, функциональному анализу, гармоническому анализу, теории почти периодических функций.

Ефимов Н. В., Крейн М. Г., Островский И. В. Борис Яковлевич Левин (к шестидесятилетию со дня рождения) // УМН. 1968. Т. 23, № 5. С. 187-191.

25 декабря — 160 лет назад родился отечественный математик-педагог Иван Иванович Александров (ум. 19.12.1919). Работал учителем математики в Тамбовской гимназии и в московских средних учебных заведениях. Написал более 30 работ по методике математики, в том числе книги «Методы решения геометрических задач», «Методы решения арифметических задач», оказавшие большое влияние на методику преподавания математики.

http: / / www.vladregion.info / people / vladimirskaya-entsiklopediya-zemlyaki / aleksandrov-ivan-ivanovich

26 декабря — 225 лет со дня рождения английского математика Чарльза Бэббиджа (Charles Babbage, ум. 18.10.1871), иностранного члена Императорской АН (1832). Изобретатель первой аналитической вычислительной машины, в 1833 г. разработал проект универсальной цифровой вычислительной машины — прообраза ЭВМ. Труды по теории функций и механизации вычислений в экономике.

1) Гутер Р. С, Полунов Ю.Л. Чарльз Бэббедж (1792-1871). — М.: Знание, 1973. 64 с.

2) Майстров Л. Е., Эдлин И. С. Ч. Бэббедж и его разностная машина // Наука и техника: (Вопросы истории и теории). — Л., 1973. Вып. 8. С. 33-36.

29 декабря — 160 лет со дня рождения Томаса Иоганнеса Стилтьеса (Thomas Joannes Stieltjes, ум. 31.12.1894) — голландского математика, члена-корреспондента Петербургской АН (1894). Предложил обобщение определённого интеграла (интеграл Римана-Стилтьеса). Труды по комплексному анализу.

МТ: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Stieltjes.html

31 декабря — 160 лет назад родился немецкий математик Карл Зигель (Carl Ludwig Siegel, ум. 04.04.1981). Лауреат премии Вольфа (1978). Основные труды по теории чисел, теории дифференциальных уравнений, теории функций комплексной переменной, по небесной механике.

МТ: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Siegel.html

— 2400 лет назад родился Аристотель (ΑριστοτεΛης , ум. в 322 г. до н.э.), выдающийся древнегреческий философ, внёсший важный вклад в систематизацию дедуктивной логики. Его труды оказали влияние на дальнейшее развитие науки в целом и математики в частности. Чанышев А.Н. Аристотель. — М.: Мысль, 1981. 200 с.

— 1540 лет назад родился выдающийся индийский астроном и математик Ариабхата (ум. в 550 г.).

Володарский А. И. Ариабхата: к 1500-летию со дня рождения. — М.: Наука, 1977. 112 с. — 1180 лет назад родился выдающийся арабский учёный сирийского происхождения Сабит ибн Курра ал-Харрани (ум. 18.02.901). Перевёл

с греческого труды античных авторов (Архимеда, Аполлония, Евклида, Птолемея и др.), некоторые из их сочинений дошли до нас только в его переводе. Пытался доказать пятый постулат Евклида. Открыл формулу, позволяющую находить некоторые пары дружественных чисел.

1) Сабит ибн Корра ал-Харрани. Математические трактаты (Научное наследство, т. 8) / Сост. Б. А. Розенфельд. — М.: Наука, 1984. 391с.

2) Розенфельд Б. А., Хайретдинова Н. Г. Сабит ибн Корра. 836-901. — М.: Наука, 1994. 179 с.

— 260 лет назад родился русский физик и математик, почётный член (1786) Петербургской АН Михаил Евсеевич Головин (ум. в 1790 г.), один из первых методистов-математиков. Оставил заметный след в истории развития математического образования в России как автор учебников по арифметике, геометрии, тригонометрии и механике. Прудников В. Е. Русские педагоги-математики XVIII-XIX веков. — М.: Учпедгиз, 1956. 640 с. С. 133-142.

— 250 лет назад родился английский геолог и один из пионеров геофизики Джон Фарей (John Farey, ум. 06.01.1826), единственным вкладом в математику которого являются ряды Фарея (дроби Фарея), опубликованные им в статье «Об интересном свойстве обыкновенных дробей» (1816).

