ISSN 1729-5440

МАТЕМАТИКА В ВЫСШЕМ ОБРАЗОВАНИИ

9

2011

Научно-методический совет по математике Министерства образования и науки Российской Федерации

Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского

Нижегородское математическое общество

МАТЕМАТИКА В ВЫСШЕМ ОБРАЗОВАНИИ

9

2011

Научно-методический журнал

Нижний Новгород Издательство Нижегородского госуниверситета

Редакционная коллегия:

И.С. Емельянова (главный редактор) М.В. Долов, Г.М. Жислин, Т.А. Иванова, В.А. Ильин, Ю.Л. Кетков, Л.Д. Кудрявцев, М.И. Кузнецов, А.В. Латышев, Н.И. Мерлина, В.И. Михеев, Е.И. Моисеев, Г.М. Полотовский (зам. гл. редактора), Н.Х. Розов, В.А. Садовничий, Г.И. Саранцев, Р.Г. Стронгин, С.Н. Слугин, М.А. Федоткин

При перепечатке, переводе на иностранный язык, а также при ином использовании оригинальных материалов журнала ссылки на “Математика в высшем образовании” обязательны

Журнал издается при финансовой поддержке Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского

Адрес редакции: 603950, Нижний Новгород, проспект Гагарина, 23, корпус 6, к. 406. Тел. (831) 4657335; e-mail: polotovsky@gmail.com http://www.unn.ru/math

© Математика в высшем образовании, 2011

Mathematics Science and Methods Council of Russian Ministry of Education Nizhni Novgorod N.I. Lobachevsky State University Nizhni Novgorod Mathematical Society

MATHEMATICS IN HIGHER EDUCATION

9

2011

Academic Journal

Nizhni Novgorod Nizhni Novgorod State University Press

Editorial Board:

I.S. Yemelyanova (Editor-in-Chief), M.V. Dolov, G.M. Zhislin, T.A. Ivanova, V.A. Ilyin, Y.L. Ketkov, L.D. Kudryavtsev, M.I. Kuznetsov, A.V. Latyshev, N.I. Merlina, V.I. Miheev, E.I. Moiseev, G.M. Polotovskiy (Editor), N.Kh. Rozov, V.A. Sadovnichii, G.I. Sarantsev, R.G. Strongin, S.N. Slugin, M.A. Fedotkin

No reprint or any use of the material is allowed without reference to “Mathematics in Higher Education”

The journal is published with financial support of Nizhni Novgorod N.I. Lobachevsky State University

Editorial Office Address: University of Nizhni Novgorod, 23 Prospekt Gagarina, Building 6, Office 406 603950, Nizhni Novgorod, Russia Tel: (831)4657335; e-mail: polotovsky@gmail.com http://www.unn.ru /math

© Mathematics in Higher Education, 2011

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие.......................................................................7

Резолюция заседания Московского математического общества...................8

Решение Правления Санкт-Петербургского математического общества........ 11

Решение заседания Нижегородского математического общества................ 12

Содержание и технологии математического образования в вузе

Бегунц А. В. Три доказательства теоремы Кантора-Бернштейна.............. 13

Костин С. В. Несколько замечаний о степенных и двусторонних степенных рядах......................................................................... 23

Ремизов И. Д. Стандартные обозначения и факты теории множеств........... 39

Яковлев М. К. Интеграл Римана как функция области интегрирования....... 59

История математики и математического образования.

Персоналии

Губина Е.В. Академик А.А.Андронов и его школа (к 110-летию со дня рождения А.А. Андронова).................................................. 73

Гушель Р. 3. Из истории движения за обновление отечественного образования на рубеже XIX-XX веков.............................................. 83

Зубова И. К. Алексей Николаевич Боголюбов (к 100-летию со дня рождения) .......................................................................... 91

Одинец В. П. Прошлое и настоящее (к 100-летию 1-го Всероссийского съезда преподавателей математики)............................................. 99

В перерыве между лекциями

Вейзе Д. Л. Пифагорейский подход к проблемам периодичности в современной науке................................................................ 109

В Нижегородском математическом обществе

О деятельности Нижегородского математического общества в 2010-2011

учебном году и в первом семестре 2011-2012 учебного года................ 127

CONTENTS

Introduction........................................................................7

The resolution of session of the Moscow mathematical society ......................8

The decision of the Board of the St.-Petersburg mathematical society............. 11

The decision of session of the Nizhni Novgorod mathematical society.............. 12

Subject and Technologies of Mathematical Education at University

Begunts A. V. Three proofs of the Cantor - Schröder theorem..................... 13

Kostin S. V. Several remarks on power and two-sided power series................ 23

Remizov ID. Standard facts and notations of the set theory....................... 39

Yakovlev M. K. The Riemann integral as function of a domain of integration...... 59

The History of Mathematics. The Prominent Figures

Gubina E. V. Academician A. A. Andronov and his school (to the 110 anniversary of А.А.Andronov's birth)................................................. 73

Gushel R. Z. From the history of movement for the updating of education in

Russia on the boundary of XIX and XX centuries............................. 83

Zubova I. K. Alexey Nikolaevich Bogolyubov (To the 100 anniversary of the birth)......................................................................... 91

Odinec W. P. The past and the present (to 100 anniversary of the first Russian congress of mathematics teachers and lecturers)............................... 99

In a Break between Lectures

Weise D. Pythagorean approach to problems of periodicity in modern science .... 109

In the Nizhni Novgorod Mathematical Society

About activity of the Nizhni Novgorod mathematical society in the year 2010-2011 and in the first semestre of the year 2011-2012.......................... 127

ПРЕДИСЛОВИЕ

Российское общее образование, прежде всего школьное, а вслед за ним неизбежно и высшее, переживает глубокий и затяжной кризис. При этом едва ли не в наиболее катастрофическом состоянии всё более и более оказывается математическое образование. Сейчас уже не надо обладать особой наблюдательностью, чтобы придти к таким выводам — более того, оба эти утверждения стали своеобразным «общим местом» в многочисленных дискуссиях в СМИ, на научных конференциях и т. п.

Естественно, создавшаяся ситуация не может не волновать редколлегию и авторов журнала «Математика в высшем образовании». Поэтому в этом номере журнала публикуется несколько материалов, непосредственно связанных с проводимыми в России реформами в области образования. Прежде всего, это мнение профессионального сообщества математиков о проекте Федерального государственного образовательного стандарта общего образования для старшей школы, выраженное в решениях Московского, Санкт-Петербургского и Нижегородского математических обществ, которые публикуются в начале номера. Следует заметить, что в силу графика выпуска журнала (один номер в год) эти публикации по времени несколько отдалены от моментов принятия упомянутых решений, однако, на наш взгляд, они не утратили злободневности, поскольку никаких адекватных директивных мер, направленных на улучшение ситуации в образовании, мы не наблюдаем. Кроме того, не все из этих решений публиковались в печатных СМИ.

С рассматриваемой проблематикой непосредственно связаны и две работы, публикуемые в рубрике «История математики и математического образования. Персоналии». Это статьи Р. З. Гушель «Из истории движения за обновление отечественного образования на рубеже XIX-XX веков» и В. П. Одинца «Прошлое и настоящее (к 100-летию 1-го Всероссийского съезда преподавателей математики)», позволяющие сравнить проблемы в области образования и организационные подходы к выработке необходимых решений 100 лет назад и сегодня.

В заключение обращаем внимание наших читателей, что на обновлённом сайте нашего журнала (http://www.unn.ru/math/index.html) в разделе «Архив» выложены полнотекстовые электронные версии первых пяти номеров журнала.

Зам. главного редактора Г. М. Полотовский

Резолюция заседания Московского математического общества1 08.02.2011, посвященного обсуждению проекта Федерального государственного образовательного стандарта общего образования

Рассмотрев и обсудив проект «Стандарта», Московское математическое общество констатирует:

1. Возмутительным посягательством на право ребенка получать широкое образование является однозначно вытекающий из нынешней формулировки документа (с. 56) запрет выбрать для изучения одновременно физику, химию и биологию, или русский язык, литературу, алгебру и геометрию. Появившиеся недавно объяснения разработчиков, сводящиеся к якобы неправильным запятым в этом ключевом месте, очевидно убийственны для их деловой репутации. Будучи оставлены без внимания, эти запятые могли произвести эффект не менее сокрушительный, чем в пресловутой фразе «казнить нельзя помиловать» или чем одна-единственная неправильная цифра в инструкции по заливке топлива в ракету. Трагикомизм основного списка обязательных предметов, приведенного на той же странице, не нуждается в обосновании.

2. Предлагаемое в «Стандарте» для старшей школы решение о новой структуре учебного плана (с. 56) разрушает традицию отечественной школы. Резко снижается уровень общей культуры, многие предметы фактически исчезнут. Декларируемая программа индивидуального выбора не реализуема: одному-двум ученикам не будут читать курс по выбору. Предлагаемые революционные меры не имеют ни серьезного теоретического, ни экспериментального обоснования.

3. Бедственное положение нашего школьного образования (приводящее к неудачам на некоторых международных испытаниях и служащее идеологической мотивировкой перманентной модернизации) имеет в первую очередь социальные корни: непопулярность и экономическую невыгодность учительской профессии, тяжелое состояние школ, разрушение педагогического образования, а также сокращение часов на содержательные дисциплины, не позволяющее пройти их на неформальном уровне. К этому следует добавить несоразмерную престижность неконструктивных и спекулятивных видов деятельности (и соответственную непрестижность точного знания и мастерства) в условиях сырьевой экономики. Поэтому заложенная в этом стандарте борьба с фундаментальным знанием основана на неверном диагнозе болезней нашего образования и отвлекает от лечения их настоящих причин.

4. Принятие «Стандарта» в данном виде будет иметь катастрофические последствия для школьного математического образования. Явное указание на

1 Московское математическое общество, учрежденное в 1864 году «с целью содействовать развитию математических наук в России», координирует деятельность российского математического сообщества, способствует развитию математической науки, занимается совершенствованием преподавания математики. Его президентами были крупнейшие математики мира: А. Н. Колмогоров, И. М. Гельфанд, И. Р. Шафаревич, С. П. Новиков, В. И. Арнольд. Премия ММО для молодых ученых — одна из наиболее котируемых в мире наград в области математики.

предполагаемое число часов, отводимое на изучение математики, отсутствует2, но ясно, что речь идет о резком уменьшении. В проекте, подготовленном для начальной школы, указывается 4 часа в неделю вместо традиционных шести. Тем самым запрограммирована деградация: необходимые навыки счета и решения текстовых задач не будут сформированы, что предопределяет неусвоение курса большинством учащихся на следующих ступенях. Усугубляет ситуацию объединение в один курс двух предметов, имеющих разные цели: математика и информатика.

5. Предлагаемое в «Стандарте» расширение системы профильного обучения математике в нынешней ситуации не реализуемо. За последние 10 лет на государственном уровне практически ничего не сделано для развития школ, реализующих такое обучение: нет соответствующей системы подготовки учителей и регулярной системы обмена опытом, резко упал выпуск книг и журналов для учителей и учеников как по количеству названий, так и по тиражам.

Московское математическое общество, представляющее мнение профессионалов в наиболее признанной в мире области российской науки и образования, выражает сомнение в педагогической компетентности разработчиков предложенного стандарта, в частности, в связи с выраженной в нем концепцией приоритетности воспитания перед обучением. Недооценена роль конкретного знания и учебного труда, крайне преувеличена роль «воспитательных мероприятий», освоения плохо проверяемых «универсальных учебных действий». Крайне опасное следствие — фактически запрограммированное резкое снижение учебного времени, отводимого на содержательные предметы. Невозможно «научиться учиться» таким образом, чтобы при этом ничему конкретному как следует не научиться.

Московское математическое общество считает принципиально пагубным лежащее в основе этих концепций использование образования в качестве инструмента социального выравнивания по результатам (неправомерно подменяющего радикально отличающийся от него конституционный принцип равенства по рождению). Эта политика всегда фактически сводится к выравниванию по нижнему уровню, к системе препятствий, не дающих получать максимально хорошее образование детям любого происхождения, способным и желающим получить такое образование. Как следствие, она ведет к умственной, моральной и гражданской деградации общества, разрушает надежды на построение общества знаний, на создание или хотя бы осмысленное использование высоких технологий, лишает нашу страну перспективы достойной конкуренции с экономически развитыми и быстроразвивающимися странами, гарантирует стремительную экономическую и политическую катастрофу в случае падения цен на нефть.

В заключение приведем цитату из речи академика В. И. Арнольда на парламентских слушаниях 2002 г.: «Этот план производит общее впечатление

2 Основное содержание текста проекта — несколько сот абстрактных, как правило, не проверяемых и часто неоднозначно понимаемых благих пожеланий. Это делает документ неконструктивным. Как справедливо заявлял В. И. Арнольд, чтобы быть применимым, документ такого рода должен содержать указание не только на конкретные изучаемые факты, но и на модельный список задач, которые должен уметь решать учащийся, успешно прошедший обучение.

плана подготовки рабов, обслуживающих сырьевой придаток господствующих хозяев: этих рабов учат разве что основам языка хозяев, чтобы они могли понимать приказы.»

Московское математическое общество считает, что слова, сказанные тогда одним из величайших ученых мира, относятся и к предлагаемым стандартам образования.

Московское математическое общество поддерживает по всем основным вопросам сетевое открытое письмо

http://starushkalarina.livejournal.com/60329.html

Московское математическое общество обращается к руководителям Российского государства и образования с призывом:

А) признать проект образовательного Стандарта негодным;

Б) организовать работу по подготовке Стандартов заново, включив в новый состав исполнителей лучших школьных учителей и ученых с мировым именем.

Президент Московского математического общества,

академик РАН В. А. Васильев

Примечание редакции: публикуется по тексту, доступному по адресу http://mms.math-net.ru/resol0802.pdf

Решение Правления Санкт-Петербургского математического общества

Правление Санкт-Петербургского математического общества, рассмотрев резолюцию заседания Московского математического общества 08.02.2011, посвященного обсуждению проекта Федерального государственного образовательного стандарта общего образования, полностью разделяет содержащиеся в ней оценки, данные проекту и общей ситуации с образованием в России, призывает признать проект образовательного Стандарта негодным, а его авторов — дискредитировавшими себя составлением столь безграмотного и вредного документа, и поддерживает предложение об организации работы по подготовке Стандартов заново, с включением в новый состав исполнителей лучших школьных учителей и ученых с мировым именем.

24 февраля 2011 г.

Примечание редакции: публикуется по тексту, доступному по адресу http://www.mathsoc.spb.ru/forum/reshenie_po_standartam_2011.html

Решение заседания Нижегородского математического общества (ННМО) 14 апреля 2011 года

Обсудив «доработанный проект Федерального государственного образовательного стандарта среднего (полного) общего образования», собрание принимает следующую резолюцию.

1. Нижегородское математическое общество (ННМО), подавляющее большинство членов которого — преподаватели вузов, отмечает очевидное катастрофическое падение уровня образования в Российской Федерации, прежде всего — уровня образования, даваемого средней школой, и в первую очередь — в области математики, и выражает по этому поводу крайнюю обеспокоенность. Ежедневная преподавательская работа в вузе позволяет с полной уверенностью утверждать, что нынешнее качество школьной подготовки делает полноценное вузовское образование невозможным: нет временных и материальных резервов для того, чтобы «дотянуть» принятых абитуриентов до сколько-нибудь приемлемого для обучения в вузе уровня, а с другой стороны, благодаря «болонскому процессу» общая продолжительность обучения основной массы студентов сокращена на год. По нашему мнению, одной из главных причин прискорбного и крайне опасного для страны падения уровня образования являются проводимые в последние годы реформы образования. Как по содержанию этих реформ, так и по стилю подготовки и принятия решений в области образования, а главное — по достигнутым результатам создаётся стойкое впечатление, что проводится сознательная политика разрушения образования в России. По нашему мнению, предлагаемый проект «Стандарта» в случае его принятия лишь ускорит этот процесс разрушения.

2. Исходя из сказанного в п. 1, ННМО целиком и полностью поддерживает Резолюцию Московского математического общества (ММО), принятую на заседании ММО 8 февраля 2011 года, и присоединяется к выводам этой Резолюции и к решению Правления Санкт-Петербургского математического общества от 24 февраля 2011:

а) признать проект «Стандарта» принципиально негодным;

б) организовать подготовку Стандартов заново, поручив их разработку комиссии, состоящей из школьных учителей и ученых, имеющих большой авторитет, основанный на результатах их непосредственной преподавательской работы в школе и в вузе.

Президент ННМО

профессор Л. М. Лерман

Учёный секретарь ННМО

доцент Г. М. Полотовский

СОДЕРЖАНИЕ И ТЕХНОЛОГИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ В ВУЗЕ

УДК 510.22

ТРИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМЫ КАНТОРА - БЕРНШТЕЙНА

А. В. Бегунц

МГУ имени М. В. Ломоносова Россия, 119991, ГСП-1, г.Москва, Ленинские Горы, д. 1; e-mail: ab@mech.math.msu.su

Заметка содержит изложение одного из фундаментальных утверждений теории множеств — теоремы Кантора-Бернштейна; приводятся три подробных доказательства, снабжённые иллюстрациями. Рассматриваются примеры применения теоремы и обсуждается её история.

Ключевые слова: теория множеств, мощность множества, теорема Кантора-Бернштейна.

Тема настоящей работы относится к основам теории множеств. Целью является разностороннее исследование и иллюстрирование примерами одного из фундаментальных утверждений теории множеств — теоремы Кантора-Бернштейна. Материал рассчитан на студентов первого курса, изучающих основы высшей математики в рамках различных специальностей, а приведённые примеры доступны и старшеклассникам.

Начнём с разбора одной задачи, предлагавшейся на Московской математической олимпиаде (LXV ММО, 3 марта 2002 г., 10 класс, [1]).

1. Можно ли раскрасить все точки квадрата и круга в чёрный и белый цвета так, чтобы множества белых точек этих фигур были подобны друг другу и множества чёрных точек также были подобны друг другу (возможно, с различными коэффициентами подобия)?

Решение. Зафиксируем произвольный квадрат, впишем в него круг и раскрасим в чёрный цвет все точки квадрата, лежащие вне круга (рис. 1). Затем впишем в полученный круг квадрат со сторонами, параллельными сторонам исходного квадрата, и раскрасим в белый цвет все точки круга, лежащие вне вписанного квадрата. Точки вписанного квадрата раскрасим по тому же правилу, что и точки исходного квадрата и т. д. При этом мы каждый раз будем считать, что граница квадрата покрашена чёрным, за исключением четырёх точек касания вписанного в квадрат круга, а граница круга — белым, за исключением четырёх вершин квадрата, вписанного в этот круг. Центр квадрата раскрасим в чёрный цвет.

Рис. 1. Раскраска

Покажем, что мы раскрасили все точки исходного квадрата. Пусть его сторона равна 2а, тогда радиус вписанного круга равен а и сторона первого вписанного квадрата равна л/2а (рис. 2). Следовательно, сторона п-го вписанного квадрата, равная 2а/(л/2) , стремится к нулю при неограниченном увеличении п. Поскольку все квадраты вложены друг в друга, любая точка исходного квадрата, отличная от его центра, при увеличении п окажется вне достаточно малого вписанного квадрата, а поэтому будет раскрашена.

Заметим, что гомотетия1 с центром в центре квадрата и коэффициентом 1/у/2 переводит множество чёрных точек квадрата в множество чёрных точек круга, вписанного в этот квадрат, а значит, эти множества подобны. Наконец, множество белых точек квадрата просто совпадает с множеством белых точек вписанного в него круга.

Таким образом, построенный нами пример позволяет дать утвердительный ответ на вопрос, поставленный в условии задачи (конечно, возможны и иные способы раскраски). ■

Прежде чем продолжить, условимся о некоторых обозначениях и понятиях. Будем говорить, что на множестве А задано отображение f во множество В (пишут /: А —> В), если каждому элементу а множества А поставлен в соответствие ровно один элемент Ъ множества В (пишут /(а) = Ъ). Если отображение /: А —> В обладает тем свойством, что каждый элемент множества В поставлен в соответствие ровно одному элементу множества А, то такое отображение называют взаимно однозначным, биекцией, а также взаимно однозначным соответствием. Запись А = В U С будет означать, что множество А есть объединение непересекающихся множеств В и С'.

Очевидно, что между конечными множествами можно установить биекцию в том и только том случае, если эти множества содержат одинаковое количество элементов. Для бесконечных множеств количественной характеристикой служит мощность: множества А ж В называются равномощными, если между ними можно установить биекцию (обозначение: \А\ = \В\). Если же множество А равномощно некоторому подмножеству множества В, то будем писать так: \А\ ^ \В\.

Вернёмся к фигурам, рассмотренным при решении задачи. Пусть А -множество точек исходного квадрата, а В — множество точек вписанного в него круга. С одной стороны, поскольку круг вписан в квадрат, получаем \В\ ^ \А\. С другой стороны, исходный квадрат можно «сжать» в у/2 раз (биекция!), получив множество А', и вписать его в круг, так что \А\ = \А'\ ^

Рис. 2. Стороны фигур

1 Напомним, что гомотетией с центром в точке О и коэффициентом к называется такое преобразование плоскости, при котором каждая её точка Р переходит в точку Р;, определяемую из векторного равенства ОР' = кОР.

Заметим теперь, что описанная в решении задачи конструкция позволяет установить взаимно однозначное соответствие между точками квадрата и вписанного в него круга. В самом деле, поскольку множества белых точек квадрата и круга совпадают, каждой белой точке квадрата поставим в соответствие её саму (но уже как точку круга), а каждой чёрной точке квадрата — чёрную точку круга, являющуюся её образом при описанной выше гомотетии с коэффициентом 1/л/2 (в частности, центры квадрата и круга будут соответствовать друг другу). Здесь мы снова воспользовались тем очевидным соображением, что гомотетия устанавливает взаимно однозначное соответствие между подобными фигурами2. Итак, мы доказали, что \А\ = \В\.

Оказывается, что рассмотренный пример является частным случаем универсального теоретико-множественного утверждения — теоремы Кантора-Бернштейна [2-10], к рассмотрению которой мы и переходим.

Теорема Кантора —Бернштейна (первая формулировка). Если множество А равномощно некоторому подмножеству множества В, а множество В равномощно некоторому подмножеству множества А, то множества А и В равномощны.

Во введённых обозначениях теорема принимает следующий вид.

Теорема Кантора —Бернштейна (вторая формулировка). Пусть А и В — множества. Тогда если \А\ ^ \В\ и \В\ ^ \А\, то \А\ = \В\.

Первое доказательство [3, гл.1, §3, п. 5]. Обозначим биекцию множества А на подмножество множества В через /, а биекцию множества В на подмножество множества А — через д. Возьмём произвольный элемент а множества А и построим цепь, начинающуюся с этого элемента, следующим образом. Если найдётся такой элемент Ъ множества В, что д(Ь) = а, то запишем:

если же такого элемента Ъ нет, то построение закончено и цепь имеет длину 1. Далее, если найдётся такой элемент а' множества А, что f(af) = Ь, то запишем (рис. 3):

(элементы а и а' не обязаны быть различными), если же такого элемента а' нет, то построение закончено и цепь имеет длину 2. Продолжая этот процесс далее, получим цепь, длину которой обозначим через /а, где 1а — натуральное число, если цепь конечна, или символ оо в противном случае. Отметим, что процесс построения может «зацикливаться», приводя к бесконечной цепи, содержащей лишь конечное число попарно различных элементов; в этом случае длине 1а также приписывается значение оо.

Рис. 3. Построение цепи

2 Например, можно установить биекцию между квадратом с любой положительной стороной и квадратом со стороной единица.

Таким образом, для каждого элемента a G А мы определили величину /а, что позволяет представить множество А в виде объединения трёх непересекающихся множеств:

где

Построив аналогичным образом цепь вида ... Ъ' А а Ь Ь для каждого элемента b Е В, получим аналогичное представление множества В в виде объединения трёх непересекающихся множеств:

где

Покажем теперь, что

Для этого установим, что отображения /: являются биекциями.

В самом деле, если Ъ G i?2, то найдётся единственный элемент a G А, для которого /(а) = Ь, причём 1а = l^ — 1, a значит, a G Ai. С другой стороны, если а G Ai и /(а) = Ь G В, то /5 = 1а + 1, поэтому Ъ G i?2- Аналогичным образом можно показать, что д: В\ —> А 2 есть биекция. Наконец, легко видеть, что если a G Лоо, то /(а) = Ъ G Дэо, и наоборот, для каждого Ь G i?oo найдётся единственный элемент a G А, для которого /(а) = Ь, причём /а = оо.

Таким образом, |Л| = ■

Следующее доказательство является более абстрактным и требует владения такими теоретико-множественными понятиями, как образ множества при отображении, а также знания основных свойств операций объединения, пересечения и вычитания множеств. По данным вопросам можно рекомендовать классические учебники [2-4], а также книги [5, 6] и [11], которые будут доступны и учащимся старших классов.

Второе доказательство [7, гл. 1, § 1]. Снова обозначим биекцию множества А на подмножество множества В через /, а биекцию множества В на подмножество множества А — через д. Определим на подмножествах множества А операцию * так:

Очевидно, С* С А. Отметим свойство монотонности операции *: если

В самом деле,

Рассмотрим семейство множеств

Семейство M непусто, так как 0 G M. Положим

Поскольку S С S*, множество S входит в семейство М. По свойству монотонности получаем 5* С 5**, так что также входит в семейство M, а значит, £* С S. Таким образом,

поэтому

Поскольку отображения

взаимно однозначны, а

получаем, что множества А и В равномощны. ■

Перед тем как привести третье доказательство, укажем ещё одну формулировку обсуждаемой теоремы. Пусть множество А равномощно некоторому подмножеству В\ множества В, а множество В равномощно некоторому подмножеству Ai множества А. Тогда при взаимно однозначном соответствии множеств В и Ai подмножеству Bi будет соответствовать некоторое подмножество А2 множества Ai, причём \А\ = |i?i| = |^4.21- Поскольку A D Ai Э А2 и \Ai\ = \В\, получаем, что равномощность множеств А ж В равносильна равномощности множеств А ж Ai. Значит, упоминание о множестве В в формулировке теоремы можно исключить следующим образом.

Теорема Кантора —Бернштейна (третья формулировка).

Третье доказательство [2, гл. 2, §5; 4, гл. 1, §6; 5, 6, 10]. Пусть / : А —> —> А2 — биекция, и положим

Обозначив Ао = А, получим систему вложенных множеств

в которой А2п есть результат n-кратного применения отображения / к множеству Ао, а ^2n+i есть результат n-кратного применения отображения / к множеству А\.

Представим множество Aq в виде объединения непересекающихся слоев С к = \

(элемент а принадлежит сердцевине тогда и только тогда, когда он принадлежит каждому из множеств Ао, А\,...).

Поскольку

и / — биекция, слои Со, С2, С4,... равномощны. Поэтому мы можем построить биекцию между множествами Aq и Ai следующим образом:

Если элемент а множества А принадлежит слою с чётным номером, поставим ему в соответствие элемент /(a), a если он принадлежит слою с нечётным номером или сердцевине, то оставим его на месте (поставив ему в соответствие его же, но как элемент множества Ai). Это означает, что множества А = Ао и Ai равномощны. ■

Рассмотрим два примера применения теоремы Кантора-Бернштейна.

Сначала докажем, что отрезок равномощен квадрату (этот факт весьма важен). С этой целью построим биекцию отрезка в подмножество квадрата и биекцию квадрата в подмножество отрезка, а затем воспользуемся рассматриваемой теоремой. Для первой биекции можно просто взять гомотетию с подходящим коэффициентом, чтобы длина отрезка совпала с длиной стороны квадрата, и установить взаимно однозначное соответствие наложением отрезка на любую сторону квадрата (мы считаем, что квадрат содержит свою границу). Биекцию квадрата в подмножество отрезка построить несколько

Рис. 4. Вложенные множества и слои

сложнее. Достаточно рассмотреть, например, случай квадрата [0;0,5]2 и отрезка [0; 1]. Каждой точке Q квадрата соответствует пара координат (жд, ?/q), причём это соответствие взаимно однозначно, если в десятичных записях чисел xq, ус не допускать «зацикливания девяток», а брать конечную десятичную дробь (например, записи 0,4999... = 0,4(9) мы предпочтём 0,5). Если

то отобразим точку Q квадрата в точку а отрезка [0; 1], положив

Очевидно, разные точки квадрата перейдут в разные точки отрезка, а значит, нами построена биекция квадрата [0; 0,5]2 в некоторое подмножество отрезка [0; 1]. Отметим, что мы не взяли квадрат [0; If, чтобы не решать проблемы с отображением части его границы (на ней координаты могут равняться 1). Итак, обе биекции построены, а значит, по теореме Кантора - Бернштейна отрезок и квадрат равномощны.

В качестве второго примера докажем, что если отрезок разбит на две части, то хотя бы одна из них равномощна отрезку (под частями здесь имеются в виду подмножества произвольного вида). Воспользуемся доказанным результатом о равномощности отрезка и квадрата. При существующей между ними биекции любому разбиению отрезка на две части отвечает разбиение квадрата на два подмножества, равномощных соответствующим частям отрезка. Иными словами, если отрезок представлен в виде объединения непересекающихся множеств Л и В, то и квадрат будет являться объединением непересекающихся множеств X и У, причём \Х\ = \А\ и \Y\ = \В\. Значит, достаточно доказать наше утверждение для квадрата. Если одна из частей квадрата содержит некоторый отрезок, то, поскольку отрезок и квадрат равномощны, по теореме Кантора-Бернштейна эта часть равномощна квадрату (и отрезку). Если же ни одна из частей квадрата отрезка не содержит, то поступим следующим образом. Пусть это квадрат [0; I]2. Для каждого числа a G [0; 1] рассмотрим сечение квадрата прямой х = а. Полученный в сечении отрезок содержит хотя бы одну точку Ма первой части разбиения. Рассмотрим множество3 {Ма : a G [0; 1]}. Это множество равномощно отрезку, а

3 При построении множества мы пользуемся аксиомой выбора, согласно которой для каждого семейства непустых непересекающихся множеств существует по меньшей мере одно множество, которое имеет ровно один общий элемент с каждым из множеств данного семейства. Отметим, что эта аксиома принимается не всеми математиками. Её неприятие связано, главным образом, с тем, что она лишь утверждает существование множества, но никак его не определяет, в частности, не позволяя указать явно ни одного элемента этого множества. Более того, применяя эту аксиому, можно доказать немало утверждений, которые кажутся неправдоподобными, парадоксальными и даже вызывают интуитивный протест (по этому вопросу см., например, [3, 6, 12]. Подчеркнём, что приведённые нами доказательства теоремы Кантора-Бернштейна на аксиому выбора не опираются.

значит, существует биекция отрезка в подмножество первой части разбиения. Поэтому опять же по теореме Кантора - Бернштейна эта часть равномощна отрезку.

В заключение автор приносит искреннюю благодарность всем коллегам, внимательно прочитавшим рукопись статьи и поделившимся своими соображениями по её усовершенствованию.

Замечания

1. Нетрудно видеть, что приведённые доказательства теоремы Кантора-Бернштейна не являются логически независимыми. Например, сердцевина С из третьего доказательства состоит из всех элементов множества А, у которых можно любое число раз найти прообраз при отображении /, а это очень напоминает множество Aqq, построенное в первом доказательстве. Тем не менее, предложенные подходы методически различны и позволяют учащимся более полно и разносторонне усвоить содержание утверждения.

2. Подход к сравнению бесконечных множеств путём установления взаимно однозначного соответствия принадлежит Г. Кантору, который поставил задачу классификации актуально бесконечных множеств [8; 9, гл. IX]. Г. Кантор доказал, что

3. Вопрос об авторстве теоремы и оригинальных доказательствах весьма интересен. По этой проблеме можно рекомендовать переписку Г. Кантора с Р. Дедекиндом [8]. В письме от 5 ноября 1882 г. Г. Кантор пишет:

Вы помните, что в Гарцбурге я говорил Вам, что не могу доказать следующую теорему:

«Если М' является составной частью многообразия M, а М“ — составной частью М' и если M и М” могут быть поставлены во взаимно однозначное соответствие друг с другом, то есть M и М“ имеют одинаковую мощность, то и М' имеет ту же мощность, что и M и М”.»

Теперь я нашёл исток этой теоремы и могу доказать её строго и в нужной общности, что восполняет существенный пробел в теории многообразий.

Однако Г. Кантор доказательства не привёл, а 30 августа 1899 г. в ответ на письмо Р. Дедекинда он пишет:

Большое спасибо за ... набросок простого доказательства, данного Вами теореме ... моей работы. Если отвлечься от формы, то оно совпадает (если я не ошибаюсь) с доказательством Шредера, сообщённым впервые осенью 1896г. которое осенью 1897г. самостоятельно повторил г-н Феликс Бернштейн на семинаре в Галле.

Письмо Р. Дедекинда содержало утверждение: если система U является частью системы Т, последняя — частью системы S, и S подобна U, то и

S подобна Г, доказательство которого осуществлялось с помощью дедекиндовской теории цепей4.

Третье доказательство настоящей работы восходит к доказательству Ф. Бернштейна, впервые опубликованному в 1898 г. в книге Э. Бореля [10, с. 102-107]. Отметим, что в некоторых отечественных книгах (например, [7]) можно встретить рассматриваемое утверждение под именем теоремы Шредера-Бернштейна, а за рубежом теорему обычно называют, перечисляя фамилии всех трёх учёных.

4. Задача, с которой начато рассмотрение обсуждаемого вопроса, не только иллюстрирует третье доказательство, но и является ещё одним примером того, как научные знания, облечённые в доступную школьникам форму, распространяются на интеллектуальных соревнованиях, привлекая молодёжь к научно-исследовательской деятельности.

ЛИТЕРАТУРА

1. Московские математические олимпиады 1993-2005 гг. / Федоров Р.М. и др. Под ред. В.М.Тихомирова. 2-е изд. — М.: МЦНМО, 2008. 464с.

2. Хаусдорф Ф.. Теория множеств: Пер. с нем. Н. Б. Веденисова под редакцией и с дополнениями П.С.Александрова и А.Н.Колмогорова. 4-е изд. — М.: УРСС, 2007. 304с.

3. Колмогоров А. Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. 7-е изд. — М.: Физматлит, 2006. 572 с.

4. Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию. — М.: Наука, 1977. 368 с.

