ISSN 1729-5440

МАТЕМАТИКА В ВЫСШЕМ ОБРАЗОВАНИИ

5

2007

НАУЧНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ СОВЕТ ПО МАТЕМАТИКЕ МИНИСТЕРСТВА ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Н.И. ЛОБАЧЕВСКОГО

НИЖЕГОРОДСКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЩЕСТВО

МАТЕМАТИКА В ВЫСШЕМ ОБРАЗОВАНИИ

5

2007

Научно-методический журнал

Нижний Новгород

Издательство Нижегородского государственного университета

Редакционная коллегия

И.С. Емельянова (главный редактор) М.В. Долов, Г.М. Жислин, Т.А. Иванова (зам. главного редактора), В.А. Ильин, Ю.Л. Кетков, Л.Д. Кудрявцев, М.И. Кузнецов, А.В. Латышев, Г.Л. Луканкин, Н.И. Мерлина, В.И. Михеев, Е.И. Моисеев, А.Д. Мышкис, Е.Н. Перевощикова, Н.Х. Розов, В.А. Садовничий, Г.И. Саранцев, Р.Г. Стронгин, С.Н. Слугин, М.А. Федоткин

При перепечатке, переводе на иностранный язык, а также при ином использовании оригинальных материалов журнала ссылки на “Математика в высшем образовании” обязательны

Журнал издается при финансовой поддержке Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского

Адрес редакции: 603950, Нижний Новгород, проспект Гагарина, 23, корпус 2, к. 216. Тел.(8312) 65-78-83; e-mail: appmath@vmk.unn.ru http://www.unn.ru/math

© Математика в высшем образовании, 2007

Mathematics Science and Methods Council of Russian Ministry of Education

Federal Education Agency

Nizhny Novgorod State University

Nizhny Novgorod Mathematics Society

MATHEMATICS

in Higher Education

5

2007

Academic Journal

Nizhny Novgorod

Nizhny Novgorod State University Press

Editorial Board

I.S. Yemelyanova (Editor-in-Chief), M.V.Dolov, G.M. Zhislin, T.A. Ivanova (Editor), V.A. Ilyin, Y.L. Ketkov, L.D. Kudryavtsev, M.I. Kuznetsov, A.V.Latvshev,G.L. Lukankin,N.I. Merlina, V.I. Miheev, E.I. Moiseev, A.D. Myshkis, E.N. Perevoshikova, N.Kh. Rozov, V.A. Sadovnichii, G.I. Sarantsev, R.G. Strongin, S.N. Slugin, M.A. Fedotkin

No reprint or any use of the material is allowed without reference to “Mathematics in Higher Education ”.

The journal is published with financial support of Nizhny Novgorod State University.

Editorial Office Address: Nizhny Novgorod State University Nizhny Novgorod, 603950, Gagarin avenue 23, building 2, office 216 Russia

Tel: (8312) 65-78-83

e-mail: appmath@vmk.unn.ru

http://www.unn.ru/math

© Mathematics in Higher Education, 2007

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие............................................................... 7

Содержание и технологии математического образования в вузе

Ильин В. А. О еще одном выводе формулы Стирлинга................... 9

Гаврилов В. И., Штерн А. И. Введение показательной, логарифмической и тригонометрических функций и изучение их свойств в первом семестре курса математического анализа...................... 15

Гаврилов В. И., Субботин А. В. Изложение темы “Точка перегиба” в университетском курсе математического анализа..................... 51

Математика для специалистов различного профиля

Рубинштейн А. И. О некоторых моментах изложения раздела “дифференциальные уравнения” во втузовском курсе математики.........57

Математические события XX века

Краснощёков П. С. Компьютеризация... Будем осторожны..............65

Шильников Л. П. Гомоклинические траектории: от Пуанкаре до наших дней............................................................... 75

Непрерывное математическое образование

Штерн А. С. Элементы коммутативной алгебры в системе дополнительного математического образования................................ 95

История математики, персоналии

Зверкина Г. А. Графомеханические методы в античной математике..... 101

Емельянова И. С. Читайте, читайте Эйлера............................. 113

Савельев В. П. К 100-летию математика, академика, профессора Московского университета им. М. В. Ломоносова А. Н. Тихонова.....121

Новая учебная литература по математике для вузов

Учебное пособие и сборник задач по теории марковских процессов и теории вероятностей А. А. Свешникова............................... 131

CONTENTS

Introduction................................................................ 7

Subjects and Technologies of Mathematical Education at University

Ilyin V. A. On one more Deduction of Stirling Formula...................... 9

Gavrilov V. L, Sintern A. I. Introduction of the Exponential, Logarithmic, and Trigonometric Functions and the Investigation of their Properties

in the First Half-Year of the Course of Mathematical Analysis........... 15

Gavrilov V.l., Subbotin A. V. Presentation of the Theme "Points of Inflection" in the University Course of Mathematical Analysis...........51

Mathematics for Specialists of Different Types

Rubinshtein A.I. On some Points of Presentation “Differential Equations” Section of the Course “Mathematics” for Engineering Universities ................................................................... 57

Mathematical events of XX century

Krasnoschekov P. S. Computerization... Let us be Careful!.................65

Shilnikov L. P. Homoclinic Trajectories: From Poincare till our Days Continuous mathematical education .................................... 75

Continuous mathematical education

Shtern A. S. Some Elements of Commutative Algebra as a Supplementary Mathematical Course............................................... 95

The History of Mathematics. The Prominent Figures

Zverkina G. A. Graph-mechanic metods of antique mathematics........... 101

Yemelyanova I S. Read and Re-read Euler................................ 113

Savelyev V. P. To the Centennial of Mathematician, Academician,

Professor of Moscow University A. N. Tikhonov......................... 121

New Reference Books on Teaching Mathematics in Russia

Textbook and Book of Problems in the Theory of Markov processes and the Theory of Probability.............................................. 131

ПРЕДИСЛОВИЕ

Пятый год в России выходит научно-методический журнал “Математика в высшем образовании”. За эти годы журнал не только приобрел постоянного читателя, но ежегодно круг наших подписчиков и авторов расширяется. Мы надеемся, что очередной номер журнала окажет пользу тем, кто преподает математику в вузе, изучает её, интересуется пополняемым багажом научно-методических находок, сведениями из истории математики и математического образования, информацией о деятельности лучших преподавателей высшей математики и ученых-математиков.

Журнал открывает традиционная рубрика “Содержание и технологии математического образования в вузе”. Автором первой статьи, в которой приводится новая версия вывода известной формулы математического анализа — формулы Стирлинга, — является академик РАН Владимир Александрович Ильин. Заслуженный профессор Московского университета, Владимир Александрович в настоящее время заведует кафедрой общей математики на факультете вычислительной математики и кибернетики МГУ, а также работает в Математическом институте им. В. А. Стеклова РАН. Он известен в математическом мире как один из крупнейших специалистов по спектральной теории операторов, по теории уравнений математической физики в областях с негладкими границами и с разрывными коэффициентами, по теории кратных рядов и интегралов Фурье, руководит ведущей научной школой. Владимир Александрович — блестящий лектор, автор многочисленных популярных учебников для университетов.

Читатели вновь встречаются с нашими постоянными авторами из МГУ, преподающими математический анализ, Валерианом Ивановичем Гавриловым и Алексеем Владимировичем Субботиным (статья “Изложение темы ”Точка перегиба“ в университетском курсе математического анализа”), а также с новым соавтором В. И. Гаврилова — Александром Исааковичем Штерном (“Введение показательной, логарифмической и тригонометрических функций и изучение их свойств в первом семестре курса математического анализа”).

Рубрика “Математика для специалистов различного профиля” познакомит читателей с опытом профессора Александра Иосифовича Рубинштейна (Московский государственный университет леса). В статье “О некоторых моментах изложения раздела ”Дифференциальные уравнения“ во втузовском курсе математики” Александр Иосифович демонстрирует на простых примерах решения дифференциальных уравнений, что одной из распространенных ошибок студентов является неполное исследование свойств и особенностей этих решений.

Новая рубрика нашего журнала “Математические события XX века” содержит две статьи, любезно предоставленные нам редакционной коллегией сборника с тем же названием, вышедшего в 2003 году в издательстве ФАЗИС. Лидеры отечественных математических школ, на глазах которых развивались наиболее крупные научные события в XX веке, изложили свое видение достигнутых результатов. К сожалению, сборник имеет недостаточный тираж и мало доступен преподавателям вузов России. Мы надеемся, что наши читатели с интересом прочтут статью академика РАН, главного научного сотрудника Вычислительного центра РАН, заведующего кафедрой исследования операций факультета ВМК МГУ Павла Сергеевича Краснощёкова “Компьютеризация... Будем осторожны!” Павел Сергеевич известен как разработчик основ теории автоматизированного проектирования сложных технических систем. Им построены и исследованы математические модели крупномасштабных конфликтов, предложена методология изучения простейших форм коллективного поведения. В статье он отмечает: “К сожалению, компьютерные технологии уже покушаются на тысячелетний духовный тандем “учитель - ученик”. Во многих институтах компьютер принимает экзамены, а точнее, тестирует. Такой экзамен лишен главного и самого важного элемента — диалога между учеником и учителем... Однако тестирование — это еще полбеды. Предполагается, что с

помощью компьютерных технологий можно унифицировать лекционный процесс. Вот это уж совсем никуда не годится“. Тестирование как средство текущего контроля знаний студентов никто не отрицает. С другой стороны, итоговый контроль, по нашему глубокому убеждению, требует, действительно, живого общения между преподавателем и студентом, и никакие самые гибкие современные средства тестирования его не заменят. Мы уже не раз подчеркивали, что материалы нашего журнала не стареют со временем. На этот раз мы предлагаем Вам вновь обратиться по этому поводу к статьям ”Об экзаменах“ и ”Основные положения преподавания математики“ Льва Дмитриевича Кудрявцева (№1, 2003) и ”О месте лекции в математическом образовании“ Бориса Владимировича Гнеденко (№2, 2004).

Вторая статья раздела “Математические события XX века” профессора Нижегородского университета Леонида Павловича Шильникова, “Гомоклинические траектории: От Пуанкаре до наших дней”, необычна. До сих пор нам приходилось много раз обращаться к работам по этой тематике, присутствовать на соответствующих семинарах и конференциях. Но никогда еще раскрытие поистине захватывающей фабулы развития в течение XX века одной из глубоких идей Пуанкаре не было представлено в такой ясной и наглядной форме. Результат Пуанкаре, о котором мы упомянули, состоит в том, что в неинтегрируемых случаях устойчивое и неустойчивое многообразия седловых периодических движений системы могут пересекаться, не совпадая. Статья Леонида Павловича Шильникова, признанного лидера этого направления развития качественной теории дифференциальных уравнений — достойный подражания пример научно-методической работы, которая знакомит математиков-преподавателей с тем, как современная наука объясняет сложнейшие явления, происходящие в динамических системах.

В разделе “Непрерывное математическое образование” помещена статья нашего коллеги из Омского университета Александра Савельевича Штерна “Элементы коммутативной алгебры в системе дополнительного математического образования”. В статье предлагается программа курса и дается обоснование применения указанного материала на первом курсе вуза. Привыкнув в полную силу работать в школе, способный абитуриент, как справедливо пишет автор, нередко оказывается на первом курсе полузагруженным, он может потерять темп и интерес к учебе. Вот тут-то этот материал хорошо компенсирует разность в стартовом уровне знаний абитуриентов. Конечно, в специализированных школах этот материал также может стать базой специального курса.

Раздел “История математики, персоналии” в этом году не мог обойти замечательную дату: трехсотлетие Леонарда Эйлера. Редкий математический дар, исключительная работоспособность и душевное благородство этого незаурядного ученого навсегда останутся неподражаемым примером служения науке и человечеству. Вторая статья раздела посвящена 100-летнему юбилею академика, профессора МГУ Андрея Николаевича Тихонова. Научно-педагогическая деятельность А. Н. Тихонова как университетского преподавателя и научного руководителя представлена в статье как мозаика, состоящая из, казалось бы, простых, обыденных деталей, о которых воспоминают его ученики. И один из учеников и соратников Андрея Николаевича Тихонова — автор первой статьи нашего журнала Владимир Александрович Ильин. Владимир Александрович делится воспоминаниями о своем становлении как математика и о той роли, которую сыграл в его жизни учитель — Андрей Николаевич Тихонов.

Журнал завершают наши рекомендации, касающиеся новой учебной литературы по математике для вузов.

Главный редактор профессор И. С. Емельянова

СОДЕРЖАНИЕ И ТЕХНОЛОГИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ В ВУЗЕ

УДК 517

О ЕЩЕ ОДНОМ ВЫВОДЕ ФОРМУЛЫ СТИРЛИНГА

В. А. Ильин

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, Россия, 119899, ГСП-2, г.Москва, Воробьевы горы, 2-й учебный корпус; тел.: (495)939-55-90

Приводится вывод формулы Стирлинга для асимптотического представления факториала достаточно большого целого числа.

Ключевые слова: математический анализ, несобственный интеграл, Г-функция, формула Стирлинга.

Установим справедливость для всех достаточно больших целых п так называемой формулы Стирлинга

(1)

в которой символ ап обозначает элемент бесконечно малой последовательности.

Для вывода будем использовать понятие несобственного интеграла, формулу интегрирования по частям, известное значение несобственного интеграла

(2)

и справедливые для всех достаточно малых \х\ разложения по формуле Тейлора - Маклорена1

(3)

1°. Рассмотрим при Л > — 1 функцию аргумента Л

(4)

1 Напомним, что символ 0(хп) обозначает величину, для которой при всех достаточно малых \х\ с некоторой постоянной M справедлива оценка |0(жп)| < M • хп.

Беря по частям стоящий в (4) интеграл, получим, что для любого Л > — 1

(5)

При Л = 0 интеграл, стоящий в (4), вычисляется элементарно

(6)

а при Л = — этот интеграл вычисляется с помощью равенства (2):

(7)

Используя равенства (6) и (7) и последовательно применяя соотношение (5), мы получим, что для любого п = 1, 2, 3,... справедливы равенства

(8)

2°. Докажем теперь, что для всех достаточно больших Л справедливо соотношение

(9)

Действительно, из (4) и (5) вытекает, что

(10)

причем в силу разложений (3) для всех достаточно больших Л

(11)

(12)

Вставляя (11) и (12) в (10), мы придем к соотношению (9). 3°. Пусть теперь к = 1, 2, 3,..., а а — любое число из сегмента 0 < а < 1. Полагая в (9) Л = к + а, мы получим, что для всех достаточно больших к

(13)

Беря логарифм от обеих частей (13) и используя третье разложение (3), мы получим, что для всех достаточно больших номеров к

(14)

Фиксируем некоторый достаточно большой номер по и просуммируем обе части (14) по всем к от по до п— 1, где п — произвольный номер, удовлетворяющий условию и > по + 1. Учитывая происходящее при таком суммировании взаимное уничтожение членов в левой части (14), мы получим соотношение

(15)

Так как ряд сходится, то из (15) вытекает существование конечного предела

Но тогда существует и конечный предел

(16)

величину которого мы обозначили через С (а).

(17)

Мы докажем, что для всех а из сегмента О < а < 1 справедливо равенство С (а) = С(0) = \[bt.

Сразу же заметим, что если сформулированное утверждение будет доказано, то формула Стирлинга (1) будет установлена.

Действительно, из равенства (7(0) = л/27г, из взятого при Л = п соотношения (4) и из первого равенства (8) будет вытекать существование предела

а потому и предела

а существование последнего предела означает, что разность

является бесконечно малой последовательностью, n-й элемент которой мы обозначим через ап. Из равенства

вытекает формула Стирлинга (1).

Итак, остается доказать, что

для всех а из сегмента

4°. Прежде всего убедимся в том, что

Действительно, из равенства (4), взятого при Л = п H—, и из второго равенства (8) вытекает, что

Заметим, что в силу первого равенства (8) и в силу равенства (4), взятого при Л = 2п + 1 и при Л = п, справедливы соотношения

(19)

(20)

Вставляя (19) и (20) в (18) и учитывая существование предела

мы получим, что

5°. Докажем, наконец, что С (а) имеет одно и то же значение для всех а из сегмента 0 < а < 1.

Положим для любого Л > — 1

(21)

где

(22)

В дальнейшем символ 0 (или соответственно ©) будет обозначать равенство (или соответственно неравенство), справедливое с точностью до бесконечно малого при п —> оо слагаемого. Докажем, что в этих терминах для любого а из сегмента 0 < а < 1 справедливы следующие соотношения:

(23) (24) (25)

Сразу же заметим, что если эти соотношения будут доказаны, то из (23) и из первого соотношения (25) будет вытекать, что а'{п + а) Q)<Jr{n) для всех а из сегмента 0 < а < 1, а из (24) и из второго соотношения (25) будет вытекать, что <j“(n + а) 0 <j”{n) для всех а из сегмента о < а < 1, и отсюда и из (21) будет следовать, что а(п + а) ©сг(п), т. е. С (а) = С(0) для всех а из сегмента О < а < 1.

Итак, остается обосновать соотношения (23)-(25). Заметим, что так как для любого а из сегмента о

то для любого а из сегмента 0 < а < 1 соотношения (22), взятые для Л = = п + а, можно переписать в виде:

(26)

Для обоснования соотношений (23) достаточно воспользоваться первым соотношением (26) и учесть, что в нем под знаком интеграла — < 1. Мы получим

при этом, что

(27)

в силу того, что

(28)

в силу того, что

Аналогично для обоснования соотношений (24) следует воспользоваться вторым соотношением (26) и учесть, что на этот раз всюду под знаком интеграла — >

Мы снова получим цепочки соотношений (27) и (28), но теперь в них один штрих у а должен быть заменен двумя штрихами, интеграл

должен быть заменен на интеграл

а знак > должен быть заменен на <.

Справедливость первого соотношения (25) устанавливается интегрированием по частям с учетом того, что

Действительно,

Справедливость второго соотношения (26) вытекает из справедливости первого из этих соотношений, из равенства сг(А) = cr'(A) + ^""(А) и из того, что сг(п) = а(п + 1) в силу равенства (17).

ON ONE MORE DEDUCTION OF STIRLING FORMULA

V. A. Ilyin

A deduction of Stirling formula for asymptotic presentation of factorial for sufficiently large number is suggested.

Keywords: mathematical analysis, improper integral, Г-function, Stirling formula.

СОДЕРЖАНИЕ И ТЕХНОЛОГИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ В ВУЗЕ

Светлой памяти Н. В. Ефимова

УДК 517.2 + 378.14

ВВЕДЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ, ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ И ИЗУЧЕНИЕ ИХ СВОЙСТВ В ПЕРВОМ СЕМЕСТРЕ КУРСА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

В. И. Гаврилов1, А. И. Штерн2

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, Россия, 119992, г. Москва, Ленинские горы, 1;

1 e-mail: awsubbotin@mail.ru;

2 e-mail: aishtern@mtu-net.ru

Указан способ введения показательной, логарифмической и тригонометрических функций, использующий только материал первого семестра и позволяющий существенно упростить доказательство непрерывности показательной функции и изложение замечательных пределов.

Ключевые слова: математический анализ, показательная, логарифмическая, тригонометрические функции, комплексные числа, предел функции.

Становится ясным, что простейший и кратчайший путь между двумя истинами в вещественной области часто проходит через комплексную область.

Поль Пенлеве, 1900*

Как уже писали, кратчайший и наилучший путь между двумя истинами в вещественной области часто пролегает через комплексную область.

Жак Адамар, 1945**

1. ВВЕДЕНИЕ

Первый семестр — важный и трудный этап преподавания математического анализа на механико-математическом факультете. Студент, независимо от подготовки, оказывается перед лицом обширного материала, значительная часть которого необходимо рассказывается слишком кратко, и

* “Il apparut que, entre deux vérités du domaine réel, le chemin le plus facile et le plus court passe bien souvent par le domaine complexe.” Paul Painlevé. — Analyse des travaux scientifiques (Gauthier-Villars, 1900, p. 2; reprinted in Librairie Scientifique et Technique, A. Blanchard, Paris, 1967; reproduced in Oeuvres de Paul Painlevé, Éditions du CNRS, Paris, 1972-1975, vol.l, p. 78).

** “It has been written that the shortest and best way between two truths of the real domain often passes through the imaginary one.” Jacques Hadamard. — An Essay on the Psychology of Invention in the Mathematical Field (Princeton University Press, 1945; Dover, 1954; reprinted as The Mathematician's Mind, 1996, Princeton University Press, Princeton, NJ, p. 123).

основы анализа всегда усваиваются с трудом. В связи с тем, что в школьном курсе математики ослаблено внимание к ряду общематематических, логических и геометрических понятий, учащемуся трудно проследить за взаимодействием понятий, вводимых в курсе анализа, и за ролью определений и теорем в построении курса. Упрощение изложения и прояснение этих взаимосвязей может рассматриваться как самостоятельная ценность.

Одна из проблем — введение элементарных функций и установление их фундаментальных свойств. Многие известные курсы анализа либо отводят весьма значительное место введению показательной и логарифмической функции и изложению их свойств, либо откладывают этот труд до введения достаточно мощных средств, позволяющих сократить изложение, а курс анализа, вводящий тригонометрические функции без использования рядов, нам неизвестен. Это вынуждает преподавателя просить студентов о доверии в течение первого семестра и, например, использовать в доказательстве первого замечательного предела геометрические соображения (хотя определение длины дуги и даже длины окружности в современном школьном курсе математики отсутствует).

Первый автор уже много лет пропагандирует аккуратный и простой способ введения показательной (и, конечно, логарифмической) функции, использующий только материал первого семестра, экономящий значительное время в изложении анализа и позволяющий существенно упростить доказательство непрерывности показательной функции и изложение неравенства Иенсена и второго замечательного предела, а также ввести тригонометрические функции, опираясь на свойства предела последовательности, и дать аккуратное доказательство первого замечательного предела. Настоящая публикация посвящена изложению этого метода и его простейшим приложениям и может рассматриваться как дополнение к известным руководствам и методическим исследованиям, в том числе — подготовленным на кафедре математического анализа мехмата МГУ [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8] и согласованным с наиболее часто используемыми сборниками задач по курсу математического анализа [9, 10]. Этот материал был неоднократно использован в преподавании математического анализа студентам дневного и вечернего отделений механико-математического факультета и школьникам 18 интерната при МГУ (см. [2]).

Изложение материала предполагает, что читателю или слушателю известны свойства пределов числовых последовательностей действительных чисел (отметим, что ряд общих утверждений, в том числе — теорема Вейерштрасса о пределе монотонной ограниченной последовательности, неравенство Бернулли, оценочный признак существования предела функции и теорема о непрерывности композиции непрерывных функций — включены в наш текст), основные определения и факты, относящиеся к понятиям предела и непрерывности функций одного действительного переменного, и свойства операций сложения, умножения и комплексного сопряжения в поле комплексных чисел. Поскольку интенсивность курсов может быть различной, а введение элементарных функций можно осуществить на разных этапах развития курса, рассматривается несколько вариантов изложения материала. Основ-

ным вариантом является изложение, основанное на теореме Вейерштрасса для последовательностей, основных свойствах пределов функции в точке и непрерывности функций и свойствах алгебраических операций в комплексном поле (без использования пределов комплексных последовательностей), но мы отмечаем и некоторые другие варианты изложения (например, использующие критерий Коши для последовательностей действительных чисел или свойства предела последовательностнй комплексных чисел).

Статья организована следующим образом. В разделе 2 напоминается теорема Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности (п. 2.1) и неравенство Бернулли для степенной функции с целым показателем степени (п. 2.2), после чего в п. 2.3 вводится показательная (экспоненциальная) функция е(х), x G M (как предел последовательности многочленов) и в п. 2.4 устанавливается теорема сложения (функциональное уравнение) для экспоненциальной функции. Теорема затем используется при доказательстве свойств экспоненциальной функции — они включают строгую монотонность, непрерывность и предел отношения (е(х) — 1)/х в нуле (п. 2.5). Далее вводится число е (п. 2.6) и приводится график экспоненциальной функции (п. 2.7). Существенно, что основным инструментом в этой части раздела 2 является теорема Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности, а критерий Коши не используется.

Не во всех учебных заведениях, где преподаётся анализ, изложение предела функции в точке занимает достаточно места, чтобы учащийся мог свободно освоить материал пп. 2.1-2.7. Например, в математических школах и некоторых специальных учебных заведениях больше внимания уделяется непрерывности. В связи с этим в п. 2.8* мы приводим доказательство свойства непрерывности по Коши экспоненциальной функции, не опирающееся на свойства предела функции в точке, а в п. 2.9* даём простое, но часто отсутствующее в руководствах доказательство непрерывности композиции непрерывных функций на языке последовательностей. Заключительный пункт параграфа (п. 2.10*) кратко характеризует экспоненциальную функцию среди решений соответствующего функционального уравнения.

Следующий раздел 3 посвящён логарифмической функции. В п. 3.1 доказывается теорема о решении экспоненциального уравнения, в п. 3.2 вводится логарифмическая функция, а в п. 3.3 устанавливаются её свойства. В разделе 4 изучаются элементарные функции, определяемые с помощью экспоненциальной функции — степенная функция (п. 4.1), показательная функция с произвольным показателем (п. 4.2) и логарифмическая функция с произвольным (неединичным положительным) основанием (п. 4.3). Это даёт возможность получить простое доказательство второго замечательного предела в п. 4.4. Раздел 5 посвящён коротким доказательствам некоторых классических неравенств, используемых в анализе, в том числе — неравенств Коши и Юнга. Таким образом, в разделах 2-5 вводятся и изучаются наиболее важные элементарные функции одного вещественного переменного — экспоненциальная и логарифмическая — с помощью практически минимальных средств, обычно излагаемых в так называемом введении в анализ.

В последующих параграфах излагаются различные варианты введения тригонометрических функций (напомним, что нам неизвестны другие руководства, в которых тригонометрические функции вводились бы без использования аппарата функциональных рядов). Как и в разделах 2-5, изложение в разделах 6-7 основано на теореме Вейерштрасса для последовательностей и основных свойствах пределов функции в точке и непрерывности функций, с привлечением только свойств алгебраических операций в комплексном поле (без использования пределов комплексных последовательностей). После кратких предварительных сведений (п. 6.1) мы вводим тригонометрические функции как пределы последовательностей многочленов (п. 6.2), получаем теоремы сложения (п. 6.3), доказываем непрерывность тригонометрических функций (п. 6.4), даём строгое доказательство первого замечательного предела (п. 6.5), определяем число 7г, не привлекая геометрических соображений, и доказываем ряд стандартных соотношений для тригонометрических функций (п. 6.6). Другой способ введения тригонометрических функций, использующий критерий Коши вместо теоремы Вейерштрасса, излагается в п. 7.2 параграфа 7 после кратких предварительных замечаний в п. 7.1; он оказывается несколько проще (за счёт использования более мощного инструмента). В разделе 8, с помощью понятия предела комплексной последовательности (и критерия Коши), определяются экспоненциальная и тригонометрические функции комплексного аргумента, в разделе 9 выводится формула Тейлора для экспоненциальной функции действительного переменного и с её помощью доказывается иррациональность числа е. В приложении даётся доказательство общего неравенства Бернулли, и в разделе 10 высказываются заключительные замечания.

Изложение материала предполагает, что читателю или слушателю известны свойства пределов числовых последовательностей действительных чисел, основные определения и факты, относящиеся к понятиям предела и непрерывности функций одного действительного переменного (отметим, что ряд общих утверждений, в том числе — теорема Вейерштрасса о пределе монотонной ограниченной последовательности, неравенство Бернулли, оценочный признак существования предела функции и теорема о непрерывности композиции непрерывных функций — включены в наш текст с очень простыми доказательствами), и свойства операций сложения, умножения и комплексного сопряжения в поле комплексных чисел.

Как показывают даты в приведенных выше эпиграфах, идея использования алгебры комплексных чисел в изложении основ математического анализа может считаться проверенной временем.

Авторы глубоко признательны профессору кафедры математического анализа механико-математического факультета МГУ В. Н. Чубарикову за внимание к работе и ряд ценных замечаний.

2. ВВЕДЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ (ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЙ) ФУНКЦИИ

2.1. Теорема Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности

Теорема 2.1. Если числовая последовательность {хп} обладает следующими двумя свойствами:

(а) существует такое N G N7 что хп ^ для всех п ^ N, п G N7

(б) последовательность {хп} ограничена сверху,

то существует предел Нт^-^ жП; и величина этого предела равна sup An, где AN = {хп \п^ N,n е N}.

< По условию (б), существует такое Ъ G M, что хп ^ b для всех n G N; в частности, Ду ^ Поэтому существует supAv; обозначим его через а. Для доказательства равенства а = lim хп рассмотрим произвольное число е > 0. Так как а = sup Ду, то хп ^ а для всех n G N, n ^ TV, и существует такой элемент жП1, что а — s < xm ^ а и ni ^ TV. С учетом свойства (а), а — е<хп^а<а + е для всех n > щ ^ N, т. е.

Поскольку lim хп не зависит от 7V, то и а не зависит от N.

2.2. Неравенство Бернулли для степенной функции с целым показателем степени

Теорема 2.2. Неравенство

(1)

справедливо для всех xGK70<x/17w всех п

2.3. Определение экспоненциальной функции

Теорема 2.3. Функциональная последовательность {ап(х)}, ап(х) = = (1 + х/п)п, n G N7 x G M; сходится в каждой точке х G R.

Очевидно, lim ап(0) = 1. В дальнейшем изложении удобно, наряду с символом ап(х), использовать также символ а(п, х) = ап(х), ж G M, n G N.

Лемма 2.1. —— > (п + 1)а — ив для всех чисел и всех п G N.

< Согласно (1),

Лемма 2.2. а(п + 1,х) > а(п, х) для любого х G R, х / 0, и всех п G N7

< Полагаем а = 1 H--, /3 = 1 H— и замечаем, что а > О, ß > 0, аф ß при п > —x ф 0 и (п + 1)« — nß = 1. >

Таким образом, доказано, что для каждого х G R, х / 0, числовая последовательность {ап(х)} строго возрастает, начиная с индекса и > —х.

Лемма 2.3. а(п, х) < а(—m, х) для любого х G R, х / 0, и всех n, m G N7 n > —x; m > x.

<\ Согласно лемме 2, a(n, ж) ^ a(mn, x) для всех x G M, x 7^ 0, и всех / X \-я X n, m G N, n > —X. Из неравенства 1 H--> 1--, справедливого на основании (1) при (—n) G (—N), следует, что a(mn, х) < а{—m, х). Поэтому

а(п, х) ^ а(шп, х) < а(—m, х). D>

Таким образом, доказано, что для каждого х G R, х / 0, числовая последовательность {ап(х)} ограничена сверху для всех индексов n G N, n > —х.

Утверждение теоремы следует теперь из теоремы Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности.

Таким образом, на всем R определена функция

и е(0) = 1. Функция е(х) называется экспоненциальной функцией (exponential function).

2.4. Функциональное уравнение для экспоненциальной функции Теорема 2.4. е(х + у) = е(х)е(у) для любых х, у G M.

< Равенство

в котором

ведет к равенству

которое, в свою очередь, приводит к утверждению теоремы на основании теоремы 2.3 и следующей леммы.

Лемма 2.4.

для любой последовательности (хп), удовлетворяющей условию

< Неравенство a(n, х) > 1 + х справедливо для любого ж G R, ж / О, и всех п G N + 1, п > —ж, на основании (1). Неравенство a(n, ж) <-- справедливо для любого xGK, 0/х<1, и всех п G N, п > —ж, как частный случай леммы 2.3 при m = 1. Поэтому 1 + ж ^ a(n, ж) ^--для всех х < 1 и всех n G N. Для произвольной последовательности (жп) с lim хп = О существует такое число TV G N, что |жп| < 1 при всех п ^ N. Поскольку 1 + Хп ^ a(n, жп) ^ (1 — жп)-1, n ^ 7V, утверждение леммы 2.4 вытекает из оценочного признака сходимости последовательности. > >

2.5. Свойства экспоненциальной функции

Утверждение 2.1.

Полагая у = —х в теореме 2.4, получим

Теорема 2.5. Дд«я любого ж G К. справедливо неравенство е(ж) ^ 1 + х, в котором знак равенства достигается только при х = 0. Для любого х G M, x < 1, справедливо двойное неравенство

Так как

и для любого ж / 0, в силу леммы 2.2, числовая последовательность {a(n, ж)} строго возрастает, начиная с индекса п > — ж, то по теореме Вейерштрасса (см. п. 2.1) выполняется неравенство е(ж) > a(n, х) для х ф 0 и всех n > — ж. В доказательстве леммы 2.4 в предыдущем пункте отмечено, что a(n, х) > 1 + х для любого xGK, и всех n G N + 1, n > —ж. Поэтому е(ж) ^ 1 + ж для всех ж и е(0) = 1.

Из неравенства

и свойства

заключаем, что

Утверждение 2.2. Функция е{х) строго возрастает на R.

