ISSN 1729-5440

МАТЕМАТИКА В ВЫСШЕМ ОБРАЗОВАНИИ

7

2009

Научно-методический совет по математике Министерства образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского

Нижегородское математическое общество

МАТЕМАТИКА В ВЫСШЕМ ОБРАЗОВАНИИ

7

2009

Научно-методический журнал

Нижний Новгород

Издательство Нижегородского госуниверситета

Редакционная коллегия

И.С. Емельянова (главный редактор) М.В. Долов, Г.М. Жислин. Т.А. Иванова, В.А. Ильин, Ю.Л. Кетков, Л.Д. Кудрявцев, М.И. Кузнецов, А.В. Латышев, Н.И. Мерлина, В.И. Михеев, Е.И. Моисеев, |А.Д. Мышкис], Г.М. Полотовский (зам. гл. редактора), Н.Х. Розов, В.А. Садовничий, Г.И. Саранцев, Р.Г. Стронгин, С.Н. Слугин, М.А. Федоткин

При перепечатке, переводе на иностранный язык, а также при ином использовании оригинальных материалов журнала ссылки на “Математика в высшем образовании” обязательны

Журнал издается при финансовой поддержке Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского

Адрес редакции: 603950, Нижний Новгород, проспект Гагарина, 23, корпус 2, к. 216. Тел. (831) 462-33-64; e-mail: yemel@sandy.ru http://www.unn.ru/math

© Математика в высшем образовании, 2009

Mathematics Science and Methods Council of Russian Ministry of Education Federal Education Agency Nizhni Novgorod N.I. Lobachevsky State University Nizhni Novgorod Mathematical Society

MATHEMATICS

IN HIGHER EDUCATION

7

2009

Academic Journal

Nizhni Novgorod Nizhni Novgorod State University Press

Editorial Board

I.S. Yemelyanova (Editor-in-Chief), M.V. Dolov, G.M. Zhislin, T.A. Ivanova, V.A. Ilyin, Y.L. Ketkov, L.D. Kudryavtsev, M.I. Kuznetsov, A.V. Latyshev, N.I. Merlina, V.I. Miheev, E.I. Moiseev, [A.D. Myshkis|, G.M. Polotovskiy (Editor), N.Kh. Rozov, V.A. Sadovnichii, G.I. Sarantsev, R.G. Strongin, S.N. Slugin, M.A. Fedotkin

No reprint or any use of the material is allowed without reference to “Mathematics in Higher Education”

The journal is published with financial support of Nizhni Novgorod N.I. Lobachevsky State University

Editorial Office Address: University of Nizhni Novgorod, 23 Prospekt Gagarina, Building 2, Office 216

603950, Nizhni Novgorod, Russia Tel: (831) 462-33-64; e-mail: yemel@sandy.ru http://www.unn.ru /math

© Mathematics in Higher Education, 2009

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие.......................................................................7

Философия и методология математического образования

Кудрявцев Л. Д. О математике....................................................9

Содержание и технологии математического образования в вузе

Гладкий А. В., Козиоров Ю. П. Действительные числа как последовательности обыкновенных дробей (Теория действительных чисел по Колмогорову) ....................................................................... 21

Костин С. В. Система обозначений для основных многозначных функций

комплексной переменной и для их значений................................. 39

Ласунский А. В. Об опыте изложения теории линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами...................................... 81

Эвнин А. Ю. Уравнение Пелля.................................................. 89

Оптимизация процесса обучения математике в вузе

Ермаков В. Г. Контроль в системе математического образования: проблемы

и пути их разрешения........................................................ 95

Непрерывное математическое образование

Розов Н. Х. Общеобразовательная школа и педагогическое образование...... 109

Математические соревнования в вузах

Мерлина Н. И., Петрова М. В. Студенческие математические бои в Чувашии.......................................................................... 121

Дроздов Н.А., Кузьмин В. П., Симонова Н. С, Утеева Р.А. Всероссийская студенческая олимпиада по математике и методике её преподавания (письменный конкурс по математике).................................. 133

История математики, персоналии

Анатолий Дмитриевич Мышкис (некролог).................................... 139

Одинец В. П. Иоганн М. Х. Бартельс — не только наставник Гаусса и Лобачевского (к 240-летию со дня рождения И. М. Х. Бартельса)............. 147

Полотовский Г. М. Штрихи к портрету (к 100-летию со дня рождения

Н. Н. Боголюбова)........................................................... 161

В перерыве между лекциями

Златопольский Д. М. Три эссе о не слишком известном ...................... 173

В Нижегородском университете

Совместная научная сессия ННЦ РАН, ННГУ и РФЯЦ, посвященная 100-летию со дня рождения академика Н.Н. Боголюбова (ННГУ, 2 сентября 2009 г.)...................................................................... 181

CONTENTS

Introduction........................................................................7

Philosophy and Methodology of Mathematical Education

Kudryavtsev L. D. About the Mathematics..........................................9

Subject and Technologies of Mathematical Education at University

Gladkij A.V., Koziorov Yu.N. Real Numbers as Sequences of Common

Fractions (Kolmogorov's Theory of Real Numbers)............................ 21

Kostin S. V. A Notation System for Main Multivalued Functions of Complex

Variable and for their Values ................................................. 39

Lasunsky A. V. On the Experience of the Presentation of the Theory of Linear

Difference Equations with Constant Coefficients .............................. 81

Evnin A. Yu. The Pell's Equation................................................. 89

Optimisation of Process of Training to the Mathematics in University

Ermakov V. G. The Control in the System of Mathematical Education:

Problems and Ways of their Resolution........................................ 95

Continuous Mathematical Education

Rozov N. Kh. Comprehensive School and Pedagogical Education................. 109

Mathematical Competitions at Universities

Merlina N. I., Petrova M. V. Student Mathematical Battles in the Chuvash

Republic..................................................................... 121

Drozdov N.A., Kuzmin V.P., Simonova N.S., Uteeva R. A. The All-Russian Student Olympiad in Mathematics and Methods of its Teaching (the Written Competition in Mathematics) ....................................... 133

The History of Mathematics. The Prominent Figures

Anatoly Dmitrievich Myshkis (the obituary)..................................... 139

Odyniec W. P. Johann M. С. Bartels was not only a Preceptor of Gauss and

Lobachevskii (to the 240 Anniversary from the J. M. C. Bartels Birthday)..... 147

Polotovskiy G. M. Traits to the Portrait (To the 100 Anniversary of the

N.N.Bogolyubov's Birth) .................................................... 161

In a Break between Lectures

Zlatopolslkiy D.M. Three Essays about not too Known.......................... 173

Minutes of Nizhny Novgorod State University

The Joint Scientific Session of the NNC RAN, NNGU and RFNC, devoted to the 100 Anniversary of the Academician N. N. Bogolyubov's Birth (NNGU, September, 2, 2009).......................................................... 181

ПРЕДИСЛОВИЕ

Седьмой номер журнала открывает рубрика “Философия и методология математического образования”, в которой помещена статья “О математике” члена-корреспондента РАН и члена редколлегии нашего журнала Льва Дмитриевича Кудрявцева. В этой статье автор дает свое видение математики как науки и анализирует некоторые трудности, возникающие в процессе её развития. Кроме этого, автор делится своим богатейшим опытом преподавания математики, в частности приводит красивые примеры, которые он “всегда рассказывал студентам”, развивает свою методику введения понятия “предел функции”.

Самая большая рубрика этого номера — “Содержание и технологии математического образования в вузе”. В статье Алексея Всеволодовича Гладкого (Москва) и Юрия Николаевича Козиорова (Череповец) излагается построение теории действительных чисел “по Колмогорову”: на основе последовательностей обыкновенных дробей. Обстоятельная статья Сергея Вячеславовича Костина (Москва) посвящена изложению разработанной им системы обозначений для многозначных функций комплексной переменной. Александр Васильевич Ласунский (Новгород) делится с читателями опытом изложения теории линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами. Статья Александра Юрьвича Эвнина (Челябинск) посвящена одной из “вечных” математических тем — уравнению Пелля. Автор излагает красивый алгоритм построения нетривиального решения, предложенный недавно австралийским математиком Н. Вайлдбергером.

В рубрике “Оптимизация процесса обучения математике в вузе” наш коллега из Беларуси Владимир Григорьевич Ермаков (Гомель) в статье “Контроль в системе математического образования: проблемы и пути их разрешения” обсуждает педагогическую составляющую кризисных явлений в современном математическом образовании и предлагает “сингулярную теорию” управления образовательным процессом как один из путей выхода из этого кризиса.

С тематикой этой статьи перекликается статья профессора МГУ Николая Христовича Розова “Общеобразовательная школа и педагогическое образование”, помещенная нами в рубрику “Непрерывное математическое образование”. Не секрет, что современное положение с подготовкой педагогических кадров в стране, мягко говоря, неудовлетворительное. Автор предлагает ряд мер, направленных на обеспечение средней и высшей школы квалифицированными кадрами.

В материалах следующей рубрики “Математические соревнования в вузах” авторы из Чебоксар — Надежда Ивановна Мерлина и Марина Вениаминовна Петрова — и авторский коллектив из Тольятти — Н.А.Дроздов, В. П. Кузьмин, Н. С. Симонова, Р. А. Утеева — рассказывают об опыте организации и проведения студенческих соревнований по математике и методике её преподавания в своих вузах.

9 июля 2009 года в Москве скончался один из старейших российских математиков профессор Анатолий Дмитриевич Мышкис. Мы скорбим по поводу

этой утраты. Анатолий Дмитриевич был членом редколлегии и автором нашего журнала. В разделе “История математики, персоналии” мы помещаем некролог А. Д. Мышкису, присланный его коллегами по кафедре “Прикладная математика-1” Московского государственного университета путей сообщения (МИИТ).

В этой же рубрике опубликованы статья Владимира Петровича Одинца (Санкт-Петербург) о жизни и математических трудах И. М. Х. Бартельса, посвященная 240-летию со дня его рождения, и статья “Штрихи к портрету (к 100-летию со дня рождения Н. Н. Боголюбова)” Григория Михайловича Полотовского (Нижний Новгород).

Памятуя, что “предмет математики настолько серьезен, что полезно не упустить случая сделать его немного занимательным” (Б.Паскаль), по инициативе Н. Х. Розова мы открываем новую рубрику “В перерыве между лекциями”. В первом выпуске этой рубрики помещены три небольшие заметки Дмитрия Михайловича Златопольского (Москва) о не слишком известных вещах. Этими сведениями не вредно при случае поделиться со студентами.

Завершает номер информация о научной сессии, посвященной 100-летию со дня рождения выдающегося математика, механика и физика-теоретика академика Н. Н. Боголюбова, состоявшейся 2 сентября 2009 г. в Нижнем Новгороде.

В заключение этого краткого обзора хочется с удовлетворением отметить расширение круга и “географии” авторов журнала.

Г. М. Полотовский, ответственный за выпуск 1-го номера журнала

ФИЛОСОФИЯ И МЕТОДОЛОГИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ

УДК 510.21 + 517.1

О МАТЕМАТИКЕ

Л. Д. Кудрявцев

Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук Россия, 119991, г.Москва, ул.Губкина, д. 8; e-mail: kudryav@mi.ras.ru

Предприняты попытки дать описание математики как науки и проанализировать некоторые трудности, возникающие в процессе её развития. Приведены примеры, показывающие, что весьма далекие друг от друга логические понятия удивительным образом оказываются тесно связанными между собой и что основной интерес в математике представляет изучение логических связей между объектами математических структур.

Ключевые слова: математика, математическая структура, логические понятия, информационное поле.

В предлагаемой статье делается попытка дать описание математики как науки, а также анализируются некоторые трудности, возникающие в процессе её развития.

Прежде всего, встает вопрос о том, что такое математика? В советский период в России было принято определение Ф. Энгельса, в котором говорилось, что математика изучает пространственные формы и количественные соотношения реального мира. Однако это является не определением математики как науки, а лишь указанием на одно из её приложений. Еще Галилей говорил, что Вселенная — это книга, написанная на математическом языке. Поэтому существует мнение, что математика — это язык для описания реальных явлений, причем не только физических, химических и биологических, происходящих в материальном мире, но и социальных, протекающих в человеческом обществе. Однако функцией описания явлений далеко не исчерпывается сущность математики. Математическое описание реальных явлений или, как говорят, их математическое моделирование дает возможность не только описывать, но и изучать эти явления, в частности предсказывать их дальнейшее развитие. Таким образом, математика является одним из важнейших методов изучения (а не только описания) реальных процессов, протекающих в окружающем нас мире. Но и это еще не ответ на вопрос, что такое математика. Математические модели не тождественны реальным явлениям, которые они описывают. Так что же представляют собой эти модели?

Говорят, что математика — абстрактная наука. Это, в частности, означает, что для математической модели несущественна конкретная реализация её элементов. Так, например, одна и та же формула

описывает как гравитационное взаимодействие масс (закон всемирного тяготения Ньютона), так и взаимодействие электрических зарядов и магнитных масс (законы Кулона).

Важно подчеркнуть, что с помощью математического моделирования можно изучать разнообразные явления, в частности прогнозировать их развитие, и в том случае, когда это невозможно делать с помощью постановки опытов. Это относится как к физическим, так и к социальным явлениям.

Вернемся снова к сущности математики. Что же является предметом её изучения? Математика изучает определенного рода логические понятия и отношения между ними. Для этих понятий даются логические определения и постулируются их связи. Определяются, например, теоретико-множественные, топологические, метрические, геометрические, аналитические, алгебраические и вероятностные структуры, которые и представляют собой предмет, изучаемый математикой. Конкретные определения этих структур даются в математической литературе.

Математические структуры представляют собой часть информационного поля, которое существует наряду с материальным (физическим) полем. Информационное поле состоит из реально существующих абстрактных фактов. Так, например, в то время когда человечество еще не додумалось до теоремы Пифагора, она уже существовала в информационном поле как его реальный элемент, позже открытый людьми.

Информационное поле содержит в себе разнообразные логические (не только математические) структуры, все сведения о материальном (физическом) мире, о законах его развития, взаимодействии его частей, о его прошлом и будущем.

Всё это говорит о большой роли информационного поля. Не случайно Евангелие от Иоанна начинается так: “В начале было Слово”, а что такое “Слово”, как не информация? Значимость понятия “Слово” разъясняется во второй части фразы: “В начале было Слово, и Слово было у Бога, и Слово было Бог”.

Заметим, что информационное поле, о котором идет речь в настоящей статье, понимается не в божественном смысле, а как часть реального мира, неотъемлемо сопутствующая его материальной части. Конечно, всё сказанное здесь об информационном поле является лишь некоторым внешним его описанием. Что же касается изучения его сущности, анализа взаимодействия информационного поля и окружающего нас мира и механизма этого взаимодействия, то это предстоит сделать человечеству в будущем.

Вернемся к математическим структурам. Иногда оказывается, что весьма далекие друг от друга логические понятия неожиданным и удивительным образом являются тесно связанными между собой. Пример такой ситуации дает знаменитая формула

открытая Леонардом Эйлером, связывающая четыре числа: действительные --1, 7г, е — и комплексное число г. Число —1 является отрицательным

целым. Пополнение натуральных чисел отрицательными целыми числами и нулем дает возможность определить вычитание для любых натуральных чисел. Кроме того, вообще отрицательные действительные числа целесообразны в приложениях при измерении физических величин, например температуры,

которая может быть выше или ниже температуры замерзания воды; высоты расположения участков суши — на Земле они могут быть выше и ниже уровня моря. Число 7г связано с геометрией — оно равно отношению длины окружности к её диаметру. Число е характеризуется тем, что показательная функция с основанием е совпадает со своей производной, причем основание показательной функции с таким свойством единственное. Наконец, число г является комплексным числом, которое возникло при решении алгебраических уравнений. И вот эти четыре столь далеких друг от друга числа оказываются связанными замечательной формулой Эйлера. Эта формула является своеобразным математическим чудом. Не случайно она высечена на огромном камне фронтона главного здания университета Королевы в городе Кингстон, бывшем ранее столицей Канады. Отметим еще функцию Гаусса

которая применяется в теории вероятностей при исследовании как непрерывных, так и дискретных величин. В этой формуле снова присутствует число 7г. Казалось бы, какая связь может быть между задачами теории вероятностей и отношением длины окружности к её диаметру?! Всё это не может не вызывать восхищения стройностью, глубиной и непредсказуемостью математических связей.

Математические формулы содержат в себе много скрытой информации. Не случайно говорят, что формулы умнее нас. Это действительно так. Нередко математик, правильно применяя формулы при исследовании какого-либо вопроса, неожиданно для себя приходит к результатам гораздо более сильным, чем он предполагал, более того, получает результаты, о которых раньше даже не думал.

Отметим также, что разные по своей структуре математические понятия бывают связаны одними и теми же логическими отношениями. Поэтому основной интерес в математике представляет изучение логических связей между рассматриваемыми объектами математических структур, а не только сами эти объекты. Поясним сказанное на двух примерах.

Сначала рассмотрим определение действительного числа. Прежде всего, определяется множество натуральных чисел как упорядоченное множество, имеющее первый элемент, который называется единицей и обозначается 1. Постулируется, что в этом множестве определены операции сложения и умножения его элементов, обладающие свойством коммутативности и ассоциативности, а также дистрибутивности операции умножения относительно операции сложения. Предполагается еще, что вместе с каждым элементом п множества натуральных чисел элемент п + 1 также принадлежит этому множеству и каждый элемент множества натуральных чисел может быть получен из единицы последовательным прибавлением к ней конечного числа единиц.

Во множестве натуральных чисел операции, обратные к операциям сложения и умножения, т. е. операции вычитания и деления, определены не для любых пар натуральных чисел. Однако при расширении множества натуральных чисел до множества целых чисел Z = {О, =Ы, ±2,...}, как это было отмечено выше, операция вычитания становится определенной уже для любых целых чисел, а при расширении множества целых чисел до множества рациональных чисел Q = < 0, ±- , q G N > операция деления определена для любых пар рациональных чисел, кроме деления на ноль. Доказывается, что каждое рациональное число можно записать в виде периодической десятичной дроби. С помощью рациональных чисел можно определить действительные числа, причем разными способами.

Первый способ (Вейерштрасс): действительным числом называется бесконечная десятичная дробь, не имеющая периода, состоящего из одних девяток.

Второй способ (Коши) : действительным числом называется класс эквивалентных фундаментальных последовательностей рациональных чисел.

Третий способ (Дедекинд): действительным числом называется сечение множества рациональных чисел.

Во всех трех случаях упорядоченность, а также операции сложения и умножения переносятся с множества рациональных чисел на множество всех действительных чисел с сохранением свойств этих операций. В результате получаются множества, изоморфные относительно порядка и указанных операций. Именно в этом смысле неважно, что собой конкретно представляет действительное число: бесконечную десятичную дробь, класс эквивалентных фундаментальных последовательностей рациональных чисел или сечение рациональных чисел, а существенны лишь связи, которые существуют между ними.

В качестве второго примера рассмотрим прямую на плоскости. Прямая может быть определена, например, с помощью аксиом евклидовой геометрии. Напомним некоторые из них: через любые две точки плоскости можно провести прямую; две разные прямые либо пересекаются в одной точке, либо не имеют общих точек; на плоскости через любую точку, лежащую вне данной прямой, можно провести единственную прямую, не пересекающуюся с данной, т. е. ей параллельную.

Если ввести на плоскости декартовы координаты ж, у, то прямая является множеством точек (ж, у), координаты которых удовлетворяют линейному уравнению

(1)

где Л, В и С — некоторые заданные постоянные,

Рассмотрим теперь на плоскости всевозможные окружности и прямые, проходящие через некоторую фиксированную точку, например начало координат. Удалим из указанных окружностей эту точку и будем называть их проколотыми окружностями. Из указанных прямых также удалим ту же точку, но дополним их бесконечно удаленной точкой и будем называть такие множества проколотыми окружностями бесконечного радиуса.

Рассматриваемые окружности конечного радиуса описываются уравнениями вида:

(2)

где а и Ъ — некоторые постоянные, о? + Ь2 > 0. Проколотые окружности (конечного и бесконечного радиусов) удовлетворяют тем же аксиомам, что и обычные прямые вида (1). Например, через любые две точки плоскости можно провести, и притом единственную, проколотую окружность конечного или бесконечного радиусов.

Любые две различные проколотые окружности либо не пересекаются (если в начале координат у них общая касательная), либо пересекаются в одной точке (рис. 1 и 2).

Наконец, через любую точку, лежащую вне заданной проколотой окружности, можно провести единственную проколотую окружность, не пересекающую исходную проколотую окружность (аксиома параллельности, см. рис. 2). Таким образом, непосредственно проверяются аксиомы Евклида для построенных проколотых окружностей конечного или бесконечного радиусов. Поэтому такие проколотые окружности конечного или бесконечного радиусов могут рассматриваться как прямые.

Углом между такими пересекающимися “прямыми” называется угол между касательными к окружностям в точке их пересечения.

Для полноты надо, конечно, ввести понятие расстояния между точками (#l>yi) и (Х1,У2) плоскости с такими “прямыми”.

Для этого рассмотрим отображение z = — плоскости комплексного переменного w = и + гу на плоскость комплексного переменного z = х + гу. При таком отображении бесконечно удаленная точка плоскости переменного w отображается в начало координат плоскости переменного z, а обычные прямые Au + Bv + C = 0 переходят в проколотые в начале координат окружности конечного или бесконечного радиусов.

Отсюда, в частности, еще раз следует выполнение аксиом евклидовой геометрии для “прямых”, представляющих собой проколотые окружности.

Расстояние

то есть если обычное расстояние.

Рис. 1 Рис. 2

Отметим еще, что в силу конформности отображения z = — сохраняется величина углов между кривыми.

Я всегда рассказывал студентам этот пример, когда знакомил их с аксиоматическим методом, добавляя при этом, что для плоскости с прямыми, понимаемыми как выше описанные проколотые окружности, справедлива вся планиметрия, которую они изучали в средней школе. В этом случае имеет место, в частности, и теорема Пифагора и её не надо доказывать, так как она уже доказана в школьном курсе на основе только аксиом евклидовой геометрии. Таким образом, говорил я, вы знаете на самом деле гораздо больше, чем думаете. Это производило впечатление: оказывается, и проколотые окружности могут быть прямыми!

Итак, действительно, рассмотренные примеры показывают, что при изучении математических структур конкретные интерпретации их элементов являются несущественными, а существенны лишь логические связи между этими элементами. Так, например, как было показано, прямые могут изображаться в виде проколотых окружностей — и те и другие удовлетворяют одним и тем же аксиомам евклидовой геометрии.

При этом обыкновенная классическая прямая (1) не может быть целиком нарисованной на плоскости, так как она является неограниченным множеством. Всю же “прямую” (2) можно нарисовать на плоскости, так как проколотая окружность представляет собой ограниченное множество!

Возвращаясь еще раз к вопросу о сущности математики, следует заметить: то обстоятельство, что математика изучает логические понятия, которые удовлетворяют определенным свойствам, формулируемым в виде аксиом, порождает специфические трудности. Они, прежде всего, связаны с возникновением вопроса: существуют ли в действительности определенные нами структуры, не противоречивы ли они? Этот вопрос возникает уже при введении основных понятий. Так, например, до сих пор не решен вопрос о непротиворечивости арифметики. Не ясно, не противоречиво ли понятие “множество действительных чисел”. Дело в том, что из того, что конкретно определяются какие-то элементы, наделенные заданными свойствами, не следует, что можно рассматривать совокупность всех таких элементов. Например, определяется понятие кардинального числа как мощности некоторого множества. Однако понятие множества всех кардинальных чисел противоречиво, так как какое бы множество кардинальных чисел ни взять, всегда можно указать кардинальное число, которое не принадлежит этому множеству.

Математические истины точно формулируются и логически обосновываются. Однако это только внешняя сторона математики, подобно тому, как нотная запись является формальной записью музыкальных произведений. Было бы заблуждением думать, что, занимаясь математикой или её приложениями, можно достичь существенных успехов лишь на основе логических рассуждений. Если нет готовых разработанных алгоритмов для решения поставленного вопроса, то для его изучения, как правило, недостаточно одной логики. При решении математической задачи выбор правильного направления логических рассуждений происходит на основе интуиции, чувства гармо-

нии и фантазии. И здесь возникают свои сложности: бывает, что интуиция нас подводит. Приведем простой пример. Пусть вокруг Земли и вокруг теннисного мяча обмотаны нити по их экваторам. Увеличим длины каждой из этих нитей на 1 метр и снова расположим их по окружностям с центрами в центрах мяча и Земли. Теперь спросим себя, какой из получившихся зазоров будет больше? Интуиция подсказывает, что у теннисного шарика зазор будет больше, так как на Земле зазор вообще не будет заметен. Однако если взять окружность данной длины с = 2ttR и увеличить её длину на 1, то радиус новой окружности будет равен

то есть “зазор” равен —- и, тем самым, не зависит от радиуса, а следовательно, и от длины окружности! Невероятно, но факт.

Я не встречал в жизни ни одного человека, который бы интуитивно чувствовал правильный ответ в этой задаче. Один неплохой инженер, когда я сообщил ему правильный ответ, простодушно сказал мне: “Этого не может быть. Здесь ваша математика врет”. Такое категорическое суждение инженера вполне понятно. Например, с точки зрения инженера-строителя всякая деталь может оказать влияние на целую конструкцию лишь в случае, когда размеры этой детали соизмеримы в каком-то смысле с размерами всей конструкции. Ситуация же, при которой деталь данного размера оказывает одинаковое влияние как на сколь угодно малую, так и на сколь угодно большую по размерам конструкцию, представляется невероятной, противоречащей “здравому смыслу”. Этот пример наглядно показывает, как важно развивать математическую интуицию.

Для развития математической интуиции, несомненно, является полезным решение так называемых “поисковых задач”, т. е. таких задач, в которых не требуется вычислить или доказать что-либо определенное. Учащийся, как правило, должен самостоятельно отыскать правильное утверждение и доказать его. Формулировки поисковых задач чаще всего заканчиваются вопросом: “Верно ли такое-то утверждение?”, не указывая априори на возможный ответ. К сожалению, в задачниках по математике для средней и высшей школы таких задач мало. Чтобы учить решать подобные задачи, целесообразно начинать с довольно простых вопросов, например: “Будет ли каждый вектор системы линейно независимых векторов выражаться в виде линейной комбинации остальных векторов этой системы?”. Но затем переходить к всё более сложным.

В качестве примеров поисковых задач в математическом анализе приведем следующие:

• будет ли произведение бесконечного числа бесконечно малых бесконечно малой? (для последовательностей и функций);

• будут ли равносходящимися два числовых ряда с асимптотически равными членами при стремлении номеров этих членов к бесконечности? (т. е. будут ли они одновременно сходиться и расходиться). А также аналогичная задача

для функций: будут ли несобственные интегралы от эквивалентных функций при стремлении аргумента к их особой точке равносходящимися?

Математика — это абстрактная и логически строгая наука. В этом её сила, но в этом заключается и трудность её изложения и изучения. Бывает совсем не просто дать четкое и ясное определение и еще труднее провести до конца логически строгое заключение. Поясню это на примере решения 21-й проблемы Гильберта. Она была “положительно решена” еще в начале XX века математиком Е. Племелем. Но через 70 лет русский математик А. А. Болибрух, в то время доцент кафедры высшей математики Московского физико-технического института, обнаружил в доказательстве Племеля ошибку и решил 21-ю проблему Гильберта “наоборот” — оказалось, что эта проблема имеет отрицательное решение.

Бывали и курьезные случаи. Так, в 40-х годах прошлого века один наш отечественный математик обнаружил замечательный класс алгебраических групп, обладающих некоторыми удивительными свойствами. Прошло около 10 лет, и было доказано, что найденный класс групп состоит лишь из одной нулевой группы. Чаще бывает, что ошибочные результаты как в математике, так и в её приложениях случаются за счет нестрогого применения математических методов.

Специфическую особенность, присущую математическим исследованиям, выразительно и с чувством юмора описал знаменитый русский математик Л. С. Понтрягин, сказав, что человек, занимающийся математикой, постоянно испытывает чувство страха: когда он берется за решение задачи, он боится, что ему не удастся это сделать (как это часто и бывает при решении трудных, принципиальных математических задач), а если ему это удалось, он боится, что где-то ошибся и кто-то найдет эту ошибку.

Поэтому при преподавании математики следует обратить особое внимание на развитие у учащихся четкого логического мышления, для чего необходимо, чтобы изложение математики было строго логичным, ясным, понятным и по возможности кратким.

Несмотря на большую проделанную работу по совершенствованию методики преподавания математики, эту деятельность не следует прекращать.

Поясню сказанное на простейших примерах. Напомним два равносильных традиционных определения предела числовой функции / : X —> i?, определенной на некотором множестве X действительных чисел R.

Определение 1° (по Гейне). Число а называется пределом функции f(x) в точке хо G R и пишется

если для любой последовательности

такой, что

имеем

И эквивалентное ему определение.

Определение I1 (по Коши). Число а называется пределом функции f[x) при х —> хо, если для любого е > 0 существует такое 6 > 0, что для всех х G G X, таких, что \х — хо\ < ö и х ф хо, выполняется неравенство \f(x) —а\ < е.

Точка хо может как принадлежать, так и не принадлежать множеству X, на котором определена функция /. Если хо G X и существует предел

то функция / называется непрерывной в точке xq.

Рассмотрим случай, когда множество X, на котором определена функция /, состоит из одной точки хо- В этом случае множество таких жЕ1, для которых выполняется неравенство х ф хо, пусто. Для элементов пустого множества справедливо любое утверждение: например, верно, что все элементы пустого множества в стельку пьяные, верно и то, что все эти элементы совершенно трезвые. И то и другое верно, так как элементов пустого множества просто нет, и поэтому нельзя построить пример, противоречащий данным утверждениям.

В случае когда множество X состоит из одной точки хо, для функции / верны следующие утверждения: как в силу определения 1°, так и в силу определения I1, она имеет в качестве предела в точке хо любое число айв то же время не имеет никакого предела в этой точке. А потому такая функция одновременно непрерывна и не является непрерывной в точке xq. Как отмечено выше, ни одно из этих утверждений нельзя опровергнуть. Скажем прямо, странная получается картина.

Можно подумать, что это особый случай, когда функция / определена только в одной точке. Но это не так.

Вспомним, например, теорему о пределе сложной функции /(#(#)) в некоторой точке хо, когда у функций fug существуют пределы в соответствующих точках. Если функция у = д{х) является постоянной: д(х) = уо, то функция / оказывается определенной только в одной точке уо. Поэтому, согласно сказанному выше, она в этой точке имеет любой предел и, одновременно, не имеет никакого предела. Поэтому условие в указанной выше теореме о том, что функция / имеет какой-то предел, бессодержательно.

Таким образом, даже в таком простом случае, когда функция g является постоянной, в теореме о существовании предела сложной функции /(g(ж)) требуются какие-то дополнительные пояснения. Это, конечно, не естественно и говорит о недостатке традиционного определения предела функции.

Чтобы избежать трудностей, возникающих при использовании определений 1° и I1, достаточно в них отбросить условие хп ф хо и, соответственно, x ф хо, то есть сформулировать следующие определения (запишем их для краткости в символическом виде).

Определение 2°. Определение 21.

Эти определения проще, так как в них отброшено одно из условий по сравнению с традиционными определениями. Поэтому и доказательства теорем с помощью 2° и 21 также упрощаются.

Конечно, предлагаемое определение предела не равносильно традиционному. Например, для абсолютной величины функции

предел при х —> 0 в смысле определения 1 , а следовательно, и в смысле равносильного определения 11, существует и равен 1, а предел в смысле также равносильных определений 2° и 21 не существует. Однако предел функции I sign xI, рассматриваемый в смысле определений 2° и 21 на числовой оси i?, проколотой в точке х = 0, то есть на множестве R \ {0}, также существует и равен 1.

Таким образом, с помощью определений 2° и 21, применив их к функции /: X —► R, X С Д, рассматриваемой на множествах X и X \ {0}, можно, вообще говоря, получить больше информации о поведении функции / в точке хо, чем используя определения предела 1° и I1.

Замечу, что определения 2° и 21 не являются новыми для учебной литературы. Они, например, имеются в учебниках Г. П. Толстова [1] и Д. А. Райкова [2]. К сожалению, эти определения недостаточно используются при преподавании математического анализа, хотя и стали в последнее время чаще применяться (см., например, книгу В.И.Егорова и И. Н. Омельченко [3]).

Заметим, что в задачах о пределе функций в точке хо в случае, когда функция задана формулой, “условие х ф хо” выполняется само собой. Это связано с тем, что в силу формулы, задающей функцию, точка хо может оказаться не принадлежащей множеству, на котором определена функция.

sin ж 1 sin ж Так, например, для пределов lim- и hm(l + x)x функции - и (1 + х)й не определены при х = 0. При определении производной ff(x) = lim —— функции у = fix) отношение —— не определено при Ах = 0.

По-видимому, исторически из рассмотрения подобных пределов и возникло в определении предела функции “лишнее условие х ф хп”.

Приведенные определения предела функции могут быть сформулированы и в терминах пределов по фильтрам. Первое (традиционное) определение предела функции в точке хо равносильно определению предела по фильтру, состоящему из пересечений всевозможных проколотых в точке хо окрестностей с множеством X, на котором задана функция. Второе определение предела равносильно определению предела функции по фильтру, состоящему из пересечений всевозможных окрестностей точки хо с множеством X (в случае когда точка хо не принадлежит множеству X, этот фильтр совпадает, очевидно, с предыдущим).

Ясно, что, в силу сказанного выше, методически предпочтительнее определение предела функции с помощью фильтров, состоящих из целых (непроколотых) окрестностей точек множеств, на которых задана функция. Действительно, в случае определения предела функции с помощью фильтров проколотых окрестностей всякая функция в каждой изолированной точке множества своего определения одновременно имеет любой предел и не имеет никакого предела, является непрерывной и не является непрерывной в этой точке. Внешне ситуация выглядит довольно странно.

В случае же фильтров, состоящих из непроколотых окрестностей, функция в каждой изолированной точке множества своего определения непрерывна.

Это означает, что в математике понятие дискретности является частным случаем понятия непрерывности.

Второй пример касается определения несобственного интеграла. Обычно, если функция / определена на полуинтервале [а, Ь), —оо < а < b < +00 и интегрируема, например, по Риману, на любом отрезке [а, с], а < с < Ь, и существует конечный предел lim J f(x) dx, то он называется несобственным интегралом и обозначается f /(ж) йж.

Если указанный предел не существует, то несобственный интеграл J f(x) dx называется расходящимся.

При таком подходе остается неясным, что же такое расходящийся несобственный интеграл: ведь говорится лишь, когда он существует, а о том, что он из себя представляет, умалчивается.

Более того, без дополнительных разъяснений непонятной, например, оказывается часто рассматриваемая задача об асимптотике расходящегося интеграла, т. к. асимптотика в курсе математического анализа изучается только для функций, а в приведенном выше определении несобственный интеграл не является функцией.

Всё это подсказывает, что несобственный интеграл целесообразнее определить как некоторую функцию.

Поэтому естественно дать следующее определение.

Если функция / определена на полуинтервале [а, Ь) и интегрируема на любом отрезке [а, с], а < с < Ь, то несобственным интегралом называется функция J f(t)dt, а < X < Ь, и она обозначается J f{x)dx. Если существует предел lim J f(t)dt, то несобственный интеграл J f{x)dx называется сходящимся, а указанный предел называется его значением и обозначается тем же символом, что и интеграл, то есть J f(x) dx.

Если указанный предел не существует, то несобственный интеграл называется расходящимся. При таком определении в формулировках задач для расходящихся несобственных интегралов не возникает никаких неясностей. Например, понятно, что означает порядок расходимости или асимптотика несобственного интеграла.

Эти примеры показывают, что даже методика преподавания математики нуждается в дальнейшем совершенствовании. И здесь далеко не исчерпаны все возможности.

Более подробное изложение некоторых из затронутых вопросов, а также примеры их практических реализаций можно найти в работах автора, приведенных ниже в списке литературы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Толстов Г. П. Элементы математического анализа. T.I, П. — М.: Наука, 1974.

2. Райков Д. А. Одномерный математический анализ. — М.: Наука, 1982.

3. Егорова В. И., Омельченко Н.Н. Предел функции. — М.: Физматлит, 2007.

4. Кудрявцев Л. Д. Краткий курс математического анализа. Т. 1, 2. — М.: Физматлит, 2002.

5. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. Т. 1. 5-е изд. — М.: Дрофа, 2003.

6. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. Т. 2. 5-е изд. — М.: Дрофа, 2004.

7. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. Т. 3. 5-е изд. — М.: Дрофа, 2006.

8. Кудрявцев Л. Д. Предел функции. Формулы Ньютона-Лейбница и Тейлора. — М.: Физматлит, 2004.

9. Кудрявцев Л.Д. Избранные труды. T.III. — М.: Физматлит, 2008.

ABOUT THE MATHEMATICS

L. D. Kudryavtsev

The attempts are undertaken to give the description of mathematics as a science and to analyze some difficulties arising in the course of its development. Examples are given which demonstrate that logical concepts seemingly rather far from each other are wonderfully closely connected, and the basic interest in the mathematics represents studying logic interrelations between objects of mathematical structures.

Keywords: mathematics, mathematical structure, logical concepts, information field.

СОДЕРЖАНИЕ И ТЕХНОЛОГИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ В ВУЗЕ

УДК 517.13

ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА КАК ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ОБЫКНОВЕННЫХ ДРОБЕЙ1 (Теория действительных чисел по Колмогорову)

А. В. Гладкий*, Ю. Н. Козиоров**

* Московский институт открытого образования, Россия, 125167, г.Москва, Авиационный пер., 6; e-mail: avgladkij@Gmail.com

** Череповецкий государственный университет, Россия, 162602, Вологодская обл., г. Череповец, просп. Луначарского, 5; e-mail: koziorov@chsu.ru

Систематически излагается теория действительных чисел на основе последовательностей обыкновенных дробей.

Ключевые слова: действительное число, последовательность, обыкновенная дробь, десятичная дробь, измерение отрезков.

Одно из самых употребительных определений действительного числа (по Вейерштрассу) основано на идее процесса измерения отрезков, состоящего в следующем: сначала откладывают на измеряемом отрезке “мерную рейку” (т.е. единичный отрезок); если “рейка” не уложилась в нем целое число раз, повторяют попытку, пользуясь “рейкой” в 10 раз более короткой; если и эта “рейка” не уложилась в измеряемом отрезке целое число раз, укорачивают её еще вдесятеро, и т.д. Получающаяся при этом последовательность десятичных дробей определяет так называемую бесконечную десятичную дробь, которая и считается мерой (длиной) данного отрезка.

Можно, однако, поступить иначе: последовательно делить “рейку” не на 10, 100 и т. д. частей, а на 2, 3, 4 и т. д. Такой процесс конечен для тех и только тех отрезков, длины которых рациональны (удобнее, впрочем, формально считать его и в этом случае бесконечным), и не зависит от системы счисления.

Настоящая статья посвящена систематическому построению теории действительных чисел на основе этого процесса.

Ранее, в 1946г., А.Н.Колмогоров [1] предложил способ обоснования теории действительных чисел на основе конструкции, лишь несущественно отличающейся от используемой в настоящей статье2. Поэтому излагаемая в ней теория с полным правом может быть названа теорией действительных чисел по Колмогорову.

Один из авторов, А. В. Гладкий, неоднократно излагал эту теорию в лекционных курсах, читавшихся в Калининском (ныне Тверском) университете

1 Эта статья была впервые опубликована в журнале “Математика в школе” (1996 г., №6). Для настоящего издания авторы переработали некоторые формулировки и доказательства с целью сделать их более прозрачными.

2 Доказательству равносильности определений действительных чисел по Колмогорову и по Вейерштрассу посвящена статья [2].

и Шуйском педагогическом институте3. Ю.Н. Козиоров обработал записи, сделанные слушателями одного из этих курсов, и внес в изложение ряд усовершенствовавших его (по мнению авторов) изменений. Ему же принадлежит большая часть упражнений. (Потом он также излагал в лекциях теорию действительных чисел данным способом, со своими изменениями.)

1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СООБРАЖЕНИЯ ОБ ИЗМЕРЕНИИ ОТРЕЗКОВ

Выберем эталонный отрезок е, длину которого будем считать равной единице. Пусть теперь имеется произвольный отрезок А В, и мы хотим его измерить, т. е. сравнить с эталонным отрезком и в результате сравнения сопоставить ему какое-то число ж, которое можно было бы считать его длиной. Допустим, что отрезок е укладывается в отрезке AB т\ раз (mi — неотрицательное целое число; на рисунке т\ = 4).

Тогда число ж, естественно, должно подчиняться условию

(1)

Возьмем теперь новый эталон, равный половине первоначального, и пусть этот эталон укладывается в отрезке AB rri2 раз. Тогда естественно считать, что

Следующий эталон возьмем, разделив первоначальный на 3 равные части. Если этот эталон укладывается на отрезке AB газ раз, то должны выполняться неравенства

Продолжая этот процесс неограниченно, мы получим последовательность целых чисел rai, га2, газ,..., гап,..., таких, что

(2)

3 Примечание А. В. Гладкого: В 1973 г., готовясь прочесть курс теории числовых систем, я заметил, что если делить “мерную рейку” не на 10, 100 и т.д. частей, а на 2, 3, 4 и т.д., то получается более естественная, хотя и более сложная теория. Когда я рассказал об этом одному из коллег по кафедре, ныне покойному В. Г. Голицыну, он спросил, не совпадает ли такая теория с той, идею которой предложил Колмогоров. Перечитав заметку Колмогорова (я читал её в 1957г., но забыл о ней), я увидел, что это действительно то же самое; различие только в том, что Колмогоров рассматривал последовательность приближений сверху, а в получившейся у меня теории в основе лежат приближения снизу, благодаря чему бесконечные десятичные и вообще систематические дроби возникают “сами собой” (см. ниже, раздел 9 и упр. 14). Кроме того, различны были замыслы: замысел Колмогорова состоял в том, чтобы ввести действительные числа непосредственно вслед за целыми, не строя предварительно теорию рациональных чисел, я же старался найти наиболее естественный способ пополнить систему рациональных чисел, созданную для измерения величин, но оказавшуюся недостаточной, таким образом, чтобы с помощью новых чисел можно было выражать длины любых отрезков.

Далее мы будем пользоваться следующим обозначением: последовательность ai, <22, аз,... или an, ai, а2, аз,... будет обозначаться (an).

Последовательность Ç^^^j мы будем называть измеряющей последовательностью для отрезка AB. Может оказаться, что при некотором п соответствующий эталон укладывается на отрезке AB ровно тп раз без остатка. В этом случае измеряющая последовательность содержит дрооь-, а также дроби

Естественно тогда считать, что в этом случае длина отрезка AB является рациональным числом. Если же отрезок AB не исчерпывается целым числом отрезков, равных какому-либо из рассмотренных эталонов, то х должно быть новым числом, которое не является рациональным и удовлетворяет при всяком п G N неравенствам (2).

Допустим, что мы ввели такие числа для всевозможных отрезков и определили для них арифметические операции и отношение порядка, удовлетворяющие обычным условиям. Тогда легко убедиться, что всякая измеряющая последовательность (—должна обладать следующими свойствами, которые будут играть в дальнейшем основную роль: (а) для любых /с, п G N (б) последовательность [ - ) не содержит бесконечно много дробей, равных одному и тому же рациональному числу.

Свойство (а) следует немедленно из (2). Свойство (б) доказывается от противного следующим образом. Допустим, что

больше всех натуральных чисел. Однако это невозможно, так как вновь введенные числа удовлетворяют неравенствам вида (1), где mi + 1 есть натуральное число.

Легко убедиться в существовании отрезков, длины которых не выражаются рациональными числами. Еще древнегреческие ученые открыли, что таким отрезком является, например, диагональ квадрата, сторона которого равна эталонному отрезку. Действительно, пусть длина этой диагонали равна X. Тогда по теореме Пифагора х2 = I2 + I2 = 2; однако, как известно, рационального числа, квадрат которого равен двум, не существует.

Примеры

1. Измеряющая последовательность для рассмотренной выше диагонали квадрата имеет вид:

Читателю рекомендуется найти еще несколько членов этой последовательности.

2. Измеряющая последовательность для отрезка, равного трети эталонного, имеет вид:

(продолжить самостоятельно).

3. Измеряющая последовательность для эталонного отрезка имеет вид:

Замечание. Ясно, что измеряющая последовательность состоит из приближенных значений длины отрезка (с недостатком), причем погрешность п-го измерения меньше —.

2. РЕГУЛЯРНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Рассуждения предыдущего раздела указывают путь, позволяющий построить новые числа, которых у нас на самом деле пока еще нет. Именно, в тех случаях когда результат измерения отрезка нельзя выразить никакой рациональной дробью, входящей в его измеряющую последовательность, мы будем считать, что этим результатом является сама измеряющая последовательность. Такая последовательность непременно должна обладать свойствами (а) и (б) из раздела 1. Поэтому мы рассмотрим множество всех последовательностей дробей, обладающих этими свойствами, и убедимся, что на этом множестве можно определить арифметические операции и отношение порядка, что позволит считать такие последовательности новыми числами. Далее мы убедимся, что система “старых”, т. е. рациональных, чисел естественным образом вкладывается в систему новых. Ясно, наконец, что с помощью построенных чисел можно измерять любые отрезки, т. к. указанный в разделе 1 процесс всегда приводит к последовательности со свойствами (а) и (б), т. е. к новому числу.

(777/ \ —- J, где п G N, mi — произвольное целое число и Ш2, газ,... — целые неотрицательные числа, называется регулярной, если выполняются условия (а) и (б) из раздела 1.

(Мы допускаем теперь случай т\ < О, т. к. среди новых чисел должны быть и отрицательные.)

Теорема 2.1. Если Ç^-^j — регулярная последовательность, то для любых fc, n G N выполняются неравенства

Доказательство. Докажем первое неравенство; второе доказывается аналогично. Допустим, что

Тогда

а это противоречит условию (а).

Теорема 2.2. Если

регулярная последовательность, то ни один член последовательности

не может быть меньше бесконечного числа других её членов.

Доказательство. Пусть существуют натуральные числа

такие, что

По теореме 2.1 справедливо неравенство

причем, ввиду условия (б), равенство не может иметь место при всех s G N. Значит, существует s G N, при котором

откуда

и, следовательно,

так что имеем при всех к = 1, 2, 3,... :

(3)

Выберем tk столь большим, чтобы было tk > us. Тогда — > — ; поэтому для такого tk из (3) следует, что - < -, а это противоречит условию (а).

3. ОТНОШЕНИЕ ПОРЯДКА НА МНОЖЕСТВЕ РЕГУЛЯРНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

Теорема 3.1. Пусть ^—, Ç^^^j — регулярные последовательности и хотя бы для одного по G N имеет место неравенство кПо < тПо. Тогда кп < ™>п для всех достаточно больших п.

Доказательство. Из кПо < тПо следует кПо + 1 < тПо. Поэтому (ввиду условия (а)) для любого 77 G N будет ——- < —- . Но ввиду теоремы 2.2 все члены последовательности -, начиная с некоторого, не превосходят -. Итак, для всех достаточно больших 77 будет - < -, откуда кп <тп.

Следствие. Если ^—\ и Ç^^^j — различные регулярные последовательности, то при всех достаточно больших n дроби — и - различны.

Определение. Пусть а = ^—^ и Ь = Ç^h^^j _ регулярные последовательности. Полагаем а < b (иначе b > а), если для некоторого n G N имеет место неравенство кп < тп.

Теорема 3.2. Для любых регулярных последовательностей а и Ъ имеет место одно и только одно из соотношений а = Ъ, а < Ь, Ъ < а.

Доказательство. Пусть а = и Ь = ^——^. Если а ф Ь (и только в этом случае), существует п G N такое, что кп ф тп. Если кп < гап, то а < Ъ. Если тп < кП1 то b < а. Ввиду теоремы 3.1 эти два случая исключают друг друга.

Теорема 3.3. Для любых регулярных последовательностей а, Ь, с из неравенств а < b и b < с следует а < с.

Доказательство. Пусть а = ^—^, b = ^—^, с = (J^-^j. Если а < b и & < с, то по теореме 3.1 для всех достаточно больших ть имеем кп <С 1п и mn, откуда /сп < гап. Поэтому а < с.

4. РЕГУЛЯРНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ, СОДЕРЖАЩИЕ БЕСКОНЕЧНО МНОГО РАВНЫХ ДРОБЕЙ

Теорема 4.1. Пусть последовательность дробей — с целыми щ и натуральными qi удовлетворяет следующим условиям:

(а) 0 < ci < <72 < <7з < • • • ; (б) —< — < — <...; (в) - > - >7i <72 <7з <7i <72 > ^3 > ... ; (г) последовательность ( ^г } не стабилизируется, т. е. не существует номера, начиная с которого все её члены равны между собой. Тогда последовательность — является подпоследовательностью некоторой регулярной последовательности, и притом только одной.

Доказательство. Для каждого п G N будем обозначать через тп числитель наибольшей дроби со знаменателем п, которая меньше всех членов — < -. Но дробь - уже не может быть меньше всех членов этой последовательности, так как сама является её членом. Отсюда щ = mq.. Мы доказали, таким образом, что последовательность

является подпоследовательностью последовательности

Покажем теперь, что (-) - регулярная последовательность. Пусть fc, п G N. Из определения чисел тп и следует, что дробь - меньше всех дробей-, а дробь--- не меньше хотя бы одной из этих дробей.

Отсюда получаем - <--- для любых п и /с, так что условие (а) из определения регулярности выполнено.

Остается доказать, что выполнено также и условие (б). Допустим противное: пусть существует возрастающая последовательность натуральных чисел

Поскольку - не может быть меньше всех дробей —-, найдется г G N, для которого - < -, a т.к. последовательность - не возрастает и не стабилизируется, найдется к > г, для которого имеет место строгое неравенство - < -. 1огда (од. + ljni < (mni + 1шь откуда (рд. + 1)п1 + 1 < (тП1 + и? следовательно,

Если выбрать число щ столь большим, чтобы было щ > niq^, то будет

отсюда и из предыдущего неравенства следует, что

Отсюда сразу следует, что

но это противоречит определению числа гпщ.

Таким образом, Ç^-^^j — требуемая регулярная последовательность. Ввиду следствия из теоремы 3.1 такая последовательность единственна.

Из доказанной теоремы, в частности, вытекает, что для каждого рационального числа г существует единственная регулярная последовательность, содержащая все дроби с положительными знаменателями, равные г. (Все такие дроби можно расположить в последовательность - , — , —,..., удовлетворяющую условиям теоремы.) Эту последовательность мы будем обозначать г*. В силу следствия из теоремы 3.1 всякая регулярная последовательность, содержащая бесконечно много дробей, равных г, совпадает с г*.

Теорема 4.2. Для любых п,Г2 G Q (где Q — множество всех рациональных чисел) неравенство г* < г\ справедливо тогда и только тогда, когда П < г2.

Доказательство. Пусть г\ < г2- Представим числа г\ и г2 в виде дробей с общим знаменателем:

Тогда, очевидно, pi < Р2- Пусть

тогда при п = q имеем кп = pi, mn = р2 и, значит, кп < mn, откуда г* < т\. Обратно, если г* < г|, то т\ < Г2, т.к. из равенства т\ = г2 следовало бы,

что г* = 7*2, а из г2 < Г\ по уже доказанному следовало бы, что т\ < г*. Доказательство окончено.

