ISSN 1729-5440

МАТЕМАТИКА В ВЫСШЕМ ОБРАЗОВАНИИ

3

2005

НАУЧНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ СОВЕТ ПО МАТЕМАТИКЕ МИНИСТЕРСТВА ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Н.И. ЛОБАЧЕВСКОГО

НИЖЕГОРОДСКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЩЕСТВО

МАТЕМАТИКА В ВЫСШЕМ ОБРАЗОВАНИИ

3

2005

Научно-методический журнал

Нижний Новгород

Издательство Нижегородского государственного университета

Редакционная коллегия

И.С. Емельянова (главный редактор) М.В. Долов, Г.М. Жислин, Т.А. Иванова (зам. главного редактора), В.А. Ильин, Ю.Л. Кетков, Л.Д. Кудрявцев, М.И. Кузнецов, А.В. Латышев, Г.Л. Луканкин, Н.И. Мерлина, В.И. Михеев, Е.И. Моисеев, А.Д. Мышкис, Е.Н. Перевощикова, Н.Х. Розов, В.А. Садовничий, Г.И. Саранцев, Р.Г. Стронгин, С.Н. Слугин, М.А. Федоткин

При перепечатке, переводе на иностранный язык, а также при ином использовании оригинальных материалов журнала ссылки на “Математика в высшем образовании” обязательны

Журнал издается при финансовой поддержке Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского

Адрес редакции: 603950, Нижний Новгород, проспект Гагарина, 23, корпус 2, к. 216. Тел.(8312) 65-78-83; e-mail: appmath@vmk.unn.ru http : //www.unn.ru/math

© Математика в высшем образовании, 2005

Mathematics Science and Methods Council of Russian Ministry of Education

Federal Education Agency

Nizhny Novgorod State University

Nizhny Novgorod Mathematics Society

MATHEMATICS

in Higher Education

3

2005

Academic Journal

Nizhny Novgorod

Nizhny Novgorod State University Press

Editorial Board

LS. Yemelyanova (Editor-in-Chief), M.V.Dolov, G.M. Zhislin, T.A. Ivanova (Editor), V.A. Ilyin, Y.L. Ketkov, L.D. Kudryavtsev, M.I. Kuznetsov, A.V.Latyshev, G.L. Lukankin, N.I. Medina, V.I. Miheev, E.I. Moiseev, A.D. Myshkis, E.N. Perevoshikova, N.Kh. Rozov, V.A. Sadovnichii, G.I. Sarantsev, R.G. Strongin, S.N. Slugin, M.A. Fedotkin

No reprint or any use of the material is allowed without reference to “Mathematics in Higher Education ”.

The journal is published with financial support of Nizhny Novgorod State University.

Editorial Office Address: Nizhny Novgorod State University Nizhny Novgorod, 603950, Gagarin avenue 23, building 2, office 216 Russia

Tel: (8312) 65-78-83

e-mail: appmath@vmk.unn.ru

http://www.unn.ru /math

© Mathematics in Higher Education, 2005

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие............................................................... 7

Инновационные и информационные технологии и компьютерные продукты в преподавании математики

Воеводин В. В. Параллельные вычисления и математическое образование .................................................................... 9

Кетков Ю.Л., Кузнецов А. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения: MatLab versus MathCAD................................... 27

Луценко А. Г. Опыт использования системы MathCAD 11 при обучении высшей математике................................................ 53

Содержание и технологии математического образования в вузе

Бесов О. В. Формула Грина............................................... 65

Рахманкулов Р. Г. Исследование и построение графика композиции функций................................................................ 75

Ивашев-Мусатов О. С. О площадях и объемах при отображении........87

Математика для специалистов различного профиля

Успенский В. А. Математика для гуманитариев: философия преподавания ................................................................ 91

История математики, математического образования, персоналии

Емельянова И. С. К столетию действительного члена Российской академии наук Сергея Михайловича Никольского.................... 105

Архив научно-методической литературы по математике в России

Лузин Н. Н. О бесконечно малых величинах в преподавании и в науке.... 111

Новая учебная литература по математике для вузов

Учебники издательства “Физматлит”.................................... 125

Учебники издательства “Лань”.......................................... 129

CONTENTS

Introduction................................................................ 7

The Use of Information Technologies in Teaching Mathematics

Voevodin V. V. Parallel Calculations and Mathematical Education........... 9

Ketkov Yuli L., Kuznetsov A. I. Ordinary Differential Equations: MatLab versus MathCAD........................................................ 27

Lutsenko A. G. Experience of System Mathcad 11 Using at Training to Higher Mathematics..................................................... 53

Subjects and Technoloqies of Mathematical Education at University

Besov О. V. Green Formula................................................65

Rakhmankulov R. G. The Investigation and Construction of a Composite Function Graph......................................................... 75

Ivashev-Musatov O. S. On Areas and Volumes under Mapping..............87

Mathematics for Specialists of Different Types

Uspenskiy V. A. Mathematics for Students in the Humanities: Philosophy of Teaching.............................................................91

The History of Mathematics and of Mathematical Education. The Prominent Figures

Yemelyanova I. S. To the Centennial of the Member of Russian Academy of Science Sergey Nikolski.............................................. 105

Archives of Reference Books on Mathematics in Russia

Lusin N. N. On Infinitesimals in Teaching and in Science.................. 111

New Reference Books on Teaching Mathematics in Russia

Textbooks of Fizmathlit Press............................................. 125

Textbooks of Lan Press................................................... 129

ПРЕДИСЛОВИЕ

Третий год выпускается журнал “Математика в высшем образовании”. Среди его многочисленных читателей — преподаватели математики, все, кто изучает математику в вузе или самостоятельно, применяет в своей деятельности математическое описание самых разнообразных процессов и явлений, специалисты по методологии науки, историки, психологи. Подтверждается наше убеждение, что такой журнал нужен в современной России. Мы еще раз подчеркиваем, что наша цель — сделать достоянием читателей опыт лучших вузовских преподавателей математики, воссоздать по крупицам то богатство, которое накоплено за двухсотлетнюю историю высшего математического образования в России, познакомить читателей с новейшими разработками в сфере методики преподавания математики в высшей школе.

Журнал открывает рубрика “Инновационные и информационные технологии в преподавании математики”. Академик РАН, главный научный сотрудник Института вычислительной математики РАН Валентин Васильевич Воеводин в статье “Параллельные вычисления и математическое образование” убедительно доказывает, что “структуры алгоритмов в обязательном порядке должны быть включены в образовательные курсы. Без этого невозможно подготовить высококлассных специалистов в области решения больших задач на больших вычислительных машинах параллельной архитектуры. Первичные сведения о структурах могут вводиться как в математических курсах, так и в курсах по программированию. Однако основные результаты обязаны стать естественными элементами математических дисциплин, в первую очередь связанных с численными методами”. По существу это означает, что настало время, когда в вузах необходимо включать в решение проблем, связанных с подготовкой специалистов, знакомых с современными вычислительными методами решения задач, не только преподавателей, обеспечивающих подготовку студентов в области программирования, математического обеспечения ЭВМ, но и преподавателей всех разделов фундаментальной математики. Это серьезная задача по совершенствованию всего учебного процесса.

Особенности практического использования систем автоматических вычислений MathCAD и MatLab освещаются в статьях известного автора учебников по программированию профессора Юлия Лазаревича Кеткова (совместно с Александром Ивановичем Кузнецовым, Нижегородский госуниверситет) и Алексея Георгиевича Луценко (Финансово-экономический институт, г. Тула).

В рубрике “Содержание и технологии математического образования в вузе” выделим статью главного научного сотрудника Математического института им. В. А. Стеклова РАН, члена-корреспондента РАН Олега Владимировича Бесова “Формула Грина”, в которой предлагается короткий (по мнению автора, на 40% короче традиционного) вывод формулы, выражающей криволинейный интеграл по плоскому контуру через двойной интеграл.

В рамках Российской национальной презентации на X Международном конгрессе по математическому образованию (Копенгаген, июль 2004 г.) про-

фессор МГУ Владимир Андреевич Успенский сделал доклад на тему “Математика для гуманитариев: Философия преподавания”. По нашей просьбе Владимир Андреевич согласился переработать этот материал и прислать нам статью. Читатели познакомятся с ней в рубрике “Математика для специалистов различного профиля”.

Гордость, удивление, восхищение — вот те чувства, которые испытала в 2005 году научная и педагогическая общественность России: неутомимый академик РАН Сергей Михайлович Никольский, перешагнув столетний рубеж, продолжает заниматься наукой, писать и редактировать книги и статьи, работать в МФТИ председателем ГАК, преподавать в МГУ, возглавлять секцию школьного математического образования в Научно-методическом совете по математике Министерства образования и науки. В рубрике “История математики, математического образования, персоналии” помещена статья, посвященная этому юбилею.

В традиционной для нашего журнала рубрике “Архив научно-методической литературы по математике в России” помещено письмо выдающегося математика Николая Николаевича Лузина, адресованное автору учебника “Основы исчисления бесконечно малых” Марку Яковлевичу Выгодскому (1931 г.). К сожалению, в наши дни редко пишут и получают такие обстоятельные, неторопливые и глубокие послания. Николай Николаевич Лузин выбрал в качестве благодарности за полученную в подарок книгу спокойную форму письма. Он пишет: “... в письме можно остановиться и подумать, что затруднительно в живой речи. И потом, это более соответствует моему темпераменту. Извините меня, если письмо выйдет длинным. В такого рода вещах лучше быть длинным, но зато понятным до конца. Вероятно, это письмо я буду писать много дней, с перерывами и под влиянием разных состояний ума”. Мы узнаем, как осваивал Лузин-студент сложнейшие фундаментальные понятия математического анализа, как складывались его обсуждения возникающих вопросов с преподавателями, какие аргументы применяли опытный лектор и студент при обсуждениях, как много и вдумчиво работал Лузин-студент с учебниками. Приведенное письмо — не только исторический документ, но и наглядный урок высокого морально-этического отношения между коллегами и друзьями.

Заключительный раздел журнала “Новая учебная литература по математике для вузов” знакомит с учебной литературой по вузовской математике, опубликованной в издательствах “Физматлит” и “Лань”.

Дорогие читатели! Благодарим Вас за многочисленные отзывы, за Ваши статьи, которые Вы предлагаете опубликовать. Возможности Интернета расширяют круг нашего общения, дают возможность нам привлекать к рецензированию работ крупнейших специалистов-математиков и преподавателей России. Мы нуждаемся в Вашей поддержке и приглашаем Вас к дальнейшему сотрудничеству.

Главный редактор профессор И. С. Емельянова

ИННОВАЦИОННЫЕ И ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ И КОМПЬЮТЕРНЫЕ ПРОДУКТЫ В ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ

УДК 51:1

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

В. В. Воеводин

Институт вычислительной математики РАН, Россия, 119991, г. Москва ГСП-1, ул. Губкина, 8; тел.: (495)9381769; e-mail: vvv@parallel.ru

В статье обсуждаются проблемы вузовского образования при подготовке специалистов в области параллельных вычислений. Особое внимание уделяется необходимости корректировки курсов программирования и вычислительных методов. Рассматриваются конкретные предложения.

Ключевые слова: параллельные вычисления, многопроцессорные вычислительные системы, вычислительная математика, программирование, математическое образование.

Известно, что при освоении вычислительной техники параллельной архитектуры, в особенности молодыми специалистами, нередко возникают различные вопросы, связанные с повышением эффективности процессов решения задач. Вопросы, на которые найти ответы почти всегда непросто. Особенно часто они касаются того, почему на, казалось бы, мощной вычислительной системе какая-то конкретная задача решается довольно медленно, и что надо сделать, чтобы эта задача решалась максимально быстро? И можно ли вообще быстро решить данную задачу? И если нельзя, то почему? Поиск причин возникновения трудностей при нахождении ответов на подобные вопросы неизбежно приводит к выводу, что как истоки этих причин, так и пути их преодоления надо искать в вузовском образовании и, прежде всего, в математическом.

Образование в области параллельных вычислений базируется на трех дисциплинах: архитектура вычислительных систем, программирование и вычислительная математика. Если внимательно проанализировать содержание соответствующих курсов, то неизбежно приходишь к выводу, что не только по отдельности, но даже все вместе они не обеспечивают в настоящее время достижение главной пользовательской цели — научиться эффективно решать большие задачи на больших вычислительных системах параллельной архитектуры. Конечно, в этих курсах дается немало не только полезных, но и очень нужных сведений. Однако многое, что необходимо знать согласно современному взгляду на параллельные вычисления, в них не дается. Это, в частности, связано с тем, что ряд важнейших и даже основополагающих фактов, методов и технологий решения больших задач на больших системах возник как результат исследований на стыке нескольких предметных областей. Такие результаты не укладываются в рамки традиционных дисциплин.

Поэтому, как следствие, излагаемые в соответствующих курсах сведения оказываются недостаточными для формирования целостной системы знаний, ориентированной на грамотное построение параллельных вычислительных процессов.

Говоря о недостаточности знаний, подчеркнем особо, что речь идет не о том, как получить математически правильный результат. Эта цель для всего математического образования является традиционной, и она остается актуальной для параллельных вычислений. Сейчас идет речь о построении эффективного процесса нахождения решений, когда ресурсы конкретной системы на конкретной задаче используются для достижения максимально возможного ускорения. Получить достаточно хорошее ускорение исключительно важно, так как вычислительные системы параллельной архитектуры и создаются только для того, чтобы очень быстро решать большие задачи.

Но при чем здесь математика и математическое образование? Ведь вроде бы возможность достижения максимального ускорения декларируется как главная цель конструкторов вычислительных систем. На нее же направлены усилия системных программистов, разработчиков языков программирования и компиляторов. Но декларация цели — это одно, а реальность — совсем другое. Вычислительной реальности, а также месту в ней математики и посвящена настоящая работа.

Все образовательные курсы, так или иначе связанные с вычислительной техникой или её использованием, можно разделить на две группы. В первой группе излагаются базовые сведения, во второй — специальные. Базовые сведения носят универсальный характер и почти не классифицируются по типам вычислительной техники. Сформировались они на основе знаний о последовательных машинах и последовательных вычислениях и с течением времени практически не меняются. В рамках курса по программированию базовые сведения начинают читаться с первого или второго семестра, в рамках курса по численным методам примерно с третьего семестра. Специальные курсы, в том числе относящиеся к вычислительным системам параллельной архитектуры, начинают читаться довольно поздно, как правило, не ранее седьмого или даже девятого семестра.

На первый взгляд, все выглядит логично: сначала даются базовые сведения, затем специальные. Однако есть одно важное обстоятельство, которое, принимая во внимание структуру базовых сведений, не вписывается в эту логику.

Дело в том, что на каждой конкретной последовательной машине время реализации любого алгоритма пропорционально, главным образом, числу выполняемых операций, и почти не зависит от того, как внутренне устроен сам алгоритм. Конечно, какие-то различия во временах реализаций могут появляться. Но они невелики и в обычной практике их можно не принимать во внимание. Это свойство последовательных машин исключительно важно и влечет за собой разнообразные следствия. Пожалуй, самым главным из них является то, что для таких машин оказалось возможным создавать машинно-независимые языки программирования. А это, в свою очередь, позволило рядовым пользователям машин и разработчикам численных методов

не так уж детально интересоваться устройством самих машин. Заметим попутно, что появление того дружественного пользовательского интерфейса, который имеет место на персональном компьютере, также в известной мере является следствием отмеченного свойства последовательных машин.

На вычислительных системах параллельной архитектуры время решения задач принципиально зависит от того, какова внутренняя структура алгоритма и в каком порядке выполняются его операции. Возможность ускоренной реализации на параллельных системах достигается за счет того, что в них имеется достаточно большое число функциональных устройств, которые могут одновременно или, как говорят, параллельно выполнять какие-то операции алгоритма. Предположим для простоты, что все устройства имеют одинаковую производительность и работают в синхронном режиме. Тогда общий коэффициент ускорения по сравнению с тем случаем, когда алгоритм реализуется на одном универсальном устройстве такой же производительности, оказывается примерно равным числу операций алгоритма, выполняемых в среднем на всех устройствах в каждый момент времени. В настоящее время существуют параллельные вычислительные системы, в которых число функциональных устройств достигает десятков и сотен тысяч. Широко распространенными стали системы с числом устройств в несколько десятков и сотен. Однако отсюда никак не следует, что при решении конкретных задач всегда можно и, тем более, достаточно легко получить ускорение счета такого же порядка.

На любой вычислительной технике одновременно могут выполняться только независимые или, как говорят иначе, не связанные друг с другом операции. Это означает следующее. Пусть в какой-то момент времени на каких-то функциональных устройствах выполняются какие-то операции алгоритма. Результат ни одной из них не только не может быть аргументом любой из выполняемых операций, но даже не может никаким косвенным образом оказывать влияние на их аргументы. Если рассмотреть процесс реализации алгоритма во времени, то на любой вычислительной системе, последовательной или параллельной, сам процесс разделяет операции алгоритма на группы. Все операции каждой группы независимы и выполняются параллельно, а сами группы реализуются последовательно одна за другой. Это неявно порождает некоторую специальную форму представления алгоритма, в которой фиксируются как группы операций, так и их последовательность. Называется она параллельной формой [1]. Ясно, что при наличии в алгоритме ветвлений или условных передач управления его параллельная форма может зависеть от значений входных данных.

Параллельную форму алгоритма можно ввести и как эквивалентный математический объект, не зависящий от вычислительных систем. Зафиксируем входные данные и разделим все операции алгоритма на группы. Назовем их ярусами, и пусть они обладают следующими свойствами. Во-первых, в каждом ярусе находятся только независимые операции. И, во-вторых, существует такая нумерация ярусов, что каждая операция из любого яруса использует в качестве аргументов либо результаты выполнения операций из ярусов с меньшими номерами, либо входные данные алгоритма. Ясно, что

все операции, находящиеся в ярусе с наименьшим номером, всегда используют в качестве аргументов только входные данные. Число операций в ярусе принято называть шириной яруса, число ярусов в параллельной форме -высотой параллельной формы. Очевидно, что при одних и тех же значениях входных данных между математическими параллельными формами алгоритма и реализациями того же алгоритма на конкретных или гипотетических вычислительных системах с одним или несколькими функциональными устройствами существует взаимно однозначное соответствие. Если какая-то параллельная форма отражает реализацию алгоритма на некоторой вычислительной системе, то ширина ярусов говорит о числе используемых в каждый момент времени независимых устройств, а высота — о времени реализации алгоритма.

Каждый алгоритм при фиксированных входных данных в общем случае имеет много параллельных форм. Формы, в которых все ярусы имеют ширину, равную 1, существуют всегда. Все они отражают последовательные вычисления и имеют максимально большие высоты, равные числу выполняемых алгоритмом операций. Даже таких параллельных форм алгоритм может иметь несколько, если он допускает различные эквивалентные реализации. Наибольший интерес представляют параллельные формы минимальной высоты, так как именно они показывают, насколько быстро может быть реализован алгоритм, по крайней мере, теоретически. Существует параллельная форма, в которой каждая операция из яруса с номером k, к > 1, получает в качестве одного из аргументов результат выполнения некоторой операции из (к — 1)-го яруса. Такая параллельная форма называется канонической. Для любого алгоритма при заданных входных данных каноническая форма всегда существует, единственна и имеет минимальную высоту. Кроме этого, в канонической параллельной форме, как и в любой другой форме минимальной высоты, ярусы в среднем имеют максимально возможную ширину [1].

Таким образом, решая любую задачу на любой вычислительной системе с развитым параллелизмом на уровне функциональных устройств, пользователь неизбежно, явно или неявно, соприкасается с параллельной формой реализуемого алгоритма, причем даже в тех случаях, когда он ничего не знает обо всех этих понятиях. Если не сам пользователь или разработчик программы, то кто-то другой или что-то другое, например, компилятор, операционная система, какая-нибудь сервисная программа, а скорее всего все они вместе, закладывают в вычислительную систему некоторую программу действий, что и порождает соответствующую им параллельную форму.

А теперь вспомним, что достигаемое ускорение в среднем пропорционально числу операций, выполняемых в каждый момент времени. Если оно равно общему числу функциональных устройств системы, то данный алгоритм при заданных входных данных реализуется на используемой вычислительной системе эффективно. В этом случае возможный ресурс ускорения использован полностью и более быстрого счета достичь на выбранной системе невозможно ни практически, ни теоретически. Ну а если ускорение значительно меньше числа устройств?

Предположим, что оно существенно меньше средней ширины ярусов канонической параллельной формы реализуемого алгоритма. Тогда, скорее всего, не очень удачно выбрана схема реализации алгоритма. Изменив её, можно попытаться более полно использовать имеющийся потенциал параллелизма в алгоритме. Если же ускорение равно средней ширине ярусов канонической параллельной формы, то весь потенциал параллелизма в алгоритме выбран полностью. В данном случае никаким изменением схемы счета нельзя использовать большее число устройств системы и, следовательно, нельзя добиться большего ускорения. И, наконец, вполне возможно, что даже при полном использовании функциональных устройств реальное ускорение не соответствует ожидаемому. Это означает, что при реализации алгоритма приходится осуществлять какие-то передачи данных, требующие длительного времени. Для того чтобы теперь понять причины замедления, необходимо особенно тщательно изучить структуру алгоритма и/или вычислительной системы.

Итак, как только возникает необходимость решать какие-то вопросы, связанные с анализом ускорения при решении задачи на вычислительной системе параллельной архитектуры, так обязательно требуется получить какие-то сведения относительно структуры алгоритма на уровне связей между отдельными операциями. Более того, чаще всего эти сведения приходится сопоставлять со сведениями об архитектуре вычислительной системы. Проведение совместного анализа представляет сложный процесс, но о нем почти ничего не говорится в образовательных курсах. Понятно, почему это происходит. Если об архитектурах вычислительных систем и параллельном программировании рассказывается хотя бы в специальных курсах, то обсуждение структур алгоритмов на уровне отдельных операций в настоящее время не входит ни в какие образовательные дисциплины. И это несмотря на то, что структуры алгоритмов обсуждаются в научной литературе в течение нескольких десятилетий, да и практика использования вычислительной техники параллельной архитектуры насчитывает не намного меньший период.

Сложившемуся положению есть в какой-то мере объективное объяснение. Чтобы понять причины его возникновения, сделаем небольшой экскурс в историю. Как уже отмечалось, важнейшим достоинством последовательных машин является создание для них машинно-независимых языков программирования. По замыслу их создателей, любая программа, написанная на любом из таких языков, должна без какой-либо переделки реализовываться на любой последовательной машине. Единственное, что формально требовалось для обеспечения работы программы, — это наличие на машине компилятора с соответствующего языка.

Для математиков и разработчиков прикладного программного обеспечения такая ситуация открывала заманчивую перспективу. Не нужно было вникать в устройство вычислительных машин, так как языки программирования по существу мало чем отличались от языка математических описаний. В разработке вычислительных алгоритмов становились очевидными главные целевые функции их качества — минимизация числа выполняемых операций и устойчивость к влиянию ошибок округления. И больше ничего об алгоритмах

не надо было знать, поскольку никаких причин для получения каких-либо других знаний и, тем более, знаний о структуре алгоритмов не возникало. Всё это на долгие годы определило основное направление развития не только численных методов, но и всей вычислительной математики. Заметим, что и в настоящее время сложившаяся тогда общая направленность исследований почти не изменилась.

На самом деле всё, что связано с последовательными машинами, развивалось достаточно сложно и даже в какой-то степени драматично. Погоня за производительностью и конкуренция привели к тому, что появилось много разных последовательных машин. Для каждой из них приходилось делать свой компилятор, так или иначе учитывающий особенности конкретной машины. Не в каждом компиляторе удавалось оптимально учитывать эти особенности на всем множестве программ. Поэтому в реальности при переносе программ с одной машины на другую многие программы приходилось модифицировать. Объем изменений мог быть большим или малым и зависел от сложности машин и языков программирования.

Машины, которые принято называть последовательными, можно называть таковыми лишь с некоторой оговоркой, поскольку в каждый момент времени в них параллельно выполняется много различных действий. Именно, реализуются какие-то операции, передаются данные от одного устройства к другому, происходит обращение к памяти и т. п. Весь этот параллелизм учитывается при создании компилятора. Однако если он не виден через язык программирования, то для пользователя он как бы и не существует. Поэтому, с точки зрения пользователя, можно считать последовательными любые машины, эффективное общение с которыми осуществляется на уровне последовательных языков программирования. Подобная трактовка очень удобна и даже комфортна для многих специалистов, в первую очередь, для математиков, разработчиков алгоритмов и создателей прикладного программного обеспечения. Но есть в ней и серьезная опасность. Уповая на долговременную перспективу общения с вычислительной техникой на уровне последовательных языков, можно пропустить момент, когда количественные изменения в технике перейдут в качественные и общение с ней при помощи таких языков окажется невозможным. И тогда, вроде бы совсем неожиданно, возникает вопрос о том, что же делать дальше? Именно это и произошло в истории освоения вычислительной техники.

Быстрое развитие элементной базы привело к тому, что уже в начале 60-х годов прошлого столетия стали серийно выпускаться универсальные вычислительные машины, в которых насчитывалось порядка десятка независимых функциональных устройств. Тем не менее, создателям компиляторов удалось прикрыть пользователей от такого параллелизма, и язык общения оставался практически последовательным. В конце 70-х годов появились серийные вычислительные машины векторного типа, в которых ускорение достигалось за счет быстрого выполнения операций над векторами. Уровень внутреннего параллелизма в них был достаточно высок, хотя весьма специального вида. Создатели компиляторов снова попытались сделать язык программирования последовательным. И на этот раз потерпели неудачу.

Формально всё еще оставалась возможность пользоваться некоторым последовательным языком. Но заложенная в компилятор технология автоматического выявления векторных конструкций из текста программ оказалась не эффективной. Поэтому, если пользователя не устраивала скорость работы откомпилированной программы, ему нужно было просматривать служебную информацию о работе компилятора и на основе её анализа самому находить узкие места компиляции и вручную перестраивать программу под векторные конструкции. О том, как именно это делать, конструктивных советов не предлагалось. На практике процедуру перестройки программ приходилось делать многократно.

По существу на этом закончился период, когда задачу, полностью описанную на последовательном языке, можно было более или менее эффективно решать на любой вычислительной технике. Постепенно внутреннего параллелизма в системах становилось всё больше и больше. И, наконец, его стало столь много, что наработанные технологии компилирования программ оказались не в состоянии образовывать оптимальный машинный код. Для его получения в случае нескольких функциональных устройств компилятору приходится иметь дело с задачей составления оптимального расписания. Решается она перебором и требует, в общем случае, выполнения экспоненциального числа операций. Пока число устройств было невелико и они были не совсем независимыми, компиляторы как-то справлялись с такой задачей. Но как только их стало очень много, развитие традиционных технологий компилирования зашло в тупик.

Стало ясно, что для выхода из него нужно использовать принципиально новые сведения о структуре алгоритмов на уровне отдельных операций, в первую очередь, о множествах операций, которые можно выполнять независимо. Другими словами, оказалось, что очень нужны сведения как раз о тех параллельных формах алгоритмов, которые обсуждались выше. Но откуда их взять и как использовать эти нужные новые сведения? Ответы на подобные вопросы могли бы попытаться найти те, кто больше всего имел дело с алгоритмами, т. е. математики, точнее, разработчики или исследователи алгоритмов. Но большинство из них по-прежнему, явно или неявно, ориентировалось на использование последовательных вычислений.

Отсутствие нужных сведений о структуре алгоритмов не могло остановить развитие собственно вычислительной техники. Стали создаваться новые языки и системы программирования, в огромном количестве и самого различного типа: от расширения последовательных языков параллельными конструкциями до создания на макроуровне параллельных языков типа автокода [1].

Очевидно, что разработчики компиляторов и средств программирования, так же как и конструктора вычислительной техники, не могут сказать что-либо существенное о структуре выполняемых алгоритмов. Но они хорошо понимают, какие множества операций на той или иной технике будут эффективно реализовываться в режиме параллельного счета. Поэтому во всех новых языках и системах программирования стали вводиться конструкции, позволяющие описывать такие множества. А вот ответственность за поиск

в алгоритмах этих множеств и их описание соответствующими конструкциями языка была возложена на разработчиков программ. Как следствие, на них же перекладывалась и ответственность за эффективность функционирования создаваемого ими программного продукта. Конечно, в таких условиях даже не шла речь о какой-либо преемственности программ. Главной проблемой пользователей стало нахождение многочисленных и трудно добываемых характеристик решаемых задач и организация параллельных вычислительных процессов. Вычислительным сообществом это рассматривалось как неизбежная плата за возможность быстро решать задачи. Но во всем сообществе расплачивались, главным образом, пользователи, постоянно переписывая свои программы.

Итак, невнимание со стороны математиков к развитию вычислительной техники привело к серьезному разрыву между имеющимися знаниями в области алгоритмов и теми знаниями, которые были необходимы для быстрого решения задач на новейшей вычислительной технике. Образовавшийся разрыв сказывается до сих пор, и именно он лежит в основе многих трудностей практического освоения современных вычислительных систем параллельной архитектуры.

Этот экскурс в историю был сделан исключительно для демонстрации истоков возникновения трудностей освоения современной вычислительной техники параллельной архитектуры. Конечно, экскурс достаточно схематичен, но из него следует, что структуры алгоритмов в обязательном порядке должны быть включены в образовательные курсы. Без этого невозможно подготовить высококлассных специалистов в области решения больших задач на больших вычислительных системах параллельной архитектуры. Первичные сведения о структурах могут вводиться как в математических курсах, так и в курсах по программированию. Однако основные результаты обязаны стать естественными элементами математических дисциплин, в первую очередь связанных с численными методами.

До сих пор специалистов в области вычислительной математики учили, как решать задачи математически правильно. Теперь надо, к тому же, учить, как решать задачи эффективно на современной вычислительной технике. А это совсем другая наука, математическая по своей сути, но которую пока почти не изучают в вузах.

Общее математическое образование в вузах базируется на постулатах, широкое использование которых начинается еще в средней школе. Это, в первую очередь, предположения о выполнении законов ассоциативности, коммутативности и дистрибутивности при реализации операций над числами. Данные законы позволяют построить аппарат математически эквивалентных преобразований символьно-числовых выражений на основе расстановки и раскрытия скобок, приведения и создания подобных членов, перестановки символов и операций и т. п. Аппарат настолько эффективный, что без него не обходится изложение курсов ни по общей, ни по вычислительной математике. Само по себе его применение не вызывает никаких возражений, пока речь идет о проведении преобразований, не связанных со счетом. Но как только дело касается вычислений, формальное применение аппарата математически

эквивалентных преобразований становится в принципе невозможным из-за нарушения базисных предположений. Тем не менее, такие преобразования делаются довольно часто, что может приводить не только к различным вычислительным издержкам, но даже к серьезным ошибкам.

Использование аппарата математически эквивалентных преобразований явно или неявно предполагает, что все операции над символами и числами выполняются точно. Только в этом случае можно считать правомерным выполнение законов ассоциативности, коммутативности и дистрибутивности. И только в этом случае после подстановки вместо символов их конкретных значений будут получены одни и те же значения преобразуемого и преобразованного выражений. Однако заметим, что почти на всех вычислительных системах указанные законы не выполняются. Исключение представляют лишь системы, ориентированные на действия с целыми числами. Конечно, это связано с представлением чисел в компьютерах конечным числом разрядов. Отсюда неизбежно возникновение ошибок округления при вводе чисел в систему и реализации арифметических операций. В таких условиях законы ассоциативности, коммутативности и дистрибутивности выполняться не могут.

