ISSN 1729-5440

МАТЕМАТИКА В ВЫСШЕМ ОБРАЗОВАНИИ

11

2013

Научно-методический совет по математике Министерства образования и науки Российской Федерации

Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского

Нижегородское математическое общество

МАТЕМАТИКА В ВЫСШЕМ ОБРАЗОВАНИИ

11

2013

Научно-методический журнал

Нижний Новгород

Издательство Нижегородского госуниверситета

Редакционная коллегия:

И.С. Емельянова (главный редактор) М.В. Долов, Г.М. Жислин. Т.А. Иванова, В.А. Ильин, Ю.Л. Кетков, М.И. Кузнецов, С.К. Ландо, А.В. Латышев, Н.И. Мерлина, В.И. Михеев, Е.И. Моисеев, Г.М. Полотовский (зам. гл. редактора), Н.Х. Розов, В.А. Садовничий, Г.И. Саранцев, Р.Г. Стронгин, С.Н. Слугин, М.А. Федоткин

При перепечатке, переводе на иностранный язык, а также при ином использовании оригинальных материалов журнала ссылки на ''Математика в высшем образовании9' обязательны

Журнал издается при финансовой поддержке Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского

Адрес редакции: 603950, Нижний Новгород, проспект Гагарина, 23, корпус 6, к. 406. Тел. (831) 4657335; e-mail: polotovsky@gmail.com http://www.unn.ru/math

© Математика в высшем образовании, 2013

Mathematics Science and Methods Council of Russian Ministry of Education

Nizhni Novgorod N.I. Lobachevsky State University

Nizhni Novgorod Mathematical Society

MATHEMATICS IN HIGHER EDUCATION

11

2013

Academic Journal

Nizhni Novgorod

Nizhni Novgorod State University Press

Editorial Board:

I.S. Yemelyanova (Editor-in-Chief), M.V. Dolov, G.M. Zhislin, T.A. Ivanova, V.A. Ilyin, Y.L. Ketkov, M.I. Kuznetsov, S.K. Lando, A.V. Latyshev, N.I. Merlina, V.I. Miheev, E.I. Moiseev, G.M. Polotovskiy (Editor), N.Kh. Rozov, V.A. Sadovnichii, G.I. Sarantsev, R.G. Strongin, S.N. Slugin, M.A. Fedotkin

No reprint or any use of the material is allowed without reference to “Mathematics in Higher Education”

The journal is published with financial support of Nizhni Novgorod N.I. Lobachevsky State University

Editorial Office Address: University of Nizhni Novgorod, 23 Prospekt Gagarina, Building 6, Office 406 603950, Nizhni Novgorod, Russia Tel: (831)4657335; e-mail: polotovsky@gmail.com http://www.unn.ru /math

© Mathematics in Higher Education, 2013

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие.......................................................................9

Содержание и технологии математического образования в вузе

Ибрагимов Н. Х. О преподавании курса «Дифференциальные уравнения и математическое моделирование» с введением элементов группового анализа....................................................................... 11

Киселева Л. Г., Смирнова Т. Г. В помощь преподавателю: контрольные задания по алгебре множеств.................................................. 21

Ласунский А. В. Некоторые методы суммирования числовых последовательностей.................................................................... 31

Теляковский С А. О признаке Гаусса сходимости рядов........................ 43

Материалы педагогической секции конференции «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы», посвященной 110-летию со дня рождения И.Г.Петровского

Предисловие..................................................................... 45

Боровских А. В. Семинарские занятия по уравнениям с частными производными ...................................................................... 47

Коньков А. А. Об одном пакете компьютерных программ, облегчающем проведение зачетов по уравнениям в частных производных................. 57

Назаров А. И. Об учебном плане бакалавриата по направлению «Математика» в Санкт-Петербургском госуниверситете.............................. 63

Сергеев И. Н. О преподавании курса обыкновенных дифференциальных уравнений в МГУ............................................................ 67

Шамаев А. С, Капустина Т. О. Международные студенческие олимпиады по дифференциальным уравнениям.......................................... 73

Инновационные и информационные технологии и компьютерные продукты в преподавании математики

Коган Л. П. Визуальное исследование свойств функций комплексной переменной ....................................................................... 85

Математические соревнования в вузах

Григорьева И. С, Сочнева В. А. Открытая студенческая математическая олимпиада Казанского (Приволжского) федерального университета, посвящённая дню рождения Н. И. Лобачевского............................. 93

Эвнин А. Ю. Олимпиада в форме компьютерного теста........................ 97

История математики. Персоналии

Поздравляем!................................................................... 103

Жислин Г. М. О работах А. Г. Сигалова по математической физике (к 100-летию со дня рождения).................................................... 105

Игнатушина И. В. Дифференциальная геометрия в научно-педагогической деятельности Д. А. Граве в Петербурге................................ 115

Одинец В. П. К истории двух знаменитых оптимизационных алгоритмов в теории графов............................................................... 121

Тестов В. А. Д. А. Граве — основоположник российской алгебраической школы (к 150-летию со дня рождения)..................................... 129

Тихомиров В. М. Прогулки с Гельфандом (к 100-летию со дня рождения И. М. Гельфанда)............................................................ 139

В перерыве между лекциями

Павлюченко Ю. В. О двух семействах треугольников, порождающих три замечательные кривые...................................................... 151

В Нижегородском математическом обществе

Заседания Нижегородского математического общества........................ 159

В Нижегородском университете

Международная конференция «Динамика, бифуркации и странные аттракторы» ................................................................... 161

CONTENTS

Introduction........................................................................9

Subject and Technologies of Mathematical Education at University

Ibragimov N. H. On teaching university course «Differential equations and mathematical modelling» with elements of group analysis...................... 11

Kiseleva L. G., Smirnova T. G. Assistance to tutors: test tasks on set algebra..... 21

Lasunsky A. V. Some methods of number sequences summation................... 31

Telyakovskii S. A. On the Gauss test for convergence of series..................... 43

Materials of pedagogical section of the conference «Differential Equations and Related Topics » devoted to the 110 anniversary of the birth of I. G. Petrovsky

Introduction...................................................................... 45

Borovskikh A. V. Seminars on partial differential equations........................ 47

Kon'kov A. A. On one package of computer programs facilitating the carrying out of tests on partial differential equations.................................... 57

Nazarov A.I. On the undergraduate curriculum on direction «Mathematics» at St. Petersburg state university.............................................. 63

Sergeev I. N. About teaching course of ordinary differential equations at MSU..... 67

Shamaev A. S., Kapustina T. 0. International student's olympiads on differential equations................................................................. 73

Innovative and information technologies and computer products in mathematics teaching

Kogan L. P. Visual research of properties of complex number functions............ 85

Mathematical Competitions at Universities

Grigor'eva L.S., Sochneva V. A. The open student mathematical Olympiad devoted to birthday of N. I. Lobachevsky in the Kazan federal university....... 93

Evnin A. Yu. Olympiad in the form of a computer test............................ 97

The History of Mathematics. The Prominent Figures Congratulation!................................................................. 103

Zhislin G. M. On the investigations of A. G. Sigalov in the field of mathematical physics (on the 100 anniversary of A. G. Sigalov's birth)...................... 105

Ignatushina I. V. Differential geometry in scientific and pedagogical activity of D. A. Grave in St. Petersburg................................................. 115

Odyniec W. P. On the history of two the graph theory famous optimal algorithms................................................................... 121

Testov V.A. D.A.Grave — founder of russian algebra's school (to the 150 anniversary of D. A. Grave's birth)............................................ 129

Tikhomirov V. M. Walks with Gelfand (to the 100 anniversary of I. M. Gelfand's birth)........................................................................ 139

In a Break between Lectures

Pavlyuchenko Yu. V. About two families of the triangles generating three remarkable curves............................................................ 151

At the Nizhni Novgorod mathematical society

Meetings of the Nizhni Novgorod mathematical society.......................... 159

At the Nizhni Novgorod University

The international Conference «Dynamics, bifurcation and strange attractors» .... 161

ПРЕДИСЛОВИЕ

Дорогой читатель !

Мы надеемся, что очередной номер нашего журнала займет место на полке Вашей библиотеки. Говоря о Вашей личной библиотеке, мы подразумеваем не только традиционные шкафы с книгами, но и компактные списки электронных ссылок на сайты, среди которых, хочется верить, есть наш http://www.unn.ru/math.

За время, прошедшее после выхода первого номера журнала, сформировалось сообщество читателей, которые используют публикуемые нами материалы в своей практике преподавания математики. Мы приветствуем авторов, которые делятся своими методическими находками, дающими возможность обогатить стандартные программы интересными и полезными деталями, помогают взглянуть по-новому на, казалось бы, давно устоявшийся материал.

Мы стараемся, чтобы каждый новый номер журнала пополнял копилку методических приёмов преподавания высшей математики и ещё раз подчёркиваем, что отличительной особенностью нашего журнала является то, что публикуемые в нём материалы не стареют. Если Вы хотите воспользоваться опытом преподавания высшей математики в крупнейших вузах России -рекомендуем Вам восстановить в памяти заповеди преподавателя математики, сформулированные выдающимся лектором Л. Д. Кудрявцевым, и перечитать статьи Б. В. Гнеденко «О месте лекции в математическом образовании», Л.Д.Кудрявцева «Об экзаменах», статьи о проведении семинарских занятий, тестовых контрольных, использовании электронных образовательных средств1. Вы читаете студентам лекции по математическому анализу? Рекомендуем познакомиться с письмом Н. Н. Лузина М. Я. Выгодскому «О бесконечно малых величинах в преподавании и в науке». Вам нужен свежий материал по алгебре, математическому анализу, геометрии, теории чисел, теории множеств, топологии, по теории дифференциальных уравнений и математической физики? Вы найдете статьи на эти темы в нашем журнале. Вы проводите математические олимпиады? Обратитесь к опыту коллег из Москвы, Санкт-Петербурга, Казани, Кургана, Тольятти, Чебоксар, Челябинска. Вы преподаёте математику будущим физикам, инженерам, экономистам, педагогам, военным специалистам, гуманитариям? Прочтите статьи А. Д. Мышкиса «О преподавании математики прикладникам», А. Н. Крылова «Значение математики для кораблестроения», Н. Х. Розова «Гуманитарная математика», О. В. Зиминой «Проблемное обучение высшей математике в технических вузах», В. А. Успенского «Математика для гуманитариев: философия преподавания» и др.

Вас интересует история становления базовых математических понятий? Вы хотите больше рассказать студентам о крупнейших математиках прошлого и настоящего? Перед Вами статьи об А. А. Андронове, В. И. Арнольде,

1 Указатель материалов, опубликованных в нашем журнале в 2003-2012 гг., помещён в №10 и его можно посмотреть в Интернете на сайте http://www.unn.ru/math.

А. Н. Боголюбове, Н. Н. Боголюбове, Я. Бояи, Е. С. Вентцель, И. М. Гельфанде, Д. А. Граве, Л.В.Канторовиче, Л.Д.Кудрявцеве, Н.И.Лобачевском, И.М.Максимове, С.М.Никольском, А. Г. Сигалове, А.Н.Тихонове, А.Тьюринге, Л. Эйлере...

Если Вам не безразлична дальнейшая судьба журнала, присылайте нам статьи, ссылки на интересные материалы, сведения о тех, кто может подготовить новые публикации. Сообщайте нам, освещение каких вопросов Вы хотите увидеть на страницах нашего журнала. Давайте работать вместе над тем, чтобы уникальный российский опыт обучения высшей математике становился нашим общим достоянием, обновлялся и пополнялся новыми подробностями. Мы обязаны противостоять математической безграмотности, которая, по словам В. И. Арнольда, «губительнее костров инквизиции».

Главный редактор профессор И. С. Емельянова

СОДЕРЖАНИЕ И ТЕХНОЛОГИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ В ВУЗЕ

УДК 51-7; 517.95

О ПРЕПОДАВАНИИ КУРСА «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ» С ВВЕДЕНИЕМ ЭЛЕМЕНТОВ ГРУППОВОГО АНАЛИЗА

Н. Х. Ибрагимов

Уфимский государственный авиационный технический университет Россия, 450000, г. Уфа, ул. К. Маркса, д. 12; Технологический институт Блекинге, Карлскруна, Швеция; e-mail: nailhib@gmail.com

Предлагается программа курса «Дифференциальные уравнения и математическое моделирование» с включением элементов современного группового анализа. На примерах демонстрируется эффективность использования группового анализа для нахождения точных аналитических решений обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными.

Ключевые слова: обыкновенные дифференциальные уравнения, уравнения с частными производными, групповой анализ, математическое моделирование, опыт преподавания курса.

Введение

В течение 1987-1992 годов я читал годовой обязательный курс уравнений математической физики для студентов третьего курса Московского физико-технического института. По инициативе заведующего кафедрой математики профессора Л. Д. Кудрявцева курс читался с введением элементов группового анализа. Это позволило увеличить посещаемость лекций примерно в десять раз1.

В последующем этот курс был расширен путем добавления методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений и линейных уравнений в частных производных первого порядка и читался мной для студентов инженерных специальностей в университетах ЮАР, а в 2000-2012 годах — в Швеции, где он постепенно превратился в курс с приведенным выше названием.

Введение методов группового анализа на понятном для студентов третьего курса уровне позволило значительно увеличить число слушателей курсов дифференциальных уравнений не только в России. Например, в Швеции это число увеличилось с 12 (когда дифференциальные уравнения читались по стандартным программам) до 100.

1 В МФТИ традиционно курсы читаются в нескольких потоках синхронно, и каждый студент имеет право выбора потока.

Главной особенностью данного курса является то, что обыкновенные дифференциальные уравнения и уравнения в частных производных рассматриваются вместе, как две основные составляющие одной дисциплины, а многочисленные искусственные приемы, обычно используемые для решения специальных типов уравнений, заменены единым общим методом, выводимым из группового анализа.

Такой подход особенно полезен для тех, кто исследует математические модели естествознания, техники и технологий. Он позволяет лучше понять теорию дифференциальных уравнений, решить значительно больше уравнений, чем это можно сделать с помощью обычных искусственных приемов, а также дает универсальный подход для нахождения физически важных законов сохранения.

Дифференциальные уравнения занимают особое место в математическом образовании инженеров в основном благодаря их применениям. Поэтому излагаемые методы будут иллюстрироваться многочисленными примерами их использования.

Программа курса

Введение

1. Действительные и комплексные числа, элементарные функции. Идея преобразований в элементарной математике. Обозначения дифференциальной алгебры, обыкновенные, частные и полные производные. Математическое моделирование с помощью дифференциальных уравнений. Вариационная производная, уравнения Эйлера-Лагранжа.

2. Различные типы дифференциальных уравнений: обыкновенные и в частных производных, первого и более высокого порядков, линейные и нелинейные. Примеры из математической физики: волновое уравнение, уравнения теплопроводности и Лапласа.

Часть I. Обыкновенные дифференциальные уравнения

1. Задача Коши: существование и единственность решения.

2. Традиционные методы интегрирования: линейные уравнения первого порядка, вариация произвольной постоянной, интегрирование специальных типов нелинейных уравнений первого и более высоких порядков, линеаризуемые уравнения Риккати.

3. Линейные уравнения второго и более высокого порядка, вариация произвольных постоянных.

4. Линейные уравнения, процесс решения которых приводит к решению алгебраических уравнений.

5. Нелинейные точные уравнения первого порядка. Интегрирующий множитель.

6. Точные уравнения высшего порядка, критерий точности. Интегрирующие множители. Применение к линейным уравнениям второго порядка.

7. Системы уравнений первого порядка и их первые интегралы.

Часть II. Дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка

1. Линейные, квазилинейные и нелинейные уравнения.

2. Однородные линейные уравнения, их характеристики и общие решения.

3. Неоднородные линейные уравнения и их интегрирование.

4. Системы линейных уравнений. Интегрирование полных систем.

Часть III. Линейные дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка

1. Характеристики. Гиперболические, параболические и эллиптические уравнения.

2. Формула Даламбера для волнового уравнения. Решение задачи Коши с помощью формулы Даламбера.

3. Метод инвариантов Лапласа для гиперболических уравнений.

4. Уравнение теплопроводности. Решение Тихонова.

5. Распространение метода инвариантов Лапласа на параболические уравнения.

6. Разделение переменных.

Часть IV. Интегрирование нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений методами групп Ли

1. Группы преобразований и симметрии дифференциальных уравнений.

2. Метод интегрирования с помощью симметрий.

3. Теорема Ли о линеаризации уравнений второго порядка.

4. Нелинейный принцип суперпозиции.

Часть V. Симметрии дифференциальных уравнений в частных производных

1. Симметрии и инвариантные решения.

2. Принцип инвариантности при решении задачи Коши. Применение к уравнению диффузии и волновому уравнению.

3. Обсуждение принципа Гюйгенса. Решение задачи Коши для волнового уравнения в пространстве - времени при наличии кривизны.

4. Законы сохранения: теорема Нётер в вариационных задачах.

5. Законы сохранения: метод нелинейной самосопряженности.

Часть VI. Обсуждение некоторых математических моделей

1. Разрушение ведущих валов.

2. Вывод законов Кеплера в небесной механике из симметрий.

3. Вывод формулы Эйнштейна для энергии.

4. Пример из лазерной физики.

5. Распространение ультракоротких световых импульсов в стекловолокне.

6. Математическая модель из металлургической промышленности.

7. Групповой анализ в финансовой математике.

8. Инвариантные решения для одной модели оросительной системы.

9. Модель химического процесса смягчения воды.

10. Газовая динамика: новые законы сохранения и решения для одноатомного газа и газа Чаплыгина.

11. Групповой анализ внутренних волн в океане.

12. Законы сохранения для уравнений Максвелла.

Дополнительный материал к разделу 4 в части I

Уравнение с постоянными коэффициентами и уравнение Эйлера, входящие в стандартные курсы обыкновенных дифференциальных уравнений, являются частными представителями общего класса линейных дифференциальных уравнений, в процессе решения которых строятся некоторые алгебраические уравнения [5].

Например, используя методы группового анализа, можно доказать, что в случае уравнений второго порядка этот класс уравнений имеет вид

(1)

где ф = ф(х), о = о~{х) — произвольные гладкие функции, а А и В — произвольные постоянные. Уравнение (1) характеризуется тем, что оно допускает однопараметрическую группу с генератором

(2)

Уравнение с постоянными коэффициентами получается из уравнения (1) при ф = 1, а = 0, а уравнение Эйлера — при ф = ж, а = 0.

Уравнение Ибрагимова (1) приводится к квадратному уравнению

(3)

подстановкой

(4)

Если квадратное уравнение (3) имеет различные действительные корни Ai и À2, то общее решение уравнения (1) дается формулой

(5)

В случае комплексных корней Ai = 7 + го, Л2 = 7 — гв общее решение уравнения (1) имеет вид

(6)

Если квадратное уравнение (3) имеет кратные корни Ai = А2, то общее решение уравнения (1) дается формулой

(7)

Поскольку каждая из формул (5)-(7) дает два линейно независимых решения однородного уравнения (1), метод вариации постоянных позволяет решить неоднородное уравнение

(8)

Для применения метода вариации постоянных нужно записать уравнение (8) в разрешенном относительно у" виде, поделив обе части уравнения (8) на ф\х).

Пример. Возьмем уравнение (1) с ф(х) = 1 + ж2, а(х) = х и с постоянными А = О, В = cj2, т. е. уравнение

(9)

В данном случае квадратное уравнение (3) имеет вид

и дает Ai = icj, Л2 = — iuj. Поэтому общее решение уравнения (9) выражается формулой (6) и имеет вид

(10)

Чтобы решить неоднородное уравнение

(11)

мы записываем его в виде

применяем метод вариации постоянных и получаем решение

(12)

Пример набора экзаменационных задач

1. Выясните, какое из следующих двух неоднородных линейных уравнений второго порядка точно:

Решите точное уравнение.

2. Покажите, что уравнение второго порядка

допускает оператор

Используя этот факт, проинтегрируйте приведенное выше ОДУ путем построения соответствующего алгебраического уравнения.

3. Найдите общее решение следующего нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка:

4. Найдите решение нелинейного уравнения

удовлетворяющее следующим начальным условиям при х = 1/2:

5. Выпишите общую систему двух обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, допускающую нелинейную суперпозицию и имеющую двумерную алгебру Вессио-Гульдберга-Ли с базисом

6. Решите линейное неоднородное уравнение в частных производных первого порядка

7. Покажите, что уравнение

можно свести к уравнению теплопроводности vt — vxx = 0 преобразованием вида

и найдите это преобразование.

8. Решите следующую смешанную задачу для уравнения теплопроводности в интервале 0 < х < 27г:

(13)

9. Решите линейное уравнение в частных производных второго порядка

10. Найдите решение потенциального уравнения Бюргерса

инвариантное относительно следующего оператора симметрии этого уравнения:

11. Математическая модель взаимодействия низкоэнергетического однородного фотонного газа с разреженным электронным газом описывается нелинейным уравнением в частных производных

(14)

выведенным А. С. Компанейцем в 1956 году и известным как уравнение Компанейца. Зависимая переменная п представляет собой плотность фотонного газа. Слагаемые п и п2 ответственны за спонтанное рассеяние (эффект Комптона) и индуцированное рассеяние соответственно. В случае доминирующего индуцированного рассеяния, т. е. когда т? ^> п, можно рассмотреть следующий упрощенный вариант уравнения (14):

(15)

Уравнение (15), в отличие от (14), допускает оператор растяжения

(16)

Постройте точное решение уравнения (15), являющееся инвариантным относительно растяжения с оператором (16).

Ответы и решения

1. Точным является первое уравнение. Его можно записать в виде

Отсюда

Решив это линейное уравнение первого порядка, получаем

2. Данный в этой задаче оператор X имеет вид (2) с Поэтому подстановка (4) записывается в виде

Далее, следуя теории, получаем следующее общее решение рассматриваемого уравнения:

3. Стандартная подстановка у' = р(у) сводит наше уравнение к р = 0 и ур' = Зр. После интегрирования получим общее решение, которое задаётся функциями

4. Общее решение данного в задаче уравнения выражается следующими тремя формулами:

Используя эти формулы и начальные условия, находим решение

10. Общий вид функции и = u(t,x), инвариантной относительно данного в задаче оператора, следующий:

Подставив это выражение в потенциальное уравнение Бюргерса, находим линейное дифференциальное уравнение первого порядка для неизвестной функции решив которое, получаем

Следовательно, искомое инвариантное решение имеет вид

11. Общий вид функции п = п(£, ж), инвариантной относительно (16), следующий:

п = ф{Ь)/х.

Для этой функции уравнение (15) сводится к уравнению первого порядка

ф' = 2{ф2 -ф),

откуда

0(t) = (l-Ce2*)-1.

Итак, искомое инвариантное решение нелинейного уравнения (15) имеет следующий вид:

ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА ПО ПРОГРАММЕ

1. Ibragimov N.H. A practical course in differential equations and mathematical modelling, 3 ed. — Karlskrona (Sweden): ALGA Publications, 2006. 370 p.

Русский перевод: Ибрагимов Н. Х. Практический курс дифференциальных уравнений и математического моделирования. 2-е изд., доп. и испр. / Пер. с англ. И.С.Емельяновой. — М.: Физматлит, 2012. 332с.

2. Ibragimov N.H. Exercises for courses based on Lie group analysis. — Karlskrona: ALGA Publications, 2008.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА

3. Greenberg M. D. Advanced Engineering Mathematics. — Prentice Hall, 2nd Ed., 1998.

4. Ibragimov N.H. Elementary Lie group analysis and ordinary differential equations. — Wiley, 1999.

5. Ibragimov N.H. Selected works. V.III. Blekinge Institute of Technology. -Karlskrone, Sweden: ALGA Publications, 2008.

6. Ibragimov N. H. Modern gruppanalys: En inledning till Lies lösnings metoder av ickelinjära differentialekvatuoner. — Studentlitteratur, 2002.

In English: Ibragimov N. H. Introduction to Modern Group Analysis. 2000.

Поступила 19.06.2013

ON TEACHING UNIVERSITY COURSE «DIFFERENTIAL EQUATIONS AND MATHEMATICAL MODELLING» WITH ELEMENTS OF GROUP ANALYSIS

N. H. Ibragimov

Educational program of the course «Differential equations and mathematical modelling» with elements of group analysis is provided. Some examples demonstrate effectiviness of group analysis using for finding solutions of ordinary and partial differential equations.

Keywords: ordinary and partial differential equations, group analysis, mathematical modelling, experience of teaching.

СОДЕРЖАНИЕ И ТЕХНОЛОГИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ В ВУЗЕ

УДК 519.5

В ПОМОЩЬ ПРЕПОДАВАТЕЛЮ: КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО АЛГЕБРЕ МНОЖЕСТВ

Л. Г. Киселева, Т. Г. Смирнова

Нижегородский государственный университет им Н. И. Лобачевского Россия, 603950, г. Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23; тел.: (831) 4623360; e-mail: mliva@rambler.ru

Представлены варианты контрольных заданий по алгебре множеств, которые в течение ряда лет предлагаются студентам факультета вычислительной математики и кибернетики Нижегородского государственного университета им. Н. И. Лобачевского, изучающим курс «Дискретная математика».

Ключевые слова: алгебра множеств, диаграмма Венна, дискретная математика.

Введение

В настоящей статье авторы публикуют варианты контрольных заданий по алгебре множеств, которые в течение ряда лет предлагаются студентам факультета ВМК Нижегородского государственного университета им. Н. И. Лобачевского (ННГУ), изучающим курс «Дискретная математика» [1]. Составление индивидуальных контрольных заданий представляет немалую трудность даже для опытного преподавателя. В то же время методическая литература по разделу «Алгебра множеств», к сожалению, представлена в недостаточном объёме, поэтому авторы пытаются восполнить этот пробел.

Предлагаемая контрольная работа состоит из шести заданий, каждое из которых содержит тридцать вариантов. Среди заданий имеются такие, как доказательство теоретико-множественных тождеств, применение операций над множествами, упрощение систем условий, наложенных на данные множества, решение уравнений и систем уравнений с одним неизвестным в алгебре множеств. Контрольные задания снабжены ответами. Выполнение публикуемой контрольной работы способствует успешному пониманию и усвоению студентами основных теоретико-множественных понятий.

В последнее время повышенное внимание уделяется тестированию студентов. Предлагаемые контрольные задания по алгебре множеств можно достаточно просто трансформировать в тесты, в которых студентам предлагается выбрать правильный ответ из нескольких предложенных вариантов.

Примеры решения типовых заданий и соответствующие теоретические основы для выполнения контрольной работы можно найти в статье [2], в которой авторы рассмотрели методы применения диаграмм Венна, а также поделились многолетним опытом использования графического подхода к решению уравнений и систем уравнений с одним неизвестным в алгебре множеств. Следует отметить, что ведущая роль в популяризации применения

диаграмм Венна в курсе «Дискретная математика» в Нижегородском университете принадлежит профессору Александру Александровичу Маркову (1937-1994), который в течение многих лет читал лекции по курсу «Дискретная математика» студентам факультета ВМК и механико-математического факультета [3, 4].

Контрольные задания

Задание 1. Доказать утверждения:

Задание 2. Заданы универсальное множество U = {1,2,3,4,5,6,7} и в нем подмножества А = {х \ х < 4}, В = {2,4,5,6}, С = {1,3,5,6}, D = = {ж I X простое1}, Е = {1, 2, 6, 7}. Найти множества:

1 Простым числом называется натуральное число, большее единицы, не имеющее других делителей, кроме самого себя и единицы. (На это определение следует обратить внимание студентов, так как оказывается, что многие из них неверно трактуют понятие «простое число».)

Задание 3. Упростить условия:

Задание 4. Решить уравнение, найти необходимые и достаточные условия, при которых уравнение имеет решение. Оценить число решений уравнения:

Задание 5. Решить систему уравнений. Найти необходимые и достаточные условия, при которых система имеет решение. Оценить число решений системы уравнений:

Задание 6. Равносильны ли системы условий:

Ответы к контрольным заданиям

Ответы к заданию 2.

Ответы к заданию 3.

Ответы к заданию 4.

Ответы к заданию 5.

Ответы к заданию 6.

2), 4), 12), 14), 21), 22), 28) — условия равносильны.

ЛИТЕРАТУРА

1. Алексеев В.Е., Киселева Л. Г., Смирнова Т. Г. Сборник задач по дискретной математике. — Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета, 2012. 80 с.

2. Киселева Л. Г., Смирнова Т. Г. Диаграммы Венна в курсе дискретной математики // Математика в высшем образовании. 2008. №6. С. 53-66.

3. Марков А.А., Шульц М. М. Лекции по математической логике. Учебное пособие. — Горький: Горьковский госуниверситет, 1973. 60 с.

4. Марков Ал. А. Введение в теорию кодирования. — М.: Наука, 1982. 192 с.

Поступила 05.03.2013

ASSISTANCE ТО TUTORS: TEST TASKS ON SET ALGEBRA

L. G. Kiseleva, T. G. Smirnova

Variants of test tasks on set algebra suggested to students of faculty of Calculus Mathematics and Cybernetics Nizhny Novgorod State University of N. I. Lobachevsky studing course of discrete mathematics for a number of years, are presented.

Keywords: set algebra, Venn diagram, discrete mathematics.

СОДЕРЖАНИЕ И ТЕХНОЛОГИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ В ВУЗЕ

УДК 512.14; 517.929.2

НЕКОТОРЫЕ МЕТОДЫ СУММИРОВАНИЯ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

А. В. Ласунский

Новгородский государственный университет им. Ярослава Мудрого Россия, 173003, г. Великий Новгород, ул. Большая Санкт-Петербургская, 41; e-mail: Alexandr.Lasunsky@novsu.ru

Рассмотрены методы суммирования членов последовательностей: метод неопределенных коэффициентов, формула суммирования по частям, метод дифференцирования по параметру. Основное внимание уделяется суммированию членов рекуррентных последовательностей.

Ключевые слова: рекуррентная последовательность, суммирование числовых последовательностей, формула суммирования по частям.

В теории числовых последовательностей и рядов, решении разностных уравнений, при нахождении моментов дискретных случайных величин довольно часто приходится суммировать члены числовых последовательностей. Такие задачи встречаются в школьных и студенческих математических олимпиадах. При изучении курса разностных уравнений, по-видимому, целесообразно ознакомить студентов с некоторыми методами суммирования членов последовательностей. В этой статье мы приведем конспект соответствующей лекции и подборку задач. В основном мы будем интересоваться суммированием членов рекуррентных последовательностей (исторически ранее использовался термин «возвратная последовательность»). А. И. Маркушевич в брошюре [1] отмечает, что основы теории этих последовательностей были разработаны еще в XVIII веке А. Муавром, Д. Бернулли и Л. Эйлером. Из более поздних работ следует выделить изложение теории возвратных последовательностей в курсах П. Л. Чебышева и А. А. Маркова. Остановимся на основных понятиях, следуя [1].

Определение. Последовательность ui, U2,..., ип,... называется рекуррентной последовательностью порядка /с, если существуют ненулевые числа ai, a2,..., au такие, что

un+k = a\un+k-i + a2Un+k-2 + • • • + akUn {n > 1). (1)

Таким образом, в рекуррентной последовательности каждый член начиная с номера fc+1 выражается через одно и то же количество к непосредственно предшествующих ему членов. Ясно, что рекуррентная последовательность порядка к определяется единственным образом, если заданы первые к членов этой последовательности: ..., щ. С рекуррентными последовательностями мы уже сталкивались в школьной программе.

Пример 1. Для геометрической прогрессии уравнение (1) имеет вид un+i = qun, q ф 0. Геометрическая прогрессия является рекуррентной последовательностью первого порядка.

Пример 2. По определению арифметической прогрессии имеем un+i = = ип + d, но это соотношение не имеет вида (1). Однако из двух соотношений ип+2 = un+i + d, un+i = ип + d мы легко находим ип+2 = 2г/п+1 — ип. Арифметическая прогрессия является рекуррентной последовательностью второго порядка.

Рекомендуем самостоятельно убедиться в том, что последовательность с общим членом ип = п2 является рекуррентной последовательностью третьего порядка. Она удовлетворяет уравнению ип+з = Зип+2 — 3un+i + ип.

С точки зрения разностных уравнений рекуррентная последовательность порядка к является решением линейного однородного разностного уравнения порядка к с постоянными коэффициентами. Задание первых к членов рекуррентной последовательности равносильно заданию начальных условий задачи Коши. Теория решения линейных однородных разностных уравнений с постоянными коэффициентами [2], которая аналогична теории решения линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, позволяет найти формулу общего члена рекуррентной последовательности. Проиллюстрируем это на хорошо известном примере, который обычно у студентов вызывает интерес.

Пример 3. Найти формулу общего члена последовательности Фибоначчи ип+2 — + ит Щ = U2 = 1. Характеристическое уравнение имеет вид Л2 = Л + 1. Корни этого уравнения Ai = 0,5 (l — л/б), Л2 = 0,5 (l + л/5), поэтому общее решение уравнения ип+2 = ип+\ +ип задается формулой ип = = С\(0,5(1 — л/5)) + С2(0,5(1 + л/5)) . Значения коэффициентов Ci и С2 находятся из начальных условий и\ = U2 = 1. Решая систему

получим С\ = — 1/л/5, С2 = 1/л/5- Формула общего члена последовательности Фибоначчи имеет вид

(2)

Формула (2) называется формулой Бине (по имени французского математика и астронома Жака Бине (1786-1856), хотя столетием раньше её нашёл Абрахам де Муавр (1667-1754)).

Рассмотрим теперь некоторые методы суммирования членов последовательностей.

Метод неопределенных коэффициентов

Пусть {ип} — рекуррентная последовательность порядка fc, удовлетворяющая уравнению (1). Покажем, следуя [1], что последовательность Sn —

также является рекуррентной, но порядка к + 1. Так как ит = Sm — SVn-ъ то из уравнения (1) имеем

Заменяя п — 1 на п, получим

(3)

Это разностное уравнение порядка к + 1. Найдем связь характеристических многочленов уравнений (1) и (3). Характеристический многочлен уравнения (3) имеет вид

Нетрудно видеть, что Л = 1 — корень этого многочлена. Разделив многочлен Q(X) на Л — 1 по схеме Горнера, получим

Итак, Q(A) = {\-1){\к-а1\к-1-а2\к-2-...-ак), но Р(Л) = А^-а^"1-— а2А^-2 — ... — а/е — характеристический многочлен уравнения (1), поэтому характеристические многочлены уравнений (1) и (3) связаны соотношением Q(A) = (А — 1)Р(А). При переходе от уравнения (1) к уравнению (3) к характеристическим числам добавляется единица. Заметим, что в брошюре [1] этот факт не отмечается, а он позволяет методом неопределенных коэффициентов суммировать члены рекуррентных последовательностей.

1. Сумму Pk{ï)i гДе Рк(п) — многочлен степени fc, методом неопределенных коэффициентов следует искать в виде многочлена степени к + 1 от переменной п.

2. Сумму Р/с(г)Аг, где А ф 1, Рк{п) — многочлен степени fc, методом неопределенных коэффициентов следует искать в виде С + Q/c(^)An, где С = const, Qfc(n) — многочлен степени к от переменной п.

3. Сумму Yl r*(Qkl(i) cos<pi + Q&2(i) sin^i), где p ф 0, г > 0, ^(п), Qk2(n) — многочлены степеней fei и &2 соответственно, методом неопределенных коэффициентов можно найти в виде

С + rn(Uk{n) cos (fîi + Vfc(n) sin <£>n),

где С = const, = maxjfci, A^}, Uk(n), Vfc(n) — многочлены степени не выше fc, но хотя бы один из этих многочленов имеет степень, в точности равную к.

К этим же выводам 1—3 мы можем прийти с помощью других рассуждений. Общее решение разностного уравнения

(4)

задается формулой у (ri) = С + ^ f(i). Если неоднородность f(ri) имеет специальный вид, то можно применить теорию нахождения частного решения линейного неоднородного разностного уравнения с постоянными действительными коэффициентами и со специальной правой частью [2]. Заметим, что соответствующее однородное уравнение имеет единственное характеристическое число Л = 1.

1. Если f(ri) = Pk(ri), то частное решение уравнения (4) можно найти в виде у о (ть) = nQk(ri). Здесь i4(n), Qk(ri) — многочлены степени к. Отсюда следует, что сумму ^ /(г) = ^ Р/е(г) , а значит, и сумму ^ Pk(ï) можно найти в виде многочлена С + nQk(n) = Sk+i(ri) степени к + 1.

2. Если f(ri) = P/e(n)An, Л ф 1, то уравнение (4) имеет частное решение Уо(п) = Q/c(^)An, а значит, сумму ^ Р^(г)\г можно найти в виде C+Qk(ri)\n.

3. Если f(n) = rn (Qki (ri) cos (fn + Qk2 (ri) sin ipri), (p Ф 0, r > 0, то уравнение (4) имеет частное решение yo(ri) = rn(Uk(n) cos^n + 14(n) sin^n). Здесь fc = maxjfci, /^2}, Uk(ri), Vk(ri) — многочлены степени не выше к. Значит, сумму S r*(Qfci (0 cos (pi+Qk2('i') sm ^) можно найти в виде C+rn(Uk(n) cos <y?n + Vk(n) sin <pn).

Рассмотрим конкретные примеры, на которых прокомментируем предыдущие утверждения.