Следствие, г* = т\ тогда и только тогда, когда т\ = г 2-

5. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА

Определение. Действительным числом называется всякая регулярная последовательность. Регулярная последовательность вида г* называется рациональным действительным числом и отождествляется с рациональным числом г. Действительные числа, не являющиеся рациональными, называются иррациональными.

Вместо “действительное число” мы будем иногда для краткости говорить просто “число”. Множество всех действительных чисел обозначается символом Ш.

Замечание. Теорему 4.2 мы можем теперь переформулировать так: для рациональных чисел отношение порядка, введенное в разделе 3, совпадает с отношением порядка в множестве Q.

(ТП \ —- J — действительное число. Тогда для каждого п G N справедливо неравенство

Доказательство. Второе неравенство сразу следует из определения, данного в разделе 3 (ввиду того, что рациональное число, представляемое дробью -, мы отождествили с регулярной последовательностью, п-м членом которой является эта дробь). Первое неравенство докажем от противного.

Допустим, что при некотором no G N число а меньше ——. Пусть ( — ] — та регулярная последовательность, в которую входят все дроби, представляющие рациональное число ——. Тогда при любом s G N будет ——— = —^— , откуда шПо • s = kno • s. Из неравенства а < —— и теоремы 3.1 следует, что

при всех достаточно больших п G N будет тпп < кп. В частности, при всех достаточно больших s имеем mnoS < knoS, откуда получаем:

а это противоречит теореме 2.1.

Замечание. При п = 1 только что доказанные неравенства принимают вид mi < а < mi + 1, так что mi есть наибольшее целое число, не превосходящее а. Это число называется целой частью числа а и обозначается [а].

Теорема 5.2. Если а,Ь G R и а < b, то существует число г G Q, такое, что а < г < Ъ.

Доказательство. Пусть а = ^~^ ' ^ = (—~) и < тпо Для некоторого по G N. Тогда кПо + 1 < тПо. По теореме 2.1 для всех «s G N будет

причем по определению регулярной последовательности

равенство не может иметь место при всех s, так что для некоторого s G N выполняется неравенство

Из этого неравенства и неравенства

ввиду теоремы 5.1 следует, что

Таким образом, нужному условию удовлетворяет рациональное число

6. СУЩЕСТВОВАНИЕ ТОЧНОЙ ВЕРХНЕЙ ГРАНИЦЫ

Определение 1. (а) Множество Е Ç M называется ограниченным сверху, если существует число М, такое, что для любого х G Е справедливо неравенство X < M. При этом число M называется верхней границей множества Е. (б) Множество ÊÇR называется ограниченным снизу, если существует число га, такое, что для любого х G Е справедливо неравенство х > т. При этом число га называется нижней границей множества Е.

Определение 2. (а) Наименьшая из верхних границ ограниченного сверху множества Е называется точной верхней границей (или верхней гранью) множества Е и обозначается sup Е. (б) Наибольшая из нижних границ ограниченного снизу множества Е называется точной нижней границей (или нижней гранью) множества Е и обозначается inf Е.

Теорема 6.1. Всякое непустое ограниченное сверху множество Е Ç M имеет точную верхнюю границу.

Доказательство. Для каждого n G N обозначим через тп наибольшее целое число, такое, что-не является верхней границей множества Е. Ясно, что для последовательности дробей ^——^ выполнено первое условие регулярности: - <---. Возможны два случая:

1. Второе условие регулярности не выполнено, т.е. существуют такие натуральные числа что

Ясно, что число г есть верхняя граница множества Е. Покажем, что оно является его точной верхней границей. Для этого нужно установить, что никакое число, меньшее г, не может быть верхней границей множества Е.

Пусть с £ Ш и с < г. По теореме 5.2 найдется s G Q, такое, что с < s < г.

Приведем дроби, представляющие s и г, к общему знаменателю: s = — , г = — . Тогда будет р < q и, значит, р + 1 < q, откуда s H— < г =---, где Uj может быть сколь угодно большим. Выбирая rij > n, получаем отсюда

s <-- . Но тогда тем более с <-- ; следовательно, с не является верхней границей множества Е. Таким образом, г = sup£\ (тп \ —- ) — действительное число. Тогда а есть верхняя граница множества Е. Действительно, если существует х = ( — ] G £, такое, что а < ж, то для некоторого n G N будет тп < кп, откуда тп + 1 < fcn, и найдется такое s G N, что - < < - < — < ж, а это противоречит тому, что - есть верхняя граница Е.

Покажем теперь, что а есть точная верхняя граница множества Е, т. е. что если Ъ < а, то Ъ не является верхней границей множества Е. Действительно, пусть Ъ = I — ] и lnç) < mnç) для некоторого no G N. Тогда Ъ < < .

Но число —— не является верхней границей Е. Таким образом, а = sup Е.

7. СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

Определение 1. Пусть а, & G M и множество Е задано равенством

Тогда число sup Е называется суммой чисел а и Ъ и обозначается а + Ъ.

Замечание. Число supE1 существует в силу теоремы 6.1, т.к. множество Е ограничено сверху, каковы бы ни были числа а, Ъ G M. Действительно, из теоремы 5.1 следует существование таких рациональных чисел г и s, что а < < г и Ъ < s. Если р и q — рациональные числа, р < а и q < Ь, то р < г и q < s, откуда р + q < г + s. Таким образом, г + s — верхняя граница множества Е. Заметим также, что если числа а и Ъ рациональны, то рациональное число а + Ъ является, очевидно, наибольшим в Е и, значит, равно sup£\ Отсюда следует, что сумма рациональных чисел, получающаяся по определению 1, та же, что и во множестве Q.

Теорема 7.1. Если а, Ь, с, d G М7 а <Ъ и с < d, тпо а + с < b + d.

Доказательство легко следует из определений.

Лемма. Если а, Ь G M и существуют такие рациональные числа г, s, р\, Р2, £>з,..., что для всех достаточно больших n G N выполняются неравенства

то а = h.

Доказательство. Допустим, что а ф Ь — например, а < Ъ. Тогда существуют çi, q2 G Q, такие, что а < q\ < q2 < b. Для всех достаточно больших п г s будет рп H— < qi < q2 < рп H— , откуда 0 < q2 — qi < -и, следовательно,

Положим для удобства

Тогда для всех

достаточно больших, а значит, и вообще для всех n G N получим п < — , но

и

это неверно, если, например, n = t.

Теорема 7.2. Для любых а, Ь, с G M справедливы равенства: (&)a + b = b + a; (б) (а + b) + с = а + (b + с); (в) а + 0 = а.

Доказательство. Проверим справедливость равенства (б); проверка остальных предоставляется читателю.

Пусть

По теореме 5.1

откуда по теореме 7.1

. Такие же неравенства получаются для числа а + (Ь + с). Остается применить доказанную выше лемму.

Теорема 7.3. Для любого числа а существует единственное число Ь, такое, что а + b = 0.

Доказательство. Убедимся сначала, что нужное число b существует. Очевидно, достаточно ограничиться случаем, когда число а иррационально. В этом случае в последовательности а = (——^ не содержится бесконечной подпоследовательности, состоящей из дробей, равных одному и тому же рациональному числу. Отсюда следует, что последовательность регулярна. Поскольку

по теореме 7.1 будет

имеем в силу доказанной выше леммы а + b = 0.

Допустим теперь, что для некоторого а существуют два числа Ьис, такие, что а + Ь = 0иа + с = 0. Тогда b = b + (а + с) = {Ъ + а) + с = с. Доказательство закончено.

Определение 2. Единственное число, удовлетворяющее условию теоремы 7.3, называется противоположным числу а и обозначается —а.

Таким образом, а + (—а) = 0. Из определения ясно, что число, противоположное числу —а, есть а: —(—а) = а.

Определение 3. Разностью чисел а и b называется число ж, удовлетворяющее условию а = X + Ъ.

Теорема 7.4. Для любых действительных чисел а и b их разность существует и единственна.

Доказательство. Если а = х + Ь, то, прибавляя к обеим частям этого равенства —Ь, получим: х = а+(—Ъ). С другой стороны, легко проверить, что число X = а + (—Ъ) действительно удовлетворяет уравнению а = х + Ъ.

Разность обозначаем, как обычно, а — Ь.

Теорема 7.5. (а) Если а < Ь, то а + с < Ь + с; (б) если а < Ь, то —а > —Ь] (в) если а < 0, то —а > 0; (г) если а > 0, то —а < 0.

Доказательство, (а) По теореме 7.1 из а < b следует а + с < Ь + с, но если а + с = Ь + с, то, прибавляя к обеим частям —с, получим а = Ь, что противоречит условию а < Ь. (б) Следует из (а) при с = (—а) + (—6). (в) Следует из (б) при b = 0. (г) Следует из (б) при а = 0.

8. УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

Определение 1. (а) Пусть a, b G M, а, b > О, и множество D задано равенством

Тогда число supE1 называется произведением чисел а и b и обозначается ab или а • 6. (б) Если а > 0 и b < О, полагаем ab = а{—Ъ). (в) Если а < 0 и Ь > О, полагаем ab = (—а)Ь. (г) Если а < 0 и Ь < 0, полагаем ab = (—а)(—6).

Замечание. Ограниченность множества D сверху доказывается так же, как для множества Е в определении 1 из раздела 7. Произведения, стоящие в правых частях равенств в пунктах (б), (в), (г), определены в пункте (а) ввиду пункта (в) теоремы 7.5. Легко видеть также, что произведение рациональных чисел, получающееся по только что сформулированному определению, совпадает с их произведением в Q.

Теорема 8.1. Если 0<a<buO<c<d, то ас < bd.

Доказательство. Это следует из определения 1(a) и такого же свойства рациональных чисел.

Теорема 8.2. Для любых а, 6, с G R справедливы равенства: (a) ab = ba; (б) (ab)c = а(Ъс)] (в) а • 1 = а; (г) (а ± Ъ)с = ас ± be.

Доказательство предоставляется читателю (для неотрицательных чисел оно проводится по образцу теоремы 7.2).

Теорема 8.3. Для любого числа а ф 0 существует единственное число Ь, удовлетворяющее условию ab = 1.

Доказательство. Рассмотрим сначала случай, когда данное число положительно. Пусть —- j > 0. Тогда существует такое no G N, что тПо > 0 (см. теорему 3.1 и определение отношения порядка в разделе 3). По определению регулярной последовательности при любом n G N имеем

откуда

Следовательно,

верхняя граница множества

Положим b = sup В. Тогда по определению точной верхней границы будет

(6)

Кроме того, по теореме 5.1 имеем

(7)

Перемножая почленно неравенства (6) и (7), что законно в силу теоремы 8.1, получаем:

(8)

Теперь заметим, что

Поэтому из (8) следует, что

а поскольку тПо > О, ввиду теоремы 2.1 будет также тПоП > 0 при любом п G N. Поэтому точно таким же образом можно получить неравенства

(9)

По той же теореме 2.1 будет

откуда

где положено

Отсюда и из (9) получаем для всех п G N:

Теперь лемма из раздела 7 показывает, что ab = 1. Заметим, что b > 0; это ясно из определения числа Ъ.

Пусть теперь а < 0. Тогда —а > 0, и по доказанному существует такое с > 0, что (—а)с = 1. Полагая b = —с, по определению 1(г) имеем ab = = (-а)(-6) = (-а)с=1.

Таким образом, существование требуемого числа доказано. Единственность доказывается так же, как в теореме 7.3.

Определение 2. Число Ь, удовлетворяющее условию ab = 1, называется обратным числу а и обозначается а-1. Таким образом, аа-1 = 1.

Определение 3. Частным от деления числа а на число b называется число x, удовлетворяющее условию а = хЬ.

Теорема 8.4. Если 6^0, то частное от деления а на b существует и единственно.

Доказательство этой теоремы, аналогичное доказательству теоремы 7.4, предоставляется читателю.

Частное от деления а на b обозначается, как и для рациональных чисел, — .

Из определений 2 и 3 следует, что - = Ь-1.

9. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ БЕСКОНЕЧНЫМИ ДЕСЯТИЧНЫМИ ДРОБЯМИ

Рассмотрим сначала произвольную обыкновенную дробь вида , где

m, n G Z, n > 0. Пусть

Тогда

где г — целое число, удовлетворяющее условию 0 < г < 10п. Из этого условия следует, что десятичная запись числа г содержит не более п цифр, так что г =

где числа ai, a2,..., ап принадлежат множеству

Отсюда

Последнюю сумму принято записывать в виде ao,aitt2 • • -&п? причем целое число ао записывают в десятичной системе, и если оно отрицательно, то знак “минус” ставят не спереди, а сверху. Числа ai, a2,..., ап называют соответственно 1-м, 2-м,..., п-м десятичными знаками данной десятичной дроби.

Примеры

Рассмотрим теперь некоторые свойства десятичных дробей, входящих в заданную регулярную последовательность.

Теорема 9.1. Для любой регулярной последовательности ^—существуют и однозначно определены целые числа ao, ai, а2,..., удовлетворяющие следующим условиям:

(а) все они, кроме, быть может, ао, принадлежат множеству a& G G {0,1,..., 9}, причем не существует номера п, такого, что а& = 9 при всех к > п:

(б)

Иначе говоря: запись каждой десятичной дроби, входящей в данную регулярную последовательность, получается из записи предыдущей десятичной дроби из той же последовательности приписыванием нового десятичного знака, и эти знаки не могут, начиная с некоторого места, все подряд быть девятками.

Доказательство. Первое равенство из (б) будет выполняться, если положить

(10)

Предположим теперь, что числа ao, ai, а2,..., ап уже определены так, что выполняется равенство

(11)

В силу теоремы 2.1 и определения регулярной последовательности имеем:

откуда

Следовательно, полагая

(12)

получим

С другой стороны, если для некоторого числа ап+\ G {0,1,..., 9} выполняется равенство

то, вычитая из этого равенства почленно (11), получаем

откуда следует (12).

Допустим теперь, что an+i = 9. Тогда из (12) получаем 9 = m10n+i —

Деля на 10n+1, имеем:

Отсюда ясно, что если бы было а& = 9 при всех к > п, то все дроби были бы равны друг другу, но это противоречит регулярности последовательности

Таким образом, последовательность an,ai,a25 • • • ? определяемая равенствами (10) и (12), удовлетворяет условиям (а) и (б).

Теорема 9.2. Пусть последовательность целых чисел ao,ai,a2, • • • удовлетворяет условию (а) теоремы 9.1. Тогда существует единственная регулярная последовательность дробей такая, что для каждого п = = 0,1, 2,... член этой последовательности со знаменателем 10п равен десятичной дроби ао, a\ü2 ... ап.

Доказательство. Обозначим числитель десятичной дроби ао, a\ü2 ... ап через sn и рассмотрим последовательность десятичных дробей

(13)

Утверждение, которое мы должны доказать, состоит в том, что данная последовательность является подпоследовательностью некоторой регулярной последовательности, и притом только одной. Для этого, очевидно, достаточно убедиться, что эта последовательность удовлетворяет всем условиям теоремы 4.1. Выполнение условий (а) и (б) очевидно. Чтобы доказать (в) и (г), заметим, что

и потому

(14)

Тем самым доказано выполнение условия (в).

Теперь нетрудно доказать и (г), т.е. нестационарность последовательности (13). В самом деле, если бы существовало такое к G N, что при любом

п > к выполнялось бы равенство

то для каждого п > к разность

была бы равна нулю. Но мы только что доказали (см. (14)), что эта разность равна

Поэтому все десятичные знаки нашей дроби, начиная с (fc + 1)-го, были бы девятками, что противоречит условию теоремы.

(тп \ —- J — действительное число (т. е. регулярная последовательность дробей) и ао, ai, а2, аз,... — целые числа, удовлетворяющие условиям (а) и (б) теоремы 9.1, мы будем писать

a = ao, aia2a3 ...

и говорить, что число a представляется бесконечной десятичной дробью ao, aiü2as ... (или разлагается в бесконечную десятичную дробь ао, а^аз ...).

Теоремы 9.1 и 9.2 показывают, таким образом, что всякое действительное число единственным образом разлагается в бесконечную десятичную дробь, не оканчивающуюся девятками, и обратно — всякая бесконечная десятичная дробь, не оканчивающаяся девятками, является разложением некоторого действительного числа, и притом только одного.

Упражнения

1. Выписать несколько первых членов измеряющих последовательностей:

(а) для диагонали прямоугольника, длины сторон которого равны 1 и 2;

(б) для отрезка, равного одной пятой эталонного.

2. Убедиться, что все члены регулярной последовательности равны друг другу тогда и только тогда, когда она представляет целое число4.

3. Доказать, что если регулярная последовательность содержит дробь - , то она содержит и все равные ей дроби с меньшим (натуральным) знаменателем.

4. Убедиться, что последовательность [- ) удовлетворяет условиям теоремы 4.1 и, следовательно, является подпоследовательностью регулярной последовательности. Выписать несколько первых членов этой регулярной последовательности. Установить, какое число она представляет.

5. Число 7г = 3,1415... есть регулярная последовательность, содержащая дроби - и — • Выписать все члены последовательности, расположенные между этими дробями.

6. Доказать, что если a = (——^ — не постоянная и неубывающая регулярная последовательность, то число a иррационально.

4 При педантичном следовании формулировке определения из раздела 5 нужно было бы говорить “она является целым числом”.

7. Доказать, что всякое непустое ограниченное снизу множество Е Ç Ш имеет точную нижнюю границу. (Указание. Рассмотреть множество —Е = = {—x I X G Е} и воспользоваться теоремой 6.1. Можно также доказать непосредственно по аналогии с доказательством этой теоремы.)

8. Пусть а, Ь, с G Ш. Доказать следующие предложения:

(а) Если с > О, то а < b тогда и только тогда, когда ас < be;

(б) Если с < О, то а < b тогда и только тогда, когда ас > be.

9. Доказать, что для любого действительного числа а = ^——^ при всех n G N имеет место равенство тп = [ап]. (Указание. Использовать теорему 5.1 и результат упр. 8(a).)

10. Пусть Е = {a G Q | а > 0, а2 < 2}. Доказать следующие утверждения: (а) Е ф 0; (б) Е ограничено сверху; (в) Е не содержит наибольшего элемента; (г) если а = supE1, то а2 = 2; (д) а иррационально.

11. Доказать, что если а, Ъ G M и а < Ь, то существует иррациональное число с такое, что а < с < Ь. (Указание. Существуют p,q £ Q такие, что а < р < q <Ъ] рассмотреть число р H--, где а то же, что в упр. 10(г).)

12. Пусть а = ао, а\а2а^ ... ; b = bo, b^b^ ... (в соответствии с определением из раздела 9 обе бесконечные десятичные дроби не оканчиваются девятками). Доказать, что а < b тогда и только тогда, когда либо ао < либо для некоторого к > 0 справедливы соотношения ао = Ьо? = bi, ..., a&_i = hk-i, ак < Ък.

13. (a) Пусть а = ао, aia2 ... ап. Доказать, что —а = bo, • • • bn, где bo = = —ао — 1, bk = 9 — ак при 0 < к < п, Ьп = 10 — ап. (Например, —3,1415 = = 4,8585; -4,8585 = 3,1415.)

(б) Пусть а = ао, 0102^3 > причем эта дробь не оканчивается нулями. Доказать, что —а = bo, Ь^Ьз ..., где Ьо — ~ао ~ 1 и Ьк — 9 — а& при всех fc> 0.

14. Пусть g — натуральное число, не равное единице. Доказать следующие предложения, обобщающие теоремы из раздела 9:

1. Для всякой регулярной последовательности I-1 существуют и однозначно определены целые числа ао, ai, а2,..., удовлетворяющие следующим условиям:

(а) если к > 0, то ак G {0,1,... ,д — 1}, причем не существует п, такого, что ак = g — 1 при всех к > щ

(б) при всех = 0,1, 2,... справедливы равенства

II. Если целые числа ao,ai,a2,... удовлетворяют условию (а) из предложения I, то существует единственная регулярная последовательность a = ( —— ), для которой выполняется условие (б) из того же предложения. В данном случае пишут a = ao,aia2a3 ... и называют это равенство разложением числа a в бесконечную д-ичную дробь.

15. Если множество M разбито на два непустых множества А и В таким образом, что всякое число из А меньше всякого числа из В, говорят, что мно-

жества А и В образуют сечение множества R. Множества А и В называются соответственно нижним и верхним классами сечения.

Доказать, что если множества А и В образуют сечение множества М, то:

(а) невозможен случай, когда в А есть наибольшее число ивВ есть наименьшее; (б) невозможен случай, когда в А нет наибольшего числа и в В нет наименьшего. (Указание, (а) Воспользовавшись теоремой 6.1 и результатом упр. 7, рассмотреть число ü ^~ , где а = sup Л и b = sup В. (б) Допустив противное, воспользоваться теоремой 6.1, результатом упр. 7 и тем, что если sup Л принадлежит Л, то sup Л — наибольший элемент Л, и аналогично для sup Б.)

Утверждение (б), означающее, что в множестве M нет “пробелов”, называют обычно свойством непрерывности множества действительных чисел.

16. Определив сечение множества Q так же, как сделано в упр. 15 для R, доказать, что в этом случае утверждение (а) остается справедливым, а (б) становится неверным. (Указание. Рассмотреть сечение, нижний класс которого состоит из всех отрицательных рациональных чисел и всех неотрицательных рациональных чисел, квадраты которых меньше двух, а верхний — из всех положительных рациональных чисел, квадраты которых больше двух.)

Авторы считают своим приятным долгом выразить глубокую благодарность Г. М. Полотовскому за необыкновенно внимательную редактуру и в особенности за исправление ошибок в освещении истории вопроса.

ЛИТЕРАТУРА

1. Колмогоров А.Н. К обоснованию теории вещественных чисел // Успехи математических наук. 1946. Т. 1, вып. 1. То же: // Математическое просвещение (вторая серия). 1957. Т. 2. (Перепечатано в кн.: Колмогоров А. Н. Математика — наука и профессия. — М.: Наука, 1988.)

2. Русаков А. А., Чубариков В. Н. О двух подходах к обоснованию вещественных чисел // Математика в высшем образовании. №4. — Н.Новгород: Изд-во Нижегородского гос. ун-та, 2006.

REAL NUMBERS AS SEQUENCES OF COMMON FRACTIONS (Kolmogorov's Theory of Real Numbers)

A. V. Gladkij, Yu. N. Koziorov

We suggest a systematic formulation of the real numbers theory on the basis of common fraction sequences.

Keywords: real number, sequence, common fraction, decimal fraction, measurement of segments.

СОДЕРЖАНИЕ И ТЕХНОЛОГИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ В ВУЗЕ

УДК 517.53 + 003.625 + 378.147

СИСТЕМА ОБОЗНАЧЕНИЙ ДЛЯ ОСНОВНЫХ МНОГОЗНАЧНЫХ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ И ДЛЯ ИХ ЗНАЧЕНИЙ

С.В. Костин

Московский государственный институт радиотехники, электроники и автоматики (технический университет), Россия, 119454, г- Москва, пр. Вернадского, 78; e-mail: kostinsv77@mail.ru

Сформулированы принципы, которыми надо руководствоваться при построении математической символики. Разработана последовательная система обозначений для всех основных многозначных функций комплексной переменной и для значений этих многозначных функций. В предложенной системе обозначений отсутствует явление полисемии, то есть каждый символ имеет одно строго определенное значение. Приведены примеры использования предложенной системы обозначений.

Ключевые слова: ТФКП, многозначная функция, главное значение, математическая символика, полисемия и омонимия.

Подобно тому, как дар слова обогащает нас мнениями других, так язык математических знаков служит средством еще более совершенным, более точным и ясным, чтобы один передавал другому понятия, которые он приобрел, истину, которую он постигнул, и зависимость между всеми частями, которую он открыл. Но так же как мнения могут казаться ложны от того, что разумеют иначе слова, так всякое суждение в математике останавливается, как скоро перестаем понимать под знаком то, что оно собственно представляет.

Н. И. Лобачевский

§ 1. ПОЛИСЕМИЯ И ОМОНИМИЯ

Опыт преподавания математики в высших учебных заведениях показывает, что использование четкой и продуманной системы обозначений позволяет существенно повысить быстроту и качество усвоения материала.

Математическая символика, используемая при изложении определенной математической дисциплины, может обладать такими особенностями, как полисемия и омонимия.

Явление полисемии заключается в том, что один и тот же математический знак, символ используется в разных местах для обозначения различных, но в то же время родственных понятий. Скажем, символ AB может обозначать прямую (например, в записи AB || CD), отрезок (например, во фразе иАВ — средняя линия треугольника MNP"), длину отрезка (например, в записи AB = 5), луч (например, во фразе иАВ — биссектриса угла

Символ может обозначать определенный интеграл Римана (например, во фразе “интеграл J не существует”), значение определенного интеграла Римана (например, в записи

несобственный интеграл ( например, во фразе "интеграл сходится" ), значение несобственного интеграла (например, в записи

Явление омонимии заключается в том, что для обозначения совершенно различных, не родственных друг другу понятий используются графически совпадающие математические символы. Например, символ (4, 6) может обозначать числовое множество1 ((4, 6) С R), упорядоченную пару2 чисел

1 В нашей статье слово “число” является синонимом словосочетания “комплексное число”. Если некоторое число принадлежит более узкому множеству, чем множество комплексных чисел С (например, множеству действительных чисел К. или множеству целых чисел Z), то это либо понятно из контекста, либо специально оговаривается.

Множество X мы называем числовым множеством, если оно является подмножеством множества комплексных чисел С (то есть если X С С). Если множество X является подмножеством множества действительных чисел К. (то есть если I С М), то множество X, разумеется, тоже является числовым множеством (поскольку R С С).

Отметим, что в математике существуют гиперкомплексные числа (например, кватернионы). При нашем понимании понятия “число” гиперкомплексные числа, вообще говоря, числами не являются. Аналогично, при нашем понимании понятия “числовое множество” множество, элементами которого являются гиперкомплексные числа, вообще говоря, не является числовым множеством.

2 Упорядоченный набор длины n (n G N) обычно обозначают либо с помощью круглых скобок (ai, <i2,..., an), либо с помощью угловых скобок (ai, a2,..., an). В нашей статье для обозначения упорядоченных наборов мы используем угловые скобки. Это связано с тем, что круглые скобки имеют очень много совершенно различных значений (они используются в качестве знака препинания, обозначают порядок действий в математических формулах, фигурируют в символе /(а), обозначающем значение отображения /: А —> В на элементе a G А, и т.д.) и вследствие этого в значительной степени потеряли свою математическую выразительность. По нашему мнению, использование угловых скобок для записи упорядоченных наборов делает текст более четким и легче воспринимаемым.

Элемент ак (к G N, к ^ п) называют к-й компонентой упорядоченного набора (ai, ü2, ..., ап). Если все компоненты упорядоченного набора являются числами, то упорядоченный набор называется числовым.

Упорядоченный набор из двух компонент называют также упорядоченной парой, а упорядоченный набор из трех компонент называют также упорядоченной тройкой. Упорядоченный набор из одной компоненты мы будем отождествлять с самой этой компонентой, то есть мы будем считать, что, по определению, (а) = а.

В некоторых книгах не рассматривают вложенные упорядоченные наборы, например, упорядоченную пару ((а, о), с), первой компонентой которой является упорядоченная пара (а, 6), отождествляют с упорядоченной тройкой (а, о, с). Мы не считаем такое отождествление целесообразным и рассматриваем упорядоченную пару ((а, 6), с) и упорядо-

((4, 6) G M2), наибольший общий делитель ((4, 6) = 2). Символ \А\ может обозначать модуль числа Л, число элементов множества А, определитель матрицы Л, объем тела А.

Между полисемией и омонимией нет непроходимой границы. Иногда сложно определить, имеем ли мы дело с различными значениями одного знака (полисемия) или с графически совпадающими различными знаками (омонимия).

Полисемия и омонимия могут существенно затруднить восприятие материала, а в некоторых случаях могут привести к его полному непониманию. Определить значение полисемичного знака (или определить, какой из нескольких омонимичных знаков используется в данном месте текста) можно только из контекста. Часто это бывает под силу сделать далеко не каждому студенту.

Здесь уместно процитировать высказывание известного советского математика и педагога А. Я. Хинчина: “... следует упомянуть еще об одной традиции математического стиля... Я имею в виду свойственную математике скрупулезную точность символики. Каждый математический символ имеет строго определенное значение; замена его другим символом или перестановка на другое место, как правило, влечет за собою искажение, а подчас и полное уничтожение смысла данного высказывания. (...) Несоблюдение безукоризненной точности символической записи в математике влечет за собой немедленную расплату: он [учащийся] сам теряет возможность понять смысл записанного... и либо получает неправильный ответ, либо вообще лишает себя возможности решить задачу” [1].

Добавим к этому, что на то, чтобы понять, в каком смысле в данном месте текста понимается тот или иной символ, уходят время и силы. Чтение текста, в котором используются четкие и однозначные обозначения, приносит чувство удовлетворения, отнимает значительно меньше времени и приводит к лучшему пониманию материала, чем чтение текста, в котором используются обозначения, допускающие различное толкование. Поэтому следует стремиться использовать такую математическую символику, в которой (по крайней мере, в рамках одного раздела математики) отсутствуют (или сведены к минимуму) явления полисемии и омонимии.

ченную тройку (а, 6, с) как различные математические объекты. В то же время, например, ((а), Ь) = (а, Ь) (поскольку (а) = а).

Пусть А — множество, состоящее из элементов любой природы, причем А ф 0. Множество, состоящее из всех упорядоченных наборов (ai, a2,..., ап) (n G N) таких, что ak G A при всех k G N, k ^ n, называется n-й степенью (или гг-й декартовой степенью) множества А и обозначается символом Ап. Очевидно, А1 = А. Если А = 0, то, по определению, Ап = 0 при всех n G N.

Множество Cn (n G N) называют n-мерным комплексным координатным пространством. Множество Ш.п [n G N) называют n-мерным действительным координатным пространством. Обычно для краткости говорят просто “пространство Сп” и "пространство Ш.П1\ Очевидно, Rn С Сп.

Понятие “n-мерное комплексное (действительное) координатное пространство” следует отличать от используемого в линейной алгебре понятия “n-мерное линейное пространство над полем комплексных (действительных) чисел”.

Подробнее о явлениях полисемии и омонимии в знаковых системах (одной из таких знаковых систем является математическая символика) можно прочитать в литературе по семиотике (см., например, [2]).

§ 2. ПОЛИСЕМИЧНОСТЬ СИМВОЛОВ

В теории функций комплексной переменной3 (ТФКП) иногда одним и тем же символом обозначают как одно какое-либо значение многозначной функции, так и множество всех значений этой многозначной функции. Речь, прежде всего, идет о следующих многозначных функциях: 1) многозначная экспонента; 2) многозначный корень п-й степени (n G N, n ^ 2); 3) показательная многозначная функция с основанием a (a G С); 4) степенная многозначная функция с показателем a (a G С).

Символы е2, \fz, а2, za могут обозначать, в зависимости от контекста, либо одно из значений (обычно главное значение) соответствующей многозначной функции, либо сразу множество всех значений этой многозначной функции. Очевидно, что здесь мы имеем дело с явлением полисемии.

Больше повезло тем многозначным функциям, которые обозначаются с помощью последовательности букв латинского алфавита. В русской математической литературе получило широкое распространение очень удобное соглашение, согласно которому последовательность латинских букв, начинающаяся с прописной буквы, служит для обозначения множества всех значений многозначной функции, а та же последовательность, начинающаяся со строчной буквы, служит для обозначения главного значения этой многозначной функции (см., например, [3-7]). Например, символ Lnz обозначает множество всех значений многозначного логарифма, а символ In z обозначает главное значение многозначного логарифма. Можно провести параллель между этим соглашением и тем, что множества в математике обычно обозначают прописными буквами (Л, В, С,... ), а элементы множеств — строчными буквами (а, Ь, с,... )4.

Полисемичность символов е2, y/z, а2, za может не только затруднять восприятие материала, но может также быть причиной ошибок при решении задач. Приведем конкретный пример.

3 Отметим, что иногда говорят не “теория функций комплексной переменной”, а “теория функций комплексного переменного”. Фактически вопрос сводится к тому, какого рода существительное “переменная” (“переменное”): женского или среднего. Аналогичный вопрос существует по отношению к словам “постоянная” (“постоянное”) и “неизвестная” (“неизвестное”). В литературе эти слова встречаются как в женском, так и в среднем роде. Мы придерживаемся соглашения, что все эти существительные женского рода.

4 К сожалению, в зарубежной математической литературе часто встречается противоположное соглашение, а именно последовательность латинских букв, начинающаяся с прописной буквы, служит для обозначения главного значения многозначной функции, а та же последовательность, начинающаяся со строчной буквы, служит для обозначения множества всех значений этой многозначной функции. По нашему мнению, в данном случае более удачными являются отечественные обозначения.

Рассмотрим5 задачу 13.70 из части 3 задачника [3]: получить аналитическое выражение для функции w = Aresin z и найти значение этой функции в точке zo = г.

В конце задачника приведен следующий ответ: Aresin z = — г Ln(iz + + Vl-z2), Arcsini = 27rfc-iln(V2-l), к G Z.

После некоторого размышления внимательный читатель должен заметить, что авторы задачника допустили ошибку.

В формуле Aresin z = —г Ln (iz + л/l — z2 ), как следует из её вывода, символ л/1 — z2 обозначает множество всех значений многозначного корня 2-й степени из числа 1 — z2. Подставляя вместо z значение zo = г, авторы по ошибке интерпретировали символ л/2 как арифметический корень, тогда как в данной задаче символ л/2 обозначает не одно число, а два. В результате авторы потеряли вторую серию значений арксинуса: тт + 2ттк — г In (л/2 + 1), kez.

Мы привели этот пример не для того, чтобы бросить тень на сборник задач [3], который, по нашему мнению, является в настоящее время одним из лучших задачников для технических вузов с расширенной программой по математике. Нашей целью было показать, как важно в математике, чтобы каждый математический знак, символ имел одно строго определенное значение, которое бы не зависело от контекста.

Авторы некоторых книг и учебников по ТФКП пытались усовершенствовать математическую символику, с тем чтобы устранить полисемичность символов е2, л/z, az, za. В частности, некоторые авторы обозначают символом \fz множество всех значений многозначного корня п-й степени из z (z G С), а для обозначения арифметического корня п-й степени из z (z G M, z ^ 0) используют символ \fz (см., например, [4-6]). Символом ez в некоторых книгах + обозначается множество всех значений многозначной экспоненты, тогда как для обозначения главного значения многозначной экспоненты используется символ ехрг (см., например, [7]).

Описанные способы устранения полисемичности символов \fz и е2, по нашему мнению, нельзя признать очень удачными. Что означают, скажем, символы \р2 и е2/3? Если эти символы понимаются в том смысле, в котором они используются в школе и в вузе при изучении действительного анализа, то они обозначают числа. Если же эти символы понимаются в том смысле, в котором их используют авторы упомянутых книг, то они обозначают множества. Таким образом, устранения полисемии на самом деле не происходит и символы y/z и ez остаются многозначными. Чтобы определить их значение, надо понять, в каком смысле: “не-ТФКП”- или “ТФКП”- — эти символы используются в данном месте текста.

При введении новых символов, как мы считаем, надо стремиться к тому, чтобы все ранее использовавшиеся символы сохраняли свои значения. Ниже (в § 4) мы сформулируем это требование как "принцип преемственности обо-

5 Мы приводим формулировку задачи так, как она дана в задачнике [3]. Эта формулировка, по нашему мнению, является не совсем точной. Правильную (с нашей точки зрения) формулировку см. ниже (§7, пример 1).

значений". Символы \fz (z G M, z ^ 0) и ez (z G M) обозначают в школе (и в вузе при изучении действительного анализа) числа, а не множества. При переходе из школы в вуз и в вузе при переходе от изучения действительного к изучению комплексного анализа эти символы должны сохранять свои значения. Что же касается множества всех значений многозначного корня п-й степени и множества всех значений многозначной экспоненты, то как раз для этих не встречавшихся раньше (то есть до изучения ТФКП) математических объектов можно и нужно ввести специальные обозначения.

В настоящей статье мы предлагаем последовательную систему обозначений для всех основных многозначных функций комплексной переменной и для значений этих многозначных функций. В этой системе обозначений отсутствует явление полисемии, то есть значение каждого математического символа определяется исключительно его графической структурой и не зависит от контекста.

§ 3. ОТОБРАЖЕНИЯ И МНОГОЗНАЧНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

В этом параграфе определяются некоторые используемые нами понятия и вводятся некоторые обозначения.

Пусть А и В — множества, состоящие из элементов любой природы, причем

Определение 1. Пусть каждому элементу множества А поставлен в соответствие некоторый элемент множества В. Тогда говорят, что задано отображение f множества А во множество В и пишут /: А —> В.

Определение 2. Пусть /: А —> В — отображение множества А во множество В. Элемент b G В, который отображение / ставит в соответствие элементу a G А, называется значением отображения / на элементе а и обозначается /(а).

Прежде чем давать следующее определение, напомним, что символом6 Р{В) обозначается булеан (множество всех подмножеств) множества В. Например, если В = {1, 2}, то Р(В) = {0, {1}, {2}, {1, 2}}.

Обозначим символом7 Р*(В) множество всех непустых подмножеств множества В. Иначе говоря, Р*(В) = Р(В) \ {0}.

Определение 3. Отображение F: А —> Р*(В) множества А во множество Р*(В) называется многозначным отображением множества А во множество В.

Отметим, что отображения мы обозначаем строчными латинскими буквами (/, g, /i,... ), а многозначные отображения — прописными латинскими буквами (F, G, Н,... ).

Определение 4. Пусть F: А —> Р*(В) — многозначное отображение множества А во множество В и пусть а — произвольный элемент множества А.

6 Символ Р{В) происходит от первой буквы английского термина power set — булеан.

7 Символ Р*(В) для обозначения множества всех непустых подмножеств множества В используется, например, в книге [8]. Использование звездочки в символе Р*(В) = Р(В) \ \ {0} чем-то аналогично использованию звездочки в символах М* = Ш \ {0}, С* = С \ {0} (поскольку число элементов пустого множества равно нулю).

Каждый элемент b непустого множества F (а) С В называется значением многозначного отображения F на элементе а.

Определение 5. Пусть F: А —> Р*(В) и Fi : А —> Р*(В) — многозначные отображения множества А во множество В. Многозначное отображение Fi называется ветвью многозначного отображения F, если для любого a G А множество Fi (а) является подмножеством множества F(a), то есть Fi (а) С cF(a).

Определение 6. Пусть /: А —> В — отображение множества А во множество В и пусть F: А —> Р*(В) — многозначное отображение множества Л во множество i?. Отображение / называется однозначной ветвью многозначного отображения F, если для любого a G Л элемент /(а) принадлежит множеству F(a), то есть /(a) G F(a).

Определение 7. Множество Л называется множеством определения отображения /: А —> Б (многозначного отображения F: Л —> Р*(В)) и обозначается символом V(/) (V(F)).

Итак, по определению, V(f) = Л (V(F) = А).

Определение 8. Множество {b G В | (3a G Л) : Ь = /(а)} ({Ь G Б | (За G G Л) : b G F(a)}) называется множеством значений отображения / : Л —> Б (многозначного отображения F: Л —> Р*(В)) и обозначается символом W(/)

Из этого определения следует, что С В (W(F) С Б).

Определение 9. Множество В называется множеством прибытия отображения /: Л —> Б (многозначного отображения F: Л —> Р*(В)).

Определение 10. Отображение f\ \ А\ ^ В (многозначное отображение Fi : А\ —> Р*(В)) множества Л1 во множество i? называется сужением на множество F отображения /: Л —> В (многозначного отображения F: Л —> —► Р*(В)) множества Л во множество Б, если Л1 = Л П F и при всех a G ii выполняется равенство fi(a) = /(a) (Fi (а) = F (а)).

Сделаем несколько замечаний относительно приведенных определений и обозначений.

Замечание 1. Наряду с терминами “множество определения”, “множество значений”, “множество прибытия” часто используют термины “область определения”, “область значений”, “область прибытия”. Однако следует иметь в виду, что термин “область” имеет в математике (в частности, в ТФКП) еще одно очень важное значение, а именно он обозначает непустое открытое линейно связное множество. Во избежание недоразумений и для большей четкости терминологии мы предлагаем не использовать такие термины, как “область определения”, “область значений”, “область сходимости ряда”, “замкнутая область” и т.д., поскольку обозначаемые этими терминами множества, вообще говоря, не являются областями. Вместо перечисленных терминов, как мы считаем, следует использовать термины “множество определения”, “множество значений”, “множество сходимости ряда”, “множество, являющееся замыканием области” и т. д. Отметим, что именно так поступают некоторые авторы (см., например, [6]). Что касается областей (то есть непустых открытых линейно связных множеств), то их мы предлагаем обозначать буквами Z?, Z?i, D\ ... (по первой букве английского слова domain — область).

Замечание 2. Обычно множество определения отображения / (многозначного отображения F) обозначают символом D(f) (D(F)). Поскольку буквой D мы обозначаем области, а множество определения, вообще говоря, областью не является, то обозначение D(f) (D(F)) для множества определения, по нашему мнению, является не очень удачным8. Мы предлагаем обозначать множество определения символом V(f) (V(F)). Буква У, в отличие от буквы D, не имеет посторонней смысловой нагрузки и может быть мотивирована как первая буква английского слова value — значение. Множество V(f) (V(F)) — это множество значений, которые принимает независимая переменная а. Еще раз отметим, что если отображение / (многозначное отображение F) отображает множество А во множество В, то V(f) = A (V(F) = А).

Замечание 3. В математической литературе встречаются разные обозначения для множества значений отображения / (многозначного отображения F): R(f), E(f), W(f) (соответственно R(F), E(F), W(F)). Мы предлагаем обозначать множество значений символом W(f) (W(F)). Буква W может быть мотивирована как первая буква немецкого слова der Wert — значение. Множество W(f) (W(F)) — это множество значений, которые принимает зависимая переменная b = f(a) (b G F (a)).

Множество определения и множество значений — это родственные понятия. Поэтому представляется логичным использовать для их обозначения графически сходные и стоящие рядом в алфавите буквы V и W.

Отметим, что символ W(f) для обозначения множества значений отображения / используется, например, в справочнике [10].

Замечание 4. В определении 2 было сказано, что символ /(а), где а G G V(/), обозначает значение отображения / на элементе а. Однако часто символ f(a) используют для обозначения самого отображения /. В этом случае символ f(a) фактически выступает в роли синонима символа /. (По поводу явления синонимии в математической символике см. также § 6, замечание 1.) Обычно из контекста бывает понятно, обозначает ли символ f(a) отображение или значение этого отображения на данном конкретном элементе а.

Отметим, что в математике часто встречается составной символ /(а), а G А. Этот символ, во-первых, обозначает отображение / и, во-вторых, сообщает читателю, что отображение / имеет множество определения V(f) = А.

Совершенно аналогичные замечания можно сделать в случае многозначного отображения F относительно символа F (а) и составного символа F (а), a G А.

Замечание 5. Если множество значений W(f) (W(F)) отображения /: А —> В (многозначного отображения F: А —> Р*(В)) является числовым множеством, то есть если W(f) С С (W(F) С С), то наряду с термином “отображение” (“многозначное отображение”) часто используют термин “функция” (“многозначная функция”)9.

8 Отметим также, что символ D(f) иногда используется для обозначения производной (или для обозначения дифференциала) отображения / (см., например, [9]).

9 В некоторых книгах отображение / (многозначное отображение F) множества А во множество В называют функцией (многозначной функцией), если множество В является числовым множеством. Очевидно, что приводимое нами определение является более ши-

Если множество определения V(f) (V(F)) функции / (многозначной функции F) является подмножеством n-мерного комплексного координатного пространства Сп (n G N), то есть если V(f) С Cn (V(F) С Сп), то функция / (многозначная функция F) называется функцией (многозначной функцией) п числовых переменных10. Если V(f) С W1 (V(F) С М.п), то функция / (многозначная функция F), разумеется, тоже является функцией (многозначной функцией) п числовых переменных (поскольку Шп С Сп).

Пусть / — функция п числовых переменных (n G N, n ^ 2) и пусть X = {х\,Х2,..., хп) G V(f). Тогда число f(x) = f((xi,x2,..., хп)) для краткости обычно обозначают символом /(#i, ж2,..., хп). Пусть F — многозначная функция п числовых переменных (n G N, n ^ 2) и пусть х = (xi, ж2,..., хп) G G V^(F). Тогда числовое множество F(x) = F((xi,x2,... ,хп)) для краткости обычно обозначают символом F(x\, х2,..., хп).

Замечание 6. Часто встречается ситуация, когда функция / (многозначная функция F) п числовых переменных (n G N) задана с помощью формулы у = /(я?1, х2,..., хп) (У = F(x\, х2,..., хп)), причем множество определения этой функции (многозначной функции) явно не указано. В этом случае считают, что множество определения данной функции (многозначной функции) состоит из всех упорядоченных числовых наборов а = (ai, a2,..., ап) таких, что при подстановке в данной формуле вместо переменной х\ числа ai, вместо переменной х2 числа а2, ..., вместо переменной хп числа ап получается выражение /(ai, a2,..., ап) (F(ai, a2,..., an)), которое имеет смысл и результатом которого является число (числовое множество).

Понимаемое так множество определения функции (многозначной функции), заданной формулой, называется естественным множеством определения этой функции (многозначной функции). При этом следует различать два случая.

1. Числа ajç (к G N, к ^ п) могут принимать любые комплексные значения. В этом случае естественное множество определения функции / (многозначной функции F) мы будем называть естественным множеством определения над полем комплексных чисел и обозначать символом Vc(f) (Vc(F)).

2. Числа a& (к G N, к ^ п) могут принимать лишь действительные значения и число /(ai, a2,..., ап) является действительным (множество F(a\, a2,..., ап) состоит только из действительных чисел)11. В этом случае естественное множество определения функции / (многозначной функции F)

роким: мы не требуем, чтобы числовым множеством было множество В, а требуем лишь, чтобы числовым множеством было подмножество W(f) (W(F)) множества В.

10 В математическом анализе переменные обычно принимают лишь числовые значения. Поэтому в термине “функция (многозначная функция) п числовых переменных” (n G N) слово “числовых” обычно опускают.

11 Действительными числами (множествами, состоящими только из действительных чисел) должны быть также результаты всех промежуточных действий, присутствующих в выражении /(ai, cl2, ... ,an) (F(ai, a2,..., an)). Например, выражение y/x y/x определено и принимает действительные значения при всех ж G M (при всех ж G С символ у/х обозначает главное значение многозначного корня 2-й степени из числа ж; если х G M, х < 0, то у/х = iy/\x~\). Однако функция f(x) = y/x у/х имеет естественное множество определения над полем действительных чисел Vk(f) = [0, +ос), поскольку при х < 0 промежуточное выражение у/х, входящее в выражение у/х у/х, не является действительным числом.

мы будем называть естественным множеством определения над полем действительных чисел и обозначать символом Vr(/) (V^(F)).

Например, функция /(ж) = In ж имеет естественные множества определения Vc(f) = С \ {0} и Vm(/) = (0, +оо), а многозначная функция F(x) = = Arccosx имеет естественные множества определения Vc(F) = С и V^(F) = [-1,1].

Очевидно, что множество Vc(/) (Vc(F)) является подмножеством п-мерного комплексного координатного пространства Cn, а множество V^(/) (Vfli(F)) является подмножеством n-мерного действительного координатного пространства W1. Отметим также, что для любой заданной формулой функции / (многозначной функции F) выполняется включение Vr(/) С Vc(f) (VR(F) С Vc(F)).

В нашей статье символ V(f) (V(F)) часто является синонимом символа Vc(f) (Vc(F))- Например, предложение “Функция /(ж) = In ж имеет множество определения V(f) = С \ {0}” имеет тот же смысл, что и предложение “Заданная формулой у = In ж (или формулой /(ж) = In ж) функция /(ж) имеет естественное множество определения над полем комплексных чисел Vc(/) = = С \ {0}”.

Замечание 7. Множество определения отображения (многозначного отображения) может быть пустым множеством. Например, функция /(ж) = = arccos ж + In (ж2 — 4) имеет пустое естественное множество определения над полем действительных чисел, то есть V^(f) = 0.

Отображение (многозначное отображение), которое имеет пустое множество определения, называется пустым отображением (пустым многозначным отображением). Функция (многозначная функция), которая имеет пустое множество определения, называется пустой функцией (пустой многозначной функцией).

“Пустое отображение полезно тем же, чем пустое множество. Оно облегчает действия с отображениями, избавляя от некоторых забот, и помогает сократить многие формулировки” [11].

Отметим, что, в отличие от множества определения, множество прибытия отображения (многозначного отображения) не может быть пустым множеством. Действительно, если Л / 0 и ß = 0, то не существует ни одного отображения /: А —> В (многозначного отображения F: А —> Р*(В)) множества А во множество В.

Замечание 8. Из определения 3 следует, что понятие “отображение множества А во множество 2?” не является частным случаем понятия “многозначное отображение множества А во множество i?”. Это связано с тем, что отображение ставит в соответствие элементам множества А элементы множества В, тогда как многозначное отображение ставит в соответствие элементам множества А непустые подмножества (пусть даже одноэлементные) множества В.

По аналогичным причинам понятие “однозначная ветвь многозначного отображения множества А во множество В” не является частным случаем понятия “ветвь многозначного отображения множества А во множество В”.

Замечание 9. Пусть F: А —> Р*(В) и пусть a g А. Если рассматривать F как отображение множества Л во множество Р*(В), то значением этого отображения на элементе а будет непустое множество F (а) с В (см. определение 2). Если же рассматривать F как многозначное отображение множества А во множество В (см. определение 3), то значениями этого многозначного отображения на элементе а будут элементы множества F (а) (см. определение 4).

Такая терминология может показаться нелогичной, но она общепринята. Например, говорят: “Многозначный корень n-й степени из z (z g С, z ф 0) принимает п различных значений”, вместо того чтобы сказать: “Значением многозначного корня п-й степени из z (z g С, z ф 0) является множество из и элементов”. Даже само слово “многозначный” содержит в себе как бы намек на то, что многозначное отображение принимает на данном элементе а, вообще говоря, “много значений”.

Если же подходить сугубо формально, то, поскольку “отображение множества А во множество В” и “многозначное отображение множества А во множество В” — это разные понятия (см. замечание 8), у нас есть полное право по-разному определить и понятия “значение отображения” и “значение многозначного отображения”. Так что с формально-логической точки зрения никакого противоречия в наших определениях нет.

Замечание 10. При определении сужения на множество Е отображения /: А —> В (многозначного отображения F: А —> Р*(В)) множества А во множество В часто требуют, чтобы множество Е было подмножеством множества определения V(f) = A (V(F) = А) отображения / (многозначного отображения F). В некоторых случаях это требование может привести к дополнительным сложностям. Пусть, например, f(x) = arccos(x3 — х + 1) и V{f) — Можно ли рассмотреть сужение функции f(x) на отрезок [—1, 1]? При стандартном определении сужения отображения (многозначного отображения) на множество ответ на этот вопрос не очевиден12, поскольку заранее не ясно, выполняется ли включение [—1, 1] с V(f).

В ряде случаев хотелось бы иметь возможность говорить о сужении отображения / (многозначного отображения F) на множество Е, не заботясь о том, содержится или нет множество Е во множестве определения отображения / (многозначного отображения F). Именно поэтому в определении 10 мы не накладываем условие Е с V(f) (Е с V(F)).