Таким образом, математически эквивалентные выражения, вычисленные на одном и том же компьютере, почти всегда будут давать разные значения. Разброс этих значений может быть огромным. Поэтому весьма актуальной становится задача нахождения такого преобразования, которая обеспечивает минимальность ошибки. Это означает, что проведение математически эквивалентных преобразований изменяет важнейшее вычислительное свойство алгоритма, связанное с устойчивостью. Сам по себе данный факт хорошо известен в научной среде. Но ему можно было бы уделять гораздо больше внимания в среде образовательной, поскольку он играет существенную роль в формировании правильного вычислительного мировоззрения. Значительно меньше известен факт, что проведение математически эквивалентных преобразований изменяет и многие другие важные вычислительные свойства алгоритма, в том числе, структурные.

Рассмотрим, например, задачу отыскания решения системы линейных алгебраических уравнений с квадратной невырожденной матрицей порядка п. Хорошо известны формулы Крамера, с помощью которых можно найти это решение. Прямые вычисления по ним требуют выполнения порядка еп операций. Метод Гаусса для отыскания решения той же системы требует выполнения порядка п3 операций. Но ведь он может быть получен из формул Крамера путем математически эквивалентных преобразований! В свою очередь, с помощью тех же преобразований может быть получен метод Штрассена, который для нахождения решения системы требует по порядку выполнения всего elog27 операций. И это не предел! Следовательно, при проведении математически эквивалентных преобразований изменяется и другая важная характеристика алгоритма — число выполняемых операций.

Еще один простой пример. Пусть решается система линейных алгебраических уравнений с невырожденной левой треугольной матрицей. Предположим, что за основу взят метод обратной подстановки [1]. Очевидно, что

из первого уравнения можно определить первое неизвестное, из второго -второе и т. д. Единственное место, где имеется возможность существенно изменить алгоритм за счет математически эквивалентных преобразований -это вычисление суммы попарных произведений чисел при определении очередного неизвестного. Казалось бы, совершенно безразлично, какие преобразования делать, так как во всех традиционных процессах суммирования требуется выполнить одно и то же число операций, используется память одного и того же размера, да и разброс в достигаемой точности не очень велик. Поэтому с точки зрения пользователя, решающего задачу на последовательной машине, различия между возможными алгоритмами не принципиальны. Однако ситуация меняется радикально, если эту задачу необходимо решать на вычислительной системе параллельной архитектуры. Легко убедиться в том, что при суммировании попарных произведений справа налево получается алгоритм, имеющий каноническую параллельную форму высоты порядка п2. Если же суммирование выполняется слева направо, то каноническая параллельная форма будет иметь высоту порядка п. Поэтому при проведении математически эквивалентных преобразований может меняться даже структура возможных параллельных форм. Для параллельных вычислений это обстоятельство имеет исключительное значение.

Если на множестве математически эквивалентных преобразований имеет место столь большой разброс вычислительных свойств, то вполне естественно возникает вопрос о возможном существовании каких-либо преобразований, при которых те или иные свойства остаются без изменения. Рассмотрим соответствующие инварианты для наиболее важного вычислительного свойства — сохранение влияния ошибок округления.

Прежде чем переходить к конструктивным деталям, проведем некоторое предварительное обсуждение. Оно поможет лучше понять, с чего и как надо начинать исследования.

Математическое понятие алгоритма введено только для последовательных вычислений. Оно связывает множество выполняемых операций и порядок их реализации. Как было показано выше, любое изменение этого порядка, даже если оно соответствует математически эквивалентным преобразованиям, порождает другой алгоритм, у которого могут быть совершенно иные вычислительные свойства. Строгое понятие параллельного алгоритма не введено. Тем не менее, словосочетание “параллельный алгоритм” используется довольно широко и на практике, и в научных работах. На самом деле оно не означает ничего другого кроме как описание некоторой параллельной формы традиционного алгоритма. Наиболее часто словосочетание “параллельный алгоритм” связывается с другим словосочетанием “параллельная программа”. Оно также не несет в себе никакого глубокого смысла и означает лишь то, что некоторый алгоритм записан в некоторой системе программирования, ориентированной на вычислительные системы параллельной архитектуры. При этом выделяются и описываются какие-то дополнительные структурные свойства алгоритма, связанные с параллелизмом. Работа по поиску и оформлению этих дополнительных свойств целиком возлагается на пользователя. Как правило, за основу параллельной программы

берется текст алгоритма, записанного на последовательном языке. В интересах эффективности реализации параллельной программы или каких-то предпочтений в её написании довольно часто делаются перестановки операций, замена одних операций другими, какие-то математически эквивалентные преобразования и т. п. Еще раз подчеркнем, что всё это может привести к изменению вычислительных свойств программы по сравнению со свойствами исходного алгоритма.

В вычислительной практике нередко смешиваются такие вроде бы родственные понятия, как задача, метод, алгоритм и программа. Терминологическая нечеткость может приводить к серьезным ошибкам, поскольку при этом размываются различия между данными понятиями и, как следствие, не акцентируется внимание на возможных изменениях вычислительных свойств. На самом деле различия между ними можно описать достаточно четко. При этом каждое следующее понятие в цепочке задача-метод-алгоритм-программа будет в каком-то смысле уточнять предыдущее.

Задача: модель изучаемого явления формулируется в виде некоторой совокупности математических соотношений. Соотношения определяются в процессе постановки задачи и влияют на эффективность будущего вычислительного процесса лишь в той мере, в какой существуют для них эффективные методы нахождения общего решения.

Метод: для выбранной совокупности математических соотношений определяются общие контуры вычислений, включая множество выполняемых операций и схему связей между ними. На этапе выбора метода свойства вычислительного процесса определены во многом, но еще не полностью.

Алгоритм: в допустимых методом рамках точно определяются множество выполняемых операций и порядок их выполнения. Никакие изменения в дальнейшем, в том числе математически эквивалентные, не допускаются без проверки их влияния на вычислительные свойства.

Программа: алгоритм записывается на языке программирования с точным сохранением выбранного множества операций и порядка их выполнения. Никакие изменения, в том числе математически эквивалентные, не допускаются без проверки их влияния на вычислительные свойства.

Из этого обсуждения следует, что исследовать алгоритмы, также как и реализовывать их, можно только через формализованные описания. Других возможностей нет. Наиболее точными и к тому же наиболее распространенными формами описания являются математические соотношения и программы на последовательных языках. Чтобы найти инварианты алгоритмов, не зависящие от форм записи, необходимо максимально освободиться в самих записях от всего того, что не оказывает влияние на конечный результат. В первую очередь от таких особенностей языков описания, как излишние ограничения на порядок выполнения операций, правила оформления записей, пересчет содержимого ячеек памяти и т. п. Что же остается после подобной чистки, если зафиксировать входные данные алгоритма? Остается ориентированный ациклический граф. Вершины графа символизируют выполняемые операции алгоритма. Из вершины А дуга идет в вершину В только тогда, когда операция, соответствующая вершине А, порождает результат, исполь-

зуемый в качестве аргумента операцией, соответствующей вершине В. Использование в качестве аргументов входных данных дугами не отмечается. Построенный граф представляет информационное ядро алгоритма и называется “граф алгоритма”. Это ядро может меняться при изменении входных данных.

Имеет место очень важное утверждение [1]. Пусть фиксирован способ округления чисел. Предположим, что при одних и тех же входных данных алгоритмы выполняют одни и те же множества операций. Тогда с точностью до некоторых уточнений влияние ошибок округления в алгоритмах будет одним и тем же в том и только в том случае, когда графы алгоритмов изоморфны. Но ведь это утверждение практически не известно и, конечно, очень редко принимается во внимание при преобразовании алгоритмов! Не удивительно поэтому, что влияние ошибок округления часто оказывается непредсказуемым.

Заметим, что существует очень тесная связь между понятием графа алгоритма и введенным ранее математическим понятием параллельной формы алгоритма. В самом деле, рассмотрим любой алгоритм и пусть фиксированы входные данные. Тем самым определено множество выполняемых операций и может быть построен граф алгоритма. Предположим далее, что выбрана какая-то параллельная форма алгоритма. Каждому ярусу параллельной формы поставим в соответствие группу вершин графа алгоритма, относящихся к входящим в ярус операциям. Если ярусы были перенумерованы, то аналогичным образом перенумеруем соответствующие группы вершин. Очевидно, что направление передачи информации от операции к операции и направление соответствующей дуги в графе алгоритма являются эквивалентными понятиями. Поэтому установленное соответствие между математическими параллельными формами и выбранными представлениями графа алгоритма есть изоморфизм. Другими словами, — это одно и то же. В дальнейшем терминологию и свойства, относящиеся к параллельным формам алгоритма, без дополнительных оговорок будем переносить на граф алгоритма. И наоборот.

Теперь примем во внимание проведенное выше обсуждение роли параллельных форм, особенно форм минимальной высоты, для организации эффективных процессов решения задач на вычислительных системах параллельной архитектуры. И тогда становится ясно, насколько важно уметь строить и исследовать графы алгоритмов. Причем особенно важно уметь это делать до реализации алгоритмов.

Граф алгоритма почти никогда не бывает известен явно. Поэтому путь получения любой информации о нем может основываться только на анализе какого-нибудь описания самого алгоритма. Как следует из сказанного выше, наиболее подходящей для анализа является последовательная программа, поскольку в ней алгоритм описан точно и само описание не допускает неоднозначных трактовок. Конечно, для анализа можно использовать и математические соотношения. Однако следует иметь в виду, что математические описания часто бывают неполными в силу использования того или иного принципа умолчания. Избежать неполноты довольно легко, если предвари-

тельно перевести математическое описание в последовательную программу на каком-нибудь языке однократного присваивания. Безусловно, математические соотношения, даже переведенные в программы, анализировать значительно легче, поскольку в них нет никакого пересчета памяти. Анализ программ на традиционных алгоритмических языках, допускающих пересчет памяти, осуществляется намного труднее. Но он более актуален для практики, так как за время существования вычислительной техники накоплен огромный багаж таких программ, причем отлаженных и прошедших тщательное тестирование.

Таким образом, не ограничивая существенно общности, будем считать, что алгоритм описан с помощью некоторой последовательной программы. Попробуем понять, нельзя ли построить граф алгоритма, анализируя лишь текст программы и не используя никакой дополнительной информации. Забегая вперед, сразу скажем, что в большинстве наиболее важных случаев граф алгоритма построить можно.

Чтобы не только построить граф алгоритма, но и иметь возможность конструктивно его исследовать, необходимо выполнить несколько условий. Во-первых, всем вершинам графа или, другими словами, всем операциям алгоритма нужно приписать какие-то координаты. Такие координаты по существу уже присутствуют в самой программе. Перенумеруем все операторы программы подряд сверху вниз. Если оператор находится в некотором цикле, то любая соответствующая ему операция однозначно определяется набором значений параметров цикла. Вместе с номерами операторов параметры циклов образуют вполне естественную и, что самое главное, компактно описываемую систему координат для множества вершин графа. Во-вторых, в выбранной системе координат для вершин необходимо каким-то приемлемым образом описать дуги графа. Вообще говоря, до проведения серьезных исследований что-либо определенное сказать об их поведении нельзя. Ясно только, что никакого существенного хаоса в поведении дуг вроде бы быть не должно. В противном случае этот хаос неизбежно должен перейти в хаос связей между операторами программы, а в программах, как правило, никакого хаоса нет. Следовательно, множество дуг графа алгоритма, скорее всего, должно иметь компактное описание с помощью каких-то явно заданных функций. Но верна ли эта гипотеза и, если верна, то как выглядят соответствующие функции?

Рассмотрим сначала относительно простой класс программ. Будем считать, что программа принадлежит линейному классу, если она состоит только из операторов присваивания и операторов цикла, а пересчет переменных и описание границ циклов осуществляется с помощью линейных индексных выражений. Все коэффициенты при индексах являются целыми постоянными числами. Неопределенные внешние переменные программы (размеры массивов и др.) могут входить в индексные выражения лишь аддитивно. Отметим, что в линейный класс входят программы, описывающие многие известные алгоритмы и их фрагменты. Линейный класс программ играет такую же роль в изучении структуры алгоритмов, как линейные функции в математическом анализе, линейные неравенства в задачах оптимизации, линейная алгебра в вычислительной математике и т. п.

Удалось доказать фундаментальную теорему [1]. Именно, для любой программы из линейного класса граф алгоритма всегда представляется конечной системой линейных относительно параметров циклов функций, заданных на линейных относительно тех же параметров многогранниках. Неопределенные внешние переменные программы входят в эти функции аддитивно. Общее число линейных функций пропорционально числу операторов присваивания в программе.

Эта теорема открывает большую перспективу в изучении структуры алгоритмов. Разработаны эффективные методы, с помощью которых можно вычислять коэффициенты линейных функций. Безусловно, они весьма трудоемки для ручного счета, но вполне приемлемы для реализации на персональном компьютере. Система V-Ray [1] осуществляет такие вычисления. Рассмотрены различные классы программ, сводящиеся к линейному. Для многих из них система V-Ray позволяет строить граф алгоритма точно, для каких-то классов она определяет его расширение, близкое к транзитивному.

Поскольку граф алгоритма можно описать с помощью некоторых функций, возникает вопрос о возможности описать с помощью функций и его параллельные формы. Рассмотрим вещественный функционал /(ж), определенный на вершинах графа алгоритма. Пусть дуга идет из вершины и в вершину v. Будем называть функционал f(x) разверткой, если f(y) > f(u) для всех связанных дугой пар вершин и, v. Важность функционала f(x) определяется тем, что его значение в точке х можно трактовать как момент времени, в который выполняется операция, соответствующая вершине графа алгоритма, находящейся в этой точке. Предположим, что на некоторой поверхности уровня f(x) = const лежат какие-то вершины графа алгоритма. Очевидно, что они не могут быть связаны ни дугами, ни даже путями графа алгоритма. Следовательно, соответствующие этим вершинам операции алгоритма независимы и их можно выполнять параллельно.

Поверхности уровней любой развертки задают некоторую параллельную форму графа алгоритма. Верно и обратное. Если задана параллельная форма, то можно построить соответствующую ей развертку, положив значение f(x) равным номеру яруса, в котором находится вершина х. Поверхностями уровней такой развертки являются ярусы параллельной формы. Поэтому между параллельными формами и развертками графа алгоритма существует взаимно однозначное соответствие. Известно [1], что строение множества всех разверток является довольно сложным. Однако в нем имеется представительное подмножество, устроенное более просто. Точнее, для графа алгоритма почти любой программы из линейного класса или его расширения существуют нетривиальные развертки, представляемые конечной системой линейных функционалов, заданных на линейных многогранниках. Число функционалов не зависит от значений внешних переменных. Разработаны эффективные методы, с помощью которых можно определять коэффициенты этих функционалов. Соответствующие вычисления осуществляет уже упоминавшаяся система V-Ray.

Знание поверхностей уровней разверток позволяет расщепить всё множество операций на группы независимых операций. Имея такое расщепление,

можно каждую из групп эффективно реализовать на многопроцессорной вычислительной системе с общей памятью. Части групп, которые порождаются одним и тем же гнездом циклов, состоят из одинаковых операций. Поэтому эти операции удобно выполнять на векторных процессорах. С помощью разверток можно организовывать счет и на других вычислительных системах параллельной архитектуры.

В последнее время в практике вычислений стали широко использоваться многопроцессорные системы с распределенной памятью. К ним относятся кластеры, сети компьютеров, объединенные через Интернет, и др. В подобных системах узким местом являются обмены информацией между процессорами. Для эффективной работы необходимо, чтобы каждый процессор выполнял достаточно много операций и обменивался с памятью других процессоров относительно небольшими порциями данных. Знание по крайней мере двух независимых нетривиальных разверток позволяет обеспечить такой режим счета. Общая идея его организации заключается в следующем.

С помощью одной развертки разобьем множество всех операций алгоритма на макрогруппы, объединив в одну макрогруппу какое-то число подряд идущих ярусов параллельной формы. Перенумеруем макрогруппы в направлении их последовательного выполнения подряд идущими целыми числами. То же самое проделаем с множеством всех операций при помощи другой развертки. Каждая из операций алгоритма принадлежит какой-то макрогруппе от первого разбиения и какой-то макрогруппе от второго разбиения. Номер от макрогруппы первого разбиения будем считать первым индексом операции, номер от второго разбиения — вторым индексом. Для каждой упорядоченной пары индексов объединим в один фрагмент все операции с такими же значениями индексов, и припишем эту пару индексов всему фрагменту. Будем называть фрагмент макрооперацией, а соответствующее ему множество вершин графа алгоритма — макровершиной. Теперь на множестве всех фрагментов введем лексикографический порядок по их индексам. По построению любая операция из любого фрагмента может использовать в качестве своих аргументов лишь результаты выполнения операций, принадлежащих фрагментам с лексикографически меньшими номерами. Потому все дуги, связывающие вершины из любых двух макровершин, имеют одинаковую направленность. Совокупность таких дуг будем назвать макродугой.

Таким образом, знание графа алгоритма и его независимых разверток позволяет перейти от микроописания самого алгоритма в терминах элементарных операций к его макроописанию в терминах более крупных макроопераций. Вся теория параллельных форм переносится с микроуровня на макроуровень без какого-либо изменения. Объем макроопераций и передач информации между ними легко регулировать. При объединении в макрогруппы большего числа ярусов параллельной формы число передач информации от операции к операции будет увеличиваться внутри макрогрупп и уменьшаться между макрогруппами. Именно это обстоятельство дает возможность влиять на эффективность реализации алгоритмов при использовании многопроцессорных вычислительных систем с распределенной памятью.

Проведенные рассуждения убедительно демонстрируют, насколько важно знание графов алгоритмов и их параллельных форм для понимания тех проблем, с которыми приходится сталкиваться при решении задач на современных вычислительных системах параллельной архитектуры. Сведения об этом достаточно естественно включать в курсы по вычислительной математике. Ведь описание и исследование информационной структуры алгоритмов осуществляется в тех же самых индексных системах, в которых происходит изложение и численных методов! Безусловно, подготовка обновленных курсов требует определенного труда. Однако заметим, что совсем не обязательно обсуждать структуры алгоритмов в их полном изложении. Достаточно это сделать лишь для их вычислительных ядер. Кроме этого, одни и те же численные методы читаются без изменения много лет, а сведения об их структурах нужно подготовить только один раз. Если это трудно сделать вручную, всегда можно воспользоваться системой V-Ray.

Конечно, желательно провести некоторую модификацию и других курсов, в особенности тех, которые читаются на ранних семестрах. Например, в курсе программирования надо бы ввести простейшую модель параллельной вычислительной системы. Без всяких премудростей можно считать, что её работа осуществляется под общим синхронным управлением, в ней имеется бесконечно много процессоров и бесконечно большая память прямого доступа, все обмены информацией между процессорами и памятью осуществляются мгновенно и бесконфликтно. Такая модель широко используется в рамках концепции неограниченного параллелизма [1]. На ней легко демонстрировать достоинства и недостатки быстрых параллельных методов, графы алгоритмов и параллельные формы, наиболее узкие места конкретных вычислительных систем и многое другое.

Есть только одна методологическая трудность, связанная с ранним обсуждением проблем параллельных вычислений в курсе программирования. Как правило, этот курс читается раньше курса по вычислительной математике. Поэтому при его чтении вроде бы нет подготовленной базы для обсуждения структуры конкретных алгоритмов, поскольку о самих алгоритмах еще ничего не говорилось. Но, во-первых, с какими-то алгоритмами всё же происходит знакомство. Например, в курсе линейной алгебры приходится иметь дело с решением систем линейных алгебраических уравнений, вычислением определителей и обращением матриц, определением характеристического многочлена матрицы и многим другим. Остается всего лишь сделать некоторые акценты при изложении соответствующих алгоритмов и согласовать специфику акцентов с задачами курса по программированию. Во-вторых, обсуждение проблем параллельных вычислений в курсе программирования можно сделать максимально приближенным по времени к началу курса по вычислительной математике. Наконец, начинать исследование параллельной структуры алгоритмов вообще возможно без какой-либо ссылки на их конкретику.

Рассмотрим следующую схему построения алгоритмов, не обращая сейчас внимание на некоторые детали. Пусть в пространстве X задана замкнутая область D и замкнутый конус К конечной высоты. Назовем конус опор-

ним. Возьмем в области D любое множество точек и разместим в них любые операции. Будем перемещать опорный конус параллельно в пространстве X. Предположим, что операция в точке d из D может использовать в качестве своих аргументов либо входные данные, либо результаты выполнения любых операций, расположенных в опорном конусе, вершина которого находится в точке d. Для всех алгоритмов подобного типа строение их графов очевидно. Кроме этого, у них существуют очень простые линейные развертки. Зафиксируем в пространстве X любую гиперплоскость, обладающую следующим свойством: если вершина конуса находится на гиперплоскости, то все остальные точки конуса расположены в отрицательном относительно гиперплоскости полупространстве. Если перемещать гиперплоскость в положительном направлении, то время от времени на нее будут попадать выбранные точки области D. Они и будут образовывать ярусы параллельной формы. Графы всех алгоритмов рассмотренного типа имеют столько независимых линейных разверток, какова размерность конуса К.

В эту схему вписывается огромное число алгоритмов. В первую очередь стоит отметить различные реализации явных методов для решения сеточных уравнений, возникающих в задачах математической физики. Схемы многих других алгоритмов сводятся к рассмотренным после некоторой их модификации. Начать обсуждение и исследование рассмотренной схемы вполне уместно в курсе программирования, а наполнить её конкретным содержанием можно и позднее при изложении численных методов.

Цель предлагаемых изменений в образовательных курсах заключается в том, чтобы на ранних этапах обучения вычислительному делу вызвать интерес к информационным структурам алгоритмам и показать перспективу работы с ними. А перспектива действительно имеется!

Построение графов для большого числа конкретных алгоритмов выявило удивительную закономерность. Именно, большое разнообразие алгоритмов не приводит к такому же разнообразию информационных структур. Многие графы формально различных алгоритмов оказались изоморфными в главном, отличаясь друг от друга содержанием вершин и дуг. Поэтому была выдвинута гипотеза: типовых информационных структур алгоритмов в конкретных областях немного. Пока практика подтверждает гипотезу. Например, на всем множестве алгоритмов линейной алгебры различных по существу типов графов оказалось всего лишь порядка десятка. Если гипотеза о типовых структурах окажется верной, то откроется много новых связей и направлений исследований. Изложение численных методов можно поставить на общий информационный фундамент. Распараллеливание типовых информационных структур возможно выполнить заранее и заранее зафиксировать с помощью специальных программных средств. По типовым структурам могут быть построены спецпроцессоры, осуществляющие быструю реализацию нужных алгоритмов. Отсюда уже недалеко до построения заказных вычислительных систем, ориентированных на эффективное решение классов задач из конкретных прикладных областей.

Настоящая статья появилась как результат размышлений о путях совершенствования образования в области параллельных вычислений. В процессе

обсуждения данной проблемы много внимания уделялось совершенно новым математическим объектам, таким как параллельная форма, граф алгоритма, развертка и т. п. Может создаться впечатление, что все эти объекты имеют очень узкое применение, не выходящее за рамки параллельных вычислений. Удивительно, но оказалось, что они самым прямым образом связаны со многими задачами, не имеющими никакого отношения к параллельным вычислениям. К ним можно отнести быстрое вычисление градиента и производной, быстрое восстановление линейного функционала, исследование влияния ошибок округления и многие другие [1].

В настоящее время различные разделы математики, так или иначе относящиеся к вычислениям, слабо связаны между собой. Вполне возможно, что спустя какое-то время новый раздел математики, зародившийся в силу необходимости решать и исследовать многочисленные проблемы параллельных вычислений и получивший название информационная структура алгоритмов и программ, станет естественным связующим звеном.

ЛИТЕРАТУРА

1. Воеводин В. В., Воеводин Вл. В. Параллельные вычисления. — Санкт-Петербург: БХВ-Петербург, 2002. 608 с.

PARALLEL CALCULATIONS AND MATHEMATICAL EDUCATION

V. V. Voevodin

Some problems of university education for future specialists in the sphere of parallel calculations are discussed. Special attention is paid to the necessity of making certain corrections in Programming and Methods of Calculations courses. Actual proposals are regarded.

Keywords: parallel calculations, multiprocessor computational systems, computational mathematics, programming, mathematical education.

ИННОВАЦИОННЫЕ И ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ И КОМПЬЮТЕРНЫЕ ПРОДУКТЫ В ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ

УДК 517.91 + 519.67

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: MATLAB VERSUS MATHCAD

Ю. Л. Кетков1, А. И. Кузнецов2

1 Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского, Россия, 603950, г. Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23, корп. 2; e-mail: ket@city.ru

2 НИИ Прикладной математики и кибернетики, Россия, 603005, г. Нижний Новгород, ул. Ульянова, 10; тел.: (8312)389940

В статье описываются возможности двух систем автоматических вычислений MathCAD и MatLab по решению обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем. Проводится сравнение возможностей реализованных методов для разных классов уравнений.

Ключевые слова: дифференциальные уравнения, численные методы, жёсткие системы дифференциальных уравнений, MatLab, MathCAD.

1. ВВЕДЕНИЕ

Численные методы решения систем линейных и нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) — один из наиболее важных разделов “Прикладной математики”. С ними приходится сталкиваться как в учебном процессе при изучении алгоритмов решения таких задач, так и в научно-инженерной деятельности при исследовании сложных динамических систем. Поэтому представляют интерес оценки тех или иных программных и инструментальных средств, доступных на современной вычислительной технике. Численные методы — не единственный способ исследования динамических систем. В инженерной практике широко используются методы математического моделирования, заложенные в 50-60 гг. прошлого столетия и базирующиеся на использовании идей аналоговой вычислительной техники. Сегодня они нашли свое воплощение в таких инструментальных средствах, как Simulink (составная часть MatLab [1]), GPSS World [2] и др.

Мы сознательно ограничили область исследования только сравнением численных методов, заложенных в соответствующих разделах наиболее мощных инструментов вычислительной математики — MatLab и MathCAD. За последние годы эти пакеты всё более активно внедряются в вузовскую практику и, кроме соображений экономического характера, полезно знать, с какими возможностями и ограничениями могут столкнуться преподаватели соответствующих дисциплин.

ОДУ, разрешенные относительно старшей производной. Большинство численных методов решения ОДУ базируется на каноническом представлении уравнения п-го порядка в виде системы п уравнений первого порядка, правые части которых не содержат производных:

(1)

Дифференциальные уравнения высокого порядка, разрешимые относительно старшей производной, приводятся к форме (1) путем тривиальных подстановок. Продемонстрируем это на примере линейной модели гармонического осциллятора:

(2)

После подстановок у\ = у и у% = у' уравнение (2) сводится к системе второго порядка:

Задача Коши. Задача Коши для ОДУ заключается в построении траектории, удовлетворяющей системе (1) и проходящей через заданную начальную точку (yi(*o),3/2(*o), • • •,Уп(*(>))•

Краевая задача. В отличие от задачи Коши, где все п условий заданы в начальной точке, краевая задача должна отыскать такую траекторию, которая удовлетворяет п — к условиям в начальной точке to и к условиям на конце заданного интервала интегрирования.

Неявные ОДУ. В самом общем виде дифференциальное уравнение п-го порядка может быть задано с помощью неявной функции:

(3)

Далеко не всегда его удается свести к системе вида (1). И тогда приходится изыскивать специальные методы решения уравнений, не разрешенных в явном виде относительно производных. Примером такой задачи является анализ заряда q(t) на обкладках конденсатора в колебательном контуре с индуктивностью, снабженной железным сердечником [3]:

(4)

Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом.

При анализе систем автоматического регулирования с обратной связью довольно часто приходится учитывать инерционность отдельных элементов, что приводит к исследованию ОДУ с запаздывающим аргументом:

(5)

Одношаговые методы численного решения ОДУ. К этой группе относятся многочисленные схемы типа Рунге-Кутта, базирующиеся на следующей схеме решения дифференциального уравнения 1-го порядка [4, 5] и легко обобщаемые на системы вида (1):

(6)

Постоянные коэффициенты о^, ßij, öi подбираются таким образом, чтобы для произвольной функции /(£, у) формула (6) давала наилучшее приближение к отрезку ряда Тейлора:

(7)

Количество коэффициентов kj определяет погрешность интегрирования. Одной из наиболее часто применяемых на практике схем являются формулы Рунге-Кутта 4-го порядка:

Довольно часто, с целью контроля за точностью вычислений, формулы Рунге-Кутта применяют одновременно с шагами hm h/2 (при таком подборе шагов удается кое-что сэкономить). И тогда схему интегрирования принято называть формулой интегрирования порядка п/(п+ 1).

Многошаговые методы численного решения ОДУ. К этой группе относятся разностные методы типа Адамса, требующие на каждом шаге интегрирования вычисления правой части /(£, у) только в одной точке. Однако для их применения необходимо помнить значения функции /(£, у) в нескольких предыдущих точках:

(8)

На начальной стадии (этап разгона) значения правых частей в точках to, to + h, to + 2h,... вычисляются по одной из одношаговых схем типа Рунге-Кутта, зато скорость вычислений на последующих шагах интегрирования увеличивается примерно в 4 раза. Восьми- и девятиточечные схемы Адамса хорошо зарекомендовали себя при расчете траекторий космических аппаратов.

2. СИСТЕМЫ ОДУ С ГЛАДКИМ РЕШЕНИЕМ

В этом разделе будут рассматриваться средства решения задачи Коши для систем ОДУ вида (1), описывающих “хорошие” динамические системы. Под “хорошими” имеются в виду системы с достаточно гладкими решениями — амплитуды колебаний неизвестных функций yi (t) и их основные гармоники не очень сильно отличаются друг от друга. Примером системы такого типа является хорошо изученная линейная модель гармонического осциллятора, описываемого уравнением (2).

Версия MathCAD предлагает два подхода к численному решению “хороших” систем. Более старомодный вариант (в стиле ранних версий пакета) позволяет пользователю выбрать одну из встроенных процедур интегрирования и явно обратиться к ней, задав несколько параметров, управляющих ходом вычислительного процесса:

u:=name_fun(yO, t0, t1, M, D).

Здесь:

name_fun — имя функции интегрирования (см. табл. 1);

уО — вектор-столбец начальных значений в момент t0;

tl — конец интервала интегрирования (допускается t1 < t0);

M — количество точек внутри интервала интегрирования, в которых нужно получить решение;

D — векторная функция двух аргументов (независимой переменной t и вектора у), описывающая правые части системы ОДУ.

Функция namefun возвращает матрицу с результатами интегрирования: её первый столбец (и^) содержит массив значений независимой переменной t, остальные столбцы — ... — содержат компоненты искомой вектор-функции у.

Применительно к уравнению гармонического осциллятора вызов одной из функций численного интегрирования в системе MathCAD выглядит следующим образом:

Рис.1. График зависимости и<1:> от и<0>

На рис.1 представлен график построенной функции yo(t). Обратите внимание на использование символа присвоения (:=) в каждом из операторов приведенного примера (он включается в текст сочетанием клавиш

Функции для решения ОДУ в таком формате получили название функций командной строки. Они были сохранены в MathCAD'e для преемственности со старыми версиями и для обращения из программ, где нельзя использовать многострочную форму записи ОДУ Еще одним специальным применением функций командной строки является задача о получении значения неизвестной функции только в конце интервала интегрирования.

Таблица 1

Имя функции

Пояснение

1

Rkfixed

Метод Рунге-Кутта с фиксированным шагом

2

Rkadapt

Метод Рунге-Кутта с переменным шагом

3

Bulstoer

Метод Булирша-Штера

Более современный вариант не требует приведения ОДУ к каноническому виду и построен по типу Given (Дано)-Odesolve (Реши систему ОДУ). Однако исходное ОДУ должно быть разрешимо относительно старшей производной. Начальный выбор метода и задание управляющих параметров производится автоматически, хотя пользователю предоставляется возможность изменить те или иные управляющие параметры, предусмотренные процедурой Odesolve:

Здесь:

vy — вектор искомых функций. Данный параметр можно опустить, если решается уравнение первого порядка. Если вектор vy задан, то результаты решения системы будут выданы в заданном порядке;

t — независимая переменная;

t1 — конец интервала интегрирования (в этом случае началом интервала по умолчанию считается t0=0). Вместо этого может быть задан двухэлементный вектор-столбец начала t0 и конца t1 интервала.

step — необязательный параметр, задающий количество равномерно отстоящих узлов на интервале интегрирования (по умолчанию step = 100), в которых строится решение.

