ISSN 1729-5440

МАТЕМАТИКА В ВЫСШЕМ ОБРАЗОВАНИИ

10

2012

Научно-методический совет по математике Министерства образования и науки Российской Федерации

Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского

Нижегородское математическое общество

МАТЕМАТИКА В ВЫСШЕМ ОБРАЗОВАНИИ

10

2012

Научно-методический журнал

Нижний Новгород

Издательство Нижегородского госуниверситета

Редакционная коллегия:

И.С. Емельянова (главный редактор) М.В. Долов, Г.М. Жислин, Т.А. Иванова, В.А. Ильин, Ю.Л. Кетков, Л.Д. Кудрявцев, М.И. Кузнецов, А.В. Латышев, Н.И. Мерлина, В.И. Михеев, Е.И. Моисеев, Г.М. Полотовский (зам. гл. редактора), Н.Х. Розов, В.А. Садовничий, Г.И. Саранцев, Р.Г. Стронгин, С.Н. Слугин, М.А. Федоткин

При перепечатке, переводе на иностранный язык, а также при ином использовании оригинальных материалов журнала ссылки на ''Математика в высшем образовании" обязательны

Журнал издается при финансовой поддержке Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского

Адрес редакции: 603950, Нижний Новгород, проспект Гагарина, 23, корпус 6, к. 406. Тел. (831) 4657335; e-mail: polotovsky@gmail.com http://www.unn.ru/math

© Математика в высшем образовании, 2012

Mathematics Science and Methods Council of Russian Ministry of Education Nizhni Novgorod N.I. Lobachevsky State University Nizhni Novgorod Mathematical Society

MATHEMATICS IN HIGHER EDUCATION

10

2012

Academic Journal

Nizhni Novgorod

Nizhni Novgorod State University Press

Editorial Board:

I.S. Yemelyanova (Editor-in-Chief), M.V. Dolov, G.M. Zhislin, T.A. Ivanova, V.A. Ilyin, Y.L. Ketkov, L.D. Kudryavtsev, M.I. Kuznetsov, A.V. Latyshev, N.I. Merlina, V.I. Miheev, E.I. Moiseev, G.M. Polotovskiy (Editor), N.Kh. Rozov, V.A. Sadovnichii, G.I. Sarantsev, R.G. Strongin, S.N. Slugin, M.A. Fedotkin

No reprint or any use of the material is allowed without reference to “Mathematics in Higher Education”

The journal is published with financial support of Nizhni Novgorod N.I. Lobachevsky State University

Editorial Office Address: University of Nizhni Novgorod, 23 Prospekt Gagarina, Building 6, Office 406 603950, Nizhni Novgorod, Russia Tel: (831)4657335; e-mail: polotovsky@gmail.com http://www.unn.ru /math

© Mathematics in Higher Education, 2012

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие.......................................................................7

Содержание и технологии математического образования в вузе

Айдос Е. Ж. Гладкие кривые, представленные не дифференцируемыми функциями.....................................................................9

Вечтомов Е. М. Натуральный ряд.............................................. 15

Лёб П. А. Об одной забытой теореме анализа................................... 35

Посицельская Л. П. Математический эксперимент как поддержка доказательства при изучении математики в вузе................................... 43

Инновационные и информационные технологии и компьютерные продукты в преподавании математики

Котелина П. О., Певный А. Б. Использование системы MAPLE для вычисления и оценки контактных чисел........................................... 49

Математика для специалистов различного профиля

Розов Н. Х. Мысли о преподавании математики гуманитариям, возникшие при чтении одного учебного пособия......................................... 57

Математические соревнования в вузах

Лукьянов В. Д., Спектор В. Е., Фаллер О. В. XVII Всеармейская олимпиада по математике для курсантов высших военно-учебных заведений Министерства обороны Российской Федерации................................. 67

История математики. Персоналии

Лев Дмитриевич Кудрявцев (25 марта 1923-17 февраля 2012)................. 77

Леонид Павлович Шильников (17 декабря 1934-26 декабря 2011)............. 85

Кутателадзе С С Л. В. Канторович: математик и экономист (к 100-летию со дня рождения)............................................................ 87

Ландо С К. Владимир Игоревич Арнольд (к 75-летию со дня рождения)...... 99

Матиясевич Ю. В. Алан Тьюринг и теория чисел (к 100-летию со дня рождения А.Тьюринга)..................................................... 111

Полотовский Г. М. К 220-летию со дня рождения Николая Ивановича

Лобачевского................................................................ 135

Рикун И. Э. «Матезис» — лучшее российское научно-просветительское издательство первой четверти XX века....................................... 141

Синкевич Г. И. К истории эпсилонтики........................................ 149

В перерыве между лекциями

Петров П. П. Математика у гуманитариев................................... 167

В Нижегородском математическом обществе

О деятельности нижегородского математического общества................... 175

Указатель материалов, опубликованных в №№1-10........................... 177

CONTENTS

Introduction........................................................................7

Subject and Technologies of Mathematical Education at University

Ajdos E. Z. The smooth curves presented by not differentiated functions............9

Vechtomov E. M. The positive integers............................................ 15

Loeb P. A. A Lost Theorem of Calculus........................................... 35

Positselskaya L. N. Mathematical experiment as proof support when studing mathematics.................................................................. 43

The Use of Information Technologies in Teaching Mathematics и компьютерные продукты в преподавании математики

Kotelina N. О., Pevnyi А. В. Calculation and estimation of the kissing numbers using MAPLE software........................................................ 49

Mathematics for Specialists of Different types

Rozov N. Kh. Concerns about teaching mathematics to humanities students appeared while reading a study letter.......................................... 57

Mathematical Competitions at Universities

Lukyanov V.D., Spector V.E., Faller О. V. The XVII all-army olympiad on mathematics for cadets from the highest military colleges of ministry.......... 67

The History of Mathematics. The Prominent Figures

Lev Dmitrievich Kudryavtsev (March 25, 1923- February 17, 2012).............. 77

Leonid Pavlovich Shilnikov (December 17, 1934-December 26, 2011 .............. 85

Kutateladze S. S. L. V. Kantorovich: the mathematician and economist (to the 100 anniversary of the birth).................................................. 87

Lando S. K. Vladimir Igorevich Arnold (to the 75 anniversary of the birth)........ 99

Matiyasevich Yu. V. Alan Turing and Number Theory (to the 100 anniversary of A. Turing's birth).................................. Ill

Polotovskiy G. M. To the 220 anniversary of Nikolai Ivanovich Lobachevsky's birthday..................................................................... 135

Rikun I. E. «Matezis» — the best russian scientific and educational publishing house of the first quarter of the XX century.................................. 141

Sinkevich G. I. To the history of epsilontika..................................... 149

In a Break between Lectures

Petrov N. N. Mathematics to humanities students.............................. 167

In the Nizhni Novgorod Mathematical Society

About activity of the Nizhni Novgorod mathematical society..................... 175

The index of the published in in № 1-10.......................................... 177

ПРЕДИСЛОВИЕ

Печатанию, как будто второму дару слова, новейшие времена обязаны самой большой частию своей образованности.

Н.И. Лобачевский,

Предисловие к первой книге «Учёных записок, издаваемых императорским Казанским университетом» (1834 г.)

Дорогой читатель! Вы держите в руках десятый номер нашего журнала. Пристрастие человека к круглым числам хорошо известно, а Пифагору приписывается особое почитание числа 10 как «единицы высшего порядка, выражающей собой все начала Божества». В любом случае, десятилетие журнала — естественный повод оглянуться на сделанное.

Журнал был задуман Научно-методическим советом (НМС) по математике Министерства образования и науки РФ в первую очередь с целью сохранения опыта преподавания математики в вузе, накопленного и продолжающего накапливаться в России и других странах. Инициативу НМС поддержали Нижегородский государственный университет имени Н. И. Лобачевского и Нижегородское математическое общество. В состав редакционной коллегии вошли известные вузовские профессора: В.А.Ильин, Л.Д.Кудрявцев, Г. Л. Луканкин, Е.И.Моисеев, А. Д. Мышкис, Н.Х.Розов, В. А. Садовничий, Р. Г. Стронгин. Журнал нацелен на постоянное совершенствование математической культуры преподавателей, а через них — студентов. Исходя из этого кроме оригинальных подходов к изложению традиционного материала, опыта преподавания трудных для освоения тем, обсуждения перспективных тенденций в обучении математике мы публикуем статьи по истории математики и её преподавания, включаем материалы о студенческих математических олимпиадах и о математической жизни в вузах. Наш журнал отличается от чисто научных и чисто методических изданий, он предназначен, в первую очередь, вузовским преподавателям математики. Мы надеемся, что многие публикуемые нами материалы могут без промедления использоваться в вузовской практике. Впрочем, о содержании журнала Вы можете лучше судить сами: в конце этого номера мы приводим список публикаций за все десять лет, а на сайте журнала http://www.unn.ru/math выкладываются полные тексты всех выпусков журнала более чем трёхлетней давности.

За прошедшие десять лет сохранены практически все рубрики, открытые в первых номерах журнала, и добавлены новые. Отметим, что 2012 год оказался настолько богатым на юбилейные даты (среди которых 75 лет со дня рождения В. И. Арнольда, столетия со дня рождения А. Д. Александрова, Л.В.Канторовича, С.Н.Черникова, А.Тьюринга, 220 лет со дня рождения Н.И.Лобачевского), что нам не удалось откликнуться на все эти события, хотя рубрика «История математики, персоналии» в этом номере журнала объёмнее, чем обычно.

Наш журнал не относится к числу входящих в список ВАК: мы не публикуем новые математические результаты, для этого существуют специализированные издания. Мы выпускаем один номер в год, и это — естественная

периодичность для журнала выбранного нами профиля. Мы надеемся, что в отличие от многих периодических изданий публикации нашего журнала не стареют, как не стареет сама математика, и в наше непростое для образования и науки время способствуют сохранению опыта преподавания математики.

Хотим выразить признательность руководству Нижегородского госуниверситета за финансовую поддержку нашего журнала, который является межвузовским и имеет право распространения не только в России, но и в странах ближнего и дальнего зарубежья. Благодарим также редакционно-издательский отдел университета и Людмилу Романовну Семенову за большую помощь в технической подготовке всех номеров журнала.

Дорогие читатели! Нам приятно отметить, что география распространения и круг авторов нашего журнала расширяются. Призываем Вас к активному сотрудничеству с журналом, обсуждению публикуемых статей. Привлекайте к журналу внимание молодых преподавателей.

Главный редактор профессор И. С. Емельянова

Зам. главного редактора доцент Г. М. Полотовский

Когда этот номер журнала был уже свёрстан, пришла печальная весть: на 108-м году жизни скончался выдающийся математик и педагог Сергей Михайлович Никольский. Мы потеряли мудрого товарища и Учителя, страстного защитника и пропагандиста математического образования. Светлая ему память.

СОДЕРЖАНИЕ И ТЕХНОЛОГИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ В ВУЗЕ

УДК 517

ГЛАДКИЕ КРИВЫЕ, ПРЕДСТАВЛЕННЫЕ НЕДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫМИ ФУНКЦИЯМИ

Е. Ж. Айдос

Казахский Национальный технический университет им. К. И. Сатпаева Казахстан, 050013, г. Алматы, ул. Сатпаева, 22; e-mail: erkaraai@mail.ru

Вводится понятие «непрерывная в широком смысле функция». С его помощью определяется гладкость кривой, заданной функциями, имеющими конечные и бесконечные производные в точках. Указываются свойства функции /, по которым можно установить гладкость кривой Г: у = /(ж), х G [а, Ь].

Ключевые слова: предел, производная, гладкая кривая, бесконечная производная, касательная, угловая функция, не дифференцируемая функция.

В курсе математического анализа при изучении гладких кривых применяются, как правило, непрерывно дифференцируемые функции. Для примера приведём известное определение гладкой кривой:

Определение 1. Кривая Г С R3, заданная параметрически уравнениями X = x(t), у = y(t), z = z(t), t G [a, b], называется гладкой, если x(t), y(t), z(t) — непрерывные функции, имеющие на отрезке [a,b] непрерывные производные, одновременно не равные нулю.

Таким образом, если функции, параметризующие кривую, имеют производные, обращающиеся на рассматриваемом промежутке в бесконечность, то это определение неприменимо. Но одна и та же кривая может иметь как дифференцируемую параметризацию, так и параметризацию недифференцируемыми функциями. Примерами таких кривых могут служить полуокружность

кубическая парабола Г2:

кривая у

По определению 1 такие кривые не относятся к гладким, ибо функции, представляющие их, в указанных промежутках недифференцируемы.

Сказанное выше является мотивировкой для следующей модификации определения гладкой кривой (см. [1, §6.5], где определение приведено для более общей ситуации):

Определение 2. Кривая С R3 называется гладкой на [a; Ь], если её можно задать при помощи уравнений Г: х = x(t), у = y{t), z = z(t), t G [a; b], где x{t), y(t), z(t) — непрерывные функции, имеющие на отрезке [а, Ь] непрерывные производные, одновременно не равные нулю.

Например, рассмотренную выше полуокружность Г1 можно параметризовать в виде

поэтому полуокружность Т\ — гладкая кривая в смысле определения 2; кубическую параболу Г2 можно представить в виде

так что кривая Г2 тоже гладкая по определению 2.

Однако небходимость поиска параметризации кривой функциями с подходящими свойствами является недостатком определения 2 — способ параметризации одной и той же кривой не единственный (например, полуокружность Г*1 может быть представлена еще и в виде и т.д.) и, вообще говоря, заранее не ясно, существует ли параметризация с нужными свойствами. Ниже мы займемся решением проблем, присущих определениям 1 и 2, и укажем характеристику функции /, по которой можно установить гладкость кривой Г: у = /(ж), х G [а, Ъ].

1. Основные понятия

Пополним множество R двумя несобственными элементами («бесконечными числами») — оо и +оо, полагая, что для любого х G R имеет место

—оо < x < + 00.

В случае, когда lim f(x) = А, где A G [—оо,+оо], как обычно, будем говорить, что функция f в точке xq имеет предел А, причём если A G «конечный предел». Например, функция

имеет в точке x = 1 предел, равный +оо, а функция

в этой точке предела не имеет, т. к.

Аналогично, если имеет место равенство

то будем говорить, что функция f в точке xq имеет производную, причём в случае - конечную производную.

Про функцию /, для которой f(x) G [—сю, +оо], будем говорить, что функция f определена в широком смысле. Другими словами, функция, определенная в промежутке А в широком смысле, в точках этого промежутка может принимать конечные или бесконечные значения. Например, функция /(ж) = 1 определена в интервале (—оо, +оо) в широком смысле,

Определение 1.1 (непрерывность в широком смысле). Пусть функция f определена в широком смысле в точке хо и в некоторой её окрестности. Тогда, если существует предел функции f при х —» жо и выполнено равенство lim f(x) = f(xo), то функция f называется непрерывной в широком смысле в этой точке.

Например, функция

непрерывна в широком смысле в точке х = 5, ибо

Функция, непрерывная в широком смысле в данном промежутке, в точках этого промежутка может быть непрерывной или непрерывной в широком смысле.

2. Гладкая кривая и гладкая в широком смысле функция

Приведем определение гладкой кривой на языке непрерывной в широком смысле производной.

Определение 2.1. Кривая Г С R3, заданная параметрически уравнениями x = x(t), у = y{t), z = z(t), t G [a; b], называется гладкой, если z{t) — непрерывные функции, имеющие непрерывные в широком смысле производные на [а; Ъ], одновременно не равные нулю.

Определение 2.1 можно применять к кривым, представленным дифференцируемыми на рассматриваемом промежутке функциями, а также к кривым, представленным функциями с бесконечными производными. Частным случаем определения 2.1 является следующее

Определение 2.2. Кривая Г : у = f(x), х G [a; b], называется гладкой, если функция f имеет на отрезке [a, Ь] непрерывную в широком смысле производную.

Например, по определению 2.2 кривая у = ^/ж, —оо < х < +оо, является гладкой на любом отрезке, так как производная

непрерывна в широком смысле в любой конечной точке.

Далее, пусть задана функция у = Дж), ж G [a; 6], и пусть на [a; Ь] существует её производная. Функцию

(1)

где f'(x) G [—оо; +оо], назовем угловой функцией для /. Здесь функция arctg^ считается определенной на расширенном множестве действительных чисел [—оо,+оо] условиями arctg(+oo) = — и arctg(—оо) = — — , т.е. —— < а(х) < — . Определенная таким образом функция arctg?; непрерывна на [-оо, +оо].

Из равенства (1) видно, что существование производной f{x) равносильно существованию угловой функции в точке х. Аналогично, непрерывность в широком смысле производной f'{x) равносильна непрерывности в обычном смысле угловой функции а (ж).

Действительно, пусть в точке жо производная f непрерывна в широком смысле,

Тогда, если

то угловая функция а(х) непрерывна в точке жо, как композиция двух непрерывных функций. Если же, например, и в силу непрерывности функции arctg?; получим

Обратно, пусть угловая функция а непрерывна в точке жо, т. е.

Тогда, учитывая неравенства

Здесь имеется в виду, что если, например,

и потому

Таким образом, из непрерывности в данной точке угловой функции а следует непрерывность в широком смысле производной f в этой точке. Поэтому определение 2.2 равносильно следующему определению 2.3, сформулированному на языке угловой функции.

Определение 2.3 (на языке угловой функции). Непрерывная кривая Г : у = f(x), ж G [а; Ъ], называется гладкой, если f имеет непрерывную на [а, Ь] угловую функцию.

Например, рассмотренная выше кривая у = у/х, — оо < х < +оо, является гладкой и по определению 2.3. Действительно, для /(ж) = ^[х определена угловая функция

которая непрерывна в любой точке.

Для функции

определена угловая функция, равная

но она не является непрерывной в точке x = 0 (функция cos — не имеет предела при х —> 0), поэтому кривая, заданная с помощью функции /, не является гладкой в смысле определения 2.3 на отрезке, содержащем точку х = 0.

Пусть А (ж; f{x)) — некоторая точка непрерывной кривой Г : у = /(ж), x G [а, Ъ]. Возьмем точку (ж + h) G (а, Ъ) и выберем направление прямой S, проходящей через точки А(х; /(ж)) и В(х + h; /(ж + h)), так, чтобы угол ß между положительным направлением оси Ох и направлением прямой S был острым: ——< ß < — . Полученную таким образом направленную прямую S — — назовем секущей, a ß = /3(ж; h) — её углом наклона.

Определение 2.4. Если существует предел lim/?(ж, h), то направленная прямая Т (предельное положение направленной секущей), проходящая через точку A(x,f(x)) с углом наклона а(х) = lim ß{x,h), называется касательной к кривой в этой точке.

Заметим, что угол наклона секущей лежит в интервале

в то время как угол наклона касательной может принимать значения из отрезка

Таким образом,

является углом наклона касательной к кривой в точке с абсциссой х. Следовательно, из существования производной функции / в точке х следует существование касательной к кривой в точке с абсциссой х. Однако возможно, что в точке кривой с абсциссой х касательная существует, но функция, определяющая эту кривую, недифференцируема в точке х.

Далее, пусть для функции / в точке х и её некоторой окрестности определена угловая функция а = а(х). Тогда касательная в точке (ж; /(ж)) графика функции / называется непрерывной в точке ж, если непрерывна угловая функция а в этой точке. Будем говорить, что касательная графика функции / непрерывна в промежутке А, если она непрерывна в каждой точке А.

Определение 2.5 (на языке касательной). Непрерывная кривая Г : у = f{x), X G [a; b], называется гладкой, если существует непрерывная на отрезке [а; Ь] касательная кривой Г.

Введем понятие гладкой в широком смысле функции.

Определение 2.6. Функция f называется гладкой в широком смысле на отрезке [а; Ь], если она имеет непрерывную в широком смысле производную на этом отрезке.

Определение 2.7. Непрерывная кривая Г : у = f{x), х G [а; Ъ], называется гладкой, если функция f на отрезке [а; Ь] гладкая в широком смысле.

Для кривой, заданной параметрически, определение 2.7 можно обобщить следующим образом.

Определение 2.8. Непрерывная кривая Г С В?, заданная параметрически уравнениями х = x(t), у = y{t), z = z{t), t G [a; Ъ], называется гладкой на отрезке [a; b], если x(t), y{t), z(t) являются гладкими в широком смысле функциями, имеющими одновременно не равные нулю производные на [а; Ь].

ЛИТЕРАТУРА

1. Никольский С.М. Курс математического анализа. Т. 1. — М.: Наука, 1983.

Поступила 06.02.2012

THE SMOOTH CURVES PRESENTED BY NOT DIFFERENTIATED FUNCTIONS

E. Z. Ajdos

In article the concept is entered: «continuous in a broad sense function» and with its help is defined smoothness of the curve presented by functions, having finite and infinite derivatives in points. Characteristic of the function / with the help of which is possible to establish smoothness of a curve, is given.

Keywords: limit, derivative, infinity, smooth curve, the infinite derivative, tangent, angular function, not differentiated function.

СОДЕРЖАНИЕ И ТЕХНОЛОГИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ В ВУЗЕ

УДК 51

НАТУРАЛЬНЫЙ РЯД

Е. М. Вечтомов

Вятский государственный гуманитарный университет Россия, 610002, г. Киров, ул. Красноармейская, 26; e-mail: mathematic@vshu.kirov. ru

Излагается аксиоматическая теория натуральных чисел. Особенностью работы является непосредственное введение порядка на системе Пеано (до определения операции сложения натуральных чисел). Рассматриваются различные варианты принципа математической индукции.

Ключевые слова: натуральное число, система Пеано, математическая индукция.

Бог создал натуральные числа,

всё остальное — дело рук человеческих.

Леопольд Кронекер

ВВЕДЕНИЕ

Число и геометрическая фигура — исходные абстракции математики. Сначала возникли натуральные числа 1,2,3,..., служащие для пересчёта и счёта вещей. Расширение понятия числа — важнейшее направление развития математики, приведшее, в частности, к расцвету современной алгебры.

Во второй половине XIX века были предприняты попытки строго определить сами натуральные числа, создать теорию натурального ряда. Дело в том, что на числовой основе можно построить всю классическую математику — арифметизировать математику. Математика — точная дедуктивная наука, в которой одни положения (теоремы) выводятся из других (в конечном счёте, из аксиом). Арифметизация должна начинаться с обоснования натуральных чисел, которое даёт аксиоматический метод. Необходимость аксиоматизации основ математики подтвердилась на рубеже XIX-XX веков в связи с обнаружением противоречий (парадоксов, антиномий) в логике и теории множеств, вызванных ничем не ограниченным употреблением общих понятий. Заметим, что арифметизация математики была осуществлена во второй половине XIX века усилиями Б. Больцано, Г. Грассмана, У. Гамильтона, К. Вейерштрасса, Ш. Мерэ, Г. Кантора, Р. Дедекинда, Д. Гильберта и др. математиков. Если к тому же учесть тенденцию к математизации науки, то «близким сердцу» становится приписываемый пифагорейцам знаменитый тезис: «Всё есть (натуральное) число».

В 1861 г. Г. Грассман ввёл индуктивные определения операций сложения и умножения натуральных чисел исходя из операции ' (штрих) «взятия следующего числа» и доказал их основные свойства. В 1889-1891 гг. Джузеппе Пеано ([25], см. также [8, с. 31]) дал следующее индуктивное определение натуральных чисел:

1) 1 — натуральное число;

2) если п — натуральное число, то п' — натуральное число;

3) любое натуральное число может быть получено применением пунктов 1)и2);

4) п' ф 1 для каждого натурального числа п;

5) т! = п' <Ф=> m = п для любых натуральных чисел тип.

В силу этого определения натуральный ряд представляет собой последовательность попарно различных элементов (натуральных чисел):

Данное определение носит конструктивный характер: все натуральные числа порождаются 1 при последовательном применении операции '. Это порядковый, а не количественный подход к натуральным числам (есть их упорядоченность — пересчёт, но пока нет счёта — операций над натуральными числами).

Индуктивное определение натуральных чисел описывает натуральный ряд как известный, реально существующий объект. Модификацией постулатов 1)-5) получается аксиоматическое определение натуральных чисел (аксиоматика Пеано). В нём наряду с аксиомами имеются первичные (неопределяемые) понятия, математическая суть которых выражена в аксиомах. Любая модель аксиоматики Пеано может быть названа натуральным рядом.

Построение натуральных чисел полезно сравнить с построением геометрии. В «Началах» Евклида геометрия предстаёт перед нами как «метафизика пространства» или «физическая математика», описывающая реальное пространство. Аксиоматика Евклида — это первый пример аксиоматики в истории науки. Строгая аксиоматическая теория евклидовой геометрии была впервые построена Гильбертом в 1899 г.

Возвращаясь к самому началу статьи, заметим, что аксиоматические теории Пеано и Гильберта, относящиеся к основаниям математики, как раз и описывают фундаментальные понятия натурального числа и пространства.

Мы принимаем следующий

План изложения

1. Аксиоматика Пеано.

2. Упорядочение системы Пеано.

3. Индуктивное определение операций.

4. Связь операций с порядком.

5. Конечные множества.

6. Формы математической индукции.

7. Другие подходы к определению натурального ряда.

8. Разное.

Статья предназначена студентам математических направлений педвузов и университетов, а также преподавателям, читающим курс «Числовые системы» будущим учителям математики. Она дополняет работу [7].

1. АКСИОМАТИКА ПЕАНО

Сначала необходимо задать первичные термины и аксиомы. При этом мы будем опираться на элементарные теоретико-множественные понятия (множество, элемент, подмножество, отображение и т.д.) и пользоваться обычной логикой.

Первичные понятия: «множество N», «отображение ' из N в N», «элемент 1 из N». Отметим, что штрих ' как отображение обладает следующим свойством: m = п т' = п' для любых т,п G N. Таким образом, на множестве N задана унарная операция ' и выделен элемент 1. В результате получается алгебраическая система (N, 1).

Определение 1. Система (iV, 1} называется системой Пеано (см. [24, с. 78]), если она удовлетворяет следующим трём аксиомам: Pl. п! ф 1 дл«я каждого n G N. Р2. mf = nf ^ m = п для любых m, n G N.

Р3. Для любого подмножества M в N; если l)1GM и 2)nGM=>n/GM для каждого n G N; mo M = N.

Натуральным рядом называется всякая конкретная система Пеано, т. е. модель аксиоматической теории Пеано. Элементы из N называются натуральными числами, а само N — множеством (всех) натуральных чисел. Интуитивно 1 — «первое» натуральное число, а операция ' означает «взятие следующего числа» п' = п+ 1. Аксиома PI утверждает, что у 1 нет «предшествующего элемента». Аксиома Р2 показывает, что отображение 1 : N —> N переводит неравные числа в неравные. Аксиома Р3 — это аксиома индукции, алгебраический смысл которой состоит в том, что система Пеано не имеет собственных подсистем.

Несколько слов о свойствах аксиоматики Пеано. Мы предполагаем её непротиворечивость: существует хотя бы один натуральный ряд. Можно доказать, что аксиоматика Пеано категорична, т. е. любые два натуральных ряда изоморфны (теорема 4). Аксиомы Р1-Р3 логически независимы, т.е. ни одна из них не вытекает из остальных. Для доказательства независимости этих аксиом достаточно предъявить следующие примеры, в каждом из которых выполняются ровно две из трёх аксиом:

Пример 1. Пусть N = {1} и 1' = 1. Система (N, ',1) удовлетворяет аксиомам Р2 и Р3, но в ней не выполняется аксиома Pl.

Пример 2. Положим N = {1,а} и V = а = о!. Такая система удовлетворяет аксиомам PI и Р3, но не удовлетворяет аксиоме Р2.

Пример 3. Возьмем некоторый натуральный ряд (Ni, ',1} и объект р ^ N\. Рассмотрим множество N = Ni U {р}, на которое распространим операцию положив р' = р. Полученная система (N, ',1} удовлетворяет аксиомам PI и Р2, но при M = Ni ф N выполняются условия 1) и 2) аксиомы Р3.

Введём ещё одно понятие. Система (N, ', 1} называется индукционной системой [4], если она удовлетворяет аксиоме индукции Р3. Любая система Пеано, системы из примеров 1 и 2 являются индукционными системами, а система из примера 3 не является индукционной.

Из аксиом Пеано легко выводятся следующие свойства системы Пеано: 1°. п1ф п для любого п £ N.

2°. Для каждого пф \ из N существует единственный элемент k G N, такой, что п = к'.

Замечание. Обозначив для данного пф \ элемент к из свойства 2° через хп, получим: (Vi/ = п и х(п;) = п.

Упражнение. Существует ли индукционная система, которая не удовлетворяет ни аксиоме PI, ни аксиоме Р2?

2. УПОРЯДОЧЕНИЕ СИСТЕМЫ ПЕАНО

Система Пеано имеет порядковую природу, поэтому естественно начать с определения на произвольной системе Пеано (N, 1} отношения порядка (см. [3]). Отметим, что обычно сначала вводятся операции сложения и умножения натуральных чисел, а затем отношение порядка определяется через операцию сложения: m < п означает, что п = m + к для некоторого к G N.

Нам потребуются понятия отрезка и луча в N. Начальным отрезком, или просто отрезком, натуральных чисел называется произвольное множество A Ç N, содержащее 1 и удовлетворяющее условию

Лучом натуральных чисел назовем всякое множество A Ç N со свойством

Например, {1}, N — отрезки, а 0, N и N \ {1} — лучи. Если луч содержит 1, то А = N по аксиоме Р3. Очевидно, что пересечение любого непустого семейства отрезков (лучей) в N также является отрезком (лучом). Поэтому для произвольного п ф N существуют наименьший отрезок [1,п] и наименьший луч [п, оо), содержащие натуральное число п. Отсюда следует, что [l,n] Ç [l,nf] при любом п ф N. Интуитивно [1,п] есть множество всех натуральных чисел от 1 до п.

Определение 2. Для любых m, п G пусть m < п означает, что [l,m] Ç [1,п].

Определение 2 задаёт бинарное отношение < на множестве N, обладающее свойствами рефлексивности (п < п для всех п G N) и транзитивности (k < m, m < п к < п). Будет показано (свойство 04), что отношение < на N антисимметрично (т <п&п<т^>т = п) и связно (т < п или п < m для любых т,п G N).

Напомним, что бинарное отношение на непустом множестве X называется отношением порядка, если оно рефлексивно, транзитивно и антисимметрично, а само множество X с заданным на нём отношением порядка называется упорядоченным множеством. При этом если отношение порядка на X связное, то X называется линейно упорядоченным множеством (или цепью).

Сечением линейно упорядоченного множества (X, <} называется такая пара (А, В) его непустых подмножеств, что AU В = X и а < b для любых

a G А и Ъ G В. Запись а < Ъ означает, конечно, что а < Ъ и а ф Ъ. Линейно упорядоченное множество называется дискретным, если для всякого его сечения (А, В) множество А обладает наибольшим элементом, а множество В — наименьшим (такое сечение (А, В) называется скачком). Наконец, упорядоченное множество называется вполне упорядоченным, если каждое его непустое подмножество имеет наименьший элемент.

Покажем, что (N, < } — дискретное вполне упорядоченное множество.

Для этого докажем следующую цепочку свойств отрезков, обозначая ниже A Ù В = X, если AU В = X и АП В = 0.

01. 02. 03. 04.

(Свойство 04 показывает, что (N, <} — линейно упорядоченное множество с наименьшим элементом 1.)

05. 06.

07. Всякий отрезок в N, отличный от N, имеет вид [1,п] для некоторого однозначно определённого n G N.

08. Всякий непустой луч в N имеет вид [п, оо) для некоторого единственного п 0 N.

Доказательство свойств O1—О8

06. Действительно,

Второе равенство вытекает из первого на основании 03 и 04.

07. Рассмотрим отрезок А ф N. Существует п G А, такое, что п! ^ А. Поэтому [l,n] Ç А. Предположим, что нашлось m G А \ [1,п]. Тогда по 04 и 01 [1,п] С [1,га] и [l,n'] Ç [l,m] Ç А, что противоречит п! ^ А. Значит, А \ [1, п] = 0, поэтому А = [1, п]. Единственность п следует из 04.

Свойство 08 вытекает из свойств 07 и 03.

Теорема 1. Если (N, ',1) — система Пеано, то (N, < ) — дискретное вполне упорядоченное множество с наименьшим элементом 1, но без наибольшего элемента.

Доказательство. Рассмотрим произвольное сечение (Д В) в N. Ясно, что А — собственный отрезок в N. По свойству 07 имеем А = [1, п] для некоторого п G N. В силу 03 получаем Б = [п', оо). Тогда по 06 множество А обладает наибольшим элементом n, а множество В имеет наименьший элемент п'.

Наконец, возьмем непустое подмножество С в N. Если 1 G С, то С обладает наименьшим элементом. Пусть 1 ^ С. Положим В = {п G N : m < п для некоторого m £ С} н А = N \ В. В результате получаем сечение (Д В) дискретно упорядоченного множества (N, <}. Поэтому множество В, а вместе с ним и С имеют наименьший элемент. Теорема доказана.

Упражнения. 1. Докажите следующие свойства системы Пеано: п < п';

2. Докажите, что на любой системе Пеано всякий линейный порядок р с условием прп' при любых п совпадает с отношением порядка < из определения 2.

3. Как связаны между собой отрезки и лучи в N?

4. Убедитесь, что всякое дискретно упорядоченное множество с наименьшим элементом вполне упорядоченно.

5. Дайте описание всех дискретно упорядоченных множеств (содержательно, в терминах цепи целых чисел).

6. Покажите, что утверждение теоремы 1 может быть принято за определение натурального ряда как упорядоченного множества.

3. ИНДУКТИВНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПЕРАЦИЙ

Теорема 1 позволяет проводить индуктивное построение функций на системе Пеано по заданным начальному условию и рекуррентным соотношениям. Точнее, справедлива следующая

Теорема 2. Пусть (N, 1} — произвольная система Пеано, X — некоторое множество и xq G X. Тогда условия

1) /(1) = *о;

2) для каждого п ф 1 из N значение f{n) однозначно определяется по некоторому наперед заданному закону значениями f(k) при к < п

однозначно определяют функцию /: N —> X.

Схема доказательства. Сначала строятся функции fn на отрезках [1, п], удовлетворяющие соотношениям 1) и 2) теоремы 2. Единственность функций fn вытекает из полной упорядоченности N. Рассмотрим множество M = {n G £ N : fn существует}. Функция Д : [1,1] —> X определена равенством /i(l) = = жо- Если функция /п : [1,п] —> X существует, то существует и функция /п/ : [1, п'] —> X, равная fn на [1, п] и принимающая на элементе п' значение, предписанное условием 2). Полагая f(n) = fn{n) Для всех n G N, получаем искомую функцию.

Теорема 2' [24, с. 84]. Пусть даны произвольное множество X, элемент хо £ X и некоторая функция g : X х N ^ X. Тогда существует единственная функция f : N —> X, удовлетворяющая двум условиям:

Теорема 2 является частным случаем общей теоремы о построениях по индукции на упорядоченных множествах с условием минимальности (см. [11, с. 26-27]), а теорема 2! есть некоторая конкретизация теоремы 2.

Перейдем к понятию гомоморфизма системы (N, 1} в систему (iVi, ',1} (операции и выделенные элементы в однотипных системах обозначаются одинаково). Отображение /' : N —> N\ называется гомоморфизмом, если оно сохраняет операции, т.е. /(1) = 1 и f(n') = (/(n)) для любого n G N. Гомоморфизм /, являющийся взаимно однозначным отображением N на Ni, называется изоморфизмом. При этом обратное отображение f~l : Ni —> N также оказывается изоморфизмом. Две системы называются изоморфными, если существует изоморфизм одной из них на другую. Изоморфные системы обладают одинаковыми абстрактными свойствами. Из теоремы 2 непосредственно следует

Теорема 3. Для любых двух систем Пеано (N, ', 1) и (Ni, ', 1) существует единственный гомоморфизм / : N —> Ni.

В частности, только тождественное отображение служит гомоморфизмом любой системы Пеано в себя.

Пусть даны две системы Пеано: (N, ', 1} и (Ni, ', 1). По теореме 3 существуют гомоморфизмы / : N —> iVi и g : Ni —> N. Их композиции gof : N —> N и fog: Ni —> Ni являются тождественными отображениями. Поэтому g = /_1 и гомоморфизмы / и g суть изоморфизмы. Таким образом, мы получаем категоричность аксиоматики Пеано:

Теорема 4. Любые две системы Пеано изоморфны.

Заметим, что эта теорема сразу вытекает и из теоремы 2'. В самом деле, если (N, ', 1} и (iVi, 1} — системы Пеано, то при X = N, хо = 1 и д(х, п) = х' получаем изоморфизм данных систем.

Итак, с точностью до изоморфизма имеется одна-единственная система Пеано (N, ', 1} (в качестве N может быть выбран любой натуральный ряд). Элементы из N можно обозначать привычным образом (в десятичной системе счисления):

Если существует гомоморфизм одной системы на другую, то вторая система называется гомоморфным образом первой. Применяя теорему 3, получаем следующую характеризацию индукционных систем.

Теорема 5. Индукционные системы — это в точности гомоморфные образы системы (N, 1).

Построим по индукции бинарные операции сложения и умножения натуральных чисел. Бинарная операция на N — это функция от двух аргументов, пробегающих множество N, принимающая значения в N.

Определение 3 (определение сложения +). Фиксируем произвольное натуральное число m G N. Функцию fm: N —> N задаем соотношениями: 1) fm(l) = mf и 2) fm(nf) = fm(n) . Функция fm существует и единственна по теореме 2. Теперь для любых m, n G N полагаем m + n = fm(n).

Теорема 6, BN существует однозначно определенная бинарная операция +, называемая сложением, которая удовлетворяет соотношениям:

Аналогично для каждого m G N определяется функция дт : N —> N, удовлетворяющая условиям: дт(1) = m и gm{nf) = дт(п)+т- Тогда полагаем m - п — дт(п) для любых m, n G N.

Теорема 7. BN существует единственная бинарная операция -, называемая умножением, которая обладает следующими свойствами:

Для операций сложения и умножения в N выполняются следующие свойства:

( ассоциативность операции).

(коммутативность операций).

(дистрибутивность умножения относительно сложения).

(законы сократимости).

Упражнения.

1. Докажите равенства

2. Докажите по индукции свойства 1-4

3. Определите по индукции ряд чисел Фибоначчи:

4. Определите в N бинарную операцию тп возведения в степень и докажите её основные свойства.

5. Покажите, что гомоморфизм /: N —» Ni сохраняет операции сложения и умножения, т. е.

4. СВЯЗЬ ОПЕРАЦИЙ С ПОРЯДКОМ

Рассмотрим связи между операциями сложения и умножения и отношением порядка в N. Имеют место утверждения:

Cl. C2. C3. C4.

Свойство Cl легко получается индукцией по к.

Доказательство свойства С2. Рассмотрим множества В = {т + к : к G G N} и M = [1, m] U Б для фиксированного m G N. В силу Cl [1, m] П Б = 0. Очевидно, 1 G M. Пусть n G M. Если n < m, то < m и G [1, m] Ç M (см. свойства 04 и 05). A если n = m, то n' = m + 1 G ß Ç M. Если же n G В, т. e. n = m + при некотором G N, то = m + kf G i? Ç M. Следовательно, M = N по P3. Отсюда S = {n : m < n} в силу 04, что и дает С2.

Свойства СЗ и С4 вытекают из С2.

Выделим утверждение С2:

(*)

На натуральном ряде N отношение строгого порядка < можно определить и индуктивно [8, с. 26]:

(1)

(2)

(3) отношение < является наименьшим бинарным отношением на N, удовлетворяющим условиям (1) и (2).

Покажем, что индуктивное определение порядка на натуральном ряде N эквивалентно определению 2.

Теорема 8. На N существует единственное отношение порядка, обладающее свойствами (1) и (2).

Доказательство. Введённое выше отношение порядка < на N обладает свойствами (1) и (2) на основании упражнения 1 пункта 2. Возьмём произвольное бинарное отношение р на N, обладающее такими же свойствами: прп' и три =>► трп'. Проверим, что наше отношение < включено в отношение р. Предположим, что существует пара чисел m < n, не находящихся в отношении р. В силу упражнения 1 пункта 2, можно выбрать подобную пару чисел m < п с наименьшим возможным значением п. Снова по указанному упражнению имеем m < vn. Если m = хп, то n = m' и трп по первому свойству отношения р, что противоречит предположению. Если же m < vn, то в силу сделанного выбора тр'п. Отсюда по второму свойству отношения р опять получаем трп.

Упражнения. 1. Докажите, что для любых m, n G N найдётся такое k G N, что m < k - n («аксиома Архимеда» для натуральных чисел).

2. Сформулируйте и докажите теорему о делении с остатком для множества натуральных чисел.

3. Установите следующие соотношения:

5. КОНЕЧНЫЕ МНОЖЕСТВА

Конечность произвольного множества X ассоциируется с возможностью нумерации (пересчёта) всех его элементов натуральными числами, не превосходящими некоторого п G N. Это значит, что X = {/(1), /(2),..., f(n)} для подходящего взаимно-однозначного отображения / отрезка [1,п] на множество X. Множество называется п-элементным, если оно равномощно отрезку [1, п] для данного натурального числа п. Напомним, что два множества называются равномощными, если существует взаимно-однозначное отображение одного из них на другое.

Р. Дедекинд дал другое определение понятия конечного множества, также согласующееся с нашей интуицией. Множество X называется конечным, если X не равномощно никакому своему собственному подмножеству (т. е. подмножеству, отличному от X). Множество, равномощное некоторому своему собственному подмножеству, называется бесконечным. Тем самым, все множества подразделяются на конечные и бесконечные. Скажем, пустое множество 0 и множества [1,1] = {1}, [1,2] = {1,2}, [1,3] = {1,2,3} конечны, а множество N бесконечно, так как операция ' отображает N на собственное подмножество N\{1}. Индукцией по п нетрудно доказать, что любой отрезок [1, п], п G N, является конечным множеством. Верно и обратное утверждение, но его доказательство требует применения аксиомы выбора.

Теорема 9. Непустое множество конечно тогда и только тогда, когда оно п-элементно для некоторого {единственного) числа n G N.

Операции сложения и умножения в N применяются к парам натуральных чисел. Но мы знаем, что можно складывать и умножать и несколько (конечное семейство) натуральных чисел. Для того чтобы это строго сформулировать, определим понятия конечной и бесконечной последовательности элементов данного множества X. Конечной, точнее, п-элементной последовательностью в X называется произвольное отображение g: [1,п] —> X, где п — некоторое натуральное число. Такая последовательность обозначается ai, CL2,..., ап, или (ai)i<n, если = g {г) для любого г G [1, п]. Бесконечной последовательностью в X называется любое отображение g: N —> X. Обычно последовательность g обозначается (ап), где ап = д{п) для всех n G N.

Возьмём произвольную бесконечную последовательность (ап) в N. Построим по индукции «функцию суммирования» / для элементов этой последовательности, задав её соотношениями (см. теорему 2): 1) /(1) = а\\ 2) f{n') = f(n) + ап. Существует стандартное обозначение: f(n) = Yl аг (n G N). Тогда суммой конечной последовательности ai, <22,..., ат элементов из N называется значение f(m) функции «суммирования» для бесконечной последовательности ai, <22,..., ат, 1,1,1,... Аналогично определяется произведение конечной последовательности чисел.

Отметим, что для конечных сумм и произведений натуральных чисел можно доказать свойства коммутативности, ассоциативности, дистрибутивности и т.п. (см. [24, пункт 3.4]).

Упражнения. 1. Докажите, что для любых m, n G N равномощность отрезков [l,m] и [1,п] влечёт m = п. Выведите отсюда конечность отрезков в N, отличных от N.

2. Покажите, что каждый непустой луч в N бесконечен.

3. Докажите, что сумма натуральных чисел ai, a2, аз и не зависит от расстановки скобок.

4. Определите произведение конечной последовательности натуральных чисел.

5. Докажите, что произведение натуральных чисел ai, a2, аз и а4 не зависит от порядка сомножителей.

6. Докажите, что подмножества конечных множеств сами конечны, а надмножества бесконечных множеств бесконечны.

7. Попытайтесь доказать теорему 9. Заметим, что доказательство необходимости требует привлечения того или иного варианта аксиомы выбора.

8. Докажите, что класс всевозможных конечных множеств совпадает с наименьшим классом множеств, содержащим пустое множество 0, все одноэлементные множества {а} и замкнутым относительно операции объединения двух множеств [21, с. 115].

6. ФОРМЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ

В данном пункте мы рассмотрим некоторые формы принципа математической индукции. Простая переформулировка аксиомы Р3 даёт обычный

Принцип математической индукции (ПМИ). Для каждого свойства Р натуральных чисел, если Р(1) истинно и для любого n G N из истинности Р(п) следует, что истинно Р(п + 1); то Р(п) истинно для любого натурального п.

На языке математической логики это записывается так:

Замечание. Каждому свойству Р натуральных чисел соответствует подмножество M = {n G N : Р(п) истинно} в N. Запись «Р(п) истинно» означает, что натуральное число п обладает свойством Р. Обратно, любому подмножеству M в N отвечает свойство «n G M», которое истинно в точности для чисел из М.

Принцип математической индукции, называемый в математическом фольклоре «принципом домино», интуитивно вполне очевиден. Действительно, пусть Р(1) и Р(п) Р(п+1) при любом натуральном п, т. е. имеем Р(1) и бесконечную цепочку импликаций Р(1) ^> ^(2), Р(2) ^> Р(3),..., Р(2012) ^>

Р(2013),... Отсюда последовательно получаем: Р(2), Р(3),..., Р(2013) и т. д. Значит, свойство Р верно для каждого натурального числа.

В теореме 1 заключён хорошо известный

Принцип наименьшего элемента (ПНЭ). Любое непустое множество натуральных чисел имеет наименьший элемент.

Переформулировкой ПНЭ служит так называемая вторая форма индукции.

Вторая форма ПМИ. Для любого свойства Р натуральных чисел

Частным случаем ПНЭ служит

Конечный ПНЭ (КПНЭ). Любое ограниченное непустое множество натуральных чисел имеет наименьший элемент. Имеет место двойственное утверждение [9, с. 41]:

Дуальный КПНЭ. Во всяком ограниченном непустом множестве натуральных чисел есть наибольшее число.

Доказательство. Пусть дано непустое подмножество А в N, ограниченное сверху. Множество В всех верхних граней множества А непусто. По теореме 1 множество В обладает наименьшим числом Ъ. Покажем, что это число Ъ и будет наибольшим элементом в А. Достаточно убедиться, что Ъ G А. Предположим, что Ъ не лежит в А. Значит, в силу упражнения 1 пункта 2, а < Ъ для всех a G А, т. е. а < ХЬ для любого а G А, поэтому ХЬ G В, что невозможно.

Приведем ещё два аналогичных принципа:

П1. Каждое ограниченное множество натуральных чисел конечно. П2. Каждое множество натуральных чисел, имеющее наибольший элемент, конечно.

Принцип индукции можно выразить и в таком абстрактном виде:

Принцип конечной цепи. Любая конечная цепь имеет наименьший (эквивалентно — наибольший) элемент.

Из сказанного выше следует, что система (N, < ) является бесконечным вполне упорядоченным множеством, в котором выполняется дуальный КПНЭ. В силу следующего факта это позволяет дать абстрактную порядковую характеризацию натурального ряда чисел, выступающую иногда в качестве определения N.

Теорема 10. Любое вполне упорядоченное множество (X, < ) без наибольшего элемента, каждое ограниченное непустое подмножество которого имеет наибольший элемент, изоморфно (N, < ).

В самом деле, пусть дано некоторое упорядоченное множество X, удовлетворяющее условию теоремы, и х\ — его наименьший элемент. Каждый элемент х из X имеет (непосредственно) следующий элемент, а также предшествующий элемент при х ф х\. Обозначим через ж 2 элемент из X, следующий за х\, через хз — следующий за Ж2, и т.д. В результате получим подмножество А = {хп : n G N} «первых» элементов в X, порядково изоморфное N. Так как А не обладает наибольшим элементом, то X = А.

Отметим, что ПМИ является частным случаем трансфинитной индукции на вполне упорядоченных множествах, обобщением которой, в свою очередь, служит так называемая нётерова индукция, базирующаяся на упорядоченных множествах с условием минимальности.

Упражнения. 1. Докажите принципы П1 и П2.

2. Докажите, что любая конечная цепь изоморфна некоторому отрезку [1,п] с естественным порядком на нём.

3. Дайте строгое (индуктивное) доказательство теоремы 10.

7. ДРУГИЕ ПОДХОДЫ К ОПРЕДЕЛЕНИЮ НАТУРАЛЬНОГО РЯДА

Содержательная арифметизация математики базируется на теории множеств и обычной логике.

Натуральный ряд чисел настолько укоренён в общечеловеческой практике, что натуральные числа, будучи идеальными математическими объектами, обрели (наряду с наглядными геометрическими фигурами) независимый онтологический статус, не требующий специального опредмечивания понятия натуральное число. Следуя Кронекеру можно считать натуральные числа данными, а их простейшие свойства — интуитивно ясными. Исходя из этого положения (или предположения), достоверность которого обосновывается материальной и интеллектуальной деятельностью человечества, развиваются и строятся арифметика натуральных чисел и теория чисел. Такой подход к теории натуральных чисел мы называем содержательно-интуитивным. Натуральные числа популярно представлены в книгах [13] и [16].

При конструктивном способе натуральные числа определяются как слова в алфавите с одной-единственной буквой, скажем, с «вертикальной чёрточкой».

Содержательно-аксиоматическое задание натуральных чисел допускает разные аксиоматические определения натурального ряда на языке содержательной теории множеств.

Наконец, формально-аксиоматическая теория натуральных чисел предстаёт в виде формальной аксиоматической системы, в которой формализованы и предметный язык, и логика доказательств. При этом натуральный ряд определяется как модель формальной теории.

Рассмотрим подробнее указанные способы определения и построения теории натуральных чисел.

Содержательно-интуитивный подход. Предполагается известным множество (совокупность) N всех натуральных чисел с заданными на нём операциями сложения и умножения и отношением порядка, которые удовлетворяют естественным исходным условиям типа коммутативности операций и линейности порядка. Можно пользоваться наивным понятием множества. Наименьшее число 1 при многократном прибавлении 1 порождает все натуральные числа, т. е. любое натуральное число конечно достижимо [17, с. 76].

Понятия конечного множества и конечной процедуры («многократно», «конечное число раз», «несколько шагов») считаются интуитивно ясными, понятными. Конечность непустого множества А означает возможность перенумеровать его ограниченным набором натуральных чисел, точнее, существование взаимно однозначного соответствия между А и некоторым отрезком [1,п] = {х G N : X < п} натурального ряда. Для любых натуральных чисел m, п имеем:

m < n <v=> п получается из m последовательным прибавлением 1 к m конечное число раз <Ф=> n = m + k для некоторого натурального числа к.

Натуральный ряд N = {1, 1 + 1, 1 + 1 + 1,..., 1 + 1 + ... + 1,...} выступает как единственный, уникальный в своём роде объект. В десятичной системе счисления получаем все натуральные числа: 1, 2, 3,..., 2012,..., n, п + 1,... На основе указанных выше фактов (проистекающих из практики счёта, пересчёта и вычислений, наблюдений) успешно развивается полнокровная содержательная теория натуральных чисел. В качестве важнейшей иллюстрации рассмотрим принцип математической индукции ПМИ и связанные с ним равносильные утверждения.

Докажем, что ПМИ влечёт ПНЭ. Пусть дано непустое подмножество А в N. Предположим от противного, что в А нет наименьшего элемента. Тогда 1 G В = N \ А. Рассмотрим следующее свойство Р натуральных чисел: Р(п) означает, что отрезок [1,п] целиком содержится в В. Имеем Р(1) и Р(п) Р(п + 1) для любого натурального п. В силу ПМИ заключаем, что В = N, а это ведёт к пустоте А.