МТ : http : / / www-groups. des. st- and. ас. uk/ ~history/Biographies/Farey.html

— 230 лет назад родился Уильям Джордж Горнер (William George Horner, ум. 22.09.1837), британский математик, именем которого названа известная схема Горнера. Опубликовал (1819) способ приближённого вычисления действительных корней многочлена, который называется теперь способом Руффини - Горнера (Руффини опередил Горнера на 15 лет, а китайцам этот способ был известен еще в XIII веке).

МТ: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Horner.html

— 220 лет назад родился Яков Александрович Севостьянов (ум. 06.10.1849), русский математик, первым в России развивавший начертательную геометрию, включивший её в число курсов, изучаемых в учебных заведениях. Автор первого сочинения (1819) по аналитической геометрии на русском языке.

Тарасов Б. Ф. Яков Александрович Севастьянов. 1796-1849. — СПб.: Наука, 1995. 188 с.

Добавления к календарю на 2015 год

(см. журнал «Математика в высшем образовании» № 12 за 2014 год)

9 февраля 2015 года — 120 лет со дня рождения выдающегося советского геометра Петра Алексеевича Широкова (ум. 26.02.1944).

1) Петр Алексеевич Широков (человек и ученый). — Казань: Казанский фонд «Математика», 1995. 88 с.

2) Лаптев Б. Л., Широков А. П., Вишневский В. В. Петр Алексеевич Широков, 1895-1944. — Казань: Изд-во Казанского ун-та, 2001. 28 с.

3) Широкова О. А. Основатель казанской геометрической школы Пётр Алексеевич Широков (к 120-летию со дня рождения) // Математика в высшем образовании. 2015. № 13 (настоящий номер). С. 165-184

17 марта 2015 года — 100 лет со дня рождения немецкого математика Вольфганга Дёблина (Wolfang Doeblin, ум. 21.06.1940). Автор ряда ярких результатов по теории вероятностей и теории случайных процессов, некоторые из которых были независимо переоткрыты позже. Зверкина Г А. Вольфганг (Винсент) Дёблин (1915-1940) / Труды XII Международных Колмогоровских чтений. — Ярославль, 2014. С. 274-278.

8 ноября 2015 года — 100 лет со дня рождения советского математика академика НАН Беларуси Дмитрия Алексеевича Супруненко (ум. 01.08.1990). Основные работы в области алгебры и математической кибернетики.

Бураков В. С, Гайшун И. В., Танаев В. С, Янчевский В. И., Сарванов В. И., Конюх В. С, Метельский П. П., Вольвачёв Р. Т. Дмитрий Алексеевич Супруненко (1915-1990) // Изв. АН Беларуси. Сер. физ.-матем. наук. 1996. № 3. С. 30-32.

Составитель: Г. М. Полотовский

В МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОБЩЕСТВАХ

СПИСОК ДОКЛАДОВ, ПРОЧИТАННЫХ НА НАУЧНЫХ ЗАСЕДАНИЯХ НИЖЕГОРОДСКОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБЩЕСТВА

Ниже приводится список докладов, прочитанных на научных заседаниях Нижегородского математического общества (ННМО) в период, прошедший после предыдущего отчёта (см. [1]) до сдачи этого номера журнала в печать. Аннотации этих докладов (как и почти всех докладов за предшествующие годы) можно найти на сайте ННМО — http://www.unn.runnet. ru/nnmo/zasedania.html.

Заседание 14 ноября 2014 г.

Е.Ю. Смирнов (Факультет математики НИУ ВШЭ, Москва). «Исчисление Шуберта и многогранники Гельфанда-Цетлина».

Заседание 10 декабря 2014 г.

Джон Перри (Университет Southern Missisippi, Хаттисберг, США). «Скелеты, которые вы найдёте в своём шкафу, когда будете наводить там идеальный порядок».

Заседание 16 января 2015 г.

B. А. Кириченко (Факультет математики НИУ ВШЭ, Москва). «Исчисление Шуберта и многогранники Ньютона-Окунькова».

Заседание 13 февраля 2015 г.

А.В. Клименко (МИАН им. В.А. Стеклова, НИУ ВШЭ, Москва). «Уравнение Джозефсона».

Заседание 12 марта 2015 г.

С.Б. Тихомиров (Лаборатория им. П.Л. Чебышева Санкт-Петербургского государственного университета).

«Количественные характеристики свойства отслеживания».

Заседание 24 апреля 2015 г.

C. Е. Степанов, И. И. Цыганок (Финансовый университет при правительстве РФ, Москва.)

«Сравнительный анализ свойств операторов Ходжа-де Рама и Тачибаны».