Утверждение 2.3. Функция е(х) непрерывна на Ш.

откуда при x —> хо, на основании оценочного признака существования предела функции в точке, заключаем, что lim ——- = 1, или

Теорема 2.6.

< По теореме 2.5,

откуда и следует утверждение теоремы 2.6 >

Следствие 2.1.

2.6. Определение числа е

Число е определяется равенством

По теореме 2.5,

С другой стороны,

так что е < 3. Таким образом, 2 < е < 3, и число е не является целым. На самом деле число е иррационально и е = 2,718281828459045..., но эти два факта мы здесь доказывать не будем.

Утверждение 2.4. е(х) = ех, х G Q.

< Для произвольных ж£Мип£Мна основании функционального уравнения для е(х) методом математической индукции убеждаемся, что е(пх) = е(х)п. В частности, при х = 1 имеем e(n) = en, п G N, а при ж = — получим

Если

то

Таким образом, функция е(х) есть непрерывное продолжение на R функции еж, X G Q, и поэтому её также обозначают

Утверждение 2.5.

< Справедливость утверждения для всех n G N отмечена в доказательстве предыдущего утверждения. Оно справедливо и при х = 0. Если n G (—N), то

2.7. График экспоненциальной функции

Теорема 2.7.

Из неравенства

следуют неравенства

откуда

Теперь

Таким образом, график функции ех имеет вид, изображенный на рисунке.

2.8*. Доказательство непрерывности экспоненциальной функции, не использующее свойств предела функции

В этом пункте мы приводим доказательство свойства непрерывности по Коши экспоненциальной функции, не опирающееся на свойства предела функции в точке.

Лемма 2.5. Предположим, что числовые функции f, g и h определены на некотором множестве D (т. е. D содержится в пересечении DfP[DgnDh областей определения функций f, g, h), в точке xq G D принимают одинаковые значения (т. е. /(а?о) = 9(хо) = h(xo)) и в некоторой окрестности Vi точки хо справедливы неравенства f{x) ^ д[х) ^ h(x) для всех точек х G V\, удовлетворяющих условию х G D. Если функции f и h непрерывны по Коши в точке хо, то функция g также непрерывна по Коши в точке xq.

< Проверим, что определение Коши непрерывности функции g в точке ж о выполнено. Рассмотрим произвольное число е > 0. Так как / непрерывна в точке хо, то, по определению Коши, существует такое число 82 > 0, что

(2)

где V2 — (^-окрестность точки жо- Так как функция h непрерывна в точке жо, го существует такое число 6% > 0, что

(3)

где V3 — ^-окрестность точки х$.

Согласно свойствам окрестностей, пересечение V\ П V2 П V3 = V образует окрестность точки жо, в которой для всех х G D и х G У выполняются неравенства /(ж) ^ g (ж) ^ Л(ж) и неравенства (2) и (3) с /(а?о) = #(жо) = = h(xo). Следовательно,

(4)

для всех x^DcDgîixGV.

Поскольку окрестность V точки жо содержит некоторую её 5-окрестность Vj(xo), 5 > 0, то заключаем, что неравенства (4) справедливы для всех x G D С Dg и |ж — жо| < 5, т. е. функция g непрерывна в точке жо по определению Коши. >

Теорема 2.8. Функция е(х) непрерывна всюду на R.

< Проверим сначала, что функция е(ж) непрерывна в точке жо = 0. Действительно, это утверждение справедливо на основании предыдущей леммы 2.5, поскольку 1 + х ^ е(ж) ^ - для всех х < 1 и множество У = {ж G R I x < 1} образует окрестность точки жо = 0, в которой функции 1 + ж, е(ж) и - удовлетворяют условиям леммы 2.5. Предположим теперь, что жо — произвольная точка R. Согласно функциональному уравнению, е(х) = е(жо) е(ж — ^о), ж G R. Функцию е(ж — жо) можно рассматривать как композицию функции t = ж — жо, принимающей значение to = 0 в точке жо, и функции е(£), причем to = 0. Следовательно, в точке жо непрерывна и функция е(ж) = е(жо) е(ж — жо). О

2.9*. Непрерывность композиции функций

Теорема 2.9. Числовая функция f непрерывна в точке жо G R тогда и только тогда, когда хо £ Df и для любой последовательности (хп) точек хп G öf7 n G N7 lim жп = жо, последовательность {f(xn)} имеет предел /(жо)-

< Если / непрерывна в жо, то жо G о/ и для любого числа 8 > 0 существует такое число ö > 0, что |/(ж) —/ (жо)| < £ для всех х G Df с \х — хо\ < о. Рассмотрим произвольную последовательность (жп) точек хп G о/, n G N,

удовлетворяющую условию lim хп = х$. Для числа 8 > 0 существует такое число N G N, что \хп — хо\ < 5 для всех п ^ N и, следовательно, |/0&п) - Д^о)| < £ для всех n ^ 7V, т.е. Дх0) = Hm f(xn).

Обратно, если функция / не непрерывна в точке хо G о/, то существует число £о > 0 и для любого числа 5 > 0 существует точка х<$ G о/, |x<5 — хо| < 5, в которой \f(x$) — f(xo)\ ^ so- Возьмем ön = — > 0, n G N, и выберем для каждого n G N такую точку хп G Of, что |хп — хо| < — и |/(#п) — f(xo) \ ^ ^о, n G N. Тогда lim хп = хо, а число f(xo) не может быть пределом последовательности {/(жп)}, что противоречит условию. >

Теорема 2.10. Если числовая функция g непрерывна в точке хо G М7 а числовая функция f непрерывна в точке уо = д(хо) G М7 то композиция fog этих функций непрерывна в точке х$.

< Согласно определению Коши непрерывность функции в точке, хо G Dg и уо = д(хо) G о/. Поскольку D/o^ = {х е Dg \ д(х) G £>/}, то х0 G D/0^3 и для произвольной последовательности (xn), xn G Dfog, n G N, имеем xn G Dg, n G N, и yn = g(xn) G Of, n G N. Если, дополнительно, lim xn = хо, то по теореме 2.9 для непрерывной функции g имеем lim уп = lim д{хп) = = д{хо) = Уо- Применяя теперь теорему 2.9 к непрерывной функции /, получим, что lim f(yn) = /(уо)- Поскольку f(yn) = f(g(xn)) = (f о д)(хп), nGN, и f(yo) = f(g(xo))=(fog)(xo)1 то получим lim (f og)(xn) = (f од)(х0) для любой последовательности (хп) точек хп G -D/o^, nGN, удовлетворяющей условию lim хп = х$. По теореме 2.9, функция / о g непрерывна в точке хо- >

2.10*. Характеризация экспоненциальной функции среди решений функционального уравнения

Теорема 2.11. Всякая числовая функция f с Df = Ж, удовлетворяющая условию f(nx) = (^f(x)^J , x G M, n G N7 и неравенству f(x) ^ 1 + x в некоторой окрестности V точки x = 07 совпадает с экспоненциальной функцией ех.

Рассмотрим произвольное x G Ш и достаточно большое nGN, удовлетворяющее условиям

Из неравенства

и

свойства

следует, что

для всех натуральных п, начиная с некоторого индекса п. Переходя в последних неравенствах к пределу при п —> +оо и используя свойство монотонности предела числовой последовательности, получим

Следствие 2.2. Функция ех есть единственное решение на M функционального уравнения f(x + y) = f(x) f(y) с условием f[x) ^ 1 + х в некоторой окрестности V точки х = 0.

3. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ ]пХ

3.1. Решение экспоненциального уравнения

Мы введём логарифмическую функцию с помощью следующей теоремы.

Теорема 3.1. Для любого числа а > 0 уравнение ех = а имеет единственное решение в R; следовательно, отображение х i—> ех представляет собой биекцию множеств M и R+ = {х G M | х > 0}.

< Единственность решения следует из свойства строгой монотонности (а именно, строгого возрастания) функции еж, доказанного в п. 2.5.

Решением уравнения ех = а является число s = sup А, где А = {х G M | ех ^ а}. Множество А непусто, поскольку из неравенства

следуют неравенства

и принадлежность

Множество А ограничено сверху, так как из двойного неравенства 1 + х ^ еж ^ а следует вложение А С (—оо, а— 1]. Поэтому существует sup А, который мы обозначили выше через s. Поскольку для любого n G N имеем

то, по критерию

точной верхней грани числового множества, существует

откуда

С другой стороны, так как для любого n G N число

не принадлежит А, то, по определению этого множества,

Таким образом,

откуда после перехода к пределу при п —> +оо, с учётом непрерывности функции е(х) = ех и свойства монотонности предела последовательности, получим неравенства e(s) ^ а ^ e(s) и утверждение e(s) = es = а. >

3.2. Определение логарифмической функции

Решение уравнения ех = а для а > 0 обозначают Ina и называют натуральным логарифмом положительного числа а. Функцию х m ж, х > 0, называют логарифмической функцией с основанием е или просто логарифмической функцией. Она определяет биекцию множеств R+ и R, обратную к биекции ех множеств R и R+ и, следовательно, равенство е(1пх) = х справедливо для всех x > 0, а равенство 1п(еж) = х — для всех х G R; в частности, Ine = 1 и In 1 = 0. Кроме того, функция In ж строго возрастает при х > 0 (как обратная для строго возрастающей функции ех). Поэтому, с учетом равенства In 1 = 0, In x > 0 для всех х>1и1пх<0 для всех х, 0 < х < 1.

3.3. Свойства логарифмической функции Теорема 3.2. Для произвольных х > 0 и у > 0 справедливы следующие

утверждения:

< Используя функциональное уравнение для ех и определение функции

имеем

откуда

Аналогично,

Теорема 3.3.

Теорема 3.4. Функция m ж непрерывна для всех х > 0.

Замечание. Утверждение теоремы 3.4 можно доказать, не используя свойств предела функции в точке, аналогично тому, как это было сделано для экспоненциальной функции в пункте 2.8*.

Теорема 3.5.

Следствие 3.1.

4. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ, ОПРЕДЕЛЯЕМЫЕ ПОСРЕДСТВОМ ЭКСПОНЕНТЫ

4.1. Степенная функция

Для произвольных чисел а, Ъ Е R, а > 0, значение ехр(Ыпа) функции ехрх в точке Мп а £ M обозначают символом аь, т. е. аь = ехр(Ыпа), и называют степенью с основанием а и показателем Ъ. Другое равносильное определение: степень а6, а, Ъ G M, а > 0, есть число, удовлетворяющее условию (равенству) In (а6) = bin а.

Если показатель Ъ степени аъ — целое число, Ъ = п Е Z, то, как показано в разделах 2 и 3, число аь = exp(nlna) = (exp(lna)) = ап совпадает с п-й степенью числа а > 0.

Если взять а = е и Ь = X G R, то еж = exp(xlne) = еж, х G R. Таким образом, введённое в разделе 2 обозначение ех для экспоненциальной функции ехр(х) является степенью с основанием е и показателем ж, и экспоненциальную функцию ех называют “ев степени ж”.

Определение 4.1. Функцию ехр(атж), х > О, где a G M фиксировано, называют степенной функцией и обозначают ха, ха = exp(amx); х > 0. Число а называют показателем степени функции ха.

Если а = n G Z, то в силу утверждения 2.5, ехр(птж) = (ехр(1пх))п = хп, x > 0, n G Z.

Степенная функция xa с a / 0 образует монотонную и непрерывную биекцию множества R+ на себя, как композиция монотонных и непрерывных биекций. Функция ха строго возрастает, если а > 0, и строго убывает, если a < 0. При a = 0 функция ха равна 1 для всех х > 0.

Степенная функция с произвольным показателем степени обладает всеми известными свойствами степенной функции с целым показателем степени. В основе доказательств лежит следующее

Утверждение 4.1.

Согласно определению,

а по определению логарифмической функции,

Теорема 4.1. Для произвольных ж, у, а, Ъ G М7 х > 0, у > 0, справедливы следующие утверждения:

Проверим, например, 2). Имеем

4.2. Показательная функция с произвольным основанием

Для любого фиксированного числа а > 0 функция <£>а(ж) = ехр(жта) определена и непрерывна на R как композиция непрерывных функций. При а = 1 имеем (ра(х) — 1 Для всех х G R. Если а > 0, a ф 1, функцию (ра(х) обозначают аж; аж = exp(xlna) = еж1па (читается “а в степени ж”) и называют показательной функцией с основанием а (0 < а ^ 1). Показательная функция определяет монотонную биекцию множеств R и R+, возрастающую при а > 1 и убывающую при 0 < a < 1.

Следующие свойства показательной функции ах аналогичны свойствам экспоненциальной функции.

Теорема 4.2. Для любых х,у £ Ж и любого а, 0 < а ф 1, справедливы следующие утверждения: 1) ах • ау = ах+у; т. е. функция f(x) = ах есть

решение функционального уравнения

4.3. Логарифмическая функция

Определение 4.2. Биекцию множеств М+ и М7 обратную к биекции ах, О < а ф 1, множеств R и М+7 называют логарифмической функцией с основанием а и обозначают logax; х>0(0<а^1 фиксировано).

Согласно этому определению, a}ogaX = х для всех х > 0. С другой стороны, по определению показательной функции с произвольным основанием, o}ogax _ ехр(ша . l0gax), X > 0. Поэтому ехр(1па • logax) = х = exp(lnx), X > 0, и, с учетом свойства строгого возрастания экспоненциальной функции, Ina • logax = lnx, X > 0, откуда logax = -—lnx, x>0(0<a^l фиксировано).

Представление loga х = -— In х показывает, что функция loga х непрерывна при X > 0, строго возрастает, если а > 1, и строго убывает, если 0 < а < 1. Оно позволяет также легко установить свойства логарифмической функции с произвольным основанием, аналогичные свойствам функции lnx (см. теорему 3.3, с заменой символа In на символ loga).

4.4. Второй замечательный предел

Теорема 4.3.

< Согласно определению степени (п. 4.1), для любого х, — 1 < х ф 1, справедливы соотношения

Поскольку

(следствие 3.1), то, на основании свойства непрерывности экспоненциальной функции и теоремы о пределе композиции функций с непрерывной внешней функцией,

5. НЕКОТОРЫЕ КЛАССИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА

5.1. Следствия неравенства ех ^ 1 + х

Утверждение 5.1. Для любого конечного набора положительных чисел

и неотрицательных чисел

справедливо неравенство

(5)

в котором равенство достигается только тогда, когда

Положим s =

В неравенстве ех ^ 1 + ж, справедливом для всех X G M, полагаем

и получаем неравенство

(6)

При каждом фиксированном к, к G {1,...,п}, возводим обе части в (6) в степень ^ 0, и, используя свойства степеней и свойства экспоненциальной функции, получим неравенства

(7)

в обеих частях которых стоят положительные числа. Перемножая неравенства (7) между собой и опять используя свойства степеней и свойства экспоненциальной функции, получим

(8)

где

Поэтому неравенство (8) принимает вид неравенства

(9)

которое, с учётом равенств ехр(1 — 1) = ехр(О) = 1 и s = но неравенству (5). При этом равенство в (9) имеет место только в случае равенств в (6) для всех fc, к G {1,..., n}, т. е. в случае, когда — = 1, х^ = s, для всех /с, к G {1,..., n}. >

Замечание. Отметим, что неравенство (5) сохранится и в том случае, когда одно из чисел (или даже все числа) к G {1,..., n}, равно нулю, а числа к G {1,..., n}, положительны.

5.2. Неравенство Коши между средним арифметическим и средним геометрическим действительных чисел

Теорема 5.1. Для любого числа n G N и любого набора неотрицательных чисел a?i, Х2,..., хп справедливо неравенство

в котором равенство достигается только тогда, когда Х\ — Х2 = • • • = хп.

<\ В неравенстве (5) выбираем а\ = «2 = • • • = ctn = — > 0 и учитываем замечание в конце пункта 5.1. >

5.3. Неравенство Юнга

Теорема 5.2. Если числа р > 1 и q > 1 связаны отношением - + - = 1, то для любых чисел а ^ 0; Ъ ^ 0 справедливо неравенство

в котором равенство достигается только в случае а = Ъ.

< Частный случай неравенства (5) для п = 2, ai = —, с*2 = — и a?i = a, Х2 = & (с учётом замечания в конце п. 5.1.). >

5.4. Неравенства Гельдера, Коши — Буняковского и Минковского

Получаются из неравенства Юнга стандартным путём; ср. [1-3].

6. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

6.1. Предварительные сведения

Напомним, что в разделе 2 было установлено, что для любого х G К. последовательность ^1 H—^ ограничена, и, более того, существует её предел, или, что то же самое по формуле бинома, предел последовательности значений многочленов

(10)

где CL =----—. В частности, предел этой последовательности существует для любого х ^ 0. Представим многочлен Рп(х) в виде суммы четырех многочленов,

(11)

(12)

Наряду с последовательностью (l + рассмотрим последовательность комплексных чисел

По формуле бинома,

и, так как

(13)

Переходя к комплексно сопряженным выражениям, получаем

Перемножая формулы (13) и (14), получаем

(15)

(14)

Заметим, что из определения экспоненциальной функции (п. 2.3) и из (15) следует, что

(16)

для любого X G M и любых п > \х\.

Лемма 6.1. Каждая из четырех последовательностей Aj^n(x) имеет предел при п —> +оо для любого х G R.

Каждый одночлен в многочлене Aj^n(x) имеет вид

Если X > 0, то при переходе от п к п + 1 значение этого одночлена увеличивается, поскольку величина дроби —- не меняется, а каждый из к — 1 сомножителей, имеющих вид

переходит в сомножитель

Итак, если х > 0, то

Кроме того, число одночленов в многочленах

либо одно и то же, либо во втором

многочлене появляется еще один одночлен, и его значение положительно, если x > 0. Поэтому AjjTl(x) < AjjTl+i(x) для любого х > 0, и последовательность Aj^n(x) монотонна и положительна для любого х > 0. Из формул (11)—(12) следует, что Aj^n{x) ^ Рп(х), если ж > 0, а мы уже знаем из раздела 2, что Рп(х) ^ еж для любого х > 0. Поэтому последовательность Л?>(х) монотонна и ограничена для любого х > 0. По теореме Вейерштрасса, последовательность Aj^n(x) имеет предел для любого х > 0. Поскольку последовательность Aj^n(0) постоянна, то последовательность Aj^n(x) имеет предел при х = 0, а поскольку последовательность Aj^n(—x) совпадает либо с Ajin(x), либо с —Aj^n(x) (в зависимости от чётности или нечётности индекса j), то последовательность AjjTl(x) имеет предел для любого ж £ IRL Это завершает доказательство леммы 6.1. > Положим

Переходя к пределу в (11), получаем, что

(17)

Из формул (16), (17) и (11), (12), определяющих AjjTl(x) и А/(ж), предельным переходом при п —> +оо получаем

Следствие 6.1.

для любого x G Ш. Кроме того, Ао(0) = 1 и А/(0) = 0 при j = 1, 2, 3.

6.2. Определение тригонометрических функций

Определение 6.1. Введем обозначения

(18)

Следствие 6.1 принимает теперь следующий вид.

Следствие 6.2.

для любого x G Ш. Кроме того, С(0) = 1 и 5(0) = 0.

6.3. Функциональные уравнения для функций С(х) и S(x) (“теоремы сложения”)

Сначала (очень грубо) оценим модуль величины

Лемма 6.2.

для любых

< Напомним, что последовательность ( 1 H— ] не убывает для любого

у ^ 0 и любого n G N. Так как х2 ^ 0 для любого х G R. то п > —х2 для любого n G N, и поэтому

поскольку — ^ 1. Это завершает доказательство леммы 6.2. > п

Следующее утверждение является так называемой “теоремой сложения” для функций С и S (ср. [11]).

Лемма 6.3.

для любых ж, у G R.

< Перемножая формулу (13) и аналогичную формулу

получаем соотношение

С другой стороны, формула (13) для х + у вместо х имеет вид

(20)

Сравним левые части формул (19) и (20). Воспользуемся формулой

которая справедлива и в поле комплексных чисел (как и в любом поле). Имеем

где Q — сумма п слагаемых, каждое из которых является произведением

и выражения вида ( 1 H--) , где j, к G {1, 2,..., n}.

Так как модуль произведения комплексных чисел равен произведению их модулей, а модуль суммы комплексных чисел не превосходит суммы их модулей, то, с учётом леммы 6.2, модуль величины Q не превосходит

Поэтому модуль правой части последнего равенства не превосходит произведения

Таким образом,

Следовательно, действительная и мнимая части комплексного числа

которые не превосходят модуля этого комплексного числа, тоже стремятся к нулю при п —> +00 согласно оценочному признаку существования предела последовательности, так что

По определению функций С и S, эти формулы совпадают с требуемыми в лемме 6.3 равенствами. Это завершает доказательство леммы 6.3. >

Перед вычислением первого замечательного предела, не использующим ни сравнения площадей, ни неравенства х < tgx на некотором полуинтервале, примыкающем к нулю, а также перед введением числа 7г, не использующим понятия длины окружности, мы докажем, что построенные нами функции непрерывны на всей числовой прямой.

6.4. Непрерывность тригонометрических функций

Теорема 6.1.

< Напомним (см. (18)), что

где

Пусть x > 0. Заменяя модуль суммы суммой модулей, видим, что

и, по тем же причинам,

Это неравенство верно и при х = 0. Поэтому, ввиду четности выражений в левой части последних двух неравенств, получаем

(21)

Напомним, что lim Рп(х) = ехр(х). Переходя к пределу в (21) и пользуясь теоремой 2.6, мы получаем неравенства

(22)

Утверждение теоремы немедленно следует из неравенств (22) и оценочного признака существования предела функции в точке. >

Теорема 6.2. Функции С(х) и S(x) непрерывны в каждой точке, т. е.

для любого xq G R.

< Утверждение теоремы следует из теоремы 6.1 и из функциональных уравнений, поскольку

и достаточно перейти в этих равенствах к пределу при х —> хо. >

6.5. Первый замечательный предел

Теорема 6.3.

< Утверждение теоремы получаем на основании первого из неравенств в (22), поскольку из этого неравенства сразу следует неравенство

и достаточно воспользоваться оценочным признаком существования предела при переходе в последнем неравенстве к пределу при х —> 0. D>

6.6. Периодичность тригонометрических функций. Число 7г

В этом пункте, помимо сведений, перечисленных во введении и приведенных выше, мы пользуемся теоремой о промежуточных значениях.

Лемма 6.4. С(2х) = 2С{х)2 — 1 для любого х G M.

< Это равенство сразу следует из соотношений С(х)2 — S(x)2 = С(2х) и С(х)2 + S(x)2 = 1, справедливых для любого х G M (см. следствие 6.2 и лемму 6.3). >

Лемма 6.5. Существуют такие числа х G M, х > 0, что С(х) < 0.

< Если С(х) ^ 0 для всех х G M, х > 0, то С(ж) ^ 0 для всех ж G М, так как функция С(х) четна как предел последовательности чётных многочленов. По предыдущей лемме (лемме 6.4), отсюда следует, что

и, следовательно,

Вообще, если С(х) ^ а для всех ж G К, где а ^ 0, то из формулы

следует, что

Рассмотрим последовательность положительных действительных чисел (ап), n G N, полагая дополнительно üq = 0 и

Заметим, что ао < 1, а если ап-\ < 1, то п < 1 и ап < 1, что доказывает (по индукции) неравенство ап < 1 для любого nGN. Таким образом, С(х) ^ ап для всех x G M и для любого nGN. Кроме того, при 0 ^ а < 1 имеем а < у —-—, так как квадратный трехчлен 2а — а — 1 имеет корни — — и 1 и отрицателен между корнями. Таким образом, последовательность (an), nGN, положительна, монотонна и ограничена (числом 1). Если а -предел этой последовательности, то о ^ 0 и, переходя к пределу в равенстве 2а^ — an-i — 1 = 0, получаем, что 2а? — а — 1 = 0, так что а = 1, и, переходя к пределу в неравенстве С(ж) ^ ап для всех x G M, видим, что С(х) ^ а = 1 для всех x G M. Так как С(х)2 + S(x)2 = 1 для всех x G M, то S(x) = 0 для всех x G M, что противоречит теореме 6.3. Полученное противоречие показывает справедливость утверждения леммы 6.5. >

Следствие 6.3. Существует наименьшее положительное число zo, удовлетворяющее условию C{zq) = 0, и С[х) > 0 при x G [0, zo).

< Из предыдущей леммы 6.5 следует, что существуют числа у > 0, удовлетворяющие условию С (у) < 0. Так как С(0) = 1 > 0 и функция С(х) непрерывна в каждой точке x G M, то, по теореме Коши о промежуточных значениях, существует хотя бы одно число z > 0, удовлетворяющее условию C(z) = 0. Таким образом, множество {z \ z G M, z > 0, C(z) = 0} непусто. Пусть

Если C(zq) = 0, то утверждение следствия доказано. Если бы условие C(zo) = 0 не выполнялось, то, как следует из определения точной нижней границы числового множества, для любого n G N существовало бы число Хг> G \z I z G M, z > 0, Cfz) = 0i, удовлетворяющее условию ^ Xn <

< zq + 1/n. Так как функция С непрерывна в точке го и

так что C(zo) = 0. По определению числа zo, равенство С(ж) = 0 невозможно ни при каком x G [0, zo), а если С(ж) < 0 при некотором x G [0, zo), то и С(ж) = 0 при некотором x G [0, zo), что, как мы видели, невозможно. Это завершает доказательство следствия 6.3. >

Определение 6.2. Положим 7г = 2^о; где число zq > 0 определено в следствии 6.3.

Замечание.

Первое равенство доказано в следствии 6.3. Так как

так что существует такое N Е N, что S (—^ > 0 при n > TV, а тогда, с учётом равенства

(23)

которое легко доказывается по индукции при пЕМ,п>1,ив котором все сомножители положительны при п > N, видим, что S ( — J > 0, так что

Следствие 6.4. С(2тг) = 1, 5(2тг) = 0.

< Следует из предыдущего замечания и формул удвоения, получаемых из функциональных уравнений леммы 6.3 при одинаковых аргументах. >

Теорема 6.4. Функции С(х) и S(x) периодичны с периодом 2тг, т. е. С[х + 27г) = С[х) и S{x + 27г) = S(x) для любого х G M.

< Следует из функциональных уравнений со вторым слагаемым, равным 7г, и из очередного применения формул удвоения. >

В связи с полученными соотношениями, мы вправе ввести стандартные обозначения

и в дальнейшем называть эти функции синусом и косинусом, как обычно. Для вычисления производных в дальнейшей части курса достаточно располагать приведённым выше вычислением первого замечательного предела (п. 6.5). Замечание.

sin ж ^ x при x > 0.

Действительно, если 0 < х < 7г, то, аналогично формуле (23), мы по индукции получаем формулу (в стандартных обозначениях)

или

где все сомножители, содержащие косинусы, положительны по построению числа 7г, откуда сразу следует, что

и, переходя к пределу в этом неравенстве при п —> +оо и пользуясь первым замечательным пределом и переходом к пределу в неравенстве, мы получаем неравенство sin(x) ^ х при 0 < х < тт.

Осталось проверить, что тт > 1. Напомним, что (см. (22)). Кроме того,

Решая ту часть неравенства

которая приводит к нижней границе для числа ж = — , получаем х ^ 0,4 и 7г > 1,6. Поэтому X > 1 ^ sin ж при любом ж ^ 7г, так что неравенство sin ж ^ ж выполняется для всех ж > 0.

С этой точки зрения неравенство sin ж > ж cos ж, 0 < ж < — , лучше доказывать с помощью теоремы о среднем в дифференциальном исчислении.

7. ДРУГОЙ СПОСОБ ВВЕДЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

В этом параграфе мы изложим построение тригонометрических функций, использующее критерий Коши вместо использованного выше построения, основанного на теореме Вейерштрасса о пределе монотонных ограниченных последовательностей. Этот подход несколько проще (поскольку используется более мощный инструмент).

7.1. Предварительные замечания

Напомним, что в разделе 2 было установлено, что для любого ж G M последовательность имеет предел, и, таким образом, существует предел последовательности, которую мы выше обозначали символом Рп(х) (см. формулу (10)):

где

В частности, предел этой последовательности существует для любого ж ^ 0.

Как и в доказательстве леммы 6.1, перепишем последнюю формулу в виде

(24)

Там же было отмечено, что каждый сомножитель f 1--^ в произведении

является монотонной, а именно, возрастающей функцией переменной п (при фиксированном /), и поэтому это произведение является

монотонно возрастающей функцией переменной п при каждом фиксированном к ^ 2. Кроме того, все эти произведения положительны. Поэтому при n, m G N, n > m, и при ж ^ 0 имеем

(25)

и все слагаемые в правой части последней формулы неотрицательны.

Рассмотрим теперь последовательность деляя действительную и мнимую части комплексного числа, положим

(26)

так что a(n, ix) = с(п; х) + is(n; х) и тем самым a(n, —ix) = с(п; х) — is(n; х) (поскольку все степени переменной х в с(п; ж) автоматически четны, а в s(n; ж) — нечётны). Следовательно,

(27)

Заметим, что из неравенства \z + w\ ^ \z\ + z,w G С, следует, что для произвольных чисел ж G Ш и m, n G M, n > m, имеет место неравенство

(28)

и, таким образом, поскольку

(29)

то из (29) и (28) следует, что

(30)

7.2. Другое определение тригонометрических функций

Как нам уже известно из раздела 2, последовательность а(п, ж) имеет предел при п —> +оо для любого xGM. По критерию Коши, для любого ж G M и для любого г > 0 существует такое N = N(x) G N, что |a(n; х) — a(m; ж)| <£ для всех т,п > N. Из неравенства (30) следует теперь, что для любого ж G К. существует такое число N = N(\x\) G N, что

для любых n, m G N, n > m > N. Согласно утверждению достаточности условия Коши, отсюда следует существование пределов последовательностей с(п, ж) и s(n, ж) для любого ж G M, и мы обозначим эти пределы через с(ж) и з(ж), соответственно:

Как мы видели выше (см. (14)—(16)), предел последовательности

равен единице для любого ж G R. Следовательно, переходя к пределу в формуле (27), получаем равенство

так что

и, конечно,

Сравнивая “новые” определения функций с(ж) и s (ж) со “старыми” определениями функций С(х) и S(x), мы видим, что С(х) = с(ж) и й'(ж) = s (ж) для всех ж G M.

Вывод теорем сложения для тригонометрических функций можно провести по схеме п. 6.3 или воспользоваться экспоненциальной функцией и тригонометрическими функциями комплексного аргумента, введёнными в следующем разделе 8*. Затем можно перейти к изложению материала пп. 6.4-6.6 практически без изменений и тем самым завершить введение тригонометрических функций действительного аргумента в объеме, необходимом для дальнейшего изложения курса математического анализа.

8*. ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО АРГУМЕНТА

В этом параграфе мы изложим построение экспоненциальной функции и тригонометрических функций комплексного переменного.

8.1. Определение экспоненциальной функции комплексного переменного

Определение 8.1. Пусть (zn), n G N7 — последовательность комплексных чисел. Комплексное число zo называется пределом этой последовательности комплексных чисел, если выполнены следующие равносильные условия:

(1) действительная последовательность (Rezn) сходится к числу Kezo, действительная последовательность (Imzn) сходится к числу Imzo?

(2) lim \zn — zo\ = 0.

В этом случае мы будем писать zç> = lim zn.

Замечание. Равносильность условий (1) и (2) следует из очевидного неравенства

Применяя неравенство треугольника (неравенство |z + и>| ^ |г| + |г^|, z,w G С), как и выше в (28), видим, что для произвольных чисел z G С и m, n G M, n > m, имеет место неравенство

(31)

и, следовательно, существуют пределы обеих последовательностей, Rea(n; z) и Imа(п; г), для любого z G С. Таким образом, существует предел последовательности комплексных чисел a(n; z) для любого z G С. Введем обозначение

и назовем функцию e[z) экспоненциальной функцией комплексного переменного z.

Из определения экспоненциальной функции комплексного переменного и из определения тригонометрических функций действительного переменного сразу следует формула Эйлера

(32)

8.2. Тригонометрические функции комплексного аргумента. Функциональное уравнение для экспоненциальной функции и теоремы сложения для тригонометрических функций

Для любого z G С имеем аналогично формуле (24):

(33)

Пусть \z\ < 1. Так как произведения в коэффициентах в (33) положительны и не превосходят единицы, переходом к модулям мы получаем неравенство

Повторяя рассуждения, применённые выше для действительных аргументов, получим (см. п. 2.4), что для любых комплексных чисел w G С имеет место равенство

в котором

Следовательно, ип ^ 0 при п —> +00, и поэтому

откуда, переходя

к пределу и используя теоремы об арифметических операциях для пределов последовательностей комплексных чисел, легко выводимые из обычных (действительных) теорем (путём вычисления пределов последовательностей действительных и мнимых частей комплексной последовательности), получаем, что справедливо следующее функциональное уравнение:

(34)

Положим

(35)

Из формулы Эйлера (32) следует, что при ж G M мы получаем те же значения величин с(ж) и s (ж), что и выше.

