ISSN 1729-5440

МАТЕМАТИКА В ВЫСШЕМ ОБРАЗОВАНИИ

2

2004

НАУЧНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ СОВЕТ ПО МАТЕМАТИКЕ МИНИСТЕРСТВА ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Н.И. ЛОБАЧЕВСКОГО

НИЖЕГОРОДСКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЩЕСТВО

МАТЕМАТИКА В ВЫСШЕМ ОБРАЗОВАНИИ

2

2004

Научно-методический журнал

Нижний Новгород

Издательство Нижегородского государственного университета

Редакционная коллегия

И.С. Емельянова (главный редактор) М.В. Долов, Г.М. Жислин, Т.А. Иванова (зам. главного редактора), В.А. Ильин, Ю.Л. Кетков, Л.Д. Кудрявцев, М.И. Кузнецов, А.В. Латышев, Г.Л. Луканкин, Н.И. Мерлина, В.И. Михеев, Е.И. Моисеев, А.Д. Мышкис, Е.Н. Перевощикова, Н.Х. Розов, В.А. Садовничий, Г.И. Саранцев, Р.Г. Стронгин, С.Н. Слугин, М.А. Федоткин

При перепечатке, переводе на иностранный язык, а также при ином использовании оригинальных материалов журнала ссылки на “Математика в высшем образовании” обязательны

Журнал издается при финансовой поддержке Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского

Адрес редакции: 603950, Нижний Новгород, проспект Гагарина, 23, Нижегородский государственный университет им. Н.И.Лобачевского, корпус 2, к. 216. Тел.(8312) 65-78-83; e-mail: appmath@vmk.unn.ru www.nnov.ru/math

© “Математика в высшем образовании”, 2004

Mathematics Science and Methods Council of Russian Ministry of Education

Federal Education Agency Nizhny Novgorod State University Nizhny Novgorod Mathematics Society

MATHEMATICS

in Higher Education

2

2004

Academic Journal

Nizhny Novgorod Nizhny Novgorod State University Press

Editorial Board

I.S. Yemelyanova (Editor-in-Chief), M.V.Dolov, G.M. Zhislin, T.A. Ivanova (Editor), V.A. Ilyin, Y.L. Ketkov, L.D. Kudryavtsev, M.I. Kuznetsov, A.V.Latyshev, G.L. Lukankin, N.I. Merlina, V.I. Miheev, E.I. Moiseev, A.D. Myshkis, E.N. Perevoshikova, N.Kh. Rozov, V.A. Sadovnichii, G.I. Sarantsev, R.G. Strongin, S.N. Slugin, М.А. Fedotkin

No reprint or any use of the material is allowed without reference to “Mathematics in Higher Education ”

The journal is published with financial support of Nizhny Novgorod State University

Editorial Office Address: Nizhny Novgorod State University Nizhny Novgorod, 603950, Gagarin avenue 23, building 2, office 216 Russia

Tel: (8312) 65-78-83

e-mail: appmath@vmk.unn.ru

www.unn.nnov.ru/math

© Mathematics in Higher Education, 2004

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие.......................................................................7

Содержание и технологии математического образования в вузе

Хенк Бос. Основополагающие понятия лейбницева исчисления................. 11

Щетников А. И. Задача Архимеда о быках, алгоритм Евклида и уравнение Пелля........................................................................ 27

Теляковский С. А. Об определении кривизны кривой........................... 41

Гаврилов В. И., Луканкин Г. Л., Субботин А. В. Дискретная версия интегрального признака сходимости рядов....................................... 45

Посицельская Л. Н., Злобина С. В. Технология разработки тестовых заданий по математическому анализу............................................ 49

Шишкин А. А. Об одной форме работы со студентами на семинарских занятиях по математике на первом курсе...................................... 63

Математика для специалистов различного профиля

Самыловский А. И. О содержании математической подготовки студентов социально-экономических направлений и специальностей (некоторые предложения к ГОС ВПО третьего поколения).............................. 67

История математического образования, персоналии

Александров В. А. Краткая биография Яноша Боляи........................... 85

Каша Золтан. Культ Боляи в Румынии........................................ 89

Шакирова Л. Р. Математическое образование в Казанском университете в начале XIX века.............................................................. 93

Цыренова В. Б. Становление и развитие высшего математического образования в Бурятии............................................................. 99

Архив научно-методической литературы по математике в России

Гнеденко Б. В. О месте лекции в математическом образовании................ 107

Кудрявцев Л. Д. Основные положения преподавания математики............. 121

Хроника деятельности научно-методического совета по математике министерства образования и науки РФ

Редакционная статья........................................................... 141

Галайда П., Кудрявцев Л. Д., Розанова С.А. Образование, наука и экономика в вузах. Интеграция в международное образовательное пространство.......................................................................... 143

Новая учебная литература по математике для вузов

Серия “Классический университетский учебник”. К 250-летию МГУ.......... 151

Учебники издательства “Физматлит”........................................... 155

CONTENTS

Introduction........................................................................7

Subjects and Technologies of Mathematical Education at University

Boss H. Fundamentals of Leibniz's Infinitesimal Calculus ........................ 11

Shetnikov A. I. Archimedes' cattle problem, Euclid's algorithm and Pell's equation ........................................................................... 27

Telyakovskii S. A. About Measuring the Degree of Curve.......................... 41

Gavrilov V. L, Lukankin G. L., Subbotin A. V. Discrete Version of Integral Test of Convergence of Series....................................................... 45

Positselskaya L. N., Zlobina S. V. The Methods of Setting Tests on Mathematical Analysis.................................................................. 49

Shishkin A. A. On a method of Work with First-year Students at Seminars on Mathematics.................................................................. 63

Mathematics for Specialists of Different Types

Samylovskii A. I. On the Mathematical Education of Natural Sciences and Economics Specialists (some proposals to the State Educational Standards of Higher Education)............................................................ 67

The History of Mathematical Education. The Prominent Figures

Aleksandrov V. A. The Brief Biography of Janosh Bolyai.......................... 85

Kasha Zoltan The Cult of Bolyai in Rumania..................................... 89

Shakirova L.R. Mathematical Education at Kazan University at the Beginning of XIX Century............................................................... 93

Tsirenova V. B. The Formation and Development of Higher Mathematical Education in Buryatia........................................................... 99

Archives of Reference Books on Mathematics in Russia

Gnedenko В. V. On the Role of Lecture in Mathematical Education.............. 107

Kudryavtsev L. D. Fundamentals of Mathematics Teaching....................... 121

Minutes of the Mathematics Science and Methods Council of the Russian Federation Ministry of Education

Editorial article................................................................. 141

Galaida P., Kudryavtsev L.D., Rozanova S.A. Education, Science and Economics at Universities. Integration into the International Educational Field---- 143

New Reference Books on Mathematics in Russia

The series “Classical University Course”. To the 250 year anniversary of Moscow State University.............................................................. 151

Textbooks of Fizmalit Press..................................................... 155

ПРЕДИСЛОВИЕ

Перед Вами второй номер нового журнала “Математика в высшем образовании”. В него вошли статьи представителей математических школ Москвы, Казани, Новосибирска и других научных центров. Из нескольких десятков статей, накопившихся в портфеле редакции, мы выбрали те, которые, по нашему мнению, окажут наибольшую пользу преподавателям математики, а также всем тем, кто изучает математику в вузе или самостоятельно, работает в области математики или применяет в своей деятельности математическое описание процессов и явлений.

Мы с удовлетворением убедились, что первый номер нашего журнала встречен доброжелательно. Еще раз подчеркнем, что цель журнала — сделать достоянием читателей опыт лучших вузовских преподавателей математики, воссоздать по крупицам то богатство, которое накоплено за двухсотлетнюю историю высшего математического образования в России, познакомить читателей с новейшими разработками в области педагогики высшей школы. Но мы не собираемся замыкаться в рамках опыта только России и призываем к сотрудничеству всех, кто хочет поделиться своим видением места и роли математики в высшем образовании, независимо от страны, её традиций и особенностей построения системы обучения.

Журнал открывает статья “Основополагающие понятия лейбницева исчисления” Хенка Боса1, приуроченная к 300-летию публикации Готфрида Лейбница об исчислении бесконечно малых. Автор статьи доказывает, что лейбницево исчисление, являясь связной, эффективной и красивой теорией, во многих положениях принципиально отличается от современного изложения дифференциального и интегрального исчисления. Результат Лейбница необходимо рассматривать, используя введенные им термины, а не с позиций теорий, возникших позднее. Автор статьи помогает преподавателю дать студентам прочувствовать, что Ньютон и Лейбниц шли разными путями к открытию единой истины, и каждый из них вводил при этом свой язык, свою символику.

В статье “Задача Архимеда о быках, алгоритм Евклида и уравнение Пелля” новосибирский специалист в области истории математики Андрей Иванович Щетников реконструирует метод, с помощью которого Архимед в древности и Ферма в Новое время могли решать уравнение Пелля у2 = = Nx2 + 1. Исследуется вопрос, можно ли было средствами античной математики доказать, что уравнение Пелля разрешимо для любого “неквадратного” N.

1 Хенк Бос (Henk J. M. Bos) — внештатный профессор истории математики университета города Утрехт, Нидерланды. Хенк Бос является также сотрудником Института математики и Института философии при этом университете и редактором (совместно с Jed Buchwald) национального Архива истории точных наук. Оригинальную статью Хенка Боса перевел на русский язык и предложил нашему журналу А. И. Щетников.

На многолетнем опыте авторов Любови Наумовны Посицельской (Московский государственный гуманитарный институт-интернат) и Светланы Васильевны Злобиной (Брянский государственный университет) основана статья “Технология разработки тестовых заданий по математическому анализу”. Она может помочь преподавателям провести текущий контроль знаний, оценить уровень остаточных знаний, а также может оказаться полезной при разработке методического обеспечения самостоятельной работы студентов.

Доцент кафедры математики физического факультета МГУ Александр Александрович Шишкин дает советы по активизации самостоятельной работы студентов первого курса. Статья содержит конкретные простые и полезные рекомендации, с которыми мы хотим познакомить молодых преподавателей вузов.

Председатель секции экономических вузов Научно-методического совета по математике Министерства образования и науки РФ Александр Иванович Самыловский считает, что государственные образовательные стандарты (ГОСы) второго поколения не обеспечивают достаточную подготовку в области математики специалистов социально-экономических направлений и специальностей. В связи с этим автор призывает повысить требования к ГОСам по математике третьего поколения для этих специальностей и предлагает собственную программу общематематического раздела типового естественно-научного цикла, дополненную обширным списком рекомендуемой литературы. Надеемся, что этот материал поможет вузам при разработке программ по математике различного уровня сложности применительно к их специфике. Кроме того, он может оказать существенную поддержку при организации научно-исследовательской работы студентов, при выборе элективных курсов и др.

Общепризнано, какую большую роль в изменении научного мировоззрения сыграло открытие неевклидовой геометрии в XIX веке. Прошедшая в Нижегородском университете в сентябре 2004 г. IV Международная конференция “Неевклидова геометрия в современной математике и физике” лишний раз показала, что неевклидова геометрия остается важным аппаратом для дальнейшего развития математики и теоретической физики. На исследование биографии и увековечение имени одного из первооткрывателей неевклидовой геометрии Николая Ивановича Лобачевского не жалели времени и усилий такие выдающиеся ученые, как академик Александр Александрович Андронов. Изыскания А. А. Андронова и его группы, касающиеся нижегородского периода биографии Н. И. Лобачевского, были продолжены математиком Дмитрием Андреевичем Гудковым и историками Николаем Федоровичем Филатовым и Тамарой Ивановной Ковалевой. Итоги исследований были опубликованы ими к двухсотлетию Н. И. Лобачевского в 1992 году в двух

книгах, изданных Нижегородским университетом. Тем не менее с сожалением следует признать, что о жизни и деятельности Н. И. Лобачевского у нас знает, по существу, лишь узкий круг специалистов. В еще большей степени это относится к гениальному венгерскому математику Яношу Боляи. Несколько заполнить этот, по-существу, “общекультурный пробел” призваны публикуемые в рубрике “История математического образования, персоналии” статьи “Краткая биография Яноша Боляи” новосибирского математика Виктора Алексеевича Александрова и “Культ Боляи в Румынии” венгерского математика Золтана Каша.

Истоки математического образования в Казанском университете анализирует Лилиана Рафиковна Шакирова (Казанский государственный педагогический университет). Отмечающий двухсотлетие со дня основания Казанский университет — один из крупнейших учебных и научных центров мирового уровня, и читателям будет интересно обратиться к страницам его славной истории. Становлению и развитию высшего математического образования в Бурятии посвящена статья Валентины Бабасановны Цыреновой.

Раздел “Архив научно-методической литературы по математике в России” открывает статья классика теории вероятностей Бориса Владимировича Гнеденко “О месте лекции в математическом образовании”. Б. В. Гнеденко (1912-1995) был не только крупнейшим математиком, но и блестящим педагогом, оратором, лектором, научным руководителем. Его педагогический стаж составлял шестьдесят шесть лет. Он особенно выделял роль лекции в процессе обучения студентов, и мы считаем своим долгом обратиться к его рекомендациям и советам.

Вторая публикация этого раздела — “Основные положения преподавания математики” Льва Дмитриевича Кудрявцева — является окончанием статьи, помещенной в первом номере нашего журнала. Это отрывок из книги автора “Современная математика и её преподавание”, не переиздававшейся с 1985 года. Освещается опыт преподавания математики, накопленный в Московском физико-техническом институте. Формулируются и поясняются основные принципы, которые должны быть положены в основу обучения математике в вузе. Статья включает последние пять из десяти положений, “десяти заповедей преподавателя математики”, как их принято называть.

В разделе “Хроника деятельности научно-методического совета по математике Министерства образования и науки РФ” публикуется статья “Образование, наука и экономика в вузах. Интеграция в международное образовательное пространство” Павла Галайды (Словакия), Льва Дмитриевича Кудрявцева (зам. Председателя НМС) и Светланы Алексеевны Розановой (Председателя и ученого секретаря НМС, Россия). Она посвящена результатам работы международной конференции, название которой вынесено в заглавие статьи. Конференция проходила в Словакии с 22 по 27 августа

2004 года и собрала представителей Болгарии, Польши, России, Словакии, Украины и Чехии. О широте охвата обсуждавшихся на конференции проблем можно судить по тематике секций: “Школа и общество: образование, нравственность и культура”, “Математика и её приложения”, “Экономические проблемы образования и науки”, “История математики и естествознания”, “Проблемы фундаментального образования, методики и педагогики”.

Журнал заключает раздел “Новая учебная литература по математике для вузов”, в котором дается характеристика серии “Классический университетский учебник”, приуроченной к 250-летию Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова и приводится список учебников по математике издательства “Физматлит”.

Редколлегия

СОДЕРЖАНИЕ И ТЕХНОЛОГИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ В ВУЗЕ

УДК 519.6

ОСНОВОПОЛАГАЮЩИЕ ПОНЯТИЯ ЛЕЙБНИЦЕВА ИСЧИСЛЕНИЯ

Henk J. M. Bos

Mathematisch Instituut Universiteit Utrecht,

P.O.Box 80.010 3508 TA UTRECHT Netherlands;

тел.: (+31)/(0)30253Ц32; факс (+31)/(0) 302518394; e-mail: bos@math.uu.nl

В связи с 300-летием публикации Готфрида Лейбница об исчислении бесконечно малых автор обращается к этой оригинальной работе и доказывает, что лейбницево исчисление, являясь связной, эффективной и красивой теорией, во многих положениях принципиально отличается от современной теории. Рассмотрение результата Лейбница необходимо проводить с использованием введенных им терминов, а не с позиций теорий, возникших позднее.

Ключевые слова: исчисление бесконечно малых, история математики, лейбницево исчисление.

ВВЕДЕНИЕ1

Мы празднуем 300-летие появления первой статьи об исчислении бесконечно малых [1] (воспроизведено также в [2]). В ней еще содержалось много неясных высказываний и даже заблуждений (см. [3], а также всесторонние и чрезвычайно полезные примечания, сделанные в последнем итальянском издании [4]). Однако к 1684 г. у Лейбница уже сложилось четкое представление об этом исчислении. Это представление я и обозначаю выражением “лейбницево исчисление”. “Изобретение” или “открытие” Лейбницем исчисления бесконечно малых обычно датируется 1675 г. [5-7], но основные понятия и идеи, сформулированные им поначалу, были существенно переработаны за девять лет, прошедших с момента открытия до первой публикации. Более поздние статьи самого Лейбница, а также братьев Бернулли, Лопиталя и других сделали это исчисление известным; оно быстро распространилось и стало применяться для решения самых разнообразных задач. С 1684 г. до 1720 г. основополагающие понятия лейбницева исчисления претерпели лишь незначительное изменение. Самое важное фундаментальное изменение лейбницева исчисления в ранний период состояло в переносе методов, развитых

1 Bos H. J. M. The fundamental concepts of the Leibnizian calculus // Studia Leibnitiana, Sonderheft 14. — Wiesbaden: Steiner Verlag, 1986. P. 103-118 (пер. А. И. Щетникова).

для решения одномерных задач (в основном работа с кривыми) на двумерные (семейства кривых, переменные с двумя степенями свободы, поверхности) [8, 9]. В этой статье я буду иметь дело с этими основополагающими понятиями. Я обсуждал эти вопросы более подробно в моей статье [10]. Настоящая статья подводит итог некоторым частям этой работы, особенно главе II [10, с. 12-35]. Моей целью будет показать характерные особенности лейбницева исчисления. Я попытаюсь сделать это, исследуя, в чем оно отличается от современного математического анализа.

Я собираюсь обсуждать вопросы понимания и техники в большей мере, нежели вопросы оснований. Другими словами, меня будет интересовать не то, что такое лейбницевы дифференциалы или суммы, а то, как их представляли себе и использовали Лейбниц и его первые последователи. Я полагаю, что такой подход сможет прояснить некоторые положения лейбницева исчисления, часто упускаемые из виду.

ЛОМАНАЯ С БЕСКОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ ВЕРШИН

Лейбниц неоднократно отмечал, что ключом к пониманию его исчисления служит представление о кривой как о ломаной с бесконечным числом вершин. К примеру, в 1684 г. он писал о своих геометрических методах: “... все они могут быть выведены из общего принципа, которым я пользуюсь при измерении криволинейных фигур: он состоит в том, что кривая линия может быть представлена как ломаная с бесконечным числом сторон”2.

Чтобы пояснить концепцию кривой как ломаной с бесконечным числом вершин, я рассмотрю сначала тот случай (рис. 1), когда кривая приближается конечной ломаной О АБС. Предположим, что вершины ломаной лежат на кривой. Для каждой из этих вершин рассмотрим ординату у, абсциссу ж, длину дуги s, измеряемую от начала кривой, площадь Q между кривой, осью абсцисс и ординатой (называемую также “квадратурой” кривой), и вообще любую переменную, которая может быть определена в связи с этой

Рис. 1

2 “... omnes deduci posse ex generali quodam meo dimentiendorum curvilineorum principio, quod figura curvilinea censenda sit aequipollere Polygono infinitorum laterum” [2, v. 5, p. 126].

кривой. Приближающая ломаная порождает таким образом последовательности переменных. Уже в своих ранних исследованиях Лейбниц специально интересовался той ролью, которую эти последовательности играют в двух основных задачах, связанных с кривыми: задаче о квадратурах и задаче о касательных. Он осознавал, что квадратуры связаны с суммами порождаемых последовательностей, а касательные — с их разностями. А именно: если ломаная выбрана таким образом, чтобы разность между последовательными значениями х была постоянно равна 1, то тогда сумма ординат дает приближение для квадратуры, а разности между последовательными ординатами будут приближенно задавать наклон касательных в соответствующих точках кривой. В случае произвольных приближающих ломаных отношение сумм и разностей к квадратурам и касательным будет несколько более тонким, но по-прежнему удобным.

В ранних исследованиях числовых последовательностей Лейбниц рассматривал суммирование и получение разностей как операции, соответственно задающие для данной последовательности новые последовательности сумм и разностей, как это показано в табл. 1. Он отмечал также, что эти операции взаимообратны: построив последовательность разностей для последовательности сумм, мы восстановим исходную последовательность, и точно так же, взяв последовательность сумм для последовательности разностей, мы опять получим члены исходной последовательности (за исключением ai, если быть более точным).

Таблица 1

ПРОГРАММА

Исходя из соответствия между свойствами кривых и последовательностей, Лейбниц сделал два важных интуитивных вывода:

• Изучение касательных и квадратур кривых приводит к рассмотрению последовательностей абсцисс, ординат и т.д.; касательные соответствуют разностям, квадратуры — суммам. Поскольку операции взятия последовательностей сумм и последовательностей разностей взаимообратны, задачи о касательных и квадратурах также являются взаимообратными.

• Если кривая приближается конечной ломаной, порождаемые последовательности доставляют приближения для квадратур и касательных. Эти приближения будут тем лучше, чем меньшими будут взяты разности соседних членов. И они станут точными, когда разности будут взяты бесконечно малыми (а соседние члены станут бесконечно близкими), то есть когда кривая будет рассматриваться как ломаная с бесконечным числом вершин.

Эти интуиции, сколь бы неясными они ни были, были объединены в программу, которую Лейбниц осознанно сформулировал в 1765 г. и которую он успешно осуществлял в последующие годы. Контуры этой программы таковы:

• Её цель состоит в создании исчисления квадратур, касательных и родственных задач, связанных с кривыми, которое представляло бы собой метод, основывающийся на формулах и правилах вычислений.

• Это исчисление касается последовательностей (ординат, абсцисс и других переменных) с бесконечно малыми разностями.

• Это исчисление содержит также операции над этими последовательностями, а именно операцию (с символом d), ставящую в соответствие данной последовательности её разностную последовательность, и операцию (с символом /), ставящую в соответствие данной последовательности последовательность её сумм. Первая операция используется для определения касательных, вторая — для определения квадратур.

• Операции d и / взаимообратны.

Проиллюстрируем несколькими цитатами, как Лейбниц формулировал эти ранние программные идеи. В 1697 г. он писал Валлису:

“Рассмотрение разностей и сумм числовых последовательностей привело меня к моей первой догадке, когда я осознал, что разности относятся к касательным и суммы — к квадратурам”3.

В другом месте Лейбниц писал:

“Основание анализа: Разности и суммы обратны друг другу, так что сумма разностной последовательности есть член последовательности, и разность суммарной последовательности также есть член последовательности. Первое я обозначаю так: / dx = ж; второе так: d J х = ж”4.

ЭКСТРАПОЛЯЦИЯ КОНЕЧНОЙ ЛОМАНОЙ

Описанная выше программа была реализована в лейбницевом исчислении. Я хочу разъяснить это исчисление, обсуждая вопросы понимания и техники, с которыми Лейбниц столкнулся в работе над своей программой. Представим себе (вместе с Лейбницем), что произойдет, когда конечная ломаная,

3 “Mihi considerationem differentiarum et summarum in seriebus numerorum primam lucem affuderat, cum animadverterem differentias tangentibus, et summas quadraturis respondere” (письмо Лейбница Валлису 28.05.1697) [2, v. 4, p. 25].

4 “Fundamentum calculi: Differentiae et summae sibi reciprocae sunt, hoc est summa differentiarum seriei est seriei terminus, et differentia summarum seriei est ipse seriei terminus, quorum illud ita enuntio: / dx aequ. ж; hoc ita; dfx aeq. ж” [11].

приближающая кривую, совпадет с кривой. Если мы визуализируем этот предельный процесс (рис.2), это нам немногим поможет: разности между членами последовательности ординат и т. п. станут равны нулю, ординаты заполнят всю площадь между кривой и осью абсцисс, а от ломаной ничего не останется.

Один из способов справиться с этой проблемой состоит в том, чтобы представить предельный процесс локально (рис.3). В каждой точке кривой секущая (продолжение стороны ломаной) становится касательной, и высота плоской полоски, ограниченной одним из звеньев ломаной, становится равной ординате. Этот локальный предельный процесс легко визуализировать и использовать; в действительности он является основным в современном математическом анализе, где производная определяется именно посредством этого процесса.

Однако Лейбниц не пользовался локальным приближением, предпочитая ему глобальное. Он не представлял себе переход от конечной ломаной к ломаной с бесконечным числом вершин как предельный процесс. В этом случае звенья и углы ломаной исчезли бы, и предельный процесс, как это объяснено выше, мог бы быть интерпретирован лишь локально. Лейбниц смотрел на этот переход скорее как на прямую экстраполяцию конечного случая на бесконечный. При этом сохраняются такие элементы ломаной, как стороны и углы, а также порождаемые последовательности. Глобальное изучение кривой по-прежнему возможно; лишь члены последовательностей становятся бесконечно близкими.

Рис. 2

Рис. 3

Конечно, трудно визуализировать ломаную с бесконечным числом вершин и порождаемые последовательности; проблема коллапса, изображенная на рис. 2, все еще сохраняется. Лейбниц разрешил, или скорее обошел эту концептуальную проблему прежде всего отказом от рассмотрения того, что происходит с разностями и суммами самими по себе. Они становятся инфинитезимальными, однако Лейбниц старался избегать обсуждения природы инфинитезимальных величин в своем исчислении. Скорее он изучал, что происходит с операциями взятия суммарных и разностных последовательностей после перехода к бесконечному случаю. Это смелый подход, и я считаю, что он характеризует математический стиль Лейбница, в частности — силу его абстракции.

Исследуя процесс прямой экстраполяции, зададимся вопросом, как преобразуются последовательности, порождаемые конечной ломаной. Представляя такую ломаную, мы фактически выделяем конечное число значений переменных, а именно тех, которые связаны с вершинами ломаной. Таким образом мы представляем каждую переменную пробегающей конечную последовательность значений. При переходе к ломаной с бесконечным числом вершин тем самым подразумевается, что переменная пробегает бесконечную последовательность бесконечно близких значений. И поскольку ломаная с бесконечным числом вершин теперь совпадает с кривой, не принимаются во внимание никакие значения переменной, кроме значений последовательности. Понятия последовательности и переменной теперь совпадают; переменная и есть пробегаемая ею последовательность.

Теперь рассмотрим операции, которые в конечном случае сопоставляют последовательностям значений переменной последовательности их разностей или их сумм. При переходе к бесконечному случаю эти операции, соответственно обозначаемые символами d и /, сопоставляют бесконечным последовательностям бесконечные последовательности. Но поскольку эти последовательности совпадают теперь с переменными как таковыми, d и / становятся операциями, действующими над переменными и порождающими новые переменные. Операция d сопоставляет переменным ж, у, s, Q и т.д. новые переменные, называемые их дифференциалами и обозначаемые <ix, dy, ds, dQ и т.д. Эти дифференциалы суть переменные, они бесконечно малы, и они пробегают значения последовательности бесконечно малых разностей для соответствующей последовательности ж, у, s и Q. Аналогично, операция / ставит в соответствие переменным ж, у, s, Q и т.д., новые переменные /ж, / у, f «s, / Q, являющиеся бесконечно большими.

Концепция переменных, пробегающих бесконечные последовательности бесконечно близких значений, и соответствующая концепция дифференциалов и сумм как новых переменных, является ключевой для понимания лейбницева исчисления. Она заметно отличается от ньютонова исчисления флюксий, основывающегося на принципиально иной концепции переменных, скорее протекающих по континууму значений, нежели пробегающих по последовательности.

Поскольку дифференциалы являются переменными и поскольку операция d действует над переменными, она может быть приложена и к диффе-

ренциалам. Это приводит к дифференциалам высших порядков:

Эти дифференциалы высших порядков определяются как разностные последовательности для разностных последовательностей первого порядка:

(рис.4), где dx1 и dx суть последовательные члены последовательности dx. Дифференциалы второго порядка вновь являются переменными; они бесконечно малы по сравнению с дифференциалами первого порядка.

Аналогично, операция / может быть повторена несколько раз, что приведет к суммам высшего порядка / /х, //у и т.д. В практике лейбницева исчисления эти бесконечно большие суммы и повторные суммы встречаются достаточно редко, потому что операция / прилагается в основном к переменным, которые сами являются бесконечно малыми.

“ПРОГРЕССИЯ ПЕРЕМЕННЫХ”

Я не буду обсуждать здесь правила для операции <i, такие как d(x + у) = = dx + dy, и т. п. С большим желанием я вернусь к частной проблеме, относящейся к концепциям переменных, дифференциалов и ломаных с бесконечным числом вершин, о которых шла речь выше.

Разрабатывая свою программу, Лейбниц столкнулся с особенной трудностью, а именно — с неопределенностью дифференциалов. Я смогу лучше всего пояснить эту трудность, задав следующий вопрос:

“Имеет ли ломаная с бесконечным числом вершин равные звенья?”

Очевидно, что мы не можем найти ответ, разглядывая эту ломаную, а стало быть — кривую. Мы должны (рис. 5) представить конечную ломаную, а затем совершить переход. Когда мы делаем это, становится ясно, что на вопрос невозможно ответить. Ломаные, приближающие кривую, могут иметь

Рис. 4

Рис. 5

равные звенья (рис. 5, а), но это не обязательно; другие возможности, к примеру, таковы, что будут равными проекции звеньев на оси X или Y (рис. 5, б и в), и очевидно, что имеется много других возможностей для построения приближающих ломаных с неравными сторонами. Это означает, что понятие “ломаной с бесконечным числом вершин” приводит к неопределенности; мы не знаем a priori, от какой конечной ломаной был совершен предельный переход к бесконечноугольной ломаной; поэтому мы не знаем, как дифференциалы меняются вдоль кривой. Возможно, что все ds равны между собой, и тогда все dds будут равны нулю, a dx и dy будут изменяться, и тем самьм ddx и ddy не будут равны нулю (в предположении, что кривая не является прямой линией). Но может быть и так, что все dx равны между собой, и тогда dds ф 0 и ddx = 0, и т. д.

Тем самым в лейбницевом исчислении поведение дифференциалов как меняющихся вдоль кривой переменных зависит от двух вещей:

• от природы кривой, и

• от природы бесконечноугольной ломаной.

Пока природа бесконечноугольной ломаной не уточнена дополнительно, поведение дифференциалов остается неопределенным. Бесконечноугольная ломаная зависит от того, что Лейбниц называл “прогрессией переменных”. Это выражение удачно выбрано, поскольку, к примеру, если dx фиксировано, переменные зависят или пробегают свои последовательности значений другим образом, чем если бы постоянным было ds.

Конечно, цель лейбницева исчисления состоит в определении дифференциалов как соотносящихся с природой кривой. Но это можно сделать лишь в том случае, если два вида поведения могут быть как-нибудь разделены. Рассмотрим, как это было сделано.

НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ

Один из способов справиться с проблемой неопределенности дифференциалов состоит в том, чтобы раз и навсегда договориться о том, что дифференциалы одной выбранной переменной, к примеру дифференциалы dx абсциссы ж, всегда будут считаться постоянными. Тогда приближающая ломаная всегда будет иметь форму, показанную на рис. 5, б. Для понимания лейбницева исчисления важно осознать, что Лейбниц не считал этот выход приемлемым. Он хотел сохранить свободу выбора приближающих ломаных, а еще точнее — прогрессий переменных. Выбор одной переменной в качестве имеющей постоянные дифференциалы является совершенно произвольным; но в геометрических фигурах нет ничего такого, что вынуждало бы отдать эту привилегированную роль переменной ж, а не переменной у или любой другой. Лейбниц рассуждал о возможности выбора различных прогрессий переменных так:

“При взятии сумм вовсе не обязательно, чтобы dx или dy были константами и ddx = 0, но можно выбрать прогрессию х или у (если кто-либо захочет принять у за абсциссу) такой, как захочется”5.

Поэтому Лейбниц не хотел исходно придавать одной из переменных специальную роль; он не хотел рассматривать остальные переменные всегда в их отношении к одной избранной переменной. Другими словами, он не рассматривал переменные как функции одной независимой переменной.

Я снова подчеркну тот факт, что переменные лейбницева исчисления не являются функциями; это одна из главных особенностей, отличающих это исчисление от развитых впоследствии форм математического анализа. В самом деле, когда концепция функции заняла центральную роль в позднейшем анализе, проблема независимости дифференциалов отпала [10, с. 5-6, с. 66-77].

Лейбниц решил проблему независимости дифференциалов иначе. Он методически развил приемы и обозначения, позволяющие сохранять независимость и различать два рода изменяемости дифференциалов, один — специально для кривых, другой — порождаемый прогрессией переменных. Эти приемы, обозначения и стоящая за ними исходная идея — бесконечноугольная ломаная — были восприняты и использовались первыми последователями Лейбница. Позднее они были забыты; можно сказать, что анализ заменил приемы, переинтерпретировал обозначения и утратил исходную идею. Но эти аспекты существенны для понимания лейбницева исчисления; я хочу пояснить их здесь с помощью нескольких примеров.

ПРИМЕР 1. ПАРАБОЛА

Рассмотрим параболу, заданную уравнением

5 “Es ist ganz nicht notig dass die dx oder dy constantes und die ddx = 0 seyen, sondem man assumiert die progression der x oder y (welches man pro abscissa halten will) wie man es gut findet” (письмо Лейбница фон Боденхаузену) [2, v. 7, p. 387].

Соотношения между дифференциалами первого и высших порядков для переменных X и у вдоль кривой описываются дифференциальными уравнениями. Эти уравнения принимают различные формы в зависимости от прогрессии переменных. К примеру, если dx предполагается постоянным, дифференциальные уравнения будут иметь вид:

Однако если постоянным предполагается dy, уравнения будут другими:

Для других вариантов прогрессии переменных (например, постоянной ds или постоянной у dx) будут образовываться другие наборы дифференциальных уравнений. Однако вполне возможно установить соотношения между дифференциалами применительно ко всем прогрессиям переменных. В случае координат параболы х и у эти соотношения таковы:

Отметим, что уравнения для дифференциалов первого порядка не зависят от прогрессии переменных, а для высших — зависят. Пример показывает, что при подходящем выборе прогрессии можно значительно упростить уравнения высших порядков. Это несомненное преимущество свободного выбора прогрессии переменных, и первые последователи Лейбница мастерски использовали эту возможность упрощения формул.

ПРИМЕР 2. РАДИУС КРИВИЗНЫ

Мой второй пример [10, с. 35-42] касается радиуса кривизны. Рассмотрим (рис. 6) кривую С и две точки Р и Р', расположенные достаточно близко друг от друга. Пусть R — точка пересечения нормалей к кривой, восстановленных в точках Р и Р1'. Радиус кривизны в точке Р есть предел длины отрезка PR

Рис. 6

при Р' —> Р. (Или, как об этом сказал бы сам Лейбниц: “Возьмем РР' бесконечно малым и рассмотрим точку R пересечения нормалей, восстановленных в точках Р' и Р; RP есть радиус кривизны.”)

Лейбницево исчисление дает формулы для вычисления радиуса кривизны. Эти формулы содержат дифференциалы высших порядков; тем самым они зависят от прогрессии переменных. Вот эти формулы (для обычных прогрессий):

В этом случае опять имеется формула, справедливая для любых прогрессий, а именно:

Эти формулы сегодня не употребляются; они могут показаться несколько странными для математиков, пользующихся современным анализом. Однако они обладают собственной элегантностью, особенно в сравнении с современной формулой для радиуса кривизны г графика функции у = f(x) в точке (ж, у):

ПРИМЕР 3. ФОРМУЛА

Формула известна в современном анализе как формула для второй производной; если у = /(ж), то тогда производные обозначаются как

Формулы для производных второго и высших порядков являются сегодня единственными, в которых сохранилось старое лейбницево обозначение d2, и т. д. для дифференциалов высших порядков. Однако в лейбницевом исчислении эти формулы в том виде, как мы употребляем их сегодня, являются неопределенными; их интерпретация зависит от прогрессии переменных. Интерпретация этих формул в лейбницевом исчислении совпадает с современной только в том случае, если dx берется постоянным; для всех других прогрессий переменных математик школы Лейбница будет читать эти формулы иначе, нежели его современный коллега. К примеру, для параболы

мы будем иметь

(я опускаю вычисления). Эта зависимость формул от прогрессии переменных уже не входит сегодня в стандарты математического знания, что видно из того, что мы уже не отмечаем прогрессию переменных (постоянное dx), когда записываем формулу ——^ для второй производной. Мы сохранили формулу, но утратили исходную лейбницеву интерпретацию.

ПРИМЕР 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ

В связи с формулами примера 1 я отмечал, что дифференциальные уравнения первого порядка одинаковы для всех прогрессий переменных. Это общая черта лейбницева исчисления: уравнения, все дифференциалы которых имеют первый порядок, не зависят от прогрессии переменных. Однако если отношения между дифференциалами первого порядка выражаются другими способами, нежели с помощью уравнений, они также могут зависеть от прогрессии переменных. Это происходит, например, в случае дифференциальной пропорциональности [10, с. 47-53]. К примеру, пусть

6 Это старинное написание формулы udv пропорционально г>". В литературе тех времен равенство отношений А : В = С : D записывалось в виде А : В :: С : D.

Эта формула описывает движение в сопротивляющейся среде, и она говорит о том, что уменьшение скорости dv пропорционально самой скорости. Эта формула может быть интерпретирована лишь после того, как мы укажем, каким образом следует рассматривать это уменьшение скорости: происходит ли оно за равные (бесконечно малые) промежутки времени, или на равных проходимых расстояниях, или как-нибудь иначе. Эти уточнения относятся к тому, что Лейбниц называл прогрессией переменных; и интерпретация формулы действительно существенно зависит от рассматриваемой прогрессии. К примеру, если взять постоянньм dt, когда будут пропорциональны скорость и изменения dv за равные бесконечно малые промежутки времени, то тогда движение будет описываться формулой

где с — некоторая постоянная. Но если изменения dv отнесены к равным проходимым расстояниям, то есть если мы рассматриваем прогрессию переменных, в которой ds постоянно (или, что то же самое, v dt постоянно, поскольку ds = vdt), это движение описывается формулой

Зависимость пропорциональности дифференциалов от прогрессии переменных играла важную роль в дискуссии между Гюйгенсом и Лейбницем, произошедшей около 1690 г. Предметом этой дискуссии было движение в сопротивляющейся среде, и она была вызвана взаимным непониманием двух ученых, возникшем из-за неуказанности прогрессии переменных, по отношению к которой записывались дифференциальные уравнения для различных сопротивляющихся сред.

ДАЛЬНЕЙШЕЕ РАЗВИТИЕ

После этих примеров может показаться, что зависимость формул от прогрессий переменных была попросту ненужной помехой. Но в действительности она давала большое преимущество. Первые последователи лейбницева исчисления были настоящими виртуозами в извлечении выгоды из этой зависимости от прогрессии переменных. К примеру, имея дело с дифференциальными уравнениями высших порядков, они стремились выбрать прогрессию переменных таким образом, чтобы упростить формулы (см. пример 1). Вычисляя дифференциалы высших порядков при решении механических задач (таких, как задача о форме нагруженных упругих балок или о движении тел в сопротивляющейся среде), они также пользовались неопределенностью дифференциалов. Для такого дифференцирования использовались чертежи, на которых отмечались дифференциалы первого и второго порядков, и эти чертежи часто можно было упростить выбором удобной прогрессии переменных.

Описанные мною обозначения, идеи и приемы сегодня не употребляются; они утрачены в течение восемнадцатого и девятнадцатого столетий. Я не

буду обсуждать здесь причины их исчезновения; отмечу лишь, что имелась некоторая неудовлетворенность в связи с неопределенностью дифференциалов — особенно в случае Эйлера — и в связи с появлением понятия функции [10, с. 66-77.].

Глядя назад на это развитие, нельзя сказать, что оно происходило путем отбрасывания неправильных и уродливых частей теории. Рабочие приемы в основном не были неправильными; я считаю, что они не были и уродливыми. Но они не вписались в дальнейшее концептуальное развитие предмета и потому были отброшены.

В ходе дальнейшего развития анализа исчезли не только приемы и идеи, связанные с неопределенностью дифференциалов; прочие концептуальные установки лейбницева исчисления также по большей части исчезли или претерпели значительные изменения, в основном из-за той главенствующей роли, которую стало играть в анализе понятие функции.

РАЗЛИЧИЯ МЕЖДУ ЛЕЙБНИЦЕВЫМ ИСЧИСЛЕНИЕМ И СОВРЕМЕННЫМ АНАЛИЗОМ

Я рассматривал неопределенность дифференциалов как сильнейшую иллюстрацию значительной разницы между лейбницевым исчислением и современным анализом. Результаты сравнения двух теорий я представлю в табл.2.

Таблица 2

ЛЕЙБНИЦЕВО ИСЧИСЛЕНИЕ

Базовое понятие

СОВРЕМЕННЫЙ АНАЛИЗ

Переменная

Операции

Функция

Нахождение дифференциалов: переменная —> бесконечно малая переменная

Взятие производной: функция —> функция

X —» dx dy —> ddy

/->/'

Суммирование:

Интегрирование:

переменная —> бесконечно большая переменная X -> fx

ydx^ J ydx

функция —> функция (где F(:r) = //(*) Я)

Неопределенность

Неопределенность дифференциалов, удерживаемая определением прогрессии переменных

Никакой неопределенности в соответствии с понятием функции

Для более детального сравнения см. [6, с. 54-57], а также мои работы [10, с. 34-35] и [7, с. 92-93].