Применительно к уравнению гармонического осциллятора вариант задания исходных данных в новом формате может выглядеть так:

В наборе этой программы участвуют два специальных символа: знак “жирного” равенства (набирается сочетанием клавиш < Ctrl > + < = >) и знак производной (набирается сочетанием клавиш < Ctrl > + < F7 >). Возможен набор исходного дифференциального уравнения и в другой нотации производных, принятой в математике:

При наборе уравнений в этом формате используются либо соответствующие кнопки в окне Calculus, либо клавишные комбинации <Shift> + </ > для обозначения первой производной и < Shift > + < Ctrl > + < / > для старших производных.

Пользовательский выбор того или иного метода интегрирования, предусмотренного процедурой odesolve, осуществляется из контекстного меню, появляющегося после щелчка правой кнопкой по слову “odesolve”.

Для оценки точности результата интегрирования можно воспользоваться тем фактом, что при заданных начальных условиях уравнение (2) имеет аналитическое решение z(t):

Для оценки разности между аналитическим и численным решениями можно найти отклонение приближенного решения от аналитического, например, в точках, где амплитуда колебаний достигает максимума. Среднеквадратичная ошибка в нашем примере может быть вычислена по формуле:

В табл. 2 приведены округленные значения среднеквадратичной ошибки Е при различных значениях параметра step, характеризующие точность методов Рунге-Кутта с фиксированным и переменным шагами:

Таблица 2

Из этой таблицы следует, что дробление интервала интегрирования на 100-1000 отрезков обеспечивает точность, вполне приемлемую для решения большинства практических задач.

Версия MatLab-7 предлагает для решения “хороших” систем типа (1) тоже три процедуры (см. табл.3), выбор которых и подбор соответствующих управляющих параметров полностью возлагаются на пользователя.

Таблица 3

Имя функции

Пояснение

1

ode23

Метод Рунге-Кутта 2/3 порядка в модификации Богацки - Шампина

2

ode45

Методы Рунге-Кутта 4/5 порядка в модификации Дорманда - Принца

3

odell3

Метод Адамса в модификации Башфорта-Моултона

Обращение к любой из функций odexxx может быть задано в одном из трех форматов:

Здесь

fun — указатель на функцию вычисления правых частей, к которой процедуры интегрирования обращаются либо с аргументами (t,y), либо с аргументами (t,y,pl,p2,... );

[t0,t1] — интервал интегрирования (допускается t1<t0);

у0 — вектор начальных условий;

options — список управляющих параметров и их значений.

В простейшем случае для исследования поведения линейного гармонического осциллятора на интервале времени от 0 до 10 программа на языке MatLab может состоять из двух пользовательских функций:

Головная программа (pendulum.m):

Функция вычисления правых частей

Дополнительные параметры pi и р2 объявлены глобальными только для того, чтобы сократить затраты на их передачу в функцию вычисления правых частей (собственно, роль параметра р2 с таким же успехом могла играть

переменная beta). Две последние строки в головной программе предназначены для визуализации графиков функций yl(t) и y2(t). Указатель на функцию вычисления правых частей (@dif 1) может быть задан и в виде строки с именем функции (cdifT).

Все процедуры интегрирования используют довольно большой набор управляющих параметров, который без особой нужды и, особенно, при малом опыте работы с MatLab менять не стоит. Но, если такая потребность появилась, то следует прибегнуть к специальной функции odeset, аргументами которой являются пары имя-значение:

В приведенном выше примере параметру с именем Stats, управляющему выдачей итоговой информации о процессе интегрирования, присвоено значение on (включено) и параметру RelTol, управляющему относительной точностью интегрирования, присвоено значение 1е-4. По умолчанию итоговая выдача отключена (Stats = off), а относительная точность RelTol = 1е-3. Сформированное таким образом значение setl должно быть указано в качестве четвертого параметра в обращении к функции odexxx:

В табл. 4 приведен список параметров, которыми можно управлять при решении задачи Коши (в фигурных скобках указано значение параметра по умолчанию).

Таблица 4

Параметр

Значение

Пояснение

AbsTol

Вектор абсолютной точности {le-6}

г-я компонента задает абсолютную точность по координате y%(t)

RelTol

Значение относительной точности 1е-3

Относительная точность в первом приближении определяет количество верных знаков в каждой координате y%(t)

InitialStep

Начальный шаг интегрирования

Определяется автоматически, и его менять не рекомендуется

MaxStep

Максимальный шаг интегрирования, {0.1*|tl-t0|>

Stats

Режим итоговой выдачи {off}

Итоговая выдача включает количество удачных попыток по изменению шага интегрирования (successful steps) , число неудачных попыток (failed attempts), количество обращений к функции вычисления правых частей (function evaluations) и некоторые сведения, характерные для других процедур интегрирования

Events

Указание на обработчик события

Указание на т-файл, содержащий функцию, отслеживающую поведение yiit). Таким образом, в частности, можно прервать процесс интегрирования или переключиться на обработку другой системы уравнений

Самыми естественными вопросами, возникающими при исследовании конкретной динамической системы, являются следующие:

• каким методом интегрирования воспользоваться;

• какое время будет затрачено на процесс интегрирования;

• какая точность будет достигнута;

• как воспользоваться результатами интегрирования или пронаблюдать за ними?

На первый вопрос большинство авторов книг по MatLab'у рекомендуют начинать с процедуры ode45. Во-первых, среди методов Рунге-Кутта этот метод обладает повышенной точностью. Во-вторых, он действительно неплохо справляется с “хорошими” и “условно хорошими” системами.

Ответ на вопрос о вычислительных затратах может дать только эксперимент, по результатам которого можно судить о количестве обращений к функции вычисления правых частей.

Сложнее получить ответ на вопрос о точности. Надеяться на значения управляющих переменных AbsTol и ReITol особенно не стоит. Они только в первом приближении отвечают за ту или иную точность. Но когда количество шагов интегрирования становится достаточно большим, то, естественно, набегают ошибки округления. Хорошо, если при каких-то значениях исходных данных вы знаете аналитическое решение. Тогда можно попытаться распространить знания о полученной точности и на другие варианты системы. Однако на практике известен довольно простой прием — надо проинтегрировать систему “вперед” от начального момента времени t0 до конечного значения t1, а затем, внеся минимальные изменения в программу, произвести обратное интегрирование от t1 к t0 (естественно, не забыв обновить начальные условия). Расхождение между конечным результатом интегрирования “назад” и исходной начальной точкой дает вполне приемлемые сведения о точности интегрирования.

Наконец, обсудим, как можно использовать результаты интегрирования. Для построения графика зависимости той или иной переменной у%{€) можно воспользоваться всеми массивами, полученными в результате интегрирования. По оси x можно отложить время £, а по оси у — массив той или иной компоненты y(:,i). Т.к. в этих массивах содержится одинаковое число компонент (пусть нам пока неизвестное), то график будет построен без каких-либо осложнений. Столь же просто вывести график на фазовой плоскости — достаточно по оси ж, например, отложить у\, т.е. массив у(:Д), а по оси у -У2, т.е. массив у(:,2). А если нам по условиям задачи понадобится использовать в дальнейших вычислениях значение некоторой функции в момент (например, yi{tk))l Тогда следует прибегнуть к одной из функций интерполяции, которых в MatLab'e предостаточно. Например, воспользоваться самой простой линейной интерполяцией:

Правда, если значение tk не принадлежит интервалу интегрирования [t0,t1], то результатом “интерполяции” будет значение NaN (Not a Number — не число).

Если в левой части строки с обращением к одной из функций odexxx не задать выходные параметры, то функция интегрирования сама строит график по всем вычисленным точкам траектории.

Теперь о некоторых сравнительных характеристиках процедур интегрирования, приведенных в табл. 3. Мы проделали все измерения на примере гармонического осциллятора, который в случае отсутствия затухания (/3 = 0) имеет простое аналитическое решение:

В табл. 5 приведены результаты интегрирования затухающего осциллятора (и = 0.5, ß = 0.2). С относительной точностью порядка 1е-3 они дают сходные результаты, но количество вычислений правой части и количество результатов в построенных массивах отличается довольно сильно. Графики функций, построенные по результатам интегрирования, на внешний взгляд, не различаются. Из табл. 5 видно, что для данной задачи наиболее эффективной оказалась процедура odell3.

Таблица 5

Второй эксперимент был связан с попыткой изменения абсолютной и относительной точностей для наиболее популярной процедуры ode45. В связи с тем, что амплитуды функций yl, у2 отличаются незначительно, индивидуальные относительные точности задавались равными. Результаты эксперимента приведены в табл. 6 (менялась только абсолютная точность) и табл. 7 (менялась только относительная точность).

Таблица 6

Таблица 7

Для анализа точности интегрирования был проделан эксперимент с незатухающим осциллятором на достаточно большом периоде интегрирования при значениях параметров AbsTol и ReIToi по умолчанию. Интервалы интегрирования оканчивались в моменты времени cj(2fc + 1)7г, где функция yl должна принимать значение 1, а функция у2 обращаться в 0. Для к = 1 тестированию подверглись все три функции — ode23, ode45, odell3 (см. три первых объединенных строки табл. 8). Для больших к использовалась только процедура ode45. Конечно, о точности интегрирования надо судить по функции yl, значение которой приблизительно за 1000 шагов интегрирования отклонилось от аналитики на 6%. Примерно такая же погрешность наблюдалась со смещением точки по оси £, в которой функция у2 обращалась в 0.

Таблица 8

3. ЖЕСТКИЕ СИСТЕМЫ ОДУ

В отличие от “хороших” систем ОДУ к “жестким” системам тяготеют динамические процессы, протекание которых характеризуется одновременным присутствием компонент с резко различающимися частотными и амплитудными характеристиками. Такими свойствами обладают многие задачи химической кинетики, физические процессы с резко выраженными нелинейностями и т. п. Использование стандартных методов интегрирования для решения жестких ОДУ страдает двумя недостатками:

• либо резко увеличивается объем вычислений из-за автоматического уменьшения шага интегрирования для достижения заданной точности (адаптивный метод начинает подстраиваться под наиболее сильно осциллирующую или резко меняющуюся функцию);

• либо точность вычислений оставляет желать лучшего.

Для решения жестких ОДУ разработано довольно много специальных неявных методов, в которых для выбора оптимальных параметров интегрирования приходится решать системы линейных или нелинейных уравнений с использованием якобиана системы df/dy. Последний может быть задан отдельной функцией пользователя или вычисляться системой приближенно с помощью соответствующих разностных схем.

В качестве примера “жесткой” задачи приведем модель распространения пламени, предложенную Шампином и описанную в книге Моулера “Numerical Computing with MATLAB” (http://www.mathworks.com/moler).

Пусть y(t) — радиус шара, охваченного пламенем. Скорость изменения y(t) состоит из двух слагаемых, одно из которых прямо пропорционально поверхности (у2), охваченной пламенем, а второе — обратно пропорционально объему шара (у3):

у' = у2-у\

Начальный радиус шара у(0) = 6 очень мал, и процесс исследуется на интервале времени [0, 2/5]. У задачи Шампина имеется аналитическое решение, с которым удобно сравнивать решения, полученные различными методами интегрирования. Для построения графика аналитического решения при ö = 0.01 мы воспользовались следующей модификацией программы Молера:

y=dsolve('Dy=y~2-y~3','у(0)=1/100');

y=simplify(y);

pretty(у);

ezplot(y,0,200)

grid on

Эта программа с помощью расширения Symbolic Math Toolbox находит аналитическое решение

y(t)=l/({\sf lambertw}(99 ехр(99 - t)) + 1),

где lambertw — функция Ламберта, и строит график y(t) на интервале [0,200] (рис.2).

Существенно более жесткой система становится при ö = 0.0001 (рис. 3).

Из приведенных графиков следует, что функция y(t) довольно резко возрастает в районе t = l/ö и сразу после этого выходит на стационар y(t) = 1.

А теперь посмотрим, что дают разные функции интегрирования ОДУ (список специальных функций MatLab, приспособленных для работы с жесткими системами, приведен в табл. 9).

Рис. 2. График изменения радиуса горящего шара при ô = 10 2

Рис. 3. График изменения радиуса горящего шара при <5 = 10

Таблица 9

Имя функции

Пояснение

1

odel5s

Метод конечных разностей переменного порядка в сочетании со схемой обратного дифференцирования (метод Гира), обеспечивает достаточно высокую точность интегрирования

2

ode23s

Модифицированный метод Розенброка 2-го порядка, обеспечивает среднюю точность интегрирования со скоростью выше, чем odel5s

3

ode23t

Метод трапеций для интерполяции производных, рекомендуется для умеренно жестких систем, обеспечивает среднюю точность

4

ode23tb

Комбинированный метод Рунге-Кутта в сочетании с правилом трапеций и схемы обратного дифференцирования, обеспечивает среднюю точность

Программа интегрирования для всех исследуемых методов имеет одинаковую структуру:

Однако результаты интегрирования отличаются довольно резко. Функция ode45, не предназначенная для работы с жесткими системами, спустя 24 сек(!) выдает график, напоминающий аналитическое решение (рис.4):

Смущают два обстоятельства. Во-первых, затраченное время и количество обращений к вычислению правой части — 22741. Наконец, уж очень подозрительна толщина графика в районе скачка и после выхода на стационар. Последнее несложно уточнить “под лупой”, использовав режим Zoom in (рис. 5).

Оказывается, что вместо абсолютно прямой линии после скачка (там У2 = У3 = 1 и у' — 0) функция ode45 продолжает выдавать какие-то колебания (из-за них линия и кажется толстой).

Увеличенные графики функции y(t), полученные специальными функциями интегрирования жестких систем, приведены на рис. 6. Их поведение не совсем точно отражает рекомендации табл. 8, почерпнутые из руководства по MATLAB. Самый “точный” метод (функция odel5s) не удержался от перерегулирования в окрестности выхода на стационар и показал время переключения, опережающее аналитику примерно на 3% (9680 вместо 10000). Наиболее близким к аналитическому решению оказались результаты интегрирования с помощью функции ode23s (точность выхода на момент переключения порядка 0.2%). Конечно, по результатам интегрирования конкретной системы нельзя делать какие-либо обобщающие выводы, но и не следует

Рис.4. Результат работы функции ode45

Рис. 5. Увеличенный фрагмент графика в окрестности t = 1000

Рис. 6. Фрагменты решения жесткой системы в окрестности скачка

слепо доверять рекомендациям руководств. Числа, расположенные в нижней строке рис. 6, фиксируют количество обращений к правой части (числитель дроби) и количество решений систем линейных алгебраических уравнений (знаменатель дроби). По ним можно судить о быстродействии той или иной функции интегрирования. По сравнению с функцией ode45 специализированные методы интегрирования жестких систем работают примерно в 1000 раз быстрее.

В системе MathCAD для решения умеренно жестких и жестких систем ОДУ рекомендуются функции, список которых приведен в табл. 10. Первые две функции не требуют задания якобиана системы, поэтому явное обращение к ним может быть выполнено с помощью обращения, описанного в разделе 2:

Для двух других функций обязательным требованием является задание якобиана системы:

Таблица 10

Имя функции

Пояснение

1

Radau

Метод RADAU5 для жестких систем

2

Bulstoer

Стандартный метод Булирша-Штера для хороших и умеренно жестких систем

3

Stiffb

Метод Булирша-Штера, модифицированный для жестких систем

4

Stiffr

Метод Розенброка для жестких систем

Мы протестировали каждую из функций интегрирования жестких ОДУ на задаче о распространении пламени в умеренно жестком (о = Ю-2) и жестком (о = Ю-4) вариантах. Так как исследуемое уравнение первого порядка, казалось бы естественным отступить от векторного задания функции, вычисляющей правую часть системы. И для методов Radau и Bulstoer это предположение оказалось справедливым:

Однако специализированные функции Stiffb и Stiffr потребовали соблюдения более жестких правил оформления функций D и J:

Результаты тестирования сведены в табл. 11. Из таблицы следует, что для достижения хорошей точности решения приходится задавать довольно большое количество точек на интервале интегрирования. Разочаровали откровенно слабые возможности метода Radau, который в руководстве по системе MathCAD позиционирован как средство исследования жестких систем.

Таблица 11

4. НЕЯВНЫЕ ОДУ

Неявное дифференциальное уравнение, не разрешенное относительно производной, задается уравнением

Если оно аналитически неразрешимо относительно старшей производной, то возможность его решения предлагает только система MATLAB 7, в которой предусмотрена специальная функция odel5i:

Смысл входных и выходных параметров тот же, что и для других функций odexxx. В пояснении нуждается лишь дополнительный аргумент урО -начальное значение производной. Для неявного дифференциального уравнения оно должно задаваться вместе с начальным моментом t0 и начальным значением функции уО так, чтобы удовлетворялось условие F(t0,yO,ypO)=0 (его левая часть вычисляется функцией fun). Подобрать такие уО и урО помогает вспомогательная функция decic, обращение к которой имеет вид:

Здесь:

уО, урО — задаваемые пользователем гипотетические начальные значения, которые могут и не удовлетворять уравнению F(t0,yO,ypO)=0;

yOmod, ypOmod — модифицированные начальные значения, вычисляемые функцией decic, которые достаточно точно удовлетворяют этому уравнению.

Процессом их вычисления можно управлять с помощью параметров

fixed_уО и fixed_урО.

Так, если задано fixed_у0=1, то yOmod=yO. Если же

fixed_у0=0,

то yOmod может отличаться от уО. Аналогичную роль для вычисления ypOmod играет параметр fixed_урО. Если мы имеем дело с системой уравнений, когда переменные у и ур являются векторами, fixed_уО и fixed_урО также задаются как вектора и соглашение об их значениях 0 и 1 относится по отдельности к каждой их компоненте. Если любой из этих управляющих векторов задать в виде пустой матрицы [ ], это равносильно тому, что все его компоненты нулевые. По сути дела, функция decic находит приближенное решение нелинейного уравнения.

Применим эти соображения к упоминавшемуся ранее колебательному “контуру с железом” [3, 4]. Катушка этого контура снабжена железным сердечником, магнитный поток в котором является нелинейной функцией П(г) от протекающего через катушку тока г. На практике эту функцию достаточно хорошо аппроксимируют выражением:

Здесь А, В и S — некоторые константы, зависящие от материала сердечника, a w — число витков провода в катушке.

После некоторых преобразований уравнения Кирхгофа и введения безразмерных переменных в интеграл энергии в предположении отсутствия всякого рода потерь приходим к неявному дифференциальному уравнению следующего вида:

Здесь

q — заряд на обкладках конденсатора; q' = dq/dt — ток в контуре;

Е — значение энергии, зависящее от начальных условий.

Вообще говоря, при заданных начальных значениях заряда q(0) и его производной qp(0) константа Е достаточно просто вычисляется [4]. Но мы поступим иначе — зададим правильное значение q(0) = 0 и значение Е, соответствующее значению qp(0) = 1. Но вместо правильного значения начальной производной при обращении к вспомогательной функции decic укажем “неправильное” значение qp(0) = 2.

Головная программа ferrum.m имеет вид

Функция вычисления F(t, q, qp) может быть оформлена так:

Результаты работы служебной программы decic приведены ниже:

Результаты последующего интегрирования с помощью функции ode15i совпадают с данными, приведенными в [4].

Следует отметить, что попытка задать гипотетическое значение qp(0), меньшее 1, приводит к сбою в работе программы decic, которой не удается подобрать нужное решение с требуемой точностью.

При решении неявного дифференциального уравнения возможно досрочное окончание процесса интегрирования по достижению некоторого условия — равенства нулю заданного выражения. В этом случае список параметров функции odel5i дополняется еще одним параметром, например, с именем setl:

где значение setl формируется с помощью функции odeset, аргументами которой являются пары вида ('Имя', значение). В нашем случае понадобится параметр 'Events', а его значением будет указатель на функцию, определяющую три выходных управляющих параметра. Имена выходных аргументов могут быть произвольными, но их последовательность имеет функциональную предопределенность:

Контролируемое событие заключается в том, что значение первого выходного параметра v обращается в нуль при условии возрастания этой величины (признак d=l) и процесс интегрирования прекращается при наступлении указанного события (признак i=l).

Обращение к odel5i в нашем случае может выглядеть так:

Результат работы модифицированной таким образом программы ferrum.m приведен на рис. 7.

Справка по функции odel5i содержит дезинформацию по поводу оформления функции qq — реакции на событие прерывания процесса интегрирования. Там указано, что эта функция должна получать три входных параметра (t,q,qp). Если следовать этому указанию, то MATLAB выдает сообщение о том, что аргументов слишком много.

Рис. 7. Интегрирование до выполнения условия q = 4

5. РЕШЕНИЕ ОДУ С ЗАПАЗДЫВАЮЩИМ АРГУМЕНТОМ

Возможность исследования дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом предусмотрена только в системе MatLab-7. Для решения систем ОДУ вида (5) с набором положительных фиксированных задержек т1, т2,..., Tfc предназначена функция dde23, обращение к которой в простейшем случае имеет вид:

здесь:

@f _г — указатель на функцию вычисления правых частей уравнения (5), при обращении к которой функция dde23 передает три аргумента (текущее время £, вектор текущего решения у и вектор запаздывающих значений

вектор постоянных запаздываний ;

@f _h — указатель на функцию, генерирующую значения запаздывающих аргументов y(t) при t < £0. В частном случае этим параметром может быть вектор-столбец, если начальные значения являются константами;

[t0, t1] — интервал интегрирования (t0 < t1);

res — структура, в которой выдается решение. Её поле res.x содержит последовательность времен ^, в которых найдены приближенные значения вектора у. Найденное решение y(U) выдается в поле res.у.

В состав демонстрационных примеров версии MatLab-7 входит файл ddexl.m, который мы используем в качестве иллюстрации работы функции dde23. Система исходных уравнений имеет вид

Для вычисления правых частей можно воспользоваться функцией f_r.m (имя функции может быть и другим):

Предыстория при t<=0 задана тремя одинаковыми константами:

Это позволяет либо воспользоваться вектор-столбцом ones(3,l) в обращении к функции dde23, либо написать файл предыстории f_h.m:

Так как вектор запаздываний представлен двумя компонентами [1, 0.2], то для интегрирования нашей системы на интервале [0,1] можно воспользоваться одним из двух следующих обращений:

График найденного решения со всеми тремя кривыми у\(t), у2 (t) и уз (t) можно построить с помощью оператора plot(res.x,res.y). Результат его работы приведен на рис. 8. Если нас интересует только одна из графических зависимостей, например, У2^), то это можно сделать следующим образом:

Рис. 8. Система ОДУ с запаздыванием

Набор управляющих параметров функции dde23 изменяется с помощью вспомогательной функции ddeset.

6. РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

Напомним вкратце постановку краевых задач и схему их решения на примере дифференциального уравнения второго порядка [5]:

(9)

Краевые условия на отрезке интегрирования [а, Ь] обычно задают в одной из трех форм:

(10)

(11)

(12)

Интервал интегрирования [а, Ь] разбивают на и равных отрезков, в концах которых значения производных заменяют их конечно-разностными аналогами. В результате исходное дифференциальное уравнение сводится к и — 1 алгебраическому уравнению относительно значений искомой функции в узлах Уь 2/2? • • • ? Уп-1- Присоединяя к ним граничные условия, в которых при необходимости значения производных также заменены разностными формулами, мы получаем п + 1 уравнение относительно значений неизвестной функции. Решение этой системы алгебраических уравнений дает приближенное решение краевой задачи.

В отличие от задачи Коши, которая при заданных начальных условиях, как правило, имеет единственное решение, краевая задача может не иметь решения вообще, иметь конечное число решений или иметь бесконечное число решений. Последнее можно наблюдать на довольно простом примере: пусть уравнению (9) удовлетворяет функция у = д(х) и граничные условия заданы в формате (11). Тогда любая функция вида у = д{х) + const тоже является решением краевой задачи при тех же граничных условиях.

Основным инструментом решения краевых задач в системе MatLab является функция bvp4c, обращение к которой в простейшем случае выглядит следующим образом:

здесь:

f _е — указатель на функцию вычисления правых частей системы ОДУ, сведенной к виду (1);

f_b — указатель на функцию ограничений, приведенную к формату f(y(a),y(b)) =0;

[а Ь] — интервал интегрирования;

y_init — начальное приближение к искомому решению;

sol — структура с полями sol.x и sol.у, в которых получается решение.

При вызове функции вычисления правых частей ей передаются текущие значения независимой переменной х и вектор текущих значений у. Она, в свою очередь, должна сформировать вектор значений dy/dx в соответствии с исходными ОДУ.

Вектор начальных приближений у_i nit может быть задан либо как массив значений искомой функции у в узлах равномерной сетки на интервале интегрирования, либо как указатель на функцию, вычисляющую такой массив. Как правило, для этой цели используется вспомогательная функция bvpinit с двумя векторными аргументами:

здесь:

linspace — функция, разбивающая интервал [а Ь] на п равных отрезков и генерирующая вектор узловых точек начальной сетки. Значение п выбирается пользователем, чаще всего задают и = 10;

уО — вектор начальных констант, определяющий стартовые значения искомых функций на интервале [а Ь]. Первая константа у0(1) используется в качестве начального приближения к первой функции yl во всех внутренних узлах сетки, вторая константа у0(2) — в качестве начального приближения

ко второй функции у2 и т. д. В случае единственного решения краевой задачи выбор п и вектора уО особого влияния на ход решения не оказывают. Однако краевая задача может иметь не одно решение, и тогда приходится перебирать несколько вариантов задания начальных значений.

В качестве первого примера краевой задачи поступим следующим образом. Предположим, что решаемая задача имеет аналитическое решение у = е-аж cos(x), которое мы будем рассматривать на интервале [0,3.57г]. За таким решением очень удобно наблюдать, да и граничные условия на функцию легко задаются. Остается только составить подходящую систему дифференциальных уравнений второго порядка:

Выберем а = 0.2 и зададим граничные условия у(0) = 1 и у(3.57г) = 0.

Головная программа решения нашей краевой задачи может выглядеть так:

В качестве начального приближения во внутренних точках интервала интегрирования выбраны константные функции yl(x) = 0 и у2(х) = 1, что совсем не похоже на граничные условия.

Функция вычисления вектора правых частей системы ОДУ (f _el .m) имеет вид

Функция соблюдения граничных условий (f_bl.m) имеет вид

Результат работы головной программы приведен на рис. 9. Никакие изменения в выборе узлов начальной сетки и в задании начальных приближений на окончательный результат никакого влияния не оказывают.

В качестве примера второй краевой задачи, характерной наличием двух решений, мы воспользуемся материалом из файлов справки системы MatLab-7. Там демонстрируется решение уравнения у" + \у\ = 0 с граничными условиями у(0) = 0 и у(4) = —2. В качестве начального приближения интервал интегрирования разбивается на 5 равных отрезков, в узлах которого заданы константные функции yl(x) = 0 и у2(ж) = 1. Головная программа решения второй краевой задачи имеет вид:

Рис. 9. Единственное решение первой краевой задачи

Рис. 10. Первое решение краевой задачи

Рис. 11. Второе решение краевой задачи

Функции вычисления вектора правых частей (twoode.m) и соблюдения граничных условий (twobc.m) таковы:

График первого решения с начальными условиями [0 1] приведен на рис. 10. Однако, стоит заменить начальные константы на [-10 0], как находится другое решение (рис. 11).

Для построения более гладкого графика найденных решений можно воспользоваться сервисной программой deval, предварительно разбив интервал интегрирования на большее количество равных отрезков (по умолчанию -100)

Средства, предлагаемые системой MathCAD для решения краевых задач, напоминают подходы для решения систем ОДУ. Более современный подход в формате Given -Odesolve кажется еще более простым, чем аналогичная функция bvp4c в системе MatLab. Он даже не требует задания начального приближения к искомому решению:

Однако таким способом находится только первое решение краевой задачи, приведенное на рис. 10. Для поиска второго решения приходится слегка изменить начальное условие:

Хотя внешне график нового решения почти ничем не отличается от кривой, приведенной на рис. 11, но всё же этим методом следует пользоваться очень осторожно, т. к. есть возможность получить константную погрешность (т. е. не уменьшается с повышением количества шагов метода), которую будет практически невозможно учесть при использовании полученного решения.

Второй способ решения краевых задач, широко рекламируемый в ряде книг [6, 7], носит название метода “пристрелки”. Он заключается в ручном или автоматическом подборе недостающих начальных условий таких, при которых с определенной точностью будут выполнены граничные условия на конце интервала интегрирования. Для уравнений второго порядка управление “пристрелкой” выглядит довольно просто. Сводим краевую задачу к задаче Коши, задав каким-то образом недостающее начальное условие. Находим интегральную кривую, явно обратившись к той или иной функции интегрирования. Оцениваем разницу между получившимся условием на конце интервала и заданным в краевой задаче. Затем корректируем искусственное начальное условие и, многократно решая задачу Коши, пытаемся минимизировать получающуюся разницу. Когда исследуемая система ОДУ имеет более высокий порядок, приходится минимизировать отклонение на конце интервала, управляя двумя или более параметрами. И в режиме ручного подбора процедура “пристрелки” может затянуться надолго, да и достигаемая точность может оказаться неудовлетворительной.

Для автоматизации процедуры подбора недостающих начальных условий в MathCAD'е можно воспользоваться функцией командной строки sbval:

Здесь:

S — вектор, в который функция sbval помещает оптимальные недостающие начальные условия;

у — исходное приближение для недостающих начальных условий, которое улучшается в процессе итеративного поиска;

t0, t1 — начало и конец интервала интегрирования;

D(t,y) — вектор-функция, описывающая правые части системы ОДУ;

/О(t0, v) — вектор-функция, которая представляет полный набор начальных условий. Константы в этом векторе соответствуют условиям, заданным в краевой задаче, а элементы вектора v — недостающим начальным условиям. Последовательность этих компонент вектора v определяет порядок выдачи результатов в векторе S;

/l(tl,y) — вектор-функция разности между приближенным решением у и заданными условиями (функция sbval пытается обратить в 0 эти разности).

Поясним сказанное на примере дифференциального уравнения третьего порядка:

После определения недостающих начальных условий краевая задача свелась к задаче Коши:

Найденное численное решение можно сравнить с аналитическим у = = -4/(х + 2)-1.

В систему MathCAD включена еще одна функция bvalfit, которая позволяет решать краевые задачи с дополнительными условиями, заданными внутри интервала интегрирования.

7. ВЫВОДЫ

Мы отдаем себе отчет в том, что конкретные примеры задач, приведенные в настоящей статье, не могут быть достаточным основанием для вынесения окончательного вердикта в пользу тех или иных инструментальных

средств численного исследования систем ОДУ. Более того, личные привязанности авторов по поводу систем MatLab и MathCAD не совпадают. Однако мы считаем, что следующие рекомендации носят достаточно объективный характер:

• для исследования “хороших” систем ОДУ пакеты MatLab и MathCAD предлагают примерно эквивалентные средства интегрирования. Некоторое преимущество системы MathCAD заключается в возможности набора ОДУ в формате, принятом в математической литературе, и в отсутствии необходимости разрешения уравнений относительно старшей производной;

• средства обработки жестких систем ОДУ в пакете MatLab несколько предпочтительнее. Они не требуют обязательного задания якобиана системы;

• Если необходимо получить гладкое решение, то MathCAD позволяет его получить в формате given -odesolve. В MatLab'e в этом случае необходимо обратиться к одной из функций сглаживания (например, deval);

• средства исследования неявных ОДУ, не разрешимых относительно старшей производной, доступны только в пакете MatLab-7;

• только пакет MatLab включает средства для исследования систем ОДУ с запаздыванием;

• возможности обоих пакетов по решению краевых задач достаточно близки, но MathCAD позволяет исследовать системы ОДУ с дополнительными условиями во внутренних точках интервала интегрирования.

