ISSN 1729-5440

МАТЕМАТИКА В ВЫСШЕМ ОБРАЗОВАНИИ

8

2010

Научно-методический совет по математике Министерства образования и науки Российской Федерации

Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского

Нижегородское математическое общество

МАТЕМАТИКА В ВЫСШЕМ ОБРАЗОВАНИИ

8

2010

Научно-методический журнал

Нижний Новгород

Издательство Нижегородского госуниверситета

Редакционная коллегия:

И.С. Емельянова (главный редактор) М.В. Долов, Г.М. Жислин. Т.А. Иванова, В.А. Ильин, Ю.Л. Кетков, Л.Д. Кудрявцев, М.И. Кузнецов, А.В. Латышев, Н.И. Мерлина, В.И. Михеев, Е.И. Моисеев, Г.М. Полотовский (зам. гл. редактора), Н.Х. Розов, В.А. Садовничий, Г.И. Саранцев, Р.Г. Стронгин, С.Н. Слугин, М.А. Федоткин

При перепечатке, переводе на иностранный язык, а также при ином использовании оригинальных материалов журнала ссылки на “Математика в высшем образовании” обязательны

Журнал издается при финансовой поддержке Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского

Адрес редакции: 603950, Нижний Новгород, проспект Гагарина, 23, корпус 6, к. 406. Тел. (831)4657335; e-mail: polotovsky@gmail.com http : //www.unn. ru/math

© Математика в высшем образовании, 2010

Mathematics Science and Methods Council of Russian Ministry of Education Nizhni Novgorod N.I. Lobachevsky State University Nizhni Novgorod Mathematical Society

MATHEMATICS IN HIGHER EDUCATION

8

2010

Academic Journal

Nizhni Novgorod

Nizhni Novgorod State University Press

Editorial Board:

I.S. Yemelyanova (Editor-in-Chief), M.V. Dolov, G.M. Zhislin, T.A. Ivanova, V.A. Ilyin, Y.L. Ketkov, L.D. Kudryavtsev, M.I. Kuznetsov, A.V. Latyshev, N.I. Merlina, V.I. Miheev, E.I. Moiseev, G.M. Polotovskiy (Editor), N.Kh. Rozov, V.A. Sadovnichii, G.I. Sarantsev, R.G. Strongin, S.N. Slugin, M.A. Fedotkin

No reprint or any use of the material is allowed without reference to “Mathematics in Higher Education”

The journal is published with financial support of Nizhni Novgorod N.I. Lobachevsky State University

Editorial Office Address: University of Nizhni Novgorod, 23 Prospekt Gagarina, Building 4, Office 406 603950, Nizhni Novgorod, Russia Tel: (831)4657335; e-mail: polotovsky@gmail.com http://www.unn.ru/math

© Mathematics in Higher Education, 2010

СОДЕРЖАНИЕ

“Математическая безграмотность губительнее костров инквизиции” (Памяти Владимира Игоревича Арнольда)....................................7

Содержание и технологии математического образования в вузе

Игошин В. И. Курс числовых систем для педагогического вуза................ 19

Ласунский А. В. Устойчивость и собственные числа линейных неавтономных систем разностных и дифференциальных уравнений .................. 37

Яковлев М. К. Построение поля действительных чисел и теории пределов числовых последовательностей на основе понятия стабилизатора последовательности бесконечных десятичных дробей............................. 41

Математика для специалистов различного профиля

Красильников Д. Е. Обзор литературы по корреляционно-регрессионному анализу с момента возникновения по настоящее время...................... 53

Хабина Э. Л. Реализация принципа прикладной направленности курса “Дискретные математические модели” для студентов экономических специальностей вузов........................................................ 65

Непрерывное математическое образование

Боровских А. В., Розов Н. Х. Что такое процент?............................... 75

Бусев В. М. Образовательные ресурсы Рунета: состояние и перспективы развития..................................................................... 85

История математики и математического образования. Персоналии

Златопольский Д. М. Музей истории вычислительной техники............... 101

Игнатушина И. В. Деятельность Т. Ф. Осиповского и его учеников А. Ф. Павловского и М. В. Остроградского по формированию дифференциальной геометрии как учебной дисциплины.............................. 105

Серафина Куомо “Liber abaci” — учебник арифметики Леонардо Фибоначчи в переводе на современный английский язык............................ 115

Мерлина Н. И. Первый чувашский профессиональный математик (к 120-летию со дня рождения И. М. Максимова).................................. 123

Симонов Р. А. К истории счёта в допетровской Руси (рецензия на книгу: М. А. Цайгер. Арифметика в Московском государстве XVI века. Беэр-Шева: Берилл, 2010)........................................................ 135

В Нижегородском математическом обществе

Нижегородскому математическому обществу 15 лет........................... 143

CONTENTS

“Mathematical illiteracy is more baneful than the Inquisition fires”— to the memory of Vladimir Igorevich Arnold...........................................7

Subject and Technologies of Mathematical Education at University Igoshin V. I. Subject “number systems” for pedagogical university ................ 19

Lasunsky A. V. Stability and eigenvalues of linear nonautonomous difference and differential systems....................................................... 37

Yakovlev M. K. Construction of the real field and the theory of limits of sequences based upon the notion of the stabilizer of sequences of non-terminating decimals.......................................................... 41

Mathematics for Specialists of Different types

Krasilnikov D. E. The Review of References on Correlation and Regression Analysis (Econometrics) since its Appearance till Nowadays................... 53

Khabina E. Realisation of a principle of applied orientation in a course "Discrete mathematical models" for students of economic specialities at higher school..... 65

Continuous Mathematical Education

Borovskikh A.V., Rozov N. Kh. What is the percentage?.......................... 75

Busev V. M. Educational resources of the Runet: conditions and development prospects...................................................................... 85

The History of Mathematics. The Prominent Figures

Zlatopolslkiy D. M. Museum of history of computer facilities...................... 101

Ignatushina I. V. Activity of T. F. Osipovski and his pupils A. F. Pavlovski and M. V. Ostrogradski on formation of differential geometry as subject matter---- 105

Serafina Cuomo Fibonacci's Liber Abaci: A Translation into Modern English of Leonardo Pisano's Book of Calculation..................................... 115

Merlina N. I. The first Chuvash professional mathematician (in memory of I. N. Maximov on his 120-th anniversary)..................................... 123

Simonov R. A. To the history of calculations in pre-Pertine Russia (The review of the book: M. A. Tsayger. Arithmetics in the Moscow state of XVI century. Beersheba: Beryl, 2010.)...................................................... 135

In the Nizhni Novgorod Mathematical Society

The Nizhni Novogorod mathematical society is 15 years old...................... 143

“МАТЕМАТИЧЕСКАЯ БЕЗГРАМОТНОСТЬ ГУБИТЕЛЬНЕЕ КОСТРОВ ИНКВИЗИЦИИ”

Памяти Владимира Игоревича Арнольда

3 июня 2010 года скончался один из крупнейших математиков современности академик Владимир Игоревич Арнольд. Будучи одним из творцов математики, “решателем” известных и “придумывателем”1 новых задач, он много размышлял и писал о путях развития математики и её месте в культуре. В. И. Арнольд был серьезно озабочен падением уровня математической культуры и образования в мире, и прежде всего в России. Пытаясь затормозить этот процесс, он много раз высказывался на эту тему в своих популярных книжках, в многочисленных публикациях в СМИ, на слушаниях в Государственной думе, на сессии Папской академии наук в Ватикане (а также почти ежегодно читал лекции для школьников).

Ниже мы приводим фрагменты из этих выступлений В. И. Арнольда. К сожалению, признаки улучшения положения фундаментальной науки и образования в России не наблюдаются, поэтому почти всё из сказанного В. И. Арнольдом остается злободневным.

“Математическая безграмотность губительнее костров инквизиции” (газета “Известия” от 16.01.1998)

Мы живем в сумасшедшем мире, хозяева которого (я имею в виду правительства иных стран) ведут себя подобно свинье под дубом, разрушая источник всех своих богатств.

Безумцы, рубящие сук, на котором сидят, если и финансируют какие-либо науки, то только “прикладные”, польза от которых им непосредственно видна.

Пастер (которого трудно заподозрить в ненужных человечеству занятиях) учил, что никаких “прикладных наук” не существует — есть только приложения наук. Опыты с янтарем и кошачьим мехом казались бесполезными правителям и военачальникам XVIII века. Но именно они перевернули наш мир после того, как Фарадей и Максвелл написали уравнение теории электромагнетизма. Эти достижения фундаментальной науки окупили все затраты человечества на нее на сотни лет вперед. Отказ современных правителей

1 В. И. Арнольд считал, что придумать задачу труднее, чем её решить — см., например, “Путешествие в хаосе”, “Наука и жизнь”, № 12, 2000.

платить по этому счету — удивительно недальновидная политика, наказанием за которую послужит технологическая (а следовательно, и экономическая, а также и военная) отсталость соответствующих стран.

Вред, который приносит нашей стране происходящее на наших глазах уничтожение фундаментальной науки в России, сравним с вредом, который принесли западной цивилизации и Испании костры инквизиции.

То, что в России еще остались математики (а также ученые других сильных у нас школ), упорно не желающие эмигрировать и воспитывающие новые поколения талантливых студентов, — свидетельство своеобразного героизма (а с точки зрения наших западных коллег — глупости), традиционного для российской интеллигенции. Но долго удержаться такое состояние не может. Поразительно, но и РАН, и МГУ, и общество в целом находят средства для финансирования всевозможного антинаучного вздора вроде парапсихологии и для поддержки публикаций лиц нестандартной исторической ориентации с коричневым уклоном, соблазняя невежественных обывателей перлами вроде: “Онкозаболеваемость, не поддающиеся лечению психические и другие хронические заболевания детей и взрослых обусловлены нахождением их спальных мест в узлах пересечения патогенных зон” геологического происхождения, якобы покрывающих землю с шагом 2,5 м, 3,75 м и 7,5 м (Вестник РАН, 1996 г. №6, с. 713-719). На подобный вздор у сильных мира сего находятся деньги. Гитлер недаром поощрял псевдонауки.

Традиционно высокий уровень российской математики всегда был основан на хорошем школьном математическом образовании “по Киселёву”. Его не смогла уничтожить даже попытка введения в школу схоластической зауми в конце 60-х годов. К сожалению, сейчас уровень математической грамотности страны в целом начал катастрофически падать. Запланированная Министерством образования “гуманизация” и “гуманитаризация” предусматривает существенное уменьшение числа часов на математику с использованием высвободившихся часов на такие предметы, как макраме и коневодство.

Доказывать необходимость математической грамотности для каждого культурного человека как-то странно: не понимают этого разве только дикари, думающие, что булки валятся с неба, автомобили существовали всегда, а от самолетов один вред.

Знакомство с математикой (и это гораздо важнее, чем умение складывать дроби) учит отличать правильное рассуждение от неправильного. А без такого умения человеческое сообщество превращается в легко управляемое демагогами стадо. Так было в Германии, где немногие верили в начале 30-х годов, что к власти может прийти кто-то, подобный Гитлеру.

Конечно, эффект от уничтожения математической культуры скажется не мгновенно. Но пример Германии (которая до сих пор не сумела ликвидировать созданное нацизмом отставание в этой области) показывает, что сохранение высокого научного и образовательного уровня является стратегической задачей с очень высоким приоритетом. Если она не будет в ближайшее время решена у нас, то мы окажемся на многие десятилетия (возможно, навсегда) отброшенными на позиции страны четвертого мира.

“Антинаучная революция и математика” (Вестник РАН, том 69, № 6, с. 553-558, 1999 (выступление на сессии Папской академии наук в октябре 1998 г. в Ватикане))

Математика сейчас, как и два тысячелетия назад, — первый кандидат на уничтожение. Компьютерная революция позволяет заменить образованных рабов невежественными. Правительства всех стран начали исключать математические науки из программ средней школы.

Российское правительство пытается довести преподавание математики в средних школах до американских стандартов. Проект состоит в том, чтобы вдвое уменьшить число часов, отводимое на математику, а высвободившиеся часы использовать для обучения мальчиков коневодству, а девочек -макраме. Французское министерство образования, науки и технологии предполагает втрое сократить школьные учебники математики. Конгресс США пытается запретить калифорнийским учителям сообщать школьникам, что Земля круглая и что вода может превращаться в пар, математикам хотели бы запретить учить школьников делить 111 на 3 без компьютера.

В середине XX столетия обладавшая большим влиянием мафия “левополушарных математиков” сумела исключить геометрию из математического образования (сперва во Франции, а потом и в других странах), заменив всю содержательную сторону этой дисциплины тренировкой в формальном манипулировании абстрактными понятиями. Вся геометрия и, следовательно, вся связь математики с реальным миром и с другими науками была исключена из математического образования.

Особенно опасна тенденция изгнания всех доказательств из школьного обучения. Роль доказательств в математике подобна роли орфографии или даже каллиграфии в поэзии. Тот, кто не научился искусству доказательства в школе, не способен отличить правильное рассуждение от неправильного. Такими людьми могут легко манипулировать безответственные политики. Результатом могут стать массовый гипноз и социальные потрясения.

Л. Толстой писал, что сила правительства основана на невежестве народа, что правительство знает об этом и потому будет всегда бороться против просвещения.

Думаю, однако, что полное разрушение математики и математического образования было бы такой же ошибкой, как преследование Галилея.

Там же (Вестник РАН, том 69, №6) в интервью:

Положение математиков и вообще ученых в России и других странах, ранее входивших в СССР, изменилось кардинально. В СССР жалованье математика было достаточным для жизни и даже завидным. Теперь в России оно примерно в 100 раз меньше, чем жалованье математика того же уровня в США.

Затраты маркизы де Помпадур на науку и культуру составляли около полутора процентов её затрат на наряды и косметику, и этого хватило для того, чтобы создать век Просвещения, Энциклопедию и т. п. В России нет маркизы де Помпадур и угроза наступления века невежества кажется совершенно реальной.

“Современное формализованное образование в математике опасно для всего человечества” (доклад на конференции “Бизнес Россия-Франция. Успехи и перспективы”, проведенной в рамках бизнес-фестиваля “Мистраль” и семинара “Полития” в открытом 29 ноября 2000 г. форум-центре “Венец” на Софийской набережной в Москве)

Осенью 2000 года в Москву приезжали представители фирмы “Боинг” из Сиэтла. Они рассказали мне, что не могли бы поддерживать традиционно высокий технический уровень своих разработок, если бы не использовали труд лучше американцев подготовленных иностранцев — японцев, китайцев и русских, которых в школах еще до сих пор продолжают учить как основам фундаментальных наук, так и умению думать и решать нетривиальные задачи. Но они опасаются, что американизация обучения вскоре ликвидирует и этот источник кадров, и хотели бы помочь сохранить в России школьное образование. (Мои попытки практически использовать это желание фирмы “Боинг” пока не увенчались успехом вследствие неповоротливости наших Обломовых.)

Современное формализованное (бурбакизированное) образование в математике — полная противоположность обучению умению думать и основам науки. Оно опасно для всего человечества.

Русская традиция всегда была противоположной следованию слепым формулам, и я надеюсь, что мы последуем в вопросах образования не за “профессионально степенными” людьми, а за Пушкиным, который “считал схоластику за вздор и прыгал в сад через забор” (черновик к “Онегину”, цитируемый Набоковым).

“Путешествие в хаосе” (интервью Владимиру Губареву, “Наука и жизнь”, №12, 2000)

Школьное образование начало гибнуть в результате тех реформ, которые интенсивно проводятся во второй половине XX века. И особенно печально то, что некоторые выдающиеся математики, к примеру, уважаемый мной академик Колмогоров, имеют к ним отношение... Французский министр отметил, что математика постепенно вытесняется из школьного образования. Аналогичный процесс наблюдается и у нас, где математику нередко заменяют более “важными” науками.

У нас есть много учебников по математике, и некоторые из них хорошие. На мой взгляд, надо возвратить Киселёва...

- И наконец, последнее: верно, что у математиков особый склад ума?

- Наверное... Но его можно воспитать практически у каждого человека. Только начинать надо рано. Именно поэтому нас, математиков, так беспокоит качество школьного образования. Математики в основном бывают двух типов — “левые” и “правые”. Сейчас это установлено с помощью достаточно тонких экспериментов, хотя психологи знают об этом уже добрые сто лет.

- Такое впечатление, что вы постоянно спорите с кем-то?

- Так и есть! Я стараюсь объяснить, что суть математики совсем в ином, чем пытаются нам представить. Математика подобна деятельности детектива, который должен, задавая разные вопросы и обращая внимание на детали,

путем нестандартных размышлений прийти к истине. Романы Агаты Кристи гораздо ближе к математике, чем умножение многозначных чисел. Ну а рассказы Эдгара По — тем более! Представления о математике в большинстве случаев фальшивые, неправильные. Но, к сожалению, все программы обучения составляют люди с подобными представлениями, поэтому я и стараюсь предотвратить катастрофу.

- А математическое мышление изменилось?

- Отнюдь! Оно осталось таким же, каким было при Декарте, Пифагоре или в Древнем Египте. Однако одним наблюдением не могу не поделиться. Сейчас практически одновременно во всех странах идет грустный процесс, который выражается в плохом отношении к науке и культуре, в устранении их из жизни общества. Начинают торжествовать бюрократия и администрация, уничтожающие образование, науку и культуру целиком. Это самоубийство человечества! Озоновые дыры, загрязнение атмосферы, “парниковый эффект”, радиоактивное заражение и уничтожение культуры — единый процесс, который ведет к гибели жизни на Земле. Мы являемся свидетелями этого, наш долг предупредить о катастрофе и призвать людей остановиться, если еще возможно...

“Ответы академика Владимира Игоревича Арнольда на вопросы профессора Дмитрия Семеновича Шмерлинга” http://kadry.viperson.ru/wind.php?ID=446324&soch=1 (Частично опубликовано в газете “Московские новости” №42 за 2001 г., с. 19, под названием “Считаются не только деньги”)

Если как следует кормить учителей (да и учеников), то всё будет в порядке. Российская традиция всегда поддерживала высокое уважение к науке и знаниям. Это и надо продолжать культивировать. А то авторитет всех интеллектуальных профессий падает перед наступлением чистогана.

Я не думаю, что бандитские профессии перспективнее математических. Но важно, чтобы это мое мнение разделялось страной, в том числе и её руководством. А ведь сейчас общественное мнение нередко склоняется к тому, что “перспективнее” всего большой доход. А такие понятия, как совесть, выбрасываются новыми поколениями на свалку.

“История джаза — вместо курса алгебры”(интервью А. Ваганову, “Независимая газета” от 27.12.2001)

- Владимир Игоревич, вы много времени уделяете преподавательской деятельности. В связи с этим как вы оцениваете предлагаемую и проводящуюся уже фактически реформу образования в России — и в целом, и в части, касающейся преподавания математики?

- Древний римский сенат постановил: “Предками нашими установлено, чему детей учить и в какие школы ходить; новшества же, творимые теперь вопреки обычаю и нраву предков, представляются неправильными и нежелательными” (Гай Светоний Транквилл, “О риторах”, в книге “Жизнь двенадцати Цезарей”, М.: Правда, 1991, с. 303).

Наша “реформа”, как я прочел в хвалящих её газетах, предназначена для того, чтобы нашим школьникам стало так же приятно в школе, как амери-

канским: ничего не надо знать, ничего не надо учить, никаких экзаменов. Мой племянник заканчивал среднюю школу в США и радостно заменил себе курс алгебры курсом истории джаза.

Пуанкаре давно уже объяснил, что есть только два способа учить дробям: разрезать, хотя бы мысленно, либо яблоко, либо круглый пирог. Современные “реформаторы”, отвергая как яблоко, так и пирог, заменяют их либо компьютерами, либо сверхабстрактными теориями вроде так называемого “кольца Гротендика”: “дробь — это класс эквивалентности пар целых чисел, считаемых эквивалентными, если... ”.

Многочисленные проверки (например, международными олимпиадами) показывают, что наша система образования, особенно в области математики, одна из лучших в мире, если не просто самая лучшая. Дело в том, что всюду прошло “реформирование”, отучающее думать и уничтожившее математическую (да и иную) культуру, а мы пока еще сохранили лучший уровень. Боюсь, что и мы пойдем по этому всемирному пути уничтожения науки и культуры.

- Ваше отношение к ползучему внедрению тестовой системы контроля и оценки знаний учащихся?

- Тесты вроде “чему равна сумма 2 + 3” кажутся безвредными, но в действительности даже они опасны. Французский министр науки и образования получил на этот вопрос от младшеклассника, хорошо проходившего тесты, ответ: “3 + 2, так как сложение коммутативно” (а считать он не умел). В Америке много лет школьники успешно справлялись с тестом “найти площадь прямоугольного треугольника с гипотенузой в 10 дюймов длиной и опущенной на нее высотой длиной в 6 дюймов”. Я надеюсь, что наши школьники пока еще ясно видят, что таких треугольников не бывает, но переход к тестам, вероятно, низведет их до американского уровня: S = ah/2 = 10x6/2 = 30 квадратных дюймов.

Тесты могут помогать учить правила уличного движения или таблицу умножения, но они воспитывают не умение мыслить, а скорее быстроту реакции на стандартные раздражители. Если мы хотим воспитывать и учить киллеров, то, возможно, тестовая система и поможет. Науке, культуре и элементарному школьному образованию они, очевидно, противопоказаны. Экзамены (выработанные многотысячелетним китайским опытом как необходимое средство для отбора государственных чиновников) никак нельзя заменить тестами.

Вот ещё образчик американского теста (для поступления в аспирантуру по любой специальности): “Что ближе всего к паре ”угол - градус“ из пар ”молоко - пинта“, ”время - час“, ”площадь - квадратный дюйм“. Объявленное стандартное решение: ”площадь - квадратный дюйм“, так как квадратный дюйм — минимальная мера площади, а градус — угла, в то время как час делится на минуты, а пинта на миллилитры”. Американский профессор, блестяще справившийся с этим тестом, объяснил мне (думавшему, что ответ “время”, так как и час и градус делятся на 60 минут), что справиться с тестом можно, только если правильно представляешь себе степень идиотизма его составителей. Да минует наших детей чаша сих тестов! (Подробный обзор проблемы имеется в статье Игоря Шарыгина в “Школьном обозрении”, 2000, №1).

- Как, по вашему мнению, следует учить математике в вузах в XXI веке?

- По моему мнению, фундаментальным остается принцип, высказанный Эйнштейном в его “творческой автобиографии”: “Кажется почти чудом, что современные методы обучения еще не совсем удушили святую любознательность. .. Здоровое хищное животное отказалось бы от мясной пищи, если бы его заставляли есть ударами бича, особенно если принудительно предлагаемая пища не была им самим выбрана”.

От удушения любознательности ударами бича следует перейти к поощрению самостоятельных открытий. Главное в преподавании не зубрежка, а решение задач. В книге “Вы, конечно, шутите, мистер Фейнман” великий физик критикует современное преподавание под видом физики в Бразилии, но его критика относится и к математическому преподаванию в Европе.

“Подготовка новой культурной революции” (декабрь 2001) http://www.mccme.ru/edu/index.php?ikey=viarn_k_rev

Мне трудно понять, почему наша страна всё это терпит, доверяя руководство своей образовательной системой сторонникам такого мракобесия, и почему наш министр до сих пор не подал в отставку: ведь отношение и учителей, и родителей к мракобесным проектам резко отрицательно и все это знают.

“Что ждет школу в России?” (Аналитическая записка, “Известия”, 08.02.2002)

Следующий краткий анализ является сокращенным пересказом плана модернизации образования в России (проект 2001 года). Его оценка дана после пункта 4 описания “стратегии”.

1. Основными целями образования объявляются “воспитание самостоятельности, правовой культуры, умения сотрудничать и общаться с другими, толерантности, знания экономики, права, менеджмента, социологии и политологии, владения иностранным языком”. Никакие науки в “цели обучения” не включены.

2. Основными средствами для достижения этих целей объявляются “разгрузка общеобразовательного ядра”, “отказ от сциентистского (т. е. научного. — В. А.) и предметоцентрического подходов” (т.е. от обучения таблице умножения. — В. А.), “существенное сокращение объема образования” (см. ниже, п. 4). Специалистов необходимо отстранить от обсуждения программ “своих специальностей” (кто же согласится с мракобесием? — В. А.).

3. Систему оценки “следует” изменить, “предусмотрев безотметочную систему обучения”, “оценивать не учеников, а коллективы”, “отказаться от учебных предметов” (уж очень они “узки”: уроки литературы, географии, алгебры. .. ), “отказ от требовательности средней школы по отношению к начальной” (зачем знать русский алфавит и уметь считать на пальцах, когда есть компьютеры! — В. А.), “переход к объективизации процедур оценки с учетом международного опыта” (то есть с тестом вместо экзаменов. — В. А.), отказ “от рассмотрения обязательного минимума содержания образования”

(это рассмотрение якобы “перегружает стандарты” — некоторые начинают требовать, чтобы школьники понимали, почему зимой холодно, а летом тепло).

4. В средней школе в неделю “должно быть”: три часа русского языка, три часа математики, три — иностранного языка, три — обществоведения, три -естествознания; вот и вся программа, отменяющая “тупиковый предметно-ориентированный подход” и позволяющая “включение дополнительных модулей”, а именно “гуманизацию и гуманитаризацию”, “отражение культуры местных народов”, “интеграцию представлений о мире”, “сокращение домашней работы”, “дифференциацию”, “обучение коммуникативной технологии и информатике”, “использование общих теорий обучения”. Таков план “модернизации” школы.

Короче говоря, план состоит в том, чтобы отменить обучение всем фактическим знаниям и предметам (“литература”, “физика”, к примеру, полностью выкинуты даже из тех перечней, где теперь появились разные виды военной подготовки, называемой “дифференциацией”: Калашников вместо Шекспира).

Это торжество мракобесия — удивительная черта нового тысячелетия, а для России — самоубийственная тенденция, которая приведет к падению сначала интеллектуального и индустриального, а впоследствии — и довольно быстро — также и оборонного, и военного уровня страны.

Надежду вселяет только то, что (аналогичные предпринимаемым сейчас) попытки уничтожить высокий уровень образования в России, ознаменовавшиеся в двадцатые и тридцатые годы “бригадно-потоковым методом” и уничтожившие как гимназии, так и реальные училища, не увенчались успехом: уровень образования в современных школах России остается высоким (что признают даже авторы обсуждаемого документа, находящие этот уровень “чрезмерным”).

От теории радуги до гидродинамики Вселенной“ (”Независимая газета" от 17.01.2002)

К сожалению, монополистически-империалистическая агрессивность компьютерного сообщества угрожает уничтожением математической культуры (прежде всего они хотят уничтожить журналы и книги, потом лекции и экзамены). О “прикладной науке X” обычно кричат члены мафии, желающей отнять у науки X её финансирование и забрать его себе. Этот эффект был хорошо известен для многих наук еще в девятнадцатом веке. Надеюсь, что у математики ничего отнять не удастся.

“О печальной судьбе ”академических“ учебников” (“Школьное обозрение”, №5, 2002)

Опыт создания учебников для средней школы учеными-математиками двадцатого века я считаю трагическим. Мой дорогой учитель, Андрей Николаевич Колмогоров, долго убеждал меня в необходимости дать наконец школьникам “настоящий” учебник геометрии, критикуя все существовавшие за то, что в них такие понятия, как “угол величиной в 721 градус”, остаются без точного определения.

Предназначенное им для десятилетних школьников определение угла занимало, кажется, около двадцати страниц, и я запомнил только упрощенную версию: определение полуплоскости.

Оно начиналось с “эквивалентности” точек дополнения к прямой на плоскости (две точки эквивалентны, если соединяющий их отрезок прямую не пересекает). Затем — строгое доказательство того, что это отношение удовлетворяет аксиомам отношений эквивалентности; А эквивалентно А и так далее.

Ссылка на теорему (кажется, восемьдесят третью) из предыдущего курса доказывала затем, что дополнение разбивается на классы эквивалентности.

Еще несколько теорем устанавливали последовательно, что “множество классов эквивалентности, определенное предыдущей теоремой, является конечным”, а затем что “мощность конечного множества, определенного предыдущей теоремой, равна двум”.

И в конце концов, торжественно-вздорное “определение”: “Каждый из двух элементов конечного множества, мощность которого по предыдущей теореме равна двум, называется полуплоскостью”.

Ненависть учившихся по такой “геометрии” школьников и к геометрии, и к математике вообще легко было предугадать, что я и пытался объяснить Колмогорову.

Наилучшим, на мой взгляд, из имеющихся учебников математики является “Высшая математика для начинающих физиков” Я. Б. Зельдовича. Хотя он и обращается, на вид, к начинающим студентам, именно так, на мой взгляд, следует говорить и со школьниками.

В свое время учебники математики Киселёва завоевали Россию своими неоспоримыми достоинствами, хотя он совсем не был великим ученым. Более того, первый десяток изданий этих учебников был еще далек от того уровня, который был достигнут впоследствии вследствие многократных переделок, вызванных замечаниями практически применявших эти учебники учителей. Потому я думаю, что и в наших сегодняшних или даже завтрашних условиях лучший учебник напишет не крупнейший ученый и совсем не я, а опытнейший учитель, да и то не сразу, а после длительной обкатки во многих школах своими столь же опытными коллегами.

Выступление на парламентских слушаниях в Госдуме РФ 23 октября 2002 г. (газета “Известия”, 6.12.2002)

Страна без науки не имеет будущего, и принятие обсуждаемого плана было бы преступлением против России. Как это ни удивительно, уровень подготовки школьников в России до сих пор остается, особенно в области математики, очень высоким по сравнению с большинством стран мира (несмотря даже на ничтожность затрат нашей страны на науку и образование по сравнению с другими странами): Франция, например, перешла недавно от примерно 5% ВНП до примерно 7% (затраты на науку и образование, обсуждавшиеся Национальным комитетом науки и исследований Франции, членом которого меня назначило их Министерство образования и научных исследований).

Россия, напротив, сократила свои расходы (за 10 лет примерно в 10 раз) на науку. Трагическая утечка мозгов, происходящая вследствие этой ошибки, -

только одно из последствий той антинаучной и антиинтеллектуальной политики, частью которой является и обсуждаемый безобразный проект “стандартов”. Из-за этих “стандартных” нелепостей уровень подготовки школьников опустится гораздо ниже обычного уровня реальных училищ царского времени, а кое в чем — даже ниже уровня церковно-приходских училищ.

Этот план производит общее впечатление плана подготовки рабов, обслуживающих сырьевой придаток господствующих хозяев: этих рабов учат разве что основам языка хозяев, чтобы они могли понимать приказы.

Насколько я сумел понять планы, они сводятся в основном к снижению нашего уровня образования в средней школе до американских стандартов. Чтобы составить впечатление о последних, напомню только, что комитет по подготовке школьников штата Калифорния (возглавлявшийся Гленном Сиборгом, физико-химиком и нобелевским лауреатом, занимавшимся открытием новых трансурановых элементов) принял несколько лет назад решение требовать при поступлении в университеты штата следующего стандарта знаний по математике: школьники должны уметь делить 111 на 3 без компьютера.

По статистике Американского математического общества в сегодняшних Штатах разделить число 1 + 1/2 на число 1/4 может, в зависимости от штата, от одного до двух процентов школьных учителей математики. Из “стандартов” простые дроби давно у них исчезли, поскольку компьютеры считают только десятичные. Большинство американских университетских студентов складывают числители с числителями и знаменатели со знаменателями складываемых дробей: 1/2 + 1/3 есть, по их мнению, 2/5. Обучить после такого “образования” думать, доказывать, правильно рассуждать никого уже невозможно, население превращается в толпу, легко поддающуюся манипулированию со стороны ловких политиков без всякого понимания причин и следствий их действий.

Всё это делается не по невежеству, а, как мне объяснили мои американские коллеги, сознательно, просто по экономическим причинам: приобретение населением культуры (например, склонности читать книги) плохо влияет на покупательную способность в их обществе потребителей, и вместо того, чтобы ежедневно покупать новые стиральные машины или автомобили, испорченные культурой граждане начинают интересоваться стихами или музыкой, картинами и теоремами и не приносят хозяевам общества ожидаемого дохода.

Предлагаемый вздорный проект “стандартов” является очередной порцией подобной антинаучной болтовни. Я не стану здесь перечислять многочисленные детали недостатков математических стандартов: имеются протоколы их обсуждения в Центре непрерывного математического образования, где десятки преподавателей и учителей из разных областей России выразили свое возмущение предлагаемым проектом. Один из их главных выводов состоит в том, что стандарты должны заключаться не в философских фразах о том, что “математика является областью человеческой деятельности, применимой в полезных её областях”, а в списке простых, но необходимых задач, которые должны остаться легкими для школьников следующих поколений (вроде уменья вычесть семь из двадцати пяти).

Современные мировые тенденции американизации обучения постепенно разрушают эту древнюю культуру во всех странах. “Ретроградные” науки, утверждающие, что “столица Франции — Париж”, заменяются “современными стандартами”, согласно которым вместо этого школьников учат, будто “столица Америки — Нью-Йорк” (для слушающих меня парламентариев, возможно, уже достигших этого нового уровня мировой “культуры”, поясню, что здесь всё неверно: и Америка не государство, и Нью-Йорк не столица).

Недавно руководство нашего Министерства образования опубликовало свой список задач для фиксации уровня экзаменационных требований. Эти задачи фиксировали крайне низкий уровень, а в новом проекте стандарта они не заменены лучшим новым списком.

“Что такое математика?” (Изд. МЦНМО2, 2002)

Из недавно выпущенной издательством “Шпрингер” интереснейшей биографии Абеля можно узнать, в частности, что его первоначальное математическое образование дал ему отец-священник, обучавший его, будто 0 + п = = 0. Это вселяет надежду, что и вред от подготавливаемой “модернизации” школьного обучения в России будет меньшим, чем тот, которого хотели бы добиться реформаторы (например, сокращая число часов на обучение математике в два-три раза, а логарифмы, литературу или физику желая отменить вовсе). Вскоре министр образования России опубликовал свои новые требования к уровню подготовки школьников. По геометрии они сводились к умению решать такие “задачи”: “Найти четырехугольник с наибольшим количеством свойств”. Ответ — квадрат. Решение: нужно сосчитать числа свойств в учебнике.

И это еще хорошо — ведь за год до этого тот же министр, “математик” по образованию, вообще полностью вычеркнул геометрию из программ школьного образования (следуя Декарту, говорившему, что “чтобы сделать математику наукой, надо изгнать из нее всякое участие воображения, и прежде всего — чертежи”).

Декарт не успел достичь своей цели, но теперь у него много сторонников-посредственностей .

Большая и повсеместная поддержка этого “метода” всеми слабыми троечниками в мире объясняется вполне естественными социальными причинами, прежде всего — заботой о самосохранении и самоохране от конкуренции со стороны людей с талантом. Но и для стран, где эта мракобесная точка зрения побеждает, и для человечества в целом, где она тоже может ведь победить, если решения будут приниматься голосованием серого большинства, такая победа представит серьезную опасность возврата к средневековой дикости.

... во всем мире, к сожалению, идет процесс снижения культурного и образовательного уровня, но Россия и здесь, как и в других процессах, к счастью, отстает от мирового уровня; наши школьники по-прежнему умеют сознательно складывать дроби, любознательно интересуются науками, приходят в университеты и пополняют нашу, вполне еще активную, математическую школу.

2 МЦНМО — Московский центр непрерывного математического образования, председателем Попечительского совета которого был В. И. Арнольд (Г. П.).

“Новый обскурантизм и российское просвещение” (М.: Фазис, 2003)

Мнение, которое я отстаивал, состояло в том, что трижды семь — двадцать один, и что обучение наших детей как таблице умножения, так и сложению однозначных чисел и даже дробей — государственная необходимость.

Должен сказать, что я, видимо, тоже ретроград, так как всё еще верю в законы природы и считаю, что Земля вертится вокруг своей оси и вокруг Солнца, и что младшим школьникам нужно продолжать объяснять, почему зимой холодно, а летом тепло, не позволяя уровню нашего школьного образования опускаться ниже достигавшегося в церковно-приходских школах до революции (а именно к подобному снижению уровня образования стремятся, ссылаясь на действительно низкий американский школьный уровень, наши нынешние реформаторы).

В сегодняшней Франции 20% новобранцев в армии полностью безграмотны, не понимают письменных приказов офицеров (и могут послать свои ракеты с боеголовками совсем не в ту сторону). Да минует нас чаша сия! Наши пока еще читают, но “реформаторы” хотят это прекратить: “И Пушкин, и Толстой — это слишком много!” — пишут они.

Во всяком случае, даже если школьникам в интернате и бывало порой трудно, польза от интерната была и остается огромной, неизмеримо, на мой взгляд, большей, чем от попыток Колмогорова модернизировать курсы математических наук с заменой классических учебников А. Киселёва новыми учебниками бурбакистского толка (с их современной терминологией, заменившей классические евклидовы “признаки равенства треугольников” малопонятными, хотя и логически предпочтительными, “признаками конгруэнтности”).

Это реформирование подорвало авторитет и школы, и учителей, и учебников, создав наукообразную иллюзию псевдознания, прикрывающую полное непонимание простейших фактов, вроде того, что 5 + 8 = 13. В проекте новой реформы заметны такие же тенденции одурачивания школьников, которым предлагается непонятная “геометрия Лобачевского” взамен исключаемых из обучения записи простых дробей десятичными и “текстовых арифметических задач” об экипажах, следующих из пункта А в пункт В, или о купцах, продающих сукно за топоры, или о землекопах и трубах, наполняющих водоемы, -задач, на которых выучились думать предыдущие поколения.

Результатом “реформы” станет псевдообразованность, приводящая невежд к высказываниям вроде приписываемой Сталину критики одного политического деятеля: “Это не просто отрицательная величина, это отрицательная величина в квадрате!”

На одном из обсуждений проекта школьной реформы Ученым Советом Математического Института им. Стеклова РАН я упомянул, что хорошо было бы вернуться к прекрасным учебникам и задачникам Киселёва. В ответ меня за это похвалила бывшая на этом заседании руководительница какого-то образовательного отдела: “Как я рада, что деятельность Киселёва получила поддержку столь квалифицированных специалистов!” Позже мне объяснили, что Киселёв — фамилия одного из молодых подчиненных этой руководительницы, которая управляет школьной математикой, никогда и не слышав о переиздававшихся много десятков раз замечательных учебниках выдающегося гимназического учителя Киселёва.

Публикация Г. М. Полотовского Поступила 12.08.2010

СОДЕРЖАНИЕ И ТЕХНОЛОГИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ В ВУЗЕ

УДК 511

КУРС ЧИСЛОВЫХ СИСТЕМ ДЛЯ ПЕДАГОГИЧЕСКОГО ВУЗА

В. И. Игошин

Саратовский госуниверситет им. Н. Г. Чернышевского Россия, 410012, г. Саратов, ул. Астраханская, 83 e-mail: igoshinvi@mail.ru

Системы чисел — натуральных, целых, рациональных, действительных, комплексных, гиперкомплексных — рассматриваются как модели соответствующих аксиоматических теорий. Характеризуются сами эти аксиоматические теории.

Ключевые слова: система натуральных чисел, кольцо целых чисел, поле рациональных чисел, поле действительных чисел, поле комплексных чисел, аксиоматическая теория.

ПРЕДИСЛОВИЕ

Названный в заглавии курс занимает особое место в системе подготовки будущих учителей математики в педагогическом вузе. Как известно, в процессе обучения математике происходит неизбежное дидактическое взаимодействие логики и математики. Логика выступает при этом как мощный инструмент дидактического воздействия, по существу, она становится скелетом всей педагогики математики. Это воздействие основывается на следующих четырёх принципах логики обучения математике: 1) обучения строению (структуре) математических утверждений; 2) обучения понятию доказательства математической теоремы; 3) обучения методам доказательства математических теорем; 4) обучения строению математических теорий. Эти принципы имеют фундаментальное значение, которое состоит в том, что при нарушении их в процессе обучения математике последняя предстаёт без тех качеств, которые, собственно, и выделяют её из системы всех наук. В итоге обучаемый получает искажённое представление как об общей картине математики, так и об отдельных её деталях. Эти принципы указывают также основные направления проникновения логики в педагогику математики, служат дополнением к общедидактическим принципам педагогики применительно к педагогике математики, уточняют структуру той части педагогической науки, которая связана с преподаванием математики.

Чтобы дидактическое взаимодействие логики и математики при обучении математике было эффективным, необходимо, чтобы будущий учитель математики был к этому целенаправленно подготовлен в процессе обучения в педагогическом вузе. Его подготовка в области логики должна состоять из двух составляющих этапов — логическая подготовка и логико-дидактическая

подготовка. Ядром логической подготовки будущего учителя математики является профессионально-педагогически ориентированный курс математической логики, пособиями по которому могут служить книги [1, 2].

Профессионально-педагогически направленная логическая подготовка будущих учителей математики органично перерастает в их логико-дидактическую подготовку. Это означает, что от основополагающего курса математической логики идеи и методы, обобщённые в принципах 1)-4), проникают во все математические курсы педвуза — геометрии, алгебры и теории чисел, математического анализа, числовых систем, дискретной математики, теории вероятностей, теории алгоритмов, а также в курсы психолого-педагогических основ обучения математике, методики преподавания математики, истории и методологии математики, в которых внимание студентов акцентируется на вопросах, имеющих принципиальное логическое значение. В методических же курсах педвуза демонстрируется, как именно знания логики используются в процессе преподавания конкретных разделов и тем школьного курса математики. Пособием по логико-дидактической подготовке призвана служить книга [3].

Таким образом, логическая и логико-дидактическая подготовки призваны стать системообразующим фактором в системе всей подготовки будущих учителей математики.

Курс “Числовые системы”, читаемый будущим учителям математики в педагогическом вузе, прекрасно служит их логико-дидактической подготовке. После формализованных исчислений высказываний и предикатов, рассматриваемых в рамках курса математической логики, теории числовых систем являют собой уникальный образец, на котором методы математической логики и аксиоматического построения математической теории могут быть представлены студентам исключительно наглядно и с полными доказательствами. Подобными методическими возможностями не обладает даже курс геометрии.

Курс “Числовые системы” имеет ярко выраженное аксиоматическое построение. С чётких первоначальных понятий и аксиом Пеано начинается построение теории натуральных чисел. Доказательства теорем о натуральных числах имеют строгую логическую структуру, непременно опираются на сформулированные аксиомы. После того, как аксиоматическая теория натуральных чисел достаточно развита, приступают к изучению свойств этой теории, т. е. к её метатеории. Здесь строго доказываются метатеоремы о непротиворечивости этой теории (с помощью построения её модели), о её категоричности, о независимости системы её аксиом. Аналогичным образом строятся аксиоматические теории целых, рациональных, действительных и комплексных чисел, исследуется вопрос о возможностях дальнейшего расширения систем чисел.

В данной статье предлагается краткий, но в то же время достаточно подробный конспект лекций по данному курсу, который призван помочь преподавателю правильно расставить математические и логические акценты при его изложении студентам.