Прежде всего, две теории различаются по своим базовым понятиям; и объекты, с которыми они имеют дело, также различны. Лейбницево исчисление рассматривает переменные, пробегающие бесконечную последовательность бесконечно близких значений. Эти переменные, как это было показано выше, не являются функциями, потому что никакая переменная изначально не берется в качестве независимой. Современный анализ, напротив, имеет дело с функциями.

Во-вторых, имеется различие между основными операциями. Лейбницево дифференцирование ставит в соответствие переменной новую, бесконечно малую переменную, называемую её дифференциалом. Современный анализ ставит в соответствие функции новую функцию, называемую её производной; эта функция определяется с помощью предельного перехода. Лейбницева операция / (для которой я использую Лейбницев термин “суммирование”, хотя этот термин часто заменялся термином “интегрирование”, введенным братьями Бернулли) ставит в соответствие переменной новую, бесконечно большую переменную. Современный анализ ставит в соответствие функции новую функцию, называемую её интегралом.

Наконец, концепция переменных в лейбницевом исчислении содержит неопределенность дифференциалов, которая делается определенной с выбором прогрессии переменных. Проблемы неопределенности дифференциалов в современном анализе не существует, так как в нем рассматриваются функции явно определенных независимых переменных.

Это сопоставление показывает, что в определенном смысле современный анализ избавился от многих сложностей, присущих лейбницеву исчислению. В нем больше нет бесконечно малых и бесконечно больших количеств; все функции — конечны. Устранена неопределенность дифференциалов и зависимость формул от прогрессии переменных. Но я хочу подчеркнуть еще раз, что те положения лейбницева исчисления, которые были устранены из математики на пути её развития, не были неправильными или уродливыми. Я поистине надеюсь, что смог показать, что они придавали лейбницеву исчислению богатство построения и даже определенную красоту.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В этом коротком изложении мне пришлось опустить многие детали, останавливаясь в основном на технических приемах. Я надеюсь, что эта сторона дела не закрыла собой возможность общего взгляда на вопросы, которые я хотел отметить:

• Лейбницево исчисление во многих положениях принципиально отличается от современной теории.

• И тем не менее это исчисление является связной, эффективной и красивой теорией само по себе.

• Эта связность, эффективность и красота открываются лишь тому, кто изучает теорию и судит о ней в её собственных терминах, насколько это возможно, а не в терминах теорий, возникших позднее.

Я подчеркнул особую природу лейбницева исчисления и его отличия от современного анализа. Но могут спросить: стоит ли придавать этому такое значение? Как-никак современный анализ был создан современными математиками, Лейбниц же создал совсем другое исчисление — он был слишком оригинальным мыслителем, чтобы изобретать теорию, созданную другими, даже если эти другие пришли после него.

ЛИТЕРАТУРА

1. Leibniz G.W. Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus, quae пес fractas, пес irrationales quant it ates moratur, et singulare pro illis calculi genus / / Acta Eruditorum, October 1684. P. 467-473.

2. Leibniz G.W. // Mathematische Schriften / 7 vols., ed. С. I. Gerhardt. — Berlin and Halle, 1849-1853 (перепечатано Hildesheim 1961-1962). V. 5. P. 220-226.

3. Hess H.-J. Zur Vorgeschichte der 'Nova Methodus' // Stadia Leibnitiana, Sonderheft 14. — Wiesbaden: Steiner, 1986. P. 64-102.

4. Dupont M. P., Roero C.S. Leibniz 1684 // Series Quaderni di Mathematica 56. — Torino: Fac. Sei. Mat. Fis. Nat., Univ. Torino, 1984.

5. Hofmann J. E. Die Entwicklungsgeschichte der Leibnizschen Mathematik wahrend des Aufenthaltes in Paris (1672-1676). — München, 1949. P. 118-130 (перевод: Hofmann J.E. Leibniz in Paris 1672-1676. - Cambridge, 1974. P. 187-201).

6. Baron M., Bos H.J.M. Newton and Leibniz (Unit C3 of the Open University course AM 289 History of Mathematics — origins and development of the calculus), Milton Keynes (Open University Press), 197, P. 35-46.

7. Bos H. J. M. Newton, Leibniz and the Leibnizian tradition (Глава II). In book: From calculus to set theory, and introductory history / ed. I. Grattan Guinness. — London, 1980. P. 49-93.

8. Engelsman S. B. Orthogonaltrajektorien im Pri-oritatsstreit zwischen Leibniz und Newton // Studia Leibnitiana, Sonderheft 14. — Wiesbaden: Steiner, 1986. P. 144-156.

9. Engelsman S. B. Families of curves and the origins of partial differentiation. — Amsterdam: a.o. North-Holland PubL, 1984.

10. Bos H. J. M. Differentials, higher-order differentials and the derivative in the Leibnizian calculus // Archive for History of Exact Sciences, 1974. V. 14. P. 1-90.

11. Leibniz G. W., Gerhardt СЛ. Element a calculi novi pro different iis el summis, tangentibus et quadraturis. In book: Die Geschichte der höheren Analysis, erste Ableilung, die Entdeckung der höheren Analysis. — Halle, 1855. P. 149-155.

FUNDAMENTALS OF LEIBNIZ'S INFINITESIMAL CALCULUS

Henk Boss

In connection with the 300 years anniversary since the publication of Gottfried Leibniz's infinitesimal calculus the author considers his work and proves that Leibniz's calculus was a coherent, efficient and brilliant work but in many aspects it differs in principal from the present day theory. When studying Leibniz's result it is necessary to employ the terms he introduced but not those used in theories that appeared later.

Keywords: infinitesimal calculus, history of mathematics, Leibniz's calculus.

СОДЕРЖАНИЕ И ТЕХНОЛОГИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ В ВУЗЕ

УДК 511.1

ЗАДАЧА АРХИМЕДА О БЫКАХ, АЛГОРИТМ ЕВКЛИДА И УРАВНЕНИЕ ПЕЛЛЯ

А. И. Щетников

AHO “Школа плюс”, Россия, 630064, г. Новосибирск, пр-т К. Маркса, 21; тел.: (3832)460078; e-mail: schetnikov@ngs.ru

Реконструируется метод, с помощью которого Архимед в древности и Ферма в Новое время могли решать уравнение Пелля у2 = Nx2 +1. Исследуется вопрос, можно ли было средствами античной математики доказать, что уравнение Пелля разрешимо для любого “неквадратного” N.

Ключевые слова: теория чисел, алгоритм Евклида, уравнение Пелля.

1. ЗАДАЧА АРХИМЕДА О БЫКАХ

До наших дней дошла любопытная математическая задача, которую Архимед предложил александрийским математикам в письме, адресованном Эратосфену Киренскому [1, с. 372-377]. В этой задаче требуется узнать число быков и коров в четырех стадах, принадлежащих богу Солнца Гелиосу, поэтому её обычно называют задачей Архимеда о быках.

Условие задачи Архимеда состоит из двух частей. В первой части требуется решить в натуральных числах систему из семи линейных уравнений с восьмью неизвестными. К этой задаче Архимед дает такой комментарий:

Сколько у Солнца быков, чужестранец, коль точно ты скажешь,

Нам раздельно назвав тучных быков число,

Так же раздельно коров, сколько каждого цвета их было,

Не назовет хоть никто в числах невеждой тебя,

Всё ж к мудрецам ты причислен не будешь.

Когда ответы первой части получены, условие второй части приводится к следующему виду: “Найти такое квадратное число, которое, будучи взято M = 51285 802 909 803 раз, окажется равным некоторому треугольному числу”. Об этой второй задаче Архимед говорит так:

Если ты это найдешь, чужестранец, умом пораскинув,

И сможешь точно назвать каждого стада число,

То уходи, возгордившись победой, и будет считаться,

Что в этой мудрости ты всё до конца превзошел.

Напомним, что треугольными называются числа, полученные суммированием последовательных натуральных чисел, начиная с единицы (рис. 1). Общая формула для q-го треугольного числа записывается q(q + 1)/2.

Обозначим X сторону искомого квадратного числа, q — сторону искомого треугольного числа. Восемь треугольных чисел с добавлением единицы дают квадратное число со стороной у = 2q + 1 (стандартная геометрическая демонстрация этого факта изображена на рис.2). Тем самым арифметическое ядро задачи Архимеда состоит в отыскании хотя бы одного целочисленного решения уравнения

(1)

для конкретного случая N = Ш = 410 286 423 278424.

В докомпьютерную эру задача Архимеда рассматривалась в качестве примера такой задачи, которая, хотя и имеет решение, но физически не может быть решена. А. Амтор [2] установил в 1880 г., что наименьшее ж, являющееся решением уравнения (1), выражается десятичным числом с 206530 цифрами; он же вычислил несколько первых и несколько последних цифр этого числа. Первое полное компьютерное решение задачи Архимеда было получено в 1965 году [3], для чего потребовалось 7 часов 49 минут работы вычислительной машины IBM 7040. Компьютер Cray 1 проделал ту же работу в 1981 году за 10 минут [4]. Существенно более быстрые вычислительные алгоритмы для решения задачи Архимеда были разработаны А. Варди [5] и А. Нюгреном [6]. Формулы последнего используют только целочисленную арифметику и требуют всего нескольких секунд работы персонального компьютера Pentium II.

Надо думать, что Архимед, предлагая задачу о быках своим коллегам, отдавал себе отчет в её непосильности. Но тогда естественно будет предположить, что он поставил эту задачу не столько ради неё самой, сколько ради обсуждения общего метода решения уравнений вида (1), которым он сам владел и изложения которого он ждал от александрийских математиков.

К сожалению, мы не знаем ни того, как решал уравнение (1) сам Архимед, ни того, получил ли он какой-нибудь ответ от Эратосфена. В дошедших до нас античных математических текстах общие подходы к решению уравнения (1) нигде не обсуждаются. Диофант Александрийский в Арифметике [7] рассматривает частные случаи уравнения (1) для случаев N = 26 (Vg) и N = 30 (V11). Однако в обоих этих случаях наименьшее решение находится с

Рис. 1 Рис. 2

помощью специального приема. Пусть N = п +т, где п — наибольшее число, квадрат которого не превосходит N. Если при этом 2п кратно m, то можно использовать подстановку у = пх +1, что дает ответ х = 2п/т. Кажется, что этот частный прием не слишком много говорит нам о том, как древнегреческие математики могли решать уравнение (1) при произвольном N.

История уравнения (1) в Новое время начинается с вызова, который Пьер Ферма бросил в 1657 году своим коллегам-математикам: “Пусть дано любое неквадратное число, требуется найти бесконечное число квадратов, которые при умножении на данное число и увеличении на единицу составят квадрат. .. Найти, например, квадрат, который при умножении на 149, или 109, или 433 и при увеличении на единицу составит квадрат” [8, с. 68]. Этот вызов приняли английские математики Уильям Броункер и Джон Валлис, представившие свои решения. Как решали уравнение (1) Ферма и Броункер, мы в точности не знаем. Методы, применявшиеся Валлисом, рассмотрены в статье А.А.Антропова [9].

С уравнением (1) связан известный исторический курьез — Леонард Эйлер по ошибке назвал его уравнением Пелля (хотя английский математик Джон Пелль никогда этим уравнением не занимался, правильнее же было назвать его уравнением Ферма), и это название закрепилось в математической литературе.

Общую историю уравнения Пелля рассматривали Л. Диксон [10] и А. Вейль [11]. Так называемый циклический метод, с помощью которых за тысячу лет до Ферма и его современников уравнение Пелля решали математики древней Индии, рассмотрен в статье Б. Л. Ван дер Вардена [12].

2. О МЕТОДОЛОГИЧЕСКИХ ПРИНЦИПАХ ПРЕДЛАГАЕМОЙ РЕКОНСТРУКЦИИ

В настоящей статье сделана попытка реконструировать метод решения уравнения Пелля в той форме, которой Архимед мог пользоваться (подчеркнем еще раз — не “пользовался”, а именно “мог пользоваться”). Отдавая себе отчет в том, что всякая реконструкция такого рода будет откровенно гипотетической, мы всё же предприняли это изыскание, задавшись целью установить и изучить такие подходы к решению уравнения Пелля, которые соответствовали бы средствам, употреблявшимся в античной логистике (так древние греки называли свое искусство вычислений).

Мы со школы приучены воспринимать всякое алгебраическое выражение как своего рода материю или “оперативный объект” воображения. Запись (а + Ь)2 = о? + 2аЬ + Ъ2 не требует для нас “привязки” к какой-то иной материи (например, материи геометрических чертежей). Однако нашей символической алгебры у древних греков не было, и материей их математических рассуждений почти всегда служили геометрические чертежи или схематические изображения фигурных чисел. Поэтому мы считаем, что освоить греческое математическое мышление в его своеобразии — значит научиться работать с геометрическими образами даже там, где нам гораздо привычнее написать алгебраическую формулу.

И хотя для краткости записи в некоторых разделах настоящей работы мы пользуемся привычными алгебраическими формулами, эти формулы всегда допускают прямой перевод на “родной” для древнегреческой математики язык “геометрической алгебры”, изложенный во II книге Начал Евклида (см. [13,14]). Что касается отрицательных числовых коэффициентов, которые мы вводим в уравнения для упрощения анализа различных случаев и которые заведомо не могли употребляться греческими математиками в эпоху Архимеда, то мы показываем, как можно провести наше рассуждение и без этого алгебраического средства. Само собой разумеется, что мы сознательно воздерживались от того, чтобы использовать в нашей реконструкции непрерывные дроби и алгебраические тождества вида (а + by/N)(a — Ьу/N) = а2 — Nb2, содержащие иррациональные выражения -то есть от того математического аппарата, который со времен Эйлера и Лагранжа стандартно используется при изложении вопросов, относящихся к уравнению Пелля.

Помимо реконструкции метода решения уравнения Пелля, данная статья содержит также исследование вопроса о том, можно ли средствами античной математики доказать, что уравнение Пелля разрешимо для любого неквадратного N.

3. НЕКОТОРЫЕ ИСХОДНЫЕ ПРОТОТИПЫ ЗАДАЧИ О БЫКАХ

А. К уравнению у2 = 2х2 ± 1 приводит пифагорейская задача об определении “рациональных сторон и диагоналей”, то есть об отыскании таких рациональных приближений для у/2, у которых квадрат знаменателя на единицу отличается от удвоенного квадрата числителя. В этой же предметной логике решение уравнения (1) связано с поиском таких рациональных приближений для y/~N, у которых квадрат числителя на единицу отличается от N раз взятого квадрата знаменателя.

Б. Автор анонимной схолии к диалогу Платона Хармид среди вопросов, которыми занимается логистика, упоминает как задачу Архимеда о быках, так и “обозримую материю задач, касающихся треугольных и многоугольных чисел”. Эти последние задачи, как мы сейчас покажем, также могут приводить к уравнению Пелля.

Нетрудно видеть, что число 36 является квадратным и треугольным одновременно. Отсюда возникает задача найти все числа, которые являются квадратными и треугольными одновременно, которая приводит к уравнению у2 = 2х2 + 1.

Аналогичная задача об отыскании всех чисел, которые одновременно являются квадратными и пятиугольными, также приводит к уравнению Пелля. В самом деле, к-е пятиугольное число выражается формулой fc(3fc — 1)/2. Сложив вместе шесть таких чисел, получим гетеромекное1 число 3fc(3fc — 1).

1 В античной арифметике гетеромекными назывались прямоугольные числа, стороны которых разнятся на единицу. Выделение этого вида чисел связано прежде всего с тем, что четыре одинаковых гетеромекных числа с добавлением единицы дают квадрат (рис. 2).

Сложив вместе четыре полученных гетеромекных числа и добавив к ним единицу, получим квадратное число (6fc — I)2. Тем самым наша задача привела к уравнению

(6fc-l)2 = 24n2 + l.

Сделав замену 6к — 1 = ж, 2п = у, перепишем это уравнение в виде

X2 = 6у2 + 1.

Из совокупности решений этого уравнения для нашей задачи следует выбрать те решения, в которых х + 1 делится на 6.

4. АЛГОРИТМ ЕВКЛИДА В ЕГО ИСХОДНОЙ ФОРМЕ

В современном “школьном” понимании алгоритм Евклида представляет собой процедуру отыскания наибольшего общего делителя двух натуральных чисел, двух многочленов и т. д. В противоположность этому, древнегреческие математики использовали этот алгоритм (Евклидом не изобретенный, но лишь описанный в VII и X книгах Начал) для поиска наибольшей общей меры двух величин, включая сюда и числа. По-гречески процедура такого поиска называется “антифайресис”, что можно перевести на русский язык как “ взаимное вычитание”. Суть её состоит в следующем.

Возьмем две величины А > В и вычтем В из А; в результате получим две величины В и С = А — В. Если они равны друг другу, то тогда С будет наибольшей общей мерой А и В. В противном случае возьмем пару В ж С и вычтем меньшую величину из большей; мы получим новую пару величин, и т. д. Если эта процедура завершится на каком-нибудь шаге равенством образовавшихся величин, последний остаток будет служить наибольшей общей мерой начальной пары {А, В}. Если же нам удастся показать, что для данной пары величин эта процедура не завершится ни на каком шаге, то величины в данной паре придется признать несоизмеримыми между собой.

Еще раз подчеркнем разницу между современной и античной трактовками алгоритма Евклида. Мы делим одно число на другое и отыскиваем остаток, после чего составляем пару из делителя и остатка. Греки же вычитали одну величину из другой, после чего составляли пару из вычитаемого и разности. К примеру, когда мы применяем алгоритм Евклида к паре {37,11}, мы делим 37 : 11, находим остаток 4 и составляем пару {11,4}. Греки же находили разность 37 — 11 = 26, составляли пару {26,11}, снова находили разность 26 — 11 = 15, составляли пару {15,11}, снова находили разность 15 — 11 = 4, и только теперь составляли пару {11,4}. Конечно же, итог оказывается тем же — но идейная основа обоих подходов, на наш взгляд, несколько различается.

Процедура антифайресиса использовалась в ранней античной теории пропорциональности для определения равенства отношений (см. [15,16]), в логистике — для приближенного сокращения дробей с большими числителями и знаменателями (см. Зверкина [17]).

5. АНТИФАЙРЕТИЧЕСКОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ИРРАЦИОНАЛЬНОСТИ y/N

(отдельное для каждого частного случая)

Б. Л. Ван дер Варден [18] выдвинул предположение о том, что древнегреческие математики могли использовать процедуру антифайресиса для доказательства иррациональности отношения y/N : 1 (здесь y/N мы будем мыслить геометрически — как сторону квадрата, отношение площади которого к площади единичного квадрата выражается некоторым неквадратным числом N). В реконструкции Ван дер Вардена отношение y/N : 1 разлагается в периодическую непрерывную дробь. Более изощренную версию этой же реконструкции, основанную на преобразованиях чертежа в рамках “геометрической алгебры”, предложил Д. Фаулер [14].

В противоположность этому, в нашей реконструкции метод взаимного вычитания применяется не к паре данных отрезков, а к паре неизвестных натуральных чисел, относительно которых предполагается, что они удовлетворяют уравнению

(2)

В качестве примера рассмотрим уравнение

и будем искать его наименьшее решение в натуральных числах. Числа р и q в этом решении, если таковое существует, — взаимно простые (а иначе это решение не было бы наименьшим), и их наибольшая общая мера равна единице.

Ясно, что в искомом решении выполняется условие р > q. Тем самым возникает мысль вычесть р из q и сделать замену р = q + г:

Поскольку в новом уравнении сумма коэффициентов слева равна 3, а коэффициент справа равен 7, в искомом решении справедливо q > г. Сделаем замену q = г + s:

Поскольку в новом уравнении сумма коэффициентов слева равна 5, а коэффициент справа равен 3, в искомом решении справедливо s < г. Сделаем замену г = s + t:

Временно остановившись на этом шаге антифайресиса, отметим, что опорой для представленных здесь рассуждений могут служить не только привычные нам буквенные алгебраические уравнения, но также и характерные для древнегреческой математики чертежи “геометрической алгебры”.

На фигурах, изображенных на рис. 3, квадрат над диагональю большого прямоугольника равен по площади семи квадратам под диагональю. Три фигуры, вычерченные одна за другой, соответствуют трем выписанным выше уравнениям. В каждой фигуре закрашены части квадратов, уже удаленные при антифайресисе.

Рис. 3

Для следующих шагов антифайресиса мы не будем ни выписывать самих уравнений, ни вычерчивать эквивалентные этим уравнениям геометрические чертежи, — но ограничимся составлением таблицы числовых коэффициентов. Для краткости мы позволим себе перекрестный член Ъху в уравнении ах2 + Ъху = су2 записывать во всех уравнениях слева от знака равенства, придавая коэффициенту Ъ как положительные, так и отрицательные значения. Впрочем, эта вольность, не согласующаяся с отсутствием отрицательных чисел в греческой математике до Диофанта, легко может быть исправлена при некотором утяжелении табличных записей и правил манипулирования с ними.

Установим правило, по которому производится переход от коэффициентов (а, Ь, с) предыдущей строки к коэффициентам (а', У', с') следующей строки.

(Замечание: из формул перехода следует, что коэффициенты а и с всегда остаются положительными.)

Завершению антифайресиса соответствовало бы получение на очередном шаге такого уравнения, решением которого была бы пара чисел {1,1}, и коэффициенты которого удовлетворяли бы соотношению а + Ъ = с.

Приведенные выше таблицы характеризуют преобразования коэффициентов (а, Ь, с) уравнений вида (2) для всех неквадратных N от 2 до 15. Из этих таблиц можно видеть, что во всех рассмотренных случаях условие а + Ъ = с не выполняется ни в одной из выписанных строк, зато на некотором шаге антифайресиса (отображенном в последней строке каждой таблицы) воспроизводится форма исходного уравнения. Это означает, что во всех этих случаях процедура антифайресиса приводит к построению периодической цепочки коэффициентов и не имеет завершения. Отсюда вытекает, что во всех этих случаях соответствующее отношение y/N : 1 является иррациональным.

Заметим также, что во всех таблицах наблюдается одна и та же палиндромическая структура: в строках, равно отстоящих от начала и конца таблицы, коэффициенты а и с попарно равны друг другу, а коэффициенты Ъ меняют знак.

В таблицах для N = 2, 5, 10, 13 имеется средняя строка, в которой происходит “оборачивание” коэффициентов начальной строки. В принципе, доказательство иррациональности отношения y/N : 1 можно было бы оборвать уже на этой строке, но в целях дальнейшего исследования мы продолжили построение таблицы вплоть до воспроизведения начальной строки. (Примечание: с этой же целью во всех таблицах выделена строка, коэффициенты которой удовлетворяют уравнению а + Ь = с+1.)

6. ОБЩЕЕ АНТИФАЙРЕТИЧЕСКОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ИРРАЦИОНАЛЬНОСТИ y/N

Относительно реконструированных Ван дер Варденом [18] и Фаулером [14] антифайретических доказательств иррациональности отношения y/N : 1 принято замечать, что их недостатком является необходимость разлагать это отношение в непрерывную дробь заново для каждого N (или для некоторого специального класса N). В нашей версии доказательства этот недостаток легко устраняется: мы можем провести одно универсальное доказательство для всех неквадратных N.

Лемма 1. Значение выражения Ъ2 + Аас при переходе от предыдущей строки к последующей остается неизменным и равным AN.

Доказательство. Пусть

тогда

Пусть

тогда

Поэтому значение выражения

остается неизменным.

Но в первой строке а = 1, 6 = 0, с = N, и тем самым

Доказательство иррациональности y/N. Предположим, что на каком-нибудь шаге антифайресиса мы доберемся до завершающей строки, в которой справедливо а + Ь = с. Но тогда Ь2 + 4ас — квадратное число (рис. 4, а выполнен для случая b > 0; рис. 4, б— для случая b < 0).

Рис. 4

В силу леммы 1 получается, что квадратное число Ъ2 + 4ас равно неквадратному числу 47V, что невозможно. Следовательно, сделанное выше предположение является ложным, и процедура антифайресиса не будет иметь завершения. Отсюда следует заключить, что y/N для любого неквадратного N есть величина, несоизмеримая с единицей.

7. ОТЫСКАНИЕ НАИМЕНЬШЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ПЕЛЛЯ

(отдельное для каждого частного случая)

Вновь вернемся к конкретному примеру N = 7. Для отыскания наименьшего решения уравнения

рассмотрим ту же таблицу, что и в предыдущем разделе. Спустимся по ней вниз до строки, в которой а + Ъ = с +1. Пририсуем к таблице дополнительные пятый и шестой столбцы (ниже они названы левым и правым), и запишем в оба столбца этой строки две единицы, а затем начнем подъем наверх. Если в следующей сверху строке стоит знак “<”, запишем в её левый столбец сумму чисел предыдущей строки, а в правый столбец перепишем число из правого столбца предыдущей строки. Если в следующей сверху строке стоит знак “>”, запишем в её правый столбец сумму чисел предыдущей строки, а в левый столбец перепишем число из левого столбца предыдущей строки. Таким образом мы поднимемся до первой строки; два записанные в ней числа дают искомое наименьшее решение.

Проверка показывает, что и в самом деле

8. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ О ТОМ, ЧТО УРАВНЕНИЕ ПЕЛЛЯ РАЗРЕШИМО В НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЛАХ ПРИ ЛЮБОМ НЕКВАДРАТНОМ N

А. Для начала научимся вычислять по данной строке предшествующую строку. Набору (а, Ь, с) могут предшествовать два набора (а, Ъ — 2а, с+Ъ — а) и (а — Ъ — с, Ъ + 2с, с). Но одно из выражений с+Ъ — а либо а — Ъ — с является отрицательным. Поэтому если

Б. Теперь заметим, что во всех рассмотренных выше примерах равенство а + Ъ = с + 1 выполняется в строке, находящейся непосредственно над блоком нижних строк, в которых а = 1. Представим N в виде N = m? + m, где п2 — наибольший квадрат, не превышающий N. Несложно показать, что блок нижних строк и строка над ним будут иметь следующий вид:

При этом в верхней строке действительно выполняется равенство

В. Выше (раздел 6) мы доказали, что процесс антифайресиса для уравнения (2) никогда не завершается, — но мы еще не доказали, что первая строка при этом обязательно повторится. Чтобы доказать это, заметим, что число наборов (а > О, Ъ, с > 0), для которых выполняется условие Ъ2 + 4ас = 47V, является конечным. Поэтому рано или поздно повторится по крайней мере один из этих наборов. Но тогда повторятся и наборы предыдущих строк, и т.д. вплоть до первой строки. А поскольку первая строка повторится, то в указанном месте (см. пункт Б) над ней обязательно будет находиться строка, в которой а + Ъ = с + 1.

Г. Выше (пункты + ) мы доказали, что уравнение Пелля разрешимо в натуральных числах при любом N, и указали прием, позволяющий явно построить одно его решение. Осталось показать, что построенное таким образом решение является наименьшим. Для этого докажем, что строка, в которой а + Ъ = с + 1, встречается внутри периода от первой строки до её повторения только один раз.

Составим фигуру из квадрата Ь2 и четырех прямоугольников ас, как показано на рис. 5 (на рис. 5, а изображен случай Ъ < 0, на рис. 5, б — случай Ъ < 0). Площадь этой фигуры по лемме 1 равна 47V; площадь закрашенной четверти этой фигуры равна N.

Пусть N = п2 + m, где п2 — наибольшее квадратное число, не превышающее N. Из рассмотрения чертежа следует, что m — это число единиц в закрашенных “выступах” (“выступе”) единичной ширины; и это число равно с. Получаем, что из совместного выполнения условий а+Ъ = с+1 и Ь2+4ас = 4N следует, что коэффициенты строки, в которой а + Ъ = с+1, обязательно будут иметь вид

с = m, Ь = 2 (m — n), а = 2n — m + 1.

Но это и есть решение, построенное выше (пункт Б).

Рис. 5

Заметим, что внутри периода от первой строки до её повторения любая строка может встретиться не более одного раза (в противном случае повторятся и наборы следующих строк, и т.д., вплоть до последней строки, и тем самым получится, что внутри периода встречается строка, совпадающая с последней строкой). Поэтому построенное выше решение уравнения (1) действительно является наименьшим.

9. ПОСТРОЕНИЕ БЕСКОНЕЧНОЙ ЦЕПОЧКИ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ПЕЛЛЯ

В формулировке задачи Архимеда требуется найти хотя бы одно решение уравнения (1) для заданного N. Однако само исследование уравнений вида (1) естественно приводит к задаче о построении последовательности всех решений каждого такого уравнения. Соответствующий алгоритм для частного случая N = 2 был известен еще пифагорейцам (см. [14,19-22]).

Уравнение (1) имеет бесконечно много решений, поскольку в каждом периоде имеется строка, в которой а + Ъ = с + 1. Все эти решения в принципе могут быть найдены обратным восхождением к первой строке.

Более быстрый прием отыскания последовательных решений уравнения (1) основывается на так называемом “тождестве Брахмагупты”

(3)

истинность которого можно проверить прямым раскрытием скобок. Из этого тождества следует, что если две пары чисел {xl,yl} и {х2,у2} (не обязательно различные) удовлетворяют уравнению (1), то и пара \x\X2 + Ny\y<i, У\Х2 + Х1У2} также удовлетворяет уравнению (1).

Прием состоит в том, чтобы в качестве пары {xi,yi} все время брать наименьшее решение (1), а в качестве пары {£2,3/2} брать сначала это же наименьшее решение, затем — найденное на первом шаге второе решение, и т. д.

Так для N = 7 наименьшим будет найденное выше решение {8,3}. Следующие решения находятся по указанному правилу:

Спрашивается, мог ли о тождестве (3), содержащем выражения четвертой степени, знать Архимед? Как это тождество устанавливается с помощью средств “геометрической алгебры”? (Выражения четвертой степени встречаются в так называемой “формуле Герона”, позволяющей вычислять площадь треугольника по длине трех его сторон. Эта формула в действительности была открыта не Героном, описавшим её в своей Метрике, а Архимедом. В ходе доказательства площадь треугольника представляется как среднее

геометрическое двух других площадей, то есть как корень квадратный из произведения этих площадей [1, с. 419].)

Укажем еще один прием, позволяющий по двум имеющимся решениям {#ъ 2/1} и {х2, У2} построить новое решение {х\х^ + Nyiy2, У1Х2 + х\у^\. Рассмотрим следующую четверку рациональных приближений для y/N :

На первом шаге построения вычислим средние гармонические для первой (нижней) и для второй (верхней) пары приближений:

На втором шаге вычислим среднее арифметическое для этих средних гармонических:

Можно прийти к этому же результату и в другом порядке, вычислив на первом шаге построения средние арифметические для первого и третьего и для второго и четвертого приближений, а на втором шаге — среднее гармоническое для этих средних арифметических.

ЛИТЕРАТУРА

1. Архимед. Сочинения / Пер., вступит, статья и комм. И. Н. Веселовского. — М.: Физматгиз, 1962. 640 с.

2. Amthor A. Das Problema bovinum des Archimedes // Zeitschrift für Math, und Phys., Hist.-litt. Abth. 1880. V. 25. S. 153-171.

3. Williams H. C, German R. A., Zarnke C. R. Solution of the cattle problem of Archimedes // Math. Comp. 1965. V. 19. P. 671-674.

4. Nelson H. L. A solution to Archimedes' cattle problem // J. of Recreational Math. 1980-81. V. 13. P. 162-176.

5. Vardi I. Archimedes' cattle problem // Am. Math. Monthly. 1998. V. 105. P. 305-319.

6. Nygren A. A simple solution to Archimedes' cattle problem / / Acta Universitatis Ouluensis Scientiae Rerum Naturalium. 2001. ISBN 951-42-5932-7. 44 p.

7. Диофант Александрийский. Арифметика и книга о многоугольных числах / Пер. И. Н. Веселовского; ред. и комм. И. Г. Башмаковой. — М.: Наука, 1974. 328 с.

8. Ферма П. Исследования по теории чисел и диофантову анализу / Под ред. И. Г. Башмаковой. — М.: Наука, 1992. 320 с.

9. Антропов А. А. О двух методах решения уравнения Пелля в работах Дж. Валлиса // История и методология естественных наук. 1986. Т. 32. С. 39-49.

10. Dickson L.E. // History of the theory of numbers. V.U. Diophantine analysis. — Washington: Carnegie Institute, 1920. (Reprinted: AMS, 1999. 576 p.)

11. Weil A. Number theory: an approach through history from Hammurapi to Legendre. — Boston: Birkhauser, 1984. (Reprinted: Berlin a. o.: Springer, 2000. 400 p.)

12. Ван дер Варден Б. Л. Уравнение Пелля в математике греков и индийцев // УМН. 1976. Т. 31, вып. 5 (191). С. 57-70.

13. Щетников А. И. Вторая книга “Начал” Евклида: её математическое содержание и структура. В кн.: Вторая книга “Начал” Евклида: текст и интерпретации. — Новосибирск: АНТ, 2001. С. 19-40.

14. Fowler D.H. Book II of Euclid's Elements and a pre-Eudoxan theory of ratio // Archive for History of Exact Sciences. 1980. V. 22. P. 5-36; 1982. V. 26. P. 193-209.

15. Becker O. Eudoxos-Studien, I. Eine voreudoxishe Proportionlehre und ihre Spuren bei Aristoteles und Euklid // Quellen und Studien zur Geshihte der Math. 1932. B2. S.313-333.

16. Fowler D. H. Ratio in early Greek mathematics // Bull. AMS, N. S. 1979. V. 1. P. 807-846.

17. Зверкина Г. А. Алгоритм Евклида как вычислительное средство античной математики // Историко-математические исследования. 2000, вып. 5(40). С. 232-243.

18. Ван дер Варден Б. Л. Пробуждающаяся наука: Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. — М.: Физматгиз, 1959. 459 с.

19. Зверкина Г. А. Метод простой итерации: от Вавилона до Ньютона // Историко-математические исследования. 1999, вып. 3(38). С. 270-315.

20. Зверкина Г. А. Уравнение Пелля-Ферма в античности. Международная научная конференция “Образование, наука и экономика в вузах на рубеже тысячелетий”. Сборник статей. — Vysoke Tatry, 2000. С. 210-213.

21. Паев М.Е. О приближенном вычислении квадратных корней в древней Греции // Историко-математические исследования. 1965, вып. 16. С. 219-234.

22. Щетников А. И. Атомы Платона, алгоритм Теона и понятие “семенного логоса” // Математическое образование. 1999. №1(8). С. 84-94.

ARCHIMEDES' CATTLE PROBLEM, EUCLID'S ALGORITHM AND PELL'S EQUATION

A. I. Shetnikov

The author reconstructs the method that was used by Archimedes in antiquity and Fermat in modern age to solve Pell's equation y2 = Nx2 + 1 and investigates whether it was possible by means of ancient mathematics to prove that Pell's equation is solvable for any non-square N.

Keywords: number theory, Euclid's algorithm, Pell's equation.

СОДЕРЖАНИЕ И ТЕХНОЛОГИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ В ВУЗЕ

УДК 517.2

ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ КРИВИЗНЫ КРИВОЙ

С. А. Теляковский

Московский государственный униыерситет им. М. В. Ломоносова, Россия, 119899, г.Москва, Воробьевы горы, 1; тел.: (095)9391801; e-mail: sergeytel@mtu-net.ru

Излагается определение кривизны кривой, при котором с самого начала используются свойства соприкасающейся окружности.

Ключевые слова: кривизна кривой, соприкасающаяся окружность.

В учебной литературе по математическому анализу кривизна кривой часто вводится как угловая скорость вращения единичного касательного вектора, а уже потом говорится о соприкасающейся окружности, см. учебники Г. М. Фихтенгольца, С.М. Никольского, Л. Д. Кудрявцева, В. А. Ильина и Э. Г. Позняка, В. А. Ильина, В. А. Садовничего и Бл. X. Сендова, Ю. Г. Решетняка и другие.

В предлагаемой заметке излагается вариант определения кривизны кривой, при котором сразу вводится соприкасающаяся окружность. Такое определение представляется естественным, по своему духу оно согласуется с обычно используемым определеним касательной к кривой как предельного положения секущей. Излагаемый вариант определения кривизны кривой близок подходу, реализованному в книге Ш. Ж. Валле Пуссена [1].

Пусть Г — кривая в трехмерном пространстве, заданная непрерывно дифференцируемой вектор-функцией г (s), где в качестве параметра s взята длина дуги кривой, и г'(s) ф 0.

Предположим, что функция r(s) имеет производную второго порядка в некоторой точке so, являющейся внутренней точкой области определения f(s).

Придадим в точке so аргументу бесконечно малое приращение As и рассмотрим точки м_, Mo и м+, радиусами-векторами которых являются соответственно г (so — As), г (so) и г (so + As).

Рассмотрим окружность, проходящую через точки м_, Mo и м+, центр этой окружности обозначим Aas- Пусть r(so) + Ras — радиус-вектор точки A/\s. Если же точки м_, Mq, м+ лежат на одной прямой, то считаем такой окружностью саму эту прямую и Aas — бесконечно удаленной точкой.

Покажем, что если r'^so) ф 0, то точки Aas при As —> 0 имеют предел. Этот предел будет назван центром кривизны кривой Г в точке r(so).

Положим г := r(so — As) — r(so) и r+ := r(so + As) — r(so).

Найдем R/\s в случае, когда векторы r_ и r+ не коллинеарны, т. е. когда Aas — конечная точка.

Точка A As принадлежит плоскости, проходящей через точки М_, Mq и М+. Поэтому существуют такие числа Ли//, что

(4)

Так как A/\s лежит в плоскости, ортогональной отрезку M_Mq и проходящей через середину этого отрезка, то

(5)

Точно также должно выполняться равенство

(6)

Из (1)-(3) следует, что числа Ли// удовлетворяют системе линейных уравнений

(7)

Основной определитель этой системы равен

Так как векторы г_ и г+ не коллинеарны, то D ф О и из (4) по правилу Крамера находим

Таким образом,

(8)

Найдем R :=

Правая часть в (5) представляет собой неопределенность вида 0/0, для раскрытия которой используем формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. Имеем при As —> 0

Здесь слагаемые o(As2) представляют собой векторы длины

Так как s является длиной дуги кривой, то |r'(s)| = 1 и г'(so) -L r/7(so). Поэтому при As —> О

Аналогично

и, значит,

Наконец,

Следовательно,

Далее,

Таким образом, из (5) получаем

откуда вытекает равенство

После того, как установлено, что при условии г"(so) ф 0 точка А при проведенном построении существует и определяется единственным образом, даются определения.

Точку А называют центром кривизны кривой Г в точке с радиусом-вектором г (so). Плоскость, проходящую через касательную к кривой и точку А, называют соприкасающейся плоскостью, а окружность с центром в точке А радиуса \R\ = l/lr'^so)!, лежащую в соприкасающейся плоскости, называют соприкасающейся окружностью. Радиус этой окружности называют радиусом кривизны, число Ir^so)!, обратное радиусу кривизны, называют кривизной кривой в точке г (so).

Если г(so) = 0, то кривизну кривой Г в точке г (so) считают равной нулю, а радиус кривизны — равным бесконечности.

Приведенное определение соприкасающейся плоскости нужно дополнить доказательством её экстремального свойства как плоскости, к которой кривая Г в окрестности точки г (sо) наиболее близка.

ЛИТЕРАТУРА

1. Пуссен Ш. Ж. де ла Валле. Курс анализа бесконечно малых, т. I. — Л.-М.: ГТТИ, 1933.

ABOUT MEASURING THE DEGREE OF CURVE

S. A. Telyakovskii

The measure of the curve degree is described when the characteristics of an osculating circle are used from the beginning.

Keywords: degree of curve, osculating circle.

СОДЕРЖАНИЕ И ТЕХНОЛОГИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ В ВУЗЕ

УДК 517.2+378.14

ДИСКРЕТНАЯ ВЕРСИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ПРИЗНАКА СХОДИМОСТИ РЯДОВ*

В. И. Гаврилов1, Г. Л. Луканкин2, А. В. Субботин1

1 Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, Россия, 119992, г. Москва, Ленинские горы, 1; e-mail: awsubbotin@mail.ru 2 Московский областной государственный университет, Россия, Москва

Настоящей статьей мы напоминаем, возможно, единственный результат из математического анализа, строгое доказательство которого основано на чертеже. Несмотря на его простоту, им без труда удаётся полностью исследовать вопрос о сходимости так называемого эталонного ряда с указанием при этом точной по порядку оценки скорости сходимости. Материал доступен студентам, обучающимся по специальностям с минимальным объемом часов на математические дисциплины.

Ключевые слова: монотонная функция, криволинейная трапеция, определенный интеграл, частная сумма ряда, эталонный ряд, константа Эйлера.