Отметим, что множество определения А\ = Л п Е сужения отображения (многозначного отображения) на множество Е является подмножеством множества определения А исходного отображения (многозначного отображения). В частности, если Е с Л, то А\ = Е, а если Л с Е, то А\ = Л.

Сужение отображения / на множество Е обозначается символом f\E. Поскольку символ f(a) часто выступает в роли синонима символа / (см. выше

12 Мы специально приводим здесь не самый сложный пример, который можно придумать. В данном случае легко заметить, что, например, число ( —2) принадлежит отрезку [—1, 1] и не принадлежит множеству определения V(f) функции f(x). Поэтому [—1,1] (jL V(f) и при стандартном определении сужения отображения (многозначного отображения) на множество нельзя говорить о сужении функции f(x) на отрезок [—1, 1].

замечание 4), то для обозначения сужения отображения / на множество Е используют также символ f{a)\E. Аналогично, сужение многозначного отображения F на множество Е обозначают символами F\E и F{a)\E.

§ 4. ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СИМВОЛИКИ

Сформулируем основные принципы, которыми надо руководствоваться при построении математической символики.

Принцип 1 (принцип системности). Математические символы, используемые в каждом разделе математики, должны образовывать систему. Это связано с тем, что математические символы служат для обозначения математических понятий, а понятия, используемые в каждом разделе математики, образуют целостную совокупность взаимосвязанных элементов, то есть систему. Системный характер математической символики нашел свое отражение даже в самом термине “система обозначений”.

Принцип 2 (принцип однозначности). Каждому математическому символу должно однозначно соответствовать обозначаемое им понятие. Значение символа не должно зависеть от контекста (по крайней мере, в пределах одного раздела математики), а должно определяться исключительно его графической структурой. Соблюдение этого принципа существенно повышает доступность материала, способствует его более быстрому восприятию и более глубокому пониманию.

Принцип 3 (принцип преемственности). При расширении системы обозначений все ранее введенные символы должны сохранять свои значения и должны входить в новую систему обозначений в качестве подсистемы. Например, символ \fz (z G M, z ^ 0, n G N, n ^ 2) обозначает в школе неотрицательное действительное число, п-я степень которого равна z (арифметический корень п-й степени). Символ \fz [z G R, z < 0, n = 21 + 1, Z G N) обозначает в школе отрицательное действительное число, п-я степень которого равна z. При расширении системы обозначений эти символы должны сохранить свои значения.

Принцип 4 (принцип мотивированности). Графические элементы, из которых состоит символ, должны быть по возможности мотивированными. Например, должно быть понятно, почему в состав символа входят, скажем, фигурные скобки, а не круглые или квадратные, и т. п.

Принцип 5 (принцип экономности). Число новых вводимых символов должно быть минимальным, а каждый из этих символов должен иметь как можно более простую структуру, то есть должен состоять из наименьшего возможного числа как можно более простых графических элементов.

§ 5. СИСТЕМА ОБОЗНАЧЕНИЙ ДЛЯ МНОГОЗНАЧНЫХ ФУНКЦИЙ И ДЛЯ ИХ ЗНАЧЕНИЙ

Руководствуясь изложенными выше принципами, мы разработали систему обозначений для всех основных многозначных функций комплексной переменной и для значений этих многозначных функций. Предлагаемая система

обозначений удовлетворяет, в частности, принципу однозначности, и в ней устранена отмеченная в §2 полисемичность символов е2, \fz, az, za.

Перечислим основные символы нашей системы обозначений, сгруппировав их по тем многозначным функциям, к которым они относятся. Для полноты картины мы приводим не только новые, специально созданные нами символы, но и те символы, которые уже существуют и успешно используются в математике и которые вошли в разработанную нами систему обозначений.

Приводимые ниже многозначные функции можно разделить на два типа. К первому типу относятся многозначные функции Arg {ez}c = Exp z, Lnz,

Ко второму типу относятся многозначные функции

Символ F(z) обозначает многозначную функцию (как в случае многозначной функции первого типа, так и в случае многозначной функции второго типа).

Многозначные функции первого типа. Эти многозначные функции имеют одну серию значений. Символ fk(z) обозначает к-е значение многозначной функции F(z). Если к = 0, то символ fk{z) (то есть символ fo(z)) обозначает главное значение многозначной функции F(z).

Индекс к принадлежит множеству К, которое мы называем множеством индексов13. У некоторых многозначных функций множество индексов зависит от z и поэтому мы его обозначаем K(z). При всех z G V(F) справедливо равенство14 F {г) = {fk{z) \ к G К] (F{z) = {fk(z) \ к G K{z)}).

Если множество индексов К не зависит от г, то функция fk(z) имеет множество определения V(fk) = V(F) при к G К и множество определения V(fk) = 0 при к ^ К. Если множество индексов K(z) зависит от г, то функция fk(z) имеет множество определения V(fk) = {z G V(F) \ к G K(z)}.

Число 0 всегда принадлежит множеству индексов К (K(z)). Поэтому функция fo(z) имеет множество определения V(fo) = V(F). Поскольку V(fo) = V(F) и ПРИ любом z G V(F) справедливо включение fo(z) G F(z), то функция fo(z) является однозначной ветвью многозначной функции F(z) (см. §3, определение 6). Функция fo(z) называется главной однозначной ветвью многозначной функции F(z).

Отметим, что при к ф 0 функция fk(z) может иметь множество определения V(fk), отличное от множества определения V(F) многозначной функции F(z). В этом случае функция fk(z) не является однозначной ветвью многозначной функции F(z).

При любом z G V(F) и при любых к\, кч £ К (fei, &2 £ K(z)) таких, что ki ф /^2, выполняется неравенство fki{z) ф fk2(z). Это означает, что в

13 Возможно, индекс лучше было бы обозначать буквой г, а множество индексов буквой / (по первой букве английского слова index — индекс). Однако в нашей статье буква г используется для обозначения мнимой единицы. Поэтому для обозначения индекса мы используем букву к, а для обозначения множества индексов букву К.

14 Здесь и далее символ {д(а) \ a g А} часто будет использоваться для сокращенной записи множества {b g С | (3 a g А) : b = д(а)}. (Мы считаем, что g — функция, то есть W(g) с С.)

данной фиксированной точке z g V(F) различным значениям индекса к g К (к g K(z)) отвечают различные значения многозначной функции F(z). При решении некоторых задач может оказаться полезным отказаться от этого ограничения, разрешив индексу к меняться в более широких пределах, чем в пределах множества К (K(z)). См. по этому поводу §6, замечания 27, 28.

Многозначные функции второго типа. Эти многозначные функции имеют две серии значений. Символ fj^(z) обозначает к-е значение первой

(2)

серии. Символ (z) обозначает к-е значение второй серии. Если к = 0, j = 1, то символ fk\z) (то есть символ /^(z)) обозначает главное значение многозначной функции F(z).

Индекс к принадлежит множеству индексов (в случае первой серии) или множеству индексов K^2\z) (в случае второй серии). Первое множество индексов не зависит от z и равно Z. Второе множество индексов K^2\z) зависит от z и равно15

Число а равно 1 в случае многозначных функций

и равно г в случае многозначных функций

При всех z g Vi F) справедливо равенство

С учетом того, чему равны множества индексов и K^i^z), получаем, что функции fj^\z), k g z, имеют множество определения V(f^) = V(F), а

(2) (2)

функции (z), к g z, имеют множество определения V(fjc ) = V(F)\{±a}.

Отметим, что при любом к g Ъ функция fj^\z) является однозначной ветвью многозначной функции F(z) (поскольку V(fj^\z)) = V(F)), а функция J(z) не является однозначной ветвью многозначной функции F(z) (поскольку V(fj^\z)) = V(F)\{±a} ф V(F)). Функция f^\z) называется главной однозначной ветвью многозначной функции F(z).

При любом z g V(F) и при любых кик2€ (ki, к2 g kW{z)) таких, что к\фк2, выполняется неравенство fl]\z) ф ^ f Это означает, что в данной фиксированной точке z g V(F) в пределах первой серии значений и в пределах второй серии значений различным значениям индекса к отвечают различные значения многозначной функции F(z).

Кроме того, при любом z g V(F) и при любых к\ g K^l\ k% g K^2\z) выполняется неравенство fj^\z) ф f^\z)- Это означает, что в данной фиксированной точке z g V(F) первая и вторая серии значений не имеют общих элементов (не пересекаются). При решении некоторых задач может оказаться полезным отказаться от этого ограничения, разрешив индексу к меняться в более широких пределах, чем в пределах множества K^2\z). См. по этому поводу § 6, замечание 29.

15 Пусть у g С \ {0}. Тогда символ {±?/} обозначает множество {у, —у}, запись х = ±у означает, что х g {±2/}, а запись х ф ±у означает, что х £ {±2/}-

После этих вводных замечаний мы переходим к предлагаемой нами системе обозначений для многозначных функций комплексной переменной и для значений этих многозначных функций.

1. Многозначный аргумент.

Множество определения:

Множество индексов: К = z. 2.

Многозначная экспонента.

Множество определения: V(F) = С.

Множество индексов:

3. Многозначный логарифм.

Множество определения:

Множество индексов: К = z.

16 Символом [га.. п], где га, n G Z, мы обозначаем множество {ж G Z | m ^ х ^ п}. Это множество мы предлагаем называть “сегмент от га до п” (другое, более длинное название: “отрезок целых чисел от га до п”). Очевидно, что если га > n, то [га.. n] = 0, а если m = п, то [m .. n] = [m .. га] = {га}.

Отметим, что в математической литературе, а также в некоторых языках программирования и некоторых математических пакетах встречаются символы, достаточно близкие к символу [га .. п].

Например, в статьях по комбинаторике слов (см., например, [12]) символ w[m. .п] часто используется для обозначения подслова слова w, расположенного в позициях от га до n (здесь га, n G Z, l^ra^n^ |u>|, |u>| — длина слова w).

В языке программирования Pascal оператор описания типа a: array [m. .n] of real задает массив а действительных чисел с элементами a [m], a[m+l], а[п] (га, n G Z, m ^ ri).

В математическом пакете Maple команда sum(k~2 ,k=m. .n) позволяет вычислить сумму квадратов всех целых чисел от га до n (га, n G Z, га ^ п).

Использование в символе [га.. п] квадратных скобок связано с тем, что в общей алгебре (см., например, [13]) символ [а, Ь]р используется для обозначения множества {х G Р \ а ^ ^ X ^ Ь}. (Здесь Р — произвольное частично упорядоченное множество с отношением порядка ^ .) Таким образом, используемый нами символ [га.. п] можно рассматривать как другую форму записи символа [га, n]z.

Предлагаемый нами символ [га.. п], по нашему мнению, обладает целым рядом достоинств. Он компактен, универсален (может использоваться как при га < п, так и при га ^ п), нагляден. Запись вида к G [га.. п], по нашему мнению, легче воспринимается и точнее отражает суть дела, чем стандартная запись к = га, га + 1,..., п, в которой знак равенства фактически выступает в качестве знака принадлежности.

4. Многозначный корень n-й степени (n G N, n ^ 2).

Множество определения: V(F) = С.

Множество индексов:

Дополнительные символы:

\fz = (V^)o G M, z ^ 0) — неотрицательное действительное значение корня n-й степени из неотрицательного действительного числа (арифметический корень n-й степени);

действительное

значение корня нечетной степени из отрицательного действительного числа. 5. Показательная многозначная функция с основанием a (a G С).

Множество определения17:

Множество индексов:

Дополнительные символы:

целая степень ненулевого комплексного числа:

положительное действительное значение степени с положительным действительным основанием и действительным показателем;

дробь — несократима) — действительное значение степени с отрицательным действительным основанием и действительным показателем указанного вида;

- степень с нулевым основанием

и неотрицательным действительным показателем.

6. Степенная многозначная функция с показателем a (a G С).

17 Символом Г2 мы для краткости обозначаем множество

Множество определения:

Множество индексов:

Дополнительные символы:

— целая степень ненулевого комплексного числа;

— положительное действительное значение степени с положительным действительным основанием и действительным показателем;

дробь - несократима) — действительное значение степени с отрицательным действительным основанием и действительным показателем указанного вида;

степень с нулевым основанием

и неотрицательным действительным показателем.

7. Многозначный арккосинус18.

Множество определения:

18 При составлении перечней функций (например, перечня основных производных, перечня основных неопределенных интегралов, перечня основных разложений в ряд Маклорена и т.д.) часто возникает вопрос: какую функцию приводить первой — косинус или синус. Авторы разных книг поступают по-разному. Мы считаем, что сначала надо приводить косинус, а затем синус. Для того чтобы обосновать эту рекомендацию, достаточно вспомнить определения косинуса и синуса. Косинус — это абсцисса (то есть первая координата) точки на числовой окружности. Синус — это ордината (то есть вторая координата) точки на числовой окружности. Что касается тангенса и котангенса, то сначала, по нашему мнению, надо приводить тангенс, поскольку котангенс вообще не определен в точке х = 0 и поэтому не разлагается в ряд Маклорена. Секанс и косеканс используются на практике реже, чем другие тригонометрические функции. Поэтому мы считаем правильным приводить их после других тригонометрических функций. При этом сначала следует приводить секанс (поскольку sec ж = (cos ж)-1), а затем косеканс (поскольку cosecx = (sin ж)-1). Итак, мы считаем правильной и логичной следующую последовательность функций: косинус —> —> синус —> тангенс —> котангенс —> секанс —> косеканс. Для гиперболических функций, а также для обратных тригонометрических и обратных гиперболических функций (или многозначных функций) следует для единообразия использовать аналогичную последовательность. В нашем перечне многозначных функций комплексной переменной и их значений последовательность обратных тригонометрических и обратных гиперболических многозначных функций соответствует описанной рекомендации.

Множество индексов первой серии значений: Множество индексов второй серии значений:, 8. Многозначный арксинус.

Множество определения:

Множество индексов первой серии значений: Множество индексов второй серии значений:. 9. Многозначный арктангенс.

Множество определения:

Множество индексов: К = z.

10. Многозначный арккотангенс.

Множество определения:

Множество индексов: К = z.

11. Многозначный арксеканс.

Множество определения:

Множество индексов первой серии значений: Множество индексов второй серии значений:

12. Многозначный арккосеканс.

Множество определения:

Множество индексов первой серии значений: Множество индексов второй серии значений:,

13. Многозначный ареакосинус гиперболический19.

Множество определения:

Множество индексов первой серии значений: Множество индексов второй серии значений: .

14. Многозначный ареасинус гиперболический.

Множество определения:

Множество индексов первой серии значений: Множество индексов второй серии значений:

15. Многозначный ареатангенс гиперболический.

Множество определения:

Множество индексов:

19 В названиях обратных гиперболических функций (или многозначных функций) иногда опускают слово “гиперболический”, то есть говорят, например, не “ареакосинус гиперболический” (или “многозначный ареакосинус гиперболический”), а просто “ареакосинус” (или “многозначный ареакосинус”). По нашему мнению, опускать слово “гиперболический” не следует. Дело в том, что первые части “арк” и “ареа” в названиях обратных тригонометрических и обратных гиперболических функций (или многозначных функций), хотя они и произошли от разных слов (“арк” от английского слова arc — дуга, а “ареа” от английского слова area — площадь), имеют в данном случае одно и то же значение, а именно они означают “обратный”. Поэтому арккосинус — это функция, обратная к косинусу, а ареакосинус гиперболический — это функция, обратная к косинусу гиперболическому. В английском языке словосочетания “arc cosine” и “inverse cosine”, а также словосочетания “area hyperbolic cosine” и “inverse hyperbolic cosine” являются синонимами (английское слово “inverse” означает “обратный”). Поэтому в нашей статье в названиях обратных гиперболических функций (или многозначных функций) мы никогда не опускаем слово “гиперболический”. Так же поступают авторы ряда книг (см., например, [9, 14]).

Поскольку названия обратных тригонометрических функций (многозначных функций) начинаются с первой части “арк”, то их называют также аркфункциями (многозначными аркфункциями). Поскольку названия обратных гиперболических функций (многозначных функций) начинаются с первой части “ареа”, то их называют также ареафункциями (многозначными ареафункциями).

Отметим, что все гиперболические функции, все обратные гиперболические функции и все обратные гиперболические многозначные функции обозначаются с помощью последовательности букв латинского алфавита, заканчивающейся буквой “h” (ch, arch, Arch и т. д.). Это связано с тем, что буква “h” является первой буквой английского слова hyperbolic — гиперболический.

16. Многозначный ареакотангенс гиперболический.

Множество определения:

Множество индексов: К = z.

17. Многозначный ареасеканс гиперболический.

Множество определения:

Множество индексов первой серии значений: Множество индексов второй серии значений:

18. Многозначный ареакосеканс гиперболический.

Множество определения:

Множество индексов первой серии значений: Множество индексов второй серии значений:

§ 6. ЗАМЕЧАНИЯ ПО ПОВОДУ ПРЕДЛОЖЕННОЙ СИСТЕМЫ ОБОЗНАЧЕНИЙ

Сделаем ряд замечаний относительно нашей системы обозначений и используемых нами терминов.

Замечание 1. Знаком = соединены символы, которые имеют одинаковые значения. Такие символы называются синонимами. Существование синонимов не противоречит принципу однозначности обозначений, поскольку он требует, чтобы каждому символу однозначно соответствовало обозначаемое им понятие, но не требует, чтобы для обозначения каждого понятия существовал лишь один символ. Наличие нескольких символов для обозначения одного и того же понятия позволяет использовать в данной ситуации тот из этих символов, который по каким-либо причинам является более удобным.

Например, символ ez является более компактным, чем символ (е2)0. Однако, если показатель степени z задается каким-либо громоздким выражением, то более предпочтительным может оказаться символ ехрг. (Подробнее по поводу многозначной экспоненты и её главного значения см. ниже, в частности, замечания 6, 15, 20.)

Замечание 2. Рассмотрим многозначную функцию F(x, у) = {ху}с двух комплексных переменных хну. Эта многозначная функция имеет множество определения V(F) = {(ж, у) G С2 | (х / 0) V (ж = 0, у G fî)}. Многозначную функцию у) естественно называть термином "показательно-степенная многозначная функция".

Если в многозначной функции F(x, у) фиксировать20 первую переменную X на значении a (a G С), то мы получим показательную многозначную

20 Пусть д(х, у) — функция двух числовых переменных и пусть a G С. Рассмотрим функцию h(y) такую, что V(h) = {у G С | (а, у) G У (g)} и при всех у G V(/i) справедливо равенство h(y) = д(а, у). Переход от функции д(х, у) к функции h(y) называется фиксированием в функции д(х, у) первой переменной х на значении а. Аналогично определяется действие фиксирования в функции д(х, у) второй переменной у на значении а и вообще действие фиксирования в функции f(xi,X2, • • •, хп) (многозначной функции F(xi,X2, • • •, хп)) п переменных (n G N, n ^ 2) любого упорядоченного набора переменных (xi1,Xi2,... ,Xik) (1 ^ ii < %2 < ... < ik ^ Щ к G N, к < п) на любом упорядоченном наборе числовых значений (ai, ü2, ..., а,к).

Иногда оказывается полезным действие фиксирования в функции f(xi,X2, ■ ■ ■,хп) (многозначной функции F(x\, Х2, ■ • •, хп)) п переменных (ri G N) упорядоченного набора (а?1, Х2, • • •, хп), состоящего сразу из всех п переменных, на упорядоченном наборе числовых значений (ai, a2,..., ап). Если упорядоченный набор (ai, аг,..., an) принадлежит множеству определения V(/) (V(F)) функции / (многозначной функции F), то результатом этого действия, по определению, является число /(ai, ü2, ..., an) (множество F (ai, ü2, ..., an)). Если упорядоченный набор (ai, аг,..., an) не принадлежит множеству определения V(f) (V(F)) функции / (многозначной функции F), то результатом этого действия, по определению, является пустое множество 0.

Действие фиксирования в функции f(xi,X2,...,xn) (многозначной функции F(x\, Х2, • • • ,хп)) п переменных (n G N) упорядоченного набора переменных (х^ , Хг2,..., Хгк) (1 ^ ii < %2 < ... < г к ^ Щ к £ N, к ^ п) на упорядоченном наборе числовых значений (ai, ü2, ..., а к) обозначается символом

В частности, символ д(х, у)\х_а обозначает функцию h(y), которая получается в результате фиксирования в функции д(х, у) переменной X на значении а, а символ д(х, у) \х=а обозначает число д(а, Ь), если (a, b) G V(g), и пустое множество 0, если (а, Ь) £ V(g).

Отметим, что фиксирование в функции д{х, у) первой переменной х на значении a и сужение (см. §3, определение 10) функции д(х, у) на прямую Е = {а} х С = {(х, у) G G С2 I X = а} — это разные действия. В результате первого действия получается функция h(y) одной числовой переменной, то есть функция, определенная на подмножестве V(h) = = {у G С I (a, у) G V(g)} множества комплексных чисел С. В результате второго действия получается функция д\(х, у) двух числовых переменных, то есть функция, определенная на подмножестве V(gi) = У (g) п£ пространства с2. Аналогичное замечание справедливо и в общем случае для функции (многозначной функции) п переменных.

Напомним (см. §3, замечание 10), что действие сужения функции f(xi,X2, ■ ■ ■ ,хп) (многозначной функции F(x\,X2, • • • ,хп)) на множество Е обозначается символом В частности, символ д(х, у)\{аухС обозначает сужение функции д(х, у) на прямую Е = {а} х X С = {(х, у) G С2 I X = а}, а символ д(х, у)\и м, обозначает функцию, множество определения которой состоит из одной точки (а, Ь), если (a, Ъ) G V(g), и пустую функцию, если (а, Ь) £ У(д)-

Для полноты картины отметим, что наряду с фиксированием в функции переменной (переменных) и наряду с сужением функции на множество существует также такое действие, как замена переменных. Пусть дана функция f(xi,X2, ■ ■ ■ ,хп) (многозначная функция F(xi, Х2, • • •, хп)) п переменных (n G N) и пусть даны п функций ipk(yi, У2, • • •, Ут), к G [l..n], m переменных (m G N). Переход от функции f(xi,X2,...,xn) (многозначной функции F(xi,x2,.. .,Хп)) к функции f(ipi(yi,y2, • • • ,2/m), «^2(2/1,2/2, • • - ,2/m), - - - ,

функцию с основанием а. Если в многозначной функции F(x, у) фиксировать вторую переменную у на значении a (a G С), то мы получим степенную многозначную функцию с показателем а.

При этом множество определения показательной многозначной функции с основанием а совпадает с множеством {у G С | (а, у) G V(F)}, a множество определения степенной многозначной функции с показателем а совпадает с множеством {ж G С | (ж, a) G V(F)}.

Если числа х и у фиксированы, то множество {ху}^ мы называем “множество всех значений степени с основанием х и показателем у”.

При любых (ж, у) G V(F) справедливо равенство {ху}с = {(ху)к | к G G if (ж, у)}, где if (ж, у) — множество индексов.

Функцию //с(ж, у) = (ху)к мы называем “fc-e значение показательно-степенной многозначной функции” (при к = 0 слова ик-е значение“ можно заменить на слова ”главное значение"). Функция у) имеет множество определения

Если числа ж и у фиксированы, то число (ху)к мы называем ик-е значение степени с основанием ж и показателем у“ (при к = 0 слова ”fc-e значение“ можно заменить на слова ”главное значение").

Имеют место равенства:

Множество индексов if (ж, у) имеет вид:

Замечание 3. Многозначную функцию F(z) = {az}c мы называем “показательная многозначная функция с основанием а”. Функцию fk(z) = (az)k мы называем ик-е значение показательной многозначной функции с основанием а“ (при к = 0 слова ”fc-e значение“ можно заменить на слова ”главное значение").

Если число z фиксировано, то множество {az}c мы называем “множество всех значений степени с основанием а и показателем г”. Число (az)k мы на-

. ..,<Pn(yi,2/2,... ,Ут)) (многозначной функции F((fi(yi,y2,... ,2/m), «£2(2/1,2/2, • •. ,2/m), • • •, ^(2/1,2/2, • • •, 2/m))) называется заменой переменных. Говорят также о переходе от “старых” переменных xi, х2,..., хп к “новым” переменным 1/1,2/25 • • • ? 2/т- Действие замены в функции f(x\,x2, ■ ■ ■ ,хп) (многозначной функции F(x\,x2, ■ ■ • ,хп)) переменных хг,х2,•.. ,хп на функции (fi(yi,y2, ■ ■ - ,2/m), (£2(2/1,2/2, • • - ,2/m), • • •, <£n(2/i,2/2, обозначается символом

Пусть, например, А(ж, ?/) — рациональная функция относительно двух переменных хну. Если заменить в функции i?(x, у) переменную ж на cost, а переменную у на sint, то мы получим функцию f(t) =

Функцию f(t) называют рациональной функцией относительно функций cost и sin t.

зываем “fc-e значение степени с основанием а и показателем z” (при к = О слова “fc-e значение” можно заменить на слова “главное значение”).

Замечание 4. Многозначную функцию F(z) = {za}c мы называем “степенная многозначная функция с показателем а”. Функцию fk{z) = {za)k мы называем ик-е значение степенной многозначной функции с показателем а“ (при к = 0 слова ик-е значение” можно заменить на слова “главное значение”).

Если число z фиксировано, то множество {za}^ мы называем “множество всех значений степени с основанием z и показателем а”. Число {za)k мы называем “fc-e значение степени с основанием z и показателем а” (при к = О слова “fc-e значение” можно заменить на слова “главное значение”).

Замечание 5. Вместо распространенных терминов “общая показательная функция” и “общая степенная функция” мы используем термины “показательная многозначная функция” и “степенная многозначная функция”. Это связано с тем, что указанные математические объекты не являются функциями, а являются многозначными функциями.

Замечание 6. Многозначная экспонента F(z) = {ez}c — это многозначная функция, которая является частным случаем показательной многозначной функции с основанием а, когда а = е. Чаще всего в ТФКП встречается главная однозначная ветвь f(z) = (е2)0 этой многозначной функции.

Замечание 7. Рассмотрим степенную многозначную функцию с показателем a (a G С), то есть многозначную функцию F(z) = {za}c. В этом замечании будем считать, что а ф 0 (случай а = 0 рассмотрен ниже в замечании 8).

Во многих курсах ТФКП пишут, что многозначная функция F(z) имеет множество определения V(F) = С \ {0}. По нашему мнению, если Re а > 0, то исключение из множества определения многозначной функции F(z) числа z = 0 является неправильным. Если Re а > 0, то, по нашему мнению, следует считать, что V(F) = С, причем F(0) = {0}. Приведем аргументы в пользу нашей точки зрения.

1. Если Re а > 0, то, как легко доказать, при любом фиксированном к существует предел lim {za)k = 0. Это означает, что каждая из однозначных ветвей21 fk{z) = (za)k многозначной функции F(z) = {^а}с становится непрерывной в точке z = 0, если её доопределить в этой точке равенством

Л(о) = о.

2. Из-за того что множества определения многозначных функций F\(z) = {4fz}c и F2(z) = {zn}£ (n G N, n ^ 2) различны (У(Fi) = С, V(F2) = = С \ {0}), возникает ненужное различие между этими функциями. Если доопределить многозначную функцию F2(z) в точке z = 0 равенством ^(0) = = {0}, то многозначный корень п-й степени (n G N, n ^ 2) станет частным случаем степенной многозначной функции с показателем а, когда а = — .

21 Мы считаем, что к G [0.. q — 11, если а = - , где р G Z, q G N и дробь - несократима; к G Z, если a £ Q. Отметим, что функция fk(z) определена при всех z G С \ {0}, а значит, действительно является однозначной ветвью многозначной функции F(z) = {za}c, z G С \ {0}.

3. Степень с основанием 0 и показателем а определяется в школе (и в вузе при изучении действительного анализа) при всех a G M, а > О (а иногда также при а = 0). Непонятно, почему в ТФКП степень с основанием 0 и показателем а должна быть определена только при a G N. Здесь нарушается не столько принцип преемственности математической символики, сколько принцип преемственности самих математических понятий (в данном случае понятия “степень”).

Исходя из сказанного выше, мы будем считать, что степенная многозначная функция F(z) = {za}c (a G С, а ф 0) имеет множество определения V(F) = С, если Re а > 0 (при этом F(0) = {0}), и множество определения V(F) = С \ {0}, если Re а < 0.

Замечание 8. Рассмотрим степенную функцию с показателем а = 0, то есть функцию f(z) = za = z°. При всех z G С, z ф 0, справедливо равенство f(z) = z° = l. По нашему мнению, целесообразно считать, что функция f(z) определена не только при z ф 0, но и при z = 0, причем /(0) = 1. Приведем аргументы в пользу нашей точки зрения.

1. Функция f(z) = z° становится непрерывной в точке z = 0, если её доопределить в этой точке равенством /(0) = 1.

2. В действительном (комплексном) анализе доказывается, что функция д(х) = хп (n G N) дифференцируема при всех ж G M (при всех х G С). При этом справедлива следующая формула: д'(х) = {хп)' = пхп~1. Для того чтобы эта формула была справедлива в точке х = 0 при п = 1, следует принять соглашение о том, что, по определению, 0° = 1.

3. Если число 0° определено и равно 1, то определение комплексного многочлена степени N (N G N) можно записать в виде

где

с/е G С при всех к G [0.. TV], сдг ф 0. Действительно, определяемая этой формулой функция Р{х) имеет естественное множество определения над полем комплексных чисел Vc(P) = С. Если же символ 0° не определен, то функция Р(х) имеет естественное множество определения над полем комплексных чисел Vc(P) = С \ {0}, а значит, не является многочленом. Для того чтобы функция Р(х) была многочленом, в этом случае придется использовать более длинную запись

Совершенно аналогичное замечание справедливо, разумеется, и по отношению к многочлену с действительными коэффициентами над полем действительных чисел.

Исходя из сказанного выше, мы будем считать, что степенная функция f(z) = z° имеет множество определения V(F) = С, причем /(0) = 0° = 1. Отметим, что именно так поступают некоторые авторы (см., например, [9]).

Соответственно, степенная многозначная функция F(z) = тоже имеет множество определения V(F) = С, причем при всех z G С справедливо равенство F{z) = {1}.

Резюмируем содержание этого и предыдущего замечаний.

Если выполняется одно из условий Re а > 0, а = 0 (иначе говоря, если a G Я), то мы считаем, что степенная многозначная функция F(z) = {zQ}c имеет множество определения V(F) = С. При этом, если Re а > 0, то F(0) = = {0}, a если а = 0, то F(0) = {1}.

Если ни одно из условий Re а > 0, а = 0 не выполняется (иначе говоря, если а fî), то степенная многозначная функция F(z) = {za}^ имеет множество определения V(F) = С \ {0}.

Замечание 9. Если а = m G Z, то степенная многозначная функция F(z) = {za}c = {zm}c в каждой точке z G V(F) (V(F) = С, если m ^ 0; У (F) = С \ {0}, если m < 0) принимает ровно одно значение22, а именно главное значение (zm)Q.

Легко доказать, что при любом m G Z и при любом z G V(F) число (zm)0 совпадает с тем значением степени с основанием z и показателем га, которое определяется в действительном и комплексном анализе как

(Если га < 0 и z = 0, то степень zm не определена.)

В связи с этим символы zm и (zm)0 (га G Z, z G V'(F)) в нашей системе обозначений являются синонимами.

Замечание 10. Если х G M, х > 0, у G M, то, как легко доказать, из всех значений (xy)k степени с основанием23 х и показателем у только одно значение, а именно главное значение (ху)0, будет действительным и положительным. Это значение совпадает с тем значением степени с основанием х и показателем у, которое используется в школе и в вузе при изучении действительного анализа и которое при у fi Q часто определяется как предел

где rn, n g N, — последовательность рациональных чисел, сходящаяся к числу у. В связи с этим символы ху и (ху)0 (ж g M, X > 0, у g M) в нашей системе обозначений являются синонимами.

Совершенно аналогичное замечание можно сделать относительно символов л/z и (V^)o (-2 £ К, z > 0, n g N, n ^ 2), которые в нашей системе обозначений тоже являются синонимами.

Замечание 11. Символы 0^ и (0^)о (у g M, у ^ 0) являются синонимами. (Эти символы обозначают число 0, если у > 0, и число 1, если у = 0.)

Символы V5 и ( V5)q (n g N, n ^ 2) тоже являются синонимами. (Эти символы обозначают число 0.)

22 Если многозначная функция G на каждом элементе a G У (G) принимает ровно одно значение, то многозначная функция G имеет ровно одну однозначную ветвь. В частности, степенная многозначная функция F(z) = {zrn}c, m G Z, имеет ровно одну однозначную ветвь. Этой однозначной ветвью является главная однозначная ветвь f(z) = (zm)o.

23 В замечаниях 10-12, 14 и 27 мы говорим о степени с основанием х и показателем у. Эти замечания в равной степени относятся к показательно-степенной многозначной функции (см. выше замечание 2), к показательной многозначной функции с основанием a (a G С) и к степенной многозначной функции с показателем a (a G С).

Замечание 12. Степень с основанием ж (ж G Ж) и показателем у (у G M, у ^ Z) определяется в школе для ж ^ 0, если у > О, и для ж > 0, если у < 0.

Поэтому символ вида (—8)3 в школе не имеет смысла. Однако во многих вузовских курсах математики степень ху определяется также для х < 0 в том случае, если число у имеет вид у = - , где р G Z, g = 21 + 1, / G N, и дробь - несократима. A именно: xy = xQ = Уж^.

Такое расширение понятия степени вполне обоснованно. Пусть, например, нам надо найти производную функции /(ж) = л/ж4. Записав функцию /(ж) в виде /(ж) = жЗ (отметим, что такая запись справедлива при всех ж G M), мы имеем возможность воспользоваться для нахождения производной функции /(ж) общей формулой24 (жа)' = аха~1. Имеем: /'(ж) = (жз) = - ж3 = - 3/х (ж GM).

Итак, мы хотим, чтобы символ (—8)3 обозначал число у(—8)2 = 4. Это значение символ (—8)3 должен иметь не только в действительном, но и в комплексном анализе (принцип преемственности обозначений). В то же время главное значение степени с основанием (—8) и показателем — равно еЗ 1п (~8) = еЗ п +г з = 4ег з = — 2 + 2гуЗ 7^ 4. Следовательно, для обозначения главного значения степени с основанием ж и показателем у мы, вообще говоря, не можем использовать символ ху и должны использовать более сложный символ (ху)0. В противном случае был бы нарушен принцип однозначности обозначений.

Таким образом, символы ху и (ху)0 в нашей системе обозначений, вообще говоря, не являются синонимами.

Замечание 13. Символ У—8 обозначает в школе (и в вузе при изучении действительного анализа) число (—2). Это значение символ У—8 должен сохранить при расширении системы обозначений (принцип преемственности обозначений). В то же время главное значение многозначного корня 3-й степени из числа (—8) равно у \— 8| е з = 2е з = 1 + гуЗ 7^ —2. Следовательно, для обозначения главного значения многозначного корня п-й степени из числа z мы, вообще говоря, не можем использовать символ yfz и должны использовать более сложный символ (>/^)о- ^ противном случае был бы нарушен принцип однозначности обозначений.

24 В курсах действительного анализа доказывается, что формула (ха)' = аха х, а ф 0, справедлива на открытом промежутке (а, 6) ( — оо ^ а < b ^ +оо) тогда и только тогда, когда на этом промежутке определена функция ха~г. В частности, если а = — , где р G Z, g = 2/ + 1, l G N, и дробь - несократима, то формула (ха)' = аха~г справедлива при всех X G ( — 00, 0) U (0, +оо). Если, кроме того, а ^ 1, то формула (ха)' = аха~г справедлива также в точке х = 0. (Если а = 1, то это обеспечивается тем, что мы считаем, что 0° = 1.) Если 0 < а < 1, то функция ха недифференцируема в точке х = 0. Если а < 0, то функция ха не определена в точке х = 0. Наконец, если а = 0, то функция ха при всех ж G M тождественно равна 1, поэтому (ха)' = (ж0) = 1' = 0 при всех х G Ш.

Таким образом, символы \fz и (\/^)о в нашеи системе обозначений, вообще говоря, не являются синонимами.

Замечание 14. Если ж G М, ж < О, у = - , где р G Z, q = 21 + 1, / G N, и дробь - несократима, то, как легко доказать, из всех значений (ху)к степени с основанием х и показателем у только одно значение, а именно 1-е значение (xy)i, будет действительным. Это значение совпадает с тем значением степени с основанием х и показателем у, которое было определено в замечании 12 как ху = xQ = \[хР. В связи с этим символы ху и (xy)l (х G M, х < О, у = - , где р G Z, g = 2/ +1, Z G N, и дробь - несократима) в нашей системе обозначений являются синонимами.

Совершенно аналогичное замечание можно сделать относительно символов y/z и ( y/z)i (z G M, z < 0, n = 21 + 1, / G N), которые в нашей системе обозначений тоже являются синонимами.

Замечание 15. Если z G M, то, как следует из замечания 10, символы ez и (ez)0 являются синонимами и обозначают одно и то же число. Ввиду важности той роли, которую в ТФКП играет главное значение (ez)0 многозначной экспоненты {е2}с, сокращенное обозначение ez для числа (ez)0 используют не только при z G M, но и при всех z G С.

Замечание 16. Если z G M, z > 0, то, как легко доказать, из всех значений (lnz)k многозначного логарифма числа z только одно значение, а именно главное значение (lnz)0, будет действительным. Это значение совпадает с тем значением логарифма числа z, которое используется в школе и в вузе при изучении действительного анализа и которое часто определяется как решение уравнения ew = z относительно w при фиксированном z.

В связи с этим символы In z и (lnz)0 (z G M, z > 0) в нашей системе обозначений являются синонимами.

Ввиду важности той роли, которую в ТФКП играет главное значение (lnz)0 многозначного логарифма Lnz, сокращенное обозначение In z для числа (lnz)0 используют не только при z G M, z > 0, но и при всех z G С.

Замечание 17. По причинам, аналогичным тем, которые были указаны в замечаниях 15 и 16, а также просто для упрощения символики в ТФКП используют сокращенные обозначения для главных значений и других многозначных функций.

Например, главное значение (argz)0 многозначного аргумента F(z) = = Arg z часто обозначают просто arg z (z G С, z ф 0), главное значение (arccosz)^ многозначного арккосинуса F(z) = Arccosz часто обозначают просто arccosz, причем это сокращенное обозначение используют не только при z G [1, 1], когда символ (arccosz)^ обозначает то же самое действительное число из промежутка [0, 7г], что и известный из действительного анализа символ arccosz, но и при всех z G С, и т. д.

Замечание 18. Наряду с символом ez (z G С) иногда используют равносильный ему символ ехрг, который при записи некоторых формул может оказаться более удобным. Иначе говоря, символы ez и ехрг являются синони-

мами. Аналогичное замечание относится к символам (ez)k и (expz)fc, а также к символам {ez}^ и Expz, которые тоже являются синонимами.

Замечание 19. Функции (а если число z фиксировано, то числа) arg z, ez = expz, lnz, arccosz и т.д., строго говоря, следовало бы называть “главное значение многозначного аргумента”, “главное значение многозначной экспоненты”, “главное значение многозначного логарифма”, “главное значение многозначного арккосинуса” и т.д. Однако такие названия являются слишком длинными. Поэтому для этих функций (или чисел) используются более краткие названия: аргумент, экспонента, логарифм, арккосинус и т. д.

Это оправдано еще и потому, что сужения функций ez = expz, mz, arccos z и т. д. на соответствующие множества действительных чисел совпадают с хорошо известными из школы (и из действительного анализа) функциями, которые в школе (и в действительном анализе) имеют именно эти краткие названия (экспонента, логарифм, арккосинус и т.д.).

Например, сужение функции lnz, z G С\{0}, на множество (0, +оо) представляет собой хорошо известную из школы функцию m ж, ж G (0, +оо). Поскольку функция In ж, ж G (0, +оо), называется в школе “логарифм”, то и функцию ln z, z G С \ {0}, естественно называть в ТФКП тоже “логарифм” (принцип преемственности терминологии).

Отметим, что функцию (а если число z фиксировано, то число) (\/^)о следует называть “главное значение многозначного корня п-й степени”. Использовать более краткое название “корень п-й степени” в данном случае нельзя, так как это название используется для символа \fz, который, вообще говоря, обозначает число, отличное от числа (\/^)о (см- выше замечание 13).

Иначе говоря, сужение функции (>/^)о> z G С, на множество действительных чисел M отличается от функции \fz, z G M (во всяком случае, если n = 21 + 1, / G N). Поэтому функцию ( V^)o приходится называть длинным термином “главное значение многозначного корня п-й степени”.

Аналогичное замечание относится к функциям (az)0 и (za)0, для которых тоже приходится использовать длинные названия “главное значение показательной функции с основанием а” и “главное значение степенной функции с показателем а” (см. выше замечания 3 и 4).

Замечание 20. Функцию (а если число ж фиксировано, то число) ех = = ехрж (ж G M) в школе и в вузе при изучении действительного анализа называют не только “экспонента ж”, но и “е в степени ж”. Последнее название является очень удобным и поэтому в ТФКП функцию (или число) ez = ехр z (z G С) называют не только “экспонента г”, но и “е в степени г”.

Замечание 21. Многозначные функции (а если число z фиксировано, то множества) Arg {ez}c = Ехр г, Lnz, Arccos z и т.д. следует называть “многозначный аргумент”, “многозначная экспонента”, “многозначный логарифм”, “многозначный арккосинус” и т. д.

На практике в указанных словосочетаниях слово “многозначный” иногда опускают. По нашему мнению, опускать слово “многозначный” не следует, так как тогда исчезает различие между многозначной функцией и её главной однозначной ветвью. Например, многозначная функция Arg z называется “многозначный аргумент”, а её главная однозначная ветвь arg z называется

просто “аргумент” (см. выше замечание 19). В нашей статье мы в указанных словосочетаниях никогда не опускаем слово “многозначный”.

Многозначную функцию (а если число z фиксировано, то множество) { le слеДУет называть “многозначный корень п-й степени”. Опускать слово “многозначный” не следует, так как термин “корень п-й степени” используется для обозначения функции (или числа) \fz.

Аналогичное замечание относится к многозначным функциям {az}^ и {za}c (о терминах, предлагаемых нами для этих многозначных функций, см. выше замечания 3 и 4).

Замечание 22. Символы Arg Expz, Lnz, Arccosz и т.д. часто читают “аргумент с большой буквы”, “экспонента с большой буквы”, “логарифм с большой буквы”, “арккосинус с большой буквы” и т. д. Мы предлагаем читать эти символы “многозначный аргумент”, “многозначная экспонента”, “многозначный логарифм”, “многозначный арккосинус” и т. д.

Например, формулу25

мы предлагаем читать так26: “многозначный логарифм z равен логарифм модуля z плюс г умножить на многозначный аргумент г”.

Замечание 23. Если число z фиксировано, то множество Arg z можно называть не только термином “многозначный аргумент”, но и более подробным термином “множество всех значений многозначного аргумента”. Аналогичное замечание относится и к другим многозначным функциям.

На практике в словосочетании вида “множество всех значений многозначного аргумента” слово “многозначный” иногда опускают. В данном случае такое опускание не может привести к ошибке, так как наличие предшествующих слов “множество всех значений” однозначно указывает на то, что речь идет именно о значениях многозначной функции. Тем не менее в нашей статье мы из методических соображений в словосочетаниях указанного вида никогда не опускаем слово “многозначный”.

Замечание 24. Функции (а если число z фиксировано, то числа) (argz)fc, {ez}k = (ехрг)д,, (lnz)kl (y/z)k и т.д., строго говоря, следует называть “fc-e значение многозначного аргумента”, “fc-e значение многозначной экспоненты”, “fc-e значение многозначного логарифма”, “fc-e значение многозначного корня п-й степени” и т.д. (при к = 0 слова “fc-e значение” можно заменить на слова “главное значение”).

25 Пусть X С С, Л G С. Произведением множества X на число Л (или произведением числа Л на множество X) называется множество XX = XX = {Хх | х G X}. Суммой множества X и числа Л (или суммой числа Л и множества X) называется множество X + х = х + х = {х + х\ хех}.

26 При чтении математических формул допускаются определенные отклонения от норм русского языка. В частности, по правилам русского языка после слова “равен” (“равна”, “равно”, “равны”) должен идти дательный падеж (“равен логарифму”). Однако при чтении математических формул допускается использование после этих слов именительного падежа, поскольку падежное согласование в косвенных падежах существенно затрудняет восприятие формулы слушателем.

На практике в указанных словосочетаниях слово “многозначный” иногда опускают. В данном случае такое опускание не может привести к ошибке, так как наличие предшествующих слов “fc-e значение” или “главное значение” однозначно указывает на то, что речь идет именно о значениях многозначной функции. Тем не менее в нашей статье мы из методических соображений в указанных словосочетаниях никогда не опускаем слово “многозначный”.

Замечание 25. Функцию (а если число z фиксировано, то число) (arccosz)j^ следует называть ик-е значение первой серии значений многозначного арккосинуса“ (при к = 0 слова ик-е значение первой серии значений” можно заменить на слова “главное значение”). Функцию (или число) (arccosz)j^ следует называть ик-е значение второй серии значений многозначного арккосинуса". Аналогичные названия используются в случае многозначных функций

На практике в указанных словосочетаниях слово “многозначный” иногда опускают. В данном случае такое опускание не может привести к ошибке, так как наличие предшествующих слов ик-е значение первой (второй) серии значений“ или ”главное значение“ однозначно указывает на то, что речь идет именно о значениях многозначной функции. Тем не менее в нашей статье мы из методических соображений в указанных словосочетаниях никогда не опускаем слово ”многозначный".

Замечание 26. При всех z G С \ {0} аргумент27 arg z (или, что то же самое, мнимая часть логарифма Im In z) принадлежит промежутку (—7г, 7г]. Веские доводы в пользу того, что разрез в комплексной плоскости, выделяющий главные однозначные ветви многозначных функций Arg z, Lnz, { V^lc и др., следует проводить именно вдоль луча (—оо, 0], можно найти, например, в статье [15]. Существуют официальные стандарты, которые однозначно указывают на то, что аргумент arg z принадлежит промежутку (—7г, 7г] (см., например, международный стандарт [16]). Следуя этим стандартам, все распространенные математические пакеты (Maple, Mathcad, Mathematica и др.) и языки программирования (C/C++, Fortran, Pascal и др.) выдают аргумент комплексного числа и мнимую часть логарифма комплексного числа именно в промежутке (—7г, 7г]. В этой связи можно только выразить сожаление по поводу того, что авторы некоторых книг и учебников по ТФКП до сих пор пишут, что аргумент arg z принадлежит промежутку [0, 2тт).

Иногда приходится встречаться со следующим высказыванием: “Аргумент argz комплексного числа z G С\{0}, можно брать в промежутке (—7Г, 7г], в промежутке [0, 2тт) и вообще в любом промежутке вида (а, а + 2тт] или вида [а, а + 2тт) (а G M) длины 2тт. Выбор промежутка зависит от удобства решения данной конкретной задачи”. По нашему мнению, это высказывание является неправильным. Проще всего это аргументировать следующим образом. Главное значение многозначного арккосинуса arccosx, х G [— 1, 1] (для простоты мы ограничивается действительным случаем), можно тоже брать не только в

27 Напомним, что слово “аргумент” является синонимом словосочетания “главное значение многозначного аргумента”, а слово “логарифм” является синонимом словосочетания “главное значение многозначного логарифма” (см. выше замечание 19).

промежутке [0, 7г], но и в промежутке [—7г, 0], в промежутке [7г, 2тт] и вообще в любом промежутке вида [ттк, ттк + 7г] (fc G Z). И тем не менее математики всего мира договорились понимать под символом arccosx, х G [—1, 1], число из промежутка [0, 7г]. Это имеет то несомненное достоинство, что символ arccosx, X G [—1, 1], в какой бы книге или статье он ни встретился, не требует специального пояснения. С символом arg z G С \ {0}, ситуация, к сожалению, пока иная. Используя этот символ, автор книги или статьи должен специально указывать, понимает ли он под этим символом число из промежутка (—7г, 7г], число из промежутка [0, 2тт) или что-то другое. Такая ситуация, по нашему мнению, неприемлема, и следует приложить всяческие усилия для того, чтобы сделать символ arg z, z G С \ {0}, столь же однозначным, как и символ arccosx, х G [—1, 1].

Если при решении данной конкретной задачи необходима однозначная ветвь f(z) многозначного аргумента Arg г, принимающая значения в промежутке [0, 27г), то достаточно просто написать f(z) = ArgzD[0, 27г), z G С\{0}.

Однозначную ветвь f(z) можно также выделить с помощью следующих трех условий: 1) /(1) = 0; 2) функция f(z) непрерывна на множестве С \ \ [0, +оо); 3) функция f(z) непрерывна на множестве28 {Rez > 0, Imz ^ 0}. Третье условие означает, что функция f(z) непрерывна на “верхнем берегу” луча (0, +оо).

При желании однозначную ветвь f(z) можно выразить через главную однозначную ветвь arg z многозначного аргумента Arg z:

Для любой однозначной ветви f(z) многозначной функции Arg z существует, и притом единственная, целозначная29 функция k(z) такая, что при всех z G С\{0} справедливо равенство f(z) = (argz)^). В случае рассматриваемой однозначной ветви f(z), принимающей значения в промежутке [0, 27г), целозначная функция к (z) имеет вид:

Замечание 27. Символ (ху)к (ж G С, х ф 0, у = - , где р G Z, q G N и дробь - несократима) можно использовать не только при к G [0..д — 1],

28 Для краткости вместо обозначения вида {z G С | Re z > 0, Imz ^ 0} мы используем обозначение {Rez > 0, Imz ^ 0}.

29 Мы называем функцию g целозначной, если W(g) С Z. Термин “целозначная функция” полностью аналогичен широко распространенным терминам “комплекснозначная функция” и “действительнозначная функция”.

Отметим, что, строго говоря, любая функция g является комплекснозначной, поскольку W(g) С С (см. §3, замечание 5). Выражение “комплекснозначная функция д” обычно используется для того, чтобы подчеркнуть, что функция g может принимать не только действительные, но и комплексные значения, то есть что включение W(g) С М, вообще говоря, не имеет места.

но и при других целых значениях к. При этом следует иметь в виду, что при всех к G Ъ справедливо равенство (ху)к = (xy)ki, где30 к = к\ (mod g), к\ G [0 .. q—l]. (Иначе говоря, к\ — это остаток от деления числа к на число q.)

Символ (0у)к (у G Я) можно использовать не только при к = 0, но и при других целых значениях При этом следует иметь в виду, что при всех к G Ъ справедливо равенство

Замечание 28. Символ (\/z)k (z G С, z ф 0, n G N, n ^ 2) можно использовать не только при к G [0 .. n— 1], но и при других целых значениях к. При этом следует иметь в виду, что при всех к G Ъ справедливо равенство (у/^)к = ( ? гДе к = к\ (mod n), fei G [0 .. n — 1]. (Иначе говоря, к\ — это остаток от деления числа к на число п.)

Символ (V6)fc (n G N, n ) 2) можно использовать не только при к = О, но и при других целых значениях к. При этом следует иметь в виду, что при всех к G Ъ справедливо равенство (УЪ)к = ( v0)0 = 0.

Замечание 29. Символы (arccosl)j^ и (arccos (—1))^ (к G Z) можно использовать не только при j = 1, но и при j = 2. При этом следует иметь в виду, что при всех к EZ справедливы равенства (arccosl)j^ = (arccosl)j^ = 27rfc, ( arccos (—1))^ = ( arccos (—l))!^ = — тг + 2тгк. (Иначе говоря, в точках z = ±1 вторая серия значений многозначного арккосинуса совпадает с первой серией значений.)

