ISSN 1729-5440

МАТЕМАТИКА В ВЫСШЕМ ОБРАЗОВАНИИ

4

2006

НАУЧНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ СОВЕТ ПО МАТЕМАТИКЕ МИНИСТЕРСТВА ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Н.И. ЛОБАЧЕВСКОГО

НИЖЕГОРОДСКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЩЕСТВО

МАТЕМАТИКА В ВЫСШЕМ ОБРАЗОВАНИИ

4

2006

Научно-методический журнал

Нижний Новгород

Издательство Нижегородского государственного университета

Редакционная коллегия

И.С. Емельянова (главный редактор) М.В. Долов, Г.М. Жислин, Т.А. Иванова (зам. главного редактора), В.А. Ильин, Ю.Л. Кетков, Л.Д. Кудрявцев, М.И. Кузнецов, А.В. Латышев, Г.Л. Луканкин, Н.И. Мерлина, В.И. Михеев, Е.И. Моисеев, А.Д. Мышкис, Е.Н. Перевощикова, Н.Х. Розов, В.А. Садовничий, Г.И. Саранцев, Р.Г. Стронгин, С.Н. Слугин, М.А. Федоткин

При перепечатке, переводе на иностранный язык, а также при ином использовании оригинальных материалов журнала ссылки на “Математика в высшем образовании” обязательны

Журнал издается при финансовой поддержке Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского

Адрес редакции: 603950, Нижний Новгород, проспект Гагарина, 23, корпус 2, к. 216. Тел.(8312) 65-78-83; e-mail: appmath@vmk.unn.ru http://www.unn.ru/math

© Математика в высшем образовании, 2006

Mathematics Science and Methods Council of Russian Ministry of Education

Federal Education Agency

Nizhny Novgorod State University

Nizhny Novgorod Mathematics Society

MATHEMATICS

in Higher Education

4

2006

Academic Journal

Nizhny Novgorod

Nizhny Novgorod State University Press

Editorial Board

I. S. Yemelyanova (Editor-in-Chief), M.V.Dolov, G.M. Zhislin, T.A. Ivanova (Editor), V.A. Ilyin, Y.L. Ketkov, L.D. Kudryavtsev, M.I. Kuznetsov, A.V.Latyshev, G.L. Lukankin, N.I. Merlina, V.I. Miheev, E.I. Moiseev, A.D. Myshkis, E.N. Perevoshikova, N.Kh. Rozov, V.A. Sadovnichii, G.I. Sarantsev, R.G. Strongin, S.N. Slugin, M.A. Fedotkin

No reprint or any use of the material is allowed without reference to “Mathematics in Higher Education ”

The journal is published with financial support of Nizhny Novgorod State University.

Editorial Office Address: Nizhny Novgorod State University Nizhny Novgorod, 603950, Gagarin avenue 23, building 2, office 216 Russia

Tel: (8312) 65-78-83 e-mail: appmath@vmk.unn.ru http://www.unn.ru /math

© Mathematics in Higher Education, 2006

СОДЕРЖАНИЕ

Содержание и технологии математического образования в вузе

Белов Ю. А., Кузнецова В. А. К вопросу о геометрическом образовании математиков в классических университетах........................ 9

Гаврилов В. П., Луканкин Г. Л., Субботин А. В. Жемчужины, которые мы можем потерять............................................... 15

Посицельская Л. Н., Злобина С. В. Система задач для дисциплины “Теория игр и исследование операций”................................. 27

Русаков А.А., Чубариков В.Н. О двух подходах к обоснованию вещественных чисел...................................................... 37

Слугин С. Н., Кротова В. С. Вариант обоснования некоторых утверждений теории рядов и несобственных интегралов.................45

Математика для специалистов различного профиля

Зимина О. В. Проблемное обучение высшей математике в технических вузах.............................................................. 55

История математики, персоналии

Полотовский Г. М. Как изучалась биография Н. И. Лобачевского (К 150-летию со дня смерти Н. И. Лобачевского)...................... 79

Розов Н. Х. Две задачи А. О. Гельфонда..................................89

Архив научно-методической литературы по математике в России

Крылов А. Н. Значение математики для кораблестроения................93

Мышкис А. Д. В связи с фрагментом “Значение математики для кораблестроения” книги А. Н. Крылова “Мои воспоминания”........... 105

Новая учебная литература по математике для вузов

Ибрагимов Н. Х. (Швеция) Практический курс дифференциальных уравнений и математического моделирования........................ 109

Ушаков В.Г. Рецензия на учебник М. А. Федоткина “Основы прикладной теории вероятностей и статистики”.......................... 125

Хроника деятельности Нижегородского университета и Нижегородского математического общества

Ковалева Т. И. Нижегородскому государственному университету им. Н. И. Лобачевского — 90 лет...................................... 129

Полотовский Г. М. Нижегородское математическое общество — 11 лет деятельности .................................................. 135

CONTENTS

Introduction................................................................ 7

Subjects and Technologies of Mathematical Education at University

Belov Yu. A., Kuznetzova V. A. On Geometrical Education of University Mathematicians.......................................................... 9

Gavrilov V. I., Lukankin G. L., Subbotin A. V. Richness of Mathematics that May be Lost....................................................... 15

Positselskaya L. N., Zlobina S. V. The System of Exercises for Discipline

“The Theory of Games and Operations Research”........................ 27

Rusakov А.А., Chubarikov V.N. On Substantiation of Theory of Real Numbers................................................................ 37

Slughin S. N., Krotova V. S. A Modification of Proof for Some Theorems in Theory of Series and Improper Integrals..............................45

Mathematics for Specialists of Different Types

Zimina О. V. The Problem-Oriented Mathematical Education in Technical Universities........................................................ 55

The History of Mathematics. The Prominent Figures

Polotovskiy G. M. How did Lobachevsky's Biography Study (to the 150 Anniversary from the Date of N. I. Lobachevsky's Death)............ 79

Rozov N. Kh. Two Problems of A. O. Gelfond...............................89

Archives of Reference Books on Mathematics in Russia

Krylov A. N. Significance of Mathematics for Shipbuilding..................93

Myshkis A.D. In Connection with the Fragment “Significance of Mathematics for Shipbuilding” of A. N. Krylov's Book “My Memoirs”......... 105

New Reference Books on Teaching Mathematics for Universities

Ibragimov N. H. A Practical Course in Differential Equations and Mathematical Modelling............................................... 109

Ushakov V. G. Review of M. A. Fedotkin's Textbook "The Basics of Applied Probability Theory and Statistics"............................. 125

Minutes of Nizhny Novgorod State University and Nizhny Novgorod Mathematical Society

Kovalyova Т. I. 90 Years Anniversary of Nizhny Novgorod State University.................................................................... 129

Polotovskiy G.M. 11 Years since Nizhny Novgorod Mathematical Society's Foundation....................................................... 135

ПРЕДИСЛОВИЕ

Четвертый номер журнала “Математика в высшем образовании” открывает раздел “Содержание и технологии математического образования в вузе”. Авторы статьи “К вопросу о геометрическом образовании математиков в классических университетах” Юрий Анатольевич Белов и Валентина Анатольевна Кузнецова (Ярославский государственный университет им. П.Г.Демидова) вносят конструктивное предложение по улучшению действующего Государственного стандарта по математике для вузов. Изучение геометрии “растворено” в Госстандарте в виде отдельных тем и вопросов в курсах алгебры, анализа и дискретной математики. По убеждению авторов разумно ввести отдельный курс “Геометрия” при сохранении общего объема Госстандарта.

Следующие статьи представили знакомые нашим читателям коллективы авторов: Валериан Иванович Гаврилов, Алексей Владимирович Субботин (МГУ им. М.В.Ломоносова) и Геннадий Лаврович Луканкин (Московский государственный областной университет), озаглавившие свою статью “Жемчужины, которые мы можем потерять”, и Сергей Николаевич Слугин в соавторстве с Валентиной Сергеевной Кротовой (Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского, статья “Вариант обоснования некоторых утверждений теории рядов и несобственных интегралов”). Они делятся опытом преподавания математического анализа. По отзывам читателей мы знаем, что статьи этой тематики с благодарностью воспринимаются преподавателями и помогают им обновить читаемые курсы, увидеть новые грани в привычном лекционном материале.

Впервые в нашем журнале читатель познакомится с учебно-методическими материалами по теории игр и исследованию операций и по теории чисел (статьи “Система задач для дисциплины ”Теория игр и исследование операций“ Любови Наумовны Посицельской (Московский государственный социально-гуманитарный институт) и Светланы Васильевны Злобиной (Брянский государственный университет) и “О двух подходах к обоснованию вещественных чисел” Александра Александровича Русакова и Владимира Николаевича Чубарикова (МГУ им. М. В. Ломоносова)).

В разделе “Математика для специалистов различного профиля” опубликована статья Ольги Всеволодовны Зиминой (Московский энергетический институт) “Проблемное обучение высшей математике в технических вузах”, в которой содержится краткий экскурс в историю проблемного обучения, обсуждаются его психолого-педагогические основы и этапы реализации этого метода активизации процесса обучения. Приводятся примеры использования проблемных ситуаций в курсе высшей математики. Особое внимание обращается на проблемно-ориентированное обучение студентов с применением компьютеров.

К 150-летию со дня смерти Николая Ивановича Лобачевского приурочена статья Григория Михайловича Полотовского (Нижегородский государственный университет) “Как изучалась биография Н.И. Лобачевского”, помещенная в рубрике “История математики, персоналии”. В публикациях о научной биографии Н. И. Лобачевского до сих пор нередки ошибки и мифы. В каком году и где родился будущий великий математик? Что известно о его родителях? Почему на памятнике создателю неевклидовой геометрии перед Казанским университетом и на могильном памятнике в Казани не указана дата рождения? Почему в Интернете помещают портрет с подписью “Н. И. Лобачевский”, на котором изображен другой человек? Приведенные в статье факты — труд изысканий замечательных математиков, физиков, историков, литературоведов, музейных работников, раскрывших некоторые загадки биографии Н.И. Лобачевского. Этот материал не может не заинтересовать читателя.

В разделе “История математики, персоналии” помещена также заметка Николая Христовича Розова (МГУ им. М.В.Ломоносова), посвященная 100-летнему юбилею замечательного советского математика Александра Осиповича Гельфонда и приведено содержание ранее не публиковавшейся рукописи А. О. Гельфонда с изложением двух математических задач.

Раздел “Архив научно-методической литературы по математике в России” содержит отрывок “Значение математики для кораблестроения” из великолепной книги “Мои воспоминания” академика Алексея Николаевича Крылова (1863-1945) — основоположника современной теории корабля. А. Н. Крылов — автор оригинальных и глубоких трудов по различным вопросам математики, физики и астрономии, многих изобретений, которым присвоено его имя. До сих пор большой популярностью пользуются учебники А. Н. Крылова по теории корабля, теоретической механике, дифференциальному и интегральному исчислениям. Мы признательны Анатолию Дмитриевичу Мышкису (Московский государственный университет путей сообщения), который поделился своим мнением о выбранном нами фрагменте книги А. Н. Крылова. “Примечание” А. Д. Мышкиса к отрывку из книги А. Н. Крылова — сама по себе замечательная статья мудрого и многоопытного профессора технического вуза. Отметим мысль А. Д. Мышкиса: “Надо стремиться к тому, чтобы переход от математики, изучаемой в математических курсах, к математике, применяемой в общетехнических и специальных дисциплинах, не требовал коренной ломки приобретенных знаний и навыков”.

В традиционном разделе журнала “Новая учебная литература по математике для вузов” мы решили познакомить читателя с двумя новыми учебниками. Это “Практический курс дифференциальных уравнений и математического моделирования” Наиля Хайрулловича Ибрагимова (Технологический институт, Карлскрона, Швеция) и учебник Михаила Андреевича Федоткина (Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского) “Основы прикладной теории вероятностей и статистики”. Учебник Н. Х. Ибрагимова имеет подзаголовок: “Классические и новые методы, нелинейные математические модели, симметрия и принципы инвариантности”. Это первый учебник для вузов по обыкновенным дифференциальным уравнениям и уравнениям в частных производных, содержащий классические и теоретико-групповые методы решения линейных и нелинейных уравнений. Учебник М. А. Федоткина примечателен тем, что, как отмечает рецензент книги В. Г. Ушаков (МГУ им. М.В.Ломоносова), “материал... учитывает средний уровень математической подготовки студента и его запросы прикладного характера”. Полно и строго доказывается часть включенных в книгу утверждений, а в случае более сложных и тонких результатов даются точные формулировки и ссылки на литературные источники.

У нашего журнала три учредителя: Научно-методический совет по математике Министерства образования и науки РФ (НМС), Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского (ННГУ) и Нижегородское математическое общество. Деятельности НМС посвящен материал, опубликованный во втором номере нашего журнала. Журнал, который Вы держите в руках, познакомит Вас с ННГУ — университетом, отмечающим в этом году свое 90-летие, и Нижегородским математическим обществом.

Дорогие читатели! Мы искренне надеемся, что Вы будете воспринимать наш журнал как свой, делиться с нами своим опытом преподавания вузовской математики и использовать опыт коллег в своей работе, а тем, кто изучает математику, желаем успешного творческого освоения знаний.

Главный редактор профессор И. С. Емельянова

СОДЕРЖАНИЕ И ТЕХНОЛОГИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ В ВУЗЕ

УДК 51:37

К ВОПРОСУ О ГЕОМЕТРИЧЕСКОМ ОБРАЗОВАНИИ МАТЕМАТИКОВ В КЛАССИЧЕСКИХ УНИВЕРСИТЕТАХ

Ю. А. Белов, В. А. Кузнецова

Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова, Россия, 150000, г. Ярославль, ул. Советская, 14;

тел. : (0852) 2224 56; факс: (0852) 225232 e-mail: belov@uniyar.ac.ru vskuzn@uniyar.ac.ru

Предлагается внести изменения в содержание и структуру действующего Государственного стандарта по математике для вузов, выделив новый курс “Геометрия” при условии сохранения общего объема Госстандарта.

Ключевые слова Государственный стандарт по математике, геометрия в вузе.

Классическое математическое образование традиционно базировалось на трех основных логических линиях — алгебра, геометрия и математический анализ. В последние десятилетия оформляется четвертая линия, связанная с дискретной математикой. Исторически роль этих ветвей в математике и её преподавании динамически меняется. Имеется объективная тенденция взаимного обогащения и проникновения методов этих областей друг в друга, но она не отменяет принципиального своеобразия объектов исследований в этих областях и качественных различий в постановках проблем. В связи с этим необходимо, чтобы Государственный стандарт адекватно выражал это единство и своеобразие, что должно находить отражение как в содержании, так и в структуре этого документа.

В действующем в настоящее время Госстандарте второго поколения нет основного курса “Геометрия” и заметная часть геометрической проблематики изложена в виде отдельных вопросов и тем в различных курсах. Напомним, что и по анализу, и по алгебре, и по дискретной математике в Госстандарте предусмотрены и основные дисциплины, и набор сопутствующих курсов. Опираясь на текст Госстандарта, раскроем эти замечания более подробно. Для этого сначала приведем отдельные фрагменты программ соответствующих курсов и затем прокомментируем их.

В конце программы курса “Алгебра” (А), общий объем которого 250 часов, перечислены следующие геометрические темы: “аффинные системы координат, линейные многообразия, их взаимное расположение, квадрики (гиперповерхности второго порядка), их аффинная и метрическая классификация и геометрические свойства”. Имеются также темы “примеры групп преобразований, группа движений и группа аффинных преобразований, классификация движений плоскости и трехмерного пространства”. Отмеченные вопросы составляют приблизительно 1/7 часть общего объёма курса.

В программе дисциплины “Линейная алгебра и геометрия” (ЛАГ 210 час.) около четверти — геометрические вопросы, включающие в том числе следующие: “аффинные (точечные) пространства, классификация движений, теоретико-групповая точка зрения на геометрию, аффинная и евклидова геометрия, квадрики (гиперповерхности второго порядка в аффинном пространстве), классификация квадрик в аффинной и евклидовой геометрии, проективное пространство произвольной размерности, различные модели: однородные координаты; аффинные карты проективного пространства; проективные преобразования и проективная группа; квадрики в проективном пространстве, их квалификация” (так в тексте, но, по-видимому, — классификация).

В программу курса дифференциальной геометрии включены вопросы, не относящиеся к данному предмету и мало связанные друг с другом: “многомерные геометрические объекты: проективное пространство, аффинная карта проективного пространства, модели проективных пространств малой размерности, метрические группы”.

В программе курса “Аналитическая геометрия” (АГ — 210 часов общей трудоемкости) вновь обнаруживаем: “аффинные преобразования, аффинная классификация поверхностей второго порядка, классификация движений плоскости. Проективная плоскость: пополненная плоскость и связка; однородные координаты, линии второго порядка в однородных координатах; проективные системы координат; проективные системы преобразования (так в тексте!); проективная классификация линий второго порядка”.

Переходя к обсуждению обозначенных вопросов, отметим, что перечисленные базисные темы располагаются в конце каждой из рассмотренных программ и почти все они являются заголовками больших тем, слабо связанных как между собой, так и с теми курсами, в которых они находятся. Например, в курсе “Линейная алгебра и геометрия”, где на 210 часов общей трудоемкости декларированы около ста вопросов, среди самых последних обозначены такие фундаментальные и объемные темы, как теоретико-групповая точка зрения на геометрию, аффинная и евклидова геометрия и т. д. — всего около 12-15 вопросов. На каждый из них в среднем приходится два часа общей трудоемкости, то есть не более одного часа лекций, что в лучшем случае допускает лишь упоминание об основных понятиях. В действительности же, в силу загруженности дисциплины собственно алгебраическими вопросами, рассмотрение этих “чужеродных” вопросов просто игнорируется.

Аналогична ситуация с представлением геометрии в курсе алгебры, куда включены темы: аффинные системы координат, квадрики (гиперповерхности второго порядка) и т. д. — также порядка 15 вопросов.

Еще одним существенным недостатком Госстандарта является обилие дословных повторов в заголовках геометрических тем в различных дисциплинах. Как видно из приведенных ранее формулировок, например, вопросы “классификация движений плоскости, аффинная классификация поверхностей” и другие указаны в трех курсах: А, АГ, ЛАГ. Такие повторы обедняют и без того куцее геометрическое содержание Госстандарта, но, как

отмечалось выше, их расположение в “чужих” программах не обеспечивает изучение даже этого минимума.

Можно отметить и недопустимую для нормативного документа небрежность некоторых формулировок, например, “проективные системы преобразования” в программе по аналитической геометрии, и отмеченные выше опечатки. Кроме того, разбросанные по различным дисциплинам геометрические вопросы не упорядочены структурно-логически и даны в виде заголовков глобальных тем, реальный объем содержания которых никак далее не уточняется.

Отсутствуют вопросы общей аксиоматики; нет упоминания о неевклидовых геометриях (что предусмотрено даже в средней школе); никак не представлена геометрия n-мерного евклидова пространства (теория многогранников, выпуклый анализ), весьма актуальная как для самой математики, так и для приложений; отсутствует упоминание о важных идеях и методах синтетической, проективной геометрии. Никак не затронуты математические основы начертательной геометрии и теории изображений, существенные в теории машинной графики. Фактически, выпускник университета имеет смутное представление о том, что такое геометрия и каковы её методы. Естественно, что при этом не может быть и речи о таких “приземленных” задачах, как развитие пространственного воображения. Можно сказать, что геометрическая составляющая в Госстандарте представлена гораздо более формально, чем другие направления и в сильно урезанном виде. Грубая прикидка показывает, что всего на геометрию отводится менее 380 часов общей трудоемкости из 3500 часов общепрофессиональных дисциплин.

Не обладая развитой геометрической культурой, выпускники не могут овладеть на необходимом уровне многими алгебраическими и аналитическими конструкциями (это и анализ на многообразиях, и группы Ли, и геометрическая теория функций, и многое другое), поскольку в их основе лежат глубокие геометрические представления.

Ущербность геометрического образования особенно отражается на подготовке в университетах преподавателей средней школы, в то время, как большинство периферийных классических университетов готовит такие кадры.

Заметные трудности испытывает также и выпускник, которому необходимо работать с разнообразными программными средствами, использующими машинную графику — например, с геоинформационными системами, различными системами автоматизированного проектирования и т.п., или, более того, участвовать в их разработке. В Госстандарте, в сущности, проигнорирован геометрический подход как самоценный, самостоятельный. Между тем геометрические методы дают особый инструмент образного описания мира, не сводящийся к аналитическому или символьному.

Авторы неоднократно обсуждали указанные проблемы на различных конференциях [2-5]. В результате этой работы сложилось представление о необходимости, как минимум, введения основного курса “Геометрия” (аналогично трем другим основным направлениям: алгебраическому, аналитическому, дискретной математике). Данный курс предлагается ввести, не от-

меняя существующий курс аналитической геометрии, а только модернизировав его содержание (это отдельная и не такая принципиальная задача). Стремясь не перегружать Госстандарт, предлагается осуществить введение нового курса без ощутимого увеличения общего количества часов общепрофессиональных дисциплин, в основном за счет перераспределения содержания и ликвидации излишних повторов. Из указанных выше курсов (А, АГ, ЛАГ) изымаются все упомянутые выше геометрические вопросы, которые затем дополняются не представленными в ГС направлениями и темами. Кроме того, в курс “Геометрия” предлагается включить всю программу по дифференциальной геометрии, дополненную элементами теории внешних форм. В результате все курсы, из которых производятся изъятия, (кроме отменяемого отдельного курса дифференциальной геометрии), остаются в ГС с минимальным (4-5%) уменьшением объемов.

Предлагаются следующие основные модули вводимого курса геометрии:

1. Аффинная геометрия

25 часов

2. Евклидова геометрия

25 часов

3. Проективная геометрия

20 часов

4. Дифференциальная геометрия

54 часа

5. Общие подходы к классификации различных геометрических систем

30 часов

Ориентировочная общая трудоемкость курса

154 часа

Заметим, что по каждому модулю указано в действительности минимальное количество часов, то есть выполнимость модулей находится на пределе, что допустимо лишь в качестве первого приближения. С учетом этих ограничений в объемах предлагается следующее содержание курса.

ПРОЕКТ ПРОГРАММЫ КУРСА “ГЕОМЕТРИЯ”

Аффинная геометрия

Аффинные пространства. Аффинные системы координат. Аффинные отображения и их свойства: задание, преобразования 1-го и 2-го рода, неподвижные точки подпространства, преобразования т-родства. Гомотетия.

Геометрия линейных многообразий: взаимное расположение пересекающихся и непересекающихся т-плоскостей, размерность пересечения и направляющего подпространства.

Общая теория поверхностей 2-го порядка: пересечение с многообразием и с прямой, касательные многообразия, асимптотические направления. Диаметральные плоскости, главные и особые направления, аффинная классификация.

Евклидова геометрия

Евклидовы пространства. Основные метрические задачи: расстояния и углы между m-плоскостями. Группы движений. Конгруэнтность. Группа подобий.

Выпуклые множества. Теоремы отделимости. Многогранные множества. Многогранники. Примеры многогранников: симплексы и т-параллелепипеды. Правильные многогранники в Е% и их группы симметрий. Теорема Эйлера-Пуанкаре для т-многогранников. Граничный комплекс многогранника. Элементы комбинаторной теории многогранников. Объемы многогранников в Еп.

Проективная геометрия

Проективное пространство. Модели проективных пространств. Проективные координаты. Проективные отображения и их свойства. Группа проективных преобразований. Конфигурационные теоремы в Р2 и Р3. Квадрики в проективных пространствах Р2 и Р3. Проективная классификация кривых 2-го порядка и квадрик. Теоремы Паскаля и Брианшона.

Дифференциальная геометрия

Геометрические объекты: кривые и их способы задания. Кривизна плоских кривых. Пространственные кривые, репер Френе, кривизна и кручение пространственных кривых, формулы Френе. Натуральные уравнения кривой. Эволюта и эвольвента.

Поверхности, способы их задания, координаты на поверхности, касательная плоскость, первая квадратичная форма поверхности. Площадь поверхности, кривизна кривых на поверхности, вторая квадратичная форма и её свойства. Инварианты пары квадратичных форм, средняя и гауссова кривизна поверхности. Деривационные формулы, символы Кристоффеля - Шварца поверхности. Геодезическая кривизна, геодезические и их свойства.

Внешние дифференциальные формы. Общая теорема Стокса.

Общие подходы к классификации различных геометрических систем

Теоретико-групповая точка зрения на геометрию. Геометрии Лобачевского, Римана и Евклида в проективной схеме. Классификация проективных метрик.

Предполагаемые преимущества от введения курса:

Базисные геометрические вопросы сводятся в один курс и реально читаются заинтересованным в нем лектором, отвечающим за качество освоения дисциплины.

Уменьшается разброс объемов дисциплин и количество слишком маленьких курсов, что является одним из недостатков Госстандарта.

Алгебраические курсы обретают большее тематическое единство.

Введение нового курса дает возможность улучшить содержание образования математиков.

Отметим в заключение, что у авторов нет личных или узкокорпоративных интересов в данном вопросе. Мы считаем, что затронутые проблемы достаточно фундаментальны и представляют интерес для всех преподающих математику, независимо от их специальности, и авторы приглашают для обсуждения поднятых вопросов всех заинтересованных лиц.

ЛИТЕРАТУРА

1. Государственный образовательный стандарт высшего профессионального образования. Направление 510100 “Математика”. — Москва, 2000.

2. Белов Ю. А., Кузнецова В. А. О геометрическом образовании будущих преподавателей математики. Всероссийская научная конференция “54-е Герценовские чтения. Проблемы теории и практики обучения математике”. — СПб., 2001. С. 138-139.

3. Белов Ю.А., Кузнецова В.А. Госстандарт и геометрическое образование в университетах (Направление 510100-математика). II Международная конференция “Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Проблемы математического образования”. Москва, 24-26 марта 2003, РУДН. — М.: Физматлит, 2003. С. 260-262.

4. Белов Ю.А., Кузнецова В.А. Совершенствование структуры и содержания Госстандарта по направлению “Математика”. XI Международная конференция “Математика. Компьютер. Образование”. — Дубна, 2004. С. 314.

5. Белов Ю. А., Кузнецова В.А. Предложения по сбалансированию структуры общепрофильной математической компоненты Госстандарта по направлению “Математика”. Сборник материалов выездного заседания НМС по математике Министерства образования и науки РФ. Набережные Челны, 2006, 25-27 января. С. 99.

ON GEOMETRICAL EDUCATION OF UNIVERSITY MATHEMATICIANS

Yu. A. Belov, V. A. Kuznetzova

The article proposes changes in the scope and structure of the Geometry course as part of the present-day State Standard. It is proposed to introduce Geometry into the structure of the State Standard as an entirely new course, while preserving the total volume of the State Standard.

Keywords: State Standard in mathematics, geometry for university

СОДЕРЖАНИЕ И ТЕХНОЛОГИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ В ВУЗЕ

УДК 517.2 + 378.14

ЖЕМЧУЖИНЫ, КОТОРЫЕ МЫ МОЖЕМ ПОТЕРЯТЬ*

В. И. Гаврилов1, Г. Л. Луканкин2, А. В. Субботин1

1 Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, Россия, 119992, г. Москва, Ленинские горы, 1; e-mail: gavrilov@mech. math. msu. su

2 Московский областной государственный университет, Россия, г. Москва; e-mail: alukankin@mtu-net.ru

В статье обсуждаются некоторые ключевые результаты из дифференциального исчисления функций одной и нескольких действительных переменных, которые в современных университетских курсах математического анализа часто излагаются в упрощенных формулировках, несмотря на несложные исходные доказательства.

Ключевые слова: производная, частная производная, дифференцируемость.

1. ВВЕДЕНИЕ

Мы утверждаем, что учебники по различным разделам высшей математики, написанные в XIX-XX вв. выдающимися учеными и педагогами, часто содержат изящный и глубокий по содержанию материал, который по непонятным нам причинам последующими (и современными) авторами либо не включался (и не включается) в свои учебные пособия по теме, либо представлен там в упрощенной форме, несмотря на несложные исходные доказательства. В предлагаемой публикации высказанное утверждение иллюстрируется примерами из математического анализа, связанными со свойством дифференцируемости функций одного и нескольких действительных переменных. Мы убеждены, что перечисление подобных примеров можно продолжить не только в математическом анализе, но и в других математических и близких им дисциплинах, и призываем вузовских и школьных педагогов включиться в такого рода деятельность. Мы предлагаем также редакции уважаемого нами журнала “Математика в высшем образовании” открыть отдельную рубрику для таких публикаций, озаглавив её, например, названием этой статьи.

2. О СВОЙСТВЕ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТИ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО

2.1. Эвристические рассмотрения, приводящие к понятию дифференцируемой функции

Для обоснования тезиса о том, что понятие дифференцируемой функции осознанно возникло у Галилея, рассмотрим прямолинейное движение

* Работа выполнена при частичной финансовой поддержке гранта Президента РФ поддержки ведущих научных школ №НШ 680.2003.1

материальной точки, описываемое в обычной системе координат уравнением s = /(£), где s — координата точки в момент времени t, отсчитываемого от какого-то выбранного начала. Согласно первому закону Ньютона (известному Галилею), если бы начиная с момента to силы, приложенные к материальной точке, уравновесились, то далее она стала бы двигаться равномерно с некоторой скоростью v, называемой скоростью точки в момент to, и закон движения с момента to характеризовался бы линейной функцией f(t) = f(to) + v(t — to). Однако равнодействующая всех сил, приложенных в точке в данный момент, обычно отлична от нуля, и согласно представлениям классической механики, движение слагается тогда из двух составляющих: первая — указанное равномерное прямолинейное движение со скоростью v, достигнутой в момент to, и вторая — движение, которое вызвали бы приложенные силы, если бы точка в момент to покоилась. Как показал Галилей, изучая свободное падение тел, если бы равнодействующая приложенных сил, начиная с момента to, оставалась постоянной (и направленной по той же прямой), то отклонение точки от достигнутого положения /(to) было бы пропорционально этой равнодействующей и квадрату времени; т.е., имело бы вид со(t — to)2 с коэффициентом со, пропорциональным равнодействующей. Таким образом, закон движения имел бы вид f(t) = f(to) + v(t — to) + co(t — to)2.

Конечно, равнодействующая приложенных сил, как правило, непостоянна, но обычно она непрерывно зависит от времени. Поэтому для значений t, достаточно близких к to, значения пропорционального ей коэффициента с заключены в некотором промежутке (а, Ь). Под действием большей силы точка должна проходить больший путь, поэтому для указанных значений t выполняются неравенства

откуда = c(t)(t — to), получим

(2.1)

где у — скорость движения в момент t, a a(t) —> 0 при t —> to, как произведение ограниченной функции на бесконечно малую при t —> to, и функция a{t) непрерывна в точке to, поскольку a (to) = 0 = lim a(t). Однако и без последнего свойства функции a(t) (и без остальных возможных её свойств) ясно, что формулой (2.1) однозначно определено значение v,

(2.2)

так как предел функции в точке единственен.

Подобная ситуация встречается не только в механике, но и в самой математике, например, при рассмотрении задачи нахождения касательной к графику функции, что побуждает рассмотреть ситуацию в общем случае.

2.2. Дифференцируемость функции в точке

Определение 2.1. Числовую функцию f (т. е., отображение из R в R) называют дифференцируемой в точке хо, если хо — неизолированная точка её области определения D/CRu / представима для всех х G Df в виде

(2.3)

где kf — некоторое число, а а(х) —> 0 при х —> хо по множеству Df и бесконечно малая функция а(х) непрерывна в точке хо; т. е., а(хо) = 0.

Замечание 2.1. Из условия неизолированности точки хо G D/ следует, что хо — предельная точка для Df, и поэтому имеет смысл выражение а{х) —> 0 при x —> хо по множеству Df.

Замечание 2.2. Чаще всего Df — невырожденный промежуток в R, так что все его точки неизолированные. Если хо — внутренняя точка множества Df, то некоторая её окрестность U (хо) целиком лежит bDj,h справедливость представления (2.3) в определении 2.1 достаточно требовать только в точках x G U(xo) и тогда lim а{х) = 0 = а(жо).

Этот случай обычно и рассматривают в учебных пособиях по математическому анализу как типовой в изучении свойства дифференцируемости функции в точке (часто без предположения а(хо) = 0, к обсуждению необходимости которого мы еще вернемся ниже). Однако определение 2.1 корректно не только в этом частном случае, но и тогда, когда хо входит в Df, например, вместе с какой-либо из своих односторонних окрестностей, и в общем случае, представленным определением 2.1. Действительно, справедливо простое

Утверждение 2.1. Для любой дифференцируемой функции f (в смысле определения 2.1) число kf в представлении (2.3) единственно.

Доказательство. Если вместе с (2.3) справедливо

(2.3')

в котором а{х) —> 0 при х —> хо по множеству Df, то, объединяя (2.3) и (2.3') и сокращая на х — жо, получим kf + а(х) = kf + ä(x), х G Df, х ф жо, откуда после x —> хо по множеству Df следует kf = kf.

Простым следствием утверждения 2.1 служит наблюдение, что всякая дифференцируемая в точке функция обязана быть непрерывной в этой точке.

2.3. Производная

Рассмотрим произвольную числовую функцию / и пусть хо — неизолированная точка её области определения Df. Тогда хо — предельная точка для Df и для Df \ {хо}- Поскольку множество Df \ {хо} служит областью определения функции и хо — предельная точка для

то можно ставить вопрос о существовании предела разностного отношения в точке хо по множеству

Определение 2.2. Если xq — внутренняя точка множества Df, то (если оно существует) называют производной функции f в точке хо и обозначают / (жо). Итак,

(2.4)

при условии, что предел существует.

Таким образом, согласно формуле (2.2), скорость прямолинейного движения есть производная перемещения как функции времени. Часто полезно, по аналогии с этим, трактовать и производную функции / в точке ж о как скорость изменения функции в этой точке.

Множество всех точек жо G Df, в которых существует f'(xo), служит областью определения новой функции, называемой производной функцией для / и обозначаемой f. Таким образом, область определения Dfi производной функции f содержится в области определения Df исходной функции /, и в каждой точке хо G Dfi С Df функция f принимает значение /'(жо), определяемое равенством (2.4).

2.4. Связь между дифференцируемостью и производной

Теорема 2.1. Функция f, дифференцируемая во внутренней точке хо G G Df, имеет в этой точке производную, и последняя равна коэффициенту kf в представлении функции f по формуле (2.3).

Доказательство. В силу формулы (2.3) с учетом замечания 2.2,

На основании формулы (2.4) и свойства линейности предела заключаем, что f'(xo) существует и равна kf.

Теорема 2.1 показывает, что функция /, дифференцируемая во внутренней точке хо своей области определения, представима в виде

(2.5)

Теорема 2.1'. Функция f, имеющая производную в точке хо, дифференцируема в этой точке.