Пример 4- Вычислить сумму

Последовательность ип = п(—1)п является решением уравнения ип+2 + + 2un+i + ип = 0, т. к. общее решение этого уравнения имеет вид ип = = С\(—1)п + C2ri(—l)n. Для характеристических многочленов Р(Х) и Q(X) имеем

Последовательность Sn является одним из решений уравнения £п+з + Sn+2 ~ — Sn+i — Sn = 0, поэтому Sn может быть получена из формулы общего решения Sn = Ci + С2(—1)п + Сзп(—1)п при некоторых значениях Ci, С2, С3. Значения этих постоянных найдем из начальных условий So = 0, S± = — 1, S2 = 1. Решив систему

получим Итак,

Пример 5. Вычислить сумму

Последовательность ип = sin па, а ф 7гт, m Е является нетривиальным решением уравнения ип+2 ~ 2 cos аип+\ + ип = 0 с характеристическими числами Ài52 = cos a usina. Последовательность Sn удовлетворяет разностному уравнению третьего порядка с характеристическим многочленом

Вид Sn может быть найден из формулы общего решения Sn = С\ + + С2 sin na + Сз cos na. Значения постоянных Ci, С2, С3 находим из начальных условий Sq = 0, Si = sin a, S2 = sin a + sin 2a. Имеем

откуда

Выражение 0,5sin na + (1 + cosa)(l — cos na)(2sina) 1 легко преобразуется к виду

Окончательно имеем

Заметим, что для значений a = 7rm, m G 2, сумма Sn равна нулю. Окончательная формула для значений a = 7г + 27гт, m G дает тоже правильный нулевой ответ, поэтому

Разумеется, рассматриваемую сумму можно вычислить и другими способами. Приведем соответствующие выкладки из задачника [3, §7, задача 51]. Рассмотрим формулу

Полагая в этой формуле к = 1, 2, 3,..., п — 1, п, имеем

Складывая эти равенства, находим

откуда для значений а ф 7гт, mGZ,

Пример 6. Вычислить сумму

Эту сумму авторы задачника [4] (пример 138.8) вычисляют с помощью дискретного преобразования Лапласа А. Предложим другие варианты вычисления этой суммы. Будем искать данную сумму методом неопределенных коэффициентов в виде

Значения постоянных Ci, С2, С3 находим из начальных условий Sq = О,

Окончательно

Для вычисления рассматриваемой суммы можно применить теорию комплексных чисел. Приведем соответствующие выкладки.

Рассмотрим комплексное число

Имеем

Формула суммирования по частям

Докажем следующую формулу

(5)

которую называют формулой суммирования по частям [4]. Эта формула является в известном смысле аналогом формулы интегрирования по частям

Имеем

Просуммируем равенства А(афг) = ai+iAbi + Аафг по г от по до п, получим

Так как

то мы убеждаемся в справедливости формулы суммирования по частям. Заметим, что формула (5) — просто другая форма записи преобразования Абеля [5].

Пример 7. Вычислить сумму Имеем

Итак,

Пример 8. Вычислить сумму Имеем

Эту сумму мы вычисляли ранее другими способами.

Пример 9. Вычислить сумму Имеем

Мы знаем, что существуют интегралы, которые с помощью формулы интегрирования по частям сводятся сами к себе. Приведем пример, когда применение формулы суммирования по частям выражает сумму через саму себя.

Пример 10. Вычислить сумму Имеем

Так как ^ к = 0,5п(п+1), то значение S легко находим из ранее полученного уравнения S = ^ к2 = п(п+ 1)(2п+ 1)/6. Разумеется, рассмотренную сумму можно было найти и другими методами. Например,

Рассмотрим суммы fc-x степеней натуральных чисел

(6)

Выше приведены значения этих сумм при к = 1 и к = 2

Много интересных свойств сумм (6) можно найти в книге [3]. Отметим лишь, что Sk(n) — многочлен степени к + 1 без свободного члена. Первые два старших коэффициента многочлена Skin) равны соответственно-- и - . В задачнике [3] приводится вид многочленов Skin) для к = 3, 4, 5, 6, 7:

Приведем вид многочленов Skin) для к = 8, 9,10:

Отметим следующие свойства этих многочленов, которые в этом задачнике не упоминаются:

Пример 11. Любой многочлен Sk(ri) делится на двучлен п + 1.

Справедливость этого свойства легко доказывается методом математической индукции, если воспользоваться следующей формулой [3, § 7, задача 26]:

(7)

Приведем доказательство формулы (7). Рассмотрим тождество

Полагая здесь последовательно х = 1,2,...,пи суммируя, получаем (7). Заметим, что эта формула позволяет рекуррентно вычислять суммы Skip)-

Пример 12. Сумма коэффициентов любого многочлена Sk(n) равна 1.

Так как сумма коэффициентов любого многочлена Р{х) равна его значению при X = 1, то в справедливости утверждения убеждаемся, полагая в формуле (6) п = 1.

Пример 13. Многочлен Sk{n) делится на п2 и на (п + I)2, если к = 2т+1, m > 1, и не делится на п3 и на (п + I)3 ни при каком fc.

Это свойство не столь очевидно. Для его доказательства нам понадобится одна замечательная последовательность рациональных чисел, которую открыл выдающийся швейцарский математик Якоб Бернулли (1654-1705), изучая суммы Sfc(n). Речь идет о так называемых числах Бернулли. Имеем

где А, В,..., С — коэффициенты многочлена Sk(n). Положим

(8)

где Во = 1, числа В\,..., Вк подлежат определению. Полагая в формуле (8) п = 1 и учитывая, что при любом к значение *Sfc(l) = 1, для чисел В\ получаем рекуррентное уравнение С°+1 В0 + В\ + С%+1 В2Л-----h С^~\ Bk_i + ck+i вк = к + 1, В0 = 1, к = 1, 2,... Числа Б0, Ви...,Вк и называются числами Бернулли. Из последней формулы мы можем легко найти последовательно несколько первых членов последовательности Бернулли:

Числа Бернулли Вк можно определить как коэффициенты при первой степени п в многочленах *Sfc(n) (см. (8)). Эти числа обладают рядом интересных свойств [6]. Они связаны с простыми числами (результаты Христиана Штаудта (1798-1867)), с великой теоремой Ферма (результаты Эрнста Куммера (1810-1893)). Мы воспользуемся следующим свойством чисел Бернулли Вк: при к нечетном и большем 1 эти числа равны нулю. С доказательством этого свойства можно ознакомиться, например, в статье [6]. Из формулы (8) имеем

Для второй производной имеем

Если к нечетно и больше 1, то ,

Su(Ö) = S'k(—1) = В к ф 0. Справедливость утверждения примера 13 теперь вытекает из критерия кратности корня многочлена.

Для самостоятельного решения предлагаем следующие примеры 14-19.

Пример 14. Пример 15. Пример 16.

Пример 17.

Пример 18.

Указание. Воспользоваться формулой

Пример 19.

Указание. Воспользоваться формулой

Метод дифференцирования по параметру

Рассмотрим этот метод на конкретных примерах.

Пример 20. Вычислить сумму

Значение этой суммы мы нашли ранее (см. пример 7). Приведем другой вариант рассуждений:

Пример 21. Вычислить сумму Имеем

Отметим, что обычно этот метод применяют при вычислении математического ожидания и дисперсии случайной величины, имеющей распределение Бернулли.

ЛИТЕРАТУРА

1. Маркушевич А. И. Возвратные последовательности. — М.: Наука, 1975. 48 с.

2. Романко В. К. Разностные уравнения. — М.: Бином. Лаборатория знаний, 2006. 112 с.

3. Кречмар В. А. Задачник по алгебре. — М.: Наука, 1972. 416 с.

4. Шелковников Ф.А., Такайшвили К. Г. Сборник упражнений по операционному исчислению. — М.: Высшая школа, 1976. 184 с.

5. Воробьев Н.Н. Теория рядов. — М.: Наука, 1979. 408с.

6. Абрамович В.С. Числа Бернулли // Квант. 1974. №6. С. 10-14.

Поступила 15.01.2013

SOME METHODS OF NUMBER SEQUENCES SUMMATION

A. V. Lasunsky

Summation methods of members of sequences have been considered. They are method of undetermined coefficients, summation formula by parts, method of differentiation with respect to the parameter. The main attention is paid to summation of recurrent sequences members.

Keywords: recurrent sequence, number sequences summation, summation formula by parts.

СОДЕРЖАНИЕ И ТЕХНОЛОГИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ В ВУЗЕ

УДК 517.521

О ПРИЗНАКЕ ГАУССА СХОДИМОСТИ РЯДОВ

С. А. Теляковский

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова Россия, 119991, г.Москва, Ленинские горы, 1; e-mail: sergeyAltelyandex.ru

В признаке Гаусса сходимости рядов ослаблено условие на остаточный член в формуле для отношения последующего члена ряда к предыдущему.

Ключевые слова: признак Гаусса, сходимость рядов.

Признак Гаусса сходимости рядов состоит в том, что если для ряда ^ а& с положительными членами отношение последующего члена ряда к предыдущему представимо в виде

где числа г& малы в том или ином смысле, то ряд сходится, если а < 1 или а = 1и/?>1,и расходится, если а > 1 или а = 1 и ß ^ 1. В случае, когда

это утверждение при а ф 1 вытекает из признака Даламбера, а при а = 1, ß ф 1 — из признака Раабе.

Значит, остаётся только случай, когда а = ß = 1, т. е. когда

В учебниках анализа, в которых приводится признак Гаусса, предполагают, что

где е > 0 в [1] и [2] и е = 1 в [3].

По нашему мнению, наиболее естественным условием, при котором ряд ^2, ак расходится, является оценка

(1)

Это условие окончательно в своих терминах, так как на примере сходящегося ряда

видно, что о малое в (1) нельзя заменить на О большое.

Для доказательства расходимости ряда ^ а& при выполнении условия (Г положим

Ряд ^ Ък расходится, поэтому достаточно установить, что при всех больших к

(2)

Имеем

Так как

Следовательно, в силу (1) при достаточно больших к справедлива оценка (2), которая доказывает расходимость ряда ^а^.

ЛИТЕРАТУРА

1. Гурса Э. Курс математического анализа. Т. 1, ч. 2. — М.-Л.: ГТТИ, 1933. 235 с.

2. Архипов Г. И., Садовничий В. А., Чубариков В. Н. Лекции по математическому анализу. — М.: Высшая школа, 1999. 605 с.

3. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.П. — М.-СПб.: Физматлит, 2001. 863 с.

Поступила 21.01.2013

ON THE GAUSS TEST FOR CONVERGENCE OF SERIES

S. A. Telyakovskii

In the Gauss test for convergence of series we weaken the hypotheses on the remainder in the formula for the ratio of the consecutive terms of the series.

Keywords: Gauss test, convergence of series.

МАТЕРИАЛЫ ПЕДАГОГИЧЕСКОЙ СЕКЦИИ КОНФЕРЕНЦИИ «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И СМЕЖНЫЕ ВОПРОСЫ», ПОСВЯЩЕННОЙ 110-ЛЕТИЮ СО ДНЯ РОЖДЕНИЯ И. Г. ПЕТРОВСКОГО

Предисловие

Стало уже традиционным проводить на международных конференциях в МГУ, посвященных памяти И. Г. Петровского, педагогическую секцию по проблемам преподавания в университетах теории дифференциальных уравнений — как обыкновенных, так и с частными производными. На конференции «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы», посвященной 110-летию со дня рождения И.Г.Петровского, проходившей 30 мая-4 июня 2011 года в МГУ, заседание этой секции прошло 1 июня.

В программу секции были включены следующие доклады:

1. И.Н. Сергеев «Преподавание курса обыкновенных дифференциальных уравнений на мехмате МГУ».

2. С.И. Похожаев «Несколько слов о преподавании курса уравнений математической физики».

3. А. С. Шамаев «О новом статусе олимпиад по обыкновенным дифференциальным уравнениям и по уравнениям с частными производными в МГУ».

4. А.И.Назаров «Об учебном плане бакалавриата по направлению «Математика» в СПбГУ».

5. А.В.Боровских «Семинарские занятия по уравнениям с частными производными».

Материалы большей части этих докладов публикуются ниже в настоящем номере журнала «Математика в высшем образовании».

Как и на прошлой конференции, секция прошла с большим успехом, доклады сопровождались чрезвычайно заинтересованными обсуждениями, в которых задавались актуальные вопросы и высказывались очень содержательные комментарии.

К сожалению, на конференции не присутствовал целый ряд известных специалистов, издавших в прошедший период учебники или учебные пособия, поэтому организаторам пришлось ограничиться докладами москвичей. Надеемся, что на следующей конференции нам удастся более широко представить и доклады авторов и разработчиков из других городов.

А. В. Боровских, Н. Х. Розов, А. С. Шамаев

МАТЕРИАЛЫ ПЕДАГОГИЧЕСКОЙ СЕКЦИИ КОНФЕРЕНЦИИ «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И СМЕЖНЫЕ ВОПРОСЫ», ПОСВЯЩЕННОЙ 110-ЛЕТИЮ СО ДНЯ РОЖДЕНИЯ И. Г. ПЕТРОВСКОГО

УДК 372.851,517.95

СЕМИНАРСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО УРАВНЕНИЯМ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

А. В. Боровских

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова Россия, 119991, г.Москва, Ленинские Горы, 1; e-mail: bor.bor@mail.ru

Представлена разработка семинарских занятий по курсу «Уравнения с частными производными», который автор читает на механико-математическом факультете МГУ. Описаны место и функции курса в рамках профессионального математического образования, возникающие методические проблемы, основные идеи их разрешения, методы и приёмы обучения, педагогические инструменты достижения поставленных целей.

Ключевые слова: уравнения с частными производными, семинарские занятия, педагогические цели и задачи, методика преподавания.

1. Курс уравнений с частными производными1 является, с одной стороны, одним из самых трудных в математическом образовании2, с ним сравним по сложности разве что курс математического анализа. С другой — он занимает в этом образовании особое место, выполняя одновременно целый ряд важнейших функций.

Среди этих функций в первую очередь надо назвать синтезирующую. Фактически именно в этом курсе студенты начинают активно использовать всё, что они выучили до того или что изучают параллельно — алгебру, геометрию (аналитическую и дифференциальную), дифференциальное и интегральное исчисление, обыкновенные дифференциальные уравнения, теорию функций действительного и комплексного переменного, вариационное исчисление, функциональный анализ, теорию вероятностей. Именно посредством этой дисциплины их образование становится — если она изучается не только для сдачи экзамена — целостным. Оно становится действительно математическим в полном смысле этого слова.

Вторая важнейшая функция курса — интерфейсная. Именно этот курс устанавливает связь математических проблем, идей, методов, теорий с различными задачами механики, физики, химии, биологии, техники. С другой

1 Иногда он же называется «Уравнения математической физики». На мехмате МГУ есть исторический анекдот про то, как СЛ. Соболев читал в потоке математиков курс «Уравнения с частными производными» по своему учебнику «Уравнения математической физики», в то время как другой преподаватель читал тогда же в потоке механиков курс под названием «Уравнения математической физики» по учебнику И. Г. Петровского «Лекции об уравнениях с частными производными».

2 От одного из студентов узнал присказку: «УрЧП сдал — можно и жениться!».

стороны, именно курс уравнений с частными производными позволяет продемонстрировать, как происходит трансформация естественно-научных представлений в математические и обратно, как происходит взаимодействие между различными науками.

Третья фундаментальная функция этого курса — развивающая. Именно здесь начинают в полную меру работать такие функции человеческого мышления, как планирование решения3, использование эвристических подходов, моделирование4, преобразование различных форм представления изучаемого объекта друг в друга, схематизация, систематизация и пр.

Не менее важной оказывается и интеллектуальная функция курса. Студентам здесь приходится осваивать такие нетривиальные вещи, как оперирование общими формулами (а не конкретными функциями), рассуждения, в которых фигурируют классы задач и уравнений (а не отдельные уравнения и задачи), умение опираться на качественные методы (когда надо что-то узнать, например, о решении, не находя его) и пр.

Ну и, наконец, собственно предметная функция курса — освоение нового содержания. Это и формулы решения уравнений различных типов, и метод Фурье, и довольно тонкая техника интегрирования, и использование обобщенных функций, и знакомство с соболевскими пространствами, и многое-многое другое.

2. Все перечисленные выше функции сами по себе создают достаточно многослойный фон целей преподавания: ведь выстроить курс так, чтобы он все эти функции действительно выполнял, — довольно сложная педагогическая задача уже сама по себе, независимо от предметного содержания. А оно нетривиально и только добавляет проблем. Назовем лишь наиболее значимые из них.

Во-первых, все представления, связанные с уравнениями с частными производными, студентам ранее не встречались (представление множества решений через произвольные функции, замена независимых переменных как способ преобразования уравнения, негладкость и даже разрывность решений как внутреннее свойство уравнений, внешне вполне благополучных, эвристические соображения и техника их проверки, трансформация физических со-

3 В отличие от обыкновенных дифференциальных уравнений (где, как бы ты ни решал, рано или поздно решение получишь), в уравнениях с частными производными блуждание наугад, как правило, ни к чему не приводит. Здесь требуется всё время удерживать понимание того, откуда и куда мы идём.

4 Моделирование, вопреки широко распространенному мнению, — это не объявление «моделью» любого уравнения или другого математического объекта. Моделирование — это, прежде всего, построение системы моделей. Системы могут строиться по разным принципам и на разных основаниях. Системы моделей обычно строятся так, чтобы обслуживать ту или иную деятельность (например, деятельность, связанную с исследованием газовых течений для проектирования самолетов и авиационных двигателей), и структура системы моделей тесно связана с самой этой деятельностью. Без понимания сущности деятельности, которую обслуживает та или иная система моделей, невозможно понять саму систему. Ибо основные факторы, влияющие на построение моделей и их взаимное отношение — что важно, что нет, что более существенно, что менее, какие величины большие, какие малые, и т. п., — оказываются совершенно «трансцендентными». Поэтому слово «моделирование», вообще говоря, нужно произносить с осторожностью.

ображений в математические факты, моделирование как построение системы моделей и пр.), и их приходится осваивать по мере изучения курса.

Во-вторых, большинство основных, фундаментальных идей, используемых в теории уравнений с частными производными, лежат за рамками математики, и для их адекватного восприятия, не говоря уже о понимании, требуется постоянно выходить либо в физические, либо в механические интерпретации, использовать интуицию и эмпирические представления. Постоянная циркуляция между ними и соответствующими им строгими математическими фактами — один из сложнейших пластов математической культуры, который приходится осваивать.

В-третьих, действия, которые используются в уравнениях с частными производными, студентами, как правило, уже освоены (это операции дифференцирования, интегрирования, действия с рядами и пр.). Поэтому для нашего курса оказывается бесполезным такой вид работы, как «практическое занятие». Хорошо известно, что такие занятия порой превращаются в абсолютно бессмысленную «подстановку конкретных функций в общую формулу», которая ничего не даёт ни уму, ни сердцу студентов. Столь косная и рутинная деятельность скорее создает отрицательную, чем положительную мотивацию изучения курса, а это приводит, в силу его сложности, к тому, что на экзамене либо большая часть студентов получает двойки (и курс приобретает славу инквизиторского), либо преподавателю приходится идти на сделку с совестью и ставить положительные оценки ни за что (и тогда курс приобретает не менее удручающую славу профанационного).

В-четвертых, преподаватель курса уравнений с частными производными при отборе учебного материала оказывается в довольно странном положении. С одной стороны, для выполнения перечисленных выше функций предмет под названием «уравнения с частными производными» должен рассматривать достаточно сложные задачи. Именно на них проявляется и смысл, и эффективность соответствующих теоретических конструкций. С другой стороны, время на занятии ограничено, и рассмотрение одной лишь мало-мальски сложной задачи может занять целую пару. А таких задач немало. Возникает естественное сомнение, возможно ли достичь поставленных целей имеющимися средствами?

Другая сторона той же проблемы — ограниченность времени на контрольной работе. Аудиторной проверке поддаётся только что-то уж совсем элементарное. К тому же решить сложную задачу безошибочно — довольно большое искусство. А пустяковая ошибка в самом начале решения сразу ставит крест на всей дальнейшей работе. Выходит, что преподаватель, дающий на контрольной хоть сколь-нибудь содержательные задачи, проверяет не знания и не навыки выполнения предметных действий, а банальное внимание и способность к самоконтролю. Конечно, никто не скажет, что это ненужная способность и что её не надо формировать и тем более — проверять. Но при чём здесь дисциплина «уравнения с частными производными»?

3. Преодоление описанных трудностей, конечно, не совсем тривиально и требует как организационных, так и педагогических усилий. Среди организационных решений назовём несколько важнейших, они оказались весьма существенными, поскольку потребовали изменения самого взгляда на предмет.

Во-первых, место «практического занятия» занимает «семинар». Семинарское занятие отличается от практического тем, что основное время на нём занимают не вычисления, а обсуждения, и именно эта форма оказывается наиболее адекватной поставленным целям.

Во-вторых, место «подстановки функции в формулу» на семинаре занимает обсуждение происхождения формул — эвристические соображения, физические идеи и пр. Сопоставление этих соображений с конкретными задачами переносится в область самостоятельной работы. Это, конечно, даётся студентам с усилием, но именно в этом и состоит задача интеллектуального развития — самостоятельное преодоление пространства между интуицией и эмпирикой с одной стороны, и теоретическими конструкциями с другой.

Фактически семинар состоит из двух частей. На первой разбираются не получившиеся или вызвавшие затруднения задачи из домашнего задания, а на второй — проводится мини-лекция. От лекционной части курса она как раз и отличается тем, что содержит не формализованное изложение теории, а эвристические и физические соображения и подходы (на которые в лекционной части курса практически нет места — она и так очень «плотная»). Это позволяет, с одной стороны, опереться на интуитивные представления и физические соображения, с другой — осваивать постепенно интерфейсную функцию дисциплины, а с третьей — активизировать деятельность по самостоятельному осмыслению услышанного и применению этого к конкретным задачам из домашнего задания. Категорический отказ от предоставления студенту возможности «повторять по образцу» создаёт условия (они, конечно, конфликтные, но педагогика без конфликта бессильна, главное — чтобы конфликт был продуктивным) для психического развития, и именно это оказывается основным мотивом учебной деятельности.

В-третьих, весь первый семестр — «эмпирический». Это означает, что мы работаем на уровне рассуждений типа «если сделать то-то, то получим то-то». Здесь нет никаких общих утверждений, а есть примеры, контрпримеры, схемы, приемы и т. п. И только во втором семестре созданные таким образом представления начинают трансформироваться в теоретические — начинается разговор о методах, о типичности свойств, об общих утверждениях для классов уравнений и классов функций и пр. Это позволяет освоить ту систему представлений, которая необходима для свободного понимания теории, не обременяя себя рамками формализмов и несущественных деталей. Детали возникнут потом — естественно и, как это ни странно, в полном соответствии с историческим путём развития науки.

В-четвёртых, вводятся домашние самостоятельные работы. На них даются достаточно трудные задачи, у каждого студента — свой набор вариантов. На выполнение самостоятельной работы из пяти заданий даётся месяц-полтора. Задания делаются дома, потом сдаются, проверяются, если есть ошибки — возвращаются на доработку. Возможны несколько итераций, но в итоге должно быть сделано всё и правильно, вплоть до деталей.

Эти самостоятельные работы, с одной стороны, позволяют по-настоящему соприкоснуться с предметом и понять его суть, а с другой — служат достаточно эффективным средством текущего контроля. На долю аудиторных кон-

трольных работ остаётся только то, что реально можно на них осуществить — проверка освоения элементарных действий. Например, в контрольной по методу Фурье отдельное задание состоит в разделении переменных, отдельное — в решении спектральной задачи, отдельное — в разложении функции по ортогональной системе, и отдельное — в превращении неоднородных краевых условий в однородные за счёт замены неизвестной функции.

Опыт показывает, что если студенты вполне освоили элементарные действия, то за сложную задачу они уже берутся без трепета. Потом, правда, при выполнении самостоятельных работ им приходится преодолевать некоторые трудности, поскольку не всегда элементарные действия стыкуются друг с другом гладко, но это уже не останавливает, а скорее подстёгивает их, побуждает довести решение до конца несмотря на трудности. Эта позиция -довести дело до конца несмотря на трудности — одна из важнейших не только для студента, но и является чрезвычайно важным качеством для дальнейшей профессиональной деятельности (даже если это будет не профессия математика), и возможность развить это качество в курсе уравнений с частными производными представляется не менее важной, чем освоение предметной составляющей курса.

Наконец, в качестве уже чисто методического приёма отметим специально выделенное освоение общего метода под названием «метод двойственного действия». Как ни странно, этот метод, используемый практически всеми специалистами, ни в одном учебнике не отражён именно как метод, основная идея которого — то, что можно доказать, продифференцировав и подставив в уравнение некоторую формулу, можно (причём, как правило, в гораздо большей общности) получить, умножив исходное уравнение на подходящую функцию и проинтегрировав по подходящей области. Этот приём надёжно работает и в интегральных формулах, и в спектральных задачах, он позволяет естественно ввести преобразования Фурье и Лапласа. Кроме того, опыт показывает, что отдельное рассмотрение этого метода резко упрощает освоение техники работы с обобщёнными функциями: основные сложности при решении задач связаны там с интегрированием по частям (то есть с применением формул Грина)5, а когда оно уже надёжно освоено в методе двойственного действия, теория обобщённых функций превращается в удобную формализацию тех отношений, которые в «классическом» исполнении носят либо условно-символический характер (как, например, преобразование Фурье от синусов и экспонент), либо требуют для обоснования чрезвычайно сложной аналитики.

4. Следует подчеркнуть, что приведённые организационные решения могут оказаться не вполне эффективными, если одновременно с ними не использовать и некоторые педагогические идеи. Среди них назовём две, которые, на взгляд автора, являются центральными.

5 На самом деле именно эта проблема послужила автору основанием для того, чтобы вынести изучение «интегрирования по частям» в отдельное занятие, ну а там уж оказалось, что это даёт гораздо большие выгоды, чем просто решение методической проблемы в теме «обобщённые функции».

Первая из них — использование конфликтных механизмов развития. Хотя мы в обыденной жизни и стремимся избегать конфликтов, к сожалению, развитие без них невозможно. Здесь следует отличать коммунальный конфликт от деятельностного (последний — это конфликт различных видов, форм, типов человеческой деятельности). В педагогике деятельностный конфликт обычно возникает как конфликт между прошлой и будущей деятельностью ребёнка, школьника, студента. Он выражается в противопоставлении стремления следовать прежним стереотипам действий и стремления к участию в деятельности либо нового типа, либо новой формы, либо в новой роли, что невозможно сделать, используя старые стереотипы. Разрешение конфликта, состоящее в преодолении собственной инерции, ломке старых стереотипов и формировании новых способов деятельности, и есть, по существу, развитие в педагогическом смысле этого слова.

Развитию служат и задачи без «специально подобранных» уравнений и коэффициентов, и использование того, что «в классе не проходили» (но что можно прочитать в учебнике), и задачи с «нестандартными» условиями (которые нельзя решить стереотипными действиями), и избыточность заданий и пр. Конечно, всё это — дополнительная нагрузка на преподавателя (не говоря уже о том, что и ему для преподавания в такой позиции надо преодолеть свои собственные стереотипы действий — «пришёл, открыл задачник, задал задачу, объяснил решение, ушёл»), но результативность оправдывает затраты.

Вторая педагогическая идея, которую автор считает чрезвычайно полезной — это использование социальных механизмов взаимодействия студентов между собой. К сожалению, вузовская педагогика очень мало использует тот научный факт, установленный ещё в начале прошлого века выдающимся отечественным психологом Л.С.Выготским [1], что всякая функция человеческой психики, начиная с самых элементарных, сначала существует во внешней, «социальной» форме, и только потом, в результате интериоризации, становится «внутренней». Если мы хотим научить ребенка самоконтролю -сначала надо научить его проверять действия других людей. Если мы хотим научить его критичности мышления (в основе которой лежит «спор с самим собой») — сначала надо научить его спорить с другими. Если мы хотим научить его что-то доказывать, то сначала ему надо потренироваться в доказательстве перед другими (как это происходит, например, на математических боях).

Поэтому для формирования всех этих функций очень важны подсказки, обсуждения, опора на «маргинальные» позиции при обсуждении того или иного вопроса и последовательная разработка их в общей дискуссии. Не следует считать вредным, если вся группа решает трудную задачу, попавшуюся одному из студентов. Нужно понимать, что, в конце концов, вся эта деятельность пойдёт ему на пользу независимо от того, может он вообще решить эту задачу самостоятельно или нет.

Следует упомянуть ещё один научный факт, установленный тем же Л. С. Выготским: если человек не справляется с проблемой «внутренними» средствами — он «выносит» эту задачу вовне и начинает решать её с помо-

щью внешних средств, прежде всего — с помощью окружающих его людей. Нередко активное восприятие идей, высказываемых в таких коллективных обсуждениях, оказывается гораздо более эффективным и продуктивным, чем многочасовое бесплодное корпение в одиночку над неподдающейся задачей.

5. Приведем теперь рабочий план6 занятий, которые автор проводит со студентами и, для примера, содержание одной из самостоятельных работ (в каждом задании приводится условие и один из 30 вариантов).

I семестр

1. Входная контрольная работа. Линейные уравнения 1-го порядка с частными производными.

2. Квазилинейные и нелинейные уравнения и системы.

3. Уравнение струны (вывод и решение).

4. Задачи на полуоси и на отрезке.

5. Уравнения Лапласа и Пуассона (вывод, формула решения).

6. Потенциал простого и двойного слоя.

7. Краевые задачи и функция Грина.

8. Гармонические функции. Сферические гармоники.

9. Контрольная работа. (1. Квазилинейные уравнения 1-го порядка. 2. Задача Гурса. 3. Волновое уравнение на полуоси. 4. Гармонические функции и оператор Лапласа. 5. Функция Грина (метод отражений).)

10. Уравнение теплопроводности (вывод и формула решения).

11. Разделение переменных для волнового уравнения и для уравнения теплопроводности (однородные уравнения).

12. Разделение переменных для неоднородных уравнений.

13. Метод разделения переменных для уравнения Лапласа (в прямоугольной области, в круге, в шаре).

14. Многомерное волновое уравнение и функции Бесселя.

15. Контрольная работа. (1. Разделить переменные (получить спектральные задачи и сопровождающее уравнение). 2. Найти собственные значения и собственные функции спектральной задачи. 3. Проверить ортогональность системы функций и разложить по этой системе функцию /(£, х). 4. Свести задачу к задаче с однородными граничными условиями.)

II семестр

16. Метод двойственного действия (одномерное волновое уравнение).

17. Функция Римана.

18. Метод изоляции особенности (уравнение Пуассона и теплопроводности).

19. Метод двойственного действия в многомерных волновых уравнениях.

20. Фундаментальное решение. Свертка. Приведение уравнений к каноническому виду.

21. Вариационные задачи. Связь между уравнением и вариационным интегралом.

22. Метод двойственного действия в спектральных задачах.

6 Его, как и задачи домашних самостоятельных работ, можно найти на сайте http://math.msu.ru/department/diffur в разделе «читаемые курсы».

23. Преобразование Лапласа.

24. Преобразование Фурье.

25. Контрольная работа. (1. Привести дифференциальное уравнение к каноническому виду, указать соответствующую замену переменных. 2. Продифференцировать сингулярный интеграл (после дифференцирования вернуться к исходным переменным). 3. Для одномерной спектральной задачи найти сопряженную спектральную задачу, собственные значения и собственные функции исходной и сопряженной задач. 4. Найти прямое/обратное преобразование Лапласа от заданной функции. 5. Найти прямое/обратное преобразование Фурье от заданной функции.)

26. Обобщенные функции. Пространства D1, S, Sf.

27. Дифференцирование и дифференциальные уравнения в пространствах обобщенных функций.

28. Прямое произведение, свертка, фундаментальное решение, преобразования Фурье и Лапласа в пространствах обобщенных функций.

29. Соболевские пространства.

30. Контрольная работа. (1. Для каждого из пространств D1, S, S' указать те функции из предъявленного списка, которые принадлежат этому пространству, а для тех функций, которые этому пространству не принадлежат — указать, почему. 2. Решить дифференциальное уравнение в обобщенных функциях. 3. Найти свертку обобщенных функций. 4. Найти преобразование Фурье (в Sf) от заданной функции. 5. Доказать, что заданная функция является фундаментальным решением некоторого (многомерного) дифференциального оператора.)

1-я самостоятельная работа

Задание 1. Уравнения первого порядка.

Найти: общее решение уравнения; поверхность (гиперповерхность), удовлетворяющую этому уравнению и проходящую через заданную линию (поверхность); область, на которой решение, определяющее эту гиперповерхность, является классическим.

Задание 2. Гиперболическое уравнение с начальными условиями на гиперболе с характеристическими асимптотами.

Найти общую формулу решения задачи с данными на кривой; найти решение при указанных начальных данных; определить и изобразить на плоскости область, в которой для любых начальных данных классическое решение существует и единственно а) если данные заданы на обеих ветвях гиперболы, б) если данные заданы на одной ветви, в) если данные заданы на указанном фрагменте этой ветви.

Задание 3. Смешанная задача на полупрямой для гиперболических уравнений с однонаправленными характеристиками.

Найти формулу решения смешанной задачи а) при t > 0 и указанных ж, б) при t < 0 и указанных ж; выписать условия согласования данных; указать, где решение а) существует для любых данных и единственно, б) существует только при дополнительных ограничениях на данные и единственно, в) существует для любых данных, но не единственно, г) существует только при дополнительных ограничениях на данные и не единственно; при указанных данных найти соответствующее решение.

Задание 4- Смешанная задача для волнового уравнения на отрезке.

Найти общую формулу решения смешанной задачи; выписать условия согласования данных, при которых решение будет классическим; для заданных данных найти решение и вычислить его значение и пространственную производную в граничных точках отрезка; определить гладкость полученного решения; описать линии, на которых происходят разрывы решения и/или его производной и найти величину разрыва; объяснить, почему решение оказалось недостаточно гладким.

Задание 5. Одномерное волновое уравнение (задачи качественного характера — см. задачник [2, глава 3]).

ЛИТЕРАТУРА

1. Выготский Л. С. История развития высших психических функций. Собр. соч. в 6 т. Т. 3. Проблемы развития психики. — М.: Педагогика, 1983. С. 5-328.

2. Сборник задач по уравнениям с частными производными / Под. ред. А. С. Шамаева. — М.: Бином. Лаборатория знаний, 2005. 158 с.

Поступила 28.01.2013

SEMINARS ON PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS

A. V. Borovskikh

Course design of seminars on partial differential equations, which the author teaches at mechanics and mathematics department of Moscow State University is presented. The location and function of the course within the professional mathematics education, methodological problems arise, the basic ideas to solve them, the methods and techniques of teaching, teaching tools for achieving the goals are described.

Keywords: partial differential equations, seminars, educational goals and objectives, methods of teaching.

МАТЕРИАЛЫ ПЕДАГОГИЧЕСКОЙ СЕКЦИИ КОНФЕРЕНЦИИ «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И СМЕЖНЫЕ ВОПРОСЫ», ПОСВЯЩЕННОЙ 110-ЛЕТИЮ СО ДНЯ РОЖДЕНИЯ И. Г. ПЕТРОВСКОГО

УДК 517.95, 372.851

ОБ ОДНОМ ПАКЕТЕ КОМПЬЮТЕРНЫХ ПРОГРАММ, ОБЛЕГЧАЮЩЕМ ПРОВЕДЕНИЕ ЗАЧЕТОВ ПО УРАВНЕНИЯМ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

А. А. Коньков

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова Россия, 119899, г.Москва, Ленинские горы, 1; e-mail: konkov@mech.math.msu.su

Представлен пакет программ, предназначенный для проведения зачетов и контрольных работ по уравнениям в частных производных у студентов третьего курса механико-математического факультета МГУ имени М.В.Ломоносова.

Ключевые слова: курс дифференциальных уравнений с частными производными, зачёт, пакет прикладных программ, компьютерные средства оценки качества обучения.

Введение

В этой статье мы анонсируем пакет программ, предназначенный для проведения зачетов и контрольных работ по уравнениям в частных производных у студентов третьего курса механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова. В состав пакета входят 4 программы itog, itog-reader, proverka и zachet, написанные на языке Perl [1], и некоторое число вспомогательных файлов, о предназначении которых будет рассказано ниже. Архив со всеми программами и файлами можно свободно скачать с Интернет-хоста автора http://math.msu.su/ konkov/zachet.tar.bz2 (его содержимое использовалось во время зачетной сессии зимой 2011 года).

Программы, содержащиеся в этом каталоге, тестировались в операционных системах Linux и FreeBSD. В Microsoft Windows тестирование не производилось. Однако есть уверенность, что и там они будут работать после незначительных изменений. Тем не менее, мы категорически не рекомендуем использовать их в Microsoft Windows ввиду подверженности этой системы взломам и вирусам.

Описание пакета

Две из упомянутых выше четырех программ, itog-reader и proverka, являются серверными сценариями. Для их нормальной работы необходим web-сервер, желательно Apache, для которого мы и будем приводить примеры настроек. Кроме этого необходимо, чтобы на стороне сервера был инсталлирован русифицированный пакет LaTeX'a, а также программа xpdf для просмотра pdf-файлов. Годится также любое другое программное обеспечение,

позволяющее открывать эти файлы, но в этом случае в программах zachet и itog необходимо сделать соответствующие изменения.

После распаковки архива zachet.tar.bz2 образуется каталог zachet, в котором должны содержаться следующие основные файлы:

zachet — исполняемый файл. При запуске из командной строки требует, чтобы преподаватель ввел номер группы, после чего генерирует файл с именем file-<номер группы>.tex, содержащий билеты для указанной группы, и делает из него file-<номер группы>.pdf для печати на принтере. При этом он читает файлы tasks.tex с шаблонами зачетных задач и group-<номер групгруппыпы>.tex со списком группы. Оба эти файла должны находиться в том же каталоге, что и zachet. В файле group-<номер группы>.tex программа zachet обнуляет количество попыток, но сохраняет плюсы, полученные студентом на предыдущем зачете или контрольной работе;

proverka — серверный сценарий. Должен находиться в каталоге web-сервера вместе с файлами file-<номер группы>.tex и group-<номер группы>.tex. Вызывается из любого web-браузера, в интерактивном режиме осуществляет проверку ответов и результаты записывает в файл group-< номер группы>.tex. В случае правильного ответа исправляет в этом файле соответствующий минус на плюс. Он также регистрирует число использованных студентом попыток. Количество попыток устанавливается в сценарии proverka (значение переменной SchisloPopytok). По умолчанию оно равно трем;

itog-reader — серверный сценарий. Должен находиться в одном каталоге с файлами proverka, file-<номер группы>.tex и group-<номер группы>.tex. Нужен для нормальной работы программы itog, которая запускается из командной строки и служит для получения данных о том, сколько на текущий момент решено задач, сколько студентов получили зачет и т. п. Программу itog следует скопировать в каталог на локальном компьютере преподавателя. При этом необходимо проследить, чтобы в переменной $url этой программы содержался правильный адрес сценария itog-reader, т. к. itog получает контент от сценария по протоколу TCP/IP.

Кодировка во всех файлах utf8. В файлах zachet и itog кодировку менять можно, даже нужно, если локализация вашей консоли отличается от utf8. В остальных файлах кодировку лучше не менять, если не понимаете, какими последствиями это чревато.