ЛИТЕРАТУРА

1. Дьяконов В. П. MATLAB 6/6.1/6.5 + Simulink 4/5. Основы применения. Полное руководство пользователя. — М.: Солон, 2002. 768 с.

2. Кудрявцев Е. M. GPSS World. Основы имитационного моделирования различных систем. — М.: ДМК Пресс, 2004. 320 с.

3. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С. Э. Теория колебаний. — М.: Физматгиз, 1959.

4. Кетков Ю. Л., Кетков А. Ю., Шульц М. М. MATLAB 7: программирование, численные методы. — СПб.: БХВ-Петербург, 2005. 752с.

5. Березин И. С, Жидков Н.П. Методы вычислений. Т.П. — М.: Гос. изд. физ.-мат. литературы, 1959. 620 с.

6. Кирьянов Д. В. Mathcad 12. — СПб.: БХВ-Петербург, 2005. 576 с.

7. Гурский Д. А., Турбина Е. С. Вычисления в Mathcad 12. — СПб.: Питер, 2006. 544с

ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS: MATLAB VERSUS MATHCAD

Yuli L. Ketkov, A. I. Kuznetsov

The article describes the features of two automatic mathematical calculations systems MathCAD and MatLab in the field of solving ordinary differential equations and systems of the equations. A comparison of abilities of implemented methods for solving various classes of differential equations is given.

Keywords: differential equations, numerical methods, stiff differential equations, MatLab, MathCAD.

МАТЕМАТИКА ДЛЯ СПЕЦИАЛИСТОВ РАЗЛИЧНОГО ПРОФИЛЯ

УДК 517 : 681.3.06 : 371.355

ОПЫТ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ СИСТЕМЫ MATHCAD 11 ПРИ ОБУЧЕНИИ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

А. Г. Луценко

Всероссийский заочный финансово-экономический институт, филиал в г. Туле, Россия, 300012, г. Тула, ул. Оружейная, дом 1А; тел.: (0872)260227; факс: (0872)260272; e-mail: main.tula@vzfei.ru

Автор делится опытом создания и применения в учебном процессе электронных образовательных ресурсов по высшей математике, которые могут быть использованы студентами и преподавателями вузов различной специализации в интерактивном режиме в сети Интернет, а также могут быть размещены на отдельных компьютерах или в локальной сети. При этом значительное внимание уделяется визуальным средствам обучения математическим понятиям, теоремам и методам решения задач. Средой для разработки описанных в статье средств выбрана система MathCAD 11.

Ключевые слова: математический анализ, MathCAD 11, программа-функция; управляемая визуализация.

Одной из настольных книг преподавателей математики вузов давно стала книга Л.Д.Кудрявцева [1], содержащая 10 основных положений преподавания математики. Обстоятельно рассмотрен в ней и вопрос “чему учить” в связи с бурным развитием быстродействующей вычислительной техники. Новый подход к разработке электронных образовательных средств в области математики изложен в работах В.В.Воеводина и Вл. В. Воеводина [2]. Целью данной работы является описание опыта создания и применения в учебном процессе электронных образовательных ресурсов по высшей математике, которые могут быть использованы студентами и преподавателями вузов различной специализации.

На факультете математики и информатики Тульского государственного педагогического университета им. Л. Н. Толстого в течение ряда лет проводится экспериментальная работа по использованию систем компьютерной математики (СКМ) в процессе обучения будущих учителей математики и информатики. В рамках дисциплин по выбору изучаются возможности СКМ в решении математических задач; совершенствуется методика обучения решению задач с помощью СКМ; изучаются возможности СКМ в разработке визуальных средств обучения (в том числе статических, динамических в виде avi-файлов и управляемых визуальных средств). Это активизирует освоение математических понятий, теорем и методов решения задач. Кроме того, студенты осваивают разработку собственных визуальных средств обучения и применяют их в процессе учебы [3].

При подготовке будущих экономистов в филиале Всероссийского заочного финансово-экономического института в г. Туле мы также применяем современные информационные технологии (ИТ), являющиеся инструментальной основой для решения задач экономического содержания.

На семинарах для учителей математики, информатики, экономики и конференциях с участием учителей этих предметов обсуждаются возможности и актуальные проблемы использования ИТ на старшей ступени общего образования при реализации профильного обучения.

Перечислим основные виды разрабатываемых средств обучения:

- математические знания в электронном формате (гипертекстовый комплект учебно-методического обеспечения, включающий цели и задачи изучения дисциплины, программу, исторические сведения, варианты контрольных работ и задач к экзаменам с решениями, многоуровневые системы тренировочных упражнений, варианты индивидуальных заданий, учебные пособия, демонстрационные средства, вопросы к экзаменам);

- шаблоны решения типовых задач (варианты аудиторных и контрольных работ, экзаменационных задач), созданные в системах Maple, MathCAD, Mathematica, MathLab;

- наглядные средства обучения (графики, плакаты, слайды, avi-файлы, управляемые визуальные средства обучения), созданные в MathCAD 11.

Значительное внимание мы уделяем визуальным средствам обучения математическим понятиям и теоремам [4-7]. Некоторые такие средства и краткие описания их применения содержатся в работе [8] (раздел “Методические разработки” образовательного математического сайта). Эта работа показывает возможности пакета MathCAD 11 не только как среды для решения разнообразных математических задач с использованием численных и символьных вычислений, визуализацией данных в виде различных графиков, в том числе анимированных, но также и как мощного инструмента для разработки управляемых визуальных средств обучения математическим понятиям и теоремам. На сайте содержатся средства визуального обучения некоторым основным понятиям математического анализа: график функции одной переменной, предел функции в точке, предел функции на бесконечности, производная функции в точке, определенный интеграл, равномерная сходимость функциональной последовательности, график функции двух переменных, условный экстремум функции двух переменных, двойной интеграл. Там же расположены компьютерные визуальные средства обучения отдельным важным теоретическим фактам, позволяющим освоить геометрический смысл определенного интеграла, разложение аналитической функции в ряд Тейлора, феномен Гиббса, геометрический смысл частных производных функции двух переменных, поверхность Шварца.

При разработке визуальных средств мы разделяем два случая:

- во время демонстрации в части визуальных средств определяется и далее не изменяется размер выводимой на экран области (прямоугольника

для двухмерного чертежа или параллелепипеда для трехмерного чертежа) в зависимости от начальных значений параметров, переменных и функций. Это способствует лучшему пониманию свойств изучаемого математического объекта (например, зависимость расположения и формы кривой Гаусса при изменении параметров а и а2, или соответствующие изменения палатки Гаусса) ;

- в других визуальных средствах изучаются локальные характеристики математических объектов или возникает необходимость использования бесконечно малых величин. В этом случае дидактически целесообразно более детальное рассмотрение объекта в окрестности некоторой точки с помощью увеличения масштаба. Например, при демонстрации идеи линеаризации гладкой функции при условии, что в малой окрестности точки ^жо, f(xO)j график функции и касательной к ней практически сливаются в один отрезок.

Отметим, что с точки зрения использования в обучении математике, наиболее перспективной в настоящий момент мы считаем интенсивно развивающуюся систему MathCAD, обладающую следующими достоинствами:

- общепринятый способ изображения математических объектов;

- высокая точность вычислений при использовании разнообразных функций и операторов;

- наличие специального процессора, позволяющего во многих случаях проводить символьные преобразования (нахождение пределов, производных, интегралов, сумм рядов; решение уравнений, неравенств, систем уравнений и т.д.);

- богатые возможности создания разнообразных плоских и пространственных графиков с хорошим управлением при их форматировании и просмотре; возможность получения в одной графической области комбинации нескольких кривых и (или) поверхностей разного типа; анимации полученных изображений; быстрого построения трехмерных графиков с помощью опции 3D QuickPlot и специальных функций CreateMesh и CreateSpace.

MathCAD позволяет создавать разнообразные средства обучения, к разработке которых можно привлекать широкий круг студентов и преподавателей математики. Как правило, эти средства становятся частью многофункциональных учебно-информационных сред и электронных учебников.

Перечислим основные формы применения информационных технологий в учебном процессе:

- использование студентами материалов, подготовленных с помощью информационных технологий для учебно-методического кабинета;

- включение в лекции показа с помощью проектора наглядных средств обучения. Эти средства эффективно используются для повышения интереса и познавательной активности студентов, а также с целью формирования правильных представлений о сложных математических понятиях (предел функции, определенный интеграл и т.д.) и о сложных теоремах (геометрический смысл определенного интеграла, приближение аналитических функций ча-

стичными суммами рядов Маклорена и т.д.). Незаменимы они для визуализации вычислений, для демонстрации многих объектов (поверхностей в трехмерном пространстве и т.д.);

- представление в режиме реального времени на лекциях и практических занятиях возможностей современных вычислительных сред (в качестве численного, символьного и графического калькулятора) для решения стандартных математических задач и построения чертежей, а также для показа заранее разработанных документов и программ по решению сложных или нестандартных задач;

- использование при проверке контрольных работ и на собеседованиях по этим работам шаблонов решения типовых задач, позволяющих получать решения задач из контрольных работ по дисциплинам “Математический анализ и линейная алгебра”, “Теория вероятностей и математическая статистика” со всеми промежуточными вычислениями (численными и символьными) и графиками. Это повышает уровень контроля знаний и умений студентов, приучая их к точности в приближенных вычислениях, построении чертежей и анализе полученных результатов;

- компьютерное тестирование по дисциплинам “Математический анализ и линейная алгебра”, “Теория вероятностей и математическая статистика” с использованием системы LAN-тестинг;

- проведение дополнительных занятий в компьютерных классах со студентами, проявившими большую заинтересованность к работе в вычислительных средах, хорошо успевающих по математике и владеющих общими навыками работы за компьютером;

- представление и использование компьютерных обучающих программ, прошедших государственную сертификацию;

- использование СКМ при выполнении курсовых и выпускных квалификационных работ для решения задач различного содержания.

Существенное внимание мы уделяем вопросу использования математических пакетов для решения математических задач. Посредством систематического решения задач в значительной степени решаются такие важные дидактические задачи при обучении математике, как овладение студентами глубокими и прочными знаниями, формирование у них сознательных и прочных умений и навыков, развитие продуктивного, эвристического, творческого мышления.

Решение задачи в системе MathCAD заставляет пользователя ответить на следующие вопросы:

- возможно ли точное решение задачи (и если да, то насколько оно сложно), или необходимо применение численных методов?

- если задача имеет точное решение, то необходимо продумать структуру задачи, выделив цепочку простых задач, для каждой из которых в MathCAD имеется средство её решения;

- если задача допускает решение только численным методом, то является ли этот метод прямым (т. е. дающим приближенное решение за конечное число шагов) или итерационным (в MathCAD имеются удобные средства для организации итерационных и рекурсивных вычислений)?

При этом речь идет не о замене традиционных занятий изучением математических пакетов, а о том, что при разумной интеграции можно ставить и успешно достигать, например, следующие цели:

- отводить значительную часть времени на обсуждение условий задачи, возможных методов её решения, полученных результатов, т. е. на методологию решения математической задачи, переложив выполнение отдельных рутинных операций на вычислительную среду;

— для алгоритмических и полуалгоритмических задач (в том числе допускающих точное решение) разрабатывать шаблоны решения, т. е. такие документы, которые позволяют получать полное решение задачи данного типа с изменением всех промежуточных и конечных результатов (численных, аналитических, графических) при изменении исходных данных;

- применять вычислительную среду для эвристических и полуэвристических задач, задач на доказательство ради выполнения отдельных, технически сложных шагов.

Опишем более подробно опыт применения информационных технологий на примере обучения студентов теме “Предел функции в точке”. Преподавателям хорошо известны трудности, возникающие при обучении студентов-первокурсников различных специальностей основам математического анализа. Первые серьезные проблемы возникают в теории пределов (последовательностей и функций), особенно, если программа требует строгого формально-логического обоснования соответствующих понятий, что связано с введением — техники.

Причины этих трудностей известны. Во-первых, определения сложны с точки зрения логики. Во-вторых, при доказательстве теорем и решении задач на доказательство используется аналитико-синтетический метод. И вместо привычного по школьному курсу решения, например, неравенства вида I у/х + 5 — 2| < £, где е > О, при доказательстве утверждения lim у/х + 5 = 2 возникает необходимость нахождения такого числа ö > О, что если х удовлетворяет неравенству 0< \х — 3| < о, то ж является решением неравенства I \/х + 5 — 2| < е. Применение компьютерной визуализации позволяет сделать процесс решения таких задач более доступным и аргументированным.

Понятие предела функции в точке вначале рассматриваем на интуитивном уровне. Подчеркиваем, что понятие предела функции в точке является еще одной характеристикой функции. Именно, выясняется, как ведут себя значения функции /(ж), когда значения аргумента х приближаются к заданному числу жо- Для этого используем управляемое визуальное средство обучения “Предел функции в точке” [8].

При строгом изучении понятия предела функции (на языке ие — £), применяем управляемое визуальное средство обучения (рис. 1) “Предел функции в точке (по Коши)”:

Рис. 1. Общий вид управляемого визуального средства освоения понятия “Предел функции в точке (по Коши)”

Обращаем внимание на то, что на экране расположены области, задающие функцию f(x) = \Jx + 1, предельную точку хо = 2 области определения функции; декартов график, который содержит график функции /(ж), задаваемую е-окрестность предела функции на оси Oy, искомую 5-окрестность предельной точки ж о на оси Ох, горизонтальную полосу шириной 2£, ограниченную прямыми у = L — £ и у = L + £, вертикальную полосу шириной 26, ограниченную прямыми х = хо — онх = хо + о,& также заштрихованный прямоугольник, полученный пересечением указанных полос.

Управляющие элементы (три бегунка и один список) позволяют провести управление визуализацией понятия предела функции в точке, которое осуществляется, следуя логике его определения. Уменьшаем значение числа s > 0 перемещением левого бегунка вправо. Соответствующие изменения происходят и на графике: уменьшается ^-окрестность точки L на оси Oy; вообще говоря, уменьшается ^-окрестность точки хо на оси Ох. После этого проверяем, что каждому взятому значению х G (xq — ö; хо + S) соответствует значение функции f(x) G (L — £; L + е). Для этого изменяем значение переменной х (перемещением среднего бегунка и выбором элемента списка). Наконец, есть возможность увеличить масштаб рассматриваемой области с помощью правого бегунка. Увеличение значений входных переменных бегунков II и 12 также способствует приближениям е —> 0 и х —> xq. Описанные

изменения визуальных образов и параллельные вычисления значений е, х и f(x) убедительно подтверждают, что функция, в соответствии с определением, имеет предел в точке. При этом отчетливо прослеживается геометрический смысл равенства lim f(x) = L: для любой горизонтальной полосы шириной 2е, ограниченной прямыми у = L — е и у = L + существует такая вертикальная полоса шириной 25, ограниченная прямыми х = жо — S и X = хо + S, что все точки графика функции у = /(ж), содержащиеся внутри этой вертикальной полосы (кроме, быть может, точки прямой х = жо), находятся в прямоугольнике, полученном пересечением указанных полос. Такую же процедуру можно провести для заданной функции в другой предельной точке. Наконец, более глубокому усвоению определения предела функции в точке будет способствовать управляемая визуализация для другой функции, имеющей предел в некоторой точке.

В верхней части закрытой зоны документа расположена запись определения понятия, которое становится видным после щелчка мыши на знаке зоны. Студенты записывают это определение в тетради, выполняют соответствующий чертеж, наблюдают за изменениями и слушают комментарии преподавателя. Таким образом, использование различных каналов получения информации (визуального, аудиального, кинестетического) способствует осмыслению и запоминанию сложного понятия.

Далее полезно использовать метод управляемой визуализации при организации самостоятельной работы студентов за компьютером. Для этого каждый студент выполняет запланированную преподавателем в методических указаниях последовательность действий (на основе управления визуализацией), способствующих лучшему усвоению изучаемого понятия, и заполняет соответствующие поля листа наблюдений за графиком, промежуточными и итоговыми вычислениями. В этой деятельности реализуется третий тип ориентировочной основы действия согласно теории поэтапного формирования умственных действий и понятий (по П. Я. Гальперину).

При анализе утверждений вида Нт(3ж — 1) = 5 вдумчивые студенты задают вопрос: а зачем нужен “е—£”-язык, если и без него ясно, что при приближении аргумента к числу 2 соответствующее значение функции у = Зж — 1 стремится к значению функции в точке 2, равное числу 5? Это наглядно видно и на графике линейной функции. Поэтому мы предпочитаем осваивать определение предела функции в точке на менее очевидных примерах, для которых построение графика функции “вручную” произвести труднее.

Например, функция f(x) = - не определена в точке жо = 0, а lim- = 1. Прежде чем изучать строгое доказательство первого замечательного предела, каждый студент выполняет работу по заполнению листа наблюдений, в котором для индивидуального набора значений числа е > О требуется эмпирически с помощью управляемой визуализации на компью-

тере подобрать необходимые значения ö > 0 и проверить, что для произвольного x G 0<5 (0) выполняется условие - G 0^(1) •

Лист наблюдений для изучения понятия предел функции в точке

В результате самостоятельной работы студенты прочно усваивают, что при работе с понятием предела функции по его определению необходимо выполнить следующие 4 шага:

— задать произвольное положительное число s > 0;

- подобрать для него положительное число ö > 0 (которое не обязано быть наименьшим из всех возможных), удовлетворяющее условию:

- если для некоторого числа х G D(f) выполняется неравенство

- для соответствующего значения функции f(x) выполняется неравенство

Итак, многократно выполненные операции, сопровождаемые анализом наглядных образов, формируют умственные действия, характеризуемые устойчивостью и широтой переноса в измененные внешние условия.

Далее рассматриваются методы вычисления пределов без использования компьютера, решаются технически несложные примеры, демонстрируются возможности современных версий СКМ для решения более сложных задач на вычисление различных пределов (рис. 2) и даются рекомендации по применению этих средств.

При этом не ставится цель разъяснить то, каким образом происходит процесс символьного вычисления предела в СКМ. Студент выступает в качестве пользователя системы, быстро и эффективно решающей поставленную задачу.

В целом мы придерживаемся позиции, что вначале по каждой изучаемой теме целесообразно различными способами правильно сформировать основные изучаемые понятия (в рассматриваем случае понятие предела функции), далее на технически несложных примерах показать методы решения задач без применения компьютера, а в завершение важно обучить решению задач, в том числе технически сложных, с помощью СКМ.

Рис. 2. Вычислительные возможности системы MathCAD

При дальнейшем изучении курса математического анализа целесообразно обсудить применение некоторых специальных приемов вычисления пределов функций. После основных теорем дифференциального исчисления обычно изучается правило Лопиталя, а при более глубоком изучении математики рассматривается метод выделения главной части функции с помощью формулы Тейлора и его применение к вычислению пределов [9, с. 195]. Например, можно обратить внимание на вычисление пределов вида

Система MathCAD легко справляется с вычислением этих пределов в символьном виде (рис.3, формулы 1 и 4).

Для первого предела вычисление несложно провести без использования компьютера, получая в разложении по формуле Тейлора первые не равные нулю члены [10, с. 86] (рис.3, формулы 2 и 3). Вычисление второго предела “вручную” методом выделения главной части представляет технические трудности, для их преодоления разумно применить, например, оператор символьного вывода, используя ключевое слово series (рис.3, формулы 5 и 6), вставляя его одноименной кнопкой панели Symbolic.

Система MathCAD является также замечательным помощником в построении графиков аналитически заданных функций. В частности, графики на рис. 3 убедительно показывают, как изменяются значения рассмотренных функций при стремлении аргумента к нулю.

Подводя итог, заметим, что возможности использования современных версий СКМ при решении математических задач и визуализации матема-

Рис. 3. Вычисление пределов с помощью формулы Тейлора (метод выделения главной части)

тических объектов (понятий, теорем, вычислений, методов решения задач) с необходимостью приводят к их непрерывному применению в обучении математике. При дальнейшем улучшении организационно-педагогических условий целесообразно проведение части практических занятий по математике в форме лабораторных работ в компьютерных классах. Это позволит научить студентов самостоятельно решать математические задачи (вычислительные и графические) с помощью СКМ, работать самостоятельно с управляемыми визуальными средствами обучения основным понятиям и теоремам.

В заключение остановимся кратко на вопросе использования в учебном процессе компьютерного тестирования. В 2004-2005 учебном году в ВЗФЭИ в порядке эксперимента было проведено обязательное компьютерное тестирование по большинству учебных дисциплин с использование систем LAN-тестинг и STELLUS.

По дисциплинам “Математический анализ и линейная алгебра” и “Теория вероятностей и математическая статистика” тестирование проводилось по системе LAN-тестинг. В частности, по первому курсу банк тестовых заданий составляет более 700 заданий различного типа, а отдельный тест содержит 17 заданий. Для получения оценки “3”, “4” и “5” требуется соответственно правильно выполнить не менее 60, 70 и 90% заданий.

Согласно положению, экзамен проводился в два этапа. Первый этап (в день экзамена) проходил в компьютерном зале. Второй этап (после завершения первого этапа) проводился в обычном порядке по билетам, содержащим теоретические вопросы и задачи. Статистический анализ результатов успе-

ваемости студентов по двум этапам дал достаточно высокий коэффициент корреляции между ними. В целом можно отметить, что компьютерное тестирование при правильной его организации может существенно повысить эффективность учебного процесса в плане освобождения преподавателя от рутинной работы по выявлению овладения студентами основными понятиями и фактами, сформированности у них умений и навыков решения типовых задач. Возможность работы в режиме самоконтроля способствует активному участию студентов в подготовительной работе к экзамену и овладению базовыми знаниями. Таким образом, преподаватель получает возможность уделить больше времени на организацию самостоятельной работы студентов, на их консультирование по углубленному изучению математики, решению задач повышенной трудности и прикладной направленности.

ЛИТЕРАТУРА

1. Кудрявцев Л. Д. Мысли о современной математике и её изучении. — М.: Наука, 1977. 112с.

2. Воеводин В. В., Воеводин Вл. В. Электронные образовательные средства: новые идеи // Математика в высшем образовании. 2003. №1. С. 11-20.

3. Луценко А. Г. Информационные технологии в подготовке будущих учителей математики // Вестник ТГПУ им. Л.Н.Толстого. 2005. №2. С. 190-195.

4. Луценко А. Г. О динамических демонстрационных средствах обучения высшей математике, разработанных в вычислительной среде MathCAD 11 на основе управляющих элементов // Международный конгресс конференций “НТО 2003”. XIII Международная конференция “Информационные технологии в образовании”. Сб. трудов участников конференции. Часть IV. — М.: Просвещение, 2003. С. 65-66.

5. Луценко А. Г. Управляемые визуальные средства обучения математическому анализу // Педагогическая информатика. 2004. №4. С. 67-74.

6. Луценко А. Г. Особенности управления двумерными графиками в MathCAD (при разработке визуальных средств обучения математике) // Информатизация образования-2005: Материалы Международной научно-практической конференции. — Елец: Елецкий государственный ун-т им. И.А.Бунина, 2005. С. 132-136.

7. Луценко А. Г. Особенности визуализации трехмерных объектов и управления ими в MathCAD // Тезисы докладов Международной научной конференции “Современные проблемы математики, механики, информатики”. — Тула: Изд-во ТулГУ, 2004. С. 182-187.

8. Применение пакета MathCAD 11 для управляемой визуализации понятий и теорем математического анализа, http://www.exponenta.ru/educat/systemat/lutsenko/main.asp.

9. Кудрявцев Л. Д. Математический анализ. Т. 1. 2-е изд., перераб. — М.: Высшая школа, 1973. 614 с.

10. Садовничий В. А., Подколзин A.C. Задачи студенческих олимпиад по математике. — М.: Наука, 1977. 208с.

EXPERIENCE OF SYSTEM MATHCAD 11 USING AT TRAINING TO HIGHER MATHEMATICS

A. G. Lutsenko

The author describes his experience in creation and application of electronic educational resources in higher mathematics. They can be used interactively by both students and professors of various profiles in the Internet. They also may be installed on multiple computers or in the local area network. A significant attention is being given to visual means of teaching mathematical concepts, theorems and methods of solutions. The automatic mathematical calculations system MathCAD 11 is chosen.

Keywords: mathematical analysis, MathCAD 11, program-function, controlled visualization.

СОДЕРЖАНИЕ И ТЕХНОЛОГИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ В ВУЗЕ

УДК 517.3

ФОРМУЛА ГРИНА

О. В. Бесов

Московский физико-технический институт (государственный университет), Россия, 141700, Московская обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., 9; тел.: (495) 1351150; e-mail: besov@mi.ras.ru

Предлагается новый вывод формулы Грина для ограниченной области с кусочно-гладкой границей.

Ключевые слова: формула Грина, криволинейный интеграл второго рода.

Здесь излагается вывод формулы Грина для произвольной ограниченной области, граница которой представляет собой объединение конечного числа попарно не пересекающихся простых кусочно-гладких контуров. Доказательство формулы Грина для рассматриваемого здесь случая имеется в учебной литературе, см. [1]. Предлагаемый более короткий вывод является в идейном плане и более простым.

При лекционном изложении можно ограничиться формулировкой теоремы для области, которая может быть разрезана на конечное число “простых” областей, что сокращает изложение примерно на 40%.

Пусть Ö С К2 — плоская область и простой кусочно-гладкий ориентированный контур Г С 3D. Контур Г будем называть ориентированным положительно относительно D и обозначать через Г+, если при движении по нему в направлении заданной ориентации ближайшая часть области D остается слева. В противном случае контур Г будем называть ориентированным отрицательно относительно области D и обозначать символом Г-.

Если граница 8D области D состоит из конечного числа попарно не пересекающихся простых кусочно-гладких контуров Г^ (dD = UiLi-^O? каждый из которых ориентирован положительно относительно D (рис. 1), то 3D будем обозначать символом dD+ (dD+ = Ui=i ^t)-

Рис. 1

Определение. Плоскую область D назовем простой относительно оси Oy, если она имеет вид

(1)

где Lp, ф непрерывны и кусочно-непрерывно дифференцируемы на [а, Ь] и Lp < ф на (а, Ь).

Плоскую область D назовем простой относительно оси Ох, если она имеет вид

(2)

где Lp, ф непрерывны и кусочно-непрерывно дифференцируемы на [с, d] и Lp < ф на (с, d).

Плоскую область D назовем простой, если она является простой относительно хотя бы одной из координатных осей.

Будем говорить, что ограниченная плоская область D разрезана на конечное число простых областей {Di}Ti=1, если

1°. 2°. 3°. 4°.

Здесь будут рассматриваться лишь такие плоские области, которые можно разрезать на конечное число простых.

Теорема (формула Грина). Пусть D С М2 — ограниченная плоская область, граница 3D которой состоит из конечного числа попарно не пересекающихся простых кусочно-гладких контуров , ориентированных положительно относительно области D

Пусть на замкнутой области D задано векторное поле причем непрерывны на D (подразумевается, что непрерывны на D и непрерывно продолжены на D).

Тогда справедлива формула Грина

(3)

Доказательство. Мы установим эту теорему сначала при дополнительном предположении, что область D может быть разрезана на конечное число простых областей. Затем снимем это предположение.

Достаточно установить (3) при Q = 0, т. е. в виде

(4)

т. к. случай Р = 0 рассматривается аналогично и вместе они приводят к формуле (3) общего вида.

1-й шаг. Установим (4) в случае, когда D — простая относительно оси Oy область, т. е. имеет вид (1) (рис. 2). Сводя двойной интеграл к повторному и используя формулу Ньютона-Лейбница, имеем:

т.е. равенство (3).

При получении последнего равенства были добавлены равные нулю слагаемые

2-й шаг. Установим (4) в случае, когда D — простая относительно оси Ох область, т.е. имеет вид (2), причем кривые

являются ломаными. Тогда при некотором разбиении {q}^=0 отрезка [c,d] функции ф линейны на каждом отрезке При этом замкнутая об-

ласть D представляется в виде

где Di — трапеции

каждая из которых является простой областью относительно оси Oy (рис. 3).

Рис. 2

Рис. 3

По доказанному на первом шаге

Сложим полученные равенства почленно. Тогда в левой части в силу аддитивности двойного интеграла относительно области интегрирования получим

В правой же части получим

поскольку при сложении криволинейных интегралов по dD^ и dD^+1 взаимно уничтожаются их части по отрезку

как криволинейные интегралы второго рода, отличающиеся лишь ориентацией кривой. Этим формула (4) установлена.

3-й шаг. Установим (4) в случае, когда D — простая относительно оси Ох область, т. е. имеющая вид (2), причем при некотором h > О ф — (р > 3h на [с, d]. Пусть

где Aihn ^2hr — ломаные, вписанные соответственно в кривые Г^, и построенные с помощью разбиения г отрезка [с, d] изменения параметра у. Мелкость |т| разбиения г будем считать достаточно малой. Пусть

В силу результата шага 2

Устремляя |т| —> 0, приходим к формуле

(6)

В самом деле, мера криволинейной трапеции

высоты 2М|т| со “средней линией” (Г2/1) равна

Следовательно,

по лемме об аппроксимации криволинейного интеграла второго рода по гладкой кривой интегралом по вписанной ломаной.

При h —> 0 левая часть (6) стремится к

Остается показать, что правая часть (6) при h —> 0 стремится к

и перейти в (6) к пределу. Для этого достаточно установить, что

(7)

поскольку очевидно, что при h —> О

Для доказательства (7) при г = 1 выберем у в качестве параметра на Ti и на Tih. Тогда, используя модуль непрерывности функции Р на D, имеем

Аналогично устанавливается (7) при г = 2. Утверждение шага 3 установлено.

4-й шаг. Установим (4) для простой относительно Ох области D, т.е. имеющей вид (2) с кусочно-гладкими кривыми (5). Здесь не исключаются случаи, когда (р[с) = ф(с) и (или) <p(d) = vb(d). Пусть е > О,

Формула (4) верна для области D£ в силу результата шага 3. Остается перейти в ней к пределу при е —> 0.

5-й шаг. Установим (4) в условиях теоремы при дополнительном предположении, что область D может быть разрезана на конечное число простых областей {Di}Ii_1.

Напишем формулу (4) для каждой простой области Df.

(8)

и сложим почленно эти равенства. В силу аддитивности двойного интеграла относительно области интегрирования и равенства нулю интеграла по множеству нулевой меры

(9)

При сложении правых частей (8) учтем, что соответственно “внутренняя” и "внешняя" части границы dD{. Ясно, что Пусть при j ф г множество

Тогда оно представляет собой отрезок, наделенный противоположными ориентациями (положительной относительно Di и положительной относительно Dj). Поэтому при сложении правых частей (8) “части” криволинейных интегралов по dD^ и dD^ (интегралы по отрезкам Eij) взаимно уничтожатся. Поэтому

(10)

Из (9) и (10) следует (4).

Итак, теорема (формула (3)) установлена при дополнительном предположении, что область D можно разрезать на конечное число простых областей.

Примерами таких областей являются, очевидно, круг и кольцо.

6-й шаг. Для доказательства теоремы в приведенной формулировке достаточно воспользоваться следующей леммой.

Лемма. Ограниченная плоская область D с границей 3D, состоящей из конечного числа попарно не пересекающихся простых кусочно-гладких контуров Vi ^3D = (J Fij, может быть разрезана на конечное число простых областей.

Доказательство. Идея состоит в том, чтобы покрыть область D некоторым семейством попарно не пересекающихся замкнутых прямоугольников и требуемые простые области получить в качестве пересечения внутренности каждого из этих прямоугольников с D, либо в качестве такого пересечения с одним дополнительным разрезом.

До конца доказательства под прямоугольниками будем понимать замкнутые прямоугольники со сторонами, параллельными координатным осям.