ВВЕДЕНИЕ

Древняя история. Понятие числа — пожалуй, фундаментальнейшее понятие математической науки. Его возникновение относят к 3 тысячелетию до н. э. и связывают с потребностями людей в измерениях и счёте. К началу 2 тысячелетия до н. э. в двух центрах человеческой цивилизации того времени, в Египте и Вавилоне, сформировалось абстрактное понятие натурального числа; числа из именованных превратились в отвлечённые: не “три барана”, не “три бочки” и т.д., а просто “три”. Вслед за натуральными числами в разных концах света, в Египте, Вавилоне, Индии, Китае, Средней Азии, возникло понятие дробного (рационального) числа. Оно было вызвано к жизни потребностями более точного измерения величин (в частности, длин отрезков). Возникновение отрицательных (целых и дробных) чисел связано с потребностями самой математики: появилась необходимость решать линейные и квадратные уравнения, вычитать положительные числа. Это произошло в Китае, Индии, Древней Греции, но вплоть до XVII в. отрицательные числа не могли получить прав гражданства в европейской математике. Множества натуральных чисел N, отрицательных целых чисел и ноль вместе составляют множество Z целых чисел. Объединение множества целых чисел с множеством дробных чисел называют множеством Q рациональных чисел (латинское слово ratio означает “отношение”, “дробь”). Процесс измерения отрезков привёл к представлениям не только о дробных числах, но и к необходимости введения новых чисел, не являющихся рациональными. Они получили название иррациональных. Толчком к их открытию послужило доказательство древними греками знаменитой теоремы о несоизмеримости диагонали квадрата с его стороной, т. е. о невозможности какими бы то ни было частями стороны квадрата измерить его диагональ. Объединение множества рациональных и множества иррациональных чисел называют множеством R действительных (или вещественных) чисел. Множество С комплексных чисел появилось в математике в XVI веке в связи с необходимостью решать кубические уравнения. Окончательно понятие комплексного числа оформилось лишь в XIX веке.

Аксиоматический метод. В школьном курсе математики числа вводятся нестрогим, описательным образом. В настоящей статье мы посмотрим, каков подход к понятию числа в современной математике. Этот подход основан на аксиоматическом методе построения математических теорий. Суть такого построения состоит в том, что сначала выбирается ряд первоначальных понятий, которые не определяются и используются без объяснения их смысла. Далее, формулируется ряд первоначальных утверждений об этих первоначальных понятиях, которые принимаются без доказательства и которые называются аксиомами. Наконец, исходя из выбранной системы аксиом, доказывают новые утверждения о первоначальных понятиях, а также о понятиях, которые определяются в процессе развития аксиоматической теории. Эти доказываемые утверждения называются теоремами, а совокупность всех теорем, выводимых (доказываемых) из данной системы аксиом, называется аксиоматической теорией, построенной на базе этой системы аксиом.

Каждой аксиоматической теории может быть дана интерпретация. Это означает, что в качестве первоначальных неопределяемых понятий теории рассматриваются конкретные математические объекты; отношения между понятиями интерпретируются как отношения между соответствующими объектами. Если при этом интерпретация такова, что все аксиомы теории превращаются в истинные утверждения об этих объектах и об отношениях между ними, то такая интерпретация называется моделью данной аксиоматической теории. Если каждая аксиома этой теории представляет собой формулу, записанную на некотором логико-математическом языке, в сигнатуру которого входят константы, предикатные символы и функциональные символы, то при интерпретации они превращаются соответственно в элементы, отношения и алгебраические операции на интерпретирующем множестве, которое становится носителем алгебраической системы соответствующей сигнатуры. Таким образом, моделями аксиоматической теории являются алгебраические системы, т. е. множества, наделённые отношениями и алгебраическими операциями. (С основными понятиями современной (абстрактной, или общей) алгебры можно познакомиться по книгам [4, 5]).

Что касается чисел, то задача состоит в том, чтобы для каждой из систем чисел (натуральных, целых, рациональных, действительных, комплексных) найти такие аксиоматические описания (системы аксиом), которые бы полностью характеризовали данную систему чисел. Это означает, что данная числовая система должна быть единственной (с точностью до изоморфизма) моделью соответствующей аксиоматической теории. Такие аксиоматические теории называются категоричными.

Важнейшим требованием, предъявляемым ко всякой аксиоматической теории, является её непротиворечивость. Аксиоматическая теория называется непротиворечивой, если ни для какого утверждения Д сформулированного в терминах этой теории, само утверждение А и его отрицание —*А не могут быть одновременно теоремами этой теории. В противном случае аксиоматическая теория называется противоречивой. Доказать такую — абсолютную — непротиворечивость аксиоматической теории подчас бывает исключительно трудно. Поэтому нередко ограничиваются доказательством относительной непротиворечивости изучаемой теории, т. е. непротиворечивости её относительно некоторой уже изученной непротиворечивой теории. Для этого строится модель системы аксиом исследуемой теории в терминах теории известной. Если бы исследуемая теория содержала противоречащие друг другу теоремы А и то эти теоремы превратились бы в построенной модели в два истинных и противоречащих друг другу утверждения Л* и —iA* непротиворечивой известной теории, что невозможно. Таким образом, предъявление указанной модели служит доказательством относительной непротиворечивости исследуемой теории: она будет непротиворечива, если непротиворечива теория, в которой построена её модель. Классический пример: геометрия Лобачевского непротиворечива, если непротиворечива геометрия Евклида, которая, в свою очередь, непротиворечива, если непротиворечива теория действительных чисел.

Новая история. Аксиоматический подход к понятию числа был выработан в XIX в., когда математиков перестали удовлетворять доказательства в анализе, основанные на наглядности или геометрических представлениях, и возникла необходимость строгого обоснования основ анализа — теории пределов. Г. Грассман (1809-1877) в 1861г., К. Вейерштрасс (1815-1897) в 1878 г. и Дж. Пеано (1858-1932) в 1891 г. на основе разных подходов построили аксиоматические теории натуральных чисел. К. Вейерштрасс в 1894 г. построил теорию целых чисел как пар натуральных чисел, Ж. Таннери в 1894 г. — теорию рациональных чисел как пар целых чисел. Основной целью являлась теория действительных чисел, которая и была построена независимо Ш.Мере в 1869 г. и Г. Кантором (1845-1918) в 1879 г. с помощью фундаментальных последовательностей рациональных чисел, Р. Дедекиндом (1831-1916) в 1872 г. — с помощью сечений в поле рациональных чисел1, К. Вейерштрассом в 1872 г. — с помощью бесконечных десятичных дробей. Теорию комплексных чисел как пар действительных чисел ещё в 1837 г. построил У.Гамильтон (1805-1865). Он же предпринял первую попытку обобщения понятия комплексного числа, создав теорию кватернионов. В 1877 г. Ф. Фробениус (1849-1917) доказал, что при определённых разумных ограничениях система комплексных чисел и система кватернионов являются единственно возможными расширениями системы действительных чисел.

Итак, числовые системы образовали увеличивающуюся (расширяющуюся) последовательность: NcZcQcMcC. В настоящей статье рассматриваются основные идеи построения аксиоматических теорий этих числовых систем.

СИСТЕМА НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

1. Аксиоматическая теория натуральных чисел, созданная итальянским математиком Джузеппе Пеано (1858-1932), исходит из следующих первоначальных понятий: непустое множество N, бинарное отношение ' на нём (называемое отношением следования) и выделенный элемент 1 G N. Аксиомы выбираются следующие:

(Р1)

(Р2) (Р3) (Р4)

(Аксиома индукции)

Алгебраическая система < N; 1 > с одной унарной операцией ' и одной нульарной операцией 1, в которой выполняются все аксиомы Пеано, называется системой Пеано или натуральным рядом. Говорят также, что она является моделью системы аксиом Пеано (Р1)-(Р4). Элементы системы Пеано называются натуральными числами.

Приведём две теоремы, непосредственно вытекающие из этих аксиом.

Теорема 1. (Vх)(х' ф х).

1 Отметим, что Евдокс в IV в. до н. э. построил теорию, по существу эквивалентную теории Дедекинда.

Доказательство. Рассмотрим множество: M = {ж G N : х' / х}. Покажем, используя аксиому индукции (Р4), что M = N. А) 1 G M, так как V ф 1 по аксиоме Pl.

Б) Пусть X G M, т.е. х' ф х. Тогда по аксиоме РЗ, (х')' ф х'. Следовательно, по определению , х' G M.

Условия аксиомы РА выполнены. Тогда, по аксиоме Р4, M = N. Это и означает, что (Vx)(V ф х).

Теорема 2. (Ух)(х = 1 V (Зу)(х = у')).

Доказательство. Рассматривается множество: M={l}U{xGN: (Зу)(х = у')} и показывается с использованием аксиомы индукции Р4, что M = N.

2. Сложением в системе Пеано < N; 1 > называется бинарная операция + , заданная на множестве N и удовлетворяющая двум условиям (аксиомы сложения): 1 + ) х + 1 = х'\ 2+) х + у' = (х + у)'. Такое определение требует доказательства существования и единственности определяемого объекта. Существование такой операции доказывается в конструктивном духе: операция строится как некоторое тернарное отношение на множестве N. Доказательство единственности такой операции более просто. Допустим, что в системе Пеано < N; 1 >, кроме операции сложения +, имеется ещё одна бинарная операция 0, удовлетворяющая аксиомам сложения: Iе) х®1 = ж'; 2е) х®у' = = {х ф у)'. Рассмотрим множество M = {у : (У х)(х + у = ж 0 у)} и покажем, опираясь на аксиому Р4, что M = N. Проверим выполнимость условий этой аксиомы.

А) 1 G M, т. к. ж + 1 = х' = ж 0 1 на основании условий 1+ и Iе.

Б) Пусть у G M, т. е. х+у = ж0у, откуда по аксиоме Р2, (х + у)' = (ж 0 у)'. Тогда, используя это равенство и условия 2+ и 2Ф, находим: х+у' = (х + у) = = (ж е у)' = ж е у' , т. е. у7 G M.

Следовательно, по аксиоме Р4, M = N. Это и означает, что (Vx)(Vy)(x + + у = X 0 у), т. е. операции + и 0 одинаковы.

Итак, во всякой системе Пеано существует и притом единственная операция сложения. В следующих теоремах устанавливаются свойства этой операции.

Теорема 3. (Ассоциативность сложения.)

Теорема 4. (Коммутативность сложения.)

Теорема 5. (\/ж, у)(х ф х + у).

Теорема 6. (Закон трихотомии.) Для любых х, у выполняется одно и только одно из следующих трех соотношений: (I) х = у, (II) (Зи)(х = у + и), (III) (3v)(y = x + v).

Теорема 7. (Vх,у,и)(х + и = у + и х = у).

Докажем, например, первую из этих теорем. Основной инструмент доказательства — аксиома индукции Р4. Индукция ведётся по переменной z, т.е. рассматривается множество M = {z : (Vx, у)[(х + у) + z = х + (у + z)]} и доказывается (с использованием аксиомы Р4), что M = N. Проверим выполнимость условий этой аксиомы. В самом деле,

Следовательно, по аксиоме Р4, M = N. Это и означает, что

3. Умножением в системе Пеано < N; 1 > называется бинарная операция •, заданная на множестве N и удовлетворяющая двум условиям (аксиомы умножения): Iх) ж-1 = ж; 2х) х-у' = х-у + х. Существование такой операции также доказывается в конструктивном духе: операция строится как некоторое тернарное отношение на множестве N. Доказательство единственности абсолютно аналогично доказательству единственности операции сложения. В следующих теоремах устанавливаются совместные свойства операций сложения и умножения.

Теорема 8. (Дистрибутивность умножения относительно сложения.)

Теорема 9. (Коммутативность умножения.)

Теорема 10. (Ассоциативность умножения.)

Для доказательства, например, первой из этих теорем рассматривается множество M - и показывается, что

M = N.

4. Отношение порядка в системе Пеано вводится посредством следующих определений:

Доказывается, что отношение < действительно является отношением порядка в системе Пеано, т. е. рефлексивно:

антисимметрично:

транзитивно:

В следующих теоремах устанавливаются свойства отношения порядка. Теорема 11. (Закон трихотомии.) Для любых ж, у выполняется одно и только одно из следующих трёх соотношений: (I) х = у, (II) у < ж, (III) ж < у.

Теорема 12. (Монотонность сложения.)

Следствие

Теорема 13. (Монотонность умножения.)

Следствие.

Теорема 14. (Теорема Архимеда.)

Теорема 15.

5. Положительно решается вопрос о категоричности аксиоматической теории натуральных чисел, построенной на базе системы аксиом Пеано: любые две системы Пеано < N; 1 > и < N*; '*, 1* > (т.е. любые две модели этой системы аксиом) изоморфны, т. е. существует изоморфизм этих систем: такое взаимно-однозначное отображение ш множества N на множество N*,

6. Наряду с аксиоматикой Пеано существуют и другие аксиоматические подходы к теории натуральных чисел. Каждая из таких аксиоматик освещает понятие натурального числа со своей стороны, но все они эквивалентны друг другу, поскольку все они, как и аксиоматика Пеано, категоричны и фактически описывают один и тот же объект.

Примером может служить аксиоматика, основанная на операциях сложения и умножения. При таком подходе система натуральных чисел < N; 1 > рассматривается как алгебраическая система < N; +, • > и определяется как минимальное полукольцо (ассоциативность и коммутативность сложения, сократимость по сложению: х + и = у + и х = у, ассоциативность умножения, дистрибутивность умножения относительно сложения) с нейтральным элементом по умножению (3 1)(х • 1 = 1 • х = х) и без нейтрального элемента по сложению (Vx,y)(x ф х + у). Отметим, что в силу последнего свойства полукольцо < N; +, • > натуральных чисел не является кольцом.

Ещё один пример: за основу берутся свойства системы натуральных чисел как упорядоченного множества. Система натуральных чисел < N; < > характеризуется как бесконечное (линейное) вполне упорядоченное множество, всякое подмножество которого, имеющее максимальный элемент, конечно. (Упорядоченное множество — это множество вместе с заданным на нём отношением порядка < . Линейность отношения порядка < означает, что (Vx,y)(x < у V у < х). Линейно упорядоченное множество называется вполне упорядоченным, если оно удовлетворяет условию минимальности: всякое непустое подмножество этого множества имеет хотя бы один минимальный элемент, т.е. элемент, меньше которого элементов нет.)

7. Важнейший вопрос о непротиворечивости аксиоматической теории натуральных чисел (построенной на основе системы аксиом Пеано) решается на относительном уровне. Может быть построена модель этой теории в рамках другой аксиоматической теории — теории множеств, базирующейся на системе аксиом Цермело - Френкеля (об этой системе аксиом см. [3] и [6]), что доказывает непротиворечивость аксиоматической теории натуральных чисел при условии непротиворечивости аксиоматической теории множеств Цермело-Френкеля.

8. Наконец, доказывается независимость системы аксиом Пеано, т. е. невозможность доказательства ни одной из них, исходя из трёх оставшихся. Доказательство также осуществляется с помощью построения соответствующих моделей. Например, для доказательства независимости аксиомы (РЗ) от остальных нужно построить такую модель (алгебраическую систему), в которой выполнялись бы аксиомы (PI), (^2), (Р4), но аксиома (РЗ) не выполнялась бы. Примером такой модели может служить множество N = {а, Ь, с, d}, в котором отношение следования ' определяется так: а' = Ь, У = с, с' = = d, d! = b. В этой модели аксиома PI выполняется, т.к. (\/ж)(ж' ф а), т.е. а — единица. Аксиома Р2 выполняется: за каждым элементом следует точно один. Аксиома РЗ не выполняется, т. к. а' = d!, но а ^ d, т. е. отношение ' не взаимно-однозначно. Аксиома Р4 очевидно выполняется.

КОЛЬЦО ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ

9. Кольцом целых чисел называется наименьшее кольцо < Z; +, • >, содержащее систему (полукольцо) натуральных чисел < N; +, • > в качестве алгебраической подсистемы. Элементы этого кольца называются целыми числами.

Это определение позволяет доказать лемму о строении кольца целых чисел, утверждающую, что если кольцо Z целых чисел существует, то оно имеет следующее строение: Z = NU{0}UN~, т. е. состоит из натуральных чисел, нулевого элемента и элементов, противоположных натуральным числам. Идея доказательства основана на том, что такая совокупность образует в кольце целых чисел подкольцо, содержащее систему N натуральных чисел, которое, в силу минимальности кольца целых чисел, обязано совпасть с последним.

10. Вопрос о существовании такого кольца решается его конструктивным построением на основе системы натуральных чисел. На множестве N х N всех упорядоченных пар натуральных чисел вводится бинарное отношение

Без труда доказывается, что это отношение является отношением эквивалентности, и, следовательно, множество N х N распадается на классы эквивалентных пар, совокупность которых образует фактор-множество NxN/~. Обозначим через (m,n) класс, содержащий пару (га,п). Таким образом,

Введём на множестве N х N/ ~ две бинарные операции:

Можно доказать корректность этих определений, т. е. независимость результатов операций над классами от выбора представителей в этих классах, через которые определяется результат. Это означает, что мы приходим к алгебраической системе

Доказывается, что эта алгебра есть кольцо, т. е. её операции удовлетворяют аксиомам кольца. В частности, роль нейтрального элемента по сложению играет класс (и, и), а противоположным элементом для (га,п) будет (п,га), поскольку

Наконец, доказывается, что кольцо < NxN/ ~; +, • > есть кольцо целых чисел (подсистему, изоморфную системе натуральных чисел, образуют в нём такие классы (га, n), для которых m > и).

Построение этой модели означает доказательство непротиворечивости аксиоматической теории целых чисел относительно аксиоматической теории натуральных чисел: первая непротиворечива, если непротиворечива вторая.

11. Единственность с точностью до изоморфизма системы натуральных чисел позволяет доказать изоморфность любых двух колец целых чисел, т. е. единственность с точностью до изоморфизма кольца целых чисел, которое обозначается < Z; +, • >.

Наглядно процесс построения кольца целых чисел можно представить следующим образом. Каждое целое число представляется фактически как разность двух натуральных чисел. Но, как известно, каждое целое число может быть бесконечным числом способов представлено в виде разности двух натуральных. Все такие пары натуральных чисел, которые в разности дают одно и то же целое число, собираются в один класс (посредством введённого отношения эквивалентности), который и олицетворяет это целое число. При

этом, если уменьшаемое больше вычитаемого, то получается “старый” объект — натуральное число, а если уменьшаемое меньше вычитаемого, то получается некий “новый” объект, которого не было среди натуральных чисел.

12. Операция вычитания вводится в кольце целых чисел, как и в произвольном кольце. Разностью двух целых чисел х и у называется новое целое число, обозначаемое х — у, такое, что (х — у)+у = х. Легко доказывается, что X — у = X + (—у), где —у — элемент, противоположный элементу у в кольце целых чисел.

13. В кольце Z вводится бинарное отношение <:

Доказывается, что оно есть отношение (строгого) порядка. В самом деле,

Доказывается, что порядок < линеен, т. е. для любых ж, у G Z имеет место одно и только одно из следующих утверждений:

Кроме того, порядок обладает следующими свойствами:

Подобно теоремам 12, 13, доказываются следующие теоремы аксиоматической теории целых чисел.

Теорема 16. (Монотонность сложения.)

Следствие.

Теорема 17. (Монотонность умножения.)

Следствие.

Теорема 18. (Обратная для теоремы 17.)

Для завершения представления о структуре кольца Z целых чисел доказываются следующие две теоремы.

Теорема 19. (О дискретности кольца целых чисел.) Кольцо целых чисел является дискретным, т. е. в нём выполняется свойство:

При этом и называется соседним слева, a v — соседним справа для элемента х.

Нетрудно доказать, что для любого х G Ъ соседним слева для него будет число X — 1, а справа — х + 1.

Теорема 20. (Теорема Архимеда.) Кольцо целых чисел является архимедовски упорядоченным, т. е. в нём выполняется свойство:

Если у G N, то по теореме 14, (3z G N)(x • z > y). Если же y < 0, то X - 1 = X > у, что и доказывает теорему Архимеда.

14. Систему целых чисел можно охарактеризовать с помощью следующих условий. Кольцо целых чисел — это кольцо с единицей е, не содержащее отличного от него подкольца с единицей и обладающее тем свойством, что

ne ф 0 для любого натурального числа п. В самом деле, нетрудно показать, что множество всех элементов вида ne изоморфно системе < N; +, • > натуральных чисел. Следовательно, данное кольцо содержит подкольцо Zq, изоморфное кольцу Z целых чисел, поскольку кольцо Z — минимальное из таких колец. Но так как Zo содержит единицу е, то по условию Zo должно совпасть с данным кольцом, которое, следовательно, будет кольцом целых чисел.

Кольцо Z целых чисел не является полем, и операция деления является в нём частичной (применимой не к любым двум его ненулевым элементам), т. е. не для любых целых а и Ъ ф 0 найдётся такое целое ж, что а - х = Ъ. В связи с этим возникает проблема расширения этого кольца до поля, желательно, до наименьшего поля. Так приходят к системе (полю) рациональных чисел.

ПОЛЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

15. Полем рациональных чисел называется наименьшее поле < Q; +, • >, содержащее кольцо < Z; +, • > целых чисел в качестве подкольца. Элементы этого поля называются рациональными числами. Это определение позволяет доказать лемму о строении поля рациональных чисел, утверждающую, что если поле Q рациональных чисел существует, то оно имеет следующее строение: Q = {а/Ь : а, Ъ G Z, Ь ф 0}, т.е. состоит из всевозможных частных от деления целых чисел. (Напомним, что частным а/Ь двух элементов а и Ъ поля при Ь ф 0 называется решение уравнения Ъх = а). Идея доказательства основана на том, что такая совокупность образует в поле рациональных чисел подполе, содержащее кольцо Z целых чисел в качестве подкольца, которое, в силу минимальности поля рациональных чисел, обязательно должно совпасть с последним.

16. Вопрос о существовании поля рациональных чисел решается его конструктивным построением на основе кольца целых чисел. Идея его построения абсолютно аналогична идее построения кольца целых чисел на основе системы натуральных чисел. Построение осуществляется методом пар. Каждое рациональное число представляется как частное двух целых чисел. Но, как известно, каждое рациональное число может быть бесконечным числом способов представлено в виде частного двух целых. Все такие пары целых чисел, которые в частном дают одно и то же рациональное число, собираются в один класс посредством следующего отношения эквивалентности на множестве Z х (Z\ {0}) (из множества Z х Z исключены все пары вида (а, 0)): (а,Ъ) ~ {а!,Ъ') <^ аЪ' = Ъа'.

Без труда проверяется, что это отношение действительно является отношением эквивалентности, и, следовательно, множество Z х (Z\ {0}) распадается на классы эквивалентных пар, совокупность которых образует фактормножество Zx (Z\{0})/ ~. Через (а, Ь) обозначается класс, содержащий пару (а, Ь), так что (а, Ъ) = (а', Ъ') (а, Ъ) ~ (а', У).

Введём на множестве Z х (Z \ {0})/ ~ две бинарные операции: (а, Ъ) + + (с, d) = {ad + be, bd), (a, b) • (с, d) = (ас, bd). Можно доказать корректность

этих определений. Это означает, что мы приходим к алгебраической системе <Zx (Z\{0})/~; +,

Доказывается, что эта алгебра есть поле, т. е. её операции удовлетворяют всем аксиомам поля. В частности, роль нейтрального элемента по сложению играет класс (0, с), противоположным элементом для (а, Ъ) будет (—а, Ъ), решением уравнения (а, Ъ) • (ж, у) = (с, d), при условии, что (а, Ъ) — ненулевой элемент, будет класс (be, ad). Наконец, доказывается, что поле < Z X (Z \ {0}) ~ ; + , • > есть поле рациональных чисел. (Подкольцо, изоморфное кольцу целых чисел, образуют в нём такие классы (а, Ъ), в которых а делится на Ъ, т. е. а = qb.)

Построение этой модели означает доказательство того, что аксиоматическая теория рациональных чисел непротиворечива, если непротиворечива аксиоматическая теория целых чисел.

17. Единственность с точностью до изоморфизма кольца целых чисел позволяет доказать изоморфность любых двух полей рациональных чисел, т. е. единственность с точностью до изоморфизма поля рациональных чисел, которое обозначается < Q; +, • >.

18. Операция деления в поле рациональных чисел вводится как в произвольном поле. Частным от деления двух рациональных чисел а и Ъ (Ъ ф 0) называется новое рациональное число, обозначаемое а/Ъ, такое, что (а/Ъ)-Ъ = = а. Легко доказывается, что а/Ъ = а • Ъ~1, где Ъ~1 — элемент обратный элементу Ъ в поле рациональных чисел. Нетрудно понять, что, представляя каждый элемент поля Q рациональных чисел в виде частного а/Ъ двух целых чисел а, Ъ G Ъ, можно считать, что Ъ G N.

19. В поле Q вводится бинарное отношение < : а/Ъ < c/d ad < be. Доказывается, что оно есть линейное отношение (строгого) порядка, продолжающее отношение порядка в Z, т.к. а/1 < с/1 а < с.

Далее доказываются теоремы 21, 22, 23, формулировки которых совпадают с формулировками теорем 16, 17, 18 соответственно с той разницей, что в них ж, у, z,u,v G Q.

Свойства, сформулированные в теоремах 21(16), 22(17) показывают, что поле рациональных чисел < Q ; +, • > является упорядоченным полем, т. е. таким полем, в котором имеется линейное отношение порядка < , удовлетворяющее двум условиям: (Ух, у, z)(x < у —> ж + z < у + z), (Vж, у, z)(ж < у А А 0 < z —> xz < yz).

Обычным образом вводится понятие абсолютной величины или абсолютного значения элемента поля рациональных чисел:

Доказывается теорема о свойствах этого понятия.

Теорема 24.

Для завершения представления о строении поля Q рациональных чисел доказываются следующие две теоремы.

Теорема 25. (О плотности поля рациональных чисел.) Поле рациональных чисел является плотным, т.е. в нем выполняется свойство: (Ух, у) (x<y->(3t)(x<t<y)).

Теорема 26. (Теорема Архимеда.) Поле рациональных чисел является архимедовски упорядоченным, т. е. в нем выполняется свойство: (Vx)(Vy > > 0)(3п G N)(n-y> х).

20. Систему рациональных чисел можно охарактеризовать с помощью следующих условий. Поле рациональных чисел — это простое поле характеристики нуль. (Поле называется простым если оно не имеет подполей, отличных от него самого. Говорят, что поле имеет характеристику нуль, если па ф 0 для любого его элемента а ф 0 и любого целого числа n / 0.) Можно показать, что любое такое поле совпадает со своим подполем частных и, значит, изоморфно полю рациональных чисел.

ПОЛЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

21. Если построение кольца целых чисел и поля рациональных чисел обусловлено необходимостью выполнять достаточно элементарные арифметические действия — вычитание и деление, то расширение поля рациональных чисел до поля действительных чисел вызвано, в частности, необходимостью выполнять неэлементарную операцию — операцию предельного перехода, важнейшую операцию математического анализа.

22. Элемент а поля рациональных чисел Q называется пределом последовательности {ап} элементов этого поля (а сама последовательность называется сходящейся в Q), если

Обозначение:

Последовательность {ап} элементов поля Q называется фундаментальной (или последовательностью Коши), если

Нетрудно доказать, что всякая сходящаяся последовательность элементов упорядоченного поля фундаментальна.

Возникает естественный вопрос, всякая ли фундаментальная последовательность элементов поля Q сходится в этом поле? Оказывается нет. Примером могут служить последовательности {ап} и {Ьп}, являющиеся последовательностями рациональных приближений по недостатку и по избытку к числу л/2- Каждая из этих последовательностей {ап} и {Ьп}, будучи фундаментальной, не будет иметь предела в поле Q, т. к. не существует, как известно, рационального числа т/п такого, что (m/n)2 = 2.

Упорядоченное поле называется полным, если всякая фундаментальная последовательность его элементов имеет в нём предел. Итак, поле Q рациональных чисел не полное. (В поле действительных чисел утверждение о сходимости в этом поле всякой фундаментальной последовательности действительно выполняется и известно под названием признак Коши сходимости последовательности. )

Теперь мы можем сформулировать определение поля действительных (вещественных) чисел: это полное архимедовски упорядоченное поле < R; +, • >, содержащее поле < Q; +, • > рациональных чисел в качестве подполя. Его элементы называются действительными числами.

23. Вопрос о существовании поля действительных чисел, как и кольца целых и поля рациональных, решается его конструктивным построением, в данном случае — из элементов поля рациональных чисел. Рассматриваемый здесь способ построения был предложен Г. Кантором (1845-1918) и называется методом фундаментальных последовательностей.

Рассматривается множество Ф всех фундаментальных последовательностей элементов из поля Q. На этом множестве вводится бинарное отношение:

Без труда проверяется, что это отношение является отношением эквивалентности, и, следовательно, множество Ф распадается на классы эквивалентных последовательностей, образующие фактор-множество Ф/ ~. Через {ап} обозначается класс, содержащий последовательность {ап}, так что {ап\ =

Введём на множестве Ф/~ две бинарные операции:

Можно доказать корректность этих определений, так что мы приходим к алгебраической системе < Ф/ ~;+, • >, которая и является полем действительных чисел.

Таким образом, теория действительных чисел непротиворечива, если непротиворечива теория рациональных чисел.

Можно составить следующее интуитивное представление о системе действительных чисел. Действительные числа непрерывным образом заполняют все промежутки между рациональными числами, они образуют некую непрерывную среду, в которую помещены рациональные числа. В результате этого к списку неотъемлемых атрибутов чисел (наряду с алгебраическими операциями сложения, вычитания, умножения и деления) добавляется операция предельного перехода, т. е. становится до конца ясным, что означает сходимость последовательности чисел к данному числу. В немалой степени эта ясность обуславливается тем, что в поле действительных чисел начинает действовать критерий Коши сходимости последовательности: последовательность сходится в этом поле тогда и только тогда, когда она фундаментальна (удовлетворяет условию Коши). Условие фундаментальности последовательности, бывшее в поле рациональных чисел лишь необходимым условием сходимости последовательности (оно следовало из сходимости), в поле действительных чисел становится и достаточным условием сходимости (сходимость следует из этого условия). Этот факт чрезвычайно важен для оснований математики. Он делает поле действительных чисел фундаментом для всего математического анализа и для приложений математики.

24. Доказывается, что любые два поля действительных чисел изоморфны, т. е. аксиоматическая теория действительных чисел категорична.

25. Для системы действительных чисел известно довольно много разнообразных аксиоматических характеризации, т. е. таких систем аксиом, для которых система действительных чисел является единственной с точностью

до изоморфизма моделью. Одна из них утверждает, что система действительных чисел и только она является плотным в себе полным по Дедекинду линейно упорядоченным множеством без наименьшего и наибольшего элементов, в котором существует счётное всюду плотное подмножество. (Плотность означает, что между любыми двумя элементами множества расположен ещё хотя бы один его элемент. Полнота по Дедекинду: всякое непустое ограниченное сверху подмножество имеет точную верхнюю грань. Существование всюду плотного подмножества, называемое свойством сепарабельности (отделимости), означает, что для каждого элемента множества существует как угодно близкий к нему элемент этого подмножества.)

С этой характеристикой системы действительных чисел связана одна из знаменитых математических проблем XX века — проблема М. Я. Суслина. М. Я. Суслин (1894-1919) прожил короткую жизнь (см. [7]), а его проблема была опубликована уже после его смерти, в 1920 г. Эта проблема состоит в том, что требуется узнать, сохранится ли указанная характеристика системы действительных чисел, если в ней условие сепарабельности заменить более слабым требованием, называемым условием Суслина: любая система из попарно не пересекающихся не пустых интервалов не более чем счётна.

Судьба этой проблемы оказалась поистине исторической, и на её решение потребовалось более 40 лет [7]. Эта проблема встала в один ряд с континуум-проблемой Кантора, и полное решение их обеих было получено лишь в начале 60-х годов, когда американский математик П. Коэн открыл принципиально новый метод доказательства, получивший название метода форсинга (вынуждения). (За это открытие он был удостоен в 1966 году на Международном конгрессе математиков в Москве Филдсовской премии — одной из престижных международных наград, которых удостаиваются учёные-математики.) Выяснилось, что проблему Суслина, как и континуум-проблему Кантора, вообще невозможно решить в обычном смысле этих слов, т. е. дать определённый ответ “да” или “нет” на поставленный вопрос. Гипотеза Суслина, как и континуум-гипотеза Кантора, оказалась не зависящей от остальных аксиом теории множеств. Другими словами, возможна теория множеств, в которой гипотеза Суслина справедлива, и возможна теория множеств, в которой эта гипотеза не выполняется. (Кроме того, была также установлена взаимная независимость и самих этих гипотез — гипотезы Суслина и континуум-гипотезы Кантора.) Ситуация здесь оказалась сходной с проблемой доказательства пятого постулата Евклида, которая была разрешена в первой половине XIX века, в результате чего была не просто открыта новая геометрия, получившая название геометрии Лобачевского, а была открыта новая эпоха в развитии всей математической науки.

ПОЛЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

26. Расширяя последовательно системы чисел, мы расширяем наши возможности действий с ними: мы научились применять операции вычитания и деления к любым двум натуральным числам. По аналогичной причине происходит и дальнейшее расширение систем чисел. В поле действительных

чисел не всегда выполнима операция извлечения квадратного корня, обратная к операции возведения в квадрат: нельзя извлечь квадратный корень из отрицательного числа. В новой системе чисел мы хотели бы приобрести возможность извлекать корень квадратный из отрицательных чисел. Ясно, что для того, чтобы уметь извлекать корень квадратный из произвольного отрицательного числа, достаточно уметь извлекать его из числа —1. Таким образом, наличие в новой системе чисел невиданного ранее элемента г (мнимой единицы) со свойством г2 = — 1 является тем новым требованием, которое мы предъявляем к новой системе чисел.

Поле комплексных чисел определяется как минимальное поле < С; +, • >, содержащее поле < M ; + , • > действительных чисел и элемент г со свойством г2 = —1. Элементы поля комплексных чисел называются комплексными числами.

Лемма о строении поля комплексных чисел звучит следующим образом: поле С, содержащее поле действительных чисел M в качестве подполя и элемент г со свойством г2 = — 1, будет минимальным (т. е. полем комплексных чисел) тогда и только тогда, когда каждый элемент х из С можно представить в виде: х = а + Ы, где а, Ъ G M; причём такое представление единственно.

27. Вопрос о существовании поля комплексных чисел решается его конструктивным построением на основе поля действительных чисел. При этом на данном этапе построение очередной числовой системы происходит необычайно просто и наглядно. Элементами нового поля С объявляются всевозможные упорядоченные пары (а, Ъ) действительных чисел а, Ъ G M, т. е. С = M х M = = {(а,Ь) : а,Ь G Щ.

В этом множестве вводятся две бинарные алгебраические операции:

При этом

здесь уже нет необходимости переходить к классам. Без труда доказывается, что алгебраическая система < R х R; +, • > является полем. Наконец, показывается, что это поле является полем комплексных чисел. Значит, теория комплексных чисел непротиворечива, если непротиворечива теория действительных чисел.

Из теорем теории комплексных чисел, отличающих её от теорий всех предыдущих систем чисел, интересно отметить теорему о том, что поле комплексных чисел не может быть линейно упорядочено.

28. Без труда устанавливается изоморфизм любых двух полей комплексных чисел. При этом существенно используется тот факт, что содержащиеся в них подполя действительных чисел изоморфны.

О ДАЛЬНЕЙШИХ ОБОБЩЕНИЯХ ПОНЯТИЯ ЧИСЛА

29. Возможны и дальнейшие расширения понятия числа. Но при этом приходится отказываться от каких-либо привычных свойств чисел, и в первую очередь — от коммутативности умножения. Обобщением комплексных чисел являются гиперкомплексные числа. Исторически первой системой таких чисел была система кватернионов, открытая У.Гамильтоном в 1843 го-

ду. В 1877 году Ф. Фробениусом было доказано, что система комплексных чисел и система кватернионов являются при некоторых ограничениях единственно возможными расширениями системы действительных чисел.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Более детальное изложение вопросов построения числовых систем можно найти в [8-12], вопросов, связанных с обобщениями действительных чисел -в [13-16].

Новейшая история. В конце XIX - начале XX вв. в теории множеств, лежащей в основаниях математики, были обнаружены парадоксы (противоречия). Снова встал вопрос об обосновании математики, и в первую очередь арифметики натуральных чисел. Важную роль в преодолении этого кризиса сыграла математическая логика, значительно развившаяся к этому времени. Одна из попыток выхода из кризиса была сделана немецким математиком Д.Гильбертом (1862-1943). Он предложил формализовать с помощью математической логики не только математические утверждения, но и процесс доказательства в математических теориях. Теории при этом принимают формально-логический характер: любое утверждение теории представляется в виде формулы, содержащей конечное число математических и логических символов, а доказательство — в виде конечной цепочки формул, образованной по определённым правилам из первичных формул, называемых аксиомами. Гильберт надеялся получить на этом пути доказательство непротиворечивости формализованной арифметики натуральных чисел. Но эти надежды не оправдались. В 1931г. К. Гедель (1906-1978) доказал, что всякая формальная теория, формализующая арифметику натуральных чисел, неполна, т. е. в ней найдётся такая формула, что ни она сама, ни её отрицание не могут быть выведены в этой теории. Он показал также, что в непротиворечивой формальной теории, включающей формальную арифметику, имеется формула, выражающая её непротиворечивость, и что эта формула недоказуема в этой теории. Это означает, что непротиворечивость такой формальной теории может быть доказана только средствами более сильными, нежели те, которые формализованы в данной теории. В 1936 г. Г. Генцен (1909-1945) доказал непротиворечивость формальной арифметики, использовав так называемую трансфинитную индукцию.

XX век принёс и другие обобщения понятия числа. Среди них гипердействительные числа: к действительным числам добавляются бесконечно малые и бесконечно большие числа. Их построение осуществляется с помощью методов математической логики (см., например, [16]). Они используются для обоснования теории пределов и дифференциального исчисления в так называемом нестандартном анализе (идея их построения восходит к Г.-В. Лейбницу (1646-1716)). С созданной Г. Кантором теорией множеств связаны кардинальные (мощностные) и ординальные (порядковые, трансфинитные) числа. Но эти темы выходят за рамки данного курса.

ЛИТЕРАТУРА

1. Игошин В. И. Математическая логика и теория алгоритмов. 4-е изд. — М.: Издательский центр “Академия”, 2010. 448 с.

2. Игошин В. И. Задачи и упражнения по математической логике и теории алгоритмов. 4-е изд. — М.: Издательский центр “Академия”, 2008. 304 с.

3. Игошин В. И. Математическая логика как педагогика математики. — Саратов: Издательский центр “Наука”, 2009. 360 с.

4. Курош А. Г. Лекции по общей алгебре. — М.: Наука, 1973. 400 с.

5. Мальцев А. И. Алгебраические системы. — М.: Наука, 1970. 392 с.

6. Кусраев А. Г. Булевы алгебры и булевозначные модели // Соросовский образовательный журнал. 1997. №9. С. 116-122.

7. Игошин В. И. Михаил Яковлевич Суслин (1894-1919). — М.: Наука-Физматлит, 1996. 160 с.

8. Ландау Э. Основы анализа / Пер. с нем. — М.: ГИИЛ, 1947. 184 с.

9. Феферман С. Числовые системы. (Обоснования алгебры и анализа) / Пер. с англ. — М.: Наука, 1971.

10. Проскуряков И. В. Числа и многочлены. — М.: Просвещение, 1965. 284 с.

11. Нечаев В. И. Числовые системы. — М.: Просвещение, 1975.

12. Ларин С.В. Числовые системы. — М.: Издательский центр “Академия”, 2001. 160с.

13. Кантор И. Л., Солодовников А.С. Гиперкомплексные числа. — М.: Наука, 1973.

14. Понтрягин Л. С. Обобщения чисел. — М.: Наука, 1986. 120 с. (Б-ка “Квант”, вып. 54).

15. Сильвестров В. В. Системы чисел // Соросовский образовательный журнал. 1998. №8. С. 121-127.

16. Успенский В. А. Что такое нестандартный анализ. — М.: Наука, 1987. 128 с.

Поступила 28.03.2010

SUBJECT “NUMBER SYSTEMS” FOR PEDAGOGICAL UNIVERSITY

V. I. Igoshin

Systems of natural, integer, rational, real, complex and hypercomplex numbers as models of corresponding axiomatic theories are considered. The characterization of these axiomatic theories is given.

Keywords: natural number system, integer ring, rational number field, real number field, complex number field, axiomatic theory.

СОДЕРЖАНИЕ И ТЕХНОЛОГИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ В ВУЗЕ

УДК 517.926; 517.929.4

УСТОЙЧИВОСТЬ И СОБСТВЕННЫЕ ЧИСЛА ЛИНЕЙНЫХ НЕАВТОНОМНЫХ СИСТЕМ РАЗНОСТНЫХ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

А. В. Ласунский

Новгородский госуниверситет им. Ярослава Мудрого Россия, 173003, г. Великий Новгород, ул. Большая Санкт-Петербургская, 41 e-mail: Alexandr.Lasunsky@novsu.ru lasunskim@mail.ru

Методом Р. Э. Винограда построены примеры неавтономных линейных систем разностных уравнений со следующими свойствами: 1) собственные числа матрицы коэффициентов постоянные действительные числа по модулю меньшие 1, но система неустойчива; 2) собственные числа матрицы коэффициентов постоянные действительные числа, среди которых одно по модулю больше 1, но система асимптотически устойчива. Приводится пример асимптотически устойчивой линейной неавтономной системы дифференциальных уравнений, собственные числа матрицы коэффициентов которой постоянны, действительны, но среди них есть положительное собственное число.

Ключевые слова: неавтономные линейные системы, устойчивость, собственные числа.

При изучении курсов “Дифференциальные уравнения” и “Разностные уравнения” преподаватели не всегда обращают внимание студентов на тот факт, что если коэффициенты линейной системы не постоянны, то в этом случае нельзя судить об устойчивости решений, используя ясные и простые методы, пригодные для автономных систем. В неавтономном случае зависящие от времени собственные значения матрицы коэффициентов не отражают адекватно свойства устойчивости/неустойчивости нулевого решения линейной системы. Соответствующие примеры приведены в настоящей статье. Эти примеры можно использовать при изучении раздела “Линейные системы с периодическими коэффициентами”.

Для системы дифференциальных уравнений с переменной матрицей

(1)

вообще говоря, не существует прямой связи между собственными числами À/c(£), к = 1,2, ,.,,п матрицы A(t) и устойчивостью этой системы, как это имеет место в случае постоянной матрицы коэффициентов. В общем случае нельзя судить об устойчивости системы по знакам Re A^(t). В монографии [1, с. 123-126] построен пример линейной системы (1) второго порядка, матрица коэффициентов которой имеет постоянные отрицательные собственные числа, но система неустойчива по Ляпунову. Аналогичная ситуация наблюдается и для линейных систем разностных уравнений [2].

Рассмотрим линейную систему разностных уравнений

Как известно [3, с. 21], для асимптотической устойчивости системы (2) с постоянной матрицей коэффициентов (A(t) = Л) необходимо и достаточно, чтобы все собственные числа матрицы А были по модулю меньше единицы. Пусть Afc(t), к = 1,...,п, — собственные числа матрицы A(t) и Л = sup max|Afc(£)|. Из ограниченности A(t) следует конечность Л. В общем случае неравенство Л < 1 не влечет за собой асимптотическую устойчивость системы (2). Соответствующие примеры можно построить, пользуясь методом [1, с. 123-126] построения линейных систем дифференциальных уравнений (1), для которых отрицательность величины Л = sup maxReA/c(t) (^k(t) ~ собственные числа матрицы A(t)) не влечет за собой асимптотическую устойчивость системы.