Аналогичное замечание относится к символам

которые тоже можно использовать

не только при j = 1, но и при j = 2 (хотя в указанных точках вторая серия значений многозначной функции совпадает с первой серией значений).

Замечание 30. Возможно, к-е значение многозначной функции Arg z логичнее было бы обозначать не символом (argz)fc, а символом (Argz)k (при этом для главного значения (Argz)0 можно использовать также сокращенное обозначение arg z). Действительно, поскольку символ arg z обозначает главное значение многозначного аргумента, то символ (argz)^, если его воспринять буквально, можно понять как ик-е значение главного значения многозначного аргумента", что является абсурдом.

Тем не менее в нашей системе обозначений для обозначения к-го значения многозначной функции Arg z мы используем символ (argz)^, а не символ (Argz)k. При этом мы придерживаемся следующего соглашения: символ, в состав которого входит последовательность латинских букв, начинающаяся со строчной буквы, обозначает функцию (а если число z фиксировано,

30 Запись X = у (mod га), где ж, у G Z, га G N, означает, что существует целое число р G Z такое, что х — у — ртп. Запись х = у (mod га) называется сравнением и читается их сравнимо с у по модулю га".

то число); символ, в состав которого входит последовательность латинских букв, начинающаяся с прописной буквы, обозначает многозначную функцию (а если число z фиксировано, то множество). Это соглашение, по нашему мнению, является очень удобным, поскольку оно способствует более быстрому зрительному восприятию текста. Таким образом, выбирая между символами

мы в нашей системе обозначений сделали выбор в пользу символа

Совершенно аналогичное замечание можно сделать относительно символов

Замечание 31. Использование в символах фигурных скобок связано с тем, что эти символы обозначают множества, а множества в математике традиционно обозначаются фигурными скобками (принцип мотивированности обозначений). Наличие в каждом из этих символов буквы С подчеркивает, что речь идет о множестве всех комплексных значений соответствующей многозначной функции. Опустить букву С нельзя, так как тогда будет нарушен принцип однозначности обозначений. Символ {л/4} обозначает одноэлементное множество {2} (поскольку у/А = 2), тогда как символ {л/4}(£ обозначает двухэлементное множество {±2}.

Замечание 32. Символы (argz)fc, (expz)k, (ху)к1 {ху}с и т.д. следует воспринимать как единые символы. Иначе говоря, если в каком-либо месте текста встретится символ вида (А)к или вида {^4}^, где А — некоторое выражение, то выражение А нельзя рассматривать изолированно от его окружения (то есть изолированно от символов (...)& или от символов В частности, выражение А нельзя, вообще говоря, заменить на равное ему выражение В, поскольку такая замена может привести к абсурду.

Например, символ (argi)1 обозначает число — . Если же в этом символе заменить arg г на — , то мы получим не имеющий смысла символ у—j . Символ {41/2}с обозначает множество {±2}. Если же в этом символе заменить 41/2 на 2, то мы получим не имеющий смысла символ {2}с.

Замечание 33. Рассмотрим на примере многозначной функции “многозначный арккосинус”, как определяются обратные тригонометрические и обратные гиперболические многозначные функции и их главные значения.

Уравнение costu = z относительно w при фиксированном z, как легко доказать, имеет решения при всех z G С. Введем следующее обозначение:

Многозначная функция F(z) = Arccosz (многозначный арккосинус) имеет множество определения V(F) = С и является аналитической в области С\{±1}.

Функция f(z) = arccosz (главное значение многозначного арккосинуса, или просто арккосинус) является однозначной ветвью многозначной функции F(z). Функция f(z) регулярна31 (а потому непрерывна) в области С \ ((—оо, —1] U [1, +оо)). В точках z = ±1 функция f(z) непрерывна, но не

31 Вместо термина “регулярная функция” в некоторых книгах используется термин “однозначная аналитическая функция”. Отметим, что слово “однозначная” здесь является явно

регулярна. Кроме того, функция f(z) непрерывна на множествах {Re z < О, Im z ^ 0} и {Re z > 0, Imz ^ 0}. Это означает, что функция f(z) непрерывна на “верхнем берегу” луча (—оо, —1) и на “нижнем берегу” луча (1, +оо).

Важно отметить, что при z G [—1, 1] функция f(z) принимает действительные значения, принадлежащие отрезку [0, 7г], то есть символ arccos z, z G [—1, 1], обозначает то же число, что и в школе (принцип преемственности обозначений).

Функция f(z) биективно отображает множество V(f) = С на множество W(f) = {0 < Rez < тг} U {Rez = 0, Imz ^ 0} U {Rez = тг, Imz < 0}.

При всех z G С справедлива следующая формула, связывающая главные значения трех многозначных функций (многозначный логарифм, многозначный корень 2-й степени и многозначный арккосинус):

Эта формула взята нами из статьи [15].

Замечание 34. Рассмотрим определения многозначных функций “многозначный арккосинус” и “многозначный ареакосинус гиперболический”:

Из ТФКП известно, что при любом х G С справедливо равенство ch (ix) = = cos ж. Если X G Arccos z, то cos ж = г, а значит, ch (ix) = cos ж = z. Отсюда следует, что ix G Arch z.

Итак, для любого числа х G Arccos z число ix принадлежит множеству Arch z. Это означает, что справедливо включение (г Arccos z) С Arch z. Аналогично доказывается обратное включение (г Arccos z) D Arch z. Следовательно, имеет место равенство множеств Arch z = г Arccos z (z ЕС).

При любом z G С число arccos z (главное значение арккосинуса, или просто арккосинус) принадлежит множеству Arccos г, а число arch z (главное значение ареакосинуса гиперболического, или просто ареакосинус гиперболический) принадлежит множеству Arch z. Иначе говоря, arccos z G Arccos z, archz G Archz.

Множества Arccos z и Arch z связаны соотношением Archz = i Arccos z. Можно ли утверждать, что числа arccos z и archz связаны аналогичным соотношением, то есть что arch z = г arccos 2?

Оказывается, что это простое равенство не верно и главные значения многозначных функций Arccos z и Arch z связаны более сложным равенством

лишним, поскольку функция по самому своему определению является “однозначной”. Можно было бы использовать термин “аналитическая функция”, однако для большей четкости терминологии мы используем вместо него термин “регулярная функция”, чтобы сделать более явным различие между понятиями “аналитическая функция” и “аналитическая многозначная функция”.

О том, почему это так, а также о том, как определяются и как связаны между собой главные значения различных многозначных арк- и ареафункций, можно прочитать в статье [15]. К сожалению, насколько нам известно, этот вопрос не освещен в существующей литературе на русском языке.

Замечание 35. Команды, встроенные во все распространенные математические пакеты (Maple, Mathcad, Mathematica и др.) и языки программирования (C/C++, Fortran, Pascal и др.), выдают именно то главное значение, которое указано в нашей статье для каждой многозначной функции.

Рассмотрим в качестве примера математический пакет Maple.

Команда32 argument (-1-1) выдает — - 7г, то есть главное значение многозначного аргумента числа (—1 — г). Команда 1п(-1) выдает -^-/7г, то

есть главное значение многозначного логарифма числа (—г). Команда root [3] (-8.0) выдает33 1.000000000 + 1.732050808/, то есть главное значение (У—8)о = 1 + гл/3 многозначного корня 3-й степени из числа (—8). Команда evalf (I~I) выдает .2078795764 + 0.7, то есть главное значение (гг)0 = ег1пг = = е-7Г//2 степени с основанием г и показателем г. Команда arccos(2) выдает 1.316957897/, то есть главное значение (arccos2)Q1^ = arccos 2 = iln(2 + л/3) многозначного арккосинуса числа 2. И т.д.

§ 7. ПРИМЕРЫ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ПРЕДЛОЖЕННОЙ СИСТЕМЫ ОБОЗНАЧЕНИЙ

Пример 1. Вернемся еще раз к задаче 13.70 из части 3 задачника [3], которую мы уже упоминали в § 2 нашей статьи.

Прежде всего заметим, что условие этой задачи, по нашему мнению, следовало бы сформулировать так: “Выразить многозначную функцию Arcsin z через многозначные функции Lnz и {y/z}^. Записать в алгебраической форме все значения многозначной функции Arcsin z в точке z = г ”.

С использованием предлагаемых нами обозначений формула, выражающая многозначный арксинус через многозначный логарифм и многозначный корень 2-й степени, запишется в виде34

Здесь символ (л/1 — z2 )0 обозначает главное значение многозначного корня 2-й степени из числа 1 — z2. При такой записи не может возникнуть ошибок, связанных с неправильным истолкованием символа л/1 — z2.

Ответ ко второй части задачи можно записать, например, так35:

32 В пакете Maple прописная латинская буква / служит для обозначения мнимой единицы.

33 В пакете Maple при записи десятичных дробей целая часть отделяется от дробной части с помощью точки. Если целая или дробная часть равна 0, то эта часть иногда просто опускается.

34 Символ обозначает объединение множеств

35 Мы учли, что и поэтому

Пример 2. Рассмотрим квадратное уравнение az2 + bz + c = 0 (а, 6, с G С; а / 0). Формула для корней этого уравнения имеет следующий вид:

Здесь символ (V^D)0 обозначает главное значение многозначного корня 2-й степени из числа D.

Пример 3. Из школы хорошо известно следующее свойство степени:

Легко доказать, что это свойство остается справедливым и для множеств всех значений степеней. А именно справедливо следующее равенство36:

В то же время для главных значений степеней аналогичное равенство, вообще говоря, не имеет места, то есть в общем случае

Например, если

тогда как

Пример 4. Рассмотрим еще одно известное из школы свойство степени, а именно:

Легко доказать, что для множеств всех значений степеней это равенство, вообще говоря, не имеет места и можно утверждать лишь, что

В то же время для главных значений степеней равенство сохраняется:

Отметим, что в примерах 3 и 4 использование символов

позволило нам записать целый ряд формул в ясном и легко воспринимаемом виде.

Пример 5. В задачниках по ТФКП часто встречаются задачи типа: “Найти все значения корня У~г (степени (1 + г)1 )”. С использованием предлагаемых нами обозначений эту задачу можно сформулировать, например, так:

36 Произведением множеств X и Y (X, У С С) называется множество

“Записать в алгебраической (тригонометрической, показательной) форме все элементы множества {\Д}£ (множества {(1 + г)г}с )”.

Пример 6. Аналитическая многозначная функция F(z) = {л/1 — z2 }с, как легко доказать, распадается в области с \ [—1, 1] на две регулярные однозначные ветви. Пусть f(z) — та из этих однозначных ветвей, которая на “верхнем берегу” интервала (—1, 1) принимает положительные действительные значения37.

Несложно установить следующую связь между однозначной ветвью f(z) и однозначными ветвями (л/1 — z2 )Q, (л/l — z2 ) 1 многозначной функции F(z)\

Пример 7. Пусть F(z) — многозначная функция, определенная в области D С с, и пусть Г = [z = v?(£); t G [a, b]; t|] - кусочно-гладкая кривая38, целиком лежащая в области D и ориентированная в направлении возрастания

37 Поскольку, строго говоря, функция f(z) не определена в точках отрезка [—1, 1], то точнее было бы сказать, что регулярная однозначная ветвь f(z) выделяется условием lim f(z) = а/1 — ж2, ж G ( — 1, 1). Здесь символ а/1 — ж2 обозначает, в соответствии с нашей системой обозначений, арифметический квадратный корень.

38 Неориентированная кривая Г — это непрерывное отображение некоторого промежутка X С К. в некоторое топологическое пространство Т (в нашем случае Т = С). Обозначение: Г = [у = /(ж); X G X]. Множество значений отображения Г, то есть множество И^Г) = = {у G T I (Зж G X) : у = /(ж)}, называется носителем кривой Г.

Пусть Г — неориентированная кривая. Упорядоченная пара (Г, j) называется кривой, ориентированной в направлении возрастания параметра х. Обозначение: [у = /(ж); ж G Х\ х]]. Упорядоченная пара (Г, |) называется кривой, ориентированной в направлении убывания параметра ж. Обозначение: [у = /(ж); ж G X; ж | ]. Ориентированную кривую мы для краткости будем обозначать той же буквой Г, что и соответствующую неориентированную кривую.

В упорядоченных парах (Г, |) и (Г, |) стрелки | и | — это просто некоторые символы. В принципе, вместо этих символов можно было бы использовать, скажем, числа 1 и ( — 1).

В приведенных выше обозначениях кривой Г буква / обозначает то же самое отображение, что и буква Г, то есть V(f) = V(T) = X, /(ж) = Г(ж) при всех ж G X. (Иначе говоря, символы / и Г являются синонимами.) Из чисто практических соображений оказывается удобным иметь две разные буквы для обозначения одного и того же отображения.

Если кривая Г ориентирована в направлении возрастания параметра ж, Г = [у = /(ж); ж G Х\ X Î ], и а = inf X G X (b = supX G X), то точка f(a) (f(b)) называется началом (концом) кривой Г. Если же а = inf X ^ X (Ь = supX ^ X), то говорят, что кривая Г не имеет начала (конца). Если кривая Г ориентирована в направлении убывания параметра ж, то в приведенных определениях надо поменять местами слова “начало” и “конец”.

Если отображение Г является инъективным, то кривая Г называется простой незамкнутой кривой. Если V^(r) = [а, Ь], Г(а) = Г(^) и сужения отображения Г на множества [а, Ь) и (а, Ь] являются инъективными, то кривая Г называется простой замкнутой кривой. Если кривая Г является простой незамкнутой или простой замкнутой кривой, то кривая Г называется простой кривой.

Пусть Ti, Г2,..., Гп — простые кривые, причем при любых г, j G [1.. n], г ф j, носители W(Ti) и И^Г^) имеют не более конечного числа общих точек. Объединение С носителей кривых Ti, Г2,..., Гп, а также, возможно, конечного числа точек называется линией. Пустое множество, по определению, тоже является линией. При таком понимании понятия линии совершенно законным является использование термина “линия второго порядка” по отношению к таким множествам, как гипербола (ж2 — у2 = 1), пара параллельных прямых

параметра t. Пусть zo = ц>(а) — начало, a z\ = ip(b) — конец кривой Г, и пусть A G F(zo) — одно из значений многозначной функции F(z) в точке z$.

Достаточно часто встречается ситуация, когда существует единственная непрерывная функция /(£), t G [а, b], такая, что /(а) = А и /(£) G F(ip(t)) при всех t G [а, Ь]. Пусть /(Ь) = В.

Поскольку /(*) G F((p(t)) при всех t G [а, b], то Б = /(b) G F((p(b)) = = i^(zi). Будем говорить, что значение В многозначной функции F(z) в точке z\ получено в результате непрерывного продолжения вдоль кривой Г значения А многозначной функции F(z) в точке z$. Для обозначения числа В будем использовать символ39 [F(z), А]г. Таким образом, [F(z), А]г = В.

Если многозначная функция F(z) является аналитической, то будем требовать, чтобы значение В получалось в результате не просто непрерывного, а аналитического продолжения значения40 А вдоль кривой Г.

Пусть zo G С, zo ф 0, и пусть Г — простая замкнутая кусочно-гладкая кривая, начинающаяся и заканчивающаяся в точке zo и ориентированная против часовой стрелки. Пусть41 О G D^\V).

Легко доказать, что справедливы следующие формулы:

Если считать известным тот факт, что многозначные функции Lnz и { V^lc являются аналитическими в области С \ {0}, а также тот факт, что элементы этих многозначных функций в точке zq однозначно определяются (ж2 = 1), точка (ж2 + у2 = 0), пустое множество (ж2 + у2 = — 1) и др. Что касается термина “кривая второго порядка”, то его мы предлагаем не использовать.

В простейшем и наиболее важном случае линия С — это носитель W(r) одной простой кривой Г. Подчеркнем еще раз, что кривая Г — это отображение, а линия С = W(F) — это множество точек.

39 В символе [F(z), А]г отсутствуют в явном виде точки zq и z\. Дело в том, что информация об этих точках “содержится” в символе Г (поскольку zq — начало, a zi — конец кривой Г). Отметим, что иногда для краткости мы будем использовать вместо символа [F(z), А]г более простой символ [А]г. При этом мы будем отдельно указывать, о какой многозначной функции F(z) идет речь.

40 Строго говоря, надо говорить об аналитическом продолжении не значения А, а определенного элемента g(z) многозначной функции F(z) в точке zo, такого, что g(zo) = А. Для простоты мы считаем, что значение А однозначно определяет этот элемент.

41 Символом D(i)(T) мы обозначаем внутренность, а символом — внешность простой замкнутой кривой Г. Обозначения происходят от первых букв английских слов interior — внутренность и exterior — внешность. Отметим, что множества являются областями, поэтому использование в символах D(i)(T) и £>(е)(Г) буквы D совершенно обоснованно (см. §3, замечание 1).

Если С = W(T) — носитель простой замкнутой кривой Г, то для обозначения внутренности кривой Г наряду с символом D^\T) можно использовать символ D^\C), а для обозначения внешности кривой Г наряду с символом D^e\T) можно использовать символ

своими значениями в этой точке, то из последних двух формул можно сделать вывод, что точка z = 0 является логарифмической точкой ветвления многозначной функции Lnz и алгебраической точкой ветвления порядка п многозначной функции {y/z}^.

Пусть zo G С, zo ф =Ы, и пусть Г, Г*1 и Г2 — простые замкнутые кусочно-гладкие кривые, начинающиеся и заканчивающиеся в точке zo и ориентированные против часовой стрелки. Пусть (±1) G Z?W(r), 1 G D^ÇTi), (-1) G D^iT,), (-1) G £«(Г2), 1 G £>(е)(Г2).

Можно доказать, что при всех к G Z справедливы следующие формулы (в приводимых ниже формулах для краткости опущено обозначение многозначной функции F(z) = Arccos^):

Если считать известным тот факт, что многозначная функция Arccosz является аналитической в области С \ {±1}, а также тот факт, что элементы этой многозначной функции в точке zo однозначно определяются своими значениями в этой точке, то из этих формул можно достаточно легко сделать следующие выводы: 1) в окрестности точки z = 00 многозначная функция Arccosz распадается на две аналитические ветви, для каждой из которых точка z = 00 является логарифмической точкой ветвления; 2) в проколотой окрестности точки z = 1 (точки z = —1) многозначная функция Arccosz распадается на счетное множество аналитических ветвей, для каждой из которых точка z = 1 (точка z = — 1) является алгебраической точкой ветвления второго порядка.

Пример 8. Пусть D — такая односвязная область на комплексной плоскости, что О G Ö, (=Ы) ^ D. По теореме о монодромии (см., например, [17]) аналитические многозначные функции F(z) = Arccosz и G(z) = —-;^=^=— распадаются в области D на регулярные однозначные ветви42. Пусть f(z) -такая регулярная однозначная ветвь многозначной функции F(z), что /(0) = = — , a g(z) — такая регулярная однозначная ветвь многозначной функции G(z), что д(0) = 1. Можно доказать, что в каждой точке области D справедливо равенство f'{z) = —g(z). Отсюда по формуле Ньютона-Лейбница следует, что

Здесь zo — произвольная точка области D, отличная от точки 0, а Г — простая кусочно-гладкая кривая, лежащая в области D, начинающаяся в точке 0 и заканчивающаяся в точке zq.

42 Частным от деления числа Л (Л G С) на множество X (X С С \ {0}) называется множество

Последнюю формулу с использованием предлагаемых нами обозначений можно записать в следующем виде:

Здесь k(z) — целозначная функция, определенная на носителе С = W(r) кривой Г. Функция k(z), z G С, однозначно выделяется следующими тремя условиями: 1) к(0) = 0; 2) функция k(z) не принимает никаких значений, отличных от 0 и 1 (то есть W(k) С {0, 1}); 3) функция (y/l^z*) . л непрерывна на множестве С.

Будем считать, что кривая Г ориентирована в направлении возрастания параметра £, то есть Г = [z = t G [а, Ь]; Тогда (р(а) = 0, ip(b) = z$.

Функция k\{t) = &(<£>(£)), t G [a, Ь], может иметь точки разрыва только при тех значениях параметра £, при которых точка г = (p(t) носителя С кривой Г лежит либо на луче (—оо, —1), либо на луче (1, +оо).

Пусть носитель С имеет конечное число точек пересечения z\, г G [1.. п] (n G NU{0}), с лучами (—оо, —1) и (1, +оо), причем z\ = (p(U), где U G (a, b). Если в точке z\ кривая Г переходит из одного квадранта комплексной плоскости в другой43, то функция k\{t) в точке U скачком изменяет свое значение (значение 0 меняется на 1 или значение 1 меняется на 0). Если в точке z% кривая Г пересекает луч (1, +оо) и переходит из четвертого квадранта в первый (из первого квадранта в четвертый), то функция k\(t) непрерывна в точке ti слева (справа). Если в точке z\ кривая Г пересекает луч (—оо, —1) и переходит из второго квадранта в третий (из третьего квадранта во второй), то функция k\[t) непрерывна в точке ti слева (справа). Во всех остальных точках t G [a, Ь], t ф t^, функция k\(t) непрерывна (в точке t = а функция k\(t) непрерывна справа, а в точке t = Ъ слева).

Пусть z — произвольная точка носителя С кривой Г, отличная от точки 0, и пусть точке z отвечает значение t(z) параметра t, то есть z = (p(t(z)Y t(z) G G (a, Ь]. Рассмотрим кривую Г(г), которая является сужением отображения Г на отрезок [a, t(z)], то есть Г(г) = r|ja t(z)]= ^z ~ ^(*)' * ^ ta' t(z)b ^î]-Кривая Г (z) начинается в точке 0 и заканчивается в точке z. Можно доказать, что при всех z G С, z ф 0, справедливо равенство

Пример 9. В односвязной области С \ ((—оо, —1] U [1, +оо)) аналитическая многозначная функция Arccosz распадается на счетное множество регулярных однозначных ветвей (arccosz)j^ и (arccosz)j^ (к G Z).

43 Рассмотрим в качестве примера высказывание: “В точке Zi G (1, +оо) кривая Г переходит из первого квадранта комплексной плоскости в четвертый”. Это высказывание означает, что существует 0 < ö < mm{U — a, b — ti} такое, что при всех t G (U — ti) выполняется включение (f(t) G {Re z > 0, Im z > 0}, а при всех t G (U, ti + о) выполняется включение (f(t) G {Rez > 0, Imz < 0}.

Пусть X G (1, +00). Можно доказать, что при всех к G Ъ справедливы следующие формулы:

Эти равенства можно использовать, в частности, для построения римановой поверхности аналитической многозначной функции Arccosz. Например, первое из этих равенств означает, что регулярная функция (arccosz)j^ является аналитическим продолжением регулярной функции (arccosz)j^ из первого квадранта комплексной плоскости в четвертый через луч (1, +оо) действительной оси. Функция, получающаяся в результате “склеивания” функции (arccosz)j^ в первом квадранте и функции (arccosz)j^ в четвертом квадранте вдоль луча (1, +оо), будет не только непрерывной, но и регулярной в точках указанного луча (см., например, [17]).

Мы надеемся, что приведенные нами примеры (а их список можно продолжить) показывают обоснованность и целесообразность использования в учебном процессе предлагаемой нами системы обозначений для основных многозначных функций комплексной переменной и для их значений.

Автор выражает глубокую благодарность СИ. Гурову (Московский государственный университет), В. Н. Салию (Саратовский государственный университет) и Дж. Давенпорту (Университет Бата, Великобритания), любезно указавшим автору, соответственно, на книгу [8], статью [12] и стандарт [16], а также сделавшим ряд очень полезных замечаний.

Автор будет благодарен читателям за любые комментарии или замечания по затронутым в данной статье вопросам.

ЛИТЕРАТУРА

1. Хинчин А. Я. О воспитательном эффекте уроков математики // Математика: Хрестоматия по истории, методологии, дидактике / Сост. Г. Д. Глейзер. — М.: Изд-во УРАО, 2001. С. 243-263.

2. Прокопчук Ю. Ю., Широков А. И., Умрихин В. В. Информатика. Раздел: Основы теории знаковых систем. Глава 2. Элементы семиотики. — М.: МИСИС, 2000. 73 с.

3. Сборник задач по математике для втузов: В 4 ч. / Под общ. ред. А.В.Ефимова и А.С.Поспелова. 4-е изд., перераб. и доп. — М.: Изд-во физ.-мат. лит-ры, 2003.

4. Маркушевич А. И., Маркушевич Л. А. Введение в теорию аналитических функций. — М.: Просвещение, 1977. 320с.

5. Грищенко А. Е., Нагнибида Н. И., Настасиев П. П. Теория функций комплексного переменного: Решение задач. — Киев: Вища шк., 1986. 336 с.

6. Пчелин Б. К. Специальные разделы высшей математики. (Функции комплексного переменного. Операционное исчисление.) — М.: Высш. шк., 1973. 464 с.

7. Колягин С.Ю. Основы теории функций комплексного переменного / Под ред. В. Л.Матросова. — М.: Изд-во МПГУ, 2006. 354 с.

8. Салий В.Н. Решетки с единственными дополнениями. — М.: Наука, 1984. 128 с.

9. Решетняк Ю. Г. Курс математического анализа. 4.1. Кн. 1. — Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 1999. 454 с.

10. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. 13-е изд., испр. — М.: Наука, 1986. 544с.

11. Хавин В. П. Основы математического анализа. Ч.1. Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной вещественной переменной. — Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1989. 448 с.

12. Puglisi S. J., Simpson J. The expected number of runs in a word // Australasian J. Comb. 2008. Vol.42. P. 45-54.

13. Общая алгебра. Т. 1 / О.В.Мельников, В. Н. Ремесленников, В. А. Романьков и др.; Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. — М.: Наука, 1990. 592 с.

14. Сидоров Ю. В. Обратные гиперболические функции // Мат. энцикл. слов. / Под ред. Ю.В.Прохорова. — М.: Сов. энцикл., 1988. С. 423-424.

15. Kahan W. Branch cuts for complex elementary functions // The state of the art in numerical analysis: Proc. of the joint IMA/SIAM conf. on the state of the art in numerical analysis held at Univ. of Birmingham, 14-18 Apr. 1986 / Ed. by A. Iserles and M. J. D. Powell. - Oxford: Clarendon press, 1987. P. 165-211.

16. ISO/IEC 10967-3:2006. Information technology — Language independent arithmetic — Part 3: Complex integer and floating point arithmetic and complex elementary numerical functions.

17. Сидоров Ю. В., Федорюк М. В., Шабунин М. И. Лекции по теории функций комплексного переменного. 3-е изд., испр. — М.: Наука, 1989. 480с.

A NOTATION SYSTEM FOR MAIN MULTIVALUED FUNCTIONS OF COMPLEX VARIABLE AND FOR THEIR VALUES

S. V. Kostin

Leading principles when constructing mathematical symbols are formulated. A clear and consistent system of notations for all main multi-valued functions of complex variable and for the values of these multi-valued functions is developed. The phenomenon of polysemy is absent in the proposed system, i. e. an each mathematical symbol has one strictly definite meaning. Examples of using the proposed system are presented.

Keywords:complex analysis, multi-valued function, principal value, mathematical notation, polysemy and homonymy.

СОДЕРЖАНИЕ И ТЕХНОЛОГИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ В ВУЗЕ

УДК 517.962.22

ОБ ОПЫТЕ ИЗЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

А. В. Ласунский

Новгородский государственный университет им. Ярослава Мудрого, Россия, 173003, г. Великий Новгород, ул. Большая Санкт-Петербургская, à.д.41; e-mail: Alexandr.Lasunsky@novsu.ru

Изложено новое обоснование метода построения фундаментальной системы решений линейного однородного разностного уравнения с постоянными действительными коэффициентами в случае кратных корней характеристического уравнения. Для неоднородного уравнения со специальной правой частью предложен вариант доказательства существования и единственности частного решения указанного вида. Рассмотрено приложение разностных уравнений к вычислению определителей п-го порядка.

Ключевые слова: кратные характеристические числа, фундаментальная система решений, правая часть специального вида.

Рассмотрим линейное однородное разностное уравнение п-го порядка

а)

Общее решение уравнения (1) может быть представлено в виде

где Zi(t)j г = 1,2,..., п, — линейно независимые решения уравнения (1), Ci -произвольные постоянные.

В учебной литературе встречаются различные доказательства построения фундаментальной системы решений уравнения (1) для случая кратных корней характеристического уравнения. В монографии [1] показывается, что функции (ß(t) Xf являются решениями уравнения (1), если Л — характеристическое число кратности s, a ip(t) — любой многочлен степени ниже s. Этот факт позволяет выписать s решений уравнения (1), соответствующих кратному характеристическому числу Л, в следующем виде: А*, £А*, £2А^,..., ts~1Xt. Доказательство линейной независимости решений в совокупности [1] связано с определенными техническими трудностями. В монографии [2] метод решения разностных уравнений опирается на преобразование Лорана (z-преобразование). Ясно, что этот метод будет доступен студентам, если они уже прослушали соответствующий курс теории функций комплексной переменной. В

других учебниках (например, [3, 4]) соответствующие результаты приводятся без доказательства или со ссылкой, как правило, на монографию [1].

В настоящей статье мы приведем новое обоснование метода решения уравнения (1) в случае кратных корней характеристического уравнения и дадим обоснование метода нахождения частного решения линейного неоднородного разностного уравнения с постоянными действительными коэффициентами и правой частью специального вида. Мы докажем не только существование решения указанного вида, но и его единственность. Кроме этого, мы рассмотрим приложение разностных уравнений к вычислению определителей п-го порядка.

Лемма 1. Функции линейно независимы на множестве Z+.

Доказательство. Предположим противное. Пусть существует набор постоянных, среди которых не все равны нулю, такой, что линейная комбинация функций с этими постоянными тождественно равна нулю на Z+. Выпишем эту линейную комбинацию, причем сгруппируем слагаемые, содержащие один и тот же множитель А*. Имеем Pni(t)X\ + ... + РПк^)\\, = О, t G Z+. Здесь Pni(t) — многочлен переменной £, степень которого не превосходит щ. Не нарушая общности, можно считать, что многочлен Pnk(t) отличен от тождественного нуля (в противном случае нужно просто провести перенумерацию данных функций). Далее имеем Pni(i) + Pn2(^)(^2^ï1) + • • • ... + Pnk{t)(XjcXï1)t = 0. Применим к последнему тождеству оператор ДП1+1. Так как этот оператор линеен, то, учитывая два его свойства: AQ^(t) = = A(Qfe(*)A*) = Qk{t)\\ А ф 1 (здесь Qk(t), Rk-i(t), Qk(t) - многочлены, степени которых указаны нижними индексами), получаем

Из этого тождества находим

Применим теперь к обеим частям последнего тождества оператор Д712+1, получим

С помощью аналогичных преобразований мы придем к тождеству

которое невозможно, так как многочлен

отличен от нулевой функции. Полученное противоречие доказывает лемму.

Лемма 2. Если комплекснозначная функция z{t) = u{t) + iv{t) является решением уравнения (1) с действительными коэффициентами, то действительные функции u(t) и v(t) также являются решениями этого уравнения.

Лемма 3. Пусть функции

линейно независимы на Z+, тогда действительные функции </>i(£),..., ipn(t) таксисе линейно независимы на этом множестве.

Лемма 2 позволяет построить действительные решения, лемма 3 утверждает, что после операции овеществления фундаментальной системы решений сохраняется линейная независимость.

Пусть Ао — характеристическое число кратности k для уравнения (1). Достаточно рассмотреть только случай кратных действительных корней характеристического уравнения, так как в противном случае можно применить предыдущие достаточно очевидные леммы. Покажем, что функции aq, £àq, ... ,tk~1\tQ являются решениями уравнения (1). Мы докажем, что функции àq, £^aq, t^Ao,..., *^_1^Ад являются решениями уравнения (1). Здесь £(га) 2) ...(£ — га + 1) — обобщенная степень переменной t. Так как обычная степень tn выражается в виде линейной комбинации обобщенных степеней

и наоборот, то сформулированные выше две задачи равносильны. Итак, мы покажем, что

если

Ао — характеристическое число кратности к. Так как

то

Заметим, что оператор L и оператор дифференцирования по параметру А коммутируют. Действительно,

Далее имеем

Здесь Р(А) - характеристический многочлен уравнения (1). Воспользуемся формулой Лейбница для вычисления старших производных от произведения двух функций:

Имеем

Если А = Ао корень кратности к многочлена Р(А), то Р(Ао) = Р'(^о) = ... = = Р(/С-1)(А0) = 0, Р(/с)(ло) ф 0. Отсюда имеем L (t(m)A^) = 0, если га < к - 1, что и требовалось доказать.

Приведем теперь вариант доказательства существования и единственности частного решения специального вида для линейного неоднородного разностного уравнения с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида. Рассмотрим уравнение

(2)

Теорема. Пусть f(t) = q/c(£)aq, ло ф 0, где Ао — комплексное число, Qk(t) — многочлен степени к с комплексными коэффициентами. Пусть число Ао является характеристическим числом кратности s соответствующего однородного уравнения (1) (s > 0). В этом случае уравнение (2) имеет частное решение вида Y(t) = tsBk{t))^, где Bk(t) — многочлен степени к. Решение указанного вида единственно.

Доказательство. Перейдем к обобщенным степеням переменной t. Разложим многочлен tsBk(t) по этим степеням, получим

или

Так как Z\(t) — частное решение соответствующего однородного уравнения с учетом того, что Ао — характеристическое число кратности s, то достаточно доказать, что у исходного неоднородного уравнения существует решение вида Y\ (t). Из единственности решения вида Y\ (t) следует единственность решения вида Y(t), так как из единственности коэффициентов го, ri,..., rk следует единственность коэффициентов &о> &ъ • • • 5 Ь& многочлена Bk{t).

Будем сначала предполагать, что параметр А в Y\(t) не фиксирован. Имеем

Так как

то

Мы воспользовались тем, что оператор L и оператор дифференцирования по параметру А коммутируют. Так как L (А*) = Р(Х) А*, то, применяя формулу Лейбница для старшей производной от произведения двух функций, получим

В последнее равенство подставим А = Ао и воспользуемся теперь тем, что Ао является характеристическим числом кратности s. Во внутренней сумме мы можем начать суммирование с j = s, так как Р(Хо) = P'i^o) = • • • = = Р(*-1)(А0) = 0. Имеем

Сделаем замену индекса суммирования j — s = га, получим

Разложив многочлен Qk(f) по обобщенным степеням t и сократив равенство LY\(t) = f(t) на Aq, получим

Приравняем коэффициенты при равных обобщенных степенях t. Перед имеем

откуда коэффициент г о определяется однозначно, так как Ао ф 0 и р(*)(А0) ^0. Перед степенью t^k 1\ т. е. при i + ra = l,j = l, имеем

откуда коэффициент г\ определяется однозначно. Пусть мы определили коэффициенты го, Г1,...,г/_1. Для нахождения коэффициента г/ приравняем коэффициенты перед t^k~l\ Имеем i + m = Z, j = Z, поэтому г = Z, m = 0, j = Z или 0 ^ г ^ / - 1, ra = / - i, j = / и riCss+k_tP^ (A0)Ag + <p(r0, rb ..., r/_i) = gz. Здесь (^(го, ri,..., r/_i) — некоторое выражение, зависящее от ранее найденных коэффициентов. Ясно, что коэффициент т\ определяется однозначно. Теорема доказана.

В заключение остановимся на приложении теории разностных уравнений к вычислению определителей — решим примеры №312 и №337 из задачника [5].

Пусть требуется вычислить трехдиагональный определитель п-го порядка

(3)

Если ab = 0, то определитель (3) треугольный и равен произведению диагональных элементов: Jn = сп. Если ab ф 0, то разложим (3) по первой строке, получим

Если последний определитель разложить по первому столбцу, то окончательно получим

(4)

Заметим, что

(5)

Задача вычисления определителя (3) свелась к решению задачи Коши (4), (5). Уравнение (4) можно переписать в виде Jn+2 — cJn+i+abJn = 0, п = 1, 2, 3,... Это линейное однородное разностное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Вид общего решения зависит от вида корней характеристического уравнения

Если

Если Если

то

где

Учитывая, что sin Lp > О, аргумент Lp можно задать формулой

Значения постоянных С\ и С2 легко находятся из начальных условий (5). Следующие три примера иллюстрируют рассмотренные выше случаи.

Рассмотрим теперь другой определитель п-го порядка

Левый угловой элемент определителя запишем в виде а = (а — Ъ) + Ъ и представим данный определитель в виде суммы двух определителей

Первый из этих определителей равен (а — Ъ)Jn-\. Во втором определителе первую строку прибавим ко всем последующим, получившийся треугольный

определитель равен

Итак,

(6)

Если а — Ь. то Jn = 2п~1ап. Если ?; = (). то Jn = ап. Если а + ?; = (). то Jn = = 2aJn_i, J\ = a. Решая задачу Коши, получаем Jn = 2п~1ап. Во всех остальных случаях уравнение (6) является линейным неоднородным разностным уравнением первого порядка со специальной правой частью. Ищем частное решение в виде ип = А(а + Ь)п, получаем А = 0,5. Общее решение уравнения (6) имеет вид

Из начального условия J\ = a, находим С = 0,5. Итак,

(7)

Отметим, что все ранее рассмотренные случаи значений параметров а и b получаются из общего ответа (7).

ЛИТЕРАТУРА

1. Гельфонд А. О. Исчисление конечных разностей. — М.: Наука, 1967. 376 с.

2. Гноенский Л. С, Каменский Г. А., Эльсгольц Л.Э. Математические основы теории управляемых систем. — М.: Наука, 1969. 512 с.

3. Иванов В. А., Чемоданов Б. К., Медведев В. С. Математические основы теории математического регулирования. — М.: Высшая школа, 1971. 808 с.

4. Романко В. К. Разностные уравнения. — М.: Бином, 2006. 112с.

5. Фаддеев Д. К., Соминский И. С. Сборник задач по высшей алгебре. — М.: Наука, 1977. 288 с.

ON THE EXPERIENCE OF THE PRESENTATION OF THE THEORY OF LINEAR DIFFERENCE EQUATIONS WITH CONSTANT

COEFFICIENTS

A. V. Lasunsky

A new substantiation to the construction of a fundamental system of solutions for a linear homogeneous difference equation with real constant coefficients for the case of multiple roots of the characteristic equation is given. A variant of the existence and uniqueness proof of a particular solution for inhomogeneous equation is proposed when the right hand side of the equation is of a specific form. One application of difference equations to the calculation of the order n determinants is considered.

Keywords: multiple characteristic roots, fundamental system of solutions, right part of the special form.

СОДЕРЖАНИЕ И ТЕХНОЛОГИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ В ВУЗЕ

УДК 511(07)

УРАВНЕНИЕ ПЕЛЛЯ

А. Ю. Эвнин

Южно-Уральский государственный университет, Россия, 454080, г. Челябинск, пр. Ленина, 76; e-mail: evnin@prima.susu.ac.ru

Предлагается компактный вариант изложения темы “Уравнение Пелля”, доступный для первокурсников. Приводится доказательство существования нетривиального решения, найденное в 2008 г. австралийским математиком Н. Вайлдбергером.

Ключевые слова: нелинейные диофантовы уравнения, уравнение Пелля.

Диофантово уравнение — это уравнение в целых числах вида

Р(ж1,ж2,... ,хп) = 0,

где Р — многочлен от п переменных с целыми коэффициентами.

Одним из немногих хорошо изученных нелинейных диофантовых уравнений является уравнение Пелля

(1)

где m — натуральное число, не являющееся полным квадратом (как известно, число л/т будет при этом иррациональным).

История этого уравнения уходит в глубины веков, однако исследования, посвященные уравнению Пелля, продолжаются (см., например, [1-3]).

При любом m пары чисел (1;0) и (—1;0) являются решениями уравнения (1). Назовем такие решения тривиальными. Остальные решения уравнения Пелля — нетривиальные. Как мы увидим позднее, нетривиальные решения всегда существуют.

Всякое решение (1) с натуральными значениями переменных х и у будем называть натуральным решением, а натуральное решение с наименьшим возможным значением х — фундаментальным решением. В дальнейшем нам пригодится следующий простой факт.

Если (а; Ь) и (c;d) — натуральные решения уравнения (1), то

Ясно, что если (а; Ь) — натуральное решение, то решениями (1) будут также пары (а;—Ь), (—а; Ь) и (—а;— Ь). С другой стороны, если (c;d) — произвольное нетривиальное решение диофантова уравнения (1), то (|с|; \d\) -натуральное решение. Таким образом, решая уравнение Пелля, достаточно найти все его натуральные решения.

Рассмотрим числовое множество

Несложно видеть, что это множество содержит 0 и 1 и замкнуто относительно операций сложения и умножения. Поэтому Z [у^] ~~ коммутативное кольцо с единицей.

Заметим, что соответствие между Z2 и Ъ\у/т\ является взаимно-однозначным. Действительно, если

то

что противоречит иррациональности числа у/т. Поэтому число z G Ъ\у/т\ представляется в виде X + у у/т единственным способом.

Указанное соответствие позволяет отождествлять пару целых чисел (ж; у) с числом z = х + у у/т. Ниже иногда мы будем говорить, что z = = X + у у/т — решение уравнения (1), имея в виду, что таковым на самом деле является пара (х;у).

Введем на кольце Z [у/т] операцию сопряжения:

Очевидно, что сопряженное к сопряженному есть исходное число: z = z. Докажем, что сопряженное к произведению есть произведение сопряженных:

Действительно,

Введем норму числа

Решить уравнение Пелля означает найти все числа с единичной нормой. Отметим свойства нормы: сопряженные числа имеют одинаковые нормы; норма произведения равна произведению норм. Действительно,

Легко видеть, что числа из Z [v^ï] с единичной нормой образуют мультипликативную группу. Элементом, обратным к числу г, является сопряженное число z. Если (xi;yi) — решение уравнения (1) и

то (xk'i у к) — также решение (1). Другими словами, степень каждого решения является решением. Оказывается, что степени фундаментального решения исчерпывают множество натуральных решений уравнения Пелля. Об этом говорит следующая теорема.

Теорема 1. Пусть (x\;yi) — фундаментальное решение, а (х;у) — произвольное натуральное решение уравнения (1). Тогда для некоторого натурального к имеет место равенство

Доказательство. Пусть, как и выше,

Возникают две бесконечные возрастающие последовательности натуральных чисел:

Если решение уравнения (1) z = х + ул/т не является степенью числа z\, то найдется такое число п, что хп < х < xn+i. При этом выполняются также неравенства уп < у < yn+i и

(2)

Умножив неравенство (2) на z\n, получим

(3)

где

Число

будучи произ-

ведением чисел с единичной нормой, также имеет единичную норму:

(4)

Из соотношений (3) и (4) следует, что

(5)

Следствием (3) и (5) является неравенство

из которого получаем, что Y > 0. Теперь из неравенства

вытекает, что и X > 0. Таким образом, (X; Y) — натуральное решение уравнения Пелля, причем

Это противоречит фундаментальности решения □

Теорема 2. Уравнение (1) имеет нетривиальные решения. Доказательство. Опишем алгоритм нахождения некоторого нетривиального решения, придуманный в 2008 г. австралийским математиком Н. Вайлдбергером [7]. Этот способ доказательства теоремы 2 значительно проще ранее известных.

Рассмотрим квадратичную форму

Матрицу

назовем подходящей, если а > 0, с < 0.

Уравнение Пелля х — ту = 1 можно записать в виде Q(x,y) = 1 с

матрицей квадратичной формы Ао = ^ J ^ J . Заметим, что эта матрица

является подходящей, а число — |Ло| не является полным квадратом. Итог матрицы — сумма её элементов.

Введем в рассмотрение две матрицы:

Ьудем строить последовательность матриц Ai = \ I, где г =

= 0,1, 2,..., в которой очередная матрица получается из предыдущей с помощью одного из следующих преобразований. Левый шаг — замена матрицы на матрицу

Правый шаг — замена матрицы А на матрицу RIAR

Здесь штрих означает транспонирование матрицы.

Если у матрицы положительный итог, будем делать левый шаг, а если отрицательный, то правый. Легко видеть, что из подходящей матрицы всегда получится подходящая.

Убедимся в том, что итог любой матрицы из нашей последовательности отличен от нуля. Поскольку \L\ = \R\ = 1, левый и правый шаги не меняют определителя матрицы. Значит, определитель каждой матрицы равен \А$\ = —т. С другой стороны, матрица с нулевым итогом имеет вид

где а и b — целые числа, и её определитель равен — (Ь — а)2. Получаем, что m = (b — а)2, в то время как число m, по условию, не является полным квадратом.

Итак, мы имеем бесконечную последовательность матриц

таких, что щ > 0, Ci < 0, а%с% — Щ = —т. Числа —Ci и Ъ{ образуют решение в натуральных числах уравнения ху + z2 = т. Очевидно, что это уравнение в натуральных числах имеет конечное множество решений. Значит, в последовательности (Ai) не все матрицы различны. Покажем, что первой повторится матрица Aq.

Для этого сначала убедимся в том, что по матрице Ai можно однозначно определить ей предшествующую матрицу А\-\.

Если Если

Значит, всё определяется величиной t = a —2^+Q. Если t > 0, то матрица Ai получена из А\-\ левым шагом; если же t < 0, то правым. Равенство t = = 0 невозможно из-за того, что матрица Ai_\ — подходящая (на её главной диагонали нет нулей).

Таким образом, если некоторая матрица Ai, отличная от Ло, в нашей последовательности встретилась второй раз, то тем же свойством обладает и матрица Ai-\. Поэтому первой повторится матрица Aq.

Поясним сказанное примерами. Выпишем последовательности матриц (Ai) между двумя вхождениями начальной матрицы Ло для га = 2 и га = 7. Над стрелкой перехода указан итог матрицы, а под стрелкой вид шага: R или L.

Результирующее преобразование при га = 2 задается матрицей N = RL2R.

Результирующее преобразование при га = 7 задается матрицей N = R2LRLR2.

Заметим, что первый шаг в последовательности преобразований всегда правый (поскольку итог начальной матрицы 1 —га < 0). Но все шаги правыми быть не могут. Действительно, если матрица Ai получена правым шагом, то bi = CLi-i + bi-i > Ьг-ъ а числовая последовательность (bi) не может быть возрастающей в силу своей периодичности.

Поэтому матрица

задающая результирующее преобразование, всегда состоит из натуральных чисел.

Итак, предъявлен алгоритм, позволяющий найти матрицу 7V, для которой выполнено матричное равенство

Пусть теперь

Тогда

Другими словами, если (ж, у) — решение уравнения Пелля, то (#i,yi) тоже является решением. В частности, по тривиальному решению (1,0) находим решение (а, 7), которое уже не является тривиальным, поскольку а, 7 > 0. □

Примеры. Для га = 2 имеем 7V = RL2R

и решение (3, 2).

Для га = 7 имеем 7V = R2LRLR2 =

и решение (8, 3).

Итак, нетривиальное решение уравнения Пелля существует. Значит, существует и фундаментальное решение, знание которого позволяет указать все решения. Как показывают вычисления на компьютере, при m < 150 алгоритм Вайлдбергера находит фундаментальное решение. Но будет ли так при произвольном га, неизвестно.

С другими подходами к решению уравнения Пелля можно познакомиться по книгам и статьям [2-8].

ЛИТЕРАТУРА

1. Wildberger N.J. Pell's equation without irrational numbers // arXiv: 0806.2490vl [math.NT] 16 June 2008.

2. Мешков В.А. Уравнения Пелля: мультипликативные свойства и ациклический метод решения // http://www.n-t.ru/tp/ns/upa.doc.

3. Щетников А. И. Задача Архимеда о быках, алгоритм Евклида и уравнение Пелля // Математика в высшем образовании. 2004. №2. С. 27-40.

4. Арнольд В. И. Цепные дроби. — М.: Изд-во МЦНМО, 2001. 40 с.

5. Бугаенко В. О. Уравнения Пелля. — М.: Изд-во МЦНМО, 2001. 32с.

6. Спивак А.В. Арифметика-2. — М.: Бюро Квантум, 2008. - 160с. (Библиотечка «Квант». Вып. 109.)

7. Эвнин А. Ю. Элементы теории чисел. — Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2007. 53 с.

8. Эдварде Г. Последняя теорема Ферма. Генетическое введение в алгебраическую теорию чисел. — М.: Мир, 1980. 484 с.

THE PELL'S EQUATION

A. Yu. Evnin

A compact variant simple for beginners is proposed for the theme “Pell's equation”. The existence proof of a nontrivial solution to the Pell's equation found by the Australian mathematician N. Wildberger is demonstrated.

Keywords: nonlinear Diophantine equations, Pell's equation.

ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОЦЕССА ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ В ВУЗЕ

УДК 372.851:378.147

КОНТРОЛЬ В СИСТЕМЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ: ПРОБЛЕМЫ И ПУТИ ИХ РАЗРЕШЕНИЯ

В. Г. Ермаков

Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины, Беларусь, 246699, г. Гомель, ул. Советская, 104; e-mail: vgermakov@mail.ru

Анализ проблем контроля в системе математического образования показывает, что многие кризисные явления в этой системе порождены разрывом между реформами образования на основе простейших (усредняющих) моделей и растущей неоднородностью математического знания. Намечены пути построения сингулярной теории контроля, указаны возможности ее использования для повышения качества математического образования.

Ключевые слова: математическое образование, педагогика, контроль, нелинейные модели управления.

1. ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ СОСТАВЛЯЮЩАЯ КРИЗИСНЫХ ЯВЛЕНИЙ В СОВРЕМЕННОМ МАТЕМАТИЧЕСКОМ ОБРАЗОВАНИИ

Несмотря на достижения современной математики, нельзя не замечать явное падение уровня математического образования и нарастание кризисных моментов в обучении математике на всех ступенях образования. Очевидно, например, что уровень подготовки по математике выпускников средней школы уже не обеспечивает потребностей вузов. При этом такие объективные причины обострения ситуации, как продолжающийся научно-технический прогресс, который задает всё более высокие и труднодостижимые требования к качеству массового образования, не должны скрывать то обстоятельство, что серьезные источники проблем есть и внутри самого образования.

Установить существование таких источников помогает следующее простое сопоставление. Так, в резолюции одной из конференций канадских исследователей в области методики преподавания математики отмечено, что “в общей массе учителя остаются инертными, растерявшись перед размахом проблем, с которыми встречаются в повседневной практике” [1]. Вместе с тем учителя решают возникшие образовательные проблемы не в одиночку. Сдвинуть ситуацию с мертвой точки пытаются и педагоги-новаторы, и теоретики образования, и политическое руководство большинства государств мира. Эти усилия велики настолько, что придали реформированию систем образования перманентный характер. Эксперт ЮНЕСКО Роберт Коун (Англия) назвал происходящее “ролинг-процессом, то есть катящейся, движущейся, развертывающейся, возрастающей реформой” [2, с. 15]. Сам этот поток инициатив

и реформ должен был поддержать творческую активность учителей и дать им более действенные ориентиры в осуществлении педагогической деятельности, и если растерянность учителей математики перед размахом проблем все-таки сохраняется, то это означает, что специфика обучения математике в проводимых преобразованиях учитывается слабо. Убедиться в этом можно и непосредственно.

