ISSN 1729-5440

МАТЕМАТИКА В ВЫСШЕМ ОБРАЗОВАНИИ

12

2014

Научно-методический совет по математике Министерства образования и науки Российской Федерации

Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского

Нижегородское математическое общество

МАТЕМАТИКА В ВЫСШЕМ ОБРАЗОВАНИИ

12

2014

Научно-методический журнал

Нижний Новгород

Редакционная коллегия:

И.С. Емельянова (главный редактор)

Е.И Гордон, М.В Долов, Г.М. Жислин. Т.А. Иванова, |В.А. Ильин], Ю.Л Кетков|, М.И. Кузнецов, С.К. Ландо, А.В. Латышев, Н.И. Мерлина, В.И. Михеев, Е.И. Моисеев, Г.М. Полотовский (зам. гл. редактора), Н.Х. Розов, В.А. Садовничий, Г.И. Саранцев, Р.Г. Стронгин, С.Н. Слугин, М.А. Федоткин

При перепечатке, переводе на иностранный язык, а также при ином использовании оригинальных материалов журнала ссылки на ''Математика в высшем образовании" обязательны

Этот номер журнала опубликован за счёт финансовой поддержки Московского центра непрерывного математического образования

Адрес редакции: 603950, Нижний Новгород, проспект Гагарина, 23, корпус 6, к. 406. Тел. (831) 4657335; e-mail: polotovsky@gmail.com http://www.unn.ru/math

© Математика в высшем образовании, 2014

Mathematics Science and Methods Council of Russian Ministry of Education

Nizhni Novgorod N.I. Lobachevsky State University

Nizhni Novgorod Mathematical Society

MATHEMATICS IN HIGHER EDUCATION

12

2014

Academic Journal

Nizhni Novgorod

Editorial Board:

I.S. Yemelyanova (Editor-in-Chief), E.I Gordon, M.V Dolov, G.M. Zhislin, T.A. Ivanova,[V.A. Ilyin, Y.L. Ketkov,| M.I. Kuznetsov, S.K. Lando, A.V. Latyshev, N.I. Merlina, V.I. Miheev, E.I. Moiseev, G.M. Polotovskiy (Editor), N.Kh. Rozov, V.A. Sadovnichii, G.I. Sarantsev, R.G. Strongin, S.N. Slugin, M.A. Fedotkin

No reprint or any use of the material is allowed without reference to “Mathematics in Higher Education”

This issue of the journal is published due to financial support of the Moscow center for continuous mathematical education

Editorial Office Address: University of Nizhni Novgorod, 23 Prospekt Gagarina, Building 6, Office 406 603950, Nizhni Novgorod, Russia Tel: (831)4657335; e-mail: polotovsky@gmail.com http://www.unn.ru /math

© Mathematics in Higher Education, 2014

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие.......................................................................7

Содержание и технологии математического образования в вузе

Полотовский Г.М., Ремизов И. Д. Бутерброды и носки в курсе высшей алгебры........................................................................9

Тихомиров В. М. Синтетический курс математики............................. 15

Инновационные и информационные технологии и компьютерные продукты в преподавании математики

Вербицкая, И. Н. Опыт использования автоматизированных обучающих курсов в преподавании высшей математики в вузе.......................... 41

Математические соревнования в вузах

Заляпин В. И., Эвнин А. Ю. Заочные студенческие математические олимпиады ........................................................................ 51

История математики и математического образования.

Персоналии

Юлий Лазаревич Кетков (17.07.1935-11.01.2014)............................... 61

Виденский В. С. Академик Андрей Николаевич Колмогоров................... 63

Демидович В. В., Магарил-Ильяев Г. Г. К восьмидесятилетию Владимира Михайловича Тихомирова................................................... 67

Иванова Т. А. Вспоминая учителя.............................................. 81

Лиогонький М. И., Таланов В. А. О законе «0 или 1», открытом Ю. В. Глебским, и связанных с ним результатах, полученных на кафедре математической логики и алгебры ННГУ........................................... 93

Матиясевич Ю. В. Моё сотрудничество с Джулией Робинсон................. 103

Рикун И. Э. Научная и педагогическая деятельность Вениамина Фёдоровича Кагана......................................................... 121

Синай Я. Г. Начало теории детерминированного хаоса........................ 139

Тихомиров В. М. Аксиоматический метод и теория действительных чисел в лекциях А. Н. Колмогорова................................................ 149

Календарь знаменательных дат в области математики и математического образования на 2014 год.................................................... 155

Календарь знаменательных дат в области математики и математического образования на 2015 год.................................................... 173

В Нижегородском математическом обществе

В Нижегородском математическом обществе.................................. 191

CONTENTS

Introduction........................................................................7

Subject and Technologies of Mathematical Education at University

Polotovskiy G. M., Remizov I. D. Sandwiches and socks in the teaching of the higher algebra...................................................................9

Tikhomirov V. M. Synthetical course of mathematics.............................. 15

Innovative and information technologies and computer products in mathematics teaching

Verbitskaya I. N. The use of automated educational courses in teaching higher mathematics in college........................................................ 41

Mathematical Competitions at Universities

Zalyapin V. I., Evnin A. Yu. Extramural student math competitions.............. 51

The History of Mathematics and Mathematical Education. The Prominent Figures

Yulij Lazarevich Ketkov (17.07.1935-11.01.2014) ................................ 61

Videnskiy V. S. Academician Andrey Nikolaevich Kolmogorov..................... 63

Demidovich V.B., Magaril-Il'yaev G.G. Towards Vladimir Mikhailovich

Tikhomirov's 80th birthday................................................... 67

Ivanova T. A. Remembering the Teacher.......................................... 81

Liogonkii M.I., Talanov V. A. On the zero-one law discovered by Yu. V. Glebskiy and the related results discovered at the Department of mathematical logic and algebra at UNN....................................... 93

Matiyasevich Yu. V. My collaboration with Julia Robinson....................... 103

Bikun I. E. Scientific and pedagogical activity of Veniamin Fedorovich Kagan---- 121

Sinai Ya. G. The origin of the theory of deterministic chaos...................... 139

Tikhomirov V. M. Axiomatic method and theory of real numbers................ 149

Calendar of significant dates in the field of mathematics and mathematical education for 2014............................................................ 155

Calendar of significant dates in the field of mathematics and mathematical education for 2015............................................................ 173

At the Nizhni Novgorod mathematical society

At the Nizhni Novgorod mathematical society................................... 191

ПРЕДИСЛОВИЕ

Уважаемый читатель, Вы держите в руках очередной, 12-й номер журнала “Математика в высшем образовании”. Этот номер не совсем обычный. Возможно, Вы заметили, что по объёму он превосходит любой из предыдущих. Этому есть объяснение: в ноябре 2013 года соучредитель журнала Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского (ННГУ) в лице ректора ННГУ профессора Е. В. Чупрунова предложил, начиная с 2014 года, публиковать два номера журнала в год. Редколлегия стала планировать издание в 2014 году двух выпусков, разделяя материалы между ними. Однако когда в июне 2014 года первый из этих выпусков был подготовлен, ректор ННГУ сообщил, что университет больше не заинтересован в таком журнале и финансировать его издание не будет. Никаких претензий к содержанию или качеству журнала никогда не предъявлялось, а единственная мотивировка состояла в том, что журнал не входит в т. н. список ВАК и не учитывается авторитетными базами данных, такими, как Web of Science и т. п. В общем, используя слова профессора Ю. А. Неретина (см. его статью в “Независимой газете” от 11.12.2013, http://www.ng.ru/science/2013-12-11/11_ran.html), можно сказать, что журнал пал жертвой “великого библиометрического джихада”. Естественно, чувствуя ответственность перед авторами статей, прошедших рецензирование и принятых к печати, редколлегия решила изыскать возможность выпуска этого номера без финансовой поддержки ННГУ. При этом следовало опубликовать все принятые к печати статьи - поэтому журнал имеет объём, больший обычного, а также включает два календаря знаменательных дат - как на 2014-й, так и на 2015-й годы.

В создавшейся ситуации дальнейшее существование журнала в прежнем формате не представляется возможным: Нижегородское математическое общество не обладает средствами, необходимыми для оплаты типографских услуг (редколлегия все годы издания журнала работает на общественных началах). Однако мы считаем, что наш журнал имеет все основания для продолжения издания - об этом говорят и отзывы читателей, и достаточный приток материалов (редакция располагает целым рядом статей, успешно прошедших внешнее рецензирование, для следующего номера - и это при том, что, оказавшись в описанной ситуации, мы предупреждаем авторов о неопределённости с дальнейшим изданием журнала). Следует также отметить, что, на наш взгляд, наличие такого журнала вполне согласуется с Концепцией развития математического образования в Российской Федерации, утверждённой решением Правительства РФ 24 декабря 2013 г. Поэтому мы приложим усилия, чтобы сохранить журнал в какой-то новой форме - с другим составом учредителей и обновлённой редколлегией - но с прежней концепцией, которая заключается главным образом в стремлении публиковать материалы, полезные для конкретной деятельности преподавателя математики в ВУЗе, и уделять внимание истории математики и её преподавания.

Тем не менее, нельзя исключить возможность, что этот номер журнала последний. Это оправдывает стремление подвести некоторые итоги, однако

о журнале должен судить читатель, поэтому укажем только на два обстоятельства.

1. “География авторов” журнала - Москва, Санкт-Петербург, Нижний Новгород, Челябинск, Казань, Чебоксары, Уфа, Киров, Калининград, Сыктывкар, Оренбург, Рязань, Ярославль, Саратов, Новгород, Череповец, Вологда, Тольятти, Пенза, Омск, Тула, Новосибирск, Улан-Удэ, Курган, Ростов -свидетельствует, что журнал является всероссийским изданием по проблемам преподавания математики в высшей школе. (Кроме того, в журнале опубликованы статьи авторов из Казахстана, Украины, Беларуси, США, Швеции, Италии, Израиля, Голландии, Румынии.)

2. При рассмотрении поступающих рукописей мы стараемся не обращать внимание на регалии авторов, тем не менее, нам приятно, что в журнале опубликованы статьи таких известных учёных, как Н. Х. Ибрагимов, В. А. Ильин, Л. Д. Кудрявцев, С. С. Кутателадзе, Ю. В. Матиясевич, А. Д. Мышкис, Я. Г. Синай, В. М. Тихомиров, В. А. Успенский, Л. П. Шильников и др.

В заключение мы благодарим редакционно-издательское управление (РИУ) ННГУ (рук. В. А. Ожиганов) за высокопрофессиональное вычитывание макетов журнала (настоящий номер журнала подготовлен без участия РИУ ННГУ) и всех авторов и читателей за интерес к журналу и сотрудничество. Наша особая признательность - Московскому центру непрерывного математического образования (персонально директору И. В. Ященко, главному редактору издательства Ю. Н. Торхову, ректору Независимого Московского университета Ю. С. Ильяшенко), благодаря финансовой поддержке которого опубликован этот номер журнала.

Главный редактор И. С. Емельянова

Зам. главного редактора Г. М. Полотовский

СОДЕРЖАНИЕ И ТЕХНОЛОГИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ В ВУЗЕ

УДК 512.5 + 372.851

БУТЕРБРОДЫ И НОСКИ В КУРСЕ ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЫ

Г. М. Полотовский*, И. Д. Ремизов*

* Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского Россия, 603950, г. Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23, корп. 6; e-mail: polotovsky@gmail.com * Московский Государственный Университет имени М. В. Ломоносова Россия, 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские Горы, 1; e-mail: ivan.remizov@gmail.com

Приводится несколько примеров применения моделей, построенных из «бытовых» объектов, полезных для разъяснения студентам некоторых абстрактных структур современной математики.

Ключевые слова: бинарное отношение, группа, абстрактное понятие, опорный сигнал.

Профессор: «Скажите, эти две группы изоморфны или нет?»

Студентка: «Первая изоморфна, а вторая — нет».

Из написанного в последние годы о крайне недостаточном уровне математической подготовки поступающих (и поступивших) в вузы можно уже собрать библиотеку. Отдельную проблему представляют трудности, возникающие у студентов с усвоением весьма абстрактных понятий современной математики, которые появляются и быстро накапливаются в самом начале изучения вузовской математической программы. При этом надо отдавать себе отчёт, что в совершенно безобидной с точки зрения лектора фразе «пусть M — непустое множество элементов любой природы, и о — операция на М, удовлетворяющая следующим свойствам... » большинство слушателей воспримут «множество» как синоним понятия «много», а термины «непустое» и «операция» не воспримут никак. Далее, если продолжением указанной фразы будет определение понятия «группа», то после этого вполне естественно привести примеры групп1. Но зачастую понятие группы вводится в тот момент, когда у студентов нет ещё достаточного набора множеств, состоящих из абстрактных математических объектов, с естественными операциями на этих множествах, т. е. нет ничего, кроме стандартных числовых множеств, множеств векторов на плоскости или в пространстве и множества действительных функций одной переменной (впрочем, и те, и другие, и третьи в школе, как правило, не освоены). Вот и получается, что единственный пример, который может быть разобран в этот момент — это группа целых чисел. Естественно, что у студентов возникнет недоумение: зачем такую хорошо понятную вещь, как сложение в области целых чисел, наряжать в такие абстрактные одежды? Конечно, лектор может долго рассказывать, что понятие

1 Конечно, в этом месте речь идёт об университетском курсе математики.

группы потом будет неоднократно встречаться в теории матриц, в линейной алгебре, в физике и пр. — это перечисление можно продолжать очень долго, но для слушателей это будет пустая декларация. В результате идея введения групп как подхода для одновременного изучения разнообразных множеств с точки зрения алгебраической структуры, определяемой операциями, студентами воспринята, скорее всего, не будет, и у них не будет поэтому естественной мотивации к усвоению понятия группы.

Пример другого фрагмента, абстрактность которого вызывает большие трудности у студентов и который не менее важен для любого математического курса — бинарные отношения и их свойства. Здесь можно повторить все соображения, приведённые выше.

Ниже излагается подход к разъяснению этих абстрактных понятий с помощью наглядных примеров, построенных из привычных объектов реального мира. Не всегда иллюстрируемый математический аппарат нужен для изучения именно этих объектов, но зато на этих примерах легко усвоить суть самого аппарата.

1. Бутерброды

Бутербродом будем называть вертикальную стопку ломтиков (= слоев) еды, сложенных друг на друга. Фиксируем множество F типов еды2, которую можно использовать для составления бутербродов. Договоримся, что все слои находятся в «подмороженном» состоянии, так что далее можно будет намазывать масло на масло, а затем при необходимости допускается разделение эти слоев и т. п. Также при желании можно уточнить сведения о толщине слоев: одинакова ли она для всех типов еды, или фиксирована для еды одного типа, или что-то иное. Для обозначения типов еды удобно использовать русские буквы: Б — батон, Р — ржаной хлеб, К — колбаса, С — сыр, M — масло, И — икра, П — помидор, Г — горчица и так далее. Если однобуквенных обозначений не хватает, можно применить и двухбуквенные, из которых первая буква заглавная, а вторая — строчная: Кт — котлета, Мн — майонез, Кч -кетчуп, и так далее. Тогда бутерброд «снизу ржаной хлеб, далее масло, потом два слоя колбасы и сверху один слой сыра» получит обозначение в виде слова РМККС, а «формула гамбургера» такова: БКтКчПМнБ.

Что можно делать с бутербродами? Первым делом, их можно сравнивать, причём различными способами. Например, можно ввести следующие отношения эквивалентности: бутерброды f и g называются эквивалентными, если

а) f и g оба содержат масло;

б) каждый из бутербродов fug имеет два соседних слоя одного типа;

в) f и g содержат одни и те же ингредиенты (количество слоев каждого типа может отличаться);

г) f и g содержат одни и те же ингредиенты в том же порядке (количество слоев каждого типа может отличаться);

д) f и g содержат одно и то же суммарное количество слоев еды;

е) f и g имеют одинаковую калорийность;

2 Типы еды фиксируются только до конца статьи ©.

ж) f и g имеют одинаковую стоимость в университетском кафе;

з) слои в / можно переставить так, что получится д.

Очевидно, бутерброд РМККС а-эквивалентен бутерброду КМ, б-эквивалентен бутерброду БСИИ, в-эквивалентен бутерброду КРСМ, г-эквивалентен РРМКСС, д-эквивалентен РРРРР, но вряд ли е- и ж-эквивалентен БМИМИ (особенно если икра не кабачковая), зато з-эквивалентен СКРМК.

Также на множестве всех бутербродов естественно вводятся широко применяющееся в микроэкономике отношение предпочтения (рефлексивное + транзитивное + полное3) и используемые почти во всех разделах математики отношения порядка (рефлексивные + транзитивные + антисимметричные)4. Например, отношение порядка / < g («/ подчинён д») можно задать одним из следующих условий:

i) g содержит все те ингредиенты, которые входят в / (но помимо них может содержать и другие);

ii) / содержится в g в качестве «сплошного» подбутерброда, т. е. если с g снять нужное число слоев сверху и снизу, то получится /;

iii) / содержится в g в качестве «упорядоченного распределённого» подбутерброда, т. е. с g можно вытащить любое число слоев откуда угодно, не переставляя местами оставшиеся части, так, чтобы получился /;

iv) / содержится в g в качестве неупорядоченного подбутерброда, т. е. из g можно вытащить нужное количество слоев и сложить их так, что получится /;

v) общее количество слоев в / не больше, чем в д;

vi) / не более калорийный, чем д;

vii) / не дороже, чем д.

Нетрудно привести примеры отношений других типов на множестве бутербродов, а ещё лучше — предложить сделать это студентам.

Заметим, что «бутербродную модель» можно одновременно использовать для составления разных по трудности задач по элементарной комбинаторике — раздела, который традиционно предоставляет студентам значительные трудности (впрочем, здесь источник трудностей не столько в абстрактности материала, сколько в недостаточной развитости такого тонкого ингредиента мышления, как здравый смысл). Вот несколько примеров таких задач:

1. Сколько неэквивалентных (в одном из смыслов а)-з)) бутербродов толщиной не более п слоев можно сделать из батона, колбасы и сыра?

2. Сколько среди бутербродов толщиной не более п слоев, состоящих только из батона, колбасы и сыра, существует таких, которые эквивалентны бутерброду БКСС?

3. В корзине лежат все бутерброды, содержащие не более п слоев, эквивалентные бутерброду БКСС. Какова вероятность того, что наугад взятый бутерброд будет содержать масло? масло, намазанное на колбасу?

3 Бинарное отношение R на множестве M называется полным, или связанным, если для каждых х и у из выполнено хотя бы одно из соотношений xRy или yRx.

4 Если отношение порядка полно, то такой порядок называется линейным, в противном случае порядок называется частичным.

4. Сколько существует бутербродов толщиной не более п слоев, сделанных из батона, масла, колбасы и сыра, подчинённых (в одном из смыслов i) - vii) ) бутерброду БМКСИ?

5. Сколько бутербродов из задачи 4 содержат масло? икру, намазанную на масло?

Введём теперь алгебраические операции на множестве В всех бутербродов. Первым делом заметим, что бутерброды можно складывать «в прямом смысле», т. е. накладывая один на другой: РМК + БИ = РМКБИ. Такое сложение, которое называется конкатенацией, ассоциативно, поэтому множество В становится полугруппой. Можно добавить к В «бутерброд из ничего» и объявить его нейтральным элементом — тогда В станет моноидом.

Очевидно, введённое сложение не коммутативно. Однако можно провести факторизацию В по отношению эквивалентности з), т.е. принять «аксиому дяди Фёдора»: два бутерброда, отличающиеся лишь порядком слоев, одинаковые. Перенося сложение бутербродов с В на полученное фактор-множество В/з, получим абелев моноид. Заметим, что бутерброд можно складывать сам с собой сколько угодно раз, так что этот моноид содержит подмоноид, изоморфный N U {0}.

Далее, можно добавить определяющие соотношения, иллюстрируя их бытовым смыслом. Например, ИИИ = ИИ можно интерпретировать так: если попросить буфетчицу сделать тройной и более высокой кратности слой икры, то она всё равно положит двойной, думая, что покупатель не заметит разницы. Задание полугрупп образующими из видов еды и определяющими соотношениями бытового характера может быть интересной темой для развития.

Наконец, рассмотрим на В унарные операции. Например, z — добавление в бутерброд сверху слоя из ингредиента Z, Dz — удвоение в бутерброде каждого слоя из ингредиента Z, Sz — удаление из бутерброда ингредиента Z полностью, Px,Y,z — прокладка слоя из ингредиента Z между соседними слоями из ингредиентов X и Y при наличии в бутерброде таких слоев. Некоторые из этих операций коммутируют, а некоторые — нет. Уже из этих простых операций и введённой выше операции сложения можно строить разного рода алгебраические структуры в множестве отображений из В в В.

2. Носки

«Группа надевания носка» — это группа, элементами которой являются следующие четыре манипуляции с носком: «О» — оставьте носок в покое; «Д» — переоденьте носок на другую ногу; «В» — выверните носок и наденьте его на ту же ногу; «Вд» — выверните носок и наденьте его на другую ногу.

Операцией «о» в группе объявляется композиция указанных манипуляций. Таблицу Кэли (рис. 1) для этой операции составить нетрудно, но ещё лучше делать это с помощью вспомогательного рисунка (рис. 2). Дело в том, что этот рисунок (как и в целом вся история с переодеванием носка) неизменно вызывает оживление в аудитории. Тем самым создаётся «опорный сигнал» (в смысле В.Ф.Шаталова, см. [1]), который, как показывает практика, оказывается очень устойчивым.

Рис. 1 Рис. 2

Таким образом, мы без особых усилий получили модель для четверной группы Клейна. После этого уместно рассмотреть другой пример: группу симметрий прямоугольника. Обозначив элементы этой группы символами «О» — оставить прямоугольник в покое, Rx и Ry — переворачивания на 180° относительно горизонтальной и вертикальной осей прямоугольника соответственно, Ro — отражение относительно центра прямоугольника, а операцию композиции этих отражений — символом «*», составим таблицу Кэли для этой группы (рис.3). Удобной демонстрационной моделью для объяснения заполнения этой таблицы служила в своё время стандартная перфокарта, поскольку срезанный уголок позволял следить за движением прямоугольника. Теперь изготовить прямоугольник со срезанным уголком придётся самостоятельно.

Наконец, третий полезный пример — группа действий солдата по строевым командам С = «смирно», П = «направо», Л = «налево» и К = «кругом». Таблица Кэли для композиции «ik» действий по этим командам показана на рис. 4. Ясно, что для наглядности следует покомандовать выбранным студентом.

Рис.3

Рис.4

Итак, помня известный анекдот: «Студентам нужно всё повторять три раза, Ганс. Запомни, три раза. Три раза», мы рассмотрели три однотипных примера. Но здесь дело не только и не столько в повторении, сколько в том, что сравнивая таблицы легко объяснить, что группа надевания носка изоморфна группе симметрий прямоугольника, но не изоморфна группе действий солдата (циклической группе четвёртого порядка), так что появляется надежда, что уменьшится вероятность повторения ситуации, описанной в эпиграфе (кстати, вполне реальной ситуации, которая произошла много лет назад на экзамене по высшей алгебре у профессора ВМК ННГУ В. Н. Шевченко. В те далёкие времена многие студенты могли оценить юмористичность ответа).

Далее можно рассказать, что с точностью до изоморфизма других групп четвёртого порядка, кроме циклической и четверной группы Клейна, не бывает, изучить структуру подгрупп этих групп и даже предложить студентам задачу исследовательского характера: сколько существует попарно не изоморфных групп порядка п (скажем, для п < 6)?

3. Обратная функция

В заключение напомним о наглядном приёме для выяснения, имеет ли данная функция f'.R^R обратную, и для построения графика обратной функции в случае положительного ответа на этот вопрос. Конечно, это надо объяснять ещё в школе, но практика преподавания в вузе показывает, что это не делается, и понятие обратного отображениях усваивается студентами с трудом.

Пусть на листке бумаги построен график функции /: R —?► R в системе координат XOY. Посмотрим на этот листок с обратной стороны «на просвет», расположив листок напротив источника света так, чтобы ось Y шла горизонтально вправо, а ось О — вертикально вверх. Тогда легко увидеть, является ли просвечивающая кривая графиком функции в этих просвечивающих осях (просвечивающая ось OY играет теперь роль оси абсцисс), и если является, то она и есть график обратной функции. При желании днём можно даже приложить лист к оконному стеклу и обрисовать график на обратной (чистой) стороне листа. Кстати, такое рассмотрение позволяет наглядно объяснить формулу для производной обратной функции, опираясь только на геометрический смысл производной: произведение производных прямой и обратной функции равно единице, потому что произведение тангенсов острых углов одного прямоугольного треугольника равно единице.

ЛИТЕРАТУРА

1. Шаталов В. Ф. Эксперимент продолжается. — М.: Педагогика, 1989. 206 с.

Поступила 18.02.2014

SANDWICHES AND SOCKS IN THE TEACHING OF THE HIGHER ALGEBRA

G. M. Polotovskiy, I. D. Remizov

Some examples of application of the models constructed of «household» objects, useful to an explanation to students of some abstract structures of modern mathematics are given.

Keywords: binary relation, group, abstract concept, basic signal.

СОДЕРЖАНИЕ И ТЕХНОЛОГИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ В ВУЗЕ

УДК 517

СИНТЕТИЧЕСКИЙ КУРС МАТЕМАТИКИ

В. М. Тихомиров

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова Россия, 119899, г.Москва, Ленинские горы 1; e-mail: vmtikh@googlemail.com

Обсуждаются проблемы современного математического образования. Приведён конспект «Синтетического курса математики», где собраны некоторые ключевые вопросы математики, рассматриваемой в её единстве.

Ключевые слова: альтернатива Фредгольма, метод Ньютона, принцип Лагранжа, теорема Гильберта-Шмидта.

Введение

В начале тридцатых годов произошла реформа математического образования. Для подведения итогов и обсуждения того, что разумно предусмотреть в будущем, полезно ознакомить читателя с организационными формами и содержанием математического образования, определёнными той реформой.

В самых общих чертах организация образования стала такой.

Образование делилось на два основных уровня: школьное и высшее. Школьное имело три подуровня: начальное (с первого по четвёртый классы), среднее (до седьмого класса) и полное (десятилетка). Высшее образование было двух видов — институтское (т. е. специализированное — инженерное, медицинское, экономическое и т. п.) и университетское, обращенное к определённой отрасли знания (математика, физика, химия, биология и т.п.).

Была организована и система «промежуточного» образования, состоящая из разного рода училищ (ремесленных, педагогических, военных, а также музыкальных, художественных, театральных) и техникумов, готовивших к производственной деятельности.

Цель личности состояла в служении обществу (а по сути дела — государству). Образование на каждом уровне было единым. Начальное и среднее образование были обязательными для всех. А далее для продолжения образования имелся выбор: либо среднее специальное — училища и техникумы (с возможным, впрочем, последующим поступлением в институт или университет), либо полное школьное образование с возможным последующим выбором высшего учебного заведения. В школах, училищах и техникумах учили по одинаковым программам для всех (учебники в школах были едиными), программы в институтах и университетах также были едиными (за очень малыми отклонениями).

Далее мы конкретно касаемся, в основном, форм и содержания математического образования на механико-математическом факультете МГУ им. М. В. Ломоносова, но держим в уме и две другие формы.

Мехмат был организован в 1933 году. Был назначен декан нового факультета — Владимир Васильевич Голубев (1884-1954). Он был выдающимся человеком — учёным широкого профиля (и математиком, и механиком), обладавшим большим организаторским дарованием — и очень значительной и харизматической личностью.

Голубев собрал вокруг себя учёных, имевших мировое признание. Среди математиков это были представители трёх поколений. К старшему принадлежали В. Ф. Каган (1869-1953), С. П. Фиников (1883-1964), В.В.Степанов (1889-1950), Б.Н.Делоне (1890-1980), О.Ю.Шмидт (1891-1956) и И.И.Привалов (1891-1941) (представители новороссийской (Каган), киевской (Делоне и Шмидт) и московской школы); к среднему поколению относились представители первого поколения учеников Н. Н. Лузина — Д. Е. Меньшов (1892-1988), А. Я. Хинчин (1894-1957)) и П.С.Александров (1896-1982); к младшему поколению относились ученики Лузина «второй волны» — Л. А. Люстерник (1899-1981), М.А.Лаврентьев (1900-1980), А.Н.Колмогоров (1903-1987) и Л. Г. Шнирельман (1905-1938). По-видимому, в этот коллектив попали сразу или со временем А. О. Гельфонд (1906-1968, ученик А. Я. Хинчина и В. В. Степанова) и И. Г. Петровский (1901-1973, ученик Д. Ф. Егорова).

В итоге были распределены обязанности, образованы кафедры, составлены программы курсов и написаны учебники по ним.

Автор стал учиться на мехмате в середине пятидесятых годов прошлого века. Это была золотая пора нашего факультета. В подтверждение приведу слова В. И. Арнольда [1]:

«Плеяда великих математиков, собранных на одном факультете, представляла собой явление совершенно исключительное, и мне не приходилось встречать ничего подобного более нигде. Колмогоров, Гельфанд, Петровский, Понтрягин, 77. Новиков, Марков, Гельфонд, Люстерник, Хинчин и 77. С. Александров учили таких студентов, как Манин, Синай, С. Новиков, В. М. Алексеев, Аносов, А. А. Кириллов и я сам".

В ту пору читались такие обязательные курсы по математике: Аналитическая геометрия, Алгебра, Математический анализ, Теория обыкновенных дифференциальных уравнений, Теория функций комплексного переменного, Дифференциальная геометрия, Теории вероятностей, Вариационное исчисление, Анализ III и Теория уравнений с частными производными. Естествознание было представлено курсами Теоретической механики и Общей физики. По завершении обучения студенты должны были сдавать финальный Государственный экзамен.

За прошедшие шесть десятилетий на мехмате многое изменилось: появились новые кафедры и новые обязательные курсы, но в целом структура и само содержание математического образования (заложенные у самых истоков факультета) во многом остаются неизменными. В частности, программа Госэкзамена почти не претерпела изменений.

Но за последнюю четверть века произошли огромные изменения и в нашей стране, и во всём мире. У нас изменился государственный строй, изменилась ментальность молодёжи, а во всём мире произошёл неслыханной силы информационный взрыв.

В этой статье я хочу дать определённую ориентацию в некоторых вопросах, относящихся к математическому образованию. Центральной частью статьи является конспект «Синтетического курса математики», выделяющего четыре фундаментальные математические темы, изучение которых позволяет обозреть некоторые узловые проблемы математического образования всех уровней. Далее всюду рассматриваются четыре случая: одномерный, двумерный, многомерный и бесконечномерный. Почти всегда одномерный случай -это школьный уровень, двумерный — для сильного школьника (скажем, для специальной математической школы) и для ВУЗа с не очень сильной математикой, многомерный — для ВУЗа с хорошей математикой и для младшего курса классического университета, бесконечномерный — для старшего университетского курса.

Итак, «Синтетический курс математики» и в нём первая тема

1. Разрешимость линейных уравнений

Решение линейных уравнений входило в начальное математическое образование во все времена. Теория линейных уравнений составляет содержание начальных курсов математики в институтах и университетах. Решение систем линейных уравнений — база огромной доли приложений современной математики. На линейной аппроксимации основано дифференциальное исчисление. В этом заключается мотивировка необходимости этой темы в математическом образовании.

Начнём с уровня начальных классов школы. Для понимания «теории» требуется лишь умение производить четыре арифметических действия с дробями, для решения задач требуется умение составлять по тексту задачи одно уравнение «с иксами».

Одномерный случай.

Постановка задачи. Рассматривается уравнение

Ах = у, (11)

в котором А и у — известные числа (в начальной школе это дроби), а число x надо найти.

Арифметические задачи, сводящиеся к решению одного линейного уравнения с одним неизвестным, находятся в старейшем среди дошедших до нас «бумажном» (точнее, папирусном) сочинении, содержащем математические сюжеты. Оно было написано примерно 4000 лет назад и известно как папирус Райнда. (Папирус назван в честь английского египтолога, приобретшего его на рынке в Египте в 1858 году). Там решается следующий

Пример 1.1 (из папируса Райнда). К числу прибавлена его седьмая часть и получилось 19. Найти число.

Решение примера. Обозначив неизвестное число через х, приходим к уравнению

Теорема. Уравнение (Ii) однозначно разрешимо, если А ф 0 (тогда х = У = — ), и неразрешимо, если А = 0, а у ф 0. Если же А = у = 0, то любое число является решением.

А теперь перейдём из начальной в среднюю школу. Здесь для решения задач потребуется умение составлять по тексту задачи два уравнения с двумя неизвестными.

Двумерный случай.

Постановка задачи. Рассматривается система двух уравнений с двумя неизвестными :

где числа ац, ai2, «2ъ 022 (коэффициенты системы (I2)) и bi, &2 (правая часть системы (I2)) заданы, а числа х\ и Х2 надо найти. При Ъ\ = 62 = 0 система (±2) называется однородной.

Неизвестные х\ и Х2 входят в систему (±2) в первой степени, и потому её называют системой двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

Задачи, сводящиеся к системам двух линейных уравнений с двумя неизвестными, научились решать также очень давно. В одном из древних китайских трактатов обсуждается

Пример 1.2. В клетке фазаны и кролики. У них вместе 35 голов и 94 ноги. Сколько в клетке фазанов и сколько кроликов?

Метод решения. Метод решения индуктивный. Решать одно уравнение с одним неизвестным мы умеем. Научимся решать систему (±2) двух уравнений с двумя неизвестными.

Если все коэффициенты ац, 012,021 и а22 системы (±2) равны нулю, то решение возможно (т. е. система совместна) лишь когда Ъ\ = 62 — 0, и им является любая пара чисел х\ и Ж2; в противном случае система (±2) не имеет решения (или, как говорят, несовместна).

Если же, скажем, а22 ф 0, то, выразив Х2 из второго уравнения через #i, подставим полученное выражение в первое уравнение. В результате получим одно уравнение с одним неизвестным xi, которое мы уже научились решать. Если это уравнение совместно, найдем из него xi, а затем Х2- Если получившееся уравнение несовместно, то и изначальная система несовместна.

Этот приём называется метод последовательного исключения неизвестных, или метод Гаусса — в честь одного из величайших математиков всех времён Карла Фридриха Гаусса (1777-1855) (который был к тому же великим вычислителем), впервые описавшего его в общем виде в 1849 г., хотя сам приём применялся в китайском трактате «Математика в девяти книгах» и был известен в Китае за тысячу лет до нашей эры.

Решение примера 1.2. Обозначив число фазанов через #i, а число кроликов через Х2, приходим к системе уравнений

Выразив х\ из первого уравнения через Х2 и подставив это выражение во второе уравнение, получим 2x2 — 24, откуда следует, что Х2 = 12, тогда из первого уравнения х\ = 23.

Существенную роль в теории линейных уравнений играет теорема, которую называют альтернативой Фредгольма. Сформулируем и докажем её в

двумерном случае. Здесь мы выходим на уровень специальной математической школы.

Теорема (альтернатива Фредгольма) (для двух уравнений с двумя неизвестными). Система (I2) либо разрешима при любой правой части, либо однородная система имеет ненулевое решение.

Эрик Ивар Фредгольм (1866-1927) — замечательный математик, профессор Стокгольмского университета. Его основная работа [2] была опубликована в 1903 г.

Замечание. Приводимые здесь и ниже доказательства для уровня специальной школы предполагают, что школьный преподаватель сможет объяснить своим ученикам необходимый материал, выходящий за рамки школьной программы. В частности, для излагаемого ниже доказательства альтернативы Фредгольма — это то, что, подобно уравнению (Ii), система (I2) записывается в виде Ах = у, где А — матрица и У — \ — двумерные векторы, координаты которых действительные числа, т.е. числа из R (и тогда пишут, что ж, у G R2); что преобразование, сопоставляющее вектору х вектор Ах, обладает линейным свойством: А(ах + + а'х') = а Ах + а1 Ах1 ] что АТ — матрица, полученная из матрицы А переменой строк на столбцы; что скалярное произведение (ж, у) векторов х и у равно Х1У1 + Х2У2] наконец, это понятия образа Im А и ядра Кет А преобразования А.

Доказательство альтернативы Фредгольма складывается из двух частей.

1. Пусть Im А = R2 — это означает, что система имеет решение при любой правой части, т. е. имеет место первый вариант альтернативы Фредгольма.

Докажем, что если Im А = R2, то КегЛ = 0. Действительно, допустим, что Im Л = R2, но найдётся вектор у1 ф 0 такой, что Ау1 = 0. Тогда найдем вектор у2 такой, что Ау2 = у1, и вектор у3 такой, что Ау3 = у2. Три вектора в R2 линейно зависимы. Это значит, что найдутся числа 01,02^3, не равные одновременно нулю и такие, что а\ух + а2у2 + а%у3 = 0. (Этот факт легко сводится к простому утверждению, что система двух однородных линейных уравнений с тремя неизвестными имеют ненулевое решение.) Подействовав на это равенство оператором А2 и используя линейность этого оператора, получим, что азу1 = 0, откуда аз = 0 (ибо у1 ^ 0). Аналогично покажем, что а2 = ai = 0, что противоречит тому, что не все а\ равны нулю.

2. Рассмотрим случай, когда Im А ф R2. Тогда, поскольку образ линейного отображения является линейным подпространством, Im А либо нуль, либо прямая, проходящая через нуль.

В первом случае любой вектор принадлежит ядру, т. е. однородная система имеет ненулевое решение, значит, имеет место второй вариант альтернативы Фредгольма.

Во втором случае найдётся ненулевой ортогональный вектор — обозначим его у — к прямой, являющейся образом преобразования А (рис. 1), т.е. (у, Ах) = 0. Но (у, Ах) = (Ату,х). Значит, (Ату,х) = OVx G R2, следовательно, Ату = 0, т. е. у — ненулевое решение однородной системы с транспонированной матрицей коэффициентов. В силу утверждения, доказанного в п. 1,

Рис.1

ImAT ф R2 (т.е. преобразование Ат не сюръективно). Применив к Ат только что проведённое рассуждение, приходим к тому, что однородное система с матрицей (Ат)т = А имеет ненулевое решение, т. е. опять имеет место второй вариант альтернативы Фредгольма. □

Теперь можно рассказать о том, как можно добраться до альтернативы Фредгольма в бесконечномерном случае. Этот результат, доказанный Фредгольмом в 1903 году, воспринимался в начале XX века как одна из вершин математики того времени.

Первый шаг — переход на институтский уровень.

Многомерный случай.

Постановка задачи. Рассматривается система п уравнений с п неизвестными:

коротко записываемая как Ах = у, где А — п х п-матрица, х и у — векторы из W1.

Метод решения. Метод Гаусса решения уравнения (1П) индуктивный, где первый шаг индукции был проделан при решении системы (12)- Далее, в предположении, что системы (ln_i), п > 2, мы решать умеем, надо исключить (если п x п-матрица ненулевая) одно неизвестное и решать полученную систему (ln_i). А если матрица нулевая, то всё тривиально и было объяснено в двумерном случае.

Альтернатива Фредгольма для п уравнений с п неизвестными формулируется дословно так же, как для случая п = 2 выше, с заменой двойки на п:

Теорема (альтернатива Фредгольма) (для п уравнений с п неизвестными). Система (1П) либо разрешима при любой правой части, либо соответствующая однородная система имеет ненулевое решение.

И доказательство состоит из тех же двух шагов. Первый шаг совершенно аналогичен рассмотренному в двумерном случае.

И второй шаг по сути повторяет рассуждение для двумерного случая: если Im А ф Шп, то Im А есть собственное подпространство L С Шп. Такие подпространства задаются системой линейных однородных уравнений. Возьмём

одно из них (у, ж) = OVx G L. Это соотношение означает, что у ортогонален L, т.е. О = (у, Ах) = (Ату,х) Ух € Шп. А далее буквально повторяется конец доказательства для двумерного случая.

В конечномерном случае на матрицу А системы никаких ограничений не накладывается. В бесконечномерном случае нужны ограничения. Теорему Фредгольма доказывают для бесконечномерных операторов, представимых в виде суммы единичного оператора и компактного оператора, т. е. переводящих каждое ограниченное множество в множество, замыкание которого компактно. Доказательство альтернативы Фредгольма в гильбертовом пространстве, обобщающем пространство Шп со скалярным произведением, проходит по схеме двумерного. На первом шаге строится последовательность векторов Ауг+1 = уг, г G N, и противоречие извлекается из компактности, а на втором шаге показывается, что образ оператора замкнут и к нему можно восставить перпендикуляр (эти факты обычно входят в программу курса функционального анализа), и далее проходит двумерное рассуждение.

2. Разрешимость нелинейных уравнений

Нелинейные уравнения возникают почти во всех математических моделях, описывающих явления и процессы в естествознании, инженерии, теории управления, экономике и т.н., и нахождение приближенных решений таких уравнений — одна из основных задач математики и её приложений. К сожалению, в школе не уделяется должное внимание разрешимости нелинейных уравнений, что в наш компьютерный век вызывает удивление. Далее рассказывается о методе решения нелинейных уравнений, восходящем к Ньютону {он назван у нас модифицированным методом Ньютона). Этот метод стал достоянием бесконечномерного анализа в середине XX века (в частности, в исследованиях Л. В. Канторовича (1912-1986), нашего выдающегося соотечественника, лауреата Нобелевской премии по экономике).

Начнём с одномерного случая, здесь это уровень старших классов спецшколы.

Одномерный случай.

Постановка задачи. Рассматривается уравнение

F(x) = у, (2i)

в котором F — функция одного переменного, у — известное число, а число х надо найти.

Пример 2.1. Решишь уравнение х2 = 2.

Одним из потрясений периода древнегреческой математики было осознание того, что у/2 не дробь — принято считать, что это в V в. до н. э. доказали пифагорейцы. Рухнула иллюзия, что все величины можно выразить отношением двух натуральных чисел. Со временем возникла проблема приближения корня из двух дробями. Считается, что первый алгоритм для приближенного вычисления числа у/2 (или решения нелинейного уравнения X2 = 2), принадлежит древнегреческому математику Герону, жившему в первом веке нашей эры (этот метод — не что иное, как алгебраическая запись геометрического доказательства иррациональности у/2). Ниже приведён алгоритм Герона, т. е. героновское решение примера 2.1.

Решение примера 2.1. На рис.2 изображён фрагмент графика функции у = x2 (это уровень средней школы). График пересекает горизонтальная черта, проведённая на высоте у = 2. Точка пересечения этой черты с графиком имеет ординату, обозначаемую у/2 (без алгоритма приближения к числу, квадрат которого равен двум, это просто символ). Это число можно сколь угодно точно приблизить дробью. Герону приписывают следующую итерационную формулу для y/2: xn+i = - ( хп H--]. Данная формула и есть решение примера 2.1, записываемое так: у/2 = lim хп, где (при любом жо)

При этом говорят: хп сходится к

Рис.2

В 1676 году Ньютон описал метод решения уравнения F(x) = у для дифференцируемой функции F : жп+1 = ———г- (xnF'(xn) — F(xn) + 2/) • Свой метод Ньютон продемонстрировал на примере решения уравнения F(x) = х3 — 2х = 5 [3, с.З]. (О понятии производной речь пойдёт в следующем параграфе, а здесь, в этом «петитном» абзаце, оно предполагается известным.) Первые два шага метода Ньютона («метода касательных») изображены на рис.2, если считать, что на рисунке жирным нарисован график функции у = F(x). Если применить алгоритм Ньютона к функции F(x) = ж2, то обнаружится, что он совпадает с алгоритмом Герона.

Четверть века тому назад невозможно было поставить в школе задачу решения нелинейного уравнения. Но наступил компьютерный век, и любому школьнику, разбирающемуся с компьютерами, можно поставить задачу найти приближение корня из двух, скажем, с двадцатью пятью знаками. И многие сделают это, проитерировав, к примеру, алгоритм Герона.

Алгоритм Герона-Ньютона не единственный. Сейчас будет рассказано о достаточно общем методе решения нелинейного уравнения (мы называем его модифицированным методом Ньютона). Здесь ситуация оказывается даже проще, чем с методом Гаусса: метод решения задачи (2i) с заменой числа х на n-мерный вектор х, приводит к решению задачи (2n), а если заменить число х на непрерывную на отрезке функцию х(-) (принадлежащую, скажем, бесконечномерному пространству С([а, Ь])), описываемый далее метод приводит к решению задачи (2^).

Модифицированный метод Ньютона. Взглянем на рисунок 3.

Рис. 3

Перед нами фактически тот же рисунок, что и ранее, но теперь мы полагаем, что на нём изображён фрагмент графика произвольной «гладкой» (без изломов) функции одного переменного х i—>► F(x). Пусть требуется найти корень уравнения F(x) = у. Для того, чтобы достичь цели, «мы пойдём другим путём» — не по касательной, как это делал Ньютон, а чуть вбок -по прямой у = А{х — xq) + F(xo), задавшись некоторой начальной точкой (хо,^(хо)) и отличным от нуля числом А (то и другое в нашей власти). По этой прямой доберёмся до уровня у, т. е. решим линейное уравнение с одним неизвестным F(xq) + А(х — xq) = у. Обозначив его решение xi, получим, что х\ = хо + А~1(у — F(xo)). И далее будем поступать аналогично, полагая

хк = xk-i + А'1 (у - F(xk-i))> keN. (Ii)

Это и есть модифицированный метод Ньютона. При выполнении некоторых условий последовательность ж& будет сходиться к нужному решению. Сходимость здесь медленнее, чем в методе Ньютона, лишь со скоростью геометрической прогрессии, но применять модифицированный метод удобнее (не надо на каждом шаге пересчитывать F'(xn)).

Основной результат, обеспечивающий сходимость —

Теорема об обратной функции в одномерном случае. Пусть вещественная функция F определена в окрестности точки х и при этом существуют числа А^0;#;0<#<1 и 6 > 0 такие, что для любых х, х', для которых \х — х\ < о, \х' — х\ < о, выполнено неравенство

\F(x) - F(x') - А(х -х')\< \А\ \х - х'\в. (Iii)

Тогда для любого у, отстоящего от F(x) не больше, чем на 6(1 — 0)\А\, последовательность (Ii) будет стремиться к числу <р(у), отстоящему от х не больше, чем на 6, такому, что F(ip(y)) = у и при этом \(р(у) — х\ < К\у —

Доказательство использует факт, о котором не говорилось выше — свойство полноты прямой: фундаментальная последовательность имеет предел.

Доказательство. Положим ж о = х и докажем, что а) элементы ж& для всех к > 0 лежат в интервале А = (х — 6, х + S) и Ь) что последовательность {xk}k>o Фундаментальна. Утверждение а) докажем по индукции. Начальный элемент жо принадлежит интервалу А по определению. Пусть xs G А, 1 < s < к. Докажем, что x/c+i G А. Имеет место следующая цепочка равенств и неравенств:

В ней первое равенство непосредственно следует из (Ii), второе очевидно, третье получено добавлением под модуль выражения, которое равно нулю в силу (Ii); первое неравенство следует из условия (Iii), а дальше итерируется это неравенство.

Теперь, применяя неравенство «модуль суммы не превосходит суммы модулей», формулу для суммы геометрической прогрессии, формулу (Ii) при к = 1 и учитывая выбор у, имеем:

т. е. а) доказано.

Докажем Ь). Для любых к, I G N имеем:

откуда вытекает, что {^/e}nGN — фундаментальная последовательность. Значит, она сходится. Обозначим её предел р(у). Переход в неравенстве (i) к пределу по / при к = 0 даёт \(f(y) — х\ < 6. Переход к пределу в (Ii) с учётом непрерывности функции F в интервале А (которая вытекает из условия (Hi)) даёт F(ip(y)) = у.

Переходя к пределу в (i) по / при к = 0, получаем:

откуда всё следует.

Двумерный случай.

Постановка задачи. Рассматривается система уравнений

в которой Fi и F2 — функции двух переменных, у\ и у2 — известные числа, а числа х\ и Х2 надо найти. Эту систему уравнений можно переписать в сокращённом виде

Опишем теперь модифицированный метод Ньютона для задачи (22). Внешне в сокращённой записи он будет выглядеть в точности так, как в одномерном случае, только вместо числа А здесь будет фигурировать матрица

Для того, чтобы решить задачу (22), надо задаться некоторой начальной позицией (хо,^(хо)) и обратимой матрицей А (то и другое в нашей власти). Далее надо решить уравнение F(xo) + А(х — xq) = у. Обозначив решение х\, получим, что х\ = хо + А~1(у — F(xo))• И далее будем поступать аналогично, полагая

Это и есть модифицированный метод Ньютона в двумерном случае.

Далее с ничтожными изменениями нужно повторить сказанное в одномерном случае. А именно, при выполнении некоторых условий последовательность векторов хп будет сходиться к нужному решению. Основной результат здесь формулируется так:

Теорема об обратном отображении в двумерном случае. Пусть отображение F : M? —>► M2 определено в окрестности вектора х G M2 и при этом существует обратимая матрица А размера 2 х 2 и числа в, 0 < в < 1, и ö > 0 такие, что для любых ж, х' G M2, для которых \х — х\ < о, \х' — х\ < о, выполнено неравенство

Тогда для любого у G M2, отстоящего от F{x) не больше, чем на 6(1 — 0)\\А\\, последовательность (I2) будет стремиться к вектору <р(у), отстоящему от х не больше, чем на о, такому, что F(<p(y)) = у и при этом \(р(у) -х\< К\у - F(x)\, где К = * _ .

Доказательства использует свойство полноты плоскости R2: фундаментальная последовательность точек из R2 имеет предел. При этом доказательство, изложенное выше для одномерного случая, сохраняется полностью, надо только (и в формулировке, и в доказательстве) для вектора z = (z\ z<i) G M2 под \z\ понимать л/z2 + z\.

Теперь опять можно рассказать о том, как можно в два хода добраться до одной из вершин — теоремы об обратном отображении в бесконечномерном случае.

Сначала выйдем на институтский уровень. Многомерный случай.

Постановка задачи. Рассматривается система уравнений

в которой i^i,..., F2 — функции и переменных, yi,..., у% — известные числа, а числа xi,... ,Х2 надо найти. Эту систему уравнений можно переписать в

сокращённом виде

Модифицированный метод Ньютона для задачи (2П) выглядит в точности, как в двумерном случае, только вместо 2 х 2-матрицы здесь будет фигурировать матрица

Формулировка теоремы и её доказательство также фактически не меняются, и мы сразу перескочим на университетский уровень, где надо владеть ещё понятием банахова пространства.

Бесконечномерный случай.

Постановка задачи. Рассматривается уравнение

F(x) = y, F:X^X, х,уеХ. (2Ж)

в котором X — банахово пространство, F — отображение из X в X, у -известный элемент из X, а элемент х G X надо найти.

Для того, чтобы решить задачу (2^), надо задаться некоторой начальной позицией (хо, F(xo)) и обратимым отображением А : X —?► X (то и другое в нашей власти). Далее надо решить уравнение F(xo)+A(x—хо) = у. Обозначив решение xi, получим, что х\ = хо + А~1 (у — F(xo))- И далее будем поступать аналогично вышеизложенному, полагая

Хк = а*-1 + А~1 (У - F(xk-i)), к G N. (Iœ)

Это и есть модифицированный метод Ньютона. При выполнении некоторых условий последовательность элементов хп будет сходиться к нужному решению. Точнее говоря, имеет место

Теорема об обратном отображении в бесконечномерном случае. Пусть (X, II • ||х) — банахово пространство, отображение F : X —>• X определено в окрестности элемента х G X и при этом существуют обратимое непрерывное линейное отображение А : X —>► X и числа в, 0 < в < 1 и ö > О такие, что для любых х, х' G X, для которых \\х — х\\х < ö, \\xf — х\\х < о, выполнено неравенство

Тогда для любого у G X, отстоящего от F[x) по норме не больше, чем на ö(l — в) И А И, последовательность (1^) будет стремиться к элементу (f(y) G X, отстоящему от х по норме не больше, чем на о, такому, что

Р{<Р(У)) = У ипри этом \\<р(у) - х\\х < К\\у - F(x)\\x, где К = _ .

Доказательство, проведённое для многомерного случая, сохраняется в случае бесконечномерном, только вместо модуля вектора надо писать норму элемента.

3. Начала математического анализа и теории экстремума

Начнём со школьного уровня. Одномерный случай.

Основными понятиями математического анализа являются понятия производной и интеграла. Они были введены в математику Ньютоном (1643-1727) и Лейбницем (1646-1716). «Для пояснения искусства анализа» Ньютон приводит две задачи. Вот эти задачи: I) Пусть длина пути известна. Нужно узнать скорость в данный момент времени. II) Пусть известна скорость движения. Надо узнать длину пройденного пути. (Мы чуть модернизировали текст Ньютона из [3, с. 45]).

Расшифруем сказанное. Учитывая, что начала математического анализа были включены в программу старших классов школ А. Н. Колмогоровым, ограничимся краткими замечаниями.

Постановка первой ньютоновской задачи и понятие производной. Пусть экипаж движется по прямолинейной дороге, и пусть функция, сопоставляющая моменту времени t длину пройденного пути s(t), известна. Требуется найти («мгновенную») скорость экипажа в момент т.

Продумывание этой задачи Ньютона естественно приводит к идее, что скорость v(t) экипажа в некоторый момент времени г примерно равна средней скорости -—- на малом участке времени от г до г + At, а сама скорость равна пределу этого отношения при At стремящемся к нулю. (Слово «предел» по Ньютону означало, что чем меньше будет величина приращения времени At, тем меньше средняя скорость -—- будет отличаться от числа v(r) — полшага до нашего понимания на языке £-6.) Потом стали писать так: v(r) = ^lim -—- и говорить, что скорость - это производная пути по времени. Ньютон обозначил этот предел точкой над s: v(t) = è(r). Итак, производная по Ньютону — это скорость. Сейчас это общеизвестно, но поражает отчётливость понимания Ньютоном сути дела с самого начала!

Если исходной позицией для Ньютона было естествознание, то Лейбниц во многом исходил из геометрии. Излагая концепцию Лейбница, разумно использовать более привычные обозначения аргумента и функции, когда аргумент обозначается буквой х, а функция — буквой /. Тогда производная функции / в точке х есть Нгп-—-, а с геометрической точки зрения — это тангенс угла наклона касательной к графику функции f в точке (x,f(x)). Лейбниц осознал важнейшее свойство производной — она задаёт наилучшую локальную линейную аппроксимацию функции. Соответствующую линейную функцию Лейбниц назвал дифференциалом, и само новое направление получило название дифференциального и интегрального исчисления.

Предшественники анализа (Паскаль, Ферма, Гюйгенс и др.) рассматривали целый цикл задач о касательных к различным кривым, а ответ через производные получили Ньютон и Лейбниц.

Понятие производной (многомерный и бесконечномерный случаи). Понятие линейной аппроксимации даёт возможность для толкования понятия производной в конечномерном и даже в бесконечномерном случаях. Приведём определение производной сразу на институтском = конечномерном и — параллельно в скобках — университетском = бесконечномерном уровнях.

Отображение F из Rn в Rm (из нормированного пространства X в нормированное пространство Y) называется дифференцируемым в точке ж, если существует линейный оператор Л из W1 в Rm (линейный непрерывный оператор Л : X —?► Y) такой, что для любого числа е > 0 найдётся число 6 > О, для которого из неравенства \х — х\ < 6 (\\х — х\\х < о) следует неравенство \F(x)-F(x)-A(x-x)\ < е\х-х\ (\\F(x) - F{x) - Л(х - x)\\Y < е\\х - х\\х). Этими соотношениями оператор Л определяется однозначно, он называется производной отображения F в точке х и обозначается F'(x). (В одномерном случае приращение аргумента и функции Лейбниц обозначал буквой d, потому для дифференциала функции у = f(x) до сих пор применяется запись dy = f'(x)dx.)