Настройки и безопасность

Архив zachet.tar.bz2 необходимо распаковать в каталог на сервере. Для простоты пусть это будет домашний каталог пользователя user. Тем самым, должен образоваться каталог /home/user/zachet. Далее надо позаботиться о том, чтобы у этого каталога были права на исполнение, запись и чтение всем пользователям. Для этого можно выполнить команду chmod -R 777 zachet (находясь в каталоге /home/user). После всего сказанного /home/user/zachet следует переместить в какой-нибудь каталог с правами 711 (хозяину — исполнение, чтение и запись, группе и остальным — только исполнение). При этом имя каталога zachet настоятельно рекомендуется изменить на любое достаточно длинное случайно выбранное слово. Пусть каталогом с правами 711

является /home/user/www, тогда указанную выше операцию можно осуществить, например, командой mv zachet www/ADhK173HbA03R8 (находясь в /home/user).

Остается исправить основной конфигурационный файл httpd.conf web-сервера Apache, добавив в него следующие строки:

Script Alias /zachet/ n/home/user/www/ADhK173HbA03R8/"

< Directory “ /home/user/www/ADhK173HbA03R8 ” > Options ExecCGI Order allow,deny Allow from all

</Directory>

(для этой операции вам понадобятся права root). В случае операционной системы Debian GNU/Linux 6.0, которой пользуется автор, файл httpd.conf находится в каталоге /etc/apache2. Надо позаботится о том, чтобы этот файл имел права доступа 600 (хозяину — читать и писать, группе и остальным -ничего). Хозяином его, разумеется, является суперпользователь. Выполните команду chmod 600 /etc/apache2/httpd.conf (став предварительно суперпользователем).

Наконец, перезагрузите Apache или операционную систему целиком, если web-сервер загружается автоматически вместе со всей системой, что, как правило, и бывает.

Теперь доступ к программе проверки осуществляется через любой web-браузер с удобного для преподавателя хоста: как с удаленного в Интернете, так и с локального на его собственном ноутбуке в зависимости от того, где он пожелает установить свой сервер.

У автора этой статьи Apache установлен на нетбуке, который он приносит в аудиторию во время контрольных работ и зачетов. Для доступа к программе проверки следует набрать http://localhost/zachet/proverka в адресной строке браузера. С целью безопасности на этом нетбуке создан аккаунт пользователя students с минимальными правами. Домашний каталог автора, в котором хранятся все программы и файлы, является исполняемым для всех, однако он недоступен пользователю students ни для чтения, ни для записи. Таким образом, не зная точного имени каталога с программами и файлами контрольных работ и зачетов (в нашем случае это /home/user/www/ADhK173HbA03R8), невозможно из аккаунта students «руками» что-либо в нем исправить. Последнее гарантирует защиту от несанкционированного доступа.

Как этим пользоваться?

Итак, вы скачали архив zachet.tar.bz2, распаковали его и выполнили все необходимые действия, указанные выше. Зайдите в созданный вами каталог, в котором хранятся необходимые программы и файлы, например, в /home/user/ www/ADhK173HbA03R8 и отредактируйте файлы group-<номep группы>.tex

согласно образцу, содержащемуся в архиве. Таких файлов может быть несколько, по одному на каждую группу. Каждый файл должен содержать список группы, оформленный в виде окружения LaTeX enumerate [2], в конце каждой фамилии должно стоять некоторое количество плюсов или минусов - по числу задач, которые надо включить в билет данного студента. Первый минус означает, что в билет будет включена первая задача, второй — вторая и т. п. Если вместо минуса против фамилии студента стоит плюс, задача с соответствующим номером не будет включена.

Как мы уже знаем, серверный сценарий proverka осуществляет проверку решений и в случае, если задача решена верно, в файле group-<номep группы>.tex исправляет минус на плюс. В этом случае программа zachet при повторном запуске не станет включать в билет студента задачу, имеющую тот же номер, что и плюс, стоящий справа от его фамилии, т. е. если плюс в порядке слева направо первый, то — первую задачу, если второй, то — вторую и т. д. Когда все минусы напротив фамилии студента исправлены на плюсы, этот студент получает зачет.

На следующем шаге запустите в командной строке программу zachet (в ответ на просьбу указать номер группы введите его). Если вы всё сделали правильно, будет создан файл с именем file-<номер группы>.pdf, который автоматически откроется программой xpdf. Этот файл можно распечатать. Он содержит билеты для каждого студента, которые выглядят примерно так:

Билет № 3

Сударикова Людмила, группа 308

1. Найдите общее решение уравнения

при X > 0 и у > 0.

2. Решите начально-краевую задачу для уравнения колебаний полубесконечной струны

3. Решите краевую задачу

Как было сказано выше, для проверки решений требуется загрузить сценарий proverka в любом Интернет-браузере. Далее надо указать номер группы, билета и задачи и в открывшуюся форму ввести ответ.

Образец ответа на задачу 1:

и = g(x-y) + f(2*x + 3*у);

Образец ответа на задачу 2:

if (х > t) {

и = 10*sin(x - t); } else {

u = cos(2*(x - t)) - 1;

};

Образец ответа на задачу 3:

u = r**r*sin(phi);

Задачи генерируются программой zachet случайным образом из файла шаблонов tasks.tex. Номер задачи в шаблоне указан после слова task в закомментированной строке. В принципе, задачи могут быть любыми, на любую тему и не только по уравнениям в частных производных. Количество задач в билете тоже может быть любым на усмотрение преподавателя. Автор этой статьи остановился на оптимальном числе, равном трем, по числу тем, которые обычно выносят на семинары по уравнениям в частных производных в пятом семестре на механико-математическом факультете МГУ: общее решение линейного уравнения второго порядка от двух переменных, краевые задачи для уравнения колебаний натянутой струны и метод Фурье. Программа проверки решения пишется преподавателем и должна присутствовать в шаблоне задачи в виде закомметированного текста между строками, содержащими слова PROG и ENDPROG.

Проверка ответов осуществляется выполнением этой программы, например, непосредственным дифференцированием, поэтому нет необходимости иметь готовые ответы для каждой задачи. Всё сказанное позволяет безболезненно выкладывать файлы пакета в открытый доступ, в том числе и для студентов.

Точность, с которой выполняются вычисления, также может варьироваться. На мой взгляд, в настоящий момент она выбрана оптимальной. В тех случаях, когда студент получает ответ в виде слишком сложного выражения, пусть даже формально правильного, сценарий из-за накопленной погрешности, тем не менее, сообщает, что ответ неверен. Примерно так же поступает и преподаватель. Если студент приносит ему решение в виде слишком длинного «паровоза», он просит студента упростить его. В этом смысле программа ведет себя вполне по-человечески.

ЛИТЕРАТУРА

1. Дейтел Х. М. и др. Как программировать на Perl. — M.: Бином, 2002.

2. Львовский СМ. Набор и верстка в пакете LaTeX. — M.: Космоинформ, 1994.

Поступила 28.01.2013

ON ONE PACKAGE OF COMPUTER PROGRAMS FACILITATING THE CARRYING OUT OF TESTS ON PARTIAL DIFFERENTIAL

EQUATIONS

А.А. Kon'kov

A package of programs designed to conduct tests and examinations for partial differential equations of the third year students at the Mechanics and Mathematics Faculty of M. V. Lomonosov Moscow State University is presented.

Keywords', partial differential equations, test, the software package, computer tools to evaluate the quality of learning.

МАТЕРИАЛЫ ПЕДАГОГИЧЕСКОЙ СЕКЦИИ КОНФЕРЕНЦИИ «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И СМЕЖНЫЕ ВОПРОСЫ», ПОСВЯЩЕННОЙ 110-ЛЕТИЮ СО ДНЯ РОЖДЕНИЯ И. Г. ПЕТРОВСКОГО

УДК 51, 372.851, 378.145

ОБ УЧЕБНОМ ПЛАНЕ БАКАЛАВРИАТА ПО НАПРАВЛЕНИЮ «МАТЕМАТИКА» В САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОМ ГОСУНИВЕРСИТЕТЕ

А. И. Назаров

Санкт-Петербургский государственный университет Россия, 199034, г- Санкт-Петербург, Университетская наб., 7-9; e-mail: al.il.nazarov@gmail.com

Приведен конспект доклада автора на специальной педагогической секции XXIII Международной конференции «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы», посвященной 110-летию со дня рождения И.Г.Петровского (Москва, май-июнь 2011 г.).

Ключевые слова: математическое образование, учебный план, уровень абитуриентов, специализация.

С 2011 года математико-механический факультет СПбГУ перешёл на двухступенчатую подготовку по направлению 010100 «Математика». В связи с этим имеющийся учебный план специальности 010101 «Математика» был существенно переработан. Этим занималась рабочая группа в составе: С. М. Ананьевский, А. Д. Баранов, Ю. Н. Бибиков, С. С. Валландер, М.Ю. Звагельский, А.И.Назаров (координатор), Я.Ю.Никитин, А.А.Семенов.

В таблице приведена схема нового учебного плана бакалавриата. Во втором и третьем столбцах указаны номера семестров, в которых по данному предмету имеются экзамены и зачёты (буквой к обозначены курсовые работы) . В остальных столбцах приведён расклад аудиторных часов в расчёте на одну неделю. При этом до знака + указаны лекции, а после — практические занятия.

При разработке новых учебных планов мы старались по возможности скорректировать недостатки ситуации, сложившейся в математическом образовании и, в частности, на нашем факультете. Здесь я остановлюсь лишь на двух проблемах, относящихся к учебному плану бакалавриата.

Первая из них — резко снизившийся уровень школьной подготовки1. Это привело к качественно новому эффекту: среди абитуриентов появилась категория «годных необученных», которые в дальнейшем могут перейти как в категорию обучаемых, так и в категорию безнадёжных, причём критическим для них является первый год обучения. Помощь этой категории студентов и отделение их от «болота», по существу к обучению непригодного (по причине альтернативной одарённости или же повышенного пофигизма), является сейчас одной из важнейших задач преподавания.

1 Конечно, эта проблема возникла не сейчас. Поэтому, кроме нововведений, здесь описываются и некоторые организационно-методические разработки, уже прошедшие практическую проверку.

Наименование дисциплины

Отч. семестры

Аудиторная нагрузка по семестрам

Экз.

Зач.

1

2

3

4

5

6

7

8

Нематематические дисциплины

2478

4

6

4

4

4

4

5

2

Культура математ. рассужд.

1

+4

История математики

4

2+

Информатика

12378

2+2

2+2

2+

2+

2+

Компьют. техн. матем. исслед.

4

+2

Методы вычислений

5

56

3+2

+2

Математический анализ

12345

12345

3+4

3+4

4+3*

4+2

2+2

Алгебра и теория чисел

1234

1234

2+4

3+2

2+2

2**+2

Геометрия и топология

1234

123

2+2

2**+2

2+2

2+1*

Комбинаторика

1

+2

Матем. логика и теор. множ-в

2

2+

Дискретная математика

3

2+1*

Дифференциальные уравнения

4

3

2+3

2+2

Динамические системы

7

2+

Вариационное исчисление

4

2+1

Экстремальные задачи

5

2+1

Функциональный анализ

56

2*+*

2+1

Уравнения математ. физики

67

6

2+2

2+

теория вероятностей

6

5

2+2

2+2

Математическая статистика

7

2+2

Теоретическая механика,

5

2+2

Математич. задачи механики

6

4+

Физика

7

6

2+1

2+

Теоретическая кибернетика

8

2+

Спец. дисциплины по выбору

55

2x2

Дополнит, главы (по выбору)

78

2+

2+

Спецкурсы и спецсеминары

6778

67788

2+2

4+4

2+4

Производственная практика

8

!

Курсовая работа, ВКР

8

!

!

Теор. вероятностей (факульт.)

(3к)

(2+)

Мет. матем. физики (факульт.)

(4к)

(2+)

Спецкурс (факульт.)

(5)

(2+)

Курсовая работа (факульт.)

(4к)

(!)

Зачёты

5

5

5

6

5

5

6

6

Экзамены

4

4

4

4

5

5

5

3

Часы в неделю

31

28+2

29+4

28+5

30+4

28

27

14

Другой аспект той же проблемы — значительное увеличение разброса уровня абитуриентов. Более того, вместо привычного, похожего на нормальное, распределения уровней на входе наблюдается двухмодовое распределение практически без середины. Очевидно, учебный план должен каким-то способом учитывать и это обстоятельство.

Важную роль в смягчении этой проблемы играет курс «Культура математических рассуждений». В начале первого семестра по результатам тестирования студенты разделяются на три группы по уровню подготовки, после чего с ними в течение семестра проводятся занятия с элементами индивидуального тренинга. Естественно, для «годных необученных» эти занятия играют роль подгонки до обучаемого уровня, в то время как для «верхушки» потока эти часы используются для освоения дополнительного материала. Следует отметить, что этот курс существует на матмехе с 2007 года, и в проводившемся опросе большинство студентов, перешедших на второй курс, отмечали его полезность.

К особенностям первого семестра следует отнести и курс элементарной комбинаторики, впервые выделенный в отдельную дисциплину.

По итогам первого семестра происходит переформирование групп, и одна из них начинает занятия по отдельному плану с усиленной подготовкой2. Студенты переводятся в эту группу по заявлениям с учётом результатов сессии. В дальнейшем возможен переход как из ПОМИ-группы в обычную (свободно), так и из обычной в ПОМИ-группу (при условии успешной сдачи предыдущей сессии по усиленной программе). В таблице дополнительные часы занятий в этой группе обозначены звёздочками (например, во втором семестре у этой группы два дополнительных лекционных часа по геометрии в неделю). Кроме этого, факультативные дисциплины, указанные в нижней части таблицы, являются для этой группы обязательными. Выделение группы с усиленной подготовкой со 2-го по 4-й семестр производилось на матмехе с начала 90-х годов и показало свою безусловную эффективность. В связи с этим было решено продлить её работу на 5-й семестр. После 5-го семестра (ранее — после 4-го) студенты распределяются по кафедрам, и ПОМИ-группа прекращает своё существование (в таблице этот рубеж обозначен двойной вертикальной чертой).

Здесь мы переходим ко второй проблеме нашего образования — ранней специализации. Студент выбирает кафедру, имея лишь смутные представления (а то и вообще не имея их) о возможных направлениях научной работы, после чего остальные кафедры для него фактически пропадают: спецкурсы кафедры и обязательные курсы отнимают почти всё время. В СПбГУ это усугубляется деятельностью администрации по тотальной регламентации учебной работы, в результате которой, например, заменить студенту один спецкурс на другой представляет практически неразрешимую бюрократическую задачу. Вследствие этого лишь наиболее активные выпускники, слушающие дополнительные спецкурсы, могут избежать узости взгляда. С другой сто-

2 В связи с тем, что часть занятий этой группы проходит на базе Санкт-Петербургского отделения Математического института (ПОМИ РАН), её традиционно именуют ПОМИ-группой.

роны, полностью специализацию на уровне бакалавров отменить затруднительно, хотя бы из-за необходимости написания ВКР (выпускной квалификационной работы). Для преодоления этого противоречия в учебный план введены два новых блока: «Спец. дисциплины по выбору» в 5-м семестре и «Дополнительные главы по выбору» на 4-м курсе.

Первый из них представляет собой набор спец. дисциплин (всего шесть, по одной от каждой кафедры отделения математики), из которых студент должен выбрать две. Предполагается, что это даст возможность студенту более осознанно выбирать кафедру (напомню, что распределение по кафедрам будет проходить после 5-го семестра).

Второй блок состоит из двух семестров. В каждом из них читается три курса (также по одному от кафедры). Студент должен выбрать по одному из них в обоих семестрах, причём ни один из них не может быть курсом «своей» кафедры. Такая структура подвигает кафедры к чтению общеобразовательных курсов.

Конечно, о степени успешности нашей разработки можно будет судить лишь через четыре года, когда первые студенты, учившиеся по этой программе, будут поступать в магистратуру. Однако не исключено, что некоторые из наших идей окажутся полезными и в других университетах, пытающихся противостоять разрушительным тенденциям в российском образовании.

Поступила 28.01.2013

ON THE UNDERGRADUATE CURRICULUM ON DIRECTION «MATHEMATICS » AT ST. PETERSBURG STATE UNIVERSITY

A. I. Nazarov

An abstract of the author's report at a special educational section of the XXIII International Conference «Differential Equations and Related Topics » dedicated to the 110th anniversary of the birth of I. G. Petrovsky (Moscow, May-June 2011) is given.

Keywords: mathematics education, the curriculum, the level of students, specialization.

МАТЕРИАЛЫ ПЕДАГОГИЧЕСКОЙ СЕКЦИИ КОНФЕРЕНЦИИ «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И СМЕЖНЫЕ ВОПРОСЫ», ПОСВЯЩЕННОЙ 110-ЛЕТИЮ СО ДНЯ РОЖДЕНИЯ И. Г. ПЕТРОВСКОГО

УДК 517.91, 372.851

О ПРЕПОДАВАНИИ КУРСА ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В МГУ

И. Н. Сергеев

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова Россия, 119991, г.Москва, Ленинские Горы, 1; e-mail: in_serg@mail.ru

Ставятся и обсуждаются наиболее важные проблемы преподавания курса обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). За основу взят обязательный годовой курс, читавшийся автором на протяжении ряда лет студентам механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.

Ключевые слова: курс обыкновенных дифференциальных уравнений, преподавание, программа курса.

1. На что опирается курс ОДУ

В лекциях, адресованных студентам 2-го курса механико-математического факультета, можно использовать без доказательства только тот материал, который изучен ими на 1-м курсе или в предшествующей части 2-го. Опорными дисциплинами для курса ОДУ служат, прежде всего, математический анализ, линейная алгебра и аналитическая геометрия.

2. Приложения ОДУ к другим курсам

Понятия и факты из курса ОДУ в дальнейшем используются и развиваются в следующих обязательных курсах: уравнения в частных производных, оптимальное управление, дифференциальная геометрия, численные методы, а также в различных разделах механики.

Кроме того, без курса ОДУ немыслимо чтение специальных курсов: динамические системы, теория устойчивости, качественные свойства решений и др.

Однако постепенное разрастание материала курса приводит к постоянному перераспределению его обязательной и специальной составляющих.

3. Основное содержание курса ОДУ

Условно курс можно разбить на следующие восемь основных глав.

I. Поля направлений на плоскости.

II. Существование и единственность решений.

III. Общая теория линейных уравнений и систем.

IV. Линейные уравнения и системы с постоянными коэффициентами.

V. Зависимость решений от параметров.

VI. Устойчивость по Ляпунову.

VII. Автономные системы.

VIII. Уравнения с частными производными первого порядка.

Распишем содержание этих глав более подробно.

I. Поля направлений на плоскости

• Уравнение в дифференциалах. Поле направлений. Интегральная кривая. Обыкновенное дифференциальное уравнение. Уравнение первообразной.

• Общее решение. Интеграл уравнения в дифференциалах. Уравнение в полных дифференциалах. Ветвление потенциала.

• Автономное уравнение. Общее решение. Интегральный критерий единственности. Дифференциальный признак единственности.

• Уравнение с разделяющимися переменными. Разделение переменных. Замена переменных в однородном уравнении.

II. Существование и единственность решений

• Задача Коши. Теорема существования и единственности (локальная). Принцип сжимающих отображений. Приближения Пикара.

• Теорема существования (Пеано). Ломаные Эйлера. Теорема Арцела-Асколи.

• Единственность в целом.

• Продолжаемость. Существование непродолжаемых решений. Продолжаемость до границы области.

• Продолжаемость решений линейной системы. Леммы об интегральном (Гронуолла-Беллмана) и дифференциальном неравенствах.

• Теоремы существования, единственности и продолжаемости для уравнения произвольного порядка. Каноническая замена переменных. Продолжаемость решений линейного уравнения. Уравнение колебаний математического маятника.

• Уравнение, не разрешенное относительно производной. Расширенная задача Коши. Теорема существования и единственности. Особое решение. Дискриминантная кривая. Метод введения параметра. Уравнение Клеро.

III. Общая теория линейных уравнений и систем

• Общее решение однородной системы. Оператор Коши. Теорема об изоморфизме. Фундаментальная система решений.

• Определитель Вронского. Линейная зависимость решений. Формула Лиувилля - Остроградского.

• Общее решение неоднородной системы. Метод вариации постоянных.

• Линейные периодические системы. Оператор монодромии. Мультипликатор. Существование периодического решения.

• Общее решение линейного уравнения. Определитель Вронского и линейная зависимость скалярных функций. Восстановление уравнения по его фундаментальной системе. Функция Грина задачи Коши.

• Краевая задача для уравнения второго порядка. Теорема об альтернативе. Функция Грина краевой задачи.

• Нули решений уравнения второго порядка. Перемежаемость нулей решений одного уравнения. Теорема сравнения (Штурма). Оценки колеблемости. Теорема Кнезера. Характеристические частоты решений.

IV. Линейные уравнения и системы с постоянными коэффициентами

• Определение экспоненты и логарифма оператора. Формула Эйлера. Связь экспоненты с линейной системой.

• Вычисление экспоненты и логарифма оператора. Комплексификация оператора и системы. Жорданова форма матрицы.

• Линейная система с постоянными коэффициентами. Фундаментальная система решений. Метод неопределенных коэффициентов. Квазимногочлены.

• Теория Флоке-Ляпунова. Ляпуновские преобразования. Приводимость периодической системы к постоянной.

• Линейное уравнение с постоянными коэффициентами. Характеристический многочлен. Фундаментальная система решений. Уравнение Эйлера.

• Линейное уравнение с квазимногочленом в правой части. Частное решение специального вида. Резонанс. Колебательный контур. Параметрический резонанс.

V. Зависимость решений от параметров

• Непрерывная зависимость решений от правых частей. Компактно-открытая топология. Непрерывность зависимости решений от параметра и от начального значения.

• Дифференцируемость решений по параметру. Лемма Адамара. Система в вариациях по параметру и по начальному значению.

• Разложение решений в ряд по параметру. Отображение Коши. Фазовый объём. Теорема Лиувилля. Гамильтоновы системы.

• Зависимость от параметра решений уравнений произвольного порядка. Вынужденные колебания маятника. Уравнение в вариациях. Малые колебания маятника.

• Выпрямление интегральных кривых.

VI. Устойчивость по Ляпунову

• Определение устойчивости решений систем и уравнений. Устойчивость по Ляпунову. Асимптотическая устойчивость. Их независимость от начального значения.

• Устойчивость линейной системы. Утверждения об устойчивости решений однородных и неоднородных систем. Критерии устойчивости систем с постоянными и периодическими коэффициентами.

• Функция Ляпунова. Производная в силу системы. Леммы Ляпунова об устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости. Теорема Четаева.

• Линеаризация системы. Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению.

• Положения равновесия маятника. Исследование устойчивости методами Ляпунова.

• Показатели Ляпунова. Условная устойчивость.

VII. Автономные системы

• Фазовое пространство. Фазовые траектории. Временные сдвиги траекторий. Три типа фазовых траекторий.

• Динамическая система. Фазовый поток. Генератор фазового потока.

• Выпрямление фазовых траекторий. Выпрямляющий диффеоморфизм.

• Первый интеграл автономной системы. Независимость первых интегралов в точке. Полная система первых интегралов. Гамильтониан автономной гамильтоновой системы.

• Одномерное фазовое пространство. Фазовая прямая. Колебания маятника и поворот окружности. Фазовое и временное среднее. Иррациональный поворот окружности.

• Двумерное фазовое пространство. Уравнение фазовых кривых на плоскости. Пара маятников. Фигуры Лиссажу. Обмотка тора. Детерминизм и хаос.

• Уравнение Ньютона. Интеграл энергии. Закон сохранения энергии.

• Особые точки на плоскости. Седло, узел, центр, фокус. Положения равновесия маятника. Бифуркации. Модель Лотки-Вольтерры.

• Цикл. Отображение Пуанкаре. Предельные множества. Предельный цикл на плоскости. Мешок Бендиксона. Мультипликатор цикла.

VIII. Уравнения в частных производных первого порядка

• Линейное уравнение в частных производных первого порядка. Характеристики. Общее решение.

• Задача Коши. Теорема существования и единственности (локальная). Отсутствие единственности в целом.

• Квазилинейное уравнение. Характеристики. Инвариантность интегральных поверхностей. Теорема существования и единственности (локальная) решения задачи Коши.

• Интегрирующий множитель уравнения в дифференциалах. Существование. Общий вид.

• Уравнение Хопфа. Одномерное поле скоростей свободных частиц. Ударные волны.

4. Список приложений, рассматриваемых в курсе ОДУ

Дадим некоторый (далеко не полный) список возможных приложений курса к другим дисциплинам или к дополнительным разделам самих дифференциальных уравнений:

1. Эволюционные уравнения: остывание тела, вытекание жидкости, взрыв.

2. Уравнение колебаний маятника.

3. Уравнение Клеро.

4. Уравнение колебательного контура.

5. Гамильтоновы системы.

6. Уравнение Ньютона.

7. Поворот окружности и обмотка тора.

8. Модель Лотки - Вольтерра для системы «хищник-жертва».

9. Уравнение Хопфа для одномерного поля скоростей свободных частиц.

5. Материал, излагаемый обычно без доказательства

В силу извечной проблемы недостатка часов часть программы реализуется без подробных доказательств (иногда со ссылкой на другие, еще не прочитанные курсы) или вовсе опускается (с последующим её включением в различные спецкурсы). Как правило, эта часть содержит следующий материал.

1. Теорема Пеано о существовании решения задачи Коши для уравнения с непрерывной правой частью.

2. Существование логарифма оператора и теория Флоке-Ляпунова.

3. Теорема о дифференцируемости решений по параметру.

4. Теорема Четаева (или лемма Ляпунова о неустойчивости) и часть теоремы Ляпунова, отвечающая за неустойчивость по первому приближению.

5. Показатели Ляпунова и характеристические частоты.

6. Квазилинейные уравнения в частных производных первого порядка.

6. О наглядности подачи материала в ущерб строгости

В современных западных учебниках по ОДУ зачастую преобладает описательный стиль изложения, характеризующийся следующими чертами:

1) отсутствуют точные формулировки утверждений или разбираются только их частные (демонстрационные) случаи;

2) доказательства даются в виде набросков или вообще предоставляются читателям;

3) превалируют наглядные соображения, иллюстрации, компьютерные рисунки, схемы, графики;

4) употребляется множество красивых и модных слов, смысл которых весьма расплывчат, но нигде не разъясняется.

7. О математической строгости формулировок

Для того чтобы представить, к чему может привести нестрогий стиль изложения строгой математической дисциплины, разберем вопрос, верна ли следующая формулировка теоремы существования и единственности решения задачи Коши:

если f G С1, то для любой точки (to, жо) £ G задача Г ж' = /(£,ж), feC^G), (£,ж) G G с Rx Rn, \ x(to) = Хо имеет единственное решение?

Ответ таков: эта жаргонная формулировка неверна в принципе, поскольку никакое решение данной задачи не может быть единственным (вместе с ним той же задаче будет удовлетворять и его сужение на любую меньшую окрестность начального момента).

8. Общность изложения материала

Нередко для упрощения изложения курса на исследуемые объекты накладываются ненужные ограничения. Например, отвечая на вопрос «при каких ограничениях на правую часть уравнения

x1 = /(t,x), (£,ж) е G С R X Rn

любое его решение может быть продолжено до непродолжаемого?», мало кто осознает, что последнее свойство решений имеет место всегда, безо всяких ограничений на правую часть уравнения вообще!

9. Обратимость общеизвестных утверждений

В заключение приведем еще один пример, показывающий, что даже в хорошо изученном классическом материале, каковым и является стандартный курс ОДУ, есть место новым, неожиданным и красивым утверждениям.

При каких дополнительных условиях (в терминах определителя Вронского W) на скалярные функции Д,..., fn G Cn(R) верна импликация, обратная к следующей:

если /ь ... ,/п — линейно зависимы, то Wf1^^fn(t) = О?

Казалось бы, таких условий нет, по крайней мере, об этом нигде ничего не написано. Однако они существуют: так, для линейной зависимости функций /i,...,/n к тождеству W/lv..,/n(£) = 0 достаточно добавить, например, следующее условие: W//lv..jn_1 (£) ф 0 для всех t G R.

ЛИТЕРАТУРА К КУРСУ ЛЕКЦИЙ

1. Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Наука, 1984.

2. Бибиков Ю. Н. Общий курс обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Высшая школа, 1991.

3. Боровских А.В., Перов А. И. Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям. — Ижевск: НИЦ РХД, 2004.

4. Еругин Н. П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. — Минск: Наука и техника, 1979.

5. Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений / Под ред. А. Д. Мышкиса, О. А. Олейник. — М.: МГУ, 1984.

6. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Наука, 1974.

7. Сергеев И. Н. Дифференциальные уравнения. — М.: Академия, 2013.

8. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений. — М.: Физматгиз, 1959.

9. Филиппов А. Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений. — М.: КомКнига, 2007.

Поступила 28.01.2013

ABOUT TEACHING COURSE OF ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS AT MSU

I. N. Sergeev

The article posed and discussed the most important issues of teaching the course of ordinary differential equations (ODE). It is based on a compulsory annual course taught by the author over the years to the students of Mechanics and Mathematics Faculty of M. V. Lomonosov Moscow State University.

Keywords: course of ordinary differential equations, teaching methods, course outline.

МАТЕРИАЛЫ ПЕДАГОГИЧЕСКОЙ СЕКЦИИ КОНФЕРЕНЦИИ «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И СМЕЖНЫЕ ВОПРОСЫ», ПОСВЯЩЕННОЙ 110-ЛЕТИЮ СО ДНЯ РОЖДЕНИЯ И. Г. ПЕТРОВСКОГО

УДК 517.9, 372.851

МЕЖДУНАРОДНЫЕ СТУДЕНЧЕСКИЕ ОЛИМПИАДЫ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ

А. С. Шамаев, Т. О. Капустина

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова Россия, 119899, г.Москва, Ленинские горы, 1; e-mail: shamaev@ipmnet.ru, okapustin@mtu-net.ru

Кафедра дифференциальных уравнений механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова представляет опыт проведения международных студенческих олимпиад по дифференциальным уравнениям.

Ключевые слова: курс обыкновенных дифференциальных уравнений, курс дифференциальных уравнений с частными производными, студенческая олимпиада.

Цель настоящей статьи — поделиться опытом сотрудников кафедры дифференциальных уравнений механико-математического факультета МГУ в проведении студенческих олимпиад по дифференциальным уравнениям. Они проводятся кафедрой с 2003 года и пользуются неизменной популярностью среди студентов.

Каждый год в весеннем семестре проводятся две олимпиады по дифференциальным уравнениям: олимпиада по обыкновенным дифференциальным уравнениям для студентов 2-го курса и олимпиада по дифференциальным уравнениям с частными производными для студентов 3-го курса. Цели, которые ставят организаторы, состоят прежде всего в привлечении интереса студентов к предмету и в повышении творческой активности студентов, которым представляется возможность проявить себя при решении нестандартных задач.

Вариант олимпиады состоит из большого количества задач (около десяти). Каждая задача, в зависимости от сложности, оценивается определенным количеством баллов (эти баллы указаны в вариантах). Задача студента -набрать максимальное количество баллов. Варианты составляются так, что необходимые для решения методы охватывают все основные понятия курса.

С каждым годом интерес студентов к олимпиадам возрастает. Число участников олимпиад 2012 года удвоилось по сравнению с первыми олимпиадами. Результаты студентов также приятно удивляют организаторов олимпиад. Например, в 2012 году на олимпиадах и по ОДУ, и по УрЧП, вопреки ожиданиям организаторов, нашлись студенты, решившие более двух третей всего задания.

С 2009 года олимпиады приобрели статус международных. В них могут участвовать студенты любого ВУЗа любой страны, изучающие курс обыкновенных дифференциальных уравнений или уравнений с частными производными.

Олимпиады по ОДУ и УрЧП, наряду с олимпиадами по другим предметам, являются этапом всемехматовской олимпиады. Победители этих олимпиад обычно получают отличные оценки по соответствующему предмету и подарки — научные книги. Кроме этого, победители и призеры приглашаются на отборочный тур для формирования команды МГУ на международную студенческую математическую олимпиаду.

Организаторы олимпиад по дифференциальным уравнениям предполагают и в дальнейшем проводить подобные конкурсы на механико-математическом факультете МГУ считая, что они способствуют улучшению подготовки студентов по данной специальности и развитию самостоятельного творческого мышления студентов мехмата — будущих математиков.

Приведем результаты олимпиад 2012 года. В олимпиаде по ОДУ приняли участие более 80 студентов 2 курса. I премия: Иванов Д., Салиев, Логинов, Омельяненко В., Горбань С; II премия: Букин Д., Городков Д., Елистратов Н., Боголюбский, Шачнев, Лавров П.

В олимпиаде по УрЧП приняли участие более 100 студентов 3 курса. I премия: Немиро; II премия: Ярославцев И., Брагин В., Царьков О., Рогуленко С, Виноградова О., Троицкая; III премия: Хрульков В, Герасимов К., Васюкова О., Левин.

В данной статье мы приводим варианты олимпиад по обыкновенным дифференциальным уравнениям и уравнениям с частными производными за 2009-2012 годы. Олимпиады по ОДУ и УрЧП 2003-2008 годов приведены в [1]. Некоторые варианты с указаниями к решениям приведены в [2]. Олимпиады по УрЧП с решениями некоторых задач приведены в [3].

Олимпиады по обыкновенным дифференциальным уравнениям

Олимпиада по обыкновенным дифференциальным уравнениям 2009 г.

1. Решить задачу

2. До какой максимальной амплитуды можно раскачать маятник за время от 0 до 1 из положения равновесия силой /(£), имеющей нулевое среднее по отрезку времени [0,1]?

Можно ли так двигать тележку с двумя математическими маятниками, чтобы остановить оба маятника? Рассмотреть два случая h/mi = /2/^2 и h/mi Ф /2/^2-

4. Пусть Ai < À2 < Л3 < ... — произвольная неограниченная последовательность чисел. Может ли она быть последовательностью нулей некоторого решения какого-либо уравнения х + a(t) х = 0, где a(t) — гладкая функция?

5. Рассмотрим уравнение х + u2(t)x = 0, где u){t) — гладкая функция. Пусть x(t) — некоторое решение этого уравнения. Определим множество X = = {х G R I 3t : x(t) = ж}, т.е. множество точек, через которые проходит траектория x(t). Предположим, что мы можем измерить функцию u(t) с любой степенью точности е > 0 (но не абсолютно точно), а начальные условия х(0) = хо, х(0) = х\ нам известны. Можно ли по этим данным построить множество Хщ£}, представляющее собой 5(е)-окрестность множества X, где 5(e) -> 0 при е -> О?

6. Существует ли линейное однородное уравнение 2009-го порядка, некоторая фундаментальная матрица которого удовлетворяет равенству У(£, 0) = Е:

а) при всех t G Q;

б) при всех t Е Z?

7. Можно ли найти общее решение уравнения Риккати у' = а{х)у+Ъ{х)у2 + + с(х), если известны три его различных частных решения yi, Уз?

8. {Вычисление экспоненты методом А. Ф. Филиппова.) Найдите скалярные функции pi&qoT двух переменных каждая, удовлетворяющие для любой квадратной матрицы А второго порядка с собственными значениями Ai, Л2 равенству

9. Докажите, что если какое-либо решение уравнения y + r(t)y = 0 (t > 0) с непрерывным ограниченным коэффициентом г ограничено на полупрямой, то его производная — тоже.

10. Есть предположение, что переживаемое человеком время вблизи настоящего момента t воспринимается им не как абсолютное, а как его отношение ко всему времени ж(£), прожитому этим человеком к настоящему моменту. Исходя из этого предположения, составьте дифференциальное уравнение для функции x{t) и решите его.

11. Рассматривается система дифференциальных уравнений, записанная в полярной системе координат:

где / — гладкая функция. Предполагается, что эта система имеет предельный цикл. Будет ли решение, отвечающее этому предельному циклу:

— устойчиво по Ляпунову?

— асимптотически устойчиво?

12. Доказать, что каждое решение уравнения у" + ех у = 0 ограничено при x —» оо.

13. Привести пример уравнения у' = /(ж, у) с непрерывной /(ж, у) на всей плоскости, такой, что какова бы ни была (жо,уо) Ф (0, 0), существовало бы только одно решение в окрестности хо, такое, что у(хо) = у о, и чтобы существовали по крайней мере два решения таких, что у(0) = 0.

14. Пусть нулевое решение системы х = Ах устойчиво по Ляпунову. Что можно сказать об устойчивости нулевого решения системы

Олимпиада по обыкновенным дифференциальным уравнениям 2010 г.

1. Для уравнения

найти первый положительный корень решения, удовлетворяющего условию

У(0) = о.

2. Устойчивы ли нулевые решения уравнений

3. Доказать, что все решения уравнения

— периодические.

4. Доказать, что не существует точки накопления нулей функции 0 < к < п — 1, где у(х) — решение уравнения

п > 1, а(х) — непрерывна и имеет не более чем конечное число нулей.

5. Существует ли решение уравнения у1У + а(ж)у = 0 (а(ж) — положительная непрерывная функция), имеющее 2 двукратных нуля, то есть удовлетворяющее для некоторых х\ ф Х2 условиям у(х\) = y'(xi) = у(х2) = у'{х2) = 0?

6. Исследовать на устойчивость все решения системы

7. Докажите, что если какое-либо решение уравнения

с непрерывным ограниченным коэффициентом r(t) ограничено на полупрямой, то его производная тоже ограничена.

8. Какое наибольшее количество различных значений может принимать величина

на ненулевых решениях системы вида

9. С каждым решением x(t) уравнения х = /(х,х), не обращающимся в нуль вместе со своей производной, свяжем подвижный луч на фазовой плоскости, начинающийся в точке (0,0) и проходящий через точку (x(t), x(t)). Существует ли такая функция / G С1 (M2), что все такие лучи, находящиеся в:

а) верхней,

б) правой

полуплоскости, с ростом t всё время поворачиваются против часовой стрелки?

10. Отклонение математического маятника под действием силы / от положения равновесия описывается уравнением х + си2х = f(t). До какого максимального положения в точке t = 1 можно отклонить математический маятник из положения равновесия t = 0 за время от 0 до 1 силой /(t), имеющей нулевое среднее по отрезку времени [0,1] ( Jf(t) dt = О), если х(0) = х(0) = 0?

Олимпиада по обыкновенным дифференциальным уравнениям 2011 г.