В свою очередь, покажем, как из ПНЭ следует ПМИ. Возьмём любое свойство Р, удовлетворяющее условиям ПМИ, и рассмотрим множество А всех тех натуральных чисел, которые обладают свойством Р. Нужно убедиться, что А = N. В противном случае непустое множество В = N\A по ПНЭ имеет наименьшее число m ф 1. Тогда число n = m — 1 обладает свойством Р, а число п + 1 = m им не обладает, что невозможно.

Легко показать, что ПНЭ равносилен как своему конечному случаю КПНЭ, так и дуальному КПНЭ (см. [9, с. 41]), а также каждому из принципов m и П2.

Указанные интуитивные допущения и содержательные рассуждения показывают неразрывную связь фундаментального понятия конечное с натуральными числами, в частности, с различными формами математической индукции (МИ). Все потенциально заканчивающиеся, конечные математические процедуры, процессы суть проявления метода МИ. Так, определение произведения нескольких чисел базируется на МИ, поскольку опирается на понятие конечной последовательности чисел. Методом МИ обосновываются и свойства натуральных чисел, не превосходящих данного натурального числа. Процесс МИ относится к области конечного и потенциально бесконечного, а ПМИ — к миру актуально бесконечного.

Содержательная аксиоматика. Система Пеано даёт содержательное определение натурального ряда, поскольку данная аксиоматика формулируется на основе заранее предполагаемой элементарной теории множеств. В аксиоме индукции Р3 допускаются любые подмножества М. Фактически аксиома Р3 есть форма ПМИ, в которой терм п + 1 означает ?т/, а свойства Р заменяются их множествами истинности. При аксиоматическом подходе не допускаются никакие умозаключения о числах, связанные с понятием конечного (как это делается в содержательно-интуитивных рассуждениях, свободно оперирующих понятием конечной достижимости натуральных чисел), пока оно строго не определено. Например, до тех пор, пока не введено понятие конечной последовательности, нельзя определять отношение m < п как существование в N конечной последовательности таких чисел а\ = m, а2,...,

Итак, аксиоматика натурального ряда дана. Как же дальше развивается теория натуральных чисел? Можно действовать по-разному. Скажем, вначале индуктивно определить и построить операции сложения и умножения в системе Пеано, причем непосредственно [23, гл. III] либо на базе общего индуктивного построения [24, гл. 3], а затем определить отношение порядка на N через операцию сложения. Отметим, что в рассуждениях методом МИ нужно различать доказательства по индукции, индуктивные определения и индуктивные построения. В аксиоматике Пеано явственно проглядывает порядковая структура натурального ряда, но не арифметическая.

Далее доказывается категоричность содержательной аксиоматики Пеано — см. [1, 2, 6, 10, 12, 14, 23, 24]. Нередко рассматриваются модификации системы Пеано, сразу включающие в себя операции сложения и умножения, а то и отношение порядка [5, 10, 15, 22].

Как отмечалось выше, можно дать порядковое определение натурального ряда. Будем исходить из понятия вполне упорядоченного множества. Пусть (X, < ) — вполне упорядоченное множество без наибольшего элемента, наименьший элемент которого обозначим единицей 1. Для каждого х из X существует следующий за ним элемент х'.

Теорема 11. Для любого вполне упорядоченного множества X без наибольшего элемента эквивалентны следующие условия:

1) в X выполняется ПМИ;

2) X удовлетворяет дуальному КПНЭ;

3) всякое ограниченное подмножество в X конечно;

4) всякое подмножество в X, обладающее наибольшим элементом, конечно;

5) любой элемент ф 1 в X имеет предшествующий элемент;

6) X дискретно.

Эту теорему нетрудно доказать по прямому циклу.

Итак, в порядковых терминах натуральным рядом можно назвать вполне упорядоченное множество без наибольшего элемента, удовлетворяющее некоторому (любому) из эквивалентных условий теоремы 11. Так определённый натуральный ряд является системой Пеано. Поэтому порядковая теория натуральных чисел категорична.

Возможен и другой подход, когда в качестве X рассматривается произвольное линейно упорядоченное множество с наименьшим элементом 1, для каждого элемента которого существует следующий элемент, а для каждого элемента ф 1 — предшествующий. Тогда имеет место

Теорема 12. Для X эквивалентны следующие утверждения:

1) в X выполняется ПМИ;

2) X удовлетворяет ПНЭ;

3) X удовлетворяет дуальному КПНЭ;

4) всякое ограниченное подмножество в X конечно;

5) X дискретно;

6) X порядково изоморфно N.

Подчеркнём, что в теоремах 11 и 12 содержится ряд порядковых аналогов МИ.

Формальная аксиоматика. Формальная арифметика — это формальная аксиоматическая теория, выраженная на языке логики (предикатов) первого порядка с равенством [19, гл. 3]. Формальная арифметика имеет одну предметную константу 1 и три функциональные буквы, которые будем обозначать привычным образом: одноместный символ ' и два двухместных символа + и •. Предполагается наличие двухместного предиката равенства = , удовлетворяющего обычным свойствам рефлексивности, симметричности, транзитивности и подстановки. Предметные переменные обозначим ж, у, z и т.д. Термы записываются так: 1, 1',..., ж', х + у, х • у и т. п. Атомарные формулы имеют вид s = £, где s, £ — произвольные термы.

Следующие выражения являются аксиомами формальной арифметики:

Следует заметить, что аксиомы 1-6 суть конкретные формулы, а аксиома 7 фактически является аксиомной схемой, представляющей собой счётный набор конкретных аксиом — по аксиоме для каждой формально-арифметической формулы Р(х). Формальная теория натуральных чисел строится средствами логики предикатов первого порядка. Заметим, что формальная аксиоматика не может быть ограничена аксиомами 1, 2 и 7, как содержательная аксиоматика Пеано, поскольку в ней невозможно выразить операции сложения и умножения.

Рассуждения о свойствах самой формальной арифметики принадлежат сфере метаматематики. Натуральным рядом называется любая модель формальной арифметики. Формальная арифметика уже не категорична. В предположении её непротиворечивости наряду со стандартной моделью N существуют натуральные ряды любой бесконечной мощности, и даже счётные нестандартные модели. Это можно пояснить тем, что, в отличие от ПМИ и аксиомы Пеано Р3, аксиома индукции 7 допускает только свойства Р, выразимые в сигнатуре (=, +, - , ',1} на формальном языке первого порядка. По классической теореме Геделя о неполноте формальная арифметика не является также и полной.

Модель Сколема служит примером счётного нестандартного натурального ряда. Возьмем системы Z целых чисел и Q+ положительных рациональных чисел с обычными операциями сложения и умножения и обычным порядком. На их прямом произведении Q+ х Z зададим покоординатные операции сложения и умножения и лексикографический порядок: (g, z) < (gi, z\) означает, что q < qi либо z < z\ при q = q\. В результате имеем линейно упорядоченное полукольцо без нуля. Добавим к нему стандартный натуральный ряд N. В N = NU (Q+ X Z) сложение, умножение и порядок на N и на Q+xZ даны выше, и для любых n G N, q G Q+, z G Z: n < (q, z), n + (q, z) =

= (q, z + и) и n - (9, z) = (q, z • n), причём операции предполагаются коммутативными. Заметим, что сложение и порядок в N связаны соотношением (*). Система (N, +, •} служит счётной моделью формальной арифметики, не изоморфной (N, 1).

Отметим также, что ультрастепень системы N по любому ультрафильтру счётного индексного множества, содержащему все конечные подмножества, имеет мощность континуума и элементарно эквивалентна N, т. е. в этих алгебраических системах истинны одни и те же предложения формальной арифметики [18, с. 205, 220-221].

Упражнения.

1. Непосредственно, на интуитивном уровне докажите, что ПНЭ равносилен каждому из следующих предложений: КПНЭ, дуальный КПНЭ, П1, П2.

2. Докажите теоремы 10 и 11.

3. Подробно разберите пример Сколема.

8. РАЗНОЕ

В этом заключительном пункте рассмотрим структурные свойства алгебраической системы (N, 1), касающиеся строения её конгруэнций и аддитивных подполугрупп.

Конгруэнции на N

Пусть даны алгебры ( N, ',1} и ( N\, ', 1 ). Рассмотрим гомоморфизм f:N—>Ni. Отображение / порождает отношение равнообразности ~ на N: m n <v=> f{m) — f(n)- Бинарное отношение ~ является отношением эквивалентности на N, т. е. оно рефлексивно, симметрично (т ~ п п ~ т) и транзитивно. Причем если m ~ п для m, n G N, то и т! ~ ?т/, поскольку f{m') = f(m) = /(n)' = /(n') в силу гомоморфности /.

Произвольное отношение эквивалентности ~ на N называется конгруэнцией на системе (N, ', 1), если m ^ п ^ т' ^ п' для любых m, n G N.

Зафиксируем некоторую конгруэнцию ~ на системе (N, ',1). Отношение ~ индуцирует разбиение множества N на попарно не пересекающиеся классы h = {m G N : m ^ n} эквивалентных элементов. Заметим, что m = = n <v=> m ~ п при любых m, n G N. Эти классы как элементы образуют фактор-множество N/ ~ множества N по отношению эквивалентности ~. Для любого n G N положим (n)' = n7. Тогда получим систему (N/ ~, 7,1), где 1 = 1, и канонический гомоморфизм f:N^> N/ ~, /(n) = n для всех n G N. Система (N/ ~, ', 1} называется фактор-системой исходной системы по конгруэнции ~ и является её гомоморфным образом. Соответствующее отношение равнообразности совпадает с отношением ~.

Опишем все конгруэнции на натуральном ряде N. В силу теорем 3 и 5 конгруэнции на N тесно связаны с индукционными системами. Именно, каждая индукционная система изоморфна фактор-системе системы N по некоторой однозначно определенной конгруэнции. Поэтому описание всех конгруэнций

на N фактически даёт и описание всех индукционных систем с точностью до изоморфизма.

Приведем примеры конгруэнций на N:

1. Отношение равенства =.

2. Отношение равноостаточности при делении на данное натуральное число п. При п = 1 получаем несобственную конгруэнцию, отождествляющую любые два натуральных числа.

3. Фиксируем m, n G N и для любых а, Ъ G N пусть ар(т,п)Ъ означает, что а = Ъ < m или а и 6 имеют равные остатки от деления на п при m < а и m < Ъ. В частности, ri) — это отношение равноостаточности при делении на п.

Теорема 13. Отношение равенства и отношения р(т,п) исчерпывают множество всех конгруэнций на натуральном ряде N.

Аддитивные полугруппы натуральных чисел

Аддитивной полугруппой натуральных чисел называется непустое подмножество А в N, замкнутое относительно операции сложения: m, n G А 4m + nGi для любых m, n G N. Выясним строение таких множеств.

Пусть А — аддитивная полугруппа в N. Множество X Ç А называется системой образующих полугруппы А, если каждый элемент из А является суммой некоторой конечной последовательности элементов в X. Если А обладает конечной системой образующих, то А называется конечнопорожденной полугруппой. Всякая конечнопорожденная полугруппа А имеет минимальную систему образующих, в которой ни один элемент аддитивно не выражается через остальные. В А существует стандартная система образующих, получаемая следующим образом: пусть а\ — наименьшее натуральное число из A; CL2 — наименьшее число множества, полученного вычеркиванием из А всех чисел, делящихся на а\ (если это множество не пусто); и т.д. Можно показать, что стандартная система образующих полугруппы А конечна, т.е. последовательность а^о^аз?--- обрывается на некотором n-м шаге. В результате получаем в А наименьшую систему образующих {ai, a2,..., an}, содержащуюся, как легко видеть, в любой системе образующих полугруппы А.

Теорема 14. Любая аддитивная полугруппа А в N обладает следующими свойствами:

1) А — конечнопорожденная полугруппа, каждая система образующих которой содержит стандартную систему образующих {ai, a2,..., an};

2) начиная с некоторого îiq G А полугруппа А представляет собой арифметическую прогрессию с разностью d, где d есть НОД чисел ai, a2,..., ап и А П [по, оо) = {по, по + cf, по + 2d,...}.

Например, если аддитивная полугруппа А порождается числами 6 и 8, то по = 12 = 6 + 6, d = 2 и А = {6, 8,12,14,16,...}. Заметим, что число по из свойства 2) называется константой Фробениуса полугруппы А (при условии d = 1). Изучением поведения константы Фробениуса в зависимости от вектора (ai, a2,..., ап) занимался в 2006 году В. И. Арнольд [20, с. 163, 165].

Упражнения. 1. Покажите, что любой гомоморфный образ произвольной системы (N, 1,1} изоморфен некоторой фактор-системе этой системы (это теорема о гомоморфизмах для алгебраических систем с одной унарной и одной нульарной операциями).

2. Найдите аддитивную полугруппу в N с наименьшей системой образующих из 6 элементов.

3. Чему равна аддитивная полугруппа в N, порожденная числами 5 и 7?

4. Постарайтесь доказать теоремы 13 и 14.

5. На основе теоремы 13 опишите с точностью до изоморфизма все циклические полугруппы, т. е. полугруппы, каждый элемент которых есть натуральная степень одного элемента, называемого образующим элементом соответствующей полугруппы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Арнольд И. В. Теоретическая арифметика. — М.: Учпедгиз, 1939.

2. Белановский П. Д. Основы теоретической арифметики. — М.: Учпедгиз, 1938.

3. Вечтомов Е. М. Прямой способ введения отношения порядка в системе Пеано // Математический вестник педвузов Волго-Вятского региона. 1998. Вып. 1. С. 6-14.

4. Генкин Л. О математической индукции / Пер. с англ. — М.: ГИФМЛ, 1962.

5. Гонин Е. Г. Теоретическая арифметика. — М.: Учпедгиз, 1959.

6. Демидов И. Т. Основания арифметики. — М.: Учпедгиз, 1963.

7. Игошин В. И. Курс числовых систем для педагогического вуза // Математика в высшем образовании. 2010. №8. С. 19-36.

8. Клини С. Введение в метаматематику / Пер. с англ. — М.: ИЛ, 1957.

9. Когаловский СР., Шмелева Е.А., Герасимова О. В. Путь к понятию. — Иваново, 1998.

10. Куликов Л. Я. Алгебра и теории чисел. — М.: Высшая школа, 1979.

11. Курош А. Г. Лекции по общей алгебре. — М.: Наука, 1973.

12. Ландау Э. Основы анализа / Пер. с нем. — М.: ГИИЛ, 1947.

13. Ларин С.В. Что такое натуральные числа?: Книга для учащихся. — М.: Просвещение, 1996.

14. Ларин С.В. Числовые системы. — М.: Академия, 2001.

15. Ляпин Е. С, Евсеев А. Е. Алгебра и теория чисел. Ч. 1. — М.: Просвещение, 1974.

16. Мадер В. В. Тайны натурального ряда. — М.: Просвещение, 1994.

17. Мадер В. В. Введение в методологию математики. — М.: Интерпракс, 1995.

18. Мальцев А. И. Алгебраические системы. — М.: Наука, 1970.

19. Мендельсон Э. Введение в математическую логику / Пер. с англ. — М.: Наука, 1971.

20. Мы — математики с Ленинских гор. № 5. В. И. Арнольд: Воспоминания однокурсников, друзей, учеников / Сост. А.Д.Белова. — М.: Мехмат МГУ, МГУ им. М.В.Ломоносова, 2011.

21. Непейвода Н.Н. Прикладная логика. — Новосибирск: Изд-во НГУ, 2000.

22. Нечаев В. И. Числовые системы. — М.: Просвещение, 1975.

23. Проскуряков И. В. Числа и многочлены. — М.: АПН РСФСР, 1947.

24. Феферман С. Числовые системы. (Обоснования алгебры и анализа) / Пер. с англ. — М.: Наука, 1971.

25. Peano G. Sul concetto di numéro // Rivista di matematic. 1891. 1, 87-102, 256-267.

Поступила 26.03.2012

THE POSITIVE INTEGERS

E. M. Vechtomov

We consider the axiomatic theory of natural numbers. The specificity of the work is in the introduction of order in the system of Peano (before defining the operation of addition of natural numbers). We consider different variants of mathematical induction principle.

Keywords: natural number, Peano system, mathematical induction.

СОДЕРЖАНИЕ И ТЕХНОЛОГИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ В ВУЗЕ

УДК 517.3

ОБ ОДНОЙ ЗАБЫТОЙ ТЕОРЕМЕ АНАЛИЗА1

Питер А. Лёб2

Department of Mathematics, University of Illinois 1409 West Green Street, Urbana, Illinois 61801; e-mail: loeb@math.uiuc.edu

Перевод с английского E. И. Гордона3

Предисловие переводчика

Предлагаемая заметка известного американского математика П. Лёба, профессора Иллинойского университета в Урбане-Шампейн, в настоящее время находящегося на пенсии (Professor Emeritus), посвящена проблеме, которая уже довольно давно не рассматривается в курсах математического анализа как в США, так и в России. Впрочем, как следует из заметки, её продолжают обсуждать в университетах Высшей Лиги США, к которой относятся такие университеты, как Гарвард, Иель, Колумбия, Принстон и некоторые другие. Речь идет о проблеме строгого обоснования выбора подынтегрального выражения при вычислении величин с помощью определенных интегралов.

Например, при вычислении площади под графиком непрерывной функции на отрезке [а, Ь] тот факт, что эта площадь равна J f(x)dx, обосновывается при помощи верхних и нижних сумм Дарбу, поскольку по определению площадь квадрируемой фигуры есть точная верхняя грань площадей вписанных многогранников и, одновременно, точная нижняя грань площадей описанных многогранников. Однако уже при вычислении площади между графиками двух непрерывных функций f(x) и д(х) обосновать использование интеграла при помощи сумм Дарбу, вообще говоря, не удаётся и приходится привлекать аддитивность площади. При вычислении длины кривой, которая является пределом длин вписанных ломаных, т. е. пределом сумм вида

использование интеграла

тоже не удаётся обосновать при помощи верхних и нижних сумм — здесь нужно использовать теорему о конечных приращениях и независимость интеграла от выбора точек, в которых вычисляется функция в суммах Римана. Еще сложнее задача строгого обоснования вычисления с помощью интегралов физических величин, не имеющих, как правило, формального математического определения.

1 Оригинал статьи — «А Lost Theorem of Calculus» — опубликован в журнале Math. Intelligencer, Vol. 24, No 2 (2002), 15-18. Перевод публикуется с любезного разрешения автора.

2 Автор признателен Данниилу Грэйсону и рецензенту за ряд полезных предложений.

3 Department of Mathematics, Eastern Illinois University, Charleston, IL 61920.

В заметке описывается общий подход к этой проблеме, основанный на ныне забытой теореме Дюамеля и некоторых её модификациях. Этот подход применяется для обоснования интеграла в упомянутом случае вычисления площади, заключенной между графиками двух функций, а также в одной весьма нетривиальной физической задаче. Достоинство этого подхода состоит в его простоте и доступности для начинающих.

Чтобы мотивация этой заметки была более понятна читателю, поясним структуру преподавания математического анализа в американских университетах. Поступая на факультет естественных наук (College of Science), студент, как правило, выбирает свою основную специализацию после окончания двух-трёх семестров, в течение которых он изучает вводные курсы по математике, физике, химии и т. п. При этом основным математическим курсом является курс дифференциального и интегрального исчисления, который читается без доказательств теорем о пределах, свойств непрерывных функций и т. п. Иногда не даётся даже формальное определение предела. Этот курс примерно соответствует курсу математики в технических вузах России. Определённый интеграл вводится как предел римановых сумм. При этом отрезки разбиения считаются равными. Студенты, выбирающие математику своей основной специальностью, изучают затем курс оснований (Foundations), который примерно соответствует курсу «Элементы математической логики и теории множеств», читаемому иногда в российских университетах. Затем читается «продвинутый» курс анализа (Advanced Analysis), в котором излагаются теория вещественных чисел, теория пределов, теория непрерывности и теория интеграла Римана. Как правило, в основу определения интеграла Римана в современных учебниках кладутся суммы Дарбу. Этим и объясняется внимание к обоснованию корректности использования определённых интегралов.

При современном развитии компьютерных вычислений, в том числе символьных, вряд ли имеет смысл уделять столько внимания технике вычисления неопределенных интегралов (хотя, конечно, самые основные общие методы, такие, как интегрирование рациональных функций, должны быть изучены). При этом встает вопрос, чем заменить исключаемые темы. Заметка убедительно показывает, что обоснование применения интегралов при вычислении величин может быть хорошим кандидатом на включение в курсы анализа.

1. Введение

Как при решении прикладной задачи с помощью интеграла Римана определить, что подынтегральное выражение выбрано правильно? Почему, например, f(x)Ax является хорошей аппроксимацией при вычислении площади под графиком функции /, в то время как Ах — плохое приближение при вычислении длины этого графика? Много лет тому назад для ответа на этот вопрос математики использовали принцип Дюамеля (см. [5, 4], или [2, стр. 35]), а позднее там, где это возможно — заменяющую его теорему Блисса [1]. В настоящее время эти теоремы знают лишь немногие математики старейшего поколения. В современных учебниках строгое изложение определенных интегралов использует верхние и нижние суммы как для теории, так и для

приложений. Большинство преподавателей и не подозревает, что этот метод не годится для проверки правильности выбора подынтегрального выражения даже в некоторых простых задачах для первокурсников.

Автор остро столкнулся с этой проблемой неадекватности, когда, будучи приглашенным профессором в одном из университетов высшей лиги, вынужден был, вопреки своим энергичным возражениям, включить в заключительный экзамен по математическому анализу следующую задачу: написать и подробно обосновать интеграл для вычисления силы, с которой вода в бассейне действует на круглое стеклянное окно радиуса R в стене этого бассейна, если уровень воды находится как раз на вершине окна. Студенты изучали в курсе только метод верхних и нижних сумм, так что они смогли правильно решить задачу лишь для верхней половины окна, но не для его нижней половины (см. ниже Пример 2).

Трудность, связанная с обоснованием правильности выбора подынтегрального выражения, довольно тонкая. Если величина Q равна интегралу от функции /, то каждая верхняя сумма для / больше Q, а каждая нижняя сумма для / меньше Q. С другой стороны, даже в приложениях самого элементарного уровня невозможно знать a priori, что величина Q ограничена верхней и нижней суммами. Это можно узнать, только показав каким-то другим путем, что интеграл от / равен Q. Рассмотрим, например, площадь между графиками функций д[х) = 1 + х2 и h[x) = 2х2 на [0,1]. В то время как при достаточно малом Ах > 0 функция д(х) — h(x) принимает на интервале [0, Ах] максимальное значение 1 в точке 0, ни один прямоугольник с высотой 1 и шириной Ах не содержит области, заключенной между этими графиками над интервалом [0, Ах]. Таким образом, заранее не ясно, что 1 • Ах больше, чем площадь этой области. Конечно, обосновать нужный здесь интеграл можно несколькими различными способами (см. Пример 1), однако даже в этом простом случае «универсальный» метод верхних и нижних сумм, а также теорема Блисса не подходят для проверки правильности выбора подынтегрального выражения.

Какой ответ мы здесь предлагаем? При вычислении величины Q как интеграла от непрерывной функции / на интервале [а, Ъ] часть Qi величины Q, относящаяся к i-му интервалу данного разбиения, аппроксимируется i-м членом суммы Римана для функции /. Результирущие ошибки е\ при этом должны быть настолько малы, чтобы их сумма стремилась к нулю при измельчении разбиения. Мы ответим на этот вопрос, указав, сколь малым должно быть для этого каждое е\. Ответ, данный ниже в Теореме 2, является специальным случаем принципа Дюамеля, выведенным из теоремы Кислера [3] о бесконечной сумме. Результат Кислера использует бесконечно малые числа. Он утверждает, что при разбиении на бесконечно малые интервалы каждая ошибка е\ должна быть бесконечно малой по сравнению с длиной соответствующего интервала. В этой статье мы заменим бесконечно малые величины на функции, стремящиеся к нулю при стремлении аргумента к нулю. Чтобы наш ответ был полезным, нужно отказаться от распространенного убеждения, что равномерная непрерывность не может быть введена на элементарном уровне; на самом деле её можно ввести относительно легко, используя эквивалентое условие, приведенное ниже в Теореме 1.

Как и в большинстве вводных курсов, мы пока неявно предположили, что требуемая величина Q существует как число и что проблема состоит в том, чтобы правильно вычислить это число при помощи интеграла. Эта точка зрения подходит даже для достаточно продвинутых приложений анализа, когда величина определяется физическими законами и элементарными рассуждениями и имеется необходимость проверить правильность значения, полученного при помощи некоторого интеграла. Теорема 2 дает общий метод подтверждения правильности таких вычислений. Хотя при более формальном подходе рассматриваемые величины сначала должны быть строго определены, такое определение обычно сопровождается каким-то обоснованием. В литературе можно найти рассуждения, использующие аппроксимирующие части Qi еще не определенной величины Q. Однако в примере о площади, обсуждавшемся выше, смысл любой части величины Q не более ясен, чем смысл этой величины в целом. Простая модификация метода Дюамеля, приведенная ниже в Теореме 2, имеет дело не с отдельными кусочками Qi величины Q, а с интервалами J^, в которых эти числа, если они существуют, могут быть найдены.

Независимо от того, формальный или неформальный подход к составлению интеграла применяется, ошибки могут случаться и случаются. Поскольку никто не знает, что именно придётся применять студентам после обучения, они должно быть готовы к совершенно новым приложениям. Поэтому представляется странным, что проверка правильности выбора подынтегрального выражения не включается в учебники по математическому анализу. Вместо этого учебники изобилуют методами численного вычисления интегралов и оценок точности этих вычислений. И это в то время, когда имеется множество компьютерных программ не только для численного, но и для формульного вычисления интегралов. А вот что компьютерные программы не могут сделать — это ответить на вопрос пользователя, является ли полученный ответ правильным для исходной задачи. Поскольку в настоящее время необходимость в вычислении интегралов вручную практически отпала, умение оценивать ошибки при составлении подынтегрального выражения должно занять более важное место при подготовке будущих специалистов.

2. Принцип Дюамеля и равномерная непрерывность

В определении сумм Римана непрерывной функции / на интервале [а, Ь] мы следуем Кислеру [3]. Каждое Ах > 0 отвечает единственному разбиению [а, Ь] на п подынтервалов, где п — такое первое целое число, что а + пАх > Ъ. Концевые точки интервалов разбиения задаются формулами Х{ = а + iAx для 0 < i < n - 1, и хп = 6. Мы используем Axi для обозначения длины г-го подынтервала разбиения; разумеется, Ах{ = Ах за исключением последнего подынтервала, который может быть короче Ах. Вычисляемая всегда «слева» сумма Римана имеет вид

а интеграл есть её предел при Ах —> —> 0. Здесь нет необходимости вводить понятие предела, отличное от того, которое используется при дифференцировании. Кислер отмечает, что если

а < с < b то, используя значения Ах, которые делят [а, с] на равные части, можно показать, что интеграл по [а, Ь] равен сумме интегралов по [а, с] и [с, Ь].

Мы хотим использовать следующий результат, эквивалентный теореме о равномерной непрерывности функции /, непрерывной на замкнутом ограниченном интервале. Читатель легко может доказать эту эквивалентность, а преподаватели могут доказать этот результат начинающим студентам сам по себе для случая функции / с ограниченной производной.

Теорема 1 (теорема о максимальных приращениях). Пусть f непрерывная функция на [а, Ь]. Для заданного значения Ах > 0 и сответствующего ему разбиения интервала [а, Ь] обозначим через Mi и mi максимальное и минимальное значения функции f на г-м интервале [xi-i,Xj\.

Пусть

Тогда

Применяя этот результат, легко показать, что интеграл от непрерывной функции на ограниченном замкнутом отрезке существует и имеет обычные свойства. Использование отображения / i—> Ef, определенного для любой непрерывной функции /, является необходимым для нашего подхода. Мы также применяем эти функции для формулировки и приложений следующей простой формы принципа Дюамеля.

Теорема 2 (принцип суммарной ошибки). Пусть f — непрерывная функция на интервале [а, Ь]. Величина Q равна

если существует функция Е, зависящая от Ах, которая обладает следующими свойствами: для каждого положительного Ах и соответствующего ему разбиения интервала [а, Ь] число Q может быть записано в виде суммы

так, что

Доказательство. Величина Q является пределом при Ах —> 0 соответствующих римановых сумм, поскольку для любого заданного Ах

Каждому, кто знаком с исторической литературой, должно быть очевидно, что приведенная выше формулировка принципа Дюамеля больше подходит для начинающих, чем оригинальная формулировка Дюамеля 1856 года [2], или усовершенствованная Осгудом формулировка 1903 года [4], или любая более поздняя формулировка, использующая о-обозначение Ландау.

Формулировка Теоремы 2 не вполне удовлетворяет современным требованиям, предъявляемым к математической строгости, находясь, впрочем, в полном соответствии с требованиями 19-го века. Дело в том, что эта формулировка включает интуитивно ясное, но не определенное строго понятие величины. Такие определения существуют для некоторых математических

величин, например, для длины спрямляемой кривой или для площади квадрируемой области. Однако даже для случая площади между графиками двух гладких функций на отрезке [а, Ь] обоснование корректности вычисления этой площади при помощи интеграла Римана выходит за рамки курса анализа для начинающих студентов.

Для вычисляемых при помощи интеграла Римана физических величин (таких, например, как работа или давление) математически строгое определение вообще отсутствует. Мы знаем, как правило, лишь значение этих величин в некоторых частных случаях (например, работу постоянной силы на отрезке прямой) и имеем интуитивное представление о некоторых свойствах этих величин, таких, как аддитивность или непрерывность.

Можно избежать понятия общего количества Q. Хотя это может не подойти для начинающих, мы можем модифицировать принцип Дюамеля, следуя Осгуду [4] и Тейлору [5] так, что существование полной величины Q не предполагается, а делается акцент на интервалы, в которых её части могут быть найдены. Цель модификации состоит в исключении любого предположения о заданном изначально вещественно-значном отображении г ^ Qi для каждого разбиения [а, Ъ]. Это приводит к следующей модификации принципа Дюамеля, которая и может быть использована для обоснования определения физических величин при помощи интеграла Римана.

Теорема 3. Пусть f — непрерывная функция на интервале [а, Ъ], а Е - неотрицательная функция переменной Ах такая, что

Сопоставим каждому Ах > 0 и каждому интервалу [х{-1,хЦ соответствующего ему разбиения интервал J^(Ax), содержащий /(xi-i)Axi и имеющий длину, не превосходящую Е(Ах)Ах. Тогда для любого выбора точек

имеем

Доказательство. Пусть

Тогда если Ах < 1, то

Одним из следствий Теоремы 2 является результат Г. А. Блисса [1] 1914 года для проверки корректности интегралов в таких приложениях, где подынтегральное выражение представимо в виде произведения двух непрерывных функций g ж h. Именно, требуется, чтобы для г-ж части Ii разбиения интервала [а, Ъ], порождённого Ах > 0, и для соответствующей части Qi искомой величины Q существовала точка (si,t{) в Ii х Д такая, что Qi = = g(si)h(ti)Axi. В качестве альтернативы можно использовать Теорему 3, чтобы показать, что для любого выбора точки (s{,ti) в Ii х Ii имеет место

Основная теорема дифференциального и интегрального исчисления также является следствием принципа суммарной ошибки: для заданной первообразной Y = F(x) непрерывной функции / на [а, Ъ] и положительного Ах в каждом подынтервале [#г-ъ Xj\ существует точка с\ такая, что AYi := F[x\) —F(xi-i) = f(ci)Axi] искомая величина есть F(b)—F(a) = ^ АУ^, и для каждого г абсолютная величина ошибки есть — /(xi-i)| Axi < Ef(Ax)Axi.

(Это неравенство показывает также, что римановы суммы не обязательно вычислять в левых концах интервалов разбиения.) Заметим, что риманова сумма ^2 f(xi-i)Axi является суммой дифференциалов ^ dY{. Когда Ах стремится к 0, разность между суммой ^ AY{ настоящих приращений функции Y и суммой dYi их аппроксимаций вдоль касательных стремится к нулю.

Это помогает объяснить интегральные обозначения.

3. Примеры

В заключение приведем два примера, показывающих, что при применении интеграла Римана имеются элементарные задачи, в которых верхние и нижние суммы не могут быть напрямую применены для обоснования выбора подынтегрального выражения.

Пример 1. Пусть g и h — непрерывные функции и д[х) > h[x) для всех X в [а, Ъ]. Используя, если необходимо, параллельный сдвиг графиков вдоль оси ординат и вычитание площадей, можно показать, что площадь, заключенная между графиками функций g ж h, вычисляется при помощи интеграла J [д{х) — h(x)) dx. Невозможно доказать корректность выбора подынтегрального выражения без таких преобразований, т. е. только с помощью верхних и нижних интегральных сумм; простой пример рассмотрен во введении. С другой стороны, для решения этой задачи можно непосредственно применить наши более общие методы. Пусть уi и zi — наибольшие значения функций у = д(х) и z = h(x) на интервале [х^_1,Хг], а у. и z± — их наименьшие значения. Поставим в соответствие интервалу разбиения [xi-i,Xi] интервал J^(Ax) = (yi — Z{)Ax{, (^yi — z^jAxi . Этот интервал содержит как г-й член суммы Римана, так и соответствующую часть площади в предположении, что последняя существует. Теперь можно применить Теорему 2 или Теорему 3, поскольку длина J^(Ax) не превосходит [Ед{Ах) + Е^(Ах)]Ахг и lim [Ед(Ах) + Eh(Ax)} = 0.

Пример 2. Рассмотрим в стене бассейна окно высоты 1, вершина которого находится на поверхности воды. Окно симметрично относительно вертикальной оси и имеет на глубине х ширину sin7rx. Обозначим w плотность

воды. Мы хотим показать, что сила F действия воды на окно задаётся интегралом J wx sinnx dx. Верхние и нижние суммы годятся для обоснования этого интеграла для верхней половины окна, но не подходят для обоснования этого интеграла для нижней половины, поскольку там при увеличении глубины давление увеличивается, а длина горизонтальных полос уменьшается. Для этой части задачи можно использовать теорему Блисса. Мы, однако, воспользуемся непосредственно Теоремой 2, учитывая тот факт, что сила существует как физическая величина и является аддитивной. При интегрировании на интервале [1/2,1] для каждого Ах > 0 и каждого подынтервала [xi_i,Xi] границы соответствующей силы Fi определяются из соотношений

При этом г-й член суммы Римана также находится между этими границами. (Границы для силы можно обосновать, используя либо давление, либо работу силы тяжести по переносу воды от повехности вниз через часть окна между Xi-i и Xi на расстояние Ах.) Правильность написанного выше интеграла теперь следует из принципа суммарной ошибки: действительно, для функции

при любом г разность между границами равна Axi, умноженному на

Для этой задачи, как на самом деле для большинства задач, встречающихся в курсе анализа, можно найти специальные приемы проверки правильности выбора интеграла для нужного приложения. Однако студентам следует дать общий подход, который они смогут запомнить и применять в будущей работе. Таким общим подходом является проверка порядка ошибки, описанная в Теоремах 2 и 3. С увеличением возможностей компьютеров как для численного, так и для символьного интегрирования проверка правильности сведения задачи к вычислению интеграла должна играть основную роль в программах по дифференциальному и интегральному исчислению.

ЛИТЕРАТУРА

1. Bliss G. A. A substitute for Duhamel's Theorem // Annals of Math. 1914-15. V. 16. P. 45-49.

2. Duhamel J. M. С. Eléments de Calcul Infinitésimal. — Paris, 1856.

3. Keisler H. J. Elementary Calculus, An Infinitesimal Approach. Prindle, Weber & Schmidt, Boston, 1986.

4. Osgood W. F. The integral as the limit of a sum, and a theorem of Duhamel's // Annals of Math. 1903. V.4. P. 161-178.

5. Taylor A. E. Advanced Calculus. Ginn & Company, Boston, 1955; third edition coauthored with W. Robert Mann, John Wiley and Sons, New York, 1983.

Поступила 04.06.2012

СОДЕРЖАНИЕ И ТЕХНОЛОГИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ В ВУЗЕ

УДК 51 : 37

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЭКСПЕРИМЕНТ КАК ПОДДЕРЖКА ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ПРИ ИЗУЧЕНИИ МАТЕМАТИКИ В ВУЗЕ

Л. Н. Посицельская

Московский автомобильно-дорожный государственный технический университет Россия, 125319, г.Москва, Ленинградский проспект, д. 64; тел. (499)155-03-26; e-mail: posicelskaja@yandex.ru

Обсуждается использование математических экспериментов для проверки, обоснования и разъяснения математических утверждений при изучении математики в вузе.

Ключевые слова: прямое и косвенное доказательство, тезис и антитезис, контрпример, математический эксперимент.

1. Ученые и философы о математических доказательствах

Доказательства не всегда были неотъемлемой частью математики. Древние египтяне, например, знавшие много математических фактов и алгоритмов, прекрасно обходились без доказательств. Но, по мнению Н. Бурбаки, «со времен греков говорить “математика” значит говорить “доказательство”». Однако многие ученые высказывают и совершенно иные точки зрения на математические доказательства.

А. Шопенгауэр говорит о доказательстве: «Математик вынуждает вас допустить справедливость теоремы, но вы не получаете никакого реального понимания. Это всё равно, как если бы вас провели через лабиринт. Вы, наконец, выходите из лабиринта и говорите себе: “Да, я вышел, но не знаю, как здесь очутился”».

Позиция Шопенгауэра, конечно, курьез, но в ней есть момент, заслуживающий внимания. Нужно уметь проследить каждый шаг доказательства. Иначе его части лишатся связи, и оно в любой момент может рассыпаться, как карточный домик. Но не менее важно понять доказательство в целом как единую конструкцию, каждая часть которой необходима на своем месте. Доказательство, не понятое как целое, ни в чем не убеждает. Даже если выучить его наизусть, предложение за предложением, к имеющемуся знанию предмета это ничего не прибавит. Французский математик А. Пуанкаре по этому поводу писал [1]: «Следить за доказательством и лишь убеждаться в правильности каждого его последующего шага равносильно такому наблюдению за игрой в шахматы, когда замечаешь только то, что каждый ход подчинен правилам игры».

Об И. Ньютоне рассказывают, что, будучи студентом, он начал изучение геометрии, как было принято в то время, с чтения Евклида. Знакомясь с формулировками теорем, он видел, что они справедливы, и не изучал доказательств. Его удивляло, что люди затрачивают столько усилий, чтобы доказать совершенно очевидное. Позднее Ньютон изменил свое мнение о необходимости доказательств в математике и других науках и хвалил Евклида как раз за безупречность и строгость его доказательств.

2. Убедительность доказательства

В связи с сокращением аудиторных часов на изучение математики в вузе доказательствам математических утверждений на лекциях уделяется меньше внимания. При таком подходе выхолащивается содержание предмета; утверждения, формулируемые без обоснования, становятся неубедительными. Чтобы компенсировать эту потерю, необходимо понять, какую роль играет доказательство в учебном процессе. В отличие от научных работ, где доказательство служит способом проверки правильности утверждения, изложение доказательства на лекции предназначено для того, чтобы убедить слушателей в правильности теоремы и разъяснить причины, по которым утверждение справедливо. Необходимо признать, что требования к строгости доказательства не являются универсальными и зависят от контекста, аудитории слушателей, раздела науки. С убедительностью дело обстоит ещё сложнее, в частности, когда речь идет о студенческой аудитории на лекции.

Рассмотрим для примера утверждение, что lim 1 H— = е. Тот факт, что предел не равен единице, противоречит интуиции студента, который уже знает, что lim 1 H— =1. Доказательство не убеждает. Нужно провести эксперимент по вычислению членов последовательности

который целесообразно поручить студентам. В зависимости от наличия технических возможностей они могут использовать калькулятор или написать компьютерную программу.

Одним из наиболее трудных для понимания разделов математического анализа является раздел «Ряды», особенно тема «Числовые ряды». Решение задачи на исследование сходимости ряда часто представляется студентам шахматной партией, в которой все ходы сделаны по правилам, а результат не ясен, так как в ответе нет ни числа, ни функции, ни графика, а какие-то слова: «сходится», «расходится», «абсолютно», «условно». Эксперименты по вычислению сумм рядов, сравнение поведения последовательностей частичных сумм, которые студенты проводят самостоятельно или под руководством преподавателя, могут несколько поправить дело.

В течение ряда лет на государственном экзамене по математике в одном из вузов студентам задавали простой дополнительный вопрос: «Дайте определение точки локального максимума функции одной переменной» и получали всегда один и тот же ответ: «Это точка, в которой производная равна нулю».

При продолжении беседы выяснялось, что надо ещё смотреть на перемены знака производной. Определение никто не вспоминал. Очевидно, что запоминают не то, что слышали на лекции или читали в учебнике, а то, что сами вычисляли: «Я слышу, и я забываю. Я вижу, и я запоминаю. Я делаю, и я понимаю» (китайская пословица).

Доказательство не будет убедительным, если утверждение кажется очевидным. Например, интуиция, основанная на опыте работы с конечными суммами, подсказывает, что члены ряда можно произвольно переставлять или группировать. И нужно рассмотреть примеры различных рядов, чтобы понять, что не со всеми из них можно так обращаться. Интересные эксперименты со знакопеременными числовыми рядами можно найти в книге Р. Грэхема, Д. Кнута, О. Поташника «Конкретная математика» [2].

3. Прямые и косвенные доказательства в математике

Доказательства по форме и логической структуре делятся на прямые и косвенные. Прямое доказательство идет от рассмотрения аргументов к доказательству тезиса, то есть истинность доказательства непосредственно обосновывается аргументами. Схема этого доказательства такова: из данных аргументов (а, 6, с,... ) необходимо следуют истинные суждения (fc, m, /,... ), a из последних следует доказываемый тезис. По этому типу проводятся доказательства в судебной практике, в науке, в полемике, в сочинениях школьников, при изложении материала учителем.

Косвенное доказательство — это доказательство, в котором истинность выдвинутого тезиса обосновывается путем доказательства ложности антитезиса. Оно применяется тогда, когда нет аргументов для прямого доказательства. Косвенное доказательство устанавливает справедливость тезиса тем, что вскрывает ошибочность противоположного ему допущения, антитезиса. Как с иронией замечает американский математик Д. Пойа, «косвенное доказательство имеет некоторое сходство с надувательским приемом политикана, поддерживающего своего кандидата тем, что опорочивает репутацию кандидата другой партии». Косвенные доказательства делятся на два вида: доказательство «от противного» и разделительное доказательство (методом исключения).

Доказательство «от противного» осуществляется путем установления ложности противоречащего тезису суждения. Этот метод часто используется в математике. Разделительное доказательство — это доказательство методом исключения. Антитезис является одним из членов разделительного суждения, в котором должны быть обязательно перечислены все возможные альтернативы. Истинность тезиса устанавливается путем последовательного доказательства ложности всех членов разделительного суждения кроме одного.

Косвенное доказательство представляет собой эффективное средство обоснования. Но, имея с ним дело, мы вынуждены всё время сосредоточиваться не на верном положении, справедливость которого необходимо обосновать,

а на ошибочных утверждениях. Ход доказательства состоит в том, что из антитезиса, являющегося ложным, мы выводим следствия до тех пор, пока не придем к утверждению, ошибочность которого несомненна. Косвенное доказательство — хорошее орудие исследования, но оно не всегда удачный прием изложения материала. Не случайно в практике преподавания нередок такой парадоксальный совет: после того как косвенное доказательство проведено, ход его полезно тут же забыть, оставив в памяти только доказанное положение. Имеются также более серьезные возражения против косвенного доказательства. Они связаны с использованием в нем закона исключенного третьего, который не всеми признается универсальным.

4. Экспериментальная поддержка доказательства в образовательном процессе

Потребность в экспериментальной поддержке доказательства возникает в следующих случаях:

• Утверждение противоречит интуиции или известным похожим фактам (пример о числе е в пункте 2).

• Часть условий теоремы на первый взгляд кажется излишней. Примеры: односвязность области в теореме о формуле Грина; условие абсолютной сходимости ряда в теореме о перестановках членов числового ряда.

• Доказательство содержит указание на численный метод или алгоритм, который надо проработать Пример: доказательство теоремы о промежуточном значении непрерывной функции содержит указание на алгоритм половинного деления для нахождения корня уравнения f(x) = 0 на данном отрезке.

• Доказательство является косвенным, и тезис нужно поддержать в противовес антитезису.

• Во избежание логической ошибки: подмены прямого утверждения обратным, которое является неверным. Пример: необходимое условие сходимости ряда (предел общего члена равен нулю) часто ошибочно воспринимается как достаточное.

• Доказательство не излагалось или было рассказано схематично в силу его сложности, недостатка времени, по иным причинам.

5. Способы организации экспериментальной работы по математике в процессе обучения

При пассивном восприятии материала эффективность усвоения не велика. Для присвоения знаний необходима самостоятельная учебная деятельность, математический эксперимент, осуществляемый студентами индивидуально или в групповом режиме [3]. Это особенно важно при схематическом

изложении доказательств или их отсутствии. «Примеры учат не меньше, чем правила» (В.Арнольд). И. М. Гельфанду приписывают высказывание: «Теории приходят и уходят, а примеры остаются».

Экспериментальную работу по математике можно организовать разными способами:

1. На практических занятиях студентам предлагаются задания типа: придумать (построить) объект с заданными свойствами; изменить данный объект (предел, функцию, уравнение, ряд) так, чтобы были выполнены заданные условия; проверить, верно ли данное утверждение; установить, может ли существовать математический объект, удовлетворяющий данным условиям (студент сталкивается с необходимостью перейти к рассмотрению примеров, «прощупать» вопрос).

2. Лабораторные работы на компьютере с поставленной исследовательской задачей по изучению свойств объекта, модели, алгоритма; по сравнительному анализу методов. Для повышения эффективности лабораторных занятий и экономии времени на проведение эксперимента целесообразно использовать групповую форму работы, при которой необходимые вычисления распределяются между участниками группы. Использование этой формы работы позволяет расширить объем эксперимента. Полученные результаты затем сводятся воедино и обсуждаются; делаются выводы [3, 4].

3. При наличии необходимого оборудования есть смысл делать на лекции небольшие паузы, во время которых студенты проводят вычислительные эксперименты, разъясняющие суть излагаемого материала.

Опыт проведения математических экспериментов на занятиях по дисциплинам «Теория игр и исследование операций», «Методы оптимизации», «Численные методы», «Методы аппроксимации» показывает высокую эффективность использования этой методики для усвоения учебного материала.

6. Смежные вопросы

Пространство для математических экспериментов включает, кроме поддержки доказательств, и другие виды учебной деятельности:

1. Опровержение ложного утверждения. Построение контрпримеров занимает важное место не только в математических исследованиях, но и при изучении математики. Можно предложить группе студентов опровергнуть утверждение одного из студентов, если они считают его неверным.

2. Проверка ответа. Необходимо приучать студентов проверять решение задачи, сопоставляя результат с условием: подставить в данное уравнение числовой корень или функцию — решение дифференциального уравнения; проверить интегрирование дифференцированием и т. п.

3. Оценки и прикидки — важная часть работы при решении прикладных задач, к которым надо готовить студентов. Может ли объем тела быть отрицательным, вероятность больше единицы, а центр тяжести выпуклой фигуры находиться вне её пределов? Желательно готовить будущих инженеров и экономистов к проведению гораздо более тонкого анализа числовых результатов.

ЛИТЕРАТУРА

1. Пуанкаре А. О науке. — М.: Физматлит, 1983. 560 с.

2. Грэхем Р., Кнут Д., Поташник О. Конкретная математика. — М.: Мир, 2009. 703с.

3. Посицельская Л. Н. Групповая форма работы на лабораторных занятиях по специальным математическим дисциплинам в вузе // XIX Международная конференция «Математика. Образование», 2011. С. 308.

4. Посицельская Л. Н. Лабораторные работы по дисциплине «Теория игр и исследование операций» // Математическое образование. 2010. №2. С. 56-61.

Поступила 03.10.2012

MATHEMATICAL EXPERIMENT AS PROOF SUPPORT WHEN STUDING MATHEMATICS

L. N. Positselskaya

Use of mathematical experiment for check, justifications, explanations of mathematical statements when studying mathematics in higher school is discussed.

Keywords: direct and indirect proof, thesis and antithesis, counterexample, mathematical experiment.

ИННОВАЦИОННЫЕ И ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ И КОМПЬЮТЕРНЫЕ ПРОДУКТЫ В ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ

УДК 519.67

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СИСТЕМЫ MAPLE ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ И ОЦЕНКИ КОНТАКТНЫХ ЧИСЕЛ

Н. О. Котелина, А. Б. Певный

Сыктывкарский государственный университет Россия, 167001, г. Сыктывкар, Октябрьский пр-т, д. 55; e-mail: nkotelina@gmail.com pevnyi@syktsu.ru

Важность и удобство символьных вычислений в системе MAPLE демонстрируются на примере задачи вычисления и оценки контактных чисел по методу Ф. Дельсарта. Материал статьи может быть использован при изучении темы «Символьные вычисления».

Ключевые слова: контактные числа, Ф. Дельсарт, оценка сверху для контактных чисел, вычисления в MAPLE.

1. Введение

Символьные вычисления в системе MAPLE могут оказать существенную помощь математику-исследователю, избавив его от рутинной работы. Следует отметить, что символьные вычисления — это вычисления точные, и результаты таких вычислений можно использовать как часть доказательства теорем, где требуются громоздкие выкладки. Например, О. Мусин [1] использовал символьные вычисления для получения своего знаменитого результата: контактное число М4 в пространстве R4 равно 24. В настоящей работе мы используем символьные вычисления в системе MAPLE для получения чисел Ms = 240 и М24 = 196560. Эти контактные числа были получены в работах [2] и [3]. История контактных чисел довольно подробно изложена в работах [1] и [4].

2. Обозначения и предварительные сведения

Для векторов ж, у G Шп мы используем скалярное произведение

а также норму

Рассмотрим шар радиуса г > 0. Будем искать шары касающиеся шара Б(жо,г), такие, что B(xi,r) и B(xj,r) при 1 ^ г < j ^ m не имеют общих внутренних точек. Эти условия можно записать так:

(1)

(2)

Какое максимальное количество m шаров B(xi,r) можно «приклеить» к данному шару В(хо,г), т.е. расположить их так, чтобы выполнялись условия (1) и (2)?

Через Мп обозначим максимальное количество шаров, которые можно приклеить к данному шару. Число Мп зависит только от n и называется контактным числом (используется также английский термин «kissing number»). Известны контактные числа М2 = 6, М3 = 12, М4 = 24. О них имеется обширная литература (см. ссылки в [1, 4, 5]). Число М3 = 12 правильно указано И. Ньютоном в 1694 г., из многочисленных доказательств отметим работу [6]. Равенство М4 = 24 очень сложным образом доказал О. Мусин [1].

Поговорим теперь о сферических кодах. Сферическим кодом называется любое конечное множество С на сфере Sn~x = {х G Шп : |х| = 1}. Рассмотрим случай, когда угол между векторами кода не меньше 60°, т.е. выполнено неравенство

(3)

Такой код С будем называть --кодом. Условие (3) равносильно неравенству

т. е. расстояние между точками кода не меньше 1.

Какое максимальное количество точек может иметь --код на сфере

Через Ап обозначим максимальное количество векторов --кода. Справедливо равенство

(4)

Действительно, возьмём --код С

основной шар В с центром в начале координат и приклеим к нему шары

Условия (1) и (2) выполнены при

поэтому

Обратное неравенство столь же очевидно.

Многочисленные примеры —кодов можно получить, рассматривая минимальные векторы решеток (см. об этом в [7]), а оценку сверху для Ап = Мп даёт теорема Дельсарта [8].