Пример 1. Система х(п + 1) = А(п)х(п) второго порядка, где

неустойчива по Ляпунову, хотя матрица коэффициентов А(п) имеет собственные числа 7i = 1/2, 72 = 2/3, модули которых меньше 1. Так как матрица А(п) периодична, то система правильна.

Укажем метод построения этого примера. Рассмотрим систему второго порядка

(3)

в которой

Подвергнем систему (3) преобразованию

получим систему

(4)

Так как

то собственные числа 71,

72 матрицы А(п) постоянны. Имеем 7172 = А1А2, 71+72 = (Ai + A2Jcos(p. Система (4) неустойчива, т.к. неустойчива система (3). Тем не менее можно

подобрать Ai, А2, (f так, чтобы

Предыдущий пример получен, если взять

В этом случае

Естественно возникает вопрос, существуют ли линейные системы х = = A(t)x с переменной матрицей коэффициентов, которые асимптотически устойчивы, собственные числа матрицы A(t) не зависят от £, действительны, но среди них есть положительное собственное число. Да, существуют. Приведем пример такой системы.

Пример 2. Система

асимптотически устойчива, хотя матрица коэффициентов А(ъ) имеет собственные числа 7i 2 = 1 ± у/2, одно из которых положительно. Отметим, что в силу периодичности матрицы A(t) система является правильной.

Поясним, как был построен этот пример. Рассмотрим систему у = By с постоянной матрицей В, у которой SpB < 0 и det В > 0. Собственные числа матрицы В являются корнями уравнения Л2 — Sp BX + det В = 0. Они отрицательные или мнимые с отрицательными действительными частями. Система у = By асимптотически устойчива. Подвергнем её ляпуновскому преобразованию

Полученная система

остается асимптотически устойчивой. Имеем

Подберем элементы матрицы Био; так, чтобы det A(t) < 0. Тогда собственные числа матрицы A(t) — действительные разных знаков (от t не зависят). Пример 2 получается при и = 1, &21 = 0, Ъц = &22 = —1, &12 = —3.

Следующий пример показывает, что существуют линейные системы разностных уравнений (2), которые асимптотически устойчивы, собственные числа матрицы A(t) не зависят от £, действительны, но среди них есть собственное число, модуль которого больше 1.

Пример 3. Система х(п + 1) = А(п) х(п) второго порядка, где

асимптотически устойчива, хотя матрица коэффициентов А(п) имеет собственные числа 7i52 = (5 ± л/29)/4, модуль одного из которых больше 1. Так как матрица А(п) периодична, то система правильна.

Приведем метод построения примеров, аналогичных предыдущему примеру. Рассмотрим систему у(п + 1) = В у {и) второго порядка с постоянной матрицей В, у которой |Spß| — 1 < det В < 1. В этом случае [4, с. 190] собственные числа матрицы В по модулю меньше 1, а значит система асимптотически устойчива. Подвергнем систему преобразованию

вполне ограниченной матрицей

Полученная система

остается асимптотически устойчивой. Имеем det А[п) = det В. Непосредственные вычисления для элементов матрицы А(п) дают следующие выражения:

Имеем

След матрицы инвариантен относительно ортогональных преобразований. Кроме того, для ортогональной матрицы U(n) имеем U(n)U(m) = U(n + га). Далее

отсюда

Так как диагональные элементы матрицы BU(—1) имеют вид:

то снова приходим к формуле

Ясно, что собственные числа матрицы А[п) не зависят от п, так как их сумма и произведение не зависят от п. Подберем элементы матрицы В и си так, чтобы |SpA(n)| > det А(п) + 1. Тогда у матрицы А(п) найдется собственное число, модуль которого больше 1. Пример 3 получен при Ьц = 0,5, &22 = —0,5, 621 = 0, Ъ\2 = —5, ио = 7г/6. Собственные числа матрицы В равны ±0,5. Имеем det А(п) = det В = — —0,25, SpA(n) = 2,5. Собственные числа матрицы А(п) являются корнями

уравнения

ЛИТЕРАТУРА

1. Былов Б.Ф., Виноград Р. Э., Гробман Д. М., Немыцкий В. В. Теория показателей Ляпунова. — М.: Наука, 1966. 576 с.

2. Ласунский А.В. К теории устойчивости линейных систем разностных уравнений // Дифференциальные уравнения. 1998. Т. 34, №4. С. 567-569.

3. Халанай А., Векслер Д. Качественная теория импульсных систем. — М.: Мир, 1971. 309 с.

4. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. — М.: Наука, 1967. 472 с.

Поступила 23.03.2010

STABILITY AND EIGENVALUES OF LINEAR NONAUTONOMOUS DIFFERENCE AND DIFFERENTIAL SYSTEMS

A. V. Lasunsky

Examples of linear nonautonomous difference systems with following properties are constructed with the help of Vinograd's method: 1) eigenvalues of coefficients matrix are constant real numbers where modules them are less than 1 but the system is unstable; 2) eigenvalues of coefficients matrix are constant real numbers where module of one number is greater than 1 but the system is asymptotically stable. An example of linear nonautonomous differential system is given where the system is asymptotically stable and the eigenvalues of coefficients matrix are constant real numbers but a positive eigenvalue exists among them.

Keywords: nonautonomous linear systems, stability, eigenvalues.

СОДЕРЖАНИЕ И ТЕХНОЛОГИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ В ВУЗЕ

УДК 517

ПОСТРОЕНИЕ ПОЛЯ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ И ТЕОРИИ ПРЕДЕЛОВ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ НА ОСНОВЕ ПОНЯТИЯ СТАБИЛИЗАТОРА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ БЕСКОНЕЧНЫХ ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ

М. К. Яковлев

Рязанский государственный радиотехнический университет Россия, 390005, г. Рязань, ул. Гагарина, 59/1 e-mail: vm@rgrta.ryazan.ru

Предлагается новый способ построения строгой теории действительных чисел и теории пределов последовательностей действительных чисел, основанный на понятии стабилизатора последовательности бесконечных десятичных дробей. Приводится новое определение понятия предела числовой последовательности.

Ключевые слова: действительное число, предел последовательности, стабилизатор последовательности бесконечных десятичных дробей, поле действительных чисел, теория пределов числовых последовательностей.

Известные теории построения поля M действительных чисел (по Дедекинду, по Кантору, по Вейерштрассу), по существу, представляют собою пополнение поля рациональных чисел до непрерывного числового поля, являющегося полным метрическим пространством. Поэтому они сложны для школьников и студентов младших курсов. Упрощению построения поля действительных чисел посвящены: монография [1] А.Лебега, учебное пособие автора [2], статьи [3, 4]. Существенно проще построить поле Ш из бесконечных десятичных дробей (БДД), минуя построение поля рациональных чисел, опираясь лишь на свойства арифметических операций с конечными десятичными дробями, которые легко сводятся к арифметике с целыми числами.

Пусть (£п) — бесконечная последовательность символов £п. Будем говорить, что эта последовательность стабилизируется к £По, начиная с по, если по такое наименьшее натуральное число, что £п = £По для всех п > по.

Так, например, последовательность цифр 1, 2, 0, 1, 2, 1, 1, 1,... (далее все символы — единицы) стабилизируется к 1, начиная с по = 6, а последовательность арифметических знаков H---Ь H----... (далее только минусы) стабилизируется к знаку —, начиная с по = 5.

Бесконечная десятичная дробь — это последовательность вида:

где a_i — один из двух знаков + или —, ао — целое неотрицательное число, ап при п = 1, 2,... — одна из цифр набора {0,1,2,..., 9}.

Ради краткости все члены БДД будем называть “цифрами” соответствующего ранга к, к G { — 1, 0,1,2,...}.

1. Некоторые специальные названия и обозначения.

а) Если БДД а = a_iao, а\а2 ... ап ..., то БДД = a_iao, ai«2 ... ... an000 ..., будем называть п-приближением для а.

б) БДД а будем называть конечной десятичной дробью (КДД), если ЗщУп > no : otn = 0. При этом в случае по = 0 соответствующую КДД будем называть целым числом.

в) БДД со знаком + (—) будем называть положительными (соответственно, отрицательными).

г) БДД ±0,00... будем обозначать ±0.

д) БДД вида ±0,00... 100..., где 1 стоит на п-м месте после запятой, будем обозначать ±10_п.

е) Если КДД а = ±ао, а\а2 • • • <^п000 • • • •> ап0 Ф 0? т0 обозначим её символом а(0) и символом а(9) будем обозначать БДД а(9) = ±ао? ol\oli... ... (аПо — 1)99... с бесконечным хвостом из девяток. При построении поля M дроби а(0) и а(9) для данной КДД а будут отождествлены, равно как и КДД +0,00 ... и -0,00 ...

Множество всех БДД будем обозначать R*.

2. Упорядочение множества №*.

Определение 1. Из двух положительных БДД а и Ъ большей будем считать ту, у которой “раньше” встретится большая цифра, т. е.

Положительная БДД больше отрицательной, из двух отрицательных БДД а и Ъ большей будем считать ту, у которой “раньше” встретится меньшая цифра:

Введенный в М* порядок обладает следующими свойствами.

Теорема 1. Для любых БДД а и Ъ из М* имеет место одно из трёх соотношений:

1) а = 6, 2) а > Ь, 3) Ь > а. Теорема 2. Если а > b, b > с, то а > с.

Несложные, хотя и громоздкие, доказательства этих теорем мы опустим. Отрицание отношения а > b обозначим а < Ъ. Оно обладает свойствами:

3. Стабилизатор последовательности бесконечных десятичных дробей.

Пусть (ап) — последовательность бесконечных десятичных дробей ап. Составим отвечающую этой последовательности бесконечную матрицу Л, п-я строка которой есть последовательность “цифр” БДД an, a её к-й столбец -

последовательность “цифр” одинакового ранга к G {—1,0,2...}:

Так, первый столбец матрицы А — это столбец знаков членов последовательности, второй — столбец целых частей членов последовательности и т. д.

Определение 2. БДД а называется стабилизатором последовательности (ап), если “цифры” любого столбца матрицы А стабилизируются к соответствующим “цифрам” БДД а.

Стабилизатор а последовательности (ап) будем обозначать а = Итап.

Из определения 2 следует, что любая последовательность (ап) имеет не более одного стабилизатора (в частности, может быть, вовсе не стабилизируется).

Заметим, что стабилизатор последовательности не меняется при отбрасывании любого числа её первых членов.

Теорема 3. liman = а^УкЗп°кУп > п°к : = с№.

Доказательство. Необходимость. Если liman = а, то У к 3n&Vn > п& :

апк — ак- Пусть п® = max {ni, ri2,..., rik} и n > n®. Тогда все “цифры” БДД до к-й включительно совпадают с соответствующими “цифрами” БДД а и, следовательно, Vn > пк : ап = а№.

Достаточность очевидным образом вытекает из определения 2 и равенства ап — о№ при п > Ufr. Из теоремы 3 следует равносильность определений 2 и следующего определения 3.

Определение 3. liman = а означает VкЗп^Уп > п& : affl = а^к\

Из определения 3 очевидным образом следует справедливость следующих ниже теорем.

Теорема 4. Стабилизатор постоянной последовательности бесконечных десятичных дробей равен этой постоянной БДД, т. е.

Теорема 5. Va G M* : lima^ = a. Теорема 6. lim(±l(Tn) = ±0.

Теорема 7. Неубывающая и ограниченная сверху последовательность (ап) бесконечных десятичных дробей ап стабилизируется.

Доказательство. Рассмотрим матрицу А этой последовательности. Так как по условию Vn : ап < an+i, то знаки в первом столбце либо вовсе не меняются, либо могут изменяться с — на + не более одного раза. Следовательно, последовательность знаков первого столбца матрицы А стабилизируется начиная с некоторого номера n_i, хотя и неизвестного. Второй столбец матрицы А при n > n_i, т.е. после того, как стабилизировался столбец

знаков ап, представляет собой неубывающую и ограниченную сверху последовательность целых положительных чисел (ano), которая рано или поздно должна стабилизироваться, в противном случае её члены превзойдут верхнюю границу последовательности (ап). Пусть второй столбец стабилизируется начиная с некоторого по- Тогда при п > тах{по, П-\} стабилизированы уже оба первых столбца.

При п > тах{по, n_i} третий столбец представляет собой неубывающую последовательность цифр из набора {0,1, 2,..., 9} и, следовательно, либо вовсе не меняется, либо изменяется не более 9 раз, т. е. стабилизируется. Аналогично доказывается, что все последующие столбцы матрицы А стабилизируются. Следовательно, существует БДД а, составленная из “цифр”, к которым стабилизируются столбцы матрицы А.

Аналогично доказывается, что невозрастающая и ограниченная снизу последовательность БДД стабилизируется.

4. Определение сложения и умножения БДД.

Конечные десятичные дроби будем складывать (вычитать) и умножать по известным правилам (алгоритмам), которые легко вывести из свойств правил арифметических операций с целыми числами, и на этом мы здесь останавливаться не будем. Операции с КДД обладают свойствами:

сложение умножение

Сложение и умножение связаны дистрибутивным законом:

4. Роль нуля при сложении КДД играют обе КДД ±0. Мы отождествим их и будем писать просто 0.

5. В множестве КДД для Va3 \Ъ : а + Ъ = 0, при этом b = —1 • а.

Прежде чем ввести арифметические операции с бесконечными десятичными дробями докажем следующую теорему.

Теорема 8. Для любых а и b из М* последовательности

стабилизируются.

Пусть а > 0 и b > 0. Тогда последовательности

монотонные неубывающие и ограниченные сверху целыми числами

Следовательно, согласно теореме 7, обе последовательности стабилизируются.

Доказательство стабилизации при а < 0 и b < 0 аналогичное.

Пусть а > 0 и b < 0. Тогда последовательность (a^n^ Ь^) невозрастающая и ограниченная снизу числом — (ао + 1)(А) + !)• Следовательно, она стабилизируется.

К сожалению, последовательность (a^n^ + b^n^ в случае разных знаков а и Ь, не является монотонной и её стабилизацию приходится доказывать, опираясь на алгоритм вычитания конечных десятичных дробей. Это доказательство мы здесь приводить не будем, предоставляя его читателю (см. [2]).

В множестве M* введем две операции, обозначаемые

Определение 4.

Обе введенные операции коммутативны ввиду коммутативности сложения и умножения КДД.

Так как для КДД аиЬ при всех достаточно больших п = а и = Ь, то для КДД

Таким образом, за новыми операциями 0и0 над БДД можно сохранить названия сложения и умножения и их старые обозначения. Из равенства а-Ъ = = 0 в R* следует а = О или 6 = 0. Действительно,

откуда следует

Для

т.е. 0 играет роль нуля при сложении в R*. БДД а = +1,00... = 1 играет роль единицы при умножении в R* : Va G R* : 1 *а = а. Действительно,

Для сохранения ассоциативности сложения и умножения в М* необходимо отождествить пары а(0) и а(9), что мы и сделаем

Полученное из М* после такого отождествления а(0) и а(9) для каждой КДД a множество Ш назовем множеством действительных чисел, а его элементы — действительными числами. Таким образом, КДД имеют два десятичных представления а(0) и а(9), а остальные БДД лишь одно. Ввиду отождествления а(0) и а(9), дробь а(9) далее тоже будем называть КДД.

Покажем, что введенные операции сложения и умножения в M не зависят от выбора представителя числа. Для любой КДД а > 0 при всех достаточно больших п

Аналогично, при а < 0

Согласно теореме 5,

где из двух знаков ± выбирается один, в зависимости от знака а(0). С другой стороны,

Из равенства а(0) = а(9) следует

Далее, при всех достаточно больших п

Вычисляя стабилизатор от обеих частей равенства, получим

Таким образом, сумма чисел а + b не зависит от выбора представления для а. Аналогично показывается, что а + b не зависит от представления числа Ъ.

Независимость произведения двух чисел от выбора представления сомножителей будет показана позднее.

5. Предел последовательности действительных чисел.

Ввиду отождествления некоторых пар БДД, понятие предела оказывается более сложным, чем понятие стабилизатора. Если последовательность (ап) чисел ап состоит из двух подпоследовательностей, стабилизирующихся к а(0) и а(9) соответственно, то мы обязаны считать её сходящейся к одному и тому же числу а(0) = а(9).

Введём переменную j, принимающую два значения: j G {0, 9}. Тогда если а — КДД, то a(j) — переменное представление действительного числа а, принимающее при а ф 0 два значения а(0) и а(9). Если а — БДД, не являющаяся КДД, то a(j) — просто формальная запись, полностью совпадающая с а при и j = 0 и при j = 9. При а = 0 положим

Определение 5. Действительное число а G M называется пределом числовой последовательности (ап) и обозначается а = liman, если

где a(jn) — одно из возможных представлений числа a, jn G {0, 9}.

Из определения предела числовой последовательности следует, что стабилизатор последовательности (ап) является её пределом. Поэтому мы сохранили обозначение liman.

Поскольку при достаточно большом к строго между числами а(9)' ' и а(0)^ не может лежать никакая конечная десятичная дробь с№\ определение 5 равносильно следующему определению.

Определение 6.

Предел последовательности не зависит от выбора представления её членов, и поэтому можно для представления ап выбирать всегда ап(0).

Теоремы 4-7 справедливы для числовых последовательностей, поскольку стабилизатор последовательности является её пределом.

Теорема 9. lim ( ± 1(ГП а<п') = 0.

Доказательство. Умножение КДД на 10_п равносильно перенесению запятой влево на п разрядов. Следовательно,

6. Арифметические свойства предела числовой последовательности. Теорема 10. Если Доказательство.

Здесь мы опирались на утверждение о том, что сумма двух чисел не зависит от выбора представлений слагаемых и на теорему 4. Теперь можно доказать ассоциативность сложения. Теорема 11. Va, Ъ, с : (а + Ь) + с = а + (Ь + с). Доказательство.

Далее докажем независимость произведения действительных чисел от выбора их десятичного представления. Пусть а(0) и а(9) — два представления а.

Тогда для всех достаточно больших к

Независимость произведения ab от выбора представления для Ъ следует из коммутативности умножения.

Теорема 12. Если Доказательство.

Теорема 13.

Доказательство.

Теорема 14.

Доказательство.

7. Вычитание и деление действительных чисел.

Для каждого a G M существует и единственно противоположное число —а = —1 • а. Действительно, а + (—а) = а + (—1 • а) = а(1 — 1) = а • 0 = 0. Если Ъ противоположно к а, то

Определение 7. Разностью чисел а и Ъ называется сумма а + (—Ь). Ясно, что разность чисел не зависит от выбора десятичных представлений уменьшаемого и вычитаемого:

Теорема 15. Если Доказательство.

Теорема 16.

Доказательство. Пусть а > 0 и к столь велико, что > 0. Алгоритм деления углом целого числа 1 • 10к на целое число 10к -а^ приводит к БДД Ь^. Покажем, что

Пусть — п-приближение БДД Ь^. Тогда с^п = 1 — а^Ь^ — остаток деления 10^ на • 10^. Из алгоритма деления с остатком следует, что

откуда, ввиду

вытекает

Действительно, из

следует

откуда

следовательно

Число Ък при возрастании к не возрастает и ограничено снизу нулем. Следовательно, согласно теореме 7, существует lim = Ъ.

Переходя к пределу по к в равенстве а^Ь^ = 1, получим ab = 1, и существование обратного числа для а > 0 доказано.

Докажем единственность обратного числа. Пусть Ъ и Ъ\ обратны к а. Тогда Ъ = Ъ(аЪ\) = {Ъа)Ъ\ = Ъ\.

Обратное к а число Ъ обозначим

Из равенства

следует

Поэтому

Обратное к отрицательному числу а < 0 только знаком отличается от

Теорема 17. Уравнение ах = Ъ при а ф 0 имеет одно и только одно решение, называемое частным от деления Ъ на а и обозначаемое

Доказательство. Число хо = а~1Ъ является решением данного уравнения, так как а • а~1Ъ = Ъ — верно. Если хо — решение уравнения ах = Ъ и а ф 0, то верно ахо = Ъ, откуда следует хо = а~1Ъ.

Теорема 18. Если liman = а и \\тЪп — Ьф 0, то lim —^ = — .

Доказательство. Так как Ъ ф 0, то существует столь большое ко, что Ук>к0: ф 0. Далее,

Подводя итог, заключаем, что арифметические операции с БДД вводятся продолжением “по непрерывности” соответствующих операций с конечными десятичными дробями, которые являются их /^-приближением.

При построении поля Ш нам нигде не понадобилось поле рациональных чисел. При желании это поле можно выделить в качестве подполя поля IRL

Желая освободиться от десятичных представлений действительных чисел, можно доказать, что

откуда следует равносильность классического определения предела числовой последовательности с используемым в этой статье, хотя это интересно лишь математикам. По мнению автора, эту теорему нужно доказывать в теории метрических пространств.

8. Предельный переход в неравенствах в поле R.

Теорема 19. Для сходящейся последовательности (ап), если Уп : ап < О, то liman < 0.

Доказательство. Предположим, что а = lim ап > 0. Тогда для

откуда следует, что

что противоречит условию.

Из условия

и теоремы 19 после предельного перехода в последнем неравенстве получаем

если эти пределы существуют.

Теорема 20. Если Доказательство.

9. Непрерывность поля R.

Теорема 21. Всякое ограниченное снизу множество X действительных чисел имеет в M точную нижнюю грань.

Доказательство. Пусть

Рассмотрим множество

Обозначим с*о наибольшее неотрицательное целое число, не превосходящее всех у G У:

Единичный отрезок

разделим на 10 равных частей и рассмотрим точки

(*)

Если ао G У, то ао = inf У ao + M = inf X G M. Если ao G У, то среди чисел из (*) выберем наибольшее, не превосходящее всех у G У. Обозначим это число ao,ai. Если ao,ai G У, ao,ai = inf У inf X = M + ao,ai G M. Если ao^i £ У? т0 отрезок [ao, ai; ao? ai + 1] снова разделим на 10 равных частей.

Продолжая этот процесс неограниченно, мы либо получим конечную десятичную дробь ао, ai«2 - - - &п = inf Y inf X = M + ао, ai«2 • • • &m либо БДД ао, ai«2 ... ап ..., которая по построению будет наибольшей нижней границей У, откуда следует, что

Следствие. Ограниченное сверху множество имеет в R точную верхнюю грань.

На этом можно закончить построение поля действительных чисел и теории пределов числовых последовательностей. Дальнейшее построение анализа на базе построенной теории можно найти в учебном пособии [2] автора статьи.

Отметим преимущества предложенной здесь точки зрения на действительное число и предел.

1. Предложеный здесь подход короче и нагляднее классической схемы раздельного построения поля Ш и теории пределов.

2. Процесс сходимости последовательности (ап) к своему пределу раскрыт в матрице А.

3. Модель действительного числа в виде бесконечной десятичной дроби проще, чем, скажем, сечение Дедекинда или класс конфинальных фундаментальных последовательностей рациональных чисел, как у Кантора.

4. Можно вообще отказаться от изучения поля рациональных чисел в школе и вузе. Рациональные числа были открыты при попытке создать аппарат для измерения величин. Попытка оказалась неудачной, так как диагональ единичного квадрата оказалась без длины. Как писал А.Лебег в [1]: “Действия над двадцать вторыми и тридцать седьмыми долями является мучением, которому мы подвергаем двенадцатилетних мальчиков из чистого садизма, без всякой надобности, могущей сыграть роль смягчающего обстоятельства. Рациональные числа не являются необходимыми для теории и ни для чего не служат на практике”.

Предложенное здесь построение может быть изучено в средних классах школы. Как только ученики освоились с арифметическими операциями над целыми числами, можно переходить к изучению арифметики КДД, а затем и арифметики БДД.

Доказанные здесь теоремы вряд ли следует доказывать в школе в средних классах. Достаточно доказательства проиллюстрировать на примерах. Никто же не доказывает алгоритмов для операций над целыми числами в младших классах, а объясняют их на конкретных примерах. В старших классах при изучении начал анализа приведенные здесь доказательства вполне уместны и доступны.

Автор однажды рассказывал их восьмиклассникам математического класса 39-й рязанской школы и был понят ими. Начиная с семидесятых годов автор неоднократно излагал введение в анализ по предлагаемой здесь методике студентам первого курса рязанского радиотехнического института и своим коллегам по кафедре.

ЛИТЕРАТУРА

1. Лебег А. Об измерении величин. — М.: Учпедгиз, 1960.

2. Яковлев М.К. Введение в математический анализ. Учебное пособие. — Рязань: Изд. Рязанской государственной радиотехнической академии, 1995.

3. Яковлев М.К., Яковлева Н.Г. Об одном способе построения теории действительных чисел и пределов числовых последовательностей // Сборник методических статей “Математика”, №12. — М.: МГУ, 1984.

4. Гладкий А. В., Козиоров Ю. Н. Действительные числа как последовательности обыкновенных дробей // Математика в высшем образовании. 2009. №7. С. 21-38.

Поступила 16.02.2009

CONSTRUCTION OF THE REAL FIELD AND THE THEORY OF LIMITS OF SEQUENCES BASED UPON THE NOTION OF THE STABILIZER OF SEQUENCES OF NON-TERMINATING DECIMALS

M. K. Yakovlev

A new method of construction of the rigorous theory of real numbers and the theory of sequences limits of real numbers is proposed. This construction is based on the notion of the sequence stabilizer of infinite decimal fractions. A new definition of the notion 'the limit of a numerical sequence' is given.

Keywords: a real number, the limit of a sequence, the stabilizer of a sequence of infinite decimal fractions, the real field, the theory of limits of sequences.

МАТЕМАТИКА ДЛЯ СПЕЦИАЛИСТОВ РАЗЛИЧНОГО ПРОФИЛЯ

УДК 519.237.5

ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ ПО КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННОМУ АНАЛИЗУ С МОМЕНТА ВОЗНИКНОВЕНИЯ ПО НАСТОЯЩЕЕ ВРЕМЯ

Д. Е. Красильников

Государственный университет - Высшая школа экономики (Нижегородский филиал) Россия, 603155, г. Нижний Новгород, ул. Б. Печерская, 25/12 e-mail: Crassl984@mail.ru

Дан обзор литературы по корреляционно-регрессионному анализу в историческом развитии, начиная с XIX века по настоящее время.

Ключевые слова: корреляционный анализ, регрессионный анализ, метод наименьших квадратов.

Основной задачей корреляционно-регрессионного анализа является оценка наиболее существенных количественных характеристик причинно-следственных связей между различными процессами и явлениями. Эта задача рассматривается в основном в учебном курсе “Эконометрика”, который с конца XX века вошёл в учебный план многих экономических специальностей.

На мой взгляд, основной ошибкой в формировании учебных планов по этой дисциплине является её отрыв от курсов “Математическая статистика и теория вероятностей” и “Линейная алгебра”, в то время как за рубежом “Эконометрика” считается их логическим продолжением. По этой причине представляется необходимым начать этот обзор с рекомендаций по преподаванию вышеуказанных дисциплин.

С сожалением приходится отметить, что объем часов, выделяемых на преподавание предмета “Математическая статистика и теория вероятностей”, ежегодно сокращается. Если в Советском Союзе на некоторых экономических специальностях этот курс занимал два семестра, то в наше время в большинстве учебных заведений он сокращен до одного семестра. По этой причине важнейшей задачей повышения качества преподавания эконометрики является восстановление курса “Математическая статистика и теория вероятностей” в прежнем объёме. Тем более что в нашей стране этот курс читался лучше, чем за рубежом.

В качестве учебных пособий по данному курсу можно рекомендовать книги [7, 8, 14]. Алгоритмы решения задач в первых двух из них составлены для вычислительной техники середины XX века, из-за чего изложение материала в них более громоздко, чем можно было бы сделать, ориентируясь на современную вычислительную технику. Другим недостатком этих книг является различие подходов к решению одних и тех же задач. Если применять алгоритмы, соответствующие современному уровню вычислительной техники, и убрать из этих книг ненужный экономистам раздел “Случайные функции”, то их объём можно сократить в два раза. Про третью книгу можно сказать,

что в ней сделана довольно удачная попытка совместить курсы “Математическая статистика и теория вероятностей” и “Эконометрика”. В принципе, эти три книги прекрасно дополняют друг друга и лучше всего формировать учебный план на основе всех трёх, а не каждой по отдельности. Также следует отметить, что эти книги переведены на несколько иностранных языков и пользуются популярностью за рубежом.

На мой взгляд, объем курса “Линейная алгебра” на экономических специальностях недостаточен для полноценного освоения эконометрики. В большинстве учебных заведений читается односеместровый курс, близкий к принятому в технических вузах нашей страны. В него не входят такие темы, как ортогональное проектирование в МНК, не рассматриваются свойства положительно определённых и симметричных матриц, ортогональных матриц и разложение симметричной матрицы на ортогональную и диагональную. Вообще, принятый на экономических специальностях курс “Линейная алгебра” в основном ставит целью изучение систем линейных уравнений и методов их решения, что, как было отмечено выше, недостаточно для эконометрики, для понимания которой необходимы некоторые элементы трёхсеместрового курса линейной алгебры, читаемого студентам математических специальностей, в котором предмет рассматривается как раздел математики, изучающий свойства векторных пространств и их линейных отображений.

Необходимые для эконометрики сведения из линейной алгебры можно найти в книге [32], специально написанной для экономистов. Помимо этого, в ней представлены матричные способы решения задач математической физики, линейное программирование и теория игр. На более подготовленного читателя рассчитана книга [21].

Другой проблемой изучения эконометрики является отсутствие таблиц статистических функций. Последний раз такие таблицы издавались в нашей стране в 1983 году [6].

Приступая к обзору учебников по эконометрике, следует отметить, что 60-70% материала в них идентичны. В нашей стране этот курс появился сравнительно недавно и пришёл из-за рубежа, поэтому своих фундаментальных трудов по этой дисциплине у нас нет. Для лучшего ознакомления с этим курсом следует читать английскую литературу, например [47, 48, 51, 55]. Отрицательной чертой таких книг является отсутствие примеров из российской экономики. Также можно порекомендовать книгу [42]. Она интересна тем, что в ней акцент делается на геометрии регрессионного анализа.

На мой взгляд, лучшим учебником по эконометрике, изданным в нашей стране, является [20]. К положительным его сторонам можно отнести связь с курсом “Теория вероятностей и математическая статистика”, примеры из российской экономики, матричную запись формул и доказательств теорем. К отрицательным — сложность изложения материала, что делает его труднодоступным для понимания студентов, еще только приступающих к изучению дисциплины “Эконометрика”.

На более простом уровне курс “Эконометрика” изложен в книгах И. И. Елисеевой и М. М. Юзбашева [11, 12]. К недостаткам этих книг можно отнести отсутствие доказательств теорем и концентрацию на парной регрессии.

В качестве дополнительной литературы можно порекомендовать книги [9, 10, 25].

Для интересующихся использованием корреляционно-регрессионного анализа и математической статистики в экономике Советского Союза укажем книги [1-4]. В них приведены эконометрические исследования самих авторов. Однако эти книги стилистически написаны очень небрежно и их довольно тяжело читать. В формулах, приведенных авторами, много ошибок, кроме того, в тексте книг есть ряд неверных формулировок.

Для интересующихся связью между корреляционно-регрессионным анализом и другими разделами МНК будет полезна книга [19].

Если мы хотим рассматривать корреляционно-регрессионный анализ без отрыва от других разделов математической статистики, то следует обратиться к, вероятно, наиболее полному курсу математической статистики, изданному в нашей стране, — трехтомнику М. Дж. Кендалла, А. Стьюарта [15-17]. На языке оригинала он называется “The Advanced Theory of Statistics” и в первом издании занимал всего один том. В нем очень хорошо изложены вопросы, касающиеся частных и множественных коэффициентов корреляции; большое внимание уделено выборочному методу. К сожалению, этот курс далеко выходит за рамки принятого в нашей стране курса “Теория вероятностей и математическая статистика” и по этой причине будет полезен лишь специалистам. В нем есть богатый исторический и библиографический материал, но нет достаточного количества примеров.

В этом обзоре под регрессионным анализом понимается нахождение и исследование свойств функции, построенной в результате аппроксимации эмпирических значений теоретическими по МНК. Другие методы аппроксимации не рассматриваются, поскольку они являются либо менее точными, либо не до конца разработанными.

Под корреляционным анализом понимается набор статистик (функций от выборочной совокупности), необходимых для нахождения структуры связей между переменными.

Под корреляционно-регрессионным анализом понимается метод нахождения параметров линейной функции при неизвестной структуре связей между переменными.

Фундаментальным трудом по регрессионному анализу является книга индийского ученого С.Р. Рао [29]. Она переведена на 6 основных языков мира, содержит в себе богатый материал по математической статистике, охватывающий период с конца XIX века по 70-е годы XX века. В первой главе рассматриваются разделы матричной алгебры, необходимые для изучения математической статистики. Четвертая глава посвящена МНК в линейных моделях. Глава 8 кратко раскрывает теорию многомерного нормального и выборочного распределений, используя при этом теорему Крамера-Вольда. Положительной чертой книги является внушительный список литературы.

Тем не менее книга написана довольно сложным языком и рассчитана на специалистов в области математической статистики. Студентам, только начинающим знакомство с этим разделом математики, она покажется сложной. К тому же пространное доказательство теорем усугубляется множеством опе-

чаток. Для дальнейшего изучения эконометрики будет интересна книга того же автора [52].

На менее подготовленного читателя рассчитана книга [33], содержание которой доступно даже студентам, только начинающим изучение математической статистики. В предисловии к книге (с. 3-5) сказано: “Круг вопросов, охватываемых книгой, можно разбить на три части. Во-первых, в книге излагается ряд приемов и правил по оформлению результатов опытов или наблюдений в виде таблиц и по нахождению эмпирических формул для представленных данных... Во-вторых, в книге содержится изложение ряда простейших средств прикладного анализа — приемы численного и графического дифференцирования и интегрирования и гармонический анализ. Авторы излагают лишь наиболее простые приемы и в большинстве случаев рекомендуют жертвовать точностью ради простоты... Третий круг вопросов, рассматриваемых в книге, — это различные статистические приемы обработки данных. Они включают в себя обширный материал из области теории ошибок и основных задач математической статистики. Большое внимание уделено методам обработки неравноточных измерений, уравновешиванию условных измерений, корреляции... Читатели, которые в своей работе столкнутся с необходимостью использовать более точные и более тонкие приемы обработки численных данных или заинтересуются обоснованием изложенных методов, могут обратиться к списку литературы в конце книги”. Монография содержит множество примеров использования корреляционно-регрессионного анализа в химии и физике. К сожалению, все они ограничиваются функцией одного переменного и не затрагивают множественный корреляционно-регрессионный анализ.

Из современных изданий интерес представляет книга [9]. Это уже третье издание на русском языке. В книге описываются методы подбора и исследования линейных и нелинейных регрессионных моделей различной степени сложности, а также рассматриваются практические аспекты их применения, в том числе с использованием специальных компьютерных программ. Также в книге есть небольшой исторический очерк. Помимо стандартного набора тем, составляющих ядро курса регрессионного анализа, в это издание включены отдельные главы, посвященные мультиколлинеарности, обобщенным линейным моделям, геометрическим свойствам регрессии, робастной регрессии и процедурам тиражирования выборки (бутстрепа).

Все указанные выше книги в основном рассматривают случай парной линейной связи и соответствующие разделы корреляционно-регрессионного анализа. Многомерный корреляционно-регрессионный анализ принято выделять в отдельный предмет. За рубежом этот предмет входит в курс “Эконометрика”.

К сожалению, большинство примеров использования многомерного корреляционно-регрессионного анализа, описанных в литературе, базируется на макроэкономических показателях. По этой причине, не зная экономической теории на уровне высшего образования, понять этот метод весьма сложно. К тому же отсутствие привязки к реальной экономике делает этот раздел эко-

номического анализа практически бесполезным для представителей бизнеса, не занимающихся изучением экономической теории.

Тем не менее этому методу уже около 200 лет и он имеет богатую историю. Происхождение термина регрессия таково: “Создатели корреляционного анализа Ф. Гальтон (1822-1911) и К.Пирсон (1857-1936) интересовались связью между ростом отцов и сыновей. Ф. Гальтон изучил более 200 семей и обнаружил, что в группе семей с высокорослыми отцами сыновья в среднем ниже ростом, чем их отцы, а в группе семей с низкорослыми отцами сыновья в среднем выше отцов. Таким образом, отклонение роста от среднего в следующем поколении уменьшается — регрессирует. Причина в том, что на рост сыновей влияет не только рост отцов, но и рост матерей и много других факторов, и эти факторы, случайно направленные как в сторону увеличения, так и снижения роста, приближают рост сыновей к среднему росту” ([12, с. 201-202]).

По другой версии (см. [9, с. 64]) считается, что Гальтон использовал сначала термин “реверсия” (reversion — обращение), а чуть позже начал использовать термин “регрессия” (regression). Слово regression означает также попятное движение и может иметь смысл движения назад не только по переменным, но и по времени.

Вообще авторы современных английских книг по эконометрике склонны занижать роль немецких ученых в создании корреляционно-регрессионного анализа, особенно К. Пирсона, и не указывают на связь между корреляционно-регрессионным анализом и генетикой. В более ранних изданиях большую роль в изобретении этого метода отводили К. Пирсону, чем Ф. Гальтону. Большинство своих работ К. Пирсон публиковал в основанных им журналах Biomet rika и Annals of Eugenics. В наше время в них публикуются статьи по биологии и по этой причине они не относятся к математическим. Права собственности на них принадлежат компании JSTOR, которая разрешает пользоваться ими лишь научным учреждениям в строго оговоренном объеме. В нашей стране к базе данных этой компании имеет доступ лишь несколько институтов, например ГУ-ВШЭ.

Основным методом регрессионного анализа и в наше время остается МНК. Он основан на минимизации суммы квадратов отклонений теоретических значений от эмпирических.

Краткий исторический обзор развития МНК приведён в книгах [19, 27]. Первое изложение элементов МНК дано в 1806 г. А. М. Лежандром (1752-1833) в [50] в связи с вопросом о вычислениях кометных орбит. Ему же принадлежит название “метод наименьших квадратов”.

В 1809 г. К. Ф. Гаусс (1777-1833) в [46] дал первое вероятностное обоснование МНК, а в 1810 г. он же в [44] глубоко разработал вычислительную сторону вопроса и ввел символы и обозначения, сохранившиеся и поныне. Новые важные результаты найдены им в 1821 г. [45]. В 1812г. П.С.Лаплас (1749-1827) в своём фундаментальном трактате по теории вероятностей [49] получил ряд важных результатов и применил их к МНК.

Дальнейшие развитие МНК связано с П. Л. Чебышевым (1821-1894), который в 1859 г. разработал теорию интерполирования по методу наименьших квадратов с помощью ортогональных полиномов, носящих его имя.

Способ Чебышева представляет собой как бы связующее звено между способом наименьших квадратов и обширным полем современного анализа, относящимся к разложениям по ортогональным функциям. Желающие ознакомиться подробнее с проблемами ортогональных разложений могут обратиться к известному учебнику В. И. Смирнова [30] и к первым главам “Основных задач математической физики” В. А. Стеклова [31]. Для статистических приложений особенно важны многочлены Чебышева-Эрмита (см. [18, 53]).

А.А.Марков (1856-1922) в 1898г. в работе [23] и в §1 книги [22] внес в математическую статистику ряд весьма важных идей, пояснивших суть МНК, в частности, методические сведения к “правилу наибольшего веса”.

В книге ОН. Бернштейна [5] изложена теорема Муавра - Лапласа как для независимых наблюдений, так и для наблюдений, связанных марковской зависимостью.

Много сделано для развития применений МНК в астрономии и геодезии Ф. Гельмертом (1843-1917) в конце XIX века.

После работ А. А. Маркова с двадцатых годов прошлого века МНК вошёл в математическую статистику как важная и естественная часть теории оценивания параметров.

МНК при наличии ограничений (Constrained Least Squares) рассмотрен Ю.Нейманом [24]. Дальнейшее развитие его идей было связано с трудами его ученицы Ф.Дэвид. В её работе [41] приводится детальное доказательство теорем теории вероятностей и математической статистики, показана их связь с генетикой.

А. Айткен [37] рассмотрел спектральное представлении матрицы ковариация Он показал, как с помощью спектрального представления схема Гаусса-Маркова с общей и известной ковариационной матрицей приводится к схеме Гаусса - Маркова с некоррелированными наблюдениями и равноточными измерениями. Способ Айткена — это, по сути, приведение к главным компонентам, поскольку спектральное представление использует собственные числа и собственные векторы, т. е. фактически всё сводится к методу главных компонент, другими словами, к факторному анализу. Считается, что метод главных компонент изобретен К. Пирсоном (1901 г.), но еще в 1889 г. сингулярное разложение матриц было разработано Дж. Сильвестром.

В 1946г. А.Н.Колмогоров [13] дал изящное геометрическое изложение метода наименьших квадратов.

Со второй половины двадцатого века в МНК и его применения стало проникать матричное изложение, которое позволяет вести удобную и короткую запись выкладок и результатов. Важную роль в развитии МНК сыграл Ю. В. Линник. В его работах этот метод рассматривается с позиций аналитической теории чисел, функций комплексного переменного и асимптотических методов [19].

В это же время начинает развиваться обобщенный МНК (Generalised Least Squares), предполагающий неоднородность пространства (так называемая теорема Айткена), призванный решить проблемы гетероскедастичности (hetroscedasticity) и автокорреляции (autocorrelation). Для использования этого

метода разрабатываются специальные двушаговые процедуры оценки (Twostep Estimation): на первом этапе оценивается модель без учета авторегрессии или гетероскедастичности, а на втором в нее вносятся поправки на авторегрессию или гетероскедастичность. Для знакомства с этой проблемой можно порекомендовать статьи [38-40, 43, 57, 58].

Другим важным ответвлением МНК являются системы одновременных уравнений (Simultaneous Equations), необходимые для оценки сложных экономических объектов. Для этого раздела разработаны двухшаговые методы оценки (Two Stage Least Squares): на первом этапе определяют, какие переменные к каким уравнениям относятся, а на втором этапе происходит оценка регрессий.

К системам уравнений относятся также внешне не связанные между собой уравнения (Seemingly Unrelated Regression, SUR) [20, с. 220-223]. Они связаны лишь благодаря наличию слабой корреляции (см. [12, с. 205]) между остатками1 в разных уравнениях (коэффициент корреляции Пирсона менее 0,5).

Следует отметить, что с математической точки зрения системы одновременных уравнений — это лишь пример ситуации МНК, когда переменные наблюдаются с ошибкой. Так, в книге [16] есть глава “Структурные уравнения”, в которой излагаются способы оценки неизвестных параметров. Аналогичные схемы используются при фильтрации случайных процессов.