1. ИСХОДНОЕ УТВЕРЖДЕНИЕ

Раздел "Ряды" входит, по-видимому, в программы курсов высшей математики с самыми минимальными объёмами академических часов. К преподавателям таких курсов прежде всего и обращаются авторы заметки, предоставляя в их распоряжение давно известный простой и наглядный приём определения сходимости эталонного числового ряда, позволяющий установить не только факт сходимости ряда, но и точную по порядку оценку скорости его сходимости. Кроме того, вероятно, это единственный результат аналитического характера, полное строгое доказательство которого основывается на чертеже, что, по нашему мнению, может украсить и самые большие по объему университетские курсы математического анализа. Дальнейшее изложение ведется по схеме, использованной в учебниках [1, 2].

Теорема. Если положительная функция f(x), определённая на промежутке X > а, убывает и стремится к нулю при х —> +оо7 то

(1)

с — постоянное число, 0 < с < fia), и числа ап, п G N7 удовлетворяют неравенствам

* Работа выполнена с использованием гранта Президента РФ поддержки ведущих научных школ №НШ-680.2003.1 под руководством академика РАН Садовничего В. А.

Если, дополнительно, функция f(x) выпукла вниз на промежутке

< Числа ап существуют, так как монотонная функция f[x) интегрируема на отрезках [а, а + п]. Рассмотрим график функции у = f{x) (см. рисунок).

Число ап равно площади криволинейной трапеции, ограниченной осью ж, кривой у = f{x) и прямыми х = аих = а + п. Число f(a + к) равно площади прямоугольника с основанием [a+fc, a+fc+1], длины 1 и высотой f{a+k). Поскольку функция f(x) убывающая, сумма площадей этих прямоугольников — число sn — составляет площадь ступенчатой фигуры, содержащей криволинейную трапецию, и, следовательно, sn > сгп, п G N. Из чертежа видно, что разность sn — ап есть сумма площадей заштрихованных “криволинейных треугольников”. Так как с увеличением номера п к прежним “треугольникам” добавляются новые, то последовательность (sn — ап) монотонно возрастает. Сместим все эти “треугольники” параллельно оси Ох к оси Oy в прямоугольник с основанием [0,1] и высотой /(а), как показано на рисунке. Отсюда видно, что сумма площадей всех этих “треугольников” ограничена числом /(а); т. е., возрастающая последовательность (sn — ап) ограничена сверху числом /(а). Следовательно, она имеет предел с, 0 < с < /(а), и справедливо представление (1). Более того, если функция /(ж) выпукла вниз, то она непрерывна и её график соответствует рисунку, из которого видно, что площадь совокупности заштрихованных “треугольников” составляет не менее половины площади прямоугольника;

Из геометрических соображений следует также,

а в случае выпуклой вниз функции

справедливо

Отметим, что в случае строго выпуклой функции f{x) на промежутке X > а все нестрогие неравенства в утверждении теоремы заменятся строгими.

2. ПРИМЕРЫ

Рассмотрим примеры применения теоремы, а) Докажем равенство

(2)

Действительно, функция fix) = — строго убывает для х > 1 и

Положив в теореме а = 1, найдем

В силу теоремы и свойства строгой выпуклости вниз функции

получим

Число с в соотношении (2) называется постоянной Эйлера. Постоянная Эйлера встречается во многих вопросах математики и её значение вычислено с большой точностью, именно: с = 0,577215664901... Кстати, до сих пор не известна природа постоянной Эйлера: является ли она рациональным или иррациональным числом. □

б) Докажем равенства

(3)

Действительно, функция

строго убывает и выпукла вниз

Положив в теореме а = 1, найдем

и получим (3) с оценками для с(р) и an, п G N.

в) Последовательность

согласно (3), имеет

Таким образом, с учетом также (2), эталонный ряд

расходится при 0 < р < 1 и сходится при р > 1 к сумме

ряд расходится при р < 0 в силу необходимого признака сходящихся рядов.

Кроме того, при р > 1 для сумм rn, п G N, остатков ряда, согласно (3), имеем выражение

и простые оценки

точные, однако, по порядку.

г) Вычислим сумму ряда Лейбница

Для четных частных сумм s2т ряда имеем:

Отсюда и из равенства (2) получим где

Следовательно,

Для нечетных п = 2т + 1 имеем

Таким образом, окончательно

3. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

Опираясь на теорему пункта 1, несложно получить интегральный признак сходимости рядов: если функция /(ж), определенная при всех х > 1, неотрицательна и убывает, то ряд

сходится тогда и только тогда, когда сходится интеграл

ЛИТЕРАТУРА

1. Коровкин П. П. Математический анализ. Ч. 1. 2-е изд. — М.: Просвещение, 1972. 448 с.

2. Gavrilov V.I., Pavicevic Z. Matematicka analiza I. — Podgorica: PMF Univ. Crne Gore, ITP “Unirex”, 1994. 531p. (на сербском языке)

DISCRETE VERSION OF INTEGRAL TEST OF CONVERGENCE OF SERIES

V. I. Gavrilov, G. L. Lukankin, A. V. Subbotin

The article presents the result from mathematical analysis, the proof of which is based on a draft. Though it is very simple it easily explores the problem of convergence of the so called standard series and indicates the precise order speed of convergence. The material is comprehensible for students who have minimal number of mathematical subjects.

Keywords: monotone function, curvilinear trapezoid, define integral, standard series, Euler's constant.

СОДЕРЖАНИЕ И ТЕХНОЛОГИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ В ВУЗЕ

УДК 51

ТЕХНОЛОГИЯ РАЗРАБОТКИ ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

Л. Н. Посицельская1, С. В. Злобина2

1 Московский государственный гуманитарный институт-интернат, Россия, 107150, г.Москва, ул. Лосиноостровская, 49; тел.: (095)1603233; e-mail: lnp@positsel.dnttm.ru

2 Брянский государственный университет, Россия, 241036, г.Брянск, ул. Бежицкая, 14; тел.: (0832)666311

Работа посвящена методам разработки тестовых заданий по математическому анализу, предназначенных для экспресс-анализа знаний студентов и определения эффективности процесса обучения. Систематизирован опыт разработки тестов для проверки остаточных знаний студентов старших курсов и тестов для промежуточной аттестации студентов во время учебного семестра. Использован многолетний опыт проведения письменных экзаменов по математическому анализу. Предлагаемые технологии можно использовать не только для создания тестов, но и при разработке методического обеспечения самостоятельной работы студентов. В приложении приведены примеры тестов по некоторым разделам математического анализа, а также образец теста для проверки остаточных знаний.

Ключевые слова: тестовые задания, математический анализ, остаточные знания.

1. ВВЕДЕНИЕ

Данная работа посвящена методам разработки тестовых заданий по математическому анализу, предназначенных для экспресс-анализа знаний студентов и определения эффективности процесса обучения. В статье систематизирован опыт разработки тестов для проверки остаточных знаний студентов старших курсов [1] и тестов для промежуточной аттестации студентов во время учебного семестра. Использован также многолетний опыт проведения письменных экзаменов по математическому анализу [2, 3]. Предлагаемые технологии можно использовать не только для создания тестов, но и при разработке методического обеспечения самостоятельной работы студентов.

В приложении приведены примеры тестов по некоторым разделам математического анализа, а также образец теста для проверки остаточных знаний.

2. ТИПЫ ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ

По формулировке и способу проверки тестовые задания делятся на задания закрытого типа, в которых тестируемый выбирает ответ из предложенного списка, и задания открытого типа, в которых список ответов не дается.

Мы рассмотрим задания для проверки теоретических знаний, умения применять теоретические знания к исследованию математических объектов и задания вычислительного характера.

1. Проверка теоретических знаний. В этом случае мы используем задания закрытого типа:

1.1. Выбрать из списка ответов пропущенную часть определения.

1.2. Выбрать из списка ответов пропущенное условие (заключение) теоремы.

1.3. Определить логические связи между утверждениями Р и Q, выбрав правильный вариант ответа:

1.4. Выбрать из списка ответов условие, при котором утверждение является верным.

1.5. Выбрать из списка ответов заключение, при котором утверждение является верным.

1.6. Выбрать верные (ошибочные) утверждения из предложенного списка. Задания первых двух видов используются для проверки знания базовых понятий и основных теорем [3, 4].

Пример 1. Укажите пропущенную часть определения. Производной функции f(x) в точке хо называется <...>. Варианты ответа:

Пример 2. Укажите пропущенную часть заключения теоремы.

Пусть заданы числовые ряды

причем

Варианты ответа:

А: если ряд (V) сходится, то сходится и ряд (U);

В: если ряд (U) сходится, то сходится и ряд (У);

С: если ряд (V) расходится, то расходится и ряд (U). Выполняя задания вида 1.3 на установление логических связей между свойствами изучаемых объектов, студент либо вспоминает изученные теоремы (пример 3), либо выясняет справедливость незнакомых утверждений (пример 4). Такие задания позволяют проверить, умеет ли студент различать прямую и обратную теоремы, необходимое и достаточное условия, и обращают внимание студента на важность понимания этих различий. Использование задач на установление логических связей обсуждалось в работах [1, 3].

Пример 3. Установите логические связи между утверждениями Р и Q.

Р: Числовой ряд сходится абсолютно;

Пример 4. Установите логические связи между утверждениями Р и Q. Р: Функция f(x) является периодической и не постоянна; Q: lim fix) не существует.

Задания видов 1.4-1.6 проверяют умение устанавливать истинность или ложность утверждений, не являющихся стандартными теоремами. Примеры задач такого вида в форме, предназначенной для письменного экзамена, даны в работах [1, 3, 4].

Пример 5. Укажите пропущенную часть формулировки утверждения, при которой оно является верным.

Числовой ряд ^2 ап с неотрицательными членами сходится <^=> <...>.

А: последовательность частичных сумм ряда ограничена сверху;

В: последовательность {ап} членов ряда удовлетворяет критерию Коши для последовательностей (является фундаментальной); С: lim ап = 0.

2. Проверка умения применять теоретические знания к исследованию математических объектов. В этом случае мы также применяем задания закрытого типа.

2.1. Заполнить таблицу сведений о свойствах данного объекта.

2.2. Выбрать из предложенного списка объектов те, которые обладают указанным свойством (свойствами).

2.3. Выбрать пары объектов, находящихся в данном отношении друг к другу.

При исследовании свойств объекта (задания вида 2.1 и 2.2) выбор верного ответа из конечного множества вариантов обусловлен содержанием задачи. Поэтому такие задачи естественно формулировать как вопросы закрытого типа.

Пример 6. Исследуйте сходимость каждого из заданных числовых рядов. Результаты занесите в таблицу.

Пример 7. Из заданных степенных рядов выберите такие, область сходимости которых содержит промежуток [—1, 1/2).

Варианты ответа: a) (U) и (V); b) (W); с) (V) и (W).

Пример 8. Укажите в таблице свойства функции f(x) при данных значениях ж, если

Непрерывность

Дифференцируемость

Максимум

Минимум

Перегиб

X = 0

X = 1

Задания вида 2.3 на установление соответствий содержатся в тестах, приведенных в приложении. Различные примеры соответствий рассмотрены в работе [1].

3. Проверка умения решать задачи вычислительного характера.

Такие задачи предпочтительнее формулировать как вопросы открытого типа с ответом в виде числа или набора чисел. Исключение составляют задачи, связанные с приближенными вычислениями и оценками. В этом случае могут быть полезны задания закрытого типа.

Пример 9. Укажите, какое число m членов ряда

надо взять, чтобы вычислить сумму ряда с точностью до 0,001:

3. МНОГОСТУПЕНЧАТЫЕ ЗАДАНИЯ

Наряду с тестовыми заданиями простой структуры можно использовать задания, состоящие из подзадач, предназначенных для последовательного решения. Первыми ступенями такого задания являются подготовительные задачи, а последними — задачи с элементами исследования. Такие задания будем называть многоступенчатыми. Их можно применять как для контроля знаний, так и для организации самостоятельной учебной работы студентов. Это особенно актуально в связи с тем, что современные образовательные стандарты предусматривают увеличение времени на самостоятельную работу студентов за счет сокращения числа аудиторных часов.

Пример 10. Исследуйте функцию f(x) на непрерывность в точке х = 0 при всех значениях показателя степени

Эта задача разбивается на следующие подзадачи.

1. Определите поведение функции в точке X = 0.

Варианты ответа: а) имеет устранимый разрыв; Ь) имеет разрыв 1-го рода; с) имеет разрыв 2-го рода; d) непрерывна.

2. Определите поведение функции в точке X = 0 при заданных значениях параметра к. Результаты занесите в таблицу.

Устранимый разрыв

Разрыв 1-го рода

Разрыв 2-го рода

Непрерывность

к = 0

к = 1

к = 2

к = -1

3. Определите, при каких значениях показателя степени к G Ъ функция в точке X = 0 а) имеет устранимый разрыв; Ь) имеет разрыв 1-го рода; с) имеет разрыв 2-го рода; d) непрерывна.

Пример 11. Определите вид неопределенного интеграла

в зависимости от значений коэффициентов а, Ъ и с. Это задание разбивается на четыре подзадачи. 1) При заданных значениях параметра а укажите вид неопределенного интеграла

отметив пересечение соответствующих строки и столбца таблицы.

Линейная функция

Арксинус

“Длинный” логарифм1

а = 0

а = 1

а = -1

2) При заданных значениях параметров а и с укажите вид неопределенного интеграла

отметив пересечение соответствующих строки и столбца таблицы.

Арксинус

“Длинный” логарифм

Sgll X lu \х\

а = 1, с = 0

а = 4, с = 1

а = —1, с = 1

а = 1, с = — 1

3) При заданных значениях параметров а, Ъ и с укажите вид неопределенного интеграла

отметив пересечение соответствующих строки и столбца таблицы.

Степенная функция

Арксинус

“Длинный” логарифм

£>(/) = 02

а = 0, Ь = 1. с = 1

а = 1, Ь = 2. с = 0

а = -1, Ь = -2, с = 1

а = — 1, 6 = —1, с = —1

4) Укажите вид неопределенного интеграла в зависимости от значений коэффициентов а, 6 и с, отметив пересечение соответствующих строки и столбца таблицы (D — дискриминант).

Степенная функция

Арксинус

“Длинный” логарифм

sgn {х — хо) In \х — Хо 3

= 0

а = 0, be ф 0

а > 0, D = 0

а < 0, D = 0

а > 0, D > 0

а > 0, D < 0

а < 0, D > 0

а < 0, D < 0

В данном примере мы используем наименования функций вместо точных формул, чтобы исключить подбор ответа путем дифференцирования.

4. ОПЫТ ПРИМЕНЕНИЯ ТЕСТОВ

На факультете прикладной математики Московского государственного гуманитарного института-интерната проводилось тестирование студентов 3-5 курсов для проверки остаточных знаний по математическому анализу в порядке подготовки к аттестации института. Анализ полученных результатов показал следующее. Студенты отнеслись к процессу тестирования и его итогам с пониманием и интересом. Отметки, полученные студентами 3, 4 и 5 курсов при тестировании, почти не отличаются. Они хорошо согласуются с экзаменационными оценками по математическому анализу. При разборе задач после тестирования студенты, давшие неверный ответ на задачу вычислительного характера с выбором ответа из предложенных вариантов, правильно решали эту задачу при отсутствии вариантов ответа. Это можно объяснить низкой эффективностью применения заданий закрытого типа

2 D(f) — область определения подынтегральной функции.

3 х0 — вершина параболы

для проверки вычислительных навыков. Другое объяснение состоит в следующем. Студенты не умеют (или не пытаются) приближенно оценить вычисляемые величины, что допустимо при данной форме контроля знаний. Таким образом, обнаруживается дефект обучения.

Область применения тестов определяется их особенностями. Во-первых, с их помощью нельзя проверить умение рассуждать, проводить доказательства, обосновывать выводы. Это является недостатком. Достоинство тестов состоит в том, что проверка тестовых работ требует значительно меньше времени. Эти два свойства тестов неразрывно связаны. Поэтому тестирование не может заменить традиционные формы контроля, но позволяет чаще проводить контрольные мероприятия и весьма эффективно для экспресс-анализа знаний, а также как средство самоконтроля [5].

5. ПРИЛОЖЕНИЕ. ПРИМЕРЫ ТЕСТОВ

Тест 1. Последовательность и её предел

1. Заполните таблицу свойств последовательности

Ограниченность

ограниченная

ограниченная сверху

ограниченная снизу

неограниченная

Монотонность

возрастающая

убывающая

немонотонная

Сходимость

бесконечно малая

сходящаяся

бесконечно большая

расходящаяся

2. Укажите логические связи между утверждениями Р и Q.

Р: последовательность сходится; Q: последовательность ограничена. Варианты ответа:

3. Выберите из списка ответов условие, при котором данное утверждение является верным.

Если <•••>, то

Варианты ответа:

А: последовательность {хп} содержит бесконечное число нулевых членов; В: сходящаяся последовательность {хп} содержит бесконечное число нулевых членов;

С: сходящаяся последовательность {хп} содержит нулевые члены.

4. Выберите из списка ответов заключение, при котором данное утверждение является верным (если верных ответов несколько, то укажите все).

Если

то <•••>.

Варианты ответа:

А: все члены последовательности {хп} положительны.

В: все члены последовательности {хп} неотрицательны.

С: последовательность {хп} содержит не более, чем конечное число отрицательных членов.

D: последовательность {хп} содержит не более, чем конечное число членов, равных нулю. 5. Укажите, какое из данных утверждений является ошибочным.

А: Если 3 lim |хп|, то последовательность {хп} сходится.

В: Если lim \хп\ = 0, то lim хп = 0.

С: Если 3 lim \хп\, то последовательность {хп} ограничена.

D: Если 3 lim хп, то последовательность {|хп|} сходится.

6. Отметьте клеточки таблицы, соответствующие парам последовательностей, эквивалентных при п —> +оо.

Тест 2. Предел и непрерывность функции

1. Укажите логические связи между утверждениями Р и Q. Р: 3 lim f(x) = b] Q: функция f(x) непрерывна в точке а.

х—>а

Варианты ответа:

2. Определите, на каком из данных отрезков уравнение f{x) = 0 имеет корень (если таких отрезков несколько, укажите один из них).

Варианты ответа:

3. Определите поведение функции /(ж) в точке X = 0 при данных значениях параметра к. Результаты занесите в таблицу.

Устранимый разрыв

Разрыв 1-го рода

Разрыв 2-го рода

Непрерывность

к = 0

к = 1

к = 2

к = -1

4. Определите, сколько различных асимптот имеет функция

Варианты ответа: а) 1; Ь) 2; с) 3; d) 4; е) 0.

5. Выберите из списка ответов условие, при котором утверждение является верным (если таких условий несколько, то укажите все).

Если <•••>, то f(x) достигает на [а, Ь] наибольшего и наименьшего значения. Варианты ответа:

А: функция f{x) монотонна на [а, Ь];

В: функция f{x) непрерывна на (а, Ь);

С: функция f{x) непрерывна на [а, Ь];

D: функция /(ж) ограничена на [а, Ъ].

6. Укажите, какое из данных утверждений является верным.

А: Если в точке а функция f(x) непрерывна, а функция д(х) разрывна, то функция f(x) + д(х) в точке а разрывна.

В: Если в точке а функция f(x) непрерывна, а функция д(х) разрывна, то функция f{x) - д[х) в точке а разрывна.

С: Если функции f{x) и д{х) в точке а терпят разрыв, то и функция f(x) + д{х) в точке а разрывна.

7. Для каждой из данных функций укажите промежуток, на котором она имеет непрерывную обратную, отметив пересечение соответствующих строки и столбца таблицы.

Тест 3. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

1. Укажите логические связи между утверждениями Р и Q.

Р: Дифференцируемая функция f(x) строго возрастает в интервале (а, Ь); Q: f'(x) > 0 при X G (а,Ь). Варианты ответа:

2. Укажите вид графика функции у = /(ж), для которой на всем интервале (а, Ь) одновременно выполняются 3 условия: у > 0; у' > 0; у" < 0. Варианты ответа:

3. Дана функция f{x) = л/ж^ (р = 1,2,3,4). При каких значениях параметра р касательная к графику функции в любой точке с G (—1,1) не параллельна секущей, проведенной через точки графика с абсциссами — 1 и 1?

Варианты ответа: а) только при р = 1; Ь) только при р = 2,3; с) только при = 1, 4; d) только при р = 2, 4; е) только при р = 2.

4. Определите поведение функции /(ж) в точке хо по указанным данным:

Варианты ответа: а) максимум; Ь) минимум; с) перегиб; d) иное. 5. Укажите в таблице, сколько точек экстремума (в том числе максимума и минимума) и перегиба может иметь многочлен 3-й степени на числовой оси.

0V1V2

0V2

1V2

0

1

2

Экстремумы

Максимумы

Минимумы

Перегибы

6. Определите порядок малости к функции

Варианты ответа:

а) к = 1; Ь) к = 2; с) к = 3; d) к = 4; е) f(x) не является бесконечно малой.

Тест 4. Интегральное исчисление функций одной переменной

1. Определите первообразную функции f(x) = е'ж1, проходящую через точку М(0,0).

Варианты ответа:

2. Дана функция

Укажите вид графика ее первообразной, проходящего через точку М(2,0).

Варианты ответа:

3. При каждом из данных значений параметра р укажите вид неопределенного интеграла

отметив пересечение соответствующих строки и столбца таблицы.

Арктангенс

“Высокий”4 логарифм

Логарифм модуля

Степенная функция

р = 0

р = 1

р = -1

4. Для интеграла подберите подходящую подстановку из первого столбца таблицы. В первой строке найдите интеграл, который получится после замены переменной. Отметьте клеточку на пересечении соответствующих строки и столбца.

4 Здесь, как и в примере 11, мы не даем точную формулу, чтобы исключить подбор ответа дифференцированием.

5. Выберите из списка ответов условие, при котором данное утверждение является верным.

Если <•••>, то

Варианты ответа:

А: Да) = f(b) = 0.

В: f(x) — нечетная функция,

С: f(x) — четная функция.

D: f(x) — периодическая функция с периодом Ъ — а.

6. Выберите из списка ответов заключение, при котором данное утверждение является верным.

Если

и f'(x) непрерывна, то <•••>.

Варианты ответа:

Тест 5. Определение остаточных знаний по математическиму анализу

1. Укажите область определения функции

Варианты ответа:

2. Найдите предел

Варианты ответа:

3. Найдите угол наклона касательной к графику функции в точке с абсциссой жо = 3.

Варианты ответа:

4. Укажите вид графика функции у = /(ж), для которой на всем интервале (а, Ъ) одновременно выполняются 3 условия: у > 0; у' > 0; у" > 0.

Варианты ответа:

5. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у = Зж2 + 1, ж = 1; ж = 2, у = 0.

Варианты ответа:

а) 8; б) 10; в) 7; г) 12; д) 9.

6. Укажите, какие из данных рядов сходятся.

Варианты ответа:

а) только 1 и 5; б) только 1 и 4; в) только 1, 3 и 5; г) только 2 и 3; д) только 2 и 5.

7. Укажите первые 3 отличные от нуля члена разложения функции в ряд Маклорена.

Варианты ответа:

8. Укажите значение двойного интеграла

Варианты ответа:

ЛИТЕРАТУРА

1. Посицельская Л. Н., Злобина С. В. О тестовых заданиях для проверки остаточных знаний по математическому анализу // “Математика. Компьютер. Образование”. Тезисы. Вып. 11. — Москва-Ижевск, 2004. С. 362.

2. Злобина С. В., Посицельская Л. Н. Опыт проведения письменного экзамена по математическому анализу / / Подготовка преподавателя математики и информатики для высшей и средней школы. Международная конференция. Часть 1. — М.: МПГУ, 1994. С.126.

3. Злобина С. В., Посицельская Л. Н. О принципах модернизации математических курсов и форм контроля знаний в вузе // Труды III Международной конференции женщин-математиков. — Нижний Новгород, 1996. С. 291-300.

4. Злобина С. В. О технологии изучения основных понятий математического анализа в вузе // Труды IV Международной конференции женщин-математиков. — Нижний Новгород, 1997. Т. 4, вып. 2. С. 157-162.

5. Злобина С.В., Посицельская Л. Н. О компьютерном самотестировании при изучении математического анализа // Международная конференция “Математика. Компьютер. Образование”. Тезисы. — Москва, 1996. С. 50.

THE METHODS OF SETTING TESTS ON MATHEMATICAL ANALYSIS

L. N. Positselskaya, S. V. Zlobina

The work is dedicated to the methods that are used to draw up tests on mathematical analysis and are meant for express-surveys of students' knowledge and study of the educational process efficiency. The authors systematize the experience of setting tests used to check the residual knowledge of senior students and interim knowledge assessment during the semester. The experience of written examinations on mathematical analysis is used. The offered methods may be used not only to draw up tests but also to work out the basis for students' independent work. The appendix presents the examples of tests on some themes of mathematical analysis and also a test to check residual knowledge.

Keywords: tests, mathematical analysis, residual knowledge.

СОДЕРЖАНИЕ И ТЕХНОЛОГИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ В ВУЗЕ

УДК 517

ОБ ОДНОЙ ФОРМЕ РАБОТЫ СО СТУДЕНТАМИ НА СЕМИНАРСКИХ ЗАНЯТИЯХ ПО МАТЕМАТИКЕ НА ПЕРВОМ КУРСЕ

А. А. Шишкин

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, Россия, 119899, г.Москва, Ленинские горы, 1; e-mail: dean@phys.msu.ru

Преподаватель математики физического факультета МГУ делится опытом активизации самостоятельной работы студентов первого курса.

Ключевые слова: самостоятельная работа студентов, математический анализ, методика активизации учебной деятельности.

В последние годы, как отмечают преподаватели математики, у многих студентов первого курса практически отсутствуют навыки самостоятельной работы, низка активность студентов на лекциях и семинарских занятиях. В частности, на семинар студенты приходят, не зная материала, подлежащего разбору на этом занятии. Поэтому преподаватель вынужден (в ущерб количеству разбираемых методов и задач, а, следовательно, в конечном счете в ущерб качеству подготовки будущих специалистов) часть семинарского занятия посвящать изложению теории, необходимой для решения задач, разбирать методы, в которых студенты могли бы хорошо разобраться и самостоятельно. К сожалению, такое же положение сохраняется и на старших курсах. Поэтому актуальной задачей вуза стала следующая проблема: научить студентов самостоятельной работе с учебной и научной литературой.

Для того, чтобы активизировать самостоятельную работу студентов первого курса, помочь им приобрести навыки этой работы, с одобрения методического совещания преподавателей первого курса кафедры математики физического факультета МГУ в течение последних пяти лет1 мною проводились семинарские занятия по математическому анализу, аналитической геометрии, линейной алгебре и началам программирования на ЭВМ по следующей схеме.

1. Как это принято в вузах, тема каждого семинарского занятия сообщалась студентам за неделю до его проведения. Указывались соответствующие страницы учебного пособия (или лекции), содержание которых студенты обязаны выучить.

2. Степень подготовки студента проверялась не только его работой у доски (таким образом трудно охватить всех студентов за одно занятие).

1 Эта статья является несущественной переработкой публикации [1].

На каждом семинаре проводилась 5-10-минутная контрольная работа. Последняя состояла в том, что студенту предлагалось написать определения основных понятий, формулировки некоторых теорем, решить задачу.

При подборе задач основное внимание обращалось на то, чтобы при её решении студент показал знания как самого метода, так и соответствующих разделов теории. Например, по курсу математического анализа по теме “Дифференцирование функции нескольких переменных” на 10 мин предлагалась задача: “Найти первые частные производные функции ^fxy в точке 0(0,0). Является ли функция дифференцируемой в этой точке?”. По теме “Неявная функция” предлагалась контрольная работа на 7 минут: “Дано уравнение

х2 + у2 = 1. (1)

Используя теорему о существовании неявной функции, выяснить, определяет ли уравнение (1) в некоторой окрестности точки Mi (1,0) функцию ж = f(y). Вычислить первую и вторую производные при х = 0 функции у = /(ж), заданной уравнением (1) в окрестности точки м2(0,1)“. По теме ”Теория решения линейных уравнений“ курса линейной алгебры предлагалась на 3 минуты задача: ”Найти нормальную фундаментальную совокупность решений для уравнения ж + у + z = 0“. По теме ”Приведение квадратичной формы к каноническому виду“ — задача на 8 минут: ”Найти ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму /(ж, у, z) = 2yz к каноническому виду”.

3. После сдачи контрольных работ на этом же семинарском занятии проводился подробный их разбор.

4. Студенты предупреждались на первом семинарском занятии, что зачет им будет выставляться за семестр прежде всего с учетом результатов этих контрольных работ, т. е. с учетом результатов их самоподготовки.

5. После прохождения раздела (раздел состоит из нескольких тем и занимает несколько семинарских занятий) проводилась контрольная работа на 2 часа. Она устанавливала, как студенты усвоили проработанный на семинарах материал. В этих работах содержались не только теоретические вопросы, но и задачи, требующие для своего решения хороших практических навыков.

Какие же выводы можно сделать из проведенного эксперимента?

1. Такая форма контроля со стороны преподавателя заставляет студентов систематически работать.

2. При самостоятельной работе первокурсник часто не знает, разобрался он в изучаемом материале или нет. Работа на семинаре, который для подготовленных студентов практически превратился в консультацию, регулярные контрольные работы помогают ему получить ответ на этот вопрос не на экзаменационной сессии, а на семинарском занятии, позволяют увидеть свои ошибки при самоподготовке и дают возможность исправить их при последующей работе.

3. На первых порах происходит некоторое отставание от графика проведения семинарских занятий. Однако по мере того, как студенты познают “секреты” самостоятельной работы, ряд теоретических положений, а также методов решения задач они усваивают самостоятельно. Поэтому не только

ликвидируется отставание, но и появляется время для разбора тонких вопросов теории и специальных приемов решения задач.

В итоге студенты приходят хорошо подготовленными к экзаменационной сессии. И, самое главное, уже с первого курса они начинают работать творчески.

Хочу заметить, что: а) сами студенты уже через месяц после начала занятий начинают положительно оценивать такую организацию работы на семинарских занятиях; б) сейчас уже несколько преподавателей нашей кафедры работают таким же образом со студентами младших курсов.

В заключение приведу еще несколько примеров контрольных работ.

Математический анализ По теме “Предел последовательности” (на 10 мин)

1. Написать определения: а) сходящейся последовательности, б) расходящейся последовательности.

2. Не вычисляя предела последовательности (п — 1) : (п + 1), доказать, что число 2 не является её пределом.

По теме “Условный экстремум функции нескольких переменных”

(на 6 мин)

Написать функцию Лагранжа для функции и = /(ж, у, z) с условием связи Ф(х,у, z) = с и сформулировать достаточное условие условного экстремума для функции Лагранжа в этом случае.

По теме “Поверхностные интегралы” (на 6 мин)

Вычислить поверхностный интеграл второго рода

где Р — внутренняя сторона поверхности верхней полусферы z > 0.

ЛИТЕРАТУРА

1. Шишкин А.А. Об одной форме работы со студентами на семинарских занятиях по математике на первом курсе // Сб. научно-методических статей по математике. Вып. 10. - М.: ВШ, 1983. С. 98-101.

ON A METHOD OF WORK WITH FIRST-YEAR STUDENTS AT SEMINARS ON MATHEMATICS

A. A. Shishkin

The tutor of mathematics from the physics department of Moscow State University shares the experience how to make first-year students more active in their independent study.

Keywords: student's independent study, mathematical analysis, method of learning process activation.

МАТЕМАТИКА ДЛЯ СПЕЦИАЛИСТОВ РАЗЛИЧНОГО ПРОФИЛЯ

УДК 51

О СОДЕРЖАНИИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПОДГОТОВКИ СТУДЕНТОВ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ НАПРАВЛЕНИЙ И СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ (некоторые предложения к ГОС ВПО третьего поколения)

А. И. Самыловский

Научно-методический совет по математике Министерства образования Российской Федерации, Россия, 117198, г.Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6, комн. 240а; тел.: (095)4332118; e-mail: cso@mail.rudn.rssi.ru

Содержание цикла ЕН (Общие математические и естественно-научные дисциплины) ГОСов (Государственных образовательных стандартов) многих социально-экономических направлений и специальностей рассматривается как основа формирования математического компонента профессиональной подготовки студентов. Предлагается содержание соответствующего цикла ЕН, которое позволяет достаточно точно определить и перечислить номенклатуру и объем изучаемых сведений, фиксировать цели образования на различных его рубежных уровнях.

Ключевые слова: преподавание математики в вузе, социально-экономическое направление, государственный образовательный стандарт.

Верно определяйте слова, и Вы освободите мир от половины недоразумений.

Рене Декарт

1. ВВЕДЕНИЕ: НЕКОТОРЫЕ ПРОБЛЕМЫ ГОСов

Ознакомление с содержанием существующих циклов ЕН (общих математических и естественно-научных дисциплин) большинства действующих Государственных образовательных стандартов (ГОСов т. н. “второго поколения”) высшего профессионального образования (ВПО) по социально-экономическим направлениям и специальностям позволяет сделать очевидный вывод о невозможности организации на их основе современного образовательного процесса по формированию математического компонента профессиональной подготовки студентов [1]. Такая ситуация объясняется, помимо прочего, тем, что нынешние ГОСы составлялись вне учета современного весьма математизированного и компьютеризованного облика собственно самих социально-экономических областей деятельности, вне учета возможности и целесообразности широкого использования образовательных технологий в учебном процессе. Действительно, с одной стороны, еще в начале 90-х годов идеи, реальные возможности и практические достижения математического исследования социально-экономических явлений, объектов и процессов были

практически не известны в России, а с другой стороны, сама по себе работа по внедрению ГОСов решала многие жизненно актуальные в ту пору задачи введения разумной системности в “достаточно бессистемное” дело подготовки специалистов-“гуманитариев” в российской высшей школе. Конечно, содержание “математических” разделов нынешних “социально-экономических” ГОСов можно долго критиковать с профессиональных позиций математики, но сейчас актуальной представляется иная задача. Целесообразно попытаться выработать взгляды на облик ГОСов следующего поколения, которые давали бы возможность строить на их основе эффективные образовательные технологии, воспитывать у студентов-“гуманитариев” творческое отношение к изучению математики как к формированию необходимого им компонента профессиональной подготовки. Для этого ГОСы должны в кардинально иной, чем сейчас, степени подробности и однозначности перечислять изучаемые дидактические единицы, фиксировать образовательные цели, отражать требования общества к результатам образования. Следует отметить, что во многих существующих ГОСах ряд учебных дисциплин представлен почти в том виде, о желательности которого и идет речь: достаточная структуризация и детализация содержания, разумное выделение дидактических единиц, указание целевых задач. Такой позитивный факт, однако, подчеркивает и наличие проблем, которые предстоит разрешить. Например, очевидно, что подготовка разделов “по математике” в Учебно-методических объединениях (УМО) “по экономике” без привлечения Научно-методического совета (НМС) по математике приводит к многочисленным “предметно-математическим” несуразностям в содержании циклов ЕН, лишает соответствующие конкретные математические дисциплины какой-либо привлекательности в глазах большинства студентов социально-экономических ВУЗов.

Таким образом, налицо, по крайней мере, одно из актуальных направлений работы: создание реально действующей “кросс-структуры” формирования ГОСов “по экономике”, состоящей из УМО “по экономике” и НМС по математике.

Предлагаемый материал отражает профессиональный опыт автора по преподаванию в течение более чем 20 лет “социально-экономической” математики весьма разным молодым людям — от “почти чистых математиков” факультета управления и прикладной математики Московского физико-технического института до “почти чистых гуманитариев” социологического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова, Российской экономической академии и Государственного университета -Высшей школы экономики, от почти совершенно немотивированных на получение каких-либо профессиональных знаний “студентов” российских негосударственных “ВУЗов” до абсолютно точно знающих свои “сугубо утилитарные” профессионально-образовательные цели студентов британских университетов. Опыт же работы с “хозяйствующими субъектами” экономики и бизнеса дает основание предположить разумность предлагаемых целевых практических установок по формированию математического компонента профессиональной подготовки студентов в серьезном ВУЗе социально-экономического профиля.

2. О МАТЕМАТИЧЕСКОМ РАЗДЕЛЕ ГОС ВПО ТРЕТЬЕГО ПОКОЛЕНИЯ ПО СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИМ НАПРАВЛЕНИЯМ

Ниже предлагается содержание математического раздела ГОСов для ряда социально-экономических направлений и специальностей, на базе которого возможно осмысленное и эффективное построение соответствующей образовательной системы формирования математического компонента профессиональной подготовки студентов (направления: 520900 - Политология, 521000 —Психология, 521200 —Социология, 521500 —Менеджмент, 521600 -Экономика; специальности: 020200 — Политология, 020300 — Социология, 020400 — Психология, 060100 — Экономическая теория, 060200 — Экономика и социология труда, 060400 — Финансы и кредит, 060600 — Мировая экономика, 060700 — Национальная экономика, 060800 — Экономика и управление на предприятии, 061000 — Государственное и муниципальное управление, 061100 — Менеджмент организации, 061500 — Маркетинг, 062100 — Управление персоналом, 062200 — Логистика, 351400 — Прикладная информатика (в экономике)).

Настоящая “программа по математике” рассчитана на объем до 800 часов трудоемкости (на объем до 23 зачетных единиц — кредитов ECTS), из которых не менее половины должно быть отведено для аудиторных занятий со студентами. Программа предназначена для подготовки бакалавров и специалистов.

В программе предусмотрены разделы, специально ориентированные на формирование понимания как студентами, изучающими математику, так и выпускающими социально-экономическими кафедрами, роли математики в постановке и в решении задач социально-экономического содержания (разделы возможной тематики дисциплин по выбору и приложения). Материал данных разделов может использоваться при формировании прикладной тематики научно-исследовательской работы студентов, для расширения тематики дисциплин по выбору и факультативных математических дисциплин социально-экономической направленности. Тем же целям служит и последний раздел списка литературы. В него включены не поверхностные издания типа “математики для экономистов”, а современные профессиональные издания, в которых в весьма значительном объеме математический инструментарий применяется при решении предметных социально-экономических задач. Включение в список литературы ряда зарубежных изданий последних лет призвано иллюстрировать уже давно сложившуюся на Западе практику преподавания “социально-экономической” математики без особых математических упрощений, с одной стороны, и в неразрывной связи с социально-экономическими моделями, с другой. Можно сказать, что западная практика здесь в большей степени соответствует названию “математика экономики”, чем названию “математика для экономистов”. Проводя аналогию с дифференциальным и интегральным исчислением как “математикой физики” и оглядываясь на пройденный им путь, хотелось бы с оптимизмом смотреть на будущее развитие “математики экономики” именно как Математики, а не как просто упрощенных и “урезанных” элементов математического анали-

за, линейной алгебры, дифференциальных уравнений и теории вероятностей. Внимательный читатель без особого труда обнаружит в различных разделах списков литературы здесь и в [2] весьма обнадеживающие “цепочки” изданий, в которых происходит последовательное продвижение к рассмотрению всё более и более глубоких явлений социально-экономической природы и соответствующих им математических моделей и методов. Математика является не только средством решения прикладных задач, но и общепринятым универсальным языком науки, базисным элементом общей и профессиональной культуры современного гуманитария-экономиста. Изучение математических дисциплин должно приводить в результате к формированию у студента -будущего специалиста-аналитика целостного представления о месте и роли математики в современном мире, о её внутренней структуре, о взаимосвязях её разделов, моделей и методов, о её возможностях при решении конкретных задач [3].

Математические дисциплины должны содержать лекции, семинарские занятия в аудитории, занятия в компьютерном классе. При аудиторной работе студенты должны систематически выполнять тесты и контрольные работы как формы текущего и рубежного контроля усвоения изучаемого материала. Важную роль следует отводить самостоятельной контролируемой работе студентов. Возможными формами самостоятельной работы студентов являются домашние задания, рефераты, эссе, курсовые работы. Специально подчеркнем, что под тестом понимается определенным образом стандартизированная письменная контрольная работа, т. е. синтез форматов “free response” и “multiple choice”, а не только выбор единственного ответа из списка предложенных.

При реализации учебного процесса следует специально предусматривать в программах время для повторения и закрепления пройденного материала, не перегружая основные программы излишним разнообразием проблематики. Широкий спектр дополнительной проблематики целесообразно выносить в дисциплины по выбору и в факультативы. Весьма желательно систематическое проведение регулярных текущих консультаций преподавателей для студентов.

Важное установочное значение имеет предлагаемый список (фактически, четыре смысловых списка — здесь и в [2]) литературы, определяющий, во многом, уровень (глубину, широту, практическую направленность) изучения материала. Специалисты понимают, что именно рекомендуемая к использованию литература часто определяет то, что невозможно выразить в предметном содержании программы учебной дисциплины языком научных терминов. Фактически предлагаются возможные различные по глубине уровни изучения. Для практической организации учебного процесса наибольший интерес представляют основная математическая литература и литература прикладного “социально-математического” содержания. Данные разделы формировались особенно тщательно, т. к. именно они определяют математическое содержание и прикладную социально-экономическую направленность профессиональной подготовки студентов в их единстве, необходимом для профессионального успеха будущих специалистов-аналитиков. Полагаю, что мно-

гие читатели смогут внести свои многочисленные дополнения во второй и в третий разделы списка литературы [2]. Однако, предлагаемые в настоящей статье два раздела претендуют на “субоптимальность” по векторному критерию, учитывающему научно-методический уровень включенных в них книг, математическую аккуратность изложения, системную продуманность организации содержания книг, ориентированный на заинтересованных читателей-“нематематиков” жанр подачи материала, современность математической и прикладной социально-экономической проблематики.