1-й шаг. Построим сначала покрытие границы 3D = (J . Будем брать только прямоугольники, по диаметру меньшие достаточно малого числа 8 > 0. Тогда покрытия различных кривых Г^, (г ф j) не пересекаются.

Точку границы 3D назовем угловой, если единичный касательный вектор контура Г^, проходящего через эту точку, не является в ней непрерывным. Граница 3D может либо не содержать угловых точек, либо иметь их в конечном числе. При наличии угловых точек покроем каждую из них прямоугольником (квадратом по форме) с центром в ней. Мы получим покрытие (J Qi множества угловых точек. Без ограничения общности будем считать, что dist(Qi,Qj) > 6 при г ф j. Вблизи центра Qi граница 3D представляет собой кривую, составленную из двух простых дуг, имеющих в центре Qi односторонние касательные и отклоняющихся от этих касательных на величину, бесконечно малую сравнительно с расстоянием до центра. Будем считать Qi столь малыми по диаметру, что каждая из этих дуг пересекает под ненулевым углом ту же сторону Qi, что и односторонняя касательная к ней в центре Qi, и что

либо является простой областью, либо может быть разрезана (удалением интервала с концом в центре Qi) на две простые области. Прямоугольники Qi построенного покрытия (J Qi назовем угловыми.

2-й шаг. Часть границы d'D = 3D \ int (J Qi представляет собой конечное множество простых гладких кривых или простых гладких контуров. Для построения покрытия d'D построим покрытие для каждой кривой или

контура в отдельности и объединим их. Пусть, например, сначала

(11)

- простой гладкий контур и т = (cos a, sin а) — единичный вектор его касательной, где а = a(t) — угол между т и положительным направлением оси Ох. Координаты т, т.е. cos а и sin а непрерывно зависят от t. Символом f(t) будем обозначать точку плоскости, являющуюся концом радиус-вектора r(t).

Разобьем отрезок [а, Ъ] точками {tj}Jj=0 на конечное число отрезков, так чтобы для каждой дуги

(12)

выполнялось либо неравенство

(такую дугу будем называть дугой горизонтального типа), либо неравенство

(такую дугу будем называть дугой вертикального типа).

Такое разбиение отрезка [а, Ь] нетрудно построить, используя равномерную непрерывность cos а и sin а.

Заметим, что на дуге горизонтального типа в качестве параметра можно взять координату ж, а на дуге вертикального типа — координату у точки.

Будем считать дополнительно, что дуги горизонтального и вертикального типов чередуются (если это не так с самого начала, то придем к этому, объединяя соседние дуги совпадающих типов). За счет сдвига параметра можем считать, что первая и последняя дуга в (12) имеют разные типы.

Так, например, окружность {(ж = cosö, у = sinö): 0 < в < 2tv} разбивается на 5 дуг. При её параметризации:

будет выполнено и последнее требование.

Точки f(tj), (О < j < jo — 1), каждая из которых принадлежит двум дугам разного типа, будем называть переходными точками. Так, например, для рассмотренной окружности в качестве переходных можно взять 4 точки с параметрами

Будем точки r(t/_i), f(tj) дуги Г^') из (12) называть концевыми, а прямоугольник, граница которого содержит концевую точку, — концевым. Концевые точки для каждой из дуг (12) являются переходными.

Построим для каждой дуги из (12) покрытие семейством замкнутых прямоугольников {Pji}lj=1 со свойствами:

1°.

4°. Каждая из концевых точек дуги Г^') находится в вершине одного и только одного концевого прямоугольника семейства. Покажем, как осуществить это построение, например, на случае, когда Г^) из (12) - дуга горизонтального типа. Переходя к параметру ж, запишем дугу Г^') из (12) в виде

Пусть т* — разбиение отрезка [ж*, ж*] на равные отрезки [жг-ъяч]. Пусть Pji — прямоугольник, проекция которого на Ох есть [жг-ъяч], ЦентР находится в точке

а вертикальная сторона вдвое больше горизонтальной. При этом мелкость |т*| разбиения г*, а значит, и diamPj^ мы можем взять сколь угодно малыми.

Выполнение свойств 1°, 2°, 3° очевидно. Если для построенного покрытия свойство 4° не выполняется в точке r(tj-\) (r(£j)), то прямоугольник Pji (Pjij) можно сдвинуть параллельно оси Oy настолько, чтобы добиться его выполнения. Такая возможность основана на том, что в переходных точках

можно считать выполненной оценку

Пусть теперь кривая (11) не является контуром. Это означает, что её начало и конец лежат на сторонах угловых прямоугольников (различных или одного и того же). Рассуждая так же, как в случае, когда кривая является контуром, построим для каждой её дуги из (12) покрытие семейством прямоугольников {PjiliLi со свойствами 1°, 2°, 3° и 4°°, 5°, где последние два из них формулируются следующим образом

4°°. Каждая из концевых точек f(tj_i), f(tj) совпадает с вершиной одного из концевых прямоугольников, если касательная Г^) в ней не параллельна ни одной из осей координат, и совпадает с серединой стороны одного из концевых прямоугольников, если касательная в ней параллельна одной из координатных осей;

5°. int Pji не пересекаются ни с одним из угловых прямоугольников

Перенумеровав заново все построенные прямоугольники Pß для всех простых гладких дуг из d'D, получим семейство {Pj}™=i прямоугольников, попарно не имеющих общих внутренних точек, и таких, что

2°. 3°.

Проведем все прямые, содержащие все стороны всех прямоугольников Qi и Pj. Из образовавшихся таким образом (замкнутых) прямоугольников занумеруем и обозначим через Rk (1 < к < г) те, которые пересекаются с D, но не имеют общих внутренних точек ни с одним из прямоугольников Qi и Pj. Тогда Rk С D. В самом деле, допустив, что в Rk имеются точки из D и из R2 \ D, на соединяющем их отрезке получим точку (ж*, у*) С {3D) П inti?&. Следовательно, Rk имеет общую внутреннюю точку с тем прямоугольником Qi или Pj, который содержит точку (ж*, у*), а это противоречит построению Rk. Следовательно, D П inti?& = inti?& — простая область.

Итак, показано, что

где I + m + г прямоугольников попарно не имеют общих внутренних точек, пересечения D П int Pj и D П int Rk являются простыми областями, пересечение D П int Qi либо является простой областью, либо может быть разрезано на две простые области. Лемма доказана.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ильин В. А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Ч.П. 5-е изд. — М.: Физматлит, 2004. 464 с.

GREEN FORMULA

О. V. Besov

New derivation of Green formula for the closed domain with the piecewise smooth boundary is proposed.

Keywords: Green formula, line integral of the second genus.

СОДЕРЖАНИЕ И ТЕХНОЛОГИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ В ВУЗЕ

УДК 51(07)

ИССЛЕДОВАНИЕ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА КОМПОЗИЦИИ ФУНКЦИЙ

Р. Г. Рахманкулов

Нижегородский государственный педагогический университет, Россия, 603005, г. Нижний Новгород, пл. Минина, 1; тел.: (8312) 363712

Рассматривается схема исследования и построения графика итерации и композиции функций. Изучается связь свойств композиции и составляющих функций. Приведены примеры и контрпримеры. Материал может быть использован на практических занятиях по математическому анализу

Ключевые слова: композиция функций, итерация, график функции.

Пусть функция h определена на некотором множестве ОСЙи задана в виде композиции двух функций / и g, то есть h[x) = g (/(ж)) при каждом X G D. В работе на ряде примеров показано, как могут быть использованы свойства составляющих функций / и g при построении графика их композиции h. Рассматривается вопрос построения уравнений асимптот сложной функции по уравнениям асимптот составляющих функций. Приводится также схема исследования и построения графика композиции двух функций. Естественно, что при этом мы касаемся вопроса построения графика итерации функции.

Пусть функция у = f(x) определена на некотором множестве D С R и отображает это множество D в себя. Тогда для любой точки хо G D её последующая х\ = /(жо) также принадлежит области определения функции / и, следовательно, существует вторая последующая Х2 = f{x\). Поэтому на множестве D определена функция h = / о /, называемая второй итерацией функции /. Значение h[x) в точке х G D задается равенством h[x) = /(/(ж)). Итерационная степень fn с показателем и функции / для произвольно заданного натурального п определяется рекуррентным соотношением fk+1 = f°fk (h = 1,2,...), где f1 = /. В дальнейшем рассматриваются итерации только таких функций, для которых существует итерационная степень с натуральным показателем.

В работе [1] на ряде примеров было показано, как могут быть использованы свойства функции при построении графика её итерации, приведена схема исследования и построения графика итерации заданной функции, а также на контрпримерах проверено, что итерация fn может обладать определенным свойством, отсутствующим у исходной функции /. Например, вторая итерация функции общего вида (в смысле периодичности или симметричности) может оказаться периодической или симметричной.

Настоящая работа построена следующим образом. В первом параграфе рассмотрены примеры исследования второй итерации функции и композиции двух функций. При этом рассмотрены те свойства, которые обычно

включаются в схему исследования и построения графика функции. На примерах проиллюстрировано применение того или иного свойства составляющей функции / или g при исследовании композиции h.

Приведенные примеры, контрпримеры и задания можно использовать на практических занятиях по математическому анализу.

Следующий параграф посвящен построению уравнений асимптот композиции функций.

В последнем третьем параграфе приводится схема исследования композиции, указывается связь направлений выпуклости графиков составляющих функций и их композиции.

В заключительной части работы приведены упражнения.

Заметим, что в работе исследуется, как правило, лишь композиция двух функций. В то же время многие из полученных результатов очевидным образом переносятся на случай композиции трех и большего числа функций. Затронутые в работе вопросы (например, исследование и построение графика итерации функции или композиции двух функций) могут быть включены в тематику курсовых и выпускных работ студентов педагогических вузов.

§1. ПРИМЕРЫ И КОНТРПРИМЕРЫ

Пример 1.1. Возьмем элементарную функцию /(ж) = sin ж и построим график второй итерации h(x) = sin(sinx). Свойства исходной функции sin ж хорошо известны: она определена и непрерывна на i?, периодична с периодом Г = 27Г, нечетна, выпукла вверх на промежутке [0, 7г], строго возрастает на отрезке [0,7г/2] и строго убывает на отрезке [7г/2,7г] (рис.1). Ясно, что итерация fn при каждом п G N непрерывна на R как композиция непрерывных функций. Из периодичности исходной функции / следует периодичность, а из нечетности — нечетность её итерации fn. В частности, периодичность и нечетность её второй итерации:

Поэтому достаточно построить график итерации на отрезке [0;7г]. На [0,7г/2] вторая итерация строго возрастает как композиция строго возрастающих функций: сужения функции / на отрезке [0, 7г/2] и сужения функции / на множестве /[0,7г/2] = [0,1] С [0, 7г/2]. Из аналогичных соображений вытекает, что h[x) строго убывает на [7г/2,7г] как композиция строго убывающей и строго возрастающей функций. Отсюда следует, что х = 7г/2 остается точкой максимума второй итерации на [0,7г]. При этом к(тг/2) = sin(sin7r/2) = sinl = 0,84. Исходная функция sin ж строго выпукла вверх на [0, 7г]. Тогда она строго выпукла вверх также на промежутке /([0, 7г]), так как /([0,7г]) = [0,1] С [0, 7г]. При этом / строго возрастает на интервале [0, 7г]. Отсюда вытекает, что и вторая итерация на интервале [0, 7г] строго выпукла вверх [2]. При этом из представления производной второго порядка второй итерации

(1.1)

следует, что h"(x) < 0 при всех ж G [0,7г]. Проведем дополнительное исследование, чтобы определить взаимное расположение кривых / и h. Если X G (0,7г/2], то 0 < sin ж < х и, следовательно, 0 < sin(sinx) < sin ж < ж, так как / строго возрастает на (0,7г/2] и sin ж G (0, 7г/2]. График каждой из функций f ж h симметричен относительно вертикальной прямой ж = —.

Действительно,

Теперь нетрудно построить график функции

(рис. 1).

Рис. 1. Графики функций sin ж и sin(sinx)

Пример 1.2. Обратимся к функции sin(cosx). Из равенства sin(cosx) = = sin ( sin(a? + 7r/2)J следует, что график композиции sin(cosx) получается из графика второй итерации функции sin ж с помощью параллельного переноса вдоль оси абсцисс на 7г/2.

Задание 1.1. Проведите исследование и постройте график: а) третьей итерации функции sin ж; б) п-й итерации функции sin ж; в) второй итерации функции cos ж; г) композиции cos(sinx).

Замечание 1.1. Достаточным условием непрерывности второй итерации является непрерывность исходной функции. Является ли это условие необходимым? Приведем контрпример.

Контрпример 1.1. Возьмем функцию /, заданную на R равенством

(1.2)

Эта функция имеет точку разрыва ж = 0. В то же время вторая итерация f(^f(x)^j = х непрерывна на всей прямой R. При этом функция у = ж может быть представлена как вторая итерация непрерывной функции <р(х), например, если <р(х) = — кх при ж > 0 и <р(х) = — х/к для х < 0 (к > 1).

Возникает следующий вопрос: Верно ли, что каждая непрерывная функция представима в виде второй итерации некоторой функции?

Задание 1.2. Докажите, что определенная на R элементарная функция ф(х) = ах (0 < а < е~е) не является второй итерацией никакой функции.

Другими словами, нужно проверить, что при 0 < а < е 6 функциональное уравнение

(1.3)

не имеет ни одного решения. (Указание: функция ф(х) имеет лишь три периодические точки ж*, ai и <22, из которых первая является неподвижной точкой: ф(х*) = ж*, а две другие ai и <22, где ai ф <22, образуют цикл второго порядка:

Заметим, что функция введенная в контрпримере 1 и зависящая от параметра fc, не является нечетной, но её вторая итерация нечетна. Отметим еще один момент. Вторая итерация /^/(ж)^ функции (1.2) имеет наклонную асимптоту у = ж, совпадающую с /^/(ж)^, но у исходной функции (1.2) нет наклонной асимптоты, отличной от горизонтальной (функция (1.2) имеет вертикальную и горизонтальную асимптоты ж = 0 и у = 0). Здесь горизонтальная и вертикальная асимптоты “переходят” при итерировании в одну наклонную асимптоту.

Перейдем к следующему примеру.

Пример 1.3. Рассмотрим вторую итерацию h(x) = сп(спж) элементарной функции /(ж) = спж. Как известно, спж = (ех + е~х)/2 > 1. Из четности функции спж следует четность её итерации, в частности, четность второй итерации: h(—x) = f(^f(—х)^ = /^/(ж)^ = h(x). На промежутке [0, +оо) функция ch ж строго возрастает. При этом ch 0 = 1 и

(1.4)

Поэтому из непрерывности и четности функции /(ж) = спж вытекает, что f(R) = [1, +оо). Вторая итерация строго возрастает на [0, +оо) и строго убывает на (—оо,0]. Из того, что / строго выпукла вниз на R и строго возрастает на множестве значений £“(/) = [1, +оо), получаем, что вторая итерация g также строго выпукла вниз на R [2]. Здесь из представления (1.1) вытекает, что д”{х) > 0 при всех ж G R. Функция сЬж определена и непрерывна на всей прямой. Поэтому её итерация не имеет вертикальной асимптоты. Из (1.4) и следующего равенства

(1.5)

получаем, что у второй итерации нет ни одной горизонтальной или наклонной асимптоты. Следовательно, h(x) не имеет ни одной асимптоты. График функции h пересекает ось ординат в точке у = ch 1 (ch 1 = 1,5). Из неравенств спж>1+ж2/2>ж следует, что спж не имеет ни одной неподвижной точки. Если ж > 0, то сп(спж) > спж, так как спж > ж и спж строго возрастает на [О, +оо). Теперь легко изобразить графики функций спж и сп(спж) (рис. 2).

Рис. 2. Графики функций chx и ch(chx)

Контрпример 1.2. Пусть f(x) = sin х £ R. Эта функция не является периодической. Действительно, допустим противное. Пусть существует период Г > 0. Тогда для каждого х > 0 должно выполняться равенство sin(x + Г) — sin ж = 0. Отсюда следует, что Г = 2тгк при некотором натуральном к. Однако 27rfc, где к G N, не может быть периодом, так как равенство sin \х + 27rfc| = sin \х\ не выполняется для х = —7г/2 (рис. 3). С другой стороны, вторая итерация д(х) = sin sin \х\ является периодической с периодом 7г (рис. 4). Известно, что наименьший положительный период каждой из функций cos X и sin ж равен 27г. В то же время наименьший положительный период итерации cos(cosx) и композиции cos(sinx) вдвое меньше, то есть равен 7г.

Рис. 3. График функции sin \ х\

Рис. 4. График функции sin sin \х\

Вернемся к примеру 1.2. Вторая итерация h(x) = ch(chx) непериодической функции chx не является периодической, так как h(x) строго возрастает на бесконечном промежутке переменной ж, например, на [0, +оо).

Задание 1.3. Постройте график: а) второй итерации функций shx и —shx; б) композиций sh(chx) и ch(shx); в) композиций ch(cosx) и cos(chx).

В [1] приведены примеры исследования второй итерации функции: а) параметрически заданной (циклоиды); б) заданной интегралом с переменным верхним пределом (функции Лапласа

Рассмотрена также итерация функции хх.

§ 2. АСИМПТОТЫ

В работе [1] рассмотрена задача построения уравнений вертикальных, горизонтальных и наклонных асимптот итерации f2 = / о f по известным уравнениям асимптот исходной функции /. В настоящем параграфе мы рассмотрим задачу построения уравнения наклонной асимптоты композиции h(x) = g(^f(x)^ в случае, когда известны уравнения наклонных асимптот составляющих функций / и д.

Нетрудно доказать следующие две леммы.

Лемма 2.1. Пусть существует конечный предел

(2.1)

Тогда,

Лемма 2.2. Пусть существует конечный предел

(2.2)

Тогда,

Обратимся к пределу вида (2.1) относительно композиции

Лемма 2.3. Пусть для внутренней функции f существует конечный предел (2.1), а для внешней функции g существует предел вида (2.2), то есть

(2.3)

Доказательство. Из лемм 2.1 и 2.2 вытекает, что

Отсюда получаем:

Тогда

Лемма 2.3 доказана.

Лемма 2.4. Пусть наряду с пределами (2.1) и (2.3), где к\ < 0 и > 07 существуют также следующие конечные пределы:

(2.4)

Тогда

Доказательство. Из лемм 2.1, 2.2 и условий (2.3) и (2.4) следует цепочка равенств

где t = f(x). Лемма 2.4 доказана.

Из последних двух лемм непосредственно вытекает следующая теорема.

Теорема 2.1. Пусть прямая Ь\{х) = к\х + Ъ\, где к\ < 0, является асимптотой при х —> —оо функции f(x), а прямая L2(x) = k2X + &2 для некоторого &2 > 0 — асимптотой при х —» +оо функции д{х). Тогда композиция L2^Li(x)^ = кък\х + /с2&1 + &2 является асимптотой композиции

g(^f(x)^j при x —> —оо.

Аналогичное утверждение справедливо при условии, что Li является асимптотой функции / при х —> +00, a L2 — асимптотой функции g при ж —> —оо.

Возможен также случай, когда окрестности бесконечно удаленных точек —оо и +00 отображаются друг в друга, например, lim f(x) = +00 и lim g{x) = —00.

Теорема 2.2. Пусть прямая L\(x) = k\x + bi для k\ < 0 является асимптотой для f при x —> — оо, а прямая L/2(x) = /с2ж + &2? где &2 < 0, — асимптотой для g при x —> +00. Тогда композиция L2 ^Ll(x)^ = &2&1# + &2^1 + ^2 (Li^L2(x)^ = к\къх + fci&2 + bi) будет асимптотой при х —> —оо fnpw ж —> —> +оо^ композиции g(^f(x)^j.

Аналогичная теорема справедлива, если каждая из составляющих функций переводит некоторую окрестность бесконечно удаленной точки +оо (—оо) в себя. Примеры отыскания асимптот второй итерации можно найти в[1].

Замечание 2.1. Композиция h = gof может иметь наклонную асимптоту и в том случае, когда у составляющих функций / и g нет ни одной асимптоты [1]. При некоторых естественных условиях (например, если хотя бы одна из составляющих функций ограничена) композиция h = g о / не имеет ни одной наклонной асимптоты, отличной от горизонтальной.

Задание 2.1. Сформулируйте несколько достаточных условий отсутствия асимптоты у композиции двух функций.

Задание 2.2. Сформулируйте утверждения, аналогичные теоремам 2.1 и 2.2, для нелинейных асимптот из класса многочленов [4, глава 7, §4].

§3. ПРОМЕЖУТКИ МОНОТОННОСТИ И НАПРАВЛЕНИЕ ВЫПУКЛОСТИ. СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ КОМПОЗИЦИИ ФУНКЦИИ

Будем предполагать, что функция h определена на некотором множестве D С R и представлена в виде композиции двух функций fug, свойства и графики которых известны. Итак, h[x) = g(f(x)) при х G D. При построении графика композиции h(x) = g (/(ж)) можно придерживаться следующей схемы.

1. Периодичность и симметричность. Если Г является периодом внутренней функции /, то Г будет также периодом композиции h:

При этом, если Г — основной период функции / (то есть — наименьший положительный период функции /), то может оказаться, что основной период композиции меньше Г или не существует. В то же время, если / не является периодической, то для проверки периодичности h требуется дополнительное исследование. Например, пусть функция / — дробная доля числа. Тогда / -периодическая функция с основным периодом Г = 1. При этом композиция h = g о /, где g — функция Дирихле, также является периодической, но не имеет наименьшего положительного периода. В то же время из периодичности внешней составляющей g не следует, вообще говоря, периодичность композиции h = до/, например, функция sin(x2) не является периодической, а для функции sin2x число Г = 7г является наименьшим положительным периодом. С аналогичной ситуацией мы сталкиваемся при исследовании на симметричность. Например, если внутренняя функция / четна, то свойством четности обладает и h. При этом h может оказаться четной и в том случае, когда / не является четной. Очевидно, что в случае нечетной внутренней функции / композиция h — четная (нечетная), если внешняя составляющая g является четной (нечетной).

2. Область непрерывности, точки разрыва, асимптоты. Если / и g непрерывны, то и h непрерывна. В то же время, композиция может оказаться непрерывной и в том случае, когда составляющие имеют точки разрыва. У композиции могут появиться точки разрыва, отличные от точек

разрыва функции / или д. Например, если х\ — точка разрыва функции g и / непрерывна в точке жо, где f(xo) = xi, то хо является точкой разрыва композиции h.

Связь уравнений наклонных асимптот композиции и составляющих функций была рассмотрена выше в §2.

3. Промежутки монотонности. Пусть функция / является кусочно-монотонной, то есть её область определения представима в виде объединения конечной совокупности промежутков, на каждом из которых / монотонна. Промежуток / = 1а^ с концами в точках и Ь, где а < Ь, будем называть промежутком монотонности функции /, если / монотонна на 1а^, но на всяком большем промежутке, включающем /а?&, функция / не является монотонной. Совокупность всех граничных точек промежутков монотонности функции / обозначим S. Предположим, что вторая составляющая g также является кусочно-монотонной. Пусть а < Ъ — две соседние точки объединения множеств S и M_i, где М-\ = /_1(М), a M — совокупность всех концевых точек промежутков монотонности функции д. Если интервал (а,Ь) лежит в области D, то композиция g(f(x)j монотонна на этом интервале (а, 6), так как / монотонна на (о,Ь), a j — на /(а, Ь). Таким образом можно построить промежутки монотонности второй итерации и найти точки экстремума. Иногда аналогичным образом удается построить все промежутки монотонности композиции, когда составляющая имеет бесконечное число промежутков монотонности. Например, вернемся к функции cos(sinx). Здесь

Отсюда

получаем, что отрезки

являются промежутками монотонности композиции cos(sinx).

Задание 3.1. Рассмотрим нечетную функцию /, заданную на всей прямой R. Пусть / монотонна на интервале (0, +ос). Для определенности пусть / возрастает на этом интервале. Докажите, что тогда / возрастает также на интервале (—оо,0).

Верно ли, что вторая итерация f(^f(x)^j возрастает на каждом из интервалов (—оо,0) и (0, +оо)? Исследуйте также случай, когда рассматривается четная функция.

4. Выпуклость. Начнем с определения выпуклой функции. Функция / называется выпуклой вверх на интервале (а, Ь), если выполнено условие

(3.1)

где у = 1{х) — уравнение прямой, проходящей через точки

то есть

Если заменить условие (3.2) условием V#i G (a, b) Ух2 G (#i,fe) \/#з G G (xi, ж2) [/(^з) > /(жз)], то функция называется выпуклой вниз на (а, Ь). Известно, что возрастающая выпуклая вниз (вверх) функция от выпуклой вниз (вверх) функции выпукла вниз (вверх) [2,5]. Пусть Дао, bo) = (ai, fei). Можно также проверить справедливость следующего утверждения: если функция g убывает и выпукла вниз (вверх) на (ai, fei), а функция / выпукла вверх (вниз) на (ao, feo), то композиция h выпукла вниз(вверх) на (ao, feo)-

Задание 3.2. Пусть / — четная функция, определенная на R и является выпуклой вниз на интервале (0, +оо). Верно ли, что тогда / выпукла вниз и на интервале (—оо,0)? Покажите, что вторая итерация f(f(x)j может оказаться не выпуклой на (0, +оо). Рассмотрите случай, когда исходная функция является нечетной.

Замечание 3.1. Обычно находят точки пересечения графика функции с осями координат, точки экстремума и перегиба. При построении графика композиции целесообразно также указать неподвижные точки составляющих. Если хо — неподвижная точка функции / или g, то график композиции пересекается с графиком соответствующей составляющей функции в точке с абсциссой жо-

Прежде чем завершить краткое обсуждение схемы построения графика итерации функции, обратимся к функциональному уравнению Коши

(3.2)

Пусть определенная на R функция у = f(x) является решением этого уравнения, то есть для любых действительных чисел xi и х2 выполняется равенство f(x\ + x<i) = f(x\) + /(#2). Такая функция называется эндоморфизмом аддитивной группы R. Всякий эндоморфизм группы переводит нейтральный элемент группы в нейтральный. Поэтому точка х = 0 является неподвижной точкой, то есть

(3.3)

Далее,

(3.4)

так как образ элемента —ж, противоположного элементу ж, есть элемент, обратный образу исходного элемента х. Таким образом, функция / нечетна. Известно, что для каждого рационального числа г выполняется равенство

(3.5)

Доказательство этого равенства приведено, например, в [2]. Композиция h двух решений уравнения (3.2) является решением этого уравнения: h(x + t) =

Поэтому свойства (3.3)-(3.5) остаются справедливыми и для функции h.

Очевидно, что любая линейная однородная функция у = кх является решением уравнения (3.2): к(х +1) = кх + kt. Более того, можно показать, что

множество К всех определенных на R непрерывных решений уравнения (3.2) совпадает с классом линейных однородных функций [2]. Очевидно, что композиция любых двух функций из семейства К входит в это семейство.

Известно также, что наряду с линейными однородными функциями существуют эндоморфизмы группы i?, то есть решения уравнения (3.2), которые не являются непрерывными функциями [5, с. 119]. Такие решения обладают весьма необычным поведением. Пусть решение / имеет точку разрыва. Тогда график функции / является всюду плотным множеством плоскости R2 [6]. Отсюда следует, что / всюду разрывна, не имеет промежутков монотонности или выпуклости. Естественно возникает вопрос: является ли композиция двух разрывных решений уравнения (3.2) непрерывным решением этого уравнения?

УПРАЖНЕНИЯ

1. Провести исследование и построить график второй итерации функции /, если

2. Построить график второй итерации ги-функции Ламберта, то есть функции

3. Построить график сложной функции (композиции функции и её сужения на соответствующем множестве):

4. Построить график функции h(x), где

Указание. Обратитесь к дугам астроиды и окружности.

ЛИТЕРАТУРА

1. Рахманкулов Р. Г. Исследование и построение графика итерации функции // Математический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона: периодич. межвуз. сб. научно-метод. работ. Вып. 7. — Киров: Изд-во ВятГГУ, 2005. С. 148-166.

2. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. 8-е изд. Т. 1. — М.: Физматлит, 2001. 680 с.

3. Максимов В. В., Рахманкулов Р. Г. Итерации элементарных функций. — Горький, Горьк. гос. пед. ин-т, 1990. 31с; Деп. ВИНИТИ 23.03.90, №1595-В90.

4. Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Бл. Х. Математический анализ: Учебник. Ч. 1 / Под ред. А.Н.Тихонова. 3-е изд., перераб. и доп. — М.: ТК Велби, изд-во Проспект, 2004. 672 с.

5. Харди Г. Г., Литтльвуд Д. Е., Полиа Г. Неравенства. — М.: ИЛ, 1948. 456 с.

6. Рахманкулов Р. Г. Элементарные функции с точки зрения высшей математики / / Вестник матем. факультета Нижегородского госуд. педаг. ун-та. 2001. №1. С. 71-77.

THE INVESTIGATION AND CONSTRUCTION OF A COMPOSITE FUNCTION GRAPH

R. G. Rakhmankulov

Investigation and construction scheme of graph of iteration and composition of functions is considered. Some properties of functions and their compositions are compared. Examples and counterexamples are given. The material can be helpful for practical training in mathematical analysis.

Keywords: composite function, iteration, graph of function.

СОДЕРЖАНИЕ И ТЕХНОЛОГИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ В ВУЗЕ

УДК 51(07)

О ПЛОЩАДЯХ И ОБЪЕМАХ ПРИ ОТОБРАЖЕНИИ

О.С. Ивашев-Мусатов

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, Россия, 119899, г.Москва, Воробьевы горы, 1; шел.: (495)1338023

Приводится вывод формулы замены переменных в двойном интеграле с использованием материала из раздела “Криволинейные интегралы” без применения техники. Аналогичная техника применена в случае тройного интеграла.

Ключевые слова: двойной интеграл, тройной интеграл, отображение площади и объема.

При выводе формулы замены переменных в двойном интеграле определенные трудности вызывает у студентов (нематематических специальностей) получение равенства, связывающего площади фигуры и её образа. Эти трудности порождены техникой, используемой по традиции. Мы предлагаем вывод упомянутой формулы, в котором нет u£-ö техники. При этом используется материал из раздела “Криволинейные интегралы”. Опыт автора показывает, что студентов не смущает, если формулой замены переменных в двойном интеграле пользоваться на упражнениях до её доказательства.

Формулы замены переменных в двойном интеграле

(1)

устанавливают биекцию Lp между Q и областью G = (p(Q).

Докажем, что для площади области G выполнено равенство

(2)

При выводе достаточно считать, что граница Q — кусочно-гладкая кривая <9£7, тогда и 8G — кусочно-гладкая кривая. Всё доказательство существенно облегчается, если Lp G C2(Q). Итак (далее над знаками равенств стоят {1}, {2} и т. д. — это номера ссылок, помещенных ниже и объясняющих эти равенства, так вывод компактнее):

{1} При положительном обходе на 8G равенство следует из формулы Грина. {2} Делаем замену (1); если (ж, у) G <9G, то (u,v) G dQ.

{3} Пользуемся формулой Грина; если при замене (1) обход д£} отрицательный, то следует выбрать знак минус, в противном случае — плюс.

{4}

т. к. они непрерывны.

{5} Функция J(u,v) непрерывна в области Q и потому сохраняет знак в Q. Если J < О в Л, то следует выбрать знак минус, т.к. \G\ > 0, а тогда — J = I J|. В противном случае J = | J|.

Аналогичное положение с тройным (и п-кратным) интегралом. Замена

(3)

устанавливает биекцию Lp между Q и областью G = (p(Q). Как и при выводе формулы (2), обратимся к вычислению объема G и покажем, что

(4)

Этот вывод облегчается, если добавить условие ip G c2(Q). Итак:

{6} dG — кусочно-гладкая внешняя сторона G и формула Остроградского.

