ISSN 1729-5440

МАТЕМАТИКА В ВЫСШЕМ ОБРАЗОВАНИИ

6

2008

Научно-методический совет по математике министерства образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского

Нижегородское математическое общество

МАТЕМАТИКА В ВЫСШЕМ ОБРАЗОВАНИИ

6

2008

Научно-методический журнал

Нижний Новгород

Издательство Нижегородского госуниверситета

Редакционная коллегия

И.С. Емельянова (главный редактор) М.В. Долов, Г.М. Жислин, Т.А. Иванова (зам. главного редактора), В.А. Ильин, Ю.Л. Кетков, Л.Д. Кудрявцев, М.И. Кузнецов, А.В. Латышев, Н.И. Мерлина, В.И. Михеев, Е.И. Моисеев, А.Д. Мышкис, Г.М. Полотовский, Н.Х. Розов, В.А. Садовничий, Г.И. Саранцев, Р.Г. Стронгин, С.Н. Слугин, М.А. Федоткин

При перепечатке, переводе на иностранный язык, а также при ином использовании оригинальных материалов журнала ссылки на “Математика в высшем образовании” обязательны

Журнал издается при финансовой поддержке Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского

Адрес редакции: 603950, Нижний Новгород, проспект Гагарина, 23, корпус 2, к. 216. Тел.(831) 462-33-64; e-mail: yemel@sandy.ru http://www.unn.ru/math

© Математика в высшем образовании, 2008

Mathematics Science and Methods Council of Russian Ministry of Education

Federal Education Agency

Nizhny Novgorod State University

Nizhny Novgorod Mathematics Society

MATHEMATICS

in Higher Education

6

2008

Academic Journal

Nizhny Novgorod

Nizhny Novgorod State University Press

Editorial Board

I.S. Yemelyanova (Editor-in-Chief), M.V.Dolov, G.M. Zhislin, T.A. Ivanova (Editor), V.A. Ilyin, Y.L. Ketkov, L.D. Kudryavtsev, M.I. Kuznetsov, A.V.Latyshev, N.I. Medina, V.I. Miheev, E.I. Moiseev, A.D. Myshkis, G.M. Polotovsky, N.Kh. Rozov, V.A. Sadovnichii, G.I. Sarantsev, R.G. Strongin, S.N. Slugin, M.A. Fedotkin

No reprint or any use of the material is allowed without reference to “Mathematics in Higher Education ”.

The journal is published with financial support of Nizhny Novgorod State University.

Editorial Office Address: Nizhny Novgorod State University Nizhny Novgorod, 603950, Gagarin avenue 23, building 2, office 216 Russia

Tel: (831) 462-33-64 e-mail: yemel@sandy.ru http://www.unn.ru/math

© Mathematics in Higher Education, 2008

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие.......................................................................7

Педагогическая секция конференции “Дифференциальные уравнения и смежные вопросы”

Боровских А.В., Розов Н.Х., Шамаев А.С. Первый опыт организации педагогической секции на конференции, посвященной памяти И. Г. Петровского.......................................................................9

Шамаев А. С, Капустина Т. О. Педагогическая деятельность кафедры дифференциальных уравнений механико-математического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова. Олимпиады и письменные экзамены по дифференциальным уравнениям............................................. 11

Чечкин Г. А.,Чечкина Т.П. Преимущества курса “Уравнения математической физики” на механико-математическом факультете МГУ им. М.В.Ломоносова перед соответствующими курсами ведущих университетов других стран......................................................... 33

Назаров А. И. Курс “Уравнения математической физики” в учебном плане специальности “Математика” в Санкт-Петербургском государственном университете................................................................. 43

Боровских А. В., Перов А. И. О некоторых методических принципах учебника по обыкновенным дифференциальным уравнениям.................... 45

Бутузов В. Ф. О преимуществах письменной формы экзаменов................ 51

Содержание и технологии математического образования в вузе

Киселева Л. Г., Смирнова Т. Г. Диаграммы Венна в курсе дискретной математики ..................................................................... 53

Киселева Л. Г., Таланов В. А. В помощь преподавателю: методические материалы по линейной алгебре................................................ 67

Тюрин С. А. Изложение темы “Периодические функции” в курсе высшей алгебры...................................................................... 77

Федосеев В. М. Формирование тематики студенческих научных работ по математическому анализу.................................................... 81

Эвнин А. Ю. Мультипликативные функции в теории чисел.................... 89

Математика для специалистов различного профиля

Рудой Ю. Г., Санюк В. И. Математика в физическом образовании: необходимость геометризации...................................................... 99

История математики, персоналии

Андронова Е. А., Скрябин Б. Н. Николай Николаевич Баутин (к 100-летию со дня рождения)........................................................... 111

Зверкина Г. А., Эпштейн Г. Л. Елена Сергеевна Вентцель.................... 123

Шухман А. Е., Шухман Е. В. Заметки о недесятичных системах счисления в опубликованных работах и записных книжках Леонарда Эйлера........ 143

Новая учебная литература по математике для вузов................. 147

CONTENTS

Introduction........................................................................7

Educational Session of the Conference “Differential Equations and Related Topics”

Borovskikh A.V., Rozov N. Kh., Shamaiev A. S. Organization of Educational Session at the Conference Dedicated to I. G. Petrovskii. The First Results........9

Shamaiev A.S., Kapustina T. 0. Educational Activity of Differential Equations Chair of Mechanical and Mathematical Department of Moscow Lomonosov State University. Competitions and Written Examinations for Differential Equations..................................................................... 11

Chechkin G.A., Chechkina T.P. Advantages of the Course 'Equations of Mathematical Physics" at the Department of Mechanics and Mathematics of Moscow Lomonosov State University Compared to Corresponding Courses of Leading Universities of Other Countries..................................... 33

Nazarov A.I. The PDE Course in the Specialst Degree Program in Mathematics, Saint-Petersburg State University...................................... 43

Borovskikh A. V., Perov A.I. On Certain Methodical Principles of the Textbook on Ordinary Differential Equations............................................ 45

Butuzov V. F. On Advantages Written Form of Examinations..................... 51

Subjects and Technologies of Mathematical Education at University

Kiseleva L. G., Smirnova T. G. Venn Diagrams in the Course of Discrete Mathematics ................................................................. 53

Kiseleva L. G., Talanov V. A. Assistance to Tutors: Methodical Materials on Linear Algebra................................................................ 67

Tyurin S. A. Presentation of the Theme “Periodic Functions” in the Course of Higher Algebra................................................................ 77

Fedoseyev V. M. Designation of the Students' Research Areas in Mathematical Analysis....................................................................... 81

Evnin A. Yu. Multiplicative Functions in the Number Theory..................... 89

Mathematics for Specialists of Different Types

Rudoy Yu. G., Sanjuk V. I. Mathematics as Educational Subject of Physicists: Necessity of Geometrization .................................................. 99

The History of Mathematics. The Prominent Figures

Andronova E. A., Skrjabin В. N. Nicolai Nicolayevich Bautin (to century from the date of a birth)........................................................... 111

Zverkina G. A., Epshteyn G. L. Elena Sergeevna Ventcel......................... 123

Shukhman A.E., Shukhman E. V. Notes About Nondecimal Numerations in the Published Papers and Note-Books by Leonard Euler...................... 143

New Reference Books on Teaching Mathematics in Russia............. 147

ПРЕДИСЛОВИЕ

Шестой номер научно-методического журнала “Математика в высшем образовании” открывает подборка статей, подготовленных по материалам традиционно проводимой в МГУ имени М. В. Ломоносова конференции “Дифференциальные уравнения и смежные вопросы”, посвященной памяти И. Г. Петровского (21-28 мая 2007 года). В рамках этой конференции впервые была организована специальная педагогическая секция. На ней обсуждались актуальные вопросы преподавания в университетах теории дифференциальных уравнений (как обыкновенных, так и с частными производными). Инициаторы проведения педагогической секции Н.Х.Розов, А. С. Шамаев и А. В. Боровских отмечают: “Хорошо известно, что многие математики, относясь с предельной скрупулезностью к аргументации научно-математической, в практически-педагогических вопросах ограничиваются зачастую только интуитивными представлениями, эмпирическими заключениями, умозрительными рекомендациями. Хотя в самой педагогике всё описывается довольно четкими моделями, всё обосновывается аргументами, не менее строгими, чем математические, а рекомендации по методике преподавания базируются на серьезных психологических закономерностях и тщательном педагогическом эксперименте. Правда, непрофессионалы (в том числе и математики) об этом нередко даже не задумываются”. В итоге надежды устроителей секции оправдались: получилось серьезное, аргументированное обсуждение педагогических проблем высшей школы на примере преподавания дифференциальных уравнений. Читатели познакомятся с конкретной реализацией выдвигаемых идей: содержанием письменных работ и олимпиад по дифференциальным уравнениям на мехмате МГУ, с новыми учебно-методическими изданиями, с особенностями построения учебного плана для математиков в университете Санкт-Петербурга.

В разделе “Содержание и технологии математического образования в вузе” отметим содержащие большой фактический материал статьи преподавателей кафедры математической логики и высшей алгебры Нижегородского университета об использовании техники диаграмм Венна в курсе дискретной математики (авторы Л. Г. Киселева и Т. Г. Смирнова) и об опыте проведения тестового обучения на занятиях по линейной алгебре (статья Л.Г.Киселевой и В.А.Таланова). В отличие от становящегося привычным тестового контроля предлагается обсуждать на занятиях ответы на тестовые вопросы. Это позволяет учить студентов умению формировать математически грамотные высказывания, доказывать обоснованно и лаконично справедливость сделанных заключений.

В очередной раз на страницах нашего журнала поднимается вопрос о роли геометрии в математическом образовании. Раздел “Математика для специалистов различного профиля” представлен статьей “Математика в физическом образовании: необходимость геометризации” (Ю. Г. Рудой, В. И. Санюк, РУДН). Авторы выступают за модернизацию геометрического образования физиков. В частности, для грамотного изложения тем “Солитоны”, “Нелинейная гидродинамика”, “Теория твердого тела” необходимы знания из теории кривых и поверхностей. Полезно, чтобы будущие физики уже на этапе изучения курса “Общая физика” получали начальные сведения о таких разделах геометрии, как топология многообразий, теория гомотопии, без которых невозможно знакомство с современными достижениями нелинейной физики.

Традиционный раздел “История математики. Персоналии” открывает статья нижегородских ученых Е. А. Андроновой и Б. С. Скрябина, приуроченная к 100-летию со дня рождения профессора Николая Николаевича Баутина, имя которого связано с теорией “безопасных” и “опасных” границ области устойчивости, с нелинейной теорией часов. Человек нелегкой судьбы, Н.Н. Баутин остался в российской науке и образовании как незаурядный ученый и педагог.

Биографии Елены Сергеевны Вентцель (1907-2002), которую природа одарила редким даром, сочетающим талант математика и литератора, посвящена статья Г. А. Зверкиной и Г. Л. Эпштейна. В статье, в частности, описан нетривиальный методический прием, которым пользовался во времена учебы Елены Сергеевны в университете Петербурга преподаватель математического анализа Григорий Михайлович Фихтенгольц, автор известного трехтомника “Курс дифференциального и интегрального исчисления”: “Он не только сообщал студентам математические факты, но и учил их рассказывать, предлагая изложить содержание какой-либо темы за 20 минут, а затем, усложняя задание, — за 10 минут. В этом упражнении Елена Сергеевна показывала наилучшие результаты”. Не правда ли, прием обсуждения тестовых вопросов, используемый в наши дни авторами вышеупомянутой статьи по линейной алгебре, перекликается с тем, что практиковалось в российской высшей школе во времена НЭПа? Среди научных направлений, в разработку которых в годы научной деятельности Е. С. Вентцель внесла существенный вклад, в первую очередь называют теорию вероятностей, исследование операций, линейную оптимизацию, динамическое программирование, теорию игр, теорию массового обслуживания. Учебник Е. С. Венцель “Теория вероятностей” является и в наши дни настольной книгой у математиков всего мира. Помимо многочисленных переизданий в России, эта книга переведена на немецкий, французский, испанский, английский, польский языки. Статья воссоздает многогранный образ Вентцель — ученого, Вентцель — вузовского преподавателя, Вентцель — гражданина, Вентцель (литературный псевдоним И. Грекова) — писателя.

Последняя статья рубрики является откликом на нашу публикацию в номере 2007 года о Леонарде Эйлере. Немногие знают, что Эйлер получил результаты, касающиеся недесятичных систем счисления. Авторам статьи А. Е. Шухману и Е. В. Шухман удалось обнаружить ранее не публиковавшиеся заметки в записных книжках Л. Эйлера на эту тему. Они дополняют опубликованные ранее работы Л. Эйлера о системах счисления.

По традиции журнал завершает рубрика “Новая учебная литература по математике для вузов”.

В заключение хочется подчеркнуть, что выпуски нашего журнала — это “роман с продолжением”. Публикуемая информация, предназначенная тем, кто преподает математику в вузе, изучает её, интересуется пополняемым багажом научно-методических находок, фактами из истории математики и математического образования, сведениями о деятельности лучших преподавателей высшей математики и ученых-математиков, — не стареет, не теряет актуальности. Все, кто хочет приобрести полную подборку шести номеров журнала, выпущенных за годы его существования (2003-2008 гг.) могут обратиться к нам по электронной почте yemel@sandy.ru.

Главный редактор профессор И. С. Емельянова

ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ СЕКЦИЯ КОНФЕРЕНЦИИ “ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И СМЕЖНЫЕ ВОПРОСЫ”

УДК 378.147:517.9

ПЕРВЫЙ ОПЫТ ОРГАНИЗАЦИИ ПЕДАГОГИЧЕСКОЙ СЕКЦИИ НА КОНФЕРЕНЦИИ, ПОСВЯЩЕННОЙ ПАМЯТИ И. Г. ПЕТРОВСКОГО

А. В. Боровских, Н. Х. Розов, А. С. Шамаев

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова,

Россия, 119991, г.Москва, Ленинские горы; e-mail: bor.bor@mail.ru, shamaev@ipmnet.ru, rozov@rozov.mccme.ru

Приводится мотивировка организации новой специальной секции на традиционной конференции, посвященной памяти И. Г. Петровского. Перечисляются заслушанные доклады, подводится итог работы секции.

Ключевые слова: дифференциальные уравнения, опыт преподавания в вузе.

Очередная традиционная конференция “Дифференциальные уравнения и смежные вопросы”, посвященная памяти И. Г. Петровского, проходила 21-28 мая 2007 года в МГУ имени М. В. Ломоносова. В рамках этой конференции была организована специальная педагогическая секция. На ней обсуждались актуальные вопросы преподавания в университетах теории дифференциальных уравнений (как обыкновенных, так и с частными производными).

Участникам секции были представлены следующие доклады:

• А. С. Шамаев “Новые учебные пособия — учебник и задачник по уравнениям с частными производными”;

• Г. А. Чечкин “Сравнение содержания курсов уравнений с частными производными в Московском университете и в других ведущих университетах мира”;

• А. И. Назаров “Уравнения в частных производных в учебном плане специальности ”Математика“ в СПбГУ”;

• А. С. Шамаев, Н. Х. Розов “Опыт проведения письменных экзаменов по дифференциальным уравнениям на механико-математическом факультете МГУ”;

• А. Д. Мышкис “О преподавании математики прикладникам”;

• К. Б. Сабитов “Принципы построения учебного пособия ”Уравнения математической физики“ для педагогических вузов”;

• А.В.Боровских, А.И.Перов “Методические особенности учебника по обыкновенным дифференциальным уравнениям”;

• А. С. Шамаев “Олимпиады по дифференциальным уравнениям для студентов механико-математического факультета МГУ”;

• Г. Ю. Ризниченко “Математические модели в биологии”;

• В. Г. Задорожний “Самостоятельные работы студентов по обыкновенным дифференциальным уравнениям”;

• В. Ф. Бутузов “О преимуществах письменной формы экзаменов”.

Материалы большей части этих докладов публикуются в настоящем номере журнала “Математика в высшем образовании” (основное содержание доклада А. Д. Мышкиса опубликовано в 2003 г. в №1 журнала).

Обсуждение проблем преподавания дифференциальных уравнений на самом деле проводилось уже на предыдущей конференции (в 2004 г.) на заседании, посвященном педагогическому наследию И. Г. Петровского. На нынешней конференции все педагогические вопросы были собраны в программу специального заседания, которое прошло 24 мая.

Нельзя не отметить, что идея проведения специального обсуждения педагогических проблем преподавания дифференциальных уравнений на отдельной секции сначала встретила довольно прохладное отношение со стороны ряда коллег, и причины этого понятны. Хорошо известно, что многие математики, относясь с предельной скрупулезностью к аргументации научно-математической, в практически-педагогических вопросах ограничиваются зачастую только интуитивными представлениями, эмпирическими заключениями, умозрительными рекомендациями. В то же время в самой педагогике всё описывается довольно четкими моделями, всё обосновывается аргументами, не менее строгими, чем математические, а рекомендации по методике преподавания базируются на серьезных психологических закономерностях и тщательном педагогическом эксперименте. Правда, непрофессионалы (в том числе и математики) об этом нередко даже не задумываются.

Поскольку нет двух человек с одинаковой точкой зрения на то, как следует преподавать, обсуждение подобного рода вопросов имело реальные шансы превратиться в бесплодную дискуссию, в противоборство мнений и амбиций. Выход, который был найден организаторами секции, опирался на ту простую идею, что лучшим фильтром для всяких досужих суждений является реальный результат, практическое осуществление идеи. И поэтому можно было надеяться, что соображения человека, достигшего в реализации своих преподавательских идей конкретного позитивного итога, окажутся содержательными, полезными и интересными для всех. Тем более что реализация всегда сопряжена с оттачиванием аргументации, так что следовало ожидать еще и убедительности аргументов.

Надо сказать, что надежды устроителей секции вполне оправдались — она прошла с большим успехом и вызвала массу положительных отзывов. Поэтому мы считаем, что организация заседаний, посвященных вопросам преподавания, должна стать хорошей и полезной традицией конференций памяти И. Г. Петровского.

Ввиду ограниченности периода подготовки работы секции и краткости времени для сообщений, на этот раз приглашались лишь выступающие, которые оказались в максимальной доступности и уже имели готовый материал. В будущем организаторы секции будут заранее размещать информацию и планировать заседания в обычном для конференции порядке, соблюдая главный принцип — ставить сообщения только при наличии конкретной реализации излагаемых идей в виде учебников, программ, пособий, сборников задач, опыта проведения олимпиад и экзаменов, организации лабораторных работ и практикумов и т. п.

ORGANIZATION OF EDUCATIONAL SESSION AT THE CONFERENCE DEDICATED TO I. G. PETROVSKII. THE FIRST RESULTS

A. V. Borovskikh, N. Kh. Rozov, A. S. Shamaiev

Motivation of caring out of new special session on traditional conference dedicated to I. G. Petrovskii is given. A list of reports and main results of the section activity are summarized.

Keywords: differential equations, experience of high school education.

ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ СЕКЦИЯ КОНФЕРЕНЦИИ “ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И СМЕЖНЫЕ ВОПРОСЫ”

УДК 378.147:517.9

ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ КАФЕДРЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОГО ФАКУЛЬТЕТА МГУ им. М. В. ЛОМОНОСОВА. ОЛИМПИАДЫ И ПИСЬМЕННЫЕ ЭКЗАМЕНЫ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ

А. С. Шамаев, Т. О. Капустина

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, Россия, 119991, г.Москва, Ленинские горы, д. 1; e-mail: shamaev@ipmnet.ru, okapustin@mtu-net.ru

Кафедра дифференциальных уравнений механико-математического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова представляет опыт своей методической работы на педагогической секции конференции “Дифференциальные уравнения и смежные вопросы”, посвященной памяти И. Г. Петровского.

Ключевые слова: курс дифференциальных уравнений с частными производными, сборник задач по уравнениям с частными производными, письменный экзамен по дифференциальным уравнениям, олимпиада.

1. О работе сотрудников кафедры дифференциальных уравнений по подготовке издания учебника О.А. Олейник “Дифференциальные уравнения с частными производными”

Еще в конце 70-х годов академиком О.А. Олейник была начата работа по подготовке нового учебника по дифференциальным уравнениям с частными производными (далее — УРЧП) для студентов математических специальностей университетов. О. А. Олейник написала первую часть учебника, которая была посвящена теории эллиптических и параболических дифференциальных уравнений с частными производными. Первая часть содержала также введение, посвященное необходимым для понимания курса смежным вопросам, в частности теории обобщенных функций. Далее, по замыслу О.А. Олейник, должна была быть подготовлена вторая часть учебника, посвященная теории обобщенных решений краевых задач и уравнениям с частными производными гиперболического типа. Однако в силу ряда обстоятельств работа над второй частью учебника не была завершена и издана была только первая часть в количестве 500 экземпляров (на ротапринте).

Группа сотрудников кафедры дифференциальных уравнений, пользуясь конспектами лекций О. А. Олейник, завершила работу над учебником [1]. Отметим некоторые особенности учебника, благодаря которым (с точки зрения коллектива кафедры) это учебное пособие по дифференциальным уравнениям с частными производными может быть положено в основу обязательного курса по данному предмету для механико-математических факультетов университетов.

Во-первых, в книге с самого начала активно используются концепция обобщенных решений дифференциальных уравнений и краевых задач для них, а также методы, основанные на использовании пространств Соболева. Во-вторых, в учебнике принята классическая схема построения курса: излагаются свойства решений уравнений Лапласа, теплопроводности, волнового уравнения. При этом затрагивается ряд вопросов, выходящих за рамки обычных курсов по УРЧП: теоремы Фрагмена-Линделефа, различные априорные оценки решений, вопросы гипоэллиптичности решений, свойства аналитичности решений и аналитического продолжения решений в комплексную область. В-третьих, все утверждения строго доказаны, рассуждения приводятся без употребления словосочетаний “легко видеть”, “нетрудно доказать”, “можно доказать, что” и т.д. Заметим, что в своей преподавательской деятельности О. А. Олейник всегда подчеркивала, что в лекциях для студентов все доказательства должны быть безукоризненно и без всяких пропусков изложены.

Отмеченное “расширение” стандартного круга вопросов курса УРЧП рядом упомянутых выше тем дает хорошую подготовку студентам-математикам к восприятию современных научных работ в области уравнений с частными производными.

2. О сборнике задач по дифференциальным уравнениям с частными производными

Тесно связан с курсом О.А. Олейник сборник задач по уравнениям с частными производными [2]. Этот сборник составлен на основе вариантов письменного экзамена по дифференциальным уравнениям с частными производными, который проводился на кафедре дифференциальных уравнений почти двадцать лет (особенности письменного экзамена, проводимого кафедрой дифференциальных уравнений, будут освещены ниже). Профессором кафедры А. С. Калашниковым в течение ряда лет осуществлялся подбор задач письменного экзамена, в результате которого для студентов механико-математического факультета МГУ был подготовлен список из ста лучших задач. Он активно использовался студентами для подготовки к экзамену. Настоящий сборник задач включает упомянутые сто задач, но при этом он существенно дополнен и расширен по сравнению с первоначальным сборником А.С.Калашникова. Задачник содержит около двухсот задач, снабженных ответами, около сорока задач приведены с решениями. В сборнике имеются также вставки теоретического материала, которые представляют необходимый “теоретический минимум” для решения приведенных задач. Кроме того, в задачнике приведены варианты олимпиад по дифференциальным уравнениям с частными производными, которые кафедра проводила для студентов 2-3 курсов в течение последних пяти лет (заметим, что проводились также олимпиады по обыкновенным дифференциальным уравнениям для студентов вторых курсов; студенческие олимпиады по дифференциальным уравнениям будут обсуждаться ниже). В сборник задач включены только

лучшие (с точки зрения сотрудников кафедры) задачи письменного экзамена. Эти задачи не требуют больших вычислений (один из авторов задачника — Т. Д. Вентцель — даже предлагала назвать сборник “Задачи без вычислений”), однако требуют хорошего знания курса и логической культуры. Задачник поэтому хорошо сочетается в качестве учебного пособия с курсом О.А. Олейник [1]. Оба учебных пособия уже реально вошли в учебный процесс на механико-математическом факультете МГУ.

3. О письменном экзамене по обыкновенным дифференциальным уравнениям и дифференциальным уравнениям с частными производными, проводимом кафедрой дифференциальных уравнений

В течение ряда лет сотрудники кафедры вели обсуждения его целесообразности и особенностей проведения. В настоящее время большинство сотрудников кафедры признает ряд преимуществ этого экзамена. К ним относятся единые требования к студентам, техническая простота проведения. Однако имеются и недостатки. Это трудноустранимые возможности обмена информацией между студентами (“списывание”), отсутствие “живого общения” со студентом, которое позволяет, с точки зрения некоторых преподавателей, лучше и объективнее оценить знания и способности студента.

Тем не менее письменный экзамен прочно занял место в учебном процессе на кафедре дифференциальных уравнений. Совершенствование его технологии осуществляется сотрудниками кафедры и в настоящее время.

4. Об олимпиадах по обыкновенным дифференциальным уравнениям и по уравнениям с частными производными

Хорошим дополнением к письменному экзамену являются олимпиады для студентов 2, 3 курсов по этим предметам (см. [3]). Они проводятся кафедрой в течение последних пяти лет и пользуются популярностью среди студентов. Победители получают обычно отличные оценки по предмету без экзамена и подарки в виде научных книг.

Вариант олимпиады состоит из большого количества задач (около десяти), оцененных баллами. Задача студента — набрать максимальное количество баллов. Время для решения задач — три астрономических часа. Можно пользоваться любыми материалами и книгами. Все задачи решить практически невозможно, поэтому студентам предлагается забрать варианты с собой и порешать их еще дома в целях подготовки к экзамену. Победители приглашаются также на отборочный тур для формирования команды на международную студенческую олимпиаду.

Ниже приведены варианты письменных экзаменов и олимпиад, которые были представлены в соответствующих докладах.

В целом кафедра дифференциальных уравнений считает опыт проведения педагогической секции в рамках конференции, посвященной памяти И. Г. Петровского, удачным и заслуживающим продолжения.

ОЛИМПИАДЫ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ И ПО УРАВНЕНИЯМ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

Олимпиада по обыкновенным дифференциальным уравнениям 2004 г.

1. (2 балла) Рассмотрим систему

где F(xi, Х2) — гладкая функция. Пусть V^i^O, 0) = 0. Какое поведение траекторий возможно в окрестности точки (0,0)? Ответ обоснуйте.

2. (2 балла) Пусть абсолютно непрерывная функция u(t) удовлетворяет почти всюду уравнению

Найдите и(3).

3. (3 балла) В долине реки Мгагбе проживают два племени — Мганго и Мумбо-Юмбо. Оба они занимаются собирательством и разведением скота, а также совершают набеги друг на друга. Примем, что совокупный ресурс племен составляет соответственно х\ и ж 2 (это имущество, запасы продуктов, скот и пр.) и скорость его прироста пропорциональна его величине с коэффициентами а\ и <i2 для каждого племени соответственно. Однако с увеличением ресурсов численность племен пропорционально возрастает, жителям становится тесно в долине реки Мгагбе, и они начинают конкурировать со своими соплеменниками, мешая друг другу. За счет этого ресурс каждого племени уменьшается на величину с\х\ и С2х\ соответственно. Кроме того, племена враждуют друг с другом и, совершая набеги, наносят друг другу взаимный ущерб, равный Ь\Х\Х2 для Мганго и 62^1^2 для Мумбо-Юмбо, где Ь\ и &2 — коэффициенты

“агрессивности”. Составьте уравнение динамики ресурсов племен и на основании этих уравнений предскажите, какой из сценариев развития событий в долине реки Мгагбе возможен:

а) одно из племен полностью побеждает другое;

б) оба племени сосуществуют с ненулевыми совокупными ресурсами;

в) возможно и то и другое в зависимости от параметров о^, bi, С{.

4. (4 балла) Рассмотрим уравнение

п, m — натуральные числа. (Эта система описывает движение нелинейной колебательной системы с трением, также нелинейно зависящим от скорости.) При каких пит положение равновесия (0,0) устойчиво по Ляпунову?

5. (4 балла) Рассмотрим уравнение с начальными условиями

а, ß — положительные постоянные, е — малый параметр. Это уравнение с разрывными коэффициентами, и его решение — функция, удовлетворяющая уравнению внутри каждого отрезка

непрерывная и имеющая равные нулю скачки первых производных в точках разрыва а Г—V Существует ли предел х£(1) при £ ^ 0?

6. (2 балла) Доказать, что замкнутые фазовые кривые квадратичного векторного поля на плоскости выпуклы.

7. (3 балла) Дано уравнение п-го порядка с постоянными коэффициентами. Всегда ли существует решение этого уравнения, по которому можно восстановить все коэффициенты уравнения?

8. (4 балла) Известно уравнение движения маятника

Из-за сопротивления среды Ъ колебания затухают. Чтобы колебания не затухали, в каждый такой момент что x(U) — 0, xf(ti) > 0, маятнику сообщается дополнительный импульс, не меняющий ж(^), но увеличивающий (мгновенно) скорость x'{ti) в к раз. Каким должно быть fc, чтобы движение маятника было периодическим?

9. (5 баллов) Функция x(t) G С2[0,7г] и удовлетворяет условиям

Доказать, что x{t) = С sin t.

Олимпиада по обыкновенным дифференциальным уравнениям 2005 г.

1. Пусть хо = 0 — изолированное положение равновесия системы

причем 0 не является точкой максимума для fix). Может ли это положение равновесия быть устойчивым?

2. Решение уравнения

удовлетворяет условиям х(1) = ж(2) = 0. Докажите, что x(t) = 0.

3. Известно, что все решения линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами

ограничены на всей прямой. Сохраняется ли это свойство для уравнения Сх = если

4. Пусть /, g G C3(R). Известно, что W(f,g) ф 0 на [а, Ь], W — определитель Вронского функций /, д. Докажите, что существует функция h G C3(R), такая, что W(f,g, h) ф 0 на [а, Ь].

5. Имеет ли решение задачи Коши

конечный предел при t —> оо?

6. Устойчиво ли нулевое положение равновесия уравнения

7. Выяснить, при каких значениях параметра a G M система

имеет периодические решения, отличные от точки равновесия.

8. Найти решение системы

с начальным условием х(0) = üq, х G К6,

9. Докажите, что существует значение параметра Л, при котором уравнение

имеет решение стремящееся к нулю при \t\ —> оо.

10. Рассмотрим уравнение маятника

u(t) — управляющая сила, \u(t) \ < 1. На какое максимальное расстояние можно увести маятник из начального состояния покоя за время Г?

11. Множество M точек (ж, G M3, удовлетворяющих уравнению F(x,y,p) = 0, диффеоморфно сфере, причем граница проекции M на плоскость (ж, у) является гладкой кривой. Может ли эта кривая быть решением неявного дифференциального уравнения

Тот же вопрос для случая, когда не является гладкой в изолированных точках.

Олимпиада по обыкновенным дифференциальным уравнениям 2006 г.

1. (1 балл) Одно из решений уравнения х = A(i)x + f(t) устойчиво по Ляпунову. Докажите, что любое решение устойчиво по Ляпунову.

2. (2 балла) Найдите производную порядка п по параметру а в точке а = 0 выражения

где А — произвольная обратимая матрица размерности п.

3. (2 балла) Докажите, что у линейной системы х = Ах не может быть предельных циклов (изолированных периодических решений).

4. (5 баллов) Известно, что х = 0 — решение уравнения х = /(ж, £), х G M, и что решение у = 0 его линеаризации у = ffx(0,t)y асимптотически устойчиво. Покажите на примере, что нулевое решение исходного уравнения может не быть асимптотически устойчивым.

5. Дифференциальное уравнение х = Дж), х G M, с непрерывной правой частью не удовлетворяет в некоторых точках условиям теоремы о единственности решения. Может ли оно иметь:

а) (2 балла) множество решений жа(£), а G M, для которых жа(0) = О и ха(1) = а?

б) (3 балла) два решения xi(£), x2(t), такие, что xi(0) = 0, xi(l) = 1, а х2(0) = 1, х2(1) = О?

(2 балла) Расширить постановку задачи и ответить на те же вопросы в случае уравнения х = /(£, ж), х G R.

6. (3 балла) Докажите, что для всякого ненулевого решения x{t) уравнения x + Ld2(t2 + 1)х = 0 и любого е > 0 найдутся два различных момента времени ti, £2, такие, что ж(£]_) = #(£2) = 0 и |ti — £2! < £•

7. (5 баллов) Докажите, что нулевое решение уравнения х + ^р(х) + f(x) = О асимптотически устойчиво, если известно, что <у?(0) = /(0) = 0, и при X ф 0 xip(x) > 0, xf(x) > 0.

8. (5 баллов) Решить систему уравнений х = Ах с матрицей

9. а) (2 балла) Пусть x\(t) и X2(t) — два линейно независимых решения линейного дифференциального уравнения третьего порядка. Может ли определитель Вронского x\{t) и X2(t) обращаться в ноль на некотором интервале? б) (3 балла) Пусть xi(£), X2(t) и жз(£) — три линейно независимых решения линейного дифференциального уравнения четвертого порядка. Может ли определитель Вронского £]_(£), x^it) и #з(£) обращаться в ноль на некотором интервале?

10. (3 балла) Нарисовать фазовый портрет системы

11. (4 балла) Оцените отличие от 2тт периода решения уравнения физического маятника х = — sin ж с малой амплитудой х(0) = \± (ж(0) = 0).

12. (5 баллов) Правая часть дифференциального уравнения математического маятника с трением (и внешней силой) является гладкой функцией, удовлетворяющей условию \f(t)\ < < (С + \t\)~k, к > 0, а — неотрицательное, ß — положительное число. При каких значениях а, ß, к можно так выбрать /(£), чтобы раскачать маятник, то есть чтобы для некоторого решения sup \x(t)\ —> оо при Г —> оо?

Олимпиада по обыкновенным дифференциальным уравнениям 2007 г.

1. (3 балла) Пусть A G С — собственное значение матрицы

А, В, С — матрицы размерности п х п, А, С — симметрические. Докажите, что Л, Л-1, (Л) — также её собственные значения.

2. (1 балл) Найдите какое-нибудь отличное от тождественного нуля аналитическое решение уравнения с “отклоняющимся” аргументом:

3. (1 балл) Найдите замену переменных, приводящую уравнение

к системе вида

4. (3 балла) Какие значения может принимать величина dimX, где X — пространство ограниченных на всей вещественной прямой решений уравнения

a(t) — гладкая периодическая функция, удовлетворяющая оценке О < m < a(t) < M < ос?

5. (2 балла) Пусть y(t) — решение уравнения

где sup \f(t) \ = оо. Может ли y(t) быть ограниченным на R1?

6. Рассмотрим уравнение + а • у = 0, а = const. Существует ли такое целое п, что

а) (2 балла) уравнение имеет два линейно независимых решения yi, у'2, такие, что каждое из решений имеет счетное число корней и множества корней для у\, у2 совпадают?

б) (2 балла) уравнение имеет два линейно независимых решения yi, У2, такие, что каждое из них имеет счетное количество корней, и при этом множества корней для у\ и у2 пересекаются по счетному множеству, но разность этих двух множеств также счетна?

7. (3 балла) Привести пример такой непрерывной на (0, +оо) монотонной функции а(£), чтобы все решения у+ а(£) у = 0 стремились при t —> +оо к нулю.

8. а) (2 балла) Доказать, что при любом значении параметра е > 0 краевая задача

имеет единственное решение.

б) (4 балла) Пусть ж(£, е), y(t,e) — решение указанной краевой задачи. При каждом фиксированном значении t G [0,1] найти пределы:

9. (4 балла) Решение с начальным условием £ = О, ж = у = 0 системы

в момент времени t = 2тт проходит через точку ж = 1, г/ = 1, а в момент t = t\ — через точку х = 1, у = — 1. Какие значения может принимать ti, если известно, что фазовый поток системы состоит из преобразований плоскости, сохраняющих элемент площади, и система является овеществлением комплексного уравнения i = /(z), где f(z) — дифференцируемая функция, заданная на всей плоскости z = х + гу?

10. (2 балла) Функция (p(t,x,y) задает концентрацию яда, попавшего в реку, в точке с координатами ж, у в момент времени t. Она удовлетворяет уравнению

В начальный момент t = 0 функция <£>(0, ж, у) представляла собой выпуклую (вверх) положительную функцию, заданную в области ж2 + у2 < 1, <£>(0, ж, у) = 0 при ж2 + у2 > 1. Оцените число точек локального максимума функции 99(1, ж, у), площадь и положение зараженного пятна при t = 1.

Олимпиада по уравнениям с частными производными 2004 г.

1. (2 балла) Рассмотрим задачу Коши для волнового уравнения в

Шар “взрывается”. Нарисуйте u(t,r) в моменты времени t = 1, t = 3 (решение, разумеется, зависит только от г = |х|).

2. (2 балла) Функция u(x,t) является решением краевой задачи

Верно ли, что £)| —> 0 при t —> оо? Ответ обоснуйте.

3. (5 баллов) Пусть г/(ж, t) — гармоническая функция в цилиндре Ц = = Q X [0, оо), Q — область в Мп, и и = 0 на <9£7 х [0, оо). Пусть также £)| < M. Докажите, что |îx(x,t)| —> 0 при t —> оо.

4. (3 + 3 балла) Пусть А\ж А2 — подмножества функций в С°°{К), К -единичный круг на плоскости, такие, что ^|Ж1_0 = 0 и ipfXl | _0 = 0 соответственно. Найдите коразмерности замыканий Ai и А2 этих множеств в пространстве Н1(К).

5. (5 баллов) Пусть К — единичный круг на плоскости (xi, х2), h и /2 — два отрезка гладких кривых, пересекающихся в точке О под ненулевым углом. Может ли кривая Ii U /2 быть линией уровня гармонической функции? Ответ обоснуйте.

6. (5 баллов) Пусть Q — область на плоскости, M — замкнутое множество в Q и пространства Н1^) и Н1^ \ М) совпадают на Q \ М. Докажите, что fi(M) = 0.

7. (3 балла) Рассмотрим краевую задачу

Можно ли выбрать /(ж, t) так, чтобы и(х, t) = 0 для всех t > Tq? Ответ обоснуйте.

8. (3 балла) Пусть и{х) — гармоническая в шаре Ш = {|х| < 1} функция, ж* — некоторая фиксированная точка на д Ш, и |^(х)| < M в шаре Ш. Верно ли, что и(х) = 0 в Ш? Ответ обоснуйте.

9. (4 балла) Может ли решение уравнения теплопроводности щ = ихх иметь такую линию уровня:

Олимпиада по уравнениям с частными производными 2005 г.

1. (3 балла) Справедлив ли принцип максимума для уравнений (здесь

2. (2 балла) Рассмотрим уравнение колебаний неоднородной струны

с начальными условиями

график функции (f(x) имеет вид

Нарисуйте график решения в момент t = 5.