В конечномерном случае определение производной как линейного оператора восходит к Вейерштрассу, в бесконечномерном — к Фреше (1912).

На конечномерном и на университетском уровнях бывает полезно понятие строгой дифференцируемости. Отображение F называется строго дифференцируемым в точке ж, если оно дифференцируемо в ж и для любого числа е > 0 найдётся такое число 6 > 0, что из неравенств \\х{ — х\\х < 5, г = 1,2 следует, что Hi^xi) — ^(^2) — F'(x)(xi — #2)Ну < z\\xi ~ х2\\х- Диф_ ференцируемое отображение F называется регулярным в точке х, если его производная в точке х сюръективна (т. е. F'{x)X = Y).

Постановка второй ньютоновской задачи и понятие интеграла. Пусть снова экипаж движется по прямолинейной дороге, и в каждый момент времени t известна его мгновенная скорость v(t). Требуется найти длину пути, пройденного экипажем между моментами времени t\ и £2.

Естественно допустить, что на малом отрезке времени А = [г, г + Ar] скорость меняется мало, поэтому путь примерно равен отрезку времени |Ат|, умноженному на значение скорости в какой-то момент времени из этого отрезка. Таким образом, весь путь примерно равен равен сумме ^ \^i\v{Ti) где {Ai— разбиение отрезка А на «отрезочки» {Д^}^, а Т{ — некоторая точка отрезка А^.

Всё это естественно ведёт к определению интеграла по Риману — осталось перейти к пределу при стремлении max А^ к нулю.

В силу всего сказанного, понятиям производной и интеграла возможно дать выразительное толкование: производная (в данный момент) движущегося одномерного объекта — это его мгновенная скорость в этот момент, а интеграл (по отрезку) функции, график которой лежит в верхней полуплоскости — это площадь части этой полуплоскости под графиком.

Пример 3.1. Найти длину пути, пройденного телом, стартовавшим из нулевой точки, скорость которого возрастала линейно по времени: v(t) = = at.

Решение. За время Г тело пройдёт путь, равный площади треугольника с вершинами (0,0), (Г,0) и (Г,аГ), т.е. s(T) = —.

Именно так (применив формулу площади треугольника) Галилей вывел формулу для пути тела, движущегося равноускоренно.

Следующий результат является центральным в одномерном математическом анализе: он связывает дифференцирование и интегрирование — по словам Ньютона, позволяет по скорости определять путь.

Теорема (формула Ньютона —Лейбница): fv(t)dt = fs(t)dt = s(ti) — s(£o), или, в лейбницевых обозначениях, J f'(x) dx = f(b) — f(a).

Для доказательства нам понадобится

Формула Лагранжа о конечном приращении. Пусть функция f определена и непрерывна на отрезке [а, Ь] и дифференцируема в интервале (а, Ь). Тогда в этом интервале найдётся точка £ такая, что f(b) — /(а) = = f(0(b-a).

Оставим пока эту формулу без доказательства.

Для вывода формулы Ньютона-Лейбница в обозначениях Ньютона рассмотрим, выбрав е > 0, риманову сумму |А^| v(ti) при столь малом max Д^, что она отличается от J v(t) dt меньше, чем на е. Применяя к отрезку формулу Лагранжа, получим v(9k)(rk+1 - rk) = sfa+i) - s(rk), где 9k G Ak.

Суммируя по к, получим справа s(ti) — s(to), а слева — риманову сумму, отличающуюся от J v(t) dt менее, чем на е. □

Многомерное обобщение теоремы Ньютона-Лейбница останется вне наших рассмотрений. Там роль дифференцируемой функции играет дифференциальная форма, и многомерное обобщение теоремы Ньютона-Лейбница, осознанное в полном объёме А. Пуанкаре (1854-1912) — тоже одним из величайших математиков всех времён — состоит в том, что интеграл по области от дифференциала формы равен интегралу от самой формы по границе этой области.

Условия экстремума

Теория экстремума имеет определённую дату своего рождения. Это 1638 год, когда П. Ферма направил М. Мерсенну письмо [4] для передачи его Р.Декарту и Ж. Робервалю (журналов в ту пору ещё не существовало, и новые научные результаты распространялись путём переписки). В письме излагался приём решения экстремальных задач без ограничений для функций одной переменной. (Мерсенн (1588-1648), бывший сам заметным учёным, сыграл особую роль в распространении научных достижений и в консолидации учёных своего времени.)

Идею Ферма замечательно выразил Ньютон, который сказал так: «Когда величина является максимальной или минимальной, в этот момент она не течёт ни вперёд, ни назад», а до Ньютона — Кеплер, сказавший, что вблизи минимума «изменения несущественны». А по Лейбницу идея Ферма заключается в том, что касательная к графику функции в точке экстремума горизонтальна. Вот вам три подхода к математическому утверждению — физика, вычислителя и геометра.

Мотивировкой целесообразности включения теории экстремума в математическое образование всех уровней может служить то, что одна глава теории экстремума — вариационное исчисление — является базой математического естествознания, другая глава — теория оптимального управления — лежит в основе теории управления динамическими системами, а выпуклые экстремальные задачи лежат в основании математической экономики.

Как всегда, начинаем со школы.

Одномерный случай (гладкая задача без ограничений).

Постановка задачи. Рассматривается задача: найти минимум (или максимум) функции f, определённой на некотором подмножестве действительной прямой:

Говорят, что в точке £, принадлежащей области определения функции /, она имеет локальный минимум, если существует число s > 0 такое, что f(x) > /(О Для любого ж, удовлетворяющего неравенству \х — £| < е.

Если в точке £ функция / дифференцируема и выполнено равенство /40 = 0, то эта точка называется стационарной точкой функции /.

Теорема Ферма для задачи (3i). Пусть f — функция одного переменного, определённая в интервале (х — е, х + е) и дифференцируемая в точке х. Тогда, если х есть точка локального экстремума, то х является стационарной точкой функции f, т. е. ff(x) = 0.

Идея этого результата содержалась в упомянутом выше письме Ферма.

Доказательство. Если допустить, что ff(x) ф 0, то по определению производной f(x + 6) = f(x) + 6ff(x) + о(в). Выбирая в достаточно малым и поочерёдно разных знаков, видим из последнего равенства, что / не имеет в x ни локального минимума, ни локального максимума. □

Следствие. Если функция f определена и непрерывна на отрезке [а, Ь] и при этом дифференцируема внутри этого отрезка, то и абсолютный максимум, и абсолютный минимум находятся либо среди стационарных точек, либо среди концов отрезка.

Доказательство следствия. В силу теоремы Вейерштрасса о том, что функция, непрерывная на отрезке, достигает на нём и своего абсолютного минимума, и своего абсолютного максимума, тот и другой существуют. Если, скажем, абсолютный минимум не достигается на концах отрезка,то он расположен внутри отрезка, и значит, он является стационарной точкой. Случай максимума аналогичен. □

Замечание. Если функция удовлетворяет условиям теоремы Ферма и дополнительному условию равенства своих значений на концах отрезка, то внутри отрезка есть стационарная точка (теорема Ролля). Отсюда мгновенно доказывается формула Лагранжа о конечном приращении (которую мы до этого времени оставляли без доказательства) : надо рассмотреть функцию

(f(x) = f(x) — f(a) — —ii^l (х — а) и применить к ней теорему Ролля.

Пример 3.2. Среди прямоугольных треугольников с заданной суммой длин катетов найти треугольник с наибольшей площадью.

Этим примером Ферма иллюстрировал свой метод поиска экстремумов.

Решение примера. Обозначим сумму длин катетов через а. Тогда, если через x обозначить длину одного из катетов, то задача сведётся к тому, чтобы найти максимум функции f(x) =---на отрезке [0, а]. В силу следствия максимум достигается либо на концах отрезка (но там / принимает нулевые значения), либо в стационарной точке ж = — , где fix) = — > 0. Следовательно, максимум достигается при х = —. Но тогда х = а — х и значит, решением задачи является равнобедренный прямоугольный треугольник.

Двумерный случай (гладкая задача с ограничением в виде равенства).

Постановка задачи. Рассмотрим задачу: найти экстремумы функции /о двух переменных на кривой, определяемой равенством fi(x\,X2) = 0:

/о(жъ х2) -> extr, х2) = 0. (32)

Пример 3.3. Пусть £i и £2 известные числа. Решить задачу:

+ &Х2 max, xf + xl = I.

Теорема (правило множителей Лагранжа для задачи (З2)). Пусть в задаче (З2) функции /о ^ /1 определены в некоторой окрестности точки х плоскости М2 и строго дифференцируемы в х. Тогда если х есть точка локального экстремума задачи, то существует ненулевой вектор X = (Ào, Ai) такой, что точка х является стационарной точкой функции Лагранжа £(х, À) = Xofo(x) + Xifi(x) (т. е. Ao/q(x) + Ai/{(ж) = 0); Ао и Ai называются множителями Лагранжа.

Решение примера. Функция Лагранжа имеет вид £(х, А) = Ао(£, х) + + Ai(|x|2 — 1). Правило множителей Лагранжа приводит к системе

которая имеет два решения:

Максимум достигается при выборе знаков плюс.

По ходу дела нами было доказано неравенство Коши-Буняковского:

Доказательство правила множителей Лагранжа. Если допустить, что векторы /qix) и /{(ж) линейно независимы, то производная отображения x i—> F(x) = (/о(ж), fi(x)) в точке х является обратимой матрицей, следовательно, удовлетворяет теореме об обратном отображении (условие теоремы удовлетворяется в силу строгой дифференцируемости /о и /1)? значит, в любой окрестности точки х при любом малом по модулю действительном a разрешима система уравнений /о(ж(а)) = fo(x) + а, /х(ж(а)) = 0,

\х(а) — х\ < С|а|, где С — положительная константа. Итак, х — не локальный экстремум, значит, векторы /о (ж) и f[(x) линейно зависимы, что и требовалось. □

Теперь, как и в предыдущих случаях, подымемся на более высокий уровень — попробуем добраться до бесконечности.

Многомерный и бесконечномерный случаи (гладкая задача с ограничением в виде равенств).

Постановка задачи. В конечномерном случае рассматривается задача: найти экстремумы функции /о(#ъ • • • ? хп) от п переменных на множестве, определяемом m равенствами /i(a?i,..., хп) = ... = fm(x\)..., хп) = 0.

Обозначив вектор-столбец ..., fm(x)) через F(x), запишем задачу так:

/о(а;)extr, F(x) = 0, F : Rn -> Rm. (3n)

В бесконечномерном случае рассматривается задача: найти экстремумы функции fo(x), определённой в области V банахова пространства X на множестве, определяемом равенством F(x) = 0, где F отображает V в банахово пространство Y. Она записывается аналогично (Зп), только её следует обозначит (Зоо).

Общая идея того, как решать задачи (Зп), была высказана Ж. Л. Лагранжем [5]:

«Можно высказать следующий общий принцип. Если ищется максимум или минимум некоторой функции многих переменных при условии, что между этими переменными имеется связь, задаваемая одним или несколькими уравнениями, нужно прибавить к функции, о которой говорилось, функции, задающие уравнения связи, умноженные на неопределенные множители, и искать затем максимум или минимум построенной суммы, как если бы переменные были независимы. Полученные уравнения, присоединенные к уравнениям связи, послужат для определения всех неизвестных».

Вот формулировка теоремы, в которой выражен сформулированный выше принцип Лагранжа:

Теорема (правило множителей Лагранжа для задач (Зп) и (Зоо)). Пусть в задаче (Зп) функции fi, 0 < г < т, определены и строго дифференцируемы в некоторой окрестности точки х G W1 (в задаче (Зоо) функция /о и отображение F определены и строго дифференцируемы в некоторой окрестности точки х G V), и в задаче (Зп) производная отображения i4 (/i(x),..., /m (ж)) (в задаче (З^о) производная отображения F) в точке x сюръективна. Тогда если х есть точка локального экстремума задачи, то существует ненулевой вектор множителей Лагранжа А = (1, Ai,..., Àm) такой, что точка х является стационарной точкой функции Лагранжа С(х, А); в случае задачи (Зп) £(ж, А) = Y, \fi(x) (m- е- fo(x) + Yl \ f'i(x) = 0), а в случае задачи (З^о) £(ж, А) = fo(x) + (A, F(x)) (т. е. /о(ж) + (Ff(x))*X = 0), где А = (1, А); A G У*, а У* — пространство, сопряжённое с Y.

Этот результат для задачи (Зоо) был доказан Л. А. Люстерником (1899-1981) в [6] в 1934 году.

Доказательство этого утверждения проходит по схеме двумерного случая, надо только чуть обобщить теорему об обратном отображении. А именно, имеет место результат, который мы сформулируем сразу в бесконечномерном случае. Но предварительно необходима теорема о правом обратном отображении для линейного отображения: для линейного непрерывного сюръективного оператора А : X Y из банахова пространства X в банахово пространство Y существует правое обратное отображение R :Y —> X, непрерывное в нуле: AR(y) = y, \R(y)\ < С\\у\Vy G Rm.

Теперь можно сформулировать теорему о правом обратном для нелинейного отображения в бесконечномерном случае.

Теорема о правом обратном в бесконечномерном случае. Пусть X и Y — банаховы пространства, V — окрестность точки х G X, F : V —> Y вообще говоря, нелинейное отображение. Пусть формула

определяет решение уравнения F(x) = у, у G Y, модифицированным методом Ньютона. В этой формуле R : Y —> X — правый обратный для линейного сюръективного оператора А : X —> Y такого, что для чисел 0 < в < 1 и 6 > 0 выполнено неравенство

для любых x, х', для которых \\х — х\\х < S, \\х' — х\\х < S. Тогда для любого вектора у G У, отстоящего по модулю от F(x) не больше, чем на ö(l — в)/\А\, последовательность {х^} будет стремиться к вектору <р(у), отстоящему от х не больше, чем на о, и такому, что F(tp(y)) = у и при этом \\ф(у) — х\\х < К\\у — F(x)\\Y, где К = 7/(1 — в).

Этот результат 1950 г. принадлежит профессору Чикагского университета Л. Грейвсу (1896-1973) [7].

В конечномерном случае надо положить X = Mn, Y = Rm.

4. Коники и квадрики

Квадрики — это множества уровня квадратичной функции. Плоские квадрики называют кониками (под этим именем они появились у Аполлония), ибо они являются сечениями прямого кругового конуса.

Решать квадратные уравнения учат в школах с давних времён. В школе изучают параболы и гиперболы. А у нас появятся ещё и эллипсы (без них не понять устройство планетных систем). Приведение квадратичных форм к каноническому виду встречается в вузовском образовании на всех этапах -от аналитической геометрии до уравнений с частными производными. Оно входит в базу математической физики и квантовой механики.

Начнём здесь с уровня средней школы.

Одномерный случай.

Постановка задачи. Требуется описать множество

{х G R I ах2 + 2bx + с = 0}. (4Х)

Замечание. Обычно в школах квадратное уравнение пишут без двойки во втором члене. Наша запись естественнее, если иметь в виду случай многих переменных.

Теорема 41 (о корнях квадратных уравнений). Квадратное уравнение имеет два корня, один корень или вовсе не имеет корней.

Стандартное доказательство с помощью выделения полного квадрата мы опускаем.

Двумерный случай.

Здесь будем рассматривать не произвольные функции, а формы. Постановка задачи. Требуется описать линии уровня квадратичной формы от двух переменных, т. е. множество

{(жьх2) I /(xi,х2) = а\\х\ + 2а\2х\х2 + а^х\ + с = 0}. (42)

Считая x = (xi,x2) вектором евклидовой плоскости со стандартным базисом, квадратичную форму х2) можно записать в виде Q(x) = (Лх, ж), где Л = — симметричная матрица, т. е. а\2 = а2ь

Теорема 42 (канонический вид квадратичной формы от двух переменных). Для заданной квадратичной формы Q(x) найдутся два единичных ортогональных вектора f1 и f2 и два числа Ai и Л2 такие, что эту форму можно записать в каноническом виде: Q(x) = Ai(/1,x) + Л2(/2,х) .

Доказательство (рис.4). Рассмотрим задачу на максимум при наличии ограничения типа равенства: fo(x) = ацх2 + 2а\2х\х2 + а22х\ —max, fi(x) = = х\ + х\ = 1, или, в сокращенной форме:

Рис.4

Единичная окружность S1 = {х I х\ + ж| = 1} - компакт в Е2, функция /о непрерывна всюду в Е2, значит, по теореме Вейерштрасса о непрерывной

функции на компакте, решение поставленной задачи существует. Обозначим его f1. Из правила множителей Лагранжа следует, что найдётся число Ai, для которого Af1 = Ai/1. Пусть f2 — единичный вектор, ортогональный f1. Имеем: (fl,Af2) = (Af1,/2) = \i(fl,f2) = 0. Итак, вектор Af2 ортогонален вектору f1, как и вектор f2, следовательно, векторы Af2 и f2 пропорциональны: Af2 = А2/2. Разложим вектор х по единичным ортогональным друг другу векторам f1 и f2: х = (f1,x)f1 + (f2,x)f2. Тогда получим: (Ах, х) = = A1(/V)2 + A2(/2,x)2. □

Замечание. Из доказательства видно, что теорему 42 можно переформулировать так: для любого симметричного оператора А из Ж2 в М? существует ортонормированный базис из собственных векторов оператора А.

Описания коник в невырожденном случае — когда матрица А обратима - таково: в базисе f\ и /2 дело сводится к описанию линий уровня квадратичных форм Q(y) = Aiy2 + А2У2 = с- Это могут быть эллипсы, гиперболы, пары пересекающиеся прямых, точка и пустое множество.

В вырожденном случае добавляются параболы и пары параллельных прямых, в том числе и слившихся.

Многомерный и бесконечномерный случаи.

Здесь сразу сформулируем теорему о приведении квадратичной формы к каноническому виду. Имеет место следующий результат:

Теорема 43 (Гильберта —Шмидта). Для любого симметричного оператора А из W1 в W1 (вполне непрерывного симметричного оператора А, действующего в гильбертовом пространстве Н) существует ортонормированная система собственных элементов fa и соответствующих собственных значений А& оператора А такая, что для любого х G W1 (х G H) имеет место равенство (Ах,х) = А/с(//с, х)2, причём, в зависимости от числа ненулевых собственных элементов оператора А, сумма может быть как конечной, так и бесконечной. Если ненулевых собственных элементов бесконечно много, то А& —> 0.

Доказательство проходит по схеме двумерного. В конечномерном случае - с индуктивным применением на k-ом шаге правила множителей Лагранжа к задаче (Ах,х) —>► max, (х,х) = 1, (х, fi) = 0, 1 < г < к — 1, где fi — уже построенная к этому шагу ортонормированная система векторов. В бесконечномерном случае рассматривается та же задача, но не на единичной сфере, а на единичном шаре с использованием слабой компактности шара.

Д. Гильберт (1862-1943) — один из крупнейших математиков XIX-XX вв. — доказал сформулированную теорему 4з для интегральных уравнений с симметричным ядром [8], а его ученик Э.Шмидт (1876-1959) придал этому результату абстрактную форму.

Заключение

Вот некоторые исходные пункты, которыми я руководствовался, обдумывая свой «синтетический курс»:

1) Математику разумно рассматривать в её единстве. Именно так рассматривали математику крупнейшие математики всех времён.

В подтверждение идеи единства математики я люблю цитировать слова И. М. Гельфанда [9, с. 6]. Мальчиком он просил родителей купить ему книгу по высшей математике. Не сразу (не было средств), но книга (очень заурядный учебник) была куплена. Одна вещь в этой книге потрясла мальчика. Он был уверен, что существуют две математики — алгебра и геометрия, пока не увидел в книге формулу Маклорена. «Математика предстала передо мной, — пишет Гельфанд, — в своём единстве. И с той поры я понял, что разные области математики вместе с математической физикой образуют единое целое».

2) Но раз математика едина, то идеи этого единства разумно внедрять в математическое образование всех уровней.

3) Любое образование, в частности, математическое, должно быть мотивированным: про любой значительный раздел, изучаемый в старших классах школы или высшем учебном заведении, учащемуся надо объяснить, для осуществления каких целей этот раздел появился на свет, и почему знание его важно для личности.

Апология математики, может быть, в самом существенном, состоит в том, что математика является языком естествознания и рабочим инструментом техники, управления и экономики, а сам стиль математического мышления способен одарить личность бесценным даром интеллектуальной свободы. Всё это разумно постоянно демонстрировать, чтобы показывать осмысленность овладения математическими знаниями.

4) Важнейшие математические идеи и принципы общечеловечны, а фундаментальные результаты, из которых составляется база математического образования даже на университетском уровне, в сущности, просты и допускают содержательное толкование на уровне, доступном интересующемуся школьнику.

«Синтетический курс» позволяет обозреть мехматское университетское образование (по крайней мере, значительную часть того, что включается в финальный экзамен) с той небольшой высоты, на которую мы поднялись в этом курсе. Коротко скажем об этом.

Содержание курса Аналитическая геометрия складывается из геометрической интерпретации теории линейных уравнений и квадрик на плоскости и в трёхмерном пространстве. Основные результаты этого курса являются следствиями двумерного и трёхмерного вариантов теорем Фредгольма и Гильберта - Шмидта.

Курс Линейная алгебра в основной своей части состоит из теорий линейных уравнений и квадратичных форм в конечномерных пространствах. В программу Госэкзамена включены следующие теоремы: о ранге матрицы; теорема Кронекера - Капелли] о приведении к нормальному виду] о приведении квадратичной формы к главным осям.

Последний результат есть не что иное, как конечномерный вариант теоремы Гильберта-Шмидта. Приведение к нормальному виду происходит после приведения к главным осям с помощью гомотетий (замены переменных вида yi = OiiXi). Теорема Кронекера-Капелли является автоматическим следствием теоремы о ранге, которую с помощью конечномерного варианта теоремы Фредгольма можно доказать прямо, без теории определителей.

В курсе Математический анализ студент осваивает очень большое число фундаментальных понятий из общей топологии и дифференциального и интегрального исчислений, но по сути дела там имеются две фундаментальных серии результатов: разного рода теоремы обратимости (о которых в этой статье оказалось возможным сказать достаточно подробно) и теорема Пуанкаре (которую иногда называют теоремой Ньютона - Лейбница - Грина -Гаусса-Остроградского-Стокса-Пуанкаре) о связи дифференцирования и интегрирования, которая, к сожалению, оказалась за пределами наших возможностей.

В программу Госэкзамена по курсу Обыкновенные дифференциальные уравнения включены, по сути дела, лишь два результата: теоремы существования локального решения задачи Коши в нелинейном случае и глобального решения для линейных систем. Первый результат доказывается прямым применением теоремы Грейвса. Теорема существования и единственности для общих линейных уравнений (а не только для уравнений второго порядка, как это требует программа Госэкзамена) легко редуцируется к доказанной локальной теореме.

Основная теорема курса Теория функций комплексного переменного — это, несомненно, теорема Коши об интеграле по замкнутому контуру. Она доказывается сочетанием условий Коши-Римана с формулой Грина, а условия Коши-Римана — это не что иное, как расшифровка определения производной функции комплексного переменного.

Помимо определений в вопросах Госэкзамена по курсу Дифференциальная геометрия есть два результата: Теорема Менье и Формула Эйлера.

Если к поверхности, расположенной в Е3, провести касательную плоскость в некоторой точке А и затем совершить ортогональное преобразование, переводящее касательную плоскость в плоскость Ох\Х2, а точку А в начало координат, то поверхность будет представляться функцией #2) — Q>\\x\+ +2ai2X\X2+oJ22X<2+o(\x\) и всё сводится к исследованию квадратичной формы от двух переменных. «Главные оси» формы определяют «главные направления» поверхности, кривизны соответствующих парабол — главные кривизны поверхности, и остаётся разобраться с кривизнами сечений поверхностей второго порядка.

Выше говорилось о единстве математики и математического естествознания. Галилею (1564-1642) принадлежат слова: «Книга Природы написана на языке математики». В «синтетический курс» включено достаточно много, чтобы можно было начать читать книгу Природы.

Об одной особенности законов, записанных в Книге Природы, Эйлер (1707-1783) сказал так: «В мире не происходит ничего, в чём не был бы виден смысл какого-нибудь максимума или минимума». Эту мысль иногда формулируют следующим образом: законы природы в значительной своей доле описываются экстремальными принципами. Изложенного нами по теории экстремума достаточно, чтобы даже на школьном уровне вывести закон преломления света при переходе из одной однородной среды в другую, который был экспериментально установлен Снеллиусом (1580-1626). Для этого доста-

точно применить условие минимума в простой в задаче

которая формализует первый экстремальный принцип в естествознании, открытый Ферма (1601-1665) в 1662 г. (согласно этому принципу свет, распространяющийся в неоднородной среде, избирает путь, при котором затрачивается наименьшее время; в поставленной задаче свет идёт из точки (0, а) в верхней полуплоскости, где скорость его распространения равна vi, в точку (/, —Ь) в нижней полуплоскости, где скорость V2).

В 1687 году вышла книга Ньютона «Математические начала натуральной философии» — величайшая в истории науки. В ней содержится целый свод законов природы, связанных единой концепцией. Размышляя над проблемами школьного математического образования, А.Н.Колмогоров писал: «Вряд ли нужно доказывать, насколько желательно с общеобразовательной точки зрения достигнуть того, чтобы все учащиеся могли вполне конкретно понять хотя бы ньютонову концепцию математического естествознания».

В применении к законам динамики ньютонову концепцию математического естествознания можно кратко выразить словами: законы динамики описываются дифференциальными уравнениями. Всё это мотивирует изучение теории обыкновенных дифференциальных уравнений и методов их решения.

А вообще, большинство законов динамики выводятся из принципа Гамильтона, согласно которому каждая динамическая система характеризуется функцией L = L(t, ж, ж), где L:Rx RN х RN —>► M, называемой лагранжианом. Функционал

называют действием. Принцип Гамильтона состоит в том, что, подобно тому, как это было у Ферма со светом, движение системы от точки (£о,жо) Д° Д°~ статочно близкой точки (£i,xi) происходит по траектории, обеспечивающей наименьшее значение действия, т.е., в частности, удовлетворяется уравнение Эйлера: ——Lx + Lx = 0 (это — аналог теоремы Ферма для задачи минимизации функционала S). Если применить уравнение Эйлера к задаче о движении спутника вокруг центрального тела, где сила взаимодействия между телами удовлетворяет закону обратных квадратов, получаются (это уже институтский уровень) интегрируемые дифференциальные уравнения. Интегрирование их приводит к трём законам Кеплера, что явилось одним из величайших триумфов ньютоновой науки.

Основные задачи математической физики, изучаемые в курсе дифференциальных уравнений с частными производными, решаются методом Фурье, редуцирующим задачи математической физики к теореме Гильберта-Шмидта. Методом Фурье решаются и классические задачи квантовой механики.

Вернёмся к началу. В тридцатые годы была осуществлена реформа математического образования. А год назад у нас была обнародована новая концеп-

ция математического образования. Не обсуждая её подробно, обратим внимание на некоторые аспекты проблемы математического образования в наше время.

Образование имеет три адреса — личность, государство и человечество. В цивилизованном обществе целью государства должна быть личность, но, разумеется, государство должно предусмотреть и свои интересы, состоящие в том, чтобы в стране было нужное число квалифицированных инженеров, экономистов, управленцев, врачей и учёных, получивших достаточное для их созидательной деятельности математическое образование.

Изменения в мире, в частности, ментальности молодёжи, произошедшие за последние годы, не оставляют надежд на то, что всех учащихся можно чему-то серьёзному в математике обучить, да и государство (повторюсь, цивилизованное государство) по разным причинам может не иметь возможности бесплатно дать каждому такое образование, которое он желает получить.

Это означает, что математическое образование (не только у нас — всюду) должно быть двухуровневым — быть может, до лучших времён: не будем терять надежду, что, как в это верил А. Н. Колмогоров, все учащиеся захотят ознакомиться хотя бы с ньютоновской концепцией естествознания, но сейчас это совершенная утопия. Я предлагаю выделять людей, заинтересованных в получении образования повышенного уровня. Похоже, что таковых 10-15 процентов от всех учащихся любого уровня (школьного, институтского, университетского). Им надо предоставить возможность получить образование, соответствующее их интересам, поддерживая, быть может, средствами, которые они должны будут вернуть в будущем, как это делается во многих странах (возможны и другие пути поддержки творческих людей).

Формы двух уровней преподавания во многом уже обозначены: это специальные математические и естественно-научные школы, бакалавриат и магистратура в институтах и университетах.

Базовое образование в школе, институте, университете у нас может остаться тем, что было, как говорится, «при старом режиме». Успехи нашего математического образования в прошлые времена должны, мне кажется, предостеречь от того, чтобы всё перестраивать бездумно. Но неизбежны и некоторые изменения. Спецшколы и институтские магистратуры должны иметь программы повышенной подготовки. Для их разработки стоит использовать опыт мехмата, о котором говорилось вначале. А университетское образование второго уровня разумно (с моей точки зрения) сделать вариативным. Чтобы каждый человек — при помощи факультета, кафедр, научных руководителей, посторонних советчиков — мог сам выбрать свою образовательную стезю.

И между двумя стадиями обучения я бы предложил организовывать и в школе, и в ВУЗах специальные курсы в духе того «Синтетического курса», что изложен в этой статье, чтобы человек мог получить впечатление о математике как о единой структуре.

В своей статье я старался представить математику не как федеративное, а как единое государство. В этом государстве расположены несколько

(не много) особо значимых мест (назовём их вершинами). Я выбрал четыре. Для того, чтобы достичь их (читатель, мне кажется, должен с этим согласиться), не пришлось «не страшась усталости карабкаться по каменистым тропам». К высоким целям нашлись плавные и естественные пути от самых истоков знания (папируса Райнда, алгоритма Герона, ньютоновского определения скорости, письма Ферма, решения квадратного уравнения) до теорем Фредгольма, Грейвса, Люстерника и Гильберта-Шмидта.

По отношению к устройству мира, который я старался раскрыть перед читателем — мира математического образования, — мне представляется возможным привести слова, приписываемые Эйнштейну: «Мир устроен просто. Очень просто. Но не более того». И чтобы войти в этот мир, не обязательно обладать «талантом» (что это такое определить нелегко), а достаточно, чтобы человек был интересующимся, и чтобы обстоятельства судьбы не отбили у него желания смотреть на себя как на мыслящее существо.

ЛИТЕРАТУРА

1. Арнольд В. И. Избранное-60. — М.: Фазис, 1997.

2. Fredholm Е. I. Sur une classe d'équations fonctionnelles // Acta Mathematica. 1903. №27. P. 365-390.

3. Ньютои И. Математические работы, URSS, 2012.

4. Ферма П. Метод отыскания наибольших и наименьших значений. В кн.: Декарт. Геометрия. — М.-Л.: Техтеорлит, 1938.

5. Lagrange J.-L. Théorie des fonctions analytiques. — Paris, 1797.

6. Люстерник Л. А. Об условных экстремумах функционалов // Матем. сб. 1934. Т. 41. №3. С. 390-401.

7. Graves L.M. Duke Math. J. 1950. V. 17. P. 111-114.

8. Hilbert D. Grundzüge einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen. — Leipzig und Berlin, 1912.

9. Интервью с академиком И. М. Гельфандом // Квант. 1989. №1. С. XXX

Поступила 20.05.2014

SYNTHETICAL COURSE OF MATHEMATICS

V. M. Tikhomirov

The article is devoted to problems of modern mathematical education. It contains a sketch of «Synthetical course of mathematics» in which mathematics is considered as a unifies science.

Keywords: Fredholm's alternative, Newton's method, Lagrange's principle, Hilbert-Schmidt theorem

ИННОВАЦИОННЫЕ И ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ И КОМПЬЮТЕРНЫЕ ПРОДУКТЫ В ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ

УДК 372.851

ОПЫТ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ АВТОМАТИЗИРОВАННЫХ ОБУЧАЮЩИХ КУРСОВ В ПРЕПОДАВАНИИ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ В ВУЗЕ

И. Н. Вербицкая

Военно-морская академия имени Адмирала Флота Советского Союза Н.Г.Кузнецова (филиал, г.Калининград) Россия, 236000, г. Калининград, Советский проспект, 82; e-mail: i_verbitskaya39@mail.ru

Сообщается о создании и использовании автоматизированных обучающих курсов при обучении математике. Приводятся их особенности и итоги применения в учебном процессе.

Ключевые слова: обучение математике, автоматизированные обучающие курсы, Delphi.

Преподаватели математики в вузах не склонны передоверять свои функции компьютерам, зачастую возражая против этого категорически и не пытаясь вникнуть в резоны противоположной точки зрения. Однако современные реалии настойчиво напоминают о возможностях прикладных программ для персональных компьютеров (ПК) как средства обучения в любых сферах человеческой деятельности. Становится трудно игнорировать их и при обучении математике. Возможно, противники автоматизированного обучения изменят своё отрицательное к нему отношение, ознакомившись без предвзятости с содержанием этой статьи.

На кафедре математики Балтийского военно-морского института, ныне филиала ВУНЦ ВМФ «Военно-морская академия имени Адмирала Флота Советского Союза Н.Г.Кузнецова» (г.Калининград), уже около десяти лет используются в учебном процессе автоматизированные учебные курсы, обеспечивающие обучение по отдельным темам дисциплины «Математика». На кафедре разработаны и внедрены в учебный процесс компьютерные программы, которые мы условно делим на две подгруппы:

- автоматизированные обучающие курсы (АОКи) для проведения практических занятий в сетке учебного расписания по следующим темам дисциплины «Математика»: «Алгебра событий», «Функция-1», «Функция-2», «Вероятность события», «Интегрирование методом подведения под знак дифференциала» ;

- автоматизированные учебные курсы (АУКи), используемые вне сетки расписания учебных занятий для обучения, тренировки и контроля знаний курсантов по разделам: «Элементы векторной алгебры», «Прямая на плоскости», «Плоскость и прямая в пространстве».

Программа по математике рассчитана на 456 часов аудиторных занятий, теоретический учебный материал излагается традиционно на лекциях, а автоматизированное обучение используется только для приобретения устойчивого навыка в решении задач по вышеназванным темам.

Для автоматизированного обучения выбраны те темы, для усвоения которых учащиеся должны решить большое количество сравнительно простых задач, посильных каждому, но требующих кропотливой индивидуальной работы. Такие темы курсант усваивает лучше, работая в удобном для него темпе самостоятельно в рамках автоматизированного обучающего курса.

Выбор тем был обусловлен также следующими соображениями:

• тема должна быть основополагающей в соответствующем разделе: для успешного усвоения этого раздела каждый курсант должен приобрести устойчивые навыки по решению задач данной темы;

• учебный материал должен быть посильным для самостоятельного усвоения учащимися;

• специфика учебного материала диктует необходимость индивидуализации процесса предъявления учебных доз и практических заданий, поскольку задачи по теме разнообразны и многочисленны, и одни курсанты решают их сравнительно легко и быстро, а другим требуется больше времени на обдумывание решения;

• ответы в задачах легко формулируются и не требуют от обучаемого затраты усилий на адаптацию ответа к какому-либо специфическому виду, приемлемому для ПК.

Все авторские программы для автоматизированного обучения написаны на алгоритмическом языке Object Pascal в системе объектно-ориентированного программирования Delphi, но их исполняемые файлы не требуют наличия этой системы в программном обеспечении ПК.

Программа каждого АОКа обеспечивает возможность конструктивного живого диалога обучаемого с ПК и решения в процессе этого диалога поставленной учебной задачи по соответствующей теме из учебной программы дисциплины «Математика».

Архитектура АОКов традиционна. Вначале на экране предъявляются информационные кадры, содержащие сведения о курсе.

Работу с учебным материалом предваряет фрагмент, содержащий приветствие, обращенное к курсанту, краткое вступление к теме и формулировку цели работы с автоматизированным курсом.

Курсы самодокументированы, то есть не требуют никаких дополнительных пособий для работы с ними. Все необходимые сведения из теории и подробное разъяснение решения типовых задач предъявляются курсанту на экране терминала в рамках АОКа.

В зависимости от объёма теоретического материала, необходимого на практическом занятии, он компонуется в АОКах по-разному. Так, АОК «Вероятность события» содержит три отдельных блока, в которых рассматриваются теоретические сведения и примеры решения типовых задач, связанные соответственно со статистическим, классическим и геометрическим способами вычисления вероятности. Блок, в котором рассматривается классическая формула для вычисления вероятности, сопровождается исторической справкой. Из этой справки становится понятной целесообразность решения на начальном этапе знакомства с теорией вероятностей задач, связанных с различными исходами в азартных играх. Информационная составляющая блока на экране терминала имеет вид:

В АОКе «Функция» теория предъявляется «порциями», которые соответствуют изучаемым свойствам функций. Например, задачи, связанные со свойством монотонности функции, предваряются слайдом «Монотонные функции», на котором приведены определения возрастающей, убывающей, неубывающей, невозрастающей функций и соответствующие примеры графиков. После определения понятия сложной функции даются его разъяснения на примерах, показанных на приведённом фрагменте слайда:

Самостоятельно изучив теорию, курсант знакомится с типовыми задачами по теме и подробным объяснением их решения. О степени подробности разъяснений можно судить, например, по содержанию соответствующих фрагментов, предъявляемых в АОКе «Интегрирование методом подведения под знак дифференциала»:

Изучив теорию и разобрав решение типовых задач в удобном для себя темпе, «с чувством, с толком, с расстановкой», курсант переходит к самостоятельной работе. Первые предлагаемые ему задачи сравнительно простые, их решение носит характер разминки, они призваны адаптировать учащихся к работе на ПК и помочь им мобилизовать внимание и интеллект. За разминкой следуют более серьёзные задачи по теме.

Программно предусмотрены гибкая система реагирования на возможные ошибки и неточности в ответе курсанта (неполный ответ, наличие в ответе лишних элементов и проч.) и формирование соответствующих комментариев.

Постепенно задачи усложняются, для их выполнения курсанту может потребоваться помощь или возврат к недостаточно усвоенным вопросам теории. АОК предоставляет эти возможности. Далее приводится фрагмент экрана с информацией о предоставляемых возможностях в АОКе «Функция»:

В последующих фрагментах на форме рядом с текстом задачи появляются клавиши с красноречивыми надписями «9-1-1», «ПОДСКАЗКАШ», которые обеспечивают переход программы в соответствующий режим.

При обращении к подсказке на экране с текстом задачи разворачивается поле с информацией, реализующей по сути дела принцип программированного обучения.

Далее приводится вид экрана в случае, когда учащийся, имевший две попытки ответа на вопрос задачи, оба раза дал неправильный ответ. Вместе с комментарием к ответу на экране появляется подробное решение задачи с геометрической иллюстрацией к нему.

Там, где это целесообразно, в формулировках задач и при разъяснениях их решений широко используются графические возможности Delphi. Так, в АОКе «Вероятность события» органичным является применение графики при рассмотрении геометрической схемы вычисления вероятности.

Наряду с небольшим количеством классических задач, в АОКах предлагаются задачи с прикладной направленностью. Так, например, во втором трёхуровневом блоке АОКа «Алгебра событий» курсанты решают задачи, связанные с функционированием электрических схем:

В этих задачах отрабатывается навык представления последовательного и параллельного соединения элементов цепи с помощью операций алгебры событий.

В обучающих курсах содержатся и другие полезные для практики прикладные задачи, связанные с будущей специальностью учащихся, вызывающие их интерес и усиливающие мотивацию изучения теории вероятностей. Например,

Из текста задачи видно, что программа может анализировать свободно конструируемый ответ.

Во всех обучающих и учебных курсах, кроме АОКов «Алгебра событий» и «Функция», предусмотрен случайный выбор задач определённого типа из общего достаточно объёмного банка заданий. При этом курсант при повторном подключении к курсу получает не прежний, уже знакомый ему, а новый набор задач для самостоятельного решения. Благодаря этому, во-первых, на занятии разные курсанты решают различные задачи, что усиливает самостоятельную составляющую их работы, а во-вторых, исключается монотонность при работе с АОКом в режиме тренировки во внеучебное время. Учащийся может при желании работать в рамках АОКа, получая различные наборы заданий до тех пор, пока не освоит методику их решения.

В процессе работы подсчитывается рейтинг курсанта, который периодически сообщается ему с соответствующим комментарием. Так, по завершении каждой темы или блока тематически связанных задач на экран выводится сообщение об общем количестве предложенных в АОКе задач и о количестве баллов, набранных в процессе их решения.

Поддержанию эмоционально-творческой атмосферы на занятии, живости диалога курсанта с ПК способствует особая гуманитарная оболочка АОКа, стимулирующая процесс обучения и способствующая культурному росту обучаемого. Её элементами являются эпиграфы к АОКу и к отдельным его разделам, шутливые реплики на правильные и неправильные ответы, созвучные итогам работы комментарии. В диалог курсанта с ПК естественным образом вплетаются высказывания классиков, крылатые фразы, пословицы, поговорки. Они вызывают ответную эмоциональную реакцию учащегося, повышают его заинтересованность в результатах работы, способствуют интенсификации труда. В качестве примера приведём некоторые реплики ПК на правильные ответы:

«Что и требовалось доказать]» (Евклид); «Эврика!!!» (Архимед)] «Veni, vidi, vicii!» («Пришёл, увидел, победил\») (Юлий Цезарь).

Реплики на неправильные ответы: «Задом наперед совсем наоборот]» (Льюис Кэрролл, «Алиса в стране чудес»)] Приходится признать, джентльмены, что это открытие несколько ошарашивает...» (сб. «Физики шутят»)] «Рассудку вопреки, наперекор стихиям... »(А. С. Грибоедов, «Горе от ума»).

Если курсант дает неверный ответ на заданный вопрос неоднократно, в репликах отражается этот факт, например:

«Спереди плохо, сзади еще хуже, точно сижу я в холодной луже... »

(Из афоризмов Козьмы Пруткова).

В случае, когда после неудачной попытки ответа на вопрос курсант даёт на него правильный ответ, ПК комментирует этот факт соответствующим образом:

«Ничто так не будит мысль, как хороший подзатыльник» (из афоризмов Б. Андреева), или «Вот, наконец, решение загадке!!!» (А. С. Грибоедов, «Горе от ума»).

Занятие заканчивается подведением итогов работы. Вот как выглядит завершающая информация в АУКе «Функция-2» в случае, когда работа курсанта оценивается как отличная:

Каждая оценка за работу с АОКом сопровождается соответствующим комментарием. При любом итоге работы с курсом, даже самом плачевном, предусматривается итоговый комментарий, который должен вселить в учащегося уверенность в том, что он в состоянии улучшить результат.

Элементы занимательности, которые привносит в АОК его гуманитарная оболочка, создают психологический комфорт при общении с компьютером, разнообразят форму подачи учебного материала и методику проведения занятия. Оно становится более привлекательным для курсантов, вызывая их интерес к изучаемой теме, её усвоению и получению более высокой итоговой оценки. Работа с автоматизированным обучающим курсом, таким образом, способствует достижению и учебных, и воспитательных целей занятия. Проводимое в такой форме, оно значительно эффективнее традиционного и пользуется популярностью у курсантов.

При внедрении каждого АОКа проводился по обычным стандартам методический эксперимент, результаты которого позволяли скорректировать содержание АОКов и выяснить, насколько эффективно их использование в учебном процессе по сравнению с применением традиционных методик. Практика внедрения АОКов в учебный процесс показала, что занятия, проводимые на их основе, обладают следующими преимуществами:

1. Повышается активность учащихся, их интерес к изучаемой теме поддерживается общением с ПК и не снижается в течение всего занятия.

2. Учащийся имеет возможность работать в индивидуальном темпе, получая реплику на каждый свой ответ, разъяснение допущенных неточностей и ошибок.

3. В связи с большей активностью учащихся на занятии и немедленной качественной реакцией ПК, они успевают выполнить больший объём работы, чем в традиционных условиях, в результате выработанные навыки и умения становятся более прочными.

4. Гуманитарная оболочка учебного курса повышает общую культуру учащихся и снимает напряженность во время занятия.

5. Помимо использования АОКа для проведения практического занятия, он может с успехом применяться при самостоятельной работе учащихся. Отсутствовавшие на занятии могут усвоить тему, работая с АОКом во внеучебное время, а те, кто был на занятии, но хочет потренироваться и добиться более прочных навыков, может обращаться к АОКу неоднократно.

Интерактивная компьютерная обучающая среда фактически имитирует индивидуальную работу преподавателя с учащимся, создавая возможность обучения в удобное для учащегося время в комфортной обстановке и частично освобождая преподавателя от рутинной работы.

Все АОКи зарегистрированы в государственном Реестре программ для ЭВМ, и на них получено Свидетельство Федеральной службы по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам.

Каждый, кто этого пожелает, может обратиться по электронной почте к автору и правообладателю АОКов и получить безвозмездно любой из них.

Поступила 04.09.2013

THE USE OF AUTOMATED EDUCATIONAL COURSES IN TEACHING HIGHER MATHEMATICS IN COLLEGE

I. N. Verbitskaya

The article describes the principles of creation and use of automated educational courses in teaching mathematics. Their distinctive features and the results of their implementation in the educational process are described.

Keywords: teaching mathematics, automated educational courses, Delphi.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СОРЕВНОВАНИЯ В ВУЗАХ

УДК 51-8

ЗАОЧНЫЕ СТУДЕНЧЕСКИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОЛИМПИАДЫ

В. И. Заляпин, А. Ю. Эвнин

Южно-Уральский государственный университет

Россия, 454080, г. Челябинск, пр. Ленина, 76; e-mail: vladimzal@gmail.com; graph98@yandex.ru

Коротко прослежена история математического олимпиадного (в частности — студенческого) движения в мире и рассмотрена роль заочных олимпиад, соревнований и конкурсов в решении проблемы активизации познавательной деятельности студентов математических, физических и инженерных специальностей. Приведены регламент подготовки и проведения таких соревнований, примеры используемых заданий и их источники. Обсуждены образцы задач, предлагавшихся на очных и заочных олимпиадах ЮУрГУ.

Ключевые слова: олимпиады, конкурсы, активизация познавательной деятельности.

В конце XX - начале XXI вв. научное и образовательное сообщество как в России, так и в развитых странах Европы и Северной Америки, столкнулось с глубоким кризисом образования. И если, по оценкам экспертов, с гуманитарным образованием дела обстоят неплохо, то физико-математическое и инженерное образование деградировало в значительной степени. В обществе наблюдаются потеря интереса к точным и естественным наукам, а избравшие математику, физику и инженерию молодые люди демонстрируют слабую школьную естественнонаучную подготовку и неспособность освоить современные теории и методы. Кризис этот поразил всю вертикаль образовательных структур — от школы до колледжей и университетов.

Скорее всего, одна из причин столь нежелательного для образования развития событий кроется в том, что интересы общества, а с ними и интересы молодежи, сместились в сторону бизнеса и коммерции.

Россию этот процесс затронул позднее, чем развитые страны Европы и Северной Америки. Однако ситуация в нашей стране усугубилась участием России в Болонском процессе, которое превратилось в механический перенос на российскую почву недостаточно проверенных и не вполне соответствующих отечественной образовательной практике методик [1].

Напомним, что Болонский процесс представляет собой попытку создания единого европейского образовательного пространства, конкурентоспособного в условиях цивилизации начала XXI в. по отношению к образовательным пространствам Америки, Азии и иных регионов планеты. Единство образовательного пространства понимается отнюдь не как его унификация. Напротив, во всех основных документах, принятых после подписания Болонской декларации (1999), подчеркивается, что каждая страна и каждое учебное заведение вправе и даже обязаны сохранять собственные традиции, достижения и приоритеты в области образования. Единое пространство подразумевает

лишь взаимную прозрачность (понятность) образовательной практики высших учебных заведений разных стран по отношению друг к другу.

Хорошо известно, что российское естественнонаучное (в частности, физико-математическое) образование было одним из лучших в мире, и нет ни одного сколько-нибудь значимого университета на Западе, в котором департаменты математики и физики не были бы укомплектованы выпускниками высших учебных заведений нашей страны. В целом советская - российская образовательная система продемонстрировала свою способность создать научную, техническую и образовательную элиту, способную решать самые сложные задачи, стоящие перед государством. Однако желание чиновников от образования «влить новое вино в старые мехи», адаптировать новую образовательную идеологию к прокрустову ложу существующих образовательных технологий, похоронило всё то прогрессивное и положительное, что могла бы принести российскому образованию «болонская» реформа. Дело, на наш взгляд, в том, что «болонская идеология» сама по себе достаточно прогрессивна и разумна в тех условиях, где она родилась, т. е. в европейской образовательной системе, которая характеризуется относительной свободой учебного процесса: нет деления на курсы, группы, есть свобода выбора образовательного контента, потоки слушателей данной дисциплины образуются из студентов различных направлений и специальностей, неудовлетворительное усвоение предмета не влечет отчисления, а предоставляет обучаемому возможность повторного прохождения курса или замены его на нечто более посильное из заранее оговоренного списка. Наша же система менее гибкая, студент привязан к группе, курсу, факультету, неудовлетворительное усвоение предмета влечет отчисление, для юношей чреватое призывом. Ситуация была усугублена одновременным введением единого государственного экзамена, который изначально ориентирует учащихся не на изучение предмета, а на начётничество и зубрежку [2].

В результате вместе с резким падением уровня физико-математической подготовки абитуриентов снизились конкурсы на физико-математические и инженерные специальности. Встала задача возрождения интереса к физико-математическим наукам в обществе и среди подрастающего поколения. Следует отметить, что, в конце концов, удалось убедить руководство России в важности этой проблемы, о чем, например, свидетельствует указ Президента России от 7 мая 2012 года «О мерах по реализации государственной политики в области образования и науки». В нём в качестве первоочередной поставлена задача «... разработки и утверждения Концепции развития математического образования в Российской Федерации... »1.

В Соединенных Штатах и Европе развиваются те же процессы, вызывая озабоченность научной общественности. Выдающиеся американские математики и организаторы образования Сол Гарфункель (исполнительный директор Консорциума математики и её приложений) и Дэвид Мамфорд (заслуженный профессор математики Брауновского университета, обладатель

1 Усилиями математической общественности России эта концепция подготовлена и в декабре 2013 года утверждена правительством. В настоящее время (март 2014 г.) разрабатываются пути реализации положений этой концепции.

филдсовской премии 1974 г.), выражая тревогу в связи с неблагоприятным состоянием математического образования в США, выступили в [3] со следующей, далеко не бесспорной, мыслью: если молодежь не может и/или не хочет изучать физико-математические науки так, как это было раньше, то следует изменить подлежащее изучению содержание этих наук так, чтобы сделать его (это содержание) посильным и полезным для обучающегося.

Более разумной нам представляется точка зрения одного из крупнейших современных математиков академика В.И.Арнольда (1937-2010), изложенная в его докладе на сессии «Изменяющаяся концепция природы на закате тысячелетия» Папской академии наук в Ватикане в октябре 1998 г.: «... тот, кто не научился искусству доказательства в школе, не способен отличить правильное рассуждение от неправильного. Такими людьми могут легко манипулировать безответственные политики... ».

Всё, о чём говорилось выше, вынуждает преподавателей математики, обучающих студентов математических, физических и инженерных направлений подготовки, искать нестандартные пути мотивации учащихся и активизации их познавательной деятельности в области математики. Одним из путей решения этой задачи являются предметные олимпиады и конкурсы.

Традиции олимпиадного движения в мировой образовательной среде, если понимать их расширительно, восходят к середине XIX века. В первую очередь к ним следует отнести публиковавшиеся в различных изданиях задачи по математике и физике, предназначенные для широкого круга образованных читателей. Первым в России журналом для преподавателей математики был «Учебный математический журнал» (выходил в 1833-1834 гг. в г. Ревеле (ныне Таллин), издатель К. Купфер). До революции 1917 г. наиболее известными изданиями были «Журнал элементарной математики» (издавался проф. В. П. Ермаковым в 1884-1886 гг. в Киеве), «Вестник опытной физики и элементарной математики» (с 1886 г. издавался в Киеве, а в 1891-1917 гг. - в Одессе; с 1904 г. его редактором был известный российский математик В. Ф. Каган) и «Математическое образование» (журнал Московского математического кружка, выходил в 1912-1917гг., редактор И.И.Чистяков) [4]. Именно в журнале «Вестник опытной физики и элементарной математики» был проведён, насколько нам известно, первый в истории премиальный конкурс по решению задач [5]. Далее следует упомянуть журнал American Mathematical Monthly, который начал публикацию задач для читателей в 1894 году.

К началу - середине XX века публикации задач для читателей и проведение конкурсов по решению задач стали практиковаться уже многими предназначенными для широкой публики математическими изданиями. Среди них журнал «Математическое просвещение», первая серия которого издавалась и распространялась в России с 1934 по 1938 гг.

Первопроходцем в олимпиадном движении является Венгрия, где математические олимпиады для школьников проводятся с 1894 г. В России датой начала повсеместной организации математических олимпиад считается 1934 год. Тогда по инициативе ленинградских (Б.Н.Делоне, В. А. Тартаковский и др.) и московских (Л. А. Люстерник, Л. Г. Шнирельман и др.) мате-

матиков были проведены первые Ленинградская и Московская математические олимпиады для школьников, которые привели к пересмотру всей системы математической подготовки2. Из этих олимпиад выросли впоследствии Всесоюзная математическая олимпиада (1967г. и позже), республиканские, региональные и вузовские математические олимпиады, такие, как, например, Всесибирская физико-математическая олимпиада, олимпиады МФТИ, ГУ-ВШЭ, олимпиада МГУ — «Ломоносов».

В 1959 г. в Румынии была проведена первая Международная математическая олимпиада для школьников. С тех пор международные олимпиады проводятся ежегодно (за исключением 1980 г.) и собирают более 600 школьников из 100 стран. Другой формой интернационализации олимпиад является Турнир городов, проводящийся с 1980 г. Турнир проводится силами местных оргкомитетов более чем в 100 городах более 25 государств Европы, Азии, Южной и Северной Америки, Австралии и Новой Зеландии. Принять участие в Турнире может любой населенный пункт мира.

Одной из первых собственно соревновательных институций для студентов следует признать предложенную в 1921 г. В. Патнемом (W. L. Putnam) программу математических соревнований между университетами, реализованную в 1938 г. усилиями фонда его имени. Putnam competition проводятся по сей день и привлекают широкие слои студентов американских университетов. Среди победителей — лауреаты филдсовских (Дж. Милнор, Д. Мамфорд, В. Квиллен) и нобелевских (Р. Фейнман, К. Вильсон) премий.

В Российской Федерации студенческое математическое олимпиадное движение широко представлено целым спектром олимпиад различного уровня и направлений. Во-первых, это олимпиады для студентов-математиков университетов, во-вторых — олимпиады по математике для студентов нематематических специальностей вообще и отдельных направлений подготовки (для экономических специальностей, для инженерно-технических специальностей, для гуманитарных специальностей и т.п.) в частности. Эти олимпиады в большинстве своем локальны, они проводятся тем или иным вузом для студентов этого вуза. Конечно, эти внутривузовские олимпиады играют важную роль, их можно рассматривать как занятия физкультурой по отношению к спорту.

Из наиболее популярных межвузовских олимпиад следует отметить Всесоюзную олимпиаду «Студент и научно-технический прогресс» (Всероссийский тур для студентов нематематических специальностей — Омск), Олимпиаду вузов России по математике для студентов нематематических специальностей (УГТУ — Екатеринбург), Всероссийскую командную математическую олимпиаду (турнир математических боев) (Тула-Екатеринбург), Всероссийскую олимпиаду для студентов экономических специальностей (Ярославль), Международную открытую интернет-олимпиаду по математи-

2 После этих олимпиад интенсивно стала развиваться система работы с одарёнными детьми — кружки, математические олимпиады, вечера, конференции, специализированные школы, летние школы и многое другое, в частности, издание многочисленной научно-популярной и иной дополнительной литературы по математике для школьников. Не так широко — до войны, и очень широко — сразу после.