5. Верещагин Н.К., Шень А. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 1. Начала теории множеств. 3-е изд. — М.: МЦНМО, 2008. 128 с.

6. Ященко И. В. Парадоксы теории множеств. 2-е изд. — М.: МЦНМО, 2009. 40 с.

7. Архангельский А.В. Канторовская теория множеств. — М.: Изд-во МГУ, 1988. 112с.

8. Кантор Г. Труды по теории множеств: Пер. с нем. Ф. А. Медведева и А. П. Юшкевича, отв. редакторы А. Н. Колмогоров и А. П. Юшкевич. — М.: Наука, 1985. 431 с.

9. Клайн М. Математика. Утрата определенности: Пер. с англ. / Под ред., с предисл. и примеч. И.М. Яглома. — М.: Мир, 1984. 434с.

10. Borel Е. Leçons sur la théorie des fonctions. — Paris: Gauthier-Villars et fils, 1898. 137p. Издание доступно для бесплатного чтения на сайте http://www.archive.org.

11. Виленкин Н.Я. Рассказы о множествах. 4-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. 152с.

12. Кановей В. Г. Аксиома выбора и аксиома детерминированности. — М.: Наука, 1984. 64 с.

Поступила 06.09.2011

4 Здесь хорошо видно, как создатели новой теории пользуются разными терминами, например, для множества (многообразие, система) и равномощности (подобие).

THREE PROOFS OF THE CANTOR-SCHRÖDER THEOREM

A. V. Begunts

We discuss the Cantor-Bernstein-Schröder theorem, a fundamental statement in set theory. Three detailed proofs supplied with illustrations are given. We consider a number of the theorem's applications and sketch its history.

Keywords: set theory, cardinal number, Cantor-Bernstein-Schröder theorem.

СОДЕРЖАНИЕ И ТЕХНОЛОГИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ В ВУЗЕ

УДК 517.537.3 + 378.147

НЕСКОЛЬКО ЗАМЕЧАНИЙ О СТЕПЕННЫХ И ДВУСТОРОННИХ СТЕПЕННЫХ РЯДАХ

С. В. Костин

Московский государственный институт радиотехники, электроники и автоматики (технический университет) Россия, 119454, г- Москва, пр. Вернадского, 78; e-mail: kostinsv77@mail.ru

Обсуждается ряд вопросов, связанных со степенными и двусторонними степенными рядами. Предложено несколько нововведений, которые должны сделать учебный материал более логичным и доступным для студентов.

Ключевые слова: ТФКП, степенной ряд, двусторонний степенной ряд, ряд Тейлора, ряд Лорана.

§ 1. Введение

Понятия «степенной ряд» и «двусторонний степенной ряд» являются одними из важнейших понятий теории функций комплексной переменной (ТФКП). Изучение литературы показало, что некоторые вопросы, связанные с этими понятиями, трактуются в части книг и учебников по ТФКП, по нашему мнению, не совсем корректно или не совсем удачно. Целью данной статьи является уточнение ряда определений и формулировок.

В нашей статье мы рассматриваем следующие ряды1:

(1)

(2) (3)

Здесь zo и сп (п G Z) — фиксированные комплексные числа, a z — переменная, принимающая комплексные значения. Число zo называется центром рядов (1), (2) и (3), а числа сп (n G Z) называются коэффициентами рядов (1), (2) и(3).

1 Для краткого обозначения рядов мы используем прописную греческую букву Е («сигма»), возможно, с верхними и (или) нижними индексами. Использование для обозначения рядов буквы Е вполне логично, так как она служит в математике для компактной записи рядов и конечных сумм. Отметим, что краткое обозначение рядов с помощью прописной греческой буквы Е можно встретить, в частности, в книге [1].

Символом2 Kr(zo) (0 < R ^ +оо) мы обозначаем множество {z G С | I \z — zo\ < R}- Множество Kr(zo) называется кругом радиуса R с центром в точке zq.

Символом3 Kr^ r(zo) (0 ^ г < R ^ +оо) мы обозначаем множество {z G С | I г < \z — zo\ < R}- Множество Kr^ r(zo) называется кольцом с внутренним радиусом г, внешним радиусом R и центром в точке z$.

Отметим, что наша статья носит методический характер. Форма статьи может показаться несколько необычной: в заголовок параграфа мы выносим тот вопрос, который обсуждается в этом параграфе.

§2. Является ли ряд (1) функциональным рядом?

В некоторых книгах (см., например, [2, 3]) написано, что ряд (1) является функциональным рядом. По нашему мнению, это не совсем точно. Говорить, что (1) — это функциональный ряд, можно лишь в том случае, если функциональный ряд был определен как ряд вида

тогда как обычно функциональный ряд определяется как ряд вида

Здесь р — целое число, с которого начинается нумерация членов функционального ряда (обычно р = 1 или р = 0).

По нашему мнению, правильнее говорить, что (1) — это двусторонний4 функциональный ряд. При этом, естественно, надо дать определение двустороннего функционального ряда, а также определение того, что значит, что двусторонний функциональный ряд сходится (абсолютно сходится, условно сходится, расходится) в данной точке z\ G С. Отметим, что обычный (то есть не двусторонний) функциональный ряд логично называть односторонним функциональным рядом (см., например, [4]).

Односторонний функциональный ряд

иногда записывают в виде

В частности, ряд (3) иногда записывают в виде

Мы считаем, что это, по существу, тот же самый односторонний функциональный ряд, правда, по другому записанный (а именно изменен знак у индекса суммирования).

Двусторонний функциональный ряд

называется сходящимся в точке z\ G С, если в точке z\ сходятся два односторонних функциональных

2 Использование в символе Kr(zq) прописной латинской буквы К связано с тем, что эта буква является первой буквой немецкого слова der Kreis — круг.

3 Использование в символе КГ: r(zç>) прописной латинской буквы К обусловлено соображениями единообразия с символом Kr(zo).

4 В русском языке существует как прилагательное «двусторонний», так и прилагательное «двухсторонний». Сколько-нибудь заметного семантического или стилистического различия между этими прилагательными нет. По традиции в математике обычно используется прилагательное «двусторонний» («двусторонний ряд», «двусторонняя поверхность», «двустороннее преобразование Лапласа» и т.д.).

При этом суммой двустороннего функционального ряда называется сумма сумм этих двух односторонних функциональных рядов.

Равносильное определение: двусторонний функциональный ряд

называется сходящимся в точке z\ G С, если в точке z\ определены все члены этого ряда (то есть все функции un(z\ п G Z) и если существует конечный предел

где натуральные числа тип стремятся к +оо независимо друг от друга. При этом суммой двустороннего функционального ряда называется значение этого предела5.

По нашему мнению, для того чтобы понятие двустороннего функционального ряда лучше воспринималось студентами, изучению двусторонних функциональных рядов должно предшествовать изучение двусторонних числовых рядов. К сожалению, в подавляющем большинстве учебников высшей математики и математического анализа (как действительного, так и комплексного) двусторонние числовые ряды вообще не рассматриваются. Это приводит к тому, что студенты психологически и интеллектуально не готовы к знакомству с двусторонними функциональными рядами и, как следствие, плохо усваивают эту тему.

Отметим, что одной из немногочисленных книг, в которых рассматриваются двусторонние числовые ряды, является книга [4].

§ 3. Как следует называть ряд (1)?

В некоторых книгах (см., например, [2, 3, 5-8]) двусторонний функциональный ряд (1) называют рядом Лорана. Такая терминология представляется нам не очень удачной. Дело в том, что понятие «ряд Лорана» тесно связано с понятием «ряд Тейлора». Поскольку произвольный ряд (2) называют не «ряд Тейлора», а «степенной ряд», то и произвольный ряд (1) лучше называть не «ряд Лорана», а как-то иначе.

По нашему мнению, наиболее удачным термином для двустороннего функционального ряда (1) является термин «двусторонний степенной ряд». Что касается функционального ряда (3), то для него мы предлагаем использовать термин «степенной ряд по отрицательным степеням» (в отличие от обычного степенного ряда (2), который можно называть также «степенной

5 Отметим, что наряду с приведенным определением сходимости двустороннего функционального ряда, когда натуральные числа тип стремятся к +оо независимо друг от друга, существует также понятие сходимости двустороннего функционального ряда в смысле главного значения. Суммой двустороннего функционального ряда в смысле главного значения называется число V. Р. , если предел в правой части равенства существует и конечен. Заметим, что в книге [4] вместо термина «сумма двустороннего ряда в смысле главного значения» используется термин «симметричная сумма двустороннего ряда».

ряд по неотрицательным степеням»). Такая терминология, по нашему мнению, лучше подчеркивает тесную связь рядов (1), (2) и (3).

Отметим, что термин «двусторонний степенной ряд» применительно к ряду (1) используется, например, в книге [9]. В книге [10] используется термин «обобщенный степенной ряд».

Нам представляется, что прилагательное «двусторонний» в данном случае предпочтительнее, чем прилагательное «обобщенный». Дело в том, что слово «обобщенный» предполагает, что одно понятие входит в состав другого как частный случай. Здесь же это не совсем так. Степенной ряд, если подходить абсолютно формально, не является частным случаем двустороннего степенного ряда хотя бы потому, что степенной ряд (2) имеет множество определения6 VÇE2) = Vc(^2) = С, а двусторонний степенной ряд (1) имеет множество определения = Vc(Ei) = C\{zo}. Ситуация остается такой, даже если все коэффициенты сп, п < 0, равны нулю. Поясняющий пример:

f(x) = 0 и д(х) =--это разные функции (поскольку они имеют разные множества определения), хотя эти функции и совпадают при всех х ф 0.

В заключение этого параграфа отметим, что если в степенном ряде по отрицательным степеням (3) сделать замену переменной w =-, то ряд (3) превратится в степенной ряд относительно переменной w с центром в точке wo = 0. Однако надо иметь в виду, что множество определения полученного степенного ряда Е совпадает не со всей комплексной плоскостью С, а с комплексной плоскостью С с выколотой точкой w = 0, поскольку переменная w не может принимать значение 0.

§4. Является ли ряд (1) суммой рядов (2) и (3)?

В некоторых книгах (см., например, [6-8]) написано, что ряд (1) является суммой рядов (2) и (3). По нашему мнению, это не совсем точно. Если формально исходить из определения суммы рядов, то суммой функциональных рядов (2) и (3) является функциональный ряд

(4)

6 Множество определения функционального (или двустороннего функционального) ряда Е мы обозначаем символом V(E). Множество V(E), по определению, является пересечением множеств определения всех членов ряда Е.

Если члены ряда Е заданы с помощью формул и множество определения V(E) ряда Е не указано явно, то обычно считают, что множество определения V(E) ряда Е совпадает либо с естественным множеством определения Vr(E) ряда Е над полем действительных чисел, либо с естественным множеством определения Vc(E) ряда Е над полем комплексных чисел. Множество Vr(E) (Vc(E)), по определению, является пересечением естественных множеств определения над полем действительных (комплексных) чисел всех членов ряда Е.

Отметим, что об определении естественного множества определения функции, заданной формулой, а также о том, почему для обозначения множества определения мы используем латинскую букву V, можно прочитать в нашей статье [11].

Функциональный ряд (4) не совпадает с двусторонним степенным рядом (1). Можно привести пример, когда в некоторой точке z\ G С функциональный ряд (4) сходится, а двусторонний степенной ряд (1) расходится. Дело в том, что двусторонний степенной ряд (1), по определению, сходится в точке z\ тогда и только тогда, когда в точке z\ сходится каждый из рядов (2) и (3). В то же время функциональный ряд (4) может сходиться в точке z\ и в том случае, когда каждый из рядов (2) и (3) в точке z\ расходится.

Пусть, например, zq = 0, сп = (—1)п, если п G N U {0}, и с_п = (—l)n+1, если п G N. Ряды (2), (3) и (4) в этом случае имеют следующий вид:

Ряд (2) имеет множество сходимости7

Ряд (3) имеет множество сходимости > 1}. Отсюда следует, что двусторонний степенной ряд (1) имеет множество сходимости Ec(Yii) = ЕС{Т*2) П ЕССЕ^) = 0- В то же время функциональный ряд (4), как несложно доказать, имеет множество сходимости ECÇE^) =

Видимо, сознавая эту проблему, авторы ряда книг (см., например, [6, 7]) пишут: «Ряд (1) понимается как сумма рядов (2) и (3) и считается сходящимся, если сходится каждый из рядов (2) и (3)». К сожалению, это уточнение не спасает ситуацию. Суммой рядов (2) и (3), как мы уже писали, является ряд (4). Не совсем понятно, почему приведенное определение сходимости функционального ряда (4) («ряд (4) считается сходящимся, если сходится каждый из рядов (2) и (3)») отличается от обычного определения сходимости функционального ряда.

Получается, что, говоря о сходимости (или расходимости) ряда (4) в некоторой точке z\ G С, мы должны отдельно специально указывать, рассматриваем ли мы в данный момент ряд (4) как «обычный» функциональный ряд или как двусторонний степенной ряд.

Всего этого можно было бы избежать, если бы авторы книг и учебников по ТФКП точнее формулировали свою мысль. На самом деле не ряд (1) является суммой рядов (2) и (3), а сумма ряда (1) равна сумме сумм рядов (2) и (3), причем этот факт целесообразно рассматривать не как определение суммы ряда (1), а как частный случай определения суммы произвольного двустороннего функционального ряда (§2). Что касается самого ряда (1), то он, повторим еще раз, не равен сумме рядов (2) и (3).

7 Множество сходимости функционального (или двустороннего функционального) ряда Е мы обозначаем символом Ü7C(E). Использование в символе Ü7C(E) строчной латинской буквы с связано с тем, что эта буква является первой буквой английского слова convergence — сходимость.

Отметим, что для обозначения множества абсолютной сходимости функционального (или двустороннего функционального) ряда Е мы предлагаем использовать символ ü7a(E). Использование в символе EaÇE) строчной латинской буквы а связано с тем, что эта буква является первой буквой английского словосочетания absolute convergence — абсолютная сходимость.

§ 5. Можно ли сформулировать аналог первой теоремы Абеля для степенных рядов для двустороннего степенного ряда?

В этом параграфе для упрощения формулировок мы будем рассматривать ряды (1), (2) и (3) с центром в точке zq = 0, то есть следующие ряды:

(2') (3')

Как известно, имеет место следующая важная теорема.

Теорема 1 (первая теорема Абеля для степенного ряда). Пусть степенной ряд (2') сходится в точке zi / 0. Тогда ряд (2') сходится, и притом абсолютно, в каждой точке z такой, что \z\ < \zi\.

Иначе говоря, если степенной ряд (2') сходится в точке z\ ф 0, то он сходится, и притом абсолютно, в круге K\Zl\(0).

Можно доказать, что существуют аналоги этой теоремы для степенного ряда по отрицательным степеням (3') и для двустороннего степенного ряда (1').

Теорема 2 (первая теорема Абеля для степенного ряда по отрицательным степеням). Пусть степенной ряд по отрицательным степеням (3') сходится в точке z\. Тогда ряд (3') сходится, и притом абсолютно, в каждой точке z такой, что \z\ > \zi\.

Иначе говоря, если степенной ряд по отрицательным степеням (3') сходится в точке z\, то он сходится, и притом абсолютно, в кольце ÜT|Zl|j+oo(0).

Теорема 3 (первая теорема Абеля для двустороннего степенного ряда). Пусть двусторонний степенной ряд (1') сходится в точках z\ и z%, причем \z\\ < \z21. Тогда ряд (1') сходится, и притом абсолютно, в каждой точке z такой, что \z\\ < \z\ < \z2\.

Иначе говоря, если двусторонний степенной ряд (]/) сходится в точках z\ и 22, где \z\\ < 1? то он сходится, и притом абсолютно, в кольце K\Zl\^Z2\(ti).

§ 6. В чем заключается различие между понятиями «множество сходимости» и «область сходимости»?

В этом параграфе мы хотели бы определить и четко разграничить два понятия: «множество сходимости» и «область сходимости» функционального (или двустороннего функционального) ряда.

Пусть S — произвольный функциональный (или двусторонний функциональный) ряд и пусть а — произвольный элемент из множества определения ряда S (то есть a G У (S)). Символом Е(а) мы будем обозначать числовой (или двусторонний числовой) ряд, который получается в результате замены всех функций, являющихся членами ряда X, на значения этих функций на элементе а.

Определение 1. Множество всех элементов a G V(E) таких, что ряд S (а) сходится (абсолютно сходится), называется множеством сходимости (множеством абсолютной сходимости) ряда S и обозначается символом ECÇE) (Еа(Т,)).

Для любого функционального (или двустороннего функционального) ряда S имеет место включение Еа(Т,) С ECÇE) С Отметим, что множество ECÇE) \ EaÇE) является множеством условной сходимости ряда Е.

Приведенное выше определение 1 справедливо для функционального (или двустороннего функционального) ряда X, множество определения которого состоит из элементов совершенно произвольной природы.

Пусть теперь множество определения ряда S является подмножеством некоторого топологического пространства Г (наиболее важными для нас, естественно, являются случаи Г = С и Г = R).

Рассмотрим внутренность (то есть множество всех внутренних точек) IntEcÇE) множества ЕС(Т,). Как известно, внутренность любого множества является открытым множеством. Поэтому если множество Int£'c(S) является линейно связным, то оно будет областью8. В этом и только в этом случае мы предлагаем называть это множество областью сходимости ряда Е.

Таким образом, мы предлагаем следующее определение.

Определение 2. Если множество IntEcÇS) является линейно связным, то это множество называется областью сходимости ряда S и обозначается символом Z?c(S).

Аналогичное определение мы предлагаем для области абсолютной сходимости.

Определение 2'. Если множество IntEaCS) является линейно связным, то это множество называется областью абсолютной сходимости ряда S и обозначается символом Da(E).

Использование в символах Dc(Yi) и Z?a(S) прописной латинской буквы D связано с тем, что эта буква является первой буквой английского слова domain — область.

Степенной ряд (2), степенной ряд по отрицательным степеням (3) и двусторонний степенной ряд (1) обладают следующим замечательным свойством: у каждого из этих рядов всегда существует область сходимости и всегда существует область абсолютной сходимости, причем для указанных рядов эти области совпадают.

Пусть S — это один из рядов (1), (2) или (3). Общую область сходимости и область абсолютной сходимости ряда S мы будем обозначать симво-

8 Область — это открытое линейно связное множество. Пустое множество мы тоже считаем областью.

лом9 КСЕ). Таким образом, по определению, КСЕ) = DC(E) = Da(E). Область К(Е) мы будем называть областью сходимости ряда Е (при этом надо иметь в виду, что область К(Е) является также областью абсолютной сходимости ряда Е).

Пусть Е — это степенной ряд (2). Используя теорему 1 (§5), можно доказать, что имеет место одна из следующих двух ситуаций: 1) К(Е) = 0; 2) КСЕ) = Kr{zq) (0 < R ^ +оо). Таким образом, область сходимости КСЕ) ряда Е является либо пустым множеством, либо кругом. Поэтому область сходимости КСЕ) ряда (2) называют также кругом сходимости.

Пусть Е — это степенной ряд по отрицательным степеням (3) или двусторонний степенной ряд (1). Используя теоремы 2 и 3 (см. § 5), можно доказать, что имеет место одна из следующих двух ситуаций: 1) К(Е) = 0; 2) КСЕ) = = КТ^r(zo) (0 ^ г < R ^ +оо). Таким образом, область сходимости К(Е) ряда Е является либо пустым множеством, либо кольцом. Поэтому область сходимости К(Е) ряда (3) или ряда (1) называют также кольцом сходимости.

Таким образом, термин «круг сходимости» является синонимом термина «область сходимости» для степенных рядов, а термин «кольцо сходимости» является синонимом термина «область сходимости» для степенных рядов по отрицательным степеням и для двусторонних степенных рядов.

Круг сходимости (кольцо сходимости) К(Е) ряда Е может быть пустым множеством. Если К(Е) ф 0, то имеет место включение К(Е) С ЕС(Е) С С Еа(Е) С К(Е). Здесь К(Е) — замыкание области К(Е).

Объясним, почему, по нашему мнению, целесообразно вводить и разграничивать два понятия: «множество сходимости» и «область сходимости» функционального (или двустороннего функционального) ряда.

Прежде всего отметим, что первичным и более фундаментальным является, разумеется, понятие «множество сходимости». Оно применимо к любому функциональному (или двустороннему функциональному) ряду.

Понятие «область сходимости» носит вспомогательный характер и служит прежде всего учебным целям. Дело в том, что ряды (1), (2) и (3) далеко не всегда легко исследовать на сходимость (абсолютную сходимость) на границе круга (или кольца) сходимости. Поэтому задача «Найти множество сходимости (абсолютной сходимости) ряда Е» может оказаться совсем не простой. Замена в формулировке этой задачи слова «множество» на слово «область» позволяет заметно упростить задачу.

Сказанное, естественно, не означает, что мы призываем никогда не исследовать ряды (1), (2) и (3) на сходимость (абсолютную сходимость) в граничных точках области сходимости. Наша позиция заключается в том, что в задачниках по ТФКП должны присутствовать как задачи на нахождение множества сходимости (абсолютной сходимости), так и задачи на нахождение области сходимости (или, что то же самое, области абсолютной сходимости) рядов (1), (2) и (3).

9 Использование в символе К (Л) прописной латинской буквы К обусловлено соображениями единообразия с символами Kr(zo) и ÄV, ä(zo)- Дело в том, что область КСЕ) является либо пустым множеством, либо кругом, либо кольцом.

В некоторых книгах термин «область сходимости» используется как синоним термина «множество сходимости». Это, по нашему мнению, не совсем удачно, поскольку слово «область» обозначает в математике открытое линейно связное множество. В то же время множество сходимости ряда далеко не всегда является открытым и линейно связным. Для того чтобы у студентов не возникло ложной корреляции между понятиями «область» и «область сходимости», мы предлагаем использовать не вызывающий неправильных ассоциаций термин «множество сходимости». (См. по этому поводу также нашу статью [11].)

Отметим, что при нашем понимании термина «область сходимости» обозначаемое этим термином множество всегда является открытым и линейно связным, то есть всегда является областью.

§ 7. Что такое ряд Лорана?

Если функция f(z) регулярна в круге Kr(zo) (0 < R ^ +оо), то, согласно теореме Тейлора, она разлагается в этом круге в степенной ряд (2). Этот степенной ряд называется рядом Тейлора функции f(z) в круге Kr(zo) (если R = +00, то Kr(zo) = С, и поэтому надо уточнять: «в круге Kr(zo) с центром в точке zo»).

Если функция f(z) регулярна в кольце Kr^r(zo) (0 ^ г < R ^ +оо), то, согласно теореме Лорана, она разлагается в этом кольце в двусторонний степенной ряд (1). Этот двусторонний степенной ряд логично называть рядом Лорана функции f(z) в кольце Kr^(zo).

Таким образом, мы предлагаем вообще не использовать термин «ряд Лорана», а использовать лишь термин «ряд Лорана функции f(z) в кольце Kr,r(zo)» (п0 аналогии с термином «ряд Тейлора функции f(z) в круге Kr(zo)»). Отметим, что именно так поступают некоторые авторы (см., например, [9, 10, 12]).

Если степенной ряд (2) сходится в круге Kr(zo) к некоторой функции /(z), то ряд (2) является рядом Тейлора функции f(z) в круге Kr(zq). Аналогично, если двусторонний степенной ряд (1) сходится в кольце КГ: r(zq) к некоторой функции f(z), то ряд (1) является рядом Лорана функции f(z) в кольце Кт^ r(zo).

Подобно тому как степенной ряд не является частным случаем двустороннего степенного ряда (§3), ряд Тейлора не является частным случаем ряда Лорана. Это вытекает из того, что ряд Тейлора — это ряд в круге, а ряд Лорана — это ряд в кольце (а также из того, что ряд Тейлора — это степенной ряд, а ряд Лорана — это двусторонний степенной ряд).

Наряду с понятием «ряд Лорана функции f(z) в кольце Kt^r(zo)» существует также понятие «ряд Лорана функции f(z) в окрестности изолированной особой точки (ИОТ) функции f(z)».

Если точка zq G С является ИОТ функции f(z), то ряд Лорана функции f(z) в кольце Kq^r(zo) (0 < R ^ +оо) называется рядом Лорана функции f(z) в окрестности точки zq. Если точка z = оо является ИОТ функции

f(z), то ряд Лорана функции f(z) в кольце10 Kr^+OQ(zo) (zq G С, 0 ^ г < +оо) называется рядом Лорана функции f(z) в окрестности точки z = оо.

§ 8. Надо ли вводить понятия «главная часть» и «правильная часть» для произвольного ряда (1)?

В некоторых книгах (см., например, [1-3, 6, 10]) написано, что ряд (3) называется главной частью ряда (1), а ряд (2) называется правильной частью ряда (1).

Разумеется, какие давать определения и какую использовать терминологию — это в значительной степени дело вкуса того или иного автора. И всё-таки, по нашему мнению, нет никакой необходимости вводить понятия «главная часть» и «правильная часть» для произвольного двустороннего степенного ряда и даже для произвольного ряда Лорана.

Эти понятия, как мы считаем, целесообразно вводить лишь для ряда Лорана функции f(z) в окрестности той или иной ИОТ функции f(z), поскольку именно в этом случае на основании главной части ряда Лорана можно определить тип данной ИОТ. При этом главной частью ряда Лорана функции f(z) в окрестности ИОТ z = оо является не ряд (3), а ряд

(5)

Соответственно, правильной частью ряда Лорана функции f(z) в окрестности ИОТ z = оо является не ряд (2), а ряд

(6)

Рассмотрим, например, функцию f{z)

Функция f(z) регулярна в кольце Äo, +оо(0). Поэтому, согласно теореме Лорана, функция f(z) разлагается в кольце i^o,+oo(0) в двусторонний степенной ряд. Это разложение имеет следующий вид:

(7)

Двусторонний степенной ряд (7) является рядом Лорана функции f(z) в кольце Äq, +оо(0). Этот ряд является рядом Лорана функции f(z) в окрестности ИОТ z = 0 и одновременно он является рядом Лорана функции f(z) в окрестности ИОТ z = оо.

Если ряд (7) рассматривать как ряд Лорана функции f(z) в окрестности ИОТ z = 0, то главной частью этого ряда является ряд

10 Центр zo кольца Кг, +00(20) не обязан находиться в точке z = 0. Подробнее об этом см. ниже § 10.

Отсюда следует, что ИОТ z = 0 является полюсом второго порядка (П2) функции f(z).

Если ряд (7) рассматривать как ряд Лорана функции f(z) в окрестности ИОТ z = оо, то главной частью этого ряда является ряд

Отсюда следует, что ИОТ z = оо является существенно особой точкой (СОТ) функции f(z).

Таким образом, выделение в ряде Лорана функции f(z) главной (и соответственно правильной) части производится с учетом того, в окрестности какой ИОТ рассматривается этот ряд Лорана.

В случае произвольного двустороннего степенного ряда и в случае произвольного ряда Лорана функции f(z), как мы считаем, нет особой пользы от введения понятий главной и правильной частей ряда. Кроме того, непонятно, что называть главной и правильной частью ряда вида (7), который одновременно является рядом Лорана функции f(z) в окрестности ИОТ z = 0 и в окрестности ИОТ z = оо.

Поэтому для произвольного двустороннего степенного ряда и для произвольного ряда Лорана функции f(z), по нашему мнению, вообще не надо вводить понятия главной и правильной частей. В частности, эти понятия не надо вводить для ряда Лорана функции f(z) в кольце Kt^r(zo), где 0 < г < < R < +00, так как этот ряд заведомо не является рядом Лорана функции f(z) в окрестности какой-либо ИОТ функции f(z) (поскольку внутренний радиус г кольца Кт^ r(zo) отличен от нуля, а внешний радиус R кольца Kr, r(zo) отличен от +оо).

В качестве примера книг, в которых понятия главной и правильной частей вводятся только для ряда Лорана функции f(z) в окрестности некоторой ИОТ функции f(z), мы можем привести [5, 7, 9].

§ 9. Главная часть и правильная часть ряда Лорана — это ряды или функции?

В некоторых книгах (см., например, [12]) главной и правильной частями ряда Лорана функции f(z) в окрестности ИОТ zo называют не ряды, а функции, являющиеся суммами этих рядов.

Естественно, автор каждого учебника и каждого учебного пособия вправе использовать ту терминологию, которая ему представляется более удобной или более понятной для студентов. Однако в данном случае мы рискнем поставить под сомнение целесообразность указанного терминологического новшества. По нашему мнению, главной и правильной частями ряда Лорана лучше называть односторонние функциональные ряды, а не суммы этих рядов.

Приведем два довода в пользу нашей точки зрения.

1. При традиционном подходе, когда главной и правильной частями ряда Лорана функции f(z) в окрестности ИОТ называются ряды, проще формулируются некоторые важные теоремы и утверждения курса ТФКП. Например:

«ИОТ zo функции f(z) является полюсом тогда и только тогда, когда главная часть ряда Лорана функции f(z) в окрестности точки zo содержит конечное (и отличное от нуля) число ненулевых членов».

Если главная и правильная части ряда Лорана функции f(z) в окрестности ИОТ — это не ряды, а функции, являющиеся суммами этих рядов, то это же утверждение придется формулировать так: «ИОТ zo функции f(z) является полюсом тогда и только тогда, когда главная часть g(z) ряда Лорана функции f(z) в окрестности точки zq имеет следующий вид: g(z) = , где среди коэффициентов конечное (и отличное от нуля) число ненулевых коэффициентов».

Первая формулировка значительно короче и поэтому, по нашему мнению, имеет больше шансов быть усвоенной студентами.

2. Второй довод в пользу того, что главной и правильной частями ряда Лорана функции f(z) в окрестности ИОТ следует называть ряды, а не функции, носит чисто лингвистический характер. В состав терминов «главная часть» и «правильная часть» входит слово «часть». Вполне логично и естественно считать, что главной и правильной «частями» ряда Лорана являются ряды. Представляется нелогичным и неестественным считать, что «частями» ряда Лорана являются функции.

§ 10. Что следует называть рядом Лорана функции f(z) в окрестности ИОТ z = оо?

Пусть функция f(z) регулярна в окрестности бесконечно удаленной точки z = оо. Тогда, по определению, точка z = оо является ИОТ функции f(z).

Какой двусторонний степенной ряд следует называть рядом Лорана функции f(z) в окрестности ИОТ z = оо?

В подавляющем большинстве книг и учебников по ТФКП (см., например, [5, 8-10]) рядом Лорана функции f(z) в окрестности ИОТ z = оо называется ряд Лорана функции f(z) в кольце Кг^+ос(0) (0 ^ г < +оо), центр которого находится в точке z = 0.

Однако можно доказать, что разложение функции f(z) в ряд Лорана в кольце ifr5+00(zo) (^о £ С, zq ф 0, 0 ^ г < +оо), «ничем не хуже», чем разложение функции f(z) в ряд Лорана в кольце Кг^+оо(0). Это означает, что из разложения функции f(z) в ряд Лорана в кольце Кг, +00 (^о) можно стандартным образом (то есть по числу ненулевых членов в главной части ряда Лорана) правильно определить тип ИОТ z = оо, а также стандартным образом (то есть по формуле res f(z) = — c_i) правильно найти вычет функции f(z) в точке z = оо.

Поэтому, по нашему мнению, как разложение функции f(z) в ряд Лорана в кольце ХГ5+оо(0), так и разложение функции f(z) в ряд Лорана в кольце Kr^+OQ(zo) (zo G С, zq ф 0) следует считать разложениями функции f(z) в ряд Лорана в окрестности ИОТ z = оо.

Существуют задачи, в которых функцию f(z) значительно проще разложить в ряд Лорана в кольце Kr^+OQ(zo) (zq G С, zq ф 0), чем в кольце

Рассмотрим, например, функцию f(z)

Функцию f(z) достаточно легко разложить в ряд Лорана в кольце Äo,+oo(2). Это разложение имеет следующий вид:

(8)

Из разложения (8) видно, что точка z = оо является полюсом второго порядка (П2) функции f(z), причем вычет функции f(z) в точке z = оо равен res f(z) = —. Естественно, эту информацию можно получить также из разложения функции f(z) в ряд Лорана в кольце if2, +оо(0), однако получить это разложение значительно сложнее.

Мы считаем недостаточно мотивированным приводимое в большинстве книг и учебников по ТФКП определение ряда Лорана функции f(z) в окрестности ИОТ z = оо как ряда Лорана функции f(z) в кольце ÄV,+oo(0) (то есть в кольце, центр которого обязательно находится в точке z = 0). Отметим, что одной из немногих известных нам книг, где под рядом Лорана функции f(z) в окрестности ИОТ z = оо понимается ряд Лорана функции f(z) в произвольном кольце ifr5+00(zo) (zo G С), является книга [13].

§ 11. Что следует называть рядом Тейлора в случае функции действительной переменной?

В завершение нашей статьи мы хотели бы сделать несколько замечаний относительно ряда Тейлора. Этот вопрос относится не только к комплексному, но и к действительному анализу.

В комплексном анализе (то есть в ТФКП) существует понятие «ряд Тейлора функции f(z) в круге Kr(zq)». Это понятие аналогично понятию «ряд Лорана функции f(z) в кольце Kr^r(zo)».

В действительном анализе существует несколько иное понятие, а именно «ряд Тейлора функции f{x) в точке хо».

Таким образом, в действительном анализе ряд Тейлора определяется как ряд в точке, причем этот ряд не всегда сходится (а если сходится, то не обязательно к функции f(x)). В комплексном анализе ряд Тейлора определяется как ряд в круге (по аналогии с рядом Лорана в кольце), причем этот ряд всегда сходится и его сумма равна данной регулярной в круге функции f(z).

Мы видим, что отсутствует симметрия (параллелизм) между понятием «ряд Тейлора» в действительном и в комплексном анализе. Отсутствие этой симметрии, как показывает наш опыт преподавания высшей математики, затрудняет восприятие и усвоение учебного материала. Студенты с трудом по-

нимают, почему в действительном случае ряд Тейлора не обязательно сходится к данной функции, а в комплексном случае такая сходимость имеет место.

По нашему мнению, одной из причин, затрудняющих восприятие материала, является использование одного и того же термина «ряд Тейлора» как в действительном, так и в комплексном случае. В связи с этим мы предлагаем следующее терминологическое нововведение.

Определение 3. Пусть функция f(x) действительной переменной х бесконечно дифференцируема в точке xq. Тогда степенной ряд

(9)

называется формальным рядом Тейлора функции f(x) в точке xq.