Доказательство. По условию xq — внутренняя точка множества Df ж существует

По теореме о представлении функции, имеющей предел в точке,

(2.6)

Положим

Тогда также lim а{х) = 0 и 0 = а(хо). Поэтому, по формуле (2.6) для всех x G Df справедлива формула (2.5) и, тем самым, / дифференцируема в точке хо (с коэффициентом kf = f'(xo)).

На основании теорем 2.1 и 2.1' заключаем, что для произвольной фиксированной точки хо множество функций, для которых хо есть внутренняя точка их областей определения и которые дифференцируемы в точке жо, совпадает с множеством функций, имеющих производную в точке xq. Для этого общего множества принято обозначение D(xq). Таким образом, справедлива

Теорема 2.2. Функция f G D{xo) в том и только в том случае, когда f представима формулой (2.5).

Другим следствием теорем 2.1 и 2.1' служит важное замечание, что дифференцируемость функции в точке — свойство локальное. А именно: какова бы ни была окрестность U точки жо, функция / дифференцируема в точке хо тогда и только тогда, когда в этой точке дифференцируемо сужение / на множество Df HU.

Авторы считают также важным отметить для студентов, что функция g(x) = x2D(x) (где D(x) — известная функция Дирихле, ограниченная и разрывная всюду на R) непрерывна и дифференцируема только в точке жо = 0.

2.5. Свойства дифференцируемых функций

Отмеченную в пункте 2.4 теорему 2.2 можно переформулировать в следующем виде.

Теорема 2.2'. Функция f G D(xo) тогда и только тогда, когда f[x) — —f(xo) = kf(x)(x — хо), x G Df, функция kf(x) непрерывна в точке хо и kf(xo) = f(x0).

Опираясь на последний результат, несложно доказать свойство линейности операции дифференцирования, вычислить производные произведения и частного функций, вычислить производные сложных функций и обратных функций. На последних двух остановимся подробнее.

Теорема 2.3. Если функция f G D(xo) и функция g G D{yo), yo — /(#()), то их композиция (g о /) G D(xo) и (g о f)'(xo) = g1(yo) f'(жо) •

Доказательство. Согласно теореме 2.2', существуют окрестности U точки хо и V точки уо = /(хо), в которых справедливы формулы f{x) = = Дж0) + kf(x)(x - хо), x G U, и g (у) = д(у0) + кд(у)(у - у0), у G У, где функция kf непрерывна в точке хо и kf(xo) = ff(xo), а функция кд непрерывна в точке уо и кд(уо) = д'(уо)- Так как функция / непрерывна в точке жо, внутренней для Df, окрестности U и V можно выбрать такими, чтобы значения у = f{x) G У для всех х G U. Тогда

(7)

где к(х) = kg^f(x)^kf(x)) х G U. Функция kg(^f(x)^j непрерывна в точке хо как композиция непрерывных функций, а функция к(х) непрерывна в точке хо как произведение непрерывных функций. Поэтому, согласно формуле (2.7) и теореме 2.2', функция (д о f)(x) дифференцируема в точке хо и её производная (д о /)'(ж0) = к(х0) = kg(f(x0))kf(xo) = кд(у0) f(x0) = д\уо)

Теорема 2.4. Если функция f G D(xo) и f'(xo) ф О, а обратная функция f~l определена в некоторой окрестности точки уо = /(а?о) и непрерывна в этой точке, то функция /_1 G D(yo) и (f~1)'(yo) = 777—г-

Доказательство. Согласно теореме 2.2', в некоторой окрестности U точки хо справедлива формула f(x) = /(а?о) + kf(x)(x — жо), х G U С Df, в которой функция kf(x) непрерывна в точке хо и fc/(#o) = f'(xo). По теореме о сохранении знака непрерывной функции, значения kf(x) ф 0 в некоторой окрестности точки хо, которую, не ограничивая общности, можно считать совпадающей с U. Поэтому

(2.8)

По условию существования функции /_1 в некоторой окрестности точки у о = = f(xo) и её непрерывности в уо> выбираем такую её окрестность У, прообраз f~l(V) которой содержится в U. Поскольку пересечение двух окрестностей точки является окрестностью этой точки, будем считать, что V совпадает с той окрестностью точки у о = /(#о)> в которой определена функция f~l = g. Тогда (2.8) примет вид

(2.9)

Сложная функция kf(g(y)^J ф 0, у G V С Dgi непрерывна в точке уо (поскольку, по условию теоремы, функция g = f~l непрерывна в точке уо), и? следовательно, согласно (2.9) и теореме 2.2', функция g = /_1 дифференцируема в точке уо и её производная

Мы заканчиваем этот параграф замечанием, что приведенные выше доказательства теорем 2.3 и 2.4 возможны только при предположении о непрерывности функции а(х) в определении 2.1 дифференцируемой функции. Поэтому отсутствие этого предположения в определении 2.1 и появление его в доказательствах теорем 2.3 и 2.4 представляется нам логической ошибкой.

Отметим также, что определение 2.1 и равносильные ему теоремы 2.2 и 2.2' инициированы учебником [2] и использованы в [3] и [4].

3. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ

Символом Rm, m > 1, принято обозначать т-мерное вещественное евклидово пространство. Отображение / из Rm в R называют функцией нескольких (т) действительных переменных. Значение такой функции / в точке своей области определения Df (лежащей в Rm) обозначают /(#1,..., хт), a xi,..., хш называют аргументами функции /. Принято часто точки из Rm обозначать одной буквой: в аналитических рассмотрениях строчной x = (xi,..., хт)] в геометрических — прописной, скажем М, или с указанием координат M(xi,... ,xm). Поэтому и значения функции / в точках Df обозначают f(M) = f(x) = ..., хт). При m = 1, 2, 3 нумерация аргументов функции не применяется: для R1 = R стандартна запись аргумента функции одной буквой; для R2 — запись вида /(ж, у); для R3 — вида f(x,y,z).

3.1. Частные производные

Рассмотрим отображение / из Rm в R, область определения Df которого служит окрестностью каждой своей точки (Df — открытое множество в Rm). Зафиксируем точку х G В/. Разность между произвольным значением х' G Df и x называют (полным) приращением аргумента х функции / и обычно обозначают Ах. Таким образом, Ах = х' — ж, х' = х + Ах. Здесь Ах — вектор размерности га, и если х = (xi,..., хт) и х' = (ж'15..., х'т), то Ах = (х[ -xi,...,x'm- хт) = (Ахь ..., Ахш) = Ахкек, где ек — векторы стандартного базиса в Rm.

Рассматривают также случай, когда действительно изменяется лишь одна из координат вектора ж, скажем к-я. Это выражается в том, что Ах = = Ах^ек = (0,..., Аж&, 0,..., 0), где стоит на к-ом месте, все же остальные координаты — нули.

Разность Af(x) = f(xf) — f(x) = f(x + Ax) — f(x) называют (полным) приращением функции / в точке ж, а разность A^f(x) = f (х+Ах^ек) — f (х) -частным приращением функции / в точке х по fc-му аргументу к = 1, га.

Определение 3.1. Частной производной функции f от га действительных переменных по к-й переменной (ипо ж&") называют функцию — будем её обозначать d^f, — задаваемую следующими условиями: а) областью её определения служит множество тех точек Df, в которых отношение

имеет предел при

б) в каждой такой точке

значение d^f равно этому пределу:

(3.1)

В координатной форме формула (3.1) имеет вид

Таким образом, например, для функций / двух переменных

(Ник — стандартные обозначения для приращения первого и второго аргументов функции двух переменных, наряду с Ах и Ду).

Для обычно dkf употребляют классические обозначения

для функции /(ж, у) употребительны обозначения

3.2. Понятие дифференцируемой функции нескольких переменных

Определение 3.2. Говорят, что функция f из Rm в R дифференцируема в точке X, если Df — окрестность точки х, и (полное) приращение функции f в этой точке представимо в виде

(3.2)

где I — линейная функция на Rm7 а а(Ах) —> 0 при Ах —> 0 и а(0) = 0; и II • ||т обозначает любую норму на Ит, эквивалентную евклидовой норме на Rm.

В координатной форме линейная функция / задается на Rm в виде 1(х) =

некоторые действительные числа, а точка

Стандартным образом проверяется, что представление (3.2) в определении 3.2 эквивалентно представлению

(3.3)

На основании (3.3) заключаем, что функция / из Rm в R, дифференцируемая в точке X, имеет в этой точке частные производные по всем аргументам

Поэтому представления (3.2) и (3.3) принимают вид

(3.2') (3.3')

где все функции а(Ах) и а^(Дх), к = как функции от m переменных (Axi,..., Axm) = Ах, бесконечно малые при Ах —> 0 и непрерывны в точке Ах = 0.

3.3. Достаточное условие дифференцируемости функции двух переменных

Теорема 3.1. Функция f(x, у) будет дифференцируемой в точке М(х, у), если f определена и конечна в точке M, a fx определена в окрестности U этой точки и непрерывна в самой точке M (функции f'x и f'y можно в этой формулировке поменять местами).

Доказательство. Представим разность Af = f(x + Ах, у + Ау) — f(x, у) в виде суммы двух разностей

(3.4)

(здесь точки (х + Ах, у + Ау) и (х, у + Ау) принадлежат U). Так как f'y(x,y) существует и конечна, то

(3.5)

где lim а,2(Ау) = 0 и функцию а2(Ду), определенную первоначально для

Ау ф 0, можно доопределить значением Q2(0) =0, и считать поэтому непрерывной функцией в точке Ау = 0, а следовательно, и бесконечно малой функцией при (Ах, Ау) —> (0,0), непрерывной в точке (0,0). Далее, по формуле конечных приращений, имеем

откуда, в силу непрерывности функции f'x в точке (х,у), находим

(3.6)

Подставляя выражения (3.5) и (3.6) в (3.4), получим представление

для всех (Ах, Ау) из некоторой окрестности точки (0,0), которое указывает на свойство дифференцируемости функции f(x,y) в точке (х,у).

Замечание 3.1. В современных вузовских учебных пособиях по математическому анализу принято проверять наличие свойства дифференцируемости функции f(x,y) в точке М(х,у) при условии существования обеих функций f'x и fy в окрестности этой точки и непрерывности каждой из них в самой точке М. При этом с разностью в левой части (3.5) поступают так же, как было сделано выше в доказательстве с разностью в левой части (3.6). В таком предположении утверждение теоремы получают и для функций любого конечного числа переменных.

3.4. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции двух переменных

Рассмотрим частные приращения Alf = /(ж + Дж, у) — /(ж, у) и Д2/ = = /(ж, у + Ау) — /(ж, у) функции /(ж, у) в точке (ж, у) по ж и по у, соответственно. Если дать функции /(ж, у) последовательно приращения по ж и по у, то она перейдет в (1 + Ai)/, а затем в (1 + Д2Х1 + Ai)/ = (1 + А)/, где А/ = /(ж + Аж,у + Ау) — /(ж, у) — полное приращение функции /(ж, у) в точке (ж, у). Поэтому

(3.7)

Но если функция /(ж, у) дифференцируема, её частные производные существуют и конечны, а потому

(3.8)

Итак, на основании (3.7) и (3.8) и определения 3.1 доказана следующая Теорема 3.2. Для того, чтобы функция f(x,y) была дифференцируемой в точке М(х,у), в которой существуют обе её частные производные, необходимо и достаточно, чтобы вторая разность А2/ = А2А1/ была бесконечно малой функцией по отношению к

Замечание 3.2. Отметим,

Замечание 3.3. Конечно, утверждение теоремы 3.2 представляет скорее теоретический интерес, поскольку проверка её условий для конкретных функций может быть весьма громоздкой и сложной.

3.5. Равенство смешанных производных второго порядка для функций двух переменных

Обычно здесь доказывают два результата.

Теорема 3.3 (W.H.Young). Если у функции /(ж, у) обе частные производные f'x и fy определены в окрестности точки (ж, у) и дифференцируемы в этой точке, то имеем в этой точке fxy = fyx.

Стандартное доказательство этой теоремы основано на изучении второй разности

Другую теорему, принадлежащую Шварцу, обычно формулируют и доказывают с излишним условием существования обеих производных fxy и fyx в окрестности точки (ж, у) и непрерывности каждой из них в самой точке (ж, у). На самом же деле достаточно предполагать существование и непрерывность одной из смешанных производных.

Теорема 3.4 (Н.А.Schwartz). Если в окрестности точки (ж, у) функция /(ж, у) обладает частными производными fx, fy и fxy, причем fxy непрерывна в точке (ж, у), то другая сметанная производная fyx существует в этой точке и совпадает с fxy.

Доказательство. По условию существует такое число öo > О, что функции /, f'x, fy и /" определены для всех (х + h,y + к), \h\ < 5о, \к\ < So. Положим (р(х) = /(ж, у + к) — /(ж, у). Тогда, применяя дважды формулу конечных приращений, для всех \h\ < So и |fc| < So имеем

(3.10)

Вторая частная производная в правой части (3.10) по предположению непрерывна в точке (ж, у), и, следовательно, f"y(x + 6\h,y + 62k) = f£y{x,y)+ +a(h,k), где lim a(/i, к) = 0 = a(0, 0). Поэтому для всех 0 < \h\ < Öq и 0 < |fc| < 5о, на основании (3.10), имеем

(3.11)

Рассмотрим теперь произвольное число е > 0 и выберем число 5 > 0 таким, чтобы 0 < ö < öo и \a(h,k)\ < е для всех 0 < \h\ < ö и 0 < |fc| < ö. Тогда на основании (3.11) имеем оценку

(3.12)

Так как, по определению

то, переходя в обеих частях неравенства (3.12) к пределу при к —> 0, получим неравенство

справедливое для всех 0 < \h\ < 6. Последнее означает, что существует

Изложение материала п.п. 3.3-3.5 взято из учебника [1].

ЛИТЕРАТУРА

1. Валле-Пуссен де ля Ш. Ж. Курс анализа бесконечно малых. Т. 1. — М.-Л.: ГТТИ, 1933. 460 с.

2. Грауэрт Г., Либ Н., Фишер В. Дифференциальное и интегральное исчисление. — М.: Мир, 1971. 680 с.

3. Райков Д. А. Одномерный математический анализ. — М.: Высшая школа, 1982. 415 с.

4. Gavrilov V.l., Pavicevic Z. Matematicka Analiza I. Podgorica, PMF “Unirex”, 1994. 531p.

RICHNESS OF MATHEMATICS THAT MAY BE LOST

V. I. Gavrilov, G. L. Lukankin, A. V. Subbotin

The authors discuss several basic results on the differentiability of real functions of one and several variables that are often represented in simplified forms in the modern university textbooks on the calculus, although the original proofs are not so complicated.

Keywords: derivative, partial derivative, differentiability

СОДЕРЖАНИЕ И ТЕХНОЛОГИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ В ВУЗЕ

УДК 519.8

СИСТЕМА ЗАДАЧ ДЛЯ ДИСЦИПЛИНЫ “ТЕОРИЯ ИГР И ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ”

Л. Н. Посицельская1, С. В. Злобина2

1 Московский государственный социально-гуманитарный институт, Россия, 107150, г.Москва, ул. Лосиноостровская,49; e-mail: lnp@lrp.mccme.ru

2 Брянский государственный университет, Россия, 241036, г.Брянск, ул. Бежицкая, 14; тел.: (4832)666311; e-mail: zsvv@rol.ru

Предложена система учебных задач по дисциплине “Теория игр и исследование операций”. Обсуждаются различные виды заданий на примерах из разделов “Линейное программирование”, “Матричные игры”, “Биматричные игры”.

Ключевые слова: линейное программирование, матричные игры, биматричные игры.

1. ВВЕДЕНИЕ

Подготовка квалифицированного специалиста, способного корректно поставить математическую задачу и найти подходящие методы её решения, требует тщательного подбора учебных заданий. Особенность дисциплины “Теория игр и исследование операций” состоит в следующем. Для решения практически важной задачи исследования операций необходимо: построить модель, исследовать её свойства, найти метод решения, подобрать или разработать алгоритм, получить решение и проанализировать результаты. При этом специфика задач состоит в том, что для их решения, с одной стороны, нужно знание разных разделов математики. С другой стороны, эти задачи требуют выполнения большого объема вычислений, и поэтому их решение невозможно без использования пакетов прикладных программ. Для того чтобы студенты приобрели знания и умения, необходимые для выполнения всех этапов решения данных задач, они должны хорошо разбираться в свойствах и особенностях этих задач и понимать сущность работы применяемых алгоритмов. В работе предложена классификация учебных заданий, которую можно использовать при подготовке задачников и других учебно-методических материалов не только по исследованию операций, а и по другим математическим дисциплинам. Рассмотренный подход проиллюстрирован на примере системы задач для трех основных разделов, которые обычно включаются в программу курса по исследованию операций. При подборе задач использовались учебные пособия [1-7].

Авторы благодарны профессору П. В. Пакшину, указавшему на недавно вышедшие книги [8, 9] по тематике нашей работы.

2. ТИПЫ УЧЕБНЫХ ЗАДАНИЙ

Предлагаемые учебные задания можно классифицировать следующим образом:

1. Построение математической модели.

2. Изучение свойств задач данного класса (задачи линейного, целочисленного или выпуклого программирования, матричные и биматричные игры, экстремальные задачи на графах и т.д.)

2.1. Рассмотрение примеров и проведение математических экспериментов, выявляющих свойства рассматриваемой задачи.

2.2. Решение задач, разъясняющих содержание теорем и идеи доказательств.

2.3. Построение примеров задач, обладающих заданными свойствами.

2.4. Проверка выполнения условий теорем существования (единственности) решения.

2.5. Построение контрпримеров к основным теоремам.

3. Изучение методов (алгоритмов) решения задач данного класса.

3.1. Изучение работы метода (алгоритма) в стандартных ситуациях.

3.2. Изучение работы метода (алгоритма) в особых случаях.

3.3. Изучение технологии применения метода (алгоритма).

3.4. Выбор метода (алгоритма) и нахождение решения.

4. Задания исследовательского характера.

3. ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

Постройте математическую модель и определите, к какому классу задач она относится.

3.1. Математическая модель — задача целочисленного программирования.

На приобретение оборудования (печей) для выпечки хлеба предприятие может выделить 30 тыс. у. е. Оборудование нужно разместить на площади, не превышающей 36 кв. м. Можно заказать оборудование двух видов. Менее мощная печь типа А стоит 4 тыс. у. е., требует производственную площадь 4 кв. м. и имеет производительность 200 кг за смену. Печь типа В стоит 5 тыс. у. е., требует площадь 9 кв. м., её производительность 300 кг за смену. Требуется составить план приобретения оборудования, обеспечивающий максимальную общую производительность за смену.

3.2. Математическая модель — задача на наименьшее значение функции одной переменной на неограниченном множестве.

При небрежной транспортировке рулонов типографской бумаги образуется так называемый бумажный срыв, идущий в отходы. Найти, при каком соотношении между диаметром и длиной рулона срыв бумаги будет наименьшим (считать, что рулон имеет форму цилиндра фиксированного объема).

3.3. Математическая модель — матричная игра с матрицей 4x4.

Система противовоздушной обороны (ПВО) защищает от воздушного налета участок территории, располагая двумя зенитно-ракетными комплексами (ЗРК), зоны действия которых не перекрываются. Каждый ЗРК с единичной вероятностью поражает самолет противника в зоне своего действия, при этом его система наведения начинает отслеживать цель и вырабатывать данные для стрельбы до входа самолета в зону. Противник располагает двумя самолетами, каждый из которых может быть направлен в зону действия любого ЗРК. В момент, когда система ПВО решает, какому ЗРК по какой цели стрелять, самолет может применить обманный маневр: сменить курс и направиться в зону действия другого ЗРК. Цель системы ПВО — поразить как можно больше самолетов, цель противника — минимизировать свои потери. Каково оптимальное поведение обеих сторон?

4. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

4.1. Изучение свойств эквивалентных стандартной и канонической задач линейного программирования.

Дана стандартная задача линейного программирования:

Докажите:

1) данная задача эквивалентна следующей канонической задаче:

2) если ж* = (ж*,..., ж*, ж*+1,..., ж*+т) — решение канонической задачи, то ж** = (ж*,..., ж* ) — решение стандартной задачи.

4.2. Изучение связей между решениями стандартной и канонической задач; применение геометрического метода решения задач линейного программирования .

Замените каноническую задачу линейного программирования эквивалентной стандартной задачей с двумя переменными; решите полученную задачу геометрическим методом; запишите решение исходной канонической задачи.

4.3. Изучение вида множества решений стандартной задачи линейного программирования: а) пустое множество; Ь) бесконечное ограниченное множество; с) бесконечное неограниченное множество; d) одна точка.

Определите, какое множество решений имеет данная задача линейного программирования :

4.4. Построение примеров задач линейного программирования, обладающих заданными свойствами.

Приведите примеры стандартных задач линейного программирования на максимум с двумя переменными, обладающих заданными свойствами:

1) допустимое множество ограничено, единственное решение в точке (3,4);

2) допустимое множество ограничено, множество решений — отрезок с концами в точках (1,1) и (2,4);

3) допустимое множество не ограничено, единственное решение в точке (5,4);

4) допустимое множество не ограничено, множество решений — все точки прямой у = 2х + 1, удовлетворяющие неравенству х > 0.

4.5. Изучение достаточных условий существования решения задачи линейного программирования и теоремы о существовании угловой точки, являющейся решением.

Для задачи линейного программирования

1) изобразите на чертеже допустимое множество и проверьте, что оно ограничено;

2) пользуясь чертежом, найдите все угловые точки допустимого множества;

3) найдите угловую точку, являющуюся решением.

4.6. Изучение алгебраической характеристики угловой точки канонической задачи линейного программирования (критерий существования угловой точки и его применение для нахождения угловых точек).

Дано допустимое множество канонической задачи линейного программирования:

1) Проверьте, что точки = (1,1,1,0,0,0) и х^ = (1,0,0,0,0,2) являются угловыми точками этого множества;

2) Найдите все угловые точки данного множества.

4.7. Задание предназначено для изучения работы симплекс-метода решения задачи линейного программирования.

На к-м шаге решения канонической задачи линейного программирования (на максимум) симплекс-методом получена приведенная ниже симплексная таблица

1)

Найдите по таблице текущую угловую точку х^к\ проверьте выполнение критерия оптимальности и докажите, что эта точка является решением задачи, так как в ней выполнен критерий оптимальности.

2)

Найдите по таблице текущую угловую точку х^к\ проверьте выполнение критерия оптимальности и докажите, что ж^) не является решением задачи, так как значение целевой функции можно увеличить.

3)

Найдите по таблице текущую угловую точку х^к\ проверьте выполнение критерия оптимальности и докажите, что данная задача не имеет решений, так как целевая функция не ограничена сверху на допустимом множестве.

4.8. Изучение свойств пары двойственных задач линейного программирования.

Для заданной задачи линейного программирования постройте двойственную задачу. Найдите решения обеих задач, если они существуют. Может ли одна из этих задач иметь решение, а вторая не иметь?

4.9. Изучение двойственного симплекс-метода.

Пусть стандартная задача линейного программирования решается следующим образом: к двойственной задаче применяется симплексный метод. На к-м шаге решения двойственной задачи получена приведенная ниже симплексная таблица

1) Используя информацию из этой таблицы, проверьте, что получено решение у* = (у*,..., у^, y^+i, • • •, Ут+п) двойственной задачи (в канонической форме).

2) Используя связь между переменными прямой и двойственной задач, найдите решение ж* = (ж*,..., ж*, ж*+1,..., ж*+ш) прямой задачи (в канонической форме).

3) Восстановите обе задачи в форме стандартных задач, проверьте, что они взаимно двойственны, и с помощью теоремы двойственности линейного программирования докажите, что векторы ж** = (ж*,..., ж*), у** = = (у*,..., Ут) — решения этой пары двойственных задач.

5. МАТРИЧНЫЕ И БИМАТРИЧНЫЕ ИГРЫ

5.1. Задача на доказательство свойства взаимозаменяемости оптимальных стратегий матричной игры.

Пусть (fc, I) — ситуации равновесия в матричной игре. Докажите, что (г,/), также являются ситуациями равновесия данной игры.

5.2. Применение принципа взаимозаменяемости оптимальных стратегий в матричной игре.

Дана матричная игра, в которой каждый игрок имеет ровно 3 оптимальные стратегии. Определите, сколько ситуаций равновесия имеет эта игра.

5.3. Свойства матричной игры 2x2. Учебная исследовательская задача. Дана матричная игра 2x2.

1) Укажите все возможные случаи и соотношения между элементами матрицы, при которых игра имеет ситуацию равновесия в чистых стратегиях.

2) Докажите, что если эта игра не имеет ситуации равновесия в чистых стратегиях, то она является вполне смешанной.

5.4. Изучение связи между доминированием стратегий и абсолютной оптимальностью. Учебная исследовательская задача.

Дана матричная игра

При каких значениях параметра а

1) 1-й игрок имеет абсолютно оптимальную чистую стратегию?

2) 2-й игрок имеет абсолютно оптимальную чистую стратегию?

3) оба игрока имеют абсолютно оптимальные чистые стратегии?

4) ни один из игроков не имеет абсолютно оптимальной чистой стратегии?

5.5. Изучение метода перебора квадратных подматриц для решения матричной игры размерности п х п.

Найдите решение игры с матрицей А размерности пхп, такой, что aij = О при г ф j и ац = к (к = 1,..., п).

5.6. Применение метода перебора квадратных подматриц для решения матричной игры.

Найдите решение игры с диагональной матрицей А размерности пхп,

5.7. Построение контрпримера к теореме о критерии существования ситуации равновесия в матичной игре.

Выясните, следует ли оптимальность смешанных стратегий ж*, у* матричной игры с матрицей А из равенства

5.8. Применение критерия оптимальности для решения матричной игры в чистых стратегиях.

Пусть дана матричная игра с матрицей А размерности m х n, у которой üij = г — j. Покажите, что данная игра имеет решение в чистых стратегиях и найдите его.

5.9. Изучение метода редукции для решения матричной игры размерности m X п с ограничениями на коэффициенты.

Пусть дана матричная игра с матрицей А размерности m х n, у которой < ßij+i при всех 1 < г < га, 1 < j < п — 1. Покажите, что игра имеет решение в чистых стратегиях.

5.10. Учебная задача на доказательство исследовательского характера. Идею доказательства может подсказать математический эксперимент.

Пусть дана матричная игра с матрицей А размерности 2 х n, у которой каждая квадратная подматрица имеет седловую точку. Покажите, что данная матричная игра имеет решение в чистых стратегиях.

5.11. Выбор метода решения матричной игры и его применение. Приведите пример матричной игры и подберите для нее метод решения:

а) графо-аналитический; Ь) перебор квадратных подматриц; с) сведение к задаче линейного программирования. Решите игру выбранным методом.

5.12. Изучение различных принципов оптимальности для биматричных игр.

Приведите пример биматричнй игры 2 х 2 и исследуйте её с точки зрения различных принципов оптимальности.

1) Найдите ситуации равновесия по Нэшу

a) в чистых стратегиях (если они существуют);

b) в смешанных стратегиях.

2) Найдите максиминные стратегии и максиминные цены обоих игроков

a) в чистых стратегиях;

b) в смешанных стратегиях.

3) Найдите все ситуации игры, оптимальные по Парето.

4) По результатам исследования определите

a) имеет ли место борьба за лидерство?

b) является ли игра квазиантагонистической?

5.13. Изучение связей между максиминной и равновесными ценами биматричной игры.

Докажите, что если в биматричной игре платежные матрицы игроков кососимметричны, то равновесные цены неотрицательны.

5.14. Изучение метода перебора квадратных подматриц для решения биматричной игры.

В данной биматричной игре найдите все ситуации равновесия в чистых стратегиях, если они существуют, и хотя бы одну ситуацию равновесия в смешанных стратегиях:

5.15. Изучение метода перебора квадратных подматриц для решения биматричной игры размерности п х п.

Для биматричной игры с диагональными матрицами А ж В найдите все ситуации равновесия в чистых стратегиях и хотя бы одну ситуацию равновесия в смешанных стратегиях и соответствующую равновесную цену, если

6. ВЫВОДЫ

Профессиональные математические курсы, в отличие от базовых, не обеспечены учебными пособиями, содержащими достаточно широкий спектр задач. Для повышения эффективности учебного процесса нужны сборники задач, помогающие студенту понять программный теоретический материал и научиться применять его для решения задач. Такие учебные пособия могут быть также полезны для организации самостоятельной работы. Их создание — важная и актуальная проблема. Первоначальным этапом её решения может стать разработка системы заданий, отражающих специфику конкретной учебной дисциплины.

ЛИТЕРАТУРА

1. Волков И. К., Загоруйко Е. А. Исследование операций. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2002. 436с.

2. Карлин С. Математические методы в теории игр, программировании и экономике. — М.: Мир, 1964. 838 с.

3. Косоруков О.А., Мищенко А.В. Исследование операций. — М.: Экзамен, 2003. 448с.

4. Лесин В. В., Лисовец Ю.П. Основы методов оптимизации. — М.: Изд-во МАИ, 1998. 444 с.

5. Морозов В. В. Основы теории игр. — М.: Изд-во ВМиК МГУ, 2002. 150 с.

6. Морозов В. В., Сухарев А. Г., Федоров В. В. Исследование операций в задачах и упражнениях. — М.: Высшая школа, 1986. 286 с.

7. Петросян Л. А., Зенкевич Н.А., Семина Е. А. Теория игр. — М.: Высшая школа, 1998. 300 с.

8. Чурилов А. Н., Гессен А.В. Исследование линейных матричных неравенств. — СПб.: Изд-во С.-Петербургского университета, 2004. 148 с.

9. Ириарт-Урурти Ж.-Б. Оптимизация и выпуклый анализ. Сборник задач и упражнений. — Киев: КИТ, 2004.

THE SYSTEM OF EXERCISES FOR DISCIPLINE “THE THEORY OF GAMES AND OPERATIONS RESEARCH”

L. N. Positselskaya, S. V. Zlobina

The set of problems for discipline “The theory of games and operations research” is presented. Different kinds of exercises from sections “Linear programming”, “Matrix games”, and “Bimatrix games” are discussed.

Keywords: linear programming, matrix games, bimatrix games.

СОДЕРЖАНИЕ И ТЕХНОЛОГИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ В ВУЗЕ

УДК 517.2 + 378.14

О ДВУХ ПОДХОДАХ К ОБОСНОВАНИЮ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ

А. А. Русаков, В. Н. Чубариков

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, Россия, 119899, г.Москва, Воробьевы горы, 1; тел.: (495)9395479; e-mail: arusakov@space.ru, chubarik@mech.math.ru.

Дано сравнение двух подходов к обоснованию понятия вещественного числа. Материал доступен студентам, обучающимся по специальностям с минимальным объемом часов на математические дисциплины.

Ключевые слова: число, отношение порядка, дедекиндово сечение, система счисления, супремум.

В 1957 г. А.Н.Колмогоров опубликовал работу [1], в которой по-новому определил понятие вещественного числа. Далее мы изложим подход к этой проблеме, предложенный А. Н. Колмогоровым.

Пусть символ [ж] обозначает целую часть числа ж, т. е. целое число п = [ж], которое удовлетворяет неравенствам п < [ж] < п + 1.

Определение 1 (А. Н. Колмогоров). Положительным вещественным числом называется однозначная функция

определенная для всех натуральных чисел п, принимающая целые значения m и обладающая следующими свойствами:

1) для всех натуральных чисел к справедливо равенство

2) для любого натурального числа п существует натуральное число к такое, что

Заметим, что из определения немедленно следует, что множество значений функции (р(п) не может быть ограниченным, и эта функция не может расти быстрее линейной функции.

А. Н. Колмогоров

Для каждого натурального числа m положим Lp(n) = Lpm(n) = тп—1. Эти функции удовлетворяют условиям 1) и 2) определения 1, и поэтому “число” (рт можно отождествить с натуральным числом т. Присоединим к множеству Ф функцию Lp = 0, отвечающую числу нуль. Получим систему неотрицательных целых чисел. Далее, для каждого положительного рационального числа г = a/g, (a, q) = 1 к множеству Ф добавим функции <рг(п) = m — 1, где m — неполное частное числа an при делении его на число g, т. е. число [ап/q]. Полученную функцию Lpr(n) отождествляем с рациональным числом г. Для дальнейшего построения множества Ф необходимо определить отношение порядка.

Положительные вещественные числа будем обозначать малыми греческими буквами, а множество всех положительных вещественных чисел -буквой Ф. Отношение порядка вводится в множестве Ф следующим образом.

Определение 2 (А.Н.Колмогоров). Будем говорить, что между положительными вещественными числами Lp и ф установлено отношение порядка Lp < ф, если существует такое натуральное число п, для которого имеют место соотношения

Разобьем множество всех рациональных чисел Q на два непустых непересекающихся множества А ж В, удовлетворяющих условию порядка: для любых a G A,b G В имеем а < Ь, т. е. A U В = Q, А П В = 0, А ф 0, В ф 0, и для любых чисел a G А и любых чисел Ъ G В справедливо неравенство а <Ъ. Такое разбиение называется дедекиндовым сечением.

Множество В “ограничивает сверху” множество А и оно исчерпывает множество всех верхних граней множества А. Множество В не имеет наименьшего элемента, а множество А, являющееся множеством всех нижних граней для множества В, не имеет наибольшего элемента. Таким образом, для этих двух множеств можно определить функцию Lpa(n) такую, что

Итак, каждое дедекиндово сечение определяет функцию (ра(п), которой ставится в соответствие положительное вещественное число а.

Определим теперь операции сложения и умножения в множестве Ф.

Определение 3 (А.Н.Колмогоров). Суммой двух положительных вещественных чисел Lp и ф назовем положительное вещественное число \ = = Lp + ф такое, что для каждого натурального числа п

где максимум берется по всем натуральным числам к.

Произведением двух положительных вещественных чисел Lp и ф назовем положительное вещественное число \ — Ф ' Ф такое, что для каждого натурального числа п

где максимум берется по всем парам натуральных чисел fc, к'.

Множество Ф, удовлетворяющее определениям 1-3, обладает всеми свойствами обычных положительных вещественных чисел, т. е. изоморфно системе положительных вещественных чисел, построенных любым другим общепринятым способом.

Напомним эти свойства. Пусть а, Ь, с обозначают положительные вещественные числа.

1°. Справедливо ровно одно из следующих трех высказываний: а) а = Ь, Ъ = a; b) а > Ь, Ъ < а; с) а < Ь, Ъ > а. 2°. Если а > fr, b > с, то а > с. Если а = fr, b = с, то а = с. 3°. Для каждой пары положительных вещественных чисел a, b существует единственное число с, такое, что а + b = с. 4°. Для всех а, Ь, с имеем (а + Ь) + с = а + (Ь + с). 5°. Для всех а, Ь, с имеем а + b = b + а.