1. У дифференциального уравнения х = ах, а > 0, все решения, кроме x = 0, неограничены при t > 0. Можно ли добиться существования ограниченного нетривиального решения, добавив к правой части 6хт, где Ъ > 0, m G N, и рассматривая уравнение х = ах + Ъхт при t > 0?

2. Рассматривается уравнение Ньютона х = — х3 + xn, n G N. При каких n положение равновесия хо = 0 устойчиво по Ляпунову?

3. Оцените снизу количество нулей решения уравнения х + tx = 0 на отрезке [-100,100].

4. Рассматривается математический маятник, управляемый малой силой u(t), \u(t)\ < е: x + üj2x = и, х(0) = хо, х(0) = х\. Можно ли привести маятник в положение покоя за конечное время, то есть верно ли, что для любых хо, xi, 8 > 0 существует такая u{t\ \и\ < £, что соответствующее решение x(t) удовлетворяет условиям х(Г) = ж (Г) = 0 при некотором Г > 0? Если можно, оцените это время через £, и, хо, х\.

5. Легко видеть, что все решения уравнения х + си2х = 0 ограничены. Докажите, что для любого е > 0 существует такая гладкая функция а(£), \a(t) \ < £, что уравнение х+ (ио2 + a(t))x = 0 имеет неограниченные при t > 0 решения.

6. Известно, что х(£, to) — решение задачи Коши

— в случае to = 0 имеет вид х(£, 0) = é. Найдите производную u(t) решения x(t,to) по начальному моменту to при to = 0 (зная, что она существует).

7. Пусть система х = f(x) (/G C1(R2)) на плоскости имеет изолированную особую точку (0,0), причем тем же свойством обладает и её линеаризация ù = Au в этой точке. Является ли какое-либо из следующих двух утверждений следствием другого:

а) все фазовые кривые исходной системы — циклы, окружающие особую точку;

б) все фазовые кривые линеаризованной системы — циклы, окружающие особую точку?

8. Можно ли систему х\ = ац(£) х\ + a\2{t) Х2, ж*2 = &2i(£) х\ + &22(£) ^2 заменой переменных у\ = h\\{t) Х\ + h\i(ï) Х2, У2 = ^2i(£) + ^22(^) ^2 привести к виду J/1 = 0, у2 = О?

9. Опишите все возможные типы поведения при t —> +0 решений уравнения £2ж + atz + bx = 0, a, 6 G R.

10. Найдите решение уравнения = x(7v)x(t).

11. Является ли неограниченным непродолжаемое (максимально продолженное) вправо решение задачи Коши: х = x2 + 2yz, у = y2 + 2xz, z = z2 + 2xy: х(0) = 1, у(0) = 2, 2(0) = 3?

12. Известно, что некоторая фундаментальная матрица системы

при всяком t G R ортогональна. Верно ли, что при всяком t G R матрица A(t) кососимметрична?

13. Рассмотрим дифференциальное уравнение у'“+р(х)у = 0, где р(х)<0. Пусть у(х) — такое его решение, что у(х\) = у'(х\) = 0, у”(х\) > 0 в некоторой точке х\ G R. Докажите, что у[х) возрастает при всех х > х\.

Олимпиада по обыкновенным дифференциальным уравнениям 2012 г.

1. Докажите, что для одного (какого именно?) из двух уравнений у' = = ±у2 + x2 решение с начальным условием у(0) = 0 продолжается на всю полуось x > 0, а для другого — нет.

2. Известно, что если все коэффициенты нормированного (т. е. с единичным старшим коэффициентом) линейного уравнения непрерывны на некотором интервале, то все его решения продолжаются на весь этот интервал. Верно ли аналогичное утверждение для отрезка?

3. Найдите матрицу А системы х = Ах, х G К2, если некоторое её решение х(') удовлетворяет условиям

4. Для изолированной особой точки неизвестной линейной автономной системы на плоскости нарисованы все её п собственных (определяемых собственными векторами) прямых (при п = 2 — седло или узел, при п = 1 -вырожденный узел, а при п = 0 — центр или фокус соответственно), а также вектор фазовой скорости в некоторой не лежащей на них точке плоскости. При каких значениях п по этому рисунку можно однозначно определить, каков тип особой точки и является ли она устойчивой?

5. Докажите, что уравнение

имеет два ненулевых решения у\ и у2, удовлетворяющие условиям

6. При и = 1 для любого векторного поля / G С (G) в области G С Шп верно следующее:

а) если f(xo) ф О

или

б) если /(жо) = 0 и существует производная /;(жо), то для любого to G M через точку (£о>#о) проходит локально единственная интегральная кривая. Верны ли эти признаки локальной единственности при п > 1?

7. При любом ли n G N верно, что: если данные п скалярных п раз непрерывно дифференцируемых функций, определенных на общем интервале, не являются линейно зависимыми ни на каком меньшем интервале, то их определитель Вронского хотя бы в одной точке отличен от нуля!

8. Пусть —--оператор дифференцирования в пространстве многочленов от переменной х степени меньше 2012. Найдите все собственные значения оператора ехр--— и их кратности.

9. Все собственные значения матрицы A(t), непрерывно зависящей от £, действительны и не превосходят —1 при всех t G К. Следует ли отсюда, что нулевое решение линейной неавтономной системы х = A(t) х

а) асимптотически устойчиво?

б) устойчиво?

10. Можно ли так подобрать правую часть уравнения

чтобы из любой начальной точки (х(0),х(0)) фазовая траектория приходила бы в точку (0,0):

а) за бесконечное время;

б) за конечное время?

Олимпиады по уравнениям с частными производными Олимпиада по уравнениям с частными производными 2009 г.

1. (2 балла) Найти общее решение уравнения полуплоскости у > 0.

2. (2 балла) Имеет ли решение (при произвольной непрерывной функции Lp на дК, К — единичный квадрат на плоскости R2) задача Дирихле

3. (3 балла) Пусть vn(x, у) — последовательность решений задачи Дирихле

Q — ограниченная область в M2, (рп G C(dQ), \\уп\\ь2(дп) ~^ О- Можно ли утверждать, что \\уп\\ь2(П) ^ 0?

4. (1+1+3 балла) Рассмотрим уравнения

Какие из этих уравнений имеют двоякопериодические и отличные от const решения, определенные на всей плоскости?

5. (4 балла) Решите в явном виде задачу Коши

6. (4 балла) Докажите, что для решения задачи

выполняется оценка

где С = тах(а + /?, 7), а, ß, 7 — положительные постоянные. 7. (3+3 балла) Пусть и(х, у) — решение задачи

а) Укажите такое целое 7V, что N < и(1,1) < N + 1.

б) Укажите такое вещественное i?, что |ix£2009^ (1,1)| < R.

8. (4 балла) Рассматривается решение уравнения

такое, что

Докажите, что u(t, ж, у) меняет знак при сколь угодно больших t. 9. (4 балла) Рассматривается уравнение

Может ли lim u(t, х) = 0 равномерно на 0 < х < 1?

Олимпиада по уравнениям с частными производными 2010 г.

1. Найдите общее решение уравнения

2. Найдите в D'(R) фундаментальное решение оператора

3. Найти lim и(х, £), где и(х, t) — решение задачи Коши

4. Найдите решение задачи Коши

5. Может ли нетривиальное решение краевой задачи

иметь при некотором ж* G (0, 7г) счетное множество нулей при t G (0, +оо)?

6. При каких А существует нетривиальное решение в виде многочлена задачи Дирихле

где Q — равносторонний треугольник на плоскости XOY (см. рис. 1)?

Рис.1. П

7. Имеет ли решение краевая задача и единственно ли оно?

8. Рассмотрим задачу Дирихле

Плотно ли в LiiÇÏ) множество решений?

9. Пусть w(y) — решение задачи

Докажите, что

Когда достигается равенство?

Олимпиада по уравнениям с частными производными 2011 г.

1. Решите задачу Коши-Гурса, построив область на плоскости, где это решение определяется однозначно: иц = ихх, и(ж,0) = ж2, щ(х,0) = 2ж, и(х, 6ж) = 49ж2 + ж, 0 < ж < 7, 0 < t < 6.

2. Можно ли «раскачать» ограниченную струну до сколь угодно большой амплитуды, прилагая к одному из её концов стремящуюся к нулю силу? (Другой конец закреплен.)

3. Пусть и(х) — гармоническая функция, заданная вне шара |ж| < 1. Может ли она убывать быстрее любого |ж|_ш при |ж| —> оо, где m — произвольное положительное число, и не быть тождественно равной нулю?

4. Корректна ли задача Дирихле для уравнения иц — ихх = 0 в круге?

5. Даны уравнения

а) иц - ихх = 0, в) иц + ихх + и = 0,

б) utt + ихх = 0, г) utt + ихх-и = 0

на плоскости (ж, t) и равносторонний треугольник Г на плоскости (ж, t) со стороной а. Рассматриваются решения указанных уравнений, равные нулю на границе Г. Какое из этих решений может быть отлично от 0 в Г?

6. Постройте последовательность гладких функций, сходящихся к 5"{х) bD'IR1).

7. Рассматривается решение уравнения иц = ихх, t > 0, х > 0, удовлетворяющее начальным условиям и(х,0) = од (ж), щ(х,0) = и\(х) и граничному условию u(0,t) = /i(t). Необходимо вычислить значение решения в точке (ж,£). На каких интервалах необходимо знать значения данных од (ж), ui(x), /i(t), чтобы можно было вычислить значение решения

а) в точке (ж,£) = (10,15),

б) в точке (xjt) = (15,10)?

8. Единственно ли решение задачи ихх + иуу — их — Зиу = /(ж, у), и\д^ = 0, П = [0,1] X [0,3]?

9. Рассматривается ограниченное решение уравнения щ = ихх, х G R, t > 0, удовлетворяющее начальному условию г/(ж, 0) = ( 1 + j—j _|_ ]_ ) * Найдите lim г/(ж, t).

10. Существует ли в R2 решение задачи иху + и = 1, и\г = 2, %|Г = 0, Г = {(яг,у) :у = ж2}?

Олимпиада по уравнениям с частными производными 2012 г.

1. Может ли классическое решение уравнения струны щг — ихх на R2 иметь знаки, как изображено на рисунках а)-д)? (Везде плоскость замощена квадратами 2 клетки х 2 клетки. Оси координат параллельны знакам +.)

2. Рассмотрим краевую задачу для уравнения теплопроводности

(1)

(2)

Пусть / —> О при t —> оо.

а) Верно ли, что и(х, t) —> 0 при t —> оо?

б) Тот же вопрос для задачи (1), (2) с краевыми условиями

в) Тот же вопрос для задачи (1), (2) с краевыми условиями

3. Рассмотрим задачу Коши

а) Убывает ли амплитуда решения при t —> оо, если начальные условия ip(x) и ф(х) финитны?

б) Справедлива ли экспоненциальная оценка скорости убывания решения при t —> оо?

4. Может ли решение уравнения теплопроводности с «памятью»

неограниченно возрастать при t —> +оо?

5. Пусть и(х, у) — решение уравнения Au = 0 в полуполосе [0, оо) х [0, 7г], удовлетворяющее условиям ^I^-q = ^1^-^ = О-

а) Докажите, что если \и\ < М, то и{х,у) экспоненциально убывает при x —> +00.

б) Пусть у) убывает по х быстрее любой экспоненты. Верно ли, что и(х,у) = О?

6. Пусть Q = (0,1)п — куб в n-мерном пространстве. Докажите, что задача

имеет не более одного решения.

7. Пусть и(х, у) — гармоническая функция на плоскости. Может ли её линия уровня иметь одну из следующих форм:

8. Может ли у неограниченной струны (—оо<х<оо) целый отрезок находиться в покое в процессе движения струны начиная с некоторого момента? Одна точка?

Тот же вопрос для ограниченной струны с закрепленными концами.

9. Решить в D' уравнение

10. Пусть и(х,£) — решение в [0,1] х М+ смешанной задачи

Найти

ЛИТЕРАТУРА

1. Шамаев А.С., Капустина Т.О. Педагогическая деятельность кафедры дифференциальных уравнений механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова. Олимпиады и письменные экзамены по дифференциальным уравнениям // Математика в высшем образовании. 2008. №6. С. 11-32.

2. Шамаев А. С. Олимпиады по дифференциальным уравнениям для студентов 2, 3 курсов механико-математического факультета МГУ // Математика в высшем образовании. 2003. №1. С. 77-83.

3. Сборник задач по уравнениям с частными производными под редакцией А. С. Шамаева. — М.: Бином, 2005.

Поступила 28.01.13 переработанный вариант — 26.05.13

INTERNATIONAL STUDENT'S OLYMPIADS ON DIFFERENTIAL EQUATIONS

A. S. Shamaev, T. O. Kapustina

Chair of Differential Equations of Department of Mechanics and Mathematics of M. V. Lomonosov Moscow State University presents the experience of international student competitions on differential equations.

Keywords: course of ordinary differential equations, course of partial differential equations, student olympiad.

ИННОВАЦИОННЫЕ И ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ И КОМПЬЮТЕРНЫЕ ПРОДУКТЫ В ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ

УДК 511.141

ВИЗУАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ СВОЙСТВ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Л. П. Коган

Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет Россия, 603001, г. Нижний Новгород, ул. Ильинская, 65; e-mail: l_kog@list.ru

Предложена методика определения с заданной точностью корней функций комплексной переменной. Задача решается путем визуального исследования особенностей трехмерных графиков модуля и мнимой части логарифма изучаемых функций. Данный подход позволяет учащимся представить в наглядных трехмерных образах основные свойства функций комплексной переменной.

Ключевые слова: комплексный анализ, алгебраические уравнения, свойства функций комплексной переменной.

1. Введение

Одной из целей преподавания точных наук является развитие у студентов навыков абстрактного мышления на языке конкретной учебной дисциплины. В частности, это необходимо при изучении теории функций комплексной переменной (ФКП). Сегодня существует достаточно просто реализуемая возможность достижения этой цели с помощью компьютерной графики, которая позволяет наглядно иллюстрировать ряд свойств ФКП, связанных с принципом максимума модуля аналитической функции, многозначностью логарифма, наличием точек ветвления и т.д., см. [1-3], на 3D-графиках. При этом у учащихся не только быстро возникает понимание поведения ФКП, но и появляется ощущение непосредственного контакта с миром функций комплексной переменной.

В данной статье показана возможность эффективного изучения свойств ФКП путем применения основанных на их свойствах методик решения алгебраических уравнений.

2. Вычисление корней полиномов при помощи принципа максимума модуля аналитической функции

Достаточно часто при определении корней полиномов высоких степеней или уравнений, содержащих трансцендентные функции, необходимо применение компьютерных вычислений. При этом требуется проверка корректности работы программы. Такая проверка может быть легко проведена при помощи принципа максимума модуля функции комплексной переменной (состоящего

в том, что модуль аналитической функции, отличной от константы, не может иметь локальных максимумов внутри области аналитичности). Действительно, рассмотрим уравнение

(1)

где z = X + гу. Очевидно, что в точках нулей функции f(z) функция <p(z) = имеет особенности. Поэтому на трехмерном компьютерном рисунке графика функции |^(^)| как функции от (ж, у) около точек, отвечающих этим особенностям, будут возникать локальные максимумы. Можем считать, что на графике их значения ограничены, поскольку при построении графика с помощью вычислений значения функции |<£>(z)| по дискретной сетке программа «не попадает» в саму точку особенности. Действительно, вероятность того, что корень zo уравнения (1), т. е. точка zo такая, что |<£>(zo)| = оо, случайно попадёт в узел сетки, пренебрежимо мала. Поэтому полагаем, что трехмерный график для |<£>(z)| почти всегда может быть построен.

Согласно принципу максимума модуля аналитической функции каждый такой максимум означает нарушение аналитичности. Следовательно, при отсутствии в рассматриваемой области любых других особенностей функции <p(z), кроме полюсов, приходим к выводу о наличии в окрестности каждого локального максимума функции |<£>(z)| одного или нескольких корней уравнения (1). Локализуя эти окрестности так, чтобы внутри каждой их них оставался максимум функции |<£>(z)|, получаем с заданной точностью координаты корней исходного уравнения.

Пример 1. Рассмотрим уравнение z5 + 3z3 + 2z — 1 = 0. На рис. 1 показан трехмерный график модуля функции tp(z) = , где f(z) = + 3z3 + 2z — 1. (Здесь и далее для создания графиков применялся пакет Maple 15.) Очевидно, что в окрестности каждого из пяти «пиков» расположен корень указанного уравнения, и его координаты при локализации границ данной окрестности могут быть определены с любой необходимой степенью точности.

Рис. 1. Корни уравнения пятой степени на плоскости комплексной переменной

Отметим, что исследование графика модуля самой исходной функции f(z) не позволяет с достаточной точностью определить корни данного уравнения, поскольку из-за дискретности множества точек, в которых вычисляется НУЛИ модуля функции f(z) на соответствующем рисунке оказываются «размазанными» по некоторой трудно локализуемой области комплексной плоскости z. В то же время наличие локального максимума модуля функции (f(z) свидетельствует о том, что в окрестности этого максимума имеется корень исходной функции.

3. Применение свойств логарифма функции комплексной переменной для определения корней полиномов на комплексной плоскости

Во многих случаях применение методики решения уравнений, предложенной в п. 2, не приводит к выявлению всех корней уравнения f(z) = 0. Это может иметь место при близко расположенных или кратных корнях, когда два или более из них оказываются внутри областей одного и того же «пика», либо в случае, когда из-за дискретного выбора программой точек вычисления значений функции относительная высота одного или нескольких локальных максимумов функции |<£>(z)| столь мала, что на графике эти максимумы просто не видны.

Как бы то ни было, в ситуации, когда число локальных максимумов графика функции |<£>(z)| меньше ожидаемого, необходимо применять дополнительные методики. Одна из них может основываться на свойствах логарифма In (/(г)), мнимая часть которого изменяется на 2тт при обходе вокруг точки простого нуля (нуля первой кратности) аргумента логарифмической функции. Это означает, что та точка плоскости (ж, у), при обходе вокруг которой значение arg f(z) = Im (in (/(z))) изменяется на 27г, будет (при условии аналитичности функции f{z)) корнем уравнения (1).

Пример 2. Рассмотрим уравнение f(z) = z5 + 15 (z — l)4 + 15 = 0. На рис. 2,a, где показан график \(ß(z)\ = , видны только четыре «вершины» вместо пяти. Ни увеличение области графика на плоскости (ж, у), ни локализация окрестности любой из этих четырёх «вершин» не приводит к появлению пятой. В то же время построение графика функции arg f{z) (см. рис. 2,6 и также рис. 2,в, на котором показан вид сверху (т. е. проекции на горизонтальную плоскость (ж, у)) линий уровня этой функции) немедленно позволяет определить приближенные координаты пятого корня. На рис. 2,в хорошо видны точки, при обходе которых arg f(z) изменяется на 27Г, т. е. корни данного уравнения пятой степени. Это точки, из которых

Рис. 2,а. Четыре корня уравнения пятой степени

выходят жирные линии, отвечающие скачкам графика на 2тт. Четыре такие точки в центральной части рис. 2,в (она в более крупном масштабе отдельно показана на рис. 2,г) отвечают четырем «пикам», видимым на рис. 2,а, а ещё одна точка в левой части рис. 2,в отвечает искомому пятому корню рассматриваемого уравнения.

Рис. 2,6'. Вид функции aigf(z)

Рис. 2,е. Вид сверху для линий уровня функции arg/(г)

На рис. 2,в и на последующих рисунках увеличение затемнения соответствует уменьшению значения функции arg f(z). Отметим, что на рис. 2,6 функция arg f(z) изменяется в интервале примерно от —3,14 до 3,14. Это происходит потому, что Maple 15 выдает главное значение аргумента, которое принадлежит промежутку (—7г,7г], см. [4].

Рис. 2,г. Вид сверху для линий уровня функции arg/(z) в центральной части рис. 2,в

Рис. 2,д. Пятый корень для уравнения примера 2

На рис. 2,(9 показано поведение \<p(z) | в окрестности пятого корня, который не виден по итогам анализа рис. 2,а. Причина его «пропадания» на рис. 2,а состоит в том, что вычисляемые программой значения |<£>(z)| в окрестности данного корня оказываются крайне малы по сравнению со значениями вблизи других корней. При дальнейшей локализации окрестностей обнаруженных полюсов функции (f(z) можно определить искомые корни с любой заданной точностью.

Покажем, как применение логарифмической функции позволяет определить кратность корней уравнения.

Пример 3. На рис. 3,а показан график линий уровня функции arg f(z) для f(z) = (z + W)2(z — 20)3, а на рис. 3,6 — вид сверху тех же линий уровня. Очевидно, что из точки z = 20, совпадающей с корнем рассматриваемого уравнения, уходят в бесконечность три жирных дуги — «разреза», в каждой точке которых разность значений arg/(z) «с разных сторон» (т.е. на разных берегах разреза) равна 2тг. Это означает, что z = 20 является корнем уравнения f(z) =0 кратности три.

Рис. 3,а. Вид линий уровня функции arg f(z)

Рис. 3,6. Вид сверху для линий уровня функции arg/(г)

Точка z = —10 отвечает двум разрезам указанного вида. Следовательно, z = —10 является корнем кратности два данного уравнения. Итак, признаком кратных корней является наличие нескольких жирных линий (разрезов), исходящих из одной точки на рисунке проекций линий уровня функции arg f(z) на плоскость (х,у). В рассмотренных ранее примерах (1) и (2) каждой такой точке отвечал один разрез (см., например, рис. 2,г), что соответствовало корню кратности один.

4. Вычисление корней уравнений с помощью свойств точек ветвления

Корни можно визуально определять и с помощью точек ветвления. Для этого достаточно возвести функцию f(z) из уравнения (1) в дробную степень и, как и ранее, определить на 3D-графике области локальных экстремумов модуля полученной функции.

Пример 4. На рис. 4 показан график функции (/(z)) . Здесь функция f(z) та же, что и в примере 1. Для удобства анализа график показан под другим проекционным углом, чем график на рис. 1, и в перевернутом виде относительно плоскости (х,у), так что каждый локальный

Рис. 4. Вид локальных экстремумов [/(z)1/3] вокруг точек ветвления

экстремум в действительности является «впадиной» для графика функции I (/(г))1//3|- Из анализа рис. 4 следует, что каждому корню данного уравнения здесь отвечает локальный минимум модуля | (/(z))1//3|.

Преимуществом данного метода является гораздо большая соразмерность глубин «впадин», чем высот «пиков» на рис. 1 и 2,а. Это означает, что вероятность пропустить какой-либо локальный минимум на фоне изображения остальных здесь меньше, чем при методике п. 2 данной работы. Но, с другой стороны, глубины «впадин» во многих случаях малы по сравнению с вариацией значений функции |(/(^))1//3| во всей рассматриваемой области, поэтому может случиться, что при достаточно большом значении этой вариации «впадин» вообще не будет видно на графике. Тем не менее, данная методика полезна, поскольку даёт возможность дополнительной проверки решения уравнения (1), полученного с помощью других подходов.

5. Случай слияния корня уравнения и точки ветвления

Если левая часть уравнения f(z) = О является функцией с точками ветвления, то применение предложенных методик несколько усложняется. В частности, при использовании для поиска корней свойств мнимой части логарифма функции f(z) теперь необходимо учитывать влияние таких точек, увеличивающих число разрезов при построении 3D-графика для arg f(z) как функции от (ж, у). Особенно это касается случая, когда один или несколько корней оказываются вблизи точки ветвления или совпадают с ней. Для иллюстрации математических феноменов, возникающих при создании программой соответствующих трехмерных графиков, рассмотрим пример с легко вычисляемыми корнями и точкой ветвления.

Пример 5. Рассмотрим уравнение f(z) = 0 при f(z) = л/z + 2 {z + 1,5). Точка z = — 2 является одновременно и корнем, и точкой ветвления, причем расположенной близко ко второму корню z = —1,5. Линии уровня arg f(z) и их вид сверху показаны соответственно на рис. 5,а и 5,б\ а на рис. 5,в показан дополнительно вид графика функции arg f(z) со стороны, не видимой на рис. 5,а.

Рис. 5,а. Вид линий уровня функции arg f(z)

Рис. 5,5. Вид сверху для линий уровня функции arg/(z) и контура обхода

Из данных рисунков следует, что обход вокруг простого корня z = —1,5 дает изменение значения arg f(z) на 27г. Эта точка является началом разреза, идущего в бесконечность, см. рис. 5,6".

Рис. 5,е. Дополнительный рисунок для функции arg/(г) и контура обхода

В то же время точка z = — 2 является началом видимого на этих рисунках «наклонного плато», расположенного в левой половине нижней части рис. 5,а и 5,6 ив правой части рис. 5, е. На рис. 5,6 данное «плато» (выделенное светлым «углом» в левой нижней части рисунка) ограничено двумя линиями. Одна из них на рисунке видна как черная линия луча (А), исходящего из точки zs ^ —1,85 + г • 0 и идущего к левому краю рисунка по нормали к оси у, проходя через точки z = — 2 и 2 = 0. Вторая граница совпадает с черной зубчатой линией луча (В), также начинающегося в точке zs и пересекающего нижний край этого рисунка под углом приблизительно 60° к положительному направлению оси х. Указанные линии границы «плато» сформированы двумя разрезами на плоскости комплексной переменной z, исходящими из точки z = — 2, в которой, как видно из рис. 5,6, сходятся проекции линий уровней arg f(z).

Обойдем вокруг z = — 2 против часовой стрелки по контуру (zo —> z\ —> —> Z2 —> zs) начиная из точки zo, расположенной рядом с нижним краем у основания более высокой стены «плато» (отвечающей лучу (В) на рис. 5,6 и обращенной к нам в левой части рис. 5,а), высота которой составляет 2тт; можно приближенно полагать, например, zq = —1,9 — 0,4 ♦ г.

Контур обхода показан на рис. 5,6, а отвечающая ему трехмерная кривая за исключением участка около точки zo, не видимого из-за геометрии рисунка, приведена на рис. 5,е. Точки z\, z% и z% на рис. 5,6 являются горизонтальными проекциями точек z[, z'2 и ^, изображенных на рис. 5,е. Точки zo и z% расположены в произвольно малой окрестности по отношению одна к другой, но по разные стороны разреза (В), и это же верно для пары точек z\, Z2 и разреза, проходящего по лучу (А) влево от точки z = — 2. Линия контура проходит в «просвете» между двумя «возвышенностями», не охватывая точку z = —1,5. При таком обходе значение функции arg f(z) — arg/(^o) составляет — при z = z\, см. рис 5,6, затем возрастает скачком на 7г при переходе от z\ к Z2, т. е. от z[ к z2 на рис. 5,в, что отвечает пересечению контуром линии разреза, идущего от точки z = 2 по лучу (А) на рис. 5,6. На дальнейшем пути от точки Z2 к z% на рис. 5,6 (или от z2 к z'% на рис. 5,в) к моменту достижения контуром обхода линии разреза, идущего по лучу (В) на рис. 5,6, значение arg f(z) — arg/(zo) возрастает ещё на —. На рис. 5,в соответствующая трехмерная кривая при этом достигает точки z'%, расположенной на высоком краю «плато». Таким образом, при указанном обходе вокруг точки z = 2 величина разности arg/(z) — arg/(zo) в крайних точках контура, отвечающих разным берегам разреза (В), составляет 27г.

Равный 7г скачок функции arg f(z) при пересечении контуром левее точки z = — 2 проекции низкой стены «плато», проходящей по лучу (А) на рис. 5,6, отвечает переходу от z\ к Z2 через линию разреза, исходящего из точки z = = — 2 как точки ветвления квадратного корня у/z + 2. В то же время вдвое

больший скачок этой функции при условии пересечения проекции высокой стены «плато», проходящей по лучу (В) на рис. 5,б\ соответствует также переходу через разрез, но уже отвечающий z = — 2 как точке ветвления функции In (/(г)). Отметим, что на небольшом участке луча (А), расположенном правее точки особенности z = — 2 и тоже принадлежащем этому же разрезу, высота стены «плато» также равна 27г.

Таким образом, слияние точки ветвления с корнем рассматриваемого уравнения приводит к появлению дополнительного разреза на плоскости комплексной переменной г, и, в отличие от разрезов, отвечающих корням уравнения, при переходе через такой разрез скачок функции arg/(г) меньше, чем 27Г.

6. Заключение

Использование описанных выше приёмов позволяет не только визуально определять с необходимой точностью корни функций комплексной переменной, но и, что значительно важнее, облегчает процесс усвоения студентами свойств таких функций. В частности, не представляет сложности разработка лабораторных занятий, на которых учащимся может быть предложено по виду заданных на экране монитора трехмерных графиков модуля функции

и линий уровня функции arg f(z) получить аналитическое выражение для функции, график которой с заданной степенью точности близок к графику модуля функции f(z).

Из рассмотренных примеров видно, что исследование подобных трехмерных графиков сопряжено с необходимостью объяснения разных явлений из области теории функций комплексной переменной. При этом сам процесс просмотра указанных 3D-графиков в цветном изображении с их вращением программными средствами производит сильное впечатление на учащихся и может значительно повысить их интерес к предмету.

ЛИТЕРАТУРА

1. Лаврентьев М.А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. 5-е изд., исправл. — М.: Наука, 1987. 688с.

2. Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного. 14-е изд., стер. — М.: Высш. шк, 1999. 432 с.

3. Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. — М.: Наука, 1974. 320 с.

4. Костин С.В. Система обозначений для основных многозначных функций комплексной переменной и для их значений // Математика в высшем образовании. 2009. №7.

Поступила 21.10.2012

VISUAL RESEARCH OF PROPERTIES OF COMPLEX NUMBER FUNCTIONS

L. P. Kogan

A method of determination (with the given accuracy) of complex roots of complicated mathematical equations is suggested. The problem is solved by visual research of features of three-dimensional plots of modulus and imaginary part of logarithm of corresponding complex number functions. This approach allows students to conceive fundamental properties of such functions as visual three-dimensional images.

Keywords: complex analysis, algebraic equations, properties of complex number functions.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СОРЕВНОВАНИЯ В ВУЗАХ

УДК 51-8

ОТКРЫТАЯ СТУДЕНЧЕСКАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА КАЗАНСКОГО (ПРИВОЛЖСКОГО) ФЕДЕРАЛЬНОГО УНИВЕРСИТЕТА, ПОСВЯЩЁННАЯ ДНЮ РОЖДЕНИЯ Н. И. ЛОБАЧЕВСКОГО

И. С. Григорьева, В. А. Сочнева

Казанский (Приволжский) федеральный университет

Россия, 42008, г. Казань, ул. Кремлёвская, 18; e-mail: igrigori_@mail.ru; walentina.sochneva@kpfu.ru

Приведена информация об открытых студенческих математических олимпиадах, проводимых Казанским университетом 1 декабря — в день рождения Н. И. Лобачевского. Высказывается предложение сделать 1 декабря днём математики в России.

Ключевые слова: математическая олимпиада.

Вся сознательная жизнь одного из самых известных российских математиков Н. И. Лобачевского связана с Казанью: с 10 лет — казанский гимназист, с 14 — студент университета, а далее — преподаватель, декан физико-математического отделения, ректор университета. 1 декабря 2012 года университет отметил 220 лет со дня его рождения. Ежегодно в этот день в Казанском университете проводятся различные праздничные мероприятия и в том числе — математическая олимпиада студентов. Многие годы в этой олимпиаде участвовали только студенты Казани, но с 2009 года, когда мы пригласили к нам на олимпиаду студентов вузов Поволжья, число приезжающих команд начало быстро расти. За 4 года (2009-2012) вместе с нами успели попраздновать день рождения Н. И. Лобачевского студенты из Барнаула, Екатеринбурга, Тюмени, Саратова, Волгограда, Сарова, Краснодара, Чебоксар, Йошкар-Олы, Нижнего Новгорода, Зеленодольска. Цветы на столах во время олимпиады, возложение этих цветов к единственному в России памятнику Н. И. Лобачевскому, совместный обед в столовой лицея им. Лобачевского, вечерний чай с тортом — всё это создаёт атмосферу праздника.

В нашей стране и в мире проводится множество математических олимпиад. Студенческие олимпиады особенно разнообразны по своим целям, составу задач, уровню их сложности. На одном конце линейки стоит предметная олимпиада, своего рода расширенный зачёт (так, в данном журнале публикуются задачи олимпиады по дифференциальным уравнениям, проводившейся соответствующей кафедрой МГУ). На другом — международные соревнования, в которых участвуют «продвинутые», специально подготовленные студенты. Наша олимпиада находится между этими крайними точками. Это отражает и подбор задач. Их число доходит до 10, что позволяет включить как простые (утешительные) задачи, так и достаточно серьёзные, оригинальные, требующие хороших знаний учебного курса и немалой сообразительности. В олимпиаду включаются задачи по алгебре, геометрии, математическому анализу, дифференциальным уравнениям, теории вероятностей; могут входить в

неё и нестандартные задачи элементарной математики. Жюри наших олимпиад состоит в основном из бывших успешных участников школьных олимпиад, ставших позже доцентами, профессорами, академиками или готовящихся ими стать. К проверке задач мы с удовольствием привлекаем руководителей команд (по их желанию).

Приведём для примера ряд задач разных лет и разного уровня сложности (см. [1]).

Задача 99.61). На координатной плоскости построили график функции у = ж3, после чего оси координат стёрли. Как их восстановить с помощью циркуля и линейки?

Решение. Проведём какую-нибудь прямую, пересекающую график в трёх точках. Пусть это будут последовательно точки А, В, С. Уравнение проведённой прямой имеет вид у = кх + Ъ. Значит, абсциссы точек А, В, С удовлетворяют уравнению ж3 — кх — Ъ = 0. По теореме Виета сумма корней этого уравнения равна нулю, то есть равна нулю сумма абсцисс точек А, В, С, а следовательно, и их среднее арифметическое. Но среднее арифметическое координат есть координата центра тяжести M заданных точек, так что этот центр тяжести имеет абсциссу 0, т. е. лежит на оси OY.

Построим точку M с помощью векторов. Для любой точки N имеем NM = (NB + NC)/3. В частности, для N = А это даёт AM = (AB + + АС)/3. Чтобы построить точку М, достаточно отложить на проведённой прямой отрезок CD = AB и поделить отрезок AD на три равные части.

Как уже было сказано, построенная точка M будет лежать на оси OY. Повторяя этот процесс для другой прямой, получим вторую точку, лежащую на оси ординат. Это позволяет построить всю ось. В точке её пересечения с данным графиком находится начало координат, через которое проведём ось ОХ перпендикулярно к OY.

Задача 01.4. Доказать, что из любых пяти векторов в евклидовом пространстве можно выбрать два таких, что длина их суммы не превосходит длины суммы трёх оставшихся.

Решение. Обозначим через г сумму всех векторов и через — сумму двух векторов с номерами г и j, i,j G {1,2,3,4,5}, г < j. Всего имеется 10 сумм вида fij, причём каждый из 5 векторов входит в 4 из этих сумм. Предположим, что для любых двух векторов длина их суммы больше, чем длина суммы оставшихся трёх, т.е. \fij\ > \г — Гц\. Возводя это неравенство в квадрат, получим г2- > г 2 — 2(r, f%j) + г^2, т. е. г 2 < 2(г, г^). Складывая все 10 таких неравенств, получим, что Юг2 < 2(r, Yl^îj) = 2(г, 4г) = 8г2, чего не может быть.

Задача 02.3. На множестве А задана бинарная операция * такая, что для любых X и у из А выполняются соотношения (х * у) * у = х\ у * (у * х) = X. Доказать, что эта операция коммутативна, т. е. х * у = у * х для любых ж и у из А.

Решение. Рассмотрим преобразование fy(x) = х * у. Тогда первое соотношение принимает вид fy(fy(x)) = ж, который показывает, что функция fy

1) Здесь и ниже цифры до точки — последние две цифры года олимпиады, после точки — номер задачи соответствующего года по [1].

обратна самой себе, а значит, и обратима (взаимно однозначна на всём множестве А). Это означает, что для любых х и у существует единственное решение уравнения z * у = ж; поскольку по условию (ж * у) * у = ж, то это решение есть z = X * у. Рассуждая аналогично, по второму свойству получаем, что умножение слева также обратно самому себе, так что для любых х и у уравнение у * z = X имеет единственное решение z = у * х.

Пусть ж*у = £, тогда у = ж*£, откуда х = Но тогда у*ж = = t, что и требовалось доказать.

Задача 06.5. Вычислить

Решение. Обозначим искомый интеграл через /. Сделаем в нём замену х на —у, получим, что

Переобозначая переменную интегрирования снова через х и складывая два выражения для /, получаем, что

Задача 08.3. Найти все квадратные матрицы второго порядка, удовлетворяющие условию

Решение. Пусть А

Покажем, что след tr А = a + d матрицы А равен нулю. От противного: пусть a + d ф 0, тогда Ъ — с = 0 => а2 = d2 = 0. по тогда и a + d = 0 — противоречие. Итак, а = —d, поэтому «диагональные» равенства принимают одинаковый вид ad — be = 0. В итоге имеем, что искомыми будут матрицы, у которых и след tr А, и определитель det А = ad —be равны 0. Имеем 2 ограничения на 4 неизвестных, так что искомое семейство определяется двумя параметрами.

Задача 10.10. Рассмотрим множество 2^ всех подмножеств множества натуральных чисел N. Будем говорить, что два множества из 2^ эквивалентны, X « Y, если их симметрическая разность — конечное множество (т. е. X отличается от Y лишь конечным числом элементов). Существует ли такое отображение / : 2^ —> 2N, которое удовлетворяет условиям

1) f(X) « X, 2)X^Y^ f(X) = /(У), 3) f(X П Y) = f(X) П /(У)?

Решение. Предположим, что искомое / существует. В силу условий 1), 2) имеем /(/(X)) = f(X) для всех X G 2^. В силу условия 1) имеем /(0) ~ 0, т.е. множество /(0) конечно. Для любого конечного (т.е. эквивалентного 0) множества К в силу условия 2) имеем F (К) = /(0). В силу условия 3) для любых множеств А ж В выполнено f(A) П f(B) = /(i П ß), поэтому если пересечение множеств А ж В конечно, то пересечение их образов есть /(0).

Выберем произвольную бесконечную последовательность Xi, Х2,... ..., Хп,... бесконечных попарно не пересекающихся подмножеств множества N2\ В силу свойства 1) последовательность f(X\), /(Х2),..., f(Xn),... бу-

2) Приведите пример такой последовательности подмножеств.