3. (3 балла) Рассмотрим краевую задачу для уравнения Лапласа в единичном квадрате п = [0,1] х [0,1] на плоскости:

Докажите, что

4. (2 балла) Пусть u(t, х) — решение уравнения

в смысле теории обобщенных функций, равное гладким вплоть до границы функциям в областях t > (р(х) и t < (р(х) соответственно и разрывное при t = <р(х), (р(х) — гладкая функция. Найдите <р(х).

5. (5 баллов) Рассмотрим краевую задачу

(p(t) — ограниченная непрерывная функция. Единственно ли решение этой задачи?

6. (3 балла) Рассмотрим краевую задачу для уравнения теплопроводности

Нам известна функция

Можно ли восстановить функцию зная ф(х)?

7. (2 + 2 балла) Функция u(t, х) удовлетворяет уравнению

£ — отрезок строго внутри Ц. Возможно ли доопределить u(t, X) до решения уравнения иц — ихх = 0в[]в случаях а) и б) соответственно?

8. Пусть функция u{t,x) G L\ (ß?) является решением уравнения

в смысле теории обобщенных функций. Верно ли, что существует

такая, что

Олимпиада по уравнениям с частными производными 2006 г.

1. (2 балла) Решите краевую задачу

2. (3 балла) Отрезок [—1,1] охлаждается в точке х = 1, т.е. u(t,l) = = — 1, а через точку х = — 1 поступает постоянный поток тепла, т.е. u'x(t, — 1) = 1. Функция распределения температуры u{t,x) удовлетворяет уравнению теплопроводности u't = и"Х1 начальное распределение температуры и(0, х) = <f(x), х G (—1,1). Что происходит с точкой х = 0: нагревается она или остывает?

3. (5 баллов) Пусть ограниченная измеримая функция u(t, х) — обобщенное решение уравнения u"t = ихх в R2. Докажите, что u{t,x) = = f(t — х) + g(t + х), где /, g — ограниченные измеримые функции на R1.

4. (4 балла) Функция u(t, х) является решением краевой задачи

Докажите, что для u(t, х) имеет место оценка

где

постоянная M > 0 не зависит от <р(х).

5. (4 балла) Справедлива ли теорема Лиувилля для решений в R2 уравнения

6. (4 балла) Пусть К единичный круг на плоскости и А — множество гладких функций на К, удовлетворяющих условию

Найдите замыкание А в пространстве Н1(К)

7. (3 балла) Пусть u(t, х) — решение задачи Коши

где (р(х) — гладкая функция, такая, что

Найдите

8. 1). Пусть u(t,x) — решение задачи Коши для уравнения теплопроводности

где <р(х) — гладкая функция, имеющая п простых нулей xi,...,xn, (f'{xj) ф 0. Может ли у решения u(t,x) этой задачи количество нулей по переменной х при увеличении t

а) (3 балла) увеличиться?

б) (3 балла) уменьшиться?

2). Хорошо известно, что задача Коши для “обратного” уравнения теплопроводности

некорректна. Однако она разрешима, если ip(x) — многочлен.

а) (3 балла ) Докажите это.

б) (5 баллов) Если многочлен (р(х) n-й степени имеет п различных вещественных корней, то решение u(t, х) при всех t > 0 как функция от переменной х сохраняет те же свойства.

9. Пусть u(t, х) и v(t, х) — решения задач Коши

Рассмотрим задачи, которые “заменяют” задачи Коши на краевые задачи в ограниченной области

Докажите, что

а) (5 баллов)

б) (2 балла)

Олимпиада по уравнениям с частными производными 2007 г.

1. (1 балл) Найдите решение уравнения теплопроводности u't = ихх в виде бегущей волны.

2. (4 балла) Найдите явное решение задачи Коши

3. (3 балла) Пусть u(t, х) — решение задачи Коши

ф{х) — непрерывная функция,

гладкая строго положительная периодическая функция. Существует ли предел u(t, х) при t —> оо?

4. (3 балла) Пусть и(х) G #*(□), где □ = [0,1] х [0,1] G M2. Функция и(х), x G К2, четно продолжается на прямоугольник П = [—1,1] х [0,1]. Докажите, что продолженная функция принадлежит i71(n).

5. Пусть Q — ограниченная область в Rn, и[х) G H1 {Vi).

а) (2 балла) Докажите, что продолжение нулем и(х) на W1 принадлежит Н1{Жп).

б) (3 балла) Верно ли обратное утверждение, именно: пусть и(х) -такая функция на fi, что её продолжение на Шп нулем принадлежит i71(Rn); можно ли утверждать, что и[х) G Hl{yt)l

6. (3 балла) Пусть и(х), v(x) G Н1^). Докажите, что max v(x)} G G Я1 (fi).

7. (4 балла) Справедлива ли двусторонняя теорема Лиувилля для уравнения Au + а{х)и = 0 в Мп, где а{х) < 0 вне некоторой окрестности начала координат?

8. (3 балла) Пусть u(t, х) — решение краевой задачи

Известно, что

- неограниченная функция при 0 < t < оо,

X G [0,1]. Может ли \u(t, х)\ быть ограниченной на [0, оо) х [0,1] функцией?

9. (2 + 2 + 2 + 4 балла) Может ли решение задачи Коши для уравнения теплопроводности

иметь линию уровня {u(t, х) = 0} следующего вида:

10. (6 баллов) Тот же вопрос о решении задачи Коши для уравнения колебаний струны

ПИСЬМЕННЫЕ ЭКЗАМЕНЫ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ И ПО УРАВНЕНИЯМ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

Экзамен по обыкновенным дифференциальным уравнениям 2001 г.

(лектор В. М. Миллионщиков)

Оценка=

где S — сумма набранных баллов.

1. (3 балла) При каких (а, Ъ) G M2 уравнение

имеет хотя бы одно периодическое решение?

2. (4 балла) Нарисовать фазовый портрет системы

вблизи начала координат. Устойчиво ли нулевое решение этой системы по Ляпунову?

3. (4 балла) Найти

при /i = 0, где x(t,ji) — решение уравнения X + sin ж = 0, удовлетворяющее начальным условиям

4. (6 баллов) Верно ли утверждение: всякое решение уравнения t3x + х = О, определенное на (1, +оо), имеет бесконечно много нулей?

5. (8 баллов) Имеет ли уравнение

хотя бы одно неограниченное решение, определенное в некоторой окрестности окружности (ж — 2)2 + у2 = 1?

Экзамен по обыкновенным дифференциальным уравнениям 2002 г.

(лектор А. Ф. Филиппов)

1. а) (2 балла) Указать все точки (жо, уо), для которых теорема существования и единственности гарантирует однозначную разрешимость задачи

б) (1 балл) Сформулировать теорему существования и единственности решений для системы уравнений.

2. Известно, что уравнение

с непрерывными в некоторой окрестности точки х = 0 коэффициентами а (ж) и Ъ(х) имеет частные решения

а) (2 балла) Найти хотя бы одно решение, удовлетворяющее условиям у(0) = 2, у'(0) = -1.

б) (2 балла) Существует ли такое решение уз, что вронскиан W (у i, у2, уз) = = const 7^ О?

3. а) (3 балла) Найти вещественное общее решение системы

б) (2 балла) Найти матрицу etA в вещественной форме.

Экзамен по уравнениям с частными производными 1994 г.

(лектор Е. М. Ландис)

1. г/(ж, t) G C2(R2 t) — решение уравнения иц — с?ихх = 0 в M^t- На интервале {а < X < ß, t = 0} и — щ — 0. Где на плоскости Жх t u{x,t) необходимо равно нулю?

2. u(x,t) — решение уравнения щ = ихх в полуполосе П = |0<ж</, £>0}, непрерывное в П, ^|ж_0 = и\х—\ = 0. К чему стремится решение при t^oo?

3. Найти решение задачи

4. и(х,у) — потенциал двойного слоя гладкой замкнутой кривой L С М2. Доказать, что

5. В С W1 — открытый шар, и(х) непрерывна в В и Vx G В Зрх > 0 такое, что шар В(х,рх) радиуса рх с центром в точке х содержится в В и

Доказать, что и(х) — гармоническая функция.

Экзамен по уравнениям с частными производными 2000 г.

(лектор А. С. Шамаев)

1. а) (1 балл) Напишите формулу Даламбера для решения уравнения колебаний струны.

б) (3 балла) Пусть К единичный круг в

Корректна ли задача: найти

такую что

(р(х,у) G С(дК) — произвольная непрерывная функция?

2. а) (1 балл) Дайте определение пространства Hl(Q).

б) (2 балла) Докажите полноту пространства Hl{Q).

в) (3 балла) Пусть Q={|x|<l, ж G К3}. Справедливо ли следующее утверждение: существует постоянная С > 0, такая, что для любой и(х) G

Если “да” — докажите, “нет” — приведите опровергающий пример.

3. а) (3 балла) Пусть К = {l < |х| < 2} — “кольцевая” область в R2. Единственно ли решение следующей краевой задачи:

<£>Ъ 9^2 — произвольные непрерывные функции на окружностях = 1} и {|х| = 2} соответственно? Ответ обоснуйте.

б) (2 балла) Найдите решение поставленной в п. (а) задачи, если

(в — полярный угол на плоскости).

4. а) (1 балл) Сформулируйте принцип максимума для уравнения Лапласа,

б) (3 балла) Справедлив ли принцип максимума для уравнения

в ограниченной области Q на плоскости в той же форме, как для уравнения Лапласа? Ответ обоснуйте.

5. а) (1 балл) Сформулируйте теорему Лиувилля для уравнения Лапласа,

б) (3 балла) Пусть и{х) — гармоническая в R3 функция и

Верно ли, что и(х) = const в R3? Ответ обоснуйте.

6. а) (1 балл) Дайте определение потенциала двойного слоя.

б) (3 балла) Докажите, что потенциал двойного слоя, создаваемый замкнутой поверхностью Ляпунова S и имеющий единичную плотность, равен 0 вне S и 47г внутри S.

7. а) (1 балл) Напишите формулу Пуассона для решения задачи Коши для уравнения теплопроводности.

б) (3 балла) Пусть и(х, t) — решение уравнения теплопроводности с “потенциалом”:

удовлетворяющее начальному условию

Докажите, что существует постоянная А, такая, что

где функция a{i) ^ О при t —> оо. Найдите постоянную А.

Критерии оценок: “отлично” — 22 балла; “хорошо” — 15 баллов; “удовлетворительно” — 10 баллов при максимально возможной сумме 31 балл. Время написания — 3 астрономических часа.

Экзамен по уравнениям с частными производными 2002 г.

(лектор А. С. Шамаев)

Первая часть (1,5 астрономических часа)

1. (2 балла) Решите краевую задачу

2. (2 балла) Решите задачу Дирихле в кольце К = {l < |х| < З},

г — радиальная координата.

3. (2 балла) Дана задача Коши для волнового уравнения

Найдите величину 1^(10, 0, 0, 0).

Вторая часть (1,5 астрономических часа)

1. а) (1 балл) Сформулируйте принцип максимума для уравнения теплопроводности.

б) (1 балл) Сформулируйте теоремы о среднем для гармонических функций.

2. (2 балла) Найдите хотя бы одно решение уравнения

в классе обобщенных функций.

3. (2 балла) Определите потенциал простого слоя и докажите, что он убывает на бесконечности как

4. (3 балла) Единственно ли решение следующей внешней задачи Дирихле:

Ответ обоснуйте.

5. (3 балла) Докажите неравенство Фридрихса. Пусть fii и — две ограниченные области и объем fii больше объема Г^- Можно ли на основании этого сравнить постоянные в неравенствах Фридрихса для двух областей? Ответ обоснуйте.

ЛИТЕРАТУРА

1. Олейник О. А. Лекции по уравнениям с частными производными. — М.: Бином, 2005.

2. Сборник задач по уравнениям с частными производными / Под редакцией А. С. Шамаева. — М.: Бином, 2005.

3. Шамаев А. С. Олимпиады по дифференциальным уравнениям для студентов 2, 3 курсов механико-математического факультета МГУ // Математика в высшем образовании. 2003. №1. С. 77-83.

EDUCATIONAL ACTIVITY OF DIFFERENTIAL EQUATIONS CHAIR

OF MECHANICAL AND MATHEMATICAL DEPARTMENT OF MOSCOW LOMONOSOV STATE UNIVERSITY. COMPETITIONS AND WRITTEN EXAMINATIONS FOR DIFFERENTIAL EQUATIONS

A. S. Shamaiev, T. O. Kapustina

Differential Equations Chair of Mechanical and Mathematical Department of Moscow Lomonosov State University presents its experience of methodical activity at the Educational session of the Conference “Differential Equations and Related Topics” dedicated to I. G. Petrovskii.

Keywords: partial differential equations course, problem book on PDE, written examination, competition on PDE.

ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ СЕКЦИЯ КОНФЕРЕНЦИИ 'ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И СМЕЖНЫЕ ВОПРОСЫ"

УДК 378.147:517.95

ПРЕИМУЩЕСТВА КУРСА “УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ” НА МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОМ ФАКУЛЬТЕТЕ МГУ им. М.В.ЛОМОНОСОВА ПЕРЕД СООТВЕТСТВУЮЩИМИ КУРСАМИ ВЕДУЩИХ УНИВЕРСИТЕТОВ ДРУГИХ СТРАН*

Г. А. Чечкин1, Т. П. Чечкина2

1 Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова,

Россия, 119991, г.Москва, Ленинские горы; e-mail: chechkin@mech. math. msu. su

2 Московский инженерно-физический институт (госуниверситет),

Россия, 115409, г.Москва, Каширское т., 31; e-mail: chechkina@mail.ru

Проводится сравнительный анализ курсов “Уравнения с частными производными” (“Уравнения математической физики”) ведущих университетов США, Великобритании, Франции, Германии и Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова. Выясняется, что курс на механико-математическом факультете МГУ им. М. В. Ломоносова охватывает объединение курсов вышеназванных университетов.

Ключевые слова: уравнения математической физики, преподавание в университетах мира.

ВВЕДЕНИЕ

К концу XX века в России назрела настоятельная необходимость модернизации университетских курсов практически всех разделов высшей математики. Особенно остро этот вопрос встал в связи с переходом на Болонскую систему высшего образования. Болонское соглашение предполагает, что вместо нашей традиционной системы “специалитет” вводится двухуровневая система “бакалавриат”-“магистратура”. В связи с этим приходится пересматривать основные курсы в сторону уменьшения часов и материала для студентов-“бакалавров” и, соответственно, вводить новые программы для “магистров”. Университетское математическое образование, всё же, должно базироваться на фундаментальных разделах математики, поэтому вопрос о сокращении курсов для бакалавров не должен сводиться к выхолащиванию сути предмета и его основ. Как известно, Болонская система хороша для втузов и, видимо, спорно её преимущество для университетов России. Этот вопрос мы обсудим на примере одного из курсов. Российское университетское образование формировалось на протяжении нескольких веков, и выработанные принципы, проверенные временем, хорошо бы использовать. Мы не утверждаем, что

* Работа частично поддержана РФФИ (проект №06-01-00441)

сформировавшиеся предметы в XVIII-XIX столетиях были неизменны. Как раз наоборот, предметы и их содержание менялись и меняются год от года (можно сравнить приведенную в этой статье программу курса уравнений математической физики и, например, программы курсов, которые читались в 1993 году [1, 2]), но количество часов и недельные нагрузки были хорошо оптимизированы.

Предметом исследования данной статьи является курс уравнений с частными производными, читаемый в настоящее время на механико-математическом факультете МГУ им. М. В. Ломоносова. Встает вопрос о необходимости модернизации данного курса с учетом общих требований реформирования. Необходимо ли его сократить до полугодового, выбросив половину материала, или, все-таки, оставить годовой курс со всеми его экскурсами в смежные области высшей математики?

§1. ПРОГРАММЫ И ИХ СРАВНЕНИЕ

В этом параграфе приводятся программы курсов уравнений математической физики (уравнений с частными производными), которые читаются в ведущих университетах мира, в том числе предлагаемого на мехмате МГУ им. М.В.Ломоносова. Сравнение получилось достаточно характерным и показательным. Далее приводим содержание курсов.

Университеты США

• Columbia

4-й семестр. Анализ II: Дифференциальные уравнения с частными производными и функциональный анализ.

1. Уравнения 1-го порядка (локальная теория, ударные волны).

2. Методы функционального анализа в уравнениях с частными производными (банаховы, гильбертовы пространства, спектральная теория, теория ограниченных линейных операторов).

3. Линейные уравнения 2-го порядка (каноническая форма, классификация, задача Коши, принцип максимума, пространства Соболева, априорные оценки, функция Грина).

4. Теория Рисса-Шаудера для компактных операторов.

5. Уравнения теплопроводности и Лапласа на компактных многообразиях.

6. Теория де Рама и Ходжа.

7. Теорема Нэша-Мозера.

8. Нелинейные уравнения в геометрии и физике.

• Princeton

6-й семестр. Введение в дифференциальные уравнения с частными производными.

1. Линейные уравнения 2-го порядка (каноническая форма, классификация, задача Коши, принцип максимума, метод Фурье).

6-й семестр. Анализ I: ряды Фурье и дифференциальные уравнения с частными производными.

1. Ряды Фурье и преобразование Фурье.

2. Обоснование метода разделения переменных.

10-й семестр (для магистров и аспирантов). Введение в дифференциальные уравнения с частными производными.

1. Линейные уравнения 2-го порядка (каноническая форма, классификация, уравнения теплопроводности, волновое, Пуассона).

2. Разделение переменных.

3. Краевые задачи и функция Грина.

4. Вариационные методы.

5. Уравнения 1-го порядка.

• Michigan State

8-й семестр. Краевые задачи для дифференциальных уравнений с частными производными.

1. Уравнения 1-го порядка с приложениями (локальная теория, классификация, ударные волны).

2. Уравнения 2-го порядка с приложениями (уравнение Лапласа и гармонические функции, уравнение теплопроводности и волновое уравнение, принцип максимума для теплопроводности).

8-й семестр. Обратные задачи.

1. Решения обратных задач.

2. Приложения в геофизике, томографии.

3. Физические аспекты обратных задач.

• Rutgers

6-й семестр. Дифференциальные уравнения с частными производными.

1. Уравнения 1-го порядка (характеристики, ударные волны).

2. Линейные уравнения 2-го порядка (каноническая форма, классификация, задача Коши, краевые задачи).

3. Метод Даламбера.

4. Метод Фурье разделения переменных.

5. Уравнение Лапласа, гармонические функции, формулы Грина, фундаментальное решение.

• Massachusetts

6-й-7-й семестр. Дифференциальные уравнения с частными производными.

1. Уравнения 1-го порядка (локальная теория, ударные волны).

2. Краевые задачи.

3. Линейные уравнения 2-го порядка (каноническая форма, классификация).

4. Волновое уравнение и уравнение теплопроводности, метод Фурье разделения переменных, преобразование Фурье.

5. Спектральные методы.

6. Уравнение Лапласа, формула Пуассона.

• NYU

6-й семестр. Дифференциальные уравнения с частными производными I.

1. Уравнения 1-го порядка (локальная теория, ударные волны, геометрическая оптика).

2. Линейные уравнения 2-го порядка (каноническая форма, классификация, задача Коши, принцип максимума, энергетическое неравенство, уравнение Гамильтона - Якоби).

8-й семестр. Дифференциальные уравнения с частными производными П.

1. Классические и обобщенные решения уравнения Навье-Стокса.

2. Вариационные методы.

8-й семестр. Вариационные методы и Г-сходимость.

1. Вариационные методы.

2. Г-сходимость.

8-й семестр. Дифференциальные уравнения с частными производными для финансов.

1. Линейные параболические уравнения и стохастические дифференциальные уравнения.

2. Прямое и обратное уравнение Колмогорова.

3. Фундаментальные решения, краевые задачи, принцип максимума.

4. Уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана.

• Stanford

6-й-7-й семестр. Дифференциальные уравнения с частными производными I к II.

1. Уравнения 1-го порядка (локальная теория, ударные волны, геометрическая оптика).

2. Линейные уравнения 2-го порядка (каноническая форма, классификация, задача Коши, принцип максимума, разделение переменных, спектральные задачи, уравнение Лапласа, гармонические функции, функция Грина, теория потенциала, пространства Соболева).

10-й семестр (для магистров и аспирантов). Дифференциальные уравнения с частными производными.

1. Оценки Шаудера.

2. Теория Де Джорджи-Нэша-Мозера.

3. Нелинейные уравнения.

4. Многомасштабные среды, теория усреднения.

Университеты Великобритании

• Queen Mary (University of London)

4-й семестр. Линейные операторы и дифференциальные уравнения.

1. Метод разделения переменных.

2. Метод Фурье и преобразование Фурье.

3. Задача Штурма-Лиувилля.

4. Функции Бесселя.

5. Функция Грина и ^-функция.

6. Теория линейных операторов в приложении к уравнениям с частными производными.

• Cambridge

4-й семестр. Дифференциальные уравнения с частными производными.

1. Уравнения 1-го порядка (линейные, полулинейные, квазилинейные).

2. Линейные уравнения 2-го порядка (колебание струны, система уравнений Максвелла, уравнение теплопроводности).

3. Метод разделения переменных.

4. Метод Фурье и преобразование Фурье.

5. Задача Штурма-Лиувилля.

6. Фундаментальное решение и функция Грина.

• Leeds

4-й семестр. Линейные дифференциальные уравнения и преобразования.

1. Формула Даламбера, уравнения теплопроводности и Лапласа.

2. Метод разделения переменных (прямоугольная и круглая область), функции Бесселя и Лежандра.

3. Внутренние и внешние задачи, теория Фредгольма.

4. Преобразования Фурье и Лапласа.

• Oxford

4-й семестр. Дифференциальные уравнения с частными производными.

1. Уравнения 1-го порядка (локальная теория, ударные волны, геометрическая оптика).

2. Системы уравнений 1-го порядка.

3. Линейные уравнения 2-го порядка (каноническая форма, классификация, задача Коши).

4. Методы функционального анализа в уравнениях с частными производными (банаховы, гильбертовы пространства, спектральная теория, пространства Соболева, лемма Лакса-Мильграма, теория Фредгольма).

5. Функция Грина и ^-функция, обобщенные решения.

Французские университеты

• Paris VI (Pierre et Marie Curie)

5-й-6-й семестр. Дифференциальные уравнения с частными производными.

1. Уравнения 2-го порядка (параболические, гиперболические, эллиптические с выводом явных формул).

2. Пространства Соболева.

3. Вариационные задачи.

4. Система уравнений Стокса.

5. Сжимаемая и несжимаемая жидкость.

6. Функциональный анализ для уравнений с частными производными.

7. Неравенства Гальярдо-Ниренберга-Мозера.

• Blaise Pascal (Clermont-Ferrand)

6-й семестр. Дифференциальные уравнения с частными производными.

1. Уравнения 2-го порядка (параболические, гиперболические, эллиптические).

2. Метод Даламбера.

3. Метод разделения переменных.

4. Вариационные задачи.

5. Приложение функционального анализа к уравнениям с частными производными.

• Jean Monnet (Saint-Etienne)

8-й семестр. Дифференциальные уравнения с частными производными.

1. Классификация уравнений 2-го порядка (параболические, гиперболические, эллиптические), приведение к канонической форме.

2. Метод Даламбера.

3. Метод Фурье.

4. Обобщенные функции и обобщенные решения уравнений, пространства Соболева.

Университеты Германии

• TU Berlin

5-й-6-й семестр. Математическая физика.

1. Уравнение Шрёдингера.

2. Элементы функционального анализа.

3. Элементы математического анализа и теории меры.

4. Элементы спектральной теории дифференциальных операторов.

• TU Freiberg

6-й семестр. Численные и прикладные уравнения математической физики.

1. Уравнения теплопроводности, волновое и Пуассона.

2. Модели, приводящие к этим уравнениям.

3. Краткий курс вычислений на MATLABe.

• TU Dresden

8-й семестр. Дифференциальные уравнения с частными производными. Современные методы уравнений с частными производными.

1. Уравнения теплопроводности, волновое и Пуассона.

2. Уравнение Шрёдингера.

3. Стохастические дифференциальные уравнения.

• Universität Heidelberg

6-й-7-й семестр. Дифференциальные уравнения с частными производными.

1. Уравнения 2-го порядка (классификация, канонический вид).

2. Метод Фурье (метод разделения переменных).

3. Гармонические функции и их свойства.

Перед тем как привести сводную таблицу программы курса, который читается на мехмате МГУ, заметим, что практически все темы из вышеприведенных программ присутствуют в нашем курсе. Вместе с программой курса приводим и сравнительные данные. В таблице буквами 'А“, ”В“, ”Ф“ и ”Г" обозначены, соответственно, США, Великобритания, Франция и Германия. Крестиками помечены те темы курса, которые присутствуют в большинстве университетов соответствующей страны.

Сравнение курса мехмата МГУ с зарубежными университетами

Программа курса “Уравнения математической физики” для студентов специальности “Механика” (лектор Г. А. Чечкин, 2004/2005 учебный год)

А

В

Ф

Г

1

Локальная теория задачи Коши для линейного и квазилинейного уравнения 1-го порядка

+

+

2

Классические решения задачи Коши и формирование особенностей

3

Обобщенное энтропийное решение (интегральное тождество, условие Ранкина-Гюгонио, понятие энтропии)

4

Задача Римана о распаде произвольного разрыва

5

Приведение к каноническому виду в точке и классификация линейных уравнений с частными производными 2-го порядка

+

6

Теорема Коши - Ковалевской (формулировка и доказательство единственности). Обобщенная задача Коши, определение характеристик

7

8

Понятие корректности задачи Коши. Пример Адамара Существование и единственность решения задачи Коши для волнового уравнения в 3-мерном пространстве (интеграл энергии, формула Кирхгофа)

+

9

Формулы Пуассона и Даламбера, метод спуска

10

Схема метода Фурье. Задача Штурма-Лиувилля

11

Обоснование метода Фурье для решения смешанной краевой задачи для однородного волнового уравнения с переменными коэффициентами

12

Принцип максимума для уравнения теплопроводности (в ограниченной области и в слое). Теоремы единственности решения.

13

Формула Пуассона для решения задачи Коши для уравнения теплопроводности

+

14

Формулы Грина, фундаментальное решение оператора Лапласа, теорема о трех потенциалах

15

Свойства гармонических функций (теоремы о среднем, принцип максимума, неравенство Харнака, теорема Лиувилля, теорема об устранимой особенности)

+

16

Функция Грина для задачи Дирихле и её свойства

17

Потенциал простого слоя и его свойства (непрерывность, скачок нормальной производной)

18

Потенциал двойного слоя и его свойства (теорема о скачке)

+

19

Сведение краевых задач для уравнения Лапласа к интегральным уравнениям. Непрерывность ядра

20

Пространства Соболева Н1^) и Н1^). Неравенство Фридрихса

21

Обобщенное решение задачи Дирихле (определение, доказательство существования и единственности решения)

22

Вариационный метод решения задачи Дирихле

§2. ИТОГИ И ВЫВОДЫ

1. “Уравнения с частными производными” (“Уравнения математической физики”) — серьезный базовый курс во всех перечисленных университетах. Отметим, что курс “Уравнения с частными производными” на мехмате МГУ им. М. В. Ломоносова возник одним из первых среди ведущих университетов и с самого начала является основательным и глубоким.

2. Программы курсов “Уравнения с частными производными” в ведущих университетах США, Великобритании и Франции короче соответствующего курса на механико-математическом факультете МГУ. Наш курс является наиболее полным. Практически все разделы нашего курса присутствуют хотя бы в одном из курсов вышеназванных университетов и считаются там необходимыми. Курсы “Уравнения с частными производными” университетов Ратгерс и Стэнфорд наиболее близки по содержанию, а в Стэнфорде еще и по объему к нашему курсу. Поэтому укорачивать курс на мехмате нецелесообразно.

3. Модификацию (улучшение) университетских курсов “Уравнения математической физики” необходимо вести в следующих направлениях.

— Целесообразно включать в курс темы по уравнениям с частными производными первого порядка (локальная теория, особенности, обобщенные решения, ударные волны, задача Римана; см., например, [3]). Большинство ведущих западных университетов имеют этот раздел в основном курсе. Отметим, что этот раздел является логичным переходом от курса обыкновенных дифференциальных уравнений к курсу уравнений с частными производными.

- Необходимо включать элементы теории нелинейных уравнений, а также элементы асимптотических методов и теории усреднения (может быть, как часть обязательных спецкурсов для студентов или как часть спецкурсов естественно-научного содержания, которые на мехмате МГУ читаются на 5-м году обучения).

4. Необходимо направленно модифицировать курс уравнений с частными производными для специализированных потоков университетов. Например, для экономического потока мехмата МГУ необходимо включать разделы, которые читаются в Нью-Йоркском университете (NYU), в частности стохастические дифференциальные уравнения.

ЛИТЕРАТУРА

1. Программы обязательных курсов — специальность математика, прикладная математика / Под общей редакцией О. Б. Лупанова. — М.: Изд-во механико-математического факультета МГУ, 1993. 136 с.

2. Программы обязательных курсов — специальность механика, прикладная математика / Под общей редакцией О. Б. Лупанова. — М.: Изд-во механико-математического факультета МГУ, 1993. 91с.

3. Горицкий А.Ю., Кружков С.Н., Чечкин ГА. Уравнения с частными производными первого порядка: Учебное пособие. — М.: Изд-во ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ, 1999. 96 с.

ADVANTAGES OF THE COURSE “EQUATIONS OF MATHEMATICAL PHYSICS ”AT THE DEPARTMENT OF MECHANICS AND MATHEMATICS OF MOSCOW LOMONOSOV STATE UNIVERSITY COMPARED TO CORRESPONDING COURSES OF LEADING UNIVERSITIES OF OTHER COUNTRIES

G. A. Chechkin, T. P. Chechkina

The comparative analysis of courses “Partial Differential Equations” (“Equations of Mathematical Physics”) of leading universities of the USA, the Great Britain, France, Germany and Moscow Lomonosov State University is done. It is concluded that the course at the Department of Mechanics and Mathematics of Moscow Lomonosov State University covers the union of courses of the above-named universities.

Keywords: equations of mathematical physics, teaching at universities of the world.

ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ СЕКЦИЯ КОНФЕРЕНЦИИ "ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И СМЕЖНЫЕ ВОПРОСЫ"

УДК 378.147:517.95

КУРС “УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ” В УЧЕБНОМ ПЛАНЕ СПЕЦИАЛЬНОСТИ “МАТЕМАТИКА” В САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОМ ГОСУДАРСТВЕННОМ УНИВЕРСИТЕТЕ

А. И. Назаров

Санкт-Петербургский государственный университет, Россия, 198504, г- Санкт-Петербург, Ст. Петергоф, Университетский пер., 28;

e-mail: an@an4751.spb.edu

На примере учебного плана специальности “Математика” в Санкт-Петербургском государственном университете демонстрируется значение курса “Уравнения математической физики” для развития межпредметных связей.

Ключевые слова: уравнения математической физики, специальность “Математика”, межпредметные связи.

В последние годы среди многозначительных новомодных слов, которыми любят бросаться различные реформаторы от образования, появились слова “интегрирующие дисциплины”. Чаще всего под этим подразумеваются курсы, “галопом по Европам” рассказывающие ничего обо всем. В то же время во вполне стандартном учебном плане любой классической специальности есть дисциплины, которые могут (и должны!) сочетать интегрирующую функцию с функцией базового образования. Для специальности (направления) “Математика” одной из таких дисциплин являются уравнения с частными производными (уравнения математической физики). Цель данной заметки — показать, как эта двойная функция реализуется в учебном плане специальности “Математика” на математико-механическом факультете в Санкт-Петербургском госуниверситете.

Курс “Уравнения математической физики” для специальности “Математика” в Санкт-Петербургском госуниверситете, как и в большинстве университетов, рассчитан на два семестра. Однако на математико-механическом факультете этот курс читается позже обычного — в 6-м-7-м семестрах. Таким образом, основная часть базовых математических курсов к этому моменту уже прочитана, что обеспечивает большую эффективность их использования в курсе.

Основная структура учебного плана была сформирована в 60-х годах прошлого века. Однако план регулярно обновляется и модифицируется. В прилагаемой таблице учтены изменения, внесенные зимой 2007 года.

В таблице выделена строка “Уравнения математической физики” (УМФ). Выше её помещены дисциплины, материал которых в той или иной степени используется в курсе УМФ, а ниже — дисциплины, использующие материал этого курса. Для каждого курса указана отчетность (зачеты и экзамены

Дисциплины

Экз.

Зач.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Математический анализ

1-5

1-4

4/4

4/4

4/3

4/4

3/2

Алгебра и теория чисел

1-4

1-4

3/3

2/2

2/2

4/2

Геометрия и топология

1-4

1-3

2/2

2/2

2/2

2/0

Мат. логика и теория множеств

2

2/1

Гладкие многообразия

5

2/1

Дифференциальные уравнения

4

3,4

2/3

2/2

Вариационное исчисление

5

1/1

Функциональный анализ

5, 6

4/1

3/0

Уравнения математической физики

6,7

6,7

3/2

3/1

Методы вычислений

5,8

5,6,8

4/2

0/2

3/2

Физика

8

7

2/2

2/2

Динамические системы

8

2/0

Теоретическая кибернетика

8

8

2/2

Спец. курсы и спец. семинары

7,8,9,9

5-10

0/2

2/2

4/4

4/2

6/2

0/2

по семестрам). В столбцах 1-10 указана аудиторная нагрузка по семестрам (лекции + практические занятия)1.

Из таблицы видно, что в курсе УМФ “работают” почти все базовые математические дисциплины (кроме дискретной математики и теории вероятностей). Таким образом студент “на своей шкуре” ощущает единство математики.

THE PDE COURSE IN THE SPECIALST DEGREE PROGRAM IN MATHEMATICS, SAINT-PETERSBURG STATE UNIVERSITY

A. I. Nazarov

We demonstrate the significance of the PDE course for development of intersubject communications. As an example, we use the Specialist Degree program in Mathematics in St.-Petersburg State University.

Keywords: partial differential equations, specialization in Mathematics, intersubject communications.

1 Теория меры, теория функций комплексного переменного, теория функций вещественного переменного, часто выделяемые в отдельные курсы, на матмехе традиционно читаются как разделы курса математического анализа. Аналогично, в курс алгебры и теории чисел входят как линейная алгебра, так и разделы общей алгебры.

ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ СЕКЦИЯ КОНФЕРЕНЦИИ "ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И СМЕЖНЫЕ ВОПРОСЫ"

УДК 378.147:517.91

О НЕКОТОРЫХ МЕТОДИЧЕСКИХ ПРИНЦИПАХ УЧЕБНИКА ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ

А. В. Боровских1, А. И. Перов2

1 Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова,

Россия, 119991, г.Москва, Ленинские горы; e-mail: bor.bor@mail. su

2 Воронежский государственный университет, Россия, 394006, г- Воронеж, Университетская пл., 1; e-mail: anperov@mail.ru

Обсуждается ряд методических принципов, использованных при подготовке учебника авторов статьи “Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям”.

Ключевые слова: обыкновенные дифференциальные уравнения, учебник для вузов.

Наш учебник [1] появился несколько лет назад и, видимо, уже знаком преподавателям дифференциальных уравнений. Поэтому речь пойдет не о презентации самого учебника, как сейчас принято говорить, а о том, какими принципами руководствовались его авторы и почему он, собственно, был написан.

Поводом послужил совершенно пустяковый случай, произошедший с первым из авторов, когда он просто забыл (так уж получилось) прочитать одну лекцию. Выяснилось это уже на последней лекции перед экзаменом, а тема важная — метод неопределенных коэффициентов для систем, входящая в минимум студента-математика, и поэтому просто пожертвовать ею нельзя. Выход был найден очень простой: лекция была просто набрана на компьютере и распространена среди студентов. После этого обнаружился совершенно изумительный эффект: ответы именно на этот вопрос, который обычно студентам дается с трудом (так как там приходится пользоваться условиями разрешимости линейных вырожденных алгебраических систем, а этот материал студентами провинциальных вузов усваивается не очень хорошо, а иногда и вообще им не читается), были существенно лучше других. Студенты легко отвечали на каверзные дополнительные вопросы и уточняли необходимые детали.

Вот тут и возник естественный вопрос: “Всё ли в порядке с моими лекциями?”. То есть, раз уж студенты написанное усваивают лучше, чем сказанное, то почему бы и не написать? В результате и появился наш учебник.

Сразу отметим, что он имеет совсем не общепринятый “академический” стиль, а содержит практически без сокращений тот материал, который читается на лекции (лишь слегка отредактированный, поскольку всё-таки устное слово отличается от письменного). Традиции мы не следовали сознательно, поскольку вполне осознавали, что “академический” стиль (то есть максимально выжатый, без “воды”, отступлений и комментариев — сухой текст с формулировками и доказательствами) сложился во вполне определенных условиях и ими, собственно, и определялся. А сейчас надо смотреть на нынешние условия и нынешние требования.

Математики, которые читают первоисточники, хорошо знают отличия стиля семнадцатого - восемнадцатого и стиля девятнадцатого века, когда из научных монографий и учебников практически исчезли философские и метафизические рассуждения. С конца девятнадцатого века математическое изложение уже перестало апеллировать к физике, а в двадцатом полностью приобрело формализованный характер. Но вот учебники, написанные во второй половине двадцатого века, отличаются тем, что хотя они и учебники, но для понимания непосвященного читателя они практически недоступны. Чем вызван такой странный и, на первый взгляд, парадоксальный поворот стиля?

По-видимому, дело в том, что как раз в середине века высшее образование приобрело (и в нашей стране, и за рубежом) поистине массовый характер, а бумаги было не так много, так что приходилось экономить на всем, на чем можно. С другой стороны, объем необходимого материала стремительно увеличивался, и всего на лекции рассказать было уже невозможно, и необходимо было что-то переносить на самостоятельное изучение. Возможность решить столь непростую задачу определялась тем, что сейчас называют “человеческим фактором”. Поскольку обучение велось преподавателями, подготовленными в академических центрах (Москва, Санкт-Петербург, Казань и т.п.) и владеющими математической культурой “на полную глубину”, оказалось возможным осуществить некое “разделение труда”: преподаватель на лекции давал постановку проблемы, обсуждал трудности, формулировал результаты, а за подробными доказательствами и деталями отсылал к учебнику. Тем самым учебник приобрел функции “справочника с доказательствами”, прилагавшегося к устным лекциям. Естественно, из него “выжималась” вся “вода”, оставалась только чистая сухая логика.

Но вот прошло уже больше 50 лет, и многое изменилось. Во-первых, теперь бумаги хватает, и необходимость экономить существенно ослабла. Кроме того, теперь появились электронные носители информации, позволяющие вообще забыть о том, что где-то надо экономить.