6°. Существует единственное вещественное число 0, такое, что а + 0 = = 0 + а = а.

7°. Для каждого вещественного числа а существует единственное вещественное число (—а), такое, что а + (—а) = 0.

8°. Для каждой пары положительных вещественных чисел a, b существует единственное вещественное число с такое, что ab = с.

9°. Для всех а, Ь, с имеем (ab)c = а{Ъс). 10°. Для всех а, Ь имеем аЬ = Ьа.

11°. Существует единственное вещественное число 1^0, такое, что а • 1 = = 1 • а = а.

12°. Для любого числа а ф 0 существует единственное число а-1, такое, что аа-1 = 1.

13°. Для всех а, Ь, с имеем (а + Ъ)с = ас + be. 14°. Если а > Ъ, то а + с > b + с. 15°. Если а > Ь, с > 0, то ас > be.

16° (Аксиома Архимеда). Для всякого положительного вещественного числа а > 0 существует натуральное число п такое, что an > 1.

17° (Аксиома полноты). Для всякого непустого ограниченного сверху множества А положительных вещественных чисел множество В его верхних граней b содержит минимальный элемент Ь'\ т. е. существует единственный элемент У G В такой, что:

1) У — верхняя грань множества А, т. е. для всех a G А имеем У > а;

2) У — наименьший элемент множества В, т.е. для всех b G В справедливо неравенство У < Ь; Элемент У называется точной верхней гранью или супремумом множества А.

Априорность свойств вещественных чисел, т. е. тот факт, что они рассматриваются в качестве исходных для построения их теории, наводят на мысль считать их аксиомами, которые определяют само множество вещественных чисел. Однако этот подход не является удовлетворительным, поскольку понятие натурального числа неявно присутствует в законах логики, на которые мы опираемся.

Отметим также, что аксиоматика А. Н. Колмогорова теории вещественных чисел требует ответа на вопрос: какие функции натурального аргу-

мента, принимающие целые значения, входят в класс Ф и как по последовательности значений этих функций установить принадлежность её к этому классу?

Более традиционным способом определения положительного вещественного числа является представление его в виде бесконечной десятичной дроби. Изложим этот способ более подробно и сравним его с подходом к этой проблеме, данным А. Н. Колмогоровым.

Сначала представим натуральное число в десятичной (позиционной) системе счисления. Справедливо следующее

Утверждение 1. Любое натуральное число а при некотором натуральном п единственным способом представляется в виде

где ат, m = 0,... , п — целые числа с условиями 0 < ат < 9, ап > 1.

Доказательство. Убедимся, что а < 10а. Действительно,

Следовательно, найдется единственное неотрицательное целое число п такое, что

При 0 < m < п положим

Заметим, что числа ат целые и справедливы неравенства

Далее имеем

Докажем единственность указанного в утверждении представления числа а.

Пусть кроме представления

имеется другое представление

Тогда при некотором s, не превосходящем

максимума из чисел п и fc, справедливо равенство

Отсюда имеем и, следовательно,

что невозможно. Утверждение доказано.

Числа ат называются цифрами данного числа. Число а записывается в виде а = ап .. .üq. Число десять называется основанием данной позиционной системы счисления. Заметим, что в качестве основания позиционной системы счисления можно взять любое натуральное число, большее единицы.

Определение V. Будем говорить, что число а представляется в виде бесконечной десятичной дроби oi\a2 ... oin ..., где ао = [а], 0 < а& < 9, к > 1 — целые, если для любого натурального числа п справедливо неравенство

где sn(a) называется округлением числа а до п-го знака после запятой.

Заметим, что для чисел а = —г, где а и к — натуральные (такие числа а называются десятично-рациональными), данному выше определению отвечают только конечные десятичные дроби, т. е. такие бесконечные дроби, у которых, начиная с некоторого номера, все цифры равны нулю. Определим теперь отношение порядка.

Определение 2'. Будем говорить, что между положительными вещественными числами а = ао, а\02 ... ап ... и Ъ = &о5 ^1^2 • • • Ьп ..., представленными бесконечными десятичными дробями, установлено отношение порядка а < Ь, если существует такое натуральное число п, для которого имеют место соотношения

Далее определим операции сложения и умножения двух чисел, представленных в виде бесконечных дробей. Заметим, что корректность определения 3' следует из того, что указанные ниже точные верхние грани (супремумы) существуют, и прямыми вычислениями можно убедиться, что свойства 1°-17° положительных вещественных чисел выполняются.

Определение 3'. Суммой двух положительных вещественных чисел а и Ь назовем положительное вещественное число с = а + Ь такое, что

где супремум берется по всем натуральным числам п.

Произведением двух положительных вещественных чисел а и Ъ назовем положительное вещественное число d = а • Ъ такое, что

где супремум берется по всем натуральным числам п.

Докажем теперь существование представления числа в виде бесконечной дроби и его единственность, что показывает корректность определений V и 2'.

Утверждение 2. Для каждого положительного вещественного числа а существует единственная запись в виде бесконечной десятичной дроби

удовлетворяющая при всех натуральных п условиям

имеем

Доказательство. Положим

т. е. О < ап < 9. Рассмотрим бесконечную дробь а = од? «1^2 ... ап .... Покажем, что она является представлением числа а. Для этого достаточно показать, что при любом натуральном числе п конечная десятичная дробь Ап = ао, ol\oli - - - &п является округлением числа а до п-го знака. Преобразуя Ап, получаем

Отсюда

т. е. а — 10 п < Ап < а. Последнее неравенство и означает, что Ап является округлением числа а до п-го знака.

Докажем теперь единственность представления числа а в виде бесконечной десятичной дроби. Предположим противное, т. е. существует другое представление а = /?о, ßi • • • ßn • • •• В силу того, что эти два представления различны, при некотором п имеет место неравенство

Из определения конечных десятичных дробей получим, что числа 10пАп и WnBn — целые. Кроме того, числа Ап и Вп представляют собой округление числа а до п-го знака, поэтому

Из двух последних соотношений имеем: целое число

удовлетворяет неравенствам

Следовательно, Ап = ВП1

что противоречит сделанному выше предположению. Утверждение доказано полностью.

Здесь рассмотрены две модели теории вещественного числа.

Модель А. Н. Колмогорова основана на функциях натурального аргумента, принимающих целые значения. В ней каждому вещественному числу а ставится в соответствие функция <ра (п) = [an] — 1. По существу в данной модели используется свойство архимедовости поля вещественных чисел (см. аксиому Архимеда, свойство 16°). Эта модель не зависит от позиционных систем счисления, применяемых для записи числа.

Другая модель, использующая представление числа в виде бесконечной десятичной дроби, является более арифметичной, поскольку арифметические операции определяются здесь рекуррентным образом, а это упрощает вычисления с числами. С другой стороны, отметим, что отношения порядка в обеих моделях, по существу, тождественны, если отвлечься от того, что использование масштаба, связанного с числами 10п во второй модели, связанной с позиционной системой счисления, быстрее приводит к сравнению чисел.

Заметим еще, что сам процесс построения теории вещественного числа оказывается полезным при строгом определении степенной и показательной функции при произвольных значениях показателя степени и аргумента.

ЛИТЕРАТУРА

1. Колмогоров А. Н. К обоснованию теории вещественных чисел // Математическое просвещение. 1957. Вып. 2. С. 169-173. (Перепечатано в “Математика — наука и профессия” / Сост. Г.А.Гальперин. — М.: Наука, 1988. С. 215-218. Библиотечка “Квант”. Вып. 64.)

2. Гашков СБ., Чубариков В.Н. Арифметика. Алгоритмы. Сложность вычислений. Учеб. пособие для вузов. 2-е изд., перераб. — М.: Высш. шк., 2000. С. 111-114.

3. Архипов Г. И., Садовничий В. А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу. Учебник для университетов и пед. вузов. 2-е изд., перераб. — М.: Высш. шк., 2000. С. 19-27.

4. Чубариков В.Н. О сложности некоторых арифметических объектов // Математические вопросы кибернетики. 2001. Вып. 10. С. 55-68.

ON SUBSTANTIATION OF THEORY OF REAL NUMBERS

A. A. Rusakov, V. N. Chubarikov

The comparison of two methods to substantiation of real numbers is given. The material is addressed to students with the minimal number of mathematical subjects in their curriculum.

Keywords: number, ordering relationship, supremum, number system.

СОДЕРЖАНИЕ И ТЕХНОЛОГИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ В ВУЗЕ

УДК 517.2

ВАРИАНТ ОБОСНОВАНИЯ НЕКОТОРЫХ УТВЕРЖДЕНИЙ ТЕОРИИ РЯДОВ И НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

С. Н. Слугин, В. С. Кротова

Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского, Россия, 603950, г. Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23, корп. 2; тел.: (8312)657603

Вариант обоснования некоторых утверждений теории рядов и несобственных интегралов. Предлагаются краткие доказательства теорем о степенных рядах, несобственных интегралах, зависящих от параметра, и общих рядах Фурье для кусочно-непрерывных функций.

Ключевые слова: степенной ряд, несобственный интеграл с параметром, ряд Фурье, кусочно-непрерывная функция.

1. ИССЛЕДОВАНИЕ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ НА ОСНОВЕ ПРИЗНАКА КОШИ - АДАМАРА

1.1. Радиус сходимости

Для установления общего вида области сходимости степенного ряда

(1)

можно использовать признак Коши-Адамара: при фиксированном х числовой ряд (1) абсолютно сходится (или ряд расходится), если верхний предел Kq = lim л/|спжп| < 1 (или соответственно Ко > 1). Введем величину

Ясно, что Ко = К • \х\. Если К = 0, то степенной ряд абсолютно сходится всюду, радиус сходимости R = +оо. Если 0 < К < +оо, то ряд абсолютно сходится при \х\ < R = 1/К и расходится при \х\ > R. Если К = +оо, то ряд расходится при радиус R = 0.

1.2. Почленное интегрирование и дифференцирование

Здесь имеется в виду, что до этого в курсе математического анализа были изучены функциональные ряды.

Заметим, что интервалы сходимости рядов

очевидно, совпадают.

Обычным способом устанавливается равномерная сходимость степенного ряда на внутреннем отрезке, содержащемся в интервале сходимости.

Из равномерной сходимости ряда (1) непрерывных функций на внутреннем отрезке следует возможность почленного интегрирования:

на любом внутреннем отрезке [0, х] и, следовательно, на интервале сходимости (—i?, R). Если R\ — радиус сходимости ряда

Следовательно, R — радиус сходимости ряда интегралов. Сумма ряда производных

Если i?2 — радиус сходимости ряда

Следовательно, R — радиус сходимости ряда производных. Из сходимости ряда (1) гладких функций и равномерной сходимости ряда производных на любом внутреннем отрезке следует возможность почленного дифференцирования: s'{x) = р(х) при \х\ < R.

Классические примеры: разложение в степенные ряды функций 1п(1 + ж), arctgx, aresin ж в результате интегрирования на отрезке 0, ж] С (—1,1) соответствующих биномиальных рядов, сходящихся к производным вида (1 + t)m этих функций (в случае обратных тригонометрических функций производится замена ±ж2 = £).

2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА, И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

2.1. Равномерная сходимость интеграла и определение предела по Гейне

Здесь имеется в виду, что в курсе математического анализа уже были изучены определенные интегралы, зависящие от параметра, и функциональные последовательности.

Пусть функция /(ж, у) определена на полуполосе

(2)

и интегрируема по х на отрезках [а, Ь] при любых b > а. Обозначим интегралы

Равномерная сходимость интеграла /(у), то есть сходимость F(b,y) —> 1(у) при Ь —> +00 равномерно относительно у G [с, d] — означает, по определению Гейне, равномерную сходимость F(bn,y) —> /(у) для любой последовательности Ъп > а, Ьп —» +00. Обозначим

2.2. Непрерывность, интегрирование и дифференцирование по параметру

Приведем доказательства известных теорем о свойствах интеграла 1(у).

Теорема. Пусть функция /(ж,у) непрерывна в полуполосе (2); интеграл 1(у) сходится равномерно относительно у G [с, d]. Тогда интеграл 1(у) непрерывен и

(3)

Доказательство. Для определенных интегралов Fn{y) выполнены достаточные условия непрерывности и возможности смены порядка повторного интегрирования :

(4)

Равномерно сходящаяся последовательность непрерывных функций Fn(y) сходится к непрерывной функции 1(у). Интеграл от предела этой функциональной последовательности существует и равен пределу последовательности интегралов:

Отсюда и из равенства (4) следует равенство (3). Теорема доказана.

Теорема. Пусть функция f(x,y) непрерывна по х, а частная производная /' (х,у) непрерывна в полуполосе (2); интеграл 1(у) сходится; интеграл

сходится равномерно относительно у G [с, d]. Тогда функция

1(у) — гладкая,

(5)

Доказательство. Производные по параметру определенных интегралов Fn(y) — непрерывные функции F^(y) = J fy(x,y) dx. Выполнены достаточные условия для существования непрерывной производной 1'(у) и её равенства пределу lim F^{y). Следовательно, функция 1(у) гладкая и удовлетво-

ряет равенству (5). Теорема доказана.

Замечание. Доказательства теорем нетрудно трансформировать, используя свойства функциональных рядов.

3. ОБЩИЙ РЯД ФУРЬЕ В ПРОСТРАНСТВЕ КУСОЧНО-НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ

Хотя здесь фактически применяются методы функционального анализа, но предложенный материал может быть использован в курсе математического анализа, так как речь пойдет о конкретном функциональном пространстве, хотя и с абстрактным функциональным базисом. Разложение в ряд Фурье здесь производится в неполном предгильбертовом пространстве, поэтому не требуется привлечение понятия интеграла Лебега.

Конкретизация базиса приводит, в частности, к тригонометрическим и алгебраическим рядам Фурье.

Напомним, что функция, определенная на отрезке, называется кусочно-непрерывной, если она непрерывна или имеет конечное множество точек разрыва первого рода (в которых существуют конечные односторонние пределы, но хотя бы один из них не равен значению функции в данной точке). Из кусочной непрерывности функции следует её ограниченность.

3.1. Скалярное произведение, норма, предел, ряд

В пространстве кусочно-непрерывных функций, определенных на отрезке [а, Ь], вводится понятие скалярного произведения — определенного интеграла

и нормы

Если норма II/H > 0, то функцию / можно нормировать: е(х) = Очевидно, скалярное произведение линейно:

Известным способом устанавливается неравенство

называемое в отечественной учебной литературе неравенством Коши - Буняковского (КБ), а также неравенство треугольника

и следствие из него:

По определению, последовательность функций sn{x) среднеквадратично (в среднем 2 порядка) сходится к функции /(ж), если

Это соотношение обозначим

Линейность предела:

устанавливается с учетом неравенства треугольника и ограниченности сходящейся числовой последовательности сп. Непрерывность нормы:

проверяется с помощью следствия из неравенства треугольника. Из непрерывности нормы следует ограниченность последовательности норм функций

Скалярное произведение непрерывно:

Доказательство основано на неравенстве КБ и на ограниченности последовательности норм функций.

По определению, функция f(x) разлагается в ряд

если частные суммы ряда

Пусть fk(x) = Cfcefc(x). Из линейности и непрерывности скалярного произведения следует равенство

(6)

3.2. Полная система функций

Система функций gk(x) (к = 0, ж) называется полной (замкнутой), если для любой функции f(x) пространства и произвольного числа е > 0 существует такая линейная комбинация L(x) функций д&(ж), что норма \\L — /|| <£, то есть имеется такая последовательность линейных комбинаций Ln(x) этих

функций, что Ln^> f. Отметим, что в составе комбинаций Ьп[х) могут быть и функции с номерами к > п.

Лемма. Если система функций gk(x) полная, то для любой функции f(x) пространства существует такая последовательность линейных комбинаций 1п(х) этих функций с номерами к < п, что 1п—>}

Идею доказательства леммы проиллюстрируем на частных случаях.

Пусть линейные комбинации

и в первом случае

а во втором

. Положим

и в первом случае

а во втором

Ясно, что при такой формальной процедуре введения дополнительных линейных комбинаций с нулевыми коэффициентами получаются искомые последовательности.

Классические примеры систем функций д&(ж). Тригонометрическая: 1, cosnx, sinnx (n > 1, \х\ < 7г). Степенная: хп (п > 0).

Для проверки их полноты в пространстве кусочно-непрерывных функций вначале устанавливается возможность их среднеквадратичной аппроксимации непрерывными функциями. Идею доказательства такой возможности продемонстрируем на частном случае, когда функция Дж), определенная на отрезке [а, Ь], имеет единственный разрыв, причем во внутренней точке с.

Вводится число 6 G (0, с — 1). Определяется функция д(х) = f(x) вне отрезка [с — 5, с], а на этом отрезке строится линейная функция д(х) со значениями на концах:

Функция д(х) непрерывна на отрезке [а, Ъ] и может отличаться от функции f(x) только на полуинтервале (с — 5, с]. Обе функции ограничены, поэтому существует число

Для произвольного числа е > 0 при выполняется неравенство

По теореме Вейерштрасса о равномерной аппроксимации, есть такой алгебраический полином что

Следовательно,

Доказательство легко провести для любого конечного множества точек разрыва первого рода.

Алгебраический полином является линейной комбинацией степенных функций. Следовательно, степенная система полна в указанном пространстве.

В случае тригонометрической системы аналогично проверяется возможность среднеквадратичной аппроксимации кусочно-непрерывных функций Дж), определенных при \х\ <7г, непрерывными функциями д(х) с концевыми значениями д(—тт) = д(тг), затем применяется теорема Вейерштрасса о равномерной аппроксимации функций д(х) тригонометрическими полиномами.

3.3. Ортогональность. Проекция. Базис

По определению, функции f(x) и д(х) ортогональны, /-Lg, если (/, д) = 0. Если функции ei_Lg, то их линейная комбинация Z_Lg. “Теорема Пифагора”:

Система функций еп(х) называется ортонормированной (о. н. с), если

а функции называются ортами.

Ортогональной проекцией функции f(x) на о. н. с. функций (к = 0, п) называется линейная комбинация с коэффициентами Фурье

Эта проекция — ближайшая (в среднеквадратичном смысле) среди всех линейных комбинаций 1п(х) ортов е^(ж) (г < и). Действительно, для любого номера г < п выполняются равенства

орты e^-L(/ — sn), следовательно, их линейная комбинация По “теореме Пифагора”,

Базисом пространства называется полная о. н. с.

3.4. Общий ряд Фурье и его почленное интегрирование. Тригонометрический ряд

Теорема. Любая кусочно-непрерывная функция, определенная на отрезке, разлагается в ряд по базису ортов сп{х) (ri — 0, ж)/

(7)

При заданном базисе разложение в ряд единственное:

(Ряд (7) назовем общим рядом Фурье.)

Доказательство. Согласно лемме в п. 3.2, имеется такая последовательность линейных комбинаций 1п{х) функций е^ж) (г < п), что Zn —> }'. Частные суммы sn(x) ряда (7) являются ортогональными проекциями функции f(x) на систему этих ортов. По доказанному в п. 3.3,

функция f{x) разлагается в ряд (7).

Единственность разложения: для любого номера п коэффициент (см. (6))

Теорема доказана.

Среднеквадратично сходящийся ряд допускает почленное интегрирование, причем ряд интегралов (с переменным пределом интегрирования) сходится равномерно.

Пусть постоянная с и переменная х находятся на области определения функции f(x) — отрезке [а, Ь].

Теорема. Интеграл f f(t) dt является суммой равномерно сходящегося ряда

(Из ограниченности кусочно-непрерывных функций на отрезке следует непрерывность интегралов, указанных в теореме.)

Доказательство. Остаток ряда гп{х) = f(x) — sn(x). Достаточно проверить равномерную сходимость последовательности интегралов нулю

(здесь формально введена сомножителем функция — тождественная единица, и учтено неравенство КБ). Последовательность интегралов сходится равномерно. Теорема доказана.

В пространстве кусочно-непрерывных функций /(ж), определенных при \х\ < 7г, тригонометрическая о. н. с.

является базисом (по поводу полноты системы см. п. 3.2). Отсюда следует разложимость функций f(x) в тригонометрические ряды, среднеквадратично сходящиеся к f(x).

Замечание. Применение теоремы о почленном интегрировании ряда Фурье облегчает доказательство теорем с достаточными условиями абсолютной и равномерной сходимости и почленной дифференцируемости тригонометрического ряда.

3.5. Алгебраический ряд Фурье

В пространстве кусочно-непрерывных функций /(ж), определенных при \х\ < 1, алгебраический базис строится в результате ортогонализации степенной системы д(х) = хп (п > 0). Орт ео(х) = go(^)/||9o|| = l/v^- Построение следующих ортов производится индуктивно по схеме:

Функции дп{х) являются линейными комбинациями ортов е&(ж). Из этого факта и полноты степенной системы (см. п. 3.2) следует полнота о. н. с. функций е&(ж). Следовательно, они составляют базис. Как известно, орты

где полиномы Лежандра Ln(x) вычисляются по рекуррентным формулам:

Любая кусочно-непрерывная функция /(ж), определенная при \х\ < 1, разлагается в алгебраический ряд Фурье:

A MODIFICATION OF PROOF FOR SOME THEOREMS IN THEORY OF SERIES AND IMPROPER INTEGRALS

S.N.Slughin, V.S.Krotova

The short proofs of some theorems for power series, improper integrals depending on parameters, and Fourier series are proposed.

Keywords: power series, improper integral with parameter, Fourier series, piecewise continuous function.

МАТЕМАТИКА ДЛЯ СПЕЦИАЛИСТОВ РАЗЛИЧНОГО ПРОФИЛЯ

УДК 37.026

ПРОБЛЕМНОЕ ОБУЧЕНИЕ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ В ТЕХНИЧЕСКИХ ВУЗАХ

О. В. Зимина

Московский энергетический институт, Россия, 111250, г.Москва, ул. Красноказарменная, 14; e-mail: ZiminaOV@mpei.ru

В статье обсуждаются методы стимулирования познавательной активности студентов. Исследуются различные типы проблемных ситуаций и приводятся примеры таких ситуаций в курсе высшей математики. Особое внимание уделено проблемно-ориентированному обучению тандема “студент + компьютер”.

Ключевые слова: познавательная активность, дидактическая система, проблемная ситуация, тандем “студент + компьютер”.

ВВЕДЕНИЕ

Исследования медиков, психологов и педагогов свидетельствуют о том, что качество усвоения информации, уровень овладения учащимися знаниями и умениями существенно зависят от их собственной активности, определяемой уровнем мотивации. Рост массовости высшего образования и распространение персональных компьютеров являются существенными факторами снижения интереса студентов технических вузов к изучению математики. В этих условиях особую актуальность приобретают задачи активизации самостоятельной познавательной деятельности учащихся, овладения ими системой математических знаний, умений и навыков, стимулирования интереса к предмету, формирования математической культуры. Одним из важнейших средств решения этих задач является проблемное обучение.

В §1 представлен краткий экскурс в историю проблемного обучения, цель которого — выяснить, почему педагогические методы софистов, Сократа, схоластов оказались не востребованными педагогической системой массового обучения, сложившейся в эпоху Коменского и по существу сохранившей главенствующее значение в современной средней и высшей школе. В дальнейшем это поможет ответить на другой вопрос: возможен ли сегодня плодотворный синтез этих двух дидактических систем и как реализовать такой синтез в массовом высшем образовании?

В §2 обсуждаются психолого-педагогические основы проблемного обучения, роль проблемной ситуации в формировании познавательной потребности учащегося, этапы проблемного обучения и их связь с компонентами учебной деятельности. Принимая во внимание существование определенных различий в педагогических трактовках проблемного обучения, мы, в основном, будем опираться на положения, разработанные А. М. Матюшкиным в [1].

В §3 анализируются типы и приводятся конкретные примеры проблемных ситуаций на лекциях и практических занятиях, предлагаются способы их выявления при изучении разных разделов курса высшей математики.

В §4 исследуются особенности проблемного обучения, связанные с тем, что в компьютеризированном обществе объектом обучения является студент, осведомленный о возможностях компьютера и ориентированный на то, что свои учебные и профессиональные задачи он будет решать совместно с компьютером.

В Заключении мы покажем, что проведенное исследование позволяет сделать вывод о возможности инкорпорировать проблемные методы, характерные для индивидуального обучения, в дидактическую систему массового профессионального образования. Этого позволяют добиться новые средства обучения (в первую очередь, компьютер) и новые образовательные технологии, основанные на формировании и использовании единой образовательно-научной информационной среды.

§1. ИЗ ИСТОРИИ ПРОБЛЕМНОГО ОБУЧЕНИЯ

Методы проблемного обучения использовались в Древней Греции — родине западных образовательных традиций и самого термина “педагогика”. При обучении математике греки ставили не только вопрос “как”, но также вопросы “что” и “зачем”. Так, целью метода софистов было уяснение сути математических проблем, а не только практическая польза от их решения. Задачи и парадоксы софистов были направлены на то, чтобы выявить заблуждения, порожденные интуитивными представлениями и “здравым смыслом”, разрушить стереотипы предшествующего опыта. Например, парадоксы (апории) Зенона, дошедшие до нас благодаря Аристотелю и известные под названиями “Ахиллес”, “Стрела”, “Дихотомия” и “Стадион”, сформулированы так, чтобы подчеркнуть противоречия в понятиях движения и времени. Знаменитые проблемы античности (трисекция угла, удвоение куба, квадратура круга), парадоксы Зенона, открытие пифагорейцами иррационального в виде несоизмеримых отрезков будили математическую и философскую мысль, рождали общественный интерес к науке и образованию. Не случайно первыми профессиональными педагогами были именно софисты, а их публичные диспуты в греческих амфитеатрах (V-IV вв. до н.э.) явились, быть может, первыми образцами массового обучения.

Из трудов Платона нам известен сократовский метод — лекция-беседа, в которой учитель заранее продумывает и предлагает слушателям как верные, так и неверные идеи, а ученики принимают или опровергают их, показывая тем самым свое восприятие беседы. Педагогический метод Сократа (так называемая майевтика), основанный на “приведении мнений собеседника в противоречие”, является одним из основных способов выявления проблемной ситуации.

В средневековой Европе начальное образование было сосредоточено в церковных и монастырских школах. С появлением в XII в. первых университетов изучение “семи свободных искусств” постепенно становилось прерогативой артистического (позднее философского) факультета высшей школы. В средневековых школах и университетах получил развитие схоластический метод обучения, заключавшийся в том, что учащимся предлагались вопросы, в поисках ответов на которые они самостоятельно овладевали знаниями. Схоластами были созданы и первые учебники для реализации этого метода. В определенном смысле схоластический метод можно считать предтечей проблемного обучения. Схоластический метод применялся для разрешения важнейших мировоззренческих проблем взаимоотношения разума и религии, умственного и чувственного, общего и единичного, особенного. По словам Т. Н. Грановского, “вожди схоластики... сообщили европейскому уму ту пытливость, науке — гибкость и ловкость, которую она сохранила как лучшую часть наследия, завещанного средневековой наукой. Но вследствие самой своей смелости и самонадеянности эта наука не могла вступить в дружеские отношения со средневековым обществом” [2]. Со схоластами вели яростную борьбу католическая церковь и светские власти, многие выдающиеся схоласты были объявлены еретиками и уничтожены. Университетские кафедры постепенно занимали монахи орденов доминиканцев и францисканцев, вытесняя оттуда профессиональных педагогов-схоластов. Начиная с XIV в., а особенно в XV-XVI вв. схоластика перерождается, схоластический метод используется для апологии папства и обсуждения исключительно богословских проблем, а сами “новые схоласты” ведут ожесточенную борьбу с идеями Возрождения и Гуманизма. В итоге “живое, положительное содержание совершенно исчезло из науки, история, филология, естественные науки не преподавались вовсе” [2]. Эти процессы противоречили растущей потребности западного общества в массовом образовании, обусловленной бурным развитием торговли и промышленности, навигации и астрономии, землемерия и банковского дела. Кроме того, значительную роль в становлении массового начального образования сыграло распространение протестантизма, поскольку протестантизм предполагает умение паствы самостоятельно читать библию. Лютер, Кальвин и другие деятели Реформации старались дать обществу средства усвоить их идеи, для чего начали преобразовывать школы, издавать грамматики, словари, учебники. Рядом с монастырскими и соборными школами стали открываться массовые городские школы, в которых обучали грамоте, вычислениям и ремеслам. Однако вплоть до XVII в. качество обучения оставалось очень низким, не существовало научно обоснованных методов обучения и универсальных учебников.

Идеи Возрождения, Гуманизма и Реформации сформировали новое мироощущение, а становление буржуазии и её политические победы ознаменовали собой переход от Средневековья к Новому времени и обусловили новые общественные потребности, важнейшей из которых стала потребность в массовом образовании: "У всех народов появилось такое стремление открывать

школы, какого не помнит история ни одной из прежних эпох" [3]. Отвечая на запросы общества, передовые мыслители и педагоги того времени искали пути совершенствования школьного обучения. Создателем первой целостной педагогической теории по праву считается великий чешский педагог и философ Ян Амос Коменский (1592-1670).

Главной целью Коменского были поиски универсального метода обучения, позволяющего “учить всех, всему, всесторонне и с гарантией успеха”. Возникает естественный вопрос: почему в поисках такого метода не были использованы педагогические достижения софистов, Сократа и схоластов? Принято считать, что игнорирование схоластического метода объясняется тем, что в XVII в. в науке и образовании еще продолжалась борьба с негативным наследием поздних схоластов. Такое объяснение представляется недостаточным. Мы полагаем, что схоластический метод не был востребован системой массового школьного обучения по целому ряду причин, среди которых выделим следующие:

1) дидактика Коменского предназначалась для обучения элементарным знаниям и умениям (чтению, письму, арифметике и т.п.), для овладения которыми схоластический метод не только не нужен, но даже может быть вреден;

2) реализация схоластического метода предполагает высокую квалификацию учителей и поэтому представляется практически не осуществимой в массовом обучении;

3) психологические особенности детей младшего и среднего возраста не позволяют использовать преимущества схоластического метода: самостоятельный поиск ответов на вопросы учителя, диспуты и проч.;

4) схоластический метод требует, чтобы учитель достаточно свободно располагал временем, что невозможно в условиях классно-урочной системы с жесткой регламентацией учебного процесса “по годовым, месячным, дневным и часовым программам” [3];

5) крайне трудно (может быть, в докомпьютерную эпоху и невозможно) создать соответствующие средства (учебные и методические пособия) массового обучения по методике схоластов.

По этим или иным причинам в трудах Коменского, Песталоцци, Дистервега и других великих педагогов и мыслителей XVII-XVIII вв. на первый план выдвигаются не схоластический метод и проблемность, а иные принципы (наглядности, доступности, последовательности и др.), составившие классическую дидактическую систему (так называемую “систему Коменского”) уже не индивидуального, а массового обучения, доминирующую до сих пор.

Дидактика массового школьного обучения, сложившаяся к началу XIX в., получила концептуальное оформление в трудах немецкого философа, педагога и психолога И. Ф. Гербарта. Согласно этой концепции, ученик — пассивный объект обучения, и, следовательно, достаточно вооружить учителя знаниями о том, как управлять процессом обучения, как излагать материал, каким тре-

бованиям он должен удовлетворять, как ставить вопросы, какой должна быть учебная программа и т. п. При этом гипертрофированной оказалась та часть педагогического процесса, которую Гербарт называл “управлением детьми” (подавление “злой воли” ребенка, система наказаний, строгая регламентация поведения и т. п.). Заметим, что в этой части Гербарт далеко отошел от гуманистических принципов, заложенных в системе Коменского, не отрицавшей познавательной активности учащегося и методов проблемного обучения, а просто не нуждавшейся в них. Учение Гербарта оказало огромное влияние на теоретическую педагогику и школьную практику во многих странах Старого и Нового Света. Положения концепции Гербарта лежат в основе традиционных дидактических подходов и методик обучения, составляющих так называемую авторитарную педагогику, господствующую в преподавании до сих пор.

Система массового обучения, созданная трудами Коменского, Песталоцци и других ученых, имела своих противников (Ж.-Ж. Руссо, С. Френэ и др.), неправомерно сопоставлявших её с системой индивидуального обучения. Однако у них имелись серьезные основания считать, что жесткая регламентация обучения и наличие универсальных учебников ограничивают самостоятельность и подавляют личность ребенка.

На рубеже XIX-XX веков американский философ Джон Дьюи предложил дидактическую концепцию, восстанавливающую примат учащегося. В этой концепции просматриваются некоторые теоретические положения проблемного обучения, в частности, принцип историзма. Дьюи соединил процессы познания и деятельности в решении обыденных детских проблем, причем процесс такого решения должен был приводить к открытию детьми новых истин посредством пяти последовательных ступеней: ощущение проблемы; её обнаружение и определение; представление возможного решения; выявление путем умозаключений следствий из этого решения; дальнейшие наблюдения и эксперименты, ведущие к принятию или отбрасыванию принятого допущения.

В советской педагогической науке интерес к проблемному обучению возник в 20-30-е годы прошлого века и возродился на новом витке в 60-70-е годы. Проблемному обучению школьников посвящено большое количество психолого-педагогических и методических исследований. Методы проблемного обучения нашли свое место и в школьной практике. Напротив, проблемное обучение в высшей школе (как собственно и сама дидактика высшего образования) является сравнительно новой областью научно-методических исследований и педагогической практики. Причины этого естественно искать в истории становления университетского образования.

Первые университеты (Болонский, Парижский, Оксфордский и др.), возникшие на базе монастырских и соборных школ, открыли доступ к знаниям людям всех званий, национальностей, возрастов и сословий. Университетская система образования состояла из чтения лекций и диспутов, на которых студенты должны были установить и защитить какое-нибудь теологическое

или научное положение. Такая система преподавания требовала жесткой регламентации всего учебного процесса как по форме, так и по содержанию. В XVI-XVII вв. с ослаблением влияния церкви университеты приобретают черты светских образовательно-научных государственных учреждений. Появляются новые факультеты — математические, естественные, исторические и др. Однако система преподавания оставалась почти прежней, лишь к лекциям и диспутам добавились декламации — изложения на заданную тему. В XVIII в. сначала в университетах Германии, а затем и других стран провозглашаются и реализуются принципы свободы научного творчества, преподавания и обучения. Центральным компонентом обучения становится лекция, диспуты теряют былое значение, декламации упраздняются. Меняется и содержание лекций: теперь задача лектора заключается не только в сообщении научной истины, но также в демонстрации её поиска и приучении к этому студентов. Все эти изменения подготовили почву для создания в начале XIX в. Вильгельмом фон Гумбольдтом классической модели университета как элитарного высшего учебного заведения, в котором обучение студентов и научные исследования находятся в неразрывном единстве.