Используя формулу (34), мы получаем общие теоремы сложения для тригонометрических функций комплексного переменного:

(36)

Справедливость формул (36) проверяется непосредственно, подстановкой определений (35) в (36) и последующим применением функционального уравнения (34).

9*. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА ДЛЯ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЙ ФУНКЦИИ. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО АРГУМЕНТА

В этом параграфе мы представим экспоненциальную функцию как предел еще одной последовательности многочленов.

9.1. Последовательность Ь(щ х)

Наряду с последовательностью

рассмотрим последовательность

и покажем, что

(37)

Лемма 9.1.

Лемма 9.2.

< Если к — 1 ^ 2, то в силу общего неравенства Бернулли (см. лемму 9.5 ниже) имеем

Лемма 9.3. Для любого n G M, п ^ 3; и любого х G R справедливо неравенство

(38)

< Доказательство сводится к цепочке неравенств

Теорема 9.1.

< Рассмотрим сначала случай, когда х ^ 0. Тогда, на основании определений, имеем

и Ь(щ х) ^ а(п; ж) > 0 для всех n G N + 1, a неравенство (38) в этом случае ведёт к заключению, что оценки

(39)

справедливы для всех п ^ 3 и х ^ 0.

Неравенства (39) в сочетании с оценочным признаком существования предела последовательности приводят к заключению, что

(40)

т. е. к утверждению теоремы в случае х ^ 0. Справедливость формулы (40) в случае х ^ 0 следует из её справедливости в случае х ^ 0 и неравенства в лемме 9.1, поскольку

также при х < 0. Это доказывает формулу (37). >

9.2. Оценка скорости сходимости последовательности Ь(щ х)

Лемма 9.4.

для любых q, 0 < q < 1, и n G N.

< Умножение обеих частей неравенства в условии леммы на положительное число 1 — q приводит к эквивалентному неравенству 1 — qn < 1, которое справедливо для любого 0 < q < 1. >

Теорема 9.2. Для любого х, О < х ^ 1, неравенство

справедливо для всех n G N.

< Пусть X > 0 и m, nG N, m > n > х — 2. С учётом леммы 9.4 имеем оценки

(41)

В доказательстве теоремы 9.1 отмечалось, что при х > 0 последовательность {Ь(щ ж)} положительна и возрастает, так что

Поэтому, переходя в неравенстве (41) к пределу при m —> +оо, получим неравенства

справедливые для всех nGN, п + 2>ж. Если 0 < X ^ 1, то

для всех n G N, и, следовательно,

Следствие 9.1.

Полагаем х = 1 в утверждении теоремы 9.2.

9.3. Иррациональность числа е

Теорема 9.3. Число е иррационально.

Напомним, что 2 < е < 3 (см. п. 2.6). Если предположить, что

Согласно следствию 9.1, выполняются неравенства

в которых числа

натуральны. Из последнего неравенства следовало бы, что положительная разность двух натуральных чисел, которая должна быть натуральным числом, меньше числа, лежащего в интервале (0,1). Такое неравенство невозможно, что опровергает предположение о рациональности числа е. Следовательно, число е иррационально. >

Рассматриваемая тема имеет отношение и к знаменитой задаче о квадратуре круга, символизировавшей постигаемость небесного (представляемого кругом) земным (которое представлялось квадратом). Как было показано Линдеманном в 1882 году, если ненулевое комплексное число z является корнем некоторого неприводимого алгебраического уравнения с целыми вещественными или комплексными коэффициентами, то число ez не может быть рациональным [12, с. 223]. С другой стороны, по доказанной выше формуле Эйлера имеем еш = — 1, и число —1 рационально. Поэтому ни число 7гг, ни само число 7Г не могут быть корнями алгебраических уравнений с целыми вещественными или комплексными коэффициентами.

9.4. Приложение. Общее неравенство Бернулли

Лемма 9.5. Если n G N, n ^ 2, ai,a2,..., an G M — числа одного знака и ajç > —1 для всех k G {1, 2,..., п}, то

<\ Неравенство очевидно при п = 2, так как \ + а\ + а2 + а\а2 > 1 + ai + «2 ввиду условия, что ai и Ü2 — одного знака. Пусть утверждение справедливо для наборов из n ^ 2 чисел. Рассмотрим набор из п + 1 числа. Умножение обеих частей неравенства в условии леммы на положительное число 1 + an+i приводит к эквивалентному неравенству

в котором последнее (третье) слагаемое справа неотрицательно по условию, так что

10. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

Таким образом, показательную, логарифмическую и тригонометрические функции можно строго ввести в рамках введения в анализ и подготовить вычисление производных этих функций в дифференциальном исчислении с помощью строгого вывода замечательных пределов. С помощью найденных таким образом производных устанавливаются интервалы возрастания и убывания тригонометрических функций.

При переходе к интегральному исчислению, с помощью интегрирования по частям в определенном интеграле, можно установить иррациональность числа 7г (ср. [11]) и связать аргумент тригонометрических функций с длиной дуги окружности с помощью вычисления соответствующего натурального параметра. Это вычисление длины дуги окружности завершает изложение аналитических и геометрических сведений о тригонометрических функциях, требуемых в курсе анализа, и одновременно подготавливает курс теории функций комплексного переменного.

ЛИТЕРАТУРА

1. Архипов Г. И., Садовничий В. А., Чубариков В. Н. Лекции по математическому анализу. — М.: Высшая школа, 1999.

2. Гаврилов В. И. Математический анализ. Курс лекций, часть II / Школа им. академика А. Н. Колмогорова, СУНЦ МГУ им. М. В. Ломоносова. — М.: “Самообразование”, 1999.

3. Gavrilov V.I., Pavicevic Z. Matematicka analiza. I. — Podgorica: PMF UNIREX, 1994 (на сербском языке).

4. Гаврилов В. И., Лабудович [ЛабудовиЩ Н., Михайлов Е.Н., Павичевич [ПавиНевиН] Ж. Експоненциjална функциjа // Васпитанье и образованье. 1995. №2-3. С. 19-37 (на сербском языке).

5. Зорич В. А. Математический анализ. Часть I. Второе изд. — М.: Фазис, 1997.

6. Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Б. Математический анализ. — М.: Наука, 1979.

7. Камынин Л. И. Курс математического анализа. Том I. М.: МГУ, 1993.

8. Галочкин А. И., Нестеренко Ю. В., Шидловский А. Б. Введение в теорию чисел. Второе изд. — М.: МГУ, 1995.

9. Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу, изд. 3-е, дополн. — М.: МГУ, 1997.

10. Садовничий В. А., Олехник С.Н.., Виноградова Н.А. Задачи и упражнения по математическому анализу, Ч. 1, изд. 3-е. — М.: Дрофа, 2001.

11. Маркушевич А. И. Замечательные синусы. Введение в теорию эллиптических функций. Второе изд.; Математическая библиотечка. — М.: Наука, 1974.

12. Lindemann F. Ueber die Zahl тг // Math. Ann. 1882. V. 20. P. 213-225.

INTRODUCTION OF THE EXPONENTIAL, LOGARITHMIC, AND TRIGONOMETRIC FUNCTIONS AND THE INVESTIGATION OF THEIR PROPERTIES IN THE FIRST HALF-YEAR OF THE COURSE OF MATHEMATICAL ANALYSIS

V. I. Gavrilov, A. I. Shtern

A way to introduce the exponential, logarithmic, and trigonometric functions with using of the material of the first half-year only is indicated. It enables one to substantially simplify the proof of the continuity of the exponential function and the exposition of the remarkable limits.

Keywords: mathematical analysis, exponential function, logarithmic function, trigonometric functions, complex numbers, limit of a function.

СОДЕРЖАНИЕ И ТЕХНОЛОГИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ В ВУЗЕ

УДК 51(07)

ИЗЛОЖЕНИЕ ТЕМЫ “ТОЧКИ ПЕРЕГИБА” В УНИВЕРСИТЕТСКОМ КУРСЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА*

В. И. Гаврилов, А. В. Субботин

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, Россия, 119992, г. Москва, Ленинские горы, 1; e-mail: awsubbotin@mail.ru

Предлагается методика изложения темы “Точки перегиба” в курсе “Математический анализ”. В основном определении не требуется дифференцируемость функции в точке перегиба. Доказательство основано на результатах авторов, изложенных ранее в настоящем журнале (№1, 2003).

Ключевые слова: математический анализ, точка перегиба, выпуклая функция, монотонная функция, дифференцируемость, разностное отношение.

ВВЕДЕНИЕ

В статье [1] предложена методика изложения темы “Выпуклые функции”, в которой свойство выпуклости первоначально определяется для дифференцируемых функций, что позволяет сравнительно несложно установить критерии выпуклости дифференцируемых и дважды дифференцируемых функций и неравенство Иенсена для дифференцируемых функций, частный случай (п = 2) которого составляет определение свойства выпуклости для произвольной функции; доказательство эквивалентности нового определения исходному для дифференцируемых функций совершается стандартным образом. Мы предлагаем теперь методику изложения темы “Точки перегиба функций”, существенно использующую результаты из [1]. Предлагаемая методика реализована в учебном пособии [2].

1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ОБСУЖДЕНИЯ

Определение 1. Точку хо G R называют точкой перегиба (графика) числовой функции /, если она входит в область определения Df функции / вместе с некоторой своей окрестностью U(xo) = (а,/?), функция / непрерывна на (а,/?) и в интервалах (а, х$) и (x$,ß) обладает свойством выпуклости с противоположными направлениями.

* Работа выполнена при частичном финансировании грантом Президента РФ поддержки ведущих научных школ ЖНШ-4564.2006.1

Условимся в дальнейшем слова “(графика)” и “числовой” опускать. Если в точке перегиба функция / не имеет производной, то ж о назовем точкой излома функции /.

Например, функция fix) = aresin--г, ж G R, не дифференцируема в точках X = ±1, но, в силу достаточного признака выпуклости дважды дифференцируемой функции, эти точки удовлетворяют определению 1, и мы считаем их точками перегиба (излома) функции /(ж); отметим, что жо = О также является точкой перегиба функции /(ж), в которой существует /'(О) = 2.

В доказательствах излагаемых ниже результатов использованы два утверждения из математического анализа, не всегда входящие в учебные издания по предмету. В целях замкнутости изложения приведем их здесь с доказательствами.

Теорема (о пределе производной функции). Если функция f непрерывна на [жо,жо + So]j So > О, дифференцируема в (жо,жо + So) и существует lim f'{x) = 1\, то l\ = D+f(xo). Если функция f непрерывна на [хо~So,xo], дифференцируема в (жо — So,xo) и существует lim f'[xo) = h, то 12 = D~f(x0).

< Функции F(x) = /(ж) - /(ж0), F'(x) = /'(ж), и д(х) = ж - ж0, д'{х) = 1, удовлетворяют на [жо,жо + So] (на [жо — So,xo]) условиям правила Бернулли-Лопиталя (^неопределенность -V согласно которому Ii = lim f'(x) =

Теорема (достаточный признак локального экстремума непрерывной функции). Если функция f непрерывна в точке хо и в некоторой её окрестности (а, ß) Э хо функция f монотонна в каждом из интервалов (а, жо) и (xo,ß) и направления её монотонности противоположные, то хо — точка локального экстремума функции f.

< Рассмотрим случай, когда / возрастает на (а, жо) и убывает на (жо,/?). Фиксируя произвольную точку ж G (а, жо), а < х < жо, для любого ж', ж < х' < хо, имеем /(ж) ^ Дж') и lim Дж') = /(жо), так что /(ж) ^ f{xo) для всех ж G (а,жо). Фиксируя ж G (жо,/3), жо < ж < /?, для любого ж", для всех ж G (жо, /0). Таким образом, жо — точка локального максимума функции /.

Аналогично рассматривается случай, когда / убывает на (а, жо) и возрастает на (жо,/?); в этом случае жо — точка минимума функции /. >

2. ТОЧКИ ПЕРЕГИБА ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОЙ ФУНКЦИИ

Теорема. Если xq — точка перегиба функции f и f дифференцируема в её окрестности U(xo) С Df, U(x) = (pt,ß) из определения 1, то производная функция f непрерывна на (pt,ß).

< Согласно определению 1 и ([1, теорема 1]), производная функция f монотонна и непрерывна на интервалах (а,хо) и (хо, ß) и имеет на них противоположные направления монотонности. Не ограничивая общности, считаем, что f возрастает на (а,хо) и убывает на (хо,/?).

Так как, по условию,

то разностное отношение

ограничено в некоторой проколотой окрестности точки жо, которую, не ограничивая общности, считаем совпадающей с

так что

для всех x G{7 (xq) и некоторых m, M G R.

Рассмотрим произвольную точку x G (а, хо), а < х < х$. Так как дифференцируемая в (а, ß) функция / непрерывна на (а,/?), то на отрезке [х, хо] она удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа о среднем значении, согласно которой m ^ /'(О ^ М. Поскольку f \ на (а,хо), то /'(#) ^ /'(О ^ ^ Для всех x G (а,жо). По теореме о пределе монотонной ограниченной функции, существует

а по теореме о пределе производной функции,

Фиксируем точку х\ G (а?о,/?), х§ < х\ < ß. На [xo,xi] функция / удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа о среднем значении, согласно которой m ^ ff(jl) ^ М. Поскольку f [ на (хо,/?), то f'(x) ^ f'{vi) ^ m для всех х, хо < x < г]. По теореме о пределе монотонной ограниченной функции, существует

а по теореме о пределе производной функции,

т.е., производная функция f непрерывна в точке хо, а вместе с нею, и на всем интервале (а,/?). >

Следствие. Если хо — точка перегиба функции f и f дифференцируема в её окрестности U(хо) = (а, ß) из определения 1, то xq — точка локального экстремума для производной функции f.

< По доказанной теореме, производная функция f непрерывна в (а,/?).

Кроме того, в доказательстве теоремы отмечалось, что f монотонна в ин-

тервалах (а, х$) и (жо, ß) и имеет в них противоположные направления монотонности. Поэтому хо — точка локального экстремума производной функции в силу отмеченного в разд. 1 признака локального экстремума непрерывной функции. >

3. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ТОЧКИ ПЕРЕГИБА ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОЙ ФУНКЦИИ

Теорема. Если хо — точка перегиба функции f, дифференцируемой в её окрестности U(xo) = (а,/?) из определения 1, то график функции f в пределах интервалов (а, Хо) и (xo,ß) расположен на противоположных сторонах от касательной к графику в точке Мо^хо, /(#о)^ •

< Согласно теореме из предыдущего разд. 2, производная функция f непрерывна в (а,/?), монотонна в интервалах (а, х$) и (x$,ß) и имеет в них противоположные направления монотонности.

Рассмотрим случай, когда / выпукла вниз на (а, жо) и выпукла вверх на (xo,/ö). Тогда, по определению выпуклости дифференцируемой функции (см. [1, определение 1]), для произвольных ж, х' G (а,жо) справедливо

(1)

и при этом

Поэтому, переходя в

обеих частях неравенства (1) к пределу при х' —> xq — 0, получим

(2)

справедливое для всех х G (а, жо). Аналогично, для произвольных х, ж" G G (xo,ß) справедливо

(3)

и при этом

После перехода в

обеих частях неравенства (3) к пределу при х" —> xq + 0 получим

(4)

справедливое для всех х G (xo,ß).

Уравнение у = f(xo) + ff(xo)(x — хо) определяет касательную к графику функции / в точке хо, а неравенства (2) и (4) указывают на справедливость утверждения теоремы в этом случае.

Случай, когда функция / выпукла вверх на (а, хо) и выпукла вниз на (xq,/Ö), изучается аналогично. >

4. ТОЧКИ ПЕРЕГИБА ДВАЖДЫ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОЙ ФУНКЦИИ

Теорема (необходимый признак точки перегиба). Если хо — точка перегиба функции f и существует f“(xo), то f”{x$) = 0.

< Так как существует /“(жо)> то производная функция f определена в некоторой окрестности f7(xo) точки жо, которую, не ограничивая общности, будем считать совпадающей с интервалом (a,ß) из определения 1. Тогда, согласно следствию из разд. 2, хо — точка локального экстремума для f. Поэтому, по теореме Ферма, /”(жо) — (/'У(жо) = 0. >

Теорема (достаточный признак точки перегиба). Если функция f непрерывна в точке хо интервала (a,ß), дважды дифференцируема в интервалах (а,жо) и (xo,ß) и вторая производная функция сохраняет в каждом интервале постоянный знак и знаки противоположные, то xç> — точка перегиба функции f.

< Из условия теоремы и признака выпуклости дважды дифференцируемой функции на интервале (см., например, [1, теорема 2]) следует, что на каждом интервале (а, #о) и (xo,ß) функция / выпукла и имеет противоположные направления выпуклости. Таким образом, по определению 1, точка хо — точка перегиба функции /. >

Отметим, что функция / в этой теореме не обязана быть дифференцируемой в точке хп.

Возвращаясь к функции

замечаем, что

Поэтому X = ±1 — точки перегиба (излома) функции Дж), а хо — её точка перегиба, в окрестности (—1,1) которой график функции f(x) ведет себя таким образом, как описано в теореме из разд. 3.

ЛИТЕРАТУРА

1. Гаврилов В. И., Субботин А. В. Изложение темы “Выпуклые функции” в университетском курсе математического анализа // Математика в высшем образовании. 2003. № 1. С. 21-28.

2. Gavrilov V.I., Pavicevic Z. Matematicka Analiza I. — Podgorica: PMF Unirex, 1994. 631p. (на сербском языке).

PRESENTATION OF THE THEME “POINTS OF INFLECTION” IN THE UNIVERSITY COURSE OF MATHEMATICAL ANALYSIS

V. I. Gavrilov, A. V. Subbotin

We suggest a way of lecturing on the theme “Points of inflection” in the course of mathematical analysis (calculus) at university. The main definition does not require the differentiability of a function at its point of inflection. The proofs are based on results of our previous publication (J. “Mathematics in Higher Education”, №1, 2003).

Keywords: mathematical analysis, point of inflection, convex functions, monotonic functions, differentiability, difference quotient.

МАТЕМАТИКА ДЛЯ СПЕЦИАЛИСТОВ РАЗЛИЧНОГО ПРОФИЛЯ

УДК 517.91

О НЕКОТОРЫХ МОМЕНТАХ ИЗЛОЖЕНИЯ РАЗДЕЛА “ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ” ВО ВТУЗОВСКОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ

А. И. Рубинштейн

Московский государственный университет леса Россия, 141005, Московская обл., г. Мытищи, ул. 1-я Институтская, 1; тел.: (495) 5018870; e-mail: buzhin@rol.ru

В курсе “Дифференциальные уравнения” следует обращать внимание студентов на особенности, которые выявляются в процессе нахождения решений. Приводятся и подробно анализируются поучительные примеры.

Ключевые слова: обыкновенные дифференциальные уравнения, свойства и особенности решений.

Раздел “Дифференциальные уравнения” занимает, или должен занимать, особое место во втузовском курсе математики, поскольку дифференциальные уравнения являются одним из немногих математических аппаратов, использующихся при моделировании процессов, изучаемых естественными науками — физикой, химией, биологией, а также техникой.

Но тогда следует обращать внимание не только на обучение студентов методам нахождения решений дифференциальных уравнений, но и на исследование свойств и особенностей этих решений. То есть надлежит рассматривать всё множество решений дифференциального уравнения.

При большом числе отличных учебников по обыкновенным дифференциальным уравнениям (мы не касаемся уравнений с частными производными), например, [1-6], рассмотрению всего множества решений конкретного дифференциального уравнения на практических занятиях не уделяется должного внимания. С одной стороны, это не является легкой задачей, потому что явный вид решения удается получить довольно редко, с другой — исследование функции — задача “пройденного” дифференциального исчисления. К тому же часто принципиальная невозможность получить решение “в конечном виде” стимулировала разработку приближенных, численных методов, а наличие достойного пакета программ математического обеспечения компьютеров как бы вообще сводит к нулю актуальность исследований, о которых идет речь.

Но забвение того, какую точность вычисления следует выбрать при численном методе нахождения решения, удовлетворяющего заданным начальным условиям, или даже при построении графика решения, подчас приводит к печальным последствиям.

Студент может, к примеру, ограничиться построением на ЭВМ одной ветви решения при конкретных начальных условиях или, неудачно выбрав точность вычислений, получить абсурдный результат. Такие ошибки могут превратить решение в бессмыслицу — привести, например, к противоречию с теоремой существования и единственности решения задачи Коши.

Попытаемся иллюстрировать сказанное двумя простыми примерами. Рассмотрим уравнение, содержащее дифференциалы переменных

(1)

При такой форме записи отсутствуют преимущества одной переменной над другой. Поэтому И. Г. Петровский в [1] рекомендует даже при изучении уравнения, разрешенного относительно производной, рассматривать вместе с уравнением

Поэтому можно сразу указать несколько решений уравнения (1):

(2)

“Разбиение” функций ж = О, t = — 1, £ = 1 на части диктуется тем, что в точках (-1; 0), (1; 0) функции 2tx2 и (t2 - 1) одновременно обращаются в нуль и уравнение (1) “исчезает”.

Вообще представляется необходимым приучать студента к рассмотрению непродолжаемых решений дифференциального уравнения, и, поэтому всегда указывать интервал, на котором определено конкретное решение.

При t2 — 1 ф 0 уравнение (1) можно записать в виде

(3)

В каждой из областей

функции f(t,x) и f'x(t,x) = непрерывны, что обеспечивает существование и единственность в них решения задачи Коши для уравнения (3). Так как /(—£, х) = —/(t, ж), то глобальная картина графиков решений (3) симметрична относительно вертикальной оси . Далее при t Е (0; 1) и х / 0 функция /(£, х) > 0, в силу чего все решения (3) возрастают. А при t > 1, X ф 0 функция /(£, х) < 0 и все решения убывают.

Для x2(t2 — 1) ф 0 несколькими преобразованиями, сохраняющими равносильность, от (1) переходим к (4):

(4)

Фактически это и считается часто процессом решения дифференциального уравнения. Причем не всегда указываются ограничения на С и t. Поэтому ограничиваются ответом типа

Иногда, правда, указываются решения t = — 1 и t = 1. Но не указываются интервалы существования решений в зависимости от значений С, то есть не указываются непродолжаемые решения. Из (4) видно, что при каждом С, которое можно считать положительным, всякому решению х = (p(t, с) из области D% соответствует решение х = <£>(—£, с) из области Di и графики этих решений симметричны относительно вертикальной оси t = 0. На это уже обращалось внимание, когда отмечалось, что /(£, х) в (3) нечетно по t. Более того, из (4) следует, что каждому значению С > 0 в области D% соответствует два непродолжаемых решения (3), определенных на

Первое — отрицательное, а второе - положительное, и оба строго убывают при возрастании t (рис. 1).

Рис.1

Используя (3), получаем

откуда следует,

что при

графики решений х = (£>(£, с) выпуклы вниз, при

выпуклы вверх, и уравнение линии перегибов есть

По (3) и (4)

Эти соотношения помогают выяснить характер поведения решений х = (p(t,c) при 0 < t < 1. Особое место отведено непродолжаемому решению

определенному на (0; 1). По правилу Лопиталя

то есть вблизи t = 0, для t > 0 график (p(t, 1) ниже графика

Из (4) видно, что при 0 < с < 1 решение х = с) определено на (0; 1) и

Кроме того, при t > 0 и 0 < с < 1 график решения (4) или дважды пересекает линию перегибов, или не пересекает её ни разу, то есть или дважды меняет направление, или не меняет его ни разу При С таком, что графики функций X = с) и X = касаются в одной точке друг друга, график X = (p(t, с) выпуклый вниз (рис. 2).

В части области D2 с t > 0 при каждом с > 1 существуют два непродолжаемых решения вида (4), определенные на

Первое — положительное, второе — отрицательное (рис. 3). При этом

Рис. 2 Рис. 3

Используя симметрию относительно вертикальной оси t = О, окончательно получим (рис. 4)

Рис.4

Кажется очевидным, что студент технического вуза должен представлять, какие опасности подстерегают пользователя программного пакета при поиске решения уравнения (1), удовлетворяющего условию

Еще один пример. Уравнение Бернулли

(5)

можно рассматривать лишь при х ^ О, причем х = ip(t) = 0, —оо < t < +00 -очевидное решение. В верхней полуплоскости D : {—оо < t < +00, х > 0} гарантировано существование и единственность решения задачи Коши, поскольку непрерывны функции /(£, х) = — 4£х + 2te_t и f'x(t,x). Использование метода вариации Лагранжа, то есть поиск решения в виде х = c[t) е , поскольку се — решение соответствующего однородного уравнения

с условием c(t) > 0, приводит к следующему уравнению

равносильному

откуда

(6)

И в этот момент допускается “школьная” ошибка — не указывается условие

(7)

Таким образом, множество всех решений уравнения (5) есть (рис. 5)

Рис.5

(8)

Несоблюдение условия (7) при с < 0 ведет к нарушению единственности решения задачи Коши в верхней полуплоскости х > 0. Так как /(£, х) = 2tVx (-2у/х + е-*2), то при t > 0

Для t < 0 неравенства меняются на противоположные. Это позволяет окончательно получить глобальную картину графиков всех решений уравнения (5) (рис. 6).

Рис. 6

ЛИТЕРАТУРА

1. Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.-Л.: ГИТТЛ, 1952. 232 с.

2. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Наука, 1965.

3. Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Наука, 1975. 240 с.

4. Тихонов А. Н., Васильева А. В., Свешников А. Г. Дифференциальные уравнения. — М.: Наука, 1980. 231с.

5. Еругин Н. П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. — Минск: Наука и техника, 1979.

6. Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Наука, 1985.

ON SOME POINTS OF PRESENTATION “DIFFERENTIAL EQUATIONS” SECTION OF THE COURSE “MATHEMATICS” FOR ENGINEERING UNIVERSITIES

A. I. Rubinshtein

It is necessary to direct students' attention to some peculiarities that appear on finding of solutions. Several instructive examples are given and are analyzed in detail.

Keywords: ordinary differential equations, properties and peculiarities of solutions.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СОБЫТИЯ XX ВЕКА

УДК 519.7

КОМПЬЮТЕРИЗАЦИЯ... БУДЕМ ОСТОРОЖНЫ*

П. С. Краснощёков

Обсуждаются позитивные и негативные последствия компьютеризации в науке и образовании.

Ключевые слова: компьютеры в науке и образовании.

Я считаю, что компьютерные технологии являются сегодня самым существенным фактором, влияющим на изменение мира... Влияние будет таким сильным, что не останется ни одной области, которая не будет охвачена компьютерными технологиями.

Билл Гейтс

“О настоящем и будущем компьютерных технологий”, Москва, Кремль, 10 октября 1997 года

Достаточно только открыть глаза, чтобы убедиться, что завоевания промышленности, обогатившие стольких практических людей, никогда не увидели бы света, если бы существовали только люди практики, если бы последних не опережали безумные бессребреники, умирающие нищими, никогда не думающие о своей пользе и руководимые всё же не своим капризом, а чем-то другим.

Анри Пуанкаре “Наука и метод”, 1908 год

И познаете истину, и истина сделает вас свободными.

Iисус Христос “Новый Завет”, Евангел1е от 1оанна, гл. 8 ст. 32

Билл Гейтс не первый человек, с воодушевлением говорящий о завоеваниях технического прогресса, о тех благах, которые он несет в мир, о тех радикальных изменениях, которым он этот мир подвергает. И действительно, все эти завоевания, блага и изменения отрицать трудно. Однако прислушаемся к тем, кто за блеском фасада достижений видит и обратную, негативную, сторону этого процесса.

Одним из первых в России, кто открыто подверг сомнению слепую веру в технический прогресс, был Лев Николаевич Толстой. “Я прошу читателя... вспомнить те простые факты, что раз увеличенное войско никогда уже не может быть уменьшено; что раз уничтоженные вековые леса уже не могут быть возобновлены; что раз развращенное население удобствами комфорта никогда уже не может быть возвращено к первобытной простоте и умеренности”. И далее: "Верующие в прогресс искренно веруют потому, что вера

* Статья перепечатана из сборника “Математические события XX века”, М.: ФАЗИС, 2003, с разрешения автора и издательства ФАЗИС.

их выгодна для них, и потому-то с озлоблением и ожесточением проповедуют свою веру Я невольно вспоминаю Китайскую войну, в которой три великие державы совершенно искренно и наивно вводили веру прогресса в Китай посредством пороха и ядер“. (”Прогресс и определение образования". Ответ г-ну Маркову. Русский вестник, 1862, №5.)

Я — не противник технического прогресса. Жизнь сложилась так, что приходилось применять свои знания и способности в различных крупных технических проектах и даже в военном деле. Много лет отдано работе по созданию систем автоматизированного проектирования, которые, без преувеличения, можно считать образцом новых компьютерных информационных технологий. При их создании приходилось решать проблемы, о которых, возможно, Билл Гейтс и не подозревает. Решение этих проблем выработало уравновешенный и трезвый взгляд на скоропалительную компьютеризацию и привело к осознанию вечной истины: “чтобы двигаться дальше, надо остановиться под давлением необходимости”.

Первое эффективное применение, как и следовало ожидать, компьютер нашел в науке. Он дал толчок к бурному развитию многих научно-прикладных направлений (таких, например, как теория автоматов), вдохнул жизнь в развитие вычислительных методов (в математике выделилось самостоятельное направление — вычислительная математика). Кибернетика как наука об управлении демонстрировала свои неоспоримые достижения. Появилась новая профессия — программист, новая отрасль — программирование, новое научное направление — языки программирования.

Однако первая волна эйфории прошла. Неожиданно обнаружилось, что увлечение вычислениями стало тормозить чисто теоретические исследования. На научных семинарах всё больше обсуждались вычислительные результаты, интерпретация которых затруднялась отсутствием критического анализа теоретических моделей, положенных в основу вычислений.

В классической триаде “модель - алгоритм - программа” наметилась опасная тенденция. Стремление поскорее внедрить компьютерные технологии во все сферы жизни привело к тому, что качество используемых теоретических моделей стало снижаться.

Многие ученые, верящие в информацию как в абсолютное благо, вторглись с компьютером в различные отрасли человеческой деятельности, чтобы обрабатывать информацию и помогать принятию рациональных решений. Однако математические методы и теоретические модели следовали за компьютером значительно медленнее. А неадекватное программное обеспечение порождает у пользователя иллюзорное знание, в основе которого, как правило, лежит устоявшееся заблуждение. За истину принимается её трансформация, правдоподобная иллюзия. Особенно опасно, когда это происходит при принятии кардинальных решений в социально-экономической сфере.

Однако опасность еще не столь велика. В среде посвященных эйфории нет. Компьютер занял свое достойное место. Место умного, дисциплинированного помощника и даже, в определенном смысле, коллеги. Компьютер остался подспорьем в интеллектуальной деятельности человека, но не стал искусственным интеллектом, хотя случается, что шахматные программы вы-

игрывают партии и у чемпионов мира. К счастью, законы интеллектуальной деятельности скрыты от нас за семью печатями. Это особенно относится к высшей форме интеллектуальной деятельности — к творчеству. Это свойство Человека — дар Божий (по образу и подобию) или, если хотите, результат миллионов лет эволюции, что, в конечном счете, одно и то же. Однако способность человека к творческому мышлению дана ему в потенции — проявиться и успешно развиваться она может лишь в интеллектуальной среде, в живом общении с себе подобными, т. е. в человеческом обществе. Известно, что так называемые “маугли”, воспитанные животными, практически навсегда утрачивают интеллект. Компьютер же никогда не обзаведется подобной средой, что бы ни говорилось о самообучающихся системах и т. п. Поэтому принципы, на которых организуется компьютерный интеллект (а лучше говорить -псевдоинтеллект), совсем иные.

Сейчас распространено мнение, что главной причиной отставания во многих отраслях РФ от США явилась недооценка компьютерных технологий. Это не совсем так. Вспомним, что Советский Союз быстро догнал Соединенные Штаты в создании ядерного оружия, а в средствах доставки его опередил их и первым вышел в космос. Никто не осмелится утверждать, что советские компьютеры были лучше американских. Выиграл гонку живой человеческий интеллект, который удалось эффективно организовать на решение проблемы.

Поэтому хотелось бы предостеречь от компьютерного фундаментализма. Любое новое мощное средство, будь то автомобилизация или компьютеризация, помимо очевидных благ, несет в себе и, далеко не очевидную, угрозу гармоничному и стабильному существованию ноосферы. Компьютеризация опасна тем, что в первую очередь она воздействует на самую хрупкую и уязвимую составляющую ноосферы — на живую интеллектуальную среду. О пользе компьютеризации профессионально и вдохновенно сказал Билл Гейтс. Но стоит подумать о возможном необратимом негативе, который она может привнести в жизнь.