Тот факт, что степенной ряд (9) является формальным рядом Тейлора функции /(ж) в точке хо, можно записывать следующим образом:

(10)

Знак ~ («тильда») показывает, что функции /(ж) соответствует формальный ряд Тейлора, стоящий справа от этого знака. Использование в формуле (10) знака ~ вполне аналогично использованию этого знака при записи ряда Фурье, соответствующего данной функции. Отметим, что знак ~ как знак соответствия между функцией и её формальным рядом Тейлора используется, в частности, в книге [14].

Определение 4. Если существует 6 (0 < 6 ^ +оо) такое, что в 8-окрестности Us(xo) = {ж £ IR | 0 < \х — хо\ < 6} точки хо степенной ряд (9) сходится и его сумма равна функции f(x), то степенной ряд (9) называется рядом Тейлора функции f(x) на открытом промежутке Us(xo).

Таким образом, мы предлагаем в действительном случае различать два понятия: «формальный ряд Тейлора функции f(x) в точке хо» и «ряд Тейлора функции f{x) на открытом промежутке Us(xo)» (если 6 = +оо, то Us(xo) = = M, и поэтому надо уточнять: «на открытом промежутке Us(xo) с центром в точке хо»).

При использовании этой терминологии исчезает различие между действительным и комплексным случаем, а именно ряд Тейлора функции / на области D всегда сходится на области D и притом к функции /. Здесь D — либо открытый промежуток действительных чисел (в действительном анализе), либо круг на комплексной плоскости (в комплексном анализе).

По нашему мнению, использование предложенной здесь терминологии должно снять ряд вопросов студентов и сделать учебный материал более доступным.

§ 12. Заключение

Мы надеемся, что наша работа еще раз показывает, как важно соблюдать четкость и аккуратность при написании математических текстов. Использование логичной и продуманной терминологии, а также удачной системы обозначений, по нашему мнению, значительно улучшает восприятие материала и способствует его более глубокому пониманию и более прочному усвоению.

Автор будет благодарен читателям за любые комментарии или замечания по затронутым в данной статье вопросам.

ЛИТЕРАТУРА

1. Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. Ч. 1. Функции одного переменного. 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Наука, 1985. 336 с.

2. Ефимов А.В. Математический анализ (специальные разделы). Ч. 1. Общие функциональные ряды и их приложение. — М.: Высш. шк., 1980. 279 с.

3. Лорана ряд // Мат. энциклопед. слов.: Гл. ред. Ю.В.Прохоров. — М.: Сов. энцикл., 1988. С. 332.

4. Шилов Г. Е. Математический анализ (функции одного переменного). Ч. 1-2. — М.: Наука, 1969. 528 с.

5. Сидоров Ю. В., Федорюк М. В., Шабунин М. И. Лекции по теории функций комплексного переменного. 3-е изд., испр. — М.: Наука, 1989. 480с.

6. Лорана ряд // Мат. энцикл.: Гл. ред. И. М. Виноградов. Т. 3. — М.: Сов. энцикл., 1982. С.450-451.

7. Маркушевич А. П., Маркушевич Л. А. Введение в теорию аналитических функций. — М.: Просвещение, 1977. 320 с.

8. Краснов М.Л., Киселев А. П., Макаренко Г. И. и др. Вся высшая математика. Т. 4. 2-е изд., испр. — М.: Едиториал УРСС, 2005. 352с.

9. Морозова В. Д. Теория функций комплексного переменного / Под ред. В.С. Зарубина, А. П. Крищенко. 2-е изд., стер. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2002. 520 с.

10. Колягин С.Ю. Теория функций комплексного переменного / Моск. пед. гос. ун-т. Под ред. В. Л. Матросова. — М.: Изд-во МПГУ, 2009. 222 с.

11. Костин С.В. Система обозначений для основных многозначных функций комплексной переменной и для их значений // Математика в высшем образовании. 2009. № 7. С. 39-80. — Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского гос. ун-та, 2009.

12. Бугров Я. С, Никольский СМ. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. 3-е изд., испр. — М.: Наука, 1989. 464 с.

13. Шварц Л. Анализ. Т. 2. — М.: Мир, 1972. 528 с.

14. Уваренков И. М., Маллер М. З. Курс математического анализа. Т. 2. — М.: Просвещение, 1976. 479 с.

Поступила 06.04.2011

SEVERAL REMARKS ON POWER AND TWO-SIDED POWER SERIES

S. V. Kostin

Several questions concerning power and two-sided power series are discussed. Innovations that should made the educational material more logical and easier for students are proposed.

Keywords: complex analysis, power series, two-sided power series, Taylor series, Laurent series.

СОДЕРЖАНИЕ И ТЕХНОЛОГИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ В ВУЗЕ

УДК 510.22

СТАНДАРТНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ И ФАКТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ

И. Д. Ремизов

МГУ им. М. В. Ломоносова Россия, 119991, ГСП-1, г.Москва, Ленинские Горы, д. 1; e-mail: ivan.remizov@gmail.com

Статья представляет собой незначительно изменённый текст методического пособия [27] для студентов первого курса механико-математического факультета МГУ. В ней сжато изложены общие факты и обозначения теории множеств, использующиеся во многих областях высшей математики. Конспективный стиль изложения позволил затронуть достаточно широкий круг вопросов в сравнительно небольшом объёме текста. Изложение практически не содержит доказательств, однако приведён список литературы, к которой можно обратиться за более подробным разъяснением обсуждаемых понятий.

Ключевые слова: математика, теоретико-множественный подход, терминология.

ПРЕДИСЛОВИЕ

Задача настоящего текста — сжато, но понятно изложить основы той части теории множеств, которая является языком для большинства остальных областей математики. При этом автор старался: 1) донести до читателя набор сведений, позволяющий самостоятельно изучать математическую литературу, не запинаясь о кванторы, символы декартовых произведений и термины «транзитивное отношение», «дизъюнктные множества», «биекция», «многозначная функция», «кардинал», «факторизация», «континуум», «направленность» и т. д.; 2) сделать текст возможно более кратким, не обеднив его сверх меры.

Подлинное понимание обсуждаемых в статье понятий приходит лишь после работы с примерами и задачами; здесь начинающему изучение высшей математики может понадобиться помощь наставника, готового отвечать на вопросы и проверять рассуждения. Следует также иметь в виду, что далеко не все включённые в текст утверждения имеют простые короткие доказательства.

Список литературы содержит как специализированные учебники для дальнейшего изучения, так и популярные издания. Конечно, их полезно читать и параллельно, и до, и после ознакомления с настоящим текстом: лишь взгляд на предмет с различных точек зрения позволяет ощутить его красоту в полной мере.

Автор выражает благодарность Б. В. Агафонцеву, А. В. Бегунцу, В. И. Богачеву, Н.А. Бочаровой, М.С. Вербицкому, А.В. Горшкову, А.В. Дурягину, СБ. Измалкову, А. Б. Коконовой, А.А. Костицыну, Т.П. Лукашенко, А. В. Мелешкиной, И. С. Париной, Г. М. Полотовскому, А. В. Савватееву, Я. А. Смирнову, О. Г. Смолянову, А. С. Тонису, Г. Г. Хмуркину, Д. С. Шамканову, Е. В. Шаройко за большие и маленькие замечания, позволившие сделать изложение лучше.

1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СКОРОПИСЬ

В математической скорописи часто используют специальные значки, называемые кванторами, и некоторые другие символы. Не следует думать, что высказывание, записанное с помощью математической скорописи, более научно, чем то же самое высказывание, сформулированное словами. Это лишь разные формы выражения одной и той же мысли. Главное, чтобы мысль была правильной, а не чтобы она была записана с помощью математической скорописи.

Значок логической эквивалентности означает «тогда и только тогда, когда», «в точности тогда, когда». Значок импликации означает «следовательно», «тогда». Например, запись (Р <^=^ Q) H означает: из того, что Р имеет место в том и только в том случае, когда имеет место Q, следует, что верно Н. Квантор всеобщности V читается как «любой», «для любого», «для всех», «для каждого» и представляет собой перевёрнутую первую букву слова All. Квантор существования 3 читается как «найдётся», «существует» и представляет собой перевёрнутую первую букву слова Exists. Символы конъюнкции Ли & означают «и». Символ дизъюнкции V означает неисключающее «или», т. е. (PV Q верно) ^=^> (верно хотя бы одно из высказываний Р или Q). Более подробно: фраза «верно хотя бы одно из высказываний Р или Q» означает, что реализуется одна из трёх ситуаций: (Р верно, a Q неверно), или (Q верно, а Р неверно), или (верны оба — и Р, и Q). Исключающее «или» — значок 0 — используется реже: по определению (P0Q верно) <^=г> (верно ровно одно из высказываний Р или Q). Символы «двоеточие» : или «палочка» | в формулах читаются как «что», или «такой (такие), что», или «так, что». Запятая « , » в формулах обычно означает «и». Не зазорно для большей ясности писать «и» и «или» словами. Всё это следует иметь в виду при использовании математической скорописи.

Остальные используемые обозначения объясняются прямо в тексте.

2. МНОЖЕСТВА

Множество — набор, совокупность, семейство, неупорядоченный перечень, неупорядоченный список каких-либо отличимых друг от друга объектов, называемых элементами (иногда — точками) множества. В XX веке оформилась традиция «строить математику из множеств», т. е. каждый новый вводимый в рассмотрение объект определять как некоторое множество.

А = {а, 6, с} — множество А состоит из трех элементов: а, Ъ и с. x Е А — элемент ж принадлежит множеству А (говорят также, что х лежит в Л).

А Э x — множество А содержит элемент х. Ясно, что x £ А <^=> А Э x.

А = {х: условия на х} — множество А состоит из тех и только из тех объектов ж, для которых выполняются указанные после : условия. Вместо : иногда пишут вертикальную палочку |. Действует соглашение, сокращающее записи: {х G В : условия на х} означает то же самое, что {х : х G G В, условия на х}.

Для «стандартных» числовых множеств вводятся следующие общеупотребительные обозначения:

N = {1,2,3,4,...} — множество всех натуральных чисел;

Z = {0,1, — 1, 2, —2, 3, —3, 4, —4,... } — множество всех целых чисел;

Q = {х I Зтп G Z, 3n G N: x = —} — множество всех рациональных чисел;

Ш — множество всех действительных (синоним: вещественных) чисел;

С = {х + гу : x G M, у G Ш} — множество всех комплексных чисел.

Пустое множество 0 — пустой список элементов, т. е. множество, в котором нет ни одного элемента. Для каждого х неверно, что х G 0. Например, если для всех х утверждение Р(х) ложно, то 0 = {ж: имеет место Р(х)}.

Запись А С В означает, что если х G А, то х G В. В таком случает говорят, что А содержится в В в качестве подмножества, или что множество А является подмножеством множества В. То же самое записывают в виде В D А и говорят, что множество В является надмножеством множества А. Каждый из значков G, 3, С, D можно перечеркнуть, при этом смысл меняется на противоположный. Пример: запись х ^ А означает, что элемент х не принадлежит множеству А.

Принадлежность множества А множеству В в качестве подмножества называют иногда включением А в В, а запись А С В допускает прочтение «А включено в В». Например, имеет место цепочка включений: N С Z С Q С С M С С. Если одновременно А С В и А Э В, то А = В, т. е. множества А и В совпадают как наборы элементов (другими словами, состоят из одних и тех же элементов).

У каждого множества X есть подмножества X и 0. Эти подмножества называются несобственными подмножествами множества X, а все остальные его подмножества — собственными подмножествами. Легко видеть, что у пустого множества собственных подмножеств нет, а два несобственных совпадают. Если X — множество, то 2х = {А: А С X} — множество всех подмножеств множества X. Мотивировка обозначения: если в множестве X ровно п элементов, то в множестве 2х ровно 2п элементов. Иногда вместо 2х пишут £?{Х).

AU В = {х: x £ А или х G В} — объединение множеств А л В, т.е. множество всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А и В. Легко проверяется, что A UB = BU Л, (A öB) UC = A U (BU С).

Символами Ai U ... U Ап, (J А^ и и^=1А^ обозначают объединение п мно-

жеств Ai,^2, . ..,An, т.е. множество всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств.

А Г) В = {ж : x G А и x G В} — пересечение (синоним: общая часть) множеств А и В, т. е. множество всех тех элементов, которые принадлежат каждому из множеств А ж В. Легко проверяется, что А П В = В П А, (Л П Б) П С = А П (Б П С). Символами Ai П ... П An, f| Afc и fljJ=1Afc обозначают пересечение и множеств Ai, А2, ..., Ап, т. е. множество всех элементов, принадлежащих каждому из этих множеств.

Если набор множеств Аа проиндексирован элементами а некоторого множества /, т.е. каждому а € I поставлено в соответствие множество Аа, то по определению Uaei Аа = {x|3aG/:xG Аа} — объединение всех множеств из набора (Аа)ае1. Аналогично, по определению, Haej Аа = {х | Va G G /: x G Aa} — пересечение всех множеств из набора (Аа)ае1. Пример: если / = {1,2,..., п}, то Пае1 Аа = П£=1 Ак и UaeI Аа = и£=1 Afe.

Если Л П ß = 0, то говорят, что множества А и В не пересекаются (синоним: являются дизъюнктными). Говорят, что С разбивается на А и В (запись: С = AUS), если одновременно С = AU В л АПВ = 0. Аналогично, С = 1_|£=1 Л/е, если С = и£=1 Afc и Ai П Aj = 0 при г 7^ j.

A\S = {x:xGA, ж ^ В} — разность множеств А и Б, то есть множество всех элементов множества А, не являющихся элементами множества В. Запись А \ В читается «А без В» или «А минус В». Если А С X, то X \ А = = {х G X: x ^ А} — дополнение множества А до множества X. Если из контекста понятно, о каком X идет речь, то используют обозначение Ас = = X \ А. Очевидно, (Ас)с = А. Пример: множество всех натуральных чисел разбивается на множество всех чётных натуральных чисел и множество всех нечётных натуральных чисел; каждое из этих множеств является дополнением к другому.

Если А С X и В С X, то (А П В)с = Ас U Вс и (A U В)с = Ас П Бс (так называемые правила де Моргана). Обобщение на случай произвольного количества множеств: если (Аа)ае1 — набор подмножеств множества X, то имеют место равенства (UafE/ Аа)с = Па(Е/ Аса и (Па(Е/Аа)с = иа(Е/А^.

АЛБ = (A U В) \ (А П Б) = (А\В)и(В\А) — симметрическая разность множеств А и В. Непосредственно из определения симметрической разности следует, что ААВ = БЛА, (АЛВ)ЛС = АЛ(БЛС).

3. БИНАРНЫЕ ОТНОШЕНИЯ

Будем считать известным множество всех действительных чисел R, с конструкцией которого можно быстро и качественно ознакомиться по учебнику [29]. Напомним, что это множество можно ввести аксиоматически [17] и предъявить различные множества, удовлетворяющие принятым аксиомам. Эти множества — модели множества R — могут быть построены на основе следующих объектов: дедекиндовы сечения множества всех рациональных чисел [29], бесконечные вправо т-ичные дроби (т > 2) [29], прямая в геометрии [17], цепные т-ичные дроби (га > 2) [32], фундаментальные последова-

тельности рациональных чисел. На практике может быть удобна та или иная модель в зависимости от решаемой задачи.

Запись (а, Ь) означает упорядоченную пару элементов а и 6, т. е. а считается первым элементом пары (а,6), a Ь — вторым1.

При афЬ всегда (а, Ь) ф (Ь,а), однако {а, Ь} = а}, поскольку в этом равенстве неупорядоченные перечни элементов слева и справа совпадают. Запись (а, а) корректна. Запись {а, а} в зависимости от договоренности либо некорректна, т. е. не обозначает никакого множества (поскольку элементы множества должны быть различимы), либо (это бывает чаще) обозначает множество {а}.

Если А и В — множества, то множество {(а, Ь) : а G А, Ъ G В} всех упорядоченных пар (первый элемент в паре из А, второй из В) называется декартовым произведением (синоним: прямым произведением) множества А на множество В и обозначается А х В. Заметим, что если А ф В, то i х ß / Ф В x А. Аналогично вводится множество А х В х С упорядоченных троек элементов: первый из А, второй из В, третий из С. Множество

называется n-й декартовой степенью множества А. Например, А2 = Ах А — декартов квадрат множества А.

Каждое подмножество 7 С А х В называется бинарным отношением на А x В. Говорят, что элементы ж G А и у G В находятся в отношении 7, если (ж, у) G 7; этот факт обычно записывают так: ж 7 у.

Если (ж, у) ^ 7, то пишут х yfy или ж 7 у. Если 7 С А х В — некоторое отношение, то отношение 7 = (4 х ß) \ 7 называется противоположным к отношению 7. Очевидно, (7) = 7.

Отношение 7 = А х i? можно называть тотальным — в этом случае каждый x G А находится в отношении 7 с каждым у G В. Отношение 7 = = 0 можно называть пустым: в нем не состоят никакие элементы2. Кроме бинарных, по аналогии вводятся: 7CixßxC - тернарное отношение и 7 С Ai x ... x Ап — п-арное отношение для любого натурального п.

Если 7 С А x А, то для краткости говорят, что 7 — бинарное отношение на А, не упоминая множество А х А.

Пример: отношение = (отношение равенства) на R: ж = у <^=> (числа ж и у равны). Противоположным к нему является отношение неравенства ф.

Обратным к отношению 7 называется такое отношение 7-1, что Ж7_1у <^=^ у7ж.

Ясно, что (7-1)-1 = 7- Попробуйте найти противоположные и обратные к следующим бинарным отношениям на М: <, >, <, >.

Графиком бинарного отношения называется, как ни странно, само это отношение. Например, графиком отношения = на прямой R является бис-

1 Иногда в обозначении упорядоченной пары вместо угловых скобок используют круглые: (а, Ь). Упорядоченная пара как новый объект может быть определена без употребления терминов «первый», «второй» равенством (а,Ь) = {а, {а, 6}}.

2 Оба термина: «пустое отношение», «тотальное отношение» — не общепринятые.

сектриса {(х, у) G M2 : у = ж} первого и третьего квадрантов координатной плоскости R2. Если множество А — отрезок, например, отрезок [0,1] числовой оси, то множество А х А естественно интерпретируется как единичный квадрат, и тогда график отношения равенства на А — диагональ этого квадрата. По этой причине график отношения х = у на произвольном множестве называют диагональю.

Бинарное отношение 7 на непустом множестве А называется:

- рефлексивным, если a ja для каждого a G А; геометрический смысл: отношение 7 рефлексивно диагональ х = у принадлежит графику 7;

- антирефлексивным, если а^а для каждого a G А; геометрический смысл: диагональ не пересекается с графиком отношения;

- симметричным, если для каждых х £ А, у G А из ж 7 у следует у 7x5 геометрический смысл: график симметричен относительно диагонали. Отношение симметрично тогда и только тогда, когда оно совпадает со своим обратным;

- антисимметричным, если для каждых х G А, у G А из ж 7 у и у 7 ж следует x = у; геометрический смысл: симметричные относительно диагонали точки графика могут лежать только на диагонали;

- связным3, если для каждых х G А, у G А выполняется хотя бы одно из условий: x 7 у или у 7x5

- транзитивным, если для каждых х £ А, у £ А, г G А из одновременного выполнения х^у и ууz следует х7z.

Из связности отношения следует его рефлексивность. Отношение на непустом множестве не может одновременно быть рефлексивным и антирефлексивным. Если отношение одновременно симметрично и антисимметрично, то его график лежит на диагонали.

Бинарное отношение на множестве А называется отношением эквивалентности, если оно симметрично, рефлексивно и транзитивно. Отношения эквивалентности принято обозначать значками вроде ~, ~, ~, =.

Пусть на множестве А задано отношение эквивалентности ~ . Если х ~ у, то говорят, что элементы х ж у эквивалентны. Множество Кх = {у G А: : x ~ у} называется классом эквивалентности элемента х G А по отношению . При этом ж называется представителем класса Кх. Несложно доказать, что если у G Кх, то Хж = Ку. Элементы эквивалентны тогда и только тогда, когда они принадлежат одному классу эквивалентности. Поэтому можно говорить просто о классах эквивалентности по отношению ~, ане только о классах эквивалентности тех или иных элементов. Классы эквивалентности или не пересекаются, или совпадают, поэтому множество А представляется в виде объединения непересекающихся классов эквивалентности. Множество А/^ всех классов эквивалентности множества А по отношению эквивалентности ~ называется фактор-множеством, а процесс представления множества А в виде объединения классов эквивалентности называется факторизацией.

3 Согласно другим терминологиям — связанным, а иногда — полным. В последнем случае полноту бинарного отношения не следует путать с полнотой отношения порядка (о ней речь пойдет далее).

Примеры.

1. Пусть множество А непусто. Отношение ~ , заданное так: ж ~ у «<=^ X = у, является отношением эквивалентности. При этом А/^ = {{а} : а G еА}.

2. Пусть — простое число. Определим на Z отношение эквивалентности так: m ~ п найдется такое число к G Z, что n = m + /ф. Фактормножество Z/^ обозначается Zp и играет важную роль в теории чисел.

3. Отношение «иметь одинаковый цвет глаз» — отношение эквивалентности на множестве всех девушек, живущих на Земле в данный момент. То есть X ~ у <^=г> (глаза девушки х того же цвета, что глаза девушки у). Фактормножество в этом случае — это множество групп девушек, имеющих один и тот же цвет глаз; в фактор-множестве столько элементов, сколько различных цветов глаз сейчас у девушек на Земле.

4. ФУНКЦИИ

Записи f:A^BnA^B отражают тот факт, что функция / отображает множество А в множество В. Это означает, что каждому элементу х множества А поставлен в соответствие элемент f(x) множества В, а правило, задающее это соответствие, называется /. Слова «функция» и «отображение» — синонимы.

Записи /: х \—> у, или х \—> у, или у = /(ж) означают, что функция / отображает элемент х в элемент у (то же самое по смыслу, что «функция / принимает значение у на элементе ж»). Обратите внимание: когда стрелка соединяет множества, то она «открытая», т. е. без поперечной палочки. А когда стрелка соединяет соответствующие друг другу элементы, то она «закрытая», т. е. с палочкой.

Формально функция / : А —> В определяется как такое бинарное отношение f G А X В, для которого выполнены два условия:

1) (условие определенности всюду на А). Для каждого ж G А найдется такой у G В, что (ж, у) G /;

2) (условие однозначности). Если (х,у\) G / и (ж, 2/2) G /, то у\ = г/2-Бинарные отношения, для которых не выполняется условие однозначности, называют многозначными функциями. Многозначную функцию /: А —> —> В можно интерпретировать как однозначную функцию /: А —> 2В.

Бинарные отношения, для которых не выполняется условие определенности всюду, называют определенными не всюду функциями, или частичными функциями. Частичную функцию /: А —> В можно интерпретировать как функцию, всюду определенную на множестве Dom (/) С А, задаваемом условием Dom(/) = {ж G А: Зу G В | (ж, у) G /}. Множество Dom (/) называют областью определения (domain) функции /.

Несмотря на всё сказанное выше о многозначных и частичных функциях, по умолчанию (т. е. если явно не указано иное) фраза «/ — функция из А в В» и записи /: А —> В, у = f(x) всегда означают, что множества АжВ непусты, а / — однозначное отображение. Будем также по умолчанию считать, что Dom (/) = А.

Пусть А С В и заданы функции /: А ^ С и g : В —> С, причём для каждого x G А выполняется f(x) = g ix). В этом случае говорят, что функция / является сужением функции g на множество А, и что функция g является продолжением функции / на множество В. Этот факт обозначается так: f — д\А или так: / С g (поскольку функции можно рассматривать как бинарные отношения, т.е. как множества).

Функция / : А —> В называется:

- инъективной, инъекцией, теоретико-множественным вложением, если она переводит различные точки множества А в различные точки множества В, т. е. если из f(a) = fib) следует а = Ъ. Иногда при этом пишут не /: А —>

- сюръективной, сюръекцией, теоретико-множественным наложением, «отображением А на В», если в каждую точку множества В она переводит хотя бы одну точку множества А. Иногда при этом пишут не /: А —> В, а /: А -» В;

- биективной, биекцией, 1-1-отображением, взаимно-однозначным отображением, если она одновременно инъекция и сюръекция.

Примеры.

1. Пусть А = В = R и = ж3, f2(x) = х2, /3(ж) = arctg(x), /4(ж) = = xsin(x). Тогда f\ — биекция; /2 — не инъекция (т.к. 1 ф — 1, но (I)2 = = (—I)2) и не сюръекция (т. к. нет такого х G Ш, что ж2 = — 1); /3 — инъекция, но не сюръекция; /4 — сюръекция, но не инъекция.

2. Пусть А = [0,1], В = [1, 2]. Тогда f{x) = х + 1 — биекция между А и В.

(7г 7г \ — — , — J и R.

Если / : А —> Б — функция, и обратное к f С А х В бинарное отношение /_1 С Бх Л удовлетворяет условиям однозначности и определенности всюду, то функция / называется обратимой (синоним: однозначно обратимой), а отношение /_1 называется функцией, обратной к f.

Если /: А —> В, то (/ инъективно) (отношение /_1 удовлетворяет условию однозначности), и (/ сюръективно) <^=г> (отношение /_1 удовлетворяет условию определенности всюду на ß). Таким образом, однозначная функция является биекцией тогда и только тогда, когда она обратима.

Если /: А —> В и В D то множество f~l[Bi), определяемое равенством f~l[Bi) = {х G A: fix) G i?i} С А, называют прообразом (иногда -полным прообразом) множества В\ при отображении /.

Если А\ С А, то множество /(Ai) = {f{x) \ х G Ai} С В называют образом множества А\ при отображении /.

Для каждой функции f: А —> i? и каждого В\ а В имеет место f(^f~1(Bi)) С причем (для каждого В\ С В имеет место f(^f~1(Bi)) = = В\) <^=г> (функция / сюръективна). Для каждой функции /: А —> i? и каждого Ai G А имеет место Ai С /_1(/(Ai)), причем (для каждого Ai G А имеет место Ai =/_1 (/(Ai))) <^=> (функция / инъективна).

По функции /: А —> Б построим функцию F: 2В —> 2Л, задав её так: точку X С В множества 2ß функция .F переводит в точку F(X) = /_1(Х) множества 2Л. Можно доказать, что (F: 2В ^ 2А) <^=> (/: А -» Б), и что

Операция взятия полного прообраза коммутирует со всеми основными операциями над множествами. Имеется в виду следующее. Пусть / — некоторое непустое множество; если при каждом а Е I дано множество Ва С В, то

Если В\ С В, то

Эти свойства имеют большое значение при построении многих математических конструкций в общей топологии, в алгебре, в теории меры и т. д.

Операция взятия образа множества не обладает такими сильными свойствами, как операция взятия прообраза: вместо равенств здесь будут всего лишь включения в одну сторону. В качестве упражнения полезно установить это (т.е. привести примеры, где равенств нет).

Если А и В — множества, то символом Ав обозначается множество всех функций, определённых на В и принимающих значения в А, т.е. Ав = = {/ I /: В —> А}. Заметим, что последнее обозначение согласовано с введёнными ранее обозначениями с «показателями степени». В самом деле, между декартовой степенью Rn и множеством Ri1'-'™} имеется естественное взаимно-однозначное соответствие: вещественная функция на п-точечном множестве — это упорядоченный набор п вещественных чисел. С другой стороны, между множеством 2х всех подмножеств множества X и множеством {1, 2}Х тоже нетрудно установить биекцию: множеству A G X поставим в соответствие функцию, которая на А принимает значение 1, анаХ\4 — значение 2.

Если хотят на письме функцию g выделить как самостоятельный математический объект, то выражение ж \—> д(х) заключают в квадратные скобки. Запись g = [х \—> д(х)\ означает: g — это то соответствие, которое элементу x сопоставляет элемент д(х).

Рассмотрим три немного трудных, но зато весьма поучительных примера применения таких квадратных скобок.

1. Функцию / от двух переменных хЕА и уЕВ со значениями в С, т. е. отображение f:AxB^C, можно рассматривать как функцию от первой переменной ж, принимающую значения в множестве функций от второй переменной у, т. е. как отображение / : А —> Св. При первом способе интерпретации грамотной будет запись /: (ж, у) \—> /(ж, у), а при втором способе -запись /: ж i—> [у \—> /(ж, у)]. Классический случай совместного использования этих двух точек зрения на функцию двух переменных — это переход от двойного интеграла к повторному в математическом анализе.

2. Пусть V — конечномерное векторное пространство над R, У* — пространство вещественных линейных функционалов над V, а У** — пространство вещественных линейных функционалов над У*. В курсе линейной алгебры доказывается, что функция

осуществляет биекцию между V и у**.

3. Пусть множество Г обозначает некоторый временной интервал, а множество в некотором смысле отвечает за случайность. Рассмотрим изучаемый на промежутке времени Г случайный процесс £, который представляет собой функцию £: ft х Г —> R. В зависимости от решаемой задачи бывает удобным один из двух подходов: рассматривать £ как числовую случайную

величину, зависящую от времени, т.е. £: t \—> [ou \—> £(cj,£)], или думать о £ как о случайной величине, принимающей значения в множестве числовых функций времени, т. е. £ : ии \—> [t \—> £(cj, t)].

5. УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА

Бинарное отношение на А называется отношением порядка, если оно рефлексивно, антисимметрично и транзитивно. Отношение порядка обычно обозначается символами вроде <, >, )р. «Порядок» и «отношение порядка» — синонимы.

Антирефлексивное антисимметричное транзитивное отношение называется отношением строгого порядка и обозначается символами вроде <, >,

По порядку ^ можно построить строгий порядок удалив из графика отношения диагональ, т.е. объявив, что х -< у <^=> (х ^ у и х ф у). Аналогично, имея строгий порядок мы можем по нему построить порядок добавив к графику диагональ, т. е. объявив, что х ^ у <^=г> (х -< у или X = у). Исходя из этого можно сказать, что следующие ниже утверждения У1 и У2 равносильны:

У1. На А задано отношение порядка ^.

У2. На А задано транзитивное отношение и для каждых двух разных элементов х и у множества А реализуется ровно одна из трех возможностей: 1) X У у, 2) X -< у или 3) X и у несравнимы, т. е. ни х У у, ни х -< у.

Если отношение порядка не является связным (т. е. имеются несравнимые между собой элементы), то порядок называют частичным, а если все элементы сравнимы, то линейным. Множество, на котором введено отношение порядка (т.е. упорядоченная пара (множество, отношение порядка}), называется упорядоченным множеством4. Обычный порядок < на К линеен. Другой пример: пусть А = {Ai,...,An} — множество множеств. Зададим на А отношение порядка, объявив, что Ai ^ Aj тогда и только тогда, когда Ai С Aj. Этот порядок на А частичен тогда и только тогда, когда найдутся множества Ai и Aj такие, что Ai \ Aj ф 0 и Aj\ Ai ф 0.

Пусть (В,<) — упорядоченное множество, и А С В. Множество А с унаследованным от В отношением порядка называется упорядоченным подмножеством упорядоченного множества В.

Элемент х упорядоченного множества В называется минимальным в В, если в множестве В нет такого элемента у, что у < х. Элемент х упорядоченного множества В называется наименьшим в В, если для всех у G В имеет место х < у. Если минимальных элементов несколько, то они между собой несравнимы; наименьших элементов может быть не больше одного. Аналогично, наибольший элемент — тот, который не меньше каждого, и максимальный элемент — тот, больше которого нет никакого. В линейно упорядоченном множестве минимальный элемент — то же самое, что наименьший, а максимальный — то же самое, что наибольший.

4 Есть неудачная терминология, согласно которой упорядоченное множество называется частично упорядоченным, а для не линейно упорядоченных множеств никакой термин не вводится. Мы следуем в определениях классической книге [12].

Говорят, что множество А плотно (синоним: является плотным подмножеством) в содержащем его упорядоченном множестве (В,<), если для каждых элементов х и у множества В таких, что х < у, найдется элемент a G А такой, что х < а < у. Упорядоченное множество называется плотным, если оно является плотным подмножеством в себе.

Пусть (В,<) — линейно упорядоченное множество и А С В. Элемент Ъ G В такой, что Ъ > а для всех a G А, называется верхней гранью, или мажорантой множества А. Аналогично, элемент Ъ G В такой, что Ъ < а для всех a G А, называется нижней гранью, или минорантой множества А. Если для множества А в множестве В существует верхняя грань, то А называется ограниченным сверху в В. Если для множества А в множестве В существует нижняя грань, то А называется ограниченным снизу в В.

Наименьший элемент множества всех верхних граней множества А имеет название точная верхняя грань (синоним: супремум) множества А и обозначается sup А. Наибольший элемент множества всех нижних граней множества А имеет название точная нижняя грань (синоним: инфимум) множества А и обозначается inf А5. Линейно упорядоченное множество В будем называть целостным6, если выполняется каждое из двух условий:

1) из того, что 0 ф А С В и А ограничено сверху, следует, что существует элемент a* G В, являющийся точной верхней гранью множества А;

2) из того, что 0 ф А С В и А ограничено снизу, следует, что существует элемент a* G В, являющийся точной нижней гранью множества А.

Заметим, что не обязательно a* G А, а* G А, т. е. множество А может обладать супремумом и инфимумом в множестве В, но эти два элемента не обязаны лежать в А.

Целостное плотное множество называется непрерывным7. Упорядоченное естественным порядком множество R — непрерывное (см. [29]), в отличие от множества Q (оно не целостно) и множества Z (оно не плотно).

Пусть (А, < а) и {В, < в) — два упорядоченных множества. Говорят, что функция / : А —> В монотонна, если для каждых элементов ж и у множества А из x < аУ следует /(ж) < б/(у). Если / монотонна, является биекцией и /_1 также монотонна, т. е. если / — биекция и для каждых элементов х и у множества А имеет место (ж < ду) *<=r> (f(x) < в то говорят, что / — порядковый изоморфизм (синоним: изоморфизм порядков). Если между (А, < а) и (В, < в) можно установить порядковый изоморфизм, то говорят, что (А, < а) и (В, < в) имеют одинаковый порядковый тип, и пишут Ord (А, < а) = Ord (В, < в), или, если ясно, какие отношения порядка имеются в виду, просто Ord Л = Ord В. Неформально говоря, порядковый тип -это то общее, что есть у всех порядково изоморфных множеств.