3. Оценка Дельсарта для мощности — -кода

В начале 1970-х годов Ф. Дельсарт предложил замечательный метод оценки числа Ап сверху с использованием полиномов Гегенбауэра Эти полиномы обладают свойствами:

1. G£ (t) — полином степени к над R.

2. Полиномы {Gj™ (t)}k=0 образуют ортогональную систему на [—1,1] с весом wn(t) = (l-t2)(n_3)/2.

3. Выполнено условие нормировки

4. Для любых xi,..., хт G Sn 1 матрица {Gj™ (xiXj)}. ._1 неотрицательно определена (см. [9]), в частности,

Теорема 1 (Дельсарт). Пусть f(t) — полином степени d, удовлетворяющий условиям:

1)

2) коэффициенты разложения

по полиномам Гегенбауэра неотрицательны:

Тогда Ап ограничивается неравенством

Доказательство. Возьмём произвольный 2~к0^ ^ ~ Рассмотрим сумму

(6)

В силу условия 2) и неравенства (5) имеем

Поскольку XiXj ^ — при г ф j, то в силу условия 1) имеем

при г ф j. Отсюда S ^ mf(l). В результате получаем f^m2 ^ откуда

(7)

Ввиду произвольности С получим утверждение теоремы. □

4. Условия точности оценки Дельсарта

Выясним, при каких условиях в оценке (7) достигается равенство. Допустим, что нашлись сферический --код С = {xi,..., хт} и полином /(t), удовлетворяющий условиям теоремы, такие, что выполнено равенство

Здесь все слагаемые f(xiXj) ^ 0, поэтому

(8)

Значит, скалярные произведения tij = X{Xj при г ф j должны быть корнями полинома f(t).

Кроме того, из (6) получим, что

(9)

поэтому если > 0, то сумма в (9) должна равняться нулю.

Эти соображения позволяют построить экстремальный полином при п = 8 и п = 24.

5. Получение точной оценки для Атг — Мп при п = 8

При п = 8 максимальный --код образуют минимальные векторы решётки

Напомним, что |х|2 = х\ + ... + х|, а минимальные векторы решётки являются решением задачи

В £g\{Q} минимальную норму имеют 240 векторов:

группа 1 — векторы вида ^ = (±12, О6), т. е. имеющие ровно две ненулевые координаты, причём равные ±1. Тогда |£| = л/2, а количество таких векторов равно

группа 2 — векторы вида £ = ( ±-,±-,...,±-| с чётным числом плюсов. Тогда \i\ = уД, и количество таких векторов равно Cg + С| + С§ + 0| + + Cf = 128.

Пусть {£i,..., £240} — множество всех минимальных векторов решётки Е$.

Лемма. При г ф j скалярные произведения могут принимать только следующие значения: —2, —1, 0, 1.

Доказательство. Если ^ — вектор из группы 1, то будет целым числом.

Допустим, что оба вектора ^ = (ai,..., as) и £j = (fei,..., b$) из группы 2. Пусть I = {k: ajcbk > 0}. Тогда р = \1\ — чётное число, поэтому число =

Поскольку для г ф j из неравенства Коши - Буняковского следует

то лемма доказана.

Следующая теорема установлена независимо в работах [2] и [3] (см. также главу 13 в книге [5], написанную авторами статьи [2]).

Теорема 2. При п = 8 справедливы равенства As = Ms = 240. Максимальный 1/2-код образуют секторы

Идея доказательства. Авторы [2] используют теорему Дельсарта. Поскольку XiXj G I — 1, —-, 0, при г ф j, то ввиду условия (8) авторы [2] берут полином

(8)

где коэффициент поставлен для того, чтобы было /q = 1. Далее f(t) нужно разложить по полиномам Гегенбауэра Gk (t), k G 0 : 6. Приведем алгоритм вычислений в системе MAPLE. Алгоритм

1. В массив G(0. .6) запишем выражения для полиномов Гегенбауэра, используя рекуррентную формулу. Основные операторы:

2. Вычислим матрицу Грама

Убедимся, что = 0 при к ф I. Нам потребуются только

Интегралы будут вычислены точно, например,

3. Вычислим коэффициенты разложения

4. Напечатаем /А ,..., û в строчку с помощью оператора

5. Вычислим /(1) двумя способами:

Окончательный вывод. В силу выполнения условий точности оценкт Дельсарта Ag = М$ =

Это убеждает нас в справедливости теоремы 2.

6. Задачи

1. Дан полином F = aotd + a\td~l + ... + а^. Для нахождения коэффициентов разложения по полиномам Гегенбауэра можно использовать следующий процесс. Найдем ао = coeff(F,t,d) — старший коэффициент полинома F и bo = coef f (G[d], t, d) — старший коэффициент полинома G[d] = = G^\t). Положим f [d] = ao/bo и вычислим полином Fi = F — f [d]G[d] степени не выше d— 1. Далее прием применяется к полиному F\. Написать программу для нахождения коэффициентов разложения / [d][0]. Для полинома

при п = 8 получаются коэффициенты

2. Минимальные векторы решетки Лича. Решетка Лича Л24 в М24 (см. [5]) имеет m = 196560 минимальных векторов £i,...,£m- Положим Xi = £г/|£г|- Тогда С = {xi,...,Xm} является -- кодом и при этом XiXj G G | — 1, — — ^ , 0, ^, ^ j при i ф j. Для доказательства максимальности кода С в [2] предлагается взять полином

Найти разложение f(t) = ^ (£) по полиномам Гегенбауэра и убедиться, что все > 0. Показать, что — 196560. Отсюда будет следовать, что А24 = М24 = 196 5 60.

3. Случай n = 4. Рассмотрим сферический ^"^Д С G S , состоящий из 8 векторов (±1, О3), где ±1 может стоять на любом из четырех мест, и 16 векторов (±\, ±\, ±i J. Показать, что ху G j -1, 0, H при ж, у G С,

X ф у. Сформировать матрицу Х(1... 24,1... 4), строками которой являются указанные векторы, и матрицу Грама Г = XX'. Разложить полином /(£) = по полиномам Гегенбауэра:

Показать, что все

Эта оценка является завышенной: О.Мусин [1] показал, что = 24. Причиной этой завышенности является нарушение условия (9). Показать, что

- элементы матрицы Грама.

4. Случаи п = 5, 6, 7. В [5, 7] построены множества W5, Wq, W7 на единичных сферах в пространствах R5, М6, М7, содержащие 40, 72, 126 векторов соответственно. Для всех трех множеств скалярные произведения ху могут принимать значения

Разложить полином

по полиномам Гегенбауэра при п = 5, 6, 7,

показать, что коэффициенты > 0, и вычислить правые части оценок

ЛИТЕРАТУРА

1. Musin О. R. The kissing number in four dimensions. Preprint. 30 p. http ://arXiv.org/abs/math/0309430v3.

2. Odlyzko A. M., Sloane N. J. A. New bounds on the number of unit spheres that can touch a unit sphere in n dimensions // J. Comb. Th. A26. 1979. P. 210-214.

3. Левенштейн В.И. О границах для упаковок в n-мерном евклидовом пространстве // Докл. АН СССР. 1979. Т. 245. С. 1299-1303.

4. Pfender F., Ziegler G. M. Kissing numbers, sphere packings and some unexpected proofs // Notices AMS, September 2004. P. 873-883.

5. Конвей Дж., Слоэн Н. Упаковки шаров, решётки и группы. Т. 1, 2. — М.: Мир, 1990. 376 с.

6. Maehara H. The problem of thirteen spheres — a proof for undergraduates // Europ. J. Combinatorics. 28, 2007. P. 1770-1778.

7. Андреев Н. Н., Юдин В. А. Арифметический минимум квадратичной формы и сферические коды // Мат. Просвещение. Сер. 3. 1998. Вып. 2. С. 133-140.

8. Delsarte Ph., Goetals J. M., Seidel J.J. Spherical codes and designs // Geom. Dedicata. 6, 1977. P. 363-388.

9. Котелина Н. О. Формула сложения для полиномов Гегенбауэра // Семинар «DHA & CAGD». Избранные доклады. 13 ноября 2010 г.

(http ://dha.spb.ru/reps10.shtml#1113).

Поступила 06.02.2012

CALCULATION AND ESTIMATION OF THE KISSING NUMBERS USING MAPLE SOFTWARE

N. O. Kotelina, A. B. Pevnyi

For searching the upper bound of kissing numbers Mn the theorem of P. Delsarte [8] which gives exact estimate for n = 8 and 24 is used. Estimating involves symbolic calculations in MAPLE software. This paper may be used in the study of the topic « Symbolic calculations ».

Keywords: kissing numbers, P. Delsarte, upper bound for kissing numbers, calculations in MAPLE.

МАТЕМАТИКА ДЛЯ СПЕЦИАЛИСТОВ РАЗНОГО ПРОФИЛЯ

УДК 51

МЫСЛИ О ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ ГУМАНИТАРИЯМ, ВОЗНИКШИЕ ПРИ ЧТЕНИИ ОДНОГО УЧЕБНОГО ПОСОБИЯ

Н. Х. Розов

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова Россия, 119899, г. Москва, Воробьевы горы, факультет педагогического образования; e-mail: rozov@rozov.mccme.ru

Рецензируется учебное пособие по курсу математики для гуманитарных факультетов университетов. Приведены конкретные соображения и конструктивные предложения по вопросам содержания и методики преподавания курса математики для студентов-гуманитариев.

Ключевые слова: преподавание математики, гуманитарные факультеты вуза.

Секрет нудности — объяснять всё во всех подробностях.

Вольтер

0. Математика включена в учебные планы первых курсов гуманитарных специальностей вузов! Её, конечно, некоторые гуманитарии (лингвисты, социологи, психологи, философы, юристы) изучали и раньше, но отныне этот предмет предписано сделать обязательным для всех. Однако такому «высочайшему решению», как уже не раз бывало в нашем образовании, не предшествовало ни должное широкое и всестороннее обсуждение его целей, ни разработка практических деталей. Поэтому многие сопряжённые с этим весьма актуальные вопросы — о самой концепции дисциплины «математика для гуманитарных направлений высшей школы» и целях её введения, о конкретном содержании курса в его непосредственной увязке с конкретной специальностью и задачами профессиональной подготовки студентов, о требованиях к уровню усвоения математических фактов и математического аппарата, наконец, об учебниках и учебных пособиях — так и остались до конца не выясненными.

Для того чтобы попытаться стимулировать дискуссию о «гуманитарной математике» (позволим себе для краткости такой термин), мы воспользуемся удобным и приятным поводом — недавним появлением учебного пособия Н. Л. Белой и Н.Н.Петрова [1], адресованного, как указывают авторы, первокурсникам гуманитарных факультетов1. Оно написано на основе лекций по математике, читавшихся авторами студентам юридического факультета и факультета международных отношений. Эта книга, достаточно оригинальная по содержанию и абсолютно свежая по стилю преподнесения материала,

1 Когда эта статья была уже набрана, стало известно, что 29 октября 2012 года в Санкт-Петербурге скончался Николай Николаевич Петров. Редакция журнала глубоко скорбит в связи с уходом замечательного математика и яркого лектора.

представляет существенный интерес. И, как и всякая удачная книга, даёт возможность не просто написать формальную хвалебную рецензию «с отдельными замечаниями», но и пробуждает желание поразмышлять, сформулировать некоторые общие соображения, высказать конструктивные предложения.

В списке литературы мы указываем ряд учебных пособий [2-13], специально ориентированных на студентов-гуманитариев (пособия для экономистов, психологов, социологов не включены), и три публикации о «гуманитарной математике» [14-16]. Так что интересующийся читатель сможет самостоятельно составить своё мнение по обсуждаемой теме.

1. Начнём с естественных вопросов. А почему, собственно, курс высшей математики должен быть обязательным для всех гуманитариев? Почему именно математика, а не, скажем, биология, выдающиеся успехи которой имеют огромное мировоззренческое значение, не наука о наноматериалах, стимулирующая сегодня технологическую революцию во всех сферах жизни, или не курс «Здоровье человека», более чем злободневный для выживания в современных условиях? И почему бы не пойти дальше и, симметрично, на всех математических (физических, инженерных) факультетах не учредить годовой обязательный курс «Всемирная история литературы и искусства» (кстати, вполне гармонирующий с популярной сейчас педагогической концепцией гуманитаризации образования)? Ведь если учить гуманитария решать задачи на вычисление пределов, то почему бы математика не учить писать эссе на тему «Байроновские мотивы в поэзии Блока»?

Внятного и убедительно аргументированного ответа на подобные вопросы получить не удаётся.

Многие математики (особенно те из них, кто пребывает в непоколебимой уверенности, что «математика — царица наук» и потому её надлежит изучать всем и каждому) a priori считают введение курса математики для гуманитариев «очень правильным», не задумываясь над всякими «мелочами», например, насколько осязаема его польза для подготовки высококвалифицированных специалистов гуманитарных областей знаний? Однако если это не продумано, то ведь и само введение курса теряет всякий смысл...

Польза от введения курса «гуманитарной математики» может быть обеспечена только созданием совершенно специфической программы (или нескольких профилированных программ?), а не механическим перекраиванием и обрезанием деталей в программе традиционных курсов для математиков, или для инженеров, или для экономистов.

2. К сожалению, сколько-нибудь единого взгляда на подход к формированию программы «гуманитарной математики» фактически нет, и этими проблемами математическая корпорация интересуются весьма неактивно. Хотя сама по себе задача ознакомления гуманитариев в высшей школе с математикой открывает перед креативными преподавателями широкий простор для творческого поиска и педагогического эксперимента. При этом очень важно, чтобы в процессе такого творчества преподаватели-математики уважали профессиональные интересы (которые далеко не всегда им знакомы и понятны) каждого своего ученика, соблюдали чувство меры в отборе содержания и в уровне требований (осознавая, что речь идёт о подготовке не инженеров и даже не экономистов) и в первую очередь заботились о педагогическом мастерстве.

Можно выделить несколько разных концепций «гуманитарной математики». Конечно, каждая из них имеет своих сторонников и противников, и вопрос о том, какую из них целесообразнее всего использовать для преподавания, можно решить лишь путём серьёзного их обсуждения компетентными специалистами и объективной оценки результатов практических педагогических экспериментов.

Во-первых, существует «академическая» концепция. Она предполагает доказательно, «с сохранением необходимой строгости, детальной проработкой узловых понятий, алгоритмичностью» излагать конкретные математические факты (правда, они не потребуются в дальнейшем 99,99% гуманитариев), «сопровождаемые большим числом разобранных примеров» (несомненно, что ни с чем подобным 99,(9)% гуманитариев никогда не встретятся в будущем). Эта точка зрения базируется на убеждении, что «математика ум в порядок приводит», воспитывает логическое мышление. Правда, в силу ограниченности выделяемого времени и возможностей обучающихся охватывается лишь малая часть математических результатов, к тому же довольно старых (примерно до первой половины XIX века), а особое значение математики для формирования логического мышления гуманитариев никем не доказано. Не следует смешивать значение математики для развития научных исследований в гуманитарных областях знаний и конкретное обучение математике рядовых специалистов по гуманитарным дисциплинам. Конечно, совершенно справедливы слова А. Н. Колмогорова о том, что «без знания математики нельзя понять..., как учёные изучают ... социальные явления». Но нельзя не учитывать, что для научных исследований математических моделей социальных процессов достаточно лишь очень ограниченного числа лиц.

Вторая концепция — «историческая» — исходит из того, что для гуманитариев наиболее подходящим является знакомство с математикой в соответствии с «естественным» путём её развития. Иначе говоря, речь идёт о своеобразном курсе истории математической науки и её творцов. Легко сообразить, что всерьёз излагать историю математики гуманитариям малоперспективно. В процессе своего развития математика переходила ко всё более и более общим (а потому всё менее и менее доступным для «нематематика») абстракциям и конструкциям. И, если у слушателей нет свободного владения ими, «хронологическое» изложение превратится просто в набор слов (терминов) непонятного содержания, а рассказы об учёных начиная уже с XIX века неизбежно придётся строить по пустой схеме «родился - учился - работал -скончался».

Концепция третья, «прагматическая», предлагает отбирать математический материал исходя не из вкусов и пристрастий математиков, а в жёсткой зависимости от реальных потребностей каждого конкретного гуманитарного направления. Такой подход действительно полезен для обучающихся конкретной специальности и может возбудить их интерес к курсу математики, позволит выделять из них тех, кто захочет в дальнейшем заниматься проблемами математизации своей области знаний. Но реализация этого подхода требует долгой и кропотливой предварительной коллективной работы профессионалов-математиков и квалифицированных специалистов-гуманитариев. Вероятно поэтому удачных пособий по математике, ориентированных на то или иное вполне определённое гуманитарное направление, явно недостаточно.

Четвёртую концепцию условно назовём «научно-популярной». Математики, профессионалы и педагоги, всегда считали своей святой обязанностью создавать книги, доступные широкому кругу читателей. Такая блестящая научно-популярная литература насчитывает тысячи названий и сыграла огромную роль в привлечении наших школьников к последующему углублённому изучению математики. Но это именно «просветительская» литература, которая не ставит своей целью обеспечить сколько-нибудь целенаправленное освоение математики, а должна пробуждать интерес к ней, давать материал для выявления математических способностей. В подобных книгах содержится много того, что было бы любопытно и даже полезно гуманитариям, но «механическая совокупность» таких «избранных мест» едва ли может считаться подходящим современным учебником по «гуманитарной математике».

В-пятых, возможна «образовательная» концепция. Бог с ними, с этими рафинированными формулировками теорем, минимальными наборами условий, хитроумными доказательствами, цепочками вычурных преобразований! Ведь «массовому гуманитарию» никогда не придётся воспользоваться первым замечательным пределом или рисовать поверхность z2 = ху. Но ему придётся грамотно использовать математику на бытовом (житейском) уровне, а профессионально — сталкиваться с целым рядом фундаментальных понятий и идей, которые порождены математикой и сегодня должны быть правильно понимаемы любым образованным человеком, ибо являются поистине «общецивилизационными». «Гуманитарная математика» может (и должна) популярно, не вдаваясь в излишние детали и хитроумные строгости, познакомить с ними. А то представители нашей «гуманитарной» интеллигенции иногда любят щегольнуть (как правило, не к месту) каким-нибудь «математическим» термином или фактом, на деле не понимая его смысла и вызывая только сочувственную улыбку.

3. Авторы учебного пособия [1], как можно судить по тексту, более или менее последовательно придерживаются последней из перечисленных концепций. Во введении (а также в отдельной статье [17]) они сами чётко формулируют своё кредо: изложить не отпугивающие гуманитариев формализмы, а сделать доступной суть фундаментальных понятий, идей и фактов, причём, по возможности, путём их «интуитивного» описания.

Именно такую линию авторы довольно успешно пытаются провести в главах, посвященных традиционным темам классического математического анализа: «Теория пределов», «Производная», «Интеграл».

Несомненный интерес представляют главы «Теория вероятностей» и «Статистика». Несмотря на введение в школьную математику начал теории вероятностей и статистики понимание самого понятия «вероятность» у очень многих молодых людей оставляет желать лучшего. Положение дел отражает известный анекдот:

Учитель. Какова вероятность встретить динозавра на Красной площади?

Ученик. Как известно, вероятность есть отношение числа интересующих нас событий к числу всех возможных событий. Так как всех возможных событий два: «встретить» и «не встретить», а нас интересует лишь одно — «встретить», то вероятность встретить динозавра равна 1/2.

Между тем, правильное восприятие основ теории вероятностей и статистики имеет особенно большое значение для формирования мировоззрения гуманитариев, их представлений о современных концепциях вероятностного мира.

В главе «Аналитическая геометрия» авторы предлагают обучающимся совершить экскурсию в музей геометрических объектов, значительно более богатый, чем школьная коллекция, состоящая из всем наскучивших треугольников, окружностей, трапеций, тетраэдров, кубов, сфер... А главы «Комплексные числа» и «Матрицы» должны познакомить с образцами оружия из арсенала аналитических средств математической науки.

Очень ценным и интересным является сделанный авторами шаг по пути включения в курс «гуманитарной математики» важных тем, которые раньше обычно не рассматривались. Вот пример: традиционная по содержанию глава «Теория множеств» сочетается с неожиданной и очень уместной главой «Нечёткие множества». Ведь их, сравнительно недавно появившихся в математике, удобно использовать при анализе многих «гуманитарных понятий», которые по самой своей природе не допускают чёткого определения и детерминированного описания! Именно о такой ситуации идёт речь в древнем софизме:

Согласно греческому мифу, пересказанному Плутархом, корабль, на котором Тесей вернулся с Крита в Афины, хранился афинянами до эпохи Деметрия Фалерского и ежегодно отправлялся со священным посольством на Делос. При починке в нём по необходимости заменяли доски. В конце концов среди философов возник спор: тот ли это ещё корабль, или уже новый? Итак: если составные части исходного объекта постепенно заменяются, до каких пор он остаётся всё тем же, а с какого момента его следует считать уже другим?

Удачным расширением «классического» набора тем следует считать и главы «Теория игр» и «Теория графов».

Авторы не только излагают теоретические положения, но демонстрируют их практическое значение, раскрывают прикладные стороны математического мира, подчас неожиданные для гуманитария, и приводят вполне доступные ему примеры. Здесь хочется упомянуть блестящие фрагменты «О стереометрии винных бочек» по работе И. Кеплера (которую, кстати, обычно не рассказывают даже математикам), об игле Бюффона, участии в лотереях, игре «Угадай-ка» и др.

Привлекательной стороной книги является сознательный отказ авторов от обучения «алгоритмистике», полное отсутствие (обязательных для курса математики в «классическом» стиле) образцов решения «типовых» примеров, списков задач и упражнений для самостоятельной работы с целью выработки должных «технических» навыков. Несомненно, авторы сделали смелый шаг вперёд, построив своё учебное пособие на постулате: «Гуманитариям нужна не математическая техника высшей математики, пусть даже простейшая, а только понимание сути дела».

Ещё одна отличительная особенность рассматриваемого пособия состоит в том, что его создатели отказались от популярной заманчивой идеи — под-

менять объяснение математических результатов занимательными рассказами об «околонаучных» событиях из истории математики и о бытовых подробностях жизни самих математиков. Поэтому в книге не найти последовательного изложения истории развития математического знания, а многие творцы математики даже не упомянуты. Это очень разумно: что можно по существу сообщить «нематематикам» о великом Вейерштрассе, кроме его краткой биографии, которая сразу же будет благополучно забыта? Вместо этого авторы предлагают достаточно много интересных исторических экскурсов, которые удачно вкраплены в ткань повествования и используются для того, чтобы оттенить специфику и диалектику процесса математического творчества, сообщить поучительные факты, продемонстрировать феномен научного инсайта. Кстати, гуманитариям было бы психологически поучительно познакомиться не только со знаменитыми успехами, но и с «великими» неудачами исследователей.

Эти экскурсы переплетаются с доступными конкретными иллюстрациями специфики математической проблематики и логики математического мышления. Наряду с широко известными — теоремой Ферма, задачей о четырёх красках и др. — приведены малоизвестные яркие примеры, казалось бы, простых, но так пока и не решённых задач (скажем, задача Коллатца), и, казалось бы, неприступных, но элементарно решающихся, например: «Доказать, что существует такая пара положительных иррациональных чисел а и ß, что а@ — рациональное число».

Специальное внимание (в основном — в главах «“Начала” Евклида» и «Числа», но также и в других разделах книги) уделяется знакомству с особенностями математических рассуждений, с аксиоматическим методом, с трактовками «математической доказательности» (например, с понятием «неконструктивное доказательство»).

4. И всё же складывается впечатление, что авторы не всегда последовательны в отборе материала, не во всём учитывают изначальную подготовку и прагматические нужды студентов-гуманитариев. Опыт последних лет свидетельствует, что абитуриенты даже технических вузов плохо владеют элементарной математической техникой — тем более это касается гуманитариев. Что же предпочтительнее: дать «тяжёлое» определение детерминанта п-матрицы, чтобы затем сформулировать (без доказательства!) неизвестно зачем нужное утверждение «Матрица А имеет обратную тогда и только тогда, когда det А ф 0», или найти свежий педагогический подход и уделить время отработке арифметических навыков, свободного обращения с дробями (с возможной иллюстрацией на подчас непростых задачах о распределении наследства), уверенного понимания процентов (что было бы чрезвычайно полезно при общении с современными банковскими ростовщиками), умения подсчитывать варианты и комбинации? Последнее предпочтительнее хотя бы просто для жизненного благополучия гуманитариев. Для того чтобы они не попались на удочку мошенников из очередного МММ. Не вызывали смех, как две гламурные телеведущие, мучительно складывающие 50 + 83 + 90 столбиком. Понимали, что при любой стратегии участия в лотерее практически всегда останешься в глубоком проигрыше.

В конце концов, если уж и учить гуманитариев математике, то не тому, что нравится и представляется важным нам, а тому, что может действительно оказаться реально полезным им. По нашему мнению, курс «гуманитарной математики» должен быть нацелен не только и не столько на сообщение фактов высшей математики, сколько на развитие общей культуры интеллигента, которая обязательно предполагает и его элементарную математическую грамотность. Что можно сказать об известной писательнице, которая в своём телевизионном интервью говорит: «Это так же непонятно, как если бы мы говорили о каком-нибудь числе пи, которое равно три и что-то там в периоде»? А попробуйте спросить гуманитария, когда (и почему именно тогда) начался XXI век — в ночь на 1 января 2000 года или 2001 года? И разве не должен культурный человек хотя бы вкратце познакомиться с историей чисел и счёта, знать, что название числа 40 в русском языке выпадает из общего ряда имён числительных, понимать, как появилось существительное «производная» и почему оно женского рода? Или объяснить, в чём двусмысленность, казалось бы, простого вопроса «Экскурсия проходила с 9 по 22 июля. Сколько дней она продолжалась?».

На наш взгляд, некоторые разделы книги излишне перегружены формульными и формальными подробностями, которые, как признаются сами авторы, студенты вовсе не обязаны усваивать. Тогда зачем же все такие технические детали? В первую очередь это касается глав «Комплексные числа», «Теория пределов», «Производная», а также некоторых других. Местами аналитика даже заслоняет содержательную сторону дела. Например, подробно рассказывая о технике операций с комплексными числами, авторы не дают ответа на самый главный, методологический вопрос: почему эти операции должны быть определены именно так, а не как-нибудь иначе?

Пожалуй, наименее удалась авторам глава «Аналитическая геометрия». Вообще, геометрии в нашем современном образовании как-то не очень везёт: пространственные объекты и взаимосвязь между ними слишком часто представляются не наглядными образами, а сухими формулами и их формальными преобразованиями. В самом деле, что даст студенту-гуманитарию определение «Поверхность х2/а? + у2/Ъ2 + z2/с2 = 1 называется эллипсоидом», которое даже не сопровождается рисунком?

Наконец, нельзя не отметить, что в изложении ряда историко-математических сведений авторы допускают досадные фактические неточности. Мы не будем перечислять их все и ограничимся лишь одним замечанием. История возникновения математического анализа описана в пособии очень условно и прямолинейно: «.. .основателями дифференциального и интегрального исчисления считаются И. Ньютон и Г. В. Лейбниц, которые за сравнительно короткое время создали принципиально новый математический аппарат». Между тем, как хорошо известно, рождение и становление математического анализа — результат длительных поисков и размышлений многих учёных разных времён, результат их как бы «коллективного творчества». И психологически, и мировоззренчески было бы очень важно и уместно, воспользовавшись вполне доступным гуманитариям материалом, показать им специфику научного творчества, продемонстрировать яркий пример генезиса науки.

5. Вызывает сожаление, что некоторые фундаментальные понятия и идеи современной математики в книгу не вошли, хотя, как нам кажется, они имеют важное общеобразовательное и культурное значение и были бы очень полезны для формирования интеллектуального и мировоззренческого потенциала современного гуманитария. Такой материал как раз и мог бы занять место, высвобождающееся за счёт сокращения технических подробностей.

В частности, достойны были бы специального обсуждения такие темы, как понятие бесконечности, концепции непрерывности и континуума, идея последовательного приближения, фракталы, общие сведения об управлении и обратной связи, представление о хаосе и о синергетике, начатки формальной логики. Главу «Теория множеств» только украсил бы поучительный для развития мышления «парадокс брадобрея». Конечно, можно сказать, что большинство этих вопросов носит скорее философский, чем математический характер. Но для гуманитария знакомство с математическим взглядом на подобные философские вопросы представляется более полезным и обогащающим, чем, скажем, знакомство с теоремой Шварца.

В главе о геометрии были бы уместны выразительные иллюстрации и рисунки, очень полезные для расширения знаний о геометрических формах, для воспитания воображения, понимания законов живописи и архитектуры, развития образного мышления. Именно математика может и должна обеспечить современного гуманитария пониманием нетривиальности и неисчерпаемости мира линий и поверхностей, познакомить его с такими непосредственно «не осязаемыми» феноменами, как бутылка Клейна, континуум Кантора, кривая Коха, ковёр Серпинского...

К сожалению, в учебном пособии практически ничего не говорится о математическом исследовании, математическом моделировании, математическом эксперименте. Для гуманитариев было бы очень полезно знакомство с математической основой музыкальной гаммы, с математикой выборов. А, к примеру, в главу «Дифференциальные уравнения» так и просится описание модели «хищник-жертва» вместо немотивированного и формального описания линейной системы дифференциальных уравнений. Было бы очень желательно увидеть в книге больше реальных примеров и моделей, в том числе и из гуманитарных наук.

Хотя учебное пособие вышло (в университетском издательстве и мизерным тиражом) уже 3-м, исправленным и дополненным изданием, в книге, к большому сожалению, имеются опечатки, редакторские огрехи и недосмотры. Оставляют желать лучшего полиграфическое и художественное исполнение книги. Но здесь едва ли есть смысл приводить полную «дефектную ведомость».

6. Математики строят свою науку скрупулёзно строго и обычно излагают её недоступно и скучно для «посторонних». Определение - аксиома - теорема - доказательство... И значки, значки, значки... Недаром существует точка зрения, что «математика — это особый язык» со своим специфическим «алфавитом», со своим специальным «словарным запасом» терминов, со своей стилистикой текста, требующей постоянного, напряжённого и быстро утомляющего внимания. В истории даже были попытки писать математические тексты вообще без использования «естественного» языка — этим занимались, например, Дж. Пеано и его ученики, а Э. Ландау создал учебник «Введение

в анализ» без единого «человеческого» слова. Но и без этих экзотических попыток язык математики намного сложнее языка иностранного. Ведь значение слова «table» русскоязычному человеку нетрудно понять. В отличие от слова «мартингал», которое, хотя и написано кириллицей, для своего понимания требует нетривиальных усилий. (Справедливости ради отметим, что такова ситуация сегодня и во многих других науках.)

Преподносить математику студентам-гуманитариям надо совершенно иначе, уважая их «другой» стиль мышления, другое понимание истинности, другие представления о ценностях мира. Для этого необходимо особое педагогическое мастерство, чтобы слушатели ненароком не заснули, заинтересовались рассматриваемыми вопросами и поняли хотя бы в общих чертах, о чём идёт речь. Последовательная реализация этой точки зрения, естественно, требует отказа от привычных математикам строгих доказательств, искусственных преобразований и длинных рассуждений. И, конечно, следует использовать минимальнейший объём привлекаемых символов, обозначений, выкладок, так непривычных и даже мучительных для гуманитариев. Здесь уместно напомнить мудрые слова П. Халмоша: «Лучшее обозначение — это отсутствие обозначений; если можно обойтись без сложного буквенного аппарата, обходитесь без него». Опыт преподавания математики гуманитариям свидетельствует, что они предпочитают наглядное и образное изложение на конкретных примерах, объяснение и демонстрацию на простых частных случаях, «показательство на пальцах» вместо формальной строгости.

С этой задачей авторы учебного пособия справляются весьма успешно, предлагая и доступное изложение, и наглядность описания, и ассоциации, так импонирующие гуманитарному мышлению. Особо хочется отметить живой, неформальный и доброжелательный язык книги. Авторы часто обращаются к читателю от первого лица, дают полезные советы и разумные рекомендации, вплетают в текст юмористические и лирические отступления, житейские наблюдения, анекдоты, случаи из своей преподавательской практики. Они так объясняют принятую ими оригинальную манеру изложения материала: «Для того чтобы в головах наших слушателей надолго сохранились «островки» математического знания, все средства хороши. В том числе старые и не очень смешные математические анекдоты».

Этот удачно найденный ими «неакадемичный», демократичный стиль повествования, несомненно, будет очень импонировать читателям. Свою точку зрения на необходимость специфической манеры чтения лекций по математике гуманитариям и поучительные впечатления от работы с ними Н. Н. Петров подробно излагает в публикуемой в этом же номере журнала статье [18].

И, конечно, студенты с радостью увидят, что весь материал занимает вполне доступный, щадящий объем — всего 213 страниц.

Рассматриваемая книга — пример удачного и оригинального учебного пособия для использования в процессе обучения студентов-гуманитариев. Причём независимо от того, останется ли «гуманитарная математика» обязательным предметом или нет, — это пособие было бы полезно и для самообразования любого, кто хочет быть настоящим интеллигентом. Все сделанные (и не сделанные) замечания можно легко учесть, ошибки исправить, текст тщательно отредактировать. Важно только сохранить удивительный колорит авторской манеры изложения материала. И затем обязательно следует издать

эту отличную книгу для массового читателя в надлежащем полиграфическом виде достаточным тиражом.

ЛИТЕРАТУРА

1. Белая Н. Л., Петров Н. Н. Книга для чтения по высшей математике. Учебное пособие. 3-е изд., испр. и доп. — СПб: Изд-во СПбГУЭФ, 2011. 214с.

2. Баврин И. И. Математика для гуманитариев. Учебник для студентов гуманитарных направлений. — М.: Академия, 2011. 320 с.

3. Воронов М.В., Мещерякова Г. П. Математика для студентов гуманитарных факультетов. Учебник. — М.: Феникс, 2002. 284 с.

4. Грес П. В. Математика для гуманитариев. Учебное пособие. — М.: Логос, 2004. 160 с.

5. Дорофеева А. В. Высшая математика для гуманитарных направлений. Учебник для бакалавров. — М.: Юрайт, 2012. 400 с.

6. Дорофеева А. В. Высшая математика. Гуманитарные специальности. Сборник задач. Учебное пособие. — М.: Дрофа, 2009. 175 с.

7. Жолков С.Ю. Математика и информатика для гуманитариев. Учебник. — М.: Гардарики, 2002. 531с.

8. Козлов В. Н. Математика и информатика. Учебное пособие для гуманитарных и социально-экономических специальностей. — СПб.: Питер, 2004. 266с.

9. Кремлёв А. Г., Гребенникова И. В., Залазинская Е. А. Математика в юриспруденции. Учебное пособие. — Екатеринбург: Изд. дом УрГЮА, 2004. 164 с.

10. Тихомиров Н.Б., Шелехов А.М. Математика. Учебный курс для юристов. — М.: Юрайт, 1999. 223 с.

11. Шикин Е. В. Математика для гуманитариев. Учебное пособие. Ч.I. — Нижний Новгород: Изд-во ННГУ, 1996. 68 с. Ч.II, III. — Нижний Новгород: Изд-во ННГУ, 1998. 200 с.

12. Шикин Е. В., Шикина Г. Е. Гуманитариям о математике. Пути знакомства. Основные понятия. Методы. Модели. Учебник. — М.: Эдиториал, УРСС, 2001. 272 с.

13. Шолохович Ф. А. Высшая математика в кратком изложении. Учебник для гуманитарных и социально-экономических специальностей и направлений. — Екатеринбург-М.: Уральское изд-во, Белая медведица, 2008. 416 с.

14. Розов Н. Х. Гуманитарная математика // Математика в высшем образовании. 2003. №1. С. 53-62.

15. Успенский В. А. Математика для гуманитариев: философия преподавания // Математика в высшем образовании. 2005. №3. С. 91-104.

16. Успенский В. А. Математическое и гуманитарное: преодоление барьера. — М.: МЦНМО, 2012.

17. Белая Н.Л., Петров Н.Н. Зачем студентам-юристам высшая математика? // Уч. записки юридического ф-та СПбГУЭФ. 2007. С. 129-138.

18. Петров Н.Н. Математика у гуманитариев // Математика в высшем образовании. 2012. №10. С. 167-174.

Поступила 05.09.2012

CONCERNS ABOUT TEACHING MATHEMATICS TO HUMANITIES STUDENTS APPEARED WHILE READING A STUDY LETTER

N. Kh. Rozov

The article represents a review of one study letter for the course of mathematics for faculties of humanities at universities. There are also concise considerations and constructive suggestions for the problems of the academic content and methods of teaching mathematics to humanities students.

Keywords: mathematics program for the humanitarian university departments.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СОРЕВНОВАНИЯ В ВУЗАХ

УДК 51-8

XVII ВСЕАРМЕЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ КУРСАНТОВ ВЫСШИХ ВОЕННО-УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ МИНИСТЕРСТВА ОБОРОНЫ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

В. Д. Лукьянов*, В. Е. Спектор**, О. В. Фаллер***

* Учебный центр ОАО «Авангард» Россия, 195197, г. Санкт-Петербург, Кондратьевский пр., 72; e-mail: lukyanovvd@rambler.ru **Военно-морская академия имени Адмирала Флота Советского Союза Н.Г.Кузнецова (филиал) Россия, 236023, г. Калининград, Советский проспект, 82;

e-mail: v.spektor@mail.ru ***Департамент образования Министерства обороны РФ Россия, 119160, г.Москва, ул. Знаменка, 19; e-mail: olimp@mil.ru

Излагается информация о XVII Всеармейской олимпиаде по математике для курсантов высших военно-учебных заведений России, посвященной 100-летию со дня рождения академика Л. В. Канторовича. Приведены содержания заданий, некоторые нестандартные решения и итоги олимпиады.

Ключевые слова: математическая олимпиада.

С 19 по 23 марта 2012 года на базе Военно-космической академии имени А. Ф. Можайского (г. Санкт-Петербург)1 прошла XVII Всеармейская олимпиада по математике высших военно-учебных заведений Министерства обороны Российской Федерации, посвященная 100-летию со дня рождения лауреата Нобелевской премии по экономике академика Леонида Витальевича Канторовича, который был (в период 1939-1948 гг.) первым заведующим организованной им кафедры математики Военного инженерно-технического училища Военно-Морского Флота.

1 Ниже в данной статье будут использоваться следующие официальные аббревиатуры названий высших военно-учебных заведений: ВКА — Военно-космическая академия имени А. Ф. Можайского (г. Санкт-Петербург); ВУНЦ СВ «ОВА ВС РФ» — Военный учебно-научный центр Сухопутных войск «Общевойсковая академия Вооруженных Сил Российской Федерации» (филиалы, г.Рязань, г.Омск); ВУНЦ ВМФ «ВМА» — Военный учебно-научный центр Военно-Морского Флота «Военно-морская академия имени Адмирала Флота Советского Союза Н. Г. Кузнецова» (филиалы, г. Калининград, г. Петродворец) ; ВА ВКО — Военная академия воздушно-космической обороны (г. Тверь) ; ВАС — Военная академия связи имени Маршала Советского Союза С.М.Буденного (г. Санкт-Петербург); ВА войск РХБЗ и ИВ — Военная академия войск радиационной, химической и биологической защиты и инженерных войск имени Маршала Советского Союза С.К.Тимошенко (г.Кострома); ВАТТ — Военная академия тыла и транспорта имени генерала армии А. В. Хрулева (г. Санкт-Петербург); ВАИУ — Военный авиационный инженерный университет (г.Воронеж); В А — Военная академия (филиал, г.Череповец), МВАА — Михайловская военная артиллерийская академия (г. Санкт-Петербург).

История Всеармейских олимпиад по математике началась в 1996 году. Её организатором была Военная инженерно-космическая академия, ныне ВКА, которая в 1992-1999 гг. по собственной инициативе проводила городские математические олимпиады студентов и курсантов высших технических учебных заведений Санкт-Петербурга. Во Всеармейской олимпиаде 1996 года приняли участие 8 военных вузов Санкт-Петербурга и команда Тульского высшего артиллерийского инженерного училища. Руководство проведением этой олимпиады осуществляло Управление военного образования Главного управления кадров Министерства обороны Российской Федерации.

В XVII Всеармейской олимпиаде участвовали курсанты уже 33-х военных вузов России от Калининграда до Владивостока, а также студенты Санкт-Петербургского государственного университета аэрокосмического приборостроения, Балтийского государственного технического университета «Военмех» имени Д. Ф. Устинова и Санкт-Петербургского государственного университета телекоммуникаций имени М. А. Бонч-Бруевича. В состав команды каждого вуза входили 4 человека. Подготовка и проведение олимпиады осуществлялись под руководством Департамента образования Министерства обороны Российской Федерации.

Оргкомитет олимпиады возглавил начальник ВКА доктор физико-математических наук, профессор генерал-майор С. С. Суворов. В состав жюри2 вошли преподаватели математики военных вузов: доцент В. Е. Спектор (г. Калининград); профессор В. В. Родыгин (г.Владивосток), профессор И.Я.Молоков (г. Санкт-Петербург); доцент О. А. Кулиш (г. Краснодар); доцент Е. В. Царькова (г. Москва).

Апелляционную комиссию составили её председатель независимый эксперт профессор В.Д.Лукьянов (г. Санкт-Петербург) и преподаватели математики военных вузов: доцент В. И. Минаков (г.Воронеж); доцент 3. Г. Салахутдинова (г.Кострома); доцент Е. И. Знак (г. Санкт-Петербург); доцент М.Н. Руденко (г.Пенза).

Банк заданий формировался в Департаменте образования. Экспертная комиссия олимпиады в составе профессора Н.Х.Розова (МГУ), профессора Г. Г. Малинецкого (ИПМ им. М. В. Келдыша РАН), профессора Н. И. Сидняева (МГТУ им. Н. Э. Баумана), доцента А. А. Часовских (специализированный учебно-научный центр МГУ — школа им. А.Н.Колмогорова), доцента А.И.Митина (РАНХ и ГС при Президенте РФ), профессора Ю.Д.Медведева (Институт прикладной астрономии РАН, г. Санкт-Петербург), доцента О. В. Фаллер (Департамент образования Минобороны России) выбрала из более 500 заданий только 14 задач исходя из их технической и концептуальной сложности.

Каждой задаче был присвоен уровень сложности, который вычислялся по формуле (k±xi + &2Ж2)/(&1 + &2)> где кг — весовые коэффициенты; х\ и Х2 -оценки соответственно концептуальной (связанной с пониманием и формализацией условия) и технической (связанной с объёмом необходимых вычис-

2 Составы жюри и апелляционной комиссии были избраны на расширенном заседании оргкомитета, которое состоялось 19 марта (в режиме телеконференции между ВКА и Департаментом образования Минобороны России).

лений) сложностей. Для х\ допускались целые и полуцелые значения от 1 до 5, а весовые коэффициенты выбирались так, что к\ + кч = 1 и к\ > k<i (т.е. более весомой полагалась концептуальная сложность). При сделанных предположениях уровень сложности может принимать значения от 2 до 5.

Олимпиада проводилась в три тура, на каждый из которых отводился один день. Первый и второй туры включали по 7 задач различного уровня сложности, правильное решение каждой из которых оценивалась в 20 баллов. Приведём задачи первого тура.

1. Найти предел

2. Найти расстояние от эллипса до прямой

3. Решить уравнение

при условии, что порядок определителя равен 2011.

4. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой имеют координаты (1;0), (0;1) и асимптоты параллельны осям координат.

5. Доказать, что

6. Над центром площадки нужно повесить фонарь. Площадка имеет форму круга, радиус которого 10 метров. На какой высоте должен быть фонарь, чтобы он наилучшим образом освещал дорожку, окаймляющую площадку? (Освещенность, создаваемая точечным источником, обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника до поверхности и прямо пропорциональна силе света источника и косинусу угла между направлением светового потока и нормалью к освещаемой поверхности.)

7. Многочлены девятнадцатой степени рид удовлетворяют тождеству

Найти д“(0), если известно, что р”(0) + р//;(0) = 8 и р^(0) = 6.

Для ряда задач участники олимпиады предложили оригинальные решения, продемонстрировав не только хорошее владение математическим аппаратом, но и способность выбрать наиболее рациональный путь к намеченной

цели. Например, оргкомитет олимпиады предполагал следующее решение задачи 5: вводится в рассмотрение последовательность

Для доказательства неравенства, данного в условии, достаточно доказать, что хп < 1.

По биному Ньютона получаем

(1)

Тогда для правой части искомого неравенства имеем

(2)

Используя (2), получим

(3)

будем иметь хп < уп ^ 1, что и доказывает искомое неравенство.

Доказательство неравенства уп ^ 1 проведем методом математической индукции: при и = 2 имеем у2 = о9 = 1. Пусть неравенство у^ ^ 1 выполняется для любого к ^ 2. Докажем, что тогда выполнено неравенство Ук+1 ^ 1- Действительно,

где последнее неравенство вытекает из предположения у^ ^ 1 и неравенства (1).

Сравним изложенное решение с решением, предложенным курсантом В А войск РХБЗ и ИВ И. В. Чебыкиным. Он применил метод математической индукции непосредственно для доказательства искомого неравенства. Именно,

при и = 2 искомое неравенство выполнено:

Положим

и докажем, что уп ^ 1 при и ^ 2. Тогда из (3)

Пусть неравенство

верно для к ^ 2. Докажем, что при и = к +1 справедливо неравенство

Для этого в правой части тождества

(4)

первый сомножитель преобразуем с помощью бинома Ньютона:

Теперь из (4) имеем

что и требовалось доказать.

Ещё короче решение этой же задачи, предложенное курсантом ВАИУ В. Н. Муковниным, который использовал известное неравенство Коши для среднего арифметического и среднего геометрического п чисел:

Применяя к числителю в правой части неравенства формулу суммы п членов арифметической прогрессии, получим

Таким образом,

следовательно,

Приведём теперь задачи второго тура.

1. Решить уравнение

2. Доказать неравенство

3. Вычислить интеграл

4. Имеет ли дифференциальное уравнение

решение, не равное нулю в любой точке промежутка [2012; +оо)?

5. Решить систему дифференциальных уравнений

6. Найти область сходимости степенного ряда

7. Из отрезка [0; 1] случайным образом взяты два числа. Какова вероятность того, что их сумма больше единицы, а произведение не больше — ?

И здесь отдельные курсанты также проявили самобытность и оригинальность. В качестве примера рассмотрим задачу 2, для которой оргкомитет предлагал следующее решение: на отрезке [0; 1] подынтегральная функция убывает, значит, на этом отрезке её наименьшее значение равно /(1) = е-1.

Следовательно,

Чтобы доказать правое неравенство, можно использовать известное неравенство ех > 1 + X, из которого имеем

Интегрируя последнее, получим

Другое решение задачи предложил курсант ВАИУ В. Н. Муковнин. Он использовал разложение экспоненты в степенной ряд:

Отсюда, учитывая, что остаток знакочередующегося ряда не превосходит по модулю абсолютной величины первого отброшенного члена ряда, получаем двойное неравенство

Проинтегрируем это неравенство в заданных пределах:

Получаем

откуда после подстановок

Поскольку

то доказанное неравенство даже сильнее того, которое требовалось доказать.

Для решения задачи 3 также предлагались разные способы. Так, традиционное решение этой задачи предполагает разбиение данного интеграла на два интеграла по симметричным относительно начала координат промежуткам, как и поступило абсолютное большинство участников олимпиады. Однако курсант ВА войск РХБЗ и ИВ Д. В. Чернаков в основу решения положил утверждение о том, что любая функция может быть представлена в

виде суммы чётной и нечётной функций. Представление в таком виде данной подынтегральной функции позволило вычислить интеграл, причём не менее эффективным, но более изящным способом.

Для задачи 4 организаторы предложили решение с использованием доказательства «от противного». Никто из курсантов такого доказательства не дал. Все решали данное в задаче уравнение как уравнение Эйлера. Однако мало кто из участников, решив уравнение, сумел сделать правильный вывод и обосновать его. Отличное обоснование дал курсант И. В. Чебыкин. Приведём его решение.

Полученное традиционной заменой х = é решение дифференциального уравнения имеет вид

После введения дополнительного угла (р так, что

запишем общее решение в виде

Докажем, что каждое решение в некоторых точках промежутка [2012; +оо) обращается в нуль. Действительно, решая уравнение

получим

Положим

При достаточно больших значениях п имеем хп £ [2012; +оо), то есть найдётся такое X в промежутке [2012; +оо), при котором у = 0.

Впервые в истории Всеармейских олимпиад проводился математический турнир (третий тур) под девизом «Наука математика и искусство математиков», модератором которого была советник Департамента образования Министерства обороны доцент О. В. Фаллер. В рамках турнира капитаны и команды соревновались в решении 15 задач (логических, исторических и просто «на сообразительность»), требующих эвристического подхода. Время на решение каждой из предложенных задач было ограничено (от 1 до 15 минут). Особый интерес вызвали две задачи, которые представлены ниже.

Задача 14 (время выполнения — 10 минут). Перед Второй мировой войной благодаря счастливой случайности англичанам удалось получить в руки систему шифрования, которой предполагал пользоваться вермахт в ходе военных действий. Однако для того чтобы воспользоваться всем этим и обрабатывать огромный объём приказов и донесений, потребовалось найти более тысячи человек, обладающих отличным ассоциативным мышлением, сильной памятью и интеллектом. Сделать это надо было скрытно и незаметно для германских агентов, работавших в это время в Англии. Людей с такими способностями мало, и рассредоточены они в различных социальных группах. Английские военные успешно справились с этой задачей. Как?

Решение. В предвоенной Англии было весьма много небогатых людей, желающих заработать. В нескольких английских газетах были проведены конкурсы по разгадыванию кроссвордов. Кроссворд был очень велик — почти на целую полосу, требовал больших усилий, эрудиции, ассоциаций. Естественно, его составляли те спецслужбы, которые представляли качества будущего сотрудника. Если человек к концу дня выхода газеты предъявлял точное решение, ему платили некоторую сумму денег. Если это происходило систематически, то человека брали на заметку спецслужбы.

С этой задачей справилось более 40% участников олимпиады. Высоко оценивая значимость Олимпиады, некоторые курсанты высказывали мнение о необходимости проведения Всеармейской олимпиады по математике для выявления людей, обладающих отличным ассоциативным мышлением, сильной памятью и интеллектом.

Задача 153. Зашифрованный текст (время выполнения — 15 минут).

После шифрования некий русскоязычный текст принял вид:

Каждой букве соответствует одно число (от 1 до 20), причем разным буквам соответствуют разные числа. Е и Е считаются одной буквой. Зашифрованные буквы в пределах одного слова разделяются плюсами. Знаки препинания в тексте сохраняются.

Расшифруйте этот текст — он имеет непосредственное отношение к олимпиаде.

Решение (одно из возможных). В тексте встречается слово, состоящее из двух одинаковых букв (8+8). Перебирая весь алфавит, убеждаемся, что в русском языке существует только одно такое слово — местоимение ЕЕ (по условию Е и Е не различаются). Заменим в тексте 8 на Е.

Далее, некоторые слова в тексте похожи друг на друга. Выпишем несколько таких слов с одинаковым началом (оно подчеркнуто):

Очень вероятно, что это различные грамматические формы одного и того же слова или однокоренных слов. Тогда неподчеркнутые части слов — суффиксы и окончания. Можно было бы попробовать перебирать всевозможные окончания, но пока неясно, например, являются ли выписанные слова формами имен существительных или это глагольные формы.

Рассмотрим последнее выписанное слово. В его суффиксе встречается удвоенная буква (3+3). Такой суффикс есть у причастий: -ЕНН-; тогда 7+Е+9 — глагольный корень. Выпишем все возможные окончания причастий, которые могут идти после суффикса ЕНН, состоят из двух букв и не

3 Лингвистические задачи. Пособие для учащихся ст. классов / Авт.-сост.: В. М. Алпатов, А. Д. Вентцель, Б.Ю.Городецкий и др. — М.: Просвещение, 1983.