ке (Йошкар-Ола-Ариэль, Израиль), Открытую Поволжскую студенческую математическую олимпиаду, посвященную дню рождения Н. И. Лобачевского (Казань), Ежегодную студенческую математическую универсиаду (МГУ, Москва).

В Южно-Уральском государственном университете (г. Челябинск) имеются богатые традиции проведения олимпиад для школьников (с 1965 г.) и для студентов (с 1972 г.). При этом форма проведения олимпиад была самой разной — личные и командные, очные и заочные. Олимпиады для школьников пользуются большой популярностью среди выпускников средних и средних специальных учебных заведений не только Южного Урала, но и прилегающих областей, в том числе и Казахстана. Задачи, предлагавшиеся на этих олимпиадах, представлены в изданиях [6, 7].

Студенческие математические олимпиады ЮУрГУ на первых порах проводились в традиционной очной форме и были рассчитаны на студентов инженерно-технических и инженерно-экономических специальностей. К концу семидесятых годов они расширились до уровня региональных и, в рамках Всесоюзной олимпиады «Студент и научно-технический прогресс», привлекали студентов не только ЮУрГУ (тогда — Челябинского политехнического института), но и студентов крупных региональных вузов — Челябинского государственного университета, Челябинского государственного педагогического института, Челябинского института механизации и электрификации сельского хозяйства, Магнитогорского горно-металлургического института, Магнитогорского государственного педагогического института, Троицкой ветеринарной академии, челябинских военных училищ и др.

Олимпиады эти проводились в один тур, раздельно для студентов младших (I и II) и старших (III—V) курсов. Участники разбивались на три подгруппы в соответствии с объёмом математических курсов, предусмотренным программами их обучения. Задания составлялись так, чтобы они были посильными для участников и, в то же время, обладали нестандартной формулировкой и/или содержали неожиданный с точки зрения обычной логики результат. В варианты заданий обязательно включались задачи с прикладным содержанием. Завершалась олимпиада разбором решений и комментариями членов жюри к решениям, представленным участниками. Приведём некоторые образцы предлагавшихся на этих олимпиадах задач.

1. Олимпиада 1979 г. (Математические и физические специальности.) Может ли в некотором метрическом пространстве шар радиуса 3 содержаться в шаре радиуса 2, не заполняя его целиком! А шар радиуса 5 в шаре радиуса 2!

2. Олимпиада 1976 г.(Инженерно-технические специальности, младшие курсы.) Можно ли на координатной плоскости XOY между одной из ветвей гиперболы ху = 4 и эллипсом х2 + Ау2 = 1 протолкнуть круг диаметром 1?

3. Олимпиада 1981 г.(Инженерно-технические специальности, старшие курсы.) Тяжёлый шар кладут в наполненную водой вазу, имеющую форму параболоида вращения. Найдите радиус шара, который вытесняет наибольшее количество воды.

4. Олимпиада 2000 г. (Инженерно-технические специальности, старшие курсы.) В пространстве разбросано бесконечное множество точек так, что в любом шаре конечного радиуса содержится не более чем конечное их число. Докажите, что для любого натурального числа N найдется шар, содержащий ровно N точек.

Здесь уместно отметить, что успехи в очных олимпиадах предполагают определённые «скоростные» навыки и изобретательность мышления. Между тем, для некоторых людей уже само ограничение времени для решения задачи является непреодолимым психологическим барьером. Известный советский математик, родоначальник отечественной топологической школы академик П. С. Александров не приветствовал участие в олимпиадах и побаивался их сам, ибо, по выражению одного из крупнейших математиков XX века академика А. Н. Колмогорова, был созерцателем, а не изобретателем.

К середине 80-х годов популярность очных математических олимпиад в нашем университете стала падать, количество желающих участвовать в них резко сократилось, а математическая подготовка участников оставляла желать лучшего. Достаточно сказать, что если раньше на наших олимпиадах не было задач, которые никто бы не решил, то теперь, например, предложенную студентам в качестве примера пагубности поспешных заключений задачу

Олимпиада 1987 г. (Инженерно-технические и инженерно-экономические специальности, младшие курсы.) Сколько действительных корней у уравнения

не решил никто.

В 1996 году Советом по математике ЮУрГУ было принято решение наряду с очными проводить ежегодно и заочные студенческие олимпиады. Первая заочная олимпиада по математике была проведена в 1996/1997 учебном году и собрала более полутора сотен участников. Регламент этой олимпиады был таков: в начале второго семестра (февраль-март) каждый желающий получал в Совете по математике (или у своего преподавателя) вариант задания, которое должен был выполнить и сдать на проверку не позднее конца апреля. Задания были одинаковыми для всех специальностей и возрастных групп и содержали от 12 до 15 задач разной степени сложности из различных областей математики. Для отсеивания вторичных (т. е. списанных) работ лучшие решатели приглашались на очный тур, где им предлагалось решить 3-4 задачи по мотивам заданий, предложенных в заочном туре. После этого проводилась мини-конференция (третий тур), где участники докладывали свои решения, а члены жюри комментировали решения участников и предлагали свои подходы к предложенным задачам.

Формат заочного соревнования дает возможность проявить себя «тугодумам» и «созерцателям», стимулирует участников на изучение дополнительной литературы. Возможности Интернета позволяют ввести обратную связь в форму проведения заочных конкурсов по решению задач, и участники имеют возможность исправить или уточнить свои решения, если при проверке были обнаружены ошибки или какие-то слабые места. Кроме того, появляется

постоянно действующая площадка для обсуждения задач (ср. [8], [9]). Очень важным является и такое обстоятельство: в заочном конкурсе уместны задачи, близкие к исследовательским. Для их решения нужны предварительная подготовка и изучение литературы, что требует от участников значительных затрат времени и усилий.

С течением времени уровень подготовки и энтузиазм участников заочных олимпиад стал падать, количество участников значительно уменьшилось в сравнении с первыми олимпиадами. С 2009 года по инициативе второго из авторов в нашем университете практикуется модифицированная форма заочных олимпиад — заочные математические конкурсы. В каждом конкурсе участникам предлагается шесть задач для решения в течение трёх-четырёх недель. Для того, чтобы привлечь к участию в конкурсе более широкую аудиторию, среди прочих заданий присутствуют занимательные задачи (головоломки). Вот пример такой задачи.

Конкурс 3, задача 13. Бикфордов шнур сгорает за одну минуту. Имеются два шнура. Как с их помощью измерить ровно 45 секунд?

Ряд задач призван показать применение и мощь математического аппарата при решении «практических» задач. Примером такой задачи может служить задача о старой готовальне:

Конкурс 10, задача 1. В некоторых готовальнях старого образца в состав принадлежностей входила металлическая пластинка с прорезью в форме кривой \/X2 + у2 = arcctg — ; у > 0. Объясните, как можно использовать эту пластинку для деления угла на п равных частей, где п — любое наперед заданное натуральное число.

Или задача о площади выпаса:

Конкурс 1, задача 1. К круглой силосной башне радиуса R привязана корова. Длина веревки равна половине длины окружности башни. Найдите площадь выпаса.

Традиционно последняя задача в каждом конкурсе носит исследовательский характер. Например,

Кон курс 9, задача б. Пусть ri, Г2, — , гп,... — последовательность рациональных чисел на отрезке [0; 1]. Докажите, что функция

непрерывна, дифференцируема в рациональных точках и не дифференцируема в иррациональных точках.

3 Любопытный вариант этой задачи — т. н. Zen problem — найден в Интернете: A Buddhist monk got an errand from his teacher: to meditate for exactly J±5 minutes. He has no watch; instead he is given two incense sticks, and he is told that each of those sticks would completely burn in 1 hour. The sticks are not identical, and they burn with variant yet unknown rates (they are hand-made). So he has these two incense and some matches: can he arrange for exactly 45 minutes of meditation?

Конкурс 5, задача б. На плоскости дано бесконечное множество точек. Все расстояния между точками — целые числа. Докажите, что все точки данного множества лежат на одной прямой.

Конкурс 20, задача б. Можно ли функцию у = ех представить в виде суммы конечного числа периодических функций?

Задачи первых 14 конкурсов можно найти в книге [10]. Развитие тем некоторых задач привело к научным публикациям [11] и [12].

По истечении срока выполнения задач конкурса итоги обсуждаются (в том числе и в Интернете) с участниками, и по результатам обсуждения определяются лидеры конкурса. Они награждаются Почетными грамотами Совета по математике ЮУрГУ. В конкурсе принимают участие не только студенты ЮУрГУ, но и студенты московских вузов, в том числе МФТИ, студенты Уральского Федерального Университета, а также взрослые участники из Иерусалима, Мытищ и Североуральска, выпускники и аспиранты вуза. Конкурс помогает мотивировать обучающихся к занятиям математикой, выявляет талантливых студентов, которые в дальнейшем с успехом защищают честь своего вуза в олимпиадах более высокого уровня.

В заключение коснёмся авторства предлагаемых студентам задач. Источником задач для очных и заочных олимпиад служили и служат различные учебные, научные и научно-популярные издания, например, [13-19], и серии журнала «Математическое просвещение» (1934-1938, 1957-1961, 1997-2012). Некоторое количество задач было заимствовано из заданий ежегодных Putnam competition [20]. Часть задач являются авторскими — они подготовлены специально для наших олимпиад. Приведем несколько из них.

Конкурс 9, задача 4. Каких треугольников больше — разносторонних, которые можно составить из отрезков длиной 1,2,..., 100, или треугольников (не обязательно разносторонних), длины сторон которых целые числа, не превосходящие 97?

Конкурс 16, задача 6. Пусть среднее арифметическое п действительных чисел равно нулю, а среднее арифметическое их квадратов равно единице. Какое наибольшее значение может принимать произведение этих чисел?

Конкурс 23, задача 6. Докажите тождества

Не следует абсолютизировать роль олимпиад — очных и заочных — в воспитании исследователя-теоретика. Но как средство, мотивирующее студента на творческое, углублённое овладение математикой, её методологией и идеологией, олимпиады переоценить невозможно.

ЛИТЕРАТУРА

1. Сухомлин В. А. Об итогах реформы высшей школы (размышления российского профессора). — М.: Макс-пресс, 2010. 48 с.

2. Малинецкий Г. Г., Подлазов А.В. Некоторые системные дефекты ЕГЭ // Научный эксперт. 2009. Вып.10. С. 62-68.

3. Garfunkel S., Mumford D. How to Fix Our Math Education // The New York Times, august, 24. 2011.

4. Смышляев В.К. Русские математические журналы для педагогов и учащихся // Математика в школе. 1986. №6. С. 72-74.

5. Петраков И. С. Математические олимпиады в СССР // Математика в школе. 1982. №3. С. 52-55.

6. Дильман В. Л., Заляпин В. П., Малиновский Ю.Р, Менихес Л. Д., Могильницкий В. А., Эвнин А.Ю. Олимпиады ЮУрГУ для абитуриентов. Математика. Задачи и решения. — Челябинск: Изд. дом Обухова, 2000. 100 с.

7. Эвнин А. Ю., Воронин СМ., Заляпин В. И. Южно-Уральская олимпиада по математике 2004-2010. — Челябинск: Издательский центр ЮУрГУ, 2010. 34с.

8. Домошницкий А. И., Бугаенко В. О., Канель-Белов А. Я. Математические интернет-олимпиады для студентов // Математическое просвещение. 2010. III серия, вып.14. С.236-239.

9. Домошницкий А. Интернет-олимпиада по математике для студентов и некие размышления о месте математических соревнований в общем контексте математического просвещения // Математическое образование. 2011. №3-4 (59-60). С. 2-5.

10. Эвнин А. Ю. Математический конкурс в ЮУрГУ — Челябинск: Издательский центр ЮУрГУ, 2012. 86 с.

11. Эвнин А. Ю. Пример всюду разрывного биективного отображения, обратное к которому непрерывно в счётном множестве точек // Вестник ЮУрГУ Серия «Математика. Механика. Физика». 2011. Вып. 4, №10. С. 37-38.

12. Эвнин А. Ю., Швед Д. А. Представимость функции в виде суммы конечного числа периодических функций // Математика в школе. 2013. №5. С. 72-74.

13. Гюнтер И. М., Кузьмин Р. О. Сборник задач по высшей математике. Изд. 13. — СПб.: Лань, 2003. 816 с.

14. Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. Изд. 13. — М.: МГУ, 1997. 624 с.

15. Задачи (постоянный раздел под ред. С.И.Токарева) // Математика в школе. Все номера за 1990-2012 гг.

16. Избранные задачи из журнала «American Mathematical Monthly» / Под ред. В.М.Алексеева. — М.: Мир, 1977. 597с.

17. Садовничий В. А., Подколзин А. С. Задачи студенческих олимпиад по математике. — М.: Наука, 1978. 208 с.

18. Садовничий В. А., Григорьян А.А., Конягин С.В. Задачи студенческих математических олимпиад. — М.: МГУ, 1987. 310 с.

19. Сборник задач по алгебре / Под ред А. И. Кострикина. — М.: Наука, 1987. 404 с.

20. Эвнин А. Ю. Задачи Путнамовских олимпиад // Математическое образование. 2002. №3(22). С 86-102; №4(23). С 101-119.

Поступила 19.01.2014

EXTRAMURAL STUDENT MATH COMPETITIONS

V. I. Zalyapin, A. Yu. Evnin

The history of the movement of mathematical olympiads (in particular, for university students) in the world is briefly tracked, and the role of correspondence olympiads and competitions in stimulating cognitive activity of students majoring in mathematics, physics and engineering is considered. Preparation and carrying out of such competitions, examples of used problems and their sources are described. Samples of problems offered at internal and correspondence competitions in South Ural State University are discussed.

Keywords: Olympiads, competitions, stimulating cognitive activity.

ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ. ПЕРСОНАЛИИ

ЮЛИЙ ЛАЗАРЕВИЧ КЕТКОВ

(17 июля 1935 - 11 января 2014)

11 января 2014 года на 79-м году жизни скоропостижно скончался член редколлегии нашего журнала доктор технических наук (1992г.), профессор кафедры математического обеспечения ЭВМ факультета ВМК ННГУ (с 1994 г.), заведующий лабораторией МО ЭВМ НИИ Прикладной математики и кибернетики, лауреат премии Совета министров СССР в области кибернетики (1990 г.), действительный член Международной академии информатизации (1997 г.), член-корреспондент Академии инженерных наук РФ (2000 г.) Юлий Лазаревич Кетков.

Юлий Лазаревич Кетков родился 17 июля 1935 года в Иркутске. После окончания физико-математического факультета Горьковского государственного университета он с 1957 года работал в Нижегородском (Горьковском) университете. В 1965 г. Ю. Л. Кетков защитил кандидатскую диссертацию «Об оптимальных методах нелинейной аппроксимации плоских кривых и системе автоматизации программирования для обработки геометрической информации» (научный руководитель — д.ф.-м.н. С.И. Альбер). Результаты этой диссертации нашли применения при разработке 18 судостроительных проектов, самолета АН-24 и вертолета МИ-4, выполненных в конструкторских бюро Горького, Ленинграда, Новосибирска, Ростова-на-Дону. В 1992 г. Ю. Л. Кетков защитил докторскую диссертацию «Создание инструментальных программных средств для разработки диалоговых систем САПР

и АСНИ». Началом этой работы послужило создание в ГГУ первой в стране диалоговой системы коллективного пользования на базе алгоритмического языка BASIC. Юлий Лазаревич является разработчиком русской версии интерпретатора языка BASIC.

Ю. Л. Кетков читал студентам практически все курсы, связанные с программированием: архитектуру ЭВМ, алгоритмические языки, операционные системы, графические пакеты, редакционно-издательские системы, программирование на Паскале, С, С++ (визуальные среды Delphi, Borland С++ Builder).

Ю. Л. Кетковым написана большая серия учебников по программированию, им опубликовано более 150 научных работ, в том числе статья «Обыкновенные дифференциальные уравнения: MATLAB versus MATHCAD» (в соавторстве с А. И. Кузнецовым) в третьем номере нашего журнала.

С 1991 г. Ю. Л. Кетков возглавлял жюри по проведению областных школьных и студенческих олимпиад по информатике и был председателем Экспертного совета Министерства образования по присвоению грифов учебникам и учебно-методическим материалам по информатике.

Светлую память о Юлии Лазаревиче Кеткове сохранят все, кто его знал.

ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ. ПЕРСОНАЛИИ

УДК 5-05

АКАДЕМИК АНДРЕЙ НИКОЛАЕВИЧ КОЛМОГОРОВ

В. С. Виденский

Российский государственный педагогический университет им. А. И. Герцена Россия, 191186, г. Санкт-Петербург, Набережная Реки Мойки, 48; e-mail: ilya@viden.lek.ru

Несколько штрихов к портрету А. Н. Колмогорова. Ключевые слова: Андрей Николаевич Колмогоров.

1. В 2003 году исполнилось 100 лет со дня рождения Андрея Николаевича Колмогорова. По этому случаю имели место международные конференции и изданы прекрасные книги воспоминаний его личных учеников и сотрудников по реформе математического образования (см. например, [1]). Я не принадлежу ни к одному из этих двух множеств авторов. Однако в студенческие и аспирантские годы на механико-математическом факультете МГУ, т. е. в интервале 1944-1950 гг., мне случалось общаться с Андреем Николаевичем. Возможно, эти строки добавят несколько штрихов к его портрету.

2. В 1944-45 учебном году я слушал лекции Андрея Николаевича по теории вероятностей, которые он читал на третьем курсе группе математиков, состоявшей примерно человек из 20, но лекции посещало не больше, чем 14-15, а нередко и меньше. Андрей Николаевич, естественно, знал нас всех в лицо и, встречая в коридорах факультета, включая знаменитый балкон, здоровался за руку. Мы, разумеется, знали и чувствовали, что Андрей Николаевич великий математик. Впрочем, держался он скромно, доброжелательно и доступно. К лекциям Андрей Николаевич готовился тщательно, но понимать их было достаточно трудно, так как он значительно переоценивал проницательность и подготовленность слушателей. Изложение шло вполне гладко. Помнится, что лишь однажды возникло затруднение. Андрей Николаевич обнаружил пробел в своем рассуждении, и попытка его устранить не удавалась. На следующей лекции Андрей Николаевич сказал, что в прошлый раз он хотел привести один свой результат, но что по-прежнему остаются невыясненными некоторые детали. Поэтому он нам докажет теорему С. Н. Бернштейна из того же круга идей.

Накануне зачётной недели в двадцатых числах мая на последнюю лекцию по теории вероятностей пришло всего двое, кроме меня ещё один студент, который, между прочим, утром этого дня услыхал по радио, что в связи с окончанием войны Андрей Николаевич Колмогоров за выдающиеся достижения в области математики награждён орденом Ленина. По этому случаю мы, не мало смущаясь, решились поздравить Андрея Николаевича. Он поблагодарил нас, а затем, характерным для него жестом разводя руки в стороны, сказал:

«Вы уж извините-простите, но у меня есть строгое правило — меньше, чем троим, лекцию не читать».

Экзамен по теории вероятностей начался с небольшого приключения. Андрей Николаевич участвовал в экспедиции по наблюдению солнечного затмения и возвращался в Москву кораблём. Корабль по расписанию должен был прибыть на рассвете, но опаздывал. Андрей Николаевич дал с дороги телеграмму на факультет, что экзамен переносится на вторую половину дня, но фактически экзамен начался только вечером. Андрей Николаевич слушал внимательно, но был либерален и поставил почти всем пятёрки, всего несколько четвёрок, может быть, одну тройку.

3. В 1945-46 учебном году Андрей Николаевич организовал у нас на четвертом курсе вычислительный практикум, которым руководил вместе с доцентами С. А. Гальперном и А. Д. Мышкисом. В некоторых статьях об А. Н. Колмогорове неточно указывается гораздо более поздний момент создания этого практикума. Каждый студент получил личное задание, помню, что моё состояло в отыскании корней уравнения tgx = ж, опираясь на книгу Э. Чезаро «Элементарный учебник алгебраического анализа и исчисления бесконечно малых». Скорее всего, это была лишь часть работы. Сегодня, более чем 60 лет спустя, трудно сказать, надо ли было предъявлять отредактированный письменный текст или же было достаточно устной беседы с одним из руководителей практикума. Вероятнее второе.

4. Напомню, что эта университетская жизнь протекала в военные и первые послевоенные годы, голодные и холодные в буквальном смысле слова - было мало еды и тёплой одежды. На факультете было известно, что Андрей Николаевич Колмогоров и его друг Павел Сергеевич Александров влиятельны, отзывчивы и отличаются готовностью помочь. В те времена нередко случалось, что кто-нибудь из студентов или абитуриентов оказывался в тех или иных критических ситуациях и остро нуждался в поддержке, которую действительно получал.

Должен с сожалением признать, что судьба вынудила меня самого в конце сентября или начале октября 1945 года обратиться к Андрею Николаевичу за помощью по вопросу, который меньше всего достоин внимания великого учёного. Это было понятно мне тогда в той же мере, что и сегодня. Я испытывал большую неловкость, но Андрей Николаевич был доброжелателен и внимательно вник в суть дела, а оно носило совершенно бюрократический характер. Я был студентом Московского автодорожного института (МАДИ), а с осени 1943 года стал вольнослушателем механико-математического факультета МГУ. Перейти из студентов МАДИ в студенты МГУ было трудно, так как требовалось, чтобы ректораты обоих ВУЗов обменялись официальными посланиями, что они на это согласны. В действительности же они вовсе были не склонны поддерживать такие перемещения студентов. После длительных попыток и усилий мне наконец удалось получить двустороннее разрешение на переход с осени 1945 года в МГУ, где был издан приказ, подписанный проректором, о моем зачислении в МГУ, но через месяц мне сообщили, что ректор Галкин этот приказ отменил. Для меня это было полной катастрофой. Андрей Николаевич высказал надежду, что затруднение удастся преодолеть,

что ему и удалось чуть ли не на следующий день. Но мне не известно, какие шаги им были предприняты.

5. Весной 1948 года, когда я был аспирантом первого курса, меня — кажется, довольно случайно — назначили секретарем жюри конкурса научных студенческих работ. Председателем жюри традиционно из года в год был Андрей Николаевич Колмогоров. По его указанию я повесил на доске объявлений написанное от руки сообщение, что все, желающие принять участие в конкурсе, могут подать мне или оставить в деканате свои работы не позднее такого-то числа. Никаких требований к оформлению рукописи не предъявлялось. Некоторые студенты прилагали отзывы научных руководителей, но и это не было обязательным.

Было подано несколько больше десяти работ. Когда я принёс их на факультет Андрею Николаевичу, он очень быстро принял решение, кому из профессоров какую работу дать на отзыв, и на каждой надписал просьбу сделать это не позднее, чем через две недели. Замечу, что никто не отказался, сославшись на какую-либо занятость. К назначенному сроку почти все отзывы за исключением двух-трёх были написаны. Андрей Николаевич не взял у меня часть отзывов, но просил, когда будут готовы все, если возможно, то принести ему их домой на большую Калужскую, дом 13, в 6 часов. Затем, Андрей Николаевич неожиданно спросил, где я живу, и узнав, что возле консерватории, воскликнул «тогда Вы не успеете, — троллейбусы еще не ходят». Я понял, что речь идёт о 18 часах. Оказалось, однако, что Андрей Николаевич имел в виду 6 часов утра, так как он привык вникать в суть всех работ и внимательно читать все отзывы на них, а потому выделял на это целый день с самого раннего утра.

На заседании жюри Андрей Николаевич сделал краткий и ясный обзор представленных на конкурс работ и внёс убедительные предложения о распределении премий. С его мнением согласились, внеся лишь кое-какие незначительные изменения. Между прочим, мы видим тут, что отчасти влиятельность Андрея Николаевича была основана на тщательной продуманности и знании обсуждаемого предмета.

К сожалению, не сохранилось списка участников конкурса. Но среди удостоенных премий несомненно были Васильева А. Б., Ландис Е. М., Севастьянов Б. А. и Якубович В. А. Все они стали в дальнейшем известными математиками, докторами физико-математических наук. Премированных было больше, но вспомнить кто именно, мне не удаётся.

Конкурсы научных студенческих работ проводились в университетах России и в 19 веке. Известно, например, что студент Московского университета П. Л. Чебышев был удостоен на таком соревновании серебряной медали, а его ученикам студентам Санкт-Петербургского университета А. А. Маркову и А. М. Ляпунову были присуждены золотые медали в 1878 и 1880 годах, соответственно.

6. Андрей Николаевич Колмогоров был для нас не только учёным и учителем, но и образцом увлечённого и бескорыстного служения Математике.

Эстафета такого колмогоровского к ней отношения бесспорно будет передаваться из поколения в поколение.

ЛИТЕРАТУРА

1. Явление чрезвычайное. Книга о Колмогорове. Составитель Розов Н.Х. Под общей редакцией Тихомирова В.М. — М.: Фазис, 1999. 256 с.

Поступила 14.04.2014

ACADEMICIAN ANDREY NIKOLAEVICH KOLMOGOROV

V. S. Videnskiy

Several traits of A. N. Kolmogorov's portrait. Keywords: Andrey Nikolaevich Kolmogorov.

ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ. ПЕРСОНАЛИИ

УДК 5-05

К ВОСЬМИДЕСЯТИЛЕТИЮ ВЛАДИМИРА МИХАЙЛОВИЧА ТИХОМИРОВА

В. Б. Демидович, Г. Г. Магарил-Ильяев

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова Россия, 119899, г.Москва, Ленинские горы, д. 1; e-mail: vasdem@mech.math.msu.su magaril@mech.math.msu.su

22 ноября 2014-го года исполняется 80 лет профессору механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова Владимиру Михайловичу Тихомирову. Вся его творческая жизнь связана с математикой, которой он беззаветно предан на протяжении вот уже более 60-ти лет. Блестящий учёный и замечательный педагог, он и поныне неутомим в этой благородной деятельности.

Ключевые слова: В.М.Тихомиров.

I. Немного из биографии Владимира Михайловича Тихомирова. Владимир Михайлович родился в Москве. Его родители — отец Михаил Никандрович Тихомиров (1906-1995) и мать Людмила Юльевна (урожд. Гурвиц) (1910-1993) — были врачами, окончившими «санитарный» факультет Московского медицинского института. Брак распался в начале Великой Отечественной войны, и потому воспитанием мальчика занимались родители матери — Юлий Осипович Гурвиц (1882-1953) и Елизавета Фёдоровна (урожд. Банова) (1882-1954).

Дедушка Владимира Михайловича — Юлий Осипович — был известным московским учителем математики, преподававшим также в ряде московских

вузов. Широко известна написанная им в соавторстве с другим математиком и педагогом-новатором — Рудольфом Вильгельмовичем Гангнусом (1883-1949), по происхождению из прибалтийских немцев — книга [1] по преподаванию геометрии. А бабушка Владимира Михайловича — Елизавета Фёдоровна — образования не имела.

Особого интереса к математике в школьные годы у Владимира Михайловича, как он рассказывал в своём интервью в мае 2007 года (см. [2, с. 9-25]), не было, хотя никаких затруднений она ему не причиняла. «Но у меня был очень близкий друг — Леонид Романович Волевич (1934-2007) — который действительно увлёкся математикой. И, в каком-то смысле, он меня в это понемножку втягивал».

Школу Владимир Михайлович окончил в 1952 году с золотой медалью. «Тогда было принято хорошо учиться, и я, как и все мои друзья, учился хорошо» — кратко прокомментировал это обстоятельство Владимир Михайлович в указанном выше интервью. На семейном совете было решено, что ему следует попытаться поступить на механико-математический факультет Московского государственного университета. Полагавшееся для медалистов собеседование Владимир Михайлович преодолел успешно и стал студентом мехмата МГУ. «Я был счастлив даже не столько потому, что осуществилась моя мечта, а потому, что не принёс огорчения дедушке своему, который угасал — он уже был неизлечимо болен», вспоминал в своём интервью Владимир Михайлович.

С первого курса Владимир Михайлович стал посещать спецсеминар Евгения Борисовича Дынкина (р. 1924), которого и поныне он причисляет к своим учителям. Под его руководством на втором курсе он написал свою курсовую работу по спинорной алгебре. Но формулируемые Евгением Борисовичем задачи, в основном относящиеся к теории представлений групп, Владимира Михайловича не увлекли, и на четвёртом курсе он уже стал писать курсовую работу, связанную с теорией вероятностей, под руководством Юрия Михайловича Прохорова (1929-2013). А в конце 4-го курса, в апреле 1956-го года, в свои ученики Владимира Михайловича неожиданно пригласил сам Андрей Николаевич Колмогоров (1903-1987). «Мне ничего не оставалось делать, -потрясённый этим обстоятельством, комментировал в интервью Владимир Михайлович — кроме как попытаться с ним начать работать». В беседе с Андреем Николаевичем, состоявшейся на даче Колмогорова в подмосковной Комаровке, Владимиру Михайловичу были предложены несколько задач, с которыми он довольно быстро справился. Так Владимир Михайлович навсегда влился в плеяду колмогоровских учеников.

В 1957-м году Владимир Михайлович успешно окончил кафедру теории вероятностей мехмата МГУ, причём его дипломная работа, объёмом свыше 100 страниц машинописного текста, была отмечена похвальной грамотой. В том же году он поступил в аспирантуру мехмата МГУ.

Уже на первом году аспирантуры Владимир Михайлович опубликовал заметку в ДАН СССР. А чуть позже он стал готовить (совместно Андреем Николаевичем) большую статью по «эпсилон-энтропии» для Успехов математических наук, опубликованную на третьем году его обучения в аспирантуре.

В октябре 1960-го года Владимир Михайлович успешно защитил в Отделе прикладной математики МИ АН СССР имени В. А. Стеклова (позже этот отдел стал Институтом прикладной математики АН СССР, а ныне — Институтом прикладной математики имени М. В. Келдыша РАН) свою кандидатскую диссертацию «Поперечники множеств в функциональных пространствах». Оппонентами по диссертации были Израиль Моисеевич Гельфанд (1913-2009) и Константин Иванович Бабенко (1919-1987), о её содержании тепло отозвался и Сергей Михайлович Никольский (1905-2012). В том же 1960-м году Владимир Михайлович был зачислен на работу в Лабораторию кафедры теории вероятностей мехмата МГУ.

В 1961-м году Владимир Михайлович уехал на работу в Воронежский государственный университет. Но в 1962-м году он вернулся на мехмат МГУ, где вскоре стал доцентом кафедры Теории функций и функционального анализа (ТФФА). В 1963-м году он открыл на мехмате МГУ свой спецсеминар, посвятив его общим вопросам теории аппроксимации. Довольно быстро этот спецсеминар «оброс» молодёжью. Среди его первых участников можно упомянуть Алексея Львовича Левина (р. 1944), Александра Давидовича Иоффе (р. 1938), Михаила Ароновича Ольшанецкого (р. 1938), Вольдемар-Беренкарда Константиновича Рогова (р. 1938).

В 1969-м году, под влиянием Сергея Васильевича Фомина (1917-1975), а также по совету Владимира Михайловича Алексеева (1932-1980), Владимир Михайлович Тихомиров перешёл с кафедры ТФФА на кафедру общих проблем управления (ОПУ), созданную на Мехмате МГУ в апреле 1966-го. Кафедрой заведовал Вадим Александрович Трапезников (1905-1994), но в те годы кафедрой реально руководил С.В. Фомин. С этим переходом было связано расширение тематики спецсеминара Владимира Михайловича, в круг интересов которого включились вопросы теории оптимального управления.

В 1971-м году Владимир Михайлович успешно защитил свою докторскую диссертацию «Некоторые вопросы теории приближений», оппонентами по которой были Андрей Николаевич Колмогоров, Константин Иванович Бабенко и Сергей Борисович Стечкин (1920-1995). Через два года Владимир Михайлович стал профессором кафедры ОПУ, а с 1989-го по 2011-ый годы он заведовал этой кафедрой.

В целом творческая деятельность Владимира Михайловича развернулась необычайно широко. Он опубликовал около двухсот научных работ, в том числе два десятка книг, популярных не только в России, но и далеко за её пределами. Его педагогическое мастерство в подготовке специалистов высочайшей квалификации может служить примером: он воспитал целую плеяду талантливых учеников, из которых около пятидесяти защитили кандидатские диссертации, а свыше десятка — докторские диссертации. При этом особо подчеркнём доброжелательное стремление Владимира Михайловича поддержать собеседника (скажем, докладчика на спецсеминаре) за малейший замеченный успех — ведь для молодого исследователя очень важно, чтобы его вовремя «окрылили» на дальнейшую деятельность.

Владимир Михайлович ведёт и большую научно-организационную работу. Он является почётным профессором МГУ, членом редколлегий ряда российских и международных математических журналов, членом правления Московского Математического общества. Долгое время он был руководителем секции математики Московского Дома Учёных. И всюду он трудится с полной отдачей, не жалея ни сил, ни времени.

Нельзя не отметить и деятельность Владимира Михайловича в области истории математики. Подробные публикации о развитии различных областей математики (функционального анализа, теории экстремума и др.) в российских и зарубежных журналах, десятки «статей-персоналий» о математиках, регулярные выступления с популярными математическими докладами в Доме Учёных МГУ — ко всему этому Владимир Михайлович относится исключительно ответственно и безотказно.

В последние годы Владимир Михайлович увлечён идеей создания «синтетического курса математики», пропагандирующего возможность взглянуть на развитие магистральных математических понятий в процессе обучения, «от детского сада до университета», в их естественном единстве. «Когда я поступил на Мехмат МГУ — рассказывал Владимир Михайлович, — то на первой же лекции нам, первокурсникам, было сказано: «Забудьте о том, что вы изучали по математике в школе». Но потом я осознал, что этот призыв неправильный — нет ни «школьной математики», ни «университетской математики», а есть единая математика, которая лишь требует своего доступного изложения в зависимости от того, на каком возрастном уровне находится обучающийся человек».

В любезно предоставленном нам «Введении» к задуманной Владимиром Михайловичем книге «Синтетический курс математики» даётся подробное обоснование необходимости создания такого курса. В частности, Владимир Михайлович пишет:

«... Моё поколение родилось в ту пору, когда личность должна была служить государству. Государство планировало нужное ему число физиков, инженеров, геологов, нефтяников и т. п., причём для целей, которые не объявлялись. Оно нуждалось и в людях с хорошей математической подготовкой. При этом каждый человек мог сделать выбор своей профессии только один раз. По окончании института он получал распределение, и, как правило, с очень небольшими вариациями, жизнь его протекала в достаточно узком русле. При этом престиж научного работника был высок, было много людей, увлечённых наукой, к тому же убеждённых, что трудятся на благо Родины.

При новом строе каждый должен стоять за самого себя. Сейчас нет системы ни распределения выпускников, ни их государственного трудоустройства. Нет и планирования профессиональной занятости. И ментальность молодёжи ныне радикально изменилась. Престиж научного работника или учителя стал очень низок, желание получать знания имеет (по моим собственным наблюдениям и наблюдениям всех близких мне людей) лишь небольшая доля молодёжи. Да к тому же ещё произошёл неслыханный и совершенно непредви-

денный информационный взрыв, который также требует коррекции системы образования.

Всё это социальные причины. Но для меня существует и чисто «внутренняя», профессиональная претензия к образованию, которое мне суждено было получить.

Математика, которой меня учили, была феодальной империей. И мне даже в голову не могла прийти мысль о возможности единого обзора всего прослушанного мной. «Империя Математики» распадалась на «губернии» аналитической геометрии, алгебры, вещественного, комплексного и функционального анализа, обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными. И каждая такая «губерния» воспринималась как «независимое государство» с очень малыми связями с другими «губерниями».

Но где-то достаточно давно (и от А. Н. Колмогорова, и от И. М. Гельфанда) я узнал, что математика вместе с математическим естествознанием -единая наука (это слова Гельфанда). В частности, сам Андрей Николаевич попробовал бороться с математическим феодализмом, введя «синтетический» курс «Анализ III», вобравший в себя теорию функций действительного переменного и теорию интегральных уравнений, а затем и вариационное исчисление (читавшиеся до начала 1950-х годов как отдельные обязательные курсы). Я же хочу предложить свой «синтетический курс», но иного типа, чем «Анализ III», чем синтетические курсы «Линейной алгебры и геометрии» и «Дифференциальной геометрии и топологии», которые также были созданы. И его заглавие будет «Синтетический курс математики».

Мне кажется, что сама идея такого курса может оказаться весьма кстати. В частности, это относится к мехмату МГУ: ведь математическое образование на нём меняет сейчас свою форму — оно становится не пятилетним, а шестилетним. И после получения четырёхлетнего базового «мехматского» образования остаются ещё два года, которые надо чем-то наполнить.

Одна из целей моего курса — выделить наиболее важные, фундаментальные результаты, идеи, понятия, теории, методы, исчисления, концепции и алгоритмы в той математике, которой мы хотели бы обучить наших студентов. Меня вдохновляют при этом три идеи:

1. Математика и естествознание, инженерия и математическая экономика едины, и их можно изложить в едином ключе.

2. Математика проста в том смысле, что фундаментальные факты математики доступны и школьнику, который не боится размышлять, и любому человеку, который действительно хочет сделать какое-либо интеллектуальное продвижение.

3. Всё математическое образование можно выстроить единым образом для школы, вуза и университета...»

Мы желаем Владимиру Михайловичу успеха в создании задуманного им курса и его оперативном опубликовании.

II. Подробнее о научной деятельности Владимира Михайловича Тихомирова. Научные интересы Владимира Михайловича очень разнообразны, но основные его работы связаны с теорией приближений, теорией экстремальных задач и выпуклым анализом. Во всех этих областях влияние Владимира Михайловича была весьма существенно для становления и/или развития соответствующей тематики. Его монографии и учебники по данным дисциплинам переведены на многие языки мира и давно стали настольными книгами для специалистов, работающих в этих направлениях. Скажем несколько слов о каждом из них.

Теория приближений

Принято считать, что теория приближений началась с классических работ Пафнутия Львовича Чебышева о наилучшей аппроксимации индивидуальной функции конечномерными подпространствами. Затем стали изучать задачи о наилучшем приближении уже класса функций теми или иными конечномерными подпространствами. В 1936 году А. Н. Колмогоров ввёл понятие поперечника — величины, которая характеризует наилучшее приближение данного класса функций всеми пространствами фиксированной размерности.

Общее определение этой величины таково. Пусть X — нормированное пространство, С — подмножество в X и п — неотрицательное целое число. Величина

где первая нижняя грань берется по всем подпространствам Ьп С X размерности не выше п, называется п-поперечпиком по Колмогорову множества С в X.

С 1936 года и вплоть до шестидесятых годов практически не было публикаций на тему о поперечниках. В 1956 году А. Н. Колмогоров предложил Владимиру Михайловичу заняться тематикой, связанной с ^-энтропией функциональных классов. С этого времени Владимир Михайлович становится учеником Андрея Николаевича Колмогорова, оказавшего огромное влияние на всю его жизнь.

Первые итоги деятельности Колмогорова и его учеников по энтропии функциональных классов подведены в статье в «Успехах математических наук» (1959г.), написанной В.М.Тихомировым совместно с А.Н.Колмогоровым. Эта работа оказала значительное влияние на всю теорию аппроксимации в целом. В эти же годы Владимир Михайлович начинает активную деятельность, связанную с развитием новой темы в теории аппроксимации - нахождением наилучших методов приближения классов гладких и аналитических функций. Он вводит ряд величин, которые, наряду с поперечником по Колмогорову, характеризуют аппроксимативные возможности данного множества (проекционный поперечник, линейный поперечник, попереч-

ник по Гельфанду и др.), разрабатывает новые методы исследования этих величин, которые впоследствии многократно использовались и обобщались в десятках работ, получает множество конкретных результатов по точным и асимптотически точным значениям различных поперечников и т. п. Определенный итог этого этапа своей деятельности Владимир Михайлович подвел в монографии [3].

В теории аппроксимации, начиная с работ Сергея Натановича Бернштейна (1880-1968), изучаются наилучшие приближения отдельных функций и классов функций на прямой. Бернштейн ввёл для этого некий аналог тригонометрических полиномов, а именно, пространство ДДМ), а > 0, представляющее собой сужение целых функций /(•) на R, которые удовлетворяют условию: для любого е > 0 найдется такое С£ = С£(/(•)) > 0? что Для всех z G С выполняется неравенство < С£ехр(<т + s)\z\. В последующие годы появились другие средства приближения классов функций на прямой, например, пространства сплайнов и вейвлетов.

Эти пространства и пространство Ва(Ж) бесконечномерны, а стандартные классы функций на прямой (скажем, введенные Сергеем Львовичем Соболевым (1908-1989) так называемые «соболевские классы»), для приближения которых они используются, некомпактны. Как ставить вопрос об аппроксимативных характеристиках таких классов и как сравнивать различные средства их приближения? Впервые этот вопрос был поставлен Клодом Шенноном (1916-2001), и он дал определение «энтропии на единицу времени» случайного сигнала на прямой. А. Н. Колмогоров модифицировал это определение для обычных (не случайных функций).

Первый результат в этом направлении — энтропия на единицу времени ограниченных функций из Ва(Ж) — был получен Владимиром Михайловичем в работе [4]. Позднее Владимир Михайлович ввёл аппроксимационную характеристику класса, аналогичную колмогоровской, но отправляясь не от энтропии, а от поперечника по Колмогорову, которую он назвал средней е-размерностью. Это послужило началом для многих исследований, связанных с вычислением средней ^-размерности различных некомпактных функциональных классов. Отчетливые очертания эта тематика получила в работах ученика Владимира Михайловича — Георгия Георгиевича Магарил-Ильяева (р. 1944), который ввёл понятия средней размерности пространства, усреднённых поперечников и нашёл их точные и асимптотически точные значения для ряда функциональных классов.

Владимиром Михайловичем был построен класс специальных функций, связанных с собственными функциями нелинейных уравнений типа Штурма-Лиувилля, которые позволяют найти оптимальные методы аппроксимации классов функций, задаваемых ядрами, не повышающими осцилляцию. Тем самым была решена проблема, которая занимала многих математиков и решения которой были получены лишь в отдельных частных случаях.

В шестидесятые годы прошлого века была поставлена задача об оптимальном восстановлении значений линейного функционала на классе элементов по приближенной информации о самих элементах. Постановка задачи идеологически близка к работе Колмогорова о поперечниках классов функций, упомянутой выше. Владимир Михайлович Тихомиров, совместно с Георгием Георгиевичем Магарил-Ильяевым и Константином Юрьевичем Осипенко (р. 1950), начал исследование этой задачи с позиций теории экстремума. Выяснилось, что задачи оптимального восстановления естественным образом встраиваются в классическую теорию приближений. Точнее говоря, практически каждой задаче теории аппроксимации можно сопоставить задачу оптимального восстановления, которая придаёт исходной задаче вполне отчётливый информационный смысл. Последующее развитие этой тематики дало возможность решить ряд задач, имеющих явную прикладную направленность: оптимальное восстановление сигналов по неточной информации об их спектре, решение дифференциальных и разностных уравнений по неточным исходным данным.

Теория экстремума

Шестидесятые годы прошлого века стали началом активного развития общей теории экстремальных задач (основным стимулом для этого послужило нахождение Львом Семёновичем Понтрягиным (1908-1988) и его сотрудниками необходимых условий минимума в задаче оптимального управления, которые были названы принципом максимума Понтрягина). Владимир Михайлович включился в эти исследования, принимая участие в работе семинара Алексея Алексеевича Милютина (1925-2001) по оптимальному управлению, что оказало на него значительное влияние. Вместе со свои учеником А. Д. Иоффе он начинает продумывать общие принципы теории экстремума, имея уже определенный опыт решения конкретных экстремальных задач теории приближений. Они приходят к выводу, что необходимые условия экстремума во всех экстремальных задачах, от классического правила множителей Лагранжа до принципа максимума Понтрягина, строятся по единому рецепту, который они назвали принципом Лагранжа. Понимания только этого принципа, без какой-либо апелляции к теории, достаточно для решения многих экстремальных задач (что согласуется с известным высказыванием французского философа XVIII века Клода-Адриана Гельвеция: «Знание некоторых принципов вполне компенсирует незнание многих фактов»).

Сам Лагранж рассматривал задачу

/о(ж)extr, /г(ж) = 0, г = 1,...,т,

где extr означает либо максимум, либо минимум. Согласно его рекомендациям, для её решения сначала надо составить функцию (которую теперь

m

называют функцией Лагранжа) С(х, А) = \fi(x) (разумно ставить множитель и у функции fç>, хотя у Лагранжа Ао = 1), где А = (Ао,..., Аш) -набор «неопределенных множителей» (множителей Лагранжа). Далее надо искать максимум и минимум функции С по х «как если бы переменные были независимы», для чего надо выписать необходимые условия экстремума: равенство нулю частных производных. При этом если fi — функции п переменных, то мы получим п уравнений. Относительно множителей А^ эти уравнения будут однородны и поэтому один из них можно считать, скажем, равным единице. В результате получим п+т уравнений (т уравнений связи) для нахождения п + т неизвестных.

Точный результат (правило множителей Лагранжа) звучит так: если функции fi, г = 0,1,..., т, непрерывно дифференцируемы в некоторой окрестности точки x и в этой точке достигается локальный экстремум, то найдется такой ненулевой набор множителей Лагранжа А = (Ао,..., \т), что x удовлетворяет соотношению Сх(х,Х) = 0 <^ ^ \if[(x) = 0; где f-(x) - производные (градиенты) функций fi (0 < г < т) в точке х.

Рассмотрим теперь так называемую задачу оптимального управления

(1)

и попробуем понять вид необходимых условий минимума в данной задаче, следуя формально рекомендациям Лагранжа. В этой задаче / и Lp — функции трех переменных, a U — произвольное множество на прямой. Переменная и(-) называется управлением, а х(-) - фазовой переменной.

Интерес к такого сорта задачам возник в пятидесятые годы прошлого века в ответ на запросы практики: требовалось оптимально (в том или ином смысле) управлять различными процессами, учитывая естественную ограниченность ресурсов (материальных, энергетических и т.п.). В нашем случае процесс описывается дифференциальным уравнением х = tp(t, х, и) (на «вход» подается и(-), на «выходе» получаем #(•)). Мы хотим найти такое управление и(-), чтобы соответствующая фазовая переменная ж(-) в начальный и конечный моменты времени to и t\ принимала заданные значения жо и х\, чтобы управление и(-) для каждого t G [to, ^i] не выходило за пределы множества U (отражающего ограниченность наших возможностей) и, наконец, чтобы это управление было бы оптимальным в том смысле, что интеграл на паре (х(-),и(-)^) принимает минимальное значение.

Необходимые условия минимума в подобной задаче были найдены в пятидесятые годы, и они получили название принципа максимума Понтрягина. Это одно из наиболее ярких достижений теории экстремальных задач.

Посмотрим теперь на задачу (1) как на задачу минимизации функции двух переменных ж(-) и и(-), удовлетворяющих соответствующим ограничениям. Ограничение x(t) — (p(t,x(t),u(t)} = 0, t G [£o,£i], можно воспринимать как континуум равенств, каждое из которых (при фиксации t) надо умножить на «неопределенный множитель», обозначаемый (следуя традиции) £>(£), и затем их «сложить», т. е. проинтегрировать. Таким образом, функция Лагранжа задачи (1) имеет вид

где Л = (Ao,p(-)î /io? Mi) ~~ набор множителей Лагранжа.

Пусть, далее, (ж(-), гх(-)) — решение задачи. Выпишем необходимые условия минимума функции Лагранжа в этой точке отдельно по ж(-) и по и(-).

По х(') это так называемая задача Больца — задача классического вариационного исчисления. Если обозначить через L подынтегральную функцию, то необходимые условия в этой задаче имеют вид

(2)

(где L±(t) = L± (t, x(t), u(t), Ào, £>(£)) и аналогично для остальных функций с крышкой) и

(3)

Нетрудно проверить, что если и(-) доставляет минимум по и(-) функции Лагранжа, то необходимо (и достаточно), чтобы в каждой точке £, где функция и(-) непрерывна, функция L достигала бы минимума по и G U в точке u(t), т. е.

(4)

Отметим, что это выражение можно записать «в форме максимума», поменяв знак выражения под знаком минимума на противоположный.

Соотношения (2), (3) и (4) (в форме максимума) и есть принцип максимума Понтрягина для данной задачи. Точную формулировку его мы не будем приводить, но суть её (как и в правиле множителей Лагранжа) состоит в том, что существует такой ненулевой набор множителей Лагранжа А, для которых выполняются условия (2)-(4).

Систематическое изложение необходимых условий экстремума для различных экстремальных задач с точки зрения принципа Лагранжа приведено в монографиях [5] и [6].

Выпуклый анализ

Работы Владимира Михайловича по выпуклому анализу связаны как собственно с развитием этой дисциплины, так и с приложениями её к задачам теории приближений и теории экстремума. Но важно и то, что под влиянием этих работ сформировался определенный взгляд на предмет выпуклого анализа, который оказался весьма плодотворным, особенно для приложений. Суть его состоит в том, что основное содержание выпуклого анализа — это соотношения двойственности для некоторого набора операторов и порожденное ими выпуклое исчисление. Поясним сказанное на примере оператора сопряжения для конусов, и затем применим это к вопросу о критериях существования решений систем линейных уравнений и неравенств.

Обозначим через W1 обычное евклидово пространство вектор-столбцов X = (xi,..., хп)Т (Г обозначает транспонирование), а через (Rn)* — евклидово пространство вектор-строк у = (yi,..., уп). Если у G (Rn)*, то отображение X —?► у • х = ^yixi есть, очевидно, линейный функционал, и любой линейный функционал на Rn может быть представлен в таком виде. Таким образом, мы отождествляем (Rn)* с пространством всех линейный функционалов на W1 и говорим, что (Rn)* — двойственное пространство к W1.

Сопоставим каждому выпуклому конусу С С Rn конус С* С (Rn)* по формуле: С* = {у G (Rn)* | у -х > О, V'х G С }. Он называется сопряженным конусом к С. Легко видеть, что это выпуклый замкнутый конус. Соответствующий оператор обозначим « * ». Повторное применение этого оператора приводит к конусу

Элементарно проверяется, что С С С**.

Соотношение двойственности для данного оператора состоит в том, что если С — выпуклый замкнутый конус, то

(5)

Доказательство этого факта есть простое следствие теоремы отделимости точки от замкнутого выпуклого множества.

Если Ci и С2 — выпуклые конусы, то С1 + С2 и Ci ПС2 — также выпуклые конусы. Далее, если С — выпуклый конус в Шп и А: Шп —>► Rm — линейный оператор (который будем отождествлять с его матрицей размера m х п в стандартных базисах Шп и Rm и обозначать той же буквой), то образ (прообраз) С при действии А, который обозначим АС (CA), есть снова выпуклый конус в Rm (Rn).

Выпуклое исчисление для данного случая — это формулы для сопряженных конусов только что определенных операций. Для того, чтобы их выпи-

сать, определим еще оператор A*: (Rm)* —>► (Rn)*, сопряженный к А, действующий по правилу А*у = у А. Тогда формулы выглядят так:

Формулы (Ь) и (с) справедливы без каких-либо предположений (и проверяются без труда). Для справедливости формул (а) и (d) требуются дополнительные предположения, но они заведомо выполняются, если конусы являются конечнопорождёнными. Конус С С Rn называется конечнопороснсдённым, если существуют такие х\,..., хш G Rn, что

Ясно, что это выпуклый конус, и нетрудно доказать, что он замкнут.

Перейдем теперь к приложениям, отметив, что если А — матрица размера m X п и Ъ G Rm, то системы m линейных уравнений и неравенств с п неизвестными могут быть записаны так: Ах = Ъ и Ах < Ь, где неравенство понимается покоординатно.

Первое, что мы выясним — это условия существования неотрицательного решения у системы Ах = Ъ. Понятно, что существование такого решения равносильно тому, что Ъ G AR™, где R™ = {х G Rn | х > 0}.

Очевидно, что R™ — замкнутый конечнопорождённый конус (например, векторами е\ = (1,0..., 0)Т,..., еп = (0,..., 0,1)Т) и конус AR™ тоже замкнут и конечнопорождён (векторами Ае\,..., Аеп). В силу соотношения (5) и формулы (с) будем иметь

Тем самым, система Ах = Ь имеет неотрицательное решение в том и только в том случае, когда у* • Ъ > 0 для тех у* G (Rm)*; d/ш которых А*у* > 0. Этот результат, доказанный Германом Минковским (1864-1909) и Юлиусом Фаркашем (1847-1930), обычно называют теоремой Минковского - Фаркаша.

Поставим теперь следующий вопрос: какие условия существования решения у системы неравенств Ах < Ы Вектор х является решением, очевидно, тогда и только тогда, когда Ъ = Ах + и для некоторого и > 0, т. е. тогда и только тогда, когда Ъ G ARn + R™\ В силу (5), (Ь), (с) и того, что (Rn)* = {0}, будем иметь

Далее, у* G (L4* П (Rîf1)* <^> = О и у* • ж > О, Ух G Mm, а у* • ж > О, Ух G G Mm 4=> у* > 0. Таким образом, система неравенств Ах < Ъ имеет решение в том и только в том случае, когда у* • Ъ > 0 d/ш тех у* G для которых у* > 0 и = 0. Этот результат принадлежит Ки Фаню (Фань Цзи) (1914-2010).

Подобных утверждений из анализа, теории приближений и теории экстремума можно привести ещё много, и все они могут быть получены как следствия соотношений двойственности и формул выпуклого исчисления для тех или иных операторов, переводящих выпуклые объекты (выпуклые множества и выпуклые функции) в себя.

В заключение отметим, что в монографиях [7-9] и в статье [10] Владимира Михайловича и его голландского коллеги Яна Бринхауса (р. 1952) подробно отражены основные воззрения Владимира Михайловича на предмет выпуклого анализа и его взаимосвязи с анализом, геометрией, теорией экстремума и теорией приближений.

ЛИТЕРАТУРА

1. Гангнус Р. В., Гурвиц Ю. О. Геометрия. Методическое пособие для высших педагогических учебных заведений и преподавателей средней школы: часть 1. Планиметрия; Часть 2. Стереометрия. — М.: Учпедгиз, 1934. ч. 1. 323с; 1935. ч. 2. 330с.

2. Демидович Василий. К истории Мехмата МГУ — М.: Изд-во Попечительского совета механико-математического факультета МГУ, 2013. 460 с.

3. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений. — М.: Изд-во МГУ, 1976. 305 с.

4. Тихомиров В. М. Об е-энтропии некоторых классов аналитических функций // ДАН СССР, 1957. Т. 117, №2. С. 191-194.

5. Иоффе А. Д., Тихомиров В. М. Теория экстремальных задач. — М.: Наука, 1974. 481 с.

6. Алексеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В. Оптимальное управление. — М.: Наука, 1979. 430 с.

7. Тихомиров В.М. Выпуклый анализ. Анализ-2, Итоги науки и техн., Сер. Соврем, пробл. мат., Фундам. направления, 14. — М.: ВИНИТИ, 1987. С. 5-101.

8. Magaril-Il'yaev G.G., Tikhomirov V.M. Convex Analysis: Theory and Applications. — AMS, 2003 (Translations of Mathematical Monographs, v. 222). 183p.

9. Магарил-Ильяев Г. Г., Тихомиров В. М. Выпуклый анализ и его приложения. 3-е изд. - М.: УРСС, 2011. 175с.

10. Бринкхаус Я., Тихомиров В.М. Двойственность и исчисление выпуклых объектов (теория и приложения) // Матем. сборник. 2007. Вып. 198, №2. С. 29-66.

Поступила 13.07.2014

TOWARDS VLADIMIR MIKHAILOVICH TIKHOMIROV'S 80th BIRTHDAY

V. B. Demidovich, G. G. Mag aril-Il'уaev

On the occasion of the 80th birthday of Moscow State University professor Vladimir Mikhailovich Tikhomirov this article briefly presents his biography and main academic results.