Во-вторых, с тех пор сменилось уже два поколения преподавателей, и лекции читают уже совсем другие люди. Это — “ученики учеников” тех, кого

когда-то готовили в академических центрах, и эта смена поколений оказалась связанной с такими явлениями, что вопрос об экономии стал вообще неуместным, ибо речь идет уже об утрате смысла, без которого математическое образование является пустой тратой времени и сил.

К сожалению, для сохранения культуры необходима некоторая её “критическая плотность”. Если она меньше, культура начинает как-то “рассасываться”, “рассеиваться” и уровень её начинает неуклонно снижаться. В применении к обсуждаемому вопросу это выразилось в том, что то, что когда-то читали на лекциях (и к чему учебник был приложением), оказалось, в конце концов, просто утраченным. Нам приходилось видеть преподавателей университета, которые, читая лекции, просто пересказывали учебник — тот учебник, что когда-то был просто приложением к лекциям. Вот так ситуация дошла до “педагогического абсурда”. И именно поэтому возникло желание написать учебник, в котором было бы всё, а не только формулировки и доказательства. На наш взгляд, это стало теперь необходимым не только студентам, но и преподавателям.

Отметим, кстати, что и с книгами тоже не всё обстоит благополучно. Одному из авторов как-то в очередном учебном году довелось пойти в библиотеку своего родного Воронежского университета, чтобы перечислить список литературы по обыкновенным дифференциальным уравнениям, которую надо выдавать студентам. И он, ничтоже сумняшеся, начал перечислять: “Ну, во-первых, Степанов — это самый полный учебник по обыкновенным уравнениям, который когда-либо был написан... ”. На что получил удивительный ответ: “А Вы знаете, мы Степанова списали! Он был самый ВЕТХИЙ, и поэтому мы его списали”. Вот так. А поскольку Степанова по ветхости уже догоняли и Понтрягин, и Тихонов, не говоря уже о Петровском, а переиздавать их тогда еще и не думали (дело было в 2000 году), то стало ясно, что надо выбираться как-то своими силами.

Третья характерная черта современности — это, конечно, то, что времена сейчас тяжелые, студенты в провинции вынуждены работать, нередко им приходится учиться самостоятельно, и учебник должен дать им возможность выучиться полноценно. К тому же, думая о перспективе, необходимо было создать что-то вполне самодостаточное, что могло бы обслуживать в будущем и дистанционное обучение, что позволяло бы человеку учиться и без преподавателя, и без устных лекций.

Вот все эти аргументы и побудили нас написать все “так, как есть”, сознательно отойдя от “академического” стиля.

Что касается собственно методических принципов, то, честно говоря, писали бы безо всякой особой методической науки, так сказать, “по наитию”, просто ориентируясь на свой опыт, однако потом обнаружили, что наши ин-

туитивно ощущавшиеся принципы вполне соответствуют тем концепциям, которые развиваются сейчас в педагогической науке, так что каждый из нас в очередной раз ощутил себя “господином Журденом”, который узнал, что говорит прозой.

Так, наши представления оказались очень близки предложенной Ван Хиле системе для описания уровней усвоения геометрии в школе, которая, как оказалось, имеет гораздо более широкую сферу действия. В нашем вольно обобщающем пересказе эта система (она имеет 5 уровней) выглядит так:

1. Знакомство с предметом;

2. Изучение предмета с различных точек зрения, формирование системы представлений, связанных с этим предметом;

3. Формализация этих представлений, формирование системы понятий;

4. Формирование логики связи между понятиями и образование логических кластеров — групп взаимосвязанных свойств;

5. Построение формализованной теоретической системы, как правило -аксиоматической, отслеживание вариаций этой системы при изменении тех или иных аксиом и постулатов.

Традиционно в преподавании уровни 1-2 пропускаются, 3-й редуцирован к формулировкам определений, а то, что содержится в учебниках — это 4-й и отчасти 5-й уровень. Хотя без первых двух всё это лишается смысла: понятие перестает быть обозначением чего-то наблюдаемого, ощущаемого, воспринимаемого, реального (можно даже сказать “материального”), а превращается в сознании нашего студента в чисто вербальный объект. А манипулирование понятием становится компилятивным оперированием словами, собиранием фразы из слов так, “чтобы преподаватель остался доволен”.

Мы постарались уделить уровням 1-2 существенное внимание. Так, целая лекция тратится только на то, чтобы ввести понятие устойчивости, то есть познакомить с явлением, с системой представлений и довести её до формализации (опыт показывает, что после такого усвоения понятия сама теория устойчивости уже “раскатывается как по маслу”). Целая лекция посвящена разбору постановки общего вопроса о существовании и единственности решения. Для уравнений п-го порядка пол-лекции тратится на то, чтобы добраться до основного принципа “решение ищется в виде еЛ*”, целая лекция посвящена построению и анализу фазового портрета для обычного маятника и т.д.

Второй уровень, связанный с “концептуальной” формулировкой ряда принципов и форм представлений, играет особенно важную роль тогда, когда точные формулировки громоздки и обложены кучей деталей и оговорок (как, например, теорема существования и единственности, теоремы о непрерывной зависимости от параметра или теоремы теории устойчивости). Опыт пока-

зывает, что четкое выделение главного принципа до того, как мы доберемся до формального изложения результатов, существенно упрощает студентам понимание даже весьма нетривиальных вещей.

Конечно, и учебник, и его методическая база требуют еще дополнительной шлифовки, но надо сказать, что первое издание разошлось очень быстро и сейчас уже приходится готовить второе.

В заключение хотелось бы высказать еще одну мысль, преамбулой к которой был один эпизод из жизни первого автора. Когда он, собираясь съездить за границу, стал более-менее серьезно изучать английский язык и начал запасаться словарями, то, как раз, совершенно случайно, в книжном магазине столкнулся с одним своим знакомым, который преподавал английский язык. И тот сказал, что для того чтобы полноценно осваивать язык, нужно всего два словаря: самый маленький и самый большой. По-видимому, это факт чисто математический: если формулировать задачу о минимизации среднего времени поиска слова в словарях, то, скорее всего, именно такое решение она и будет иметь.

Почему мы об этом заговорили? Некоторое время мы находились в эйфории от собственного успеха, и было такое ощущение, что, скорее всего, “академический” стиль уже себя изжил и надо писать толстые и подробные учебники. Однако практически одновременно с нашим вышел курс дифференциальных уравнений А.Ф.Филиппова [2], и стало ясно, что это все-таки не так и что нужно и то, и другое. Учебник А. Ф. Филиппова — это, безусловно, образец “академического” стиля. И, по большому счету, он на самом деле чрезвычайно нужен и тем студентам, которые учатся именно по нашему учебнику. Для того, чтобы рафинировать свои знания. Для того, чтобы привести свои знания в компактную систему. Для того, чтобы научиться смотреть на эту науку — дифференциальные уравнения — в целом. С другой стороны, наверное, и тем, кто учится по Филиппову, наш учебник тоже будет полезен -он позволяет разобраться там, где что-то непонятно или не ощущается смысл, или трудно освоиться с тем или иным понятием. Истина, видимо, состоит в том, что учебники этих двух сортов должны дополнять друг друга, позволяя каждому студенту выбрать свою, наиболее удобную для него траекторию усвоения предмета.

ЛИТЕРАТУРА

1. Боровских А.В., Перов А.И. Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Ижевск: НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, 2004. 540 с.

2. Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений. М.: Едиториал УРСС, 2004. 240 с.

ON CERTAIN METHODICAL PRINCIPLES OF THE TEXTBOOK ON ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS

A. V. Borovskikh, A. I. Perov

The series of methodical principles used by the authors for the writing of the textbook “Lection on Ordinary Differential Equations” is discussed.

Keywords: ordinary differential equations, textbooks for the high-level education.

ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ СЕКЦИЯ КОНФЕРЕНЦИИ “ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И СМЕЖНЫЕ ВОПРОСЫ”

УДК 517.958

О ПРЕИМУЩЕСТВАХ ПИСЬМЕННОЙ ФОРМЫ ЭКЗАМЕНОВ

В. Ф. Бутузов

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, Россия, 119991, г.Москва, Ленинские горы; тел.: (495)9393046; e-mail: butuzov@phys.msu.su

Обсуждается опыт проведения письменных экзаменов на кафедре математики физического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова.

Ключевые слова: экзамен по высшей математике, письменно-устная форма экзамена.

В течение нескольких последних лет во время экзаменационных сессий на физическом факультете экзамены по общим математическим курсам проводятся в письменно-устной форме. Во время первой (письменной) части экзамена каждый студент получает билет, содержащий 6-7 вопросов, и дает на них ответы в письменном виде. На выполнение задания отводится 1-1,5 часа в зависимости от объема курса. Вопросы подобраны так, что они охватывают все основные темы по данному предмету. Большая часть вопросов (4-5) направлена на проверку знания основных понятий (дать определение, сформулировать теорему, написать формулу, решить простую типовую задачу). Эти вопросы не требуют много времени от тех, кто хорошо подготовился к экзамену (3-5 минут на каждый вопрос). Один из вопросов носит более фундаментальный характер — не только сформулировать какую-то из основных теорем, но и дать её доказательство. Еще один из вопросов (как правило, последний) — это задача достаточно высокого уровня, требующая весьма глубокого понимания материала.

После завершения письменной части экзамена делается небольшой перерыв и начинается устная часть — собеседование преподавателя со студентом по тем вопросам, на которые он дал письменные ответы. В большинстве случаев качество письменных ответов на вопросы билета позволяет адекватно оценить знания студента, и устная часть сводится к обсуждению тех ошибок, которые он допустил, к разъяснению не усвоенных им в полной мере понятий, теорем, формул. В отдельных случаях преподаватель задаёт дополнительные вопросы, примыкающие к вопросам билета, что способствует более точной опенке знаний студента. Средняя продолжительность устного собеседования с каждым студентом — около 20 минут.

Чтобы получить оценку “отлично”, нужно хорошо и полностью ответить на все вопросы билета. Но все эти вопросы, и в том числе трудные задачи, заранее известны студентам, и именно в той редакции, как они войдут в билеты. Поэтому для тех, кто добросовестно готовился к экзамену, никаких неожиданностей в билетах нет. На наш взгляд, письменно-устная форма

экзамена имеет ряд преимуществ перед традиционной устной формой. Она позволяет провести главную (письменную) часть опроса за короткое время сразу со всей группой, позволяет в определенной мере бороться с массовой болезнью — “списыванием” и, что самое главное, дает возможность более объективно оценивать знания каждого студента (практически устраняется зависимость оценки от того, к какому преподавателю студент “попал”). Данная форма проведения экзамена прижилась на кафедре математики, и в настоящее время проводится работа по её дальнейшему совершенствованию.

ON ADVANTAGES WRITTEN FORM OF EXAMINATIONS

V. F. Butuzov

Written form of examinations experience on Mathematics chair of Physics Department of Moscow Lomonosov State University is discussed.

Keywords', higher mathematics examination, written-oral form of examination.

СОДЕРЖАНИЕ И ТЕХНОЛОГИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ В ВУЗЕ

УДК 519.5

ДИАГРАММЫ ВЕННА В КУРСЕ ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКИ

Л. Г. Киселева, Т. Г. Смирнова

Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского, Россия, 603950, г. Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23; тел.: (831)4657881; e-mail: mliva@rambler.ru

Авторы делятся опытом использования в курсе дискретной математики графического аппарата — диаграмм Венна, которые традиционно применяются для доказательства тождеств или опровержения соотношений алгебры множеств. Весьма поучительным следует признать графический подход к решению уравнений и систем уравнений с одним неизвестным в алгебре множеств, который предлагается использовать в процессе обучения студентов.

Ключевые слова: множество, подмножество, диаграмма Венна.

1. ВВЕДЕНИЕ

Диаграммы Венна — очень удобный инструмент, позволяющий изображать множества и иллюстрировать операции над ними. Поучительная история возникновения, развития и разнообразных использований этого понятия прослежена в [1]. Ценность и преимущество диаграмм состоит в их наглядности. Наглядность может оказаться существенным подспорьем при решении задач и доказательстве утверждений, и пренебрегать этим вряд ли имеет смысл.

Прежде чем переходить к изучению метода диаграмм [1-4], хотелось бы вкратце рассказать о создателе диаграммного метода. Приведенные ниже биографические сведения заимствованы из [5], а автором биографии Венна является его единственный сын, Джон Арчибальд Венн, избранный в 1932 г. президентом Королевского колледжа в Кембридже.

Джон Венн (John Venn) родился 4 августа 1834 года в Драйпуле близ г. Халла в семье священника. Образование получил в одном из колледжей Кембриджа (Гонвиль и Кийус колледж). В 1858г. он начал по семейной традиции карьеру служителя церкви. Однако его интересы лежали в другой области, он стремился к научным занятиям в области философии и логики. В 1862 г. Венн вернулся в Кембридж, где был приглашен на только что созданное место лектора колледжа по моральным наукам. Несколько месяцев он совмещал еще свою работу с деятельностью священника в небольшой церкви, но вскоре отказался совсем от церковной деятельности; в 1883 г. он даже получил документ, утверждающий, что он не способен служить в церкви.

С 1862 г. он посвятил себя научной и педагогической деятельности, в 1883 г. в Кембридже получил степень доктора наук и был избран членом Королевского общества. В 1903 г. Венн избирается президентом Гонвиль и

Кийус колледжа. Занимаясь философией и логикой, Венн опубликовал много статей в различных журналах и несколько монографий, из которых наиболее значительными являются “Логика случая” (1866), “Символическая логика” (1881), “Принципы эмпирической логики” (1889). Много внимания Венн уделял также изучению истории и составлению биографических и исторических очерков, справочников и др.

В логике Венн не интересуется проблемами психологии; не занимается он и такими вопросами, которые в его время относились к области “метафизики”. Свои философские позиции сам Венн характеризовал как “точку зрения опыта и здравого смысла”. Умер Венн 4 апреля 1923 г.

2. ДИАГРАММЫ ВЕННА

Пусть задана система подмножеств А\, Ач,..., Ап универсального множества U. На множестве U х U введем бинарное отношение р следующим образом: арЪ <Ф=> а, Ъ принадлежат одним и тем же подмножествам, т.е. a G Ai <-> b G Ai для любого г = 1,п. Очевидно, что р есть отношение эквивалентности на U и фактор-множество U/р содержит не более 2п классов эквивалентности р.

Для графической иллюстрации факторизации универсального множества U относительно отношения р часто используют диаграммы Венна (круги Эйлера). Универсальное множество обычно изображается в виде прямоугольника, а его подмножество — в виде круга или какой-либо другой простой области внутри этого прямоугольника.

В своих работах Джон Венн рассматривает возможность разбиения части плоскости на 2п ячеек с помощью п фигур, где п — число подмножеств в условии задачи. В дальнейшем предложенный Венном метод разбиения плоскости изменялся и совершенствовался, делались попытки увеличения наглядности его для большего числа подмножеств. В настоящее время известно несколько способов разбиения прямоугольника на 2п областей с помощью п фигур. Рассмотрим некоторые из них.

При п = 1 прямоугольник можно разбить на две части окружностью (рис. 1, слева) или одной прямой (рис. 1, справа).

На рис. 2 представлены разбиения прямоугольника при п = 2 на четыре части двумя окружностями (слева) или двумя прямыми (справа).

Одинаковыми римскими цифрами на рис. 2 пронумерованы однотипные ячейки диаграмм. Например, ячейка III содержит все элементы универсального множества, которые принадлежат подмножеству А\ и не принадлежат А*}.

Рис.1

Рис.2

При п = 3 еще можно воспользоваться тремя окружностями (рис. 3, слева) или двумя прямыми и окружностью (рис.3, справа), однако уже нельзя -тремя прямыми.

Рис.3

На практике начинающие студенты как правило используют разбиение плоскости с помощью окружностей. Разбиение с помощью окружности и двух прямых кажется совершенно непривычным и с первого взгляда как бы и не совсем наглядным с точки зрения обозначения полученных ячеек.

На рис. 4 рассматривается разбиение прямоугольника на восемь ячеек с помощью четырех прямых, на внешних сторонах диаграммы указаны возможные комбинации подмножеств Ai, А2, A3 и их дополнений. Теперь значительно проще понять, что в ячейку VI попадают элементы подмножества А1А2А3. К преимуществам данного разбиения следует отнести и простоту самого построения диаграммы с помощью прямых, в итоге получаем ячейки однотипные и по размеру, и по форме.

Рис.4

Рис.5

При п = 4 всё еще имеется возможность разбиения прямоугольника на 24 ячеек с помощью четырех фигур. Для этого можно воспользоваться четырьмя эллипсами (рис. 5, слева), но уже нельзя — четырьмя окружностями. На рис. 5, справа, изображено разбиение прямоугольника с помощью двух прямых и двух эллипсов. Очевидно, с ростом п наглядность изображения областей теряется.

Рассмотрим теперь разбиение прямоугольника на 24 ячеек с помощью прямых, для этого нам потребуется шесть прямых. Разбиение проведем из диаграммы, построенной для трех подмножеств (см. рис.4). Поделим пополам горизонтальными прямыми все ячейки, относящиеся к А2 и к А2, получим диаграмму, изображенную на рис. 6.

Рис.6

Из приведенных примеров легко понять, что диаграмма Венна для п множеств строится из диаграммы для (п— 1)-го множества следующим образом: каждая полоса диаграммы Венна делится пополам горизонтальными (либо вертикальными) линиями, после чего все получившиеся полосы с нечетными номерами, считая сверху (слева), обозначаются через АП1 а с четными через Ап.

3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ДИАГРАММ ВЕННА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

3.1. Графический метод для доказательства тождеств

Диаграммы Венна применяются в курсе дискретной математики главным образом для упрощения некоторого данного сложного выражения или совокупности условий, а также для доказательства тождественности заданных выражений или, наоборот, для опровержения соотношений.

Пример 3.1.1. При помощи диаграмм Венна доказать закон де Моргана:

Решение. Множество AU В — дополнение множества AUß, поэтому его изображает одна заштрихованная ячейка, показанная на рис. 7, слева.

Множеству А соответствуют ячейки диаграммы Венна (рис. 7, справа), отмеченные горизонтальной штриховкой, а множеству В — ячейки диаграммы, отмеченные вертикальной штриховкой. Наконец, множеству AB соответствуют ячейки, отмеченные и горизонтальной, и вертикальной штриховкой.

Получили, что множества A U В и А В одинаково изображаются на диаграмме Венна, поэтому они равны.

Рис.7

Пример 3.1.2. Доказать тождество: A(BUC) = AB U AC.

Решение. Множество А представлено ячейками с горизонтальной штриховкой на диаграмме Венна (рис.8, слева), а множество В U С — ячейками с вертикальной штриховкой. Множество А (В U С) изображают ячейки диаграммы Венна, которым соответствует двойная штриховка: и горизонтальная, и вертикальная.

На рис.8, справа, множество AB представлено ячейками с горизонтальной штриховкой, а множество АС — ячейками с вертикальной штриховкой.

Рис.8

Множество AB U АС изображают ячейки диаграммы Венна, которым соответствует штриховка: либо горизонтальная, либо вертикальная.

Следовательно, множества А(В U С) и А В U АС изображены одинаково на диаграммах Венна, значит, они равны.

Пример 3.1.3. Пусть АжВ — два множества, удовлетворяющих условиям А — В = В — А = 0. Можно ли выразить отношение между А и В более простым образом?

Решение. Поскольку А — В = 0 означает, что = 0, области, представляющие А и В на диаграмме Венна (рис.9, слева), не перекрываются. Очевидно, В = В, тогда получаем А Ç В (рис.9, справа). Обратно, если А С Б, то имеем А — В = 0. Таким образом, получаем, что А — В = 0 равносильно А С В. Аналогично, условие В — А = 0 равносильно В Ç А. Теперь можно сделать вывод, что заданные отношения между А ж В равносильны тому, что А С В и В С Д т. е. А = В.

Полученные в примере 3.1.3 выводы сформулируем в виде утверждений, они часто используются при решении задач алгебры множеств.

Утверждение 3.1.1. А С В тогда и только тогда, когда AB = 0. Утверждение 3.1.2. А = В тогда и только тогда, когда А 0 В = 0.

3.2. Системы условий и следствия из них

Будем говорить, что диаграмма В является следствием диаграммы А тогда и только тогда, когда все непустые ячейки диаграммы А непусты и на диаграмме В. Предполагаем при этом, что число подмножеств на диаграмме В совпадает с числом подмножеств на диаграмме А.

Диаграммы А ж В называем равными тогда и только тогда, когда А является следствием В, а В является следствием А.

Система условий S следует из системы условий Т тогда и только тогда, когда диаграмма, соответствующая системе £, является следствием диаграммы, соответствующей системе Г.

Две системы условий S и Г равносильны (эквивалентны) тогда и только тогда, когда соответствующие им диаграммы равны.

Пример 3.2.1. Верно ли, что из системы условий:

следует

Рис.9

Решение. Преобразуем условия первой системы. Из первого условия системы вытекает, что A1A3U а3а4 = 0. Второе условие равносильно тому, что А2 A4 = 0. Далее, из третьего условия получаем, что (Ai U А%)® 0 (A3 U A4) = 0, что равносильно тому, что Ai А2 As U Ai A2 A4 U Ai A3 A4 U ua2a3a4 = 0. Все полученные условия отметим на диаграмме Венна (рис.10).

Рис. 10

Преобразуем условия второй системы. Первое условие системы равносильно тому, что Ai As U Ai As = 0, второе — A2A4U А2А4 = 0. На рис.11 изображена диаграмма Венна, соответствующая второй системе условий.

Рис.11

В силу того, что все непустые ячейки диаграммы Венна, изображенной на рис. 10, непусты и на диаграмме, изображенной на рис. 11, заключаем, что вторая система условий является следствием первой системы.

Равносильны ли рассмотренные системы условий? Нет, так как соответствующие этим системам диаграммы не равны.

Пример 3.2.2. На олимпиаде по математике были предложены 4 задачи: по алгебре, геометрии, тригонометрии и комбинаторике. В отчете председателя жюри приведен следующий анализ итогов олимпиады:

1. Все решившие задачу по геометрии решили задачу по алгебре или по тригонометрии.

2. Все решившие задачи по геометрии и по тригонометрии решили задачу по алгебре или по комбинаторике.

3. Все решившие задачи по геометрии, комбинаторике и тригонометрии решили задачу по алгебре.

Выяснить, нельзя ли записать отчет в более краткой форме?

Решение. Пусть А — множество школьников, решивших задачу по алгебре, G — по геометрии, Г — по тригонометрии, К — по комбинаторике. Тогда первое условие можно записать в виде:

Из второго условия получаем, что

Наконец, из третьего условия получаем, что

На рис. 12 представлена диаграмма Венна, на которой помечены все пустые ячейки, полученные из условия задачи. Цифра, изображенная в пустой ячейке диаграммы, соответствует номеру условия, из которого она получена.

Таким образом, три условия задачи равносильны одному AG = 0, т. е. G С А, иными словами, все решившие задачу по геометрии решили задачу по алгебре.

Пример 3.2.3. Упростить систему условий:

Рис. 12

Решение. Для упрощения системы условий воспользуемся утверждениями 3.1.1 и 3.1.2.

На рис. 13 представлена диаграмма Венна, на которой пустые ячейки соответствуют преобразованным условиям системы, а цифра указывает номер условия, из которого она получена.

Рис. 13

Исходя из диаграммы Венна можно сделать вывод, что исходная система условий равносильна одному условию А 2 = 0, а множества Ai, A3, A4 -произвольные. Действительно, при А 2 = 0 получаем, что каждое из четырех условий выполнено при любых Ai, A3, A4.

4. УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ В АЛГЕБРЕ МНОЖЕСТВ

4.1. Метод решения уравнения с одним неизвестным

В алгебре множеств имеется своя теория уравнений, которая существенно отличается от теории решения алгебраических уравнений. Рассмотрим метод решения одного уравнения с одним неизвестным.

Пусть Ai, А2,..., Ak — подмножества некоторого универсального множества Î7, связанные формулами <£>(Ai, А2,..., X), if>(Ai, A<i,..., X\ где X — неизвестное множество. Множество Xq называется частным решением уравнения

(1)

если формулы <p(Ai, А2,..., А&, Xq), ф(А\, А2,..., А&, Xq) задают одно и то же множество.

Совокупность всех частных решений есть общее решение уравнения (1).

Средствами алгебры множеств следует ответить на вопрос, при каких условиях уравнение (1) имеет решение, и, если эти условия выполнены, найти все такие решения.

Согласно утверждению 3.1.2 уравнение (1) равносильно уравнению:

(2)

При помощи основных тождеств алгебры множеств уравнение (2) приводится к виду:

(3)

где А, В и С — некоторые множества, не содержащие переменной X. Непосредственным следствием такого уравнения является система условий АХ = 0, = 0, С = 0, которая, в свою очередь, равносильна условиям В С X CA, ABUC = 0.

Полученные условия А В U С = 0, не зависящие от неизвестной переменной X, представляют собой необходимые и достаточные условия для того, чтобы уравнение (3) имело решение, т. е. чтобы существовало такое множество X (может быть и пустое), для которого оно выполняется. При этих условиях любое множество X такое, что В Ç X Ç А, является решением данного уравнения.

Понимая, что множество X лежит между В и А, можем записать решение в так называемой “параметрической форме”: X = В U К А В, где К -некоторый параметр, такой, что К Ç AB. Используя такую форму записи решения уравнения, можно теперь осуществить проверку полученного решения непосредственной подстановкой его в исходное уравнение.

Оценим число решений уравнения (3). Различные решения уравнения получаем при различных значениях параметра К, и в силу определения данного параметра получаем, что число решений данного уравнения равно числу подмножеств множества AB, т.е. равно 21^^1.

4.2. Графический метод решения уравнения с одним неизвестным

Итак, было установлено, что всякое уравнение (1) равносильно уравнению вида (3). Отметим полученные условия АХ = 0, ß J = 0,(7 = 0 на диаграмме Венна четвертого порядка, причем коэффициенты уравнения изобразим по вертикали, а неизвестное множество X — по горизонтали (см. рис. 14).

Теперь зададимся вопросом, каким образом по диаграмме Венна определить необходимые и достаточные условия существования решения исходного уравнения и найти все решения.

В силу того, что необходимые и достаточные условия существования решения представляют собой соотношения, не зависящие от неизвестной переменной X, на диаграмме Венна эти условия задаются множеством тех клеток диаграммы, которые пусты по вертикали. На рис. 14 первый, третий, пятый

Рис. 14

и седьмой пустые столбцы задают условие: С = 0, а второй пустой столбец — соотношение: ABC = 0. Итак, окончательно получаем необходимые и достаточные условия существования решения в виде: А В U С = 0.

Решение X образует множество элементов универса, расположенных в двух непустых клетках диаграммы Венна: АВСХжАВСХ. Элементы первой клетки представляют собой наименьшее по включению решение уравнения, так как из условия А В X = 0 имеем AB Ç X или, что равносильно в силу необходимых и достаточных условий существования решения, В Ç X. По диаграмме Венна легко видеть, что наибольшим по включению решением является множество А. Заключаем, что решением является любое множество X такое, что В Ç X С А.

Пример 4.2.1. Решить уравнение А — X = В. Найти необходимые и достаточные условия, при которых уравнение имеет решение. Оценить число решений уравнения.

Решение. Данное уравнение равносильно следующему: (А — X) 0 В = = АХ 0 В = 0. Упростим его при помощи основных тождеств алгебры логики:

Рис. 15

На рис. 15 изображена диаграмма Венна, на которой отмечены полученные условия.

Пустой столбец диаграммы Венна AB = 0, что равносильно В Ç А, задает необходимые и достаточные условия существования решения данного уравнения.

Запишем теперь общее решение уравнения в параметрической форме. Объединяя наименьшее по включению решение AB с произвольным подмножеством множества AB, получаем X = AB U К AB, где К Ç А\,В. Число решений данного уравнения определяется числом подмножеств множества AB, т.е. 2^^1.

4.3. Системы уравнений с одним неизвестным в алгебре множеств

Рассмотрим систему п уравнений с одним неизвестным X

Каждое из п уравнений с помощью основных тождеств алгебры множеств приведем к равносильному уравнению вида (3):

Объединяя все полученные уравнения в одно, сводим исходную систему уравнений к одному уравнению с одним неизвестным X:

Пример 4.3.1. Решить систему уравнений

Найти необходимые и достаточные условия, при которых система уравнений имеет решение. Оценить число решений системы уравнений.

Решение. Система уравнений равносильна следующим соотношениям:

На рис. 16 построена диаграмма Венна для множеств А, В, С и X с отмеченными на ней пустыми ячейками, полученными в результате упрощения уравнений системы.

Рис. 16

Необходимое и достаточное условие существования решения системы задается множеством тех ячеек диаграммы Венна, которые по вертикали полностью пусты, т. е. условием, не зависящим от X или X. Для нашей системы

это условие задается третьим, четвертым, пятым и седьмым пустыми столбиками диаграммы, которые можно записать в виде: ABU АС = 0. Отсюда, С Ç A Ç В — необходимое и достаточное условие существования решения системы.

Запишем теперь решение системы, оно расположено в непустых ячейках диаграммы, относящихся к множеству X. Решение системы является единственным, так как каждая из двух ячеек, расположенных под непустой ячейкой множества X, является пустой. Таким образом

Пример 4.3.2. Решить систему уравнений

Найти

необходимые и достаточные условия, при которых система уравнений имеет решение. Оценить число решений системы уравнений.

Решение. Система уравнений равносильна следующим соотношениям:

Отметим полученные пустые ячейки на диаграмме Венна, построенной для множеств A, i?, С и X на рис. 17.

Рис. 17

Три первых пустых столбика диаграммы представляют собой необходимое и достаточное условие существования решения системы. Это условие можно записать в виде: AB U АС = А(В U С) = 0, которое равносильно условию (ß U С) Ç А.

Запишем теперь решение системы. Получаем, что решение X удовлетворяет условиям (В U С) Ç X Ç А или может быть записано в параметрической форме:

Число решений системы

равно

ЛИТЕРАТУРА

1. Кузичев А.С. Диаграммы Венна. — М.: Наука, 1968. 252с.

2. Марков Ал. А. Введение в теорию кодирования. — М.: Наука, 1982. 192 с.

3. Столл Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории. — М.: Просвещение, 1968. 231с.

4. Андерсон Д. Дискретная математика и комбинаторика. — М.: Издательский дом “Вильямс”, 2004. 957 с.

5. Dictionary of National Biography. — London: Oxford University Press, 1937. P. 869-870.

VENN DIAGRAMS IN THE COURSE OF DISCRETE MATHEMATICS

L. G. Kiseleva, T. G. Smirnova

Authors share experience of using the graphic devise — Venn diagrams — in the course of discrete mathematics. Venn diagrams are traditionally applied to the proof of identities or a refutation of relations of algebra of sets. It must be recognized that the graphic approach to the decision of the equations and systems of the equations with one unknown in algebra of sets which is suggested to be used in training of students is rather instructive.

Keywords: set, a subset, Venn diagram.

СОДЕРЖАНИЕ И ТЕХНОЛОГИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ В ВУЗЕ

УДК 512.64

В ПОМОЩЬ ПРЕПОДАВАТЕЛЮ: МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

Л. Г. Киселева, В. А. Таланов

Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского, Россия, 603950, г. Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23; тел.: (831)4657881; e-mail: mliva@rambler.ru

Обсуждаются методические материалы тестового характера, используемые в течение ряда лет на факультете вычислительной математики и кибернетики Нижегородского государственного университета им. Н.И.Лобачевского при изучении начальных разделов линейной алгебры. Авторы собрали достаточно большое число контрольных вопросов, отражающих логическую взаимосвязь между математическими понятиями. Ответы на вопросы базируются на небольшом числе теорем, которые входят в типовые программы курса геометрии и линейной алгебры. Материалы могут быть полезны для молодых преподавателей.

Ключевые слова: линейная алгебра, линейная зависимость, матрица, ранг, база, базис.

Интерес к проверке знаний с помощью так называемых тестов, по-видимому, в той или иной форме существовал в сфере образования всегда. Этот интерес усилился в связи с желанием автоматизировать процесс обучения и процесс контроля знаний. Еще помнятся “Буревестники”, “Ласточки” и другие приборы, позволявшие учащемуся выбрать из некоторого количества ответов, нередко воспринимавшихся тестируемыми как “глупые”, правильный, часто он был для них просто “наименее глупым”. Затем для этой цели стали использоваться большие электронно-вычислительные машины, которые впоследствии превратились в персональные компьютеры.

Существенным отличием такого тестирования от использования традиционных задачников является то, что контроль отделяется от обучения. Часто можно слышать от преподавателей, что они в свое время получали и закрепляли учебные знания в основном во время экзаменационных сессий. Если мы озабочены знаниями наших выпускников, а не только удешевлением процесса обучения, то должны обратить внимание не только на контроль, но и на то, как мы эти знания преподносим. Представим лекцию в вузе по математической дисциплине: в аудитории 150-200 человек с индивидуальными способностями, у доски преподаватель (а не артист разговорного жанра) доказывает теорему, которую часть слушателей может усвоить только лишь имея хороший учебник, другие методические материалы и время, необходимое для восприятия.

Наверняка со временем будет расширяться чтение книг в электронной форме. Одной из отрицательных сторон распространения материалов в электронной форме является проникновение некачественных текстов, выполненных наспех.

Мы хотим поделиться с читателем одной из форм методических материалов, которая возникла у нас в преподавании разделов линейной алгебры. Эта форма имеет сходство с тем, что называется тестами, но наш опыт показывает, что в таком режиме использовать её нецелесообразно. Основную проблему мы видим в том, что, предлагая студенту выбрать вариант ответа, мы не формируем у него навык выражать свою мысль корректно и лаконично. С проблемой отсутствия такого навыка мы сталкиваемся постоянно. Нередко мы слышим из уст студента предложения, не содержащие ни подлежащего, ни сказуемого. В отличие от привычных тестовых заданий, которые обычно составляются в секрете от студента, мы предъявляем наши тесты студенту для работы в режимах обучения, самоконтроля и итогового контроля.

Нередко в учебнике по математическому анализу можно прочитать определение такой структуры: “Существует о, удовлетворяющее какому-нибудь хорошему условию F для любого ё\ Через полгода студент понимает, что ”для любого е найдется 8\ а не “найдется ö такое, что для любого е выполняется условие Получается так, что у одних математиков е располагается в утверждении ”в начале“, а у других — ”в конце“. Не меньше хлопот доставляют термины ”необходимо“ и ”достаточно". На этих примерах мы хотим показать читателю, что подобная логическая неаккуратность нередко создает проблемы.

Раздел линейной алгебры [1-4], в частности, позволяет на небольшом количестве понятий, таких как “линейная зависимость”, “ранг”, “матрица”, формулировать большое количество утверждений, которые имеют в себе логический компонент.

Наш опыт использования разработанных материалов [5] предполагает их применение в двух режимах: обучение и проверка знаний. Для этого материалы готовятся как в печатном, так и в электронном виде. Печатный вариант теста позволяет преподавателю работать со студентами в режиме письменного или устного диалога: вопрос - ответ. При ответе “да” студент должен привести необходимые доказательства или ссылки на соответствующие теоремы, а при ответе “нет” требуется привести опровергающий пример. Такой режим работы позволяет оценить глубину знаний студента. Целесообразно в конце работы с нашими материалами обсудить типичные ошибки и отметить наиболее удачные и полные ответы. В настоящее время разрабатываются компьютерные программы, которые позволяют использовать тесты в режимах обучения и тестирования. В режиме обучения при неверном ответе на вопрос студенту в автоматическом режиме выдается раздел из электронного учебника, содержащий необходимые определения и теоремы. Электронный вариант полезен при дистанционном обучении и может использоваться в режиме реального времени, а также и без преподавателя в виде материала для самостоятельного изучения и контроля знаний.

Далее используются следующие обозначения.

Термин “система” означает непустую конечную последовательность векторов заранее выбранного линейного векторного пространства V. Считаем,

что один и тот же вектор может входить в систему более чем один раз. Мы говорим, что система А содержится в системе В (i С В), если каждый вектор из системы А входит также ив В, причем не меньшее число раз. Если А и В — две системы векторов, то под понимаем последовательность векторов, полученную приписыванием последовательности В к А.

L(A) — множество векторов из У, каждый из которых представим в виде линейной комбинации векторов из А, другими словами: L(A) — линейная оболочка, натянутая на систему А.

[А] — система векторов, которая состоит из тех же векторов, что и система А, но каждый вектор входит в [А] ровно один раз. ALB означает, что каждый вектор системы А линейно выражается через векторы системы В.

Система векторов А эквивалентна системе векторов В, если векторы из А линейно выражаются через векторы системы В и все векторы из В линейно выражаются через векторы из А, то есть ALB и BLA. N(A) — число векторов в системе А, причем каждый вектор считается столько раз, сколько раз он входит в А. Подсистема В системы А называется базой системы А, если она линейно независима и любой вектор из А линейно выражается через В.

ig А — ранг системы А (число векторов в базе).

Атхп — матрица с m строками и п столбцами (размера m х п) с элементами dij, где г = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., п. — элемент матрицы А, расположенный в г-й строке и j-м столбце, a.i — г-й столбец матрицы А, где г = 1,2,..., п. — г-я строка матрицы А, где г = 1,2, Ранг системы строк матрицы А, то есть rg (ai#, а2.,..., аш#), называется строчечным рангом матрицы А. Ранг системы столбцов матрицы А, то есть rg (a#i, а#2, • • •, о>тп)ч называется столбцовым рангом матрицы А. Известно, что строчечный ранг матрицы А равен столбцовому рангу, этот ранг называется рангом матрицы Атхп, обозначается через rg (Атхп) или rg (А). Для матрицы А = Атхп и вектора-столбца 6 из m компонент через (А\Ь) будем обозначать матрицу, полученную из А добавлением к ней справа столбца Ъ.

Все вопросы сформулированы в виде утверждений и требуют односложного ответа “да” или “кет” с последующим обоснованием.

Верны ли следующие утверждения?

1. Система А линейно зависима тогда и только тогда, когда любой её вектор линейно выражается через остальные.

2. Существует система А, в которой любой из векторов линейно выражается через остальные.

3. Если любой вектор а из системы А линейно выражается через остальные её векторы, то А линейно зависима.

4. Система А линейно зависима тогда и только тогда, когда она содержит нулевой вектор.

5. Если система А содержит нулевой вектор, то она линейно зависима.

6. Если система не содержит нулевой вектор, то она линейно независима.

7. Если система А линейно зависима, то она содержит два пропорциональных друг другу вектора.

8. Если система содержит два пропорциональных вектора, то она линейно зависима.

9. Система А линейно зависима тогда и только тогда, когда она содержит два пропорциональных друг другу вектора.

10. Если системы А и В обе линейно зависимы, то приписав одну из них к другой получим линейно зависимую систему.