Начнем, пожалуй, с самой важной, на наш взгляд, проблемы — с роли образования, — которая, по словам Гейтса, “зазвучит совсем по-новому”. Образование — очень ёмкое и многоплановое понятие. Дать исчерпыващее строгое определение этого понятия, скорее всего, невозможно. Поэтому когда Гейтс утверждает, что “в будущем ключевым вопросом, который будут задавать, чтобы понять, где и как может работать человек, станет: Какое образование вы имеете?”, далеко не ясно, как сформулировать ответ. Действительно, что делать пишущему эти строки, если в университетском дипломе он квалифицируется как механик, в дипломе доцента — как математик, в дипломе доктора — как кибернетик, в дипломе профессора — как исследователь операций, а в дипломе академика — как специалист по информатике и автоматизации? Как ему отвечать на поставленный выше вопрос? Ведь каждая из перечисленных профессий автора может быть определена как образование, и в то же время, взятые вместе, они также являют собой образование. Причем это образование — не просто совокупность мало связанных между собой профессий. Все они гармонично дополняют друг друга.

Действуя во взаимосвязи, они образуют качественно нечто новое и дают автору неизмеримо большие возможности в научно-исследовательской работе, чем каждая, взятая по отдельности. И в России это скорее повседневность, чем исключение.

К сожалению, компьютерные технологии уже покушаются на тысячелетний духовный тандем “учитель - ученик”. Во многих институтах компьютер принимает экзамены, а точнее, тестирует. Такой экзамен лишен главного и самого важного элемента — диалога между учеником и учителем. Происходит “усреднение” всех экзаменующихся — компьютер не различает их неповторимой индивидуальности, он не может проследить логику мышления отвечающего, не дает ему возможность в диалоге отстоять свою точку зрения. Однако тестирование — это еще полбеды. Предполагается, что с помощью компьютерных технологий можно унифицировать лекционный процесс. Вот это уж совсем никуда не годится. Лектор не просто озвучивает теоретический материал. Он его интерпретирует. Сколько лекторов, столько и интерпретаций. Даже один и тот же лектор, читая одну и ту же лекцию, раз к разу не повторяет её дословно. Чтение лекций — процесс творческий. Это как у дирижеров — каждый по-своему интерпретирует одно и то же музыкальное произведение. Хотя, казалось бы, у оркестра есть ноты и этого достаточно. Не зря ведь существуют любимые дирижеры и любимые лекторы. В живом общении учеников с учителем или ученых на семинарах и конференциях и возникает та аура, среда, без которой живой интеллект не может существовать и развиваться.

Компьютерные технологии, в силу своей специфики, несут в сферу образования такие любимые американцами атрибуты, как унификацию и стандартизацию. Полезные в меру, они, если не остановиться вовремя, приведут к бюрократизации образования, и оно как ритуал приобщения человека к знаниям, к истине, перестанет существовать. Система станет штамповать (как метко заметил Солженицын) образованцев, справляющихся с рутинной работой, но начисто лишенных культуры творческого мышления. Начнется распад научных школ — явление, первые признаки которого уже налицо. И это опасно, так как людей, способных к творческому мышлению, в человеческом обществе не так уж и много: “... большая часть людей не любит думать, и, может быть, это и к лучшему, ибо ими руководит инстинкт... Но инстинкт — это рутина, и если бы его не оплодотворяла мысль, то он и в человеке не прогрессировал бы больше, чем в пчеле или в муравье. Необходимо, следовательно, чтобы кто-нибудь думал за тех, кто не любит думать... ” (А. Пуанкаре, “Наука и метод”, кн. 1 “Ученый и наука”, 1908г.). Очень важно, чтобы как можно больше людей научилось думать. Прислушаемся к тому, что говорит Паскаль: “... всё наше достоинство состоит в мысли. В этом отношении мы должны возвышать себя, а не в отношении к пространству и времени, которые мы не сумели бы наполнить. Постараемся же научиться хорошо мыслить: вот принцип нравственности”. В связи с этим нельзя не сказать об Интернете — еще одной очень модной сейчас компьютерной технологии. Возможно, Интернет поможет нам наполнить собой пространство и время (не зря его еще называют Паутиной (Web)), но очень сомнительно, чтобы он помог нам научиться хорошо мыслить.

Таким образом, необходимо непрестанно заботиться о том, чтобы компьютерные технологии доставляли нам не только комфорт и развлечения, но высвобождали бы потенциальную способность нашего интеллекта к творческому мышлению. Это очень важно, так как в нашем мире технологический прогресс реализуется и направляется усилиями и интересами бизнеса.

А современный бизнес, при всех его неоспоримых достоинствах, имеет один весьма существенный недостаток: для него главным критерием является получение прибыли и, желательно, как можно быстрее. В силу этого, мягко говоря, он нейтрален по отношению к нравственности. Бизнес тороплив, ему некогда останавливаться под давлением необходимости — он её просто не замечает. Хорошо мыслить — это не принцип бизнеса. Его принцип — мыслить эффективно. Поэтому, по большому счету, бизнесу безразлично, что некоторые рекламируемые им компьютерные технологии породили компьютерных наркоманов, ушедших из реальной жизни в мир иллюзий виртуальной реальности. Складывается ситуация, когда жизнь должна адаптироваться к законам бизнеса, а не наоборот. Мир переворачивается вверх ногами: бизнес превращается в единственную объективную реальность, которую человечество должно осознать и принять. Всё, что не дает прибыли, утрачивает право на существование. Свободное занятие бизнесом переходит в свою противоположность — в необходимое занятие. Поэтому наиболее успешно развиваются те компьютерные технологии, которые в первую очередь пользуются спросом у деловых людей, а также в сфере развлечений.

Для людей, “достоинство которых состоит в мысли”, а свобода обретается в познании истины, такой порядок вещей неприемлем. Исчезновение с арены жизни “безумных бессребреников” приведет к тому, что инстинктивное стремление “людей практики” к прибыли перестанет “оплодотворяться мыслью”, и практика станет неэффективной. Просто нечем будет торговать.

Я намеренно сгущаю краски. Конечно, всё обстоит не так трагично. Но согласитесь, что тенденция просматривается. А ведь выход из создавшегося положения известен: компьютерные технологии должны совершенствоваться. Они должны становиться всё более наукоёмкими, расширяя, тем самым, сферу своего применения. Нельзя забывать, для чего в первую очередь создавался компьютер. Его создатели имели в виду, что он будет способствовать не столько техническому прогрессу, сколько прогрессу человечества в его извечном стремлении к познанию истины. А на этом пути, как показывает история, и с техническим прогрессом всё будет обстоять благополучно. Не случайно ведь Паскаль, призывающий нас прежде всего научиться “хорошо мыслить”, был одновременно изобретателем суммирующей машины — первого, можно сказать, прототипа современного компьютера.

Так что же надо делать, чтобы компьютерные технологии становились всё более наукоёмкими? Я постараюсь сформулировать здесь ряд проблем, которые, как мне кажется, придется решать. Осознание их пришло в процессе двадцатилетней работы по созданию системы автоматизированного проектирования, однако сами проблемы имеют настолько общий характер, что можно говорить о компьютерных технологиях в общем плане.

В самых первых системах автоматизированного проектирования разработчики стремились наиболее полно реализовать возможности, которые предоставляет компьютер: быстрое выполнение большого числа вычислений; хранение и передачу большого объема информации; визуализацию результатов с помощью средств компьютерной графики; общение человека с компьютером в режиме диалога. Этот подход со временем вылился в компьютерную технологию, которую принято теперь называть экспертной системой. Такая система основывается на представлении о пользователе, как о специалисте в конкретной области знаний (врач, экономист, инженер, управленец и т.д.), которому необходимо эффективно помочь применить свои знания в конкретной работе. Эти системы используются сегодня в различных сферах деятельности. Например, оказалось, что они весьма успешно справляются со специфическими задачами диагностики, когда знания представимы в виде достаточно жестких инструкций, действующих в строгих рамках формальной логики. Однако попытки использования идеологии экспертных систем для автоматизации проектирования таких сложных объектов, как самолет, корабль, производственный комплекс или система управления ими, принципиальных проблем так и не решили. Это похоже на то, как автомобиль не снял с повестки дня транспортную проблему. Повсеместная автомобилизация породила новые проблемы: аварии и пробки на дорогах, загрязнение окружающей среды, трудности парковки и хранения. И когда современные КБ оснастили так называемыми персональными рабочими местами конструктора (некоторыми аналогами экспертных систем) и объединили их в сеть, предназначенную выполнять функции системы автоматизированного проектирования, то также возникли не менее острые проблемы. Одна из них заключается в том, что в системе стали обрабатываться громадные объемы информации. А из теории известно, что это приводит к повышению энтропии в системе, т. е. информация о текущем состоянии проекта искажается и тем больше, чем больше задействовано в ней исполнительных элементов, будь то программа или живой конструктор на своем персональном рабочем месте. Бороться с ростом энтропии в сложных системах можно только с помощью агрегирования (укрупнения, обобщения) информации и распределения её по уровням детализации (подробности), т.е. построением иерархической системы обработки информации. Так, в сущности, и обстоит дело в любом крупном КБ, только возникает такая иерархия стихийно под давлением обстоятельств и во многом зависит от практики проектирования, сложившейся в данном КБ. Поэтому простым “интегрированием этих программ со всеми остальными элементами”, как это утверждает Билл Гейтс, не обойтись — придется вникать в “специализированные” проблемы отраслей. Очевидно также, что не все иерархические системы проектирования в разных КБ эквивалентны. Одни КБ работают более продуктивно, другие — менее. Таким образом, иерархия должна быть не произвольной, а естественно вытекающей из функциональной природы проектируемого объекта и степени его конструктивной сложности. Для проектирования гайки никакой иерархии не нужно.

Вопреки ожиданиям, проблема принятия инженерных решений не упростилась, а усложнилась. Появились жалобы, что невозможно сделать однозначный выбор, что его просто не существует. Попытки улучшать одни характеристики конструкции приводили к ухудшению других и наоборот. Безвыходность положения вынудила прибегать к произволу: “лишнюю” информацию старались не замечать. Традиционная методология проектирования “от прототипа”, по существу, не претерпела изменений. Однако привлечение компьютера в сферу проектирования практически впервые поставило инженера перед проблемой выбора во всей её неприятной неоднозначности. Пришлось остановиться под давлением необходимости.

А теперь забудем о проектировании. Дело в том, что обсужаемые проблемы присущи не только проектированию. Они встречаются повсюду, где приходится принимать решения (делать выбор) в сложной информационной среде. Понимая проектирование предельно широко, можно любую целенаправленную деятельность определить как проектирование, но проблему принятия решений более точно характеризует понятие “синтез”. Наука традиционно изучала реальность как данность. Её методом был анализ. Настали времена, когда люди стали преобразовывать мир (об этом говорит и Билл Гейтс). Эти преобразования мира — результат целенаправленной деятельности людей в различных проявлениях их жизни. Поэтому на повестку дня стала проблема целенаправленного синтеза систем и процессов разнообразной природы и сложности. Необходимо, чтобы компьютерные технологии позволили эту проблему решать наименее болезненно для нас и окружающей среды. А это возможно лишь в том случае, если сами технологии будут помогать нам “хорошо мыслить”. Но чтобы хорошо мыслить, сначала необходимо научиться правильно мыслить. Для этого надо привлекать на помощь достижения фундаментальных наук.

Вернемся к проблемам синтеза. Среди них центральной, безусловно, является проблема выбора. Но выбирать можно только тогда, когда есть из чего выбирать, т. е. множество альтернатив синтезируемой системы, объекта или процесса. Причем из теории известно, что выбор будет тем лучше, чем шире множество альтернатив. И здесь мы сталкиваемся с парадоксальной, на первый взгляд, ситуацией: чтобы построить оптимальный синтез, необходимо уметь синтезировать всё множество возможных альтернатив. Эта задача очень сложна, но фундаментальные достижения в теории оптимизации, теории игр, математическом моделировании — этих составляющих общей теории принятия решений, а также совершенство современных компьютеров укрепляют нашу веру в успешном её решении. Хотя проблем, стоящих на этом пути, еще предостаточно. И следующей является формирование системы критериев (оценок), на основе которых строится оптимальный синтез. Эта система критериев является не чем иным, как формализацией наших пожеланий или требований к качествам синтезируемого объекта или процесса. Без неё невозможно строить оптимальный синтез. Но беда заключается в том, что, как правило, наши пожелания и требования противоречивы и не могут быть формализованы в виде одного критерия.

Так каков же выход из такого положения? На этот вопрос дает ответ теория многокритериальной оптимизации: нужно отказаться от категорической формы требований, и тогда решение существует. Но оказывается, что решением является не совсем то, чего мы ожидали. Оно является неоднозначным. Оптимальный синтез представляет собой множество не улучшаемых по нашим требованиям альтернатив, и, в общем случае, что очень важно, содержит меньше элементов, чем исходное.

Итак, однозначного ответа нет. Однако, если вдуматься, это не так уж и плохо, так как за нами остается свобода дальнейшего выбора. Этот выбор может быть обусловлен соображениями более высокого уровня, обсуждать которые здесь нет возможности, либо выбор будет сделан на основе компромисса, т. е. согласования требований. Может случиться и так, что необходимость вынудит реализовать все результаты неоднозначного синтеза. Например, при производстве автомобилей приходится изготовлять и легковые автомобили, и грузовые. Оптимальный синтез в этом случае как бы подсказывает нам, что удовлетворить наши потребности только производством легковых автомобилей или только грузовых невозможно. Нужны и те, и другие.

Однако вернемся к проблеме синтеза исходного множества альтернатив. Обычно это делается с помощью структурно-параметрической модели синтезируемого объекта или процесса. Структурно-параметрическая модель -это такое описание, которое позволяет вариациями структуры и параметров в заданных пределах получить всё множество альтернатив. Причем каждая конкретная вариация выделяет из множества альтернатив конкретную альтернативу. Более сложному объекту или процессу соответствует и более сложная структурно-параметрическая модель. А, к сожалению, наука еще не умеет решать оптимизационные задачи, когда пространство варьируемых переменных имеет очень большую размерность. Поэтому модель нужно упрощать, чтобы снизить число варьируемых переменных до минимально возможного. Таким образом, приходится декомпозировать задачу, т. е. разбить на этапы - - ввести иерархию структурно-параметрического описания по уровням детализации. Вспомним, что мы уже говорили о такой иерархии, когда обсуждали проблему роста энтропии в информационной среде. Так вот, это одна и та же иерархия, и реализуется она с помощью процедуры последовательного агрегирования структурно-параметрической модели. Наконец, нам потребуется модель функционирования объекта, так как без неё мы не сможем вычислять значения критериев и вести отбраковку вариантов (т.е. строить оптимальный синтез). Такие модели должны включать в себя все мыслимые режимы функционирования, и в технических отраслях их практически строить умеют. Хуже дело обстоит с функционированием социально-экономических систем. Но будем считать, что модель функционирования у нас имеется. Очевидно, что она по сложности не уступает структурно-параметрической модели и, следовательно, тоже подлежит декомпозиции. Причем декомпозиция той и другой модели должна быть согласована так, чтобы укладываться в одну и ту же иерархию.

Теперь остается в общих чертах описать сам процесс оптимального синтеза сверху вниз по уровням иерархии. Предполагается, что верхний уро-

вень — это наиболее агрегированный уровень, т. е. самый упрощенный в информационном и описательном смысле. На этом уровне имеют дело с макропараметрами и называют его, соответственно, макроуровнем. Здесь и решается, в основном, задача оптимального синтеза, т. е. отбраковываются заведомо неэффективные альтернативы. Это очень важный уровень. На нём определяются возможные обликовые характеристики (макрохарактеристики) будущего объекта или процесса. Они обладают тем свойством, что улучшить их по совокупности исходных требований уже невозможно. Ни одной из альтернатив мы не можем отдать предпочтения, так как по выбранной системе критериев они несравнимы между собой. Далее результаты предварительного синтеза поступают на второй, более детальный уровень. На этом уровне сначала решают задачу дезагрегирования поступившей информации. Это очень трудная задача: необходимо найти все прообразы синтезируемого объекта или процесса данной детализации, которые соответствуют макрообразу, поступившему с верхнего уровня. Затем на полученном таким путем множестве альтернатив снова решают задачу оптимального синтеза по системе критериев второго уровня. И её решать уже легче, чем в случае, если бы мы процесс синтеза сразу начали со второго уровня, так как на первом уровне многие альтернативы были заранее отбракованы. И так вниз по уровням, пока не будет построен полный оптимальный синтез — получено описание объекта или процесса на всех уровнях иерархии.

Теперь традиционными методами анализа — поверочными расчетами на точных моделях или в эксперименте, если изготовлены опытные образцы, -мы должны выяснить, удовлетворяет ли нас построенный синтез. Если да, то проблема считается решенной, если нет, то процесс синтеза начинается сначала, с учетом всех внесенных в него корректив. И так до тех пор, пока итерационный процесс не сойдется к искомому результату.

Это далеко не всё, но на этом, пожалуй, придется остановиться. Я ведь обещал рассказать лишь о том, “о чем не сказал Билл Гейтс”, и не более. И я, и Билл Гейтс не сказали еще о многом, но и того, что есть, достаточно, чтобы понять всю сложность задач, которые приходится решать с помощью компьютерных технологий, и те высокие требования, которые они предъявляют к этим технологиям. А пока замечу, что реализация фрагментов этой схемы на одном из авиационных КБ России способствовала созданию одного из лучших маневренных самолетов мира.

Я не пророк. Поэтому мне трудно судить, пойдет ли развитие компьютерных технологий по намеченному здесь пути. И будут ли они компьютерными технологиями в интерпретации Билла Гейтса или превратятся в нечто такое, чему еще пока нет названия. Освободят ли они человеческий интеллект от забот повседневной рутины и откроют путь к истине или нет. Во всяком случае, пока существуют “безумные бессребреники”, надежда не потеряна. Выиграют все, в том числе и бизнес, доходы которого только возрастут, а сам он станет несравненно нравственнее... Лишь одна мысль тревожит меня: не утратят ли мои дети, или внуки, или правнуки естественную потребность человека в интеллектуально-эмоциональном напряжении, успешное разрешение которого доставляет поистине ни с чем не сравнимое наслаждение.

COMPUTERIZATION... LET US BE CAREFUL!

P. S. Krasnoschekov

Some positive and negative after-effects of computerization in science and education are discussed.

Keywords: Keywords: computers in science and education.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СОБЫТИЯ XX ВЕКА

УДК 517.938

ГОМОКЛИНИЧЕСКИЕ ТРАЕКТОРИИ: ОТ ПУАНКАРЕ ДО НАШИХ ДНЕЙ*

Л. П. Шильников

Приводится ретроспективный анализ развития теории гомоклинических траекторий А. Пуанкаре.

Ключевые слова: качественная теория дифференциальных уравнений, гомоклинические траектории, хаотическое поведение.

В 1885 году шведский король Оскар II решил объявить международный конкурс на лучшее математическое исследование актуальной научной проблемы. Присуждение премии было приурочено к дню 60-летия короля -21 января 1889 года. Организация конкурса была поручена редакции шведского математического журнала Acta Mathematica. В состав жюри вошли трое: Миттаг-Леффлер — редактор журнала, К. Вейерштрасс и Ш. Эрмит -авторитетнейшие европейские математики. Жюри предложило четыре конкурсных темы. Первой темой была задача небесной механики (другие темы были чисто математические), и предложил её К. Вейерштрасс, хотя это и может показаться странным на первый взгляд. Речь шла о возможности представления решений задачи п тел в отсутствие соударений в виде рядов по каким-либо известным функциям времени, равномерно сходящимся на всей числовой прямой. Причем было добавлено: “Но если бы предложенную проблему нельзя было решить в назначенный срок, то премию можно было бы присудить за работу, в которой указанным образом была бы рассмотрена и полностью решена другая проблема механики”.

Всего на конкурс поступило одиннадцать работ из разных стран. Ради объективности, а также в традициях того времени, работы подавались анонимно, под девизами. Лучшими были объявлены две: это работа Пуанкаре “О проблеме трех тел и об уравнениях динамики” [1] и работа Аппеля “Об интегралах функции с множителями и об их применении к разложению абелевых функций в тригонометрические ряды”. Несколько позже обе указанные работы были опубликованы в 13-м томе Acta Mathematica (1890) вместе с отзывом Эрмита на статью Аппеля. Что же касается направленного Миттаг-Леффлеру отзыва Вейерштрасса на работу Пуанкаре, то в опубликованном виде современники его так и не увидели1. В нем, в частности, отмечалось: "Рассматриваемую работу нельзя, правда, считать решением поставленной

* Статья перепечатана из сборника “Математические события XX века”, М.: ФАЗИС, 2003, с разрешения автора и издательства ФАЗИС.

1 Основной причиной этого послужило то, что немецкая математическая общественность была очень недовольна, что приз был присужден французским ученым. Более подробное описание этих событий можно найти в замечательном комментарии И. Б. Погребысского в [2].

конкурсной проблемы, но эта работа настолько значительна, что с её опубликованием, по моему убеждению, начнется новая эпоха в истории небесной механики“. Мы не будем давать обстоятельный анализ отзыва Вейерштрасса, в котором он отмечает многие заслуги Пуанкаре. Отметим только ту часть отзыва, которая касается двоякоасимптотических решений — основного объекта данной статьи: ”... даже тогда, когда взаимно притягивающиеся по закону Ньютона или по какому-либо другому закону тела, в числе, большем двух, движутся так, что расстояние между любыми двумя из них всегда остается в конечных границах, всё же могут существовать формы движения, о которых мы до сих пор едва ли подозревали, и для них мы не знаем подходящего (справедливого от £ = — оо до £ = +оо) аналитического выражения, установленным же можно считать только то, что они не могут быть представлены тригонометрическими рядами".

О каких же движениях здесь идет речь? Для начала рассмотрим уравнение

Оно интегрируемо, и его фазовый портрет имеет вид, показанный на рис. 1. В начале координат лежит седловое состояние равновесия, а точка 0(1,0) является центром. Одна из сепаратрис седла, выходящая из 0(0, 0), возвращается в него же при t —> оо, образуя петлю. По этой причине петля сепаратрисы является двоякоасимптотическим движением. Всё это хорошо известно Вейерштрассу, поскольку он, по существу, является автором2 геометрического метода построения фазовых портретов уравнений вида:

Аналогично можно построить двоякоасимптотические решения к седловым периодическим движениям. Для наглядности рассмотрим систему

(1)

где переменная в является циклической. Фазовым пространством такой системы является M2 x S1, где S1 — окружность. Поскольку мы отождествляем в = 0 и в = 27Г, изучение такой системы сводится к изучению отображения Г : в = 0 —> в = 27Г по траекториям системы. Фазовый портрет этого отображения такой же, как и на рис. 1, с той лишь разницей, что теперь О(0,0) -седловая неподвижная точка с мультипликаторами е и е , имеющая одномерные устойчивое Ws и неустойчивое Wu многообразия, половинки которых совпадают. Однако, в случае отображения множество двоякоасимптотических траекторий к О(0,0) будет уже иметь мощность континуума.

Рис.1

2 См. Л.И.Мандельштам. Собрание сочинений. T. IV. Лекции по колебаниям. 1955.

Такая же ситуация может иметь место и для интегрируемой системы с двумя степенями свободы, когда в некотором уровне первого интеграла имеется седловое периодическое движение, у которого либо целиком, либо наполовину совпадают устойчивое и неустойчивое многообразия. Естественно, что еще до указанной работы Пуанкаре такая возможность поведения асимптотических траекторий в интегрируемых гамильтоновых системах была хорошо известна. Пуанкаре же показал, что в неинтегрируемых случаях устойчивое и неустойчивое многообразия седловых периодических движений могут пересекаться, не совпадая.

Именно такая ситуация встречается при рассмотрении уравнения

которое можно представить также как систему

являющуюся малым возмущением системы (1) при 0 < \i <С 1. Отображение : в = 0 —> в = 27г имеет по-прежнему седловую неподвижную точку О^, стремящуюся к О(0, 0) при \± —> 0. В свою очередь, и будут близки к Wq и Wq (на любом компактном куске). Но теперь они будут пересекаться. Фазовый портрет при \± ф 0 уже будет выглядеть так, как на рис. 2.

Возможность реализации подобного поведения траекторий в задаче трех тел и составила один из разделов мемуара Пуанкаре. Позднее, в третьем томе “Новых методов небесной механики” (1899) Пуанкаре воскликнет: “Если попытаться представить себе фигуру, образованную этими двумя кривыми и их бесчисленными пересечениями, каждое из которых соответствует двоякоасимптотическому решению, то эти пересечения образуют нечто вроде решетки, ткани, сети с бесконечно тесными петлями. Ни одна из этих петель не должна пересечь самоё себя, но она должна навиваться на себя очень сложным образом, чтобы пересечь бесконечно много раз все петли сети. Поражаешься сложности этой фигуры, которую я даже не пытаюсь изобразить. Ничто не является более подходящим, чтобы дать нам представление о сложности задачи трех тел и вообще всех задач динамики, в которых нет однозначного интеграла и в которых ряды Болина расходятся”. Теперь Пуанкаре таким двоякоасимптотическим движениям дает название гомоклинических. Те же траектории, которые являются асимптотическими к двум различным периодическим движениям, по понятным причинам он предлагает назвать гетероклиническими. Джинн выпущен из бутылки. Во второй половине XX века практически все специалисты по качественной теории дифференциальных уравнений и нелинейной динамике заговорят на языке этих понятий. В целом же “Новые методы небесной механики” Пуанкаре, являющиеся развернутым

Рис.2

изложением призового мемуара, стали тем программным монументом, который на долгие годы определил развитие качественной и эргодической теории в последующем столетии. Это и метод малого параметра для отыскания периодических движений в системах, близких к интегрируемым, и теория интегральных инвариантов, и теория траекторий, устойчивых по Пуассону, и теоремы о возвращаемости, и асимптотические ряды, и многое другое.

Что же касается нашего основного предмета — гомоклинических орбит, -то формально в связи с ними у Пуанкаре имеется только один общий результат: если у двумерного отображения имеется одна гомоклиническая орбита, по которой пересекаются (трансверсально) устойчивое и неустойчивое многообразия седловой неподвижной точки, то имеется еще счетное множество гомоклинических орбит. Больше Пуанкаре к исследованию систем и отображений с гомоклиническими орбитами не возвращается. Естественно возникает вопрос: почему? В определенной степени ответ состоит в том, что Пуанкаре, исходя из задач динамики, придавал особую ценность периодическим движениям, причем устойчивым. Так, в первом томе “Новых методов небесной механики” (1891) он писал про такие решения: “... они являются единственной брешью, через которую мы могли бы проникнуть в область, считавшуюся ранее недоступной”. Более того, в связи с изложением метода малого параметра он высказывал гипотезу о том, что в неинтегрируемой аналитической гамильтоновой системе устойчивые периодические движения всюду плотны на компактных уровнях гамильтониана. Для дальнейшего понимания весьма важно следующее обстоятельство.

Еще за год до выхода в свет третьего тома “Новых методов небесной механики”, т. е. в 1898 году, в печати появилась статья Адамара “О геодезических на поверхностях отрицательной кривизны” [3]. Особенностью геодезических в этом случае является то, что все они неустойчивы. Это непосредственно вытекает из того, что уравнение, описывающее взаимное отклонение геодезических, в линейном приближении записывается в виде

где к — кривизна поверхности. Поскольку к < 0, то все геодезические имеют седловой характер. Все двумерные ориентируемые компактные поверхности, кроме сферы и тора, допускают введение такой метрики, что кривизна будет отрицательна и постоянна. Из неустойчивости геодезических на таких поверхностях непосредственно следует, что их поведение должно носить сложный, запутанный характер. Адамар заканчивает свою статью вопросом: “Имеется ли что-нибудь подобное в задачах динамики и, в частности, в небесной механике? Если это так, то вся постановка вопроса об устойчивости планетных систем нуждается в коренном пересмотре”.

В связи с этим любопытно мнение Пуанкаре, которое он изложил в статье “О геодезических линиях на выпуклых поверхностях” (1905) (см. [4]). Он отмечает, что статья Адамара чрезвычайно интересна, но считает, что "траектории задачи трех тел сопоставимы не с геодезическими линиями на поверхностях отрицательной кривизны, а наоборот, с геодезическими на

выпуклых поверхностях". То, что статья Адамара действительно замечательна, связано с тем, что в ней впервые для анализа геодезического потока был использован метод символического описания. Из него, в частности, следовало, что замкнутые геодезические всюду плотны, имеют гомоклинические орбиты, и, более того, в любой окрестности периодической орбиты и любой её гомоклинической траектории лежит счетное множество периодических орбит. Естественно, Пуанкаре не мог этого не заметить. Но то, что в окрестности такой структуры все периодические орбиты являются неустойчивыми, вероятно, и послужило причиной того, что заставляло Пуанкаре думать о её весьма несущественной роли для задач нелинейной динамики3. Кроме того, как представляется автору, Пуанкаре не мог не знать, что и в общем (гамильтоновом, конечно) случае, по крайней мере, однообходные периодические движения вблизи гомоклинических траекторий являются седловыми.

Дальнейшее развитие идей Пуанкаре по изучению гомоклинических структур связано с именем Биркгофа. Здесь нужно прежде всего отметить его статью [5] (1935), более известную под названием “Папский мемуар”, поскольку она была выставлена на конкурс в честь папы Пия XII. В этой статье Биркгоф доказывает, что у двумерного, сохраняющего площадь аналитического диффеоморфизма Г, имеющего седловую неподвижную точку О, с гомоклинической орбитой Г, по которой трансверсально пересекаются устойчивое и неустойчивое многообразия точки О, в любой окрестности замыкания гомоклинической орбиты имеется счетное множество однообходных периодических движений всех периодов, начиная с некоторого. Основную идею доказательства нетрудно воспроизвести, если предположить, что в окрестности седла отображение Г допускает первый интеграл i7(x,y), существование которого было доказано Мозером в 1956 году [6]. Пусть Н(х,у) = О соответствует локальному устойчивому (Ws) и локальному неустойчивому (Wu) многообразиям. Тогда, при малых С окрестность седла расслаивается на инвариантные кривые Н(х, у) = С вида гипербол. Естественно, что итерируя их вперед и назад с помощью Г и Г-1, мы можем эти инвариантные кривые продолжить вдоль Ws и Wu на более широкую область. Поскольку Ws и Wu пересекаются, то близкие инвариантные кривые будут иметь точки самопересечения, как изображено на рис. 3.

Геометрическим местом точек самопересечения инвариантных кривых будет кривая /, выходящая из гомоклинической точки M. Траектория произ-

Рис. 3

3 Заметим, что к этому времени было достаточно хорошо известно, что траектории идеального газа имеют неустойчивый характер. Больцман, по существу, использовал этот факт для объяснения (пускай и недостаточно строгого) необратимости законов макроскопического поведения. Читателю должна быть хорошо известна полемика, возникшая в связи с этим.

вольной точки Р на / должна оставаться на инвариантной кривой, определяемой соответствующим значением С. Поэтому, если такая траектория возвращается за один обход на /, она должна вернуться в ту же самую точку Р, т. е. эта траектория периодическая. Очевидно, что число итераций точки Pc Е /, необходимых для того, чтобы её образ снова попал в окрестность точки М, будет стремиться к бесконечности при С —> 0. Теперь из соображений непрерывности непосредственно следует, что найдется последовательность {Cn}^Lno, где Сп —> 0 при п —> оо, такая, что Рсп = ТпРсп. Это и означает, что в любой окрестности гомоклинической точки M имеется счетное множество периодических точек.

В этом же мемуаре Биркгоф высказал весьма важную идею о возможности полного описания всех траекторий в окрестности гомоклинической орбиты на языке символической динамики. При этом Биркгоф подчеркивает необходимость использования бесконечного множества символов, ссылаясь на аналогию со случаем геодезического потока на поверхностях отрицательной кривизны.

Надо вообще отметить в этой связи большой вклад школы Биркгофа, в частности, Морса и Хедлунда, в становление символической динамики как одного из важных разделов теории динамических систем. При этом заметим, что все-таки основным объектом приложения символической динамики у них по-прежнему остаются только геодезические потоки.

В явном виде проблемы, связанные с изучением неконсервативных систем, были подняты А. А. Андроновым. Надо особо отметить, что при их постановке он прежде всего исходил из задач теории нелинейных колебаний, в те годы ассоциирующихся в основном с запросами теоретической радиотехники. Достаточно быстро выяснилось, что для тех случаев, когда задачи допускают моделирование с помощью двумерных систем, фактически уже имелся готовый математический аппарат в виде теории предельных циклов Пуанкаре и теории устойчивости Ляпунова. Это позволило Андронову уже на первых порах своей деятельности сделать важный вывод о том, что адекватным образом автоколебаний являются грубые устойчивые предельные циклы. Следующий решающий шаг в этом направлении был сделан в работе Андронова и Понтрягина “Грубые системы” [9]. Фактически она впервые позволила заговорить о теории гладких динамических систем как о полноправной представительнице в ряду других математических дисциплин, поскольку в этой работе вполне отчетливо был сформулирован объект исследований, введено отношение эквивалентности, предложен полный инвариант и т. д. Правда, в этой работе конкретно речь шла только о двумерных системах на плоскости, но само понятие грубой системы полностью сохраняло свое значение и для многомерного случая. Поэтому естественно возникал вопрос о построении теории грубых систем и в общем случае. Так, например, в предисловии к известной книге Андронова, Витта и Хайкина 'Теория колебаний" (1937)4 прямо сказано, что в следующем томе авторы предполагают развить и многомерную теорию, включая случай распределенных

4 По печальным обстоятельствам того времени Витт был исключен из авторов в первом издании этой книги.