дет состоять из бесконечных множеств. Как показано выше, образы f(Xn) пересекаются между собой только по множеству /(0). Значит, множества вида f(Xn) \ /(0) попарно не пересекаются. Каждое множество f(Xn) \ f(0) непусто, поскольку выше доказано, что f(Xn) бесконечно, а /(0) конечно. Выберем в каждом множестве f(Xn) \ /(0) по одному элементу ап (все они различны) и множество всех ап обозначим через А.

Каким может быть образ множества А при отображении /? Пересечение Anf(Xn) = {ап} конечно, поэтому пересечение образа множества А с образом множества f(Xn) есть /(0): f(A) П f{f(Xn)) = /(0). Отсюда f(A)C\f(Xn) = = /(0) для каждого п. По построению ап 0 /(0), поэтому а 0 f(Ä) П f(Xn). Но по построению ап G f(Xn). Значит, элемент ап не входит в f(Ä). Это верно при всех п, так что a(Ä) отличается от А бесконечным числом элементов, что противоречит соотношению f(A) ~ А.

Решения задач команды получают после окончания олимпиады и имеют возможность сразу увидеть решения (иногда простые и короткие) «не получившихся» задач или порадоваться своим верным и красивым решениям. Конечно, по итогам олимпиады проставляются баллы, выдаются дипломы -кому-то за 1 место, а кому-то за успешное выступление. Приятно быть победителем на математическом празднике, но быть участником — тоже хорошо! И если студенты уезжают с олимпиады с чувством радости от общения с единомышленниками, от хорошо выполненного дела (радости, которую не купишь за деньги), с настроением приехать ещё и выступить лучше — значит, такие олимпиады нужны!

Мы будем проводить их и в дальнейшем, мы приглашаем в Казань всех желающих принимать участие в нашей ежегодной праздничной олимпиаде. А ещё мы надеемся, что со временем 1 декабря — день рождения Н. И. Лобачевского — станет праздником не только математиков Казани и приезжающих к нам гостей, но и днём математики России — как стало праздником русского языка 6 июня, день рождения А.С.Пушкина. И пусть в день математики проходят олимпиады и математические вечера в школах, публичные лекции на телевидении, конференции, олимпиады и другие мероприятия в вузах, пусть прославляется математика — она этого достойна!

ЛИТЕРАТУРА

1. Казанские студенческие олимпиады по математике. Сборник задач / Составитель И.С.Григорьева. — Казань, Изд-во КФУ, 2011, 47с.

Поступила 5.08.2013

THE OPEN STUDENT MATHEMATICAL OLYMPIAD DEVOTED TO BIRTHDAY OF N. I. LOBACHEVSKY IN THE KAZAN FEDERAL

UNIVERSITY

I. S. Grigor'eva, V. A. Sochneva Information on the open student mathematical Olympiads in the Kazan university on December 1 — in the Birthday of N. I. Lobachevsky — is provided. The suggestion is raised to make December 1 as Day of mathematics in Russia.

Keywords: the mathematical Olympiad.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СОРЕВНОВАНИЯ В ВУЗАХ

УДК 51-8

ОЛИМПИАДА В ФОРМЕ КОМПЬЮТЕРНОГО ТЕСТА

А. Ю. Эвнин

Южно-Уральский государственный университет Россия, 454080, г. Челябинск, пр. Ленина, 76; e-mail: evnin@prima.susu.ac.ru

Приведены задачи отборочного тура Всероссийской Интернет-олимпиады, проводившегося в Южно-Уральском государственном университете.

Ключевые слова: математические олимпиады, Интернет-олимпиада, компьютерное тестирование.

Начиная с 2009 г. проводятся Всероссийские студенческие Интернет-олимпиады по ряду дисциплин. Олимпиада по математике является частью Открытой международной Интернет-олимпиады. Об идеологии Интернет-олимпиад, позволяющих сочетать массовость, зрелищность и математическую содержательность, подробно и эмоционально написано в статьях [1, 2]. Форма проведения первых двух туров Интернет-олимпиады — компьютерный тест, а заключительный тур проводится в традиционной форме.

В Южно-Уральском государственном университете (ЮУрГУ) с целью отбора к участию в Интернет-олимпиаде и выявления способных студентов ежегодно (уже в течение четырёх лет) проводится тест. В тесте 32 задачи, длительность проведения 90 минут. За правильный ответ участник получает 3 балла, за неправильный теряет 1 балл; за отсутствие ответа на вопрос баллы не начисляются (и не снимаются). Таким образом, за тест можно получить от —32 до 96 баллов.

Наш тест (по темам задач и уровню их сложности) составлен по образцу известного американского теста GRE (Graduate Record Examinations) -экзамена, который сдают при поступлении в аспирантуру в университетах Соединенных Штатов Америки. В оригинальном американском тесте 66 задач, на решение которых даётся 170 мин. На каждый вопрос предлагается 5 вариантов ответов, из которых нужно выбрать единственно верный.

В 2013 г. при проведении теста в ЮУрГУ была использована компьютерная оболочка, разработанная доцентом А. К. Демидовым. Она позволила добиться большей гибкости в постановке задач. Наряду с задачами, в которых выбирается правильный ответ из предложенных, были также задачи, в которых можно было выбрать несколько вариантов ответа, а также задачи с числовыми ответами. Тестирование проводилось на базе сайта contest.susu.ac.ru. Это позволило принять участие в тесте ряду студентов ЮУрГУ, находившихся в это время за пределами Челябинска, а также студентам из других вузов. Общее число участников составило 107 человек. Результаты теста приведены в группе «Математический конкурс в ЮУрГУ» (социальная сеть «В контакте»).

Отметим, что на том же сайте выложены тесты за 2010-2012 гг. Участники теста имели возможность предварительно получить представление о тематике и уровне сложности задач и потренироваться в решении задач предыдущих лет.

Итак, приводим задачи теста 2013 г. и ответы к ним.

Южно-Уральский государственный университет 2012/2013 год

Отборочный тур V Всероссийской Интернет-олимпиады

1. Бизнесмен Вася вывесил в своем супермаркете четыре рекламных лозунга:

I. Всё дешёвое невкусно!

II. Всё невкусное дёшево!

III. Всё вкусное недёшево!

IV. Не всё вкусное дёшево!

Борющийся за экономию коммерческий директор заметил, что два лозунга утверждают одно и то же. Какие?

2. Пусть а, Ь, с — действительные числа. Какие из следующих утверждений истинны?

I. Если а < Ъ и ab ф 0, то - > -.

II. Если а < Ъ, то ас < be для любого с.

III. Если а < Ь, то а + с < b + с для любого с.

IV. Если а < Ь, то —а > —Ъ.

3. Плоскость а проходит через точки с координатами (0;0;0), (2;0;0), (0;0; 1). Уравнение плоскости а:

1)г = 0; 2)у = 0; 3) х = 0; 4) у = z; 5)x + 2y-2z = 0.

4. Пусть S = (0; +оо) х (0; +оо). График уравнения х1пу = у1пх — это

1) единственная точка; 2) замкнутая кривая; 3) луч в S; 4) S; 5) 0.

5. График функции у = Зл/—х2 + 10х — 21 — это

1) полуокружность; 2) часть эллипса; 3) часть параболы; 4) часть гиперболы; 5) часть ломаной; 6) пустое множество.

6. Пусть aresin X = —. Тогда arecosx =

7. Функции / и g определены на множестве натуральных чисел следующим образом: /(1) = 1, /(п) = 2/(п - 1) при п ф 1; д(3) = /(3); д(п) = = Зд(п + 1) при пфЪ. Тогда д{1) = ?

8. Пусть f(x) = a sin ж + bxcosx + ж2, где а и b — константы. Известно, что /(2) = 3. Тогда /(-2) = ?

9. Какое из уравнений имеет наибольшее количество корней на отрезке [100; 1000]?

10. Сколько корней имеет уравнение <

1) ни одного; 2) один; 3) конечное множество, но больше одного; 4) счётное множество; 5) несчётное множество.

11. Ранг матрицы

равен ?

12. Наибольшее по модулю собственное значение матрицы

равно?

14. Пусть f(x) = хх~г при всех положительных х ф 1 и пусть f[x) непрерывна в точке X = 1. Тогда /(1) =

15. Пусть / — функция, заданная на отрезке [—1; 1] и такая, что все точки графика этой функции лежат на окружности х2 + у2 = 1. Тогда количество точек, в которых функция / обязательно непрерывна, равно

16. Пусть /(ж) = хе - ех. Тогда при

17. Седьмая производная от функции fix) =--~ при х = 0 равна ?

18. Если f[x) — бесконечное число раз дифференцируемая функция, то

19. Пусть

20. Наименьшее значение функции z = ж2 + у2 при условии равно

21. Какая из функций является решением задачи Коши

22. Если г — радиус-вектор, а = grad (г, г), то div (а) =

23. Если ж и у — целые числа, такие, что х > Зих —у > 9, то минимальное значение функции Зж + 7у

1) — 33; 2) 0; 3) 9; 4) 27; 5) его не существует.

24. Пусть / = f(x, у, z) и df =--1--^-dz. Тогда функция / с точностью до константы равна

25. Если контур L есть эллипс

проходимый против часовой стрелки, то

26. Поток радиус-вектора г через поверхность цилиндра, ограниченного поверхностями ж2 + у2 = i?2, ж = 0, х = Н, равен

27. Сумма ряда

равна

28. Сумма ряда

равна

29. Область сходимости ряда

1) (—1; 1); 2)[-1;1]; 3) (-1;3); 4) [-1;3]; 5) [0;2].

30. Если конечная группа имеет подгруппу 7-го порядка и не имеет подгрупп 2-го порядка, то порядок группы может быть равен

1) 27; 2) 28; 3) 35; 4) 37; 5) 42.

31. Сколько существует пятизначных чисел, в каждом из которых соседние цифры различны?

32. Какова вероятность того, что в случайном четырёхзначном числе цифры идут по возрастанию (слева направо)? Ответ дать в десятичной записи с точностью до 0,001.

Ответы

1. I, III. 2. III, IV. 3. 2). 4. 4). 5. 2). 6. 2).

7. 36. 8. 5. 9. 1). 10. 2). 11. 2. 12. 6.

13. 4). 14. 4). 15. 3). 16. 1). 17. -5040. 18. 2). 19. 2). 20. 1). 21. 5). 22. 1). 23. 5). 24. 5). 25. 3). 26. 2). 27. 4). 28. 2). 29. 4). 30. 3). 31. 59049. 32. 0,014.

В заключение отметим, что результаты участников теста хорошо коррелируют с их достижениями в других олимпиадах. Так, победитель тестов 2012 и 2013 гг. Антон Белов завоевал золотые медали заключительных этапов Всероссийской Интернет-олимпиады в Йошкар-Оле.

О других формах математических соревнований студентов, проводимых в ЮУрГУ, рассказывается в учебных пособиях [3, 4].

ЛИТЕРАТУРА

1. Домошницкий А., Бугаенко В. О., Канель-Белов А. Я. Математическая Интернет-олимпиада для студентов // Математическое просвещение. Третья серия, вып. 14. — М.: МЦНМО, 2010. С. 236-239.

2. Домошницкий А. Интернет-олимпиада по математике для студентов и некие размышления о месте математических соревнований в общем контексте математического просвещения // Математическое образование. 2011. №3-4 (59-60). С. 2-5.

3. Игнатов Ю.А., Шулюпов В. А., Эвнин А.Ю. Задачи студенческих математических боёв. — Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2005. 43 с.

4. Эвнин А. Ю. Математический конкурс в ЮУрГУ — Челябинск: Издательский центр ЮУрГУ, 2012. 86 с.

Поступила 12.07.2013

OLYMPIAD IN THE FORM OF A COMPUTER TEST

A. Yu. Evnin

Problems of the qualifying round of the Internet olympiad carried out at the Southern Ural State University are presented.

Keywords', mathematical olympiads, Internet olympiad, computer test.

ПОЗДРАВЛЯЕМ!

30 ноября 2013 года исполнилось 80 лет российскому математику, доктору физико-математических наук, профессору Нижегородского государственного университета им. Н. И. Лобачевского, главному научному сотруднику Научно-исследовательского радиофизического института (НИРФИ) Григорию Моисеевичу Жислину.

Григорий Моисеевич — известный специалист в области изучения спектральных свойств многочастичных гамильтонианов. Им опубликованы без малого 150 научных работ. Доказанная им теорема о локализации существенного спектра многочастичных систем, позже несколько усиленная В. Хунцикером и К. Ван Винтером, в современной литературе по математической физике называется теоремой Хунцикера-Ван Винтера - Жислина (ХВЖ-теорема), а его теорема о бесконечности дискретного спектра гамильтонианов атомов — теоремой Жислина. Наряду с научной деятельностью Григорий Моисеевич читает общие и специальные курсы студентам факультета «Высшая школа общей и прикладной физики».

Учителем Григория Моисеевича был профессор А. Г. Сигалов — математик, решивший в 1951 году 20-ю проблему Гильберта. В этом номере журнала публикуется статья Григория Моисеевича, посвящённая 100-летию со дня рождения А. Г. Сигалова.

Григорий Моисеевич — почетный работник науки и техники Российской Федерации. Он один из основателей (1995 г.) Нижегородского математического общества, член редколлегии нашего журнала с момента его образования, член Американского математического общества и Международной ассоциации математической физики.

Григорий Моисеевич — большой любитель и знаток научной фантастики, его личное собрание насчитывает несколько тысяч книг этого жанра.

Редколлегия журнала «Математика в высшем образовании» и Нижегородское математическое общество от всей души поздравляют Григория Моисеевича с замечательным юбилеем и желают ему крепкого здоровья, удачи во всех областях его интересов и успехов в деятельности на благо математического сообщества.

ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ. ПЕРСОНАЛИИ

УДК 517 + 929

О РАБОТАХ А. Г. СИГАЛОВА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ (к 100-летию со дня рождения)*

Г. М. Жислин

Научно-исследовательский радиофизический институт Россия, 603950, г. Н. Новгород, Большая Печерская, 25/12А; e-mail: gzhislin@yandex.ru

Автор рассказывает об истории исследований А. Г. Сигалова в области математических задач квантовой механики и о результатах, полученных А. Г. Сигаловым и его учениками.

Ключевые слова: А. Г. Сигалов, 100-летие со дня рождения.

1. 7 июля 2013 г. исполнилось 100 лет со дня рождения Александра Григорьевича Сигалова, доктора физико-математических наук, профессора Горьковского (Нижегородского) государственного университета им. Н. И. Лобачевского, выдающегося советского (российского) математика. В мировой науке А. Г. Сигалов известен как человек, решивший 20-ю проблему Гильберта. Может быть, сейчас уже не все знают, что великий математик ХХ-го столетия Д. Гильберт в докладе на 2-м Всемирном конгрессе математиков в Париже в 1900 г. сформулировал 23 задачи, решение которых, по его убеждению, должно было сыграть важную роль в наступающем столетии. Так и оказалось. В предисловии к книге «Проблемы Гильберта» [1], опубликованной в 1969 г., говорится, что хотя с момента появления проблем Гильберта прошло уже 2/3 века, они в течение всего этого срока не теряли своей актуальности и к их решению были приложены усилия талантливейших математиков. А. Г. Сигалов был одним из них. 20-я проблема Гильберта была решена А. Г. Сигаловым в 1951 г. в его докторской диссертации «Существование абсолютного минимума двойных интегралов вариационного исчисления». Результаты А. Г. Сигалова, опубликованные в цикле его работ по 20-й проблеме Гильберта, явились выдающимся событием в математике, получили мировое признание и стали классическими. Развитые в них методы открыли пути, на которых были установлены новые важные факты не только в вариационном исчислении, но и в теории уравнений в частных производных. Желающие

А. Г. Сигалов

* Мы перепечатываем с незначительными авторскими изменениями статью, опубликованную к 90-летию А. Г. Сигалова в журнале Вестник ННГУ, сер. Математика, 2004, вып. 1(2), с.246-255.

подробно ознакомиться с существом дела могут обратиться непосредственно к работам А. Г. Сигалова или к его статье в книге [1]. Далее в настоящем очерке я не буду касаться этих работ, а остановлюсь на тех исследованиях А. Г. Сигалова, которые менее известны, но которые имеют, возможно, не меньшее значение. Мне посчастливилось быть сначала свидетелем, а потом участником этих исследований и здесь я хочу рассказать о них.

2. Речь пойдет далее о начатом АГ (так мы между собой называли А. Г. Сигалова) в 1952-1953 гг. изучении математических задач квантовой механики. К этому времени трудами Джона фон Неймана и Германа Вейля были заложены основы математического аппарата квантовой механики и написаны основные её уравнения. Однако эти уравнения во многих важных случаях не допускали решений в явном виде и для их отыскания применялись приближенные методы. Но поскольку ни существование решений, ни сходимость приближенных методов доказаны не были, то с точки зрения строгой математики само использование таких уравнений оставалось не вполне корректным. И это относилось не только к каким-то вспомогательным уравнениям, но и к одному из основных уравнений квантовой механики — уравнению Шредингера

(1)

для определения стационарных состояний ф главных многочастичных квантовых систем: атомов, молекул, многонуклонных систем. Мне кажется, что именно важность уравнения (1) в квантовой механике, трудность его исследования и полное отсутствие каких-либо результатов о существовании собственных функций оператора H для п-частичных систем при п > 3 сыграли решающую роль в выборе АГ уравнения (1) в качестве объекта исследования. Конечно, были и другие причины. Отметим среди них интерес АГ к физике, особенно квантовой, а главное — возможность вариационного подхода к доказательству существования дискретного спектра многочастичных гамильтонианов.

Возникающие в квантовой механике вариационные задачи внешне выглядели как хорошо изученные задачи на отыскание минимума квадратичного функционала

на единичной сфере пространства /^(^R3™), R3n = {г | г = (ri,..., rn), ri = (xi,yi, Z{)}. Однако функционал J[iß] имел принципиальные отличия от классических функционалов вариационного исчисления:

1) интегралы в J[i/j] распространены не на компактную область, а на всё 3п-мерное пространство;

2) потенциал V(r) в J[i/j] — знакопеременный, он не ограничен снизу, обращается в бесконечность на гиперплоскостях Т{ = rj и Г{ = 0 и при п > 2 поведение его при \г\ —> оо зависит не от |r|, а от направления «ухода на бесконечность ».

Поэтому классические методы в задаче на отыскание

(2)

были неприменимы. В то же время существование минимайзера в задаче (2) означало бы, что inf H есть собственное значение i7, т. е. что у рассматриваемой системы есть стационарное (связанное) состояние на конце спектра. Именно поэтому работа по исследованию математических задач квантовой механики была начата с изучения условий существования (или не существования) минимайзера в (2). Нахождение таких условий стало темой дипломной работы Е. Ф. Жиженковой1, выполненной под руководством А. Г. Сигалова в 1953-1954 гг. на физмате ГГУ. В результате этой работы было установлено, что минимайзер в задаче (2) не существует тогда и только тогда, когда любая минимизирующая последовательность (далее МП) в задаче (2) «растекается», т. е. когда для любой МП фт 3 6 > 0, такое, что предел lim H^mlli^/v норм функций фт вне шара радиуса N для любого N больше, чем ö (обобщение этих результатов см. в [2]). Таким образом, для доказательства существования минимайзера в задаче (2) надо было или исключить растекание МП в принципе, или, по крайней мере, попытаться «перестроить» растекающуюся МП так, чтобы получить не растекающуюся МП (разумеется, для тех потенциалов V(r), для которых существование минимайзера в задаче (2) можно было ожидать из физических соображений). АГ выбрал второй путь. Для него это было естественно, так как именно благодаря специальному исправлению МП в классических задачах вариационного исчисления ему удалось построить компактные МП и, используя это, доказать существование минимайзера. С целью «исправления» МП в задаче (2) АГ предложил использовать симметризацию Шварца (далее СШ)2. Он поставил перед своим следующим дипломником С.В.Успенским3 (1954-1955 гг.) задачу: используя СШ, доказать существование не растекающейся МП для систем типа атома водорода или водородоподобных ионов (V(r) = -С-И, С > 0). С.В.Успенский доказал, что симметризованная по Шварцу МП остается МП и не может растекаться, и, значит, минимайзер в задаче (2) существует.

3. Следующим дипломником А. Г. Сигалова был я (1955-1956 гг.), и передо мной была поставлена задача: продолжить работу, начатую Жиженковой и Успенским. В первую очередь АГ посоветовал мне попытаться обобщить понятие СШ так, чтобы симметризацию можно было применять к МП для функционалов J[iß] в случае потенциалов V(r), более сложных, чем V(r) = = —const |r|_1. В результате некое обобщение СШ было построено, и мы с АГ даже написали об этом совместную статью. Однако в печать мы её так и не послали, поскольку область применения полученного обобщения СШ была не ясна, и уж точно эта симметризация не помогала в задаче (2), ибо после такой симметризации МП переставала быть МП даже при п = 2. С сожалением

1 Е. Ф. Жиженкова (1931-2013), кандидат экономических наук, доцент НГАСУ.

2 СШ преобразует неотрицательную функцию ф(г) в такую неотрицательную функцию <£>(И), для которой J dr — J dr при любом d > 0 и поверхность <р(\г\) = d есть гипершар; известно, что J \Vip\2 dr > J \V(f\2 dr и Ц^Ц =

3 С. В. Успенский — доктор физико-математических наук, профессор, долгое время работал в Новосибирском академгородке, сейчас зав. кафедрой высшей математики Московского государственного университета природоустройства, лауреат Гос. премии СССР (1986 г., совместно с С.Л. Соболевым и др.).

идею симметризации пришлось похоронить и искать другие пути. В дипломной работе их найти не удалось, но было показано, что если в задаче (2) есть растекающаяся МП, то есть и «полностью растекающаяся» МП, т. е. такая, по которой £2-нормы функции МП в шаре любого радиуса в В?п стремятся к нулю. Я был расстроен тем, что не удалось решить поставленную передо мной задачу, но АГ меня успокоил, сказав, что исключить полное растекание МП наверняка будет легче, чем растекание вообще, и что у меня еще будет время для этого в аспирантуре. Так и произошло. С самых первых дней аспирантуры (сентябрь 1956 г.) АГ активно подталкивал меня к отысканию новых подходов в работе. Мы встречались у него дома не реже одного раза в неделю и пытались понять, почему полное растекание МП не должно иметь места. Фактически я видел АГ и обсуждал с ним положение дел гораздо чаще: это происходило и после семинаров, и при случайных встречах, когда АГ говорил: «Что у Вас нового? Здравствуйте». А так как новостей не имелось, то мне было очень стыдно и это стимулировало новые усилия в борьбе с возможностью растекания. Наконец, где-то в начале 1957 г. в случае нейтральных атомов и их (+)-ионов мне удалось доказать невозможность растекания МП (и, следовательно, существование минимайзера), причем не только для задачи (2), но и для бесконечной серии вариационных задач в классах функций, ортогональных к уже найденным минимайзерам. Тем самым для гамильтонианов H любых атомов и их (+)-ионов было доказано существование бесконечного дискретного спектра. Одновременно было найдено положение существенного спектра4. Я сразу же побежал к АГ рассказать о полученных результатах. АГ внимательно выслушал меня и попросил зайти через пару дней. И вот, когда через 2 дня я пришел к нему, он начал объяснять мне, что именно я сделал, какой физический смысл имеет каждая часть доказательства, какие выходы и к каким задачам возможны, какие результаты можно получить далее и т. д. Всё сказанное АГ было для меня абсолютным открытием, ибо я исходил не из физического содержания задачи, а из чисто математических соображений (используя разбиение пространства В?п на области, я получил точную оценку снизу inf J[î/j] = Hm JH>m] > /i по полностью растекающимся последовательностям фт, \\фт\\ = 1, а потом, построив подходящие пробные функции, показал, что на самом деле inf J[i/j] < /i, откуда и следовала невозможность растекания для МП). Именно этот разговор с АГ определил мою деятельность в науке на многие годы вперед и позволил добиться успеха в решении многих задач. Итак, на этом этапе исследования был найден существенный спектр и доказано существование бесконечной серии дискретных собственных значений, накапливающихся к началу существенного спектра для атомов и положительных атомарных ионов любого элемента таблицы Менделеева. Эти результаты составили основу моей кандидатской диссертации, выполненной под руководством А. Г. Сигалова в 1960 г. Некоторые обобщения позднее были получены в [4].

4 В книге [3], и после её появления всюду, теорема о локализации существенного спектра многочастичных гамильтонианов называется ХВЖ-теорема, хотя Хунцикер (X) и Ван Винтер (В) получили соответствующий результат позже нас.

4. Однако всем этим результатам нельзя было придать физический смысл, так как они не учитывали принцип Паули. Согласно этому принципу полные волновые функции квантовых систем, зависящие от координат частиц и от их спинов, должны быть или антисимметричными (для фермионных систем), или симметричными (для бозонов) относительно одновременных перестановок пространственных и спиновых координат тождественных частиц. Из этих требований к симметрии полных волновых функций, зависящих как от пространственных, так и от спиновых координат, вытекают определенные ограничения на поведение чисто координатных волновых функций при перестановках пространственных координат г^, г = 1,..., п, тождественных частиц. Этими ограничениями устанавливаются возможные (для рассматриваемой квантовой системы Z\) типы неприводимых представлений группы перестановок Sn, по которым должны преобразовываться волновые функции связанных состояний и волновые пакеты системы Z\ при перестановках координат Т{. Тем самым определяются разрешенные типы перестановочной симметрии волновых функций. Так вот, рассмотрение модельных задач, в которых спектр оператора H известен, показало, что применение к ним наших теорем о спектре H дает бесконечную серию дискретных собственных значений («связанных состояний»), перестановочная симметрия которых запрещена для фермионных систем! Были (физические) основания считать, что и в не модельной ситуации имеет место такая же картина, т. е. что все ранее полученные результаты физического смысла не имеют.

5. В этой, казалось бы, тупиковой ситуации А. Г. Сигалов предложил блестящий выход. А именно: чтобы обеспечить физический смысл получаемым результатам, надо исследовать спектр рассматриваемых гамильтонианов и соответственно изучать вопрос о существовании минимайзера в задаче (2) не во всем пространстве £2(R3n), а в подпространствах В^ функций из £2(R3n), преобразующихся при перестановках координат электронов по неприводимым представлениям группы Sn, имеющим разрешенные принципом Паули типы а. Пространства В^ должны строиться с помощью проекторов р(а). ß(a) _ р(°0 £2(i?3n). Эти проекторы хорошо известны в теории представлений, однако в квантовой механике они применялись ранее только для построения «правильных» приближений к неизвестным волновым функциям исходя из известных волновых функций модельных задач. А. Г. Сигалов был первым в мировой математике, кто использовал проекторы р(а) не в интересах приближений, а для получения физически значимых результатов для не модельных задач. Фактически, АГ предложил вместо операторов H изучать операторы = НР^ для допустимых а. Но мало было предложить пионерскую идею: нужна была соответствующая техника для её реализации, и АГ её разработал, а точнее — он взял на себя всю теоретико-групповую часть модификации тех подходов и той техники, которая ранее была придумана для задач без учета симметрии. В результате для гамильтонианов произвольных атомов и (+)-ионов было доказано существование бесконечной последовательности дискретных собственных значений и найдено положение существенного спектра любой разрешенной принципом Паули перестановочной симметрии а. При этом было установлено, что начиная уже с четы-

рехчастичных систем все физически реализуемые уровни энергии связанных состояний (т. е. собственные значения оператора

Н(а) = Нр(а)

для разрешенных а), исключая не более чем конечное их число, лежат на существенном спектре оператора H в /^(i?3™), и, следовательно, они не могут быть найдены вариационным путем без сужения H на подпространства В^а\ Более того, было показано, что для некоторых разрешенных типов симметрии а1', а" бесконечное число дискретных собственных значений оператора попадает на существенный спектр оператора Н^а ) [5-7]. Этот факт был неожиданным даже для специалистов по квантовой механике.

6. Позднее А. Г. Сигалов предложил учитывать не только перестановочную, но и вращательную симметрию относительно полной группы вращений 0(3), т.е. рассматривать наряду с операторами операторы На — сужения операторов H на подпространства PaC2(R3n), где а = (а,£,и) и пары (£, си) задают типы неприводимых представлений группы 0(3): £ = 0,1, 2,... ; и; = ±1. Для операторов На так же, как для операторов Н^а\ в случае атомов и (+) ионов было доказано существование бесконечного дискретного спектра при любых а. Тем самым для атомов и (+) ионов было установлено существование бесконечной серии связанных состояний и найден сплошной спектр для любых квантовых чисел: мультиплетности (определяется типом а), момента (определяется значением £) и четности (определяется числом cj). Результаты исследования спектров операторов На были опубликованы в [8, 9]. Позднее А. Г. Сигалов подвел определенные итоги проведенных исследований в [10], где он не только прозрачно рассказал о полученных результатах, но и успешно предсказал, как должны формулироваться некоторые еще не доказанные утверждения.

7. Действуя в основном в тех направлениях, которые были указаны АГ, я распространил результаты [4-9,11] на системы с ядрами конечной массы (ранее масса ядра предполагалась бесконечной) и на любые, а не только физически допустимые типы перестановочной симметрии (имея в виду получение дополнительной информации о структуре спектра H в C2(R3n) [12]). Кроме того, в [12] удалось получить общие теоремы о локализации существенного спектра операторов На и необходимые и достаточные условия существования дискретного спектра для систем типа молекул при любых а. Знаменательно, что, как и предсказал АГ, математическое условие существования дискретного спектра симметрии а совпало с известным физическим условием стабильности системы, состоящим в энергетической невыгодности любых распадений. Работа [12] составила основу моей докторской диссертации, защищенной уже после кончины А. Г. Сигалова.

Однако в [12] учет перестановочной симметрии для систем типа молекул был выполнен не лучшим образом. Поясним сказанное. При отсутствии внешнего потенциального поля (или, что то же, заряженных частиц бесконечной массы) перед исследованием структуры спектра гамильтониана необходимо отделить движение центра масс системы, ибо иначе непрерывный спектр движения системы как целого «замажет» спектр относительного движения, который как раз интересен для приложений. Отделение движения центра масс обычно проводилось путем введения относительных координат по отноше-

нию к одной из частиц и координат гс центра масс; потом зависящий от гс оператор, отвечающий кинетической энергии движения системы как целого, отделялся, и исследовался спектр оставшегося оператора относительного движения. Так было сделано и в [12]. Это было неплохо, когда симметрия не учитывалась или когда в системе имелась частица, присутствовавшая в одном экземпляре (в атоме — ядро, в молекуле — ядро одиночного атома, если такой был), и когда относительные координаты вводились по отношению к ней. Но уже для молекул, состоящих из нескольких тождественных атомов, введение относительных координат по отношению к одному из ядер создавало серьезные трудности при учете перестановочной симметрии. В такой ситуации любая перестановка координат, затрагивающая выделенное ядро, требовала введения новых координат, т. е. меняла вид изучаемого оператора. Эта трудность в [12] была преодолена, однако в результате громоздкость и без того не простой статьи резко возросла, но другого подхода тогда не существовало. Не существовало, пока данной проблемой не заинтересовался А. Г. Сигалов. Он предложил исключительно изящный способ описания относительного движения квантовых систем, при котором вместо введения относительных координат осуществлялся переход к оператору, рассматриваемому на гиперплоскости относительного движения ^ mjrj — 0 (rrij — массы частиц). При этом кинетическая часть оператора записывалась в бескоординатной форме. Этот подход был реализован в совместной дипломной работе А. Т. Гаврилина5 и И. М. Сигала6, выполненной под руководством АГ в 1968 г. Публикация соответствующих результатов [13] появилась уже после кончины Александра Григорьевича. Ныне бескоординатный подход [13] общепризнан и широко используется при анализе многочастичных гамильтонианов. Интересно, что метод [13] оказался полезным и в тех случаях, когда отделение движения центра масс невозможно, например, для гамильтонианов с однородным магнитным полем, где приходится изучать гамильтониан на плоскости относительного движения в зависимости от положения центра масс.

8. Во второй половине 60-х годов одновременно с исследованиями многочастичных систем квантовой механики Александр Григорьевич обратился к математическим задачам квантовой теории поля. В ходе этой работы перед ним возникла необходимость в новом подходе к аксиоматическому построению квантовой механики, для чего предполагалось использовать теорию колец и теорию случайных процессов. Весной 1969 г. исследования в этом направлении были уже близки к завершению. Однако Александр Григорьевич не успел опубликовать свои результаты. Он предполагал изложить их в отдельной монографии, куда должны были войти и ранние работы по теории атомных спектров. Отдельные результаты содержались в курсах лекций, которые читались в университете и в НИРФИ в то время. Построенные на

5 Гаврилин А. Т., кандидат физико-математических наук, доцент ННГУ им. Н. И. Лобачевского.

6 Сигал И. М. эмигрировал из СССР в 1973 г., работал в Израиле и США, после чего «осел» в Канаде: он профессор университета в Торонто; И. М. Сигал — автор фундаментальных работ по теории рассеяния.

оригинальных идеях, лекции А. Г. Сигалова вызывали самый живой отклик у математиков и физиков, студентов и научных работников.

Тяжелая болезнь, а затем и смерть прервали работу А. Г. Сигалова, когда он находился в самом расцвете творческих сил. А. Г. Сигалова не стало 5 сентября 1969 г.

9. Начатые А. Г. Сигаловым исследования не прекратились после его кончины. Они были продолжены в разных направлениях в основном в работах автора и С. А. Вугальтера7; определенный вклад в 1972-1976 гг. внесли также М. А. Антонец8 и И. А. Шерешевский9. Перечислим самые главные из полученных здесь результатов, сгруппировав их по типам рассматриваемых систем.

I. Гамильтонианы нерелятивистских систем п частиц без магнитных полей

В случае, когда

(А) граница сплошного спектра оператора На определяется распадениями Z\ только на 2 устойчивые подсистемы,

доказано, что конечность или бесконечность дискретного спектра определяется взаимодействием между этими подсистемами. На этой основе установлены условия конечности дискретного спектра (которые выполняются, например, для большинства двухатомных молекул) и найдены спектральные асимптотики в случае, когда дискретный спектр бесконечен; при этом для атомов и (+)-ионов получены двучленные асимптотики.

В случае, когда (А) не выполнено: найдены условия конечности дискретного спектра, в том числе и при наличии у некоторых подсистем виртуальных уровней; доказана конечность дискретного спектра двукратных (—)-ионов любых атомов. Установлены экстремальные свойства виртуальных уровней п-частичных систем. Исследован спектр трехчастичных одномерных и двумерных систем. Доказано отсутствие эффекта Ефимова для трехчастичных операторов На с короткодействием при некоторых а. Исследована устойчивость систем п тождественных частиц при п —> оо в случае короткодействующих знакопеременных потенциалов.

II. Гамильтонианы нерелятивистских систем п частиц в магнитном поле

Установлена локализация существенного спектра, доказана бесконечность дискретного спектра и найден главный член спектральной асимптотики для систем типа атомов и (+)-ионов в растущем на бесконечности магнитном поле, в однородном магнитном поле в присутствии потенциального поля, а также в однородном магнитном поле при фиксации обеих (для атомов) или одной из (для (+)-ионов) компонент псевдомомента.

7 Вугальтер С. А., кандидат физико-математических наук, ст. научный сотрудник. Эмигрировал в Германию в конце прошлого века; сейчас работает в университете г. Мюнхен.

8 Антонец М. А., кандидат физико-математических наук, ст. научный сотрудник; работает в Нижегородской Ассоциации Наукоемких Технологий.

9 Шерешевский И. А., доктор физико-математических наук, ст. научный сотрудник; зав. лабораторией ИФМ РАН.

III. Гамильтонианы псевдорелятивистских систем п частиц

Найдено положение существенного спектра для широкого класса систем. Для псевдорелятивистских электронов в поле неподвижных ядер при неотрицательности суммарного заряда системы доказана бесконечность дискретного спектра и найден главный член спектральной асимптотики.

Эти результаты содержатся в более чем 90 публикациях, появившихся в 1970-2003 гг. Я верю в то, что многие из них понравились бы А. Г. Сигалову.

ЛИТЕРАТУРА

1. Проблемы Гильберта. — М.: Наука, 1969.

2. Жислин Г. М., Жиженкова Е. Ф. О существовании минимума некоторых квадратичных функционалов в неограниченной области // Тр. ММО. 1960. Т. 9. С. 121-128.

3. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. IV. Анализ операторов. — М.: Мир, 1982.

4. Жислин Г. М., Сигалов А. Г. Некоторые математические вопросы квантово-механической проблемы многих частиц // Тр. IV Всесоюзного матем. съезда. 1964. Т. II. С.557-560.

5. Жислин Г. М., Сигалов А. Г. О смешанном спектре некоторых многомерных сингулярных дифференциальных операторов квантовой механики // ДАН СССР. 1964. Т. 157, №6. С. 1329-1331.

6. Жислин Г. М., Сигалов А. Г. О спектре оператора Шредингера для атомов с неподвижными ядрами на подпространствах, отвечающих неприводимым представлениям группы перестановок // Известия АН, сер. матем. 1965. Т. 29, №4. С. 835-860.

7. Жислин Г. М., Сигалов А. Г. Уровни энергии атомов, лежащие на непрерывном спектре // Теорет. и эксперим. химия. 1966. Т. 2, №1. С. 109-112.

8. Жислин Г.М., Сигалов А. Г. О некоторых математических задачах теории атомных спектров // Известия АН, сер. матем. 1965. Т. 29, №6. С. 1261-1272.

9. Жислин Г. М., Сигалов А. Г. О существовании собственных функций заданной перестановочной и вращательной симметрии нерелятивистского уравнения Шредингера / Тезисы докл. на Международном конгрессе математиков. 1966. С. 48-49.

10. Сигалов А. Г. Об основной математической задаче теории атомных спектров // УМН. 1967. Т. 22, №3. С. 1-20.

11. Жислин Г. М., Сигалов А. Г. К математической теории атомных спектров // ДАН СССР 1965. Т. 163, №2. С. 323-325.

12. Жислин Г. М. Исследования спектра дифференциальных операторов квантово-механических систем многих частиц в пространствах функций заданной симметрии // Известия АН, сер. матем. 1969. Т. 33, вып. 3. С. 590-649.

13. Сигалов А. Г., Сигал И. М. Инвариантное относительно перестановок тождественных частиц описание спектра оператора энергии систем многих частиц // ТМФ. 1970. Т. 5, №1. С. 73-93.