11. Если система А линейно зависима, то для любой системы В система (А\В) линейно зависима.

12. Если системы А ж В линейно независимы, то система (^4|ß) линейно независима.

13. Любая подсистема линейно зависимой системы линейно зависима.

14. В любой линейно зависимой системе существует линейно независимая подсистема.

15. В любой линейно зависимой системе, содержащей, по крайней мере, один ненулевой вектор, существует линейно независимая подсистема.

16. Любая система, содержащая линейно независимую подсистему, линейно независима.

17. Для любой линейно независимой системы А существует линейно независимая система В такая, что система (^4|ß) линейно независима.

18. Для любой линейно независимой системы А существует линейно независимая система В такая, что система (^4|ß) линейно зависима.

19. В любой линейно независимой системе существует линейно независимая подсистема с меньшим числом векторов.

20. В любой линейно независимой системе любая подсистема линейно независима.

21. Система линейно независима тогда и только тогда, когда любая её подсистема линейно независима.

22. Если система А линейно выражается через систему В, то rgA < ig В.

23. Существуют системы А и В такие, что А линейно выражается через В и rg А < ig В.

24. Если rgA < rgB, то А линейно выражается через В.

25. Если система А эквивалентна системе В, то rg А = rg В.

26. Если rgA = rgB, то системы АжВ эквивалентны.

27. Две системы эквивалентны тогда и только тогда, когда равны их ранги.

28. Система А эквивалентна системе В тогда и только тогда, когда L(A) = = L{B).

29. Если система А включена в систему В, то L(A) включено в L(B).

30. Если L(A) С L(B), то А С В.

31. Соотношение A Ç В выполняется тогда и только тогда, когда L(A) С ÇL(B).

32. Если А линейно выражается через В и В линейно выражается через С, то А линейно выражается через С.

33. Существует такая система А, что удаление из нее любого одного вектора не меняет ранга.

34. Существует такая линейно зависимая система А, что удаление из нее некоторого вектора не меняет ранга.

35. Существует такая линейно независимая система, что удаление из нее некоторого вектора не меняет ранга.

36. В любой линейно зависимой системе найдется такой вектор а, удаление которого из системы не меняет её ранга.

37. Существует такая система А, что удаление из нее некоторого вектора не меняет её ранга.

38. У любой линейно независимой системы после удаления любого одного вектора ранг не меняется.

39. В любой линейно независимой системе существует такой вектор а, что при удалении его из системы ранг не меняется.

40. Если вектор а не входит в систему А, то при добавлении а к системе А ранг её увеличится на 1.

41. Если при добавлении вектора а к системе А ранг не меняется, то вектор а уже входит в систему А.

42. Если вектор а линейно выражается через систему А, то при добавлении его к А ранг не изменится.

43. Если вектор а линейно не выражается через систему А, то при добавлении его к А её ранг изменится.

44. Если число векторов в системе А больше, чем в системе В, то rgA > > rgB. (При подсчете числа векторов в системе каждый считается столько раз, сколько раз он в нее входит.)

45. Если для систем А ж В выполнено условие: L(A) Ç L(B) и В LA, то выполнено условие: rgA = rgB.

46. Существуют системы А и В такие, что N(A) > N(B), но rgA < rgB.

47. Существуют системы An В такие, что 7V([Ä]) > N([B]), но rgA < rgB.

48. Если N([A]) > N([B]), то rgA > rgB.

49. Если rgA > rgB, то N([A]) > N([B]).

50. Если система А линейно выражается через систему В, то rg(A\B) = = rgA

51. Если система А линейно выражается через систему В, то rg(A\B) = = rg В.

52. Для любых двух систем АжВ выполняется равенство rg(A\B) = rg А + + rgR

53. Для любой системы А существует такая система В, что rg(A\B) = = rgA + rgB.

54. Существуют системы А ж В такие, что rg (А\В) = rgA + rg В.

55. Если система А линейно зависима, то система [А] тоже линейно зависима.

56. Если система [А] линейно зависима, то система А тоже линейно зависима.

57. Если система [А] линейно независима, то система А тоже линейно независима.

58. Если система А линейно независима, то [А] тоже линейно независима.

59. Если система А линейно выражается через систему В, то система [А] линейно выражается через [В].

60. Если система А линейно не выражается через систему В, то система [А] линейно не выражается через систему [В].

61. Существует линейно зависимая система А такая, что [А] тоже линейно зависима.

62. Существует система, которая линейно выражается через любую другую систему.

63. Для любой системы А выполняется равенство rg А = rg [А].

64. Если из двух систем А ж В одна из них линейно зависима, а другая линейно независима, то система линейно зависима.

65. Если система (А\В) линейно зависима, то по крайней мере одна из систем А или В линейно зависима.

66. Система (А\В) линейно зависима тогда и только тогда, когда линейно зависима система А или система В.

67. Если системы А и В линейно независимы, то система (А\В) линейно зависима.

68. Если из двух систем А и В хотя бы одна линейно зависима, то система

линейно зависима.

69. Если каждый вектор системы А входит в систему В, то В линейно выражается через А.

70. Если каждый вектор системы А входит в систему В, то А линейно выражается через В.

71. Если системы А и В линейно выражаются через систему С, то система (А\В) линейно выражается через С.

72. Если система А линейно выражается через систему В, то какова бы ни была система С, система (А|С) линейно выражается через систему (В\С).

73. Если система А линейно выражается через систему В, а В через систему С, то система линейно выражается через систему (В\С).

74. Если система А линейно выражается через систему В, а В через систему С, то система линейно выражается через С.

75. Если система А линейно выражается через систему (В\С), составленную из двух систем В и С, то А линейно выражается через В или А линейно выражается через С.

76. Если система А линейно выражается через систему В, то система (^4|i?) линейно зависима.

77. Существуют две системы АжВ такие, что А линейно выражается через В и система линейно независима.

78. Если вектор а линейно не выражается через систему А и Ъ — такой вектор, что а линейно выражается через (А|Ь), то вектор Ъ линейно выражается через систему (Л|а).

79. Существует система А такая, что любая другая система В через нее линейно выражается.

80. Если вектор а линейно выражается через систему (А\В), то а линейно выражается через А или а линейно выражается через В.

81. Для любых двух систем А ж В выполняется неравенство гд(А\В) < < rg А + rg В.

82. Существуют системы А и В такие, что rg < rgA + rgB.

83. Для любых двух систем АжВ выполняется неравенство rg > rg А.

84. Для любых двух систем А и В rg (А\В) > max(rg Л, rgB).

85. Существуют системы АжВ такие, что Tg(A\B) > max(rgA, rgi?).

86. Существуют системы АжВ такие, что rg(A\B) = max(rg A, rgB).

87. Если А — подсистема системы В, а А — база в ß, то система А эквивалентна системе В.

88. Если система А — база системы Б, то L(A) = L(B).

89. Если система А содержится в системе В, а В содержится в С и А является базой в В, то А является базой в С.

90. Если система А содержится в системе В, & В содержится в С и А является базой в С, то А является базой в В.

91. Если rg А = rg(A|C), то система С линейно выражается через систему А.

92. Если rg А = rg(A|C) и система В является базой в системе А, то В является базой в системе (А|С).

93. Если система В является базой в системе А, то для любой системы С система В является базой в системе (А|С).

94. Если В — база системы А, а С — подсистема системы А, то В — база системы (А|С).

95. Если система В является базой в системе А, система С содержится в А и число векторов в В равно числу векторов в С, то С является базой в системе А.

96. Если система А содержится в системе В, то существует система С такая, что А содержится в С и С является базой в В.

97. Если число векторов в системе А больше её ранга, то система А линейно зависима.

98. Если число векторов в системе А равно её рангу, то А линейно зависима.

99. Если число векторов в системе А равно её рангу, то А линейно независима.

100. Число векторов в системе А равно рангу А тогда и только тогда, когда система А линейно независима.

101. Если Tg А < Tg В, то L(A) Ç L(B).

102. Если L(A) С L(ß), то Tg А < Tg В.

103. Для любых систем АжВ неравенство Tg А < Tg В выполняется тогда и только тогда, когда L(A) С Ь(В).

104. Для любых систем А и В равенство Tg А = Tg В выполняется тогда и только тогда, когда L(A) = L(B).

105. Если система А линейно выражается через систему В, то L(A) Ç L(B).

106. Системы АжВ эквивалентны тогда и только тогда, когда rg А = rg В = = Щ(А\В).

107. Если для систем А и В выполнено условие L(A) Ç L(ß), то ALB.

108. Если для систем А и В выполнено условие L(A) Ç L(ß), то В LA.

109. Существуют системы А ж В такие, что L(A) Ç L(B), но система А линейно не выражается через систему В.

110. Система А линейно выражается через систему В тогда и только тогда, когда ig А = rg (А\В).

111. Система А линейно выражается через систему В тогда и только тогда, когда ig В = rg (А\В).

112. Если линейно независимые системы АжВ эквивалентны, то они состоят из одинакового числа векторов.

113. Если системы А и В эквивалентны, то число векторов в системе [А] и [В] одинаково.

114. База системы А — это максимальная линейно независимая подсистема В.

115. База системы А — это минимальная линейно независимая подсистема В.

116. База системы А — это подсистема В, через которую линейно выражается каждый вектор из А.

117. База системы А — это максимальная подсистема В, через которую линейно выражается каждый вектор из А.

118. База системы А — это минимальная подсистема В, через которую линейно выражается каждый вектор из А.

119. Подсистема А системы В является базой в В тогда и только тогда, когда через А линейно выражается каждый вектор из В.

120. Подсистема А системы В является базой в В тогда и только тогда, когда через А линейно выражается каждый вектор изВи система А линейно независима.

121. Подсистема А системы В является базой в В тогда и только тогда, когда через А линейно выражается каждый вектор из В и система А минимальна.

122. Подсистема А системы В является базой в В тогда и только тогда, когда через А линейно выражается каждый вектор из В и система А максимальна.

123. Если для систем А и В выполнено условие L(Ä) Ç L(B) ж А — линейно независимая система, то А — база системы В.

124. Если для систем А и В выполнено условие ALB и В — линейно независимая система, то Б — база системы А.

125. Если для систем А и В выполнено условие ALB и BLA ж А — линейно независимая система, то А — база системы В.

126. Если системы А и В эквивалентны, а система А — линейно независима, то А — база системы В.

127. Если для систем А ж В выполнено условие L(A) Ç L(B) и BLA, то L(B) ç L(A).

128. Если для систем А ж В выполнено условие L(A) Ç L(B) и BLA, то системы А и В эквивалентны.

129. Если для систем А ж В выполнено условие L(B) Ç L(A) и BLA, то системы А и В эквивалентны.

130. Если для систем А и В выполнено условие L(A) Ç L(B) и BLA, то ALB.

131. Если для систем А и В выполнено условие L(A) Ç L(B) и В LA, то система В совпадает с системой А.

132. Если для систем А и В выполнено условие L(A) Ç L(B) и BLA, то L(B) = L{A).

133. Если для систем А и В выполнено условие L(A) Ç L(B) и BLA, то А СВ.

134. Если в матрице Атхп выполнено условие т>п, то rg(ai#, а2#,..., ат9) > > rg (а.1,а.2, - - • ,а#п).

135. Если в матрице Атхп один из столбцов линейно выражается через остальные, то rgA = п — 1.

136. Если в матрице AmXn одна из строк линейно выражается через остальные, то rg А — m — 1.

137. Если в матрице Атхп один из столбцов линейно выражается через остальные столбцы и одна из строк линейно выражается через остальные строки, то rg А = min(m — 1, п — 1).

138. Если в матрице Атхп выполнено условие т>п, то rg(ai#, а2«,..., аш#) = = rg (а#1,а.2, - -.

139. Если в матрице Атхп один из столбцов линейно выражается через остальные, то г g А < п — 1.

140. Если в матрице АШХп одна из строк линейно выражается через остальные, то Tg А < m — 1.

141. Если в матрице Атхп один из столбцов линейно выражается через остальные столбцы и одна из строк линейно выражается через остальные строки, то Tg А < min(m — 1, п — 1).

142. Для любой матрицы Атхп выполнено условие rg(A) < min(m,n).

143. Для любой матрицы Атхп выполнено условие rg(A) = min(m,n).

144. Существует матрица Атхп, для которой выполнено неравенство rg (Л) < min(m, п).

145. Существует матрица Атхп, для которой выполнено равенство Tg(Ä) = = min (m, u).

146. Для любой матрицы Атхп и любого столбца b из m компонент выполнено равенство rg (Л) = rg (A\b).

147. Для любой матрицы Атхп и любого столбца b из m компонент выполнено неравенство rg (А) < Tg(A\b).

148. Для любой матрицы Атхп и любого столбца b из m компонент выполнено неравенство rg (А) < Tg(A\b).

149. Для любого столбца b из m компонент существует матрица Атхп, для которой выполнено равенство rg (А) = Tg (A\b).

150. Для любого столбца b из m компонент существует матрица Атхп, для которой выполнено неравенство Tg (А) < Tgg(A\b).

151. Для любого вектор-столбца b из m компонент существует матрица АШХП1 для которой выполнено неравенство rg (А) > щ(А\Ь).

152. Для любой матрицы Атхп существует вектор-столбец Ъизт компонент такой, что выполнено равенство Tg(A) = Tg(A\b).

153. Для любой матрицы Атхп существует вектор-столбец Ьизт компонент такой, что выполнено неравенство rg (А) < rg (А\Ь).

154. Если вектор Ъ линейно выражается через столбцы матрицы АтХ7и то

155. Равенство Tg (А) = rg(A|fe) выполняется тогда и только тогда, когда

156. Если для матрицы Атхп и столбца Ъ выполняется равенство

ЛИТЕРАТУРА

1. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. — М.: Физматлит, 2006. 312 с.

2. Курош А. Г. Курс высшей алгебры. — СПб.: Лань, 2003. 298 с.

3. Воеводин В. В. Линейная алгебра. — М.: Наука, 2006. 398 с.

4. Икрамов Д. Задачник по линейной алгебре. — СПб.: Лань, 2006. 222 с.

5. Киселева Л. Г., Таланов В. А. Вопросы по линейной зависимости: Учебно-методическое пособие. — Н.Новгород: ННГУ, 2006. 16с.

ASSISTANCE ТО TUTORS: METHODICAL MATERIALS ON LINEAR ALGEBRA

L. G. Kiseleva, V. A. Talanov

The methodical materials of test nature used for a number of years at faculty of Calculus Mathematics and Cybernetics of the Nizhny Novgorod State University of N. I. Lobachevsky for studying initial sections of linear algebra, are discussed. Authors have collected significant enough number of the test questions reflecting logic interrelation between mathematical concepts. Answers to questions are based on a small number of theorems which are included in typical programs of geometry and linear algebra. Materials can be useful to young teachers.

Keywords: linear algebra, linear dependence, a matrix, a rank, base, basis.

СОДЕРЖАНИЕ И ТЕХНОЛОГИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ В ВУЗЕ

УДК 512.622

ИЗЛОЖЕНИЕ ТЕМЫ “ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ” В КУРСЕ ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЫ

С. А. Тюрин

Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского, Россия, 603950, г. Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23; тел: (831) 4345711; e-mail: saturin@list.ru

Предлагается вариант изложения темы “Периодические функции” в курсе высшей алгебры для студентов, обучающихся по специальности “Математика”. Доказана основная теорема о периодических многочленах. Получен критерий периодичности многочлена через симметрические многочлены.

Ключевые слова: высшая алгебра, периодические функции, многочлены.

Изучение темы “Периодические функции” занимает важное место в образовании студента-математика, поскольку периодические явления встречаются в окружающем мире повсеместно. Особенно большое внимание ей уделяют при изучении курсов математического анализа (например, [1]), дифференциальных уравнений, математической физики, тогда как в курсе высшей алгебры она почти не встречается.

Эта заметка имеет следующую историю. Несколько лет назад я вместе с членами методической комиссии механико-математического факультета посетил открытую лекцию одного преподавателя, посвященную разложению периодических функций в ряды Фурье. Во время состоявшегося после лекции обсуждения я задал коллегам вопрос: “Может ли многочлен быть периодической функцией?”. Большинство присутствующих были специалистами в области теории функций, математической физики и дифференциальных уравнений. Все единодушно ответили, что периодическим может быть только многочлен нулевой степени. Приведенный мной контрпример был встречен с живым интересом. После этой встречи и возник интерес к изучению свойств периодических многочленов. Полученный результат оказался доступен для понимания студентам младших курсов, а основная теорема о периодических многочленах напоминает основную теорему о симметрических многочленах [2].

Ниже предлагается вариант изложения темы “Периодические функции” в курсе высшей алгебры.

Пусть К — поле, К[х] — кольцо многочленов над полем К.

Определение 1. Элемент Г G К называется периодом многочлена f(x) G G К[х], если выполняется условие f{x + T) = f{x).

Легко проверить, что множество всех периодов многочлена /(ж) образует подгруппу в аддитивной группе поля К. Группу периодов, соответствующую многочлену /(ж), обозначим GP(f).

Примеры

1. Если f[x) — многочлен нулевой степени, то GP(f) = К.

2. Если f\x) = X, то GP(f) = {0}.

3. Если характеристика к поля К равна нулю, то для любого многочлена положительной степени GP(f) = {0}.

Далее будем считать, что характеристика поля К равна простому числу

р > 0. Простое подполе поля К обозначим через доопределение 2. Многочлен f{x) называется периодическим, если у него существует период Т ф 0.

Пример периодического многочлена

Если f(x)=xp—x1 то из малой теоремы Ферма [3] следует, что GP(f) = Ko.

Теорема 1. Для любого периодического многочлена f[x) положительной степени группа периодов GP(f) конечна. Её порядок не превосходит степени многочлена f[x) и является степенью характеристики поля.

Доказательство. Пусть с = /(0) — свободный член многочлена fix). Многочлен д{х) = f{x) — с также является периодическим, причем многочлены f{x) и g ix) имеют одинаковые группы периодов. Элементы этой группы будут одновременно периодами и корнями многочлена д{х). Отсюда следует, что порядок группы GP{f) не превосходит deg/(x). Всякая конечная подгруппа аддитивной группы поля К является векторным пространством над полем Ко, поэтому её порядок является степенью характеристики поля. ■

Теорема 2. Для любой конечной подгруппы G аддитивной группы поля К существует многочлен, группа периодов которого совпадает с группой G.

Первое доказательство. Пусть \G\ = рп. Многочлен (pd%) = [ \ {х — Т) не имеет свободного члена. Все элементы группы G и только они являются его корнями и периодами. ■

Второе доказательство. Возьмем любой базис {Ti,T2,... ,ГП} группы G над полем Ко и рассмотрим определитель

По свойству определителей, имеющих одинаковые столбцы, все элементы Ti, Г2,..., Тп являются его корнями. Поскольку для поля характеристики р > 0 справедливы равенства (а + ß)p = арГП + ßpm для всех m = 1, 2,..., п, то многочлен Ф{х) обладает свойством аддитивности: Ф(а + /?) = Ф(а) + Ф(Ь). Отсюда Ф(х + Тт) = Ф(х) + Ф(ГШ) = Ф{х) для всех m = 1, 2,..., п. Это означает, что элементы 7\, Г2,..., Гп, а также все их Ко-линейные комбинации (и только они) являются периодами многочлена Ф(х). ■

Определение 3. Пусть G — конечная подгруппа аддитивной группы поля К. Многочлен f{x) называется G-периодическим, если каждый элемент группы G является периодом многочлена fix).

Из определения следует, что G С GP(f). Легко проверить, что множество G-периодических многочленов замкнуто относительно операций сложения, вычитания и умножения, поэтому образует подкольцо Kq в кольце всех многочленов if [ж].

Теорема 3. При делении с остатком двух G-периодических многочленов частное и остаток от деления также являются G-периодическими многочленами.

Доказательство. Пусть f(x) и д(х) — два G-периодических многочлена. Из соотношения f(x) = д(х) • q(x) + г (ж) и условия периодичности следует, что для всех T G G f(x) = д(х) • q(x + T) + r(x + T). Вычитая из первого соотношения второе, получаем д{х) • [q{x + Г) — q(x)) = г(х) — г(х + Г). Сравнивая степени многочленов в левой и правой частях равенства, получаем

Заметим, что оба многочлена ^>g(x) и Ф? построенные в первом и втором доказательствах теоремы 2, являются G-периодическими многочленами минимальной степени. Многочлен Ф зависит от выбора базиса группы G. Многочлены, построенные для двух разных базисов, отличаются ненулевым множителем из поля if, т.к. оба не имеют свободных членов. Многочлен ^pg{x) не зависит от выбора базиса. Будем называть его основным G-периодическим многочленом.

Теорема 4 (основная теорема о периодических многочленах). Любой G-периодический многочлен может быть представлен в виде многочлена от основного G-периодического многочлена 7<з(#).

Доказательство. Пусть f(x) G if о — любой G-периодический многочлен. Если deg/(x) < рп, то f(x) G if — константа. Если же deg/(x) > pn, то остаток от деления f(x) на ^pg{x) является константой, а частное q(x) имеет степень меньшую, чем /(ж), и в силу индуктивного предположения может быть представлено в виде многочлена от (fc(x)- ■

Между свойствами симметричности и периодичности существует определенная связь. Пусть f(x) G if[х] — любой (не обязательно периодический) многочлен, Г G if — ненулевой элемент поля К и Ф(ж1, Х2,..., хр) — симметрический многочлен от р переменных над полем if. Тогда многочлен

является периодическим с периодом Г. При этом, если GP(f) = G и Т ф G, то многочлен F(x) будет ü-периодическим, где H = G 0 (Г).

Рассмотрим элементарные симметрические многочлены от р переменных

Следующее свойство является характеристическим для периодических многочленов.

Теорема 5. Многочлен f[x) G К[х] является периодическим с периодом Т тогда и только тогда, когда он удовлетворяет следующим условиям:

Доказательство.

Необходимость. Если f{x) — периодический многочлен, то при

выражение является суммой одинаковых слагаемых

Количество слагаемых кратно р, поэтому сумма равна нулю.

Достаточность. Рассмотрим многочлен F{x,y) над полем К

(1)

Разложим его по степеням у: С учетом условий (1) получаем

(2)

В силу факториальности кольца К[х,у] (см. [4]) разложения (1) и (2) совпадают, поэтому f[x) = f(x + T) = ... = fix + (p — 1) Г). ■

ЛИТЕРАТУРА

1. Фихтенгольц Г. M. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. III. — M.: Наука, 1970.

2. Курош А. Г. Курс высшей алгебры. — М.: Наука, 1971. 322 с.

3. Виноградов И. М. Основы теории чисел. — М.: Наука, 1972. 44 с.

4. Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1968. 150 с.

PRESENTATION OF THE THEME “PERIODIC FUNCTIONS” IN THE COURSE OF HIGHER ALGEBRA

S. A. Tyurin

A way of lecturing on the theme “Periodic functions” in the course of higher algebra is suggested. The main theorem on periodic polynomials is proved. The criterion of polynomial's periodicity is obtained in the terms of symmetric polynomials.

Keywords: higher algebra, periodic functions, polynomials.

НЕПРЕРЫВНОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

УДК 51

ФОРМИРОВАНИЕ ТЕМАТИКИ СТУДЕНЧЕСКИХ НАУЧНЫХ РАБОТ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

В. М. Федосеев

Пензенская государственная технологическая академия, Россия, 440605, г.Пенза, пр. Байдукова ул.Гагарина, д. la/11; тел.: (8412)40-00-31; e-mail: fedoseev@pgta.ac.ru

В статье рассматривается метод формирования тематики студенческих научных работ, основанный на разработке боковой ветви теории, не получившей исторического развития. Выполненные исследования основываются на предельном соотношении для показательной функции ех = lim ( 1 H--) . Предложены

способы улучшения сходимости реализующей эту формулу последовательности, и показаны возможности формирования тематики задач исследовательского направления путем распространения полученных результатов на смежные разделы математического анализа. Сформулирован ряд задач для самостоятельного решения.

Ключевые слова: математический анализ, показательная функция, улучшение сходимости последовательности, логарифмическая и тригонометрические функции, тематика студенческой научной работы.

Выбор заданий исследовательского характера, в особенности по классическим разделам математики, представляет немалую трудность даже для опытного преподавателя. Проблема заключается в том, что задача, хотя бы по своей постановке, должна быть доступна уровню понимания студента и в то же время должна быть достаточно сложной, допускающей многообразие подходов и методов решения. Оригинальность задачи или новизна результатов являются при этом важным условием, стимулирующим работу.

В статье рассматриваются примеры формирования тематики научно-исследовательской работы студентов, отражающие наш опыт преподавания математического анализа в техническом вузе. Предлагаемая тематика основана на классических результатах математического анализа и апробирована автором в кружковой работе, по результатам которой подготовлены публикации [1, 2]. Расширение и обобщение задач, исследованных в работах [1, 2], составляет основное содержание статьи.

1. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ

Одним из способов задания показательной функции является предельное равенство:

(1)

Если задаться целью вычисления значений ех с помощью формулы (1), то точность вычислений может быть оценена следующим образом:

(2)

При выводе формулы было использовано неравенство: е > yl -\—J . Аналогичная оценка для отрезка ряда Тейлора функции у = ех имеет вид:

(3)

На сравнении оценок (2) и (3) в учебниках математического анализа, следуя Эйлеру [3], делают вывод о большей эффективности отрезка ряда Тейлора для вычисления значений функции ех. Например, при вычислениях с точностью до е = Ю-8 в формуле (1) следует принять п > 1,5 • 108, в то время как для отрезка ряда Тейлора получается значение п = 11. Всё это говорит о более быстрой сходимости последнего. Однако при оценке вычислительной сложности алгоритмов [4] дело обстоит несколько по-иному и подсчёт числа арифметических операций показывает, что вычисление значений многочлена

по схеме Горнера потребует 31 операцию, а вычисление функции

при возведении в степень по схеме

потребует 30 операций. В этом смысле значение формулы (1) как численного метода не уступает отрезку ряда Тейлора. В последующем содержании статьи предлагаются некоторые способы улучшения данной формулы, позволяющие почти в два раза снизить объём вычислений. Изучение приведенных способов может послужить темой самостоятельной научно-исследовательской работы, имеющей не только теоретическое, но и прикладное значение и потому особенно важной для студентов технических специальностей.

Первый способ улучшения сходимости формулы (1) реализуется последовательностью вида

(4)

Методом, использованным при выводе неравенства (2), для отклонения Тпт(х) от функции ех можно получить следующую оценку:

(5)

Значение формулы (4) состоит в том, что она, сочетая достоинства формулы (1) с учетом свойств отрезка ряда Тейлора, позволяет путем выбора

параметров пит снизить трудоёмкость вычислений. Вычислительные качества последовательности (4) будут продемонстрированы в заключительной части раздела.

К иному способу улучшения сходимости помогают прийти следующие сооотношения и её производной

Так как при х > 0 имеет место двойное неравенство

Роп(х) < Роп(х) < еж, то это означает, что функция Роп(х) менее отклоняется от еж, чем её производная Р^п{х). Поэтому естественно ожидать, что обращение операции дифференцирования приведет к повышению точности приближения показательной функции. Продолжая процесс несколько раз, придём к рекуррентной последовательности {Р&п(ж)}, определяемой соотношениями

(6)

Свойства последовательности {Ркп(%)} определяются нижеследующими теоремами.

Теорема 1. Последовательность {Ркп(х)} пРи х > 0 является монотонно возрастающей и ограниченной сверху; lim Р&п(ж) = ех.

Теорема 2. Пусть \ех — Роп(х)\ < е. Тогда при х > 0 выполняется неравенство

(7)

С учётом формулы (2) из неравенства (7) получаем оценку

(8)

Пример

Результаты примера и оценка (8) достаточно хорошо согласуются и позволяют судить о степени улучшения сходимости. Так, для функции Р-$п(х) имеет место почти в 100 раз меньшая погрешность по сравнению с базовой функцией Роп(х).

Другим примером улучшения сходимости последовательности из формулы (1) может послужить функция

(9)

Основное свойство функции Qn(x) вытекает из следующего утверждения. Теорема 3. Для функции Qn(x) при х G [0; 1] выполняется неравенство

(10)

Доказательство теоремы с учётом того, что

следует из преобразований

Таким образом, имеем способы улучшения сходимости базовой последовательности

, задаваемые формулами (4), (6) и (9). Соотношения (5), (8), (10) дают оценку точности указанных формул. Их вычислительные свойства характеризуются данными приведенной ниже таблицы.

Отсюда можно заключить, что по сравнению с базовой формулой (1) произошло почти двукратное уменьшение объёма вычислений, характеризуемого числом использованных арифметических операций. По этому показателю незначительным преимуществом обладает способ, основанный на формуле (4).

2. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

Значение результатов предыдущего раздела заключается еще и в том, что они могут быть распространены на другие трансцендентные функции, и таким образом отдельные задачи перерастают в тематику исследовательского направления. Примерами задач данного вида могут послужить исследования логарифмической и тригонометрических функций, непосредственно связанных с показательной функцией.

Путем обращения формулы (1) для логарифма получается следующее выражение:

(11)

аналогично из равенства (9) выведем другую формулу:

(12)

Выгодное отличие записанных формул от отрезка степенного ряда заключается в их справедливости для любого х G (0; +оо).

Воспользовавшись выражениями (11) и (12) при ж = 2 и п = 10 соответственно, получим следующие приближенные значения:

В скобках указаны погрешности приближения. Пример демонстрирует вычислительную пригодность формул, и в особенности формулы (12).

Отклонение выражения п ( у/х — 1) от логарифмической функции оценивается неравенством

(13)

Доказательство неравенства (13) следует из разложения в ряд выражения

в котором

Аналогичным образом получается оценка для формулы (12):

(14)

Данные оценки достаточно точно согласуются с числовым примером.

Тригонометрическая функция у = sin х связана с показательной функцией формулой Эйлера:

Отсюда, воспользовавшись формулой (9), придём к выражению

которое при переходе к тригонометрической форме записи комплексных чисел приобретает вид

(15)

При этом для выражения (15) получается следующая оценка точности приближения:

(16)

Подобным способом могут быть рассмотрены другие тригонометрические функции. Метод несложно распространить на гиперболические функции, а также на некоторые виды специальных функций.

3. ЗАКЛЮЧЕНИЕ. ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ

Приведенные примеры показывают, каким образом из классического результата математического анализа — формулы (1) — может формироваться тематика студенческих научных работ. За основу берется боковая ветвь теории, не получившая исторического развития. Она разрабатывается путем расширения и постановки новых задач. В результате образуется достаточно широкий круг проблем, составляющих содержание тематики. Ниже приводятся задачи, предлагаемые для самостоятельного решения. Они уточняют и дополняют рассмотренные в статье вопросы, и наиболее сложные из них могут послужить темой студенческой научной работы в вузах, где математика не является основной специальностью.

1. Разложить в ряд Маклорена функцию у = е{1 — х)*.

2. В формуле

оценить отклонение элементов последователь-

ности от предельного значения.

3. Получить явное выражение функции Р&п(ж), определяемой рекуррентным соотношением (6).

4. Доказать неравенство

5. Оценить погрешность приближенной формулы

6. Доказать неравенство при х > 1:

7. Оценить величину отклонения нулей функции Sn(x) из формулы (15) от нулей синуса.

8. Для интегральной показательной функции доказать предельные равенства

При доказательстве использовать формулу:

9. По условию задачи 8 доказать неравенство:

10. Для гамма-функции Эйлера Г (г)

показать, что

и вывести отсюда формулу

В заключение заметим, что сама история появления в научном обороте числа е и функции ех весьма поучительна и тесно связана со становлением математического анализа. Исторический обзор, посвященный данному направлению, также может послужить в качестве темы научной работы. По этому вопросу на русском языке имеется достаточно обширная литература [4-8].

ЛИТЕРАТУРА

1. Карпухин Э.В. Улучшение сходимости и оценка сложности алгоритма вычисления числа “е” // Математика и её приложения: Сборник трудов 2 Международной научной конференции “Математика. Образование. Культура”. — Тольятти: ТГУ, 2005. С. 51-55.

2. Федосеев В.М., Карпухин Э.В. Способ аппроксимации показательной функции и вычислительные алгоритмы / / Аналитические и численные методы моделирования естественно-научных и социальных проблем: Сборник статей 1 Международной научной конференции. — Пенза, 2006. С. 80-83.

3. Эйлер Л. Введение в анализ бесконечных. — М: Физматлит, 1961. 316 с.

4. Бахвалов Н. С. Об оценке количества вычислительной работы, необходимой при приближённом решении задач. В кн.: Годунов С. К., Рябенький В.С. Введение в теорию разностных схем. — М.: Наука, 1962. С. 316-329.

5. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей. — М.: Наука, 1987. 414 с.

6. Юшкевич А.П. История математики в России до 1917 года. — М.: Наука, 1968. 722 с.

7. Никифоровский В. А. Великие математики Бернулли. — М.: Наука, 1984. 186 с.

8. Гутер Р. С, Полунов Ю. Л. Джон Непер. — М.: Наука, 1980. 198 с.

DESIGNATION OF THE STUDENTS' RESEARCH AREAS IN MATHEMATICAL ANALYSIS

V. M. Fedoseyev

A method of designation of the students' research areas is considered based on the theory offshoot which has not been historically developed. A method of exponential

(X \n 1 H— ) is presented as an example. Methods for improving

the above sequence convergence are suggested, and possibilities are demonstrated for

the research area designation by propagation to adjacent areas. A number of research

problems are posed for independent solution.

Keywords: students' research areas, mathematical analysis, exponential, method for improving a sequence convergence, logarithmic and trigonometric functions.

СОДЕРЖАНИЕ И ТЕХНОЛОГИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ В ВУЗЕ

УДК 511(07)

МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫЕ ФУНКЦИИ В ТЕОРИИ ЧИСЕЛ

А. Ю. Эвнин

Южно-Уральский государственный университет, Россия, 454080, г. Челябинск, пр. Ленина, 76; e-mail: evnin@prima.susu.ac.ru

Предлагается вариант изложения темы “Мультипликативные функции”, доступный для первокурсников. Приводится вывод формулы обращения Мёбиуса, основанный на рассмотрении группы мультипликативных числовых функций.

Ключевые слова: мультипликативные функции, формула обращения Мёбиуса.

1. МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫЕ ФУНКЦИИ

Функция натурального аргумента в(п) называется мультипликативной, если 6(1) = 1 и для любых взаимно простых чисел тип выполняется равенство

Простейшим примером мультипликативной функции является степенная функция в(п) = па.

Пусть ni, п2,..., Пк — попарно взаимно простые числа. Индукцией легко доказать, что для любой мультипликативной функции справедливо соотношение

Из этого свойства вытекает, что мультипликативная функция однозначно определяется своими значениями на степенях простых чисел.

Важную роль в теории чисел (а также в комбинаторном анализе и криптографии) играет функция Эйлера <р(п) (см., например, [4]). <р(п) — количество натуральных чисел, не превосходящих п и взаимно простых с п.

Докажем мультипликативность этой функции.

Пусть тип — взаимно простые числа. Чтобы подсчитать количество чисел, не превосходящих тп и взаимно простых с mn, расположим все числа от 1 до mn в виде прямоугольной таблицы

Любое натуральное число взаимно просто с тп тогда и только тогда, когда оно взаимно просто и с m, и с п (в силу взаимной простоты чисел m и п). Числа из каждого фиксированного столбца таблицы попарно сравнимы по модулю п; поэтому можно оставить в таблице только столбцы, первые элементы которых взаимно просты с п, не потеряв при этом ни одного интересующего нас числа. Число таких столбцов есть (р(п). Рассуждением от противного нетрудно убедиться, что элементы каждого столбца имеют попарно разные остатки от деления на т. Поэтому ровно (р(т) элементов каждого столбца взаимно просты с т. Таким образом, всего имеется (р(п) • tp(m) чисел не больше тп и взаимно простых с тп, т.е. ip(mri) = (р(т) • <£>(п), что и требовалось доказать.

Используя свойство мультипликативности, выведем формулу для вычисления <р(п).

Пусть число п имеет следующее разложение на простые множители

где pi,p2j • • • ->Ps — не равные друг другу простые числа, а к\, &2, • • •> к8 -натуральные числа.

Поскольку

достаточно научиться вычислять функцию Эйлера от степени простого числа. Для этого заметим, что если р — простое число, то среди любых р последовательных натуральных чисел ровно р — 1 чисел взаимно просты с р, а также с любой степенью р.

Поэтому

Таким образом,

Пример.

Приведем эффектное доказательство бесконечности множества простых чисел с помощью функции Эйлера.

Предполагая, что множество простых чисел конечно и состоит из чисел Pi,P2? • • • îPs? рассмотрим их произведение Р = р\ -р2.....ps- Ни одно число, кроме 1, не может быть взаимно просто с Р, откуда <р(Р) = 1. С другой стороны,

Противоречие. ■

Рассмотрим еще несколько задач, при решении которых возникают мультипликативные функции.

1. Найти т(п) — число различных делителей натурального числа п (включая Inn).

Общий вид делителя п имеет вид

где для каждого г показатель степени т\ принимает значения 0,1,..., к{. Произвольный делитель числа п можно построить в результате выполнения процедуры из s действий, где г-е действие состоит в выборе т\ — показателя степени простого числа р{. Поскольку г-е действие может быть выполнено к{ + 1 способами, применение правила произведения дает

Примеры

1) г (23 - З4 • 56) = 4 • 5 • 7 = 140;

2) г (23 - З4 • 45) = т(213 • З4) = 14 • 5 = 70.

2. Найти сг(п) — сумму всевозможных делителей числа п. Покажем, что

Действительно, раскрывая скобки и не меняя при этом порядка множителей, получим сг(п) = 1-1.....1 + 1-1.....Ps + • • • + p^Pz2pkss — сумму всех делителей п. С помощью формулы суммы членов геометрической прогрессии получаем компактную формулу

Примеры

Проверка мультипликативности функций т(п) и <j(n) проводится непосредственной подстановкой.

С помощью функции <j(n) вводятся совершенные и дружественные числа1.

Число m называется совершенным, если а(т) = 2т. Примеры совершенных чисел: 6, 24, 496, 8128, 33 550 336.

1 Об этих числах особенно уместно вспомнить в связи с 300-летием со дня рождения Леонарда Эйлера, внесшего большой вклад в их изучение.

Число Мерсенна Мп = 2п — 1.

Упражнение 1. Доказать, что при составном п число Мп также составное.

Упражнение 2. Доказать, что если Мп — простое число, то число 2п~1Мп — совершенное.

Оказывается, что любое четное2 совершенное число имеет вид, указанный в предыдущем упражнении. Доказательство этого факта, открытого Эйлером, приводится в книге [8], где можно найти и другие интересные сведения, касающиеся чисел Мерсенна.