содержат буквы Е. Это АЯ, ОЙ, ОМ, ОЮ, УЮ, ЫЙ, ЫМ, ЫХ. Предпоследняя буква в этом окончании — такая же, как последняя в слове 7+Е+9+14. Но глагольных форм, оканчивающихся на О или Ы, нет. На А может оканчиваться только деепричастие после шипящей буквы, но деепричастный оборот выделялся бы запятой, а её в этой фразе нет. Остается одно: 14=У, и последнее слово оканчивается на -ЕННУЮ. Аналогично находим: 4=А, 10=Т, 11=Ь.

Дальше можно идти по такому пути. Третья фраза выглядит следующим образом:

6+Т+16 7+Е+9+АЕТ ..., Т+16+Т 7+Е+9+17+Т...

Здесь легко узнать оборот «КТО ..., ТОТ ... », откуда 6=К, 16=0, 17=И. После этого в тексте остается совсем мало неразгаданных слов. Например, первая фраза будет иметь вид:

1 2+НАЮ, КАК 7+Е+Э+АТЬ 2+А+12+А+13+У.

Теперь не представляет труда расшифровать весь текст:

Я ЗНАЮ, КАК РЕШАТЬ ЗАДАЧУ. Я СКОРО РЕШУ ЕЕ. КТО РЕШАЕТ ЗАДАЧИ СКОРЕЕ, ТОТ РЕШИТ БОЛЬШЕ ЗАДАЧ. ЗА КАЖДУЮ РЕШЕННУЮ ЗАДАЧУ ЗАЧИСЛЯЮТСЯ ОЧКИ.

Кроме собственно математики, программа олимпиады включала методические и культурные мероприятия. Были проведены мастер-классы для преподавателей «Прикладное значение математики», посвящённые использованию виртуальных лабораторных и практических занятий, методический семинар «Актуальные проблемы преподавания математики в высшем военно-учебном заведении в условиях реализации ФГОС ВПО в учебном процессе». В рамках программы «Математика и искусство» участники олимпиады посетили театр музыкальной комедии и филармонию. Были проведены экскурсии в музей ВКА, 300-летие основания которой было торжественно отмечено 16 января 2012 года, и в музей артиллерии, инженерных войск и войск связи. Полученная здесь информация была полезна для решения исторических задач математического турнира.

Помимо экскурсий по достопримечательным местам Санкт-Петербурга была проведена тематическая экскурсия «Математический Петербург» с посещением Санкт-Петербургского Дома ученых, в котором проходят заседания Санкт-Петербургского математического общества, Дома академиков, филиала Российской Академии Наук, а также академических зданий на Университетской набережной и дома, в котором жил и работал великий математик Леонард Эйлер.

В первом туре в личном первенстве уверенную победу одержал курсант И. В. Чебыкин (г. Кострома), набрав 132 балла из 140 возможных. Второе место занял курсант В. Н. Муковнин (г. Воронеж) — 102 балла. В командном первенстве первое место заняли курсанты ВА войск РХБЗ и ИВ (г. Кострома) - 307 баллов, второе — ВАИУ (г. Воронеж) — 262 балла, третье — ВА (филиал, г. Череповец) — 225 баллов.

Во втором туре в личном первенстве победу в упорной борьбе одержал курсант К. Н. Сергеев (г. Пушкин), набрав 117 баллов из 140 возможных. Второе место, проиграв всего один балл, занял курсант В. И. Сахно (г. Санкт-Петербург) — 116 баллов. В командном первенстве первое место уверенно

заняла ВКА (г. Санкт-Петербург) — 349 баллов; второе, как и в первом туре, — ВАИУ (г. Воронеж) — 338 баллов; третье — ВА войск РХБЗ и ИВ (г. Кострома) — 313 баллов.

Третий тур проходил сразу на трех площадках: в лекционном зале ВКА сражались капитаны команд, рядом в аудитории — команды вузов-участников олимпиады, на третьей площадке — 12 военных вузов, подключенных к автоматизированной системе военного образования «Интеграция-СВО», которые наблюдали за проведением турнира капитанов и присылали варианты ответов по электронной почте (интернет-турнир).

В Интернет-олимпиаде первое место заняли курсанты и преподаватели Омского филиала ВУНЦ СВ «OBА ВС РФ», второе — курсанты и преподаватели В А войск РХБЗ и ИВ, третье — курсанты и преподаватели ВУНЦ ВМФ «ВМА» (филиал, г. Петродворец).

В конкурсе капитанов победил капитан команды МВАА (г. Санкт-Петербург) А. О. Нестеров. Второе место занял капитан команды ВА ВКО (г. Тверь) А. М. Пацуков. Третье место разделили капитаны команд ВАТТ (г. Санкт-Петербург) А. Ю. Гайвенко, рязанского филиала ВУНЦ СВ «ОВА ВС РФ» СР.Додонов и калининградского филиала ВУНЦ ВМФ «ВМА» Д.В.Лобанов.

В командном зачете третьего тура места распределились следующим образом: ВА ВКО (г. Тверь) — 1 место, ВАС (г. Санкт-Петербург) — 2 место, ВАИУ (г. Воронеж) — 3 место.

В абсолютном командном первенстве XVII Всеармейской олимпиады по математике (по сумме трех туров) победу одержала команда ВА войск РХБЗ и ИВ (663 балла). На втором месте — команда ВАИУ (645 баллов), на третьем — команда ВКА (597 баллов).

На закрытии олимпиады впервые прозвучал гимн Всеармейской олимпиады по математике курсантов высших военно-учебных заведений Министерства обороны Российской Федерации, который написала О.О. Леонова — преподаватель ВУНЦ ВМФ «ВМА» (филиал, г. Петродворец).

23 марта, в день закрытия XVII Всеармейской олимпиады по математике, честь произвести в 12 часов выстрел со стен Петропавловской крепости Северной столицы была предоставлена курсанту И. В. Чебыкину, одержавшему убедительную победу в абсолютном личном первенстве с результатом 234 балла.

Поступила 20.05.12

THE XVII ALL-ARMY OLYMPIAD ON MATHEMATICS FOR CADETS FROM THE HIGHEST MILITARY COLLEGES OF MINISTRY

V. D. Lukyanov, V. E. Spector, О. V. Faller

Information about the XVII All-army Olympiad on mathematics for cadets from the highest military colleges of Russia which was devoted to the 100 anniversary of academician L. V. Kantorovich is stated. The contents of tasks, some non-standard solutions of the tasks and results of the Olympiad are given.

Keywords: mathematical olympiad.

ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ. ПЕРСОНАЛИИ

ЛЕВ ДМИТРИЕВИЧ КУДРЯВЦЕВ

(25 марта 1923-17 февраля 2012)

Горе, как нередко бывает, обрушивается на нас внезапно: не стало крупнейшего математика и педагога Льва Дмитриевича Кудрявцева. Его жизнь, дела и поступки, его всегда тактичное, но неизменно сильное благотворное влияние на многих и многих окружающих будут сказываться ещё долгие, долгие годы.

Лев Дмитриевич вырос в семье потомственных интеллигентов и во всей своей педагогической и научной деятельности следовал нравственным принципам, усвоенным в детстве. Его отец, Дмитрий Васильевич (1886-1943), офицер царской армии, в 1912 году поступил в Академию Генерального штаба, однако в 1914 году, когда Россия вступила в Первую мировую войну, ушел добровольцем на фронт. На фронте он отличился, стал кавалером Георгиевского оружия и был представлен к награде Георгиевским крестом, но случилась революция 1917 года. В это время после очередного ранения на фронте он командовал ротой юнкеров в Александровском военном училище в Москве. Его послали парламентером с белым флагом в Кремль для переговоров. Вместе с двумя сопровождавшими его юнкерами он был расстрелян у ворот Кремля, но чудом остался жив. В 1919 году, после обращения генерала А. А. Брусилова к офицерам царской армии с призывом перейти на службу новой власти, он вступил в Красную Армию, поступил в Военно-геодезический институт, окончив его, стал преподавать геодезию и тактику на военных кафедрах высших учебных заведений. Мать Льва Дмитриевича,

Евгения Львовна (1895-1982), урождённая Кожина, в 1914 году ушла добровольно на фронт сестрой милосердия, где встретилась в госпитале со своим будущим мужем. После революции она работала преподавателем немецкого языка и (когда муж был репрессирован) — медицинской сестрой. Происходила она из старинного рода столбовых дворян, родоначальником которого был полководец Василий Кожа, успешно сражавшийся во времена Василия Тёмного с Дмитрием Шемякой. Василий Кожа был отцом преподобного Макария, игумена Калязинского, чудотворца, и дедом преподобного Паисия Угличского, игумена Покровского монастыря.

В семье Кудрявцевых воспитывалось трое детей: Лев Дмитриевич, его старший брат Юрий (1919-1943), и младший Александр, впоследствии известный в Москве врач (1934-1993).

В 1940 году Лев Дмитриевич окончил московскую школу №59 (до революции носившую название Медведниковской гимназии), в которой учились многие будущие крупные математики и механики: академики В. И. Арнольд, К.К.Марджанишвили, В. П. Маслов, В. П. Мясников, Ю.А.Рыжов, доктора физико-математических наук А. М. Олевский, А. Г. Постников, Я. И. Секерж-Зенкович, С. Б. Стечкин, Я. И. Хургин. Лев Дмитриевич всегда с большой теплотой и любовью вспоминал всех своих школьных учителей, многие из которых ещё до революции были преподавателями гимназии, прежде всего Илью Андреевича Смирнова, Евгению Николаевну Жудро, Софью Александровну Вокач, Льва Ардалионовича Мещанюка, Григория Ивановича Фалеева. По его словам, это были люди редкие, удивительные по своей интеллигентности, высокой нравственности, доброжелательности, профессионализму. Он был очень признателен своим учителям за доверие: ему вместе с его товарищем С. Т. Зацепиным (впоследствии всемирно известным хирургом) по их просьбе разрешили подготовиться к одновременной сдаче экзаменов за девятый и десятый классы. Лев Дмитриевич говорил, что именно в этот год свободного посещения уроков и самостоятельной подготовки к экзаменам он научился много, напряженно и целенаправленно работать.

Ещё в школе Лев Дмитриевич любил решать математические задачи, целиком отдаваясь поиску их решения до тех пор, пока оно не будет найдено. Это иногда случалось даже во сне. Лев Дмитриевич рассказывал, как его поразило, когда будучи учеником восьмого класса, он однажды утром проснулся с готовым решением трудной геометрической задачи, над которой до этого безуспешно бился несколько дней.

Наряду с математикой Лев Дмитриевич увлекался в школьные годы сначала древней историей, а затем астрономией, привлекавшей его своей романтикой. Решив стать астрономом, он поступил на механико-математический факультет МГУ, но уже на первом курсе начал активно заниматься математикой. Не последнюю роль в этом сыграли лекции профессора И. М. Гельфанда по алгебре и двухчасовые беседы по математике, которые он проводил по субботам со студентами первого курса. Лев Дмитриевич был непременным участником всех этих бесед.

Однако лишь первый учебный год ему довелось учиться в нормальных условиях — началась война. Университет был эвакуирован в Ашхабад. Лев

Дмитриевич остался в Москве с родителями и перевелся в Московский городской педагогический институт, где проучился один семестр. Весной 1942 года собрали оставшихся в Москве студентов и преподавателей МГУ, университет возобновил свою работу, и Лев Дмитриевич продолжил учебу в МГУ. В то время все студенты механико-математического факультета первые два года обучались по одной программе и лишь после окончания второго курса выбирали себе специализацию: математику, механику или астрономию. Именно благодаря И. М. Гельфанду Лев Дмитриевич выбрал математику. В 1943 году в Москву из эвакуации вернулись многие крупные ученые, в том числе Н. Н. Лузин, А. Н. Колмогоров, П. С. Александров. Лев Дмитриевич слушал лекции П. С. Александрова по теории функции действительного переменного и топологии и вскоре стал его учеником.

С отличием окончив МГУ в 1945 году, Лев Дмитриевич поступил в аспирантуру Института математики МГУ и в 1948 году защитил подготовленную под руководством П. С. Александрова кандидатскую диссертацию «О группах Бетти топологических пространств».

В 1948 году Л. Д. Кудрявцев по рекомендации Л. А. Люстерника был принят в отдел численных методов Математического института им. В. А. Стеклова (МИАН). В этом институте он работал до последних дней жизни. В 1954 году по приглашению М. А. Лаврентьева, являвшегося в то время заведующим отделом теории функций, он стал докторантом МИАН. Лев Дмитриевич неоднократно подчеркивал, что он признателен судьбе за встречу с Сергеем Михайловичем Никольским, определившим его математические интересы и дальнейший жизненный путь на долгие годы. Находясь под его научным влиянием, он закончил докторантуру МИАН и в 1956 году защитил докторскую диссертацию «Прямые и обратные теоремы вложения. Приложения к решению вариационным методом эллиптических уравнений, вырождающихся на границе области», которая была опубликована в виде монографии в 1959 году. В 1961-1968 гг. он работал заместителем директора МИАН, а с 1988 по 1994 год заведовал отделом теории функций. Более 40 лет он совместно с академиком С.М. Никольским руководил научно-исследовательским семинаром по теории дифференцируемых функций многих переменных.

Лев Дмитриевич — автор более 300 научных публикаций по математике, философии, педагогике.

Кратко остановимся на научных достижениях Льва Дмитриевича. Им проведены исследования по метрической и топологической теории дифференцируемых отображений, изучены как общие свойства этих отображений, так и отдельные классы. Он исследовал гомологические группы локально компактных пространств и гомоморфизмы этих групп. Ему принадлежат фундаментальные работы по теории вложения функциональных пространств и по её приложениям к вариационным задачам, описываемым дифференциальными уравнениями с частными производными. Им создана теория вложения пространств с весом и на основе этой теории развит вариационный метод решения краевых задач для эллиптических уравнений, вырождающихся на границе области. Для случая степенных весов разработана теория вложения пространств и вариационный метод как для ограниченных, так и для

неограниченных областей. Решена также задача о наилучшем в смысле роста производных продолжении функций с гиперплоскости на всё пространство в классе бесконечно дифференцируемых вне гиперплоскости функций. За последние годы им были созданы основы общей теории задач с асимптотическими начальными данными в особых точках для асимптотически линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Новые постановки задач привели к появлению новых понятий (например, локально-конечных покрытий открытыми множествами с компактными замыканиями, а-вариации отображения, ^-пределов и ^-интегралов, почти нормированных пространств, L-асимптотики) и новых методов решения (например, метода усреднений с переменным радиусом усреднения, метода вариации границ, метода параметрических неравенств).

Работы Л. Д. Кудрявцева по теории дифференцируемых отображений в 1953 году были удостоены премии Московского математического общества, а в 1988 году за цикл работ по теории граничных задач для дифференциальных операторов и их приложениям к математической физике он вместе с О.А. Олейник, Ю.В.Егоровым и В.А.Кондратьевым стал лауреатом Государственной премии СССР. С 1984 года Л.Д.Кудрявцев — член-корреспондент АН СССР, в 1994 году ему присвоено почетное звание заслуженного соросовского профессора. В 1997 году он избран действительным членом Академии педагогических и социальных наук (АПСН).

Научная и педагогическая деятельность Льва Дмитриевича Кудрявцева тесно связана с Московским физико-техническим институтом (МФТИ), где он без малого 60 лет читал двухгодичный курс математического анализа. Будучи в 1947 году зачисленным на кафедру высшей математики, через 7 лет, 30-летним доцентом, Лев Дмитриевич Кудрявцев по рекомендации С.М. Никольского стал заведовать этой кафедрой и оставался на этом посту до 1989 года, продолжая читать в МФТИ лекции по математическому анализу. До него кафедрой заведовали Б.Н.Делоне, М.А.Лаврентьев и С.М. Никольский.

В годы становления в МФТИ вырабатывались стандарты математического образования, программы кафедры высшей математики согласовывались с программами других кафедр. Это была многолетняя кропотливая работа, заложившая фундамент знаменитого физтеховского образования. На сайте кафедры (http://mipt.ru/kafedra/highmath) отмечается: «Математики собирались вместе, сутками сидели над задачами, выбирали наиболее интересные, составляли новые. Лев Дмитриевич привнес на Физтех дух энтузиастов первых лет, дух творчества и самопожертвования». Постепенно на кафедре накапливался опыт преподавания математики, выпускалось большое количество оригинального учебного материала. Книга Л. Д. Кудрявцева «Курс математического анализа», впервые изданная в 1970 году и выдержавшая много изданий, стала поистине классическим учебником, основой построения преподавания математического анализа в вузах России. Лев Дмитриевич, следуя наставлениям П. С. Александрова, старался осветить предмет так, чтобы он стал совершенно ясен, добивался чёткости изложения и доступности материала для студентов. Итог — в 2006 году за свой двухтомный

учебник «Краткий курс математического анализа» Л. Д. Кудрявцев получил главную премию Международной академической издательской компании «Наука//Интерпериодика» за лучшую книгу по науке, технологии и образованию. Переводы его книг опубликованы в Англии, Болгарии, ГДР, Польше, США, ФРГ, Чехословакии. В начале 80-х годов прошлого столетия кафедра, которой руководил Л. Д. Кудрявцев, насчитывала более 40 докторов физико-математических наук и более 25 кандидатов наук. Среди его учеников 15 кандидатов и 5 докторов наук, среди них действительный член Российской академии образования и Международной академии наук высшей школы, министр образования РФ в 1999-2004 гг., ректор Российского университета дружбы народов профессор В.М.Филиппов; член-корреспондент Российской академии образования профессор Г. Н. Яковлев; заведующий кафедрой высшей математики Азиатского инженерно-строительного института (ныне ААСУ) профессор А. Д. Джабраилов; ведущий научный сотрудник Института математики СО РАН, профессор Новосибирского госуниверситета В. Б. Коротков; профессор МФТИ В. Т. Петрова, доцент МФТИ Т. С. Пиголкина.

Бывшие студенты Льва Дмитриевича, ныне преподаватели кафедры высшей математики МФТИ, вспоминают своего учителя: «Лекции профессора Кудрявцева увлекали многих. Он выходил к доске, потирал руки, словно в предчувствии приятного дела, к которому он подступает, начиная спокойно, даже тихо говорить и преображаясь на глазах. Его лицо оживало, голос наполнялся оттенками: в какие-то моменты слышалось сомнение или задумчивость, в другие — радость и даже восторг. Это не был пересказ подготовленного материала. Казалось, что доказательство теоремы он находил сейчас, вместе с нами, преодолевая трудности, находя красивые ходы. На наших глазах он постепенно возводил красивое здание анализа» (газета МФТИ «За науку» №5, 2012 г.).

Являясь членом-корреспондентом Российской академии наук и академиком Европейской академии наук, действительным членом Академии педагогических и социальных наук, лауреатом Государственной премии СССР, премии Московского математического общества, советником РАН, президентом Центра современного образования и имея другие звания и награды, Лев Дмитриевич обладал редким даром оставаться равным среди равных в любой аудитории. Его доброжелательная манера общения с собеседниками, умение слышать их и проявлять к ним живой интерес, тактично советовать, помогать словом и делом постоянно отмечались всеми, кто к нему обращался.

С 1950 года рядом со Львом Дмитриевичем неизменно находилась его жена Лия Николаевна — верный друг и помощник, надежная опора в жизни (скончалась в 2007 году). Они вырастили двух сыновей. Оба стали математиками, кандидатами физико-математических наук. Старший, Дмитрий (родился в 1957 году), работает на кафедре высшей математики Московского государственного института радиотехники, электроники и автоматики, а младший, Николай (родился в 1959 году), — на кафедре математического анализа МГУ.

Журнал «Математика в высшем образовании» с самого своего основания находился под опекой Льва Дмитриевича. Он не просто поддержал идею со-

здания журнала и вошел в состав редакционной коллегии, а помог составить эту редакционную коллегию, убедив войти в нее известных вузовских преподавателей математики, принял живейшее участие в обсуждении тематики будущего журнала. Лев Дмитриевич был всегда в курсе планов по подготовке очередного номера журнала, рекомендовал, в частности, к кому из педагогов-математиков России следует обращаться с просьбой подготовить статью или прислать рецензию. На заседаниях Научно-методического совета по математике Министерства образования и науки РФ (НМС), неизменным ведущим которых был Лев Дмитриевич, регулярно заслушивалась и обсуждалась информация о свежих номерах журнала.

Журнал «Математика в высшем образовании» — одно из многих изданий, в редколлегию которых входил Л. Д. Кудрявцев. С 1965 года он был членом редколлегии и старшим редактором отдела дифференциальных уравнений с частными производными реферативного журнала «Математика», 28 лет (1965-1992) — членом редколлегии журнала «Дифференциальные уравнения», в 1979-1988 гг. — членом редколлегии международного журнала «Educational Studies in Mathematics». Он являлся также членом редколлегий журналов «Проблемы теории и методов обучения» и «Memoirs on Differential Equations and Mathematical Physics». В 1958-1962 гг. Лев Дмитриевич принимал активное участие в разработке соглашения между АН СССР и Национальной академией США по совместному выпуску англо-русского (в СССР) и русско-английского (в США) словарей математических терминов и организовывал работу над этими словарями в СССР. В 1966 году Лев Дмитриевич был консультантом ЮНЕСКО по математике в Индии, членом Комитета научно-технической помощи при Комиссии СССР по делам ЮНЕСКО. В 1967 году он был приглашен вместе с профессором М. А. Наймарком в ряд университетов Канады для чтения лекций по математике. В 1975-1978 гг. он являлся членом Исполнительного комитета Международной комиссии по математическому образованию (ICMI). 27 лет (1959-1986) он был членом Высшей аттестационной комиссии.

Деятельность Льва Дмитриевича в НМС заслуживает особого внимания. Более 37 лет он являлся членом НМС, много лет — председателем секции технических, экономических и сельскохозяйственных вузов. С 1999 года до последних дней он был первым заместителем председателя Президиума НМС. Он считал, что главная цель НМС — поддержка лучших традиций образования, сохранение его фундаментальности. Лев Дмитриевич писал: «...убедительным примером, показывающим несомненную целесообразность предоставления решающего голоса профессионалам при рассмотрении вопросов, касающихся содержания и методики образования, является работа Научно-методических советов по фундаментальным дисциплинам, созданным в советский период при Министерстве образования, приносящих, несомненно, огромную пользу системе образования в стране». НМС участвовал в разработке стандартов и основных положений программ по математике для всех направлений и специальностей. Особое внимание уделялось обеспечению методологического единства содержания, методов и средств обучения математике в системе непрерывного многоуровневого образования, повышению

квалификации преподавателей, воспитанию молодежи. Практически все выступления на заседаниях НМС неизменно сопровождались дискуссиями. Это создавало особую деловую и доброжелательную ауру, давало возможность услышать разные мнения и доводы. Как правило, заключительное выступление Льва Дмитриевича подводило итог дискуссиям. В настоящее время к организационно-методической и научной работе НМС по математике привлечено более 160 вузов России, создано 18 Региональных отделений.

Лев Дмитриевич возглавлял редакционный совет НМС по математике, одним из показателей работы которого явилось издание серии книг «Классика и современность. Математика». Авторы этих книг не нуждаются в комментариях: П. С. Александров, И. Г. Петровский, Н. Н. Лузин, А. Г. Курош, И. М. Гельфанд, Д. А. Райков, Г. Е. Шилов, П. С. Урысон, М. А. Наймарк.

Основные достижения Льва Дмитриевича в области математики, его раздумья о проблемах российского образования, нравственности и культуры собраны в трехтомнике «Л. Д. Кудрявцев. Избранные труды» (Физматлит, 2008), выпущенном к его 85-летию. Трехтомник подготовлен при поддержке Математического института им. В. А. Стеклова РАН, Российского фонда фундаментальных исследований и, конечно, его коллег и учеников.

В предисловии «Размышления российского интеллигента» к третьему тому избранных трудов Л. Д. Кудрявцева отмечается, что он никогда не замыкался только в математике и её преподавании. Лев Дмитриевич осмысливал свой жизненный и педагогический опыт, делился своими представлениями о сложном и многообразном понятии «образованный, культурный и нравственный человек». Об этом говорят сами названия его публикаций: «Современное общество и нравственность», «Мысли о современной математике и её преподавании», «Проблемы современного образования», «Среднее образование. Проблемы. Раздумья».

В первом номере журнала «Математика в высшем образовании» опубликованы две статьи Л. Д. Кудрявцева «Об экзаменах» и «Основные положения преподавания математики» (с продолжением в следующем номере), которые полезно читать и перечитывать всем вузовским преподавателям математики (для этого достаточно зайти на сайт журнала http://www.unn.ru/math ).

Упомянутая статья «Основные положения преподавания математики» содержит 10 заповедей преподавания математики в вузе. Сформулируем их основной смысл:

- бесполезно учить математике только на прикладных задачах, если предварительно не усвоены основные свойства математических структур;

- математика едина, нет четкой границы между «чистой» математикой и «прикладной»;

- особое уважение к математике связано с тем, что её положения неоспоримы в отличие от положений других наук; содержание общего курса математики не может быть определено с чисто прагматической точки зрения, основанной лишь на специфике будущей специальности учащегося, без учета внутренней логики самой математики;

- целью при обучении математике является приобретение учащимися определенного круга знаний, умения использовать изученные математиче-

ские методы, развитие математической интуиции, воспитание математической культуры;

- преподавание математики должно быть по возможности простым, ясным, естественным и базироваться на разумном уровне строгости;

- учить надо тому, что нужно и чему трудно научиться; при обучении надо отбирать основные, принципиальные вопросы, не перегружая изложение малозначительными, хотя, быть может, любопытными фактами;

- теоремы существования дают надежный критерий разумности выбранного направления поиска решений не только чисто математических, но и прикладных задач;

- на первых этапах обучения надо отдавать предпочтение индуктивному методу, постепенно подготавливая и используя дедуктивный подход;

- обучение решению прикладных задач математическими методами не является задачей математических курсов, а задачей курсов по специальности;

- каким разделам математики и в каком объеме надо учить студентов данной специальности — должны определять специалисты в этой области при консультации с математиками, а как этому учить — это дело профессионалов-математиков.

Все приведенные положения Лев Дмитриевич мотивирует ярко, доходчиво и образно. Помимо серьезных доводов, он нередко приводит остроумные и навсегда запоминающиеся шуточные задачи. Несомненно, что такая же манера изложения материала была характерна и для его лекций.

Бесконечно жаль, что Льва Дмитриевича больше нет с нами. Его удивительная энергия, глубокий профессионализм, принципиальность, абсолютная порядочность и скромность, любовь к людям и к жизни в самых разных её проявлениях всегда будут для нас образцом для подражания.

И. И. Баврин, С. В. Емельянов, И. С. Емельянова, А. И. Кириллов, Ю. М. Колягин, Г. М. Полотовский, С. А. Розанова, Н. Х. Розов, А. А. Русаков, В. Н. Чубариков, А. Г. Ягола

ЛЕОНИД ПАВЛОВИЧ ШИЛЬНИКОВ

(17 декабря 1934-26 декабря 2011)

Редакция журнала «Математика в высшем образовании» и Нижегородское математическое общество глубоко скорбят по поводу смерти выдающегося математика, крупнейшего специалиста по теории динамических систем и теории бифуркаций, профессора Нижегородского государственного университета Леонида Павловича Шильникова, последовавшей 26 декабря 2011 года. Влияние Леонида Павловича на развитие теории динамических систем трудно переоценить, им опубликовано более 160 статей и книг, в списке наиболее цитируемых авторов информационной системы Math-Net.ru он занимает 14-е место.

В журнале «Успехи математических наук» (2012, том 63, вып. 3(405), с. 175-178) опубликован подробный некролог, содержащий биографию Л. П. Шильникова и описание основных его научных результатов. Напомним, что среди публикаций нашего журнала — большая статья Леонида Павловича «Гомоклинические траектории: от Пуанкаре до наших дней» (Математика в высшем образовании, №5 (2007), с. 75-94). Леонид Павлович был одним из инициаторов создания Нижегородского математического общества (1995) и его президентом в 1995-2000 гг., он оказал решающее влияние на организацию и стиль деятельности общества, неоднократно выступал с докладами на научных заседаниях.

Нет сомнения, что направление исследований, заложенное в работах Леонида Павловича, будет активно развиваться как его учениками, так и многими другими математиками и специалистами в естественных науках, а светлую память о Леониде Павловиче сохранят все, кто его знал.

УДК 519.2

Л. В. КАНТОРОВИЧ: МАТЕМАТИК И ЭКОНОМИСТ (к 100-летию со дня рождения)

С. С. Кутателадзе

Институт математики им. С. Л. Соболева Россия, 630090, г. Новосибирск, пр. Академика Коптюга, 4; e-mail: sskut@math.nsc.ru

Краткое анализ творческого пути и вклада Л. В. Канторовича в формирование современных воззрений на взаимодействие математики и экономики.

Ключевые слова: линейное программирование, функциональный анализ, прикладная математика, наилучшее использование ресурсов.

Леонид Витальевич Канторович (19.01.1912-7.04.1986) прошел путь, который обогатил и украсил отечественную историю. Его судьба и вклад в науку несут колоссальный импульс просвещения.

Часто обсуждается — кем Канторович был больше, математиком или экономистом? Сам он ответил на этот вопрос на юбилейном собрании в ЦЭМИ в честь своего 70-летия. Леонид Витальевич сказал, что есть два Канторовича — математик и экономист, но они — сиамские близнецы.

Путь Канторовича

Канторович родился в Санкт-Петербурге в семье врача-венеролога 19 января 1912 г. (6 января по старому стилю). Интересно, что во многих справочниках указана другая дата. Сам Канторович всегда с улыбкой отмечал, что он себя помнит с 19.01.1912.

Канторович был вундеркиндом-математиком. Дарование мальчика проявилось очень рано. Уже в 1926 г. в возрасте 14 лет он поступил в Ленинградский университет, где вскоре стал заниматься в кружке, организованном для студентов Г. М. Фихтенгольцем, а затем и в семинаре, посвященном дескриптивной теории функций. Ранние студенческие годы сформировали первую когорту наиболее близких товарищей. В кружке Фихтенгольца занимались также Д. К. Фаддеев, И. П. Натансон, С. Л. Соболев, С. Г. Михлин и др., с которыми Леонид Витальевич был дружен всю жизнь. Старые друзья до конца жизни за глаза называли его «Лёнечка».

Научная работа Канторовича началась под руководством Г. М. Фихтенгольца при переходе на второй курс. Перед Канторовичем были поставлены задачи, относящиеся к наиболее актуальным в конце 1920-х годов разделам теории функций и множеств.

В те годы формировалась московская математическая школа, бесспорным лидером которой был Н. Н. Лузин. Его знаменитый доклад «Современное состояние теории функций действительного переменного» на Всероссийском съезде математиков в Москве 27 апреля-4 мая 1927 г. во многом определил интересы научной молодежи страны. Нельзя не видеть влияния Лузина на интерес Канторовича к дескриптивной теории множеств, в которой Канторович быстро выдвинулся на первые роли.

При подготовке собрания сочинений Канторовича в его личном архиве было обнаружено письмо Н. Н. Лузина, датированное 29 апреля 1934 г. и посвященное касающимся его и Канторовича обстоятельствам подготовки издания Советской математической энциклопедии. Раздел по аналитическим множествам был поручен Канторовичу, а не Лузину. Между тем Канторовичу было в то время всего 22 года. Удивительная прозорливость Лузина проявлялась не только внутри математики, но и в отношении её творцов. Он писал Канторовичу:

«Прежде всего Вы должны знать, каково мое отношение к Вам. Вас всего, как человека, я не знаю еще, но угадываю мягкий чарующий характер.

Но то что я точно знаю — это размер Ваших духовных сил, которые, насколько я привык угадывать людей, представляют в науке неограниченные возможности. Я не стану произносить соответствующего слова — зачем? Талант — это слишком мало. Вы имеете право на большее, если будете культивировать в себе Ваши силы, беседуя с сильнейшими (умершими) людьми».

Закончив ЛГУ в 1930 г., Канторович начал педагогическую работу в ленинградских вузах, сочетая её с интенсивными научными исследованиями. Уже в 1932 г. он профессор Ленинградского института инженеров граждан-

ского строительства и доцент ЛГУ. В 1934 г. Канторович становится профессором своей alma mater.

Канторович был одним из наиболее ярких и разносторонних математиков своего времени, достойным представителем петербургской математической школы, основателем которой принято считать П. Л. Чебышева.

Взгляд на математику как на науку, все разделы которой не просто взаимосвязаны, а неразрывны, соседствовал в творчестве и методологии Чебышева с пониманием особой роли математики во взаимопроникновении науки, техники, технологии и производства. Благодаря трудам Чебышева представление о единстве фундаментальных и прикладных исследований как sine qua non прогресса стало уникальным ментальным символом российской науки. Ленинградский период школы Чебышева связан с Владимиром Ивановичем Смирновым. Математик-энциклопедист, Смирнов задавал стандарты, приоритеты и моральные принципы в науке и преподавании. Канторович называл Смирнова своим вторым учителем.

Основные труды в области математики Канторович создал именно в свой «ленинградский» период. При этом в 1930-е годы он опубликовал больше статей по чистой математике, а 1940-е годы для него — время работ по вычислительной математике, где он стал признанным лидером в стране.

В 1935 г. Канторович совершил свое главное математическое открытие -он определил if-пространства, т. е. такие полуупорядоченные векторные пространства, в которых каждое непустое порядково ограниченное множество имеет точные грани.

Пространства Канторовича предоставили естественные рамки для построения теории линейных неравенств — области, до того времени практически никак не изученной. Очевидно, что концепция неравенств весьма приспособлена для задач, связанных с приближенными вычислениями, где существенную роль играют разнообразные оценки точности полученных результатов. Важным источником интереса к линейным неравенствам служила экономическая проблематика. Целесообразное и оптимальное поведение в условиях ограниченных ресурсов естественно связывать с языком отношений частичного сравнения. Наконец, концепция линейных неравенств неразрывна с ключевой идеей выпуклого множества. Функциональный анализ по самому своему понятию предполагает наличие нетривиальных непрерывных линейных функционалов в рассматриваемом пространстве. Наличие же такого функционала эквивалентно существованию непустого собственного открытого выпуклого множества в объемлющем пространстве. В случае общего положения выпуклые множества суть в точности решения подходящей системы линейных неравенств.

В конце 1940-х годов Канторович в серии работ сформулировал и развил тезис о взаимосвязи функционального анализа и прикладной математики:

« Установилась традиция считать функциональный анализ дисциплиной чисто теоретической, далекой от непосредственных приложений, которая в практических вопросах не может быть использована. Цель ... в известной мере разрушить эту традицию, указать на связь функционального анализа с вопросами прикладной математики... ».

Канторович выделил три технологии: метод мажорант, восходящий к Коши, метод конечномерных приближений и метод Лагранжа для новых задач оптимизации, возникающих в экономике.

Технологию мажорирования в общих упорядоченных векторных пространствах Канторович взял за основу исследования вариантов метода Ньютона в банаховых пространствах. Приближение бесконечномерных пространств и операторов их конечномерными аналогами следует воспринимать наряду с удивительным универсальным пониманием вычислительной математики как науки о конечных приближениях общих компактов (не обязательно метрических). Это положение включено в совместный доклад, подготовленный С. Л. Соболевым, Л. А. Люстерником и Л. В. Канторовичем для III Всесоюзного математического съезда в 1956 г. Новизна экстремальных задач, возникающих в социальных науках, связана с наличием многомерных противоречивых целей, ставящих на первое место проблему согласования интересов. Соответствующие приёмы можно рассматривать как своего рода скаляризацию векторных целей.

Канторович организовал кафедры вычислительной математики в ЛГУ и НГУ. По его настоянию курсы функционального анализа и специализация в этой области математики осуществлялись именно на этих кафедрах.

С конца 1930-х годов творчество Канторовича обрело новые черты — он совершил серьезный прорыв в экономической науке. В 1939 г. вышла в свет его знаменитая брошюра «Математические методы организации и планирования производства», ознаменовавшая рождение линейного программирования. Линейное программирование — техника максимизации линейного функционала на множестве положительных решений системы линейных неравенств. Неудивительно, что открытие линейного программирования последовало вскоре за созданием основ теории пространств Канторовича.

В 1940-е годы экономические работы Канторовича практически не публиковались. Однако в его творчестве экономическая проблематика выступила на первый план.

Уже в военные годы он завершил работу над первым вариантом книги «Экономический расчет наилучшего использования ресурсов», принесшей ему в 1975 г. Нобелевскую премию. Эта работа опережала время, не соответствовала догматам господствующей политической экономии, и её публикация оказалась возможной только в 1959 г. Пионерские идеи Канторовича были легализованы и начали использоваться в экономической практике.

В 1948 г. Совет Министров СССР особо секретным постановлением №1990-774сс/оп решил «в двухнедельный срок организовать в Ленинградском филиале Математического института АН СССР расчетную группу в количестве до 15 чел., возложив руководство этой группой на проф. Канторовича». Так Канторович вошёл в число участников проекта по созданию отечественного ядерного оружия — операции «Энормоз» в оперативной переписке советской разведки.

В 1957 г. Канторовича пригласили на работу во вновь создаваемое Сибирское отделение Академии наук. Вскоре он был избран членом-корреспондентом Академии наук СССР по Отделению экономики. Основные публикации

Канторовича этого периода относятся к экономике за исключением, прежде всего, всемирно известного курса «Функциональный анализ в нормированных пространствах», написанного совместно с Г. П. Акиловым.

Нельзя не отметить одну блестящую придумку Канторовича и его учеников — научно обоснованные тарифы на такси. Люди старшего поколения помнят, как в 1960-е годы была введена плата за посадку и уменьшена такса за проезд, что немедленно привело к повышению рентабельности перевозок и выгодности коротких поездок для клиентов и водителей. Эта экономическая мера была разработана в результате математического моделирования, осуществленного Канторовичем и группой его молодых учеников-математиков, и опубликована в самом престижном математическом журнале страны — в «Успехах математических наук».

В 1964г. Л.В.Канторович избран действительным членом АН СССР по Отделению математики и в 1965 г. удостоен Ленинской премии.

В начале 1970-х годов Канторович переехал в Москву, где продолжил занятия экономическим анализом. Л. В. Канторович всегда мечтал о внедрении новых математических методов в хозяйственную практику своей Родины и служил этой мечте до своей кончины 7 апреля 1986 г. невзирая на непонимание и откровенное противодействие ретроградов от науки и политики, управлявших страной. Он похоронен на Новодевичьем кладбище в Москве.

Научное наследие

Канторович был вундеркиндом-математиком. Он стал профессором в 20 лет и был одним из наиболее ярких и широких математиков своего времени. Универсальный подход к математике характерен для всего творчества Канторовича. Среди его монографических сочинений наряду с классическими книгами «Функциональный анализ в нормированных пространствах», «Функциональный анализ в полуупорядоченных пространствах», «Приближенные методы высшего анализа», «Математические методы организации и планирования производства» есть и такие, как «Теория вероятностей», «Вариационное исчисление», «Определенные интегралы и ряды Фурье», «Таблицы для численного решения граничных задач теории гармонических функций».

Среди своих математических работ Канторович выделял циклы исследований в следующих направлениях: дескриптивная теория функций и теория множеств; конструктивная теория функций; приближенные методы анализа; функциональный анализ; функциональный анализ и прикладная математика; линейное программирование; вычислительная техника и программирование. Во всех указанных направлениях Канторович получил первоклассные, зачастую основополагающие результаты. В математический тезаурус прочно вошли пространства Канторовича, ядра Канторовича, метод Ньютона-Канторовича, вариационный метод Канторовича и, конечно же, многочисленные теоремы Канторовича.

Нынешние ученые, живущие на гранты, нередко работают и пишут для прокорма. Девиз “Publish or Perish” давно уже не ремарка острослова от науки, а каждодневный слоган исследователя. Канторович творил математику,

отвечающую критериям совершенства, сформулированным классиком американской математики XX века Саундерсом Маклейном. Его математика была неизбежной и своевременной, отвечала на поставленные вопросы и освещала новые пути в науке.

Тридцатые годы прошлого века занимают в творчестве Канторовича особое место. Именно тогда сложилась характерная для него методология синтеза теоретических и прикладных исследований, сочетания наиболее абстрактных математических идей с приземленными конкретными практическими разработками. В эти годы сверкают фейерверки его идей в функциональном анализе. В 1935 году он, закладывая основы теории упорядоченных пространств, выдвинул гениальный эвристический принцип, нашедший свое отражение в булевозначном анализе наших дней. Канторович в те годы вносит вклад в геометрию классических банаховых пространств и развивает новые приближенные приемы анализа: вариационный метод, метод коллокаций, модифицированные градиентные методы.

До сих пор остаются малоизвестными работы Канторовича по «расширению пространства Гильберта», ставшие удивительно ярким эпизодом предыстории теории распределений. Уже в 1935 году, изучая в одном семинаре с С. Л. Соболевым классическую книгу Дж. фон Неймана «Математические методы квантовой механики» (1932), Канторович развивает подход К. Фридрихса (1934) к проблеме построения «идеальных функций», явно выписывая гильбертовы пространства, чьи элементы сейчас мы называем умеренными периодическими распределениями.

Об этих работах И. М. Гельфанд писал:

«По существу Леонид Витальевич первым понял значение обобщенных функций и написал об этом задолго до Лорана Шварца. И, я думаю, не случайно, что не его работа оказалась широко известной. Для концепции Леонида Витальевича это был только маленький фрагмент. То, что было всей жизнью или основой творчества для других, было маленьким фрагментом выстраивающейся у него картины математики и её связей с миром. Я думаю, что сделанная намного позже работа А. Г. Костюченко и моя об использовании обобщенных функций для спектрального анализа операторов была именно той, которую Леонид Витальевич не написал в свое время. По существу же он четко и ясно понимал эту работу, какие теоремы можно получить».

Говоря о математическом творчестве Канторовича, нельзя не выделить особо три обзорные статьи:

Функциональный анализ и прикладная математика // Успехи мат. наук. 1948. Т.З, вып. 6. С. 89-185.

Полуупорядоченные группы и линейные полуупорядоченные пространства II Успехи мат. наук. 1951. Т. 6, вып. 3. С. 31-98. — Соавт.: Вулих Б.З., Пинскер А. Г.

Об интегральных операторах // Успехи мат. наук. 1956. Т. 11, вып. 2. С. 3-29.

Первая из названных статей снабжена названием, несказанно впечатляющим своим масштабом, особенно если вспомнить возраст автора. Эта статья

фигурирует в указе о награждении Сталинской премией второй степени в размере 100 000 рублей, присужденной Канторовичу в 1948 году. Учебник Канторовича и Акилова, многие годы служивший настольной книгой многих теоретиков и прикладников, возник на основе идей этого блестящего математического сочинения.

Впечатляющее многообразие направлений исследований объединяется не только личностью Канторовича, но и его методическими установками. Он всегда подчеркивал внутреннее единство науки, взаимопроникновение идей и методов, необходимых для решения разнородных теоретических и прикладных проблем как в математике, так и в экономике.

Математика и экономика

Математика изучает формы мышления. Предмет экономики — обстоятельства человеческого поведения. Математика абстрактна и доказательна, а профессиональные решения математиков не задевают обычной жизни людей. Экономика конкретна и декларативна, а практические упражнения экономистов основательно меняют жизнь. Цель математики — безупречные истины и методы их получения. Цель экономики — индивидуальное благополучие и пути его достижения. Математика не вмешивается в личную жизнь человека. Экономика задевает его кошелек и кошёлку. Список коренных различий математики и экономики бесконечен.

Математическая экономика — новация XX века. Именно тогда возникло понимание, что экономические проблемы требуют совершенно нового математического аппарата.

Человек разумный всегда был, есть и будет человеком хозяйствующим. Практическая экономика для каждого из нас и наших предков — это арена здравого смысла. Здравый смысл представляет собой особую способность человека к мгновенным оценочным суждениям. Понимание выше здравого смысла и проявляется как осознанная адаптивность поведения. Понимание не наследуется и, стало быть, не принадлежит к числу врожденных свойств. Уникальной особенностью человека является способность пониманием делиться, превращая оценки в материальные и идеальные артефакты.

Наука — трудный путь объективизации понимания. Становление науки как инструмента понимания — долгий и сложный процесс. Зарождение ординального счета фиксировано палеолитическими находками, отделенными десятками тысяч лет от появления разумного и хозяйствующего человека. Экономическая практика предваряет предысторию математики, сформировавшуюся в науку доказательных вычислений в Древней Греции примерно 2500 лет тому назад.

Целенаправленное поведение людей в условиях ограниченных ресурсов стало объектом науки совсем недавно. Датой рождения экономики как науки принято считать 9 марта 1776 г. — день публикации сочинения Адама Смита «Исследование о природе и причинах богатства народов».

Идеи правят миром. Эту банальную констатацию когда-то с глубокой иронией дополнил Джон Мейнард Кейнс. Свой капитальный труд «Общая тео-

рия занятости, процента и денег» он завершил весьма афористично: «Практические люди, мнящие себя совершенно неподверженными никаким интеллектуальным влияниям, обычно являются рабами какого-нибудь замшелого экономиста».

Политические идеи направлены на власть, экономические — на свободу от власти. Политическая экономия неразрывна не только с экономической практикой, но и с практической политикой. Политизированность экономических учений характеризует их особое положение в мировой науке. Изменчивость эпох, их технологических достижений и политических предпочтений отражается в широком распространении эмоционального подхода к экономическим теориям и ставит экономику в положение, немыслимое для остальных наук. Помимо благородных причин, для этого есть и одна довольно циничная: как бы не меняли достижения точных наук жизнь человечества, они никогда не затрагивают обыденное сознание людей столь живо и остро, как суждения об их кошельках и свободах.

Наука — чувственно-сверхчувственный артефакт в том смысле, что её содержание раскрывается только человеком, и без человека, по меньшей мере, вполне понято быть не может. Расположенная в самом центре культуры наука напоминает «Вавилонскую башню» — наивный, но героический и великий проект народов Земли. Стремление к свободе, внутренне присущее человеку, проявляется в неистребимой жажде знания. «Мы должны знать, мы будем знать!» — этот уже вековой тезис Давида Гильберта лежит в кладовой здравого смысла.

Георг Кантор, создатель теории множеств, еще в 1883 г. заметил, что «сущность математики заключена в её свободе». Свобода математики отнюдь не сводится к отсутствию экзогенных ограничений на объекты и методы исследования. Свобода математики в немалой мере проявляется в предоставляемых ею новых интеллектуальных средствах овладения окружающим миром, которые раскрепощают человека, раздвигая границы его независимости. Математизация экономики — неизбежный этап пути человечества в царство свободы.

XIX век отмечен первыми попытками применения математических методов в экономике в работах Антуана Огюста Курно, Карла Маркса, Уильяма Стенли Джевонса, Леона Вальраса и его преемника по Лозаннскому университету Вильфредо Парето.

В XX веке к экономической проблематике обратились математики первой величины — Джон фон Нейман и Л. В. Канторович. Первый развил теорию игр как аппарат изучения экономического поведения, а второй разработал линейное программирование как аппарат принятия решений о наилучшем использовании ограниченных ресурсов. Эти исследования фон Неймана и Канторовича занимают исключительное место в науке. Они показали, что современная математика предоставляет самые широкие возможности для экономического анализа практических проблем. Экономика приблизилась к математике. Оставаясь гуманитарной, она стремительно математизируется, демонстрируя высокую самокритичность и незаурядную способность к объективным суждениям.

Поворот в мышлении человечества, осуществленный фон Нейманом и Канторовичем, не всегда достаточно осознается. Между точным и гуманитарным стилями мышления существуют принципиальные различия. Люди склонны к рассуждениям по аналогии и методу неполной индукции, рождающим иллюзию общезначимости знакомых приемов. Различия научных технологий не всегда выделены отчетливо, что, в свою очередь, способствует самоизоляции и вырождению громадных разделов науки.

Линейное программирование

Главным открытием Канторовича на стыке математики и экономики стало линейное программирование, которое теперь изучают десятки тысяч людей во всем мире. Под этим термином скрывается колоссальный раздел науки, посвященный линейным оптимизационным моделям. Иначе говоря, линейное программирование — это наука о теоретическом и численном анализе и решении задач, в которых требуется найти оптимальное значение, т. е. максимум или минимум некоторой совокупности показателей в процессе, поведение и состояние которого описывается той или иной системой линейных неравенств.

Термин «линейное программирование» был предложен в 1951 г. американским экономистом Т. Купмансом. В 1975 г. Канторович и Купманс получили Нобелевскую премию по экономическим наукам с формулировкой «за их вклад в теорию оптимального распределения ресурсов». Особыми заслугами Купманса стали пропаганда методов линейного программирования и защита приоритета Канторовича в открытии этих методов.

В США линейное программирование возникло только в 1947 г. в работах Джорджа Данцига. Поучительно привести его слова об истории линейного программирования :

«Русский математик Л. В. Канторович на протяжении ряда лет интересовался применением математики к задачам планирования. В 1939 г. он опубликовал обстоятельную монографию под названием Математические методы организации и планирования производства"... Канторовича следует признать первым, кто обнаружил, что широкий класс важнейших производственных задач поддается четкой математической формулировке, которая, по его убеждению, дает возможность подходить к задачам с количественной стороны и решать их численными методами...

Канторович описал метод решения, основанный на имеющемся первоначально допустимом решении... Хотя двойственные переменные и не назывались “ценами”, в целом идея метода состоит в том, что выбранные значения этих “разрешающих множителей” для недостающих ресурсов можно довести до уровня, когда становится целесообразной переброска ресурсов, являющихся избыточными...

Если бы первые работы Канторовича были бы в должной мере оценены в момент их первой публикации, то, возможно, в настоящее время линейное программирование продвинулось бы значительно дальше. Однако его первая

работа в этой области оставалась неизвестной как в Советском Союзе, так и в других странах, а за это время линейное программирование стало настоящим искусством».

Следует подчеркнуть, что с оптимальным планом любой линейной программы автоматически связаны оптимальные цены или «объективно обусловленные оценки». Последнее громоздкое словосочетание Канторович выбрал из тактических соображений для повышения «критикоустойчивости» термина. Концепция оптимальных цен и взаимозависимость оптимальных решений и оптимальных цен — такова краткая суть экономического открытия Канторовича.

Универсальная эвристика

Целостность мышления проявлялась во всех исследованиях Канторовича. Идеи линейного программирования были тесно связаны с его методологическими установками в области математики. Уже в самой первой своей работе в неизведанной области упорядоченных векторных пространств, датированной 1935 г., Канторович писал:

«В этой заметке я определяю новый тип пространств, которые я называю линейными полуупорядоченными пространствами. Введение этих пространств позволяет изучать линейные операции одного общего класса (операции, значения которых принадлежат такому пространству) как линейные функционалы».

Так была впервые сформулирована важнейшая методологическая установка, которую теперь называют эвристическим принципом Канторовича. Этот принцип нашел многочисленные подтверждения как в его собственных исследованиях, так и в работах его учеников и последователей.