Изучение этих систем уравнений традиционно входит в перечень тем, включенных в большинство учебников по эконометрике. Для ознакомления с этой проблемой можно порекомендовать главу 5 учебника [11], главу 9 [20]. Из зарубежных учебников следует отметить [55]. К сожалению, все примеры использования систем одновременных уравнений (по крайней мере, в открытых источниках) базируются на экономической теории, имеющей лишь опосредованное отношение к современной экономике. Чаще всего они разбираются на моделях спроса и предложения, IS-LM и кейнсианского креста. Следует отметить, что, например, модель IS-LM в последние годы потеряла свою привлекательность: “When The Economist's economics editor studied macroeconomics in the 1970s, the basic model for understanding swings in demand was the so-called IS-LM framework, invented by Sir John Hicks in 1937 as an interpretation of Keynes's ”General Theory“. In recent years it has gone out of fashion, dismissed as too simplistic...” (Saving versus liquidity / The Economist, Aug 11th 2005, p. 63)2. По этой причине относиться к моделям подобного рода следует с изрядной долей скепсиса. О модели IS-LM, помимо вышеуказанной статьи, можно прочитать практически в любом учебнике по макроэкономике для высших учебных заведений. На более простом уровне она описана в книге [26], в главе 11.

1 Под остатком понимается разность между значением, полученным по выборке, и значением, полученным по регрессии.

2 “Когда редактор экономического раздела журнала The Economist изучал макроэкономику в 1970-е годы, основной моделью для объяснения резких изменений спроса была так называемая модель IS-LM, изобретенная сэром Джоном Хиксом в 1937 как интерпретация ”Общей теории“ Кейнса. В последние годы она вышла из моды, исключена как слишком большое упрощение экономических законов...” (перевод автора). На русский язык название цитируемой статьи [56] можно перевести как “Сбережения против ликвидности”. Полный текст статьи доступен на сайте журнала The Economist: http://www.economist.com

Некоторым исключением из обшей концепции изложения проблемы одновременных уравнений, сложившейся в литературе, можно считать учебник [12], где присутствуют примеры из реальной экономики.

Не менее интересным методом, получившим свое развитие, начиная с 50-х годов XX века, стала теория робастных оценок, основными книгами по этому вопросу являются [34, 35]. Робастность в статистике представляет собой подходы, направленные на снижение ошибок в моделях.

Современный период развития МНК характеризуется широким использованием компьютеров. Расчеты, которые раньше занимали несколько недель, теперь можно провести за несколько минут.

Корреляционный анализ (особенно многомерный) описан довольно плохо. В отечественной литературе даже не сложилось общепринятых обозначений для коэффициентов множественной и частной корреляции. По этой причине я рекомендую использовать обозначения для этих коэффициентов из книги [51] как наиболее удобные. Из литературы, изданной в нашей стране, можно порекомендовать учебник [14] и монографию [2], а также книгу [33].

«Само слово “корреляция” ввел в статистику английский биолог и статистик Френсис Гальтон в конце XIX в. Тогда оно писалось как “correlation” (соответствие), но не просто “связь” (relation), а “как бы связь”, т. е. связь, но не в привычной в то время функциональной форме.

В науке, а именно в палеонтологии, термин “корреляция” применил еще раньше, в конце XVIII в., знаменитый французский палеонтолог (специалист по ископаемым останкам животных и растений прошлых эпох) Жорж Кювье. Он ввел даже “закон корреляции” частей и органов животных. “Закон корреляции” помогает восстановить по найденным в раскопках черепу, костям и прочим останкам облик всего животного и его место в системе: если череп с рогами, то это было травоядное животное, а его конечности имели копыта; если же лапа с когтями — то хищное животное без рогов, но с крупными клыками.

Известен следующий рассказ о Кювье и “законе корреляции”. В дни университетского праздника студенты решили подшутить над профессором Кювье. Они вырядили одного в козлиную шкуру с рогами и копытами и подсадили его в окно спальни Кювье. Ряженый загремел копытами и завопил: “Я тебя съем!” Кювье проснулся, увидел силуэт с рогами и спокойно отвечал: “Если у тебя рога и копыта, то по закону корреляции ты травоядное и съесть меня не можешь, а за то, что не знаешь закона корреляции, получишь двойку!”» [12, с. 192-193].

"В современном понимании корреляционный анализ — это проверка гипотез о связях между переменными с использованием коэффициентов корреляции, двумерной описательной статистики, количественной меры взаимосвязи (совместной изменчивости) двух переменных. Таким образом, это совокупность методов обнаружения корреляционной зависимости между случайными величинами или знаками.

Основное назначение корреляционного анализа — выявление связи между двумя или более изучаемыми переменными, которая рассматривается как совместное согласованное изменение двух исследуемых характеристик. Данная изменчивость обладает тремя основными характеристиками: формой, направлением и силой" [36, с. 98-107].

Мне удалось найти только одну книгу, в которой описано одновременное использование многомерного корреляционного и регрессионного анализа, -учебник [12], где в главах 8.11 и 8.12 дан пример использования этой методики для оценки доходности сельского хозяйства.

В последние годы корреляционный анализ проник и в нечисловую статистику в виде ранговой корреляции (так называемый коэффициент корреляции Спирмена). Первой статьей по этому вопросу принято считать [54]. Ранговая корреляция оценивает взаимосвязь двух величин не на основе совместного математического ожидания, а на основе “центров масс”. Ранговая корреляция используется, когда между двумя величинами заведомо отсутствует функциональная связь. Например, связь между возрастом человека и его настроением. Ранговую корреляцию не следует отделять от других нечисловых методов [28].

Другими примерами корреляции служит корреляция временных рядов (коэффициенты корреляции Кендалла и Яла). Подробнее о них можно прочитать в трехтомнике [15-17].

При большом числе переменных для выяснения их значимости используют канонические корреляции. Каноническая корреляция является обобщением парной корреляции. Канонический анализ, т. е. метод нахождения канонической корреляции, основан на построении таких линейных комбинаций признаков одной и другой группы, что обычный коэффициент парной корреляции между этими комбинациями достигает наибольшего значения. Такой максимальный коэффициент называется первым каноническим коэффициентом корреляции, а соответствующие линейные комбинации двух групп признаков называют первыми каноническими величинами. Вторая и последующие канонические корреляции определяются линейными комбинациями, не коррелированными с предыдущими комбинациями и имеющими следующий наибольший по величине коэффициент, объясняющий оставшуюся межгрупповую корреляцию. Подробную информацию по этому разделу математической статистики можно найти в книге [17].

Другой важной задачей корреляционного анализа является оценка степени подгонки прямой. Для этого используется специальная статистика -коэффициент детерминации, основанная на разложении суммы отклонений от средней на объяснённую и остаточную. Эта статистика включена во все статистические пакеты, включая MS-Excel. Подробнее о её свойствах можно прочитать в любом учебнике по эконометрике.

Если эмпирические значения разделены на страты, то для оценки степени подгонки кривой можно использовать корреляционное отношение. Оно основано на разложении дисперсии на групповую и межгрупповую. В зарубежной литературе эта статистика упоминается редко. Для более подробного знакомства с ней следует читать работы [1-4, 12].

ЛИТЕРАТУРА

1. Айвазян С. А., Енюков И. С, Мешалкин Л. Д. Прикладная статистика. Основы моделирования и первичная обработка данных. — М.: Финансы и статистика, 1983.

2. Айвазян С. А., Енюков И. С, Мешалкин Л. Д. Прикладная статистика: исследование зависимостей. — М.: Финансы и статистика, 1985.

3. Айвазян С.А., Енюков И. С, Мешалкин Л. Д. Прикладная статистика. Классификация и снижение размерности. — М.: Финансы и статистика, 1989.

4. Айвазян С. А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики. — М.: Юнити, 1998.

5. Бернштейн С.Н. Теория вероятностей. — М.-Л.: Госиздат, 1927.

6. Большев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. — М.: Наука, 1983.

7. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. 12-е изд., исп. — М.: Высшее образование, 2006.

8. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. 12-е изд., исп. — М.: Высшее образование, 2006.

9. Дрейпер Н.Р., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. 3-е изд. — М.: Вильямс, Диалектика, 2007.

10. Доугерти К. Введение в эконометрику. — М.: ИНФРА-М, 1999.

11. Елисеева И. И. Эконометрика. — М.: Финансы и статистика, 2005.

12. Елисеева И. И., Юзбашев М.М. Общая теория статистики. — М.: Финансы и статистика, 1995.

13. Колмогоров А. Н. Обоснование метода наименьших квадратов // УМН. 1946. Т. 1, вып. 1. С. 57-70.

14. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. 2-е изд., исп., доп. — М: Юнити, 2004.

15. Кендалл М. Дж., Стьюарт А. Теория распределений. — М.: Наука, 1966.

16. Кендалл М. Дж., Стьюарт А. Статистические выводы и связи. — М.: Наука, 1973.

17. Кендалл М. Дж., Стьюарт А. Многомерный статистический анализ и временные ряды. — М.: Наука, 1976.

18. Лахтин Л. К. Кривые распределения и построение для них интерполяционных формул по способам Пирсона и Брунса. — М.: Госиздат, 1922.

19. Линник Ю. В. Метод наименьших квадратов и основы теории обработки наблюдений. 2-е изд., исп., доп. — М.: Физматгиз, 1962.

20. Магнус Я. Р., Катышев П. К., Пересецкий А.А. Эконометрика: начальный курс. 6-е изд., исп., доп. — М.: Дело, 2004.

21. Магнус Я. Р., Нейдеккер X. Матричное дифференциальное исчисление. — М.: Физматлит, 2002.

22. Марков А. А. Избранные труды. Теория чисел. Теория вероятностей. Серия: Классики науки. - М.: Изд-во АН СССР, 1951.

23. Марков А.А. Закон больших чисел и метод наименьших квадратов // В кн: А.А.Марков. Избранные труды. - М.: Изд. АН СССР, 1951. С. 233-251.

24. Нейман Ю. Статистическая оценка как проблема классической теории вероятностей // УМН. 1944. Вып. 10. С. 207-229.

25. Ниворожкина Л. И., Арженовский С.В. Многомерные статистические методы в экономике. Учебник. — М.: Дашков и К°; Ростов н/Д: Наука-Спектр, 2008.

26. Иванов СИ., Шереметова В. В., Скляр М. А., Табачник Б. И. Основы экономической теории. В 2 томах. 4-е изд. — М: Вита Пресс, 2001.

27. Идельсон Н. Способ наименьших квадратов. 2-е изд., доп. — Л.: Гостехиздат, 1932.

28. Орлов А. И. Нечисловая статистика. — М.: МЗ-Пресс, 2004.

29. Рао С. Р. Линейные методы и их применение. — М.: Наука, 1968.

30. Смирнов В. И. Курс высшей математики. Т. 2. — М.: Наука, 1974.

31. Стеклов В. А Основные задачи математической физики. 2-е изд. — М.: Наука, Главное издательство физико-математической литературы, 1983.

32. Стренг Г. Линейная алгебра и ее приложения. — М.: Наука, 1980.

33. Уорсинг А., Геффнер Дж. Методы обработки экспериментальных данных. — М.: Издательство иностранной литературы, 1953.

34. Хампель Ф., Рончетии Э., Рауссеу П., Штаэль В. Робастность в статистике. — М.: Мир, 1989.

35. Хьюбер П. Робастность в статистике. — М.: Мир, 1984.

36. Шишлянникова Л. М. Применение корреляционного анализа в психологии // Психологическая наука и образование. 2009. №1. С. 98-107.

37. Aitken А.С. On least squares and linear combination of observations // Proc. Roy. Soc. Edin. 1935. V.55. P. 42-48.

38. Bollerslev T. Generalized autoregressive conditional heteroscedasticity // Journal of Econometrics. 1986. V.31. P. 307-327.

39. Box G.E.P., Pierce D.A. Distribution of residual autocorrelations in autoregressive-integrated moving average time series models // Journal of the American Statistical Assosiation. 1970. V.65. P. 1509-1526.

40. Breush T.S., Pagan A. R. A simple test for hetroscedasticity and random coefficient variation // Econometrica. 1979. V. 47. P. 1287-1294.

41. David F.N. Probability theory for statistical methods. — Cambridge, 1951.

42. Davidson R., MacKinon J.G. Econometric Theory and Methods. — Oxford University Press, 2004.

43. Engle R. F. Autoregressive conditional heteroscedasticity with estimates of variance of United Kingdom inflation // Econometrica. 1982. V. 50. P. 987-1008.

44. Gauss C. F. Disquisitio de la elements ellipticus Palladis. — Hamburg, 1810.

45. Gauss C.F. Theoria combinationis observationum erroribus minimis obnoxiae. — Hamburg, 1821.

46. Gauss C. F. Theoria motus corporum coelestium. — Hamburg, 1809.

47. Greene W. Econometric analysis. 6th ed. — Prentice-Hall, 2008.

48. Gujarati D.N. Basic Econometrics. — McGrawHill, 1995.

49. Laplace P.S. Theorie analytique des probabilities. — Paris, 1812.

50. Legendre A. M. Nouvelles methods pour la determination des orbites des comètes. Appendice sur la méthode des moindrescarres. — Paris, 1806.

51. Maddala G. S. Introduction to Econometrics. 2nd ed. — Wiley, 1992.

52. Rao CR. Advanced Statistical Methods in Biometrie Research. — N.Y., 1952.

53. Riemann-Weber. Differential und Integral Gleichungen // Diarium mathematical Physik. 1925. Cap. 8 und 9.

54. Spearman С. General Intelligence, Objectively Determined and Measured // The American Journal of Psychology. 1904. V. 15, №2. P. 201-292.

55. Thomas R. L. Modern Econometrics: an Introduction. — Longman, 1997.

56. Saving versus liquidity // The Economist. 2005, Aug 11th.

57. White H. A heteroscedasticity-consistent covariance matrix estimator and a direct test for heteroscedasticity // Econometrica. 1980. V. 48, №4. P. 817-838.

58. Whitney K. Newey, Kenneth D. West. A simple, Positive Semi-Definite, Heteroskedasticity and Autocorrelation Consistent Covariance Matrix // Econometrica. 1987. V.55, №3. P. 700-708.

Поступила 25.05.2010

THE REVIEW OF REFERENCES ON CORRELATION AND REGRESSION ANALYSIS (ECONOMETRICS) SINCE ITS APPEARANCE TILL NOWADAYS

D. E. Krasilnikov

The article investigates the development of correlational and regressional analysis (econometrics) from the beginning of 19-th century till present as it is reflected in scientific literature.

Keywords: correlational analysis, regressional analysis, method of least squares.

МАТЕМАТИКА ДЛЯ СПЕЦИАЛИСТОВ РАЗЛИЧНОГО ПРОФИЛЯ УДК

51:37.016

РЕАЛИЗАЦИЯ ПРИНЦИПА ПРИКЛАДНОЙ НАПРАВЛЕННОСТИ КУРСА “ДИСКРЕТНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ” ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЭКОНОМИЧЕСКИХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ ВУЗОВ

Э. Л. Хабина

Государственный университет - Высшая школа экономики Россия, 101000, г.Москва, ул. Мясницкая, д. 20 e-mail: khabina@hse.ru

Рассматриваются возможные пути реализации прикладной направленности курса “Дискретная математика” на основе пересмотра его структуры и содержания. Описывается содержание курса “Дискретные математические модели”, разработанного в ГУ-ВШЭ для студентов экономических специальностей, предлагаются различные варианты формирования программы для студентов других специальностей, а также рассматриваются особенности изложения учебного материала на основе проблемно-ориентированного подхода.

Ключевые слова: дискретные математические модели, проблемно-ориентированный подход, программа курса, прикладная направленность курса.

В настоящее время в России произошли коренные изменения в содержании экономического образования. Это привело к необходимости пересмотра содержания математической подготовки экономистов, менеджеров, социологов, политологов и других специалистов, так как традиционно содержание практически всех математических курсов было оторвано от дисциплин социально-экономического блока.

В число базовых математических курсов, изучаемых в первый и второй годы обучения в бакалавриате Государственного университета - Высшая школа экономики (ГУ-ВШЭ), традиционно входят математический анализ, линейная алгебра, дискретная математика, дифференциальные и разностные уравнения, методы оптимальных решений. Их изучение направлено на овладение широким математическим инструментарием, необходимым для успешного изучения студентами специальных профессионально-ориентированных дисциплин, на развитие у них навыков логического мышления. При этом необходимо уделять серьезное внимание межпредметным связям математических курсов со специальными дисциплинами. В некоторых базовых курсах эти связи могут реализовываться через отдельные “вкрапления” иллюстративного материала из специальных дисциплин [2]. Это очень важно для преодоления познавательного негативизма, который зачастую наблюдается у студентов гуманитарных специальностей по отношению к предметам математического цикла.

Вместе с тем существуют и более широкие возможности усиления прикладной направленности базовых математических курсов, чем отдельные “вкрапления” в них примеров межпредметного характера. Одной из таких

возможностей является пересмотр структуры стандартного курса “Дискретная математика” в соответствии с имеющимся спросом, определяемым конкретным направлением обучения студентов. Например, потребности студентов, обучающихся по направлениям “Экономика”, “Социология”, “Политология”, и студентов, обучающихся по направлениям “Бизнес-информатика” и “Прикладная математика и информатика (в экономике)”, существенно разнятся. Первым целесообразно изучать вопросы, связанные с конкретными моделями, а именно: обобщенные паросочетания, бинарные отношения, правила принятия коллективных решений, коалиции, оценки влиятельности групп в парламентах, оценки сбалансированности малых и больших групп и т. д. При этом такой стандартный для курсов дискретной математики раздел, как “Теория графов”, нужен им лишь как инструмент, помогающий решать задачи в указанных выше проблемных областях. Для студентов же, обучающихся по специальностям “Бизнес-информатика”, “Прикладная математика и информатика”, целесообразно читать курс дискретного анализа, в котором теория графов представляет самостоятельную ценность.

Распространенная в настоящее время практика преподавания курса “Дискретная математика”, одинакового для всех студентов экономических специальностей, приводит к тому, что студенты фактически не овладевают знаниями и умениями для успешного решения широкого круга практических задач, использующих дискретные объекты и модели, не овладевают культурой алгоритмического мышления. Вместе с тем в будущей профессиональной деятельности экономистам часто придётся работать именно с дискретными моделями, описывающими реальные социально-экономические и политические процессы.

С целью устранения указанных недостатков в ГУ-ВШЭ разработан и с успехом читается на младших курсах бакалавриата различных факультетов учебный курс “Дискретные математические модели”, который рассматривается как необходимый компонент фундаментальной подготовки современных экономистов, менеджеров, политологов, социологов, специалистов в области бизнес-информатики, а также прикладной математики и информатики.

Прикладная направленность этого курса реализуется через содержание учебного материала, структуру его подачи, а также через формы учебных занятий.

Основной целью курса является знакомство студентов младших курсов бакалавриата с основными современными подходами к описанию дискретных математических объектов, к построению и изучению прикладных дискретных математических моделей, адекватных реалиям и потребностям социально-экономической и общественно-политической жизни современного общества. Изучение курса “Дискретные математические модели” не требует от слушателей предварительных знаний, выходящих за пределы программ средней общеобразовательной школы и курса “Линейная алгебра”.

Содержание курса поддерживается специально разработанным учебным пособием Ф. Т. Алескерова, Э. Л. Хабиной, Д.А.Шварца “Бинарные отношения, графы и коллективные решения” [1].

Курс содержит следующие разделы.

Тема 1. Элементы теории множеств

Множества, подмножества. Множество всех подмножеств. Операции над множествами: объединение, пересечение, дополнение, разность множеств, симметрическая разность, разбиение, декартово произведение. Диаграммы Эйлера-Венна. Алгебраические законы операций над множествами. Принцип двойственности.

Тема 2. Паросочетания

Задача о распределении работ. Задача о свадьбах. Графы. Двудольные графы. Паросочетания. Условие Холла. Совершенные и максимальные паросочетания, условия их существования. Чередующиеся цепи. Трансверсали семейства множеств.

Тема 3. Обобщенные паросочетания, или паросочетания при линейных предпочтениях участников

Задача о распределении выпускников-медиков по клиникам в США. Предпочтения. Условия классической рациональности предпочтений. Обобщенные паросочетания. Устойчивость паросочетаний. Теорема о существовании устойчивого паросочетания при любых предпочтениях участников (теорема Гейла-Шепли). Манипулирование предпочтениями. Примеры моделей, использующих обобщенные паросочетания: распределение студентов по комнатам общежития, распределение работников по фирмам и др.

Тема 4. Бинарные отношения, полезность и функции выбора

Бинарные отношения и их свойства. Операции над бинарными отношениями. Графическая интерпретация бинарных отношений и их свойств. Матрица смежности графа. Специальные классы бинарных отношений: частичный порядок, слабый порядок, линейный порядок. Отношение несравнимости и его свойства для специальных классов бинарных отношений. Модель ординальной полезности. Представление бинарного отношения функцией полезности. Выбор по отношению предпочтения. Свойства функций выбора. Функции выбора, рационализируемые строгими и нестрогими отношениями предпочтения*1.

Тема 5. Задача голосования

Примеры правил голосования: правило простого большинства, парадокс Кондорсе, правило Борда. Парадокс Эрроу*. Парадокс Сена*. Стратегическое поведение участников в задаче голосования, множественное манипулирование.

Тема 6. Коллективные решения на графе

Что делать, если самые простые правила принятия решений не дают явного победителя? Альтернативные модели принятия решений. Внутренняя и внешняя устойчивость. Ядро. Другие нелокальные правила принятия коллективных решений: позиционные правила; правила, использующие мажоритарное отношение; правила, использующие вспомогательную числовую

1 Здесь и далее символом * помечены вопросы, имеющие повышенный уровень трудности. Их изучение целесообразно осуществлять только при достаточно высоком уровне подготовки студентов или в рамках спецкурса сходной тематики на более поздних стадиях обучения.

шкалу; правила, использующие турнирную матрицу; д-паретовские правила большинства*. Правило порогового агрегирования. Правила выбора непокрытого множества, слабоустойчивого множества, множества ^-устойчивых альтернатив*. Задача о лидере.

Тема 7. Системы пропорционального представительства Примеры правил формирования парламентов (выборных органов) в разных странах. Понятие и цели пропорционального представительства. Методы наибольшего остатка: квота Хара, квота Друпа, нормальная и усиленная имперские квоты. Правило д'Ондта. Методы делителей: наименьший делитель, Датская система, система Сент-Лаге. Индексы представительности: индекс максимального отклонения, индекс Рэ, индекс Лузмора-Хэнби, индекс удельного представительства и др.

Тема 8. Коалиции и влияние групп в парламенте Как партия влияет на принятие решения при голосовании в парламенте? Голосование с квотой. Элементы комбинаторики: число размещений, число сочетаний, число упорядочений. Индекс влияния Банцафа. Теорема о среднем для индекса Банцафа*. Анализ влияния групп и фракций в Государственной думе РФ. Институциональный баланс власти в Совете министров Евросоюза. Влияние стран в Совете Безопасности ООН. Другие индексы влияния (индексы Шепли-Шубика, Джонстона, Дигена-Пакела, Холера - Пакела). Индексы влияния, учитывающие предпочтения участников по созданию коалиций: кардинальные и ординальные индексы*. Как отражается на влиянии нежелание партий вступать в некоторые коалиции? Парадоксы блокирования.

Тема 9. Знаковые графы

Психологический комфорт в трудовом коллективе. Знаковые графы. Теория структурного баланса. Сбалансированность малых групп. Мера сбалансированности. Сбалансированность выборного органа. Анализ сбалансированности пьесы У. Шекспира “Макбет” и других литературных произведений.

Тема 10. Задача дележа

Примеры моделей дележа: от библейской притчи до современных трудовых споров. Постановка задачи дележа. Процедура “дели и выбирай”. Манипулирование. Критерии справедливости дележа. Процедура “подстраивающийся победитель” и её свойства. Решение трудовых споров. Разрешение территориальных конфликтов. Слияние фирм. Случай неделимых решений*. Манипулирование при использовании процедуры “подстраивающийся победитель”*. Невозможность удовлетворения трем критериям справедливого дележа при числе участников больше двух.

Тема 11. Игровые модели

Практические примеры игровых моделей: кто перезванивает, если сорвался звонок? Как владельцам кафе выбрать меню комплексного обеда в условиях конкуренции? Игры 2x2: стратегии, выигрыши, платежная матрица. Доминантные стратегии. Понятие равновесия игры по Нэшу. Примеры игр 2x2: дилемма заключенного, гонка вооружений и др. Примеры игр, имеющих равновесие по Нэшу, не имеющих его, а также имеющих бесконечно много равновесий. Вероятность события и ожидаемый выигрыш. Смешанные стра-

тегии. Теорема о существовании равновесия Нэша в смешанных стратегиях для любой игры 2x2. Ожидаемые полезности: переговоры правительства с профсоюзами. Фокальные равновесия.

Как видно из представленного выше перечня вопросов, курс “Дискретные математические модели” ориентирован на изучение именно прикладных аспектов теории графов, теории бинарных отношений, элементов комбинаторики, теории игр и др.

Представленная программа курса содержит довольно большой (и даже несколько избыточный) набор вопросов, что позволяет преподавателям варьировать номенклатуру изучаемых тем в зависимости от направления обучения студентов, уровня их базовой подготовки и профессиональных интересов, объема учебной нагрузки, выделяемой учебным планом на данный курс.

В ГУ-ВШЭ курс “Дискретные математические модели” читается на 1-2 курсах бакалавриата в объеме 28-44 аудиторных часов в зависимости от факультета. Так, например, для экономистов он читается в объеме 44 часов на 1 курсе бакалавриата и содержит практически все приведенные выше темы, а для политологов курс имеет меньший объем (28 часов), читается на 2 курсе бакалавриата и ориентирован на приложения, имеющие более тесную связь с общественно-политической сферой. Различные варианты распределения тем для разных факультетов представлены в таблице.

Таблица

Тема

Экономика

Менеджмент

Социология

Политология

Бизнес-информатика, прикладная математика

1. Элементы теории множеств

+

раздел изучается в других курсах

2. Паросочетания

3. Обобщенные паросочетания

4. Бинарные отношения, полезность и функции выбора

5. Задача голосования

6. Коллективные решения на графе

7. Системы пропорционального представительства

8. Коалиции и влияние групп в парламенте

9. Знаковые графы

10. Задача дележа

11. Игровые модели

Заметим, что каждый раздел обладает содержательной законченностью и самостоятельностью. Его изучение рассчитано, как правило, на 4 часа аудиторной нагрузки. Количество часов может быть увеличено за счет исключения из программы обучения отдельных вопросов, например помеченных *. Порядок изучения тем также может свободно меняться произвольно, за редкими исключениями. Например, было бы бессмысленно изучать бинарные отношения, не изучив элементы теории множеств. Нецелесообразно рассматривать системы пропорционального представительства, т. е. методы формирования парламента, после того как уже обсуждались вопросы влиятельности партий (групп) в парламенте. С целью повышения интереса студентов и создания у них дополнительной мотивации к дальнейшему изучению курса, иногда в начале курса для ознакомления излагается раздел “Задача дележа” (в программе он располагается ближе к концу курса), основные идеи которого наиболее тесно связаны с реальной жизнью, понятны практически каждому слушателю, а потому вызывают живейший отклик.

Особенности построения курса. Построение учебного курса “Дискретные математические модели” имеет ряд особенностей, направленных на устранение недостатков, свойственных традиционному пути изложения вопросов дискретной математики вне связи с конкретными практическими приложениями.

При традиционном подходе сначала излагается обширная математическая теория и только потом рассматриваются отдельные практические приложения, чаще всего не связанные с экономикой. Такой подход не способствует усвоению курса студентами-экономистами и создает впечатление оторванности курса от практических нужд.

Мы предлагаем проблемно-ориентированный подход к изучению программного материала: в начале каждой темы рассматривается ряд конкретных практических задач, заимствованных из социально-экономической и политической сфер жизни современного общества. Затем по ним строятся соответствующие математические модели. Далее для описания и изучения данных моделей предлагается компактный математический аппарат. Применение этого математического аппарата и позволяет решать ранее поставленные задачи, а также ставить и решать новые задачи.

Покажем, как эта схема может быть реализована на примере раздела “Обобщенные паросочетания”.

1. Описание практической задачи.

Сначала рассматривается пример распределения выпускников медицинских факультетов университетов в США по клиникам. Выпускники-медики высказывают свои индивидуальные предпочтения относительно клиник, которые предлагают им свои вакансии, а представители потенциальных работодателей, изучив документы соискателей и проведя собеседование с ними, также составляют свой список предпочтений. Возникает вопрос: как приемлемым образом распределить всех студентов по клиникам так, чтобы были учтены их предпочтения и предпочтения работодателей? Что значит учесть предпочтения обеих сторон?

2. Математическая постановка проблемы и построение математического аппарата для её решения.

Для ответов на поставленные выше вопросы требуется формализовать понятие предпочтения, выяснить какими бывают предпочтения, т. е. какие свойства могут быть им присущи. Это приводит к введению условий классической рациональности предпочтений, т. е. к рассмотрению предпочтений в виде линейных порядков.

Далее приходим к необходимости выяснить природу и вид строящегося соответствия между выпускниками и клиниками, что позволяет ввести определение обобщенного паросочетания.

Следующим шагом на пути построения модели является прояснение требования приемлемости паросочетания для участников процесса распределения вакансий. Как следствие рассуждений на указанную тему, вводятся понятия индивидуально рациональных и индивидуально иррациональных паросочетаний, устойчивых и неустойчивых паросочетаний, а также понятие блокирующей пары в паросочетаний при заданных предпочтениях участников.

Далее требуется понять, как же построить индивидуально рациональное устойчивое паросочетание и при каких условиях это можно сделать. Ответ на эти вопросы даёт теорема Гейла-Шепли, которая доказывается конструктивно и иллюстрируется соответствующими примерами. При этом сначала алгоритм построения обобщенного паросочетания описывается на конкретном примере, а затем формулируется в общем виде и на его основе доказывается теорема Гейла-Шепли.

Научившись строить обобщенные паросочетания “идеальные” в определенном смысле, можно ставить и последовательно решать следующие проблемы: а) насколько оптимальны для сторон построенные паросочетания, и б) можно ли манипулировать своими предпочтениями для получения выгоды?

3. Применение построенного математического аппарата и формулировка сходных задач.

Теперь студенты могут решать конкретные задачи, используя весь комплекс полученных знаний и умений, а также формулировать и рассматривать сходные, но имеющие и определенные особенности, практические задачи. Например, можно рассмотреть проблему расселения студентов по комнатам общежития с учетом их предпочтений, распределение студентов по спецкурсам в университетах, наём “бригад” работников и т. д.

Такой подход к изложению учебного материала позволяет повышать познавательные интересы студентов, а также усиливать мотивацию к изучению данного курса. Это связано прежде всего с тем, что студенты видят, как изучаемый математический аппарат может быть применён в практических ситуациях, казалось бы, внешне далеких от математики.

При изложении материала отдается предпочтение алгоритмическому подходу. Именно поэтому доказательства большинства теорем носят конструктивный характер, что позволяет не только обосновывать свойства изучаемых дискретных математических объектов, но и строить на практике дискретные объекты, обладающие заданными свойствами. Всё это развивает алгоритмическую культуру мышления студентов и профессиональную компетентность будущих экономистов.

Предлагаемый студентам материал обильно иллюстрируется примерами из современной российской и зарубежной социально-экономической и общественно-политической жизни. Например, при изучении темы “Коалиции и влияние групп в парламенте” рассматриваются оценки влияния групп и фракций в российском парламенте и в Совете министров Евросоюза, влияние стран в Совете Безопасности ООН, а при изучении темы “Знаковые графы” рассматриваются приложения теории структурного баланса к анализу сбалансированности литературных произведений.

Основными формами учебных занятий являются лекции и практические занятия. На лекциях излагается основной теоретический материал курса. Лекции проходят в форме своеобразных консультаций. К предстоящей лекции студенты получают задание проработать соответствующий теоретический материал по учебному пособию и дополнительной литературе, подобрать иллюстрирующий тему практический материал (примеры конкретных трудовых споров, слияния фирм, раздела наследства, правил принятия решений в конкретных акционерных обществах, банках и т.д.). Лектор излагает материал, с которым слушатели уже ознакомились заранее, в конспективной форме, расставляя при этом акценты на наиболее значимых или сложных для восприятия и понимания вопросах. При таком подходе высвобождается время для ответов на вопросы студентов, на расширение и углубление изученного материала.

Данный вариант построения лекций способствует развитию у студентов навыков самостоятельной работы с учебной и научной литературой, в том числе и на иностранных языках.

Лекции поддерживаются практическими занятиями. Базовое учебное пособие [1] снабжено большим количеством задач и упражнений. Большинство предлагаемых студентам задач носят профессионально-ориентированный прикладной характер. Пособие содержит задания следующих типов:

1) задачи, разъясняющие содержание основных определений и теорем;

2) задачи, разъясняющие основные идеи доказательств;

3) задачи на проверку выполнения условий теорем;

4) задачи на построение контрпримеров;

5) задачи на изучение работы некоторого метода или алгоритма в стандартных ситуациях и в особых случаях;

6) задачи на доказательство;

7) задачи практического содержания на построение несложных математических моделей, аналогичных изученным;

8) задания исследовательского характера.

Применение в учебном процессе таких заданий в едином комплексе развивает у студентов практические навыки по решению задач как собственно математического, так и прикладного характера, содействует развитию у них логического мышления и неформального оперирования абстрактным математическим инструментарием.

Некоторые практические занятия проводятся в форме деловых игр. Например, при изучении процедур справедливого дележа на занятии моделируются различные ситуации: ведение переговоров работодателя с трудовым коллективом по достижению взаимоприемлемых договоренностей в трудовых спорах, ведение переговоров по разделу имущества между супругами при бракоразводном процессе и т. д. Также активно используются возможности проведения мини-исследований по ряду программных вопросов. Например, студентам предлагается написать небольшое исследование на тему “Как принять коллективное решение?” на основе анализа учебного материала и дополнительной научной литературы.

Таким образом, и содержание курса “Дискретные математические модели”, и особенности организации учебного материала теоретического и практического характера, и формы проведения занятий направлены на реализацию прикладной составляющей курса и на усиление мотивации изучения студентами экономических специальностей предметов математического цикла.

ЛИТЕРАТУРА

1. Алескеров Ф.Т., Хабина Э.Л., Шварц Д. А. Бинарные отношения, графы и коллективные решения / Учебное пособие для вузов. — М.: Издательский дом ГУ-ВШЭ, 2006. 298 с.

2. Aleskerov F., Khabina Е. Teaching mathematics in the State University “High School of Economics”. 10th International Congress on Mathematical Education. July 4-11, 2004. Copenhagen, Denmark. - P. 10-12.

Поступила 17.07.2010

REALISATION OF A PRINCIPLE OF APPLIED ORIENTATION IN A COURSE “DISCRETE MATHEMATICAL MODELS” FOR STUDENTS OF ECONOMIC SPECIALITIES AT HIGHER SCHOOL

E. L. Khabina

Possible ways are discussed to realize the applied direction in the course “Discrete Mathematics” on the base of revising its structure and content. The content of the course “Discrete mathematical models” worked out in State University Higher School of Economics for students of economic professions is described, different variants of the program formation for students of other professions are proposed, features of presentation of the education stuff on the base of problem-oriented approach are discussed as well.

Keywords: discrete mathematical models, the problem oriented approach, the course program, applied direction of the course.

НЕПРЕРЫВНОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

УДК 51

ЧТО ТАКОЕ ПРОЦЕНТ?

А. В. Боровских, Н. Х. Розов

Московский госуниверситет им. М. В. Ломоносова Россия, 119991, г.Москва, Ленинские горы, МГУ, ФПО тел.: (495) 939-32-81; e-mail: fpo.mgu@mail.ru

Обсуждается вопрос о том, что представляют собой проценты с точки зрения математики и почему в учебной литературе для средней и высшей школы они окружены “наукообразием”. Предлагается новый, более простой и рациональный подход к ознакомлению учащихся с процентами.

Ключевые слова: процент, школьный курс математики, финансовая математика, статистика, промилле.

1. Изучению процентов в программе школьного курса математики отводится весьма заметное место и выделяется достаточно много времени для их “капитального” усвоения. К ним возвращаются несколько раз и в основной, и в старшей школе, их изложение превращено в отдельную линию школьной математики. В учебниках им отводят значительный объём и посвящают большое количество задач. Педагогические наблюдения свидетельствуют, что эта тема является очень трудной, даже проблемной для учащихся и “страшной” для поступающих в вузы. Да и в высшей школе, например на экономических специальностях, часто обнаруживается, что, сталкиваясь с процентами, многие студенты чувствуют себя весьма неуверенно.

Обращаясь к анализу “проблемы процентов”, необходимо с самого начала чётко и недвусмысленно позиционировать её как нематематическую. Процент не является математическим понятием, не относится к числу “открытий” математики. В математической теории и в её приложениях он не играет никакой роли, не применяется и не исследуется — математики без него вполне обходятся. В фундаментальной энциклопедии [1] этот термин отсутствует; нет его и в научных справочниках по математике [2] и др.

Изучение и использование процентов в курсе школьной математики объясняется лишь установившейся традицией и чисто прагматическими соображениями. Исторически сложилось так, что люди привыкли привлекать проценты как удобное средство для того, чтобы по возможности кратко сообщить количественную информацию о сравнении различных данных, для формального описания (но отнюдь не изучения!) относительного изменения измеряемых величин (скажем, с течением времени). Именно в таком качестве (и только в таком качестве!) проценты употребляются при общении людей, а также в технике, экономике, статистике, социологии, психологии, химии, биологии, фармакологии и др.

Однако волей авторов школьной программы и школьных методистов процент из скромного технического способа представления результатов сравнения величин превратился в отдельное “понятие”, в большую “тему”, в грозного

стража математического таинства1. В изрядном количестве статей и пособий “про проценты” наводится такой “теоретический лоск”, так подробно излагаются разнообразные “тонкости”, так тщательно классифицируются “типы задач”, что создается впечатление: раздел “Проценты” и в самом деле является отдельной и серьезной главой математики.

Между тем всё это не имеет никакого отношения к математической сути дела и порождается всего лишь живучей тенденцией всячески внедрять “наукообразие” в школьную математику. Попытаемся разобраться, что же такое процент, почему он доставляет столько мук обучающимся и какова оптимальная, на наш взгляд, методика ознакомления с процентами и их применением.

2. Если проанализировать объяснения или определения процента из различных учебников для средней и высшей школы, из справочников и энциклопедий для учащихся, методической литературы, то, к большому удивлению, сразу же обнаруживаются непривычные для математики неопределённости, неточности и разночтения.

Мы воспроизведём некоторые такие “определения понятия процент” (обойдёмся без ссылок на источники).

“Процент — одна сотая часть”. Возникает вопрос: часть чего? Ведь “часть” бывает только “у чего-то целостного”, а ни про какое “целостное” в определении не говорится. Кроме того, как согласуются между собой выражения “процент”, “один процент” и “1%”? И какой точный математический смысл имеет сам по себе значок “%”?

“ Процент — сотая доля целого, принимаемого за единицу”. Читая фразу “В выборах участвовало 62,7% избирателей”, школьник действительно должен представлять себе, что “целое”, т.е. общее число избирателей, равно 1?

“Одну сотую часть числа (величины) называют процентом этого числа (величины)”. Откуда берётся “это число (величина)” ? Оно любое — или как-то (кем-то) выбрано? Понимает ли школьник разницу между терминами “число” и “величина” — или это просто синонимы?

“1% от А означает сотую долю некоторого числа А, обычно именованного...”. “Сотая доля именованного числа” автоматически является числом именованным; поэтому “1%” в каждом конкретном случае имеет отдельный “именованный” смысл. Значит ли это, что существует много разных “процентов”? А как школьник должен понять, почему ир% от А“ означает, что ”1% от А“ надо умножить на р? ”... Процентом от любой величины называется её одна сотая часть“. Могут ли школьники чётко объяснить сходство и различие между ”некоторым числом“ и ”любой величиной"?

Ещё одна цитата (стиль оригинала сохранён): “Для обозначения одной сотой числа употребляется слово процент: У10о — процент. ... При записи вместо слова процент используют значок %. Например, вместо слов один процент пишут: ”1%“... 1% — это У10о от целого. Целое составляет 100/ioo”- Доступно ли школьнику такое невнятное объяснение?

А вот приведенное в качестве образца решение задачи “Сколько процентов составляет 120 от 250?”: “(120/250) • 100% = 0,48 • 100% = 48%”. Как это согласуется

1 Поиск в Интернете по ключевому словосочетанию “Задачи на проценты” уже в первой двадцатке ссылок дает три учебных пособия, четыре обсуждения проблемы “как решать задачи на проценты”, две методические разработки, программу автоматического составления задач на проценты и пр.

с определением процента? И почему можно число 0,48 умножить на число 100, а затем приписать к произведению символ %?

3. Переходя к решению “проблемы процентов”, необходимо прежде всего отметить два принципиальных момента.

1. Процент — это не понятие, его не надо определять. Процент — это удобное, традиционно используемое обозначение, его употребление и надо объяснить.

2. Математика процентов тривиальна (мы её изложим ниже), трудности в решении “задач на проценты” носят нематематический характер.

Ознакомление с математической стороной манипуляций с процентами, по нашему мнению, надо начинать с простого и формального объяснения смысла символа “%”. Хорошо известно, что одно и то же число может записываться с помощью различных обозначений (и в разных ситуациях используется то из них, которое удобнее). Так, число “восемь” изображается символами: 8; VIII; 8,000; 8/1; 7,(9); (%) ; log2256 и т.д. При работе в 16-ричной системе счисления необходимо привлечь обозначения для дополнительных цифр (например: А = 10, В = 11,..., F = 15). Для некоторых иррациональных чисел принято использовать искусно придуманную запись: л/17. За отдельными особо “выдающимися” числами закреплены специальные буквы: 7Г, е, ер (число Фибоначчи) и др.

Мы предлагаем использовать эту вполне стандартную для математики возможность и принять следующее

Обозначение. Число /1(Ю = 0,01 иногда обозначается ещё и значком %, который называется “процент”:

Если р — действительное число, то выражение р% (читается: ипэ процентов") представляет собой произведение чисел р и %:

(1)

Слово “процент” (ударение делается обязательно на букве “е” — существительное мужского рода (от лат. “pro centum” — “на сотню”)2.

К введённому обозначению надо, конечно, привыкнуть, осознать, что в употреблении для числа /10о = 0,01 ещё и нового значка % нет ничего особо необычного и неожиданного. Если угодно, в записи % = 0,01 можно видеть аналогию со столь привычной для нас записью тт = 3,14... А выражение р% вполне логично понимать как произведение двух чисел р и % с опущенным по традициям алгебры знаком умножения (точка “ •”).

2 На Западе распространена манера записывать, например, дробь 0,35 в форме “.35”, опуская “ноль целых” и используя для отделения дробной части точку. При этом часто вместо “1%” употребляется обозначение “.01”.

Необходимо иметь в виду, что в русском языке слово “процент” имеет и другое смысловое значение — выражает факт, что заёмщик, помимо возврата денежных средств, предоставленных ему кредитором, должен ещё дополнительно заплатить кредитору за факт использования этих средств (ср.: “Банк предоставляет кредиты под проценты”).

В частности, 1% = 1 • /100 = /юо = 0,01 — и мы получаем еще одну новую форму записи дроби 0,01. Так как 100% = 100 • У10о = 1, то, значит, в виде 100% можно записывать число 1.