Наиболее показательным в этом отношении является вопрос о контроле. С одной стороны, изменения в системе контроля в последнее время были весьма значительными. Например, в Республике Беларусь введены десятибалльная система оценивания учебных достижений учащихся и централизованное тестирование уровня подготовки выпускников средней школы, в Российской Федерации и ряде стран СНГ введен единый государственный экзамен. С другой стороны, некоторые методологические проблемы контроля, особенно чувствительные для математического образования, пока не решены. Одну из них порождает особая роль доказательств в математике и математическом образовании. По этой позиции оценивание знаний учащегося должно быть максимально строгим, но это естественное требование вступает в противоречие с обязательностью среднего образования и массовым характером высшего образования. Для того чтобы обойти эту проблему, учителя очень часто снижают требования к обоснованности выводов, а тогда доказательства теряют важнейшую функцию — способствовать глубокому упорядочению и сжатию значительных объемов информации.

Второй пример касается использования в школьном образовании так называемых нестандартных задач, которые являются сильным средством активизации процесса обучения математике. Однако если такую задачу решит слабоуспевающий ученик или, напротив, не решит хорошо успевающий, то прямое отражение данного результата в журнале приведет к скачкообразному изменению среднего балла этого ученика и к отрыву этого показателя от уровня подготовки, а также от предполагаемых результатов возможной внешней проверки его знаний. Из-за таких проблем методологического характера нестандартные задачи используются в практике школьного образования в гораздо меньшем объеме, чем они того заслуживают. При этом введение централизованного тестирования и единого государственного экзамена еще больше усилило эти диспропорции.

Еще одна нерешенная проблема контроля заключается в том, что обычное накопление текущих отметок и их перевод в итоговую отметку путем простого усреднения плохо согласуются с крайне неравномерным процессом усвоения учащимися различных математических понятий. Ввиду того, что эта нестабильность порождается природой самих математических понятий и глубоко укоренившейся традицией их использования, устранить её практически невозможно, поэтому измениться должна именно система контроля. Самую общую причину такого положения дел косвенно указал Г. Вейль, по мнению которого "математическая мысль, высвобождая идею из оболочки реального мира и придавая ей самостоятельную жизнь, отказывается тем самым от

проникновения в тайны природы. Но в награду за это математика меньше физики связана с течением процессов в реальном мире“ [3, с. 153]. Очевидно, данное ”высвобождение идеи из оболочки реального мира“ сужает круг её потенциальных носителей, затрудняет самостоятельное усвоение этой идеи и не позволяет педагогам рассчитывать на эффективность простейшего метода обучения — ”путем проб и ошибок", которое предполагает, что начальная база для таких проб в опыте учащегося уже есть. Поэтому помощь педагога учащемуся в формировании адекватных представлений об этих идеях должна быть индивидуализированной, активной, целенаправленной и тонкой. Высокая сложность этой задачи создает особую точку и в деятельности педагога, так как одновременно с повышением роли педагога способствует выработке у него желания по возможности вообще уйти от решения этой задачи. И такая возможность в обучении математике действительно существует, причем результаты её реализации на практике видны и неспециалисту.

Показательно свидетельство И. Канта о положении целых чисел в культуре общества в современный ему период. “Понятие отрицательных величин, -писал И. Кант, — с давних пор применяется в математике и всегда имело здесь чрезвычайно большое значение. Между тем, представление, которое создалось о нем у большинства исследователей, как и толкование, которое они ему давали, странны и противоречивы. Правда, это не привело к какой-либо неправильности его применения, так как особые правила заменяли собой определение и обеспечивали пользование им, а то, что в суждении о природе этого абстрактного понятия было ложным, оставалось втуне и не имело никаких последствий” [4, с. 84]. Упомянутая здесь защита от неправильного применения понятия как раз и оставляет педагогам “лазейку” для того, чтобы в массовом порядке уходить от решения трудной задачи формирования адекватного представления о понятии.

Но тогда сама по себе оценка качества усвоения этого понятия учащимся, вообще говоря, теряет смысл, так как она характеризует не столько уровень подготовки учащегося, сколько профессиональную позицию педагога и качество выстроенной им пропедевтической программы.

В указанных нестыковках между общепринятыми формами и методами обучения и особым строением математического знания заключена серьезная угроза эффективности математического образования, но эти особенности присущи математике на протяжении многих столетий и система образования к ним как-то приспособилась. Дело, однако, в том, что стремительные изменения в математике и в системе образования, которые слабо согласованы друг с другом, нарушают это неустойчивое равновесие.

Убедиться в том, что ситуация действительно приблизилась к опасной черте, помогает появление в современной математике большого числа понятий нового типа. Они, по выражению П. С. Александрова, “являются такими математическими абстракциями, которые не налагаются на объективную действительность, а суть лишь абстракции от абстракций, так сказать абстракции второй ступени” [5, с. 63]. Примером может служить понятие мет-

рики на произвольном множестве, которое было введено М. Фреше в начале XX столетия. Косвенную оценку нетривиальности этого и других понятий, введенных М. Фреше, дал Ж. Адамар, который говорил, что “отвага, проявленная Фреше при создании функционального анализа, взлет его абстрагирующей мысли при этом были беспрецедентными со времени работ Э. Галуа” [6, с. 205]. Не менее показателен и характер перемен в изложении симплектической геометрии, которая явилась итогом длительного развития механики, вариационного исчисления и т.д. По словам В.И.Арнольда, “в прошлом веке эту область геометрии называли аналитической динамикой, и Лагранж гордился, что изгнал из нее чертежи. Чтобы проникнуть в симплектическую геометрию, минуя длинный исторический путь, проще всего воспользоваться аксиоматическим методом, имеющим, как заметил Б. Рассел, много преимуществ, подобных преимуществам воровства перед честным трудом. Сущность этого метода состоит в том, чтобы превращать теоремы в определения” [7, с. 70].

Такое отсечение всё более длинных исторических путей развития теорий чревато кардинальным ухудшением ситуации с обучением математике. Если до недавнего времени главная ориентировка начинающим изучать математику явно или неявно сводилась к известному высказыванию Евклида о том, что “в геометрию нет царского пути”, то теперь, пожалуй, её придется заменить более грозным предупреждением: “В данную теорию дороги нет”. При строгом применении аксиоматического метода изложение обычно начинается с немотивированного определения, и, как отметил В. И. Арнольд, “психологические трудности, к которым это приводит читателя, почти непреодолимы для нормального человека” [8]. Поэтому педагогам приходится вводить локальные обращения аксиоматических теорий, начинать учебники и монографии специальными главами предварительных сведений и даже готовить для начинающих специальные серии книг. Р. Ганнинг и X. Росси в предисловии к американскому изданию книги А. Уоллеса «Дифференциальная топология» выразили необходимость в таких изданиях очень образно: “Эта книга, как и вся серия, предназначена для начинающих, которые оказываются перед Джомолунгмой математических результатов, причем многое из этого материала разбросано повсюду в исследовательских журналах и зачастую связано организационно лишь в памяти или в неопубликованных записях работающих математиков” [9]. Несмотря на предпринимаемые меры, гигантский объем информации, сосредоточенной в отдельных математических теориях и прежде всего в их начальных понятиях, заставляет авторов раз за разом повторять известные слова П. Халмоша: “Начинающий не должен смущаться, если у него не хватает предварительных знаний даже для чтения предварительных сведений”.

Напряженность этой ситуации легко продемонстрировать простым примером, который для прояснения вопроса порой дает больше, чем долгие теоретические споры. Вот что написано в “Лекциях... ” В. Клингенберга на первой же странице после предисловия: "Гильбертово многообразие M — это

топологическое пространство (все топологические пространства в этой книге хаусдорфовы) со счетной базой, снабженное дифференцируемым атласом, образы карт которого лежат в фиксированном сепарабельном гильбертовом пространстве М" [10].

Таким образом, можно констатировать, что неоднородность математического знания, особенно если её оценивать по проекции “предметного тела” математики в область образования, продолжает расти. Принципиально важно отметить, что в этом “теле” появились сингулярности, которые создают значительные трудности учащимся и педагогам и становятся точками ветвления индивидуальных образовательных траекторий, причем вероятность схода этой траектории в разрушительный режим очень велика.

В последнее время психологи стали часто упоминать проблему интеллектуальной пассивности учащихся, а медики заговорили об опасном снижении порога жизнеустойчивости, выносливости, резервов и защитных сил жизни, утверждая при этом, что дидактогенные причины этого снижения являются основными [11]. Каким бы большим ни был вклад в эту ситуацию других факторов, ясно, что растущая неоднородность математического знания и всего информационного пространства культуры имеет к этому самое непосредственное отношение.

Что же в связи с этими глубокими качественными переменами в культурном пространстве происходит в педагогике? Если говорить о педагогике высшей школы, то изменения здесь в значительной мере наведены мощным влиянием внешних факторов, обобщенным выражением которых является вступление передовых стран в эпоху постиндустриального развития. Открывшаяся возможность экономического доминирования за счет организации производства и инноваций, сокращение временного интервала между научным открытием и его промышленным массовым использованием привели к быстрому становлению во всем мире инновационного образования. Вслед за этими изменениями концепция инновационного образования сейчас активно разрабатывается и в педагогике. Однако анализ этих работ показал [12], что они касаются преимущественно организационных вопросов образования, о модернизации методов обучения в связи с трансформациями информационного пространства речь в них пока не идет.

Важные события в исследовании фундаментальных проблем современного образования происходили при построении системы развивающего обучения Д. Б. Элькониным и В.В.Давыдовым [13]. Этим исследованиям присущи комплексная разработка психолого-педагогических аспектов обучения и тщательный учет особенностей строения учебного материала. Нацеленность этой системы на достижение высоких рубежей образования отражена в её основополагающих принципах: “ребенок — субъект учения”, “развитие теоретического мышления должно иметь приоритетное значение” и других. Программа обучения математике в этой системе была разработана на основе глубокой ревизии прежних подходов [14]. Анализ этой программы прове-

ден в монографии [15], здесь ограничимся её косвенной оценкой. Так как В. В.Давыдов при обосновании концепции своей программы ссылался на позицию А. Н. Колмогорова, изложенную в предисловии к книге А. Лебега «Об измерении величин», обратимся к первоисточнику. “У математиков, — пишет А. Н. Колмогоров, — существует склонность, уже владея законченной математической теорией, стыдиться её происхождения. По сравнению с кристаллической ясностью развития теории, начиная с уже готовых её основных понятий и положений, кажется грязным и неприятным занятием копаться в происхождении этих основных понятий и допущений. Всё здание школьной алгебры и весь математический анализ могут быть воздвигнуты на понятии действительного числа без всякого упоминания об измерении конкретных величин (длин, площадей, промежутков времени и т.д.). Поэтому на разных ступенях обучения с разной степенью смелости неизменно проявляется одна и та же тенденция: возможно скорее разделаться с введением чисел и дальше уже говорить только о числах и соотношениях между ними. Против этой тенденции и протестует Лебег” [16, с. 10]. Против этого же направлена и программа В.В.Давыдова, что для современного образования особенно актуально.

Но почему тогда эта программа не получила максимально широкого распространения, в том числе на других ступенях образования? Часть ответа на этот вопрос содержится в следующей реплике В.В.Давыдова: “Прихожу к выводу, что московские поурочные разработки работают только в руках тех учителей, которые вместе с учениками и учеными их разрабатывали. Печатать нам следовало не их, а принципы их разработки” [17, с. 158]. Упоминание “поурочных разработок” является знаковым, так как показывает, что, несмотря на явно выраженное стремление авторов уйти от традиционного образования со всеми его недостатками, в главном прежнюю основу образования они не изменили. При использовании традиционного равномерного распределения учебного материала вдоль зафиксированной во времени учебной траектории следующие необходимые шаги в разработке теории развивающего обучения сделать было трудно. Эффективность системы законсервировалась, а глубокие трансформации информационного пространства культуры потребовали дополнительно учесть, что понятие числа — не единственная сингулярность в математике, что для построения избыточной пропедевтики каждого такого понятия не будет хватать времени, что из-за постоянно угнетающего давления внешних факторов ребенка нельзя сделать субъектом учения один раз и надолго.

При этом было бы ошибкой думать, что педагоги-математики не подозревали об этих проблемах или недооценивали их. У нынешнего кризиса математического образования, его истоков и сценария развертывания есть хорошо известные прецеденты. Так, характеризуя причины заката древнегреческой математики, Г. Фройденталь в книге «Математика как педагогическая задача» писал: "До тех пор, пока наряду с официальной евклидово-архимедовой

математикой преподавались также эвристические методы алгебры и бесконечно малых, молодые люди могли осваиваться со смирительной рубашкой официальной науки. Но как только эти традиции были сломлены, всё погибло“. Погибло, заметим, надолго. По словам С. Г. Гиндикина, ”на тысячу лет были забыты, а частично безвозвратно утрачены, труды великих греческих геометров“ [18, с. 13]. В повторном распространении математики в Европе большую роль сыграли купцы, благодаря которым европейцы из арабских текстов узнавали не только о математике Востока, но и об античной математике. Особый вклад в передачу достижений арабской математики на Запад внес Леонардо Пизанский (Фибоначчи). Как отмечает С. Г. Гиндикин, ”три века европейские математики оставались учениками, хотя у того же Фибоначчи были, безусловно, интересные наблюдения. Лишь в XVI веке в Европе появились математические результаты принципиального значения, которых не знали ни античные, ни восточные математики. Речь идет о решении уравнений 3-й и 4-й степеней“ [18, с. 13]. Характерно, что появление этого яркого результата оказалось тесно связанным с мощным всплеском личностной активности, который произошел во время знаменитого турнира между Фиоре и Тарталья. Этот трудно доставшийся опыт математики оберегали очень тщательно. Известный педагог-математик и теоретик педагогики А. Дистервег сформулировал главный оберег математического образования так: ”Самодеятельность учащегося есть и условие, и результат образования“ [19]. А. А. Столяр в своей книге ”Педагогика математики“ выразил его в предельно ясной и недвусмысленной форме: ”Педагогика математики не может строить обучение так, чтобы у ученика осталась свобода выбора между активной мыслительной деятельностью и простым заучиванием. Она должна строить обучение математике как активное обучение, основой которого служат активная мыслительная деятельность всех учащихся" [20, с. 71].

Несмотря на абсолютную четкость и однозначность этих формулировок, в них, тем не менее, не содержится упоминания о том, что в меняющихся условиях поддерживать самодеятельность учащегося будет все труднее и труднее, что реализация этого принципа сама может стать проблемой, в которой сосредоточится всё напряжение математического образования и образования в целом. Стремительно растущая неоднородность информационного пространства культуры — всё более значимый и всё более заметный фактор отчуждения человека от им же созданной культуры, но даже в работе А. А. Грицанова и В. И. Овчаренко [21], в которой проведена обстоятельная систематизация разных направлений исследования проблемы отчуждения, этот фактор не рассматривается. Исходя из этого, можно сделать вывод о том, что одной из причин снижения эффективности математического образования является запаздывание в реагировании на коренные изменения условий образования. Педагогическая теория продолжает базироваться на простейших (равномерных, усредняющих) моделях учебно-воспитательного процесса и этим блокирует выработку адекватного ответа на новые специфические вызовы современно-

сти. Поэтому можно утверждать, что у нынешнего кризиса образования есть весомая педагогическая составляющая. Её суть хорошо выражает известный афоризм Козьмы Пруткова: “Многие вещи нам не понятны не потому, что наши понятия слабы; но потому, что сии вещи не входят в круг наших понятий!”.

Этот недостаток теории легко исправить, тем более что рассматриваемые трансформации культурного пространства, высвечивая слабые места теории, одновременно указывают и направление, в котором её нужно дорабатывать.

2. МЕТОДОЛОГИЧЕСКАЯ ОСНОВА ПОСТРОЕНИЯ И ПРИМЕНЕНИЯ СИНГУЛЯРНОЙ ТЕОРИИ КОНТРОЛЯ

В современных условиях решение многих проблем значительно упрощается благодаря тому, что для его отыскания, как правило, остается узкий коридор возможностей. Удивительно, но очень часто он указывает и путь к новым резервам.

Выше было показано, что противодействие фундаментальным угрозам самодеятельности учащихся становится центральной проблемой образования. До недавнего времени основной способ противодействия этим угрозам состоял в педагогическом обустройстве окрестностей той или иной сингулярности в строении математического знания, что и приводило к сглаженной учебной траектории, но теперь этого уже недостаточно. Существующую плотность сжатия учебного материала наглядно иллюстрирует тот факт, что студенты-математики всего за 2 учебных часа знакомятся с теоремой о биквадратичном вычете, на доказательство которой К. Гаусс потратил 7 лет. Ясно, что полноценное “распредмечивание” этого результата путем самостоятельных поисков студентов за допустимый по величине отрезок времени неосуществимо. Но в современной математике есть и такие грандиозные теоремы, как теорема Атьи-Зингера об индексе или теорема о классификации простых конечных групп, сжатие которых до уровня учебного курса привело бы к несопоставимо большей плотности упаковки. Еще отчетливее растущую “нечеловекоразмерность” математики обнажило применение компьютера для доказательства теорем, из-за которого, как отмечают В. А. Еровенко и Н.В.Михайлова [22], возникла проблема “синдрома Саймона”. Подразумевается притча о марсианском математике Саймоне, который, получив принципиально важные результаты традиционными методами, со временем перестал представлять доказательства, утверждая: “Доказательство слишком длинное, чтобы его приводить, но я его осуществил”. Отсюда следует, что рассматриваемые нами источники угнетения поисковой активности учащегося “физически” устранить уже не удастся.

Это означает, что если раньше основная помощь учащемуся оказывалась до начала его обучения — путем заблаговременного “сглаживания” материала, то теперь системе образования не остается ничего иного, кроме как уси-

ливать поддержку учащегося непосредственно в учебном процессе. Попытки решить эту задачу предпринимались на протяжении всей истории образования и педагогики, поэтому можно ожидать, что легкодоступные резервы исчерпаны. Уже открыт, но пока мало используется еще один пласт резервов — более тонкое согласование педагогических воздействий на учащегося с состоянием и динамикой его зоны ближайшего развития (понятие ЗБР ввел Л.С.Выготский [23, с. 383]). Препятствует использованию этих резервов в массовом образовании тот факт, что топология субъекта очень сложна и нестабильна [24]. Как ни парадоксально, остроту этого противоречия помогает ослабить именно появление в учебном материале особых (сингулярных) точек. Порождаемый этим обстоятельством выход учебного процесса на пределы или даже за пределы наличных возможностей учащегося облегчает текущую оценку учебной ситуации и позволяет воздействовать на процесс обучения резонансным образом. Помогая учащемуся преодолевать трудное для него препятствие посредством некоторой пропедевтической программы, легко понять, когда эта программа по отношению к данной конкретной группе учащихся начинает достигать поставленных целей, тогда её применение можно прекратить досрочно, сэкономив время и силы. Столь же легко увидеть, когда для оказания необходимой помощи учащимся объем этой программы нужно нарастить. Вопрос об эффективности такого плана действий остается открытым, но даже самый первый и во многом вынужденный шаг в этом направлении влечет за собой коренные изменения в методологическом фундаменте образования. Так как традиционные модели образовательных процессов будут дополнены режимами переключений, они заведомо станут нелинейными. Переход на нелинейные модели сам по себе открывает новые возможности для разрешения системно-структурных противоречий, накопившихся в сфере образования, поскольку позволяет развести конфликтующие элементы системы во времени, а это, в свою очередь, делает возможным их совместное, комплексное использование. Кроме того, расширение класса используемых учебных траекторий расширяет простор для выбора оптимальной траектории и в целом позволяет вернуться к главному педагогическому принципу — принципу единства обучения, воспитания и развития.

Следует заметить, что образовательные технологии, построенные на основе равномерных моделей управления, не предполагают возможности существенных кризисных обострений учебного процесса, поэтому функция педагога сводилась в основном к их пассивному сопровождению. Теперь же — и в силу крайне острой объективной необходимости, и по характеру единственно возможного направления перестройки моделей управления образовательным процессом — разрешение кризисных ситуаций станет главной частью работы педагога. Не вдаваясь в детали, можно сказать, что и тут речь идет о фундаментальном переходе — переходе от идеала абсолютной устойчивости к динамическому типу устойчивости. Не менее важным является и то обстоятельство, что необходимость контролировать точность и своевременность

переключения режимов управления стимулирует формирование и развитие профессионального творчества педагога. Само собой разумеется, что усиление творческой активности педагога — важнейший ресурс необходимой модернизации образования.

В этом потоке наведенных извне перестроек коренные изменения могут и должны произойти и в системе контроля. Их главное направление угадывается легко: контроль нужно переориентировать с регистрации всё менее привлекательных результатов обучения на сам процесс обучения или даже на обеспечение условий эффективности этого процесса. Такой выбор целей делает задачу построения системы контроля намного более сложной, но зато у корректно поставленной задачи решение существует — в отличие от прежних узких и, как следствие, некорректных постановок вопроса о контроле. Существование решения данной задачи именно при расширении функций контроля подтверждает следующий пример.

Характерно, что построение системы контроля во взаимосвязи с решением проблемы устойчивости учебного процесса и сопутствующего решения многих других задач обучения и воспитания уже давно происходит там, где изначально ставятся высокие цели обучения. Детальное описание такой системы, подтвердившей свою жизнеспособность и эффективность на протяжении многих лет, дано в книге Л. Д. Кудрявцева “Мысли о современной математике и её преподавании” [25]. Проблеме проведения экзаменов в ней посвящен целый раздел, в котором проанализирован широкий круг методических, этических и нравственных аспектов проблемы [26].

Широкий охват различных аспектов контроля представляется закономерным потому, что в этом вопросе с нарастающим напряжением пересекаются интересы и возможности личности, общества, государства и самой системы образования. Но эта система контроля ценна не только совокупностью разнообразных деталей, каждая из которых важна и сама по себе, и в соединении с другими. Л. Д. Кудрявцев особо подчеркивает целостный характер этой системы. Эта целостность позволяет соединить её начальную и конечную точки и сформулировать следующий общий вывод методологического плана: в ответ на появление ресурсных ограничений, таких, например, как недостаточная мотивация студентов технического вуза к изучению математики, наилучшим способом разрешения возникающих проблем оказывается управление учебным процессом на основе его многофакторной оптимизации и нелинейных моделей. На фоне сказанного выше очевидно, что точно так же можно и нужно действовать и в других проблемных точках обширного образовательного пространства.

Суть этого резерва в том, что, уделяя большее внимание психолого-педагогическим аспектам контроля, можно усилить его формирующую функцию и повысить устойчивость учебного процесса, на этой основе учащихся легче привести к более высоким итоговым результатам обучения. Эффекты такого рода можно получить и от локальных изменений в формах и методах контро-

ля, причем позитивную роль в их проектировании играют именно кризисные обострения учебной ситуации, помогающие определить направление необходимых изменений.

Рассмотрим конкретный пример такой инновации. Она понадобилась из-за особенности учебного плана специальности 2204 “Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем”, которая в течение нескольких лет была открыта на математическом факультете Гомельского государственного университета имени Ф. Скорины. Установка на хорошую математическую подготовку будущих специалистов при небольшом объеме часов, отводимых этим планом на изучение математики, придала учебному процессу высокую напряженность. В пятом семестре студенты должны были с опорой на 6 лекций и 12 лабораторных занятий усвоить теорию функций комплексного переменного (ТФКП), в то время как в рамках специальности “Математика” на этот курс отводится 35 лекций. В этой ситуации ставка была сделана на самодеятельность студентов, сформированную на высоком уровне в первых семестрах. Основная теоретическая часть курса была отдана им для самостоятельного изучения. Лекции были направлены на объяснение структурных особенностей дисциплины, обсуждение узловых моментов и некоторых ключевых мест. Существенно была изменена и система контроля. Незадолго до экзаменационной сессии студентам было предложено сформировать для экзамена свои индивидуальные программы, куда в дополнение к небольшому числу вопросов, названных преподавателем, можно было включать всё, что удалось усвоить по учебникам самостоятельно, но при условии, что качество усвоения будет высоким. Контроль со стороны преподавателя сводился к выборочной проверке качества усвоения материала, включенного в индивидуальную программу, оценка выставлялась за объем этой программы. Такими условиями был задан максимальный контраст на границе между тем, что студентами уже усвоено, и тем, что еще не усвоено.

Цель этих нововведений состояла в том, чтобы, с одной стороны, свободной границей застраховать студентов от непосильных для них перегрузок, а с другой стороны, создать плацдарм для последующего более полного усвоения этого курса, быть может, уже после окончания вуза. Результаты такой организации итогового контроля превзошли все ожидания. Студенты оказались не только потенциально готовыми к будущему полноценному усвоению этого курса, но и реально усвоили его к экзамену. Так, 15 студентов из 27 предъявили и подтвердили программы, которые были сравнимы или превосходили программу по ТФКП, которую усваивают на базе 35 лекций студенты специальности “Математика”. К тому же эти программы состояли из вопросов, усвоенных на “отлично”. Эти же студенты решали не менее сложные задачи, чем их однокурсники, обучающиеся на основной математической специальности.

В данном локальном эксперименте неожиданно проявилась роль топологии границы между усвоенным и неусвоенным материалом, но понять при-

чины этого несложно. Само создание и пошаговое расширение зоны хорошо усвоенного материала давало импульсы формированию у студентов положительной Я-концепции и рефлексивной культуры, необходимых как для перестройки учебной деятельности, так и для укрепления мотивации к продолжению этих усилий. Постоянные усилия студентов на “доводку” изученных фактов для их включения в свою программу требовали уточнения внутренних связей, а они создавали условия для переноса накапливаемого опыта в изучении материала на новые разделы теории. Поэтому данный случай впечатляющего ускорения учебного процесса можно объяснять исходя из общего положения теории сложности о том, что “этапы сверхбыстрого развития процесса” порождаются наличием положительной обратной связи. В значительной мере случайное задание условий проведения экзамена и привело к возникновению такой обратной связи: каждый шаг в заданном направлении еще больше укреплял основу для следующих шагов.

Возникновение заметных эффектов самоорганизации от слабых резонансных воздействий позволяет рассчитывать на то, что построение сингулярной теории контроля, которая учитывала бы фазы явно выраженной нестабильности учебного процесса, порождаемые главным образом растущей неоднородностью математического знания, не только неизбежно в силу объективных причин, но и приведет к открытию и использованию новых значительных резервов. Повторяя общую направленность позитивных этапов развития математического образования, эта теория будет в еще большей степени нацелена на укрепление и развитие самостоятельности учащегося, которая станет не только целью и средством образования, но и главным ресурсом повышения его качества. Тесная привязка к конкретной кризисной ситуации и предполагаемое творческое её разрешение означает, что для применения этой теории не нужно дожидаться её полной разработки. Силовое поле, порождаемое в учебном процессе понятием высокого уровня абстракции, поможет педагогу сориентироваться в сути кризисной ситуации, а для выбора необходимых педагогических средств ориентиром может послужить, например, работа А. Н. Колмогорова, И. Г. Петровского и Н. С. Пискунова “Исследование уравнения диффузии, соединенной с возрастанием количества вещества...” [27]. В ней установлено, что любое начальное возмущение в виде перепада стремится к стационарному решению типа бегущей волны. Перепад на границе области того, что учащийся уже усвоил, обеспечить несложно.

ЛИТЕРАТУРА

1. Математика и общество // Математика в школе. 1999. № 1. С. 71.

2. Национальный доклад: Основные направления реформирования общеобразовательной школы Беларуси // Материалы Национального совещания (2-4 марта 1995 г., г.Минск). С. 3-31.

3. Вейль Г. Теория групп и квантовая механика. — М.: Наука, 1986. 496 с.

4. Кант И. Сочинения в шести томах. Т. 2. — М.: Мысль, 1964. 511с.

5. Медведев Ф. А. Развитие теории множеств в XIX веке. — М.: Наука, 1965. 232 с.

6. Медведев Ф. А. Французская школа теории функций и множеств на рубеже XIX-XX вв. — М.: Наука, 1976. 232 с.

7. Арнольд В. И. Теория катастроф. 3-е изд., доп. — М.: Наука, 1990. 128 с.

8. Арнольд В. И. Математика с человеческим лицом // Природа. 1988. №3. С. 117-119.

9. Wallace A. Differential topology. First steps. — New York-Amsterdam, 1968.

10. Клингенберг В. Лекции о замкнутых геодезических. — М.: Мир, 1982. 416с.

11. Базарный В. Главная опасность для цивилизации. Здоровых людей — единицы... // Народное образование. 1998. №9-10. С. 157-165.

12. Ермаков В. Г., Нечаев Н.Н. Инновационное образование как объект теории // Вестник МГЛУ. Сер. “Педагогическая антропология”, вып. 539. — М., 2008. С. 96-113.

13. Давыдов В. В. Теория развивающего обучения. — М.: ИНТОР, 1996. 544 с.

14. Давыдов В. В. Психологическая теория учебной деятельности и методов начального обучения, основанных на содержательном обобщении: Теоретическое обоснование к методическим рекомендациям к экспериментальному курсу русского языка и математики для начальных классов / Под ред. В.В.Давыдова, В. В. Репкина. — Томск: Пеленг, 1992. 114 с.

15. Ермаков В. Г. Развивающее образование и функции текущего контроля. В 3-х ч. Ч. 2. Методологические аспекты развивающего образования. — Гомель: ГГУ им. Ф.Скорины, 2000. 318 с.

16. Лебег А. Об измерении величин. — М.: Учпедгиз, 1960. 204 с.

17. Гуленко В. В., Тыщенко В. П. Юнг в школе. Соционика — межвозрастной педагогике. — М.: Совершенство, 1997. 270 с.

18. Гиндикин С. Г. Рассказы о физиках и математиках. 3-е изд., расширенное. — М.: МЦНМО, 2001. 448 с.

19. Дистервег А. Руководство к образованию немецких учителей // Дистервег А. Избранные педагогические сочинения. — М.: Госучпедгиз, 1956. 211с.

20. Столяр А. А. Педагогика математики. Курс лекций. — Минск: Вышэйшая школа, 1969. 368 с.

21. Грицанов А. А., Овчаренко В. И. Человек и отчуждение. — Минск: Вышэйшая школа, 1991. 128с.

22. Еровенко В., Михайлова Н. Феномен математического знания в постмодернистской философии образования // Aima mater (Вестник высшей школы). 2001. №2. С. 26-33.

23. Выготский Л. С. Педагогическая психология. — М.: Педагогика, 1991. 480 с.

24. Тхостов А.Ш. Топология субъекта (опыт феноменологического исследования) // Вестник Московского университета. Сер. 14. Психология. 1994. №2. С. 3-13.

25. Кудрявцев Л. Д. Избранные труды. Т. 3. Мысли о современной математике и её преподавании. — М.: Физматгиз, 2008. 434 с.

26. Кудрявцев Л. Д. Об экзаменах // Математика в высшем образовании. 2003. №1. С.145-156.

27. Колмогоров А.Н., Петровский И. Г., Пискунов Н.С. Исследование уравнения диффузии, соединенной с возрастанием количества вещества, и его применение к одной биологической проблеме // Бюллетень МГУ. Математика и механика. 1937. Т. 1. С. 1-26.

THE CONTROL IN THE SYSTEM OF MATHEMATICAL EDUCATION: PROBLEMS AND WAYS OF THEIR RESOLUTION

V. G. Ermakov

An analysis of control problems shows that many crisis phenomena in the system of mathematical education are generated by the break between growing heterogeneity of the mathematical knowledge and educational reforms based on elementary (averaging) models. The ways of constructing a singular control theory are outlined and possibilities of its usage for improving the quality of the mathematical education are indicated.

Keywords: mathematical education, pedagogics, the control, nonlinear models of management.

НЕПРЕРЫВНОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ (ШКОЛА — ЛИЦЕЙ — ВУЗ — ПОВЫШЕНИЕ КВАЛИФИКАЦИИ — НАУКА)

УДК 37.014.3 + 378.22 + 378.6

ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА И ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

Н. Х. Розов

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, Россия, 119991, г. Москва, Воробьевы горы; e-mail: rozov@rozov.mccme.ru

Предлагаются и обсуждаются меры, направленные на обеспечение средней и высшей школы квалифицированными педагогическими кадрами, а системы управления образованием — квалифицированными менеджерами.

Ключевые слова: общеобразовательная школа, педагогический университет, классический университет, магистратура.

ПРЕАМБУЛА

Мы хотели бы представить для обсуждения некоторые предложения, касающиеся средней общеобразовательной школы и педагогического образования в стране.

При разработке предложений мы исходили из базисных аксиом:

- Человеческий мозг не может нормально функционировать без регулярных умственных упражнений и нагрузок. Образование в широком смысле как раз и дает ту эффективную и целенаправленную нагрузку, тренировку мозгу, которая обеспечивает его поступательное развитие. Тем самым по большому счету речь идет о сохранении человечества как вида, о борьбе против его деградации.

- С прагматической точки зрения человек малообразованный, с малотренированным мозгом слабо осознает происходящее, медленно реагирует на него, плохо ориентируется в задачах и целях, затрудняется в принятии даже простейших решений, не готов к восприятию нового.

- Предложения должны не ориентироваться на субъективные представления о “правильной образовательной политике”, а предлагать инструменты для решения конкретных проблем образования, которые вырисовываются из результатов объективного (статистического, опросного) исследования реалий.

- При анализе фактов и проектировании изменения необходимо исходить не из “благих пожеланий”, а из хорошо известного положения, что “любая политика есть продолжение экономики”.

- Чтобы чего-то добиться, надо учитывать фундаментальные интересы уже задействованных лиц или заинтересовать новых людей, учитывать законы человеческой психики и социального поведения.

- Каждая проблема образования привязана к определенным экономическим возможностям, к целям, местам, задачам, к субъективным воззрениям или некомпетентности конкретных людей, а качество образования зависит только от того, кто учит, чему учит и как учит.

СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА

1. Если мы действительно хотим решить — не на словах, а на деле -проблему обеспечения средней школы высококвалифицированными кадрами, необходимо, наконец, начать всерьез заниматься обеспечением имиджа профессии учителя такой зарплатой, которая эквивалентна его особо ответственной, очень тяжелой и достаточно нервной работе по подготовке и воспитанию будущих поколений страны, отвечающих запросам XXI века.

В последние десятилетия вся система народного образования — от дошкольного до высшего профессионального — переживает глубокий кризис. Теперь во многих городах очередь на место в детский садик надо занимать даже не при рождении ребенка, а совсем в другой момент. Отношение к среднему профессиональному образованию фактически оставило страну без молодых рабочих и техников. Серьезно был обескровлен преподавательский корпус вузов — во “внешнюю” и “внутреннюю” эмиграцию вытеснены сотни тысяч профессионалов, прежде всего молодых и наиболее перспективных. Но в особенно тяжелом положении находится средняя школа — в плане как кадрового, так и материально-технического обеспечения.

Испокон веку учитель был на Руси одним из самых уважаемых людей. В деревнях, встречая учителя на улице, мужики снимали шапки, а бабы кланялись в пояс. Образование считалось главным богатством и вожделенной мечтой: даже неграмотные и неимущие стремились во что бы то ни стало своих детей прежде всего обучать. И в крупном городе, и в малой деревеньке школа была притягательным центром знаний и культуры, пользовалась всеобщей поддержкой.

Положение современного учителя в России весьма незавидное. По результатам опросов, зарплата учителей остается недостаточной для обеспечения их качественной работы и собственной достойной жизни. В настоящее время основные расходы людей — на жилье, поэтому наиболее конкретной единицей измерения является “квадратный метр жилой площади”. По данным Росстата, в 2007 г. средняя стоимость 1 кв. м типовой жилой площади составляла 44630 руб., так что (в зависимости от региона) учительская месячная зарплата “весит” от 0,14 до 0,8-1,0 кв. м.

По данным ВЦИОМ (2008г.), только 49% школьных учителей заявили, что их устраивает их социальное положение, — значит, каждый второй учитель ходит в школу без внутреннего энтузиазма. Недофинансирование особенно затрагивает интересы учителей со стажем работы 5-15 лет — тем самым школа лишена возможности получать новые молодые кадры. Между тем 17% учителей — пенсионного возраста и около 30% — предпенсионного; только 8% учительского корпуса — молодые учителя со стажем работы в школе до 5 лет.

Сегодня, когда всё и вся определяют исключительно неприкрытые денежные интересы, только должная зарплата может стимулировать к работе в школе, какую бы популяризацию профессии учителя мы ни затеяли. Без радикального первоочередного решения проблемы оплаты учителя все мероприятия (перестройка педвузов, введение магистратуры и проч.) дадут такой же эффект, как у музыкантов в басне И. А. Крылова.

Наиболее популярна сейчас у руководителей образования тема о Болонском процессе — что нам надо “у них” перенимать, где надо “их опыт” внедрять. Хорошо бы в первую очередь нам перенять европейский стандарт оплаты труда людей, занятых обучением молодежи.

2. Если мы действительно хотим решать проблему радикального повышения качества школьного образования, необходимо всерьез обеспокоиться решением базисных проблем: выработкой научно обоснованного объема школьной программы и содержания каждой дисциплины, прекращением чехарды со “стандартами”, внедрением современных психолого-педагогических и методических разработок в области обучения, воспитания, современных образовательных технологий.

По данным мониторинга МПГУ, абсолютное большинство учителей, родителей, учащихся и до половины экспертов не видят сколько-нибудь заметных позитивных изменений в системе общего образования. В ответах респондентов выделяются: общее снижение качества образования (54%), усиление неравенства в получении качественного образования (53%), устаревшие представления о минимальном содержании программ школьного образования (22%).

По состоянию на 2007/08 учебный год в школе надлежало формировать 378 компетенций. Но каков результат? Вот один пример: по данным опроса ВЦИОМ (2007г.), около трети россиян считают, что... Солнце вращается вокруг Земли. Не означает ли это, что “формирование компетенций” соседствует с дремучей неграмотностью?

Сегодня только ленивый не говорит, что наши дети в школе чрезмерно перегружены (например, рабочий день старшеклассников длится в среднем 10 часов). Однако “предметники” постоянно требуют добавить им часы, в том числе и для неумолимо растущего объема свежей информации, в школьном расписании появляются всё новые дисциплины. Перестройка школьного образования должна идти за счет научно обоснованной замены теряющих актуальность сведений (к большинству из них мы, правда, очень привыкли и традиционно за них держимся) на свежий материал, дающий развивающий эффект и способствующий воспитанию “живости ума”. И особенно — за счет сокращения немыслимого числа заучиваемых правил, фактов, дат, формул, которые есть в справочниках, словарях, Интернете. Надо, наконец, осознать, что лозунг “Обогащайте свою память знанием всего того, что выработало человечество” навек ушел в прошлое.

Следствием перегрузки школьников является нарушение здоровья основной массы учащихся. По имеющимся данным, только около 10% выпускников школы являются абсолютно здоровыми; количество детей, не готовых к систематическому полноценному образованию, увеличилось в 5 раз по сравнению с 70-ми-80-ми гг. прошлого века. Но ведь здоровье, физическое развитие — бесценное богатство любого человека, тем более ребенка; даже очень хорошо обученный, но больной молодой человек не сможет в полной мере реализовать свои знания и жизненные устремления. Поэтому одним из важнейших предметов в школе должна стать физкультура. Почему бы один день в неделю не освободить от предметных уроков и не отдать физкультуре и спорту, а также экскурсиям и кружкам, художественной самодеятельности и походам в театр? Вместо этого пока появился... учебник по физкультуре, так что дети могут у доски отвечать: “Козлом называется ... ”.

Говоря о тех, кто учится в школе, нельзя отдельно не сказать о тех, кто в школе не учится. В 2006 г. в России было более 2 млн. детей, которые нигде не учились (включая как беспризорников, так и тех, кто жил в семье). Эта серьезная проблема возникла после того, как вместо “Закона о всеобуче”, предусматривавшего обязательное школьное обучение и ответственность за уклонение от него, наша Дума выдумала закон “О праве на образование”. Нужно срочно принять меры к тому, чтобы защитить детей от неграмотности, дать им знания в том объеме, который соответствует их возможностям и психологическому статусу.

3. Низкой эффективности и невысокому качеству учебного процесса в школе в значительной мере способствуют и многие иные факторы, которые хорошо известны, но разобраться с ними мы всё так и не соберемся: отсутствие полноценных учебников и дополнительной литературы для школьников, недостаточное число методических пособий для учителей, несовременные методики обучения, немыслимая преподавательская нагрузка и многое другое.

Верно, что профессиональный уровень части учителей невысок, так как они не обогащаются новыми педагогическими и методическими достижениями. Но посмотрим по-человечески: всегда ли учитель, дающий 20-25 уроков в неделю (полторы ставки), выполняющий еще и другие обязанности (не забудем и про его личную жизнь), в состоянии систематически повышать свою квалификацию — изучать научные книги, овладевать новыми технологиями, осваивать передовой опыт? Постоянный профессиональный рост можно обеспечить только после принятия научно обоснованной и гуманной нормы преподавательского труда.

К проблеме повышения квалификации учителей нельзя не подойти и с другой стороны. Ежегодно у нас защищаются сотни диссертаций по педагогической проблематике, но большинство из них пишутся на абстрактные темы,

остаются недоступными и непонятными практикующему учителю. Рекомендаций, наработок, учебников, методик для школьника и учителя из всех этих сочинений проистекает чрезвычайно мало. Следует резко усилить практико-ориентированный, прагматический компонент исследовательских работ, постоянно иметь в виду задачи совершенствования содержания школьного образования, потребности преподавателя в конкретных советах, в книгах по обучению и воспитанию, написанных доступным языком.

Уровень образования в значительной степени зависит от доброкачественности учебной литературы. К книгам, претендующим на звание “учебник”, должны предъявляться очень жесткие требования по всем параметрам: подбор коллектива авторов, безукоризненность содержания, соблюдение дидактических принципов, методическое искусство, стиль и грамотность изложения, наличие информационно-компьютерной поддержки и др. Подготовку учебников пора превратить из мелкого ремесла для желающих в крупное производство: учить хорошо и по-современному — задача, неподъемная для небольшого авторского коллектива, который не в состоянии выстраивать все линии современного образования в сбалансированную и оптимизированную систему.

Специального внимания требуют школьные библиотеки. Вопрос о создании списков обязательной рассылки книг по этим библиотекам особенно актуален для школ в деревнях, поселках, небольших городах. Школьникам нужны не только учебники (включая весьма необходимые и всё никак не прививающиеся у нас аудиоучебники по ряду дисциплин), но и дополнительная учебная литература, умные, добрые, развивающие книги, научно-популярные журналы, диски. А всё это стоит весьма дорого и, к тому же, вдали от крупных городов всё это купить почти невозможно. А как учитель, работающий в “глубинке”, может доставать актуальную методическую литературу по специальности, книги по современным методикам преподавания, об опыте лучших педагогов?

Сегодня стало модным говорить о том, что ведущим инструментом школьного образования всё больше становится Интернет: ученик может получать все знания из сети, что, кстати, параллельно развивает в нем и важный навык работать самостоятельно. А потому учитель-предметник оттесняется на второй план — школьник из Интернета, мол, почерпнет гораздо больше того, что знает преподаватель. Такие волюнтаристские заявления весьма опасны для школы. Интересно, откуда уверенность, что ученики будут именно “получать знания”, а не сидеть в “клубничных сайтах”? Как они будут самостоятельно отделять фундаментальные сведения от любопытных, но второстепенных деталей? И есть ли гарантия, что ученик, невзлюбивший математику, через Интернет её полюбит?

Широко обсуждается и уже реализуется в разных формах идея о ликвидации “малокомплектных сельских школ” под предлогом “экономии бюджетных средств”. Не до конца ясно, как будет реализована программа транспортировки сельских детей на автобусах в райцентры, если учесть российские дороги, расстояния, зимы. Между тем в небольших населенных пунктах школа всегда была очагом знаний и культуры. По чисто человеческим причинам деревня без школы обречена на постепенное вымирание. В стране в значительных объемах ведется восстановление, реставрация и строительство храмов и церквей. Неужели есть люди, которые не понимают, что образование в не меньшей степени определяет уровень развития культуры и науки (а значит, и экономики) в стране, является главным богатством и основным отличительным качеством homo sapiens?

Существенно, что школы и органы управления ими испытывают острый дефицит высококвалифицированных менеджеров, способных профессионально и компетентно организовать качественную работу. Факт остается фактом: оценки современного состояния управления общим образованием, процедур аттестации, лицензирования и аккредитации школ, сформированные на базе мнений учителей и руководителей школ, учащихся и их родителей, работодателей и самих управленцев, имеют за последние три года отрицательную динамику.

Со средней школой неразрывно связано и другое звено народного образования — среднее профессиональное образование, учитывающее особенности и возможности большого контингента учащихся и являющееся ключевой формой массовой подготовки кадров для реального производства. Важно обеспечить учащимся этого звена получение полного среднего образования. Неприемлемым является тот факт, что для них не разработаны специальные программы обучения, не созданы специальные учебники общеобразовательных дисциплин.

ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ УНИВЕРСИТЕТЫ

1. В каждом регионе России обязательно необходим по крайней мере один педагогический университет (институт или, в крайнем случае, педагогический факультет местного классического университета), обеспечивающий учителями школы региона, особенно в селах, деревнях, рабочих поселках, небольших городках.

Из 60 тыс. общеобразовательных учреждений РФ 2/3 составляют сельские школы. Детям “в глубинке” должно быть гарантировано равное с городскими право на получение качественного образования. Но из выпускников педагогического университета (или классического университета) крупных областных центров абсолютное большинство сделает всё возможное (и невозможное), чтобы в село не поехать. Только региональные педагогические вузы

смогут обеспечить подготовку учителей для региона из местных же кадров, прежде всего для школ в сельской местности. Без повсеместного и “поголовного” обучения детей в регионе невозможно его интенсивное развитие, он обречен на прозябание.

Имеет смысл шире использовать “технологию филиалов”, когда крупный областной педагогический университет имеет филиалы в мелких городах области и обучение осуществляется “на месте”. При систематической работе это будет способствовать подъему уровня преподавания и одновременно обеспечит доступность образования. Кроме того, студенты получат возможность “жить в родных стенах”, учиться, не выезжая из родного города, и поэтому у них появится больше стимулов остаться работать “на малой родине”.

Секрет Полишинеля, что сейчас муссируется такая радикальная идея: существенно сократить число педагогических вузов (скажем, оставить 10-15 таких вузов на всю Россию), а остальные преобразовать в местные филиалы центральных классических университетов или вовсе закрыть. Мотивировка до боли знакома и стандартна: экономия бюджета, слабый уровень преподавания в целом ряде педагогических вузов, малое число выпускников, реально идущих работать учителями в школу.

Начнем с того, что никто и не собирается спрашивать мнение налогоплательщика, на деньги которого, собственно, и существует вся система образования, готов ли он отказаться от такой формы обучения своих детей и подготовки учителей для своих внуков.

Если думать о будущем страны, то, по большому счету, именно обучение в педагогическом вузе является самым демократичным способом приобщать молодежь к знаниям и культуре, приступить, наконец, к решению проблемы повышения уровня цивилизованности народа. И пусть выпускница после педагогического вуза не пошла в школу и растит дома детей — у этих детей образованная, умелая и культурная мать, знающая педагогику, психологию, приемы воспитания, а потому способная вырастить физически и умственно здоровых и развитых представителей нового поколения.

Сокращение численности обучающихся в педагогических университетах — таких студентов весьма значительное число — может иметь и серьезные социальные последствия. В связи с постигшим нас экономическим кризисом и неконтролируемым сокращением рабочих мест молодежь будет пополнять армию безработных, окажется на улице за чертой бедности и в конце концов может взяться за “оружие пролетариата”.

Тот факт, что слишком многие выпускники педагогических вузов не хотят работать в школе, не является “виной” этих вузов. В России провозглашена “рыночная экономика”, а потому и оценивать этот факт надо по рыночному критерию: число желающих идти в школу пропорционально той зарплате, которую правительство платит учителю. Поэтому математики уходят в банки работать на компьютерах, преподаватели иностранных языков — в фирмы

переводчиками, физкультурники — охранниками в рестораны, клубы и казино. Ведь понятно: если бы заработок министра составлял 10.000 рублей в месяц, едва ли нашлось бы много желающих сесть в его кресло.

2. Для обеспечения кадрами школ в сельской местности необходимо для учителей этих школ восстановить существовавшие льготы (так безответственно отмененные) и ввести обучение местной молодежи в педагогических вузах по финансовому контракту с государством, который гарантирует материальное обеспечение в течение учебы при обязательстве, скажем, три года работать в предписанной школе.

Только такими конкретными (и, кстати, рыночными) мерами можно заинтересовать молодого человека сельской школой, подтолкнуть его туда пойти и там остаться. И только такие меры позволят реально изменить отношение молодежи и общества к профессии учителя. Без этого всё останется как прежде: в педагогические вузы будет приходить далеко не лучшая часть выпускников школ, а на работу в школы — худшие выпускники педагогических вузов в недостаточном количестве.

3. Для формирования квалифицированных учителей (грамотных предметников и вдумчивых воспитателей) следует в первую очередь укрепить педагогические вузы квалифицированными преподавательскими кадрами по разным дисциплинам, прежде всего за счет выпускников аспирантуры классических университетов.

Научный потенциал таких выпускников особенно важен в педагогических вузах, особенно региональных. Однако эффективность работы этих выпускников зависит не только от их высокой научной квалификации, но и от их подготовленности к преподаванию в высшей школе. Между тем психолого-педагогической подготовке к работе в высшей школе аспирантура классических университетов уделяет явно недостаточное внимание.

На решение этой проблемы в классических университетах нацелена дополнительная образовательная программа “Преподаватель высшей школы”, которая, однако, реализуется очень неактивно в связи с отсутствием у аспирантов временных возможностей (нереально короткий срок аспирантуры, необходимость подрабатывать и др.). К тому же так и остается открытым вопрос об источниках её финансирования.

Радикальное решение злободневного вопроса о подготовке аспирантов к преподаванию в вузе состоит в том, чтобы в программе аспирантуры любого вуза прописать как обязательные психолого-педагогические курсы, методику и практику обучения своему предмету. Кстати, усвоение основ психологии и педагогики представляется важным прагматическим компонентом образования, востребованным сегодня работодателями, необходимым для семейной жизни, для культуры контактов с людьми. И потому не лучше ли заменить имеющий абстрактную ценность аспирантский минимум по методологии и философии науки на прагматически актуальный цикл психологии и педагогики?

4. Для формирования высококвалифицированных учительских кадров на “предметных” факультетах педагогических университетов необходимо учредить двухгодичную магистратуру для наиболее перспективных бакалавров.

Такая магистратура должна бесплатно давать дополнительную (к “предметному” образованию) подготовку в области педагогики, психологии, теории и практики воспитания, методики преподавания, образовательных технологий, менеджмента, организации, экономики и правового обеспечения образования; предусматривать педагогическую стажировку, освоение навыков исследовательской работы. Выпускники магистратуры будут получать легитимный документ с формулировкой “Магистр образования, преподаватель <предмета>”.

Предлагаемая альтернативная формулировка “Магистр педагогики” является некорректной. Атрибут термина “магистр” должен указывать не раздел науки, а область деятельности: педагогика — наука, а деятельность -это образование. “Магистр физики” — человек, который может осуществлять деятельность в области физической науки. А “Магистр образования, преподаватель физики” может осуществлять деятельность в области образования -преподавания физики. Идея использовать направление “Магистр педагогики” специально для подготовки управленцев неразумна: школе необходимы в первую очередь отличные предметники, и магистр (в том числе и работающий управленцем) обязательно должен быть образцом предметника высокой квалификации.

Лучшие выпускники магистратуры педагогических университетов смогут эффективно работать преподавателями в старших классах, в том числе и в профильных школах.