3. ПРЕДЛАГАЕМОЕ СОДЕРЖАНИЕ ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКОГО РАЗДЕЛА ТИПОВОГО ЦИКЛА ЕН ГОСа

1. Основы дифференциального и интегрального исчисления (до 100 аудиторных часов, 5,5 кредитов ECTS)

1.1. Множества. Операции с множествами. Декартово произведение множеств. Отображения множеств, понятия образа и прообраза. Множество вещественных чисел. Функция. Сложные и обратные функции. График функции.

1.2. Числовые последовательности. Предел числовой последовательности. Критерий Коши сходимости числовой последовательности. Арифметические свойства пределов. Предел функции в точке и на бесконечности. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Замечательные пределы.

1.3. Непрерывность функции в точке. Локальные свойства непрерывных функций. Непрерывность сложной и обратной функций. Непрерывность элементарных функций. Точки разрыва и их классификация. Свойства функций, непрерывных на отрезке: ограниченность, существование наименьшего и наибольшего значений, промежуточные значения.

1.4. Понятие функции, дифференцируемой в точке. Дифференциал функции, производная функции, линеаризация. Производная сложной и обратной функции. Дифференцирование функций, заданных параметрически. Правила дифференцирования. Точки экстремума функции, теорема Ферма о необходимом условии экстремума. Теоремы и формулы Ролля, Лагранжа, Коши о промежуточных значениях. Правило Лопиталя. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Разложение основных элементарных функций по формуле Тейлора, применение для приближенных вычислений.

1.5. Исследование функций и построение их графиков. Условия монотонности. Достаточные условия экстремума. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции, дифференцируемой на отрезке. Выпуклость. Точки перегиба. Асимптоты. Кривые, заданные параметрически. Длина кривой. Фрактал, фрактальная линия и её размерность.

1.6. Первообразная. Неопределенный интеграл. Методы интегрирования. Определенный интеграл Римана, интегральная сумма. Теоремы о среднем значении определенного интеграла. Интеграл как функция переменного верхнего предела. Формула Ньютона-Лейбница. Несобственные интегралы.

Кратные интегралы, повторные интегралы. Замена переменных в кратных интегралах, матрица Якоби и якобиан.

1.7. Функции нескольких переменных. Область определения, предел, непрерывность. Частные производные, полный дифференциал. Производная по направлению, градиент. Частные производные высших порядков. Однородные функции. Функциональные определители. Неявные функции. Обратные функции. Экстремумы, необходимое условие, достаточное условие. Условный экстремум, метод множителей Лагранжа.

1.8. Ряды. Числовые ряды, сходимость и сумма ряда, действия с рядами. Функциональные ряды, их интегрирование и дифференцирование. Степенные ряды, радиус сходимости. Разложение функций в степенные ряды, ряды Тейлора и Маклорена.

1.9. Численные методы в решении задач дифференциального и интегрального исчисления.

2. Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии (до 60 аудиторных часов, 3,5 кредитов ECTS)

2.1. Декартовы координаты. Векторы. Базис. Операции над векторами. Скалярное произведение. Длина вектора, угол между двумя векторами. Ортогональность, коллинеарность, компланарность. Векторное произведение. Смешанное произведение. Определители второго и третьего порядков. Определители п-го порядка. Алгебраические дополнения и миноры. Вычисление определителей разложением по столбцу или по строке.

2.2. Прямая и плоскость, гиперплоскость. Прямая на плоскости. Расстояние от точки до прямой. Угол между прямыми. Угол между плоскостями. Угол между прямой и плоскостью. Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола. Поверхности второго порядка.

2.3. Матрицы и действия с ними. Симметричная, диагональная, единичная матрицы. Ортогональная матрица. Обратная матрица. Системы линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера - Капелли о совместности системы. Методы решения системы линейных алгебраических уравнений.

2.4. Линейные векторные пространства. Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов. Преобразование координат вектора при переходе к новому базису.

2.5. Комплексные числа и многочлены. Изображение комплексных чисел на плоскости. Модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа. Формула Эйлера. Корни из комплексных чисел. Многочлены, разложение многочленов на множители, деление многочленов, теорема Безу о виде остатка.

2.6. Линейные операторы и их матрицы. Преобразование матрицы линейного оператора при замене базиса. Ранг матрицы. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Характеристический многочлен линейного оператора, его корни. Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду. Линейные, билинейные, квадратичные формы. Критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы.

Приведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием. Нормы векторов и матриц.

2.7. Неотрицательные матрицы, положительные матрицы. Разложимые и неразложимые матрицы. Теорема Перрона-Фробениуса о наибольшем действительном положительном собственном значении. Круги Гершгорина и собственные значения матрицы. Граф матрицы. Стохастические матрицы. Обратно-симметричные матрицы, сильно-транзитивные матрицы. Методы определения разложимости и неразложимости матрицы. Алгебраические и итеративные методы нахождения собственного вектора, соответствующего наибольшему положительному собственному значению. Некоторые матрицы специального вида.

2.8. Численные методы в решении задач линейной алгебры.

3. Элементы дискретной математики (до 30 аудиторных часов, 2 кредита ECTS)

3.1. Элементы математической логики, теории множеств и общей алгебры. Дискретные объекты и структуры в математике. Метод математической индукции. Бинарные и п-арные отношения. Необходимые и достаточные условия. Логические (булевы) переменные. Алгебра логики, функции алгебры логики (булева алгебра, булевы функции). Множества, отображения, мощности. Алгебра множеств. Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы. Минимизация булевых функций. Функциональная полнота систем булевых функций. Понятие группы. Абелева группа. Подгруппы. Циклическая группа. Изоморфизмы, автоморфизмы, гомоморфизмы. Кольца, тела и поля.

3.2. Элементы комбинаторики. История развития, генезис понятий, классические задачи. Бином Ньютона. Перестановки, сочетания, размещения. Перечисление комбинаторных объектов и производящие функции. Рекуррентные соотношения. Разбиения и размещения. Логические методы комбинаторного анализа. Основные комбинаторные тождества для чисел сочетаний. Полиномиальные коэффициенты и основные комбинаторные тождества для них.

3.3. Элементы теории графов. История развития, генезис понятий, классические задачи. Определение графа. Неориентированные и ориентированные графы. Отношения смежности и инцидентности. Матричные представления графов. Пути и циклы. Связность, компоненты связности. Поиск в графе, поиск “в глубину”, поиск “в ширину”. Деревья. Кратчайшие пути. Эйлеровы пути и циклы. Гамильтоновы пути и циклы. Сети и потоки в сетях. Методология “ветвей и границ”.

3.4. Некоторые численные методы и алгоритмы в решении задач дискретной математики.

4. Основы теории обыкновенных дифференциальных и разностных уравнений

(до 40 аудиторных часов, 2,5 кредитов ECTS)

4.1. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Обыкновенное дифференциальное уравнения (ОДУ). Интегрирование в квадратурах.

Фазовое пространство. Изоклины. Интегральная кривая. Задача Коши для ОДУ. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Общее и частное решения. ОДУ высших порядков. Понижение порядка. Краевая задача. Однородное и неоднородное ОДУ, принцип суперпозиции решений. Фундаментальная система решений, определитель Вронского. Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных. Построение фундаментальной системы решений по корням характеристического уравнения. Системы ОДУ.

4.2. Устойчивость решений ОДУ. Непрерывная зависимость решения задачи Коши от начальных значений и параметров. Устойчивость и асимптотическая устойчивость в смысле Ляпунова. Понятие о функции Ляпунова. Типы точек покоя. Исследование на устойчивость по первому приближению с помощью матрицы Якоби.

4.3. Разностные уравнения. Примеры разностных уравнений. Построение фундаментальной системы решений по корням характеристического уравнения. Общее и частное решения. Устойчивость положения равновесия.

4.4. Некоторые численные методы решения дифференциальных и разностных уравнений.

5. Вероятность с элементами математической статистики и анализа данных (до 100 аудиторных часов, 5,5 кредитов ECTS)

5.1. Множество элементарных исходов опыта, событие, теоретико-множественные операции над событиями. Схема опыта с равновозможными исходами. Интуитивное определение вероятности события. Математическое определение вероятности. Алгебра событий. Аксиомы теории вероятностей и следствия из них. Вероятностное пространство как парадигма вероятностного мышления и как корректная математическая модель случайного явления. Совместные и несовместные события. Теорема сложения вероятностей. Условная вероятность. Зависимые и независимые события. Формула полной вероятности. Формула Байеса как теорема гипотез.

5.2. Случайная величина как математическая модель вероятностного явления. Функция распределения и функция плотности распределения вероятностей случайной величины, их свойства. Случайный вектор, зависимые и независимые случайные величины, условные законы распределения. Функции от случайных величин. Примеры стандартных случайных величин: Бернулли, биномиальная, Пуассона, показательная (экспоненциальная), равномерная, Гаусса (нормальная). Предельные теоремы о связи биномиальной случайной величины с пуассоновской (теорема Пуассона), с гауссовской (локальная и интегральная теоремы Муавра - Лапласа). Правило “три сигма”, таблицы нормального распределения.

5.3. Числовые характеристики случайных величин. Математическое ожидание и дисперсия, их свойства. Понятие интеграла Стилтьеса. Неравенство Чебышева. Квантиль распределения случайной величины. Таблицы квантилей стандартных случайных величин. Понятия неопределенности, энтропии,

количества информации. Условное математическое ожидание. Дисперсионная (ковариационная) и корреляционная матрицы случайного вектора. Ковариация и коэффициент корреляции двух случайных величин, свойства некоррелированности и независимости. Многомерное нормальное распределение. Линейное преобразование нормального случайного вектора. Декоррелирующее преобразование, вырожденность и снижение размерности, эллипсоиды рассеивания. Элементы аппарата производящих и характеристических функций в теории вероятностей.

5.4. Предельные теоремы в теории вероятностей. Закон больших чисел, теоремы Хинчина и Чебышева, теорема Бернулли. Понятие о законе “нуля и единицы” Колмогорова, о леммах Бореля-Кантелли, об усиленном законе больших чисел. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных независимых случайных величин, интегральная теорема Муавра-Лапласа как её следствие. Понятие о теореме Ляпунова для неодинаково распределенных случайных величин. Оценивание скорости сходимости частоты к вероятности в схеме независимых испытаний Бернулли, сравнение результатов использования неравенства Чебышева и интегральной теоремы Муавра - Лапласа.

5.5. Дискретная марковская цепь (ДМЦ) с конечным числом состояний. Переходные вероятности, матрица переходных вероятностей. Однородность ДМЦ. Классификация состояний ДМЦ. Разложимость и неразложимость ДМЦ. Асимптотическое поведение ДМЦ, эргодичность, предельное распределение вероятностей состояний. Элементы аппарата производящих функций в исследовании ДМЦ. Понятия ДМЦ с бесконечным числом состояний, марковской цепи с непрерывным аргументом, диффузионного марковского процесса. Элементы общей теории случайных процессов, свойства стационарности и эргодичности. Элементы теории процессов массового обслуживания.

5.6. Теоретико-вероятностные основания математической статистики. Статистическая гипотеза и этапы её проверки. Генеральная совокупность, выборка, статистика. Эмпирическая функция распределения, гистограмма. Выборочные среднее, дисперсия, ковариация, коэффициент корреляции. Статистический критерий, уровень значимости, критическая область гипотезы. Проверяемая гипотеза и альтернативная гипотеза. Оценивание параметров в вероятностных моделях. Точечное и интервальное оценивание. Понятия о методе наибольшего правдоподобия и о методе наименьших квадратов. Свойства и сравнительный анализ оценок параметров, получаемых различными методами. Понятия о случайных величинах (статистиках) хи-квадрат, Стьюдента и Фишера. Использование таблиц квантилей данных случайных величин в задачах математической статистики.

5.7. Элементы математического анализа данных. Критерии согласия, критерии однородности, критерии независимости, критерии значимости, знаковый анализ, ранговый анализ в задачах анализа данных. Коэффициенты ранговой корреляции Спирмена и Кендалла, коэффициент конкордации. “Малые” и “большие” выборки. Элементы теории статистических решений в ана-

лизе данных. Простые и сложные гипотезы. Ошибки первого и второго рода, мощность статистического критерия. Смысл леммы Неймана-Пирсона о построении наиболее мощного решающего правила. Исследование взаимосвязей и зависимостей в анализе данных. Элементы дисперсионного, корреляционного, регрессионного анализов. Элементы теории планирования активного эксперимента. Элементы многомерного статистического анализа. Теоретико-игровой подход к задачам анализа данных, понятие об “игре с природой”. Понятия о проблематиках экспертного оценивания, шкалирования, контент-анализа, полезности, риска и рационального поведения. Элементы вероятностно-статистического моделирования и численный анализ стохастических моделей, метод Монте-Карло.

6. Оптимизация и основы теории принятия решений (до 70 аудиторных часов, 4 кредита ECTS)

6.1. Однокритериальная оптимизация, теория математического программирования. Типы экстремумов: внутренний и граничный, единственный и неединственный, глобальный и локальный. Экстремумы гладких и негладких функций. Необходимые условия и достаточные условия для локальных экстремумов гладких функций. Матрица Гессе. Достаточное условие локального экстремума в угловой точке. Математический аппарат множителей Лагранжа. Задача выпуклого программирования, элементы теории двойственности. Условия Куна-Таккера. Вектор Куна-Таккера. Условие Слейтера. Окаймленный гессиан. Теорема Куна-Таккера о седловой точке функции Лагранжа. Схемы численных методов оптимизации: скорейший спуск, проектирование градиента, метод Ньютона. Поиск глобального экстремума в многоэкстремальных задачах. Метод штрафных функций как метод сведения задачи с ограничениями к последовательности задач безусловной оптимизации.

6.2. Задача линейного программирования (ЛП). Прямая и двойственная задачи ЛП, теоремы двойственности. Графический метод решения простейших задач ЛП. Канонический вид задачи ЛП, крайние (угловые) точки допустимого множества. Симплекс-метод как метод последовательного улучшения плана, основная схема алгоритма. Специальные линейные модели математического программирования.

6.3. Многокритериальная оптимизация. Многокритериальная предпочтительность допустимых точек (решений, стратегий). Эффективность (оптимальность) по Парето, по Слейтеру. Построение Парето-эффективной границы. Неединственность Парето-эффективных стратегий. Процедуры решения многокритериальных задач, или процедуры многокритериального выбора: “свертка” критериев, “идеальная” точка, лексикографическая оптимизация, функция полезности ЛПР, последовательные уступки в величинах разных критериев и др.

6.4. Элементы теории дискретной оптимизации. Общая задача целочисленного программирования, общая задача целочисленного ЛП, задача частично-целочисленного программирования, задача псевдо-булева программирования. Задачи с неделимостями, задачи с логическими условиями, задачи с

дискретными переменными, экстремальные комбинаторные задачи. Основные процедуры алгоритмической схемы “ветвей и границ”.

6.5. Динамические задачи оптимизации. Элементы вариационного исчисления и теории оптимального управления, понятие о принципе максимума Понтрягина. Динамическое программирование и принцип оптимальности Беллмана. Многошаговые процедуры управления. Численные методы расчета оптимальных программ.

6.6. Принятие решений в условиях неопределенности: игровой подход. Гарантированный результат, принцип максимина, понятие гарантирующей стратегии. Седловая точка. Игры в нормальной форме. Определение антагонистической игры, решение игры, оптимальные стратегии игроков. Смешанное расширение антагонистической игры. Матричные игры. Связь с прямой и двойственной задачами ЛП.

6.7. Неантагонистические бескоалиционные игры. Равновесие по Нэшу, оптимум по Парето. Ситуации равновесия в играх многих лиц. Биматричные игры. Понятие о коалиционных играх. Игры в развернутой форме. Дерево игры. Игры с полной и неполной информацией. Равновесие Байеса-Нэша. Информационные множества. Рекурсивное решение. Бесконечно повторяющиеся игры. Иерархические игры с передачей информации. Коллективный выбор, групповые решения, схемы голосования, парадокс Кондорсе, аксиоматика Эрроу.

Возможная тематика математических дисциплин по выбору (элективов) и факультативных дисциплин

• Дополнительные главы математического анализа.

• Дополнительные главы линейной алгебры и матричного анализа.

• Дополнительные главы дискретного анализа и общей алгебры.

• Дополнительные главы теории дифференциальных уравнений и вариационного исчисления.

• Элементы теории функций комплексной переменной.

• Численный анализ.

• Дополнительные главы стохастического анализа.

• Дополнительные главы математической статистики и анализа данных.

• Статистические выводы и связи.

• Анализ вероятностных зависимостей и планирование эксперимента.

• Теория статистических решений.

• Многомерный статистический анализ.

• Случайные процессы и временные ряды.

• Статистическое моделирование и вычислительная статистика.

• Дополнительные главы оптимизации и теории принятия решений.

• Математическое моделирование макроэкономических процессов.

• Математическое моделирование в микроэкономике.

• Теория игр и экономическое поведение.

• Экономическая динамика и синергетическая экономика.

• Стохастический анализ в финансах.

• Математические основы эконометрики. Практическая бизнес-статистика в управлении социально-экономическими и производственными системами.

• Анализ социально-экономических временных рядов.

• Теория очередей и управление запасами в производственном менеджменте и логистике.

• Статистические методы контроля качества продукции и услуг.

• Математические модели и методы в практике управленческой экономики и менеджмента.

• Методы сбора и анализа данных социально-экономической природы в менеджменте, социологии и политологии.

• Анализ данных психологического и образовательного тестирования.

• Управление инвестиционными, проектными и финансовыми рисками.

• Математические модели и методы экспертного оценивания и принятия коллективных решений.

• Имитационное моделирование социально-экономических процессов.

• Системная аналитика принятия решений.

Приложение: элементы применения математики в социально-экономических исследованиях и в современной деловой практике — возможная прикладная тематика рефератов, эссе и курсовых работ студентов по разделам программы.

1. Общекультурное и практическое значение парадигмы непрерывности и дифференциального и интегрального исчисления. Исследование функций, характеризующих экономические явления и процессы (изокванта, изокоста, линия безразличия, функция полезности, функция спроса, функция предложения и др.) методами дифференциального исчисления. Применение дифференциального исчисления при исследовании эластичности спроса и предложения, для определения максимальных чистых выгод, для анализа потребительского поведения, для определения объема выпускаемой продукции и издержек, при расчете максимальной прибыли в условиях монополии и конкуренции. Применение рядов Тейлора при оценке изменения цены облигации. Применение второй производной при оценке выпуклости облигации. Формула непрерывно начисляемых процентов. Поиск экстремума функции нескольких переменных при определении прибыли, при оптимизации распределения ресурсов. Применение интегрального исчисления в модели Лоренца концентрации доходов.

2. Общекультурное и практическое значение матричного анализа. Неотрицательные матрицы в описании межотраслевых производственных процессов. Матрицы “затраты - выпуск”, матричные балансовые модели. Линейная матричная модель международной торговли, или модель взаимных закупок товаров. Положительные матрицы экспертных оценок и вычисление на их основе вектора приоритетов целей социально-экономического развития. Собственный вектор как модель устойчивой согласованности мнений экспертов. Алгебра неотрицательных матриц в анализе социальной информации. Приведение матрицы к диагональному виду в целях формирования наиболее информативных социально-экономических индикаторов (комплексных индексных показателей).

3. Общекультурное и практическое значение парадигмы дискретности и дискретного анализа. Комбинаторные задачи планирования выборочных обследований. Перечислительные задачи о назначениях. Экстремальные комбинаторные задачи о выборе информативных признаков, о лотереях. Задачи логического проектирования процедур выбора решений (формирование сценариев). Задачи о голосовании, о коалициях, о составлении вопросников. Модели группового выбора и планирования социально-экономического поведения. Задача о максимальном потоке и о минимальном разрезе в сети. Максимальный поток в транспортной сети. Задача “на узкие места”. Задача о потоке минимальной стоимости. Задачи о складе, о поставщике, о многопродуктовых потоках. Метод критического пути при управлении проектом (совокупностью работ). Выделение компонент связности графов матриц экспертных оценок в методах выявления “точек зрения”.

4. Общекультурное и практическое значение динамических моделей социальных процессов. Дифференциальное уравнение, описывающее простейшую динамику численности населения. Динамическая паутинообразная модель рынка. Моделирование динамики долга. Общие модели макроэкономической динамики. Динамическая модель инфляции в переходной экономике. Динамическая модель роста выпуска в условиях конкуренции. Неоклассическая динамическая модель роста. Динамическая модель рынка с прогнозируемыми ценами.

5. Общекультурное и практическое значение вероятностной парадигмы и стохастического анализа. Стохастические модели риска и рационального поведения. Вероятностный анализ в модели Лоренца концентрации доходов, вероятностный смысл индекса Джини. Вероятностные модели в исследовании политических предпочтений электората, в задачах подбора персонала. Вероятностные модели ценностной реориентации в обществе. Вероятностный подход к определению справедливой цены консультационной услуги экспертов. Вероятностное моделирование процессов ценообразования на фондовом рынке. Индекс энтропии как показатель неупорядоченности в разделе рынка между продавцами. Применение корреляционного анализа для исследования влияния отдельных факторов и их комбинаций на прогнозные характеристики социально-экономических систем, регрессионный анализ как один из простейших инструментов социально-экономического прогнозирования. Применение модели “игры с природой” в анализе инвестиционных сценариев. Примеры применения вероятностных расчетов в текущем анализе хозяйственной деятельности.

6. Общекультурное и практическое значение парадигмы оптимизации и принятия решений. Экономический смысл задачи ЛП. Классические задачи: управление запасами, транспортная задача, задача о назначениях как примеры оптимизационных моделей. Оптимизационные модели сотрудничества и конфликта в области разоружений, стратегического противостояния, вооруженной борьбы. Игровые модели конкурентной борьбы на рынке и их сравнительный анализ (модели Курно, Бертрана, Штакельберга, Эджворта и др.). Схемы манипулирования голосованием, формированием рыночных предпочтений потребителей, формированием ценностных ориентации в обществе. Игровые модели в инвестиционном анализе.

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Основная математическая литература

1. Андерсон Джеймс. Дискретная математика и комбинаторика. — М.: ИД “Вильяме”, 2003.

2. Аронович А. Б., Афанасьев М. Ю., Суворов Б. П. Сборник задач по исследованию операций. — М.: МГУ, 1997.

3. Бородин А. Н. Элементарный курс теории вероятностей и математической статистики. Серия “Учебники для вузов”. — СПб.: Лань, 2002.

4. Глухов В. В., Медников М.Д., Коробко С.Б. Математические методы и модели для менеджмента. Серия “Учебники для вузов”. - СПб.: Лань, 2000.

5. Ерусалимский Я. М. Дискретная математика: теория, задачи, приложения. — М.: Вузовская книга, 2001.

6. Зимина О. В., Кириллов А. И., Сальникова Т. А. Высшая математика. Решебник. — М.: Физматлит, 2000.

7. Ильин В. А., Куркина А.В. Высшая математика: Учебник. — М.: ООО “ТК Велби”, 2002.

8. Интрилигатор Майкл. Математические методы оптимизации и экономическая теория. — М.: Айрис-пресс, 2002.

9. Колемаев В. А., Калинина В.Н. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003.

10. Кудрявцев Л. Д. Краткий курс математического анализа. Т. 1, 2. — Висагинас: “Alfa”, 1998.

11. Лексаченко В. А. Логика. Множества. Вероятность. — М.: Вузовская книга, 2001.

12. Макарова Н. В., Трофимец В. Я. Статистика в Excel: Учебное пособие. -М.: Финансы и статистика, 2002.

13. Матвеев Н. М. Обыкновенные дифференциальные уравнения: Учебное пособие. — СПб.: Специальная литература, 1996.

14. Матвеев Н. М. Сборник задач и упражнений по обыкновенным дифференциальным уравнениям: Учебное пособие. — СПб.: Лань, 2002.

15. Ниворожкина Л. И. и др. Основы статистики с элементами теории вероятностей для экономистов: Руководство для решения задач. — Ростов-на-Дону: Феникс, 1999.

16. Никитина Н. Ш. Математическая статистика для экономистов: Учебное пособие. — М.: ИНФРА-М, Новосибирск: НГТУ, 2001.

17. Общий курс высшей математики для экономистов: Учебник / Под ред. В.И.Ермакова. - М.: ИНФРА-М, 2001.

18. Протасов И. Д. Теория игр и исследование операций: Учебное пособие. -М.: Гелиос АРВ, 2003.

19. Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие / Под ред. В.И.Ермакова. — М.: ИНФРА-М, 2002.

20. Taxa Хэмди А. Введение в исследование операций. — М.: ИД “Вильямс”, 2001.

21. Теория статистики с основами теории вероятностей: Учебное пособие для вузов / Под ред. И.И.Елисеевой. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001.

22. Тюрин Ю.Н., Макаров А.А. Анализ данных на компьютере. — М.: ИНФРА-М, 2003.

23. Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа. Т. 1, 2. — СПб.: Лань, 2001.

24. Фролькис В. А. Введение в теорию и методы оптимизации для экономистов. — СПб.: Питер, 2002.

25. Шевцов Г. С. Линейная алгебра: Учебное пособие. — М.: Гардарика, 1999.

26. Шипачев В.С. Курс высшей математики: Учебник. — М.: ТК Велби, ПРОСПЕКТ, 2004.

27. Шипачев В.С. Задачник по высшей математике: Учебное пособие для вузов. — М.: Высшая школа, 2001.

28. Anthony Martin, Biggs Norman. Mathematics for Economics and Finance. Methods and Modelling. 2nd edition. — UK: Cambridge University Press, 1998.

29. Chiang Alpha C. Fundamental Methods of Mathematical Economics. — USA, N.Y.: McGraw-Hill, 1984.

30. Fuente de la Angel. Mathematical Methods and Models for Economists. -UK: Cambridge University Press, 2000.

31. Greene William H. Econometric Analysis, 5th edition. — USA: Prentice-Hall, N. Y. University, 2003.

32. Sundaram Rangarajan K. A First Course in Optimization Theory, 2nd edition. — UK: Cambridge University Press, 1999.

Дополнительная литература “социально-математического” содержания

1. Амблер Тим. Маркетинг и финансовый результат: Новые метрики богатства корпорации. — М.: Финансы и статистика, 2003.

2. Андрейчиков А.В., Андрейчикова О.Н. Анализ, синтез, планирование решений в экономике. — М.: Финансы и статистика, 2000.

3. Арнольд В. И. “Жесткие” и “мягкие” математические модели. -- М.: МЦНМО, 2000.

4. Байе Майкл Р. Управленческая экономика и стратегия бизнеса: Учебное пособие для вузов. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 1999.

5. Бережная Е. В., Бережной В. И. Математические методы моделирования экономических систем: Учебное пособие. — М.: Финансы и статистика, 2002.

6. Боди Зви, Мертон Роберт К. Финансы. — М.: ИД “Вильямс”, 2003.

7. Боди Зви, Кейн Алекс, Маркус Алан Дж. Принципы инвестиций. — М.: ИД “Вильямс”, 2002.

8. Вине Ральф. Математика управления капиталом. — М.: ИД “Альпина”, 2000.

9. Галиц Лоуренс. Финансовая инженерия: инструменты и способы управления финансовым риском. — М.: “ТВП”, 1998.

10. Губко М. В., Новиков Д. А. Теория игр в управлении организационными системами. Учебное пособие. — М.: СИНТЕГ, 2002.

11. Доугерти Кристофер. Введение в эконометрику. — М.: ИНФРА-М, 1999.

12. Дубров А. М., Лагота Б. А., Хрусталев Е. Ю., Барановская Т. П. Моделирование рисковых ситуаций в экономике и бизнесе: Учебное пособие. -М.: Финансы и статистика, 2001.

13. Дэвис Джоэл Дж. Исследования в рекламной деятельности: теория и практика. — М.: ИД “Вильяме”, 2003.

14. Зайцев М. Г. Методы оптимизации управления для менеджеров: Компьютерно-ориентированный подход: Учебное пособие. — М.: Дело, 2002.

15. Занг Вэй-Бин. Синергетическая экономика. Время и перемены в нелинейной экономической теории. — М.: Мир, 1999.

16. Капитоненко В. В. Финансовая математика и её приложения. — М.: ПРИОР, 1998.

17. Касимов Ю. Ф. Основы теории оптимального портфеля ценных бумаг. -М.: ИИД “Филинъ”, 1998.

18. Колемаев В. А. Математическая экономика: Учебник для вузов. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002.

19. Крушвиц Лутц, Шефер Доротея, Шваке Майк. Финансирование и инвестиции. Сборник задач и решений. — СПб.: Питер, 2001.

20. Кузютин Д. В. Математические методы стратегического анализа многосторонних отношений: Голосование. Многосторонние соглашения: Учебное пособие. - СПб.: СПбГУ, 2000.

21. Курбатов В. И., Угольницкий Г. А. Математические методы социальных технологий: Учебное пособие. — М.: Вузовская книга, 1998.

22. Лебедев В. В., Лебедев К. В. Математическое и компьютерное моделирование экономики. — М.: НВТ-Дизайн, 2002.

23. Малхотра Нэреш К. Маркетинговые исследования. Практическое руководство. — М.: ИД “Вильяме”, 2003.

24. Мангейм Джарол Б., Рич Ричард К. Политология. Методы исследования. — М.: Весь Мир, 1999.

25. Математические методы принятия решений в экономике: Учебник / Под ред. В. А. Колемаева. — М.: ЗАО “Финстатинформ”, 1999.

26. Минюк С. А., Ровба Е. А., Кузьмич К. К. Математические методы и модели в экономике: Учебное пособие. — Минск: ТетраСистемс, 2002.

27. Нуреев Р. М. Курс микроэкономики. Учебник для вузов. —М.: НОРМА-ИНФРА-М, 1998.

28. Петере Эдгар. Хаос и порядок на рынках капитала. Новый аналитический взгляд на циклы, цены и изменчивость рынка. — М.: Мир, 2000.

29. Плаус Скотт. Психология оценки и принятия решений. — М.: ИИД “Филинъ”, 1998.

30. Самарский А. А., Михайлов А. П. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. — М.: Физматлит, 2002.

31. Светлов В. А. Аналитика конфликта / Учебное пособие. — СПб.: ООО “Росток”, 2001.

32. Сигел Эндрю Ф. Практическая бизнес-статистика. — М.: ИД “Вильяме”, 2002.

33. Сидоренко Е. В. Методы математической обработки в психологии. -СПб.: Речь, 2000.

34. Сио К. К. Управленческая экономика. — М.: ИНФРА-М, 2000.

35. Смирнов А. Д. Лекции по макроэкономическому моделированию: Учебное пособие для вузов. — М.: ГУ-ВШЭ, 2000.

36. Сотникова Л. А., Тамашевич В.Н., Уебе Г., Шефер М. Многомерный статистический анализ в экономике: Учебное пособие для вузов. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 1999.

37. Толстова Ю. Н. Анализ социологических данных. Методология, дескриптивная статистика, изучение связей между номинальными признаками. — М.: Научный мир, 2000.

38. Томас Ричард. Количественный анализ хозяйственных операций и управленческих решений. — М.: Дело и сервис, 2003.

39. Уотшем Терри Дж., Паррамоу Кейт. Количественные методы в финансах: Учебное пособие для вузов. — М.: Финансы, ЮНИТИ, 1999.

40. Фабоцци Фрэнк Дж. Управление инвестициями. — М.: ИНФРА-М, 2000.

41. Фомин Г. П. Математические методы и модели в коммерческой деятельности: Учебник. — М.: Финансы и статистика, 2001.

42. Франк Роберт X. Микроэкономика и поведение. — М.: ИНФРА-М, 2000.

43. Ханк Джон Э., Уичерн Дин У, Райте Артур Дж. Бизнес-прогнозирование. — М.: ИД “Вильяме”, 2003.

44. Хеллевик Оттар. Социологический метод. — М.: Весь Мир, 2002.

45. Чейз Ричард Б., Эквилайн Николас Дж., Якобе Роберт Ф. Производственный и операционный менеджмент. — М.: ИД “Вильяме”, 2003.

46. Четыркин Е.М. Финансовая математика: Учебник. — М.: Дело, 2002.

47. Черчилль Гилберт А. Маркетинговые исследования. — СПб.: Питер, 2002.

48. Шарп Уильям Ф., Александер Гордон Дж., Бэйли Джеффри В. Инвестиции. - М.: ИНФРА-М, 2003.

49. Эддоус М., Стэнсфилд Р. Методы принятия решений. - - М.: Аудит, ЮНИТИ, 1997.

50. Cook Wade D., Kress Moshe. Ordinal Information and Preference Structures: Decision Models and Applications. — USA: Prentice-Hall-Englewood Cliffs, 1992.

51. Hossack I.В., et al. Introductory Statistics with Applications to General Insurance. — UK: Cambridge University Press, 2000.

52. Kreps David M. Game Theory and Economic Modelling. 2nd edition. — UK: Clarendon Press-Oxford University Press, 1995.

53. Lapeyre Bernard, et al. Understanding Numerical Analysis for Option Pricing. — UK: Cambridge University Press, 2000.

54. Stanley H. Eugene, et al. Introduction to Econophysics. — UK: Cambridge University Press, 2000.

55. Willmot Paul. Paul Willmott Introduses Quantitative Finance. — UK: John Wiley & Sons, Ltd., 2001.

Примечание: Для устранения возможных библиографических трудностей с подбором литературы в список литературы включены только книги, изданные в течение нескольких последних лет.

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Материал подготовлен в рамках работы автора по проблематике Научно-методического совета по математике Министерства образования и науки Российской Федерации. В ходе работы над материалом автор неоднократно обращался за советами к коллегам. Глубоко уважаемые мною член-корреспондент РАН, д.ф.-м.н., профессор Л.Д.Кудрявцев, д.э.н., профессор Л. С.Гребнев, д. э. н., профессор Р. М. Нуреев, д. э. н., профессор Ю. Н. Черемных, д.ф.-м.н., профессор И. К. Лифанов, д.ф.-м.н., профессор А. Г. Ягола, член-корреспондент РАО, д.ф.-м.н., профессор Г.Н.Яковлев всегда с готовностью уделяли необходимое внимание моим обращениям. За все недостатки материала отвечает, естественно, только автор.

Подчеркну, в заключение, что главной целью автора является привлечение внимания профессионального образовательного сообщества к обсуждаемой проблеме и стимулирование конструктивной дискуссии по облику и содержанию нового поколения образовательных стандартов, имеющих объективную возможность стать реальной конструктивной основой для подготовки специалистов-аналитиков во многих “нетрадиционных”, до недавнего времени, для математики областях.

ЛИТЕРАТУРА

1. Государственные образовательные стандарты Высшего профессионального образования. — http://www.informika.ru

2. Информационные ресурсы НМС по математике Министерства образования и науки РФ. — http://www.foroff.phys.msu.su/math

3. Образование, которое мы можем потерять. Сборник. / Под ред. В. А. Садовничего. — М.: МГУ, 2002. 288с.

ON THE MATHEMATICAL EDUCATION OF NATURAL SCIENCES AND ECONOMICS SPECIALISTS (SOME PROPOSALS TO THE STATE EDUCATIONAL STANDARDS OF HIGHER EDUCATION)

A. I. Samylovskii

The essence of the natural sciences curriculum for Social and Economic Sciences specialists is considered as the basis for mathematical professional education of the students. The author suggests the contents of the curriculum that enables the tutors to determine the essence and the volume of the studied material, set goals for different periods.

Keywords: mathematics at university, natural sciences and economics, state educational standard.

ИСТОРИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ, ПЕРСОНАЛИИ

УДК 37(091)

КРАТКАЯ БИОГРАФИЯ ЯНОША БОЛЯИ

В. А. Александров

Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Россия, 630090, г. Новосибирск, проспект академика Коптюга, 4; тел.: (3832) 331621; e-mail: alex@math.nsc.ru

Приводится краткая биография Яноша Боляи — одного из создателей неевклидовой геометрии.

Ключевые слова: история математики, Янош Боляи.

15 декабря 2002 года исполнилось 200 лет со дня рождения одного из создателей неевклидовой геометрии — венгерского математика Яноша Боляи. Когда ему было 30 лет, он опубликовал 26-страничное сочинение, где развил так называемую “абсолютную геометрию”, в которой отсутствует аксиома параллельности. Сама мысль о таком взгляде на геометрию была в то время настолько революционна, что была категорически отторгнута математическим сообществом. Такой прием сильно разочаровал Яноша Боляи и к этой теме он больше не возвращался. Лишь 20 лет спустя он узнал, что немного раньше, чем он, неевклидову геометрию открыл и систематически исследовал казанский математик Николай Иванович Лобачевский (1792-1856) [1]. Ни Боляи, ни Лобачевский не дожили до триумфа идей неевклидовой геометрии, влияние которой в настоящее время простирается далеко за пределы математики.

Жизненные обстоятельства Яноша Боляи практически не известны в России даже геометрам, занимающимся неевклидовой геометрией. Ниже мы постараемся восполнить этот пробел, опираясь, в основном, на статью венгерского математика академика Андраша Прекопы [2].

Янош Боляи родился 15 декабря 1802 года в городке Коложваре (ныне -Клуж-Напока, находится в Румынии). Он происходил из обедневшего, но древнего рода, давшего Венгрии несколько поколений храбрых воинов и владевшего в 14-18 веках укрепленным замком Бойя, в котором и родился отец Яноша Фаркаш.

Фаркаш Боляи (1775-1856) был заметным математиком своего времени. Будучи студентом Гёттингенского университета, он познакомился с Карлом Фридрихом Гауссом (1777-1855) — едва ли не самым выдающимся математиком всех времен и народов — переписку с которым он вел всю оставшуюся жизнь. Математические интересы Фаркаша концентрировались вокруг доказательства пятого постулата Евклида. Как мы теперь знаем, такое доказательство в собственном смысле слова невозможно, а вклад Фаркаша в геометрию состоит в нахождении утверждений, эквивалентных аксиоме о параллельных, утверждающей, что через точку на плоскости можно провести, и притом только одну, прямую, не пересекающуюся с данной прямой1. По

1 Конечно, здесь предполагается, что исходная точка не лежит на данной прямой.

окончании Гёттингенского университета Фаркаш работал частным учителем в Коложваре — небольшом городке в Трансильвании, бывшей в ту пору независимым венгерским герцогством под управлением Габсбургов. Вскоре после рождения Яноша семья перебралась в Марошвашархель (ныне — город Тыргу-Муреш в Румынии), где Фаркаш получил должность профессора математики в местном колледже, которую и занимал до выхода на пенсию в 1851 году.

Необычные способности Яноша проявились очень рано. В 6 лет он практически самостоятельно научился читать. Годом позже он выучил немецкий язык и научился играть на скрипке. В 9 лет отец начал учить его математике. В 12 лет Янош поступил в колледж, где преподавал отец. В 14 лет — хорошо знал высшую математику и свободно владел интегральным и дифференциальным исчислением. В 15 лет Янош закончил колледж.

С дальнейшим обучением возникла проблема, поскольку в Трансильвании в ту пору вообще не было университетов, а в университетах Будапешта и Вены не было профессора математики, у которого Яношу было бы чему учиться. Естественно встал вопрос о поступлении в Гёттингенский университет. Зная не по наслышке об искушениях и опасностях, подстерегающих студентов в Гёттингене, и учитывая молодость Яноша, Фаркаш соглашался на этот шаг только при условии, что Янош будет жить в доме у Гаусса. Однако согласие Гаусса получено не было и в 1818 году Янош поступил в Академию военных инженеров в Вене.

Это было непростое решение по многим причинам, даже по финансовым. Годовая плата за обучение составляла около 900 рейнских форинтов, в то время как годовая зарплата Фаркаша составляла только 200 рейнских форинтов. Полный курс обучения длился 8 лет, но, учитывая особые достижения Яноша, ему зачли первые 4 года обучения экстерном. Учился он хорошо: профессора оценивали его как лучшего студента, но однокашники ставили его на второе место, где он и находился во всё время обучения, по результатам суммирования рейтингов. Наиболее трудным для Яноша предметом было рисование.

С самого начала своего пребывания в Академии Янош уделял всё свободное время исследованиям о параллельных. Отец был в курсе и умолял сына оставить эти занятия: “Молю тебя, оставь в покое учение о параллельных линиях; ты должен его страшиться как чувственных увлечений; оно лишит тебя здоровья, досуга, покоя — оно тебе погубит всю радость жизни. Эта беспросветная мгла может поглотить тысячу ньютоновых башен и никогда на земле не прояснится... ”. Янош окончил Академию в 1822 году, но был оставлен при ней для дальнейшего обучения в качестве одного из двух лучших учеников. В сентябре 1823 года Янош был произведен в младшие лейтенанты и направлен для прохождения службы в Тимишоарское управление фортификации в качестве военного инженера.