В 1750 г. Эйлер установил, что М31 — простое число. Оно оставалось более 100 лет наибольшим известным простым числом. В сентябре 2006 г. найдено 44-е простое число Мерсенна — М32 582 757 (в рамках проекта распределенных вычислений GIMPS; по данным Википедии).

Числа тип называются дружественными, если

Примеры дружественных чисел: 220 и 284, 1184 и 1210.

2. ФОРМУЛА ОБРАЩЕНИЯ МЁБИУСА

2.1. Группа мультипликативных функций

Для дальнейшего нам понадобятся функции Е(п), /(n), J(n):

и функция Мёбиуса /i(n), которая вводится следующим образом:

Mi) = 1;

если п делится на квадрат простого числа, то /i(n) = 0; если п свободно от квадратов и представимо в виде произведения s различных простых чисел, то /л(п) = (—l)s.

Мультипликативность этих функций очевидна.

Произведением Дирихле функций f(n) и д{п) называется (см. [2]) функция

Очевидно, что J о f = f для любой функции f(n).

2 Существуют ли нечетные совершенные числа, до сих пор неизвестно. Установлено, что в промежутке от 1 до 10300 таких чисел нет.

Потренируемся в вычислении произведения Дирихле.

Упражнение 3. Проверить, что Е о Е = т; I о Е = а; I о 1(п) = пт(п).

Упражнение 4. Доказать, что до Е = J.

Доказательство. Отметим сразу, что

Пусть теперь п > 1. Тогда п = р^1 ^2 • • -Р]? •> гДе & > 1- Поскольку ц(а) ф О только если число d свободно от квадратов, имеем:

Операция о, очевидно, коммутативна. Докажем, что она также ассоциативна. Действительно,

Пользуясь ассоциативностью и предыдущими результатами, вычислим еще несколько произведений Дирихле.

Из мультипликативности функций f(ri) и g (ri) следует мультипликативность / о g (ri).

В самом деле, для взаимно простых пит имеем

Пусть f(ri) — мультипликативная функция. Найдем такую мультипликативную функцию ff(ri), что / о ff = J. Определим функцию f'(ri) следующими соотношениями. Пусть /'(1) = 1. При этом f о f'(\) = f • ff(l) = 1. Для каждого простого числа р положим f'(p) = —f(p)- Тогда / о f'(p) = 0. Положив

мы добьемся того, что для любого п справедливо

Теперь значения f определены на всех степенях простых чисел и свойство мультипликативности полностью задает функцию f.

Произведение Дирихле мультипликативных функций Ф = / о f мультипликативно. Поскольку Ф(1) = 1 и для любого простого числа р и любого натурального п справедливо Ф(рп) = О,

Значит, Ф и есть J. Доказано, что / о f = J. Мы установили следующий факт.

Теорема 2.1. Мультипликативные функции образуют коммутативную группу с единичным элементом J и произведением Дирихле в качестве групповой операции.

Следствие. Из мультипликативности функций f(ri) и fog(n) следует мультипликативность g (ri).

Доказательство. Пусть f — мультипликативная функция со свойством f о f = J. Тогда функция g = Jog = (f о f) о g = f о (f о g) также мультипликативна. ■

Функция F = / о Е называется сумматорной функцией для f(n). Таким образом,

где суммирование ведется по всем делителям числа п (включая 1 и ri).

Из предыдущего вытекает, что f(n) — мультипликативная функция тогда и только тогда, когда мультипликативна её сумматорная функция F (ri).

Упражнение 5. Доказать, что Lp о Е = /, т. е. что сумматорная функция для функции Эйлера имеет вид:

1-й способ. Представим число п в виде произведения простых чисел:

Любой делитель d числа п имеет вид

где для каждого г справедливо 0 < Si < r^. Поэтому

В этом легко убедиться, раскрыв скобки. Вычислим сумму в каждой скобке:

Таким образом,

2-й способ. Рассмотрим дроби

Сократим каждую дробь.

Получатся дроби, знаменатели которых являются делителями числа п, причем количество дробей со знаменателем d равно (f(d). Общее количество дробей равно п. ■

С помощью упражнения 4 по сумматорной функции можно найти исходную функцию.

Теорема 2.2 (формула обращения Мёбиуса).

Таким образом, найдено выражение функции f(n) через её сумматорную функцию:

Замечание 1. Другие способы вывода формулы обращения Мёбиуса можно найти в книгах [3] и [7].

Замечание 2. Формула обращения Мёбиуса может быть значительно обобщена — на случай функций, определенных на конечном частично упорядоченном множестве (см. [1] и [6]).

В качестве упражнения покажем, как можно получить выражение для функции Эйлера, зная её сумматорную функцию:

Соотношение

(1)

пригодится нам в дальнейшем.

Упражнение 6. Убедившись в справедливости равенства

найти сумматорную функцию для натурального логарифма.

Ответ.

Упражнение 7. Пусть

если п = рк, где р — простое, к Е N; в противном случае.

Доказать:

2.2. Задача о числе ожерелий

Имеется неограниченный запас бусинок к цветов. Сколько можно составить различных ожерелий из п бусинок (ожерелья, получающиеся друг из друга плоскими вращениями, не будем различать)?

Математической моделью ожерелья является понятие циклической последовательности.

На множестве (линейных) последовательностей длины п, элементы которых принимают значения из некоторого конечного множества, зададим отношение эквивалентности

Класс эквивалентности назовем циклической последовательностью. Подсчитать число различных циклических последовательностей не так просто, поскольку в разных классах эквивалентности может быть разное число (линейных) последовательностей; например, постоянная циклическая последовательность порождается одной линейной последовательностью, а циклической последовательности из п попарно различных элементов соответствует п линейных последовательностей.

Период циклической последовательности (ai,..., ап) — наименьшее число d такое, что a^+d — а% Для всех г, где сложение ведется по модулю п (т. е. если г + d > п, то г + d заменяется на г + d — и). Ясно, что период d должен быть делителем числа п.

Обозначим через Т(п) количество циклических последовательностей длины п, а через М{п) количество циклических последовательностей длины п и периода п. Тогда

Пример. При к = 2 и п = 4 имеем

Пусть M[d) — количество циклических последовательностей длины и периода <i, элементы которых могут принимать к различных значений. Тогда

(2)

Действительно, каждая циклическая последовательность длины и периода d порождает ровно d различных линейных последовательностей.

Введем функции т(п) = пМ(п) и h(n) = кп. Формула (2) говорит о том, что h = m о Е. Применим формулу обращения Мёбиуса:

Таким образом,

Всё готово для того, чтобы подсчитать общее количество циклических последовательностей длины п. Теорема 2.3.

Доказательство.

В процессе выкладок мы меняли порядок суммирования, а также применили тождество (1). ■

Упражнение 8. Составляются ожерелья из бусин трех цветов. Каждое ожерелье состоит из 1) 5; 2) 6; 3) 7; 4) 8 бусин. Не будем различать ожерелья, получающиеся друг из друга поворотом в плоскости. Пользуясь предыдущей теоремой, найти число различных ожерелий.

Ответ. 1) 51; 2) 130; 3) 315; 4) 834.

Замечание. Задачу о числе ожерелий можно также решить с помощью теории Пойа [5].

ЛИТЕРАТУРА

1. Айгнер М. Комбинаторная теория. — М.: Мир, 1982. 558 с.

2. Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. — М.: Мир, 1987. 415 с.

3. Виноградов И. М. Основы теории чисел. — М.: Наука, 1981. 176 с.

4. Гашков С.Б., Чубариков В.Н. Арифметика. Алгоритмы. Сложность вычислений. — М.: Высш. шк., 2000. 320с.

5. Краснов М. Л., Киселёв А. И., Макаренко Г. И. и др. Вся высшая математика: Учебник. Т. 7. — М.: КомКнига, 2006. 208 с.

6. Рыбников К. А. Введение в комбинаторный анализ. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1985. 308 с.

7. Сачков В. Н. Комбинаторные методы дискретной математики. — М.: Наука, 1977. 320 с.

8. Шибасов Л. П. От единицы до бесконечности. — М.: Дрофа, 2004. 208 с.

MULTIPLICATIVE FUNCTIONS IN THE NUMBER THEORY

A. Yu. Evnin

We propose a variant of lecturing on the theme “Multiplicative functions” accessible for the beginners. The article demonstrates a derivation of Möbius inversion formula using the group of multiplicative number functions.

Keywords: multiplicative functions, Möbius inversion formula.

МАТЕМАТИКА ДЛЯ СПЕЦИАЛИСТОВ РАЗЛИЧНОГО ПРОФИЛЯ

УДК 513.73

МАТЕМАТИКА В ФИЗИЧЕСКОМ ОБРАЗОВАНИИ: НЕОБХОДИМОСТЬ ГЕОМЕТРИЗАЦИИ1

Ю. Г. Рудой*, В. И. Санюк**

Российский университет дружбы народов, Россия, 117939, г.Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6; *Центр естественно-научного образования, e-mail: rudikar@mail.ru ** Кафедра теоретической физики, e-mail: vsanyuk@mail.ru

Дан краткий очерк развития взаимосвязи физики как наиболее фундаментальной науки о природе и геометрии как одного из наиболее универсальных разделов математики. Основной вывод состоит в том, что в обязательные учебные курсы математики — по крайней мере, для физических, физико-технических и естественно-научных специальностей университетов — следует шире вводить элементы современной геометрии как универсального языка современной физики и естествознания.

Ключевые слова: геометрия, физика, механика, квантовая теория поля.

1. ВВЕДЕНИЕ

На развитие физики и других естественных наук постоянно оказывали влияние достижения в таких областях математики, как алгебра, анализ, теория вероятностей и геометрия. По нашему убеждению в физике завтрашнего дня всё более существенное место будет занимать геометрия2, и мы попытаемся кратко обосновать эту точку зрения применительно к реалиям отечественного образования.

Взаимосвязь физики (включая механику и астрономию) и геометрии уходит своими корнями в глубокую античность — по сути дела, ко временам зарождения этих наук — и ассоциируется прежде всего с именами Евклида и Архимеда, Гиппарха и Птолемея. Высоко ценил геометрию Платон, считавший, что именно она “приближает разум к истине”.

Более глубокая связь между естественными науками и геометрией начала устанавливаться в XVII столетии в трудах Декарта, Паскаля и Ферма, с одной стороны, и Кеплера, Галилея и Ньютона — с другой. В дальнейшем эта связь продолжала укрепляться, так что современную физику невозможно себе представить вне геометрического языка. Однако, на наш взгляд, этот факт еще не нашел адекватного отражения в учебных программах и учебных пособиях для “среднего” физика (не теоретика), не говоря уже об естественниках и инженерах.

1 Данная статья является развернутым изложением доклада, представленного авторами в марте 2008 года на Международной конференции к 85-летию чл.-корр. РАН проф. Л. Д. Кудрявцева [36].

2 Современное по содержанию и блестящее по форме изложение этого круга вопросов дано Ж. Лошаком (учеником Луи де Бройля) в общедоступной (без единой формулы!) книге [1].

Для того чтобы в полной мере осознать возникновение и развитие этой связи, следовало бы детально проследить длительную историческую эволюцию как самого термина, так и обозначенного им понятия прежде всего в самой математике, что в пределах данной публикации сделать затруднительно.

Читателя можно адресовать, например, к энциклопедическим статьям по этой тематике в [2] и к содержательным историко-методологическим книгам [3-6], а также к полезным и доступным даже на школьном уровне книгам по геометрии [7-11] и её применениям в физике [12-15]. Более общие аспекты взаимоотношений математики, физики и естественных наук отражены, например, в [16-18].

Ясно, что как сами области науки, так и соответствующие им основные термины, со временем намного перерастают свои первоначальные предметные и смысловые рамки. Так, геометрия, зародившаяся в виде планиметрии, разделилась затем на евклидову и неевклидову, аналитическую, алгебраическую, дифференциальную и т. п.

В физике расширение области применимости геометрии стало происходить с середины XVIII века в исследованиях Даламбера, Лагранжа и позднее Гамильтона по аналитической механике. Все эти ученые были скорее математиками, чем физиками; они ввели понятия обобщенных координат, а на их основе — понятия конфигурационного и фазового пространств.

2. ГЕОМЕТРИЗАЦИЯ ФИЗИКИ КАК НАУКИ

Длительное время геометрические понятия и методы в механике и физике оставались вспомогательными и их использование было продиктовано в основном чисто вычислительными удобствами. Важная роль геометрических представлений в классической механике подчеркивалась в книге Синга [23], изданной в 1960 году в качестве одного из томов немецкой физической энциклопедии издательства “Шпрингер”.

В настоящее время геометрический подход в физике получил серьезное концептуальное развитие; выяснилось, например, что наиболее естественным математическим языком современной квантовой теории поля является топология и геометрия расслоенных пространств3 (подробнее см., напр., [1, 28, 29, 31, 44, 46]).

Однако тенденция к “геометризации” затронула и более традиционные разделы физики; оказалось, что наиболее естественным математическим языком гамильтоновой динамики является так называемая симплектическая геометрия фазового пространства физического объекта, тогда как адекватным языком термодинамики — контактная геометрия пространства термодинамических параметров. Эти идеи в течение более чем 30 лет последовательно развивались В.И.Арнольдом и его школой [19-22]; приведем здесь наиболее характерные высказывания.

3 Убедительным отражением тенденции сближения современной физики и геометрии можно считать открытие 20 лет назад международного “Журнала геометрии и физики” (Journal of Geometry and Physics), в редколлегию которого входят такие авторитетные ученые, как Арнольд, Джимбо, Дубровин, Тирринг, Траутман (гл. редактор), Фаддеев, Янг.

“Характеризуя аналитическую динамику в своих ”Лекциях о развитии математики в XIX столетии“ Ф. Клейн писал, что ”физик для своих задач может извлечь из этих теорий лишь очень немного, а инженер — ничего". Развитие науки в последующие годы решительно опровергло это замечание.

Гамильтонов формализм лег в основу квантовой механики и является одним из наиболее часто употребляемых орудий в математическом арсенале физики. После того как было осознано значение симплектической структуры и принципа Гюйгенса для задач оптимизации, уравнения Гамильтона стали постоянно использоваться в инженерных расчетах в этой области" (из книги [19]).

“... Симплектическая геометрия упрощает и делает обозримым устрашающий (! — Авт.) формальный аппарат гамильтоновой динамики (...) таким же образом, как обычная геометрия линейных пространств сводит громоздкие координатные вычисления к небольшому числу простых основных принципов” (из книги [21]).

"... Любому математику известно, что невозможно понять (! — Авт.) ни один элементарный курс термодинамики. Причина в том, что согласно формулировке Гиббса (очевидно, имеется в виду цикл термодинамических работ Гиббса 1870-х годов. — Авт.) термодинамика основана на достаточно сложной математической теории — контактной геометрии.

Эта геометрия входит в число нескольких “простых геометрий” из так называемого списка Картана, но всё еще почти неизвестна физикам — в отличие, например, от римановой и симплектической, или пуассоновой геометрий, чья фундаментальная роль в физике сегодня полностью признана" (из статьи [20], перевод наш. — Авт.).

Одним из самых впечатляющих достижений недавно истекшего XX столетия является создание Эйнштейном (1905) новых представлений о пространстве и времени (специальная теория относительности), обобщенных им (1916) в рамках общей теории относительности.

На многие последующие годы стало вполне традиционным (а для некоторых, к сожалению, и исчерпывающим) применение геометрии именно к пространствам событий. Эти пространства дают необходимую основу для описания лишь кинематических аспектов физических теорий — как классических, так и квантовых.

Однако наряду с этим в физике необходимо также использование и пространств состояний (например, фазового пространства), без которых невозможны важнейшие — прежде всего динамические — аспекты физического описания. Иначе говоря, для физики представляет интерес не только то, где и когда происходят те или иные физические события, но и то, в каких математических понятиях следует описывать само содержание этих событий; последнее настоятельно требует расширения круга геометрических представлений.

3. ГЕОМЕТРИЗАЦИЯ ФИЗИКИ КАК УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ

Таким образом, применение геометрии (в широком смысле слова, включая топологию) в физике становится всё более актуальным и требует адекватного отражения в математической подготовке как физиков, так и естественников и инженеров. Разумеется, этот “вызов” уже достаточно давно принят математическим сообществом и нашел вполне адекватный ответ на уровне подготовки профессиональных физиков-теоретиков.

В конце 60-х-начале 70-х годов XX века (кстати, по инициативе механиков, а не “чистых” математиков) возникла проблема модернизации геометрических курсов, читаемых на мехмате МГУ. Этим занялась группа талантливых молодых топологов под руководством С.П. Новикова, и одним из важнейших результатов их деятельности стали замечательный по ясности изложения, деформализованный и ориентированный на интересы и возможности механиков и физиков курс современной геометрии [24] и его дальнейшие модификации [25-27].

Значительный интерес представляют методические установки авторов этих курсов (см., например, предисловие к [24]), применимые и в более широком контексте математического образования физиков и инженеров (курсив всюду наш. — Авт.).

"... Язык изложения должен быть предельно простым, не абстрактным, терминология — всюду, где это возможно, — общей с той, которая используется физиками. ... Мы имели в виду читателя, впервые изучающего топологическую книгу и желающего узнать не слишком мало и при этом за минимально возможное время, — например, молодого физика-теоретика современной школы.

Нам казалось разумным в той мере, в которой это вообще возможно в математической книге, пытаться использовать методический опыт, накопленный физиками: как сделать математические нетривиальные явления понятными с помощью минимальных общедоступных средств

“... мы старались минимизировать уровень абстрактности языка изложения и системы обозначений, жертвуя часто так называемой ”общностью“ формулировок и доказательств. Нередко важный факт в узловых, определяющих всю суть дела примерах4 может быть получен из элементарных соображений классического анализа и геометрии, не использующих никакие современные ”сверхинвариантные“ понятия и обозначения, но его формулировка и особенно доказательство ”в общем виде“ требуют резкого усложнения уровня формализации... ”.

"... мы соблюдали также принцип возможной независимости изложения различных глав, чтобы каждую из них в отдельности было легче читать (если это вообще допускается сутью дела). Однако для ряда понятий топологии, не представленных никакими аналогиями в классической математике, сложность для читателя существенно возрастает — тут ничего не поделаешь.

4 Этот подход вполне соответствует одному из принципов, приписываемых Ньютону, гласящему, что “при изучении наук примеры важнее правил”.

В любом случае, по нашему мнению, понимание должно предшествовать формализации и обоснованию. Ясное понимание деловой сути предмета должно достигаться до того, как началась формализация: когда формализуешь что-то, надо это уже понимать. Обосновывать еще не понятую теорию нелепо; формальный язык разделяет, а не объединяет математику, затрудняет понимание".

Еще более отчетливо звучат основные из этих идей спустя более чем 30 лет в предисловии к новой монографии Новикова и Тайманова [27]:

"Следует со всей определенностью сказать, что даже сейчас нет удобоваримого учебного курса, покрывающего основные достижения классической топологии 1950-70-х гг., не говоря уже о более позднем периоде. По нашему убеждению, сейчас наступает период, когда широкое сообщество математиков — геометров, аналитиков и многих других — возьмется, наконец, за серьезное изучение того математического багажа, который создала теоретическая физика XX века.

Уже 25 лет назад было ясно, что такой момент должен наступить, но в тот период широкое математическое сообщество еще не осознало необходимость этого. Соответствующие начинания в некоторых наших книгах долго оставались недостаточно потребленными; сейчас, однако, положение меняется, и осознание необходимости изучить математический аппарат физики среди математиков возросло.

К тому же положение дел в самой теоретической физике таково, что весьма возможно, что сохранить созданные ею в XX веке глубокие математические методы для будущего человечества сможет только сообщество математиков. Потеря замечательного соединения трезвой рациональности при изучении реального мира с выдающимся творением новой высокой математики настораживает". (Курсив всюду наш. — Авт.)

Вряд ли возможно более адекватно и точно сформулировать суть взаимоотношений между математикой и физикой нашего времени. Существенно, что высказанные принципы были активно реализованы, и во многом под влиянием и при участии школы Новикова в физике возник геометро-топологический “бум”, отражением которого5 в литературе явился ряд полезных книг и статей как в России [28-32], так и за рубежом [33, 34].

Проблема, однако, состоит в том, что как по уровню изложения, так и по объему все эти источники (может быть за исключением [33]) превышают возможности “средних” физиков, не говоря уже о других естественниках и инженерах. Отсутствие более адекватной этим категориям читателей учебной литературы во многом объясняется просто недостаточным взаимным обменом информацией между математикой и физикой.

Во многом это обусловлено также неизбежным, но порою явно излишним грузом традиций в преподавании обеих наук. И если эффективно повлиять на первую причину вряд ли возможно, то разумное преодоление второй — с учетом необходимой преемственности и даже некоторого консерватизма, присущего образованию, — прямая задача научно-педагогического сообщества.

5 Краткое описание причин и основных этапов возникновения этого бума можно найти в книгах [6] и [31, гл.6].

В поддержку такой позиции обратимся к мнению столь признанного авторитета в области преподавания современной математики, как Кудрявцев (см. в этой связи его книгу [35]; курсив в цитатах наш. — Авт.).

“... Вопросу общей эрудиции следует уделять большое внимание при подготовке не только преподавателей, но и научных работников, чтобы они действительно были учеными и не занимались открытием давно уже известных вещей... К сожалению, не существует точных рецептов, как надо преподавать различные разделы математики. Методика преподавания математики не наука, а искусство”.

“Большинству (преподавателей математики) свойственно считать, что так, как они сами учились (у кого-нибудь или самостоятельно), так лучше всего учить и других, забывая о том, что часто с тех пор, когда они учились сами, прошло 40-50 лет; иногда они полагают, что то, что понравилось им в свое время или хорошо было освоено, является самым важным и нужным и теперь. Часто то, что преподаватель сам не учил совсем или учил в зрелом возрасте, кажется ему сложным, изысканным и трудным, а потому и ненужным при общем образовании”.

“... Передовая педагогическая математическая мысль давно уже считает приоритетом не навыки (которые нужны, но не являются самоцелью), а привитие общей математической культуры, что иногда называют ”чистой“ математикой... Учить следует тому, что нужно и чему трудно научить”.

“Наиболее разумным представляется положение (...), когда объем математических знаний, степень владения ими и характер приобретаемых студентам навыков (т. е. чему учить) определяется ведущими специалистами в области будущей специализации студентов, а как этому учить остается делом профессионалов-математиков”.

4. НЕОБХОДИМОСТЬ ОБЗОРНОГО КУРСА СОВРЕМЕННОЙ МАТЕМАТИКИ

Таким образом, существенно возрастает роль и ответственность обеих частей научно-педагогического сообщества — и естественно-научной, и математической — за правильное понимание того, чего именно недостает для адекватной и всесторонней подготовки современных специалистов.

При решении поставленной задачи, по-видимому, не должен слишком остро стоять важный для математиков вопрос о строгости изложения: ведь изучающему нет необходимости сразу и активно применять весь математический “арсенал”. Однако представлять себе его состав и возможности ему все-таки следует — хотя бы для того, чтобы знать, как именно продолжить свое образование.

Поэтому проблема, на наш взгляд, состоит именно в поисках разумного компромисса; так, если исходить из общепринятого понятия “физической строгости”, то может оказаться вполне возможным изложение большей части новых геометрических понятий лишь на концептуальном, но логически достаточно связном уровне. Разумеется, конкретные методические вопросы

подобного изложения должны оставаться в компетенции профессионалов-математиков.

Представляется, что наряду с обычными регулярными курсами математики (может быть, лишь слегка “ужатыми”) следует читать дополнительные пропедевтические или обзорные курсы6 (а еще лучше — и те, и другие), что позволяет увидеть всё “пространство геометрии” — а по большому счету, и всей математики как единого целого — с высоты “птичьего полета”.

По существу речь идет о создании нового учебного курса с условным названием7 “Концепции современной математики” (КСМ) — в известной мере по аналогии с уже существующим и успешно развивающимся “Концепции современного естествознания” (КСЕ).

Разумеется, с реализацией предлагаемого проекта связаны неизбежные трудности, но ведь еще 10-15 лет назад курс КСЕ тоже казался немыслимым — во всяком случае, в массовом высшем профессиональном образовании; сегодня этот курс уже вошел обязательным федеральным компонентом в учебные планы всех гуманитарных специальностей.

Как построить и читать курс КСМ, избегая верхоглядства и поверхностности, — дело, разумеется, самих математиков, однако мы полагаем, что это в принципе возможно без существенного ущерба для “чистоты” математики. Во всяком случае, успешный прецедент такого рода существует: ровно 300 лет назад Кеплеру удалось впервые превратить астрономию из “небесной геометрии” в “небесную физику”. Насколько сложной была эта задача, видно из признания самого Кеплера в его сочинении “Новая, изыскивающая причины астрономия, или физика неба” (1609):

“Тяжкий жребий — писать в наши дни математические книги... Если не соблюдать надлежащей строгости в формулировках теорем, пояснениях, доказательствах и следствиях, то книгу нельзя считать математической. Если неукоснительно соблюдать все требования строгости, то чтение книги становится затруднительным... ”

В том, что разумный компромисс всё же возможен, убеждают, например, достаточно глубокие книги Манина [16] и Пенроуза [18], а также Мандельброта [40], написанные в жанре научного эссе и практически не содержащие формул (а следовательно, по мнению некоторых, и недостаточно полные и строгие).

Мы разделяем мнения по этому поводу, высказанные рядом выдающихся математиков: “Господа, для Гауссовской строгости у нас нет времени... ” (Якоби) и “результат должен быть не строгим, а верным...” (Колмогоров). С другой стороны, согласно Гильберту, “будет большой ошибкой думать, что строгость в доказательстве есть враг простоты; (...) иногда строгое наиболее доступно”.

6 Подобные идеи всё более становятся общепринятыми в среде преподавателей математики — см., например, материалы недавней (март 2008) конференции [36] к 85-летию чл.-корр. РАН Л.Д.Кудрявцева.

7 Не следует путать предлагаемый курс с уже существующим в рамках комплекса дисциплин фундаментального естественно-научного образования курсом “Математика и информатика” только для гуманитарных специальностей.

В качестве современного примера реализации идей, созвучных высказанным выше, приведем двухсеместровый курс [33], который в течение 10 лет (с 1980 по 1990 год) создавался в Гарвардском университете двумя известными американскими математиками — Бамбергом и Стернбергом8; их методические установки представляются весьма разумными и убедительными.

“Большинство математиков и все физики, результаты которых представлены в этой книге, работали в первом десятилетии двадцатого века. Это значит, что изложенному материалу уже по крайней мере 90 лет. И, тем не менее, он еще не вошел в наши элементарные курсы математики, хотя большая его часть должна изучаться современными физиками, что они и делают на определенном этапе своей карьеры. Причины этого, в значительной мере, исторические”.

"Математики уже согласились, а физики постепенно привыкают к тому, что самым удобным аппаратом для геометрического анализа является внешнее дифференциальное исчисление Грассмана и Картана. Его преимущество состоит в том, что наряду с простыми и четкими правилами вычисления все объекты имеют прозрачный геометрический смысл.

В рамках внешнего анализа геометрические законы физики принимают простую и элегантную форму. И нам кажется, что пришла пора заменить им векторное исчисление в программах начального университетского обучения. .. Мы полагаем, что разумно уже в самом начале изучения математики дать студентам представления о связи физики и геометрии".

“Наш педагогический метод — изложение по ”спирали“, т. е. мы рассматриваем одну и ту же тему несколько раз, возвращаясь к ней на более высоком уровне, одновременно расширяя области её применения. Такое построение мы предпочитаем ”прямолинейному“ строгому логическому порядку. Надеемся, что при этом мы избежим логических ошибок типа ”порочного круга".

Такой подход требует от студентов определенного доверия и терпения. Но мы надеемся, что в конце концов они будут вознаграждены более глубоким интуитивным пониманием предмета в целом".

Разумеется, как методические принципы, так и конкретное содержание подобных курсов могут быть весьма различными, однако в любом случае, по образному выражению В. Высоцкого, “нам тайны неоткрытые открыть пора. .. ”! Без этого математика может оказаться в ситуации “скупого рыцаря”, у которого “лежат без пользы тайны как в копилке... ”, причем этим “тайнам” современной геометрии, в “раскрытии” которых может быть заинтересован студент-естественник, как правило, уже не менее ста лет (хорошо уже, что не триста!).

По нашему убеждению, круг подобных вопросов следовало бы отразить в курсах математики, обеспечивающих в настоящее время преподавание комплекса дисциплин фундаментального естественно-научного образования. В

8 Характерно, что, по утверждению самих авторов, их “Курс математики для студентов-физиков” с равным правом можно было бы назвать “Курс физики для студентов-математиков”. Курс математической физики аналогичного типа, но значительно более сложный по уровню, недавно создан известным австрийским физиком-теоретиком Тиррингом [34].

подтверждение сошлемся на интересное высказывание В. И. Арнольда (курсив наш. — Авт.) в предисловии к русскому изданию книги [45] “Геометрия и физика узлов”, принадлежащей перу одного из крупнейших современных математиков М. Атьи:

"Всё развитие теоретической физики убедительно показало, что только последовательная геометризация делает обозримым всё многообразие наблюдаемых явлений. Достижения Ньютона и Гамильтона, Максвелла и Гиббса, Эйнштейна и Дирака, Фейнмана и Янга доставляют многочисленные и хорошо известные примеры плодотворности геометрических концепций в физике.

Сегодня, однако, мы стали свидетелями обратного процесса: использования развитых в теоретической физике концепций в фундаментальной математике. Не скованные ни иссушающим алгебраически-бурбакистским образованием, ни обязанностью строго доказывать (или хотя бы сформулировать) свои утверждения, физики оказались способными предсказывать глубокие математические факты в топологии и алгебре, в теории чисел и алгебраической геометрии".

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Заметим, что в современной физике развиваются весьма интересные и многообещающие процессы, ведущие, по всей видимости, к наиболее радикальным изменениям за всю историю существования физики как науки. Прежде всего это связано с фактическим завершением эпохи так называемой “линейной парадигмы” в развитии физики, в основе которой лежит чрезвычайно простая идея: все процессы на малых расстояниях и за малые промежутки времени протекают приблизительно равномерно.

Похоже, что эта идея была близка еще Евдоксу Книдскому и Архимеду, но “в полный рост” её первым осознал и сформулировал Ньютон, который воспринимал ряды как универсальный метод решения задач о движении тел и при этом обычно ограничивался лишь первыми — линейными — членами разложений. На этой же идее построены дифференциальное и интегральное исчисление — основной математический аппарат курса общей физики, а также все его последующие модификации.

Ясно, что в рамках подобной парадигмы (иногда называемой “теорией возмущений”) в принципе возможно только локальное физическое описание. Глобальное описание предполагает, как минимум, сходимость соответствующих рядов (трудно проверяемую и далеко не всегда существующую), однако уже задолго до этого могут вообще перестать выполняться физические предположения, положенные в основу локального линейного описания.

Поворотным моментом перехода от “линейного” (локального) мышления к “нелинейному” (глобальному) стали 70-е годы XX века, хотя отдельные “проблески”, конечно, имели место и значительно раньше. Ограниченность математического аппарата “линейной физики” проявилась особенно отчетливо при попытках решения существенно нелинейных физических задач, прин-

ципиально нелинеаризуемых, т.е. не сводящихся к линейным9. Прогресс в изучении подобных задач был достигнут только после освоения адекватных математических средств — таких как дифференциальная геометрия, алгебраическая топология, теория расслоенных пространств, вариационное исчисление в целом, геометрия фракталов и т. д.

Для того чтобы обо всем этом можно было говорить в рамках курса общей физики, требуется, как минимум, некоторая модернизация геометрического образования физиков. Стандартные курсы аналитической геометрии, ограничивающиеся изучением прямых, плоскостей и конических сечений, следует дополнить теорией кривых и поверхностей.

Представления о таких геометрических инвариантах, как кривизна и кручение пространственных кривых, квадратичные формы поверхностей, гауссова и средняя кривизна поверхностей, эйлерова характеристика, оказались весьма востребованными при описании свойств солитонных решений.

Этот класс решений актуален не только в квантовой теории поля, но и в теории твердого тела (доменные стенки в ферромагнетиках и сегнетоэлектриках), а также в нелинейной гидродинамике (ударные волны и теория турбулентности) . Полезно — а порой необходимо — знакомство физиков и с первичными понятиями топологии многообразий, теории гомотопии и когомологий, например в объеме учебника [24].

Предлагаемая модернизация геометрического образования физиков, естественников и инженеров даст возможность даже в рамках общих курсов физики знакомить студентов с современными достижениями нелинейной науки, без чего трудно себе представить себе квалифицированного современного специалиста.

ЛИТЕРАТУРА

1. Лошак Ж. Геометризация физики. — М.-Ижевск: РХД, 2005. 279с.

2. Математический энциклопедический словарь. — М.: Сов. энцикл., 1988. 847 с.

3. Бурбаки Н. Элементы математики. Очерки по истории математики. — М.: ИЛ, 1963. 292 с.

4. Даан-Дальмедико А., Пейффер Ж. Пути и лабиринты. Очерки по истории математики. “Современная математика”. Популярная серия. — М.: Мир, 1986. 156 с.

5. Визгин Вл. П. “Эрлангенская программа” и физика. — М.: Наука, 1975. 112 с.

6. Монастырский М.И. Риман. Топология. Физика. — М.: Янус-К, 1999. 188 с.

7. Клайн М. Геометрия. В сб.: “Математика в современном мире”. — М.: Мир, 1967. С.47-63.

8. Щербаков Р. Н., Пичурин Л. Ф. От проективной геометрии — к неевклидовой. Серия “Мир знаний”. — М.: Просвещение, 1979. 159 с.

9. Щербаков Р. Н., Пичурин Л. Ф. Дифференциалы помогают геометрии. Серия “Мир знаний”. — М.: Просвещение, 1982. 192 с.

10. Яглом И. М. Математические структуры и математическое моделирование. — М.: Сов. радио, 1980. 145 с.

9 Элементарное, но достаточно корректное описание этих проблем можно найти, например, в книгах [43, 44].

11. Яглом И. М. Комплексные числа и их применение в геометрии. 2-е изд. — М.: УРСС, 2004. 192 с.

12. Ландау Л. Д., Румер Ю.Б. Что такое теория относительности? 3-е изд. — М.: Сов. Россия, 1975. 112 с.

13. Дубровский В.Н., Смородинский Я. А., Сурков Е.Л. Релятивистский мир. Биб-ка “Квант”, вып. 34. — М.: Наука, 1984. 178 с.

14. Кадомцев СБ. Геометрия Лобачевского и физика. — М.: Знание, 1984. 64с.

15. Воловик Г Е., Минеев В. П. Физика и топология. — М.: Знание, 1980. 63 с.

16. Манин Ю.И. Математика и физика. — М.: Знание, 1979. 64с.

17. Клайн М. Математика. Утрата определенности. — М.: Мир, 1984. 446 с.

18. Пенроуз Р. Новый ум короля. О компьютерах, мышлении и законах физики. — М.: УРСС, 2003. 382 с.

19. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. 3-е изд. — М.: Наука, 1989. 472 с.

20. Arnold V. I. Contact Geometry: the Geometrical Method of Gibbs's Thermodynamics // Proceedings of the Gibbs Symposium. Yale University, May 15-17, 1989. P. 163-179.

21. Арнольд В. И., Гивенталь А. Б. Симплектическая геометрия. 2-е изд. — М.-Ижевск: РХД, 2000. 167 с.

22. Арнольд В. И., Козлов В. В., Нейштадт А. И. Математические аспекты классической и небесной механики. 2-е изд. — М.: УРСС, 2002. 414 с.

23. Синг Дж. Л. Классическая динамика. — М.: Физматлит, 1963. 448 с.

24. Дубровин Б. А., Новиков С.П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения. — М.: Наука, Физматлит, 1979. Т. 1, Т. 2. 1-е изд.; 1999. Т. 1. 5-е изд.; 1998. Т. 2. 4-е изд.; М.: УРСС, 2001. Т.3.

25. Новиков С П., Фоменко А. Т. Элементы дифференциальной геометрии и топологии. — М.: Наука, Физматлит, 1987. 431с.

26. Мищенко А.С., Фоменко А. Т. Краткий курс дифференциальной геометрии и топологии. — М.: Физматлит, 2004. 302 с.

27. Новиков С П., Тайманов И. А. Современные геометрические структуры и поля. — М.: МЦНМО, 2005. 312 с.

28. Шапиро И. С, Ольшанецкий М. А. Лекции по топологии для физиков. — М. - Ижевск: РХД, 1999. 131с.

29. Ольшанецкий М. А. Краткий путеводитель для физиков по современной геометрии // Успехи физ. наук. 1982. Т. 136, вып. 3. С 421-433.

30. Шутц Б. Геометрические методы математической физики. Серия “Современная математика”. Вводные курсы. — М.: Мир, 1984. 303 с.

31. Монастырский М. И. Топология калибровочных полей и конденсированных сред. — М.: ПАИМС, 1995. 188 с.

32. Применение и развитие идей Лобачевского в современной физике // Труды Международного семинара, посвященного 75-летию проф. Н.А. Черникова. Дубна, 25-27 февраля 2004 г. — Дубна: ОИЯИ, 2004. 156 с.

33. Бамберг П., Стернберг Ш. Курс математики для студентов-физиков. — М.: Фазис, 2004. T.I. С 1-574; 2005. Т.II. С 575-1220.

34. Тирринг В. Курс математической и теоретической физики. — Киев: TIMPANI, 2004. Т. 1, 264с; Т. 2, 224с; Т.З, 272с; Т. 4, 266с

35. Кудрявцев Л. Д. Современная математика и её преподавание. Избранные труды. — М.: Физматлит, 2008. Т.З. С 16-169.

36. Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования // Тезисы докладов 3-й Международной конференции, посвященной 85-летию чл.-корр РАН, проф. Л.Д.Кудрявцева. М., РУДН, 25-28 марта 2008г. - М.: МФТИ. 816с.

37. Мизнер Ч., Уилер А. Классическая физика как геометрия. В сб.: “Астрофизика и теория относительности” (к 100-летию А.Эйнштейна). — М.: Мир, 1979.

38. Хокинг С, Пенроуз Р. Природа пространства и времени. — М.-Ижевск: РХД, 2000. 160 с.

39. Грин Б. Элегантная Вселенная. Суперструны, скрытые размерности и поиски окончательной теории. — М.: УРСС, 2004. 286 с.

40. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. — М.-Ижевск: ИКИ, 2002. 655 с.

41. Бернстейн Г., Филлипс Э. Расслоения и квантовая теория // Успехи физ. наук. 1982. Т. 136, вып. 4. С. 665-692.

42. Лэм Дж. Л. Введение в теорию солитонов. — М.: Мир, 1983. 394 с.

43. Филиппов А. Т. Многоликий солитон. Биб-ка “Квант”. — М.: Физматлит, 1986. 212 с.