5 Термины «точная верхняя/нижняя грань», «мажоранта», «миноранта», «супремум», «инфимум» в литературе трактуются однозначно, в соответствии с данными выше определениями. Термины «верхняя/нижняя грань» иногда наделяются смыслом точных верхней и нижней граней, однако лучше этого избегать.

Заметим, что «инфимум» иногда ошибочно произносят как «инфинум». Не следует этого делать — термин происходит от латинского infimum (infima), что означает «нижний». Например, Novogardia Infima (лат., устар.) — Нижний Новгород.

6 Термин «целостное множество» не является общепринятым.

7 Этот термин общепринят, значение для него дано общепринятое.

Множество называется вполне упорядоченным, если оно линейно упорядоченно и каждое его непустое подмножество имеет наименьший элемент. Множество N с отношением < вполне упорядоченно. Множества Q, Z и R их естественными отношениями порядка упорядочиваются линейно, но не вполне, т.к. в подмножестве {...,—3,-2,—1,0} С Ъ нет наименьшего элемента.

Порядковые типы вполне упорядоченных множеств называют ординалами (синоним: порядковыми числами). Ординалы, соответствующие бесконечным вполне упорядоченным множествам, называют трансфинитами. Порядковый тип множества N с естественным порядком обозначается и. Существует много ординалов. Пример: порядковый тип множества N, упорядоченного следующим образом: l<3<5<7<-<2<4<6<8<..., является ординалом и обозначается uj + uj или 2uj.

Теорема Цермело. Каждое множество можно вполне упорядочить.

Прелесть этой теоремы в том, что она применима к несчётным множествам, о которых речь пойдет далее.

Начальным отрезком в линейно упорядоченном множестве А называется всякое множество вида Ах = {a G А: а < ж}; при этом говорят, что элемент x £ А отсекает начальный отрезок Ах. Если а и ß — два ординала, то можно объявить по определению, что а < ß <^=> существуют множество А типа а и множество В типа ß такие, что А изоморфно некоторому начальному отрезку в множестве В. Можно доказать, что такой порядок вполне упорядочивает каждое множество ординалов.

Обозначим через Р(п) утверждение, зависящее от натурального параметра n G N. (Например, Р\(п) = (имеет место п = 3 — 1), Р2(п) = (имеет место 1 + 2Н-----\-п = п(п +1)/2), Рз(п) = (в поле С алгебраическое уравнение степени п имеет ровно п корней, если каждый корень считать столько раз, какова его кратность)8. Утверждение Pi(n) верно только при п = 2, а остальные два — при каждом n G N.)

Для доказательства утверждений, зависящих от параметра n G N, служит

Принцип математической индукции. Если для утверждения Р(п) выполнены

1) (база индукции) Р(1) верно;

2) (шаг индукции) для любого k G N из того, что верно Р(к) (эту посылку называют предположением индукции), следует, что верно Р(к+1),

то утверждение Р(п) верно при всех n G N.

Шаг индукции допускает равносильную формулировку: для любого fc G N из того, что верны Р(1), ^(2), ..., Р(к), следует, что верно Р(к + 1).

Принцип математической индукции логически эквивалентен тому, что множество N вполне упорядоченно. Образно его можно выразить так. Представим себе начинающуюся у земли и уходящую в небо лестницу с бесконечным числом ступенек. Если некто стоит на первой ступеньке (есть база индукции) и с любой ступеньки он всегда может сделать шаг на следующую

8 Рз (п) называется основной теоремой алгебры и подробно разбирается в [28]. О поле комплексных чисел С можно прочитать в [33].

за ней (есть индукционный шаг), то он сможет взойти по лестнице сколь угодно высоко, т. е. до любой по счёту ступеньки.

По аналогии с принципом математической индукции формулируется Принцип трансфинитной индукции. Пусть А — вполне упорядоченное множество, а* — его наименьший элемент и Р[а) — утверждение, зависящее от параметра a G А. Если

1) (база индукции) Р(а*) верно;

2) (шаг индукции) для любого a G А из того, что Р(х) верно для всех x < а, следует, что верно Р(а),

то Р(а) верно для всех a G А.

Докажем принцип трансфинитной индукции методом «от противного». В самом деле, пусть В С А — множество всех тех элементов Ъ, для которых Р[Ъ) не верно, т. е. (Ь G В) <^=> (Р(Ь) ложно). Пусть В ф 0. Множество А вполне упорядоченно, следовательно, в В есть наименьший элемент Ь*. Это значит, что Р(а) верно для всех а < Ь*, следовательно, согласно индукционному шагу, Р(Ь*) также должно быть верно. Полученное противоречие завершает доказательство.

Подробнее о принципе трансфинитной индукции и об арифметике ординалов см. в [6, 21].

Цепью в упорядоченном множестве называется каждое его линейно упорядоченное подмножество.

На множестве всех цепей в упорядоченном множестве А можно ввести порядок <, положив для цепей Ii, /2 по определению: h < h h С h-

Следующие утверждения показывают, что в упорядоченном таким образом множестве всех цепей каждый элемент мажорируется некоторым максимальным элементом.

Теорема Хаусдорфа. В каждом упорядоченном множестве каждая цепь содержится в некоторой максимальной цепи.

Лемма Цорна. Если в упорядоченном множестве для каждой цепи имеется верхняя грань, то оно содержит максимальный элемент.

Заметим, что лемма Цорна и теорема Хаусдорфа — утверждения о частично упорядоченных множествах, поскольку если в А более одного элемента, то среди цепей в А есть непересекающиеся.

Упорядоченное множество M называют направленным, если для каждых a G M и Ъ G M найдется такой элемент с G M, что с > а и с > Ъ. Всякое линейно упорядоченное множество направленно. Иногда различают понятия направленного множества по возрастанию и по убыванию (в последнем случае требуют, чтобы для каждых a G M и Ъ G M существовал такой элемент с G M, что с < а и с < Ъ). Рассмотрим множество всех открытых интервалов, содержащих точку х G M; если упорядочить это множество по включению, то оно, не являясь линейно упорядоченным, будет направленным и по возрастанию, и по убыванию.

Если множество M направленно, то функция /: M —> X называется направленностью элементов множества X. Важным частным случаем направленности является числовая последовательность а: N —> M, п ь-> ап.

Другой важный пример направленности — множество всех разбиений отрезка [а, Ь] конечным числом точек а = хо < х\ < ж 2 < • • • < хп-\ < хп = Ь; говорят, что первое разбиение мажорируется вторым, если второе может быть получено из первого путем измельчения (добавления новых разбивающих отрезок точек). Обсуждаемая в курсе математического анализа база множеств тоже представляет собой направленное множество. Понятие предела направленности играет важную роль в общей топологии и математическом анализе, см. [7] и [17].

Бинарное отношение называется отношением предпочтения, если оно связно и транзитивно. Отношения предпочтения обозначают обычно значками ^ и £3. Отношение предпочтения — одно из центральных понятий микроэкономики. Если X — непустое множество товаров, то функция полезности /: X —> R порождает на X отношение предпочтения по правилу: (a b) <^=r* (/(а) < /(&))• Оказывается, не каждое отношение предпочтения может быть задано функцией полезности.

По отношению предпочтения ^ можно построить отношение эквивалентности ~, объявив, что а ~ b <^=г> (а ^ b и b ^ а). Далее можно построить отношение линейного порядка < на фактор-множестве, положив Ка < <^=^ <^=г> а ^ Ъ. Если в фактор-множестве при этом будет наибольший элемент К, то К называется аргмаксимумом предпочтений.

6. МОЩНОСТЬ МНОЖЕСТВ

Говорят, что у множеств Аи В одинаковая мощность, или что Аи В равномощны, и пишут \А\ = \В\, если между АжВ можно установить биекцию. Если X — множество, то символом \Х\ (или j^X, или card(X)) обозначается мощность (синоним: кардинальное число) множества X. Неформально говоря, мощность — это то общее, что есть у равномощных множеств.

Интуитивно ясное понятие конечного множества может быть описано различными способами9: множество А называется конечным, если выполняется любое из трех условий:

- А не равномощно никакому своему собственному подмножеству;

- А равномощно множеству {п G N: п < по} для некоторого no G N; — А не имеет подмножества, равномощного множеству N. Множество называется бесконечным, если оно не является конечным. Если множество X конечно, то по определению \Х\ — это число элементов в множестве X. В частности, пустое множество конечно и |0| =0. Если множество X бесконечно, то говорят, что у множества X:

- счётная мощность, если можно установить биекцию между X и N;

- мощность континуум, если можно установить биекцию между X и R;

- мощность гиперконтинуум, если существует биекция между X и 2^. Все указанные выше мощности различны, т.е., например, нельзя установить биекцию между N и R, хотя оба множества бесконечны — это можно

9 В статье [1] приводится восемь определений конечного множества. Аксиома выбора (о ней речь пойдет далее) позволяет доказать, что все они эквивалентны.

показать, например, с помощью диагональной процедуры Кантора; этот пример показывает, что конечно/бесконечно — весьма грубая характеризация количества содержащихся во множестве элементов.

Примеры счётных множеств: N, Z, Q, QD [а, Ь], множество всех многочленов от переменной х с рациональными коэффициентами.

Примеры множеств мощности континуум: R, Rn, С, [а, Ь], (а, 6), (—оо,а), (а, ос), С[а,Ь], 2N, {0,1}N, {0,1, 2,..., 9}N, NN, RN, множество Кантора.

Примеры множеств мощности гиперконтинуум: 2м, Шш.

Следующие три условия логически эквивалентны между собой.

1. Множество В имеет подмножество, равномощное А.

2. Существует инъективная функция, отображающая А в В.

3. Существует сюръективная функция, отображающая В па, А.

Если выполняется любое из этих трех условий, то говорят, что мощность множества А не больше мощности множества В, и пишут \А\ < \В\. Если \А\ < \В\, но \А\ ф \В\, то говорят, что мощность множества А меньше мощности множества В, и пишут \А\ < \В\.

Теорема Кантора —Шредера —Бернштейна. Если \А\ < \В\ и \А\ > > \В\, то \А\ = \В\.

Если множество А конечно или счётно, т. е. если \А\ < |N|, то говорят, что А не более чем счётно10. Если множество А не конечно и не счётно, т. е. если \А\ > |N|, то А называют несчётным.

Пусть 1 < и < fc, \Ап\ = n, \Ak\ = к. Пусть множество В счётно, множество С имеет мощность континуума, множество D имеет мощность гиперконтинуума. Тогда: 1) |0| < \Ап\ < \А^\ < \В\ < \С\ < |Z?|; 2) множества 0, Ап, Ак, В не более чем счётны; 3) множества С и D несчётны.

Верны следующие утверждения.

1) Для конечных множеств А ж В выполняются соотношения: \А х В\ = = \А\ • |Б|, \АВ\ = и \2Л\ =2lAl.

2) Для любых множеств Л, В, С имеет место [(А8)^! = |А^Х<:7|.

3) Если множество А бесконечно, то для каждого непустого множества В выполняется соотношение \А х В\ = тах(|А|,

4) Если множество X таково, что существует такое множество У, что X = = yN, то \Х\ = \Х^\. Иными словами, если множество X реализовано как множество последовательностей элементов некоторого множества, то множество последовательностей элементов множества X имеет ту же мощность, что и множество X.

5) Если множество А бесконечно и n G N, то \А\ = \Ап\.

6) Если множество А бесконечно, то множество всех конечных подмножеств множества А имеет ту же мощность, что и множество А.

7) Объединение не более чем счётного множества не более чем счётных множеств является не более чем счётным множеством.

8) Теорема Кантора. Для каждого множества X имеет место неравенство \2Х\ > \Х\.

10 В иностранной литературе иногда счётные и не более чем счётные множества называют одним словом countable.

Для конечных множеств это очевидно, поскольку 2п > п; в случае бесконечных множеств это означает, что X в 2х можно отобразить инъективно (например, так: X Э х \—► {х} G 2х), но нельзя сюръективно.

Из теоремы Кантора следует, что не существует множества, имеющего самую большую мощность. Различных мощностей бесконечных множеств существует бесконечно много; в частности, в последовательности множеств R, 2К, 22 ,... равномощных множеств нет.

Пусть Ф = {..., A, ..., 5,... } — некоторое множество множеств. (Как мы увидим далее, «множество всех множеств» — некорректный объект.) На Ф можно задать отношение эквивалентности ~, объявив, что А ~ В <^=^ <^=^ \А\ = \В\. Можно задать на Ф отношение порядка объявив, что А ^ В \А\ < \В\. При этом получится, что А -< В \А\ < \В\.

Одна из аксиом теории множеств (аксиома выбора) позволяет доказать, что для каждого Ф порядок ^ линеен, т. е. что каждые два множества сравнимы между собой по мощности. Однако та же аксиома выбора позволяет доказать, что можно шар в М3 разделить на пять частей так, что из получившихся частей можно сложить два шара такого же радиуса (разбиение Банаха-Тарского [36]).

Осуществимость данного разбиения кажется парадоксальной, поскольку противоречит нашей повседневной интуиции. В самом деле, ведь нельзя же из одного апельсина сделать два только с помощью ножа! Поэтому в середине XX века некоторые математики даже думали отказаться от аксиомы выбора и не опираться на неё в своей работе.

Однако вскоре выяснилось, что отказ от аксиомы выбора чрезвычайно обедняет математические построения. В частности, даже при доказательстве эквивалентности определений непрерывности функции по Коши и по Гейне не обойтись без аксиомы выбора. Она позволяет строить изящные примеры, в том числе с её помощью устанавливается существование неизмеримого по Лебегу множества вещественных чисел (см. [16, 36]), алгебраического базиса (синоним: базиса Гамеля) в векторном пространстве и некоторых других полезных в математической работе объектов. На лемме Цорна явным образом основывается доказательство одной из центральных теорем функционального анализа — теоремы Хана-Банаха [21], без которой теория линейных операторов в бесконечномерных пространствах будет выглядеть, образно говоря, как ощипанная курица.

Оказалось, что следующие утверждения — аксиома выбора, лемма Цорна, теорема Цермело, теорема Хаусдорфа — логически эквивалентны друг другу. Доказательство этих эквивалентностей имеется в [25, гл. 1]. Кроме того, почти очевидно, что аксиома выбора логически эквивалентна утверждению о том, что декартово произведение произвольного непустого множества непустых множеств является непустым множеством.

Аксиома выбора утверждает «всего лишь» следующее: для каждого непустого набора непустых непересекающихся множеств набор элементов, содержащий ровно по одной точке каждого из этих множеств, образует множество (даже если не указан конкретный способ выбора этих элементов).

Подчеркнём, что аксиома выбора не даёт алгоритма построения того или иного множества, а лишь утверждает его существование. В частности, нет

явной последовательности действий, позволившей бы осуществить разбиение Банаха - Тарского.

В самом начале XX века выяснилось, что если под множествами понимать «слишком большие» совокупности, то возникают неприятности — так называемые парадоксы теории множеств. Парадокс — это такая ситуация, когда кажутся доказанными два противоречащих друг другу утверждения. Например, парадоксы возникают, если считать множеством объект «множество всех множеств». Обозначим этот объект M. Тогда каждое его подмножество должно также быть и его элементом, т. е. 2м С М, следовательно, |2М| < |М|, что противоречит теореме Кантора. Кроме того, в M можно выделить подмножество R = {х G M: х ^ х}. Содержит ли R себя в качестве элемента? Парадокс Рассела: неверны оба утверждения R G R и R ^ R. Это непосредственно следует из определения множества R.

Бывает так, что относительно совокупности объектов не уточняется, можно ли её называть множеством или же это приведёт к возникновению парадокса типа парадокса Рассела. Такую совокупность называют «классом». Классом можно назвать и множество, но не каждый класс является множеством. Применительно, например, к топологии это означает, что «класс всех топологических пространств» — корректное понятие, а «множество всех топологических пространств» — некорректное понятие. Попытка строить утверждения о множествах неопределенно большой мощности чревата возникновением разновидности парадокса Рассела. Подробнее о классах см. в приложении к книге [19].

При построении теории множеств следует разделять два подхода: аксиоматический (явно вводятся аксиомы) и наивный (на первый взгляд аксиомы будто бы не используются). Существует несколько вариантов систем аксиом теории множеств. Самые популярные — это «аксиомы Цермело-Френкеля плюс аксиома выбора», обозначается ZFC, см. [17], и «аксиоматика Геделя-Бернайса». Аксиомы «сдерживают» математика, не позволяя ему «строить» «слишком большие» множества, и тем самым уберегают его от парадокса Рассела, но все же при этом «разрешенных» множеств оказывается достаточно для того, чтобы доказывать содержательные теоремы. По состоянию на 2011 г. непротиворечивость ни одной из известных систем аксиом теории множеств не доказана (и в некотором смысле не может быть доказана в принципе — в связи с этим см. теоремы Геделя о логической полноте [14] и неполноте [11]), однако до сих пор никаких противоречий при оперировании в рамках этих систем аксиом не выявлено.

Наивная теория множеств противоречива, потому что в ней нет препятствий для рассмотрения «множества всех множеств». Однако можно применить следующий трюк: в начале рассуждения фиксировать некоторое множество U, в существовании которого нет сомнений. Если после этого делать любые утверждения о подмножествах множества U, то парадокс Рассела не возникнет.

Континуум-гипотеза: континуум — самая маленькая среди всех несчётных мощностей, то есть нет такого множества А, что |N| < \А\ < |М|.

В середине XX века математики доказали [22], что континуум-гипотеза логически независима от аксиом теории множеств. Поэтому нельзя сказать, «верна» она или «неверна»: можно принять за аксиому либо её саму, либо её логическое отрицание.

Обобщенная континуум-гипотеза: для каждого бесконечного множества X не существует такого множества А, что \Х\ < \А\ < \2Х\-

Оказывается, из обобщенной континуум-гипотезы можно вывести аксиому выбора.

В заключение опишем формальное определение понятий «мощность» и «порядковый тип». Ранее мы неформально сказали, что мощность — это то общее, что есть у равномощных множеств. Теперь мы готовы сказать, что же представляет из себя это самое «то общее». Мощность (синоним: кардинал) множества А — это класс всех таких множеств В, что существует биекция между А ж В.

Для наиболее часто используемых кардиналов в математической литературе используются следующие обозначения: О = |0| — нулевой кардинал;

п=|{1,...,п}| — конечный ненулевой кардинал (кардинал мощности п), причем для каждого п = 1, 2, 3,... свой кардинал п;

Ко — \Щ — счётный кардинал, он же первый (самый маленький) бесконечный кардинал. Символ Ко читается «алеф-ноль». Алеф — первая буква древнееврейского алфавита;

с = \Щ = |2N| = 2^° — кардинал «континуум»;

Ki — первый (самый маленький) несчётный кардинал. Из определения Ki следует, что Ki < с. Континуум-гипотеза утверждает, что Ki = с;

2е = |2К| — кардинал «гиперконтинуум». Иногда гиперконтинуумом называют всякий кардинал, больший континуума.

Порядковый тип OrdA упорядоченного множества (А, < а) формально определяется как класс всех таких упорядоченных множеств (В,< что между (А, < а) и (В, < в) можно установить порядковый изоморфизм. Выше было отмечено, что каждое множество ординалов можно вполне упорядочить. Следовательно, среди ординалов, соответствующих счётным вполне упорядоченным множествам, существует наименьший; это си = OrdN, где N рассмотрено с обычным отношением порядка. Иногда (см. [21]) для OrdN используют обозначение cjo, а не и. Наименьший среди ординалов, соответствующих несчётным вполне упорядоченным множествам, обозначается ио\.

Кроме того, дабы не плодить слишком много обозначений, часто используется следующее соглашение: всякий кардинал г обозначают тем же символом, что и наименьший среди ординалов, задающих порядковый тип на множествах мощности т. В соответствии с этим, в частности, мощность множества натуральных чисел часто обозначают символом ио вместо Ко- Иногда ординалом данного упорядоченного множества называют не класс порядково изоморфных ему упорядоченных множеств, а какого-то яркого представителя этого класса. При таком подходе получаем, в частности, что Ко = |N| = = Ord(N) = uü = N. Дальнейшие подробности см. в [3, 4, 6, 9, 19].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Желающим продолжить знакомство с элементарной теорией множеств и началами математики рекомендуется посмотреть книги [34, 10, 23] и [26], сборник [14] (особенно ч. 1), а также гл. 1 в [21] и гл. 1 в [25]. Отметим и ориентированное на неспециалистов в области теории множеств приложение к книге [19], где обсуждается одна из возможных аксиоматик теории множеств.

Подробное изложение теории множеств как самостоятельной дисциплины можно найти в классических книгах [13, 22, 24] и [30], а также в вышедших позднее учебниках [3, 4, 5]. Следует быть готовым к тому, что при сфокусированном изучении теории множеств некоторые понятия будут введены в рассмотрение не так, как это сделано в настоящем пособии, предназначенном лишь для первичного ознакомления с предметом.

Кроме перечисленных выше, в список литературы включены дополнительно книги [2, 8, 15, 18, 20, 31, 35].

ЛИТЕРАТУРА11

1. De la Cruz О. Finiteness and choice // Fundamenta Mathematicae. 2002. №173. P. 57-76.

2. Ferreirys J. Labyrinth of Thought: A history of set theory and its role in modern mathematics. — Basel: Birkhauser, 2007.

3. Foreman M., Kanamori A. Handbook of Set Theory. — Springer, 2010.

4. Hrbacek K., Jech T. Introduction to Set Theory. — Marcel Dekker, 1999.

5. Jech Th. Set Theory: Third Millennium Edition. — Springer Monographs in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Ver lag, 2003.

6. Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию. — М.: Физматлит, 2009.

7. Александрян Р.А., Мирзаханян Э. А. Общая топология. — М.: Высшая школа, 1979.

8. Архангельский А.В. Канторовская теория множеств. — М.: МГУ, 1988.

9. Барвайс Дж. Справочная книга по математической логике. Часть 2: теория множеств. — М.: Наука, 1982.

10. Белоусов А. И., Ткачев С.Б. Дискретная математика // Математика в техническом университете. — М.: МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2006.

11. Беклемишев Л. Д. Теоремы Геделя о неполноте и границы их применимости. I // УМН. 2010. Т. 65, вып. 5 (395). С. 61-106.

12. Биркгоф Г. Теория решеток. — М.: Наука, 1984.

13. Бурбаки Н. Теория множеств. — М.: Мир, 1965.

14. Верещагин Н. К., Шень А. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. — М.: МЦНМО, 2002. В трех частях.

15. Виленкин Н.Я. Рассказы о множествах. — М.: МЦНМО, 2007.

16. Гелбаум Б., Олмстед Дж. Контрпримеры в анализе. — УРСС, 2010.

17. Зорич В. А. Математический анализ. Том 1. — М.: МЦНМО, 2007.

18. Кантор Г. Труды по теории множеств. — М.: Наука, 1985.

11 Большинство из указанных выше книг можно бесплатно скачать с сайта http://www.mccme.ru/free-books/ или бесплатно читать на сайте http://lib.mexmat.ru/

19. Келли Дж. Общая топология. — М.: Наука, 1982.

20. Клайн М. Математика. Утрата определённости. — М.: Римис, 2007.

21. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Физматлит, 2006.

22. Коэн П. Дж. Теория множеств и континуум-гипотеза. — УРСС, 2010.

23. Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? — М.: МЦНМО, 2001.

24. Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств. — М.: Мир, 1970.

25. Курош А. Г. Лекции по общей алгебре. — СПб.: Лань, 2007.

26. Маклейн С. Категории для работающего математика. — М.: Физматлит, 2004.

27. Ремизов И. Д. Стандартные обозначения и факты теории множеств. — М.: Попечительский совет механико-математического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова, 2011.

28. Тихомиров В.М., Успенский В. В. Десять доказательств основной теоремы алгебры // Матем. просв. №1. С. 50-70. — М.: МЦНМО, 1997.

29. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 1. — М.: Физматлит, 2007.

30. Френкель А.А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. — М.: Либроком, 2010.

31. Хаусдорф Ф. Теория множеств. — М: ЛКИ, 2010.

32. Хинчин А. Я. Цепные дроби. — Эдиториал УРСС, 2004.

33. Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. В 2 частях. Часть 1. Функции одного переменного. — СПб.: Лань, 2004.

34. Шиханович Ю.А. Введение в современную математику. Начальные понятия. — М.: Наука, 1965.

35. Энгелькинг Р. Общая топология. — М.: Мир, 1986.

36. Ященко И. В. Парадоксы теории множеств. — М.: МЦНМО, 2002.

Поступила 20.05.2011

STANDARD FACTS AND NOTATIONS OF THE SET THEORY

I. D. Remizov

The article is the slightly modified text of the primer for the first-year students of the Department of Mechanics and Mathematics of the Lomonosov Moscow State University. It gives a brief introduction to some general facts and notations of the Set Theory widely used in Higher Mathematics. The concise style of narration allowed to touch upon a variety of topics within a rather short paper. The text does not dwell upon proofs, but a bibliography list is given for those interested in a more detailed discussion.

Keywords: mathematics, set-theoretical approach, terminology, standard facts, first-year students.

СОДЕРЖАНИЕ И ТЕХНОЛОГИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ В ВУЗЕ

УДК 517

ИНТЕГРАЛ РИМАНА КАК ФУНКЦИЯ ОБЛАСТИ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

М. К. Яковлев

Рязанский государственный радиотехнический университет Россия, 390005, г. Рязань, ул.Гагарина, 59/1; e-mail: vm@rgrta.ryazan.ru

Приводится схема построения теории римановых интегралов, трактующая их как значение аддитивной функции области интегрирования, заданной на некотором семействе подобластей, производная которой по мере области интегрирования равна подынтегральной функции. Эта схема не использует определение интегралов через пределы интегральных сумм и существенно короче традиционных схем построения римановых интегралов.

Ключевые слова: скалярная аддитивная величина, плотность распределения, производная скалярная функция области по мере, восстановление скалярной аддитивной величины по её плотности распределения, определённый интеграл, кратные, криволинейные и поверхностные интегралы.

Теорию определённых интегралов всех видов (по отрезку, по плоской области, по телу, по кривой или криволинейной поверхности) можно рассматривать как решение задачи восстановления скалярной аддитивной величины (CAB) по известной плотности её распределения в соответствующей области.

В этом смысле операция интегрирования является обратной по отношению к операции вычисления плотности распределения CAB по соответствующей области, называемой дифференцированием рассматриваемой CAB по мере области.

Строго определяя упомянутые выше понятия, мы получим теорию, по форме и по существу не отличающуюся от теории восстановления первообразной F(x) по известной производной f(x) функции числового аргумента x. Сформулированная точка зрения на интеграл, по существу, изложена в монографии А.Лебега «Об измерении величин» [1], написанной более 70 лет назад, но до сих пор недостаточно используемой в учебной литературе по анализу. Вследствие этого наши учащиеся полагают, что предметом интегрирования являются пределы интегральных сумм, а не измерения скалярных аддитивных величин.

Далее следует обратить внимание на то, что практическое вычисление плотности распределения CAB будет иметь физический смысл, если в близких точках области эти плотности будут близки по значению, то есть плотность распределения CAB должна быть непрерывна как функция точки. Разумеется, может случиться, что в некоторых точках области эта плотность не определена или уходит в бесконечность. Можно ли и как восстановить

CAB по разрывной плотности? Ответ на этот вопрос становится более простым и понятным, если учащиеся предварительно поймут решение задачи в случае непрерывной плотности. Поэтому в методическом и логическом плане представляется целесообразным сначала изучить интегралы от непрерывной функции. Техника доказательств всех формул этой теории сводится просто к вычислению производной по мере области интегрирования. Ниже рассматриваются сразу все виды определённых интегралов. При обучении в этом, разумеется, нет необходимости, и в зависимости от математического развития слушателей преподаватель может повторять одно и то же для каждого вида определённых интегралов отдельно. Предлагаемая здесь методика неоднократно использовалась автором, начиная с семидесятых годов, при изложении теории интегрирования студентам 1-го и 2-го курсов Рязанской государственной радиотехнической академии.

Статья предназначена для преподавателей математического анализа в школе и в вузе.

1. Основные определения

Пусть G — ограниченное связное множество точек в i?n, например, отрезок прямой, дуга непрерывной кривой линии, кусок плоскости, кусок криволинейной поверхности, тело в й3 и т. п.

В G можно естественным образом ввести понятие окрестности точки р G G G, а следовательно, и понятия открытого и замкнутого подмножеств в G.

Пусть g — область (т. е. открытое связное подмножество) в G, a g — замыкание области д. Будем называть g открытой, a g — замкнутой ячейкой области G.

Определение 1. Конечное или счётное множество R{G) = {gi} замкнутых ячеек gi области G назовём разбиением области G, если |J gi = G и giDgj = 0 при г ф j.

Определение 2. Множество А открытых и замкнутых ячеек области G называется алгеброй ячеек из G, если выполняются условия:

1) G G А;

2) если g G А, то g G А;

3) объединение конечного или счётного множества ячеек gi G А, не налегающих друг на друга, то есть таких, что д\ П gj = 0 при г ф j, принадлежит А, если оно связно;

4) непустое пересечение дПд' ячеек g и д' из А принадлежит А, если оно связно или состоит из ячеек g\ G А, не пересекающихся между собой;

5) если g G A, g\ G А и g\ С g, то замыкание разности g\gi принадлежит А, если оно связно или состоит из непересекающихся между собой ячеек, принадлежащих А;

6) для любого е > 0 существует разбиение R(G) области G на ячейки, диаметр которых меньше е.

Пусть на алгебре ячеек А задана скалярная функция Ф : А —> i?, которую будем называть функцией ячейки (в отличие от функции / : G —> i?, которая называется функцией точки).

Определение 3. Скалярная функция Ф: А —> R называется аддитивной на А, если

Пусть д{р) — ячейка, содержащая точку р G G.

Определение 4. Функция Ф : А —> i? называется непрерывной на А, если

1)

2)

В дальнейшем, имея в виду условие 2, будем писать

Определение 5. Значение Ф(о) аддитивной функции Ф: Л —> i? будем называть непрерывной скалярной аддитивной величиной {HCAB), распределённой по ячейкам алгебры А.

Для того чтобы ввести понятие плотности этой величины, нужно, чтобы на алгебре ячеек А была задана ещё одна непрерывная аддитивная функция m = m(g), g G A, принимающая только положительные значения. Эта функция в дальнейшем называется мерой, а сама область G, на ячейках которой задана мера т(д), называется измеримой. Вопрос о том, как задать меру, мы оставим пока открытым. В качестве меры области G чаще всего выступает длина, площадь, объём области G в зависимости от её размерности.

Определение 6. Число —— называется средней плотностью величины Ф(д) в области д.

Определение 7. Предел f(p) средней плотности при условии, что ячейка стягивается к своей точке р, называется плотностью HC AB Ф(о) в точке р. Другими словами,

(1)

Число f(p) будем обозначать также Ф'т^{р) и называть производной по мере т{д) в точке р. Функция Ф: А —> R называется дифференцируемой на G, если \/р G G она имеет плотность (т. е. производную по выбранной мере т(д)).

Производная Ф^^) обладает линейными свойствами:

1)

2)

Определение 8. Скалярная функция Ф: А —> R (функция ячейки) называется первообразной для функции /: G —> R (функции точки), если

(2)

Замечание. Пусть множество В содержится в А. Если условие (1) выполняется лишь для ячеек из В, то говорят о частичной производной, вычисляемой по ячейкам множества В.

2. Основные теоремы

Теорема 1. Если плотность f(p) определена в каждой точке ро G G, то функция f(p) непрерывна на G.

Доказательство. Пусть р и ро принадлежат ячейке д(ро) достаточно малого диаметра. Тогда из (1) следует

а это и означает, что

Теорема 2. Пусть функция Ф: А —> R дифференцируема на G. Если

Доказательство. Если Ф(д) = 0 на А, то Ф'ш^{р) = 0, поэтому пусть ^т(д)(Р) ^ 0- Если функция Ф'т(д){р) меняет знак в области G, то, будучи непрерывной, она обратится в нуль в некоторой точке ро £ G. Поэтому предположим, что Ф'т(д)(р) не меняет знак в области G. Пусть Vр G G: ®'m(g\{p) > > 0. Из условия (1) существования производной следует:

Пусть Rs(G) — разбиение G на ячейки, диаметр которых меньше о. Тогда

Освободившись от модуля, получим

(*)

Просуммируем неравенства (*) по всем ячейкам разбиения R§(G):

Так как Ф(бЛ = 0, то из левого неравенства при любом s > 0 имеем

то есть

что невозможно, так как все слагаемые суммы положительны.

Аналогично опровергается предположение, что Ур G G: Ф'(р) < 0. Следовательно, непрерывная, согласно теореме 1, функция Ф'(р) меняет знак в области G и потому обращается в некоторой точке в нуль.

Доказанная теорема 2 является распространением теоремы Ролля на функции ячейки.

Теорема 3. Если Ф(д) непрерывна в А, где А — алгебра ячеек на G, и дифференцируема на G, то существует точка ро G G такая, что Ф(С) = = Ф'(р0)-т(О).

Доказательство. Рассмотрим аддитивную функцию

Она удовлетворяет всем условиям теоремы 2:

Следствие 1. Для любой функции f(p), р G G, существует не более одной первообразной Ф(д).

Действительно, пусть Ф(д) и F(g) — первообразные для f(p). Тогда производная их разности (р(д) = Ф(д) — Flg), g G А, тождественно равна нулю.

Следовательно, согласно теореме 3,

Следствие 2. Существует не более одной скалярной аддитивной величины, распределённой на G с наперёд заданной плотностью f(p), р G G.

Следствие 3. Пусть Ai более обширная алгебра ячеек из G, чем А, то есть А С Ai. Тогда

если последний предел существует. Действительно, согласно теореме 3

Переходя к пределу при g —> рж учитывая непрерывность производной получим:

Здесь Ф'А{Р) — производная функции.

Согласно следствию 3 для вычисления плотности Ф'(р) по множеству ячеек Ai достаточно найти частичную плотность по множеству А, выбирая в качестве ячейки д{р) области G, например, n-мерный куб, содержащий точку р.

Далее мы решим вопрос о существовании первообразной для непрерывной функции f{p) точки р G G.

3. Верхний и нижний интегралы Дарбу

Пусть G — ограниченная замкнутая область и ra(g), q Е А, — мера, заданная на A, f(p), р G G, — ограниченная на G скалярная функция. Пусть

разбиение множества G на неналегающие друг на друга ячейки gi G А.