В ноябре 1823 года в письме в отцу, рассказывая о своей работе над проблемой параллельных, Янош впервые упомянул об открытии неевклидовой геометрии. Он писал: “Правда, я не достиг еще цели, но получил весьма замечательные результаты — из ничего я создал целый мир”. Ему был 21 год. Фаркаш не понял открытия сына. Янош безуспешно пытался объяснить

суть открытия Иоганну Вальтеру фон Экверу — своему бывшему профессору математики в Вене. Наконец, Фаркаш предлагает Яношу опубликовать его статью об “абсолютной геометрии” в виде приложения к своему двухтомному учебнику по геометрии. Это приложение, знаменитый 26-ти страничный “Appendix” Яноша Боляи, написанный на латинском языке, было опубликовано в первом томе учебника Фаркаша, вышедшем в свет в 1832 году. Сохранилась и точная дата, когда книга была “подписана в печать”: 12 октября 1829 года2.

Полное название работы Я. Боляи — “Приложение, содержащее науку о пространстве, абсолютно истинную, не зависящую от истинности или ложности XI аксиомы Евклида (что a priori никогда решено быть не может)” [3]. Она написана чрезвычайно сжато, с применением многих условных обозначений. Это объясняется как тем, что Ф. Боляи выделил сыну очень мало места для изложения его открытия, так и тем, что Янош был уверен, что выдающиеся открытия, к которым он относил и свое собственное, способны говорить сами за себя и быстро получают всеобщее признание. Поэтому уяснить суть открытия Яноша Боляи по его изложению было нелегко [4]. Но один понимающий читатель был — “король математиков” Карл Фридрих Гаусс.

Немедленно после выхода книги в свет Фаркаш посылает отдельный оттиск Appendix'а Гауссу. Письмо было послано 20 июня 1831 года и, кажется, не дошло до адресата. Поэтому 16 января 1832 года Фаркаш вторично пишет Гауссу, чтобы узнать его мнение о работе сына. Вот выдержка из широко известного ответа Гаусса Фаркашу, датированного 6 марта 1832 года: “Теперь поговорим о работе Вашего сына. Вы будете удивлены, если я начну с того, что не могу хвалить её. Однако ничего другого мне не остается: хвалить эту работу — значит хвалить самого себя, поскольку и замысел в целом, и путь, по которому шел Ваш сын, и полученные им результаты почти полностью совпадают с моими размышлениями 30-35-летней давности”. Янош был разочарован и подавлен. Он считал, что Гаусс присвоил себе его открытие и никогда больше не возвращался к работе над неевклидовой геометрией.

Но вернемся собственно к жизнеописанию Яноша Боляи. Его переводили из одного маленького гарнизона обширной Австро-Венгерской империи в другой: в 1831 он служил в Лемберге, в 1832 — в Олмуце. В 1833 году в возрасте 31 года Янош вышел в отставку по состоянию здоровья в чине капитана и приехал к отцу в Марошвашархель. Однако уже на следующий год он переехал в небольшое фамильное имение Домальд, где и жил до 1846 года. В том же 1834 Янош вступил в гражданский брак с Розалитой Кибеди: оформить брак официально не представлялось возможным, поскольку, будучи офицером, Янош должен был при вступлении в брак внести в казну довольно значительную сумму денег, которой у него не было. У них родилось двое детей, потомков которых можно проследить до наших дней.

В 1846 году Янош с семьёй переехал в Марошвашархель, поскольку отец сдал в наем имение Домальд, будучи недоволен тем, как Янош управляет им.

2 Для справки укажем, что традиционно считается, что первое официальное научное сообщение о неевклидовой геометрии было сделано Лобачевским 11(23) февраля 1826 года на заседании физико-математического факультета Казанского университета, а первая публикация вышла в 1829 году в журнале Казанского университета “Казанский вестник”.

В 1852 году Янош ушел из семьи, оставив Розалите дом и приличную сумму денег.

Из переписки с отцом известно, что, выйдя на пенсию, Янош занимался “для себя” некоторыми вопросами теории чисел, алгебры, дифференциального исчисления и теории музыки. Но он ничего не публиковал. Пожалуй, единственное исключение — работа по обоснованию комплексных чисел, представленная им на конкурс, объявленный в 1837 году Лейпцигским научным обществом, но не получившая награды. В 1848 году Янош познакомился с одной из работ Лобачевского по неевклидовой геометрии, опубликованной в 1840 году на немецком языке3.

Янош Боляи умер 27 января 1860 года на 58-ом году жизни в Марошвашархеле. Помимо обязательного военного эскорта, за гробом шли 3 гражданских человека. Помимо формальных записей, в регистре кальвинистской церкви было добавлено: “Он был знаменитым математиком выдающегося ума. Он был первым даже среди первых. Жаль, что его талант сгорел не будучи востребован”.

Не осталось ни одного портрета Яноша Боляи4. Лишь недавно по некоторым косвенным признакам было с достаточной степенью вероятности установлено, что один из барельефов в верхней части фасада Дворца культуры в Марошвашархеле изображает Яноша Боляи.

Однако имя Яноша Боляи живет в памяти всех математически образованных людей мира. Это имя носит Венгерское математическое общество. В 2002 году научные конференции, организованные в честь 200-летия Яноша Боляи, прошли в Венгрии, Румынии и США.

ЛИТЕРАТУРА

1. Гудков Д. А. Н. И. Лобачевский. Загадки биографии. — Н. Новгород: ННГУ, 1992. 239 с.

2. Andrâs Prékopa. The revolution of Jânos Bolyai. In the book: Bolyai Jânos emlékezete. — Budapest: Magyar Tudomânyos Akadémia Könyvtara, 2002. P. 19-33.

3. Больаи Я. Appendix. — M.-Л.: Гостехиздат, 1950. 236с.

4. Математика XIX века. Геометрия. Теория аналитических функций / Под ред. А.Н.Колмогорова и А.П.Юшкевича. — М.: Наука, 1981. 269с.

THE BRIEF BIOGRAPHY OF JANOSH BOLYAI

V. A. Aleksandrov

A brief biography of Janosh Bolyai, one of the founders of non-Euclidean geometry, is given.

Keywords: history of mathematics, Janosh Bolyai.

3 Кстати, Лобачевский до конца своих дней не знал имени Яноша Боляи. Гаусс, высоко оценив научные работы Лобачевского и проведя его в 1842 году в члены-корреспонденты Геттингенского ученого общества, бывшего по существу Академией наук Ганноверского королевства, почему-то не сообщил ему о существовании Appendix'a Яноша Боляи.

4 Как считают современные исследователи, помещенный в “Большой Советской Энциклопедии” портрет был написан после смерти Яноша и не может считаться достоверным.

ИСТОРИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ, ПЕРСОНАЛИИ

УДК 37(091)

КУЛЬТ БОЛЯИ В РУМЫНИИ

Золтан Каша

Университет им. Бабеш-Боляи, Румыния, г. Клуж-Напока1 ; e-mail: kasa@cs.ubbcluj.ro

Описываются наиболее важные мероприятия, проведенные в Румынии в связи с празднованием двухсотлетия со дня рождения великого венгерского ученого Яноша Боляи.

Ключевые слова: история математики, Янош Боляи.

Двухсотлетие со дня рождения великого венгерского ученого Яноша Боляи в Трансильвании2 отмечалось торжественно и широко — весь 2002 год был посвящен празднованию юбилея. Конференции и другие научные мероприятия представили новейшие исследования биографии Яноша Боляи и его роли в развитии науки. Перед нами уже не лживый образ дуэлянта-скрипача, мизантропа и оскорбленного гения, а в первую очередь одаренного математика, который четко оценивал свои достижения и который вопреки непониманию со стороны своих современников сумел посвятить свою жизнь занятиям математикой.

Выдающееся творчество Яноша Боляи было признано только после его смерти, и даже тогда сначала не на родине, а за границей. Важную роль сыграл в этом профессор техасского университета Г. Б. Хальстед (см. [1]), который в 1896 году посетил Трансильванию (а потом и Россию, чтобы искать следы Лобачевского), и посоветовал жителям Трансильвании поставить достойный памятник Яношу Боляи.

Столетие со дня рождения Яноша Боляи торжественно отмечалось в городе Коложвар, тогда же установили мемориальную доску на доме, где он родился. В 1911 году прах Яноша Боляи был перезахоронен на реформатском кладбище города Марошвашархель3, возле могилы его отца. После Первой мировой войны Трансильванию отсудили Румынии, и только венгерская диаспора заботилась о сохранении памяти Боляи. После Второй мировой войны, при новом, на первый взгляд, демократическом режиме, в 1945 году в Коложваре был основан венгерский университет им. Боляи, но в 1959 году коммунисты объединили его с румынским университетом им. Виктора Бабеша и с тех пор вуз действует как Университет Бабеш-Боляи. В 1952 году по поводу 150-летия со дня рождения Боляи на его родном доме установили новую мемориальную доску, и в этот раз юбилейные торжества организовала Румынская академия наук. Преподаватели Университета им. Боляи опубликовали юбилейный сборник.

Яношу Боляи не исполнился еще 21 год, когда он написал из Темешвара4 письмо отцу об открытии неевклидовой геометрии. Однако этот гениальный

1 Венгерское название — Коложвар.

2 Западная часть Румынии со значительным венгерским населением.

3 Официальное (румынское) название — Тыргу Муреш.

4 Официальное (румынское) название — Тимишоара.

ответ на двухтысячелетнюю проблему, занимавшую умы поколений математиков, не приносит Яношу заслуженного признания. Современники еще не готовы к восприятию этого открытия, хотя почти одновременно с Боляи русский ученый Николай Лобачевский приходит к тому же выводу. Гений Яноша Боляи и его интерес к математике сильнее непонимания и критики, поэтому он проводит свою жизнь в занятиях математикой. Исследования последних десятилетний показали, что Янош Боляи не только открыл неевклидову геометрию и выделил абсолютную геометрию, а получил ряд других значительных результатов (главным образом, в области теории чисел и алгебры), оставшихся, к сожалению, в рукописях. Этими результатами он опередил свой век.

Трудно перечислить все события, происходившие в 2002 году в Румынии в честь Яноша Боляи, поэтому ограничимся только самыми важными их них.

Так как большая часть жизни Яноша Боляи связана с Трансильванией (родился в Коложваре, учился и жил много лет в Марошвашархеле, создавал свою новую геометрию в Темешваре), математические и другие мероприятия были организованы разными городами Трансильвании.

Открыла ряд самых важных научных событий III Международная конференция “Неевклидова геометрия в современной физике” (коротко BGL-3, по первым буквам фамилий Боляи - Гаусс - Лобачевский) в Марошвашархеле 3-6 июня 2002 года5.

Как продолжение большой конференции в Будапеште, организованной Венгерской академией наук (8-12 июля 2002 года), Университет Бабеш-Боляи провел 1-5 октября в Коложваре Международную конференцию по геометрии и топологии. В первый день конференции была открыта выставка редких документов и книг, посвященных жизни и творчеству Яноша Боляи. 3-го октября участники конференции возложили венок к родному дому Яноша Боляи. Первые три дня доклады читались по-английски. Затем конференция продолжалась в Лицее им. Фаркаша Боляи6 в Марошвашархеле, где в первой половине дня доклады читались на венгерском и румынском языках (с переводом на английский). После обеда участники посетили места, связанные с Яношом Боляи (Библиотеку Телеки, Музей Боляи, дом, где Янош жил в детстве, и его дом в старости, реформатское кладбище). Затем все приняли участие в открытии дней города, посетили праздничный концерт. Вечером состоялся торжественный прием, на котором присутствовал президент Венгрии Ференц Мадл. От Венгерской академии наук с приветственным словом выступил Акош Часар, от Румынской академии наук — Мариус Иосифеску.

13-го декабря юбилей Боляи отмечала Румынская академия наук. Здесь, в частности, выступил иностранный член Венгерской академии наук профессор Элемер Кишш из Марошвашархеля.

14-го декабря юбилей Яноша Боляи праздновали в его родном городе Коложвар. Утром прошло торжественное заседание Общества Математики и

5 Конференция BGL-4 (“Non-Euclidean Geometry in Modern Physics and Mathematics”) прошла в Нижнем Новгороде в сентябре 2004 г.

6 Фаркаш Боляи — отец Яноша Боляи, см. подробнее статью В. А. Александрова (в этом номере).

Информатики им. Гюла Фаркаша7, в котором участвовали Ференц Сенкович, президент Общества, и Золтан Каша, проректор Университета Бабеш-Боляи. С докладами выступили Элемер Кишш, иностранные члены Венгерской академии наук Шаму Бенке и Йожеф Колумбан (оба из Коложвара), Роберт Олах-Гал из г. Миеркуреа Чук8, иностранный член Венгерской академии наук Тибор Торо из Темешвара, Тибор Весели из Марошвашархеля. После докладов академик Калман Гёри (Дебрецен, Венгрия) и лауреат премии Боляи академик Тамаш Рошка (Будапешт, Венгрия) представили премию Боляи, основанную сто лет назад и возобновленную в 2002 году, и премию Боляи Венгерской Республики “За творчество”.

После обеда участники заседания возложили венки к дому Яноша Боляи и к памятнику Яношу Боляи работы Артура Ветро во дворе Университета Бабеш-Боляи. Вечером Коложварская венгерская опера представила спектакль “Боляи 200: 58 лет, которые потрясли геометрию”9. На премьере был исполнен “Марш Ракоци”10 Берлиоза.

На следующий день, 15-го декабря, в день рождения Яноша Боляи, на площади перед библиотекой Телеки в Марошвашархеле очень торжественно был открыт памятник, созданный по проекту математика Шандора Горвата. Можно надеяться, что благодаря своей монументальности и символике, этот памятник получит такую же известность, как фонтан Петера Бодора11. Наверное, стоит посещать это место каждый год 3-го ноября12, когда в полдень, благодаря специальной системе зеркал, солнечный луч освещает на постаменте известные строки из темешварского письма: “Из ничего я создал новый, другой мир.” Вечером в Доме Искусств был дан музыкально-поэтический спектакль.

В юбилейный год были и многие другие события в честь Боляи. Хотя Фаркаш и Янош Боляи больше всего связаны с Марошвашархелем и Коложваром, есть и другие места в Трансильвании, которые играли важную роль в их жизни. Фаркаш Боляи венчался в селе Домалд, где и Янош жил больше десяти лет. Здесь похоронена мать Яноша. В области Себен находится село Боля, откуда происходит семья Боляи и где родился Фаркаш. Благодаря жителям Марошвашархеля (и, в первую очередь, мэру города Шандору Чегзи), с июля 2002 года в селе существует мемориальная квартира Боляи. В Темешваре, где Янош написал свое знаменитое письмо отцу, по инициативе Тибора Торо недавно открыли мемориальную доску на пяти языках.

7 Гюла Фаркаш был профессором коложварского университета, некоторое время — деканом факультета естественных наук и математики; один из его результатов вошел в математику под названием “лемма Фаркаша”.

8 Венгерское название — Чиксеред.

9 Автор спектакля Геза Соч, режиссер Ласло Вадаш.

10 “Марш Ракоци” (“Hungarian March”) французкого композитора Гектора Берлиоза (1803-1869) был сочинен в честь князя Трансильвании Ференца Ракоци II (1676-1735), возглавившего борьбу за свободу против австрийской власти.

11 В старые времена на центральной площади Марошвашархеля был знаменитый музыкальный фонтан, построенный умельцем Петером Бодором.

12 День письма Боляи из Темешвара.

В конце ноября Союз Венгерских Преподавателей в Румынии устроил юбилейное заседание в честь Боляи в городе Совата. 6-го декабря Тибор Торо выступил с докладом о Яноше Боляи в Христианском Университете в городе Орадеа13, а потом — на юбилейном заседании в Темешваре.

Коложварский журнал “Корунк” посвятил Боляи свой ноябрьский номер. Издательство “Полис” выпустило книгу “Боляи” — сборник стихотворений венгерских поэтов Румынии, посвященных Яношу Боляи (редактор Гюла Давид, вступительная статья Шаму Бенке).

“Юбилейный сборник Боляи” (редакторы Шандор Пушкаш и Золтан Тибад) выпустило и Венгерское Общество Инженерно-Технических Наук в Трансильвании. Факультет математики и информатики Университета Бабеш-Боляи совместно с Обществом Математики и Информатики им. Гюла Фаркаша издали юбилейный сборник на венгерском, румынском и английском языках под названием “200 лет со дня рождения Яноша Боляи” (редактор Золтан Каша).

В 2002 году вышло в свет четвертое издание книги Шаму Бенкё “Исповеди Яноша Боляи”. В это же время появилась и книга Роберта Олах-Гала “О Яноше Боляи — от Яноша Боляи” (в печати находится новая книга этого автора). Книга Элемера Кишша “Сокровища математики из рукописного наследия Яноша Боляи” [2], изданная на венгерском и английском языках, стала сенсацией. В 2001 году вышла книга Тибора Весели “Янош Боляи в зеркале двух столетий”.

В Марошвашархеле разные события в честь Яноша Боляи начались уже в 2001 году и продолжались до 15-го декабря 2002 года. С большим успехом прошли соревнования, в которых участвовали более 30 школ из Венгрии, Трансильвании, Словакии и Сербии. Финал состоялся в августе 2002 года и позже был показан по телевидению (на канале Düna TV14). Первое место заняли Марошвашархель и Гюла (Венгрия).

К счастью, сегодня мы слышим о Фаркаше и Яноше Боляи не только по случаю юбилеев. Книги и статьи о жизни и творчестве двух Боляи появляются и после 2002 года, и не только в Трансильвании и в Венгрии.

ЛИТЕРАТУРА

1. Lomax J. A. Dr. Halsted and his summer trip // The University of Texas Magazine. 1896. V. 12. №3. P. 91-93.

2. Kiss E. Mathematical Gems from the Bolyai Chests. — Budapest: Akadémiai Kiadö, 1999.

(Перевод Эстер Ковач, редактор перевода Г. М. Полотовский)

THE CULT OF BOLYAI IN RUMANIA

Zoltan Kasha

The events arranged in Rumania and dedicated to the celebration of bicentenary anniversary of Janosh Bolyai, a great Hungarian scientist, are described.

Keywords: history of mathematics, Janosh Bolyai.

13 Венгерское название — Надьварад.

14 Эфирный телевизионный канал на венгерском языке.

ИСТОРИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ, ПЕРСОНАЛИИ

УДК 378.4 (470.41).096:51“18”

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ В КАЗАНСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ В НАЧАЛЕ XIX ВЕКА

Л. Р. Шакирова

Казанский государственный педагогический университет, Россия, 420021, г.Казань, ул. Межлаука, д.1; тел.: (8432)929183; e-mail: larka@baxcorp.ru

Рассматриваются основные предпосылки становления и развития высшего математического образования в Казанском университете. Проанализированы условия, ставшие основой для приобретения университетом математической направленности и создания в его стенах математической школы (достаточный уровень математической подготовки выпускников гимназии; высокий уровень и идентичность педагогической и профессиональной подготовки выпускников Московского и немецких университетов, послужившие источником формирования в Казанском университете сильного профессорско-преподавательского состава и другие).

Ключевые слова: высшее математическое образование, Казанская математическая школа.

Двести лет исполняется Казанскому университету и через несколько лет его высшей математической школе, являющейся одним из крупнейших международных центров математической науки и образования. Ученые университета внесли огромный вклад в дело становления и развития отечественного вузовского математического образования. В этом прежде всего заслуга П. И. Котельникова, А. Ф. Попова, В. Г. Имшенецкого, А. В. Васильева, Н. Г. Четаева, П. А. Широкова, Н. Г. Чеботарева, Н. Н. Парфентьева и др. Однако первым в этом списке следует поставить Н. И. Лобачевского, который разработал методику преподавания по каждому предмету физико-математического цикла и изложил её в сохранившихся до наших дней конспектах. Выступая против застоя и рутины в вопросах обучения, представители высшей математической школы стремились совершенствовать содержание и методы обучения, стимулировали активность студентов и интерес к изучаемому материалу. Если рассматривать этот опыт с историко-футурологических позиций, то, без преувеличения, в нем можно обнаружить наиболее оптимальные решения большинства актуальных и перспективных проблем вузовского образования. Действительно, организационная структура современного вуза, вся его деятельность — научная, учебная и административно-хозяйственная — основана на тех же принципах, которые разрабатывались и внедрялись в процессе становления и развития системы высшего образования России в XIX в.

Создание в Казани высшей математической школы в начале XIX в. стало возможным благодаря педагогической и организационной преемственности,

особому нравственному климату в среде математиков, порожденному духовным подъемом студентов и преподавателей гимназии и Казанского университета. В литературе справедливо утверждается, что физико-математическая отрасль знаний с первых лет существования Казанского университета пустила здесь глубокие корни и дала плоды, тогда как все остальные университетские дисциплины находились еще на “младенческой” ступени развития. Для того чтобы сделать такой взлет, нужно было иметь надежный фундамент.

Рассмотрим основные предпосылки и источники становления и развития высшей математической школы в Казани. Для этого обратимся к некоторым вопросам истории развития методики преподавания математики в Московском университете и его гимназиях, выпускниками которых были первые педагоги-математики Казанского университета.

К концу XVIII столетия Московский университет и его гимназии твердо стояли на пути преодоления существовавшего в европейских и российских университетах положения, когда преподавание математики велось только лекционным методом, в несколько упрощенном виде, без полного курса её высших частей и служило интересам подготовки специалистов гуманитарных профессий. Этому преодолению способствовало открытие в университете отдельной кафедры математики с двумя лекционными курсами — чистой и прикладной математики [1, с. 231-232].

Несколько быстрее шел процесс переосмысления педагогических принципов и способов обучения. В Московском университете основная тяжесть этой работы легла на плечи его ординарного профессора Д. С. Аничкова. Историко-общественная литература больше говорит о нем как о философе, вместе с тем, Д.С.Аничков был крупный математик и педагог. Его заслуга перед российской наукой и культурой, прежде всего, обусловлена созданием отечественных учебников по всем разделам математики.

Д. С. Аничкову удалось решить ряд важных методических проблем, в частности, в значительной степени преодолеть схоластику и формализм в обучении и приблизить математику к жизненной практике и работе естествоиспытателей. Он внедрил в научную и учебную практику русскую терминологию, сделав математику доступной для широкого круга людей. Как и Л. Эйлер, Д. С. Аничков выступал за упрощение и доходчивость изложения материала, не нарушая его научности [2, ч. 2, с. 160].

Все эти, вместе взятые, структурные и педагогические нововведения позволили Московскому университету в последней четверти XVIII столетия готовить и выпускать высокообразованных учителей, способных возглавить российскую реформу просвещения на местах.

Куратор Московского университета, которому подчинялась Казанская гимназия, направил в Казань лучших своих выпускников. В 1799 году гимназия имела в своем штате 19 учителей по основным предметам и языкам, девять из которых были выпускниками Московского университета. “Им можно отдать честь: это были люди просвещенные, трудолюбивые, знавшие свое дело” [2, ч. 2, с. 54] — такую оценку дал им в своих записях гимназист Веригин. Эту оценку можно прежде всего отнести к четырем молодым выпускникам Московского университета, получившим в его стенах, а перед этим в его гимназии высокую профессионально-педагогическую подготовку и не

менее высокое нравственное воспитание. Это Г. И. Карташевский, учитель высшего российского класса и класса чистой математики; Н. М. Ибрагимов, учитель славяно-российского и арифметического классов; И. И. Запольский, учитель физики и математики; С. С. Петровский, учитель высшего арифметического класса и класса фортификации и артиллерии.

Наиболее авторитетным по своим деловым и нравственным качествам среди учителей был Г. И. Карташевский. Для того чтобы обстоятельно и правдиво ответить на вопрос: каким был Карташевский? — достаточно внимательно ознакомиться с характеристиками, которые были высказаны о нем различными людьми: студентами, коллегами по работе, иностранными учеными, губернатором, попечителем учебного округа, министром просвещения и другими. Что удивительно, в характеристиках этих людей нет ни одного отрицательного высказывания в его адрес. С. Т. Аксаков, будучи уже писателем, а в свою бытность казанским гимназистом и студентом университета живший на пансионе у Г. И. Карташевского, весьма подробно охарактеризовал его как “в высшей степени привлекательную личность по уму, по характеру, по образованию и по способности воспитывать и учить юношество” [3, с. 349]. Он утверждал, что “Григорий Иванович Карташевский принадлежал к небольшому числу тех людей, нравственная высота которых встречается очень редко и которых вся жизнь есть строгое проявление этой высоты” [там же]. С этими качествами молодого педагога гармонировал и его интеллектуальный склад. Он был всесторонне образованным человеком, хорошо знал отечественную и зарубежную литературу, занимался русской и иностранной словесностью; свободно владел латинским, немецким, французским языками; для удовлетворения любопытства занимался критической философией. Но больше всего его интересовала математика. Он изучил и освоил курс чистой математики в мельчайших подробностях, при этом не ослаблял внимания и к прикладной математике, пользуясь трудами знаменитых ученых в этой области, писал собственный курс чистой математики для преподавания в гимназии.

Пять с половиной лет Г. И. Карташевский с упоением и высоким педагогическим мастерством учил гимназистов математике и вместе с 40 питомцами гимназии перешел в открывшийся университет: он — в качестве адъюнкта, а они — студентов. Преподавание геометрии в гимназии он передал Н. М. Ибрагимову, последний, в свою очередь, передал выпускнику Московского университета А. И. Васильеву высший арифметический класс, который он вел до этого момента [4, л. 1]. В этом классе у Н.М.Ибрагимова занимались Н. Лобачевский и И. Симонов, которых он успешно довел до университета.

Открывшийся 14 февраля 1805 г. Казанский университет имел в своем преподавательском составе всего двух профессоров и четырех адъюнктов, двое из которых являлись математиками (Г. И. Карташевский, читавший курсы арифметики, геометрии и тригонометрии, и И. И. Запольский, преподававший опытную физику). Ровно три года — до появления в университете первого профессора-математика — эти два адъюнкта вели занятия по физико-математическим дисциплинам. После ухода из университета Карташевского его заменили студенты — бывшие воспитанники гимназии. Зная о профессиональной подготовке этих молодых преподавателей (о чем упоми-

налось выше), трудно согласиться с утверждением Н.П.Загоскина по поводу “невысокого уровня знаний и той значительной неподготовленности, какие обнаружили первые студенты народившегося университета” [5, т. 1, с. 47]. Ознакомившись с такой оценкой, невольно задаешься вопросом: каким же образом за два года работы университета из 40 студентов первого приема “вышли славный писатель С.Т.Аксаков, академик-математик Д. М. Перевощиков, его брат академик В. М. Перевощиков, будущий попечитель Казанского учебного округа Э. А. Грубер, будущие профессора П. С. Кондырев, А.В.Кайсаров и В. И. Тимьянский”? [там же, с. 47-48]. Ради справедливости дополним этот список именами П. С. Балясникова — отличного математика, будущего полковника, скончавшегося на р. Березине при преследовании Наполеона; М. И. Фомина — “студента необыкновенно умного, дельного, тихого” [3, с. 187], по зову сердца ушедшего в армию и погибшего на войне с Наполеоном; В. К. фон-Графа, прекрасного студента-математика, направленного учителем в Тамбовскую гимназию; Я. П. Ляпунова, ставшего учителем Пензенской гимназии; А. М. Петрова и Н. В. Упадышевского, учителей Казанской гимназии; А. Я. Шубина, учителя Нижегородской гимназии; Ф. М. Риттау, учителя Астраханской гимназии; А. И. Честнова, учителя Оренбургского главного народного училища.

19 человек - почти половина питомцев Казанского университета -посвятили себя служению отечеству. И это только те, судьба которых нам известна. Автор “Истории Императорского Казанского университета” Н. П. Загоскин не объясняет этот феномен и в заслугу “миниатюрному коллективу” [5, т. 1, с. 47] учителей гимназии ставит “пригодность и полезность её к тому, чтобы разработать почву для насаждения в Казани университетского образования и создать для него кадры более или менее подготовленных слушателей” [там же]. При этом не учитывается, что первый университетский выпуск был подготовлен не приехавшими позднее немецкими профессорами, а коллективом учителей гимназии, ставших затем преподавателями университета. Именно Г. И. Карташевский и И. И. Запольский с первого же года существования университета своими профессиональными знаниями и педагогическим мастерством поставили преподавание математических дисциплин университета на высокий уровень. Они сумели возбудить у большинства своих питомцев интерес, уважение и даже любовь к математическим исследованиям, дать им необходимые математические знания для обучения в университете и во многом способствовали тому, что через несколько лет, с приездом в Казань профессоров М. Х. Бартельса, К. Ф. Реннера, И. А. Литтрова, К. И. Броннера, преподавание математики в Казанском университете вышло на уровень лучших европейских университетов.

В том, что в раннем расцвете математических знаний в Казани большая заслуга Г. И. Карташевского, можно убедиться на множестве примеров. Из университетских документов нам известно, что среди 52 студентов, обучающихся в 1806-1807 учебном году в университете, 17 изучали математические науки. Причем изучали основательно, то есть так, что с увольнением Г. И. Карташевского (вступившего в открытую борьбу с директором университета и попечителем учебного округа против слишком ограниченного и неопределенного положения университетского Совета) и отсутствием его пре-

емника, Совет университета принял смелое, но вполне обоснованное решение использовать для преподавания математических дисциплин наиболее подготовленных студентов первого приема. Три семестра (с ноября 1806 г. по март 1808 г.) занятия вели П. Балясников и П. Чуфаров, а после их ухода в армию — В. Граф и А. Княжевич. В 1808 г. до приезда профессора математики повторительный курс и прием экзаменов проводил Д. Перевощиков (будущий ректор Московского университета). Совет университета положительно оценил преподавательскую работу вышеназванных студентов. Этот факт дает наивысшую оценку знанию предмета и методическому мастерству молодых педагогов гимназии и университета, их способности не только увлекательно и интересно строить и вести педагогический процесс, но и создавать с первых же дней учебы атмосферу душевного подъема и высокого стремления учиться. Можно представить, какая математическая основа была заложена Г. И. Карташевским и его коллегами первым казанским студентам за семь лет учебы в гимназии и университете, если приехавший в Казань немецкий профессор М. Х. Бартельс, выдающийся педагог-математик, на первом же занятии в университете, ознакомившись с уровнем знаний своих новых питомцев, пришел в такой восторг, что, прервав занятие, заявил: “Для таких студентов надобно профессору готовиться к лекции” [5, т. 1, с. 231]. Значительно позднее, будучи уже профессором Дерптского университета, М. Х. Бартельс в письме своему другу математику К. Гауссу писал, что был счастлив, “встретив в Казани у своих учеников и много любви к занятиям высшей математикой и хорошую подготовку” [там же], которую он приписывал своему предшественнику Г. И. Карташевскому. В Дерпте М. Х. Бартельс, по его словам, “уже не встретил в тамошнем молодом поколении ни таких дарований, ни такой любви к математике, какая одушевляла его казанских слушателей; в Казани он читал лекции высшего анализа, в Дерпте он должен был ограничиваться элементарной математикой” [там же]. Такая лестная оценка труда его предшественников говорит о том, что гимназическое и университетское математическое образование с первых же дней имело высоко квалифицированные, передовые, по тем временам, научно-педагогические кадры.

К сожалению, этот первый небольшой коллектив талантливых педагогов гимназии и университета просуществовал очень короткое время. Г. И. Карташевский после увольнения из университета, а также из системы министерства просвещения, благодаря своему таланту, упорству и работоспособности, выполнил свои намерения, высказанные попечителю С. Я. Румовскому о том, что он будет “соискать высшей степени по своей части” [6, ч. 1, с. 508], став сенатором, последним попечителем Виленского и первым попечителем Белорусского учебного округа. Трое остальных первых преподавателей-математиков университета скончались в расцвете сил. Но даже при таких обстоятельствах судьба была благосклонна к университету тем, что не позволила погаснуть огоньку математического образования в Казани, направив в самый критический момент в молодой университет передовые математические силы Европы — Бартельса, Броннера, Литтрова, Реннера. Счастливая судьба университета проявилась не только в том, что эти люди имели превосходную профессиональную подготовку как ученые, но и в том, что их “педагогический такт” [7, с. 480] удачно совпал с принципами, правилами и

методикой математического обучения профессора Московского университета Д. С. Аничкова и его последователей — первых математиков Казанской гимназии и университета. Тождественность российской и немецкой педагогических школ проявилась не только в идентичном понимании и использовании дидактических принципов и правил, но и в сходстве творческого подхода и методических приемов простого и доходчивого изложения материала в целях достижения осмысленного и глубокого понимания и усвоения его студентами.

Таким образом, с учреждением в 1804 г. Казанского университета открылась реальная возможность становления в нем высшей школы математического образования. Пятилетняя деятельность Казанской гимназии к этому же времени доказала, что гимназия способна дать своим выпускникам необходимую математическую подготовку и обеспечить ежегодный отбор определенного числа молодых людей для комплектования состава студентов университета. Высокая педагогическая и профессиональная подготовка выпускников Московского университета и профессоров-немцев послужила источником формирования в Казанском университете сильного профессорско-преподавательского состава. Это стало возможным благодаря удачной преемственности двух педагогических школ — Московского и немецких университетов.

Всё это вместе взятое стало основой для приобретения университетом математической направленности и создания в его стенах Казанской математической школы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Шевырев С. История Императорского Московского университета (1755-1855). — М., 1855.

2. Владимиров В. В. Историческая записка о 1-й казанской гимназии XVIII столетия. Ч. 1, II. - Казань, 1867. Ч. I. 162 с; Ч. II. 66 с.

3. Аксаков С.Т. Семейная хроника. Детские годы Багрова-внука. Воспоминания. — М., 1973.

4. Национальный архив Республики Татарстан: фонд 87, оп. 1, д. 8339.

5. Загоскин Н. П. История Императорского Казанского университета за первые 100 лет его существования (1804-1904). — Казань, 1902. Т. 1, 2; 1903. Т. 3; 1906. Т. 4.

6. Загоскин Н. П. Биографический словарь профессоров и преподавателей Императорского Казанского университета (1804-1904) в 2-х частях. — Казань, 1904. Ч. 1, 2.

7. Депман И. Я. М.Х. Бартельс — учитель Н.И.Лобачевского // Историко-математические исследования. Сб. ст. Вып. 3. — М.-Л.: Гостехиздат, 1950.

MATHEMATICAL EDUCATION AT KAZAN UNIVERSITY AT THE BEGINNING OF XIX CENTURY

L. R. Shakirova

The prerequisites for the formation and development of the mathematical education at Kazan University are considered. The author analyzes the conditions that became the basis for the mathematical orientation of the university curriculum (sufficient level of high school graduates, high level and equality of pedagogical and professional qualifications of Moscow and German universities graduates who formed the qualified teaching staff etc).

Keywords: mathematical education, Kazan mathematics school.

ИСТОРИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ, ПЕРСОНАЛИИ УДК 37(091)

СТАНОВЛЕНИЕ И РАЗВИТИЕ ВЫСШЕГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ В БУРЯТИИ

В. Б. Цыренова

Бурятский государственный университет, Россия, 670000, г. Улан-Удэ, ул. Смолина, 24а; тел.: (301-2)211580; факс: (301-2)210588; e-mail: v_tsyren@burnet.ru

Излагается краткая история становления и развития высшего математического образования в Бурятии с момента открытия первого вуза до настоящего времени.

Ключевые слова: высшее математическое образование, республика Бурятия.

Основы возникновения и обеспечения высшего математического образования в Бурятии заложило открытие в 1932 году Бурят-Монгольского педагогического института. Оно являло собой феноменальное и особо знаменательное событие, поскольку в то время в областях восточных регионов страны (Читинской области, Якутии, Амурской области, Красноярском крае, областях Алтая и Западной Сибири) были десятки, сотни, но не тысячи людей с высшим, в том числе математическим, образованием. Это в полной мере относилось к Бурят-Монгольской АССР, образованной в 1923 году. В это время буряты совместно с русскими впервые обрели свою государственно-территориально-национальную автономию. Появление такого неординарного подразделения и его функционирование было сложным видом социальной деятельности, если учитывать исторические, экономические, культурные, научные, образовательные, транспортно-коммуникационные, демографические условия региона того времени.

С 1932 года по 2004 год (более 70 лет) история осуществления высшего математического образования в Бурятии была непростой. Эта история -часть истории страны, республики, всей системы образования СССР, РФ. В её генезисе имеются свои ступени, этапы, периоды, своя внутренняя логика. Высшее образование не развивается так динамично, как народное хозяйство по пятилеткам, так круто, как политическая история страны.

Мы считаем целесообразным выделение следующих временных интервалов в семидесятилетней истории высшего педагогико-математического образования в Бурятии:

I. Открытие первого вуза в Бурятии, первые мероприятия по созданию и развитию математического отделения в Бурят-Монгольском педагогическом институте ( 1932-1940 гг. ).

II. Математическое отделение Бурят-Монгольского педагогического института в годы Отечественной войны (1941-1945гг.).

III. Послевоенные годы (1946-1959гг.).

IV. 1960-1976 гг.

V. 1977-1989 гг.

VI. 1990-1996 гг.

Нами определены следующие основные особенности указанных периодов. I период:

• нехватка квалифицированных кадров;

• небольшие наборы и выпуски студентов;

• работа по типовым учебным планам и программам;

• достаточно высокое качество преподавания. II период:

• с 1942 года увеличение набора студентов, (в 1942 и 1943 годах выпуски не производятся);

• приток высококвалифицированных преподавателей из центральных вузов СССР в связи с эвакуацией;

• рост числа преподавателей с учеными степенями на кафедре математики Бурят-Монгольского пединститута по сравнению с довоенным временем.

III период:

• увеличение количества часов на основные математические дисциплины по сравнению с общепринятыми планами;

• стабилизация и последующий рост набора студентов (десятикратное увеличение выпуска студентов за период);

• расцвет математического отделения (три доцента Р. Н. Щербаков, П. И. Хайдуков и Б. С. Содномов одновременно интенсивно работают над докторскими диссертациями по математике).

IV период:

• переход с 1962-1963 учебного года на математическом отделении Бурятского пединститута от подготовки учителей по специальности “Математика и черчение” с пятилетним сроком обучения к подготовке учителей по специальности 2104 “Математика” с четырехлетним сроком обучения;

• к 1959 году штат кафедры математики достиг 17 единиц. В последующие годы в связи с ростом контингента студентов (с 1966 по 1976 г. набор постоянно составлял 125 человек) количество преподавателей продолжает увеличиваться;

• 28 января 1964 года кафедра математики разделена на две кафедры: “Математический анализ” и “Элементарная математика и методика преподавания математики”;

• математические кафедры продолжают пополняться за счет своих выпускников;

• начинается целенаправленная подготовка кадров для математических кафедр вуза через аспирантуры ведущих вузов.

V период:

• в педагогических вузах страны вводятся в действие новые учебные планы и новые учебные дисциплины;

• на 25 человек сокращается набор студентов, с 1977-1978 учебного года происходит переход на обучение по специальности “Математика” с пятилетним сроком обучения. Начиная с 80-х годов, увеличивается отсев студентов (виной тому — слабая школьная подготовка, уменьшение конкурса на специальность, падение престижности профессии учителя);

• в конце 70-х и начале 80-х годов на математических кафедрах идет смена поколений (принимаются на работу свои молодые выпускники-отличники и выпускники других университетов, ветераны продолжают трудиться и делятся своим богатым опытом с молодыми преподавателями);

• достигнут качественно более высокий уровень научной квалификации сотрудников (кафедра математического анализа в основном состоит из кандидатов физико-математических наук, докторов наук на факультете нет).

VI период:

• подготовка специалистов на математическом отделении физико-математического факультета БГПИ продолжается по типовому учебному плану 1988 года специальности 01.01 “Математика” с квалификацией специалиста “Учитель математики, информатики и вычислительной техники”. Принятый Закон РФ “Об образовании” способствует внесению изменений и дополнений в учебный план для усиления профессиональной направленности, для индивидуализации обучения и увеличения доли самостоятельной работы студентов;

• набор на специальность сокращается за этот период со 100 до 53 студентов, начинает производиться набор на специальность “Прикладная математика” (с 1996г.);

• в 1991 году создается студенческая группа, обучающаяся по университетскому учебному плану. В 1996 году производится первый выпуск этой группы по специальности 010100 “Математика” с квалификацией специалиста “Математик. Преподаватель”;

• основной выпускающей кафедрой становится кафедра алгебры и геометрии (до середины 80-х годов более сильной по квалификации преподавателей была кафедра математического анализа);

• в 1990-1991 учебном году на кафедре алгебры и геометрии вводится в практику проведение кафедральных контрольных работ по методике, традиционно используемой в МФТИ (тексты контрольных работ составляются и работы проводятся не самими преподавателями, а заведующей кафедрой);

• в 1993 году проводится Всероссийская научная конференция по дифференциальной геометрии с последующим изданием её трудов;

• в 1993-1994 учебном году математические кафедры успешно проходят аттестацию Министерства образования РФ.

Остановимся более подробно на этапе возникновения и становления высшего математического образования в Бурятии, охватывающем промежуток времени с 1932 по 1959 г.