Keywords: Vladimir Mikhailovich Tikhomirov, approximation theory, extremal problems, convex analysis.

ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ. ПЕРСОНАЛИИ

УДК 929

ВСПОМИНАЯ УЧИТЕЛЯ

Т. А. Иванова

Нижегородский государственный педагогический университет им. Козьмы Минина Россия, 603005, г. Нижний Новгород, ул. Ульянова, 1; e-mail: ivanova41ta@yandex.ru

Воспоминания автора о своем научном руководителе З. А. Скопеце. Приведены краткие сведения геометрической школе, научно-методической и педагогической деятельности З. А. Скопеца.

Ключевые слова: З. А. Скопец, алгебраическая геометрия, методика преподавания геометрии.

3 ноября 2014 г. исполняется 30 лет со дня кончины известного геометра, учёного и педагога Залмана Алтеровича Скопеца. Жизни и деятельности З. А. Скопеца посвящены публикации [1-3]. Его светлой памяти посвящается и эта статья.

З. А. Скопец родился 1 января 1917 г. в местечке Креславка1 Витебской губернии. После окончания гимназии в 1933 г. он поступил на естественно-математический факультет Рижского университета, который успешно закончил в 1937 г. Через год Залман Алтерович защитил магистерскую диссертацию на тему «Проективная метрика неевклидовой геометрии» и получил

1 Сейчас город Краслава в Латвии.

степень магистра математических наук. Но работу найти ему не удалось, пришлось заниматься репетиторством. В 1939 г. Залман Алтерович был призван в армию и служил рядовым. 3 июня 1941 г. был уволен в запас, но паспорт до начала войны получить не успел. В первые дни войны в Риге был сформирован состав для эвакуации партийных и советских работников и их семей. С этим составом отправили вглубь страны и ожидавших призыва молодых людей, только что демобилизованных из армии. Так Залман Алтерович оказался в Ярославской области, где он стал работать учителем в школе села Норское.

Вся последующая жизнь Залмана Алтеровича связана с Ярославлем. В 1942 году его приняли в Ярославский педагогический институт (ЯГПИ), где он прошел путь от лаборанта до профессора и где им были созданы геометрическая и методическая школы2.

Геометрическая школа

С самого начала работы в Ярославле Залман Алтерович интенсивно продолжает начатые в студенческие годы исследования по геометрии. Он исследует вопросы бирациональной геометрии алгебраических многообразий -одной из классических ветвей алгебраической геометрии. Здесь он получил ряд глубоких результатов о кремоновых преобразованиях и в 1946 г. защитил в МГУ кандидатскую диссертацию «О некоторых методах построения специальных трансформаций Кремона».

В те же годы Залман Алтерович устанавливает контакты с крупными математиками, работавшими в МГУ (В. В. Степановым, В. Ф. Каганом, П. К. Рашевским, Я.С.Дубновым). Постепенно начинает складываться научная геометрическая школа З. А. Скопеца. В 1952 году у него появляется первая аспирантка по геометрии Г. В. Киотина (в настоящее время профессор Рязанского педагогического университета), которая защищает в 1956 году диссертацию на тему «Инвариантные элементы коллинеации семейства».

В работах З. А. Скопеца и его школы подробно, с получением явных формул, исследованы обширные классы кремоновых преобразований. Значительный интерес представляют применения этих исследований в начертательной геометрии, инженерной графике и в других прикладных вопросах. Особенно следует отметить интерес З. А. Скопеца к классическим алгебро-геометрическим конструкциям, таким, как двойные шестерки Шлеффли, ассоциированные пятерки прямых, «замыкания» Понселе, и их различным и далеко идущим обобщениям.

В 1962 г. в МГПИ им. В. И. Ленина Залман Алтерович защищает докторскую диссертацию на тему «Неевклидова и проективная циклография и её применение к начертательной геометрии в евклидовом пространстве».

2 Согласно направленности данного журнала, основное внимание в статье будет уделено методической школе З. А. Скопеца. О геометрической школе З. А. Скопеца подробно написано в [4].

В 1963 г. он получает аттестат профессора. В 1964 г. в ЯГПИ была создана кафедра геометрии, которой он заведовал до конца своей жизни.

В статье Н.И.Коршуновой и Л.Б.Медведевой [4] дано подробное описание основных результатов, полученных в геометрической школе З. А. Скопеца. Приведём выделенные в [4] основные направления исследований этой школы:

- конструирование и изучение кремоновых соответствий в пространствах различных размерностей;

- отыскание новых конструктивных методов задания алгебраических многообразий в многомерных проективных пространствах;

- изучение геометрических конструкций, позволяющих строить бирациональные модели различных пространств и многообразий;

- разработка конструктивных методов отображения на плоскость различных неевклидовых пространств.

Шестидесятые годы для З. А. Скопеца были чрезвычайно насыщены разнообразной научной деятельностью, в которую входило участие в работе нескольких семинаров: по начертательной геометрии и инженерной графике профессора Н. Ф. Четверухина (Москва), К. И. Валькова (Ленинград), П. К. Рашевского (МГУ).

В последние годы жизни Залман Алтерович обратился к алгебраической геометрии в современном её понимании как теории схем. З. А. Скопец устанавливает научные контакты с Математическим институтом АН СССР и кафедрой алгебры МГУ. На базе ЯГПИ начали проводиться школы-семинары по алгебраической геометрии, в которых принимали участие И. Р. Шафаревич, С.П.Новиков, В.И.Арнольд, В.П.Платонов, А.Н.Тюрин, В. А. Псковских, Ф. А. Богомолов, В. Г. Дринфельд, А. Т. Фоменко, А. А. Кириллов, М. М. Постников и другие видные отечественные математики. Под редакцией З. А. Скопеца вышли 15 томов ученых записок ЯГПИ по геометрии.

Всего у Залмана Алтеровича было 29 аспирантов по геометрии и 4 по техническим наукам. Вот темы диссертаций некоторых из них: «Косые отображения квадрики и их применение в теории кремоновых преобразований и конструктивной геометрии» (И.П.Дьяконова, 1965); «Отображение пространства на плоскость посредством кубической окружности» (У. М. Асекритов, 1966); «Нелинейные отображения пространств посредством коллинеации» (В. А. Пеклич, 1972); «Специальные гиперсети прямых многомерного проективного пространства и их применение для построения его моделей» (Л.Б.Медведева, 1975). Двое из аспирантов-геометров З. А. Скопеца стали впоследствии докторами наук: Г. С. Иванов (доктор технических наук) и А.С.Тихомиров (доктор физико-математических наук). Конечно, многие из учеников З. А. Скопеца имеют своих учеников.

Научно-методическая школа

Параллельно с научными исследованиями в области алгебраической геометрии Залман Алтерович не менее активно занимается и научно-методическими проблемами высшего и школьного геометрического образования.

В 1953-1964 гг. он заведует кафедрой элементарной математики. В это время начала создаваться его методическая школа, которая получила признание как в нашей стране, так и за рубежом.

Основным направлением научно-методической деятельности З. А. Скопеца были новые для школьного курса геометрии методы: метод геометрических преобразований, а также разнообразные аналитические методы, использующие применение векторов, координат, комплексных чисел, барицентрических координат, элементов теории групп, традиционных уравнений и неравенств и т.д. Это отражено в изданных им в соавторстве с учениками многочисленных книгах, которые остаются востребованными и в настоящее время. В 1962 г. в издательстве «Учпедгиз» выходит написанная им в соавторстве с В.А.Жаровым замечательная книга [5], которая представляет собой оригинальный справочник по элементарной геометрии и является в настоящее время библиографической редкостью. Она содержит систематизированные сведения по всем разделам элементарной геометрии и долгое время была настольной книгой учителей математики. Каждый раздел предваряется сводкой основных формул и теорем. Остальные фактологические сведения представлены в виде задач. На наш взгляд, эта книга не имеет аналогов в современной литературе, и её переиздание было бы крайне полезно для молодых учителей математики.

Сущность и особенность этих новых для школьной геометрии методов решения геометрических задач раскрыта в написанных З. А. Скопецом с соавторами широко известных книгах [6-8], а также в многочисленных статьях в журналах «Математика в школе», «Квант», в различных сборниках, в пособиях для факультативных занятий.

Залман Алтерович не просто виртуозно владел всеми возможными методами решения геометрических задач — он обладал выдающимся, можно сказать, непревзойденным талантом композитора геометрических задач. Новая задача у него могла появиться в любое время: во время чтения лекции, в работе с аспирантами, в походе за грибами, во время многочисленных поездок по стране. При этом он проявлял непостижимые для нас, его учеников, виртуозность, чутьё, тонкий эстетический вкус. Составленные им задачи отличаются изяществом, глубокой содержательностью, красотой найденных им решений. Более 20 лет он вёл раздел задач в журнале «Математика в школе».

Следует подчеркнуть, что хотя Залман Алтерович и пропагандировал новые методы школьной геометрии, он не игнорировал и традиционные. Его методическое кредо по обучению методам решения геометрических задач изложено во вступлении к статье [9]: «Мастерство учителя заключается в том, чтобы изучаемый геометрический материал обеспечил успешное овладение учащимися основными приемами решения задач, а накопленные в ходе решения задач сведения и факты, наблюдения и опыт содействовали более углубленному пониманию теории.

В этом плане школьный курс геометрии открывает широкие перспективы для обучения учащихся решению задач. В современных условиях в распоряжении учителя имеются не только разнообразные по содержанию геометрические задачи, но и эффективные методы их решения: посредством

векторов, координат, геометрических преобразований, производных и интегралов. Не следует также упускать из виду давно сложившиеся классические приемы, основанные на применении построений, использовании элементарного алгебраического аппарата, тригонометрических соотношений.

Вместе с тем, преимущество новых методов перед классическими проявляется также в том, что они позволяют решать не только традиционные задачи, но ставить и решать задачи нового типа, специально предназначенные для этих методов. Поэтому спектр геометрических задач при изучении геометрии в школе необычайно широк. Такое положение создаёт благоприятные условия для отбора разнообразных задач по их содержанию и методам решения, обеспечивает на основе их решения развитие творческой инициативы и самостоятельность учащихся...

... Поскольку отдельные задачи будут допускать решения различными приёмами, а такие задачи наиболее интересны, то мы считаем целесообразным сопоставлять эти приёмы. Владение учителем всем арсеналом средств современного школьного курса геометрии даёт ему ключ к пониманию предпочтительности применения того или иного метода в сложившейся учебной обстановке и тем самым квалифицированно вести преподавание.

Мы также будем обсуждать проблему эффективности решения задач, которую следует анализировать не только с точки зрения нахождения краткого, изящного или простого решения (которое имеет значение, например, на конкурсном экзамене, на олимпиаде), но и с позиции ведущих принципов обучения и направленности учебно-воспитательного процесса. Следует приветствовать решение специально подобранных комбинированных, комплексных задач с целью повторения учебного материала. На их основе формируется целостное представление о методе и предмете».

Приведённые соображения остаются актуальными и для современной школы. Их развитию посвящена написанная З. А. Скопецом совместно с Э. Г. Готманом и переизданная в 2000 году замечательная книга [10]. В ней выделяются аффинные и метрические задачи по планиметрии и стереометрии, каждый раздел предваряют основные теоретические сведения, затем показывается, как много различных идей решения может допускать одна задача. Проиллюстрируем сказанное примером, взятым из этой книги.

Задача. Дан равнобедренный прямоугольный треугольник АБС. Прямая, проведенная через вершину С прямого угла перпендикулярно медиане BD, пересекает гипотенузу в точке М. Найдите отношение

Указания к решению.

Решение 1. Введите на плоскости прямоугольную систему координат: С(0;0), А(1;0), В(0; 1). Тогда D^^;0\ и угловой коэффициент прямой СМ равен -. Запишите уравнения прямых AB и СМ и найдите координаты точки M.

Решение 2. Обозначьте CA = а, С В = Ь и ——— = Л. Тогда BD = - a—h,

CM = ^ ^ . Вычислите скалярное произведение векторов BD и СМ.

Решение 3. Обозначив ZCBD = /АСМ = а; примените теорему синусов к треугольникам АСМ и ВСМ.

Решение 4- Пусть прямые BD и СМ пересекаются в точке N. Докажите, что ~ ^ • Затем примените теорему Менелая к треугольнику ABD.

Решение 5. Через точку D проведите прямую, параллельную прямой СМ. Воспользуйтесь тем, что = - •

Решение 6. Примените поворот вокруг точки С на угол 90° ; при котором точка В перейдет в точку А, а точка D — в точку D\, лежащую на продолжении катета ВС. Докажите, что D\A || СМ.

Решение 7. Проведите перпендикуляр МК к стороне АС и докажите, что КС = 2'

Решение 8. Через вершину А проведите прямую перпендикулярно стороне АС, пересекающую прямую СМ в точке L. Докажите, что треугольники ACL и BCD равны, а треугольники ALM и ВСМ подобны.

Решение 9. Проведите высоты CP и MQ треугольника ВСМ. Воспользуйтесь тем, что ортоцентр треугольника ВСМ является центроидом треугольника ABC.

Наибольшее воплощение методические взгляды Залмана Алтеровича получили в 70-е-80-е годы прошлого столетия в период колмогоровской реформы. В начале её проведения был объявлен конкурс на написание школьных учебников в духе основных идей реформы. Среди учебников по стереометрии победителем оказался учебник, написанный авторами из Курска В.М. Клопским и М. И. Ягодовским. Однако он нуждался в существенной научной доработке. Для этого А. Н. Колмогоров пригласил З. А. Скопеца. В итоге было написано учебное пособие «Геометрия 9-10» [11]. Как известно, первая часть учебного пособия — «Геометрия 6-8» — была написана авторским коллективом во главе с А. Н. Колмогоровым. Будучи новаторскими, эти учебные пособия потребовали коренной перестройки взглядов на школьную геометрию как с содержательной, так и с методической стороны. Впервые в нашей стране школьный курс математики строился на теоретико-множественной основе, а основным методом изложения геометрии были геометрические преобразования. В старших классах широко были представлены и элементы векторной алгебры, аналитической геометрии и математического анализа. Учебное пособие под редакцией З. А. Скопеца отличает логичное и доступное для старшеклассников изложение материала, прекрасный подбор задач, решаемых новыми методами. В пособиях для учителя (УМК на современном языке) он описывал методику обучения школьников решению задач новыми для школы методами. Общие его методические мысли приведены выше. В книгах, адресованных непосредственно учителю, он их конкретизировал. В частности, он говорил, что обучение школьников новому методу следует начинать с решения простой по геометрическому содержанию задачи.

Важно, чтобы при её решении ярко проявлялась сущность нового метода. Основная идея метода не должна заслоняться громоздкостью второстепенных выкладок. Когда школьники освоят новую идею, можно переходить к более сложным задачам.

Учебное пособие [7] используется учителями старшего поколения и в настоящее время, особенно теми, кто работает в математических классах.

В русле научно-методической школы Залман Алтерович вёл аспирантуру по методике преподавания математики. Всего в ней обучались 24 человека. Первыми аспирантами были В.А.Жаров (1954)3, К.Ф.Михайлов (1955), П. С. Марголите (1956). Кроме того, к З. А. Скопецу приезжали для консультаций соискатели со всей страны и из-за рубежа, в частности, из Болгарии.

Исследования учеников З.А. Скопеца были посвящены геометрическим задачам и методам их решения. Вот некоторые из тем защищенных диссертаций: «Вопросы преподавания геометрии комплексных чисел в школе и подготовка учителя по этой теме» (Э. А. Лаудыня, 1969); «Совершенствование содержания геометрических задач и методов их решения как средство повышения качества знаний учащихся по математике» (Э. Г. Готман, 1968); «Вопросы теоретической и методической подготовки учителя к преподаванию геометрических преобразований в средней школе» (Р. Г. Носик, 1970); «Координатный метод решения планиметрических задач в средней школе» (Г. Б. Кузнецова, 1973); «Обучение основам векторной алгебры в процессе решения геометрических задач в школе» (Т. М. Корикова, 1978); «Теоретические основы и методика изучения подобий плоскости и пространства в средней школе» (Л.И.Кузнецова, 1979); «Аналитические методы решения геометрических задач в школе как средство осуществления в курсе математики внутрипредметных связей» (Т. А. Иванова, 1979; в 1998 г. защитила докторскую диссертацию).

Педагогическая деятельность

Талантливый человек талантлив во всем. Залман Алтерович был одарённым педагогом, преподавательская деятельность была такой же его внутренней потребностью, как и научная. Он относился к педагогической работе чрезвычайно ответственно, творчески, с любовью к своим ученикам.

З.А. Скопец читал студентам лекции и спецкурсы по всем разделам геометрии, в том числе и по методам решения геометрических задач. Его занятия были всегда открытыми, их посещали преподаватели факультета, аспиранты, учителя. Лекции З.А. Скопеца отличались глубоко продуманным содержанием, оригинальностью подбора примеров и задач, логичностью построения, доступностью изложения и, главное, увлеченностью самого лектора. Все это завораживало слушателей и доставляло им ещё и эстетическое удовольствие.

Огромное внимание Залман Алтерович уделял работе с учителями. С самого начала своей педагогической деятельности он ходатайствовал об откры-

3 Здесь в скобках указывается год поступления в аспирантуру.

тии на факультете аспирантуры для учителей. Особого пика работа с учителями достигла в 70-80-е годы, в период колмогоровской реформы. Наверное, нет школы в Ярославской области, в которой бы он не выступал перед учителями или учащимися. При этом он не ограничивался только лекциями, но и сам проводил открытые уроки, раскрывая присутствующим особенности и специфику нового для школьной геометрии содержания.

География педагогической деятельности Залмана Алтеровича не ограничивалась Ярославлем и Ярославской областью. Он выступал с лекциями перед учителями школ различных областей, более чем в 30 педагогических вузах Советского Союза, в том числе в Горьковском педагогическом институте и в Горьковском институте усовершенствования учителей. Именно в один из его приездов в Горький в 1972 году состоялось первое знакомство с ним молодых преподавателей кафедры методики преподавания математики педагогического института. Четверо из них затем обучались у него в аспирантуре. Практически он оказал существенное влияние на развитие научно-методической математической школы в Горьковском педагогическом институте, у истоков которой стояли известные в Советском Союзе, но не имевшие своих аспирантов профессора В. В. Репьев и Г. П. Сенников.

Всего у Залмана Алтеровича было более 50 аспирантов из разных городов страны — Ярославля, Москвы, Ленинграда, Костромы, Горького, Арзамаса, Чебоксар, Курска, Вологды, Шуи, Рязани, Ишима, Тобольска, Хабаровска, Нальчика, Армавира, Оренбурга, Магнитогорска, Кирова, Смоленска, а также из Латвии и Болгарии. Более 40 из них защитили диссертации.

Мне посчастливилось быть аспиранткой З. А. Скопеца (с 1974 по 1977 гг.), поэтому я имею возможность рассказать о своем личном опыте общения с Залманом Алтеровичем.

Это было творческое, доброжелательное, уважительное общение, сотворчество Учителя с большой буквы и ученика. Целью обучения в аспирантуре он считал не только (а возможно, и не столько) написание и защиту диссертации, сколько повышение профессиональной образованности (в самом широком понимании этих слов) будущего преподавателя высшей школы.

Прежде всего отмечу, что у него было твёрдое расписание работы: для каждого аспиранта назначался определённый час в определённый день недели. Исключение составляли дни, когда он был в командировке. Занятия проводились у него дома, в кабинете, т. к. в институте не было выделено помещение. На занятия каждый должен был приходить точно в назначенное время, никому и в голову не приходило опоздать хотя бы на пять минут. Залман Алтерович каждого встречал с улыбкой, доброжелательно, помогал раздеться. Далее чаще всего вместе с аспирантом садился на диван, который стоял в его кабинете, и начинались чудеса. Нас всегда поражало то, что он сразу продолжал развивать ту мысль, на которой заканчивалось предшествующее занятие неделю назад. И это несмотря на то, что у него всегда одновременно обучались не менее пяти аспирантов по геометрии и по методике. Если диссертация была связана с решением задач — а так было почти у всех аспирантов по методике — то Залман Алтерович разворачивал вслух процес-

сы составления новой задачи, поиска адекватной этой задаче методической идеи, поиска различных методов решения и т. д. Мысль его работала чётко, он фиксировал её на бумаге, иногда приговаривая: «Сейчас, сейчас выскочит». Имелось в виду, что сейчас появится то озарение, которое приведёт к новому результату. Конечно, аспирант не всегда успевал следить за ходом его мысли, но, поскольку всё было записано, вернувшись домой он сразу садился за восстановление и чёткое изложение всего хода занятия. А далее нужно было в силу своего понимания развить высказанные идеи, самому составить или подобрать адекватные задачи.

В соответствии со сказанным, каждый аспирант З. А. Скопеца по методике преподавания математики должен был решать разными методами огромное число геометрических задач и отбирать те из них, которые эффективнее решаются тем методом, который он исследует. Каждый аспирант должен был сделать приложение к диссертации в виде сборника из 400-600 задач, решаемых рассматриваемым методом.

Кроме этого, Залман Алтерович еженедельно проводил научные семинары по геометрии и по методике обучения математике (раздельно) для аспирантов и всех желающих. На них выступали аспиранты, учителя, многочисленные приезжающие за консультацией из других городов. Очень часто Залман Алтерович сам читал лекции по темам, не связанными с нашими диссертациями.

Аспиранты посещали все его лекции для студентов. Выше уже отмечалось, что в 70-е годы прошлого столетия обучение геометрии в школе шло по новым учебникам. Поэтому спецкурс по методике Залман Алтерович посвящал методам решения геометрических задач. Здесь он в полной мере демонстрировал свой талант: изобретательность, оригинальность и изящество, логику в подборе и составлении задач, полет мысли в ходе поиска различных, в том числе и оригинальных, методов решения. Для нас, аспирантов, удивительным было то, что каждый в тот или иной момент по взгляду или интонации лектора чувствовал и осознавал слова, направленные лично к нему. А когда Залман Алтерович уезжал в командировки, что случалась довольно часто, аспиранты читали студентам лекции по спецкурсу в соответствии с темой своего исследования.

Выше уже говорилось, что в рассматриваемый период Залман Алтерович вместе с В. М. Клопским и М. И. Ягодовским активно занимался переработкой учебного пособия «Геометрия 9-10». Мы, аспиранты, также вовлекались в этот процесс: в обсуждение некоторых параграфов, в перепечатку и вписывание формул (напомню, что в то время тексты печатались на машинке, а затем вписывались формулы и делались рисунки).

Залман Алтерович читал лекции на курсах переподготовки учителей в разных городах страны. Особенно часто вместе с коллегами он читал лекции в Москве для методистов педагогических вузов. Мы также ездили с ним в Москву и посещали эти лекции. Иногда он подключал некоторых аспирантов к чтению лекций в его присутствии. Так, Л. И. Кузнецова читала в его присут-

ствии лекции по геометрическим преобразованиям для преподавателей вузов в Москве и Николаеве.

Залман Алтерович активно привлекал аспирантов и к работе с задачами журнала «Математика в школе». Значительная часть геометрических задач, которые предлагались в отделе задач журнала, составлялась им лично или его учениками под его руководством. Хорошей школой для нас были проверка и составление сводки полученных редакцией журнала решений. Весь пакет присланных ему из редакции писем он передавал нам. Мы делили их между собой, проверяли, анализировали, выделяли лучшее, иногда предлагали своё решение. Затем один из нас собирал полученные результаты, систематизировал и передавал Залману Алтеровичу. Он проверял то, что мы подготовили, и делал окончательный вариант для публикации в журнале.

Следует сказать ещё об одной стороне деятельности З. А. Скопеца. Он выступал официальным оппонентом на десятках защит диссертаций по геометрии, техническим наукам, методике преподавания математики. И к этой работе он привлекал нас, аспирантов. Происходило это следующим образом. Когда к нему поступала диссертация, он отдавал её для ознакомления тому аспиранту, которому близка была её тема. Затем читал её сам. Когда наступало время написания отзыва, аспирант приглашался к нему домой. В его кабинете стояли два стола: письменный, за которым он работал один, и обычный квадратный в середине кабинета. Аспирант садился за квадратный и записывал ход мыслей Залмана Алтеровича, который, рассуждая, ходил вокруг стола. Но аспиранту нужно было быть не просто стенографистом, а соучастником процесса. Когда Залман Алтерович останавливался, подыскивая новое слово или фразу, нам предписывалось помогать ему, вставлять и свои предложения. Естественно, делать это мы старались деликатно, не назойливо, в тон его рассуждениям. И эта работа была для нас прекрасной школой по написанию научных текстов. Залман Алтерович, говоря современным языком, проводил для нас мастер-класс.

В весенне-летнее время занятия с аспирантами часто поводились у Залмана Алтеровича на даче. Это была половина отремонтированного деревенского домика, расположенного недалеко от Ярославля на берегу Волги. Когда на даче был глава семейства, там всегда были посторонние для семьи люди. И мы удивлялись Марии Борисовне, жене Залмана Алтеровича, которая всегда была не просто приветлива и доброжелательна, но и кормила всех обедами. Конечно, мы ей старались помочь: привозили с собой нехитрые продукты, в основном, хлеб и сахар, ходили в соседнюю деревню за молоком, накрывали на стол и мыли посуду. Иногда тот, кто был свободен, мог вскопать или прополоть пару грядок (впрочем, огород был чисто символическим). Любимым занятием Залмана Алтеровича на даче был поход вместе с нами за грибами. Он был отменным грибником. Специальной палочкой, с которой он всегда ходил в лес, он тщательно исследовал каждый сантиметр под той или иной ёлочкой или берёзкой. Домой он, в отличие от нас, никогда не возвращался с пустой корзинкой. Но удивительным в таком путешествии было то, что оно

всегда сопровождалось составлением новой задачи или оригинальным решением уже известной.

Залман Алтерович был в высшей степени интеллигентным широко образованным человеком. Особенно он интересовался музыкой и театром. Сам он прекрасно играл на скрипке — будучи студентом, брал уроки музыки у профессоров Рижской консерватории. Когда мы вместе с ним возвращались с семинаров (а общежитие аспирантов было рядом с преподавательским домом, в котором жил Залман Алтерович), он часто сообщал нам, что в ближайшее время состоится концерт в филармонии или новый спектакль в Волковском театре4. Одному из нас поручалось приобрести билеты, и затем мы вместе с ним шли на этот спектакль или концерт.

Залман Алтерович очень любил приходить к нам в общежитие. Иногда это были чисто деловые визиты к кому-либо по поводу задач из «Математики в школе» или связанные с подготовкой к печати совместной с ним статьи. Но особенно он любил приходить на наши «посиделки», которые устраивались по разным поводам. Все это знали, и когда предполагалось собраться вместе (и не только его аспирантам), Залмана Алтеровича всегда приглашали. Он с искренним удовольствием слушал в нашем непрофессиональном исполнении русские песни, романсы, был в прекрасном настроении и уходил всегда очень довольный.

Залмана Алтеровича отличали чуткое и внимательное отношение к людям. Однажды мне пришлось одной остаться в общежитии на Новый год. Залман Алтерович вместе с Марией Борисовной пригласили меня к себе домой встречать Новый год вместе с их семьей и их гостями.

В другой раз после очередных праздников я приехала ранним утром в Ярославль и должна была идти на занятия со студентами. Залман Алтерович настоял на том, чтобы я сначала зашла к ним домой и позавтракала. Здесь нужно сказать, что все его аспиранты были родными для всех членов его семьи — Марии Борисовны и его дочерей Ривы и Аллы (так мы их в то время называли). Эти тёплые отношения сохранялись и после ухода Залмана Алтеровича из жизни. Мне неоднократно приходилось приезжать в Ярославль уже в его отсутствие, и всегда я находила в его доме тёплый приём. Разговоры и воспоминания о Залмане Алтеровиче и его учениках продолжались за полночь. При этом в них принимали участие его внуки, которые стали взрослыми уже без него. Они с неподдельным интересом слушали наши воспоминания об их дедушке, а он смотрел на всех нас с портрета.

ЛИТЕРАТУРА

1. Жаров В. А., Котий О.А., Майоров В.М. Залман Алтерович Скопец // Математика в школе. 1976. №6. С. 83-84.

2. Залман Алтерович Скопец (некролог) // Математика в школе. 1985. №1. С. 80.

3. Сидоров Л. А., Тихомиров А.С., Корикова Т. М. Залман Алтерович Скопец (к 80-летию со дня рождения) // Ярославский педагогический вестник. 1996. №3. (http://vestnik.yspu.org/releases/chronika_informaciya/3/)

4 Российский государственный академический театр драмы имени Фёдора Волкова.

4. Коршунова Н. И., Медведева Л. Б. Из истории Ярославской геометрической школы. В кн. История математики и математического образования как предмет исследования и преподавания. Труды V Всероссийской школы по истории математики. — Ярославль, 2003. С. 226-251.

5. Скопец З.А., Жаров В. А. Задачи и теоремы по геометрии. — М.: Учпедгиз, 1962. 144 с.

6. Готман Э.Г., Скопец З.А. Решение геометрических задач аналитическим методом: Пособие для учащихся 9 и 10 классов. — М.: Просвещение, 1979. 128 с.

7. Скопец 3. А., Понарин Я. П. Геометрия тетраэдра и его элементов. — Ярославль, 1974. 240 с.

8. Скопец З.А., Майоров В.М. Векторное решение геометрических задач. — М.: Просвещение, 1968. 252 с.

9. Скопец З.А. Векторное решение стереометрических задач: Сб. статей Преподавание геометрии в 9-10 классах / Сост. З. А. Скопец, Р. А. Хабиб. — М.: Просвещение, 1980. 270 с.

10. Готман Э. Г., Скопец 3. А. Задача одна — решения разные. Геометрические задачи. — М.: Просвещение, 2000. 224с.

11. Клопский В. М., Скопец 3. А., Ягодовский М. И. Геометрия: Учебное пособие для 9 и 10 классов средней школы / Под редакцией З.А. Скопеца. — М.: Просвещение, 1977. 255 с.

Поступила 21.02.2014

REMEMBERING THE TEACHER

T. A. Ivanova

Memories of the author about his scientific adviser, Z. A. Skopets. General information is given about his geometry school, scientific, methodological and pedagogical activities.

Keywords'. Z. A. Skopets, algebraic geometry, technique of teaching of geometry.

ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ. ПЕРСОНАЛИИ

УДК 510.635

О ЗАКОНЕ «0 ИЛИ 1», ОТКРЫТОМ Ю. В. ГЛЕБСКИМ, И СВЯЗАННЫХ С НИМ РЕЗУЛЬТАТАХ, ПОЛУЧЕННЫХ НА КАФЕДРЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ И АЛГЕБРЫ ННГУ

М. И. Лиогонький*, В. А. Таланов*

* Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет Россия, 603950 , г. Нижний Новгород, ул. Ильинская, 65; e-mail: liogmark@mail.ru * НИУ Высшая школа экономики - Нижний Новгород Россия, 603155, г. Нижний Новгород, ул. Б. Печерская, 25/12; e-mail: vtalanov@hse.ru

В 1966 г. заведующий кафедрой математической логики и алгебры ННГУ им. Н.И.Лобачевского Юрий Васильевич Глебский доказал ставший уже классическим результат, именуемый как «закон 0 или 1» для формул узкого исчисления предикатов. Авторы делятся воспоминаниями об общении с Ю. В. Глебским в этот период, а также упоминают ряд своих результатов в развитие указанного закона.

Ключевые слова: логика предикатов, доля выполнимости, закон «0 или 1».

В данной заметке авторы вспоминают об общении с незабываемым Юрием Васильевичем Глебским в период, когда он занялся (и увлёк за собой авторов) исследованием количественных характеристик логических формул узкого исчисления предикатов (УИП). Уже в самом названии отражён тот факт, что самым фундаментальным результатом и отправной точкой дальнейших исследований является ставший уже классическим открытый Глебским закон «0 или 1» в УИП. Авторы также упоминают некоторые результаты, полученные ими в развитие этого направления исследований. Сложилось так, что сначала более активно занимался этой проблематикой первый из авторов, и с ней была связана тема его кандидатской диссертации, а затем интересные результаты получил второй автор. Поэтому и изложение ведётся поочередно — сначала первым, а затем вторым.

Ю. В. Глебский

1. Воспоминания M. Лиогонького

Весной 1964 я и ещё трое студентов были первыми выпускниками открытого 1 декабря 1963 года факультета ВМК Горьковского (ныне Нижегородского) университета. Всех нас оставили работать в качестве ассистентов на этом факультете. С Юрием Васильевичем Глебским в моей жизни связано много. Я писал под его руководством диплом, в котором рассматривались некоторые задачи теории расписаний. Став ассистентом на кафедре математической логики и алгебры, вёл за ним практические занятии по курсу «Высшая алгебра». При этом надо отметить, что Юрий Васильевич разработал новый, современный курс алгебры, отличный от традиционно читавшегося на мехмате. В 1966 году я поступил в аспирантуру при факультете ВМК и под руководством Ю. В. Глебского в 1970 году защитил диссертацию «Асимптотическое поведение количественных характеристик логических формул». Тема диссертации наметилась ещё до моего поступления в аспирантуру, но, несмотря на наше тесное сотрудничество, мне трудно сказать, какие задачи побудили Ю. В. Глебского заняться исследованием поведения количественных характеристик логических формул УИП. По-видимому, это было связано с попыткой найти универсальный метод для определения количества графов, обладающих теми или иными свойствами, путём установления зависимости этого количества от синтаксического строения формул УИП, с помощью которых свойства, выделяющие эти графы, могут быть записаны. Однако такие попытки уже в простейших случаях (например, для транзитивных графов с п вершинами) наталкивались на серьёзные комбинаторные трудности. При этом в тех случаях, когда всё же удавалось такие зависимости найти, бросался в глаза тот факт, что доля числа графов, удовлетворяющих выраженному формулой свойству, или стремится к 0, или стремится к 1, причем это стремление происходит достаточно быстро.

Так или иначе, но осенью 1965 года Ю. В. Глебский сформулировал гипотезу (он любил произносить это слово с ударением на третьем слоге) о том, что для любой формулы УИП без свободных индивидных переменных доля её выполнимости на конечных моделях, под которой понимается отношение числа п-моделей (моделей, в которых каждая индивидная переменная принимает одно из целых значений от 1 до п), на которых формула истинна, к числу всех п-моделей, при п —?► оо стремится либо к 0, либо к 1. Это было довольно смелое утверждение, которое, возможно, подкреплялось тем фактом, что для ряда частных ситуаций (например, для замкнутых формул, которые имеют в предварённой нормальной форме лишь один квантор) справедливость гипотезы легко устанавливалась. А может быть, оно подкреплялось словом «узкое» в названии «узкое исчисление предикатов», которое будто подчеркивает, что на таком языке можно выделить лишь те свойства, которыми почти все конечные модели или обладают, или не обладают.

Естественно, что гипотеза оказалась привлекательной, и к исследованию в данном направлении, наряду со мной, активно подключились Д. И. Коган (так же, как и я, сотрудник кафедры математической логики и алгебры) и В.А.Таланов (аспирант этой кафедры). В начале 1966 года на одном из

научных семинаров кафедры я изложил разработанный мной алгоритм для нахождения числа п-моделей, обращающих в истину заданную замкнутую формулу УИП, содержащую лишь одноместные предикаты. Из получающихся в результате его применения соотношений непосредственно вытекал факт стремления при п —> ос доли её выполнимости на конечных моделях к 0 или 1, причем отчётливо просматривался практически экспоненциальный характер этого стремления.

В случаях, когда формула содержит многоместные предикаты и предварённая нормальная форма содержит более одного квантора, основные трудности при нахождении числа моделей, обращающих в истину замкнутую формулу УИП, связаны с возможностью совпадений значений различных индивидных переменных. Применение различных комбинаторных методов (чаще всего метода включения и исключения) приводило к формулам, из которых трудно просматривалась динамика поведения доли выполнимости при п оо.

Однако ряд результатов, подтверждающих выдвинутую гипотезу (одноместные предикаты и обнаруженные В. А. Талановым некоторые нетривиальные ситуации), а также, видимо, уже сложившаяся схема доказательства, сформировали у Глебского настолько полную уверенность в её справедливости в общем случае, что весной 1966 года он направил на предстоящий летом Международный математический конгресс тезисы «Количественные оценки выполнимости предикатных формул» [1], в которых выдвинутая им гипотеза была сформулирована в виде теоремы. Но ещё к лету ни один из нас не знал о существовании доказательства этой теоремы.

Встретившись с Юрием Васильевичем по возвращении из отпуска, я рассказал ему о впечатлениях от длительного похода (со сплавом на плотах) по Восточным Саянам. Юрий Васильевич с интересом выслушал (он и сам с большой охотой несколько раз ходил с нами в походы), а потом, улыбаясь своей мягкой улыбкой, сказал, что доказал справедливость гипотезы и протянул мне тоненькую школьную тетрадь, в которой красивым почерком излагалось красивое доказательство теперь уже теоремы о том, что доля выполнимости тп(А) любой замкнутой формулы А узкого исчисления предикатов без пропозициональных переменных стремится к 0 или к 1 при п —?► оо. Причём это стремление таково, что для любого к > 0 если lim тп(А) = 0, то

Доказать выдвинутую гипотезу Глебскому удалось благодаря рассмотрению так называемых исключающих кванторов общности и существования. Эти кванторы отличаются от обычных тем, что если, например, формула А наряду с индивидной переменной х содержит свободные индивидные переменные у1, у21•.., то после навешивания исключающих кванторов общности или существования по переменной х (обозначаются как (ж/г/ь У2-, • • • 5 У к) или (3 ж/уь У2-) • • • , У к) соответственно) эта переменная при интерпретации может принимать лишь те значения, которые отличны от значений, которые присвоены свободным индивидным переменным yi, у2,... у к- Показав, что доля выполнимости всякой формулы, содержащей один исключающий квантор

и не содержащей пропозициональные переменные, стремится либо к 0, либо к 1 с указанной выше скоростью, Юрий Васильевич тем самым получил, с одной стороны, возможность оценивать асимптотическое поведение доли выполнимости формул с одним обычным квантором, а с другой стороны -возможность применять метод математической индукции для исследования асимптотического поведения доли выполнимости формул при навешивании новых кванторов.

Таким образом, можно утверждать, что эта теорема, анонсированная в тезисах математического конгресса, доказана в 1966 году.

Через Та обозначим совокупность формул УИП, которые содержат предикатные символы из сигнатуры а, не содержат свободных индивидных переменных, и для которых доля выполнимости стремится к единице. Теорему Глебского можно сформулировать так: Та есть полная непротиворечивая разрешимая теория. Её можно понимать как теорию почти всех конечных моделей сигнатуры а.

На математическом конгрессе в Москве Ю. В. Глебский познакомился с известным математиком X. Гайфманом, который рассказал ему о своем способе определения количественных оценок логических формул, опубликованном в [2].

Согласно этому способу, при навешивании каждого квантора по индивидной переменной, принимающей значения от 1 до п, на формулу с уже известной количественной оценкой, для нахождения количественной оценки получаемой формулы нужно осуществить, грубо говоря, предельный переход при п —?► оо. При этом замкнутые формулы без пропозициональных переменных также получают оценку либо 0, либо 1. (Различие двух подходов к определению количественных характеристик формул УИП подобно различию в определениях многомерных несобственных интегралов: подходу Глебского отвечает определение несобственности по главному направлению, а подходу Гайфмана — по каждой переменной в отдельности. Но подход Глебского с точки зрения интерпретации получаемой оценки представляется более прозрачным.)

Таким образом, совокупность замкнутых формул сигнатуры а без пропозициональных переменных, имеющих в смысле Гайфмана количественные оценки, равные 1, также образует полную разрешимую теорию Т£. Естественно встал вопрос о том, как соотносятся теории Та и Т£. Мне удалось доказать, что Та совпадает с Т^. Для доказательства этого совпадения, а также для доказательства ряда последующих результатов, оказался полезным тот факт, что в работе Гайфмана построена рекурсивная система аксиом Ф, из которой выводимы все формулы теории . Для её описания назовем полной диаграммой S (а, х\, Ж2,..., х\) конъюнкцию атомарных формул сигнатуры а, полностью описывающую некоторую конкретную модель сигнатуры а, построенную на индивидных переменных х\, Х2,..., х\. Будем также говорить, что полная диаграмма S^cr, xi, Ж2,..., х\, у) расширяет полную диаграмму Si(cr, a?i, #2,..., X/), если формула S^cr, х\ 5 Х25 • • • 5 х[5 является теоремой в УИП.

Рекурсивная система аксиом Ф состоит из предложений двух видов:

1) Предложения вида

(3a?i,a?2, • • • S (а, Х\, ж2,..., ж/), где / > 0, xi, ж2, • • • 5 ж/ — произвольный список индивидных переменных, а 5(a, xi, ж2,..., ж/) — произвольная полная диаграмма;

2) Предложения вида

(х1)(х2/х1)... (xi/xi,x2,... ,x/_i)(3y/xi,x2,... ,x/)[Si(cr,xi,x2,... Э D ^(cr, xi, X2,..., х/, y)], где S^a, xi, ж2,..., х/, y) — произвольная полная диаграмма, расширяющая полную диаграмму Si (a, xi, ж2,..., х/). Нетрудно видеть, что моделью Q системы аксиом Ф является такая бесконечная модель сигнатуры а, которая содержит в себе в качестве подмодели любую конечную модель сигнатуры а, и всякая конечная модель сигнатуры а может быть продолжена внутри Q до любого своего конечного расширения.

(Отметим, что в работе [2] допущена неточность: у X. Гайфмана предложения вида 2) записаны как

(xi)(x2)... (xi)(3 y/xi, х2,. . . , Xl)[Sl(<7, Xi, X2, ...jX{)D S2(cr, Xi, x2,..., xu y)],

т. е. в них используются не исключающие, а обычные кванторы общности. Однако можно построить пример, показывающий, что в таком случае система аксиом оказывается противоречивой.)

Совпадение теорий Та и оказалось немедленным следствием того, что доля выполнимости всех аксиом системы Ф стремится к 1, и что класс формул, для которых доля выполнимости стремится к 1, замкнут относительно правила вывода.

В литературе датой открытия закона «О или 1» считается 1969 год, когда вышла статья [3], где наряду с другими аспектами изучения количественных характеристик логических формул (например, Д. И. Коганом была показана элементарность по Кальмару объёма выполнимости формул УИП) впервые в напечатанном виде приводится его доказательство.

В первом отклике на статью [3] в реферативном журнале Ю. Ш. Гуревич (который в дальнейшем сделал очень много для популяризации и развития закона «О или 1» — подробнее об этом см. в конце статьи), отмечая интерес изложенного в ней материала, высказал сожаление о том, что не существует алгоритма, который для произвольной формулы определял бы, какой именно предел имеет её доля выполнимости. Познакомившись с Ю. Ш. Гуревичем на конференции по математической логике в Тракае в 1969 году, я рассказал ему, что из доказательства теоремы ответ на этот вопрос можно найти исходя из синтаксического строения формулы.

В стремлении развить данный результат Ю. В. Глебский поставил вопрос об асимптотике поведения так называемой условной доли выполнимости логических формул УИП, т. е. когда рассмотрение ведется только на таком объёме п-моделей, в котором каждая п-модель обращает в истинность некоторую замкнутую формулу F из УИП. Уже в упомянутой выше статье [3] был приведен пример формулы F, предел условной доли выполнимости относительно которой мог отличаться и от 0, и от 1. Занявшись более внимательным

исследованием данного вопроса, я смог показать, что в случае с условной долей выполнимости ситуации могут быть самыми разнообразными. С одной стороны, мне удалось сформулировать достаточное условие, когда «закон О или 1» сохраняется и для условной доли выполнимости (в частности, такой пример доставляет формула, определяющая свойство эквивалентности бинарного отношения). С другой стороны, мне удалось показать, что найдется такая формула F из УИП, что вопрос, существует ли для произвольной формулы УИП предел её условной доли выполнимости относительно формулы F, неразрешим.

Ещё на одно направление исследования указал Ю. Л. Ершов. В 1968 году, находясь в Новосибирском Академгородке, я имел возможность рассказать ему о законе «О или 1» и связанных с этим законом результатах. Как мне тогда показалось, сам по себе этот закон не показался Ю. Л. Ершову неожиданным, якобы по причине «очень большого знаменателя». Интересно было бы, сказал он, при исследовании доли выполнимости логических формул ограничиться рассмотрением и в числителе, и в знаменателе лишь неизоморфными п-моделями. Исследование, проведённое мной в этом направлении, показало, что закон «О или 1» остаётся в силе, причем предел доли выполнимости формулы по всем п-моделям совпадает с пределом доли выполнимости этой формулы по неизоморфным п-моделям. Для доказательства этого факта опять оказалось достаточным показать, что для каждой аксиомы системы Ф предел её доли выполнимости по неизоморфным п-моделям равен 1. Однако скорость стремления доли выполнимости формул по неизоморфным моделям к соответствующим пределам оказывается уже не столь стремительной.

В дальнейшем Ю. В. Глебский несколько отошёл от исследований в данной области. Некоторыми другими проблемами (например, аддитивными векторными системами) он увлёк и меня вместе с Д. И. Коганом. Но, как было сказано выше, к работе в описываемой области ещё более активно подключился В. А. Таланов.

Прежде, чем передать ему слово, хочу сказать, что благодарен судьбе за то, что мне повезло часть моей жизни общаться с красивым, талантливым от Бога математиком и замечательным человеком, каким был Юрий Васильевич. И ещё хочу вспомнить, что 1-го августа 1977-го года я на один день приехал в город из деревни, где отдыхал с женой и детьми. Часов в 9 вечера я созвонился с Д. И. Коганом и мы в более чем получасовом разговоре обсуждали практически один вопрос: как будем готовиться к празднованию 50-летия Ю. В. Глебского (4-го сентября 1977 года). Буквально через 10 минут после окончания разговора раздался телефонный звонок и Д. И. Коган сказал буквально следующее: «Марк, кошмар, мне сейчас позвонили и сказали, что сегодня днём на Волге, спасая своего сына, утонул Юрий Васильевич!».

2. Воспоминания В. Таланова

Впервые я встретился с Юрием Васильевичем, будучи студентом горьковского университета. Он читал нам лекции по математической логике. Единственным учебным материалом по дисциплине была книга П. С. Новикова

«Элементы математической логики». Я тогда подумал, что мне это интересно. Под руководством Юрия Васильевича защитил диплом о конечных автоматах. Что такое конечный автомат мы знали тогда только по журнальным статьям. Окончив университет и проработав по распределению три года в хорошо известном теперь городе Сарове, я стал аспирантом Ю. В. Глебского. При планировании моей аспирантской работы обсуждались два направления. Первое — это исследование количественных характеристик формул логики предикатов, и второе — построение математических моделей теории расписаний. Второе закончилось защитой диссертации, а первое имело продолжение уже в 70-х годах, когда я преподавал на кафедре математической логики и алгебры факультета ВМК. Юрий Васильевич проявлял большой интерес к моим исследованиям, но большая часть описанных ниже результатов была получена, когда его уже не стало. Последняя моя встреча с Юрием Васильевичем была в июле 1977 года во время отпуска, накануне его гибели. Мы случайно с ним встретились на улице возле дома, и он стал мне рассказывать план исследований по проблеме NP-полноты. Мы договорились встретиться на следующий день для подробного обсуждения, но этому не суждено было случиться.

При разработке кафедрального спецкурса по элементам математической кибернетики я решил включить в него задачи о подсчёте доли выполнимости предикатных формул и о «0 или 1»-законе Глебского. Это оказалось удачным решением. Во-первых, это хорошая практика по корректному использованию кванторов в естественном математическом языке, во-вторых — практика по комбинаторике.

Обратив внимание на некоторые известные факты о свойствах графов -такие, как «почти все графы связны», «почти все графы гамильтоновы», «доля планарных графов стремится к нулю с ростом числа вершин» — с огорчением пришлось заметить, что многие из них не выражаются первопорядковыми предикатными формулами. Но для некоторых свойств можно найти асимптотически истинные достаточные условия, выразимые в логике первого порядка. Простейшим таким свойством оказалось невыразимое первопорядковой формулой свойство связности графа. Известно, что наличие в графе путей длины 2, соединяющих любые две его вершины, является достаточным условием его связности. В то же время оно выразимо в логике первого порядка и является асимптотически истинным. Переходя от языка теории графов к языку предикатов и интерпретируя любой двуместный предикат у) как ориентированный граф, можно ввести в рассмотрение бесконечную формулу, выражающую наличие пути в графе от вершины х к вершине у. Если обозначить эту бесконечную формулу через у) и использовать её в построении формул наравне с другими предикатами, то тем самым расширяется синтаксис первопорядковой логики и получается расширенный язык предикатов, в котором связность графа уже выражается конечной формулой. Мною доказано (1979), что закон «0 или 1» распространяется на этот расширенный язык.

Я рассказал об этом факте на лекции, и здесь мне повезло: один из моих студентов, В. Князев, проявил интерес к этой тематике и начал вместе

со мной поиск новых расширений применимости «О или 1»-закона. Полученные результаты публиковались в наших совместных работах и отражены в его кандидатской диссертации. Приведу некоторые из них. Ряд результатов (1989) относится к логике fc-значных предикатов с кванторами МШ, МАХ. Не вдаваясь в подробные определения, скажу, что в разработанном формализме нетрудно, например, выразить свойство матрицы иметь седловую точку и, опираясь на доказанные теоремы, непосредственно увидеть, что доля к-значных матриц без седловой точки с ростом размерности экспоненциально стремится к единице.

Другой ряд результатов относится к многосортным языкам предикатов. Ограничусь примером, показывающим, о чём идет речь. Каждой конечной интерпретации двухместного предикатного символа с разносортными аргументами соответствует (0 — 1)-матрица или двудольный граф1. Уже формулами первого порядка выразимы необходимые или достаточные условия наличия некоторых содержательных свойств таких структур (например, достаточное условие связности двудольного графа, необходимое условие планарности двудольного графа). Непосредственно из полученных результатов вытекает, например, следующее утверждение: если мощности долей двудольного графа описываются предэкспоненциальными функциями mi(n) и Ш2(п), то с ростом п доля связных (соответственно, планарных) двудольных графов среди всех двудольных графов экспоненциально стремится к единице (соответственно, стремится к нулю).

Ещё одно расширение языка первого порядка оказалось возможным за счет введения для каждого рационального числа г из интервала (0,1) нового квантора Зг. Содержательная интерпретация этого квантора состоит в следующем. Формулу Згх А{х, xi,...) следует считать истинной, если в универсуме из п элементов найдется не менее [г • п] элементов а таких, при которых формула А(а, xi,...) истинна. Среди полученных в этом направлении результатов приведу в качестве примеров следующие два.

Для любого числа е > 0 доля п-вершинных орграфов, в которых полустепень исхода любой вершины больше (1/2 — е) • п, экспоненциально стремится к единице при п —>► оо.

Доля п-вершинных орграфов G таких, что для любого т-элементного подмножества V вершин графа G найдется не менее Ъ • п вершин, каждая из которых следует за всеми вершинами из множества У, при п —?► ос экспоненциально стремится к единице, если 0 < Ъ < 2_ш, и экспоненциально стремится к нулю, если 2~т < Ъ < 1.

Заключение

Мы привели несколько результатов исследований, начало которым было положено открытием закона «О или 1» для первопорядковой логики преди-

1 Заметим, что в теории графов под двудольным графом обычно понимают обыкновенный граф, в котором множество вершин может быть разбито на два подмножества (доли), порождающие подграфы с пустым множеством ребер. Это разбиение, вообще говоря, может быть неоднозначным. Мы здесь распространяем понятие двудольного графа на ориентированные графы и считаем, что доли графа зафиксированы.

катов. Надо сказать, что до 1976 года в математической литературе по поводу этого закона было некоторое научное молчание. В 1976 году, как нам стало известно от Е. И. Гордона (которому, в свою очередь, об этом сообщил Б. А. Трахтенброт в Новосибирске), закон «О или 1» был переоткрыт Р. Фейджиным [4].

В связи с этим следует подробнее сказать о роли, которую сыграл известный математик и логик Ю. Ш. Гуревич в установлении приоритета Ю. В. Глебского. В 1970 году Ю.Ш. Гуревич был официальным оппонентом при защите М. И. Лиогоньким кандидатской диссертации (его выступление на защите и прочитанная затем лекция произвели на слушателей неизгладимое впечатление) и был полностью осведомлен об имеющихся к тому времени результатах. К моменту опубликования статьи Р. Фейджина [4] Ю.Ш. Гуревич был полным профессором Мичиганского университета. Он приложил немалые усилия, чтоб математическое сообщество узнало о Ю. В. Глебском и о результатах, полученных на кафедре математической логике и алгебры ННГУ. В частности, в своих многочисленных работах, посвященных «zero-one laws» (из которых укажем только [5-7]), он постоянно даёт ссылки на эти результаты. Несомненно, что именно благодаря авторитету Ю.Ш. Гуревича закон «0 или 1» носит название закона Глебского. Авторы выражают глубокую признательность Ю.Ш. Гуревичу за то, что имя глубокого, тонкого математика и прекрасного человека, каким был Ю. В. Глебский, заслуженно вписано в анналы современной математической логики.

В настоящее время «0 или 1»-тематика стала чрезвычайно популярной и развивается в многочисленных направлениях. Знакомство с современным состоянием знаний о законах «0 или 1» выходит за рамки этой статьи.

ЛИТЕРАТУРА

1. Глебский Ю. В. Количественные оценки выполнимости предикатных формул. Тезисы кратких научных сообщений Международного конгресса математиков, секция 1. — М., 1966. С. 32.

2. Gaifman H. Concerning measures in first order calculi // Israel Journal of Mathematics. 1964. V.2. P. 1-18.

3. Глебский Ю. В., Коган Д. И., Лиогонький М. И., Таланов В. А. Объём и доля выполнимости формул узкого исчисления предикатов // Кибернетика. 1969. №2. С. 17-26.

4. Fagin R. Probabilities on finite Models // The Journal of Symbolic Logic. March 1976. Vl. 41, №1. P. 50-58.

5. Blass A., Gurevich Y., Kozen D. A zero-one law for logic with a fixed point operator // Inform, and Control. 1985. V. 67. P. 70-90.

6. Gurevich Yuri. Zero-One Law // Current Trends in Theoretical Computer Science. Eds. G. Rozenberg and A. Salomaa. World Scientic, Series of Computer Science. 1993. V. 40.

7. Blass A., Gurevich Y., Kreinovich V., Longpre L. A Variation on the Zero-One Law // Information Processing Letters. 1998. V. 67. P. 29-30.

Поступила 24.01.2014

ON THE ZERO-ONE LAW DISCOVERED BY YU. V. GLEBSKIY AND THE RELATED RESULTS DISCOVERED AT THE DEPARTMENT OF MATHEMATICAL LOGIC AND ALGEBRA AT UNN

M. I. Liogonkii, V. A. Talanov

In 1966 Yuri Glebskii, the head of the department of mathematical logic and algebra of the Nizhni Novgorod N.I. Lobachevsky University, proved a result that has already become a classic and is referred to as the zero-one law for formulas of the restricted predicate calculus. The authors share their memories of interactions with Yu. V. Glebskii during that period, as well as mention some of their own results that extend this law.

Keywords: predicate logic, feasibility share, the zero-one law.

ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ. ПЕРСОНАЛИИ

УДК 5-05 + 510.5 + 511.5

МОЁ СОТРУДНИЧЕСТВО С ДЖУЛИЕЙ РОБИНСОН1

Ю. В. Матиясевич

Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова РАН Росссия, 191023, г. Санкт-Петербург, наб. реки Фонтанки, д. 27; e-mail: yumat@pdmi.ras.ru

История решения десятой проблемы Гильберта, основополагающий вклад в которое внесла американский математик Джулия Робинсон.