систем. Как потом говорила автору Е. А. Леонтович, “мы собирались заниматься многомерными системами”. Естественно, что под этим прежде всего понимались вопросы грубости и основных бифуркаций. Однако по существу этим планам не суждено было сбыться. Во многом это объясняется тем, что Андронов переключился на тематику, связанную с исследованием нелинейных задач теории автоматического регулирования. Причем к ней Андронов привлек и своих основных сотрудников Н. Н. Баутина и А. Г. Майера5. Тем не менее, несколько позднее Майер вплотную занялся проблемой грубости многомерных систем. Однако достичь успеха ему не удалось. Более того, вообще сформировалось мнение о негрубости систем с гомоклиническими орбитами6. Грубыми же считались системы с простой динамикой, которые в последующем получили название систем Морса-Смейла. В этом плане интересно, что такой же точки зрения придерживался и Смейл при написании работы “Неравенства Морса для динамических систем” [8].

Заметим, однако, что неудачный, но весьма обстоятельный анализ систем с гомоклиническими орбитами привел Майера к решению проблемы Биркгофа о порядковом числе центральных траекторий динамических систем, сначала на компактных многообразиях [9], а потом и в R3 [10]. Причем в качестве основного объекта в конструкции Майера выступал геодезический поток на поверхности отрицательной кривизны. По всей вероятности, Андронов и Майер вполне могли понимать, что такие геодезические потоки могут быть грубыми. Но Майер умер в 1951 году, а через год умер и Андронов. До нас постановка вопроса о грубости двумерных диффеоморфизмов и трехмерных потоков дошла в редакции Е. А. Леонтович в докладе на III Математическом съезде в 1956 году [11]: “Не нужно думать, что в обоих этих случаях понятие грубости переносится тривиально. Не говоря уже о том, что в случае неавтономной системы второго порядка (периодически зависимой от времени) этот вопрос тесно связан с вопросом об особых и обыкновенных траекториях, в котором нет ясности. Здесь есть ряд принципиальных затруднений. Аналогичные затруднения существуют также и в случае автономной динамической системы в трехмерном пространстве. Я не имею возможности подробно на них останавливаться. Могу только сказать, что корень этих затруднений связан с гомоклинической точкой преобразования плоскости в плоскость”.

В процитированном высказывании, по существу, речь идет о хорошо известной сейчас проблеме Андронова: могут ли грубые диффеоморфизмы двумерной сферы иметь счетное множество периодических точек?

Подводя итог этим малоизвестным событиям, мы ограничимся следующим общим замечанием. Если не удается доказать трансверсальность пересечения устойчивых и неустойчивых многообразий седловых периодических движений, то весьма велика вероятность, что в рассматриваемой системе име-

5 Е. А. Леонтович после работы по исследованию бифуркаций предельных циклов из петли сепаратрисы седла сконцентрировалась на работе над книгами по качественной теории и теории бифуркаций динамических систем на плоскости.

6 В начале 70-х годов Н. Ф. Отроков, один из участников семинара Андронова, в разговоре с автором выразил это так: “Но мы же знаем, что такие системы не являются грубыми”.

ют место гомоклинические касания (касания Ws и Wu). Достаточно очевидно, что если есть гомоклиническое касание, то всегда можно указать произвольно малые добавки к системе, так что у возмущенной системы появятся новые гомоклинические касания, и т. д. Более того, это справедливо для общих однопараметрических возмущений. Так что в этом смысле гомоклинические касания ведут себя неустранимым образом. Без сомнения, подобную картину наблюдал еще Пуанкаре при построении своего геометрического доказательства утверждения о бесконечности числа гомоклинических траекторий. Действительно, в однопараметрическом семействе двумерных диффеоморфизмов Г^, содержащем диффеоморфизм, порожденный интегрируемой двумерной системой с петлей сепаратрисы седла, даже в случае, когда при \i ф 0 однообходные гомоклинические траектории являются грубыми (рис. 4), всегда найдутся сколь угодно малые значения при которых диффеоморфизм будет иметь двухобходную гомоклиническую орбиту, в точках которой Ws и Wu касаются (рис. 5).

Для случая неконсервативных систем, например, для уравнения

где \i <С 1 уже однообходные гомоклинические орбиты могут быть негрубыми (т. е. отвечать касанию многообразий) при соответствующей связи параметров h ж А (рис. 6). При этом при увеличении h гомоклинические орбиты

исчезают, а при уменьшении h из исходного касания рождаются две трансверсальные орбиты. Опять же, при определенных соотношениях между h ж А будут существовать негрубые двухобходные орбиты, а также и гомоклинические орбиты более высокой обходности. Поэтому, естественно, и возникает желание предположить негрубость систем с гомоклиническими кривыми.

В 50-х годах основным источником сведений о гомоклинических орбитах и связанных с ними сложных динамических стуктурах для отечественного читателя стала книга Немыцкого и Степанова “Качественная теория дифференциальных уравнений” (1949) [12]. В ней приводилась вышеупомянутая тео-

Рис. 4 Рис. 5

Рис. 6

рема Биркгофа, а также ряд других утверждений принципиального характера о структуре неблуждающего множества в окрестности трансверсальной гомоклинической точки. Поскольку этот материал излагался в полном сохранении своеобразного биркгофовского стиля, то его восприятие было весьма затруднительным. Обращение же автора этой статьи к первоисточнику, т. е. к “Папскому мемуару”, выявило, что приведенные в книге Немыцкого и Степанова утверждения о гомоклинических орбитах суть не что иное, как высказывания, основанные на вышеизложенной гипотезе Биркгофа. В целом же это и послужило причиной того, что позднее автор задачу об описании структуры множества всех траекторий, целиком лежащих в малой окрестности гомоклинической орбиты, назвал задачей Пуанкаре-Биркгофа.

Интерес к гомоклиническим траекториям, а также к пересечениям устойчивых и неустойчивых многообразий седловых периодических движений особенно возрос к концу 50-х в физических кругах. Дело в том, что структура магнитных полей в кольцевых ускорителях типа “Токамак”, вообще говоря, не является интегрируемой. Учет малых возмущений показывает, что из-за возникновения гомоклинических орбит заряженная частица может выплеснуться через щели, образуемые устойчивым и неустойчивым многообразиями седловой периодической траектории, на внутреннюю стенку “Токамака”. В результате появилась работа В.К.Мельникова [15], в которой была дана оценка расщепления многообразий, носящая ныне название формулы Мельникова.

Прогресс наступил в 60-х годах. В 1961 году Смейл [14] на Киевской конференции по нелинейным колебаниям приводит пример диффеоморфизма плоскости (“подкова Смейла”), который ведет себя на неблуждающем множестве как схема Бернулли из двух символов. Как следствие, в неблуждающем множестве плотны как периодические, так и гомоклинические точки. И хотя доказательство грубости такого диффеоморфизма, основной особенностью которого являлась линейность (кусочная) на неблуждающем множестве, Смейлом приведено не было, сам факт не вызывал никаких сомнений. Чуть позднее Аносовым [15] была уже в явном виде доказана грубость так называемых У-систем (аносовских систем по ныне принятой терминологии), к которым, в частности, относятся геодезические потоки на компактных многообразиях отрицательной кривизны, а также гиперболические диффеоморфизмы тора.

Идею “подковы” Смейл [16] положил в основу доказательства своей теоремы о сложной структуре поведения траектории в малой окрестности трансверсальной гомоклинической точки многомерного диффеоморфизма. Взяв в качестве исходной полоски П окрестность неподвижной точки О, содержащую компактный кусок устойчивого многообразия вместе с некоторой гомоклинической точкой М, для некоторого целого m получаем, что m-я итерация диффеоморфизма, Гш, действует на П как подкова (см. рис. 7). Отсюда

Рис.7

и следовало, что Тт имеет в П инвариантное множество, на котором Тт сопряжено схеме Бернулли из двух символов.

Смейл получил это утверждение в предположении, что Г приводимо к линейному виду в окрестности гиперболической точки О. А это означало, что теорема неприменима в случае гамильтоновых систем и симплектических отображений7. Более того, а это уже принципиально важно, метод “подковы” не давал полного описания всех траекторий в окрестности замыкания гомоклинической траектории и, как следствие, не решал задачу Пуанкаре-Биркгофа. В необходимом объеме эту задачу удалось решить автору в 1967 году [17]. Однако этому предшествовало обнаружение другой задачи со сложной динамикой.

Изучением многомерных систем автор занялся в конце 50-х годов. При этом первоочередной задачей ставилось обобщение глобальных бифуркаций Андронова и Леонтович с двумерного случая на многомерный. В принципе, решение этих проблем для случая, когда рождается только одно и притом устойчивое периодическое движение, могло быть достигнуто уже в рамках известных в то время методов. После исследования этих случаев автор сразу обратился к следующей задаче: пусть имеется трехмерная система, имеющая состояние равновесия О типа седло-фокус, т. е. такое, для которого два корня характеристического уравнения комплексны и лежат в левой полуплоскости: р dz се?, где р < 0, ou ф 0, а третий корень — вещественный положительный: Л > 0. Предположим также, что одна из траекторий Г, выходящих из О, стремится снова к О при t —> +оо, т. е. образуется гомоклиническая петля (рис.8).

Случай, когда седловая величина

меньше нуля, приводил к задаче о рождении цикла, уже решенной в общей многомерной постановке. Случай же а > 0 требовал специального рассмотрения. Как в случае а < 0, так и при а > 0 образом площадки П на секущей S под действием отображения Пуанкаре Г по траекториям, близким к Г, является область спирального типа (рис.9). При этом П можно разбить на

Рис. 8 Рис. 9

7 Как показали более поздние исследования, исключение составляет случай двумерного симплектического отображения.

счетное множество полосок к = ко,... , оо, образом каждой из которых является один виток спирали, TSk. В случае а < 0 мы имеем П TSk = О, а при <т > 0 отображение Г действует на как “подкова Смейла” (рис. 10). Получалось, таким образом, что в случае а > 0 отображение Пуанкаре имеет счетное множество “подков Смейла”, а следовательно, и счетное множество седловых периодических движений [18].

Рис. 10

Естественно, что первой, кому я рассказал об этом, была Е. А. Леонтович. Любопытна её реакция, высказанная несколько позднее: “Мне хотелось сказать, что этого не может быть”.

Сразу же после этого пришло понимание динамики и в случае трансверсальной гомоклинической орбиты Пуанкаре, причем наиболее удобным, по крайней мере для автора, было рассматривать систему в форме потока. Если обычно в этом случае секущая выбирается трансверсально периодическому движению, то здесь секущая S выбиралась трансверсально к устойчивому многообразию в окрестности гомоклинической точки. В этом случае также можно построить отображение Пуанкаре Г, причем областью его определения служит счетное множество непересекающихся полосок сг/е, к = fco, fco + 1,... При этом T(Jk пересекается со всеми полосками для любого к (рис. 11). По существу, эта картина и дает полное описание, идентичное тому, что предлагал Биркгоф в “Папском мемуаре”. Однако, в отличие от случая гомоклинической петли седло-фокуса, которая является негрубой структурой, трансверсальная гомоклиническая структура Пуанкаре является грубой и, следовательно, может допускать символическое описание с конечным числом символов. Чтобы понять это, обратимся к рассмотрению возможных кодировок траектории в окрестности гомоклинической траектории гладкого потока.

Рис.11

Пусть система имеет периодическое движение L седлового типа, т. е. мультипликаторы не лежат на единичной окружности, и часть из них лежит внутри этой окружности, а оставшаяся часть — вне её. Тогда у L будут существовать устойчивое Ws и неустойчивое Wu многообразия. Предположим, что они имеют общую траекторию Г, отличную от L (рис. 12).

Рис. 12

Рассмотрим малую окрестность U объединения LUT, она будет представлять собой полноторий с приклеенной ручкой (рис. 12). Любую траекторию, целиком лежащую в U, будем кодировать следующим образом: одному её целому обороту в полноторий будем приписывать символ 0, а прохождению по ручке — символ 1. При таком кодировании периодическому движению L будет ставиться в соответствие бесконечная последовательность из нулей:

(...,0,0,0,...),

а гомоклинической траектории Г — последовательность

(...,0,î,0,...).

Таким образом, любой траектории из U будет соответствовать последовательность

(.. ... ,i0,û,.. .)>

где символ гт принимает значение либо 0, либо 1. При этом за символом 1 должен обязательно следовать достаточно длинный отрезок из нулей. Минимальное число п нулевых символов, следующих за 1, зависит от выбора окрестности: чем меньше она по диаметру, тем больше п. Можно провести

следующую перекодировку: положить

Тогда траектории будут кодироваться последовательностями

в которых за символом 1 может идти как 0, так и 1. Другими словами, кодировками служат траектории схемы Бернулли из двух символов, граф которой показан на рис. 13.

Рис. 13

Поскольку за символом 1 обязательно идут нули, то траектории, лежащей в U и не являющейся асимптотической к L, можно сопоставить бесконечную в обе стороны последовательность

где через обозначено число нулей, следующих за очередным символом 1; траектории, асимптотической к L в одну сторону (пусть при t —> —сю), соответствует бесконечная в одну сторону последовательность

а гомоклинической к L траектории отвечает конечная последовательность

(причем число прохождений по ручке равно к + 1). Здесь повсюду п& ^ п, где п — целое число, зависящее от диаметра U. Фактически, именно эта кодировка возникает, если использовать в качестве символов номера полосок ап.

Утверждение о том, что для каждой такой символической последовательности в U существует, притом единственная и седловая, траектория с данной кодировкой, и составляет суть проблемы. Это и удалось показать автору при предположении, что Ws и Wu пересекаются по гомоклинической траектории Г трансверсально.

Строго говоря, в случае потоков необходимо использовать понятие надстройки. Мы не будем здесь заострять внимание на этом. Отметим только, что в ограничении на множество всех траекторий, целиком лежащих в специальной малой окрестности множества LUT, рассматриваемый поток топологически эквивалентен надстройке над схемой Бернулли из двух символов, причем независимо от размерности системы. В случае же диффеоморфизма это не так. В окрестности траектории Г символическое описание дается марковской цепью, изображенной на рис. 14, где смысл п тот же, что и выше, а р — это число

Рис. 14

итераций, необходимых для того, чтобы образ гомоклинической точки М, лежащей в малой окрестности неподвижной точки О, попал вновь в эту окрестность. Однако, две цепи с разными значениями п + р будут не сопряжены, поскольку у них различные топологические энтропии. Это означает, что в случае диффеоморфизма ответ зависит от выбора окрестности8.

Рассмотрение задач, связанных с изучением поведения в окрестности гомоклинических траекторий многомерных систем, требовало построения новой техники. Одним из её элементов была конструкция локальных отображений в окрестности периодических движений и состояний равновесия в так называемой перекрестной форме, суть которой сводилась к решению не задачи Коши, а специальной краевой задачи9. Были даны также эффективные критерии существования непериодических траекторий (в терминах теорем о седловых и устойчивых неподвижных точках операторов, действующих в счетном произведении банаховых пространств).

Эта техника позволила автору решить в 60-х годах не только указанные задачи, но и аналог задачи Пуанкаре - Биркгофа для случая гомоклинического многообразия седлового инвариантного тора [20], а также объяснить принципиально новую бифуркационную задачу — рождение нетривиального гиперболического множества из букета гомоклинических петель негрубого состояния равновесия типа седло-седло [21]. Впоследствии техника перекрестных отображений была эффективно использована для решения задачи Пуанкаре - Биркгофа для отображений в банаховом пространстве [22] (включая, в частности, случай, когда неустойчивое многообразие седловой неподвижной точки имеет бесконечную размерность), а также для неавтономных систем с произвольной непериодической зависимостью от времени [23].

Теперь естественный ход развития исследований приводил к необходимости изучения гомоклинических касаний. Систематическое изучение этой проблемы было начато Н. К. Гавриловым и автором [24] в начале 70-х годов. В качестве объекта исследования были взяты трехмерные потоки, имеющие седловое периодическое движение L, у которого устойчивое и неустойчивое многообразия касаются квадратично по некоторой гомоклинической траектории Г. Пусть Л, и 7 — мультипликаторы L, и |Л| < 1, |7| > 1. Предположим, что седловая величина а = |À7| ф 1; при этом, не уменьшая общности, можно считать \а\ < 1. Пусть U — малая окрестность замыкания Г U L гомоклинической траектории, и N — множество всех траекторий, целиком лежащих в U. В зависимости от знаков мультипликаторов и знаков некоторых коэффициентов, характеризующих то, как устойчивое и неустойчивое многообразия примыкают к ЬГ, системы с гомоклиническими касаниями были отнесены к одному из трех классов. При этом было установлено, что

1) для систем первого класса множество N тривиально: N = {L,r};

2) для систем второго класса N является нетривиальным гиперболиче-

8 Естественно, что надстройки над такими марковскими цепями эквивалентны (см. [19]).

9 Неудобство построения отображения в прямой форме путем решения задачи Коши состоит в том, что производные по начальным условиям в этом случае стремятся к бесконечности с ростом числа итераций, в то время как для отображения в перекрестном виде все производные равномерно ограничены.

ским подмножеством, которое допускает полное описание на языке символической динамики из трех символов;

3) для систем третьего класса N по-прежнему содержит нетривиальные гиперболические подмножества, но ими всё множество N, вообще говоря, уже не исчерпывается; при этом на бифуркационных пленках систем третьего класса имеет место всюду плотная негрубость.

Конкретно, как следует из [24], в любом однопараметрическом семействе систем, в котором исходное гомоклиническое касание третьего класса не расщепляется и величина

меняется монотонно, плотны системы, имеющие негрубые периодические движения. Позднее, в [25] было показано, что в таких однопараметрических семействах плотны системы со счетным числом устойчивых периодических движений при а < 1 (если а > 1, то со счетным числом неустойчивых) и системы со вторичными гомоклиническими касаниями.

Причиной этому служит то, что для систем третьего класса структура множества N существенно зависит от величины 9. Так, пусть, например, Л > 0, 7 > 0. Тогда к третьему классу относятся касания, для которых устойчивое и неустойчивое многообразия ведут себя так, как на рис. 15: на двумерной секущей S к L многообразие Wu касается Ws вблизи точки О = S ПЬ сверху, a Ws касается Wu вблизи О слева. Так же, как и в случае грубой гомоклиники, для каждой траектории из N (кроме О и Г) можно построить кодировку: последовательность целых чисел

бесконечную для траекторий, не лежащих в Ws и Wu, и конечную (с одного конца или с обоих) для траекторий, асимптотических к L. В [24] было показано, что для любой последовательности достаточно больших целых чисел п&, для которой п&+1 < пф1 при всех fc, в U имеется континуум траекторий с данной кодировкой; и наоборот, если n^i > п^О“ хотя бы для одного к, то в U траекторий с данной кодировкой нет. Здесь 9' и 9” — некоторые числа, такие, что 1 < 9' < 9 < 6П, причем 9' и 9" могут быть сделаны сколь угодно близкими к б за счет уменьшения размера окрестности U. Более точное описание было получено в [25], но уже из этого результата немедленно следует, что при сколь угодно малом изменении 9 структура множества непрерывно меняется.

Позднее, в [26-28] было показано в явном виде, что 9 является инвариантом Vi-эквивалентности (т. е. топологической эквивалентности на множестве неблуждающих точек) для систем третьего класса. Иными словами, системы с различными значениями 9 не могут быть ^-эквивалентны и, следовательно, сколь угодно малые изменения 9 с необходимостью приводят к бифуркациям в неблуждающем множестве.

Рис. 15

Системы с квадратичными гомоклиническими касаниями образуют бифуркационные поверхности коразмерности один. Поэтому естественно, в первую очередь надо рассмотреть, что происходит, когда касание инвариантных многообразий расщепляется. Пусть \±— бифуркационный параметр, отвечающий за расщепление сепаратрис, и — семейство систем, в котором \i меняется монотонно. Таким образом, трансверсально пересекает поверхность систем с гомоклиническим касанием при \± = 0. Принципиальное значение здесь имеет следующий факт: в любом трансверсальном однопараметрическом семействе Х^ имеется последовательность интервалов, накапливающихся к /i = 0, в которых плотны значения параметра, отвечающие квадратичным гомоклиническим касаниям (при этом Х^ трансверсально каждой из соответствующих бифуркационных поверхностей).

Этот замечательный результат был доказан Ш. Ньюхаусом для неконсервативных двумерных диффеоморфизмов10 в [29]. Грубо говоря, он означает, что хотя каждое индивидуальное гомоклиническое касание может быть устранено малыми шевелениями системы, они, тем не менее, не позволяют избавиться от гомоклинических касаний вообще.

Области всюду плотной негрубости в пространстве Сг-гладких (г ^ 2) динамических систем, в которых плотны системы с гомоклиническими касаниями, называются областями Ньюхауса (вышеупомянутые интервалы значений параметра, по которым трансверсальное семейство Х^ пересекает области Ньюхауса, называются интервалами Ньюхауса).

Наиболее популярный результат (открытый в [32]) о динамике двумерных отображений в областях Ньюхауса состоит в том, что если седловая величина а = IA7I меньше единицы, то в этих областях плотны системы, имеющие бесконечно много устойчивых11 периодических движений. Данное утверждение практически немедленно вытекает из плотности значений параметра, отвечающих гомоклиническим касаниям, и более раннего результата [25] о том, что в случае а < 1 в трансверсальном семействе имеется последовательность (накапливающаяся к \i = 0) интервалов значений отвечающих устойчивому периодическому движению.

Но на этом, как показала еще одна серия работ C.B. Гонченко, Д. В. Тураева и автора, полоса удивительных явлений в системах с гомоклиническими касаниями не закончилась. Как мы уже отмечали, было известно, что в системах с гомоклиническим касанием третьего класса сколь угодно малым изменением в можно получить еще одну траекторию гомоклинического касания (при этом исходное гомоклиническое касание не исчезает). Оказалось, что этот факт имеет далеко идущие последствия. Именно, применением ло-

10 На общий многомерный случай он был перенесен в [30]; при условии, что неустойчивое многообразие седловой периодической траектории одномерно, многомерный случай делался также в [31].

11 Если \а\ > 1, то мы имеем бесконечно много вполне неустойчивых периодических. Для многомерного случая, общее свойство систем в областях Ньюхауса — это сосуществование (в бесконечном количестве) периодических движений с различными размерностями устойчивых многообразий, т.е. с различным числом положительных/отрицательных показателей Ляпунова, см. [33,34]; там же даны критерии существования бесконечного множества устойчивых в многомерном случае, частный случай был рассмотрен в [32].

кализованных малых гладких добавок удалось установить, что в множестве систем с гомоклиническими касаниями третьего класса плотны12 системы, каждая из которых имеет бесконечно много седловых периодических траекторий с гомоклиническими касаниями, причем тоже третьего класса. Последнее означает, что такие системы имеют бесконечно много независимых непрерывных инвариантов (модулей) Vt-эквивалентности (поскольку для каждого отдельно взятого касания третьего класса соответствующая величина в является таким инвариантом; мы не утверждаем, что совокупность всех этих величин служит полным инвариантом — другие инварианты также возможны, например величина г из [27]).

Конструкция с бесконечным множеством траекторий гомоклинического касания послужила основным элементом в доказательстве следующего утверждения [35-37].

В множестве систем с квадратичным гомоклиническим касанием третьего класса плотны системы, имеющие гомоклинические касания любого, произвольно большого порядка, и системы, имеющие бесконечно много негрубых периодических траекторий любого порядка вырождения.

Под последними понимаются периодические траектории с одним мультипликатором, равным 1 или — 1, и произвольно большим числом нулевых ляпуновских величин — последовательных коэффициентов при нелинейных членах в нормальной форме отображения Пуанкаре на центральном многообразии. Так, в случае одного мультипликатора, равного 1, для периодической траектории порядка вырождения к отображение Пуанкаре на центральном многообразии имеет вид

Построение полной бифуркационной диаграммы для такого периодического движения требует ровно к параметров. Так как мы можем получать негрубые периодические траектории любого порядка вырождения fc, то это означает, что для систем с гомоклиническими касаниями полное описание динамики в рамках какого-либо конечнопараметрического семейства принципиально невозможно.

Этот обескураживающий результат тем более важен, что системы третьего класса плотны в областях Ньюхауса, т. е. мы имеем целые области в пространстве гладких динамических систем, для которых полное описание динамики (в частности, полное описание бифуркаций периодических движений) недостижимо.

Практически сразу мы обобщили изложенные результаты и на многомерный случай [33, 34]: была дана аналогичная классификация систем с квадратичным касанием, указаны основные инварианты (модули) Л-эквивалентности (причем в случае комплексных ведущих мультипликаторов Аег(/?, ^е1^

12 Здесь, как и повсюду в данной статье, мы имеем в виду плотность в Сг-топологии, для произвольного конечного г. Если мы рассматриваем С°°-гладкие системы, то плотность в Сг-топологии для произвольного конечного г означает, по определению, плотность в С°°-топологии.

ими оказались также аргументы (р и были обобщены результаты Ньюхауса, и плотность многомерных систем с бесконечно вырожденными периодическими и гомоклиническими траекториями в областях Ньюхауса была установлена. Таким образом, общий вывод о принципиальной невозможности полного описания остается справедливым и для многомерного случая.

Всё это имеет непосредственное отношение к изучению конкретных динамических моделей, поскольку гомоклинические касания, а следовательно, и области Ньюхауса обнаруживаются практически во всех известных семействах систем со сложной динамикой, от рассмотренных выше малых периодических возмущений интегрируемых систем до таких популярных моделей, как отображение Эно и цепь Чуа, а также при переходе к хаосу через разрушение квазипериодических движений и после удвоений периода.

Одним из популярных объектов среди систем со сложной динамикой, встречающимся в довольно многих случаях, являются системы с гомоклинической петлёй седло-фокуса, о которой шла речь выше. Такие системы в общем случае образуют также бифуркационные множества коразмерности один и в определенной степени аналогичны системам третьего класса [38-40]. Так, в этих бифуркационных множествах также всюду плотны системы, имеющие гомоклинические касания. Следовательно, близкие системы будут иметь области Ньюхауса. Поэтому и здесь будут иметь место вырождения произвольно высоких порядков.

Более того, как было установлено недавно Тураевым и автором, могут существовать также и странные аттракторы (мы назвали их дикими), содержащие седло-фокус. Естественно, что по этой причине аттрактор имеет спиральный характер. При этом, как и положено настоящим странным аттракторам, все траектории в диких спиральных аттракторах являются неустойчивыми. Более того, это свойство сохраняется и при малых гладких возмущениях. То, что дикие спиральные аттракторы содержат состояние равновесия, роднит их с аттракторами лоренцевского типа. Например, оба типа аттракторов являются негрубыми: они либо имеют гомоклинические петли состояния равновесия, либо этого можно достичь малыми возмущениями системы. Однако, если аттракторы лоренцевского типа имеют размерность два, то дикие спиральные — три. Построить дикие спиральные аттракторы удалось в однопараметрических семействах систем в Rn, где п ^ 4. При этом, как мы показали [41], область изменения параметров содержит интервалы Ньюхауса, со всеми вытекающими из этого последствиями. А ведь такие аттракторы являются вполне естественными объектами нелинейной динамики.

В свое время Вейрштрасс в отзыве на конкурсную работу Пуанкаре писал, что полученные в ней результаты уничтожают многие иллюзии динамики гамильтоновых систем. Это, по существу, и явилось причиной того, что основными методами нелинейной динамики стали качественные методы. Сейчас мы видим, что иллюзию о возможности полного качественного анализа динамических систем также необходимо отбросить. И как в том, так и в этом случаях причиной кризиса явились гомоклинические орбиты Пуанкаре.

ЛИТЕРАТУРА

1. Пуанкаре А. О проблеме трех тел и об уравнениях динамики. В кн.: А.Пуанкаре. Избранные труды, т. II. — М.: Наука, 1972.

2. Пуанкаре А. Новые методы небесной механики. В кн.: А. Пуанкаре. Избранные труды, t.I; II. - М.: Наука, 1971; 1972.

3. Hadamard G. Les surfaces a corbures opposées et leur lignes géodésiques // J. de Math. Ser.5. 1898. V. 4.

4. Пуанкаре A. О геодезических линиях на выпуклых поверхностях. В кн.: А.Пуанкаре. Избранные труды, т. II. — М.: Наука, 1972. С. 735-774.

5. Birkhoff G.D. Nouvelles recherche sur les systèmes dynamiques // Memoire Pont. Acad. Sei. Novi. Lyncaei. 1935. V. 53. P. 85-216.

6. Moser J. The analytic invariants of an area-preserving mapping near a hyperbolic fixed point // Commun. Pure Appl. Math. 1956. V. 9. P. 673-695.

7. Андронов А.А., Понтрягин Л. С. Грубые системы // Доклады АН СССР. 1937. Т. 14. С.247-251.

8. Smale S. Morse inequalities for a dynamical system // Bull. Amer. Math. Soc. 1960. V. 66. P. 43-49. Русский перевод: Математика. 1967. T. 11, №4. С. 79-87.

9. Майер А. Г. О порядковом числе центральных траекторий // Доклады АН СССР. 1948. Т. 59, №8. С. 1393-1396.

10. Майер А. Г. О центральных траекториях и проблеме Бирхгофа // Матем. сборник. 1950. Т. 26, №2. С. 265-290.

11. Леонтович Е. А. Некоторые математические работы Горьковской школы А.А.Андронова. В кн.: Труды 3-го математического съезда, т. 3. — М.: Изд-во АН СССР, 1958.

12. Немыцкий В. В., Степанов В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений. - М.: ОГИЗ, 1947.

13. Мельников В. К. Об устойчивости центра при периодических по времени возмущениях // Труды Моск. матем. общ-ва. 1963. Т. 12. С. 3-52.

14. Smale S. A structurally stable differentiable homeomorphism with an infinite number of periodic points. В кн.: Труды Международного симпозиума по нелинейным колебаниям, т. 2. - Киев, 1963. С. 365-366.

15. Аносов Д. В. Геодезические потоки на замкнутых римановых многообразиях с отрицательной кривизной // Труды Матем. ин-та им. В. А. Стеклова. 1967. Т. 90, №3.

16. Smale S. Diffeomorphisms with many periodic points. In: Differential and Combinatorial Topology. — Princeton, NJ, 1965. P. 63-80. (Princeton Math. Series, 24.)

17. Шильников Л. П. Об одной задаче Пуанкаре - Бирхгофа // Матем. сборник. 1967. Т. 74, №3. С. 378-397.

18. Шильников Л. П. Об одном случае существования счетного множества периодических движений // Доклады АН СССР. 1965. Т. 160, №3. С. 558-561.

19. Афраймович В. С, Шильников Л. П. Об особых множествах систем Морса-Смейла // Труды Моск. матем. об-ва. 1973. Т. 28. С. 181-214.

20. Шильников Л. П. К вопросу о структуре окрестности гомоклинической трубы инвариантного тора // Доклады АН СССР. 1968. Т. 180, №2). С. 286-289.

21. Шильников Л. П. Об одном новом типе бифуркаций многомерных динамических систем // Доклады АН СССР. 1969. Т. 189, №1. С. 59-62.

22. Лерман Л.М., Шильников Л. П. Гомоклинические структуры в бесконечномерных системах // Сиб. матем. журн. 1988. Т. 28, №3. С. 408-417.

23. Lerman L.М., Shil'nikov L.P. Homoclinic structures in nonautonomous systems: Nonautonomous chaos // Chaos. 1992. V. 2. P. 447-154.

24. Гаврилов Н. К., Шильников Л. П. О трехмерных динамических системах, близких к системам с негрубой гомоклинической кривой Пуанкаре, I; II // Матем. сборник. 1973. Т. 88. С. 475-492; Т. 90. С. 139-156.

25. Гонченко С. В. Нетривиальные множества с негрубой гомоклинической кривой. В кн.: Методы качественной теории дифференциальных уравнений. Межвузовский сборник (ред. Е. А. Леонтович). — Горький: Изд-во ГГУ, 1984. С. 89-102.

26. Гонченко С.В. Модули систем с негрубыми гомоклиническими траекториями (случаи диффеоморфизмов и векторных полей). В кн.: Методы качественной теории дифференциальных уравнений. Межвузовский сборник (ред. Л. П. Шильников). — Горький: Изд-во ГГУ, 1989. С. 34-49.