Заседание 1 июня 2015 г.

В. Ж. Сакбаев (МФТИ, РУДН, Москва).

«Понятие взрыва множества решений дифференциальных уравнений и усреднение случайных полугрупп».

Заседание 3 сентября 2015 г.

В.М. Бухштабер (МГУ), А.А. Глуцюк (ВШЭ, Москва). «О детерминантах матриц из модифицированных функций Бесселя и целых решениях дважды конфлюэнтных уравнений Гоппа».

Заседание 21 октября 2015 г.

Л.М. Лерман, Е.И. Яковлев (Нижегородский университет, ИИТММ). «О геометрии быстро-медленных гамильтоновых систем».

ЛИТЕРАТУРА

1. В Нижегородском математическом обществе // Математика в высшем образовании. 2014. № 12. С. 191-192.

Президент ННМО Г. М. Полотовский

Поступила 20.10.2015

В МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОБЩЕСТВАХ

О САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОМ МАТЕМАТИЧЕСКОМ ОБЩЕСТВЕ

Санкт-Петербургское математическое общество возникло в 1890 году. В это время в России уже существовали московское (с 1867 г.) и харьковское (с 1879 г.) математические общества. Первыми президентами Санкт-Петербургского общества были академик В. Г. Имшенецкий (1890-1892) и Ю. В. Сохоцкий (с 1892 г.). Перед революцией общество прекратило свою деятельность.

Второй этап деятельности общества начался в 1921 году. Оно было воссоздано по инициативе А. В. Васильева, который ранее уже основал (в 1890 году) и возглавлял, до переезда в Петербург, Казанское физико-математическое общество. Петроградское (впоследствии Ленинградское) физико-математическое общество играло очень важную роль в математической жизни города и страны. В 1921-1923 гг. его президентом был А. В. Васильев, а после его смерти и до конца второго этапа — Н. М. Гюнтер. Во время этого этапа работы общества состоялось около 150 заседаний. В работе общества активно участвовали Я. В. Успенский, В. И. Смирнов, Б. Н. Делоне, Г. М. Фихтенгольц, В. А. Стеклов, А.А.Фридман, В.А.Фок, А. С. Безикович, С. Н. Бернштейн, Я. Д. Тамаркин, Р. О. Кузьмин, Н. И. Мусхелишвили, Л. Г. Лойцянский, Б. Г. Галёркин. С 1926 г. выходил основанный В. А. Стекловым «Журнал Ленинградского физико-математического общества», один из немногих математических журналов в стране в то время. В конце 20-х годов под знаком борьбы с «формализмом и схоластикой» начались нападки на ученых, «стоящих в стороне от классовой борьбы». В обстановке борьбы с «гюнтеровщиной» общество приняло решение о самороспуске.

В 1953 году начал работу Ленинградский общематематический семинар, организованный В. И. Смирновым. Этот семинар по существу играл роль математического общества. Работа семинара в тот период связана с именами В.И.Смирнова, Г. М. Фихтенгольца, А.А.Маркова, А.Д.Александрова, И. П. Натансона, С. М. Лозинского, Л. В. Канторовича, Д. К. Фаддеева, О.А. Ладыженской, Ю. В. Линника, Б. А. Венкова. Наконец, в 1959 году удалось организовать Ленинградское математическое общество (ныне Санкт-Петербургское математическое общество). Большая заслуга в этом принадлежит, наряду с В.И.Смирновым, А.Д.Александрову. Почетным президентом общества был избран В. И. Смирнов, президентом — Ю. В. Линник. На третьем этапе деятельности общества его президентами становились С.М.Лозинский, Д.К.Фаддеев, О.А.Ладыженская, А. М. Вершик. В 2008 г. президентом был избран Ю. В. Матиясевич.

Ряд выдающихся математиков были избраны почетными членами общества: В.И.Смирнов, А.Д.Александров, С. Н. Бернштейн, Л.В.Канторович, А. А. Марков, М. Г. Крейн, С. Г. Михлин, О.А. Ладыженская, В. А. Залгаллер, Н. А. Шанин, А. М. Вершик, И. А. Ибрагимов, В. М. Бабич.

На протяжении нескольких десятилетий общество играло роль центра математической жизни города. На его заседаниях члены общества и гости из

других математических центров докладывали полученные результаты, делали обзоры новых направлений. Обсуждались злободневные вопросы научной жизни и преподавания математики. Приглашались руководители издательств.