КЛАССИЧЕСКИЕ УНИВЕРСИТЕТЫ

1. Необходимо обеспечить студентам всех факультетов классических университетов параллельно с фундаментальной подготовкой в избранной ими научной области возможность добровольно и бесплатно получать дополнительно психолого-педагогическую и методическую подготовку в рамках образовательной программы “Преподаватель”, для чего надо расширять число факультетов педагогического образования классических университетов. Следует безотлагательно решить остающийся открытым вопрос об источниках финансирования обучения всех желающих студентов-бюджетников классических университетов страны по этой дополнительной программе.

Существует такая точка зрения, что в школе может без проблем работать инженер и экономист, доктор наук и вчерашний студент — и вообще преподавать в школе может каждый. И чем больше будет таких “учителей” -тем лучше, тем богаче “палитра возможностей”. Так может думать только

тот, кто давно окончил школу и с тех пор открывал её дверь разве что для официального визита, кто не понимает, что настоящее преподавание в школе — очень тонкое искусство и весьма тяжелое ремесло, требующее, как и всё настоящее, специального и кропотливого обучения.

Классические университеты представляют большие резервы для решения насущной проблемы формирования высококвалифицированных учительских кадров. Речь должна в первую очередь идти о преподавателях для старшей школы, для профильных классов, для специализированных школ с углубленным изучением предмета, для реализации внеурочной работы, прежде всего с одаренными учащимися. Именно работающие в школе выпускники классических университетов, имеющие глубокие научные знания и навыки исследовательской работы, могут радикально решить вопрос о действенной реализации программы профилизации старшей школы, осуществить обучение способных учащихся, обеспечить такие инновационные концепции учебной деятельности, как поисково-исследовательская, проектная, конструкторская и др.

Однако надо подчеркнуть, что классические университеты в принципе не могут заменить педагогические вузы в деле подготовки учителей для массовой школы и потому не должны рассматриваться как альтернативный источник педагогических кадров. Например, привлечение выпускников классических университетов к работе в начальной школе является расточительством и, кроме того, невозможно из-за недостаточной специальной подготовки в возрастной психологии, методике обучения младших школьников и специфике их воспитания.

Финансирование программы “Преподаватель”, которое до сих пор остается проблематичным, должно обеспечить обучение студентов в её рамках именно на бесплатной основе, что, помимо подготовки педагогических кадров, будет содействовать социальной поддержке малообеспеченных студентов (в основном они и идут на факультеты педагогического образования).

2. Для формирования высококвалифицированных кадров широкого профиля для школ необходимо учредить на факультетах педагогического образования классических университетов двухгодичную магистратуру для перспективных выпускников всех факультетов университета, завершивших параллельно обучение и по образовательной программе “Преподаватель”.

Эта магистратура должна бесплатно давать дополнительную теоретическую и практическую подготовку в области педагогики и психологии, теории и практики воспитания, методики преподавания предмета, современных образовательных технологий, прежде всего информационно-компьютерных, в области менеджмента, организации, экономики и правового обеспечения образования; предусматривать педагогическую стажировку. Выпускники магистратуры будут получать диплом с формулировкой “Магистр образования, преподаватель <предмета>”.

3. Все университеты, в том числе классические, технические, технологические, экономические, гуманитарные и прочие, должны повернуться лицом к школе, оказывать ей систематическую содержательную поддержку.

Эта работа вузов ориентирована на их же пользу — ведь именно выпускники школ заполняют студенческие аудитории. В вузах любят говорить о слабой подготовке поступающих. Так может быть следует мобилизовать свои интеллектуальные и кадровые ресурсы на написание учебных пособий для школьников и научно-популярных публикаций, на проведение внеклассных занятий “по интересам” и кружков, на открытие лекториев по вопросам науки, познавательных и консультационных сайтов, на разработку новых образовательных методик?

К работе со школьниками полезно привлечь и студентов университетов -они бы получали важные для будущей деятельности навыки общения с людьми и организации коллективной работы. В процессе обучения студентов и аспирантов непедагогических вузов целесообразно также предусмотреть изучение психологии и педагогики, что повысит востребованность выпускников на современном рынке труда и позволит более качественно формировать преподавательские кадры для самой высшей школы.

Созданию здорового общественного климата и обеспечению комфортного самочувствия самого человека серьезно способствовало бы психологическое образование молодежи. Этому уделяется сегодня абсолютно недостаточное внимание — при всех бесконечных разговорах о том, что выпускник вуза должен быть готов работать в постоянно меняющихся условиях, иногда стрессовых, должен быть мобильным, толерантным, коммуникабельным, психологически устойчивым. А ведь все эти качества не появляются спонтанно, их надо воспитывать, всему этому надо специально учиться. Видимо, наступило время серьезно и обстоятельно обсудить вопрос о том, что разные курсы психологии должны стать обязательным элементом программы любого вуза на уровне федерального компонента каждого стандарта.

Вузы региона, объединив свои усилия под эгидой педагогического университета, могли бы принять плодотворное участие в организации работы по повышению квалификации и переподготовке учительских кадров, предложив учителям содержательную программу с экскурсами в современные разделы знаний. Целью переподготовки учителей должно быть освоение ими современных методических приемов, инновационных принципов и методов работы. Поэтому система переподготовки учителей должна представлять собой не краткосрочные курсы, а продуманную систему корпоративного образования, предусматривающую регулярное серьезное обучение как теоретического, так и практического плана.

COMPREHENSIVE SCHOOL AND PEDAGOGICAL EDUCATION

N. Kh. Rozov

The measures are proposed and discussed directed to providing both the qualified pedagogical staff for the comprehensive school and universities (institutes) and qualified managers for systems of the educational control.

Keywords: comprehensive school, pedagogical university, classical university, master's degree.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СОРЕВНОВАНИЯ В ВУЗАХ

УДК 51-8

СТУДЕНЧЕСКИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ БОИ В ЧУВАШИИ

Н. И. Мерлина, М. В. Петрова

Чувашский государственный университет им. И. Н. Ульянова, Россия, 428015, г. Чебоксары, Московский пр., 15; тел.: (8352)450301, e-mail: merlina@cbx.ru, vasilkovam@mail.ru

Приведены задачи студенческих командных соревнований (математических боев), проводившихся на математическом факультете Чувашского государственного университета им. И. Н. Ульянова.

Ключевые слова: студенческие математические бои, математическая карусель, командная олимпиада.

Математический бой был изобретен в середине 60-х гг. прошлого столетия учителем математики школы №30 г.Ленинграда И. Я. Веребейчиком. Это соревнование остается популярным в различных физико-математических школах и ведущих вузах Санкт-Петербурга, Москвы и других городов государств бывшего Союза. Правила математического боя изложены в журналах “Квант” (№10, 1972), “Математика в школе” (№4, 1990) и в книге [1]. С осени 1997 г. ежегодно проводятся математические турниры памяти А. Н. Колмогорова для старшеклассников. Эти турниры традиционно собирают самых сильных участников и по праву признаны неофициальным командным первенством России по математике среди школьников. К сожалению, регулярных всероссийских турниров для студентов высших учебных заведений пока не существует, но в отдельных регионах они проводятся. Так, в 1995, 1997, 1999 гг. олимпиада проводилась в Уральском государственном педагогическом университете (Екатеринбург), в 1996 и 2002 гг. — в Челябинском государственном педагогическом университете, в 2001 и 2003 гг. — в Башкирском государственном педагогическом университете (Уфа), в 1998г. — в Пермском государственном педагогическом университете, в 2000 г. — в Стерлитамакском государственном пединституте.

В 2005 г. на базе математического факультета Чувашского государственного университета впервые был проведен турнир студенческих математических боев (I-II курсы) среди вузов Чувашии, причем организаторами были сами студенты. Соревнование понравилось студентам и преподавателям, и турнир стал традиционным. В составе жюри работают преподаватели и выпускники математического факультета. Постоянные составители задач -заведующий кафедрой теоретической механики О. В. Ильин и ассистент кафедры высшей математики М. П. Мулгачев.

Студенческие математические бои являются командными соревнованиями (в команде обычно 6 человек). Участники — студенты не только математического факультета университета, но и технических, гуманитарных факультетов, а также других вузов и даже техникумов г. Чебоксары. С 2006 г. участвуют студенты и из других городов: Йошкар-Олы, Тольятти, Кирова.

Целями проводимых соревнований являются прежде всего привлечение студентов к предмету, формирование математического мышления, развитие умения коллективного решения задач, выявление одаренных студентов. В игровой деятельности этого добиться легче [2, 3]. Мотивация игровой деятельности обеспечивается её добровольностью, элементами соревновательности, удовлетворением потребности в самореализации личности.

Турнир продолжается два дня и проводится в несколько этапов: в первый день — командная олимпиада и I математический бой; во второй день — математическая карусель и II математический бой, в заключение — подведение итогов и вручение дипломов и призов [4].

На командной олимпиаде команды получают условия задач и определенное время для их решения. Затем задачи проверяет и оценивает жюри.

Математическая карусель проводится следующим образом. Команде предлагается серия из 20 задач. Требуется дать ответ на задачу, не приводя решение или доказательство. Команда получает следующую задачу после того, как дала верный ответ на предыдущую, при неверном ответе выступление команды завершается. Результатом является длина серии правильно решенных задач.

Математический бой — это соревнование двух команд. Оно состоит из двух частей. Сначала команды получают условия задач и время для их решения. При решении задач команда может использовать любую литературу, но не имеет права общаться ни с кем, кроме жюри. По истечении времени начинается собственно бой, когда команды согласно правилам рассказывают друг другу решения задач. Когда одна команда рассказывает решение, другая оппонирует, то есть ищет ошибки, недочеты, а если решения нет, то, возможно, приводит свое. Жюри оценивает выступления докладчиков и оппонентов в баллах.

Как показывают итоги турниров, наибольших успехов добиваются студенты тех вузов, где ведется целенаправленная работа: спецсеминары, факультативы, кружки, посвященные задачам олимпиадной тематики. Традиционно сильно выступает команда факультета информатики и вычислительной техники Чувашского государственного университета.

После турнира издается брошюра с методическими указаниями по решению задач (см. [4-7]), в которой приводятся турнирная таблица, фотографии команд-победительниц, оргкомитета и жюри.

Ниже приведены примеры заданий турнира.

Математическая карусель (2006 г., [4])

1. На доске было написано произведение трех последовательных четных чисел. Вася случайно стер некоторые цифры, в результате на доске осталось 87 ***** 8. Какое число было записано на доске?

2. Сколько действительных корней имеет уравнение sin(x) = 0,2006х?

3. В шаре радиуса R = 10 имеется шаровая полость радиуса г = 5 с центром в центре шара. С какой вероятностью траектория частицы, попавшей в шар, пройдет через внутреннюю полость?

4. При движении лодки в спокойной воде сопротивление среды вызывает замедление, пропорциональное скорости движения. Моторная лодка движется в момент остановки мотора со скоростью 200м/мин, а через У2 мин — уже со скоростью 100 м/мин. С какой скоростью она будет двигаться через 2 минуты?

5. Каково наибольшее число квадратов со стороной 1, которые можно приложить к данному квадрату К со стороной 1, чтобы никакие два квадрата не пересекались?

6. Вычислить

Командная математическая олимпиада (2007 г., [5])

1. Пусть /(ж) = X3 — X2 + 1. Верно ли утверждение, что при всяком натуральном и хотя бы один из коэффициентов многочлена Р(х) = fn(x) является отрицательным числом?

2. В клетках шахматной доски (размером 8x8) записаны числа, равные числу различных путей (способов), по которым находящаяся в данной клетке фигура “крокодил” может добраться до левой верхней клетки, в которой изначально записано число 1. “Крокодил” может перемещаться из любой клетки только в соседнюю с ней слева или сверху по стороне клетку. Из записанных чисел сформирована матрица А. Найдите det А.

3. Найдите ось симметрии линии у = (у — 2х)2, если она есть, или докажите, что ось симметрии отсутствует.

4. На окружности (0\\ R) находится точка Ai, а на окружности (О2; R) - точка В\, при этом О1О2 = А\В\ и 0\0<i = 2R. Определим при п > 2 положения точек последовательностей {Ап} и {Вп} следующим образом: точки Ап и Вп являются образами точек An—i и Bn—i при симметрии относительно прямых 0\Bn-i и Ö2An-\ соответственно. Докажите, что существуют пределы lim Ап = А и lim Вп = В, и найдите их.

5. Существуют ли многочлены Р = Р(х, у, z), Q = Q(x, у, г), R = R(x, у, г), такие, что для всех действительных ж, у, z выполнено равенство

Математический бой (2008 г., [6])

1. Решите уравнение

для каждого действительного значения а.

2. Какое наибольшее значение может принимать максимум из элементов матрицы Л-1, где А — невырожденная квадратная целочисленная матрица третьего порядка с элементами, по модулю не превышающими 2?

3. Пусть

где

Найдите

4. Докажите, что всякий неотрицательный при всех х G R многочлен 4-й степени с действительными коэффициентами можно представить в виде

суммы квадратов двух многочленов (тоже с действительными коэффициентами) .

5 Найдите минимальное значение интеграла

6. На плоскости проведены четыре прямые дороги, из которых никакие две не параллельны и никакие три не пересекаются в одной точке. По каждой дороге с постоянной скоростью идет пешеход. Известно, что 1-й пешеход встречается со 2-м, с 3-м и с 4-м, а 2-й встречается с 3-м и с 4-м. Обязательно ли 3-й пешеход встретится с 4-м? Обоснуйте ответ.

Домашние задачи (задачи, предложенные командами1)

1. (“Математический нокдаун”, 2005) Доказать, что любое число можно представить в виде суммы пяти кубов целых чисел.

2. (“Формула успеха”, 2005) В окружность единичного радиуса вписан правильный TV-угольник. Найти произведение длин всех его диагоналей.

3. (“Магистры”, 2005) В каждой клетке квадратной доски 3x3 сидит жук. По команде эти жуки перемещаются (один раз) в соседнюю клетку по вертикали или по горизонтали. Доказать, что после их перемещения на доске останется хотя бы одна свободная клетка.

4. (“ЭТ++”, 2007) Встречаются 2 математика и один другого спрашивает:

— Я знаю, у тебя есть три дочери, — сколько им лет?

- Если перемножить количество лет моих дочерей, то получится 72, а если сложить — номер вон того дома.

— Этих данных недостаточно.

— Да, недостаточно. Старшая дочь играет на пианино. Сколько лет дочерям?

5. (“Частный случай”, 2008)

Найти X.

Тренировочные задачи [6]

1. Пусть а, /?, 7 являются углами треугольника. Показать, что

1 В скобках указаны названия команд.

2. Рассмотрим равенства

Установите общий закон в данном примере, выразите его математически и докажите.

3. Докажите утверждение: если сторона треугольника меньше, чем среднее (среднее арифметическое) двух других сторон, то его противолежащий угол меньше, чем среднее двух других углов.

4. У Вовы 10 карманов и 44 серебряных рубля. Он хочет распределить рубли по своим карманам так, чтобы в каждом кармане содержалось различное количество рублей.

(А) Сможет ли он сделать это?

(Б) Обобщите проблему, полагая количество карманов равным р и количество рублей равным п.

Проблема наиболее интересна, когда

Почему?

5. Десять человек сидят вокруг стола. Сумма в десять рублей должна быть распределена среди них по правилу, согласно которому каждый получает одну половину от суммы, которую его два соседа получают вместе. Есть ли только один путь, чтобы распределить деньги таким образом?

РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ, ОТВЕТЫ

(Примечание: указанные решения в большинстве случаев не являются единственно возможными)

Математическая карусель (2006 г.)

1. Ответ: 87526608.

2. Ответ: 3.

3. Ответ: %

4. Ответ: 12,5 м/мин.

5. Ответ: 7.

6. Ответ: 2.

Командная математическая олимпиада (2007 г.)

1. Ответ: Утверждение верное.

Решение. Предположим противное, тогда непрерывная функция Р{х) является строго возрастающей на отрезке х G [0; 1] (так как все коэффициенты не меньше нуля, то и производная больше нуля при х > 0). С другой стороны, так как /(0) = /(1) = 1, то и Р(0) = Р(1) = 1, получили противоречие.

2. Ответ: det А = 1.

Указание. В общем случае доски n на n доказывается, что

Также можно доказать, что

3. Ответ:

Указание. Докажите, что это парабола, потом найдите вершину и направление оси. Формально: надо произвести (ортогональную) замену координат , приводящую кривую к виду

В новых координатах уравнение оси х =0. Возвращаясь к старым координатам (выразив х' через х и у и подставив вместо х' ноль), получим ответ. Возможны также решения, не использующие теорию кривых второго порядка.

4. Указание. Введите систему координат Оху. Не нарушая общности, можно считать, что R = 1, а также 0\{—1; 0) и 02(1; 0). Можно показать, что при любом и точка Ап принадлежит первой, а точка Вп — второй окружности, при этом АпВп = 0\Ö2- Пусть координаты точки Ап равны ждп = = cosan — 1; уа,п — sinan, где ап G [0; 27г], п > 1, тогда координаты точки Вп равны

при этом справедливы следующие формулы:

Нетрудно установить, что если cos ai ф ±1, то последовательность {ждп} строго убывающая, причем ха,п ^ — 2; если cos ai = ±1, то для любого и имеем ждп = ха,\ = ха-Дальнейшие рассуждения по доказательству существования пределов А и В проведите самостоятельно, пределы равны А(0; 0); 5(2; 0) при cos ai = 1 или Л(-2; 0); Б(0; 0) при cos ai ф 1. 5. Ответ: Не существуют.

Решение. Заметим, что система уравнений

имеет решение (ж, у, z) = (1,2,1). При подстановке этих значений переменных в рассматриваемое тождество множители при многочленах, а с ними и вся левая

часть, обращаются в нуль и тождество нарушается, какие бы многочлены мы ни выбирали.

Математический бой (2008 г.)

1. Ответ: Уравнение имеет четыре решения

Уравнение имеет три решения

Уравнение имеет два решения :

Уравнение имеет одно решение

Уравнение не имеет решений при

Решение. После возведения обеих частей уравнения в квадрат решим получившееся квадратное относительно а уравнение. Получим

Далее находим

При возведении в квадрат мы могли получить посторонние корни. Подставляя найденные х в исходное уравнение, найдем соответствующие промежутки изменения параметра а. 2. Ответ: 6.

Решение. Воспользуемся формулой явного вида обратной матрицы Л-1 =

Очевидно, что

Если Aij = 8, то А кратно 2 и соответствующий максимальный элемент матрицы не больше 4. Далее, очевидно, что Aij ф 7. Пример соответствующий приведенному ответу, завершает решение.

3. Ответ: -

Указание.

где в правой части дробных черт, тогда F(x) = ^200э(^)- По индукции докажем, что

Далее,

4. Решение. По известной теореме многочлен можно представить в виде произведения двух квадратных трехчленов с неположительными дискриминантами (проведите полное рассуждение!). Далее,

— искомое представление.

5. Ответ: 0,5.

Указание. Предварительно докажите, что интеграл минимален, когда b = 0. Далее покажите, что с G (—1,0) (почему?). При этих с имеем и интеграл достигает минимума при

Домашние задачи (задачи, составленные студентами)

1. Решение.

2. Решение. Можно считать, что множество вершин рассматриваемого правильного TV-угольника на комплексной плоскости — это множество корней из единицы {^г}- Найдем произведение длин всех диагоналей, включая соответствующие прилегающие стороны, выходящих из вершины z\ = 1 + 0г:

значит, наше произведение равно N. Убирая из произведения две стороны, получим

произведение “обычных” диагоналей, проведенных из одной вершины. Отсюда произведение всех диагоналей равно

3. Решение. Раскрасим доску на черные и белые клетки (как шахматную доску). Каждый жук поменяет цвет своей клетки с белого на черный и с черного на белый. В результате останется хотя бы одна клетка того цвета, которого было больше после покраски доски.

4. Решение. Разложим число 72 всеми возможными способами на три положительных целых множителя и выпишем все возможные тройки возрастов дочерей, а справа напишем их сумму, соответствующую “тому дому”.

Поскольку без указания, что старшая дочь играет на пианино, данных недостаточно, то номер дома равен 14 — только эта сумма повторяется два раза. Поскольку старшая дочь одна, надо выбрать вариант номер 11.

5. Решение. Если функция / непрерывна на отрезке [а, Ь] и принимает на его концах значения различных знаков, тогда она обращается в ноль хотя бы в одной точке с этого отрезка. При этом если функция монотонна на данном отрезке, то она принимает значение ноль лишь один раз.

Рассмотрим функцию

1)

2) отсюда

для всех т. По условию

3) отсюда уравнение

имеет вид

4) уравнение

можно записать в виде

откуда

5) согласно условию, д(х) > 0 для всех ж, т. е. решение д(х) = 0 постороннее;

6) решим уравнение д(х) = 2:

а) если X > 4, то д(х) = 25, поэтому уравнение д(х) = 2 не имеет решений;

б) если X < 4, то

Левая часть уравнения

представляющая собой сумму возрастающих функции, есть функция возрастающая. Правая часть — постоянная, поэтому уравнение не может иметь более одного корня, который легко находится подбором. Ответ: —1.

Тренировочные задачи [6]

1. Решение. Обозначим данные в условии тождества через (а), (Ь) и (с) соответственно. Если а + ß + 7 = 7г, то (тг — 2а) + (л — 2/3) + (7г — 27) = 7г. Мы можем идти от (а) к (b), а также от (Ь) к (с) посредством подстановки il — 2а, 7г — 2/3, 7г — 27 вместо а, /3, 7 соответственно. Остается доказать справедливость тождества (а), что может быть сделано многими способами. Например, подставим 2и, 2v и 7г — 2и — 2v вместо а, /3, 7 соответственно. Тождество (а) перепишется в виде

(а')

Применим к левой части доказываемого тождества (а') теорему синусов (к двум первым слагаемым) и формулу синуса двойного угла (к третьему слагаемому):

Применим теорему сложения косинусов к сумме косинусов в скобках и получим правую часть доказываемого тождества (а'). Таким образом, тождество (а) доказано.

2. Указание. Общий закон есть

Шаг от п к п + 1 требует от нас проверить, что

3. Решение. Поскольку А + В + С = 180°, доказательство того, что А < < (В + С)/2, равносильно доказательству того, что А < (180° — А)/2 или А < 60°. Но А < 60° эквивалентно тому, что cos А > 1/2, что наводит на мысль использовать теорему косинусов. Примем, что b + с > 2а. Возводя в квадрат обе части неравенства и применяя теорему косинусов, получим Ь2 + + 2Ьс+с2 > A(b2 + c2-2bccosA), или 8bccos^ > ЗЪ2+ 3с2-2Ъс. Вычитая Abc от обеих частей последнего неравенства, получаем 4fcc(2cos А—1) > 3(6—с)2 > 0. Следовательно, cos Л > 1/2.

4. Решение. (А) Наименьшее возможное количество рублей в кармане равно, очевидно, 0. Следующее большее число равно, по крайней мере, 1, следующее большее — по крайней мере, 2, и т.д., число рублей в последнем (десятом) кармане равно, по крайней мере, 9. Следовательно, количество требуемых рублей равно, по крайней мере, 0 + 1 + 2 + 3 + .. . + 9 = 45. Вова не может выполнить свое желание: у него только 44 рубля.

(Б) В общем случае задача имеет решение, если

Решения нет, если

5. Решение. Пусть А, В, С, D,..., J — сидящие вокруг стола люди, а а, 6, с, d,..., j — количество полученных ими денег соответственно; В сидит справа от А, С — справа от В, ..., А — справа от J. Правило, заданное в условии задачи, выражается равенствами

Первое решение. Из написанных равенств следует, что b — а = с — b = = d — с = ... = а — j, так что доля каждого превышает долю его соседа слева на одно и то же постоянное количество b — а. Это постоянное превышение должно быть нулевым, поскольку

Итак, существует только один способ распределить деньги: все доли равны.

Второе решение. Один (или несколько) из сидящих за столом должен получить максимальное количество денег. Пусть это будет В. Тогда ни одно из количеств а,..., j не будет больше, чем Ь, и, в частности, Ь—а > О, Ь—с > 0. Кроме того, согласно условию задачи, Ь — а = — (Ь — с). Следовательно, обе величины b — а и b — с должны равняться нулю. Таким образом, с — такой же максимум, как Ь, и т.д. Следовательно, а = b = с = ... = j.

ЛИТЕРАТУРА

1. Генкин С. А., Итенберг И. В., Фомин Д. В. Ленинградские математические кружки. — Киров: Аса, 1994. 272 с.

2. Безрукова В.С. Педагогика. — Екатеринбург, 1996. 350с.

3. Фоминых Ю.Ф., Плотникова Е. Г. Педагогика математики. — Пермь: Изд-во Пермского ун-та, 2000. 365 с.

4. Мерлина Н.И., Василькова М.В. и др. I Турнир студенческих математических боев Чувашии. Методическое пособие. I—II курсы. — Чебоксары: Изд-во Чуваш, ун-та, 2006. 40 с.

5. Мерлина Н. И., Василькова М. В. и др. II Турнир студенческих математических боев Чувашии. Методическое пособие. I—II курсы. — Чебоксары: Изд-во Чуваш, ун-та, 2007. 40 с.

6. Мерлина Н.И., Петрова М.В. и др. III Турнир студенческих математических боев Чувашии. Методическое пособие. I—II курсы. — Чебоксары: Изд-во Чуваш, ун-та, 2008. 40 с.

7. Мерлина Н.И., Петрова М.В. и др. IV Турнир студенческих математических боев Чувашии. Методическое пособие. I—II курсы. — Чебоксары: Изд-во Чуваш, ун-та, 2009. 40 с.

STUDENT MATHEMATICAL BATTLES IN THE CHUVASH REPUBLIC

N. I. Medina, M. V. Petrova

Problems of the students' team competitions (mathematical battles) carried out at the mathematical faculty of the I.N. Unyanov Chuvash State University are presented.

Keywords: students' mathematical battles, mathematical merry-go-round, team olympiad.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СОРЕВНОВАНИЯ В ВУЗАХ

УДК 51-8

ВСЕРОССИЙСКАЯ СТУДЕНЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ И МЕТОДИКЕ ЕЁ ПРЕПОДАВАНИЯ (письменный конкурс по математике)

Н. А. Дроздов, В. П. Кузьмин, Н. С. Симонова, Р. А. Утеева

Тольяттинский государственный университет, Россия, 445667, г. Тольятти, ул. Белорусская, 16В; e-mail: R.Uteeva@tltsu.ru

Рассказывается о проведении второго тура Всероссийской студенческой олимпиады по математике и методике её преподавания. Все задания письменного индивидуального конкурса по математике даны с решениями.

Ключевые слова: математические олимпиады, индивидуальный и командный зачет, устные и письменные соревнования.

Кафедра алгебры и геометрии Тольяттинского государственного университета при поддержке УМО по педагогическим специальностям педвузов (МПГУ, Москва) 3-5 февраля 2009 г. провела 2-й тур Всероссийской олимпиады по математике и методике её преподавания для студентов 3-х - 5-х курсов педагогических специальностей “Математика”.

При подготовке и проведении олимпиады организаторы преследовали несколько целей:

- выявить уровень математической подготовки студентов старших курсов педвузов — будущих учителей математики — по базовым дисциплинам (алгебре, геометрии и математическому анализу);

- привлечь внимание педвузов к одной из форм активизации творческой учебно-познавательной деятельности студентов-математиков;

- способствовать обмену опытом подготовки учителей математики в педвузах;

- привлечь внимание наиболее способных студентов к решению нестандартных задач по математике, к изучению истории математики, к изучению методик и технологий обучения математике.

Всего в олимпиаде приняли участие 16 команд из 14 вузов1. От каждого вуза была представлена команда в составе трех участников2, студентов 3-х-5-х курсов, которые соревновались в четырех конкурсах:

1) письменный индивидуальный конкурс по математике;

2) устный командный конкурс по истории научных (математических) идей и открытий;

1 Волгоградский, Вологодский, Московский, Нижегородский, Пензенский, Самарский, Ульяновский, Ярославский государственные педагогические университеты, Поморский, Рязанский, Смоленский, Тольяттинский государственные университеты, Московский государственный областной гуманитарный институт, Мордовский государственный педагогический институт.

2 От Тольяттинского государственного университета были представлены по команде от 3-х, 4-х и 5-х курсов.

3) письменный индивидуальный конкурс по общей методике преподавания математики;

4) устный командный конкурс по методикам и технологиям обучения математике.

Результаты каждого конкурса оценивались независимо, т. е. по каждому конкурсу определялись победители, которые награждались дипломами за 1-е, 2-е и 3-е места. Некоторые участники были награждены почетными грамотами за оригинальное решение или полное и правильное решение отдельной задачи.

Ниже приведены задачи письменного индивидуального конкурса по математике. Каждая задача оценивалась определенным количеством баллов. Для решения задач предоставлялось 4 астрономических часа. Задания были даны с избытком: каждый мог выбрать задачи по своему вкусу и решить любое количество задач.

Во время выполнения письменного задания олимпиады для руководителей команд и членов жюри был проведен научно-методический семинар “Современные проблемы геометрического образования в средней школе”. Руководил семинаром профессор кафедры алгебры и геометрии ТГУ Е. В. Потоскуев — автор рекомендованных МО РФ школьных учебников геометрии для классов с углубленным и профильным изучением геометрии.

После проверки работ, которые предварительно были зашифрованы, и определения победителей для всех желающих участников был проведен анализ решений с подробным разбором ошибок.

Таким образом, олимпиада носила не только соревновательный, но и обучающий характер. По мнению большинства участников, задачи оказались интересными, трудными, но вполне решаемыми. Отметим, что все задачи полностью не решил ни один участник.

РЕШЕНИЯ ОЛИМПИАДНЫХ ЗАДАЧ3

1. Найти определитель

(4 балла)

Т Пусть Ai, Л2,..., Л5 — столбцы данного определителя. Из столбца Л5 вычтем линейную комбинацию 108 • A4 + 106 • A3 + 104 • А2 + Ю2 • А\ столбцов Ai,..., A4, при этом определитель не изменится. Получим

Замечая, что пятый столбец последнего определителя равен А 2 — А\, получаем А = 0. Ответ: А = 0. А

3 Имеются и другие варианты решений.

2. Найти условие, которому должна удовлетворять матрица с целыми элементами для того, чтобы все элементы обратной матрицы были целыми. (5 баллов)

Т Пусть dij — целочисленная матрица, т. е. aij G Z, тогда det (а^) G Z. По определению обратной матрицы det [{dij) • {o>ij)~j = 1- Отсюда по теореме

об определителе произведения матриц получаем det (a^)-det (a^)-1 = 1. Если элементы обратной матрицы целые, то det (a^)_1 G Z, откуда det (a^) = ±1. Ответ: det (a^) = ±1. A

3. Многочлен P(x) = xn + a\xn~l + ... + an-\x + 4 с неотрицательными коэффициентами имеет п вещественных корней. Доказать, что Р(1) > 2n+1. (6 баллов)

Т Пусть fei, fe2, • • •? Ьп — вещественные корни многочлена Р(х). Так как все коэффициенты многочлена Р{х) неотрицательны, а свободный член больше нуля (в нашем случае он равен 4), то все корни многочлена отрицательны.

Положим hi = — ci, г = 1, 2,..., п, где с% > 0. Имеем

Р(х) = (ж - fei) • (ж - Ь2) • • • • • (ж - Ьп) = (х + ci) • (х + с2) • ... • (х + сп).

Тогда Р(1) = (1 + ci) • (1 + с2) • • • (1 + сп). Так как 1 + а > 2 • ^/1 • С{, то Р(1) > 2п . Vci • с2 :... : сп.

По теореме Виета fei • Ь2 • ... • Ьп = (—1)п4. Отсюда ci • с2 • ... • сп = = (-fei) • (-fe2) (-fen) = (-1)п-fei -fe2-...-fen = (-If . (-If .4 = 4.

Следовательно, P(l) > 2n • у/ï, откуда P(l) > 2n+1.

Случай равенства невозможен, так как иначе 1 + q = 2 • ^/1 • С{ для г = 1, 2,..., гг, откуда ci = с2 = ... = сп = 1, но тогда ci • с2 • ... • сп = 1 ф 4. Итак, Р(1) > 2n+1. А

4. Внутри эллипса взята произвольная точка О. Доказать, что на этом эллипсе существуют три попарно различные точки А, В и С, такие, что ОА + + ÖB + ОС = 0. (4 балла)

Т Обозначим эллипс через Q. Возьмем диаметр <i, проходящий через данную точку О. Пусть {A, D} = d П Q и ЛО < 0£>.

Возьмем точку Е G d, лежащую между О и В, такую, что ОЕ1 = - OA.

Проведем хорду ВС, направление которой сопряжено с направлением диаметра и которая проходит через точку Е. Точка Е делит хорду ВС пополам.

Рассмотрим ААВС, АЕ — медиана этого треугольника, О — точка пересечения медиан. Таким образом, OA + OB + ОС = 0. А

5. Найти фигуру, образованную центрами окружностей, касающихся данной окружности и проходящих через данную точку вне этой окружности. (5 баллов)

Т Пусть S — данная окружность, точка А — её центр и точка В — данная точка вне окружности. Возможны два случая: а) окружность S находится вне окружности, проходящей через точку В и касающейся окружности S] б) окружность S находится внутри окружности, проходящей через точку В и касающейся окружности S.

Рассмотрим случай а). Выберем прямоугольную систему координат следующим образом: начало координат О — середина отрезка [AB], ось Ох -

прямая (AB). Обозначим через R радиус данной окружности S, С = (AB)nS, СВ = 1.

Пусть M — центр окружности которая касается окружности S и проходит через точку В, и К — точка касания S и S'. Обозначим радиус окружности Sf через г.

Тогда имеем

Обозначим координаты точки M в выбранной системе координат через X и у, тогда

Исключая г из этой системы, получим

Отсюда следует, что центры окружностей S и Sf находятся на гиперболе. Таким образом, искомая “фигура” — гипербола. Случай б) рассматривается аналогично случаю а). Здесь AM = г — R

Исключая г из этой системы, получим уравнение той же гиперболы. Ответ: искомая “фигура” — гипербола. А

6. Пусть ëi — единичный вектор внешней нормали к грани тетраэдра, а Si — площадь этой грани, г = 1,2,3,4. 1) Доказать, что ^ ë{Si = 0. 2) Доказать, что аналогичный результат справедлив для любого выпуклого многогранника. (6 баллов)

1) Рассмотрим тетраэдр ABCD. Обозначим AB = а, АС = Ь, AD = с.

Тогда

Отсюда видно, что

Итак,

2) Возьмем точку О внутри многогранника и разобьем грани многогранника на треугольники. Тетраэдры с вершинами в точке О и в вершинах треугольников, на которые разбиваются грани многогранника, образуют разбиение многогранника. Для каждого тетраэдра имеем

где ëik — единичный вектор внешней нормали к грани к-то тетраэдра, a S^fc ~ площадь грани к-то тетраэдра.

Рассмотрим

Слагаемые, отвечающие внутренним граням тетраэдров, взаимно уничтожатся, так как два тетраэдра, имеющие общую грань, имеют противоположные единичные векторы нормали к этой грани. Таким образом, в сумме останутся только слагаемые, отвечающие внешним граням тетраэдров, откуда и следует, что результат имеет место для любого выпуклого многогранника. А

7. Ряд

сходится. Доказать, что сходится ряд

Верно ли обратное? (4 балла)

1 ) Так как

то

2) Так как ряды сходятся, то сходится и ряд

(1)

Действительно, для остатка Rn ряда (1) имеем:

силу сходимости соответствующих рядов. Но тогда ряд

сходится по признаку сравнения. Обратное не верно — например, если

8. При каких значениях пит функция

1) непрерывна в точке х = 0; 2) дифференцируема в точке х = 0; 3) имеет непрерывную производную в точке х = 0? (5 баллов)

1) Так как

то

Следовательно, если п > 0, то

Таким образом, при п > 0 функция fix) непрерывна в точке х = 0.

2)

Следовательно,

если п > 1, то /'(О) = 0, т. е. функция дифференцируема в точке х = 0. 3) Если X ф 0, то, очевидно, fix) существует.

Если X > 0, то

Следовательно,

Следовательно,

Итак,

т. е. f'(x) непрерывна в точке = 0. А

9. Найти lim J sinxndx. (6 баллов)

Так как при х G [0,1]

справедливо неравенство 0 < следовательно, lim 1\{п) = 0.

Так как

поэтому

Итак, lim Г sinxn dx = 0. Ответ: 0. А

THE ALL-RUSSIAN STUDENT OLYMPIAD IN MATHEMATICS AND METHODS OF ITS TEACHING (the written competition in mathematics)

N. A. Drozdov, V. P. Kuzmin, N. S. Simonova, R. A. Uteeva

It is discussed the second round of the All-Russian student olympiad in mathematics and methods of its teaching. All tasks of the written personal competition are given with their solutions.

Keywords: mathematical olympiad, personal competition, team competition, oral and written competition.

АНАТОЛИЙ ДМИТРИЕВИЧ МЫШКИС

Некролог

Далеко не про каждого ученого, даже получившего признание в науке, можно сказать, что он — основатель нового направления. Про Анатолия Дмитриевича Мышкиса известный американский математик Дж. Хейл написал: “А. Д. Мышкис ввел общий класс уравнений с запаздывающим аргументом и заложил основы теории систем таких уравнений”. И действительно, одним из наиболее значительных, но далеко не единственным достижением Анатолия Дмитриевича является построение теории функционально-дифференциальных уравнений (это современное название уравнений с запаздывающим аргументом) — нового направления в теории дифференциальных уравнений [1].

Помимо этого, значительное место в исследованиях А. Д. Мышкиса занимают уравнения с частными производными. Здесь им впервые было введено понятие обобщенного решения уравнений с многозначной разрывной правой частью. Для гиперболических систем полулинейных и квазилинейных уравнений им были введены понятия обобщенного решения и доказаны теоремы о разрешимости смешанной задачи. Одна из его работ по уравнениям с частными производными была удостоена премии Московского математического общества.

А. Д. Мышкис получил ряд основополагающих результатов в теории дифференциальных уравнений с многомерным временем, а также в теории многозначных отображений и дифференциальных включений. Он также впервые ввел и исследовал импульсные дифференциальные уравнения, которые сейчас активно изучаются и применяются многими исследователями.

Сказанное далеко не в полной мере отражает научную деятельность А. Д. Мышкиса. Например, он получил важные результаты в теории разностных уравнений и неравенств, в теории “бушующих” систем, в спектральных задачах с изменяющейся границей, активно занимался анализом влияния скоростных сил на устойчивость колебаний, вопросами выбора формы тела качения по двум параллельным направляющим и многими другими проблемами.

Анатолий Дмитриевич родился 13 апреля 1920 года в г. Спасске Рязанской области в семье Дмитрия Семёновича Ермакова и Хаи Самуиловны Мышкис. Вскоре семья переехала в Харьков. С 6 лет у Анатолия проявился интерес к вычислениям и чтению. В 1928 г. он поступил во 2-й класс 36-й школы, где училась старшая сестра Елена. В 1932 г. семья переехала в Москву. К этому времени относятся знакомство Анатолия с книгами Я. И. Перельмана и его первые самостоятельные открытия — например, он эмпирически обнаружил треугольник Паскаля. Пробыв один год в лесной школе-интернате в Сокольниках (из-за болезни он до 18 лет неоднократно лечился в детских санаториях), Анатолий поступил в 25-ю Образцовую среднюю школу, где учились дети многих советских партийных руководителей.

Анатолий посещал математический кружок в Московском университете с начала его существования (1935 г.). Занятия в кружке вёл молодой преподаватель И.М. Гельфанд, периодически в МГУ и МИАНе лекции для школьников читали ведущие профессора мехмата. В конце учебного года была проведена первая олимпиада по математике для школьников, на которой в числе получивших первую премию была Анна Мышкис — двоюродная сестра Анатолия (позднее она поступила на мехмат, но погибла на фронте, где была связисткой). Анатолий участвовал во II и III олимпиадах и на III был призером. В 1937 г. после окончания школы с отличием он без экзаменов был принят на механико-математический факультет МГУ.

На мехмате А. Д. Мышкис учился у Н. К. Бари, Б. Н. Делоне, С. В. Бахвалова, А. Г. Куроша, С. Э. Хайкина, И.Г.Петровского, Л. А. Тумаркина, П. К. Рашевского, А. Я. Хинчина, И.М. Виноградова, СЛ. Соболева, И. И. Привалова, Б. В. Гнеденко, П. С. Александрова. Позднее своими главными учителями А. Д. Мышкис называл И. М. Гельфанда, И.Г.Петровского и Я. Б. Зельдовича. Важной частью обучения для А. Д. Мышкиса было самообразование. Ситуация в семье была сложная в связи с репрессиями, задевшими родственников матери А. Д. Мышкиса, поэтому большую часть времени он старался проводить вне дома, в читальном зале.

После начала Великой Отечественной войны А. Д. Мышкис вместе с другими студентами МГУ участвовал в строительстве оборонных сооружений, после чего был призван для обучения в Военно-воздушной инженерной академии им Н. Е. Жуковского (ВВИА). В это время пятикурсники сдавали госэкзамены, и студент 4-го курса А. Д. Мышкис, подготовившись за 2 дня, сдал их, получив диплом с отличием.

Мобилизованных студентов-курсантов направили в Свердловск для прохождения курса ВВИА за 3 года. Там А. Д. Мышкис учился на факультете авиационного вооружения, где практические занятия по теории вероятностей у него вела Елена Сергеевна Вентцель, с которой он в дальнейшем сотрудни-

чал — и в обсуждении проблем преподавания математики, и в преподавании в МИИТе (лекции по теории вероятностей в ВВИА читал В. С.Пугачёв).

В 1942 г. мехмат МГУ, эвакуированный ранее в Ашхабад, переехал в Свердловск. А. Д. Мышкис, посоветовавшись с И. М. Гельфандом, решил поступать в аспирантуру к И. Г. Петровскому. Он, не имея пока разрешения от руководства ВВИА, сдал экзамены в заочную аспирантуру и лишь много позже добился этого разрешения. В 1943 г. вместе с ВВИА А. Д. Мышкис вернулся в Москву.

После окончания с отличием Академии (в дипломной работе, рецензентом которой был Б. В. Гнеденко, А. Д. Мышкис по совету Е. С. Вентцель рассматривал, в частности, задачу о максимизации вероятности поражения цели) А. Д. Мышкис был распределен младшим преподавателем на кафедру высшей математики ВВИА. Здесь он работал вместе с В. В. Голубевым, Н. Д. Моисеевым и Г. Ф. Лаптевым, а также с сотрудниками кафедры теоретической механики А. А. Космодемьянским и М. А. Лаврентьевым, часто общался с представителями инженерных кафедр, что, по его словам, способствовало приобщению к прикладному стилю мышления. Одновременно с обучением в аспирантуре А. Д. Мышкис преподавал на полставки на кафедре дифференциальных уравнений МГУ, на которой в то время работали И. Г. Петровский, В.В.Степанов, В. В. Немыцкий, С.Л.Соболев, С. А. Гальперн. На научных семинарах А. Д. Мышкис общался с А.Н.Тихоновым, И. Н. Векуа, Л. А. Люстерником и другими выдающимися математиками. Среди учеников А. Д. Мышкиса на мехмате были В. Г. Болтянский, Е. М. Ландис, О. А. Ладыженская, О.А. Олейник (дипломную работу которой А. Д. Мышкис позднее рецензировал). Вместе с О. А. Ладыженской А. Д. Мышкис организовал “Маленький семинар” для изучения работ Р. Куранта и Д. Гильберта (в этом семинаре активно участвовали С. А. Гальперн, М. А. Крейнес, М. И. Вишик, Р. А. Александрян, О. А. Олейник и другие).

Курсантами ВВИА в то время были в основном прошедшие войну офицеры, лишь немного освежившие знания по математике на подготовительных курсах. Поэтому А. Д. Мышкису приходилось постоянно проводить дополнительные занятия и консультации, которые посещались курсантами охотно: в случае отчисления им пришлось бы вернуться в командировавшую их на учебу воинскую часть. Позже, когда в Академию стали поступать выпускники школ, обучение стало более соответствовать вузовскому. Подходящих для занятий задачников тогда не было, и А. Д. Мышкису приходилось самостоятельно составлять задачи.

С 1945 г. он начинает активно публиковаться в научных журналах. Основные темы его публикаций — различные свойства решений обыкновенных дифференциальных и функционально-дифференциальных уравнений, уравнений с частными производными, математические задачи механики (в особенности задачи гидромеханики с учетом поверхностных сил) и методологические проблемы прикладной математики.

После защиты в 1946 г. кандидатской диссертации по теории потенциала А. Д. Мышкис пытался демобилизоваться и остаться работать в Москве

по прикладной тематике, но в 1947 г. он был направлен в Ригу во II Ленинградское краснознамённое высшее авиационно-инженерное военное училище. Параллельно с работой в училище он начал преподавать в Латвийском государственном университете. В 1950 г. ему удалось демобилизоваться в звании инженер-капитан. В Риге А. Д. Мышкис не только преподавал в ЛГУ и занимался научной работой, но и читал лекции для преподавателей средней школы, участвовал в организации внешкольной математической работы, студенческих семинаров и математических конкурсов. В это время его, как ведущего математика Латвии, часто приглашали в руководящие органы республики для оценки различных посланий трудящихся, связанных с математикой (в частности, для оценки очередных доказательств теоремы Ферма). Обращения к нему как к эксперту продолжались и после переезда из Латвии.

В это время научная работа А. Д. Мышкиса была связана с постановкой краевых задач для областей со сложной границей и с исследованием дифференциальных уравнений с запаздыванием. В связи с этим рассматривались некоторые неравенства из теории интеграла Стилтьеса. Также А. Д. Мышкис изучал свойства смешанной задачи для линейных систем уравнений с частными производными. За время “рижского” периода А. Д. Мышкис опубликовал (иногда в соавторстве) 31 научную статью, 1 книгу, 16 методических работ, 7 информационных статей, 4 статьи в газетах, им было отредактировано 5 книг.

В 1950 г. А. Д. Мышкис защитил докторскую диссертацию по теории функционально-дифференциальных уравнений, а в 1952 г. стал профессором.

В 1953 г. А. Д. Мышкис переехал в Минск, где он оказался единственным математиком — доктором наук (в 1955 г. защитил докторскую диссертацию Д. А. Супруненко, а позднее в Минск переехали из Ленинграда С. П. Еругин и В.И.Крылов). Он стал заведовать кафедрой дифференциальных уравнений Белорусского государственного университета и работать на полставки в Минском пединституте. В эти годы А. Д. Мышкис продолжал работу по тематике, начатой в Риге, и опубликовал 13 научных статей, сотрудничал с РЖ “Математика” и БСЭ, переводил и редактировал книгу Р. Беллмана “Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений”.

Отсутствие квартиры (А. Д. Мышкис жил в студенческом общежитии) заставляло А. Д. Мышкиса активно искал возможность переезда в другой город. Он вёл переговоры о переезде в Горький (с ректором университета и с профессором А. Г. Сигаловым) и даже прошел по конкурсу в Горьковский университет, но победила возможность немедленно получить квартиру в Харькове, где Н. И. Ахиезер уговорил директора Харьковского авиационного института (ХАИ) пригласить А. Д. Мышкиса с предоставлением имевшейся в преподавательском доме квартиры.

С осени 1956 г. А. Д. Мышкис — профессор кафедры лопаточных машин, где он читал базовые курсы высшей математики, а с осени 1957 г. до осени 1964 г. — заведующий кафедрой высшей математики ХАИ (он продолжал там читать лекции до 1968 г.).

В Харькове А. Д. Мышкис активно участвовал в заседаниях Харьковского математического общества, сотрудничал с Н. И. Ахиезером, Я. Л. Геро-

нимусом, И. М. Глазманом, H. С. Ланкофом, Б.Я.Левиным, В.А.Марченко, А. Я. Повзнером и А. Я. Погореловым, участвовал в работе научных семинаров, где, в частности, изучались работы Г. И. Марчука о методах расчета ядерных реакторов. В ХАИ А. Д. Мышкис начал читать курсы по дополнительным главам математики для преподавателей и лекции для студентов по дополнительным главам ОДУ и топологии.

А. Д. Мышкис продолжал начатую в Риге и Минске научную работу и руководство оставшимися там аспирантами, занимался решением ряда задач, связанных с приложениями математики в технике. Так, обращение инженера Б. В. Абрамова с вопросом о влиянии периодических толчков на устойчивость работы мотора привело к постановке задачи о решении новых типов дифференциальных уравнений. В простейшей постановке задача была довольно несложной, и поэтому А. Д. Мышкис предложил её в качестве темы курсовой работы студенту В. Д. Мильману. Результаты этой работы были опубликованы в первом томе Сибирского математического журнала и стали основой для развития теории импульсных дифференциальных уравнений.

А. Д. Мышкис участвовал в организации юбилейной сессии Института математики АН УССР (1957г.), во многих конференциях и математических школах, проходивших в СССР. Когда в Харькове в мае 1960 г. был создан Физико-технический институт низких температур (ФТИНТ) АН УССР, в нем был организован большой математический сектор (в этом весьма существенную роль сыграл В.А.Марченко), в который пришло на работу много перспективных выпускников мехмата МГУ. ФТИНТ, будучи оборонным институтом, хорошо финансировался и достаточно быстро обзавелся новым зданием и жилым городком.

В конце 1960 г. во ФТИНТе был организован отдел прикладной математики (ОПМ), которым А. Д. Мышкис заведовал с 1961 г. В ОПМ пришли работать многие ученики А. Д. Мышкиса. Большинство решавшихся ими задач было связано с разработками сотрудников ХАИ, КБ им. Малышева и закрытых НИИ. В связи с развитием космонавтики математикам ОПМ предлагались такие задачи, как исследование свойств поверхности Луны по косвенным данным, исследование температурного режима в трубе, по которой в ракету подается жидкий кислород, а для ведомства С.П.Королёва (ныне НПО “Энергия”) были проведены исследования поведения жидкости в условиях малых объемных сил, когда приходится учитывать капиллярные силы, а иногда и самогравитацию.

В рамках последней задачи рассматривался, например, такой вопрос: пусть жидкость подвешена силами поверхностного натяжения в цилиндрическом баке — при каких внешних возмущениях она может обрушиться? Поиск ответа на это вопрос привел к глубоким исследованиям поведения и устойчивости форм жидкости, изучению равновесных форм её поверхности. Для решения этих задач применялись как аналитические методы, так и расчеты на компьютерах. С 1963 г. А. Д. Мышкис участвовал в работе закрытых конференций по поведению жидкости в условиях космического полета. По материалам этих исследований позднее была издана монография [7].

Параллельно с этим он продолжал исследования в теории дифференциальных уравнений, участвовал в конференциях в социалистических странах,

читал лекции в различных городах СССР, начал работу над созданием телекинокурса по высшей математике.

Во время работы в Харькове А. Д. Мышкис опубликовал знаменитый курс “Лекции по высшей математике” [2], ориентированный на студентов технических вузов, написанный ясным, выразительным языком без излишней формализации понятий дифференциального и интегрального исчислений (сам А. Д. Мышкис считал очень удачным курс А. Ф. Берманта, доработанный И. Г. Арамановичем). Позднее этот курс был дополнен книгой [5]. Также на студентов технических вузов и инженеров была ориентирована книга “Элементы прикладной математики”, написанная им в соавторстве с Я. Б. Зельдовичем [4]. В 1965 г. вышла небольшая книга “Математик Пирс Боль из Риги” [3], написанная в соавторстве с И.М.Рабиновичем.