44. Шварц А.С. Квантовая теория поля и топология. — М.: Физматлит, 1989. 400с.

45. Атья М. Геометрия и физика узлов. — М.: Мир, 1995. 192 с.

MATHEMATICS AS EDUCATIONAL SUBJECT OF PHYSICISTS: NECESSITY OF GEOMETRIZATION

Yu. G. Rudoy, V. I. Sanjuk

A brief outline of development of interdependence of physics as the most fundamental science about nature, and geometry as one of the most universal branches of mathematics is given. The main conclusion is the following: the basic academic mathematical courses at least for university specializations of physics, techniques, and natural science must wider use the elements of modern geometry as a universal language of modern science.

Keywords: geometry, physics, mechanics, quantum theory.

ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ, ПЕРСОНАЛИИ

УДК 51(091)

НИКОЛАЙ НИКОЛАЕВИЧ БАУТИН (к 100-летию со дня рождения)

Е. А. Андронова1, Б. Н. Скрябин2

1 Волжская государственная академия водного транспорта, Россия, 603600, г. Нижний Новгород, ул. Нестерова, 5; e-mail: andronovaea@mail.ru [1mm] 2Нижегородская государственная сельскохозяйственная академия, Россия, 603107, г. Нижний Новгород, проспект Гагарина, 97; e-mail: root@agri.sci-nnov.ru

Статья приурочена к 100-летию со дня рождения Н.Н. Баутина (1908-1993) и является очерком научно-педагогической деятельности ученого и педагога.

Ключевые слова: предельный цикл, 16-я проблема Гильберта, опасные и безопасные границы, теория часов.

В этом году исполняется 100 лет со дня рождения Николая Николаевича Баутина — известного ученого, профессора, доктора технических наук, лауреата премии Академии наук СССР им. А. А. Андронова. Среди его основных научных достижений — теорема о числе предельных циклов (теорема Баутина) [1], теория устойчивости (опасные и безопасные границы) и динамическая теория часов.

Николай Николаевич родился 26 декабря 1908 года в Нижнем Новгороде в семье чиновника. Его отец Николай Викторович Баутин имел незаконченное высшее юридическое образование, полученное в Казанском университете (обучался девять семестров). Мать, Антонина Львовна Глезденева, — из мещанского сословия, как отмечено в сохранившемся формулярном списке (т. е. личном деле) Николая Викторовича. К моменту рождения сына Николая, третьего и предпоследнего ребенка в семье, Николай Викторович имел чин коллежского асессора и был переведен из башкирского города Сарапула, где родился и долгое время работал, в Нижний Новгород на должность делопроизводителя. В 1916 году он становится коллежским советником (т. е. чиновником 6-го класса с правом личного дворянства), что в то время было равнозначно чину полковника в армии. О детских и юношеских годах Н. Н. Баутина почти ничего не известно. Нет никаких сведений о том, почему он выбрал профессию преподавателя физики и математики. Однако выбор состоялся. С 1929 по 1933 год Николай Николаевич — студент физико-математического отделения педагогического факультета Нижегородского государственного университета, реорганизованного весной 1930 года в Нижегородский педагогический институт.

В те времена (до 1932 года) в вузах практиковался лабораторно-бригадный метод обучения. Он первоначально появился в США в начале XX века как реакция против зубрежки в школе и в стремлении воспитать предприимчивую личность. Позже в несколько измененном виде этот метод был принят и в учебных заведениях нашей страны. Его особенность состояла в том, что традиционная форма обучения — лекционное изложение материала — отвергалось, а на смену предлагались занятия в предметных лабораториях во главе с преподавателем-консультантом, которому мелом, тряпкой и доской пользоваться не рекомендовалось.

Среди своих преподавателей Николай Николаевич отмечал двух математиков. Первого — нижегородского профессора Р. И. Брайцева и второго — молодого, приехавшего по приглашению из Москвы и вскоре получившего здесь звание профессора, Л. А. Люстерника, впоследствии известного ученого, члена-корреспондента АН СССР. Он работал на постоянной основе в Нижнем Новгороде с 1928 по 1931 год. Как с мягким юмором вспоминал Н. Н. Баутин, Лазарь Аронович преподавал хорошо и из сложившейся ситуации с бригадным методом выходил следующим образом. Во время занятий он садился на стул лицом к слушателям и, если возникала необходимость, писал формулы мелом на доске, не вставая и почти не поворачивая головы. Когда свободное место на доске, находящееся в пределах его досягаемости, исчерпывалось, он, подпрыгивая вместе со стулом, перемещался дальше и таким образом получал новое место для написания формул.

Другая особенность бригадного метода состояла в том, что экзамен (или некоторый отчет) за всю бригаду (т. е. группу) сдавал только один выбранный, наиболее подготовленный учащийся. Полученная им оценка ставилась каждому члену бригады. Таким отвечающим по математике приходилось бывать и Николаю Николаевичу. К экзаменам он тщательно готовился, используя всю имевшуюся в его распоряжении литературу, и в частности известный учебник по математическому анализу Р. Куранта, впервые изданный на русском языке в 1931 году.

Н. Н. Баутин начал преподавать в 1931 году, еще будучи студентом третьего курса. Вся его педагогическая деятельность прошла в ГИИВТе — Горьковском институте инженеров водного транспорта (ныне ВГАВТ). Сначала он вел занятия по математике на рабфаке (рабочем факультете, т. е. факультете довузовской подготовки). С 1935 года он ассистент, а с 1943 года — доцент кафедры высшей математики. В 1954 году Николай Николаевич становится заведующим этой кафедрой и в 1958 — профессором. В 1981 году он по возрасту оставляет должность заведующего, оставаясь сначала профессором, а потом профессором-консультантом вплоть до 1990 года.

Николай Николаевич был очень хорошим преподавателем. Стиль его лекций — четкий, ясный, лаконичный — был образцом для многих сотрудников кафедры. Он умел заинтересовать слушателей, привлечь внимание к своему предмету. К сожалению, конспекты его лекций сохранились только в рукописном варианте, они никогда не публиковались.

В 1986 году экономический факультет ГИИВТа дал возможность студентам оценить лекции преподавателей по системе обратной связи, учитывающей доходчивость, эмоциональность, новизну, темп (коротко — ДЭНТ; “Речник” №20 (349) 1987 г., заметка “Оценка преподавателю”). Среди 15 преподавателей, участвовавших в этом опросе, Н. Н. Баутин получил у студентов наивысшую оценку.

Научная деятельность Н.Н. Баутина проходила в рамках имеющей мировую известность горьковской школы теории нелинейных колебаний, основанной академиком Александром Александровичем Андроновым. Почти сразу после окончания Нижегородского педагогического института Николай Николаевич становится учеником А. А. Андронова и в дальнейшем его сотрудником и одним из ведущих ученых школы. С 1938 по 1941 год он аспирант А. А. Андронова. С 1943 по 1952 год Николай Николаевич работает по совместительству старшим научным сотрудником руководимого А.А. Андроновым теоретического отдела Горьковского исследовательского физико-технического института (ГИФТИ), с 1952 по 1959 год заведует отделом (заменив умершего в 1952 году А.А.Андронова). С 1967 по 1972 год он снова старший научный сотрудник этого отдела, перешедшего в состав вновь созданного Научно-исследовательского института прикладной математики и кибернетики (НИИ ПМК) при Горьковском университете. Уход из ГИФТИ в 1959 году с должности заведующего отделом был связан с постановлением правительства, запрещавшим совместительство. Об этом постановлении, имевшем силу до 1965 года, и его негативных последствиях рассказывает академик Ж.И.Алферов в своем интервью журналу “Наука и жизнь” (№3, 2003 г.).

Николай Николаевич всегда имел учеников из числа преподавателей руководимой им кафедры. Каждый желающий получал задачу и возможность проконсультироваться. Так образовалась группа преподавателей-математиков ГИИВТа, успешно занимавшихся научной работой под руководством Н. Н. Баутина, среди них семь его аспирантов (Н. Н. Серебрякова, Л. А. Комраз, Б. Н. Скрябин, Б. С. Украинский, Е. А. Андронова, С. Д. Щуко, Е. В. Губина), которые стали кандидатами наук.

Своеобразным было отношение Н. Н. Баутина к труду научного работника. Он считал и часто это повторял своим ученикам и сотрудникам, что для занятия научной работой нужно иметь мужество, ибо 90% всего сделанного, как правило, идет в мусорную корзину.

Николай Николаевич — человек сложной судьбы и сильного характера. В возрасте восьми лет он перенес полиомиелит, после которого всю жизнь был вынужден ходить на костылях. Несмотря на это тяжелейшее обстоятельство, он состоялся и в личной жизни, и в педагогической деятельности, и как ученый. Он приспособился работать с доской во время чтения лекций. Умел делать мелом превосходные рисунки. Был достаточно подвижен и в молодые годы много ходил пешком.

В детские годы Николай Николаевич увлекся шахматами и со временем стал известным шахматистом-спортсменом. С 1925 года он занимал высокие места в первенствах Нижнего Новгорода, а в 1931 году стал чемпионом Нижегородского края, тогда включавшего в себя современные Нижегородскую и Кировскую области, Чувашскую и Марийскую республики. После окончания Педагогического института, когда началась его трудовая деятельность как педагога и начинающего ученого, он уже реже участвовал в шахматной жизни города, оставаясь при этом одним из ведущих шахматистов вплоть до 1945 года. По-видимому, за шахматной доской он научился напряженной и результативной работе мысли.

Научная деятельность Николая Николаевича Баутина началась со встречи с А. А. Андроновым, бывшим в то время профессором Горьковского университета. Приведем здесь отрывок из воспоминаний доцента ГГУ, а впоследствии заведующего отделом НИИ ПМК А. М. Гильмана, с которым Баутин познакомился на почве общего увлечения шахматами и был дружен с 1929 года и до конца жизни. “Как рассказывал Баутин, сотрудничество с А. А. Андроновым началось следующим образом. Александр Александрович после приезда в Нижний Новгород в 1932 году организовал научный семинар, который назывался ”Качественные методы в теории дифуравнений". В те годы научный семинар в Горьком был в какой-то мере диковинкой. В Индустриальном институте (который впоследствии был переименован в Политехнический), где я тогда учился, семинары вообще не проводились. Насколько мне известно, не было их и в Пединституте.

Семинар был немногочисленным. Среди его участников был в то время молодой и рано умерший горьковский математик Е. А. Иконников. Именно он пригласил Николая Николаевича принять участие в работе семинара. Николай Николаевич работал преподавателем математики на рабфаке, имел очень большую нагрузку (10-12 учебных часов в день) и никакой научной работы, разумеется, не вел. Однако по складу ума он не мог не проявить интереса к семинару и начал его посещать. Александр Александрович предлагал задачи для самостоятельной работы. Взял такую задачу и Николай Николаевич. Для работы над ней у него было очень мало времени. Работал он ночью, а днем старался использовать любую свободную минуту. Сравнительно быстро выполнив задачу, он передал её решение Александру Александровичу. Уже на следующем занятии-семинаре Андронов предложил ему поступать в аспирантуру. Как позднее рассказывал сам Александр Александрович, он дал Баутину трудную задачу и думал, что имеется мало шансов, что выпускник пединститута сумеет её одолеть, а если сумеет, то это действительно сильный человек. Андронов не поленился повторить все выкладки, проведенные Николаем Николаевичем, и не нашел ни одной, даже мелкой неточности... ".

Первой публикацией Н. Н. Баутина была его совместная с Е. А. Иконниковым статья “Об исследовании алгебраических уравнений геометрическим методом” (Труды ГИИВТа, т. 3, 1936 г.). Сферой научных интересов Н. Н. Баути-

на становится качественная теория дифференциальных уравнений и её приложение к проблемам теории нелинейных колебаний. После успешного окончания аспирантуры в 1941 году Н.Н. Баутин защитил кандидатскую диссертацию “О поведении динамических систем при малых нарушениях устойчивости Рауса - Гурвица”, в которой, в частности, была развита важная для приложений теория бифуркации рождения одного предельного цикла из фокуса, когда число уравнений системы равно трем или четырем. Для случая двух уравнений подобная теория уже существовала благодаря трудам А. Пуанкаре и А. А. Андронова. Как известно, в дальнейшем общая ситуация для системы, содержащей п уравнений, была рассмотрена немецким математиком Э. Хопфом [2].

Научная деятельность Н. Н. Баутина относится к трем математическим направлениям. Это качественная теория дифференциальных уравнений, теория автоматического регулирования и динамическая теория часов. В общей сложности по этим направлениям им опубликовано более шестидесяти статей в центральных научных журналах (многие из которых были переведены на английский и французский языки) и три монографии.

В русле первой тематики Николаем Николаевичем были получены важные результаты по теории устойчивости. Проблема состоит в следующем.

Динамика большого числа технических объектов описывается системой дифференциальных уравнений, зависящих от параметров. Рабочим режимом служит устойчивое состояние равновесия. При функционировании объекта значения параметров могут меняться (из-за изменения нагрузки, ухудшения условий работы и т.д.). При этом точка в пространстве параметров может оказаться вблизи границы области устойчивости или даже перейти через нее в область неустойчивости. Практика эксплуатации технических объектов показывает, что при этом возможны два случая: происходит либо практическая потеря устойчивости еще до выхода параметров на границу области устойчивости, либо “мягкое” возникновение автоколебаний малой амплитуды уже после пересечения границы, при котором устойчивость практически сохраняется по другую её сторону. Возникает задача различения этих случаев. Николай Николаевич разработал методику различения, при этом использовал созданную им теорию рождения одного предельного цикла из фокуса в случае системы трех или четырех дифференциальных уравнений. Итогом исследований по теории устойчивости явилась монография “Поведение динамических систем вблизи границ области устойчивости”, переизданная в 1984 году [3].

В эту монографию вошли основные результаты кандидатской диссертации Н. Н. Баутина. Введенные в ней понятия “опасных” и “безопасных” границ области устойчивости в пространстве параметров и математические методы их различения получили широкое распространение в нашей стране и за рубежом. Сколь угодно малое нарушение “опасных” границ приводит к переходу системы в новое состояние, которое не может быть приближено к исходному

при обратном изменении коэффициентов (вышеописанный случай 1). “Безопасные” — это такие границы, достаточно малое нарушение которых влечет за собой лишь малые изменения состояния системы (случай 2).

Вот как написал А. А. Андронов в своем предисловии к этой книге: “... Н. Н. Баутин, рассматривая вопрос об устойчивости по Ляпунову с точки зрения теории бифуркаций (т. е. считая параметры, входящие в правые части исследуемых дифференциальных уравнений, переменными и рассматривая ряды их фиксированных значений), убедительно иллюстрирует не только большую теоретическую значимость теории устойчивости, принадлежащей А. М. Ляпунову, и практический интерес тех её выводов, которые относятся к обычным (”грубым“) системам, но и показывает интерес для технических вопросов тех менее известных исследований А. М. Ляпунова, которые посвящены так называемым особенным случаям общей задачи устойчивости движения”.

Методика расчета “опасных” и “безопасных” границ области устойчивости продемонстрирована в книге на большом числе динамических систем из физики, химии и техники. Так, рассматривается система второго порядка, описывающая полет самолета в вертикальной плоскости. Фазовыми переменными служат V — скорость самолета и (р — угол между вектором скорости центра тяжести самолета и горизонтом. Система зависит от ряда параметров (вес самолета, аэродинамические коэффициенты, сила тяги винта и т. д.). Стационарному режиму полета (состоянию равновесия дифференциальных уравнений) соответствует решение системы (p(t) = const, V(t) = const, т. е. прямолинейный полет с постоянной скоростью. Этот режим должен быть устойчивым. Расчет показывает, что граница устойчивости в пространстве параметров “опасна” на всем своем протяжении. При изменении параметров (например, при изменении силы тяги винта) нельзя подходить к ней слишком близко — самолет потеряет устойчивость еще до выхода на границу области устойчивости.

К настоящему времени методика определения опасных и безопасных границ разработана для систем произвольного порядка, а также, в ряде случаев, и для уравнений в частных производных.

Также к первому направлению относится знаменитая работа Н. Н. Баутина “О числе предельных циклов, появляющихся при изменении коэффициентов из состояния равновесия типа фокуса или центра” [1]. Решенная в ней задача была предложена Н. Н. Баутину во время его обучения в аспирантуре А. А. Андроновым. Первоначально полученный результат был анонсирован в журнале ДАН СССР в 1939 году, а позже работа [1] 1952 года была опубликована в США (в 1954 году отдельным изданием и в 1962 году — в сборнике [4]). Её итоговый результат, известный в современной литературе как теорема Баутина, прежде всего связывается со второй частью 16-й проблемы Гильберта. В этой части вопрос Гильберта состоит в следующем: каково максимальное

число H(п) предельных циклов Пуанкаре (изолированных замкнутых фазовых кривых) и каково их взаимное расположение у дифференциального уравнения

или соответствующей этому уравнению системы

где Рп(х,у) и Qn(x,y) — многочлены степени п от действительных переменных.

Как известно, проблемы Гильберта — это 23 математические проблемы, сформулированные выдающимся немецким математиком Давидом Гильбертом в докладе “Математические проблемы”, представленном 8 августа 1900 года на 2-м Международном конгрессе математиков в Париже. Развитие идей, связанных с содержанием проблем Гильберта, составило значительную часть математики XX века. К настоящему времени большая часть из них решена. Вторая часть 16-й проблемы до сих пор не решена даже для простейшего случая п = 2. Попытки её решения хотя и не привели к успеху [5], но способствовали развитию новых областей в геометрической теории дифференциальных уравнений на плоскости, теории бифуркаций, теории нормальных форм, аналитических слоений, а также некоторых разделов алгебраической геометрии.

Результат Баутина, появившийся через 40 лет после знаменитого доклада Гильберта, решает для случая п = 2 так называемую локальную версию 16-й проблемы, которая состоит в оценке максимального числа M [и) предельных циклов, появляющихся (бифурцирующих) из особой точки типа фокуса или центра. В силу теоремы Баутина М(п) = 3. Задача оценки числа М(п) в современной литературе называется проблемой цикличности. Понятие цикличности, введенное H. Н. Баутиным в работе [1], играет одну из ключевых ролей в теории полиномиальных векторных полей на плоскости и используется также по отношению к сепаратрисным циклам. Идеи и приемы H. Н. Баутина, содержащиеся в [1], получили свое дальнейшее развитие — прежде всего в работах К. С. Сибирского (1965 г.), ученицы Н.Н. Баутина С. Д. Щуко (1989 г.), Г. Жолондека (1995 г.) и других [6]. Число публикаций, посвященных 16-й проблеме Гильберта, различным её аспектам, весьма велико. В их ряду, который и сегодня продолжается, результат H. Н. Баутина не теряет своей актуальности. Его основополагающая роль подчеркивается тем, что в современную математику введены и используются такие понятия, как идеал Баутина (порожденный ляпуновскими величинами идеал в кольце многочленов от переменных, соответствующих параметрам исходной системы), индекс Баутина (число многочленов, составляющих базис идеала Баутина).

Большое число статей Николая Николаевича, а также его учеников и сотрудников посвящено разработке методов и приемов качественного исследования в органическом единстве с исследованием конкретных систем, описывающих динамику различных технических объектов. Эффектный результат был получен в работе [7]. Там рассматривалась система, описывающая частотно-фазовую автоподстройку частоты. Использование “поворота поля” и других методов качественной теории дало возможность Н. Н. Баутину установить существование таких значений параметров системы, при которых в фазовом пространстве существует тройной предельный цикл, т. е. периодическое решение, разделяющееся изменением параметров на три различных. Этот и многие другие результаты, вместе с результатами других авторов, собраны в монографии “Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости” (изд-во “Наука”, 1976, 500 стр.; переиздана в 1990 году [8]), написанной в соавторстве с Е. А. Леонтович.

Работы по второму направлению, по теории автоматического регулирования, были начаты во время Великой Отечественной войны в содружестве с А. А. Андроновым и с преподавателями Горьковского университета А. Г. Майером и Г. С. Гореликом. Эти исследования имели актуальное значение для инженерной практики и могли быть и, вероятно, были использованы для решения проблем оборонного характера. Ключевым моментом в этом направлении, имеющем самое прямое отношение к теории нелинейных колебаний, явились применение и дальнейшая разработка метода точечных отображений, который впервые появился в математике в качественной теории дифференциальных уравнений в трудах А. Пуанкаре, а затем получил свое развитие в работах Л. Брауера и Д. Биркгофа (теория Пуанкаре-Брауера-Биркгофа). Этот метод, никогда ранее не использовавшийся для решения технических проблем, позволил справиться с рядом трудных, не поддававшихся многим выдающимся ученым задач, связанных с трехмерными нелинейными системами автоматического регулирования. Среди них — задачи Мизеса и Вышнеградского, задачи об автопилотах и автоколебаниях винта с изменяемым шагом. Н. Н. Баутин явился соавтором восьми публикаций этого цикла. Работы, созданные коллективом ученых, оказали существенное влияние на последующие исследования всевозможных систем автоматического регулирования.

Третье направление — динамическая теория часов.

Часовые механизмы имеют длительную историю развития и технического совершенствования, исчисляемую столетиями. Однако теоретическое исследование их динамики — динамики автоколебательной системы со своей спецификой — было выполнено сравнительно недавно, главным образом — в работах Н. Н. Баутина. Используя результаты своих предшественников (А. А. Андронова и Ю. И. Неймарка, впервые рассмотревших динамическую модель часов с двумя степенями свободы), он сумел построить наиболее полную теорию часовых ходов, позволившую дать ответ на ряд основных вопросов

теории спусковых регуляторов скорости. В частности, Н. Н. Баутину удалось решить задачу, поставленную академиком Л. И. Мандельштамом. Её исторический аспект состоит в следующем. Первые механические часы появились в Европе в средние века. Стенные часы имели гиревой завод, карманные, появившиеся позднее, — пружинный. Их точность была небольшая. Развитие мореплавания, необходимость определения местонахождения корабля сыграли решающую роль в усовершенствовании часовых механизмов. Долгота вычислялась путем сравнения местного времени (которое умели устанавливать астрономическими средствами) со временем нулевого меридиана, которое необходимо было хранить на судне при помощи точных часов. Голландский ученый Христиан Гюйгенс использовал идеи великого итальянца Галилео Галилея о часах с мятником и сконструировал в 1657 году первые маятниковые часы, позднее (в XX веке) названные часами Галилея-Гюйгенса. В результате применения маятника точность часов за сутки стала определяться долями минуты, а не 1/2, 1/4 часа, как это было ранее в часах без маятника. Однако маятниковые часы из-за своей чувствительности к сотрясениям и изменению положения оказались непригодными в навигации. Позднее в 1675 году Христиан Гюйгенс предложил в качестве регулятора систему баланс-спираль, которая позволила создать английскому часовщику Джону Гаррисону (1761г.) точные переносные часы (хронометр), удовлетворяющие требованиям мореходства.

Какова роль маятника как стабилизатора периода автоколебаний в повышении точности часов Галилея - Гюйгенса по сравнению с часами, не имевшими маятника (т.е. догалилеевыми)? Другими словами: “Почему часы, снабженные маятником, менее податливы в смысле изменения периода при изменении трения?” — в этом состоял вопрос академика Мандельштама, на который смог дать ответ Н. Н. Баутин [9].

Работы, посвященные динамике часов, тесно связаны с первым и вторым направлениями научных исследований Н. Н. Баутина и представляют собой применение методов качественной теории дифференциальных уравнений к анализу работы инженерных конструкций часовой техники. Н.Н. Баутин описал и исследовал явления, которые не были обнаружены за долгий срок их существования (например, не замеченные ранее режимы работы), и рассчитывал период и амплитуду автоколебаний с гораздо большей надежностью, чем позволяли все известные ранее способы.

В 1957 году Н.Н. Баутин защитил докторскую диссертацию “Нелинейные задачи теории автоматического регулирования, возникающие в связи с динамикой часовых регуляторов скорости” (одним из официальных оппонентов был академик Л. С. Понтрягин).

Итогом исследований Н.Н. Баутина по “часовой” тематике явилась монография “Динамическая теория часов”, вышедшая в 1986 году в издательстве “Наука” [9]. В этой монографии дана развернутая автоколебательная теория

часов и эквивалентных им в динамическом отношении устройств — спусковых регуляторов скорости. Рассмотрены и исследованы их математические модели и условия стабилизации периода автоколебаний.

Приведем здесь рассказ доцента ГГУ А. Г. Любиной об одном из заседаний университетского семинара: “Руководитель семинара А. А. Андронов начинает заседание словами ”Тихо, товарищи. Вы присутствуете при рождении теории часов“. Затем свое выступление начинает Баутин. Перед ним на столе стоит ряд механических часов с открытыми для обозрения механизмами. Легкое движение руки докладчика, едва заметное смещение детали — и ход часов резко меняется, часы переходят в другой режим работы. У присутствующих создается впечатление волшебства, а сам ”волшебник“ таким образом демонстрирует свою теорию на конкретных механизмах”.

Н.Н. Баутин более тридцати лет поддерживал контакты с НИИчаспром — Научно-исследовательским институтом часовой промышленности. Результаты исследований, проведенных в содружестве с Б. М. Чернягиным, ведущим сотрудником этого института, применяются для решения задач, возникающих при расчете и конструировании часовых регуляторов скорости в приборостроении и часовой промышленности. Так, например, была разработана методика инженерного расчета морских хронометров [10], — точных переносных часов, применяемых для хранения времени в навигации. При исследовании их динамических характеристик использовалась уточненная идеализация ударного взаимодействия, позднее получившая название модели Баутина-Чернягина [11]. В соответствии с этой моделью процесс взаимодействия осуществляется двумя ударами: не вполне упругим первым ударом и вторым неупругим с последующим движением в кинематической связи. Для оценки адекватности принятой идеализации была проведена скоростная (около 400 кадров в секунду) киносъемка реальной картины взаимодействия ходового колеса с импульсным камнем баланса. Результаты проведенного эксперимента показали, что принятая модель соответствует реальному динамическому процессу.

Сам Николай Николаевич, имея в виду свои многолетние исследования по часовой динамике, в шутку называл себя часовщиком. Часовая тематика особенно успешно была продолжена в работах его ученика и ближайшего сотрудника Л. А. Комраза, которому удалось показать для некоторых моделей часов существование стохастических колебаний — “странных аттракторов”.

В 1980 году Президиум Академии наук СССР присудил Н. Н. Баутину премию им. А. А. Андронова за цикл работ на тему “Качественное исследование автономных динамических систем”.

Николай Николаевич Баутин был членом научно-методического совета по теоретической механике при учебно-методическом управлении по вузам МВССО СССР. Участвовал в издании журнала "Прикладная механика и

математика“. Был членом редакционной коллегии межвузовского математического сборника ”Методы качественной теории дифференциальных уравнений". Он являлся членом совета ГИИВТа по присуждению ученых степеней и аналогичных советов в системе Горьковского университета (в Научно-исследовательском радиофизическом институте и на факультете ВМК).

Н. Н. Баутин — заслуженный деятель науки и техники РСФСР, он награжден орденом “Знак почета” (за цикл работ по теории автоматического регулирования), медалями, почетными грамотами Министерства речного флота РСФСР.

Н. Н. Баутин скончался 3 апреля 1993 года.

Настоящая статья является переработанной и дополненной публикацией [12]. Там же приведен полный список научных трудов Н. Н. Баутина.

ЛИТЕРАТУРА

1. Баутин Н.Н. О числе предельных циклов, появляющихся при изменении коэффициентов из состояния равновесия типа фокуса или центра // Матем. сб. 1952. Т. 30 (72). С.181-196.

2. Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и её приложения / Пер. с англ. под редакцией Н. Н. Баутина и Е. А. Леонтович. — М.: Мир, 1980. 368 с.

3. Баутин Н.Н. Поведение динамических систем вблизи границ области устойчивости. — М.: Наука, 1984. 176с. (первое издание книги — М: Гостехиздат, 1949. 164с).

4. Bautin N. N. On the number of limit cycles which appear with the variation of the coefficients from equilibrium state of the type focus or center // American Math. Society Translations. 1954. №100. 1-19. Reprinted in: Stability and Dynamical Systems, AMS Translations Series 1. 1962. V. 5. P. 396-413.

5. Ильяшенко Ю. С. Столетняя история 16-й проблемы Гильберта // Фундаментальная математика сегодня. К десятилетию НМУ. — М.: МЦНМО, 2000. С. 134-212.

6. Андронова Е. А. Теорема Баутина о числе предельных циклов и её развитие в качественной теории дифференциальных уравнений // Вестник ННГУ. Математика. 2004. Вып. 1(2). С. 258-277.

7. Баутин Н.Н. Некоторые методы качественного исследования динамических систем, связанные с поворотом поля // ПММ. 1973. №7, вып. 6.

8. Баутин Н.Н., Леонтович Е. А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. — М.: Наука, 1990. 488 с.

9. Баутин Н.Н. Динамическая теория часов. — М.: Наука, 1986. 190с.

10. Баутин Н.Н., Чернягин Б.М. Теоретическое и экспериментальное исследование зависимости динамических характеристик морского хронометра от положения колодки спирали баланса // Изв. АН СССР ОТН. Механика и машиностроение. 1963. №2. С. 126-130; №6. С. 176.

11. Фейгин М. И. Вынужденные колебания систем с разрывными нелинейностями. — М.: Наука, 1994. 285 с.

12. Андронова Е. А. Скрябин Б. Н. К 95-летию со дня рождения Н. Н. Баутина // Вестник ВГАВТ. Моделирование и оптимизация сложных систем. Информационные технологии и развитие образования. Н.Новгород, 2004. Вып. 9. С. 172-182.

NICOLAI NICOLAYEVICH BAUTIN (to century from the date of a birth)

E. A. Andronova, B. N. Skrjabin

The article commemorates to century from the date of birth of N. N. Bautin (1908-1993). It is an essay on the scientific and pedagogical work of the scientist.

Keywords: limit cycle, 16-th Gilbert's problem, theory of clocks.

ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ, ПЕРСОНАЛИИ

УДК 51(091)

ЕЛЕНА СЕРГЕЕВНА ВЕНТЦЕЛЬ

Г. А. Зверкина, Г. Л. Эпштейн

Московский государственный университет путей сообщения (МИИТ), Россия, 127994, г.Москва, ул. Образцова, 15; e-mail: zverkina@gmail.com

Изложена биография известного ученого и педагога Елены Сергеевны Вентцель, популярной писательницы, издававшей свои произведения под псевдонимом И. Грекова.

Ключевые слова: биография Е. С. Вентцель, теория вероятностей, исследование операций, преподавание математики, писатель (под псевдонимом И. Грекова) .

Мало кому из инженеров и математиков неизвестна фамилия Вентцель -по учебникам этого автора учатся миллионы студентов не только в нашей стране, но и в Германии, Франции, США, Латинской Америке. Но Елена Сергеевна Вентцель — не только автор одного из лучших учебников по теории вероятностей, но и выдающийся ученый, и известный писатель.

Елена Сергеевна Вентцель родилась 21 марта 1907 года в Ревеле (ныне Таллинн) в учительской семье. Отец Елены Сергеевны, Сергей Федорович Долгинцев, преподавал математику в старших классах гимназии. Он был сыном купца первой гильдии, желавшего дать наследнику солидное университетское образование (по семейным преданиям — на медицинском факультете). Однако, увлекшись математикой, юноша самовольно перешел на физико-математический факультет, за что был лишен материальной поддержки, а после ранней женитьбы — и наследства. Поэтому его мечтам о научной математической карьере не суждено было сбыться. Но и на педагогическом поприще проявилась его незаурядность. Елена Сергеевна считала его выдающимся педагогом и полагала, что лишь в слабой мере унаследовала от него талант преподавателя.

Естественно, Сергей Федорович хотел, чтобы его дети добились того, от чего ему самому пришлось отказаться, — стали учеными-математиками. В семье росли два сына, Илья и Николай, и дочь Елена. Однако только дочь проявила способности к математике. По словам Елены Сергеевны, уже в семь-восемь лет отец занимался с ней высшей математикой, полагая, что она проще элементарной. Не только математические способности отличали Елену. “Я любила ”мальчишеские“ игры — ружья, луки, духовые пистолеты. Прицелиться, нажать и попасть! — вот что было моим идеалом”, — писала в воспоминаниях Е. С. Вентцель [1, с. 16].

Мать Елены Сергеевны, Ольга Дмитриевна, преподавала в младших классах, а после рождения детей была целиком поглощена заботами о них и о доме. В самые трудные послереволюционные времена она умела скрашивать жизнь семьи, одевать и кормить детей и мужа.

Но именно отец оказал самое сильное, решающее влияние на формирование личности и судьбы Елены Сергеевны. В повести “Кафедра” об отце профессора Завалишина сказано: “Талантлив он был необычайно, разносторонне. Прекрасно играл на скрипке. Замечательно читал вслух. Рисовал акварелью, писал стихи (главным образом шуточные). Обладал ярким актерским даром”. Всё это целиком и полностью относится к Сергею Федоровичу Долгинцеву. Для Елены Сергеевны отец на всю жизнь оставался самым любимым человеком.

Любовь, интеллигентность и культура сочетались в семье Долгинцевых с трудолюбием и самодисциплиной. Постоянно поддерживался интерес к литературе, к русскому слову. В семье все что-то писали. Уже в раннем возрасте (еще до школы) Елена начинает свои первые литературные опыты. Способности и интерес к математике и внутренняя тяга к литературе определили её будущее — “между математикой и литературой”.

В 1913 году семья переехала в Петербург. Сергей Федорович получил должность инспектора Первой петербургской гимназии. Семья поселилась в казенной квартире при гимназии. Школьные годы Елены Сергеевны прошли уже в Петрограде. Она училась в одной школе с Дмитрием Шостаковичем, на класс младше. Годы относительно обеспеченной жизни семьи коллежского советника сменились годами “военного коммунизма”.

Окончив в 1923 году школу, Елена Сергеевна поступила на физико-математический факультет Петербургского государственного университета, где на математическом курсе из 280 студентов было всего 5 девушек.

О времени своего студенчества Елена Сергеевна вспоминала: “Прошло еще только несколько лет после Революции. Университет — одно из светлейших воспоминаний моей жизни. Всё было прекрасно — окружающая нас действительность, новый строй (НЭП), который еще только пробивался сквозь мрак военного коммунизма. Полная наша освобожденность, раскованность... В те времена мы совсем не чувствовали страха. Отсутствие страха — главная черта тех времен. Голод и отсутствие страха”. Еще одно характерное воспоминание: “Главным ощущением, которое я вспоминаю, думая о том времени, была гордость. Гордость за то, что у нас — всё по-новому. Никаких торжеств, никаких ”свадеб“. Почему надо праздновать, если двое людей решили жить вместе? Это — их личное дело. Гордость была еще и за то, что мы отменили все ”буржуазные“ предрассудки. Происхождение? — Чепуха! Церковь? -Еще глупее. Как правило, женившиеся не меняли фамилий, в крайнем случае, жили на разных квартирах... ” [1, с. 20].

Главный корпус университета — здание Двенадцати коллегий — был построен в 1730-х годах по проекту архитектора Доменико Трезини. В XIX веке в этом здании разместился университет. Изначально здание совмещало две функции — административную и торговую: в первом этаже со стороны площади, под аркадой “гостиного двора”, торговали, с противоположной сторо-

ны здания находилась “коммуникация” — двухэтажный коридор, в котором располагались Коллегии, как назывались в XVIII веке министерства. Этот коридор, как говорили, длиннейший в Европе, объединял студентов разных факультетов (в начале XX века его намеревались перегородить, чтобы не допускать “брожения” среди учащихся); физико-математический факультет помещался в двух комнатах в середине коридора. Профессора университета, многие из которых преподавали там и до революции 1917г., поощряли посещение студентами лекций на других факультетах и отстаивали право студентов на выбор изучаемых курсов. Студентка Долгинцева посещала лекции одного из выдающихся историков того времени Е. В. Тарле (1874-1955), физика О. Д. Хвольсона (1852-1934); она участвовала в собраниях “Вольфилы” -“Вольной философской ассоциации” во главе с Андреем Белым. Вообще, еще долгое время широкая гуманитарная образованность считалась обязательной для университетского математика.

Ко времени учебы Елены Сергеевны петербургская математическая школа приобрела мировую известность. Имена П. Л. Чебышева (1821-1894), А.А.Маркова (1856-1922), А.М.Ляпунова (1857-1918) навсегда вошли в историю мировой математики. С общественно-политической точки зрения петербургскую математическую школу, по мнению историков математики, отличали “позитивизм, либеральный демократизм и антимонархизм” [2, с. 39-62]. Одновременно с Еленой Сергеевной в университете учились будущие выдающиеся математики — Исидор Натансон1, Дмитрий Фаддеев2 и другие, ставшие известными учеными.

Нельзя сказать, что образование в университете было систематическим и подчиненным строгим правилам: кроме стандартных курсов читались иногда весьма специальные, изюминкой которых было то, что лектор досконально знал все нюансы излагаемой теории, а зачастую был её автором. Русских учебников по многим курсам не существовало, и часто студенты готовились к экзаменам по книгам на иностранных языках — никого не интересовало, знает ли студент иностранный язык: надо — учи! Отчисляли неуспевающих студентов без всякой жалости.

Математические курсы в университете читали выдающиеся математики-педагоги. Математический анализ преподавал Григорий Михайлович Фихтенгольц (1888-1959), известный своим замечательным трехтомным учебником “Курс дифференциального и интегрального исчисления”, переиздающимся и по сей день. Он не только сообщал студентам математические факты, но и учил их рассказывать, предлагая изложить содержание какой-либо темы за 20 минут, а затем, усложняя задание, — за 10 минут. В этом упражнении Елена Сергеевна показывала наилучшие результаты. Надо отметить, что и в университет приходили малограмотные “красные профессора” руководить процессом образования: один из таких горе-профессоров, некто Лейферт, читал курс “красных” интегралов, используя для этого инженерный справочник

1 И. П. Натансон (1906-1964) — математик, специалист по теории функций и математическому анализу.

2 Д. К. Фаддеев (1907-1989) — математик, член-корреспондент АН СССР, специалист по алгебре и теории чисел.

по математике, формулы из которого одобрялись голосованием студентов; при этом не все формулы горе-профессору удавалось правильно изобразить на доске — если с латинскими буквами “красный профессор” кое-как справлялся, то греческие “буржуазные” ему никак не давались. Впрочем, этого горе-профессора вскоре вновь сменил Г. М. Фихтенгольц.

На факультете преподавала Надежда Николаевна Гернет (1877-1943), ученица Давида Гильберта (1862-1943), вторая в России (после Софьи Васильевны Ковалевской) женщина-математик с ученой степенью доктора. Она не только заражала студентов своей страстью к математике, но и, как могла, опекала их, частенько подкармливая и успокаивая чем-то расстроенных учеников. Н. Н. Гернет скончалась в блокадном Ленинграде от дистрофии.