Ключевые слова: десятая проблема Гильберта, диофантовы уравнения, алгоритмические проблемы, Джулия Робинсон.

Имя Джулии Робинсон (Julia Bowman Robinson) неотделимо от десятой проблемы Гильберта. Это одна из 23 проблем, которые Давид Гильберт (David Hilbert) сформулировал в 1900 году. Раздел его знаменитого доклада [2], посвящённый десятой проблеме, столь краток, что может быть процитирован здесь полностью:

10. Entscheidung der Lösbarkeit einer diophantischen Gleichung.

Eine diophantische Gleichung mit irgendwelchen Unbekannten und mit ganzen rationalen Zahlkoefficienten sei vorgelegt: man soll ein Verfahren angeben, nach welchen sich mittels einer endlichen Anzahl von Operationen entscheiden lässt, ob die Gleichung in ganzen rationalen Zahlen lösbar ist2.

В современной терминологии, среди 23 проблем Гильберта десятая является единственной массовой проблемой, т. е. проблемой, состоящей из счётного количества индивидуальных проблем, каждая из которых требует определённого ответа: ДА или НЕТ. Суть массовой проблемы состоит в требовании найти единый метод, который позволял бы дать такой ответ для каждой индивидуальной проблемы. За время, прошедшее от Диофанта до наших дней, специалисты по теории чисел нашли решения огромного количества диофантовых уравнений, а также установили отсутствие решений у многих других уравнений. К сожалению, для разных классов уравнений, а порой и

1 Это авторский перевод с английского оригинала [1] с расширенным списком литературы; все подстрочные примечания сделаны при переводе.

2 10. Решение проблемы разрешимости для произвольного диофантова уравнения. Пусть дано произвольное диофантово уравнение с произвольным числом неизвестных и целыми рациональными коэффициентами; требуется указать общий метод, следуя которому можно было бы в конечное число шагов узнать, имеет ли данное уравнение решение в целых рациональных числах или нет.

для отдельных уравнений приходилось изобретать всё новые и новые специфические методы. В десятой проблеме Гильберт просил найти универсальный метод для распознавания наличия или отсутствия решений у произвольного диофантова уравнения.

Массовая проблема может быть решена как в положительном, так и в отрицательном смысле. В первом случае требуется найти соответствующий алгоритм, во втором — доказать, что это невозможно сделать. Общее математическое понятие алгоритма было выработано в трудах Алонзо Черча (Alonzo Church), Курта Фридриха Геделя (Kurt Friedrich Gödel), Алана Мэтисона Тьюринга (Alan Mathison Turing), Эмиля Леона Поста (Emil Leon Post) и других логиков только через три десятилетия после постановки проблем Гильберта, однако уже в своём докладе [2] Гильберт предвидел возможность отрицательных решений некоторых проблем.

Я должен начать историю моего сотрудничества с Джулией Робинсон с рассказа о том, как я оказался вовлечённым в работу над десятой проблемой Гильберта. Впервые я услышал про неё в конце 1965 года, будучи второкурсником на математико-механическом факультете лениградского университета. К тому времени я уже получил свои первые результаты по каноническим системам Поста, и я спросил своего научного руководителя, Сергея Юрьевича Маслова [3], чем мне заниматься дальше. Он ответил: «Попробуй доказать алгоритмическую неразрешимость диофантовых уравнений. Это так называемая десятая проблема Гильберта, но это не имеет значения.» — «Да, но я ещё не знаком ни с одним доказательством неразрешимости ни одной массовой проблемы.» — «Это также не важно. Сейчас неразрешимость обычно устанавливают сведением какой-либо проблемы, неразрешимость которой уже известна, к той проблеме, неразрешимость которой надо доказать, а техникой сведения ты вполне владеешь.» — «Хорошо, но что мне почитать для начала?» — «Ну да, по десятой проблеме есть несколько работ американских математиков, но читать это не стоит.» — «Почему же?» — «До сих пор американцы не достигли цели, так что, скорее всего, их подход не адекватен.»

Сергей Юрьевич был не единственным, кто недооценивал роль ранее сделанных работ по десятой проблеме Гильберта. Одной из них была статья Мартина Дэвида Дейвиса (Martin David Davis), Хилери Вайтхолла Патнема (Hilary Whitehall Putnam) и Джулии Робинсон [4], и рецезент этой работы в Mathematical Reviews написал:

These results are superficially related to Hilbert's tenth problem on (ordinary, i.e., non-exponential) Diophantine equations. The proof of the authors'results, though very elegant, does not use recondite facts in the theory of numbers nor in the theory of r. e. [recursively enumerable] sets, and so it is likely that the present result is not closely connected with Hilbert's tenth problem. Also it is not altogether plausible that all (ordinal) Diophantine problems are uniformly reducible to those in a fixed number of variables of fixed degree, which would be the case if all r. e. sets were Diophantine3.

3 Эти результаты поверхностно связаны с десятой проблемой Гильберта об (обычных,

Скептицизм этого рецензента был вызван тем, что авторы [4] рассматривали не обычные диофантовы уравнения (то есть уравнения вида

Р(хьх2,.. .,хт) = 0, (1)

где Р — многочлен с целыми коэффициентами), а более широкий класс так называемых экспоненциально диофантовых уравнений. Такие уравнения имеют вид

Ei{x\,X2, . . . ,#m) = E2(xi,X2i . . (2)

где Ei и Е% — выражения, построенные из xi, х2,..., хт и конкретных натуральных чисел с помощью сложения, умножения и возведения в степень. (В отличие от формулировки проблемы, данной Гильбертом, мы считаем, что допустимыми значениями переменных являются натуральные числа, но это несущественное техническое отклонение.)

Наряду с одиночными уравнениями можно рассматривать параметрические семейства уравнений, как диофантовых, так и экспоненциально диофантовых. Каждое такое семейство

Q(ai,On, я?1,..., хт) = 0 (3)

определяет отношение между параметрами ai,..., an, которое выполняется тогда и только тогда, когда уравнение имеет решение в остальных переменных, называемых неизвестными. Отношения, которые могут быть заданы таким способом, называют диофантовыми или экспоненциально диофантовыми в соответствии с типом использованного уравнения. Аналогично, множество 9Л, состоящее из п-членных наборов натуральных чисел, называется (экспоненциально) диофантовым, если таковым является отношение «принадлежать множеству ЮТ». Также функция называется (экспоненциально) диофантовой, если (экспоненциально) диофантовым является её график.

Таким образом, в 1965 году я не узнал даже имени Джулии Робинсон. Вместо того, чтобы начать с изучения её пионерских работ, Маслов предложил мне попробовать доказать неразрешимость так называемых уравнений в словах (по другой терминологии уравнений в свободной полугруппе), поскольку эти уравнения могут быть сведены к диофантовым. Теперь мы знаем, что этот подход был обречён на неудачу, так как в 1977 году Геннадий Семёнович Маканин нашел разрешающую процедуру для уравнений в словах.

Я начал работу по десятой проблеме Гильберта с того, что показал, что к диофантовым уравнениям сводится более широкий класс уравнений в словах, в котором можно накладывать дополнительные ограничения на длины слов. В 1968 году вышли в свет три мои короткие заметки на эту тему. Мне не удалось доказать алгоритмическую неразрешимость таких расширенных

т. е. не экспоненциально) диофантовых уравнениях. Доказательства результатов этих авторов, хотя и очень элегантные, не используют трудных для понимания фактов ни из теории чисел, ни из теории рекурсивно перечислимых множеств, так что, скорее всего, данный результат не имеет тесной связи с 10-й проблемой Гильберта. Также в целом неправдоподобно, чтобы все (обычные) диофантовы проблемы можно было единым методом свести к случаю фиксированного количества неизвестных и фиксированной степени.

уравнений в словах (это до сих пор остаётся открытым вопросом4), так что я приступил к чтению «работ американских математиков» по десятой проблеме Гильбета. (Сергей Иванович Адян инициировал и отредактировал перевод на русский язык наиболее важных таких работ; все переводы вошли в один выпуск журнала Математика [5].)

После упомянутой выше работы Дейвиса, Патнема и Робинсон для отрицательного решения десятой проблемы Гильберта оставалость установить диофантовость возведения в степень, то есть найти конкретное диофантово уравнение

Л(а, Ь, с,жь ... ,жш) = 0, (4)

которое при данных значениях параметров а, Ъ и с имело бы решение в неизвестных xi,..., хт в том и только том случае, когда а = Ъс. С помощью такого уравнения любое экспоненциально диофантово уравнение может легко быть преобразовано в эквивалентное диофантово уравнение с дополнительными неизвестными.

Как это бывает, именно эту проблему Джулия Робинсон уже исследовала в начале 1950-х годов. Согласно «Автобиографии Джулии Робинсон» [6], её интерес был вызван её учителем, Альфредом Тарским (Alfred Tarski), который предположил, что даже множество всех степеней числа 2 не является диофантовым. Джулия Робинсон, напротив, нашла в [7] достаточное условие для существования диофантова представления (4) для возведения в степень; а именно, чтобы построить такое А, достаточно иметь уравнение

Б(а,Ь,хь...,хш) = 0, (5)

которое определяет некоторое отношение J(a, Ь), обладающее следующими двумя свойствами:

• для любых а и Ъ из J(a, Ъ) следует, что а < bb;

• для любого к существуют а и Ь, удовлетворяющие J(a, b) и такие, что а > Ък.

Джулия Робинсон назвала отношения, обладающие этими двумя свойствами, отношениями экспоненциального роста] сейчас такие отношения носят также имя предикатов Джулии Робинсон.

Моим первым впечатлением от понятия отношения экспоненциального роста было «что за неестественное понятие», однако я вскоре понял его важную роль для десятой проблемы Гильберта.

Я решил организовать семинар по десятой проблеме Гильберта. На первом заседании, где я сделал обзор известных результатов, присутствовали пять логиков и пять специалистов по теории чисел, но потом количество участников стало экспоненциально убывать5, и вскоре я остался в одиночестве.

4 Эти слова остаются справедливыми и в момент публикации перевода — в 2014 году.

5 Много позже, уже после решения десятой проблемы Гильберта, я спросил одного теоретико-числовика — участника семинара, почему он и его коллеги так быстро меня покинули. Ответ был таков: «Мы не поверили в возможность тех результатов, которые предполагалось получить для решения десятой проблемы Гильберта, более того, мы даже попытались доказать, что множество простых чисел нельзя задать диофантовым уравнением, и полагали, что сделаем это недели за две».

Я тратил почти всё своё свободное время на поиск диофантова отношения экспоненциального роста. Не было ничего плохого в том, что второкурсник пытается решить знаменитую проблему, но это становилось смешным, когда я продолжал свои бесплодные попытки годами. Один профессор6 стал высмеивать меня. Каждый раз, когда мы встречались, он интересовался: «Вы уже доказали неразрешимость десятой проблемы Гильберта? Ешё нет? Но в таком случае Вы не сможете закончить университет!»

Тем не менее я закончил университет в 1969 году. Моя дипломная работа состояла из двух моих ранних работ по каноническим системам Поста, поскольку с тех пор я не сделал ничего лучше. В том же году я поступил в аспирантуру Ленинградского отделения Математического института им. В. А. Стеклова АН СССР (ЛОМИ). Разумеется, десятая проблема Гильберта не могла быть больше предметом моих исследований.

Однажды осенним днем 1969 года один мой коллега7 сказал мне: «Лети в библиотеку. Там в последнем номере Proceedings of the American Mathematical Society опубликована новая работа Джулии Робинсон!» Я, однако, был твёрд в своём решении отложить десятую проблему Гильберта в сторону. Я сказал себе: «Замечательно, что Джулия Робинсон продолжает работать над этой проблемой, но я не могу больше тратить на это впустую моё время». Я не пошёл в библиотеку.

Где-то на Математических Небесах, должно быть, существует Бог или Богиня Математики, который(ая) не допустил(а), чтобы я не прочитал новую работу Джулии Робинсон [9]. Благодаря моим первым публикациям по десятой проблеме Гильберта, я считался специалистом по этой тематике, и работа Джулии Робинсон была прислана мне на рецензирование для Реферативного журнала Математика. Таким образом, я был вынужден прочитать эту статью, и 11 декабря я доложил её на логическом семинаре в ЛОМИ.

Десятая проблема Гильберта снова захватила меня. Я сразу увидел, что Джулия Робинсон нашла свежую и замечательную идею. Она была связана со специальной формой уравнения Пелля

(6)

Решения (хо, Фо), (хъ • • ч (Хп, Фп),--- этого уравнения, перечисленные в порядке возрастания, удовлетворяют рекуррентным соотношениям

(7)

Легко видеть, что для любого m последовательности Х(ЬХЪ--- и фо, ф\ч • • • ? рассматриваемые по модулю m, являются чисто периодическими, а потому таковы же их линейные комбинации. Далее, легко проверить по

6 Это был Николай Александрович Шанин, глава ленинградской школы математической логики [8].

7 Григорий Ефроимович Минц, см. о нём https://philosophy.stanford.edu/content/articles/view/Obituary for Grigori Mints_ in/

индукции, что периодом последовательности

ф0,фи...,фп,... (moda-1) (8)

является

0,1,2,...,a-2, (9)

а период последовательности

Хо- (а- 2)ф0, Xi - (а - 2)фи • • • , Хп ~ (а - 2)фп,... (mod 4a - 5) (10) начинается с

2°,2\22,... (11)

Основная новая идея Джулии Робинсон состояла в том, что эти две последовательности надо синхронизировать, наложив некоторое условие G(a), которое гарантировало бы, что длина периода последовательности (8) кратна длине периода последовательности (10).

Если бы некоторое такое условие оказалось диофантовым и выполнялось бы для бесконечно многих значений а, то легко можно было бы показать, что и отношение а = 2е также диофантово. Джулия Робинсон не смогла, однако, найти такое диофантово условие G, и даже сегодня у нас нет прямого способа указать такое условие.

Идея синхронизации мне очень понравилась, и я решил воплотить её в слегка другом контексте. Когда в 1966 году я начал работу над десятой проблемой Гильберта, я стал использовать числа Фибоначчи и открыл (для себя) уравнение

х2 -ху-у2 = ±1. (13)

Это уравнение играет роль, аналогичную указанной выше роли уравнения Пелля, а именно, числа Фибоначчи фп, и только они, являются решениями уравнения (13). Арифметические свойства последовательностей фп и фп очень похожи. В частности, последовательность чисел Фибоначчи с чётными индексами

0,1,3,8,21,... (14)

удовлетворяет рекуррентному соотношению

фп+1 = Зфп - фп-и (15)

аналогичному (7). Эта последовательность растёт как [(3 + лД))/2]П и может быть использована вместо (11) для построения отношения экспоненциального роста. В роли последовательности (10) может выступить последовательность

фо^Фъ-.^Фп,--- (moda-3), (16)

поскольку она начинается как (14). Более того, при специальном выборе а период последовательности (16) может быть указан явно, а именно, если

(17)

то период последовательности (16) состоит из чисел

(18)

Простая структура этого периода выглядела многообещающе.

Я интенсивно думал в этом направлении даже в новогоднюю ночь и внёс свою лепту в истории о рассеянных математиках, уйдя утром 1 января из дома своего дяди в его пиджаке. Утром 3 января мне показалось, что я нашёл многочлен В, требуемый в (5), но к концу того же дня я обнаружил ошибку в своих рассуждениях. На следующее утро мне удалось, однако, её исправить.

Что надо было делать дальше? Будучи студентом, я попал однажды в неприятную ситуацию, когда объявил о решении десятой проблемы Гильберта, в котором потом сам же нашёл ошибку. Я не хотел повторения такого конфуза, а кое-что в моём новом доказательстве выглядело подозрительным. Я полагал, что мне удалось воплотить идею Джулии Робинсон в слегка изменённом варианте. В её конструкции, однако, существенную роль играло одно специальное уравнение, которое гарантировало, что значение одной переменной экспоненциально больше значения другой. В моём же предполагаемом доказательстве подобное уравнение не использовалось вообще, и вот это-то и было странным. Позднее я осознал, что моя конструкция была двойственной к конструкции Джулии Робинсон. В действительности я нашёл некоторое диофантово условие H (а), которое гарантировало, что длина периода последовательности (16) кратна длине периода последовательности (8).

(19)

Это условие однако, не могло выполнять роль условия G, необходимого Джулии Робинсон, так что в итоге получилась существенно другая конструкция.

Я записал подробное доказательство, не найдя ошибок, и попросил Сергея Юрьевича Маслова и Владимира Александровича Лифшица проверить его, но не говорить об этом никому. Ранее я запланировал провести зимние каникулы со своей невестой в лыжном лагере, и я уехал из Ленинграда, не получив ответа от Маслова и Лифшица. В течение двух недель я катался на лыжах, упрощал доказательство и писал статью [10]. Влияние на неё работы Джулии Робинсон [9] я попытался передать поэтическим глаголом «навеять», который, похоже, не имеет прямого аналога в английском языке, и в последствии переводчик использовал банальное «suggested».

По возвращении в Ленинград я получил подтверждение, что доказательство правильно, и оно перестало быть секретом. Несколько других математиков также проверили моё доказательство, в том числе Дмитрий Константинович Фаддеев и Андрей Андреевич Марков, которые оба были знамениты своими способностями обнаруживать ошибки.

29 января 1970 года в ЛОМИ состоялось моё первое публичное выступление про решение десятой проблемы Гильберта. Среди слушателей был Григорий Самуилович Цейтин, который вскоре после этого поехал на конференцию в Новосибирск. Он взял копию моего текста и спросил разрешения рассказать доказательство в Новосибирске. (По-видимому, именно из-за этого его выступления английский перевод [10] ошибочно указывает в моем адресе Сибирское отделение вместо Ленинградского.)

Среди тех, кто слушал выступление Цейтина в Новосибирске, был Джон Маккарти (John McCarthy). В «Автобиографии» [6] Джулия Робинсон вспоминает, что по возвращении в США Маккарти прислал ей записи, которые он сделал во время выступления Цейтина. Именно так Джулия Робинсон узнала про мой пример диофантова уравнения экспоненциального роста. Позже по моей просьбе она прислала мне копию этих записей8 Маккарти. Они состояли из нескольких основных уравнений и лемм, и я полагаю, что только такой человек, как Джулия Робинсон, которая провела много времени, размышляя в том же направлении, был в состоянии восстановить из этих записей всё доказательство, что она и сделала.

В действительности Джулия Робинсон сама была близка к завершению доказательства неразрешимости десятой проблемы Гильберта. Нередко задают вопрос, почему сисе она это не сделала. (Эта тема затрагивается и в [6].) Несколько авторов (см. [11] для дальнейших ссылок) показали, что последовательность фп можно использовать вместо последовательности фп для построения диофантова отношения экспоненциального роста. Мой переход от (12) к (19) перераспределил сложность всей конструкции. Путь от диофантова условия H к диофантову отношению экспоненциального роста не столь прямолинеен, каким был бы путь от условия G, которое искала Джулия Робинсон. С другой стороны, оказалось, что построить H много проще, чем найти G.

В [10] я использовал для этой цели лемму, утверждающую, что

Фп I Фт Фп I т. (20)

Это интересное свойство чисел Фибоначчи нетрудно доказать после того, как оно сформулировано, однако похоже, что этот замечательный факт оставался неизвестным до 1969 года. Моё первоначальное доказательство (20) было основано на теореме, которую Николай Николаевич Воробьёв доказал ещё в 1942 году, но опубликовал лишь в третьем расширенном издании своей популярной книжки [12]. (Переводчик моей статьи [10] ввёл читателей в заблуждение, изменив год публикации [12] с 1969 на 1964, год, когда вышло второе издание.) Я прочитал новое издание книжки Воробьёва летом 1969 года, и та его теорема сразу привлекла моё внимание.

В то время я ещё не вывел свойство (20), но, познакомившись со статьёй Джулии Робинсон [9], я сразу понял, что теорема Воробьёва могла бы быть здесь очень полезной. Джулия Робинсон получила третье издание [12] от меня только в 1970 году. Кто может сказать, как развивались бы события, если

8 Первая страница этих записей воспроизведена в [6].

бы Николай Николаевич включил свою теорему уже в первое издание своей книжки? Быть может, неразрешимость десятой проблемы Гильберта была бы установлена на десять лет раньше!

Диофантово определение отношения экспоненциального роста из [10] имело 14 неизвестных. Позднее я смог уменьшить их количество до 5. В октябре 1970 года Джулия прислала мне письмо с другим определением, также использовавшим только 5 неизвестных. Изучив её конструкцию, я понял, что она использовала другой метод, и, объединив наши идеи, мы можем получить определение всего с тремя неизвестными! Это и стало началом нашей совместной работы.

Она велась исключительно по переписке. В то время электронная почта ещё не существовала, а бумажному письму требовались три недели на пересечение океана. Одно из моих писем пропало при пересылке, и мне пришлось переписывать 11 страниц (копировальные машины уже существовали, но у меня не было доступа к ним). С другой стороны, такое положение дел имело свои преимущества: сегодня я имею удовольствие перечитывать письма, написанные рукой Джулии9. Фрагменты этих писем включены ниже в этот текст.

Одно из следствий отрицательного решения десятой проблемы Гильберта (которое казалось неправдоподобным рецензенту Mathematical Reviews) таково: существует константа N такая, что каждое диофантово уравнение (с любым количеством параметров и сколь угодно большим количеством неизвестных) может быть эффективно преобразовано в другое диофантово уравнение с теми же параметрами, но имеющее лишь N неизвестных, такое, что при фиксированных значениях параметров оба уравнения одновременно имеют или не имеют решений. В своём выступлении на Международном конгрессе математиков в Ницце в 1970 году я сообщил, что в качестве такого N можно взять число 200.

Эта оценка была очень грубой. Джулия и её муж Рафаель (Raphael Mitchel Robinson) заинтересовались получением меньшего значения N, и в упомянутом выше письме Джулия сообщила, что они достигли N = 35. Наша новая совместная конструкция диофантова отношения экспоненциального роста с 3 (вместо 5) неизвестными автоматически понизила N до 33. Джулия прокомментировала это так: «I consider it in the range of 'practical' number theory, since Davenport once wrote a paper on cubic forms in 33 variables»10.

Джулия прислала мне подробное изложение конструкции для N = 33, которое стало основой нашей дальнейшей работы. Мы обменивались письмами и идеями и постепенно уменьшали значение N всё больше и больше. В феврале 1971 года я послал очередное улучшение до N = 26, и написал, что теперь мы можем записать уравнение, взяв в качестве неизвестных латинские буквы без индексов. Джулия назвала это «breaking the 'alphabetical'

9 В настоящее время наша переписка хранится в библиотеке университета Калифорнии [13].

10 Я полагаю, что это находится в рамках «практической» теории чисел, поскольку Давенпорт однажды написал работу про кубические формы от 33 переменных.

barrier»11. В августе 1971 года я доложил на IV Международном конгрессе по логике, методологии и философии науки, проходившем в Бухаресте, наше последнее достижение: Любое диофантово уравнение может быть сведено к уравнению, имеющему лишь 14 неизвестных [11].

Во время этого конгресса произошла моя первая встреча с Джулией. После его завершения я имел удовольствие принимать её и Рафаэля в моём родном Ленинграде.

Однажды в письме ко мне Джулия написала: «With just 14 variables we ought to be able to know every variable personally and why it has to be there»12. Тем не менее, в марте 1972 года минимальное количество неизвестных неожиданно подпрыгнуло до 15, когда она нашла ошибку в моём подсчёте количества переменных!

Я хочу дать читателям представление об использовавшейся технике уменьшения количества неизвестных и объяснить характер моей ошибки. Реально мы строили не одно уравнение, а систему уравнений с малым числом неизвестных. (Ясно, что система A = B = -- - = D = 0 может быть свёрнута в одно уравнение А2 + В2 + • • • + D2 = 0.) Некоторые из этих уравнений были уравнениями Пелля

(21)

Мы можем заменить два таких уравнения одним уравнением

(22)

в котором произведение берётся по всем четырём возможным выборам знаков + и —. При этом в других уравнениях системы мы можем заменить х\ на y/l + d\y\, а Х2 — на y/l + аъу2, и устранить радикалы путём возведения в квадрат. Таким образом, мы уменьшили на 1 общее количество неизвестных, введя ж, но устранив х\ и Х2- Именно в подсчёте количества вводимых и устраняемых переменных я допустил ошибку.

Ситуация для нас была довольно неприятная, поскольку результат был публично объявлен. Я пытался всё же получить его, но, не имея новых идей, был не в состоянии понизить количество неизвестных до 14. К счастью, вскоре я получил новое письмо от Джулии. Она пыталась меня утешить: «I think mistakes in reasoning are much worse than arithmetical ones which are sort of funny »13. Что важнее, у неё появились новые идеи и она смогла понизить количество неизвестных снова до 14, спасая положение.

В течение некоторого времени мы обсуждали возможное место для публикации нашей совместной статьи. Я предложил Известия АН СССР. Перспектива иметь работу, опубликованную на русском языке, была для Джулии вполне привлекательной. (Её статья [14] была опубликована в СССР, но на

11 Преодолением «алфавитного» барьера.

12 Имея всего 14 переменных, мы должны быть в состоянии знать каждую из них в лицо и почему она там находится.

13 Я полагаю, что ошибки в рассуждениях гораздо хуже арифметических, которые смехотворны.

английском языке.) С другой стороны, она хотела привлечь внимание специалистов по теории чисел к теоретико-числовому по своей сути результату, который был получен логиками, и она предложила Acta Arithmetica. В конце концов мы решили, что у нас имеется достаточно много материала для нескольких статей, первая из которых будет на русском языке в Известиях, а следующая в каком-нибудь другом издании на английском языке.

Мы нашли, что писать статью, будучи разделёнными половиной мира -это хождение по мукам. Позднее Джулия написала мне: «It seems to me that we had little trouble in collaborating mathematically on 4-week turn-around time but it is hopeless when it comes to writing the results up. Namely, by the time you could answer a question, it was no longer relevant»14. Мы решили, что один из нас напишет весь текст, а другой подвергнет его критике. Поскольку первая статья должна была быть на русском языке, я написал начальный вариант (более 60 машинописных страниц) и отправил его Джулии осенью 1972 года. Естественно, что она нашла много опечаток и мелких ошибок, но в целом текст получил её одобрение.

Читателю нет нужды смотреть список литературы в поиске ссылки на эту работу — она никогда не была опубликована! В мае 1973 года я нашёл «ошибку в рассуждениях». Она состояла в использовании неверной импликации

(23)

Вся конструкция рухнула. Я сообщил об этом Джулии и она ответила:

I was completely flabbergasted by your letter of May 11. I wanted to crawl under a rock and hide from myself! Somehow I had never questioned that ^ j = ^ j (mod a — b). I usually know enough not to divide by zero. I had even mentioned (asserted) it to Raphael several times and he had not objected. He said he would have said 'no' if I had asked if it were true. I guess I would have myself if I had asked15!

Ранее мы уже обсуждали подобную ситуацию, и ещё в 1971 году Джулия написала мне: «Almost all mathematical mistakes come about from not writing out proofs and especially making changes after the proof is written out»16. Однако

14 Похоже, что у нас было мало проблем в математическом сотрудничестве с четырёхнедельным временем оборота [писем], но это становится безнадёжным, когда дело доходит до изложения результатов для печати. А именно, к тому моменту, когда ты можешь ответить на вопрос, он уже перестаёт быть актуальным.

15 Я была совершенно ошеломлена Вашим письмом от 11-го мая. Мне хотелось залезть под скалу и спрятаться от самой себя! Каким-то образом, я никогда не сомневалась, что Обычно я знаю достаточно, чтобы не делить на ноль. Я даже показывала (утверждала) это Рафаэлю, и он не возражал. Он говорит, что он сказал бы «нет», если б я его спросила, верно ли это. Я думаю, я сама бы сказала «нет», если бы я задала этот вопрос.

16 Почти все математические ошибки происходят из-за того, что доказательства не выписаны полностью, и особенно из-за внесения изменений после того, как доказательство записано.

в данном случае всё было не так. Ошибка была допущена на самой ранней стадии и не была обнаружена ни когда один математик (я) написал подробное доказательство, ни когда другой математик (Джулия) тщательно проверил его. К счастью, на этот раз я смог немедленно исправить доказательство. Джулия написала: «I am very glad you sent a way around the mistake at the same time you told me about it»17. Однако текст статьи должен был быть переписан полностью.

В 1973 году выдающийся советский математик Андрей Андреевич Марков праздновал своё семидесятилетие. Его коллеги по Вычислительному центру АН СССР решили издать сборник статей в честь юбиляра. Получив приглашение участвовать в этом сборнике, я предложил, чтобы это была совместная работа с Джулией Робинсон, и редакторы согласились. Срок был очень жёсткий, и у нас не было времени на обсуждение рукописи. Я попросил у Джулии согласия на то, что я напишу текст и отправлю его редакторам без её одобрения. Её пожелания могли быть учтены на этапе корректуры. Джулия согласилась.

Так появилась наша первая совместная публикация [15], и она была на русском языке. Это был побочный продукт нашего основного исследования по уменьшению количества неизвестных в диофантовых уравнениях. Первая теорема утверждала, что по произвольному параметрическому диофантову уравнению (3) можно эффективно найти многочлены с целыми коэффициентами Pi, Z?i, Qi, ..., Pfc, öfc, Qfc такие, что диофантово отношение, определяемое (3), может также быть задано формулой

(24)

Хотя к может быть очень большим (но фиксированным) числом, каждое неравенство содержит только 3 неизвестные.

Вторая теорема утверждает, что можно также найти многочлены F и W такие, что то же самое отношение задаётся формулой

(25)

В этой формуле всего три квантора, но третий теперь является (ограниченным) квантором общности. Такие представления имеют тесную связь с уравнениями, поскольку основной технический результат в [4] состоял в методе устранения единственного ограниченного квантора общности за счёт введения нескольких дополнительных кванторов существования и разрешения использовать возведение в степень в получающейся чисто экзистенциальной формуле.

Одно из пожеланий Джулии по поводу нашей статьи состояло в том, что она хотела, чтобы её имя было указано полностью. Для этого у неё были веские основания. Я был переводчиком одной из основополагающих работ по

17 Я очень рада, что Вы сразу же написали, как исправить ошибку.

автоматическому доказательству теорем [16], которую написал Джон Алан Робинсон (John Alan Robinson). Перевод вышел в 1970 году в сборнике важнейших работ по этой тематике, в котором советские читатели увидели имя Дою. Робинсон в качестве автора статьи, которую перевёл Ю. Матиясевич, а также имя М.Дэвис, автора другой фундаментальной работы по автоматическому доказательству теорем. Для многих эти три имени ассоциировались с только что полученным решением десятой проблемы Гильберта, и у немалого количества читателей сложилось неверное представление, будто метод резолюций, основной инструмент из [16], придумала Джулия Робинсон. Ситуация была ещё более запутанной, поскольку Джон Робинсон в своей статье благодарил George Robinson, который в переводе также стал просто Дж. Робинсон18.

Будучи студентом, я совершил «ошибку второго рода»: я не отождествил J. Robinson, автора теоремы из теории игр, с J. Robinson, автором замечательных исследований по десятой проблеме Гильберта. (Важная статья [18] была единственной публикацией Джулии по теории игр.)

Пожелание Джулии было удовлетворено редакторами, и в результате наша совместная статья [15] стала единственной публикацией на русском языке, где моё имя приведено полностью.

Эта короткая заметка была побочным продуктом нашего основного исследования, которое ещё предстояло опубликовать. Так как мы заранее решили, что вторая статья будет на английском языке, Джулия написала новый текст про уменьшение количества неизвестных. К тому времени мы смогли устранить ещё одну неизвестную, так что их у нас стала «чёртова дюжина».

Вторая статья [19] вышла в Acta Arithmetica. У нас был особый повод для такого выбора журнала, поскольку это был специальный том, посвящённый памяти выдающегося советского математика Юрия Владимировича Линника, с которым мы оба были лично знакомы19. Я был представлен ему вскоре после установления неразрешимости десятой проблемы Гильберта. Кто-то рассказал Линнику об этой новости, начав, однако, с одного следствия: «Матиясевич умеет строить многочлен с целыми коэффициентами такой, что множество принимаемых им натуральных значений при натуральных значениях переменных есть в точности множество всех простых чисел». «Это замечательно, — отреагировал Линник. — Наверно мы скоро узнаем много нового про простые числа». Затем ему объяснили, что основной результат является много более общим: подобный многочлен можно построить для любого эффективно перечислимого множества, то есть множества, элементы которого могут быть перечислены в каком-либо порядке некоторым алгоритмом. «Очень жаль, — сказал Линник. — Скорее всего, мы не узнаем ничего

18 В момент написания оригинального текста я полагал, что в такое заблуждение впали только советские читатели, имевшие ограниченный доступ к зарубежной литературе. К своему глубокому удивлению я узнал впоследствии, что и в изданной Американским математическим обществом книге [17] авторство метода резолюций приписано Джулии Робинсон.

19 В [6] Джулия вспоминает: «Linnik told me that I am the second most famous Robinson in the Soviet Union, the first being Robinson Crusoe» (Линник сказал мне, что я являюсь второй по известности в СССР Робинсон, на первом месте — Робинзон Крузо).

нового про простые числа».

Поскольку был определённый интерес к предстоящей публикации с доказательством давно анонсированного результата, многочисленные копии нашей рукописи ходили по рукам. Мы исчерпали свои идеи, но оставался шанс, что кто-то со свежим взглядом сможет улучшить наш результат. «Of course there is the possibility that someone will make a breakthrough and supersede our paper too»20, написала Джулия, «but we should think of that as being good for mathematics!»21 Рафаэль, напротив, считал, что 13 неизвестных будут оставаться лучшим результатом в течение не одного десятилетия. В действительности этот рекорд пал ещё до выхода нашей статьи из печати. Требуемой «новой идеей» оказалась, как это часто случается, идея старая, но преданная забвению.

В нашем случае ей оказалась следующая замечательная теорема Эрнста Эдуарда Куммера (Ernst Eduard Kummer): наибольшей степенью простого числа р, которая делит биномиальный коэффициент y^J* является рс, где с — это количество переносов из разряда в разряд, выполняемых при сложении чисел а и Ъ, записанных в позиционной системе счисления с основанием р. Этот старый результат был неоднократно переоткрыт и передоказан, мне посчастливилось узнать о нём из реферата на работу [20] в Реферативном журнале Математика. Теорема Куммера оказалась чрезвычайно мощным инструментом для построения диофантовых уравнений со специальными свойствами. (Джулия однажды назвала её «а gold mine»22.) Технически сложно описать все применения этой теоремы, но одно из них может быть объяснено здесь.

Зафиксируем простое число р и некоторое отображение / множества {0,1,... ,р — 1} в него же такое, что /(0) = 0. Это отображение можно расширить до функции F, определяемой на всех натуральных числах следующим образом:

F(anan-i.. .а0) = f(an)f(an-i)... Дао). (26)

Здесь anan-i... ао — это число, записываемое цифрами an, an_i, ..., ао в позиционной системе счисления с основанием р. Нетрудно доказать, что F является экспоненциально диофантовой функцией. Действительно, Ъ = F (а) если и только если существуют натуральные числа со, ..., Ср-ъ do, ..., dp-i, fc, s, u, Wq, ..., Wp-i, г>о, • • •, Vp-i, такие что

(27) (28) (29)

(30)

20 Конечно, имеется вероятность, что кто-то совершит прорыв и наша статья также будет превзойдена.

21 Но мы должны смотреть на это как на благо для математики.

22 Золотая жила.

(31) (32) (33) (34) (35)

Эта система имеет решение

(36)

где öi — это дельта-функция: Si (г) = 1, в противном случае Si(j) = 0. В этом решении

(37) (38) (39)

и для данного значения к это решение единственно.

Теорема Куммера служит мостом между теорией чисел и логикой, поскольку позволяет работать с числами как с последовательностями нефиксированной длины, состоящими из символов конечного алфавита. Применение теоремы Куммера для уменьшения количества неизвестных одним скачком понизило его с 13 до 9. Я сделал набросок доказательства и послал его Джулии. Когда мы встретились во второй раз в Лондоне, Онтарио, во время V Международного конгресса по логике, методологии и философии науки, Джулия подтвердила, что доказательство правильно, и я осмелился в своем выступлении [21] доложить этот результат. Мы надеялись, что сможем опубликовать его в приложении к нашей статье в Acta Arithmetica, но оказалось, что было уже поздно.

В 1974 году Американское математическое общество организовало симпозиум «Mathematical Developments Arising From Hilbert's Problems» в городе Де-Калб, штат Иллинойс. Я был приглашён выступить про десятую проблему, но моё участие в этой конференции не получило требовавшегося одобрения в моей стране, и докладчиком стала Джулия; она, однако, предложила, чтобы статья в трудах симпозиума была совместной с Мартином Дейвисом и мною.

Вновь у нас была проблема близкого срока подачи рукописи. По этой причине мы сначала обсудили по телефону, о чём будет писать каждый из нас. Конечно, Джулия и Мартин общались друг с другом гораздо больше, чем со мной. Трудную завершающую работу по объединению трёх частей в согласованное изложение [22] проделал Мартин. Я полагаю, что статья получилась

такой, о какой Джулия думала уже давно: нетехническое введение в многочисленные результаты, полученные логиками в связи с десятой проблемой Гильберта.

Работа над совместной статьёй [22] не позволила мне быстро подготовить статью про новую редукцию до 9 неизвестных (очевидно, что теперь была моя очередь писать текст). К сожалению, Джулия твёрдо отказалась быть соавтором. Она написала: «I do not want to be a joint author on the 9 unknowns paper — I have told everyone that it is your improvement and in fact I would feel silly to have my name on it. If I could make some contribution it would be différent»23.

Я совершенно уверен, что без вклада Джулии в [19] и без её воодушевления я бы никогда не довёл N до 9. Я был не склонен публиковать доказательство один, и полное доказательство результата, анонсированного в [21], в течение долгого времени оставалось неопубликованным. В конце концов Джеймс П. Джоунс (James Р. Jones) из университета в Калгари провёл полгода в Беркли, там, где жили Джулия и Рафаэль. Джеймс изучил мой набросок доказательства и комментарии Джулии к нему и сделал доказательство общедоступным в [24].

На диване сидят слева направо: Мартин Дейвис, Джулия Робинсон, автор, Джеймс Джоунс. Фотографию сделала по просьбе автора Луиза Гай (Louise Guy) в доме декана математического факультета Патрика Брауна (Patrick Brown), который сидит на переднем плане

Прилагаемая фотография была сделана в Калгари в конце 1982 года во время моего трёхмесячного сотрудничества с Джеймсом в рамках программы научного обмена между Математическим институтом им. В. А. Стеклова и Queen's University в Кингстоне, Онтарио. Джулия в то время была поглощена своими новыми обязанностями в качестве Президента Американского

23 Я не хочу быть соавтором статьи про 9 неизвестных — я говорила всем, что это Ваше улучшение, и я на самом деле буду чувствовать себя глупо, если моё имя будет там. Если бы я могла внести что-либо, то это было бы другое дело.

математического общества (АМО) и не очень много времени уделяла математическим исследованиям. Она посетила Калгари по дороге на встречу АМО. Мартин специально приехал в Калгари на несколько дней.

Я завершаю эти воспоминания ещё одним отрывком из письма Джулии, с содержанием которого я полностью согласен: «Actually I am very pleased that working together (thousands of miles apart) we are obviously making more progress than either one of us could alone»24.

Благодарности

Я признателен Рафаэлю Робинсону, Констанции Рид (Constance Bowman Reid) и Мартину Дейвису за их помощь в подготовке этого повествования к печати.

ЛИТЕРАТУРА

1. Matijasevich Yuri. My collaboration with Julia Robinson // The Mathematical Intelligencer. 1992. Vol. 14. Issue 4. P. 38-45. Недопечатанный список литературы исправлен в ibid. vol. 15, issue 1, 1993, p. 75. Доступно на http://logic.pdmi.ras.ru/ yumat/personaljournal/collaborationjulia/index.html.

Перепечатано на стр. 99-117 в [6].

Перепечатано с недрпечатанным списком литературы в сб.: Mathematical Conversations. Selections from the Mathematical Intelligencer. Составители Robin Wilson и Jeremy Gray, Springer, New York, NY, 2001; ISBN 978-0-387-98686-9, 978-l-4613-0195-0(electronic), 978-1-4612-6556-6. Исправленый список литературы доступен на

http ://www.springer.com/cda/content/document/cda_downloaddocument/ 9780387986869-el.pdf?SGWID=0-0-45-101704-p2014592

2. Hilbert David. Mathematische Probleme. Vortrag, gehalten auf dem internationalen Mathematiker Kongress zu Paris 1900 // Nachrichten von der Konigl. Gesellschaft der Wissenschaften zu Gottingen. Mathematisch-Physikalische Klasse, Band Heft 3, 1900. P. 253-297. Русский перевод в сборнике: Проблемы Гильберта / под ред. П.С.Александрова. — М.: Наука, 1969. С. 141-153.

3. Давыдов Г. В., Матиясевич Ю.В., Минц Г. Е., Оревков В. П., Слисенко А. О., Сочилина А.В., Шанин Н.А. Сергей Юрьевич Маслов (некролог) // УМН. 1984. Т. 39, вып. 2. С. 133-135.

4. Davis Martin, Putnam Hilary, and Robinson Julia. The decision problem for exponential Diophantine equations // Ann. of Math. 1961. Vol.74, №3. P. 425-436. Перепечатано в [23]. Русский перевод в сборнике [5].

5. Математика. Периодический сборник переводов иностранных статей. 8:5. — М.: Мир, 1964.

6. Reid Constance. The Autobiography of Julia Robinson / in More Mathematical People -Academic Press, 1990. P. 262-280. Перепечатано в: Reid Constance. JULIA. A Life in Mathematics - The Mathematical Association of America, 1996; ISBN 0-88385-520-8.

7. Robinson Julia. Existential definability in arithmetic // Trans. Amer. Math. Soc. 1952. Vol.72. P. 437-449. Перепечатано в [23]. Русский перевод в сборнике [5].

8. Всемирнов М. А., Гирш Э. А., Григорьев Д. Ю., Давыдов Г. В., Данцин Е. Я., Заславский И. Д., Караваев Э.Ф., Конев Б.Ю., Косовский Н.К., Лифшиц В. А., Маргенштерн М., Матиясевич Ю.В., Минц Г. Е., Оревков В. П., Плюшкявичус Р., С лисенко А. О., Соловьев С.В., Чернов В. П. Николай Александрович Шанин (некролог) // УМН. 2013. Т. 68, вып. 4. С. 173-176.

24 Я в самом деле очень рада, что работая вместе (разделённые тысячами миль) мы очевидным образом достигаем большего прогресса, чем мог бы достичь каждый из нас по отдельности.

9. Robinson Julia. Unsolvable Diophantine problems // Proc. Amer. Math. Soc. 1969. Vol. 22. P. 534-538. Перепечатано в [23].

10. Матиясевич Ю. В. Диофантовость перечислимых множеств // ДАН СССР. 1970. Т.191, №2. С. 279-282. Переведено в Soviet Math. Doklady 11(20) (1970), 354-357; исправление ibid 11 (6) (1970), vi.

11. Matijasevich Yuri. On recursive unsolvabilitv of Hilbert's tenth problem / Proceedings of Fourth International Congress on Logic, Methodology and Philosophy of Science, Bucharest, 1971. Amsterdam: North-Holland, 1973. P. 89-110.

12. Воробьёв Н.Н. Числа Фибоначчи, 2-е изд. 1964; 3-е изд. — M.: Наука, 1969.

13. Julia Bowman Robinson papers - BANC MS S 99/265 с, The Bancroft Library, University of California, Berkeley; http://www.oac.cdlib.org/search?query=99%2F265&x=0&y=0

14. Robinson Julia. Axioms for number theoretic functions - Избранные вопросы алгебры и логики (сборник, посвящённый памяти А. И. Мальцева). — Новосибирск: Наука, 1973. С. 253-263. Перепечатано в [23].

15. Матиясевич Юрий, Робинсон Джулия. Два универсальных трёхкванторных представления перечислимых множеств / Теория алгорифмов и математическая логика. ВЦ АН СССР, 1974. С. 112-123. Перепечатано в [23]. Перевод доступен на http ://arxiv.org/abs/0802.1052.

16. Robinson John A. A machine-oriented logic based on the resolution principle // J. Assoc. Comput. Mach. 1965. Vol. 12. P. 23-41. Переведено в: Кибернетический сборник (новая серия), 1970, №7. С. 194-218.

17. Orevkov V. P. Complexity of proofs and their transformations in axiomatic theories / Translations of Mathematical Monographs, 128. American Mathematical Society, Providence, RI, 1993. vi+153 p.

18. Robinson Julia. An iterative method of solving a game // Ann. of Math. 1951. Vol.54, №3. P. 296-301. Перепечатано в [23].

19. Matijasevich Yuri and Robinson Julia. Reduction of an arbitrary Diophantine equation to one in 13 unknowns //Acta Arith. 1975. Vol. 27. P. 521-553. Перепечатано в [23].

20. Singmaster D. Notes on binomial coefficients // J. London Math. Soc. 1974. Vol. 8. P. 545-548.

21. Matijasevich Yuri. Some purely mathematical results inspired by mathematical logic / Proceedinqs of Fifth International Congress on Logic, Methodology and Philosophy of science, London, Ontario, 1975. Dordrecht: Reidel, 1977. P. 121-127.

22. Davis Martin, Matijasevich Yuri, and Robinson Julia. Hilbert's tenth problem. Diophantine equations: positive aspects of a negative solution // Proc. Symp. Pure Math. 1976. Vol. 28. P. 323-378. Перепечатано в [23].

23. The collected works of Julia Robinson / Solomon Feferman, ed. American Mathematical Society, Providence, RI, 1996. ISBN 0-8218-0575-4. (Collected Works, Vol.6)

24. Jones James P. Universal diophantine equation // J. Symbolic Logic. 1982. Vol. 47. P. 549-571.

Поступила 11.07.2014

MY COLLABORATION WITH JULIA ROBINSON

Yu. V. Matiyasevich

The story of the solution of Hilbert's tenth problem, a fundamental contribution to which was made by American mathematician Julia Robinson.

Keywords: Hilbert's tenth problem, Diophantine equations, decision problems, Julia Robinson.

ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ. ПЕРСОНАЛИИ

УДК 929.52

НАУЧНАЯ И ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ ВЕНИАМИНА ФЁДОРОВИЧА КАГАНА1

И. Э. Рикун

Одесский Дом ученых Украина, 65082, г. Одесса, Сабанеев мост, 4; e-mail: rikun_inna@mail.ru

О научной и педагогической деятельности выдающегося геометра В. Ф. Кагана, основные труды которого посвящены основаниям геометрии и тензорной дифференциальной геометрии. В последней области создал научную школу. Популяризатор творческого наследия Н. И. Лобачевского.

Ключевые слова: В. Ф. Каган, биография, геометрия, Н.И.Лобачевский.

Вениамин Фёдорович (Беньямин Фалькович) Каган родился 25 февраля (9 марта) 1869 г. в городе Шавли Ковенской губернии (ныне г. Шауляй, Литва). Отец был «мелким служащим счётного дела» (это формулировка самого Кагана [1]), мать вела домашнее хозяйство. Семья испытывала материальные затруднения и в 1871 г. переселилась в Екатеринослав (ныне Днепропетровск), где жили родственники.

В 1879 г. Каган поступил в гимназию. Этим он обязан своей матери, которая стремилась дать образование ему и его старшей сестре Марии и привила им любовь к литературе. Как пишет сам Каган в своем «Жизнеописании», он «в очень раннем возрасте (около 15 лет) был предоставлен собственным силам» [1]. В 1887 г. он окончил гимназию с золотой медалью и поступил на математическое отделение физико-математического факультета Новороссийского университета. В 1889 г. Каган был исключён из университета за участие в студенческих беспорядках, поводом послужила смерть Н. Г. Чернышевского. 21 октября 150 студентов, по примеру студентов Петербурга, Москвы и Варшавы, собрались в Преображенском соборе, чтобы отслужить панихиду по писателю, но были разогнаны полицией. Тогда студенты отправили в Саратов венок на его могилу. 13 человек были исключены из университета по распоряжению министра народного просвещения, ещё 27 -

В. Ф. Каган

1 Статья является главой из готовящейся книги об издательстве «Mathesis».

по распоряжению правления университета, 30 человек из числа исключённых выслали из Одессы [2, с. 53].

Каган был выслан в Екатеринослав под надзор полиции и лишён права поступления в другие высшие учебные заведения. Один из его университетских педагогов посоветовал ему подать прошение на имя министра народного просвещения с просьбой принять обратно в университет и обещанием подчиняться всем университетским правилам. «Вениамин Фёдорович не принял совета, «необходимого» ему и его товарищам, — свою последующую жизнь он не посвятил «исключительно научным занятиям» и в любой жизненной ситуации оставался верен своему общественному долгу» [3, с. 5].

Несмотря на материальные трудности, Каган самостоятельно изучал предметы университетского курса и в 1892 г. получил разрешение сдать экстерном экзамен за курс физико-математического факультета при Киевском университете. Экзамен состоял из трёх письменных и четырёх устных испытаний по математике, механике, астрономии и химии. Только по двум последним предметам он получил оценку «удовлетворительно», по всем остальным - «весьма удовлетворительно» [4]. Председателем комиссии был Н. Я. Сонин. Кроме того, Каган представил работу «О возможностях решения электростатической задачи» и получил диплом 1-й степени.

В 1894 г. Каган переехал в Петербург, познакомился с выдающимися представителями петербургской математической школы А. А. Марковым, А. И. Коркиным и др. 8 марта, 15 ноября 1896 г., 31 января 1897 г. [5] он выдержал экзамены на звание магистра чистой математики.

Успехи Кагана побудили А. А. Маркова и К. А. Поссе возбудить ходатайство о назначении его приват-доцентом Петербургского университета. Однако министр просвещения отклонил личное ходатайство этих виднейших математиков по причине еврейского происхождения Кагана [3, с. 6]. Тогда такое же ходатайство возбудил физико-математический факультет Новороссийского университета. В мае 1897 г. Каган прочитал на факультете две пробные лекции: «Об иррациональных числах» (по собственному выбору) и «О разложении функций в тригонометрические ряды» (по предложению факультета). В сентябре того же года ходатайство удовлетворили, и Каган был принят в число приват-доцентов университета по кафедре чистой математики.

Начался одесский период жизни Кагана. «Научная среда, в которую вошёл Вениамин Фёдорович в Одессе, оказалась весьма благоприятной для его научных интересов. Вопросы обоснования математических наук, тогда только начинавшие занимать русских математиков, были предметом специальных интересов группы одесских математиков, во главе которых стоял профессор И. В. Слешинский. Позже (в 1903 г.) к этой группе учёных примкнул С. О. Шатуновский, яркое критическое дарование которого нашло широкое применение в сфере логического анализа основ математики и, в частности, геометрии, — эти вопросы уже стали центральными и в научной деятельности В. Ф. Кагана. В этот период закладываются основы глубокой дружбы двух учёных, разных по возрасту и темпераменту, но связанных единством научного мировоззрения, — дружбы, которая благотворно повлияла на формирование каждого из них и прошла через всю их жизнь» [3, с. 6-7].

Каган завершает начатый ещё в юности цикл работ по разработке геометрического наследия Н. И. Лобачевского и выпускает свою первую книгу «Очерк геометрической системы Лобачевского» (1900). Затем он приступает к решению задачи логического обоснования геометрии. В 1905 г. вышел первый том «Оснований геометрии», в котором он предложил собственное аксиоматическое построение евклидовой геометрии на базе понятия «расстояние».

Впервые свои идеи Каган высказал на XI съезде естествоиспытателей и врачей (Санкт-Петербург, 20-30 дек. 1901 г.), прочитав доклад «Система посылок, определяющих евклидову геометрию».

В 1907 г. вышел второй том, посвященный историческому очерку развития учения об основаниях геометрии. В 1907 г. оба тома «Оснований геометрии» были защищены в Новороссийском университете в качестве магистерской диссертации (оппоненты И. В. Слешинский, В. А. Циммерман).

Научная деятельность Кагана всегда была тесно связана с преподаванием. «Уже с 1897 г., с самого начала преподавательской деятельности Вениамина Фёдоровича, определились основные черты его лекций: негромкая, внутренне взволнованная речь, перемежающаяся паузами, в течение которых лектор, кажется, не столько обдумывает следующую фразу, сколько мысленно возвращается к общему плану своего изложения, снова и снова проверяя его значимость для аудитории; стремление сделать выпуклым самый замысел теории («замысел» — любимое слово Вениамина Фёдоровича, которым он часто пользовался и в устной речи, и в печатных работах), и наряду с этим любовное изложение тщательно подготовленной сложной выкладки, приводящей к архитектурно стройной формуле — глубокому следствию исходных посылок» [3, с. 10].

С 1897 г. по 1920 г. Каган читал в Новороссийском университете следующие курсы: высшая алгебра (включал в себя спецкурс «Теория определителей»), теория обыкновенных дифференциальных уравнений, теория чисел, интегральные уравнения, интегрирование дифференциальных уравнений, теория вероятностей, теория функций комплексного переменного, избранные вопросы механики, спецкурс по применению анализа бесконечно малых в геометрии. Каган первым в России начал читать курсы геометрии Лобачевского и оснований геометрии.

Читаем далее в «Жизнеописании»: «Однако положение приват-доцента не давало мне никаких средств к существованию, и я посвящал очень много времени преподаванию в средних учебных заведениях (еврейских). Положение улучшилось только после революции 1905 г., когда я был приглашён к преподаванию в Одесских высших женских курсах; так как это было частное учебное заведение, то, несмотря на еврейское происхождение, я состоял там на положении профессора, позже даже декана факультета» [6].

Каган входил в группу преподавателей университета, которые сумели добиться организации Одесских высших женских курсов (ОВЖК). Ещё в 70-е годы XIX в. поднимался вопрос о создании таких курсов в Одессе, однако осуществить это не удалось. В 1903 г. «при женской гимназии Е. С. Пашковской было разрешено открыть, в виде опыта на шесть лет, педагогические женские курсы... С четвертого года существования Педагогические курсы разрешено

было преобразовать в Высшие женские курсы, с четырёхгодичными программами по университетскому образцу... » [7].

В 1906-1909 гг. Каган был секретарем физико-математического факультета ОВЖК, в 1917-1919 гг. — деканом. Кроме того, он был членом хозяйственной комиссии ОВЖК [8]. Читал курсисткам целый ряд математических дисциплин, в частности, основания геометрии (спецкурс), первый в Одессе курс теоретической арифметики, теоретическую механику, теоретическую физику (спецкурс).

В 1900 г. Каган начал преподавать в Коммерческом училище Г. Ф. Файга арифметику и тригонометрию. С 1903 г. он преподавал на вечерних курсах для взрослых, учрежденных М. М. Иглицким и И. Р. Рапопортом; затем в училище второго разряда, открытом Иглицким, и, наконец, с 1905 по 1917 г. -в гимназии Иглицкого (с 1912 — Рапопорта), где был также инспектором и товарищем председателя педагогического совета.

Совмещение этих должностей требовало огромных физических, умственных и душевных сил. Ученик Кагана, А. М. Лопшиц, вспоминает: «Благожелательное внимание, которое он щедро уделял своим воспитанникам, мудрые советы, которые они от него получали, непрестанное научное общение не только в области математики, но и физики, с теми, кто имел к ним интерес, — всё это создавало в «гимназии Вениамина Фёдоровича» совершенно исключительную атмосферу» [3, с. 12-13]. Ещё один ученик Кагана, физик Л. Тумерман, пишет: «Подлинной душой гимназии, человеком, определившим и уровень образования в ней, и весь дух нашего воспитания, был инспектор гимназии профессор Вениамин Фёдорович Каган. Это был не только один из крупнейших русских математиков и выдающийся педагог, но и человек необычайно широкого научного и философского кругозора, глубокого мышления» [9].