При создании в Бурятии Агропединститута (10 февраля 1932 г.) было открыто физико-математическое отделение, затем начал работу физико-математический факультет. Кафедрой математики первоначально руководила ассистент Е. В. Ососова, приглашенная из средней школы города. Огромный вклад в постановку учебно-воспитательного процесса на отделении внес приехавший из Иркутска среди первых преподавателей и. о. доцента В. Т. Ветров. В эти годы в институте сказывалась острая нехватка специалистов. Каждому преподавателю приходилось вести несколько дисциплин. В 1935 году на кафедре начинает работать П. Ш. Хаглеев, через год приезжает выпускник Ленинградского госуниверситета А. К. Гаханов. В 1938 году он поступает в аспирантуру в этом же университете Ленинграда. В 1937 году на кафедру приходят математики А.Л.Левина и И.А.Киселев. В 1938 году в связи с уходом А. К. Гаханова в аспирантуру оставляется на кафедре выпускник С.В. Ерженин. Это первый преподаватель, подготовленный в родных стенах. В 1939 году приезжают работать выпускник Саратовского госуниверситета П. И. Хайдуков, окончивший аспирантуру в МГПИ им. К.Либкнехта, и выпускник МГУ Б. Н. Смирнов, окончивший аспирантуру в МГУ под руководством Н. А. Глаголева. Итак, к 1941 году количество преподавателей кафедры увеличилось до 5 человек.

О качестве преподавания, об уровне постановки учебного процесса в это время можно судить по рассказу выпускницы математического отделения 1941 года М. Н. Щербаковой. В 1938 году, приехав летом на каникулы, её брат — студент Томского университета Щербаков Р. Н. — сделал вывод, просмотрев конспекты лекций сестры, что ей прочитан абсолютно весь материал первого курса по университетской программе и что она может безболезненно перевестись на второй курс математического факультета ТГУ.

На физико-математическое отделение в первые годы набирали только одну группу Так, в 1932 году весной было набрано 7 человек, а осенью 21 человек. С этого времени до начала 50-х годов набор студентов на специальность составлял от 15 до 30 человек.

В соответствии с условиями обстановки в годы войны в стране были пересмотрены учебные планы и программы с целью ускорения обучения. Была введена 42-часовая рабочая неделя для студентов в вузе, сокращены сроки каникул и периоды экзаменационных сессий. В 1941 году в Бурят-Монгольском пединституте на физико-математическом факультете проведено два выпуска по специальности “Математика”.

В 1941 году преподаватели кафедры математики Б. Н. Смирнов и С. В. Ерженин ушли на фронт. В годы войны на кафедре постоянно работало три преподавателя, из них бессменно П. И. Хайдуков и П. Ш. Хаглеев. В 1942 году в Томском госуниверситете П. И. Хайдуков защитил кандидатскую диссертацию. С 1942 года до 1945 года на кафедре работал доцент, кандидат физико-математических наук А. Г. Пинскер, эвакуированный из Ленинграда. В последние годы войны на кафедре работал кандидат физико-математических наук, специалист по дифференциальным уравнениям X. А. Битнер. А. Г. Пинскер после эвакуации, вернувшись в Ленинград, работал в Ленинградском инженерно-экономическом институте, а с 1959 года — в Ленинградском государственном университете, проводя интенсивную научную работу в области алгебры и функционального анализа. В 1950 году вышла монография “Функциональный анализ в полуупорядоченных пространствах” (548 с), авторами которой являются Л. В. Канторович, Б. 3. Вулих и А. Г. Пинскер.

В 1944 году, окончив аспирантуру под руководством профессора Н. П. Романова без отрыва от работы, старший преподаватель П. Ш. Хаглеев защищает кандидатскую диссертацию в Томском государственном университете. Это был первый бурятский математик, ставший кандидатом физико-математических наук. Таким образом, за годы войны на кафедре математики Бурят-Монгольского пединститута число преподавателей с учеными степенями не только не уменьшилось, но и возросло. Кафедру математики с этого времени до 1961 года возглавлял П. И. Хайдуков.

На математическом отделении Бурят-Монгольского пединститута в эти годы занятия велись по учебным планам, несколько отличавшимся от общепринятых. Это объяснялось составом и интересами преподавателей. Можно с удовлетворением отметить, что на основные математические дисциплины выделялось большее количество часов по сравнению с типовыми планами. К примеру, на математический анализ отводилось 526 часов, на высшую алгебру 312 часов, на высшую геометрию более 200 часов.

Согласно архивным материалам, таблица контингента студентов математического отделения физико-математического факультета в эти годы выглядит так.

Годы

1946

1947

1948

1949

1950

1951

1952

Прием

14

34

7

26

31

49

30

Выпуск

7

6

5

7

5

21

6

Годы

1953

1954

1955

1956

1957

1958

1959

Прием

53

74

75

50

50

75

75

Выпуск

14

19

23

25

49

70

14

Как следует из приведенной таблицы, в начале 50-х годов стабилизируется набор студентов, а к концу этого периода (1958 г.) выпуск студентов увеличивается в 10 раз по сравнению с началом (1946г.). Небольшой выпуск 1959 года объясняется тем, что в 1955-1956 учебном году произошел переход от учебного плана специальности “Математика” с четырехлетним сроком обучения к учебному плану специальности “Математика и черчение” с пятилетним сроком обучения.

Интенсивно идет совершенствование научного уровня кадров математического отделения. Выпускник-отличник 1947 года В.С. Содномов в 1951-м успешно защищает кандидатскую диссертацию в области дескриптивной теории множеств, написанную в МГПИ им. В. И. Ленина под руководством академика П. С. Новикова. В 50-е годы на кафедре математики работает 4 кандидата физико-математических наук: П. Ш. Хаглеев, П. И. Хайдуков, Р. Н. Щербаков и Б. С. Содномов. Все они в это время интенсивно ведут научные исследования по своим темам. Р. Н. Щербаков работал над докторской диссертацией, посвященной линейчатой геометрии. П. И. Хайдуков исследует вопросы обоснования математики. В.С. Содномов продолжает исследования в области теории множеств. Под их редакцией выходят три выпуска Ученых записок Бурят-Монгольского пединститута по математике (с 1953 года по 1956 год). В 1956 году доценты Р. Н. Щербаков и Б. С. Содномов принимают участие в работе III Всесоюзного математического съезда. Такой уровень научной работы преподавателей кафедры обеспечивал и высокий уровень преподавания математики на факультете в эти годы. Все они были настоящими мастерами педагогического дела. Их лекции не только обучали математике, но и воспитывали студентов. Можно сказать, что это было время расцвета математического отделения. Мы считаем, что немаловажную роль в этом сыграла та помощь, которая была оказана в годы войны высококвалифицированными преподавателями из центральных вузов страны.

В 1957 году по приглашению Томского университета Р. Н. Щербаков уезжает в Томск и становится заведующим кафедрой геометрии. В 1965 году он защищает диссертацию на соискание ученой степени доктора физико-математических наук. Профессор Р. Н. Щербаков руководил кафедрой геометрии Томского университета до 1975 года. Затем он передал руководство кафедрой своим ученикам, оставаясь её профессором почти до конца 1987 года. Р. Н. Щербаков по праву считается создателем томской геометрической школы — свыше 50 аспирантов возглавлявшейся им кафедры геометрии стали кандидатами наук и работают в вузах России и СНГ.

За годы своего существования с 1932 года математическое отделение физико-математического факультета Бурятского пединститута подготовило более 3500 специалистов. Большинство из них трудится в школах республики и вне её, а лучшие из выпускников пополнили ряды преподавателей математических кафедр вузов. Около 30 выпускников стали кандидатами физико-математических наук. Наши выпускники успешно проявляют себя и в организационной работе: среди них есть проректоры, деканы, заведующие кафедрами, директора школ. Многие добились успехов и в других областях знаний.

В настоящее время набор на специальность “Математика” резко сократился (40 человек по сравнению с набором 125 в 70-80-е годы). Это связано, во-первых, с преобразованием института в университет и открытием на факультете новых математических специальностей “Прикладная математика”, “Математическое обеспечение и администрирование информационных систем”, а во-вторых, с изменением демографической ситуации в республике и в целом по стране. При этом непосредственно в сферу математического образования и математической науки сейчас идет менее половины выпускников. Считаем, что в наши дни настоятельно стоит вопрос о воспроизводстве кадров для математического образования в республике, и этот вопрос следует решать совместно с Министерством образования и науки Республики Бурятия.

По нашему мнению, при реформировании образования актуальным является вдумчивое использование накопленного историко-педагогического опыта, творческое переосмысление педагогических идей и методов, разработанных в прошлом. Немаловажно также, что историко-педагогическое исследование может выполнять прогностическую функцию, опирающуюся на опыт прошлого с учетом закономерности исторической повторяемости.

Непростым было утверждение высшего математического образования в Бурятии, но оно, безусловно, сыграло и продолжает играть важную роль в подготовке кадров в республике.

THE FORMATION AND DEVELOPMENT OF HIGHER MATHEMATICAL EDUCATION IN BURYATIA

V. B. Tsirenova

The brief history of the formation and development of Higher Mathematical Education in Buryatia since the foundation of the first university till nowadays is given.

Keywords', higher mathematical education, Buryat Republic.

АРХИВ НАУЧНО-МЕТОДИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ ПО МАТЕМАТИКЕ В РОССИИ

О МЕСТЕ ЛЕКЦИИ В МАТЕМАТИЧЕСКОМ ОБРАЗОВАНИИ

Б. В. Гнеденко

Своими мыслями о роли лекции в процессе обучения студентов делится крупнейший математик России Борис Владимирович Гнеденко.

Ключевые слова: лекция по высшей математике, методические, этические, нравственные аспекты.

О ФОРМАХ ВУЗОВСКОГО ОБУЧЕНИЯ

Поиски новых путей обучения в вузе и совершенствование старых, достаточно хорошо разработанных, представляют одну из важнейших задач коллективов кафедр математики. Особенно актуальны в настоящее время поиски более доходчивых и более эффективных способов передачи математических знаний, приобретения необходимых для практической работы навыков и развития математического мышления. Одним из весьма перспективных предложений улучшения качества математического образования в вузе я считаю приобщение студента к самостоятельной работе над книгой буквально с первых дней его учебы в высшем учебном заведении. Конечно, это относится не только к математическому образованию, но в не меньшей степени и к образованию экономическому, инженерному, естественно-научному. Приучить к математическому самообразованию, к привычке самостоятельно читать математические книги крайне важно, поскольку математизация знаний стала реальностью и систематически расширяет свое влияние.

Однако как бы далеко ни заходило приобщение студенчества к самостоятельному изучению учебной и монографической литературы, другие формы обучения — лекции, упражнения по решению задач, специальные семинары, лабораторные работы — не должны забываться. Каждый из этих видов занятий вносит и будет вносить свою долю в приобщение студентов к математическому мышлению. Но при этом лекция никогда не потеряет своего центрального положения во всей системе обучения. Ведь именно на лекции студент вводится в мир новых идей и перед ним раскрывается широкая перспектива использования математических методов в деле познания окружающего нас мира, в разнообразных практических ситуациях, с которыми сталкивает нас жизнь. На лекциях же по математике дается дополнительное методологическое воспитание, поскольку студент получает на ней представление об историческом пути математической науки, об источниках её понятий, о причинах её познавательной силы, о её связях с практикой, о силе абстракции и неизбежности прогресса математики и её понятий. Именно на лекциях по математике студент узнает, почему научная абстракция помогает познанию

конкретного и дает неограниченные возможности для использования одних и тех же понятий и математических средств для изучения многочисленных качественно различных явлений и процессов.

Хотелось бы подчеркнуть важность лекций для формирования мировоззрения студентов, для преодоления трудностей, связанных с приобщением к новым идеям и концепциям. Очень трудно отказаться от привычных представлений и научиться смотреть на вещи с непривычных позиций, хотя это много дает для интеллектуального развития. Мой многолетний личный опыт общения со специалистами убедительно показывает, как трудно преодолеть традиционные элементы мышления и представления, вошедшие в сознание со школы.

Как много сил и энергии мне приходилось и приходится затрачивать, чтобы показать практикам недостаточность чисто арифметических подходов к решению сложных и жизненно важных проблем и необходимость привлечения для этого идей и результатов теории случайных процессов. Зачастую такое перевоспитание удается лишь в результате длительного и всестороннего общения, которое позволяет показать разнообразные аспекты изучаемой проблемы, а также рассмотреть многочисленные примеры, связанные как с интересами слушателей, так и с далекими от них вопросами.

Нужно отметить еще одно, на мой взгляд, весьма существенное обстоятельство — в лекции хороший лектор найдет возможность связать излагаемый материал с насущными задачами, стоящими перед обществом, с событиями, которые волнуют его членов. Я позволю себе проиллюстрировать эту мысль на двух примерах из собственной практики.

В мае 1945 г. я читал лекции по специальному курсу “Предельные теоремы для сумм независимых случайных величин”. После дня Победы на первой же лекции я не мог удержаться от того, чтобы часть времени не уделить беседе со своими слушателями об их товарищах, ушедших на фронт, и о некоторых работах математиков — в помощь фронту, в частности, о том значении, которое имеют предельные теоремы теории вероятностей для военного дела.

Сразу же после запуска первого искусственного спутника Земли мне пришлось читать очередную лекцию по курсу математического анализа. Можно ли было, войдя в аудиторию, приступить к работе, как обычно, сделав вид, что ничего не случилось? Как студенты, так и я сам, были возбуждены случившимся, находились в приподнятом настроении. И вновь, отдав должное усилиям конструкторов, рабочих, исследователей всех направлений мысли и отметив историческое значение этого события, я поговорил о месте математики и математиков в вопросах создания космической техники, в процессе запуска её на орбиту, а также при решении задач управления полетом. Затем я помечтал о том влиянии, которое произведет на развитие науки запуск спутника и об открывающихся возможностях для более глубокого познания Вселенной.

Упускать такие исключительные возможности для бесед широкого плана нельзя, поскольку они позволяют связывать вопросы нашей науки с животрепещущими вопросами, возникающими перед обществом; “открывают дверь”, которая связывает учебную жизнь с развитием страны. В этом отношении для меня образцом служат лекции Д. И. Менделеева, который считал своим гражданским долгом рассказывать на лекциях по химии не только о самой химии, но и о её месте в жизни человечества и о необходимости экономного отношения к использованию минерального сырья, запасы которого небезграничны. А чего стоит его фраза о научном посеве, который взойдет для жатвы народной? Ведь именно о жатве народной мы обязаны думать во всей нашей работе, как педагогической и воспитательной, так и научной. И лекции представляют для этой цели совершенно исключительные возможности, которыми мы не всегда пользуемся в достаточной мере.

В значительной степени сейчас лекции используются для того, чтобы в них систематически сообщать основной материал программы. При этом всегда опасаются, что времени не хватит на изложение всех необходимых деталей. Именно поэтому многие лекторы считают только что упомянутые отвлечения недопустимыми, отвлекающими от выполнения учебного плана, нарушающими логическую цельность курса. Я придерживаюсь совсем иной точки зрения и считаю, что лекция не должна повторять учебник и предназначена в первую очередь для того, чтобы облегчить студентам понимание основных идей дисциплины, развернуть перед ними связи одной науки с другими отраслями человеческого знания, с актуальными проблемами наших дней, вселить в их сознание уверенность в собственные силы, а также привить интерес к дальнейшему познанию как уже открытого, так и неизвестного. А для этого совсем не следует излагать подробно то, что имеется в учебниках. Требуется лишь создавать предпосылки мысли для работы и пробуждения интереса подавляющей массы студентов.

Встреча с лектором для студента не должна состоять только в узнавании того, что можно самостоятельно изучить по книге, а в создании широкой и глубокой научной концепции, выяснении места данной научной дисциплины в системе научных знаний и её возможностей в прогрессе человеческого знания, в её связях с практикой. На этом широком фоне уже можно касаться и собственно учебного материала. Но все же я убежден, что часть времени, отведенного на лекции, полезно посвящать самостоятельному чтению студентами учебной литературы под наблюдением опытных консультантов и тем самым приучать их к книге, к самостоятельному преодолению трудностей познания.

НЕМНОГО ИСТОРИИ

В воспоминаниях выдающихся представителей науки и культуры прошлого содержится много замечательных слов о лекциях учителей, которые оста-

вили неизгладимый след в их памяти. Приведу несколько таких отрывков из воспоминаний о лекциях выдающихся математиков прошлого — М. В. Остроградского и П. Л. Чебышева.

В. А. Панаев — воспитанник Петербургского института инженеров путей сообщения — так характеризует М. В. Остроградского как лектора: “Всякий воспитанник с нетерпением ждал счастия и достижения великой чести — слушать лекции Остроградского... Слушать его было истинным наслаждением, точно читались нам высоко поэтические произведения. Он был не только великий математик, но, если так можно выразиться, и философ-геометр, умевший поднимать дух слушателя. Ясность и краткость его изложения были поразительны; он не мучил выкладками, а постоянно держал мысль слушателя в напряженном состоянии относительно сущности вопроса. Всеми мерами он старался, чтобы слушатели следили за ним и могли понимать его: для этого, когда какой-нибудь вопрос обнимал несколько лекций, он начинал всегда с резюме всего уже высказанного о вопросе в прежних лекциях, и затем уже шел дальше” [1, с. 79-80].

Об одном из педагогических приемов, которым Остроградский добивался интереса к курсу математики у своих слушателей — будущих инженеров, -в тех же воспоминаниях В. А. Панаев писал: “Остроградский любил возбуждать у учащихся соревнование и тем напрягал их мысль, и умел иногда поощрить их одним словом, которым, конечно, страшно дорожили, что служило сильным подстрекательством для занятий” [1, с. 80].

О том же педагогическом приеме Остроградского писали преподаватели Артиллерийского училища, позднее переименованного в Артиллерийскую академию, А. Платов и Л. Кирпичев: “Высокий авторитет в науке нашего гениального математика производил громадное впечатление на учащихся, оценивших надлежащим образом пользу, которую они могут извлечь из лекций Остроградского, и желавших показать ему, что они в состоянии следить за его преподаванием с успехом... Профессор искусно поджигал самолюбие молодых людей, показывая, что он считает знание высшей математики роскошью для военных... Они же, затронутые в своем самолюбии, напрягали все силы мышления, чтобы понимать сознательно профессора и для подготовления себя к читаемым лекциям, принялись за изучение математики по лучшим новейшим источникам” [2, с. 149-150].

Остроградский особое значение придавал тому, чтобы на лекциях заставить слушателей не запоминать услышанное, а понимать его содержание. Он стремился заставить работать мысль слушателей, и на это он не жалел времени. Он умел примечать тех слушателей, кто систематически учился думать, и никому не прощал лени разума. В этом плане характерен следующий случай: “Однажды экзаменовался слушатель Эвальд. Остроградский, не спрашивая, поставил ему на экзамене высший балл, а когда тот удивился, он ответил: ”Многое из математики не остается в памяти, но когда поймешь её, тогда легко при случае вспомнить забытое; из общения с Вами я заме-

тил, что Вы поняли мой курс, а потому и ставлю Вам без экзамена высший балл” [3].

Еще один случай. “При чтении своих лекций (Остроградский) любил время от времени развлечь своих слушателей каким-нибудь анекдотом или каламбуром. Эти вставки по большей части, впрочем, имели связь с содержанием самой лекции... ”Еду я раз, — говорил он по поводу ссылки одного из учеников на какой-то авторитет, — по Полтавской губернии и вижу: землемер работает. Я подошел к нему: что вы делаете?

— Поле вымеряю.

— Каким же это способом?

- А видите: оно треугольное (а точно это был прямоугольный треугольник), так я вымеряю саженью ту и другую сторону, перемножу, разделю на 4800 и выйдет, сколько десятин в поле.

- Это очень любопытно, а может быть, и совершенно верно, но скажите, отчего это так?

Тот думал, думал...

— Так губернский землемер делает” [2, с. 151].

Нет нужды говорить, что эту историю Остроградский рассказал не просто с целью позабавить слушателей, а чтобы ни у кого не возникало желания аргументировать свои действия или ответы только ссылкой на авторитет. Этот прием полезно использовать и в наше время, поскольку высмеивание явления (а не данного студента, носителем которого он является) оставит в памяти слушателей неизгладимый след.

В некрологе, написанном А. М. Ляпуновым о своем выдающемся учителе П. Л. Чебышеве, имеются строки, посвященные лекциям. Известно, что Чебышев был связан с Петербургским университетом в течение 35 лет и за этот срок прочитал там большое число курсов, в том числе теорию вероятностей и теорию чисел, каждую более чем по тридцать раз. “Курсы его не были обширными, и при изложении их он заботился не столько о количестве сообщаемого материала, сколько о выяснении принципиальных сторон трактуемых вопросов. Отличаясь живым и увлекательным изложением, лекции его сопровождались множеством интересных замечаний относительно значения и важности тех или других вопросов или научных методов. Замечания эти высказывались иногда мимоходом по поводу какого-либо конкретного случая, но всегда глубоко западали в умах его слушателей. Вследствие этого лекции его имели высокое развивающее значение, и слушатели его после каждой лекции выносили нечто существенно новое в смысле большей широты взглядов и новизны точек зрения... В аудитории он появлялся в точно назначенное время и тотчас же, не теряя ни секунды, приступал к продолжению выводов, начатых в предшествующую лекцию. Вычисления он производил чрезвычайно быстро, вследствие чего, несмотря на то, что был прекрасным калькулятором, часто делал ошибки в выкладках, и за ходом вычислений нужно было следить очень внимательно, чтобы во время предупредить его о

сделанной ошибке, о чем он всегда просил своих слушателей. Когда, наконец, получался желаемый вывод, П. Л. Чебышев садился, но не на кафедру, а на кресло, ставившееся для него всегда у первой парты, и вот тут-то и начинались те разнообразные замечания, которые придавали особенный интерес его лекциям и которых с нетерпением ждала вся аудитория” [4].

ОБ ЭМОЦИОНАЛЬНОМ ВОЗДЕЙСТВИИ НАУКИ

Давно замечено, что живое, удачно сказанное слово обладает огромным воздействием на слушателей. Каждый из нас по себе знает, как долго сохраняется воздействие хороших лекций, прослушанных еще в юности. Мы помним, с каким увлечением слушали мы лекции наших любимых профессоров, о которых хорошо знали, что они умеют как бы предвидеть волнующие нас вопросы. Они воспитывали наши интересы и нашу мысль, пробуждали желание испытать собственные силы на решении сложных проблем. Их изложение будило в нас интерес к науке и познанию.

Я счастлив, что мне пришлось слушать курсы блестящего лектора В.В. Голубева, который умел быть романтиком математики, тщательно подбирал слова и редкие, но впечатляющие жесты. Он стремился пробудить интерес слушателей как общими идеями математики и её связями с практикой, так и строгой, неумолимой логикой её рассуждений. Мы с увлечением следили за последовательностью его рассуждений и, нужно сказать, в его изложении не было неинтересных разделов курса. Невольно мы стремились подражать ему и заимствовать некоторые внешние приемы его общения с людьми, а также способы выражения мысли. Такое увлечение личностью учителя вполне закономерно и является естественной формой оценки его влияния на формирующуюся личность ученика.

Другой блестящий лектор, который оказал большое влияние на мое педагогическое кредо, А. Я. Хинчин, обладал исключительным даром доводить существо предмета до слушателей и делать его доступным всем, кто проявлял хотя бы малейший интерес к науке. Он никогда не торопился при изложении, и ему всегда хватало времени, чтобы закончить мысль, сделать её весомой, показать важность излагаемого материала для науки. Казалось, что он никогда не напрягал голос, но всегда был отчетливо слышим всеми слушателями. Читал ли Хинчин курс лекций или доклад на Московском математическом обществе, он оставался доступным не только для тех, кто уже знал предмет. Хинчин всегда стремился к тому, чтобы сделать всех слушателей совладельцами тех идейных богатств, которыми он обладал. Его лекции были настоящим интеллектуальным праздником, поскольку с них нельзя было уйти разочарованным; они развивали слушателей, давали им дополнительный толчок к размышлениям, но уже на базе более высокого уровня, на который они их поднимали. Его лекции при этом отличались совершенной формой речи, изяществом литературных оборотов, точностью выражений,

а также своеобразной манерой общения с аудиторией: он как бы беседовал с каждым из присутствующих и потому избегал внешних эффектов, не форсировал голос (по-видимому, именно поэтому), а спокойно, обстоятельно и по-деловому излагал суть дела. Воздействие от общения с Хинчиным как лектором усиливалось оттого, что он не торопился покидать аудиторию, а терпеливо и внимательно выслушивал каждого, кто хотел получить дополнительное разъяснение или же задать вопрос. Если Хинчин не мог ответить сразу, то тут же давал объяснение, почему он не может ответить на вопрос немедленно. Он просил разрешения подумать и ответить позднее. При этом он не забывал о своих обещаниях.

В лекции нет мелочей, всё имеет значение: голос лектора, его одежда, манера держаться, отношение к слушателям. Всё это слушатели замечают. Крикливая одежда, так же как и небрежная, отвлекают их от предмета занятий. Тихая речь заставляет напрягать слух и тем самым отвлекаться от содержания лекции. Быстро двигающийся перед доской лектор мешает слушателям сосредоточиться. Формулы, записанные на доске, должны быть доступны, чтобы к ним можно было возвратиться по мере надобности. В их расположении на доске должен быть определенный порядок, чтобы и он содействовал усвоению логики вывода. Ни в коем случае нельзя торопиться стирать написанное. Написанная формула должна фиксировать какую-то мысль или часть вывода. Для того чтобы какой-то этап сохранился в памяти, необходимо оставить формулу в поле зрения студентов на некоторый период. В то же время нельзя сохранять на доске всё, что было написано. Этим мы мешаем слушателям выделить действительно важное, то, что следует зафиксировать в памяти.

Слушатели приходят в аудиторию для того, чтобы познать новое, им неизвестное, чтобы привести в порядок уже имеющиеся у них сведения, чтобы узнать что-то о связях между данной наукой и другими ветвями человеческого знания, чтобы услышать о новых проблемах и научиться самим размышлять. Но для этого самое важное — понять суть дела, выяснить его природу. Вот почему так важно в каждой лекции выделить центральную идею, всесторонне осветить её, показать её значение для теории и практических приложений. Слушатели хотят узнать не только то, что уже открыто, но также и то, чем сейчас заняты исследователи, и какие трудности встречаются при решении этих проблем. Лекция должна в первую очередь пробуждать мысль слушателя, а не глушить её; она должна пробуждать духовные силы и давать дополнительные стимулы к дальнейшему познанию.

На лекциях лектор должен добиваться психологического контакта с аудиторией, управлять интересами и вниманием слушателей. Для этого он должен уметь убеждать студентов в том, что ему интересно общаться с ними и что он желает не поучать их, а делиться своими знаниями и умением. Студенты должны видеть, как лектор интересуется их желаниями и старается предупредить возможные затруднения в понимании сообщаемого

материала. При этом всем становится ясно, что мысль лектора напряженно работает. Об этом “мышлении на людях” для того, чтобы лекция была хорошей, говорил еще М. В. Ломоносов. Об этом же прекрасно написала психолог И. А. Зимняя: “... при выступлении должно быть публичное мышление, мышление на людях. И посмотрите, как проявляется здесь психологический механизм контакта с аудиторией: если лектор формирует и формулирует сопереживание, то между говорящим и слушателями возникает сопереживание, мыслительное содействие. Лектор ставит задачу, проблему, и ... в аудитории создаются все предпосылки для подлинного контакта, который основан на сомышлении” [5].

Но для того, чтобы добиться этого состояния “сомышления”, от лектора требуется многое и в первую очередь умение привлекать внимание и интерес слушателей к предмету изложения, способность вызывать доверие и уважение к личности лектора. Без такого контакта будет трудно как лектору, так и слушателям. Нельзя полагаться на то, что, если посещение лекций обязательно, студенты должны их слушать. Часто бывает, что студенты присутствуют на лекции, но их мысли, их сознание далеки от предмета лекции.

Нельзя совершенно одинаково строить все лекции. Вводная лекция к курсу и к отдельным его главам не может быть построена так же, как лекция, в которой излагается доказательство теоремы, вводится понятие, рассматривается иллюстративный пример. По-разному должны строиться лекции для каждого года обучения. Ведь если в первые дни обучения студенческой жизни молодые люди ждут откровения от познания не известного им, но уже открытого наукой, то позднее они желают соприкоснуться с собственным активным познанием, с испытанием своих творческих сил, и лектор обязан учитывать эти различные цели. Если лектор сумел увлечь своих слушателей широкой картиной перспектив для применения молодых сил, то ему успех будет обеспечен надолго. Поэтому очень важен успех первой лекции, которая создает психологическую близость лектора и слушателей. Но первый успех следует непрерывно закреплять.

Успех лекции во многом зависит от подготовки к ней. Однако общего рецепта, как готовиться к лекции, который был бы применим во всех случаях и действовал бы безотказно у каждого лектора, дать нельзя. Некоторые лекторы предпочитают готовить лекцию во всех деталях и даже записывают её, чтобы рациональнее расположить материал во времени и определить порядок изложения. Я предпочитаю иной путь и набрасываю лишь общие контуры лекции, внимательно проделываю все необходимые выкладки доказательств теорем. Исторические и философские замечания, а также отступления, касающиеся связей теории с практикой, в деталях я не разрабатываю, поскольку конкретная обстановка лекции заставляет порой делать не те акценты, которые намечаешь заранее. Иногда простой вопрос студента заставляет менять предварительный план, поскольку ответ на него открывает несравненно большие возможности методического и воспитательного характера и позво-

ляет осветить такие стороны предмета, которые первоначально не намечалось освещать вовсе.

ЛЕКЦИЯ И УЧЕБНИК

Лекция занимает в вузовском образовании исключительное место. Чем же это вызвано? Почему нельзя ограничиться изучением предмета только по учебникам? Ответ на эти вопросы связан как с психологическими причинами, так и с характером восприятия устной и письменной речи. Устная речь оказывает огромное эмоциональное воздействие. Интонации, жесты, подчеркивающие ту или иную мысль, незначительное форсирование голоса, указание на применения и философскую значимость — всё это позволяет легче воспринимать и лучше запоминать предлагаемый материал.

Хорошо известно, что превосходная лекция, записанная дословно, при прочтении может показаться бледной, и становится удивительным то огромное впечатление, которое испытывали слушатели при её произнесении лектором. Каждый, кто проверял стенограмму собственного выступления перед аудиторией, знает, как ужасно оно выглядит в расшифрованном виде. Оно теряет ту силу, которая свойственна устной речи, в значительной мере из-за того, что мы уже не присутствуем при творческом акте её произнесения. К тому же устная речь по сравнению с письменной страдает довольно значительной грамматической неправильностью.

Хорошая лекция не может просто повторять написанный текст. Она всегда рождается на месте и уже одним этим оказывает эмоциональное воздействие на слушателей. Читая впервые, мы не знаем, что в ней существенно, а что второстепенно. Лектор же это знает заранее и поэтому сознательно выделяет те моменты, на которые ему хотелось бы обратить внимание слушателей. Слушатель же на лекции сталкивается не с аморфным материалом, если так можно выразиться, а с хорошо организованной мыслью. Кроме того, на лекции можно привести сравнения, сопоставления с актуальными проблемами наших дней, для которых обычно не находится места в учебнике, учесть особенности данной аудитории и её интересы.

Лекцию можно сравнить с выступлением актера. Хороший актер оставляет в нашей душе огромный след своим выступлением. Точно так же и лектор должен оставлять на всю жизнь воспоминания о встречах с ним; о том, как его слова открывали широкий путь в познание и помогали овладевать методами математического мышления. Я вспоминаю, как впервые услышал в исполнении Игоря Ильинского замечательный рассказ А. П. Чехова “Сапоги”. Перед этим я неоднократно сам читал этот рассказ. Этот же рассказ в передаче большого мастера заблистал невиданными красками, заставил меня увидеть непередаваемые черточки в характере действующих лиц и как бы лично участвовать в действии. Выступление Ильинского помогло мне открыть внутренний мир действующих лиц. Этого же мы должны добиваться и на наших лекциях.

Лекция должна открывать перед слушателями внутренние связи между понятиями математики, показывать её в движении, в многочисленных связях с практикой. Она должна выступать не как мертвая схема, а как полная жизни и красок наука. Лектор может и должен показывать, что математика познается не посредством бездумного запоминания, а только путем сознательного понимания её понятий и идей, перебрасыванием действенных ассоциаций от имеющихся у слушателей знаний и опыта к новым представлениям. Эти ассоциации лектор должен сознательно и умело пробуждать. Он должен стремиться сделать передаваемые им знания активным орудием познания и деятельности своих слушателей, а не простым достоянием их памяти. Полезны не все получаемые знания, а только те, которые способны работать, действовать, помогать в решении возникающих перед нами проблем.

Нередко при самостоятельном чтении книги её содержание остается чуждым нашему сознанию; теоретическая и практическая ценность излагаемых в ней идей и методов не делается частью наших убеждений; содержание усваивается чисто формально и не становится орудием действия. Лекция должна помочь студентам войти в этот новый для них мир идей не в качестве туристов, а в качестве рачительных хозяев, которые не просто удивляются красоте открывающегося перед ними построения, но систематически используют имеющиеся в нем возможности в своей деятельности. Лектор может найти совсем новые аспекты изложения, при которых глубже открываются как суть предмета, так и его прикладные возможности.

ЛЕКТОР И СЛУШАТЕЛИ

Нельзя забывать, что во время лекции имеются две действующие силы -лектор и слушатели. Задача лектора состоит в том, чтобы завладеть вниманием слушателей, управлять им. Нужно добиться такого положения, чтобы слушатели ловили каждую высказанную мысль и стремились понять её смысл. На хорошей лекции студенты должны забыть обо всем, кроме самой лекции. Для этого лектор с первых же слов должен заронить интерес не только к лекции, но и к своей личности. Чтобы добиться этого, лектор должен показать свое знакомство с профилирующей специальностью студентов, широту математических концепций, связь вводимых понятий с практикой, указать на значение полученных результатов для познания, иногда пошутить и, кроме того, читать лекцию правильным литературным языком. Лектор должен постоянно учитывать интересы студентов, поэтому лекция на одну и ту же тему для инженеров, математиков, биологов и психологов должна быть построена по-разному. Студенты должны быть убеждены, что сообщаемый им материал нужен не только для сдачи экзаменов, а для их будущей практической деятельности. И мне непонятны те математики, которые, за много лет преподавания в техническом или экономическом вузе, на экономи-

ческом или биологическом факультете университета или пединститута, так и не удосужились узнать животрепещущие вопросы этих областей знания. Как можно при этом судить о том, что требуется из математической теории специалистам этих областей знания? Как можно с уверенностью утверждать, что сообщаемые сведения действительно потребуются студентам в их работе? Очень хорошо, если сам лектор принимает участие в исследованиях, которые близки интересам слушателей. Как правило, это им становится известным очень скоро, и они приходят на лекцию с уже сложившимся убеждением, что лектор сумеет им дать то, что нужно им для их дела, для их специальности.

Я противник того, чтобы новый материал давать чисто формально. Исключительное значение я придаю тем ассоциациям, которые сумеет вызвать лектор у слушателей. Новые сведения требуют определенного времени, чтобы студент успел их усвоить, превратить в действующий инструмент. К сожалению, даже крупные ученые и опытные лекторы иногда излагают новый материал так, словно он укладывается в сознании мгновенно и студенты способны, как по мановению волшебной палочки, полностью овладеть им. В действительности познание идет довольно медленно и для того, чтобы знания были не формальными, чтобы они были способны активно работать, их нужно сблизить с тем, что уже знают студенты, создать обстановку внутренней необходимости расширения уже приобретенных знаний. Лектор должен считаться с тем, что пропускная способность каналов восприятия слушателей ограничена. Нередко мы совершаем ошибку, стремясь на лекции дать как можно больше информации. Мы находимся в плену представлений, что студенты обладают неограниченными возможностями усвоения нового и что любые глубокие идеи, которые мы им сообщаем, немедленно укладываются в сознании и начинают приносить пользу.

С 1945 по 1950 гг. я работал в Львовском университете. В это время в вузы пришла молодежь с фронтов Великой Отечественной войны. Это были рано повзрослевшие молодые люди, которые хотели не разрушать, а создавать, и поэтому стремились всё познать, понять, а не просто заучить. Они не стеснялись задавать вопросы, и работать с ними было настоящим наслажденьем. Я знаю за собой как лектором некоторые недостатки, в том числе несколько замедленную речь. И вот однажды студенты решили провести своеобразное исследование: кто из профессоров — я или мой порывистый коллега, прозванный студентами “атомной энергией”, сообщит на лекции больше сведений? Мой коллега превосходно знал свой предмет, умел увлечь слушателей, говорил страстно и быстро. Каково же было удивление студентов, когда они выяснили, что мне удается в течение лекции изложить больший материал, чем моему коллеге и товарищу. Дело объяснялось просто: во время лекции студентам не приходилось меня переспрашивать, их вопросы относились к существу дела. Студенты успевали осмыслить сказанное мной. На лекциях же моего коллеги изложение постоянно прерывалось репликами: “Извините, но я не успел понять то, что Вы сказали”, “Повто-

рите, пожалуйста”. И порой ему приходилось несколько раз повторять одно и то же.

Заслуживает самого пристального внимания речь лектора во всех её аспектах. Многие грешат тем, что проглатывают концы предложений и окончания слов. Слушатели вынуждены домысливать самостоятельно то, что они не услышали. Это отвлекает внимание. Нередко громкость речи лекторы не соразмеряют с акустическими особенностями аудитории и в результате на задних рядах речь лектора совсем не слышна. Это не мелочь, поскольку при такой речи часть студентов вовсе перестает слушать лекцию. В связи с этим полезно напомнить один эпизод из жизни одного из лучших наших лекторов-математиков. О.Ю.Шмидт читал в Киевском университете одну из своих первых лекций. В процессе чтения он заметил, что внимательно его слушают лишь первые два ряда, а на других рядах студенты шептались и переворачивали страницы газет. В чем дело? Шмидт решился на отчаянный шаг: он прошел туда, откуда доносился шум и спросил у беседующих: “Вам неинтересно?” В ответ он услышал: “Нет, интересно, но только мы не слышим того, что Вы говорите”.

Лектор обязан придирчиво относиться к собственной речи, к подбору слов и выражений, которые он употребляет. Как у лектора, так и у слушателей время ограничено и поэтому мы должны использовать его целесообразно, избегая непонятных слов и выражений, лишних слов и длительных периодов молчания. Слова-паразиты не несут информации, но затрудняют понимание услышанного, отвлекают внимание. Мне довелось присутствовать на докладе одного из моих коллег об его путешествии в горы Памира. Лекция была хорошо задумана, но впечатление от нее изрядно испорчено использованием выражения “так сказать”. Он употреблял его к месту и не к месту. Случались и комические ситуации. Так, рассказывая о своем товарище по путешествию — крупном представителе медицины, лектор заявил следующее: “С нами был, так сказать, ученый Н”. Очень скоро некоторые студенты увлеклись подсчетом того, сколько раз за определенный срок (пять или десять минут) лектор произнесет свои любимые “так сказать”. Лектор должен приучить себя не “мычать”, когда он подыскивает нужное слово. Мычание отвлекает аудиторию. Очень плохо, если на вопросы слушателей в связи с каким-либо непонятным местом лектор отвечает теми же словами, какими уже излагал непонятное. Ведь если первоначально эти слова не дошли до сознания слушателей, то в них имеется что-то такое, что мешает их восприятию. Поэтому лучше повторить ту же мысль, но другими словами и с других позиций.

Лектор обязан помнить, что перед ним живые люди со своими желаниями, увлечениями, переживаниями. И поэтому лекция должна быть прочитана так, чтобы все личные переживания отошли на второй план, чтобы слушателей захватило содержание лекции. Каждая лекция как для лектора, так и для слушателя должна быть не скучной обязанностью, а огромной

радостью и глубокой внутренней необходимостью. После лекции слушатели должны расходиться с глубоким убеждением, что они с огромной пользой провели время, что их общение с лектором дало им то, что они не могли бы получить иначе. Лектор же с лекции должен уйти с ощущением, что он не отнял зря у своих слушателей время, что он помог им подняться еще на одну ступеньку лестницы познания, без него же добиться им этого было бы намного сложнее.

Лекция — не книга, её невозможно прослушать несколько раз и именно поэтому лектор обязан стремиться к тому, чтобы его слушали и понимали практически все студенты, чтобы они не теряли нити изложения и им было бы интересно слушать, чтобы у них появлялось внутреннее убеждение в исключительной ценности того, что им сообщается, и что в таком виде это не прочтешь в учебнике. А как часто лекция бывает буквальным повторением того, что изложено в учебнике, который имеет каждый студент! Можно ли в таких случаях осуждать студентов за то, что они не слишком внимательны на лекциях? Ведь они ждут от непосредственного контакта с лектором чего-то большего, чем сухой и малопроизводительный пересказ книги. Они ждут сопоставлений, выявления связей тех понятий и фактов, о которых идет речь, с их специальностью, с их будущей деятельностью, с самой жизнью. Им хочется, чтобы устное изложение заставило жить математические образы, чтобы математические понятия и идеи не излагались так сухо, как в учебнике, чтобы они превратились в орудие познания.