Геометрические курсы читал Борис Николаевич Делоне (1890-1980) -член-корреспондент АН СССР (1929), специалист по алгебре, теории чисел, математической кристаллографии, спортсмен-альпинист, позднее долго работавший в Московском университете3.

К этим педагогам можно добавить Г.В.Колосова (1867-1936) — члена-корреспондента АН СССР (1931), специалиста по механике твердого тела и машиноведению, И.И.Иванова (1862-1939) — также члена-корреспондента АН СССР (1924).

Руководителем дипломной работы Елены Сергеевны был Иван Матвеевич Виноградов (1891-1983), академик АН СССР (1929), лауреат Сталинской премии (1941), дважды Герой Социалистического Труда (1945, 1971), с 1932 г. — директор Математического института АН СССР. К сожалению, серьезного научного контакта не получилось. “Дипломную свою работу я писала формально под руководством И. М. Виноградова, но он ни разу её не просмотрел и не обнаружил в ней ошибку (не криминальную!), которую я нашла самостоятельно год спустя” [1, с. 35].

Теорию вероятностей, ставшую впоследствии основным направлением научной и педагогической работы Елены Сергеевны, читал Андрей Митрофанович Журавский (1892-1969) — см. [3]. Этот человек не скрывал своего отрицательного отношения к происходящим в стране изменениям, но и не покинул Россию, хотя имел для этого возможность. Он преподавал в различных вузах Ленинграда, участвовал в связанных с обороной научных разработках. В 1942 г. Журавский был арестован по “делу Союза старой русской интеллигенции”. А. И. Солженицын в “Архипелаге ГУЛАГ” сообщает об этом: “Профессор математики Журавский просил на выезд из Ленинграда три места в самолете: жене, больной свояченице и себе. Ему дали два, без свояченицы. Он отправил жену и свояченицу, сам остался. Власти не могли истолковать этот поступок иначе, как то, что профессор ждал немцев. 58-1-а через 19-ю, 10 лет.” Позднее в рассказе “Хозяева жизни” И. Грекова описала подобную историю.

В 1929 году Елена Сергеевна получила университетский диплом математика с правом преподавания в средней и высшей школе и начала работать

3 Внук Б. Н.Делоне Вадим Делоне (1947-1983) — писатель, поэт, участник правозащитного движения и, в частности, демонстрации на Красной площади против введения советских войск в Чехословакию (1968).

в неком “Остехбюро”, параллельно ведя занятия в техникуме печати и различных ленинградских вузах. Поддерживавший с ней дружеские отношения А. М. Журавский рекомендовал её на работу вычислителем в Артиллерийской академии, к Д. А. Вентцелю (1898-1955). Как оперный Мефистофель, Журавский напутствовал девушку: “Только смотрите, не увлекитесь!”. Почти то же было сказано и Д. А. Вентцелю. Через несколько месяцев молодые супруги пришли в гости к Андрею Митрофановичу.

Димитрий Александрович Вентцель родился в Москве в семье потомственного дворянина, инженера-путейца, строившего Павелецкую железную дорогу. В силу служебных обязанностей отца семья часто меняла место жительства. Д. А. Вентцель учился в немецкой гимназии в Риге, затем в реформатском училище в Петербурге. В 1916 г. он поступил на физико-математический факультет Петроградского университета. В университете Д. А. Вентцель проучился всего один год, был призван на военную службу и направлен в Константиновское артиллерийское училище. После окончания ускоренного курса этого училища Вентцель в составе артиллерийских войск в чине прапорщика был отправлен на фронт, где находился до 1918 г. Вернувшись из армии в Петроград, Д. А. Вентцель приступил к занятиям, но не в университете, а в Институте путей сообщения, куда он перевелся осенью 1918 г. В путейском институте он проучился только один год, так как в 1919 г. поступил в Артиллерийскую академию РККА в Петрограде, созданную на базе Михайловской артиллерийской академии, которую и окончил в 1922 г. по первому разряду. После окончания академии он был оставлен адъюнктом, а затем назначен старшим преподавателем.

В дальнейшем Димитрий Александрович стал крупнейшим специалистом в теории артиллерийской стрельбы, автором учебников по внешней (1939 г.) и внутренней (1948 г.) баллистике, вице-президентом Академии артиллерийских наук, одним из организаторов факультета авиационных вооружений в Военно-воздушной инженерной академии имени Н. Е. Жуковского. Он внес также весомый вклад в теорию стрелкового и ракетного оружия, в создание унитарного патрона. Не участвуя официально в атомном проекте, Д. А. Вентцель поставил своему адъюнкту Е. И. Забабахину задачу по определению параметров сходящихся сферических детонационных волн. Результаты, полученные Е. И. Забабахиным, были сразу же внедрены в практику расчетов ядерных боеприпасов. Е. И. Забабахин (1917-1984) стал действительным членом Академии наук СССР, лауреатом Ленинской премии, Героем Социалистического Труда. Среди учеников Д. А. Вентцеля — академики И. И. Ворович, Н. Н. Моисеев, В.С. Пугачев, известный математик А. Д. Мышкис.

Несмотря на все эти заслуги, жизнь независимого, смелого и острого на язык Д. А. Вентцеля, как и многих других выдающихся людей его времени, прошла в тревогах и неприятностях, а порой висела на волоске. По воспоминаниям коллег-офицеров, Д. А. Вентцель не жаловал общественно-политическую работу, чем вызывал негативное отношение партийной верхушки факультета и академии; академик Н. Н. Моисеев вспоминал: "Он (Д. А. Вентцель) рассказывал мне о том, сколь дорого ему обходилась эта смелость -он всю жизнь больше всего на свете боялся ареста и считал, что это было

чудо — воистину чудо, что его так ни разу и не посадили“ [4]. Сама Елена Сергеевна писала: ”Как забыть грозный ночной стук сапогов по лестнице (уж не за нами ли?). Как забыть вздох облегчения, когда шаги проходили мимо? Не за нами, значит, на этот раз?" [1, с. 18].

Елена Сергеевна и её семья не подвергались репрессиям, но о репрессиях им было известно не понаслышке. Еще в молодости, работая в “Остехбюро”, Елена Сергеевна подружилась с Вероникой Евсеевной Вульфович, позднее вышедшей замуж за Константина Александровича Дублицкого4, который успешно провел ледокол “Федор Литке” Северным морским путем, после чего был арестован; арестовали и его супругу как ЧСИР (член семьи изменника Родины). Увидела её позднее Елена Сергеевна только в больнице, умирающей. “... Чуть ли не накануне своей смерти она подняла теневую свою руку и сказала: ”Вот что они со мной сделали!“ А я уже и тогда ненавидела смертной ненавистью ту пародию на ”социализм“, которую нам устроил Сталин... ”, -вспоминала Елена Сергеевна [1, с. 23].

В 1952 году по некоторым безошибочным признакам казалось, что арест неминуем, но, к счастью, в это время работа Д. А. Вентцеля была отмечена Государственной премией и угроза отступила. Тем не менее интриги в Академии им. Н. Е. Жуковского, где он тогда работал, продолжались. Созданную Вентцелем кафедру баллистики реорганизовывали, делили, а его самого отстранили от руководства кафедрой. Димитрий Александрович Вентцель скоропостижно умер от сердечного приступа в 1955 году, в тот день, когда Елена Сергеевна хоронила мать.

В 1935 году, в связи с назначением Д. А. Вентцеля (в звании бригинженера) начальником кафедры авиационной баллистики в Военно-воздушной инженерной академии РККА имени профессора Н. Е. Жуковского, семья, в которой уже была дочь Татьяна, переехала в Москву. Е. С. Вентцель была принята на должность начальника вычислительного бюро артиллерийского факультета. Так что сыновья Александр и Михаил родились в Москве. Забегая вперед, сообщим, что Татьяна долгие годы была доцентом на кафедре дифференциальных уравнений МГУ, Александр стал признанным специалистом по теории случайных процессов, доктором физико-математических наук, преподавал в МГУ, а теперь он профессор университета Тулейн в Нью-Орлеане, Михаил окончил радиотехнический факультет Академии им. Н. Е. Жуковского и работал военным инженером. В 1990 году его жизнь безвременно оборвалась после нескольких лет тяжелой болезни.

В течение тридцати трех лет научная и преподавательская деятельность Елены Сергеевны была связана с ВВИА им. Н. Е. Жуковского. Работая в вычислительном бюро, Елена Сергеевна руководила недавними выпускниками школ, делавшими вычисления на арифмометрах. Задачей руководителя было таким образом организовать работу, чтобы вычислители, действуя по простым алгоритмам, могли быстро и достаточно точно рассчитывать заданные величины, и при этом возможные ошибки вычислений (человеческий фактор)

4 К. А. Дублицкий — известный советский полярный моряк. Полярная экспедиция парохода “Федор Литке” была предпринята в 1929 г. для снятия с острова Врангеля группы зимовщиков, у которых заканчивались запасы продовольствия.

не должны были влиять на окончательные результаты. Умение эффективно организовать вычисления и выбрать оптимальный путь решения задачи были характерны для Елены Сергеевны на всем протяжении её научной работы.

Одновременно с руководством вычислительным бюро Елена Сергеевна начинает преподавать в академии — с 1939 года ассистентом, с 1940 года преподавателем. В 1941 году академия была эвакуирована в Свердловск. В тяжелых условиях эвакуации на плечи Елены Сергеевны легла забота о муже, троих детях и Ольге Дмитриевне, вывезенной из блокадного Ленинграда (Сергей Федорович умер во время блокады). В этих труднейших обстоятельствах Елена Сергеевна продолжала заниматься научной работой и в 1944 г. защитила кандидатскую диссертацию, которую она писала по ночам, на кухне, при свете свечи.

В 1947 году Е. С. Вентцель перешла на должность старшего преподавателя. Через десять лет после кандидатской защиты она стала доктором технических наук (в числе оппонентов был академик А. Н. Колмогоров (1903-1987)) и вскоре после докторской защиты была избрана профессором. В 1955 году Е. С. Вентцель получила аттестат профессора по кафедре воздушной стрельбы.

У слушателей академии остались яркие воспоминания о лекциях Елены Сергеевны, отличавшихся ясностью и продуманной последовательностью изложения, образностью и юмором. На практических занятиях Елена Сергеевна так организовывала учебный процесс, что в решении одной сложной задачи участвовали несколько слушателей, последовательно проходя все этапы решения, вся учебная группа была включена в творческий процесс поиска решения. На экзаменах Елена Сергеевна предлагала слушателям оригинальные задачи, основанные на материалах других учебных курсов. Эти задачи практически никогда не повторялись. Многие из них вошли позднее в сборник задач по теории вероятностей, опубликованный совместно с Л. А. Овчаровым [5].

В первый период исследовательской деятельности научные интересы Е. С. Вентцель были сосредоточены на применении вероятностных методов в целях повышения точности воздушной стрельбы и бомбометания, а также совершенствования способов пристрелки авиационного вооружения.

В послевоенные годы научная работа Елены Сергеевны была связана с объективной оценкой эффективности различных видов вооружения, боеприпасов и способов организации огневых средств при стрельбе по летящим объектам. При этом возникали две проблемы — организация испытаний и обработка их результатов. До начала научной работы по этой теме при количественной оценке эффективности нового вооружения ПВО использовались весьма расплывчатые характеристики вроде “убойного интервала” или “среднего числа убойных осколков”.

По предложению академика А. Н. Колмогорова за критерий эффективности ПВО была взята вероятность поражения воздушной цели (поскольку огонь зенитной артиллерии по самолету, который может нести атомную бомбу, ведется с целью его уничтожения), вычисляемая с помощью распределения вероятностей точек разрыва снаряда в окрестности цели и условных

вероятностей уничтожения цели, зависящих от точки, в которой произойдет этот разрыв [6].

С 1954 года главные усилия “банды эффективщиков”, как называл группу занимавшихся вопросами эффективности стрельбы ученых Д. А. Вентцель, были направлены на практическое определение закона поражения самолета по данным полигонных испытаний. Академик А. Н. Колмогоров предложил при определении вероятности поражения цели пользоваться формулой полной вероятности. Согласно этой формуле, вероятность поражения цели Р следует вычислять как сумму произведений вероятностей разрыва снаряда в каждом элементе объема ((f(x) • Ах) на условную вероятность поражения цели — G(x), которая должна быть определена при условии, что разрыв снаряда произошел в точке с координатами ж, то есть

(1)

Непрерывным вариантом этой формулы является

(2)

где V — область возможных разрывов снаряда. Такой подход позволял существенно сэкономить средства на испытаниях новой техники ПВО — ранее для оценки вероятности поражения цели необходимо было производить большое количество стрельб по воздушным объектам. Теперь же вероятность <р(х) • Ах можно было определить расчетным путем, а вероятность G(x) — с помощью наземных экспериментов.

Е. С. Вентцель входила в группу военных специалистов, организованную Евгением Васильевичем Золотовым5 (он послужил прототипом Мегатонны в повести “За проходной”) для практической реализации подхода Колмогорова. Для определения эффективности стрельбы по формуле (2) необходимо было эмпирически определить входящие в неё функции. Эта работа потребовала многомесячных выездов на полигоны и кропотливых, а порой и небезопасных экспериментов. Елена Сергеевна лично участвовала в таких испытаниях, и она, единственная женщина среди множества мужчин-офицеров, не терялась в самых сложных ситуациях и при этом еще всегда была женственна и элегантна. “Я всю жизнь жила под давлением одной и той же мысли: ”Не быть хуже мужчин! Не отстать от них, чего бы это ни стоило!“ Эта идея не помешала мне вовремя выйти замуж, родить троих детей, но всё это было как бы аккомпанементом к моей подлинной жизни. Она была — в ”Деле“, как я его теперь понимаю. Быть в жизни равной с мужчинами, кое в чем даже превосходить их — вот что было моим флагом, девизом моей юности, зрелости, отчасти поздних лет” [1, с. 16].

5 Е. В. Золотов (1922-1990), тогда — сотрудник НИИ-2 ПВО, майор; позднее — полковник, начальник управления, доктор технических наук, профессор. С 1987 г. — академик АН СССР. Основные его труды относятся к математическому моделированию сложных систем.

Повышение эффективности стрельбы могло быть достигнуто и с помощью выбора стратегии стрельбы. О том, что это такое, можно судить по задаче 3.27 уже упоминавшегося задачника [5]:

"3.27. Цель, по которой ведется стрельба, с вероятностью р\ находится в пункте I, а с вероятностью р2 = 1 — pi в пункте II

В нашем распоряжении имеется и снарядов, каждый из которых может быть направлен в пункт I или в пункт II. Каждый снаряд поражает цель независимо от других с вероятностью р. Какое число снарядов п\ следует направить в пункт I для того, чтобы поразить цель с максимальной вероятностью?"

Елена Сергеевна предлагает следующий способ решения этой задачи. Найдя зависимость вероятности поражения цели от п\

и убедившись, что она находит нуль первой производной

и, в зависимости от того, является ли

а меньше или больше п, предлагает сравнить

или взять

К интересным и сложным математическим задачам приводили общие вопросы тактики воздушного боя и способов организации средств ПВО, которыми в дальнейшем занималась Елена Сергеевна. В Соединенных Штатах к решению подобных задач ВВС были привлечены крупнейшие математики, собранные в исследовательской организации RAND Corporation. В процессе этой работы сформировался цикл прикладных математических дисциплин, объединенных названием “исследование операций”. Профессор И. Б. Погожев так описывает эту ситуацию: “Книгу Ф. Морз, Д. Кимбелл ”Методы исследования операций“ ([7]) перевел с английского друг Е. С. Вентцель — Игорь Андреевич Полетаев. Он же дал к ней важные свои комментарии. Использование названия книги для обозначения нашего нового научного направления было связано с неотразимым аргументом эпохи гонки вооружений: ”У американцев это уже есть, надо и нам от них не отстать“. Известно, что и американцы в подобных ситуациях поступали так же” [1, с. 83]. Именно в эту область сместились научные интересы Е. С. Вентцель. Ряд результатов в этом направлении Елена Сергеевна получила с помощью теории марковских процессов и метода динамики средних численностей состояний.

Елена Сергеевна начала публиковать свои работы с 1941г., многие из них проходили под грифом “секретно”. Кроме статей в научных изданиях, в 1961 г. вышла монография Е. С. Вентцель, Ю. X. Мильграма, Я. М. Лихтерова, И.В.Худякова “Основы теории боевой эффективности и исследования операций” [8].

Также издавались учебные пособия, первым из которых был учебник “Воздушная стрельба” объемом в 35 печатных листов (1947 г., в соавторстве с Б. В. Вороновым и Ю. А. Кочетковым) [9].

Но наибольшую известность Е. С. Вентцель принесла её “Теория вероятностей” [10], и по сей день остающаяся непревзойденным руководством для инженеров и студентов.

После нескольких внутренних изданий ВВИА, в 1958 г. эта книга была выпущена Физматгизом и стала доступна широкому кругу читателей. С тех пор на русском языке регулярно выходят переиздания этого замечательного учебника. Книга была переведена на немецкий, польский, французский, испанский и английский языки.

“Думаю, популярность моих учебников и монографий связана с тем, что они написаны, так сказать, ”пером романиста"6.

Прежде всего надо отметить язык книги. Ясный и живой русский язык, прозрачные и динамичные фразы притягивают читателя и подчиняют его авторской воле. “Пишет так, что её не только люди, но и начальство понимает”, — говорил один из сослуживцев Елены Сергеевны. Другим важнейшим обстоятельством является точное знание психологии человека, впервые систематически изучающего теорию вероятностей. Такое впечатление, что автор всё время слышит вопросы, возникающие у читателя, и тут же отвечает на них.

Еще одна особенность книги. Многие математические труды построены так, что первые главы содержат только вспомогательные утверждения, а основные факты излагаются в самом конце. Поэтому частичное или выборочное изучение материала лишено смысла. Прервав на любой главе изучение “Теории вероятностей” Е. С. Вентцель, читатель остается с законченной суммой знаний определенного уровня.

За счет своеобразной структуры и большого числа содержательных примеров учебник исподволь приучает читателя к методологии практического применения вероятностных методов.

Само отношение Е. С. Вентцель к теории вероятностей и её приложениям можно описать фразой Пьера Симона Лапласа (1749-1827): “Вероятность -это уточненный здравый смысл”.

Большой отклик в инженерной среде нашли работы Е. С. Вентцель по исследованию операций, особенно книга “Исследование операций” (1972г.) [11], суммирующая цикл работ по линейной оптимизации, динамическому программированию, теории игр, теории массового обслуживания и смежным вопросам.

После выхода в свет первого издания “Теории вероятностей” в ВВИА потянулся поток инженеров для консультаций по приложениям теории вероятностей в конкретных инженерных задачах. Желающих проконсультироваться было так много, что коллеги Елены Сергеевны не в шутку задумывались о введении дополнительной ставки преподавателя-консультанта для работы с инженерами.

Общее мнение инженерно-технической общественности прекрасно выражено в частном письме военно-морского инженера Н. В. Лапцевича: "Не хочу никого обижать, но её учебники по теории вероятностей и исследованию опе-

6 Из интервью газете “ДУБНА. Наука. Содружество. Прогресс” (№10, 6 марта 1983 г.).

раций воспринимались мной, в ряду других пособий в этих областях, как живые, с богатой кроной деревья среди серого сухостоя. Они принадлежат к тем, к сожалению, очень редким шедеврам, прорабатывая которые испытываешь не натужные усилия вникнуть в смысл прочитанного, а радость узнавания и чувство благодарности автору... Именно Елене Сергеевне я обязан тем, пусть немногим, чем я владею в этих областях".

Но не только наукой и преподаванием жила Е. С. Вентцель.

Во время работы в ВВИА около Елены Сергеевны образовался кружок офицеров и ученых, неравнодушных к острому слову, издавалась стенная газета “PC”, что можно было расшифровать как 'Разящая Сатира“ или 'Реактивный Снаряд”. В стенгазете публиковались острые карикатуры, дружеские шаржи, стихи и проза сотрудников ВВИА. Рисунки, как правило, принадлежали М. Герштейну, сотруднику академии и талантливому художнику, другу Кукрыниксов. Многие подписи сделаны Еленой Сергеевной. Например, дружеский шарж на Д. А. Вентцеля сопровождался таким четверостишием:

Боец без страха и упрека, Враг конъюнктуры и покоя, Он жил и чувствовал широко, Любил он в жизни всё земное!

В конце концов, участники “PC” составили и издали альманах “Улыбнитесь”, включавший в себя наиболее интересные материалы из стенгазеты. По причинам, которые сегодня трудно понять, реакция политорганов была крайне резкой: изъять все экземпляры альманаха и уничтожить. Разошедшиеся экземпляры изымали с помощью писем из парткома ВВИА, например, таких:

УВАЖАЕМЫЙ ТОВАРИЩ Хмара-Миронов П. Ф. ! Просим Вас в кратчайший срок вернуть по адресу: Москва А-167, ул. Серегина, 3/5, 2 факультет, партком альбом “Улыбнитесь”/-/ экз./, который в соответствии с решением парткома подлежит уничтожению.

Одновременно с этим письмом высылаем Вам 6 руб., уплаченных Вами за 1 экз. альбома. СЕКРЕТАРЬ ПАРТИЙНОГО КОМИТЕТА 2-го ФАКУЛЬТЕТА

“4 ”мая 1970 г. /ПОЛОВИНКО/

Как рассказывал П. Ф. Хмара, слушатель ВВИА, военный инженер, поэт и писатель, “каждому из бывших владельцев были возвращены 6 рублей, за которые альманах был ими куплен. Мне эти деньги были присланы почтой. Я их почтой же возвратил, а книгу оставил себе” [1, с. 135-136]. Сохранился экземпляр альманаха и у Е. С. Вентцель, которая к тому времени уже ушла из ВВИА. У действующих сотрудников академии альманах был изъят, и сваленные в кучу экземпляры были сожжены во дворе ВВИА. Вот такое аутодафе в вузе, где учились космонавты.

Лишь ближайшие родственники и самые верные друзья знали, что Елена Сергеевна пишет не только для стенгазеты, но и “для внутреннего пользования”, и, добавим к этому, — по огромной внутренней потребности. Уже в начале шестидесятых друзья читали рассказы “Хозяева жизни”, “Под фонарем”, роман “Свежо предание”. Весной 1961 года была написана повесть “За проходной”.

Об истории первой художественной публикации Елены Сергеевны рассказывает А. А. Раскина: “Е. С. <эту повесть> написала специально для мамы <Ф. А. Вигдоровой>, что называется, для внутреннего пользования, чтобы мама познакомилась с её, Елены Сергеевны, средой, с её любимыми научными работниками, технарями... Мама рассказ Анне Самойловне Берзер отнесла, той понравилось, в ”нужный момент“ она его Твардовскому <главному редактору журнала ”Новый мир“> подсунула, и ему тоже понравилось — а пролежал он в журнале год! Хотя и написал Александр Трифонович на рукописи: ”Автора нужно иметь в виду на будущее. У него есть перо“... Когда ”За проходной“ всё же собрался Твардовский печатать, встал вопрос о псевдониме. Е. С. с самого начала решила жестко разграничить эти две свои ипостаси — писателя и ученого (причем преподавателя военной академии)... Сидели дома, в столовой и всей семьей ломали голову над этой проблемой. Шли от имени Елена. Еленина? Еленская? Таня Вентцель вспомнила троянскую Елену и говорит: Елена Грекова? И тут-то Е. С. вдруг воскликнула: ”Игрекова!“ И сразу стало ясно, что так тому и быть” [1, с. 214].

В 1962 г. в журнале “Новый мир” появилась повесть, подписанная И. Грековой. Под этим псевдонимом были опубликованы все художественные произведения Елены Сергеевны и ряд публицистических статей.

Творческий контакт с “Новым миром” продолжился. В 1963 году редакция получила от автора новый рассказ “Дамский мастер”.

В 1966 году вышел сборник рассказов И. Грековой “Под фонарем”, в этом же году её приняли в Союз писателей. А через год в “Новом мире” была опубликована её повесть “На испытаниях”. Местом действия был хорошо знакомый Елене Сергеевне испытательный полигон, а прототипами ряда персонажей — очень дорогие Елене Сергеевне люди (Д. А. Вентцель — Сивере, В. Б. Соколовский — Скворцов... ). Написана была повесть со всем блеском русского реализма. Читатели были в восторге, особенно знакомые с военным бытом начала пятидесятых. Однако какому-то по сей день неизвестному высокопоставленному чиновнику, скорее всего от идеологии, повесть не понравилась. Конечно, мнения о художественном произведении могут быть самые разные. Тут всё дело в тотальности. Где-то кем-то было сказано “ату!”, и началась заведенная еще со сталинских времен проработочная истерия (“Огонек”, “Литературная газета”, “Красная звезда”, “Русская речь”, “Молодая гвардия”, в общей сложности “более 20 ругательных статей”, как писала впоследствии Елена Сергеевна). Посыпались разгромные рецензии с обвинениями в идейной порочности, художественной слабости, в клевете на вооруженные силы и даже на русский народ (вероятно, подлинная фамилия автора ввела “критиков” в традиционный соблазн).

В академии организовали партийное собрание (Елена Сергеевна никогда в партии не состояла), на котором приняли решение: считать произведение идейно порочным и находящимся на низком художественном уровне.

Елена Сергеевна Вентцель была вызвана “на ковер” к заместителю начальника академии по политической части. Хозяин кабинета заявил: “Я хочу поговорить с Вами не как генерал и заместитель начальника академии с преподавателем, а как читатель с писателем”. Елена Сергеевна в привычном лекторском темпе, под конспект, медленно и раздельно, ответила: “Первый раз в жизни меня вызвали к читателю”, на что генерал проницательно заметил: “Видно, разговор у нас не получится”.

Руководство ВВС и ВВИА не смело противоречить партийному разгулу.

Тогда Елена Сергеевна обратилась за поддержкой к литературной общественности. 16 февраля 1968 года было организовано обсуждение повести на заседании партбюро творческого объединения прозы московской организации СП7 РСФСР с участием бюро творческого объединения прозы СП и приглашенных литераторов, читателей, политработников ВВС и ВВИА (заместитель начальника политуправления ВВС, начальник политотдела Владимирского полигона и ряд офицеров полигона, доставленных спецрейсом в Москву, руководители общественно-политических кафедр академии). Всего присутствовало 60-70 человек. В стенограмме зафиксировано 27 выступлений.

Знакомство со стенограммой этого драматического заседания приводит к мысли, что имело место не обсуждение, а, скорее, нечто похожее на столкновение двух галактик — настолько далекими друг от друга были мотивы, критерии оценки и полемические приемы противников и сторонников Е. С. Вентцель.

Среди тех, кто встал на защиту Е. С, были писатели (К.И.Чуковский, И. 3. Вергасов, Г. С. Березко, А. М. Борщаговский, А. А. Крон), литературоведы и критики (Н.И.Ильина, Т. Л. Мотылева, Ф.Ф.Кузнецов, Ф.М.Левин), известный детский хирург профессор С. Я. Долецкий и еще ряд ученых и литераторов.

Следует особо отметить выступления офицеров-ученых, поддержавших И. Грекову решительно и бескомпромиссно: подполковника О. Бялковского, крупнейшего специалиста в области авиационно-космической медицины генерал-майора О. Г. Газенко, Героя Советского Союза летчика-испытателя М. Л. Галлая, подполковника И. Б. Погожева, полковника В. Б. Соколовского.

От редакции “Нового мира” вступил в полемику заместитель главного редактора В. Я. Лакшин: “... Наши некоторые газеты и журналы выступили с критикой этой повести, и пошел огромный поток почты, причем на 90% положительный. Люди возмущены тем проработанным, грубым и бездоказательным тоном, каким разговаривают с писателем со страниц ”Красной Звезды“, ”Молодой Гвардии“...” [1, с. 68]. Лакшин прочитал письмо, подписанное академиком А. Д. Александровым и группой известных ученых из Новосибирска.

7 Союз писателей.

В ответ на демагогическое заявление начальника политотдела Владимирского полигона, что “все люди нашего многотысячного коллектива и местные жители осуждают повесть” [1, с. 65], В.Я.Лакшин, опираясь на сведения о количестве подписчиков в военном городке, подсчитал, что многотысячному коллективу и местным жителям понадобилось бы несколько лет, чтобы ознакомиться с повестью.

В заключительном слове Елена Сергеевна сказала: “... Я в Союзе писателей всего год, в отличие от того, сколько лет я в армии, я нашла здесь такое сочувствие и такую поддержку, что я глубоко тронута отношением, которое здесь встретила” [1, с. 72].

Несмотря на подавляющий перевес положительных оценок повести, как во время этого обсуждения, так и в читательской почте, И. Грекову перестали печатать. В 1972 году Елена Сергеевна писала: “Отношение ко мне определяется полным фактическим умалчиванием и совершенной невозможностью что бы то ни было напечатать, — но последнее ведь явно не приписывается каким-то ”указаниям“ < ... > В общем, можно считать, что из числа действующих писателей я фактически выбыла. Меня это не слишком огорчает, потому что у меня есть другой род деятельности” [1, с. 167].

Подошел срок очередного конкурса на право занятия должности профессора. Политруководство ВВИА усиливало давление на Елену Сергеевну и её единомышленников, друзей, а также на членов ученого совета, решавших судьбу профессора Вентцель. Несмотря на это, весной 1968 года Е. С. Вентцель тайным голосованием была переизбрана на очередной пятилетний срок. По словам очевидцев, 50 голосов было “за” Вентцель и только один — “против”. На следующий день после конкурса Елена Сергеевна подала заявление об увольнении и по приглашению известных математиков Ф. И. Карпелевича (1927-2000) и Л.Е.Садовского (1916-1988) перешла на кафедру вычислительной математики Московского института инженеров железнодорожного транспорта (МИИТ8).

В этом же году Елене Сергеевне пришлось пережить еще один болезненный удар. Вместе с Александром Галичем они написали пьесу “Будни и праздники” по мотивам повести “За проходной”. Пьесу поставил МХАТ, и спектакль шел с большим успехом. Однако через полгода пьесу запретили. На этот раз партийное руководство было недовольно некоторыми песнями Галича. Позднее Е. С. Вентцель писала: “И мне жаль этот убитый спектакль, как живого человека” [1, с. 167].

Впоследствии Галича исключили из ССП9. Будучи сама в опале, Елена Сергеевна пыталась ходатайствовать за Галича перед секретарем Союза писателей генералом КГБ Ильиным. В конце концов А. Галича выслали из СССР. А. А. Раскина так описывает эти события:

"Когда Галич уезжал, Е. С. воспринимала это очень тяжело. Пошла прощаться к ним домой и, вернувшись, упала в обморок: мы с Сашей еле успели её подхватить...

8 Ныне Московский государственный университет путей сообщения.

9 Союз советских писателей.

На прощание она подарила ему свой крестильный крестик. Галич уезжал с этим крестиком на груди. Таможенники не пропускали его, потому что он был серебряный. Но Галич заявил, что его этим крестиком крестили, и он без него никуда не поедет. Блефовал, конечно, но сработало: пропустили. Уж очень власти хотели от него поскорее избавиться" [1, с. 222].

На вечере памяти Александра Галича в 1987 году Елена Сергеевна говорила, что “с этим крестиком его и похоронили” [1, с. 223].

Она не участвовала непосредственно в диссидентском движении, но когда её любимый ученик Миша Файнберг на много месяцев лишился работы, подав заявление на выезд из СССР, Елена Сергеевна немедленно оформила его своим секретарем по линии Союза писателей. Тем самым уберегла его от модного в те времена обвинения в тунеядстве.

Когда началась травля А. И. Солженицына, от себя лично послала письмо протеста в правление Союза писателей против исключения Солженицына из ССП.

В архиве КГБ за 1987-1988 годы была обнаружена следующая запись: “По указанию КГБ СССР подготовлены и доложены справки в отношении И.Грековой, Т.Толстой, Э. Кардина, В.Кондратьева, И. Дедкова, А. Стреляного” [12, с. 252].

Вернемся в 1968 год. Созданная профессорами Ф. И. Карпелевичем и Л. Е. Садовским в МИИТе кафедра прикладной математики, на которую перешла Елена Сергеевна, представляла собой уникальный научно-педагогический коллектив, неформальный центр инженерного математического образования в Советском Союзе. Очень сильным был и состав студентов на специальности “Прикладная математика”. Елена Сергеевна оказалась в дружеской творческой атмосфере. С 1968 по 1974 год Елена Сергеевна работала штатным профессором, а с 1974 по 1982 год — профессором-консультантом кафедры.

Естественно, Елена Сергеевна не бросала занятий наукой. В миитовский период она опубликовала ряд работ по применению математических методов в управлении железнодорожным транспортом. Её деятельность в МИИТе сыграла важную роль во внедрении вероятностных методов, теории массового обслуживания, динамического и линейного программирования в научные исследования проблем транспорта. Елена Сергеевна продолжала издавать учебники — совместно с Л. А. Овчаровым она подготовила два новых учебника по теории вероятностей и случайным процессам [13, 14], а также ныне чрезвычайно популярный задачник по теории вероятностей [15]. Эти учебные пособия также были переведены на многие языки и изданы миллионными тиражами в нашей стране и за рубежом. В эти же годы была написана и опубликована уже упомянутая прекрасная монография “Исследование операций” [11].

Е. С. Вентцель организовала студенческое консультационное бюро (СКБ). Научные работники и аспиранты инженерных кафедр приходили консультироваться по вопросам математического моделирования технических процессов и устройств. Студенты-математики получали ценнейшие навыки прикладных исследований, а инженеры — реальную помощь в решении своих задач.

Будучи прекрасным лектором, Елена Сергеевна, тем не менее, считала, что основой высшего образования является индивидуальная работа преподавателя со студентом во время руководства курсовым и дипломным проектированием или привлечение студентов к научной работе кафедры. Многие из тех, кому в студенческие годы посчастливилось работать под руководством Е. С. Вентцель, стали авторами серьезных научных трудов.

На годы работы в МИИТе приходится и большая часть её публицистических выступлений по актуальным вопросам высшего образования, по методологии прикладной математики, по характерным особенностям современной научной жизни.

В одной из статей Елена Сергеевна обсуждала вопрос о том, кем должны быть преподаватели высшей школы. Дело в том, что иногда выдающийся ученый оказывается посредственным преподавателем и, наоборот, блестящий преподаватель не имеет существенных достижений в науке. Но для того чтобы занимать должность доцента или профессора, преподаватель должен иметь кандидатскую или докторскую ученую степень. Так может быть, следует развивать практику присвоения степеней кандидатов и докторов педагогических наук преподавателям, достигшим высоких успехов именно в деле преподавания той или иной дисциплины?

Список научных трудов Е. С. Вентцель насчитывает около семидесяти открытых и шестидесяти закрытых работ, общий объем которых приближается к трем сотням печатных листов.

Е. С. Вентцель уволилась по собственному желанию из МИИТа в 1982 г. На заявлении об увольнении стоит виза заведующего кафедрой профессора Л. Е. Садовского: “Согласен. Но крайне сожалею”.

Те, кому посчастливилось лично общаться с Еленой Сергеевной, навсегда сохранят в памяти её огромное обаяние, безупречную и бескомпромиссную порядочность, удивительную работоспособность, глубокую эрудицию, педагогическое мастерство, широту кругозора и тонкий юмор. Елену Сергеевну помнят в МИИТе — и те, кто с ней работал, и те, кто у неё учился, и те, кто читал её книги. В МИИТе учреждена стипендия имени Е. С. Вентцель.

Миитовские годы Е. С. были отмечены и напряженным литературным трудом, несмотря на то, что с 1966 по 1980 год в СССР не вышло ни одного отдельного издания произведений И. Грековой (кроме двух детских книжек с навязанным издательством псевдонимом Ирина Николаевна Грекова). В эти годы были написаны “Маленький Гарусов”, “Вдовий пароход”, “Хозяйка гостиницы”, “Кафедра” [16]. Выходили в свет переводы её повестей и рассказов на венгерский, польский, немецкий, словацкий, болгарский, шведский, датский, финский и английский языки. Все-таки в журнале “Звезда” за 1970 год вышел “Маленький Гарусов”, а в 1976 году — “Хозяйка гостиницы”. “Новый мир” опубликовал в 1978 году “Кафедру” и в 1981 году повесть “Вдовий пароход”.

По повести “Кафедра” был поставлен телевизионный фильм.

Инсценировку совместно с П. Лунгиным повести “Вдовий пароход” первоначально поставил Государственный русский драматический театр Литовской ССР (1983г.), а потом театр им. Моссовета (1984г., в сценической ре-

дакции театра). Обе постановки были тепло приняты зрителями. И поныне “Вдовий пароход” идет на сценах ряда театров России и бывших республик СССР.

Совсем недавно, в 2003 году, вышел на экраны фильм С. Говорухина “Благословите женщину” по повести “Хозяйка гостиницы”.

После ухода с работы Елена Сергеевна почти целиком посвятила себя литературе и публицистике. Были написаны роман “Пороги”, повести “Фазан” и “Перелом”, изданы пять сборников произведений И. Грековой, напечатаны большие публицистические статьи в “Литературной газете”, “Московских новостях”, “Литературном обозрении” и других изданиях.

Горестно показательна история публикации некоторых произведений Е. С. Вентцель. Рассказ “Без улыбок” написан в 1970 году, опубликован в 1986. “Вдовий пароход” был написан не позднее 1972 года, появился в печати в 1981. Рассказ “Хозяева жизни” написан не позднее 1960 года, напечатан в 1988. Роман “Свежо предание” был представлен в редакцию “Нового мира” в 1962, опубликован в 1995 (и то в американском издательстве “Hermitage Publichers”, а в России — в 1997). Как справедливо заметила Руфь Зернова, пролежал былинный срок — тридцать лет и три года.

В письме к Л. С. Левитан и Л. М. Цилевичу причины своих трудностей с публикациями Елена Сергеевна объясняла так: “Последние полтора года я пытаюсь напечатать новую свою повесть под названием ”Вдовий пароход“ -и безуспешно. Несколько журналов совсем было её ”взяли“, но, как только заходила речь о ”переработке“, я говорила ”этого я не могу“, брала под мышку свое детище и уходила, даже с чувством облегчения — слава Богу, не придется резать, кромсать по живому. Конечно, если бы я жила на литературные гонорары, я была бы сговорчивее...” [1, с. 168].

Для Елены Сергеевны литературные занятия не были единственным источником существования, предметом карьеры и самоутверждения в конкурентной среде. Это доставляло её художественному творчеству ту “тайную свободу”, о которой говорил Блок.

На склоне лет она писала: “Теперь я благодарю Бога за то, что он уберег меня от литературы... Там, как и в любой гуманитарной науке того времени, необходимо было ”лгать“ в той или в другой форме. А нам, математикам, ”жить не по лжи" давалось просто. Пробраться через частокол формул было настолько трудно, что никто (кроме самых бездарных) не профанировал науку.