Очевидно, справедлив и следующий общий факт: любое число а можно записать в виде

(2)

Если некоторое число а представлено с помощью символа % в виде (100 а) %, то говорят, что это число а выражено в процентах.

Скептицизм в отношении трактовки символа % как числа довольно часто возникает в связи с вопросом, как с этим “числом %” проводить операции. Ответ: точно так же, как они выполняются, например, с числом 7г — с той лишь (весьма удобной нам) разницей, что в любой момент можно вместо подставить его точное численное значение. Ничто не мешает понимать запись а + % как сложение а + 0,01, степень (%)2 как умножение %% и т. д. и проводить, скажем, такие вычисления:

И здесь возникает принципиальный вопрос: почему же это никогда и нигде не делается? Всё дело в том, что использование символа % в стандартных арифметических вычислениях и алгебраических преобразованиях не доставляет никакого удобства, не даёт никаких преимуществ. Поэтому ни в арифметике, ни в алгебре (да и во всей математической науке в целом) в символе % нет никакой необходимости, и он там никогда не встречается.

4. Исторически появление процентов не имеет под собой никакого научно-математического основания, а связано, по-видимому, с чисто психологическими мотивами.

Людям очень часто приходится проводить сравнение двух различных положительных чисел3. Одно из них — то, с которым проводится сравнение, -мы назовём эталоном и будем обозначать его M (считая, что M > 0), а другое — то, которое сравнивается, — назовём вариантой и будем обозначать m (полагая, что m > О)4. Существуют три типа сравнений:

а) Абсолютное сравнение варианты с эталоном определяется вопросом “На сколько варианта отличается от эталона?”. Результат А = m — M такого сравнения называется отклонением варианты от эталона.

3 Классические понятия качественного и количественного сравнения различных объектов, величин, чисел составляют содержание отдельной дисциплины, этого мы касаться здесь не будем. Кстати говоря, очень жаль, что ни школьная, ни многие вузовские программы не предусматривают знакомства с этими исключительно важными — в теоретическом и в практическом плане — вопросами.

4 Термин “эталон” (от фр. “étalon” — “эталон”) хорошо известен и означает “образец для сравнения”. Менее популярен использованный нами термин “варианта” (от лат. “varians” — “изменяющийся”), который надо понимать как “величина, отличная от эталона”, “изменившаяся величина”. Обоснованием введения этого термина может служить то обстоятельство, что в приложениях типична ситуация, когда с одним фиксированным эталоном приходится последовательно сравнивать много разных величин.

б) Относительное сравнение варианты с эталоном определяется вопросом иВо сколько раз варианта отличается от эталона?". Результат А = = т/М такого сравнения называется отношением варианты к эталону.

в) Относительное сравнение отклонения с эталоном определяется вопросом “Во сколько раз отклонение варианты от эталона отличается от эталона?”. Результат е = (га — M)/M такого сравнения называется относительным отклонением варианты от эталона.

Ясно, что результаты обоих относительных сравнений представляют собой отвлеченные, вообще говоря, дробные числа, и эти дроби могут быть довольно громоздкими.

Психологически человек испытывает антипатию к “слишком длинным” или “слишком громоздким” числам — число 29375640173,7492804513385 ни прочитать, ни воспринять, ни тем более запомнить фактически невозможно. Так как на практике обычно важна не “идеальная точность”, а “удобное приближение”, то в первую очередь роль играют “величина разрядности” числа и его одна или две (реже три) первые значащие цифры — именно эти характеристики числа и выделяют. Например, указанное выше число, если оно действительно встретится, наверняка запишут в форме 29-Ю9. Или 2,9-1010, в крайнем случае 0,29 • 1011. В случае именованных чисел этой же цели служат шкалы единиц измерения: так, вместо 0,00000005371902 км пишут 0,05 мм.

Допустим теперь, что мы хотим сообщить конкретную ситуацию выборов: из 864 избирателей за Иванова проголосовали 327 человек. Как по возможности кратко и доходчиво охарактеризовать “степень” успеха Иванова, то, как далеко он оказался от “полной победы”? Здесь речь идёт об относительном сравнении числа избирателей, отдавших свои голоса Иванову (число 327 — варианта), с общим числом избирателей (число 864 — эталон). Ясно, что “доля голосов, которую получил Иванов, составляет 327/s64 от общего числа голосов”. Но уж очень громоздко и необозримо! Можно эту обыкновенную дробь сократить: 10%88 или привлечь десятичные дроби: 327/s64 = 0,3784722 ..., однако и эти записи результата выборов тяжеловесны, их сложно запомнить и трудно себе представить.

Поскольку “далёкие” десятичные знаки в последней дроби никакой роли не играют, удобно ещё более упростить ответ и сказать: “Иванов набрал без малого 0,38 от числа всех голосов”. Или “Иванов собрал чуть меньше 38/юо от всех голосов”. Эти две дроби допускают довольно прозрачную интерпретацию: за Иванова проголосовало в среднем почти 38 человек из каждой сотни избирателей. Коротко и легко запоминается!

Этот и многие другие реальные примеры показывают, что представление результата относительного сравнения в форме “ сколько-то на сотню” оказывается чрезвычайно удобным и ярким. Поэтому понятно естественное стремление к стандартизации этой формы, заключающейся в стилизации части дроби “ /юо” в виде специального символа “%”. Такое обозначение позволяет сформулировать результат упомянутого выше голосования совсем кратко и удобно: “Иванов собрал почти 38% голосов”. Кстати, здесь проявляется и ещё одна психологическая особенность: интуитивное нежелание людей лишний раз использовать дроби, стремление чаще работать с целыми (или по

возможности — “короткими”) числами5. В силу этого привычка использовать проценты для сообщения результата относительного сравнения оказалась такой популярной и живучей.

Проценты традиционно применяются исключительно как средство записи результата относительного сравнения положительных величин, то есть отношения или относительного отклонения таких величин — и больше нигде. В этом и только в этом состоит единственное общепринятое разумное предназначение процентов. Взятый сам по себе, “процент” не позволяет ничего подсчитывать, преобразовывать, находить. Проценты являются просто одной из технических, но весьма распространённых форм представления данных.

И ещё одно принципиальное замечание. Если в результате сравнения величин установлено, что одна из них составляет 0,28 другой, то мы можем выразить этот факт словами “Одна величина составляет 28% от другой”. Однако если в какой-либо иной ситуации (в обиходе, в таблице данных, в арифметической задаче, при расчётах и т.д.) мы встречаем дробь 0,28, то её бессмысленно читать “28 процентов”6!

5. Алгоритмы “математики процентов” чрезвычайно просты, они состоят только в преобразовании формы представления отношения. Пусть нас интересует относительное сравнение варианты m > 0 с эталоном M > 0. Результатом этого сравнения является числовое отношение т/м- Построим специального вида пропорцию т/м = ^/юо5 тогда исходное числовое отношение можно заменить равной ему дробью ^/юо- Если при этом число р оказывается “удобным”, есть смысл использовать проценты и записать результат сравнения в форме ир%\ (Совершенно аналогично обстоит дело в случае, когда речь идёт об относительном сравнении отклонения с эталоном.)

Как правило, в выражении р% число р стараются сделать целым (то есть результат сравнения округляется до целого числа процентов), и притом желательно, чтобы оно было не более чем трехзначным. При особой необходимости, конечно, могут добавляться и десятые, и сотые доли процента, например: 135,2% или 0,08%. Однако следует помнить: чем больше десятичных знаков пишется, тем меньше смысла выражать результат сравнения “в процентной форме”, ибо её удобство как раз и заключается в использовании не слишком “длинных” чисел.

Уместно обсудить ещё один любопытный вопрос: почему выделяется именно сравнение “столько-то на сотню”, то есть пропорция т/м = ^/ю(Ъ и почему именно для числа У10о “прижилось” специальное обозначение? Ответы на эти вопросы нет смысла искать в математике, поскольку они лежат за её пределами и состоят в использовании для каждого конкретного случая психологически наиболее удобной формы представления данных.

5 Кстати, с этой же целью вводятся и многие профессиональные “неметрические” единицы измерения, например, “карат”.

6 Как было указано выше, по формуле (2) любое число формально может быть “выражено в процентах”. Но использовать такое “процентное представление чисел” вне сферы сравнения величин так же противоестественно, как и попросить в магазине продать 2500 карат сметаны.

Прежде всего отметим, что люди далеко не всегда используют обязательно сравнение “столько-то на сотню”. Вспомните фразы: “из трёх бросков два оказываются удачными”, “в пальто идёт примерно один из двадцати встречных”, “каждый пятый билет — выигрышный” и т. п. Это и есть “другие” формы выражения сравнения величин. Например, фраза “восемь попаданий из каждых десяти выстрелов” означает, что результат относительного сравнения варианты (число попаданий) с эталоном (число всех выстрелов) приблизительно равен 8/10 = 0,87.

Однако, например, для дроби У10 специального обозначения исторически не возникло — не сложилось. Наверно, потому, что сравнение “столько-то на десятку” не даёт возможности обеспечивать достаточную точность результата сравнения величин, используя “удобные” (“короткие”) числа. Но и дробь /юо не является единственной, которая имеет свой персональный символ. Достаточно широко употребляется (прежде всего, в химии, биологии, фармакологии) специальное обозначение для числа Уюоо ~~ значок “%о” Он называется “промилле” (с ударением на “и”), а его название (от лат. “pro mille” -“на тысячу”) является несклоняемым существительным женского рода.

6. Как же именно используются проценты на практике и какие задачи в связи с этим приходится рассматривать? Отметим сразу, что приведенные выше обозначение (1) и представление (2) позволяют сделать заключение, что, собственно, в математике изадач на проценты" как таковых вообще не существует. Любая задача, где в той или иной форме фигурируют проценты, всегда фактически состоит из двух последовательных процедур: из переформулирования исходной задачи в арифметических терминах (т. е. замены значка % на число 0,01) и из решения обычной арифметической задачи (в которой значок % уже не участвует, а нужно оперировать только с целыми и дробными числами).

Таким образом, становится очевидным, что типов “задач на проценты” (то есть задач преобразования “процентной формы” в арифметическую) всего два. Их рассмотрение связано с рассуждениями несколько формально-занудными, но неизбежными.

I. Относительное сравнение с эталоном M > 0 варианты m > 0. Результат такого сравнения т/м = ^ если воспользоваться представлением (2), может быть записан “в процентах”:

(3)

выражение р% называется процентным отношением (не путать с числом £>)8.

7 Конечно, результат этого сравнения имеет “усреднённый” смысл: он вовсе не означает, что из любых 10 выстрелов цель обязательно будет поражена 8 раз.

8 “Процент” допускает весьма естественную наглядную интерпретацию. Числа À и р% являются просто двумя различными эквивалентными (тождественными) формами записи одного и того же результата “измерения” варианты m с помощью “единицы измерения” — эталона M. А каков же смысл самого числа pi Ничто не мешает нам ту же самую варианту га “измерять” с помощью другого эталона, например, 1/\qqM. (Ведь можно измерять метром, а можно — сантиметром.) Так как “единица измерения” уменьшилась в 100 раз, то результат нового “измерения” увеличится в 100 раз и окажется равным 100 Л = р (см.

Ключевая фраза задач этого типа — “ варианта m составляет р% от эталона М” — математически записывается формулой (3), или

(4)

II. Относительное сравнение с эталоном M > О отклонения А = m — M варианты m > 0 от этого эталона. Результат такого сравнения A/M = е может быть записан “в процентах”:

(5)

выражение q % называется процентным относительным отклонением9 (не путать с числом q). Ключевая фраза задач этого типа — “варианта m отличается на q% от эталона М” математически записывается формулой (5), или

(6)

Формулами (4) и (6) полностью исчерпывается весь тот багаж математических знаний о процентах, который необходим согласно программе школьного курса математики. Те серьёзные проблемы, которые возникают в связи с “задачами на проценты”, вызываются не самим значком “%” и не “арифметическими аспектами” этих задач, а психологическими трудностями свободного, полного и точного понимания учащимися подчас специфических и непривычных деталей формулировок “задач на проценты”10. Это требует серьёзной перестройки методики изучения процентов в школе (см. [3])11.

Пожалуй, единственной областью знаний, где проценты не просто привлекаются для технического описания результата сравнения, а используются в ходе содержательных исследований — финансовая математика. Она показывает, как удобно использовать проценты — и для характеристики актуальных для современной действительности новых фундаментальных понятий, и в серьёзных вопросах, имеющих важное значение для людей (эконо-

(3)), т.е. сотая доля эталона M в варианте m “укладывается” р раз. Следовательно, число р является отношением варианты к сотой доле эталона. Легко видеть, что если Л — отношение варианты к эталону, то число А % является отношением той же варианты к 100-кратно увеличенному эталону.

9 Неравенство q % > 0 соответствует случаю “варианта больше эталона”, a q % < 0 — случаю “варианта меньше эталона”. На практике обычно предпочитают использовать “проценты без знака”: при q% < 0 принято вместо “варианта отличается от эталона на д%” говорить “варианта меньше эталона на \q\ %”, а при q% > 0 говорят “варианта больше эталона на q %”.

10 Вот типичные примеры: всякий ли ученик 6-7 класса понимает разницу между выражениями “цена упала на 32%” и “цена упала до 68%”; понимает бессмысленность вопроса “На сколько процентов различаются между собой числа 17 и 19?”; понимает смысл фразы “уровень безработицы приближается к 15%”; понимает, что реклама “Использование нашей щёточки для ресниц на 72% увеличит выразительность Вашего взгляда” рассчитана на “лоха”?

11 Уровень освоения школьниками “процентов” иллюстрирует старый анекдот. Пожилая учительница встречает на улице своего бывшего выпускника. “Володя, я очень рада тебя видеть. Как ты сейчас живешь?”. “Всё у меня о-кэй, Марьванна. Бизнесом занимаюсь, торгую”. “Да как же это ты бизнесом-то занимаешься? Ты ведь в школе даже проценты усвоить не мог!”. “А чё там усваивать? Вот покупаю коробку американских сигарет за 17 долларов, а продаю за 19. На эти два процента и живу.”

мическая статистика, начисление налогов, накопление вкладов, финансовые пирамиды и др.).

К сожалению, в этой науке всё время подчёркивается различие между записью величины “в форме дроби” и представлением её “в процентах”. В этой связи целесообразно обратить внимание на то, какие неудобства вызывают “традиционные” определения “процента”, путаница из-за попытки разграничить “проценты” и “дроби”.

Например, в учебнике [4] читаем (стиль оригинала):

“В нашем изложении процентная ставка г, как и другие виды процентных ставок, ... имеют двоякий математический смысл: в расчётных формулах они, как правило, понимаются как сотые доли, при этом в их записи не используется символ % (конечный результат после вычислений по формуле может быть равен, например, 0,05 или 0,1 и т.д.), в то же время в тексте процентные ставки имеют уже реальный смысл процента и фактически всегда сопровождаются символом % (например, г = 10%). В тех же случаях, когда могут быть отступления от этого правила, соответствующий смысл числового значения процентной ставки необходимо должен следовать из контекста”. Далее приводится образец решения задачи: “...процентная ставка г в этой сделке составит г = (10000 - 5000)/5000 = 1, т.е. г = 100%”.

Оставим в стороне неясные высказывания относительно “двоякого математического смысла” и “реального смысла процента”. Математика требует всячески избегать ситуаций, когда одинаковое обозначение (буква) используется в одном тексте в разном смысле (правым частям равенств г = 1 и г = 100%, авторы приписывают “разный” смысл), а вылавливание “соответствующего смысла” из контекста существенно затрудняет понимание. Между тем предлагаемое нами понимание символа “%” это неудобство сразу же полностью снимает: и 1, и 100% в правых частях указанных равенств означают одно и то же число. Если принять новую трактовку символа %, то при проведении вычислений абсолютно безразлично, как в формуле Si = S(l + r) записать число г: как обыкновенную дробь, как десятичную дробь или с использованием символа “%”, ибо всё это — три совершенно эквивалентные формы записи одного и того же числа: например, г = 3/20 = 0,15 = 15%.

Посмотрим и ещё один учебник по финансовой математике [5], где также довлеет наше традиционное представление о некоем “различии” между “дробями” и “процентами”:

“Процентная ставка ... измеряется в виде десятичной или обыкновенной дроби ... или в процентах. При выполнении расчётов процентные ставки обычно измеряются в десятичных дробях. ... Наращенная сумма ... находится как S = Р(1 + ni). ... г — ставка наращения процентов (десятичная дробь)”. И в то же время чуть дальше используется запись “г = 20%”.

В заключение — вопрос, на который читателю предлагается быстро ответить устно: что больше: число, составляющее 7г% от числа е, или число, составляющее е % от числа 7г?

ЛИТЕРАТУРА

1. Математическая энциклопедия. В 5 т. / Под ред. Ю. В. Прохорова. — М.: Изд-во “Сов. энциклопедия”, 1977-1985.

2. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. Определения, теоремы, формулы / Под ред. И. Г. Арамановича. — М.: Физматлит, 1973.

3. Боровских А. В., Розов Н. Х. О бедном проценте замолвите слово ... // Математика в школе. 2010. №3. С. 3-15.

4. Бочаров П. П., Касимов Ю.Ф. Финансовая математика. — М.: Физматлит, 2005.

5. Четыркин Е. М. Финансовая математика. 6-е изд., испр. — М.: Дело, 2006.

Поступила 11.03.2010

WHAT IS THE PERCENTAGE?

A. V. Borovskikh, N. Kh. Rozov

The following question is discussed: what is the percentage from the viewpoint of mathematics and why in the books for higher schools and institutes they are surrounded by the 'sciolism'? The paper proposes a new, more simple and rational, approach to getting to know the “percentage”.

Keywords: percentage, mathematics in the school, financial mathematics, statistic.

НЕПРЕРЫВНОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

УДК 62; 372.8.(47)

ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ РЕСУРСЫ РУНЕТА: СОСТОЯНИЕ И ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ

В. М. Бусев

Научная педагогическая библиотека им. К. Д. Ушинского Российской академии образования Россия, 119017, г.Москва, Б. Толмачевский пер., д. 3 e-mail: vbusev@yandex.ru

Рассмотрены особенности освоения преподавателями новых информационных технологий, проведён анализ имеющихся математических образовательных ресурсов русскоязычной зоны интернета и сформулированы требования к интернет-ресурсам для преподавателей математики.

Ключевые слова: сайт, портал, преподаватель математики, электронная библиотека.

Введение

В мае 2010 года на конференции “Колмогоровские чтения”, ежегодно проходящей в Ярославле, заместитель директора Московского центра непрерывного математического образования В. Д. Арнольд рассказал о некоторых интернет-проектах для преподавателей математики: сайте Math.ru, научно-популярных ресурсах “Математические этюды” и “Механизмы Чебышева”, электронных библиотеках “Книгоархив издательства «Матезис»”, “Вестник опытной физики и элементарной математики” и “Математическое образование: прошлое и настоящее”. Названные сайты поддерживаются небольшой группой лиц. В их число входит и автор настоящей статьи, которому Г. М. Полотовский предложил написать обзор имеющихся интернет-ресурсов, касающихся математического образования.

В ходе обдумывания статьи стало понятно, что возможны два варианта: либо сосредоточиться на рассмотрении конкретных сайтов (и тогда статья будет представлять собой набор аннотированных ссылок), либо рассмотреть ресурсы для преподавателей математики комплексно, выделяя типичное (и тогда статья будет представлять собой аналитический обзор). Учитывая, что количество достойных ресурсов сети для преподавателей математики невелико и фактически ограничивается перечисленными выше проектами, автор решил пойти по второму пути.

Довольно скоро выяснилось, что рассматривать интернет-проекты для преподавателей математики вне связи с другими образовательными ресурсами нецелесообразно, поскольку они являются их подмножеством и “наследуют” многие их типичные признаки. Вместе с тем сайты, полезные преподавателям математики, из обзора не исключаются, хотя и будут играть несколько подчиненную роль, выступая в качестве примеров. Кроме того, ниже мы постараемся выяснить, ресурсы какого типа нужны именно преподавателям математики и в каких направлениях желательно развивать некоторые из уже имеющихся.

Источниками для настоящей работы послужили статьи и книги, в которых рассматриваются вопросы теории и практики создания образовательных сайтов, порталов и сетевых сообществ учителей, а также сами эти ресурсы или им аналогичные.

Люди осмысляют новое

Появление сначала компьютеров, а затем и средств связи между ними (сетей) открыло новые возможности в самых разных областях, в том числе и в образовании. Осознание этого факта наступило довольно быстро: заговорили о новой эпохе, об “информационном обществе”. Значительно медленнее идет процесс поиска конкретных путей развития образования в новых условиях, хотя если судить по количеству опубликованных по этому вопросу статей и книг, может сложиться обратное впечатление. В действительности же подавляющее большинство этих статей показывает, что образовательное сообщество явно не понимает, как действовать в новых реалиях, что делать со всеми этими компьютерами и интернетом. Одни (и их пока большинство) боятся всего нового либо искренне не понимают, зачем всё это нужно (“я и так учить умею”). Другие, вдохновляясь открывшимися перспективами, устремляются мыслями в будущее и пытаются строить какие-то явно воздушные замки, причем нередко совершенно на пустом месте1. Третьи, наиболее практичные, начинают активно осваивать средства, выделяемые в рамках грантов или федеральных программ, и беззастенчиво предлагают считать как минимум сомнительные результаты своего труда чем-то важным и эпохальным.

Характерной особенностью идущих сейчас процессов осмысления новой реальности стало введение в оборот значительного количества терминов вроде “мультимедийность”, “интерактивность”, “информационная компетентность”, “информатизация”, “телекоммуникационный проект” и т. д. Мало кто понимает, что за этими словами стоит, но все активно насыщают ими свои тексты, стараясь “не отстать” от веяний времени. Последним новшеством на данный момент является слово “инновация” и его производная “инновационный”. Как по мановению волшебной палочки, всё вдруг стало (точнее, должно стать) инновационным: школы и вузы, наука и технологии, бизнес и управление. .. Похоже, что смысл всех этих фраз остается неизвестным ни тем, кто адресует их обществу, ни самому обществу. Отсутствие же понимания при наличии выделенных государством средств, которые необходимо “освоить”, закономерно приводит к такому явлению, как имитация бурной деятельности.

Это явление не новое. Применительно к школьному образованию уместно вспомнить, например, реформы 1920-1930-х и 1960-1970-х гг. В первом случае делались попытки построить новую школу, в центре которой находился бы труд (изучение трудовых процессов и непосредственное участие детей в них). Во втором случае пытались сблизить содержание школьных предметов с содержанием соответствующих научных дисциплин (применительно к математическому образованию это называлось "повышение идейно-

1 В этом контексте интересно звучит, например, название следующей статьи, которую нам довелось прочесть в одном сборнике: “Единое информационное пространство поселковой школы”.

теоретического уровня преподавания математики“). Конечно, были придуманы соответствующие слова-лозунги: ”политехнизация“ в первом случае и ”научно-техническая революция" во втором. Понятно, что политехнизация предполагает в какой-то форме изучение в школе трудовых процессов; не было сомнений в том, что научно-техническая революция очевидным образом связана с развитием науки и её влиянием на развитие техники. Но что конкретно делать учителю — этому всегда уделялось мало внимания. В результате начиналась имитация какой-то деятельности, которая приводила в замешательство и нервировала большинство педагогов и имела мало общего с тем, что задумывали реформаторы.

То же самое происходит и теперь. От преподавателей средней и высшей школы требуют “инноваций”, повышения своего “уровня ИКТ-компетенции”, внедрения “новых информационных технологий” в практику обучения, но не объясняют смысла произносимых слов и не дают каких-то понятных образцов для работы. В результате преподаватели создают абсолютно непрофессиональные сайты; усаживают учащихся за компьютер, когда без этого вполне можно обойтись; используют на занятиях презентации, искренне полагая, что всё это и есть “применение новых информационных технологий в образовании”. Удовлетворённые руководители рапортуют об успехах своих подопечных “наверх”, и создается впечатление, что “дело идет”, хотя описанные достижения — это даже не полдела.

Еще одна особенность процессов осмысления новой реальности — и это хорошо видно по публикациям — ярко выраженный страх перед происходящими изменениями. Почти каждая статья начинается фразой типа “развитие информационных технологий ставит преподавателей перед необходимостью. .. ”, “новое информационное общество предъявляет школе и вузу свои требования... ”, “современная ситуация в мире диктует образованию... ” и т. д. Эти фразы говорят о том, что педагогическое сообщество воспринимает ситуацию как стихийное бедствие, которым оно не может управлять, а потому обязательно должно под него подстроиться. При этом, как справедливо отмечается в статье Е. В. Доманского, все эти слова “подаются как истина в последней инстанции и скорее переходят уже не в область научных знаний, а веры и заклинаний” [1, с. 261].

Упомянутое в цитате слово “вера” как нельзя лучше характеризует те надежды, которые возлагают некоторые педагоги и управленцы на информационные технологии в образовании. Во многих статьях вопросы внедрения интернета в образование прямо связываются с доступностью и качеством последнего2. И если гипотеза о повышении доступности образования с развитием сетевой коммуникации в целом не вызывает возражений, то связь новых технологий и повышения качества вовсе не очевидна. Из публикаций складывается впечатление, что стоит только поставить во все образовательные учреждения компьютеры, обучить педагогов работе с ними, как образование вдруг станет “качественным” (и, конечно, “инновационным”). Совершенно очевидно, что компьютерное оборудование и минимальные пользовательские

2 Мы не знаем, что понимается авторами публикаций под словом “качество” применительно к образованию.

навыки являются только предпосылкой для качественных изменений в образовании, а не составляют их суть. Главное не в технологиях, а в педагогах, которые будут использовать эти технологии; в содержании, которое они будут осваивать вместе с учащимися посредством технологий.

Таким образом, есть основания полагать, что образовательное сообщество, столкнувшись с новыми реалиями, погрузилось в состояние хаоса и растерянности. И хотя нередко оно делает вид, будто смело идет вперед, “не отстает от требований жизни”, осваивая и внедряя информационно-коммуникационные технологии, хорошо видно, что эта смелость похожа на смелость храброго Зайца из сказки Д. Н. Мамина-Сибиряка. Гораздо полезнее было бы честно признаться в собственной беспомощности, постараться без спешки разобраться в том, что происходит, и оценить, как можно использовать новые технологии на благо образования, а не пытаться подстраивать образование под них. Это мы и постараемся сделать ниже применительно к математическому образованию. Однако сначала рассмотрим и охарактеризуем некоторые группы интернет-ресурсов — это поможет лучше понять устройство образовательного Рунета и тогда уже сформулировать, в каких направлениях желательно развивать эти ресурсы.

Сайты преподавателей, организаций и региональные порталы

Любительское сайтостроение возникло в интернете в 1990-х годах. Как только люди осознали, что сеть — это новый неизведанный мир, они захотели войти в него не только в качестве пассивных наблюдателей, но и “полноправными жителями”. Спрос рождает предложение, и появились “бесплатные сайты”: некоторые компании предлагали любому желающему из набора готовых модулей самому смастерить свой сайт с условием размещения на нем рекламы компании. Пик подобных сервисов давно миновал, появились новые возможности быть представленным в интернете: социальные сети, блоги. Но преподаватели (особенно школьные учителя) по-прежнему широко пользуются бесплатными сайтами на серверах типа narod.ru, ucoz.ru и др. Правда, общее число сайтов преподавателей невелико.

Обычно на личных сайтах педагоги размещают свою фотографию, краткую информацию о себе, некоторые методические разработки (конспекты занятий, планирования, лекции), сведения о собственных достижениях (для учителей обычно — количество выпускников, поступивших в тот или иной престижный вуз). Дизайн преподавательских сайтов почти всегда выполнен крайне непрофессионально и нередко мешает восприятию информации (например, красные буквы на темно-синем фоне с мерцающими “звёздами”). Реклама компании, предоставляющей место под сайт на своем сервере, иногда носит непристойный характер. Всё это можно увидеть, если запросить в поисковой системе Яндекс “сайт учителя математики”.

Как уже отмечалось, немногие преподаватели имеют свои сайты. Автор интересного аналитического обзора [2] Ю. В. Ээльмаа приводит несколько причин этого. Во-первых, степень компьютеризации и информатизации педагогического сообщества пока ниже, чем у представителей других профессий (например, актёров). Во-вторых, “выходу” в интернет препятствует такая особенность менталитета, как негласное порицание тех, кто выставляет себя

напоказ. Третьей причиной является подсознательный страх и неуверенность в своей компетенции, зависимость от чужого мнения. Только 10% из опрошенных автором школьных учителей на вопрос “Стали бы вы создавать свой сайт?” ответили утвердительно [2, с. 58].

Параллельно с преподавательскими сайтами развиваются сайты школ и вузов. Школьные сайты во многом похожи на сайты учителей: неумелый дизайн, бедность содержания, наличие рекламы и т. д. По сведениям К. А. Ротобыльского, 70% школьных сайтов Липецкой области созданы с помощью бесплатных сервисов narod и google [3, с. 40]. Для создания школьных сайтов были разработаны специальные конструкторы (см., например, http://edusite.ru/ и http://www.km-school.ru/rl/sch_site.asp). Однако есть сомнения в том, что даже с помощью специальных конструкторов можно создать полноценный сайт — бесплатные решения редко бывают хорошими. Некоторые школы создают сайты с помощью услуг сторонних фирм.

На наш взгляд, сайты учителей и школ убедительно подтверждают тезис, согласно которому каждым делом должен заниматься профессионал в своей области: школы и учителя должны учить, а сайты должны создавать дизайнеры и программисты.

Лучше обстоит дело с сайтами вузов: как правило, они создаются профессионалами и достаточно содержательны.

Следующим этапом в развитии образовательного интернета в России стали сайты институтов повышения квалификации (ИПК) и региональные порталы, которые призваны удовлетворить информационные потребности педагогов данного региона и служить “точкой входа” в региональную систему образования (в частности, собирать ссылки на школьные и вузовские сайты). Разработчики моделей таких порталов и сайтов в целом сходятся во мнениях относительно их задач:

- информирование педагогов о происходящих в мире образования событиях (в первую очередь в данном регионе);

- повышение квалификации работников образования (в том числе консультации в режиме on-line);

- содействие внедрению новых технологий в процесс обучения;

- создание возможностей для профессионального общения педагогов. Для решения этих задач предлагаются соответствующие модули (сервисы):

— новостная лента;

— база учебно-методических материалов (иногда называемая электронной библиотекой);

— сервисы сетевого общения.

Мы перечислили только наиболее важные модули порталов, оставив в стороне не столь существенные (и даже порой весьма экзотические, как, например, голосовые подсказки, визуальные карты земли и звездного неба, формирование собственного рейтинга посещения портала и др. [4, с. 53]).

Сетевое общение, виртуальное консультирование, новости, каталоги ссылок и прочие возможности сайта, безусловно, полезны, но второстепенны, ибо могут лишь отчасти повлиять на деятельность преподавателя, не дают

ему для повседневной работы чего-то конкретного, осязаемого. Очевидно, что главным разделом регионального портала (особенно сайта института повышения квалификации) должна быть база учебно-методических материалов (банк научно-образовательных ресурсов, электронная библиотека). К сожалению, в рассмотренных нами статьях и существующих порталах это звено является одним из самых слабых. Материалы представлены явно бессистемно, метаописания примитивны и не продуманы, обычно отсутствуют рубрикаторы, атрибутный поиск и др.

Качество самих материалов, как правило, весьма низкое. Создается впечатление, что администрация сайта просто свалила в кучу всё, что смогла найти (например, на сайтах учителей данного региона), или то, что ей предоставили педагоги, методисты и образовательные учреждения. Более того, иногда подобная идеология является вполне осознанной: “Республиканские и муниципальные органы управления образованием, другие субъекты образовательного процесса республики передают информацию в центр управления порталом... Ответственность за достоверность и актуальность информации, размещённой на портале, несут руководители организаций и учреждений, предоставивших информацию” [4, с. 52]. Примерно так же подходят к определению ответственности разработчики портала министерства образования Саратовской области [5, с. 118].

Наконец, важно и количество разработок, представленных на сайтах ИПК и региональных порталах. Проведённый нами выборочный анализ (15-20 порталов и столько же сайтов ИПК) показал, что общее количество учебно-методических материалов, размещённых на них, редко превышает 100-150, из них по математике — не более 40. Обычно же разработок гораздо меньше, всего несколько десятков, а ресурсов для преподавателей математики -единицы.

К похожим выводам пришел и специалист Национального фонда подготовки кадров Д.Ю.Столяров [6]. Он проанализировал сайты региональных институтов повышения квалификации, для которых задача организации банка учебно-методических материалов и сетевого взаимодействия учителей еще более актуальна, чем для портала — хранилища ссылок на региональные сайты. Подводя итоги анализа 44 сайтов, автор сформулировал некоторые причины их невысокого уровня: “Прежде всего, состояние сайтов ИПК, неразвитость их сервисов и баз данных напрямую связаны с отсутствием прямого запроса от целевой аудитории ИПК, которая в массе своей материально и ментально-психологически не готова в достаточной мере к использованию новых возможностей получения информации и повышения квалификации” [6, с. 21]. И чуть дальше: “Другим немаловажным фактором недостаточной развитости сайтов ИПК является недостаточное финансирование этой деятельности и отсутствие квалифицированных кадров для развития и поддержки серьёзных сервисов и баз данных” [там же].

Обратим внимание на то, что Д. Ю. Столяров проводил анализ более 6 лет назад, но и сегодня можно утверждать, что основные его выводы остаются в силе.

Сетевые сообщества

Гораздо более активно сейчас развиваются сетевые сообщества учителей, предвестниками которых стали общероссийские учительские сайты. Наиболее известным из них является pedsovet.org. Хотя на сайте имеется раздел “Медиатека”, главными его разделами являются “Консультации”, “Форумы” и “Блоги”, т. е. сервисы для организации общения.

Другой широко известный сайт — Фестиваль педагогических идей “Открытый урок”, проект издательского дома “Первое сентября” (http:// festival.1september.ru/). Смысл проекта в том, что любой учитель может прислать свою методическую разработку, которая (не бесплатно) будет “опубликована” на CD-диске и в интернете, а автор получит свидетельство о публикации (аналогичные свидетельства выдаются и участникам сайта pedsovet.org).

Несмотря на разные акценты (общение в первом случае и банк уроков во втором), оба ресурса имеют много общего:

1) они хорошо известны и популярны (на “Открытом уроке” почти 9000 разработок учителей математики);

2) поступающие от учителей разработки не проходят никакого отбора либо отбор формален (на сайте “Открытого урока” большими буквами написано: “Все материалы будут опубликованы!”, а на pedsovet.org — “Материалы публикуются с сохранением авторской орфографии и пунктуации, однако могут подлежать редакторской правке”);

3) для баз разработок отсутствуют сколько-нибудь удовлетворительные рубрикаторы и поиск.

Рассмотренные проекты (и им аналогичные, но менее известные) открыли для педагогов новую реальность: оказывается, публиковаться может каждый. Журналы и газеты больше не нужны: ничто не может быть в данный момент более оперативным, чем интернет; никто больше не может ставить преграды в публикации — отказывать или подвергать значительной редакторской правке. А сертификаты о “публикации” в глазах местных методистов, присваивающих очередной разряд, не сильно различаются.

Следующим шагом в развитии общероссийских учительских сайтов стало объединение сервисов банка разработок педагогов и сервисов общения, причем значительную часть последнего предполагалось посвятить обсуждению исключительно профессиональных тем: конкретных уроков, методик подготовки к экзаменам и т.д. Немаловажной (а иногда и главной) целью считалось привлечение в сетевые сообщества учителей, активно использующих новые информационные технологии в учебном процессе. По мысли руководителей сетей, они должны были стать “локомотивом инноваций” [7, с. 17], а сама сеть — своеобразным “мини-Сколково”.

Наиболее известными на сегодняшний день являются следующие сетевые сообщества (в скобках указан год открытия проекта и численность его участников в настоящий момент):

1) Интернет-государство учителей (2005 г., более 28 тыс. чел.);

2) Сеть творческих учителей (2006 г., более 83 тыс. чел.);

3) Открытый класс (2008 г., более 172 тыс. чел.).

Приведенные данные о количестве участников говорят о том, что идея сетевых сообществ пришлась по душе уже многим педагогам. Об этом же свидетельствуют материалы регулярных обсуждений в сообществах: по комментариям, дискуссиям, оценкам методических разработок друг друга видно, что учителя заинтересованы в общении, настроены на конструктивный диалог и получают удовольствие от сетевого взаимодействия.

Функции сетевых сообществ многообразны: это и место общения, и возможность получить консультацию, и площадка для самоутверждения и др. Несомненно, что всё это весьма важно для учителей. Но главная особенность сетевых сообществ (и одновременно главная причина их привлекательности) — это возможность общаться на равных. В самом деле, во всяком сетевом объединении (виртуальном или реальном) преобладают связи горизонтальные, а не вертикальные; иерархические структуры в сетевых сообществах работают плохо. И в этом их кардинальное отличие от традиционных методических объединений педагогов и системы повышения квалификации, когда планы и программы обучения “спускаются сверху”, рассчитаны на “среднего” учителя, а его собственные наработки нередко интересуют коллег и методистов гораздо меньше, чем формальный “зачёт”.

В связи со сказанным представляется правдоподобным, что сетевые сообщества (и созданные для них сайты с набором пока довольно нехитрых сервисов) будут активно развиваться и дальше, а сайты институтов повышения квалификации и региональные порталы не претерпят больших изменений и надолго останутся в нынешнем замороженном состоянии в силу своей низкой востребованности.

Однако не следует думать, что сетевые сообщества могут заменить собой традиционное повышение квалификации и методические журналы для учителей. Это обманчивое впечатление. Как было сказано, сеть строится на основе принципов равноправия, её участникам трудно навязывать какие-то стандарты, каждый волен “творить” по собственному усмотрению. Главный принцип сети: “Не нравится — не участвуй”. Этот принцип ведет к тому, что членами сетевого сообщества становятся в итоге не наиболее образованные и культурные учителя, а похожие друг на друга педагоги. Формально доступ в сообщество открыт для всех, но в реальности одним в нём интересно, а другим просто нечего делать.

Характерно, например, что в Сообществе учителей математики (в рамках Сети творческих учителей) нам не удалось обнаружить ни одного широко известного современного педагога-математика, а разработки членов сообщества представляют собой в основном уроки “с применением информационных технологий”, различные дидактические игры либо описания “проектов по математике”. Эти материалы хорошо известны автору настоящей статьи по работе редактором в газете “Математика”, вся корреспонденция которой (за редкими исключениями) исчерпывалась названными разработками. К сожалению, многие педагоги убеждены в том, что всё это и является главным в обучении математике. Мы говорим об этом с сожалением даже не потому, что большинство таких материалов исполнено неумело (пусть не с точки зрения методики, но с точки зрения общей культуры), а потому, что в этих разработках форма

значительно преобладает над содержанием. Большинство игр, проектов, уроков с использованием презентаций или интерактивной доски содержательно бедно, математика в них находится на втором, а то и на третьем плане.

Сеть позволяет приверженцам подобной идеологии образования не только общаться, но и активно самоутверждаться, находить поддержку у коллег в форумах и на различных конкурсах, проводимых в интернете. Так, координаторы Сети творческих учителей придумали “Виртуальную Экспозицию-Мастерскую мультимедийных занятий” [8, с. 57], участники которой получают благодарственные письма. В Интернет-государстве учителей предусмотрено занесение на Доску почета, присвоение званий “учитель-специалист”, “учитель-мэтр” и даже — “народный учитель” [9, с. 167]. Все эти титулы, звания, дипломы и грамоты не значат, вообще говоря, ровным счётом ничего, но влияют на самооценку учителя, на восприятие им самим результатов собственного творчества.

Из всего вышесказанного видно, что одна из главных особенностей сетевого сообщества заключается в том, что оно ощущает себя самодостаточным. Учителя общаются друг с другом, сами себя оценивают, сами определяют направления своей деятельности и сами присваивают себе те или иные регалии. Формально в сетевых сообществах есть структуры, отвечающие за экспертизу материалов (руководители сообществ, методисты и т.д.), но в реальности это те же учителя. Может быть, они несколько опытнее своих коллег; может быть, более коммуникабельны, но в целом они такие же. В результате сообщество варится в собственном соку, что не может не приводить к остановке в развитии его членов. Прежде всего это касается культурного развития, ибо образцы высокой культуры составить большинство в сети не могут. Все эти тенденции без труда можно увидеть на примере Сообщества учителей математики Сети творческих учителей.

Таким образом, сетевое сообщество, являясь удобным средством общения педагогов, не может служить важному делу повышения их образовательно-культурного уровня. Эти функции по-прежнему должны выполнять институты повышения квалификации, научно-методические журналы (которым давно уже пора пересмотреть свою редакционную политику, если они хотят выжить), а также новые образования — электронные библиотеки, к рассмотрению которых мы и переходим.

Электронные библиотеки

Первые попытки создания электронных библиотек в России относятся к 1990-м годам. Работы велись в основном любителями-энтузиастами, а технологии представления информации и организации поиска были развиты слабо, что влекло за собой низкое качество этих ресурсов.

Проведённый в 2005 г. анализ существующих электронных библиотек показал, что ситуация изменилась незначительно: "Многие ЭБ не имеют системы навигации, невозможно узнать, что содержится в этих библиотеках. Далеко не всегда имеются даже элементарные указатели авторов и произведений. .. Значительное число ЭБ содержат полураспознанные тексты с большим числом ошибок, многие тексты искажены, отсутствуют описания воспроизводимых произведений и т. д. В 20% библиотек качество информации

не выдерживает никакой критики. Системный отбор информации ведется не более чем в 30% библиотек" [10].

Эти наблюдения и выводы актуальны и сегодня. Даже такие крупные сетевые библиотеки, как Электронная библиотека Российской государственной библиотеки (http://elibrary.rsl.ru/) и Президентская библиотека (http:// www.prlib.ru/) предоставляют возможности только атрибутного поиска. Рубрикаторы неразвиты (Президентская библиотека) либо вовсе отсутствуют (РГБ). Попытка создать полнотекстовую библиотеку предпринята в рамках электронно-библиотечной системы “КнигаФонд” (http://www.knigafund.ru/). Однако распознанные тексты не вычитываются, что лишает смысла идею организации лексического (полнотекстового) поиска.

Содержание крупных электронных библиотек не продумано, нередко они выкладывают “всё, что есть”, в том числе и те книги, которые были оцифрованы не ими. Так, в системе “КнигаФонд” представлена значительная часть электронных версий книг, размещенных на сайтах “Книгоархив издательства «Матезис»” и “Математическое образование: прошлое и настоящее” (причём владельцы сайтов не были поставлены в известность о факте размещения созданных ими электронных копий книг в другой библиотеке).

От общего обзора перейдем к рассмотрению электронных библиотек научно-образовательной тематики. Одной из них является Научная электронная библиотека (http://elibrary.ru/), которая собирает электронные версии современных периодических изданий. На данный момент в ней представлено более 6000 отечественных журналов (более 1800 имеют полные тексты), из них почти 700 по народному образованию и педагогике. В библиотеке реализованы атрибутный и полнотекстовый поиски, имеется рубрикатор ГРНТИ (неудобный для навигации в достаточно узкой предметной области). Библиотека содержит сотни статей по вопросам преподавания математики в школе и в вузе (опубликованных в основном в периодических изданиях вузов), но из-за отсутствия подробного рубрикатора ориентироваться в этом массиве практически невозможно.