В XIX и особенно в XX веке с увеличением количества высших учебных заведений и профессионализацией высшего образования принципы гумбольдтовской модели классического университета, стали вытесняться принципами и методами авторитарной педагогики. До середины XX века эти процессы в значительной мере компенсировались тем, что высшее образование оставалось образованием для немногих и характеризовалось высоким уровнем подготовки учащихся и их мотивации к учебе, научной компетентностью профессуры. С конца 60-х годов с ростом массовости высшего образования ситуация кардинальным образом начала ухудшаться, что, в первую очередь, проявилось в снижении среднего уровня подготовленности абитуриентов и их интереса к учебе в вузе. Постепенно в высшей школе стала доминировать авторитарная педагогика с такими средствами, как обязательные задания, типовые расчеты, детальные учебные планы и рабочие программы, а также разнообразными методами принуждения студентов к учебе.

Таким образом, в настоящее время перед высшей школой возникли проблемы, аналогичные тем, которые возникли в XVII веке в связи с переходом к массовому начальному образованию, когда заметное расширение круга учащихся обострило потребность в новых, эффективных формах, методах и средствах обучения. Думается, что назрела необходимость перестроить преподавание в высшей школе, организовав его в соответствии с системой Коменского, модифицированной применительно к современным условиям, и на этой основе внедрить методы проблемного обучения, т. е. синтезировать педагогические системы античности, раннего Средневековья и Нового времени. Наши представления о реализации классической дидактической системы массового образования (системы Коменского) в современной высшей школе изложены в работе [4]. В данной статье предлагается инкорпорировать методы проблемного обучения в систему Коменского. Это необходимо

постольку, поскольку реализация классической дидактики в педагогической практике вырождается в авторитарную педагогику, когда основными способами овладения новыми знаниями и умениями являются запоминание и упражнение, учащийся “становится интеллектуальным иждивенцем, постоянно обслуживаемым учителем” [1]. Напротив, проблемное обучение “основано не только на усвоении готовых знаний, но и на создании новых, на исследовательской работе учащихся” [5]. (Неслучайно в зарубежной педагогике чаще используется термин “метод открытий”.) Поэтому проблемное обучение предохраняет педагогическую систему от авторитаризма, способствует развитию познавательной потребности учащегося и становлению творческой личности. С другой стороны, реализация системы Коменского в массовом профессиональном образовании позволяет следовать образовательным стандартам и учебным планам, а её современная модификация [6] с использованием новых информационных технологий высвобождает много времени, столь необходимого для проблемного обучения.

Основная цель проблемного обучения — пробуждать интерес студентов к учебе и направлять в самостоятельных поисках истины, мобилизуя не только их интеллектуальные, но и эмоциональные ресурсы для лучшего восприятия, осмысления и запоминания учебного материала. Фундаментом методики проблемного обучения служат психологические закономерности процесса познания.

§2. ПСИХОЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПРОБЛЕМНОГО ОБУЧЕНИЯ

Важнейшим компонентом проблемного обучения является создание условий, при которых у учащихся возникает потребность в познании — основной источник психического развития человека. Таким “условием развития познавательной мотивации учащихся являются проблемные ситуации, стимулирующие преодоление задаваемого прошлым опытом психологического барьера и ведущие к возникновению новых познавательных потребностей” [7].

Проблемная ситуация ощущается как дискомфорт от близости к границе известного. Возникает потребность отодвинуть эту границу и восстановить интеллектуальный комфорт. Более любознательны и активны те, у кого граница известного и неизвестного более резкая. Полузнания делают человека пассивным и равнодушным. Л. Д. Кудрявцев в числе наиболее существенных недостатков первокурсников, не позволяющих им надлежащим образом изучать высшую математику и затем эффективно применять математические методы в решении прикладных задач, отмечал неумение студентов отличать то, что они понимают от того, что они не понимают; неумение вести диалог: понять вопрос преподавателя и ответить именно на него, а также сформулировать свой вопрос; стереотипность восприятия информации, искаженные и даже неверные стереотипы. Поэтому одной из важнейших задач проблемного обучения является необходимость максимально четко отделять то, что учащиеся знают, от того, что им только кажется известным, т. е.

преподавателю приходится не только систематически разрушать интеллектуальную гармонию очевидности, но и обучать студентов делать это самостоятельно, подвергая постоянной рефлексии имеющийся у них опыт. Ниже мы продемонстрируем реализацию целей проблемного обучения в курсе высшей математики на примере преподавания темы “Свойства функций, непрерывных на отрезке”.

Обычно при изложении этой темы на лекции или в учебнике студентам сначала сообщается определение непрерывной на отрезке [а, Ь] функции. Затем формулируются и доказываются теоремы, описывающие свойства таких функций, причем связь данного определения с этими свойствами (например, достижимостью экстремальных и всех промежуточных значений, существованием нуля) для студентов остается закрытой. Можно предположить, что именно по этой причине в некоторых учебниках формальным доказательствам свойств непрерывных функций предшествуют графические пояснения. Кроме того, программы ряда инженерных специальностей не позволяют с достаточной строгостью доказать все свойства, поэтому либо все доказательства опускаются, либо одни свойства формулируются без доказательства, а другие доказываются с опорой на первые. Очевидно, что такое сообщение студентам новых сведений не может стимулировать их познавательную активность, поскольку предварительно не была сформирована потребность в том, чтобы узнать это новое — не выявлена проблемная ситуация. В условиях проблемного обучения изложение этой темы может выглядеть, например, так.

На первом, подготовительном, этапе выявляются имеющиеся у студентов знания. Для этого полезно обсудить, какие свойства функций известны студентам. Обычно они называют свойства периодичности, четности и ограниченности, причем последнее — после наводящих вопросов или примеров. Затем задается вопрос: “Какие из перечисленных свойств присущи всем непрерывным функциям и только им?” Отметим, что этот вопрос можно назвать проблемным, поскольку он позволяет обобщить понятие “свойства функции”. Действительно, в результате обсуждения ответов студенты самостоятельно делают очень важный вывод о том, что во всех случаях, когда речь идет о свойствах некоторого класса функций, должны выполняться два условия:

1) данным свойством обладают все функции указанного класса;

2) среди функций, не принадлежащих указанному классу, найдется такая, которая этим свойством не обладает.

Следующий вопрос, который обсуждается на подготовительном этапе, — определение функции, непрерывной на отрезке. Целесообразно, чтобы студенты попытались сделать это самостоятельно, а затем обсудить разные определения, особо выделив определение непрерывной функции, приписываемое Эйлеру, как функции, график которой можно начертить, не отрывая карандаша от бумаги*. Опыт показывает, что в итоге студенты сами приво-

* Определение Эйлера — это определение кусочно-гладкой, а не непрерывной функции: есть непрерывные функции, график которых нельзя нарисовать, напр., функции, недифференцируемые ни в одной точке.

дят соответствующие примеры и контрпримеры и убеждаются, что из известных им свойств функций непрерывным функциям присуще лишь одно -ограниченность. Возникает потребность выяснить, какими еще свойствами обладают непрерывные функции — потребность в новом, неизвестном знании. Так выявлена проблемная ситуация. Далее необходимо сформулировать конкретное проблемное задание, приводящее к формулировке теоремы. В проблемном обучении студентам целесообразно сообщать только часть теоремы: например, сообщается её условие, а заключение они должны найти самостоятельно, или наоборот, студентам сообщается заключение теоремы, а условия, при которых оно верно, они должны найти самостоятельно. Например, теорему Больцано - Коши можно ввести так:

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а, Ь] и на его концах принимает ненулевые значения разных знаков, то каким свойством обладает любая такая функция?

В соответствии с принципом “разумной строгости” для ответа на поставленный вопрос можно разрешить студентам воспользоваться эйлеровым определением непрерывной функции и самостоятельно сформулировать утверждение о существовании точки £ G (а, Ь), в которой /(£) = 0. В данном случае применение принципа “разумной строгости” снимает проблему — существование нуля у непрерывной функции становится очевидным и его строгое доказательство не кажется студентам необходимым. Заметим, что подобная ситуация в обучении математике довольно распространена. Недаром говорят, что математики доказывают очевидные вещи неочевидными методами. С этим связаны два подхода.

Первый подход основан на таком понимании принципа разумной строгости, когда доказательства упрощаются, заменяются графическими пояснениями — делаются очевидными. Второй подход — проблемный — состоит в том, чтобы убедить студентов, что очевидные “вещи” только кажутся таковыми в силу ограниченности знаний и стереотипов предшествующего опыта. Преподавателю приходится приводить немало доводов в пользу действительного наличия предмета сомнений. Мы полагаем, что к подлинному развитию личности ведет лишь второй путь, а первый — к умственной лени, воинственному невежеству, презирающему подлинно научные исследования. На этом пути были исключены из программ технических вузов доказательства теорем существования.

Таким образом, один из способов проблемного обучения — борьба с “очевидным”. Так поступали софисты с помощью парадоксов, Сократ — в своих лекциях-беседах, схоласты — в своих диспутах.

Возвращаясь к нашему примеру, отметим, что для того, чтобы сохранить мотивацию студентов, придется либо разрушить их представления об очевидности существования нуля у функции, непрерывной на отрезке, либо переформулировать проблемное задание.

В первом случае можно предложить студентам построить график функции у = х2 — 2, заданной на множестве [0, 2] П Q, где Q — множество рациональных чисел, и обсудить проблемы, связанные с полнотой (отсутствием “дырок”) отрезка вещественной оси.

Во втором случае можно дать новое проблемное задание (задачу):

Как найти корень уравнения f(x) = 0 на интервале (а, Ь) при условии, что f(x) непрерывна на [а, Ь] и /(а) • f(b) < О?

Важно, что такая задача вполне реальна и необходимость научиться её решать не вызывает у студентов сомнения. В то же время метод половинного деления (бисекции), с помощью которого решается поставленная задача, одновременно является формальным доказательством теоремы Больцано-Коши (при этом студенты легко воспринимают лемму о вложенных промежутках, даже если до этого они не были с ней знакомы). К сожалению, в настоящее время второй путь затруднен из-за того, что численные методы исключены из курса высшей математики, что является серьезным ударом не только по проблемности в обучении математике, но и разрушает в умах учащихся характерное для математики единство аналитических, геометрических и вычислительных методов научного исследования. Отсутствие численных методов в программах по высшей математике (и в учебниках) привело к тому, что из учебного материала исчезли проблемы и остались лишь готовые результаты их разрешения в виде соответствующих теорем.

Аналогичным способом можно выявить, сделать ощутимой для студентов проблемную ситуацию при формулировке и доказательстве свойства достижимости экстремальных значений. В заключение весьма полезно обсудить вопросы, касающиеся имманентности сформулированных и доказанных свойств классу функций, непрерывных на отрезке. Например, можно уточнить, что свойством ограниченности на отрезке обладают не только непрерывные, но также локально ограниченные и кусочно-непрерывные функции, привести соответствующие примеры. Этот аспект особенно важен при обучении математике будущих инженеров по следующей причине. Математика всегда изучает свойства, имеющиеся у всех объектов из широкого класса. Студенты (и инженеры) обычно не умеют объединить объекты в класс, концентрируют внимание на одном объекте и теряются в его многочисленных несущественных свойствах.

Приведенный пример также показывает, что той или иной проблемной ситуации предшествует специальная работа преподавателя по выявлению имеющихся и сообщению новых, необходимых для её возникновения, знаний и действий. Последние, в свою очередь, либо приобретаются проблемным путем (например, при ответе на проблемные вопросы), либо имеют характер воспроизведенных знаний, полученных из сообщений преподавателя. В этой связи отметим психологический аспект, который необходимо учитывать лектору (или автору учебника). Самостоятельная познавательная деятельность учащихся активизируется тогда, когда они сталкиваются с каким-либо интеллектуальным затруднением, однако разрешение этого затруднения должно находиться в пределах их интеллектуальных возможностей. Подчеркивая важность выработки стратегии обучения для умствен-

ного развития учащегося, Л. С. Выготский писал: “Обучение только тогда хорошо, когда оно идет впереди развития. Тогда оно пробуждает и вызывает к жизни целый ряд функций, находящихся в стадии созревания, лежащих в зоне ближайшего развития” [8]. Поэтому в проблемном обучении столь важен подготовительный этап, в ходе которого преподаватель составляет суждение об индивидуальных возможностях учащихся как по тем вопросам, которые они задают в ходе обсуждения, так и по тем ошибкам, которые они допускают, отвечая на вопросы или выполняя усваиваемые действия, поскольку эти ошибки свидетельствуют не только о недостаточности их знаний и умений, но и об их возможностях, т. е. характеризуют зону ближайшего развития и позволяют преподавателю очертить круг ближайших проблем, доступных пониманию учащихся. Показательно, что в зарубежной педагогике существует обширная литература, посвященная анализу ошибок и их роли в выработке в стратегии школьного обучения (см., например, [9] и цитируемую там литературу). В ряде случаев ошибки учащихся прямо приводят к проблемным ситуациям, на чем основан педагогический прием инициации коллективных ошибок с целью выявления проблемных ситуаций. Есть еще “великие ошибки” в истории математики, и их анализ также является мощным средством формирования интереса к изучению математики.

Во всех способах обучения, которые имеют проблемный характер, традиционно выделяют два этапа (помимо подготовительного):

1) постановка практического или теоретического задания, выявляющего проблемную ситуацию;

2) поиск неизвестного в этой проблемной ситуации путем самостоятельного (или совместно с преподавателем) исследования.

Нам представляется, что на первом этапе происходит осмысление и анализ проблемной ситуации, в результате чего формулируется задача (или несколько задач), решение которых на втором этапе приводит к установлению новых понятий, отношений, способов или условий действия, т. е. к разрешению проблемной ситуации. Некоторые исследователи (напр., [5]) добавляют еще один этап, который, на наш взгляд, особенно важен в математическом образовании инженеров: проверка решения и систематизация полученной информации.

Процессы овладения новыми знаниями и умениями в проблемных ситуациях подчиняются “общим психологическим закономерностям процесса мышления, конкретные же способы создания проблемных ситуаций в различных учебных предметах должны соответствовать общим принципам методики изучения этого предмета” [1].

§3. ТИПЫ ПРОБЛЕМНЫХ СИТУАЦИЙ И СПОСОБЫ ИХ ВЫЯВЛЕНИЯ

Теория проблемного обучения математике создавалась и развивалась применительно к общему среднему образованию. Очевидно, что методика проблемного обучения в высшей школе имеет свою специфику, связанную с иными целями и задачами профессионального обучения, различиями в воз-

растных и мотивационных характеристиках школьников и студентов. Нельзя не отметить также специфическую черту учебного процесса в вузе -лекционно-семинарскую систему занятий вместо классно-урочной. Характерной чертой обучения высшей математике будущих инженеров является центральная роль задач. Традиционные функции задач — овладение системой математических знаний, умений и навыков, формирование математической культуры и научного мышления, активизация самостоятельной познавательной деятельности. В настоящее время рост объемов и сложности учебной информации сопровождается сокращением количества аудиторных часов на изучение математики. В этих условиях к традиционным функциям задач добавляется функция носителя информации, т. е. теоретические положения сообщаются и усваиваются через задачи. Это означает, что в преподавании высшей математики предпочтительно предлагать студентам наиболее универсальные, общие методы решения задач, обеспечивая тесную взаимосвязь различных разделов курса и систематическое объединение аналитических, геометрических и вычислительных методов.

Методическая структура разрешения проблемной ситуации и следующие из нее этапы решения задач непосредственно связаны с этапами формирования высших психических функций в процессе учебной деятельности. В деятельностных концепциях обучения (А. Н. Леонтьев, П. Я. Гальперин, С. Л. Рубинштейн и др.) в поисковой деятельности учащихся обычно выделяют компоненты ориентации, исполнения и контроля. С этим согласуется общепринятое в методике обучения математике членение процесса решения задачи на четыре этапа [10]:

1) анализ условия задачи (исходных данных и целей);

2) составление плана (алгоритма) решения;

3) реализация плана решения;

4) исследование результата решения.

При таком членении первые два этапа отвечают ориентировочной части деятельности учащегося в процессе решения задачи, третий — исполнительной, четвертый — контрольной. При традиционном обучении центральным является третий (исполнительный) этап, ориентировочной части уделяется недостаточно внимания и времени, а четвертый этап — исследование результатов решения — практически отсутствует. Напротив, в проблемном обучении основное внимание уделяется первым двум и четвертому этапу. Третий (исполнительный) этап деятельности можно и нужно частично или полностью делегировать компьютеру. Так, в частности, экономится время, которого обычно не хватает для реализации четвертого — последнего этапа.

Последний этап решения задачи — исследование результатов — соответствует контрольной части деятельности и может включать в себя следующие компоненты:

- обоснование правильности полученного решения, в том числе проверку использованного алгоритма и самого результата;

— обсуждение вопроса об оптимальности выбора алгоритма;

- выявление новых знаний, умений и навыков, приобретенных в результате решения задачи (или нескольких задач).

В силу специфики математической подготовки инженеров последний этап целесообразно дополнить обсуждением возможных расширений и обобщений исходной проблемы и примененного алгоритма её разрешения, практических применений новых знаний и умений в решении учебно-исследовательских и профессиональных задач, а также тех областей знания и конкретных задач, где могут использоваться полученные результаты.

К сожалению, в традиционном обучении мы обычно заканчиваем там, где, согласно методике проблемного обучения, начинается важный этап -исследование результатов и систематизация полученных знаний. Например, создается впечатление, что исследование функций на экстремум нужно лишь для построения их графиков, хотя, по словам Эйлера, “в мире не происходит ничего, в чем не был бы виден смысл какого-нибудь максимума или минимума”. Таким образом, освоив методы решения простейших задач на экстремум функции одной и нескольких переменных, студенты должны убедиться в том, что, во-первых, их можно непосредственно применить для решения прикладных задач в соответствии с будущей специальностью, а во-вторых, эти методы могут быть обобщены для решения более сложных задач. Опыт показывает, что студенты вполне успешно самостоятельно осваивают элементы вариационного исчисления, применяя освоенные ими методы к решению простейшей задачи об экстремуме функционала.

Особого внимания заслуживает обоснование выбора методов. Так, целесообразно в курсе линейной алгебры использовать операторный подход, поскольку он плодотворен при изучении линейных дифференциальных уравнений и систем, уравнений математической физики, а также при изучении линейных систем в общетехнических дисциплинах (теоретические основы электротехники, теплотехники и т.п.). Обоснование выбора того или иного метода не всегда доступно во всей полноте студентам на первом этапе обучения. И все-таки нам представляется уместным везде, где это возможно, очерчивать те проблемы, с которыми студентам еще только предстоит встретиться. Например, после того как студенты научились строить ортогональный базис в евклидовом пространстве методом Грама-Шмидта, целесообразно познакомить их с подобной проблемой в бесконечномерном (гильбертовом) пространстве, обсудить её специфику и, главное, очертить спектр профессиональных задач, при решении которых она возникает. Так будет заложен первый камень в основание изучения рядов Фурье по полным ортогональным системам.

В обучении, в отличие от производственной и исследовательской деятельности, проблемные ситуации приходится выявлять, т. е. делать явными и ощутимыми для учащихся, в том числе, на уровне эмоций. Эта цель достигается на подготовительном этапе проблемного обучения, на котором имеющиеся у студентов знания и умения расширяются и углубляются, т. е. создается необходимая база для выявления проблемной ситуации.

В условиях лекционно-семинарской системы обучения высшей математике проблемные ситуации выявляются (и создаются) на лекциях — в основном, при изложении теоретического материала и на практических занятиях — при обучении методам решения задач. Кроме того, непременным компонентом проблемного обучения является домашняя работа учащихся по выполнению проблемных заданий преподавателя, в том числе, самостоятельное овладение новыми разделами математики с помощью печатных и электронных учебных пособий, справочной и монографической литературы, а также ресурсов Интернета.

Опишем пять основных типов проблемных ситуаций и приведем примеры их реализации при изучении высшей математики.

I. Проблемная ситуация возникает в результате выявления противоречия между новой информацией и теми знаниями и представлениями, которые сформировались у учащихся в результате предшествующего опыта. В этом случае задача преподавателя состоит в том, чтобы подвести учащихся к необходимости вводить новые понятия, а также расширять и/или принципиально изменять имеющиеся представления, чтобы устранить выявленное противоречие. Подчеркнем, что это не является искусственным методическим приемом — именно так эти понятия и возникали, о чем свидетельствует история науки.

Пример 1.1. В 1494 г. францисканский монах Лука Пачоли опубликовал книгу “Сумма арифметики”, содержащую всё, что было известно на тот момент по арифметике, алгебре и тригонометрии. Пачоли закончил свою книгу замечанием, что при современном ему состоянии науки решение кубических уравнений типа ж3 + рх = q столь же невозможно, как квадратура круга. Вызов Пачоли был принят математиками Болонского университета Сципионом дель Ферро, Тартальей и Кардано. Эта драматичная и поучительная глава в истории науки важна для нашего исследования тем, что к необходимости введения комплексных чисел привела проблемная ситуация, связанная с решением кубического (а не квадратного, как в современных учебниках!) уравнения

(1)

Формальная подстановка выражения

(2)

в уравнение (1) превращает его в тождество. На этом основании можно сделать вывод, что (2) — это формула для корня кубического уравнения (Кардано, 1545 г.). Однако, если уравнение (1) имеет только вещественные корни (так называемый “неприводимый случай”), то, воспользовавшись теоремой Виета, можно доказать, что д2/4 + р3/27 < 0.

Следовательно, чтобы применять формулу Кардано для отыскания вещественных корней, нужно уметь извлекать корни из отрицательных чисел. Проблемная ситуация заключается в том, что выявившаяся необходимость

извлекать квадратные корни из отрицательных чисел вступила в противоречие с господствовавшими представлениями о том, что такие корни не существуют. Эту проблемную ситуацию Кардано разрешить не смог, хотя и признал существование этих корней, назвав их “вымышленными” числами. Решение было дано болонским математиком Рафаэлем Бомбелли, который в книге “Алгебра” (1572 г.) впервые описал правила действий с комплексными числами и их применение к неприводимому случаю кубического уравнения. Пример 1.2. Сумма сходящегося ряда из непрерывных функций

равна 1 при х ф 0 и 0 при х = 0, т. е. разрывна в точке х = 0. Проблемная ситуация здесь состоит в том, что известная учащимся теорема о непрерывности суммы непрерывных функций имеет границы применимости и в случае суммы бесконечного числа слагаемых приводит к необходимости ввести новое понятие равномерной сходимости. В этой связи полезно рассказать студентам о том, что Коши — автор строгих определений предела функции и понятия сходимости ряда — сформулировал в 1823 г. неверное утверждение о непрерывности суммы сходящегося ряда непрерывных функций. В 1826 г. Н. Х. Абель опроверг это утверждение с помощью контрпримера. Необходимое для разрешения этой проблемы понятие равномерной сходимости ряда появилось в работах Дж. Стокса и Л. Зайделя в 1848 г. Сам Коши ввел это понятие в 1853 г. и уточнил свое утверждение о непрерывности суммы непрерывных функций для равномерно сходящегося ряда.

Эти примеры показывают, что проблемное обучение сообразно историческому подходу к изложению материала. Принцип историзма должен занять свое место в системе принципов, составляющих основу дидактики современного высшего образования. То, что мы знаем и умеем, родилось в результате разрешения тех или иных проблемных ситуаций. История науки — это история выявления заблуждений и их устранения. Подобными примерами богата не только история математики, но и физики (вечный двигатель, эфир, теплород), химии (философский камень) и других наук. Заметим, что глубокие математические проблемы зачастую известны нам в виде пророчеств, мифов, исторических анекдотов или головоломок (делосская задача удвоения куба, задача Дидоны, клятвопреступление Кардано, винные бочки Кепплера и др.). Рассказы об этом могут послужить дополнительным средством повышения интереса к изучению математики, особенно, если преподаватель обозначит связь, существующую между этими проблемами и, на первый взгляд, весьма далекими от них областями математики — теорией вещественного числа, теорией групп, вариационным исчислением и т. п.

II. Проблемная ситуация создается путем формулирования теоретических утверждений в виде задач, для решения которых необходима трансформация имеющихся знаний и умений, освоение новых областей их приложений. Так реализуется главная цель обучения, которая, по выражению Спенсера, состоит в том, чтобы “систематически побуждать учащихся к самостоятельным открытиям”.

Пример II.1. Аналитическая геометрия изучается как приложение векторной алгебры к решению следующих задач: вывести уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору, уравнение плоскости, проходящей через три данные точки, канонические уравнения прямой в пространстве и т. п. При таком подходе (в отличие от рецептурного) студенты усваивают общий метод получения искомых уравнений, учатся исследовать условия применимости метода и случаи однозначного и неоднозначного решения, а также отсутствия решения.

Пример II.2. Ряд Тейлора изучается в результате решения задачи о разложении функции в степенной ряд. В ходе решения этой задачи студенты самостоятельно приходят к ряду Тейлора, получают условия разложимости функций в ряд Тейлора и обосновывают единственность такого разложения.

Пример II.3. Получение достаточных условий экстремума функции нескольких переменных с использованием формулы Тейлора и методов приведения квадратичной формы к каноническому виду, изученных в курсе линейной алгебры.

III. Проблемные ситуации создаются путем установления аналогий между свойствами известных объектов и использования обобщений для введения новых объектов и понятий.

Пример III.1. Одинаковые свойства операций сложения и умножения на число в различных множествах (геометрические векторы, матрицы, функции) позволяют ввести общее понятие линейного пространства.

Пример III.2. Задача о разложении функций в ряды Фурье по произвольным ортогональным системам ставится и решается как обобщение задачи о разложении вектора по ортогональному базису в конечномерном евклидовом пространстве.

IV. Проблемно-ориентированное обучение решению стандартных учебных задач включает в себя все этапы проблемного обучения, о которых говорилось выше: общую постановку задачи, составление алгоритма (плана) решения, реализацию алгоритма, проверку и исследование результатов.

Эффективность проблемно-ориентированного обучения решению учебных задач существенно зависит от классификации этих задач и выбора методов их решения. Так, качество разбиения задач на классы в Решебниках “Высшая математика” под ред. А.И.Кириллова [11, 12] определяется возможностью сформулировать общие планы решения задач каждого класса и минимальностью количества классов. Здесь надо иметь в виду, что использование компьютерной поддержки с помощью обучающего компьютерного пакета РЕШЕБНИК.ВМ [13] позволяет применять наиболее общие (хотя и более громоздкие) методы решения задач. Заметим, что классифицировать задачи можно не только по методам, но и по объектам, как это обычно делается в школе.

При использовании книг серии Решебник на практических занятиях важными компонентами проблемного обучения являются выявление круга задач, решаемых по единому алгоритму, обсуждение теоретического ядра (базиса решения) и дискуссия о выборе метода, учитывающая внутридисциплинарные и межпредметные связи, а также прикладную направленность и профессиональную ориентацию обучения.

V. Самостоятельное изучение новых разделов математики как применение и расширение уже имеющихся знаний и умений. Примеры:

• разложение вектора по базису — ряды Фурье;

• ортогональные операторы — преобразование Фурье;

• экстремумы функций нескольких переменных — экстремум функционала — вариационное исчисление.

Во всех подобных случаях перед студентами сначала ставится задача, которую они решают по аналогии с уже известной, затем следует построение теории. Такой подход опирается на положение Дж. Брунера: “Оптимально построенный учебный процесс отражает предшествующий материал и позволяет учащемуся делать обобщения, выходящие за пределы данной темы” [14].

Разумеется, мы далеко не исчерпали всего многообразия подходов к проблемному обучению высшей математике. В частности, очень эффективен исторический подход к формированию проблемной ситуации. К сожалению, нам известен единственный пример этого рода, используемый в обучении математике: задача о площади криволинейной трапеции, приводящая к понятию интеграла Римана. Заметим, что и эту задачу целесообразно сформулировать в более общем виде как проблему отыскания площадей под различными кривыми. Можно предложить перечень проблем подобного рода, многие из которых являются заглавными в трудах великих математиков прошлого, например, у Архимеда: “О квадратуре параболы”, “Об измерении круга”, “О спиралях”, “О шаре и цилиндре”, “О коноидах и сфероидах”; у Ферма: “Метод отыскания наибольших и наименьших значений”; у Лейбница: “Новый метод для максимумов и минимумов, а также для касательных”...

Разнообразные примеры создания проблемных ситуаций в обучении математике можно почерпнуть в книге Д. Пойа “Математика и правдоподобные рассуждения”, руководствуясь словами автора: “Математическое мышление не базируется на одних лишь аксиомах и строгих доказательствах, а включает в себя, помимо этого, и многое другое: обобщение рассмотренных случаев, применение индукции, использование аналогии... нужно всеми средствами обучать искусству доказывать, не забывая при этом также об искусстве догадываться” [15]. Чтобы реализовать эти положения, нужна база для индуктивных умозаключений. Неоценимую помощь в создании такой базы может оказать компьютер.

§4. СПЕЦИФИКА ПРОБЛЕМНОГО ОБУЧЕНИЯ ТАНДЕМА “СТУДЕНТ + КОМПЬЮТЕР”

Главную примету нашего времени подметил известный математик Г. Биркгофф еще в 1969 году: “... мы можем предвидеть все более растущий симбиоз человека и машины, в котором каждый партнер выполняет задачи, наиболее для него подходящие”. Об этом же писал Е. Мамфорд в 1972 году: “Возрастает интеллектуальное признание того факта, что все системы являются человеко-машинными... ”. В образовании это означает, что в ком-

пьютеризированном обществе цели обучения должны определяться как по отношению к студенту, так и к программному обеспечению его компьютера, а также к умению студента использовать компьютер для выполнения учебных и учебно-исследовательских работ. Таким образом возникает новый объект обучения — тандем “студент + компьютер”.

Важнейшим для организации проблемного обучения математике представляется то обстоятельство, что ориентация студентов на использование компьютера может стать источником создания проблемных ситуаций нового типа, в основе которых, по нашему мнению, лежит положение Винера: “Отдайте же человеку — человеческое, а вычислительной машине — машинное”. Это положение означает, что при обучении тандема проблемные ситуации, наряду с теми, о которых говорилось выше, выявляются при обсуждении следующих вопросов на лекциях и практических занятиях [6]:

1) Какие из освоенных умений надо передать компьютеру, а какие оставить человеку и почему?

2) Как обучить компьютер новым умениям?

3) Как грамотно пользоваться новыми умениями компьютера и как контролировать его ответы?

4) Как модифицировать модули электронного учебного пособия после изучения темы?

Важнейшим компонентом проблемного обучения тандема является возможность организации в диалоге с компьютером “получения человеком таких знаний о свойствах проблемной ситуации, которые... недоступны или принципиально закрыты для самостоятельного их выявления безмашинными средствами” [15].

Пример 1. Приближенные вычисления интегралов

показывают, что до тех пор, пока требуемая абсолютная погрешность невелика (до 0,0001), численное интегрирование в обоих случаях можно выполнить по любой приближенной формуле (трапеций, Симпсона). Использование компьютера позволяет увидеть, что приближенные формулы в первом случае позволяют получить результат с гораздо более высокой точностью, а во втором — нет. Проблемная ситуация заключается в том, что этот результат противоречит тем знаниям, которыми владеет студент 1-го курса, поскольку он не видит принципиальных различий между двумя подынтегральными функциями: обе везде дифференцируемы и их графики очень похожи. Компьютер побуждает искать принципиальное различие между функциями е~х и 1/(1 + ж2). И это различие мы начинаем видеть, рассматривая их как функции комплексной переменной. Грубо говоря, погрешность формулы тем больше, чем ближе к пути интегрирования находятся особенности подынтегральной функции. Поскольку функция e~z аналитична на всей комплексной плоскости, её ряд Тейлора сходится при всех z. Функция 1/(1 + z2) имеет полюса z = ±г и разложима в ряд Тейлора только в круге \z\ < 1. Это озна-

чает, что её производные в нуле быстро растут (как факториалы). Чтобы объяснить этот факт студентам 1-го курса, достаточно использовать известные им разложения обеих функций вещественной переменной и напомнить, что в формулы оценки погрешности вычислений входят производные высших порядков. Этот пример показывает, каким образом можно с помощью компьютера выявлять сложность понятия определенного интеграла как предела интегральных сумм, поскольку при непосредственном практическом применении этого понятия приходится складывать много малых чисел, что всегда чревато ошибками.

Надо иметь в виду, что использование компьютера может не только выявить, но и скрыть тот или иной феномен.

Пример 2. При компьютерном вычислении суммы гармонического ряполучается не бесконечность, а некоторое число, тем большее, чем меньше так называемый “машинный ноль”. Для разрешения проблемной ситуации целесообразно вычислить предел

Это покажет студентам, что на самом деле гармонический ряд расходится, а также позволит ввести эйлерову постоянную и вычислить её значение.

Следующий пример показывает, что использование компьютера позволяет выявлять, обсуждать и разрешать такие проблемные ситуации, которые возникают при традиционном обучении, но по разным причинам игнорируются или затушевываются.

Пример 3. Использование так называемой универсальной подстановки t = tg (ж/2) приводит к формулам типа

(3)

Проблемная ситуация заключается в том, что исходный интеграл от непрерывной функции в левой части равенства (3) является дифференцируемой и, следовательно, непрерывной функцией при всех ж, а функцию в правой части (3) необходимо “сшить” в точках х = ттк, подбирая постоянную С на каждом интервале периодичности так, чтобы эта функция тоже стала непрерывной при всех x.

Обычно эта проблема либо вообще игнорируется, либо при введении новой переменной t = tg(x/2) ограничиваются интервалом (—7г,7г), а после того, как получен результат, делается оговорка о его 27г-периодичности. Если предложить студентам вычислить интеграл с помощью какого-нибудь математического пакета, то компьютер выдаст результат в совершенно иной форме:

(4)

Здесь открываются богатейшие возможности для обсуждения различия формул (3) и (4), геометрических интерпретаций (в том числе, построения графиков функций в правых частях (3) и (4) на разных промежутках при разных значениях С), а также обсуждения вопроса о том, что такое “произвольная постоянная” — число или функция.

В этой связи отметим, что в настоящее время часть математических исследований трансформировалась в деятельность по созданию математических пакетов. Полученные там результаты близки к курсу высшей математики и нуждаются в педагогической переработке. Во взаимодействие “человек -компьютер” должны быть включены процедуры объяснения, как и почему компьютер получает то или иное решение задачи. К сожалению, это не всегда возможно, в частности, из-за закрытости алгоритмов вычислений в системах символьной математики. Поэтому нам неизвестен алгоритм, с помощью которого получена формула (4).