А Сталин (при всей своей необразованности почти во всех науках) умел “делать вид”, что кое-что понимает. До математики он, слава Богу, не добрался. Хотя, черт его знает — проживи он несколько дольше — возможно, добрался бы и до математики. Так и вижу заголовок в газете: “Об идеологических извращениях на нашем математическом фронте” [1, с. 17].

Елене Сергеевне было присуще какое-то органическое чувство истинности не только в науке и литературе, но и во всем её мироощущении. В годы перестроечной эйфории Елена Сергеевна предупреждала: “Непродолжителен был этот НЭП, промелькнул — и нет его. У нас принято часто вспоминать то время. Логика простая: ”Если было возможно тогда, почему невозможно

теперь?“ Нет, история себя не повторяет. За 72 года нашей полной безнравственности успел сформироваться тип бесстыдного хапуги, не стесненного ну никакой нравственностью. В начале 20-х годов облик бесстыжего ”жлоба“ еще не приобрел таких страшных черт, которые есть у него теперь” [1, с. 24]. Это было написано в 1989 году.

Роман “Свежо предание” обычно представляют как повествование о государственном антисемитизме начала пятидесятых годов прошлого века. По сюжету это действительно так. На самом же деле это прежде всего роман о России, о русской цивилизации, о той угрозе, которая нависает над этой цивилизацией, когда силы отталкивания становятся намного больше сил притяжения. Елена Сергеевна считала, что публикация безнадежно запоздала. Необратимый исход состоялся, и потери невосполнимы. Но всё снова и снова повторяются пароксизмы отторжения теперь уже других национальностей и культурных своеобразий. И тридцать три года пролежавший под спудом роман становится тревожным предупреждением, преданием о будущем. Услышат ли этот тревожный сигнал?

По происхождению, воспитанию и самовоспитанию Елена Сергеевна была плоть от плоти той великой русской культуры, которая яркой сверхновой звездой засияла в девятнадцатом веке и блеск которой рискует потускнеть на наших глазах. Ей было бесконечно дорого всё, что развивало и обогащало великие традиции, и ненавистно всё, что искажало и обедняло их.

В художественном творчестве и во всем облике Е. С. Вентцель поражала удивительная гармония традиционности и приятия всего лучшего (или необходимого) в современности. Само присутствие Елены Сергеевны укрепляло связь времен и вселяло надежду на сохранение лучших начал российской ментальности. “Имейте в виду, я никогда никуда не поеду. Здесь мои корни, и здесь я и умру”, — говорила своим близким Елена Сергеевна.

В беллетристике И. Грековой и в научных трудах Е. С. Вентцель важнейшую роль играет чувство родного языка, этот вечный, неотделимый праздник каждого интеллектуала. Прекрасно владея всеми оттенками русского языка — от областных говоров до профессиональных сленгов электронщиков и программистов, от архаичных церковно-славянских оборотов до, мягко скажем, раскованного офицерского лексикона, — И. Грекова пользовалась этим языковым богатством с безукоризненным тактом и чувством меры.

Обычно толчком к созданию её произведений были реальные события и человеческие судьбы. Но ситуации, описанные И. Грековой, настолько жизненны и типичны, что многим кажется — именно в его городе, среди его знакомых произошла эта история. Часто сотрудники разных организаций с жаром доказывали, что именно у них работают прототипы и именно у них имели место описываемые события.

В её рассказах, повестях и романах под покровом ярких колористических пятен скрывается глубинный смысл, который исподволь, неназойливо проникает в сознание читателя. Не скрывая от читателя весь трагизм человеческой жизни вообще, а в России двадцатого века в особенности, Елена Сергеевна оставила блестящие образцы благородства, достоинства и юмора. В произведениях И. Грековой есть именно то, что так важно сохранить для

последующих поколений. И мы, свидетели и соучастники событий, можем с чистой совестью подтвердить, что она рассказывала правду и только правду.

В статье “Памяти Е. С. Вентцель” Д.В.Кузьмин писал: “... И есть еще литература, которой по плечу особая миссия: свидетельствовать о своем времени и о людях, которые составляют его соль. Место этой литературы может показаться скромным — но страшно подумать, какая могла бы на её месте быть пустота. Спасибо, Елена Сергеевна, что это место не осталось пустым”10.

Хорошо, что книги И. Грековой появляются в книжных магазинах в разделах современной классики и исчезают с этих полок так же быстро, как и учебники Е. С. Вентцель.

Еще далеко не все написанное Е. С. Вентцель попало в широкую печать. Есть замечательные воспоминания о Ленинградском университете двадцатых годов, ответы на вопросы С.И. Ожегова о русском языке и многое другое. Не нашли дорогу к читателю написанные для внуков интереснейшие “Сказки дикой бабушки” (С. Маршак когда-то написал: “Бабушки бывают домашние и дикие. Домашние сидят дома и нянчат внуков, а дикие бегают по редакциям”.). У Елены Сергеевны две внучки, двое внуков, две правнучки и четверо правнуков.

Елена Сергеевна прошла долгий, трудный и славный жизненный путь. Были на этом пути трагические потери и тяжкие переживания, были творческие успехи, были замечательные друзья: литературные критики Татьяна Хмельницкая и Наталия Ильина, писатели Фрида Вигдорова, Вениамин Каверин и Лидия Чуковская, известная журналистка Ольга Чайковская, офицеры-ученые и коллеги-математики. Всех не перечислить.

Прожив почти весь двадцатый век, Елена Сергеевна уходила из жизни медленно и постепенно, как заходит Солнце в северных широтах. Она скончалась 15 апреля 2002 года. Отдавая долг памяти Е. С. Вентцель, в редакционной статье отдела культуры “Независимой газеты” 19 апреля 2002 года писали: “Гармоническое сочетание литературы и точных наук, безупречный профессионализм и такое же безупречное чутье на фальшь в слове и решении задачи — вот фирменная марка этого человека”.

Авторы выражают глубокую признательность Р. П. Вентцель, Т. Д. Вентцель, А. Д. Вентцелю и А. А. Раскиной за доброжелательную помощь в сборе биографических сведений и полезные замечания по тексту статьи.

ЛИТЕРАТУРА

1. Е. С. Вентцель-И. Грекова. К столетию со дня рождения: Сборник. — М.: Издательский дом “Юность”, 2007. 240 с.

2. Токарева Т. А. Филоматический пролог Московского математического общества // Историко-математические исследования. Вторая серия. — М., 2002. Вып. 7(42). 378 с.

3. Климова Д. Н., Жук В. И., Чебанов В. Д. Андрей Митрофанович Журавский. — М.: Наука, 2007. 149 с.

10 Кузьмин Д. В. Памяти Е. С. Вентцель // Русская Мысль 25 апреля 2002 г.

4. Моисеев Н.Н. Как далеко до завтрашнего дня. Свободные размышления. — М.: МНЭПУ, 1997. 310 с.

5. Вентцель Е.С., Овчаров Л. А. Теория вероятностей. — М., 1969.

6. Колмогоров А. Н. Число попаданий при нескольких выстрелах и общие принципы оценки эффективности системы стрельбы // Труды Математического института им. В. А. Стеклова. Т. 12 (Сб. ст. по теории стрельбы). С. 7-25. — М., 1945.

7. Морз Ф., Кимбелл Д. Методы исследования операций. — М., 1965.

Methods of Operations Research, by Philip M. Morse and George E. Kimball, John Wiley, New York, 1951, MORS reprinting 1998, 158 p.

8. Вентцель E. С, Лихтерев Я. М., Мильграм Ю. Г., Худяков И. В. Основы теории боевой эффективности и исследования операций. — М.: ВВИА, 1961. 524 с.

9. Вентцель Е.С., Воронов Б. В., Кочетков Ю.А. Воздушная стрельба. — М.: ВВИА, 1947. 563 с.

10. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. Учебник для ВТУЗ. — М.: Физматгиз, 1958. Последнее издание М.: Высшая школа, 2006. 575 с]

11. Вентцель Е. С. Исследование операций. Задачи, принципы, методология. — М.: Высшая школа, 2001. 208 с.

12. Урушадзе Г. Ф. Избранные места из переписки с врагами. Семь дней за кулисами власти. — СПб.: Издательство Европейского дома, 1995. 480 с.

13. Вентцель Е. С, Овчаров Л. А. Теория вероятностей и её инженерные приложения. — М.: Высшая школа, 2007. 491с; М.: Академия, 2003. 459с

14. Вентцель Е. С, Овчаров Л. А. Теория случайных процессов и её инженерные приложения. — М.: Высшая школа, 2000. 383 с; М.: Академия, 2003. 428с; М.: Высшая школа, 2007. 479 с

15. Вентцель Е.С, Овчаров Л. А. Задачи и упражнения по теории вероятностей. — М.: Высшая школа, 2002. 448с, а также Академия, 2004, 2005. 441с и т.д.

Первые издания назывались “Теория вероятностей. Задачи и упражнения” — М.: Наука, 1969. 480 с

16. Грекова И. Кафедра. — М.: Советский писатель, 1980.

ELENA SERGEEVNA VENTCEL

G. A. Zverkina, G. L. Epshteyn

The biography of the known scientist and Professor Elena Sergeevna Ventcel, a popular writer publishing the writings with a pseudonym “I. Grekova”.

Keywords: biography of E. S. Ventcel, probability theory, operations research, teaching of mathematics, writer I. Grekova.

ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ, ПЕРСОНАЛИИ

УДК 51(091)

ЗАМЕТКИ О НЕДЕСЯТИЧНЫХ СИСТЕМАХ СЧИСЛЕНИЯ В ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТАХ И ЗАПИСНЫХ КНИЖКАХ ЛЕОНАРДА ЭЙЛЕРА

А. Е. Шухман, Е. В. Шухман

Оренбургский государственный педагогический университет, Россия, 460001, г. Оренбург, пр. Гагарина, 1; тел.: (3532)331295; e-mail: moye@inbox.ru

В записных книжках Леонарда Эйлера удалось обнаружить ранее не публиковавшиеся заметки по недесятичным системам счисления. В статье излагаются результаты по этой тематике, опубликованные Эйлером и дополненные материалами из его записных книжек.

Ключевые слова: история математики, Леонард Эйлер, недесятичные системы счисления.

В 2007 году во всем мире широко отмечался трехсотлетний юбилей великого математика Леонарда Эйлера (1707-1783). В связи с этой датой в предыдущем номере журнала была опубликована статья, посвященная жизни и творчеству Леонарда Эйлера [1]. Отметим, что Эйлер внес огромный вклад в развитие практически всех разделов математической науки XVIII века: алгебры, геометрии, анализа, теории дифференциальных уравнений, теории чисел. Несмотря на прошедшие века, труды Эйлера продолжают привлекать внимание исследователей, многие страницы его рукописей до сих пор неизвестны широкому кругу математиков. Наша статья представляет некоторые результаты Эйлера в области недесятичных систем счисления, позволяющие считать его одним из создателей соответствующего раздела алгебры. Эти результаты дополняют известную из имеющихся публикаций картину широты интересов Эйлера и будут интересны прежде всего преподавателям математики и истории математики.

Недесятичные системы счисления нашли применение в науке и практике, прежде всего в связи с широким использованием в вычислительной технике. Мы применяем всем известные алгоритмы для перевода из одной системы счисления в другую, выполняем действия над числами в недесятичных системах счисления, не задумываясь над вопросом о происхождении этих алгоритмов. Тем не менее история систем счисления достаточно актуальна. Не останавливаясь на древней истории появления различных позиционных и непозиционных систем счисления, очень хорошо рассмотренной в статье И. Г. Башмаковой и А.П.Юшкевича [2], а также в книге С.В.Фомина [3], отметим, что как объект научного познания математиков системы счисления стали изучаться начиная с XVI века. Среди великих ученых, внесших свой вклад в обоснование и развитие теории систем счисления, были Фрэнсис Бэкон (1561-1626), Блез Паскаль (1623-1662), Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716), Жозеф Луи Лагранж (1736-1813), Карл Фридрих Гаусс (1777-1855), Огюстен Луи Коши (1789-1857) и многие другие.

Наиболее известны результаты Лейбница, который считается основоположником двоичной арифметики. Статья Лейбница [4], вышедшая в 1703 году, стала первой публикацией по теме двоичной арифметики в научном журнале. В статье Лейбниц предлагает использовать для записи чисел не степени десятки, а степени двойки. Он приводит двоичные записи целых чисел от 0 до 32, а также несколько примеров вычислений: по три — на сложение, умножение и вычитание и один пример на деление. Лейбниц отмечает исключительную простоту действий над двоичными числами, отсутствие необходимости использования таблиц сложения и умножения. Он также пишет о закономерностях в чередовании двоичных цифр в числах, образующих арифметическую прогрессию. Более подробно этот вопрос рассмотрен в опубликованных заметках [5]. В оставшейся части статьи Лейбниц обсуждает скорее философские, чем математические вопросы. Так, для Лейбница цифра один обозначает Бога, цифра ноль — ничто. Ученый приводит примеры использования двоичного кода в гексаграммах из древней китайской “Книги перемен”. Отметим, что Лейбниц нигде не использует двоичные дроби, не рассматривает алгоритмы перехода к двоичной системе счисления.

Тем не менее Лейбниц настолько гордился своим изобретением двоичной арифметики, что написал о нем герцогу Рудольфу Августу, прося его изготовить по этому поводу серебряную медаль. На медали выгравированы таблица с изображением записи чисел от 0 до 16 и два примера: один на сложение, другой — на умножение двоичных чисел. На краю медали изображена лента с надписью: “Чтобы вывести из ничтожества всё, достаточно единицы”.

В опубликованных работах и записных книжках великого математика XVIII века Леонарда Эйлера (1707-1783) также встречаются заметки, относящиеся к недесятичным системам счисления. Однако в наиболее полном труде по истории систем счисления А. Глэйзера [6] Эйлер упоминается только дважды: в связи с опровержением гипотезы о том, что числа Ферма Fn = 22™ +1 являются простыми (использовалось представление чисел в виде суммы степеней двойки), и при обсуждении задачи о выборе оптимального набора гирь для взвешивания на двухчашечных весах (оптимальный набор гирь имеет массы, равные степеням тройки). В русскоязычной литературе по истории систем счисления имя Эйлера не упоминается вовсе.

Однако именно Эйлер впервые привел строгое доказательство единственности представления целого числа в двоичной системе счисления. В XVI главе “О разбиении чисел на слагаемые” I тома “Введения в анализ бесконечно малых” [7] Эйлер рассматривает метод для вычисления количества способов, которым может быть представлено некоторое число р в виде суммы заданных чисел t{. Он записывает произведение А = П(1 + ж^)и утверждает, что искомое количество равно коэффициенту при хр в разложении А. В частном случае, если ti = 2г, задача приводит к разложению в ряд бесконечного произведения Р = (1 + х)(1 + х2)(1 + х4)(1 + х8)(1 + X16) ... Эйлер записывает формально ряд, получающийся при развертывании произведения:

(1)

Далее он подставляет в (1) вместо переменной х квадрат ж2. Получается

Умножая обе части равенства на 1 + ж, Эйлер получает:

(2)

Сопоставление (1) и (2) дает следующие равенства:

Таким образом,

Этот результат означает, что любое целое число может быть единственным образом представлено в виде суммы степеней двойки. Указание на этот результат Эйлера содержится в книге У. Данхэма [8, с. 166]. Приведенное доказательство очень характерно для Эйлера. Хитроумные манипуляции с бесконечными рядами и произведениями были главным инструментом ученого для получения новых математических результатов.

Кроме огромного количества опубликованных трудов Эйлер оставил обширное научное наследие неопубликованных рукописей, записных книжек и писем. Наибольший интерес для истории научных открытий Эйлера представляют записные книжки ученого — двенадцать переплетенных томов различного объема от 152 (№130) до 544 (№131) страниц. Их общий объем превышает 3000 страниц [9]. Записные книжки хранятся в Санкт-Петербургском филиале Архива Российской академии наук [10]. В них отражен ход работы над многими научными проблемами, окончательные решения которых позднее были опубликованы. Однако большое число материалов из записных книжек так никогда и не вышло в свет.

Получить представление о богатстве методов и идей Эйлера в области недесятичных систем счисления можно из заметок на л. 208 об. записной книжки №131, датированной 1736-1740 гг. Здесь Эйлер переводит число 7г, выписанное с 12 знаками после запятой, в двоичную систему счисления. Для перевода используется классический алгоритм, сводящийся к последовательным умножениям на 2. Эйлер получает, что

На той же странице, но другими, более темными, чернилами сделана приписка: "Это число можно представить с помощью арифметики с основанием 24 как c,ciniaalla

Здесь Эйлер обозначает цифры буквами а=1, 6 = 2, с = 3,... В найденном выражении верными являются только 7 цифр после запятой. Чуть ниже, видимо вспомнив про то,

что необходим символ для обозначения нуля, Эйлер выписывает обозначения а = 0, Ь=1,с = 2,...и переводит в 24-ричную систему счисления число 1745 = das. Вероятнее всего, это дополнение было сделано именно в 1745 г.

Таким образом, Эйлер впервые привел строгое доказательство единственности представления целого числа в двоичной системе счисления. Заметки в записных книжках демонстрируют знание Эйлером алгоритма перевода десятичной дроби в двоичную. Также Эйлер одним из первых предложил использовать в качестве цифр в позиционных системах счисления с основанием больше 10 латинские буквы.

Авторы благодарят руководство Санкт-Петербургского архива РАН за возможность изучения рукописного наследия Эйлера и создателей сайта books.google.com за предоставление доступа к классическим изданиям XVI-XIX вв.

ЛИТЕРАТУРА

1. Емельянова И. С. Читайте, читайте Эйлера // Математика в высшем образовании. 2007. Т. 5. С. 113-120.

2. Башмакова И. Г., Юшкевич А. П. Происхождение систем счисления / Энциклопедия элементарной математики. Книга 1. Арифметика. — М.-Л.: ГТТИ, 1961. С. 12-76.

3. Фомин С.В. Системы счисления. — М.: Наука, 1987. 48с.

4. Leibniz G.W. Explication de l'arithmétique binaire, qui se sert des seuls caractères 0 et 1 avec des remarques sur son utilité, et sur ce qu'elle donne le sens des anciennes figures Chinoies de Fohy / Die mathematische Schriften von Gottfried Wilheim Leibniz, vol. VIL CL Gerhardt (ed). - Halle: 1863. P. 223-227.

5. Leibniz G. W. Demonstratio, quod columnae serierum exhibentium poteslates ab arihtmeticis aut numéros ex his conflatos sint periodicae / Die mathematische Schriften von Gottfried Wilheim Leibniz, vol. VIL СЛ. Gerhardt (ed). — Halle: 1863. P. 235-237.

6. Glaser A. History of binary and other nondecimal numeration. — Tomash Publishers, 1981. 218p.

7. Эйлер Л. Введение в анализ бесконечно малых. Том I / Пер. Е. Л. Пацановского — М.-Л.: ОНТИ, 1936. 352с.

8. Dunham W. Euler: The master of us all. — Washington D.C.: Mathematical Association of America, 1999. 185 p.

9. Матвиевская Г. П. О рукописном наследии и записных книжках Эйлера // Развитие идей Леонарда Эйлера и современная наука. — М.: Наука, 1988. С. 122-129.

10. Санкт-Петербургский филиал Архива РАН (ПФА РАН). Ф. 136. Оп. 1, №129-140.

NOTES ABOUT NONDECIMAL NUMERATIONS IN THE PUBLISHED PAPERS AND NOTE-BOOKS BY LEONARD EULER

A. E. Shukhman, E. V. Shukhman

The article is presented some published and unpublished Euler's results about non-decimal numerations.

Keywords: history of mathematics, Leonard Euler, nondecimal numeration.

НОВАЯ УЧЕБНАЯ ЛИТЕРАТУРА ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ВУЗОВ

Ибрагимов Н. Х. Практический курс дифференциальных уравнений и математического моделирования. Классические и новые методы. Нелинейные математические модели. Симметрия и принципы инвариантности / Перевод с англ. И. С. Емельяновой. — Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета, 2007. 421 с.

Предисловие переводчика

Перевод этого учебника на русский язык ожидался в ведущих вузах Москвы, Новосибирска, Нижнего Новгорода, Уфы, Казани и других городов России, а также других стран, в которых преподавание естественных дисциплин ведется на русском языке. Он трижды (в 2004, 2005, 2006 гг.) издавался на английском языке. Автор учебника — профессор Наиль Хайруллович Ибрагимов — сейчас работает в Технологическом институте шведского города Карлскрона. Он преподавал в университетах России, Турции, ЮАР, неоднократно читал лекции в США, Франции, Италии и в других странах.

Учеба в МФТИ и Новосибирском государственном университете сформировала круг его научных интересов: групповой анализ дифференциальных уравнений, риманова геометрия и теория относительности, математическое моделирование широкого спектра процессов и явлений. Его научные достижения отмечены Государственной премией СССР (1985), званием “Исследователь года” (2004) научного общества Блекинга (Швеция) и другими наградами.

Автор остановил свой выбор на Нижегородском университете в качестве базового для перевода учебника на русский язык не случайно: нашему сотрудничеству уже несколько десятков лет. По инициативе академика Л. В. Овсянникова, профессора Н. Х. Ибрагимова и нижегородских ученых в нашем городе состоялась одна из международных конференций “Современный групповой анализ и его приложения”. Именно в Нижегородском университете профессором Ю. И. Неймарком читается не имеющий аналогов курс по математическому моделированию. Более 30 лет на факультете вычислительной математики и кибернетики автором перевода читается курс “Современный групповой анализ”, в ННГУ печатаются учебники и учебные пособия по этой тематике.

Новый учебник Н. Х. Ибрагимова “Практический курс дифференциальных уравнений и математического моделирования” отличается логической цельностью построения и широтой охвата материала. Нередко в наших вузах курсы “Дифференциальные уравнения”, “Математическая физика”, “Математическое моделирование” и, тем более, специальные курсы “Группы и алгебры Ли”, “Обобщенные функции и пространства Соболева”, “Групповой анализ дифференциальных уравнений” и другие слабо связаны между собой. В настоящем учебнике неразрывная связь между этими и другими темами книги выдержана с первых до последних строк. Сформированные в главе 2 математические модели исследуются в последующих главах; на наглядных примерах демонстрируется, что групповой анализ дифференциальных уравнений служит естественным (и нередко единственным!) инструментом для решения нелинейных уравнений, обыкновенных и с частными производными, описывающих реальные процессы.

Сам выбор математических моделей превращен в увлекательное занятие: вы узнаете, как описать математически образование и падение дождевых капель; как поступить фермеру, если разбился градусник, необходимый ему для пастеризации молока; почему шляпка гриба имеет такую форму; как развивается злокачественная опухоль; как происходит ценообразование пакета акций на бирже.

Осваивать современные математические знания по этому учебнику Н. Х. Ибрагимова интересно еще и потому, что автор постоянно требует от читателя со-творчества, задавая ему вопросы, предлагая задачи и не просто сопровождая их ответами в конце учебника, но нередко помогая получить ответ с помощью комментариев, доступных внимательному читателю и “запрятанных” в тексте.

Этот учебник может быть использован на разных стадиях обучения в вузе. Он содержит материал для начинающих студентов, для бакалавров, магистров, аспирантов, специалистов. При этом заинтересованный читатель может самостоятельно осваивать материал, поскольку весь учебник так методически выстроен, что допускает углубленное изучение любого вопроса с привлечением рекомендуемой литературы. Это способствует формированию навыка работы с научной книгой. Как известно, такой навык редко вырабатывается “сам собой”, без специальных усилий со стороны преподавателя.

Я благодарна автору за чуткое и внимательное отношение к моим замечаниям и уточнениям, возникавшим при подготовке книги.

Нет сомнения, что этот фундаментальный учебник займет достойное место среди русскоязычных изданий для вузов по дифференциальным уравнениям и математическому моделированию.

И. С. Емельянова,

доктор физ.-мат. наук, профессор кафедры прикладной математики факультета вычислительной математики и кибернетики Нижегородского государственного университета

Кудрявцев Л. Д. Избранные труды. Том третий. Мысли о современной математике и её преподавании. — М.: Физматлит, 2008. 434 с.

Книга Л. Д. Кудрявцева “Мысли о современной математике и её преподавании” представляет собой собрание публицистических трудов известного педагога и ученого-математика, посвященных актуальным проблемам современного общества и образования, в том числе математического. Этот материал является плодом глубоких раздумий автора и особой его заботы, которую он проявляет в вопросах нравственного состояния общества, воспитания молодежи, сохранения лучших традиций российского образования.

Научное издание содержит главы: “Современная математика и её преподавание”, “Образование и нравственность”, “Современное общество и нравственность”, “Среднее образование. Проблемы. Раздумья”, “Проблемы образования в России”, а также библиографические материалы о Л. Д. Кудрявцеве и список его публикаций.

Книгу открывает вступительная статья, которую мы считаем целесообразным привести полностью.

Размышления российского интеллигента

В традиции лучших представителей российской интеллигенции, деятелей науки и литературы, медицины и культуры, образования и религии во все времена была естественная внутренняя потребность не только глубоко профессионально делать свое дело, но и глубоко заинтересованно участвовать в обсуждении конкретных проблем окружающего мира. Классическая максима “поэтом можешь ты не быть, но гражданином быть обязан” как нельзя точно определяет моральный принцип, которым руководствовались наши выдающиеся ученые и художники, никогда не отгораживавшиеся от реалий жизни общества.

К числу таких российских интеллигентов с полным правом мы можем отнести Льва Дмитриевича Кудрявцева. Талантливый математик, хорошо известный во всем мире замечательными результатами, блестящий лектор, лично обучивший не одно поколение отечественных специалистов, прекрасный педагог, по учебникам которого занимаются студенты в нашей стране и за рубежом, крупный организатор науки и образования, тонкий ценитель искусства и глубокий мыслитель... — вот далеко не полный портрет этого человека.

Л. Д. Кудрявцев никогда не замыкался только в занятиях математической наукой и обучении математике. Его отличительной чертой является глубокий интерес к конкретным вопросам математической подготовки школьников и студентов, постоянные размышления над общими путями развития среднего и высшего образования.

Проблемы образования являются сегодня для нашей страны одними из самых злободневных. Ведь без достаточно высокого уровня образованности населения неосуществимо возрождение Российского государства, как социальное, так и экономическое, немыслим общеопределяющий в XXI веке прогресс науки и техники, невозможно нравственное развитие нации. Все это не может не интересовать и не волновать настоящего ученого и истинного патриота.

Л. Д. Кудрявцеву принадлежит несколько книг — они указаны в списке литературы — о состоянии средней и высшей школы, о проблемах образования и методах обучения, о математическом образовании в частности, о различных компонентах обучения: этической, культурной, нравственной. Этим же темам посвящена и настоящая книга, большую часть которой составляют ранее опубликованные (в различных издательствах) книги автора, в которые внесен ряд дополнений.

Автор излагает итоги своих долгих и трудных раздумий о том, что и как происходит в столь небезразличном ему образовании, осмысливает уроки своего жизненного и педагогического опыта, делится с читателем своими представлениями о сложном и многообразном понятии “образованный, культурный и нравственный человек”. Он проводит анализ нынешнего состояния среднего и высшего образования в нашей стране, сообщает исторические сведения об его становлении в России, вскрывает его недостатки и, главное, намечает конкретные пути их устранения (например, представляет проект учебного плана для средней школы, отвечающего сегодняшним требованиям к обучению молодежи), обсуждает особенно нетривиальные сейчас проблемы воспитания Человека.

В фокусе книги — актуальный сегодня вопрос о реформировании или, если больше нравится, о модернизации российского образования. Несомненно, образование должно эволюционировать, учитывая смены времен. Недаром говорят: если бы все дети всегда беспрекословно подчинялись воле родителей, а все ученики всегда беспрекословно выполняли указания учителей, то человечество и сегодня жило бы в пещерах, одевалось в шкуры и добывало огонь трением. Однако любые нововведения в образовательный процесс, тем более радикальные, следует сначала не семь, а семьдесят семь раз продумать и взвесить.

И еще хочется отметить одну особенность книги — её замечательный русский язык и литературный стиль. В том потоке жаргонных словечек типа “саммит”, “кастинг”, “мосшуз” и др. (не будем говорить о явно нелитературной лексике), режущих ухо невообразимых фразопостроений, которыми нас потчуют средства информации и новомодные писатели, речь автора-математика представляется, увы, редким исключением.

С полной уверенностью можно сказать, что книга Л. Д. Кудрявцева вызовет живой интерес у самого широкого круга читателей — независимо от их профессии, ибо проблемы образования — это те проблемы, которые касаются каждого. Какие-то соображения автора получат горячую поддержку. Другие же его мысли вызовут возражения и породят дискуссию. Но тогда задачу книги можно считать выполненной — ведь только активное и заинтересованное общественное обсуждение может помочь разумно решать все проблемы российского образования.

Эта книга посвящена юбилею Льва Дмитриевича Кудрявцева. Многолюдная научная конференция, приуроченная к этой дате в марте 2008 года, надеемся, будет ярким выражением искреннего уважения к этому человеку и глубокого признания его заслуг. С полным основанием можно сказать, что друзья, коллеги, соратники, ученики, знакомые Льва Дмитриевича гордятся тем, что им выпало счастье жить и работать рядом с ним.

Данная книга, представляющая собрание публицистических философских трудов Л. Д. Кудрявцева, еще раз демонстрирует неутомимость и живость мысли нашего дорогого ветерана.

Н. X. Розов

член-корр. РАО, профессор, декан МГУ

Прасолов А. В. Математические методы экономической динамики: Учебное пособие. — СПб.: Лань, 2008. 352с.

Учебное пособие содержит методы и модели экономической динамики, т. е. той части экономической теории, которая устанавливает причины изменений в экономике, основываясь на количественных оценках. Изложенный в книге материал будет полезен аналитически мыслящим специалистам с хорошей математической подготовкой, в частности студентам, аспирантам и научным работникам. Математические методы исследования линейных и нелинейных уравнений, анализ влияния временных лагов, задачи идентификации и прогнозирования — всё это найдет своего читателя не только среди экономистов, но и среди биологов, социологов и, вообще, прикладных математиков.

Сочнева В. А. Краткий конспект лекций по математике с элементами теории вероятностей и математической статистики. Для студентов гуманитарных специальностей. — Казань: Казанский государственный университет, 2007. 78 с.

Предисловие

Настоящее пособие предназначено для студентов 1 курса нематематических специальностей. В последнее время математика проникла в программы самых гуманитарных факультетов университетов. В специальных статьях и учебниках по социологии, политологии, юридическим наукам употребляются термины: метод наименьших квадратов, собственное значение матрицы, доверительный интервал и другие слова, смысл которых надо, как минимум, понимать.

Строгое введение этих понятий, доказательства их свойств, содержащиеся в учебниках для математиков и инженеров, требуют достаточно большого количества часов, что не соответствует учебным планам для гуманитариев. Для политологов, например, на курс математики с элементами теории вероятностей и математической статистики выделяется 3 часа в неделю в первом семестре и 2 часа во втором. Среди имеющихся учебников и учебных пособий, предназначенных для гуманитариев, наблюдаются две крайности: либо они содержат общие рассуждения о пользе математики, либо включают в себя массу формул, в которые надо подставить одни числа, получить другие и запомнить, что это означает.

В данной работе делается попытка, не вдаваясь в эти крайности и учитывая программу по математике обычной средней школы, дать с минимальными доказательствами, опираясь на характерные примеры и наводящие соображения, самые основные сведения из следующих разделов: линейная алгебра; элементарные сведения из аналитической геометрии; математический анализ (элементарные функции, дифференциальное и интегральное исчисление, дифференциальные уравнения); элементы теории вероятностей и математической статистики. После каждого раздела приводятся упражнения для решения в аудитории и самостоятельной работы. В конце пособия приведены примеры контрольных работ, проводившихся в течение учебного года: три работы в первом семестре и две — во втором. Тот факт, что всегда находились студенты, выполнявшие эти работы на “отлично”, говорит о возможностях студентов-гуманитариев воспринимать и осознанно применять математические методы.

Степанов Н.А., Жогова Т.Е., Казнина О. В. Геометрия I —II: Учебное пособие для студентов физико-математических факультетов педагогических вузов. — Н. Новгород: Изд-во НГПУ, 2007. Кн. I -299 с; Кн. II - 313 с.

Учебное пособие написано в соответствии с Государственными образовательными стандартами по направлению 540200 (050200) “Физико-математическое образование” (профиль “Математика”) и по специальности 050201 “Математика” и содержит 19 глав, составляющих первую часть курса “Геометрия”. К первой книге отнесены

главы 1-9, ко второй — главы 10-19. В основу пособия положен многолетний опыт авторов, накопленный в процессе преподавания геометрии на математическом факультете Нижегородского государственного педагогического университета. С учетом того что часть учебного материала изучается студентами самостоятельно, в пособии приводятся подробные доказательства большинства теорем, разъясняются те моменты, где велика вероятность неправильного понимания и ошибок. Приводятся примеры использования теоретического материала в решении задач школьного курса геометрии.

Редакция сочла возможным поместить рецензию на это издание За последние два десятилетия педагогическое образование претерпело существенные изменения, связанные с масштабными преобразованиями общественной жизни. В повседневную практику вошли государственные образовательные стандарты, определяющие цели и содержание учебных дисциплин. При этом методическое обеспечение происходящих изменений, как всегда, отстает. Это касается и математического образования в педвузах. В частности, имеются определенные трудности с учебной литературой по математике, в том числе и по геометрии. Новых учебников по этой дисциплине мало, хотя частично переиздается литература дореформенного периода. Между тем при аттестации педвузов требуется, и правильно требуется, чтобы в учебном процессе использовались новые издания, имеющие соответствующий гриф. В связи с этим издание учебников ведущими педвузами полезно и имеет хорошие перспективы.

Именно к таким изданиям относится вышедший в 2007 году в Нижегородском государственном педагогическом университете учебник по геометрии авторского коллектива в составе Н. А. Степанова, Т. Б. Жоговой, О. В. Казниной, написанный, как отмечают сами авторы, на основе многолетнего опыта преподавания этой дисциплины. Учебник состоит из двух книг: “Геометрия I” и “Геометрия II”. Первая книга содержит материал, относящийся к аналитической геометрии: векторная алгебра, геометрия образов первого и второго порядков. Во второй книге изложен материал, относящийся к преобразованиям плоскости и пространства, а также к многомерной геометрии.

При обращении к такой традиционной теме трудно претендовать на оригинальность. Тем не менее учебник содержит ряд отличительных особенностей, делающих это издание привлекательным.

Прежде всего хотелось бы отметить детальность и полноту изложения материала, вошедшего в учебник, что обусловлено, с одной стороны, слабой геометрической подготовкой поступающих в педвузы, а с другой — усилением роли самостоятельности работы студентов в связи с сокращением числа часов на эту дисциплину. Теоремы снабжены подробными доказательствами, вновь вводимые понятия иллюстрируются характерными примерами. Отличаются и обсуждаются те места в изложении материала, где возможно, как показывает опыт, их ошибочное понимание студентами. Вместе с тем широко используются межпредметные связи, особенно с курсом алгебры. Так, например, в разделе “Векторная алгебра” векторы, операции над ними и векторные пространства рассматриваются как геометрические модели соответствующих алгебраических понятий. Изложение вопросов, связанных с преобразования-

ми плоскости и пространства, основывается на теоретико-групповых понятиях, предполагаемых известными.

Заслуживает положительной оценки структурирование учебного материала, состоящего в совместном изучении аналогичных вопросов планиметрии и стереометрии: модели двумерного и трехмерного векторных пространств, метод координат на плоскости и в пространстве, преобразования плоскости и пространства. Отличается от традиционного порядок изложения материала, связанного с преобразованиями плоскости: аффинная группа, группа подобий, группа движений. Это дает возможность проследить процесс обогащения геометрическими фактами при переходе от группы преобразований к её подгруппе. Значительно полнее, чем в имеющихся учебниках, изложен групповой подход к геометрии; рассмотрены примеры геометрий некоторых классических групп: аффинной, эквиаффинной, групп подобий и движений. При проведении классификаций различных объектов и понятий: квадрик, преобразований и др. — даются примеры их использования для доказательства различных теоретических положений. Квадратичные формы в связи с их приложениями в геометрии рассматриваются только над полем действительных чисел. При этом много внимания уделено методам приведения их к каноническому виду. В частности, дается метод симметрических матриц ранга 1, ранее в литературе не встречавшийся. Нетрадиционным является подход к изложению обобщенной полярной системы координат. Хотелось бы еще обратить внимание на тщательное, с проведением всех доказательств, обоснование понятия векторов. Хотя в дальнейшем на первый план выступает их операторная роль, важно уже в самом начале курса развивать у студентов внутреннюю потребность к логическому обоснованию, формировать умение искать, находить и проводить доказательства теорем, которые принято порой считать очевидными.

В качестве замечаний критического характера можно отметить следующее. В учебнике отсутствует список задач и упражнений для самостоятельного решения их студентами. Хотя задачников по геометрии для педвузов достаточно, всё же специально подобранные задачи, отвечающие характеру изложения теоретического материала, были бы полезны. Отсутствует предметный указатель, который облегчил бы пользование учебником.

Однако в целом содержание, структура и стиль изложения представленного в данном издании учебного материала, несомненно, являются удачными. Можно быть уверенным, что использование данного пособия в учебном процессе окажет существенную помощь не только студентам, изучающим эту непростую дисциплину, но и преподавателям.

А. В. Столяров доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой геометрии Чувашского государственного педагогического университета имени И. Я. Яковлева

Математика в высшем образовании

№ 6, 2008

Научно-методический журнал

Свидетельство о регистрации средства массовой информации Министерства РФ по делам печати, телерадиовещания и средств массовых коммуникаций ПИ № 77-15825 от 07 июля 2003 г.

ISSN 1729-5440

Редактор Л. В. Гасилова

Техническое редактирование и компьютерная верстка Л.Р. Семенова Оригинал-макет подготовлен с использованием пакета LATeX

Подписано в печать 10.09.2008 г. Формат 60x84 1/8 Бумага офсетная. Гарнитура Computer Modern. Печать офсетная. Усл. печ. л. 13,4.

Уч.-изд. л. 15,6. Тираж 600 экз. Заказ № 699.

Издательство Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского, 603950, Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23.

Адрес редакции: 603950, Нижний Новгород, проспект Гагарина, 23, Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского, корпус 2, к. 216. Тел.: (831) 465-85-10; (831) 462-33-64; факс: (831) 465-85-92 e-mail: yemel@sandy.ru http://www.unn.ru/math

Типография Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского, 603000, Нижний Новгород, ул. Большая Покровская, 37. Лиц. ПД№ 18-0099 ot04.05.2001

Индекс 87966

ISSN 1729-5440 Математика в высшем образовании, 2008, №6