Введём следующие обозначения:

Числа 5и S называются нижней и верхней суммами Дарбу соответственно. Легко показать, что для любых разбиений R и R' области G на ячейки из А справедливо:

(3)

значно определены для любой ограниченной функции /(р), р G J, и называются нижним и верхним интегралами Дарбу от функции f(p). Из (3) следует, что

(4)

Пусть g — произвольная замкнутая ячейка из А. Аналогичные построения приводят к неравенству:

(4а)

где mg = inf_{/(p)}, Mg = sup{/(p)}. Переменные J(/, g) и J(f,g) называются нижним и верхним неопределенными интегралами соответственно.

Функции J(/, g) и J(/, g) ячейки g £ А аддитивны на А. Действительно, пусть ячейки д\ и #2 образуют разбиение ячейки g, т. е. g = gi U cJ2 и 5i П #2 = 0- Пусть R\ и i?2 — произвольные разбиения областей ^ и ^. Тогда i?i U i?2 = R есть некоторое разбиение ячейки д. Пусть R' — произвольное разбиение ячейки д. Ясно, что ,

Следовательно,

Далее,

откуда следует

Таким образом,

(**)

Далее, пусть R' — произвольное разбиение ячейки д. Общая граница ячеек д\ и #2 разрежет некоторые ячейки разбиения R' на более мелкие. Полученное новое разбиение обозначим R!'. Тогда

Следовательно,

(***)

Из неравенств (**) и (***) следует:

Аналогично доказывается аддитивность верхнего интеграла Дарбу:

4. Теорема о пределе промежуточной функции области

Теорема 4.

Доказательство.

Пусть S не превосходит наименьшего из Si, #2- Тогда

Теорема 5 (о существовании первообразной). Для любой непрерывной в ограниченной измеримой области G функции f(p) существует (и только одна) первообразная функция, т. е. такая функция Ф(д), g G А, что #me(p)s/(p),Vp€G.

Доказательство. Действительно, поделив члены неравенства (4а) на т(д), получим

(5)

Крайние члены неравенства (5) при стягивании ячейки g к её точке р стремятся к общему пределу /(р), откуда, согласно теореме 4, заключаем:

Итак, нижний и верхний неопределённые интегралы J_(g) и J(g) являются первообразными для непрерывной функции /(р) и потому Уд £ А: J_(g) = J(g), согласно следствию 1 из теоремы 3.

Следствие 1. Существует, и только одна, H С AB, распределённая по ячейкам области G с наперёд заданной непрерывной плотностью f(p). Этой величиной является общее значение J верхнего и нижнего интегралов J(G) = J(G).

Замечание. Если функция f(p) определена на G, ограничена и выполняется одно из равенств (6), то соответствующий интеграл Дарбу будет первообразной для /(р), и, согласно теореме 1, f(p) непрерывна на G. Если оба равенства (6) несправедливы хотя бы в одной точке р G G, то ни J(ö)> ни J (g) не являются первообразными для f(p) в смысле определения 5.

В связи с этим замечанием вводится

Определение 9. Ограниченная функция f(p),p^G, называется интегрируемой по Риману по области G, если J_(G) = J (G).

Определение 10. Интегрируемая по Риману функция f(p) называется плотностью распределения величины J f(p) dm(g).

Равенство

(7)

выполняется в точках непрерывности функции f(p). Для непрерывных функций f(p) определение 10 равносильно определению 7.

Таким образом, интеграл по ограниченной измеримой области G от интегрируемой по Риману функции f(p) — это скалярная аддитивная величина, распределённая по ячейкам из А с плотностью f(p) в смысле определения 10.

5. Интеграл как предел интегральной суммы

Интегральная сумма для разбиения

Очевидно,

Так как крайние члены этого неравенства при diami? —> 0 стремятся к общему пределу J(/, i?), то для любой интегрируемой по Риману функции lim S(f,R) = J(/, R).

Справедливо и обратное утверждение: если существует предел интегральной суммы lim S(f(R)) = «/*(/), то функция f(p) интегрируема по Риману и J*(/) = «/(/)• На очевидном доказательстве этого утверждения мы здесь останавливаться не будем.

6. Вычисление определённых интегралов

1. Формула Ньютона — Лейбница. Пусть /(ж), х G [а, Ь], — непрерывная функция и Ф([а,/?]), [а,/?] С [а, Ь], — скалярная аддитивная функция отрезка [а,/?], а < ß, заданная на множестве А всех отрезков [а, ß] С [а, Ь] и

распределённая по А с плотностью /(ж), то есть

Очевидно, длина отрезка является непрерывной и аддитивной функцией на А.

Согласно теореме 5, функция Ф([а,/?]) определяется однозначно по непрерывной плотности fix). Обозначим

Доопределим F(x) при X = а, положив F [а) = 0. Вычислим F'(x). Ввиду аддитивности получаем

Поэтому

Таким образом,

то есть справедлива

Теорема 6. Для любой непрерывной скалярной функции f[x) скалярного аргумента х существует первообразная. Ею является функция

Пусть V(x) — какая-либо первообразная для f(x). Тогда

получим

то есть

Теорема 7. Пусть f(x) кусочно-непрерывна и ограничена на [а, Ь]. Существует непрерывная функция F(x), х G [а, Ь], такая, что F'(x) = f(x) в любой точке непрерывности функции f(x).

Доказательство. Достаточно рассмотреть случаи, когда f(x) имеет одну точку разрыва с,

Пусть

Тогда

Следствие. Пусть V(x) — непрерывная первообразная для кусочно-непрерывной функции f(x), X G [а, Ь]. Тогда

Доказательство. Пусть с G (а, Ь) — единственная точка разрыва функции f(x). Тогда

Аналогично доказывается формула Ньютона-Лейбница для функции Дж), имеющей конечное число точек разрыва на [а, Ь].

Замечание. Если f(x) стремится к бесконечности в точке с, непрерывна на [а, с) и (с, Ь], и несобственный интеграл J f{x)dx сходится, то построенная выше функция F(x) будет непрерывной первообразной для f{x). Таким образом, и для неограниченной кусочно-непрерывной на [а, Ъ] функции существует непрерывная первообразная, если несобственный интеграл J f(x) dx сходится.

Удобно определить интеграл по отрезку [а, Ъ] при Ъ < а формулой J f(x)dx= J —f{x) dx. Это определение превращает интеграл по отрезку в интеграл по направленному отрезку [а, Ъ]. При изменении ориентации (направления) плотность CAB J f(x) dx меняет знак на противоположный, то есть является функцией не только точки ж, но и выбранного направления отрезка [а, Ь].

2. Вычисление кратных интегралов и теорему Фубини рассмотрим на примере двойного интеграла по элементарной области.

Пусть

заданные на [а, Ь] непрерывные функции. Такую область называют правильной по у. В качестве алгебры ячеек А рассмотрим множество всех правильных ячеек:

Тогда мера аддитивна за счет аддитивности внешнего и внутреннего интегралов. Очевидно, эта мера непрерывна на А.

Повторный интеграл от непрерывной на G функции f(x,y) удовлетворяет условию

Поделив все члены этого неравенства на m(G), получим

где m и M — наименьшее и наибольшее значения fix, у) на G. Стягивая G к точке р = (ж, у), получим

Но двойной интеграл

также является первообразной для f(p). Таким образом,

3. Вычисление криволинейных интегралов. Пусть гладкая жорданова дуга (L) задана параметрическим уравнением f = r(t), t G [a, b], где f(t) — радиус-вектор точки r{t) G (L), имеющий непрерывную производную f'(t)^0.

Пусть L — длина кривой (L). Соотнесём каждому отрезку [£, t + At] Ç Ç [a, b] длину соответствующего куска (AL) кривой (L) от точки r(t) до точки r(t + At). Вычислим плотность распределения длины кривой по отрезку [a, Ь]:

Следовательно, сама длина L вычисляется по формуле

Ввиду аддитивности определённого интеграла и длины кривой последнюю формулу можно распространить на кусочно-гладкие дуги.

Пусть по ячейкам дуги (L) распределена HC AB Ф((Х)) с линейной плотностью

Тогда

Следовательно,

Ввиду аддитивности величины Ф((Х)) и аддитивности определённого интеграла последняя формула справедлива для кусочно-непрерывной функции f(r) и кусочно-гладких дуг Жордана.

4. Криволинейный интеграл по ориентированной кривой. Пусть на гладкой ориентированной дуге “"АВ выбрано одно из двух возможных направлений. Направление от начала А кривой ”"АВ к концу В назовём положительным а противоположное — отрицательным.

Пусть в точках р G ""AB задано непрерывное векторное поле F(p) = = Fx(p) г + Fy(p) j + Fz(p) к. Обозначим f+(p) единичный вектор касательной в точке р, направленный в сторону движения точки р при возрастании параметра t:

где r(t) — радиус-вектор точки p(t) G L,

Пусть функция

является плотностью распределения CAB Ф(Ь+) по направленной кривой то есть

Сводя последний криволинейный интеграл к определённому интегралу по отрезку [а,/?], получим

5. Формула Грина. Пусть G — замкнутая ограниченная плоская область с границей Г, функции Р(х,у), Q(x,y), Р1, Q'x непрерывны в G. Тогда

Соотнесём каждой ячейке g Ç G интеграл вычисленный по её границе в положительном направлении, и найдем производную f(p) полученной аддитивной функции ячейки. Произвольную точку р(жо, уо) накроем квадратом

Вычисляя по его границе, получим:

Применяя к интегралам в последней разности теорему о среднем, имеем

откуда следует

что и утверждает формула Грина.

Вычисление поверхностных интегралов, доказательство формул Остроградского - Гаусса и Стокса вполне аналогичны приведённым выше. Геометрические и физические приложения определённых интегралов сводятся к вычислению плотности распределения той или иной НСАВ и восстановлению НСАВ по плотности с помощью интегрирования по области распределения G.

Более подробное изложение теории римановых интегралов по предлагаемой схеме можно найти в пособиях [2-5].

ЛИТЕРАТУРА

1. Лебег А. Об измерении величин. — М., 1962. 204 с.

2. Яковлев М.К., Яковлева Н.Г. Определённый интеграл. Методические указания. — Рязань: изд-во РРТИ, 1985. 84 с.

3. Яковлев М. К. Криволинейный и поверхностный интегралы. — Рязань: изд-во РРТИ, 1986. 45 с.

4. Яковлев М.К., Маслова Н.Н. Определённый интеграл. Часть 1. Учебное пособие. — Рязань: РРТУ, 2010. 83 с.

5. Яковлев М.К., Маслова Н.Н. Определённый интеграл. Часть 2. Учебное пособие. — Рязань: РРТУ, 2011. 112 с.

Поступила 11.10.2011

THE RIEMANN INTEGRAL AS FUNCTION OF A DOMAIN

OF INTEGRATION

M. K. Yakovlev

A scheme of construction of Riemann integrals is offered. The scheme interprets these integrals as the value of the additive function of a domain of integration over a certain set of subdomains. The derivative of the additive function over the measure of integration equals the subintegral function. The scheme offered does not use the definition of integrals via limits of integral sums. Moreover, the scheme is considerably shorter than the traditional schemes of construction of Riemann integrals.

Keywords: scalar additive value, distribution density; derivative of the scalar function with respect to a measure, reconstruction of a scalar additive quantity from its distribution density; definite integral, multiple integral, line integral, surface integral.

ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ. ПЕРСОНАЛИИ

УДК 929

АКАДЕМИК А. А. АНДРОНОВ И ЕГО ШКОЛА (к 110-летию со дня рождения А. А. Андронова)

Е. В. Губина

Волжская государственная академия водного транспорта Россия, 603005, г. Нижний Новгород, ул. Нестерова, 5А; e-mail: gubinael@mail.ru

Настоящий текст представляет собой изложение доклада автора на IX Колмогоровских чтениях (Ярославль, 2011 г.) и содержит краткую научную биографию А.А. Андронова и историю становления андроновской школы по теории нелинейных колебаний и качественной теории дифференциальных уравнений.

Ключевые слова: А. А. Андронов, биография, научная школа.

«Я не знал и не знаю ни одного человека, который бы отличался от моего идеала хорошего человека меньше, чем А.А. Андронов»

Г. С. Горелик

Александр Александрович Андронов родился 11 апреля 1901 года в Москве. Его мать, Лидия Александровна Липская, была домашней хозяйкой. Отца своего А. А. Андронов практически не знал, воспитывал его отчим — Корнелий Адамович Липский, врач одного из Московских роддомов.

В детстве А. А. Андронов решил, что будет врачом. Ему виделась новая медицина — не одно лишь «искусство врачевания», а ещё и наука, использующая достижения математики и физики. Поэтому ещё в школьные годы он занялся изучением высшей математики. Среднюю школу Андронов закончил в 1918 году, с 1918 по 1920 годы он работал браковщиком на заводе «Пулемёт», монтёром на электростанции, затем вступил добровольцем в Красную Армию, служил в военно-продовольственном отряде на Урале, был лектором политотдела Троицкого укрепленного района. Осенью 1920 года Андронов перенес тяжелую форму плеврита, был признан непригодным к военной службе и поступил на электромеханический факультет Московского высшего технического училища (МВТУ). С 1921 года одновременно с занятиями в МВТУ он стал посещать лекции на физмате МГУ, куда в 1923 году перевелся из МВТУ и который окончил в 1925 году по специальности «теоретическая физика».

Годы учёбы А. А. Андронова в МГУ совпали с началом расцвета московской математической школы. Курс математики был единым для математиков и для физиков, поэтому Андронов, настойчиво занимавшийся математикой, приобрел математическую культуру значительно более высокую, чем

получали обычно физики-теоретики. Андронов проявил большой интерес и к теоретической механике (возможно, под влиянием С. А. Чаплыгина, который произвёл на него сильное впечатление).

Решающую роль в формировании А. А. Андронова как учёного сыграла аспирантура под руководством Л. И. Мандельштама в НИИ физики при МГУ (1925-1929 гг.). Итогом учёбы в аспирантуре стала диссертация «Предельные циклы Пуанкаре и теория автоколебаний», посвящённая основополагающим вопросам теории нелинейных колебаний и ставшая решающим звеном в самом создании этой теории. Краткое изложение диссертации было опубликовано в [1], а затем в докладах Французской академии наук [2]. Сам А. А. Андронов писал, что эта диссертация определила область его дальнейшей научной деятельности — теорию колебаний и смежные вопросы математики и теоретической физики. Андронов ввёл в теорию колебаний настоящую математику, основанную на теории обыкновенных дифференциальных уравнений, дал автоколебаниям их название и чёткое математическое определение, указал путь строгого анализа автоколебательных режимов, определив надолго вперед подход к исследованию автоколебательных систем.

Г.С.Горелик писал об этом времени1 «Кто знал 25-летнего Шурку Андронова с его могучим телосложением, буйной энергией, голосом, гремевшим на все этажи физического института Московского университета, мог бы подумать, что именно он больше, чем кто-либо, предназначен для дел, не чуждых внешней эффектности, производящих сильное впечатление для людей, далеких от науки. На деле оказалось совсем иначе. Подвиги А. А. Андронова иного рода. Они совершались в тишине. Для того, чтобы их понять, нужно смотреть в глубь вещей».

Близкое окружение Андронова замечательно описано Н. М. Леонтович-Левиной: «В эти годы в центре Москвы, на Сивцевом Вражке организовалась коммуна, вокруг которой собирались удивительные люди. Несомненно, это сообщество уникально для советского времени, да, пожалуй, вообще уникально. В эту компанию входили Николай Николаевич Парийский {астроном, впоследствии член-корреспондент АН2), Александр Александрович Андронов (физик, впоследствии академик), Петр Сергеевич Новиков (математик, впоследствии академик), Михаил Александрович Леонтович (физик, впоследствии академик), Александр Адольфович Витт (физик, впоследствии доктор физ.-мат. наук). Это основные мужчины, определяющие содержание жизни и дух своего сообщества. Все они учились в университете на физико-математическом факультете. Женщины были объединены учёбой в Лосиноостровской гимназии. Это Лидия Викторовна Птицына, сестры Свешниковы (Татьяна и Наталья), Людмила Всеволодовна Келдыш. Входила в эту компанию и Евгения Александровна Леонтович, сестра М. А. Леонтовича. Несколько на особицу стоял Игорь Евгеньевич Тамм. Он был старше и к нему обращались на Вы и по имени-отчеству.

1 Здесь и ниже все цитаты, не снабжённые ссылками, даются по тексту книги [3].

2 Это и следующие пояснения, взятые в скобки, в оригинальном тексте Н. М. Леонтович-Левиной даны ниже, за пределами данной цитаты.

Люди эти были очень яркими индивидуальностями и, конечно, очень отличались друг от друга. Однако было много, что их объединяло, они составляли содружество, имевшее общее лицо. Основой их жизни, стержнем, была наука. И наукой они занимались ради науки. Своё удовольствие они получали от открытия научного факта. Они не делали карьеры. Даже представить себе невозможно, чтобы кто-нибудь из них организовывал получение какого-либо звания. Но они не были сухарями и интересовались совсем не одной наукой. Очень большое значение в их жизни играла природа. Все они знали и любили литературу, интерес к искусству был у всех. Они были атеистами, при этом их нравственная планка была очень высока. В двадцатые годы они были «красными». Эти очень умные люди (причем думающие над социальными, общественными вопросами) не поняли преступность Октябрьской революции. Видимо самым революционным из них был А. А. Андронов. Они были обмануты фразеологией о социальной справедливости, равенстве. От чего зависело прозрение? Кроме, конечно, фактов, которые все знали. От того, насколько эти умнейшие люди разрешали себе в этих вопросах думать также до конца, как они умели делать это в своей науке. При всей революционной настроенности этих людей в начале двадцатых годов ни один из них не был членом партии. Почему? Для них была невозможной потеря степеней свободы, взятие на себя обязательств что-то делать и говорить не согласно своим убеждениям, но согласно с чьими-то указаниями.

Образовалось несколько супружеских пар. П. П. Парийский и Л. В. Птицына, А. А. Андронов и Е. А. Леонтович, М. А. Леонтович и Т. П. Свешникова, П. С. Новиков и Л. В. Келдыш. Пары оказались очень крепкими — на всю жизнь, и в семьях было много детей. Удивительным был их пуританский образ жизни. Они восприняли эту пуританскую психологию очень глубоко и исповедовали её всю жизнь. Они жили очень аскетично. Очень простая одежда, очень простая мебель. Неправильно сказать, что все они были очень счастливые люди, но они все были люди состоявшиеся. И причиной этого были не только заложенные в них способности в сочетании с научным любопытством, но и их нравственные позиции, которые не дали им распространить на мелочи то, из чего получилось нечто по-настоящему стоящее».

После окончания аспирантуры А. А. Андронов сначала работает во Всесоюзном электротехническом институте, а затем в НИИ физики при МГУ. В 1931 году А. А. Андронов и его жена Е. А. Леонтович переехали в Нижний Новгород (Горький). Причин для переезда молодых учёных было много, в том числе — забота о развитии отечественной науки и стремление создать научный центр в провинции. В Нижнем Новгороде Андронов начинает работать в Физико-техническом институте (ГИФТИ) и во вновь открывшемся 1 ноября 1931 года Нижегородском университете. В ГИФТИ он возглавлял отдел теории колебаний и теории автоматического регулирования (1931-1949). В университете по инициативе А. А. Андронова была создана кафедра теории колебаний (1933 г., одна из первых в мире), которой он заведовал до 1945 года.

Первые годы Александр Александрович совмещал работу в Горьком с работой в НИИ физики при МГУ, затем сосредоточил всю работу в Горьком.

Свои исследования в 1931-1941 годах сам Андронов делил на три направления:

1. Развитие качественной теории дифференциальных уравнений и её приложений к проблемам теории нелинейных колебаний.

2. Применение теории нелинейных колебаний к задачам радиотехники и механики.

3. Исследования в некоторых разделах теоретической физики, связанных с вопросами физики колебаний.

Главное место в работах А. А. Андронова этого периода занимало первое направление. Особого упоминания заслуживают работы по теории бифуркаций автоколебательных систем и прежде всего — идея о грубых системах, разработанная Андроновым совместно с Л. С. Понтрягиным [4]. Понятие грубости можно трактовать как устойчивость структуры разбиения фазового пространства системы на траектории по отношению к малым изменениям её параметров.

В 1933 году А. А. Андронов получил приглашение сделать доклад на Первой международной нелинейной конференции в Париже, а в 1934 году Ван-дер-Поль представил на конференции в Лондоне обширный доклад о советских работах по нелинейным колебаниям, написанный А. А. Андроновым совместно с другими авторами.

В 1934 г. А. А. Андронову было присуждено звание профессора, а год спустя степень доктора физико-математических наук. Результаты работ А. А. Андронова и его сотрудников вошли в изданную в 1936 году коллективную монографию [5].

Академик Н. Д. Папалекси писал: «Крупная заслуга А. А. Андронова и его многочисленных сотрудников и учеников — открытие значения методов качественного анализа дифференциальных уравнений для теории нелинейных колебаний и превращение их в мощное орудие исследования. С 1927-28 года ведущая роль исследований нелинейных колебательных систем и развитие их теории постепенно перешла к нам, и в настоящее время ведущая роль наших ученых в области нелинейных колебаний получила всеобщее признание».

В 1937 г. выходит в свет книга «Теория колебаний», написанная А. А. Андроновым совместно с А. А. Виттом и С. Э. Хайкиным. Однако в этом первом издании книги не было имени А. А. Витта, «участвовавшего в написании книги наравне с другими авторами, но не указанного в их числе вследствие печальной ошибки» (С. Э. Хайкин). Эта «печальная ошибка» состояла в том, что А. А. Витт был репрессирован и умер в лагере на Колыме 26 апреля 1938 года3. Н. М. Леонтович-Левина пишет: «Из всей их компании погиб только один человек — А. А. Витт. Про Витта мы теперь знаем очень мало. Но одно из его высказываний вошло в научный фольклор — “всё плохое сократится, всё хорошее останется”».

О книге «Теория колебаний» Н. В. Бутенин, один из учеников А. А. Андронова, пишет: «Вряд ли можно переоценить значение этой книги в становле-

3 А. А. Витт был посмертно реабилитирован в 1957 году.

нии нелинейной теории колебаний как в нашей стране, так и во всем мире. Впервые появилась книга, где с ясной теоретической позиции излагались основы теории нелинейных колебаний как сложившейся науки; эта теория иллюстрировалась многочисленными примерами из различных областей физики и техники. Исследователи получили мощное оружие для решения задач, возникающих при рассмотрении нелинейных динамических систем».

В 1959 году вышло второе издание «Теории колебаний» (в числе авторов был указан и А. А. Витт) с существенными дополнениями, сделанными Е. А. Леонтович и учеником А. А. Андронова Н. А. Железцовым. Второе издание представляло вершину «колебательных» достижений 50-х годов в области динамики нелинейных автономных систем второго порядка. В 70-е годы сформировалось мнение, что книга А. А. Андронова, А. А. Витта и С. Э. Хайкина — это классика, которую не следует дополнять и перерабатывать, и в 1981 году появилось третье издание знаменитой монографии, тождественное первому.

Г.С.Горелик пишет: «...Особые точки, предельные циклы, сепаратрисы — всё это для А.А. как бы части живого организма: математической модели той или иной машины. И недаром он часто говорит: «Предельные циклы родятся, растут, умирают». Он «просвечивает» математическим рентгеном особую точку и выясняет, что она «беременна» предельным циклом. .. Некоторые страницы рисунков в книге Андронова и Хайкина прямо напоминают эмбриологический атлас».

В предвоенные годы А. А. Андронов получил фундаментальные результаты в теории автоматического регулирования. Эти исследования получили большое развитие в последние годы Великой Отечественной войны и в послевоенные годы. Система с автоматическим регулированием (например, самолет, снабженный автопилотом) обладает характерной склонностью к автоколебаниям (обычно нежелательным). А.А.Андронов усмотрел глубокую аналогию между автоколебаниями в системах автоматического регулирования и колебаниями в радиофизике. В 1944 году совместно с А. Г. Майером он опубликовал свою первую статью по теории регулирования [6] и статью об автопилоте [7], написанную совместно с Н. Н. Баутиным. В 1945-1947 гг. совместно с Г. С. Гореликом, А. Г. Майером и Н. Н. Баутиным он продолжил этот цикл статей. За работы, выполненные во время Великой Отечественной войны, А. А. Андронов награжден орденом Красной Звезды.

В послевоенные годы А. А. Андронов и его сотрудники много работали над созданием книги, объединяющей результаты по качественной теории дифференциальных уравнений. Эта работа была завершена уже после смерти А. А. Андронова: в 1966 и 1967 гг. вышли в свет коллективные монографии А. А. Андронова, Е. А. Леонтович, И. И. Гордона и А. Г. Майера [8] и [9].

В 1946 г. А. А. Андронов, не являясь членом-корреспондентом АН, единогласно избирается действительным членом АН СССР по отделению технических наук.

Научные достижения А. А. Андронова громадны и удивительны, особенно если учесть, что они достигнуты на фоне очень большой, порой самоотверженной организаторской, административной и педагогической работы.

Александр Александрович начал свою педагогическую деятельность очень рано. Еще до окончания МГУ он стал преподавать во 2-м МГУ (Московский государственный педагогический институт) в качестве ассистента, а затем — в качестве доцента по кафедре теоретической физики и механики. В Горьком А. А. Андронов становится и до конца жизни остаётся профессором университета (ГГУ), в котором с осени 1941 по ноябрь 1942 года он был проректором, а летом 1942 года выполнял обязанности ректора (см. рис. 1).

Рис. 1. Выписка из приказа о возложении на А. А. Андронова обязанностей ректора ГГУ (ГАНО, ф. 377, оп. 3а, ед. хран. 3)

А. А. Андронов придавал очень большое значение качеству преподавания. Он разработал множество учебных планов и программ, поставил курс теории колебаний, читал курсы электродинамики и теории относительности, организовал преподавание теоретической физики. По общему признанию слушателей, его лекции были очень яркими, увлекательными, глубоко продуманными. А. А. Андронов чётко следовал выработанным им правилам преподавания: сделать для студентов абсолютно ясными основы науки, после этого студентов можно подводить к вещам, действительно сложным для понимания. Кроме того, воздействовать не только на ум, но и на воображение студентов.

Андронов болезненно переживал отставание большинства периферийных вузов от вузов Москвы и Ленинграда в качестве подготовки специалистов. В 1950 году в статье [10] он указал три основные причины низкого качества работы вузов на периферии: 1) недостаточно высокая квалификация преподавателей; 2) слабая оснащенность лабораторий и библиотек и отсутствие во многих вузах хорошо оборудованных мастерских; 3) поверхностное руководство учебно-педагогическим процессом и формальный подход к оценке качества работы вузов со стороны министерств. А. А. Андронов писал о необходимости реорганизации университетов И. В. Сталину. Вот отрывок из черновика этого письма [11] (см. рис. 2): «... В настоящей докладной записке мы хотим поставить вопрос о состоянии и дальнейшем развитии русских университетов, т. е. университетов, находящихся сейчас в ведении Наркомпроса Р.С.Ф.С.Р., т.к. о состоянии и деятельности других университетов мы имеем лишь косвенные [сведения], однако мы думаем, что мы [неразборчиво]. Мы считаем, что состояние русских университетов в на-

стоящее время, в особенности провинциальных, не соответствует ни достоинству великого русского народа, ни тем задачам, которые сейчас стоят перед нашей родиной... »

А. А. Андронов выступал за тесную связь ГГУ с научно-исследовательскими институтами г. Горького и других городов страны. Он приглашал в Горьковский университет крупных учёных из других городов для чтения некоторых курсов и отдельных лекций. Благодаря ему в Горьком работали Г. С. Горелик, С. М. Рытов, С. П. Стрелков, В. Л. Гинзбург, Е. Л. Фейнберг, возглавившие разработку новых научных направлений и воспитавшие большую группу талантливых учеников.

В университете А. А. Андронов создал сеть научных семинаров, которые стали настоящей школой научно-исследовательской работы. Деятельностью семинаров по теории нелинейных колебаний, по качественной теории динамических систем, по теории электрических машин он руководил сам, другими руководили его сотрудники (Г.С.Горелик, Е. А. Леонтович, А. Г. Майер). Особое внимание Андронов уделял университетской библиотеке: «... Никто так не заботился о библиотеке ГГУ, как Александр Александрович. Благодаря его хлопотам библиотека ГГУ получала больше, чем другие библиотеки, иностранной (валютной) литературы. Под его руководством комплектова-

Рис. 2. Фрагмент черновика письма А. А. Андронова И. В. Сталину (Архив РАН, ф. 1938, оп. 1, д. 190)

лись старые журналы. При его участии решались все важные для библиотеки дела...» (А. И. Лалетина, работник библиотеки ГГУ). А.А.Андронов вложил много труда и энергии в работу со школьниками и абитуриентами. Он написал справочник для поступающих в университет.

В созданной Андроновым творческой атмосфере развивались настоящая наука и научная школа в том высоком смысле, который вкладывал в это понятие сам А.А.Андронов. В разные годы с ним работали Г.С.Горелик, СМ. Рытов, А. Г. Майер, Н.П.Власов, Я.Н.Николаев, Н.Н. Баутин, Н. В. Бутенин, Г.В.Аронович, Н. А. Железцов, Ю. И. Неймарк, С. А. Жевакин, А. С. Алексеев, Н. А. Фуфаев, И. Л. Берштейн, С. В. Беллюстин, А. В. Гапонов-Грехов. «Горьковской научной школе А. А. Андронова судьба определила долгую жизнь. Поднятая ею тема оказалась одной из основных, базовых в точном естествознании и технике, требующей длительной разработки и имеющей широчайшие и разнообразные приложения. Теория колебаний -наука об общих закономерностях эволюционных процессов различной природы: физической, химической, биологической, экономической, социальной. Изучаемая ею математическая модель — динамическая система — стала основной математической моделью точных наук» (Ю. И. Неймарк, [12]).

В 1996 году в Париже состоялась конференция «Андронов и его школа в Горьком».

А. А. Андронов был не только выдающимся физиком и математиком, он внёс большой вклад в историю науки. Начиная заниматься новой задачей, он изучал всю имеющуюся литературу, включая историю исследования этой задачи. При этом Андронов проявлял большой интерес к личностям самих исследователей. Первая работа по истории науки была опубликована им совместно с Е. А. Андроновой-Леонтович в 1930 году — это книга [13], посвященная жизни и мировоззрению Лапласа. Сейчас она является библиографической редкостью. А. А. Андронов написал замечательную статью [14] о своем учителе Л. И. Мандельштаме, в которой определена роль Мандельштама в истории развития теории нелинейных колебаний. В статье [15] совершенно по-новому изложена история создания теории автоматического регулирования, в качестве главных создателей которой обоснованно названы Д. Максвелл, И. А. Вышнеградский и А. Стодола.

В 1947 году А. А. Андронов начал заниматься биографией Н. И. Лобачевского. По инициативе, под руководством и при личном участии Андронова созданная им исследовательская группа провела большую работу по изучению нижегородского периода жизни H.И. Лобачевского. В результате этой работы удалось установить точную дату (20 ноября 1792 г. по старому стилю) и место (Нижний Новгород) рождения Лобачевского. По инициативе А. А. Андронова в 1956 году, уже после его смерти, Горьковскому университету было присвоено имя Н. И. Лобачевского.

В 1947 году А. А. Андронов был избран депутатом Верховного Совета РСФСР, а в 1950 году — депутатом Верховного Совета СССР. К своим депутатским обязанностям Андронов относился чрезвычайно добросовестно, не оставляя без внимания ни одно письмо, ни одно обращение. Благодаря его усилиям был электрифицирован большой район Горьковской области, где

свыше тридцати лет Советской власти люди жили при свете керосиновых ламп. Он разбирал жалобы и заявления избирателей о предоставлении жилплощади и оказании материальной и медицинской помощи, о помиловании и сокращении срока заключения, о розыске пропавших родственников и т. д. Очень многие люди, которым помог А. А. Андронов, присылали ему письма с благодарностью за тепло и отзывчивость.

А. А. Андронов находил время и для активной просветительской деятельности. Приведём воспоминания из [3] о лекциях А. А. Андронова на Горьковском автозаводе: «Инженерно-техническая общественность завода обратилась к руководству завода с предложением организовать лекцию об атомной энергии и атомной бомбе. В августе 1945 года американцы сбросили бомбы на Хиросиму и Нагасаки. Это событие вызвало во всем мире возмущение американским варварством, но одновременно и огромный интерес к этому виду оружия, обладающего колоссальной разрушительной силой. Лекция профессора Андронова была выслушана с неослабевающим интересом и имела такой успех, который я не могу описать. Сразу установился прочный контакт лектора с его слушателями, все были удивлены его умением ясно и доходчиво раскрыть перед слушателями сложные физические процессы, сопровождая рассказ о сложных явлениях элементами легко воспринимаемого и понятного юмора... А через несколько дней после очередной оперативки главный диспетчер Автозавода по селектору сообщил, что в очередной вторник состоится повторная лекция профессора Андронова. А потом добавил: “ Это очень интересная лекция! И читает её необыкновенный профессор. Советую всем, кто не занят на работе в это время, обязательно посетить эту лекцию!”»

О жизни и деятельности А. А. Андронова имеется обширная литература. По многочисленным свидетельствам, Андронов обладал исключительными человеческими качествами и был безусловным нравственным образцом и авторитетом для окружающих. В Нижнем Новгороде на здании института, где он работал, установлена памятная доска с его барельефом. Но прочнее всего его имя сохраняет название созданной им всемирно известной андроновской научной школы по теории нелинейных колебаний.

ЛИТЕРАТУРА

1. Андронов А.А. Предельные циклы Пуанкаре и теория колебаний //В кн.: VI съезд русских физиков, Москва, Н.Новгород, Казань, Саратов (5-16 августа 1928 года). — М.-Л.: Гос. изд-во, 1928. С. 23-24.

2. Andronow A. Poincaré limit cycles and the theory of self-sustaining oscillations (Les cycles limites de Poincaré et la théorie des oscillations autoentretenues) // Comptes rendus de l'Académie des Sciences. 1929. V. 189. P. 559-561.

3. Александр Александрович Андронов (1901-1952) / Серия «Личность в науке». — Нижний Новгород: Изд-во ННГУ им. Лобачевского, 2001. 287 с.

4. Андронов А.А., Понтрягин Л. С. Грубые системы // ДАН СССР 1937. Т. 14. №5. С.247-250.