Приведенные примеры показывают, что при обучении тандема необходимо выявлять (или конструировать) такие проблемные ситуации, которые порождаются несоответствием имеющихся у учащегося ожиданий с информацией, полученной от компьютера. В психологической литературе подобные несоответствия объединяются понятием “когнитивного диссонанса”. Когнитивный диссонанс, порожденный взаимодействием студента с компьютером, может служить механизмом активизации познавательной деятельности учащихся.

Дополнительные возможности, которые создает использование компьютера в проблемном обучении тандема, связаны с идеями Пойа и Фройденталя [16] о важной роли индукции и других приемов “правдоподобных рассуждений” в формировании математического мышления учащихся. Как мушка-дрозофилла, благодаря чрезвычайной скорости её размножения, явилась источником бесценного экспериментального материала для генетических открытий, так и компьютер благодаря огромной скорости обработки информации вне человеческого мозга способен обеспечить студента (инженера, исследователя) экспериментальным материалом для формирования математических гипотез, справедливость которых еще предстоит доказать.

Разработка специальных заданий, предполагающих использование компьютера (включая его графические возможности) в целях создания основы для индуктивных умозаключений, очевидно, является сложнейшей методической проблемой. Столь же очевидно, что её конкретные решения лектором (или автором учебника) открывают принципиально новые возможности активизации самостоятельной познавательной деятельности учащихся и способствуют воспитанию творческой личности.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

История показывает, что в разные эпохи и в разных странах демократические процессы стимулируют образовательные потребности общества и ведут к заметному расширению круга учащихся. Рост массовости обостряет потребность в технологизации учебного процесса и сопровождается

поисками универсальных методов обучения и формированием образовательной среды (учебных и методических пособий) для реализации этих методов в педагогической практике. Классики педагогической науки Коменский, Песталоцци, Гербарт, Ушинский и их последователи создали и развили дидактику массового школьного обучения, разработали систему дидактических принципов, лежащую в основе авторитарной педагогики, и так называемые “стабильные” учебники для её реализации. С другой стороны, усиление внимания к образовательным потребностям личности, понимание учащегося не только как объекта обучения, но и как равноправного субъекта учебного процесса, выявляет необходимость активизировать познавательную деятельность учащихся и их интерес к учебе, используя методы проблемного обучения и соответствующие учебные и методические пособия.

Так было в истории со времен Перикла, так происходит и в настоящее время. Существенное отличие от предшествующих эпох состоит в том, что в современном постиндустриальном обществе массовым становится уже не начальное или среднее, а высшее профессиональное образование. Следовательно, указанные проблемы педагогической теории, методики и практики становятся насущными проблемами высшей школы.

Вернемся теперь к вопросам, поставленным в начале статьи: о возможности синтеза методики проблемного обучения и традиционной дидактической системы массового профессионального образования и условиях реализации этого синтеза в педагогической практике. Размышления об идеях и методах проблемного обучения математике, изложенные в настоящей статье, дают некоторые основания считать, что при выполнении ряда условий такой синтез возможен и плодотворен. Важнейшими из этих условий, на наш взгляд, являются:

1) модернизация теоретических основ общей и частных методик обучения;

2) перераспределение учебного времени между лекциями, практическими занятиями и самостоятельной работой студентов;

3) расширение образовательной среды в область информационного пространства.

Заметим, что эти условия вполне согласуются с положением Коменского о том, что “... искусство обучения не требует ничего иного, кроме искусного распределения времени, предметов и методов” [3].

Приведем некоторые соображения о перспективах реализации проблемного обучения в педагогической практике высшей школы.

При разработке общей и частных методик обучения необходимо, чтобы включение в традиционную дидактическую систему принципов и методов проблемного обучения не нарушало равновесия в этой системе, т. е. одни дидактические принципы не должны доминировать в ущерб другим и тем более вступать друг с другом в конфликт. Например, принцип проблемности должен сочетаться с системностью изложения, принцип историзма — с принципами посильности и последовательности, и т. д.

Обсуждавшиеся в статье типы и примеры проблемных ситуаций демонстрируют, что применение методов проблемного обучения способствует более эффективной реализации некоторых дидактических принципов: например, автоматически усиливает внутридисциплинарные и межпредметные связи. Проблемное обучение математике тандема “студент + компьютер” открывает принципиально новые возможности активизации самостоятельной познавательной деятельности учащихся, реализации принципов дифференциации и индивидуализации обучения. Кроме того, в методике обучения тандема личностно-ориентированный подход осуществляется в процессе обучения студентом его компьютера. В таком подходе обнаруживается глубокое родство с идеями С. Пейперта о роли компьютера в развитии интеллекта учащегося: “При обучении компьютера, как тому ”думать“, дети приобщаются к исследованию того, как думают они сами. Опыт подобного исследования превращает ребенка в эпистемолога, в исследователя способов познания... ” [17].

Очевидно, что проблемное обучение требует дополнительного времени и дополнительных интеллектуальных усилий как преподавателей, так и студентов. Использование компьютера для выполнения рутинных вычислений и преобразований, графических построений и т. п. позволяет экономить значительное время при выполнении студентами обязательных заданий, типовых расчетов, лабораторных и курсовых работ. Особенно много учебного времени высвобождается в результате внедрения учебных комплексов и коллекций [6]. За счет этого можно без перегрузки студентов существенно увеличить долю учебного материала, предназначенного для самостоятельного изучения, высвободив тем самым время на лекциях и практических занятиях.

В условиях массового высшего образования нельзя рассчитывать на усилия отдельных педагогов-энтузиастов — необходимы соответствующие учебные пособия и методические материалы. Фройденталь, например, предлагает такие способы создания проблемных ситуаций при написании учебников [16]:

- определить некоторое понятие и на его основе доказать теорему, из чего учащиеся поймут, что определение неудачно. Далее заменить определение и заново доказать теорему;

- изложить доказательство не полностью, чтобы иметь возможность задать вопрос: “Чего не хватает?”

Далее Фройденталь сетует на то, что никто не отважится так написать учебник, а если и напишет, то его не опубликуют: “Таково проклятие книгопечатания. Наряду со ”священным писанием“ есть еще ”священное книгопечатание“. .. книга — злейший враг сократовского метода”. Теперь, к счастью, из этого тупика есть выход — создавать электронные учебные пособия, пригодные для совершенствования, модификации и адаптации. Кроме того, такие пособия позволяют разрешить проблему наглядной “эволюции фигур и формул”, необходимую, по мнению Д. Пойа, для активного и осмысленного изучения математики.

Наши исследования [4] показали, что в современном высшем образовании весь комплекс дидактических функций классического учебника могут

выполнить предметные учебные коллекции, состоящие из печатных и электронных учебных и методических пособий по каждой учебной дисциплине (или её большому разделу). Методика и технология создания таких пособий и их использования на лекциях, практических занятиях и в самостоятельной работе студентов весьма подробно представлена в [6].

В заключение еще раз напомним о необходимости скорейшего внедрения методов проблемного обучения в практику высшего образования — у нас просто нет иных способов пробудить интерес студентов к предмету и усилить их мотивацию к учебе. Игнорирование методики проблемного обучения в массовом высшем образовании является одной из причин резкого снижения качества фундаментальной подготовки специалистов. Развивая весьма категоричное положение психологов о том, что “если в системе мотивов учащегося полностью отсутствуют познавательные мотивы..., то его деятельность нельзя назвать учебной” [7], можно сказать, что обучение, которое не является проблемным, вообще нельзя назвать обучением.

ЛИТЕРАТУРА

1. Матюшкин А.М. Проблемные ситуации в мышлении и обучении. — М.: Педагогика, 1972.

2. Грановский Т.Н. Лекции по истории Средневековья. — М.: Наука, 1986.

3. Коменский Ян Амос. Избранные педагогические сочинения. — М.: Педагогика, 1982.

4. Зимина О. В. Дидактические аспекты информатизации высшего образования // Вестник МГУ. Сер. 20. 2005. №1. С. 17-66.

5. Оконь В. Введение в общую дидактику. — М.: Высшая школа, 1990.

6. Зимина О. В. Печатные и электронные учебные издания в современном высшем образовании: Теория, методика, практика. — М.: Изд-во МЭИ, 2003.

7. Машбиц Е. И. Психолого-педагогические проблемы компьютеризации обучения. — М.: Педагогика, 1988.

8. Выготский Л.С. Собрание сочинений. — М.: Педагогика, 1984. Т.4. 432 с; Т. 6. 397с.

9. Borasi R. Reconceiving Mathematics Instruction: A Focus on Errors. — Ablex Publishing Corporation. Norwood, New Jersey, 1996.

10. Колягин Ю.М. Задачи в обучении математике. Ч. 1, 2. — M.: Просвещение, 1977.

11. Зимина О. В., Кириллов А. И., Сальникова ТА. Высшая математика (Решебник). — М.: Физматлит, 2004.

12. Афанасьев В. И., Зимина О. В., Кириллов А. И., Петрушко И.М., Сальникова ТА. Высшая математика. Специальные разделы (Решебник). — М.: Физматлит, 2003.

13. Зимина О. В., Кириллов А. И. Обучающий компьютерный пакет РЕШЕБНИК.ВМ. www.AcademiaXXI.ru. Гос. регистрация НТЦ Информрегистр номер 0320301148.

14. Брунер Дж. Психология познания. — М.: Прогресс, 1977.

15. Корнилова Т. В., Тихомиров О. К. Принятие интеллектуальных решений в диалоге с компьютером. — М.: Изд-во МГУ, 1990. 191с.

16. Фройденталь Г. Математика как педагогическая задача. — М.: Просвещение, 1982.

THE PROBLEM-ORIENTED MATHEMATICAL EDUCATION IN TECHNICAL UNIVERSITIES

О. V. Zimina

Didactic methods to stimulate the cognitive activity of students are discussed. Various types of problem situations are investigated and examples of their application in higher mathematical education are given. Special attention is paid to the problem-oriented teaching of the tandem “student -f computer”.

Keywords: cognitive activity, didactic system, problem situation, tandem “student -f computer”.

ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ, ПЕРСОНАЛИИ

УДК 929.52

КАК ИЗУЧАЛАСЬ БИОГРАФИЯ Н. И. ЛОБАЧЕВСКОГО (к 150-летию со дня смерти Н. И. Лобачевского)

Г. М. Полотовский

Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского, Россия, 603950, г. Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23, корп. 6; тел.: (8312)657335; e-mail: polot@uic.nnov.ru

Статья посвящена изложению проблем, связанных с историей создания научной биографии Н.И.Лобачевского. Рассказывается о замечательных математиках, физиках, историках, литературоведах, трудами которых были раскрыты некоторые загадки биографии Н.И.Лобачевского. Особое внимание уделяется ряду ошибок и мифов, которыми до сих пор изобилуют публикации о Н.И. Лобачевском.

Ключевые слова: Н.И.Лобачевский, биография.

Нигде так не трудно собирать сведения о действователях во времена прошедшие, как в России. Лица, отличавшиеся полезною, часто громадною деятельностью, почти никогда не оставляют после себя записок или иных материалов для жизнеописания...

Современники не заботятся собирать сведения о знаменитых и замечательных личностях своего времени, а потомкам остается только жалеть о равнодушии и беспечности предков. Так гибнут у нас и деяния и самые имена людей, вполне стоящие того, чтобы не остаться в неизвестности.

А. В. Висковатов (1804-1858), русский историк (написано в 1856 г.)

Выдающийся русский ученый Николай Иванович Лобачевский родился в Нижнем Новгороде 1 декабря (по новому стилю) 1792 года. Обычно именно с такой фразы начинается биографический текст, однако далеко не все знают, какие усилия потребовались, чтобы установить как эти исходные, так и многие другие факты биографии Н. И. Лобачевского. Кроме общей причины, отмеченной в эпиграфе, в данном случае имеется ряд специфических обстоятельств. Прежде всего, это то, что открытие Лобачевского было признано в России (в отличие от западноевропейских стран) лишь почти через пятьдесят лет после его смерти. Кроме этого, казанский пожар 1842 года уничтожил, как полагают, многие документы, касающиеся Лобачевского. Но главной причиной являются, скорее всего, жизненные обстоятельства, побуждавшие Н. И. Лобачевского не афишировать некоторые сведения из своей биографии.

Цель настоящей статьи — напомнить читателю о некоторых1 замечательных математиках, физиках, историках, литературоведах, трудами которых были раскрыты некоторые загадки биографии Н. И. Лобачевского, а также еще раз обратить внимание на ряд мифов, которыми до сих пор изобилуют публикации о Н. И. Лобачевском.

Первым, кто внес выдающийся вклад в дело пропаганды научных результатов Н. И. Лобачевского и восстановления памяти о нем, был профессор Казанского университета математик Александр Васильевич Васильев (1853-1929), сын выдающегося китаеведа академика В.А.Васильева. После окончания в 1874 г. Петербургского университета А. В. Васильев в 1879 г. был направлен для подготовки диссертации за границу. Он слушал лекции К. Вейерштрасса и Л. Кронекера в Берлине, Ш. Эрмита в Париже, познакомился с другими известными европейскими математиками. С 1887 г. А. В. Васильев — профессор Казанского университета, с 1907 г. — профессор различных институтов в Петербурге, с 1923 г. он жил в Москве.

А. В. Васильев был инициатором и главным организатором празднования столетия со дня рождения Н.И.Лобачевского в Казани в 1893(!) году. По случаю этого юбилея Казанский университет получил приветствия от Академии наук, от многих российских институтов, приветствия прислали Д. И. Менделеев, С. Ли, Ж. Таннери, Ф. Клейн, П. Л. Чебышев, А. А. Марков, Н. Г. Столетов. В приветствии профессоров Сорбонны, подписанном П. Аппелем, В. Буссинеском, Вольфом, Г.Дарбу, Э. Пикаром, А.Пуанкаре, Ф. Тиссераном, Ш. Эрмитом, говорится: “Лобачевский оставил в геометрии славный неизгладимый след. Мы все присоединяемся к торжественному празднованию его юбилея. Примите по этому случаю наши самые сердечные пожелания Казанскому университету и русской науке”.

А. В. Васильев предложил создать библиотеку “Лобачевскиана”, издать полное собрание трудов Лобачевского, учредить премию имени Лобачевского. По его инициативе для реализации этих целей по подписке был создан капитал “Фонда Лобачевского”. Из процентов на этот капитал и выплачивалась “Премия имени Н. И. Лобачевского Казанского физико-математического общества”. Вот список лауреатов этой премии:2 С. Ли (1897), В. Киллинг3 (1900), Д.Гильберт (1904), Л.Шлезингер (1909), Ф.Шур4 (1912), Г. Вейль (1927), Э. Картан и В.В.Вагнер5 (1937). В 1895 г. была учреждена медаль “Памяти Н. И. Лобачевского”, которая вручалась рецензентам работ, поступивших на соискание премии. После перерыва, вызванного Второй мировой

1 К сожалению, в рамках этой статьи невозможно упомянуть всех, кто внес вклад в изучение биографии Н. И. Лобачевского и в пропаганду его идей. В частности, ниже почти не будут обсуждаться история открытия неевклидовой геометрии, вклад Н.И.Лобачевского в развитие российского высшего образования, поэтому не будет сказано о касающихся этих вопросов работах Б. Л. Лаптева, П. А. Широкова и других.

2 К сожалению, точность данных, касающихся премий, здесь и ниже не гарантируется — например, в разных источниках указаны разные даты присуждения премий.

3 По жребию с А. Уайтхедом: по положению о премии, если рецензенты признавали достойными несколько работ, то лауреат определялся жеребьевкой.

4 По жребию с Дж. Кулиджем.

5 В этот раз были вручены две равнозначные премии.

войной, премия имени Н. И. Лобачевского перешла в ведение Академии наук. Лауреатами академической премии были Н. В. Ефимов (1951), А. Д. Александров (1951), А. В. Погорелов (1959), Л. С. Понтрягин (1966), Х.Хопф (1969), П. С. Александров (1972), Б. Н. Делоне (1977), С. П. Новиков (1980), А. Н. Колмогоров (1986), Ф. Хирцебрух (1989), В.И.Арнольд (1992), Ю. Г. Решетняк (1999).

В 1906 году — год 50-летия со дня смерти Н. И. Лобачевского — по инициативе А. В. Васильева перед зданием Казанского университета, ректором которого в течение 19 лет был Н. И. Лобачевский, был установлен памятник выдающемуся ученому (скульптор М. Л. Диллон). На памятнике дата рождения не указана (как не была она указана и на надгробии Н. И. Лобачевского на Арском кладбище в Казани) — только дата смерти (12 февраля (по старому стилю) 1856 г.). Очевидно, даже современники не были осведомлены о начальном этапе биографии Н. И. Лобачевского — например, в книге А. Ф. Попова [1] написано: “Н. И. Лобачевский родился в Нижнем Новгороде” (без указания даты), у Е. П. Янишевского в [2]: “Н.И.Лобачевский родился в Макарьевском уезде Нижегородской губернии в 1793 году”; оба утверждения — без ссылок на какие-либо документы.

Наконец, А. В. Васильев многие годы собирал и публиковал данные по биографии Н. И. Лобачевского, а в 1927 г. он завершил фундаментальный труд “Жизнь и научное дело Н. И. Лобачевского”. Однако эту замечательную книгу читатель смог увидеть только в 1992 году: отпечатанный тираж лежал на складе Госиздата, в продажу не поступал и после смерти А. В. Васильева был полностью уничтожен. Эта книга [3] была восстановлена и подготовлена к печати по случайно сохранившемуся оттиску верстки казанскими профессорами В. А. Бажановым и А. П. Широковым.

А. В. Васильев тоже не знал дату рождения Н. И. Лобачевского: столетие со дня рождения Лобачевского отмечалось 22 октября 1893 г., а книга [3] начинается словами “Николай Иванович Лобачевский родился 22 октября 1792 г. в Нижнем Новгороде”. По инициативе А. В. Васильева академик В. И. Вернадский, председатель комиссии по истории знаний, в 1929 г. пишет запрос в Нижегородское краевое архивное бюро: нет ли в архиве документов, “касающихся знаменитого математика Н. И. Лобачевского?” Поиском занялся старший архивариус Иван Иванович Вишневский, и летом 1929 г. ему удалось обнаружить такие документы, в том числе запись в книге исповедных росписей Алексеевской церкви за 1782-1803 гг.6:

"В 1792 году родилось. В ноябре.

5. Рож[дение] 20, кре[щение] 25. Нижегородскаго наместническаго правления у регистратора Ивана Максимова сын Николай... "

Эту запись И. И. Вишневский сразу идентифицировал как метрическую запись о рождении Н. И. Лобачевского, хотя фамилия “Лобачевский” в документе не фигурирует. Впервые сведения о находке И. И. Вишневского были опубликованы в газетной заметке [4].

6 Здесь и ниже архивные документы цитируются по [16].

Деятельность А. В. Васильева по изучению биографии Н. И. Лобачевского и по пропаганде его математических результатов продолжил Вениамин Федорович Каган (1869-1953), известный геометр, профессор Московского университета. В. Ф. Каган увлекся геометрией Лобачевского еще в 1888 г., когда он учился на втором курсе физико-математического факультета Новороссийского университета в Одессе. В 1900 г. он публикует свою первую книгу — “Очерк геометрической системы Лобачевского”. В сороковые годы XX века В. Ф. Каган публикует несколько книг о Н. И. Лобачевском. В книге [5] 1943 г. в качестве дня рождения Н. И. Лобачевского он указывает общепринятую тогда дату 22 октября 1793 г., а местом рождения называет Макарьев. Но уже в следующем году в [6] В. Ф. Каган пишет, что Н. И. Лобачевский родился 20 ноября (по старому стилю) 1792 года в Нижнем Новгороде, ссылаясь на приведенную выше запись в книге исповедных росписей как на метрическую и отмечая при этом, что самой фамилии “Лобачевский” в этой записи нет. Дело в том, что В. Ф. Каган еще в 1943 г. был знаком с копиями материалов, обнаруженных И. И. Вишневским, но по условиям военного времени не мог проверить их подлинность. После опубликования книги [5] В. Ф. Каган при содействии Академии наук получил из Горьковского краевого архива копии всех документов, найденных И. И. Вишневским, а также нескольких новых документов, косвенно подтверждавших данные, которые В. Ф. Каган и опубликовал в [6]. Научное сообщество восприняло эту публикацию весьма настороженно. Например, член-корреспондент АН СССР (впоследствии — академик) П. С. Александров в своей рецензии [8] на книгу [6] писал: “Из того, что 20 ноября 1792 г. у регистратора Ивана Максимова в Нижнем Новгороде родился сын Николай, еще не следует, что у землемера Ивана Максимовича Лобачевского 22 октября 1793 г. сын Николай не родился где-то в Макарьевском уезде Нижегородской губернии”. С другой стороны, в предисловии к [9] по поводу книги [6] написано: “Последней и наиболее полной и достоверной биографией Лобачевского является книга проф. В. Ф. Кагана ”Лобачевский".

Книга [9] требует особого отступления. Её автор, ленинградский литературовед и архивист Л. Б. Модзалевский, сын известного пушкиниста члена-корреспондента АН Б. Л. Модзалевского, начал собирать документы для биографии Лобачевского по инициативе Комиссии по истории АН СССР (КИАН) в 1942 г. в Казани, куда в годы войны была эвакуирована значительная часть АН СССР. В результате его многолетней работы появился фундаментальный труд [9]: на 827 страницах большого формата опубликованы 622 документа, различные воспоминания о Лобачевском, богатый справочный материал. Однако к нижегородскому периоду биографии Лобачевского в [9] относятся только два документа, открывающие книгу, причем первый из них — та самая запись в книге исповедных росписей Алексеевской церкви, фрагмент которой был приведен выше. Тем самым Л. Б. Модзалевский показал, что он признает эту запись как метрическую запись о рождении Н. И. Лобачевского.

Итак, мнения разделились. Нужны были новые аргументы, новые доказательства. По просьбе В. Ф. Кагана президент АН СССР С. И. Вавилов 12 февраля 1948 г. обращается в Горьковский краевой архив. Однако поиск новых документов, связанных с Н. И. Лобачевским, начался в Горьком еще до упомянутого письма С. И. Вавилова — эту работу в конце 1947 года начала группа, созданная академиком А. А. Андроновым.

Александр Александрович Андронов (1901-1952), физик по образованию, имел чрезвычайно широкий круг интересов, в который входила и история науки7. Биографией Н.И.Лобачевского А.А.Андронов заинтересовался еще в 1943 году, он хорошо знал о наличии спорных и неясных мест в начальном периоде этой биографии. В созданную им группу вошли8 архивист-палеограф Н. И. Привалова, сотрудники областного архива М. П. Третьякова, Г. М. Вострякова, А. Н. Коновалова, Я. М. Каган, архитектор Н. В. Ушаков, историк И. Кирьянов. А. А. Андронов не был только формальным руководителем -он с большим энтузиазмом лично участвовал в поисках и исследованиях документов (см. воспоминания в [10], [11]; имя А.А.Андронова сохранилось в Нижегородском областном архиве на сопроводительных листах архивных документов, с которыми он работал), вел большую переписку. В частности, в письме от 18 мая 1948г. А.А.Андронов писал И.Л.Андроникову, надеясь привлечь последнего к поискам: “Биографии великих русских ученых не изучаются или, по крайней мере, пока не изучались с той тщательностью, которая была внесена в последние десятилетия в биографии большинства русских великих писателей... Я думаю, что некоторые из этих биографий столь же поучительны”.

Первая публикация выводов андроновской группы — заметка А. А. Андронова [12] в газете 'Торьковская коммуна“. Работа [13] с развернутым изложением истории вопроса, публикацией архивных документов и их анализом, опубликована уже после смерти А. А. Андронова (эта статья была подготовлена к печати Н.И.Приваловой). Вот заключительные слова из [13]: ”.. .на основании всей совокупности как ранее известных документов, так и документов, найденных И. И. Вишневским в 1929 г., и, наконец, новых документов, найденных работниками Горьковского областного архива в 1947-1948 гг., на основании их изучения и сопоставления необходимо придти к выводу, что величайший русский математик Николай Иванович Лобачевский родился в Нижнем Новгороде 20 ноября 1792 г. (по старому стилю)".

Уже после смерти А. А. Андронова была завершена работа по определению точного местонахождения дома, где Н. И. Лобачевский родился и провел детские годы: в статье Надежды Ивановны Приваловой (1900-1987) [14] доказано, что этот дом находился на углу улиц Алексеевской и Вознесенской (сейчас — Октябрьская).

Позже ленинградский историк Борис Варфоломеевич Федоренко придерживался в [15] другой версии. Эта версия и убедительные контраргументы к ней подробно изложены в книге [16], о которой речь пойдет ниже. Не затрагивая эту тему, о самой книге [15] надо сказать, что она представляет собой итог многолетних изысканий Б. В. Федоренко, построенный по аналогии с книгой Л. Б. Модзалевского [9] (не случайно названия этих книг почти одинаковы). Книга содержит публикации 477 документов, из которых теперь уже

7 О жизни и трудах А. А. Андронова имеется обширная литература. Многочисленные воспоминания об А.А. Андронове свидетельствуют о его исключительных человеческих качествах — см., например, [10], [11] (в [10] имеется список публикаций об А.А.Андронове).

8 Возможно, список ниже неполон — так, в [10] сказано о “нескольких группах историков и архивистов”.

49 относятся к нижегородскому периоду, комментарии, справочный материал. Остановимся на двух очень интересных результатах Б. В. Федоренко. Первый из них — это доказательство того, что на известном “портрете Лобачевского” кисти В. А. Щеголькова изображен вовсе не Н. И. Лобачевский! (См. [15], стр. 350-355.) Второй — убедительная версия расшифровки псевдонима “С. С”, за которым спрятался автор невежественного и злобного отзыва на работу Н. И. Лобачевского “О началах геометрии”, опубликованного в журнале “Сын Отечества и Северный архив” (№41 за 1834 г). По версии Б. В. Федоренко (см. [15], стр. 340-349) автор упомянутого пасквиля — некто Ф. И. Буссе (1798-1859), чиновник, весьма преуспевавший на ниве педагогики, дидактики и математического образования: имея за плечами только первый курс Петербургского педагогического института, в 1840 г. по распоряжению графа С.С.Уварова9 он получил должность ординарного профессора — вероятно, было принято во внимание, что он всегда верно следовал идеям “православия, самодержавия и народности”, как сообщалось о нем в некрологе.

Результаты исследований группы Андронова постепенно получают признание. Так, уже в издании 1948 г. [7] В. Ф. Каган, ссылаясь на статью А.А.Андронова [11] в газете, пишет, что дату рождения 20 ноября (по старому стилю) 1792 года в Нижнем Новгороде “нужно... считать точно установленной”. После публикаций [13], [14] 1956 г. эти данные становятся общепризнанными. Однако загадки в биографии Н. И. Лобачевского остаются. Прежде всего — это вопросы, касающиеся его родословной: какова девичья фамилия его матери Прасковьи Александровны и, как это ни странно звучит, кто был его отцом. Эти вопросы затрагиваются в книгах [16] и [17], опубликованных издательством Нижегородского университета в 1992 г. к 200-летию со дня рождения Н.Н. Лобачевского.

В книге [17] нижегородских историков Тамары Ивановны Ковалевой10 и профессора Николая Филипповича Филатова (1938-2004) в главе о нижегородском окружении Лобачевских обсуждается гипотеза, согласно которой Прасковья Александровна Лобачевская — дочь петербургского офицера А. И. Вышеславцева. Эта гипотеза не имеет достаточного документального подтверждения, но если она верна, то вполне объясняет, почему П. А. Лобачевская тщательно скрывала свое происхождение: 7 ноября 1786 года в Петербурге “Вышеславцев, ехавши в карете с женой и с какой-то благородною девицей, вынул нож и стал их и себя самого резать. Слава Богу, их легко поранил, а себя смертельно” — рассказывал за обедом в своем доме сын екатерининского вельможи А. В. Орлов11.

Книга Дмитрия Андреевича Гудкова12 (1918-1992) [16] посвящена не менее интригующему вопросу о родословной Н. И. Лобачевского по отцовской линии. Еще в письме к В. Д. Бонч-Бруевичу от 12 декабря 1929 г. И. И. Виш-

9 В то время — управляющий Министерством народного просвещения.

10 Т. И. Ковалева — директор музея Нижегородского университета.

11 Цитируется по [17], стр.31.

12 Профессор Д. А. Гудков — известный математик, решивший в 1969 г. задачу о расположении овалов неособых кривых степени 6, поставленную Д. Гильбертом в первой части его знаменитой 16-ой проблемы.

невский, первым изучавший происхождение Н. И. Лобачевского по исповедным и метрическим церковным записям, писал по этому поводу13: “... нахожу запись 1799 г. матери Лобачевского и всех её сыновей как ”воспитанников“ землемера Шебаршина. По закону 1744 года слово ”воспитанник“ равнялось незаконнорожденному, что и было мной твердо установлено дальнейшими записями в исповедных росписях и метриках... ”. Таким образом, предположение, что отцом Н. И. Лобачевского и его братьев Александра и Алексея был землемер Сергей Степанович Шебаршин, а не губернский регистратор Иван Максимович Лобачевский, первым высказал И. И. Вишневский. Это предположение впервые было опубликовано в заметке [4] без ссылки на И.И.Вишневского, однако А.А.Андронов отстаивал его авторство (см. [16], стр. 19) и, по словам Д. А. Гудкова, разделял точку зрения И. И. Вишневского, хотя нигде об этом не писал.

Ясно, что такая экстраординарная версия требует чрезвычайно скрупулезного обоснования. Для такого обоснования Д. А. Гудков привлекает в [16] 13 выписок из законов Российской империи XVIII века и 81 архивный документ, из которых 21 — новые, т. е. выявлены Д. А. Гудковым, еще около 30 документов, выявленных группой Андронова, публикуются впервые; исправлены также ошибки в предыдущих публикациях ряда документов. Кроме этого, в [16] впервые опубликованы написанные в 1898-1899 гг. обширные (75 страниц печатного текста) воспоминания Николая Николаевича Лобачевского, сына Н.И.Лобачевского, о своем отце14.

Свои основные выводы Д. А. Гудков формулирует в предисловии к книге [16]: "...на основе анализа большого архивного материала и литературных источников, по моему мнению, убедительно устанавливаются следующие факты биографии Н. И. Лобачевского:

3. Доказано, что Николай Иванович Лобачевский и два его брата — Александр и Алексей — были сыновьями макарьевского землемера и капитана С. С. Шебаршина и П. А. Лобачевской. Это обстоятельство определило многие, казалось бы, загадочные поступки П. А. Лобачевской, а также самого Н. И. Лобачевского в течение всей его жизни".

Хотелось бы надеяться, что эта тщательно обоснованная Д. А. Гудковым версия постепенно станет общепринятой, как это случилось ранее с выводами А. А. Андронова о дате и месте рождения Н. И. Лобачевского и с выводами Н. И. Приваловой о доме, где прошло его детство. Однако, к сожалению, здесь следует воздержаться от чрезмерного оптимизма, поскольку вплоть до настоящего времени практически все публикации о Н. И. Лобачевском повторяют старые мифы и ошибки. Так, портрет работы В. А. Щеголькова на некоторых сайтах в Интернете до сих пор выдается за портрет Н. И. Лобачевского, хотя со времени опубликования книги Б. В. Федоренко прошло почти 20 лет. Приведем еще два примера.

13 Цитируется по [16], стр. 17.

14 Более подробно о содержании книги Д. А. Гудкова можно прочитать в [18].

Почти в любой публикации о Н. И. Лобачевском и его геометрии повторяется утверждение, что К.Ф.Гаусс специально выучил русский язык, чтобы читать сочинения Лобачевского по-русски. Например, это написано и на стр. 155 книги о Гауссе [19] В. К. Бюлера, американского биографа Гаусса немецкого происхождения. Однако это утверждение, по меньшей мере, спорно — А. В. Васильев в [3] (стр. 156-157) писал: “Учился ли Гаусс русскому языку для того, чтобы читать в подлиннике русские сочинения Н.И. Лобачевского, — вопрос, на который, к сожалению, приходится дать отрицательный ответ”. А. В. Васильев дает подробное обоснование этого ответа, цитируя переписку Гаусса с астрономом Г.Шумахером за 1839-1846 гг., касающуюся изучения Гауссом русского языка15. В частности, А.В.Васильев приводит слова Гаусса из его письма от 18 августа 1839 г.: “В начале прошлой зимы я начал заниматься русским языком, так как думаю, что приобретение какой-нибудь новой способности есть нечто вроде омоложения”; далее А. В. Васильев отмечает, что Гаусс не имел русской работы Лобачевского до августа 1840 г.

Также практически в любой публикации о геометрии Лобачевского написано: “Днем рождения новой геометрии следует считать 11 февраля 1826 года” и дальше объясняется (с разной степенью неточности в названиях), что в этот день на заседании физико-математического отделения философского факультета Казанского университета Н. И. Лобачевский прочитал доклад “Краткое изложение принципов геометрии со строгим доказательством теоремы о параллельных”. Вот свежий пример: 22 февраля 2006 года в Казанском университете был проведен день памяти Н.И. Лобачевского в связи со 150-летием со дня его смерти и 180-летием открытия неевклидовой геометрии.

Безоговорочный выбор 11 февраля 1826 в качестве даты открытия неевклидовой геометрии представляется, по меньшей мере, странным. Еще в 1992 году казанский геометр Геннадий Евгеньевич Изотов (1917-2006) в своей статье [20] на основе анализа казанских архивных документов приходит к выводу: “широко распространенное утверждение, что 11 февраля 1826 года Лобачевский сделал доклад или прочитал сочинение, по крайней мере, сомнительно”16. Действительно, известно лишь письмо Н.И.Лобачевского от 6 февраля 1826 г. в Совет физико-математического отделения, сопровождающее рукопись его сочинения “Краткое изложение... ” на французском языке, а в протоколе заседания отделения от 11 февраля записано, что “ слушано было представление г. орд. проф. Лобачевского от 6 февраля сего года с приложением... сочинения на французском языке... о котором он желает знать мнение членов отделения”17. Далее в протоколе написано, что Совет поручил рассмотреть указанное сочинение профессорам Симонову, Купферу и адъюнкту Брашману и сообщить свое мнение отделению.

15 Отметим, что на это место из книги А. В. Васильева обращается внимание в примечании редактора на стр. 9 книги [16].

16 На этот вывод Г. Е. Изотова также обращается внимание в примечании редактора на стр. 9 книги [16].

17 Цитируется по [19].

Имеется также документ от 27 марта 1827 года, в котором говорится “о недоставлении от г.г. Симонова, Купфера и Брашмана мнения о сочинении”, а само “Дело о представлении г. проф. Лобачевского о разсмотрении его сочинения” в 1834 году было сдано в архив.