Поступила 3.11.2013

ON THE INVESTIGATIONS OF A. G. SIGALOV IN THE FIELD OF MATHEMATICAL PHYSICS (on the 100 anniversary of A. G. Sigalov's birth)

G. M. Zhislin

Author tells on the history of A. G. Sigalov's study of mathematical problems in quantum mechanics and on the results, which were obtained by A. G. Sigalov and his pupils at this field.

Keywords: A. G. Sigalov, the 100 anniversary of the birth.

ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ ПЕРСОНАЛИИ

УДК 37(091)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ В НАУЧНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ Д. А. ГРАВЕ В ПЕТЕРБУРГЕ

И. В. Игнатушина

Оренбургский государственный педагогический университет Россия, 460000, г. Оренбург, пр. Гагарина, 1; e-mail: streleec@yandex.ru

Описаны результаты Д. А. Граве по дифференциальной геометрии, полученные им в конце XIX в. Особое внимание уделено его докторской диссертации «Об основных задачах математической теории построения географических карт», в которой был решен целый ряд важных задач. Кроме того, даётся краткая характеристика его деятельности по преподаванию дифференциально-геометрического материала в высших учебных заведениях Петербурга.

Ключевые слова: дифференциальная геометрия, Дмитрий Александрович Граве.

В 2013 г. исполняется 150 лет со дня рождения одного из выдающихся отечественных математиков, почетного члена АН СССР, академика АН УССР, основоположника первой крупной алгебраической школы в России -Дмитрия Александровича Граве (1863-1939). «Алгебраической» стороне деятельности Д. А. Граве посвящена публикуемая в этом номере журнала статья В. А. Тестова [1]. Однако не малый интерес представляют его работы по дифференциальной геометрии, о которых и пойдёт речь ниже.

Дмитрий Александрович принадлежал к младшему поколению Петербургской математической школы XIX в. Его учителями на физико-математическом факультете Петербургского университета были видные ученые-математики того времени: П. Л. Чебышев, А. Н. Коркин, А. А. Марков, К. А. Поссе, И. Л. Пташицкий, Ю. В. Сохоцкий [2]. Д. А. Граве включился в научную деятельность с самого начала своей студенческой жизни. Он много времени проводил в библиотеке, изучая труды классиков, организовал студенческое научное общество, которое издавало свой журнал «Записки физико-математического общества С.-Петербургского университета». В нем Дмитрий Александрович опубликовал результаты своих первых научных изысканий.

Большое влияние на формирование научных интересов Граве оказал профессор А. Н. Коркин. Еженедельно на его квартире собирались университетская молодежь и профессура Петербурга. На этих вечерах любил бывать и Граве. Позже в своих автобиографических записках он писал: «Сидя на диване, Коркин вел интересную беседу, так как был умный и образованный человек. Особенно были интересны его разговоры о математике. Я должен признать, что обе мои диссертации вытекали из этих разговоров, хотя в докторской диссертации большую роль сыграли Чебышев и Марков» [3, с. 223].

По окончании университета в 1885 г. Граве представил выпускную работу (кандидатскую диссертацию), посвященную одному из вопросов дифференциальной геометрии, а именно, наименьшим поверхностям, т. е. поверхностям, в каждой точке которых средняя кривизна равна нулю. Вся работа состояла из трех глав. В первой главе с помощью вариационного исчисления выведены условия, которым должна удовлетворять наименьшая поверхность. Во второй рассмотрены теоремы о кривизне таких поверхностей. В третьей изложено интегрирование дифференциальных уравнений наименьших поверхностей [4].

В 1889 г. Д. А. Граве защитил магистерскую диссертацию [5] по теории интегрирования дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка и был оставлен при Петербургском университете для приготовления к профессорскому званию. В том же году он был зачислен приват-доцентом университета и, кроме того, получил должность преподавателя математики в Институте инженеров путей сообщения. С 1891 г. его приглашают читать лекции на Бестужевских высших женских курсах, а с 1893 г. — в Военно-топографическое училище. По воспоминаниям его современников, Д. А. Граве «с замечательным искусством умел излагать самые отвлеченные и трудные вопросы с редкою простотою и ясностью» [4, с. 322].

Сохранилось литографированное издание 1893 г. лекций по дифференциальному исчислению [6], которые Д. А. Граве читал в Институте инженеров путей сообщения. В последнем разделе собран материал по приложению дифференциального исчисления к геометрии. В первой части этого раздела изложены вопросы дифференциальной геометрии на плоскости, во второй освещаются вопросы дифференциальной геометрии в пространстве. Содержание этих лекций показывает, что вопросы дифференциальной геометрии уже стали неотъемлемой составляющей курса высшей математики технического вуза.

Следует отметить, что в Петербургском университете Граве читал специальный курс по теории поверхностей и вёл практические занятия по этому курсу. Его лекции на правах вольнослушателя посещал профессор Морской академии, будущий академик, Алексей Николаевич Крылов (1863-1945). В письме от 2 декабря 1930 г. он писал: «Глубокоуважаемый Дмитрий Александрович! ... С благодарностью вспоминаю, что на днях исполняется ровно 40 лет с тех пор, как я имел удовольствие слушать в С.-Петербургском университете Ваши лекции по дифференциальной геометрии» [7, с. 33].

В 1896 г. Граве защитил докторскую диссертацию «Об основных задачах математической теории построения географических карт» [8], в которой

Д. А. Граве

решил целый ряд важных задач дифференциальной геометрии. Тематически она продолжала исследования Эйлера, Лагранжа, Чебышева, Коркина, Маркова и Дарбу по картографии.

Поскольку поверхность земного сфероида не развертывается на плоскость, то изобразить её на плоскости без искажения невозможно. Существуют два основных вида проекций: конформные и эквивалентные. При конформных проекциях сохраняется подобие в бесконечно малых частях или, другими словами, сохраняется угол между любыми двумя линиями поверхности при их изображении на карте. Масштаб при таком отображении остается постоянным по всем направлениям, при переходе от одной точки к другой.

Эквивалентные проекции таковы, что все площади фигур на карте пропорциональны площадям соответствующих фигур на земной поверхности. Масштаб на карте при такой проекции меняется в каждой точке в зависимости от азимута. На карте, выполненной в эквивалентной проекции, не может быть подобия в бесконечно малых частях. Поэтому при изображении большой части земной поверхности, когда уже ощутима кривизна Земли, приходится выбирать между указанными видами проекций.

Лагранж в работе «О построении географических карт» (1779 г.) [9] рассмотрел общую теорию конформных проекций любой поверхности вращения на плоскость. Особое внимание он уделил случаю, когда поверхность вращения есть сфера и все её меридианы и параллели переходят в окружности или прямые на плоскости. Еще раньше Эйлер в мемуаре «Об изображении поверхности шара на плоскости» (1777 г.) [10] решил схожую задачу в отношении одного частного случая эквивалентных проекций, когда изображения меридианов и параллелей пересекаются под прямыми углами.

В общем виде вопрос об отыскании эквивалентных проекций сферы на плоскость, при которых изображения меридианов и параллелей являются прямыми или окружностями, был поставлен А. Н. Коркиным.

В своей работе Граве дал полное решение задачи Коркина, доказав, что имеется ровно 11 типов таких проекций, из которых наиболее выгодными являются, по его мнению, те, при которых изображения меридианов и параллелей взаимно ортогональны.

Другим ценным результатом диссертации Граве было доказательство следующей теоремы Чебышева: «Наивыгоднейшая проекция для изображения какой-нибудь части земной поверхности на карте есть та, в которой на границе изображения масштаб сохраняет одну и ту же величину, легко определяемую по принятой нормальной величине масштаба» [11, с. 242]. Это утверждение Чебышев высказал на заседании Петербургской Академии наук 18 января 1853 г., и долгое время оно оставалось без доказательства.

Первое доказательство этой теоремы Граве нашел в 1894 г. и доложил его на конгрессе французской ассоциации содействия прогрессу наук. В диссертации он представил его полнее. В 1911 г. Граве опубликовал на французском языке работу «Обобщение доказательства одной теоремы Чебышева» [12], в которой распространил свои рассуждения на произвольные поверхности, имеющие гауссову кривизну постоянного знака. Рассмотрим это доказательство подробнее.

Если линейный элемент заданной поверхности в изотермических координатах имеет вид ds2 = \2(du2 + dv2), то коэффициенты первой квадратичной формы

принимают значения

(1)

Поскольку всякая конформная проекция поверхности (и, v) на плоскость (ж, у) записывается в виде х + гу = f(u + iv), то масштаб этого отображения определяется формулой m =---.

Введя обозначение H = In \f'(u + iv)\ = - \nf'(u + iv) + - Inf'(и — iv), получим In m = H — In Л. Функция i7, будучи действительной частью аналитической функции Inf'^u + iv), является гармонической функцией, поэтому она не принимает экстремальных значений во внутренних точках областей.

Схожим свойством обладает и функция H — In Л. В самом деле, если положим, что гауссова кривизна К положительна и функция H — In Л достигает своего максимума во внутренней точке некоторой области, то выполняются неравенства

складывая которые, после некоторых преобразований получим

(2)

Гаусс в 1816 г. доказал, что для кривизны К имеет место равенство

Отсюда, учитывая соотношения (1) и (2), получим

следовательно, К < 0, что противоречит предположению. Аналогично доказывается, что и в случае отрицательной гауссовой кривизны функция H — In Л не достигает своего минимума во внутренней точке некоторой области.

Далее, пусть на заданном контуре функция H — In Л равна нулю, тогда при К > 0 она принимает отрицательные значения внутри контура. Требуется доказать, что амплитуда функции H — In Л, т. е. разность между её наибольшим и наименьшим значениями, меньше, чем у любой другой функции

вида Hi — In Л. Обозначим наибольшее значение функции Н\ — In Л через А, тогда функция Н2 — In Л = Hi — In Л — А имеет ту же амплитуду и принимает внутри и на контуре только неположительные значения. Остается доказать, что минимум функции Н2 — In Л меньше, чем у функции H — In Л. Это следует из того, что разность H — In Л — {Н2 — In Л) = H — Н2, являясь гармонической функцией и принимая на контуре исключительно положительные значения, не может принимать отрицательных значений внутри контура.

В диссертации Граве решил и целый ряд частных задач картографии. Например, он сравнил отклонение масштаба в проекциях Гаусса и Чебышева и показал преимущество второй. Для этого он рассмотрел четырехугольник, ограниченный дугам параллелей 40° и 70° северной широты, и двумя меридианами, отстоящими друг от друга на 40°. Площадь такого четырёхугольника превышает площадь европейской части России. Граве вычислил отклонение масштаба вдоль среднего меридиана через каждые 5°. Оказалось, что в проекции Чебышева «отклонение от нуля логарифма масштаба почти в два с половиной раза меньше, чем для Ламбертовой проекции, которая под именем Гауссовой введена при изображении Российской империи» [8, с.3].

Научные результаты этой диссертационной работы были высоко оценены А. Н. Коркиным, который на её защите, обращаясь к Граве, сказал: «Вы являетесь достойным учеником Эйлера. В вашей диссертации совсем нет воды и каждая глава её имеет вполне конкретное содержание» [2, с. 225].

В конце 90-х годов XIX в. Граве переходит в Харьковский университет, одновременно становится профессором Технологического института в Харькове, а в конце 1901 г. избирается по конкурсу профессором кафедры чистой математики Киевского университета [12]. Здесь в течение почти сорока лет продолжалась его дальнейшая научно-педагогическая деятельность. Научные исследования Д. А. Граве этого периода относятся преимущественно к алгебре и теории чисел [13]. В Киевском университете он организовал научный семинар, где особое внимание уделялось теории групп. Среди его учеников были О. Ю. Шмидт, Б. Н. Делоне, Н. Г. Чеботарев, которые стали основателями новых алгебраических школ в Москве, Ленинграде и Казани.

ЛИТЕРАТУРА

1. Тестов В. А. Д. А. Граве — основоположник российской алгебраической школы (к 150-летию со дня рождения) // Математика в высшем образовании. 2013. №11. С. 129-138.

2. Добровольский В. А. Дмитрий Александрович Граве. — М., 1968.

3. Автобиографические записки Д. А. Граве (Публикация А. Н. Боголюбова) // Историко-математические исследования. — М., 1993. Вып. XXXIV. С. 219-246.

4. Добровольский В. А. Научно-педагогическая деятельность Д. А. Граве (к столетию со дня рождения) // Историко-математические исследования. — М., 1963. Вып. XV. С.319-360.

5. Граве Д. А. Об интегрировании частных дифференциальных уравнений первого порядка (магистерская диссертация). — СПб., 1889.

6. Граве Д. А. Курс дифференциального исчисления. Лекции, читанные преподавателем высшей математики в Институте инженеров путей сообщения Императора Александра I приват-доцентом Императорского С.-Петербургского Университета Д. А. Граве. - СПб., 1893.

7. Урбанский В. М. Дмитрий Граве и время. — Киев, 1998.

8. Граве Д. А. Об основных задачах математической теории построения географических карт. - СПб., 1896.

9. Lagrange J. L. Sur la construction des cartes géographiques // Nouveaux Mem. de lAcad. Royale des Sciencas de Berlin, 1779. — Berlin, 1781.

10. Эйлер Л. Об изображении поверхности шара на плоскости //Л. Эйлер. Избранные картографические статьи. — М., 1959. С. 21-50.

11. Чебышев П. Л. Сочинения. Т. 1. — СПб., 1899.

12. Grave D. A. Demonstration d'un théorème de Tchebychef generalise // Journal fur reine und angewandte Mathematik. Berlin, 1911. Bd. 140. S. 247-251.

13. Боголюбов А. Н., Урбанский В. М. Дмитрий Александрович Граве и его время // Историко-математические исследования. — М., 1993. Вып. XXXIV. С. 209-218.

Поступила 23.06.2013

DIFFERENTIAL GEOMETRY IN SCIENTIFIC AND PEDAGOGICAL ACTIVITY OF D. A. GRAVE IN ST. PETERSBURG

I. V. Ignatushina

The results obtained by D. A. Grave in the area of differential geometry at the end of XIX century are described. Particular attention is paid to his doctoral dissertation, «On the fundamental problems of the mathematical theory of the construction of maps», which was resolved a number of important problems. Additionally, a brief description of his teaching activities for teaching differential geometry of the material in the higher educational institutions of St. Petersburg given is.

Keywords: differential geometry, Dmitry Aleksandrovich Grave. Поступила 23 июня 2013 г.

ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ ПЕРСОНАЛИИ

УДК 519.176 + 929

К ИСТОРИИ ДВУХ ЗНАМЕНИТЫХ ОПТИМИЗАЦИОННЫХ АЛГОРИТМОВ В ТЕОРИИ ГРАФОВ

В. П. Одинец

Коми государственный педагогический институт Россия, 167982, г. Сыктывкар, Коммунистическая ул., 25; e-mail: W.P.Odyniec@mail.ru

Представлена история двух жадных алгоритмов теории графов (алгоритмов Краскала и Прима), имеющих важные применения в экономике и компьютерных науках. Приведены также краткие биографии главных лиц, связанных с этой историей.

Ключевые слова: минимальное остовное дерево, оценка сложности, алгоритм Краскала, алгоритм Борувки, алгоритм Прима-Ярника.

В процессе преподавания различных математических дисциплин мне нередко1 задавали вопрос: «Какую пользу принесёт изучение вашего предмета»? Так вот, есть одна дисциплина, где ответ на этот вопрос можно легко проиллюстрировать материальной пользой, измеряемой десятками миллиардов рублей. Речь идет о строительстве всевозможных сетей: телефонных, электрических, оптоволоконных, канализационных, сетей дорог и т. д.

Математическая модель этих сетей задается в рамках теории графов2. При этом слушателям достаточно пояснить буквально несколько интуитивно наглядных определений3. Дискретную математику сейчас трудно представить без оптимизационных алгоритмов Краскала и Прима на графах. Но так стало только с началом 60-х гг. XX века. Любопытно, что история этих алгоритмов началась до появления первого учебника по теории графов, а именно, книги Д. Кенига «Теория конечных и бесконечных графов», изданной в Лейпциге в 1936 году, в которой не было каких-либо оптимизационных алгоритмов.

Итак, конечным неориентированным графом G будем называть пару (X, U), где X — конечный набор точек на плоскости или в трёхмерном пространстве, a U — конечный набор линий конечной длины, соединяющих какие-то (возможно, все) пары точек из X. Графы, в которых есть линии, имеющие концом одну точку (так называемые петли), мы рассматривать не будем. Обычно точки из X называют вершинами (или узлами) графа, а линии -ветками (или ребрами) графа. При этом две вершины, соединённые веткой, называют инцидентными этой ветке, а ветку — инцидентной этим вершинам.

Если в графе G = (X, U) любые две различные вершины из X соединяет не более чем одна ветка, то такой граф называется графом Бержа.

1 В США это было обязательно. В России это также становится правилом в последнее время.

2 Весьма часто значительные разделы теории графов включаются либо в дискретную математику, либо в информатику.

3 Точные определения см., например, в [1], или [2], или [3].

Пусть G = (X, U) - граф. Пару Gx = (Хъ U_), где Х_ _X,U\_ U, саму являющуюся графом, называют подграфом в G. Граф G называют связным, если из любой его вершины можно по его веткам попасть в любую другую его вершину. Если в подграфе графа Бержа число вершин равно п, т. е. Х\ = = {xi,...,xn}, а число веток на единицу меньше, т.е. U\ = {и\,... ,un-\}, то такой подграф называется деревом. Можно доказать, что дерево — всегда связный подграф. Более того, он не содержит ни одного простого цикла, т. е. такого связного подграфа с четным числом веток, каждая вершина которого инцидентна ровно двум веткам. Дерево G\ = [Х\, U_) в графе G = (X, U), у которого Х\ = X, назовем остовным деревом.

Рис. 1. Граф и одно из его остовных деревьев: а) граф G = (X, U), X = {жь ж2, ж3, ж4, ж5, жб}, U = {щ, и2, и3, щ, u5, иб}; б) дерево; в) цикл; г) остовное дерево, б), в), г) — подграфы графа G

А теперь перенесёмся в 1925 год. В новообразованной (в 1918 г.) стране Чехословакии требовалось построить электрическую сеть, связывающую 40 населённых пунктов, с наименьшими затратами на строительство (и эксплуатацию4). Алгоритм решения5 дал Отакар Борувка6 (1899-1995) в статье [4]

4 Затраты на эксплуатацию, включая устранение повреждений, иногда могут превышать затраты на строительство. Думается, решение В. В. Путина о переносе строительства нефтепровода подальше от Байкала обусловлено не столько любовью к природе, сколько трезвым расчетом, что прорыв нефтепровода вблизи Байкала и его очищение от загрязнений могут во много раз превысить затраты на строительство.

5 Алгоритм решения был показан в [4] на четырех картинках. К этому алгоритму мы вернёмся после рассмотрения алгоритма Прима-Ярника.

6 О. Борувка родился в маленьком городке Ухерске Остров в Моравии, в тогдашней Австро-Венгрии. Учился до 1916 г. в гимназии, а затем — в военной школе около Вены. После окончания 1-й Мировой войны вернулся в гимназию и сдал выпускные экзамены. С 1918 по 1922 г. учился в Техническом университете в Брно. Одновременно (с 1920 г.) становится ассистентом в открытом там же в 1920 г. государственном университете им. Т. Масарика. В 1923 г. Борувка защищает диссертацию под руководством одного из творцов топологии, на тот момент ещё экстраординарного профессора, Эдуарда Чеха (Eduard Cech, 1893-1960). В 1926 г. Борувка публикует две работы [3, 4], решающие некоторую проблему оптимизации. К этой тематике он больше не возвращается. Поездка в 1926-27 гг. в Париж, где он сотрудничает с Эли Картаном (ЕНе Joseph Cartan, 1869-1951), привела к смещению интересов Борувки в сторону дифференциальной геометрии и теории групп.

1926 года, а доказательство справедливости этого алгоритма приведено в работе [5] того же года. При этом Борувка «забывает» о графе G = (X, U), соответствующем электрической сети, и работает с некоторой n X п-матрицей (затрат) Fx, где п — число вершин графа G. Именно, для каждых двух вершин Хр, xq Ç X on вводит число rpq — стоимость затрат на строительство линии, их соединяющей. «Стоимостью» (в современной терминологии весом) подграфа Gi Борувка называет сумму стоимостей (весов) его веток. При этом предполагается

(1) гаа = 0 для любого a G {1,..., n};

(2) raß = rßa для любых a, ß G {1,..., n}.

Таким образом, матрица Fx симметричная с числом положительных элементов, не превосходящим п(п — 1), а следовательно, число ребер в графе G не превосходит п(п — 1)/2.

Кроме того, Борувка предположил, что

(3) Любые два разных не симметричных относительно главной диагонали элемента матрицы Fx, не лежащие на главной диагонали, не равны между собой.

Поскольку электрическая сеть, а значит, и граф, ей отвечающий, должны быть связными, то Борувка вводит критерий связности на языке последовательности стоимостей затрат:

(4) для любых pi,p2 Ç: {1? • • • ? ^} существует натуральное q и последовательность ci = pi, С2,..., cg_i, cq = р2 которым отвечает последовательность

( + ) rClC2 5 ГС2С3 5 • • • 5 rCq-l Cq ?

в которой гСкск+1 > 0 для всех к Ç {1,..., q - 1}.

И наоборот, если граф Бержа G таков, что для него верно (4), то этот граф связный.

В 1926 г. Отакар Борувка доказал следующее утверждение.

Пусть дана п х и-матрица F с неотрицательными элементами, удовлетворяющая условиям (1)-(4). Тогда существует подмножество Go, состоящее из (п — 1) элементов матрицы F, лежащих ниже главной диагонали, удовлетворяющее условию (4), такое, что для любого другого подмножества Gi из (п — 1) элементов матрицы F, лежащих ниже её главной диагонали и удовлетворяющих условию (4), сумма всех элементов из Go будет строго меньше суммы всех элементов из G\.

Отакар Борувка

Возвратившись в 1927 г. в Брно он через год защищает вторую диссертацию (хабилитацию) и, получив стипендию фонда Рокфеллера, проводит 1929-31 гг. во Франции и Германии. Итогом изучения теории групп, а особенно интенсивно группоидов, была его книжка на чешском языке «Введение в теорию групп», первое издание которой вышло только в 1944 г. и имело 80 страниц, а издание 1960 г. — уже 200 страниц. Эта книга была позже переведена на немецкий (1962) и английский (1976) языки. Что касается интереса к дифференциальной геометрии, то Борувка уже с 1934 г. стал заниматься дифференциальными преобразованиями 2-го порядка. Английское издание чешской версии его книги 1953 г. вышло в 1971 г. под названием «Linear differential transformations of the second order». В 1953 г. Отакар Борувка был избран членом-корреспондентом, в 1965 г. — действительным членом Чехословацкой Академии Наук [6].

Через 4 года, в 1930 г., в том же журнале и под тем же названием появилась работа [7] Войтека Ярника7 (1897-1970), в которой предлагался другой алгоритм (названный после 1957г. алгоритмом Прима), доказывающий утверждение Борувки. Именно, берем произвольную вершину исходного графа. Пусть это будет вершина х\х. Находим вершину, ближайшую к ней, т. е. вторую вершину ребра с минимальным весом, инцидентного вершине Х{г. Пусть это будет Х{2. Итак, выделяем ребро [a^15a^2], которое становится начальным «минимальным подграфом». Далее ищем вершину, ближайшую к ребру [жг15Жг2]. Пусть это будет Х{ъ, и пусть эта вершина ближайшая к х\х. Тогда в «минимальный подграф» добавляем ребро [х^3, х^]. И так далее, беря каждый раз новую вершину, ближайшую к уже построенному подграфу. В итоге получим остовное дерево, и можно доказать, что это дерево минимальное среди всех остовных деревьев. В силу условия (3) результат алгоритма не зависит от выбора начальной вершины. Разница с алгоритмом Прима лишь в том, что в алгоритме Прима мы выбираем вначале минимальное ребро.

Вернемся теперь к алгоритму Борувки. Заметим, что Борувка рассматривал полный граф, соответствовавший 40 населенным пунктам, т. е. любые две вершины графа соединялись веткой. На практике некоторые пункты нельзя было непосредственно соединить линией электропередачи. В этом случае соответствующая ветка считается условной: ей сопоставляется стоимость, равная +00. Алгоритм Борувки прекрасно работает и в этом случае. Формально алгоритм в [5] состоял из 26 шагов. Дадим его интерпретацию на языке теории графов. Если следовать алгоритму буквально, то на первом шаге выбирались «висячие вершины», т. е. вершины, инцидентные одному ребру, и вторые вершины этих ребер. Если висячих вершин не было, то, выбрав произвольную вершину, брали инцидентное ей ребро с минимальным весом. У второй вершины этого ребра также искали инцидентное ей ребро с минимальным весом. Теперь наш подграф имеет три вершины. Вне этого подграфа искали ребро с минимальным весом. Если только одна из вершин этого ребра принадлежала нашему подграфу, то «добавляли» это ребро к нашему подграфу.

Войтек Ярник

7 В. Ярник родился в Праге, учился в Каролинском университете, а по окончании учебы стал работать там же на должности ассистента. В 1923 г. он на один год едет в Гёттинген для совместной работы с Эдмундом Ландау (Edmund Landau, 1877-1938). Возвратившись на свою должность, он в 1927/28 учебном году вновь едет в Гёттингенский университет для работы с Э. Ландау. Вновь возвратившись в Прагу, Ярник становится руководителем кафедры математики Каролинского университета. На этой должности он проработал до выхода на пенсию в 1968 г. Две трети из 90 научных работ Ярника посвящены теории чисел, главным образом, гауссовской «проблеме окружности» и диофантовым уравнениям. В 1933-36 гг. Ярник интенсивно занимался математическим анализом, в основном производной Дини (Ulisse Dini, 1845-1918) и аппроксимативной производной непрерывных функций [8]. Наконец, в 1930 г. вышла единственная работа Ярника, относящаяся к оптимизационным алгоритмам, в которой фактически построен излагаемый ниже алгоритм.

Если же обе вершины этого ребра принадлежали нашему подграфу, то это ребро отбрасывали. Если обе вершины этого нового ребра были отличны от выбранных нами ранее, то около этого ребра строили новый подграф. Далее вновь искали ребро с минимальным весом. Если это ребро соединяло вновь построенные подграфы, то его оставляли. В итоге получали связный подграф с (п—1) ребром (т. е. остовное дерево) с минимальным весом.

Значительно позже было доказано [9], что алгоритм Борувки применим не только к графам Бержа с попарно разными весами, но и к другим конечным связным неориентированным графам. При этом время решения задачи для графа с числом вершин п и числом ребер V оценивалось как

(++) 0(n\ogV).

В 1956 г. Джозеф Краскал8 (Joseph Bernard Kruskal, Jr., 1928-2010) получил решение задачи, поставленной Борувкой, для случая конечного связного неориентированного графа с числом вершин п с помощью следующего алгоритма [10].

1. Выбираем произвольное ребро е\ с минимальным весом.

2. Выбираем последовательно ребра б2,..., en_i с минимальным весом среди оставшихся, но так, чтобы новое ребро вместе с выбранными ранее не образовывало цикла.

Выбранные ребра и образуют минимальное остовное дерево. Это дерево в общем случае может быть не единственным.

Для практического применения оказался более удобен алгоритм, предложенный в 1957 г. Робертом Примом9 (род. в 1921г.) [11].

Джозеф Краскал

8 Д. Краскал родился в Нью-Йорке в семье преуспевающего оптового торговца Джозефа Краскала Старшего. Учился в университетах Чикаго и Принстона. В 1954 г. защитил докторскую диссертацию под руководством Альберта Таккера (Albert William Tucker, 1905-1995) и Роджера Линдона (Roger Conant Lyndon, 1917-1988). Однако, как неоднократно говорил по этому поводу сам Краскал, диссертация не могла бы быть написана, если бы не две его короткие беседы с Полем Эрдешем (Paul Erdös, 1913-1996). Краскал известен не только своим оптимизационным алгоритмом (1956), но глубокими работами в статистике, компьютерных науках и в психометрии. Его старший брат Уильям Краскал (William Kruskal, 1919-2005) известен работами по непараметрическим методам исследования гипотез. Другой старший брат Мартин Краскал (Martin David Kruskal, 1925-2006) прославился изучением «сюрреальных» чисел, нашедших применение в вычислительных алгоритмах.

9 Роберт Прим родился в маленьком городке Свитвотер (Sweetwater) штата Техас. В 1941 г. он получил степень бакалавра по электроинженерии в Принстонском университете. В 1941-44 гг. он инженер в компании General Electric. В 1944-48 гг. работает инженером, а затем математиком в Лаборатории Военно-морского флота США. Весь 1949 г. он работает исследователем в Принстонском университете, и там же в том же году защищает докторскую диссертацию под руководством одного из создателей алгебраической топологии Соломона Лефшеца (Solomon Lefschets, 1884-1972), который родился в Москве [12]. Позже Прим переходит в BellLabs компании AT&T. Там он знакомится с Д. Краскалом. Решение задачи нахождения минимального остовного дерева, найденное Краскалом, было простым, но не удовлетворило Прима, так как при прокладке телефонных сетей «перескакивать» с

Алгоритм Прима начинается с выбора произвольной вершины связного конечного неориентированного графа без петель, ребра которого имеют ненулевой вес. Далее выбирается инцидентное выбранной вершине ребро с минимальным весом. Это ребро является началом построения минимального остовного дерева. Последующие шаги сводятся к присоединению к построенному на предыдущем шаге дерева нового ребра, один из концов которого принадлежит уже построенному дереву, а другой не принадлежит, и при этом новое ребро имеет минимальный вес среди всех ребер, не принадлежащих уже построенному дереву.

Алгоритм Прима был переоткрыт [13] в том же 1957 г. двумя компьютерными специалистами: Доберманом и Вейнбергером. В 1959 г. появилась публикация [14] Эдсгера Дейкстры (1930-2002), фактически в других терминах повторившего результат Р. Прима. (Заметим, что публикация Прима [11] была тогда малодоступна в Европе.)

Обратим внимание, что в промежуток между 1930 и 1956 гг., т. е. работами В. Ярника [7] и Д. Краскала [10], появились две работы, в которых ставилась задача, внешне похожая на задачу Борувки.

Первая работа [15] 1938 г. принадлежит Густаву Шоке (1915-2006). В ней ставилась задача построения фактически минимального остовного дерева с прямолинейными ребрами, вершинами которого были бы заданные населенные пункты на декартовой плоскости. Во второй работе [16] 1951 г. пяти вроцлавских математиков — Казимежа Флорека, Юзефа Лукашевича (Jözef Lukaszewicz10, род. в 1927г.), Хуго Штейнхауза (1887-1972), Юлиана Перкаля (1913-1965), Стефана Зубжицкого (1927-1968) — ставилась та же задача. При этом речь даже не шла о населенных пунктах, а просто о п точках на декартовой плоскости. Интересно, что при этом были явно сформулированы условия (1) и (2) на расстояния между точками. В обеих работах решения опирались на метрические и топологические свойства искомого дерева.

Алгоритм Борувки был, по-видимому, впервые запрограммирован в 1961 г. в неопубликованной работе [17] Жоржа Соллина, приготовленной для сообщения на семинаре К. Бержа. Версия этого сообщения увидела свет в сборнике [18], изданном в 1965 г. К. Бержем и А. Гуил-Хури. Подробная история задачи нахождения минимального остовного дерева приведена в 1985 г. в работе [19] Р. Л. Грахэма и П. Хелла, а уточнение оценок сложности (++) дано в 2000 г. в работе [20] Бернарда Чазелли.

Роберт Прим

места на место, что предполагал в общем случае алгоритм Краскала, было неудобно. В 1957г. Прим предлагает свой алгоритм [11]. Позже, в 1958-61 гг., Прим возглавит исследовательскую работу математиков в BellLab's а затем он станет вице-президентом Национальной Лаборатории Сандия — основного подрядчика по созданию систем безопасности министерства энергетики США.

10 Фамилия великого польского логика Яна Лукашевича (1878-1956) в латинице пишется иначе: Lukasiewicz.

ЛИТЕРАТУРА

1. Зыков А.А. Основы теории графов. — М.: Наука, 1987. 381с.

2. Свами М., Тхуласираман К. Графы, сети и алгоритмы. — М.: Мир, 1984. 454 с.

3. Одинец В. П., Шлензак В. А. Избранные главы теории графов. — М.-Ижевск: Изд-во регул, и хаотич. динамики, 2009. 504 с.

4. Borûvka О. Prïspèvek k reseniotâzky ekonomické stavby elektrovodnych siti / / Elektrotechnicky obzor. 1926. Roc. 15, eis. 10. P. 153-154 (in Chech).

5. Borûvka О. О jistém problem minimâlnim // Prâce Moravské Prirodovëdecké Spolecnosti. 1926. №3. P. 37-58 (in Chech and German).

6. Durnova H. Otakar Borûvka (1899-1995) and the Minimum Spanning Tree // Mathematik in Wandel (1 vyd. Hildesheim). — Berlin: Franzbecker, 1998. P. 264-274.

7. Jarnik V. О jistém problem minimâlnim // Prâce Moravské Prirodovëdecké Spolecnosti. 1930. №6. P. 57-63 (in Chech and German).

8. Novak В., Schwarz St. Vojtech Jarnik (22.12.1897-22.9.1970) // Acta Arithmetica. 1972. №20. P. 107-115.

9. FredmanM.L., Tarjan R. E. Fibonacci heaps and their uses to improve network optimization algorithms // Proc. 25th Symp. on Foundations of Comp. Sei. — IEEE Comp. Sei. Press, 1984. P. 338-346.

10. Kruskal J. B. On the shortest spanning tree of a graph and the traveling salesman problem // Proc. Amer. Math. Soc. 1956. V. 7. P. 48-50.

11. Prim R. C. Shortest connection networks and some generalizations // Bell Syst. Tech. J. 1957. №36. P. 1389-1401.

12. Griffits Ph., Spencer D., Whitehead G. Solomon Lefschetz 1884-1972. A Biographical Memoir. — Washington D. C: National Academy of Science, 1992. P. 268-313.

13. Loberman H., Weinberger A. Formal procedures for connecting terminals with minimum total wire length // Journal of the АСМ. 1957. №4 (40). P. 428-438.

14. Dijkstra E.W. A note on two problems in connection with graphs // Numerische Mathematik. 1959. №1. P. 269-271.

15. Choquet G. Etude de certainsréseaux de routes // Comptes-rendus de l'Académie des Sciences. 1938. №206. A. 310-312.

16. Florek K., Lukaszewicz J., Perkal J., Steinhaus H. and Zubrzycki S. Sur la liaison et la division des points d'un ensemble fini // Colloq. Math. 1951. №2. P. 282-285.

17. Sollin G. Problème de l'arbre minimum (unpublished manuscript prepared for С. Berge's Paris seminar, February 8, 1961).

18. Sollin G. Problèmes de recherché operationeile // Report C. 41, Meeting of Technical Directors, S.E.G. Paris, 1962 (In Chapter III, Le Trace des Canalizations (the design of pipelines). P. 15-23.

19. Graham R. L., Hell P. On the History of the Minimum Spanning Tree Problem // Ann. Hist. Comput. 1985. №7. P. 43-57.

20. Chazelle B. A minimum Spanning Tree Algorithm with Inverse-Ackermann Type Complexity // Journal of the АСМ. 2000. V. 47. №6. P. 1028-1047.

Поступила 24.05.2013

ON THE HISTORY OF TWO THE GRAPH THEORY FAMOUS OPTIMAL ALGORITHMS

W. P. Odyniec

The history of two the graph theory greedy algorithms (Kruskal's algorithm and the Prim algorithm), which have the important applications in economics and computer science, is presented. The short biography of the main persons, which are connected with this history, is given too.

Keywords: minimum spanning tree, time complexity, Kruskal's algorithm, Boruvka's algorithm, Prim- Jarnik algorithm.

ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ ПЕРСОНАЛИИ

УДК 512 + 929

Д. А. ГРАВЕ — ОСНОВОПОЛОЖНИК РОССИЙСКОЙ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ШКОЛЫ (к 150-летию со дня рождения)

В. А. Тестов

Вологодский государственный педагогический университет Россия, 160035, г. Вологда, ул. С. Орлова, 6; e-mail: vladafan@inbox.ru

Дается краткий анализ творческого пути Д. А. Граве, его вклада в развитие математического образования и, прежде всего, в создание российской алгебраической школы.

Ключевые слова: Д. А. Граве, 150-летие со дня рождения, теория групп, теория алгебраических чисел, теория Галуа.

Российские математики начиная с XIX столетия заняли одну из ведущих позиций в мировой науке. Они основали самостоятельные научные школы, проложившие в математике новые пути и в анализе, и в геометрии, и в теории вероятностей, и даже в теории чисел. И лишь вопросами алгебры российские математики начали заниматься значительно позже, чем другими областями. В силу этого обстоятельства в России до 1912-14 гг. не сложилось устойчивых алгебраических школ. Тем не менее, в конце XIX-го и начале ХХ-го столетий в нашей стране был выполнен ряд первоклассных алгебраических исследований, оставивших большой след в истории математики. В первую очередь надо здесь отметить замечательные работы Е. И. Золотарева (1847-1878), Е.С.Федорова (1853-1919) и Ф.Э. Молина (1861-1941). Все эти ученые получили прекрасное образование, несомненно, были талантливыми математиками, однако ни один из них не создал своей научной школы. И дело здесь не только в их личных качествах, но и в том, что алгебра как самостоятельный раздел математики оформилась позднее, после того, как в работах Дедекинда и Гильберта была создана теоретико-множественная основа для её развития. Весьма характерной в этом отношении является история теории групп. Понадобилась работа нескольких поколений математиков, занимавшихся и теорией решения алгебраических уравнений, и геометрией, и теорией чисел, занявшая в общей сложности около ста лет, прежде чем идея группы выкристаллизовалась с её сегодняшней ясностью. Лишь в самом конце XIX в. было осознано принципиальное единство теоретико-групповых идей, существовавших к тому времени независимо в разных областях математики. Это осознание и привело к выработке современного абстрактного понятия группы. Изучение групп без предположения о конечности и без каких бы то ни было предположений о природе элементов впервые оформилось в самостоятельную область математики с выходом в 1916 г. книги «Абстрактная теория групп», написанной О. Ю. Шмидтом — одним из учеников Д. А. Граве, основоположника первой российской алгебраической школы.