5. Мандельштам Л. П., Витт А. А., Папалекси Н. Д., Андронов А. А., Горелик Г. С, Хайкин С. Э. Новые исследования в области нелинейных колебаний. — М.: Гос. изд-во по вопросам радио, 1936. 96 с.

6. Андронов А. А., Майер А. Г. Задача Мизеса в теории прямого регулирования и теория точечных преобразований поверхностей // ДАН СССР. 1944. Т. 43. №2. С. 58-62.

7. Андронов А.А., Баутин Н.Н. Движение нейтрального самолета, снабженного автопилотом, и теория точечных преобразований поверхностей // ДАН СССР. 1944. Т. 43. №5. С. 197-201.

8. Андронов А. А., Леонтович Е. А., Гордон И. И., Майер А. Г. Качественная теория динамических систем второго порядка. — М.: Наука, 1966. 567 с.

9. Андронов А.А., Леонтович Е. А., Гордон И. И., Майер А. Г. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости. — М.: Наука, 1967. 487 с.

10. Андронов А.А. Нужны решительные меры // Вестник высшей школы. 1950. №7. С. 33-37.

11. Архив РАН. Фонд 1938, опись 1, дело 190.

12. Неймарк Ю.И. Сухой остаток. — Нижний Новгород: Нижегородский гуманитарный центр, 2000. 142с.

13. Андроновы А. и Е. Лаплас. — М.: Госиздат РСФСР Московский рабочий, 1930. 192 с.

14. Андронов А. А. Л. И. Мандельштам и теория нелинейных колебаний. Собр. Трудов. — М.: АН СССР, 1956. С. 441-472.

15. Андронов А. А., Вознесенский И. Н. О работах Д. К. Максвелла, И. А. Вышнеградского и А. Стодолы в области регулирования машин //В кн.: Д. К. Максвелл, И. А. Вышнеградский и А. Стодола. Теория автоматического регулирования. — М.-Л.: 1949. С.253-301.

Поступила 15.06.2011

ACADEMICIAN A. A. ANDRONOV AND HIS SCHOOL (То the 110 anniversary from the date of А.А.Andronov's birth)

E. V. Gubina

This text is author's report on IX Kolmogorov's readings (Yaroslavl, 2011) which contains brief scientific biography of A. A. Andronov and history developing of the Andronov's school of the theory of nonlinear oscillations and the qualitative theory of differential equations.

Keywords: A. A. Andronov, biography, scientific school.

ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ. ПЕРСОНАЛИИ

УДК 929

ИЗ ИСТОРИИ ДВИЖЕНИЯ ЗА ОБНОВЛЕНИЕ ОТЕЧЕСТВЕННОГО ОБРАЗОВАНИЯ НА РУБЕЖЕ XIX-XX ВЕКОВ

Р. З. Гушель

Ярославский государственный педагогический университет им. К. Д. Ушинского Россия, 150000, г.Ярославль, ул. Республиканская, 108; e-mail: gushelr@yandex.ru

Освещается фрагмент истории движения за реформы образования в России на рубеже XIX-XX вв., связанный с работой Совещания 1899 года по вопросам о средней школе в Московском учебном округе и с работой Высочайше учреждённой Комиссии по вопросу об улучшениях в средней общеобразовательной школе в Санкт-Петербурге в 1900 году.

Ключевые слова: средняя школа, реформа образования.

Конец XIX века в России был ознаменован серьёзным изменением взгляда на задачи и структуру средней школы, а также на содержание образования. Изменение это касалось как общества в целом, так и педагогического сообщества. Развитие промышленности и значительный рост потребности страны в специалистах с естественно-научным и техническим образованием требовали смены ориентации среднего образования с классического направления на реальное. Существовавшие в стране реальные училища, первый устав которых был принят в 1872 году, считались учебными заведениями «второго сорта», так как в университет после их окончания не принимали, хотя в высшей технической школе реалисты учиться могли. Это обстоятельство для многих родителей было решающим при выборе школы для своего ребенка. Борьба за предоставление реалистам права поступления в университет не прекращалась в России в течение нескольких десятилетий. Положительное решение вопроса пришлось лишь на начало XX века.

Среди других вопросов, стоявших в повестке дня, были и обновление содержания образования, и увеличение числа учебных заведений, так как спрос на образование среди представителей разных социальных слоев постоянно возрастал. Здесь отмечены лишь некоторые вопросы, стоявшие перед школой того времени (речь идёт только о мужских средних учебных заведениях).

В 1898 году министром народного просвещения был назначен тайный советник Николай Павлович Боголепов, бывший до этого ректором Московского университета и попечителем Московского учебного округа. В 1899 году Н. П. Боголепов ходатайствовал перед Государем о созыве Высочайше учрежденной Комиссии по вопросам улучшения средней общеобразовательной школы. Комиссия была учреждена. Она работала в Санкт-Петербурге в 1900 году.

8 июля 1899 года министр разослал попечителям учебных округов циркуляр, в котором отмечались основные проблемы школы, а также те вопросы,

которые в первую очередь должны были обсуждаться Комиссией. Приведём выдержки из этого циркуляра (полностью документ опубликован в [1, вып. 1, c.I-VIII] и в [2]).

« Среди педагогов и родителей учащихся в гимназиях и реальных училищах давно слышатся жалобы на разные недостатки этих учебных заведений. Указывают, например, на отчуждённость от семьи и бюрократический характер средней школы, вносящей сухой формализм и мертвенность в живое педагогическое дело и ставящей в ложные взаимные отношения преподавателей и учеников; — на невнимание к личным особенностям учащихся и пренебрежение воспитанием нравственным и физическим; — на нежелательную специализацию школы с самых младших классов, обрекающую детей на известный род занятий, прежде чем выяснились их природные способности и склонности; — на чрезмерность ежедневной умственной работы, возлагаемой на учеников, особенно в низших классах; — на несогласованность программ между собою и с учебным временем и на значительное наполнение их требованиями второстепенными или даже излишними; — на недостаточное преподавание русского языка, русской истории и русской литературы и слабое ознакомление с окружающей природой, что, взятое вместе, лишает школу жизненного и национального характера; -на излишнее преобладание древних языков и неправильную постановку их преподавания, благодаря которой не достигается цель классического образования, несмотря на отводимое этим языкам значительное количество часов; — на недостаточную умственную зрелость оканчивающих курс гимназии, что препятствует успешному ходу их университетских занятий; - на неудовлетворительную подготовку прошедших курс реальных училищ для обучения в высших специальных учебных заведениях и вообще на слабую постановку преподавания в этих училищах. Указывают и на многие другие слабые стороны средней школы, но перечислять их было бы излишне.

Хотя в жалобах на наши средние учебные заведения многое преувеличивается, а многое вызывается ошибочным представлением о всесильном значении школы и невниманием к той совокупности жизненных условий, в какие она поставлена, я тем не менее не могу не признать в этих жалобах известной доли справедливости. Однако прежде принятия каких-либо мер к устранению существующих недостатков средней школы, я считаю необходимым ознакомиться с суждениями по возбуждённому вопросу наиболее опытных и выдающихся педагогов.

С этой целью я предполагаю зимой текущего года созвать в С.-Петербурге особую комиссию. Желая иметь в её среде представителей от вверенного Вашему Превосходительству округа, покорнейше прошу Вас заблаговременно избрать 2-4 лиц из числа наиболее опытных, образованных и даровитых руководителей или преподавателей средней школы, стараясь, по возможности, чтобы они явились выразителями <...> разных направлений, господствующих среди педагогов вверенного Вам округа.

В руководство избранным Вами лицам <...> прошу Ваше Превосходительство сообщить следующие указания, которые будут, между прочим, даны предполагаемой комиссии.

1) Задача комиссии должна будет состоять в том, чтобы а) обсудить всесторонне существующий строй средней школы с целью выяснить его недостатки и указать меры к их устранению при условии сохранения основ классической гимназии и реального училища, как главных типов этой школы в России, и б) если бы при обсуждении первого вопроса возникли предположения о видоизменении существующих типов или о создании какого-либо нового типа, то подвергнуть рассмотрению эти предложения, но отдельно от первого вопроса.

2) Заключения комиссии не только должны быть выражены в форме общих положений, основательно мотивированных, но и соединены с подробною разработкою этих положений, которая давала бы ясное представление о возможном их практическом осуществлении. Необходимо при этом, чтобы ожидаемые заключения были основаны не столько на отвлечённых рассуждениях, сколько на наблюдениях образованных опытных педагогов над действительной жизнью средней школы.

3) Обсуждая желательные перемены в существующем строе классической гимназии и реального училища, комиссия должна руководиться соображением, что к этой цели нужно идти постепенно и осторожно, ибо учебное дело не терпит грубой ломки <...>.

4) Среди других вопросов особое внимание должно быть уделено комиссией вопросу о физическом воспитании учащихся <...>.

5) Ещё большего внимания заслуживает вопрос о нравственном воспитании в широком смысле. Хотя именно в этой стороне своей жизни школа больше всего находится в зависимости от нравственного уровня семьи и общества <...>.»

Попечителем Московского учебного округа был в то время видный математик, профессор Московского университета Павел Алексеевич Некрасов (1853-1924). Получив циркуляр министра, он собрал в Москве очень представительное совещание, посвященное обсуждению обозначенных в циркуляре вопросов. Совещание проходило с 16 сентября по 2 декабря 1899 года. В его работе приняли участие педагоги как средней, так и высшей школы, всего более 200 человек. Помимо общих собраний, участники Совещания работали в следующих комиссиях и группах.

Комиссии:

1. По вопросу о физическом воспитании.

2. По вопросу о функциях педагогического совета.

3. По вопросу об экзаменах и отметках.

4. По вопросу о преподавании Закона Божия.

5. По вопросу о профессиональных училищах и о возможности перехода в них для учеников общеобразовательных школ.

Группы:

1)-3). По организации классической гимназии типов 1-3 соответственно. 4). По организации реального училища, состоящая из трёх подгрупп:

a) подгруппа гуманитарных наук;

b) подгруппа физико-математических наук (председатель А. Ф. Леонович, секретари А. М. Воронец и М. П. Чижевский);

c) подгруппа графических искусств.

5). Группа по вопросу о видоизменении существующих типов средней школы или о создании нового типа, состоящая из двух подгрупп:

a) по организации единой прогимназии без греческого языка;

b) по организации единой общеобразовательной школы.

Этими группами были разработаны учебные планы и программы для мужских средних учебных заведений шести типов (группой 5) — для двух типов). Такое большое число типов объясняется разным соотношением между дисциплинами гуманитарного и реального циклов в их учебных планах. Комиссия 1900 года в Санкт-Петербурге пришла в целом к тем же выводам, что и Совещание 1899 года в Москве, и если её решения не были претворены в жизнь, то одной из причин этого надо считать убийство Н. П. Боголепова в 1901 году.

В работе Московского Совещания приняли участие многие крупные ученые — профессора Московского университета и других высших учебных заведений города. Среди математиков были Н. В. Бугаев, Л. К. Лахтин, Б. К. Млодзеевский. В списке участников находим фамилии известных методистов-математиков: А. М. Воронца, Д. Д. Галанина, Ф.И.Егорова, К. К. Мазинга, В. П. Шереметевского и других.

Практически все участники Совещания были москвичами. Из иногородних педагогов Московского учебного округа в работе Совещании участвовали только четыре человека. Это директора средних учебных заведений из Владимира, Тулы и Ярославля.

Некоторые материалы, посвящённые вопросам преподавания математики, обсуждавшимся на Совещании в Москве, опубликованы в [2]. В том же 1899 году материалы Совещания были опубликованы в шести выпусках [1]. Годом позже в восьми выпусках [3] были опубликованы материалы самой Комиссии.

На Совещании в Москве была разработана анкета для профессоров Московского университета «по вопросам, возбужденным в предложении г. Министра народного просвещения от 8 июля 1899 года». Анкета содержала 7 вопросов, в том числе следующие (см. [1, вып. 6]):

«Вопрос 2. Возможно ли допускать в университет, на некоторые факультеты, учеников реальных училищ при условии 8-летнего курса и при условии основательного изучения новых языков?»

«Вопрос 4. Не представляется ли желательным, при сохранении, примерно, в семи классах гимназии преподавания общеобразовательного характера, видоизменить преподавание в VIII классе и, может быть, продолжить его в IX классе — так, чтобы это преподавание носило подготовительный для университета характер (на манер французских лицеев)? При условии осуществления такого лицейского преподавания, не представляется ли возможным сделать сокращение университетского курса, примерно, на один год, если будет прибавлен IX класс в гимназии?»

«Вопрос 5. Какие недочёты замечаются в познаниях по общеобразовательным предметам и в общем развитии абитуриентов гимназии, затрудняющие им занятия университетской наукой?»

«Вопрос 6. Не желательно ли, с целью отбора абитуриентов, пригодных к высшему образованию, установить особый экзамен для поступления в университет? Где и в какой форме должен происходить этот экзамен?»

На предложенные вопросы ответили 65 профессоров всех факультетов. Шестой выпуск материалов совещания содержит их ответы, а также ответы профессоров Императорского Московского технического училища на вопросы другой анкеты, близкой по содержанию к первой, но учитывавшей особенности высшего специального образования.

Из профессоров физико-математического факультета на вопросы анкеты ответили К. А. Андреев, Л. К. Лахтин, Б. К. Млодзеевский, В. К. Церасский и ряд других. Среди ответивших профессоров Императорского технического училища отметим Н. Е. Жуковского.

30 сентября 1899 года на общем собрании московского Совещания с докладом «по вопросу реорганизации гимназий» выступил директор Ярославской мужской гимназии Николай Григорьевич Высотский.

Н. Г. Высотский родился 4 мая 1846 года. В 1868 году он окончил историко-филологический факультет Московского университета со степенью кандидата. С 1 июня 1872 года Николай Григорьевич был командирован на два года за границу. С 1877 по 1886 год он служил преподавателем истории Лазаревского института восточных языков в Москве, а в 1881-1892 годах Н. Г. Высотский — правитель канцелярии попечителя Московского учебного округа.

Директором Ярославской гимназии Н. Г. Высотский состоял с 14 ноября 1892 года по 5 августа 1906 года, когда он был перемещён в Тулу также на должность директора гимназии. Подробными сведениями о дальнейшей службе Н. Г. Высотского мы не располагаем. Известно, что в 1908-1911 годах он был директором 2-й Московской гимназии.

В Ярославле под руководством Н. Г. Высотского было построено и введено в эксплуатацию новое здание гимназии. Сегодня в этом здании на Красной (бывшей Семёновской) площади расположен главный корпус Ярославского государственного университета имени П. Г. Демидова. Активное участие принял директор гимназии и в хлопотах по открытию в Ярославле реального училища — практически вся переписка города и с округом, и с министерством велась через него.

Помимо доклада о реорганизации гимназий, Н. Г. Высотский выступал на Совещании в Москве ещё несколько раз. Эти выступления были посвящены существовавшей тогда балловой системе, переводным испытаниям в гимназиях и физическому воспитанию учащихся. Тексты всех упомянутых выступлений Н. Г. Высотского опубликованы в первом выпуске материалов Совещания [1], почти полный текст его доклада о реорганизации гимназий имеется в [4]. Ниже приводятся фрагменты этого доклада.

«<...>От чего же происходит то зло, от которого страдают наши гимназии? Мне думается, что главных причин тому три:

1) Обременение совершенно непосильным трудом учащих и чрезмерная умственная работа учащихся.

Н. Г. Высотский

2) Скудость денежных средств, отпускаемых на содержание гимназий.

3) Стремление к установлению совершенно одинаковых порядков во всех средних учебных заведениях на огромном пространстве всей Российской Империи и проистекающая отсюда детальная регламентация, определяющая заранее мельчайшие подробности в жизни школы.

Учитель гимназии, как уже было указано огромное число раз, завален уроками. <.. .> Даже и 26-30 уроков в одном учебном заведении так утомляют учителя, что он едва в состоянии исполнять лежащие на нём обязанности по преподаванию своего предмета в классе и по исправлению письменных работ. <.. .> Чем учитель больше тратит своих сил на уроке, тем преподавание его плодотворнее, но если он себя не жалеет, то при 30 уроках его хватит ненадолго. Здесь, кстати, заметим, что учитель, например, русского языка и словесности, при 26 уроках в неделю должен исправить в течение года от 3500 до 4000 письменных работ. К числу этих работ относятся и домашние сочинения учеников старших классов, а эти сочинения бывают нередко очень объёмисты, исправить же их нужно с точки зрения их содержания, стиля, синтаксиса, орфографии. Огромная работа для учителя\ <...> И вот самый добросовестный учитель вечно спешит: он старается не пропускать уроков и не задерживать ученических тетрадок, старается почаще спрашивать учеников и выставлять им в клеточках классных журналов побольше отметок, старается исполнять, насколько только возможно, распоряжения директора, все предписания начальства округа, все установленные правила и все указания, заключающиеся в циркулярах, издаваемых Министерством народного просвещения, но так как уителю всё некогда, то приходится исполнять дело только формально. Едва хватает времени и на такое формальное исполнение обязанностей, но некогда часто видаться с родителями учеников, нет времени беседовать с учениками помимо уроков, нельзя руководить внеклассным чтением учеников, тогда как внеклассное чтение представляет собой могущественное средство для умственного развития учащихся, и дело это должно быть рационально поставлено во всякой благоустроенной гимназии; нельзя найти времени для устройства литературных бесед, невозможно изучить личные особенности и свойства каждого ученика, что опять-таки было бы в высшей степени важно, нельзя знать всех учеников так, как это было бы нужно для пользы дела. И вот волей-неволей учитель является лишь формальным исполнителем тех различных правил и предписаний, исполнения которых от него безусловно требуют. Каждый учитель состоит и классным наставником; для классных наставников существует, как известно, очень хорошая инструкция, но составлявшие эту инструкцию не подумали, по-видимому, о том, что, давая инструкцию, нужно дать классным наставникам и время для её исполнения, а посему прекрасная инструкция оставалась и остаётся мёртвою буквою. Не виноват учитель, что он не исполняет предписаний инструкции, составленной для классных наставников: он не может её исполнить; нельзя винить его за то, что он формалист, его поставили в такие тиски, что он не может не быть формалистом.

<...> Прежде всего, безусловно, необходимо освободить преподавателей гимназий от непосильной лежащей на них тяготы и установить, чтобы каждый учитель имел не более 18 уроков в неделю1, но вместе с тем необходимо, чтобы выработаны были новые штаты, согласно которым содержание учителя, несмотря на уменьшение количества даваемых им уроков, было бы значительно увеличено против содержания, получаемого им в настоящее время. С этого нужно начать, и если вопрос об уменьшении количества недельных уроков преподавателя и об увеличении его содержания не будет решён в благоприятном для дела смысле, то все другие меры, как бы они ни были сами по себе хороши, окажутся безрезультатными, мертворожденными <...>.

Уменьшение числа недельных уроков у каждого преподавателя есть первый шаг на пути реорганизации гимназии, но затем необходимо и другое: для того, чтобы учителя и классные наставники действительно имели возможность изучать индивидуальные свойства учеников (а в этом и состоит главный залог успеха), для того, чтобы все учащие могли, не внося формализма и мертвенности в живое педагогическое дело, вести это дело наилучшим образом, безусловно, требуется устранить переполнение классов учащимися и значительно понизить максимальную норму числа учеников в классе. Как определить эту норму, можно решить только детальною разработкой вопроса; со своей стороны могу высказать, что в младших и средних классах желательно было бы иметь 25 и не более 30 учеников, а в трёх старших не более 20 <...>.

Второю главною причиною тех тёмных сторон дела, которые вызывают жалобы на гимназии, является то, что высказано мною выше во 2-м положении, а именно ничтожность средств, отпускаемых на гимназию <...>.

В третьем, поставленном мною в начале этой записки, положении сказано, что немалым тормозом к тому, чтобы гимназия избавилась от «бюрократического характера, вносящего в живое педагогическое дело мертвенность и сухой формализм», является всегда замечавшееся стремление к установлению во всей России совершенно одинаковых школьных порядков, откуда неминуемо явилась самая детальная регламентация всей жизни школы <...> каждый шаг и начальника учебного заведения, и учителя, и всего педагогического совета предусмотрен и определён заранее. <.. .> Мельчайшие подробности порядка производства переводных испытаний и перевода учеников из класса в класс регламентированы правилами об испытаниях, воспитательное воздействие на учащихся стеснено подробными правилами о взысканиях, в распределении учебных занятий в течение дня педагогический совет не властен сделать ни малейшей перемены <...>.

Чтобы вдохнуть новую жизнь в гимназии, совершенно необходимо оживить деятельность педагогических советов; нужно дать в руки этого совета ведение всего педагогического и воспитательного дела. Отменив вовсе переводные испытания, необходимо отнестись в этом деле с полным доверием к педагогическому совету и совершенно передать в его ведение решение

1 Выделено в [1].

вопроса о каждом ученике, следует ли его перевести в следующий класс вовсе без испытаний, или надлежит оставить ученика в классе на второй год, или же, наконец, назначить ему экзамен по какому-нибудь предмету <...>.

При таком новом порядке педагогический совет, собираясь не менее двух раз в месяц, явился бы регулятором всего хода учебно-воспитательного дела в гимназии и соединёнными усилиями всех своих членов, подвергая совместному обсуждению всё то, что так или иначе могло бы служить на пользу общего дела или отдельного ученика, вскоре достиг бы той жизненности, без которой немыслима плодотворная работа в воспитании юного поколения <.. .> ».

Содержание приведённых выше документов, особенно доклада Н. Г. Высотского, может вызвать чувство недоумения — если не обращать внимание на нормальный русский язык (в отличие от языка современных документов в области образования), которым изложены эти материалы, то складывается впечатление, что почти всё сказанное относится к современной школе, а не к школе конца XIX столетия. По-видимому, из этого следует, что многие проблемы образования превратились у нас в «вечные проблемы», а некоторые новшества последних десятилетий не такие уж и новые, хотя они введены в новых исторических условиях. Отечественные педагоги прошлого не только говорили о своих проблемах с высоких трибун, но и пытались решать эти проблемы. Их опыт, в особенности опыт организации обсуждения вопросов и выработки решений, надо изучать, поскольку многое из этого опыта было бы полезно и сегодня для решения проблем образования в современной России.

ЛИТЕРАТУРА

1. Совещания, происходившие в 1899 году в Московском учебном округе по вопросам о средней школе. — М., 1899. Вып. 1-6.

2. Гушель Р. 3. К столетию московского совещания по вопросам о средней школе // Математическое образование. 2000. №2. С. 73-88.

3. Труды Высочайше учрежденной Комиссии по вопросу об улучшениях в средней общеобразовательной школе. — СПб., 1900. Вып. 1-8.

4. Гушель Р. 3. Страницы истории школьного дела в Ярославле. XIX-начало XX века. — Ярославль: Академия 76, 2010. 127с.

Поступила 05.04.2011

FROM THE HISTORY OF MOVEMENT FOR THE UPDATING OF EDUCATION IN RUSSIAON THE BOUNDARY OF XIX AND XX CENTURIES

R. Z. Gushel

A fragment of history of movement for education reforms in Russia on a boundary XIX and XX centuries, which is connected with work of the Meetings at 1899 about questions of middle school in the Moscow educational district and with work of the highest Commission in St.-Petersburg at 1900 about improvements at comprehensive school, is described.

Keywords: comprehensive school, education reform.

ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ. ПЕРСОНАЛИИ

УДК 929

АЛЕКСЕЙ НИКОЛАЕВИЧ БОГОЛЮБОВ (к 100-летию со дня рождения)

И. К. Зубова

Оренбургский госуниверситет Россия, 460018, г. Оренбург, пр. Победы, д. 13; e-mail: zubova-inna@yandex.ru

Расширенный текст доклада автора о жизни и творчестве видного советского математика, механика и историка науки А. Н. Боголюбова, прочитанного на IX Международных Колмогоровских чтениях (Ярославль, май 2011 г.).

Ключевые слова: А. Н. Боголюбов, биография, воспоминания.

25 марта 2011 г. исполнилось сто лет со дня рождения видного советского математика, механика и историка науки, члена-корреспондента Академии наук Украины Алексея Николаевича Боголюбова (умер 01.11.2004), которого, несомненно, с любовью вспоминают многие из ныне работающих историков математики. Автору предлагаемой статьи посчастливилось быть его аспиранткой в 1982-1985 гг.

Два года назад научная общественность широко отметила1 столетие со дня рождения его старшего брата, академика Николая Николаевича Боголюбова, одного из крупнейших физиков и математиков нашего времени. В конце прошлого года на 93-м году жизни скончался их младший брат, академик Михаил Николаевич Боголюбов, филолог, востоковед, более 30 лет бывший деканом восточного факультета Санкт-Петербургского университета. Те публикации по поводу этих событий, которые мне удалось прочитать, создали впечатление, будто я знала лично обоих этих замечательных людей: всё, что пишут сейчас о них, вызывает в памяти самый тёплый отклик, так как живо напоминает Алексея Николаевича. Его яркие рассказы о братьях, слышанные в годы аспирантуры, прочно врезались в память, а всё то, чем запомнились Н.Н. и М. Н. Боголюбовы их коллегам и ученикам — эрудиция, высокая интеллигентность, душевная доброта — было в полной степени характерно и для Алексея Николаевича.

Отец трёх сыновей-академиков, Николай Михайлович Боголюбов (1872-1934), видный ученый-богослов и религиозный философ, родился в Нижегородской губернии, в семье потомственного священника. Окончив Нижегородскую духовную семинарию, а затем Московскую духовную академию и Берлинский университет, он стал магистром богословия и преподавателем Нижегородской духовной семинарии2. В 1908 г. он женился на выпускнице Нижегородского филиала московской консерватории по классу рояля Ольге Николаевне Люминарской (1881-1965), преподававшей музыку в Институте благородных девиц в Нижнем Новгороде.

1 См., например, [1-3].

2 Биографические сведения о Н. М. Боголюбове см. также в [2].

В 1909 г. в семье родился первый сын, Николай, и в том же году Николай Михайлович получил приглашение на место профессора богословия в историко-филологический институт князя Безбородко в г. Нежине (ныне Черниговской области). Для того чтобы принять это приглашение, нужно было получить сан священника, и в сентябре 1909 г. Николай Михайлович был рукоположен в иереи, после чего семья переехала в Нежин. Здесь 25 марта 1911 г. родился второй сын, Алексей.

В 1913 г. Н. М. Боголюбов был избран профессором богословия Университета св. Владимира в Киеве. 24 января 1918 года в семье родился третий сын, Михаил. В том же году Алёша Боголюбов поступил в гимназию, но проучился там только один год, поскольку вскоре кафедра богословия в Университете Святого Владимира была ликвидирована, и в 1919 г. семья переехала в село Великая Круча Пирятинского уезда Полтавской губернии, где Николай Михайлович получил место сельского священника. (У Н. М. Боголюбова была реальная возможность остаться на преподавательской работе в Киеве, отказавшись от сана, но это было для него неприемлемо.) Два года Н. М. Боголюбов служил там в церкви Святого Иоанна Богослова. Старшие сыновья были приняты соответственно в пятый и седьмой классы семилетней школы, о которой впоследствии вспоминали с большой благодарностью, считая, что её педагогический коллектив мог бы составить славу лучшей из московских школ. Алексей Николаевич считал, что именно здесь определилось призвание его старшего брата, который за время жизни в селе с помощью учителей и отца изучил всю школьную математику и начал изучать высшую.

В прессе много писалось, особенно в 1968 г. по случаю 60-летия Н. Н. Боголюбова, что он стал студентом в 13 лет. Когда однажды я сказала Алексею Николаевичу, что читала об этом, будучи школьницей, он весело рассмеялся и ответил, что академик Боголюбов студентом никогда не был, что он не имел ни высшего, ни законченного среднего образования. Ограничившись этой шуткой, он тогда не рассказал подробно, каким образом могло так получиться. В конце 1921 г. семья возвратилась в Киев — вероятно, сельская церковь была закрыта. В кратких автобиографических очерках Алексей Николаевич не сообщает обстоятельств переезда, но пишет, что отец не мог сразу найти работу. Пришлось жить распродажей скромного имущества и случайными заработками — изредка отцу удавалось заменить кого-либо из приходских священников, мать давала уроки музыки. Лишь в середине 1923 г. отец получил место священника и чин митрофорного3 протоиерея. Дети учились дома, с ними занимались знакомые преподаватели. Николай Николаевич с 1922 г. посещал в университете семинар Д. А. Граве, а затем перешел на кафедру математической физики, которой руководил Н. М. Крылов. Тогда ему и в самом деле было 13-14 лет. Именно благодаря хлопотам Н. М. Крылова, ставшего научным руководителем юного ученого, он был принят в аспирантуру «ввиду феноменальных способностей», как было отмечено в решении президиума Укрглавнауки. Таким образом, Николай Николаевич и в самом деле стал аспирантом, имея только свидетельство об окончании семилетки!

3 Митрофорный — награждённый правом ношение митры, специального головного убора для богослужения.

В 1925 г. Николай Михайлович, оставив старшего сына в Киеве, уехал с остальными членами семьи на родину в Нижний Новгород, где получил место настоятеля храма Всемилостивейшего Спаса. Младшие дети в Нижнем Новгороде стали учиться в школе. Алексей Николаевич окончил её в 1928 г., и, как он пишет в автобиографическом очерке, опубликованном в сборнике [4], посвященном его 90-летию, «сразу попал в список лишенцев, поскольку советская власть решила, что... сын священника не должен иметь никаких прав».

В том же году протоиерей Боголюбов был репрессирован, три года провёл в заключении и смог выйти из тюрьмы благодаря хлопотам жены и старшего сына (подробнее см. [2, с. 163]).

На сайте Нижегородской епархии имеются сведения о хорошо известном нижегородцам храме Всемилостивейшего Спаса [5]. Здесь упоминается и о том, что храм этот городские власти намеревались закрыть ещё в 1930 г., но именно благодаря усилиям Н. М. Боголюбова ВЦИК отменил это решение и богослужения в храме продолжались до 1937 года. В 1992 году храм был возвращён верующим и заново освящён, а в 1998 г. на его стене установлена мемориальная доска в память о настоятеле храма и отце трёх академиков Н. М. Боголюбове.

После смерти мужа в 1934 году О. Н. Боголюбова переехала в Киев к старшему сыну.

О первых годах своей жизни после окончания школы Алексей Николаевич в автобиографическом очерке сообщает только одной фразой: «Всё-таки, благодаря добрым людям, работу я получил. Трудился в учхозе Тимирязевской сельскохозяйственной академии, на строительстве моста через Оку4, на заводе «Свет шахтёра» в Харькове, в УОЦИТ в Харькове, также в Запорожье» [4, с. 93]. Под «добрыми людьми» он, вероятно, в первую очередь подразумевал семью Артоболевских, с которой дружил всю жизнь.

Судьба этой семьи во многом схожа с судьбой семьи Боголюбовых. Отец видных советских ученых в области теории машин и механизмов Сергея Ивановича (1903-1961) и Ивана Ивановича (1905-1977) Артоболевских протоиерей Иван Алексеевич Артоболевский (1872-1938) с 1911 г. был заведующим кафедрой богословия при Петровской (с 1923 г. — Тимирязевской) сельскохозяйственной академии, одном из ведущих сельскохозяйственных вузов России. Эту академию окончили оба его сына. В марте 1918 г. кафедра богословия была упразднена, но И. А. Артоболевский продолжал служить в храме Святых апостолов Петра и Павла при академии, с марта 1918 г. и до закрытия храма в 1927 году он был его настоятелем. Затем он был назначен настоятелем Введенского храма в Черкизове.

А. Н. Боголюбов Нижний Новгород, 1928 г.

4 В Нижнем Новгороде — И. 3.

В августе 1922 г. отец Иоанн был в первый раз арестован. Его обвиняли в контрреволюционной агитации во время проповедей и в организации в Петровской сельскохозяйственной академии кружков христианской молодежи. Он был освобождён через полгода, но в 1933 г. снова арестован и приговорен к трём годам ссылки. Отбыв её в Вологодской области, он вернулся в Москву, а в 1938 г. был арестован в третий раз и приговорен к расстрелу.

В августе 2000 года протоиерей Иоанн Артоболевский причислен к лику святых Юбилейным Архиерейским Собором Русской Православной Церкви.

Поскольку И. А. Артоболевский и Н. М. Боголюбов — ровесники и оба учились в Московской духовной академии, напрашивается вывод, что они были хорошо знакомы и что не случайно Алексей Николаевич начинал трудовую деятельность в учхозе Тимирязевской сельскохозяйственной академии. Вероятно, тогда он сблизился с братьями Артоболевскими, которые были старше на несколько лет и к этому времени уже увлеченно занимались теорией машин и механизмов. Возможно, это знакомство в немалой степени повлияло на его будущий выбор профессии.

Только в 1931 г. Алексею Николаевичу удалось поступить на математический факультет Харьковского университета. Здесь он встретил свою будущую жену Тамару Васильевну Морозову (1911-1998), которая была дочерью учителей. Как и Алексей Николаевич, она в это время вела уже совершенно самостоятельную жизнь.

В 1936 году оба они окончили университет. Тамара Васильевна защитила дипломную работу по геометрии, а Алексей Николаевич — по механике. Он сдал вступительные экзамены в аспирантуру Института математики и механики при Харьковском университете, но из-за происхождения не был туда принят. В это время он уже работал инженером в тресте «Укртракторремонт». «По совету моего научного руководителя, проф. В. М. Майзеля, -пишет Алексей Николаевич в автобиографическом очерке, — я поступил на третий курс механического факультета Харьковского машиностроительного института. Одновременно сдавал кандидатские экзамены и написал диссертацию на тему «Синтез механизмов», но не защитил её за недостатком времени» [4, с. 94].

Предвоенные годы, и в самом деле, были для него очень насыщенными. В 1937 году ему была поручена организация школы для эвакуированных детей испанских коммунистов. Алексей Николаевич стал директором этой школы и учителем физики и математики. Он всегда особенно тепло вспоминал своих учеников и вообще эти годы. «Как беззаботно жили мы в это время! — воскликнула однажды Тамара Васильевна. — То есть оба очень много работали, ещё и не на одной работе, но жили так весело и беззаботно!» Наверно, многим людям этого поколения время перед войной запомнилось как беззаботное и счастливое...