Менее крупной является Электронная библиотека просветительных и образовательных изданий IQlibrary (http://www.iqlib.ru/). В библиотеке имеются атрибутный и лексический поиски, алфавитный указатель и указатель издательств, рубрикаторы УДК и ББК. Основное содержание библиотеки -книги, изданные в последние 10-15 лет, причем не только образовательной тематики. В разделе УДК “Математика” представлено всего несколько десятков книг — учебных пособий для студентов вузов по различным дисциплинам. Несмотря на декларацию просветительской и образовательной направленности, библиотека вряд ли сможет оказать значительную помощь преподавателям школ и вузов.

Хорошим примером является электронная библиотека Московского городского психолого-педагогического университета (http://psychlib.ru/). Она является полнотекстовой (с разметкой страниц, аналогичной бумажному оригиналу), имеет тематический рубрикатор, указатели авторов и произведений, предоставляет возможности атрибутного и лексического поисков. Все произведения снабжены полноценными библиографическими описаниями. К со-

жалению, большинство произведений доступно по паролю (в первую очередь студентам и преподавателям университета). Отметим, что в разделе библиотеки “О проекте” коротко и ясно излагаются основные её принципы, что нехарактерно для большинства электронных библиотек.

Достаточно содержательными и полезными представляются проекты, которые ведут энтузиасты (или группы энтузиастов). Такова, например Педагогическая библиотека (http://pedlib.ru/), в которой собрано несколько сотен книг и статей по педагогике и психологии. Все материалы представлены полными текстами, но лексический поиск реализован плохо. Большим недостатком является отсутствие деления полных текстов на блоки, аналогичные исходным страницам; это лишает возможности ссылаться на книги и статьи, не обращаясь к бумажным оригиналам. Библиотека имеет двухуровневый рубрикатор, который немного облегчает поиск, но очень несовершенен.

Другой полезный проект - Электронная библиотека механико-математического факультета МГУ (http://lib.mexmat.ru/). К сожалению, она не является общедоступной, пользоваться ей можно только из локальной сети Московского университета. В интернете представлены лишь метаданные (фрагменты библиографического описания, иногда — аннотация и вспомогательные указатели). На данный момент в библиотеке почти 63 тыс. публикаций. Не все они оцифрованы ведущими библиотеку, значительная часть книг почерпнута из интернета. Библиотека имеет рубрикатор, который, впрочем, составлен непрофессионально и мало помогает поиску. Полезны алфавитные указатели авторов и заглавий, атрибутный поиск.

Близко по содержанию к электронной библиотеке мехмата МГУ стоит электронная библиотека Колхоз (http://bib.tiera.ru/), в которой насчитывается свыше 73 тысяч книг естественно-математической и технической тематики. Все они собраны разными людьми (отсюда и название библиотеки: “колхоз” — коллективное хозяйство) и находятся в свободном доступе. Библиотека хороша тем, что в ней собрано большинство книг, имеющихся в интернете (например, огромное число книг по математике для средней и высшей школы). Качество изображений невысокое, реализован только атрибутный поиск.

Совсем небольшими являются специализированные библиотеки для преподавателей математики и учащихся:

1) электронная библиотека Московского центра непрерывного математического образования (http://ilib.mirrorl.mccme.ru/);

2) библиотека сайта Math.ru (http://www.math.ru/lib);

3) электронная версия журнала “Квант” (http://kvant.mirrorl.mccme.ru/);

4) книгоархив издательства “Матезис” (http://www.mathesis.ru);

5) сайт журнала “Вестник опытной физики и элементарной математики” (http://www.vofem.ru);

6) проект “Математическое образование: прошлое и настоящее” (http:// www.mathedu.ru).

Мы не станем рассматривать каждый из этих достаточно известных сайтов, но отметим их общие особенности:

• ориентация на сохранение накопленного наследия учёных, педагогов и популяризаторов науки (и более широко — ориентация на сохранение отечественных традиций в области преподавания математики);

• слабая система навигации (в том числе, отсутствие удобных рубрикаторов и полнотекстового поиска);

• невысокое качество изображений (в большей степени это касается библиотек 1), 2), 3) и 6) ив меньшей — 4) и 5) ).

Добавим к этому, что формирование фондов в основном ведется немногочисленными энтузиастами, причем из других источников ресурсы заимствуются редко.

Перечисленные проекты исчерпывают собой все более или менее значительные явления в области электронных библиотек для преподавателей математики.

Всё сказанное позволяет сделать вывод, что с электронными библиотеками научно-образовательной тематики (особенно для школ) дело обстоит в целом неблагополучно. Одним из них не хватает содержания, другим -средств навигации, третьим — и того, и другого. Электронным библиотекам предстоит еще долгий путь развития, но, к сожалению, начинать этот путь большинство из них не спешит, хотя очевидно, что сейчас нет ни одной электронной библиотеки, которая могла бы удовлетворить запросы широкой аудитории работников народного образования. В настоящее время в Научной педагогической библиотеке им. К. Д. Ушинского начаты работы по созданию такой электронной библиотеки.

Каталоги образовательных ресурсов

Говоря о региональных порталах, мы упоминали о том, что основная их задача — служить “точкой входа” в региональную систему образования, в том числе накапливать ссылки на образовательные интернет-ресурсы данного региона. При решении этой задачи возникает множество проблем. Во-первых, проблема полноты: как выявить все интересующие ресурсы? Во-вторых, проблема метаописаний: как описывать эти ресурсы? В-третьих, проблема классификации и поиска: как сделать удобную систему навигации по ресурсам? В-четвертых, проблема мониторинга: как отслеживать появление новых ресурсов и исчезновение старых? Все эти проблемы весьма серьёзны, но без их решения заниматься каталогизацией бессмысленно.

Однако деятельность в этом направлении идёт, причём не только на региональном, но и на федеральном уровне. В октябре 2002 г. появился федеральный портал “Российское образование” (http://www.edu.ru/), а вслед за ним — система федеральных порталов, из которых нас будут интересовать “Российский общеобразовательный портал” (http://www.school.edu.ru/) и “Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов” (http://school-collection.edu.ru/). Основная задача порталов — накопление ссылок на образовательные ресурсы интернета и организация их в виде, удобном для пользователя (при этом некоторые материалы могут храниться на самих порталах). Рассмотрим, как организованы ресурсы на порталах “Российское образование” и “Российский общеобразовательный портал”.

Для классификации и поиска на них используются несколько рубрикаторов: “Уровень образования”, “Аудитория”, “Тип ресурса” и предметный рубрикатор. В разделе “Общее образование/Математика” портала “Российское образование” представлены ресурсы, связанные с математическим образова-

нием. Они выводятся группами по 10 записей на 145 (!) страницах. Здесь собрано всё: материалы для подготовки к ЕГЭ, ссылки на сайты учителей, проблемные статьи, презентации к урокам, пособия для поступающих и т. д. Ресурсы можно сортировать и отбирать с помощью фильтров других рубрикаторов. Учитывая явное несовершенство этих рубрикаторов, сильно поиску они не помогают. Гораздо ценнее было бы предусмотреть для предметной области “Общее образование/Математика” свой рубрикатор.

На этом фоне некоторым достижением видится рубрикатор на “Российском общеобразовательном портале”: “Математика” делится на “Алгебру”, “Геометрию” (с делением на “Планиметрию” и “Стереометрию”), “Комбинаторику” и “Теорию вероятностей и математическую статистику”. Впрочем, и этот рубрикатор мало помогает поиску.

Совсем плохо обстоит дело с рубрикатором другого сайта — Единой коллекции цифровых образовательных ресурсов (и не менее плохо — с его содержанием). Раздел “Математика” делится на “Алгебру” и “Геометрию”, а затем необходимо выбрать класс. Дальнейшие рубрики таковы: “Наборы цифровых ресурсов к учебникам”, “Поурочные планирования”, “Методические рекомендации”, “Инновационные учебные материалы”, “Инструменты учебной деятельности” и др. Пользоваться такой структурой крайне неудобно, а качество большинства материалов как минимум вызывает сомнения.

Упомянем еще об относительно новом ресурсе “Единое окно доступа к образовательным ресурсам” (http://window.edu.ru/), который появился в 2005 г. и первоначально назывался “Единое окно доступа к ресурсам образовательных порталов”. Интересно сравнить задачи порталов edu.ru и window.edu.ru, некогда сформулированные их разработчиками. Первый из них “является интегрирующим элементом системы федеральных образовательных порталов и выполняет общесистемные функции по каталогизации и поиску образовательных ресурсов” [11, с. 25], главная цель второго — “обеспечение доступа с помощью информационных технологий к учебному и учебно-методическому потенциалу, накопленному как на федеральных образовательных порталах, так и на региональных университетских серверах” [12, с. 15]. Нетрудно видеть, что оба портала являются по сути одним и тем же. Знакомство с ними полностью подтверждает эту гипотезу: “Единое окно” имеет те же рубрикаторы, карточки ресурсов, хаотичное наполнение и т.д. Впрочем, дизайн выполнен гораздо лучше.

Таким образом, работа федеральных порталов сводится в основном к достаточно безуспешной каталогизации интернет-ресурсов и клонированию самих же себя в виде новых порталов. При этом каталогизируемые либо размещенные непосредственно на порталах ресурсы обычно бедны по содержанию и вряд ли могут быть полезными широким кругам преподавателей, что практически лишает смысла деятельность по их каталогизации и никак не оправдывает тех средств, которые выделяются на неё.

Какие ресурсы нужны преподавателю математики?

После проведённого выше анализа ответить на этот вопрос не очень сложно. Очевидно, что педагоги-математики могут иметь свои собственные сайты (разумеется, по желанию). Личный сайт, на наш взгляд, гораздо лучше и пол-

нее может отразить деятельность преподавателя, чем персональная страница в сетевом сообществе, и, кроме того, поможет в организации дистанционного взаимодействия с учащимися (и их родителями). С развитием интернета и вхождением в него всё большего количества педагогов дизайн сайтов и их функциональность будут улучшаться. Со временем наверняка установится какой-то негласный (и потому разумный) стандарт, которому преподаватели будут следовать, отчасти видоизменяя его согласно своим потребностям.

Вопрос о том, нужны ли сетевые сообщества, сейчас не стоит: очевидно, что они будут развиваться. Вопрос лишь в том, в каком направлении пойдет это развитие. Как мы старались показать выше, существующие ныне сетевые сообщества при всей своей внешней “открытости” на самом деле являются довольно закрытыми. В первую очередь, они закрыты от педагогической и методической культуры и собирают в основном результаты “педагогического гламура”3. Проблему закрытости решить не так просто, учитывая основные законы сетевого взаимодействия. Вероятно, что-то можно сделать с помощью авторитетной редколлегии сетевого сообщества. Само же сообщество было логично организовать при Ассоциации учителей математики, но она уже много лет не ведёт никакой деятельности. Быть может, сетевые сообщества нужно предоставить самим себе, но дать педагогам другие возможности для знакомства с хорошими образцами методических материалов.

Одной из таких возможностей является электронная библиотека, аккумулирующая методико-математическое наследие. У библиотеки должна быть редколлегия (пусть даже состоящая из одного человека), которая сможет квалифицированно отбирать издания для оцифровки и последующего размещения в библиотеке. Также должна быть хорошая система навигации по фондам: как минимум достаточно подробный рубрикатор и удовлетворительные библиографические описания с возможностью атрибутного поиска. В дополнение к этому можно представлять в библиотеке полные тексты публикаций с возможностью поиска по ним, либо создать иную систему дополнительной навигации. Например, это могут быть составленные по единой методике предметные указатели ко всем изданиям и система поиска по этим указателям. Оба варианта достаточно сложны: полнотекстовые библиотеки предполагают соответствующие технологии, которые находятся в стадии становления, составление указателей весьма трудоёмко. Нам представляется, что для библиотеки по методике преподавания математики больше подходит второй вариант (составление указателей), но первый (полные тексты) не исключается.

Содержание библиотеки для преподавателей математики не должно, на наш взгляд, ограничиваться исключительно методическими материалами. Достаточно широко должны быть представлены работы научно-популярного и исторического характера, биографии педагогов и воспоминания о них и некоторые другие материалы, составляющие “окрестность” математического образования. Такое содержание позволит удовлетворить не только повседневные потребности преподавателя в организации занятий, но и содействовать повышению квалификации педагога, а также сделать его полноправным чле-

3 См. об этом явлении интересную статью [13].

ном методико-математического сообщества, знакомого с историей математического образования и наиболее известными его деятелями всех поколений.

Важным дополнением к электронной библиотеке могла бы стать единая база математических задач. Первый опыт создания таких баз появился еще в 1990-е гг. [14]. Идеи, высказанные много лет назад, нашли воплощение в информационно-поисковой системе “Задачи” (http://zadachi.mccme.ru/). Существуют также база олимпиадных задач (http://www.zaba.ru) и сайт “Задачи” (http://www.problems.ru/). Наиболее интересной (по идеям, а не по реализации) нам представляется информационно-поисковая система “Задачи”. Но и она весьма далека от того, что хотелось бы видеть. Создание хорошей базы — дело очень трудное и требующее привлечения большой группы первоклассных специалистов по задачам, которой предстоит много потрудиться, прежде чем появится какой-то первый вариант (и его наверняка придется еще несколько раз переделывать).

Наконец, необходимым для преподавателя следует признать ресурс, посвященный популяризации математики. Он вполне мог бы существовать в рамках “большого” сайта, ориентированного на учёных-математиков, где были бы широко представлены и современная математика, и её история. Однако такого ресурса на данный момент нет. Научно-популярные математические сайты существуют, но ограничиваются интернет-проектами фонда “Математические этюды”. При всей уникальности их содержания и реализации необходимо признать: этого недостаточно.

Мы полагаем, что перечисленные типы ресурсов полностью (или почти полностью) покрывают собой информационные потребности преподавателей математики.

Заключение

Сколь бы ни были хороши рассмотренные выше типы ресурсов для преподавателей математики, все их нужно кому-то создавать и развивать. Поскольку человечество не накопило пока достаточного опыта в сфере новых технологий, создание и развитие чего-то нового в этой области весьма сложно.

К сожалению, государство сосредоточило основные усилия на каталогизации низкокачественных в своей массе ресурсов, а не на создании и развитии действительно полезных и важных электронных продуктов, которые будут востребованы педагогами. Что могут сделать энтузиасты? Их всегда мало; как правило, у них недостаточно опыта и/или средств на создание и поддержку хороших сайтов. По всей видимости, тенденции развития образовательного интернета в ближайшее время не изменятся, и он будет еще какое-то время оставаться достаточно хаотичным и малосодержательным.

Немаловажную роль в его развитии пока еще будут играть новизна стремительно вошедших в нашу жизнь технологий и вполне естественный страх перед ними. Однако постепенно новое будет осознано, принято и освоено, и информационные технологии станут привычными и само собой разумеющимися. Они займут важное место в образовании и в жизни, но вряд ли полностью подчинят себе всю реальность. Надеемся, что к тому времени существующие ныне ресурсы для преподавателей математики не исчезнут и будут развиваться, а наряду с ними возникнут новые интересные и полезные проекты.

ЛИТЕРАТУРА

1. Доманский Е. Информационное общество и образование: мифология и реальность // Народное образование. 2008. №2. С. 261-267.

2. Ээльмаа Ю. Персональный сайт учителя: новый канал коммуникаций // Директор школы. 2009. №2. С. 53-58.

3. Ротобыльский К. А. Школьные сайты в региональной системе образования: пути создания и модернизации // Педагогическая информатика. 2009. №1. С. 40-42.

4. Рулиене Л.Н., Баглаев И. П., Павлов А. П., Матонин В. В. Региональный информационно-образовательный портал как форма интеграции интернет-ресурсов // Открытое и дистанционное образование. 2009. №3. С. 51-56.

5. Научно-методические и организационно-технические основы формирования региональной информационно-образовательной среды / Под ред. проф. А. А. Сытника. — Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2009.

6. Столяров Д. Ю. Анализ корпоративных сайтов учреждений повышения квалификации работников образования в сети интернет // Методист. 2004. №4. С. 17-21.

7. Драхлер А. Б. Сеть творческих учителей: метод, пособие. 2-е изд., испр. и доп. — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008.

8. Логунова Л. В. Сетевое взаимодействие учителей математики как средство повышения ИКТ-компетентности // Математика в школе. 2010. №4. С. 54-57.

9. Никуличева Н. Сетевое педагогическое сообщество: на примере “Интернет-государства учителей” // Народное образование. 2008. №2. С. 165-169.

10. Вигурский К. В. Что такое электронная библиотека? (Доклад на конференции “Информационные технологии в образовании-2005”). Электронный ресурс: http://rd.feb-web.ru/library.htm.

11. Булгаков М.В., Гридина Е.Р, Иванников А. Д., Тихонов А.Н. Реализация каталога федерального портала “Российское образование” // Телекоммуникации и информатизация образования. 2004. №6. С. 25-40.

12. Иванников А. Д., Булгаков М. В., Гридина Е. Г., Булакина М. Б., Сигалов А. В. Создание и перспективы развития ИС “Единое окно доступа к ресурсам образовательных порталов” // Открытое образование. 2006. №4. С. 15-21.

13. Поташник М. М. Педагогический гламур как способ ухода от реальных проблем // Народное образование. 2008. №8. С. 93-100.

14. Шарыгин И. Ф., Бузиниер М.А., Гордин Р. К., Трифонов С.И., Карпелевич М.Ф., Белов А. Я. Информационно-поисковая система по учебным задачам // Математика в школе. 1993. №2. С. 33-39.

Поступила 17.10.2010

EDUCATIONAL RESOURCES OF THE RUNET: CONDITIONS AND DEVELOPMENT PROSPECTS

V. M. Busev

Article considers peculiarities of mastering by teachers of new information technologies, the analysis of available educational resources of a Russian-speaking sector of the Internet are examined and requirements to Internet resources for teachers of mathematics are formulated.

Keywords: site, portal, teacher of mathematics, electronic library.

ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ. ПЕРСОНАЛИИ

МУЗЕЙ ИСТОРИИ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ

Д. М. Златопольский

Московский городской педагогический университет Россия, 129226, г. Москва, 2-й Сельскохозяйственный проезд, д. 4 e-mail: zlato@orc.ru

Автором статьи на основе личной коллекции организован единственный в России специализированный Музей истории вычислительной техники.

Всё началось в далеком 1996 году, когда в одном из букинистических магазинов Москвы я увидел продававшийся арифмометр “Феликс” и вспомнил конец 60-х, когда в студенческие годы сам использовал этот счетный прибор.

Общий вид экспозиции музея

Середина 90-х годов — это время, когда широкое распространение стали получать персональные компьютеры, а значит, уходила в прошлое большая эпоха в развитии вычислительной техники, длившаяся несколько десятилетий. И я понял, что нужно сохранить как можно больше свидетельств этой эпохи. Стал ездить по заводам, институтам, так называемым “почтовым ящикам”1. Привлек знакомых, соседей, родственников, коллег. Писал письма в другие города. Студентка из Китая привезла старинные китайские счеты “суаньпань”, знакомый — старинные японские счеты “соробан”. Будучи на Украине, привез оттуда один из первых отечественных калькуляторов весом более 10 кг. Предметы и документы, относящиеся к истории вычислительной техники, приходили из Минска, Пензы, Еревана и других городов, в которых разрабатывались и выпускались ЭВМ первых поколений.

Часто, когда я обращался по поводу экспонатов, приходилось в ответ слышать такую фразу: “Где же вы раньше были — всё выбросили!”. Но всё же

1 Знает ли современная молодежь, что это такое? На мой вопрос: “Знаете ли вы, что такое «почтовый ящик»?” один из студентов ответил: “Конечно — это то, что висит для вкладывания в него почты”.

многое удалось достать и представить в музее, который был открыт в декабре 2008 года в здании гимназии № 1530 г. Москвы, где автор когда-то работал учителем информатики.

Основные разделы экспозиции музея:

— “Простейшие вычислительные средства” (представлена коллекция русских счетов, китайские счеты “суаньпань”, японские счеты “соробан”, палочки Непера и др.);

— “Первые вычислительные машины” (информация о них);

- “Логарифмические линейки и круги” (имеются более 30 видов, в т. ч. экспонат XIX века);

- “Арифмометры” (экспонируются более 10 видов, в т.ч. полуавтоматические и автоматические; арифмометр Однера, изготовленный в конце XIX века) ;

— “Отечественные калькуляторы” (более 80 моделей);

— “Детали ЭВМ 1-3 поколений”:

• носители информации: перфоленты и перфокарты, а также устройства для работы с ними (перфоратор, фотосчитыватель и др.);

• первые магнитные носители: магнитные ленты, магнитные карты, магнитная проволока, жесткие магнитные диски, гибкие магнитные диски диаметром 8 дюймов и др.;

• первый лазерный диск;

• клавиатуры;

• элементы памяти и другие детали ЭВМ БЭСМ, “Минск”, “Наири”, “Урал”, ЕС и др.;

- “Разные вычислительные устройства” (счислители Куммера, арифметические линейки, аддиаторы и т. п.);

— “Специализированные вычислительные устройства” (для электротехнических и гидротехнических расчетов, авиационные, библиотечные, для использования в металлургии, сельском хозяйстве и т.п.);

— “Отечественные персональные компьютеры” (более 20 моделей: “Искра”, “Агат”, БК, “Спектр”, “Корвет”, “Микроша”, “Поиск” и др.);

— “Вычислительные таблицы” (в том числе 6-, 7- и 8-значные; есть таблицы 1885 и 1911 годов издания).

В музее имеется опубликованный доклад, который в 1876 году известный русский математик Владимир Яковлевич Буняковский прочитал на заседании Императорской академии наук. В докладе Буняковский описал изобретенное им вычислительное устройство, которое он назвал “самосчеты”.

Отдельный стенд посвящен академику Сергею Алексеевичу Лебедеву и созданным по его руководством ЭВМ серии БЭСМ (большая электронно-счетная машина).

Отличительной особенностью музея является наличие ряда экспонатов в открытом доступе, где их можно взять в руки и даже поработать на некоторых из них.

Конечно, в журнальной статье невозможно описать большое число экспонатов (более 350). Поэтому расскажем лишь о нескольких из них.

“Современный” вариант счислителя Куммера

Те читатели, которые помнят, как считать на счетах, знают, что при вычислениях на них имеются две “проблемы”:

1) связанная с переносом единицы в старший (расположенный выше) разряд при сложении. Так, если в каком-то разряде было отложено, например, 7 косточек, то для того чтобы добавить к ним 8, необходимо добавить одну косточку в старший разряд, а в данном — вычесть две;

2) связанная с заимствованием единицы из старшего разряда при вычитании. Например, если в каком-то разряде было отложено, например, 3 косточки, то для того чтобы вычесть из них 6, необходимо вычесть 1 в старшем разряде, а в данном — добавить 4.

В то же время уже с середины XIX века существовал счетный прибор, в котором эти операции (перенос и заимствование единицы) осуществлялись автоматически. Он был изобретен в 1846 г. петербургским учителем музыки (!) Генрихом Куммером. В музее имеется “современный” (изготовленный в 70-х годах XX века) вариант такого прибора (см. фото). Как уже отмечалось, в музее экспонируются арифмометры — механические вычислительные устройства для умножения многозначных чисел. Интересно, что на них результат мог быть 13-значным, что, как правило, невозможно на современных калькуляторах. Наибольшее распространение получили арифмометры системы Однера. Один из вариантов арифмометра, изготовленный при жизни его изобретателя, родившегося в Швеции, но всю жизнь прожившего в России, Вильгодта Теофиловича Однера (1845-1905), имеется в музее.

Арифмометр Однера, изготовленный в конце XIX века

На фотографии ниже показан ламповый триггер — устройство для хранения одного бита информации. Он применялся в ЭВМ БЭСМ-1 1953 года выпуска (всего в этой ЭВМ было использовано 5000 ламп). В нижней части фотографии представлена оперативная память современных персональных компьютеров вместимостью десятки миллиардов бит. Эти два экспоната наглядно иллюстрируют прогресс в развитии электронных вычислительных машин.

Ламповый триггер и оперативная память современного персонального компьютера

Музей регулярно посещают учащиеся средних школ и вузов Москвы и Московской области, а также люди старшего возраста, многие из которых испытывают ностальгические чувства при виде некоторых экспонатов.

Более подробная информация о музее истории вычислительной техники имеется в Интернете по адресам:

— www.museum.ru/m2744;

— www.victorprofessor.livejournal.com/128295.html

Музей с благодарностью примет в дар любые предметы (калькуляторы, арифмометры, логарифмические линейки, детали ЭВМ первых поколений и т.п.) и документы (фотографии, книги и т.п.), связанные с историей вычислительной техники.

Поступила 08.04.2010 MUSEUM OF HISTORY OF COMPUTER FACILITIES

D. M. Zlatopolsky

By the author of given article on the basis of a personal collection it is organized unique in Russia a specialized Museum of history of computer facilities.

ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ. ПЕРСОНАЛИИ

УДК 37(091)

ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ Т. Ф. ОСИПОВСКОГО И ЕГО УЧЕНИКОВ А. Ф. ПАВЛОВСКОГО И М. В. ОСТРОГРАДСКОГО ПО ФОРМИРОВАНИЮ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ КАК УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ

И. В. Игнатушина

Оренбургский государственный педагогический университет Россия, 460000, г. Оренбург, пр. Гагарина, д. 1, к. 307 тел.: (83532)332789; e-mail: streleec@yandex.ru

Описывается деятельность видного математика XIX в., профессора Харьковского университета Т. Ф. Осиповского (1765-1832) и его учеников А.Ф.Павловского (1788-1856) и М. В. Остроградского (1801-1862) по формированию дифференциальной геометрии как учебной дисциплины в России. Анализируются написанные ими учебные руководства, по которым велось преподавание указанного раздела математики в высшей школе в первой половине XIX в.

Ключевые слова: история математики и математического образования, дифференциальная геометрия, Т. Ф. Осиповский, А. Ф. Павловский, М. В. Остроградский.

Дифференциальная геометрия как наука и учебный предмет возникла в России в XVIII в. в трудах Леонарда Эйлера (1707-1783) и представителей его школы [1].

Одним из последователей Эйлера в деле просвещения стал выпускник Петербургской учительской семинарии Тимофей Федорович Осиповский (1765-1832) (см. [2-4]). Петербургская учительская семинария была открыта в 1783 г., в 1803 г. она была преобразована в Учительскую гимназию, в 1804 г. — в Педагогический, в 1816 г. — в Главный педагогический институт, в 1819 г. — в Петербургский университет [3, с. 180]. В качестве преподавателей в семинарию были приглашены академические профессора и адъюнкты, в том числе и непосредственные ученики Эйлера (например, Михаил Евсеевич Головин (1756-1790) [5, с. 348-349]). Изложение математики велось с подробными доказательствами, занятия проводились по лучшим учебным руководствам того времени, многие из которых принадлежали перу Л. Эйлера. Всё это обеспечивало ученикам не только прочные знания предмета, но и хорошую методическую подготовку.

По окончании обучения Т. Ф. Осиповский был сначала учителем физики, математики и русской словесности в Московском главном народном училище, а с 1800 по 1803 гг. — профессором математики Петербургской учительской

Т. Ф. Осиповский

гимназии. Он выделялся яркими педагогическими способностями, общей эрудицией и глубокими познаниями в области физико-математических наук -не случайно Комиссия об учреждении училищ присылала ему на рецензию издаваемые ею математические сочинения. Однако деятельность Осиповского в этот период не ограничивалась только преподаванием. Он работает над составлением и изданием собственного учебника по математике. По замыслу автора в этом учебнике должен быть представлен обширный по материалу, связанный единством и последовательностью изложения курс, по которому учащийся мог бы получить полное университетское математическое образование. Содержание многих разделов этого учебника выходило за рамки тогдашней университетской программы.

В конце 1802 г. Т. Ф. Осиповский дал согласие на назначение его профессором математики в готовящийся к открытию Харьковский университет (официально открыт в 1805 г.) и в 1803 г. переехал в Харьков. В течение первого десятилетия существования Харьковского университета он преподавал практически все математические дисциплины: геометрию, плоскую и сферическую тригонометрию, дифференциальное, интегральное и вариационное исчисления, приложения аналитических функций к высшей геометрии. Благодаря Осиповскому, Харьковский университет, наряду с Дерптским и Казанским, с самого начала занял ведущее место по уровню преподавания математических дисциплин [6, 7].

С 1813 по 1820 гг. Осиповский исполнял обязанности ректора Харьковского университета. Он инициировал создание при Харьковском университете Общества наук, целью которого было распространение научных знаний на юге России. По признанию современников, Осиповский заложил фундамент высшего математического образования и математических исследований в Харьковском университете [4, 7-10].

По трёхтомному “Курсу математики” [11] Осиповского успешно велось преподавание математики в Харьковском университете всю первую четверть XIX столетия. Во втором томе этого курса, содержащем введение в учение о кривых линиях, дано (без использования дифференциального исчисления) решение задач на отыскание радиусов кривизны конических сечений и установлены некоторые свойства эволют параболы, эллипса и циклоиды. Приложениям математического анализа к геометрии посвящена вторая часть третьего тома, но она так и не была опубликована. Некоторое представление об её содержании можно получить из отзыва о рукописи, данного Н. И. Фуссом 12 июля 1810 г. Фусс писал, что третий том курса высшей математики Осиповского “заключает в себе отвлеченные исследования, значительно превышающие даже и тот курс чистой математики, который преподается в университетах. .. Его можно обратить к тому только малому количеству учеников, которые математику во всей обширности избрали главным предметом своего учения, в особенности же для тех, кто не знает иностранного языка, ибо, сколько известно, нет еще на русском языке такого сочинения, в котором бы так пространно, как тут, рассуждалось бы о приложении теории функций к кривым линиям и поверхностям” [4, с. 50]. Таким образом, вторая часть третьего тома содержала изложение дифференциальной геометрии. Этот раздел

непременно входил в курс лекций, читавшихся Осиповским на втором курсе по 4 часа в неделю. Об этом свидетельствуют и вопросы экзамена по высшей геометрии:

"1. Определить положение касательных плоскостей и нормальных линий в поверхностях.

2. Как проводят касательные линии и нормальные плоскости к кривым линиям в пространстве и какие поверхности называются развертывающимися?

3. Как определить положение и величину радиусов кривизны в кривых линиях в пространстве и эволюты в них?

4. Вывести выражения для линий кривизны поверхности.

5. Как определяется величина пространств, обнимаемых поверхностями, величина сих самих поверхностей, и какие преобразования делаются для удобного нахождения сих величин?" [9, с. 170].

За время своей педагогической деятельности Т. Ф. Осиповский воспитал многих учеников, среди которых были профессор Харьковского университета (с 1819 г.) Андрей Федорович Павловский (1788-1856) и выдающийся русский математик, академик Петербургской академии наук (с 1830 г.) Михаил Васильевич Остроградский (1801-1862).

А. Ф. Павловский с 1806 по 1809 г. учился в Харьковском университете, а затем на протяжении сорока лет преподавал там же различные математические дисциплины [9]. В 1816 г. он был произведен в адъюнкты, тремя годами позже утвержден в звании экстраординарного (а впоследствии и ординарного) профессора. В 1810 г. Осиповский передал Павловскому преподавание элементарной математики на первом курсе, а в 1815 г. — и преподавание первых разделов высшей математики: теории конечных разностей и дифференциального исчисления. После увольнения Осиповского (в 1820 г.) Павловский на протяжении многих лет вел весь курс высшей математики, в том числе и приложения дифференциального исчисления к высшей геометрии по собственным тетрадям, следуя Эйлеру, Лагранжу и Монжу. Он был прекрасным преподавателем и обладал большой математической эрудицией. Ему принадлежит заслуга в воспитании молодого Остроградского. Благодаря Осиповскому и Павловскому семнадцатилетний Остроградский в 1818 г. серьёзно заинтересовался математикой.

А. Ф. Павловский

М. В. Остроградский

С 1816 по 1820 гг. М. В. Остроградский учился в Харьковском университете, а затем с 1822 по 1828 гг. слушал в Париже лекции О. Коши, П. Лапласа, Ж. Фурье. Здесь же он начал свою научную деятельность. По возвращении в Россию, помимо научных изысканий, он занялся и преподавательской деятельностью в Петербурге: был профессором офицерских классов Морского кадетского корпуса (с 1828 г.), Института корпуса инженеров путей сообщения (с 1830 г.), Главного педагогического института (с 1832 г.), Главного артиллерийского училища (с 1841 г.).

Один из студентов Главного педагогического института Н. С. Будаев1 (1833-1902) записал лекции по геометрии, которые читал там Остроградский в 1851-1852 гг. Эти лекции были посвящены приложениям анализа к геометрии. В XX в. перед началом Великой Отечественной войны они были подготовлены к печати А. Н. Крыловым (1863-1945), но, к сожалению, в годы войны набор текста лекций и другие связанные с ним материалы пропали [12, с. 119].

Представление о лекциях Остроградского по приложениям дифференциального исчисления к геометрии, которые он читал в Главном инженерном училище, можно получить, ознакомившись с “Курсом дифференциального исчисления” (1849 г.) [13], составленным одним из его слушателей инженер-прапорщиком Виктором Ивановичем Беренсом (1814-1884). Все приложения дифференциального исчисления к геометрии собраны в отдельный раздел, который состоит из шести глав. Первые три из них (с XVII по XIX) посвящены теории кривых на плоскости, следующие две главы (XX и XXI) — теории кривых в пространстве, и, наконец, XXII глава — общей теории соприкасания поверхностей.

В главе XVII сначала вводится понятие порядка прикосновения плоских кривых: две кривые у = f(x) и у = F(x) имеют в точке х' прикосновение п-го порядка, если одновременно выполняются равенства f(x') = F(xf), f'(x') = F'{xf),..., /(n) = F^n\ Затем определяется касательная как прямая, которая в данной точке имеет с рассматриваемой кривой прикосновение первого порядка. Из этого определения выводится уравнение касательной. Далее определяются понятия нормали, подкасательной, поднормали, асимптоты кривой и выводятся соответствующие уравнения.

Глава XVIII посвящена дифференциалу дуги кривой и дифференциалу площади.

В главе XIX вводится понятие окружности кривизны как окружности, которая имеет прикосновение второго порядка с рассматриваемой кривой в её точке (х',у'). Отсюда получается уравнение окружности кривизны:

1 Будаев Николай Сергеевич — заслуженный профессор математики Петербургского университета и преподаватель (с 1863 г.) Михайловской артиллерийской академии и училища. В 1853 г. окончил с золотой медалью Главный педагогический институт и был оставлен в том же институте адъюнктом физико-математического факультета.

где

если кривая задана уравнением у = /(ж), и

если кривая задана уравнением F{x, у) = О2. Точка (а, Ь) называется центром кривизны, а р — радиусом кривизны кривой в точке (х',у').

Если выбрать две точки кривой, отстоящие друг от друга по кривой на бесконечно малую дугу ds, и провести в них касательные к кривой, то угол и между ними называется углом смежности, а сами касательные называются смежными. Для угла и имеет место формула

Затем

доказывается, что этот угол равен дифференциалу угла а наклона к оси абсцисс касательной к кривой:

Двадцатая глава начинается с вывода дифференциала дуги пространственной кривой:

2 Здесь и ниже и т.п. обозначают производные в точке (х1\у').

Затем вводится понятие порядка прикосновения пространственных кривых: две кривые имеют в точке х' прикосновение п-го порядка, если одновременно выполняются равенства f(x') = fi(xf),

Поскольку касательная, проведенная в точке (V, у1z') к пространственной кривой < есть прямая < имеющая с кривой первый порядок прикосновения, то f(xf) = ах' + р, /'(ж') = a, F(x') = + g, Ff(x') = 6 откуда следует система уравнений, определяющая касательную:

В случае, когда пространственная кривая задана системой уравнений вида:

её касательная, проведенная в точке (xf,yf,zf), определяется следующей системой уравнений:

Далее вводится понятие нормальной плоскости как плоскости, которая проходит через точку (x',y',z') пространственной кривой перпендикулярно касательной, проведенной к кривой в этой точке. Если уравнение нормальной плоскости записано в виде Ах + By + Cz + D = 0, а соответствующая касательная задана системой уравнений

то должны выполняться два условия: В = аЛ, С = ЪА. Отсюда, зная, что

получим

Используя то, что точка (V, у1z') принадлежит нормальной плоскости, имеем

Вычитая это равенство из предыдущего, приходим к уравнению нормальной плоскости:

Затем отмечается, что касательные, проведенные к пространственной кривой в разных её точках, вообще говоря, скрещиваются, но две смежные касательные всегда расположены в одной плоскости, которую называют плоскостью кривизны3, и выводится её уравнение:

В конце главы XX вводится определение главной нормали пространственной кривой как прямой, находящейся на пересечении нормальной плоскости и плоскости кривизны. Она задается следующей системой уравнений:

В главе XXI устанавливается формула для определения угла смежности s для пространственной кривой:

По величине этого угла можно судить о кривизне пространственной кривой в заданной точке. Действительно, если в плоскости кривизны AM'М“ (рис. 1) провести две нормали МО и М”0, то они составят между собой угол Z MOM" = ZTM'T' = е, их точка пересечения О будет центром окружности, проходящей через точки М, М“ кривой и лежащей в плоскости кривизны AM'М”. Эта окружность называется окружностью кривизны, а её радиус

Рис.1

3 В современной терминологии — соприкасающаяся плоскость пространственной кривой.

МО = M"О = р — радиусом кривизны пространственной кривой в точке M. Величина радиуса кривизны определяется следующей формулой:

Далее выводятся формулы для определения координат (а, ß, 7) центра О кривизны кривой:

Затем вводится понятие “угла совращения”4 как угла между двумя смежными плоскостями кривизны и определяется его величина:

Отношение дифференциала дуги к углу совращения называют радиусом “второй кривизны”5.

Заключительная глава XXII посвящена общей теории соприкасания кривых поверхностей. Две кривые поверхности z = f(x,y) и z = F(x, у) имеют в точке (V, у1z') п-й порядок соприкасания, если в этой точке равны между собой значения функций / и F, и равны между собой значения их одноимённых частных производных до п-го порядка включительно.

Поскольку касательная плоскость имеет с кривой поверхностью касание первого порядка, то её уравнение имеет вид:

Прямая, проходящая через точку касания (V, у'z') перпендикулярно касательной плоскости, называется нормалью. Из этого определения выводится система уравнений, определяющая нормаль:

Таким образом, лекции Остроградского (в изложении Беренса) позволяли получить ясное представление о дифференциальной геометрии.

4 В современной терминологии этому понятию соответствует угол кручения пространственной кривой в заданной точке.

5 В современной терминологии “радиус второй кривизны” — это величина, обратная кручению кривой в заданной точке.

Подводя итог деятельности Т. Ф. Осиповского и его учеников А. Ф. Павловского и М. В. Остроградского по формированию дифференциальной геометрии как учебной дисциплины, можно заключить, что этот раздел математики, возникший в работах Л.Эйлера и Г. Монжа (1746-1818) в XVIII в., за первую половину XIX столетия прочно вошёл в программы военно-инженерных училищ и физико-математических факультетов университетов России. При этом по мере развития данной области математики (К.Ф.Гаусс (1777-1855) и др.) содержание этой учебной дисциплины постоянно расширялось, обогащаясь новыми результатами и методами.

ЛИТЕРАТУРА

1. Юшкевич А.П. Эйлер и русская математика в XVIII в. (Из истории первой петербургской математической школы) // Труды Института истории естествознания. — М.: Изд-во АН СССР, 1949. Т. 3. С. 45-116.

2. Богомолов Н. В. Очерки о российских педагогах-математиках / Под ред. П. И. Самойленко. — М.: Высшая школа, 2006.

3. Прудников В.Е. Русские педагоги-математики XVIII-XIX в. — М.: Учпедгиз, 1956.

4. Бахмутская Э.Я. Тимофей Федорович Осиповский и его “Курс математики” // Историко-математические исследования. — М., 1952. Вып.У. С. 28-74.

5. История отечественной математики / Ред. И. 3. Штокало, А.П.Юшкевич, А.Н.Боголюбов. — Киев, 1966. Т. 1.

6. Ожигова Е. П. Математика в Петербургской академии наук в конце XVIII-первой половине XIX века. — Л.: Наука, 1980.

7. Прудников В.Е. Дополнительные сведения о Т. Ф. Осиповском / / Историко-математические исследования. — М., 1952. Вып.У. С. 75-83.

8. Багалей Д. И. Опыт истории Харьковского университета. — Харьков, 1906.

9. Физико-математический факультет Харьковского университета за первые 100 лет существования / Под ред. И. П. Осипова, Д. И. Багалея. — Харьков, 1908.

10. Краткий очерк истории Харьковского университета за первые 100 лет его существования (1805-1905) / Сост. проф. Д. И. Багалеем, Н. Ф. Сумезовым, В. П. Бузескупом. — Харьков, 1906.

11. Осиповский Т. Курс математики. Т. 1. Содержащий общую и частную арифметику. — СПб., 1802. Т. 2. Содержащий геометрию, прямолинейную и сферическую тригонометрию и введение в криволинейную геометрию. — СПб., 1820. Т. 3. Содержащий в себе теорию аналитических функций. — СПб., 1823.

12. История отечественной математики / Ред. И. 3. Штокало, А.П.Юшкевич, А.Н.Боголюбов. — Киев, 1967. Т. 2.

13. Беренс В. И. Курс дифференциального исчисления. Составлен инженер-прапорщиком Беренсом В. И., слушающим курс наук в Офицерских классах Главного Инженерного Училища. — СПб., 1849.

Поступила 16.08.2010

ACTIVITY OF T. F. OSIPOVSKI AND HIS PUPILS A. F. PAVLOVSKI AND M. V. OSTROGRADSKI ON FORMATION OF DIFFERENTIAL GEOMETRY AS SUBJECT MATTER

I. V. Ignatushina

The activity of outstanding mathematicians of XIX century, professors of the Kharkov University T. F. Osipovsky (1765-1832) and his disciples A. F. Pavlovsky (1788-1856) and M. V. Ostrogradsky (1801-1862) in the formation of differential geometry as the subject matter in Russia is described. Their manuals for teaching in this branch of mathematics in the higher school during the first half of XIX century are analyzed.

Keywords: the history of mathematics and mathematical education, differential geometry, T. F. Osipovsky, A. F. Pavlovsky, M. V. Ostrogradsky.

ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ. ПЕРСОНАЛИИ

“LIBER ABACI” — УЧЕБНИК АРИФМЕТИКИ ЛЕОНАРДО ФИБОНАЧЧИ В ПЕРЕВОДЕ НА СОВРЕМЕННЫЙ АНГЛИЙСКИЙ ЯЗЫК1

Серафина Куомо2

Перевод с английского М.А. Цайгера

Предисловие переводчика

Известно, что первым человеком, который ознакомил Европу с индо-арабскими цифрами, был монах Герберт из Орильяка, впоследствии ставший папой Сильвестром II. Это было в последней четверти X века. Герберт преподавал математику в епископальной школе Реймского кафедрального собора (Франция). Распространение знаний о новых для Европы индо-арабских цифрах, полученных Гербертом при обучении в Испании, было очень медленным и ограничивалось лишь несколькими школами при монастырях Франции, Англии и немногих других европейских стран. В те времена для записи чисел в Европе повсеместно использовалась система римских цифр, поддерживавшаяся католической церковью. В римской числовой нотации не требовался знак для нуля (отсутствовал он и среди цифр “губар”, привезенных Гербертом). Но, с другой стороны, система римских цифр имела существенные ограничения. Во-первых, была очень затруднена запись больших чисел (особенно превышавших миллион). Во-вторых, арифметические операции с этими цифрами были достаточно сложны3. Для выполнения арифметических операций в Европе и в арабских халифатах применялись способы пальцевого счёта, которые требовали большого напряжения памяти человека. И сам Герберт, и его ученики постоянно жаловались на головную боль, связанную с изучением науки о числах. Это легко понять: для правильного счёта вычислителю было необходимо запоминать числа, участвующие в операции и отображаемые на пальцах, и любая ошибка при воспроизведении этих чисел приводила к необходимости начать операцию сначала.

Тем не менее развитие торговли, а также управление государством требовали проведения таких вычислений. И в свете этой ситуации появление книги Фибоначчи, представляющей новые возможности арифметики, было событием огромной важности.

1 Оригинал статьи — “Fibonacci's Liber Abaci: A Translation into Modern English of Leonardo Pisano's Book of Calculation by Laurence E. Sigler” — опубликован в журнале Aestimatio: Critical Reviews in the History of Science, 1 (2004) 19-27. Перевод публикуется с любезного разрешения указанного журнала. Книга, о которой идёт речь в обзоре, имеет следующие библиографические данные: Fibonacci's Liber Abaci: A Translation into Modern English of Leonardo Pisano's Book of Calculation by Laurence E. Sigler, New York: Springer, 2002. Pp. VIII + 636.

2 Современные сведения об авторе обзора: Dr. Serafina Cuomo, Birkbeck College, University of London, Malet Street, London, e-mail: s.cuomo@bbk.ac.uk.

3 Механические счётные устройства типа греческого или римского абака после крушения Римской империи были основательно забыты в Европе (хотя единичные экземпляры таких устройств сохранились).

Леонардо Фибоначчи оказался вторым человеком, ознакомившим Европу с индо-арабскими цифрами два века спустя после Герберта. Значение его книги выходит за рамки простого учебника арифметики. Усилия Фибоначчи в области введения в практику индо-арабских цифр были поддержаны правившим в то время императором Священной Римской империи Фридрихом II, который основал в Неаполе в 1224 г. один из первых университетов. Разумно предположить, что в этом университете преподавали и арифметику по учебнику Фибоначчи, об авторитете которого косвенно свидетельствует и назначенная ему государственная пенсия.

Во времена Фибоначчи книгопечатание в Европе еще не существовало. Лишь в 1857 г. Бонкомпаньи (Boncompagni) издал манускрипт Liber abaci факсимильно. Для российского читателя знакомство с этой книгой, написанной на латыни, представляет определённые проблемы, и появление перевода манускрипта на современный английский язык безусловно представляет интерес для многих российских исследователей и преподавателей. Этому знакомству способствует и предлагаемая публикация перевода обзора книги на русский язык.

* * *

Фибоначчи, известный также как Леонардо Пизано (Leonardo Pisano) или Леонардо Биголло (Bigollo)4, родился в 1170 г. и был сыном сотрудника таможни. Он жил и работал, вероятно, как купец, в различных районах Средиземноморья, изучая математику, касающуюся вопросов торговли и обмена, а также и “Начала” Евклида. Он обратил на себя внимание императора Фридриха II из рода Гогенштауфенов, покровителя искусств и наук, который основал университет Неаполя в 1224 г. и чей двор включал таких людей, как астроном и астролог Доменик Испанский (Domenicus Hispanus), Теодор Антиохийский (Theodorus of Antiochia), тоже астролог и переводчик с арабского, и Майкл Скотт (Michael Scotus), астролог, переводчик с арабского, а также философ. Последнему Фибоначчи посвятил свою Liber abaci. Он также написал Practica geometriae (1220 г.), посвященную Domenicus, вероятно, Domenicus Hispanus, Flos (около 1225 г.), посвященную кардиналу Раньери Капоччи (Ranieri Capocci), письмо к Теодору Антиохийскому (около 1225 г.), а также Liber quadratorum (1225 г.), посвященную самому Фридриху II. После продолжительного путешествия в 1220 г. Фибоначчи, по-видимому, поселился в своей родной Пизе, где в 1228 г. он был удостоен государственной пенсии и где, вероятно, он умер в 1240 году.

Существует какое-то несоответствие между славой Фибоначчи и относительной безвестностью, в которой оказались его оригинальные работы. Хотя его работы копировались, реферировались и служили основой для математической литературы с XIV века, его книги, тем не менее, были впервые напечатаны только в 1838 г5. Представляется, что историки математики изучали Фибоначчи в основном из-за его “предчувствий” более поздних результатов; в настоящее время есть несколько публикаций и еще меньше на английском

4 М. Е. Ващенко-Захарченко пишет (История математики, т. 1, Киев, 1883, с. 198): “...Соотечественники прозвали Фибоначчи Bigollone, т.е. глупцом за то, что он предпочитал занятие науками торговле, которой занимались его сограждане”. В современном итальянском языке bighellone переводится как бездельник, шалопай — М.Ц.

5 См. [1, 2, 5].

языке о традициях вычислительной математики в средневековье, где он (Фибоначчи. — М.Ц.) является центральной фигурой. Таким образом, хотя многие люди, даже те, у которых нет особых математических способностей, слышали о последовательности Фибоначчи, обозреваемая книга является первой интегральной английской версией книги, в которой появляется эта последовательность.

Существуют двенадцать копий манускрипта Liber abaci, три из которых являются полными. Перевод, выполненный Сиглером, следует латинскому тексту под редакцией Бальдассарре Бонкомпаньи (Baldassarre Boncompagni), который основан на одном манускрипте6. Вступительная часть этого последнего просто датирована 1202 г., но и другие рукописи указывают, что работа была сначала написана в 1202 г., а затем исправлена в 1228 г. Фибоначчи сам, обращаясь к “самому великому философу” Майклу Скотту в посвящении Liber abaci, упоминает, что он уже послал ему книгу о числах {15}7. Текст Бонкомпаньи и Сиглера должен соответствовать варианту 1228 г., потому что в нём Фибоначчи ссылается на Practica geometriae {15} и Liber quadratorum {261}. Работа включает в себя пятнадцать глав, начиная с посвящения и введения, где Фибоначчи дает некоторые автобиографические подробности, и настойчиво утверждает о взаимосвязи геометрии и арифметики, с одной стороны, и теории и практики, с другой. Он утверждает, что он намерен объединить две первых путем предоставления “многих доказательств и демонстраций, которые сделаны с геометрическими фигурами” {15}, а также добавить к “индийскому методу” другие, взятые “из тонкого евклидового геометрического искусства” {16}. В отношении теории и практики Фибоначчи заявляет, что Liber abaci на самом деле “выглядит больше теорией, чем практикой” {15}.

Уникальной отправной точкой книги является пропаганда “девяти индийских цифр” в более широкой публике, и, в частности, среди итальянцев {16}. В самом деле, глава 1 начинается с объяснения использования девяти цифр плюс нуля, который Фибоначчи назвал zephir (zephirum), следуя арабскому. Эти цифры предпочтительны по сравнению с традиционными римскими цифрами для понимания значения места (т. е. позиционного принципа системы. — М.Ц.) и использования zephir; читателю также напоминается о пальцевых знаках для чисел, “самом мудром изобретении древности” {20}, согласно которому, например, согнутый средний палец означает 5, согнутый указательный палец над согнутым большим пальцем означает 60, и так далее.

Глава 2 посвящена умножению целых чисел и включает в себя методы для проверки, является ли результат правильным (то, что мы сегодня называем “алгоритм”). Умножение, а затем и деление требуют keeping in hand, буквально “удерживания в руке” (по-русски — “в уме”. — М.Ц.) чисел (сегодняшнее carrying, запоминание при переходе из одного разряда в другой во время арифметических действий); оба этих термина (in hand и carrying) появились как очень физические операции, включающие память, письмо и пальцы (которые функционировали как расширение памяти). В посвящении Фибоначчи сказал, что память, мышление и привычка должны работать вместе с рука-

6 См. [3, vol.1].

7 Здесь и далее числа в фигурных скобках указывают страницы обозреваемой книги, из которых приводятся цитаты. — М.Ц.

ми и пальцами непрерывно, как в “едином порыве и вдохе” {15}. Главы 3 и 4 — о сложении и вычитании соответственно, а также предоставляют методы для проверки, являются ли расчеты верными. Глава 5 о делении целых чисел включает таблицы деления до 13 и вводит неправильные числа, “для которых не найдено никакого правила (при разбиении на множители)” {69}. Глава 6 имеет дело с умножением, на этот раз целых чисел на дроби (rupti), которые в главе 7 складываются друг с другом и вычитаются. С главы 8 начинается последовательность практических задач: нахождение стоимости товара (глава 8), равноценный обмен товаров (глава 9), объединение торговцев в компании (глава 10), “сплавление” (глава 11), “задачи счёта (problems of abaci) в общем” (глава 12, самая длинная), метод elchataym, или двойного ложного положения (глава 13), извлечение корней (глава 14), геометрические правила и задачи алгебры и альмукабалы (almuchabala — от используемого аль-Хорезми термина al-Jabr'w'al muqabala, т.е. правила восстановления и сокращения — глава 15).

Liber abaci является настоящим сундуком сокровищ не только для историка математики или науки, но также и для историка средневековой экономики и общества, а также для ученых, которые интересуются отношениями между Востоком и Западом в период средневековья. Здесь есть что-то для каждого. С чисто технической стороны особенно заметен арсенал Фибоначчи процедур нахождения решений. Помимо методов, основанных по большей части на евклидовой теории пропорций, мы находим метод ложного положения, прямой метод (который “используют арабы... похвальный и ценный метод” {291}), непрямой метод (своего рода инверсия прямого метода, который также использует неизвестное, называемое “вещь”) и метод двойного ложного положения, или elchataym, который Фибоначчи по-разному представляет то как метод “которым можно найти решение почти всех задач” {447}, то как “необходимый” даже тогда, когда он обычно не рассматривается {466}, то как “чудодейственный” {477}. Главы от 12-й до 15-й дают богатую пищу для мысли тем, кто интересуется геометрической алгеброй и разработками 10-й книги “Начал” Евклида. В самом деле, “самый искусный” {57}, “самый знаменитый геометр Евклид” {107} является главным авторитетом, цитируемым Фибоначчи. Он также упоминает Птолемея и его “Альмагест” {180}, Аметуса младшего (Ametus the Younger) {180}, “определенного константинопольского мастера” {28}, и (в примечании на полях рукописи) “Maumeht”, т.е. Мухаммеда ибн Мусу аль-Хорезми {554}. Как известно, Фибоначчи, вероятно, обучался у исламских учителей в Северной Африке; он определяет различные математические традиции — арабскую, греческую, индийскую -и видит свою работу как их объединение {16}.

Как указано в посвящении, книга также объединяет в себе теорию и практику, scientia и ars8. Вначале Фибоначчи обращается к теме, близкой к scientia {15}, однако на протяжении всей книги он говорит об ars. Scientia, о которой идет речь, по сути, глубоко практична, поскольку она должна быть достигнута путем упражнений, в комбинации привычки, памяти и мысли с руками и цифрами {15}. С другой стороны, присутствуют недостатки, ха-

8 В средневековой латыни терминами scientia и ars было принято обозначать теорию, научную сторону, с одной стороны, и практику, искусство, мастерство, с другой. — М.Ц.

рактерные для искусства: некоторые решения могут быть только приблизительными или найденными “по воле Божьей” {526}, многие из методов влекут выуживание правильного ответа через (развиваемые упражнениями) догадки, специалист нащупывает задачу, а иногда и делает то, что "хорошо выглядит (по его мнению. — С.К.У {369}, а не следует строгой процедуре. Учитывая, что не все задачи разрешимы, и что некоторые из них в некоторых случаях будут давать иррациональные или отрицательные решения, Фибоначчи, когда это возможно, обучает своего читателя узнавать разрешимость или неразрешимость простыми эмпирическими трюками (например, {294, 303, 336, 365}).

Пути, по которым счёт Фибоначчи приобретает убедительность, снова отражают это объединение. Он не доказывает свои результаты в аксиоматическом/дедуктивном смысле этого слова. Иногда он даёт геометрические доказательства, где числа представляются отрезками, но какие-то доказательства — в евклидовом стиле или, по крайней мере, в духе Евклида. Это проявляется, в частности, в главе 14, где он устанавливает, что “в соответствии с геометрией, а не с арифметикой, находится величина любого корня из любого числа” {491}, и в главе 15, где происходит возврат некоторых прежних задач к их геометрическому решению или, по крайней мере, сопровождение их небольшими объясняюще/демонстрационными диаграммами {545 и след.}. При ближайшем рассмотрении, однако, можно утверждать, что постоянное повторение и проверка методов в доказательствах главы 2 и последующих глав также является демонстрацией их очевидной справедливости. Порой Фибоначчи говорит “как показано в письменной иллюстрации” {78} или “как показано в этом описании” {132}, ссылаясь не более чем на письменную операцию, где, если читатель последует каждому шагу, он не может не согласиться, что результат получается тот, который указан. Конкретный пример добавляет ясность к общему правилу и является важной частью демонстрации {500}.

Книга содержит таблицы, иллюстрации и простые диаграммы, когда Фибоначчи дает геометрические демонстрации. Иллюстрации (descriptiones), которые показывают читателю, как записаны определенные операции, являются важными, поскольку часть предоставляемых инструкций состоит в аккуратном соответствии этим иллюстрациям. Работа с индийскими цифрами правильным и эффективным способом предполагает выписывание определенной цифры на определенном этапе расчета в определенном положении, выше или ниже другой цифры. Организация небольшого пространства, охваченного иллюстрацией, имеет первостепенное значение для решения задачи. Опять же, некоторые методы (такие, как правило шести членов пропорции {184}), требуют тщательного расположения известных и неизвестных величин вдоль верхней и нижней линии.

Действительно, полностью слова совета, уже упомянутого ранее, который Фибоначчи даёт учащемуся, такие:

“[Он] должен с нетерпением заниматься с постоянным использованием и длительным осуществлением на практике, чтобы наука на практике превращалась в привычку; память и даже восприятие подправлялись руками и цифрами, которые, как порыв и вдох сразу в один и тот же момент, почти так же естественно идут вместе во всём: и таким образом он станет набившим руку студентом” {15}.

Последующие главы реализуют этот совет постоянным следованием упражнений за упражнениями. При работе с элементарными операциями правило применяется к конкретному примеру с самого его введения, более конкретные примеры следуют, иногда в бурном темпе, когда, например, сначала умножается двухзначное число на двухзначное число, затем трёхзначное число на трёхзначное, а затем четырёхзначное на четырёхзначное и так далее. Фибоначчи сопровождает читателя через большую часть этапов (он начинает пропускать этапы только после предоставления пары конкретных примеров метода), иногда объясняя, почему этап приводит к такому результату {125}, и время от времени повторяет общий набор инструкций (делай это, помести цифру тут) и, буквально, ввинчивает их в сознание учащегося. Указывается на тщательность, необходимую для проведения расчетов без ошибок, и он не только дает правила для проверки как расчетов, так и решений некоторых задач, он настаивает на том, чтобы эти правила проверки применялись почти так же интенсивно, как правила, и методы для выполнения первоначальных расчетов. Фибоначчи ожидает, что его читатель уже имеет хорошую память и запоминает наизусть содержание большинства таблиц книги, а также основные процедуры большинства её парадигматических задач {211}. Отдельные процедуры делаются запоминающимися благодаря небольшим рассказам, связанным с ними: задача о дереве, которое было кошельком, о человеке, путешествующем из города в город, и Фибоначчи, дав три или четыре примера для каждой задачи, может позже указать, например, “тем же способом, как и в задаче о дереве”, когда требуется подобная процедура {например, 252, 255, 396, 438}.

Иногда это выглядит, как будто Фибоначчи хочет идти в направлении большей абстракции: при решении задачи о “лошадях, которые съедают ячмень за какое-то число дней”, он обозначает числа в вопросе буквами до представления общего правила о том, как задача должна быть решена {206, 207}, и он делает то же самое в главе 14. Есть задачи просто о числах, а не о числах, относящихся к конкретным вещам {259 и след., 310 и след., 316 и след., 431-433}, но даже и тут в одном случае он отмечает “были показаны правила суммирования рядов, теперь правильно показано их применение... Два человека, которые собрались идти в дальний путь... ” {261}. Действительно, даже в самой “абстрактной” 15-й главе применяется ряд общих, геометрически-продемонстрированных правил к конкретным денежным задачам, подобным тем, что приведены в главах от 8 до 12 {541, 557, 564}.

Фибоначчи четко указывает, что его счет имеет практическую цель, а также может быть полезен для бизнеса {120}, он помогает читателю уменьшить труд расчетов с помощью укороченных приёмов {153}, он даже рассматривает чеканку монет с определенным содержанием серебра и меди {233} и приходит к выводу:

“Действительно, из этого правила следует, что часто полезен определенный допустимый шаблон в этом методе для монет. Действительно, изготавливаемые монеты иногда получаются с избытком, а иногда с недостатком, то есть иногда содержат слишком много, а иногда слишком мало серебра, иногда они слишком слабые из-за отсутствия знаний легирования или недостатка меди или чрезмерного выкипания” {239, 240}.

Сведения о мире международной торговли XIII века многочисленны и бесценны. Объекты расчета включают перец (“не очень дорогой товар” {163}), ткани, кожи, сыры разного качества, шафран (“дорогой товар” {163}), мускатный орех, масло из Константинополя, сахар, свинину, кроликов, птицу, квасцы, мастики, киноварь и фальшивое серебро (серебро смешанное с оловом); диапазон обмениваемых валют простирается от фунтов различного вида до massamutini и до безантов (bezants); единицы мер, для которых найдены относительные пропорции и эквивалентности, пришли из Пизы, Прованса, Палермо, Мессины, Кипра, Сирии, Александрии, Генуи, Турина, Флоренции, Барселоны, Падуи, Болоньи, Венеции, Тарента и Бербери, прибрежных районов Северной Африки (где Фибоначчи узнал об индийских цифрах и методах расчётов с ними). С такими метрологическими разновидностями каждый “должен сделать всё согласно разнообразию весов и их частей, и согласно обычаям и порядкам в провинции, в которой вы должны действовать” {163}. Рассматриваются также en passant (между прочим) надбавки при обмене, налоговые пошлины, комиссионные сборы при коммерческим сделках, которые имеют место на определенных рынках, монеты и их стоимости (в некоторых случаях зависящие только от содержания в них серебра, которое может быть определено путем их расплавления), банки (“дома”) и банковские проценты, а также различные типы товариществ для получения прибыли. Коммерсантка прикидывается продавщицей яблок и груш {250}; немного рассказов о рабочих, которые теряют почти весь свой заработок у своего работодателя или мастера из-за вычетов за обслуживание или по болезни {392, 453}, или рассказы о солдатах, которые согласились на неблагоприятные условия оплаты у своих феодалов, потому что такие условия были установлены королями {392}.

По крайней мере один раз правило, которое предлагает Фибоначчи, может быть выведено из фактической практики того времени:

“Этот метод часто используется при загрузке судов, когда загружаются различные товары и должно быть соответствие с разнообразием весов более легких и более тяжёлых из них, как на судах, которые загружаются в Барбари и заполняются грузами кож {176}”.

Правила о сокращении веса, которые являются традиционными, могут отличаться от места к месту, а даты в некоторых случаях — от древних времен, и “некоторые из них мы предлагаем использовать в этой работе” {176}.

Вопрос о том, на какую аудиторию читателей была по существу рассчитана Liber abaci, заслуживает дополнительного внимания. Представляется, что книга предназначена не только для купцов и их сыновей, но и для двора правителя. Некоторые задачи в ней посвящены ситуациям досуга: показаны игры, включающие отгадывание числа (“если вы скажете ему, что он (загадал) 27, вы увидите, что это называется чудом” {435}), или о людях, сидящих вместе и спрятавших кольцо {430}, а также басни типа истории льва во рве, (которому потребовалось 1575 дней, чтобы вылезти {273}), о двух змеях, одна из которых внизу, а другая наверху башни высотой в 100 пальм {274}, о собаке, которая ловит лисицу {276}. Фибоначчи заинтересован в том, какое впечатление производят его слова: имеется несколько ссылок на “изящество”, либо что выражение более элегантно, чем другое {например, 81, 194}. Существует также “оптимальный” способ размещения частей в дроби, чтобы её проверки было легче выполнять и дробь выглядела менее громозд-

кой. Мы сталкиваемся с юмором Фибоначчи: продавец везёт драгоценные камни в Константинополь, проходя через три таможни. Первый таможенный агент пропускает его свободно, потому что они друзья. Два других не согласны пропустить. Фибоначчи тогда говорит в ответ, что “то, что было сказано о первой таможне, сказано только в шутку, чтобы воспрепятствовать простодушию” {396}. Герой одной из сказок Тысячи и одной ночи воскрешает уединенные сады, требующие хранителей, и в конечном итоге наказан за жадность: это задача о человеке, который вошел в сад удовольствий через семь дверей, взял некоторое число яблок, вернулся и потерял все яблоки у семи дверных стражников, которые один за другим заявили, что сколько-то брали себе {397}. Спрашивая, сколько яблок человек собрал в первом месте, Фибоначчи начинает с последнего оставшегося яблока и восстанавливает ряд “конфискации” назад, что приводит к первоначальному количеству. Задача о кроликах, содержащая известный в настоящее время ряд Фибоначчи — 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, представляющий численность кроликов, ежемесячно рождающихся от одной исходной пары и её потомства, рассмотрена спустя несколько страниц {404}.

Лоуренс Сиглер, который был также переводчиком работы Фибоначчи Book of Squares на английский язык, к сожалению, умер, не увидев свой перевод Liber abaci вышедшим из печати. Этот перевод, который, судя по всему, был огромной работой, читается достаточно плавно, и он проявляет корректность по отношению к оригиналу, не пропускает пассажей для избежания повторов, а также противодействует любым попыткам “обновления” текста или ряда предложений, которые отличаются только своими подзаголовками. К счастью, он избегает “модернизирующей” позиции, сохраняя ссылки на преемников Фибоначчи и перенося в сноски его результаты в современных обозначениях (например, на с. 619 для “предвидения” у Фибоначчи гауссовской теории остатков). Есть несколько незначительных ошибок в переводе латыни; английский текст содержит некоторые опечатки, в том числе в числах и библиографии, в некоторые из диаграмм в книгах 10, 12 и 13 были внесены изменения по отношению к латинской версии. Тем не менее, несмотря на эти незначительные недостатки в публикации, она, надеюсь, произведёт большое впечатление и откроет мир Леонардо Пизано новому поколению читателей.

ЛИТЕРАТУРА

1. Arrighi G. Un grande scienziato pisano del duecento: Leonardo Fibonacci (Великий пизанский учёный тринадцатого века: Леонардо Фибоначчи) // Rassegna periodica di informazioni. 1966. 2:27-29.

2. Arrighi G. La fortuna di Leonardo Pisano alla corte di Federico II (Судьба Леонардо Пизано при дворе Фридриха II) // Dante е la cultura sveva. Atti del convegno di studi tenuto a Melfi in collaborazione con la Biblioteca provinciale di Potenza. 2-5 novembre 1969. Omaggio a Francesco Torraca. Firenze, 1970.

3. Boncompagni B. Scritti di Leonardo Pisano. Rome, 1857-1862.

4. Sigler L. E. Leonardo [Pisano] Fibonacci: The Book of Squares. An Annotated Translation into Modern English. Boston, 1987.

5. Vogel К. Fibonacci, Leonardo. P. 604-613 / Ed. С. C. Gillispie. Dictionary of Scientific Biography. Vol.4. New York, 1971.

Поступила 12.04.2010

ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ. ПЕРСОНАЛИИ

УДК 929

ПЕРВЫЙ ЧУВАШСКИЙ ПРОФЕССИОНАЛЬНЫЙ МАТЕМАТИК (к 120-летию со дня рождения И. М. Максимова)

Н. И. Мерлина

Чувашский госуниверситет им. И. Н. Ульянова Россия, 428015, г. Чебоксары, Московский проспект, 15 тел.: (8352)45-03-01; факс: (8352)42-80-90; e-mail: merlina@cbx.ru

Приведена биография первого профессионального математика из чувашей И. М. Максимова (1889-1976) — ученика Н. Н. Лузина.

Ключевые слова: И.М.Максимов, математик-самоучка, первый профессиональный математик из чувашей.

Исайя Максимович Максимов родился 7 мая 1889 г. в крестьянской семье в чувашском селе Александровское (ныне Моргаушский район Чувашской республики). Окончив с похвальным листом начальную школу, он поступил в Тиушскую двухклассную школу, а через год продолжил обучение в Большечурашевской второклассной школе, готовившей учителей начальных классов. Затем И. М. Максимов на конкурсной основе поступил учиться на казённый счет в Казанскую духовную семинарию и стал её лучшим выпускником.

Программа семинарии не могла удовлетворить любознательного юношу, он самостоятельно начал заниматься высшей математикой. “Ещё будучи в семинарии, я начал изучать высшую математику. Закупил университетские учебники по разным математическим дисциплинам и в течение 6 лет, с 1913 по 1919 годы, систематически занимался изучением высшей математики. Одновременно изучал по самоучителям сначала немецкий язык, потом французский и, наконец, английский. Результаты моих научных занятий не замедлились сказаться”, -писал он позднее.

В течение нескольких лет И. М. Максимов был священником села Александровское, учителем Алманчинского начального училища Ядринского уезда Казанской губернии, преподавателем математики на педагогических курсах, затем в Большечурашевской учительской семинарии.

В 1914 году И. М. Максимов на собственные средства опубликовал свою первую работу 'Аналитическое решение некоторых вопросов теории чисел" и

был принят в члены физико-математического общества при Казанском университете.

Профессор Н. Н. Парфентьев1 о другой работе И. М. Максимова выразился так: "Достоинством работы И. Максимова является стремление получить решение сравнения... в виде одной общей формулы, из коей сразу можно получить все корни сравнения. .. Прием о. Исайи отличается непосредственностью и крайней элементарностью. Другой характерный признак работы заключается во введении им особого понятия “первообразный корень первоначального числа... ”. Ввиду этих достоинств предлагаю напечатать её. Я ходатайствую об этом с удовольствием уже по одному тому, что Исайя Максимов — самоук, и наше общество должно поддержать его в исследованиях" [1].

В дальнейшем Н.Н. Парфентьев не упускал И. М. Максимова из виду, дал ему блестящую характеристику, и в 1926 году Максимов был рекомендован в Казанский университет для совершенствования знаний в физико-математических науках. Здесь он изучает отечественную и зарубежную математическую литературу, сдает экстерном экзамены за полный курс математического отделения, всего 18 экзаменов в период с 15 мая 1926 года по 11 апреля 1927 года. Имеется заверенная гербовой печатью и подписью профессора А. В. Васильева2 справка от 8 июля 1927 года, в которой перечислены эти экзамены: французский язык, теория чисел, высшая алгебра, дифференциальное исчисление, интегральное исчисление, теория функций комплексного переменного, теория эллиптических функций, исчисление конечных разностей, интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений, интегрирование дифференциальных уравнений в частных производных, дифференциальная геометрия, интегральная геометрия, теория вероятностей, термодинамика, неорганическая химия, биология, вариационное исчисление, теория интегральных уравнений.

1 Н. Н. Парфентьев (1877-1943) оказал громадное влияние на развитие казанской научной школы математики и механики. Он окончил физико-математический факультет и аспирантуру в Казанском университете (КГУ) и с 1904 года в качестве приват-доцента начал преподавание и общественную деятельность в университете. По инициативе Н. Н. Парфентьева и других ученых при КГУ был открыт НИИ математики и механики, получивший впоследствии имя своего первого директора Н. Г.Чеботарёва. Многие годы Н. Н. Парфентьев интенсивно работал в Казанском физико-математическом обществе (КФМО), председателем которого он был с 1930 г.

2 А. В. Васильев (1853-1929) более 20 лет (1885-1906) возглавлял КФМО. Трудно переоценить заслуги А.В.Васильева в увековечении памяти Н.И.Лобачевского: организация празднование в Казани 100-летия со дня его рождения, установка в Казани памятника Лобачевскому, составление первой научной биографии Лобачевского и многое другое. Ученики Васильева (А. П. Котельников, Д. М. Синцов, Н. Н. Парфентьев, Е. И. Григорьев и др.) и ученики его учеников составили основную часть математиков Казанского университета в последующие годы.

В 1927г. И.М.Максимов был зачислен штатным аспирантом Казанского университета, а в 1928 г. по личной просьбе был переведен аспирантом в институт математики при 1-м Московском государственном университете.

В МГУ И. М. Максимов работал под непосредственным руководством академика Н. Н. Лузина — выдающегося математика, основателя московской математической школы — и в течение всей своей последующей жизни считал себя учеником Лузина.

По свидетельствам современников, Лузин высоко ценил Максимова, предлагал ему остаться после окончания аспирантуры в МГУ, но Исайя Максимович счел себя обязанным вернуться на родину в Чебоксары, поскольку в Казани получал стипендию от Чувашской республики.

С 1930 г. он занимал должность доцента математики в Чувашском и Казанском педагогических институтах, Чувашском сельскохозяйственном институте. Работая в Чувашском педагогическом институте, он читал лекции и вел практические занятия по аналитической геометрии, основаниям геометрии, дифференциальной геометрии. Его очень уважали студенты.

В 1947 году И. М. Максимов успешно защищает в Казанском университете кандидатскую диссертацию “О непрерывных преобразованиях функций”. Она не повторяет его довоенных исследований. По результатам своих научных трудов Максимов, безусловно, мог бы ещё раньше защитить докторскую диссертацию. На этом настаивал в свое время и Н. Н. Лузин. Сдерживала Максимова высокая требовательность к своим работам, научная изоляция и исключительная скромность.

После защиты кандидатской диссертации И. М. Максимов успешно занимается вопросами трансфинитного анализа. Как отмечает в своем архиве В. П. Захаров3, И. М. Максимовым введено в науку понятие трансфинитного пространства. В 1930-50 гг. его научные работы публикуются в центральных математических журналах СССР, США, Германии (в довоенный период), Франции и Польши. Он вел активную переписку с крупными отечественными и зарубежными математиками.

Как известно, репрессии тридцатых годов в СССР сильно задели Н. Н. Лузина4 — обвиненный в “космополитизме” и “низкопоклонстве перед Западом”, он был вынужден покинуть Московский университет и отправиться в “ссылку” в Ташкент. Это отразилось и на положении И. М. Максимова — он вынужден был прекратить переписку с зарубежными математиками, а письма уничтожить.

Ниже с небольшими сокращениями приводятся воспоминания И. М. Максимова, приложенные к заявлению на имя Председателя Президиума Верховного Совета Чувашской АССР от 24 марта 1967 года. Это заявление написано И. М. Максимовым с целью получения поддержки правительством публикации в России его неизданных математических рукописей.

3 В. П. Захаров (1930-2004) — кандидат физико-математических наук, доцент, зав. кафедрой математического анализа Чувашского государственного педагогического института (ЧГПИ), специалист по дифференциальным уравнениям. Окончил физико-математический факультет ЧГПИ (1953), с 1953 по 1956 гг. аспирант Казанского педагогического института, с 1956 г. начал работать в ЧГПИ преподавателем. Опубликовал более 60 работ.

4 См. например, книгу [2].

"Я родился 20 мая 1889 г. (по старому стилю) в селе Александровское Моргаушского района Чувашской республики. Мои родители Максим Павлович и Вера Павловна, по национальности чуваши, были бедными крестьянами. Мое появление действительно заставило членов семьи забыть свои радости и обратить всё свое внимание на жалкое человеческое существо, лежавшее в шапке дедушки на самом теплом месте — на печке. Я теперь знаю, что точно так же начал свою жизнь Исаак Ньютон, прославивший английский народ своими научными открытиями.

Моя мать рассказывала мне, что она брезгала (так в оригинале. — Н. М.) брать меня на руки, ибо был безобразен, но бабушка Пелагея, будучи сама бездетной (отец мой был приёмным сыном), была без ума от своего внука и ухаживала за мной любовно и самоотверженно. Я обязан своею жизнью её самоотверженному уходу за мной. Я выжил, стал похожим на обыкновенного ребёнка. Рос я очень тихим, задумчивым ребёнком. В 9 лет пошел в сельскую школу, которую окончил с похвальным листом. По окончании школы я решил учиться ещё дальше на учителя. С малых лет я обнаружил самостоятельность и твердый характер. Я учился сперва в Тиушской двухклассной школе, а потом в Большечурашевской второклассной учительской школе, где и обнаружились дремавшие раньше мои математические способности. Над развитием моих математических способностей много поработал Василий Павлович Чебоксаров, один из самых лучших педагогов этой школы. Я ещё очень увлекался литературой и физикой, которые преподавал талантливый учитель Павел Александрович Ломоносов. Он привил мне любовь к чтению. Окончил школу отличником, но не пошел в учителя, решил учиться дальше. Благодаря заботам моих учителей, любивших меня за отличные успехи в учебе и тихое поведение, я поступил в Казанскую духовную семинарию. По окончании семинарии работал учителем в селе Алманчино Чувашской республики. Здесь я начал самостоятельно заниматься высшей математикой и написал первую научную работу, в которой решил некоторые проблемы теории чисел. Эта работа была напечатана на мои денежные средства в 1914 году в Казанской типографии.

В 1919 году я был назначен преподавателем математики в Большечурашевскую учительскую семинарию. Занятия мои в области высшей математики стали ещё более серьёзными и систематичными. Познакомился с профессором Казанского университета Н. Н. Парфентьевым. Под его руководством написал вторую научную работу — “Двухчленные уравнения”. По его рекомендации она была напечатана в журнале “Известия Казанского физико-математического общества” при Казанском университете. Позже я был командирован в Казанский университет для усовершенствования в физико-математических науках. Сдавал экзамены экстерном по программе математического отделения. По окончании экзаменов был принят аспирантом, потом по личной просьбе перешёл в Москву в Научно-исследовательский институт математики при Московском университете. Здесь занимался математикой под руководством профессоров Лузина и Меньшова. По окончании аспирантуры был приглашен на работу во вновь открытый Чувашский педагогический институт на должность доцента.

Тогда я был молод, энергичен, работал хорошо, а наукой занимался ещё лучше. Защитил в 1947 г. кандидатскую диссертацию в Казанском университете на степень кандидата физико-математических наук, а на год раньше получил звание доцента по кафедре математики...

Мой учитель академик Н.Н. Лузин не раз говорил мне, что у меня недюжинные духовные силы, но я принимал это за лесть... Кроме тех 30 печатных работ, которые написаны мною в молодом возрасте, у меня имеются ещё четыре больших рукописных работы, которые написаны в последнее десятилетие. Я надеюсь прославить чувашский народ именно этими четырьмя работами. Что нужно для этого?

Во-первых, нужно проверять, исправлять и улучшать их. Это зависит главным образом от меня самого. Во-вторых, нужно сделать эти работы достоянием чувашского народа, для чего достаточно напечатать их.

Я не писал бы этого заявления, если бы был молод и здоров. Но мне 77 лет, кроме того, болен. Имея такой возраст, невольно приходится думать о том, что нужно готовиться к смерти. Я всю жизнь работал над подготовкой педагогических кадров по математике. Но мне нужно подготовить еще смену себе по линии научно-исследовательской работы, чтобы в случае моей смерти чувашские математики продолжали мои работы, а для этого им нужно иметь экземпляры моих трудов.

Я пока рассматриваю принципиальную сторону вопроса. Практическая сторона дела настолько сложна, что она пугает даже меня своей трудностью и вселяет в настроение неуверенность и апатию. Январь 1966 года!'' [3].

Последние три года своей трудовой деятельности Максимов преподавал в Казанском педагогическом и Чувашском сельскохозяйственном институтах. Но и выйдя на пенсию, он не оставил занятия наукой. В 1953 году появилась его статья в Докладах Академии наук СССР, в 1960 — публикация в Учёных записках пединститута, в 1963 году — в математическом журнале Румынской академии наук. Высокую работоспособность он сохранил до конца своей жизни.

Скончался И. М. Максимов на восемьдесят седьмом году жизни 23 февраля 1976 г. Он похоронен в Чебоксарах на первом Карачуринском кладбище.

Неполные списки его научных работ имеются в [4-8] и в некоторых других изданиях. Представляет интерес и переписка И. М. Максимова с крупнейшими отечественными и зарубежными математиками. К сожалению, как уже отмечалось выше, переписка с зарубежными математиками была уничтожена самим И. М. Максимовым, о чем он впоследствии глубоко сожалел. Не исключено, что часть этой переписки случайно могла сохраниться в других городах (в том числе и за рубежом).

В мае 2009 г. в библиотеке Чувашского государственного университета имени Н.Н. Ульянова была открыта выставка “Талантливый самородок-математик Максимов И. М. (1889-1976)”. Преподаватели физико-математического факультета разыскали могилу И. М. Максимова и возложили цветы, опубликованы статьи в газетах “Ульяновец”, “Чебоксарские новости” и др.

Во время подготовки этой статьи выяснилось, что ещё за два года до 100-летия со дня рождения И. М. Максимова В. П. Захаров и Д. Д. Ивлев опубли-

ковали статью [9] с целью обратить внимание общественности и руководства вуза, города и республики на необходимость увековечивания памяти И. М. Максимова. К 100-летию со дня рождения И. М. Максимова была публикация [10] тех же авторов, в которой предлагалось назвать его именем улицу, повесить мемориальную доску на здании педагогического института, назвать его именем школу, где он работал... но, к сожалению, всё это осталось на бумаге.

Ниже мы помещаем воспоминания тех людей, кто лично знал И. М. Максимова — к сожалению, их осталось очень мало.

Академик РАО Г. Н. Волков5, заведующий лабораторией этнопедагогики при Чувашском государственном педагогическом университете им. И. Я. Яковлева (из беседы с Г. Н. Волковым 16 сентября 2009 г. по телефону):

И. М. Максимова считаю своим учителем. При поступлении на физико-математический факультет в ЧГПИ вступительный экзамен по математике сдавал И. М. Максимову. Еле-еле сдал на тройку, но потом учился отлично. Слушал его лекции. Читал он их почти под диктовку. Всегда был написан материал. Загадочный был человек. Часто задумывался, стоит и молчит. Был очень немногословен, почти не улыбался. Но студенты к нему относились очень хорошо, а он к студентам. В 1948 г. на заседании партбюро при обсуждении “дела” И. М. Максимова выступил в его защиту и попал под внимание НКВД. И. М. Максимова уволили из ЧГПИ. Он долгое время там не работал. Уехал в Казанский педагогический институт, где был хорошо принят. Бывал у него дома. Детей у них с женой не было. И ещё, когда работал проректором ЧГПИ (это 60-е годы), встречались на работе. Иногда он приходил и долго сидел, слушал, как я душевно беседую с людьми, очень удивлялся и говорил: «Нужно беречь свою энергию, нельзя так много тратить душевных сил, иначе не хватит на науку».

А. С. Марков, профессор кафедры теоретической физики Чувашского госуниверситета им. И. Н. Ульянова, ректор ЧГПИ в 1963-1983 гг. (из книги [11]):

"Несколько слов хотелось бы сказать о выдающемся математике Максимове Исайе Максимовиче, известном не только в нашей стране, который читал высшую математику.

Он имел ряд работ по теории чисел, опубликованных за границей (во Франции, Германии, США, Польше и др.) и имел много учеников. Однако после выхода постановления ЦК ВКП (б) о борьбе с космополитизмом И. М. Максимова за публикации своих работ за границей освободили от должности доцента, и долгое время он не имел работы. Только в шестидесятых годах, будучи ректором института, я пригласил его на должность доцента кафедры математики. Однако его здоровье, особенно зрение, было подорвано. Они с женой жили в своем деревянном доме, удобств не было. По возможности мы помогали ему. Обеспечивали дровами, углём, транспортом. К сожалению, через несколько лет (в 1976 году) он скончался, и мы с почестями проводили его в последний путь."

5 Г. Н. Волков (р. 31.10.1927) — доктор педагогических наук, профессор (1968), член СП СССР, академик Академии педагогических наук СССР (ныне РАО) (1990), академик НАНИ Чувашской Республики (1994), почетный доктор Эрфуртского ун-та (Германия) (1998). Основатель нового направления в педагогической науке — этнопедагогики.

Профессор В. А. Иванов, доктор педагогических наук, зав. кафедрой углубленного изучения иностранных языков Чувашского госуниверситета имени И. П. Ульянова.

“Тихое поведение и громкие успехи”. Этими словами охарактеризовал своего учителя и коллегу доцента математики Максимова И. М. академик Волков Г. Н., посоветовавший мне побеседовать на немецком и английском с самоучкой иностранных языков, проживавшем в те годы в своем домике в глубоком овраге за главным корпусом современной Чувашской государственной сельскохозяйственной академии. Это было в далеком и близком к сердцу 1973 году 24 мая, когда Геннадий Никандрович как патриот своего народа дал направление к феноменальному врождённому высшему математику, самостоятельно овладевшему западноевропейскими языками по своей и божьей воле с целью углублённого изучения своего предмета. В составе великолепного квартета самоучеников рядом с И. М. Максимовым выступали его соотечественники В.Г.Егоров6, автор “Этимологического словаря чувашского языка”; Н.А. Урхи7, издавший трагедию “Фауст” в переводе на чувашский язык; Г. И. Ильин8, учитель всех предметов, проработавший в одной школе 60 лет. Если Исайя Максимович поражал современников дальновидящим математическим складом ума, то Василий Георгиевич удивлял лингвистов знанием древнейшей истории чувашского языка, а Наум Андреевич стал вундеркиндом-студентом в возрасте 75 лет и, возможно, единственным в мире, который сдавал в вузе зачёты и экзамены по учебникам, написанным им самим. Что касается Георгия Ильича, то он является феноменом хотя бы потому, что волею судьбы оставшись с тремя пальцами на правой руке, великолепно играл на баяне, руководил хором Штанашской школы, был победителем конкурса по вышиванию в Красночетайском районе. Жажда к знаниям одарённой природой талантом четвёрки была обусловлена социальным заказом периода на рубеже двух веков на образованных личностей, которые в целом формировались через духовные семинарии и академии, Симбирскую чувашскую школу. Для меня как преподавателя иностранных языков они служат примером для доказательства решающего значения самостоятельной ежедневной работы в процессе овладения письменной и устной речью. Их принцип Amat victoria curam (Победа любит старание) имеет пансофический характер.

6 В. Г. Егоров (1880-1974) — доктор филологических наук, окончил Симбирскую чувашскую учительскую школу (1899), Казанскую духовную академию (1908), руководил русско-арабскими школами в Сирии, окончил историко-филологический факультет Санкт-Петербургского университета и Археологический институт, работал в Восточном пединституте в Казани и в Чувашском пединституте.