В это же время началась активная работа А. Д. Мышкиса в Комиссии по математическому образованию АН СССР и в Научно-методическом совете по математике при Министерстве высшего и среднего специального образования СССР. Совместно с Я. Б. Зельдовичем он выступал в газете “Известия” и в Колмогоровской комиссии о необходимости модернизации программы по математике для средней школы — о введении элементов высшей математики, об упрощении изложения материала, усилении связи математики с другими школьными дисциплинами.

В 1961 г. Харьковский обком КПСС предложил А. Д. Мышкису проводить методический семинар преподавателей математики харьковских вузов; состоялось несколько заседаний этого семинара.

С 1968 по 1974 гг. А. Д. Мышкис занимался разнообразной научной, педагогической, методической и научно-популяризаторской деятельностью в Москве, Харькове, Таллине. Он продолжал работать над телекинокурсом, примерно два раза в месяц участвовал в обсуждении работы своего отдела прикладной математики ФТИНТа, работал над новыми учебными курсами [5, 6] и монографией [7], готовил к переизданию “Элементы прикладной математики”. По программе Научно-методического совета по математике А. Д. Мышкис объехал многие города страны, участвуя в семинарах-совещаниях преподавателей математики.

По приглашению Л. Е. Садовского А. Д. Мышкис перешел на работу в Московский институт инженеров железнодорожного транспорта (МИИТ). 30 августа 1974 г. он впервые участвовал в заседании кафедры “Прикладная математика” МИИТа. С тех пор и до своей кончины он работал здесь — сначала на кафедре “Прикладная математика”, затем на кафедре “Высшая математика”, а последние годы — на кафедре “Прикладная математика-1”, где он руководил научно-исследовательским семинаром.

Из выпускников МИИТа А. Д. Мышкис подготовил несколько кандидатов физико-математических наук; последняя защита его ученика состоялась весной 2009 г.

В последние годы значительную часть своего времени А. Д. Мышкис посвящал вопросам преподавания математики — он перерабатывал свои старые учебники, работал в различных методических комиссиях, неоднократно выступал в периодической печати (в том числе совместно с Е. С. Вентцель)

по вопросам математического образования. Большое внимание А. Д. Мышкис уделял методологии прикладной математики. В монографии [9] им и его соавторами впервые в мировой литературе отчетливо сформулированы характерные особенности прикладного математического мышления, а также изложены оригинальные взгляды на способы преподавания математики для инженеров, физиков и других специалистов.

А. Д. Мышкис активно участвовал в работе Московского математического общества, где он руководил секцией втузов, и в работе математической секции Московского дома ученых.

Разносторонняя деятельность А. Д. Мышкиса была отмечена рядом правительственных наград. Он являлся заслуженным работником высшей школы, действительным членом Академии нелинейных наук, почетным членом президиума Харьковского математического общества, почетным профессором МИИТа, почетным железнодорожником, членом редколлегий международных журналов: “Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications”, “Journal of Difference Equations and Applications”, “Functional Differential Equations”.

А. Д. Мышкис опубликовал более 330 научных статей (многие с соавторами); он был автором и соавтором более 70 методических публикаций, более 300 информационных заметок, 14 статей в газетах, 19 книг, вышедших 50 изданиями на 10 языках, 2 авторских свидетельств; был редактором и переводчиком 16 книг. Он был официальным руководителем 36 защищенных кандидатских диссертаций; семеро из их авторов стали в дальнейшем докторами наук. А. Д. Мышкис был официальным оппонентом 50 докторских и около 100 кандидатских диссертаций, написал рецензии на несколько сотен рукописей, присланных ему из редакций.

Он был знаком и сотрудничал со многими ведущими учеными СССР, России и зарубежных стран. В последней его книге [19] дана впечатляющая галерея портретов многих отечественных математиков с описанием тематики их исследований и краткими и точными характеристиками.

Пользующийся мировым признанием замечательный математик Анатолий Дмитриевич Мышкис принадлежал к числу людей, составляющих гордость не только Москвы и России, но и всей мировой науки.

До последних дней жизни Анатолий Дмитриевич активно участвовал в жизни кафедры “Прикладная математика-1” МИИТа. Чрезвычайно эрудированный человек, он был требовательным к себе и всегда доброжелательным к своим ученикам и коллегам. Он великолепно разбирался в музыке (в молодости увлекался игрой на скрипке и фортепиано), обладал замечательным чувством юмора, беседы с ним были всегда интересны и познавательны.

9 июля 2009 года после непродолжительной тяжелой болезни Анатолий Дмитриевич Мышкис скончался в Москве.

Светлая память об Анатолии Дмитриевиче Мышкисе, необычайно ярком и талантливом ученом, выдающемся преподавателе и доброжелательном человеке, навсегда сохранится в сердцах его коллег и учеников.

А. С. Братусь, Г. А. Зверкина, А. М. Филимонов

Книги А. Д. Мышкиса

1. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. -М.-Л.: Гостехиздат, 1951. 255 с. (3 издания)

2. Лекции по высшей математике. — М.: Наука, 1964. 607 с. (10 изданий)

3. Математик Пирс Боль из Риги (соавтор И.М.Рабинович). — Рига: Зинатне, 1965. 98 с.

4. Элементы прикладной математики (соавтор Я.Б.Зельдович). — М.: Наука, 1965. 615 с. (9 изданий)

5. Математика для втузов. Специальные курсы. — М.: Наука, 1971. 632 с. (6 изданий)

6. Элементы математической физики. Среда из невзаимодействующих частиц (соавтор Я.Б.Зельдович). — М.: Наука, 1973. 351с.

7. Гидромеханика невесомости. Математическая теория капиллярных явлений (соавторы В. Г. Бабский, Н. Д. Копачевский, Л. А. Слобожанин, А. Д. Тюпцов). — М.: Наука, 1976. 504 с. (2 издания)

8. Прикладная математика: предмет, логика, особенности подходов (соавторы И. И. Блехман, Я. Г. Пановко). — Киев: Наукова думка, 1976. 270 с. (2 издания)

9. Механика и прикладная математика. Логика и особенности приложений математики (соавторы И. И. Блехман, Я. Г. Пановко). — М.: Наука, 1983. 328 с. (4 издания)

10. Rownania roznickowe zwyczajne (Matematyka dla politechnik) (соавтор J. Muszynski). - Warszawa, 1984. 460 s.

11. Введение в теорию многозначных отображений (соавторы Ю.Г.Борисович, Б.Д.Гельман, В. В. Обуховский). — Воронеж: ВГУ, 1986. 104с. (2 издания)

12. Low-Gravity Fluid Mechanics. Mathematical Theory of Capillary Phenomena (соавторы В. Г. Бабский, H. Д. Копачевский, Л. А. Слобожанин, А. Д. Тюпцов). -Berlin, Springer-Verlag, 1987. XIX+583p.

13. Матрицы и квадратичные формы. Основные понятия. Терминология (соавторы В. Ф. Журавлев, Е. В. Панкратов, С. Д. Шелов, И. М. Яглом). — М.: Наука, 1990. 80 с. (Сборники научно-нормативной терминологии, вып. 112).

14. Applied Theory of Functional Differential Equations (соавтор V. В. Kolmanovskii).

- Klüver Acad. Publ., Dordrecht e. a., 1992. XV+234 p. (Mathematics and Its Applications, Soviet Series. V. 85).

15. Методы решения задач гидромеханики для условий невесомости (соавторы В. Г. Бабский, М. Ю. Жуков, Н. Д. Копачевский, Л. А. Слобожанин, А. Д. Тюпцов). — Киев: Наукова думка, 1992. 592 с.

16. Элементы теории математических моделей. — М.: Физматлит, 1994. 192 с. (3 издания)

17. Сборник задач по математике (для втузов) в пяти частях (соавторы — от 11 до 13 преподавателей МИИТ). - М.: УРСС, 1997-2002.

18. Introduction to the Theory and Applications of Functional Differential Equations (соавтор V. В. Kolmanovskii). — Klüver Ac. Press, Dordrecht e. a., 1999. XVI+648 p.

19. Советские математики: мои воспоминания. — М.: УРСС, 2007. 300 с. (2 издания)

ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ, ПЕРСОНАЛИИ

УДК 929 + 519.677 + 512.8

ИОГАНН М. Х. БАРТЕЛЬС — НЕ ТОЛЬКО НАСТАВНИК ГАУССА И ЛОБАЧЕВСКОГО (к 240-летию со дня рождения И. М. Х. Бартельса)

В. П. Одинец

Российский государственный педагогический университет им. А. И. Герцена, Россия, 191186, Санкт-Петербург, набережная реки Мойки, д. 48; e-mail: W.Odyniec@mail.ru

Статья посвящена жизни и творчеству Иоганна М.Х. Бартельса, его роли в развитии математики в России. Освещены достижения Бартельса, существенно опередившие аналогичные результаты Бине, Коши, Френе.

Ключевые слова: И. М. Х. Бартельс, биография, формулы Френе.

Иоганн Мартин Христиан Бартельс (Johann Martin Christian Bartels) родился 12 августа 1769 г. в Бруншвике (Брауншвейг). Умер в ночь с 18 на 19 декабря 1836г. в Дерпте (Тарту).

Отец Иоганна, Генрих Элиас Фридрих (Н. E.F.Bartels, 1743-1819), был небогатым литейщиком, но имел собственный дом, который стоял по соседству с домом родителей К.Ф.Гаусса. Любопытным совпадением является то, что как мать И. Бартельса, Иоанна Христиана Маргарет Келер (J.C.M.Köler), так и мать К.Ф.Гаусса, Доротея Бензе, были старше своих мужей.

Дедушки Иоганна Бартельса, в отличие от дедушек Гаусса, бывших бесправными батраками, были ремесленниками в Бруншвике. Дедушка по отцу, Иоганн Пауль Бартельс (1715-1771), был пивоваром, а дедушка со стороны матери, Иоганн Мартин Келер, — инструментальщиком.

О жизни Иоганна Мартина Бартельса нам известно прежде всего из автобиографии, которая содержится в предисловии к его “Лекциям по математическому анализу” [1]. Учебу Бартельс начал, как и большинство детей ремесленников, в школе сиротского приюта, напоминавшей “реальные” школы, появившиеся позже. Затем продолжил учебу в школе “письма и счета” [1]. В 1783г. Бартельс становится в этой школе помощником учителя, а годом позже эту школу стал посещать семилетний Гаусс.

В автобиографии Бартельс не вспоминает о своих индивидуальных занятиях в школе с молодым Гауссом. С другой стороны, об этом достаточно

подробно написал первый биограф Гаусса, Вольфганг Сарториус фон Вальтерсхаузен (W. S. von Waltershausen, 1809-1876) [2], который подчеркивал, что Бартельс обратил внимание на математический талант Гаусса лишь после трех лет учебы последнего (т.е. в 1787г. — сравните с широко распространенным мифом о математических успехах семилетнего Гаусса) и тогда же предложил ему совместные дополнительные занятия по математике1. Интенсивные занятия продолжались только год, до 1788 г., поскольку именно тогда Бартельс начинает учиться в Коллегиум Каролинум, а Гаусс — в гимназии Катаринеум.

Следующий период их непосредственных контактов (их переписка не прерывалась [3]) наступил 17 лет спустя, в 1805 г., когда они, будучи уже зрелыми учеными, вновь встретились в Бруншвике, где поддерживали интенсивные товарищеские контакты до отъезда Бартельса в октябре 1807 г. (Гаусс задержался в Бруншвике до переезда в Гёттинген в начале 1808 г.).

В Коллегиум Каролинум Бартельс начинает изучать латынь и греческий, а также итальянский, французский и английский языки. По словам самого Бартельса [1, s.3], языками он овладел настолько, что стал давать уроки по математике студентам из Англии, которые приехали в Бруншвик для учебы и не знали немецкого языка. Кроме того, он помогает преподавателю Коллегиуме Эберхарду А. фон Циммерману2 (1743-1815), ведшему занятия по алгебре, геометрии и тригонометрии, переводами с этих языков при издании “Географических Анналов”.

В 1791 г. Бартельс становится студентом юридического факультета государственного университета в Хельмштедте. Вместе с будущим профессором математики К. Шталем (К. Stahl, 1771-1853) он ходит дополнительно на лекции по интегральному исчислению профессора Иоганна Пфаффа (J. F. Pfaff, 1765-1825), будущего руководителя диссертационной работы Гаусса. Пфафф, заметив несомненный математический талант Бартельса, убеждает его посвятить себя целиком математике, в результате Иоганн Бартельс принимает решение об учебе (с 1793 г.) в университете в Гёттингене.

Именно здесь он слушает лекции профессоров А. Кестнера (А. Kästner, 1719-1800) по математике и К. Лихтенберга (K.Lichtenberg, 1742-1799) по физике. В отличие от Гаусса, который стал посещать лекции Кестнера двумя годами позже, когда последнему уже исполнилось 75 лет и его здоровье пошатнулось, Бартельс вспоминает Кестнера весьма тепло.

Среди новых друзей, которые появились у Бартельса в Гёттингенском университете [1], можно отметить Ф. Хасслера (F. R. Hassler, 1770-1843), будущего основателя и первого директора Американского департамента геоде-

1 Из писем Гаусса известно, что за год они изучили в общих чертах теорему о биноме и теорию бесконечных рядов.

2 Вероятно, именно в этот период Бартельс рассказал о Гауссе Э. Циммерману и, благодаря последнему, на талантливого юношу обращает внимание курфюрст Бруншвика Карл Вильгельм Фердинанд (1735-1806). Позднее, в 1796г., именно Э.Циммерман делает достоянием широкой гласности результат Гаусса о возможности построения правильного 17-угольника с помощью циркуля и линейки, помещая (01.06.1796) сообщение об этом в рубрике “Новые открытия” в журнале “Intelligenzblatt der allgemeinen Literaturzeitung” (“Бюллетень общей литературной газеты”).

зии, а позже директора Американской палаты мер и весов. Фердинанд Хасслер, как и Бартельс, начал свою академическую карьеру с изучения права (в Берне). Позже под влиянием профессора математики Иоганна Траллеса (J. Tralles, 1763-1822) он стал заниматься математикой и после переезда в 1805 г. в США стал там первоначально даже профессором математики военной академии (Вест-Пойнт). Бартельс переписывался с ним до конца жизни.

Другим приятелем Бартельса в Гёттингене станет будущий математик и астроном И. Боненбергер (J. G. F. Bohnenberger, 1765-1831), известность к которому придет после публикации книги “Астрономия” (1811) и создания электроскопа и гироскопа.

Основным источником существования Бартельса в Гёттингене, как и в Каролинум, и в Хельмштедте, были частные уроки математики.

В 1795 г. Бартельс прерывает учебу в Гёттингене из-за отсутствия какого-либо интереса среди студентов к изучению математики (как он сам пишет в [4], “... из тысячи студентов Гёттингена едва ли только шестеро интересуются математикой”) и выезжает в вольное государство Граубюнден (ныне кантон Graubündten в Швейцарии), в семинарии которого он преподает математику. Семинария помещалась в замке Райхенау. Состав её преподавателей был достаточно любопытен. В частности, в 1793/94 учебном году математику в этой семинарии преподавал будущий король Франции (в 1830-1848гг.) Людовик Филипп I (1773-1850) из орлеанской линии Бурбонов.

В Райхенау Бартельс провел три года. За это время он переводит с французского на немецкий пятитомную историю астрономии, написанную в 1775-1787 гг. французским астрономом и политиком Ж. Байи (J. S. Bailly, 1736-1793), казненным в год Террора. Перевод Бартельс разбивает на два тома, добавляя к ним собственный комментарий и посвящая работу [5] профессору Э.Циммерману. Оба тома вышли в Лейпциге в 1796 и 1797г.

В 1798 г. политическая ситуация в Граубюндене становится небезопасной. Дело в том, что один из новых друзей Бартельса, Иоганн Генрих Чшокке (J. H. Zschokke, 1771-1818), занявший в начале 1796 г. пост директора семинарии, был не только одним из популярнейших драматургов Германии, но и одним из вождей движения за создание Гельветической Республики (конфедерации кантонов), начало которой должно было положить соединение Швейцарии и вольного государства Граубюнден. В результате осенью 1798 г. Граубюнден был оккупирован австрийцами, а в марте 1799 г. — французами. Именно тогда Бартельс решает вернуться в Бруншвик.

В это время в Бремене жила сестра Бартельса, которая сообщила ему о вакансии в местном университете. Однако условием занятия должности было обладание титулом доктора философии. За короткий срок Бартельс пишет диссертацию “Elementa Calculi Variationum”3 и при поддержке К. Шталя, ставшего к тому времени профессором факультета философии университета в Иене, представляет её в этот университет.

3 “Элементы вариационного исчисления”. Эта работа никогда не была опубликована.

18 июля 1799 г. Бартельс получает in absentia (заочно)4 звание доктора философии [6]. Осенью 1799 г. Бартельс едет в Бремен, однако неизвестно, был ли он принят на работу в университет. Зато мы знаем [7, 8], что в том же 1799 году Бартельс женится на Анне Салюц (A. Saluz, 1784-1847), дочери основателя латинской школы в граубюнденском городе Кур (Chirr) П. фон Салюца (Р. von Saluz, 1757-1786).

Необходимость кормить семью заставляет Бартельса вернуться в Швейцарию (в Аарау), и в 1800-1804 гг. он преподает там математику, сначала в реальной школе, а затем в той же школе, но преобразованной в школу кантональную.

У Иоганна и Анны Бартельс было двое детей: сын Эдуард (1803-1837), который станет военным врачом в России, и дочь Иоанна (1807-1867), вышедшая в начале 1835 г. замуж за овдовевшего к тому времени известного астронома Вильгельма Струве (W. Struve, 1793-1864) — основателя и первого директора (с 1839 г.) Пулковской обсерватории.

В Аарау приятелем Бартельса становится коллега по школе Франц Ксаверий Броннер (F. X. Bronner, 1758-1850), для которого физика и учительство были лишь одним из многих увлечений (литература, рыбалка, публицистика, издательское дело, политика), и везде он достигал немалых результатов5. Не случайно позднее Бартельс добьется для него должности профессора физики в Казанском университете в 1810-1817гг. [4, 9, 10].

К сожалению, финансовая сторона работы в кантональной школе в Аарау перестала удовлетворять Бартельса, и он начинает поиск лучше оплачиваемой работы: в Бруншвике (в основном через Гаусса) и в России (через выходца из Швейцарии Николая Ивановича Фусса (Nicolaus Fuss, 1755-1825) -помощника Леонарда Эйлера и мужа его внучки, — который с 1800 г. был уже постоянным секретарем Петербургской академии наук).

К 1804 г. в России уже существовал план создания Казанского университета. Преподавателей для этого университета должен был набирать тогдашний вице-президент Петербургской академии наук Степан Яковлевич Румовский (1734-1812), назначенный для этого в 1803г. попечителем Казанского учебного округа.

Н. И. Фусс был хорошо знаком с С. Я. Румовским, поскольку последний считал себя учеником Эйлера6. Поэтому Фусс обратился к Румовскому, рекомендуя пригласить Бартельса в Казанский университет. Румовский со своей стороны попросил у Бартельса для оценки какую-либо его работу. Не позд-

4 Любопытно, что месяцем ранее в университете Хельмштедта также in absentia титул доктора философии получает Карл Гаусс.

5 В историю немецкой литературы навсегда вошли его “Рыбацкие стихи и рассказы” (1787); в 1794-1798 гг. он был издателем цюрихской газеты; в 1783 г. рукоположен в проповедники ордена иллюминатов; в 1798 г. был секретарем наместника правительства Гельвеции.

6 В 1754 г. Румовский был командирован на год в Берлин для изучения математики под руководством Эйлера.

нее конца 1804 г. Бартельс посылает (через Гаусса и Фусса) “Мемориал о математическом анализе”7. Эта работа получила столь высокую оценку, что Бартельс был немедленно приглашен на должность ординарного профессора Казанского университета.

Но именно в это время появились препятствия: герцог Бруншвика Карл Вильгельм Фердинанд (C.W.Ferdinand, 1735-1806) решает оставить Гаусса8 и Бартельса в Бруншвике и предлагает им постоянную зарплату (по 800 талеров в год) и, кроме того, Бартельсу — должность профессора математики, а Гауссу — должность директора будущей обсерватории. В связи с этим Бартельс отказывается от предложенной должности в Казани, а Гаусс — от должности академика Петербургской академии наук и директора будущей обсерватории в Петербурге.

Румовский довольно спокойно принимает отказ Бартельса от должности и, более того, сообщает о присвоении Бартельсу звания почетного профессора Казанского университета, что давало возможность получения ежегодно двухсот рублей золотом.

Однако через год все жизненные планы Бартельса были перечеркнуты его ровесником Наполеоном (Napoleon, 1769-1821), когда 14 октября 1806 года в битве под Иеной герцог Бруншвика Фердинанд получает смертельное ранение и умирает в ноябре того же года.

После смерти герцога Фердинанда прекращается выплата зарплаты Бартельсу. Попытки найти какую-либо иную работу оказываются безрезультатными [12]. Всё это заставляет Бартельса написать письмо в Петербург с выражением согласия занять пост ординарного профессора Казанского университета. Не дождавшись ответа, Бартельс в октябре 1807 года вместе с женой, сыном и недавно родившейся дочкой решается ехать в Россию. Он не знает, что его письмо дошло до Петербурга и Румовский отдал распоряжение о назначении Бартельса с июня 1807 года ординарным профессором Казанского университета с выплатой соответствующего содержания.

О перипетиях поездки мы знаем из письма, отправленного Бартельсом Чшокке 23 декабря 1807 г. уже из Петербурга [4]. Вначале Бартельс доехал до Бреслау9, откуда послал очередное письмо Румовскому. Сделав остановку в Грюнберге10, он через Кюстрин11 добрался до Кенигсберга, а оттуда через Дерпт — до Санкт-Петербурга.

В Петербурге, кроме жалованья за семь истекших месяцев и денег (за почетного профессора) за два с половиной года [1, s. IX], Бартельс получает

7 Большая часть “Мемориала... ” вошла позднее (в 1822 г.) в работу [11].

8 К этому моменту Гаусс тоже написал Фуссу о своем желании работать в России, и ему предложили должность академика Петербургской академии наук и директора будущей обсерватории. Звание иностранного члена-корреспондента этой Академии Гаусс получил еще в 1802 г.

9 Ныне Вроцлав (польск.).

10 Ныне Зелена-Гура (польск.).

11 Ныне Костшин (польск.).

деньги на покупку необходимых книг. Не задерживаясь более в Петербурге, Бартельс выезжает в Казань, куда прибывает в феврале 1808 г. С марта этого года он начинает читать лекции по геометрии, плоской и сферической тригонометрии, астрономии и математическому анализу. Важными для оснований геометрии оказались лекции по истории математики, начатые Бартельсом в 1810 г. достаточно случайным образом. Как можно судить по архивным документам [9], лекции по истории математики основывались на книгах Жана Э. Монтюкля (J.E.Montukla, 1725-1799) [13]. В октябре 1810г. Бартельс в ходе лекции об Александрийской академии обратил внимание слушателей, а среди них был и Н. И. Лобачевский (1792-1856), на V постулат Евклида и на попытки доказательства этого постулата [9]. Лобачевскому было тогда 18 лет, и он был студентом второго курса. Заслуживает внимания тот факт, что, как напишет позже Гаусс (см., например, [6] и [14]), над этой же самой проблемой он задумался в 1792 г., когда ему было 15 лет.

Интересно также, что и Гаусс, и Лобачевский первоначально пытались доказать этот постулат. Письменных подтверждений такого рода попыток Гаусса не сохранилось, однако известно, что он не мешал искать доказательство V постулата своему другу Фаркашу Бояи (F. Bolyai, 1775-1856). Сын Фаркаша, Янош Бояи (J. Bolyai, 1802-1860), в 1829 г. независимо открывает неевклидову геометрию. Что касается Н. И. Лобачевского, то в архиве Казанского университета сохранились записи его лекций 1816/17 учебного года, сделанные студентами [6, 9], с “доказательством” V постулата. В частности, там есть доказательство леммы, полученной в феврале 1817г., в которой утверждалось: “Если сумма S внутренних углов некоторого плоского треугольника равна 2d (двум прямым), то этот факт справедлив для всех плоских треугольников и, более того, справедлив V постулат Евклида”. Лежандр (A. M. Legendre, 1752-1833) получил этот результат лишь 10 лет спустя [6].

Через короткое время Бартельс обращает внимание на необычайные способности Николая Лобачевского и талант Ивана Симонова12. Более того, в течение 1811-1813 гг. Бартельс еженедельно занимается дополнительно с Лобачевским и Симоновым по 4 часа “по четвергам и субботам”, приготавливая их к должности адъюнкта [9, с. 48].

Здесь уместно сказать, что научные интересы молодого Лобачевского были близки научным интересам Бартельса: оба интересовались астрономией, геометрией, анализом, итерационными алгоритмами, теорией чисел, механикой [15, 16]. Их сближало также и то, что каждый из них построил научную карьеру прежде всего своим трудом и талантом, которые были вовремя замечены и оценены [17]. Так, уже при получении степени магистра Лобачевский был специально выделен мнениями профессоров Бартельса, Иосифа

12 Симонов Иван Михайлович (1794-1855) — студент, магистр, адъюнкт, профессор (астрономии), ректор (с 1847 по 1855 г.) Казанского университета, сменивший на этом посту Лобачевского, который был ректором в 1827-1846 гг., первый русский астроном — участник кругосветного путешествия в 1819-1821 гг. (на шлюпах “Восток” и “Мирный”).

фон Литтрова (J. J. Littrow, 1781-1840)13, Мартина Германа14 и Франца Броннера15 [10]: “... Николай Лобачевский — одобряемый по знаниям своим ... и потому, что студент сей оказал чрезвычайные успехи при таковых же дарованиях в науках математических и физических” [9, с. 42].

Этим успехам способствовала также свобода изложения материала. Так, например, в письме Чшокке от 23 июля 1809 г. [4] Бартельс пишет: “... имею возможность говорить им [студентам] о таких вещах, о которых не имел бы права говорить ни в одном немецком университете”.

Успехам преподавательской деятельности Бартельса в Казани способствовала и возможность применения на практике методов швейцарского педагога Иоганна Г. Песталоцци (J.H.Pestalozzi, 1746-1827), в чьем институте в Бургдорфском замке он даже побывал во время работы в Аарау [4].

К сожалению, через 10 лет ситуация изменится и Бартельс будет искать возможность покинуть Казань. Важной причиной поиска нового места работы, кроме усиления казарменных порядков в университете, было желание уделить большее внимание собственной научной работе, поскольку загруженность чтением лекций оставляла на это всё меньше времени.

Узнав о появившейся вакансии в Дерптском университете (с существенно меньшим объемом преподавательской работы), Бартельс предпринимает усилия по занятию этой должности. При этом он мотивирует свой переезд тем, что миссия создания университетского центра в Казани увенчалась успехом, а он со своей стороны хотел бы подвести итоги своей научной деятельности, поскольку ему уже минуло 50 лет, и сделать это будет удобнее в Дерпте.

22 ноября 1820 г. ректор Казанского университета Григорий Борисович Никольский (1785-1844) поручает Н.И.Лобачевскому “... преподавание чистой математики вместо профессора М. Ф.16 Бартельса” [9, с. 64]. Так заканчивается казанский период жизни Бартельса.

После переезда Бартельса в Дерпт в начале 1821 г. он в течение года подготавливает для издания работу “Исследования в четырех частях...” [11], вышедшую в 1822 г. Эта работа насчитывает 65 страниц и действительно состоит из четырех частей. Две первые из них касаются обратных тригонометрических функций, а также гиперболических, логарифмических и тригонометрических функций.

13 И. Литтров был профессором астрономии и основателем обсерватории Казанского университета в 1810-1816гг., позже (с 1819г.) — директором Венской обсерватории. Под его руководством защитили диссертации будущие профессора Николай Брашман (1796-1866) и Иван Симонов.

14 М.Герман (M.G.Herman, 1754-1822) был профессором (с 1805 по 1819 гг.) латинского языка Казанского университета. Получил известность своими трудами по греческой мифологии.

15 Броннер в 1804 г. преподавал математику в кантональной школе Аарау, благодаря Бартельсу в 1810 г. был приглашен Румовским в Казань, где получил кафедру физики в Казанском университете. Покинул Казань в 1817г., известен как поэт не менее, чем как ученый.

16 В выданных Бартельсу русских документах его называли Мартин Фёдорович Бартельс.

Лично для меня эта часть работы Бартельса особенно интересна в связи с его подходом к элементарным функциям, а именно в связи с его попытками получения этих функций из функций вида 1/(ап — ж), 1 + Ьпх2, где ап, Ъп -вещественные числа, п = 1,2,..., с помощью сумм и произведений без применения интегрального исчисления. Например, на стр. 16 (§17) приводится

Теорема.

(В книге [18] те же самые цели реализуются с помощью интегрирования, но без использования бесконечных произведений.)

В третьей и четвертой частях книги [11] рассматриваются теоремы, касающиеся полиномов, преобразований кривых, кривизн кривых и поверхностей, касательных. Если в первых трех частях содержались результаты Бартельса, которые он отослал Н. Фуссу еще в 1804 г., то четвертая часть была началом трех следующих работ Бартельса по дифференциальной геометрии и содержала необходимый материал для открытия формул Френе (F. J. Frenét, 1816-1900)17 или формул Серре18-Френе.

В 1825 г. Бартельс посылает Н. Фуссу работу на французском языке “Краткий обзор фундаментальных формул трехмерной геометрии” [19]. В письме Фуссу от 31 октября 1825 г. [20] Бартельс сообщает, что заканчивает еще две работы: “Sur la parallaxe de Soleil”19 и “Memoire sur les axes principaux de corps solide”20. В том же году Фусс представляет эти три работы Бартельса на собрании Петербургской академии наук. На основании оценки этих трудов четырьмя независимыми действительными членами Академии Бартельса избирают членом-корреспондентом Академии наук.

Работа [19] была опубликована в 1831 г. Что касается двух других работ Бартельса, то они не опубликованы и остались в архиве Петербургской академии наук. Как указывали рецензенты, первая из них имела результаты, подобные результатам одной из статей Жака Бине (J. P. M. Binet, 1786-1856), а результаты второй перекрывались мемуаром21 того же Бине, опубликованным в 1813 г. в “Journal de l'Ecole polytechnique”.

Бартельсу оставалось только пожалеть, что осенью 1811 г., когда он начинал заниматься с магистрами Лобачевским и Симоновым разбором 1-го тома “Небесной механики” Лапласа [9, с. 48] и получил основные результаты этих двух не принятых к публикации в 1826 г. Академией наук работ, в Казани еще не было научного журнала. Такой журнал — “Казанский Вестник” -появится там только в 1829 г.

17 Фредерик Жан Френе нашел свои формулы еще в 1847г., но опубликовал их в 1852 г.

18 Жозеф Альфред Серре (J. А. Serret, 1819-1885) установил формулы, связывающие направляющие косинусы касательной, нормали и бинормали, в 1851 г.

19 “О параллаксе Солнца” т. е. об угле с вершиной, удаленной от центра Земли на среднее расстояние от Земли до Солнца, и со сторонами, направленными: одна к центру Земли, а другая касательно к земному сфероиду в точке его экватора. Для параллакса Солнца (П.С.) принято в 1896г. значение, равное 8,80".

20 “Mémoire sur la théorie des axes conjugués et des moments d'inertie des corps”.

21 “Мемуар о главных осях твердого тела”.

В Дерпте Бартельс начинает вести интенсивную переписку с европейскими учеными, прежде всего с Гауссом, чтобы наверстать свою невольную оторванность за время работы в Казани от новых результатов коллег. В Дерпте же Бартельс сближается с Фридрихом Струве, ставшим в 1820 г. ординарным профессором астрономии и директором обсерватории университета. Струве был знаком с Гауссом с 1814 г., когда в первый раз был командирован в Гёттинген и проводил наблюдения под его руководством. С той поры они регулярно переписывались.

Любопытно, что руководство вновь открытого в 1802 г. университета в Дерпте дважды пыталось пригласить Гаусса занять кафедру астрономии и математики, но безрезультатно [20, 21].

Бартельс, знакомясь с результатами Гаусса 1827 года по внутренней геометрии, тотчас вводит их в свои лекции для студентов, обогащая эти лекции и своими результатами.

Здесь уместно сказать, что с годами у Бартельса появилась потребность в ученике, который смог бы быть не только помощником, но и продолжателем его идей. Среди студентов Бартельс обращает внимание на двух сыновей профессора рисования (единственного в университетах России) Карла Августа Зенффа (К. A. Senff, 1770-1838): старшего, Карла Юлиуса (1804-1832), и младшего, Карла Эдуарда (1810-1850).

Карл Юлиус Зенфф в 1827 г. представляет в Дерпте работу на немецком языке “Систематическое представление основных теорем геометрии в пространстве”22 (опубликована в 1829г.), за которую его удостаивают серебряной медали. Во введении автор пишет: “Предложения, которые можно найти здесь, почти все содержатся в работе Коши ”Leçons sur les applications de calcul infinitesimal a la géométrie“ ... [которая] вышла лишь в 1826 г. в Париже, в то время как профессор Бартельс излагает геометрию в этой форме уже несколько лет. Основные предложения этой геометрии в пространстве я дал полностью так, как их читал профессор Бартельс своим ученикам” [14, с. 49]. Разумеется, работа содержала и оригинальные результаты самого автора23.

В 1827 г. в университет поступает Карл Эдуард Зенфф. Именно на него Бартельс возлагает особые надежды [14, 22]. Уже в 1830 г. К. Э. Зенфф представляет работу [23], за которую получает золотую медаль. Эта работа была опубликована в 1831 г. одновременно с работой [19] самого Бартельса. В предисловии к этой работе автор пишет, что параграфы 1, 2, 3 главы IV, а также §5 главы V являются конспектами лекций Бартельса. Именно в §5 в ковариантной форме через скалярные произведения дано представление так называемых формул Френе. При этом вся подготовительная часть содержалась в работе [19]. Иными словами, формулы Френе были открыты Бартельсом по крайней мере за 16 лет до докторской диссертации Френе (1847г.), где они, согласно официальной версии, встречаются в первый раз.

22 “Systematische Darstellung der Hauptsätze der Geometrie im Räume”, Dorpat. 1829, 77s.

23 К сожалению, Карл Юлиус Зенфф рано умирает во время поездки в Италию.

Чтобы понять суть дела, напомним, что если х = у = у (s), z = z(s) — кривая L в R3, где s — параметр, то формулы

где £, n, b — касательный вектор, нормаль и бинормаль соответственно, к\ -кривизна, а к% — кручение, являются формулами Френе в контравариантной форме. Бартельс получает тот же результат с помощью скалярного произведения в ковариантной форме:

На мой взгляд, подход Бартельса более современный24, чем классические подходы Френе и Серре [24].

В 1829 г. Бартельс обращается в Министерство просвещения Российской империи с предложением издать учебник по математическому анализу с приложениями к геометрии, механике и теории вероятностей, на немецком языке в трех томах. Министерство дало согласие, и в 1833 г. вышел первый том. Этот том имел 4 части. Часть I содержала теорию отношений, пропорции, логарифмические функции и им обратные; часть II — разложение логарифмических функций в ряды; часть III — плоскую и сферическую тригонометрию; часть IV — аналитическую геометрию. В книге много методических находок самого Бартельса, мгновенно оцененных в Европе, прежде всего в Германии.

24 На это обратил внимание еще в начале 70-х годов XX века Ю. Лумисте (Ülo Lumiste) [14].

Книга Бартельса вызвала, однако, живой интерес не только у специалистов: по представлению министра просвещения царь Николай I дарит Бартельсу кольцо с бриллиантом. Впрочем, это не компенсировало огромных (свыше полутора тысяч рублей) затрат самого Бартельса на издание книги. Только распоряжение министра просвещения о закупке каждой гимназией одного экземпляра книги вернуло Бартельсу затраченные деньги, да и то не сразу. И хотя Бартельс обещает подготовить оставшиеся два тома к 1835 году, энтузиазма у него всё меньше — сказывается возраст и пошатнувшееся здоровье.

Содержание предполагавшегося второго тома хорошо известно. Он должен был насчитывать 30 авторских листов и содержать 79 параграфов. При этом в нем должны были найти место как классические результаты — теория пределов, включая замечательные пределы, разложение Валлиса для числа 7г, разложения функций в ряд Тейлора, коэффициенты Бернулли, суммирование рядов, так и результаты Пфаффа и Гаусса по применению итерационных алгоритмов к исследованию гиперболических функций [25].

Лично меня заинтересовало доказательство теоремы Пфаффа о пределах последовательностей {рп} и {gn}, где

подобных тем, которые исследовал Гаусс, но отличных от них (у Гаусса qn = = y/Pn-iQn-i)- Бартельс изучает скорость сходимости этих последовательностей. Эти идеи нашли свое применение только в последние два десятилетия XX века при изучении быстрых алгоритмов [26, 27].

В третьем томе предполагалось дать приложения математического анализа (включая и интегральное исчисление) к геометрии, механике и теории вероятностей.

К сожалению, эти планы не удалось реализовать. В декабре 1836 г. Иоганн Бартельс умирает. Его тесть Фридрих Георг Струве вместо 60 издательских листов (двух оставшихся томов) находит лишь три листа (65 страниц), относящихся ко второму тому, правда, с оглавлением всего тома. Эти листы он издает со своим предисловием [28].

Карл Эдуард Зенфф становится преемником Бартельса и в 1837 г. получает должность ординарного профессора в Дерптском университете.

Идеи Бартельса в области анализа и дифференциальной геометрии находят распространение в России, поскольку в 20-х годах XIX века математики из России для “приготовления к профессорскому званию” посылались в Дерптский университет. С другой стороны, оказались забытыми его результаты в теории чисел [16], комбинаторном анализе [29] и механике [1, ч. IV].

Теперь уместно сказать несколько слов по поводу отношений Бартельса и Гаусса. Гаусс, высоко ценя ум и математический талант Бартельса (о чем неоднократно пишет Сарториус [2]), по поводу своих исканий по неевклидо-

вой геометрии общался только с астрономами. Он надеялся, что определив сумму внутренних углов треугольника, две вершины которого находятся на Земле, а третья является звездой, он получит подтверждение того, что эта сумма не равна двум прямым углам. Однако этот опыт упирался в проблемы погрешности наблюдений, которые Гаусс преодолеть не мог, и другие астрономы тоже помочь не могли [30].

Об этих исканиях Гаусса Бартельс ничего не знал, и тем более не мог о них сообщить Лобачевскому.

Часть историков математики, признавая первенство в открытии формул Френе за Бартельсом, выдвигает гипотезу, что, желая помочь Бартельсу стать членом-корреспондентом Петербургской академии наук, Гаусс якобы сообщил Бартельсу об этих формулах. Но ни в дневнике Гаусса, ни в его письмах нет и намека на эти результаты.

Резюмируя всё, что мы знаем о Бартельсе, можно сказать, что и Гаусс, и Лобачевский, и Карл Эдуард Зенфф относились к нему как к старшему и мудрому другу с широчайшим математическим горизонтом и знаниями. Со своей стороны, Бартельс гордился их успехами, и это они ценили.

ЛИТЕРАТУРА

1. Bartels J. M. Vorlesungen über mathematische Analysis mit Anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Warscheinlichkeitslehre, t.1. Dorpat, 1833. 336 s.

2. Sartorius von Waltershausen W. Gauss zum Gedächtnis. Leipzig, 1856.

3. Briefe von Bartels an Gauss. Niedersächsische Staats und Universitäts Bibliothek Göttingen, Gauss-Archiv, 1976.

4. Briefe von Bartels an Zschokke. Staatsarchiv Aarau (Kanton Aargan), Nachlags Heinrich Zschokke, 1975.

5. Bartels J.M. Bailly's Geschichte der neuern Astronomie, 1.1 und 2. Leipzig, 1796-1797.

6. Бирман К. Р. О первых научных работах М. Ф. Бартельса. Вопросы истории естествознания. — М., 1974. С. 119-122.

7. Neue Deutsche Biographie, 1.1. — Berlin: Duncker & Humbolt, 1953.

8. Русский биографический словарь, т. III. — С.-Петербург, 1900.

9. Новые материалы к биографии Н.И.Лобачевского / Сост. Б. Л. Федоренко. Научное наследство, т. 12. — Л.: Наука, 1988. 384с.

10. Radspieler H., Franz Xaver Bronner. Aarganische Bibliographien und Repertationen, I. Aarau, 1964.

11. Bartels J.M. Disquisitiones quatuor ad theoriam functionum analiticarum pertinentes. — Dorpat, 1822.

12. Biermann K.R. Ubersiedlung eines deutschen Mathematikers von Braunschweig nach Kazan im Jahre 1807/08. Zur Biographie von M.Bartels, des Lehrers von Gauss und Lobacevskij // Histor. Math. 1974. V. 1. S. 65-77.

13. Montucla J. E. Historie des mathématiques, 1.1-4. — Paris, 1802.

14. Лумисте Ю. Г. Бартельс-исследователь и его достижения по аналитическим методам геометрии //В сб.: Памяти Лобачевского посвящается. — Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1992. С. 41-60.

15. Лаптев Б. Л. Бартельс и формирование геометрических идей Лобачевского // В сб.: Памяти Лобачевского посвящается. — Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1992. С.35-40.

16. Ожигова Е. П. Развитие теории чисел в России. — Л.: Наука, 1973. 360 с.

17. Гудков Д. А. Н.И.Лобачевский. Загадки биографии. — Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского ун-та, 1992. 241 с.

18. Одинец В. П., Поволоцкий А. И. Построение элементарных функций. — СПб.: Образование, 1995. 70 с.

19. Bartels J. M. Aperçu abrégé des formules fundamentals de la géométrie a trois dimensions; Memoirs présentés pour divers savants a L'Académie de sciences de St.-Petersburg le 14. Dec. 1825. - St.-Petersburg, 1831. T. 1. S. 77-96.

20. Alt-Dorpat. Briefe aus den ersten Jahreszenten der Hochschule. Herausgegeben von W. Stieda. — Leipzig, 1926.

21. Мюресепп П. В. К.Ф.Гаусс и Тартуский университет // В сб.: Роль Тартуского университета в развитии отечественной науки и подготовки научно-педагогических кадров. — Тарту: Изд-во Тарт. ун-та, 1977. С. 46-50.

22. Морозова Я. Н. Из истории преподавания математики в Дерптском университете // Уч. запис. Московского обл. пед. ин-та. 1963. Т. 123, вып. 3. С. 87-92.

23. Senff С. Е. Theoremata principaliae е Theoria curvarum et superficierum. — Dorpat, 1831.

24. Одинец В. П., Якубсон М. Я. Проекторы и базисы в нормированных пространствах. — М.: Эдиториал УРСС, 2004. 152 с.

25. Венгер М. И. Исследования по теории итерационных алгоритмов в Тартуском университете // В сб.: Роль Тартуского университета в развитии отечественной науки и подготовки научно-педагогических кадров. — Тарту: Изд-во Тарт. ун-та , 1977. С.50-53.

26. Borwein J.M., Borwein P.B. The arithmetic-geometric mean and fast computation of elementary function // SIAM Rev. 1984. V. 26, №3. P. 351-356.

27. Дмитриева О. М., Малозёмов В. Н. Об одном быстром алгоритме, основанном на арифметико-геометрических средних // Ж. вычисл. матем. и матем. физики. 1997. Т. 37, №3. С. 277-290.

28. Bartels J. M. Vorlesungen über mathematische Analysis mit Anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Warscheinlichkeitslehre (Herausgegeben von F. G. W. Struve). — Dorpat, 1837. 65 s.

29. Ожигова Е. П. Вопросы комбинаторного анализа и символического исчисления в трудах прибалтийских ученых начала XIX века //В сб.: Роль Тартуского университета в развитии отечественной науки и подготовки научно-педагогических кадров. — Тарту: Изд-во Тарт. ун-та, 1977. С. 42-46.

30. Bühler W. К. Gauss. A biographical study. — Berlin-New York, 1981.

(Русск. перев.: Бюлер В. Гаусс. Биографическое исследование. — М.: Наука, 1989. 208 с.)

JOHANN M. С. BARTELS WAS NOT ONLY A PRECEPTOR OF GAUSS AND LOBACHEVSKII (to the 240 anniversary of the J. M. C. Bartels birthday)

W. P. Odyniec

The article is devoted to the life and the work of Johann M. С. Bartels. Some achievements of Bartels which essentially forestalled the related results by Binet, Cauchy and Frénet are presented.

Keywords: J. M. C. Bartels, the biography, the Frénet's formulas.

ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ, ПЕРСОНАЛИИ

УДК 929

ШТРИХИ К ПОРТРЕТУ

(к 100-летию со дня рождения Н. Н. Боголюбова)

Г. М. Полотовский

Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского, Россия, 603950, г. Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23; e-mail: polot@uic.nnov.ru

Настоящий текст представляет собой изложение доклада автора на совместной научной сессии ННЦ РАН, ННГУ и РФЯЦ, посвященной 100-летию со дня рождения академика Н. Н. Боголюбова, информация о которой приведена в этом номере журнала. Излагается биография протоиерея Николая Михайловича Боголюбова, отца Н.Н.Боголюбова. Кратко описана научная и административная карьера Н.Н. Боголюбова, приводятся фрагменты из различных воспоминаний о Н. Н. Боголюбове.

Ключевые слова: Н. Н. Боголюбов, биография, воспоминания.

Предисловие. Я хотел бы сразу оговорить два момента. Во-первых, я ни в какой степени не являюсь физиком, и ниже о точных науках не будет сказано почти ничего. Я даже не буду перечислять основные разделы математики, механики и теоретической физики, в которые внес вклад Н. Н. Боголюбов, поскольку они хорошо известны, о них уже говорилось в предыдущем докладе академика Д. В. Ширкова и, несомненно, будет говориться в дальнейших докладах. Во-вторых, мне не довелось быть знакомым с Н.Н.Боголюбовым, поэтому всё дальнейшее основано на опубликованных материалах. Кстати, при подготовке этого доклада выяснилось странное обстоятельство, которое совершенно не согласуется с масштабом Н.Н. Боголюбова как ученого и как личности: оказывается, не существует академических изданий ни его биографии, ни книги воспоминаний о нем1. Имеется книга [1] о Н.Н.Боголюбове,

1 Услышав это, профессор А.Д.Суханов сообщил на упомянутой научной сессии, что такая книга готовится к изданию в 2010 г.

написанная его братом Алексеем Николаевичем, но найти эту книгу, изданную в 1996г. в ОИЯИ (Дубна), в Нижнем Новгороде мне не удалось.

О родословной Н. Н. Боголюбова. По-видимому, не стоит надеяться, что когда-нибудь будут открыты законы появления гениев. Однако изучение происхождения каждого гения интересно и поучительно, а в данном случае особенно, поскольку отец Николая Николаевича, Николай Михайлович Боголюбов, крупный религиозный философ и писатель2, был далеко не заурядной личностью и оказал чрезвычайно сильное влияние на своих сыновей.

Николай Михайлович Боголюбов родился 8 мая 1872 г. в селе Павловское Ардатовского уезда Нижегородской губернии в семье священника. В 1886 г. он окончил духовное училище в селе Лысково Макарьевского уезда, а затем в 1892 г. — Нижегородскую духовную семинарию3 и в том же 1892 г. поступил в Московскую духовную академию, которую окончил в 1896 г. со степенью кандидата богословия. В своем вступительном сочинении “Введение в богословие” 1892 г. он писал: “Познание Бога и проверка евангельских истин по методу ничем не отличается от всякого другого познания, но происходит на почве нравственного опыта”.

В 1897-1909 гг. Н. М. Боголюбов преподает логику, психологию и историю философии в Нижегородской духовной семинарии4 и Закон Божий, географию, русский язык и дидактику в Нижегородском женском епархиальном училище. В 1906-1909 гг. он главный редактор “Нижегородского церковно-общественного вестника”. Здесь, в Нижнем Новгороде, в семье Н. М. Боголюбова и его жены Ольги Николаевны5 21 августа 1909 г. родился первенец, которого назвали Николаем.

В том же 1909г. семья переезжает в г.Нежин Черниговской губернии6, где Н. М. Боголюбов становится законоучителем и священником в Историко-филологическом институте князя Безбородко. 25 марта 1911г. в семье Боголюбовых родился второй сын, Алексей.

В 1913 г. Николай Михайлович был избран профессором богословия киевского Университета Св. Владимира, и семья переезжает в Киев. В 1917-18 гг.

2 Вот неполный список его сочинений: “Теизм и пантеизм. Опыт выяснения логического взаимоотношения данных систем” (Нижний Новгород, 1899, магистерская диссертация); “Понятие о религии” (“Богословский Вестник”, 1900, кн. 2); “Эрнест Ренан и его Жизнь Иисуса (опыт психологической критики)” (Харьков, 1908); “Философия религии” (докторская диссертация; том 1, Киев, 1915); “К вопросу о происхождении христианства” (“Христианская мысль”, 1916, №1-4).

3 Первая в России семинария, была основана в 1721 г. архиепископом Питиримом.

4 С недоумением и сожалением я должен отметить, что на сайте Нижегородской духовной семинарии (http://nds.nne.ru/content/5) не упоминается имя её выдающегося выпускника и преподавателя протоиерея Н. М. Боголюбова.

5 Ольга Николаевна, урожденная Люминарская, окончила Нижегородское отделение Московской консерватории по классу рояля и работала в Нижнем Новгороде преподавательницей музыки.

6 Таким образом, Н.Н. Боголюбов покинул Нижний Новгород в возрасте нескольких месяцев. Здесь можно провести параллель с биографией другого нашего выдающегося земляка, Н.И.Лобачевского, который уехал в Казань в возрасте 9 лет. Однако если Н.И.Лобачевский после своего отъезда посетил родной город только один раз (в 1835г. с целью инспекции училищ), то, согласно [2], Н. Н. Боголюбов приезжал в Нижний Новгород многократно, в том числе ежегодно, чтобы посетить могилу своего отца.

протоиерей Н. М. Боголюбов был членом Поместного собора Российской православной церкви, избранным от Университета Св. Владимира.

В Киеве 24 января 1918 г. родился младший сын Боголюбовых Михаил. Вскоре после этого кафедра богословия в университете была закрыта, и в 1919 г. семья переехала в село Великая Круча Пирятинского уезда Полтавской губернии, где Н. М. Боголюбов получил место священника.

В 1921 г. Боголюбовы вернулись в Киев, откуда в середине 1925 г., оставив старшего сына в Киеве, они уехали в Нижний Новгород, где Н. М. Боголюбов был избран настоятелем церкви Всемилостивого Спаса. О службе Николая Михайловича в этой церкви имеется беспрецедентное свидетельство — установленная в 1998 г. по инициативе прихожан справа от главного входа в собор мемориальная доска, увенчанная крестом, со следующим текстом7:

В память долголетнего служения 1925-1934 гг. в храме Всемилостивейшего Спаса протоиерея Николая Боголюбова 1872-1934 гг., воспитавшего для Российской земли трех сыновей-академиков

К сожалению, текст мемориальной доски не совсем точен. Дело в том, что в 1928 г. Николай Михайлович был без объяснения причин арестован органами ОГПУ и заключен в тюрьму. В 1932 г. митрополит Сергий (Страгородский), Местоблюститель Патриаршего Престола, хорошо знавший всю семью Боголюбовых, посоветовал Николаю Николаевичу обратиться лично к председателю ОГПУ В. Менжинскому, предупредив при этом: “Но Вы рискуете. Вы или выручите отца, или погибнете”. Н.Н. Боголюбов добился встречи с Менжинским, в результате которой в 1932 году его отец был освобожден и вернулся в свой приход8. Но вернулся уже серьезно больным и скончался 14 мая 1934 г., успев дописать 2-й том “Философия религии” и книгу “Жизнь Иисуса Христа”.