Два десятилетия регулярно издавались «Труды Санкт-Петербургского математического общества» (в 2010 году было принято решение о переходе на нерегулярный характер издания «Трудов»). Общество имеет электронный архив препринтов.

Другим направлением работы является поддержка молодых математиков. Общество учредило стипендии для успешных студентов и молодых математиков, организует студенческий конкурс по решению задач. С 1962 года присуждается премия общества «Молодому математику» (для лиц не старше 35 лет). Сейчас интересно взглянуть на начало приводимого ниже списка лауреатов этой премии, чтобы понять, как много среди них таких, кто вышел на мировой уровень:

В. Г. Мазья (1962), Б. Б. Венков (1963), В.С.Буслаев (1964), В. И. Дергузов, А.В.Яковлев (1965), А.С.Благовещенский (1966), В. П. Оревков (1967), В. В. Жук (1968), Ю. В. Матиясевич (1970), С.А.Виноградов (1971), Я. М. Элиашберг (1973), Ю.А.Давыдов (1974), О. Я. Виро, Н.А.Широков (1975), Е.М.Дынькин, Б. С. Цирельсон (1976), М. Д. Стерлин, А. А. Суслин (1977), Л. Н. Гордеев, С.В.Хрущев (1978), Н. Е. Барабанов, Н.Л.Гордеев, О.И.Рейнов (1980), А. Р. Итс, Е. Д. Глускин (1981), А.С.Меркурьев, В. В. Пеллер (1982), Е. К. Склянин (1983), В. Л. Кобельский, Д.Ю.Григорьев, А.Л.Чистов (1984), М. А. Лифшиц (1985), М.Ю. Любич, Ю. Г. Сафаров (1987), В. А. Кайманович, Н. Ю. Решетихин (1988), А. А. Боричев, О. Т. Ижболдин (1989), А. И. Барвинок (1990), Г. Я. Перельман (1991), Д.Ю.Бураго, И. Б. Фесенко (1992), Ф.Л.Назаров (1993), СМ. Шиморин (1994), С.В.Иванов (1995), О.Л.Виноградов, С.К.Смирнов, Т.Н. Шилкин (1996-97), А. Б. Пушницкий, Н. В. Цилевич (1998), Г. Б. Михалкин (1999), О. Я. Демченко (2000), С. Г. Крыжевич, А.В.Малютин (2001), А. Г. Эршлер (2002), А.Н.Зиновьев (2003), А.Д.Баранов, Д.С.Челкак (2004), О.А.Тараканов (2005), Н.В.Дуров (2006), К. В. Первышев, В.А.Петров (2007), В.В.Высоцкий, А.Ю. Лузгарев (2008), А. К. Ставрова, С. Б. Тихомиров (2009), П. Н. Мнёв (2010), Ю. С. Белов, Ф. В. Петров (2011), A.C. Ананьевский, Р. С. Пусев (2012), К.А.Изъюров (2013), С.О.Иванов (2014), П. Б. Затицкий, Д.М.Столяров (2015).

В последние годы характер деятельности общества, в силу объективных причин, вынужденно меняется. В Петербурге появилось много площадок для сообщений об актуальных достижениях (например, коллоквиумы Лаборатории им. П. Л. Чебышева, многочисленные семинары), многие лекции и доклады доступны в Интернете. Поэтому всё больше заседаний общества теперь посвящено памятным датам и конкретным ученым.

Представление о деятельности общества можно получить по сайту http://www.mathsoc.spb.ru. Там же имеется обширная информация по истории математики в Петербурге.

А. А. Лодкин, ученый секретарь общества

Поступила 02.12.2015

Математика в высшем образовании

№ 13, 2015

Научно-методический журнал

Свидетельство о регистрации средства массовой информации Министерства РФ по делам печати, телерадиовещания и средств массовых коммуникаций ПИ № 77-15825 от 7 июля 2003 г.

ISSN 1729-5440

Электронные адреса: polotovsky@gmail.com; inna.yemelyanova@gmail.com Сайт: http://wvvw.unn.ru/math

Компьютерная верстка Л. Р. Семеновой Оригинал-макет подготовлен с использованием пакета LATEX

Издательство Московского центра непрерывного математического образования. 119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11

Отпечатано с предоставленных файлов в ППП «Типография “Наука”». 119002, Москва, Шубинский пер., 6 Заказ № 24

Индекс 87966

ISSN 1729-5440 Математика в высшем образовании, 2015, № 13