Итак, о докладе или о публичном чтении сочинения в документах нет ни слова, а текст “слушано было представление г. орд. проф. Лобачевского от 6 февраля” однозначно указывает, что 11-го февраля рассматривалось только сопроводительное письмо Н. И. Лобачевского.

Общепринято датой получения какого-либо результата считать его первую публикацию или дату поступления рукописи в редакцию. Конечно, публичный доклад тоже можно считать публикацией. Однако в данном случае доклада, судя по всему, не было; к тому же сама рукопись сочинения “Краткое изложение принципов геометрии... ” утрачена, а о её содержании достоверных сведений нет. В этой ситуации представляется естественным отложить на три года празднование 180-летия создания геометрии Лобачевского: как известно, первая работа Н. И. Лобачевского по неевклидовой геометрии опубликована в “Казанском вестнике” в 1829-1830 гг.

* * *

В статье [12] А. А. Андронов указывал на “позорное для историков русской и мировой науки незнание основных фактов биографии Н. И. Лобачевского” как на обстоятельство “в частности, до сих пор не позволившее поставить памятник или мемориальную доску вблизи его места рождения”. А.А. Андронов настойчиво добивался увековечения памяти Н. И. Лобачевского в Нижнем Новгороде. Сохранились копии писем А. А. Андронова по этому вопросу (ноябрь-декабрь 1948 г.) министру высшего образования СССР С. В. Кафтанову и его заместителю А. М. Самарину. В письме С. И. Богодину от 12 ноября 1951 года А. А. Андронов писал: “Я разговаривал в Москве об увековечении памяти Н. И. Лобачевского в городе где он родился. В общем мнение таково — до 1956 года — (столетие со дня смерти Н. И. Лобачевского) вряд ли следует рассчитывать на что либо фундаментальное, требующее значительных ассигнований. Мне советуют уже сейчас во всех докладных записках по этому поводу упоминать об этой приближающейся дате”. По инициативе А. А. Андронова уже после его смерти Указом Президиума Верховного Совета СССР от 20 марта 1956 г. Нижегородскому университету было присвоено имя Н. И. Лобачевского. Однако памятника Н. И. Лобачевскому в Нижнем Новгороде нет до сих пор. В 2005 году Нижегородский университет выступил с инициативой об установке такого памятника на углу улиц Алексеевской и Вознесенской, где стоял дом18, в котором родился Н.И.Лобачевский. В настоящее время имеется архитектурно-планировочное задание и разрешение городских властей на установку памятника, так что можно надеяться, что памятник выдающемуся ученому на его родине будет установлен.

18 До 2005 года на этом месте находился вещевой рынок, территория была архитектурно неблагоустроенна. В настоящее время рынок ликвидирован, на его месте развернуто строительство делового центра, но площадка перед будущим зданием — именно то место, где располагалось домовладение Лобачевской - Шебаршина — зарезервирована для памятного знака.

ЛИТЕРАТУРА

1. Попов А. Ф. Воспоминания о службе и трудах профессора Казанского университета Н.И.Лобачевского // Ученые записки казанского университета. 1857. T. IV.

2. Янишевский Е.П. Историческая записка о жизни и деятельности Н.И.Лобачевского. — Казань, 1868.

3. Васильев А.В. Николай Иванович Лобачевский. 1792-1856. — М.: Наука, 1992. 229с.

4. Богодин СИ. Где и когда родился математик Лобачевский (по материалам Нижегородского краевого архивного бюро) / / Газета “Нижегородская коммуна”, 26 сентября 1929 г.

5. Каган В. Ф. Великий ученый Н. И. Лобачевский и его место в мировой науке. — М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1943. 56 с.

6. Каган В.Ф. Лобачевский. - М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1944. 348с.

7. Каган В.Ф. Лобачевский, 2-е изд. — М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1948. 508с.

8. Александров П. С. // Вестник АН СССР 1945. №4. С. 148.

9. Модзалевский Л. Б. Материалы для биографии Н.И.Лобачевского. — М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1948. 827 с.

10. Бойко Е.С. Александр Александрович Андронов. — М.: Наука, 1991. 254с.

11. Личность в науке. А.А.Андронов. Документы жизни. — Н.Новгород: Изд-во ННГУ, 2001. 287с.

12. Андронов А. А. Где и когда родился Н. И. Лобачевский // Горьковская коммуна. 1948. №109. С. 2.

13. Андронов А.А. Где и когда родился Н.И.Лобачевский (Записка о месте и дате рождения Н. И. Лобачевского) // Историко-математические исследования. 1956. Вып. IX. С.9-48.

14. Привалова Н. И. Дом, в котором родился Н. И. Лобачевский // Историко-математические исследования. 1956. Вып. IX. С. 9-64.

15. Федоренко Б. В. Новые материалы к биографии Н. И. Лобачевского. — Л.: Наука, 1988. 384 с.

16. Гудков Д. А. Н.И.Лобачевский. Загадки биографии. — Н.Новгород: Изд-во ННГУ, 1992. 241с.

17. Ковалева Т. И., Филатов Н. Ф. Н.И.Лобачевский и Нижегородский край на рубеже XVII-XIX столетий. - Н.Новгород: Изд-во ННГУ, 1992. 139с.

18. Полотовский Г. М. Кто был отцом Николая Ивановича Лобачевского? (По книге Д. А. Гудкова “Н. И. Лобачевский. Загадки биографии”) // Вопросы истории естествознания и техники. 1992. №4. С. 30-36.

19. Бюлер В. К. Гаусс. Биографическое исследование. — М.: Наука, 1989. 207с.

20. Изотов Г. Е. К истории опубликований Н.И.Лобачевским сочинений по “воображаемой” геометрии // Вопросы истории естествознания и техники. 1992. №4. С. 36-43.

HOW DID LOBACHEVSKY'S BIOGRAPHY STUDY (to the 150 anniversary from the date of N. I. Lobachevsky's death)

G. M. Polotovskiy

The article is devoted to the history of the problems connected with creation of the scientific biography of N. I. Lobachevsky. It tells about remarkable mathematicians, physicists, historians, literary critics whose works have opened some mysteries of the biography of N. I. Lobachevsky. The special attention is paid to a number of mistakes and myths with which publications about N.I. Lobachevsky are abound to this day.

Keywords: N. I. Lobachevsky, the biography.

ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ, ПЕРСОНАЛИИ

УДК 51 (092)

ДВЕ ЗАДАЧИ А. О. ГЕЛЬФОНДА

Н. Х. Розов

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, Россия, 119899, г.Москва, Воробьевы горы; e-mail: rozov@rozov.mccme.ru

Статья приурочена к столетию известного российского математика А. О. Гельфонда и впервые воспроизводит содержание его рукописи с двумя математическими задачами.

Ключевые слова: история математического образования, А. О. Гельфонд.

Минул век со дня рождения Александра Осиповича Гельфонда (1906-1968). Он прошел путь от студента Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова до профессора, заведующего кафедрой теории чисел родного университета, члена-корреспондента АН СССР. Имя этого блестящего советского математика навсегда вошло в историю математической науки прежде всего в связи с решенной им в 1934 году 7 проблемой Гильберта, касающейся теории трансцендентных чисел. Глубокий специалист по теоретическим вопросам математики, Александр Осипович много занимался прикладными вопросами (все годы Великой Отечественной войны он работал в Главном Штабе Военно-Морского Флота), постоянно интересовался историей математики. Его лекции отличались оригинальностью отбора материала и своеобразностью изложения, а по написанным им книгам училось не одно поколение наших математиков

Мне хочется в связи с юбилеем А. О. Гельфонда добавить к его богатой научной биографии один небольшой эпизод. Во второй половине 60-х годов теперь уже прошлого века И. К. Кикоин и А. Н. Колмогоров начали работу по организации физико-математического журнала для молодежи “Квант” (он начал выходить с января 1970 года). В этой связи Андрей Николаевич Колмогоров, руководивший математической составляющей журнала, обратился ко многим нашим математикам с просьбой подготовить для “Кванта” статьи и иные материалы. Такое предложение получил и А. О. Гельфонд.

Александр Осипович отозвался очень быстро и заинтересованно, обещал через какое-то время написать статью, а в качестве “первого вклада” передал мне 4 листа, на которых были напечатаны две задачи с решениями. В конце текста стоит его подпись, но, к сожалению, отсутствует дата; если мне не изменяет память, это было где-то в 1967 году. Увы, идея со статьей осталась нереализованной — в 1968 году А. О. Гельфонда не стало. А его задачи в журнал для школьников в свое время по разным причинам “не пошли”, так и остались в рукописи.

Мне трудно судить, насколько задачи, предложенные А. О. Гельфондом 40 лет назад, сегодня могут рассматриваться как оригинальные. Но это и не важно. Думается, что читателям журнала просто будет интересно познакомиться с одним эпизодом жизни Александра Осиповича.

ДВЕ ЗАДАЧИ

I. Доказать неравенства

(1)

II. Пусть ß — любое отличное от единицы число. Доказать соотношение

Так как это соотношение верно при всяком ß ф 1 и коэффициенты справа и слева — многочлены от ß, то можно положить, в силу непрерывности многочленов, ß = 1 и получить формулу бинома Ньютона, а именно:

Доказательство неравенства (1).

Заметим прежде всего, что

Поэтому мы имеем неравенство

или неравенство

Далее, так как

то имеет место неравенство

или неравенство

Доказательство соотношения (2).

Положим

Тогда очевидно, что имеет место тождество

Производя оба умножения и сравнивая результаты, мы будем иметь:

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях получаем

или

Перемножая эти равенства для к = 1,2, ...,т, сокращая произведение на Ai j А2,..., Am_i, и принимая во внимание, что Aq = 1, мы получаем окончательно:

что и доказывает наше соотношение (2).

TWO PROBLEMS OF A. O. GELFOND

N. Kh. Rozov

The article commemorates the centennial of the famous russian mathematician A. O. Gelfond. Two mathematical problems from his type-script are reproduced for the first time.

Keywords: history of mathematical education, A. O. Gelfond.

АРХИВ НАУЧНО-МЕТОДИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ ПО МАТЕМАТИКЕ В РОССИИ

УДК 51(091)

ЗНАЧЕНИЕ МАТЕМАТИКИ ДЛЯ КОРАБЛЕСТРОЕНИЯ

А. Н. Крылов

Академик Алексей Николаевич Крылов (1863-1945)— основоположник современной теории корабля — был ученым энциклопедического склада ума. Ему принадлежат оригинальные труды по различным вопросам математики, физики и астрономии; он автор многих изобретений и ряда прекрасно написанных учебных курсов по теории корабля, теоретической механике, дифференциальному и интегральному исчислениям и т. д.

Книга “Мои воспоминания” [1], отрывок из которой печатается в настоящем разделе, — это написанные превосходным литературным языком рассказы большого ученого об основных периодах его научной и практической деятельности.

Ключевые слова: А.Н.Крылов, математика для инженеров, история математики.

1. Обычно считают, что математика служит основою образования инженера и что всякий инженер должен знать математику.

Настоящий очерк посвящен рассмотрению вопроса о том, в какой мере такой взгляд правилен или неправилен, а вместе с тем и вопросу о том, кого и как учить математике.

Математика в современном своем состоянии настолько обширна и разнообразна, что можно смело сказать, что в полном объеме она уму человеческому непостижима, а, следовательно, должен быть сделан строгий выбор того, что из математики нужно знать и зачем нужно знать инженеру данной специальности. В этом выборе нам может помочь и самое общее обозрение исторического хода развития математики и практических её приложений.

2. Европейские народы унаследовали свою культуру от древних греков, населявших побережье восточной части Средиземного моря, главным образом теперешнюю Грецию.

Здесь, в особенности в Афинах, за 400 лет до нашей эры уже была популярна философия и как одна из её отраслей, — логика, т. е. искусство делать правильные умозаключения из данных предпосылок. При знаменитых Платоне и Аристотеле образцовым примером логики служила геометрия, не в смысле промышленного землемерия и определения границ земельных участков, а как чисто отвлеченная наука, изучавшая идеальные образцы, ею самою созданные, по свойствам своим соответствующие реальным, имеющимся в природе.

Это изучение основывалось на небольшом числе аксиом, определений и на трех постулатах. Я не буду перечислять этих аксиом, вам известных, а приведу лишь постулаты, о которых в современных руководствах по геометрии часто не упоминается совсем. Вот они:

1) Через две данные точки можно провести прямую и притом только одну.

2) Ограниченная прямая линия может быть продолжена прямою же на любую длину.

3) Когда дан радиус, один конец которого находится в длиной точке, то этим радиусом может быть описан круг.

Затем всё учение, составляющее, по теперешней терминологии, элементарную геометрию, приводится, сводя все доказательства чисто логическими рассуждениями к аксиомам и все построения к сказанным постулатам.

Таким образом возникла та геометрия, которая с неподражаемым совершенством изложена примерно за 250 лет до нашей эры Евклидом.

Само собой разумеется, что в то время геометрию изучали взрослые юноши, а вернее, в часы досуга зрелые бородатые мужи, искушенные в словопрениях перед судилищами и ареопагами, ибо лишь они могли оценить всю тонкость логики Евклида; теперь же в Англии в буквальных переводах мучают 12- и 13-летних мальчиков, и можно лишь удивляться, как общество “Защиты детей от жестокого обращения и покровительства животным” это допускает.

Попробуйте взять Евклида в переводе и посмотрите, какое умственное напряжение требуется, чтобы проследить ход его доказательств, но зато какова изумительная логичность и строгость их и какова их последовательность. Конечно, это изучение представляет, может быть, и превосходную умственную тренировку, но во всякой тренировке надо соблюдать должную меру.

В школе же Платона зародилось и учение о конических сечениях (по поводу знаменитой задачи об удвоении куба), которое впоследствии, также за 250 лет до нашей эры, было доведено Аполлонием до такой степени полноты и совершенства, что хотя вас и мучили в курсе аналитической геометрии изучением свойств этих кривых, но это составляет лишь малую долю того, что находится в сочинении Аполлония и что им самим создано. Если к этому присоединить еще сочинения Архимеда, величайшего из математиков всех времен и народов, то вы получите некоторое суждение о том, каков был гений древних греков.

Само собой разумеется, что всё в этих сочинениях излагается чисто геометрически с полною “евклидовой” строгостью рассуждений, не прибегая к той алгебраической символистике, к которой мы так привыкли теперь.

Хотя от древних остались гигантские по размерам и изумительные по красоте и пропорциональности здания и сооружения, но совершенно не известно, каким образом они разрабатывали проекты этих сооружений и оказывала ли им в этом помощь геометрия. Многое заставляет думать, что эта помощь была ничтожна.

3. С завоеванием древнего мира римлянами отвлеченная, чисто логическая наука греков постепенно приходит в упадок, сменяясь практической архитектурой, гидравликой и землемерием, а в IV и V вв., можно сказать, всякая наука утрачивается и замирает на целое тысячелетие. Но практика и техника как искусство, независимо от утраты отвлеченной науки, продол-

жают развиваться, и создается как бы разрыв между отвлеченною наукою и практикой.

Мы теперь с понятием о математике связываем понятие о вычислениях в самом общем и обширном значении этого слова. В древности ограничивались лишь производством численных вычислений, причем оно входило главным образом лишь в астрономию, в которой было доведено до значительного совершенства, несмотря на неудобства письменной нумерации древних греков.

С XVI в. в Европе зарождается пришедшее от арабов искусство буквенного исчисления и формальная алгебра, которая, постепенно совершенствуясь, к середине XVII в. достигает значительного развития.

4. Здесь приходится упомянуть великого философа и математика Декарта; с одной стороны, он своим афоризмом “Cogito ergo sum” (Мыслю — значит существую) как бы вновь наложил на математику тот отпечаток отвлеченности, который она не только сохранила и доныне, но который особенно усилился за последние 70 лет. С другой стороны, Декарт преобразовал геометрию введением в нее алгебры и её вычислительных методов, которые были совершенно чужды древним.

В 1670-х годах Ньютон создает “исчисление флюент и флюксий”, т. е. текущих количеств, как он его называет. Независимо от него в 1680-х годах это же исчисление находится и опубликовывается философом Лейбницем и называется им “исчисление бесконечно малых”.

Ньютон вместе с тем в изданном им в 1686 г. сочинении “Математические начала натуральной философии” развивает и как бы вновь создает динамику, первые начала которой были положены за 50 лет перед тем Галилеем, и доводит эту науку до высокой степени развития чисто геометрическим путем, по образцу древних, и прилагает созданное им учение к установлению системы мира и познанию и приложениям закона тяготения, им открытого, к изучению движения небесных тел.

В течение XVIII в. анализ бесконечно малых доводится до высокой степени совершенства; на его основе развивается теоретическая механика, которая сперва, по примеру Ньютона, прилагается главным образом к изучению движения небесных тел и отчасти к баллистике.

С середины XVIII в. механика начинает прилагаться к решению вопросов технических не только из области статики, которая была создана Архимедом, но и динамики.

С XIX в. технические приложения механики как в области статики, так и динамики всё более и более проникают в технику и всё более и более её охватывают.

5. Но и математика не стоит на месте, она продолжает развиваться в разных направлениях, которые можно характеризовать так:

а) развитие вычислительных, в обширном смысле этого слова, процессов;

б) изучение свойств функций, возникающих при вычислениях, установление строгости и строгое обоснование самих вычислительных процессов;

в) общее изучение свойств чисел;

г) изучение свойств пространства и обобщение их;

д) изучение специально алгебраических процессов и свойств алгебраических уравнений;

е) усовершенствование способов численных вычислений, приближенных методов их и приложения этих методов.

Каждая из этих областей разрослась так, что литература по каждой из них в отдельности составляет целую библиотеку из многих сотен, многих тысяч, а иногда и многих десятков тысяч журнальных статей, руководств и трактатов.

Теоретическая механика также разрослась не в меньшей степени; в нее входят:

а) чисто теоретическая или так называемая “рациональная механика”;

б) “небесная механика”, т. е. приложение механики к изучению движения небесных тел;

в) так называемая “прикладная механика”, т. е. приложение механики к вопросам изучения механизмов и построения их;

г) теория упругости и сопротивления материалов, изучающая вместе с “строительной механикой” свойства материалов, расчеты разного рода конструкций и возникающих в них напряжений;

д) наконец, сюда же надо отнести математическую физику с её подразделениями, каждое из которых имеет обширные приложения в практике и технике.

Литература по каждому из этих отделов громадна и, можно сказать, практически необозрима.

6. При нашем беглом обзоре развития математики мы обратили внимание на то, что чистый математик, которого мы будем называть геометр, требует от своей науки — математики — прежде всего безукоризненной логичности и строгости суждений.

Одно время в конце XVIII в. математика как бы отчасти сбилась с этого пути, но уже в первой четверти XIX в. была на него вновь неуклонно направлена Гауссом, Абелем и Коши; начиная же с последней четверти XIX в., по почину Вейерштрасса, в математику вновь вводится, можно сказать, “евклидова строгость”, а с нею отвлеченность.

Математика сама создает те идеальные образы, над которыми она оперирует, не только не прибегая при этом к наглядности, но тщательно изгоняя из своих рассуждений и доказательств всякую наглядность, всякое свидетельство чувств. Геометр не только не верит своим чувствам, но не признает самого их существования, он есть декартово “мыслящее существо”. Геометру нет дела до того, есть ли в природе такие предметы, к которым его образы относятся, для него важно, что он их создал в своем уме, приписал им определения, аксиомы и допущения, после чего он с полною логичностью и строгостью развивает следствия этих аксиом и допущений, не вводя при этом никаких других аксиом и никаких новых допущений, — до остального ему дела нет.

7. Ясно, что практик, техник, каковым и должен быть всякий инженер, смотрит на дело совершенно иначе. Он должен развивать не только свой ум, но и свои чувства так, чтобы они его не обманывали; он должен не

только уметь смотреть, но и видеть; он должен уметь не только слушать, но и слышать, не только нюхать, но и чуять; свои же умозаключения он должен сводить не к робкому декартову “мыслю — значит существую”, а к твердому, практическому: “я это вижу, слышу, осязаю, чую — значит это так и есть”.

Для геометра математика сама по себе есть конечная цель, для инженера — это есть средство, это есть инструмент такой же, как штангель, зубило, ручник, напильник для слесаря или полусаженок, топор и пила для плотника.

Инженер должен по своей специальности уметь владеть своим инструментом, но он вовсе не должен уметь его делать; плотник не должен уметь выковать или наварить топор, но должен уметь отличить хороший топор от плохого; слесарь не должен уметь сам насекать напильник, но должен выбрать тот напильник, который ему надо.

Так вот, геометра, который создает новые математические выводы, можно уподобить некоему воображаемому универсальному инструментальщику, который готовит на склад инструмент на всякую потребу; он делает всё, начиная от кувалды и кончая тончайшим микроскопом и точнейшим хронометром. Геометр создает методы решения вопросов, не только возникающих вследствие современных надобностей, но и для будущих, которые возникнут, может быть, завтра, может быть, через тысячу лет.

Вообразите же теперь инженера, вошедшего в этот склад и желающего в нем найти нужный ему инструмент. Он прежде всего будет поражен огромным, подавляющим количеством всего накопленного за 2500 лет материала, его изумительным разнообразием. При более внимательном рассмотрении он заметит среди массы других вещей, кажущихся простыми, и некоторые сложнейшие аппараты непонятного ему назначения, но изумительные по отделке их многочисленных деталей, по тщательной их пригонке, да к тому же оправленные в серебро и золото.

Среди аппаратов новейшего изготовления он увидит множество приборов, служащих для самой точной, самой тщательной отделки изделий, т. е. множество разных шаберов и шлифовальных станков. Заметит он и много устарелого, вышедшего из употребления, местами будет попадаться и просто разный хлам.

Но ведь инженер пришел сюда не затем, чтобы любоваться неисчислимыми сокровищами: не золото и серебро ему нужны, а быстрорежущая сталь, ему нужен не столько шабер, сколько грубая обдирка, грубое надежное зубило, ведь не шабером же будет он выбирать шпунт у ахтерштевня. Присмотревшись еще ближе, он среди этого бесчисленного разнообразия заметит ряд, видимо, издавна систематически подобранных ассортиментов, остающихся почти неизменными в течение 150 лет, к тому же кладовщик ему подскажет, что их так часто требуют, что и не напасешься, а за остальными заходят лишь знатоки — мастера и любители.

Не отнестись ли ему с доверием к этим, еще издавна великими мастерами подобранным ассортиментам, и не следует ли ему воспользоваться этими готовыми и десятилетиями, если не столетиями испытанными инструментами

и научиться ими правильно и искусно владеть, а затем уже, когда он сам станет знатоком и мастером, порыться и в остальных сокровищах и попытаться извлечь из них именно то, что ему надо, не брезгуя и шаберами.

Так вот эти систематические ассортименты — это те курсы, которые вам читают, и те руководства, изучение которых вам рекомендуют, а кладовщики и инструментальщики — это те профессора и руководители, которые вас обучают. Может быть, они сами и не инженеры, но зато они хорошо знают и хорошо владеют вверенным им инструментом, склад свой они изучили и знают, где и что в нем можно найти.

8. Однако чтобы правильно выбрать готовый или правильно подобрать свой ассортимент инструментов, надо ближе разобраться в том деле, для которого он нужен. Для этого опять-таки бегло и в общих чертах проследим развитие кораблестроения.

О судостроении древних культурных народов почти не сохранилось никаких данных, по которым инженер мог бы составить ясное представление о судах, их устройстве, способах их проектирования и постройки. Рассказы некоторых историков по большей части свидетельствуют об их технической безграмотности и легковерии. Между тем начало судостроения восходит задолго до всякой письменности и всякой истории. Чертежей тогда, по-видимому, не было, или они изготовлялись на покрытых воском дощечках или временных деревянных помостах вроде тех, которыми и теперь пользуются кустари при постройке речных барж; ясно, что от этого ничего не сохранилось, да и не могло сохраниться.

Здесь, видимо, всё шло преимущественно чисто практически, передаваясь от отца к сыну, от мастера к ученику, а не как наука.

Даже основной закон о равновесии плавающих тел, данный Архимедом за 250 лет до нашей эры, был впервые применен к делу судостроения лишь в 1660-х годах Антонием Дином в Англии, когда в ней уже был Ньютон, математический гений которого почитается одинаковым с гением Архимеда.

Но здесь приходится заметить, что, судя по найденному около Туниса, вблизи того места, где был древний Карфаген, затонувшему судну, груженному вчерне отделанными статуями, на котором сохранилась копия того документа, что теперь называют “чартер партией”, видно, что и тогда, т. е. примерно 2000 лет тому назад, этот документ составлялся почти в тех же выражениях, как и теперь, также предусматривались случаи “непреодолимых сил”, да притом еще и шкипер клялся “Зевсом и всеми богами Олимпа хранить условия чартера свято и нерушимо и добавочного груза на свое судно не принимать”. Значит, практика мореплавания и тогда сознавала значение надводного борта, хотя едва ли знала закон Архимеда.

Первые руководства по “Теории корабля” появились в 1740-х годах. В них впервые было установлено учение о остойчивости корабля.

В начале 1800-х годов, по почину английских судостроителей Сеппингса и Саймондса, была усвоена польза и необходимость диагональных связей, придававших крепость и неизменяемость судовому борту; теория этого дела была обоснована физиком Юнгом.

В 1840-х годах началась постройка железных паровых судов; она стала быстро развиваться, но здесь довольно долгое время (около 30 лет) шли ощупью и сохраняли не только ненужное, но даже вредное наследие деревянного судостроения, вроде толстого, на ребро поставленного полосового киля. Лишь в 1870 г. Рид дал до сих пор сохранившиеся практические приемы вычисления остойчивости корабля на больших наклонениях и расчеты напряжений, возникающих в связях корабля на волнении.

Сталь в судостроение введена с начала 1800-х годов.

Уточнение расчетов корабля как целого сооружения, а также его важнейших деталей создано трудами И. Г. Бубнова, П. Ф. Папковича, Ю. А. Шиманского, которых я почитаю за честь считать в числе моих учеников.

Отсюда вы видите, насколько молодо действительно научное изучение корабля, его конструкции, его мореходных качеств по сравнению с теми неисчислимыми столетиями, в течение которых существует судостроение и мореплавание, и насколько здесь практика предшествовала теории.

9. Постараемся теперь установить в общих чертах тот математический аппарат, которым должен располагать корабельный инженер, чтобы вполне сознательно рассчитать проектируемый им корабль, и притом военный, как наиболее сложный, причем инженер никакими правилами ни Ллойда, ни Регистра не стеснен.

Под словом “сознательно” будем разуметь, что инженер, хотя и будет применять готовые и давно разработанные методы, но он вполне овладеет теми отделами математики, на которых эти методы основаны, и, значит, может вполне ясно судить об их применимости и условиях её.

Начнем с теории корабля.

Расчет плавучести и остойчивости требует применения начал интегрального исчисления для вычисления площадей и объемов, положения центра тяжести и прочее. Причем всё это выражается простыми, а не кратными интегралами, исчисляемыми по приближенным формулам квадратур.

Вычисление остойчивости, кроме того, требует отчетливого понятия о кривизне и эволюте и связи между координатами точек эволюты и эвольвенты. Исследование влияния повреждений на посадку и остойчивость корабля требует для полной отчетливости знания свойств моментов инерции плоской фигуры и определения положения её главных осей инерции.

Расчет качки на волнении требует знания основ гидродинамики и теории “малых” колебаний твердого тела как свободных, так и вынужденных, т. е. интегрирования совокупных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Если корабль предположено снабдить успокоителями качки в виде цистерн Фрама, то надо иметь еще некоторые сведения из гидродинамики, а если успокоитель должен быть гироскопическим, то требуется более углубленное знание динамики твердого тела.

При этом предполагается, что инженер не будет рассчитывать теоретически “приведенной массы” увлекаемой кораблем воды при качаниях его, а воспользуется имеющимися на этот счет опытными данными, ибо такой расчет потребовал бы таких сведений из гидродинамики, на сообщение которых

в курсе не хватило бы времени, если не развивать этот отдел в ущерб другим, более простым, но зато более обиходным.

Ходкость или требует еще более углубленного знания гидродинамики и изучения системы волн, образуемых при движении корабля, или же надо ограничиться применением эмпирических формул и результатов испытания подобных судов и моделей.

Поворотливость плохо поддается учету, и суждение о ней основывают на существующей практике и результатах испытания судов, подходящих по типу к проектируемому.

Итак, положим, что элементы корабля и всё, что относится к мореходным его качествам, установлено и рассчитано; тогда идет второй вопрос, где на первый план выступает строительная механика корабля, согласно основаниям которой надо произвести расчеты прочности корабля как целого сооружения и расчеты прочности всех деталей и отдельных устройств его.

Здесь требуется гораздо более сложный математический аппарат, нежели для теории корабля, ибо приходится иметь дело с изгибом и сжатием пластин и устойчивостью их, а для этого требуются основательные познания теории упругости, а следовательно, и весь необходимый математический аппарат с бигармоническим уравнением учения о рядах, подобных рядам Фурье, и притом не только простых, но и двойных.

Затем возникнут вопросы о подкреплениях под орудиями или башнями и о действии на них выстрела, т. е. сил “малой” продолжительности, и рассмотрение вопроса о том, считать ли это действие “статическим” или “динамическим”. Это связано с изучением колебательного движения упругих систем, что требует еще более сложного математического аппарата, нежели вопрос о вибрации всего корабля, и с учением о фундаментальных функциях и характеристических числах. Вместе с тем здесь необходимо столь же отчетливое знание и умение численно интегрировать дифференциальные уравнения, между тем как для учения о плавучести и остойчивости требуется уменье приближенно производить квадратуры.

Как только будет установлено, что именно от корабельного инженера требуется по его специальности, так сейчас же устанавливается и соответствующий объем знаний из анализа и механики. Но здесь надо тщательно заботиться о том, чтобы не вводить лишних требований; ведь от того, что верхняя палуба покрывается деревянным настилом, нельзя же требовать изучения ботаники, или от того, что в кают-компании диван обит кожей, нельзя требовать изучения зоологии; так и здесь, если при рассмотрении какого-то частного вопроса встречается некоторая формула, то гораздо лучше привести её без доказательства, а не вводить в курс целый отдел математики, чтобы дать полный вывод этой единичной формулы.

При изучении анализа и механики и подобных отделов из аналитической геометрии и высшей алгебры должны соблюдаться определенная постепенность и полнота; многое может казаться излишним и непосредственных приложений не имеющим, но оно нужно для ясного усвоения дальнейшего и не может быть пропущено подобно скучной главе романа.

Здесь было бы слишком долго и неуместно перечислять необходимые сведения, т. е. как бы составлять учебный план; достаточно установить его принципы: соответственно той подготовке, которую инженер должен получить по своей специальности, устанавливается объем его познаний по прикладным предметам, т. е. теории корабля, строительной механике корабля со включением теории упругости (если надо) и сопротивления материалов; как только объем прикладных предметов определен, так определяется и соответствующий объем математических познаний.

Что касается самого преподавания их и отводимого им места, то может быть два взгляда: или всё математическое относить к курсу математики и механики, или же к этим курсам относить только те общие познания, которые входят в несколько (по крайней мере, в два) прикладных специальных предметов, а те отделы, которые входят только в один предмет, относить к введению в этот предмет или к соответствующей главе его.

По сути дела, это распределение в конце концов эквивалентно. Гораздо важнее решение другого вопроса, а именно: есть ли необходимость от каждого корабельного инженера требовать всё в полном объеме, совершенно для всех однообразном.

Ведь деятельность инженера весьма разнообразна. Один инженер работает и предназначает себя к работе в конструкторском бюро, другой более склонен к работе на производстве, к работе в цехе. Одни инженеры имеют в виду работать специально по коммерческому судостроению, другие — по военному.

Должна ли школа давать как бы законченную подготовку, или она должна давать только те принципиальные основы, на которых инженер на самой службе будет вдумчивой практикой совершенствоваться, непрерывно повышая свою квалификацию, научную и техническую, к чему теперь представляется столько возможностей? Надо помнить афоризм Козьмы Пруткова: “Нельзя объять необъятное”.

Надо ли всех подгонять под один шаблон, или надо и в самой высшей школе считаться с индивидуальными способностями если не каждого учащегося, то главных групп учащихся? Не правильнее ли будет, если для каждой такой группы установить минимальное требование по одним предметам, но зато максимальное — по другим? Постановка курса математики и механики будет тогда иная, нежели в первом случае; курс сам собою разобьется на минимальный, общий для всех групп, и на отдельные дополнительные курсы, которые явятся обязательными для групп, соответственно специализировавшихся.

Мне лично думается, что эта последняя система будет более рациональна, нежели система огульного обучения всех и каждого одному и тому же, не считаясь с его склонностью.

10. Скажу несколько слов о самом характере постановки преподавания и самого курса математики и механики для инженеров.

Выше уже была отмечена разница взглядов на математику геометра и инженера. Соответственно этой разнице должен быть поставлен курс.

Для геометра, который должен впоследствии создавать новые методы в математике или новые методы решения математических вопросов, а значит, и должным образом эти методы обосновывать, полная и безукоризненная строгость, безусловно, необходима.

Для инженера, которому главным образом придется эти методы прилагать к решению конкретных вопросов в узкой области его специальности, такая всеобъемлющая строгость является бесцельной. На инженера эти строгие, лишенные наглядности доказательства и рассуждения наводят тоску и уныние, он видит в них топтание на месте, жевание жвачки, стремление доказывать очевидное, что давно им понято и что ему до доказательства кажется более ясным и понятным, нежели после доказательства.

Геометр обыкновенно мало ценит вычислительные процессы, особенно доведение их до конца, т. е. до численного результата, вычисляемого с заданной наперед, обыкновенно небольшой степенью точности; инженер же смотрит на дело как раз обратно: в решении вычислением конкретно поставленного вопроса он видит и ценит именно прикладную сторону, усматривая в ней пример того, как надо поступать в аналогичном случае в предстоящей ему практике.

11. Молодые инженеры часто склонны относиться со своего рода пренебрежением “к разного рода правилам Ллойдов и Регистров”, считая, что эти правила составлены по принципу “назначь размер, скажем толщину, на глаз, да четверть дюйма прибавь”.

На самом же деле это далеко не так. Возьмем для примера Английский Ллойд. Он существует как классификационное общество, т. е. наблюдающее за надлежащей прочностью корабля и его снабжения как во время постройки, так и во время службы, сто лет. Все случаи повреждения судов осматриваются его инспекторами, рассеянными по портам всего мира, и доводятся до сведения Главной лондонской конторы общества, в которой работают опытнейшие инженеры с обширной практикой и широким научным образованием.

Сейчас в списках Английского Ллойда находится около 35 тысяч пароходов всех наций; отсюда можно заключить, какой огромный материал и какое богатство опытных данных и “случаев” накопляется в его главной конторе.