7 В конце этого текста имеется в виду, что средний сын, Алексей Николаевич Боголюбов (1911-2004) — член-корреспондент НАН Украины, известный математик и историк математики и механики, перу которого принадлежат, в частности, биографический справочник “Математики, механики” (Киев, 1983), книги “Математическая жизнь в СССР, 1917-1966”, научная биография Роберта Гука (М.: Наука, 1984); младший сын, Михаил Николаевич Боголюбов — академик РАН, крупнейший российский иранист — тридцать пять лет (1960-1995) бессменно занимал пост декана восточного факультета Ленинградского (с 1991г. — Санкт-Петербургского) университета, обладатель почетного звания “Lasting Person” (“Памятная личность”) научного сообщества Ирана. Следует заметить, что Николай Николаевич оказал большое влияние на своих младших братьев и на выбор ими рода занятий.

8 У этого сюжета тоже есть историческая аналогия: в 1615 году Иоганн Кеплер получил известие, что инквизиция обвинила его мать в колдовстве. Следствие тянулось 5 лет, в 1620 году начался суд. Кеплер сам выступил защитником, и через год измученную женщину, наконец, освободили.

Вундеркинд Котя. Н. М. Боголюбов считал, что маленький ребенок лучше поддается педагогическому воздействию и скорее приобретает знания. В соответствии с этим он начал учить своих сыновей чтению и письму с 4-летнего возраста, а когда им было около 5 лет, начал учить их немецкому языку, затем добавил французский и, еще позже, английский. Он сам подготовил сыновей к поступлению в киевскую Первую Александровскую гимназию. Впрочем, учились они там недолго. Восьмилетний Котя — так звали маленького Николая в семье — не окончил первого класса, а Алексей -приготовительного. В селе Великая Круча старшие сыновья были приняты соответственно в пятый и шестой классы семилетней школы. В этой школе Котя овладел арифметикой и алгеброй. Ни одного учебника тригонометрии в селе не оказалось, и, по свидетельству брата, Алексея Николаевича, по одному уравнению, которое ему сообщили, Котя восстановил для себя структуру этой дисциплины.

Не имея в селе никаких книг по специальности, Николай Михайлович решил заняться математикой и начал изучать математический анализ по двум учебникам Гренвилля. Вместе со отцом стал заниматься Котя и быстро перегнал его. Вернувшись в Киев, Николай Михайлович начал брать для сына книги по математике и физике в университетской библиотеке. В частности, он принес пятитомный трактат О. Д. Хвольсона по физике, который Котя очень быстро проработал. В результате к середине 1922 г. его знания по математике и физике практически равнялись полному университетскому курсу.

Видя, что у Коти обнаружился талант и тяга к физико-математическим наукам, отец отвел его к Д. А. Граве9, который разрешил 13-летнему мальчику принимать участие в его семинаре.

Н.М.Боголюбов, Николай, Михаил, О.Н.Боголюбова (Люминарская), Алексей

9 Дмитрий Александрович Граве (1863-1939) — алгебраист, создатель первой крупной русской математической школы, из которой вышли Б. Н. Делоне, О. Ю. Шмидт, Н. Г. Чеботарев, М. Ф. Кравчук.

Спустя несколько месяцев на семинар Граве пришел известный математик Н. М. Крылов и сразу обратил внимание на одаренного мальчика. После семинара Крылов встретился с Николаем Михайловичем и решительно заявил ему: 'Траве хороший математик, но он уведет Вашего Колю в алгебраические дебри". С согласия отца10 Коля перешел на кафедру математической физики, руководимую Крыловым.

Николай Митрофанович Крылов (1879-1955) по образованию был инженером (в 1902 году он окончил Горный институт в Петербурге), но имел и отличное математическое образование: в 1908-1910 гг. во Франции и в Италии он слушал лекции выдающихся математиков и механиков того времени: Ж. Дарбу, П. Пенлеве, Ж. Адамара, Ж. Буссинеска, А. Лебега, А. Пуанкаре, Л. Бьянки, У. Дини. С 1912 г. Н.М.Крылов — профессор Горного института, в 1917-1922 гг. — профессор Таврического (Крымского) университета, с 1917 г. — профессор Киевского университета. В 1922 г. он был избран академиком Украинской академии наук, в 1929 г. — академиком АН СССР11.

Больше года Коля интенсивно занимается с академиком Н. М. Крыловым. По предложенному Крыловым распорядку, они встречались через день, обсуждая разные математические вопросы поочередно по-немецки и по-французски. С 14 лет Коля начал участвовать в работе семинара Крылова при кафедре математической физики, в 15 лет была написана (совместно с Н. М. Крыловым) его первая научная работа “О принципе Рэлея в теории дифференциальных уравнений математической физики и об одном эйлеровом методе в вариационном исчислении”. Однако его положение в Киеве было неясным: его единственным документом об образовании была справка об окончании 7-летней школы. Ситуация разрешилась принятым по инициативе Крылова Решением Малого президиума Укрглавнауки от 1 июня 1925 г.:

Н. Н. Боголюбов и Н. М. Крылов

10 Д. А. Граве тоже не возражал. Он вообще относился к сюрпризам жизни со сдержанным юмором. Когда в 1929 г. Н. М. Крылова избрали академиком АН СССР, а Д. А. Граве — почетным академиком, Дмитрий Александрович сказал, что разница между ним и Николаем Митрофановичем теперь такая же, как между милостивым государем и государем.

11 Подробнее о жизни и трудах Н. М. Крылова см. [3].

“Ввиду феноменальных способностей по математике считать Н. Боголюбова на положении аспиранта научно-исследовательской кафедры математики в Киеве с 18.6.1925 г.”. Научным руководителем 15-летнего аспиранта был назначен Н. М. Крылов. Однако Крылов сыграл в судьбе Н. Н. Боголюбова не только роль научного наставника. В середине 1925 г. Коля остался в Киеве один (семья вернулась в Нижний Новгород) и переселился на новое место. Комната его оказалась очень сырой, и он начал хворать. Однажды Н. М. Крылов заехал к Коле домой, ужаснулся условиям его жизни и забрал мальчика с собой в свою трехкомнатную квартиру. Коля поселился в проходной комнате, на стене которой висела классная доска для семинаров, и прожил в этой комнате 8 лет. Отправляясь в гости или на концерт, Крылов всегда брал Колю с собой.

“Академическая лестница”.

Перечислю кратко основные этапы академической карьеры Н. Н. Боголюбова.

1924 г. — первая научная работа (совместно с Н.М.Крыловым);

1928 г. — кандидатская диссертация “Применение прямых методов вариационного исчисления к исследованию нерегулярных случаев простейшей задачи”;

1930 г. — доктор математики honoris causa12;

1939 г. — член-корреспондент АН УССР;

1946 г. — член-корреспондент АН СССР;

1948 г. — действительный член АН УССР;

1953 г. — действительный член АН СССР;

1963-1988 гг. — член Президиума АН СССР, академик-секретарь Отделения математики.

“Выписка из трудовой книжки”.

1928 г. — научный сотрудник АН УССР.

1934-1958 гг. — Киевский университет: с 1936 г. — профессор, 1936-1950 гг. - зав. кафедрой математической физики.

1940-1941 гг. — Черновицкий университет: зав. кафедрой математического анализа.

1941-1943 гг. — Уфимский авиационный институт, Уфимский педагогический институт: зав. кафедрами математического анализа.

1943-1992 гг. — профессор МГУ; в 1953-1966 гг. — зав. кафедрой теоретической физики, в 1966-1992 гг. — зав. кафедрой квантовой статистики и теории поля.

1950-1953 гг. — работа на “объекте” (Арзамас-16, участие в советском атомном проекте).

С 1949 г. работал в МИ им. В.А. Стеклова АН СССР: зав. отделом теоретической физики и механики, с 1969 г. — зав. отделом статистической механики, в 1983-1988 гг. — директор института.

1966-1973 гг. — директор Института теоретической физики АН Украины.

1956-1964 гг. — директор Лаборатории теоретической физики ОИЯИ.

1965-1988 гг. - директор ОИЯИ.

С 1989 г. — почетный директор ОИЯИ и МИ им. В. А. Стеклова АН СССР.

12 Т. е. без защиты диссертации.

Я не уверен, что эта выписка полна, но и так легко заметить, что Н. Н. Боголюбов умудрялся одновременно руководить несколькими крупными организациями, причем географически удаленными друг от друга. И он действительно руководил, и при этом всерьез занимался наукой, и всюду имел учеников: его организаторские способности были выдающимися, а фантастической работоспособностью он отличался с детства.

Из воспоминаний о Н. Н. Боголюбове. Начну с фрагментов из главы 8 “И. Е. Тамм, И. Я. Померанчук, Н. Н. Боголюбов, Я. Б. Зельдович” книги воспоминаний академика А. Д. Сахарова [4].

“О Николае Николаевиче Боголюбове я впервые услышал в 1946 году от моего товарища по школьному математическому кружку, потом однокурсника Акивы Яглома. Он рассказал, что в Москву приехал из Киева некий ”бобик“, необычайно талантливый, у которого так много научных идей, что он раздает их налево и направо. Потом я слышал его замечательный доклад в ФИАНе о теории сверхтекучести”.

“На объекте Боголюбов действительно способствовал усилению математического отдела. < ... > Боголюбов делал также отдельные теоретические работы по тематике объекта, если их удавалось выделить и они соответствовали его интересам (в этом случае он делал их так, как вряд ли смог бы кто-либо другой). Но его совсем не интересовали инженерные и конструкторские, а также экспериментальные работы. < ... > Большую часть своего времени он открыто использовал на собственную научную работу, не имевшую отношения к объекту (много после я стал делать то же самое), а также на писание монографий по теоретической физике. Главным образом для этого он привез с собой Климова, Ширкова и Зубарева <...>. Наибольшего успеха он достиг с самым молодым из них — Митей Ширковым. Их совместная монография по квантовой теории поля получила всеобщее, заслуженное признание. Эта монография, так же как совместная монография с Зубаревым, тоже вполне добротная, была окончена уже в Москве”.

“Внеслужебные отношения с Николаем Николаевичем у Игоря Евгеньевича и у меня были вполне хорошие. И. Е. и я иногда заходили к Н.Н. в номер, он радушно встречал нас и угощал ”чем Бог послал“ (а посылал Он хорошие вещи), расхаживая по комнате, размахивал руками и что-нибудь рассказывал. Разговаривать с ним всегда было интересно — он эрудит в самых разнообразных областях, отлично знал несколько языков, обладал острым, оригинальным умом и юмором. Но наиболее щекотливые темы, как наедине с И. Е., в этих разговорах не затрагивались (хотя, я думаю, ему было что вспомнить и что рассказать). < ... > От Николая Николаевича я впервые узнал идеи кибернетики, о работах Винера, Шеннона, Неймана, < ... > услыхал об огромных потенциальных возможностях ЭВМ”.

“К пятидесятым - шестидесятым годам относятся его главные, прекрасные работы по квантовой теории поля и элементарным частицам. < ... > У Боголюбова много учеников — физиков и математиков — и настоящих ученых, и просто ”приближенных", он возглавляет теоретические и математические отделы во многих институтах, стал своего рода научным генералом. Зачем это ему надо — мне не совсем понятно. Но, видимо, это тоже входит со-

ставной частью в его стиль, так ему спокойней. Я предпочитаю вспоминать, как оживляется его лицо и, кажется, вся фигура, когда он слышит что-то существенно новое, научное, и в его голове мгновенно появляются собственные идеи по этому поводу".

Следующие фрагменты — из воспоминаний М. М. Агреста13 из рассказа о встрече с ним в США известного историка физики Г.Е.Горелика (см. [5]).

“Мы были знакомы по работе, и как-то я пошел к нему (к Н. Н. Боголюбову. — Г. П.) домой по какому-то делу. Подхожу, дверь открыта, и из дома слышно радио... На еврейском языке! Видимо, из Израиля. А время было тогда ужасное... космополитизм, сионизм. Я не знал, что делать. И постучал в открытую дверь. Н. Н. вышел, увидел меня и говорит: передают про ”Мицраим“ — я понял, что он знает иврит! И так получилось, что тогда мы открылись друг другу”.

Далее Г. Е. Горелик комментирует, что означает это “открылись”: “... б самом начале нашей беседы он (М. М. Агрест. — Г. П.) решительно заявил, что не скажет ничего о секретах, по поводу которых дал когда-то подписку. < ... > тайна, которую Агрест решил раскрыть: оказывается, в этом совсекретном ”эпицентре“ научно-технического прогресса < ... > действовал совершенно секретный — для его неучастников — семинар, где в центре обсуждений были. .. религиозные вопросы. В семинаре участвовал и Боголюбов, ”очень интересный человек в этом отношении“, подчеркнул Агрест”.

13 января 1951г. М.М. Агрест совершенно неожиданно получил предписание органов покинуть “объект” в 24 часа. Имеется несколько версий о поводе для этого предписания. Приведу одну из них по воспоминаниям Л. В. Альтшулера14 (см. [6]):

“Примерно в это же время к изгнанию был приговорен высококвалифицированный математик Маттес Менделевич Агрест, участник Великой Отечественной войны. В связи с каким-то кадровым вопросом в Отделе режима внимательно перечитали его личную анкету. Открытым текстом там было написано, что в возрасте 15 лет, в 1930 г., он окончил высшее Еврейское духовное училище и получил диплом раввина. Работники режима пришли в ужас. Ведь это означало, что у нас на объекте несколько лет жил и работал человек, сохранивший прямые контакты с Богом и ветхозаветными пророками, по понятным причинам не имевшими допуска к секретной информации. Поступило распоряжение в 24 часа удалить Агреста с объекта. Активное вмешательство Д. А. Франк-Каменецкого, П. П. Боголюбова, П. Е. Тамма позволило продлить этот срок до педели, а также получить ему новое назначение на менее секретный объект в Сухуми”.

Вернемся к тексту Г. Е. Горелика: “Когда Агрест, говоря о своих заступниках, с особой теплотой упомянул имя Н. Н. Боголюбова, я, честно скажу, очень удивился. Для меня загадкой была подпись Боголюбова под письмом сорока академиков в ”Правде" (29 августа 1973 года), с которого началась газетная травля А. Д. Сахарова!'.

13 Маттес Менделевич Агрест (1915 г.р.) — математик, работал на “объекте” в группе Я. Б. Зельдовича, известен также как автор гипотезы палеоконтактов.

14 Лев Владимирович Альтшулер (1913-2003) — известный физик, работал на “объекте”.

Приведу окончание этого “письма сорока” и список подписей: "Мы выражаем свое возмущение заявлениями академика А. Д. Сахарова и решительно осуждаем его деятельность, порочащую честь и достоинство советского ученого. Мы надеемся, что академик Сахаров задумается над своими действиями.

Академики: Н. Г. Басов, Н. В. Белов, Н. Н. Боголюбов, А. Е. Браунштейн, А.П.Виноградов, С. В. Вонсовский, Б.М.Вул, Н.П.Дубинин, Н. М. Жаворонков, Б. М. Кедров, М. В. Келдыш, В. А. Котельников, Г. В. Курдюмов, А. А. Логунов, М. А. Марков, А. Н. Несмеянов, А. М. Обухов, Ю. А. Овчинников, А.И.Опарин, Б.Е.Патон, Б.Н.Петров, П.Н.Поспелов, А.М.Прохоров, О.А.Реутов, А.М.Румянцев, Л.И.Седов, Н.Н.Семенов, Д.В.Скобельцын, С.Л.Соболев, В. И. Спицын, В. Д. Тимаков, А.Н.Тихонов, В. М. Тучкевич, П. Н. Федосеев, И. М. Франк, А. Н. Фрумкин, Ю. Б. Харитон, М. Б. Храпченко, П. А. Черенков, В. А. Энгельгардт."

Должен сказать, что мне неприятно видеть в этом списке фамилию Боголюбова (как, по-видимому, и Г. Е. Горелику) и еще ряд других фамилий. Однако я не берусь ни судить, ни осуждать. Собственно говоря, судить легко: зная, что были и есть люди (в том числе среди коллег А.Д.Сахарова), не одобрявшие “нефизическую” деятельность Сахарова, я надеюсь, что для большинства из них, как и для подписавших, моральная окраска факта подписания такого письма совершенно ясна. А вот осуждать, зная ситуацию в СССР и не зная деталей каждого конкретного случая, невозможно. Поэтому смысл упоминания о подписи Н. Н. Боголюбова под этим письмом вовсе не в том, чтобы высказать осуждение, и даже не в том, что “из песни слова не выкинуть”: оказалось, что эта подпись представляет собой определенную историческую загадку, которую я обнаружил, когда прочитал воспоминания А. И. Ахиезера15 (1911-2000) (см. [7]): "Николай Николаевич творил почти в то же время, что и Лев Давидович Ландау, мой учитель и близкий друг, и следует сказать, что отношения между ними не всегда были безоблачными. < ... > В действительности оба этих великих человека ценили и уважали друг друга. < ... > Не могу не вспомнить историю, связанную с работой Николая Николаевича о неидеальном бозе-газе. Работа была тонкая, < ... > но в редакции ЖЭТФ работу отклонили. Тогда Николай Николаевич решил поговорить с самим Ландау. Беседа состоялась, Ландау сразу оценил работу Боголюбова и понял, что она является не только правильной, но блестящей. Статья, конечно, была опубликована. < ... > К крупнейшим достижениям теоретической физики Ландау относил работы А.А. Фридмана по теории гравитации, А. Н. Колмогорова по определению спектра турбулентности и Н. Н. Боголюбова по теории неидеального бозе-газа\

Далее, вспоминая о своем личном общении с Н. Н. Боголюбовым, А. И. Ахиезер пишет: "Когда мы остались втроем16, мне показалось, что я Боголюбова знаю с детских лет, настолько легко было с ним разговаривать,

15 Александр Ильич Ахиезер (1911-2000) — известный физик-теоретик, академик АН УССР.

16 Третьим был друг А. И. Ахиезера известный математик СИ. Зуховицкий.

он понимал всё с полуслова. < ... > Его энциклопедическим знаниям, остроумным и точным суждениям и высказываниям я всегда поражался. И уходя от него, я чувствовал, что получил важный духовный заряд, и у меня далее как-то на душе становилось легче".

“ Облик Николая Николаевича как человека характеризует его отношение к событиям, связанным с именем А.Д.Сахарова, и к деятельности своего ученика А. А. Логунова. Боголюбов не подписал (выделено мной. — Г. П.) письмо против Сахарова, опубликованное в ”Правде", под которым поставили свои подписи многие академики. В связи с этим Боголюбов рассказывал мне, как президент Академии наук М. В. Келдыш приходил за подписью к академику И. М. Виноградову.

Келдыш, предлагая Виноградову подписать письмо, сказал, что Сахаров опубликовал статью, мимо которой проходить нельзя. Виноградов захотел прочитать статью, на что будто бы Келдыш ответил: “Зачем её читать — все западные газеты о ней пишут”. Тут Николай Николаевич со смехом сказал мне: “Что ж, Вы думаете, ответил Иван Матвеевич Келдышу?” — “Мстислав Всеволодович, да разве Вы не помните, еще Ленин говорил, что ни одной буржуазной газете нельзя верить”. С этим Келдыш и ушел, не получив подписи Виноградова".

“Что касается А. А. Логунова, то он развивал антиэйнштейновскую теорию гравитации, имел по этому вопросу множество публикаций, но поддержки Боголюбова в этой деятельности не получил”.

“Н. Н. Боголюбов всегда старался поддерживать хорошие начинания. Когда в Москве создавался Институт теоретической физики им. Л. Д. Ландау, то именно он поддержал инициатора создания института академика Исаака Марковича Халатникова”.

Даже просто факт подписания Н.Н. Боголюбовым письма в “Правду” плохо согласуется17 с многочисленными воспоминаниями о нем как о человеке независимом, принципиальном и “не робкого десятка”. А теперь еще мы имеем “противоречие в документах”: свидетельство современника о том, что “Боголюбов не подписал письмо против Сахарова”, да еще сопровождаемое подробностями о том, как Н.Н. Боголюбов со смехом рассказывал о деталях отказа И. М. Виноградова от подписания этого письма. Мне представляется, что если бы Н.Н. Боголюбов подписал письмо, то подобный рассказ было бы для него психологически и морально невозможен.

Размышляя над этой загадкой, я придумал для себя две гипотезы: “слабую” и “сильную”. Первая заключается в том, что в рассказе А. И. Ахиезера перепутаны письма: в 1975 г. в “Правде” было опубликовано еще одно аналогичное “Заявление советских ученых” с осуждением Сахарова. Под этим письмом 72 подписи (академиков и членов-корреспондентов АН СССР), множество подписей под первым письмом пересекается с множеством подписей под вторым, но первое множество не является подмножеством второго. В частности, подписи Н.Н. Боголюбова под вторым письмом нет.

17 Из [5] ясно, что и Г. Е. Горелик считает эту подпись загадкой и что именно в поисках ответа он разыскал Агреста в США. Однако предложенная Г. Е. Гореликом в [5] версия разгадки представляется мне неубедительной.

Вторая, “сильная”, гипотеза заключается в том, что подпись Н.Н. Боголюбова под первым письмом вообще появилась без его ведома или согласия. Ясно, что в такой ситуации Н. Н. Боголюбов был бы бессилен дезавуировать эту подпись.

Приводимый ниже фрагмент воспоминаний Б. А. Арбузова18 [8] из недавно опубликованной книги “Воспоминания об академике Н.Н.Боголюбове”19 показывает отношение Н. Н. Боголюбова к этой подписи (а также является контраргументом к версии Г.Е.Горелика).

“ Перехожу к событию неприятному, доставившему Николаю Николаевичу настоящие огорчения. Можно было бы этой темы совсем не касаться, но тогда некоторые важные события в жизни Николая Николаевича останутся непонятными. Зашла как-то в московскую квартиру Николая Николаевича его невестка Катя. А Николай Николаевич в мрачнейшем настроении. Пожаловался: ”Пришел Келдыш, принес письмо с осуждением А. Д. Сахарова. Говорит: «Как водку пить, так вместе, а как говно хлебать, так я один. Подпишите, Николай Николаевич!»". Какие еще аргументы приводил М. В. Келдыш, неизвестно, но подпись Николая Николаевича под этим письмом появилась. Знающие люди говорят, что именно в этом году Нобелевский комитет уже принял предварительное решение о присуждении Николаю Николаевичу премии по физике. А предварительное решение, как правило, обычно и утверждается официально. Но после этого письма срочно была сделана замена!'.

Хочу обратить внимание, что у Б. А. Арбузова написано очень аккуратно: утверждение “подпись Николая Николаевича появилась” не равнозначно утверждению “Николай Николаевич подписал”.

Уже после доклада, изложением которого является этот текст, я обнаружил воспоминания [9] еще одного ученика Н. Н. Боголюбова, профессора А. В. Свидзинского20, в которых написано: “Близкие к Н.Н. люди (в частности, его сын Николай Николаевич-младший) утверждают, что Боголюбов вообще не ставил своей подписи под осуждением Сахарова, это сделали против его воли люди из аппарата Президиума АН СССР. Есть и другие версии. Я не могу судить о событиях, мне неизвестных”.

Таким образом, можно надеяться, что “сильная” гипотеза все-таки верна.

Память. Разумеется, непреходящую память о себе Н. Н. Боголюбов обеспечил, прежде всего, своими научными трудами21 и воспитанными им учениками. Здесь я хочу назвать только архитектурные и топонимические объекты, носящие его имя. Это главный проспект г. Дубна, Лаборатория теоретической физики ОИЯИ в Дубне, Институт теоретической физики НАН Украины в Киеве. Мне известны три скульптурных портрета Н. Н. Боголюбова:

18 Борис Андреевич Арбузов — физик-теоретик, профессор, сотрудник НИИ ядерной физики им. Д. В. Скобельцына, МГУ им. М. В. Ломоносова.

19 Эта книга, подписанная к печати 17 августа 2009 г., издана МИ им. В. А. Стеклова РАН тиражом всего 200 экз., но доступна в Интернете: http://www.mi.ras.ru/index.php?c= books&m=3.

20 Анатолий Вадимович Свидзинский — заведующий кафедрой теоретической и математической физики Волынского национального университета им. Леси Украинки.

21 К 100-летию со дня рождения Н.Н. Боголюбова завершено издание 12-томного полного собрания его научных трудов.

барельеф на здании Черновицкого университета, памятник в Дубне (2001 г.) и памятник Н.Н. Боголюбову в Нижнем Новгороде перед старым корпусом университета (см. фото на странице 182 этого номера журнала), установленный в 1983 г. в соответствии с Указом Президиума Верховного Совета СССР от 14 мая 1973 года как дважды Герою Социалистичекого Труда22.

ЛИТЕРАТУРА

1. Боголюбов А.Н. Н.Н.Боголюбов. Жизнь. Творчество. — Дубна: ОИЯИ, 1996. 181с.

2. Андрианова В. Н. За выдающиеся заслуги в развитии математики, механики и теоретической физики, подготовку научных кадров // Нижегородский музей. 2004. № 1-2. С. 9-14.

3. Боголюбов А. Н., Урбанский В. М. Николай Митрофанович Крылов. — Киев: Наукова думка, 1987. 175 с.

4. Сахаров А. Д. Воспоминания. Т. 1. — М.: Права человека, 1996. 912 с.

5. Горелик Г. Е. Сила знания и импульс веры // Заметки по еврейской истории. 2002. №22 (доступно также по адресу http://ggorelik.narod.ru/ads68/Sila_znciniya_ i_very.html).

6. Альтшулер Л. В. Рядом с Сахаровым //В книге “Он между нами жил. Воспоминания о Сахарове”. — М.: Практика, ОТФ ФИАН, 1996. С. 113.

7. Ахиезер А. И. Очерки и воспоминания. — Харьков: Факт, 2003. 430 с.

8. Арбузов Б. А. Учитель в науке и жизни. Воспоминания о Николае Николаевиче Боголюбове //В книге “Воспоминания об академике Н. Н. Боглюбове. К 100-летию со дня рождения”. — М.: МИАН, 2009. С. 30-43 (доступно также по адресу http://www. mi. ras. ru/index. php?c=books&m=3).

9. Свидзинский А. Николай Николаевич Боголюбов, каким я его видел и понимал // Интернет-ресурс “Ежедневная всеукраинская газета «День»”, № 150, 27 августа 2009 г. http://www.day.kiev.ua/279053/.

10. Николай Николаевич Боголюбов. Собрание научных трудов: в 12 томах. РАН. — М.: Наука, 2005-2009 (Классики науки).

TRAITS ТО THE PORTRAIT (То the 100 anniversary of the N. N. Bogolyubov's birth)

G. M. Polotovskiy

This text represents an account of the report given by the author at the joint scientific session of the Nizhny Novgorod Scientific Center of the Russian Academy of Sciences, the N.I. Lobachevsky Nizhny Novgorod State University and the Russian Federal Nuclear Center, devoted to the 100 anniversary of the birth of the academician N. N. Bogolyubov, the brief information on this session is presented in this issue of the journal. The biography of the archpriest Nikolay Mikhailovich Bogolyubov, the father of N. N. Bogolyubov, is presented. The Bogolyubov's scientific and administrative career is described, several fragments from various reminiscences on N. N. Bogolyubov are given.

Keywords: N.N. Bogolyubov, the biography, memoirs.

22 Возвращаясь к параллели с биографией Н.И.Лобачевского (см. сноску 6), остается сожалеть, что Н.И.Лобачевский не был дважды Героем — тогда, возможно, в Нижнем Новгороде ему был бы, наконец, установлен памятник.

В ПЕРЕРЫВАХ МЕЖДУ ЛЕКЦИЯМИ

ТРИ ЭССЕ О НЕ СЛИШКОМ ИЗВЕСТНОМ

Д. М. Златопольский

Московский городской педагогический университет, Россия, 129226, г. Москва, 2-й Сельскохозяйственный проезд, д. 4; e-mail: zlato@orc.ru

АЛГОРИТМ ГАУССА ДЛЯ РАСЧЕТА ДАТЫ ПРАЗДНИКА ПАСХИ

“Король математиков” XIX века Карл Фридрих Гаусс внес огромный вклад не только в чистую математику, но и в огромное число её приложений — от геодезии и картографии до азартных игр. В частности, он предложил правило для определения датировок весеннего равноденствия и христианской Пасхи.

Мы приведем правило Гаусса расчета даты православной Пасхи, как, говорят англичане, “as is”, то есть “как есть”, без всяких объяснений и обоснований.

Алгоритм

1. Вычислить остаток а от деления номера года на 19;

2. Вычислить остаток b от деления номера года на 4;

3. Вычислить остаток с от деления номера года на 7;

4. Вычислить остаток d от деления суммы (19а + 15) на 30;

5. Вычислить остаток е от деления суммы [2Ъ + 4с + 6d + 6) на 7;

6. Вычислить сумму / = d + е.

Вывод. Пасха будет либо в марте, либо в апреле (все даты, естественно, по старому стилю!) в зависимости от величины /: если / не больше 9, то дата Пасхи (22 + /) марта, иначе Пасха приходится на (/ — 9) апреля.

Формулы предусматривают два исключения: - при d = 29 и е = 6 Пасха отмечается не в расчетную дату 26 апреля, а 19 апреля (так было в 1981 г.); — при d = 28 и е = 6 Пасха отмечается не в расчетную дату 25 апреля, а 18 апреля (так было в 1954г.).

Например, для 2009 года:

La = 14; 2.6=1; 3. с = 0; 4. d = 11; 5. е = 4; 6. / = 15.

Так как / > 9, то месяц — апрель, а номер дня равен 15 — 9 = 6. “Переводя” полученную дату в новый стиль, получим: 6 + 13 = 19 апреля.

Дату Пасхи в 2010 году предлагаем читателям определить самостоятельно.

В заключение заметим, что приведенные формулы справедливы только для периода с 1900 по 2099 год.

ЧТО ДЛЯ РУССКОГО “СОБАЧКА”, ДЛЯ НЕМЦА — “ОБЕЗЬЯНИЙ ХВОСТ”*

Сегодня знак @ является одним из символов нашего общего коммуникационного пространства. Какова же история появления этого знака в адресе писем электронной почты — одной из самых распространенных услуг, предоставляемых пользователям всемирной компьютерной сети Интернет?

Поиски истоков символа @ уводят по меньшей мере в XV век, а возможно, еще дальше, хотя лингвисты и палеографы до сих пор расходятся в своих мнениях по этому вопросу. Однако сначала обратимся к более близким временам.

Точная дата рождения электронной почты неизвестна. Специалисты по истории высоких технологий относят её примерно к концу 1971 года, когда 30-летний американский компьютерный инженер Рэй Томлинсон сделал нечто, что сам затем назвал “быстрым захватом” (quick hack). На самом деле ему удалось послать первое в истории электронное сообщение на адрес (принадлежавший ему же), зарегистрированный на другом компьютере.

Томлинсон и был тем самым человеком, который выбрал символ @ в качестве разделителя между именем пользователя и именем компьютера в записи адреса электронной почты. Когда уже в наши дни его спросили, почему он выбрал именно этот значок, он ответил просто: “Я искал на клавиатуре знак, который не мог встретиться ни в одном имени и вызвать путаницу”. Символ имел определенное назначение — по крайней мере, в английском языке он использовался как сокращение от at (читается “эт”).

Рассмотрим технические аспекты, которые помогут понять, почему Томлинсону нужен был разделитель в электронном адресе и что произошло, когда он выбрал для этой цели знак @. В то время он работал в исследовательском центре компании Bolt Beranek and Newman, которая имела контракт с правительством США на исследования, связанные с созданием компьютерной сети Arpanet, предшественницы Интернета.

Первоначально эта сеть, созданная в 70-х годах прошлого века, объединяла 15 организаций — главным образом университеты и исследовательские центры. Томлинсон был хорошо знаком с существовавшими в то время компьютерными системами передачи сообщений, разработанными еще в середине 60-х годов. Одну из них он создал сам, назвав её SNDMSG (от send message -“послать сообщение”). Все эти системы давали возможность пользователям некоего “главного” компьютера обмениваться электронными записками путем публикации их в определенных “почтовых ящиках”, роль которых выполняли простые текстовые файлы. Отправитель мог добавить свой текст в конец уже существующего файла почтового ящика получателя, не имея при этом возможности прочитать или удалить записанные в нем предыдущие сообщения. В следующий раз, когда получатель подключался к данному компьютеру, он видел уведомление (типа “Вам пришла почта”) и мог прочесть сообщение.

* При подготовке заметки использовались материалы журнала “ Computerworld”.

Электронная почта приобретала всё большее значение, однако по-прежнему была “привязана” только к одному компьютеру. В то же время, используя Arpanet, исследователи могли посылать файлы с одной машины на другую. Томлинсон начал экспериментировать со своей системой SNDMSG и программой пересылки файлов под названием CYPNET. Он выяснил, что последняя может быть адаптирована для передачи сообщений и присоединения их к файлу почтового ящика, расположенного на другом компьютере, аналогично тому, как SNDMSG могла это делать локально. По его словам, нужно было только “внести небольшое изменение в протокол”.

Для того чтобы сообщения доходили до нужного почтового ящика на другом компьютере в сети Arpanet, Томлинсон должен был придумать новую схему адресации, которая бы идентифицировала не только получателей, но и компьютеры, на которых находились их почтовые ящики. Для этого Томлинсону понадобился разделитель, и его, в общем-то случайный, выбор пал на знак @. Первым сетевым адресом был tomlinson@bbn-tenex (Tenex — операционная система, которая в то время использовалась фирмой Bolt Beranek and Newman). Доменные расширения адреса (такие как .com и .net), а также национальные суффиксы (как, например, .ru), были введены лишь спустя несколько лет.

Сам Томлинсон удивительно скромен в оценке того, что он сделал. Он даже не помнит текст первого сообщения, которое послал, — возможно, он просто набрал слово “тест” (конечно, по-английски). “Мне никогда не приходило в голову, что это может оказаться чем-то более значительным, чем просто удобный способ облегчить взаимодействие с другими исследователями”, — объясняет он.

Интересно, что выбор знака @ в качестве разделителя электронного адреса породил одну из первых интерактивных дискуссий. Система, разработанная Томлинсоном, отлично работала на Тепех. Но в то время было несколько конкурирующих операционных систем, используемых на компьютерах в сети Arpanet. Например, на машинах с операционной системой Multics, где бы ни помещался символ @, он всегда интерпретировался как команда “удалить текущую строку”, что делало набор сетевого электронного адреса невозможным. Это привело к ожесточенной борьбе, которая закончилась лишь через десять лет после внесения нужных изменений в программное обеспечение Multics.

Как получилось, что знак @ оказался на одном из первых мест на клавиатуре компьютера? Ведь прежде чем Томлинсон отдал ему предпочтение, было же у него какое-то другое конкретное назначение? Чтобы найти ответ на этот вопрос, придется углубиться в историю.

Американский ученый Бертольд Уллман 70 лет назад выдвинул предположение, что знак @ был изобретен средневековыми монахами. Он утверждает, что этот знак понадобился им в качестве сокращения для латинского ad — часто употребляемого универсального слова, означающего “на”, “в”, “в отношении” и т. п. Однако реальные доказательства, подтверждающие эту гипотезу, остаются очень скудными.

До недавних пор большинство лингвистов полагали, что знак @ имеет более позднее происхождение и появился на свет в XVIII столетии в качестве символа, указывающего стоимость единицы товара, например: “5 яблок @ 10 пенсов” (5 яблок при цене 10 пенсов за 1 яблоко). Французский исследователь Дэнис Музерелли считает, что этот знак появился в результате того, что букву “а” французские и немецкие купцы второпях писали как @.

Однако в 2000 году другой специалист по истории языка, Джорджио Стейбаил из Римского университета, обнаружил венецианские коммерческие документы, датированные примерно 1500 годом, в которых символ @ использовался для обозначения меры объема — амфоры. Стейбаил также нашел латино-испанский словарь 1492 года, в котором слово “амфора” (anfora) переводилось как “арроба” (arroba) — мера веса, равная примерно 12,5 кг. Это слово, скорее всего, произошло от арабского “ar-roub”, которое, опять же, означало некую единицу измерения, а именно “четверть”. Все эти исследования показывают, что знак @ существует с XV столетия (как в романских и арабских, так и в греческом языках) в качестве коммерческого символа, использовавшегося для обозначения единиц измерения товара (хотя в разных регионах он означал разные величины).

Это проливает некоторый свет на появление “коммерческого эт” (символа @) на клавиатуре пишущей машинки. Он присутствовал уже на первой её модели, выпущенной компанией Underwood в 1885 году. Значку удалось выжить, и 80 лет спустя он был включен в стандартный набор компьютерных символов.

Пожалуй, наибольшее удивление в истории символа @ вызывает то, как в наши дни он произносится и что означает на разных языках. Испанцы и португальцы по-прежнему используют слово “арроба”, которое французы у них “одолжили” и переделали в “ароба” (arobas). Американцы и британцы, конечно же, называют его “знак эт” (at sign). Такое же словосочетание в различных вариациях было перенесено в другие языки, например в немецкий (at Zeichen), эстонский (at mark) и финский (atto maak), или перешло в более простую форму — “at”.

Однако в большинстве языков этот символ принято именовать с помощью всевозможных метафор, взятых из повседневной жизни. Наиболее характерным является упоминание животных. Голландцы, немцы, венгры, поляки и африканцы видят в нем обезьяний хвост.

Улиткой (по-английски snail) знак @ называют во Франции (petit escargot) и Италии (chiocciola), а также на иврите, корейском и эсперанто (heliko). Парадоксально, что термин snail mail (буквально “улиточная почта” или “черепашья почта”) на компьютерном жаргоне означает традиционную почту как более медленную альтернативу электронной. Датчане и шведы называют этот знак snabel-a (слоновий хобот с буквой “а” на конце), венгры — червяком, норвежцы — свиным хвостом, китайцы — мышонком. Но, наверное, самое “подходящее по внешнему виду” название — это финское слово miukumauku, означающее свернувшуюся калачиком спящую кошку.

В России для символа @ прижилось название “собака” (или “собачка”). Вот типичная фраза: "Индивидуальный электронный адрес отделён от труп-

пового собакой“. Раньше употреблялось также название ”лягушка“, но сейчас оно фактически исчезло. Каноническое наименование ”ж“ практически не используется (и даже мало кому известно). Зато в российском компьютерном жаргоне для знака @ существует экзотическое наименование ”краказябла".

Любопытно, что еще одним богатым источником названий для символа @ является пища. Шведы предпочитают “булочку с корицей” (kanelbulle), чехов же воодушевил “селедочный рольмопс” (zavinac), подаваемый в пражских барах. Испанцы иногда называют этот символ ensaimada (конфета, имеющая форму спирали; её обычно делают на Майорке). А на иврите часто используется слово shtrudl (штрудель), означающее известное кондитерское изделие.

ШТРИХ-КОД

В настоящее время на упаковке большинства товаров имеется ряд вертикальных полосок различной толщины, разделенных пустыми интервалами, под которым написано число (рис. 1).

Как известно, такое изображение называется штриховым кодом или штрих-кодом. Что же это такое и зачем это нужно? Начнем с числа.

В свое время производители товаров и торговые фирмы столкнулись с серьезной проблемой: товаров много (например, средний универмаг оперирует с десятью тысячами наименований) и к каждому — длинный сертификат — документ, в котором расписано, где сделан товар, какой фирмой, сколько весит, каковы его габариты и т.д. Поэтому придумали систему кодирования этой информации в виде последовательности цифр (и штрихового кода). Более 30 лет назад была создана глобальная международная организация Система товарных номеров EAN/UCC, образованная на основе Европейской (European Article Numbering Association — EAN International) и Северо-Американской (Uniform Code Council — UCC) ассоциаций товарной нумерации. В настоящее время система EAN/UCC объединяет национальные организации в более чем 100 странах мира. Каждая страна имеет свой номер. Коды стран, как правило, — трехзначные (например, Россия имеет номера с 460 по 469). Внутри каждой страны проводится нумерация предприятий — изготовителей товаров. В Российской Федерации национальной организацией товарной нумерации — членом EAN International является Ассоциация автоматиче-

Рис.1

ской идентификации ЮНИСКАН/EAN РОССИЯ, которая насчитывает более 5000 предприятий-членов. Всем им присвоены уникальные идентификационные номера, которые начинаются с цифр 460 (EAN РОССИЯ).

Каждому продукту назначается уникальный 13-цифровой номер. Его первые три цифры называют префиксом EAN, и именно они указывают страну. Следующие 9 цифр содержат номер предприятия, зарегистрированного внутри национальной организации, и номер товара.

Структура 9 знаков, приходящихся на номер предприятия и номер товара, определяется непосредственно национальной организацией, например:

5 знаков — предприятие и 4 знака — товар,

6 знаков — предприятие и 3 знака — товар, и т. п.

В настоящее время ЮНИСКАН/EAN РОССИЯ определила следующую структуру: 6 цифр — номер предприятия, 3 цифры — номер товара. В международной системе EAN/UCC она называется структурой “9/3”, так как на префикс национальной организации и номер предприятия отводится 9 цифр, а на номер продукции внутри предприятия — 3 цифры.

Итак, всего всю необходимую информацию о конкретном товаре отражают 12 цифр1. Но внимательный читатель, конечно, обнаружит, что на приведенном выше рисунке в числе не 12, а 13 цифр. Дело в том, что последняя, тринадцатая, цифра — контрольная. Для чего она нужна — расскажем позднее.

При наличии на упаковке товаров закодированной информации о них можно автоматизировать процесс распознавания этой информации, если считывать её специальным устройством — сканером. Причем можно, конечно, использовать для распознавания информации о товаре указываемые на упаковке цифры. Но это потребовало бы применения сложной компьютерной технологии распознавания символов. Проще и надежнее это делать с использованием двоичного кодирования этой информации. Нет, речь не идет о том, чтобы представлять число-код в виде цифр двоичной системы счисления. Просто десятичный номер товара изображается на упаковке в виде тех самых вертикальных полосок различной толщины и интервалов между ними, а эта информация является двоичной, хотя на первый взгляд этого и не скажешь.

Если сделать тонкий срез этих полосок, то можно увидеть изображение, показанное на рис. 2 (в увеличенном масштабе).

Эти полоски и пробелы графического изображения штрихового кода предназначены для сканеров. Считывая эту информацию слева направо, сканер присваивает 1 первой встреченной черной полоске и 0 — первому промежут-

Рис.2

1 Обращаем внимание на то, что по первым трем цифрам кода определить страну происхождения товара нельзя, так как изготовители имеют право зарегистрироваться не в отечественной организации товарной нумерации, а за рубежом.

ку. Следующие промежутки и штрихи считываются как последовательности одного, двух, трех или четырех нулей или единиц, в зависимости от ширины штриха или промежутка. Следовательно, всё изображение может быть представлено как последовательность битов:

1 01000011001011000010011001...

Эти биты и есть двоичное представление десятичного числа — кода товара. При считывании штрихового кода сканер из комбинации штрихов восстанавливает закодированный номер. В крупных магазинах кассир, делая расчет, просто проносит товар, повернув его штрих-кодом вниз, над кассовым аппаратом, и на экране аппарата мгновенно выскакивает цена. Это происходит потому, что кассы со считывателями штрихового кода подключены к компьютеру, который обрабатывает считанную информацию2. Кроме удобства работы кассира и “быстроты” обслуживания покупателя, такая автоматизированная система может обеспечить и учет объема продаж того или иного товара, уровня спроса на те или иные изделия, заблаговременно сделать заказ на склад для восполнения запасов товаров на полках торгового зала и т. п.

Некоторых покупателей смущает, если на штрих-коде — только собственно штрихи, а цифр нет. Это — не признак подделки. Для кассового аппарата цифры вообще не имеют значения, и, если места на товаре мало, их не ставят.

Не нужно пытать продавца и в том случае, если штрих-код узкий или короткий, или вообще “какой-то не такой”. Обычно так бывает на мелких по размеру товарах. ЮНИСКАН разрешает производителям таковых использовать сокращенный, 8-цифровой, вариант кодировки.

- Как же так? — скажете вы, — получается, нам можно на штрих-код вообще не смотреть, там нет полезной для нас информации?

Это не так — есть способ, хотя и несколько трудоемкий, узнать по штрих-коду, поддельный ли товар. Помните, мы говорили, что последняя цифра кода — контрольная? Именно с её помощью можно проверить правильность кода товара. Итак, если вам крайне важно узнать, с чем вы имеете дело, нужно произвести следующие арифметические действия.

1. Сложить цифры, стоящие на четных позициях; для штрих-кода, изображенного на рисунке в начале статьи, получится 6 + 0 + 5 + 0 + 0 + 1 = 12.

2. Сумму умножить на 3: 12 х 3 = 36.

3. Сложить цифры, стоящие на нечетных позициях (не учитывая контрольную цифру): в нашем примере это 4 + 0 + 9 + 2 + 0 + 0 = 15.

4. Сложить то, что получилось в результате второго и третьего действий: 36 + 15 = 51.

5. От результата отбросить первую цифру. Получится 1.

6. И отнять от 10 то, что получилось в пятом пункте: 10 — 1 = 9.

2 Многие думают, будто в штрих-коде заложена цена. На самом деле в самом коде данных о цене нет. Ведь один и тот же товар в разных магазинах продается по разным ценам. Но когда товар поступает в данный магазин, принимается решение, по какой цене его продавать, в компьютер заносятся данные о его штрих-коде и цене, так что кассовый аппарат распознает, с каким товаром он имеет дело, и высвечивает заложенную стоимость.

Этот результат должен совпадать с контрольной цифрой. Если нет — товар поддельный.

Метод, конечно, сложный. Однако, если вы покупаете дорогую вещь или есть сомнения, доброкачественный ли продукт питания перед вами, имеет смысл произвести эти в общем-то элементарные процедуры3. Ведь отравление и разочарование от неудачной покупки обойдутся гораздо дороже...

И еще. На обложках ряда книг штриховой код не начинается с цифр 460! Но такие книги — не поддельные (©). Просто для книг и ряда других видов товара выделены специальные префиксы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Петцольд Ч. Код. — М.: Издательско-торговый дом “Русская редакция”, 2001.

2. http://www.markpro.ru/information/code/ean.html

3 Конечно, если касса магазина оборудована сканером для считывания штрихового кода, то все за вас сделает компьютер, который по описанному выше алгоритму рассчитает контрольную сумму и сравнит её с последней цифрой. Совпадение считанного и вычисленного контрольных разрядов означает правильное считывание штрихового кода. В этом случае на сканере появляется соответствующий световой/звуковой сигнал. Если код читается плохо, то одна или несколько цифр кода могут быть при считывании искажены. В этом случае сканер не даст сигнала о правильном считывании. Аналогично, если кто-то придумал свой код из произвольных 13 цифр или если контрольный разряд имеет произвольное значение, то этот штриховой код сканером считываться не будет!

В НИЖЕГОРОДСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ

СОВМЕСТНАЯ НАУЧНАЯ СЕССИЯ ННЦ РАН, ННГУ И РФЯЦ, ПОСВЯЩЕННАЯ 100-ЛЕТИЮ СО ДНЯ РОЖДЕНИЯ АКАДЕМИКА Н. Н. БОГОЛЮБОВА

2 сентября 2009 года в конференц-центре ННГУ состоялась совместная научная сессия Нижегородского научного центра РАН, Нижегородского государственного университета имени Н.Н. Лобачевского и Российского федерального ядерного центра, посвященная 100-летию со дня рождения выдающегося российского математика, механика и физика-теоретика Николая Николаевича Боголюбова.

Открывая заседание, директор Института прикладной физики РАН академик А. Г. Литвак отметил, что сессия проводится в соответствии с Указом Президента Российской Федерации от 09.12.2008 г. “О праздновании 100-летия со дня рождения Н.Н. Боголюбова”.

Ниже приводится список докладов, прочитанных на сессии.

Ширков Д. В. (ОИЯИ) К 100-летию Боголюбова. Грани Личности и Творчества.

Полотовский Г. М. (ННГУ) Штрихи к портрету Н.Н.Боголюбова.

Шарковский А. Н. (Институт математики НАН Украины) Развитие нелинейной динамики и Н. Н. Боголюбов.

Шильников Л. П. (НИИ ПМК при ННГУ) Н.Н.Боголюбов и задача о периодическом возмущении колебательных систем.

Костюков В. Е., Соловьев В. П., Шагалиев Р. М. (РФЯЦ) Развитие отечественных суперкомпьютерных технологий.

Янилкин Ю. В., Беляев С. П., Гаврилова Е. С. и др. (РФЯЦ) Эйлеровы численные методики ЭГАК и ТРЭК для моделирования многомерных течений многокомпонентной среды.

Токман М. Д. (ИПФ РАН) Усредненные уравнения движения заряженных частиц в релятивистски сильных волновых полях.

Буренин А. В. (ИПФ РАН) Симметрия и проблемы квантовой внутримолекулярной динамики.

Суханов А. Д. (ОИЯИ) Обобщение равновесной квантовой статистической механики.

Гаранин С. Ф., Мхитарьян Л. С. (РФЯЦ) Исследования по лазерному термоядерному синтезу на мощных установках РФЯЦ-ВНИИЭФ.

Горбатенко М. В. (РФЯЦ) Связь между уравнениями конформной геометродинамики и Дирака.

Рочев Е. В. (ИФВЭ) Проблема призрачного полюса Ландау в квантовой теории поля: от Боголюбова до наших дней.

Зиновьев Ю.М. (ИФВЭ) Кто боится расходимостей?

В перерыве между заседаниями участники сессии возложили цветы к памятнику Н. Н. Боголюбову.

Закрывая сессию от имени её организаторов, член-корреспондент РАН В. В. Кочаровский (ИПФ РАН) отметил высокий научный уровень представленных докладов и поблагодарил всех участников, особенно академика РАН Д. В. Ширкова (Дубна, ОИЯИ), старейшего и ближайшего ученика Н. Н. Боголюбова, нашедшего возможность приехать в Нижний Новгород и принять участие в работе сессии.

Г. М. Полотовский

Группа участников сессии возле памятника Н. Н. Боголюбову

Математика в высшем образовании

№ 7, 2009

Научно-методический журнал

Свидетельство о регистрации средства массовой информации Министерства РФ по делам печати, телерадиовещания и средств массовых коммуникаций ПИ № 77-15825 от 7 июля 2003 г.

ISSN 1729-5440

Адрес редакции: 603950, Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23, Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского, корпус 6, к. 406. Тел.: (831)465-85-10; (831)462-33-64; факс: (831)465-85-92 e-mail: yemel@sandy.ru http://www.unn.ru/math

Компьютерная верстка Л.Р. Семенова Оригинал-макет подготовлен с использованием пакета LATeX

Формат 60x84 1/8. Гарнитура Computer Modern. Печать офсетная. Бумага офсетная. Усл. печ. л. 21,3. Уч.-изд. л. 15,5. Тираж 600 экз. Заказ № 746.

Издательство Нижегородского госуниверситета им. Н.И. Лобачевского, 603950, Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23.

Типография Нижегородского госуниверситета им. Н.И. Лобачевского, 603000, Нижний Новгород, ул. Большая Покровская, 37. Лиц. ПД № 18-0099 от 04.05.2001

Индекс 87966

ISSN 1729-5440 Математика в высшем образовании. 2009. №7