О Кагане упоминает также И. М. Яглом, говоря о его ученике, Я. С. Дубнове: «Уже в гимназии, на уроках математики были заложены основы той долголетней дружбы учителя и ученика, которая прошла через всю жизнь Якова Семёновича и в значительной степени определила выбор им своей научной специальности. И тогда же, на вдохновенных уроках В. Ф. Кагана, молодой Дубнов усвоил те педагогические принципы, борьбе за реализацию которых он отдал много лет своей жизни» [10].

С 1901 г. Каган возглавлял Общество взаимного вспомоществования учителей-евреев. В декабре 1902 - январе 1903 гг. в Москве состоялся 1-й Всероссийский съезд представителей обществ вспомоществования лицам учительского звания. Делегатами на съезд были избраны Каган и Иглицкий [11, с. 77]. В 1916 г. Обществу исполнилось 50 лет, и в публикации, посвященной юбилею, отмечалось, что за годы председательства Кагана «увеличилось число членов общества, выросли капиталы, основана читальня, выработан новый устав» [12]. Общество сыграло большую роль в повышении профессионального уровня учителей и улучшении их материального положения. Каган был

также членом-сотрудником Одесского отделения Общества распространения просвещения между евреями России.

Репутация Кагана как педагога, последовательно выступавшего за реформу преподавания математики в средней школе, была весьма высока. 6-11 апреля 1908 г. в Риме состоялся IV Международный конгресс математиков, на котором было принято решение об организации Международной комиссии по математическому образованию (МКМО). В 1909 г. комиссия была создана, в её состав от России вошли Н. Я. Сонин, Б. М. Коялович и К. В. Фохт. Академик Н. Я. Сонин обратился к физико-математическим факультетам университетов, к другим учреждениям и отдельным лицам, компетентным в вопросах постановки преподавания математики в России, с просьбой содействовать организации русской подкомиссии МКМО. Среди этих лиц был и Каган, перу которого принадлежит отчёт (хотя и не подписанный) о первом совещании подкомиссии, состоявшемся 21 ноября 1909 г. [13].

Члены подкомиссии распределили между собой доклады, которые в сумме должны были дать картину постановки преподавания математики в различных русских учебных заведениях и ознакомить с новыми течениями в этом вопросе. Каган предложил следующую тему: «Одесские высшие женские курсы; подготовка преподавателей». Однако в процессе подготовки к I Всероссийскому съезду преподавателей математики тема приобрела более общий характер. Съезд состоялся в Петербурге во время рождественских каникул с 27 декабря 1911 г. по 3 января 1912 г. Каган был членом организационного комитета, а также товарищем председателя. Его доклад «О подготовлении учителей математики для средних учебных заведений» был посвящен реформе школьной математики: истории вопроса, реформе программ, учебных планов, методов, содержания, духа и целей обучения и одобрен участниками съезда. Известный педагог В. Р. Мрочек назвал стиль изложения мастерским [14]. Наиболее содержательным этот доклад был назван и через сорок лет после его прочтения [15]. На съезде Каган прочитал и научный доклад «О преобразовании многогранников», который Мрочек охарактеризовал следующим образом: «В. Ф. Каган блестяще изложил два положения: первое -что вопросы «элементарной» геометрии далеко не элементарны, и второе -что интуитивное представление о совмещении равновеликих многогранников неверно в общем, как это показали работы Гильберта, Дена и самого докладчика» [14].

О том, насколько высоко Каган оценил работу съезда, можно судить по его рецензии на двухтомник «Труды Первого Всероссийского Съезда преподавателей математики»: «Мы необычайно требовательны. Когда вспомнишь, сколько споров и горячих споров было относительно Съезда, дал ли он то, чего от него ждали, чего от него можно было ожидать, принёс ли он вообще пользу, и когда в то же время посмотришь на эти два объёмистых тома, то удивляешься тому, как мы требовательны. Эти два тома содержат огромный материал, теоретический, педагогический, библиографический, по раз-

личным отделам, по различным вопросам. Теперь, в напечатанном виде, эти доклады ещё интереснее, чем на Съезде. Там, в переполненном зале, в углу аудитории, в сутолоке Съезда, часто в утомлённом состоянии невозможно было не только следить за этими докладами, оценить их значение, но даже разобраться в них.

Теперь каждый из нас имеет эти доклады у себя в рабочей обстановке; кто уделит им некоторое время, тот убедится, сколько продуманного материала было подготовлено к Съезду и каждый, несомненно, найдет в них много для себя интересного» [16].

Это была одна из многочисленных статей Кагана, напечатанных в Вестнике опытной физики и элементарной математики (ВОФЭМ), который был первым и лучшим в России регулярным научно-популярным журналом по математике и физике. Ещё будучи гимназистом, он посылал в журнал решения печатавшихся там задач, в последнем классе гимназии опубликовал на его страницах свою первую самостоятельную научную статью [17]. Она была ответом на тему, предложенную основателем журнала В. П. Ермаковым. В 1902 г. Каган вошёл в состав редакции; через два года стал его редактором и руководил им вплоть до закрытия в 1917 г. ВОФЭМ печатался в типографии М. Ф. Шпенцера. Общение с ним, знакомство с издательским делом навели Кагана на мысль о создании научного издательства. Сам Каган в своей автобиографии пишет, что, несмотря на напряженную преподавательскую деятельность, «материальное положение было очень трудное, особенно вследствие тяжелой болезни моей первой жены и дочери. Это заставило меня приобщиться к издательской работе; с 1905 г. состоял председателем научной комиссии издательства «Матезис». Научная продукция этого издательства получила известность и признание» [6].

Огромный объём работы, которой, как пишет Каган в письме Л. А. Тарасевичу от 6 октября 1913г., «у меня всегда было столько, что хватило бы на трёх» [18], приходилось выполнять в очень сложных не только личных, но и социально-политических условиях. Университет сотрясали почти непрерывные студенческие волнения, сначала в годы демократического подъёма революции 1905 г., затем — в годы реакции. В 1907 г. были уволены, а в 1909 г. осуждены ректор И. М. Занчевский и проректор Е. В. Васьковский, обвинённые в потворствовании студенческому движению в годы первой русской революции. Ректором в 1907 г. был избран, а фактически назначен С.В. Левашов, входивший в правление Союза русского народа. В 1913 г. ректором стал Д. П. Кишенский. Предоставим слово самому Кагану: «Что Вам написать о наших делах? Как Вы знаете, ректором у нас состоит Кишенский, избранный почти сплошь левыми против правых. Я должен сказать, что он внёс в Университет много успокоения. Но ведь Университета фактически почти не существует. Что касается остальных сторон одесской и вообще русской жизни, то это одна беспредельная печаль. Бывает, иногда очнёшься и думаешь, неужели это не кошмар, а настоящая действительность, и говоришь себе в ответ, что действительностью будет и осуждение Бейлиса» [19].

Каждое лето, начиная с 1904 г., Каган, в связи с болезнью жены Елены Ефимовны (Хаимовны) (1867-1918) и младшей дочери, проводил за границей.

В 1914 г., из-за начавшейся Первой мировой войны, семье с трудом удалось вернуться в Одессу. Объясняя задержку выхода очередного номера ВОФЭМ, Каган пишет: «Редактор Вестника Опытной Физики и Элементарной Математики находился заграницей, во Франции, когда возникли столь неожиданно развернувшиеся события. После чрезвычайно продолжительного путешествия он имел возможность возвратиться а Одессу только 5-го сентября» [20]. В университетском личном деле Кагана, хранящемся в Государственном архиве Одесской области, есть его заявление ректору, датированное 1916 г.: «На случай эвакуации из Одессы нужны будут 6 мест: для себя, для жены, для её сестры, для дочерей Надежды и Лидии и их бонны. На случай отъезда мы направимся в г. Саратов» [21]. (Возможно, Саратов был выбран из-за того, что туда эвакуировался университет Св. Владимира.) К счастью, эвакуироваться не пришлось.

24 июля 1917 г. было издано распоряжение Временного правительства об учреждении должности штатного доцента. На тот момент на математическом отделении физико-математического факультета университета в качестве приват-доцентов (должность внештатная) преподавали В. Ф. Каган, С. О. Шатуновский, Д. А. Крыжановский, А. Д. Агура, Н. С. Васильев, Д. Д. Хмыров и А. Р. Орбинский. 2 октября состоялось заседание факультета, на котором каждый кандидат был представлен одним из профессоров. Кагана представлял И. Ю. Тимченко, Шатуновского — Е. Л. Буницкий. Все кандидаты были избраны и представлены для утверждения в Совет университета. На заседании Совета 18 октября Каган и Шатуновский были забаллотированы. На это последовал протест, представленный в факультет и подписанный В. А. Циммерманом, И. Ю. Тимченко и Е. Л. Буницким: «Физико-математический факультет, согласно представлению нашему, избрал на должность доцентов по кафедре чистой математики приват-доцентов нашего университета В. Ф. Кагана, С. О. Шатуновского, А. Д. Агура и Д. А. Крыжановского. Между тем Совет Университета в последнем заседании своем, баллотировкой утвердил избрание лишь двух доцентов, а именно А. Д. Агура и Д. А. Крыжановского. Таким решением Совета, по нашему мнению, совершена не только тяжкая несправедливость по отношению к двум старейшим и наиболее заслуженным сотрудникам нашим в деле преподавания чистой математики, достойным людям и выдающимся учёным, но и внесено расстройство в само дело преподавания...

Факультет, в силу соображений академического характера, должен будет поручать ведение наиболее ответственной части преподавания частным преподавателям — приват-доцентам, в обход штатных преподавателей.

Сопоставление этого с забаллотированием в том же заседании Совета приват-доцента Бардаха, опытного преподавателя и известного учёного, служит для нас неопровержимым доказательством того, что большинство Совета руководилось при этом мотивами, ничего общего не имеющими с академическими интересами нашего Университета. Находя, что такое решение Совета является актом несправедливости по отношению к трём почтенным, заслуженным и талантливым учёным, нашим многолетним сотрудникам, и наносит тяжкий удар спокойному и правильному течению академической жизни,

мы предлагаем Факультету, присоединившись к нашему мнению, внести в Совет протест на решение его, приведшее к неутверждению на должность В. Ф. Кагана, С.О. Шатуновского и Я. Ю. Бардаха, от имени Факультета для препровождения с отзывами специалистов Академии наук и в другие высшие учебные заведения» [22]. В заседании от 20 октября факультет заслушал этот протест, большинством в двадцать голосов против одного присоединился к нему и постановил подать его в Совет. Однако исполняющий обязанности ректора А. П. Доброклонский протест отклонил, мотивируя это тем, что он «содержит в себе обсуждение и призывает Совет к обсуждению предполагаемых мотивов закрытой баллотировки, но, как закрытая, она по существу своему не допускает обсуждения с этой стороны» [23]. Причины неутверждения Кагана кроются не только в его национальности, о чём достаточно определенно говорится в протесте, но и в его демократических взглядах. В 1905-1907 гг. он был представителем Союза младших преподавателей в Совете университета, в 1911 г. обвинил администрацию университета в коррупции.

О своей деятельности в последний одесский период (1917-1922) Каган пишет: «С начала Великой Октябрьской революции я стал близко к революционному движению. Одесса переходила из рук в руки; я находился в постоянном общении с руководителями Советской власти (из руководящих работников того времени с В. П. Потемкиным, ныне Народным комиссаром Просвещения). С организацией Советской власти твердо и безоговорочно стал на советскую работу. Я был назначен профессором университета, руководителем научного Бюро Губотдела Народного Образования и заведующим Научным отделом Губиздата. В 1920-1921 гг. состоял членом Одесского Горсовета» [24].

Внесём некоторые дополнения и уточнения. Что значит: «Стал близко к революционному движению»? Вступил в партию большевиков? Отнюдь. В 1917г. С.Я.Дубнов писал в дневнике: «Одесская национальная демократическая партия, в создании которой принимал участие профессор Каган, восприняла мою идеологию». Как известно, идеология Дубнова основывалась на еврейской национальной идее — национальной автономии и национальном самоуправлении [9]. Конечно, упоминать об этом в советское время не следовало. До конца своих дней Каган оставался беспартийным. Власть в Одессе, действительно, неоднократно менялась. В январе 1918 г. была установлена Советская власть, с марта по декабрь город оккупировали австро-немецкие войска. Занятия в университете в весеннем семестре окончились досрочно, в осеннем фактически не начались [2]. В декабре в Одессе высадились войска Антанты, с апреля по август 1919 г. в городе опять были Советы. Был создан Совет комиссаров высших учебных заведений (СКВУЗ), который начал коренную перестройку высшей школы Одессы. Однако перед самым началом занятий в университете город был захвачен войсками А. И. Деникина. На заседании от 26 августа 1919 г. Совет университета постановил: «Все изменения, происшедшие во время господства большевиков, отпадают. Факультеты в законном составе, в каком они были до 4 апреля, пересматривают свои, касающиеся новых назначений, переводов и увольнений, постановления, сделанные за указанное время, и передают их в Совет для утверждения, насколько они по уставу нуждаются в таковом» [25]. Деникин был избран почетным членом

Университета, он же утвердил «Временное расписание должностей и окладов содержания служащих в высших учебных заведениях» [26].

Занятия фактически не велись, в январе 1920 г. готовилась эвакуация университета [27], в декабре 1919 г. и январе 1920 г. целый ряд профессоров эмигрировал. В официальных документах они значились как «командированные с научной целью за границу» [28].

В третий раз Советская власть установилась в Одессе 8 февраля 1920 г. Зима 1919-1920 гг. выдалась необыкновенно холодной, условия жизни были тяжёлыми. «Работа со студентами носила в этот период особый характер. Почти все они не имели возможности посещать занятия в дневное время — оно уходило на работу в многочисленных учреждениях города, в которых исподволь налаживалась бытовая, культурная и общественная жизнь. В вечернее же время аудитории университета не всегда получали электрическое освещение — не хватало топлива для электростанции. Однако зимой 1919-1920 гг. Вениамин Фёдорович регулярно, один раз в неделю, читал курс «Теоретическая механика в векторном изложении» — вероятно, первый такой курс в нашей стране. Слушатели запасливо приносили с собой коротко напиленные брёвнышки, которыми топили «буржуйку» — маленькую железную печку, -и не раз бывало, что только красноватые отсветы её огня освещали векторные формулы, написанные Вениамином Фёдоровичем на доске.

После лекции все слушатели (их было не так уж много) провожали Вениамина Фёдоровича домой по тёмным улицам города в отдалённый приморский район» [3, с. 18]. Следует отметить, что официально занятия в высших учебных заведениях Одессы начались только 22 марта [29].

Летом 1920 г. началась реформа высшей школы Украины. Вместо ликвидированных университетов были созданы институты народного образования (ИНО). В состав комиссии, которой было поручено создание Одесского ИНО, вошел Каган. Кроме того, на базе университета был создан и Физико-математический институт (ликвидирован через год). Каган есть и в списках преподавателей Физматина (профессор) [30] (читал теорию определителей, делимость чисел и др. курсы), и в списках преподавателей ИНО (профессор) [31], где он преподавал на математическом отделении факультета профессионального образования. Заведовал там первой в Одессе кафедрой геометрии, читал также высшую алгебру. В 1921-1922 учебном году Каган, первым в России, прочитал спецкурс по общей теории относительности. «Вместе со студентами этот курс слушали и хорошо теперь известные учёные, будущие академики Л. И. Мандельштам, Н. Д. Папалекси, И. Е. Тамм, А. Н. Фрумкин» [3, с. 18]. Интерес к теории относительности возник у Кагана ещё в 1905 г. «Кажущаяся парадоксальность новых физических воззрений, которая сопутствовала первым шагам специальной теории относительности, побуждала Вениамина Фёдоровича продумать логические основы новой физической концепции. Общий план работы и основные результаты были намечены Вениамином Фёдоровичем довольно скоро, но интенсивная педагогическая и общественная деятельность... и разразившаяся в 1914 г. империалистическая война помешали ему завершить работу» [32]. Каган вернулся к ней уже после революции. В 1920 г. была напечатана книга «Геометриче-

ские основания исчисления времени», подводящая итоги исследований. Однако весь тираж сгорел во время пожара в типографии. Вполне возможно, что книга должна была выйти в издательстве «Матезис». Единственная книга «Матезиса», изданная в 1920г., — это лекции А.Я.Орлова «Теоретическая астрономия». На обложке и титульном листе есть марка издательства, на второй странице обложки читаем: «Печатание настоящего сочинения было начато издательством «Матезис» в 1919 г. и окончено Научной секцией Одесского отделения Всеукраинского государственного издательства». Именно эта возглавляемая Каганом секция издавала в 1921 г. «Журнал чистого и прикладного знания» (вышло всего два выпуска). Одним из редакторов отдела физико-математических наук был Каган. Журнал получил высокую оценку С. Н. Бернштейна [33]. Интересно, что возможность печататься в этих журналах была одной из причин переезда Н. Г. Чеботарёва из Киева в Одессу: «... Меня прельщала перспектива печатания в журналах, которые в то время издавались в Одессе, в Киеве же журналы не выходили. Я вспоминаю свою фразу в беседе с одесским профессором В. Ф. Каганом, случайно приехавшим в Киев: «Подумайте, мне ещё ни разу не удалось напечататься... » [34]. Первые публикации Чеботарёва появились именно в этих журналах.

В 1922 г. Госиздат Украины издал книгу Кагана «Основания теории определителей» — первое подробное изложение этой теории, опубликованное на русском языке.

Каган принимал также самое активное участие в создании советской средней школы, вместе с Шатуновским входил в состав предметной комиссии по математике [11, с. 115].

В 2012 г. были опубликованы воспоминания Л. Я. Ландесман-Беленькой [35], которая дружила с Лидией Вениаминовной Каган и в период с 1914 по 1922 гг. часто бывала у Каганов в гостях. В эти годы семья жила на улице Черноморской, дом 20 (ныне № 10), кв. 1. По сравнению с предыдущим местом проживания — ул. Княжеская, 6, совсем рядом с университетом, — это тогда был отдаленный район. Выбор квартиры был обусловлен, возможно, тем, что за углом, в Стурдзовском переулке, находилась типография М. Ф. Шпенцера, а напротив неё жил А. Р. Орбинский. На дверях квартиры, за которой закрепилось название «кагановская», была прибита табличка «Редакция журнала «Вестник опытной физики и элементарной математики». «Прибита она была намертво. После отъезда Каганов в Москву нам не удалось её снять. Она ещё долго висела на наших дверях (Ландесманы переехали в квартиру Каганов — И. Р.), напоминая о прежних хозяевах. И ещё долго в «кагановскую» квартиру приходили большие конверты и бандероли, адресованные редакции журнала».

Квартира Каганов, как магнит, притягивала к себе людей. «За чайным столом у них встречались и беседовали различные во многих отношениях люди. Вот запомнившиеся мне имена: бывший священник, высокообразованный теолог, профессор церковного права А. И. Покровский; музыкант, чех по национальности, дирижёр оперного театра маэстро Иосиф Прибик; профессор анатомии и тонкий рисовальщик Лысенков; выдающийся пушкинист и литературовед, позднее академик, М. П. Алексеев; известный физик профессор

Папалекси; выдающийся химик академик А. Н. Фрумкин; сотрудники редакции «Вестника» профессора Орбинский и Тимченко». Ландесман-Беленькая упоминает химика А. С. Комаровского, историка И.А.Хмельницкого, невролога И. С. Мильмана. Вспоминает она и о горячих политических спорах, беседах на научные и литературные темы. «Пока в кабинете Вениамина Фёдоровича говорили и спорили об Эйнштейне и о последних работах по высшей математике, рядом, на большой террасе, выходившей в парк и обвитой синими гроздьями благоухающей глицинии, молодёжь слушала в авторском исполнении лирические стихи Веры Михайловны Инбер...

То были годы неустроенной, тяжёлой, подчас голодной жизни в условиях революции. Не хватало топлива, продовольствия, плохо было с водой. Трудно было Каганам и их друзьям, но побеждали молодость и оптимизм. Они не унывали и даже подтрунивали над трудностями... Об одном из профессоров математики, Ю. Г. Рабиновиче — друге Вениамина Фёдоровича и частом его госте,— кто-то сочинил такие «незабываемые» строки:

Он окна клеит в кабинете, А теорем полны глаза. Он носит воду на рассвете И пилит с Каганом дрова».

В 1922 г. Каган получил предложение от О. Ю. Шмидта возглавить научный отдел Государственного издательства. Он переезжает в Москву, «избирается профессором Московского университета и становится действительным членом Научно-исследовательского института математики и механики Московского университета — так начался новый тридцатилетний период его научной, педагогической и общественной деятельности в Москве, явившейся естественным продолжением его замечательной деятельности в Одессе» [3, с. 21].

Кагану нелегко было расстаться с Одессой, с друзьями, коллегами, учениками. Однако завязываются новые связи, появляются новые друзья и ученики, есть и «одесские» ученики — Я. С. Дубнов, А. М. Лопшиц, Г. М. Шапиро, «старые» друзья Л. И. Мандельштам, Н. Д. Папалекси, А. Н. Фрумкин. «Новый московский дом Вениамина Фёдоровича на Полянке становится местом оживленных встреч людей разных поколений, разных общественных положений, разных интересов. Рядом с Вениамином Фёдоровичем они встречают в этом доме его жену, преданного друга и помощницу во всех делах, Марию Соломоновну, на которой он женился в 1920 г. после смерти своей первой жены» [3, с. 23]. Мария Соломоновна Каган (1881-1962) первым браком была замужем за деятельным сотрудником «Матезиса» И. Л. Левинтовым. В «Жизнеописании» Кагана читаем: «Моя жена, М. С. Каган, дочь учителя, в молодые годы была преподавательницей средней школы» [36]. Была она и помощницей секретаря физико-математического факультета ОВЖК [37, с. 38]. Далее Каган пишет: «В последние годы вела значительную общественную работу при университете и при Областном Комитете работников высшей школы в качестве председательницы совета жён в МГУ» [36].

Для учеников Кагана «была привлекательной и атмосфера оживления и молодого веселья, которая создавалась дочерьми Вениамина Фёдоровича от первого брака, Надей и Лидой, и Тасей, дочерью Марии Соломоновны» [3, с. 23]. Надежда Вениаминовна Каган (1900-1938) — биохимик, иммунолог, кандидат медицинских наук, трагически погибла, разрабатывая методы вакцинации против весенне-летнего энцефалита [38]. Лидия Вениаминовна Каган (1905-1966) — филолог. Эрнестина (Тася) Иосифовна Левинтова (1903— 1994) [39] — испанист, кандидат филологических наук. И. Л. Левинтов был приверженцем махизма и назвал дочь в честь Эрнста Маха с разрешения самого Маха. Пасынок Кагана, Иосиф (Жозя) Иосифович Левинтов (1916-2001) [40], — физик, доктор физико-математических наук. Внуки Г. И. Баренблатт и Я. Г. Синай — известные ученые, механик и математик.

В Москве возможности Кагана для продвижения своих научных идей были значительно шире, чем в Одессе. Он читал впервые в МГУ курсы геометрии Лобачевского и оснований геометрии, тензорного исчисления и римановой геометрии, тензорной дифференциальной геометрии. Курс «Тензорное исчисление и риманова геометрия», являвшийся продолжением прочитанного в Одессе курса «Теория относительности», посещали не только математики, но и молодые тогда физики М. А. Леонтович и А. А. Андронов (Андронов вел подробный конспект, который назвал «каганиада»). В 1927 г. Каган прочитал на Первом всероссийском математическом съезде (Москва) доклад «Геометрические идеи Римана и их современное развитие», в котором дал историческую перспективу развития римановой геометрии. В 1929 г. Каган был утверждён в учёном звании «профессор» по кафедре «прикладная математика». В том же году Кагану было присвоено звание заслуженного деятеля науки. Одним из инициаторов выдвижения кандидатуры Кагана был О. Ю. Шмидт. В благодарственном письме от 26 июня 1929 г. Каган пишет: «Хотя сложившиеся у нас с Вами в продолжительной совместной работе отношения вряд ли нуждаются в формальном и письменном выражении моих чувств, я имею все же потребность в этом случае выразить Вам свою искреннюю благодарность, выразить радость по поводу того, что среди продолжительной многообразной совместной работы, часто чреватой поводами к осложнениям и раздражениям, наши добрые отношения, служебные и товарищеские, крепнут и упрочиваются. Позвольте выразить надежду, что будут крепнуть и углубляться также результаты нашей совместной работы в сложном деле культурного строительства Советского Союза» [41].

В 1930 г. в Харькове был проведен Первый всесоюзный съезд математиков, а в 1934 г. в Ленинграде состоялся уже Второй съезд, учредивший Всесоюзную математическую ассоциацию и избравший её Совет под председательством О.Ю.Шмидта. В состав Совета вошёл Каган.

В 1934 г. Каган создал в МГУ кафедру дифференциальной геометрии. До 1932 г. преподавал также во Втором МГУ (впоследствии МГПИ им. В. И. Ленина, ныне — Московский педагогический государственный университет), ор-

ганизовал там кафедру высшей математики. В 1934 г. получил степень доктора физико-математических наук без защиты диссертации.

В 1927 г. Каган организовал в МГУ Семинар по векторному и тензорному анализу, которым руководил до конца своей жизни. По инициативе Кагана и под его редакцией с 1933 г. стали выходить «Труды семинара» (выходят по сей день). Каган был организатором и председателем Первой международной конференции по тензорной дифференциальной геометрии и её приложениям, которая состоялась в 1934 г. в Москве. В ней участвовали многие видные математики, в том числе Э. Картан, В. Бляшке, И. А. Схоутен, А. Н. Колмогоров.

В довоенные годы Каган несколько раз выезжал для чтения курсов и руководства аспирантами в Днепропетровский университет.

Каган до 1930 г. заведовал научным отделом Госиздата, был редактором математического отдела первого издания Большой советской энциклопедии и автором восемнадцати статей в её первых двадцати томах (1926-1930). Имя Кагана вновь появляется на страницах энциклопедии только через семь лет как автора статьи о Лобачевском.

Ушёл он из Госиздата, скорее всего, не по своей воле. В 1930 г. вышло постановление «О работе Госиздата РСФСР и об объединении издательского дела», в соответствии с которым Госиздат слили с ещё 27 издательствами, было образовано Объединение государственных книжно-журнальных издательств РСФСР (ОГИЗ). Начиная с «шахтинского дела» (1928) в СССР шли судебные процессы над «вредителями». Коснулись репрессии и издательского дела. Был арестован и приговорён к высылке заведующий издательским отделом ОГИЗа А. С. Лизаревич, который был приглашён на эту работу Каганом. Был арестован ещё целый ряд работников ОГИЗА, в том числе и Каган. По воспоминаниям родственника Лизаревича С. Ф. Добкина, «он [Каган] тоже был приговорён к высылке из Москвы... И вот двое его учеников — один из них профессор Ландсберг... - поехали к Молотову, который был тогда председателем СНК. В то время ещё такие люди могли пробиться к председателю СНК, поговорили с ним как следует, и в результате в отношении Вениамина Фёдоровича приговор не был приведён в исполнение... » [42, с. 129]. На судьбу Кагана повлияло, по-видимому, не только обращение его учеников к Молотову, но и письмо группы научных работников на имя А. Я. Вышинского в защиту учёного. Письмо подписали Л. И. Мандельштам, А. Н. Фрумкин, Г. Б. Гуревич, Г. С. Ландсберг, Я. С. Дубнов, А. М. Лопшиц, И. Н. Бронштейн, Г. М. Шапиро, М. Г. Шестопал, П. К. Рашевский. Полный текст приведен в книге Е. С. Иглицкого, процитируем лишь один отрывок: «Ту степень уверенности в невиновности Вениамина Фёдоровича, какая сложилась у каждого из нас, можно сравнить только с уверенностью человека в том, что сделано или не сделано им самим» [42, с. 145-146].

Косвенным свидетельством обвинений, предъявленных Кагану, может служить запись в дневнике В.И.Вернадского от 14 марта 1931г.: «Недо-

пущение печатания... моего «Жив[ого] вещ[ества]». Каган говорил, что он пропустил, не познакомившись с моими взглядами» [43, с. 194]. Вернадский с горечью пишет о звучащих в его адрес обвинениях в идеализме и витализме, о критике его работ, о страхе, приостановившем печатание их в различных издательствах, в том числе и Государственном. Летом того же года философским взглядам Вернадского была посвящена обширная разгромная статья [44]. Об издании «Живого вещества» Вернадский говорил с Каганом ещё в 1928 г., и тот сразу предположил, что могут возникнуть идеологические затруднения. Вернадский пишет: «Он не верит, что учёный может стоять вне философ[ской] системы в своей работе... Коган [Вернадский иногда называет Кагана Коганом — И. Р.] считает, что пропаганда диалектического материализма — одна из основных задач Государственного издательства. Он так шёл, когда стоял во главе Mathesis в Одессе» [43, с. 68-69].

В дневнике Вернадского есть ещё одна запись о Кагане от 28 декабря 1939 г.: «Во главе издательства [имеется в виду Госиздат — И. Р.] тогда стоял профессор Коган, математик, хороший геометр и видный организатор в Одессе крупнейшего до революции издательства... несомненно, умный человек, не партийный. Потом, я помню, он был недоволен, что согласился печатать «Живое вещество»... Резкий филосемит — окруживший себя евреями и глубоко чувствовавший их умственную силу. Говорят, это резко сказывалось в его профессорской деятельности» [45, с. 87].

В 1936 г. МГУ и Московское математическое общество ходатайствовали о включении Кагана в состав советской делегации на X Международный математический конгресс [46], который должен был состояться в Осло. Кагана в состав делегации не включили. Впрочем, никого из советских математиков в Осло не выпустили. Возможная причина — там тогда жил Л. Д. Троцкий.

Арест не помешал Кагану позже стать депутатом Моссовета (1934-1939), получить орден Трудового Красного Знамени (1940) и Сталинскую премию 2-й степени (1943).

20 июля 1941 г. Каган с семьёй эвакуировался в Тамбов, где жила тогда его младшая дочь, и начал преподавать в педагогическом институте. Он читал старшекурсникам дифференциальную геометрию и основания геометрии, а для преподавателей и аспирантов вёл семинар по тензорному анализу [47]. В октябре 1941 г. МГУ был эвакуирован в Ашхабад, и 22 ноября семья переехала туда, а 19 июля 1942 г. — вместе с МГУ — в Свердловск. 1 июня 1943 г. МГУ вернулся в Москву, вернулся туда и Каган. В 1946 г. он был награждён медалью «За доблестный труд в Великой Отечественной войне».

В 1949 г. в университете было торжественно отмечено его 80-летие. Он продолжал интенсивно работать, незадолго до юбилея увидел свет двухтомник «Основы теории поверхностей в тензорном изложении». А.Д.Александров в своей рецензии на книгу называет её «важным вкладом в мировую геометрическую литературу» и завершает рецензию словами: «Я не могу удержаться от того, чтобы не вспомнить в связи с этим, что в этом году

В. Ф. Кагану исполняется 80 лет. Тогда становится ясным, какой пример энтузиазма и преданности своему научному направлению являет всем нам выполненная им большая работа» [48].

Силы ученого тают. Как вспоминает Я. Г. Синай, через некоторое время после празднования юбилея академик И. Г. Петровский приезжал к Кагану с предложением вести семинар дома. Однако этому не суждено было осуществиться. В 1952 г. Каган отказывается от заведования кафедрой дифференциальной геометрии в связи с плохим состоянием здоровья [49].

«В последние годы жизни Вениамин Фёдорович вернулся к педагогической задаче, которая всегда привлекала его — написать учебное руководство-монографию по «Основаниям геометрии». Отдавая этой работе свои последние силы, вложив в неё более чем полувековой опыт работы в любимой области, Вениамин Фёдорович сумел почти в полной мере осуществить свой давний литературный замысел — первый том «Оснований геометрии» вышел в 1949 г.; второй том автор не успел закончить — книга вышла уже после его смерти, её подготовили к печати ученики Вениамина Фёдоровича» [50].

В течение всей жизни Каган неутомимо пропагандировал идеи Лобачевского. Благодаря его таланту организатора удалось опубликовать полное собрание сочинений выдающегося геометра; в качестве главного редактора он написал ряд вводных статей и комментариев.

Каган неоднократно возвращался к биографии Лобачевского. Он написал раздел «Математика» в изданной в 1909 г. многотомной «Истории России в XIX веке» [51]. Автор рецензии, помещенной в «Журнале русского физико-химического общества», счёл, что это скорее «история математиков, чем история математики», и отметил: «Особенно хорошо очерчены у автора личность и идеи нашего великого философа-геометра Лобачевского» [53]. В 1927 г. была напечатана речь Кагана на торжественном заседании, посвященном столетию открытия неевклидовой геометрии [53], в 1938 — статья о Лобачевском в БСЭ [54]. Статья о Лобачевском, напечатанная в 1943 г. в «Вестнике АН СССР» [55], появилась в том же году отдельным изданием [56], через пять лет было напечатано второе издание, дополненное и исправленное [57]. Особенно следует отметить обширную биографию Лобачевского, опубликованную в 1944 г. [58]. «Книга, насыщенная историческими и биографическими материалами и математическими построениями, книга, в которой нет ни одного лишнего слова, читается, тем не менее, как увлекательный роман» [3, с. 29]. В 1948 г. вышло второе издание, значительно дополненное [59]. В 1951 г. книга была издана в Праге, в 1957 г. она была переведена на английский язык [60]. В 1955 г. увидела свет книга «Лобачевский и его геометрия» [60]. Она была переведена на испанский язык и издана в Мексике в 1998 г. [61].

Умер Каган 8 мая 1953 г. Похоронен на Новодевичьем кладбище.

ЛИТЕРАТУРА

1. Архив МГУ. Ф. 1. Оп. 34л. Д. 3476. Л. 37.

2. Історія Одеського університету за 100 років. — Київ, 1968. 423 с: ілюстр.

3. Лопшиц А. М., Рашевский П. К. Вениамин Фёдорович Каган (1869-1953) — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1969. 44 с: портр.

4. ГАОО. Ф. 45. Он. 4. Д. 1320. Л. 1.

5. ГАОО. Ф. 45. Он. 4. Д. 1320. Л. 17.

6. Архив МГУ. Ф. 1. Он. 34л. Д. 3476. Л. 38.

7. Лазурский В. Ф. История моей жизни. — Одесса: ВМВ, 2012. 367с: ил.

8. ГАОО. Ф. Р-1359. Он. 1. Д. 22.

9. Шапиро В. Одесса «математическая» // Мигдаль-Times. 2008. №96-97. С. 40-45: ил.

10. Яглом И. М. Яков Семенович Дубнов — математик и педагог. В кн.: Дубнов Я. С. Беседы о преподавании математики. — М., 1965.

11. 5 лет Союза «Работпрос»: 1920-30 марта 1925. — Одесса, 1925. 158 с.

12. 50-летие общества учителей-евреев // Одес. новости. 1916. 7(20) сент. С. 2.

13. Международная комиссия по преподаванию математики. Первое совещание русской подкомиссии // ВОФЭМ. 1909. №502. С. 241-243.

14. Мрочек В. Итоги I Всероссийского съезда преподавателей математики // Рус. шк. 1912. №2. С. 86.

15. Ланков О. В. До історії розвитку передових ідей в російській методиці математики. - Київ, 1953. С. 138.

16. К.В. Рецензия на «Труды Первого Всероссийского Съезда преподавателей математики» // ВОФЭМ. 1913. №591. С. 83-84.

17. Каган В. Ф. Разложение корней квадратного уравнения в непрерывную дробь // ВОФЭМ. 1887. №23. С. 253-257; №24. С. 275-279.

18. Архив РАН. Ф. 1538. Оп. 4. Д. 152. Л. 1.

19. Архив РАН. Ф. 1538. Оп. 4. Д. 152. Л. 1об.

20. От редакции // ВОФЭМ. 1914. №611-612. С. 297.

21. ГАОО. Ф. 45. Оп. 4. Д. 1320.

22. ГАОО. Ф. 45. Оп. 11. Д. 19А. Л. 48, 48 об.

23. ГАОО. Ф. 45. Оп. 11. Д. 19А. Л. 50.

24. Архив МГУ. Ф. 1. Оп. 34d. Д. 3476. Л. 38.

25. ГАОО. Ф. 45. Оп. 12. Д. 189. Л. 26.

26. ГАОО. Ф. 45. Оп. 4. Д. 2461. Л. 204.

27. ГАОО. Ф. 45. Оп. 4. Д. 2462. Л. 3-6.

28. ГАОО. Ф. 45. Д. 2030. Л. 119.

29. ГАОО. Ф. 45. Оп. 4. Д. 2462. Л. 61.

30. ГАОО. Ф. Р-5432. Оп. 1. Д. 6. Л. 286 об.

31. ГАОО. Ф. Р-5432. Оп. 1. Д. 15. Л. 57.

32. Дубнов Я. С, Лопшиц А.М. Вениамин Фёдорович Каган (1869-1953): [некролог] // Тр. Семинара по векторному и тензорному анализу с их приложениями к геометрии, механике и физике. — М., 1956. Вып. 10. С. 5.

33. Бернштейн С.Н. [Рец. на журн.] // Наука на Украине. 1922. №4. С. 407-408.

34. Чеботарев Н.Г. Математическая автобиография // Успехи мат. наук. 1948. Т. 3, №4. С.3-66.

35. Ландесман-Беленькая Л. Я. Дом на Черноморской: отрывок из воспоминаний // Дерибасовская-Ришельевская: одес. альм. — Одесса, 2012. С. 307-316.

36. Архив МГУ. Ф. 1. Оп. 34л. Д. 3476. Л. 39.

37. Список лиц, служащих в Одесском учебном округе, 1908-1909 уч. г. Ч. 1. — Одесса, 1908. 505, VI, XXX с.

38. Погодина В. В. Малоизвестные страницы из истории открытия клещевого энцефалита // Вопр. вирусологии. 1998. №5. С. 238-240.

39. www.phylol.msu.ru/~iber/hist.html

40. Абов Ю. Г., Алексеев И. Г., Владимирский В. В., Данилов М. В., Данилян Г. В., Иоффе Б. Л., Кайдалов А.В., Канавец В. П., Кирпичников И. В., Окунь Л. В., Суворов А. Л., Тер-Мартиросян К. А. Памяти Иосифа Иосифовича Левинтова // Успехи физ. наук. 2002. Т. 172, №7. С. 837-838.

41. Архив РАН. Ф. 496. Оп. 3. Д. 188. Л. 1.

42. Иглицкий Е. Хочу, чтобы они жили... 2-е изд., испр. и доп. — М., 2001-2002. 171с: ил.

43. Вернадский В. И. Дневники 1926-1934 гг. — М., 2001. 456с: ил.

44. Новогрудский Д. Геохимия и витализм: о научном мировоззрении акад. В. И. Вернадского // Под знаменем марксизма. 1931. №7-8. С. 168-203.

45. Вернадский В. И. Дневники 1935-1941 гг. Кн. 2. 1939-1941. — М., 2006. 294с: ил.

46. Архив МГУ Ф. 1. Оп. 34л. Д. 3476. Л. 71.

47. Мейер А. Р. Судьба российского немца // http://www.deutschmensch.blogspot.com

48. Александров А. Д. В. Ф. Каган, «Основы теории поверхностей в тензорном изложении»: (рецензия) // Успехи мат. наук. 1949. Т. 4, вып. 1. С. 213-217.

49. Архив МГУ Ф. 1. Оп. 34л. Д. 3476. Л. 71. Л. 68.

50. Лопшиц А.М. Вениамин Фёдорович Каган (1869-1953) // Очерки по геометрии / В. Ф. Каган. - М., 1963. С. 18.

51. История России в XIX веке. Т. 6. - СПб, 1909. С. 308-327.

52. Л. Т. [Рецензия] // ЖРФХО. 1910. Т. 42: Физ. отд. (II). С. 79.

53. Каган В. Ф. Речь на торжественном заседании, посвященном празднованию столетия открытия неевклидовой геометрии Н.И.Лобачевским. В кн.: Празднование Казанским университетом столетия открытия неевклидовой геометрии Н.И.Лобачевским. - Казань, 1927. С. 59-66.

54. Каган В. Ф. Лобачевский Н.И. // БСЭ. 1938. Т. 37. С. 288-292.

55. Каган В.Ф. Великий русский ученый Н.И.Лобачевский и его место в мировой науке // Вести. АН СССР. 1943. Т. 7. С. 44-83.

56. Каган В.Ф. Великий русский ученый Н.И.Лобачевский и его место в мировой науке. - М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1943. 56 с

57. Каган В.Ф. Великий русский ученый Н. И. Лобачевский и его место в мировой науке. 2-е изд., испр. — М.-Л.: Гостехиздат, 1948. 84с

58. Каган В. Ф. Лобачевский. — М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1944. 377с; То же. — 2-е изд., доп. 1948. 506 с

59. Каган В. Ф. Лобачевский и его геометрия. — М.: Гостехиздат, 1955. 305 с

60. Kagan V. F. Lobachevsky and his contribution to science. — Moskow: Foreign Languages Pub. House, 1957. 92 p.

61. Kagan V. F. La Geometria no euclidiana de N. I. Lobachevski. — [Мексика]: Editorial Limusa S.A. De S.V., 1998. 200p. (Colleccion clasicos la ciencia).

Поступила 20.02.2014

SCIENTIFIC AND PEDAGOGICAL ACTIVITY OF VENIAMIN FEDOROVICH KAGAN

I. E. Rikun

The article describes the scientific and pedagogical activity of the distinguished geometer V. F. Kagan. His main works are devoted to foundations of geometry and tensor differential geometry. In the latter area he created a scientific school. He also popularized the creative heritage of N. I. Lobachevsky.

Keywords: V. F. Kagan, biography, geometry.

ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ. ПЕРСОНАЛИИ

УДК 519.2

НАЧАЛО ТЕОРИИ ДЕТЕРМИНИРОВАННОГО ХАОСА

Я. Г. Синай

Институт теоретической физики имени Л. Д. Ландау РАН, Принстонский университет (США) e-mail: sinai@math.princeton. edu

От редакции. 20 мая 2014 года наследный принц Норвегии Хакон-Магнус вручил академику РАН Я. Г. Синаю Премию Абеля 2014-го года «за фундаментальный вклад в изучение динамических систем, эргодическую теорию и математическую физику». Инициатива учреждения премии в честь норвежского математика Нильса Хенрика Абеля была выдвинута другим норвежским математиком, Софусом Ли, ещё в конце XIX века, однако премия была учреждена правительством Норвегии только в начале XXI века. Она присуждается ежегодно начиная с 2003 года. Предыдущими лауреатами Премии Абеля являются Жан-Пьер Серр (Франция, 2003), Майкл Атья (Англия) и Изадор Зингер (США, 2004), Питер Лаке (США, 2005), Ленарт Карлесон (Швеция, 2006), Сриниваса Варадхан (США, 2007), Джон Томсон (США) и Жак Титс (Франция, 2008), Михаил Громов (Франция, 2009), Джон Тейт (США, 2010), Джон Милнор (США, 2011), Эндре Семереди (Венгрия-США, 2012), Пьер Делинь (Бельгия, 2013). Премия Абеля неофициально считается равнозначной Нобелевской премии.

Редколлегия журнала искренне поздравляет Якова Григорьевича Синая с высокой наградой и благодарит его за предоставленную эксклюзивную возможность опубликовать текст презентации Абелевской лекции, прочитанной им 21 мая 2014 года в университете Осло.

Наследный принц Норвегии Хакон-Магнус (справа) вручает Я. Г. Синаю Абелевскую премию

Детерминированный хаос

• Слова «детерминированный хаос» были предложены физиками Б. В. Чириковым (Россия), Д. Фордом (США) и Г. М. Заславским (Россия). Их мотивацией было объяснение появления случайного поведения у неслучайных объектов. Иногда подобную ситуацию описывают словами «случайность неслучайного».

• Термин «неслучайный» обычно относят к решениям систем обыкновенных дифференциальных уравнений

(1)

в случае непрерывного времени или к итерациям преобразования

(2)

в случае дискретного времени. Все эволюционные процессы описываются системами типа (1) или (2).

• Теория детерминированного хаоса описывает статистические свойства решений систем (1) или (2). Простейшим статистическим свойством является существование временных средних некоторой функции h вдоль траекторий:

(3) (4)

Например, если кто-либо измеряет температуру в заданном месте в течение заданного промежутка времени, то это измерение даёт одну последовательность температур — в противоположность усреднению в теории вероятностей, где обычно имеют дело с большими ансамблями траекторий.

• Первым шагом в теории детерминированного хаоса является нахождение инвариантной меры, которая определяет статистические свойства траекторий потока (1) или каскада (2). В простейшем случае она задается непрерывной плотностью которая связана с нашей динамикой условием, состоящим в том, что

f(x(t)) р(х) dx

не зависит от t для любой непрерывной функции /.

• Простая интерпретация этого свойства показана на рисунке:

• Знаменитая эргодическая теорема утверждает, что существование инвариантной меры влечёт существование почти всюду временных средних /:

• Различные инвариантные меры отвечают различным наборам временных средних.

• Физики Л. Больцман и Д. Гиббс перенесли в динамику важные идеи из статистической физики.

• Согласно Больцману, динамика называется эргодической, если для почти всех начальных данных имеет место равенство

и / не зависит от начальных условий, т. е. временные средние совпадают с пространственными средними. Конечно, эргодичность является статистическим свойством динамики.

• Гиббс ввёл в динамику важное понятие перемешивания. Согласно Гиббсу, при наличии перемешивания любая гладкая область начальных условий за большое время превращается в область сложной формы:

• При больших t практически невозможно различить точки, которые были первоначально в области Со, от тех, которые не принадлежали ей.

• Последним статистическим свойством является гауссовость распределения флуктуации. В простейшем случае, когда J f(x) р(х) dx = 0, это означает, что если

то для любых чисел а и Ъ при Г —> ос вероятность этих неравенств даётся гауссовским интегралом.

• Это можно сформулировать как универсальность распределения флуктуации

которое даётся классическим гауссовым распределением. Эти три свойства могут рассматриваться как наиболее важные статистические свойства динамики.

• Свойства, подобные эргодичности, перемешиванию, центральной предельной теореме, хорошо известны в теории вероятностей, особенно в теории лотерей, карточных и других азартных игр.

• Большим сюрпризом оказалось обнаружение того факта, что такие же свойства могут проявляться в системах (1), (2) без каких-либо признаков случайности. Это важное открытие связано с понятием энтропии. Энтропия является хорошо известным объектом в статистической физике. Она также играет центральную роль в теории информации К. Шеннона.

• Согласно С. Какутани, он и фон Нейман обсуждали возможность использования энтропии в динамике. Но ничего определённого на эту тему не было опубликовано.

• Большой прогресс произошёл, когда в 1958 г. А. Н. Колмогоров ввёл в динамику понятие энтропии. Позвольте мне объяснить это понятие в простейшем случае детерминированной динамики, где оно связано с теорией меры.

• Обозначим пространство нашей динамики через Q и разложим его на конечное число подмножеств fîi, ..., Qr- Любая точка х G Я может быть записана в виде последовательности

которая означает, что х{к) G fîfc. Тогда энтропия системы за единицу времени даётся выражением

(5)

Здесь Р есть вероятность, задаваемая плотностью р. Предел в (5) всегда существует. Энтропия динамики определяется как верхний предел выражения (5) по всем конечным разбиениям пространства Q.

• Энтропия принимает только неотрицательные значения. В системах вероятностного происхождения она всегда положительна. После того, как энтропия появилась в динамике, возникла надежда, что она позволит различать динамические системы вероятностного происхождения от детерминированных систем типа (1) или (2). Однако оказалось, что это не так.

• Первые примеры были найдены среди групп преобразований тора, которые иногда называют преобразованиями кота Арнольда, хотя, насколько мне известно, Арнольд никогда не держал котов, а только собак.

• Несколько позже было обнаружено, что положительность энтропии связана с неустойчивостью динамики. Для того, чтобы это объяснить, возьмём произвольную траекторию x^(t), t > 0, и рассмотрим её малое возмущение x^\t) = x(°'(t) + ez(t). С точностью до членов более высокого порядка малости по £, z(t) удовлетворяет уравнению Якоби

(6)

Траектория x^(t) называется неустойчивой, если для некоторого z(0) решение z(t) растёт экспоненциально при t —ï оо.

• Важно изучить множество всех решений, удовлетворяющих уравнению (6). Структура этих решений описана в хорошо известной работе российского математика В. И. Оселедца.

• Динамическая система (6) называется гиперболической, если для каждого х(0) любое нетривиальное решение уравнения (6) либо растет экспоненциально, либо убывает экспоненциально при t —?► оо.

• Обозначим через и число экспоненциально убывающих и число экспоненциально возрастающих линейно независимых решений. Обычно числа y(s\ не зависят от начального условия. Большую роль в теории сыграла так называемая теорема Адамара-Перрона.

Теорема Адамара — Перрона

Пусть у(8> = к, = / заданы, к + I = п, и положительны. При некоторых дополнительных предположениях для каждого х существуют локальные подмногообразия ^s\x), dim (7^ (ж)) = k, и ^и\х), dim (7^ (ж)) = = /; такие, что для каждого у G 7^ (ж) выполнена оценка dist (x(t), y(t)) < const-e~at, t > 0 и для каждого y G 7^ (ж) выполнена оценка dist (ж(£), y{t)) < const • eat, t < 0. Здесь a > 0.

• Теорема Адамара-Перрона имеет многочисленные приложения, обобщения и модификации.

Системы Аносова

• Определение. Динамическая система называется системой Аносова, если k, I не зависят от х, 7^ являются С2-гладкими локальными подмногообразиями, и угол между ними всюду равномерно отделён от нуля.

• Основным примером системы Аносова служит так называемый геодезический поток на компактном многообразии отрицательной кривизны. Он играет также важную роль во многих задачах теории представлений и теории чисел.

• Много других примеров можно найти среди бильярдов и систем с упругими столкновениями. Простейшие примеры гиперболических бильярдов представлены на следующем рисунке.

• Одним из наиболее популярных бильярдов является так называемый стадион Бунимовича, у которого граница состоит из двух параллельных отрезков и двух полуокружностей.

• Теорема Адамара - Перрона влечёт в этом случае свойство, не столь хорошо известное геометрам: для почти каждого х существует выпуклая кривая 7^), для которой полутраектории, выходящие из её точек, сходятся экспоненциально быстро к полутраектории точки х. Это свойство типично в гиперболической геометрии (геометрии Лобачевского). Поэтому бильярд в случае стадиона является гиперболическим. Вы узнаете больше о гиперболических бильярдах в лекции профессора Саса (D. Szasz).

• Следующим примером является знаменитая система Лоренца трёх дифференциальных уравнений:

Здесь а, г, Ъ — числовые параметры.

• Лоренц предложил эту систему в 1962 г. При некоторых значениях параметров Лоренц показал численно присутствие случайности в системе. Приближённая картина динамики представлена на следующем рисунке.

• Работа Лоренца оставалась неизвестной в течение многих лет, в частности, из-за того, что она была опубликована в журнале, не известном математикам или физикам. Позже модель Лоренца стала очень популярной среди физиков.

• Д. Рюэль и Ф. Такенс предложили некоторые общие понятия, связанные с этой моделью, в частности, понятие странного аттрактора. Такие аттракторы были обнаружены во многих реальных ситуациях в физике. Можно сказать, что в тот момент идеи детерминированного хаоса проникли в физику. В частности, люди пытались связать странные аттракторы с турбулентностью. Эти попытки продолжаются до настоящего времени.

• В. Такер дал основанное на компьютерных вычислениях доказательство гиперболичности в системе Лоренца.

• Энтропия является инвариантом динамической системы. Системы с одинаковой энтропией могут быть изоморфными в том смысле, что они могут быть преобразованы одна в другую с помощью замен переменных, удовлетворяющих только некоторым условиям измеримости. Дональд Орнштейн и его коллеги получили замечательные результаты в проблеме изоморфизма динамических систем с положительной энтропией.

• Можно описать более подробно связи между гиперболической динамикой и теорией вероятностей, которые ясно демонстрируют понятие детерминированного хаоса и случайность динамики.

• Существует много способов сделать это. Одним из простейших является подход, основанный на так называемых марковских разбиениях. В случае таких разбиений границы различных элементов разбиения строго примыкают друг к другу.

• Марковское разбиение позволяет построить простые представления для целого множества траекторий. В дискретном случае энтропия характеризует рост числа траекторий.

• Теория дает новый подход к проблеме необратимости. Рассмотрим произвольное начальное вероятностное распределение А(ж, 0) и пусть А(ж, t) -распределение, которое получается из него в момент времени t. Если динамика перемешивающая, то А(ж, t) сходится (в слабом смысле) к р(х), т. е. при

(7)

по крайней мере, для ограниченных функций с компактным носителем.

• Сходимость в (7) весьма тонкая. Удобно ввести специальные координаты, в которых первые к координат изменяются вдоль r)^u\ а оставшиеся / координат #(s) изменяются вдоль 7^).

• При движении согласно динамике (7), координаты гладко сходятся к пределам, в то время как вдоль 7^) координаты становятся весьма сложными функциями, которые могут стать случайными.

• Сходимость следует из специальных аргументов, основанных на некоторых стохастических механизмах. Эта картина согласуется с недавней теорией Е. Коэна и Дж. Галлавотти.

• Развитие теории детерминированного хаоса состоит из нескольких прорывов. Каждый прорыв открывал новые возможности для новых классов динамических систем с новыми свойствами. Позвольте мне перечислить некоторые из них в более или менее хронологическом порядке.

• Теория динамических систем с чисто точечным спектром (фон Нейман). Временные зависимости в этом случае квазипериодические и относительно простые. С другой стороны, они имеют много приложений, в частности, в гармоническом анализе.

• Эргодическая теория геодезических потоков на многообразиях отрицательной кривизны (Э. Хопф). Метод, появившийся в этой работе, позже был использован в общей теории гиперболических динамических систем.

• Энтропия динамических систем, введённая А. Н. Колмогоровым, которая позже стала центром нового развития в динамике (1959).

• Теория топологической динамики и топологические динамические системы, включая топологические инварианты (С. Смейл и его школа).

Дж. фон Нейман

Э. Хопф

А. Н. Колмогоров

С. Смейл

• Понятие гиперболических систем (Смейл, Аносов), системы Аносова.

Д.В.Аносов С. Смейл

• Странные аттракторы (Рюэль, Такенс).

Д. Рюэль

Ф. Такенс

• SRB-меры, или физические меры, которые определяют статистические свойства гиперболических систем (Рюэль, Боуэн, Песин, Лоренц и др.).

Д. Рюэль Р. Боуэн Я. Б. Песин Э.Лоренц

• Гиперболические бильярды (Бунимович, Чернов, Сас и др.).

Л. А. Бунимович

• Универсальность при бифуркациях удвоения периода (Фейгенбаум).

М. Фейгенбаум

• Теорема Якобсона и теорема Бенедикса - Карлесона для так называемых отображений Эно.

М. Бенедикс Л. Карлесон

• Современная теория детерминированного хаоса ориентирована на новые приложения и новые задачи.

Поступила 10.05.2014 Перевод с английского языка — Л. М. Лерман

THE ORIGIN OF THE THEORY OF DETEMINISTIC CHAOS

Ya. G. Sinai

Landau Institute for Theoretical Physics Russian Academy of Sciences Princeton University, USA

ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ. ПЕРСОНАЛИИ

УДК 511, 517.13

АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД И ТЕОРИЯ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ В ЛЕКЦИЯХ А. Н. КОЛМОГОРОВА

В. М. Тихомиров

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова Россия, 119899, г.Москва, Ленинские горы 1; e-mail: vmtikh@googlemail.com

Излагается теория действительных чисел, представленная А. Н. Колмогоровым в курсе «Анализ III», читавшемся им осенью 1954 г. на мехмате МГУ. В связи с этим обсуждается архитектура математики, базирующаяся на аксиоматическом методе.