{7} dVt задается параметрически: и = u(s, £), v = v(s,t), w = w(s,t), G D. Тогда dG задается: x = x(u(s,t),v(s,t),w(s,t)\ = аналогично y = 2 =

{8} Вычисляем производные сложных функций, делаем преобразования.

{9} По формуле Остроградского (при отображении (3) сторона dQ может оказаться внутренней и тогда следует выбрать знак минус).

{10} Делаем преобразования и см. {5} к выводу (2).

ON AREAS AND VOLUMES UNDER MAPPING

O. S. Ivashev-Musatov

A derivation of change of variables formula for the two-dimensional integral using some material from “Line Integrals” section without application of u£-ô" techniques is recommended. The same method for the three-dimensional integral is demonstrated.

Keywords: two-dimensional integral, three-dimensional, area mapping, volume mapping.

МАТЕМАТИКА ДЛЯ СПЕЦИАЛИСТОВ РАЗЛИЧНОГО ПРОФИЛЯ

УДК 51:1

МАТЕМАТИКА ДЛЯ ГУМАНИТАРИЕВ: ФИЛОСОФИЯ ПРЕПОДАВАНИЯ

В. А. Успенский

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, Россия, 119899, ГСП-2, г.Москва, Воробьёвы горы; e-mail: uspensky@mccme.ru

Статья представляет собою отредактированный текст доклада, сделанного 6 июля 2004 г. на X Международном конгрессе по математическому образованию (Копенгаген, 4-11 июля 2004 г.); доклад состоялся в рамках Российской национальной презентации. Излагаются некоторые принципы, на которых, по мнению автора, должно быть основано преподавание математики студентам гуманитарных специальностей. Эти принципы выработаны на основе многолетнего личного опыта автора.

Ключевые слова: математика в вузе, математика для гуманитариев.

1. Никто не знает, сохранят ли грядущие века и тысячелетия сегодняшнее деление наук на естественные и гуманитарные. Но даже и сегодня безоговорочное отнесение математики к естественным наукам вызывает серьёзные возражения. Естественнонаучная, прежде всего физическая, составляющая математики очевидна, и нередко приходится слышать, что математика — это часть физики. Однако не менее очевидна и логическая, приближающаяся к философской, составляющая математики. Тем не менее восприятие математики нередко вызывает отторжение у людей, гуманитарно ориентированных. Неуклюжее (и по содержанию, и по форме) преподавание математики в средней школе немало тому способствует.

Лет сорок назад было модно подчёркивать разницу между так называемыми “физиками”(к коим относили и математиков) и так называемыми “лириками” (к коим относили всех гуманитариев). Терминология эта вошла тогда в моду с лёгкой руки поэта Бориса Слуцкого, провозгласившего в 1959 г. в стихотворении “Физики и лирики”: “Что-то физики в почёте, / Что-то лирики в загоне. / Дело не в сухом расчёте, / Дело в мировом законе”.

Однако само противопоставление условных “физиков” условным “лирикам” вовсе не было вечным. По преданию, на воротах знаменитой Академии Платона была надпись: “Негеометр (То есть нематематик. — В. У.) да не войдёт сюда!”. С другой стороны, самоё математику можно называть младшей сестрой гуманитарной дисциплины, а именно юриспруденции: ведь именно в юридической практике Древней Греции, в дебатах в народных собраниях впервые возникло и далее шлифовалось понятие доказательства.

Можно ли уничтожить и нужно ли уничтожать ставшие, увы, традиционными (хотя, как видим, и не столь древние!) границы между гуманитарными, естественными и математическими науками — об этом я не берусь судить. Но вот разрушить барьеры между представителями этих наук,

между “лириками”и “физиками”, между гуманитариями и математиками — это представляется и привлекательным, и осуществимым. Особенно благородная цель — уничтожить этот барьер внутри отдельно взятой личности, то есть превратить гуманитария отчасти в математика, а математика — отчасти в гуманитария. Обсуждая эту цель, полезно вспомнить некоторые факты из истории российской науки. Эти факты связаны — в обратном хронологическом порядке — с именами Колмогорова, Барсова и Ададурова (в другом написании — Адодурова).

2. Первой научной работой великого математика Андрея Николаевича Колмогорова (1903-1987) была работа вовсе не по математике, а по истории. В начале 20-х годов XX в., семнадцатилетним студентом математического отделения Московского университета, он доложил эту работу на семинаре известного московского историка Сергея Владимировича Бахрушина. Опубликованное посмертно, исследование Колмогорова было чрезвычайно высоко оценено специалистами — в частности, руководителем Новгородской археологической экспедиции академиком Валентином Лаврентьевичем Яниным. Ему и предоставим слово (цитата взята из его предисловия к книге: А.Н.Колмогоров. Новгородское землевладение XV века. — М.: Физматлит, 1994):

Андрей Николаевич сам неоднократно рассказывал своим ученикам о конце своей “карьеры историка”. Когда работа была доложена им в семинаре, руководитель семинара профессор С.В.Бахрушин, одобрив результаты, заметил, однако, что выводы молодого исследователя не могут претендовать на окончательность, так как “в исторической науке каждый вывод должен быть снабжён несколькими доказательствами“!). Впоследствии, рассказывая об этом, Андрей Николаевич добавлял: “И я решил уйти в науку, в которой для окончательного вывода достаточно одного доказательства”. История потеряла гениального исследователя, математика приобрела его.

26 апреля (по старому стилю, а по новому стилю тогда было 7 мая) 1755 г. состоялось торжественное открытие Московского университета. После молебна были произнесены четыре речи. Первая из них — и притом единственная, сказанная на русском языке, — называлась “О пользе учреждения Московского университета”. Говорил её Антон Алексеевич Барсов (1730-1791). Неудивительно, что в 1761 г. он был назначен профессором (в современных терминах — заведующим кафедрой) на кафедру красноречия; вступление в эту должность ознаменовалось его публичной лекцией “О употреблении красноречия в Российской империи”, произнесённой 31 января (11 февраля) 1761 г. Чем же занимался Барсов до того? Преподавал математику — именно с Барсова, в феврале 1755 г. специально для этой цели переведённого из Петербурга в Москву, и началось преподавание математики в Московском университете! Впоследствии Барсов прославился трудами по русской грамматике; ему же принадлежит и ряд предложений по русской орфографии, тогда отвергнутых и принятых лишь в XX веке.

Ещё раньше, в 1727 г., знаменитый математик Даниил Бернулли, работавший в то время в Петербургской академии наук, обратил внимание на студента этой академии Василия Евдокимовича Ададурова (1709-1780). В

письме к известному математику Христиану Гольдбаху от 28 мая 1728 г. Бернулли отмечает значительные математические способности Ададурова и сообщает о сделанном тем открытии: сумма кубов последовательных натуральных чисел равна квадрату суммы их первых степеней: 13 + 23 + ... + п3 = = (1 + 2 + ... + п)2. Математические заслуги Ададурова засвидетельствованы включением его в биографический раздел однотомного “Математического энциклопедического словаря” (М.: Советская энциклопедия, 1988). А из статьи “Ададуров” в первом томе другого словаря, “Нового энциклопедического словаря” Брокгауза и Ефрона, мы узнаём, что Ададуровым написано несколько сочинений по русскому языку и, более того, что “в 1744 г. ему было поручено преподавать русский язык принцессе Софии, т. е. будущей императрице Екатерине II”. Последующие изыскания показали, что Ададуров является автором первой русской грамматики на русском же языке, составление каковой было большим событием: появление первой грамматики какого-либо языка, изложенной на родном языке, представляет собою важный этап в познании этого языка, сравнимый с осознанием того, что кажущаяся пустота вокруг нас заполнена воздухом. (Кстати, с 1762 г. по 1778 г. Ададуров был куратором Московского университета — вторым после И.И.Шувалова.)

Итак, даже если согласиться с традиционной классификацией наук, отсюда ещё не следует с неизбежностью аналогичная классификация учёных или учащихся. Приведённые факты показывают, что математик и гуманитарий способны уживаться в одном лице.

Здесь предвидятся два возражения. Прежде всего нам справедливо укажут, что Ададуров, Барсов, Колмогоров были выдающимися личностями, в то время как философия преподавания должна быть рассчитана на массового потребителя обучения. На это мы ответим, что образцом для подражания -даже массового подражания — как раз и должны быть выдающиеся личности и что примеры Ададурова, Барсова, Колмогорова призваны вдохновлять как обучающих, так и обучающихся. Далее нам укажут, опять-таки справедливо, что отнюдь не всем гуманитариям и отнюдь не всем математикам суждено заниматься научной работой, это и невозможно и недолжно. Ну что ж, ответим мы, примеры из жизни больших учёных выбраны просто потому, что история нам их сохранила, но возможность и цель сочетания в одном лице математического и гуманитарного подхода к окружающему миру сохраняют привлекательность не только для научных работников, но и для тех гуманитариев (да и математиков тоже), кто не собирается посвятить себя высокой науке.

3. По всеобщему признанию, литература и искусство являются частью человеческой культуры. Ценность же математики, как правило, видят в её практических приложениях. Но наличие практических приложений не должно препятствовать тому, чтобы и математика рассматривалась как часть человеческой культуры. Да и сами эти приложения, если брать древнейшие из них — такие как, скажем, использование египетского треугольника (т. е. треугольника со сторонами 3, 4, 5) для построения прямого угла, — также принадлежат общекультурной сокровищнице человечества. (Кому, чьей сокровищнице принадлежит шестигранная форма пчелиных сот, обеспечиваю-

щая максимальную вместимость камеры при минимальном расходе воска на строительство стен, — этот вопрос мы оставим читателю для размышления.) Каждый образованный человек должен иметь ясное представление о производном числе как о мгновенной скорости и об определённом интеграле как о площади. Весьма полезно знать и о знаменитых математических проблемах (разумеется, тех из них, которые имеют общедоступные формулировки) -решённых (проблема Ферма, проблема четырёх красок), ждущих решения (проблема близнецов) и тех, у которых решения заведомо отсутствуют (из числа задач на геометрическое построение и простейших задач на отыскание алгоритмов). Всё это, ломая традиционный стереотип математики как сухой цифири, создаёт её образ как живой области знания, причём живой в двух смыслах: 1) связанной с жизнью; 2) развивающейся, т.е. продолжающей жить. Любому любознательному человеку такая область знания должна быть интересна.

Вообще, образованность предполагает ведь знакомство не только с тем, что непосредственно используется в профессиональной деятельности, но и с человеческой культурой как таковой, чьей неотъемлемой частью — повторим это ещё раз — является математика.

4. Однако образование состоит не только в расширении круга знаний. Не в меньшей степени оно состоит в расширении навыков мышления. Математик и гуманитарий обладают различными стилями мышления, и ознакомление с иным стилем обогащает и того, и другого. Скажем, изучение широко распространённого в математике аксиоматического метода, при котором в рассуждениях дозволяется использовать только ту информацию, которая явно записана в аксиомах, прививает студентам привычку к строгому мышлению. А знакомство со свойствами бесконечных множеств развивает воображение.

Поучительно сравнить между собой методы рассуждений, применяемые в математических и в гуманитарных науках. На самом деле, речь идёт здесь о двух типах мышления, и человеку полезно быть знакомым с каждым из них. Автор не берётся (потому что не умеет) описать эти типы, но попытается проиллюстрировать на двух примерах своё видение их различия.

Пример первый. Все знают, что такое вода, — это вещество с формулой Н2О. Но тогда то, что мы все пьём — это не вода. Разумеется, в повседневной речи и математик, и гуманитарий и то, и то называет водою, но в своих теоретических рассуждениях первый как бы тяготеет к тому, чтобы называть водою лишь Н2О, а второй — всё, что имеет вид воды. Потому что математик изучает идеальные объекты, имеющие такой же статус, как, скажем, круги и треугольники, которых ведь нет в реальной природе; гуманитарий же изучает предметы более реалистические. Боюсь, впрочем, что этот пример слишком умозрителен и способен отчасти запутать читателя. Вот другой, уже не умозрительный, а взятый из жизни пример. Имеется строгое (кстати, в наиболее отчётливой форме сформулированное Колмогоровым) определение того, что такое ямб. Если в стихотворении встречается отклонение от этого определения, то с точки зрения математика это уже не ямб. Однако для многих филологов стихотворение, содержащее не слишком

много нарушений указанного определения, не перестаёт быть ямбическим -в то время как математик назовёт его всего лишь похожим на ямб, ямбоподобным.

Было бы замечательно, если бы математик был способен понимать точку зрения гуманитария, а гуманитарий — точку зрения математика. И то, и другое трудно. Ещё труднее не требовать признания одной из них единственно правильной.

Понимание математиком способов мышления гуманитариев важно не только в общефилософском, но и в совершенно практическом аспекте, если иметь в виду интересы преподавания. Чтобы такое преподавание было успешным, преподаватель-математик должен понимать, как предмет воспринимается его учениками-гуманитарями. Вот простой пример. Будет ли рефлексивным отношение “жить неподалёку”? Для студентов-математиков очевидно, что будет: каждый человек живёт неподалёку от самого себя. Студенты же гуманитарии в большинстве своём расценивают высказывание “имярек живёт неподалёку от себя” либо как ложное, либо как бессмысленное.

В статье “Гуманитарная математика” [1] Н. Х. Розов справедливо призывает математиков не только тянуть гуманитариев в свою сторону, но и сделать шаг им навстречу. Он предлагает “осознать необходимость уважать и учитывать психологические особенности гуманитариев”. Этот призыв перекликается со следующими словами А. Н. Колмогорова: “... Учитель (для конкретности — преподаватель математики) находится в том же положении, как учёный, приходящий со своей проблематикой в уже существующий вычислительный центр с определённым набором вычислительных машин, запасом заготовленных (с другими целями!) программ, даже со штатом программистов. Задача его состоит в том, чтобы обучить этот сложный механизм выполнить новую работу, используя все свои уже заготовленные заранее механизмы, программы, навыки” [2].

5. Настоящее сообщение основано на личном опыте автора, вот уже более сорока лет преподающего математику тем студентам филологического факультета Московского университета, которые обучаются на ОТИПЛ'е, то есть на Отделении теоретической и прикладной лингвистики. (Какое-то время это отделение называлось ОСИПЛ'ом — Отделением структурной и прикладной лингвистики.) Автор был также одним из организаторов Первой Московской олимпиады школьников по языковедению и математике, состоявшейся в начале 1965 г., и учредителем традиции регулярного проведения таких олимпиад; с тех пор — с небольшим перерывом — такие олимпиады проводятся в Москве ежегодно, и в конце 2004 г. состоялась 35-я традиционная олимпиада, собравшая 450 участников.

Соединение в названии олимпиад языковедения и математики имело целью подчеркнуть глубокое внутреннее единство этих дисциплин. В самом деле, ряд положений языковедения может быть изложен с математической точностью. (А, скажем, для литературоведения подобный тезис справедлив разве что в применении к стиховедению.) В то же время именно на уроках математики учащиеся могли бы приучаться правильно выражать свои мысли

на своём родном языке. Уроки языка и уроки литературы на родном языке проводятся, как правило, одним и тем же учителем; на наш взгляд, было бы полезнее отделить лингвистику от литературы и объединить её с математикой — с тем, чтобы один и тот же учитель преподавал и математику, и родной язык.

Высказанное суждение о целесообразности соединения в одном учительском лице преподавания математики и языка принадлежит тому разделу философии преподавания, который занимается преподаванием детям, а именно учащимся средней школы.

Если же говорить о прямом обучении математике будущих языковедов, обучении в университетских аудиториях, то следует сказать, что ряд видных российских языковедов среднего поколения являются выпускниками ОТИПЛ'а — а, значит, они в течение всех пяти курсов обучались математике. Кстати, нынешний глава ОТИПЛ'а профессор А. Е. Кибрик в 60-е годы, уже будучи — после окончания им отделения классической филологии — преподавателем университета, прослушал вместе со студентами ОТИПЛ'а первого набора полный пятилетний курс математики. На мой субъективный взгляд именно выпускники отделения теоретической и прикладной лингвистики составляют, наряду с признанными мэтрами старшего поколения, цвет отечественного языкознания. А вот и более объективная экспертная характеристика: мне неоднократно приходилось слышать, что выпускники названного отделения, как правило, работают в области русистики, романистики, германистики и т.д. более успешно, чем студенты, окончившие университет по специальностям “Русистик”, “Романистик”, “Германистик” и т. д.

Сказанное может служить иллюстрацией к известному тезису: как правило, человек, обучавшийся математике, выполняет свою работу лучше, чем человек, математике не обучавшийся.

6. Обсуждая вопрос о преподавании кому-либо чего-либо, следует начать с указания целей этого преподавания. Среди таких целей выделяются две:

1) дать образование;

2) подготовить к профессии.

Об образовательной цели преподавания уже было сказано выше. Сейчас мы рассмотрим вторую из названных целей.

Подготовка к профессии предполагает, прежде всего, сообщение определённых знаний. В своей лекции, прочитанной в Московском университете 19 октября 1960 г. и задуманной в качестве первой лекции несостоявшегося цикла “Некоторые вопросы математической лингвистики”, А. Н. Колмогоров так ответил на им же поставленный вопрос, какая математика нужна лингвистам. Во-первых, сказал он, то, что нужно для акустики; во-вторых, математическая логика; в-третьих, теория вероятностей, статистика, теория информации. А за год и пять месяцев до указанной лекции, 19 февраля 1959 г., на совещании у ректора Московского университета (им был тогда И. Г. Петровский) Колмогоров решительно поддержал моё предложение о преподавании математики всем студентам-лингвистам, а не только тем, кто обучается на специализированном отделении. К сожалению, поддержки Колмогорова оказалось недостаточно, и математика в Московском универ-

ситете преподаётся не всем лингвистам, а лишь некоторой выделенной их части — а именно, студентам знаменитого ОТИПЛ'а, то есть отделения теоретической и прикладной лингвистики филологического факультета. Учебный план названного отделения составлен под значительным влиянием идей Колмогорова: в частности, преподавание математического анализа происходит потому, что основы математического анализа нужны для акустики и для теории вероятностей; а математическая логика понимается в широком смысле, включающем в себя теорию алгоритмов, то есть общую теорию вычислимости.

В качестве иллюстрации к сказанному приведу, с небольшими купюрами, следующий документ, подписанный 6 декабря 1967 г.:

РЕКОМЕНДАЦИИ

отделения математики механико-математического факультета МГУ относительно математических дисциплин, преподаваемых студентам отделения структурной и прикладной лингвистики филологического факультета МГУ.

Отделение математики рекомендует включить, в качестве отдельных дисциплин, в учебный план отделения структурной и прикладной лингвистики следующие дисциплины:

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКИ

Введение в математический язык (уточнение логических союзов, употребление переменных, основные знаки), понятие о множестве, комбинаторика, метод координат, графики функций.

(5 часов в неделю в 1-м семестре.)

ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ (...)

(6 часов в неделю во 2-м семестре и б часов в неделю в 3-м семестре).

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ (С МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКОЙ И ТЕОРИЕЙ ИНФОРМАЦИИ)

(...)

(5 часов в неделю в 4-м семестре и б часов в неделю в 5-м семестре.)

ВВЕДЕНИЕ В СОВРЕМЕННУЮ АЛГЕБРУ (...)

(5 часов в неделю в 6-м семестре.)

ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ (...)

(6 часов в неделю в 7-м семестре.)

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА (...)

(6 часов в неделю в 8-м семестре и 4 часа в неделю в 9-м семестре.) В конце каждого семестра целесообразно проводить как зачёт, так и экзамен по соответствующей математической дисциплине.

Заведующий отделением математики академик

(П.С.АЛЕКСАНДРОВ)

7. Разумеется, грань между повышением общеобразовательного уровня и профессиональной подготовкой зачастую стирается. Скажем, знакомство с аксиоматическим методом значимо не только в плане общего образования. Гуманитарию, в аспекте его профессиональных интересов, полезно знать, что наряду с известными ему способами постижения новых понятий — способами, основанными на предъявлении либо достаточного числа примеров, либо словесных дефиниций, — существует и совершенно иной способ. Этот иной способ (он-то и называется аксиоматическим) заключается в том, что новое понятие вводится путём указания тех свойств, которыми оно должно обладать; приписывание же свойств понятию происходит путём формулирования соответствующих аксиом. Точно так же воображение, которое, как отмечалось выше, развивается при изучении бесконечности, может помочь и в профессиональной деятельности.

Сходным образом, изучение математических моделей реальных явлений позволяет осознать границы моделирования, задуматься над соотношением между моделью и моделируемой реальностью. Но помимо этой философской миссии, изучение математических моделей явлений экономики, психологии или лингвистики позволяет и лучше понять сами моделируемые явления.

Можно согласиться с теми, кто не устаёт напоминать об ограниченности математических моделей. Под ограниченностью понимается обычно их неспособность охватить описываемое ими явление во всей его полноте. Но я не согласен с теми, кто в этой ограниченности видит их слабость. Скорее, в этом их сила. Математическая модель должна быть проста, а потому огрублённа. Проиллюстрирую сказанное таким примером. Все знают, что Земля — шар. Те, кто получил некоторое образование, знают, что Земля — эллипсоид вращения, сдавленный у полюсов. Геодезисты знают, что Земля -геоид; геоид есть геометрическая фигура, поверхность которой совпадает с поверхностью Земли без учёта таких мелких деталей, как горы и т. п. (более точно, — совпадает с той поверхностью, которую образовывал бы Мировой океан, если бы все материки и острова погрузились под воду или, ещё более точно, были бы срезаны по уровню этого океана). Мы имеем здесь три математические модели, с возрастающей точностью описывающие моделируемый ими объект — форму планеты Земля. Самая важная из этих моделей — самая первая, она же самая неточная. Хотя для прокладки авиамаршрутов нужна, возможно, и вторая, а для запуска баллистических ракет даже третья.

Роль математической модели для представителя гуманитарной науки можно сравнить с ролью скелета для художника, рисующего человека. Художник не изображает скелет, скелет скрыт и от него, и от зрителя картины, но чтобы грамотно изобразить человеческую фигуру, полезно представить её себе в виде скелетного каркаса, обросшего плотью. Так, гениальный математик А. Н. Колмогоров очертил скелет понятия падежа, указав,

в частности, основные исходные представления, необходимые для образования этого понятия (представления о синтаксически правильной фразе, о состоянии предмета, о выражении состояний предмета контекстами и т.п.). Гениальный лингвист А. А. Зализняк обрастил этот скелет лингвистической плотью в своём знаменитом трактате “Русское именное словоизменение”.

8. Из только что сказанного как бы напрашивается вывод, что главная цель обучения гуманитариев математике состоит в обучении их математическим моделям языка или хотя бы в создании фундамента для такого обучения. Однако это не так.

Главная цель обучения гуманитариев математике — психологическая. Эта цель состоит не столько в сообщении знаний и даже не столько в обучении методу, сколько в изменении — нет, не в изменении, а в расширении психологии обучающегося, в привитии ему строгой дисциплины мышления (слово “дисциплина” означает здесь, разумеется, не учебный предмет, а приверженность к порядку и способность следовать этому порядку). Помимо дисциплины мышления я бы назвал ещё три важнейшие умения, выработке которых должны способствовать математические занятия. Перечисляю их в порядке возрастания важности: первое — это умение отличать истину от лжи; второе -это умение отличать смысл от бессмыслицы; третье — это умение отличать понятное от непонятного.

Вливание элементов математической психологии в сознание гуманитариев (недруги такого вливания назвали бы его индоктринизацией, а то и интоксикацией) может осуществляться как в прямой форме, путём обучения в классах и аудиториях, так и в форме косвенной, путём проведения совместных исследований, участия математиков в проводимых гуманитариями семинарах и т. п.; к косвенным формам влияния относятся даже вопросы, задаваемые математиками на лекциях на гуманитарные темы. Здесь на память приходит известный случай из истории психологии. В конце XIX века в одной из больших аудиторий Московского университета был объявлен доклад на тему “Есть ли сознание у животных?” Собралось несколько сот слушателей. Перед началом доклада председательствующий — а им был Президент Московского математического общества Н. В. Бугаев — задал каждому вопрос, знает ли он, что такое сознание; каждый дал отрицательный ответ. Тогда Бугаев объявил, что поскольку никто из присутствующих не знает, что такое сознание, доклад о том, есть ли оно у животных, состояться не может. Это типичный пример косвенного воздействия математического мышления на мышление гуманитарное. Подобные формы воздействия также являются одними из элементов математического образования. За последние полвека произошло заметное уменьшение количества непонятных или бессмысленных утверждений в отечественной литературе по языкознанию; полагаю, что это произошло не без влияния — как прямого, так и главным образом косвенного — математики.

Разумеется, математики не претендуют на то, чтобы ответить на проблемы, возникающие в гуманитарных науках (хотя именно математику Колмогорову принадлежит первое научное определение лингвистического понятия “падеж” — см. выше). Но они помогают гуманитариям лучше уяснить суть этих проблем и критически отнестись к попыткам их решения.

Роль математики в подготовке гуманитариев можно сравнить с ролью строевой подготовки в обучении воина. Все эти ружейные артикулы, повороты, строевой шаг и иные движения, которым обучают молодого бойца, вряд ли находят применение в реальном бою. Но во всех армиях мира они рассматриваются как необходимая основа всякого военного обучения, поскольку приучают выполнять команды. (Кстати, оперирование с математическими алгоритмами также приучает выполнять команды. “Сначала я вам скажу, что я делаю, а [только] потом объясню, зачем,” — это программное заявление содержится в одной книге по методике математики в высшей школе, недостаточно, на мой взгляд у нас оценённой [3, с. 199].) Строевая подготовка тренирует дисциплину — только не дисциплину мышления, как это делает математика, а дисциплину действий.

Другая аналогия — тренировка моряков на парусных судах. Не знаю, как сейчас, но во времена моей молодости всякий, кто обучался в гражданских мореходных вузах, в обязательном порядке проходил плавание на парусных судах — и это при том, что применять полученные парусные навыки впоследствии ему вроде бы не приходилось. Тем не менее обучение этим навыкам считалось (а, может быть, и считается до сих пор) необходимой частью морской подготовки, необходимым тренингом. Сходным тренингом -тренингом мышления, наведением порядка в мозговых извилинах — служит математика.

9. В практике гуманитария вряд ли возникнет нужда в использовании, скажем, аксиомы о параллельных. Для гуманитария эта аксиома — нечто вроде того, чем является какая-нибудь бом-брам-стеньга для современного моряка. Однако знать и, главное, понимать эту аксиому чрезвычайно поучительно — и не только потому, что основанная на ней математическая модель (так называемая евклидова геометрия) достаточно хорошо описывает реальное физическое пространство. Поучительность заключена в том её качестве, которое хотя и содержится явно в её формулировке, для большинства остаётся затемнённым. Предлагаю читателю провести такой эксперимент. Попросите нескольких человек, не получивших специального математического образования, сформулировать аксиому о параллельных, ту самую, которую они проходили в школе. Скорее всего, ответ будет таким: “через точку, не лежащую на прямой, можно провести другую прямую, параллельную первой”; иногда к этому добавят “и притом только одну”. Таким образом, в массовом сознании характер аксиомы о параллельных — разрешительнный: что-то можно сделать. На самом деле же деле характер этой

аксиомы совсем другой. Возможность провести параллельную устанавливается не аксиомой, а теоремой, и эту несложную теорему доказывают в школе (из точки опускают перпендикуляр на исходную прямую, а затем из той же точки восстанавливают перпендикуляр к этому перпендикуляру; это второй перпендикуляр и будет искомой параллельной). Аксиома же о параллельных имеет запретительный характер. Она утверждает не возможность чего-то, а, напротив, невозможность: “через точку, не лежащую на прямой, нельзя провести две различные прямые, параллельные первой”. В аксиоме о параллельных есть что-то общее с американским Биллем о правах: провозглашаемые в ряде статей этого документа права формулируются не в терминах разрешений, как можно было бы ожидать, а в терминах запретов: “Конгресс не должен... ”, “Ни один солдат не должен... ”, “Чрезмерные залоги не должны. .. ” и т. п. (Эта аналогия, кстати, даёт хороший повод поговорить на занятиях о роли запретов вообще — как в законах природы, так и в человеческих законах.)

Теперь автор этих строк должен покаяться. Высказав в предыдущем абзаце гипотезу о том, каков будет результат эксперимента, автор погрешил против истины. Потому что автор уже провёл этот эксперимент и знает, что в действительности ситуация куда менее утешительна. И читатель, возможно, уже в этом убедился. Оказывается, большой процент населения полагает -во всяком случае, так утверждает, — что аксиома о параллельных состоит в том, что параллельные прямые не пересекаются. Давшего такой ответ следует немедленно спросить, что такое параллельные прямые. Все как один ответят, что параллельные это такие прямые, которые не пересекаются. (Многие даже прибавят: “и лежат в одной плоскости”; разницу между параллельными и скрещивающимися прямыми понимают все.) Может ли аксиома состоять в том, что непересекающиеся прямые не пересекаются? Как ни удивительно (возможно, это удивительно лишь математику), находятся и такие, кто даёт положительный ответ на этот казалось бы риторический вопрос. В подавляющем большинстве, надо признать, люди правильно понимают, что такая аксиома выглядела бы по меньшей мере странно, и приходят в замешательство.

Желающие могут продолжить социологический эксперимент и спросить, в чём состоит открытие Лобачевского. Имя Лобачевского знают практически все. И очень многие ответят так: “Лобачевский доказал, что параллельные прямые пересекаются”. Тут опять-таки надо немедленно спросить, что такое параллельные прямые и попытаться добиться осознания того, что Лобачевский, при всём своём величии, вряд ли мог доказать приписываемое ему утверждение. “Параллельные прямые пересекаются” — классический пример утверждения, ложность которого должна быть очевидна для всякого. (С утверждением “Параллельные прямые не пересекаются” дело обстоит сложнее. Оно, конечно, и осмысленно, и верно, но тавтологично и потому не несёт

никакой информации; включение его в число аксиом возможно, но бессмысленно.)

Вопрос про аксиому о параллельных не является, разумеется, вопросом на испытание памяти. Точно так же вопрос про открытие Лобачевского не является вопросом на проверку эрудиции. Оба вопроса — на понимание смысла делаемых утверждений. Строго говоря, вся ситуация лежит здесь не в сфере математики, а в сфере семантики русского или иного естественного языка. И это довольно типично: значительная часть того, что происходит на уроках математики для гуманитариев, как раз и должна, по нашему разумению, состоять в обучении этой семантике. Математики впитывают эту семантику неосознанно, поскольку занятия математикой невозможны без чётко сформулированных утверждений. Столь же неосоознанно у гуманитариев эта семантика размывается — не без влияния расплывчатых текстов гуманитарных наук.

10. К воспитываемой на уроках математики дисциплине мышления относится осознание отчётливого различия между истиной и ложью, между доказанным и всего лишь гипотетическим: ведь эти различия нигде не проявляются с такой чёткостью, как в математике.

Казалось бы, что может быть важнее и первичнее, чем умение отличать истинные высказывания от высказываний ложных. Однако ещё более важным, ещё более первичным является умение отличать осмысленные высказывания от бессмысленных. Вот характерный пример бессмысленного высказывания: “Рассмотрим множество всех слов, имеющих хотя бы одну общую букву”. Бессмысленность этого заявления вызвана тем, что такого множества не существует. (В самом деле, “рот” и “сыр” имеют общую букву эр и потому должны принадлежать этому множеству. Слово “око” должно принадлежать этому множеству, поскольку имеет общую букву со словом “рот”, и не должно еиу принадлежать, поскольку не имеет общих букв со словом “сыр”.) Мы потому назвали пример характерным, что подобные псевдоконструкции, ничего на самом деле не конструирующие, были довольно типичны для литературы по языкознанию несколько десятилетий назад. Возникало даже парадоксальное удовлетворение, когда некоторое утверждение можно было квалифицировать как всего лишь ложное, — чувство удовлетворения возникало потому, что ложность утверждения свидетельствовала о его осмысленности.