Дмитрий Александрович Граве родился 6 сентября 1863 г. в городе Кириллове Новгородской губернии (ныне Вологодской области) в дворянской семье. Отец его, Александр Иванович Граве, служил уездным чиновником (губернским секретарем). Воспоминания детства Дмитрия связаны со знаменитым Кирилло-Белозерским монастырём-крепостью. Первым учителем Д. А. Граве в начальной народной школе был В. А. Васильев. Он всячески поощрял пробудившийся у мальчика интерес к математике.

После смерти отца (1871 г.) семья Граве переехала в Петербург, где он окончил с золотой медалью частную гимназию известного педагога Бычкова.

В этой гимназии Граве получил прочные и широкие знания по математике. Уроки математики вели Н. И. Билибин и Ф. Ф. Бычков (автор задачника по алгебре). Кроме физико-математических наук Граве проявил способности в занятиях древними языками, а также увлекался музыкой, был скрипачом и пианистом, изучил теорию музыки.

В 1881 г. Д. А. Граве поступил на математическое отделение Петербургского университета. Его учителями в университете стали крупнейшие математики П. Л. Чебышев, А. Н. Коркин, А.А.Марков и др. Это были годы расцвета школы П. Л. Чебышева, которую характеризовали дух творческого соревнования, высокая требовательность к качеству работы, оригинальность и новизна идей, мастерство аналитических выкладок.

В университете Граве сблизился с А. Н. Коркиным, который происходил из крестьян Вологодской губернии и, как вспоминал Граве, сохранил характерный вологодский говор. Коркин жил на одной из отдаленных линий Васильевского острова в маленькой квартире, обставленной старинной мебелью. Еженедельно по вечерам у него собирались гости. Здесь встречались профессора университета и молодежь — начинающие ученые, среди них был и Граве. Особенно увлекали слушателей беседы о математике. «Я должен признаться, — замечал Граве, — что обе мои диссертации вытекали из этих разговоров, хотя в докторской диссертации играли большую роль Чебышев и Марков».

А. Н. Коркин был одним из любимых учеников Чебышева, но позже дружба их перешла, как считал Граве, в скрытую вражду. При выдвижении кандидатур в члены Академии наук Чебышев систематически обходил Коркина. Так, когда академик А. А. Марков предложил кандидатуру Коркина, Чебышев сделал всё, чтобы вакансию занял профессор Варшавского университета Н. Я. Сонин. Возникшая неприязнь Сонина к Коркину затем перешла отчасти и на Д. А. Граве.

Д. А. Граве

С самого начала занятий в университете Граве попал в благоприятные творческие условия. Поэтому не удивительно, что он увлекся научной работой ещё будучи студентом. Граве состоял в студенческом научном обществе, был инициатором издания журнала «Записки физико-математического общества студентов С.-Петербургского университета». Это общество было организовано по инициативе студентов, Граве был его председателем и напечатал свои первые статьи в упомянутом журнале.

По окончании университета (1885 г.) Д. А. Граве был оставлен в нем для подготовки к профессорскому званию, но без назначения стипендии. Чтобы содержать мать и сестер, Граве вынужден был давать уроки и искать случайные заработки. Вскоре он стал преподавать в Институте путей сообщения, а с 1893 г. — в Военно-топографическом училище. В 1889 г. он защитил диссертацию «О частных дифференциальных уравнениях первого порядка» на степень магистра чистой математики и с осени того же года начал чтение лекций в Санкт-Петербургском университете. В 1890 г. он был приглашен преподавать высшую математику в Институте инженеров путей сообщения, а с осени 1892 г. — также и на Высших женских курсах. В 1896 г. Граве защитил докторскую диссертацию «Об основных задачах математической теории построения географических карт». Эта диссертация обратила на себя внимание многих ученых, способствовала завязыванию его дружбы с Ш. Эрмитом (Париж) и К.Шварцем (Берлин).

После защиты докторской диссертации Граве продолжал свою педагогическую деятельность в Петербурге еще около трёх лет. Н. Г. Чеботарев писал, что у Граве об этом периоде жизни сохранились яркие воспоминания, которыми он делился со своими учениками. Особенно любил он вспоминать о работе в Институте инженеров путей сообщения, где сотрудником его был рано умерший талантливый математик В.А.Марков (брат академика).

Однако в конце 90-х годов Д. А. Граве вынужден был уехать из Петербурга по двум причинам. Во-первых, в Петербурге он не мог получить должность, соответствующую его новому ученому званию. Кроме того, в эти годы ухудшилось его здоровье — у него был суставный ревматизм в тяжелой форме и предрасположение к туберкулезу легких. Врачи советовали Граве переехать на юг. Весной 1899 г. Д. А. Граве прибыл в Харьков и стал лечиться грязями на курорте в Славянске. С 1 июля 1899 г. он получил место ординарного профессора кафедры чистой математики Харьковского университета - во многом благодаря благосклонному участию А. М. Ляпунова. В Харькове Граве подружился также с В. А. Стекловым и в последующие годы вёл с ним довольно регулярную переписку. Граве был официальным оппонентом на защите докторской диссертации Стеклова. Однако ректор Харьковского университета препятствовал нововведениям Д. А. Граве в преподавании математики, поэтому Граве начал подумывать о другом месте работы.

В 1901 г. на кафедре чистой математики в Университете св. Владимира в Киеве образовались вакансии на профессорские должности. На одну из них был приглашен Граве. Он переехал в Киев в апреле 1901 г., но продолжал каждую неделю ездить в Харьков. В Киевском университете он начал работать с января 1902 г. после избрания на кафедру чистой математики, которую возглавлял на протяжении нескольких десятилетий.

Вскоре после переезда в Киев Д. А. Граве потерял близких ему людей: в 1902 г. умерла его мать, немного позже — жена, оставив на его попечение троих детей. Но на этом несчастья не закончились: Граве простудился и заболел плевритом, перешедшим в острую форму туберкулеза. С осени 1906 г. он около года лечился за границей: некоторое время в санатории в Австрии, затем на Ривьере во Франции и в Монте-Карло. За это время он поправил свое здоровье. В Вене он познакомился с дочерью немецкого крестьянина из Моравии Марией Рихтер, ставшей его второй женой.

В научной деятельности в начале XX в. у Граве был некоторый застой, он почти не писал статей. Причиной были не только его несчастья и пошатнувшееся здоровье. По мнению Н. Г. Чеботарева это было вызвано тем, что математические вкусы и установки Граве в начале XX в. изменились и он отошел от тематики Петербургского периода. Находясь на лечении за границей, Граве увлекся современными направлениями в алгебре и теории чисел. Вернувшись на работу в Киевский университет, он стал передавать это увлечение своим многочисленным ученикам.

Новый период подъема творческой деятельности Д. А. Граве начинается примерно с 1907-1908 гг. Его собственные научные работы этого периода большей частью носили характер упрощений, часто весьма изящных, ранее доказанных результатов. Этот факт легко понять, принимая во внимание, что Граве отдавал всю свою энергию и весь свой энтузиазм на создание научной алгебраической школы. Из этих работ упомянем упрощение основ теории Галуа и упрощение изложения основ теории идеалов при помощи функционалов (по Веберу).

В этот же период Д. А. Граве написал целый ряд книг на основе разработанных им курсов. Так, в 1908 г. выходит его книга «Теория групп». Как свидетельствует А. К. Сушкевич, это была первая монография на русском языке, посвящённая специально теории групп. Автор книги ограничил свою задачу теорией конечных групп как наиболее важной для алгебраического анализа. Граве первым в России ввел теорию групп в круг дисциплин, преподающихся в университетах.

В этом же 1908 г. по предложению Д. А. Граве теория чисел была переведена из дополнительного курса в обязательный. По его мнению, теория чисел составляет естественный фундамент для всей математики. Граве писал, что педагогическое значение теории чисел громадно, что всякий, хотя бы поверхностно знакомый с этой теорией, знает, что главную привлекательность эта теория имеет по характеру, строгости и логической последовательности доказательств и приемов изучения. Соответствующая его книга «Элементарный курс теории чисел» появилась в 1909 г. В 1913 г. было выпущено второе издание, полностью переработанное и значительно дополненное. По существу это была новая книга. В ней Граве ввёл в круг элементарного курса теории чисел такие проблемы, которые обычно считались принадлежащими к его «высшим частям»: основы теории групп, алгебраических чисел, матриц, арифметических функций. Трудно представить себе столь богатый и разнообразный материал, сконцентрированный в сравнительно небольшой книжке. Здесь читатель мог довольно обстоятельно познакомиться и с аналитической

геометрией, и с дифференциальным и интегральным исчислением, и с теорией чисел; получить понятие о теории вероятностей и об устройстве и математических принципах рулетки в Монте-Карло и т.д. Этот курс включал ряд новых результатов, в частности, в книгу вошли теоремы, доказанные учениками Граве — студентами О. Ю. Шмидтом и Е. И. Жилинским. Изложение книги оживлено многими историческими ссылками и комментариями автора.

Наконец, в 1914 г. Д. А. Граве издал свои фундаментальные «Элементы высшей алгебры». О причинах, побудивших его предпринять этот капитальный труд, Граве писал В. А. Стеклову: «... я сообщу Вам о том, что я в настоящее время делаю. Я занят печатанием моего университетского курса высшей алгебры. Многие упрекают меня, что я теряю время с изданием курсов, мои же собственные исследования не двигаются вперед. В ответ на эти упреки я должен по поводу моей новой книги сказать следующее. Я ждал с нетерпением выхода в свет малого издания алгебры Вебера, думая в этой книге встретить то, что мне надо при элементарном преподавании алгебры. Книга Вебера меня совершенно разочаровала. Начать с его сокращений: они настолько неудачны, что в одном месте оказалась грубейшая ошибка. ... Решив выпустить собственную алгебру, я буду хвастаться изложением теории Галуа».

В сущности, «Элементы» Граве представляют собой не только превосходное руководство, но и ценный научный труд. Монография была полезным пособием для начинающих алгебраистов и не утратила ценности до настоящего времени. Исторические ссылки и замечания, обращения к читателю оживляли изложение. Точность формулировок и простота изложения помогали усвоить материал.

Помимо руководств по алгебре для университетов, Граве в 1915 г. выпустил «Начала алгебры» для гимназий и других средних учебных заведений. План этой книги, как сообщает автор в предисловии, был задуман совместно с В. А. Марковым за 20 лет до её издания, когда Граве преподавал в Институте путей сообщения. Обсуждая вопрос издания учебника, Марков и Граве пришли к выводу, что состояние науки дает возможность изложить элементарную алгебру строго логически, просто и доступно для понимания среднего ученика. Особенное внимание предполагалось обратить на упорядочение изложения иррациональных чисел и пределов. В результате был написан первый (и тогда единственный) русский учебник алгебры для средней школы, учитывающий достижения науки того времени. В дополнение к этому учебнику Граве выпустил брошюру с методическими указаниями, которая рассылалась преподавателям математики бесплатно.

Эти книги пользовались большой популярностью среди учащейся молодежи, так как они отличались свежестью и новизной материала, живым и легким изложением, и, что самое главное, Граве сумел вложить в них свой энтузиазм. Можно без особого преувеличения сказать, что книги Д. А. Граве воспитали и привили вкус к математике большинству советских математиков того времени.

Но главное значение этого периода деятельности Граве состоит в создании математической школы. Создание крупной математической школы в дореволюционное время, притом в провинции (Киев в то время был всего лишь

губернским городом), является исключительным, почти единичным фактом в истории русской математики, и было бы весьма ценно, как писал Н. Г. Чеботарев, детально вскрыть причины, благоприятствовавшие её возникновению.

Дмитрий Александрович Граве был потрясающим лектором и одаренным педагогом. Ему удавалось необыкновенно просто и ясно объяснять сложные вопросы математики, привлекая тем самым на свои лекции большое количество студентов и развивая у слушателей пытливость ума и увлеченность математическими науками. Основное отличие отношения Граве к процессу формирования научного работника от отношения большинства других профессоров состояло в том, что он приучал молодежь к самостоятельной исследовательской работе с самого начала, не заботясь об эрудиции ученика, которая приходила впоследствии сама собой. В связи с этим он относился враждебно к существованию магистерских экзаменов, которые, по его мнению, отвлекали молодых ученых от исследовательской деятельности, и всегда советовал своим ученикам не уделять им слишком много времени.

В выборе темы Д. А. Граве проявлял большую смелость, давая ученикам большие отделы алгебры, в которых они сами должны были искать нерешенные задачи. При этом он всегда рекомендовал сразу брать для разрешения трудные вопросы, и это большей частью приводило к прекрасным результатам.

Исключительно велико также количество студентов, которых Д. А. Граве ежегодно оставлял при университете, справедливо считая, что отбор научных работников должен производиться не в процессе учебы, а в процессе творческой работы. При этом ему часто приходилось выдерживать упорную борьбу, отстаивая своих учеников, которые не всегда удовлетворяли формальным требованиям, необходимым для оставления их при университете. Нередко он выслушивал от своих коллег упреки, что он «набирает себе учеников с улицы». Время сыграло в его пользу, доказав, что из этих «подобранных с улицы» учеников могут вырасти первоклассные ученые.

Наконец, в становлении научной школы решающую роль сыграл созданный Граве семинар, на котором он сумел организовать научную работу со студентами. Студенты принимали участие в семинаре уже с первых курсов университета. После изучения учебной литературы они занимались реферированием статей по специальности. Киевский семинар Граве начал свою работу с 1904 г. Заседания семинара проводились, как правило, во внеаудиторное время в математическом кабинете. В 1904-1905 гг., когда университет был закрыт, Граве проводил заседания семинара у себя дома. В 1907 г. по возвращении Граве из-за границы семинар также некоторое время собирался у него дома.

Кроме того, в университете проходили занятия и так называемого подготовительного семинара, или просеминара, где рассматривались более элементарные вопросы. Семинары Граве активно работали и в 1908-1914 гг. В эти годы особое внимание уделялось теории групп. Киевская математическая школа получила всеобщее признание, а семинар её руководителя профессора Граве стал известен европейской математической общественности.

В 1915 г. Университет св. Владимира в связи с войной был эвакуирован из Киева в Саратов. Осенью 1916 г. университет вернулся в Киев, но в 1918 г. был закрыт и вновь открылся лишь 29 марта 1919г., а с 23 апреля 1919 г. он стал официально называться Киевским университетом. Киев оказался в центре жестоких событий гражданской войны. Одна власть сменяла другую непрерывно. Политическая карусель в Киеве, сопровождавшаяся террором, продолжалась несколько лет. Б.Н.Делоне вспоминал, как в Киеве во время гражданской войны его сажали в одну и ту же тюрьму и в чуть ли не в одну и ту же камеру при каждой новой смене власти, а при большевиках уже было повели из этой камеры на расстрел, но, к счастью, начальником расстрельной команды оказался его бывший студент или что-то в этом роде. Но и в эти трудные годы семинар Граве продолжал работу.

В 1920 г. Киевский университет был расформирован и на его базе был создан Высший институт народного образования имени М. П. Драгоманова (с 1926 г. — Киевский институт народного образования), а также институты социального образования, профессионального образования и физико-химико-математический.

В 20-е и в начале 30-х годов тематика научных интересов Граве значительно изменилась. Преобладающее место в его исследованиях заняли механика и различные прикладные вопросы математики. Это было обусловлено желанием более активно содействовать развитию народного хозяйства. С 1934 по 1939 г. он был первым директором вновь созданного Института математики АН УССР. В этот период он написал несколько работ по технической и по небесной механике, в которых дал качественное объяснение неравенств движения перигелиев планет, по магнитным возмущениям, по коррозии металлов и т. д. Поразительны разносторонняя образованность Д. А. Граве в областях, смежных с математикой, и свежесть мысли, которая всегда характеризует его работы.

В последние годы жизни Д. А. Граве часто возвращался к темам, которые занимали его в ранний период увлечения теорией чисел и алгеброй — к ним относятся, например, его работы по основаниям теории Галуа и теории идеалов. С этими последними годами связан также «Трактат по алгебраическому анализу», два тома которого вышли при жизни Д. А. Граве, а работу над третьим томом прервала смерть. Алгебраический анализ Граве понимает в широком смысле — как классическую математику, проходящую мощным потоком через всю историю науки от древних времен до наших дней. Первый том трактата посвящен началам этой науки. Это сочинение ценно тем, что с помощью элементарных средств вводит читателя в круг современных идей алгебры и в то же время содержит много важного, но полузабытого материала, который не найти в других руководствах. Во втором томе изложены главные открытия в алгебре за предшествующие 300 лет. Кульминационный пункт книги составляет глава VIII, в которой изложены общая теория алгебраических чисел и вводятся в рассмотрение идеальные числа Куммера. Как всегда, автор стремился излагать самые трудные вопросы по возможности просто.

Д. А. Граве прожил 76 лет, до конца жизни не переставая работать на пользу математической науки и математического образования. Он был академиком АН Украины с самого её основания (1920 г.), членом-корреспондентом АН СССР (1924 г.), почетным академиком АН СССР (1929 г.).

Большинство учеников Граве стали самостоятельными учеными, разъехались по другим городам и странам и обзавелись собственными учениками.

К старшему поколению учеников Граве относятся К. Ф. Абрамович, В. П. Вельмин, Е. И. Жилинский. Среднее поколение Киевской школы, выросшее из семинаров Граве 1910-1912 гг., дало целую плеяду блестящих математиков — см. построенное автором «Дерево Граве». Среди них П. Д. Белоновский, М. Ф. Кравчук, А. М. Островский, но самыми выдающимися, самыми знаменитыми являются три «глыбы»: Б.Н.Делоне, О.Ю.Шмидт и Н. Г. Чеботарев, которые стали основателями алгебраических школ в Ленинграде, Москве и Казани1.

При работе над статьёй автор использовал информацию из [1-4].

ЛИТЕРАТУРА

1. Граве Д. А. Моя жизнь и научная деятельность (рукоп.). Библ. Ин-та матем. АН УССР, 1, Г-75, 40 с.

2. Добровольский В. А. Дмитрий Александрович Граве (1863-1939). — М.: Наука, 1968. 112с.

3. Мальцев А. И. К истории алгебры в СССР за первые 25 лет. В кн.: Избранные труды. Т. 1. — М.: Наука, 1976. С. 472-482.

4. Чеботарев Н. Г. Академик Дмитрий Александрович Граве (1863-1939). В кн.: Сборник памяти акад. Д. А. Граве. — М.-Л.: Госиздат, 1940.

Поступила 3.05.2013

1 К сожалению, для описания жизни и деятельности учеников Граве в этой статье нет места, однако о многих из них имеется обширная литература. Ограничимся здесь не слишком известным рассказом об А. М. Островском.

Пятнадцатилетнего ученика частного коммерческого училища Островского привел к Граве его учитель математики Чирьев. Чтобы проверить способности Островского, Граве дал ему несколько теорем без доказательства из самой трудной части абстрактной теории чисел. Через два дня Островский пришел со своими доказательствами. После этого Граве принял его в свой семинар, где Островский выступал почти на всех заседаниях. В России A.M. Островский не смог продолжить образование, и по рекомендации Граве он стал работать в Марбургском университете, а затем некоторое время работал в Гамбурге и Геттингене ассистентом и приват-доцентом. С 1927 г. он профессор Базельского университета, где его талант был высоко оценен. Вот что писала газета «Базельские новости» по поводу 80-летнего юбилея Островского: «Наша высшая школа в XVIII в. потеряла, отдав России, знаменитого математика Леонарда Эйлера, потому что в Базеле судьба оказалась против него; но университету выпал удачный случай приобрести происходящего из России А. М. Островского».

D. A. GRAVE — FOUNDER OF RUSSIAN ALGEBRA'S SCHOOL (to the 150 anniversary of D. A. Grave's birth)

V.A. Testov

The brief analysis of the creative career of D. A. Grave, his contribution to the development of mathematics education and, above all, in the creation of the Russian algebra's school is given.

Keywords: D. A. Grave, the 150 anniversary of the birth, group theory, algebraic number theory, Galois' theory.

ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ ПЕРСОНАЛИИ

УДК 929

ПРОГУЛКИ С ГЕЛЬФАНДОМ (к 100-летию со дня рождения И. М. Гельфанда)*

В. М. Тихомиров

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова Россия, 119899, г.Москва, Ленинские горы, 1; тел.: (495)9395632; e-mail: vmtikh@googlemail.com

Описывается взгляд автора на роль И. М. Гельфанда в мировой математике и воспоминания автора о встречах с И. М. Гельфандом.

Ключевые слова: И. М. Гельфанд

Жанр «прогулок» уже имеет два прецедента. Правда, в обоих случаях прогулки совершались с Пушкиным. В первый раз прогуливался с Пушкиным Андрей Донатович Синявский. Спустя некоторое время очерк с тем же названием — «Прогулки с Пушкиным» — был написан Михаилом Львовичем Левиным, замечательным физиком и человеком очень разнообразных дарований. Собственно говоря, прогуливался Михаил Львович не с Пушкиным, а с Андреем Дмитриевичем Сахаровым, своим другом и сокурсником, но на протяжении всех этих прогулок над ними «сам третей» витал образ поэта, и потому заглавие очерка М. Л. Левина звучит так неожиданно и изысканно.

Я решил выступить с продолжением жанра «прогулок». Впрочем, мне довелось прогуливаться с Гельфандом лишь однажды, но я решил рассказать и о других моих блужданиях по своим жизненным тропам, когда надо мною витал образ Израиля Моисеевича Гельфанда.

Но сначала несколько слов о жизни и творчестве И. М. Гельфанда.

Давайте мысленно проследим за событиями, произошедшими в математике в прошлом, двадцатом, веке, и попробуем назвать математиков, оказавших наибольшее влияние на развитие нашей науки. Эта проблема не имеет однозначного решения. У каждого из нас может быть собственное мнение об эволюции математики и о влиянии на её развитие отдельных учёных. Разные люди назовут разные имена. Но число названных учёных будет не слишком велико: круг тех, кто может претендовать на титул крупнейшего математика своего времени, достаточно узок.

Двадцатый век принес величайшие достижения в науке. И в математике тоже. Ж. Адамар, С. Бернштейн, Л. Брауэр, А. Вейль, Г. Вейль, Н. Винер, И. Виноградов, К. Гедель, Д. Гильберт, К. Зигель, К. Нто, А. Картан, Э. Картан, А. Колмогоров, А. Лебег, Ж. Лере, Д. фон Нейман, И. Петровский,

* Эта статья была написана к 95-летию И. М. Гельфанда и опубликована в сетевом журнале «Семь искусств» №11(12) за 2010 год (см. http://7iskusstv.com/2010/Nomerll/ Tikhomirovl.php). С любезного разрешения автора и редакции журнала «Семь искусств» мы публикуем её с незначительными изменениями.

Л. Понтрягин, X. Уитни, Ш. Черн... Я назвал здесь лишь математиков поколения моих учителей, родившихся в девятнадцатом веке и в первые десятилетия двадцатого века, и хорошо осознаю, что этот список неполон. Но взглянув на него, как не воскликнуть: какие имена! Какие блистательные звёзды! И вне какого бы то ни было сомнения в этот список ярчайших звёзд надо включить и И. М. Гельфанда.

Жизнь и творчество И. М. Гельфанда во многих отношениях беспрецедентны. Все великие математики из приведённого мною списка закончили школы, затем учились в престижных колледжах и университетах, у подавляющего большинства из них детство и юность были вполне благополучными — обеспеченные родители, интеллектуальный круг общения, домашняя библиотека. .. Жизнь Гельфанда начиналась по-иному.

Израиль Моисеевич Гельфанд родился 20 августа (2 сентября по новому стилю) 1913 года в небольшом посёлке Красные Окны (ныне в Одесской области в Украине). В одном интервью о своём детстве он рассказывал так:

«Я родился в маленьком городке, в котором была лишь одна школа. Мой учитель математики был очень добрым человеком (его фамилия была Титоренко). Я никогда не встречал лучшего учителя, хотя я знал больше, чем он, и он осознавал это».

Окончить школу Гельфанду не довелось. В своем интервью Гельфанд поведал о трёх «счастливых» обстоятельствах своей жизни. Первое из них состояло в том, что ему не пришлось получить ни среднего, ни высшего образования. Второе — что он приехал в Москву шестнадцати с половиной лет. «Это случилось, — пишет Израиль Моисеевич, — в результате некоторых трудностей, возникших в моей семье». Какое-то время в Москве Гельфанд был безработным, какое-то время он работал контролёром у входа в Ленинскую библиотеку (что давало ему возможность этой библиотекой пользоваться). Тогда же он начал преподавать математику, сначала в школе, потом на различных курсах и в вечерних институтах. Он начал посещать лекции и семинары в МГУ. Сам он потом говорил, что первой математической школой в его жизни был семинар М. А. Лаврентьева по комплексному анализу.

А в чём же состояло третье «счастливое» обстоятельство в жизни Израиля Моисеевича? Вот что он рассказал: «Мои родители не имели возможности покупать мне математические книги — у них не было средств для этого. Но мне снова повезло. Когда мне было 15 лет, родители повезли меня в Одессу

Израиль Моисеевич Гельфанд (1913-2009)

делать операцию аппендицита. Я сказал, что не пойду в госпиталь, если они мне не купят книгу по математике».

И книга была куплена. Это был очень ординарный учебник по анализу. Но он радикально изменил представление пятнадцатилетнего юноши о математике. Перед тем он думал, что существуют две различные математики: алгебра и геометрия. А когда он увидел формулу Маклорена, осознал, что между этими науками нет пропасти: «Математика предстала передо мной в своём единстве. И с той поры я понял, что разные области математики вместе с математической физикой образуют единое целое».

Без учителей, вдали от родного дома, без средств, без всякой поддержки в возрасте девятнадцати лет он вошёл в математику настолько, что сумел поступить (в 1932 году) в аспирантуру Московского университета. Его руководителем стал Андрей Николаевич Колмогоров, который направил юношу на занятия функциональным анализом.

Этот раздел анализа только что родился — это произошло в 1931 году, когда на польском языке вышла книга Стефана Банаха «Теория линейных операций». В 1935 году Гельфанд защитил кандидатскую диссертацию, содержавшую результаты, которые рассматриваются ныне как классика функционального анализа. С той поры началась его блистательная творческая жизнь.

Примечательной особенностью его биографии является то, что он почти никогда не работал в одиночестве, а всегда со своими студентами, сотрудниками и коллегами. Вот далеко не полный список его соавторов (с примерным сохранением временного порядка): Д. А. Райков, Г. Е. Шилов, М. А. Наймарк, А. М. Яглом, С.В.Фомин, Б.М.Левитан, З.Я.Шапиро (они завершили своё образование до Второй мировой войны), М. И. Граев, М. Л. Цетлин, В. Б. Лидский, Л. А. Дикий, О. В. Локуциевский учились в военные и первые послевоенные годы, Ф. А. Березин, И. И. Пятецкий-Шапиро, Р. А. Минлос, А. Г. Костюченко, Н.Н. Ченцов, A.M. Вершик, А.А.Кириллов, Ю. И. Манин, С. Г. Гиндикин, Д. Б. Фукс были студентами в пятидесятые годы, И. Н. Бернштейн, Д. А. Каждан, А. М. Габриэлов — в шестидесятые, В. А. Васильев, А. Н. Варченко, А. Б. Гончаров, И. Я. Дорфман, А. В. Зелевинский, М. М. Капранов, В.С. Ретах, В. В. Серганова, Б. Л. Фейгин — в семидесятые годы. Всех их я отношу к лидерам своих поколений.

Что я вкладываю в это понятие? Если спросить выпускника мехмата МГУ: «Кто учился на твоём курсе?» будет названо несколько имён, но, как правило, всегда имеется некое «инвариантное ядро». Вот тех, кто входит в это ядро, — а в приведённом выше списке соавторов Гельфанда это практически все — я и отношу к числу лидеров своего поколения. Нужно добавить ещё, что в последние годы у Израиля Моисеевича появилось множество замечательных соавторов из других стран.

Глядя на фамилии соавторов, попробуем выделить творческие периоды Гельфанда.

Первый период (я упоминал о нём) не представлен в списке — работы в области классического функционального анализа были написаны без соавторов. В одной из первых работ была опубликована знаменитая «лемма Гельфанда»,

согласно которой выпуклое замкнутое центрально-симметричное и поглощающее множество банахова пространства содержит шар этого пространства.

Первым соавтором Гельфанда был не кто иной, как Андрей Николаевич Колмогоров. По сути дела это была первая работа по нормированным кольцам (или по-нынешнему — банаховым алгебрам). Этот цикл завершился монографией трёх авторов (Гельфанда, Райкова и Шилова) под названием «Нормированные кольца», которая совершила переворот во всём функциональном анализе.

В военные годы Израиль Моисеевич обратился к теории представлений. Это направление занимает одно из основных мест во всей научной биографии Гельфанда.

В пятидесятые годы сфера деятельности Израиля Моисеевича резко расширяется. Это и обобщённые функции, и обратные задачи, и численные методы, и математическая физика, и случайные процессы... В эти годы начинается работа над монографической серией «Обобщённые функции» — она сыграла выдающуюся роль в развитии математики двадцатого столетия. Далее шла интегральная геометрия, бесконечномерные алгебры Ли, интегрируемые системы. Затем — комбинаторика, теория гипергеометрических функций, некоммутативная математика. И всё это в одной лишь математике.

Начиная с шестидесятых годов Гельфанд концентрирует большие усилия также на проблемах биологии (математическая диагностика, динамика движения, биология клетки). Я слышал, что Гельфанда как-то спросил один из биологов: «Не имеете ли Вы какого-либо отношения к известному математику Гельфанду?»

Но вернёмся к математике. Перечислим все секции Конгрессов математиков: 1. Математическая логика и основания математики; 2. Теория чисел; 3. Геометрия; 4. Топология; 5. Алгебра; 6. Комплексный анализ; 7. Группы Ли и теория представлений; 8. Вещественный и функциональный анализ; 9. Теория вероятностей и математическая статистика; 10. Дифференциальные уравнения и динамические системы; 11. Математическая физика; 12. Численные методы и теория вычислений; 13. Дискретная математика и комбинаторика; 14. Математические аспекты информатики; 15. Приложения математики к нефизическим наукам; 16. История математики; 17. Математическое образование.

Нелегко назвать ту из отраслей математики, представленных в этом списке (за исключением, пожалуй, математической логики), в которые Гельфанд не внёс бы фундаментального вклада. При этом он является всемирно признанным лидером в функциональном анализе, теории групп Ли и теории представлений. Невозможно не отметить его вклад в алгебру, геометрию, топологию, алгебраическую геометрию, теорию дифференциальных уравнений, математическую физику, численный анализ, приложения к нефизическим наукам. Такая широта почти не имеет примеров в нашей науке.

Так вот, вторая необычайность творчества Гельфанда — его поразительная разносторонность, соединённая с тем (об этом уже говорилось), что он сотрудничал (занимая позицию лидера) с представителями многих поколений. Возрастной диапазон соавторов Гельфанда вообще умопомрачителен:

дистанция между годами рождения старшего и младшего из соавторов Гельфанда почти восемьдесят лет!

Как правило, творческий потенциал учёного подходит к концу, когда ему исполняется 60 лет, а интенсивная творческая деятельность длится два, три, редко четыре десятилетия. Несравненная особенность гельфандовской жизни в науке — это её продолжительность: его научное творчество на уровне высших достижений длилось более семидесяти лет.

А. Г. Кушниренко рассказывал мне, что однажды, незадолго до смерти, Гельфанда посетил Андре Вейль. Он сокрушенно сказал, что завидует своему собеседнику: тот ещё занимается математикой, а он сам уже не в силах творить. Гельфанд немедленно откликнулся: «О, это очень просто. Я сейчас объясню, как это делать».

Помимо научного творчества Израиль Моисеевич имеет огромные заслуги в области математического просвещения.

Гельфанд был среди основателей школьных математических кружков при Московском университете. В середине тридцатых годов на мехмате МГУ было принято решение уделять больше внимание школьному математическому образованию. Тогда факультетские профессора стали читать лекции для школьников, и был организован семинар для школьников. Его руководителем стал Гельфанд. Ему в ту пору был 21 год. Об этом семинаре с благодарностью вспоминали многие. В разговорах со мной об этом рассказывали Николай Михайлович Коробов, Никита Николаевич Моисеев, Анатолий Дмитриевич Мышкис и Борис Владимирович Шабат. Занятия в этом семинаре Гельфанда повлияли на выбор жизненного пути каждого из них. Особенно важную роль Гельфанд сыграл в жизни Н. Н. Моисеева, о чем можно прочитать в его биографической книге.

Гельфанд был среди организаторов и первых московских математических олимпиад начиная, судя по всему, с самой первой. Вот некоторое подтверждение этого.

Мы жили когда-то рядом с гельфандовским семейством, и нередко мне доводилось встречаться с Израилем Моисеевичем на улице. В начале семидесятых годов, гуляя с маленькой дочкой, я встретил Гельфанда. Он познакомился с моей дочкой, спросил, как её зовут, и тут же дал ей задание: нарисовать двухцветные флажки — одна горизонтальная полоска одного цвета, другая другого — шестью карандашами различных цветов. Дочка выполнила задание и запомнила, сколько у неё получилось флажков. Через какое-то время мы снова повстречали Гельфанда. Он спросил, выполнила ли она его задание. Она сказала, что выполнила, и назвала число флажков. Гельфанд похвалил девочку и дал ей второе задание: сколько разных раскрашенных в различные шесть цветов кубиков можно получить? Эта задача давалась на первой Московской математической олимпиаде. В ней участвовало свыше двухсот школьников, заканчивающих школьное обучение, среди которых были и четверо названных мною выше участников школьного кружка Гельфанда. Ни один из олимпиадников эту задачу не решил. Не решила её, разумеется, и моя дочка. Но мне представляется правдоподобным, что эта задача была предложена самим Гельфандом, иначе почему бы он её вспомнил.

Сразу по окончании Великой Отечественной войны был образован знаменитый «семинар Гельфанда», один из самых плодотворных научных семинаров в истории науки. Математики чуть более старшего, чем моё, поколения с восторгом и восхищением рассказывали о Гельфанде-лекторе (многие называли его лучшим среди всех, кого им доводилось слушать). Он основал Заочную математическую школу.

И ещё об одном нельзя забывать и нельзя не сказать: Израиль Моисеевич очень много делал для людей. В частности, я знаю человека, который обязан ему своей жизнью. Но это — отдельная тема.

В 2003 году с 31 августа по 4 сентября в США состоялась конференция «The Unity of Mathematics», приуроченная к девяностолетию И. М. Гельфанда. Следующую далее информацию об этой конференции я оставляю без комментариев.

На конференции выступили с докладами Д. Каждан, F. Дийкграаф, А. Бейлинсон, В. Дринфельд, Г. Люстиг, М. Атья, К. Вафа, А. Конн, А. Шварц, Т. Сейберг, С.-Т. Яо, Д. МакДафф, Н. Некрасов, Л. Фаддеев, М. Хопкинс, М. Концевич, С.Новиков, И.Зингер, П. Сарнак, Б.Костант, Д. Гайцгори, А. Вершик, И. Бернштейн. На этой конференции 2 сентября, в день своего девяностолетия, выступил с докладом и сам юбиляр. Его доклад назывался «Mathematics as an adequate language». Вот план этого доклада:

0. Introduction. 1. Noncommutative Multiplication. 2. Addition and Multiplication. 3. Geometry. 4. Fourier Transform, Analitic Functionals, and Hypergeometric Functions. 5. Applied Mathematics, Blow-up and PDE's.

Таким образом, в докладе отражены суперсовременные алгебра, теория чисел, геометрия, анализ и прикладная математика.

И вот небольшой отрывок из введения к докладу: «Я не ощущаю себя пророком. Я лишь ученик. (I do not consider myself a prophet. I am simply a student.) Всю жизнь я учился у великих математиков, таких как Эйлер или Гаусс, у моих старших и младших коллег, у моих друзей и сотрудников, но более всего (most importantly) у моих учеников. В этом мой путь продолжать свой труд».

Середина пятидесятых годов — эпоха царствования на мехмате МГУ Колмогорова и Гельфанда. Без конца затевались споры: кто из них крупнее. Смешные споры, но простительные для совсем молодых людей. Мнения разделялись: примерно половина была «за Колмогорова», другая — «за Гельфанда».

Как-то раз в походе кто-то предложил поговорить о математике. Наша филологическая подруга (в ту пору начинались наши дружбы с представителями и представительницами гуманитарных факультетов) очень обрадовалась и настроилась послушать. «Что обсудим, может быть, топологию?» Такой вопрос был задан для обсуждения. Девушка была разочарована: «Ну, вот... Я думала, будет что-то интересное, например, кто лучше — Гельфанд или Колмогоров, а вы... »

Я начал ходить на семинар Гельфанда. Этот семинар проходил по понедельникам в аудитории 14-08 — огромной аудитории, которая была всегда почти забита. Не думаю, что где-либо и когда-либо существовали столь успешные семинары.

Я довольно скоро перестал посещать семинар Гельфанда. Отчасти потому, что мало понимал, но и ещё по одной причине. Гельфанд позволял себе, как бы помягче сказать, весьма неделикатные реплики по отношению к участникам семинара.

Раз как-то перед аудиторией 14-08 я увидел своего друга и сокурсника (его жизнь оборвалась очень рано), который был в крайнем возбуждении. Когда я спросил его, в чём дело, он обрушил на меня целый шквал проклятий, которыми готовился удостоить Израиля Моисеевича, когда тот выйдет из аудитории. А всё дело было в том, что моего друга угораздило задать вопрос докладчику. Гельфанд воскликнул: «Не отвечайте! Наш семинар рассчитан на грамотных людей». Я еле успокоил своего друга, но опасаясь подобных реплик, обращенных в мой адрес, ходить на семинар Гельфанда перестал.

Но память сохранила несколько эпизодов. Тогда, в пятидесятые, происходило крушение железного занавеса, и до нас стали доходить достижения зарубежной математики последнего пятнадцатилетия. Помню, кто-то рассказал про очень красивую теорему Дворецкого о том, что сечения многомерного куба могут сколь угодно мало отличаться от сферических. Сейчас мне это не кажется удивительным, а тогда это поразило меня и казалось чем-то недосягаемым. Гельфанд ходил по центральному проходу, обдумывал что-то некоторое небольшое время, а потом обратился к Роберту Адольфовичу Минлосу, тогда ещё не защитившему кандидатской диссертации, но имевшему репутацию выдающегося математика: «Как бы Вы стали доказывать эту теорему?» И Боб (так в ту пору все звали Минлоса) стал говорить нечто очень осмысленное про группу движений и усреднения... Очень ясно помню всё это по сей день.