Абстрактная теория if-пространств, линейное программирование и приближенные методы анализа — продукты универсальной эвристики Канторовича. В последней своей математической работе, над которой Леонид Витальевич работал уже смертельно больным, он отмечал:

«При развитии теории функциональных пространств одна сторона реальной действительности оказалась в ней на некоторое время упущенной. Для практических объектов, наряду с алгебраическими и другими соотношениями, большое значение имеет соотношение сравнения. Простое сравнение, имеющее место между всеми объектами, упорядочение, имеет обедненный характер, например, можно все виды упорядочить по их весу, но это мало что дает. Гораздо более естественным является упорядочение, которое для тех случаев, когда это естественно, определяется или фиксируется, а в других случаях оставляется неопределенным (частичное упорядочение или полуупорядочение). Например, два набора продуктов несомненно следует считать сравнимыми и первый большим второго, если в нем каждого продукта больше, соответственно, чем во втором. Если же часть больше в одном, часть больше в другом, то можно сравнение не фиксировать. Так в свое время была построена теория полуупорядоченных пространств и, прежде всего, теория К-пространств, определенных выше. Она

получила разнообразные применения как в теоретических вопросах анализа, так и в построении некоторых прикладных методов, например теории мажорант в связи с интенсивным изучением метода последовательных приближений. В то же время полностью её возможности до сих пор еще не раскрыты. Недооценено также и значение этой ветви функционального анализа для экономики. Между тем, в экономике соотношения сравнения и сопоставления играют исключительную роль и уже при возникновении К-пространств было ясно, что при анализе экономики они найдут свое место и дадут полезные плоды.

Теория К-пространств имеет и другое значение — их элементы могут использоваться как числа. В частности, при построении пространств типа Банаха в качестве нормы могут вместо чисел использоваться элементы такого пространства, конечномерного или бесконечномерного. Такая нормировка объектов является гораздо более точной. Скажем, функция нормируется не своим максимумом на всем интервале, а десятком чисел — максимумами её на частях этого интервала».

Эвристический принцип Канторовича связан с одной из самых ярких страниц математики прошлого века — со знаменитой проблемой континуума. Как известно, множество имеет мощность континуума, если оно находится во взаимно-однозначном соответствии с отрезком числовой прямой. Гипотеза континуума состоит в том, что любое подмножество отрезка либо счетно, то есть допускает пересчет, либо имеет мощность континуума. Проблема континуума ставит вопрос о справедливости или ложности гипотезы континуума.

Гипотеза континуума была впервые высказана Кантором в 1878 г. Он был убежден в том, что эта гипотеза является теоремой и всю жизнь тщетно пытался её доказать. В 1900 г. в Париже состоялся II Международный конгресс математиков. Гильберт выступил на открытии со своим знаменитым докладом «Математические проблемы», сформулировав 23 проблемы, решение которых девятнадцатое столетие завещало двадцатому. Первой в докладе Гильберта стоит проблема континуума. Оставаясь нерешенной десятилетиями, она порождала глубокие исследования в основаниях математики. В итоге более чем полувековых усилий мы теперь знаем, что гипотеза континуума не может быть ни доказана, ни опровергнута.

К пониманию независимости гипотезы континуума человечество пришло в два этапа: в 1939 г. Курт Гёдель проверил, что гипотеза континуума совместна с аксиомами теории множеств, а в 1963 г. Поль Коэн доказал, что им не противоречит и отрицание гипотезы континуума. Оба результата установлены путем предъявления подходящих моделей, т. е. построением универсума и интерпретации в нем теории множеств. Подход Гёделя основан на «усечении» универсума фон Неймана. Гёдель показал, что выделенные им конструктивные множества образуют модель, в которой имеет место континуум-гипотеза. Следовательно, отрицание гипотезы континуума недоказуемо. Подход Коэна в известном смысле противоположен технике Геделя: он основан на контролируемом расширении универсума фон Неймана.

Метод форсинга Коэна был упрощен в 1965 г. с использованием аппарата булевых алгебр и новой технологии математического моделирования, ис-

пользующей нестандартные модели теории множеств. Прогресс возникшего на этой основе булевозначного анализа продемонстрировал фундаментальное значение расширенных if-пространств. Каждое из таких пространств, как совершенно неожиданно оказалось, служит равноправной моделью вещественной прямой и, значит, играет в математике ту же фундаментальную роль. Пространства Канторовича дали новые модели поля вещественных чисел и обрели бессмертие.

Эвристика Канторовича постоянно получает блестящее подтверждение, доказывая целостность науки и неизбежность взаимопроникновения математики и экономики.

Канторович был блестящим математиком, но он может показаться неудачником в главном — в вопросе о признании центральной идеи его жизни, идеи взаимопроникновения математики и экономики. Однако такое мнение ошибочно. Несмотря на попытки замалчивания Канторовича и его идей, их торжество на самом деле неоспоримо. Яркими доказательствами стали изменение всей системы подготовки экономистов и уже неистребимые математизация и информатизация экономики как в её функциональных, так и в управленческих аспектах. Творчество Канторовича останется образцом служения математике как основе универсального мировоззрения. Его эвристика будет путеводной звездой для новых поколений математиков и экономистов.

Поступила 10.03.2012

L. V. KANTOROVICH — MATHEMATICIAN AND ECONOMIST

S. S. Kutateladze

Short discussion of creative way and contribution by L. V. Kantorovich into formation of modern views on mathematics and economy interaction.

Keywords: linear programming, functional analysis, applied mathematics, the best use of resources.

УДК 51 (091)

ВЛАДИМИР ИГОРЕВИЧ АРНОЛЬД (к 75-летию со дня рождения)

С. К. Ландо

Высшая школа экономики Россия, 117342, г.Москва, ул.Вавилова, 7, факультет математики; e-mail: lando@hse.ru

В.И.Арнольд — выдающийся математик современности. Рассказывается о его пути в науке, о том, как он работал, о его взаимоотношениях с учениками.

Ключевые слова: В.И.Арнольд, теория особенностей, задачи Арнольда.

Ньютон, Эйлер, Гаусс, Пуанкаре, Колмогоров — всего пять жизней отделяют нас от истоков нашей науки.

В. И. Арнольд

13 июня 2012 г. на факультете математики Высшей школы экономики состоялся День Арнольда, посвященный имевшему место накануне 75-летию со дня рождения великого математика Владимира Игоревича Арнольда. Лекцию «Однородная динамика и теория чисел» студентам и всем заинтересованным математикам прочитал лауреат медали Филдса 1978 года Григорий Маргулис, затем в течение 3-х часов воспоминаниями о Владимире Игоревиче делились его друзья и ученики. День Арнольда предполагается сделать ежегодным, и организаторы будут рады видеть среди его участников всех желающих.

Владимир Игоревич Арнольд не дожил до своего 75-летия двух лет. В последние годы жизни он находился под регулярным медицинским наблюдением, и ничто не позволяло предсказать его скоротечную смерть от перитонита в одной из парижских клиник вскоре после очередного обследования. Его тело было перевезено в Москву и захоронено на Новодевичьем кладбище рядом с могилой его друга Нобелевского лауреата Виталия Лазаревича Гинзбурга. Сегодня имя Владимира Игоревича Арнольда удлиняет на одно звено цепочку великих имен, перечисленных в эпиграфе.

Смерть В. И. Арнольда вызвала множество откликов по всему миру — как от официальных объединений математиков, так и от друзей, учеников, коллег [1]. Значительная часть двух номеров Notices of the American Mathematical Society [2, 3] посвящена воспоминаниям о Владимире Игоревиче, собранным С. Табачниковым и Б. Хесиным. Все крупнейшие информационные агентства России и мира опубликовали известия о его кончине, сопроводив их биографией Арнольда и перечислением важнейших его достижений.

Цель настоящей статьи — дать читателю, не имевшему возможности общаться с Владимиром Игоревичем, представление о глубине и силе его личности, о его взглядах на математику и обучение ей, о проложенном им в математике пути.

1. О направлениях развития науки, которые он определял

Никакого деления математики на области я не знаю... Делить математику на области — это всё равно что решать, поэт ли Пушкин или же писатель, и драматург ли Шекспир или же поэт.

В. И. Арнольд

За свою жизнь В. И. Арнольд оказал влияние на самые разные математические теории, породив некоторые из них и определив пути их развития. Перечислим вкратце направления математики, в которые Владимир Игоревич внес основополагающий вклад, и упомянем, в чем этот вклад состоял. Приводимый ниже список его достижений ни в коей мере не претендует на полноту. Напротив, он призван лишь продемонстрировать глубину разноплановых результатов Арнольда, из которых складывается весьма цельная картина всей современной математики.

• Доказательство теоремы о представимости любой непрерывной функции композицией конечного числа непрерывных функций не более чем двух переменных — тем самым было получено решение 13-й проблемы Гильберта в одной из возможных её интерпретаций (1956).

• Теория возмущений гамильтоновых систем — доказательство теоремы о сохранении в аналитическом случае некоторых инвариантных торов гамильтоновой системы при малом её возмущении (1963). Совокупность идей, методов и результатов, выросших из работ Колмогорова, Арнольда и Мозера по этой тематике, получила название КАМ-теории.

• Применение топологических методов в гидродинамике (1966).

• Вычисление когомологий группы кос (1969), давшее толчок к построению теории конфигураций плоскостей (arrangements).

• Теория особенностей (с конца 1960-х годов) — изменение принципов классификации особенностей, которое позволило революционизировать методы классификации и создать богатую теорию с многочисленными приложениями.

• Топология вещественных алгебраических многообразий — Арнольду принадлежит одно из первых применений комплексной техники для изучения топологии вещественных алгебраических многообразий (1971).

• Критическое переосмысление понятия интегрируемости динамической системы — теперь её называют интегрируемостью по Арнольду - Лиувиллю.

• Построение нормальной формы для общих семейств матриц (1971) — глубокое многомерное обобщение понятия жордановой формы матрицы.

• Идея построения симплектической топологии (с начала 1980-х годов) -одного из источников квантовых когомологий.

Сам Владимир Игоревич не слишком высоко ставил свое участие в решении 13-й проблемы Гильберта и развитии КАМ-теории. Он полагал, что ос-

новные продвижения в проблеме Гильберта о представлении функции в виде композиции функций от меньшего числа переменных и в теории КАМ получены его учителем А. Н. Колмогоровым, а его собственный вклад состоит лишь в уточнении и подробной записи результатов Колмогорова. Так, скажем, статья 1963 г. в «Успехах математических наук» носит название «Доказательство теоремы А. Н. Колмогорова о сохранении условно-периодического движения при малом возмущении гамильтониана».

Среди математиков часто выделяют класс «решателей задач» — людей, основным занятием которых является решение поставленных другими задач, как правило, трудных, годами не поддающихся усилиям многочисленных исследователей. В эту категорию нередко попадают победители олимпиад, становящиеся решателями ещё в школьные годы. К кругу победителей олимпиад принадлежал и Арнольд, и в своих первых работах он, безусловно, предстает «решателем». Однако в 1960-е годы стиль его работы резко меняется. Я бы сказал, что с этого момента он становится «понимателем», направляя весь свой потенциал на понимание с помощью математических методов устройства мира в интересных ему областях. Более того, он сознательно отстранялся от тех «полян», на которых «топчется» слишком много народа, предпочитая исследовать пустынные или давно опустевшие области, а его энциклопедические знания предоставляли ему на выбор широкий спектр результатов и усилий классиков, не нашедших достойного продолжения.

Уже на середину 60-х годов приходятся его многообразные открытия, ставшие зародышами нескольких весьма далеких друг от друга теорий. Владимир Игоревич закладывал основы этих теорий и определял направление их развития. Однако когда общее направление приобретало ясное очертание, когда основные, на его взгляд, задачи были сформулированы, он отходил в сторону, вкладывая не слишком много сил в дальнейшее развитие и оставляя разработку деталей своим ученикам, которые во множестве тянулись к нему, зачастую не привязанные никакими формальными узами.

Есть, пожалуй, лишь одна область, в которой Арнольдом и его школой -при активном участии многих других исследователей как в Советском Союзе, так и за рубежом — не только были заложены основы, но и теория целиком была проработана в самых многообразных и богатых проявлениях. Речь идет, разумеется, о теории особенностей, называемой в некоторых западных публикациях — не в последнюю очередь в рекламных целях — теорией катастроф. Построение этой теории заняло несколько десятилетий, и её нельзя считать завершенной и сейчас. Остановимся на ней подробнее.

2. Теория особенностей

Теория особенностей — это грандиозное обобщение исследования функций на максимум и минимум.

В. И. Арнольд

К задаче исследования особенностей гладких отображений В. И. Арнольд пришел в ходе поездки во Францию в 1965 году. Из французских ученых наиболее глубокое впечатление на него произвел Рене Том, который как раз

в то время в свойственном ему неформальном стиле разрабатывал общие подходы к изучению функциональных пространств.

В основе теории особенностей лежит привычное всем со школы исследование функций на максимум и минимум. В точках локального максимума или локального минимума производная гладкой функции обращается в нуль. Критические точки функции, т. е. точки, в которых её производная обращается в 0, и есть её особенности. В окрестности простейшего экстремума хо после подходящей замены координаты всякая гладкая функция одной переменной приводится к виду f(x) = f(xo) + а(х — хо)2, а / 0, причем экстремум является локальным минимумом при а > О и локальным максимумом при а < 0. Ключевое соображение, позволяющее исследовать функции, состоит в том, что знание всех экстремумов гладкой функции качественно определяет её поведение и в промежутках между экстремумами. Ясно, что это лишь первый шаг, но именно он и дает толчок к построению теории.

Первое, и наиболее естественное, направление развития — выяснение того, какие в принципе особенности могут быть у функции. На этом пути в игру вступает топология функциональных пространств. Дело в том, что любая гладкая функция при малом шевелении параметров становится функцией лишь с простейшими особенностями (проще всего это увидеть на многочленах — небольшим изменением коэффициентов многочлена можно добиться, чтобы все его особенности стали простейшими максимумами и минимумами). Основной принцип теории особенностей состоит в том, что изучению следует подвергать лишь те особенности, которые не пропадают при малом шевелении. В частности, сложные особенности функции нельзя устранить малым шевелением, лишь если объектом нашего изучения являются не отдельные функции, а семейства функций. Так, если мы рассматриваем однопараметрическое семейство многочленов f(x) = ж3 + Ъх при малых значениях параметра Ь, то при любом возмущении этого семейства в нем будет присутствовать функция вида f(x) = х3 + с, особенность которой в нуле уже не является простейшей.

Все особенности функций одной переменной, которые неустранимым образом возникают в конечнопараметрических семействах, несложно перечислить: они имеют вид f(x) = f(xo)+axm для m = 2, 3, 4,... Однако для функций двух и более переменных ситуация оказывается далеко не столь простой. Значительным достижением в начале 1960-х годов считалось обнаружение 7 элементарных катастроф — типов особенностей, возникающих неустранимым образом в семействах гладких вещественных функций, зависящих от не более чем 4 параметров. Все эти 7 типов особенностей реализуются уже для функций двух переменных (см. таблицу и рисунок, на котором изображены каустики — геометрические образы, отвечающие элементарным катастрофам) . Именно здесь делает Арнольд одно из наиболее фундаментальных своих открытий.

Суть этого открытия состоит в том, что он принципиальным образом меняет схему классификации особенностей, отказавшись от постепенного увеличения количества параметров в семействах. Вместо этого он вводит абсолютно новое понятие модальности особенности — количества параметров,

Типы элементарных катастроф. При классификации над комплексными числами особенности ö+4 и D~4 не различаются

Каустики элементарных катастроф ([4, стр.277])

необходимых для описания всех особенностей, неизбежно возникающих при деформации данной. Так, особенность 0-модальна, если при её достаточно малой деформации могут встретиться особенности лишь конечного числа различных типов, 1-модальна, если пространство типов таких особенностей одномерно, и т. д. Выполненная им сразу же классификация типов О-модальных особенностей (которые он называет простыми и которые включают все 7 элементарных катастроф) позволяет отождествить их с особенностями дю Валя и напрямую связать с простыми алгебрами Ли типов Ат, Dm, Eq, £7, Eg. В результате теория особенностей из одной из периферийных ветвей анализа превращается в центральную область математики, связывающую между собой алгебру, теорию представлений, алгебраическую геометрию и анализ. В дальнейшем её развитии всё большую роль начинают играть геометрия и топология.

Описание всего, что происходило с теорией особенностей в последующем, в таком коротком тексте невозможно. Ограничусь поэтому лишь краткой и не претендующей на полноту хронологией событий, свидетелем — и до определенной степени участником — которых мне довелось быть.

• Построение В. А. Васильевым теории инвариантов конечного порядка. Свой доклад на 1-м Европейском математическом конгрессе в Париже в 1992 году Арнольд целиком посвятил работам Васильева, что сразу же сделало последние знаменитыми.

• Построение теории зеркальной симметрии — фундаментального феномена теоретической физики, первые проявления которого были обнаружены при изучении особенностей модальности 1 и которым В. И. дал название «странная двойственность».

• Введение понятия фробениусовой структуры, предвосхищенного в работах А. Гивенталя, ученика Владимира Игоревича, и открытого К. Саито. Из теории особенностей это понятие перешло в математическую физику, и фробениусова геометрия играет ключевую роль в современных физических теориях.

• Продолжающееся до сих пор построение теории функциональных пространств — подобно тому, как особенности отдельной функции образуют скелет её графика, функции со сложными особенностями образуют скелет функционального пространства. У истоков этой теории стоит начатое Р. Томом исследование глобальных особенностей функций — особенностей, неизбежно возникающих у общих функций на компактных многообразиях.

• Построение теории лагранжевых и лежандровых особенностей, необходимая для описания распространения волн в различных средах.

• Инициированное Арнольдом построение теории инвариантов конечного порядка плоских кривых. Эта теория, в основе которой лежат далекие обобщения индекса Уитни, близка к теории инвариантов узлов, однако существенно отличается от нее в некоторых аспектах.

Можно без преувеличения сказать, что современная математика и математическая физика интенсивно используют результаты теории особенностей, а сама теория продолжает развиваться и приносить новые плоды.

3. Семинар и школа Арнольда

Самое главное, что ученик должен узнать от учителя, — это то, что некоторый вопрос ещё не решен.

В. И. Арнольд

Для Владимира Игоревича Арнольда исследования и обучение были неразделимы. Став старшекурсником, он начинает вести семинар, первыми участниками которого были, по существу, его сверстники. Самые юные из участников (Эдуард Белага и Андрей Леонтович) затем стали его аспирантами и защитили диссертации под его руководством. Всего же он был офи-

циальным руководителем более 60 кандидатских диссертаций, а к школе Арнольда себя относит и множество людей, никогда не бывших его формальными учениками.

Помимо семинара он, будучи до середины 1980-х годов преподавателем мехмата МГУ, регулярно читал обязательный курс обыкновенных дифференциальных уравнений, а также разнообразные специальные курсы, содержание которых определялось его текущими интересами. В дальнейшем эти курсы ложились в основу его книг (в редких случаях — с соавторами, в качестве которых выступали его ученики).

Семинар Арнольда, начавший свою работу в 1958 г., существовал до самой смерти своего основателя (и даже после его смерти — он проходил под руководством учеников Владимира Игоревича и завершил свою работу в весеннем семестре 2011 г.). Несмотря на то, что в начале 90-х годов Владимир Игоревич принял приглашение университета Париж-Дофин и занял там пост постоянного профессора, он оговорил свое право проводить во Франции лишь половину учебного года. Вторую половину года он был в Москве и руководил семинаром непосредственно, тогда как один семестр ежегодно работа шла при его удаленном участии. Так что в течение более 50 лет практически каждый вторник в течение учебного года около 4-х часов дня (время начала семинара немножко менялось в зависимости от расписания звонков) аудиторию 14-14 на мехмате МГУ заполняли как математики в возрасте, так и зеленая молодежь, желавшие, в первую очередь, послушать Владимира Игоревича. Действительно, несмотря на то, что докладчиком на семинаре выступал, как правило, кто-нибудь другой, комментарии самого руководителя составляли главную часть события.

На огонек семинара, который ведет молодой активный исследователь, стекаются самые разные люди. Такой семинар и привлекает, и отталкивает -страшно самому оказаться не на высоте, обнаружить свое несоответствие уровню семинара. Поэтому приживались на нем люди не только сильные, но и обладавшие достаточной наглостью, чтобы пережить — неизбежное и зачастую многолетнее — непонимание большинства докладов и обсуждений. Поведение Арнольда немало способствовало закреплению новых участников. Выступление докладчика, как правило, понять было нельзя. Я появился на семинаре в конце 70-х годов, когда построение теории особенностей давно миновало начальную фазу, и объем знаний, накопленный старожилами семинара, позволял им легко ориентироваться в докладах на эту тему. Напротив, для человека нового то, что все присутствовавшие, по-видимому, воспринимали как нечто совершенно естественное, звучало китайской грамотой. Несколько облегчало жизнь лишь искусство Арнольда, регулярно прерывавшего докладчика и объяснявшего на простых примерах, которые он извлекал из своей необъятной и ничего не теряющей памяти, суть описываемых в докладе явлений. В том же, что эти примеры приходили ему на ум, не было ничего удивительного: зачастую доклад представлял собой изложение теории, отправной точкой которой послужили как раз эти обнаруженные самим Арнольдом примеры и вопросы, поставленные им на основе этих примеров.

Даже в эти годы семинар не ограничивался обсуждением лишь вопросов теории особенностей. Непрестанный интерес Арнольда к самым разным математическим идеям позволял ему выхватывать из огромного потока работ ключевые, сулившие наиболее интересные продвижения. Неся обязанности главного редактора журнала «Функциональный анализ и его приложения», входя в редколлегии многих иностранных журналов, он всегда прочитывал множество работ, вникая не только в их содержание, но и в существенные детали доказательств. Желая привлечь к работе внимание, зарубежные коллеги часто присылали ему статьи ещё до появления их в печати. Напротив, непосредственный доступ всех остальных участников семинара к зарубежным статьям был ограничен — хотя библиотека мехмата и обладала неплохой по тем временам подпиской на иностранные журналы, их получение часто задерживалось. Работы, вызвавшие его интерес, предлагались участникам семинара для разбора и, в случае если их предполагаемые достоинства находили подтверждение, — последующего доклада. Почти все эти работы докладывались — интуиция подводила Арнольда крайне редко.

Именно семинар и был тем горшком, в котором варился бульон школы Арнольда. Семинар был местом, где встречались люди, работающие в разных учреждениях и (если повезло) институтах, не имевшие возможности встречаться в других местах. Разговоры начинались задолго до его начала и продолжались по нескольку часов после его окончания. Именно из этого семинара выросли такие замечательные математики, как Александр Варченко, Виктор Васильев, Александр Гивенталь, Виктор Горюнов, Сабир Гусейн-Заде, Владимир Закалюкин, Юлий Ильяшенко, Максим Казарян, Михаил Севрюк, Борис Хесин, Аскольд Хованский, Борис и Михаил Шапиро и многие другие. Часть из них продолжает работать в Москве, другие разъехались по всему свету. Влияние, оказанное Владимиром Игоревичем на развитие своих учеников, огромно — его следы в их работах видны до сих пор несмотря на то, что срок ученичества закончился десятилетия назад. Может быть, более важно, что каждый из нас, его учеников, в меру своих способностей унаследовал от Владимира Игоревича его взгляд на математику в целом, на то, что является в нашей науке главным, а что не принципиально, и пытается донести этот взгляд до своих учеников.

4. Задачи Арнольда

Сравнивая сегодня влияние проблем Пуанкаре и Гильберта, следует признать, что математика XX века следовала скорее предложению Пуанкаре...

В. И. Арнольд

Стремясь достичь понимания предмета, Владимир Игоревич Арнольд думал задачами. В начале каждого семестра участникам семинара предлагался список из 10-12 задач, которые он считал важными и — что весьма существенно — разрешимыми. По большей части это были задачи, возникшие у него самого, однако иногда в список попадали и вопросы других математиков, привлекшие его внимание. Впоследствии эти задачи составили сборник

«Задачи Арнольда» [5], куда вошли в том числе и задачи самых первых семинаров — с конца 1950-х.

Участники семинара выбирали для себя задачи по своему усмотрению, руководствуясь собственными интересами и пристрастиями. Иногда Владимир Игоревич выражал желание, чтобы тот или иной участник посмотрел на конкретную задачу (полагая, что именно его знания позволят справиться с ней быстро). Однако эти рекомендации никогда не были настоятельными и никогда не оборачивались требованиями — по мнению Арнольда, выбор задачи по значимости сравним с выбором невесты, и никакое насилие здесь недопустимо. Основываясь на многолетних наблюдениях, Арнольд оценивал период полураспада задач — промежуток, за который решалась половина задач из предложенного списка, — в 7 лет.

Эти задачи никогда не придумывались искусственно. Они возникали следующим образом. Придя к выводу, что для понимания предмета требуется ответить на тот или иной вопрос, Арнольд начинал этот вопрос последовательно упрощать, сводя его постепенно к тому первому частному случаю, в котором ответ на него был неизвестен, и его не удавалось быстро найти. В процессе упрощения менялись не только параметры задачи — упрощалась и её формулировка. В современной математике уже для понимания условия задачи нередко требуется огромный объем знаний, что служит серьезным препятствием для начинающих свой путь в науке. Выполнявшаяся Арнольдом огромная работа значительно снижала этот барьер, предоставляя возможность большому количеству молодежи попробовать свои силы. В результате, как сказали бы сейчас, база нерешенных задач была открытой — любой желающий мог не только ознакомиться с их списком, но и понять, в чем они состоят.

Приведу близкий мне пример. Каждой конечнократной локальной особенности функции можно сопоставить её спектр — конечный набор рациональных чисел. При деформации особенности её спектр меняется, и Арнольд поставил задачу — доказать, что в определенном смысле спектр может только уменьшиться.

Строгое определение спектра требует использования введенных Дж. Стинбринком смешанных структур Ходжа в исчезающих когомологиях особенностей. На одно усвоение этих понятий у неподготовленного человека могут уйти годы. Но для случая функций двух переменных Арнольд нашел такое переопределение понятия спектра в терминах целых точек внутри многоугольников и такую переформулировку задачи, что на объяснение её условия мне, ничего про особенности не знавшему, ушло несколько минут. Она приняла чисто комбинаторную форму. После того, как я через два месяца принес Владимиру Игоревичу её решение, он дал согласие взять меня в аспирантуру. Полное же доказательство полунепрерывности спектра особенности было получено А. Н. Варченко спустя несколько лет.

Нужно понимать при этом, что Арнольд сохранял в памяти весь путь, которые привел его к окончательной формулировке задачи. Нередко оказывалось так — и именно на это была нацелена работа по переформулиров-

ке — что решение нетривиального частного случая открывало прямой путь к получению значительно более общих результатов, а оттуда и к построению содержательной теории. (В упомянутом выше случае с полунепрерывностью спектра такого не произошло — разбирая многомерную ситуацию, Варченко не использовал ничего из моих результатов для двух переменных.) Впрочем, случалось и такое, что формально верное решение задачи Арнольда не удовлетворяло. В таких случаях он сердился и говорил, что ученики всегда решают не ту задачу, которая им поставлена, а ту, которую они умеют решать. Многие из поставленных Владимиром Игоревичем задач ещё ждут своего решения.

Сборники нерешенных задач в различных областях математики — явление привычное. Специалисты в каждой области нередко составляют их на своих конференциях и публикуют. Однако я не знаю ничего сравнимого по совершенству формулировок и по богатству мысли с этим результатом многолетнего труда одного человека; списку задач Арнольда уступают, на мой взгляд, и имеющий совсем другой жанр список проблем Гильберта, и предложенный Институтом Клэя список проблем тысячелетия.

5. Награды и звания

Для науки во всем мире было бы полезно, если бы Нобелевские премии и академические звания раздавались не только генералам от науки, но иногда и квалифицированным специалистам.

В. И. Арнольд

К счастью, на развитие нашей замечательной науки все эти награды почти не влияют.

В. И. Арнольд

Яркий взлет Арнольда был отмечен несколькими престижными наградами. Он чрезвычайно ценил Премию Московского математического общества для молодых математиков, которую получил в 1960-м году. Впоследствии, уже будучи президентом этого общества, он прикладывал все усилия к тому, чтобы поднять престиж этой премии.

В 1965 г. В. И. Арнольду и А. Н. Колмогорову за разработку КАМ-теории была присуждена Ленинская премия. В Советском Союзе более высокое признание научных заслуг со стороны государства было невозможно. В том же году Арнольду не хватило одного голоса для избрания — минуя стадию члена-корреспондента — в действительные члены Академии наук СССР.

В дальнейшем казавшаяся поначалу блестящей академическая карьера не имела быстрого развития. Так, избрание в Академию наук СССР произошло лишь спустя долгих 25 лет после первой попытки. Причиной тому послужила, по-видимому, независимость взглядов Владимира Игоревича, высказываемые им без оглядки на личности мнения о математическом содержании работ тех или иных авторов. Под огонь его критики не раз попадали и ака-

демики. Не последнюю роль в установлении серьезных барьеров на его пути сыграло и подписание им в 1968 году «Письма 99-ти» в защиту логика А. С. Есенина-Вольпина, подвергнутого принудительному психиатрическому лечению, — пожалуй, единственный «диссидентский» поступок Арнольда. Все подписавшие это письмо так или иначе пострадали, и до конца 1980-х годов Арнольд практически не имел возможности бывать за границей. Он считал, что ограниченность его общения с зарубежными математиками (их приезды в Россию были редки и кратковременны) сугубо отрицательно повлияла на его математические достижения, и жалел о том, что подписал письмо.

В то же время в мировом математическом сообществе признание заслуг Арнольда было безусловным. Дважды (в 1974 году в Ванкувере и в 1983 году в Варшаве) он был приглашенным пленарным докладчиком Международного математического конгресса, в 1958 году в Эдинбурге — секционным, и в 1966 в Москве делал специальный получасовой доклад. В 1996-2002 гг. он был членом Исполнительного комитета и вице-президентом Международного математического союза.

В 1982 году Арнольду (совместно с Л. Ниренбергом, США) была присуждена только что учрежденная и сразу же ставшая престижной Крафордская премия Шведской Королевской Академии наук — его не выпустили в Стокгольм для получения премии. В 1987 году он стал Почетным иностранным членом Американской академии наук и искусств, в 1988 году — иностранным членом Лондонского Королевского общества. Больше же всего из знаков признания он ценил избрание его почетным членом Лондонского математического общества (1976). По его словам, этот почетный клуб гораздо представительнее, чем подбор лауреатов медали Филдса. А вот от предложенного ему членства в Папской академии он отказался, объяснив папе Иоанну Павлу II, что сделал это из-за до сих пор не отмененного приговора, вынесенного инквизицией Джордано Бруно в 1600 г. В 2001 году Арнольд получил премию Вольфа — «за глубокую и оказавшую большое влияние работу во многих областях математики, включая динамические системы, дифференциальные уравнения и теорию особенностей».

Смена государственного устройства в Советском Союзе и одновременный скачок цен, не сопровождавшийся ростом зарплаты, привели Владимира Игоревича, как и многих других математиков и не только, к необходимости искать новые источники дохода. С детства свободно владея французским языком и с удовольствием вспоминая свою долговременную поездку во Францию в 1964-1965 гг., он из многих сделанных ему предложений выбрал парижский университет Дофин. Тем временем неспешно крутящиеся жернова государственной машины в конце концов вызвали изменение формата Государственной премии России, и среди первых лауреатов новой премии (2007 г.) был и Владимир Игоревич Арнольд — так государство утверждало её престиж. Последовавшая через год Премия Шау («азиатская нобелевка»), которую Арнольд разделил с Л. Д. Фаддеевым, стала ещё одним подтверждением мирового признания, уже не только в среде математиков.

ЛИТЕРАТУРА

1. Страница памяти В. И. Арнольда на сайте Московского центра непрерывного математического образования http : //www.mccme.ru/arnold/

2. Tribute to Vladimir Arnold. Boris Khesin and Serge Tabachnikov, coordinating editors // Notices Amer. Math. Soc. 2012. Vol.59, №3. P. 378-399.

3. Memories of Vladimir Arnold. Boris Khesin and Serge Tabachnikov, coordinating editors // Notices Amer. Math. Soc. 2012. Vol.59, №4. P. 482-502.

4. Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С.М. Особенности дифференцируемых отображений. — М.: МЦНМО, 2004.

5. Arnold V.I. Arnold's problems. — Springer-Verlag, Berlin; PHASIS, Moscow, 2004.

Поступила 10.09.2012

VLADIMIR IGOREVICH ARNOLD (to the 75 anniversary of the birth)

S. K. Lando

V. I. Arnold is the outstanding mathematician of our time. The paper is intended to present his way in science, his working style, his relations with students.

Keywords: V. I. Arnold, theory of singularities, Arnold's problems.

УДК 511 + 519.67

АЛАН ТЬЮРИНГ И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ (к 100-летию со дня рождения А. Тьюринга)*

Ю. В. Матиясевич

Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова РАН Росссия, 191023, г. Санкт-Петербург, наб. реки Фонтанки, 27; e-mail: yumat@pdmi.ras.ru

Рассказывается о методе Тьюринга для проверки гипотезы Римана. Этот метод продолжает использоваться и в XXI веке.

Ключевые слова: Алан Тьюринг, гипотеза Римана.

В 2012 году по всему миру отмечалось столетие со дня рождения Алана Матисона Тьюринга (Alan Mathison Turing, 1912-1954). Это стало большим событием как для учёных разных специальностей, так и для людей, далёких от науки.

Для кого-то Алан Тьюринг в первую очередь — один из основоположников теоретической информатики, по-английски называемой computer science. Тезис Черча-Тьюринга открыл путь для математически строгих доказательств невозможности решения некоторых алгоритмических проблем, а про машину Тьюринга, по крайней мере, слышали и очень многие из тех, кто весьма далёк от точных наук.

Для других Алан Тьюринг — пионер искусственного интеллекта, попытавшийся дать формализованный ответ на философский вопрос «Может ли машина думать?» и написавший первую программу для игры в шахматы в то время, когда ещё не было компьютера, способного выполнить эту программу.

Широко известно про вклад Алана Тьюринга в расшифровку немецких радиограмм во время Второй мировой войны.

Оригинальные работы Алана Тьюринга по биологии намного опередили своё время и не были оценены по достоинству его современниками.

Но наряду с привнесением революционных идей в информатику, искусственный интеллект и биологию, Алан Тьюринг внёс существенный вклад

* Настоящая публикация является слегка расширенным текстом ряда выступлений автора (на The Alan Turing Centenary Conference (Manchester, UK, June 22-25 2012), на The 7th International Computer Science Symposium in Russia (Нижний Новгород, 3-7 июля 2012 г.) и на заседании Санкт-Петербургского математического общества (9 октября 2012 г.)) и не претендует на полноту освещения теоретико-числовых исследований Алана Тьюринга. Более подробные сведения можно найти, например, в [2, 3, 6, 7].

и в такой традиционный раздел математики, как теория чисел. К сожалению, даже о самом существовании таких исследований Алана Тьюринга за пределами круга теоретико-числовиков известно немногим. Цель этой публикации — познакомить широкую аудиторию с основным вкладом Алана Тьюринга в теорию чисел.

Все опубликованные им работы по теории чисел связаны с одним, но фундаментальным вопросом этой области математики — распределением простых чисел. По традиции количество таких чисел, не превосходящих некоторого ж, обозначается 7г(х). Уже Евклид знал, что эта функция возрастает неограниченно, но математиков интересовал вопрос более точной оценки скорости роста 7г(х).

Ответ, который нашли в 1896 году независимо друг от друга Жак Саломон Адамар (Jacques Salomon Hadamard) и Шарль Жан де ла Валле Пуссен (Charles Jean de la Vallée Poussin), известен как

Закон распределения простых чисел.

(1)

Точный смысл символа ~ в (1) таков:

(2)

Формулу (1) можно интерпретировать так: вблизи числа х среднее расстояние между простыми числами равно 1п(х). Другая интерпретация такова: вероятность того, что некоторое число, близкое к х, будет простым, равна

Эта вторая интерпретация подсказывает рассмотрение следующей функции, называемой сдвинутым интегральным логарифмом:

(3)

Легко проверить, что

(4)

и, соответственно, закон распределения простых чисел (1) можно записать в эквивалентном виде как

(5) (6)

При рассмотрении пределов отношений, как в (2) и (6), функция Ы(ж) не имеет никаких «преимуществ» перед «более простой» функцией х/1п(х). Ситуация становится другой, если вместо отношений правых и левых частей в (1) и (5) мы станем изучать их разности, некоторые из которых (округленные до целых чисел) приведены в следующей таблице.

Таблица 1. Приближения к 7г(х)

В этой таблице разности 7г(ж) — Li (ж) по абсолютной величине существенно меньше соответствующих разностей 7г(ж) — ж/1п(ж). Кроме того, мы видим, что все приведённые там значения 7г(ж) — Li (ж) отрицательны. Было проверено, что неравенство 7г(ж) < Li (ж) справедливо для всех ж, не превосходящих 1014. Возникает вопрос — но будет ли это так всегда?

Некоторый неформальный аргумент в пользу этого неравенства даёт следующая формула, которую установил Георг Фридрих Бернхард Риман (Georg Friedrich Bernhard Riemann) в своей основополагающей работе [13]:

(7)

Суммирование в этой формуле идёт по невещественным нулям так называемой дзета-функции Римана Ç(s), о которой речь пойдёт дальше. Все слагаемые под знаком суммы в (7) осциллируют, и можно ожидать, что в среднем они «гасят» друг друга, так что их сумма мала по сравнению — Li(x1//2), абсолютной величиной второго члена в правой части (7). Оказалось, однако, что это не так — при некоторых х многие слагаемые могут «попасть в резонанс», при котором их сумма станет больше -Li(x1//2). А именно, Джон Идензор Литлвуд (John Edensor Littlewood) доказал в 1914 году следующую теорему. Теорема [10]. Существует бесконечно много х таких, что

(8)

Доказательство, данное Литлвудом, было «чистым доказательством существования», не дающим ни конкретного значения ж, удовлетворяющего (8), ни даже оценки сверху на величину такого х.

Этот «пробел» восполнил ученик Литлвуда Стенли Скьюз (Stanley Skewes), опубликовавший в 1933 году следующую оценку на наименьшее ж,

удовлетворяющее неравенству (8):

(9)

«Астрономическое число» в правой части (9) произвело в то время большое впечатление. Готфри Харолд Харди (Godfrey Harold Hardy) охарактеризовал его как «самое большое число, когда-либо использованное в математике для какой-либо конкретной цели» (см. [22]).

Правая часть неравенства (9) получила название числа Скьюза] когда впоследствии этот результат усиливался, новые оценки по-прежнему называли числами Скьюза. Сейчас числом Скьюза иногда называют наименьшее ж, удовлетворяющее (8). Точное значение такого наименьшего х до сих пор (2012 год) неизвестно, установлено однако, что оно не превосходит 10317.

В 1931 году Алан Тьюринг поступил в Кембриджский университет в Англии. Скьюз к тому времени уже окончил этот университет, но ещё там работал. Согласно [7], Алан и Стенли, занимаясь греблей, плавали в одной лодке, и весьма вероятно, что именно там, на реке Кэм, Тьюринг узнал о числе Скьюза «из первых уст». Тьюринга привлекла идея получить меньшее значение, но как это сделать?

Найденная Скьюзом оценка (9) была условной, а именно, он получил следующий результат.

Теорема [14]. Если гипотеза Римана верна, то существует число х такое, что выполнены неравенства (8) и (9).

Использованная в доказательстве Скьюза гипотеза касается распределения комплексных нулей так называемой дзета-функции Римана Ç(s), определяемой рядом Дирихле

(10)

который сходится в полуплоскости Re(s) > 1. Эту функцию при вещественных значениях аргумента изучал ещё Леонард Эйлер, и он указал её альтернативное определение в виде произведения

(11)

сходящегося при s > 1.

Тождество Эйлера (11) является, по существу, аналитической формой основной теоремы арифметики, гласящей, что каждое натуральное число, большее единицы, представимо в виде произведения степеней простых чисел, причём единственным образом с точностью до порядка множителей: достаточно заметить, что

(12)

затем подставить правую часть (12) в правую часть (11), раскрыть скобки и получить левую часть (11).

Тождество Эйлера объясняет, почему дзета-функция Римана играет такую важную роль в изучении простых чисел. В частности, Эйлер дал новое доказательство бесконечности количества простых чисел, по красоте сравнимое с классическим доказательством Евклида: если бы количество простых чисел было конечно, то (расходящийся) гармонический ряд, получающийся из левой части (11) при s —> 1, имел бы конечную величину, равную произведению в правой части (11) при 5 = 1.

В основе равенства (7) также лежит тождество Эйлера, но при этом надо рассматривать аналитическое продолжение дзета-функции на всю комплексную плоскость (за исключением точки s = 1, которая является полюсом этой функции). Риман доказал, что все отрицательные чётные числа, —2, —4,..., —2т,..., являются нулями дзета-функции, и эти нули принято называть тривиальными. Он также установил, что других вещественных нулей у дзета-функции нет, а остальные, нетривиальные, нули (по которым и ведётся суммирование в (7)) лежат в критической полосе 0 < Re(s) < 1. Эта полоса лежит вне полуплоскости сходимости ряда (10), что вызывает трудности в изучении нетривиальных нулей дзета-функции.

Доказательство закона распределения простых чисел, данное Адамаром и Пуссеном, состояло, по сути, в усилении результата Римана до строгих неравенств 0 < Re(s) < 1. Риман, однако, предполагал, что имеет место ещё более сильное утверждение, известное ныне как

Гипотеза Римана [13]. Все нетривиальные нули дзета-функции лежат на критической прямой Re(s) = 1/2.

Эта гипотеза была опубликована Риманом в 1859 году. В 1900 году Давид Гильберт включил её в восьмую из 23 важнейших нерешенных математических проблем, которые уходящий девятнадцатый век оставлял в наследие наступающему двадцатому. Гипотеза Римана до сих пор (2012 год) остаётся недоказанной и неопровергнутой и является одной из семи так называемых проблем тысячелетия [23].

Гипотеза Римана имеет много важных следствий как в самой теории чисел, так и вне её. Например, из гипотезы Римана следует, что

(13)

(и, наоборот, из (13) можно вывести справедливость гипотезы Римана).

То, что оценка (9) была получена Скьюзом в предположении справедливости гипотезы Римана, само по себе не является «грехом» — в современной теории чисел имеется огромное количество результатов, полученных только как следствия гипотезы Римана. Однако в данном случае ситуация была несколько иной — дело в том, что исходная теорема Литлвуда была получена безусловно. Точнее, её доказательство состояло из двух частей: в одной существование ж, удовлетворяющего (8), устанавливалось в предположении истинности гипотезы Римана, в другой — в предположении её ложности. Скьюз вскоре получил и безусловное доказательство, но по какой-то причине только в 1955 году вышла из печати вторая часть его работы со следующим результатом:

Теорема [15]. Если гипотеза Римана неверна, то существует число х такое, что выполнено неравенство (8) и

(14)

Когда Алан Тьюринг учился в Кембридже, там одним из преподавателей математики (mathematics supervisors) был Альберт Эдвард Ингам (Albert Edward Ingham). В 1932 году вышло в свет первое издание его ставшей затем классической книги [8] «Распределение простых чисел» (книга была переиздана в 1990 году, её переводы на русский язык вышли в 1936 и в 2005 годах). В этой книге Ингам дал новое, более простое доказательство теоремы Литлвуда, состоящее также из рассмотрения двух случаев — справедливости и ложности гипотезы Римана.

Тьюринг много общался с Ингамом и во время обучения, и позднее по переписке. Когда Тьюринг сообщил Ингаму, что хочет уменьшить число Скьюза, следуя так же, как это сделал Скьюз, доказательству Литлвуда, Ингам ответил, что более перспективным для этой цели ему представляется его новое доказательство из [9], и на этом пути Скьюз уже улучшил свой результат.

В той части доказательства, в которой предполагается справедливость гипотезы Римана, для получения хорошей оценки требовалось знать не только то, что все нули лежат на критической прямой, но также и где именно лежит достаточно большое количество начальных нулей. Для первых 15 нулей точные значения вещественных частей (равные — ) и приблизительные значения мнимых частей были опубликованы Йоргеном Педерсеном Грамом (Jorgen Pedersen Gram) в 1903 году. К тому времени, когда Тьюринг вошёл в эту тематику, Эдвард Чарльз Титчмарш (Edward Charles Titchmarsh) довёл проверку гипотезы Римана до 1041 начального нуля.

Таблица 2. Проверка гипотезы Римана до А. Тьюринга

Год

Количество нулей

Автор

1903

15

J. P. Gram

1914

79

R. J. Backlund

1925

138

J. I. Hutchinson

1936

1041

E. C. Titchmarsh

Теория чисел была серьёзным увлечением Алана Тьюринга начиная от студенческих лет и до последних дней жизни, но, похоже, это увлечение никогда не было главным. В 1936 году Тьюринг опубликовал основополагающую работу [16], в которой ввёл свою знаменитую машину. В наши дни машину Тьюринга традиционно описывают как конечное устройство, работающее конечное время с конечным объемом информации, но интересно отметить, что Тьюринг рассматривал (и это нашло своё отражение в названии статьи [16]) введённые им вычислительные устройства как средство задания вещественных чисел — такие машины должны работать неограниченно долго, выписывая на ленте всё большее и большее количество десятичных знаков задаваемого вещественного числа. Не исключено, что Тьюринга подвёл к этому его интерес к теоретико-числовым проблемам.

В 1938 году Тьюринг написал свою диссертацию (опубликована в [17]) по математической логике под руководством Алонзо Черча (Alonzo Church) в Принстоне, США. Однако возвратившись в том же году в Европу, Тьюринг снова стал заниматься дзета-функцией Римана.

Как было сказано выше, для улучшения оценки Скьюза на наименьшее ж, удовлетворяющее (8), имелось два пути — или найти нуль дзета-функции, лежащий вне критической прямой, или для возможно большего количества начальных нулей этой функции определить их положение на критической прямой. Однако даже просто вычисление значения дзета-функции в какой-либо точке в критической полосе было нетривиальной задачей.

С необходимостью вычислить значение дзета-функции встретился ещё Эйлер, взявшийся за решение так называемой Базельской проблемы, которую поставил Пьетро Меньоли (Pietro Mengoli) в 1644 году, — чему равно значение суммы

(15)

Эйлер вычислил более дюжины десятичных знаков ("(2) с помощью изобретённого им общего метода, который ныне носит название «суммирование Эйлера - Маклорена».

Риман нашёл другой метод, специфический для вычисления значений дзета-функции Римана. Этот метод не был им опубликован, и только в XX столетии Карл Людвиг Зигель (Carl Ludwig Siegel), разбирая неопубликованные трудночитаемые рукописи Римана, смог сделать открытие Римана всеобщим достоянием.

В 1939 году Тьюринг подал заявку на грант (см. рис. 1) Королевского общества (the Royal Society), играющего в Великобритании ту же роль, что академии наук в других странах1. В этой заявке Тьюринг просил средства для изготовления «аппарата» для вычисления значений дзета-функции. В качестве прототипа были взяты машины для расчётов высоты приливов. Такие машины использовались начиная с середины XIX века и вплоть до появления ЭВМ. На рис. 2 изображена схема одной из таких машин, а на рис. 3 -фотография реальной машины.

Высота прилива в данный момент в данной точке зависит от нескольких периодических факторов: вращения Земли вокруг своей оси, вращения Луны вокруг Земли, вращения Земли вокруг Солнца, при этом для получения достаточной точности необходимо учитывать эксцентриситет орбит Луны и Земли. В итоге высота прилива определяется как сумма вида

(16)

Значение переменной t — времени — задаётся поворотом рукоятки в левой части машины (см. рис.2). Коэффициенты определяются соотношениями диаметров попарно сцепленных зубчатых колёс, расположенных в нижних рядах. На колёсах в точках с полярными координатами (аг, вг) имеются

1 Копия заявки воспроизводится с любезного разрешения Лондонского Королевского общества

Рис. 1. Заявка на грант

Рис. 2. Третья машина для предсказания приливов сэра Уильяма Томсона, лорда Кельвина (William Thomson, Lord Kelvin), 1879-81

http://en.wikipedia.org/wiki/Tide-predicting_machine

Рис. 3. Машина для предсказания приливов http ://tidesandcurrents.noaa.gov/predma3.html

штырьки, вертикальные (декартовы) координаты которых, очевидно, равняются слагаемым из (16). Несложный механизм позволяет игнорировать горизонтальные перемещения штырьков, а вертикальные преобразовывать в строго вертикальные перемещения гладких (без зубьев) колёс, расположенных над шестерёнками. Для суммирования служит нить, огибающая все гладкие колеса. Правый конец нити жестко закреплён, а на левом висит перемещающийся груз, положение которого определяется суммой (16), то есть высотой прилива.

Таким образом, идея конструкции «аппарата для вычисления дзета-функции» не была новой, но оригинальным было применение подобного устройства не для практической цели — вычисления приливов, а для сугубо теоретических целей. В архиве Тьюринга [24] сохранились «синьки», показывающие, что конструкция «аппарата» не была слепым подражанием машине для расчёта приливов.

Тьюринг получил грант (запрошенные 40 фунтов стерлингов) и приступил к работе. Ему помогал студент инженерного факультета Дональд Мак-Фейл (Donald С. MacPhail). Удивительно, что они взялись сделать этот достаточно сложный механизм вдвоём. Для требуемого интервала 1450 < t < 6000 (см. рис. 1) значение m в (16) равно 30, то есть одних зубчатых колёс требовалось изготовить более 60 штук.

Тьюрингу требовались в качестве uj^ в (16) логарифмы целых чисел, то есть числа иррациональные, и он использовал цепные дроби для приближения этих логарифмов рациональными числами, числители и знаменатели которых задавали бы количество зубьев на шестерёнках. Некоторое количество этих шестерёнок было изготовлено, но начавшаяся Вторая мировая война прервала работу, и «аппарат» Тьюринга для вычисления дзета-функции никогда не был завершён.

Понятно, что замена логарифмов натуральных чисел на их рациональные приближения приводила к дополнительной погрешности в вычислении значения дзета-функции (помимо ошибки, связанной с использованием конечной суммы вместо бесконечной), и в заявке на грант Тьюринг указал, что в некоторых случаях потребуется дополнить счёт на «аппарате» традиционным вычислением. Этому была посвящена работа Тьюринга [18], поданная в печать в том же мае 1939 года, что и заявка на грант для механического вычисления дзета-функции.

Техника из [18] стала новым инструментом для вычисления дзета-функции, но впоследствии эта работа Тьюринга была превзойдена. В частности, это сделали Эндрю Михаэль Одлызко (Andrew Michael Odlyzko) и Арнольд Шёнхаге (Arnold Schönhage), которые предложили метод, особенно эффективный, когда надо найти значение ("(s) не для одного, а для многих близких значений аргумента. Вот что они написали в [12]:

Похоже, что только один метод, помимо методов Эйлера - Маклорена и Римана - Зигеля, был предложен для вычисления Ç(s) с умеренной точностью для больших высот, а именно, метод, принадлежащий Тьюрингу. Он был предназначен давать большую точность, чем та, которую гарантировали грубые оценки остаточного члена в формуле Римана - Зигеля, имевшиеся в то время, и в то же время быть более эффективным, чем формула

Эйлера-Маклорена. Теперь, однако, имеются очень хорошие оценки остаточного члена в формуле Римана - Зигеля, которые делают метод Тьюринга излишним2.

Здесь под «методом Тьюринга» авторы имеют в виду предложенный им способ вычисления значений дзета-функции Римана. То, что в теории чисел традиционно называется «методом Тьюринга», — это средство для проверки того, что все нули дзета-функции с мнимыми частями в заданном интервале удовлетворяют гипотезе Римана.

Этот метод был введён Аланом Тьюрингом в работе [19], опубликованной в 1953 году. Вот как оценил её Эндрю Букер (Andrew R. Booker) в [3]:

Читая работу Тьюринга по этому предмету, которая была одной из его последних, поражаешься тому, что он совершил с ограниченными вычислительными ресурсами тех дней. Его метод поистине опередил своё время.