27. Гонченко С.В., Шильников Л. П. Инварианты Q-сопряженности диффеоморфизмов с негрубой гомоклинической траекторией // Укр. матем. журн. 1990. Т. 42, №2. С 134-140.

28. Гонченко С.В., Шильников Л. П. О модулях систем с негрубой гомоклинической кривой Пуанкаре // Известия РАН, сер. матем. 1992. Т. 56, №6. С 1165-1197.

29. Newhouse S. The abundance of wild hyperbolic sets and non-smooth stable sets for diffeomorphisms // Publ. Math. IHES. 1979. V. 50. P. 101-151.

30. Гонченко СВ., Тураев Д. В., Шильников Л. П. О существовании областей Ньюхауса в окрестности систем с негрубой гомоклинической кривой Пуанкаре (многомерный случай) // Доклады РАН. 1993. Т. 329, №4. С 404-408.

31. Palis J., Viana M. High dimension diffeomorphisms displaying infinitely many periodic attractors // Ann. Math. 1994. V. 140. P. 207-250.

32. Newhouse S. Diffeomorphisms with infinitely many sinks // Topology. 1974. V. 13. P. 9-18.

33. Гонченко С В., Тураев Д. В., Шильников Л. П. Динамические явления в многомерных системах с негрубой гомоклинической кривой Пуанкаре // Доклады РАН. 1993. Т. 330, №2. С 144-148.

34. Gonchenko S. V., Shilnikov L. P., Turaev D. V. Dynamical phenomena in systems with structurally unstable Poincare homoclinic orbits // Chaos. 1996. V. 6, №1. P. 23-52.

35. Гонченко С.В., Тураев Д. В., Шильников Л. П. О модулях с негрубыми гомоклиническими кривыми Пуанкаре // Доклады АН СССР. 1991. Т. 320, №2. С 269-272.

36. Gonchenko S.V., Shilnikov L. P. On models with non-rough Poincare homoclinic curves // Physica D. 1993. T.62, №1-4. P. 1-14.

37. Гонченко С.В., Тураев Д. В., Шильников Л. П. Гомоклинические касания произвольного порядка в областях Ньюхауса. В кн.: Труды конференции, посвященной 90-летию Л. С Понтрягина. — М.: ВИНИТИ, 1999. (Современные проблемы и приложения, 67.)

38. Шильников Л. П. К вопросу о структуре расширенной окрестности грубого состояния равновесия типа седло-фокус // Матем. сборник. 1970. Т. 81. С 92-103.

39. Овсянников И. М., Шильников Л. П. О системах с гомоклинической петлей седлофокус // Матем. сборник. 1986. Т. 130. С 552-570.

40. Овсянников И. М., Шильников Л. П. Системы с гомоклинической петлей многомерного седло-фокуса и спиральный хаос // Матем. сборник. 1991. Т. 182, №7. С 1043-1073.

41. Тураев Д. В., Шильников Л. П. Пример дикого странного аттрактора // Матем. сборник. 1998. Т. 189, №2. С 137-160.

HOMOCLINIC TRAJECTORIES: FROM POINCARE TILL OUR DAYS

L. P. Shilnikov

Retrospective analysis of development for A. Poincare homoclinic trajectories theory is represented.

Keywords: qualitative theory of differential equations, homoclinoc trajectories, chaotic behavior.

НЕПРЕРЫВНОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

УДК 372.851:512.714

ЭЛЕМЕНТЫ КОММУТАТИВНОЙ АЛГЕБРЫ В СИСТЕМЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ

А. С. Штерн

Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского, Россия, 644077, г. Омск, пр. Мира, 55А; тел.: (3812)659907, 89139731909; e-mail: stern@math.omsu.omskreg.ru

Излагается программа курса лекций “Многочлены от нескольких переменных (элементарное введение в коммутативную алгебру)”. Обсуждаются методические особенности курса и его место в системе дополнительного математического образования. В контексте постановки вопроса о дополнительном образовании анализируются связи предлагаемого курса с некоторыми вопросами, традиционно входящими в программы кружковой работы со школьниками.

Ключевые слова: коммутативная алгебра, многочлен, идеал, алгебраическое множество.

На протяжении длительного времени автор ведет занятия со студентами 1-2 курса и школьниками старших классов по теме “Многочлены от нескольких переменных (элементарное введение в коммутативную алгебру)”. Практика проведения этих занятий дает материал для разговора о том, что такое дополнительное математическое (и не только) образование, каковы его принципы и цели. Прежде чем приступать к такому разговору, изложим кратко программу курса.

Многочлены от нескольких переменных и геометрия

1. Понятие одночлена и многочлена от нескольких переменных. Разложение по степеням одной из переменных. Разложение в сумму однородных компонент. Произведение двух ненулевых многочленов от нескольких переменных не равно нулю. Степень произведения двух многочленов.

2. Понятие нуля многочлена от двух переменных. Алгебраические кривые. Коники и кубики. Декартов лист. Вырожденные кривые.

3. Выделение линейного множителя из многочлена, который зануляется на прямой. Теорема о девяти точках на кубической кривой и следствия из неё (теоремы Паскаля и Паппа).

4. Пучки коник. Теорема о бабочке. Описание пучка коник, проходящего через данные четыре точки. Ортопучок треугольника.

Идеалы. Теорема Гильберта о базисе.

5. Понятие кольца. Многочлены от п переменных как многочлены от одной переменной с коэффициентами в кольце от п — 1 переменных. Кольцо целых гауссовых чисел.

6. Обратимые и неразложимые элементы кольца. Факториальность (постановка задачи). Примеры колец, не удовлетворяющих условию факториальности.

7. Факториальность кольца многочленов от двух переменных и кольца целых гауссовых чисел.

8. Понятие евклидова кольца. Связь между евклидовостью и факториальностью.

9. Поле частных. Теорема о существовании поля частных.

10. Теорема о факториальности кольца многочленов с коэффициентами в факториальном кольце. Факториальность кольца многочленов с произвольным числом переменных.

11. Теорема о конечности множества общих нулей двух многочленов, не имеющих общих неприводимых множителей.

12. Формулировка теоремы Гильберта о базисе на языке многочленов. Переход к языку идеалов. Случай многочленов от одной переменной. Главный идеал кольца. Идеалы многочленов, зануляющихся в данной точке.

13. Евклидовы кольца и кольца главных идеалов.

14. Обрыв возрастающих цепочек идеалов в кольце многочленов от двух переменных с коэффициентами в поле. Доказательство теоремы Гильберта о базисе для кольца многочленов от двух переменных.

15. Эквивалентные определения нётерова кольца. Нётеровы кольца как обобщение колец главных идеалов. Простейшие примеры нётеровых колец. Примеры колец, не являющихся нётеровыми. Свойства нётеровых колец.

16. Теорема Гильберта о базисе.

17. Факторкольца. Кольцо лорановских многочленов как факторкольцо. Простые и максимальные идеалы.

Теорема Гильберта о нулях. Алгебраические множества.

18. Формулировка теоремы Гильберта о нулях и теоремы о совместности. Редукция теоремы о совместности к описанию максимальных идеалов в кольце многочленов от нескольких переменных.

19. Описание максимальных идеалов по Амицуру.

20. Теорема Нётера о нормализации.

21. Понятие алгебраического множества. Неприводимые алгебраические множества: определения и примеры.

22. Теорема о разложении алгебраического множества в объединение неприводимых.

23. Размерность алгебраического множества: от интуитивного представления к строгому определению.

Содержание предлагаемого курса трудно назвать оригинальным. Книг по коммутативной алгебре много. Среди наиболее известных в нашей стране можно упомянуть замечательную книгу М. Атьи и И. Макдональда [1]. Наличие в лекциях по коммутативной алгебре отдельных параграфов, более уместных в учебнике по алгебраической геометрии, также не является чем-то новым. В таком духе выдержана переведенная на русский язык книга М. Рида [2] и не переведенная, к сожалению, монография [3], название которой говорит само за себя. Глава “Коммутативные кольца” современного университетского учебника [4] также содержит параграф, посвященный некоторым

понятиям алгебраической геометрии. Безусловно, нужно упомянуть недавно вышедшую книгу [5], весьма близкую предлагаемому курсу. В общем, с точки зрения подбора материала здесь всё хорошо известно. В то же время, на наш взгляд, методические принципы курса заслуживают некоторого обсуждения.

Как уже говорилось, на протяжении нескольких лет спецкурс читается студентам первого и второго курсов математического факультета. В то же время первый раздел посвящен задачам, близким, а часто и известным по формулировке, подготовленному школьнику (задача о бабочке, теорема Паскаля, теорема Паппа). С некоторой долей лукавства можно сказать, что “никакие предварительные знания не предполагаются”, хотя, конечно же, опыт работы с многочленами от одной переменной и знание основных фактов о них являются необходимыми для по-настоящему глубокого понимания. Но прямых ссылок на какие-либо теоремы стандартных университетских курсов действительно нет. Только последний раздел требует владения понятием размерности векторного пространства. На основании собственных преподавательских впечатлений могу сказать, что занятия проходят при огромном интересе аудитории. Классические методы решения этих задач достаточно сложны и, что хуже всего, искусственны. Доказательства с помощью многочленов от нескольких переменных, конечно, очень неожиданны, но основаны на использовании не специальных приемов, а некоторого метода. Сам факт существования единого метода, позволяющего получить доказательства далеких, на первый взгляд, теорем, воспринимается студентом с формирующимся математическим вкусом как весьма приятная неожиданность.

Насколько же оправдана такая элементарная преамбула в университетском спецкурсе? Думается, что вполне оправдана. Мы мало думаем о проблеме преемственности школьного и университетского обучения, а, между тем, проблема весьма серьезна. Традиционно урок хорошего школьного учителя математики в нашей стране ориентирован на пробуждение интеллектуальной активности школьника и содержит существенные диалогические элементы. Ученики таких педагогов, пока еще составляющие, к счастью, значительную часть студентов математических факультетов, справедливо надеются на то, что изучение любимого предмета в университете по-прежнему будет проходить в ситуации общения. Но они при этом часто оказываются обманутыми. Сама форма университетской лекции предполагает “молчаливость” аудитории. Семинарские занятия часто бывают посвящены освоению технически сложных алгоритмов, что также не способствует интеллектуальной активности. К тому же, резкий разрыв между материалами университетских курсов и содержанием школьного образования приглушает познавательную активность обучаемого. В конечном итоге, это обычный эффект растерянности человека в незнакомой ситуации. С этим трудно, да и не всегда нужно бороться. Не надо только забывать о существовании проблемы, которая часто приводит к потере талантливого студента для математики и математического образования, и, в любом случае, требует для своего решения через 2-3 года значительных усилий научного руководителя, восстанавливающего в меру своего педагогического таланта ситуацию “учеба как диалог”. В этой связи хочется обратить внимание на необходимость курсов или

отдельных глав, обращающихся к школьному опыту студента. Именно на таком материале проще “спровоцировать” внутренний диалог, поддержав, таким образом, интеллектуальную активность обучаемого. Точнее, речь идет не просто об обращении к школьному материалу (это на младших курсах происходит регулярно), а о взгляде на него в свете совершенно нешкольных идей и понятий, то есть, о том, что Феликс Клейн называл взглядом на элементарную математику “с высшей точки зрения”. Думается, что вводная глава спецкурса дает пусть очень скромный, но всё же вклад в решение этой проблемы.

Вторая глава занимает основное место в курсе. Её цель — не только изложить основные понятия коммутативной алгебры, но и, в первую очередь, дать представление о том, как “разворачивается” понятийный аппарат математической теории как таковой. При этом знакомство с понятийным аппаратом происходит в процессе рассмотрения задач, приводящих к возникновению соответствующих понятий. В качестве примера можно привести параграф, демонстрирующий, как понятие поля частных возникает в ходе попытки проанализировать доказательство факториальности кольца многочленов от нескольких переменных. Или параграф с доказательством теоремы Гильберта о базисе, демонстрирующий, как понятие идеала помогает решить задачу, допускающую формулировку на вполне абитуриентском языке следствий и равносильностей алгебраических уравнений. Естественный консерватизм обучающегося, основанный в конечном итоге на подсознательном приятии бритвы Оккама (“не вводи лишних слов”), и помноженный на психологически понятную “антипонятийность” сознания вчерашнего школьника (“а я и без всяких методов всё решу”), здесь оказывается полностью преодоленным.

Хотелось бы отметить, что слова “приводящих к возникновению понятий” не следует понимать непременно в историческом аспекте. Далеко не всегда удается объяснить первокурсникам, как возникло то или иное понятие исторически, но такая цель в рамках данного курса и не ставится. Мы стараемся погрузить слушателя в ситуацию “рождение понятия в ходе решения задачи”, сняв тем самым очень опасный внутренний вопрос “а зачем всё это надо?”. Основанием для постановки такого вопроса, как правило, является не поиск практических применений, а внутренний протест против немотивированности появления теорем и определений. Он не только обоснован психологически, но и является для преподавателя полезным напоминанием о необходимости показывать математику как глубоко органичную систему с богатыми внутренними связями.

Третья глава отличается от второй существенно более высоким уровнем сложности. Её основное содержание — доказательство теоремы Гильберта о нулях и изложение некоторых вопросов теории алгебраических множеств. При этом методический принцип изложения материала с опорой на активизированные преподавателем интуитивные представления слушателя об объекте изучения остается неизменным. В связи с этим очень удачным оказывается и почти школьная элементарность формулировки теоремы о нулях, и неожиданная связь алгебраических множеств с абсолютно классическими

олимпиадными задачами, без решения которых не обходится ни один достаточно продолжительный школьный математический кружок. Так, например, редукция утверждения о разложении алгебраического множества в конечное объединение неприводимых подмножеств к теореме Гильберта о базисе позволяет сформулировать следующую задачу по нашей теме “Комбинаторика бесконечности”:

Известно, что человечество бессмертно, а каждый человек смертен. Число людей в каждом поколении конечно. Докажите, что найдется бесконечная мужская цепочка, начинающаяся с Адама.

После изложения программы и методических принципов построения курса хочется более четко сформулировать его цели. Ясно, что он не является, в отличие от большинства университетских спецкурсов, введением в профессиональную деятельность в данной области, поскольку объем излагаемого материала слишком мал. Безусловно, темп можно было бы увеличить, изложив материал более формально. Это не только допустимо в рамках обычного спецкурса, но и совершенно необходимо, поскольку предполагает существенную самостоятельную работу слушателя по осмыслению методов и отслеживанию внутренних связей. Собственно говоря, именно способность к такой работе является первым и важнейшим условием пригодности студента для самостоятельной научной деятельности. Наш курс требует для своего восприятия достаточного напряжения, но, в то же время, оказывается для активного слушателя очень “комфортным”, причем забота об этой интеллектуальной комфортности (а не просто о понятности) занимает непропорционально большое место, если смотреть с точки зрения методики чтения обычных спецкурсов. По жанру — это скорее “курс дополнительного образования”, причем дополнительное образование мы понимаем не в принятом ныне в практике высшей школы смысле обучения дополнительным профессиональным навыкам. Речь идет скорее о таком понимании этого термина, который используется применительно к занятиям математических кружков школьников. Их отличие от обычных занятий состоит в том, что развивающие цели рассматриваются как приоритетные по отношению к обучающим, причем развитие понимается как рост логической культуры и приобщение к профессиональному мышлению, специфичному в данной области. Такие занятия могут и часто становятся началом серьезной профессиональной работы, но не менее важна и другая их функция. Она заключается в создании ситуаций, вовлекающих в процесс профессионального творческого мышления людей, которые в будущем профессионально в этой области работать не будут. Речь идет не о подготовке к будущей профессиональной “математической жизни”, а об организации такой жизни в данный момент и в рамках тех возможностей, которые предоставляет уровень подготовки слушателя. В наше время значительная часть студентов математического факультета не планирует заниматься не только научной работой, но и вообще работой, основанной на серьезном использовании математики. Тем важнее дать им опыт “математической жизни” в любой момент, когда это оказывается возможным.

Есть и еще один аргумент в пользу внедрения лекционных курсов такого типа. Сейчас много говорят о проблемах повышения качества университетского математического образования. При этом акцент делается, в первую очередь, на усовершенствование форм контроля деятельности студента и педагога. Но вопрос повышения качества есть, прежде всего, вопрос методический. Повышать качество обучения — значит, работать над гибкостью и нестандартностью мышления студента, непосредственно влиять на рост его логической культуры и математической интуиции. Методические особенности курсов дополнительного образования делают их важными инструментами решения этих задач.

ЛИТЕРАТУРА

1. Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — М.: Мир, 1972. 160 с.

2. Рид М. Алгебраическая геометрия для всех. — М.: Мир, 1991. 149 с.

3. Eisenbud D. Commutative Algebra With A View Toward Algebraic Geometry. — Graduate Texts in Mathematics 150, Springer-Ver lag, 1995. 797 p.

4. Винберг Э.Б. Курс алгебры. — M.: Факториал, 1999. 527с.

5. Кокс Д., Литтл Дж., О Ши Д. Идеалы, многообразия и алгоритмы. — М.: Мир, 2000. 687с.

SOME ELEMENTS OF COMMUTATIVE ALGEBRA AS A SUPPLEMENTARY MATHEMATICAL COURSE

A.S. Shtern

An account of course of studies “Polynomials in any number of variables (an elementary introduction to commutative algebra)” is given. Methodical peculiarities of course and its position in extended mathematical education system are subjects of the article. School mathematical circle syllabus contains some questions of our course and we analyze this connection.

Keywords: commutative algebra, polynomial, ideal, algebraic set.

ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ, ПЕРСОНАЛИИ

УДК 51(091), 514, 519.67,519.674, 519.672

ГРАФОМЕХАНИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В АНТИЧНОЙ МАТЕМАТИКЕ*

Г. А. Зверкина

Московский государственный университет путей сообщения (МИИТ), Россия, 127994, г- Москва, ул. Образцова, 15; e-mail: zverkina@gmail.com

Практически все кривые, введенные в рассмотрение древнегреческими учеными, были плоскими, и изобретены они были как средство для решения нерешаемых циркулем и линейкой задач. Все известные плоские кривые греческой математики допускают “механическое” вычерчивание, что необходимо для их практического использования. К использованию кривых для решения задач примыкает большой арсенал механических приспособлений для той же цели.

Ключевые слова: история математики, геометрия, графические и механические методы.

История математики рассматривает греческую математику как феномен возникновения и развития аксиоматико-дедуктивной теоретической науки. При этом мало изучены практические приложения математических знаний в древней Греции.

Однако именно практические потребности часто являлись основой развития математических теорий. Например, задача об удвоении куба или, в общем виде, задача об определении кубического корня из произвольного числа, возникла из проблем конструирования метательной техники (размеры которой определялись по весу шарообразного камня — метательного снаряда), проблем архитектуры и модельного литья1. Частота проблем, связанных с этой задачей, породила множество легенд о её происхождении. Другие “знаменитые задачи древности” использовались реже.

Задача о трисекции угла была связана с исчислением времени: в древности пользовались “косыми” часами, т. е. время от заката до рассвета и время от рассвета до заката делилось на 12 равных часов. Естественно, длина часа менялась каждый день, и разметить циферблат на солнечных часах — значило разделить угол на 12 частей, что требовало умения делить угол на три равные части. Однако однажды решенная, эта задача уже не требовала нового решения: однажды разметив циферблат, не приходилось размечать его снова. (Позднее задача о трисекции угла возникла в астрономии и тригонометрии при попытках вычислить числовые характеристики 1°.)

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 03-06-80226а) и CNRS (проект “Les instruments du calcul savant”).

1 Другой причиной повышенного интереса к задаче об удвоении куба или, в общем виде, построения кубического корня геометрическими методами, возможно, было следующее. К V веку до н. э. греческие математики уже умели находить квадрат, равновеликий произвольному многоугольнику (т.е. находить квадратуру многоугольника). Естественно было попытаться решить ту же задачу в стереометрическом случае, т. е. попытаться построить куб, равновеликий произвольному многограннику, что и привело к необходимости построения кубических иррациональностей.

То же относится к задаче о квадратуре круга: однажды вычисленного отношения длины окружности к диаметру (и, соответственно, отношения площади круга к квадрату диаметра или радиуса) было достаточно для регулярного использования в практике. Поэтому, несмотря на большой теоретический интерес к этой задаче (после квадрирования многоугольников естественно было попытаться квадрировать криволинейные фигуры), попыток её решения было предпринято существенно меньше, чем задачи об удвоении куба.

Три знаменитые задачи древности не допускали решения с помощью циркуля и линейки, и поэтому греческие ученые создавали для этих задач новые инструменты и методы. Для этого использовались отличные от прямой и окружности кривые, а также механические приспособления.

1. КРИВЫЕ В АНТИЧНОЙ МАТЕМАТИКЕ

Но почему задачи решались с помощью циркуля и линейки, а не арифметическими методами?

Циркуль и линейка были первыми и основными инструментами инженеров, землемеров и архитекторов глубокой древности. С их помощью производилось построение и измерение отрезков, длины которых сейчас удобнее вычислять арифметически. Однако как инструмент теоретической математики они, видимо, впервые стали рассматриваться пифагорейцами. Попытка объяснить все природные явления отношениями целых чисел (“Всё есть число”) привела пифагорейцев к открытию несоизмеримых величин, именно им принадлежит обнаружение несоизмеримости диагонали и стороны квадрата. Следствием невозможности определения точного числового значения той или иной величины стало введение в математику методов построения этих величин на чертежах с помощью давно использовавшихся на практике инструментов: линейки (натянутой бечевы) и циркуля (бечевы с двумя колышками на концах) — об этом, в частности, сообщает в диалоге “Филеб” Платон (427-347 гг. до н.э.).

Известно, что во всех древних цивилизациях в конструкторской практике в геометрических построениях эти примитивные инструменты использовались очень активно. Так, в составленном около V в. до н. э. древнеиндийском трактате “Шульба-сутра” (“Правила веревки”) дается свод правил геометрических построений с их помощью [1]. Подобные инструменты широко использовались и египтянами — учителями древнегреческих ученых. Применяли эти инструменты в практических целях и греки, — Демокрит (ок. 460- ок. 370 гг. до н. э.) гордился тем, что превзошел в геометрическом искусстве египетских арпедонаптов, т. е. тех, кто производил измерения, натягивая веревку.

Итак, древнегреческие математики стали применять в своих теоретических исследованиях практические инструменты архитекторов и ремесленников, и сделано это было, в частности, и для того, чтобы, научившись строить на чертежах величины, которые нельзя выразить отношением целых чисел, иметь возможность исследовать их свойства.

Можно сделать вывод, что геометрические построения с помощью циркуля и линейки несли на себе определенную вычислительную функцию: алго-

ритм геометрического решения задачи играл такую же роль в древнегреческой математике, как и формула для решения уравнения в современной.

Действительно, формула у = f(x) указывает, как по значению переменной X определить значение величины у. Точно так же рис. 1 показывает, как по двум величинам а и Ъ построить их среднее геометрическое с = \fäb.

При этом по формуле у = f(x) значение величины у можно определить со сколь угодно высокой точностью. Применяя всё более и более точные вычисления по этой формуле, можно получать всё более и более точные значения величины у.

Точно так же и при использовании геометрического построения решения можно повышать точность результата, увеличивая точность и аккуратность манипуляций с циркулем и линейкой.

Чертеж, в геометрической алгебре древних играл такую же роль, что и вычислительная формула в современной2.

Для повышения точности геометрического решения алгебраической задачи нужно было строить как можно более тонкие линии, и, видимо, это было одной из причин того, что в греческой математике возникло понятие идеальных кривых — т. е. кривых, не имеющих толщины.

То есть в теоретической математике использовались объекты, которые реально невозможны на практике, но являлись идеализацией реальных. При этом в геометрических рассуждениях греки использовали реальные чертежи, отлично сознавая, что “идеальными” те не являются. Тем не менее, чем точнее чертежные инструменты, тем ближе к “идеальному” получается чертеж и тем с большей точностью строится на нем искомая величина.

Итак, “идеальные” прямые и окружности геометрической алгебры выполняли двойную функцию: с одной стороны, они были инструментами научного исследования, а с другой — средством решения практических задач, причем, с чем большей тщательностью был выполнен соответствующий чертеж, тем более точное решение задачи можно было получить.

Вернемся к приведенной выше задаче о построении среднего геометрического двух величин а и Ь, т. е. с = \fab~. Казалось бы, имея в своем арсенале такое мощное средство, как метод Герона3 для вычисления прибли-

Рис. 1. Геометрическое извлечение квадратного корня

2 То, что вавилонская и египетская математика пользовались приближенными вычислениями, не нуждаясь в очень “точном” решении, видимо, и является причиной отсутствия в догреческой математике линий, отличных от прямой и окружности.

3 Метод Герона нахождения приближенного значения квадратного корня был известен еще в Древнем Вавилоне, но, как часто бывает, этот метод носит имя описавшего его ученого, а не автора. Метод заключается в следующем. Если известно приближение у/А œ ао, то лучшее приближение определяется как y/Ä ~ ai = — ( ао H--V При необходимости вычисления по этой схеме повторяются. Метод Герона является методом простой итерации для решения уравнения х = — ( х + — ), решением которого является у/А. Метод Герона чрезвычайно эффективен и применяется в программном обеспечении компьютеров и калькуляторов.

жений квадратных корней и алгоритм Евклида4 для упрощения полученного результата, древнегреческие практики не нуждались в геометрических построениях для решения конкретных задач. Однако применение этих вычислительных методов требовало от них достаточно высокой арифметической подготовки и не было быстрым. При этом, как известно, греческая математика использовала алфавитную нумерацию, чрезвычайно неудобную для выполнения арифметических действий с многозначными числами. А геометрическое решение тех же задач производилось много быстрее, не требовало длительных вычислений и его результат мог быть сразу измерен или отмечен на конструируемом объекте. Такой подход к разметке возводимых сооружений был широко распространен в Древнем Египте; естественно, что им пользовались и древнегреческие практики5.

Казалось бы, идеология древнегреческой математики препятствовала построению и использованию в научной практике иных кривых, чем прямая и окружность. Так, в “Данных” Евклида под произвольной геометрической фигурой всегда без особых оговорок подразумевается многоугольник, а под произвольной линией — ломаная [4]. Однако не позднее V в. до н. э. в Греции начинается изучение новых кривых, отличных от прямой и окружности.

Практика ставила перед математиками задачи, которые было невозможно решить с помощью циркуля и линейки. И именно эти задачи вошли в историю как три знаменитые неразрешимые задачи древности: задача об удвоении куба, задача о квадратуре круга и задача о трисекции угла.

Для решения этих задач математики стали создавать инструменты, позволявшие вычерчивать (более или менее точно, в зависимости от качества инструмента) новые кривые, позволявшие находить “точное” решение задачи6.

Согласно традиции, это входило в противоречие с взглядами главного идеолога математики античности Платона. В геометрических построениях он допускал использование лишь двух линий — прямой и окружности, и это притом, что современные ему математики (Евдокс (408-355гг. до н.э.), Динострат (ок. 390-ок. 320гг. до н.э.), Менехм (ок. 380- ок. 320гг. до н.э.)) активно исследовали “недопустимые” кривые. Архит (ок. 428- ок. 350 гг. до н.э.) и Евдокс ввели в рассмотрение первые неплоские стереометрические кривые: Архит для исследования задачи об удвоении куба фактически рассматривал пересечение трех поверхностей, а Евдокс ввел гиппопеду — кривую на сфере, соответствующую движению небесных тел. Но прикладное,

4 Алгоритм Евклида нахождения наибольшей общей меры (делителя) двух отрезков или величин фактически представляет собой разложение отношения длин отрезков или отношения величин в цепную дробь. Этот метод позволяет заменить иррациональное число или неудобную дробь (с большим числителем или знаменателем) на хорошее рациональное приближение — см. подробнее [2, 3].

5 О необходимости частого проведения такого сорта вычислений в походных условиях сообщают различные античные сочинения по полиоркетике — науке о конструировании и использовании осадных орудий.

6 Часто исследование плоских кривых, в том числе и конических сечений, в греческой математике представляют как чисто теоретические задачи. Однако предпринимавшиеся древнегреческими учеными попытки вычерчивать эти кривые говорят об обратном.

вычислительное значение имели лишь плоские кривые. Греческие математики использовали их для построения “точного” решения задач таким же образом, как и прямые и окружности.

Они определяли ту или иную кривую как “идеальную”, т. е. не имеющую толщины линию. Умея строить её с помощью некого приспособления, можно было находить точки пересечения этой кривой с некоторой другой. И таким образом получалось некоторое (не вполне точное) решение задачи. Эта точка пересечения в том случае, если бы кривые были “идеальными”, давала бы точное решение задачи7.

Таким образом, совершенствуя приспособление для вычерчивания кривой (так же, как и в случае прямой и окружности), можно было получать всё более и более точное решение. То есть построения с помощью конических сечений или смешанных кривых были эквивалентны применению формул решения задач, подобно тому, как и построения с помощью циркуля и линейки.

Позднее греческие математики стали исследовать не только плоские, но и телесные кривые, т. е. кривые, расположенные на поверхности некоторых объемных тел.

Интерес к таким кривым мог возникнуть по следующим причинам:

- Обнаружение того, что кривые, которые использовались для решения задачи об удвоении куба, можно представить как пересечения плоскости с конусом.

- Попытка определить, какие кривые, кроме прямой и окружности, обладают свойством быть одинаково расположенными по отношению к любой своей точке. Такой кривой оказалась винтовая линия, которую можно представить как результат одновременного кругового и поступательного движения.

- Астрономические исследования приводили к необходимости изучения свойств линий (траекторий движения небесных тел) на сфере.

Ко времени написания Проклом Диадохом его комментариев к сочинениям Евклида греческая математика накопила уже достаточно богатую коллекцию кривых.

Плоские (замкнутые, бесконечные и составные); “гомоэомерические”, т. е. одинаково расположенные по отношению к любой своей точке (к ним относятся прямая, окружность и “спираль” или винтовая линия); конические сечения; “смешанные” кривые, т. е. кривые, получающиеся в результате сложения одного или нескольких прямолинейных и круговых движений (эти линии можно построить механически); кривые на правильных поверхностях (конусах, сферах).

Интересно, что к смешанным линиям Гемин (ок. 10 г. до н.э.- ок. 60 г. н. э.8) относит и винтовую (гомоэомерическую) линию, и квадратрису. Папп

7 Точно так же, как точки пересечения окружностей и прямых: для определения более точного решения следовало строить чертеж с большей точностью.

8 Ряд историков науки, основываясь на “Введении в астрономию” и “Isagoge” Гемина, полагает, что он жил около 130г. до н.э.- 60г. до н.э., однако Нейгебауэр (26.05.1899-19.02.1990) в [5] утверждает, что Гемин участвовал в египетском празднике Изиса около 50 г. н. э.

Александрийский (ок. 290- ок. 350) недоумевал, каким образом можно вычертить квадратрису, — перед Гемином, по-видимому, этот вопрос не стоял9.

Тем не менее, то влияние, которое оказал Платон на дальнейшее развитие математики, сказывалось и на отношении к исследованию отличных от прямой и окружности плоских кривых. Их утилитарное предназначение не позволяло отнести их к “чистой” математике. Видимо, именно поэтому значительная часть оригинальных сочинений о них не сохранилась. Повторюсь, что в крупных библиотеках собирались в основном лишь книги, посвященные сугубо теоретическим исследованиям, а сочинения практической направленности были распространены в среде их пользователей и плохо сохранились.

Это привело к тому, что механическое средство, позволявшее вычерчивать ту или иную кривую, с течением времени становилось неизвестным следующим поколениям математиков, и они либо пытались изобрести заново такой механизм, либо в недоумении сообщали, что описанную их предшественниками кривую построить невозможно.

Спираль Архимеда. В III в. до н. э. самосским математиком Кононом (ок. 280- ок. 220гг. до н.э.) была изобретена так называемая “спираль Архимеда” (рис.2). Эта кривая определялась механически: при равномерном вращении оси, на которой лежит точка, вокруг центра, точка с равномерной скоростью движется по оси. Такое механическое определение дает принцип механического построения этой кривой. Сведений о том, что античные математики использовали некое приспособление, у нас нет, но простота механизма, строящего такую кривую, очевидна.

Практически ни в одном исследовании по истории математики не сообщается об утилитарной цели изобретения этой замечательной кривой. Видимо, это связано с тем, что во время начала активного исследования истории древнегреческой математики практическая применимость спирали Архимеда ни у кого не вызывала сомнений: тщательно выгравированная на металлической пластине эта спираль входила в состав профессиональных готовален инженеров вплоть до начала XX века [6, 7]. Её повсеместное использование в инженерной практике для деления углов на равные части было очевидно, и поэтому специальные замечания о практической применимости архимедовой спирали (как, например, о пользе таблицы умножения) не требовались.