Где-то в 1954 году, когда я учился на втором или третьем курсе, прошёл слух о необычных функциях, которые можно бесконечное число раз дифференцировать. Они назывались распределениями, а их изобретателем был французский учёный Лоран Шварц. Семинары заполнились рассказами о распределениях. Думаю, что Гельфанд знал о сочинении Шварца едва ли не с самого начала. И уже в 1953 году появилась знаменитая статья Гельфанда и Шилова о преобразовании Фурье быстрорастущих функций, опубликованная в «Успехах математических наук».

Понятие обобщенной функции (так у нас перевели термин «distributions») долго вызревало в математике: у его истоков стояли и Адамар, и Риссы, и Хевисайд, и многие другие. Огромную роль сыграли исследования С.Л. Соболева тридцатых годов, очень близко к понятию обобщенной функции подошел Л. В. Канторович. Конечно, где-то совсем близко к этим понятиям был и Гельфанд. Мне рассказывал мой друг, что однажды он был свидетелем разговора Гельфанда и Канторовича. Гельфанд восклицал: «Леонид Витальевич! Но ведь мы с Вами давно всё это понимали!» Леонид Витальевич улыбался и вяло поддакивал.

Сейчас нелегко понять, что могло помешать перевести и напечатать у нас одну из самых выдающихся математических книг двадцатого века «Theorie des distributions», написанную Шварцем. Можно понять, что это было затруднительно сделать в период борьбы с космополитизмом, но что помешало сделать это потом, в период оттепели? Так мне это и осталось неведомым.

Или вот ещё одно воспоминание о семинаре Гельфанда. Снова через годы до нас стали доходить результаты Гротендика по теории ядерных пространств. Эти работы относились к функциональному анализу, где Гельфанд занимал особое положение лидера. Он чувствовал потребность осмыслить то, что было привнесено в функциональный анализ Гротендиком, но множество обязанностей и обилие творческих замыслов не давали ему возможности самому осмыслить новые идеи. И он спрашивал одного за другим: «Вы думаете, что это действительно глубокие работы?» Мне показалось, что в ожидании отрицательного ответа. Но многие со временем пришли к выводу, что ответ положительный.

Ну, вот мы почти подошли к моей единственной прогулке с Гельфандом.

Я заканчивал аспирантуру осенью 1960 года. В тот год резко изменился ритуал защиты диссертаций. Было принято постановление, согласно которому нельзя было защищать там, где ты проходил аспирантуру. Скоро всё вернулось «на круги своя», но тогда местом моей защиты был избран Совет Отделения прикладной математики.

Один оппонент напрашивался: в 1958 и 1960 годах с серией работ на очень близкую к проблематике моей диссертации тему выступил Константин Иванович Бабенко. Естественно также было обратиться в Отдел теории функций Стекловского Института за «внешним» отзывом (необходимость таких отзывов была нововведением, но ещё можно было защищаться по опубликованной большой работе в крупном журнале, не представляя специальный текст диссертации — и я диссертацию не писал). Но я не помню, как возникла фамилия Гельфанда в качестве возможного второго оппонента.

Андрей Николаевич Колмогоров, мой руководитель, не пожелал лично переговариваться с Гельфандом. Причин этого он мне не объяснял и сказал, что мне следует обратиться к Израилю Моисеевичу лично. Что я и сделал по телефону. Помнил ли меня Гельфанд, знал ли он, с кем говорит, осталось для меня неясным. Я почувствовал, что мой собеседник был несколько озадачен странным предложением, но не отказал. Он попросил меня позвонить через некоторое время. Я позвонил. Израиль Моисеевич извинился, но сказал, что очень занят. Так повторилось несколько раз. Наконец я решился написать Гельфанду письмо. В нем я со всей возможной деликатностью постарался освободить его от данного мне обещания. Я был уверен, что Израиль Моисеевич с облегчением согласится с моим предложением. Но неожиданно вдруг раздался звонок. Звонил Израиль Моисеевич. Его тон был неправдоподобно любезным. Он пригласил меня на свою дачу в Перхушково в ближайшее воскресенье, объяснив, как мне ехать.

И я приехал. На даче в ту пору жили Израиль Моисеевич, его жена Зоря Яковлевна Шапиро и их маленький сыночек Сашенька, как мне представляется сейчас издалека, лет четырёх. Старшие сыновья Сережа и Володя — им было в ту пору 17 и 13 лет — жили уже своей жизнью. На даче их не было.

Зоря Яковлевна на год моложе Израиля Моисеевича. Она окончила университет в 1938 году. В ней много было черт, характерных для того поколения. Достаточно сказать, что она занималась в авиационном кружке, прыгала с парашютом и один раз совершила полёт на самолете, управляя им само-

стоятельно. Она чуть позже, чем Кишкина и Айзенштадт, стала преподавать на мехмате МГУ, но сразу же вошла в число самых почитаемых преподавателей анализа. Я сохраняю самые светлые воспоминания об этой замечательной женщине. Несколько лет тому назад, в возрасте восьмидесяти пяти лет, она прилетела из Америки в Москву на долгий срок только лишь для того, чтобы облегчить страдания Татьяне Алексеевне Алексеевой, своей подруге, за которой Зоря Яковлевна ухаживала, как медицинская сестра.

Зоря Яковлевна угостила нас легким вторым завтраком и отправила гулять. Израиль Моисеевич взял с нами и Сашеньку. Так началась моя единственная прогулка с Гельфандом.

Гельфанд иногда брал малыша себе на плечи и с большим трудом, задыхаясь, поднимался на небольшие бугорки. Мне он показался очень старым человеком, который долго не протянет. Поражало его отношение к малышу. Он был действительно очень хорош: красив, трогателен и обаятелен. Но и ещё: он был поздним ребенком. В момент его рождения и отцу, и матери было свыше сорока лет. Как правило, такие поздние дети пользуются особой необычной любовью.

Навсегда сохранились в памяти трогательная беседа отца и маленького сына. Тот спросил: «А как мне звать этого дядю?» Гельфанд назвал моё имя и сказал при этом, что на этой неделе к ним на дачу приезжают тёзки детей: вчера к нам приезжал тёзка твоего старшего брата — дядя Серёжа Фомин, сегодня приехал тёзка твоего среднего брата — дядя Володя Тихомиров, а завтра приедет твой тёзка — дядя Саша Кириллов. Гельфанд учил Сашеньку «правому и левому». Он указал на его правую ручку и сказал, что со стороны этой ручки всё правое, а с противоположной стороны — левое. И дал задание найти правое ухо своего отца (в это время мальчик находился на его плечах). Мальчик правильно указал. Тогда Гельфанд снял его со своих плеч и поднял его так, что они стали лицом к лицу. И снова он должен был указать на правое ухо отца. Мальчик протянул к уху правую руку. Гельфанд пробовал объяснить сыну его ошибку. Это повторилось несколько раз, но мальчик тогда так и не понял то, что при перевороте правое меняется на левое.

Мы при этом разговаривали о математике. Мальчик был терпелив, но сам отец через какое-то время снова начинал заниматься сыном, что-то ему рассказывать и чему-то его учить. Гельфанд преподал мне едва ли не единственный в моей жизни урок «отцовства».

По прошествии небольшого времени семейство Гельфандов ждал страшный удар. Мальчик заболел лейкемией — раком крови. Что только ни делал Израиль Моисеевич, к каким светилам он ни обращался, спасти сына не удалось. Он угасал на глазах и скончался. Смерть маленького и так горячо любимого сына подвигла Гельфанда посвятить заметную долю всей своей жизни медицине и биологии.

Я объяснял Гельфанду свою работу. Он не был знаком с понятием поперечника по Колмогорову, но мгновенно усвоил его. Довольно быстро он понял и идеи доказательств основных результатов. Где-то во время беседы он задал мне вопрос: «Вы изучили величину, характеризующую приближение. Но задачи, которые Вы исследуете — выпуклые. А выпуклые объекты име-

ют двойственное описание. Двойственностью по отношению к приближению является интерполяция. Каков поперечник, двойственный к колмогоровскому?» Я не мог ответить на этот вопрос и вообще услышал о двойственности тогда впервые. Я обдумывал вопрос Гельфанда некоторое время и вскоре ввёл поперечник, который назвал поперечником по Гельфанду. А ещё через некоторое время доказал двойственность колмогоровского и гельфандовского поперечников. Исследованием этой двойственности я занимаюсь по сей день.

Мы обсуждали и общефилософские вопросы. Один из центральных вопросов — о цели научного творчества в области математики.

И в те годы, и в наши дни, и до скончания века будет задаваться вопрос про того или иного математика: «А что он сделал? Какую проблему он решил?» На основании того, что «Гельфанд ничего не решил», он не имел шансов пройти в Академию. Он стал членом-корреспондентом Академии в 1953 году после смерти Сталина и при поддержке физиков: выборы состоялись после взрыва в августе 1953 года нашей водородной бомбы, в обсчётах которой Гельфанд принимал активнейшее участие. Гельфанд действительно не решил ни одной проблемы, поставленной кем-либо из крупных математиков прошлого, в отличие от И. М. Виноградова, почти решившего проблему Гольдбаха, А. О. Гельфонда, решившего проблему Гильберта (относительно которой сам Давид Гильберт был убеждён, что при его жизни никто эту проблему не решит), А.Н.Колмогорова, построившего всюду расходящийся ряд Фурье суммируемой функции, Л. А. Люстерника и Л. Г. Шнирельмана, решивших проблему Пуанкаре, и др., но несмотря на это вклад Гельфанда в нашу науку огромен, и мало кто может сравниться с ним в истории математики. Однако проблема «решил-не решил», как показала наша беседа, и для Гельфанда была болезненной. Он сказал мне, что не стал тратить свои силы на «решение проблем», когда убедил себя в том, что может решать проблемы.

Математиков разными способами можно разделить на два класса. Вот один из этих способов: бывают математики-мистики, у которых невозможно постигнуть, как они могли додуматься до решения проблемы, и таковых большинство, но в редчайших случаях встречаются математики-рационалисты (назовём их так), которые видят «неслыханную простоту рационального зерна» сути вещей. Вот Гельфанд принадлежит к этой второй категории. Так он вскрыл передо мной одной фразой суть выпуклого анализа. Такие же глубинные и просто формулируемые корни имеют его циклы исследований по нормированным алгебрам, теории представлений, обратным задачам и т.д. Большинство из них я улавливал по его собственным замечаниям во время его выступлений.

Неожиданно Гельфанд задал вопрос: «Где Вы сейчас живете?» В ту пору я был женат на своей сокурснице, дочери прекрасного человека и замечательного преподавателя мехмата МГУ — Самария Александровича Гальперна. В то лето 1960 года я жил на гальперновской даче на «55 километре» (так называлась тогда станция по ярославской железной дороге, которую сейчас переименовали в «Радонеж»). Я очень любил Самария Александровича, действительно очень светлого человека, каких немного я встречал в жизни. Но

я не считал, что моё родство с ним имеет отношение к моей диссертации, и я не счёл возможным прямо ответить на поставленный вопрос Гельфанда.

Произошел такой диалог. Я ответил: «Я живу сейчас за городом». — «А где?» — «По ярославской дороге». — «Далеко от Москвы?» — «Да, довольно далеко, вблизи Абрамцева» (это было всем известное место, где жили академики, и я думал, что этим удовлетворю любопытство Гельфанда, но не тут-то было). — «Вы живете на даче?» — «Да». — «Это Ваша собственная дача?» - «Нет». — «А чья?» — «Моего тестя». — «А кто Ваш тесть?» Деваться было уже некуда, и я назвал имя, отчество и фамилию своего тестя. Конечно, Израиль Моисеевич всё это заранее знал. Зачем он стал допытываться у меня до всего этого, так и осталось загадкой.

Судя по всему, Израиль Моисеевич не открывал никогда моей статьи, ставшей моей диссертацией. Он даже не имел отзыва в момент защиты, написал его как-то позже. Но выступил очень содержательно. Константин Иванович знал и продумывал один из основных результатов моей работы заранее, а саму работу лишь бегло просмотрел. Отзыв был у него в руках, и он его зачитал. Единственным прочитавшим работу и сделавшим очень интересные замечания был Сергей Михайлович Никольский, который подписал внешний отзыв. В ту пору я был лишь едва знаком с ним и не выразил ему за это благодарность, и о чём потом сожалел.

Со времени моей защиты прошло почти полвека. Я имел за эти годы несколько интересных контактов с Израилем Моисеевичем. Он пригласил меня принять участие в его биологическом семинаре — я несколько раз посетил этот семинар, и это было весьма интересно. Гельфанд пригласил меня отмечать свое шестидесятилетие (немалое число его учеников, сотрудников и коллег были разбиты на отдельные группы, для которых он устраивал приём дома). Пару раз я был у него дома (мы жили рядом), не раз мы встречались на улице и разговаривали. Большинство разговоров сохранилось в памяти.

У нас установились отношения, которые я называю словом «дружба». Израиль Моисеевич очевидным образом хорошо относился ко мне. Но как-то раз — уж много лет прошло с тех пор — один математик предпринял попытку поссорить меня с Гельфандом. И ему это удалось. Не буду здесь вдаваться в объяснения, скажу только, что Гельфанд позвонил мне и высказал обидные и несправедливые суждения. Я прервал разговор и в возбуждении написал и тут же отправил очень резкое письмо Гельфанду. Столь резкое, что никакие дальнейшие контакты, как я полагал, между нами более никогда не будут возможными. Ответа я не получил, и это подтвердило моё предположение.

Прошло сравнительно небольшое время. И как-то, выходя из университета, я вдруг увидел Гельфанда, идущего из клубной раздевалки на факультет. Я перешел на другую сторону, втянул голову в плечи и постарался прошмыгнуть мимо. Но вдруг был остановлен восклицанием: «Володя!» Я повернул голову и увидел быстро идущего в мою сторону Гельфанда. Он подошёл, обнял меня за плечи и что-то произнёс — довольно невнятное, но отчетливо означавшее, что он дорожит моей дружбой и просит прощения за нанесённую мне обиду. Я стоял потрясённый и нахожусь в этом потрясении всякий раз,

когда вспоминаю это мгновение, мгновение возвращения дружбы с Израилем Моисеевичем Гельфандом.

Я не раз задавал своим близким вопрос: «Были ли в твоей жизни счастливые мгновения?» Задавая вопрос, я не сомневался, что были, но люди редко отдают себе в этом отчёт и обычно затрудняются с ответом. Естественно, я обращал этот вопрос и к самому себе.

Я прожил вполне благополучную жизнь, и в моей памяти много прекрасных воспоминаний, а кроме смертей близких, мне не в чем упрекнуть судьбу. Но число истинно счастливых моментов, незабываемых и несомненных, как, наверное, и у всех, невелико. И среди них только что описанное мною прекрасное и незабываемое мгновение возвращения дружбы с Израилем Моисеевичем Гельфандом.

Поступила 28.03.13

WALKS WITH GELFAND (to the 100 anniversary of I. M. Gelfand's birth)

V. M. Tikhomirov

The view of the author on I. M. Gelfand's role in world mathematics and his memories about meetings with I. M. Gelfand are described.

Keywords: I. M. Gelfand

В ПЕРЕРЫВЕ МЕЖДУ ЛЕКЦИЯМИ

УДК 514.11 + 514.122.3

О ДВУХ СЕМЕЙСТВАХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ, ПОРОЖДАЮЩИХ ТРИ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ1

Ю. В. Павлюченко

Российский университет дружбы народов Россия, 117198, г.Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6; e-mail: pavyuri@yandex.ru

Треугольник, в котором медиана, высота и биссектриса, проведенные из разных вершин, пересекаются в одной точке Р, называется р-треугольником. Рассматриваются два семейства таких треугольников. Вершины треугольников первого семейства расположены на конхоиде Никомеда, а множество точек Р, обладающих указанным свойством — на циссоиде Диоклеса. Точки Р второго семейства р-треугольников расположены на петле строфоиды. Приводимые построения могут быть использованы в математическом кружке или на олимпиаде.

Ключевые слова: р-треугольник, конхоида, циссоида, строфоида.

В богатейшем наследии математиков прошлого наряду с крупными, фигурально выражаясь, «драгоценными камнями» — такими, как, скажем, дифференциальное и интегральное исчисление — сохранились и россыпи ярких маленьких «жемчужин». Мы имеем в виду, в частности, замечательные кривые. В свое время одни из них строились, чтобы подтвердить или опровергнуть те или иные нарождавшиеся новые фундаментальные принципы; другие же, по-видимому, появились на свет Божий как «небрежный плод забав и легких вдохновений» в минуты отдыха от более важных дел. Как бы то ни было, несомненно, в их открытии не последнюю роль играла «радость созерцания формы», которая, по словам Феликса Клейна, характеризует истинного геометра. На памяти автора время, когда хрестоматийный набор этих кривых — овал Кассини, лемниската Бернулли, конхоида Никомеда, циссоида Диоклеса, строфоида и лист Декарта — был одним из элементов «начального образования» профессиональных математиков. С тех пор как зародилось искусство этой своеобразной геометрической икебаны, число её составляющих заметно возросло: в атласе кривых Е. В. Шикина и М. М. Франк-Каменецкого [1], в справочниках [2], [3] представлены десятки замечательных «экспонатов». В XIX-XX вв. многочисленными авторами рассматривались разные подходы к получению замечательных кривых порознь. В рамках этой тематики в данной статье предлагается конструкция, в которой три из них появляются одновременно. Приводимые здесь построения

1 Эта статья перекидывает ещё один мостик от объекта изучения «школьной» геометрии — треугольника — к материалу, относящемуся к высшей математике — классическим алгебраическим кривым, идущим из античности. Последние уже давно «не влезают» в стандартные курсы, но с ними полезно ознакомиться хотя бы вне лекций — например, на занятиях математического кружка. Сказанное объясняет помещение статьи в данную рубрику (прим. ред.).

могут быть использованы на практических занятиях по аналитической геометрии и математическому анализу, а также в математическом кружке или на олимпиаде. Это могло бы доставить учащимся радость созерцания формы, не предусмотренную нынешними программами, подчас бездумно стирающими значительные фрагменты истории математики.

В школьной математике самой популярной фигурой, несомненно, является треугольник, «исхоженный вдоль и поперёк» на протяжении всех лет занятий геометрией. Внимание уделяется как исследованию одного отдельно взятого треугольника, так и классификации треугольников по тем или иным понятным каждому учащемуся признакам. Так, выделяются классы равносторонних, равнобедренных, прямоугольных треугольников. Что касается треугольника как такового, то, в частности, доказывается, что три высоты, три биссектрисы, три медианы пересекаются, соответственно, в одной точке. Однажды в учебнике для 7 класса, написанном одним из моих кафедральных коллег, я встретил такую «нестандартную», по терминологии автора, задачу: в треугольнике проведено по одной медиане, биссектрисе и высоте. Сколько при этом появится новых треугольников? Рассмотрите все возможные варианты. Следуя этой рекомендации, в беседе с автором я слегка удивил его простодушным вопросом: возможно ли, если треугольник не равносторонний, что три указанные прямые, проведенные из разных вершин, пересекаются в одной точке? Удовлетвори он мое мимолетное любопытство, и не было бы ни этих заметок, ни приведших к ним изысканий. Поскольку он не ответил на мой вопрос ни сразу, ни впоследствии, пришлось взяться за дело самому, и вот что из этого получилось.

I. Основное определение

Определение. Треугольник, в котором биссектриса, медиана и высота, проведенные из разных вершин, пересекаются в одной точке, называется р-треугольником (от латинского perfectum — совершенное).

Правильный треугольник заведомо является р-треугольником. Покажем, как можно построить неправильные ^-треугольники. Направив основание и боковую сторону искомого треугольника по сторонам любого острого угла О, отметим произвольно на боковой стороне точку А — вторую вершину треугольника. Через середину отрезка OA и точку Р пересечения высоты АА\ и биссектрисы угла О проведем прямую. Она пересечет основание в некоторой точке В, которая, по построению, оказывается третьей вершиной искомого ^-треугольника О AB (рис. 1).

Рис.1

Для дальнейшего сформулируем и докажем следующую теорему.

Теорема. В произвольном треугольнике О AB проведены биссектриса 00\, медиана ВВ\, через их общую точку — отрезок АА\ и параллельно ему — прямая через вершину В. Пусть эта прямая встречает продолжение стороны OA в точке С (рис.2). Тогда \АС\ = \ОВ\.

Рис.2

Доказательство. Теорема Джованни Чевы (1678) о трех отрезках, проведенных из разных вершин треугольника и пересекающихся в одной точке, устанавливает следующее соотношение:

Так как по условию |ABi| = |i?iO|, а по свойству биссектрисы

то получаем:

Проведем AD параллельно OB. Из подобия треугольников ОАА\ и ACD имеем

Поскольку \AD\ = то, сравнивая последние два соотношения, получаем требуемое равенство: \АС\ = \ОВ\.

Доказанная теорема даёт ещё один способ построения ^-треугольников. В произвольном остром угле О на этот раз фиксируем основание OB и восставим к нему перпендикуляр в точке В. От точки С пересечения этого перпендикуляра со второй стороной угла откладываем отрезок, равный основанию. Полученная точка А является третьей вершиной искомого ^-треугольника (рис. 3).

Полагая \ОВ\ = a, ZBOA = 2а, получаем необходимое и достаточное аналитическое условие р-треугольности:

\A\B\ = a cos 2а и, соответственно, \OAi \ = а(1 — cos 2а).

II. Первое семейство р-треугольников; конхоида и циссоида

Рассмотрим однопараметрическое семейство Ai ((£>), 0 < (/9 < 7г/4, всех ^-треугольников ОА((р)В с общими основанием СШ, |0-В| = 1, и углом при основании, равном 2(р: ZA((p)OB = 2у>.

Назовём А-линией кривую, образованную вершинами А((р) этих треугольников. Через их общую вершину В перпендикулярно основанию OB проведем прямую и продолжим сторону A(<£>) О до пересечения с этой прямой в точке С. Постоянство длины отрезка АС независимо от (р, вытекающее из теоремы п. I, служит определяющим свойством конхоиды Никомеда. Таким образом, А-линия есть верхняя дуга её левой ветви (рис.4).

Если принять точку О за полюс, а луч в направлении OB за полярную ось, то эта конхоида задается следующим полярным уравнением:

В индуцированной декартовой системе координат уравнение конхоиды имеет вид

Рис.3

Рис.4

Назовем Р-линией кривую, образованную точками Р((р) пересечения высот, медиан и биссектрис треугольников семейства Ai (99). Сделаем дополнительное построение. Проведем окружность единичного радиуса с центром в точке В и через правый конец Е её горизонтального диаметра проведем к ней касательную. Продолжим отрезок P(tp)0 до пересечения с окружностью в точке F и далее с касательной в точке G. Несложный подсчёт показывает, что \FG\ = (1 — cos2ip)/ cos99 = \Р((р)0\. Равенство длин этих отрезков служит определяющим свойством циссоиды Диоклеса. Таким образом, Р-линия есть конечный фрагмент циссоиды (рис. 5). (Заметим, что бесконечную ветвь присовокупили лишь в XVIII веке!)

Рис.5

В полярных координатах циссоида задается следующим уравнением:

Переходя к декартовой системе, получаем уравнение

Приведем другие свойства семейства Ai(<£>) ^-треугольников ОА((р)В.

1. Пусть точки А± и А“ отрезка OB расположены симметрично относительно его середины. Покажем, что в этом случае длины боковых сторон OA' и OA” соответствующих ^-треугольников OA'В и OA“В (т. е. А± и А” — проекции на ось Ох вершин А' и А" соответственно) взаимно обратны. Имеем:

Поскольку \ОА[ \ + |0^4//| = 1, то соотношение cos2ipf + со$2ц)" = 1 приводит к нужному результату: \ОА'\ • |ОЛ/7| = 1. Это свойство подчеркивает исключительную роль равностороннего треугольника в семействе Ai (<£>).

2. Прямоугольный ^-треугольник разбивает семейство Ai(<£>) на два множества — остро- и тупоугольных треугольников. Между ними устанавливается взаимно однозначное соответствие так, что у соответствующих друг другу треугольников ОА((р_)В и ОА(ц)_)В сумма углов при вершинах A((pi) и А(<£>2) равна двум прямым. Эти треугольники имеют один и тот же радиус описанной окружности, центры этих окружностей симметричны относительно основания OB.

3. Значение угла ср, отвечающее прямоугольному р-треугольнику ОА(ср)В, определяется уравнением cos2 2tp + cos2<£> — 1 = 0. Соответствующая точка Ai определяет золотое сечение основания OB.

III. Второе семейство р-треугольников; строфоида

Рассмотрим другое однопараметрическое семейство Д2(<£>), 0 < (р < 7г/4, ^-треугольников ОА(ср)В. На этот раз постоянную единичную длину имеют боковые стороны A(<£>) О с углом наклона 2(р к горизонтальному основанию переменной длины (рис. 6).

Рис. 6

Так как |OAi| = cos 2^ и \ОР\ = cos 2(р/ cos Lp, то полярное уравнение Р-линии следующее:

Для установления «родословной» Р-линии выясним, какую кривую определяет это уравнение при 7г/2 < Lp < Зтг/4 — в этом интервале получается бесконечная ветвь. Легко проверить, что для любого Lpo из интервала (0, тг/4) точки В 0,1 , Р [<р0, -— ,0' тг/2, ctg2(^о), Р ( + тт, -— в скобках записаны полярные координаты р) указанных точек) лежат на одной прямой. Далее находим (например, по теореме косинусов): \0'Р\ = |0'Р| = = ctg2<y?o. Условие |0'Р| = |0'Р| = \0'0\ определяет Р-линию как дугу строфоиды.

В декартовых координатах эта строфоида задается уравнением

Применим его для определения наивысшей точки Р-линии. Дифференцированием находим точку с нулевой производной. В полярных координатах ей отвечает значение <р, определяемое уравнением

При этом значении угла <р ^-треугольник ОА°В° прямоугольный; проекция катета на гипотенузу равна единице; точка А\ делит и гипотенузу О В0, и отрезок OB в пропорции золотого сечения. Эти четыре свойства эквивалентны.

Ещё одно свойство подчеркивает двойственность семейств Ai(<£>) и Д2 (</?). Рассмотрим для семейства Д2 (<£>), как было сделано и для семейства Ai(<£>) выше, точки А± и А“ отрезка OB, расположенные симметрично относительно его середины. Покажем, что и в этом случае длины оснований OB' и OB” соответствующих ^-треугольников OA'В' и OA“В” взаимно обратны. После необходимых вычислений получаем \В[(р)0\ =-, поэтому

Поскольку + |0^4//| = 1, то соотношение cos 2^ + cos2^// = 1 приводит к нужному результату: \ОВ'\ • |0-В/7| = 1. Этим свойством равносторонний треугольник разбивает семейство Д2(<£>) на два множества, между элементами которых устанавливается взаимно-однозначное соответствие так, что вершины В' и В" соответствующих друг другу ^-треугольников образуют инверсию относительно единичной окружности.

Обратим внимание, что в обоих семействах Ai((p) и Д2(<£>) сочетаются симметрия и золотое сечение — яркие признаки гармонии и совершенства, и не только в геометрии.

Конхоида Никомеда и циссоида Диоклеса были придуманы в глубокой древности (III-II вв. до н. э.). Они понадобились их создателям для решения делосской задачи удвоения куба (с помощью конхоиды Никомеда решается и задача о трисекции угла). Строфоида была изобретена Жилем Робервалем в 1645 году.

Трудно не удивиться (в который раз!) тому, как разные предпосылки приводят к одним и тем же геометрическим воплощениям. Смысл одного из высказываний Давида Гильберта сводится к тому, что жизненная сила математики заключается в её внутреннем единстве. Представляется, что не в последнюю очередь оно выражается в непрестанно обновляемой гармонии новых идей и неувядаемых классических геометрических образов.

ЛИТЕРАТУРА

1. Шикин Е. В., Франк-Каменецкий М. М. Кривые на плоскости и в пространстве. — М.: ФАЗИС, 1997. 334 с.

2. Савелов А. А. Плоские кривые. Систематика, свойства, применения (Справочное руководство). — М.: ГИФМЛ, 1960. 296 с.

3. Смогоржевский А. С, Столова Е. С. Справочник по теории плоских кривых третьего порядка. — М.: ГИФМЛ, 1961. 263 с.

Поступила 28.04.2013

ABOUT TWO FAMILIES OF THE TRIANGLES GENERATING THREE

REMARKABLE CURVES

Yu. V. Pavlyuchenko

A triangle is named p-triangle if median, altitude and bisector of different vertices meet in one point (P-point). Two families of such triangles are examined. The main result is the vertices of all p-triangles of one family are situated on Nicomedian conchoid meanwhile all P-points of these p-triangles are situated on cissoid of Diocles. In the other case the P-points are situated on strofoid. These geometric constructions may be used in various studies, including mathematical contests.

Keywords: p-triangles, conchoid, cissoid, strofoid.

В НИЖЕГОРОДСКОМ МАТЕМАТИЧЕСКОМ ОБЩЕСТВЕ

ЗАСЕДАНИЯ НИЖЕГОРОДСКОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБЩЕСТВА

Продолжая традицию отчетов о деятельности Нижегородского математического общества (ННМО) (см. [1-3]), мы приводим ниже список докладов, прочитанных на научных заседаниях общества в период ноябрь 2012 г. - октябрь 2013 г. Аннотации этих докладов (как и почти всех докладов за предшествующие годы) можно найти на сайте ННМО http: //www.unn.runnet.ru/nnmo/zasedania.html.

Заседание 1 ноября 2012 г.

Н.Н. Клиорин (Университет им. Бен-Гуриона, Беэр-Шева, Израиль). «Магнитные поля на Солнце. Природа солнечной активности». Заседание 22 января 2013 г.

А.Э.Рассадин (ООО НПЦ «НанТех-НН», Нижний Новгород). «Решения нелинейного уравнения динамики снежного покрова и построение данных рассеяния на нем для электромагнитных волн».

Заседание 19 февраля 2013 г.

Е. И. Шустин (Тель-Авивский университет, Израиль). «Инвариантное перечисление вещественных алгебраических кривых». Заседание 29 марта 2013 г.

А. И. Назаров (Санкт-Петербургский университет). «Принцип максимума А. Д. Александрова».

Заседание 8 апреля 2013 г.

И. В. Асташова (МГУ им. М. В. Ломоносова). «Об асимптотическом поведении сингулярных решений нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений высокого порядка».

Заседание 23 апреля 2013 г.

И. П. Рязанцева (Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е.Алексеева). «Метод монотонных операторов». Заседание 6 июня 2013 г.

В.Н.Шевченко (ННГУ им. Н.И.Лобачевского, факультет ВМК). «Триангуляции полиэдров, выпуклых конусов и реализация их f-векторов». Заседание 26 сентября 2013 г.

Д. С. Малышев (НИУ ВШЭ-НН и ННГУ). «Исследование «критических» наследственных классов в анализе вычислительной сложности задач на графах».

Заседание 21 октября 2012 г.

С.К. Ландо (Москва, ВШЭ, факультет математики). «Алгебры Ли и инварианты графов».

ЛИТЕРАТУРА

1. Полотовский Г. М. Нижегородскому математическому обществу 15 лет // Математика в высшем образовании. 2010. №8. С. 141-144.

2. О деятельности Нижегородского математического общества в 2010-2011 учебном году и в первом семестре 2011-2012 учебного года // Математика в высшем образовании. 2011. №9. С. 127-128.

3. О деятельности Нижегородского математического общества // Математика в высшем образовании. 2012. №10. С. 175-176.

Учёный секретарь ННМО Г. М. Полотовский

В НИЖЕГОРОДСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ

МЕЖДУНАРОДНАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ «ДИНАМИКА, БИФУРКАЦИИ И СТРАННЫЕ АТТРАКТОРЫ»

1-5 июля 2013 г. в Нижегородском государственном университете им. Н. И. Лобачевского состоялась Международная конференция «Динамика, бифуркации и странные аттракторы», посвященная памяти замечательного математика, крупного специалиста по теории динамических систем и теории бифуркаций, основателя теории глобальных бифуркаций многомерных динамических систем профессора Нижегородского университета Леонида Павловича Шильникова (17.12.1934-26.12.2011). Титульными организаторами конференции были Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, Нижегородский университет и Нижегородское математическое общество.

Конференция собрала очень представительный состав участников, 155 человек, из которых 45 — сотрудники зарубежных университетов и исследовательских центров (Австрии, Бразилии, Великобритании, Германии, Израиля, Испании, Италии, Канады, Китая, Мексики, Нидерландов, Польши, Сербии, США, Украины, Франции). Россию представляли исследовательские группы из Владимира, Москвы, Нижнего Новгорода, Новосибирска, Обнинска, Санкт-Петербурга, Саратова, Уфы, Ярославля. Среди участников было много молодых исследователей, в том числе и из России.

Работа конференции проходила в трех секциях: «Бифуркации и странные аттракторы» (секция 1), «Динамические системы с дополнительными структурами» (секция 2), «Приложения теории динамических систем» (секция 3). На утренних заседаниях, которые были пленарными, выступали приглашенные докладчики (4 доклада по 40 минут), после обеда работа проходила по секциям. В рамках каждой секции были свои пленарные доклады (30 минут) и сообщения по 20 мин. Также были организованы стендовые доклады, они проводились в компьютерном классе, где каждому докладчику был выделен компьютер, на котором можно было показать свою презентацию. Как показала конференция, эта форма стендовых докладов весьма удобна для участников, полезна и информативна.

Поскольку в рамках этой заметки перечислить все доклады невозможно, отметим только некоторые наиболее интересные из них. В.С. Афраймович (университет Сан Луис Потоси, Мексика) рассказал о научном наследии Л. П. Шильникова, его вкладе в теорию динамических систем и перспективах развития этого направления. Доклад академика В. В. Козлова (МИ РАН им. В. И. Стеклова) был посвящен появлению статистической необратимости в классических динамических системах с инвариантной мерой. К. Симо (университет Барселоны) рассказал об использовании вариационных уравнений высшего порядка для обнаружения неинтегрируемости гамильтоновых систем. В докладе М. Пасифико (Федеральный университет Рио де Жанейро) обсуждались модельные отображения, обладающие топологическим перемешиванием, а также перемешиванием относительно меры Лебега в некоторой области параметров, такие модели дают упрощенное описание динамики потоков Лоренца. Доклад Д. Тураева (Империал колледж, Лондон) был по-

священ аттракторам Лоренца для потоков и диффеоморфизмов, их динамике, бифуркациям, приводящим к их появлению, и многомерным обобщениям таких аттракторов. Несколько докладов членов саратовской группы были посвящены реализации аттракторов в физических системах — в частности, доклад С. П. Кузнецова «Гиперболический хаос в физических системах». В докладе А. Пиковского (университет Потсдама, Германия) обсуждалась сложная динамика в популяциях осцилляторов — интересное развивающееся направление, связанное с динамикой биологических популяций. Динамика гамильтоновых систем в разных аспектах обсуждалась в докладах А. И. Нейштадта (университет Лофборо и ИКИ РАН) и Д. В. Трещева (МИ РАН, Москва). В нескольких докладах ярославской группы (С.А.Кащенко, С. Д. Глызин, А. И. Колесов, Е. П. Кубышкин и др.) рассматривались различные вопросы динамики распределенных систем. Динамика систем связанных осцилляторов для различных типов осцилляторов обсуждалась в докладах Г. В. Осипова с соавторами (Нижегородский университет), В. И. Некоркина и др. (Институт прикладной физики РАН, Нижний Новгород), В. и Ю. Майстренко (Институт математики НАН Украины, Киев), Д. Е. Пелиновского (университет МакМастера, Канада, и Нижегородский технический университет), Б.Фернандеса (Центр теоретической физики, Марсель, Франция).

По общему мнению участников, конференция была организована и проведена на очень высоком научном уровне. Была проведена выездная сессия на катамаране «Отдых», во время которой в неформальном режиме обсуждались перспективы развития теории динамических систем и новые задачи, стоящие перед теорией и её приложениями в различных разделах физики, биологии, химии, механики. Для отдыха участников был организован фортепианный концерт классической музыки, на котором с большим успехом выступили известные нижегородские музыканты, лауреаты международных конкурсов Евгений Брахман и сестры Ольга и Наталья Гринес. Для членов семей участников конференции была организована экскурсия по историческим местам Нижнего Новгорода.

Предполагается издание трудов конференции в виде тематических выпусков международных журналов «Bifurcation and Chaos» (World Scientific P. H.) и «Regulär and Chaotic Dynamics» (Springer).

В заключение перечислим спонсоров, поддержка которых обеспечила проведение конференции такого масштаба:

1. Российский фонд фундаментальных исследований.

2. Фонд Дмитрия Зимина «Династия», Москва.

3. К. В. Кирсенко (Москва).

4. Отдел морских исследований, Лондон, Великобритания.

5. Компания Mera-NN (Нижний Новгород).

Оргкомитет конференции выражает всем спонсорам глубокую благодарность.

Сопредседатель Оргкомитета конференции, Президент Нижегородского математического общества

Л. М. Лерман

Поступила 15.09.2013

Математика в высшем образовании

№ 11, 2013

Научно-методический журнал

Свидетельство о регистрации средства массовой информации Министерства РФ по делам печати, телерадиовещания и средств массовых коммуникаций ПИ № 77-15825 от 7 июля 2003 г.

ISSN 1729-5440

Адрес редакции: 603950, Нижний Новгород, проспект Гагарина, 23, Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского, корпус 6, к. 406. Тел.: (831) 465-85-10; (831) 462-33-64; факс: (831) 465-85-92 e-mail: polotovsky@gmail.com http://www.unn.ru/math

Компьютерная верстка Л. Р. Семеновой Оригинал-макет подготовлен с использованием пакета LATEX

Формат 60x84 1/8 Гарнитура Computer Modern. Печать офсетная. Бумага офсетная. Усл. печ. л. 18,9. Уч.-изд. л. 14,3. Тираж 250 экз. Заказ № 1115.

Издательство Нижегородского госуниверситета им. Н.И. Лобачевского, 603950, Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23.

Типография Нижегородского госуниверситета им. Н.И. Лобачевского, 603000, Нижний Новгород, ул. Большая Покровская, 37.

Индекс 87966

ISSN 1729-5440 Математика в высшем образовании, 2013 №11