Правила Ллойда не являются неизменными, они постоянно совершенствуются на основании действительного опыта плавания судов и анализа аварий или повреждений, ими понесенных. Более того, предоставлено отступать от буквы этих правил, подтверждая отступление расчетами, представляемыми на просмотр и одобрение главной конторы, в которой таким образом группируется и этот опыт, ведущий к постоянному совершенствованию правил. Ввиду этого правила периодически переиздаются, причем в них вносятся существенные изменения, польза которых оправдалась практикой; поэтому правила эти заслуживают внимательного и вдумчивого изучения.

12. Знаменитый английский натуралист лет 70 тому назад сказал: “Математика подобно жернову перемалывает лишь то, что под него засыплют”.

Вы видели, что в строгой “евклидовой” математике эта засыпка состоит из таких аксиом и постулатов, в справедливости которых инженер усомниться не может, а так как лишь эти аксиомы и постулаты “перемалываются” без добавления новых (а если что добавляется, то должно быть точно и ясно указано), то инженер и придает такую веру математическому доказательству.

Но здесь необходимо постоянно иметь в виду следующее обстоятельство: когда конкретный вопрос приводится к вопросу математическому, то всегда приходится делать ряд допущений, ибо математика вместе с механикой оперируют над объектами идеальными, лишь более или менее близкими к объектам реальным, к которым инженер будет прилагать полученные математические выводы. Ясно, что сколько бы ни было точно математическое решение, оно не может быть точнее тех приближенных предпосылок, на коих оно основано. Об этом часто забывают, делают вначале какое-нибудь грубое приближенное предположение или допущение, часто даже не оговорив таковое, а затем придают полученной формуле гораздо большее доверие, нежели она заслуживает, и это потому, что её вывод сложный.

13. В очерке о П. А. Титове указано, что инженер должен непрестанно накоплять практический опыт, он должен выработать свой глазомер и сразу видеть, верен ли результат расчета, или нет. А вот другой пример. Знаменитый итальянский математик Туллио Леви Чивита, между прочим составивший превосходный курс механики, прочел года три тому назад в Вене, по приглашению Австрийского общества инженеров, доклад “О динамической нагрузке упругих систем”.

Изящнейшими с математической стороны выводами он установил некоторый общий критерий, которым определяется верхний предел динамической нагрузки, т. е. такое значение её, которого она при данных обстоятельствах превзойти не может. В формулы Леви Чивита входит продолжительность действия нагрузки, поэтому, например, получилось, что при проходе поезда по мосту динамическая нагрузка тем больше, чем скорость хода поезда меньше.

Как правоверный математик он верит своей формуле больше, нежели глазу и здравому смыслу, и не видит в ней наглядной несообразности. Математически его формула верна, но она дает слишком большое значение сказанного верхнего предела, не имеющее практического значения.

Возьмем для примера знаменитый мост “Британия”, построенный в 1848 г. Пролеты этого моста имеют длину около 450 фут., сечение моста коробчатое, со сплошными боковыми стенками и со сплошными, и притом двойными, верхнею и нижнею панелями, так что каждый пролет имеет аналогию с кораблем, Так вот, по формуле Леви Чивита при проходе по этому мосту товарного поезда, идущего самым малым ходом, верхний предел динамической нагрузки получается 3000 т на погонный фут, т. е. 1350000 т на весь пролет. На самом же деле верхний предел этой нагрузки есть 3 т на погонный фут,

т. е. 1350 т на весь пролет. На эту нагрузку он и рассчитан его знаменитыми строителями Ферберном и Стефенсоном, и стоит он с 1848 г. незыблемо, пропустив миллионы поездов с большими и малыми ходами.

Конечно, 3000 т больше 3 т, формула Леви Чивита верна, а какой в ней толк?

Всякий инженер заметил бы практическую непригодность формулы и, обратившись к предпосылкам, сделанным при её выводе, легко увидел бы несоответствие действительности, а знаменитый математик, привыкший со всею “евклидовой” строгостью перемалывать аксиомы и постулаты, не заметил грубости одного из своих постулатов, сообразно которому и получил столь высокий верхний предел.

Титова знали немногие корабельные инженеры того времени. Знаменитого Леви Чивита за его чисто математические работы знают и почитают математики всего мира. Если бы вы готовились быть математиками, я пожелал бы вам стать Леви Чивитами, но вы готовитесь быть корабельными инженерами, поэтому желаю вам стать Титовыми.

ЛИТЕРАТУРА

1. Крылов А. Н. Мои воспоминания. 7-е изд. — Л.: Судостроение, 1979. С. 308-320.

SIGNIFICANCE OF MATHEMATICS FOR SHIPBUILDING

A. N. Krylov

Academician Alexey Nickolayevich Krylov (1863-1945), a scientist with encyclopedic cast, was a founder of the modern ship theory. He created multiple original scholarly works on various problems in mathematics, physics and astronomy. A. N. Krylov is an author of many inventions and of a series of excellent manuals on ship theory, theoretical mechanics, differential and integral calculations etc.

A fragment of his book “My memoirs” [1] is represented. The book contains stories by an outstanding scientist about the main steps of his scientific and practical activity. All of the stories are written in perfect literary language.

Keywords: mathematics for engineers, history of mathematics, A. N. Krylov.

ПРИМЕЧАНИЕ

В СВЯЗИ С ФРАГМЕНТОМ “ЗНАЧЕНИЕ МАТЕМАТИКИ ДЛЯ КОРАБЛЕСТРОЕНИЯ” КНИГИ А. Н. КРЫЛОВА “МОИ ВОСПОМИНАНИЯ”

А. Д. Мышкис

Московский государственный университет путей сообщения (МИИТ), Россия, 127994, г- Москва, ул. Образцова, 15; тел.: (495)2842410; e-mail: amyshkis@mtu-net.ru

Текст А. Н. Крылова — крупнейшего специалиста в области кораблестроения, механики и прикладной математики, написанный в первой половине прошлого века, поражает своей актуальностью. Казалось бы, за прошедшее время математика и механика весьма значительно изменились, в некоторых отношениях принципиально (существенно новые области, применение компьютеров и т.д.). Но основные проблемы, связанные с обучением будущих инженеров математике — чему учить и как учить — остаются нерешенными. Более того, разрыв между преподаваемой математикой и математикой, применяемой инженерами, с годами только усилился.

А. Н. Крылов справедливо подчеркивает, что математика имеет два аспекта: математика как цель (так называемая “чистая математика”) и математика как средство решения задач, возникших вне нее (“прикладная математика”). Между этими аспектами нет четкой границы, они взаимодействуют и непрерывно переходят один в другой, что неизбежно для родственных областей — как, например, для физики и химии. На отсутствии этой четкой границы основано распространенное среди “чистых математиков” мнение о том, что никакой прикладной математики не существует, а есть только одна математика, которая и применяется.

Конечно, это мнение можно считать справедливым, как и ему противоположное, в зависимости от того, что включать в математику. Однако в некоторых ситуациях — в частности, при выборе того, чему и как учить будущих инженеров, вопрос о единстве математики приобретает непосредственную актуальность. (Можно ли пользоваться не вполне четкими определениями, не вполне доказанными утверждениями и т. п.?)

А. Н. Крылов указывает на главную черту “чистой математики” — она полностью опирается на логику и допускает только строго логически доказанные утверждения, вытекающие в конечном счете из четко сформулированных аксиом. Несколько утрируя, можно сказать, что “чистая математика” представляет собой своеобразную часть логики. В качестве примера А. Н. останавливается более подробно на “Началах” Евклида и коротко говорит о дальнейшем развитии математики, о её колебаниях между “чистым” и прикладным направлениями.

Но из анализа “Начал” Евклида можно сделать и более далеко идущие выводы. В некоторых отношениях логика Евклида стоит выше общепринятой

сейчас в “чистой” математике. Так, Евклид не признает актуальной бесконечности — совокупности всех натуральных чисел, бесконечной прямой (под словом “прямая” он всегда понимает конечный отрезок) и т. п. Но некоторые его определения не имеют четкого однозначного истолкования, а в ряде доказательств он без всякого упоминания опирается не на аксиомы и постулаты или на уже доказанные утверждения, а на наглядные соображения, что хорошо видно из сравнения его системы аксиом с системой аксиом Гильберта. Это ярко показывает, что понятия строгости и доказательности, которые многим “чистым” математикам (да и не только им) представляются абсолютными, на самом деле таковыми не являются.

Даже поверхностный исторический анализ показывает, как постепенно менялось представление о строгости математических рассуждений. Строгость Евклида отличается от строгости средневековых математиков, та отличается от строгости основателей математического анализа, у Эйлера уже была другая строгость, затем были строгость Коши и т.д., и лишь в эпоху Вейерштрасса в математике установилась строгость, принятая сейчас в подавляющим большинстве исследований по “чистой” математике. Но и сейчас эта строгость в “чистой” математике не является единственно применяемой: она недостаточна для исследований по математической логике и связанных с ними утверждений о неразрешимости задач, формулируемых в классических терминах.

Из сказанного следует, что никогда не было, да и не может быть “абсолютных” понятий строгости и доказательности. В действительности, строгость рассуждений — это выполнение некоторого набора правил, предназначенных для того, чтобы избежать ошибочных выводов, тогда как доказательство — это убедительное объяснение причины какого-либо факта. Но понятия ошибочности и убедительности различны для различных видов деятельности и в различные эпохи. Из этих, казалось бы, абстрактных рассуждений вытекают совершенно конкретные выводы, относящиеся к преподаванию: то, что убедительно и строго для инженера, может не быть убедительным для “чистого” математика, но и наоборот — убедительное для “чистого” математика может не быть убедительным для инженера (на этом А.Н.Крылов специально останавливается в п. 10 фрагмента). Математическое образование инженера должно быть направлено на понимание грубой сущности основных понятий и фактов, на понимание математического аппарата, используемого в курсах общетехнических и специальных дисциплин, а также применяемого и прогнозируемого в будущей деятельности инженера. Надо стремиться к тому, чтобы переход от математики, изучаемой в математических курсах, к математике, применяемой в общетехнических и специальных дисциплинах, не требовал коренной ломки приобретенных знаний и навыков.

Предпоследний абзац п. 10 рассматриваемого фрагмента является ключевым в вопросе о том, как нужно излагать будущим инженерам основные математические понятия, их свойства и взаимосвязь: целью должно быть не

формально-логическое совершенство, а показ сути этих понятий и умение использовать их за пределами математики.

(Кстати: представление о логическом совершенстве “вейерштрассовского” изложения курса математики является иллюзорным. Рассмотрим, например, привычное выражение “для любого s > 0 существует ö > 0 и т. д”. Что означают слова “существует ö > О, да еще ”для всякого s > 0“? Конечно, не то же, что ”в этом мешке яблок существует (т. е. имеется) червивое“, так как множество всех вещественных чисел является не объективной реальностью, а идеей. Не спасает дела и замена слова ”существует“ на ”можно указать“, так как каждое из слов ”можно“ и ”указать“ также не имеет точного смысла. По-видимому, мы (я в том числе) произносим эти и иные подобные слова по привычке, потому что и другие так делают. Немного изменяя знаменитый афоризм, можно сказать: ”Привычка свыше нам дана, замена пониманию она". Неудивительно, что инженеры сторонятся подобных выражений, инстинктивно ощущая их низкую продуктивность.)

Чем же надо заменить ослабление формально-логической составляющей в математическом образовании инженера? На этом А. Н. Крылов останавливается в п. 12 и 13 фрагмента: это, в первую очередь, воспитание правильной прикладной математической интуиции. Всякое прикладное математическое исследование состоит из составления и анализа математической модели изучаемого объекта, а также из истолкования полученного результата математической задачи. На всех этапах этого исследования интуиция должна подсказать, правильно ли были учтены необходимые факторы при составлении математической модели и был выбран метод решения математической задачи.

Сказанное относится не только к изложению теоретического материала, но и к упражнениям, которые сейчас порой состоят из формального решения громоздких задач нескольких, порой устаревших классов. Конечно, владение основными примерами производных, интегралов и т. п. необходимо. Но я думаю, что сейчас, когда значительная часть громоздких вычислений (численных и формульных) поручается компьютерам, для решения громоздких примеров, требующих только внимания и терпения, надо смелее привлекать справочники и компьютеры. А центр тяжести упражнений следует постепенно переносить на то, что пока еще плохо поддается алгоритмизации -составление и анализ простых математических моделей, упрощение формул, сравнение порядков величин, получение простых асимптотических выражений и т. п.

Существенную часть рассматриваемого фрагмента составляет п. 9, в котором А. Н. Крылов перечисляет разделы математики и механики, необходимые для корабельного инженера, с четким указанием того, для чего именно они необходимы. Я считаю весьма желательным, чтобы и для других специальностей подобные справки периодически публиковались компетентными авторами или комиссиями. На мой взгляд, очень полезной была бы реализация предложения А. Н. о том, чтобы часть материала, имеющая более

специальный характер и необходимая для других дисциплин, приводилась в курсе математики без изложения соответствующей общей теории, а излагалась в виде обзора, без доказательств. Полезным является также предложение А. Н. Крылова, сделанное им в конце п. 9, о необходимости варьировать объем и характер изложения курса математики у различных студенческих групп с учетом характера их предстоящей инженерной деятельности. Я вспоминаю, как во время моей работы в Харьковском авиационном институте в некоторых потоках выделялись группы с усиленной математической подготовкой, в которых изучались разделы математики, необходимые для более глубокого освоения специальности. Выпускники этих групп с успехом работали в исследовательских институтах и лабораториях.

Я прошу всех преподавателей математики будущим инженерам (в том числе, и тех, кто пишет учебную литературу в этой области) продумать приведенный в нестоящем издании фрагмент книги А. Н. Крылова — выдающегося специалиста в области математики, применяемой инженерами.

НОВАЯ УЧЕБНАЯ ЛИТЕРАТУРА ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ВУЗОВ

ПРАКТИЧЕСКИЙ КУРС ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

Классические и новые методы, нелинейные математические модели, симметрия и принципы инвариантности

Н. Х. Ибрагимов

Textbook

A Practical Course in Differential Equations and Mathematical Modelling: Classical and new methods, nonlinear mathematical models, symmetry and invariance principles, 2nd edition, Sweden: ALGA publications, 2005. 332 p.

by Nail Ibragimov

Professor of mathematics and Director of ALGA, e-mail rkh@bth.se

“ПРАКТИЧЕСКИЙ КУРС ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ”1 - первый учебник по обыкновенным дифференциальным уравнениям и уравнениям в частных производных, предназначенный для освоения аналитических приемов и “рабочих знаний” при изучении классических и теоретико-групповых методов (методов Ли) решения линейных и нелинейных уравнений.

Курс основан на лекциях, прочитанных автором в различных университетах России, США, Франции, Италии, Южной Африки и Швеции.

Требуемые предварительные знания — линейная алгебра и математический анализ (случаи одной и нескольких переменных), включая элементы обыкновенных дифференциальных уравнений.

1 Перевод на русский язык фрагментов учебника профессора Н.Х.Ибрагимова выполнен И. С. Емельяновой.

Главы учебника:

1. Избранные разделы анализа:

Элементарная математика. Дифференциальное и интегральное исчисление. Векторный анализ. Элементы дифференциальной алгебры. Вариационное исчисление.

2. Математические модели:

Природные явления. Физика и инженерные науки. Явление диффузии. Биоматематика. Волновые явления.

3. Обыкновенные дифференциальные уравнения:

Традиционный подход. Введение и элементарные методы. Линейные уравнения первого порядка, второго порядка, высших порядков. Системы уравнений первого порядка.

4. Уравнения в частных производных первого порядка:

Однородные линейные уравнения. Частные случаи неоднородных уравнений. Квазилинейные уравнения. Системы однородных уравнений.

5. Линейные уравнения в частных производных второго порядка: Уравнения с несколькими переменными. Классификация уравнений с двумя независимыми переменными. Интегрирование гиперболических уравнений с двумя переменными, метод инвариантов Лапласа. Проблема начальных условий. Смешанная задача. Разделение переменных.

6. Нелинейные обыкновенные дифференциальные уравнения:

Группы преобразований. Интегрирование уравнений первого порядка с использованием симметрий. Уравнения второго порядка. Линеаризация уравнений третьего порядка. Нелинейная суперпозиция.

7. Нелинейные уравнения в частных производных:

Симметрии. Групповые инвариантные решения. Инвариантность и законы сохранения.

8. Обобщенные функции и решения:

Введение в обобщенные функции. Оперирование с распределениями. Преобразования распределений.

9. Принцип инвариантности и фундаментальные решения:

Принцип инвариантности. Задача Коши для уравнения распространения тепла. Волновое уравнение. Уравнения с переменными коэффициентами.

ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ

История современной математики насчитывает более 300 лет. С самого зарождения она фокусировала внимание на дифференциальных уравнениях как главном инструменте математического моделирования. Большая часть математических моделей в физике, инженерных науках, биоматематике и т. д. приводит к нелинейным дифференциальным уравнениям.

Перед современными студентами и исследователями в области науки и техники обычно ставятся задачи математического моделирования, содержащие приемы решения дифференциальных уравнений. Иногда эти решения

могут быть получены аналитически с помощью многочисленных традиционных для этих задач методов, пригодных для интегрирования уравнений частного вида. Чаще, однако, решения не могут быть получены этими методами, несмотря на то, что, например, с помощью частных подходов были получены и собраны в объемные справочники более 400 типов интегрируемых обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка.

С другой стороны, фундаментальные законы природы и технологические задачи, сформулированные в терминах дифференциальных уравнений, могут быть успешно рассмотрены и решены с помощью метода групп Ли. Например, анализ групп Ли сводит классические 400 типов уравнений всего лишь к 4 типам! Развитие группового анализа содержит многочисленные факты, свидетельствующие о том, что эта теория дает универсальный аппарат для решения многочисленных дифференциальных уравнений даже в том случае, когда другие средства интегрирования оказываются безуспешными. Фактически групповой анализ является единственным универсальным и эффективным методом аналитического решения нелинейных дифференциальных уравнений. Старые методы интегрирования существенно опираются на линейность, точно так же, как на постоянство коэффициентов. Групповой анализ с одинаковой легкостью обходится с линейными и нелинейными уравнениями, точно так же, как с уравнениями с постоянными и переменными коэффициентами. Например, с традиционной точки зрения линейное уравнение

с постоянными коэффициентами ai,..., ап отличается от уравнения

известного как уравнение Эйлера. С позиции теории групп, однако, эти уравнения — всего лишь два различных представления одного и того же уравнения, допускающего две известные коммутирующие симметрии, а именно,

для первого и второго уравнения, соответственно. Эти симметрии дают две подобные алгебры Ли и без труда приводят к преобразованию х = m переводящему уравнение Эйлера к уравнению с постоянными коэффициентами.

В наши дни групповой анализ становится частью программы курса “Дифференциальные уравнения и нелинейное математическое моделирование” и привлекает новых и новых студентов. Например, курс “Дифференциальные уравнения в частных производных” в Московском физико-техническом институте привлек более 100 студентов, когда я использовал метод групп Ли, по сравнению с 10 студентами, которые выбрали традиционный курс. То же самое произошло, когда я читал подобные лекции для студентов-теоретиков в Южной Африке и Швеции.

Настоящий учебник основан на лекциях и, в известной мере, отражает мои пристрастия и опыт. Он соответствует курсу “Дифференциальные уравнения” в Технологическом институте Блекинджа для студентов — будущих инженеров, математиков и теоретиков. По моему представлению, я стремлюсь сделать групповой анализ дифференциальных уравнений более доступным для будущих инженеров и теоретиков. Следовательно, основной смысл этой книги не столько в вычислении симметрий, сколько в их приложениях.

Карлскрона, 31 августа 2004 Наиль X. Ибрагимов

ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ

Второе издание содержит значительные изменения и дополнения практически во всех главах. Добавлены новые разделы, в частности, по нелинейным суперпозициям и законам сохранения.

В приложении к дифференциальным уравнениям это означает, что предусмотрена возможность выяснения того, выполняются ли условия интегрируемости уравнения в замкнутой форме и построения этого решения наиболее простым способом. Чтобы сформулировать сущность моего опыта решения дифференциальных уравнений различного типа, я перефразировал известный французский афоризм cherchez la femme следующим образом: Если вы не можете решить нелинейное дифференциальное уравнение, cherchez le group (ищите группу).

С этой целью я добавил раздел о вычислении симметрий с помощью решения так называемых определяющих уравнений. Это поможет читателю понять суть вопроса. Освоив метод определяющих уравнений, студент легко сможет находить симметрии, используя пакеты компьютерной алгебры и применяя методы интегрирования, представленные в этом учебнике.

Расширено и обсуждается со значительной общностью изложение теоретико-группового подхода к распределениям и фундаментальным решениям с акцентом на приложения.

Центральную роль в этой книге играет групповой анализ. Я надеюсь, что группы Ли интересны в первую очередь в связи с их применением для решения дифференциальных уравнений. Было ошибкой изолировать их от естественных приложений и использовать лишь как ветвь абстрактной математики. “ Изолировать математику от практических потребностей науки -это то же самое, что предлагать стерилизацию коровы, чтобы оградить её от быков” (П. Л. Чебышев, 1821-1894).

Карлскрона, 31 августа 2005 Наиль X. Ибрагимов

Ниже приводится характерный фрагмент учебника, в котором демонстрируется применение группового анализа к задаче интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка.

6. нелинейные обыкновенные дифференциальные уравнения

6.4. УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА

6.4.3. Стандартные формы двумерных алгебр Ли

Метод С. Ли интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка основан на так называемых канонических координатах двумерных алгебр С. Ли L22. Эти переменные обеспечивают для любой L2 с базисом

простейшие формы базисов, приведенные в табл. 6.4.1, и приводят дифференциальное уравнение, допускающее L2, к интегрируемой форме, указанной в табл. 6.4.2.

Таблица 6.4.1. Структура и стандартные формы

Таблица 6.4.2. Четыре типа уравнений второго порядка, допускающих L2

2 Приведенные в конце фрагмента Пояснения (с 118) составлены И. С Емельяновой.

6.4.4. Метод С. Ли интегрирования

Метод С. Ли интегрирования содержит классификацию всех уравнений второго порядка

допускающих двумерную алгебру Ли, на четыре типа в соответствии с таблицей 6.4.1. А именно, вводя канонические переменные t, и, сводим допускаемую алгебру Ли L2 к одной из стандартных форм, приведенных в табл. 6.4.1. Затем переписываем исходное уравнение в канонических переменных. Полученное уравнение

примет одну из четырех интегрируемых канонических форм, приведенных в табл. 6.4.2.

Таким образом, метод состоит в следующем. Если мы знаем допускаемую алгебру L2, то интегрирование предполагает следующие шаги.

Первый шаг: Определяется тип L2 в соответствии с колонкой Структура L2 табл. 6.4.1. Для типов III и IV может потребоваться изменение базиса Z/2, при котором коммутатор даст требуемый результат.

Второй шаг: Находятся канонические переменные с помощью решения следующих уравнений в зависимости от типа:

Дифференциальное уравнение записывается в канонических переменных. При этом t выбирается в качестве новой независимой переменной, aw — зависимой. Уравнение приобретет одну из четырех интегрируемых форм, приведенных в табл. 6.4.2. Интегрируем полученное уравнение.

Третий шаг : Найденное решение переписывается в исходных переменных x, у. Процедура интегрирования завершается.

Пример 6.4.6. Рассмотрим нелинейное уравнение

(1)

Первый шаг: Решая определяющие уравнения, отмечаем, что они допускают двумерную алгебру Ли L2 с базисом

Следовательно, мы можем применить метод Ли интегрирования. Мы имеем

Таким образом, алгебра Ли L2

относится к типу III.

Второй шаг: Найдем канонические переменные и проинтегрируем наше уравнение. Уравнения X\{t) = 0, X2(t) = t для новой переменной t дают

(2)

а система Х\{и) = 1, Х2(и) = и для и дает

(3)

В канонических переменных t, и, операторы Х\, Х2 приобретают вид:

После замены независимой переменной (2) полная производная Dx трансформируется в полную производную Dt, определяемую следующим уравнением:

или

(4)

Далее мы дифференцируем обе части уравнения (3), используя уравнение (4), и, замечая, что левая часть уравнения (3) зависит от t, а правая часть — от ж, получаем следующее:

Для вычисления преобразования второй производной удобно записать преобразование полной производной, и для первой производной справедливо

Тогда получим следующее преобразование для второй производной:

Уравнения (2)-(3) дают

Далее, из выражения для у' и уравнений (2)-(3) следует

После подстановки этих выражений уравнение (1) приобретает интегрируемую форму:

(5)

Эквивалентно ли уравнение (5) исходному (1)? Более подробно, вопрос состоит в том получим ли мы все решения уравнения (1) из решений (5) после замены переменных (2)-(3) и верно ли обратное утверждение? Ответ не очевиден, поскольку переменная £, удовлетворяющая выражению (2), содержит зависимую переменную у исходного уравнения (1) и, следовательно, t может быть выбрана в качестве новой независимой переменной, только если (1) не содержит решений, вдоль которых t — произвольная постоянная. Прямой анализ показывает, однако, что (1) имеет такое особое решение, вдоль которого t = const, а именно, решение, определяемой прямыми:

Все другие решения уравнения (1) получаются из решений (5) заменой переменных (2)-(3).

Более того, можно проверить, все ли решения уравнения (5) связаны с решениями (1). Отметим, что уравнение (5), очевидно, выполняется при и' = О, а также при и' = —2. Соответствующие решения имеют вид и = А. и = С — - .

где А и С — произвольные постоянные. Согласно (3), первое из приведенных решений, и = А, означает х = const. Следовательно, это не связано с любым решением уравнения (1) и должно быть отброшено. Но второе решение, и = С — t/2, является решением уравнения (1). Действительно, подставляя в него выражения (2) и (3) для t и и, соответственно, получаем следующее решение уравнения (1):

Теперь мы интегрируем уравнение (5), исключая вышеупомянутые особые решения, т. е. считая ^ / 0 и к' + 1/2 / 0. Тогда из (5) получаем:

или

откуда

где Ci = Ki/2 ф 0. Окончательно элементарное интегрирование дает

Третий шаг: Запишем решение в исходных переменных. Заменим в последнем выражении t и и, используя (2) и (3), соответственно, и получим

следующее неявное представление решения у(х) уравнения (1), содержащее две константы Ci ф 0 и С^'.

Добавляя к этому решению два вышеупомянутых особых решения, получаем окончательно общее решение уравнения (1) в виде следующих трех формул, содержащих произвольные постоянные К, С, Ci, С2 при условии С\ ф 0:

(6)

(7) (8)

Тот факт, что общее решение уравнения (1) включает три различные формулы, не противоречит стандартной теореме о единственности решения задачи при произвольных начальных условиях. В действительности решение нижеследующего примера показывает, что сами начальные условия выделяют из (6)-(8) точно одну формулу решения.

Упражнение 6.4.1. Решить следующие задачи Коши:

(i)

(ii) (iii)

Решение. Задача (i): Подставляя ж = 1,у = 1,у/ = 1во все три формулы решения (6)-(8), можно убедиться, что начальные условия (i) удовлетворяются только формулой (6) при К = 1.

Задача (ii): Подобные рассуждения для ж = 1, у = 1, у' = 0 выделяют только вторую формулу решения (7) со знаком “плюс” и при С = — 1.

Задача (iii): Аналогично, подстановка ж = 1, у = 1, у' = 2 выделяет формулу решения (8) при Ci = 2, С2 = — 6.

Таким образом, решение вышеупомянутой задачи Коши имеет следующий вид:

Справочный материал по элементам теории алгебр Ли, используемым в настоящем тексте, приводится ниже.

ПОЯСНЕНИЯ

1. ЛОКАЛЬНАЯ ГРУППА ЛИ. ОПЕРАТОР ГРУППЫ

Преобразования

(1)

при помощи которых точка q = (gi, q<i,..., qn) евклидова пространства W1 (q G Rn) переводится в новое положение q = (gi, • • • 5 Qn) того же пространства Rn, а непрерывный параметр а принадлежит односвязному вещественному множеству a G i?, образуют локальную группу С. Ли G, в том и только в том случае, если выполнены следующие три аксиомы:

1) аксиома замыкания: любые два последовательно проведенные преобразования (1)

могут быть заменены одним преобразованием (1)

в котором

(2)

- закон преобразования параметра (а, Ь, с G й; существенно, что этот закон не может содержать координаты q);

2) аксиома тождественности: существует единственное значение ао G i?, при котором любая точка q остается на месте, то есть выполняется условие

(3)

Закон преобразования параметра удовлетворяет условиям <£>(а, bo) = а; tp(ao,b) = Ь). Кроме того, выполнение аксиомы замыкания предполагается лишь в области параметров, достаточно близких к их значениям при тождественном преобразовании (локально);

3) аксиома инверсии: существует единственное значение параметра a_i Е й, которое соответствует возвращению точки q в точку q, что означает выполнение условия

(4)

Последовательное проведение преобразований (1) и (4) в любом порядке эквивалентно тождественному преобразованию (3).

Функция f(q,a) в преобразованиях (1), а также функция <£>(а, Ь) (2) являются гладкими (функциями класса С°°). Последнее условие может быть ослаблено: достаточно чтобы функции принадлежали классу С3.

Примеры.

1. Преобразование трансляции х = х + а является преобразованием локальной группы Ли G. Действительно, оно, как легко убедиться, удовлетворяет аксиоме замыкания:

Выполнены также аксиомы тождественности и инверсии

Параметр а, удовлетворяющий полученным условиям

(5)

называют каноническим.

2. Преобразование отражения

не образует локальную группу Ли G:

Аксиома замыкания не выполнена, поскольку не существует закона преобразования параметра, не содержащего х. 3. Преобразование растяжения

удовлетворяет условиям (2)-(4):

Разложим функцию q = f(q, а) (1) в ряд Тейлора по параметру а в малой окрестности тождественного преобразования (3). Для каждой координаты qi (г = 1,..., п) имеем:

Существенным элементом этого разложения является слагаемое, линейное относительно Да. Величина

(6)

есть компонента вектора, касательного к кривой, описываемой точками q при фиксированном q преобразования группы Ли G (1) в малой окрестности тождественного преобразования (3). Компоненты вектора £(q)

называют инфинитезималями.

Определение 1. Инфинитезимальным оператором3 преобразования (1) называется дифференциальный оператор

(7)

или в более подробной записи

(принято обозначение Примеры.

1. Преобразование трансляции х = х + а; у = у характеризуется оператором (7) X = дх. Соответствующее векторное поле сдвига вдоль координаты x характеризуется единичным вектором £(1,0) в каждой точке плоскости Оху (рис. 1).

Рис. 1

2. Преобразованию растяжения х = еах; у = е2ау соответствуют оператор (7) X = хдх + 2уду и векторное поле £ с компонентами (6) £i = ж; & = 2у (рис.2).

Рис. 2

Уравнения С. Ли

Теорема 1. Пусть преобразования локальной однопараметрической группы G (1) q имеют канонический закон преобразования параметра (5). Тогда эти преобразования являются решением следующей задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений (уравнений Ли):

(8)

Синонимы: оператор группы Ли, генератор; нередко ограничиваются термином “оператор”.

Верно и обратное утверждение: векторное поле являющееся решением задачи Коши (8) (в предположении, что решение существует и единственно), удовлетворяет групповому свойству

Пример.

Используя первую теорему Ли, восстановим преобразование локальной группы Ли по оператору

Согласно (8) имеем:

Решая поставленную задачу Коши, получаем:

Определение 2. Инвариантом группы преобразований G (1) q = f(q,a) называют функцию I(q), которая не изменяется при этих преобразованиях. Это означает, что при любых допустимых значениях q и а выполняется условие

(9)

Теорема 2. Функция I(q) является инвариантом группы G (1) тогда и только тогда, когда выполнено условие

(10)

В более подробной записи имеем:

(11)

Полученному линейному уравнению в частных производных первого порядка (ЧДУ-1) (11) соответствуют уравнения характеристик

(12)

Константы интегрирования этих п — 1 уравнений являются функционально независимыми инвариантами Ii(q), (г,..., п — 1). Любые другие инварианты

функционально зависят от базовых инвариантов Ii(q). Общий инвариант является функцией базовых инвариантов и имеет вид

Пример.

Найдем инварианты (9) преобразования Ли с оператором

Составим уравнения (12):

Решая эти уравнения, находим два инварианта:

Определение 3. Инвариантное семейство группы преобразований (1) q = f(q,a) определяется функциями J(q), которые удовлетворяют условию

(13)

Пример.

Прямые — = /с, к = const, проходящие через начало координат плоскости Оху, составляют инвариантное семейство функций для преобразования вращения на плоскости с оператором X = —удх + хду. Действительно, выполнено условие (13):

Геометрическая интерпретация полученного результата проста: при повороте вокруг начала координат плоскости Оху любая прямая — = к переходит в прямую этого же семейства (рис.3). С другой стороны, действие оператора растяжения X = хдх+ + уду переводит эту прямую в себя: X\J = (хдх + уду) (—) = 0, и функция — = к является инвариантом (9) преобразования с оператором Х\. Если вместо оператора X выбрать Х2 =

то условие (13) упрощается: Х2 J = 1.

Таким образом, для нахождения функций, определяющих инвариантное семейство, достаточно потребовать, чтобы выполнялось условие

XJ = 1. (14)

Рис.3

Канонические переменные

При групповом анализе дифференциальных уравнений нередко используется операция выпрямления векторного поля. При этом исходный оператор с помощью замены переменных в малой окрестности тождественного преобразования превращается в оператор трансляции вдоль одной из новых координат: X = 9^, и соответствующее векторное поле приобретает простейший вид £(1, 0,..., 0). При переходе к новым переменным инфинитезимальный оператор преобразуется следующим образом:

(15)

При вычислении X использовано свойство оператора X: Xqi = (г = = 1,...,п).

Теорема 3 (теорема о выпрямлении векторного поля). Для выпрямления векторного поля локальной группы G (1) в пространстве W1 в качестве новых переменных достаточно использовать элемент инвариантного семейства (14) и п — 1 инвариант группы, то есть функции, удовлетворяющие условию (10)

X(t) = 1, Х(и) = 0. (16)

Полученная система двух уравнений в частных производных (16) эквивалентна системе п ОДУ-!:

(17)

причем новые переменные (£, и) являются левыми частями интегралов системы (17). Пример.

Продемонстрируем технику выпрямления векторного поля на примере преобразования с инфинитезимальным оператором

Составим уравнения (17):

. Ранее найдены инварианты

Элемент инвариантного семейства может быть получен из уравнения

В переменных £, г^,!^ оператор принимает следующий вид:

С помощью замены переменных векторное поле неоднородного растяжения

преобразовано в векторное поле сдвига вдоль оси t.