Замечательные исследования Архимеда этой спирали затмили её практическую пригодность, и сейчас она рассматривается историками науки как чисто абстрактная, “теоретическая” кривая, не имеющая никакого отношения к практике. На самом же деле, дополнив спираль Архимеда циркулем и линейкой, с её помощью чрезвычайно легко делятся и умножаются на целое число углы. Если отрезки Bb, Ce, Dd и Ее равны, то равны и углы

Рис. 2. Спираль Архимеда р = аф

9 Видимо, методы решения задач при помощи вычерчивания кривых были практически неизвестны комментаторам поздней античной математики, более склонным к теоретическим, нежели практическим исследованиям; Гемин, в отличие от Паппа, был математиком-практиком, активно занимавшимся астрономическими исследованиями. (Евклид, написавший трактат о конических сечениях, ничего не сообщает о них в “Началах”.)

АОВ, ВОС', COD и DOE. Например, отложив угол АОВ и измерив ВЪ, удвоив и утроив этот отрезок, легко строим удвоенный и утроенный угол (АОС и AOD) — рис. 3. А поскольку угол наклона спирали к радиус-вектору постоянный и близок прямому, точность построения не зависит от величины угла (как в случае квадратрисы-трисектрисы) и достаточно высока.

В 1590 г. Гюйгенс (14.04.1629-8.06.1695) предложил несложное устройство для вычерчивания спирали Архимеда. Оно состоит из диска, к краю которого в точке Е прикреплен шнур, и рейки, шарнирно прикрепленной к центру диска. На конце рейки находится шип. Шнур обходит этот шип, обходит шип в центре диска и идет к шляпке булавки, которая может перемешаться перпендикулярно рейке. При вращении рейки перо, прикрепленное к концу булавки, вычерчивает на диске спираль Архимеда — рис. 4.

Однако более естественно предположить использование для вычерчивания спирали механизма, где прямая прокатывается по окружности — см. рис. 5.

Рис. 3. Деление угла на равные части с помощью спирали Архимеда

Рис. 4. Вычерчивание спирали прибором Гюйгенса

Рис. 5. При прокатывании угольника по диску его конец движется по спирали

2. МЕХАНИЧЕСКИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ИНСТРУМЕНТЫ

Не менее интересны механические приспособления, которые применялись не для вычерчивания кривых, решавших ту или иную задачу, а для окончательного её решения. Как уже говорилось, наиболее актуальной и часто требовавшейся в приложениях задачей была задача нахождения двух средних пропорциональных, и именно попытки её решения дали наибольшее количество математических приборов.

Рамка Платона. Возникший не позднее IV в. до н. э. прибор (рис. 6, 7) для решения этой задачи связывают с именем Платона, хотя тот и являлся

непримиримым противником прикладных исследований в математике. Полагают, что Платон не использовал, а критиковал этот прибор.

Действие его основано на построении трех подобных треугольников таким образом, чтобы отношение их сторон образовывало непрерывную пропорцию. Поскольку прямоугольные треугольники О AB, В ОС, COD подобны, то есть OB и ОС — две средних пропорциональных для величин OF и OD — рис. 6.

Это простое геометрическое рассуждение реализовывалось с помощью двух прямоугольных рамок, вставленных друг в друга; рамка подходящим образом накладывалась на чертеж. Однако, возможно, чертеж заменяли тонкие стержни, скрепленные под прямым углом и меняющие свое положение вместе с рамкой.

Мезолябий. На том же принципе основан прибор, изобретенный Эратосфеном (мезолябий). Одно из его описаний сообщает о трех прямоугольных пластинах AMEF, MNGF, NQHG, расположенных на параллельных направляющих. Если требовалось найти две средние пропорциональные между величинами АЕ и DH, то пластины сдвигались таким образом, чтобы соединяющая точки А и D прямая проходила через точки пересечения сторон и диагоналей соседних пластин. Тогда найдены две средние пропорциональные — рис.811. Несмотря на то, что в дошедшем до нас источнике сообщается о сдвигаемых пластинах, несложно представить себе и шарнирный механизм, работающий таким же образом.

Рис. 6. Метод Платона отыскания двух средних пропорциональных

Рис. 7. Реконструкция рамки Платона А.Дюрером10. Эта рамка располагалась на двух перпендикулярных линиях

Рис. 8. Мезолябий Эратосфена

10 А. Dürer, Underweysung der Messung, 1525.

11 Археологами обнаружено по крайней мере два мезолябия.

Общим недостатком приписываемых Платону и Эратосфену приспособлений является неудобство “считывания результатов”: определяемые отрезки находятся внутри инструмента и их может быть затруднительно измерить.

Инструмент Герона Александрийского. От этого недостатка свободен инструмент, описанный Героном Александрийским (I в.) в “Механике” и “Белопоике”. Несмотря на то, что он описывает геометрические построения, он называет описываемый им метод “инструментом”, и предназначает его для регулярного инженерного употребления. Изобретение же этого прибора следует отнести к Филону Византийскому или Ктезибию (в работах Филона также имеется описание этого метода).

Если в вершину D прямоугольника AB CD поместить прямую FE и вращать её около вершины до тех пор, пока не станут равными ОЕ и OF, то получившиеся отрезки FC и АЕ будут двумя средними пропорциональными между AB и ВС — рис. 9 — повидимому, здесь использовалась поворачивающаяся размеченная линейка.

Прибор Герона удобен тем, что с него можно легко снимать размеры результатов — они находятся на внешних рамках инструмента.

Созданные начиная с III в. до н.э. приемы определения двух средних пропорциональных, по большей части использующие вставку, практически все могут быть реализованы как шарнирные механизмы. Практически все они перечислены в обширном комментарии Евтокия Асколонского к трактатам Архимеда.

Трисектор Архимеда. Особняком в ряду вычислительных инструментов стоит приписываемый Архимеду способ механической трисекции угла. На рис. 10 угол BAD составляет одну треть угла COD. На этом основании легко реконструируется механическое приспособление.

Простым передвижением планки ОС, отмерив угол COD, мы получаем угол CAD в три раза меньше угла COD — рис. 11.

Кроме чисто математических инструментов, в античности активно применялись самые разнообразные механические приспособления, имевшие математическую основу своего применения. К сожалению, об инструментах, применявшихся ранее начала новой эры, нам практически ничего неизвестно. Восхищенные слова Сократа об этих инструментах в диалоге Платона

Рис. 9. Прибор Герона Александрийского

Рис. 10. Принцип действия аппарата Архимеда

Рис. 11. Аппарат Архимеда

“Филеб” указывают на их широкую распространенность уже в это время, но описаний таких инструментов мы не имеем.

3. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Создание и использование математических инструментов началось в глубокой древности. Усовершенствование механических методов решения задач привело к открытию различных приемов применения циркуля и линейки для геометрического решения вычислительных задачи. Использование геометрических методов для решения алгебраических задач (геометрическая алгебра) достигло высочайшего уровня в науке древней Греции. Однако и позднее ученые интересовались подобными методами, например, Декарт предложил схему геометрического решения уравнений второй степени (более подробно об этом см. [8]).

Недостаток возможностей циркуля и линейки привел к необходимости создания более совершенных геометрических инструментов. Эти инструменты вычерчивали “механические кривые”, которые использовались для решения ряда отдельных задач, т. е. были “калькулятором одной задачи”. Задача об удвоении куба и задача о трисекции угла оказали наиболее большое влияние на развитие графомеханических методов. Ученые древней Греции для решения этих задач изобрели и использовали специальные “механические” кривые.

Первое использование так называемых “механических кривых” имело место не позднее чем в IV веке до н. э.; оно было связано с открытием Гиппократа, которое привело к использованию конических сечений в геометрических построениях; в это время изучаются некоторые свойства конических сечений и изобретаются аппараты для их вычерчивания.

Конон Самосский изобрел спираль, носящую ныне имя Архимеда. Эта кривая позволяла делить на равные части углы любого диапазона и была чрезвычайно проста для использования; эта спираль использовалась инженерами до изобретения удобных вычислительных средств12.

Пик интереса к исследованию “механических” кривых пришелся на II-III века до н.э.13. Впоследствии таких исследований в математике древней Греции не было, или они были незначительны.

Итак, все известные кривые античной математики могли быть вычерчены с помощью аппаратов, основанных на свойствах этих кривых.

12 Известно, что Архимед квадрировал спираль, и это затмило все прочие указанные Архимедом свойства этой кривой. Однако, на мой взгляд, квадрирование спирали имело целью еще раз продемонстрировать открытый Архимедом метод суммирования квадратов, разработанный им для квадрирования параболы. А квадрирование параболы было связано с задачей определения объема и остойчивости кораблей, имевших, в своем большинстве, сечение, близкое к параболическому сегменту — см., например, трактат Архимеда “О плавающих телах” — [9, с. 328-357].

13 Главная цель этих занятий состояла в поиске таких свойств кривой, которые позволили бы создать инструмент для его вычерчивания. Кроме того, по-видимому, изучалась возможность использования известных кривых для решения новых задач.

Однако позднее информация об аппаратах, вычерчивающих кривые, была практически полностью утеряна, за исключением конхоиды Никомеда14.

Позднее подобные аппараты были изобретены снова; некоторые, вероятно, не забывались никогда: они сохранились до нашего времени как “фольклор” — известные методы вычерчивания конических сечений, не описанные в античной литературе, имеют очень древнее происхождение.

Изучение механических методов решения задач привело также к изобретению механических вычислительных средств, применявшихся подобно использованию в XX веке логарифмической линейки: с помощью простых манипуляций с частями математического аппарата на его некоторой части получалось искомое значение, размер, который затем мог быть измерен или прочитан на шкале.

Вероятно, начиная с I века до н. э. математики-практики перестали изобретать новые “механические” кривые. Вместо этого они изобретали новые методы решения задач, часто встречавшихся в практике, наиболее важной из которых была задача о двух средних пропорциональных; эти методы интересны тем, что практически все они могут быть реализованы механическими аппаратами. Этим занимались Аполлоний Пергский, Филон Византийский (ок. 280-ок. 220), Спор из Никеи, Папп.

Одновременно с этим изучались стереометрические кривые, — здесь интерес скорее теоретический.

“Механический” подход к решению математических задач стал источником ряда понятий, обогнавших свое время: вводились понятия, которые не были реализованы в древней математике в связи с отсутствием в них потребности15.

В эпоху Возрождения европейские ученые проявляли повышенный интерес к сочинению Аполлония Пергского о конических сечениях. Вероятно, это происходило потому, что сохранилось только сочинение Аполлония, в котором были основательно изучены кривые. И лишь отрывочные сведения сохранились о других кривых, известных греческим математикам. Отсутствие информации о причинах интереса греков к коническим сечениям и о их связи с практическими приложениями привело к созданию мифа об исключительной теоретичности греческой науки. Вероятно, такая популярность сочинения Аполлония привела к тому, что изучение конических сечений до сих пор входит в программу высшей школы (хотя некоторые инженерные специальности не нуждаются в этом).

Ученые, которые создали основу современной математики (Декарт, Ньютон, Лейбниц (1.06.1646-14. 11. 1716), Эйлер (15.04.1707-18.09.1783)), не только хорошо знали кривые древности, но и ввели в математику новые “механические” кривые (например, циклоиду). Иногда они называли “механическими” кривые, которые можно начертить неким механизмом, а иногда только те кривые, которые не могут быть заданы аналитически.

14 Позднее это привело к предположению о построении греческими математиками кривых “по точкам”, что не соответствует принципам математики древней Греции.

15 Так, например, Герон Александрийский при описании принципа действия своего пантографа фактически доказывает, что гомотетичные фигуры подобны.

Однако упомянутые математики ясно представляли себе место кривых в математике древности: кривые были лишь средством решения некоторых задач.

Ученые XVII-XVIII веков также пытались совершенствовать древние математические иснструменты или изобретать новые. Ньютон восстановил метод вычерчивания циссоиды, изобретались различные механизмы для вычерчивания конических сечений.

Новый этап в математике — введение описания кривых с помощью формул — привел к возобновлению интереса к механическим кривым и бурному развитию аналитических методов.

ЛИТЕРАТУРА

1. Apastambasulvasutra. Edited by A. Burk // Das äpastamba-Sulba-Sutra // Journal Zeitschrift der deutschen morgenländischen Gesellschaft. 1901, 1902. V. 55.

2. Itard J. Les livres arithmétiques d'Euclide. — Paris, 1961.

3. Хинчин А. Я. Цепные дроби. — М.-Л., 1948.

4. Euclid. Les données d'Euclide // Les œuvres d'Euclide. — Paris, 1966. P. 519-603.

5. Neugebauer О. A History af Ancient Mathematical Astronomy. — Berlin-Heidelberg-N.Y., 1975.

6. Савёлов А.А. Плоские кривые. Систематика, свойства, применение. — М., 1960.

7. Fink К. A brief history of mathematics an autorized translation of W. W. Beman et D.E.Smith. — Chicago, 1900.

8. Bos Henk J. M. Redefining Geometrical Exactness. Descartes' Transformation of the Early Modern Concept of Construction. — Springer Verlag New York Inc., 2001.

9. Архимед. Сочинения. — М., 1962.

GRAPH-MECHANIC METODS OF ANTIQUE MATHEMATICS

G. A. Zverkina

Practically all curves that were introduced by ancient Greek scientists were planar and were invented for the problems that could not be solved by compasses and ruler. All known planar curves of Greek mathematics admit “mechanical” drawing. It was relevant for practical purposes.

Keywords: history of mathematics, geometry, graphic and mechanic methods.

ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ, ПЕРСОНАЛИИ

УДК 51(092)

ЧИТАЙТЕ, ЧИТАЙТЕ ЭЙЛЕРА

И. С. Емельянова

Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского, Россия, 603950, г. Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23, корп. 2; тел.: (8312) 657883, e-mail: emel@sandy.ru

Статья приурочена к 300-летию со дня рождения великого математика, члена Петербургской и Прусской Академий наук Леонарда Эйлера.

Ключевые слова: история математики, персоналии, Леонард Эйлер.

Читайте, читайте Эйлера, он — наш общий учитель.

Пьер Симон Лаплас

Что Вы знаете об Эйлере, читатель? Какой образ возникает перед Вами, когда, например, на лекции Вы произносится привычное “формула Эйлера”, “уравнения Эйлера-Лагранжа”, “подстановка Эйлера”, “многочлен Эйлера” и т. д.?

Эйлер был членом Петербургской и Берлинской Академий наук, академиком или почетным академиком во многих странах, ему принадлежат труды по математике, механике, физике, астрономии, прикладным наукам, учебники и популярные публикации. В “Математической энциклопедии” его достижениям посвящены 24(!) статьи [1]. Описаны понятия “точки Эйлера”, “прямая Эйлера”, “окружность Эйлера” для треугольника, “формулы Эйлера”, связывающие тригонометрические функции с показательными функциями мнимого аргумента, “подстановки Эйлера” для интегрирования важного класса функций, “Эйлера метод суммирования числовых и функциональных рядов”, “Эйлера многочлены”, “Эйлера постоянная”, “Эйлера преобразование рядов” — понятие, применяемое в теории обыкновенных дифференциальных уравнений, “Эйлера произведение”... Один из простейших методов приближенного решения дифференциальных уравнений — “Метод

ломаных Эйлера“, есть ”Интегралы Эйлера” (ß- и 7-функции Эйлера). В теории чисел — теорема Эйлера о сравнениях и функция Эйлера, выражающая количество натуральных чисел, меньших данного натурального числа и и взаимно простых с ним; формулы, углы и уравнения Эйлера в механике, число Эйлера в гидродинамике...

Если Вы хотите проверить эрудицию студента, задайте ему невинный вопрос: “Напишите формулу Эйлера” — и полученная реакция Вам многое объяснит. А Эйлер еще и создатель классических образцов учебной литературы по математике, и не только по математике. Поэтому самое время вспомнить Леонарда Эйлера в нашем журнале, тем более, что родился он 15 апреля 1707 года, то есть 300 лет назад.

Волею судьбы Эйлер появился на свет на швейцарской земле, в знаменитом университетском городе Базеле, известном математикам, начиная с конца 17 века, по именам Якоба Бернулли и (позднее) — его брата Иоганна Бернулли. Семейство Бернулли дало миру 8 профессоров математики. Начальное образование Леонарду дал отец, учившийся у Якоба Бернулли. В 13 лет Леонард Эйлер стал студентом факультета искусств Базельского университет (19 профессоров, около ста студентов). Иоганн Бернулли, блестящий педагог, был не только математиком, но также доктором медицины, ему в это время было 53 года, и он по праву считался первым математиком мира (Лейбница уже не было в живых, Ньютон был стар и отошел от математики). Учебников по высшей математике не было. Иоганн Бернулли, оценив способности юного Эйлера, предложил ему читать работы по математике и обсуждать прочитанное вдвоем раз в неделю. И так — несколько лет. “Несомненно, это лучший способ делать успехи в математических науках. После разъяснения одной трудности десятки других исчезали” — писал Леонард в автобиографии [2, с. 7].

В 17 лет Эйлер произнес по-латыни магистерскую речь о сравнении философских взглядов Декарта и Ньютона. В первой научной работе Эйлера была решена конкурсная задача Парижской Академии наук. Юноша, никогда не видавший моря, нашел решение задачи об оптимальном количестве, высоте и расположении мачт на корабле и получил почетный отзыв Академии. Позднее Эйлер писал, вспоминая о первом научном достижении: “Эта теория полностью выведена из неоспоримых принципов механики. Не может быть и тени сомнения в справедливости теории и применимости её к практике” [2, с. 8]. Вторая работа, “Диссертация по физике о звуке”, послужила одной из рекомендаций для получения должности адъюнкта по высшей математике при вновь создаваемой Петербургской Академии наук и художеств. С первых шагов эта Академия была государственным учреждением, в отличие от многих европейских академий, существовавших за счет пожертвований меценатов. Немаловажно, что научные достижения Академии

публиковались в её изданиях и становились достоянием читателей в России и в Европе. Даниил Бернулли писал из Базеля: “Не могу вам объяснить, с какой жадностью повсюду спрашивают о Петербургских мемуарах... Желательно, чтобы их печатание было ускорено” [2, с. 11]. В 20 лет Эйлер уже читал в академии доклады, печатался в изданиях Академии. В отличие от большинства европейских коллег, приглашенных в Академию, которые не стремились освоить русский язык, Эйлер начал бегло говорить по-русски уже через 3 месяца и публиковал часть своих работ не только на принятых в математике латинском и немецком языках, но и на русском. Число его публикаций росло. Для примера скажем, что из 13 работ по математике, опубликованных в “Трудах Академии” в 1736 году, 11 принадлежат Эйлеру. За первые 14 лет петербургской службы Эйлер написал более 80 (!) крупных работ. Одним из направлений его разнообразной деятельности была картография. Россия с её огромными территориями требовала особых математических приемов для изображения части сферической поверхности на плоской карте с возможно меньшими искажениями масштаба. Эйлер не только был успешен в громоздких расчетах, но и сам вычерчивал карты, испортив этим свое зрение, что привело его к полной слепоте в конце жизни. Написанный Эйлером по поручению Петербургской Академии наук учебник “Руководство к арифметике”, переведенный в 1740 году с немецкого на русский язык учеником Эйлера Василием Адодуровым, стал первым изложением арифметики как математической науки в России. Эйлер всегда тщательно рецензировал работы коллег, нередко получая при этом новые результаты. Так, в 1738 г., рецензируя работу Исаака Брукнера о квадратуре круга, Эйлер получил применяющийся и в наше время метод приближенного вычисления числа 7г:

О феноменальной трудоспособности Эйлер ходят легенды. Вот еще один факт. В 1735 году Академия получила срочное задание, связанное с громоздким астрономическим вычислением. Группа академиков просила на эту работу 3 месяца, а Эйлер выполнил её за... 3 дня! Но из-за перенапряжения он заболел и частично потерял зрение. Мировую славу принесло Эйлеру двухтомное издание “Механика, или наука о движении” (1736). Набирающие силу методы математического анализа были применены Эйлером к динамике материальной точки в пустоте и в среде, изменяющей свои свойства с высотой.

В 1741 году, когда дела в Петербургской Академии наук существенно ухудшились, Эйлер переехал в Берлин, как оказалось, на 25 лет. Все эти годы он оставался почетным академиком Петербургской Академии и помогал ей по мере сил, по-прежнему печатался в её трудах, редактировал математические разделы русских журналов, приобретал для Петербурга книги

и инструменты, принимал “на полном пансионе” молодых ученых из России, в числе которых были, в частности, будущий президент Петербургской Академии наук К. Г. Разумовский, С. К. Котельников, С. Я. Румовский. Прусская Академия наук, в которую был приглашен Эйлер, официально открылась только через 3 года.

Эйлер, по-видимому, не был лично знаком с Ломоносовым, но известен факт, что однажды он получил сочинение Ломоносова на отзыв. Возглавлявший Петербургскую Академию наук Шумахер, враждебно относившийся к Ломоносову, надеялся на разгромный отзыв знаменитого Эйлера. Однако Эйлер отозвался о работе весьма лестно: “Все сии сочинения не только хороши, но и весьма превосходны, ибо он пишет о материях физических и химических... с таким основательством, что я совершенно уверен в справедливости его изъяснений” [2, с. 20].

Крупные научные работы Эйлера выходят в поразительно сжатые сроки: “Введение в анализ бесконечных” (1748), “Морская наука” (1749), “Теория движения Луны” (1753), “Наставление по дифференциальному исчислению” (1755). Первая их названных книг, “Введение в анализ бесконечных”, содержала, помимо анализа, алгебру, аналитическую геометрию и другие вопросы, была богата примерами и читалась с интересом. Можно считать, что это было первое методически разработанное учебное пособие по математическому анализу. В предисловии Эйлер писал: “Я приложил старание не только к тому, чтобы подробнее и отчетливее, чем обычно, изложить все, чего требует анализ. Я развил также довольно много вопросов, благодаря которым читатели могут незаметно освоиться с идеей бесконечности” [2, с. 23]. Выполняя по поручению Фридриха II перевод на немецкий язык с английского книги Б. Робинса “Новые принципы артиллерии”, Эйлер существенно дополнил книгу своим учением о движении круглого снаряда в воздухе. Король нередко дает Эйлеру разнообразные практические поручения: подсчитать количество воды для фонтанов Потсдамского парка Сан-Суси, проконсультировать постройку канала между реками Хавель и Одер, рассчитать прочность колонн строящегося дворца... Последнее задание послужило поводом для создания Эйлером общей теории прочности колонн, применяющейся до сих пор.

Механиков и математиков не может не удивлять тот факт, что для задач кинематики и динамики твердого тела с неподвижной точкой Эйлер не только ввел наглядные и удобные в практических приложениях “углы Эйлера” (собственного вращения, прецессии и нутации), но нашел кинематические и динамические уравнения движения, решил аналитически до конца задачу о вращении тяжелого твердого тела вокруг центра масс, предложил использовать специальные интегралы и специальные функции и рассмотрел случай динамической симметрии тела, приводящий к сравнительно простым решени-

ям в элементарных функциях, описывающим регулярную прецессию (1758). При выводе динамических уравнений Эйлер должен был, в частности, решить нелегкую задачу сравнения производных по времени от векторов, определенных в двух пространствах, одно из которых вращается относительно другого:

(К — вектор момента количества движения, t — время, сЗ — вектор угловой скорости тела, знак “~” означает вычисление производной в системе координат, связанной с твердым телом) и решить нелинейную систему обыкновенных дифференциальных уравнений третьего порядка:

(А, В, С — главные моменты инерции в точке закрепления, т. е. в центре масс тела, р, g, г — компоненты угловой скорости в системе координат, жестко связанной с телом).

Только в 1851 году — почти через сто лет — задача, решенная Эйлером, обрела новую жизнь и по-новому стала восприниматься в научном мире. Известный математик и механик Луи Пуансо дал наглядную геометрическую интерпретацию результату Эйлера, и к эллиптическим интегралам, введенным в свое время Эйлером, стали относиться не как к диковинным упражнениям математиков, а как к аппарату, который необходим для решения практических задач.

Эйлер был одним из первых ярких популяризаторов науки. В частности, более 40 изданий на 10 языках выдержали его “Письма о разных физических и философских материях, написанные к некоторой немецкой принцессе... ”

В 1766 году Екатерина II сделала Эйлеру лестное предложение о переезде в Россию и настояла на принятии этого предложения. На работоспособности Эйлера в России не сказалось даже серьезное ухудшение здоровья: он окончательно потерял зрение. Под диктовку Эйлера писали всё новые и новые научные труды и его сын, способный математик Иоганн Альбрехт, и не разбиравшийся в математике мальчик-портной, привезенный Эйлером из Германии, и ученики Эйлера. Двухтомные “Элементы алгебры” изданы на немецком в 1770 году, а переведены на русский и изданы под названием “Универсальная арифметика” еще раньше (1768-1769гг.). Этот труд выдержал несколько десятков изданий на европейских языках, о нем, в частно-

сти, лестно отзывался Н. Н. Лузин: “В этом совсем элементарном курсе царит дух открытий” [2, с. 29]. Характеризуя стиль учебников Эйлера, Р. Курант и О. Нейгебауер, редакторы немецкого издания “Лекций о развитии математики в XIX столетии” Ф.Клейна, пишут: “Эйлер ведет читателя тем же путем, каким шел сам, предостерегает даже от возможных ошибок и довольно часто рассказывает о тех безуспешных попытках, которые он делал, пока не нашел правильного пути. Он сообщает также о еще не разрешенных затруднениях и указывает, поскольку это возможно, путь, который следует, по его мнению, испытать, тем самым стараясь дать толчок самодеятельности читателя” [3, с. 33].

Нынешним преподавателям математики, вузовской и школьной, наверняка полезно найти этот учебник и познакомиться с его содержанием, почувствовать дух творчества, отличавший Эйлера как педагога.

По оценке К. Ланцоша, именно “Эйлер начал систематическое изучение вариационных задач, иногда называемых ”изопериметрическими“. Эти задачи на максимум-минимум привлекли к себе внимание лучших умов таких, как Ньютон, Лейбниц, Яков и Иоганн Бернулли — с момента появления дифференциального исчисления. Эйлер нашел дифференциальное уравнение, дававшее в явном виде решение для широкого класса таких задач” [4, с. 389-390].

Приведем один пример поступка, характерного для Эйлера. Современник Эйлера Пьер Луи Моро де Мопертюи (1698-1759) ввел в механике понятие “действие” (отличающееся от “действия по Гамильтону”, введенного значительно позднее, в 19 веке) для ответа на вопрос о том, какая величина минимизируется Создателем при построении мира. Такая постановка проблемы была “вполне в духе религиозного мистицизма 18 века [4, с. 388]”. С точки зрения математики это была постановка вариационной задачи определенного типа. Не обладая необходимой для её решения математической культурой, Мопертюи в своем объемном сочинении допустил несколько скомпенсировавших одна другую ошибок и получил правильный результат. “Приоритет Мопертюи оспаривался Кенигом, утверждавшим, что еще Лейбниц высказывал те же идеи в частном письме. Само это письмо никогда не предъявлялось. В возникшей полемике Эйлер самым решительным образом встал на защиту приоритета Мопертюи. Вместе с тем, он сам открыл этот принцип по крайней мере на год раньше Мопертюи, причем в совершенно корректной форме. В частности, Эйлер знал, что закону сохранения энергии должны удовлетворять и действительное, и варьированное движения. Без этого дополнительного условия ”действие” Мопертюи — даже после замены применявшейся им суммы на интеграл — теряет всякий смысл. Хотя Эйлер несомненно должен был заметить слабость аргументации Мопертюи, он воздержался от какой бы то ни было критики и воздержался даже от упо-

минания о своих собственных результатах в этой области, употребив весь свой авторитет на то, чтобы добиться признания Мопертюи автором принципа наименьшего действия. Даже зная необычную щедрость и благородство характера Эйлера, поражаешься его самоотверженной скромности, которая не имеет себе подобной в истории науки, изобилующей противоположными примерами” [4, с. 389].

Удивительно, что слепого Эйлера волновали вопросы распространения света, устройства оптических приборов. Один за другим издаются 3 тома “Диоптрики” (1769-1771 гг.).

По оценке академика А. Н. Крылова, по крайней мере, на 100 лет опередила время работа Эйлера по астрономии “Теория движения Луны, пересмотренная новым методом” (1772). К своей слепоте, прерванной на короткое время операцией, Эйлер относился с великим спокойствием, а его научная продуктивность продолжала расти. Поскольку он мог отличать белое от черного, то крупно писал мелом на столе, и эти записи его сын Иоганн Альбрехт переносил в специальную книгу, которая сохранилась до сих пор. В последующие десять лет Эйлер продолжал сдавать в печать новые работы дважды в месяц, а порой и чаще. Всего им опубликовано более 850 работ, не считая мелких статей.

18 сентября 1783 года Эйлера не стало. До последних часов он сохранял ясность ума и неизменную жажду творческого познания мира.

Трехсотлетие со дня рождения Эйлера отмечается во всех крупных странах мира, в том числе, и в первую очередь, в России, Швейцарии и Германии, а в России — прежде всего в Санкт-Петербурге [5]. Сто лет назад, в год празднования 200-летия со дня рождения Эйлера, на его родине, в Швейцарии, было решено издать полное собрание сочинений ученого. Это издание потребовало... ста лет, выпущено около 80 томов, но работа еще не завершена.

ЛИТЕРАТУРА

1. Математическая энциклопедия. — М.: Сов. энциклопедия, 1985. Стб. 925-938.

2. Яковлев А. Я. Леонард Эйлер. — М.: Просвещение, 1983. 79 с.

3. Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии. 4.1. — М.-Л.: Гл. ред. технико-теорет. лит., 1937. 432с.

4. Ланцош К. Вариационные принципы механики. — М.: Мир, 1965. С. 389.

5. Леонард Эйлер и современная наука. Международная научная конференция 15-18 мая 2007, Санкт-Петербург, e-mail: L.Euler2007@mail.ru

READ AND RE-READ EULER

I. S. Yemelyanova

The article commemorates the tercentenary of the great mathematician, the member of Petersburg and Prussian Academies of Science Leonard Euler.

Keywords: history of mathematics, prominent figures, Leonard Euler.

ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ, ПЕРСОНАЛИИ

УДК 51(091)(470)

К 100-ЛЕТИЮ МАТЕМАТИКА, АКАДЕМИКА, ПРОФЕССОРА МОСКОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА ИМ. М.В.ЛОМОНОСОВА А.Н.ТИХОНОВА

В. П. Савельев

Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского, Россия, 603950, г. Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23, корп. 2; тел.: (8312)658510; факс: (8312)658592 e-mail: vpsav@uic.nnov.ru

Статья посвящена теме “А. Н. Тихонов и высшая школа” и приурочена к столетию со дня рождения академика Андрея Николаевича Тихонова.

Ключевые слова: история математики, персоналии, А.Н.Тихонов.

Говоря о духовном богатстве России, нередко не считают существенным отмечать влияние выдающихся ученых на формирование облика России. Мы считаем своим долгом постоянно подчеркивать, что Россия — в первую очередь люди, личности, судьба которых нередко изобилует фактами, достойными глубокого уважения, доброй памяти и — по возможности — подражания. И деятелями науки Россия должна гордиться, а для этого о них следует говорить и писать.

Мы хотим привлечь внимание читателей к одной такой замечательной личности — академику Андрею Николаевичу Тихонову, 100-летие со дня рождения которого недавно отметила российская и мировая научная общественность.

В Московский университет Андрей Николаевич Тихонов поступил в неполные 16 лет и уже в студенческие годы получил существенные новые результаты в топологии. Впоследствии, оценивая работы Тихонова по топологии в эти годы, академик Павел Сергеевич Александров писал [1, с. 28], что в 18 лет “... А.Н.Тихонов получил свой первый научный результат — доказательство того, что всякое регулярное топологическое пространство со счетной базой является нормальным и, следовательно, метризуемым. Этот результат был опубликован в 1925 г. в Mathematishe Annalen и вскоре же вошел в классический учебник Хаусдорфа по теории множеств. Первая топологическая теорема А. Н. явилась, однако, лишь преддверием его дальнейших результатов в области абстрактной топологии, принесших их автору всемирную известность... Достаточно вспомнить тот решающий, в полном смысле слова основополагающий для последующего развития математического анализа успех, который выпал на долю Лебега, нашедшего после ряда предшествующих попыток (Кантора, Жордана, Бореля и др.) ”настоящее" определение меры множества и затем — определение интеграла, носящего его имя. Вот таким классическим определением, оказавшим весьма

большое влияние на дальнейшее развитие ряда математических дисциплин, является принадлежащее А. Н. определение топологического произведения. Сейчас всякий математик, работающий в области топологии, алгебры или функционального анализа не только знает эту “тихоновскую” топологию, но с трудом себе представляет, как бы математика могла без неё обойтись -настолько классическим в полном смысле этого слова стало введенное понятие. А между тем в те времена, когда А. Н. Тихонов — в свои 20 лет -пришел к мысли именно так, а не иначе определить топологию в произведении пространств, избранный им способ её определения казался не только неожиданным, но и совершенно парадоксальным. Я отлично помню, с каким недоверием встретил предложенное определение. Найти его, усмотреть его, действительно было настоящим открытием. Свое определение А. Н. поставил на твердое основание, доказав замечательную теорему о том, что произведение в смысле А. Н. Тихонова любого множества бикомпактных топологических пространств всегда является бикомпактным топологическим пространством. Эта теорема имеет основное значение не только для всей современной топологии, но и для теории топологических групп, а также для функционального анализа. Теорема А. Н. принадлежит к числу самых глубоких теорем всей так называемой общей или абстрактной топологии. Статистика показывает, что во всей теоретико-множественной топологии трудно найти теорему, столь часто применяемую, она занимает в настоящее время первое место по числу ссылок на неё в мировой литературе по топологии. Эта теорема была доказана в дипломной работе А. Н. Тихонова. После первого доказательства, данного А. Н. в 1926-1927 годах, было дано много других доказательств его теоремы, но все эти доказательства, хотя среди них имеются и более короткие, чем первоначальное доказательство автора, только подчеркивают глубину и трудную доступность полученного результата. То обстоятельство, что А. Н. Тихонов получил этот замечательный результат в возрасте 20 с небольшим лет, служит новым подтверждением того факта, что самые выдающиеся открытия в математике часто делаются еще совсем молодыми людьми".