В диалоге преподавателя-математика со студентом-гуманитарием зачастую приходится просить студента вдуматься в то, что он только что сказал, и затем спросить его, понимает ли он то, что сам сказал. Не столь уж редко честные студенты после размышления признаются в некоторой растерянности, что не понимают.

Надо сказать, что для того, чтобы квалифицировать высказывание как ложное, бессмысленное или непонятное, надо, как правило, сделать некото-

рое усилие — иногда почти героическое: “как же так, уважаемый человек что-то говорит или пишет, а ты осмеливаешься его не понимать или, поняв, возражать”. Не все и не всегда способны на такое усилие.

11. Способность к тому усилию, о котором только что говорилось, тренируется (во всяком случае, должна тренироваться) на уроках математики и при общении с математиками. Дело в том, что математика — наука по природе своей демократическая. На её уроках воспитывается — а при косвенном воздействии прививается — демократизм. Математическая истина не зависит от того, кто её произносит, академик или школьник; при этом академик может оказаться неправ, а школьник прав. Чем наука дальше от математики, чем она, так сказать, гуманитарнее, тем сильнее убедительность того или иного высказывания начинает зависеть от авторитета высказывающего лица. На гуманитарных факультетах подобная персонализация истины ещё недавно ощущалась довольно сильно.

Нет в математике и “царского пути”. Здесь я ссылаюсь на известную историю, то ли подлинную, то ли вымышленную, которую одни рассказывают про великого математика Архимеда и сиракузского царя Гиерона, другие про великого математика Евклида и египетского царя Птолемея. Царь выразил желание изучить геометрию и обратился с этой целью к математику. Математик начал его обучать. Царь выразил недовольство тем, что его учат совершенно так же, в той же последовательности, как и всех других, не принимая во внимание его царский статус, каковой особый статус, по мнению царя, предполагал и особый способ обучения. На что математик, по преданию, ответил: “Нет царского пути в геометрии”.

12. Когда знаменитого педиатра доктора Спока спросили, с какого возраста следует воспитывать ребёнка, он, узнав, что ребёнку полтора месяца, ответил: “Вы уже опоздали на полтора месяца”. Точно так же, навыки математического мышления и прежде всего способность отличать осмысленное от бессмысленного и истинное от ложного следовало бы неназойливо прививать уже с начальных классов.

ЛИТЕРАТУРА

1. Розов Н.Х. Гуманитарная математика // Математика в высшем образовании. 2003. №1. С. 53-62.

2. К столетию со дня рождения Андрея Николаевича Колмогорова // Проблемы передачи информации. 2002. Т. 38, вып. 2. С. 77-78. [На указанных страницах напечатано письмо А.Н.Колмогорова к В.А.Успенскому. Это письмо воспроизведено также в трёх книгах: Колмогоров в воспоминаниях / Ред.-сост. Ширяев А. Н. — М.: Физматлит, 1993. С. 309-310.; Очерки истории информатики в России / Ред.-сост. Поспелов Д. А., Фет Я. П.— Научно-издат. центр ОИГГМ СО РАН, 1998. С. 122-123.; Успенский В. А. Труды по нематематике. — М.: ОГИ, 2002. С. 1090-1091.]

3. Сойер У. У. Прелюдия к математике / Пер. с английского. — М.: Просвещение, 1965.

MATHEMATICS FOR STUDENTS IN THE HUMANITIES: PHILOSOPHY OF TEACHING

V. A. Uspenskiy

The article is a revised version of a speech given on June 6, 2004 at the 10th International Congress on Mathematical Education (Copenhagen, 4-11 June 2004); the talk was a part of the Russian national presentation. The author presents principles which, he argues, should form the basis of mathematics instruction to the students majoring in the humanities. These principles have been elaborated on the basis of the author's personal experience of many years.

Keywords: mathematics at university, mathematics for humanists.

ИСТОРИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ, ПЕРСОНАЛИИ

УДК 51(092)

К СТОЛЕТИЮ ДЕЙСТВИТЕЛЬНО ЧЛЕНА РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК СЕРГЕЯ МИХАЙЛОВИЧА НИКОЛЬСКОГО

И. С. Емельянова

Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского, Россия, 603950, г. Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23; тел.: (8312)657883; e-mail: root@yemel.sci-nnov.ru

К столетию действительно члена Российской академии наук Сергея Михайловича Никольского. Столетний юбилей академика С.М. Никольского, активно продолжающего научную, учебную и общественную деятельность — явление уникальное.

Ключевые слова: Никольский С.М., столетний юбилей.

Несомненно, поздравлять со столетием моложавого, энергичного человека с мудрым, лукавым взглядом и вовсе не шаркающей, а уверенной походкой спортивного человека, приходилось не каждому. А если этот человек еще и всемирно известный ученый, академик, который продолжает выступать на международных конгрессах, получать новые результаты в математике,

писать монографии, научные статьи, учебники для вузов и школ, активно возглавлять общественно важное направление школьного математического образования в России, являясь председателем секции Научно-методического совета по математике министерства образования и науки? Трудно поверить, но есть такой необыкновенный человек: это Сергей Михайлович Никольский, действительный член РАН, имеющий 60-летний стаж работы в Математическом институте им. В. А. Стеклова, заслуженный профессор МФТИ. В настоящее время он работает профессором механико-математического факультета МГУ, является председателем ГАК МФТИ.

Сто лет Сергею Михайловичу исполнилось 30 апреля 2005 года. В первый рабочий день после майских праздников, 3 мая, его поздравляли на юбилейном заседании Научно-методического совета по математике, а, начиная с 4 мая, в МГУ проходила международная научно-методическая конференция “Современные проблемы преподавания математики и информатики”, посвященная столетию со дня рождения С.М. Никольского. Поздравления отличались необычной сердечностью и искренностью. К многочисленным заслуженным наградам — ордену Ленина (1975), орденам Октябрьской Революции (1985) и Трудового Красного Знамени (1953), ряду медалей, Сталинской премии (1952), Государственным премиям (1977, 1987), Государственной премии Украины (1994), золотой медали им. И.М.Виноградова АН СССР (1991), премии им. П. Л. Чебышева АН СССР (1972), премии им. А.Н.Колмогорова РАН (2000), Золотой медали им. Н.Коперника Польской академии наук (1992), премии им. М. В. Остроградского Национальной академии наук Украины (2000) — добавились премия города Москвы 2004 года “Легенда века”, орден “За заслуги перед Отечеством 2-й степени” (2005).

Знаменательно то, что Сергей Михайлович участвовал практически во всех заседаниях этой юбилейной конференции, начиная с 10 утра и заканчивая последними докладами вечерних заседаний. Он глубоко, остроумно комментировал большую часть докладов, вступал в полемику, придавая и без того необычной конференции дополнительный колорит активного соучастия всех присутствующих. Лидерство Сергея Михайловича заставляло всех невольно подтягиваться и не позволять себе отвлекаться от обсуждаемых проблем.

Сергей Михайлович родился в учительской семье. Его мать до замужества была сельской учительницей, а отец, помощник лесничего, преподавал в поселковой школе поселка завод Талица Пермской губернии (ныне г. Талица Свердловской обл.). Домашнее начальное образование, гимназия, техникум, Екатеринославский институт народного образования (ныне Днепропетровский университет) — всё это приближало будущего академика к мечте рано ушедшего отца — сын должен стать инженером. Первое же знакомство с выс-

шей математикой изменило намерения Сергея Михайловича: он принял решение стать математиком. Работа в школе, на рабфаке, в фабрично-заводском училище, в нескольких институтах (Фармацевтическом с сокращенной 100-часовой программой по математике, Транспортном с 350-часовой программой и заведованием кафедрой) дали опыт преподавания математики. С большим юмором и уникальными бытовыми подробностями описывает Сергей Михайлович свой путь в науку в книге “Как я стал математиком” [1], подготовленной на основе интервью, данного автором 23 февраля 2005 года. Совсем недавно увидела свет другая публикация Никольского “Мой век” [2]. Она написана живым, образным и точным языком профессионала-математика и очень светлого, честного человека. Читать эту книгу интересно и школьнику, и убеленному сединами читателю.

Знакомство в 30-х годах с будущими академиками — лекторами из Москвы профессорами Андреем Николаевичем Колмогоровым и Павлом Сергеевичем Александровым, регулярно приезжавшими в университет Днепропетровска, привело Сергея Михайловича к мысли о переезде в Москву. Поступив в аспирантуру в Днепропетровске, он по совету А. Н. Колмогорова получил командировку на мехмат МГУ. Кандидатская диссертация в Москве, возвращение в Днепропетровск, докторантура в Математическом институте им. В. А. Стеклова — так формировался математик С. М. Никольский. Связь с Днепропетровском осталась на долгие годы. Ученики С.М. Никольского в наши дни сами возглавляют научные школы. Среди них академик Украинской академии наук Н. П. Корнейчук, члены-корреспонденты Украинской академии наук В. П. Моторный и В. К. Дзядык, профессор А. Ф. Тиман. А всего под руководством Сергея Михайловича защитили кандидатские диссертации более пятидесяти его учеников, 15 из них — доктора физико-математических наук. Семинар по теории функций С. М. Никольского широко известен не только в России, а и за её пределами.

Сергей Михайлович Никольский получил фундаментальные результаты в области функционального анализа, теории приближения функций, теории вложения функциональных пространств, теории квадратурных формул и вариационных методов в приложении к решению дифференциальных уравнений в частных производных. Его результаты хорошо известны специалистам и составляют содержание более 100 научных публикаций, в том числе трех монографий, двух учебников для вузов, семи учебников для школ. Укажем в качестве примера, что всего два года назад математический результат, полученный Сергеем Михайловичем, был признан в Математическом институте имени В. А. Стеклова лучшим результатом года. Говорят, что математика — удел молодых. Следовательно, Сергей Михайлович — самый молодой сотрудник института Стеклова!

В 1947 году Сергей Михайлович Никольский прочитал первую лекцию по математическому анализу первым студентам нового вуза — Московского физико-технического института. Последняя лекция на Физтехе была им прочитана в возрасте 92 лет в 1997 году. 50 лет, отданных Физтеху, заведование кафедрой высшей математики в самые тяжелые годы становления молодого вуза, активное участие в формировании новаторской системы вузовского обучения — “системы физтеха” — всё это годы, отданные высшему образованию, математике, обучению талантливой молодежи. И хотя увлеченный лектор мог вытереть доску носовым платком, а испачканную мелом тряпку положить в карман, студенты и преподаватели награждали Сергея Михайловича особой любовью и ценили его редкий педагогический дар. Об этом на упомянутой конференции говорил Г. Н. Яковлев [3, с. 88-93].

Шестидесятилетняя педагогическая работа Сергея Михайловича Никольского явилась базой его непрерывной плодотворной деятельности по совершенствованию системы образования в нашей стране. Учебники Никольского для высшей и средней школы завоевали и продолжают завоевывать всё новых приверженцев. Высокий научный уровень этих изданий сочетается с простотой, точностью и ясностью изложения. Достаточно обратиться к самому свежему изданию [4]. Это новый тип учебника, в котором приводится материал как для общеобразовательных классов, так и для классов с углубленным изучением математики. Он написан с огромным уважением к учителю и ученику. Каждое слово продумано, все формулировки просты и отличаются предельной четкостью. Иллюстративный материал способен заинтересовать равнодушного, увлечь и заставить по-новому взглянуть на кажущиеся в другом изложении скучными фундаментальные математические истины. Школьные учителя на конференции с благодарностью высказывались об этом и других учебниках серии “МГУ — школе”, подготовленных авторскими коллективами во главе с С. М. Никольским. Они приводили примеры успешной работы с этими учебниками. Вот как отзывается об учебниках С.М. Никольского учитель школы г. Долгопрудного И. А. Кузьмичева [3, с. 35-37]: “Общеизвестно, что Российское образование отличается от Западного так же, как различаются английские фразы ”Know why“ и ”Know how“, т. е. во главу угла нашего образования ставится принцип ”Знаю почему“ в отличие от ”Знаю как“. В обсуждаемых учебниках этот принцип полностью соблюден: обучение ориентировано не на действия по стандартному правилу, возводимому в абсолют, а на прояснение ответа на вопрос ”почему так, а не иначе?“, что развивает в учениках любознательность и самостоятельность мышления. Несмотря на строгость изложения, книги написаны живым, образным и сочным языком. В них полностью учтены возрастные особенности учащихся... ”. Яркий пример, характеризующий это различие

в преподавании, приводит В. С. Доценко [3, с. 85-86], работавший в Парижском университете: “Когда я только начинал работать в университете, некоторое время ходил на занятия моих коллег — других преподавателей, чтобы понять, что к чему. И таким образом я обнаружил, что всё намного-намного проще, чем нас когда-то учили... Производная функции — это штрих, который ставится справа вверху от обозначения функции. Ей-богу, я не шучу -прямо так вот и учат. Нет, разумеется это далеко не всё: требуется еще заучить свод правил, что произойдет, если штрих поставить у произведения функций и т. п. ... К примеру, когда нужно было решить уравнение 5ж+3 = О, один мой студент исписал целую страницу рассуждениями про структуру и счетность множества решений такого типа уравнений, но само уравнение решить так и не смог”. Сейчас нас подталкивают к тому, чтобы такой западный опыт преподавания мы перенимали. Если не противостоять этой тенденции, то можно потерять наше образование. И учеба по книгам Сергея Михайловича Никольского — верный путь сохранения лучших традиций отечественной математики.

В подтверждение того, что Сергей Михайлович Никольский — один из самых активных защитников огромного позитивного опыта преподавания математики в России, использующий свой непререкаемый авторитет для того, чтобы отстоять российское образование от современного “реформирования”, сошлемся на такой факт: даже в момент вручения наград на этой юбилейной майской конференции он произносил речи в поддержку качественного, продуманного и достойного образования. И в столетнем возрасте можно оставаться борцом, брать на себя ответственность за судьбу страны и действовать активнее всех, кто моложе. Нам есть кем гордиться. Надо чаще рассказывать студентам, школьникам, всем, кто способен слышать, что Россия богата такими Личностями, как Сергей Михайлович Никольский.

ЛИТЕРАТУРА

1. Никольский С. М. Как я стал математиком. — М.: ИЛК и РЛ, 2005. 40 с. (Библиотечка Архимед. Вып. 1.).

2. Никольский С.М. Мой век. — М.: ФАЗИС, 2005. 320с.

3. Материалы Международной научной конференции “Современные проблемы преподавания математики и информатики”, посвященной 100-летию академика С.М.Никольского (4-8 мая 2005 г.). Часть 1. — М.: Изд-во Центра прикладных исследований при механико-математическом факультете МГУ, 2005. 178 с.

4. Алгебра и начала анализа: учеб. для 10 кл. общеобразоват. учреждений / [С.М.Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин]. 4-е изд. — М.: Просвещение, 2005. 400 с.

TO THE CENTENNIAL OF THE MEMBER OF RUSSIAN ACADEMY OF SCIENCE SERGEY NIKOLSKI

I. S. Yemelyanova

The centennial of academician Sergey Nikolski who is continuing his scientific, academic and social activity is a unique event.

Keywords: Sergey M. Nikolski, centennial.

АРХИВ НАУЧНО-МЕТОДИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ ПО МАТЕМАТИКЕ В РОССИИ

УДК 51(091)

О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВЕЛИЧИНАХ В ПРЕПОДАВАНИИ И В НАУКЕ*

Н. Н. Лузин

Публикуется письмо выдающегося математика Н.Н.Лузина к М.Я.Выгодскому по поводу его учебника “Основы исчисления бесконечно малых”.

Ключевые слова: Н. Н. Лузин, математический анализ, бесконечно малая величина.

Ниже публикуется впервые письмо выдающегося русского математика акад. Николая Николаевича Лузина проф. М. Я. Выгодскому в связи с получением от него учебника “Основы исчисления бесконечно малых” (1931г.). Этот учебник был построен на принципах, в корне отличавшихся от общепринятых тогда (да и в настоящее время): в основу преподавания математического анализа была положена не теория пределов, а постоянные бесконечно малые величины**.

Письмо хранится в Государственном архиве Москвы*** вместе с двумя другими письмами того же автора. Оно не имеет ни даты, ни подписи и, кажется, не окончено: вероятно, оно было в таком виде передано адресату лично. Дату написания

* Приведенное в этой рубрике письмо Н.Н.Лузина и предисловие И.Н.Бронштейна воспроизводятся в авторской редакции. Впервые этот материал опубликован в Сборнике научно-методических статей по математике (вып. 7. — М.: ВШ, 1978. С. 127-136).

** См. доклад М. Я. Выгодского “О принципах преподавания анализа бесконечно малых во втузе” (1930), воспроизведенный в вып. 1 сборника научно-методических статей по математике, 1971, с. 54-67.

*** Личный фонд М. Я. Выгодского.

письма следует отнести между 1931 (выход в свет книги М. Я. Выгодского) и 1933 г. (во втором письме Н. Н. Лузина от 1933 г. имеется ссылка на это письмо).

Читателю, несомненно, будет интересно познакомиться с взглядами такого замечательного ученого и педагога, каким был Лузин, на вопросы обоснования и преподавания математического анализа. Написанное в своеобразной увлекательной манере письмо дает возможность читателю непосредственно ощутить и личность автора, и “аромат эпохи” математической жизни в Московском университете в начале нашего столетия.

И. Н. Бронштейн

Глубокоуважаемый Марк Яковлевич, позвольте искренне поблагодарить Вас за Ваш чудесный и ценный подарок: за присылку мне Вашего курса Анализа. Я давно слышал о его появлении и слышал о страстных спорах, возбуждаемых им. По-видимому совсем нет, или есть очень мало лиц, спокойно к нему относящихся. Всякий, знакомящийся с ним, становится или горячим его поклонником, или столь же страстным его противником. И это меня не удивляет ничуть, так как Вы мужественно коснулись самой болезненной точки Анализа вообще, современного — в особенности, метнув камень в “осиное гнездо”.

Чтение же Вашей книги меня окончательно убедило, что иначе и быть не могло и что, действительно, все категории лиц, знакомых с основами Анализа, должны чувствительно реагировать на нее.

Много времени прошло с момента её появления, и большинство успело так или иначе высказаться, и Вы, вероятно, знаете суждения о ней. Для Вас не ново, что, в то время как педагогические круги в своем большинстве чрезвычайно благоприятно встретили её появление1*, отношение теоретических кругов, опять в их большинстве, было сдержанным. В Москве я слышал разговоры о возобновлении в науке теории флогистона или упреки в декадентстве. В Ленинграде, воспитанном более однообразно, говорили о том, что Дарвин начертил путь эволюции человека, описав его путь развития от ходьбы на четвереньках до вертикального положения, и что (следует) стремиться обратить этот процесс в математике... Короче, почти все теоретики высказываются за неизбежное базирование Анализа на теории пределов и лишь, снисходя к “человеческой слабости”, допускают, в виде возможности, краткий этап знакомства с Анализом без теории пределов, лишь для самых начинающих, с тем непременным условием, чтобы “уж потом всё было как следует... ”.

Мне кажется, что то, что я написал, более или менее верно в отношении отзывов теоретических кругов. Ваше изложение встречает в них или чисто отрицательное отношение, или снисходительно допускается в виде педагогического приема. Попыток иного отношения я не встречал.

После изучения большей половины Вашей книги мне также захотелось высказаться. С этой целью я избираю форму письма к Вам. Я более люблю это: в письме можно остановиться и подумать, что затруднительно в жи-

* См. примечания в конце статьи.

вой речи. И потом, это более соответствует моему темпераменту. Извините меня, если письмо выйдет длинным. В такого рода вещах лучше быть длинным, но зато понятным до конца. Вероятно, это письмо я буду писать много дней, с перерывами и под влиянием разных состояний ума.

Конечно, я мог бы избавить Вас от чтения моего письма, просто присоединившись к той или иной группировке высказывающихся лиц. Но для меня затруднительно это, так как ни одна из них не отвечает моим мыслям. В противоположность моим коллегам, я думаю, что попытка пересмотра идеи бесконечно малого как переменного конечного количества есть совершенно научная попытка и что предложение заменить переменные бесконечно малые стационарными вовсе не имеет лишь одно чисто педагогическое значение, но имеет за собою нечто неизмеримо более глубокое, и что для нее в современном Анализе растут корни. Короче, если бы была нужна краткая формула, я бы её формулировал в виде положения: “современная наука не имеет возражений против этого рода идей”.

Вот об этом-то я и хотел бы более пространно написать Вам. Сначала лишь замечу, что идея актуально малого имеет какие-то бесконечно глубокие корни в уме. Когда ум начинает2 свое знакомство с анализом, словом, когда для него весна, он начинает всегда именно с актуально малых, которые можно называть “элементами” количеств. Но постепенно, шаг за шагом, по мере накопления у него знаний, теорий, пресыщения к абстракциям, усталости, ум начинает забывать свои первоначальные стремления, улыбаться их “ребячеству”. Короче, когда приходит осень ума, он дает себя убедить в единственности правильного обоснования при помощи пределов.

Вашу книгу иногда обвиняют в излишней страстности, едкости, желчности. Для меня это так понятно, что, по-моему, иначе, в первых поисках, и быть не может. То, что считают желчностью, это есть просто отголосок сильного интеллектуального страдания и боли, и чем страдание сильнее, тем лучше, потому что оно есть источник творчества.

Для того, чтобы Вы не думали, что я стараюсь быть приятным для Вас, я расскажу Вам кое-что из своих личных воспоминаний: Вы увидите, что я кое-что понимаю в этих вещах, раз до сих пор сохранил столь живые воспоминания, навсегда врезавшиеся мне в память. Обычно такого рода страдания всегда тщательно скрывают и очень неохотно говорят другому о них, и то лишь в виде намеков. Не знаю, почему это так, но действительно приходится делать над собою усилие. Однако его нужно сделать.

Я вспоминаю себя студентом 2-го курса3. Обстановка была такая: в стороне стоял Л. К. Лахтин с его диктованием основ анализа. На его диктанты я не ходил: зачем, раз можно купить или занять для прочтения его литографированные записки? Тон был задан Болеславом Корнелиевичем Млодзеевским, пылким и властным геометром европейского масштаба и точным строгим Д. Ф. Егоровым, лишь начавшим свое вхождение в жизнь Университета. Л. К. Лахтин держался от них в стороне, Б. К. Млодзеевский властвовал, но считался с точно и строго работающим умом Д. Ф. Егорова.

Я начинал свое знакомство с анализом по беспорядочно и жадно читаемому разнообразию книг. Всё зависело от случая: есть или нет такой-то

книги в библиотеке, и как она внешне выглядит, солидно или так себе. В голове была каша, хаос, обрывки нитей, срастающихся случайно. Руководства не было, контакта с профессурой никакого. Просто попал в воду и барахтался, должно быть, как умел, чтобы не утонуть. И кто знает, не лишило ли бы систематическое руководство того богатства и многоцветности, которое как-то сознаю в себе, и не придало ли бы оно, если бы было в действительности, однотонный колорит и скуку деятельности ума? Но не в этом дело.

Главное в том, что я не знал ни Goursat'a, ни Jordan'a, а воспитывался на старинных курсах Анализа: Lacroix и других4. Самым новым для меня был 7-томный курс Laurent'a (“Traite d'Analyse”). В нем автор гордился, что он — ученик Cauchy. Теория множеств и теория функций действительного переменного пришли ко мне лишь в момент окончания Университета, вернее, при стадии оставления при Университете. Такое старинное воспитание было обусловлено чистою случайностью, так как когда я был в Университете (1901-1908), курс Goursat был уже в полном ходу за границей и у нас в кругах, близких к профессорским; я же его не знал, и читал все “автодидактом”.

Такое “старинное” воспитание, вернее, самовоспитание, которое я получил, и обусловливает мое своеобразие и свободу в отношении математических взглядов. Во всяком случае, когда я проходил Университет, у меня не было дисциплинирующих курсов Д. Ф. Егорова, ни Goursat, ни логически непреклонного Vallee-Poussin'a; был же хаос, может быть и творческого характера. Теория пределов вошла в меня механически, грубо, не утонченно, а скорее полицейски принудительно, по формуле: “замолчи, я тебе говорю!” Вообще, я люблю старинные курсы, где есть всё, что относится к делу, и где, еще больше, есть то, что прямо не относится к делу, но что важно для проникновения наукой. Современные же курсы напоминают мне французские канцелярии, где могут и накричать, если позабыл снять шляпу, и отправить с формальной отпиской. И в моих стараниях по Грэнвилю я невольно брал палитру с красками и раскрашивал Теорию пределов5, живо помня, как угнетающе действовала на меня начавшая входить Теория пределов, нерасцвеченная ничем. Я живо помню состояние моих идей по Анализу бесконечно малых.

Я был на втором курсе. На заявления профессоров о том, что —— есть предел отношения, я думал: “Какая скука! Чудно и непонятно. Нет! Не надуют: просто отношение бесконечно малых, и только”. Живо помню, как с величайшей болью я воспринимал кривую Weierstrass'a без касательной6, не верил, пытался опровергнуть и десятки раз перечитывал доказательство Duhamel'a о том, что всякая непрерывная функция дифференцируема. Эта боль, действительно почти нестерпимая, при мысли о кривой Weierstrass'a понятна: ведь если у{х) есть функция Weirstrass'a, то она непрерывна, и раз существует dx, то должен существовать и dy. И однако нет ^|! Почему? Короче, глубоко естественная идея актуально малых у меня начала подтачиваться кривой Weierstrass'a и теория пределов в меня вошла как патология функций.

Борьба с кривой Weierstrass'a была для меня родом кошмара. Я ею грезил во снах. Теперь я понимаю, что она была для меня чудовищем, с которым я нелепо боролся. И не будучи в состоянии победить, я предпринял обходное движение: я вознамерился показать, что кривая Weierstrass'a не диво и что с помощью элементарных построений можно сделать то же самое и притом СОХРАНЯЯ ИДЕЮ СТАЦИОНАРНОГО БЕСКОНЕЧНО МАЛОГО.

Собравшись с духом (я не любил соприкасаться с профессорами: будучи робким — просто боялся их. Не боялся лишь И. И. Жегалкина), я после лекции у нас по Геометрии Б. К. Млодзеевского, робко подошел к нему и попросил позволения побеседовать с ним относительно кривых без касательных.

Первая ошибка уже была сделана: я был слушателем, профессор казался высшим существом: я не думал, что он может чувствовать усталость. А между тем, я, молодой, сидел целый час и начал разговаривать с ним, когда он изнемогал от усталости. Поэтому голос Б. К. Млодзеевского, повысившийся до окрика, я принял на свой счет, а не за счет его усталости. Такие вещи нужно было обсуждать лишь с отдохнувшим человеком.

Итак, я начал: “Болеслав Корнелиевич, мне кажется, кривую без касательной можно построить совсем элементарно и я хотел бы знать Ваше мнение”. Он: “Ммм..., ну давайте — у Вас есть чертеж?” Я: “Да, Болеслав Корнелиевич, вот он:

разделим диагональ квадрата на и частей, равных между собой, и на каждом делении, как на основании, построим равнобедренный прямоугольный треугольник. Получаем нечто вроде ажурной пилочки. Теперь делаю п = оо. Пилочка делается непрерывной кривой, бесконечно мало отличающейся от самой диагонали. Значит, у ней касательной должна служить сама диагональ. И, однако, совершенно ясно, что у ней касательная то параллельна оси ОХ, то параллельна оси OY. Я думаю, что то же самое происходит и с пресловутой кривой Weierstrass'a“. Он: ”Ну, знаете ли, если Вы это серьезно... такой круг идей... Но ведь это же нелепость, то, что Вы говорите. Поймите, актуальной бесконечности нет. И оо не число. Стороны Ваших треугольников не 1/оо. И треугольников нет... И вообще ничего нет... Есть только Ваше непонимание. Поймите, что и есть конечное число. И для всякого и своя ажурная пилка, как выражаетесь Вы. И когда п безгранично возрастает, то у Вас на плоскости, как на экране кинематографа, — мелькание: пилка сменяет пилку с всё возрастающей быстротой. Вот и всё. Единой пилки нет. Есть серия пилок. Ну-с, о касательной к какой пилке Вы теперь говорите?!“ Я: ”О той, которая получится в пределе“. Он (видимо теряя терпение): ”Кажется, сказка о белом бычке... Поймите, оо не есть число. Серия пилок безгранично приближается к диагонали. Пределом же явится сама диагональ. Разумеет-

ся, касательная к диагонали есть: она сама для себя служит своей собственной касательной“. Я сказал наивно: ”Но ведь я же вижу, что касательные к сторонам треугольников параллельны оси ОХ и оси OY и никогда не параллельны диагонали“. Он, мгновенно смягчившись и ласково... ”Аааа... Вот что... запомните: касательная к пределу не есть предел касательной. Ведь сама касательная есть предел. Ну так вот: у Вас перестановка двух переходов к пределу, то, чего делать просто нельзя. Поймите (он взял мел):

ну и, значит,

Это — история старая; длина предела не равна пределу длины. Ведь если Вы измерите длину Вашей ажурной пилки, то она равна 2. А ведь длина диагонали у/2. Переворачивать пределы нельзя. Подумайте над этим. Это сразу Вам не дастся. До свиданья“. И он ушел, оставив меня в недоумении на то, что я не был понят, как мне казалось тогда. Не надо забывать, что я был студентом 2-го курса. Через неделю случаю было угодно, чтобы один товарищ 4-го курса затащил меня на лекцию по действительному переменному того же самого Болеслава Корнелиевнча для студентов 4-го курса. И я выслушал его, блестящую по обыкновению, лекцию о понятии мощности и счетной мощности. Это было для меня почти откровением. Боясь пошевелиться, я слушал его вдохновенную речь про мощность, про iVo, а сам думал: ”Да ведь это сплошные противоречия: в Анализе говорят, что всякое число конечно и скромно умалчивают о бесконечно удаленных точках прямых. В Геометрии, наоборот, твердят о бесконечно удаленных точках и выводят чудесные вещи. Неделю тому назад Болеслав Корнелиевич меня оборвал, вскрикнув, что “актуальной бесконечности нет”. А теперь сам-то что он делает! Нет, чего-то я не понимаю. Должно быть напрасно я здесь: сделаться бы мне физиком!“. Обдумав слова, я после лекции твердо подошел к нему и сказал: ”Болеслав Корнелиевич, я к Вам с вопросом относительно непрерывных кривых без касательных... “ Он болезненно сморщился и сказал удрученно: ”Вы всё о том же... Вы находите дело неясным... в чем же дело?“ Я: ”Видите ли, Болеслав Корнелиевич, неделю тому назад я строил Вам треугольники и, должно быть, неудачно. Теперь я желал бы пересмотреть вопрос. Пусть на диагонали квадрата лежит конечное множество (тут он вздрогнул при слове “множество”) точек:

Нужные мне треугольники я раньше строил постепенно, на каждом отрезке в отдельности. И в этом была моя ошибка. Теперь я это могу сделать сразу.

Возьмем совокупность всех параллелей осям ОХ и OY, проходящих через наши точки. И затем я обрезываю сразу все “лишние” части прямых и получаю сразу пилку... ”:

Он оборвал меня и сказал: “Не понимаю, к чему Вы всё это. Ну, ясно, что это так. Ну, а дальше?” Я: “Так вот, Болеслав Корнелиевич, вместо конечного множества я беру счетное множество, например, все точки диагонали, отстоящие от начала диагонали на соизмеримое расстояние.

И дальше повторяю всё то, что только что Вам сказал: беру все параллели, проходящие через точки этого множества и параллельные осям ОХ и OY и, наконец, уничтожаю “лишние” части прямых. Что я должен получить, теперь уже без всякого перехода к пределу? То же, что и раньше: т.е. пилку, но с актуально малыми зубцами!