Лекция по математике — исключительное по силе воздействия на слушателей средство обучения и воспитания научного мировоззрения, интереса к предмету и уважения к использованию теоретических знаний для решения задач практики. Нужно стремиться постоянно совершенствовать лекции, используя для этого опыт лучших лекторов прошлого и современных. Нам нужно стремиться к тому, чтобы удача постоянно сопутствовала нашим лекциям, а скука и безразличие были бы очень редкими гостями в вузовских аудиториях.

ЛИТЕРАТУРА

1. Панаев В. А. Воспоминания // Русская старина. 1893.

2. Платов А., Кирпичев Л. Исторический очерк образования и развития артиллерийского училища. - СПб, 1870. С. 149-150.

3. Трипольский П. И. Михаил Васильевич Остроградский. — Полтава, 1902. С. 68.

4. Ляпунов А. М. Жизнь и труды П. Л. Чебышева. В кн.: П. Л. Чебышев. Избранные математические труды. — М.: Гостехиздат, 1946. С. 18-19.

5. Зимняя И. А. Психология и учет её требований в устной пропаганде // Слово лектора. 1975. №8. С. 60-67.

ON THE ROLE OF LECTURE IN MATHEMATICAL EDUCATION

В. V. Gnedenko

One of the prominent Russian mathematicians, Boris Gnedenko, shares his thoughts about the role of lecture in the educational process.

Keywords: lecture on higher mathematics, methodic, ethical, moral aspects.

АРХИВ НАУЧНО-МЕТОДИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ ПО МАТЕМАТИКЕ В РОССИИ

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ*

Л. Д. Кудрявцев

Приводится отрывок из книги Л.Д.Кудрявцева “Современная математика и её преподавание”, не переиздававшейся с 1985 года. Освещается уникальный опыт преподавания математики, накопленный в Московском физико-техническом институте. Л. Д. Кудрявцевым сформулированы и обоснованы положения, которым необходимо следовать при обучении математике в вузе. Статья включает последние пять из десяти положений. Первые пять положений опубликованы в первом выпуске журнала.

Ключевые слова: математика в вузе, методология и методика преподавания.

6. О ТОМ, ЧЕМУ НАДО УЧИТЬ В МАТЕМАТИКЕ

Знание некоторых принципов легко возмещает незнание некоторых фактов.

Гельвеций

Положение шестое. Учить надо тому, что нужно, и чему трудно научиться.

Это положение означает, в частности, что при обучении надо отобрать основные, принципиальные вопросы (и это должно быть хорошо отражено в программах), которым и следует обучать в первую очередь, на которых и следует сосредоточивать основное внимание. Ничего, кроме излишних трудностей при освоении материала, не может принести перегрузка его мелкими, малозначительными, хотя, быть может, временами и любопытными фактами.

Например, в результате первого знакомства с математическими анализом студент должен научиться обращаться с функциями, заданными формулами, научиться видеть их поведение в точках, на промежутках, должен научиться выделять их главную часть, отбрасывать не существенные в рассматриваемом вопросе добавки, т. е. овладеть формулой Тейлора — всё это основа математического анализа. Если студент овладеет этим, то он будет уметь и вычислять пределы, находить асимптоты, и строить графики, и исследовать сходимость и её скорость у рядов и интегралов, и вычислять приближенно интегралы, значения функций, суммы рядов и т. д. и т. п. Нередко вместо этого основного метода, вместо основного инструмента исследования функций -формулы Тейлора, в курсе математического анализа изучаются, и притом частично без доказательств, цепочки теорем, которые студент, заучивая на интуитивном уровне, путает затем на экзаменах и бывает не в состоянии использовать в своей дальнейшей практической деятельности. К сожалению, это часто связано с тем, что формула Тейлора занимает в учебниках и программах положение “бедного родственника”. Мне представляется, что здесь, по существу, делается не тот акцент, который следовало бы: основа заменяется надстройкой.

* Окончание. Начало в № 1 (2003).

Случается, что в процессе преподавания уделяется незаслуженно много времени хотя и нужным, но простым вещам. Поясним это сначала на нематематическом примере. Когда после окончания школы человек поступает на работу, то выясняется, что нередко он не имеет даже представления о том, как написать заявление о приеме на работу и автобиографию. В связи с этим в печати высказывались предложения о том, что неплохо было бы в средней школе ввести предмет “канцеляроведение”. Безусловно, то, что оканчивающий школу не знает, как написать заявление и автобиографию, очень плохо, но вводить ради этого предмет канцеляроведения более чем неразумно -этому можно научить между делом.

С подобной ситуацией мы часто встречаемся и при преподавании математики. Высказывается, например, категорическое мнение о том, что при вычислении определенного интеграла выражение, содержащее обратные тригонометрические функции и радикалы, не является ответом для инженера, поэтому при решении подобных задач ответ всегда надо доводить до числа, записанного десятичной дробью. В связи с этим высказывается рекомендация обращать особое внимание в процессе преподавания математики на запись в виде десятичных дробей окончательного результата, полученного при решении задачи. Посылка здесь также верна (инженеру нужен ответ в виде десятичной дроби), вывод же вызывает возражение. Конечно, возмутительно, если студент высшего технического учебного заведения не может с помощью калькулятора или по таблице найти значение арктангенса или произвести другие подобные действия, но надо отдавать себе отчет в том, что не этим надо заниматься во втузе, изучая математику. Безусловно, студент должен уметь это делать, а если, паче чаяния, не умеет, то его надо научить между прочим и этому, не делая из этого события.

Попутно заметим, что при обучении студента численному решению задач и воспитании у него уважения к числовому ответу следует значительно чаще, чем это делается, использовать численное решение практических задач на смежных кафедрах, особенно таких задач, в которых величина числового ответа имеет принципиальное значение для изучения рассматриваемого явления (например, получится дозвуковая скорость или сверхзвуковая).

Новые сложности в вопросе “чему учить” появились последние десятилетия в связи с бурным развитием быстродействующей вычислительной техники. Для того чтобы уметь правильно её использовать, а без этого немыслима работа большинства современных специалистов (научных работников, конструкторов, инженеров и т.д.), надо хорошо знать не только элементы программирования и уметь обращаться с программами для ЭВМ, не только уметь использовать компьютеры, но и понимать, что значит математически грамотное описание задачи, как надо корректно поставить математическую проблему, как правильно подойти к её решению, какие существуют методы её численного решения, какой из них целесообразнее выбрать в данном случае, какие качественные исследования возможно и полезно провести при задан-

ных условиях, не прибегая к помощи компьютеров. Всё это в зависимости от рассматриваемой задачи требует более или менее серьезных математических знаний а, следовательно, соответствующего в определенном смысле серьезного классического математического образования.

Отдавая себе отчет в том, что отдельный пример не является доказательством, всё же приведу один случай, который однажды произошел с Л. А. Люстерником и который он любезно разрешил здесь привести.

Несколько лет назад он был приглашен консультантом в один институт, и первая задача, с которой он столкнулся, состояла в табулировании значений одного трехкратного интеграла (если мне не изменяет память) от функции, зависящей еще от нескольких параметров. Были уже составлены программы для вычисления соответствующих таблиц, осуществление счета по которым должно было занять около полугода работы на ЭВМ типа “Стрела”.

Л. А. Люстернику показалось, что рассматриваемый интеграл напоминает ему что-то встречавшееся в теории функций Бесселя. Через два-три дня ему действительно удалось, используя аналогии с преобразованиями интегралов в указанной теории, свести злополучный интеграл к однократному, вычисление нужных значений которого на той же “Стреле” потребовало меньше суток! Экономический эффект от использования этого предложения был огромен.

Этот случай является, конечно, красноречивым примером важности математического мастерства и общей математической культуры, примером того, как много может дать правильное использование аналитических методов, примером настоящего математического образования, наконец, убедительным примером пользы от владения чистой математикой для прикладной математики в век компьютеров.

Приведем, пожалуй, еще один пример, показывающий большое значение, которое имеет общая математическая культура при занятиях не только чистой, но и прикладной математикой — важное обстоятельство, которое часто недооценивается. При решении задачи нахождения равновесной конфигурации тороидального плазменного шнура за счет преобразования уравнений, при котором зависимые и независимые переменные меняются местами, время её решения было снижено приблизительно в 50 раз [1, с. 39].

Следует помнить, что обучение математике, обучение владению математическими методами должно быть направлено на две цели: на обучение определенным алгоритмам и на обучение поиску. Безусловно, что в основу преподавания математики следует положить обучение имеющимся в соответствующей области законченным алгоритмам решения задач, например, методу выделения главной части функции в анализе, методу исключения переменных при решении линейных систем уравнений, тому или иному методу решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, определенным разностным методам численного приближенного решения дифференциальных уравнений и т. д. и т. п.

К сожалению, а может быть, и к счастью, применение математики не сводится полностью к использованию заранее разработанных алгоритмов. Нередко для успешного использования математики при решении новых задач надо проявить определенную долю фантазии, искусства в аналитических преобразованиях, проявить определенную изобретательность, т. е. проявить черты, неотъемлемо входящие в понятие математической культуры. Этому также надо где-то учить, и научить этому, безусловно, гораздо труднее, чем научить использованию готовых алгоритмов.

В связи с этим нельзя не вспомнить неоднократно делающиеся в адрес математиков упреки, что они обучают студентов никому не нужной технике вычисления неопределенных интегралов и интегрированию в конечном виде специально подобранных дифференциальных уравнений, что все это анахронизм, поскольку если им в их дальнейшей практике встретится подобная задача, они просто воспользуются имеющимися справочниками. Я думаю, этот упрек несправедлив.

Здесь будет уместно вспомнить, что хорошо известный экзаменационный минимум, который требовал Л. Д. Ландау от желающих стать его учениками, включал в себя экзамен по математике, в который в обязательном порядке входило вычисление неопределенных интегралов. Вне всякого сомнения, Л. Д. Ландау отдавал себе полный отчет в том, что в своей работе его ученикам не придется заниматься вычислением интегралов, ибо если это им и потребуется, они скорее всего используют готовые таблицы и справочники.

Всё дело в том, что где-то студента, изучающего математику, необходимо научить основным элементам аналитических преобразований, умению проявлять в них изобретательность, развить определенное аналитическое чутье, и вычисление неопределенных интегралов, а затем решение дифференциальных уравнений в квадратурах дают для этого достаточно простой и вместе с тем достаточно содержательный материал. Неизвестно, чем это можно было бы заменить с тем же эффектом полезности.

Заменить обучение искусству аналитических преобразований обучением пользоваться соответствующими справочниками, безусловно, нецелесообразно: последнее — не предмет для обучения, хотя, конечно, в процессе обучения весьма полезно показать, как пользоваться справочной литературой. При этом, однако, не следует забывать, что использование всякого рода справочников предполагает определенный уровень знаний: надо знать, что надо искать и где это можно найти.

Развитие самостоятельности, сообразительности и находчивости, воспитание творческого отношения к любому предмету, изучаемому студентом в вузе, является очень важной частью всего процесса обучения в высшей школе, особенно при современных требованиях к специалистам и, возможно, конечно, только на базе прочных знаний.

В применении к математике для достижения всего этого и одновременно для эффективного закрепления полученных знаний очень полезны задачи, решение которых требует комбинации методов разных разделов математики, задачи, в которых студенту для их решения надо самостоятельно подобрать подходящий для их решения метод среди нескольких, изучавшихся им раньше. Весьма полезны также задачи с недетерминированными ответами, в которых студенту самому предлагается выяснить и доказать, какое же утверждение на самом деле является справедливым.

Решение задач последнего типа может явиться первой попыткой самостоятельной научно-исследовательской деятельности. Подбор таких задач во многом зависит от опыта, эрудиции, квалификации и педагогического мастерства преподавателя.

Задачи, предложенные студенту, должны быть посильными для него и заинтересовать его. Повторные бесплодные попытки студента решить поставленные перед ним задачи могут привести к нежелательному результату: ослаблению у студента уверенности в своих возможностях и способностях.

Одним из самых надежных способов овладения математикой является активное включение в научно-исследовательскую работу в области математики или её приложений еще в студенческие годы. Этого можно достичь, например, привлечением студентов старших курсов к участию в настоящей плановой научно-исследовательской работе, проводимой той или иной кафедрой. В процессе решения новой задачи приобретаемые математические знания сразу находят свое непосредственное применение. Это весьма эффективно способствует их усвоению и правильному пониманию. А результат — решение никем еще не изученной и вместе с тем представляющей интерес задачи — внушает уверенность в собственных силах и дает ни с чем не сравнимые чувства удовлетворения и радости самостоятельного творчества.

Заканчивая разъяснение шестого положения, обратим внимание на существующую большую опасность в тенденции, которая, прикрываясь модернистским лозунгом “классическая математика устарела!”, стремится заменить профессиональный уровень обучения математике знакомством с примитивными методами численного решения задач на ЭВМ и попытками математического моделирования сложных задач. Конечно, нужно и важно, более того, имеется и такой уровень обучения, где этим можно и ограничиться, но нужно отдавать себе отчет в том, что этого недостаточно там, где требуется серьезное профессиональное использование математических методов.

Стремление заменить углубленное прохождение материала поверхностным знакомством к ним, пренебрежение к преодолению принципиальных трудностей, которые необходимо преодолеть для приобретения профессиональных знаний, и замена главных путей побочными, не ведущими к той же цели, а приводящими к качественно более низкому уровню обучения, является одной из очень вредных тенденций, возникающих в системе высшего образования.

7. О ТЕОРЕМАХ СУЩЕСТВОВАНИЯ

С тех пор, как стали пытаться доказать очевидные предложения, многие из них оказались ложными.

Б. Рассел

Положение седьмое. Теоремы существования полезны не только для чистой, но и для прикладной математики.

Этот тезис имеет значительно более частный характер, чем всё остальные, однако представляется необходимым сформулировать его в ряду остальных, так как вопрос о включении в курс математики так называемых “чистых теорем существования” вызывает очень большое число нападок со стороны потребителей математики.

Нам представляется неверным утверждение, что теоремы существования не нужны инженерам (или, скажем, физикам или химикам). Неоправданный скептицизм относительно теорем существования часто происходит от непонимания того, что математическая модель не адекватна конкретному явлению, для описания которого она применена. И поскольку из существования решения реальной задачи (будь она физическая, химическая, социологическая, экономическая, лингвистическая, биологическая или какая-либо еще) не следует существование решения соответствующей математической задачи, то именно поэтому, а вовсе не из любви к логике, доказывают математики в этом случае теоремы существования и математически обосновывают свои заключения.

Доказательство теорем существования служит своеобразной проверкой, математическим экспериментом, дающим оправдание изучению рассматриваемой модели для данного явления. Если удается доказать теорему существования, единственность решения и корректность самой постановки задачи, то, как правило, создается объективная уверенность в том, что исследования проводятся в правильном направлении. Значение этого трудно переоценить: успех в работе в первую очередь определяется правильным пониманием задачи и правильной её постановкой, правильным направлением дальнейшего поиска. Поясню это на примере одного анекдота.

Однажды после долгой разлуки встретились два старых приятеля, и один говорит другому:

- Знаешь, у меня открылся новый талант, я оказался телепатом и могу внушить каждому всё, что захочу, и он беспрекословно выполнит мое мысленное приказание.

— Ну да?! — с сомнением сказал его приятель.

- Хочешь докажу? Дай мне любое задание, и сам убедишься, что я могу! -настаивал первый.

— Хорошо, — согласился его знакомый. — Видишь, впереди идет девушка. Внуши ей, чтобы она оглянулась.

- С удовольствием, — ответил тот, напряженно посмотрел вслед девушке, и та действительно оглянулась на приятелей и даже улыбнулась.

- Вот это здорово, — изумился приятель телепата. — А впрочем, -немножко подумав, заметил он, — причем тут твоя телепатия? Шла веселая девушка, ей было скучно, она смотрела по сторонам, посмотрела и на нас.

- Хорошо, — раздраженно сказал телепат. — Вот, видишь, по мосту идет старичок? Хочешь, я внушу ему, чтобы он снял ботинок и бросил его в реку?

- Ну, если ты это сделаешь, я поверю, — был ответ. Телепат сосредоточился и, о чудо, старик остановился, нагнулся, снял ботинок и, удивляясь на себя, что он делает, бросил ботинок в воду.

- Вот это да! — изумленно протянул приятель телепата. — А впрочем, -задумчиво начал он, — мало ли сумасшедших бродит по городу, может быть, и старичок один из них. А что не придет сумасшедшему в голову! Причем тут твоя телепатия?

- Ах, вот как! — совсем рассердился телепат. — Ты всё еще сомневаешься? Сейчас ты убедишься, на что я способен. Смотри, видишь налево многоэтажный дом. Укажи мне любое окно в этом доме, и тому, кто там живет, я прикажу открыть окно и выбросить свой телевизор на улицу.

- Ну, если ты это сделаешь, я, конечно, не буду больше сомневаться, -отозвался его приятель. — Давай выберем на третьем этаже второе окно слева.

Телепат остановился, поднапрягся. Увы, окно не открывалось, никто не пытался выбросить телевизор. Телепат нахмурился, сосредоточился, еще раз напрягся и, о чудо! Кто-то появился в окне, распахнул его и закричал:

- Ну, что ты ко мне привязался! Никакого телевизора у меня нет!

Мы видим, что самый надежный алгоритм оказывается бессильным, если не выполняются условия теоремы существования!

Возвращаясь от шутки к рассмотрению вопроса по существу, заметим, что с помощью теорем существования, доказательства которых имеют неэффективный характер, иногда удается получать решения задач в виде тех или иных математических формул, удобных для получения приближенных решений посредством прямых вычислений, проводимых по этим формулам.

Рассмотрим, например, задачу о вычислении корня из положительного числа. Пусть задано число а > 0. Зафиксируем произвольным образом число xq > 0 и для п = 1, 2, 3,... положим

(1)

Тогда ясно, что и для любого п, п = 1, 2,... будем иметь

(2)

Это означает, что последовательность {хп} ограничена снизу. Покажем, что она не возрастает. Действительно, поскольку для любого числа t > 0 справедливо неравенство

(оно равносильно очевидному неравенству

то из (1) имеем

Поэтому

Следовательно,

т.е. жп+1 < жп, п = 1,2,... Заметим, что, согласно теореме Вейерштрасса о существовании предела у монотонной ограниченной последовательности, последовательность {хп} имеет конечный предел. Обозначим его через х. Переходя к пределу в равенстве (1), получим

Отсюда X2 = a, a так как в силу (2) х > 0, то х = у/а.

Теорема Вейерштрасса является чистой теоремой существования. Известные методы её доказательства не дают способа приближенного нахождения пределов ограниченных монотонных последовательностей. Более того, в конструктивном анализе доказывается, что существуют монотонные последовательности, для которых заведомо не существует алгоритма, с помощью которого можно было бы найти их предел с любой наперед заданной точностью (такие последовательности в конструктивной математике не являются сходящимися).

Таким образом, применяя теорему о существовании предела у ограниченной монотонной последовательности, удается получить рекуррентную формулу (1) для приближенного вычисления корней. Эта формула очень удобна для применения на практике: она имеет простой вид, и получающиеся по ней последовательные приближения хп значений квадратного корня из числа а весьма быстро стремятся к самому значению квадратного корня из а.

Может случиться, что знание теоремы существования решения задачи дает слишком мало для понимания изучаемого вопроса: не менее важно и знание теоремы единственности решения (не случайно в математике эти понятия часто объединяют, говоря сразу о теоремах существования и единственности). Очень важно знать, удовлетворяет ли условиям задачи одно или больше решений. Это нужно особенно при применении численных методов, так как при наличии нескольких решений или точек ветвления получающиеся в результате вычислений данные могут быть весьма далеки от реальной картины.

Следует, однако, напомнить (это часто случается), что мы не умеем доказывать теоремы существования для изучаемых нами задач, но, тем не менее, нам удается находить их численные приближенные решения, строя для этого те или иные численные алгоритмы, часто даже не умея доказывать их сходимость, не говоря уже о получении оценки погрешности. Так действительно

бывает, но не следует это возводить в правило; это просто вынужденная необходимость, а не необходимая закономерность. Существует немало и других ситуаций, где из попыток численного решения рассматриваемых задач ничего не получается. В таких случаях качественные исследования вопросов существования и единственности решения, корректности постановки задачи могут оказать существенную помощь и иметь решающее значение для успеха проводимого исследования.

Вернемся снова к более общим вопросам преподавания математики.

8. О ДЕДУКЦИИ И ИНДУКЦИИ

Математика, излагаемая в стиле Евклида, представляется нам систематической, дедуктивной наукой. Но математика в процессе создания является экспериментальной, индуктивной наукой. Оба аспекта математики столь же стары, как сама математическая наука.

Д. Пойа

Положение восьмое. На первых этапах обучения надо отдавать предпочтение индуктивному методу, постепенно подготавливая и используя дедуктивный подход.

Вопрос индуктивного и дедуктивного метода изложения материала по математике, безусловно, заслуживает отдельного рассмотрения, поскольку он связан с основами, на которых базируется преподавание любого предмета. Имеется много приверженцев как одного, так и другого метода. К сожалению, многие, отстаивая свою точку зрения, исходят только из удобства построения курса, не принимая во внимание педагогического аспекта этого вопроса, в частности, не задумываясь об облегчении усвоения этого курса студентами. В последние годы наблюдается стремление заменять по возможности индуктивный подход дедуктивным, целесообразность этого часто представляется сомнительной.

Выбор правильного пути ознакомления учащихся с новыми для них вопросами (например, выбор индуктивного или дедуктивного метода изложения), т. е. такого пути, чтобы учащиеся по возможности быстро, хорошо и активно овладели предметом, усугубляется большими трудностями в выработке единого метода преподавания в связи с разными индивидуальными способностями и индивидуальными особенностями восприятия и мышления учащихся. Это, конечно, общая проблема, возникающая в процессе обучения по любой дисциплине.

Специфика, относящаяся к обучению математике, состоит в том, что одни лучше воспринимают понятия в рафинированном виде, при кратком их описании, другие — при обстоятельном всестороннем их описании, одним свойствен подход снизу от частного к общему (индуктивный), другим -подход сверху от общего к частному (дедуктивный), одним конструктивный,

другим аксиоматический подход, одним логически обоснованный, другим интуитивный, одним аналитический, другим геометрический и т. д. и т. п. Существенно различна и скорость усвоения информации у различных людей. Более того, именно этим качеством они в основном отличаются друг от друга как учащиеся.

Безусловно, всё это невозможно учесть, и невозможно создать такой курс лекций или написать такой учебник, чтобы для каждого учащегося они имели оптимальный характер с точки зрения усвоения им изложенного там материала. Однако забывать об этих важнейших обстоятельствах при организации учебного процесса ни в коем случае нельзя. Особенно следует отметить, что семинарские занятия, где преподаватель имеет дело со сравнительно небольшой группой студентов, дают большую возможность организовать обучение с учетом индивидуальных особенностей студентов.

Несмотря на указанную сложность ситуации, можно попытаться всё же высказать некоторые общие принципы, которых целесообразно придерживаться при выборе метода изложения материала. Прежде всего, надо стремиться к тому, чтобы основные понятия стали для учащегося естественными. Для этого они должны, как правило, появляться в уже знакомой учащемуся обстановке, не отягощенной дополнительными понятиями, на самом деле не существенными для объяснения основного понятия, а лишь дающими возможность провести изложение в более общем случае.

Например, математический анализ можно сразу излагать в метрических пространствах, причем получится большой выигрыш во времени и курс будет логически весьма стройным. Однако так большей частью не делается, поскольку к восприятию такого курса слушатель должен быть достаточно хорошо подготовлен. Вряд ли целесообразно излагать теорию пределов в метрических (или даже топологических) пространствах, когда слушатель не владеет другими примерами метрических пространств, кроме трехмерного. Формальное определение других метрических пространств, например, функциональных, не спасает дело, так как к этим пространствам надо привыкнуть, они должны стать естественными, надо почувствовать целесообразность и пользу от их введения, что при отсутствии знаний, по-видимому, невозможно.

Не следует забывать и о том, что без понятий равномерной сходимости и определенного интеграла невозможно достаточно полно изучать свойства важнейших функциональных пространств (например, их полноту). Поэтому изучение основ анализа сразу в метрических пространствах не принесет ожидаемой пользы. До понятия метрического пространства, как и до любой математической абстракции, надо естественным образом дорасти. Функция сама по себе достаточно содержательное понятие, и прежде чем превращать её в точку функционального пространства, полезно как следует повозиться с её свойствами. Так, предел функции одного переменного является очень важным и нужным понятием, рассмотрение его сразу как частного случая,

например, предела по базису фильтра, может неоправданно затруднить учащемуся усвоение понятия предела. В то же самое время появление понятия предела по фильтру после пределов функций и интегральных сумм совершенно естественно и закономерно, хотя и не является обязательным.

Можно сразу ввести и понятие интеграла Лебега конструктивно, на основании теории измеримых функций, или как замыкание по соответствующей норме линейного функционала над ступенчатыми функциями, равного площади соответствующей ступенчатой фигуры. Однако вряд ли целесообразно так поступать, обходя понятие интеграла Римана на отрезке, где идея интеграла столь прозрачна и ясна.

Когда излагаются понятия, обобщающие уже известные, следует обязательно отметить это обстоятельство. Говоря о производных Фреше или Гато, надо показать их связь с обычной производной. Доказывая теоремы по линейной алгебре в многомерных пространствах, очень полезно показать, что следует из них для плоскости и трехмерного пространства. Ведь нередко случается, что студент, доказав ту или иную общую теорему, не в состоянии применить её в простейшем конкретном случае.

Индуктивные методы изложения материала, при которых происходит последовательное обобщение понятий, представляются более благоприятствующими активному усвоению материала учащимися. Именно в этом смысле и понимается предпочтение индуктивного метода перед дедуктивным.

Трудно удержаться, чтобы не вспомнить еще один совет Д. Гильберта, который он дал Г. Вейлю: “Начинай с простейших примеров” [2, с. 140].

Что же касается затраченного времени, то если его считать не по числу лекционных часов, а по числу часов, затраченных учащимися на усвоение материала, то вряд ли оно окажется большим, чем при преподавании, основанном на дедуктивном методе. К сожалению, встречаются преподаватели математики, которые любят увлекаться формализмом, абстракциями, излагая при этом материал как нечто данное свыше, непонятно как придуманное кем-то. Это обычно дает большую экономию во времени при изложении материала, однако, как правило, совершенно неоправданно с точки зрения его активного усвоения.

Характер объектов, которые рассматриваются как конкретные или абстрактные, зависит от обстоятельств, обусловленных прежде всего уровнем математического образования учащихся.

Например, для студента, встречавшегося с уравнениями в частных производных только в курсе гидродинамики, изучение различных краевых задач для уравнения Лапласа и общих свойств гармонических функций будет шагом от конкретного к абстрактному. Для человека, изучающего общую теорию дифференциальных или, тем более, псевдодифференциальных операторов, уравнение Лапласа будет конкретным примером. Аналогично, в теории операторов в банаховых пространствах дифференциальные операторы, в свою очередь, являются лишь конкретными примерами. Однако на любом

уровне при изложении новых понятий, новых общих теорий необходимо и целесообразно потратить достаточно много времени на их конкретные иллюстрации, на разбор примеров, анализ частных ситуаций. При выполнении этих условий может оправдать себя дедуктивный метод изложения.

Как всегда, надо помнить, что всякое утверждение о методике, высказанное в категорической форме, легко довести до абсурда. Это относится и к положению о предпочтительности индуктивного метода перед дедуктивным. Иногда эту предпочтительность понимают в том смысле, что считают необходимым, прежде чем ввести какое-либо математическое понятие, подготовить естественность его введения с помощью повторения исторического пути возникновения и развития этого понятия. Большей частью это, конечно, не оправдано и приводит к бесполезной трате времени. Современный студент психологически и по своему образованию достаточно хорошо подготовлен к непосредственному восприятию математических понятий без анализа тех обстоятельств, которые привели к их появлению. Само собой разумеется, что сами по себе исторические экскурсы весьма полезны и с общеобразовательной, и с гносеологической точек зрения, не говоря уже о том, что, оживляя изложение, они способствуют лучшему усвоению материала.

9. О РЕШЕНИИ ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧ

Без знания математики нельзя понять ни основ современной техники, ни того, как ученые изучают природные и социальные явления.

А. Н. Колмогоров

Положение девятое. Обучение решению прикладных задач математическими методами не является задачей математических курсов, а задачей курсов по специальности.

Это положение касается одного из тех вопросов, по которому особенно часто критикуются как математические курсы в высших технических учебных заведениях, так и учебники по математике для них. Безусловно, что простейшие конкретные примеры, иллюстрирующие применение математических понятий для изучения реальных явлений, как-то: иллюстрация понятия производной скоростью движения материальной точки или линейной плотностью стержня, интеграла — работой силы, составления дифференциальных уравнений — выводом уравнения радиоактивного распада и т. п., весьма полезны. Более того, было бы ошибкой понимать девятое положение как рекомендацию не обучать студентов решению прикладных задач в курсе математики. Это всегда делалось и будет делаться, потому что это нужно и полезно.

Дело не в этом, а в том, что систематическое обучение студентов применению математических методов, изучаемых ими в курсе математики, к

решению прикладных задач обязательно должно осуществляться на профилирующих кафедрах высшего технического или другого специального учебного заведения. Это должно быть непреложной обязанностью этих кафедр. Только в этом случае у учащегося может создаться убежденность в полезности и необходимости знания и использования математических методов в его профессии.

Если на профилирующих кафедрах это не делается, то, возможно, это признак того, что для данной специальности вовсе и не нужна математика в том объеме, в котором она изучается в данном институте, а может быть, и признак неблагополучной постановки изучения в нем специальных дисциплин. Во всяком случае, существенно большая польза от изучения математики будет в том случае, когда в процессе всего обучения в институте она будет достаточно широко использоваться при изложении специальных дисциплин, когда на старших курсах будут читаться нужные для специальности дополнительные курсы математики, не входящие в основную программу, короче, тогда, когда в вузе будет осуществлено непрерывное математическое образование. Увы, пока это далеко не всегда так.

Подчеркнем, что смысл девятого положения отнюдь не в разделе сфер влияния, а, наоборот, в эффективном сотрудничестве в зонах соприкосновения математических и специальных кафедр.

К математическим курсам нередко предъявляются претензии, что в них в недостаточном количестве выводятся дифференциальные уравнения, описывающие реальные явления. Этого рода критика нередко связана с присущей многим людям манерой, не делая того, что они сами обязаны делать, убежденно говорить, что это должны делать другие, и критиковать их за то, что они делают это плохо. Мне представляется, в этом вопросе следует четко осознать, что математическое моделирование реальных явлений, т. е. составление математической модели такого явления, — это задача не только математических курсов, но и в не меньшей мере, а может быть даже и в большей, специальных дисциплин. Большое удивление должно вызывать не то, что в математических курсах не строятся все математические модели, не выводятся все дифференциальные уравнения, необходимые для данной специальности, а то, что это не делается в специальных курсах. Так, например, трудно найти общий физический курс (конечно, здесь не имеется в виду теоретическая физика), в котором бы выводилось уравнение Лапласа или уравнение теплопроводности для описания какого-либо явления. Еще труднее найти в этих курсах анализ различных граничных условий рассматриваемых в них уравнений (предполагается, по-видимому, что всё это должны делать математики, однако, даже при их желании, они лишены возможности это сделать в рамках времени, отводимого на математические курсы).

К упрекам рассматриваемого здесь типа в адрес математических курсов следует отнести еще упрек, состоящий в том, что после изучения курса математики студенты не знают обычно нужного физического смысла какого-то члена в каком-то уравнении. Мне представляются подобные упреки к об-

щему курсу математики несправедливыми. Выяснение конкретного физического смысла члена уравнения — это также дело специальных дисциплин, и не следует его перекладывать на плечи математиков (подчеркнем еще раз, что речь идет об общем курсе математики, а не о специальных курсах, направленных на конкретную цель, обусловленную будущей профессией студента). Поскольку математика изучает математические модели, то её задачей при изучении уравнений могут являться вопросы, например, следующего вида: как влияет изменение данного члена уравнения на существование решения, на единственность, на его асимптотическое поведение, на корректность постановки задачи, на устойчивость решения и т. д. и т. п. Научить подобным вещам, кстати, совсем не просто, а когда студент этим овладеет, он легко усвоит и конкретные факты, нужные ему по его специальности, которые должны быть изложены в специальных курсах.

Безусловно, что обучение умению составлять математические модели реальных явлений является одной из первоочередных задач в процессе образования специалистов рассматриваемых нами профилей, и потому этому должно уделяться гораздо больше времени и внимания, чем это часто делается.

Особенно следует подчеркнуть важность и необходимость для многих специальностей умения составлять не только детерминированные математические модели, но и вероятностно-игровые, умения выбирать и использовать для этого статистические и опытные данные, обрабатывая их в случае необходимости с помощью современной вычислительной техники.

Методика обучения математическому моделированию разработана в настоящее время совершенно недостаточно. Однако было бы неправильно возлагать основную работу в этом направлении только на математиков. Она может быть успешно выполнена только при тесном содружестве и взаимодействии математиков и соответствующих специалистов: физиков, химиков, биологов, экономистов и т. п. Представляется, что наиболее целесообразно проводить обучение студентов математическому моделированию в специальных курсах, так как там это не только можно сделать на высоком профессиональном уровне, но и есть возможность уделить достаточное внимание сопоставлению свойств реального объекта и его математической модели, проанализировать более полно реальный смысл математических результатов, полученных при изучении математической модели рассматриваемого объекта.

Правда, в настоящее время подготовка специалистов по математическому моделированию находится в руках математиков. Это, по-видимому, неизбежно, поскольку достаточно квалифицированно этот вопрос может быть решен лишь на основе хорошего математического образования. Однако, возможно, недалек тот день, когда нужную математическую подготовку будут иметь также студенты физических, биологических, технических, медицинских, экономических и других специальностей, что позволит осуществлять

подготовку нужных специалистов по математическому моделированию в соответствующих специальных высших учебных заведениях. При этом следует еще раз подчеркнуть, что обучение математическому моделированию должно входить как часть в специальное образование, а не проводиться за счет общего математического образования. Изучение математики нельзя подменять обучением составлению математических моделей. В математических курсах математическое моделирование может носить лишь иллюстративный характер.

Особенно на вопросы математического моделирования следует обратить внимание в тех областях, в которых в настоящее время лишь создаются основные математические модели для изучаемых объектов. Сюда следует отнести, например, экономику, биологию, медицину, планирование, управление, социологию, лингвистику. Математическое моделирование заслуживает особенного внимания, поскольку оно играет всё большую роль во многих областях современной науки и техники, являясь мощным и экономически выгодным средством как для проведения научных исследований, так и для выполнения самых разнообразных экспериментальных и конструкторских работ. Например, использование математических моделей при проектировании самолетов и кораблей и расчет их на ЭВМ экономически во много раз выгоднее создания экспериментальных образцов.

Однако математическое моделирование и проведение с помощью построенной модели “математического эксперимента” дают не только экономическую выгоду, а существенно расширяют возможности эксперимента. Математический эксперимент можно провести для изучения таких явлений, которые в естественных условиях протекают с нашей точки зрения столь медленно, что постановка реального эксперимента теряет всякий смысл. Более того, математический эксперимент можно применить для исследования таких ситуаций, которые мы просто не в силах воспроизвести в реальных условиях. Так, например, с помощью математических экспериментов изучаются эволюция Вселенной, эволюция жизни на земле [3] или вообще эволюции каких-либо популяций (иногда даже воображаемых!), т.е., в частности, явления, которые мы в целом не в силах наблюдать в пределах человеческой жизни.

Не нужно, впрочем, думать, что математический эксперимент полностью заменяет реальный. Это не так, прежде всего, потому, что математический эксперимент имеет дело не с самим явлением, а лишь с его математической моделью. Однако интересно и важно отметить, что математический эксперимент, как и всякий эксперимент, может привести к открытию новых реальных явлений, например, физических. Примером открытия, соавтором которого является вычислительная машина, является открытие физического эффекта Г-слоя, осуществленного группой ученых Института прикладной математики АН СССР, возглавляемой А. Н. Тихоновым и А. А. Самарским. Сущность этого эффекта состоит в том, что в плазме, взаимодействующей с

магнитным полем, при определенных условиях могут возникать зоны относительно высокой температуры. Они названы тепловыми слоями или Г-слоями. В них сосредотачиваются электрические токи, разогревающие плазму и поддерживающие высокую температуру.

Таким образом, математическое моделирование в сочетании с современной вычислительной техникой дает в руки ученых качественно новые методы исследования, качественно новые методы управления процессами как естественными, так и порожденными деятельностью человека. Его широкое использование, по существу, необходимо для успешного развития наук. Оно составляет неотъемлемую часть процесса накопления знаний человеческим обществом и приводит к необходимости подготовки специалистов нового типа, владеющих не только своей специальностью, но и математикой, знающих методы математического моделирования, умеющих их творчески использовать. Поэтому в наши дни должно быть затрачено особое усилие на подготовку специалистов, способных квалифицированно решать задачи математического моделирования.

Подготовка таких специалистов делается сейчас одной из самых важных и актуальных задач современного образования. Правильная организация обучения составлению математических моделей возможна лишь при хорошей координации усилий в этом направлении математиков и специалистов в соответствующих областях.

10. О ВЫБОРЕ СОДЕРЖАНИЯ ОБРАЗОВАНИЯ И ЕГО РЕАЛИЗАЦИИ

Высшее назначение математики состоит в том, чтобы находить скрытый порядок в хаосе, который нас окружает.

Н. Випер

Положение десятое. Каким разделам математики и в каком объеме надо учить студентов данной специальности — должны определять специалисты в этой области при консультации с математиками, а как этому учить — это дело профессионалов-математиков.

По этому тезису очень трудно дискутировать, потому что, как это уже ранее отмечалось, что-что, а уж как учить, каждый считает, что знает лучше других, переубедить его в чем-либо практически невозможно, особенно, пожалуй, в том случае, когда он не является математиком, а лишь потребителем математики.

Наиболее разумным представляется положение (которое фактически и осуществляется, как правило, в высших учебных заведениях, однако периодически вызывает резкую критику со стороны специальных кафедр), когда объем математических знаний, степень владения ими и характер приобретаемых студентами навыков определяются ведущими специалистами в области будущей специализации студентов, а обучение студентов осуществляется профессиональными математиками. Время, отводимое на изучение матема-

тики, должно, естественно, определяться совместно специалистами в указанной области и математиками, причем следует принимать во внимание добавление всех необходимых для внутренней связи звеньев, присущих математике, как и всякой другой науке. Планирование, разработка методики преподавания и осуществление самого процесса обучения студентов математике должны проводиться всецело самими математиками. В действительности дело обычно не идет так гладко и периодически осложняется конфликтами между математическими и специальными кафедрами.

Иногда в этих конфликтах бывают виноваты сами преподаватели математики. Случается, что они из-за какого-то снобизма не хотят (я думаю, случаев, когда не могут, очень мало, и они не типичны при наличии достаточно квалифицированных кадров) прислушаться к пожеланиям к курсу математики, высказываемым специальными кафедрами, и догматически излагают одну теорему за другой, не обращая внимания на необходимость активного творческого освоения студентами излагаемого материала, на развитие у них интуиции в нужном направлении, на создание у них мировоззрения практика, использующего математический аппарат лишь для решения конкретных задач и не интересующегося им как самоцелью. Встречается иногда среди преподавателей математики, воспитанных в духе чистой математики, недооценка и даже пренебрежительное отношение к методам численного решения задач и переоценка общих качественных теорий, нежелание осознать разницу между доказательством существования решения задачи и отысканием алгоритмического устойчивого метода нахождения приближенного решения, даже несмотря на то, что такие постановки задач являются чисто математическими, очень важными и нередко более трудными и глубокими, чем относящиеся к ним вопросы “чистой” математики.

Следует отметить еще один близкий по духу упрек математикам. Очень часто, объясняя математические понятия, широко используемые в физике (или в какой-либо другой области знания), они не перекидывают мостика, связывающего эти понятия с их традиционными применениями, а это необходимо делать. Подобная ситуация случается, например, с той же дельта-функцией или с теорией скалярных и векторных полей. Так, автору многократно приходилось убеждаться, что после изучения в курсе анализа понятий дивергенции, потока векторного поля и доказательства теоремы Гаусса - Остроградского у студентов вызывал затруднение ответ на вопрос: чему равна дивергенция напряженности поля точечного единичного электрического заряда на некотором расстоянии от него.

Подобная ситуация, конечно, недопустима; справедливости ради, следует сказать, что ответственность за нее несет в равной степени с кафедрой математики и кафедра физики. В результате изучения каких-либо понятий в математике у студента не должно быть затруднений в использовании их в физике.

Недостатки в преподавании математики часто вместо естественного их анализа приводят к активному вмешательству в процесс обучения математики со стороны специальных кафедр и деканатов, что, как правило, отнюдь не содействует улучшению математической подготовки студентов. Извест-

ные мне попытки нематематиков взять в свои руки обучение математике не дали положительных результатов, что, конечно, естественно. Безусловно, что никто лучше хорошего профессионала-математика не сможет научить математике, на то он и хороший специалист своего дела. Лишь он, владея всем предметом в целом, может по существу разобраться, что следует доказывать в общем виде, а что в частном, а что и вовсе не доказывать, какие полезней всего рассмотреть примеры и т. д. и т. п.