Приведенная цитата характеризует Андрея Николаевича Тихонова как “чистого” математика. Между тем, примечательно, что он получил фундаментальные результаты и в области “прикладной” математики, причем именно его глубокое понимание вопросов чистой математики позволило ему получать нетривиальные и надежные результаты в прикладных задачах. Приведем по этому поводу воспоминание заведующего кафедрой прикладной математики Российского государственного социального университета профессора Михаила Геннадьевича Дмитриева [1, с. 71]: "Хочу рассказать об одном эпизоде. Как-то я летел из Красноярска в Москву на семинар А. Б. Васильевой, чтобы доложить одну работу для представления её через А. Н. Тихонова в ДАН СССР. На промежуточной посадке в Тюмени ко мне подсел человек моих лет, который всё время читал одну толстую книгу. Познакомились. Он оказался главным инженером одной геологической партии.

Летит в Москву для сдачи экзамена по специальности в аспирантуру А в руках у него книга с названием, кажется, “Электроразведка”, где рассказывается о работах А. Н. Тихонова. Я спутнику говорю, что это, наверное, математик, академик АН СССР, и я сейчас лечу, фактически, к нему. Мой попутчик отвечает, что этого не может быть, так как эту фамилию он всегда встречал в своем техническом вузе, где он учился, как основоположника электроразведки, как одного из классиков геологической науки. И здесь мой спутник-геолог произносит ключевую фразу: “В наше время, трудно ожидать, что один и тот же человек в двух предметных областях признается классиком”. Но в списке литературы в учебнике, действительно, были указаны несколько работ Андрея Николаевича по теории и практике электроразведки, и в том числе знаменитая работа 1943 года в “Докладах АН СССР” по обратным задачам. Спор тем самым был окончен".

Ректор Московского государственного университета академик Виктор Антонович Садовничий отмечает [1, с. 7]:

"В характере научной, педагогической и организационной деятельности Андрея Николаевича уникально сочетались две важнейшие стороны: умение видеть и ставить самые крупные по своим масштабам проблемы и находить единственно верный путь к их разрешению.

Назову только четыре из серьезных достижений А. Н. Тихонова:

- создание коллектива по обеспечению математического моделирования и выполнению всех расчетов, связанных с созданием в СССР водородной бомбы. При этом важно иметь в виду, что в то время, а это был 1948 год, вычислительной математики как науки еще не существовало, а опыт расчетов уранового котла и плутониевой атомной бомбы оказался в математическом смысле не слишком полезным. Там работали с обыкновенными дифференциальными уравнениям, здесь пришлось иметь дело с дифференциальными уравнениями в частных производных;

- создание в 1953 году вместе с Мстиславом Всеволодовичем Келдышем Отдела прикладной математики в Математическом институте им. В. А. Стеклова АН СССР, преобразованного в 1966 году в Институт прикладной математики АН СССР. Тот факт, что после смерти М. В. Келдыша в 1978 году его преемником на посту директора этого института был назначен академик А. Н. Тихонов, говорит сам за себя: это были ученые-организаторы практически равного масштаба, хотя и по-разному общественно легендизированные;

- создание в 1970 году факультета вычислительной математики и кибернетики в Московском университете. А. Н. Тихонов первым в СССР объективно осознал, по государственному поставил и организационно разрешил проблему массовой подготовки математиков нового типа — специалистов по вычислительной, компьютерной математике;

- придание фундаментальной науке, как бы мы сказали сегодня, “инновационного” характера, в основе которого лежит нерасторжимый союз теоретической математики (математического моделирования) и практического результата (вычислительного эксперимента)".

Как Андрей Николаевич строил работу со своими учениками? Об этом можно судить по воспоминаниям сотрудников кафедры математики физфака МГУ, которую он возглавлял, его бывших студентов [1, с. 116]:

“Поначалу мы докладывали работы, которые каждому из нас предложили изучить. Позднее, на четвертом и пятом курсах, рассказывали о результатах собственных исследований по заданным темам. В результате все дипломные работы были защищены на отлично и опубликованы в научных журналах. Каждый из дипломников был ориентирован в своем направлении и успешно развивал его, поэтому спектр научных интересов кафедры был широк. Из ... выпускников кафедры 10 человек впоследствии преподавали на кафедре, трое работали вместе с Андреем Николаевичем в Институте физики Земли, Б. Л. Рождественский был сотрудником Института прикладной математики. Позже трое стали академиками, двое — членами-корреспондентами Академии наук СССР, трое — академиками Российской Академии естественных наук, почти все — докторами наук. Так создавался коллектив — научная школа, опираясь на которую Андрей Николаевич вел научную и педагогическую работу”.

Приведем воспоминания академика Владимира Александровича Ильина о начале его работы на кафедре математики и его отношениях с Андреем Николаевичем. Эти воспоминания показывают, как тщательно Андрей Николаевич выбирал тематику работы своих учеников и как во-время он переставал тесно опекать выросших из-под его крыла молодых ученых, доверяя им самостоятельный творческий поиск [1, с. 116]:

"Я принадлежу к числу старших учеников Андрея Николаевича Тихонова. Хочу сказать о влиянии Андрея Николаевича на все мои работы, но начну с общего философского замечания. По поводу взаимоотношений учителя и ученика могут существовать различные мнения. Не называя фамилий, скажу об одном выдающемся ученом, академике, который считал совершенно нормальной ситуацию, когда талантливый, добившийся признания ученик, желая освободиться от влияния своего учителя, вступает с ним в конфронтацию. Сам Андрей Николаевич не придерживался такой точки зрения. Я присутствовал на его выступлении на юбилее Павла Сергеевича Александрова — учителя Андрея Николаевича, где им была произнесена фраза о том, что чем старше он становится, тем больше и больше оценивает ту огромную роль и то влияние, которое оказали на него его учителя. Так что, наверное, я могу считать себя учеником Андрея Николаевича не только по части постановки научных задач, но и по этой философии. Я тоже чувствую, что чем старше я становлюсь, а, к сожалению, я становлюсь всё старше и старше, тем яснее понимаю и больше ценю всё то, что вложил в меня Андрей Николаевич.

Теперь — с самого начала. Меня часто спрашивают, почему я выбрал физический факультет МГУ. Могу сейчас твердо сказать, что поступил на физфак, желая быть учеником Андрея Николаевича. И дело объясняется очень просто. Мой отец, преподаватель математики, знал Андрея Николаевича по совместной работе в так называемой Промакадемии ВСНХ СССР им. И. В. Сталина (была такая академия).

И вот в 1945 году, после окончания школы, отец сказал мне примерно следующие слова: “Я знаю, что ты хочешь стать математиком. Но для того, чтобы получать глубокие результаты по чистой математике, нужно иметь весьма специфические способности; неизвестно, есть ли они у тебя. Поэтому мой тебе совет: поступай-ка ты на физический факультет МГУ, где кафедрой математики заведует выдающийся математик Андрей Николаевич Тихонов. И если он тебя возьмет, то ты сможешь у него заниматься и чистой математикой, если окажешься к этому способным. Но в любом случае ты сделаешь какую-нибудь интересную прикладную задачу”.

Вот так я стал студентом физического факультета. Ну, разумеется, уже на 3-м курсе я пришел на кафедру математики. Андрей Николаевич предложил мне и моим двум однокурсникам, Алексею Георгиевичу Свешникову и Дмитрию Николаевичу Четаеву, прочитать только что вышедшую тогда его статью, совместную с Александром Андреевичем Самарским, посвященную возбуждению радиоволноводов.

После прочтения каждому из нас была поставлена тема для самостоятельной научной работы. До сих пор удивляюсь, каким образом Андрей Николаевич выбрал для меня именно такую задачу, которая оптимально отвечала моим вкусам и моим возможностям. Мне была поставлена задача исследовать сходимость так называемых билинейных рядов, в числителе которых стоит произведение двух собственных функций, а в знаменателе — собственное значение, вообще говоря, в произвольной степени.

В работе Тихонова и Самарского, которая была нам дана, как раз использовались эти ряды для представления функции Грина для уравнения теплопроводности. При этом Андрей Николаевич сказал мне следующее:

“В известной книге Куранта и Гильберта, в 15-м параграфе, имеются следующие результаты: там изучается в прямоугольнике этот самый билинейный ряд со степенью собственного значения в знаменателе равной единице. Курант и Гильберт строят функцию Грина для оператора Лапласа в прямоугольнике в виде вот этого билинейного ряда. Но, — продолжал Андрей Николаевич, — там написаны странные вещи. Там говорится, что этот ряд сходится абсолютно и равномерно всюду в прямоугольнике, за исключением сколь угодно малой окрестности источника, т. е. когда расстояние между точками Р и Q больше некоторого положительного числа. Знаете, Володя, у меня это вызывает сомнение. Разберитесь, пожалуйста, в этом”.

Вот так появилась моя первая научная работа. Для того чтобы показать, что это утверждение из книги Куранта и Гильберта является ошибочным, достаточно было доказать, что этот ряд не сходится абсолютно хотя бы в одной паре не равных друг другу внутренних точек Р и Q прямоугольника. Но мне удалось доказать сразу, что этот ряд не сходится абсолютно ни в одной внутренней точке прямоугольника, а это значит, что речь может идти только об условной сходимости и что перестановкой членов можно заставить этот ряд сходиться к чему угодно.

Однако основной результат этой моей работы заключался в доказательстве следующего утверждения: если суммировать этот ряд и более общий ряд со степенью в знаменателе 1/2 + s, где е > 0, в порядке возрастания соб-

ственных чисел, то этот ряд сходится условно и равномерно всюду в прямоугольнике за исключением как угодно малой окрестности источника. Потом этот результат, конечно, был перенесен с прямоугольника сначала в область, имеющую вид цилиндра, потом в произвольную область.

Так возникла моя первая работа, которая была опубликована в виде двух статей в “Докладах Академии наук”. Она была выполнена на 4-м и в самом начале 5-го курса. И, кроме того, Андрей Николаевич поставил мой доклад на Московском математическом обществе, который я сделал также в студенческие годы.

Чтобы сократить дальнейшее изложение, скажу, что, конечно, после этого я был рекомендован в аспирантуру. В 1950 году я окончил университет и стал аспирантом Андрея Николаевича. И здесь Андрей Николаевич обратился ко мне с предложением: “Давайте, Володя, попробуем заниматься прикладными задачами”. И дал мне задачу о дифракции электромагнитных волн на клине.

Клин — это, по существу, двугранный угол. Вначале у меня не шло дело, так как Андрей Николаевич не оговорил, на каком клине рассматривается дифракция. Если считать клин хорошо проводящим, задача сильно упрощается. А при рассмотрении произвольного клина приходится решать сложную задачу на сопряжение. Одно уравнение рассматривается внутри клина, другое — вне его.

Потом, буквально через короткое время, в руки Андрея Николаевича попала докторская диссертация ученика Михаила Александровича Леонтовича — Георгия Даниловича Малюжинца. В этой докторской диссертации рассматривалась дифракция электромагнитных волн как раз на хорошо проводящем клине. В это время уже были очень модны приближенные краевые условия Леонтовича, позволяющие решать только внешнюю задачу и ставить на поверхности проводника и диэлектрика приближенные краевые условия: типа условий 3-го рода с малым параметром.

Вот Малюжинец так и поступил. Ставил эти условия на плоскостях двугранного угла, а на ребре — не ставил. И вот почему. В работе М. А. Леонтовича при выводе приближенных краевых условий было четко сказано, что эти условия имеют место в окрестности только той точки поверхности, где эта поверхность гладкая и имеет непрерывную кривизну. А у клина, как понимаете, есть ребро, поэтому Малюжинец никаких условий на этом ребре не ставил. Ставил краевые условия типа Леонтовича на гранях и получал некое решение.

И вот Андрей Николаевич обратился ко мне с предложением дать строгое математическое решение этой задачи. “С чем вы можете встретиться? -сказал он мне. — Ваша работа может оказаться строгим математическим обоснованием того, что Малюжинец действовал правильно, но может также оказаться и доказательством того, что он действовал неправильно”.

Как видите, свою научную жизнь под руководством Андрея Николаевича я начал с получения негативных результатов. В студенческие годы — ошибка Куранта и Гильберта, а в кандидатской диссертации — доказательство ошибочности докторской диссертации Малюжинца.

Можно вместо двугранного угла рассматривать линейный угол, когда задача двумерна и ничего не зависит от направления, параллельного ребру Я поступил как самый примитивный математик: взял две отличные от вершины угла последовательности точек, — на одной стороне угла и на другой. Между ними загладил этот угол по любой кривой с непрерывной кривизной. Я обомлел, когда мне удалось доказать, что если вы вот так возьмете и загладите этот контур и осуществите просто грамотный предельный переход при п —> оо, то получите, что существует предел, который не зависит от того, по какой кривой вы производите это заглаживание. И я понял, что я на верном пути.

Возникла такая же ситуация, как и при выводе формулы Грина для функции, имеющей особенность в одной точке; и в этом случае, осуществив предельный переход, я показал, что в решении появляется добавочный член, который имеет логарифмическую особенность на этом ребре, а так как другие члены в решении ограничены, то этот найденный добавочный член, производящий учет угловой линии, является превалирующим.

В автореферате моей кандидатской диссертации, по согласованию с Андреем Николаевичем, было сказано, что это обстоятельство не учитывалось рядом авторов. Дальше было написано следующее: “Вследствие этого решение, найденное этими авторами, отличается от правильного результата в окрестности угловых линий на сколь угодно большую величину”.

После защиты я стал работать на кафедре Андрея Николаевича ассистентом. И здесь должен сказать, что Андрей Николаевич предоставил мне полную свободу, сказав: “Володя, у вас успех в задачах с дифракцией и в вашей студенческой теме, выбирайте, чем вам дальше заниматься... ” Ну, и я вернулся к задачам, близким к моей работе студенческих лет".

В. А. Ильин ныне — академик РАН. Первые работы, о которых он рассказал, инициировали многочисленные исследования в области теории разложения по собственным функциям операторов. В. А. Ильину принадлежат выдающиеся достижения по спектральной теории самосопряженных эллиптических операторов и несамосопряжённых дифференциальных операторов, по теории уравнений математической физики в областях с негладкими границами и с разрывными коэффициентами, по задачам дифракции электромагнитных волн, по теории кратных рядов и интегралов Фурье. Заслуженный профессор Московского университета, лауреат Государственной премии и многих других наград, Владимир Александрович в настоящее время заведует кафедрой общей математики на факультете ВМиК, а также работает в Математическом институте им. В. А. Стеклова РАН. Он руководит ведущей научной школой, и среди его учеников много известных ученых. Учеником Владимира Александровича является декан факультета ВМиК Евгений Иванович Моисеев — ныне академик РАН.

В связи с бурным развитием вычислительной математики и компьютерной техники в круг научных интересов Андрея Николаевича Тихонова вошли проблемы, связанные с численным решением сложных прикладных задач. В содружестве с А. А. Самарским им была создана теория однородных разностных схем, предназначенных для решения на ЭВМ широкого класса

задач, определяемого лишь типом дифференциального оператора и краевых условий.

Андрей Николаевич Тихонов является автором одного из наиболее ярких достижений современной науки — создания устойчивого метода решения широкого класса некорректно поставленных задач. Он выделил класс некорректно поставленных задач, названных им “регуляризируемыми”, ввел для этого класса задач понятие регуляризирующего алгоритма и указал эффективные методы построения такого алгоритма, легко реализуемые на ЭВМ. Под руководством Андрея Николаевича этот метод, получивший название “метода регуляризации Тихонова”, был применен для решения большого числа как фундаментальных математических, так и актуальных прикладных задач.

В среде учеников Андрея Николаевича Тихонова всегда царила атмосфера доброжелательства, взаимоуважения и доверия. Он очень гордился своими учениками и радовался, когда слышал похвалы в их адрес.

Директор ИПМ член-корреспондент РАН Юрий Петрович Попов рассказывает [1, с. 133]:

"Припоминается эпизод, показывающий, насколько ответственно Андрей Николаевич относился к делу, которое, на первый взгляд, могло показаться незначительным, но для него это было важным. Дело было в Болгарии, куда на Международную конференцию приехала довольно представительная делегация из Советского Союза. Была там и группа сотрудников из нашего Института прикладной математики во главе с Андреем Николаевичем. Сопровождала его в поездке супруга Наталия Васильевна. Она была по-своему удивительным, уникальным человеком. По её рассказам, в молодости они с Андреем Николаевичем были заядлыми туристами, людьми, охочими до путешествий, до впечатлений от новых мест. Да и в зрелом возрасте она сохраняла это увлечение. Например, участвовала в турпоходе по Алтаю верхом на лошадях.

Наталия Васильевна была любознательным человеком, много читала и хорошо знала особенности и историю тех мест, куда собиралась поехать.

Итак, Болгария, София, конец августа. Конференция закончилась, доклады сделаны. У Андрея Николаевича и Наталии Васильевны на руках авиабилеты в Москву. А часть нашей ИПМовской группы должна была отправиться на другую конференцию, открытие которой было запланировано в Варне на 1 сентября. Варна в это время — это море, теплая погода, бархатный сезон и прочие прелести южного курортного иностранного города. Наталия Васильевна стала агитировать Андрея Николаевича тоже поехать в Варну, где она еще не бывала.

На что Андрей Николаевич, который никогда не повышал голос, а в случае крайнего неудовольствия ограничивался какими-то пыхтящими звуками типа “фу-фу-фу”, издал эти звуки и сказал: “Наташенька, ну как же мы можем поехать! Ведь 1 сентября я должен выступать на факультете перед студентами 1-го курса”.

Во время своего деканства он каждый год неукоснительно делал это. Казалось бы, не такое уж крупное событие; ну, выступит, в конце концов, перед

студентами заместитель декана. Однако Андрей Николаевич считал для себя принципиально важным обратиться к первокурсникам самому и, не задумываясь, пожертвовал интересной и приятной поездкой".

Завершить статью нам хотелось бы отрывком из воспоминаний профессора МИФИ Константина Владимировича Брушлинского [1, с. 133], который характеризует Андрея Николаевича Тихонова как незаурядного вузовского профессора:

"Научные успехи А. Н. Тихонова тесно связаны с его выдающейся педагогической деятельностью, которая не прерывалась всю жизнь со дня окончания Московского университета в 1927 году. В тридцатилетнем возрасте он стал профессором МГУ и вскоре возглавил кафедру высшей математики на физическом факультете. Здесь был создан и многократно прочитан новый курс лекций по уравнениям математической физики, ставший необходимым элементом высшего технического образования в нашей стране. Он существует и доступен сегодня не только в воспоминаниях, но и благодаря одному из лучших учебников на эту тему, написанному А. Н. Тихоновым и А. А. Самарским и выдержавшему семь изданий с 1951 по 2004 год.

Более того, мне представляется, что А. Н. Тихоновым заложены основы и принципы современного преподавания математики студентам физических и инженерных специальностей, воплотившиеся во многих университетах и вузах нашей страны. Поэтому не случайно в 1945 году, когда в Московском механическом институте (ныне МИФИ) для подготовки специалистов высокого уровня в области оборонных задач ядерной физики был открыт новый инженерно-физический факультет, именно А. Н. Тихонову было поручено организовать там кафедру высшей математики, соответствующую новым требованиям. Его портрет сегодня включен в галерею ученых — основателей института, расположенную в холле главного здания МИФИ, а начатое А. Н. Тихоновым дело в течение многих лет продолжают его последователи и ученики...

Отношение А. Н. Тихонова к педагогической работе характеризует эпизод, запомнившийся мне из раннего периода существования ИПМ. Один из молодых в ту пору сотрудников был приглашен преподавать по совместительству в МГУ. Разрешение на совместительство следовало получить в Президиуме АН СССР по запросу дирекции института. Инициировать такой запрос А. Н. Тихонов, тогда заместитель директора ИПМ, без колебаний согласился и при этом с улыбкой добавил: “Не преподавать — безнравственно!”

Рекомендуем читателям познакомиться с недавно вышедшими из печати книгами [1, 2], на которые мы постоянно ссылались.

ЛИТЕРАТУРА

1. Андрей Николаевич Тихонов. — М.: Изд-во “Собрание”, 2006. 240 с.

2. Избранные труды А.Н.Тихонова. — М.: МАКС Пресс, 2001. 485с.

TO THE CENTENNIAL OF MATHEMATICIAN, ACADEMICIAN, PROFESSOR OF MOSCOW UNIVERSITY A. N. TIKHONOV

V. P. Savelyev

“A. N. Tikhonov and high school” is a topic of the article that commemorates the centennial of Russian academician Andrey Tikhonov.

Keywords: history of mathematics, prominent figures, Andrey Tikhonov.

НОВАЯ УЧЕБНАЯ ЛИТЕРАТУРА ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ВУЗОВ

Свешников А. А. Прикладные методы теории марковских процессов: Уч. пособие. 1-е изд. — СПб.: Лань, 2007. 192с.

Книга известного российского ученого сочетает в себе черты учебного пособия и монографии. Может служить для первоначального изучения прикладной теории марковских процессов. Содержит систематическое изложение её основных аналитических методов и описание методики их применения к решению конкретных задач из области естествознания и техники. Рассмотрен ряд вопросов, недостаточно освещенных в специальной литературе (случай существенных нелинейностей, задачи о выбросах, задачи условных марковских процессов и др.). Содержание иллюстрируется большим числом примеров и задач. Книга продолжает известное пособие автора по общей теории случайных функций, переведенное на несколько иностранных языков.

Рассчитана на аспирантов, студентов старших курсов, научных и инженерно-технических работников.

Предисловие редактора

Публикуемая сейчас книга написана одним из ведущих отечественных специалистов в области прикладных методов теории вероятностей. Её автор, заслуженный деятель науки и техники РСФСР, доктор технических наук, профессор Арам Арутюнович Свешников (1911-1979) выпустил в свет несколько монографий и учебных пособий, получивших широкое признание читателей и разошедшихся многотысячными тиражами как у нас в стране, так и за рубежом. Несмотря на десятилетия, прошедшие с момента их написания, эти книги и по сей день сохраняют актуальность, остаются востребованными студентами вузов, инженерными и научно-техническими работниками. Предлагаемая читателю ранее не публиковавшаяся книга А. А. Свешникова, на наш взгляд, является ценным и полезным дополнением уже известного ранее научно-педагогического наследия ученого.

Предлагаемое пособие по теории марковских процессов создавалось в заключительный период педагогической деятельности А. А. Свешникова, относящейся к политехническому институту. Круг его научных интересов и научной деятельности на кафедре был весьма широк, однако неизменно одним из основных, приоритетных направлений оставались приложения теории марковских процессов. Основное внимание уделялось двум классам задач: 1) задачам о невыходе и достижении границы; 2) существенно нелинейным задачам.

По первому направлению Свешниковым был получен ряд важных прикладных результатов, часть которых была включена в настоящее пособие. Второе направление чисто математически является более сложным и намечено в пособии лишь конспективно. Арам Арутюнович предложил весьма перспективный метод исследования существенно нелинейных систем, основанный на переходе к уравнению Пугачева, которое с помощью особых приемов преобразовывалось им к форме сингулярного интегро-дифференциального уравнения. Впоследствии этим методом удалось аналитически решить ряд практически интересных стохастических задач.

Ученый успел написать полный рукописный текст своей последней книги, отметить в рукописи ряд необходимых доработок и исправлений, однако ему не хватило времени на переписку и окончательное редактирование текста. Рукопись была передана одному из ближайших учеников А. Н. Незлобину, который продолжал читать данный курс после А. А. Свешникова в течение почти четверти века. После смерти А. Н. Незлобина, последовавшей в 2005 году, было принято решение издать, наконец, эту нужную и полезную книгу. Научное редактирование и подготовка текста были возложены на автора этих строк.

Материал, посвященный теории марковских процессов, впервые появился во втором издании монографии. Публикуемая сейчас новая книга А. А. Свешникова существенно отличается от соответствующей главы этой монографии. Прежде всего, значительно увеличен её объем (в 4-5 раз). Добавлены разделы, посвященные стохастическому интегрированию и стохастическим дифференциальным уравнениям. Всё изложение последовательно ведется на основе интеграла Стратоновича. Подробно обсуждается решение уравнения Колмогорова с разрывными и негладкими коэффициентами, а также случай вырожденной матрицы диффузии. Существенно дополнен раздел, посвященный теории выбросов марковских процессов.

Из всего сказанного следует, что предлагаемая книга будет полезна широкому кругу читателей и как учебное пособие, и как прикладное руководство для инженера или исследователя. В книге дается доступное, но достаточно строгое изложение теории марковских процессов, имеющее прикладную направленность и рассчитанное на минимально возможный для данного класса задач уровень предварительной математической подготовки читателя.

О. И. Заяц

Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций: Уч. пособие. 3-е изд. Под ред. А. А. Свешникова. — СПб.: Лань, 2007. 448с.

Сборник охватывает все основные разделы теории вероятностей, встречающиеся при решении практических вопросов, связанных с автоматическим управлением, обработкой опытных данных, установлением их точности и т. д. Задачи снабжены ответами, а в отдельных случаях указаниями к решению. В конце задачника приложены краткие таблицы для вероятностных расчетов, необходимые при решении ряда задач. Учебное пособие предназначено для студентов, специализирующихся в области прикладной математики, а также экономики, финансов, информационной безопасности, математической экономики, кибернетики и т. д.

Предисловие к третьему изданию

Данное издание отличается от предыдущего в ряде отношений. Во-первых, из задачника исключены параграфы, сравнительно мало используемые при чтении общего курса теории вероятностей в высших технических учебных заведениях: энтропия и информация, метод огибающих, вопросы контроля качества. Включены некоторые новые вопросы (проверка статистических гипотез, случайные последовательности и некоторые другие).

Во-вторых, в целях сокращения объема, исключены решения типовых примеров, полезные при изучении теории вероятностей в порядке самообразования, но не являющиеся необходимыми при использовании задачника как учебного пособия в высшей школе.

Наконец, весь текст задачника просмотрен, внесено некоторое количество новых задач, показавшихся интересными его авторам, а вводные части перед каждым параграфом, по возможности, освобождены от объяснений и определений, которые читатель может найти в соответствующей учебной литературе.

В остальном целевая направленность и содержание задачника остались без изменения. Поэтому во многих случаях авторы формулировали задачи в том виде, как они возникают в различных приложениях, считая, что математические предпосылки, необходимые для решения подобных задач, должны быть сделаны читателем на основании физического существа задач. Например, говоря о сигналах малой длительности, предполагается, что при решении можно считать длительность сигналов бесконечно малой; в задачах, в которых речь идет об ошибках округления (например, задача 12.11), предполагается, что ошибки подчиняются равномерному закону распределения; в ряде задач применяется понятие выбора “наудачу”, поскольку математическая нечеткость этого термина не может вызвать недоразумения, а более корректная формулировка этих задач приводит к исчезновению задачи в том виде, в каком она обычно возникает на практике.

Подобная формулировка задач представляется авторам не только целесообразной, но и совершенно необходимой для задачника, предназначенного для изучения прикладной теории вероятностей, поскольку основная трудность обычно возникает не в усвоении чисто математического содержания соответствующих разделов теории, а в умении ставить конкретную прикладную задачу как задачу теории вероятностей.

При переработке задачника перед его авторами возникли трудности, связанные с согласованием обозначений и трактовки отдельных вопросов теории с учебной литературой, используемой в высших технических учебных заведениях, поскольку единого учебника, охватывающего всё содержание задачника, не существует, а в разных учебниках и учебных пособиях используются и различные обозначения, и различный метод изложения.

Если, например, при первом издании задачника классический подход к определению вероятности и соответствующая символика для учебной литературы указанного типа была общепринятой, то в настоящее время теоретико-множественное определение вероятности и соответствующая символика начали уже проникать и во втузовскую учебную литературу, хотя “классическое” изложение теории вероятностей пока и является доминирующим.

В этом вопросе авторы сочли целесообразным пойти на компромисс, отразив в известной мере во вводных частях современную аксиоматику теории вероятностей, оставаясь в остальном в рамках обозначений и определений, являющихся пока наиболее распространенными во втузовской учебной литературе. Подобный подход представляется наиболее целесообразным, поскольку для читателей, владеющих теоретико-множественным построением теории вероятностей, при использовании задачника не могут возникнуть какие-либо трудности.

Компромиссным в задачнике является и решение вопроса о терминологии, поскольку в литературе применяется различная терминология, с которой должен быть знаком изучающий теорию вероятностей, в задачнике для обозначения одного понятия часто используются параллельно различные термины: элементарные события и элементарные исходы, корреляционная функция и автокорреляционная функция, вариационный ряд и упорядоченная выборка, разряды и интервалы и т. д.

Больших трудов стоило авторам приблизить разделы, посвященные математической статистике, к её современному уровню. В первых изданиях задачника авторы сознательно не выходили за рамки наиболее распространенных учебников для технических учебных заведений, в которых математической статистике уделяется незначительное внимание и обходится ряд тонкостей. Это неизбежно приводило к математической некорректности решения ряда задач. В настоящем издании сделана попытка несколько выйти за рамки указанной учебной литературы: авторы попытались внести известную ясность в такие вопросы, как получение оценок параметров, критерии согласия, проверка статистических гипотез и т. п.

Однако и в задачах, посвященных математической статистике, авторы считали необходимым формулировать условия задач так, как они возникают на практике, а не в форме схематизированных математических задач. Это относится, прежде всего, к тому, что результаты, с которыми на практике приходится иметь дело, всегда округлены и, строго говоря, представляют группированную выборку. Поэтому обработка этих результатов так, как это рекомендуется математической статистикой для негруппированных выборок (например, при применении критериев согласия), является математически некорректным, хотя практически обычно вынужденно и делается. Авторы сочли целесообразным оставить задачи подобного типа, дав в сводках формул необходимые комментарии. Подобный образ действия представляется авторам не только единственно возможным, если стремиться приучить пользоваться методами математической статистики в реальных ситуациях, но и оправданным рядом общих соображений. Дело в том, что реальная ценность применения статистических методов состоит в получении сравнительных результатов, а в этом случае обычно не является существенным точное знание таких параметров как, например, уровень значимости, а существенным является единый подход к вопросу при сходных ситуациях.

Авторы надеются, что предлагаемая книга поможет изучающим теорию вероятностей приобрести навыки её применения к решению различных прикладных вопросов.

Авторы благодарны всем лицам, сообщившим свои замечания по предыдущим изданиям задачника, а также всем лицам, принимавшим участие в обсуждении рукописи.

Математика в высшем образовании

№ 5, 2007

Научно-методический журнал

Свидетельство о регистрации средства массовой информации Министерства РФ по делам печати, телерадиовещания и средств массовых коммуникаций ПИ № 77-15825 от 07 июля 2003 г.

ISSN 1729-5440

Редактор Е.В. Тамберг

Технический редактор и компьютерная верстка Л.Р. Семенова Оригинал-макет подготовлен с использованием пакета lATgX

Подписано в печать 05.06.2007 г. Формат 60x84 1/8. Бумага офсетная. Гарнитура Computer Modern. Печать офсетная. Усл. печ. л. 15,6.

Уч.-изд. л. 14. Тираж 600 экз. Заказ №941

Издательство Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского, 603950, Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23.

Адрес редакции: 603950, Нижний Новгород, проспект Гагарина, 23, Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского, корпус 2, к. 216. Тел.: (8312) 65-85-10; (8312) 65-78-83; факс: (8312) 65-85-92 e-mail: appmath@vmk.unn.ru http://www.unn.ru/math

Типография Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского, 603000, Нижний Новгород, ул. Большая Покровская, 37. Лиц. ПД№ 18-099 ot04.05.2001

Индекс 87966

ISSN 1729-5440 Математика в высшем образовании, 2007, №5