Значит, имеется индивидуальная неподвижная “кривая”, бесконечно мало отличающаяся от диагонали. В прошлый раз, когда я пришел с ней, Вы, Болеслав Корнелиевич, сказали, что мое построение основано на ошибке, так как “нет актуальной бесконечности”. И Вы запретили мне употреблять оо как число. Но теперь, на лекции, Вы же сами говорили об актуальной бесконечности, о счетной мощности. И вот я изменил построение, в согласии с Вашим изложением, не употребляю оо как числа, а отправляюсь лишь от счетного множества и получаю то же самое: пилку с актуально малыми зубцами, т. е. неподвижную индивидуальную кривую, бесконечно мало отличающуюся от диагонали“. Болеслав Корнелиевич внезапно затих, потом чрезвычайно деликатно с оттенком некоторой почтительности заговорил: ”Не понимаю, как Вы попали на мою лекцию... Послушайте: не ходите больше; Вам это вредно, пока Вы не окрепнете. Что же касается до Вашей кривой, то она логическая, не настоящая, не подлежащая интуиции (“хорошо! хорошо!” — прервал он сам себя). Она существует в логике, но не геометрически. Она словесная, а не реальная. О ней говорить можно, но она не настоящая.“ Я мгновенно понял, что Болеслав Корнелиевич попался (не учитывая, что человек просто устал после лекции в чужой области и не мог ориентироваться в моих возражениях) и безжалостно насел на него: ”Болеслав Корнелиевич, а кривая Weierstrass'a настоящая, или логическая? Она словесная, или существует в действительности? Она реальная, как синусоида или только мыслимая? Если последнее, то, обрывая тригонометрический ряд на каком-нибудь члене, мы, значит, имеем реальную кривую, а беря его весь мы уже имеем лишь словесное образование.” Но я имел дело со страшным

противником, который устал, растерялся от натиска, но который мгновенно оправился, просто выгадывая время своими словами о словесных кривых, и который, воспрянув, нанес мне страшный удар: “Послушайте, — сказал он с загоревшимся внезапно гневом, — что за галиматью Вы мне несете! Возьмите-ка гомофокальный эллипс7 с фокусами в концах Вашей диагонали:

Отвечайте мне прямо, без увиливания: “Ваша пилка будет ведь внутри этого эллипса? Да!” Я: “Конечно, Болеслав Корнелиевич!” Он: “Но малая ось эллипса, обозначим её через е, может быть мала как угодно. Да?” Я: “Да, Болеслав Корнелиевич!” Он: “Значит, Вы согласны, что Ваша кривая находится внутри всех эллипсов с фокусами в концах диагонали?” Я: “Разумеется, Болеслав Корнелиевич”. Он: “Но ведь предел такого гомофокального эллипса, когда £ стремится к нулю, есть лишь сама диагональ, а не Ваша пилка. Значит, её нет, этой Вашей пилки и всё Ваше подновленное рассуждение не стоит большего, чем то, что Вы показывали мне неделей раньше!” Я замолчал, справляясь с нанесенной мне раной. Но теперь роли переменились и он безжалостно добавил: “Поймите, ведь если какая-либо точка, M например, не лежит на диагонали, то ведь, при достаточно малом е, она окажется снаружи гомофокального эллипса. Значит, пределом гомофокального эллипса будет только диагональ, в лице всех её точек, и никакая другая чужая точка М, не лежащая на диагонали. Ясно?“ Но я уже оправился и сказал: ”Всё это так, пока е конечное. Но если е есть актуальное малое... “ Но меня прервала буря негодования: ”Semper idem! — воскликнул он, — ведь я же толкую Вам полчаса о пределах, а не об Ваших актуально малых, которых нет в действительности. Ведь это же я доказываю в своем курсе. Походите на него, чего, впрочем, я Вам пока не советую, и Вы убедитесь в этом... Вы что-то еще хотите мне сообщить?” Я, действительно, был сильно задет и начал говорить, насколько я вспоминаю теперь, так: Я, Болеслав Корнелиевич, я думаю, что возможно отправляться не только от чисто математических рассуждений, но и от общенаучных тенденций. В химии, например, в действительности нет химически ЧИСТОЙ воды, ибо всегда, в реальной воде, будут иметься группы

молекул, не входящие в состав воды. И, однако, химия — наука имеет Н2О и говорит нам о химически чистой воде Н2О. Что это такое? Абстракция? Нет, это есть идеализированная вода, идеализация! Процесс идеализации, видимо, неизбежен для всякой стадии науки. Пусть химически чистой воды нет в действительности, но Н2О есть в науке и говорить об Н2О есть дело науки. Возьмем теперь гипс и процесс образования формы. Вы, например, имеете полый конус, математически точный:

Но Вы наливаете туда раствор в виде жидкого гипса, чтобы снять форму конуса. Что же такое этот процесс? Гипс застывает и Вы вынимаете из пустого конуса его копию, кажущуюся Вам точной:

Но на деле это не так. Процесс застывания гипса есть процесс КРИСТАЛЛИЗАЦИИ и то, что Вы вынимаете из конуса, это не будет конус или его точная копия; это в действительности будет кристаллическое тело, лишь приближенное к конусу, почти по принципу Cavalieri. Если мы теперь идеализируем этот процесс и застывание идеального гипса будем понимать, как процесс идеальной кристаллизации, с актуально малыми кристалликами, то вынув форму, мы убедимся, что мы имеем не конус, а тело, актуально мало...“:

Но он плохо кончился, этот разговор. Мне стыдно сказать, но Болеслав Корнелиевич просто ушел, посоветовав мне принести к следующему разу баночку такого гипса. Больше я уже с Болеславом Корнелиевичем не разговаривал никогда на эту тему, но через 2 года натолкнулся на взволновавшую меня картину.

Прежде чем о ней передать Вам, расскажу Вам еще одну черточку, характеризующую состояние тогда моего ума. Я помню себя студентом 3-го курса, сидящим на первой скамейке на лекции по механике Николая Егоровича Жуковского. Точнее: это была лекция по гидродинамике. Аудитория была огромная, профессор был человек крупный, массивный и очень умный.

Как сейчас помню, он стоял перед огромной во всю стену чистой черной доской и с мелом в руке говорил нам о силах, действующих на жидкость. “Возьмем, — говорил он, — элементик жидкости... ”:

И с этими словами он, приняв во внимание размеры огромной аудитории, битком набитой студентами (3-го + 4-го курса: соединяли курсы ради экономии), нарисовал большой куб, величиной с метр. “Пусть, — продолжал он, — р и р + dp суть давления на противоположные стенки этого элементика. .. ” И он принялся делать сложное геометрическое построение внутри нарисованного им куба.

Меня точно кто подтолкнул: “Вот так элементик! — пронеслось у меня в голове, — да сюда можно свободно поместить живого гуся! А ведь построение-то стационарное. Вот они актуально малые, в которые из приличия никто не хочет верить, но которые то и дело употребляют, когда не думают о приличиях!” Но тут я сосредоточился на лекции и забыл о скандальной мысли.

Возвращусь теперь к Болеславу Корнелиевичу. Это было год спустя, когда я был на 4-м курсе, значит, 2 года спустя после последнего разговора с Болеславом Корнелиевичем о пилках. Помню: — нас двоих, Бюшгенса и меня, пригласили на заседание математического общества. Тогда студенты не допускались туда совсем и нужно было специальное приглашение профессуры. На заседании было немного членов, человек, должно быть, 12. Все они сидели за длинным столом, покрытым зеленым сукном и пили чай с сухариками (мне казалось удивительным совмещение прозаического чая с наукой). Доклад делал не помню кто именно об уравнениях Pfaff'а. Я сидел на стуле во втором ряду, позади Болеслава Корнелиевича и Д. Ф. Егорова, сидевшего за столом рядом с Млодзеевским. А тем временем докладчик покрывал доску уравнениями Pfaff'a в полных дифференциалах:

Формула струилась за формулой, значки полных дифференциалов d, 5 текли изобильной струей, один за другим, складываясь, вычитались, умножались, подставлялись один в другой, выражались линейно через аналогичные значки d, 6 полных дифференциалов. Я внимательно глядел на доску, сначала старался ухватить смысл, но не зная (как понимаю теперь) теории проблемы

Pfaff'a, заблудился мыслью и поймал себя на том, что просто любовался внешностью потока формул. И вдруг меня осенила мысль: “Ну вот, я не понимаю почему-то: но по крайней мере я знаю, что такое d, ö. А если бы кто другой сейчас пришел сюда, хорошо знающий алгебру, но незнакомый совсем с Дифференциальным Исчислением. Что бы он подумал? Подумал бы, что речь идет об алгебраических преобразованиях, о каких-то неизвестных количествах dx, öf и т.д. И он начал бы так же точно выражать одни через другие и решать их. Ведь это же, в самом деле, настоящая алгебра количеств d,

Только что я подумал про себя это, как слышу оживленный голос Болеслава Корнелиевича, говорящий сидящему рядом Д. Ф. Егорову: “Я всегда думал, что символы полных дифференциалов являются особенными символами. Посмотрите, как он оперирует с ними! Ведь они в его руках просто постоянные числа: он их складывает, вычитает, множит, подставляет, преобразует. Ведь можно совсем забыть об их истинном происхождении и оперировать с ними, как с постоянными бесконечно малыми. И Вы знаете, Димитрий Федорович, что вовсе не безнадежна попытка, в духе Hilbert'а, аксиоматически. .. ” Тут докладчик, которому мешал этот оживленный голос, с упреком взглянул на Болеслава Корнелиевича и тот, прервав себя, сказал, ему: “Я слушаю, слушаю!”, а сам, поглядев на Димитрия Федоровича, спросил более тихо: “Что Вы об этом, Димитрий Федорович, думаете!” Но Димитрий Федорович Егоров тихо покачивал головою, как бы говоря: “Так-то оно так, Болеслав Корнелиевич, а все-таки... ”

У меня внутри поднялась настоящая буря: “Ах, вот оно что! — пронеслось у меня, — нас, маленьких, учат одному, а сами-то взрослые, что между собою говорят. Значит, взаправду, дело не так уже стоит тут твердо, раз у них самих такие разговоры. Я впился глазами в них и чувствовал, как они у меня горели. Не знаю, что произошло: может быть подо мною скрипнул стул, или это была одна из тех таинственных случайностей, когда люди как будто чувствуют пронизывающий их сзади взгляд. Только Болеслав Корнелиевич внезапно оглянулся и, заметив мой горящий взгляд, наклонился и что-то тихо сказал Димитрию Федоровичу. Тот ему ответил что-то столь же тихо, и далее они не разговаривали более друг с другом.

Я это так подробно описываю Вам, просто желая дать психологический документ о состоянии ума в его ранней ступени развития. Может быть, Вам это и будет интересным. Вероятно, я смог бы, терпеливо побродив в сумраке воспоминаний, вынести из него на свет еще что-нибудь, может быть, даже и ценное (в отношении математического воспитания). Но, говоря откровенно, я боюсь уходить в этот сумрак. А страшусь вынести из него, на дневной свет, какие-нибудь вещи, глубоко связанные с первыми движениями математического ума или математического сознания, которые сильно захватят сейчас меня и лишат меня возможности проследовать намеченным в науке

путем. То же, что я рассказал Вам — это всегда со мною, так как сильно врезалось в память.

Дальше же со мною было следующим образом. Воспитанный на старинных трактатах Анализа, я прямо перешел к теории множеств и теории функций, минуя теорию пределов. Это произошло по окончании Университета, когда я, получив от Д. Ф. Егорова предложение остаться при Университете, его отклонил и ушел на 1/2 года сначала на медицинский факультет (из моральных соображений), а затем на 1/2 года на бывший историко-филологический факультет, так как я не мог видеть трупов и хорошего медика из меня бы не вышло. Лишь после этих 1/2 года на историко-филологическом факультете, где я слушал всех известных тогда философов и не вынес, почему-то, страсти к их рассуждениям, я возвратился к математике, и, приняв предложение Д. Ф. Егорова, принялся за пополнение математического образования, не спрашивая советов и руководясь, как раньше, случаем.

Большая пережитая душевная драма с кривой Weierstrass'a заставила меня сосредоточить всё внимание на теории функций и вообще на микроматематике, как я называл изучение бесконечно малых структур функций или множеств.

Примечания к письму Н. Н. Лузина

1 Н. Н. Лузин не совсем точно оценивает отношение “педагогических кругов” к книге М. Я. Выгодского. Оно было “в своем большинстве” не только не “чрезвычайно благоприятным”, а явно враждебным: автор отвергал в преподавании анализа и теорию пределов, и традиционный порядок изложения материала: сначала дифференциальное, а потом интегральное исчисление. Среди преподавателей вузов были и сторонники М. Я. Выгодского, в частности к ним принадлежал А. Ф. Бермант: в первом издании своего известного учебника он также начинал с интегрального исчисления. Но среди “теоретических кругов” Н.Н. Лузин был почти единственным защитником системы преподавания М. Я. Выгодского.

2 В этом письме Н. Н. Лузин прибегает к трем видам выделения в тексте: подчеркиванию непрерывной чертой (передано здесь курсивом), подчеркиванию прерывистой чертой (здесь — разрядкой) и печатными буквами (здесь - ПРОПИСНЫМИ БУКВАМИ).

3 Н. Н. Лузин поступил в Московский университет в 1901 г. Таким образом, начало этих воспоминаний относится к 1902 г. Ниже он упоминает профессоров, хорошо известных математикам старшего поколения, учившихся в МГУ. О деятельности этих ученых см. А. П. Юшкевич. “История математики в России”, а также воспоминания А. П. Юшкевича в вып. 6 сборника.

Леонид Кузьмич Лахтин (1853-1927, в МГУ с 1896) — видный алгебраист; много лет читал в МГУ курсы “Введение в анализ”, “Дифференциальное исчисление” и “Интегральное исчисление”; неизменно дословно диктовал свои лекции. Два геометра — Болеслав Корнелиевич Млодзеевский (1858-1923, в МГУ с 1895) и Дмитрий Федорович Егоров (1869-1931, в МГУ с 1893) -руководящие деятели математического отделения МГУ конца XIX и первой четверти XX вв.; Млодзеевский впервые начал преподавать в МГУ теорию функций действительного переменного, а Егорова можно считать основателем московской школы ТФДП, главой и наиболее выдающимся представителем которой стал позже ученик Егорова Н. Н. Лузин. Иван Иванович Жегалкин (1869-1945, в МГУ с 1902) успешно культивировал в МГУ теорию множеств и математическую логику. Наконец, ученик Егорова геометр Сергей Сергеевич Бюшгенс (1882-1963, в МГУ с 1906) был товарищем Лузина по курсу.

4 Н. Н. Лузин приводит учебную литературу по анализу того времени; она была исключительно французской (на русском языке выходили лишь литографированные лекции профессоров). Это два трехтомных курса Гурса и Жордана (первые два тома Э. Гурса “Курс математического анализа” были позже переведены на русский язык под ред. Б. К. Млодзеевского и изданы в 1911 и 1912 гг.; в советское время все три тома были переизданы в 1933-1934 гг. в переработке В. В. Степанова; книга С. Jordan'a “Cours d'Analyse a l'Ecole Polytechnique”, 1882-1887, на русский язык не переводилась). Первое издание распространенного курса Лакруа (S.F.Lacroix. “Traite du calcul différentiel et du calcul integral”) вышло в свет еще в 1797-1798 гг., а “самый новый” 7-томный трактат Лорана (H.Laurent. “Traite d'Analyse”) вышел в 1885-1891 гг. Наконец, “дисциплинирующие” курсы Д. Ф. Егорова по различным отделам анализа и дифференциальной геометрии выходили до революции только в литографированном виде, а логически непреклонный Валле-Пуссен (Ch. — J. de la Vallee-Poussin. “Cours d'Analyse infinitesimal”) дважды переводился на русский язык и издавался уже значительно позже времени, о котором идет речь в письме.

5 Говоря о “раскрашивании” теории пределов, Н.Н. Лузин вспоминает известный очень формальный английский учебник дифференциального и интегрального исчислений В. Грэнвиля, перевод которого он переработал настолько, что позднее учебник стал издаваться уже под именем Лузина.

6 Кривая Вейерштрасса — пример графика функции, не имеющей производной ни в одной точке — был указан Вейерштрассом в 1887 г. Позже было установлено, что пример такой кривой был уже предложен Б. Больцано еще в 1835 г.

7 Гомофокальные эллипсы — очевидно, эллипсы, имеющие общие фокусы (софокусные).

ON INFINITESIMALS IN TEACHING AND IN SCIENCE

N. N. Lusin

A letter from an outstanding mathematician Nikolai Lusin to Mark Vygodski with reference to his manual “Fundamentals of Infinitesimals Calculation”.

Keywords: mathematical analysis, infinitesimal, Lusin N.N.

НОВАЯ УЧЕБНАЯ ЛИТЕРАТУРА ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ВУЗОВ

ИЗДАТЕЛЬСТВО “ФИЗМАТЛИТ”

Москва, 117997, ул. Профсоюзная, 90 (м. Беляево)

Тел./факс: (495)334-74-21, 334-76-20

сайт: www.fml.ru e-mail: fmlsale@maik.ru

Агошков В. П., Дубовский П. Б., Шутяев В. 77. Методы решения задач математической физики. 320 с.

Акивис М. А., Гольдберг В. В. Тензорное исчисление. 2005. 304 с.

Ахтямов А. М. Математика для социологов и экономистов. 2004. 464 с.

Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. Учебник для вузов. 2004. 304 с.

Беклемишева Л. А. и др. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре. Учебн. пособие. 2003. 496 с.

Бочаров П П., Касимов Ю. Ф. Финансовая математика. Учебник. 2-е изд. 2005. 576 с.

Бочаров П. П., Печинкин А. В. Теория вероятностей и математическая статистика. 2005. 296 с.

Бугров Я. С, Никольский С.М. Сборник задач по высшей математике. Учебн. пособие. 2001. 304 с.

Будак Б. М., Фомин С. В. Кратные интегралы и ряды. Учебник. 2002. 512с.

Будак Б. М., Фомин С. В. Сборник задач по математической физике. 2003. 688 с.

Булинский А.В., Ширяев А. П. Теория случайных процессов. 2005. 400 с.

Бутузов В. Ф., Крутицкая П. Ч. и др. Линейная алгебра в вопросах и задачах. Учебн. пособие. 2002. 248 с.

Бутузов В. Ф., Крутицкая 77. Ч. и др. Мат. анализ в вопросах и задачах. Учебн. пособие. 2002. 480 с.

Васильева А. Б. и др. Дифференциальные и интегральные уравнения. Вариационное исчисление в примерах и задачах. 2005. 432 с.

Волковыский Л. П., Лунц Г.Л., Араманович И. Г. Сборник задач по теории функций комплексного переменного. Учебн. пособие. 2004. 312с.

Гаврилов Г. П., Сапоженко А.А. Задачи и упражнения по дискретной математике. Учебн. пособие. 2004. 416 с.

Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. 2004. 264 с.

Геворкян П. С. Высшая математика. Основы математического анализа. 2004. 240 с.

Гурова 3. И. и др. Мат. анализ. Начальный курс с примерами и задачами. Под ред. А. И. Кибзун. 2003. 352 с.

Егоров А. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями. 2-е изд., исправл. 2005. 384с.

Егоров В. И., Салимова А. Ф. Определенный и кратные интегралы. Элементы теории поля. 2004. 256 с.

Ефимов И. В. Высшая геометрия. 2003. 584 с.

Ефимов Н. В. Краткий курс аналитической геометрии. Учебн. пособие. 13-е изд. 2005. 240 с.

Зимина О. В. и др. Решебник. Высшая математика. 3-е изд., испр. Под ред А. И. Кириллова. 2005. 368 с.

Зимина О. В. и др. Решебник. Высшая математика. Специальные разделы. Под ред А.И.Кириллова. 2003. 400с.

Ильин В. А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. 2005. 280 с.

Ильин В. А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Ч.1. Учебник для вузов. 2002. 648 с.

Кадомцев С. Б. Аналитическая геометрия и линейная алгебра. Учебн. пособие для вузов. 2001. 160 с.

Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. 2004. 572 с.

Кострикин А. И. Введение в алгебру. В 3-х кн. Учебник для вузов. Кн. 1: Основы алгебры. 2004. 272 с.

Кострикин А.И. Введение в алгебру. В 3-х кн. Учебник для вузов. Кн. 2: Линейная алгебра. 2004. 368 с.

Кострикин А. И. Введение в алгебру. В 3-х кн. Учебник для вузов. Кн. 3: Основные структуры алгебры. 2004. 272 с.

Кудрявцев Л. Д., Кутасов А. Д., Чехлов В. И., Шабунин М.И. Краткий курс математического анализа. Т. 1. Дифференциальные и интегральные исчисления функций одной переменной. Ряды. Учебник. 2005. 400 с.

Кудрявцев Л. Д., Кутасов А. Д., Чехлов В. И., Шабунин М.И. Краткий курс математического анализа. Т. 2. Дифференциальные и интегральные исчисления функций многих переменных. Гармонический анализ. Учебник. 2005. 424 с.

Кудрявцев Л. Д., Кутасов А. Д., Чехлов В. И., Шабунин М. И. Сборник задач по математическому анализу. Т. 1. Предел. Непрерывность. Дифференцируемость. Учебн. пособие. Под ред. Л.Д.Кудрявцева. 2003. 496 с.

Кудрявцев Л. Д., Кутасов А. Д., Чехлов В. И., Шабунин М. И. Сборник задач по математическому анализу. Т. 2. Интегралы. Ряды. Учебн. пособие. Под ред. Л.Д.Кудрявцева. 2003. 504с.

Кудрявцев Л. Д., Кутасов А. Д., Чехлов В. И., Шабунин М. И. Сборник задач по математическому анализу. Т. 3. Функции нескольких переменных. Учебн. пособие. Под ред. Л.Д.Кудрявцева. 2003. 472с.

Лавров И. А., Максимова Л. Л. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. 2004. 256 с.

Лебедев В. И. Функциональный анализ и вычислительная математика. 4-е изд., перераб. и доп. 2005. 296 с.

Лунгу К. Н., Макаров Е. В. Высшая математика. Руководство к решению задач. Ч. 1. 2-е изд., испр. 2005. 216с.

Магнус Я., Нейдеккер X. Матричное дифференциальное исчисление с приложениями к статистике и эконометрике. 2002. 496 с.

Мищенко А. С, Фоменко А. Т. Краткий курс дифференциальной геометрии и топологии. 2004. 304 с.

Никольский С Н. Курс математического анализа. Учебник для вузов. 2001. 592 с.

Пугачёв В. С. Теория вероятностей и математическая статистика.

Учебн. пособие. 2002. 496 с.

Ракитин В. И. Руководство по методам вычислений и приложения MATHCAD. 2005. 264 с.

Сборник задач по алгебре. Под ред. А. И. Кострикина. 2001. 464 с.

Свешников А. Г., Тихонов А. Н. (Обл. МГУ) Теория функций комплексной переменной. Учебник для вузов. 2004. 336 с.

Сигал И. X., Иванова А. П. Введение в прикладное дискретное программирование. (Модели и вычислительные алгоритмы). Учебн. пособие. 2002. 240 с.

Соколов Г. А., Чистякова Н.А. Теория вероятностей. Управляемые цепи Маркова в экономике. 2005. 248 с.

Теория вероятностей и математическая статистика. Базовый курс с примерами и задачами. 2-е изд., испр. и доп. Под ред. А. И. Кибзун. 2005. 232 с.

Тихонов А.Н., Васильева А.В., Свешников А. Г. Дифференциальные уравнения. (Курс высшей математики и математической физики). 2005. 256 с.

Треногин В. А. Функциональный анализ. Учебник. 2003. 488 с.

Треногин В. А., Писаревский Б.М., Соболева Т. С. Задачи и упражнения по функциональному анализу. Учебн. пособие. 2005. 240 с.

Турчак Л. И., Плотников П. В. Основы численных методов. 2005. 304 с.

Ульянов П. Л. и др. Действительный анализ в задачах. 2005. 416 с.

Успенский В. А. и др. Вводный курс математической логики. 2004. 128 с.

Фалин Г. И., Фалин А. И. Актуарная математика в задачах. 2003. 192 с.

Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления в 3-х т. Т. 2. 2003. 864с; т.З. 2005. 728с.

Формалев В. Д., Ревизников Д. Л. Численные методы. 2004. 400 с.

Эйдерман В. Я. Основы теории функций комплексного переменного и операционного исчисления. 2002. 256 с.

НОВАЯ УЧЕБНАЯ ЛИТЕРАТУРА ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ВУЗОВ

ИЗДАТЕЛЬСТВО “ЛАНЬ”

Санкт-Петербург, 192029, Общественный пер., 5; Москва, 109263, 7-я ул. Текстильщиков, д. 6/19; тел./факс: (812) 567-29-35; (812) 567-85-78, (495) 178-65-85; сайт: www.lanpabl.spb.ru, e-mail: pbl@lpbl.spb.ru, lanpress@ultimanet.ru

1. Барахнин В. Б., Шапеев В. 77. Введение в численный анализ: Уч. пособие. 1-е изд., СПб., 2005. 112 с.

Пособие посвящено изложению основных разделов численного анализа: теории погрешностей, приемов интерполирования и приближения функций, методов численного интегрирования и решения нелинейных уравнений. Содержит большое количество задач, как теоретического, так и вычислительного характера.

2. Бермант А. Ф., Араманович И. Г. Краткий курс математического анализа: Учебник. 12-е изд., СПб., 2005. 736 с.

Книга содержит необходимые сведения по математическому анализу, разнообразные примеры и задачи, в т. ч. относящиеся к различным разделам механики и физики. Более сложный материал выделен из основного текста, что позволяет использовать Курс в вузах, как с базовой, так и с углубленной программой по математике.

3. Двайт Г. Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы: Уч. пособие. 9-е изд., СПб., 2005. 228 с.

Содержит подробные таблицы неопределенных и определенных интегралов, а также большое количество других математических формул: разложения в ряды, тригонометрические и другие тождества, справочный материал по эллиптическим и бесселевым функциям, сферическим многочленам, дифференциальным уравнениям.

4. Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия: Уч. пособие. 3-е изд., СПб., 2005. 304с.

Книга посвящена изложению фундаментальных понятий и аппарата линейной алгебры и родственных ей разделов геометрии. Содержит современный математический материал, не излагавшийся в традиционных руководствах: язык категорий и категорные свойства линейных пространств, кэлерова метрика, введение в теорию многочленов Гильберта.

5. Кузнецов Л. А. Сборник заданий по высшей математике. Типовые расчеты: Уч. пособие. 6-е изд., СПб., 2005. 240с.

Пособие содержит индивидуальные задания (по 31 варианту в каждой задаче) для студентов, по курсу высшей математики и предназначено для обеспечения самостоятельной работы по освоению курса. Каждое задание содержит теоретические вопросы, теоретические упражнения и расчетную часть.

6. Курош А. Г. Лекции по общей алгебре: Уч. пособие. 1-е изд., СПб., 2005. 560 с.

В настоящем издании впервые объединены две книги одного из крупнейших алгебраистов XX в. А. Г. Куроша: “Лекции по общей алгебре” и “Общая алгебра. Лекции 1969-1970 учебного года”. Автор планировал объединить два упомянутых учебника в один. К сожалению, при его жизни этот замысел не был осуществлен.

7. Курош А. Г. Теория групп: Учебник. 4-е изд., СПб., 2005. 648с.

Отличительной особенностью “Теории групп” является строгость подачи материала в сочетании с легкостью и прозрачностью изложения. Включает в себя фундаментальные материалы отечественной научной школы по теории групп и по праву признана в мировой теоретико-групповой литературе.

8. Курош А. Г. Курс высшей алгебры: Учебник. 14-е изд., СПб., 2005. 432 с.

Книга охватывает большинство тем курса высшей алгебры, читаемого на математических факультетах университетов: системы линейных уравнений, определители и матрицы, комплексные числа, многочлены, линейные и евклидовы пространства, квадратичные формы, основы теории групп.

9. Курс высшей математики. Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление: Уч. пособие. 1-е изд. Под общей редакцией И. М. Петрушко, СПб., 2005. 288с.

Содержание пособия охватывает следующие разделы программы: введение в математический анализ и дифференциальное исчисление функции одной переменной, которые изучаются в первом семестре. Учебное пособие содержит 17 практических занятий.

10. Натансон И. П. Краткий курс высшей математики: Учебник. 8-е изд., СПб., 2005. 740с.

Книга отличается понятным и доступным изложением материала, содержит упражнения, которым уделено сравнительно мало внимания в общепринятых задачниках. Предназначается студентам вузов, в которых математика не является профилирующим предметом.

11. Привалов И. И. Аналитическая геометрия, 35-е изд., СПб., 2005. 192 с.

В книге рассмотрены основные разделы аналитической геометрии: метод координат, прямые линии на плоскости и в пространстве, плоскости в пространстве, конические сечения, линии и поверхности 2-го порядка. Приведены необходимые сведения из векторной алгебры. Каждая глава дополнена упражнениями для самостоятельной работы.

12. Рудин У. Функциональный анализ: Учебник. Под редакцией Е. А. Горина. 2-е изд., СПб., 2005. 448с.

В книге наряду с классическими результатами отражены и многие новые факты функционального анализа. Предназначена студентам средних курсов математических специальностей университетов и пединститутов, а также всем изучающим или преподающим функциональный анализ.

13. Спивак М. Математический анализ на многообразиях: Уч. пособие. 2-е изд., СПб., 2005. 160с.

Книга представляет собой введение в многомерный анализ, написана неформально и рассчитана на активное чтение — часть материала приведена в виде задач. Учебное пособие предназначено для студентов физико-математических факультетов университетов и педагогических институтов, также может быть полезно преподавателям.

14. Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре: Уч. пособие. 4-е изд., СПб., 2005. 416 с.

Представляет собой изложение курса лекций по алгебре, рассчитанного на три семестра. Достоинством книги является способ изложения материала, при котором абстрактные понятия разъясняются через результаты обобщения более конкретного математического материала.

15. Фаддеев Д. К., Соминский И. С. Задачи по высшей алгебре: Учебник для вузов. 15-е изд., СПб., 2005. 288с.

Книга содержит задачи по всем разделам высшей алгебры. Выдержала значительное количество переизданий. Предназначена студентам, изучающим естественные науки, а также преподавателям для подготовки занятий.

16. Чудесенко В. Ф. Сборник заданий по специальным курсам высшей математики. Типовые расчеты: Уч. пособие. 3-е изд., СПб., 2005. 128с.

Сборник содержит индивидуальные задания (31 вариант каждой задачи) по специальным разделам курса высшей математики. Каждый раздел сборника содержит теоретические вопросы, теоретические упражнения и расчетную часть. Учебное пособие предназначено для студентов вузов, обучающихся по направлению “Математика”.

Математика в высшем образовании

Научно-методический журнал

Свидетельство о регистрации средства массовой информации Министерства РФ по делам печати, телерадиовещания и средств массовых коммуникаций ПИ № 77-15825 от 07 июля 2003 г. ISSN 1729-5440

Редактор Е.В. Тамберг Технический редактор и компьютерная верстка Л. Р. Семенова Оригинал-макет подготовлен с использованием пакета LATEX

Подписано в печать 10.12.2005 г. Формат 60x84 1/8 Бумага офсетная. Гарнитура Computer Modern. Печать офсетная. Усл. печ. л. 15,3 Уч.-изд. л. 11,6_Тираж 800 экз. Заказ № 383.

Издательство Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского, 603950, Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23.

Адрес редакции: 603950, Нижний Новгород, проспект Гагарина, 23, Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского, корпус 2, к. 216. Тел.: (8312) 65-85-10; (8312) 65-78-83; факс: (8312) 65-85-92 e-mail: appmath@vmk.unn.ru http://www.unn.ru/math

Типография Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского, 603000, Нижний Новгород, ул. Большая Покровская, 37.

Лиц. ПД№ 18-099 от04.05.2001

Индекс 87966

ISSN 1729-5440 Математика в высшем образовании, 2005, №3