Ключевые слова: аксиоматический метод, действительное число, поле, порядок, полнота.

Мехматский курс «Анализ III»

Осенью 1954 года третьему курсу мехмата, на котором учился автор этих строк, А. Н. Колмогоров начал читать курс «Анализ III». Это был первый синтетический (т. е. вбиравший в себя многие разделы математики) курс в истории мехмата МГУ. Программа курса была разработана А. Н. Колмогоровым в сороковые и пятидесятые годы прошлого века. В лекциях по «Анализу III» объединялись начала теории множеств, теория действительных чисел, начала общей топологии и теории функций, функциональный анализ, теория меры, теория интеграла, теория интегральных уравнений, вариационное исчисление и кое-что ещё.

Это был очень насыщенный курс. Первые лекции были посвящены элементарнейшим сведениям из теории множеств, а в заключительной обзорной лекции первого семестра — «Теория меры и динамические системы», — прочитанной в декабре 1954 года, рассказывалось о понятии динамической системы, об эргодичности, о теореме Пуанкаре-Каратеодори о возвращении, затем о динамических системах классической механики и завершалось всё рассказом о результате, полученном лектором лишь полгода тому назад и доложенном в августе того же 1954 года на Международном конгрессе математиков в Амстердаме. Этот результат положил начало КАМ-теории (теории Колмогорова-Арнольда-Мозера), в которой в частном случае была решена проблема устойчивости планетной системы — проблема, стоявшая со времён Кеплера и Ньютона.

Но мы здесь коснётся лишь одной из исходных точек этого курса. После краткого введения, в котором напоминались начальные определения и факты теории множеств, Андрей Николаевич в течение трёх лекций рассказал аксиоматическое построении действительных чисел. Эти три лекции курса «Анализ III» были прекрасным введением в «архитектуру математики».

Аксиоматический метод

Для математиков поколения Колмогорова аксиоматический метод входил в число выдающихся интеллектуальных достижений математического мира. На нём основывалась идея построения здания, в котором возможно «с полной строгостью» разместить всю математику. В конце XIX в. Г. Кантор заложил основы теории множеств, которая по его замыслу должна была располагаться в основании всей математики. Приверженцами идеи построения всей математики на базе теории множеств аксиоматическим методом были Д. Гильберт, Г. Вейль и другие выдающиеся математики начала XX века. Эту идею разделял и А. Н. Колмогоров. Для подтверждения этого приведу слова из его статьи «Математика» во втором издании Большой Советской Энциклопедии: «Теоретико-множественная концепция доставила не только основной в настоящее время «стандарт математической строгости», но и позволила в значительной мере разобраться в разнообразии возможных математических теорий и их систематизировать» [1].

Когда Андрей Николаевич в середине шестидесятых годов начал осуществлять реформу школьного математического образования, он задумал прочитать цикл лекций для учителей, посвящённый новым идеям в преподавании математики. Лекции состоялись в 1968-69 гг. Первая лекция называлась: «Современные взгляды на природу математики». В самом её начале концепция современной математики характеризуется следующими двумя тезисами:

«А. В основе всей математики лежит чистая теория множеств. Б. Специальные разделы структур занимаются структурами, принадлежащими к тем или иным специальным родам структур. Каждый род структур определяется соответствующей системой аксиом, выраженной на языке теории множеств» [2].

Общий замысел аксиоматического метода восходит к «Началам» Евклида. Однако ещё Лейбниц заметил неполноту евклидовой системы аксиом при чтении доказательства первой же теоремы «Начал». Столетия ушли на попытки вывести из других аксиом Евклида его аксиому о параллельности. Удовлетворительная аксиоматика геометрии была построена лишь в самом конце XIX века: в 1899 году вышла книга Гильберта «Основания геометрии», в которой впервые на примере евклидовой плоской геометрии было соединено всё, что составляет сущность аксиоматического подхода: были обсуждены проблемы полноты системы аксиом, её непротиворечивости и построена модель аксиоматики. Это произвело очень большое впечатление на современников.

В тридцатые годы прошлого века группа французских математиков под псевдонимом «Николя Бурбаки» (позже в неё вошли несколько иностранцев) начала реализацию проекта построения всей математики на основе теории множеств и аксиоматического метода. В результате постепенно было написан и издан многотомный трактат «Начала математики» (в русском переводе -«Элементы математики»). В пятидесятые годы прошлого века, после одного из визитов во Францию, Колмогоров привёз несколько томов этого сочинения и рассказывал об этом трактате на заседании Московского математического

общества.

В трактате «Очерки по истории математики» [3] предпринята попытка обозреть всю историю математики с единой позиции, в которой главенствующую роль играет аксиоматический метод. Коллективу математиков, объединившихся под именем Бурбаки, казалась осуществимой поставленная цель построения Единого Храма Математики, и заключительная часть «Очерков» имеет название «Архитектура математики», где Бурбаки пытается наметить архитектурные контуры всего здания.

... Прошло совсем немного лет, и стало очевидным, что Вавилонскую башню Математики группе Бурбаки построить не удастся. А сама идея такого построения многими выдающимися представителями поколения учеников Колмогорова была подвергнута осмеянию.

Но тем не менее, ознакомление с этой неосуществимой идеей, которой были, однако, захвачены великие представители нашей науки, мне представляется заслуживающим внимания. В трактате «Очерки по истории математики» есть параграф «Действительные числа»1. И я предлагаю краткий конспект цикла из трёх лекций А. Н. Колмогорова из его курса «Анализ III», который был озаглавлен

Теория действительных чисел

В самом начале первой лекции, посвященной обозначенному нами предмету, было дано аксиоматическое определение множества действительных чисел. Было сказано, что эта совокупность (сейчас её обозначают R) является полным упорядоченным полем.

Это краткое определение на лекции подробно комментировалось: пусть множество R — полное упорядоченное поле. Термин поле означает, что R оснащено двумя операциями — сложением (которое обозначается обычно знаком +) и умножением (умножение обозначается знаком • или никак не обозначается). По сложению R — абелева группа с нейтральным элементом нуль (0), по умножению множество R без нуля тоже является абелевой группой с нейтральным элементом единица (i), операции сложения и умножения связаны между собой законом дистрибутивности: а(Ь + с) = ab + ас. При этом предполагается, что нуль не совпадает с единицей (т. е. поле содержит более одного элемента).

Слова «упорядоченное поле» (точнее, линейно упорядоченное поле) означают, что среди элементов множества R имеется полное упорядочение, т. е. любые два элемента а и Ъ связаны одним из соотношений: а < b, а > Ъ или а = Ъ (причём одновременное выполнение а < Ъ и а > Ъ влечёт а = Ъ). При этом если а < b и b < с, то а < с, и ещё упорядоченность связывается с операциями двумя аксиомами: из а < b следует, что 1) VcG R : а + с < b + с и 2) Vc> 0 : ас < be.

1 Первые четыре тома Н. Бурбаки имели такие названия: 1. Теория множеств. 2. Алгебра. 3. Общая топология. 4. Функции действительного переменного. Это уже само по себе указывает место действительных чисел в строении всей математики.

Далее доказывалась

Лемма. В упорядоченном поле 0 < 1.

(Действительно, если допустить, что 1 < 0, то, прибавив к обеим частям по — i, получим, что — 1 > 0, но тогда 1 = (—1)(—1) > 0 — противоречие.)

В итоге приходим к обычному упорядочению целых чисел ... — 2 < —1 < < 0 < 1 < 2 ..., и возникают дроби.

Далее приводился пример поля, состоящего из двух элементов, и шли замечания лектора: 1) упорядоченное поле не может быть конечным и 2) конечное поле нельзя упорядочить. Затем говорилось о том, что алгебра и порядок позволяют ввести понятие ^-окрестности U(х, е) точки X G R: U(x,s) = {х G R | х — е < х < х + s}, т. е. оснастить R топологией, и, в частности, определить понятие предела последовательности.

На этом с алгеброй и порядком всё было закончено и лектор перешёл к последней аксиоме — аксиоме полноты. Колмогоров называл её аксиомой непрерывности. Он привёл ряд аксиом непрерывности и доказал их эквивалентность. Эти аксиомы связаны с именами тех выдающихся математиков XIX века, кому математический анализ обязан своей логической стройностью — Дедекинда, Больцано, Вейерштрасса, Кантора и Коши.

Вот эти аксиомы:

A) Аксиома Дедекинда о сечении. Если множество R представлено как объединение двух непустых непересекающихся множеств X и Y, причём каждый элемент из X меньше любого элемента из Y, то существует элемент z такой, что х < z < у для любых х G X и у G Y (или, что то же: либо в X существует максимальный элемент, либо в Y существует минимальный элемент).

B) Аксиома Больцано о существовании точной верхней (нижней) грани. Любое множество S С R, ограниченное сверху (снизу), имеет точную верхнюю (нижнюю) грань (т. е. элемент M (m) такой, что х < МУх G S (х > т\/X G S) и для любого s > 0 существует элемент £(е) G S (£(£) G S) такой, что ^(s) > M — e (^(s) < m + e).

C) Аксиома Вейерштрасса о предельной точке. Любая ограниченная последовательность {xk}k<m элементов из R имеет предельную точку (т. е. элемент ( G U, в любой ^-окрестности которого содержится элемент последовательности, отличный от £).

D) Аксиома Вейерштрасса о сходящейся подпоследовательности.

Из каждой ограниченной последовательности элементов из R можно выбрать сходящуюся подпоследовательность.

E) Аксиома Больцано о монотонно-возрастающей (монотонно убывающей) последовательности. Ограниченная монотонно возрастающая (убывающая) последовательность элементов из R имеет предел.

В качестве следствия получается аксиома Кантора о вложенных отрезках: последовательность вложенных отрезков Ап = [аП)Ъп] С R, Ai D D А2 D ... с длинами, стремящимися к нулю (т. е. Ъп — ап —?► 0); имеет единственную общую точку ^ (т. е. £ € АпМп).

F) Аксиома Архимеда2 и аксиома сходимости фундаментальной последовательности Коши. Для любых положительных элементов а и ß из R найдётся натуральное число п, для которого an > ß (аксиома Архимеда ); фундаментальная последовательность элементов из R сходится (аксиома Коши). (Последовательность {^}fc(EN называется фундаментальной, если для любого е > 0 найдётся N E N такое, что Vm, п E N если m, п > N, то \хт — хп\ < е.) При этом делалось замечание о существовании неархимедова линейно упорядоченного полного поля, что объясняло необходимость присоединять к аксиоме Коши аксиому Архимеда.

Равносильность аксиом доказывалась такой цепочкой импликаций:

A^B^C^D^E^A и отдельно D о F.

Далее строилось пополнение пространства дробей, состоящее из классов эквивалентных фундаментальных последовательностей. Здесь появилось ещё одно замечательное имя — Хаусдорф, который в общей ситуации описал процедуру пополнения и доказал его единственность. Андрей Николаевич обозначил это «хаусдорфово» пополнение символом i?*. Далее было показано, что это пополнение удовлетворяет аксиомам поля, линейного порядка и полноты. Элементы i?* были названы действительными числами. В i?* естественно вкладывались натуральный ряд N, а также совокупности целых чисел и дробей Ъ и Q.

Оставалось доказать непротиворечивость аксиоматики и единственность построенного объекта с точностью до изоморфизма. Первое было осуществлено с помощью арифметической модели построенного объекта. Эта модель состоит из чисел вида п.ai,......, an,..., где п — целое число, а последовательность ai,..., аП1... двоичная, т. е. ai либо нуль, либо единица, причём последовательности, оканчивающихся на одни единицы, не допускаются. А если предположить, что существует какое-то ещё полное упорядоченное поле i?, то в нём есть 0 и 1, а значит, ряд N, алгебраически и порядково изоморфный N, то же происходит с совокупностью целых чисел Z и дробей Q. Вследствие единственности процедуры пополнения оказывалось, что Д, R и R изоморфны.

Таким образом, на данном объекте — действительных числах — была осуществлена программа, которая задумывалась для всех аксиоматически описываемых объектов: оказалось, что система аксиом действительных чисел полна (из-за единственности объекта) и непротиворечива (как принято говорить, если непротиворечива сама арифметика из-за построения арифметической модели).

Так были представлены нам фрагмент математического мира и ряд его выдающихся представителей XIX-начала XX века, введены важнейшие базовые математические понятия — алгебраические, порядковые, общетопологические — и установлены важные логические связи между ними.

И при этом для слушателей открылся путь к пониманию дальнейшего: вкладов С. Банаха, соединившего векторные пространства с метрикой (и по-

2 Аксиому Архимеда часто называют аксиомой Архимеда-Евдокса.

строившего теорию банаховых (т. е. полных векторных метрических) пространств; фрагмент этой теории был включён в программу курса «Анализ III» и вошёл в учебник Колмогорова-Фомина), И. М. Гельфанда, соединившего банаховость с алгеброй (и построившего теорию банаховых алгебр; автор этой статьи, читая «Анализ III» в 1964/65 гг., включил теорию Гельфанда в свой курс и впоследствии написал главу о теории Гельфанда для учебника Колмогорова-Фомина) и Л.В.Канторовича, оснастившего векторные пространства порядком (такие пространства так и не попали в мехматское математическое образование, а в конце века обнаружилось, что построенные Канторовичем «векторные решётки» суть не что иное, как действительная прямая в некоем расширенном смысле).

Несколько слов в заключение. Книга Банаха по теории линейных операторов [4] произвела на А. Н. Колмогорова большое впечатление. Он отреагировал на неё введением в 1935 г. понятия топологического векторного пространства и дал критерий нормируемости таких пространств (и теория Банаха стала существенной частью курса «Анализ III»). А ещё чуть раньше А. Н. Колмогоров склонил к исследованиям в функциональном анализе двух своих учеников — И. М. Гельфанда и С. М. Никольского, защищавших в 1935 году в один день свои кандидатские диссертации. Чуть позже он с интересом воспринял и первые исследования Канторовича по векторным решёткам.

ЛИТЕРАТУРА

1. Колмогоров А. Н. Математика / В кн.: Большая Советская Энциклопедия (БСЭ-2), 1954. Т. 26. С. 454-483.

2. Колмогоров А. Н. Математика — наука и профессия. — М.: Наука, 1988. 288 с.

3. Бурбаки Н. Очерки по истории математики. — М.: КомКнига, 2006. 296 с.

4. Banach S. Théorie des opérations linéaires. — Warszava, 1932. 254p.

Поступила 20.05.2014

AXIOMATIC METHOD AND THEORY OF REAL NUMBERS

V. M. Tikhomirov

This article describes a fragment of the course «Real Analysis III» given by A. N. Kolmogorov in the fall of 1954 and devoted to the theory of real numbers. Bourbaki's «architecture of mathematics» based on axiomatic method is briefly discussed.

Keywords: axiomatic method, real number, field, order, completeness.

ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ. ПЕРСОНАЛИИ

КАЛЕНДАРЬ ЗНАМЕНАТЕЛЬНЫХ ДАТ В ОБЛАСТИ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ НА 2014 ГОД

От редакции. С этого номера мы начинаем публикацию календаря знаменательных дат, связанных с тематикой нашего журнала. Конечно, традиция публикации таких календарей не нова. Мы считаем её полезной с разных точек зрения. Во-первых, это дань памяти, во-вторых — это средство расширения кругозора. Наконец, это полезное подспорье для всех, кто занят математическим образованием и просвещением: во время трудной лекции не вредно дать слушателям передохнуть, рассказав подходящие по теме сведения из истории математики и её творцов. И если этот рассказ будет интересным, то он послужит ещё и своеобразным опорным сигналом для запоминания математического содержания лекции.

Конечно, при составлении подобного календаря необходимы какие-то критерии отбора. По Далю «юбилей — празднество по поводу протёкшего пятидесятилетия, столетия, тысячелетия» какого-то события, а по библии древнееврейское «ювель» (от которого, согласно Ушакову, происходит слово «юбилей») означает «год свободы» — год, установленный пророком Моисеем и наступающий раз в пятьдесят лет «после семи седьмиц», когда рабы получают свободу и должникам прощаются долги. Мы же условимся считать знаменательными даты, отмечающие интервалы, прошедшие со дня рождения учёного или момента какого-либо общественного события, не меньшие 75 лет и кратные 10 или 25. При этом, конечно, остаётся вопрос о включаемых персоналиях и событиях, который так просто не формализуется.

В этом номере публикуются два календаря — на 2014 и на 2015 годы. Это связано с тем, что в 2014 году предполагалось выпустить два номера журнала, но по не зависящим от редакции причинам этот план реализовать не удалось. Мы публикуем календарь на заканчивающийся 2014 год, полагая, что, в силу принятого выше «критерия юбилейности», содержащаяся в нём информация будет «работающей» через 5, 10 и т.д. лет.

Что касается собственно календарных статей, то даются только самые краткие справочные данные, сопровождаемые указанием источников биографического характера, по возможности, на русском языке, а в тех случаях, когда такие источники отсутствуют или представляются недостаточными, даются ссылки на англоязычные материалы (как правило, на интернет-ресурсы1).

Учитывая сказанное, мы будем благодарны читателям за замечания, касающиеся отбора персоналий и событий, и за указание источников.

Январь — 100 лет назад в Москве прошел II Всероссийский съезд преподавателей математики, собравший свыше 1000 делегатов. Помимо педагогов средней школы, на съезде присутствовали и выступали с докладами такие известные математики, как А. В. Васильев, А. К. Власов, Б. К. Млодзеевский, П. А. Некрасов, Д. М. Синцов и многие другие.

1) Доклады, читанные на II Всероссийском съезде преподавателей математики в Москве. — М., 1915. 320 с.

2) Метельский Н. В. Очерки истории методики математики. — Минск: Вышэйшая школа, 1968. 340 с.

3) Синцов Д. М. Второй Всероссийский съезд преподавателей математики // ВОФЭМ. 1914. №603. С. 72-82.

1 Все ссылки на интернет-ресурсы указаны вторым из составителей этих календарей.

5 января — 130 лет со дня рождения французского математика, члена (1942) и президента (1962) Парижской АН, иностранного члена (1971) АН СССР Арно Данжуа (Arnaud Denjoy, ум. 21.01.1974). Основные труды по теории функций действительной переменной. Получил важные результаты в теории динамических систем.

МТ2: http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Denjoy.html

6 января — 80 лет со дня рождения американского математика Вильяма Браудера (William Browder). Специалист по алгебраической топологии и по дифференциальной геометрии.

МТ: http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/BrowderWilliam.html

8 января — 90 лет со дня рождения английского математика Пола Кона (Paul Moritz Cohn, ум. 20.04.2006). Специалист по теории колец и универсальной алгебре, ввёл понятия универсальной локализации некоммутативного кольца и кольца свободных идеалов.

МТ : http://www-groups.des.st-and.ас.uk/ -history/Biographies/Cohn.html

9 января — 150 лет со дня рождения отечественного математика и механика, академика (с 1912 г.) Владимира Андреевича Стеклова (ум. 30.05.1926). Его имя носит Институт математики РАН.

1) Владимиров В. С, Маркуш И. И. Академик В. А. Стеклов. — М.: Знание, 1973. 64 с.

2) Смирнов В. И. Владимир Андреевич Стеклов / В сб. «Люди русской науки». - М., 1961. С. 271-276.

3) Игнациус Г. И. Владимир Андреевич Стеклов (1864-1926). — М.: Наука, 1967. 212 с.

14 января — 90 лет со дня рождения латвийского математика Линарда Эдуардовича Рейзиня (Linards Eduardovich Reizins, ум. 31.03.1991). Основные работы относятся к качественной теории дифференциальных уравнений и к истории математики.

Рейнфельд А. А., Хенина И. Линард Эдуардович Рейзинь (1924-1991) // Латвийский математический ежегодник. 1993. №34. С. 241-255.

15 января — 200 лет со дня рождения швейцарского математика Людвига Шлефли (Ludwig Schlafli, ум. 20.03.1895), специалиста в области многомерной геометрии и комплексного анализа.

МТ : http://www-history.mes.st-andrews.ас.uk/Biographies/Schlafli.html

21 января — 140 лет со дня рождения французского математика Рене-Луи Бэра (René-Louis Baire, ум. 5.07.1932), одного из создателей современной теории вещественных функций и дескриптивной теории множеств. МТ : http://www-history.mes.st-andrews.ас.uk/Biographies/Вaire.html

2 Эта и некоторые другие аббревиатуры расшифрованы в конце календаря на 2015 год.

22 января — 125 лет со дня рождения отечественного математика Антона Казимировича Сушкевича (ум. 30.08.1961). Основные работы по алгебре (в частности, по теории полугрупп) и теории чисел. Автор учебников по высшей алгебре, теории чисел, а также трудов по истории математики.

Глускин Л. М., Ляпин Е. С. Антон Казимирович Сушкевич (к семидесятилетию со дня рождения) // УМН. 1959. Т. 14, вып.1. С. 255-260.

28 января — 90 лет со дня рождения немецкого математика Вильгельма Клингенберга (Wilhelm Paul Albert Klingenberg, ум. 14.10.2010). Основные результаты относятся к дифференциальной геометрии. МТ: http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Klingenberg.html

31 января — 100 лет со дня рождения советского математика, профессора Киевского университета Льва Аркадьевича Калужнина (ум. 6.12.1990). Защитил три докторских диссертации (во Франции, в ГДР и в СССР). Основные работы по алгебре, математической логике, теории автоматов, математической статистике.

1) Александров П. С, Гнеденко Б. В., Головин О. Н. Лев Аркадьевич Калужнин (к шестидесятилетию со дня рождения) // УМН. 1974. Т. 29, вып. 4(178). С.193-197.

2) Вышенский В. А., Дрозд Ю. А., Кириченко В. В., Перестюк П. А., Сушанский В. П., Ядренко М. П., Самойленко А.М., Королюк В. С. Лев Аркадьевич Калужнин (некролог) // Укр. Мат. журнал. Т. 43. №12. С. 1721.

2 февраля — 125 лет со дня рождения отечественного востоковеда академика Василия Васильевича Струве (ум. 15.09.1965). Автор работ, посвященных истории математики Древнего Востока. Исследовал и опубликовал Московский папирус (датируется примерно 1850г. до н.э.).

1) Дьяконов И.М., Юшкевич А. П. Академик В.В.Струве (1889-1965) // ВИЕТ. 1967. Вып. 22. С. 126.

2) Иоселева М. Я. Научный вклад В. В. Струве в изучение математики Древнего Египта // Страны и народы Востока. 1969. Вып. 8. С. 25-29.

11 февраля — 175 лет назад родился американский физик, физикохимик, математик и механик Джозайя Виллард Гиббс (Josiah Willard Gibbs, ум. 28.04.1903). В области математики известен, прежде всего, как создатель векторного исчисления.

Франкфурт У. И., Френк А. М. Джозайя Виллард Гиббс. — М.: Наука, 1964.

14 февраля — 175 лет со дня рождения немецкого математика, профессора Эрлангенского, затем Тюбингенского университетов Германа Ганкеля (Hermann Hankel, ум. 29.08.1873). Основные исследования относятся к основаниям арифметики, комплексному анализу, кватернионам, линейной алгебре. Г. Ганке лю принадлежат также работы по истории античной и средневековой математики. На русском языке опубликована его книга «Теория комплексных числовых систем» (Казань, 1912).

МТ : http : / / www-history, mes. st- andrews. ас. uk/Biographies/Hankel.html

15 февраля — 450 лет со дня рождения итальянского механика, математика и астронома Галилео Галилея (Galileo Galilei, ум. 8.01.1642). Преследовался инквизицией за пропаганду гелиоцентрической системы Коперника. Предшественник Б. Кавальери в создании исчисления неделимых.

Кузнецов Б. Г. Галилей. — М.: Наука, 1964. 326 с.

15 февраля — 175 лет со дня рождения датского математика и историка математики, члена Датской АН (с 1872 г.) Иеронима Георга Цейтена (Hieronymus Georg Zeuthen, ум. 6.01.1920). Его основные математические труды относятся к геометрии, алгебраической геометрии и математическому анализу. Автор 40 статей и книг по истории математики, некоторые из которых стали классическими.

MT: http://www-history.mes.st-andrews.ас.uk/Biographies/ Zeuthen.html

18 февраля — 610 лет со дня рождения итальянского учёного Леона Баттиста Альберти (Leone Battista Alberti, ум. 20.04.1472), который первым связно изложил математические основы учения о перспективе и предложил идею многоалфавитного шифра.

Леон Батиста Альберти (сб. статей, отв. ред. В.Н.Лазарев). — М.: Наука, 1977. 192 с.

18 февраля — 170 лет со дня рождения немецкого математика Якоба Люрота (Jacob Lüroth, ум. 14.09.1914). Основные его результаты относятся к алгебраической геометрии.

MT: http://www-history.mes.st-andrews.ас.uk/Biographies/Lueroth.html

5 марта — 440 лет со дня рождения английского математика Уильяма Отреда (William Oughtred, ум. 30.06.1660). Предложил идею двойной шкалы для логарифмической линейки, автор ряда обозначений и терминов в современной математике.

Гутер Р. С, Полунов Ю. Л. От абака до компьютера. — М.: Знание, 1981.

10 марта — 150 лет со дня рождения американского математика Уильяма Осгуда (William Fogg Osgood, ум. 22.07.1943). Основные труды относятся к теории функций, в частности, к теории конформных отображений и вариационному исчислению.

МТ : http : //www-history, mes. st-andrews. ас. uk/Biographies/Osgood.html

12 марта — 110 лет со дня рождения доктора физико-математических наук (1941) Людмилы Всеволодовны Келдыш (ум. 16.02.1976), специалиста в области теории функций действительной переменной и теоретико-множественной топологии. Она — мать пятерых детей, среди которых лауреат Филдсовской премии академик РАН С. П. Новиков.

1) Александров П. С, Сосинский А. Б., Чернавский А.В., Штанько М. А. Людмила Всеволодовна Келдыш (к семидесятилетию со дня рождения) // УМН. 1974. Т. 29, вып. 4. С. 187-192.

2) Мацкина Р.Ю. Людмила Всеволодовна Келдыш // МШ. 1965. №2. С. 75-78.

21 марта — 130 лет со дня рождения американского математика Джорджа Дэвида Биркгофа (George David Birkhoff, ум. 12.11.1944). Один из создателей общей теории динамических систем. Другие работы — по теории алгебр Ли, теории относительности, квантовой механике.

МТ : http : / / www-history, mes. st- andrews. ас. uk/Biographies/Birkhoff,html

23 марта — 430 лет со дня рождения бельгийского математика Грегуара де Сен-Венсана (Grégoire de Saint-Vincent, ум. 5.06.1667). Главное его сочинение — «Геометрический труд о квадратуре круга и конических сечений» (1647). Решил задачу вычисления площади под гиперболой. Открыл (независимо от Кавальери) полярную систему координат.

MT: http://www-history.mes.st-andrews.ас.uk/Biographies/ S aint-Vincent.html

23 марта — 80 лет со дня рождения отечественного математика и физика-теоретика, академика-секретаря отделения математических наук РАН Людвига Дмитриевича Фаддеева. Получил основополагающие результаты в квантовой механике, калибровочных полях, квантовых группах, автор более 200 научных трудов, лауреат государственных премий (1971, 1995, 2005). В 1986-1990 гг. был президентом Международного математического союза.

Autobiography of Ludwig Faddeev: http://www.shawprize.org/en/shaw.php7tmp =3&twoid=49&threeid=57&fourid=77&fiveid=18

2 апреля — 80 лет со дня рождения Пола Коэна (Paul Joseph Cohen, ум. 29.03.2007), американского математика, работы которого относятся к основаниям математики, теории множеств, математической логике. Лауреат Филдсовской премии (1966).

MT: http://www-history.mes.st-andrews.ас.uk/Biographies/ Cohen.html

3 апреля — 75 лет со дня рождения отечественного математика, академика РАН, ректора МГУ (с 1992 г.) Виктора Антоновича Садовничего. Лауреат государственных премий (1989, 2002).

Алдошин СМ., Аносов Д. В., Велихов Е.П., Гончар А.А., Григорьев А. И., Емельянов С. В., Журавлев Ю. И., Ильин В. А., Ковальчук М. В., Козлов В. В., Коровин С. К., Кирпичников М.П., Куржанский А.В., Марчук Г. И., Маслов В. П., Моисеев Е.И., Никольский СМ., Новиков СП., Окунев Ю.М., Осипов Ю. С, Патон Б. Е., Скулачев В. П., Ткачук В. А., Фаддеев Л. Д., Фоменко А. Т., Черный Г. Г., Чубариков В. П. К семидесятилетию Виктора Антоновича Садовничего // Дифференц. Уравнения. 2009. Т. 45, №4. С. 451-461.

6 апреля — 80 лет со дня рождения украинского математика Иосифа Владимировича Островского. Чл.-корр. НАН Украины (1978). Основные труды по теории функций и теории вероятностей.

Азарин В. С, Гольдберг А. А., Ильинский А. И., Марченко В. А., Пастур Л. А., Скрыпник И. В., Содин М.Л., Улановский А.М., Фельдман Г.М., Хруслов Е. Я., Чистяков Г. П. Иосиф Владимирович Островский (к 70-летию со дня рождения) // УМН. 2005. Т. 60, вып. 1 (361). С. 186-188.

9 апреля — 180 лет со дня рождения французского математика, члена Парижской АН Эдмона Никола Лагерра (Edmond Nicolas Laguerre, ум. 14.08.1886). Основные работы посвящены геометрии и ортогональным многочленам. Установил метрические свойства евклидовой геометрии на базе проективных концепций.

МТ: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/ Laguerre.html

11 апреля — 110 лет со дня рождения английского математика Филипа Холла (Philip Hall, ум. 30.12.1982), крупного специалиста по теории групп.

МТ: http://www-groups.des.st-and.ас.uk/~history/Biographies/Hall.html

12 апреля — 220 лет со дня рождения французского математика и механика Жерминаля Данделена (Germinal Pierre Dandelin; ум. 15.02.1847). Дал наглядное и краткое стереометрическое объяснение всех основных свойств конических сечений при помощи конструкции, получившей название «шары Данделена»; предложил (1826) способ приближённого вычисления корней уравнения, сходный с методами Н. И. Лобачевского и К. Греффе, но менее разработанный.

1) Виляйтнер Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия. - М.: ГИФМЛ, 1960. 468с.

2) МТ: http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Dandelin.html

21 апреля — 120 лет со дня рождения швейцарского математика Пауля Финслера (Paul Finsler, ум. 29.04.1970). Основные труды относятся к геометрии и основаниям математики.

МТ: http://www-groups.des.st-and.ас.uk/~history/Biographies/Finsler.html

23 апреля — 100 лет назад родился советский математик, чл.-корр. АН УССР (1967) Георгий Николаевич Положий (ум. 26.09.1968). Основные направления исследований — теория функций комплексной переменной, приближённые и численные методы, математическая физика, прикладная математика, теория упругости, теория фильтрации.

1) Георгий Николаевич Положий / В кн. Вычислительная и прикладная математика, Межведомственный научный сборник. — Киев: Киевский ун-т, вып. 9. 1969. 143 с.

2) МТ: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Polozii.html

29 апреля — 160 лет со дня рождения французского математика, физика, астронома и философа Анри Пуанкаре (Jules Henri Poincaré, ум. 17.07.1912), члена Парижской АН, а также свыше 35 других академий мира. Основные исследования посвящены теории чисел, алгебре, топологии, теории дифференциальных уравнений, математической физике, основаниям математики. Оставил более 1000 работ.

1) Сажере Ю., Адамар Ж., де Бройль Л. Анри Пуанкаре. Антология. — М.: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. 64 с.

2) Тяпкин А. А., Шибанов А. С. Пуанкаре. — М.: Молодая гвардия, 1982. 415 с.

2 мая — 75 лет со дня рождения отечественного математика, чл.-корр. РАН Василия Алексеевича Исковских (ум. 4.01.2009), специалиста в области алгебраической геометрии.

Богомолов Ф. А., Куликов Бик. С, Манин Ю. И., Никулин В. В., Орлов Д. О., Паршин А.Н., Прохоров Ю.Г., Пухликов А.В., Рид М., Шафаревич И. Р., Шокуров В. В. Василий Алексеевич Исковских (некролог) // УМН. 2009. Т. 64, вып. 5. С. 167-174.

3 мая — 90 лет со дня рождения американского математика Изадора Мануэля Зингера (Isadore Manuel Singer). Лауреат премии Абеля (2004). Основные результаты в области алгебраической топологии (теорема Атьи-Зингера об индексе (1963)).

МТ: http://history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Singer.html

7 мая — 160 лет со дня рождения профессора геометрии в Падуе, члена Национальной академии деи Линчеи Джузеппе Веронезе (Giuseppe Veronese, ум. 17.07.1917). Основные работы посвящены проективной и многомерной геометрии. Разрабатывал общие проблемы бирациональных преобразований поверхностей.

МТ : http : / / www- groups. des. st- and .ac.uk/ ~hist огу/Biographies /Veronese.html

11 мая — 90 лет со дня рождения советского и американского математика, члена Национальной академии наук США Евгения Борисовича Дынкина. Основные работы относятся к теории групп и алгебр Ли и теории вероятностей. Он был видным деятелем математического просвещения в СССР, с 1950-х годов вёл математические кружки при МГУ. С 1976 года — в эмиграции.

Введенская П. Д., Добрушин Р. Л., Онищик А. Л., Успенский В. А. Евгений Борисович Дынкин (к семидесятилетию со дня рождения) // УМН. 1994. Т. 49, вып. 4. С. 183-188.

22 мая — 100 лет со дня рождения американского математика, члена Национальной академии наук США Липмана Вереа (Lipman Bers, ум. 29.10.1993). Один из создателей теории псевдоаналитических функций. Основные работы относятся к взаимосвязи между теорией функций комплексной переменной и теорией уравнений с частными производными эллиптического типа. В 1975-1977 гг. — президент Американского математического общества.

МТ: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Bers.html

24 мая — 150 лет со дня рождения отечественного математика, профессора Казанского университета Дмитрия Николаевича Зейлигера (ум. 25.07.1936). Занимался линейчатой геометрией, заложил основы винтового исчисления.

Черняев М. П. Работы профессора Д. Н. Зейлигера по комплексной геометрии линейчатого пространства // Уч. зап. НИИ мат. и физ. Рост. ГУ. 1937. Т. 1. С. 15-18.

24 мая — 80 лет со дня рождения профессора Санкт-Петербургского университета, специалиста в области дифференциальных уравнений с частными производными Нины Николаевны Уральцевой.

Архипова А. А., Серёгин Г. А. Нина Николаевна Уральцева к 70-летию со дня рождения // Записки научных семинаров ПОМИ. 2004. Т. 310. С. 7-18.

29 мая — 80 лет со дня рождения отечественного математика, академика РАН, лауреата государственной премии (1985) Николая Сергеевича Бахвалова (ум. 29.08.2005). Основные труды по теории дифференциальных уравнений, вычислительной математике и математической физике.

1) Керимов М. К. К семидесятилетию со дня рождения академика Николая Сергеевича Бахвалова // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2005. Т. 45, №4. С.563-573.

2) Демидович В. Б., Дымников В. П., Кобельков Г. М., Козлов В. В., Куликовский А. Г., Садовничий В. А., Тихомиров В. М., Тыртышников Е. Е., Чубариков В. Н., Эглит М. Э. Николай Сергеевич Бахвалов (к восьмидесятилетию со дня рождения) // УМН. 2014. Т. 69, вып. 3. С. 183-185.

30 мая — 200 лет со дня рождения бельгийского математика, чл.-корр. Петербургской АН Эжена-Шарля Каталана (Eugène-Charles Catalan, ум. 14.02.1894). Написал более 200 сочинений по геометрии, его имя вошло в математические термины число Каталана и константа Каталана.

МТ: http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Catalan.html

3 июня — 120 лет со дня рождения отечественного математика-педагога, чл.-корр. (1957) АПН СССР, заслуженного деятеля науки РСФСР (1964) Ивана Косьмича Андронова (ум. 11.11.1975).

1) Брадис В.М. Иван Косьмич Андронов // МШ. 1974. №2. С. 84-85.

2) Депман И. Я. Иван Косьмич Андронов // МШ. 1954. №5. С. 71-73.

5 июня — 200 лет со дня рождения Пьера Ванцеля (Pierre Laurent Wantzel, ум. 21.05.1848), французского математика, доказавшего неразрешимость задач удвоения куба и трисекции угла.

МТ: http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Wantzel.html

15 июня — 120 лет со дня рождения отечественного математика Николая Григорьевича Чеботарёва (ум. 2.07.1947), чл.-корр. (1929) АН СССР, заслуженного деятеля науки РСФСР. Исследования относятся к теории чисел, алгебре, вариационному исчислению, геометрии. Получил важные результаты по теории групп Ли, групп Галуа, теории алгебраических чисел и проблеме резольвент.

Делоне Б. П. Николай Григорьевич Чеботарёв // Известия АН СССР, сер. матем. 1948. Т. 12, №4. С. 337-340.

22 июня — 150 лет со дня рождения немецкого математика и физика, профессора Геттингенского университета Германа Минковского (Hermann Minkowski, ум. 12.01.1909). Заложил основы геометрии выпуклых тел. Дал математическое обоснование общей теории относительности, введя четырёхмерное псевдоевклидово пространство (пространство Минковского).

Делоне Б. Я. Герман Минковский // УМН. 1936. Вып. 2. С. 32-38.

28 июня — 80 лет со дня рождения Майкла Артина (Michael Artin), американского математика, лауреата премии Вольфа (2013). В 1991-1992 гг. был президентом Американского математического общества. Известен своими результатами по алгебраической геометрии, по некоммутативной геометрии.

МТ: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Artin_Michael.html

29 июня — 110 лет со дня рождения польского и американского математика Витольда Гуревича (Witold Hurewicz, ум. 6.09.1956). Основные результаты в области теории размерности и алгебраической топологии. Ввёл высшие гомотопические группы и понятие точной последовательности.

МТ: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Hurewicz.html

8 июля — 110 лет со дня рождения Анри Картана (Henri Paul С art an, ум. 13.08.2008), французского математика, члена Парижской АН, одного из основателей группы Бурбаки. В 1966-1970 гг. был президентом Международного математического союза, лауреат премии Вольфа (1980).

МТ:

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Cartan_Henri.html

19 июля — 120 лет со дня рождения отечественного математика, чл.-корр. (1939) АН СССР, члена и одного из основателей (1943) АПН РСФСР Александра Яковлевича Хинчина (ум. 18.11.1959). Исследования относятся к теории вероятностей, математической логике, теории функций, теории чисел, математическому анализу, истории математики.

Гнеденко Б. В., Колмогоров А. Н. Александр Яковлевич Хинчин (некролог) // УМН. 1960. Т. 15, вып. 4. С. 97-110.

19 июля — 80 лет со дня рождения отечественного математика, академика РАН, заместителя академика-секретаря Отделения математических наук РАН Алексея Борисовича Жижченко, специалиста в области научных телекоммуникаций и информационных систем в математике.

http : // www. mat hnet .ru/php/person. phtml?personid=17444&option_lang= (научная биография и список публикаций А. Б. Жижченко)

22 июля — 230 лет со дня рождения немецкого астронома и математика, члена Берлинской АН, почётного члена Петербургской АН Фридриха Вильгельма Бесселя (Friedrich Wilhelm Bessel, ум. 17.03.1846). В области математики разработал теорию цилиндрических функций (функции Бесселя).

1) Багратуни Г. В. Жизнь и геодезические исследования Ф. В. Бесселя / В кн.: Бессель Ф. В. Высшая геодезия и способ наименьших квадратов — М.: Изд-во АН СССР, 1961. С. 5-15.

2) Лавринович К. К. Фридрих Вильгельм Бессель. — М.: Наука, 1989. 320 с.

3 августа — 100 лет со дня рождения польского и американского математика Марка Каца (Mark Кас, ум. 26.10.1984), специалиста по теории вероятностей.

МТ : http : / / www-groups. des. st- and. ас. uk/ -history/Biographies/Кас.html

4 августа — 180 лет со дня рождения Джона Венна (John Venn, ум. 4.04.1923), английского логика и философа. Ввёл диаграммы, названные его именем, которые используются в теории множеств, теории вероятностей и др., развивал символическую логику.

MT: http://www-history.mes.st-andrews.ас.uk/Biographies/Venn.html

11 августа — 125 лет со дня рождения Андрея Михайловича Размадзе (ум. 2.10.1929), грузинского математика, специалиста по вариационному исчислению.

МТ: http://www-groups.des.st-and.ас.uk/~history/Biographies/Razmadze.html

19 августа — 275 лет со дня рождения немецкого математика и физика, почётного члена Петербургской АН (1794) Георга Клюгеля (Georg Simon Klügel, ум. 4.08.1812). Основные труды по геометрии и тригонометрии. Ввёл термины «средняя геометрическая» (1808) и «тригонометрические функции» (1770). В своей диссертации (1763) дал исторический обзор попыток доказательства постулата Евклида о параллельных.

MT: http://www-history.mes.st-andrews.ас.uk/Biographies/Klugel.html

19 августа — 75 лет со дня рождения английского математика, профессора Кембриджского университета Алана Бейкера (Alan Baker). Основные работы относятся к алгебре. Лауреат Филдсовской премии (1970).

МТ: http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Baker_Alan.html

21 августа — 225 лет со дня рождения французского математика, почётного члена Петербургской АН Огюстена Луи Коши (Augustin Louis Cauchy, ум. 23.05.1857). Автор около 700 работ, в которых заложены основы современного математического анализа. Создал теорию функций комплексной переменной, основы теории сходимости рядов.

1) Белхост Б. Огюстен Коши. — М.: Наука, 1997. 174 с.

2) Молодший В. Н. О. Коши и революция в математическом анализе первой четверти XIX века // ИМИ. 1978. Вып. 23. С. 32-55.

31 августа — 130 лет со дня рождения американского историка науки, члена Международной академии истории наук и её президента (1950-1953) Джорджа Сартона (George Sarton, ум. 22.03.1956). Его исследования относятся к истории науки, в частности, истории математики. Американским обществом историков науки учреждена медаль его имени. В 1978 г. такую медаль получил А. П. Юшкевич. Джордж Сартон // ВИЕТ. 1957. Вып. 3. С. 270-271.

3 сентября — 200 лет со дня рождения английского математика, переехавшего в США, Джеймса Джозефа Сильвестра (James Joseph Sylvester, ум. 15.03.1897). Основные работы относятся к алгебре, теории инвариантов, теории вероятностей. Основатель (1878) и первый редактор первого американского математического журнала «The American Journal of Mathematics ». Иностранный член Петербургской АН. Розенфельд Д., Розенфельд И. Первый выдающийся еврейский математик Англии и Америки — Джеймс Джозеф Сильвестр. Страницы жизни и творчества // Сетевой журнал «Заметки по еврейской истории». 2012. №4(152). http: //berkovich-zametki.com/2012/Zametki/Nomer4/Rozenfeldl .php

3 сентября — 130 лет со дня рождения американского математика, члена Национальной академии наук США Соломона Лефшеца (Solomon Lefschetz, ум. 6.10.1972). Основные результаты относятся к алгебраической геометрии и топологии. Автор основополагающих работ по алгебраической теории непрерывных отображений.

МТ: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Lefschetz.html

4 сентября — 125 лет со дня рождения чл.-корр. (1946) АН СССР, лауреата Государственной премии Вячеслава Васильевича Степанова (ум. 22.07.1950). Один из основоположников отечественной школы качественной теории дифференциальных уравнений. Вице-президент Московского математического общества (с 1943 г.).

1) Александров П. С, Немыцкий В. В. Вячеслав Васильевич Степанов. — М.: МГУ, 1956. 60 с.

2) Мышкис А. Д., Олейник О. А. Степанов Вячеслав Васильевич (к 100-летию со дня рождения) // УМН. 1990. Т. 45, вып. 6. С. 161-163.

7 сентября — 90 лет со дня рождения Николая Николаевича Красовского (ум. 4.04.2012), чл.-корр. (1964) и академика (1968) РАН, лауреата Ленинской (1976) и Государственной (1984) премий. Основные работы посвящены теории устойчивости движения и динамике управляемых систем, общей качественной теории дифференциальных уравнений.

1) Бердышев В. И., Емельянов С. В., Куржанский А. Б., Мищенко Е. Ф., Осипов Ю. С. Николай Николаевич Красовский (к восьмидесятипятилетнему юбилею) // Тр. ИММ УрО РАН. 2009. Т. 15, №3. С. 5-20.

2) Николай Николаевич Красовский (некролог) // Труды ИММ УрО РАН. 2012. Т. 18, №4. С. 329-330.

3) Застырец А. В. Накануне всё той же работы (Николай Николаевич Красовский) // Изв. Уральского гос. университета. 1997. №5. С. 71-76.

10 сентября — 250 лет со дня рождения3 отечественного математика и механика, академика Петербургской АН Семёна Емельяновича Гурьева (ум. 11.12.1813). Основные исследования относятся к геометрии, анализу и механике. Написал ряд учебников по этим дисциплинам. Занимался вопросами методики и методологии математики.

1) Прудников В.Е. К биографии академика С.Е.Гурьева // Труды ИИЕТ. 1956. Т. 10. С. 384-392.

2) Юшкевич А. 77. Академик С. Е. Гурьев и его роль в развитии русской науки // Труды ИИЕ. 1947. Т. 1. С. 219-269.

10 сентября - 175 лет со дня рождения американского математика и философа Чарльза Сандерса Пирса (Charles Sanders Peirce, ум. 19.04.1914). Основоположник семиотики (науки о знаковых системах) и прагматизма (философского течения). В математической логике ввёл операцию «стрелка Пирса».

1) Брент Дж. Чарльз Сандерс Пирс: Жизнь // Логос. 2004. №3-4(43). С.231-278.

2) Кирющенко В. В. Чарльз Сандерс Пирс, или Оса в бутылке. Введение в интеллектуальную историю Америки. — М.: «Территория будущего», 2008. 373 с.

15 сентября — 150 лет со дня основания Московского математического общества.

1) Майстров Л. Е. Возникновение Московского математического общества // УМН. 1959. Т. 14, вып. 3. С. 227-234.

2) Материалы для истории Московского математического общества // Матем. сборник. 1889. Т. 14, вып. 3. С. 471-486.

3) Александров П. С, Головин О. П. Московское математическое общество (к 90-летию научной деятельности) // УМН. 1957. Т. 12, вып. 6. С. 9-46.

19 сентября — 100 лет со дня рождения заслуженного деятеля науки РСФСР (1967) Евгения Сергеевича Ляпина (ум. 13.01.2005). Внёс большой вклад в формирование и развитие теории полугрупп.

1) Вагнер В. В., Глускин Л. М., Айзенштат А. Я. Евгений Сергеевич Ляпин (к пятидесятилетию со дня рождения) // УМН. 1965. Т. 20, вып. 1. 1965. С. 244-245.

2) Гордеев 77. Л., Вернер А. Л., Евсеев А. Е., Кублановский С. П., Понизовский 77. С, Яковлев А. В. Евгений Сергеевич Ляпин (некролог) // УМН. 2005. Т. 60, вып. 2. С.143-144.

21 сентября — 130 лет со дня рождения венгерского математика Денеша Кенига (Denes König, ум. 19.10.1944), написавшего (1936) первую книгу по теории графов.

MT: http://www-history.mes.st-andrews.ас.uk/Biographies/Konig_Denes.html

3 Разные источники сообщают разные годы рождения С/Е. Гурьева — 1762, 1764 и 1766. Мы следуем дате, указанной А. П. Юшкевичем.

24 сентября — 170 лет со дня рождения немецкого математика, специалиста в области алгебраической геометрии Макса Нётера (Max Noether, ум. 13.12.1921). Двое из его детей стали известными математиками: крупнейший алгебраист Эмми Нетер (1882-1935) и профессор Томского университета Фриц Нетер (род. в 1884 г., в годы сталинских репрессий арестован (1937) и расстрелян (1941)).

МТ: http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Noether_Max.html

30 сентября — 120 лет со дня рождения американского математика голландского происхождения, члена Международной академии истории наук Дирка Яна Стройка (Dirk Jan Struik, ум. 21.10.2000). Его «Краткий очерк истории математики» неоднократно переиздавался на русском. MT: http://www-history.mes.st-andrews.ас.uk/Biographies/ Struik.html

Октябрь — 150 лет назад в Санкт-Петербурге вышел первый номер журнала «Педагогический сборник», издававшегося Главным управлением военно-учебных заведений до 1917 г. включительно. Среди авторов-математиков этого журнала были В. П. Ермаков, С. Н. Бернштейн, М. Г. Попруженко, В. А. Латышев, С. И. Шохор-Троцкий и многие другие.

1) Депман И. Я. Русские математические журналы для учителя // МШ. 1951. №6. С. 9-23.

2) Систематический указатель статей, напечатанных в неофициальной части «Педагогического сборника» за пятьдесят лет (1864-1914) / Составил С. А. Переселенков. Пг., 1915.

9 октября — 310 лет со дня рождения члена Петербургской АН (1754) венгерского математика и физика Яноша Андроша Сегнера (Janos Andras Segner, ум. 5.10.1777). Изобрёл (1750) одну из первых реактивных гидравлических турбин («сегнерово колесо»). Первым доказал правило Декарта о числе положительных и отрицательных корней алгебраического уравнения, предложил графический способ решения алгебраических уравнения высших порядков.

MT: http://www-history.mes.st-andrews.ас.uk/Biographies/ Segner.html

12 октября — 80 лет со дня рождения академика РАН (2011) Альберта Николаевича Ширяева, одного из крупнейших специалистов в области теории вероятностей и математической статистики. Боровков А. А., Ибрагимов И. А., Маслов В. П., Прохоров Ю. В., Севастьянов Б. А., Синай Я. Г. К юбилею Ширяева А. Н. // Теор. вероятн. и её примен. 2004. Т. 49, вып. 4. С. 775-778.

20 октября — 110 лет со дня рождения американского математика Ганса Леви (Hans Lewy, ум. 23.08.1988), специалиста по дифференциальным уравнениям в частных производных и по комплексному анализу, лауреата премии Вольфа (1986).

МТ: http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Lewy.html

20 октября — 90 лет со дня рождения французкого и американского математика Бенуа Мандельброта (Benoit В. Mandelbrot, ум. 14.10.2010). Занимался разными разделами математики, экономикой, физикой и др. Создатель теории фракталов.

MT: http://www-history.mes.st-andrews.ас.uk/Biographies/Mandelbrot.html

21 октября — 140 лет со дня рождения немецкого математика и историка науки, члена Международной академии истории наук (с 1929 г.) Генриха Вилейтнера (Heinrich Wieleitner, ум. 27.12.1931).

Некролог Г. Вилейтнера на немецком язьже в Isis, Vol. 18, № 1, 1932, p. 150-165, написанный Ю. Руска (Julius Ruska), содержит библиографию работ Вилейтнера (более 150 названий) — см. http://www.jstor.org/discover/10.2307/ 224485?uid=3738936&uid=2134&uid=2&uid=70&uid=4&sid=21103619092877 21 октября — 100 лет со дня рождения американского математика, писателя и популяризатора науки Мартина Гарднера (Martin Gardner, ум. 22.05.2010). На русский язык переведены около 20 его популярных книг по математике.

МТ: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Gardner.html 4 ноября — 270 лет со дня рождения швейцарского математика, почётного члена Петербургской АН (1776) Иоганна III Бернулли (Johann Bernoulli, ум. 13.07.1807). Его основные труды — по теории вероятностей и периодическим дробям.

Никифоровский В. А. Великие математики Бернулли. — М.: Наука, 1984. 177 с. 9 ноября — 280 лет со дня рождения отечественного астронома и математика, члена Российской академии, почётного члена Петербургской АН Степана Яковлевича Румовского (ум. 18.07.1812). Написал семь работ по математическому анализу, учебник «Сокращения математики» и ряд других сочинений по физико-математическим наукам.

1) Павлова Г. Е. Степан Яковлевич Румовский (1734-1812). — М.: Наука, 1979. 200 с.

2) Прудников В. Е. Русские педагоги-математики 18-19 веков. — М.: Учпедгиз, 1956. 641с.

11 ноября — 110 лет со дня рождения английского математика Джона Уайтхеда (John Henry Constantine Whitehead, ум. 8.05.1960), одного из основных разработчиков теории гомотопии. Предложил теорию клеточных разбиений, получил важные результаты в дифференциальной топологии.

МТ: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/ Whitehead_Henry.html 15 ноября — 220 лет со дня рождения Франца Адольфа Тауринуса (Franz Adolph Taurinus, ум. 13.02.1874), немецкого математика, автора брошюр «Теория параллельных» (1825) и «Геометрия первых элементов» (1826), в которых признаётся возможность неевклидовой геометрии и выводятся формулы неевклидовой тригонометрии.

MT: http://www-history.mes.st-andrews.ас.uk/Biographies/Taurinus.html

15 ноября — 120 лет со дня рождения отечественного математика, одного из создателей современной дескриптивной теории множеств Михаила Яковлевича Суслина (ум. 21.10.1919).

Игошин В. И. Михаил Яковлевич Суслин (1894-1919). — М.: Наука. Физматлит, 1996. 160 с.

19 ноября — 150 лет со дня утверждения «Устава гимназий и прогимназий Министерства народного просвещения», которым в России вводились мужские гимназии двух типов — классические и реальные.

1) Рождественский С. В. Исторический обзор деятельности Министерства народного просвещения. 1802-1902. — СПб., 1902. С. 430-444.

2) Стаферова Е. Л. А.В.Головнин и либеральные реформы в просвещении (первая половина 1860 гг.). — М., 2007. 512с.

3) Устав гимназий и прогимназий ведомства Министерства народного просвещения // ЖМНП. 1864. №11. С. 45-83.

19 ноября — 120 лет со дня рождения немецкого и швейцарского математика, президента Международного математического союза с 1955 по 1958 гг. Хайнца Хопфа (Heinz Hopf, ум. 3.06.1971). Основные его работы относятся к топологии (алгебраической и дифференциальной), а также к теории дифференциальных уравнений. МТ: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Hopf.html

22 ноября — 80 лет со дня рождения отечественного математика, заслуженного профессора МГУ Владимира Михайловича Тихомирова, специалиста в области функционального анализа, теории приближений, теории экстремальных задач.

1) Магарил-Ильяев Г. Г. Пять сюжетов о творчестве Владимира Михайловича Тихомирова // Математ. Просвещение, Третья серия. 2006. Вып. 10. С. 8-22.

2) Демидович В. В., Магарил-Ильяев Г. Г. К восьмидесятилетию Владимира Михайловича Тихомирова // Математика в высшем образовании. 2014. №12. С. 67-80 (т. е. в настоящем номере журнала).

26 ноября — 120 лет со дня рождения американского математика, основоположника кибернетики Норберта Винера (Norbert Wiener, ум. 19.03.1964).

1) Винер Н. Я — математик. — М.: Наука, 1967. 354 с.

2) Тихомиров В. О кибернетике, Винере и винеровском процессе // Квант. 1995. №2. С. 3-6.

3) Никифоровский В. Страницы биографии Норберта Винера // Квант. 1995. №2. С. 6-9.

3 декабря — 130 лет со дня рождения отечественного математика и механика, чл.-корр. АН СССР Владимира Васильевича Голубева (ум. 4.12.1954).

1) Белоцерковский С.М., Ишлинский А.Ю., Кочина П. Я., Шабат Б. В. Голубев Владимир Васильевич (к 100-летию со дня рождения) // УМН. 1985. Т. 40, вып. 1. С. 225-229.

2) Протасова Л. А., Тюлина И. А. Владимир Васильевич Голубев. — М.: МГУ, 1986. 110с.