Вскоре после начала Великой Отечественной войны детский дом был эвакуирован. Судьба всех работавших в нём преподавателей сложилась очень непросто. Алексей Николаевич рассказывает в том же автобиографическом очерке, что, оставшись на оккупированной территории без работы, он ушёл из города на поиски хоть какого-то заработка, и ему удалось найти работу пе-

реводчика в Староверовском районном совете. Тамара Васильевна во время оккупации не работала.

В 1944 г. немцы, отступая, забрали с собой большинство местных молодых мужчин, в том числе Алексея Николаевича. В Молдавии он бежал, перешёл линию фронта и, оказавшись в расположении советских войск, был арестован. Следствие не выявило в селе Староверовка никого, кто мог бы сообщить что-то против него, но, тем не менее, его обвинили в антисоветской деятельности и украинском национализме и осудили на 15 лет исправительно-трудовых лагерей и 5 лет лишения политических прав. День Победы стал для него началом отбытия этого срока в лагерях под Норильском.

Разумеется, Алексей Николаевич крайне редко и мало говорил об этих годах. Однажды, в самом начале перестройки, когда многие из нас впервые читали вышедшие из-под запретов романы А. И. Солженицына, он сказал: «Вы теперь прочитали о том, каково было “в круге первом”, а я прошёл все семь!» В автобиографическом очерке он описал эти годы тоже очень кратко. «Сначала работал на шахте в Кайеркане машинистом подъёмной машины. Затем меня перевели в лагерь, обслуживавший строительство большой обогатительной фабрики в самом Норильске. Здесь работал с 1945 по 1953 гг., главным образом на инженерных должностях... » [4, с. 95]. Недавно на сайте, посвященном Норильлагу, я встретила упоминание об Алексее Николаевиче [6]: историк Н. С. Дзюбенко описывает, как однажды бывший заключённый П. В. Чебуркин спас заключённого-каторжанина от тяжёлой работы, спросив у него: «Вы можете грамотно переписывать фамилии?» И услышал в ответ: «На каком языке? На французском? Испанском? Португальском?». После этого ответа инженер-механик А. Н. Боголюбов был переведён на работу по специальности. Из контекста непонятно, была ли это шутка, или ответ был серьёзным — в лагере среди заключённых были иностранцы.

В декабре 1953 г. Алексей Николаевич был освобождён по амнистии и, встретив «старый» Новый год в семейном кругу в Москве, вернулся на Украину. Тремя годами ранее его старший брат с семьёй переехал в Москву, где стал работать в Математическом институте АН СССР и Московском университете. Мать осталась в Киеве, с ней стала жить Тамара Васильевна. Вспоминается сейчас, что Тамара Васильевна высказывалась о том времени несколько чаще и резче, чем Алексей Николаевич. В частности, как-то она рассказывала, что, устроившись на новом месте работы, преподавала только до тех пор, пока кто-либо не задавал ей вопрос о муже. После этого она сразу с работы уходила и уезжала. С 1943 по 1951 годы она работала в Харькове, Черновцах, Черкассах, Ужгороде, Мукачеве... Можно также добавить, что в её рассказах об этом времени никогда не звучало жалоб на судьбу и всегда, как это ни удивительно, присутствовал юмор. «Сорок лет я работала преподавателем, и за все эти годы ни разу не пошла на лекцию, не подготовившись к ней и не сделав причёски!» — говаривала она молодым коллегам.

В 1951 г. Тамара Васильевна была избрана на должность старшего преподавателя Киевского технологического института легкой промышленности и, как было сказано выше, поселилась с Ольгой Николаевной. «Всем, что я умею делать по хозяйству, я обязана свекрови. И баловали же мы вдвоём

Алексея Николаевича!» — сказала она однажды. Но, конечно, она не рассказывала, что «баловать» удалось только ещё через некоторое время: Алексей Николаевич был лишён права проживания в Киеве, поэтому работал около двух лет главным механиком Черкасского областного строительного треста. Жить с семьёй он смог только с 1955 г. С этого года по 1962 г. он работал в Министерстве высшего и среднего специального образования Украины.

В 1962 г. А. Н. Боголюбов защитил кандидатскую диссертацию. Его научным руководителем был И. И. Артоболевский, к тому времени уже крупный учёный, лауреат многих премий, с 1946 г. — академик. Тамара Васильевна стала кандидатом физико-математических наук в 1956 г. Она постоянно была в курсе всех общественных и научных дел Алексея Николаевича. Не случайно в предисловиях к большинству своих книг он наряду с благодарностями рецензентам и соавторам выражал благодарность ей. Несомненно, с такой же благодарностью следует вспомнить о ней не только её непосредственным ученикам, но и ученикам Алексея Николаевича.

После защиты диссертации Алексей Николаевич был принят на должность старшего научного сотрудника отдела истории математики Института математики Академии наук Украинской ССР (в конце 1962 г. отдел был переведен в Институт истории АН УССР). Одновременно с 1956 года он преподавал теорию машин и механизмов и деталей машин на кафедре строительных машин Киевского инженерно-строительного института.

В отделе истории математики, которым руководил академик И. 3. Штокало, Алексей Николаевич, как пишет он сам, «принял дела» от своего друга, И. Б. Погребысского, который в это время переехал в Москву в Институт истории естествознания и техники АН СССР. Эта «приемка дел» означала, что А. Н. Боголюбов включился в работу по подготовке двух организованных И. Б. Погребысским трудов: «Украинской математической библиографии» и «Истории отечественной математики». Второй из них, планировавшийся первоначально как двухтомный, в процессе работы превратился в четырёхтомный. Первый том посвящён истории математики и математического естествознания до XVIII в. включительно, второй — математике XIX в., третий и четвёртый — XX в. Подготовка этого огромного труда заняла несколько лет работы большого коллектива учёных, которым в качестве заместителей главного редактора руководили А. Н. Боголюбов и А. П. Юшкевич. «Для написания отдельных разделов третьего и четвертого томов, — писал Алексей Николаевич, — мы обращались к математикам, работавшим в разных городах Советского Союза. Иногда приходилось “на ходу” менять авторские коллективы отдельных разделов. Я взял на себя написание очерка о развитии математики в СССР в XX столетии. Очерк был издан в двух частях тиражом 50 экземпляров и выслан на рецензирование специалистам из различных областей математики. После этого с очерком ознакомились В. И. Смирнов и П. С. Александров, и лишь после их правок он был опубликован как первая часть третьего тома» [4, с. 96]. В 1970 г. в издательстве «Наукова думка» в Киеве вышел в свет четвёртый том, который пришлось издать в двух книгах. Отдельным томом была издана «История математического образования в СССР».

Одновременно с этой работой А. Н. Боголюбов начал изучать подробно вопросы истории механики машин. Это направление было новым в истории механики. Результатом трёхлетней работы стала монография «История механики машин», опубликованная в Киеве в 1964 г., и защита докторской диссертации, научным консультантом которой был И. И. Артоболевский.

В 1969 г. А. Н. Боголюбов по представлению академиков И. И. Артоболевского, В. И. Смирнова, П. С. Александрова, академиков АН УССР И. 3. Штокало и А. Д. Коваленко был избран членом-корреспондентом Академии наук УССР.

С 1976 г. Алексей Николаевич, не оставляя преподавательской деятельности в Киевском инженерно-строительном институте, вновь стал сотрудником Института математики АН УССР. Здесь, на улице Репина, 3 (теперь — улица Терещенковская), по средам проводились заседания его семинара, памятные многим из тех, кто активно работал в области истории математики в 70-е годы. Алексей Николаевич в очерке [4] 10 лет назад упоминал о том, что подготовил около 25 кандидатов и двух докторов наук, но думаю, что на самом деле число людей, считающих себя его учениками, существенно больше. Он был исключительно внимателен не только по отношению к собственным аспирантам, но и ко всем, кто обращался к нему за отзывом, за консультацией, за любой помощью в работе.

Научная деятельность Алексея Николаевича в течение 1960-1980-х гг. была чрезвычайно активной. Им написано около четырёхсот трудов, среди которых много научных биографий. Перечислю некоторые из тех, которые были опубликованы в серии РАН «Научно-биографическая литература», выходящей в издательстве «Наука» с 1959 г.

1969 г. — «Августин Августинович Бетанкур (1758-1824)». За изучение трудов этого испанского инженера и ученого, работавшего в России, А. Н. Боголюбов уже в 90-е годы был награждён испанским орденом «За гражданские заслуги».

1971 г. — «Леонид Владимирович Ассур (1878-1920)» (в соавторстве с И. И. Артоболевским) о русском механике и инженере, основоположнике теории структуры механизмов.

1973 г. — «Георгий Николаевич Николадзе (1888-1931)» об одном из создателей грузинской математической школы.

1978 г. — «Гаспар Монж (1746-1818)».

1982 г. — «Иван Иванович Артоболевский (1905-1977)», книга о друге и учителе.

1984 г. — «Роберт Гук (1635-1703)». Алексей Николаевич считал, что этот ученый по многим причинам недооценён историками.

А. Н. Боголюбов с испанским орденом «За гражданские заслуги». 1998 г.

1978 г. — «Жан Виктор Понселе (1788-1867)».

В девяностые годы появилось ещё несколько книг о русских и советских учёных:

1991г. — «Леонид Самуилович Лейбензон (1879-1951)» (в соавторстве с Т. Л. Канделаки).

1997г. — «Всеволод Иванович Романовский (1879- 1954)» (в соавторстве с Г. П. Матвиевской).

1998 г. — «Сергей Николаевич Кожевников (1906-1988)» (в соавторстве с Е. Я. Антонюком и С. А. Федосовой).

Алексей Николаевич входил в коллектив авторов книги «Владимир Иванович Смирнов», изданной в той же серии в 1994 г. и переизданной с дополнениями в 2006 г. (составители Г. П. Матвиевская и Е.П.Ожигова). Он был также ответственным редактором ещё десяти научных биографий, опубликованных в этой серии (см. [7]).

Отмечу в заключение, что в 1987 г. издательством «Наукова думка» выпущена написанная А. Н. Боголюбовым в соавторстве с В. М. Урбанским научная биография Н. М. Крылова, а в 1983 г. в Киеве был издан биографический справочник [8]. Это ценное справочное издание переиздано в 2000 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Зубова И. К. Семья, подарившая России трёх академиков (к столетию со дня рождения Н.Н.Боголюбова) // История науки и техники. №10. С. 41-47. — Москва, 2009.

2. Полотовский Г. М. Штрихи к портрету (к 100-летию со дня рождения Н. Н. Боголюбова) // Математика в высшем образовании. №7. С. 167-172. — Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета, 2009.

3. Совместная научная сессия ННЦ РАН, ННГУ и РФЯЦ, посвящённая 100-летию со дня рождения академика Н.Н. Боголюбова / / Математика в высшем образовании. №7. С. 181-182. — Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета, 2009.

4. Боголюбов А. Н. Боголюбовы // Очерки из истории математики и математического естествознания. — Киев: Институт математики АН Украины, 2001. С. 86-101.

5. Храм во имя Всемилостивейшего Спаса на улице Полтавской — http://www.nne.ru/ news.php?id=214

6. http://www.memorial.krsk.ru/memuar/Kasabova/02/Dzubenko.htm

7. Соколовская З. К., Соколовский В. И. 550 книг об ученых, инженерах и изобретателях. Справочник-путеводитель по серии РАН «Научно-биографическая литература» 1959-1997. - М.: Наука, 1999. 538 с.

8. Боголюбов А. Н. Математики. Механики. Биографический справочник. — Киев: Наукова думка, 1983. 638 с.

Поступила 18.09.2011

ALEXEY NIKOLAEVICH BOGOLYUBOV (to the 100 anniversary of the birth)

I. K. Zubova

The article is an expanded text of the report of the author about life and creativity of the known Soviet mathematician, mechanician and historian of science A. N. Bogolyubov which was done on the IX International Kolmogorov's readings (Yaroslavl, May, 2011).

Keywords: A. N. Bogolyubov, the biography, memoirs.

ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ. ПЕРСОНАЛИИ

УДК 929

ПРОШЛОЕ И НАСТОЯЩЕЕ (к 100-летию 1-го Всероссийского съезда преподавателей математики)

В. П. Одинец

Коми государственный педагогический институт Россия, 167982, г. Сыктывкар, ул. Коммунистическая, 25; e-mail: w.odyniec@mail.ru

Описывается работа 1-го Всероссийского съезда преподавателей математики. Рассматриваются вопросы сравнения результатов обучения в разных странах. Текст отражает доклад автора на Всероссийской научной конференции в Сыктывкаре (23-24 мая 2011), посвященной 80-летию Коми государственного педагогического института (КГПИ).

Ключевые слова: съезд преподавателей математики, эмиграция квалифицированных кадров, А.П.Киселёв, СМ. Каленик, TIMSS, NAEP, PISA.

27 декабря 1911 г. по старому стилю, т. е. 9 января 1912 г. по новому стилю, в 12 часов дня в Санкт-Петербурге в большой аудитории Соляного городка1 открылся 1-й съезд преподавателей математики России. Продолжался съезд 8 дней, участвовали в нём, включая гостей съезда, 1217 человек, представлявших учителей математики почти всех губерний Российской империи и преподавателей математики её виднейших вузов. Было проведено 7 общих заседаний, на которых были заслушаны 23 полных доклада и ещё 3 доклада были представлены тезисами и конспектами. По всем 26 докладам были проведены прения. На общих собраниях была также заслушана информация о деятельности 9 территориальных математических кружков преподавателей математики.

Кроме общих заседаний работали 5 секций: 1) учебная литература по математике; 2) программы и экзамены; 3) методика математики; 4) и 5) — преподавание математики в технических и коммерческих учебных заведениях.

По результатам работы съезда в 1913 г. были опубликованы два тома: «Общие собрания» (т. I) и «Секции» (т. II) (см. [1] и [2]). Несколько позже, но в том же 1913 г. был опубликован небольшой, всего 113 страниц, том III, куда вошли материалы, не попавшие по разным причинам в первые два тома.

Напомним, что в «Положении о 1-м Всероссийском съезде преподавателей математики» целью съезда провозглашалось обсуждение следующих вопросов (см. [1, с. XV]):

1 Соляной городок расположен рядом с впадением реки Фонтанки в Неву. В начале XX века там располагался комплекс музеев, в частности, Педагогический музей военно-учебных заведений России, где проходили заседания съезда.

1) психологические основы обучения (активность, наглядность, роль интуиции и логики и т. п.);

2) содержание курса школьной математики с точек зрения:

а) современных научных тенденций,

б) современных запросов жизни,

в) современных общепедагогических воззрений;

3) согласование программ математики средней школы с программами низших и высших школ;

4) вопросы методики школьной математики;

5) учебники и учебные пособия;

6) исторические и философские элементы в курсе математики средней школы;

7) рисование, лепка и ручной труд как вспомогательные средства при обучении математике;

8) подготовка учителей математики.

Нет нужды говорить, что все приведённые выше вопросы остаются актуальными. Сегодня к ним можно было бы добавить разве что вопрос о роли и месте компьютерных (или шире — цифровых, включая аудиовизуальные) технологий при обучении математике.

Вернёмся к открытию съезда. Съезд был открыт председателем Организационного комитета З. А. Макшеевым2. Затем были зачитаны приветствия съезду, среди которых хотелось бы выделить сказанное председателем Императорского Русского Технического общества В. И. Ковалевским3: «... Правильная постановка преподавания математики в нашей школе, одного из главнейших (если не главнейшего) предметов для развития духовного аппарата учащихся, бесспорно отразится и на всём нашем жизненном укладе... По широте полёта мысли, по окрылённости наших идеалов, по стремлению познать всё и обнять всё мы едва ли имеем соперников в семье народов, но, вместе с тем, мы не можем похвалиться ни практическим строительством жизни, ни последовательностью в проведении задуманного плана, ни систематичностью в действиях» [1, с. 5-6].

По предложению Организационного комитета Председателем Съезда был избран член Государственного Совета профессор А.В.Васильев4. Товарищами (заместителями) Председателя были избраны З. А. Макшеев, М. Г. По-

2 Макшеев Захар Андреевич (1858-1935), генерал-лейтенант, директор Педагогического музея. Эмигрировал в Югославию в 1917 году.

3 Ковалевский Владимир Иванович (1848-1934), один из создателей Санкт-Петербургского политехнического института и Института опытной агрономии.

4 Васильев Александр Васильевич (1853-1929), ординарный профессор (с 1887 г.) Казанского университета, основатель Казанского физико-математического общества. В конце 20-х годов эмигрировал во Францию. Его книга о Н. И. Лобачевском, набор и отпечатанный тираж которой были уничтожены в 1929 г., была восстановлена и переиздана в 1992 г.

пруженко5, К. А. Поссе6, С.Е. Савич7, В. Ф. Каган8, Б. К. Млодзеевский9, В. Б. Струве10, Д. М. Синцов11 и С.О. Шатуновский12 (все звания в сносках даны на момент проведения Съезда).

Первое заседание Съезда было открыто докладом профессора А. В. Васильева «Математическое и философское преподавание в средней школе». Не пересказывая интереснейший и актуальный и ныне доклад А. В. Васильева, хотел бы привести две обширные цитаты из его выступления.

«... Вопрос, который, как я знаю, представляется в значительной степени «музыкой будущего», это вопрос об индивидуализации преподавания, (выделено мной. — В. О.) по крайней мере, на высшей ступени средней школы.

На необходимость такой индивидуализации одинаково настойчиво указывают и наиболее широкие умы современного человечества и опытные педагоги. Вы знаете, с какой резкостью относится к современной нивелирующей школе один из знаменитейших химиков нашего времени Вильгельм Оствальд13, видя в ней скорее аппарат для уничтожения будущих оригинальных мыслителей, чем для их развития. Гефлер14, дидактика которого является плодом тридцатилетней педагогической деятельности в одном и том же учебном заведении (Терезианум в Вене), с великим сочувствием относится к мысли, высказанной в Пруссии. Сделать в высших классах гимназии обязательными только минимальное число часов по каждому отдельному предмету. Дополнительные часы по тому или другому предмету избираются учениками сообразно их способностям» [1, с. 19-20].

5 Попруженко Михаил Григорьевич (1854-1917), генерал-лейтенант, один из ярких адептов введения начал математического анализа в средней школе.

6 Поссе Константин Александрович (1847-1929), профессор (с 1883 г.) Санкт-Петербургского университета. Его «Курс дифференциального и интегрального исчисления» с 1903 г. по 1940 г. был основным в вузах России и СССР.

7 Савич Сергей Евгеньевич (1864-1936), профессор Санкт-Петербургского электротехнического института, вице-президент ряда международных конгрессов актуариев. Он был также специалистом по дифференциальным уравнениям и теории функций комплексной переменной. После 1917 г. эмигрировал во Францию.

8 Каган Вениамин Фёдорович (1869-1953), приват-доцент Новороссийского университета (Одесса), создатель научной школы по римановой геометрии.

9 Млодзеевский Болеслав Корнелиевич (1858-1923), профессор (с 1892 г.) Московского университета. Основные труды — по дифференциальной геометрии, математическому анализу и механике.

10 Струве Василий Бернгардович (1854-1912), директор Константиновского межевого института (Москва), выпускник физико-математического факультета Санкт-Петербургского университета.

11 Синцов Дмитрий Матвеевич (1867-1946), профессор Харьковского университета, председатель (с 1906 г.) Харьковского математического общества, специалист в теории дифференциальных уравнений с частными производными.

12 Шатуновский Самуил Осипович (1859-1929), приват-доцент Новороссийского университета (Одесса).

13 Оствальд Вильгельм Фридрих (Ostwald Wilhelm Friedrich, 1853-1932), лауреат Нобелевской премии по химии 1909 г., родился в Риге [3].

14 Гефлер Алоиз (Höfler Alois, 1853-1922), профессор (с 1903 г). Автор книг “Philosophische Propedeutik. Logik” (1890, соавтор A. Meinong) и “Grundlehren der Psychologie” (1897).

Вторая цитата относится к концовке доклада А. В. Васильева: «... Мыслитель, который в настоящее время представляет живое соединение математического гения и интенсивной свежей философской мысли, Анри Пуанкаре15, заканчивает одну из своих прекрасных книг прекрасными словами: " История земли показывает нам, что жизнь есть только короткий эпизод между двумя бесконечными смертями, и в этом эпизоде сознательная мысль есть только одно мгновение. Но это мгновение есть всё»

Эти слова из доклада Васильева как будто сказаны сегодня. Впрочем, и остальные доклады, и выступления в прениях и на секционных заседаниях как будто обращены в наше время. Приведу в этой связи фрагмент выступления А. В. Полтарацкого16:

«... К сожалению, у нас постоянно ссылаются на Германию и не знают того, что делается в Скандинавии. В Германии теперь поднят вопрос об индивидуализации преподавания, а в Скандинавии этот вопрос уже давно удачно решён. В Дании выпускной класс девятиклассной средней школы делится на 4 параллельных отделения: классическое, новых языков, реально-математическое и естественно-историческое. Ученик может выбрать по своим силам и вкусам любой отдел. < ... > Кроме того, в Швеции Комитет имеет право переводить из класса в класс, не назначая переэкзаменовок, даже с неудовлетворительными баллами, если по другим предметам баллы хорошие» (выделено мной. — В. О.).

Отметим, что столь же свободно и конструктивно проходили прения и по другим докладам, и прежде всего по «заказным», т. е. докладам С.И. Шохор-Троцкого17 «Психологические основы обучения математике», К. А. Поссе и Д. М. Синцова «Согласование программ математики средней школы с программами высших школ», М. Г. Попруженко «Учебная литература по математике», В. В. Бобынина18 «Исторические элементы в курсе математики в средней школе», В. Ф. Кагана «Подготовка учителей математики».

Среди участников съезда были люди разного возраста и опыта преподавательской деятельности. Через 5 лет судьбы многих резко изменятся. Коснёмся жизни только двух из них, выпускников физико-математического факультета Санкт-Петербургского университета. Одного, уже выслужившего к моменту проведения съезда пенсию (в 1910 г. — [4, с. 401]), и другого, в 1910 году только закончившего Санкт-Петербургский университет.

Имя первого хорошо известно всему старшему поколению россиян — это Андрей Петрович Киселёв (1852-1940). Имя второго мало известно даже в том регионе, где о нём должны были бы знать многие, если не все учителя математики. Речь идёт о первом преподавателе математики первого вуза Республики Коми — Коми государственного педагогического института

15 Пуанкаре Жюль Анри (Poincaré Jules Henri, 1854-1912). Наука и метод. СПб, 1910.

16 Полтарацкий А. В. — автор статьи “Новый устав шведской средней школы” в журнале “Русская школа”, декабрь 1900 г. (журнал выходил до 1917 г.).

17 Шохор-Троцкий Семён Ильич (1853-1923), председатель Совета профессоров Психоневрологического института (Санкт-Петербург).

18 Бобынин Виктор Викторович (1849-1919), приват-доцент по истории математики Московского университета, крупнейший специалист по истории математики в дореволюционной России.

(КГПИ), образованного в 1932 году согласно постановлению СНК РСФСР от 18 ноября 1931, т.е. через 20 лет после проведения 1-го Всероссийского съезда преподавателей математики, — Стефане (Степане) Матвеевиче Каленике (1883-1972).

Биография А. П. Киселёва (он на 1-м съезде был зарегистрирован под номером 439 [2, с. 352]) хорошо известна. Из работ, посвященных А. П. Киселёву, отметим только книгу Т. К. Авдеевой [5].

Заметим, что жизнь А. П. Киселёва далеко не была усыпана розами. Учебник по геометрии только на девятый раз преодолел «барьер» П. Л. Чебышева. В 65 лет А. П. Киселёв лишился пенсии. Фактически жизнь пришлось начинать заново. Помогли ученики и редкое трудолюбие.

Прах А. П. Киселёва покоится на Волковском кладбище Санкт-Петербурга рядом с прахом такого же труженика, гениального химика Дмитрия Ивановича Менделеева (1834-1907).

Родившийся на 31 год позже А.П.Киселёва (в 1883г.) в деревне Хилимоны Гродненской губернии Стефан Матвеевич Каленик по окончании математического отделения физико-математического факультета Санкт-Петербургского университета едет в Усть-Сысольск. Что заставило его поехать в столь отдалённый от железных дорог город, мы не знаем. Вряд ли он был выслан — остались бы следы в полицейских архивах, да и ехал он на съезд в столицу империи вполне легально: зарегистрирован под номером 411 [2, с. 352]. Работал он в Усть-Сысольске учителем математики в женской гимназии и по совместительству в учительской семинарии. С 1921 г. СМ. Каленик преподаёт в Зырянском институте народного образования, в Сыктывкарском индустриальном техникуме и в Лесном техникуме. (В 1930 г. Усть-Сысольск был переименован в Сыктывкар, а зырян стали называть коми.)

А. П. Киселёв

С.М. Каленик

В связи с образованием КГПИ в 1932 г. С. М. Каленик был назначен и.о. доцента по математике и ответственным за математические дисциплины. Более того, руководство вуза представило в Наркомпрос РСФСР прошение об утверждении С.М. Каленика в звании доцента. Однако такого утверждения не произошло. Причина была типичной для того времени — в рассекреченных документах и материалах о политссылке 20-30 гг. (см. [6, с. 282]) читаем: «Каленик Стефан Матвеевич — преподаватель, коми, с высшим образованием, крайне анти-сов. настроенный к Сов. власти».

Тем не менее С.М. Каленику удаётся проработать в пединституте до 1937 года. Ещё 7 лет он преподаёт в строительном техникуме, а в 1944 году ему удаётся уехать на Украину, где он учительствует примерно 16 лет (см. [7]).

В 1951 г. С.М. Каленик был награждён орденом Трудового Красного Знамени. Заметим, что такой же награды был удостоен в 1933 году и А. П. Киселёв [4, с. 401].

Вернёмся вновь к Трудам съезда. Уже в предисловии [1, с. VI] З. А. Макшеев отмечал, что «международное движение, имеющее целью обследование методов преподавания математики, нашло отклик и у нас в России». Однако о сравнении результатов обучения математике, например, по тендерному признаку, на 1-м съезде речи не было19.

Напомним, что в 1912 году в России существовали ещё ограничения в получении женщинами высшего образования, снятые только после 1917 года.

Понятно, что любые исследования, показывавшие различия в овладении теми разделами математики, которые требуют развитого пространственного воображения (что характерно для мужчин и не характерно для женщин), были бы тогда приняты в штыки. Думается, не случайно доклад В. Ф. Кагана «О преобразовании многогранников» попал только в приложения к первому тому. А ведь в этом докладе было дано гораздо более простое решение третьей проблемы Гильберта, чем полученное первоначально в 1900 г. Максом Дэном (Мах Dehn, 1878-1952), — доказательство того, что правильный тетраэдр не может быть за конечное число шагов преобразован в равновеликую ему прямоугольную призму методом разложения (см. [8, с. 152]). Заметим ещё, что только в том III Трудов съезда попал доклад С. Н. Бернштейна20, который должен был бы быть одним из центральных на съезде: «Исторический обзор развития понятия функции» [9, с. 32-42]. Возможно, обсуждение этого доклада могло бы повлиять на ускорение математизации других наук. К сожалению, внимание преподавателей математики было обращено лишь на одну, хотя и важную, сторону доклада — роль аналитических функций для приближения (теперь говорят аппроксимации) других функций. При этом был упущен очень важный элемент — вычислимость функции.

19 Тем не менее для участников и гостей съезда была устроена экскурсия в Городскую женскую школу им. П. А. Потехина (Павел Антипович Потехин (1839-1916) был известным юристом, предпринимателем и меценатом).

20 Бернштейн Сергей Натанович (1880-1968), будущий академик Академии Наук СССР, был ко времени 1-го съезда приват-доцентом Харьковского университета.

Отметим, что структура подхода к проблемам обучения математике на 1-м съезде и в наше время — например, в рамках TIMSS21 — практически одинакова: анализ учебников и учебной литературы, сравнение числа учебных часов по тем или иным разделам математики в зависимости от класса (а тем самым и от возраста) ученика и т. д.

Остановимся несколько подробнее на методах сравнения результатов обучения в разных странах и регионах. В США достаточно давно существует организация NAEP22. Под влиянием именно этой организации была разработана методология TIMSS сравнения результатов обучения математике и естественным наукам. Реально начало применения TIMSS относится к 1995 году.

Позже методология TIMSS была дополнена компонентой читательской грамотности в рамках проекта PISA (Programme for International Student Assessment). При этом, правда, произошло ограничение возраста исследуемых рамками от 15 лет до 16 лет и двух месяцев. Обследования по программе PISA были начаты в 2000 году и проводятся каждые три года. В частности, в 2009 году от России в обследованиях участвовало 45 регионов.

Автору довелось наблюдать за проведением обследования PISA по математике в 2003 году в Польше. Польша заняла тогда 21 место. Из стран бывшего соцлагеря Европы в первую двадцатку тогда вошли Чешская Республика (10 место) и Словакия (18 место). Кстати, Россия заняла 38 место (см. [10, 11]). Через 6 лет у России был практически тот же результат.

Если сравнивать результаты обследования PISA по полу, то в России значимых различий между юношами и девушками в 2000-2009 гг. не наблюдается. В развитых странах (как Запада, так и Востока) такие различия существенны и они в пользу юношей [12]. Это же относится и к трём китайским регионам (Шанхай, Гонконг и Тайвань), которые вошли в первую пятёрку23 по математике по итогам обследования PISA в 2009 году.

Причина провала наших школьников и в 2000 г., и в 2009 г., в сущности, одна и та же — неумение добыть информацию (в том числе и из Интернета), проанализировать её, отбросив заведомо негодную, и, наконец, интерпретировав информацию, сделать нужные выводы.

К сожалению, на такого рода задания (а к ним относятся, прежде всего, так называемые текстовые задачи) у учителя, как правило, не остаётся времени. Что касается ошибок чисто вычислительных, то их у наших школьников меньше, чем у большинства школьников первой десятки стран.

Отметим, что на необходимость теснее увязывать «школьные» математические задачи с чисто практическими указывали и участники 1-го Всероссийского съезда преподавателей математики.

21 The Third International Mathematics and Science Study = Международные Исследования по математике и естественным наукам, проводимые каждый третий год.

22 U. S. National Assessment of the Educational Progress = Национальная (США) оценка развития образования.

23 Эти регионы заняли следующие места: Шанхай — 1, Гонконг — 3, Тайвань — 5. Четвёртый китайский регион Макао, участвовавший в обследовании, в первую десятку не попал.

С 1995 г. TIMSS не ограничивается изучением успехов учеников в более чем 40 странах по математике и естественным наукам, а по договорённости с Международным Центром исследований при Бостонском колледже24 TIMSS участвует в проекте TIMSS & PIRLS25. Проект PIRLS осуществлялся с 1991 года (первоначально в 9 странах) и был предназначен для изучения трендов в развитии школьников по вопросам понимания и осмысления литературных текстов (см., например, [13]).

Отметим, что тестирование школьников в возрасте 10-11 лет, проводимое в 65 странах каждые 2 года по тестам IQ, в последние 16 лет неизменно даёт первое место школьникам России. Вывод здесь однозначен: и дети развиваются у нас в начальной школе хорошо, и учителя в начальной школе -профессионалы.

Что же происходит далее? Почему показатели школьников России в 15-16 лет в сравнении с их сверстниками из других стран существенно хуже, чем их же показатели в 10-11 лет?

Многие считают главной причиной переход после начальной школы к предметному принципу обучения. Но ведь в странах из первой десятки по результатам PISA тоже осуществляется переход к предметному способу обучения. Значит, дело не в этом или не только в этом.

Главная причина, на мой взгляд, кроется в экономии на образовании. Здесь важно всё: и зарплата учителей (в настоящее время абсурдно низкая), и их правовая и социальная незащищённость (включая и директоров школ), и переполненные классы, и то, что уроки по многим предметам становятся чисто вербальными, особенно по физике, химии, географии и биологии, поскольку эксперименты требуют затрат средств, включая и средства на обеспечение безопасности.

Напомним, что на 1-м съезде преподавателей математики была объединённая секция 4)- 5) технических и коммерческих учебных заведений. Именно выпускники реальных и коммерческих училищ должны были пополнять ряды студентов политехнических институтов и других инженерных вузов России. В этих училищах особый упор делался на изучение различных разделов математики, включая начала математического анализа и теории вероятностей, а также на черчение и овладение современными иностранными языками (английским, немецким и французским). Может быть, и теперь стоило бы вернуться к этой практике, а не шарахаться от лозунга «Даёшь экономистов и юристов!» к лозунгу «Даёшь инженеров!»?

В какой-то мере появление профильных классов и профильных лицеев, специализированных вузовских олимпиад должно было решить эту задачу, однако на деле этого не произошло. Причина в недостатке, а иногда и отсутствии студенческих общежитий, туманности трудоустройства по окончании вуза. Эти, а также многие сопутствующие факторы приводят к тому,

24 International Study Center at Boston College.

25 Progress in International Reading Literacy Study.

что выпускники физико-математических факультетов университетов и педагогических вузов уезжают из России. Они оказываются не на словах (как в России), а на деле востребованы в Швеции, Швейцарии, Германии. Если удастся переломить эту тенденцию, то число уезжающих из России лиц с высшим образованием, превысившее за 2001-2010 гг. миллион (!) человек26, в следующее десятилетие, возможно, сократится в несколько раз.

ЛИТЕРАТУРА

1. Труды 1-го Всероссийского съезда преподавателей математики. Том I. Общие собрания. — СПб.: Тип. «Север», 1913. 609 с.

2. Труды 1-го Всероссийского съезда преподавателей математики. Том П. Секции. — СПб.: Тип. «Север», 1913. 363 с.

3. Блох М. А. Биографический справочник. Выдающиеся химики и учёные XIX и XX столетий, работавшие в смежных с химией областях науки. Т. 2. — Л.: 1931. 389 с.

4. Депман И. Я. История арифметики. — М.: Госучпедиздат, 1959. 423 с.

5. Авдеева Т. К. Классики педагогического образования в системе профессиональной подготовки учителя математики. Монография. — Орёл: ОАО «Типография Труд», 2004. 392 с.

6. Рогачев М.Б., Таскаев М.Б. «Тюрьма без решеток» страны Советов // Покаяние. Мартиролог. Т. 3. — Сыктывкар, 2000. С. 238-287.

7. Попов В. А. Степан Матвеевич Каленик — первый преподаватель математики КГПИ // Институтский вестник. Вып. 78 (от 26 февраля 2010 г.). С. 9. — Сыктывкар: Изд-во КГПИ, 2010.