7 Урхи (псевдоним) — Н.А.Андреев (1891-1984) — филолог, переводчик, фольклорист. Экстерном сдал экзамены на звание учителя в Симбирской мужской гимназии (1913), окончил Чувашский госуниверситет (1968). Работал в редакциях чувашских газет и журналов (1920-1940), сотрудником Президиума Верховного Совета Чувашской Республики (1940-1943), научным сотрудником Чувашского научно-исследовательского института.

8 Г. И. Ильин (ровесник Урхи, точные даты жизни неизвестны) жил и работал в селе Штанаш Красночетайского района Чувашской Республики. По образованию учитель математики, преподавал в Штанашской школе также немецкий язык, естествознание, музыку, рисование. Организовал школьное лесничество и переписывался с лесоводами разных стран. Занимался переводами на немецкий, французский, латинский языки.

Беседуя с Максимовым о самообразовании по иностранным языкам и обобщая их опыт, мы пришли к заключению: как первобытный homo добывал себе средства существования луком и удочкой, так и самоученик ловил знания через учебники по самообразованию в условиях отсутствия доступа к иностранным языкам через учебные заведения. По признанию Максимова, изучать иностранные языки его заставило стремление глубже познать функции математики, т. е. целью самоученика была “добыча” информации по специальности из иноязычных источников, обогащение ума знанием богатств, выработанных человечеством. Методы усвоения знаний были подсказаны мотивацией учения, восприятием и осознанием материала, поиском свежей информации в иноязычных источниках, осмыслением и критическим анализом полученных данных, формированием и письменным изложением собственных взглядов и убеждений. Исайя Максимович был уверен, что главное — работа, она и подскажет путь познания. Обобщенно их можно называть индуктивно-дедуктивными, исследовательскими, эвристическими, компаративными методами, вариантов было немало, а для самоученика важно было научиться читать с пониманием и уметь писать статьи для научных журналов. Он не мечтал о поликультурной коммуникации и речевой практике в стране изучаемого языка, а в своей повседневной работе над языками основное внимание уделял “орфографии”, которая включала отбор часто встречающихся фраз из текста, устойчивых выражений, стандартных словосочетаний и шаблонов, характерных для научного стиля и необходимых для аннотирования, реферирования и резюмирования. Им был составлен специальный словарь “ворованных фраз”, как чистосердечно признавался математик, которые впоследствии интенсивно эксплуатировались при написании научных статей. На иностранных языках он опубликовал более 30 работ, в том числе и On Approximately Continuous Functions. — USA, 1939. Многие из них автор мне показывал, в те годы они были раритетом, достойным для подражания.

В “Краткой чувашской энциклопедии” (Чебоксары, 2001, с. 258) о И. М. Максимове отмечено, что “в годы борьбы с космополитизмом он подвергался гонениям”, возможным поводом для этого могли послужить его связи с зарубежной наукой и служба священником в молодые годы, что не могло не сказаться на его поведении. В нашей памяти он сохранился как немногословная застенчивая вдумчивая личность, грустный сверхскромный неконтактный человек, неохотно говорящий информатор, особенно о личной жизни. Разница в возрасте, вероятно, также мало способствовала нашему диалогу — мне не было даже 36, а ему было уже 84. Сегодняшний жизненный опыт позволяет мне судить о доценте И. М. Максимове как о видном педагоге-полиглоте с типичными чертами математического характера, знающем цену знаниям иностранных языков, умениям и навыкам писать и говорить так, чтобы словам было тесно, а мыслям просторно."

Профессор И. Г. Краснов9, директор НИИ И. И. Ульянова и И. Я. Яковлева при Чувашском госуниверситете им. И. Н. Ульянова, рассказал, что он

9 Н. Г. Краснов (р. 25.05.1932) — доктор педагогических наук, инициатор и научный консультант создания музея И. Я. Яковлева в ЧГПУ им. И. Я. Яковлева и Симбирской чувашской школы в г. Ульяновске. Научный руководитель музея И. Н. Ульянова и И. Я. Яковлева при Чувашском государственном университете.

встречался с И. М. Максимовым в 1966 г. и имел с ним беседы. В книге “Сорокалетие Симбирской чувашской учительской школы (1868-1908) // Циркуляр по Казанскому учебному округу. Приложения за 1908 г., Т. 1, с. 432-464.” имеется поздравительное письмо, написанное в 1908 г. И. М. Максимовым И. Я. Яковлеву10 (жена И. М. Максимова была выпускницей Симбирской чувашской учительской школы). Будучи священником в Карамышевской церкви, И. М. Максимов организовал математический кружок для детей. По словам Н. Г. Краснова, в архиве И. Я. Яковлева есть письма Лузина H. Н. к Ивану Яковлевичу, связанные с И. М. Максимовым, с вопросом “Стоит ли ему заниматься И. М.?”

И. М. Максимов принадлежит к числу талантливых самородков, чьими успехами могут гордиться российская наука и Чувашия. Научное наследие его нуждается в глубоком и тщательном изучении, мы надеемся заинтересовать этим ученых Москвы, Казани, Нижнего Новгорода и других городов.

Автор благодарит вдову В. П. Захарова Валентину Ананьевну за предоставленные материалы архива, собранного её мужем.

Ниже приводится неполный список работ И. М. Максимова (по сведениям из архива В. П. Захарова).

1914

1. Максимов И. М. Аналитическое решение некоторых вопросов теории чисел, связанных с употреблением полуаналитической функции вида

Казань: Типография Императорского университета, 1914. 16 с.

1915

2. Максимов И. М. Теория двучленных сравнений с простым модулем и первообразных корней. Казань: Типолитография Императорского университета, 1915. 28 с.

3. Максимов И. М. О применении детерминантов при решении системы уравнений // Протоколы заседаний физико-матем. общества при Казанском университете. 1916.

1935

4. Maximoff I. Sur les fonctions ayant la propriété de Darboux. Prace Matematyczno-Fiszycne. T.XLIII. Warszawa, 1935. P. 241-265.

1937

5. Maximoff I. Sur une fonction continue et essentielement croissante // Comptes Rendus Acad. Sei. Paris. 1937. T. 205. №22.

1938

6. Максимов И. М. Алгебра знакопостоянных чисел // Известия физико-математического общества и научно-исследовательского института математики и механики при Казанском университете им. В. И. Ульянова-Ленина. Казань, 1938. Т.Х. Сер.3. С. 81-92.

10 И. Я. Яковлев (1848-1930) — выдающийся деятель культуры и просвещения чувашского народа, педагог, писатель, переводчик, создатель двуязычной начальной школы в России.

7. Максимов И. М. О трансфинитных пространствах // Матем. сборник. 1938. Т.З. (45):3. С. 553- 448.

8. Maximoff I. Sur les ensemmbles mesurables В dans l'espace // Compositio Mathematica, 1939. V. 7. Fasciculus 2. In Aedibus P. Noorbhoff-Groningen. P. 201-213. Amsterdam (Niederlande).

9. Maximoff I. On approximately continuous functions // Bulletin of the American Mathematical Society. April, 1939. P. 264-268.

1940

10. Максимов И. М. О функциях класса 1, обладающих свойством Дарбу // Известия физико-математического общества и Научно-исследовательского института математики и механики при Казанском университете им. В. И. Ульянова-Ленина. 1940. T. XII. Сер. 3. С. 43-55.

11. Максимов И. М. О преобразовании некоторых функций в асимптотически непрерывные // Известия физико-математического общества и Научно-исследовательского института математики и механики при Казанском университете им. В. И. Ульянова-Ленина. 1940. T. XII. Сер. 3. С.9-41.

12. Maximoff I. Sur le système de Souslin d'ensembles dans l'espace transfini // Bulletin of the American Mathematical Society. 1940. V. 46. № 6. P. 543-550.

13. Maximoff I. Sur les fonctions dérivées // Bulletin des Sciences Mathématiques. 1940. Ser. 2. T. 64.

14. Maximoff J. Sur la separabilite d'ensembles // Acad. Roum. Bulletin de la sect. Sei. 1940. T. 22.

15. Maximoff I. On the continuous transformation of some functions into an ordinary derivatives. // Annali délia R. Scuola Normale Superiore di Pisa. 1940.

16. Максимов И. М. О преобразовании некоторых функций в точные производные // Известия физико-математического общества при Казанском университете. 1940. T. XII. Сер. 3.

17. Maximoff I. On a continuum of the power 2il // Annals of Mathematics. 1940. V.41. №2. P. 321-327.

1942

18. Максимов И. М. О смежных корнях // ДАН СССР. 1942. T. XXXVII. №3. С. 104-106.

1943

19. Maximoff I. On the continuum hypothesis // Annals of Mathematics. 1943. V44. №1. P. 90-92.

20. Maximoff J. On functions of class J having the property of Darboux // American Journal of Mathematics. 1943. P. 161-170.

1944

21. Максимов И. М. О трансфинитных пространствах Е и о континуум-гипотезе // ДАН СССР. 1944. Т. 43. С. 243-246.

1953

22. Максимов И. М. О суммовом уравнении // ДАН СССР. 1953. Т. 89. №3. С.401-403.

1959

23. Максимов И. М. О некоторых теоремах, относящихся к четвертой проблеме H. Н. Лузина // Ученые записки Чувашского педагогического института им. И. Я. Яковлева. 1959. Вып. 7. С. 143-155.

1960

24. Максимов И. М. О некоторых проблемах теории множеств // Ученые записки Чувашского пединститута им. И.Я.Яковлева. 1960. Вып. 11. С.1-28.

1963

25. Максимов И. М. О трансфинитном пространстве Т // Revue de mathématiques pures et appliquées. Académie de la Republique Populaire Roumaine. 1963. T. VIII. №3. P. 391-395.

26. Максимов И. М. О непрерывных преобразованиях функций // Ученые записки Чувашского педагогического института им. И. Я. Яковлева. 1963. Вып. 15. С. 3-32.

27. Максимов И. М. О мощности множества (N) всех бесконечных частей натурального ряда // Ученые записки Чувашского педагогического института им. И. Я. Яковлева. 1963. Вып. 15. С. 33-45.

ЛИТЕРАТУРА

1. Захаров В. П., Ивлев Д. Д. Замечательный математик // Вестник Чувашской национальной академии. 1993. №1. С. 113-118.

2. Дело академика Н.Н. Лузина / Под ред. С. С. Демидова, Б. В. Левшина. — СПб., 1999.

3. Васильев В. П. Страницы истории. И.М.Максимов // Народная школа. 2000. №4.

4. Ожигова Е. П. Развитие теории чисел в России. — Л.: Наука, 1972.

5. Математика в СССР за 30 лет. 1917-1947. - М.-Л.: ГИТТЛ, 1948. 1044 с.

6. Математика в СССР за 40 лет (1917-1957). - М.: ГИФМЛ, 1959. Т. 2. 819 с.

7. Математика в СССР 1958-1967. Т. 2. — М.: Наука, 1970. 762 с.

8. История отечественной математики (в 4-х томах).

9. Захаров В. П., Ивлев Д. Д. Талантливый самородок-математик // Газета “Советская Чувашия”, 20 февраля 1987 г.

10. Захаров В. П., Ивлев Д. Д. Халахран тухна талант // Газета “Коммунизм ялавё”, 7 мая 1989г. (газета “Знамя коммунизма” на чувашском языке).

11. Марков А. С. Полвека служения высшей школе. Воспоминания. — Чебоксары: Изд-во Чуваш, ун-та, 2005. 232 с.

Поступила 17.09.2009

THE FIRST CHUVASH PROFESSIONAL MATHEMATICIAN (in memory of I. M. Maximov on his 120-th anniversary)

N. I. Merlina

The biography of N. N. Luzin's I. M. Maximov (1889-1976), the first professional mathematician from Chuvashia, is given.

Keywords: I. M. Maximov, the self-educated mathematician, the first professional mathematician from Chuvashia.

ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ. ПЕРСОНАЛИИ

К ИСТОРИИ СЧЁТА В ДОПЕТРОВСКОЙ РУСИ

(рецензия на книгу: М. А. Цайгер. Арифметика в Московском государстве XVI века. Беэр-Шева: Берилл, 2010)

Р. А. Симонов

Московский госуниверситет печати Россия, 127550, г. Москва, ул. Прянишникова, 2А e-mail: kafedra_kb@mail.ru

Книга к.т.н. Марка Аркадьевича Цайгера посвящена важному, сложному и недостаточно изученному вопросу истории русской математики — сошным дробям. Я помню, как на одном из заседаний семинара по истории математики и механики при МГУ им. М. В. Ломоносова известный ученый, крупный специалист именно в рассматриваемой области и один из руководителей семинара профессор А. П. Юшкевич (1906-1993) отметил, что система указанных дробей по типу деления пополам четей (четвертей) и третей заслуживает специального изучения. Поэтому нет сомнений, что работа М. А. Цайгера является актуальной.

А. П. Юшкевич в своей фундаментальной книге по истории математики в России писал: “Эти два ряда дробей играли особенную роль при расчете податей и составляли важную часть сошного письма, как именовалась в XVI-XVII вв. совокупность приёмов поземельного налогового обложения”1. Исследование М. А. Цайгера на соответствующую тему, несомненно, является знаменательным событием. Положительной чертой книги также выступает стремление автора органично вписать её содержание в древнерусскую математическую культуру. Так, книга начинается с описания архаической “буквенной” нумерации, которая находилась на Руси в употреблении вплоть до XVIII в., когда в рамках петровских преобразований она была заменена системой современных индо-арабских чисел. (Как известно, последняя нумерация стала входить в русскую жизнь еще в XVI-XVII вв., главным образом через рукописные варианты “Цифирной счётной мудрости”.)

М. А. Цайгер также останавливается на оригинальном русском способе выражения именованных чисел “в решётках”. Этот метод впервые в историографии осветил известный русский ученый и видный церковный деятель митрополит Евгений (Болховитинов) в первой отечественной работе по истории математики2. Приём записи чисел “в решётках” недостаточно изучен. Так, его нет в указанной выше книге А. П. Юшкевича. Он отсутствует в известной книге Б. В. Гнеденко3 и в четырёхтомном издании по истории отечественной

1 Юшкевич А. П. История математики в России до 1917 года. М.,1968. С. 16.

2 Е[вгений]. О старинной славяно-русской арифметике // Вестник Европы. Часть 71, №17. 1813. С. 47-54.

3 Гнеденко Б. В. Очерки по истории математики в России / Предисл. и коммент. С.С.Демидова. 2-е изд. М., 2005. (1-е изд. М., 1946).

математики4. Это повышает ценность рецензируемой книги, в которой счёт “в решётках” рассматривается достаточно подробно, что необходимо для анализа источников о сошном письме.

Основными источниками в исследовании М. А. Цайгера выступают сохранившиеся от XVII-XVIII вв. “Книги сошного письма”, а также упомянутые выше “Цифирные счётные мудрости” и “Арифметики”. Они сохранились в качестве рукописных текстов, и каждый экземпляр уникален. В ряде из них содержался специальный раздел, посвященный так называемому “дощаному счёту”, который является предшественником вычислительного прибора, известного как русские/конторские счеты. Принципы действия устройств типа “дощаного счёта” были изучены известным историком-нумизматом И. Г. Спасским5.

Первоначально “дощаный счёт” был довольно громоздким прибором, содержащим четыре вычислительных поля, представлявших собой деревянные рамы с закрепленными прутьями/шнурами с нанизанными счётными костяшками — для денежного счета, фискальных расчетов, вычисления мер ёмкостей и весов. В отличие от современных счётов, “дощаный счёт” имел в нижней части прутья/шнуры для счета четями и третями с их двоичными долями. Несмотря на внимание историков науки к “дощаному счёту”, он не до конца изучен.

В известной мере справедливо высказанное еще в 1946 г. мнение Б. В. Гнеденко: “По-видимому, все описания действий ”досчатым счётом“6 утеряны; сохранилось только весьма неясное описание орудия счета”7. Поэтому попытка М. А. Цайгера проникнуть в вычислительные тайны “дощаного счёта” заслуживает внимания историко-математической науки. Симптоматично, что сам автор скромно считает, что не все тайны ему удалось раскрыть: “...Некоторые специальные буквенные сокращения на схемах не удалось пока расшифровать. .. Многие вещи, о которых здесь шла речь, являются больше предположениями, чем доказанными фактами” (с. 68). Тем не менее, метод анализа, который применяет автор рецензируемой книги, вполне научен и заслуживает одобрения, использования другими исследователями и дальнейшего развития.

Дело в том, что М. А. Цайгер “замахнулся” на арифметическую “технологию” в русском государственном делопроизводстве и фиске XVI века, о которой (счётной “технологии”) по существу нет прямых источников. По указанной причине он использует метод реконструкции, принимая за основу встречающиеся в русских математических рукописях XVII в. так называемые “дщицы счётные” (в более ранних источниках они отсутствуют). "Дщи-

4 История отечественной математики: В 4 т. / Отв. ред. И. 3. Штокало. Киев, 1966-1970.

5 Спасский И. Г. Происхождение и история русских счётов // Историко-математические исследования. Вып. 5. М., 1952. С. 269-420.

6 Такое именование использует Б. В. Гнеденко для рассматриваемого вычислительного метода — “досчатый счёт” (вместо “дощаный счёт”).

7 Гнеденко Б. В. Указ. соч. С. 48.

цы счётные“ анализировались историками математики и до М. А. Цайгера. Так, в четырёхтомной истории отечественной математики ”дщицы счётные“ трактуются следующим образом: ”В некоторых рукописях XVII в. встречаются рисунки с изображением “дщиц счётных”, являющихся вариантом дощаного счёта XVII в.“. Следовательно, в рассматриваемом издании ”дщицы счётные“ и ”дощаный счёт“ — взаимосвязанные, но разные математические явления. Это подтверждается в указанном издании также сообщением об отличительном свойстве ”дщиц счётных“ и ”дощаного счёта“: ”Дщицы счётные отличались от дощаного счёта только тем, что состояли из счётного поля, разделенного 13 или 12 прямыми линиями, из которых шесть нижних переделаны пополам, перечнем"8.

И. Г. Спасский считал “дщицы счётные” чертежом “досчаного счёта”9. Это следует из подписи, которой он сопровождал изображение “дщиц счётных”, заимствованное из русской математической рукописи XVII в.: “Чертеж ”досчаного счёта“ (счётов) в рукописной ”Арифметике“ середины XVII в.”10. И. Г. Спасский полагал, что в XVI-XVII вв. “дощаный счёт” сосуществовал с более архаичным русским счётом — “счётом костьми”, который не имел рамы, и счётные косточки в нем употреблялись не нанизанными, а в россыпи. Он считал, что окончательный переход в России на инструментальный счёт типа “дощаного счёта” произошел к середине XVII в.: “Но к середине XVII в. ”досчаный счёт“ (счёты) взял верх и получил всеобщее распространение на всей территории Русского государства”11.

М. А. Цайгер следующим образом характеризует “дщицу счётную”: “Думаю, что сейчас можно ответить на вопрос ”что такое дщица счётная“. Это отрисованная на вспомогательной дощечке схема разметки стола для счёта костьми... В XVI веке такие вспомогательные дощечки были необходимы вычислителю, не давая ему сбиться при переносе результата вычислений на бумагу в славянской нумерации. По-видимому, и позже, в XVII веке, когда во многих местах расчётный стол, расчерченный мелом, был заменён на счёты (”дощаный счёт“), а славянские буквы заменены на арабские цифры, потребность в дщицах счётных не сразу отпала” (с. 42). Таким образом, М. А. Цайгер, в отличие от И. Г. Спасского, считает “дщицы счётные” не чертежом “дощаного счёта”, а вспомогательным вычислительным средством, использовавшимся в “счёте костьми”, который предшествовал счётному прибору (счётам), имевшему название “дощаный счёт”.

В этом мнение М. А. Цайгера перекликается с точкой зрения, выраженной в многотомной “Истории отечественной математики” (1966г.): “дщицы счётные” и “дощаный счёт” сходные, но разные вычислительные способы. Причём в издании 1966 г. не определяется, к какому конкретно вычислитель-

8 История отечественной математики / Отв. ред. И. З. Штокало. Т. 1. Киев, 1966. С. 115.

9 Так (“досчаный счёт”) И. Г. Спасский называл “дощаный счёт”.

10 Спасский И. Г. Русская монетная система. 4-е изд. Л., 1970. С. 124.

11 Спасский И. Г. Указ. соч. С. 123.

ному способу относятся “дщицы счётные”. Кстати, о древнерусском оригинальном “счёте костьми” здесь нет речи; рассматривается лишь западноевропейский “счёт на линиях”, который ассоцируется со “счётом костьми или пенязи” русских математических рукописей XVII-XVIII вв. (Действительно, в этих рукописях под указанным названием речь идет о “счёте на линиях”, но И. Г. Спасский считал, что ему отвечает лишь заключительная часть названия (“счёт... пенязи”), а начальная часть (“счёт костьми”) принадлежит оригинальному русскому счёту, отличному от “счёта на линиях”.)

В истории о “дощаном счёте” не всё ясно. Тем интереснее попытка М. А. Цайгера разобраться в ней. Иностранцы, жившие в России или посещавшие её в XVI-XVII вв., отмечают использование русскими вычислителями для счёта плодовых косточек (сливовых и вишневых) в россыпи, а не устройства, заключённого в деревянную раму с нанизанными счетными костяшками, то есть “дощаного счёта”. Это противоречит в известной степени мнению И. Г. Спасского о том, что “к середине XVII в. ”досчаный счёт“ (счёты) взял верх и получил всеобщее распространение на всей территории Русского государства”. Ибо в таком случае “дощаный счёт” должен был иметь определённое распространение в России в XVI-первой половине XVII вв. и непонятно, как иностранцы его не заметили. Всё становится на свои места, если допустить, что иностранцы наблюдали другой вид русского счёта — “счёт костьми” — поскольку “дощаный счёт” ещё не был в массовом употреблении, а, может быть, имел такое ограниченное распространение, что вообще как бы ещё не существовал.

Таким образом, идея М. А. Цайгера о том, что “дщицы счётные” отражают “счёт костьми”, предшествующий “дощаному счёту”, может быть плодотворной в историко-математическом отношении, поскольку никаких других источников о “счёте костьми” по существу нет. Почти любое изображение “дщиц счётных”, каковых в русских математических рукописях достаточно много, что-то даёт для понимания облика и отдельных вычислительных черт “счёта костьми”.

Во-первых, они свидетельствуют, что “счёт костьми” был построен по десятичному принципу. Об этом говорит то, что на рисунках “дщиц счётных” счётные элементы (кости) изображены в количестве десяти (редко девяти) на каждом полном вычислительном уровне. Во-вторых, в этом счёте кости использовались в россыпи. Поэтому они нарисованы, как правило, лежащими на линиях счёта, а не нанизанными на них. Правда, редко, но встречаются изображения нанизанных счётных костяшек, что может говорить о влиянии “дощаного счёта”. В-третьих, в “дщицах счётных” употребляется как архаическая “буквенная” нумерация, так и современная (индо-арабская). Это показывает, что “дщицы счётные” могут восходить к XVI в., когда в русской арифметике на смену “буквенной” нумерации приходила современная система записи чисел. В-четвёртых, нижний отдел “дщиц счётных” подразделялся на две части для четвертных и третных дробей, построенных по принципу

двоичности. Это говорит о том, что соответствующие двоичные дроби входили в “счёт костьми”.

Недавно обнаружены данные (которые не мог знать М. А. Цайгер при написании рецензируемой книги) о том, что двоичные дроби на основе половин четей и третей, по-видимому, уже использовались на Руси в XVI в. Об этом свидетельствует расшифровка древнерусского текста (в списках XVI в.), в котором при дробном делении часа применялась соответствующая система дробей по типу половин: 5 с полчетветью, 8 с полторою четвертию, 11 без полтор[ых] четвертей, пол 11с полчетвертию, пол 14 без полчетверта] и пр.12 Косвенно этот факт подкрепляет гипотезу Цайгера о том, что “дщицы счётные” восходят к XVI веку или даже к рубежу XV-XVI вв., если учесть дату 1495 г., указываемую в конвое некоторых текстов, сопровождавших русские расчёты о дробных часах13.

Важным и содержательным материалом в книге М. А. Цайгера является расшифровка конкретных древнерусских способов счёта в системе “сошных дробей”. Об этой проблеме И. Г. Спасский писал следующее: “В распоряжении древнерусской ”бухгалтерии“ были специальные переводные таблицы, позволявшие приводить дроби обоего рода (четвертные и третные. — Р. С.) к ”общему знаменателю“; замечательно, что им служил денежный счёт: оказывается любую дробь обоих видов можно выразить в виде определенной денежной суммы, после чего трети и четверти складываются или вычитаются проще простого”14.

Те вспомогательные средства, которые И. Г. Спасский называет “специальными переводными таблицами”, могут сводиться к своеобразным формулам. М. А. Цайгер воспроизводит одну из таких формул, которая в древнерусских сошных дробях звучит так: “Четь да полчети да пол-полтрети да пол-пол-полтрети, итого треть и полтрети сохи”. В современном обозначении дробей она может быть выражена следующим равенством: 1/4 + 1/8 + 1/12 + 1/24 = = 1/3 + 1/6. Смысл равенства состоял в переводе одних сошных дробей в другие, что было нужно для рационализации вычислений при взимании налога с угодий, состоящих из участков владений различной величины и ценности (пашни, леса, луга и пр.). При этом решался и вопрос правильности расчётов, для чего существовал механизм быстрой их проверки.

При такой проверке, например, использовался так называемый “московский счёт”, который М. А. Цайгер описывает в своей книге. В основе этого метода лежало приравнивание счётной единице 8-ми алтынов, равных 48 денгам. Его смысл автор передает так: "Поскольку в 8 алтынах содержится 48 денег, значения третных и четвертных дробей как бы увеличивались в 48 раз, в результате чего дробные слагаемые как бы превращались в целые числа,

12 Симонов Р. А. “[О часех] по-руски ж в Новогороде в Великом” // Древняя Русь. Вопросы медиевистики. 2009. №3(37). С. 106-108.

13 Там же. С. 108.

14 Спасский И. Г. Указ. соч. С. 123.

оперировать с которыми служилые люди умели. После получения окончательного результата его обратно превращали в дробь по тому же принципу (т. е. из расчета, что 8 алтын равно единице)“ (с. 48). Для проверки воспроизведённого равенства (утверждения) нужно вместо единиц числителей подставить 8 (алтын) или 48 (денег), перевести в одинаковые денежные единицы и убедиться в выполнении равенства. В таком случае, следуя за подсчётами М. А. Цайгера, получим: ”В левой части утверждения: четь = 2 алт[ына]; полчети = 1 алт[ын]; пол-полтрети = 4 ден[ги]; пол-пол-полтрети = 2 ден[ги]. 2 алт[ына] + 1 алт[ын] + 4 ден[ги] + 2 ден[ги ] = 3 алт[ына] + 6 ден[ег] = = 4 алт[ына]. В правой части утверждения: треть = 2 алт[ына] 4 ден[ги]; полтрети = 1 алт[ын] 2 ден[ги]. 2 алт[ына] 4 ден[ги] + 1 алт[ын] 2 ден[ги] = = 3 алт[ына] + 6 ден[ег] = 4 алт[ына]. Левая часть равна правой, т.е. утверждение является верным" (с. 52). Действительно, очень простой способ проверки, причём он был не заимствован, а разработан на исконно русской денежной основе.

Кажется, именование метода “московским” дает возможность его датировать. Деля 48 на 8, получаем 6; это значит, что 1 алтын равнялся 6 денгам. Из “Словаря нумизмата” можно узнать, что алтын имел указанное значение чуть ли не с XIV в.: “Алтын, рус[ская] счётно-ден[ежная] единица 14 в., равная 6 денгам, позже 3 копейкам”15. История денежного обращения на Руси показывает, что эти сведения не совсем точны. В действительности, в последние десятилетия XIV-первой половине XV вв. алтын равнялся в Москве 3 денгам. Причем чеканка монет в московском и других русских княжествах не была унифицирована. Такое неблагоприятное состояние для развития русской экономики частично закончилось тем, что в 1420 г. в Новгороде была принята московская норма чеканки денги. Затем счёт разделился на “новгородский” и “московский”, что произошло в последние годы правления великого князя московского Василия Тёмного (1415-1462). Новгородская денга сохранила вес, принятый в 1420 г., а московская денга стала равняться половине новгородской денги16. Следовательно, только с этого времени возникло соотношение 1 алтын = 6 денег, имевшее первоначально употребление лишь для лёгкой московской денги. Она называлась “московкой”: “Московка, начиная с 16 в. — назв[ание] московской денги, к[ото]рая, хотя и чеканилась в 16-17 вв. в небольшом кол[ичест]ве, упоминается в большинстве актов купли-продажи того времени”17. Возможно, название счёта “московский” следует связывать с монетой “московка”, в таком случае появление и распространение “московского счёта” будет относиться к XVI-XVII вв.

Есть некоторое основание уточнить/сузить указанный широкий период возникновения “московского счёта”. Дело в том, что “новгородка” — денга, ко-

15 Фенглер Х., Гироу Г., Унгер В. Словарь нумизмата. 2-е изд. / Пер. с нем.; отв. ред. В.М.Потин. М., 1993. С. 12.

16 Янин В. Л. Деньги и денежные системы // Очерки русской культуры XIII-XV веков. Часть 1. Материальная культура. М., 1970. С. 336-341.

17 Фенглер Х., Гироу Г., Унгер В. Указ. соч. С. 208.

торая чеканилась в Новгороде, после 1534 г. изменила свое название и место распространения: стала именоваться копейкой, чеканиться и использоваться также и в Москве: “Копейка, рус [екая] серебр[яная] монета, чеканенная с 1534; её вес равнялся весу новгородской] денги, или новгородки, к[ото]рая после завоевания Новгорода Иваном III (1462-1505) в 1478 стала использоваться в Москве”18. Следовательно, период между последними годами правления Василия Тёмного, условно 1462 г., и 1534 годом установления единой монетной системы Русского государства является наиболее удобным/подходящим временем возникновения “московского счёта” (как происходящего от слова “московка”), так как после 1534г. почти исчезают экономико-политические основания для разделения денежного чекана на “московки” и “новгородки”. Хотя сами эти названия в качестве устаревающих монетных синонимов могли ещё долго оставаться в обиходе.

Итак, есть определённые основания считать, что “московский счёт” мог появиться в последние десятилетия XV-первые десятилетия XVI вв. Я так подробно остановился на датировке “московского счета” потому, что нельзя исключать корни “счёта костьми” (в варианте, который М. А. Цайгер реконструирует для XVI в.) даже в XV в. Это имеет важное значение для базового источниковедческого положения М. А. Цайгера о правомерности реконструкции арифметических знаний в Московском государстве XVI в. на основе источников (“дщиц счётных” и др.), сохранившихся в списках более позднего времени - XVII-XVIII вв.

С рядом других арифметических приемов в России XVI в., которые реконструирует М. А. Цайгер, можно познакомиться непосредственно по его книге, я же хочу коснуться вопроса, связанного с приближёнными вычислениями. Автор рецензируемой книги, углубившись в вычислительный материал, заметил в нём примечательную особенность: древнерусские вычислители величины, превышающие 1/48, “попросту отбрасывали, полагая, что их учёт не повлияет по существу на результат” (с. 57). При этом отмеченный факт квалифицируется как дефект метода (“счёт имел один недостаток” (с. 57)). Здесь уважаемый автор поступает как эксперт, оценивающий явление по математическому существу, а не в историческом контексте его появления и функционирования. Если же учесть, что речь идет об особой арифметике — сошных дробях, то следует обратить внимание на историко-экономическую сторону такой арифметики. “Сошное письмо” предназначалось для реализации разработанного практически “с нуля” и осуществленного правительством Ивана Грозного в середине XVI в. государственного фискального проекта “Большая соха” по налоговому обложению огромных земельных угодий России. Задача собрать всё до копейки потребовала бы затраты немалых средств и времени для обучения (в том числе и математике) огромной армии сборщиков налога, на подготовку и содержание отрядов для их охраны и для выбивания долгов.

18 Там же. С. 141. См. также: Спасский И. Г. Указ. соч. С. 111-113.

При такой перспективе деятельность фискальных служб грозила увязнуть в проблемах и растянуться на долгие годы, так и не достигнув желаемого результата.

В таких условиях наиболее оптимальным было поставить перед соответствующими службами задачу реализации проекта “Большой сохи” по типу минимакса: с наименьшими издержками достигнуть максимума возможного результата в налогообложении. Априори, например, можно было её (задачу) решать путем разработки простого способа для приближенного подсчёта налоговых сборов, в котором за счёт ослабления точности результата достигался бы выигрыш во времени и затрате умственных усилий. При этом должна была существовать возможность быстрой и доступной/простой проверки расчётов, чтобы сократить число апелляций налогоплательщиков и их жалоб на недобросовестность счётчиков/писцов. Возможно, реконструированные М. А. Цайгером особенности русской сошной арифметики XVI в. ценны в первую очередь тем, что дают ответ на этот важный вопрос.

Поступила 11.10.2010

В НИЖЕГОРОДСКОМ МАТЕМАТИЧЕСКОМ ОБЩЕСТВЕ

НИЖЕГОРОДСКОМУ МАТЕМАТИЧЕСКОМУ ОБЩЕСТВУ 15 ЛЕТ

В 2010 году исполнилось 15 лет со дня образования Нижегородского математического общества (ННМО). Естественная мысль о создании независимого общественного объединения математиков в таком крупном научном и вузовском центре, как Нижний Новгород (Горький), высказывалась неоднократно, но, насколько мне известно, первым начал предпринимать реальные шаги по организации такого объединения профессор Д. А. Гудков1. В его архиве сохранились фрагменты его переписки по этому поводу (в 1970-е годы) с московскими и ленинградскими коллегами.

19 апреля 1995 г. инициативная группа (М. А. Антонец, Е. И. Гордон, И. С. Емельянова, Г. М. Жислин, М. И. Кузнецов, Г. М. Полотовский, В. Н. Шевченко, Л. П. Шильников) организовала Учредительное собрание, на котором был принят Устав ННМО2 и были выбраны руководящие органы общества. Затем ННМО было зарегистрировано в установленном порядке (приказ Управления юстиции Нижегородской области и Свидетельство о регистрации №773 от 03.08.95).

Первым президентом ННМО3 (с 1995 г. по 2001 г.) был Л. П. Шильников, затем до 2008 г. президентом общества избирался М. И. Кузнецов. С 2008 г. по настоящее время президентом ННМО является Л. М. Лерман.

17-18 апреля 2010 г. Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского (ННГУ) и Нижегородское математическое общество провели в Конференц-центре фундаментальной библиотеки ННГУ конференцию “15 лет Нижегородскому математическому обществу” (сопредседатели оргкомитета — президент ННГУ Р. Г. Стронгин и президент ННМО Л. М. Лерман). Конференцию открыл первый проректор ННГУ А.В.Петров. Ниже приводится программа конференции.

Г. М. Полотовский (ННГУ) О деятельности Нижегородского математического общества в 1995-2010 гг.

Л. П. Шильников (НИИ прикладной математики и кибернетики ННГУ) Гомоклинические касания и псевдогиперболические аттракторы.

М. И. Кузнецов (ННГУ) Простые модулярные алгебры Ли.

Ю. С. Ильяшенко (МГУ им. М.В.Ломоносова, Независимый Московский университет) Аттракторы динамических систем на многообразиях с краем.

В. В. Чистяков (Государственный университет-Высшая школа экономики (Нижегородский филиал)) “Неклассические” свойства оператора суперпозиции в классических функциональных пространствах.

1 О жизни и деятельности Д. А. Гудкова можно прочитать в [1-5].

2 Устав ННМО, а также другие документы и обновляющуюся информацию о деятельности общества можно найти на сайте ННМО в Интернете: http://www.unn.runnet.ru/nnmo/index.html.

3 По уставу ННМО президент и правление общества избираются на 3 года.

В перерыве между докладами 17.04.2010 (слева направо): Д. В. Трещёв, В. В. Чистяков, Ю. С. Ильяшенко, Н. А. Вавилов

Н. А. Вавилов (Санкт-Петербургский госуниверситет) Высшие законы композиции и исключительные группы.

В.И.Сумин (ННГУ) Равностепенно квазинильпотентные семейства операторов: определения, признаки, применения.

B. 3. Гринес (Нижегородская государственная сельскохозяйственная академия), О.В.Починка (ННГУ) О классификации диффеоморфизмов Морса-Смейла на 3-многообразиях.

И. А. Шерешевский (Институт физики микроструктур РАН, Нижний Новгород) Стохастические деформации динамических систем.

В.Н.Шевченко (ННГУ) Триангуляции выпуклых многогранников и реализация их f-векторов.

Д. В. Трещёв (Математический институт им. В. А. Стеклова РАН) Осциллятор и термостат.

В.А.Калягин (Государственный университет-Высшая школа экономики (Нижегородский филиал)) Ортогональные многочлены, разностные операторы и дискретные динамические модели4.

C. К. Ландо (Государственный университет-Высшая школа экономики (Москва), Независимый московский университет) Числа Гурвица: на границе комбинаторики и геометрии.

А. Д. Морозов (ННГУ) О резонансных зонах в квазигамильтоновых системах.

Л. М. Лерман (ННГУ) О симплектических диффеоморфизмах на поверхностях.

Тезисы докладов можно прочитать на сайте ННМО (см. http://www.unn.runnet.ru/nnmo/files/151et.pdf).

4 В связи с извержением вулкана Эйяфьятлайокудль в Исландии В. А. Калягин и некоторые другие участники не смогли прибыть на конференцию. По этой причине вместо указанного доклада Г. М. Полотовский прочитал доклад “Штрихи к портрету Н. Н. Боголюбова” (см. [11]).

Приведём в дополнение к опубликованным ранее (см. [6-10]) материалам некоторые сведения о деятельности ННМО за прошедшие 15 лет его работы.

Всего было проведено 126 научных заседаний ННМО (в среднем более 8 заседаний в год), на которых был заслушан 131 доклад. Из них 71 прочитан иногородними (в том числе 22 — зарубежными) докладчиками (см. диаграмму на рис. 1). В среднем на докладах присутствовали по 23 слушателя. Распределение докладов по тематике показано на рис. 2. Многие заседания, отнесённые на рис. 2 к разделу 4, имели мемориальный характер. Среди недавних — посвященное 100-летию со дня рождения Е. С. Вентцель (26.10.07, докладчик Г. А. Зверкина (МИИТ)), посвященное 90-летию со дня рождения Д. А. Гудкова (15.05.08, докладчик Г. М. Полотовский), посвященное 100-летию со дня рождения Н. Н. Боголюбова (28.05.2009, докладчик Л. П. Шильникова

Среди других форм деятельности ННМО отметим участие в организации и проведении научных конференций (конференция памяти чл.-корр. АН А.Ф.Леонтьева, Нижний Новгород, 1997г.), международная конференция

Рис.1

Рис. 2. Номера столбиков обозначают тематику докладов: 1 — дифф. уравнения и динамические системы, 2 — функциональный анализ, 3 — геометрия и топология, 4 — история науки, 5 — математическая физика, 6 — алгебра, 7 — дискретная математика, 8 — другие темы (оптимальное управление, математика в экономике, в биологии и др.)

“Неевклидова геометрия в современной физике и математике” (“BGL-VI”, Нижний Новгород, 2004 г.), международная конференция “Нелинейный мир”, (Нижний Новгород, 2005 г.), издательскую деятельность (в том числе участие в учреждении и издании настоящего журнала), участие в проведении математических олимпиад, организацию конкурса проектов памятника Н.Н. Лобачевскому.

В заключение этой заметки осталось повторить фразу со словами из устава ННМО, завершавшую [9]: Нижегородское математическое общество намерено продолжать свою деятельность по “координации усилий, направленных на сохранение и развитие математических исследований, математического образования и математического просвещения в Нижегородском регионе” и с благодарностью примет замечания и предложения, направленные на улучшение этой деятельности.

ЛИТЕРАТУРА

1. Арнольд В. И., Виро О. Я., Леонтович-Андронова Е. А., Никулин В. В., Новиков СП., Олейник О.А., Полотовский Г. М., Харламов В.М. Дмитрий Андреевич Гудков (к семидесятилетию со дня рождения) // УМН. 1989. Т. 44, вып. 1. С. 223-225.

2. Арнольд В. П., Вершик А.М., Виро О. Я., Корчагин А.В., Леонтович-Андронова Е. А., Новиков СП., Олейник О. А., Полотовский Г. М., Уткин Г. А., Шустин Е. И. Дмитрий Андреевич Гудков (некролог) // УМН. 1992. Т. 47, вып. 6. С. 195-198.

3. Polotovskii СМ. Dmitrii Andreevich Gudkov // AMS Translations. Ser. 2. 1996. V. 173. P. 1-9.

4. Gordon E.I. Recollection of D. A. Gudkov // AMS Translations. Ser. 2. 1996. V. 173. P. 11-16.

5. Полотовский Г. М. Дмитрий Андреевич Гудков (18.05.1918-13.03.1992) // Вестник ННГУ им. Н.И.Лобачевского, сер. Математическое моделирование и оптимальное управление. 2001. Вып. 1(23). С. 5-16.

6. Полотовский Г. М. В Нижегородском математическом обществе // Вестник ННГУ, сер. Математика. 2003. Вып. 1. С. 172-178.

7. Полотовский Г. М. В Нижегородском математическом обществе // Вестник ННГУ, сер. Математика. 2004. Вып. 1(2). С. 289-292.

8. Полотовский Г. М. В Нижегородском математическом обществе // Вестник ННГУ, сер. Математика. 2005. Вып. 1(3). С. 228-236.

9. Полотовский Г. М. Нижегородское математическое общество — 11 лет деятельности // Математика в высшем образовании. 2006. №4. С. 135-139.

10. Полотовский Г. М. В Нижегородском математическом обществе // Вестник ННГУ, сер. Математика. 2006. Вып. 1(4). С 138-142.

11. Полотовский Г. М. Штрихи к портрету (к 100-летию со дня рождения Н.Н.Боголюбова) // Математика в высшем образовании. 2009. №7. С. 161-172.

Учёный секретарь ННМО Г. М. Полотовский

Поступила 11.10.2010

Математика в высшем образовании

№8, 2010

Научно-методический журнал

Свидетельство о регистрации средства массовой информации Министерства РФ по делам печати, телерадиовещания и средств массовых коммуникаций ПИ № 77-15825 от 7 июля 2003 г.

ISSN 1729-5440

Адрес редакции: 603950, Нижний Новгород, проспект Гагарина, 23, Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского, корпус 6, к. 406. Тел.: (831) 465-85-10; (831) 462-33-64; факс: (831) 465-85-92 e-mail: polotovsky@gmail.com http://www.unn.ru/math

Компьютерная верстка Л. Р. Семеновой Оригинал-макет подготовлен с использованием пакета LATeX

Формат 60x84 1/8 Гарнитура Computer Modern. Печать офсетная. Бумага офсетная.

Усл. печ. л. 16,9. Уч.-изд. л. 13,1. Тираж 400 экз. Заказ № 786.

Издательство Нижегородского госуниверситета им. Н.И. Лобачевского, 603950, Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23.

Типография Нижегородского госуниверситета им. Н.И. Лобачевского, 603000, Нижний Новгород, ул. Большая Покровская, 37. Лиц. ПД№ 18-0099 от 04.05.2001

Индекс 87966

ISSN 1729-5440 Математика в высшем образовании, 2010, №8