По форме статья [19] выглядит как отчёт об одном конкретном вычислении, проведённом Тьюрингом в 1950 году на ЭВМ «Mark 1» в Манчестерском университете, но во Введении Тьюринг написал пророческие слова о значимости вводимого им метода:

Эта статья состоит из двух частей. Первая посвящена анализу рассматриваемой проблемы. Все результаты, полученные в этой части, вероятно, будут применимы ко всем последующим вычислениям, проводимым с той же целью, независимо от того, будут ли они выполняться на Манчестерском Компьютере или другими средствами.

Интересно отметить, что Тьюринг не верил в справедливость гипотезы Римана:

Вычисления были проведены в оптимистической надежде найти ноль вне критической прямой и были направлены больше на нахождение таких нулей, чем на доказательство их отсутствия.

При этом Тьюринг надеялся найти нуль s = a + it = a + 27ггт, опровергающий гипотезу Римана, уже при сравнительно малой величине t:

Основное исследование относилось к области 632 < г < 642 <...> Результат этого исследования, насколько можно на него полагаться, состоит в том, что <... > все нули в области 27г632 < t < 27г642 лежат на критической прямой.

Понятно, что наличие нуля вне критической прямой можно установить, вычислив этот нуль с точностью, достаточной для вывода о том, что его

вещественная часть не равна -, но каким образом, проведя конечное вычисление с ограниченной точностью, можно заключить, что рассматриваемые нули лежат ровно на критической прямой? Тьюринг придавал математической строгости большое значение:

Нет причины, по которой нельзя было бы выполнить вычисление со строгостью, обычной в математическом анализе.<... >

Процедура была такова, что если следовать ей аккуратно, и если машина не сделает в это время ошибки, то можно быть уверенным, что в пределах рассматриваемого интервала нет нулей вне критической прямой.<... >

2 Здесь и всюду ниже перевод с английского принадлежит автору.

Даже с автоматическим компьютером достижение такой строгости является весьма утомительным, но в связи с таким предметом, как аналитическая теория чисел, для которой строгость является квинтэссенцией, это представляется заслуживающим усилий.

Здесь интересно обратить внимание на словосочетание «автоматический компьютер» — чуть ранее Тьюринг написал следующее:

Компьютер, вероятно, будет иметь свои собственные идеи по поводу того, каким образом следует выполнять определённые шаги. Когда некоторые шаги могут быть опущены без серьёзной потери точности, он пожелает это сделать.

Понятно, что под просто «компьютером» Тьюринг имеет в виду человека-вычислителя.

Предшественники Тьюринга в вычислении нулей дзета-функции Римана, проводя свои вычисления вручную, также получали математически строгое доказательство того, что найденные ими нули удовлетворяют гипотезе Римана. Грам использовал для этого теорему Руше, а последующие исследователи — теорему Коши.

Пусть N(T) обозначает количество нулей дзета-функции, лежащих в прямоугольнике

(17)

В предположении, что на его границе нет нулей дзета-функции, теорема Коши говорит, что

(18)

где контурный интеграл берётся по границе прямоугольника (17). Поскольку по определению N(T) — число целое, для его определения достаточно вычислить правую часть (18) с ошибкой, не превосходящей, скажем, 1/3, а затем провести округление до ближайшего целого числа. Такое вычисление и строгую оценку его погрешности можно сделать средствами численного анализа.

Теорема Коши - это общее свойство всех аналитических функций. В нашем конкретном случае дзета-функции есть ещё одна специфическая техника для подсчёта количества нулей. Рассмотрим функцию

(19)

где

(20)

Рис. 4. Полуплоскость сходимости, критические полоса и прямая, контур интегрирования

Рис. 5. Функция Z(t)

Экспоненциальный множитель в (19) нулей, очевидно, не имеет. Когда t принимает вещественные значения, аргумент У дзета-функции в (19) принимает значения на критической прямой, а значения функции Z(t) оказываются вещественными.

Представим, что мы нашли N(T) + 1 вещественных чисел /о? • • • ? In(t) (отмеченные точки на оси абсцисс, не лежащие на графике, рис. 5) таких, что

(21) (22)

при к = 1,..., N(T). Очевидно, что в таком случае функция Z(t) имеет, по крайней мере, один нуль в каждом из интервалов

и, следовательно, функция Z{ï), а значит, и функция

имеют, по крайней мере, N(T) нулей при 1 ^ t ^ Г. Поскольку N(T) — количество нулей во всём прямоугольнике, то никаких других нулей дзета-функции в нём быть не может.

Отметим, что для проверки неравенств (22) нам не требуется вычислять точные значения функции Z(t), мы можем делать это с некоторой погрешностью и оценивать её. Если оценка погрешности окажется по абсолютной величине меньше вычисленного приближенного значения Z(t), то мы будем достоверно знать знак истинного значения Z(t).

При практической реализации этого плана возникает вопрос — как найти числа fo,..., /дг(т) с требуемыми свойствами? Конечно, можно вычислять значения Z(l + kh) при к = 1,..., (Г — l)/h, уменьшая значение h, и ждать появления N(T) перемен знака, но это очень трудоёмкий процесс.

Грам указал эвристический метод выбора значений fo,..., /n(t)- Or рассмотрел мнимую часть экспоненциального сомножителя в (19)

(23)

Функция 6{t) имеет асимптотическое разложение

(24)

из которого видно, что 9{t) растёт почти как линейная функция с логарифмически медленно увеличивающимся коэффициентом при t. Соответственно, график функции sinö(t) выглядит как синусоида с возрастающей частотой (рис. 6).

Рис. 6. Функции 0(t) и sin#(£)

Рис.7. Функции Z(t) и sinö(t)

Из рис.7, на котором изображены функции Z(t) и sinö(t), видно, что они ведут себя подобно функциям синусу и косинусу — нули каждой из этих функций соответствуют экстремумам другой. Положительные нули функции sinö(t) получили название точек Грама, по традиции их обозначают дт и нумеруют так, что

(25)

то есть первый нуль имеет индекс —1. Грам, вычислив начальные нули дзета-функции, обнаружил, что они чередуются с числами дт, и при этом

(26)

Джон Ирвин Хачинсон (John Irwin Hutchinson) назвал неравенство (26) законом Грама, и, по иронии судьбы, вычислив начальные 138 нулей, он же обнаружил первые исключения из этого «закона»:

Сейчас мы знаем, что «закон Грама» нарушается бесконечно часто, и можем различать хорошие точки Грама, удовлетворяющие неравенству (26), и плохие, ему не удовлетворяющие. Таким образом, при большой величине Г мы не можем брать точки Грама непосредственно на роль чисел fo, . . . , fw(T) в (21) и (22). Мы можем, однако, попытаться немного сдвинуть плохие точки, то есть найти такие (маленькие) числа ho,..., /^дг(т)? Для которых неравенства (21) и (22) выполняются при выборе fk = 9к + hk-

В итоге мы приходим к следующему классическому методу (использованному предшественниками Тьюринга) для проверки того, что все нули дзета-функции Римана, имеющие мнимую часть, не превосходящую некоторого числа Г, лежат на критической прямой.

1. Вычислить с погрешностью не более 1/3 интеграл

округлить полученное значение до ближайшего целого числа, найдя тем самым N(T) - количество нулей в прямоугольнике (17). 2. Найти N(T) + 1 чисел h—i, Hq, ..., ^дг(т)—1 таких, что

и проверить, что при к = 0,..., N(T) — 1

Если нам удастся это сделать, то мы докажем, что все нули функции ("(s) в прямоугольнике (17) лежат ровно на критической прямой.

Что же, кроме возможной ошибочности гипотезы Римана, может помешать нам в осуществлении этого плана? Количество нулей можно подсчитывать двумя способами — с учётом кратности и без учёта кратности. Интеграл Коши (18) учитывает кратность, но когда мы оцениваем количество нулей через количество перемен знаков, каждый нуль нечётной кратности считается за один нуль, а нули чётных кратностей вообще не могут быть обнаружены по перемене знака функции. По этому поводу Тьюринг написал:

Мы не знаем никакого способа для работы с кратными нулями и просто надеемся, что их нет.

Надежда Тьюринга до сих пор оправдывалась — кратные нули дзета-функции Римана пока не обнаружены.

Усовершенствование, которое Тьюринг внёс в описанный выше метод проверки гипотезы Римана, относится к первой части — вычислению N(t). Метод Тьюринга основан на одной теореме, опубликованной Литлвудом в 1914 году. Она производит сравнение N(T) с количеством точек Грама, не превосходящих Г, которое легко определить. Действительно, неравенство дт < Т по монотонности функции в эквивалентно неравенству 9(дт) < в(Т) и, согласно (25), неравенству 7гт < 0(Т), то есть имеется [0{Т)/тг\ + 2 точки Грама, не превосходящие Г (слагаемое 2 вызвано нумерацией точек начиная с — 1). Определив функцию S(T) через равенство

(27)

мы можем ожидать, что она будет принимать не слишком большие значения. Теорема, доказанная Литлвудом, утверждает, что это верно в среднем. Теорема [10].

(28)

Сам Литлвуд не указал, как эта теорема может быть использована для вычисления N(T). Не увидел этого и Титчмарш, проверивший в 1936 году гипотезу Римана для первых 1041 нулей, и только Тьюринг нашёл применение результата Литлвуда для упрощения вычислений.

Теорема Литлвуда сформулирована с использованием символа О и по этой причине она сама по себе бесполезна для каких-либо фактических вычислений, ибо не утверждает ничего ни про одно конкретное значение Т. В связи с этим Тьюринг пишет:

В анализе принято использовать запись 0{f(x)} для обозначения 'некоторой функции, отношение которой к f(x) ограничено \ В теории вычислений необходимо подобное обозначение, но при этом интерес представляет значение такой границы. Соответственно, мы будем использовать запись 0(a) для обозначения 'некоторого числа, не превосходящего по модулю числа а \ Символ О выбран отчасти из-за типографской схожести с О, отчасти из-за использования $ для обозначения 'некоторого числа, меньшего, чем 1;.

Используя введённое обозначение, Тьюринг уточнил теорему Литлвуда, доказав, что если

то

(29)

Доказательство занимает в [19] пять страниц традиционных теоретико-числовых оценок.

Дальнейший ход мыслей Тьюринга можно описать так. Наша конечная цель — установить положение нулей дзета-функции Римана с мнимыми частями, не превосходящими по абсолютной величине некоторое число Г. Вместо этого мы можем попытаться проделать это для некоторого Го, которое

больше Г, поскольку может оказаться, что вычислить N(Tq) легче, чем вычислить N(T). И действительно, оказалось, что этого можно достичь, если вместо того чтобы вычислять S (То) исходя из значения Го, поступить наоборот — потребовать, чтобы

(30)

и искать такое значение Го.

Из (30) и (27) следует, что значение 0(Го) кратно 7г и по определению Го должно быть некоторой точкой Грама дт. Наоборот, если Го = дт, то в (Tq) также кратно тт и согласно (27) S (То) — число целое. Это означает, что для установления равенства (30) достаточно показать, что выполнены неравенства

(31)

Более того, нетрудно проверить, что если в качестве Го мы возьмём не произвольную, а хорошую точку Грама, то S (То) обязательно будет чётным числом, и вместо неравенств (31) достаточно получить более слабые неравенства

(32)

Итак, пусть дш — хорошая точка Грама. Несколько последующих точек могут оказаться плохими, и нам потребуется найти сдвиги fom+i,..., hm+k-i такие, что

(33)

Рано или поздно (а обычно, весьма скоро) мы найдём следующую хорошую точку Грама для которой (—l)m+kZ(gm+k) > 0. Используя свою версию (29) теоремы Литлвуда, Тьюринг доказал, что

(34)

Аналогично можно получить двойственную оценку снизу:

(35)

Если в (34) и (35) слагаемые под знаками сумм достаточно малы, то мы получаем требуемые неравенства (32). Таким образом, главное преимущество метода Тьюринга состоит в замене трудоёмкого вычисления контурного интеграла в (18) на вычисление значений функции Z(t) в небольшом количестве дополнительных точек.

Вторая часть статьи [19], представляющая ныне главным образом исторический интерес, посвящена конкретному счёту, проведённому Тьюрингом. Это было одно из первых применений ЭВМ для получения нетривиальных математических результатов, и Тьюринг приводит много деталей, которые сегодня уже не принято публиковать в математических журналах. В частности, он описывает устройство машины:

Память машины была двух типов, известных как 'электронная' и 'магнитная' памяти. Электронная память состояла из четырёх 'страниц', каждая из которых имела по тридцать две строки из сорока двоичных разрядов. Магнитная память имела некоторое количество треков по две страницы такого же размера. Только примерно восемь из этих треков были доступны при вычислениях дзета-функции.

Тьюринг далее приводит таблицу распределения памяти — см. рис. 9.

Рис. 9. Распределение памяти

Результаты счёта выдавались на перфоленту с пятью рядами отверстий, и потому использовалась система счисления с основанием 32. Содержимое ленты можно было потом распечатать. Тьюринг счёл нужным привести таблицу соответствия цифр и символов на распечатке — см. рис. 10.

Рис. 10. Кодировка цифр системы счисления с основанием 32

Про использование десятичной записи Тьюринг написал следующее: Более традиционно можно использовать основание 10, но это потребовало бы памяти для процедуры преобразования, а автору [Тьюрингу] вполне удобно видеть результаты с основанием 32, к которому он достаточно привычен.

Большой проблемой была работоспособность машины. Тьюринг пишет: Если бы не тот факт, что компьютер однажды оставался в рабочем состоянии необычно долгий период от 3 часов пополудни до 8 часов утра следующего дня, то вычисления вообще никогда не были бы проведены.

Помимо исследования интервала 27г632 < t < 27г642, Тьюринг хотел продолжить вычисления Титчмарша:

Было начато другое исследование с целью расширить область сравнительно маленьких значений t, для которых гипотеза Римана справедлива. Титчмарш уже доказал, что она верна до t = 1468, то есть примерно до г = 231 <...> Предполагалось продолжить работу до примерно г = 500 <...>

Интервал 1414 < t < 1608 был исследован и проверен, но, к сожалению, в этот момент машина сломалась, и никакой дальнейшей работы проведено не было. Впоследствии было обнаружено, что счёт для этого интервала был проведён с неправильной величиной ошибки, и самое большое, что можно утверждать с уверенностью, это то, что нули лежат на критической прямой впоть до t = 1540, <...> ничтожное продвижение.

Таблица 3. Проверка гипотезы Римана начиная с А. Тьюринга

Год

Количество нулей

Автор

1953

1104

А. М. Turing

1956

25000

D. H. Lehmer

1958

35337

N. A. Meiler

1966

250000

R. S. Lehman

1968

3500000

J. B. Rosser, J. M. Yohe, L. Schoenfeld

1977

40000000

R. R Brent

1979

81000001

R. R Brent

1982

200000001

R. P. Brent, J. van de Lune, H. J. J. te Riele, D. T. Winter

1983

300000001

J. van de Lune, H. J. J. te Riele

1986

1500000001

J. van de Lune, H. J. J. te Riele, D. T. Winter

2004

900000000000

S. Wedeniwski

2004

10000000000000

X. Gourdon

Действительно, если сравнить количество нулей, проверенных Тьюрингом, с количеством нулей, проверенных до него (Таблица 2) и после него (Таблица 3), то достижения Тьюринга кажутся незначительными. На самом деле вклад Тьюринга огромен. Не только потому, что он был первым, кто применил компьютер для проверки гипотезы Римана (рано или поздно это сделал бы кто-либо иной), но, что гораздо важнее, как и предвидел Тьюринг, все последующие вычисления, вплоть до наших дней, проводились по его методу.

Традиционно в описаниях исследований Алана Тьюринга по теории чисел говорится, что его научное наследие состоит из нескольких писем к другим математикам, неопубликованных рукописей и только двух печатных работ -[18, 19]. Это, однако, не совсем так. Есть ещё одна опубликованная Тьюрингом работа, где он изучает гипотезу Римана. По какой-то причине эта работа практически не цитируется специалистами по теории чисел. Возможно, они не ценят полученный там результат, а, возможно, они просто не знают, что в работе «Системы логики, основанные на ординалах» [17] Тьюринг изуча-

ет, в частности, гипотезу Римана (напомним, что эта статья — изложение диссертации Тьюринга).

Третий раздел этой работы назван «Теоретико-числовые теоремы». Тьюринг начинает его с формального определения:

Под теоретико-числовой теоремой мы будем понимать теорему вида "0(х) обращается в ноль для бесконечно многих натуральных х'\ где в(х) -примитивно рекурсивная функция.

Тьюринг тут же делает подстрочное примечание:

Я полагаю, что нет общепринятого понимания этого термина, но следует отметить, что мы используем его в довольно ограниченном смысле.

Затем Тьюринг даёт второе, эквивалентное определение «теоретико-числовых теорем» в его смысле:

Альтернативной формой теоретико-числовых теорем является идля каждого натурального числа х существует натуральное число у, при котором f(x,y) обращается в ноль'] где /(ж, у) - примитивно рекурсивная функция.

Оба эти определения, по-видимому, чужды специалистам по теории чисел, поскольку в них используется понятие примитивно рекурсивной функции из теории вычислимости. Можно, однако, дать третье определение, более близкое по духу к теории чисел.

Обозначим через П[] и через £[] класс всех арифметических формул, в которых все кванторы ограничены. После выбора значений свободных переменных в таких формулах мы, очевидно, можем установить их истинность или ложность. Далее, пусть П^ обозначает при п > 0 класс всех формул вида

(36)

где <р — формула из класса и аналогично — класс формул вида

(37)

где ф — формула из класса П^_х. Мы получаем арифметическую иерархию, в которой каждый класс содержит любой другой класс, расположенный левее него на следующей схеме:

(38)

Теоретико-числовые теоремы в смысле Тьюринга — это в точности (истинные) формулы из класса П^.

Чтобы мотивировать введённое название, Тьюринг приводит пример -Великую теорему Ферма. В качестве менее очевидного примера Тьюринг указывает гипотезу Римана.

Сначала вообще непонятно, почему где-то в этой арифметической иерархии лежит гипотеза Римана, поскольку исходно она была сформулирована как утверждение про комплексные числа. Тем не менее, их можно представить как пары вещественных чисел, которые, в свою очередь, могут быть

представлены как пределы (сходящихся) последовательностей рациональных чисел. Мощная техника арифметизации, развитая Куртом Геделем, позволяет в итоге записать гипотезу Римана как арифметическую формулу с большим числом кванторов по натуральным числам.

Таким образом, в арифметической иерархии (38) есть формулы, эквивалентные гипотезе Римана, причём они могут встречаться в разных классах. Возникает естественный вопрос — сколь малым может быть такой класс?

Поставленный в такой форме, этот вопрос является бессодержательным или тривиальным, поскольку ответ очевиден — конечно, это самый маленький класс П[] = Sq. Действительно, гипотеза Римана — это конкретное утверждение, не содержащее параметров, и оно либо истинно, либо ложно. В первом случае гипотеза Римана эквивалентна формуле 0 = 0, во втором — формуле 0 = 1, и обе эти формулы принадлежат классу П[] = Sq.

Более корректной является следующая постановка вопроса: где в арифметической иерархии (38) мы можем указать при нашем нынешнем уровне знаний формулу, эквивалентную гипотезе Римана?

Алан Тьюринг нашёл такую формулу в классе П^, то есть в его классе теоретико-числовых теорем. Несложное доказательство, занимающее чуть больше одной страницы, не вызвало, по-видимому, большого интереса у специалистов по теории чисел.

В 1958 году математический логик Георг Крайзель (Georg Kreisel) усилил результат Тьюринга, построив формулу из класса П^, эквивалентную гипотезе Римана. Идею его конструкции можно пояснить следующим образом.

Известно, что все невещественные нули дзета-функции Римана расположены симметрично относительно прямых Re (s) = — и Im (s) = 0, разбивающих всю комплексную плоскость на четыре квадранта, поэтому достаточно проверить, что нет нулей, скажем, в открытом квадранте Re(s) > — &; Im(s) > 0.

Мы можем представить этот квадрант как счётное объединение содержащихся в нём прямоугольников и сформулировать гипотезу Римана как утверждение, что каждый из этих прямоугольников не содержит нулей дзета-функции. К сожалению, непосредственно записать это утверждение как неравенство с соответствующим контурным интегралом мы не можем, поскольку a priori ноль может лежать на границе использованного нами прямоугольника, но Крайзель нашёл способ обойти эту трудность.

Следующим шагом в усилении результатов Тьюринга и Крайзеля стало бы помещение гипотезы Римана в класс П[] = £[], то есть её доказательство или опровержение, но это сейчас находится вне пределов наших возможностей.

Тем не менее, это направление исследований получило некоторое развитие. В 1970 году была доказана так называемая DPRM-теорема3, устанавливающая, что в определении класса П^ в роли формулы (f всегда можно брать формулу вида Р(х\ ... хт) ф 0, где Р — многочлен с целыми коэффициен-

3 Аббревиатура в названии теоремы образована из первых букв фамилий математиков Мартина Дейвиса (Martin Davis), Хилари Патнэма (Hilary Putnam), Джулии Робинсон (Julia Robinson) и Юрия Матиясевича (примечание редактора).

тами. Совместно с результатом Крайзеля это дало такое следствие: можно построить конкретный многочлен R(x\... хт) с целыми коэффициентами такой, что гипотеза Римана эквивалентна утверждению об отсутствии решения у диофантова уравнения R(x\... хт) = 0 (конкретный способ построения такого уравнения описан, например, в [1]).

Гипотеза Римана была включена Давидом Гильбертом в его 8-ю проблему, а в 10-й проблеме он предлагал найти алгоритм для распознавания разрешимости произвольного диофантова уравнения. Таким образом, начатое Тьюрингом выяснение вопроса о положении гипотезы Римана в арифметической иерархии привело к установлению неожиданной для специалистов по теории чисел связи между 8-й и 10-й проблемами Гильберта — оказалось, что гипотезу Римана можно переформулировать как очень частный случай 10-й проблемы Гильберта.

Без тезиса Черча-Тьюринга мы не могли бы даже сформулировать, что означает неразрешимость 10-й проблемы Гильберта, установление которой было стимулом для доказательства DPRM-теоремы. Сейчас мы имеем формальное доказательство того, что никакая машина Тьюринга не может распознавать, имеет ли произвольное диофантово уравнение решение или нет. Сведение же гипотезы Римана к конкретному диофантову уравнению, первый шаг на пути к которому сделал Алан Тьюринг, даёт «психологическое» объяснение трудности диофантовых уравнений — было бы удивительно ожидать существования требуемого Гильбертом алгоритма для диофантовых уравнений, ибо тогда можно было бы, по крайней мере, в принципе, «механически» установить справедливость или ложность такой трудной гипотезы, как гипотеза Римана.

Памятник Алану Тьюрингу в Сэквиль-парке, Манчестер

ЛИТЕРАТУРА

1. Матиясевич Ю.В. Десятая проблема Гильберта. — М.: Физматлит, 1993. URL: http: //logic.pdmi.ras.ru/~yumat/H10Pbook

2. Booker A.R. Turing and the Riemann Hypothesis // Notices Amer. Math. Soc. 2006. V.53, №10. P. 1208-1211.

3. Booker A. R. Artin's Conjecture, Turing's Method, and the Riemann Hypothesis // Experiment. Math. 2006. V. 15, Issue 4. P. 385-408.

4. Cooper S. В., J. van Leeuwen, ed. Alan Turing — His Work and Impact // Elsevier Science. 2013. ISBN: 978-0-12-386980-7.

5. Davis M., ed. The Undecidable. Basic Papers on Undecidable Propositions, Unsolvable Problems and Computable Functions // Raven Press. 1965. Hewlett, NY; переиздано Dover Publications, 2004.

6. Hejhal D. A. A few comments about Turing's method. См. в [4].

7. Hejhal D. A., Andrew M. Odlyzko. Alan Turing and the Riemann zeta function. См. в [4].

8. Ingham A. E. The Distribution of Prime Numbers. — Cambridge University Press, 1932; Перепечатано Stechert-Hafner, Inc., New York, 1964; Cambridge University Press, Cambridge, 1990. xx+114 pp. ISBN: 0-521-39789-8. Переводы на русский язык: Главная редакция общетехнической литературы и номографии, Москва-Ленинград, 1936; Едиториал УРСС, 2005.

9. Ingham А. Е. A note on the distribution of primes // Acta Arithmetica. 1936. V. 1. P. 201-211.

10. Littlewood J. E. Sur la distribution des nombres premiers // CR. Acad. Sei. 1914. V. 158. P. 1869-1872. Перепечатано в Collected Papers of J. E. Littlewood, The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1982. ISBN: 0-19-853353-5.

11. Kreisel G. Mathematical significance of consistency proofs // Journal of Symbolic Logic. 1958. V.23(2). P. 155-182.

12. Odlyzko А.М., Schönhage A. Fast Algorithms for Multiple Evaluations of the Riemann Zeta Function // Transactions of the American Mathematical Society. 1988. V. 9, №2.

13. Riemann В. Uber die Anzhal der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse. — Monatsberichter der Berliner Akademie, 1859. Included into: Riemann В. Gesammelte Werke. — Teubner, Leipzig, 1892; переиздано Dover Books, New York, 1953. http ://www. claymath. org/millennium/Riemann_Hypothesis/1859_manuscript/zeta.pdf, английский перевод http ://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Riemann/Zeta/EZeta.pdf.

14. Skewes S. On the Difference ir(x) - Li(x) (I) // Journal of the London Math. Soc. 1933. V.8. P. 227-283.

15. Skewes S. On the Difference тг(ж) - Li(a?) (II) // Proc. London Math. Soc. 1955. V. 5. P. 48-70.

16. Turing A. M. On computable numbers, with an application to the Entscheidungsproblem // Proc. London Math. Soc. 1936-37. V.42(2). P. 230-265; correction, ibid. 43 (1937), 544-546. Перепечатано в [5, 20, 4].

17. Turing А.М. Systems of logic based on ordinals // Proc. London Math. Soc. 1939. V. 45. Ser.2. P 161-228. Перепечатано в [5, 20, 4].

18. Turing А.М. A method for the calculation of the zeta-function // Proc. London Math. Soc. 1943. V.48. Ser.2. P. 180-197. Перепечатано в [21, 4].

19. Turing A. M. Some calculations of the Riemann zeta-function // Proc. London Math. Soc. 1953. V.3. Ser.3. P. 99-117. Перепечатано в [21, 4].

20. Turing А.М. Collected Works of А.М.Turing: Mathematical Logic // R. O. Gandy and С. E. M. Yates, eds. — Elsevier Science Publishers, Amsterdam, 2001.

21. Turing А.М. Collected Works of А.М.Turing: Pure Mathematics // J.L.Britton, ed. -North-Holland, Amsterdam, 1992.

22. Welles D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers. — Penguin Books, London, 1997.

23. Clay Mathematics Institute Millenium Problems, http://www.claymath.org/millennium

24. The Turing Digital Archive, http://www.turingarchive.org

Поступила 06.11.2012

ALAN TURING AND NUMBER THEORY (to the 100 anniversary of A. Turing's birth)

Yu. V. Matiyasevich

It is told about the Turing method for check of the Riemann conjecture. This method continues to be used and at 21 centuries.

Keywords: Alan Turing, Riemann's conjecture.

ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ ПЕРСОНАЛИИ

УДК 929.52

К 220-ЛЕТИЮ СО ДНЯ РОЖДЕНИЯ НИКОЛАЯ ИВАНОВИЧА ЛОБАЧЕВСКОГО

Г. М. Полотовский

Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского Россия, 603950, г. Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23, корп. 6; e-mail: polotovsky@gmail.com

Несколько замечаний в связи с юбилейной датой со дня рождения выдающегося русского математика.

Ключевые слова: Н.И.Лобачевский, 220-летие со дня рождения, noneuclidean geometry.

1 декабря 2012 года исполняется 220 лет со дня рождения выдающегося русского учёного Н.И.Лобачевского (1792-1856). О личности Лобачевского и его вкладе в науку написано очень много1, была статья [1] о биографии Н. И. Лобачевского и в нашем журнале. Цель настоящей заметки — обратить внимание читателя на некоторые моменты, связанные с Лобачевским и с открытием неевклидовой геометрии, о которых пишут и говорят достаточно редко.

1. Почему геометрию Лобачевского называют (по крайней мере, в России) именем Лобачевского? Действительно, известно, что в 1818 году немецкий юрист Фердинанд Карл Швейкарт (1780-1857) в письме К.Ф.Гауссу (1777-1855) утверждал о возможности существования неевклидовой геометрии, которую он назвал «астральной». Это письмо не является публикацией, но уже в 1825 и 1826 гг. племянник Швейкарта Франц Адольф Тауринус (1794-1874) опубликовал в Кёльне две брошюры, в которых он заметно продвинул «астральную геометрию». Напомню ещё о замечательном венгерском математике Яноше Бояи (1802-1860), 210 лет со дня рождения которого исполняется тоже в декабре 2012 года2. Около 1823 года Янош Бояи написал трактат с изложением неевклидовой геометрии. Эта работа, которую принято кратко называть «Аппендикс»3, была опубликована только в 1832 году. Однако установлено, что Тауринус, Лобачевский и Бояи пришли к своим результатам независимо друг от друга.

Представляется, что ответ на вопрос, поставленный в начале этого пункта, состоит в следующем. Как известно, Гаусс, который, как он сам писал в 1846 г. датскому астроному Г. X. Шумахеру (1780-1850), начал думать о возможности неевклидовой геометрии ещё в 1792 г. (см. [6, с. 119-120]), в своих

1 К сожалению, далеко не все эти публикации достаточно аккуратны с историко-научной точки зрения — см. по этому поводу [1-3].

2 См. статьи [4, 5] о Бояи, опубликованные в нашем журнале.

3 По первому слову — «приложение» — её названия, поскольку работа была напечатана как приложение к первому тому учебника по математике, написанного его отцом, Фаркашем Бояи.

письмах давал высокую оценку результатам Швейкарта, Тауринуса и Бояи. Однако по не вполне ясным мотивам Гаусс всемерно тормозил продвижение неевклидовой геометрии. Так, его крайне рассердила просьба Тауринуса дать публичный отзыв о своей брошюре 1826 года — в результате Тауринус уничтожил почти весь тираж своих публикаций. Хотя в одном из писем Гаусс назвал Яноша Бояи «гением высшего класса», в марте 1832 года он написал Фаркашу Бояи: «Хвалить её [работу Яноша — Г. П.] значило бы хвалить самого себя: всё содержание сочинения, путь, по которому твой сын пошёл, и результаты, которые он получил, почти сплошь совпадают с моими собственными достижениями, которые частично имеют уже давность в 30-35 лет» (см. [6, с. 113]). Этот странный отзыв крайне тяжело повлиял на Яноша4. Только Лобачевский, не ожидая оценки Гаусса, с 1829 года публиковал свои сочинения по неевклидовой геометрии! Впрочем, зная характер Лобачевского, несправедливые отзывы М. В. Остроградского (1801-1862) и историю с невежественным пасквилем, напечатанным в №41 (1834) журнала «Сын отечества и Северный архив» за подписью «С. С.» (подробности см., например, в [2, 7]), можно предположить, что и переписка с Гауссом, имей она место, не затормозила бы работу Лобачевского.

Таким образом, именно работы Лобачевского содержат первое подробное изложение «воображаемой геометрии» (термин Лобачевского), и именно благодаря Лобачевскому эта геометрия стала достоянием научного сообщества. Тем самым Лобачевский вошёл в очень узкий круг учёных, труды которых изменили научное мировоззрение. Здесь под изменением мировоззрения следует понимать не только новый взгляд на геометрию Вселенной, но и понимание существенных черт аксиоматического метода. Так, В. А. Бажанов пишет в [8] об открытии Н. А. Васильвым (1880-1940) «воображаемой логики»: «Едва ли не главной эвристической «подсказкой», своего рода стимулом к развитию неаристотелевой (воображаемой) логики без закона противоречия <... > для Н.А.Васильева являлось открытие его великим земляком Н. И. Лобачевским неевклидовой геометрии». Можно сказать, что открытие неевклидовой геометрии психологически подготовило восприятие логической непротиворечивости континуум-гипотезы, теоремы Геделя о неполноте и т. п.

2. Часто Лобачевского представляют себе как автора одного результата — «геометрии Лобачевского». Это не соответствует действительности. Лобачевскому принадлежит (1834 г.) современное определение числовой функции, принятое в математическом анализе. В частности, Лобачевский писал: «Это общее понятие [функции — Г. 77.] требует, чтобы функцией от х называть число, которое дается для каждого х и вместе с х постепенно изменяется. Значение функции может быть дано или аналитическим выражением,

4 Фактически (хотя, возможно, и не желая этого) Гаусс не дал развиться в полной мере талантам Тауринуса и Бояи. К счастью, история науки знает и примеры противоположного свойства — так, в 1759 году Л. Эйлер задержал выход своей работы о методе решения изопериметрических задач вариационного исчисления, чтобы первым этот результат опубликовал 23-летний Ж. Л. Лагранж — как Эйлер писал Лагранжу, «чтобы не лишить Вас ни одной частицы славы, которую Вы заслуживаете». В дальнейшем и сам Лагранж поступал подобным образом.

или условием, которое подает средство испытать все числа и выбирать одно из них, или, наконец, зависимость может существовать и оставаться неизвестной».

Далее, в 1832 году Лобачевский изобрёл, а в 1834 году опубликовал метод приближённого нахождения корней многочлена, который называется сейчас методом Лобачевского - Греффе (иногда методом Данделена-Греффе5).

Немного позднее Лобачевский доказал следующий признак сходимости числового ряда:

Признак Лобачевского. Пусть ап — убывающая последовательность положительных чисел, тогда ряд

сходится или расходится одновременно с рядом

где Nm — наименьшее целое такое, что

У Лобачевского имеется ряд содержательных статей, касающихся других вопросов алгебры и анализа, теории тригонометрических рядов, теории вероятностей, механики, метеорологии, астрономии.

3. Позволю себе привести большую цитату из речи Н. И. Лобачевского «О важнейших предметах воспитания», произнесённой им «в торжественном собрании Казанского университета 5 июля 1828 г.» (цитируется по [9]), многое из сказанного в которой остаётся актуальным.

Как бы то ни было, но в том надобно признаться, что не столько уму нашему, сколько дару слова, одолжены мы всем нашим превосходством пред прочими животными. Из них самые близкие по сложению своего тела, как уверяют анатомики, лишены органов, помощию которых могли бы произносить сложные звуки. Им запрещено передавать друг другу понятия. Одному человеку предоставлено это право; он один на земле пользуется сим даром; ему одному велено учиться, изощрять свой ум, искать истин соединенными силами. Слова, как бы лучи ума его, передают и распространяют свет учения. Язык народа — свидетельство его образованности, верное доказательство степени его просвещения. Чему, спрашиваю я, одолжены своими блистательными успехами в последнее время математические и физические науки, слава нынешних веков, торжество ума человеческого? Без сомнения, искусственному языку своему, ибо как назвать все сии знаки различных исчислений, как не особенным, весьма сжатым языком, который, не утомляя напрасно нашего внимания, одной чертой выражает обширные понятия. Такие успехи математических наук, затмивши всякое другое учение, справедливо удивляют нас; заставляют признаться, что уму человеческому предоставлено исключительно познавать сего рода истины, что он, может быть, напрасно гоняется за другими; надобно согласиться и с тем, что математики открыли прямые средства к приобретению познаний. Ещё не с давнего времени пользуемся мы сими средствами. Их указал нам знаменитый Бакон. Оставьте, говорил он, трудиться напрасно, стараясь извлечь из одного разума всю мудрость; спрашивайте природу,

5 Ж. Данделен (1794-1847) предложил похожий, но менее разработанный и вскоре забытый метод в 1826 г., К. Греффе (1799-1873) опубликовал свой метод в 1837 г.

она хранит все истины и на вопросы ваши будет отвечать вам непременно и удовлетворительно. Наконец, Гений Декарта привёл эту счастливую перемену и, благодаря его дарованиям, мы живем уже в такие времена, когда едва тень древней схоластики бродит по Университетам. Здесь, в это заведение вступивши, юношество не услышит пустых слов без всякой мысли, одних звуков без всякого значения. Здесь учат тому, что на самом деле существует; а не тому, что изобретено одним праздным умом. Здесь преподаются точные и естественные науки, с пособием языков и познаний исторических. Здесь преподаватели разделяют между собой предметы, которыми всю жизнь занимаются, ещё с молодых лет почувствовав в себе охоту и некоторые дарования. Как жалко, что истинному просвещению предпочитаются суетные выгоды домашнего воспитания. Кто хочет образовать своих детей для Государства, тот должен прибегнуть к средствам, которых одно только Государство в состоянии доставить, тот должен учить своих детей в общественных заведениях. <...>

Единообразное движение мертво. Покой приятен после трудов и скоро обращается в скуку. Наслаждение заключается в волнении чувств, под тем условием, чтобы оно держалось в известных пределах. Впрочем все равно, на веселое или печальное обращается наше внимание. И возвраты к унынию приятны; и трогательные картины бедствий человеческих нас привлекают. С удовольствием слушаем мы Эдипа на сцене театра, когда он рассказывает о беспримерных своих несчастиях. Веселое и печальное, как две противные силы, волнуют жизнь нашу внутри той волны, где заключаются все удовольствия, свойственные человеческой природе. Или подобно реке она течет в излучистых берегах: то разливается в лугах радости, то обмывает крутые утесы горестных размышлений. Ничто так не стесняет сего потока, как невежество: мертвою, прямою дорогою провождает оно жизнь от колыбели к могиле. Ещё в низкой доле изнурительные труды необходимости, мешаясь с отдохновением, услаждают жизнь земледельца и ремесленника; но вы, которых существование несправедливый случай обратил в тяжелый налог другим; вы, которых ум отупел и чувство заглохло; вы не наслаждаетесь жизнию. Для вас мертва природа, чужды красоты поэзии, лишена прелести и великолепия архитектура, незанимательна история веков. Я утешаюсь мыслию, что из нашего Университета не выдут подобные произведения растительной природы; даже не войдут сюда, если к несчастию уже родились с таким назначением. Не выдут, повторяю, потому что здесь продолжается любовь славы, чувство чести и внутреннего достоинства.

< ... >

Примеры научают лучше, нежели толкования и книги. Вы, воспитанники сего заведения, вы пользовались сими примерами. Уверен, что вы отсюда понесете любовь к добродетели и сохраните её вместе с благодарностью к вашим наставникам. Вы узнаете, и опыт света еще более уверит вас, что одно чувство любви к ближнему, любви бескорыстной, беспристрастной, истинное желание добра вам налагало на нас попечение просветить ваш ум

познаниями, утвердить вас в правилах веры, приучить вас к трудолюбию, к порядку, к исполнению ваших обязанностей, сохранить невинность ваших нравов, сберечь и укрепить ваше здоровье, наставить вас в добродетелях, вдохнуть в вас желание славы, чувство благородства, справедливости и чести, этой строгой, неприкосновенной честности, которая бы устояла против соблазнительных примеров злоупотребления, не досягаемых наказанием.

Вряд ли приведённые слова Лобачевского нуждаются в комментариях. Замечу только, что нет сомнений, что Николай Иванович переживал бы современное состояние российского образования, особенно математического, так же тяжело, как большинство из нас.

4. В 1948 году в газетной статье [10] академик А. А. Андронов писал: «Место и дата рождения гениального русского математика и одного из наиболее выдающихся деятелей русского университетского образования Николая Ивановича Лобачевского вплоть до самого последнего времени не могли считаться твёрдо установленными. < ... > Это позорное для историков русской и мировой науки незнание основных фактов биографии Н. И. Лобачевского, в частности, до сих пор не позволившее поставить памятник или мемориальную доску вблизи его места рождения <...>». В январе того же года Андронов писал председателю Совмина РСФСР М. И. Родионову: «Постановка памятника или мемориальной доски вблизи места рождения Н. И. Лобачевского является тем знаком уважения, который является необходимым по отношению к величайшему русскому геометру». По инициативе Андронова уже после его смерти Указом Президиума Верховного Совета СССР от 20 марта 1956 г. Нижегородскому (в то время Горьковскому) университету было присвоено имя Н. И. Лобачевского. Однако памятника Лобачевскому в Нижнем Новгороде нет до сих пор6.

В 2005-2008 гг. Нижегородский университет и Нижегородское математическое общество предприняли новые усилия по установке памятника. В частности, было получено разрешение городских властей на установку памятника на том месте, где стоял дом, в котором Лобачевский провёл первые 9 лет своей жизни, был проведён конкурс на лучший проект памятника. Однако по ряду причин (среди которых экономический кризис 2008 года) эта деятельность была приостановлена.

24-го октября 2012 года губернатор Нижегородской области В. П. Шанцев в эфире телекомпании «Волга» заявил: «Памятник Лобачевскому должен быть установлен в Нижнем Новгороде, и скорее всего, на территории Нижегородского государственного университета. Однако установку памятника нет необходимости привязывать к какой-либо дате — это просто надо сделать. Сегодня мы очень много делаем для того, чтобы восстановить историю, восстановить памятники. Те люди, которые прославили нижегородскую землю, должны получать общественное признание и историческую память. В связи

6 Имеется только один памятник Лобачевскому — скульптура работы М. Л. Диллон, установленная в 1896 году в Казани. Кроме этого, мне известны четыре бюста Лобачевского: в Казанском госуниверситете, в Нижегородском госуниверситете, на «Аллее учёных» в МГУ и в Институте электронной физики НАН Украины в Ужгороде.

с этим, я поручу проработать данный вопрос, и тогда мы решим, как и кто это будет делать, просто нужно немножко подождать». Ну что же, подождём ещё немножко.

ЛИТЕРАТУРА

1. Полотовский Г. М. Как изучалась биография Н.И. Лобачевского (к 150-летию со дня смерти Н. И. Лобачевского) // Математика в высшем образовании. 2006. №4. С. 79-88.

2. Полотовский Г. М. Как изучалась биография Н. И. Лобачевского // Историко-математические исследования. Вторая серия. 2007. Вып. 12(47). С. 32-49.

3. Полотовский Г. М. Несколько замечаний о мифотворчестве в истории математики. Труды IX Международных Колмогоровских чтений. — Ярославль, 2011. С. 229-232.

4. Александров В. А. Краткая биография Яноша Боляи // Математика в высшем образовании. 2004. №2. С. 85-88.

5. Каша Золтан. Культ Боляи в Румынии // Математика в высшем образовании. 2004. №2. С. 89-92.

6. Гаусс К. Ф. Отрывки из писем и черновиков, относящиеся к неевклидовой геометрии. В сборнике: Основания геометрии. — М.: ГИТТЛ, 1956.

7. Федоренко Б. В. Новые материалы к биографии Н. И. Лобачевского. — Л.: Наука, 1988. 384 с.

8. Бажанов В. А. Н.А. Васильев и его воображаемая логика. Воскрешение одной забытой идеи. — М.: Канон +, 2009. 240 с.

9. Модзалевский Л. Б. Материалы для биографии Н.И.Лобачевского. — М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1948. 827 с.

10. Андронов А.А. Где и когда родился Н.И. Лобачевский / / Газета «Горьковская коммуна», 1948. №109. С. 2.

Поступила 06.11.2012

ТО THE 220 ANNIVERSARY OF NIKOLAI IVANOVICH LOBACHEVSKY'S BIRTHDAY

G. M. Polotovskiy

Some remarks in connection with an anniversary specified in the heading.

Keywords: N. I. Lobachevsky, the 220 anniversary from the birthday, non-Euclidean geometry.

ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ ПЕРСОНАЛИИ

УДК 655.413 : 5(477.74-21)(09)

«МАТЕЗИС» — ЛУЧШЕЕ РОССИЙСКОЕ НАУЧНО-ПРОСВЕТИТЕЛЬСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО ПЕРВОЙ ЧЕТВЕРТИ XX ВЕКА

И. Э. Рикун

Одесская национальная научная библиотека им. М. Горького Украина, г. Одесса, ул. Пастера, 13; e-mail: rikun_inna@mail.ru

Описываются вновь открытые факты истории создания и деятельности издательства физико-математической литературы «Матезис» (Одесса, 1904-1925), имеющего общепризнанную репутацию одного из лучших научных издательств Российской империи.

Ключевые слова: издательство «Матезис», история.

Одесское издательство «Матезис» (греч. mathesis — знание) (1904-1925) специализировалось на издании книг по естествознанию, преимущественно по математике и физике. Тщательным подбором литературы, стремлением пропагандировать передовые направления в науке, первоклассным полиграфическим исполнением оно заслужило репутацию одного из лучших научных издательств Российской империи.

Одесской национальной научной библиотекой им. М. Горького в 2002 году была подготовлена книга [1], ядром которой является каталог книг издательства «Матезис», хранящихся в её фондах, а также в фондах научной библиотеки Одесского национального университета им. И. И. Мечникова. Описаны особенности экземпляров: штампы библиотек, штампы и записи владельцев, инскрипты (подарочные надписи). Приведены краткие биографические сведения о владельцах и дарителях. Отдельные разделы посвящены участникам товарищества, авторам, редакторам и переводчикам изданных книг, художникам, которые сотрудничали с издательством, и типографиям, в которых книги печатались. За прошедшее время были найдены новые материалы; наряду с печатными источниками изучались фонды Государственного архива Одесской области, одесские периодические издания начала XX века, а также велся поиск в Интернете. Обнаруженные материалы проливают новый свет на факты истории издательства и дают возможность сделать определенные предположения и выводы.

Датой основания «Матезиса» можно с уверенностью считать 1904 год, когда на страницах журнала «Вестник опытной физики и элементарной математики» (далее — ВОФЭМ) (№361 от 15 января 1904 г.) появилось первое упоминание об издательстве. В дальнейшем объявления об изданиях, готовящихся к печати, и каталоги издательства регулярно появлялись в ВОФЭМ

вплоть до 1914 года. В середине 1904 года был готов предварительный набор объявленных книг, и в цензуру было подано прошение:

«Его высокородию господину отдельному цензору по внутренней цензуре в г. Одессе. Статского Советника Артемия Робертовича Орбинского

Прошение.

Настоящим честь имею просить о разрешении представить к цензуре в предварительном наборе следующие сочинения:

I, Аррениус, Физика неба, перевод с немецкого под редакцией А. Р. Орбинского

II, Абрагам, Сборник элементарных опытов по физике, перевод с французского под редакцией приват-доцента Б. П. Вейнберга и

III, Ауэрбах, Властительница мира и её тень (чтение об энергии и энтропии).

Для набора в тип. Шпенцера. Статский советник Ар. Орбинский.

Одесса, 31 июля 1904 г- Стурдзовский переулок, 2, собств. дом» (ГАОО, ф.9, оп.1/д.403, л. 130).

Первые книги издательства датированы следующим, 1905, годом.

Основателями товарищества «Книгоиздательство Матезис» были приват-доценты Новороссийского университета В. Ф. Каган, С.О. Шатуновский, А. Р. Орбинский и владелец одной из одесских типографий М. Ф. Шпенцер.

Центральной фигурой этого союза был В. Ф. Каган, в то время уже единственный редактор журнала ВОФЭМ, с 1900 года печатавшегося в типографии М. Ф. Шпенцера.

В июле 1908 года в одесских газетах было напечатано распоряжение старшего инспектора по надзору за заведениями печати: «Вследствие циркулярного предложения Главного управления по делам печати от 24 июня сего года за №6055 прошу гг. владельцев имеющихся в Одессе книгоиздательских фирм сообщить мне к 1-му августа сего года свои имена и фамилии, а также названия и адреса содержимых ими фирм. Исполняющий] обязанности] старшего инспектора С. Плаксин» (Ведомости Одесского градоначальства за 19 июля 1908 г., с. 2).

Ответ на это распоряжение дал возможность установить еще двух участников товарищества: «Вследствие распоряжения Вашего Высокородия от 16 июля с. г. за № 563 честь имею сообщить, что участниками Товарищества для издания научных и популярно-научных сочинений из области физико-математических наук под фирмою «Книгоиздательство Матезис» в Одессе состоят: 1) Статский советник Федор Андреевич Бабичев, 2) Окончивший Университет Михаил Моисеевич Иглицкий, 3) Приват-доцент Университета Беньямин Фалькович Каган, 4) Статский Советник Артемий Робертович Орбинский, 5) Приват-доцент Университета Самуил Осипович Шатуновский и 6) Одесский 2-й гильдии купец Мойсей Липович Шпенцер.

Адрес фирмы: Типография M. Шпенцера, ул. Новосельского, д. №66. Уполномоченный Т-ва “Mathesis” M. Шпенцер» (ГАОО, ф. 13, оп. 1, д. 175, л. 9).

Следовательно, участниками товарищества были еще астроном-наблюдатель астрономической обсерватории университета Ф.А.Бабичев и директор первой в России еврейской гимназии, дававшей выпускникам право на поступление в высшие учебные заведения, М. М. Иглицкий.

Каждый член товарищества имел определенные обязанности. В. Ф. Каган возглавил научную комиссию издательства [2, с. 15]. Упоминание об этой комиссии позволяет предположить, что были и другие комиссии. Скорее всего, финансовыми вопросами занимался А. Р. Орбинский. Сын известного финансиста, педагога и общественного деятеля, он сам много лет был членом правления, заместителем председателя правления Товарищества взаимного кредита, принимал участие в работе финансовой комиссии университета (ГАОО, ф. 13, оп. 1, д. 175, л. 9). За печатание книг, естественно, отвечал М. Ф. Шпенцер, он же осуществлял и техническое редактирование. О том, как это происходило, можно прочитать в повести его дочери Веры Инбер [3, с. 356].

Научное редактирование книг осуществляли В. Ф. Каган (8 книг), С. О. Шатуновский (11 книг), А. Р. Орбинский (22 книги). Под общей редакцией С. О. Шатуновского в 1912-1913 гг. выходила серия «Библиотека элементарной математики». Всего в серии было выпущено четыре книги, еще три были объявлены к выпуску, но, к сожалению, не вышли.

А. Р. Орбинский был редактором серии «Библиотека научных новостей», в которой в 1924 г. вышли две книги и были заявлены еще три. Высочайший уровень научного редактирования отмечался в многочисленных рецензиях на издания «Матезиса».

Круг обязанностей, которые исполняли еще два члена товарищества, удалось установить благодаря изучению такого интересного документа, как записная книжка М. М. Иглицкого; он вел её на протяжении нескольких последних месяцев жизни. Как свидетельствуют записи, Ф.А.Бабичев и М.М. Иглицкий работали над каталогами издательства, выходившими ежегодно с 1908 по 1914 гг.

За годы своего существования «Матезис» издал 185 книг (подробнее см. ниже). Вряд ли небольшой коллектив даже очень талантливых и трудолюбивых людей мог бы достичь таких впечатляющих результатов, если бы они работали только сами. К работе издательства были привлечены ученые Новороссийского университета, друзья и единомышленники, которых объединяла с членами товарищества общая научная, просветительская и общественная деятельность в Новороссийском обществе естествоиспытателей, на Высших женских курсах, в редакции ВОФЭМ и т. д. Это И. В. Слешинский, И. Ю. Тимченко, Д. А. Крыжановский, М. П. Кастерин, Д. Д. Хмыров, Б. П. Вейнберг, П. Г. Меликов, Е. С. Ельчанинов, В.В.Завьялов, Л. А. Тарасевич, Г. И. Танфильев, Н. Н. Ланге. Научными редакторами были также такие крупные ученые старшего поколения, как К. А. Поссе, И. И. Боргман, О. Д. Хвольсон.

Приятно видеть среди редакторов тогда еще молодых, но уже известных С. Н. Бернштейна, Я. В. Успенского, Л. И. Мандельштама и Н. Д. Папалекси. Многие из талантливых молодых людей, привлекавшихся к переводу книг, в дальнейшем также стали известными учеными. Это И. В. Арнольд (отец выдающегося математика В.И.Арнольда), Г. М. Фихтенгольц (тогда — преподаватель гимназии М. М. Иглицкого), Е. А. Кириллов (тогда — студент, лаборант, магистрант Новороссийского университета), Б. Ф. Цомакион (тогда — студент Новороссийского университета). Поиски материалов о некоторых редакторах и переводчиках были весьма сложными. Это объясняется тем, что их судьбы сложились по-разному: Ю. Г. Рабинович и Я. В. Успенский эмигрировали, Б. Ф. Цомакион был репрессирован, кто-то просто не стал настолько известным, чтобы оставить после себя печатные материалы.