8. Одинец В. П. Зарисовки по истории математики. Учебное пособие. — Сыктывкар: Изд-во КГПИ, 2005. 232 с.

9. Труды 1-го Всероссийского съезда преподавателей математики. Том III. — СПб.: Тип. «Север», 1913. 113 с.

10. OECD. Learning for Tomorrow's World. First Results from PISA 2003. — Paris, 2004.

11. Wu M.L. A Comparison of PISA and TIMSS 2003 achievement results in Mathematics. Paper presented at the AERA Annual Meeting. — New York, March 2008.

12. Rindermann H. The g-factor of international cognitive ability comparisons: The homogeneity of results in PISA, TIMSS, PIRLS and IQ-tests across Nations // European Journal of Personality. 2007. №21. P. 667-706.

13. Mullis I.V.S., Martin M.O., Conzalez E.J., Kennedy M.M. PIRLS 2001 International Report: IEA'S Study of Reading Literacy Achievement in Primary Schools. Chesnut Hill (MA): Boston College, 2003.

14. Тюркин M. Эмиграция из России. Почему поднялась «пятая волна» // Газета «Невское время». 2011. №34 (от 1 марта 2011 г.). С. 6.

Поступила 20.05.2011

26 См. в [14] документ Счётной Палаты РФ.

THE PAST AND THE PRESENT (to 100 anniversary of the first Russian congress of mathematics teachers and lecturers)

W. P. Odinec

Work of 1st Russian congress of mathematics teachers and lecturers is described. Questions of comparison of results of training in the different countries are considered. The text reflects the report of the author in the All-Russia scientific conference in Syktyvkar (on May, 23-24rd 2011), devoted to the 80 anniversary of the Komi State pedagogical institute (KGPI).

Keywords: the teacher of the mathematics, the lecturer of the mathematics, A. P. Kiselev, S.M.Kalenik, emigration, TIMSS, NAEP, PISA.

В ПЕРЕРЫВЕ МЕЖДУ ЛЕКЦИЯМИ

УДК 519.4 + 539.1 + 544.11

ПИФАГОРЕЙСКИЙ ПОДХОД К ПРОБЛЕМАМ ПЕРИОДИЧНОСТИ В СОВРЕМЕННОЙ НАУКЕ

Д. Л. Вейзе

ЦНИИС и ЧЛХ 119991, г. Москва, ул. Тимура Фрунзе, 16; e-mail: dweise@gol.ru

Пифагорейский подход к числовым последовательностям в химии и ядерной физике позволил предложить геометрические аналогии, основанные на фигурных числах (трехмерные формы периодического закона Менделеева и упаковочные модели ядер атомов). Для вывода формул использованы треугольник Паскаля и метод конечных разностей. Формулы позволяют экстраполировать атомные и ядерные магические числа до бесконечности.

Ключевые слова: фигурные числа, треугольник Паскаля, гномон, периодический закон элементов, магические числа, упаковочная модель.

Фигурные числа и треугольник Паскаля

В школе Пифагора (Древня Греция, V век до н.э.) особую роль играло представление натуральных чисел в виде тех или иных правильных фигур, выложенных камешками. Такие числа получили название фигурных чисел. Таким образом, арифметика пифагорейцев была тесно связана с геометрией: они выделяли классы чисел, имеющих одну и ту же форму, а именно: треугольные, квадратные, пятиугольные и так далее.

Учение пифагорейцев предшествовало идеям атомизма Левкиппа и Демокрита: тела — это комбинации атомов; разнообразие тел обусловлено как различием слагающих их атомов, так и различием порядка сборки. На основании этого фигурные числа пифагорейцев можно рассматривать как аналог структурных формул современной химии.

Треугольник Паскаля (табл. 1) — это треугольная таблица из чисел, построенная так, что каждое число внутри таблицы является суммой двух чисел, непосредственно вышестоящих в предыдущем ряду, а на концах каждого ряда стоят единицы. Этот треугольник, хотя и назван в честь выдающегося французского учёного Блеза Паскаля (1623-1662), написавшего в 1654 г. «Трактат об арифметическом треугольнике» (издан в 1665 году), появляется уже в десятом столетии в индийских математических трудах и, вероятно, имеет еще более почтенный возраст1.

1 Различные исторические и математические подробности можно найти в [1].

Таблица 1. Треугольник Паскаля

Число в треугольнике Паскаля, стоящее на к-м месте в n-й строке (строки и места в них нумеруются начиная с нуля), обозначается символом или

и вычисляется по формуле

Гномон

Греческое слово гномон имеет несколько определений. Гномоном называют тенеобразующую деталь солнечных часов. Этот древнейший астрономический инструмент был известен в древнем Китае (в XI в. до н. э.), Египте и Греции. Кроме этого, гномон — угольник плотника в Древней Греции.

Нас интересует определение термина гномон, данное Героном Александрийским (1-й век н.э.): «Гномон — это фигура, которая, будучи добавлена к какой-либо другой фигуре, образует новую фигуру, подобную исходной». Очевидно, источником понимания гномона в смысле Герона было внешнее сходство астрономического инструмента с фигурой L-образной формы, добавляемой к квадрату для получения другого квадрата со стороной, на единицу большей стороны исходного квадрата [2, с. 23-24; 3].

Вторая и третья строки рис. 1 выпадают из ряда — там гномон образован двумя единичными квадратами, расположенными «унипозиционно», соприкасающимися углом, а не стороной. Не знаю, допускал ли такое Герон, но указаний на запрет несвязности я не нашел. То, что не запрещено, то разрешено.

В четвёртой строке рис. 1 изображены квадратные числа, составленные из L-образных гномонов квадрата — нечётных чисел. Греки с помощью этого геометрического образа доказывали, что сумма η первых нечетных чисел равна п2.

Согласно [4, 5] древнегреческое γνώμων (gnomon, «указатель») восходит к γιγνώσκω (gignöskö, «я знаю») и γνώσις (gnosis, «знание»).

Единицы (гномоны линейного ряда шаров) стоят в первом столбце и в первой строке треугольника Паскаля. Их можно задать «порождающей формулой» 1 = п°, где η = 1, 2, 3,... — порядковый номер гномона.

Натуральные числа (гномоны треугольных чисел) расположены во второй строке и втором столбце треугольника Паскаля. Они представлены в форме линейного ряда шаров (рис. 2) и описываются формулой N = п1, где η = 1,2,3,... Заметим, что при переходе от гномона (в данном случае -

одного шара) к дополняемой им фигуре (в данном случае — к ряду шаров) степень правой части формулы возрастает на единицу.

Треугольные числа (гномоны пирамидальных чисел) появляются в третьей строке и третьем столбце треугольника Паскаля (рис. 3) и описываются формулой 2-й степени:

Рис. 1. Некоторые фигурные числа (белый цвет) и их гномоны (серый цвет). Сверху вниз: натуральные, нечетные, четные, квадратные, продолговатые, треугольные, кубические, тетраэдральные

Рис. 2. Для удобства треугольник повернут на 45 градусов против часовой стрелки. N — натуральные числа, Т — треугольные числа, Р — пирамидальные числа

Пирамидальные числа (рис. 4) появляются в четвертой строке и четвертом столбце таблицы и описываются формулой 3-й степени:

В рассмотренных случаях прослеживается закономерность — гномоном для числа из n-й строчки является соседнее сверху число из (п — 1)-й строчки. Аналогично, гномоном для числа из п-го столбца является соседнее слева число из (п — 1)-го столбца.

Рис. 3 Рис. 4

Числа Фибоначчи

В последовательности чисел Фибоначчи 1,1, 2, 3, 5, 8 ... каждое число, начиная с третьего, равно сумме двух предыдущих.

Числа Фибоначчи появляются в треугольнике Паскаля как суммы чисел, расположенных на наклонных линиях, показанных на рис. 5. Числа Фибоначчи присутствуют также в паттернах растений (см. [6, 7]). Таким образом, треугольник Паскаля можно рассматривать как познавательный мостик, перекинутый между живой природой и микромиром. Познавательный = когнитивный. В слове когнитивный слышно и гномон, и гнозис, и to know.

Рис. 5. Числа Фибоначчи

Периодичность свойств атомов. Атомные магические числа

Ниже приводится расширенная до гипотетического элемента с номером 168 периодическая таблица элементов (табл.2). Теоретически она бесконечная. Существование элементов выше 118 в настоящее время не доказано.

Таблица 2. Расширенная двумерная периодическая таблица (Теодор Сиборг, 1969)

Напомню, что электронная оболочка атома — это область в пространстве вокруг ядра атома для вероятного местонахождения электронов, характеризующихся одинаковым значением главного квантового числа п и, как следствие, располагающихся на близких энергетических уровнях. Каждая электронная оболочка может иметь определенное максимальное число электронов. Согласно атомной оболочечной модели оболочка заполняется электронами по известным правилам в порядке увеличения их энергии до тех пор, пока они не заполнят все вакантные места.

Главное (радиальное) квантовое число — целое число, обозначающее номер энергетического уровня. Оно характеризует энергию электронов, занимающих данный уровень, и является первым в ряду квантовых чисел, который включает в себя главное, орбитальное и магнитное квантовые числа, а также спин. Эти четыре квантовых числа определяют уникальное состояние электрона в атоме (его волновую функцию). При увеличении главного квантового числа возрастают радиус орбиты и энергия электрона. Главное квантовое число равно номеру периода элемента.

Порядок заполнения электронами орбиталей в пределах одного подуровня (орбиталей с одинаковыми значениями главного квантового числа п и орбитального квантового числа I) определяется правилом Хунда, согласно которому электроны предпочитают расселяться на одинаковых по энергии орбиталях сначала поодиночке, и лишь когда на каждой такой орбитали уже есть по одному электрону, начинается заполнение этих орбиталей вторыми электронами. Два электрона, заселяющие одну орбиталь, называются спаренными.

Электронные оболочки обозначаются буквами К, L, M, N, О, Р, Q или цифрами от 1 до 7 в порядке появления и заполнения оболочек по мере увеличения заряда ядра атома.

Наибольшее число электронов на энергетическом уровне (оболочке) равно 2п2 (множитель 2 отвечает учёту спина электрона). Обратим внимание, что произнося «два эн квадрат», мы пользуемся пифагорейской «фигурной» терминологией, дошедшей до нас из глубины двух с половиной тысяч лет.

Каждая оболочка состоит из одного или нескольких подуровней, обозначаемых буквами s, р, d, f, g, h, i или цифрами от 0 до 6. К примеру, первая оболочка (К) состоит из одного подуровня «ls». Вторая оболочка (L) состоит из двух подуровней, «2s» и «2р». Третья оболочка (М) — из «3s», «Зр» и «3d», каждый из которых состоит из атомных орбиталей. На каждой орбитали может находиться не более двух электронов.

В следующей таблице показано распределение электронов по уровням и подуровням.

Таблица 3

В строчках таблицы вписаны удвоенные нечетные числа, а в итоговом столбце — суммы чисел строки, которые равны удвоенным квадратам номера строки. Из строки 4 рис. 1 видно, что гномоны квадрата выражаются нечетными числами. Следовательно, подуровни s, р, d, f, g,... оболочек с пифагорейских позиций можно рассматривать как гномоны оболочек К, L, М, N,0,...

Составим таблицу, первые четыре столбца которой назовём модификацией “А” треугольника Паскаля (рис. 6). Именно, в первый столбец вместо традиционных единиц впишем двойки. Во втором столбце (G) запишем нечётные числа, получаемые по основному правилу построения таблицы: число в ячейке — результат суммирования чисел, записанных в соседних сверху и слева ячейках.

В третьем столбце (S) стоят числа, полученные в результате трёх последовательных манипуляций:

а) заполнение 3-го столбца по основному правилу построения таблицы;

Рис. 6. Слева — гномоны квадрата, соответствующие столбцу G (gnomon) таблицы. S (square) — квадраты чисел натурального ряда, Е (electron) — количество электронных орбиталей в атоме, Z — заряд атома инертного газа

б) вставка после каждой строки таблицы новой строки;

в) запись в каждую добавленную ячейку третьего столбца числа из следующей строки; при этом добавленные ячейки в первых двух столбцах оставляем незаполненными.

В четвёртом столбце (Е) записываем числа, получаемые по основному правилу построения таблицы. В пятом столбце (Z) — числа, получаемые удвоением чисел, стоящих в соседних слева ячейках четвёртого столбца. На одной орбитали, как было отмечено, может находиться не более двух электронов. Следовательно, в ячейках пятого столбца указаны числа электронов в атомах, в которых все оболочки окончательно заполнены. Эти числа называются атомными магическими числами.

Элементы, в атомах которых все оболочки окончательно заполнены — это инертные газы, отличающиеся крайне низкой химической активностью.

Итак, в пятом столбце таблицы рис. 6 получаются атомные магические числа, среди которых 2, 10, 18, 36, 54, 86 и 118 — это числа электронов в до отказа заполненных электронных оболочках ядер инертных газов.

Ту же самую таблицу можно интерпретировать с помощью трёхмерной модели — см. рис. 7.

Рис. 7. Трехмерная модель для таблицы периодического закона Менделеева

Каждый химический элемент в этой пирамидальной конструкции обозначен блоком-кирпичиком, который является аналогом ячейки традиционной двумерной таблицы. Верхний блок-кирпичик — водород, под ним — гелий и т. д.

Один квадратный двухэтажный слой соответствует периоду таблицы Менделеева. Его номер, считая сверху, равен главному квантовому числу п.

Число 2п2 стандартных блоков в таком двойном слое соответствует количеству элементов в периоде и в то же время (как уже было сказано) -максимальному количеству электронов на энергетическом уровне.

Пара одноцветных блоков, расположенных один выше другого в каждом слое, соответствует электронной орбитали. Блоки верхнего этажа в каждом двойном слое соответствуют элементам, в которых на орбитали находятся неспаренные электроны (на орбитали данного подуровня находится не более одного электрона). Нижний этаж соответствует элементам, для которых существуют спаренные электроны (орбитали заполняются вторым электроном).

Элементы, химические свойства которых определены внешними электронными подоболочками s, р, d, f, g, группируются в L-образных модулях (гномонах квадрата) индивидуального цвета (эти цветовые обозначения позаимствованы у традиционной таблицы Менделеева): s — красный, р — зеленый, d — синий, f — желтый, g — сиреневый (на черно-белых иллюстрациях -оттенки серого).

Двухэтажные слои на рис. 7 разделены большими дистанциями. Первый такой слой содержит два стандартных блока-квадратика: первый, сверху -H (водород) и второй, снизу — Не (гелий). Главное квантовое число п = 1.

Второй (п = 2) двухэтажный квадратный слой состоит из 8 блоков-квадратиков. Он отвечает химическим элементам, стоящим во 2-м периоде: 3 — Li, 4 — Be (s-элементы, красные блоки один над другим), 5 — В, 6 — С, 7 — N (р-элементы, зеленые блоки в верхнем гномоне квадрата), 8 — О, 9 -F, 10 — Ne (зеленые блоки в нижнем гномоне квадрата). Таким образом s [Li], р[В, С, N] — верхний квадрат, s [Be], р[0, F, Ne] — нижний квадрат во втором двухэтажном слое.

Третий (п = 3) двухэтажный квадратный слой (третий период) также состоит из 8 блоков-квадратиков и по взаиморасположению элементов (порядок нумерации и окраска) идентичен второму двухэтажному слою. То же самое будет повторяться далее: двухэтажный слой номер 2к + 1 будет идентичен двухэтажному слою с номером 2к. У самого верхнего, первого двухэтажного слоя, пары нет.

Четвертый (п = 4) двухэтажный квадратный слой состоит из 18 блоков:

2 Здесь химические элементы записаны не в порядке возрастания заряда атомного ядра, а в порядке геометрического заполнения квадрата гномонами. Объяснение этому несоответствию с периодической таблицей (см. табл. 2) состоит в том, что из энергетических соображений в 4-м и 5-м периодах после заполнения s-подуровня идет заполнение не р- , а d-подуровня. В 6-м и 7-м периодах после s-подуровня идет заполнение f-, потом d-, потом р-подуровня.

Любая модификация таблицы периодического закона обладает двойственностью. С одной стороны, это просто нумерованный список элементов, существующих в природе или гипотетических. С другой стороны, таблица отражает структурные особенности строения ядра и электронных оболочек атома элемента, что для краткости мы будем выражать словами «таблица в качестве модели атома». Так, переход в таблице на один номер вперед означает, с одной стороны, смену элемента списка (был, скажем, Na, стал Mg) -таблица в качестве списка, а с другой стороны, появление в атоме нового протона и электрона — таблица в качестве модели атома. Другой пример: количество элементов в одном периоде (таблица в качестве списка) равно количеству электронов на энергетическом уровне, обозначенном главным квантовым числом (таблица в качестве модели атома).

В этой связи отметим, что наша трехмерная таблица-модель (см. рис. 7, левая часть) обладает несколько большей информативностью и наглядностью в сравнении с двумерными аналогами (см. [8]). В частности, получила свое пространственно-графическое отражение электронная орбиталь. Как было отмечено выше, это комплекс двух одноцветных расположенных друг над другом блоков.

На рис. 8 показаны трёхмерные таблицы-модели, в каждой из которых один кирпичик в основании (последний из всех, с номером, указанным в нижней строке таблицы) отвечает инертному газу. С другой стороны, эти конструкции из кирпичиков можно рассматривать в качестве моделей молекул инертных газов, в которых каждая орбиталь представлена парой лежащих друг на друге кирпичиков одного двухэтажного слоя3.

Применяя пифагорейскую терминологию, можно сказать, что электронный подуровень оболочки — это гномон электронной оболочки атома, а электронная оболочка — гномон всей электронной конфигурации атома.

Аналитическое представление рядов элементов в периодах

Арифметические свойства магических чисел можно рассматривать с позиции теории возвратных, или рекуррентных, последовательностей.

Рис. 8. Трехмерные таблицы-модели

3 В отличие от рис. 7, на рис. 8 пробелы между двухэтажными слоями не показаны.

Формула с правой частью степени 2, позволяющая вычислять число Рп элементов в п-м периоде, равное максимальному количеству электронов на одном энергетическом уровне, генерирует последовательность

Эту же последовательность можно определить рекуррентно следующим возвратным уравнением 5-го порядка:

Формула с кубической правой частью даёт правило вычисления зарядов ядер атомов инертных газов и генерирует атомные магические числа:

• 2, 10, 18, 36, 54, 86, 118 — магические числа реальных элементов;

• 168, 218, 290, 362, 460, 558, 686, 814,... — экстраполированные магические числа.

Когда были получены эти результаты, 118 элемент не был ещё синтезирован и занимал место в нижней строчке.

Соответствующее возвратное уравнение имеет порядок шесть:

Отметим, что порядок возвратного уравнения для последовательности фигурных чисел на единицу больше порядка возвратного уравнения для последовательности их гномонов.

Периодичность свойств ядер. Ядерные магические числа

В ядерной физике теория оболочечного строения ядра — модель, объясняющая структуру атомного ядра. Она аналогична теории оболочечного строения атома.

При последовательном увеличении количества нуклонов (протонов или нейтронов) в ядре периодически складывается ситуация, когда энергия связи следующего нуклона намного меньше, чем предыдущего.

Особой устойчивостью отличаются атомные ядра, содержащие 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126 протонов или нейтронов. Эти числа, которые мы будем обозначать Мп (где п — порядковый номер числа) принято называть ядерными магическими числами.

В правой части рис. 9 показана таблица, которая получена удвоением всех чисел треугольника Паскаля. Будем называть её модификацией «В» треугольника Паскаля.

Рис. 9. Продолговатые плоские числа

В продолговатом плоском числе Lf (obLong flat) одна сторона прямоугольника длиннее другой на 1. Продолговатые плоские числа определяются формулой 2-й степени

и являются гномонами для продолговатых пирамидальных чисел (рис. 10).

Рис. 10. Продолговатые пирамидальные числа

Продолговатые пирамидальные числа Lp (obLong pyramid) задаются формулой степени 3: Lpn = 2Рп = (п3 + Зп2 + 2п)/3.

Иногда одно и то же число п можно по-разному представить в виде фигурного числа или комбинации подобных или неподобных фигурных чисел, т. е. п шаров можно упаковать в разные геометрические фигуры или тела. Так, например, квадратное число может состоять из меньших квадратных чисел или соседних в ряду треугольных, продолговатое плоское число равно удвоенному треугольному числу, продолговатая пирамида (рис. 11) равновелика композиции из двух равных тетраэдров и т. д.

Числа шаров в последовательных фигурах, показанных на рис. 12, равны ядерным магическим числам Мп и получаются суммированием по определённым правилам пар чисел из ячеек модификации «В» треугольника Паскаля. Именно, в каждой таблице фон ячеек с суммируемыми числами затемнен, а пары слагаемых соединены отрезками. Для первых трех фигур, отвечающих магическим числам 2, 8 и 20, выделен также фон ячейки с суммой.

В самом первом случае происходит сложение 2 + 0 = 2: отрезок, соединяющий слагаемые, не проведён, но его можно нарисовать, если продолжить таблицу влево и вверх и заполнить новые ячейки нулями.

Далее имеем 2 + 6 = 8: первую пару тетраэдров (= продолговатую пирамиду) «сложили» со второй парой треугольников (= прямоугольником, гномоном продолговатой пирамиды) — получили вторую пару тетраэдров (= продолговатую пирамиду).

Для следующей фигуры 8 + 12 = 20: вторую пару тетраэдров (= продолговатую пирамиду) сложили с третьей парой треугольников (= прямо-

Рис. 11. Продолговатые пирамиды в древней архитектуре

угольником, гномоном продолговатой пирамиды) — получили третью пару тетраэдров (= продолговатую пирамиду).

На этом серия отрезков с наклоном 45° кончается, поскольку меняется форма фигур. Далее идет серия отрезков с большим сдвигом ячеек в строчках и столбцах:

Ядра атомов с начальными значениями 2, 8, и 20 ядерных магических чисел по своим физическим свойствам несколько отличаются от ядер с большими числами 28, 50, 82 и 126. Обсуждение глубинных причин этого феномена не входит в задачу этой заметки. Отметим, что фигуры этих чисел и аналитические формулы также отличаются. Фигуры для 2, 8 и 20 — удвоенные тетраэдры (или продолговатые пирамиды). Фигуры для 28, 50, 82 и 126 -также удвоенные тетраэдры или продолговатые пирамиды, но с удаленными предпоследними по величине слоями.

Представление чисел 28, 50, 82, 126,... суммами разных пар слагаемых, взятых из таблицы, отвечает возможности построения ряда других фигур -именно, составленных из тетраэдра и линейного ряда шаров — гномона треугольника4. Фигурные представления этих чисел можно получить, если убрать зазор между треугольником и пирамидой. Рассмотрим, например, для м5 = 50 половину фигуры, состоящую из 25 шаров: 10 шаров в пирамиде с

4 Для 28 = 8 + 20 = 20 + 8 имеем удвоение пирамиды из 4 шаров и треугольника из 10 шаров или пирамиды из 10 шаров и линейного ряда из 4 шаров, т. е. при смене порядка слагаемых меняются фигуры.

Рис. 12. Фигурные магические числа и модификация «В» треугольника Паскаля

ребром 3 и 15 шаров в треугольнике со стороной 5. Опустим пирамиду на треугольник вдоль какого-нибудь ребра пирамиды — получится новая пирамида с ребром в 4 шара и ещё один ряд из 5 шаров (одна сторона треугольника) за пределами новой пирамиды. 20 шаров новой пирамиды плюс 5 шаров линейного ряда дают в сумме всё те же 25 шаров.

Имеется формула 3-й степени с параметром, дающая значение всех ядерных магических чисел: Мп = к(п2 — п) + (п3 + 5п)/3, где к = 1 при п = 1, 2, 3 и к = 0 в противном случае. Эта формула даёт:

* 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126 — магические числа реально существующих ядер (спираль из моделей показана на рис. 13);

* 184, 258, 350, 462, 596, 754, 938, 1150,... — экстраполированные магические числа.

Применяя пифагорейскую терминологию, можно сказать, что ядерная оболочка — гномон всей конфигурации ядра.

Пошаговое добавление шаров к фигуре (аналогия заполнения ядерной оболочки нуклонами) периодически приводит к завершенной подобной фигуре большего размера. Разность количества шаров между этими фигурами мы расцениваем как гномон. Таким же образом разница количества нуклонов между соседними в числовом ряду устойчивыми ядрами составляет оболочку.

Рис. 13. Спираль фигурных образов ядерных магических чисел 2, 8, 20, 28, 50, 82 и 126

Магические числа в кластерах

Пифагорейский подход в современной науке не ограничивается приведенными примерами. Так, он может быть использован для изучения магических чисел при анализе свойств стабильности групп, сформированных инертными газами или атомами щелочных металлов.

Применим пифагорейский подход к последовательности магических чисел 7, 29, 66, 118 и 185, которая возникает при некоторых условиях в кластерах инертного газа.

Как известно, иногда формулу, задающую целочисленную последовательность, можно найти с помощью метода конечных разностей. При этом в закономерностях построения таблицы конечных разностей можно легко усмотреть правила построения треугольника Паскаля. Пользуясь пифагорейскими терминами, можно высказать следующее утверждение:

Если метод конечных разностей применим, то каждую разность можно рассматривать как гномон для значения в ячейке последующего столбца.

Таблица 4. Конечные разности магических чисел кластеров инертного газа

Вторая разность

Первая разность

Магические числа кластеров инертного газа

7

7

15

22

29

15

37

66

15

52

118

15

67

185

Мы привели эту таблицу в таком виде (элементы последовательности записаны справа, а номер разности возрастает влево), чтобы читатель мог сравнить её с треугольником Паскаля и увидеть сходство в их построении. Для п-го магического числа кластеров Сп получается выражение

С точки зрения геометрии магическим числам кластеров инертного газа соответствует объемно-центрированная кубическая решетка [9]. Она строится на основе додекаэдра. Обратим внимание, что в правой части формулы для Сп стоит многочлен степени 2 (размерность площади). Это значит, искомую структуру можно представить в виде поверхности, плёнки, покрывала, скорлупы, оболочки и т. д., в отличие от монолитного трехмерного объекта.

Ассоциации

1. Соответствие между строением электронных оболочек атомов химических элементов и композицией стихотворения «Дом, который построил Джек»:

Оболочка

Подоболочка

Дом, который построил Джек

К

s

Вот дом, Который построил Джек.

L

р

А это пшеница, Которая в тёмном чулане хранится

s

В доме, Который построил Джек.

M

d

А это весёлая птица-синица, Которая часто ворует

р

пшеницу, Которая в тёмном чулане хранится

s

В доме, Который построил Джек.

N

f

Вот кот, Который пугает и ловит

d

синицу, Которая часто ворует

p

пшеницу, Которая в тёмном чулане хранится

s

В доме, Который построил Джек.

О

g

Вот пёс без хвоста, Который за шиворот треплет

f

кота,

Который пугает и ловит

d

синицу, Которая часто ворует

p

пшеницу, Которая в тёмном чулане хранится

s

В доме, Который построил Джек.

Такой композиционный прием — повторение с прибавлением суть спираль — часто встречается в отечественных и зарубежных песнях и сказках. Вспомним «Колобок», «Лисичка со скалочкой», «Теремок» и др.

2. Пирамидальная структура придает композиции ощущение устойчивости (см. рис. 14).

Рис. 14. Леонардо да Винчи. «Святая Анна с Мадонной и младенцем Христом», 1510 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Успенский В. А. Треугольник Паскаля. — М.: Наука, 1979. 50 с.

2. Газале М. Гномон. От фараонов до фракталов. — Москва-Ижевк: Институт компьютерных исследований, 2002. 273 с.

3. Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов. Фигурные числа пифагорейцев. http://mes.school-collection.edu.ru/dlrstore/3f694401-bf99-389d-eb5e-839722ce94fe /00155481978574512.htm

4. http://en.wiktionary.org/wiki/gnomon

5. http://www.etymonline.com/index.php?term=gnomon

6. Weise D. Principle of Minimax and Rising Phyllotaxis (Mechanistic Phyllotaxis Model) // Visual Mathematics (Electronic journal), http://www.mi.sanu.ac.rs/vismath/dima/ index.html

7. Джан Р. В. Филлотаксис: системное исследование морфогенеза растений. РХД, 2006. 462 с.

8. Трифонов Д. Н. Периодическая система элементов. История в таблицах: Учебное пособие / РХТУ им. Д.И.Менделеева. — М., 1999. 68с.

9. Елецкий А.В. «Экзотические» объекты атомной физики // Соросовский образовательный журнал. 1999. №4. С. 86-95.

Поступила 18.07.2011

PYTHAGOREAN APPROACH TO PROBLEMS OF PERIODICITY IN MODERN SCIENCE

Dmitry Weise

A Pythagorean approach to numerical sequences in both chemical and nuclear physics has allowed proposing the geometric analogies, based on the figured numbers (three-dimensional forms of Mendeleev's periodic table and packing models for atomic nuclei). The Pascal's triangle and finite-difference method are used to deduce formulas. The formulas make it possible to extrapolate both atomic and nuclear magic numbers ad infinitum.

Keywords: figured numbers, Pascal's triangle, gnomon, periodic law of the elements, magic numbers, packing model.

В НИЖЕГОРОДСКОМ МАТЕМАТИЧЕСКОМ ОБЩЕСТВЕ

О ДЕЯТЕЛЬНОСТИ НИЖЕГОРОДСКОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБЩЕСТВА В 2010-2011 УЧЕБНОМ ГОДУ И В ПЕРВОМ СЕМЕСТРЕ 2011-2012 УЧЕБНОГО ГОДА

В настоящей заметке приводятся список и краткое содержание заседаний, проведенных Нижегородским математическим обществом (ННМО) в период, указанный в заголовке. Аннотации докладов, сделанных на этих заседаниях (как и почти всех докладов за предшествующие 16 лет), можно посмотреть в Интернете по адресу http://www.unn.runnet.ru/nnmo/zasedania.html, а ссылки на предыдущие отчёты о деятельности ННМО приведены в [1].

Заседание 30 сентября 2010 г.

1) Общее собрание ННМО с отчётом Правления.

2) Е. И. Шустин (Тель-Авивский университет, Израиль). «Перечисление вещественных алгебраических кривых на вещественных поверхностях».

Заседание 28 октября 2010 г.

Г. М. Полотовский (Нижегородский университет им. Н. И. Лобачевского, мех-мат). «Об определении предмета математики и о периодизации её истории».

Заседание 9 декабря 2010 г.

В.А.Калягин (Высшая школа экономики, Нижний Новгород). «Ортогональные многочлены, разностные операторы и дискретные динамические системы».

Заседание 17 декабря 2010 г.

А. В. Болсинов (School of Mathematics, Loughborough University, UK). « Особенности интегрируемых гамильтоновых систем: инварианты и классификация».

Заседание 23 декабря 2010 г.

Д. Е. Тамаркин (Northwestern University, USA). «Микролокальная теория пучков и аналитическое продолжение решений некоторых уравнений с частными производными».

Заседание 14 января 2011 г.

Л. Ю. Глебский (Университет Сан Луи Потоси, Мексика). «Короткие циклы отображения f(x) = qxmodn и софические группы». Заседание 14 апреля 2011 г.

1) Обсуждение «доработанного проекта федерального государственного образовательного стандарта среднего (полного) общего образования»1.

2) Е. И. Шустин (Тель-Авивский университет, Израиль). «Тропическая геометрия и алгебраическая геометрия: сходство и различия».

Заседание 17 апреля 2011 г.

А.И.Назаров (Санкт-Петербургский университет). «Точные константы в теоремах вложения и задача Монжа - Канторовича».

1 Принятое решение опубликовано в начале этого номера журнала и на сайте ННМО (http://www.unn.runnet.ru/nnmo/reshenieNNMO.html).

Заседание 12 мая 2011 г.

Ю. А. Кузнецов (Нижегородский университет им. Н. И.Лобачевского, мехмат). «Избранные вопросы математического моделирования экономических систем».

Заседание 22 сентября 2011 г.

С. В. Гонченко (НИИ Прикладной математики и кибернетики, Нижний Новгород). «О новых подковах Смейла». Заседания 29 и 30 сентября 2011 г.

Франсуа Лауденбах (Лаборатория им. Жана Лере факультета науки и техники Нантского университета, Франция). «Структура 3-многообразий {что было известно топологам до работы Г. Перельмана!)».

Заседание 27 октября 2011 г.

1) Отчётно-перевыборное общее собрание ННМО.

2) Ю. Н. Орлов (Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН). «Методы статистического анализа литературных текстов».

Заседание 18 ноября 2011 г.

М. А. Алексеев (University if South Caroline, USA; Лаборатория алгоритмической биологии при Санкт-Петербургском академическом университете РАН). «Вычислительные задачи и решения в сборке геномов из коротких парных рядов».

Заседание 30 ноября 2011 г.

А. А. Давыдов (Владимирский госуниверситет им. А. Г. и Н. Г. Столетовых). «Канонические формы уравнений смешанного типа на плоскости».

ЛИТЕРАТУРА

1. Полотовский Г. М. Нижегородскому математическому обществу 15 лет // Математика в высшем образовании. 2010. №8. С. 141-144.

Учёный секретарь ННМО Г. М. Полотовский

Поступила 1.12.2011

Математика в высшем образовании

№ 9, 2011

Научно-методический журнал

Свидетельство о регистрации средства массовой информации Министерства рф по делам печати, телерадиовещания и средств массовых коммуникаций пи № 77-15825 от 7 июля 2003 г.

ISSN 1729-5440

Адрес редакции: 603950, Нижний Новгород, проспект Гагарина, 23, Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского, корпус 6, к. 406. Тел.: (831) 465-85-10; (831) 462-33-64; факс: (831) 465-85-92 e-mail: polotovsky@gmail.com http :// www. unn.ru/math

Компьютерная верстка Л. Р. Семеновой Оригинал-макет подготовлен с использованием пакета LATEX

Формат 60x84 1/8 Гарнитура Computer Modern. Печать офсетная. Бумага офсетная.

Усл. печ. л. 15,1. Уч.-изд. л. 11,8. Тираж 300 экз. Заказ № 13.

Издательство Нижегородского госуниверситета им. Н.И. Лобачевского, 603950, Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23.

Типография Нижегородского госуниверситета им. Н.И. Лобачевского, 603000, Нижний Новгород, ул. Большая Покровская, 37.

Индекс 87966

ISSN 1729-5440 Математика в высшем образовании, 2011, № 9