9 декабря — 175 лет со дня рождения немецкого математика Густава Роха (Gustav Roch, ум. 21.11.1866). Основные результаты относятся к алгебраической геометрии, в т.ч. известная теорема Римана-Роха.

МТ : http : //www-history, mes. st-andrews. ас. uk/Biographies/Roch.html

10 декабря — 210 лет со дня рождения немецкого математика, члена Берлинской АН, почётного члена Петербургской АН Карла Густава Якоба Якоби (Carl Gustav Jacob Jacobi, ум. 18.02.1851).

1) Белл Э. Т. Творцы математики. — М.: Просвещение, 1979. С. 228-238.

2) Гайдук Ю. М. Карл Густав Якоб Якоби в его связях с русскими математиками // ИМИ. 1959. Вып. 12. С. 245-271.

14 декабря — 110 лет со дня рождения советского математика Николая Григорьевича Чудакова (ум. 22.11.1986). Работал в Московском университете (до 1940 года), затем до конца жизни заведовал кафедрой алгебры и теории чисел в Саратовском университете, но в 1962-1972 гг. работал в ЛОМИ. Получил ряд важных результатов в теории чисел и в теории функций.

МТ: http://www-groups.des.st-and.ас.uk/~history/Biographies/Chudakov.html

16 декабря — 210 лет со дня рождения академика Петербургской АН и её вице-президента (1864-1889) Виктора Яковлевича Буняковского (ум. 12.12.1889). Основные работы относятся к теории вероятностей и теории чисел. Принимал участие в составлении и совершенствовании программ по математике для военно-учебных заведений.

Прудников В. Е. В. Я. Буняковский — учёный и педагог. — М.:Учпедгиз, 1961. 87 с.

17 декабря — 80 лет со дня рождения профессора Нижегородского университета Леонида Павловича Шильникова (ум. 26.12.2011), одного из крупнейших специалистов по теории динамических систем и теории бифуркаций.

1) Аносов Д. В., Афраймович В. С, Бунимович Л. А., Гонченко С. В., Гринес В. 3., Ильяшенко Ю. С, Каток А. Б., Кащенко С. А., Козлов В. В., Лерман Л. М., Морозов А.Д., Нейштадт А. И., Песин Я. Б., Самойленко А.М., Синай Я. Г., Трещёв Д. В., Тураев Д. В., Шарковский А.Н., Шильников А. Л. Леонид Павлович Шильников (некролог) // УМН. 2012. Т. 63, вып. 3. С. 175-178.

2) Afraimovich V. S., Lerman L. M., Gonchenko S. V. Leonid Pavlovich Shilnikov. On His 75th Birthday // Regular and Chaotic Dynamics. 2010. Vol. 15, Nos. 2-3. P. 101-106.

3) Afraimovich V. S., Gonchenko S. V., Lerman L. M., Shilnikov A.L., Turaev D. V. Scientific heritage of L.P. Shilnikov // Regular and Chaotic Dynamics. Vol.19, No. 4. 2014. P. 435-460.

22 декабря — 190 лет со дня рождения итальянского математика, одного из основателей и руководителей итальянской математической школы,

чл.-корр. Петербургской АН Франческо Бриоски (Francesco Brioschi, ум. 18.12.1897). Учениками его были, в частности, Л. Кремона и Э. Бельтрами. Совместно с Кремоной редактировал журнал «Annali di matematica pura ed applicata».

МТ : http : / / www-gap. des. st-and .ac.uk/ ^history/Biographies/Brioschi.html

27 декабря — 360 лет со дня рождения швейцарского математика, профессора Базельского университета Якоба Бернулли (Jakob Bernoulli, ум. 16.08.1705). Работы посвящены математическому анализу, теории вероятностей и механике.

1) Никифоровский В. А. Великие математики Бернулли. — М.: Наука, 1984. 177 с.

2) Виппер Ю. Семейство математиков Бернулли. — М., 1875. 24 с.

— 2290 лет назад4 родился древнегреческий учёный Эратосфен Киренский [Ερατοσθένη^ ό Κυρηναϊοζ, ум. в 194г. до н.э.). С 235г. до н.э. возглавлял Александрийскую библиотеку. Занимался задачей удвоения куба, предложил способ определения произвольного количества последовательных простых чисел («решето Эратосфена»).

Дитмар А. Б. Родосская параллель: жизнь и деятельность Эратосфена. — М.: Мысль, 1965. 72 с.

— 900 лет назад родился индийский математик и астроном Бхаскара II (ум. в 1185 г.). На несколько столетий раньше, чем это было достигнуто в Европе, понял строение позиционных систем счисления, допускал отрицательные корни уравнений.

Володарский А. И. Очерки истории средневековой индийской математики. -М.: Наука, 1977. 182 с.

— 900 лет назад родился итальянский учёный Герардо Кремонский (Gérard de Crémone, ум. в 1187 г.). Жил и работал в Испании, перевёл с арабского на латынь 71 книгу: классические сочинения древнегреческих учёных и учёных Арабского Востока.

MT: http://www-history.mes.st-andrews.ас.uk/Biographies/Gherard.html

— 400 лет назад вышла книга Джона Непера (1550-1617) «Описание удивительной таблицы логарифмов».

— 360 лет назад родился член Парижской АН (1687) Пьер Вариньон (Pierre Varignon, ум. 23.12.1722). Основные результаты Вариньона относятся к геометрической статике и механике. Он был одним из первых во Франции пропагандистом применения дифференциального исчисления.

МТ: http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Varignon.html

4 Указанные во многих современных источниках годы жизни и деятельности Эратосфена как точные следует воспринимать с оговоркой «около».

— около 280 лет назад (точный год неизвестен) родился английский математик Эдуард Варинг (Edward Waring, ум. 15.08.1798). Основные полученные им результаты относятся к теории чисел и алгебраическим уравнениям. Важную роль в теории чисел играет проблема Варинга -утверждение о представлении натуральных чисел суммами одинаковых степеней целых неотрицательных чисел, сформулированное Варингом в виде гипотезы (1770).

1) Башмакова И. Г. Об одном вопросе теории алгебраических уравнений в трудах И.Ньютона и Э. Варинга // ИМИ. 1959. Вып. 12. С. 431-456.

2) История математики с древнейших времён до начала XIX столетия / Под ред. А.П.Юшкевича. — М., 1972. Т. 3.

3) МТ: http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Waring.html

— 100 лет назад была опубликована книга Ф. Хаусдорфа (1868-1942) «Основания теории множеств».

Составители: Р. З. Гушель, Г. М. Полотовский

ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ. ПЕРСОНАЛИИ

КАЛЕНДАРЬ ЗНАМЕНАТЕЛЬНЫХ ДАТ В ОБЛАСТИ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ НА 2015 ГОД

1 января — 110 лет со дня рождения польского математика Станислава Мазура (Stanislaw Mieczyslaw Mazur, ум. 05.11.1981), создателя (1938) общей теории топологических векторных пространств.

1) Синкевич Г. И. Георг Кантор & польская школа теории множеств. — СПб.: СПбГАСУ, 2012. 349 с.

2) МТ: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Mazur.html

2 января — 75 лет со дня рождения американского математика индийского происхождения, лауреата Абелевской премии (2007), специалиста в области теории вероятностей Сринивасы Варадхана (Sathamangalam Ranga Iyengar Srinivasa Varadhan). Был директором Института Куранта (1980-84).

МТ : http : / / www- groups. des. st- and .ac.uk/ ~hist огу/Biographies /Varadhan.html

8 января — 100 лет со дня рождения профессора Ленинградского университета, академика (1964), президента (1959-1965) Ленинградского математического общества, лауреата Ленинской (1970) и Государственной (1947) премий Юрия Владимировича Линника (ум. 30.06.1972). Основные результаты — в теории чисел (элементарное решение проблемы Варинга, 1942 г.), теории вероятностей и математической статистике. Разработал эргодический метод в теории квадратичных форм.

1) Ибрагимов И. И., Малышев А. В., Петров В. В. Юрий Владимирович Линник (к пятидесятилетию со дня рождения) // УМН. 1965. Т. 20, вып. 2. С.221-236.

2) Ибрагимов И. А., Лозинский СМ., Малышев А.В., Петров В. В., Прохоров Ю. В., Сапогов Н. А., Фаддеев Д. К. Юрий Владимирович Линник (Некролог) // УМН. 1973. Т. 28, вып. 2. С. 197-213.

10 января — 140 лет со дня рождения немецкого математика Рут My фанг (Ruth Moufang, ум. 26.11.1977). Занималась основаниями геометрии, алгеброй. Основоположник изучения квазигрупп.

МТ: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Moufang.html

10 января — 140 лет со дня рождения немецкого, затем с 1939 г. — израильского математика, иностранного члена-корреспондента АН СССР (1929) Исая Шура (Issai Schur, ум. 10.01.1941). Основные результаты в теории конечных групп и их представлений. Автор леммы Шура из этой области, а также теоремы Шура в дифференциальной геометрии.

МТ: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Schur.html

12 января — 100 лет со дня рождения американского математика Герберта Роббинса (Herbert Ellis Robbins, ум. 12.02.2001). Основные результаты - в области теории вероятностей и математической статистики.

МТ: http://www-groups.des.st-and.ас.uk/~history/Biographies/Robbins.html

15 января — 110 лет со дня рождения отечественного математика, чл.-корр. АН СССР (1933), профессора Московского университета, крупного специалиста в теории чисел, вариационном исчислении и топологии Льва Генриховича Шнирельмана (ум. 24.09.1938).

1) Л. Г. Шнирельман (некролог) // Матем. сб. 1938. Т. 4 (46), вып. 1. С. I—III.

2) Тихомиров В. М. Лев Генрихович Шнирельман // ИМИ. 2005. Вып. 10 (45). С. 20-28.

3) Юшкевич А.П. Л. Г. Шнирельман в Гёттингене // ИМИ. 1985. Вып. 28. С.287-290.

16 января — 130 лет со дня рождения швейцарского математика Мишеля Планшереля (Michel Plancherel, ум. 4.03.1967), автора важных результатов в области математического анализа, математической физики и алгебры.

МТ : http : // www-groups. des. st-nd. ас. uk/-history/Biographies/Plancherel.html

25 января — 260 лет назад императрицей Елизаветой Петровной был подписан указ об основании Московского университета (с 1940 года -МГУ имени М. В. Ломоносова). В соответствии с планом М. В. Ломоносова в университете были образованы три факультета: юридический, медицинский и философский. Математические науки изучались на философском факультете.

1) Шевырев С. П. История Императорского Московского университета. — М.: Университетская типография, 1855. 584 с.

2) Юшкевич А. П. Математика в Московском университете за первые сто лет его существования // ИМИ. 1948. Вып. 1. С. 43-140.

3) Выгодский М. Я. Математика и её деятели в Московском университете во второй половине XIX века // ИМИ. 1948. Вып. 1. С. 141-183.

4) Александров П. С, Яновская С. А. Математика в Московском университете в первой половине XX веке // ИМИ. 1955. Вып. 8. С. 9-54.

25 января — 100 лет со дня рождения французского математика, академика Парижской АН Андрэ Лихнеровича (André Lichnerowicz, ум. 11.12.1998). Работал в разных разделах математики.

МТ: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Lichnerowicz.html

28 января — 475 лет со дня рождения голландского математика Людольфа ван Цейлена (Ludolph van Ceulen, ум. 31.12.1610). Вычислил число 7г с 35 десятичными знаками.

МТ: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Van_Ceulen.html

28 января — 160 лет со дня рождения немецкого математика Карла Роона (Karl Friedrich Wilhelm Röhn, ум. 4.08.1920). Получил ряд результатов в области алгебраической геометрии, в том числе по первой части 16-й проблемы Гильберта.

МТ: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Rohn.html

29 января — 260 лет со дня рождения отечественного математика швейцарского происхождения Николая Ивановича Фусса (ум. 4.01.1826), ординарного академика (1783) и непременного секретаря (1800-1825) Петербургской АН. Написал ряд учебников по математике.

1) Лысенко В. И. Николай Иванович Фусс (1755-1826). — М.: Наука, 1975. 120 с.

2) Прудников В. Е. Русские педагоги-математики 18-19 веков. — М., 1956. 640 с.

4 февраля — 90 лет со дня рождения английского математика и педагога Эрика Зеемана (Erik Christopher Zeeman), специалиста по топологии и теории особенностей. Особенно известен как изобретатель «машины катастроф» (1970-е годы) — простого механического устройства для демонстрации того, как малое возмущение может привести к скачкообразному изменению состояния.

МТ: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Zeeman.html

6 февраля — 550 лет со дня рождения итальянского математика, профессора Болонского университета Сципиона дель Ферро (Scipione del Ferro, ум. 5.11.1526). Первым нашёл формулу для решения кубического уравнения.

Гутер Р. С, Полунов Ю. Л. Джироламо Кардано. — М.: ЭНАС, 2010. 256 с.

6 февраля — 320 лет со дня рождения Николая П Бернулли (Nikolaus II Bernoulli, ум. 31.07.1726), немецкого математика и юриста. С 1725 г. занимал кафедру механики в Петербургской АН. Основные труды по дифференциальным уравнениям и механике.

Никифоровский В. А. Великие математики Бернулли. — М.: Наука, 1984. 177 с.

11 февраля — 150 лет со дня рождения шведского математика, члена Шведской королевской АН (1905) Андерса Вимана (Anders Wiman, ум. 13.08.1959). Получил ряд результатов в различных областях математики, в том числе в алгебраической геометрии. Оказал большое влияние на развитие математического образования в Швеции.

МТ: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Wiman.html

13 февраля — 210 лет со дня рождения немецкого математика, профессора университетов в Берлине и Гёттингене, члена Берлинской АН (с 1837 г.) Петера Густава Лежена Дирихле (Johann Peter Gustav Lejeune

Dirichlet, ум. 5.05.1859). Исследования относятся к теории чисел, математическому анализу, математической физике. Впервые точно сформулировал понятие условной сходимости ряда и дал признак сходимости; применил принцип Дирихле в теории чисел и теории гармонических функций; доказал великую теорему Ферма для степени пять.

1) Кох X. К. К 175-летию со дня рождения П. Г. Лежена-Дирихле // ИМИ. 1983. Вып. 27. С. 179-189.

2) Медведев Ф. А. Об определении понятия функции у Лобачевского и Дирихле // ИМИ. 1975. Вып. 20. С. 232-245.

24 февраля — 75 лет со дня рождения Андрея Николаевича Тюрина (ум. 27.10.2002), чл.-корр. РАН (1997), специалиста в области алгебраической геометрии. Внёс значительный вклад в теорию многомерных расслоений на алгебраических поверхностях в трёхмерном проективном пространстве.

1) Богомолов Ф.А., Городепцев А. Л., Псковских В. А., Манин Ю.П., Никулин В. В., Орлов Д. О., Паршин А. Н., Пидстригач В. Я., Тихомиров А. С, Тюрин Н.А., Шафаревич П. Р. Андрей Николаевич Тюрин (некролог) // УМН. 2003. Т. 58, вып. 3. С. 176-182.

2) Шафаревич И. Р., Орлов Д. О., Тюрин П. А. Предисловие // Труды МИАН. 2004. Т. 246. (Сборник статей. Посвящается памяти члена-корреспондента РАН Андрея Николаевича Тюрина.) С. 7-9.

28 февраля — 280 лет со дня рождения французского математика и музыканта Александра Теофила Вандермонда (Alexandre-Theophile Vandermonde, ум. 1.01.1796). Член Парижской АН (1771). В математике занимался главным образом алгеброй (симметрические функции, теория детерминантов, первоначальные идеи теории групп). MT: http://www-history.mes.st-andrews.ас.uk/Biographies/ Vandermonde.html

1 марта — 100 лет со дня рождения французского математика, члена Парижской АН (1976), профессора Сорбонны и Политехнической школы в Париже Густава Шоке (Gustave Alfred Arthur Choquet, ум. 14.11.2006). Область интересов — математический анализ и топология. Развил теорию потенциала на римановой поверхности. Разработал векторную аксиоматику евклидовой геометрии.

1) Яглом И. М. Предисловие редактора перевода в кн.: Шоке Г. Геометрия. — М.: Мир, 1970. С. 5-9.

2) МТ: http://turnbull.mcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Choquet.html

3 марта — 170 лет со дня рождения немецкого математика, основоположника теории множеств, одного из организаторов и первого президента (1890-1893) Германского математического общества, инициатора созыва первого Международного конгресса математиков (Цюрих, 1897) Георга Кантора (Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor, ум. 6.01.1918). Синкевич Г. И. Георг Кантор & польская школа теории множеств. — СПб.: СПбГАСУ, 2012. 349 с.

5 марта — 100 лет со дня рождения лауреата Филдсовской премии (1950) французского математика Лорана Шварца (Laurent-Moise Schwartz, ум. 4.04.2002). Основные результаты в области функционального анализа, топологии, математической физики. Принимал участие в работе группы «Бурбаки».

МТ : http : / / www- groups. des. st- and .ac.uk/ ~hist огу/Biographies / Schwartz.html

11 марта — 170 лет со дня рождения чл.-корр. Петербургской АН, профессора Киевского университета Василия Петровича Ермакова (ум. 16.03.1922). Занимался вопросами математического анализа, алгебры, теории дифференциальных уравнений, методики математики. В 1884-1886 гг. издавал в Киеве «Журнал элементарной математики».

1) Грацианская Л.Н. Василий Петрович Ермаков // ИМИ. 1956. Вып. 9. С.667-690.

2) Добровольский В. А. Василий Петрович Ермаков (1845-1922). — М.: Наука, 1981. 89 с.

13 марта — 90 лет со дня рождения американского математика Джона Тейта (John Torrence Tate), лауреата премий Вольфа (2002/03) и Абеля (2010). Внёс важный вклад в алгебраическую теорию чисел, арифметическую и алгебраическую геометрии. Участник группы Бурбаки.

МТ : http : / / www- groups. des. st- and .ac.uk/ ~history/Biographies / Tate.html

15 марта — 125 лет со дня рождения отечественного математика, чл.-корр.

АН СССР (1929), члена германской академии «Леопольдина» Бориса Николаевича Делоне (ум. 17.07.1980). Основные работы посвящены алгебре, теории чисел и истории математики.

1) Фадеев Д. К. Борис Николаевич Делоне (к шестидесятилетию со дня рождения) // УМН. 1950. Т. 5, вып. 6. С. 159-163.

2) Шафаревич И. Р. Борис Николаевич Делоне (к семидесятилетию со дня рождения) // УМН. 1961. Т. 16, вып. 3. С. 239-244.

16 марта — 100 лет со дня рождения японского математика, лауреата премий Филдса (1954) и Вольфа (1984) Кунихико Кодайры (>№Щ$Ш , ум. 26.06.1997). Специалист по алгебраической геометрии и теории комплексных многообразий, основатель японской школы алгебраической геометрии.

1) Spencer D. С. Kunihiko Kodaira (1915-1997) // Notices of the AMS. 1998. 45(3). P. 388-389.

2) Hirzebruch F. Kunihiko Kodaira: Mathematician, Friend, and Teacher // Notices of the AMS. 1998. 45(11). P. 1456-1462.

18 марта — 375 лет со дня рождения французского математика, художника и астронома, члена Французской АН (1678), последователя Ж. Дезарга, профессора математики Коллеж де Франс Филиппа де Лагира

(Philippe de la Hire, ум. 21.04.1718). С помощью проектирования вывел свойства кривых второго порядка из свойств круга. Пользовался главным образом синтетическими методами.

МТ: http://turnbull.mcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/La_Hire.html

18 марта — 325 лет со дня рождения немецкого математика Кристиана Гольдбаха (Christian Goldbach, ум. 20.11.1764). Автор не доказанной и не опровергнутой до сих пор гипотезы Гольдбаха (сообщённой им в 1742 году в письме Л.Эйлеру), утверждающей, что каждое чётное число, начиная с четырёх, является суммой двух простых чисел.

Юшкевич А. П., Копелевич Ю. Х. Христиан Гольдбах, 1690-1764. — М.: Наука, 1983. 224 с.

1 апреля — 375 лет со дня рождения датского математика Георга Мора (Georg Mohr, ум. 26.01.1697). Доказал теорему, известную сейчас как теорема Мора - Маскерони, утверждающую, что точки, лежащие на одной прямой, можно построить, пользуясь только циркулем.

МТ: http://www-groups.des.st-and.ас.uk/~history/Biographies/Mohr.html

1 апреля — 120 лет со дня рождения шотландского математика, профессора Эдинбургского университета Александра Эйткена (Alexander Craig Aitken, ум. 3.11.1967). Занимался математической статистикой, приближёнными вычислениями, алгеброй. Обладал феноменальными вычислительными способностями.

1) Гарднер Мартин. Математические новеллы. — М., 1974. Глава 20.

2) МТ: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Aitken.html

4 апреля — 100 лет со дня рождения французского историка науки, члена Международной академии истории наук, Генерального секретаря Международного союза по истории и философии наук Рене Татона (René Taton, ум. 9.08.2004). Автор монографий о Ж. Дезарге и Г. Монже, трудов по истории геометрии. Главный редактор и один из авторов «Общей истории науки» (т. 1-4, 1957-1964).

Fauque D. René Taton (1915-2004) // Revue d'histoire des sciences. T.58. No 2. 2005. P. 267-304.

19 апреля — 130 лет со дня рождения итальянского математика Леониды

Тонелли (Leonida Tonelli, ум. 12.03.1946), одного из основоположников современной теории функций вещественной переменной.

МТ: http://www-groups.des.st-and.ас.uk/~history/Biographies/Tonelli.html

19 апреля — 110 лет со дня рождения французского математика Шарля Эресманна (Charles Ehresmann, ум. 22.09.1979), одного из создателей дифференциальной топологии. Входил в число основателей группы Бурбаки.

МТ: http://www-groups.des.st-and.ас.uk/~history/Biographies/Ehresmann.html

23 апреля — 110 лет со дня рождения декана (1951-1958 с перерывом 1,5 года) физико-математического факультета Казанского университета, директора (1961-1980) НИИ математики и механики им. Н. Г. Чеботарёва, профессора Бориса Лукича Лаптева (ум. 15.01.1989). Основные труды по дифференциальной геометрии и истории математики (изучение наследия Н. И. Лобачевского).

1) Норден А. П., Шапуков Б. Н. Борис Лукич Лаптев (к 60-летию со дня рождения) // Изв. вузов. Матем. 1965. №2. С. 201-204.

2) Профессор Борис Лукич Лаптев (глазами учеников и друзей). — Казань, изд-во Казанского университета, 1992. 107 с.

3) Шапуков Б. Н. Борис Лукич Лаптев: 1905-1989 (Выдающиеся учёные Казанского университета). — Казань, изд-во Казанского университета, 2001. 22 с.

26 апреля — 90 лет со дня рождения отечественного математика и педагога, чл.-корр. АПН СССР (1968), лауреата Ленинской премии (1962) и Гос. премии Узбекской ССР им. Бируни (1967) Владимира Григорьевича Болтянского. Специалист в области топологии, комбинаторной геометрии, кибернетики и методики преподавания математики в средней школе.

1) Волович М. Б., Левитас Г. Г. Владимир Григорьевич Болтянский // МШ. 1975. №1. С. 90.

2) Воронов А. А., Гвишиани Д. М., Канторович Л. В., Колмогоров А. Н., Новиков СП. В поисках нового // МШ. 1985. №2. С. 68-72.

27 апреля — 260 лет со дня рождения Марка-Антуана Парсеваля (Marc-Antoine Parseval des Chênes; ум. 16.08.1836), французского математика, доказавшего в 1799 г. названную его именем теорему о рядах значений периодических функций.

МТ: http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Parseval.html

28 апреля — 250 лет со дня рождения французского математика и педагога, профессора Сорбонны (с 1815 г.) Сильвестра Франсуа Лакруа (Sylvestre Francois de Lacroix, ум. 24.05.1843). Область интересов — математический анализ и теория вероятностей. Как автор многочисленных учебников оказал значительное влияние на преподавание математики в XVIII-XIX вв.

МТ: http://turnbull.mcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Lacroix.

30 апреля — 110 лет со дня рождения академика РАН (1972), лауреата Государственных премий (1952, 1977) и премии им. П. Л. Чебышева АН СССР (1972) Сергея Михайловича Никольского (ум. 9.11.2012). Основные исследования относятся к функциональному анализу, теории приближения функций, теории краевых задач для уравнений с частными производными.

1) Корнейчук Н.Н. С.М. Никольский и развитие исследований по теории приближения функций в СССР // УМН. 1985. Т. 40, вып. 5. С. 71-131.

2) Сергей Михайлович Никольский (к 100-летию со дня рождения) // МШ. 2005. №3. С. 2-5.

1 мая — 150 лет со времени учреждения Новороссийского университета в Одессе. Он был создан на базе Ришельевского лицея по инициативе попечителя Одесского учебного округа Н. И. Пирогова. Среди наиболее известных математиков, работавших здесь в конце XIX-начале XX вв. - И. В. Слешинский, И.Ю.Тимченко, В. Ф. Каган, С. О. Шатуновский. В советское время в Новороссийском университете работал М. Г. Крейн.

1) Бутягин А. С, Салтанов Ю. А. Университетское образование в СССР. -М., 1957. С. 188-193.

2) Киро С. Н. Математика в Одесском (Новороссийском) университете (1865-1955) // Науч. ежегодн. Одесского ун-та за 1956. — Одесса, 1957. С. 121-126.

3) Лейбман Э. Б. Математическое отделение Новороссийского общества естествоиспытателей (1876-1928) // ИМИ. 1961. Вып. 14. С. 393-440.

4) Маркевич А. И. Двадцатипятилетие Императорского Новороссийского университета. — Одесса, 1890. 736 с.

4 мая — 170 лет со дня рождения английского математика и философа, одного из основоположников векторного исчисления, специалиста в области алгебры, развившего алгебру бикватернионов (1876) Уильяма Кингдона Клиффорда (William Kingdon Clifford, ум. 3.03.1879).

1) Кулишер А. Р. Вильям Клиффорд и грассмановы линейные алгебры / Труды II Всесоюзного математического съезда. — Л., 1936. Т. 2. С. 449-456.

2) Newman J.R. William Kingdon Clifford // Sei. Amer. 1953. T. 188, №2. P. 78-84.

5 мая — 120 лет со дня рождения известного специалиста по теории функций комплексной переменной и по дифференциальным уравнениям в частных производных Стефана Бергмана (Stefan Bergman, ум. 6.06.1977). С 1921г. работал в Берлинском университете, в 1934-1937 гг. жил в СССР, в 1937-1939 гг. работал в Институте Пуанкаре в Париже, в 1939 г. эмигрировал в США, где работал в Массачусетском технологическом институте и в различных университетах.

МТ: http://www-groups.des.st-and.ас.uk/~history/Biographies/Bergman.html

8 мая — 110 лет со дня рождения польского математика, члена Польской АН (1952), директора (1952-1964) Математического института Польской АН Кароля Борсука (Kami Borsuk, ум. 24.01.1982). Основные исследования относятся к топологии (теория ретрактов, группы когомологий), геометрии, основаниям геометрии.

1) Синкевич Г. И. Георг Кантор & польская школа теории множеств. — СПб.: СПбГАСУ, 2012. 349 с.

2) МТ: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Borsuk.html

14 мая — 140 лет со дня рождения итальянского математика Беппо Леви (Верро Levi, ум. 28.08.1961), автора важных работ в области математического анализа (теорема Леви о монотонной сходимости и др.), алгебраической геометрии (исследование эллиптических кривых). Одним из первых сформулировал (1902) аксиому выбора в теории множеств. МТ: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Levi_Beppo.html

15 мая — 180 лет со дня рождения Эмиля Леонарда Матъё (Emile Leonard Mathieu, ум. 19.10.1890), французского математика и астронома. Известен работами по теории групп (открыл пять спорадических простых групп, названных его именем) и математической физике. МТ:

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Mathieu_Emile.html

2 июня — 120 лет со дня рождения венгерского математика Тибора Радо (Tibor Rado, ум. 29.12.1965). С 1929 года работал в США, среди его наиболее известных результатов — решение задачи Плато (1933). В последнее десятилетие жизни занимался математической логикой и другими вопросами, связанными с computer science.

МТ: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Rado.html

8 июня — 90 лет со дня рождения академика (1968) и президента (1986-1991)

АН СССР, лауреата Ленинской (1961) и Государственных (1979, 2000) премий Гурия Ивановича Марчука (ум. 24.03.2013). Занимался вопросами прикладной математики, вычислительными методами и их использованием при расчётах ядерных реакторов.

1) Боголюбов Н. Н. и др. Марчук Гурий Иванович (к 60-летию со дня рождения) // УМН. 1985. Т. 40, вып. 5. С. 3-17.

2) Гурий Иванович Марчук (некролог) // Исследование Земли из Космоса. 2013. С. 95-96.

9 июня — 130 лет со дня рождения английского математика Джона Литлвуда (John Edensor Littlewood, ум. 6.09.1977). Его основные работы (большинство в соавторстве с Г. Харди) относятся к математическому анализу и теории чисел. Установил связь гипотезы Римана с задачей о распределении простых чисел. Проявил себя как талантливый педагог и популяризатор математики, автор широко известной книги «Математическая смесь» (на русском языке — М: Наука, 1990). МТ: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Littlewood.html

10 июня — 1075 лет со дня рождения одного из крупнейших учёных средневекового Востока Абу-л-Вафа (ум. в 998 г.). Им были введены тригонометрические функции тангенс и котангенс и составлены таблицы для них, выведена формула синуса суммы двух углов. Абу-л-Вафа составил комментарии к трудам Ал-Хорезми, Евклида, Диофанта. Матвиевская Г. П., Розенфельд Б. А. Математики и астрономы мусульманского средневековья и их труды (VIII-XVII вв.). В 3 т. — М.: Наука, 1983.

13 июня — 200 лет со дня рождения профессора Петербургского университета, академика Петербургской АН (1862) Осипа [Иосифа) Ивановича Сомова (ум. 8.05.1876). Основные труды по математическому анализу и теоретической механике. Один из основоположников векторного исчисления. Написал ряд работ по истории математики и механики. 1) Колягин Ю.М. Академик Осип Иванович Сомов // Архимед (научно-методический сборник). Вып. 4. — М., 2008. С. 33-52.

2) Крамар Ф.Д., Тюлина И. А. Иосиф Иванович Сомов // Вестник МГУ. Сер. мат. и мех. 1965. №5. С. 40-47.

3) Никифорова Т. Р. Осип Иванович Сомов. — М.-Л.: Наука, 1964. 128 с.

4) Сомов А. И. Осип Иванович Сомов. — СПб., 1876.

28 июня — 140 лет со дня рождения французского математика, члена Парижской АН (1922), чл.-корр. АН СССР (1929), иностранного члена Лондонского Королевского общества и других академий Анри Леона Лебега (Henri Leon Lebesgue, ум. 26.06.1941). Построил (1902) новую теорию интеграла (интеграл Лебега). Один из основоположников современной теории функций действительного переменного.

1) Виленкин Н. Я. Анри Лебег // Квант. 1975. №8. С. 2-10.

2) Медведев Ф.А. Развитие понятия интеграла. — М., 1974.

2 июля — 90 лет со дня рождения отечественного математика, специалиста по теории дифференциальных уравнений с частными производными, прикладной математике, топологии и математической физике, академика АН СССР (1991) Ольги Арсеньевны Олейник (ум. 13.10.2001).

1) Арнольд В. И., Вишик М.И., Гельфанд И.М., Егоров Ю.В., Калашников А. С, Колмогоров А. Н., Новиков С. П., Соболев С. Л. Олейник Ольга Арсеньевна (к шестидесятилетию со дня рождения) // УМН. 1985. Т. 40, вып. 5. С.279-293.

2) Вентцель Т. Д., Владимиров В. С, Жиков В. В., Ильин А. М., Ильин В. А., Кондратьев В. А., Кудрявцев Л. Д., Мищенко Е. Ф., Никольский СМ., Осипов Ю. С, Гадкевич Е. В., Розов Н. Х., Садовничий В. А., Фаддеев Л. Д., Чечкин Г. А., Шамаев А.С., Шапошникова Т. А., Шкаликов А.А. Ольга Арсеньевна Олейник (некролог) // УМН. 2003. Т. 58, вып. 1. С.165-174.

11 июля — 125 лет со дня рождения Джиакомо Альбанезе (Giacomo Albanese, ум. 8.06.1948), представителя итальянской школы алгебраической геометрии, занимался, в частности, изучением кривых на алгебраических поверхностях.

МТ: http://www-groups.des.st-and.ас.uk/~history/Biographies/ Albanese.html

17 июля — 130 лет со дня рождения отечественного педагога и историка математики, профессора ЛГПИ им. А. И. Герцена Ивана Яковлевича Депмана (ум. 26.03.1970).

1) Андронов И. К., Черкасов Р. С. 80-летний юбилей Ивана Яковлевича Депмана // МШ. 1967. №1. С. 91.

2) Галченкова Р. И., Ожигова Е.П. И. Я. Депман. К 80-летию со дня рождения // ВИЕТ. Вып.21. 1967.

3) http://letopisi.org/index.php/Депман,_Иван_Яковлевич

22 июля — 75 лет со дня рождения американского математика, лауреата Филдсовской премии Даниэля, Квиллена (Daniel Gray «Dan» Quillen, ум. 30.04.2011). Основные результаты в области алгебраической топологии и алгебраической геометрии, создатель высшей алгебраической К-теории.

МТ: http://www-groups.des.st-and.ас.uk/~history/Biographies/ Quillen.html

Август — 290 лет назад начала работу Петербургская Академия наук.

Проект Положения об Академии Петр I утвердил 2 февраля 1724 г. Академия состояла из трёх классов: в первый входили математика, астрономия, механика и география; во второй — физика, химия, естественные науки, в третий — гуманитарные науки.

1) Анри В. Роль Лейбница в создании научных школ в России // УФН. 1918. Т. 1, вып. 2. С. 64-100.

2) Копелевич Ю.Х. Основание Петербургской Академии наук. — Л.: Наука, 1977. 211с.

3) Ожигова Е. П. Математика в Петербургской Академии наук в конце XVIII-первой половине XIX века. — Л.: Наука, 1980. 220 с.

4) Сухомлинов М. И. История Российской Академии наук. Т. 1-8. — СПб., 1874-1888.

4 августа — 210 лет со дня рождения ирландского математика, президента (1837-1845) Ирландской АН, чл.-корр. Петербургской АН и члена многих других научных обществ Уильяма Роуэна Гамильтона (William Rowan Hamilton, ум. 2.09.1865). Занимался механикой, оптикой, вариационным исчислением. Создатель учения о кватернионах.

1) Погребысский И. Б. В. Р. Гамильтон / В кн.: Погребысский И. Б. От Лагранжа к Эйнштейну. — М., 1996. С. 176-94.

2) Полак Л. С Уильям Гамильтон. — М., 1993. 270 с.

14 августа — 150 лет со дня рождения итальянского математика, члена и президента Национальной академии деи Линчей, профессора Римского университета Гвидо Кастельнуово (Guido Castelnuovo, ум. 27.04.1952). Основные работы посвящены проективной геометрии, получил результаты в теории поверхностей, ряд работ относится к алгебре и алгебраической геометрии.

МТ: http://turnbull.mcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Castelnuovo.html

18 августа — 330 со дня рождения английского математика Брука Тейлора (Brook Taylor, ум. 29.12.1731), открывшего носящую его имя формулу разложения функции в ряд, составленный из производных этой функции, вычисленных в одной точке.

МТ: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Taylor.html

5 сентября — 290 лет со дня рождения французского историка математики Жана Этьена Монтюкла (Jean-Etienne Montucla, ум. 18.12.1799), автора (1758) первой монографии по истории математики.

МТ: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Montucla.html

6 сентября — 110 лет со дня рождения профессора Нижегородского (Горьковского) университета Артемия Григорьевича Майера (ум. 20.09.1951), автора ряда классических результатов по качественной теории дифференциальных уравнений. Решил (1947) проблему Биркгофа о порядковом числе центральных траекторий.

Полотовский Г М. Нижегородский математик Артемий Григорьевич Майер и его курс истории математики (в печати).

13 сентября — 130 лет со дня рождения немецкого математика, специалиста в области дифференциальной геометрии, топологии, теории функций комплексной переменной, профессора Гамбургского университета Вильгельма Бляшке (Wilhelm Johann Eugen Blaschke, ум. 17.03.1962). Яглом И. М. Вильгельм Бляшке (некролог) // УМН. 1963. Т. 18, вып. 1. С.135-143.

14 сентября — 80 лет со дня рождения отечественного математика Аллы Владимировны Дорофеевой, специалиста в области истории и методологии математики.

21 сентября — 80 лет со дня рождения Якова Григорьевича Синая, академика РАН (1991), члена Лондонского Королевского общества (2009) и многих других академий мира, лауреата премий Вольфа (1997), Пуанкаре (2009), Абеля (2014) и других. Главные результаты получены им в теории динамических систем, математической физике и теории вероятностей.

Аносов Д. В., Вершик А.М., Плыкин Р. В., Сатаев Е. А., Клиншпонт П. Э., Камаев Д. А., Устинов Ю. П., Старков С. О. Яков Григорьевич Синай (к 70-летию со дня рождения) // УМН. 2005. Т. 60, вып. 5. С. 183-186.

22 сентября — 250 лет со дня рождения итальянского математика, доктора медицины, ректора университета в Модене Паоло Руффини (Paolo Ruffini, ум. 9.05.1822). Основное направление исследований — алгебра. Первым доказал (1798) невозможность решения в радикалах уравнений степени выше четвёртой. Многие годы был президентом Итальянского общества наук.

МТ: http://turnbull.mcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Ruffini.html

27 сентября — 160 лет со дня рождения французского математика и механика, члена Парижской АН (1892) Поля Эмиля Аппеля (Paul Emile Appell, ум. 24.10.1930). Исследования относятся к теории аналитических функций, механике, теории алгебраических функций и теории потенциала.

Лузин П. П. Поль Аппель (1855-1930). Некролог / В кн.: Лузин Н. Н. Собрание сочинений. - М.: Изд-во АН СССР, 1959. Т. 3. С. 345-347.

29 сентября — 80 лет со дня рождения американо-израильского математика Гилеля Фюрстенберга (Hillel Furstenberg). Главные результаты -по теории вероятностей, эргодической теории, теории чисел. Лауреат премии Вольфа (2006/7).

МТ: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Furstenberg.html

11 октября — 130 лет со дня рождения венгерского математика Альфреда Хаара (Alfred Haar, ум. 16.03.1933), специалиста в области математического анализа, вариационного исчисления, функционального анализа. Его имя носят функции Хаара, лемма Хаара, мера Хаара. МТ: http://www-groups.des.st-and.ас.uk/~history/Biographies/Haar.html

20 октября — 150 лет со дня рождения заслуженного деятеля науки и техники РСФСР (1934), лауреата Государственной премии СССР (1943) Александра Петровича Котельникова (ум. 6.03.1944). Крупный специалист в области геометрии и механики, одни из основоположников винтового исчисления. Установил связь между идеями Лобачевского и теорией относительности с позиций проективной геометрии.

1) Розенфельд Б. А. Александр Петрович Котельников // ИМИ. 1956. Вып. 9. С.317-402.

2) Путята Т. В., Лаптев Б. Л., Розенфельд Б. А., Фрадлин Б. Н. Александр Петрович Котельников (1865-1944). — М.: Наука, 1968. 122с.

3) Макеев Н. Н. Александр Петрович Котельников (к 145-летию со дня рождения) // Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. 2010. Вып. 3(3). С.99-107.

22 октября — 120 лет со дня рождения финского математика, академика (1924) Финской АН, председателя (1959-1962) Международного математического союза Рольфа Неванлинны (Rolf Hermann Nevanlinna, ум. 28.05.1980). Основные труды — по теории аналитических функций. МТ: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Nevanlinna.html

23 октября — 150 лет со дня рождения латвийского математика, профессора (1895-1918) Рижского политехнического института, специалиста по теории функций действительной переменной, теории дифференциальных уравнений и механике Пирса Георгиевича Боля (ум. 25.12.1921).

1) Гайдук Ю.М. Научные заслуги П. Боля в оценках его современников // ИМИ. 1990. Вып. 32-33. С. 126-136.

2) Мышкис А. Д., Рабинович И. М. Математик Пирс Боль из Риги. 1865-1921. К 100-летию со дня рождения. — Рига: Зинатне, 1965. 99 с.

31 октября — 200 лет со дня рождения немецкого математика, члена Берлинской АН (1856), Парижской АН (1868), почетного члена Петербургской АН (1895) Карла Теодора Вильгельма Вейерштрасса (Karl Theodor Wilhelm Weierstraß, ум. 19.02.1897). Построил логическое обоснование анализа, исходящее из предложенной им же теории действительных чисел. Исследовал абелевы, аналитические и эллиптические функции. Внёс существенный вклад в теорию функций комплексной переменной, вариационное исчисление и дифференциальную геометрию. Среди его учеников была С.В. Ковалевская.

1) Васильев А. В. Роль профессора Вейерштрасса в современном развитии математики. — Казань, 1885. 18 с.

2) Дорофеева А. В., Чернова М. Л. Карл Вейерштрасс. — М.: Знание, 1985. 48 с.

3) Полубаринова-Кочина П. Я. Карл Вейерштрасс, 1815-1897. М.: Наука, 1985. 271с.

31 октября — 80 лет со дня рождения Рональда Грэхема (Ronald (Ron) Lewis Graham), американского математика, специалиста по комбинаторике.

1) Интервью с Рональдом Грэхемом // Квант. 1988. №4. С.21-26.

2) МТ: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Graham.html

2 ноября — 200 лет со дня рождения английского математика, профессора Куинс-Колледжа (Ирландия) Джорджа Буля (George Boole, ум. 8.12.1864). Специалист в области математического анализа, логики, теории вероятностей. Логическое исчисление Буля получило название булевой алгебры.

1) Курдюмова Н. А. Джордж Буль как основоположник математической логики // МШ. 1995. №6. С.75-80.

2) http://vpn.int.ru/index.php?name=Biography&op=page&pid=790

9 ноября — 130 лет со дня рождения американского математика, члена Национальной АН США, лауреата Международной премии имени Н.И.Лобачевского, профессора (с 1933 г.) Принстонского института перспективных исследований Германа Вейля (Hermann Klaus Hugo Weyl, ум. 9.12.1955). Исследования относятся к дифференциальной геометрии, теории групп, математической логике, основаниям математики и теории функций комплексной переменной.

Яглом И. М. Герман Вейль. — М.: Знание, 1967. 48 с.

12 ноября — 190 лет со дня рождения Михаила Егоровича Ващенко-Захарченко (ум. 27.08.1912) — отечественного математика, историка математики, профессора (1863-1902) университета Св. Владимира в Киеве. Занимался теорией линейных дифференциальных уравнений, теорией вероятностей. Один из первых популяризаторов идей неевклидовой геометрии в России.

1) Грацианская Л.Н. М. Е. Ващенко-Захарченко // ИМИ. 1961. Вып. 14. С.441-466.

2) Поссе К. А. М. Е. Ващенко-Захарченко (некролог) // ЖМНП. 1912. №11-12. С.49-52.

14 ноября — 170 лет со дня рождения итальянского математика, ректора (1880-1890) Пизанского университета Улисса Дини (Ulisse Dini, ум. 28.10.1918). Основные труды по теории функций действительных переменных, гармоническому анализу, дифференциальной геометрии.

МТ: http://www-groups.des.st-and.ас.uk/~history/Biographies/Dini.html

16 ноября — 180 лет со дня рождения Эудженио Бельтрами (Eugenio Beltrami, ум. 18.02.1900), итальянского математика, президента (1898) Национальной академии деи Линчей в Риме, крупного специалиста по дифференциальной геометрии, теории аналитических функций и механике. Он показал, что геометрия Лобачевского на плоскости локально реализуется на некоторой поверхности в трёхмерном пространстве, называемой псевдосферой, или поверхностью Бельтрами.

1) Каган В. Ф. Основания геометрии. - М.: ГИТТЛ, 1956. ч.П. С. 11-24.

2) МТ: http://turnbull.mcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Beltrami.html

17 ноября — 225 лет со дня рождения немецкого математика и астронома, профессора Лейпцигского университета, ученика К. Ф. Гаусса и И.Ф.Пфаффа Августа Фердинанда Мёбиуса (August Ferdinand Möbius, ум. 26.09.1868). Основные работы посвящены геометрии. Мёбиус ввёл в проективную геометрию однородные координаты и аналитические методы. Он является основоположником барицентрического исчисления. В 1858 г. он открыл одностороннюю поверхность (лист Мёбиуса). Занимался также алгеброй и теорией чисел.

МТ : http : / / www- groups. des. st- and .ac.uk/ ~hist огу/Biographies/Möbius.html

28 ноября — 90 лет со дня рождения Луиса Ниренберга (Louis Nirenberg), американского математика, лауреата премий Крафорда, Стила, Черна за вклад в теорию дифференциальных уравнений в частных производных и в комплексный анализ.

МТ: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Nirenberg.html

8 декабря — 150 лет со дня рождения французского математика, члена Парижской АН (1912), почетного члена АН СССР (1929) Жака Адамара (Jacques Salomon Hadamard, ум. 17.10.1963). Занимался теорией чисел, теорией аналитических функций, уравнениями математической физики, теорией множеств. Основоположник функционального анализа во Франции.

1) Раздел «К семидесятилетию с дня рождения Ж. Адамара» в журнале УМН. 1936. №2. С. 82-117. (Статьи Петровский И. Г., Соболев С Л. «О работах академика Жака Адамара по уравнениям с частными производными» и Гельфонд А. О., Шнирельман Л. Г «О работах академика Жака Адамара по теории функций комплексного переменного и теории чисел».)

2) Маргулис А. Я., Юшкевич А. П. Жак Адамар // МШ. 1964. №2. С. 77-80.

3) Полищук Е. М., Шапошникова Т. О. Жак Адамар. — Л., 1990.

4) Мазья В. Г., Шапошникова Т. О. Жак Адамар — легенда математики. -М.: МЦНМО, 2008. 526 с.

10 декабря — 210 лет со дня рождения английского математика Августы Ады Лавлейс (Augusta Ada King Byron, Countess of Lovelace, ум. 27Al. 1852). В 1843 г. она описала алгоритм вычисления чисел Бернулли на аналитической машине Бэббиджа, благодаря чему считается первым в истории программистом. В 1975 г. в её честь был назван универсальный язык программирования «Ада».

МТ: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Lovelace.html

17 декабря — 180 лет со дня рождения итальянского математика, профессора университета Павии Феличи Казорати (Felice Casorati, ум. 11.09.1890). Занимался математическим анализом, теорией функций комплексной переменной.

МТ: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Casorati.html

22 декабря — 250 лет со дня рождения немецкого математика, члена Берлинской АН (1817), Парижской АН (1821), почётного члена Петербургской АН (1798) Иоганна Фридриха Пфаффа (Johann Friedrich Pfaff, ум. 21.04.1825). Исследования относятся к теории дифференциальных уравнений. Положил начало развитой позже Э. Картаном теории дифференциальных форм. Был учителем К. Ф. Гаусса, его лекции слушал А. Ф. Мёбиус.

1) Демидов С. С. К истории теории дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка. Работы И.Ф.Пфаффа и О. Коши // ИМИ. 1979. Вып. 24. С. 191-217.

2) МТ: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/PfafF.html

23 декабря — 125 лет со дня рождения отечественного педагога-математика Владимира Модестовича Брадиса (ум. 23.05.1975) — доктора педагогических наук, чл.-корр. АПН СССР, кавалера ордена Ленина и медали К. Д. Ушинского.

1) Андронов И. К. Владимир Модестович Брадис // МШ. 1966. №1. С. 92-94.

2) Данилова Е. Ф. Владимир Модестович Брадис // МШ. 1961. №3. С. 83-85.

24 декабря — 375 лет со дня рождения российского учёного шведского происхождения, члена Петербургской АН Андрея Ивановича Лекселя (Anders Johan Lexell, ум. 11.12.1784). Основные результаты в области математики относятся к сферической тригонометрии.

1) Шаль М. Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов. — М.: М.Катков, 1883.

2) МТ: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Lexell.html

— 725 лет назад родился Томас Брадвардин (Thomas Bradwardine, ум. 26.08.1349), английский математик, механик и философ. Изучал звёздчатые многоугольники, изопериметрические свойства фигур, автор трактатов «О континууме», «О теоретической арифметике», «О квадратуре круга» и др.

МТ: http : / / www-groups. des. st-and. ас. uk/ ~history/Biographies/Bradwardine.html

— 500 лет назад родился французский математик, философ и педагог Пьер де ла Раме, Пётр Рамус (фр. Pierre de la Ramee, лат. Petrus Ramus; был зверски убит 26.08.1572 во время событий «Варфоломеевской ночи»). Был резким противником схоластического аристотелизма и критиком «Начал» Евклида. Читал лекции в Парижском университете и в различных колледжах. Написал сочинение по истории математики.

1) Львов С. Л. Жизнь и смерть Петра Рамуса (Исторический очерк) // Новый мир. 1967. №9. С. 184-230.

2) Матвиевская Г. П. Рамус. 1515-1572. — М.: Наука, 1981. 152 с.

— 475 лет назад родился основоположник символической алгебры французский математик Франсуа Виет, сеньор де ля Биготье (Francois Viete, seigneur de la Bigotiere; ум. 13.02.1603). Получил ряд важных результатов в алгебре, геометрии, тригонометрии, методах приближённого решения уравнений и др.

Никифоровский В. А. Из истории алгебры XVI-XVII вв. — М.: Наука, 1979. С.89-118.

— 430 лет назад родился французский геометр Клод Мидорж (Claude Mydorge, ум. в июле 1647 г.). Он открыл ряд новых свойств конических сечений, составил собрание более 1000 геометрических задач.

МТ : http : / / www- groups. des. st- and .ac.uk/ ~hist огу/Biographies/Mydorge.html

— 420 лет назад родился французский математик Альбер Жирар (Albert Girard, ум. в 1632г.). А.Жирар жил и работал в Голландии, ему принадлежит первая формулировка основной теоремы алгебры (о числе корней многочлена).

МТ: http : // www-groups. des. st-and .ac.uk/ history/Biographies/Gir ard_Albert.html

Список сокращений

ВИЕТ — Вопросы истории естествознания и техники — с 1956 до 1979 г. -сборники статей, выходившие без строгой периодичности, с 1980 г. -ежеквартальный журнал.

ВОФЭМ — Вестник опытной физики и элементарной математики — журнал, издававшийся в Одессе в 1886-1917 гг.

ЖМНП — Журнал Министерства народного просвещения. Издавался в Санкт-Петербурге в 1834-1917 гг.

ИИЕТ (ИИЕ) — Институт истории естествознания и техники (до 1954 г. -Институт истории естествознания).

ИМИ — Историко-математические исследования — сборники статей, издающиеся ИИЕТ РАН с 1948 г.

МШ — Математика в школе — журнал, издаётся с мая 1934 г.

МТ — Mac Tut or History of Mathematics archive — Интернет-ресурс, содержащий биографии многих математиков, а также информацию по истории математики. Архив расположен на сайте университета Сент-Эндрюс в Шотландии и поддерживается Джоном О'Коннором и Эдмундом Робертсоном.

МОбр — Математическое образование — журнал, выходивший в 1912-1917 и 1928-1930 годах и возобновлённый в 1996 г.

МПр — Математическое просвещение. Сб. статей, выходившие в 1934-1938 и 1957-1961 гг. Издание возобновлено с 1997 г.

Составители: Р. З. Гушель, Г. М. Полотовский

В НИЖЕГОРОДСКОМ МАТЕМАТИЧЕСКОМ ОБЩЕСТВЕ

В НИЖЕГОРОДСКОМ МАТЕМАТИЧЕСКОМ ОБЩЕСТВЕ

1. 8 апреля 2014 года состоялось очередное отчётно-перевыборное Общее собрание Нижегородского математического общества (ННМО). Было избрано Правление ННМО в следующем составе: Ефремова Л.С, Калягин В.А., Круглов Е.В., Кузнецов М.И., Лерман Л.М., Морозов А.Д., Полотовский Г.М., Починка О.В., Рассадин А.Э., Сумин В.П., Шевченко В.Н., Шерешевский И.А. Президентом ННМО избран Г. М. Полотовский. 30 сентября по представлению Президента общества Правление избрало Вице-президентом ННМО О. В. Починку.

2. Ниже приводится список докладов, прочитанных на научных заседаниях общества в период, прошедший после предыдущего отчёта (см.[1]) до сдачи этого номера журнала в печать. Аннотации этих докладов (как и почти всех докладов за предшествующие годы) можно найти на сайте ННМО - http://www.unn.runnet.ru/nnmo/zasedania.html.

Заседание 5 декабря 2013 г. (Научное заседание, посвященное 80-летию профессора Г. М. Жислина).

И. А. Шерешевский (Институт физики микроструктур РАН, Нижний Новгород). «Атомы, молекулы и математика: ХВЖ-теорема и вокруг неё».

Заседание 7 декабря 2013 г. (совместно с Лабораторией алгоритмов и технологий анализа сетевых структур (ЛАТАС) НИУ ВШЭ).

А. М. Райгородский (МГУ; Яндекс, Москва). «Случайные графовые процессы как модели веба и других сложных сетей».

Заседание 9 декабря 2013 г. (совместно с Лабораторией алгоритмов и технологий анализа сетевых структур (ЛАТАС) НИУ ВШЭ).

A. М. Райгородский (МГУ; Яндекс, Москва). «Классические проблемы комбинаторной геометрии».

Заседание 24 февраля 2014 г.

E.H. Грязина (ИПУ РАН, Москва). «Случайные блуждания в ограниченных областях для получения асимптотически равномерно распределённых точек».

Заседание 8 апреля 2014 г.

Г. М. Полотовский (Мех.-мат. факультет ННГУ им. Н.И.Лобачевского). «Нижегородский математик Артемий Григорьевич Майер и его курс истории математики».

Заседание 15 мая 2014 г.

B. В. Жиков (Педагогический институт ВлГУ, Владимир.) «О переходе к пределу в нелинейных эллиптических и параболических уравнениях».

Заседание 3 июня 2014 г.

Н.Ю. Золотых (ННГУ им. Н.И.Лобачевского, факультет ВМК). «Расшифровка пороговых функций и близкие задачи».

Заседание 30 сентября 2014 г.

Л. М. Лерман (Мех.-мат. факультет ННГУ им. Н.И.Лобачевского). «Гамильтонова динамика: где мы находимся и куда мы движемся».

Заседание 10 октября 2014 г. (в рамках секции “Наука Франции XVII века и современность” Первой Международной научной конференции “Россия и Франция: век XVII”).

А. И. Буфетов (Факультет математики НИУ ВШЭ, Москва). «Квази-симметрии детерминантных точечных процессов».

ЛИТЕРАТУРА

1. Заседания Нижегородского математического общества // Математика в высшем образовании. 2013. №11. С. 159-160.

Президент ННМО Г. М. Полотовский

Поступила 13.10.2014

Математика в высшем образовании

№ 12, 2014

Научно-методический журнал

Свидетельство о регистрации средства массовой информации Министерства РФ по делам печати, телерадиовещания и средств массовых коммуникаций ПИ № 77-15825 от 7 июля 2003 г.

ISSN 1729-5440

Адрес редакции: 603950, Нижний Новгород, проспект Гагарина, 23, Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского, корпус 6, к. 406. Тел.: (831) 465-85-10; (831) 462-33-64; факс: (831) 465-85-92 e-mail: polotovsky@gmail.com http://www.unn.ru/math

Компьютерная верстка Л. Р. Семеновой Оригинал-макет подготовлен с использованием пакета LATEX

Издательство Московского центра непрерывного математического образования. 119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11

Отпечатано с предоставленных файлов в ППП «Типография “Наука”». 119002, Москва, Шубинский пер., 6

Заказ № 2372

ISSN 1729-5440 Математика в высшем образовании, 2014, №12