Высокий уровень книг зависел не только от умения привлечь к сотрудничеству талантливых и компетентных людей, но и от умения создать атмосферу доверия их к издателям.

Важным вопросом является экономическая природа издательства, которое, как мы видели выше, было товариществом. Что это означает? Статьи «Товарищество» большего или меньшего объема есть во всех дореволюционных энциклопедиях, в них идет речь о разных формах товариществ и их юридических особенностях. Общим является то, что товарищество — это союз лиц, объединивших свои средства и деятельность для достижения общей цели. Какие же средства могли объединить члены товарищества «Матезис»? Богатыми людьми они не были. Заработок приват-доцента был недостаточен даже для пристойного существования, поэтому большинство ученых Новороссийского университета преподавали еще и в средних учебных заведениях. Есть основания считать, что М. М. Иглицкий и А. Р. Орбинский были зажиточнее других членов товарищества, но организация издательства требовала значительных средств. При изучении отчетов Одесского общества взаимного кредита и списков его членов было установлено, что основатели «Матезиса» были членами этого общества (А. Р. Орбинский — с 1898, В. Ф. Каган — с 1902, все остальные — с 1903 г.), неоднократно избирались его уполномоченными. Согласно [4, с. 123], с 1908 г. «Матезис» стал коллективным членом Одесского общества взаимного кредита, следовательно, можно утверждать, что именно там были получены средства для основания издательства.

В 1908-1912 гг. издательство пережило период расцвета. Оно вошло в число крупнейших издательств России [5, с. 86]. По данным из [5], в 1910 г. была издана 21 книга (по нашим данным — 26), общим тиражом 76 500 экземпляров на сумму 94 750 руб.

Понятно, что ни мировая война, ни война гражданская расцвету издательства не благоприятствовали. В апреле 1919 г. в Одессу вошла Красная Армия. В газете «Известия Одесского совета рабочих, крестьянских и красноармейских депутатов» из номера в номер публикуются списки предприятий, обложенных контрибуцией. В списке «Обложение буржуазии. Секция книж-

ных магазинов, букинистов, книгоиздательств, нотных магазинов и торгующих музыкальными инструментами», напечатанном 20 мая 1919 г., находим и «Матезис». Однако в приложении №55 к этой газете от 5 июня 1919 г. читаем информацию «Об обложении контрибуцией трудовой интеллигенции». Приведем отрывок из этого интересного свидетельства эпохи: «Среди ряда жалоб, поступающих в главную комиссию по обложению контрибуцией, обращают на себя внимание жалобы представителей интеллигенции, произвольно облагаемой различными секционными комитетами.

Главная комиссия, исходя из того принципа, что трудовая интеллигенция ни в коем случае не может быть причислена к эксплуатирующим классам или же нажившим благодаря спекуляции громадные деньги, удовлетворяет большинство основательных жалоб, исходящих от представителей лиц интеллигентного труда.

В последние дни, например, была снята контрибуция в 20 тыс. руб., наложенная типографской секцией на научное предприятие «Матезис», никогда не занимавшееся спекуляцией».

Власть вновь меняется: в конце августа Одессу занимает Добровольческая армия Деникина, и через месяц на первой странице «Одесского листка» появляется такое объявление: «Книгоиздательское товарищество «Матезис», имея в виду преобразоваться в акционерное общество с основным капиталом в четыре миллиона руб., приглашает желающих подписаться на подлежащие продаже акции. При подписке вносится 10% подписной суммы».

Вряд ли нашлось много желающих подписаться на акции, но это уже не имело значения, так как в феврале 1920 года в Одессе вновь была установлена Советская власть, как писали раньше, — навсегда.

Новая экономическая политика советской власти создала условия для возобновления деятельности издательства в 1922-1925 гг.

В фондах Государственного архива Одесской области хранится приказ Губисполкома по губотделу по делам печати. Согласно этому приказу все издательства должны были быть зарегистрированы в десятидневный срок в Одесском губотделе по делам печати (Пушкинская, 3); на всех разрешенных к выпуску произведениях печати требовалось указывать город, название типографии, тираж, номер разрешения, аббревиатуру P.O.П. («разрешено отделом печати»). Действительно, все эти реквизиты стоят на книгах «Матезиса» советского периода.

Частные издательства могли свободно продавать выпущенные произведения печати, но Госиздат и его органы на местах получили преимущественное право приобретения всего тиража или его части. В адресной книге «Вся Одесса» за 1923 г. в отделе объявлений читаем: «Государственное издательство Украины, одесское отделение: исключительная продажа книг издательств «Коммунист», «Матезис», государственных издательств и крупнейших кооперативных и областных издательств». На книгах «Матезиса», изданных в 1923 г., стоят штампы: «Склад издания: Одесское отделение Гос. Изд. Укра-

ины, Пушкинская, 1 », а на книгах, изданных в следующем году: « Склад издания: Одесское отделение Гос. Изд. Украины, Лассаля, 33».

Возобновление деятельности «Матезиса» происходило уже в отсутствие В. Ф. Кагана. Он принял предложение О.Ю.Шмидта, который в то время руководил Государственным издательством, возглавить его Научный отдел. Еще раньше О. Ю. Шмидт предлагал присоединить «Матезис» к Госиздату. В тексте письма Шмидта Кагану — и высокая оценка деятельности «Матезиса», и указание причины, приведшей к свертыванию его работы:

«Глубокоуважаемый Вениамин Федорович, нет никакого сомнения, что издательство Mathesis дало высшие в стране достижения в области книги по точным наукам. Продолжение этой работы есть насущная культурная потребность.

С другой стороны, Госиздат чувствует себя обязанным дать научную и научно-популярную литературу. Волей-неволей мы очутимся перед необходимостью выпустить аналогичные книги, а отчасти даже переиздать те же. Боюсь, не вышло бы плохо: Госиздат, как экономически подавляюще сильный, погубит возможность возрождения Mathesis'а, не воспользовавшись его навыками и традициями.

Поэтому предлагаю следующее. Нам с Вами объединиться. Госиздат дал бы капитал для возрождения Mathesis 'а под Вашей дирекцией. Это было бы автономное предприятие Госиздата РСФСР. Аналогичный опыт проделан с издательством «Всемирная литература» (Горький, Тихонов) и дал прекрасные результаты. Обе стороны весьма довольны.

Прошу обдумать этот вопрос и сообщить свое мнение... » [2, с. 19].

Но автономным предприятием Госиздата «Матезис» не стал — книгоиздательское дело было монополизировано государством.

В художественном оформлении книг принимали участие художники-профессионалы. Одним из элементов высокой книжной культуры является издательский знак. По заказу издательства известный художник А. А. Ждаха выполнил шесть вариантов знака, из них были отобраны два. В создании обложек принимал участие и известный книжный график М. И. Соломонов. Ему принадлежит обложка книги С. Тромгольта «Игры со спичками». Сходна по стилю обложка книги Р. Нимфюра «Воздухоплавание».

Наряду с высоким полиграфическим уровнем книг «Матезиса» их очень большим достоинством была доступная цена, что также отмечалось во многих рецензиях.

Где же печатались книги «Матезиса»? В первые годы существования издательства — в типографии Шпенцера. В дальнейшем картина усложняется, всего в издании книг принимали участие 10 типографий. Большинство книг было напечатано в типографии Акционерного Южно-Русского Общества печатного дела. Там для «Матезиса» были изготовлены специальные шрифты.

Всего на протяжении 1904-1925 гг. были напечатаны 185 книг (томов) 129 названий (некоторые книги выходили в нескольких томах; полный список изданных книг см. в Интернете:

http://www.mathesis.ru/books.php?area=9999&sort=yearasc).

Некоторые книги переиздавались — например, «общедоступное изложение оснований учения об энергии и энтропии» [6] издавалось ещё пять раз; всего первым изданием было выпущено 140 томов. До 1913 г. издательство располагалось в типографии Шпенцера по ул. Новосельского, 66. В 1913 г. Шпенцер переехал в новый собственный дом в Стурдзовском переулке, За.

Признанием значения деятельности издательства стало то, что значительное число изданий «Матезиса» было рекомендовано ученой комиссией Министерства народного просвещения для библиотек средних учебных заведений.

Книги по математике, физике, астрономии, химии, биологии, истории и философии естествознания, увидевшие свет благодаря издательству, не только оставили глубокий след в истории науки, образования, книгоиздательского дела, — они живы по сей день. Об этом свидетельствует сайт Mathesis.ru. Идея создания сайта принадлежит заведующему Лабораторией популяризации и пропаганды математики Математического института им. В. А. Стеклова, лауреату премии Президента РФ в области науки и инноваций для молодых ученых за 2010 г. Н. Н. Андреееву. Создатели сайта считают, что чтение книг, увидевших свет благодаря издательству «Матезис», «заведомо будет полезно молодому поколению, а также тем, кто занимается его образованием и воспитанием. Со времен работы издательства в некоторых науках были сделаны существенные продвижения. Однако ясность и доступность изложения изданных на эти темы книг поможет лучше понять и сам предмет, и его современное состояние, а также историю познания. Сделать доступными эти интересные книги с их неповторимым языком — главная задача архива».

Автор статьи продолжает работать над историей «Матезиса». В будущем году Московским центром непрерывного математического образования будет выпущено второе, совершенно переработанное и значительно дополненное, издание книги об этом замечательном издательстве и людях, его создавших и с ним сотрудничавших.

ЛИТЕРАТУРА

1. Видавництво «Mathezis» (1904-1925): матеріали до історіі та каталог книг / авт.-упоряд. I. Е. Рикун; ред. I. С. Шелестович. — Киів: Кн. палата Украіни, 2002. 59 с.

2. Лопшиц А. М., Рашевский П. К. Вениамин Федорович Каган (1869-1953). — М.: Изд-во Моск. Ун-та, 1969. 44 с. (Замечательные ученые Московского университета, вып. 39).

3. Инбер В.М. Как я была маленькая // Собр. соч., т. 2. — М., 1965. 534с.

4. Список членов Одесского общества взаимного кредита на 1-е января 1909 года. — Одесса, 1909. 123 с.

5. Статистика произведений печати, вышедших в России в 1910 году. — СПб., 1911. 113 с.

6. Ауэрбах Ф. Царица мира и её тень. — Одесса: «Матезис», 1905. 63 с.

Поступила 04.06.2012

«MATEZIS» — THE BEST RUSSIAN SCIENTIFIC AND EDUCATIONAL PUBLISHING HOUSE OF THE FIRST QUARTER OF THE XX CENTURY

I. E. Rikun

Again opened facts of history of creation and activity of publishing house of physical and mathematical literature «Matesis» (Odessa, 1904-1925), having the conventional reputation of one of the best scientific publishing houses of the Russian Empire are described.

Keywords: «Matesis» publishing house, history.

УДК 51(091)

К ИСТОРИИ ЭПСИЛОНТИКИ

Г. И. Синкевич

Санкт-Петербургский архитектурно-строительный университет Россия, 190005, г. Санкт-Петербург, ул. 2-я Красноармейская, 4; e-mail: Galina. sinkevich@gmail. com

Рассмотрена история возникновения языка «£-6» в работах математиков XIX века. Показано, что хотя обозначения впервые ввёл Коши в 1823 году, в полной мере метод «эпсилон-дельта» проявился в определении предела только у Вейерштрасса в 1861 году. Приводятся различные интерпретации этого вопроса математиками более позднего времени.

Ключевые слова: история математики, математический анализ, непрерывность, Лагранж, Ампер, Коши, Больцано, Гейне, Кантор, Вейерштрасс, Лебег.

Читая Коши, так и хочется понимать его с позиций Вейерштрасса, но это антиисторический подход. Хотя переходный период до Вейерштрасса тоже нуждается в реконструкции.

И. Граттан-Гиннесс [33, с. 176].

Первый этап любого историко-математического исследования состоит в «переводе» изучаемого текста на язык современной науки. После уяснения математического содержания текста наступает второй, более трудный этап работы. Необходимо вложить изучаемое произведение в контекст науки его времени. Нужно выяснить, каковы были исследования предшествующих авторов, какие проблемы стояли перед наукой того времени, кто и как продолжил изыскания, содержащиеся в тексте, как понимались те или иные понятия. После первой, чисто математической интерпретации текста, встаёт более сложный вопрос о его историко-математической интерпретации, о месте изучаемого текста в той модели развития математики, которую мы строим для данной эпохи.

И.Г Башмакова [2, с. 191].

Понятие непрерывности с раннего античного времени имело много аспектов — пространственно-временной, физический, геометрический. В V в. до н. э. в своих апориях Зенон Элейский показал противоречия между понятиями дискретного и непрерывного. В IV в. до н. э. Евдоксом создан метод исчерпывания (это название в 1629 году дал Григорий из Сен-Венсана; в старой русской литературе писали «метод истощения»). В III веке до н. э. Евклид применял этот метод в «Началах», Архимед использовал его для вычисления площадей и объёмов. Инфинитезимальные методы развивались в XVII веке Иоганном Кеплером, Бонавентуро Кавальери, Джоном Валлисом (1655 г.), Исааком Ньютоном (1660-1670-е гг.), Готфридом Лейбницем, Пьером Ферма; в XVIII веке — Жаном Даламбером (1750-е гг.), Леонардом Эйлером [28, 12] (1748, 1755 г.) и многими другими.

Расширялся круг задач, и соответственно — представление о функции. Физического и геометрического понимания непрерывности оказалось недостаточно, требовалась арифметизация этого понятия.

Валлис в «Арифметике бесконечного» ввёл определение: «Предел переменной величины — это величина постоянная, к которой переменная приближается так, что разность между ними может быть сделана менее любой данной величины». Экземпляр этой книги Валлиса, принадлежавший Эйлеру, сейчас находится в фонде Эйлера1 в Архиве академии наук в Санкт-Петербурге.

Эйлер считал непрерывными функции, изображаемые одной формулой (для него функция у = 1/х непрерывна в своей области определения, а функция у = |х| разрывна, потому что определяется двумя формулами). По Эйлеру «правила исчисления опираются на закон непрерывности, согласно которому кривые линии описываются непрерывным движением точки», «непрерывная линия строится так, что её природа выражается с помощью одной определённой функции от х» [28, с. 21]. Знаменитой стала эйлерова формулировка непрерывности: «Нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги».

В 1765 г. Ж. Даламбер даёт следующее определение предела: «Говорят, что величина является пределом другой величины, если вторая может приблизиться к первой ближе, чем на любую данную величину, сколь бы малой её не предположить, без того, однако, чтобы приближающаяся величина могла когда-либо превзойти величину, к которой она приближается; таким образом, разность между такой величиной и её пределом абсолютно неопределима» [11, с. 155-156]. Определение предела у Даламбера носило кинетический характер: «Не раньше, чем вы пройдёте предел, и не позже, но в момент прохождения предела» [20, с. 14].

Усилению интереса к инфинитезимальным вопросам способствовал конкурс, объявленный по инициативе Ж. Лагранжа Берлинской академией наук в 1786 году: «... требуется ясная и точная теория того, что в математике называют бесконечным» [13, с. 140]. 23 сочинения, присланные на конкурс, не удовлетворили Академию: «... требуемый принцип не должен ограничиваться исчислением бесконечно малых, но распространяться также на алгебру и на геометрию, трактующую на манер древних» [13, с. 141]. Лауреатом стал швейцарский математик, проживавший в те годы в Варшаве, Симон Люилье (1750-1840). В его работе «Элементарное изложение принципов высших исчислений», изданной Академией в 1786 году, впервые появляется символ lim д— [36, с. 31]. Потом этот символ стал использовать Лакруа2.

Лагранж был разочарован инфинитезимальными методами и в последующие годы избегал использования бесконечно малых.

1 Архив АН. Ф. 136. Д. 137. Оп. 1.

2 Сильвестр Лакруа (1765-1843) был последователем Лагранжа в Политехнической школе и профессором анализа у Коши. В 1850-х годах Вейерштрасс стал использовать обозначение lim; в 1905 году английский математик Джон Лезем впервые использует lim в книге [41].

Самым востребованным методом геометров XVIII века была аппроксимация. Например, «решая уравнение типа (ж + 1)^ = а при нецелом мы не можем найти точное решение, но аппроксимируем его бесконечным рядом. Определив конечное число элементов аппроксимирующего ряда, геометры XVIII века старались вычислить верхнюю границу ошибки аппроксимации (error, £) — разность между суммой ряда и её n-й частичной суммой. Доказательной техникой здесь служила алгебра неравенств» [31, с. 4].

Первые десятилетия XIX века можно охарактеризовать как период «наивной» теории функций — математический анализ развивался на базе элементарных функций, непрерывных и дифференцируемых, на основе интуитивных, качественных определений предела, окрестности, непрерывности и сходимости.

В 1797 г. Лагранж публикует «Теорию аналитических функций, содержащую начала дифференциального исчисления, освобождённые от всякого рассмотрения бесконечно малых, исчезающих пределов и флюксий и сведённые к алгебраическому анализу конечных величин». Рассматривая функцию fx и подставляя вместо х новую величину ж + Лагранж утверждает, что f(x + i) может быть разложена в ряд по положительным степеням г, а коэффициенты при них находятся дифференцированием, что справедливо для известных функций. Рассматривая первый член разложения, Лагранж получает f(x + i) = fx + iP, откуда P =-. При этом г может быть настолько малым, чтобы любой член разложения был более суммы всех следующих членов разложения, и это имеет место также для всех меньших значений г [11, с. 160-168]. Лагранж добавляет: «Совершенство методов приближения, в которых применяются ряды, зависит не только от сходимости рядов, но ещё от возможности оценить ошибку, происходящую от членов, которыми пренебрегают; и можно сказать, что все приближённые методы, употребляемые в геометрических и механических задачах, ещё очень несовершенны. Предыдущая теорема во многих случаях сможет сообщить недостающее им совершенство, без чего их часто бывает опасно применять» [40, с. 67- 68]3.

В 1800 г. появляется работа К. Ф. Гаусса «Основные понятия учения о рядах» (см. [30]), где он рассматривает ряды как последовательности частичных сумм.

В 1806 г. вышла статья Анри Ампера «Исследование некоторых вопросов дифференциального исчисления, позволяющих получить новое представление ряда Тейлора и его выражение в конечном виде, если ограничить суммирование» [18], имеющая непосредственное отношение к нашей истории. Здесь на 33 страницах Ампер доказывает теорему Лагранжа о среднем значении и на её основании получает то, что мы называем рядом Тейлора с остаточным членом в виде Лагранжа. А. П. Юшкевич называет эту работу Ампера попыткой аналитически доказать дифференцируемость непрерывной функции [7, с. 243].

3 Цитируется по [6, с. 298], перевод А. П. Юшкевича.

Основным инструментом доказательств у Ампера были неравенства4, с их помощью он оценивал приближения, характеризовал погрешность интерполяции. Следуя Лагранжу, Ампер рассматривает-как функцию двух переменных жиг, выражающую разностное отношение двух значений X и X + г одной переменной, причём эта разность не равна ни нулю, ни бесконечности ни при каком ж, а при г = 0 превращается в - , но не равна ни нулю, ни бесконечности. Эту функцию Лагранж назвал следующей из производной.

Заметим, что символ г здесь означает действительное число, мнимую единицу тогда обозначали символом yj— 1. Ампер оговаривает, что будет рассматривать только функции действительной переменной. Разумеется, в рассмотрение по умолчанию включались только «хорошие» функции — непрерывные и дифференцируемые на конечном интервале5. Ампер замечает, что эта функция должна уменьшаться или увеличиваться с изменением г. Переменная X изменяется от х = а до х = fc, соответствующие значения функции /(ж) обозначаются через А ж К. Ампер делит интервал от х = а до х = к промежуточными величинами Ь, с, d, е, которым отвечают значения функции В, С, D, Е. Затем он строит разностные отношения вида и доказывает справедливость неравенств вида

Далее между старыми значениями вводятся новые и записываются новые неравенства, в результате для некоторого х происходит постепенное приближение f'{x) к величине

Отсюда получается, что эта величина всегда расположена между двумя значениями производной, вычисленными между х и X + г.

Продолжая процедуру, Ампер получает

и так далее.

Ампер приводит примеры разложения некоторых элементарных функций. Далее, рассматривая /(ж) как примитивную (первообразную) по отношению к /'(ж), он получает связь знака производной с возрастанием или убыванием функции [18]. Доказательство громоздко и неуклюже — Ампер всё-таки физик, а не математик. Именно это несовершенство и вызвало у Огюстена Луи Коши (1789-1857) желание дать лаконичное и красивое построение, что, как мы увидим далее, послужило источником создания языка «£-6».

4 В работах Ж. Лагранжа, Ж.-Б. Фурье (1822 г.), П. А. Рахманова (1803 г.) используется этот же метод.

5 Сам Ампер в своём мемуаре нигде не употреблял термины точка, интервал, наклон, хорда, касательная и не делал рисунков.

С 1813 г. Коши преподавал в Политехнической школе, в 1816 стал академиком. В 1821 году был опубликован его «Курс анализа» [25] (перевод на русский язык — [8]), прочитанный в Королевской Политехнической школе, в котором Коши определяет понятие непрерывной функции: «Функция /(ж), данная между двумя известными пределами переменной ж, является непрерывной функцией этой переменной, если для всех значений переменной ж, взятой между этими пределами, численное значение разности f(x + ос) — /(ж) бесконечно уменьшается вместе с ос. Иными словами, функция /(ж) остаётся непрерывной для х между двумя данными пределами, если между этими пределами бесконечно малое приращение переменной всегда влечёт бесконечно малое приращение самой функции. Добавим также, что функция /(ж), непрерывная для ж, будет непрерывна и для соседних (voisinage) значений переменной ж, лежащих между этими же пределами, как бы близко к этим пределам ни находилась ж» [25, с. 43]6.

В дальнейшем при всех обращениях к непрерывной функции Коши повторял и использовал только это определение. Английский историк математики Дж. Грей замечает: «Хотя пределы действительно появились в определениях Коши, но только в смысле конечной точки области определения» [34, с. 62].

В § 3 первой главы «Курса анализа» Коши рассматривает особые значения функции и доказывает теорему, которая будет ему нужна для рассмотрения эквивалентности бесконечно малых [8, с.46]7:

«Если с возрастанием переменной ж разность /(ж + 1) — /(ж) стремится к известному пределу /с, то и дробь - в то же время стремится к тому же пределу.

Доказательство. Предположим, что количество к имеет конечное значение и что £ есть произвольно малое число. По условию, с возрастанием ж разность /(ж + 1) — /(ж) стремится к пределу fc; кроме того, всегда можно взять столь большое число h, что при ж, равном или большем h, эта разность постоянно будет между пределами к — £, к + £. Приняв это, означим через и какое-нибудь целое число, тогда каждое из количеств примет вид: f(h + 1) — /(/&)?

а потому их средняя арифметическая, т. е.

будет заключаться между пределами

Поэтому

где ос — количество между пределами

Пусть теперь h + и = ж, тогда предыдущее уравнение обратится в

(1)

(2)

6 Перевод Г. Синкевич.

7 Перевод Ф. Эвальда, В. Григорьева, А. Ильина.

Чтобы значение х могло возрастать неопределённо, достаточно неопределённо увеличивать число п, не изменяя значение h. Поэтому положим h постоянным в уравнении (2), а ж примем за переменную, стремящуюся к пределу оо; тогда количества-, — , содержащиеся во второй части, будут стремиться к пределу нуль, и вся вторая часть — к пределу вида к + ос, где а постоянно заключается между — £ и +£. Поэтому отношение - будет иметь пределом количество, заключающееся между к — £ и к + £. Так как это заключение справедливо как бы мало ни было £, то искомым пределом функции будет количество к. Другими словами

Аналогично рассматривается случай стремления х к ±оо [8, с. 46-49].

Как видно, здесь уже имеется структура, развитие которой привело к появлению метода «£-6». Но £ является здесь конечной, хотя и произвольно малой оценкой погрешности. Коши улучшает построение Ампера. Спустя два года он усовершенствовал аргументацию этого доказательства. Но необходимость читать курс традиционно, не отклоняясь на новшества, пока не позволяла Коши экспериментировать с введением новых методов. Судя по тому, что Коши приходилось рассказывать студентам основы (приведение к общему знаменателю, основания тригонометрии, свойства показательных функций), базовая подготовка слушателей была скромной. Известно, что студенты шумно протестовали против изучения комплексных чисел — совершенно бесполезного, по их мнению, раздела математики.

В основном курсе Коши содержится изложение элементарных функций одной и нескольких переменных, функций действительной и мнимой (комплексную переменную тогда называли мнимой) переменной, их свойств, теория пределов со сравнением бесконечно малых, теория рядов, интерполяционные формулы Лагранжа.

В 1822 году вышла «Аналитическая теория тепла» Ж.-Б. Фурье, в которой он пользуется 6-приращениями [29, с. 139].

В 1823 году опубликован «Конспект курса лекций по инфинитезимальному исчислению» [26], прочитанных Коши в Политехнической школе. Курс рассчитан на 40 лекций. На русском языке он вышел под названием «Дифференциальное и интегральное исчисление» в переводе В. Я. Буняковского в 1831 году [9]. В нём содержатся определение предела: «Ежели величины, приписываемые какому-либо переменному количеству, приближаются более и более к величине определённой так, что наконец различествуют от оной столь мало, сколь угодно, то сии последние величины называются пределом всех прочих» [9, с. 3] и определение непрерывной функции: «Ежели функция f(x) изменяется с величиною х таким образом, что для каждого значения сей изменяемой величины, заключающейся в данных пределах, она имеет одну совершенно определённую величину, тогда разность f(x + i) — f(x) между пределами величины х будет количество бесконечно малое; функция же /(ж),

удовлетворяющая сему условию, называется между теми пределами непрерывною функцией изменяемой ж» [9, с. 11]. И далее во второй лекции:

«Если переменные величины связаны между собой так, что по значению одной данной величины можно получить значения остальных, под этим понимают, что эти различные величины выражены с помощью одной из них, называемой независимой переменной, а представимые через неё величины называют функциями от этой переменной.

Часто при вычислениях пользуются буквой А для обозначения одновременного увеличения двух переменных, зависящих одна от другой8. Тогда переменная у будет выражена как функция от переменной х равенством

(1)

Тогда, если переменная у выражена как функция переменной х равенством у = /(ж), то Ау, или приращение у от приращения Ах переменной ж, будет определено формулой

(2)

Очевидно, (1) и (2) связаны, следовательно

(5)

Пусть теперь h ж г — две различные величины, первая из них конечная, а вторая бесконечно малая, и пусть ос = — — бесконечно малая величина, данная отношением этих двух величин. Если Ах соответствует конечная величина h, тогда величина Ау, заданная равенством (5), будет так называемой конечной разностью функции /(ж), и будет, естественно, конечным количеством.

Если же, наоборот, придать Ах бесконечно малое значение, например, Аж = г = ah, значение Ау будет /(ж + г) — /(ж) или /(ж + och) — /(ж), и будет, естественно, бесконечно малым. В этом легко убедиться на примере функций Ах, sin ж, cos ж, которым соответствуют разности

8 Этого замечания не было в курсе 1821 года. Здесь Коши указывает на наличие связи между приращением функции и приращением аргумента, но не конкретизирует зависимость в их изменении, как это сделал сорок лет спустя Вейерштрасс. Вместо этого следует типичный для XVIII и XIX веков термин «одновременно» (simultané). Добавим, что метод исчерпывания соизмерялся с антропоморфным временем. Ньютон говорил, что может сосчитать площадь под параболой за половину четверти часа, у него же (см. [24, с. 103]): «в мгновение, когда истекает час, нет уже более какой-либо вписанной или описанной фигуры; но каждая из них совпадает с криволинейной фигурой, которая есть предел, которого они достигают». Другие математики XVIII века также определяли предельный процесс как занимающий некоторое количество часов, обозримый во времени. При этом символ е обозначал погрешность вычисления, в том числе и у Коши.

каждая из которых имеет множитель (Аг — 1) или sin — , который вместе с г бесконечно приближается к пределу, равному нулю.

Таким образом, для функции /(ж), принимающей единственным образом конечные значения для всех ж, содержащихся между двумя данными пределами, разность f(x+ï) — f(x) будет всегда между этими пределами бесконечно малой, т. е. /(ж) есть непрерывная функция в тех пределах, в которых она изменяется.

Ещё говорят, что в окрестности какого-либо частного значения переменной ж функция /(ж) всегда является непрерывной функцией этой переменной, если она непрерывна между двумя, даже весьма близкими, пределами, содержащими эту данную точку» [26, с. 17]9.

В предположении, что любая непрерывная функция дифференцируема, Коши доказывает теорему о среднем значении (см. [26, с. 44-45; 9, с. 36]):

«Теорема. Пусть функция /(ж) непрерывна между двумя пределами ж = жо, ж = X. Обозначим через А наибольшее значение её производной, В — наименьшее значение её производной между теми же пределами. Тогда разностное отношение-необходимо будет заключаться между А и В.

Обозначим буквами 6, £ бесконечно малые числа, из которых первое пусть будет такого рода, что для численных величин г, меньших, чем 6, и для какой-нибудь величины ж, заключённой между пределами жо, ж, отношение

будет всегда больше, чем /'(ж) — £, и меньше, чем /'(ж) + £»10.

Коши упоминает, что следует в этом доказательстве мемуару Ампера, который мы цитировали выше. Подобно Амперу, Коши вставляет между жо и ж новые значения11 xi, Ж2,..., хп-\ так, чтобы разность X — жо была разложена на положительные части

не превосходящие 6.

Дроби

находясь между пределами: первая:

вторая:

будут более А— £, но менее, чем В + г. Так как дроби имеют знаменатели одного знака, то разделив сумму их числителей на сумму их знаменателей, получим среднюю дробь, то есть такую, значение которой лежит между меньшей и большей из дробей. Но так как

является средней дробью, следовательно, оно заключается между пределами А - £ и ß + e. И так как это справедливо при сколь угодно малом £, то, следовательно, лежит между пределами А и В» [8, С.36] и [26, С.44]12. Иными словами.

9 Перевод Г. Синкевич.

10 Перевод В. Я. Буняковского.

11 Как и Ампер, Коши не использует никаких геометрических образов — ни точек, ни отрезков.

12 Перевод В. Я. Буняковского.

Коши гениально упростил доказательство Ампера, введя более простые обозначения. У Ампера доказательство занимает половину из 33 страниц, у Коши — две страницы. Ампер вводит восемь вспомогательных величин и для каждой строит оценку отношения, вместо усреднения он доказывает громоздкие неравенства. У Коши доказательство изящно и лаконично.

Но Коши не анализирует зависимости £ и 6 друг от друга и зависимости 6 от очередной разности между соседними значениями переменной. Практически 6 входит декларативно, вне всякой связи с остальным построением.

Американская исследовательница Джудит Грабинер считает [31], что Коши трансформировал доказательную технику алгебры неравенств в строгий инструмент оценки погрешности аппроксимации.

Голландский исследователь Т. Кётсиер полагает [37], что Коши пришёл к своей концепции непрерывности, анализируя своё доказательство теоремы о среднем, возможно, только в случае многочленов. Очевидно, что хп у него -это переменные величины, отличающиеся от бесконечно малой на постоянную величину а. По определению непрерывности Коши, f(xn) должны отличаться от /(а) на бесконечно малую величину. В отличие от точки зрения Грабинер, Кётсиер, анализируя доказательство Коши, не обнаруживает никаких следов £-6.

Анализируя предположение Грабинер о том, что Коши лишь оценивал погрешность приближения, П. Блащик (Польша), М. Кац (Израиль) и Д. Шерри (США) приходят к выводу: «Это были в большей степени затруднения инфинитезимального анализа, нежели затруднения эпсилонтики. После построения нижней и верхней оценок Коши заключает, что последние значения отличаются от первоначальных сколь угодно мало. Здесь слышатся слабые отзвуки £-6. Между тем, Лейбниц использовал язык, близкий Коши: 'Когда говорят, что какие-то бесконечные ряды имеют сумму, я понимаю это как то, что любые конечные ряды с тем же правилом имеют сумму, и что ошибка уменьшается с убыванием ряда, и становится произвольно малой". Коши пользовался эпсилонтикой? — в таком случае за сто лет до него ею пользовался Лейбниц» [20, с. 18].

Как пишет московская исследовательница А.В.Дорофеева о теореме о среднем у Коши, «это заключение верно, только если можно подобрать одно и то же 6 для всех ж, а этот факт нуждается в доказательстве» [5, с. 48].

В 1985 году в Париже вышла книга Бруно Белхоста «Коши. 1789-1857» [19]. В 1997 году опубликован её перевод [3] на русский язык. Вот что написано в [3, с. 901 п0 поводу доказательства Коши теоремы Лагранжа о конечных приращениях: «Вместо формулы

которая позволяла Лакруа представить приращение разложимой в ряд функции и определить дифференциал, Коши доказал теорему о конечных приращениях: если функция / непрерывно дифференцируема между х и х + г, то существует действительное положительное число 0 < 1, такое, что

Он вывел эту формулу, применяя теорему о промежуточных величинах, изложенную в «Алгебраическом анализе», из неравенства

(*)

которое верно для любой непрерывной функции (и, значит, дифференцируемой в смысле Коши) между хо и X».

Заметим, что теорема о промежуточных значениях в «Курсе анализа» 1821 года [25, с. 50] приведена так: Теорема о непрерывной функции. Если функция f(x) — непрерывная функция переменной х между пределами х = = хо, X = X, и Ъ расположено между /(жп) и f{X), то уравнение fix) = Ъ всегда имеет решение, расположенное между ж о и X.

Белхост сопровождает теоремы Коши рисунками подобно тому, как мы, читая студентам лекцию, сопровождаем теорему Лагранжа графиком функции и изображаем хорду, стягивающую крайние точки. Но в курсе Коши нет ни одного рисунка, и нигде не говорится о геометрической интерпретации теорем13. Формулировка, приведённая Белхостом, носит современный характер.

Далее Белхост продолжает: «Доказательство, данное Коши в 1823 году только для функций непрерывно-дифференцируемых на [жо,Х], прославило его новые методы и позволило увидеть различие, которое существует между простой и равномерной непрерывностью.

Но его доказательство неравенства (*) было основано на неверном вообще предположении: если функция / непрерывна (и, значит, дифференцируема в смысле Коши) между жо и X, и если £ — положительное число настолько малое, как мы того хотим, то существует, как утверждает Коши, положительное число 6 такое14, что для всех г, меньших 6, и для всех х между xq и X

В самом деле, это неравенство истинно для всех ж, расположенных между хо и X, если только f равномерно непрерывна между двумя этими числами (или непрерывна в замкнутом ограниченном интервале [хо,Х]). Отсутствие чёткого разграничения между непрерывностью и равномерной непрерывностью, как показывает эта ошибка, было слабым местом курса Коши. Как бы то ни было, теорема о конечных приращениях постоянно использовалась и показала себя как центральная теорема дифференциального исчисления» [3, с. 90-91].

13 Рисунков нет ни у Коши, ни у Лагранжа, ни у Ампера. Появляются они только у Лакруа [35], но не к этой теореме. Белхост даёт современную геометрическую интерпретацию.

14 Отметим, что у Белхоста явно сказано, что по эпсилон выбирается дельта, тогда как у Коши такого явного указания нет.

15 Заметим, что в русском переводе [3] потеряны штрихи в этой формуле и в цитированной выше формуле (*). Выражаю признательность Г. М. Полотовскому, обратившему внимание на это обстоятельство.

Заметим, что и Ампер, и Коши имели в виду как раз замкнутый ограниченный интервал. Все примеры к этой теореме были приведены для элементарных функций, которые равномерно непрерывны на замкнутом интервале. Повторим ещё раз слова Коши: «Ещё говорят, что в окрестности какого-либо частного значения переменной ж функция /(ж) всегда является непрерывной функцией этой переменной, если она непрерывна между двумя, даже весьма близкими, пределами, содержащими эту данную точку» [26, с. 17]. Возможно, я увлекаюсь, но здесь оговаривается равномерная непрерывность, пусть определение и не формализовано. Эту формализацию сделал Э. Гейне в 1872 году [35].

Никогда больше в своих работах, даже в поздних, Коши не пользовался языком «£-6»16. Как пишет А.П.Юшкевич, «определение непрерывности у Коши столь же далеко от «эпсилонтики», как и его определение предела» [14, с. 69]. Для того чтобы метод работал, £ и 6 должны быть связаны между собой и со структурой интервала (области). Для этого в 1823 году ещё не было развито понимание континуума. Приведём ещё точку зрения X. Патнэма: «Если бы Вейерштрасс не обосновал метод эпсилон-дельта, пришлось бы актуализировать бесконечно малые, как это случилось с мнимыми числами. Мы же постепенно расширяем систему вещественных чисел, всем известны работы Абрахама Робинсона» [43]17.

Развитию эпсилонтики сопутствовало развитие понятия непрерывности. Рассмотрим вопрос о сходстве определения непрерывной функции у Больцано и Коши.

В 1817 году в Праге вышла небольшая брошюра Бернарда Больцано «Чисто аналитическое доказательство теоремы о том, что между двумя значениями, имеющими разные знаки, лежит по крайней мере один действительный корень уравнения» (см. [23]). Он определяет непрерывную функцию так: «под выражением, что функция /(ж) изменяется по закону непрерывности для всех значений ж, которые лежат внутри или вне известных границ, понимают лишь то, что если х есть какое-нибудь из этих значений, то разность /(ж + си) — /(ж) может быть сделана меньше, чем любая данная величина, если можно принять а> столь малым, сколь угодно, или пусть будет Дж + си) = Дж) + П» [23, с. 427-428].

Мы можем отсюда заключить, что Больцано был знаком с работами Лагранжа и Лакруа.

Заметное сходство идей Коши и Больцано привело английского историка математики Айвара Граттан-Гиннесса к мысли о заимствовании [32]. Он предполагает, что Коши мог прочитать работы Больцано, имевшиеся в Национальной библиотеке (тогда Bibliothèque Impériale) в Париже, что в «Курсе анализа» Коши 1821 года встречаются идеи и формулировки Больцано 1817 года. Сравнивая формулу 1797, 1806 и 1813 годов Лагранжа [40, с. 24] Дж + г) = /(ж) + iP, формулу Коши 1823 года [9, с. 10] у + Ау = /(ж + Дж), а также формулу конечных приращений, приведённую выше, мы видим, что

16 Ответственность за это утверждение лежит на авторе статьи. Все труды Коши доступны в интернете.

17 Перевод Г. Синкевич.

Коши следовал своим учителям Лагранжу и Лакруа. В предисловии к «Курсу анализа» Коши благодарит Пуассона, Ампера и Кориолиса [25, с. VII], но не упоминает о Больцано. Теорема о непрерывной функции у Больцано звучит так: «Между двумя значениями функции, имеющей разные знаки, лежит хотя бы один корень уравнения»; у Коши: «Если между пределами х = хо, X = X дана функция непрерывной переменной /(ж), и b расположено между f(xo) и /(А), то уравнение f(x) = b всегда имеет решение для ж, расположенного между хо и А» [25, с. 50].

Граттан-Гиннесс соглашается с тем, что в бумагах Коши не сохранилось никаких письменных свидетельств о работах Больцано, в библиотеках нет пометок о том, что Коши читал Больцано. Но он приводит много параллельных формулировок теорем Больцано и Коши. Приводит он также богатый материал о сложном характере Коши и о его невысокой научной щепетильности: «Если Коши и был величайшим математиком своего времени, он был одним из самых неприятных людей своего времени: католический фанатик и бурбонист до абсурда, он всё время утверждал своё превосходство во всех направлениях своей работы [32, с. 393]. Хорошее подтверждение этому мы найдём в письме одного молодого человека: «Коши глуп, и никто не может его понять, хотя он такой математик, что всегда знает, как нужно рассуждать о математике, <... > он крайний католик и фанатик» [15, с. 45-46; 16, с. 259]. Этим человеком был Нильс Хенрик Абель, посетивший Париж в октябре 1826 года»18.

Известно, что в том же году Абель опубликовал заметку о сходимости рядов [17, с. 311-329] и об ошибке Коши19, после чего Коши не стал печатать его работу об эллиптических функциях. Более того, когда Берт Михаэль Хольмбоэ, школьный учитель Абеля, приехал в 1839 г. в Париж для того, чтобы получить в Академии наук работу Абеля для посмертного издания его трудов, ему не возвращали рукопись до тех пор, пока он в 1841 году не поднял этот вопрос на правительственном уровне20. В этой же работе впервые сформулирована связь между непрерывностью функции в точке и пределом: «Функция f(x) называется непрерывной функцией х между пределами X = а и X = Ь, если для любого значения между этими пределами величина f(x— ß) при постоянно убывающих значениях ß сколь угодно приближается к пределу f(x)» [14, с. 72, пер. А.П.Юшкевича].

Известно, что Больцано прочитал «Курс анализа» Коши, так как в 1830 году в рукописи по анализу он полемизирует с Коши в вопросе о формулировке непрерывности [22, с. 15, с. 94]. Возможно, Больцано прочитал немецкий перевод «Курса анализа», изданный в 1828 г. в Кенигсберге. После свержения Бурбонов в 1830 году Коши был в изгнании, сначала в Италии, в Турине, а затем, между 1833 и 1835 годами, в Праге, где он стал учителем сына

18 Перевод Г. Синкевич.

19 «Сходящийся всюду ряд непрерывных функций имеет суммой непрерывную функцию». В 1826 году Абель первый заметил ошибку Коши и привёл контрпример.

20 Известны и другие эпизоды из жизни Коши, связанные с утратой присланных авторами работ, и с появлением в публикациях Коши сходных результатов. Можно назвать истории с рукописями Фурье, Галуа, Грассмана.

свергнутого французского короля Карла X. Узнав о приезде Коши в Прагу, Больцано в августе 1833 г. пишет своему другу Ф. Прихоньскому: «Новость о присутствии Коши необычайно интересна для меня. Среди всех ныне живущих математиков он единственный, кого я больше всех уважаю и с кем я чувствую наибольшее родство; я обязан его изобретательному мышлению некоторыми наиболее важными доказательствами. Я очень тебя прошу рекомендовать меня ему и сказать, что я сразу приеду в Прагу, чтобы с ним познакомиться, если — после того, что ты скажешь мне о его распоряжении — не смогу надеяться на встречу с ним в конце сентября» [22, с. 156].

Несколько встреч состоялось. Больцано пишет в декабре 1843 года: «Математик Коши в 1834 и 1835 годах был в Праге, где мы несколько раз встречались в течение нескольких дней, которые я обычно провожу в Праге (на Пасху и осенью). После моего отъезда я попросил Кулика передать ему (1834) очерк на четвертушке листа, где я набросал для Коши отчасти по-французски по поводу известной задачи о спрямляемости кривой, потому что я и в самом деле боялся, что он найдёт «Записку о трёх проблемах спрямляемости, вычисления площадей и объёмов», опубликованную в 1817, слишком трудной. В начале прошлого года я просматривал некоторые сочинения Коши в обычной цветной обложке и, отогнув последнюю страницу с анонсом работ, я с удивлением обнаружил его небольшую заметку по тому же вопросу, которую он издал литографией в Париже в 1834 (как будто бы сразу после прочтения моей маленькой заметки). Естественно, я очень захотел прочитать эту заметку» [44, с. 225-226].

В 1847 году Больцано полемизирует с Коши, упрекая его в ошибочном определении бесконечного как переменной величины и в определении границы безграничного возрастания, а в определении бесконечно малого — границы бесконечного убывания [4, с. 14].

Выводы, которые делает Граттан-Гиннесс из своего исследования, таковы: «Характеризуя гений Коши, я не хотел бы слишком подчёркивать, как чутко реагировал он на внешние стимулы, я пытался не осуждать, а описать глубину и широту его оригинальности. Вне всякого сомнения, он и Гаусс были главными математиками первых десятилетий девятнадцатого века: поэтому его труды и вызывают особенный интерес историков. Обратившись к памфлету Больцано 1817, возможно, что Коши, занятый и активный математик-исследователь и профессор трёх парижских колледжей, просто не обеспокоился упомянуть его или даже забыл, что он его читал (хотя лично я не считаю это объяснение удовлетворительным).

Я отмечал, что Коши знал европейские языки: в отношении немецкого, то возможно ясные указания (судя по многочисленным примерам), что он в 1817 г. рецензировал рукопись на немецком, посланную в Академию наук, и он рецензировал Der barycentrische Calcul Мёбиуса в 1828 году. Отметим также ещё одно «совпадение идей» с малоизвестными немецкими сочинителями, поразительно похожие на историю с памфлетом Больцано. В апреле 1847 года Грассман, тогда школьный учитель в Штеттине, послал Коши два экземпляра своего Ausdehmmgslehre 1844 г., но не получил никакого подтверждения; спустя некоторое время тем не менее с 1847 по 1853 гг. Коши пуб-

ликует несколько работ по «clefs algébriques», которые были основаны на тех же идеях и даже имели те же обозначения» [32, с. 398]21.

В связи с изложенной выше точкой зрения Граттан-Гинесса следует заметить, что в истории науки есть немало примеров одновременного возникновения одной и той же идеи у разных учёных при заведомо исключённом заимствовании. Так было с открытием неевклидовой геометрии. Так было с понятием действительного числа, когда Мере, Гейне и Кантор одновременно предложили схожие концепции, основанные на критерии сходимости Коши. Вполне возможно, что и в разработке понятия непрерывной функции Больцано и Коши независимо друг от друга шли от Лагранжа.

В 1868, 1869 и 1872 гг. выходят работы Шарля Мере, где он с помощью предела строит теорию иррациональных чисел. Наиболее полное изложение его теории в томе 1872 года [42], комментарии можно найти в работах Пьера Дюгака [6] и [27].

С 1854 года Карл Вейерштрасс начинает читать лекции в Берлинском университете. Именно у него появляется такая символика, как lim рп = оо (опубликовано в 1856 году) [14, с. 76]).

К сожалению, сам Вейерштрасс не публиковал и не редактировал своих лекций, в большинстве случаев они дошли до нас в записях его слушателей. Эдвард Гейне сокрушался по этому поводу: «Принципы г-на Вейерштрасса изложены непосредственно в его лекциях и косвенных устных сообщениях, в рукописных копиях его лекций, и имеют весьма широкое распространение, но они не опубликованы в авторской редакции под контролем автора, что мешает целостному восприятию» [35, с. 172]22. Но основная концепция метода «£-6» формировалась в его берлинских лекциях. Как пишет А. П. Юшкевич, «Современное изложение дифференциального исчисления, с его £, 6-техникой формулировок и доказательств, восходит, как известно, к лекциям Вейерштрасса в Берлинском университете, обработки которых были изданы его слушателями» [11, с. 192].

Наиболее ранний известный текст Вейерштрасса с использованием техники «£-6» — это конспект его лекции по дифференциальному исчислению, прочитанной в летнем семестре 1861 года в Берлинском королевском ремесленном институте. «Конспект был составлен учеником Вейерштрасса Г. А. Шварцем и хранится теперь в институте Миттаг-Леффлера в Швеции. Шварцу было тогда 18 лет, и конспект он составил для себя лично, а не для печати» [11, с. 192]. Записи Шварца были обнаружены и опубликованы П. Дюгаком [27]. В этих записях впервые появляется определение непрерывной функции на языке эпсилонтики: «Если f(x) есть функция ж, и х — определённое значение, то при переходе х в x + h функция переменится и будет f(x + h); разность f(x + h) — f(x) называют изменением, которое получает функция в силу того, что аргумент переходит от х в х + h. Если возможно определить для h такую границу 6, что для всех значений h, по абсолютному значению ещё меньших, чем 6, f(x + h) — f(x) становится меньше, чем какая-либо сколь угодно

21 Перевод Г. Синкевич.

22 Перевод Г. Синкевич.

малая величина £, то говорят, что бесконечно малым изменениям аргумента соответствуют бесконечно малые изменения функции. Ибо говорят, что некоторая величина может стать бесконечно малой, если её абсолютное значение может стать меньше какой-либо произвольно взятой малой величины. Если некоторая функция такова, что бесконечно малым изменениям аргумента соответствуют бесконечно малые изменения функции, то говорят, что она -непрерывная функция аргумента, или что она непрерывно изменяется вместе со своим аргументом» [11, с. 189].

В 1872 году выходит статья Э. Гейне «Лекции по теории функций», где он даёт определение непрерывной функции по Вейерштрассу на языке эпсилон -дельта [32, с. 182].

В 1885 году был издан учебник О. Штольца «Лекции по общей арифметике согласно новой точке зрения» [45], в котором Штольц излагает определение Коши по Вейерштрассу, на языке «£-6».

Легенда о том, что язык эпсилонтики создал Коши, появилась с лёгкой руки А. Лебега в его «Лекциях по интегрированию и отысканию примитивных функций» 1904 года: «Для Коши функция f(x) непрерывна для значения хо, если, каково бы ни было положительное число £, можно найти число л(£) такое, что неравенство \h\ ^ Г|(£) влечёт за собой |/(#o + h) — /(#o)| ^ £5 функция f(x) непрерывна в (а, Ь), если соответствие между £ и г)(£) может быть выбрано независимо от хо для любого хо в (a, b)» [10, с. 13]. По этому поводу А. П. Юшкевич пишет: «В своём знаменитом труде по теории интегрирования А. Лебег почему-то приписывает Коши определение непрерывности функции в точке, сформулированное в терминах «эпсилонтики» начала XX века и характеризует это определение как классическое. Это один из многих примеров того, как модернизируют высказывания авторов прежних времён даже столь крупные математики, каким был А. Лебег» [14, с. 69].

К сожалению, большинство исторических ошибок происходит оттого, что авторы не обращаются к первоисточникам, а верят опосредованному вольному пересказу, как правило, использующему современный язык. Мы видели выше интерпретацию Белхоста через супремум и инфимум, добавление им геометрического образа, интерпретации Лебега, Штольца и другие. В 1978 году вышел справочник [1], в котором в статье «Предел» написано: «Определение предела через s и ö дал Больцано (1817), а за ним Коши (1820)» [1, с. 13]. Как мы с вами убедились, это не так. Больцано в 1817 и Коши в 1821 году дали определения предела в качественной форме и определения непрерывной функции на языке приращений; Коши один раз применил s и ö при улучшении доказательства Ампера, но Коши использовал е и ô как конечные оценки погрешности, где ö не зависит от е. Больцано нигде не использует эту технику. Согласно конспекту лекции Вейерштрасса 1861 года, именно Вейерштрасс был первым, кто использовал язык е и ö как метод.

В 1821 году, когда Коши писал свой «Курс анализа», в Берлине родился Эдвард Гейне, который спустя 51 год сформулирует понятие равномерной непрерывности. Вейерштрассу в 1821 году было 6 лет, и прошло около 40 лет, прежде чем он использовал эпсилонтику на полную мощь.

ЛИТЕРАТУРА

1. Александрова Н.В. Математические термины. Справочник. — М.: Высшая школа, 1978.

2. Башмакова И. Г. О роли интерпретации в истории математики // Историко-математические исследования. — М., 1986. Вып. XXX. С. 182-194.

3. Белхост Б. Огюстен Коши. — М.: Наука, Физматгиз, 1997.

4. Больцано Б. Парадоксы бесконечного. — Одесса: Mathesis, 1911.

5. Дорофеева А.В. Формирование понятия непрерывной функции // История и методология естественных наук. Вып. XI. Математика и механика. — М.: МГУ, 1971. С.37-50.