Алгебры Ли и многопараметрические группы. Коммутатор операторов

Определение 4. Коммутатором двух операторов Х\ = Çi(q)dq и I2 = = ^2(с)дд называют бинарную операцию

(18)

При вычислении коммутатора \Х\, Х2] (18) удобно использовать формулу

Коммутатор двух линейных дифференциальных операторов первого порядка — оператор того же типа. Из определения коммутатора следуют его свойства: — билинейность:

- антисимметричность: — тождество Якоби:

Определение 5. Операторы Х\, х2, ..., Хг образуют алгебру Ли Lr, представляющую собой векторное линейное пространство, порожденное этими операторами Xi, Xj Э Lr (г, j = 1,... , г) и всей совокупностью их коммутаторов [XuXj] (18)4.

Теорема 4. Векторное пространство Lr с базисом Х\, Х2,...,ХГ образует алгебру Ли G в том и только в том случае, если и только если коммутаторы базисных операторов принадлежат Lr, т. е. выполнено условие

(структурные константы с^- являются вещественными числами и образуют тензор третьего ранга).

Алгебра Ли строится над левоинвариантным векторным полем, которое можно отождествлять с касательным пространством, соответствующим тождественному преобразованию локальной группы Ли (1).

НОВАЯ УЧЕВНАЯ ЛИТЕРАТУРА ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ВУЗОВ

Рецензия на учебник М. А. Федоткина

ОСНОВЫ ПРИКЛАДНОЙ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СТАТИСТИКИ

М.: Высшая школа, 2006, 368 с.

Широкое применение методов теории вероятностей и математической статистики в различных областях естествознания, экономики и техники не нашло еще адекватного отражения в учебной и методической литературе прикладного характера. К тому же условия преподавания теории вероятностей в университетах страны и контингент их студентов по уровню интересов различны. Поэтому имеет первостепенное значение опубликование книги по теории вероятностей и математической статистике, материал которой по существу учитывает средний уровень математической подготовки студента и его запросы прикладного характера. Большинство студентов хотят видеть в учебнике доказательства приводимых утверждений, если только эти доказательства не вызывают у них неприязни и необходимы для овладения материалом. Другими словами, должны отсутствовать доказательства ради самих доказательств. Более того, после строгих доказательств, студенты хотят иметь детальное решение простых задач, которые иллюстрируют теоретические построения и показывают их прикладное значение. Такой подход предлагается автором рецензируемой книги, который на протяжении нескольких десятилетий имел большой опыт чтения лекций, проведения практических и лабораторных занятий по теории вероятностей и

математической статистике на различных факультетах Нижегородского госуниверситета им. Н. И. Лобачевского. В зависимости от специальностей студентов (прикладная математика и информатика, прикладная информатика, прикладная физика, экономика, социология) этот курс преподается в течение трех, двух и одного семестров, сопровождается практикой и лабораторными работами.

Рассмотрим теперь подробно содержание этой книги, материал которой подтверждает такой необычный подход. Учебник состоит из предисловия, введения, одиннадцати глав, списка литературы (включая дополнительный список по главам), приложения в виде статистических таблиц, учебной программы курса (включая план лабораторного практикума) и, наконец, из предметного указателя. В конце каждой главы приведены её краткий обзор, контрольные вопросы и упражнения. Имеется большое число иллюстративного материала в виде рисунков, таблиц и графиков. Основной материал учебника разбит на главы. Каждая глава включает параграфы с нумерацией из двух цифр, первая цифра которой определяет номер главы. Любой параграф содержит разделы с нумерацией, которая использует латинский алфавит. Нумерация параграфов, разделов, теорем, лемм, формул, примеров, рисунков и таблиц в каждой главе самостоятельна.

В предисловии указываются концепция изложения материала, структура учебника, уровень подготовки студентов и перечисляются основные задачи курса. Во введении и первой главе рассматриваются следующие вопросы: а) предмет теории вероятностей и математической статистики; Ь) краткий исторический очерк развития теории вероятностей; с) реальные эксперименты, их задание и классификация; d) аксиомы выбора элементарных исходов статистически устойчивых экспериментов; е) соотношения и теоретико-множественные операции между случайными событиями; f) допустимые и наблюдаемые события статистически устойчивых экспериментов; g) методы построения теоретико-множественных моделей случайных экспериментов.

Вторая глава посвящена: а) субъективному способу измерения случайных событий; Ь) определению вероятности для опытов с дискретным и непрерывным множеством элементарных исходов; с) эмпирическому и аксиоматическому подходам к вычислению вероятности; d) общим свойствам вероятностной функции Колмогорова; е) построению унифицированной и локализованной вероятностных моделей условных экспериментов; f) проблеме независимости случайных событий и свойствам условных вероятностей; g) теоремам умножения, о полной вероятности и о гипотезах.

Третья, четвертая и пятая главы посвящены: а) конструктивному заданию борелевской а-алгебры на действительной прямой; Ь) фундаментальному понятию измеримости одномерной случайной величины; с) законам распределения случайных величин и их классификации; d) семействам случайных величин и их законам распределения; е) зависимости случайных величин и их условным законам распределения; f) неслучайным функциям от случайных аргументов; g) числовым характеристикам одномерных и многомерных случайных величин; h) рассмотрению регрессии случайных величин и элементарной теории корреляции.

В шестой главе изучаются некоторые наиболее распространенные законы распределения случайных величин, а именно: а) нормальный закон распределения; Ь) равномерный и показательный законы распределения; с) закон распределения Пуассона; d) последовательность независимых испытаний Бернулли и биномиальная случайная величина.

Седьмая глава о простейших предельных теоремах теории вероятностей включает: а) предельные теоремы в схеме независимых испытаний Бернулли и рассмотрение различных типов сходимостей последовательности одномерных случайных величин; Ь) законы больших чисел и их интерпретацию с точки зрения интуитивного понятия о статистической устойчивости экспериментов; с) центральную предельную теорему А. М. Ляпунова.

Заключительные четыре главы излагают ключевые идеи современной прикладной статистики. Восьмая и девятая главы обсуждают: а) предмет математической статистики и его связь с фундаментальными проблемами теории вероятностей; Ь) задачи математической статистики и основные интуитивные понятия статистики; с) эмпирические (выборочные, статистические) характеристики случайных величин и точечное оценивание неизвестных параметров законов распределения случайных величин; d) основные требования и критерии оптимальности оценок; е) достаточные статистики и методы построения точечных и интервальных оценок неизвестных параметров законов распределения случайных величин.

Десятая и одиннадцатая главы содержат: а) понятие статистической гипотезы и критерия согласия; Ь) проверку простых и сложных гипотез о виде распределения с помощью х2 Пирсона; с) проверку независимости случайных величин и проверку однородности наблюдений с помощью критерия Смирнова и критерия X2; d) проверку простой параметрической гипотезы против простой альтернативы и проверку сложных параметрических гипотез; е) критерий отношения правдоподобия и метод максимального правдоподобия; f) исследование статистических зависимостей и способ проверки гипотезы об отсутствии корреляционной связи; g) элементы одно- и двухфакторного дисперсионного анализа. Разделы “Контрольные вопросы и упражнения” содержат много интересного материала, дополняющего содержание основных глав книги.

Приведем характерные особенности книги, которые отличают её от известных книг по теории вероятностей и математической статистике. Прежде всего, автор минимально использует информацию, связанную с теорией меры и интегрирования. Учебник практически не содержит сложных доказательств. Однако автор приводит полные и строгие доказательства лишь части включенных в книгу утверждений, а в случае более сложных и тонких результатов ограничивается точной формулировкой и ссылкой на литературу, в которой можно найти доказательства. Большое внимание в учебнике уделено построениям теоретико-множественной и вероятностной моделям, статистически устойчивым экспериментам.

Разделы учебника по прикладной статистике весьма оригинальны, так как они органично связаны с основным и общим взглядом автора на предмет теории вероятностей и математической статистики. Для подтверждения

этого достаточно познакомиться с материалом учебника, в котором изложено нетрадиционное понятие генеральной совокупности. К числу достоинств учебника следует отнести многочисленные и необычные интерпретации прикладных результатов по теории вероятностей и математической статистике. Простота и последовательность изложения материала учебника и наличие большого числа решенных примеров, несомненно, окажутся также полезными для преподавателей, инженеров и студентов, которые вынуждены изучать основы теории вероятностей самостоятельно.

В качестве недостатка можно привести такой факт. Способы доказательства свойств математического ожидания для дискретных и непрерывных случайных величин просты и аналогичны. Поэтому целесообразно некоторые свойства доказывать только для случайных величин дискретного типа, а другие — для случайных величин непрерывного типа. Рецензенту ясно, что такая методика позволяет неискушенным читателям легко приобрести навыки такого рода доказательств. Далее, в любой книге отбор материала всегда является в известной мере субъективным и может в той или иной мере оспариваться. Так рецензенту представляется неоправданным исключение из рассмотрения метода характеристических функций, который широко используется для доказательства различных теорем в теории вероятностей и математической статистике, например, предельных теорем или теорем, связанных с суммированием случайных величин.

Подводя в конце итог, можно утвердительно сказать, что книга М. А. Федоткина, которая допущена Учебно-методическим советом по прикладной математике и кибернетике УМО по классическому университетскому образованию в качестве учебника для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальности “Прикладная математика и информатика” и по направлению “Прикладная математика и информатика”, соответствует годовому университетскому курсу. Она своевременна для широкого круга читателей, будет ценным пополнением имеющейся литературы по теории вероятностей и математической статистике.

Профессор кафедры математической статистики Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова,

д. ф.-м. н. Ушаков В.Г.

ХРОНИКА ДЕЯТЕЛЬНОСТИ НИЖЕГОРОДСКОГО УНИВЕРСИТЕТА И НИЖЕГОРОДСКОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБЩЕСТВА

НИЖЕГОРОДСКОМУ ГОСУДАРСТВЕННОМУ УНИВЕРСИТЕТУ им. Н. И. ЛОБАЧЕВСКОГО — 90 ЛЕТ

Прошло 100 лет со дня исторического заседания Городской думы Нижнего Новгорода, на котором Городской голова Александр Михайлович Меморский провозгласил: “Наука — единственный путь к счастью”. Так он аргументировал свое предложение об основании в Нижнем Новгороде Народного университета.

В конце XIX - начале XX веков Нижний Новгород был одним из крупнейших городов России. В фотолетописи Максима Петровича Дмитриева, в которой запечатлен Нижний (так и в наши дни сокращают в живой речи название города) конца XIX века, перед нами предстает величественная река, заполненная торговыми судами, большой город — “карман России” — по берегам. Нижний Новгород уже в то время занимал видное место в экономической жизни России и постоянно нуждался в образованных специалистах. Идея создания университета будоражила умы наиболее просвещенных горожан еще с 1896 года, когда она была впервые высказана во время открытия XVI Всероссийской Художественно-промышленной выставки.

30 января (17 января по старому стилю) 1916 года — дата рождения городского Народного университета, первого высшего учебного заведения Нижнего Новгорода. Его торжественное открытие состоялось в здании Нижегородской Городской думы.

Народный университет, не зависящий от государственной казны, был новаторским высшим учебным заведением. “Казенный”, то есть государственный университет мог содержать только четыре факультета, вся университетская жизнь жестко регламентировалась Уставом 1884 года. В “казенные” университеты не принимали женщин и был ограничен прием по национальным и религиозным мотивам. Отличительной особенностью “вольной” высшей школы являлось отсутствие государственных субсидий. Она существовала за счет пожертвований отдельных меценатов, организаций (общественных, купеческих, торгово-промышленных, просветительских) и платы за обучение. Первым среди многих меценатов “вольной” высшей школы был Альфонс Леонидович Шанявский, генерал-майор, золотопромышленник. 15 сентября 1905 года он направил в Московскую Городскую думу заявление, в котором говорилось: “В нынешние тяжелые дни нашей общественной жизни, признавая, что одним из скорейших способов её обновления и оздоровления должно служить широкое распространение просвещения и привлечение симпатии народа к науке и знанию — этих источников добра и силы — я желал бы, по возможности, оказать содействие скорейшему возникновению учреждения, удовлетворяющего потребности высшего образования”.

По примеру Московского Народного университета имени А. Л. Шанявского задумывался университет в Нижнем Новгороде. Провозглашение Городской думой открытия в Нижнем Новгороде Народного университета встретило горячий отклик среди горожан. Уже 25 ноября 1905 года Евгения Робертовна Ермолаева, вдова потомственного Почетного гражданина Нижнего Новгорода Алексея Федоровича Ермолаева, “завещала всё имущество свое в пользу Народного университета в Н. Новгороде в память мужа своего”. На открытие Народного университета деньги собирались по подписке.

В открывшемся Народном университете было 5 отделений: гуманитарное, естественно-математическое, литературное, экономическое, историческое. Университет не имел своего собственного здания, поэтому лекции читались в зданиях коммерческого училища, гостиницы “Россия”, Владимирского реального училища, в здании Духовной семинарии и даже в залах Городской думы.

28 марта 1918 года Губернский исполком принял решение о создании в Нижнем Новгороде государственного университета. Недавно на здании Нижегородской Городской думы установлена мемориальная доска, свидетельствующая об этих событиях девяностолетней давности. Пятьдесят лет назад, 20 марта 1956 года, университету присвоено имя великого русского ученого-математика Николая Ивановича Лобачевского.

В наши дни ННГУ — один из ведущих классических университетов России. В рейтинге Министерства образования и науки РФ Нижегородский государственный университет занимает первое место среди университетов Приволжского федерального округа и входит в список 10 лучших классических университетов России.

Ректор ННГУ — Роман Григорьевич Стронгин, доктор физико-математических наук, профессор — является одним из инициаторов создания нашего журнала, входит в состав редколлегии и на деле постоянно поддерживает его. Нижегородский университет — единственный спонсор журнала и полностью обеспечивает его издание.

В университете обучается около 40000 студентов и слушателей, свыше 1000 аспирантов и докторантов. Подготовка дипломированных специалистов осуществляется по 63 специальностям, бакалавров — по 26 направлениям, магистров — по 15 направлениям (56 программ). Подготовка аспирантов и докторантов ведется по 55 научным специальностям. В ННГУ работает 21 совет по защите диссертаций, в том числе 17 докторских. Специализированные советы имеют право присуждения степени доктора наук по 23, а кандидата наук — по 35 специальностям. По физико-математическим и техническим наукам работают советы по 14 специальностям (в том числе докторские советы по специальностям 01.01.02 — Дифференциальные уравнения, 01.01.09 — Дискретная математика и математическая кибернетика, 05.13.17 — Теоретические основы информатики, 05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы). Недавно ННГУ прошел лицензионную экспертизу на право осуществления образовательной деятельности по новым для университета основным образовательным программам послевузовского профессионального образования (аспирантура) по специальностям научных работников, среди которых — Педагогические науки (специальность 13.00.08 — Теория и методика профессионального образования). ННГУ имеет сокращенные и ускоренные программы подготовки лиц, получающих второе высшее образование и лиц, получающих высшее образование на базе среднего профессионального образования, ведет подготовку специ-

алистов по 10 специальностям среднего профессионального образования и реализует большое количество программ переподготовки и повышения квалификации. Реализуя концепцию непрерывного образования “от школьной парты до аспирантуры”, ННГУ проводит предметные олимпиады различного уровня. Подготовительный факультет, работающий как в университете, так и в школах Нижнего Новгорода и области, готовит школьников к вступительным экзаменам. Университет курирует работу более восьмидесяти базовых школ в городах Нижний Новгород, Саров, Бор, Балахна, Заволжье, Городец, Дзержинск и других.

Более 70% преподавателей ННГУ, работающих на 132 кафедрах, имеют ученые степени доктора или кандидата наук, ученые звания профессора, доцента. В их числе: 17 действительных членов и членов-корреспондентов Российской Академии наук, 300 докторов наук (профессоров), 900 кандидатов наук (доцентов), 23 заслуженных деятеля науки и техники Российской Федерации, 33 лауреата Государственной премии, премий Правительства и премий Президента Российской Федерации, 68 почетных работников высшего профессионального образования, 18 заслуженных работников высшей школы, 37 лауреатов премии г. Нижнего Новгорода.

В университете сложились десятки всемирно известных научных школ. Первый декан физико-математического факультета Горьковского университета, заведующий кафедрой теории функций профессор И. Р. Брайцев на протяжении многих лет (1919-1947) читал профилирующие курсы по математическому анализу, дифференциальным и интегральным уравнениям, дифференциальной геометрии, вариационному исчислению, по теории эллиптических функций, теории целых функций, аналитической теории дифференциальных уравнений. Среди его учеников были члены-корреспонденты АН СССР М. Ф. Субботин и А. Ф. Леонтьев. Последним выполнен ряд широко известных исследований по теории функций.

Существенные результаты в области функционального анализа, вариационного исчисления (значительное продвижение в решении 19 и 20 проблем Гильберта) получены профессором А. Г. Сигаловым, работавшим в университете в 1952-1969 годах. В короткое время под его руководством защитили диссертации Ю. В. Глебский, В.И.Плотников, С.Ф.Морозов, Г. М. Жислин и др. Профессор В. И. Плотников известен работами в области вариационного исчисления и оптимального управления распределенными системами. Ю. В. Глебский был первым заведующим кафедрой алгебры и логики на факультете вычислительной математики и кибернетики. В становлении факультета ВМК и НИИ Прикладной математики и кибернетики сыграли существенную роль его научные результаты по теории кодирования, математической логике, теории управления дискретными системами. Профессор Г. М. Жислин известен результатами о структуре спектра многочастичных квантовых гамильтонианов (теорема Хунцикера-Ван Винтера-Жислина о локализации существенного спектра, лежащая в основе большинства математических результатов о спектрах многочастичных квантовых систем; теорема Жислина о структуре дискретного спектра гамильтонианов атомов и ионов и др.).

Особую роль в истории Горьковского университета играл профессор А.А.Андронов, заведующий кафедрой теории колебаний (1931-1952), создатель всемирно признанной школы по теории нелинейных колебаний. В 1946 году за работы в области теории колебаний и теории автоматического регулирования А. А. Андронов был избран действительным членом АН СССР. Среди его учеников и последователей — Н. Н. Баутин, Н. В. Бутенин, Я. Н. Николаев, Н. П. Власов, Н. А. Железцов, С. А. Жевакин, Ю. И. Неймарк, А. В. Гапонов, Н. А. Фуфаев, А. С. Алексеев. Каждое из этих имен требует своего рассказа, “дерево” школы академика А. А. Андронова живет и дает новые и новые ростки. В сентябре 2005 года в университете отмечалось 100-летие профессора Е. А. Леонтович. В соавторстве с профессором Н. Н. Баутиным ею выпущена известная книга “Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости”. Профессор А. Г. Майер известен своими результатами по топологической динамике. Он — соавтор ставшего классическим двухтомного труда (авторы А. А. Андронов, Е. А. Леонтович, И. И. Гордон, А. Г. Майер) по общей качественной теории динамических систем.

Математические методы исследования динамических систем и процессов управления, динамика неголономных систем, вопросы оптимизации систем массового обслуживания, распознавание образов, теория обучения и адаптации — вот далеко не полный перечень тем, которые развиваются в работах профессора Ю. И. Неймарка, отметившего недавно свое 85-летие, и его учеников. Среди них Ю. Г. Васин, Ю. И. Городецкий, Г. Г. Денисов, Р. Г. Стронгин и др.

В короткой статье невозможно осветить историю, жизнь и деятельность математического сообщества Нижегородского университета и входящих в его состав научно-исследовательских институтов. Мы советуем читателю познакомиться с изданиями музея ННГУ “Личность в науке. Люди. События. Идеи”, с выпусками серии “Математика” “Вестника Нижегородского университета им. Н. И. Лобачевского” и другими нашими публикациями.

ННГУ — центр инновационной деятельности. Исследования ведутся совместно с крупнейшими научными центрами Российской академии наук, российскими и зарубежными научно-инновационными центрами и предприятиями высоких технологий (“Intel”, “Microsoft”, “National Instruments”, “Тэлма”, “Мера” и др.). ННГУ играет роль интегратора знаний в регионе.

Нижегородский университет входит в Европейскую ассоциацию университетов и представлен в Исполкоме Европейской академической сети деканов. Он выполнил и выполняет в настоящее время большое число крупных международных образовательных и научных проектов, финансируемых известными европейскими и американскими фондами, активно участвует в реализации целей Болонской декларации. Совместно с зарубежными партнерами ННГУ реализует научно-образовательные программы “Российско-Итальянский университет” и “Российско-Французский университет” (последняя программа — в содружестве с Нижегородским лингвистическим университетом) и приступил к обучению иностранных студентов из стран ближнего и дальнего зарубежья по полным программам высшего образования.

В настоящее время в состав университета входят следующие факультеты: биологический, исторический, механико-математический, радиофизический, военного обучения, высшая школа общей и прикладной физики, вычислительной математики и кибернетики, иностранных студентов, международных отношений, социальных наук, управления и предпринимательства, физической культуры и спорта, физический, филологический, финансовый, химический, экономический, юридический; институты:

• Научно-исследовательский физико-технический институт

• Научно-исследовательский институт химии

• Научно-исследовательский институт механики

• Научно-исследовательский институт прикладной математики и кибернетики

• Научно-исследовательский институт молекулярной биологии и региональной экологии

• Институт стратегических исследований,

а также 5 филиалов и 6 представительств в городах и районных центрах Нижегородской области.

Являясь крупнейшим окружным центром информационно-библиотечного обслуживания, университет имеет в своем составе Информационно-образовательный центр, обеспечивающий доступ к сети Internet (в том числе через систему беспроводного доступа), Окружной ресурсный центр Приволжского федерального округа, Фундаментальную библиотеку, издательство, типографию. На сайте www.unn.ru можно подробнее познакомиться с жизнью Нижегородского государственного университета им. Н. И. Лобачевского.

Директор музея университета Т. И. Ковалева

ХРОНИКА ДЕЯТЕЛЬНОСТИ НИЖЕГОРОДСКОГО УНИВЕРСИТЕТА И НИЖЕГОРОДСКОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБЩЕСТВА

НИЖЕГОРОДСКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЩЕСТВО - 11 ЛЕТ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ

Впервые мысль о необходимости создания в Нижнем Новгороде математического общества я услышал от моего учителя профессора Д. А. Гудкова в восьмидесятые годы прошлого века. Когда после 1985 года (т. е. с наступлением “перестройки”) создание независимой общественной организации стало реальным, Гудков стал постепенно продумывать детали (обсуждал эту идею с разными людьми, по его просьбе коллеги прислали ему уставы Московского и Ленинградского математических обществ и т.п.), но приступить непосредственно к организации общества не успел: последние годы жизни (Д. А. Гудков умер в 1992 г.) он был поглощен работой над своей замечательной книгой [1] о биографии Н. И. Лобачевского.

В 1995 году группа нижегородских математиков — М. А. Антонец, Е. И. Гордон, М. В. Долов, И. С. Емельянова, Г. М. Жислин, Л. Н. Кривоносов, М. И. Кузнецов, В. И. Сумин, В. Н. Шевченко, Л. П. Шильников и автор этой заметки — организовала Учредительное собрание (оно состоялось 17 апреля), которое приняло решение о создании Нижегородского математического общества (ННМО) и Устав общества. На основании этого Устава было избрано правление общества в вышеперечисленном составе. Президентом ННМО был избран Л. П. Шильников, вице-президентом — М. И. Кузнецов, ученым секретарем — Г. М. Полотовский (с 2001 г. президентом ННМО является М. И. Кузнецов, вице-президентом — Л. М. Лерман).

ННМО было официально зарегистрировано Управлением юстиции Нижегородской области 3 августа 1995 года, о чем было получено Свидетельство № 773. На момент организации общество насчитывало 57 человек. С тех пор число членов общества существенно не меняется (находится “в динамическом равновесии”). Отметим, что в общество входят семь иностранных членов -это нижегородские математики, живущие и работающие за рубежом.

Приведем некоторые выдержки из Устава ННМО.

1.1. Региональная общественная организация “Нижегородское Математическое Общество” (ниже — Общество) создана Учредительным собранием граждан, объединившихся на основе общности интересов. Целью Общества является координация и объединение усилий, направленных на сохранение и развитие математических исследований, математического образования и математического просвещения в Нижегородском регионе.

4.1. Общество функционирует на основе добровольного членства. Членами Общества могут быть физические лица и юридические лица — общественные объединения, профессионально связанные с деятельностью в обла-

сти математики (включая её преподавание), разделяющие цели Общества и соблюдающие настоящий Устав.

Для достижения указанных в п. 1.1. целей Общество осуществляет следующие виды деятельности:

5.1. Научно-организационную в формах: организация постоянно действующего научного семинара Общества; организация и поддержка математических конференций, семинаров и школ, в том числе международных; организация профессиональных математических конкурсов; организация библиотеки современной математической литературы; распространение информации о математической жизни.

5.2. В области математического образования и просвещения в формах: приглашение ведущих специалистов для чтения лекций по актуальным проблемам математики; организация методических семинаров для преподавателей школ и вузов; популяризация историко-математических знаний, в том числе особенно — о выдающихся математиках Нижегородского региона; организация математического лектория для школьников и студентов; участие в организации и проведении математических олимпиад, математических кружков, вечерних и заочных математических школ и т. п.

5.3. Консультационно-экспертную, в том числе представление работ на конкурсы, выдвижение кандидатур на именные стипендии.

5.4. Издательскую, направленную на обеспечение перечисленных выше форм деятельности.

5.5. Сотрудничество с другими обществами и организациями, имеющими сходные цели, в том числе с зарубежными.

Первое научное заседание ННМО состоялось 21 сентября 1995 г. и было посвящено 90-летию профессора Е. А. Леонтович-Андроновой. С тех пор заседания проводятся регулярно в среднем один раз в месяц (исключая летние месяцы) и к моменту написания этой статьи проведено 94 научных заседания, на которых был заслушан 101 доклад 86 авторов. Из авторов 34 представляли Нижний Новгород, 35 — другие регионы России и 17 — ближнее и дальнее зарубежье. Понятно, что в настоящем тексте нет никакой возможности перечислить все доклады и всех авторов. По-видимому, в этом и нет необходимости: на сайте http://www.unn.runnet.ru/nnmo/ публикуется список всех научных заседаний, содержащий, в частности, аннотации докладов; кроме этого, информация о деятельности общества регулярно публикуется в журнале “Вестник ННГУ. Серия математика” — см. [2, 3]. Тем не менее, ниже перечислены некоторые “гостевые” доклады разных лет, чтобы читатель получил общее представление об уровне и тематике заседаний:

Э. Б. Винберг (Москва, МГУ) (21.12.1995) “О группах, задаваемых периодическими попарными соотношениями”.

В. Г. Кановей (Москва, МИИТ) (19.12.1996) “Дихотомические теоремы о раскраске графов и отношениях эквивалентности в теории борелевских множеств”.

B. M. Тихомиров (Москва, МГУ) (18.03.1997) “О финитизации задач классического анализа”.

В.Бергельсон (Огайо, США) (11.09.1997) “Эргодический подход к некоторым задачам теории Рамсея”.

А.Б.Сосинский (Независимый Московский университет) (26.02.1998) “Инварианты Васильева не только для узлов”.

М. И. Зеликин (Москва, МГУ) (20.05.1999) “Топологическая структура оптимального синтеза с четтеринг-управлениями”.

А. И. Комеч (Москва, МГУ) (23.12.1999) “Об аттракторах нелинейных гамильтоновых волновых уравнений”.

Ю. Л. Менцин (Гос. Астрономический институт им. П. К. Штернберга) (27.04.2000) “Научная революция XVI-XVII вв. и истоки конфликта между учеными и церковью”.

Д. В. Трещев (Москва, МГУ) (25.03.2001) “Диффузия в гамильтоновых системах, близких к интегрируемым”.

А. Д. Брюно (ИПМ РАН) (29,30.11.2001) “Степенная геометрия как новое исчисление”.

Е. Шустин (Тель-Авив, Израиль) (28.03.2002) “Построения в алгебраической геометрии, теории особенностей, симплектической геометрии, алгебре”.

C. С. Рышков (МИ РАН им. В. А. Стеклова, МГУ) (25.04.2002) “О параллелоэдрах”

Г. Б. Михалкин (Юта, США) (23.05.2002) “Внешняя логарифмическая геометрия вещественных алгебраических многообразий и тропическая алгебраическая геометрия”

A. И. Нейштадт (ИКИ РАН) (3.10.2002) “Затягивание потери устойчивости в системах с быстрыми и медленными движениями”.

И. Ф. Шарыгин (МЦНМО, Москва) (18.12.2002) “О реформе образования”.

B. В. Напалков (Институт Математики с ВЦ УНЦ РАН, Уфа) (13.02.2003) “Фундаментальный принцип Эйлера для дискретных разностных операторов”.

В. Афраймович (Университет Сан-Луис Потоси, Мексика) (6.01.2004) “Эпсилон-сложность в динамических системах”.

В. А. Александров (Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Новосибирск) (13.02.2004) “Изгибаемые многогранники: основные достижения и открытые проблемы”.

Н.А.Вавилов (Санкт-Петербургский университет) (26.02.2004) “Экономное порождение групп”.

Е. Гордон (Иллинойс, США) (26.05.2004) “О приближениях топологических алгебраических систем конечными”.

Д. Тамаркин (Иллинойс, США) (28.12.2004) “Деформационное квантование и приложение к нему гомологических методов”.

С. К. Ландо (Независимый Московский университет) (19.04.2005) “Интегрирование по пространствам матриц и перечисление вложенных графов”.

С. В. Дужин (ПОМИ РАН) (20.04.2005) “Интеграл Концевича и ассоциатор Дринфельда”.

А. Н. Гришков (Сан-Паулу, Бразилия) (26.12.2005) “Простые алгебры Ли над полями малой характеристики”.

А.И.Дегтярев (Анкара, Турция) (18.01.2006) “Об особых комплексных секстиках”.

А.В.Арутюнов (МГУ, Университет дружбы народов) (14.03.2006) “Вырожденные задачи нелинейного анализа и теории экстремума”.

Кроме этого, 19-20 апреля 2005 г. был организован “миникурс” лекций “Инварианты Васильева узлов и зацеплений” для студентов и аспирантов, прочитанный С.В. Дужиным (ПОМИ РАН) и С. К. Ландо (Независимый Московский университет).

Отметим отдельно заседания мемориального характера. Кроме первого заседания, о котором говорилось выше, это заседания 17 и 29 октября 1997 г., посвященные 75-летию со дня рождения профессора В. И. Плотникова; заседание 23 апреля 1998 г., посвященное 80-летию со дня рождения профессора Д. А. Гудкова; заседание 28 января 1999 г., посвященное 90-летию со дня рождения профессора Н. Н. Баутина; Андроновские чтения (25 января, 21 февраля, 25 марта, 26 апреля 2001 г.) к 100-летию со дня рождения академика А.А.Андронова; заседание 29 сентября 2005 г., посвященное 100-летию со дня рождения профессора Е. А. Леонтович-Андроновой; чтения памяти Н. И. Лобачевского (к 150-летию со дня его смерти) 26 февраля 2006 г. (совместно с музеем науки ННГУ “Нижегородская радиолаборатория”).

Нижегородское математическое общество было одним из организаторов Международной конференции памяти чл.-корр. АН СССР А. Ф. Леонтьева (май-июнь 1997 г.), IV Международной конференции “Неевклидова геометрия в современной физике и математике (”BGL-4“) (сентябрь 2004 г.). Несколько раз ННМО награждало своими призами победителей школьных математических олимпиад. В 2003 г. ННМО учредило премию для молодых математиков. Первое вручение этих премий состоялось 2 декабря 2004 г. на общем собрании ННМО, лауреатами стали преподаватели мехмата ННГУ Е. Н. Махрова (за цикл работ ”Динамика монотонных отображений дендритов“) и Н. Г. Чебочко (за цикл работ ”Деформации модулярных алгебр Ли").

В рамках своей издательской деятельности в 1997 г. ННМО опубликовало брошюру “Владимир Иванович Плотников (к 75-летию со дня рождения”). Кроме этого, ННМО является соиздателем книги “Неевклидова геометрия в современной физике и математике” (Нижний Новгород-Киев, 2004), Трудов упомянутой выше конференции и одним из издателей журнала, который вы держите в руках.

Регулярный источник денежных средств, необходимых для осуществления деятельности ННМО, — ежегодные членские взносы членов общества,

нерегулярный — помощь спонсоров, которые с благодарностью перечислены ниже: ООО “Школа” (директор А. В. Мокеев), фирма “ТСС” (президент В. Б. Космачев), лаборатория “Информационные технологии” факультета ВМК ННГУ (профессор В. П. Гергель), член ННМО профессор А.Корчагин (Техас, США).

Нижегородское математическое общество намерено продолжать свою деятельность по “координации и объединению усилий, направленных на сохранение и развитие математических исследований, математического образования и математического просвещения в Нижегородском регионе” и с благодарностью примет (можно по электронному адресу polot@uic.nnov.ru) замечания и предложения, направленные на улучшение этой деятельности.

ЛИТЕРАТУРА

1. Гудков Д. А. Н.И.Лобачевский. Загадки биографии. — Н.Новгород: Изд-во ННГУ, 1992. 241с.

2. Полотовский Г. М. В Нижегородском математическом обществе // Вестник ННГУ Сер. математика. 2004. Вып. 1(2). С. 289-292.

3. Полотовский Г. М. В Нижегородском математическом обществе // Вестник ННГУ Сер. математика. 2005. Вып. 1(3). С. 228-236.

Ученый секретарь ННМО Г. М. Полотовский

Математика в высшем образовании

№ 4, 2006

Научно-методический журнал

Свидетельство о регистрации средства массовой информации Министерства РФ по делам печати, телерадиовещания и средств массовых коммуникаций ПИ Jfe 77-15825 от 07 июля 2003 г. ISSN 1729-5440

Редактор Е.В. Тамберг Технический редактор и компьютерная верстка Л. Р. Семенова Оригинал-макет подготовлен с использованием пакета LATgx

Подписано в печать 05.06.2006 г. Формат 60x84 1/8 Бумага офсетная. Гарнитура Computer Modern. Печать офсетная. Усл. печ. л. 16,3 Уч.-изд. л. 12,3_Тираж 800 экз._Заказ 991._

Издательство Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского, 603950, Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23.

Адрес редакции: 603950, Нижний Новгород, проспект Гагарина, 23, Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского, корпус 2, к. 216. Тел.: (8312) 65-85-10; (8312) 65-78-83; факс: (8312) 65-85-92 e-mail: appmath@vmk.unn.ru http://www.unn.ru/math

Типография Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского, 603000, Нижний Новгород, ул. Большая Покровская, 37. Лиц. ПД№ 18-099 от 04.05.2001

Индекс 87966

ISSN 1729-5440

Математика в высшем образовании, 2006, №4