6. Дюгак П. Понятие предела и иррационального числа, концепции Шарля Мере и Карла Вейерштрасса // Историко-математические исследования. — М., 1973. Вып. XVIII. С.176-180.

7. История математики. Т. 3. — М.: Наука, 1972.

8. Коши О. Л. Алгебрический анализ. — Leipzig: Von Bär & Hermann, 1864.

9. Коши О. Краткое изложение уроков о дифференциальном и интегральном исчислении. — СПб.: Императорская Академия Наук, 1831.

10. Лебег А. Интегрирование и отыскание примитивных функций. — М.-Л.: Гостехтеориздат, 1934.

11. Хрестоматия по истории математики. Математический анализ / Под ред. А.П.Юшкевича. — М.: Просвещение, 1977.

12. Эйлер Л. Введение в анализ бесконечных. Т. 2. — М.: Физматгиз, 1961.

13. Юшкевич А. П. Л. Карно и конкурс Берлинской академии наук 1786 г. на тему о математической теории бесконечного // Историко-математические исследования. — М., 1973. Вып. XVIII. С. 132-156.

14. Юшкевич А. П. Развитие понятия предела до К. Вейерштрасса // Историко-математические исследования. — М., 1986. Вып. XXX. С. 1-81.

15. Abel N. Mémorial publié à l'occasion du centenaire de sa naissance / Correspondance d'Abel. — Christiana, 1902.

16. Abel N. Oeuvres complètes de N. H. Abel, par S. Lie et L. Sylow, eds. 2 vols. — Christiana, 1881.

17. Abel N. Untersuchungen über die Reihe // Journ. Rei. Ang. Math. 1826. №1. P. 311-329.

18. Ampère A. Recherches sur quelques points de la théorie des fonctions dérivées qui conduisent à une nouvelle démonstration de la série de Taylor et à l'expression finie des termes qu'on néglige lorsqu'on arrête cette série à un terme quelconque // Journal de l'Ecole Politechnique, 1806. — Cahier 13. P. 148-181.

19. Beihoste B. Cauchy. 1789-1857. — Paris: Belin, 1985.

20. Byaszcyk P., Katz M., Sherry D. Ten misconceptions from the history of analyses and their debunking // arXiv:1202.4153vl [math. HO] (Submitted on 19 Feb 2012). http://arxiv.org/abs/1202.4153

21. Bolzano B. Rein analytisches Beweis des Lehrsatszes, das zwischen je zwey Werthen, die ein entgegengesetztes Resultat gewähren, wenigstens eine reelle Wurzel der Gleichung liege. — Prag, 1817 // В книге: Bernard Bolzano (1781-1848). Bicentenary. Early mathematical works. — Prague, 1981. P. 417-476.

22. Bolzano B. Functionenlehre / Schriften, Band 1. — Prague, 1930.

23. Bolzano B. Der böhmische Vomärz in Briefen В. Bolzanos an F. Prïhonsky // Veröff. Inst. Slav., Dtsch. Akad. Wiss. Berlin. 1958. 11. P. 156.

24. Cajory F. A history of the conception of limits and fluxions in Great Britain from Newton to Woodhouse. — Chicago, London, 1919.

25. Cauchy A.-L. Course d'Analyse de l'Ecole Royale Politechnique. Première partie: Analyse algébrique // Oeuvres. Ser. 2, t.3. P. 1-471; электронный ресурс: http://portail.mathdoc.fr/cgi-bin/oetoc?id=OE_CAUCHY_2_3

26. Cauchy A.-L. Résumé des leçons données sur le calcul infinitésimal // Oeuvres. Ser. 2, t. 4. P. 9-261; электронный ресурс: http://portail.mathdoc.fr/cgi-bin/oetoc?id=OE_CAUCHY_2_4

27. Dugac P. Elements d'analyse de Karl Weierstrass. — Paris, 1972.

28. Эйлер Л. Дифференциальное исчисление. В 2-х т. — М.-Л.: Гостехиздат, 1949.

29. Fourier J. В. Théorie analytique de la chaleur. — Paris, 1822; электронный ресурс: http://books.google.ru/books?id=TDQJAAAAIAAJ&redir_esc=y

30. Gauss К. F. Grundbegriffe der Lehre von der Reihen // В книге: Carl Friedrich Gauss. Werke. Zehnten Bandes Erste Abteilung. Leipzig, 1917. S. 390-396.

31. Grabiner J. Who gave you the Epsilon? Cauchy and the Origin of Rigorous Calculus // The American Mathematical Monthly, 1983. V. 90. №3. P. 185-194.

32. Grattan-Guinness I. Bolzano, Cauchy and the «New Analysis» of the Early Nineteenth Century // Archive for History of Exact Sciences, 1970. V.6. №3-5. P. 372-400.

33. Grattan-Guinness I. The mathematics of the past: distinguish its history from our heritage // Historia mathematica, 2004. №31. P. 163-185.

34. Gray J. Plato's ghost. The modern transformation of mathematics / Princeton University Press, 2008.

35. Heine E. Die Elemente der Functionenlehre // J. reine angew. Math., 1872. №74. S. 172-188.

36. L'Huilier S. Exposition élémentaire des principles des calcul supérieurs, qui a remporté le prix proposé par l'Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres pour l'année 1786. — Berlin, 1787.

37. Koetsier T. Lakatos, Lakoff and Nunez: Towards a Satisfactory Definition of Continuity / In Explanation and Proof in Mathematics. Philosophical and Educational Perspectives. Edited by G.Hanna, H. Jahnke, and H. Pulte. Springer, 2009.

38. Lacroix S. F. Traité du calcul différentiel et du calcul intégral. — Paris, 1797; электронный ресурс: http://www.archive.org/stream/traitducalculdi021acrgoog#page/n5/mode /2up

39. Lacroix, S. F. Traité élémentaire de calcul différentiel et de calcul intégral. — Paris, 1828; электронный ресурс: http://archive.Org/stream/traitlmentaired00serrgoog#page /n6/mode/2up

40. Lagrange J. Théorie des fonctions analytique / Oeuvres de Lagrange. — Paris, 1881. V. 9; электронный ресурс http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k2299441/f9.image

41. Leathern J. G. Volume and Superface Integrals Used in Physics. — 1905.

42. Méray Ch. Nouveau précis d'analyse infinitesimale. — Paris: F. Savy, 1872; электронный ресурс: http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k995638

43. Putnam H. What is mathematical truth? // Historia Mathematica 2, 1975. №4. P. 529-533.

44. Seiderlovâ I. Bemerkung zu den Umgängen zwischen В. Bolzano und A. Cauchy // Cas. Pëst. Mat. 1962. 87. С. 225-226.

45. Stolz О. Vorlesungen über allgemeine Arithmetik. Bd.I. — Leipzig, 1885.

Поступила 21.05.2012

TO THE HISTORY OF EPSILONTIKA

G. I. Sinkevich

It is a history of the «epsilon-delta-language» origin. Although A. Cauchy was the first who used this symbols in 1821, only K. Weierstrass made the most out of this method in 1861 in the definition of the limit. The author is setting forth different interpretations of this priority in mathematical literature.

Keywords: the history of mathematics, analysis, continuity, Lagrange, Ampere, Cauchy, Heine, Cantor, Weierstrass, Lebesgue.

В ПЕРЕРЫВЕ МЕЖДУ ЛЕКЦИЯМИ

УДК 51

МАТЕМАТИКА У ГУМАНИТАРИЕВ

Н. Н. Петров

Санкт-Петербургский государственный университет Россия, 198504, г- Санкт-Петербург, Петродворец, Университетский пр., 28

В 2011 году вышло третье издание учебного пособия «Книга для чтения по высшей математике», подготовленное Ниной Леонидовной Белой и автором настоящей статьи на основе лекций, которые мы читали студентам-первокурсникам юридического факультета Санкт-Петербургского государственного университета экономики и финансов и факультета международных отношений Санкт-Петербургского государственного университета.

Помимо стандартных сведений об основах высшей математики, «Книга для чтения... » содержит немало необязательного материала, призванного оживить нашу любимую науку для тех, кто считает её «мёртвым грузом».

Через всё учебное пособие проходит следующий шуточный рефрен: «Для того чтобы в головах наших слушателей надолго сохранились «островки» математического знания, все средства хороши. Например,... » И далее следует или «лирическое отступление», или какая-нибудь забавная история, или даже стихотворное произведение из студенческого математического фольклора. На наш взгляд, такое «оформление» оправданно. Вот что пишет по этому поводу известный учёный Л. Янг в своих «Лекциях по вариационному исчислению и теории оптимального управления»: «Наши лекции не состоят из небольших кусков малопонятного текста, сопровождаемых вереницей поучительных примеров. ... Вместо этого мы постараемся дать всему подходящую мотивировку, прививая читателю определённый стиль мышления. А чтобы не слишком утомлять читателя, мы будем перемежать серьёзный текст более лёгким материалом и даже забавными историями».

Думаю, такая установка правильна в ещё большей степени, если речь идёт о курсах по высшей математике для гуманитариев. Что же касается лекций, то, на наш взгляд, лектор просто обязан делать нечто подобное. Иначе они превращаются в скучное и утомительное времяпровождение. Ситуация усугубляется ещё и тем, что наши слушатели, мягко говоря, математику недолюбливают. Одни считают, что успешно заниматься математикой могут только избранные, и в какой-то момент сами, а иногда и с «помощью» учителя приходят к выводу, что они к их числу не принадлежат. Чаще всего они оправдывают своё неприятие математики тем, что она якобы не нужна им вовсе. Другие полагают, что математика, в конечном счёте, всегда сводится к вычислениям («нематематики считают, что математики считают»), что, как правило, гуманитариев не вдохновляет.

На лекциях мы задаём вопросы, провоцируем, «мягко» стыдим и, конечно, шутим. Должен сказать, что смеёмся мы довольно часто. Правда, на лекциях мы смеёмся все, в то время как на экзаменах и зачётах смеются в основном экзаменаторы. За много лет «смешных» ответов накопилось довольно

много, и некоторые из них, на наш взгляд, «очень смешные», приводятся далее. Кроме «очень смешных» ответов я приведу примеры «очень смешных» диалогов, которые дают представление о том контингенте, с которым мы имеем дело.

Начну с провокаций. На первой лекции, говоря о счётных способностях большинства математиков, я вспоминаю старую шутку: «Все математики делятся на три категории: тех, кто умеет считать до трёх, и всех остальных». Как правило, в ответ — единичные смешки (тех, кто понял, что это шутка). Но однажды один молодой человек спросил, нет ли в моём утверждении противоречия. Не успел я ответить, как другой молодой человек высказал свою точку зрения: «Никакого противоречия нет, просто тот, кто такое утверждение высказал, относится ко «всем остальным», то есть, не умеет считать до трёх». Так на ровном месте завязалась полезная дискуссия.

На той же лекции подробно обсуждалась следующая ситуация. Представьте себе, что вы находитесь в школе первого сентября в первом классе на первом уроке. Учительница, познакомившись с учениками, сразу переходит к делу.

- Сегодня у нас будет урок математики, — объявляет она, — и я хочу посмотреть, как вы умеете решать простые задачи.

Она достает мешок с красными и синими пуговицами и высыпает их на стол.

- Дети, как узнать, каких пуговиц больше, красных или синих? — спрашивает она.

Умная Маша немедленно поднимает руку.

- Очень просто. Нужно пересчитать все красные пуговицы и все синие, и тогда будет ясно, каких пуговиц больше.

Но тут слово берет мальчик Петя и говорит примерно следующее:

- Так решать эту задачу нельзя. Ведь мы ещё не умеем считать. Точнее, мы этого ещё не проходили.

Петя, конечно, совершенно прав. Он рассуждал, как настоящий математик. Месяц спустя он на вопрос: «Сколько будет 7 + 4?» отвечал: «Не знаю. До 11 мы ещё не считали».

Ставился вопрос: «Можно ли решить задачу о пуговицах, не умея считать?» И, как правило, коллективное обсуждение приводило к правильному ответу.

Ещё один пример. При обсуждении вопроса о необходимости изучения математики на юридическом факультете один молодой человек вступил со мной в полемику: «Объясните, пожалуйста, зачем мне, будущему юристу, скажем, геометрия?» Мой ответ оказался для многих неожиданным: «Геометрия как наука ближе к юриспруденции, чем, скажем, социология, политология или история». Чтобы сохранить интригу, подробное объяснение я дал на следующей лекции. Как известно, и геометрия, и право построены на аксиоматической основе, и некоторые юристы сделали попытку написать нечто вроде «Начал» Евклида.

Однажды я говорил о пользе мнемонических правил и в качестве примера привёл следующее предложение, позволяющее без труда запомнить порядок цветов в спектре: «Каждый огородник желает знать, где сажать фасоль». Одна девушка немедленно отреагировала: «Нас учили не так. Во-первых,

речь шла не об огороднике, а об охотнике. Во-вторых, он интересовался не фасолью, а фазаном». Я был удовлетворён, поскольку всякую реакцию на мои слова (и, вообще, любую обратную связь) считаю полезной.

Несколько забавных историй было связано с понятием факториала. Несмотря на мои многочисленные предупреждения некоторые всё же думают, что это восклицательный знак. Разумеется, ничего смешного в этом нет. В нашей книге приводится следующее предупреждение:

«Использование восклицательного знака лишь в редких случаях приводит к недоразумению; так, например, из названия статьи, озаглавленной «Да здравствует 7!», в которой приводятся пословицы и поговорки, использующие число семь, неясно, о чем пойдет речь: о семерке или о 7!.» На первый взгляд, после семёрки должен стоять восклицательный знак. Но предложение «Да здравствует... » не всегда заканчивается восклицательным знаком. Например, в тех случаях, когда оно произносится с иронией. Вот два примера.

— Господин N избран президентом страны М.

— И что же? Да здравствует господин N? И ещё.

— Господин N избран президентом страны М.

— Что ж. (Упавшим голосом.) Да здравствует господин N.

Таким образом, если предложение «Да здравствует 7!» произносится «упавшим» голосом, то в конце его должна стоять точка, но в заголовке точка не ставится.

7 ноября во время празднования 71-й годовщины Октября, когда все мы претворяли в жизнь решения 27-го съезда КПСС, мной была написана статья, в конце которой выражалась уверенность, что мы переживаем знаменательный период нашей истории, поскольку 71 • 27 = 1917. К сожалению, у этой шутки недолгая жизнь.

Годом раньше мною была составлена «юбилейная» задача про факториал, посвящённая 70-й годовщине Октября: найти последние 70 цифр числа 19871917!. Ответ: 69 нулей и единица, символизирующая перестройку. Эта задача была составлена для городской студенческой математической олимпиады и, конечно, была трудновата для наших слушателей. Но она многих заинтересовала. Один молодой человек подошёл ко мне и сказал, что пробовал решить эту задачу, но у него ничего не получилось. Тем не менее, он хотел бы знать её решение. Разумеется, я его просьбу удовлетворил.

В связи с представлением экспоненты в виде степенного ряда вспоминаю забавный эпизод на одном из экзаменов, свидетельствующий о безграничной фантазии наших слушателей. Спрашиваю:

— Что за значок стоит у вас рядом с п?

— Это не значок, это г — мнимая единица.

— А почему она вверх ногами?

— Потому что в знаменателе.

У моих слушателей неплохая реакция. На зачёте одна девушка, рассказывая о теории вероятностей, назвала её основателями Ферма и Пифагора. Ошиблась, возможно, просто оговорилась.

- Как же так, — говорю, — ведь Пифагор жил задолго до нашей эры. Как же он мог переписываться с Ферма?

— Ах! — воскликнула девушка, многозначительно посматривая на меня, -На букву «П» столько выдающихся математиков, что немудрено и ошибиться.

Прекрасная реакция! Вполне заслуживающая зачёта, который и был немедленно поставлен. В данном случае я использовал один из вариантов «системы Станиславского». Говорят, Константин Сергеевич принял в театральный институт Сергея Владимировича Образцова, нашего замечательного кукольника, за одно предложение из трёх слов.

Молодой С.В. Образцов после нескольких провалов на актёрский факультет с таким убитым видом стоял в коридоре, что проходивший мимо К. С. Станиславский остановился и стал его успокаивать.

- Не огорчайтесь, — сказал он, — вы ведь ещё так молоды. Сколько вам годков?

И немедленно получил ответ: «Двадцать один лет».

Для актёра хорошая реакция — исключительно важное качество. Но так ли уж важна хорошая реакция для математика? Сомнительно. Упоминавшийся выше Л. Янг так высказался по этому поводу: «С каждым годом остаётся всё меньше оснований рассматривать математику как некий барьер, построенный из экзаменационных задач, решения которых должны быть написаны быстро... Отбирать математиков на основе таких экзаменов не более разумно, чем отыскивать поэтов на конкурсах правописания».

Ещё один пример. Излагая теорию графов, я как-то спросил: «Как бы вы назвали граф без циклов?» (Перед этим было дано определение дерева.) Нашёлся молодой человек, который дал правильный ответ — «лес». А вот студенты математико-механического факультета, которым я читаю курс «Задачи на графах», часто затрудняются с ответом, и в таких случаях я над ними «мягко издеваюсь».

Однажды на экзамене я спросил одного молодого человека, принадлежит ли точка с координатами (25,29) множеству, которое определяется уравнением

Мы задаём вопросы подобного рода, в частности, для того, чтобы выяснить, умеют ли наши слушатели умножать многозначные числа без калькулятора. К сожалению, умеют это делать далеко не все. Молодой человек надолго задумался, и я уже собирался «выйти из себя». Но неожиданно он дал правильный ответ: «Не принадлежит, это противоречило бы теореме Ферма» (64 = 43). Таковы «блеск и нищета» нашего математического образования.

Мой диалог со студентом, опустившим в определении простого числа слово «только», закончился довольно неожиданно. В казалось бы безнадёжной ситуации он, обиженный моей придирчивостью, нашёл, как говорят шахматисты, неплохой практический шанс. «Вы знаете, — сказал он, — есть такой лозунг «Россия — для русских», но ведь каждому... (тут он долго подыскивал подходящее существительное, но так его и не нашёл) ясно, что слово «только» подразумевается». Так банальный экзаменационный вопрос о простых числах плавно перерос в национальный.

С простыми числами связана ещё одна забавная история. Однажды на экзамене я попросил одного молодого человека сформулировать теорему Евклида.

- Какую именно? — переспрашивает студент, выигрывая время и давая понять, что он знает не одну теорему Евклида.

- Я имею в виду теорему Евклида о бесконечности множества простых чисел.

— А-а, понятно, — произносит молодой человек, но через несколько секунд признаётся:

— Не помню.

Как тут не вспомнить старую русскую загадку: кругленькая, красненькая, а внутри вишнёвая косточка! Шутка о вишнёвой косточке принадлежит моему незабвенному учителю Григорию Михайловичу Фихтенгольцу, блестящему ленинградскому педагогу, который щедро пересыпал изложение математического анализа юмористическими отступлениями, накопленными за многие десятилетия. Однажды он назвал «рыцарем вишнёвой косточки» моего сокурсника, который на экзамене неправильно записал основное логарифмическое тождество.

На экзаменах и зачётах ответы наших слушателей, как правило, не отличались математической строгостью, но были наполнены живостью и непринуждённостью. Вот несколько примеров.

Однажды я экзаменовал молодого человека, который должен был вывести формулу для коэффициентов сп ряда Тейлора. Утверждение о её тривиальности для свободного члена со экзаменующийся высказал в следующей изысканной форме: «Если п = 0, базара нет». При этом он понимающе улыбнулся, призывая оценить его шутку. Экзаменатор же, возмущённый таким издевательским отношением к русскому языку, отреагировал адекватно: «Молодой человек, прошу Вас в следующий раз тщательно фильтровать базар».

- Образно выражаясь, — сказал мне на экзамене один студент, который формулировал теорему Шварца о равенстве смешанных производных, — от перестановки мест слагаемых сумма не меняется. Я посоветовал ему в следующий раз при формулировке теоремы образно не выражаться.

Другой случай. Я спрашиваю студента: «Чему равно число рёбер полного графа?». Улыбаясь, он отвечает: «Пересчитаем все рёбра полного графа». И выписывает формулу. Что ж, в чувстве юмора ему не откажешь.

А как бы вы отреагировали на такое высказывание одного молодого человека: «Пациент Б является решением уравнения у' = у»? В своём ли уме этот молодой человек? В своём. Тем более, что экзаменатор одобрительно кивнул. Дело в том, что на лекции была рассказана следующая «страшная» история.

Бывший математик, пациент одной из психиатрических клиник (назовем его пациентом А) постоянно терроризировал своих товарищей по несчастью, угрожая их «продифференцировать». Его боялись, потому что никто толком не знал, что это значит. Однажды в клинику поступил новичок (назовем его пациентом Б), который бесстрашно игнорировал все угрозы пациента А. Лечащий врач, обеспокоенный таким «отклонением от нормы», однажды при обходе спросил пациента Б, почему он не боится пациента А.

- Мне нечего бояться, — ответил пациент Б, — ведь я — еж, а остальные боятся, потому что они, видимо, многочлены.

Понятно, почему пациенты-многочлены должны бояться пациента А. Ведь после каждого дифференцирования их степень уменьшалась бы на 1, и

после конечного числа дифференцирований они могли обратиться в 0. Что же касается пациента Б, то он мог быть совершенно спокоен.

Пациент Б упоминается также в разделе о частных производных. Пациенту А всё-таки удалось его запугать. Когда пациент Б в очередной раз напомнил, что он — еж, пациент А зловеще изрёк: «А сегодня я дифференцирую по у».

Иногда ответы экзаменующихся существенно обогащают экзаменаторов. Молодой человек, который должен был рассказывать о производных высших порядков, начал свой ответ так: «На одном из островов Тихого океана мореплаватели вступили в контакт с туземцами. Главный мореплаватель разговорился с вождём этого племени, представителем местной интеллигенции».

Я терпеливо ждал. Далее последовало:

«В частности, Главный мореплаватель спросил, как на местном языке произносится «один». Вождь: — Мыр.

— А «два»?

— Мыр-мыр.

— А «сто»?

— О, это длинная история».

Тут я уже начал понимать смысл этого странного предисловия. Далее речь шла о том, сколько штрихов надо использовать для обозначения производных высших порядков. Видимо, то, что рассказал студент, — известная шутка (хотя кто знает?). Но я её не знал и в дальнейшем с удовольствием принял на вооружение.

Несколько слов об «элите» первого курса факультета международных отношений. Многие молодые люди, готовясь к карьере дипломата, прекрасно учатся, одеты с иголочки, безупречно воспитаны, но, быть может, несколько «американизированы». Они вежливо вас приветствуют, причём некоторые затем спрашивают: «Как дела?» (How are you?). Я отвечаю: «Прекрасно!» (Fine!). Вообще, со мной здоровался практически весь факультет, поскольку все в своё время прошли «через меня». Особенно меня растрогала одна девушка, которая приветствовала меня при довольно необычных обстоятельствах. Она стояла в обнимку со своим другом в состоянии «полного отпада», положив подбородок на плечо молодого человека (картина настолько обычная, что никто не обращал на них внимания). В один момент она открыла глаза, увидела меня и произнесла: «Здравствуйте, Николай Николаевич!» Я, разумеется, с ней вежливо раскланялся.

Студенты-первокурсники юридического факультета тоже не забывают о своей будущей профессии. Вот два примера.

Однажды я экзаменовал довольно сильного студента юридического факультета. Отвечал он, однако, неважно, и дело шло к тройке, которую он получать не хотел. Почувствовав это, студент обратился ко мне с просьбой: «Николай Николаевич, поставьте, пожалуйста, мне двойку». Эта просьба кажется странной только на первый взгляд: двойку можно было пересдать на пятёрку, в то время как тройку нельзя пересдать даже на четвёрку. Видя, что я колеблюсь, студент вызвался написать формулу для (хп) . Я разрешил. Через несколько секунд он показывает мне равенство: (хп)' = xn_1, и спрашивает:

— Правильно?

— Нет, — отвечаю я. Студент облегченно вздохнул.

— Николай Николаевич, Вы на лекции при свидетелях говорили, что тот, кто не будет знать этой формулы на экзамене, немедленно получит двойку, независимо от того, как он отвечал до этого.

Я, действительно, это говорил. Подобных «угроз» в курсе обычно было немного. Студенты называли их предупреждениями об ответственности за дачу ложных показаний. Я понял, что имею дело с молодым человеком, который далеко пойдёт, и немедленно удовлетворил его просьбу.

Иногда на лекции я задаю простые вопросы в надежде получить ответ «хором». Однажды я обратился с таким вопросом к студенту, который самозабвенно болтал со своими соседками и, разумеется, меня не слушал. Молодой человек сразу понял, что мой выбор не был случайным, и на мгновение смутился. Но только на мгновение. Он встал и важно, хорошо поставленным голосом произнёс: «На этот вопрос я буду отвечать только в присутствии своего адвоката». И, не удержавшись, рассмеялся.

В нашем курсе есть трудные разделы («наивная» теория множеств, нечёткие множества). Но я считаю, что образование сильных студентов не должно страдать из-за того, что некоторые их сокурсники плохо подготовлены. В разделе «Нечёткие множества» мы подробно обсуждаем совокупность «высоких мужчин». Мужчин ростом 150 сантиметров и ниже никто не назовёт высокими (их коэффициент Заде равен нулю). Мужчин же ростом выше двух метров большинство назовёт «высокими» (их коэффициент Заде равен единице). Что касается остальных мужчин, то о них отдельный разговор.

Теперь я перехожу к описанию самого сильного потрясения, которое я когда-либо испытывал на экзамене. Я прошу девушку сформулировать теорему Кантора (о несчётности множества точек отрезка [0,1]).

— Это там, где отрезок делится на три части?

— Да, да, — обрадовался я.

- Разобьем отрезок [0,1] на три равные части... (я понял, что формулировку теоремы Кантора я уже не услышу) ... и возьмём из них ту, которая не содержит...

Тут девушка запнулась. Я терпеливо ждал, и, наконец, моё терпение было вознаграждено :

- ... и возьмём ту из них, которая не содержит мужчин ростом 150 см и ниже.

Я еле удержался на стуле.

Один из моих коллег так прокомментировал этот эпизод: «Если бы Вы упали со стула и что-нибудь себе сломали, то должны были бы винить в этом только себя. Незачем забивать девичьи головки всякой мурой».

Авторы, однако, придерживаются другого мнения. Эта печальная история, как и многие другие, ей подобные, имеет простое объяснение: в диалоге с экзаменатором неподготовленные студенты, не вникая в суть дела, в основном полагаются на свою память. Которая, увы, нередко им изменяет.

Но были случаи и похуже. Однажды ко мне подошёл студент факультета международных отношений с «хорошим» вопросом: «Нурсултан Нурсултанович, когда я мог бы сдать Вам зачёт по высшей математике?». Он, бедняга,

знал только мою фамилию и инициалы (которые были указаны в расписании) и поэтому спросил у старосты группы, как ко мне обратиться. Староста, который оказался большим шутником, удивился: «Как, ты полгода отучился и не знаешь имени-отчества Петрова? Его зовут Нурсултан Нурсултанович». Больше я этого студента не видел. Думаю, у него не было шансов получить зачёт. Говорят, его отчислили из университета по совокупности задолженностей. И правильно сделали.

Были, конечно, и безобидные путаники. Выше уже рассказывалось о девушке, утверждавшей, что Ферма переписывался с Пифагором. Приведу ещё два примера.

На лекции, рассказывая о «правиле Крамера», я упомянул о немецком писателе Э. М. Ремарке. Некоторые считают, что Ремарк — это псевдоним, который получается, если его настоящую фамилию (Крамер) прочесть «задом наперёд». Такое же совпадение наблюдается и в немецком варианте (Kramer -Remark). И что же я услышал на экзамене?

- Эта теорема называется «правилом Крамера», — завершил свой ответ молодой человек, — но Крамер — это псевдоним, его настоящая фамилия -Ремарк.

Тяжелый труд лектора включает в себя не только чтение лекций, консультации и перегрузки в период сессии, но и потрясения, вызванные некоторыми ответами наших слушателей на зачётах и экзаменах. Один из разделов нашей книги, посвящённый неевклидовой геометрии, назван так: «Пятый пункт Евклида и геометрия Лобановского». В конце концов, авторы тоже могут что-то перепутать. Но это название было выбрано под впечатлением от упомянутых выше потрясений. Что касается Евклида, то экзаменующаяся утверждала, что у неё так в лекциях написано.

— Покажите.

Девушка принесла свои (или чужие) лекции, которые были в ужасающем состоянии. Слово «постулат» было подвергнуто сокращению, в котором более или менее отчётливо были выписаны только две буквы, первая и последняя.

Оговорки («Лобановский» вместо «Лобачевский») мы слышим довольно часто. Они перекликаются с известным анекдотом о человеке, который собирался поменять фамилию. Но если содержание этого анекдота, скорее всего, вымысел, то для нас упомянутые оговорки — «объективная реальность». Способствует путанице ещё одно обстоятельство. У В. В. Лобановского, выдающегося футболиста и тренера, была своя «геометрия», касающаяся расположения и перемещения игроков в центре поля и кратко изложенная в нашей книге. Был случай, когда один молодой человек вместо геометрии Лобачевского пытался рассказать геометрию Лобановского.

Удивительное дело, наслушавшись за многие годы совершенно невероятных ответов на самые простые вопросы, я ни разу не испытал раздражения. Я благодарен моим друзьям и коллегам, которые настойчиво советовали мне фиксировать подобные «перлы». Настоящая статья появилась исключительно потому, что я последовал их мудрому совету. Я признателен также Григорию Михайловичу Полотовскому и Николаю Христовичу Розову за предложение опубликовать её в столь авторитетном журнале.

Поступила 30.05.2012

В НИЖЕГОРОДСКОМ МАТЕМАТИЧЕСКОМ ОБЩЕСТВЕ

О ДЕЯТЕЛЬНОСТИ НИЖЕГОРОДСКОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБЩЕСТВА

Продолжая традицию публикации информации о деятельности Нижегородского математического общества (ННМО), мы приводим ниже список докладов, прочитанных на научных заседаниях общества за период декабрь 2011 г. - октябрь 2012 г. Аннотации этих докладов (как и почти всех докладов за предшествующие годы) можно найти на сайте ННМО по адресу http://www.unn.runnet.ru/nnmo/zasedania.html. См. также обзор деятельности ННМО за 1995 - 2011 гг. в [1] и [2].

Заседание 23 декабря 2011 г.

A. Ю. Жиров (Монино, Московская область). «Гиперболические аттракторы на поверхностях и псевдоаносовские диффеоморфизмы: сложность и простота динамики и геометрии».

Заседание 19 января 2012 г.

Ю. С. Налбандян (Южный Федеральный университет, г. Ростов-на-Дону). «Д. Д. Мордухай-Болтовской и российская математическая школа».

Заседание 17 февраля 2012 г.

Е. А. Сатаев (Обнинский институт атомной энергетики — филиал МИФИ). «Инвариантные меры для сингулярно гиперболических аттракторов».

Заседание 1 марта 2012 г.

Е.В.Радкевич (МГУ им. М.В.Ломоносова). «I. Структуризация зоны неустойчивости и кристаллизация. II. К проблеме усечения».

Заседание 26 апреля 2012 г.

Г. М. Полотовский (Нижегородский университет им. Н. И. Лобачевского, мех-мат). «Д. А. Гудков и В. В. Морозов на фоне 16-й проблемы Гильберта».

Заседание 13 мая 2012 г. (в рамках Четвертого нижегородского фестиваля науки и искусства)

B. П. Одинец (Санкт-Петербург-Сыктывкар). «О первой в мире экспертной системе по атрибуции предметов живописи».

Заседание 21 сентября 2012 г.

И.Д.Ремизов (МГУ им. М.В.Ломоносова). «Решение задачи Коши для уравнения диффузии в гильбертовом пространстве с помощью формулы Фейнмана».

Заседание 16 октября 2012 г.

Е. Н. Пелиновский, А. В. Слюняев (Институт прикладной физики РАН, Нижний Новгород). «Математические модели аномально высоких волн («волн-убийц») на морской поверхности».

ЛИТЕРАТУРА

1. Полотовский Г. М. Нижегородскому математическому обществу 15 лет / / Математика в высшем образовании. 2010. №8. С. 141-144.

2. О деятельности Нижегородского математического общества в 2010-2011 учебном году и в первом семестре 2011-2012 учебного года // Математика в высшем образовании. 2011. №9. С. 127-128.

Учёный секретарь ННМО Г. М. Полотовский

Поступила 18.10.2012

Указатель материалов, опубликованных в № № 1—10

Авторские публикации

Айдос Е. Ж. Гладкие кривые, представленные недифференцируемыми функциями [10, с. 9]

Александров В. А. Краткая биография Яноша Боляи [2, с. 85]

Андронова Е. А., Скрябин Б. Н. Николай Николаевич Баутин (к 100-летию со дня рождения) [6, с. 111]

Бегунц А. В. Три доказательства теоремы Кантора-Бернштейна [9, с. 13]

Белов Ю.А., Кузнецова В. А. К вопросу о геометрическом образовании математиков в классических университетах [4, с. 9]

Бесов О. В. Простой вывод разложения (1 + х)а в ряд Тейлора [1, с. 35]

Бесов О. В. Формула Грина [3, с. 65]

Боровских А. В., Перов А. И. О некоторых методических принципах учебника по обыкновенным дифференциальным уравнениям [6, с. 45]

Боровских А. В., Розов Н. Х., Шамаев А. С. Первый опыт организации педагогической секции на конференции, посвященной памяти И. Г. Петровского [6, с. 9]

Боровских А. В., Розов Н. Х. Что такое процент? [8, с. 75]

Бос Хенк. Основополагающие понятия лейбницева исчисления [2, с. 11]

Бусев В. М. Образовательные ресурсы Рунета: состояние и перспективы развития [8, с. 85]

Бутузов В. Ф. О преимуществах письменной формы экзаменов [6, с. 51]

Вейзе Д. Л. Пифагорейский подход к проблемам периодичности в современной науке [9, с. 109]

Вечтомов Е. М. Натуральный ряд [10, с. 15]

Воеводин В. В., Воеводин Вл. В. Электронные образовательные средства: новые идеи [1, с. 11]

Воеводин В. В. Параллельные вычисления и математическое образование [3, с. 9]

Воеводин Вл. В. — см. Воеводин В. В. [1, с. 11]

Гаврилов В. И., Луканкин Г. Л., Субботин А. В. Дискретная версия интегрального признака сходимости рядов [2, с. 45]

Гаврилов В. И., Луканкин Г. Л., Субботин А. В. Жемчужины, которые мы можем потерять [4, с. 15]

Гаврилов В. И., Субботин А. В. Изложение темы “Выпуклые функции” в университетском курсе математического анализа [1, с. 21]

Гаврилов В. И., Субботин А. В. Изложение темы “Точка перегиба” в университетском курсе математического анализа [5, с. 51]

Гаврилов В. И., Штерн А. И. Введение показательной, логарифмической и тригонометрических функций и изучение их свойств в первом семестре курса математического анализа [5, с. 15]

Галайда П., Кудрявцев Л. Д., Розанова С. А. Образование, наука и экономика в вузах. Интеграция в международное образовательное пространство [2, с. 143]

Гладкий А.В., Козиоров Ю. Н. Действительные числа как последовательности обыкновенных дробей (Теория действительных чисел по Колмогорову) [7, с. 21]

Гнеденко Б. В. О месте лекции в математическом образовании [2, с. 107]

Губина Е.В. Академик А.А.Андронов (к 110-летию со дня рождения) [9, с. 73]

Гушель Р. З. Из истории движения за обновление отечественного образования на рубеже XIX-XX веков [9, с. 83]

Дроздов Н. А., Кузьмин В. П., Симонова Н. С, Утеева Р. А. Всероссийская студенческая олимпиада по математике и методике её преподавания (письменный конкурс по математике) [7, с. 133]

Емельянова И. С. К столетию действительного члена Российской академии наук Сергея Михайловича Никольского [3, с. 105]

Емельянова И. С. Читайте, читайте Эйлера [5, с. 113]

Ермаков В. Г. Контроль в системе математического образования: проблемы и пути их разрешения [7, с. 95]

Зверкина Г. А. Графомеханические методы в античной математике [5, с. 101]

Зверкина Г. А., Эпштейн Г. Л. Елена Сергеевна Вентцель [6, с. 123]

Зимина О. В. Проблемное обучение высшей математике в технических вузах [4, с. 55]

Златопольский Д. М. Три эссе о не слишком известном [7, с. 173]

Златопольский Д. М. Музей истории вычислительной техники [8, с. 101]

Злобина С. В. — см. Посицельская Л. П. [2, с. 49; 4, с. 27]

Зубова И. К. Алексей Николаевич Боголюбов (к 100-летию со дня рождения) [9, с. 91]

Ибрагимов Н. Х. Практический курс дифференциальных уравнений и математического моделирования [4, с. 109]

Ивашев-Мусатов О. С. О площадях и объемах при отображении [3, с. 87]

Игнатушина И. В. Деятельность Т. Ф. Осиповского и его учеников А. Ф. Павловского и М. В. Остроградского по формированию дифференциальной геометрии как учебной дисциплины [8, с. 105]

Игошин В. И. Курс числовых систем для педагогического вуза [8, с. 19]

Ильин В.А. О еще одном выводе формулы Стирлинга [5, с. 9]

Капустина Т. О. — см. Шамаев А. С. [6, с. 11]

Каша Золтан. Культ Боляи в Румынии [2, с. 89]

Кетков Ю. Л., Кузнецов А. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения: MatLab versus MathCAD [3, с. 27]

Киселева Л. Г., Смирнова Т. Г Диаграммы Венна в курсе дискретной математики [6, с. 53]

Киселева Л. Г., Таланов В. А. В помощь преподавателю: методические материалы по линейной алгебре [6, с. 67]

Ковалева Т. И. Нижегородскому государственному университету им. Н. И. Лобачевского — 90 лет [4, с. 129]

Козиоров Ю. Н. — см. Гладкий А. В. [7, с. 21]

Костин С В. Система обозначений для основных многозначных функций комплексной переменной и для их значений [7, с. 39]

Костин С В. Несколько замечаний о степенных и двусторонних степенных рядах [9, с. 23]

Котелина Н. О., Певный А. Б. Использование системы MAPLE для вычисления и оценки контактных чисел [10, с. 49]

Красильников Д. Е. Обзор литературы по корреляционно-регрессионному анализу с момента возникновения по настоящее время [8, с. 53]

Краснощёков П. С Компьютеризация... Будем осторожны [5, с. 65]

Кротова В. С — см. Слугин С.П. [1, с. 29; 4, с. 45]]

Крылов А. Н. Значение математики для кораблестроения [4, с. 93]

Кудрявцев Л. Д. Основные положения преподавания математики [1, с. 127; 2, с. 121]

Кудрявцев Л. Д. Об экзаменах [1, с. 145]

Кудрявцев Л. Д. О математике [7, с. 9]

Кудрявцев Л. Д. — см. Галайда П. [2, с. 143]

Кузнецов А. И. — см. Кетков Ю. Л. [3, с. 27]

Кузнецова В. А. — см. Белов Ю. А. [4, с. 9]

Кузьмин В. П. — см. Дроздов П. А. [7, с. 133]

Кутателадзе С. С Л.В.Канторович: математик и экономист (к 100-летию со дня рождения) [10, с. 87]

Куомо Серафина “Liber abaci” — учебник арифметики Леонардо Фибоначчи в переводе на современный английский язык [8, с. 115]

Ландо С К. Владимир Игоревич Арнольд (к 75-летию со дня рождения) [10, с. 99]

Ласунский А. В. Об опыте изложения теории линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами [7, с. 81]

Ласунский А. В. Устойчивость и собственные числа линейных неавтономных систем разностных и дифференциальных уравнений [8, с. 37]

Лёб П. А. Об одной забытой теореме анализа [10, с. 35]

Лузин Н. Н. О бесконечно малых величинах в преподавании и в науке [3, с. 111]

Луканкин Г. Л. — см. Гаврилов В. И. [2, с. 45; 4, с. 15]

Лукьянов В. Д., Спектор В. Е., Фаллер О. В. XVII Всеармейская олимпиада по математике для курсантов высших военно-учебных заведений Министерства обороны Российской Федерации [10, с. 67]

Луценко А. Г. Опыт использования системы MathCAD 11 при обучении высшей математике [3, с. 53]

Матиясевич Ю. В. Алан Тьюринг и теория чисел (к 100-летию со дня рождения А.Тьюринга) [10, с. 111]

Мерлина H. И. Студенческие математические бои в Чувашии [7, с. 121]

Мерлина Н. И., Петрова М. В. Первый чувашский профессиональный математик (к 120-летию со дня рождения И. М. Максимова) [8, с. 123]

Мышкис А. Д. О преподавании математики прикладникам [1, с. 37]

Мышкис А. Д. В связи с фрагментом “Значение математики для кораблестроения” книги А. Н. Крылова “Мои воспоминания” [4, с. 105]

Назаров А. И. Курс “Уравнения математической физики” в учебном плане специальности “Математика” в Санкт-Петербургском государственном университете [6, с. 43]

Одинец В. П. Иоганн М. Х. Бартельс — не только наставник Гаусса и Лобачевского (к 240-летию со дня рождения И. М. Х. Бартельса) [7, с. 147]

Одинец В. П. Прошлое и настоящее (к 100-летию 1-го Всероссийского съезда преподавателей математики) [9, с. 99]

Певный А. Б. — см. Котелина П. О. [10, с. 49]

Перов А. И. — см. Боровских А. В. [6, с. 45]

Петров Н. Н. Математика у гуманитариев [10, с. 167]

Петрова М. В. — см. Мерлина П. П. [7, с. 121]

Полотовский Г. М. Как изучалась биография Н. И. Лобачевского (к 150-летию со дня смерти Н. И. Лобачевского) [4, с. 79]

Полотовский Г. М. Нижегородское математическое общество — 11 лет деятельности [4, с. 135]

Полотовский Г. М. Штрихи к портрету (к 100-летию со дня рождения Н. Н. Боголюбова) [7, с. 161]

Полотовский Г. М. К 220-летию со дня рождения Николая Ивановича Лобачевского [10, с. 135]

Полякова Т. С. Двухвековой юбилей высшего математического образования в России [1, с. 117]

Посицельская Л.Н., Злобина С.В. Технология разработки тестовых заданий по математическому анализу [2, с. 49]

Посицельская Л. Н., Злобина С. В. Система задач для дисциплины “Теория игр и исследование операций” [4, с. 27]

Посицельская Л. Н. Математический эксперимент как поддержка доказательства при изучении математики в вузе [10, с. 43]

Рахманкулов Р. Г. Исследование и построение графика композиции функций [3, с. 75]

Ремизов И. Д. Стандартные обозначения и факты теории множеств [9, с. 39]

Рикун И. Э. «Матезис» — лучшее российское научно-просветительское издательство первой четверти XX века [10, с. 141]

Розанова С. А. — см. Галайда П. [2, с. 143]

Розов Н. Х. Гуманитарная математика [1, с. 53]

Розов Н. Х. Две задачи А. О. Гельфонда [4, с. 89]

Розов Н. Х. Общеобразовательная школа и педагогическое образование [7, с. 109]

Розов Н. Х. Мысли о преподавании математики гуманитариям, возникшие при чтении одного учебного пособия [10, с. 57]

Розов Н. Х. — см. Боровских А. В. [6, с. 9; 8, с. 75]

Рубинштейн А. И. Об использовании элементов математического анализа при приближенных вычислениях [1, с. 85]

Рубинштейн А. И. О некоторых моментах изложения раздела “дифференциальные уравнения” во втузовском курсе математики [5, с. 57]

Рудой Ю. Г., Санюк В. И. Математика в физическом образовании: необходимость геометризации [6, с 99]

Русаков А. А., Чубариков В. Н. О двух подходах к обоснованию вещественных чисел [4, с 37]

Рябина Н. О. Для чего психологу нужна математика? [1, с 63]

Савельев В. П. К 100-летию математика, академика, профессора Московского университета им. М. В. Ломоносова А. Н. Тихонова [5, с. 121]

Самыловский А. И. О содержании математической подготовки студентов социально-экономических направлений и специальностей (некоторые предложения к ГОС ВПО третьего поколения) [2, с. 67]

Санюк В. И. - см. Рудой Ю. Г. [6, с. 99]

Симонов Р. А. К истории счёта в допетровской Руси (рецензия на книгу: М. А. Цайгер. Арифметика в Московском государстве XVI века. Беэр-Шева: Берилл, 2010) [8, с. 135]

Симонова Н. С. — см. Дроздов Н. А. [7, с. 133]

Синкевич Г. И. К истории эпсилонтики [10, с. 149]

Скрябин Б. Н. — см. Андронова Е. А. [6, с. 111]

Слугин С. Н., Кротова В. С. Обоснование теорем Вейерштрасса о равномерной аппроксимации [1, с. 29]

Слугин С. Н., Кротова В. С. Вариант обоснования некоторых утверждений теории рядов и несобственных интегралов [4, с. 45]

Смирнова Т. Г. — см. Киселева Л. Г. [6, с. 53]

Спектор В. Е. — см. Лукьянов В. Д. [10, с. 67]

Субботин А. В. — см. Гаврилов В. И. [1, с. 21; 2, с. 45; 4, с. 15; 5, с. 51]

Таланов В. А. — см. Киселева Л. Г. [6, с. 67]

Теляковский С. А. Об определении кривизны кривой [2, с. 41]

Тихомиров В. М. Теория экстремума от Ферма до наших дней [1, с. 95]

Тюлина И. А. О развитии прикладной математики и механики в московском университете (XVIII-XXI вв.) [1, с. 103]

Тюрин С. А. Изложение темы “Периодические функции” в курсе высшей алгебры [6, с. 77]

Успенский В. А. Математика для гуманитариев: философия преподавания [3, с. 91]

Утеева Р. А. — см. Дроздов Н. А. [7, с. 133]

Ушаков В. Г. Рецензия на учебник М. А. Федоткина "Основы прикладной теории вероятностей и статистики" [4, с. 125]

Фаллер О. В. — см. Лукьянов В. Д. [10, с. 67]

Федосеев В. M. Формирование тематики студенческих научных работ по математическому анализу [6, с. 81]

Хабина Э. Л. Реализация принципа прикладной направленности курса “Дискретные математические модели” для студентов экономических специальностей вузов [8, с. 65]

Цыренова В. Б. Становление и развитие высшего математического образования в Бурятии [2, с. 99]

Чечкин Г. А., Чечкина Т. П. Преимущества курса “Уравнения математической физики” на механико-математическом факультете МГУ им. М. В. Ломоносова перед соответствующими курсами ведущих университетов других стран [6, с. 33]

Чечкина Т. П. — см. Чечкин Г А. [6, с. 33]

Чубариков В. Н. — см. Русаков А. А. [4, с. 37]

Шакирова Л. Р. Математическое образование в Казанском университете в начале XIX века [2, с. 93]

Шамаев А. С. Олимпиады по дифференциальным уравнениям для студентов 2, 3 курсов механико-математического факультета МГУ [1, с. 77]

Шамаев А. С, Капустина Т. О. Педагогическая деятельность кафедры дифференциальных уравнений механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова. Олимпиады и письменные экзамены по дифференциальным уравнениям [6, с. 11]

Шамаев А. С. — см. Боровских А. В. [6, с. 9]

Шильников Л. П. Гомоклинические траектории: от Пуанкаре до наших дней [5, с. 75]

Шишкин А. А. Об одной форме работы со студентами на семинарских занятиях по математике на первом курсе [2, с. 63]

Штерн А. И. — см. Гаврилов В. И. [5, с. 15]

Штерн А. С. Элементы коммутативной алгебры в системе дополнительного математического образования [5, с. 95]

Шухман А. Е., Шухман Е. В. Заметки о недесятичных системах счисления в опубликованных работах и записных книжках Леонарда Эйлера [6, с. 143]

Шухман Е. В. — см. Шухман А. Е. [6, с. 143]

Щетников А. И. Задача Архимеда о быках, алгоритм Евклида и уравнение Пелля [2, с. 27]

Эвнин А. Ю. Мультипликативные функции в теории чисел [6, с. 89]

Эвнин А. Ю. Уравнение Пелля [7, с. 89]

Эпштейн Г. Л. — см. Зверкина Г А. [6, с. 123]

Южаков О. И. Студенческие математические олимпиады педагогических вузов Уральского региона [1, с. 67]

Яковлев М. К. Построение поля действительных чисел и теории пределов числовых последовательностей на основе понятия стабилизатора последовательности бесконечных десятичных дробей [8, с. 41]

Яковлев М. К. Интеграл Римана как функция области интегрирования [9, с. 59]

Утраты

“Математическая безграмотность губительнее костров инквизиции” (Памяти Владимира Игоревича Арнольда) (публикация Г. М. Полотовского) [8, с. 7]

Лев Дмитриевич Кудрявцев (25 марта 1923 — 17 февраля 2012)

(И. И. Баврин, С. В. Емельянов, И. С Емельянова, А. И. Кириллов, Ю. М. Колягин, Г. М. Полотовский, С. А. Розанова, Н. Х. Розов, А. А. Русаков, В. П. Чубариков, А. Г. Ягола) [10, с. 77]

Анатолий Дмитриевич Мышкис (некролог) (А. С Братусь, Г. А. Зверкина, А. М. Филимонов) [7, с. 139]

Леонид Павлович Шильников (17 декабря 1934 —26 декабря 2011) [10, с. 85]

Новая учебная литература по математике для вузов

Серия “Классический университетский учебник”. К 250-летию МГУ [2, с. 151]

Учебники издательства “Физматлит” [2, с. 155]

Учебники издательства “Физматлит” [3, с. 125]

Учебники издательства “Лань” [3, с. 129]

Учебное пособие и сборник задач по теории марковских процессов и теории вероятностей А. А. Свешникова [5, с. 131]

Другие материалы

Нижегородскому математическому обществу 15 лет (Г. М. Полотовский) [8, с. 143]

О деятельности нижегородского математического общества (Г. М. Полотовский) [10, с. 175]

О деятельности Нижегородского математического общества в 2010-2011 учебном году и в первом семестре 2011-2012 учебного года (Г. М. Полотовский) [9, с. 127]

Резолюция заседания Московского математического общества [9, с. 8]

Решение Правления Санкт-Петербургского математического общества [9, с. 11]

Решение заседания Нижегородского математического общества [9, с. 12]

Совместная научная сессия ННЦ РАН, ННГУ и РФЯЦ, посвященная 100-летию со дня рождения академика Н. Н. Боголюбова (ННГУ, 2 сентября 2009 г.) (Г. М. Полотовский) [7, с. 181]

Составитель: Семенова Л. Р.

Математика в высшем образовании

№ 10, 2012

Научно-методический журнал

Свидетельство о регистрации средства массовой информации Министерства РФ по делам печати, телерадиовещания и средств массовых коммуникаций ПИ № 77-15825 от 7 июля 2003 г.

ISSN 1729-5440

Адрес редакции: 603950, Нижний Новгород, проспект Гагарина, 23, Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского, корпус 6, к. 406. Тел.: (831) 465-85-10; (831) 462-33-64; факс: (831) 465-85-92 e-mail: polotovsky@gmail.com http://www.unn.ru/math

Компьютерная верстка Л. Р. Семеновой Оригинал-макет подготовлен с использованием пакета LATEX

Формат 60x84 1/8 Гарнитура Computer Modern. Печать офсетная. Бумага офсетная. Усл. печ. л. 21,4. Уч.-изд. л. 16,2. Тираж 300 экз. Заказ № 1048.

Издательство Нижегородского госуниверситета им. Н.И. Лобачевского, 603950, Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23.

Типография Нижегородского госуниверситета им. Н.И. Лобачевского, 603000, Нижний Новгород, ул. Большая Покровская, 37.

Индекс 87966

ISSN 1729-5440 Математика в высшем образовании, 2012, №10