Для правильной постановки преподавания математики необходимо достичь определенного уровня взаимопонимания между математическими и специальными кафедрами. Там, где этот уровень достаточно высок, а таких примеров довольно много, успех налицо.

Важно подчеркнуть, что настоящее взаимопонимание между преподавателями математических и специальных кафедр и их плодотворное сотрудничество может возникнуть только в случае достаточно высокой квалификации сотрудников этих кафедр. Поэтому подбор высококвалифицированных преподавателей для педагогической работы в высших учебных заведениях всегда является главной задачей.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Мы сформулировали десять основных положений, на которых можно строить преподавание математики в высших учебных заведениях. Конечно, возможно было бы исходить и из других положений: в методике нельзя с помощью только одних логических рассуждений установить, что истинно и что ложно. Лишь хорошие результаты обучения студентов, достигнутые в результате использования той или иной методики преподавания, могут служить обоснованием целесообразности её применения. Следует заметить, что указанные десять принципов лежат, по существу, в основе преподавания математики во многих высших учебных заведениях и дают возможность выпускать специалистов, умеющих достаточно квалифицированно и успешно использовать математический аппарат в своей работе.

Однако успокаиваться на достигнутых успехах, когда наблюдаются невиданные ранее темпы развития наук, в том числе и математики, и особенно, когда эти темпы непрерывно убыстряются, нельзя.

Небывалый рост и прогресс научных исследований, а также увеличение в связи с этим процента научных работников в общей массе людей имеет своим прямым следствием возникновение огромного потока информации или, как говорят, информационного взрыва.

Постоянно увеличивается и объем новой математической информации; решаются разнообразные задачи (теоретические, экспериментальные, прикладные), возникают новые понятия, строятся новые математические цели, развиваются и обобщаются старые теории, создаются новые, изобретаются новые методы исследования доказываются новые теоремы, выдвигаются гипотезы, и всё это находит свое отражение во все возрастающем количестве публикаций научных и методических статей, монографий, учебников (хотя последних по-прежнему во многих случаях остается недостаточно — учебная

литература не успевает отражать новейшие достижения современной науки и техники), депонированных рукописей, диссертаций. Растет число научных издательств, вновь и вновь создаются новые математические журналы, расширяются ротапринтные издания, приобретающие всё большее и большее значение для быстрого обмена информацией, и т. д. и т. п.

Дело не только в количественном увеличении информации. В ней происходят и большие качественные изменения. Значительная её часть приобретает узкоспециальные черты, благодаря чему она делается доступной для понимания и правильной оценки лишь ограниченному кругу специалистов в соответствующей области.

В связи с увеличением роста количества информации и вследствие этого с её обилием, с которым человечество прежде не встречалось, в том числе и с обилием полезной информации, а также в связи с тем, что она качественно делается иной, возникает важная и актуальная задача систематизации имеющихся информационных сведений.

Наличие такой систематизации может существенно помочь своевременному нахождению полезной информации и умению выделить из нее часть, необходимую для достижения той или иной поставленной цели, в частности для оптимального отбора информации, которая должна быть сообщена студентам и усвоена ими в процессе их обучения. Это очень сложная задача. Поэтому сейчас как никогда на представителях старшего поколения ученых лежит ответственность за выбор того нужного и принципиально важного материала из всего богатства знаний, накопленного современной наукой, который действительно необходимо передать молодежи, и притом в первую очередь. Здесь особенно важно чувство меры.

В заключение еще раз отметим, что объем информации, которую может усвоить учащийся, не беспределен. Поэтому из каких бы принципов ни исходить при отборе материала, который мы собираемся передать нашим ученикам, какие бы при этом ни ставить перед собой цели, если мы хотим добиться успеха в обучении, то всегда полезно помнить афоризм Козьмы Пруткова [4]: “Никто не обнимет необъятного!”.

Руководствуясь этими принципами, следует не перегружать учебные программы изучаемых дисциплин, а составлять их, сообразуясь с реальным объемом времени, которое могут тратить студенты на активное усвоение получаемой ими в процессе обучения информации.

ЛИТЕРАТУРА

1. Попов Ю. П., Самарский А. А. Вычислительный эксперимент. — М.: Знание, 1983. 64 с.

2. Рид К. Гильберт. — М.: Наука, 1977. 367с.

3. Эйген М. Самоорганизация материи и эволюция биологических макромолекул. — М.: Мир, 1973. 216 с.

4. Прутков Кузьма. Сочинения. — М.: Художественная литература, 1976. С. 117.

THE FUNDAMENTALS OF MATHEMATICS TEACHING.

L. D. Kudryavtsev

This is an extract from the book “Modern mathematics and its teaching” by L. Kudryavtsev not reprinted since 1985. It describes the experience accumulated at Moscow University of Physics and Technics. L. Kudryavtsev introduced and proved the principles that are to form the basis of mathematics teaching at university. The article includes five out of ten principles. The first five principles were published in the first issue of the journal.

Keywords: mathematics at university, methodology and methods of education.

ХРОНИКА ДЕЯТЕЛЬНОСТИ НАУЧНО-МЕТОДИЧЕСКОГО СОВЕТА ПО МАТЕМАТИКЕ МИНИСТЕРСТВА ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

Дорогие читатели!

Мы считаем, что Вам будет интересно и полезно познакомиться с работой Научно-методического совета по математике. В Положении о Совете так сформулированы его задачи:

• совершенствование содержания математического образования и организации учебного процесса, повышение уровня теоретической и прикладной подготовки обучающихся в области математики;

• обеспечение методологического единства содержания, методов и средств обучения математике в системе непрерывного многоуровневого образования;

• внедрение эффективных методов и средств обучения математике: вычислительной техники, программного обеспечения, информационных и коммуникационных технологий;

• подготовка предложений по созданию учебной литературы, мультимедийных и аудиовизуальных пособий по математике;

• совершенствование содержания, форм и методов переподготовки, повышения квалификации преподавателей математики;

• определение соответствия образовательных программ вузов требованиям Министерства образования и науки РФ и государственным образовательным стандартам;

• содействие развитию и проведению математических исследований в вузах;

• экспертиза научных, научно-методических разработок, учебной и учебно-педагогической литературы по запросам и заявкам заинтересованных физических и юридических лиц в рамках компетенции Совета. Деятельность Совета освещается в Интернете.

Сайт Совета http://ащкщаа.phys.msu.ru/math/ содержит следующие разделы: “Приказ министра”, “Положение о НМС”, “Состав совета”, “Руководство”, “Заседания НМС”, “Секции”, “Отделения”, “Программы”, “Проекты”, “Конференции”, “Гранты”, “Учебники”, “Математика в интернете”, Журнал “Математика в высшем образовании”, “Полезные ссылки”.

Начиная с сентября 2003 года на заседаниях НМС по математике обсуждались следующие вопросы, связанные с проблемами вузовской математики: 23 сентября 2003 г.

1. Яковлев Г. Н., Половинкин Е. С. Углубленная математическая подготовка студентов инженерно-физических и физико-технических специальностей университетов.

2. Чубариков В. Н. О планах работы секции университетов. 28 октября 2003 г.

1. Яковлев Г. Н. О работе секции средних технических учебных заведений.

2. Лифанов И. К. ЕГЭ и вступительные экзамены по математике в Военно-воздушной инженерной академии им. Н. Е. Жуковского.

3. Самыловский А. И. О переработке программы по высшей математике для экономических вузов. 25 ноября 2003 г.

1. Чистохвалов В. Н. Проблемы интеграции Российского образования в Европейское образовательное пространство.

2. Спиваковский А.В., Круглик В.С. Информационные технологии поддержки дистанционного изучения курса “Линейная алгебра” в высших учебных заведениях (Среда дистанционного обучения “Мир линейной алгебры”).

30 декабря 2003 г.

1. Наумов И. С. О состоянии математического образования в вузах Министерства обороны РФ и о создании секции военных вузов НМС по математике.

2. Лифанов И. К. О подготовке стандартов третьего поколения.

9 марта 2004 г.

1. Козлов В.Н. О формах представления дидактических единиц государственного образовательного стандарта и примерные программы по математике.

2. Кириллов А. И. О работе секции компьютерной поддержки математического образования.

3. Поспелов А. С. О работе секции методики преподавания в системе открытого образования.

30 марта 2004 г.

1. Заляпин В. И. О работе Челябинского регионального отделения НМС.

11 мая 2004 г.

1. Плис А. И., Чубариков В.Н., Савчин В.М. Анализ ГОС по математике для студентов технических, естественно-научных и медицинских специальностей.

29 июня 2004 г.

1. Ивановский Р. И. О математическом разделе естественно-научного портала.

2. Плис А. И. Анализ ГОС по математике для студентов технических специальностей.

5 октября 2004 г.

1. Ягола А. Г. О математическом образовании инженеров в Национальном Университете Сингапура.

2. Чубариков В. Н. О работе секции университетов.

3. Козлов В.Н. О состоянии естественнонаучного портала (дисциплина “математика”).

4. Прокофьев А. А. Вариативные методики преподавания математики в профилированных на технические вузы старших классах.

Ниже помещена статья о международной научной конференции “Образование, наука и экономика в вузах. Интеграция в международное образовательное пространство”, которая состоялась в Словакии, в Высоких Татрах и была инициирована научно-методическими объединениями славянских стран, в первую очередь — российского научно-методического совета по математике.

ХРОНИКА ДЕЯТЕЛЬНОСТИ НАУЧНО-МЕТОДИЧЕСКОГО СОВЕТА

ОБРАЗОВАНИЕ, НАУКА И ЭКОНОМИКА В ВУЗАХ. ИНТЕГРАЦИЯ В МЕЖДУНАРОДНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ ПРОСТРАНСТВО

П. Галайда1, Л. Д. Кудрявцев2, С. А. Розанова3

1 Diamantovâ, 20,04011 Kosice, Slovak Respublic; тел.: +421-55-6424036; e-mail: pgalajda@stoneline.sk

2 Матем. Институт им. В. А. Стеклова РАН, Россия, 119991, г.Москва, ул.Губкина, 8; e-mail: kudryav@mi.ras.ru

3 Центр Современного Образования, Россия, 117198, г.Москва, ул. Миклухо Маклая, 6, РУДН; e-mail: cso@mail.rudn.rssi.ru

В Центре конгрессов “Академия”, расположенном в красивейшем месте Высоких Татр — Татранской Ломнице, несколько лет подряд проходят Международные научные конференции с названием, вынесенным в заголовок статьи.

Конференции являются совместным научным форумом ученых многих стран мира. В 2004 году с 22 по 27 августа собрались представители славянских стран — Болгарии, Польши, России, Словакии, Украины и Чехии.

Учредителями конференции выступили Научно-методический совет по математике Министерства образования и науки РФ (НМС), Международное образовательное учреждение (МОУ, Кошице, Словакия), Болгаро-российская образовательная ассоциация (БРОА), Российский университет дружбы народов (РУДН), Московский государственный институт радиотехники, электроники и автоматики (МИРЭА), Московский государственный социальный университет (МГСУ), Ярославский государственный университет (ЯрГУ), Центр современного образования (ЦСО, Москва).

Организационный комитет:

Сопредседатели: Л. Д. Кудрявцев, президент Центра Современного Образования (РФ); П. Галайда.

Заместители председателей: С.А.Розанова, (РФ); В. Дорнич, профессор (CP).

Члены Оргкомитета: Д. П. Билибин, ректор РУДН (РФ); И. Дорнич, профессор (США); Н. П. Гусаков, декан РУДН (РФ); В.А.Гусев, профессор МПГУ (РФ); А. П. Ефремов, первый проректор РУДН (РФ); В.И.Жуков, ректор МГСУ (РФ); В.Н.Козлов, проректор СПбГТУ (РФ); Т. А. Кузнецова, зам. директора ЦСО (РФ); А. Куфнер, профессор (Чехия); В. А. Лазарев, зам. директора ЦСО (РФ); Г. С. Миронов, ректор ЯрГУ (РФ); А. Недялкова, ректор ВСУ (Болгария); С.М.Никольский, академик РАН (РФ); Н.Х.Розов, декан МГУ (РФ); А. С. Сигов, ректор МИРЭА (РФ); В.М.Тихомиров, профессор МГУ (РФ).

Программный комитет:

Сопредседатели: Ф. Пеллер, профессор ЭУ Братиславы (CP); А. Г. Ягола, профессор МГУ (РФ).

Члены Программного комитета: И. И. Баврин, академик РАО (РФ); Б. Боярский, профессор (Польша); М. Грега, профессор (CP); M.Г. Дмитриев, профессор МГСУ (РФ); Г.С.Жукова, профессор МГСУ (РФ); А. И. Кириллов, профессор МЭИ (РФ); М. Клякля, профессор (Польша); В.И.Михеев, профессор РУДН (РФ); М.К.Потапов, профессор МГУ (РФ); А. А. Пунтус, профессор МАИ (РФ); В. М. Савчин, профессор РУДН (РФ); В. С. Сенашенко, профессор РУДН (РФ); Б. Сендов, профессор (Болгария); В.А.Соколов, профессор ЯрГУ (РФ); М. Ячимович, профессор (Югославия).

Спонсорскую поддержку в виде экспресс-грантов ряду российских ученых оказал Российский фонд фундаментальных исследований.

О широте охвата обсуждавшихся на конференции проблем можно судить по тематике секций:

1. Школа и общество: образование, нравственность и культура (председатели: Л.Д.Кудрявцев, В.Дорнич);

2. Математика и её приложения (председатели: В. М. Тихомиров, П. Галайда) ;

3. Экономические проблемы образования и науки (председатели: А. Недялкова, Ф. Пеллер);

4. История математики и естествознания (председатели: С.С.Демидов, О. Копанев);

5. Проблемы фундаментального образования, методики и педагогики (председатели: В.А.Гусев, М. Клякля).

В конференции приняли участие представители научно-педагогической общественности из разных областей науки (математики, физики, химии, информатики, экономики, педагогики, журналистики, биологии, экологии, медицины, предпринимательства).

На утреннем пленарном заседании выступили с докладами (официальные языки: русский, словацкий и английский) сопредседатели Оргкомитета академик Европейской Академии наук, член-корреспондент РАН Л. Д. Кудрявцев (Россия) и вице-президент Международного образовательного учреждения, профессор П. Галайда.

Доклад Л. Д. Кудрявцева “Образование в России” все участники выслушали с большим интересом. Лев Дмитриевич акцентировал внимание слушателей на двух опасных тенденциях, появившихся в Российском образовании: первая — замена изучения предметов знакомством с их содержанием и вторая тенденция динамики образования — последовательное систематическое снижение требований, предъявляемых к знаниям учащихся. Первая тенденция существенно проявляется в среднем образовании, а вторая наблюдается как в среднем, так и в высшем образовании. Далее ученый вскрыл причины этих опасных тенденций и наметил пути их преодоления, главные из которых -совершенствование содержания образования и профессионализма педагога, а также улучшение условий его жизни [1, с. 9-21].

Павел Галайда в своем докладе “Реформирование образования и обучения в Словацкой республике в свете европейских интеграционных процессов” сформулировал основные принципы воспитания и образования в эпоху перемен: повышение уровня образованности на протяжении всей жизни; интегративность в образовании; обеспечение равных шансов получения образования и работы по специальности; гуманизм в воспитании; качество образования, эффективное использование финансовых средств; демократическое и эффективное управление; конкуренция среди педагогов и руководителей учебных заведений независимо от формы собственности. Доклад вызвал оживленную дискуссию, не оставив никого равнодушным к поднятым проблемам [1, с. 21-27].

Вице-президент Международной Академии истории науки, известный в мире историк математики, профессор С.С.Демидов прочел блестящий доклад “Математика в российской школе в исторической перспективе”. Он провел глубокий анализ периодов зарождения, становления и развития математических исследований и математического образования в России. Свой доклад Сергей Сергеевич закончил цитатой из решения Ученого Совета Математического института им. В. А. Стеклова от 27 ноября 2001г.: “Ослабление математического образования и математической культуры в стране угрожает падением не только интеллектуального, но и индустриального, а впоследствии и военного уровня России” [1, с. 28-44].

Мачей Клякля, профессор Краковского педагогического университета сделал доклад “Формирование творческой математической деятельности учащихся классов с углубленным изучением математики в школах Польши”, в котором предложил научно-методическую концепцию, состоящую из двух блоков: в первом блоке рассматриваются основные виды творческой математической деятельности учащихся, во втором — многоэтапные задания, выполнение которых позволяет учащимся овладевать различными видами творческой деятельности [1, с. 73-78].

Декан педагогического факультета МГУ, член-корр. РАО, профессор Н. Х. Розов в своем докладе “Задачи и проблемы реализации образовательной программы “Преподаватель высшей школы” подчеркнул, что качественное образование в высшей школе во многом зависит от преподавательского корпуса и, следовательно, подготовка педагогических кадров не только для средней, но и для высшей школы является важнейшей задачей высших учебных заведений [1, с. 95-98].

Профессор технического университета в г. Либерец (Чехия) Я. Вилд рассказал о результатах выполнения европейского образовательного проекта, проводимого тремя техническими университетами в городах Либерец (Чехия), Вроцлав (Польша), Циттау и Гёрлитц (Германия). Выпускники такого образовательного консорциума получают дипломы, признаваемые в указанных выше трех европейских странах. Каждый университет — участник эксперимента — обогащает совместный учебный процесс своими лучшими образовательными технологиями. Такой опыт является важнейшей платформой для разработки стратегии интеграции в международное образовательное пространство [1, с. 101-104].

Многие доклады, представленные участникам конференции, заслуживают того, чтобы остановиться на них подробнее; все они были выслушаны с большим вниманием и интересом. Познакомиться с ними можно в “Трудах конференции” [1].

Следует уделить особое внимание тематике круглого стола “Проблемы и задачи реформирования сферы образования”. Профессор В.С. Сенашенко предложил участникам этого диспута для обсуждения следующие вопросы:

1. Можно ли говорить о функциональном кризисе образования?

2. Социальная функция образования.

3. Формирование заказа на практически полезные знания со стороны экономики.

4. Смещение структуры выпуска вузов в направлении общественно-гуманитарных специальностей.

5. Расширение образовательной сферы.

6. Понятие рыночной ценности диплома о высшем образовании.

7. Формы заинтересованности государства в развитии системы образования.

8. Роль и место негосударственных вузов в современном образовании. Вел круглый стол член-корр. РАО Н. Х. Розов.

В. С. Сенашенко, профессор РУДН (Россия), в своем выступлении дал глубокий анализ проблем, возникающих в связи с интеграцией российского образования в международное образовательное пространство. Он отметил, что должен увеличиться удельный вес иностранных студентов; необходимо стремиться к увеличению количества образовательных программ, используемых за рубежом. На двухуровневую систему образования в России перешли не все вузы. Положительные стороны специфики российского образования необходимо сохранить, не потерять в процессе интеграции. Кроме того, Россия форсирует вступление в ВТО и предстоит приватизация вузов. В результате может увеличиться доля платного образования в то время, как в мире происходит противоположный процесс: Япония обсуждает вопрос о переходе на бесплатное высшее образование, а в Дании бесплатно как среднее, так и высшее образование.

Вокруг поднятых В. С. Сенашенко проблем разгорелась жаркая дискуссия, особенно по вопросам формы и содержания двухуровневой системы образования, определения и значения введения зачетных единиц, целесообразности приватизации вузов. В частности, профессора Ф.Колиба (Чехия), П. Галайда (Словакия), М. Клякля (Польша) отметили, что в Чехии и Словакии общественность выступает против приватизации вузов, а в Польше этот вопрос находится в стадии первоначального обсуждения. Многие выступавшие высказывали озабоченность, связанную с приватизацией вузов, с грядущей потерей доступности высшего образования и, возможно, его качества, так как многие негосударственные образовательные учреждения не отличаются высоким качеством образовательных услуг. Принято решение отразить эту озабоченность и беспокойство в Решении конференции.

Культурная программа

Несмотря на насыщенную рабочую программу конференции, Оргкомитету удалось и в этот раз порадовать участников следующими экскурсиями:

- в Высокие Татры: по канатной дороге на Скалнате Плессо, затем еще выше, к подножию Ломницкого щита (за короткий промежуток температура воздуха менялась от 25°С до 10°С, что особенно хорошо чувствовалось в открытых кабинах канатной дороги);

- на плотах от г. Червени Клаштор по реке Дунаец, являющейся естественной границей между Словакией и Польшей, вдоль её живописных скалистых берегов;

- ознакомление с университетами и историческими достопримечательностями столицы Словакии — г. Братиславы;

- в Вену (для желающих).

На заключительном пленарном заседании был обсужден и принят за основу проект Решения. Принятое с учетом уточнений и дополнений Решение приведено ниже.

Решение

Международной научной конференции “Образование, наука и экономика в вузах. Интеграция в международное образовательное пространство” (Высокие Татры, Словакия, 22—27 августа 2004 г.)

Данная конференция является продолжением традиционной серии международных научных конференций, проводимых в Высоких Татрах (Словакия). Они посвящены актуальным проблемам XXI века: взаимодействия науки и образования в вузах и их интеграции в международное образовательное пространство.

Рассмотрение тенденций, характерных для нового столетия, позволяет заключить, что в эпоху глобализации и информатизации рождается новое, ориентированное на знания общество, среди ценностных приоритетов которого — воспитание общечеловеческой культуры, в том числе математической и профессиональной; повышение качества образования.

В докладах и дискуссиях обсуждались научные, методические, психологические, экономические, экологические, научно-педагогические проблемы образования в вузах. Одна из важнейших поднятых проблем — сочетание инноваций в обучении, инструментов коммуникационной революции со стремительным распространением информации. Особое внимание было уделено ряду актуальных проблем математической науки, её современному состоянию, концепциям математического образования в разных странах, его методическим и организационным аспектам.

Отличительными чертами конференции являются следующие:

1. Важный политический фактор: в работе конференции приняли активное участие представители славянских стран — Болгарии, Польши, России, Словакии, Украины, Чехии.

2. Собрание под эгидой математиков на одной конференции представителей разных наук. Это событие не является случайным: за минувшее столетие математика проникла во все области знаний, стала языком и аппаратом всех наук и специальностей.

3. Атмосфера взаимопонимания и духовного взаимообогащения.

4. Акцентирование внимания широкой общественности на проблеме состояния науки и образования в высших учебных заведениях.

5. Круглый стол “Проблемы и задачи реформирования сферы образования”.

6. Обсуждение актуального вопроса подготовки высококвалифицированных преподавательских кадров для высшей и средней школы.

Конференция считает, что одной из важнейших системообразующих функций вузов является целенаправленная и квалифицированная подготовка преподавательских кадров и рекомендует расширять и улучшать подготовку студентов и аспирантов к педагогической деятельности в средней и высшей школе.

Участники конференции, одобряя в основном процесс интеграции образовательных систем разных стран в международное образовательное пространство, в то же время:

- выражают глубокую озабоченность и беспокойство, связанные с грядущей приватизацией вузов, что может привести к потере доступности и качества образования;

- отмечают необходимость сохранения национальной специфики систем образования;

- акцентируют внимание на актуальности заботы о содержании образования с целью повышения его качества при переходе к двухуровневой системе.

Участники конференции предлагают:

1. Рекомендовать министерствам образования и науки стран-участниц конференции:

- относиться взвешенно к принятию эпохальных решений по созданию международного образовательного пространства, учитывать при этом озабоченность и беспокойство научно-образовательной общественности, связанные с возможными негативными сторонами этого процесса;

- способствовать научно-образовательным контактам, в том числе создавать условия для проведения конференций, призванных развивать и обогащать образование новыми методическими и научными достижениями с учетом специфики сложившихся национальных систем образования;

- расширить работу по информированию широкой международной общественности о лучших результатах научных и образовательных исследований;

- учитывая успешную совместную работу группы ученых и педагогов из Болгарии, Польши, России, Словакии, Украины, Чехии, Армении, Казахстана, Израиля по организации и проведению двух международных научных конференций “Образование, наука и экономика в вузах. Ин-

теграция в международное образовательное пространство” (первая в 2000г. в Высоких Татрах в Словакии, вторая в 2004г. там же), способствовать образованию постоянно действующего одноименного международного комитета.

Предполагается, что деятельность этого комитета будет состоять в поддержке исследований по данной тематике, проведении последующих конференций, организации других научных мероприятий (школ, различного рода изданий и др.) и издании периодического бюллетеня.

Комитет, в который войдут представители этих стран (и в который можно было бы кооптировать представителей других заинтересованных стран), может быть аккредитован в одной из европейских организаций, при Международном комитете математического образования или выступить независимым органом, учрежденным авторитетными международными организациями.

Комитет должен стать юридическим лицом. Это облегчит задачу обращения к государственным и частным организациям за финансовой и иной поддержкой, что будет способствовать более широкому привлечению представителей международной научной общественности к деятельности, инициируемой Комитетом.

2. Просить Международный комитет математического образования рассмотреть возможность аккредитации при нем организационного комитета “Образование, наука и экономика в вузах. Интеграция в международное образовательное пространство”.

3. Вынести на обсуждение широкой математической общественности вопросы содержания математического образования в классических университетах и педагогических вузах.

4. Проводить в дальнейшем аналогичные конференции, в которых рассматривались бы совместно научные и образовательные проблемы, не реже одного раза в два года.

5. Следующую конференцию с данной тематикой провести по предложению профессора М. Клякли в Польше.

Участники конференции выражают глубокую благодарность организаторам конференции — сопредседателям оргкомитета профессорам П. Галайде (Словакия) и Л.Д.Кудрявцеву (Россия), их заместителям В.Дорничу (Словакия) и С. А. Розановой (Россия), профессору Н. Х. Розову, организовавшему четкую и продуктивную работу в ходе заседаний, членам организационного и программного комитетов, обеспечившим безупречное проведение конференции, а также Российскому фонду фундаментальных исследований, поддержавшему участие ряда российских ученых в данной конференции.

Конференция засвидетельствовала возросший интерес к проблемам образования всех уровней. Не вызывает сомнения, что глубокие и содержательные доклады, представленные на конференции, плодотворные научные обсуждения и контакты между её участниками приведут к дальнейшему полезному сотрудничеству на благо и развитие просвещения и будут способствовать совершенствованию национальных систем образования.

В адрес Оргкомитета поступили (и еще поступают) отзывы о конференции, в том числе и от тех, кто по разным причинам не мог лично участвовать в конференции, но поддерживал постоянный контакт с Оргкомитетом и опубликовал свои материалы в Трудах. Приведем некоторые из них.

Профессор А. Куфнер (Чехия): “... Большое спасибо за полезную конференцию и за все Ваши заботы. Было приятно с Вами еще раз встретиться и надеюсь на дальнейшие встречи... ”

Профессор В. С. Герасимчук (Украина): “Примите мою искреннюю благодарность за приглашение принять участие, за организацию и замечательную программу конференции в Высоких Татрах! В ряду множества научных конференций, в которых я принимал участие, эта конференция стоит особо в силу её острой социальной роли, что обусловлено её тематикой. СПАСИБО!”

Доцент Л. И. Дюженкова (Украина): “... Еще раз хочу Вам сказать огромное спасибо за такой праздник в Словакии. Я долго буду вспоминать эту конференцию — это просто чудо! Ира Ковтун глубоко тронута тем, что Вы напечатали её материалы... ”

Профессор И.С.Емельянова (Россия, г. Нижний Новгород): “Самое главное, что конференция полностью выполнила поставленную перед ней нелегкую задачу. Дух творческого взаимообогащения, возникший с первых минут общения между участниками, не ослабевал и сохранился до завершающих дискуссий. Спасибо организаторам и всем участникам. За время конференции все подружились и помолодели”.

Профессор С.С.Демидов (Россия, г.Москва): “Я бываю на многих международных конференциях и симпозиумах, но такой теплой дружественной и в то же время высокопрофессиональной атмосферы, которая сложилась на данной конференции, не встречал”.

Профессор Д. Изворска (Болгария): “... Надеюсь и в будущем осуществлять контакты с Вами... ”

ЛИТЕРАТУРА

1. Труды Международной научной конференции “Образование, наука и экономика в вузах. Интеграция в международное образовательное пространство”. Высокие Татры, Словакия, 22-27 августа 2004г. — М.: Изд-во РУДН, 2004. 328с.

СЕРИЯ “КЛАССИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТСКИЙ УЧЕБНИК”. К 250-ЛЕТИЮ МГУ

Серия “Классический университетский учебник” основана по инициативе ректора МГУ академика РАН В. А. Садовничего и посвящена 250-летию Московского университета.

На сегодня в серию включено 250 учебников и учебных пособий, рекомендованных к изданию Учеными советами факультетов и редакционным советом серии. В выпуске книг, включенных в серию и планируемых к изданию в 2004-2005гг., участвуют свыше 25 издательств.

Авторы учебников по математическим дисциплинам — профессора механико-математического, физического факультетов и факультета вычислительной математики и кибернетики.

Каждое издание этой серии открывается Предисловием, которое мы помещаем ниже.

ПРЕДИСЛОВИЕ К СЕРИИ

Уважаемый читатель!

Вы открыли одну из замечательных книг, изданных в серии “Классический университетский учебник”, посвященной 250-летию Московского университета. Серия включает свыше 200 учебников и учебных пособий, рекомендованных к изданию Учеными советами факультетов, редакционным советом серии и издаваемых к юбилею по решению Ученого совета МГУ.

Московский университет всегда славился своими профессорами и преподавателями, воспитавшими не одно поколение студентов, впоследствии внесших заметный вклад в развитие нашей страны, составивших гордость отечественной и мировой науки, культуры и образования.

Высокий уровень образования, которое дает Московский университет, в первую очередь обеспечивается высоким уровнем написанных выдающимися учеными и педагогами учебников и учебных пособий, в которых сочетаются как глубина, так и доступность излагаемого материала. В этих книгах аккумулируется бесценный опыт методики и методологии преподавания, который становится достоянием не только Московского университета, но и других университетов России и всего мира.

Издание серии “Классический университетский учебник” наглядно демонстрирует тот вклад, который вносит Московский университет в классическое университетское образование в нашей стране и, несомненно, служит его развитию.

Решение этой благородной задачи было бы невозможным без активной помощи со стороны издательств, принявших участие в издании книг серии “Классический университетский учебник”. Мы расцениваем это как поддержку ими позиции, которую занимает Московский университет в вопросах науки и образования. Это служит также свидетельством того, что 250-летний юбилей Московского университета — выдающееся событие в жизни всей нашей страны, мирового образовательного сообщества.

Ректор Московского университета

академик РАН, профессор В. А. Садовничий

Мы приводим список учебников по математике, входящих в серию с указанием издательства. Жирным шрифтом выделены учебники, которые вышли в свет к моменту выпуска нашего журнала.

Автор

Название

Издательство

1. Алексеев В. М., Тихомиров В.М., Фомин С.В.

Оптимальное управление

Физматлит

2. Алексеев В. М., Галеев Э. М., Тихомиров В. М.

Сборник задач по оптимизации

Физматлит

3. Арнольд В. И.

Математические методы классической механики

УРСС

4. Архипов Г. И., Садовничий В. А., Чубариков В. Н.

Лекции по математическому анализу

Дрофа

5. Бахвалов Н. С, Жидков Н. П., Кобельков Г. М.

Численные методы

Бином

6. Булинский А. В., Ширяев А. Н.

Теория случайных процессов

Физматлит

7. Виноградова И. А., Олехник С. Н, Садовничий В. А.

Задачи и упражнения по математическому анализу

Дрофа

8. Гашков С.Б., Чубариков В. Н.

Арифметика. Алгоритмы. Сложность вычислений

Дрофа

9. Гнеденко Б. В.

Курс теории вероятности

УРСС

10. Дорофеева А. В.

Высшая математика

Дрофа

11. Дубровин В. А., Новиков СП., Фоменко А. Т.

Современная геометрия: методы и приложения

УРСС

12. Ефимов Н. В.

Высшая геометрия

Физматлит

13. Ефимов Н. В.

Краткий курс аналитической геометрии

Физматлит

14. Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Бл. X.

Математический анализ. Т.1, 2

Проспект

15. Ильин В. А., Позняк Э. Г.

Основы математического анализа Т. 1,2

Физматлит

16. Ильин В. А., Куркина А. В.

Высшая математика

Проспект

17. Ильин В. А., Позняк Э. Г.

Линейная алгебра

Физматлит

18. Ильин В. А., Позняк Э. Г.

Аналитическая геометрия

Физматлит

Автор

Название

Издательство

19. Колмогоров А. Н., Драгалин А. Г.

Математическая логика

УРСС

20. Колмогоров А. Н., Фомин С. В.

Элементы теории функций и функционального анализа

Физматлит

21. Костомаров Д. П., Фаворский А. П.

Вводные лекции по численным методам

Логос

22. Кострикин А. И.

Введение в алгебру. Т. 1, 2, 3

Физматлит

23. Под ред. А. И. Кострикина

Сборник задач по алгебре

Физматлит

24. Курош А. Г.

Курс высшей алгебры

Лань Пресс

25. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В.

Методы теории функций комплексного переменного

Лань Пресс

26. Мищенко А. С, Фоменко А. Т.

Краткий курс дифференциальной геометрии и топологии

Физматлит

27. Олейник О.А.

Лекции об уравнениях с частными производными

Бином

28. Петровский И. Г.

Лекции об уравнениях с частными производными

УРСС

29. Петровский И. Г.

Лекции по теории интегральных уравнений

УРСС

30. Петровский И. Г.

Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений

УРСС

31. Под ред. Ю. М. Смирнова

Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре

Логос

32. Понтрягин Л. С.

Обыкновенные дифференциальные уравнения

33. Проскуряков И. В.

Сборник задач по линейной алгебре

Бином

34. Рашевский П. К.

Риманова геометрия и тензорный анализ

УРСС

35. Садовничий В. А.

Теория операторов

Дрофа

36. Самарский А.А., Гулин А. В.

Численные методы математической физики

Научный мир

37. Свешников А. Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В. В.

Лекции по математической физике

Изд-во МГУ

38. Свешников А. Г., Тихонов А. Н.

Теория функций комплексной переменной

Физматлит

Автор

Название

Издательство

39. Сухарев А. Г., Тимохов А. В., Федоров В. В.

Курс методов оптимизации

Физматлит

40. Тихонов А.Н., Васильева А. Б., Свешников А. Г.

Дифференциальные уравнения

Физматлит

41. Тихонов А.Н., Самарский А. А.

Уравнения математической физики

Изд-во МГУ

42. Федорчук В. В., Филиппов В. В.

Общая топология. Основные конструкции

Физматлит

43. Шабат Б. В.

Введение в комплексный анализ

Лань Пресс

44. Шидловский А. Б.

Диофантовы приближения и трансцендентные числа

Физматлит

45. Ширяев А. Н.

Вероятность

Физматлит

46. Яблонский С.В.

Введение в дискретную математику

Высшая школа

ИЗДАТЕЛЬСТВО “ФИЗМАТЛИТ” ПРЕДЛАГАЕТ УЧЕБНИКИ ПО МАТЕМАТИКЕ, ИМЕЮЩИЕ ГРИФ МО (УМО)

Контактная информация для заказов: Издательство “ФИЗМАТЛИТ” Москва 117997, Профсоюзная, д. 90 тел./факс (095)334 74 21; 334 76 20 e-mail: fmlsale@maik.ru

Аннотации к этим и другим книгам на сайте www.fml.ru

Высшая математика. Математика для студентов различных специальностей

Александров П. С. (под ред.) Англо-русский словарь математических терминов. — 2001. 143 с.

Ахтямов А. М. Математика для социологов и экономистов. — 2004. 173с.

Баврин И. И. Краткий курс высшей математики для химико-биологических и медицинских специальностей. — 2003. 141 с.

Бугров Я. С, Никольский С. М. Сборник задач по высшей математике. Учебное пособие. — 2001. 74 с.

Зимина О. В., и др. / Под ред. А. И. Кириллова . Решебник. Высшая математика. — 2003. 108 с.

Зимина О. В., и др. / Под ред. А. И. Кириллова .

Решебник. Высшая математика. Специальные разделы. — 2003. 108 с.

Лунгу К. Н., Макаров Е. В. Высшая математика. Руководство к решению задач. - 2004. 132 с.

Фалин Г. П., Фалин А. И. Актуарная математика в задачах. — 2003. 88 с.

Математический анализ, функциональный анализ, теория функций комплексных переменных

Будак Б. М., Фомин С. В. Кратные интегралы и ряды. Учебник. — 2002. 132 с.

Бутузов В. Ф., Крутицкая П. Ч. и др. Математический анализ в вопросах и задачах. Учебное пособие — 2002. 120 с.

Волковыский Л. П., Лунц Г. Л., Араманович И. Г. Сборник задач по теории функций комплексного переменного. Учебное пособие. — 2003. 104с.

Гурова З. И. и др. Мат. анализ. Начальный курс с примерами и задачами / под ред. Кибзуна А. И. — 2003. 115 с.

Егоров В. П., С алимова А. Ф. Определенный и кратные интегралы. Элементы теории поля. — 2004. 124 с.

Ильин В. А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Ч.1. Учебник для вузов. — 2002. 159 с.

Ильин В. А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Ч.2. Учебник для вузов. — 2002. 132 с.

Колмогоров А.П., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 2004. 159 с.

Кудрявцев Л. Д., Кутасов А. Д., Чехлов В. И., Шабунин М. И. Краткий курс математического анализа. Т.1. Дифференциальное и интегральное исчисления функций одной переменной. Ряды. Учебник. — 2002. 115 с.

Кудрявцев Л. Д., Кутасов А. Д., Чехлов В. И., Шабунин М. И. Краткий курс математического анализа. Т.2. Дифференциальное и интегральное исчисления функций многих переменных. Гармонический анализ. Учебник. - 2002. 115 с.

Кудрявцев Л. Д., Кутасов А. Д., Чехлов В. И., Шабунин М. И. Сборник задач по математическому анализу. Т.1. Предел. Непрерывность. Дифференцируемость. Учебное пособие / Под ред. Кудрявцева Л. Д. — 2003. 184 с.

Кудрявцев Л. Д., Кутасов А. Д., Чехлов В. И., Шабунин М. И. Сборник задач по математическому анализу. Т.2. Интегралы. Ряды. Учебное пособие / Под ред. Кудрявцева Л. Д. — 2003. 184 с.

Кудрявцев Л. Д., Кутасов А. Д., Чехлов В. И., Шабунин М. И. Сборник задач по математическому анализу. Т.3. Функции нескольких переменных. Учебное пособие / Под ред. Кудрявцева Л. Д. — 2003. 184 с.

Кудрявцев Л. Д. Предел функции. Формулы Ньютона-Лейбница и Тейлора. - 2004. 44 с.

Лебедев В. И. Функциональный анализ и вычислительная математика. Учебное пособие. — 2000. 83 с.

Никольский С. Н. Курс математического анализа. Учебник для вузов. — 2001. 173 с.

Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной.

Учебник для вузов. — 2001. 99 с. Треногий В. А., Писаревский Б.М., Соболева Т. С. Задачи и упражнения по функциональному анализу. Учебное пособие. — 2002. 117 с.

Треногий В. А., Писаревский Б.М., Соболева Т. С. Функциональный анализ. Учебник. - 2003. 150 с.

Шабунин М.И., Сидоров Ю.В. Теория функций комплексной переменной. Учебник для вузов. — 2002. 120 с.

Брычков Ю.А., Маричев О. П., Прудников А. П. Таблицы неопределенных интегралов. — 2003. 69 с.

Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. В 3-х т. Т.1. Элементарные функции. — 2003. 275 с.

Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. В 3-х т. Т.2. Специальные функции. — 2003. 287с.

Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. В 3-х т. Т.3. Специальные функции. Дополнительные главы. — 2003. 310 с.

Алгебра, геометрия

Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. Учебник для вузов. — 2003. 115 с.

Беклемишева Л. А. и др. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре. Учебное пособие. — 2003. 154 с.

Бутузов В. Ф., Крутицкая П. Ч. и др. Линейная алгебра в вопросах и задачах. Учебное пособие. — 2002. 90 с.

Ильин В. А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. Учебник для вузов. - 2003. 83 с.

Ильин В. А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. Учебник для вузов. — 2004. 104 с.

Кострикин А.И. Введение в алгебру. В 3-х кн. Учебник для вузов. Кн.1: Основы алгебры. — 2004. 113 с.

Кострикин А. И. Введение в алгебру. В 3-х кн. Учебник для вузов. Кн.2: Линейная алгебра. — 2004. 113 с.

Кострикин А.И. Введение в алгебру. В 3-х кн. Учебник для вузов. Кн.3: Основные структуры алгебры. — 2004. 113 с.

Кострикин А. И. (под ред.) Сборник задач по алгебре. — 2001. 145 с.

Мищенко А. С, Фоменко А. Т. Краткий курс дифференциальной геометрии и топологии. — 2004. 132 с.

Сачков В. Н. Введение в комбинаторные методы дискретной математики. - 2004. 168 с.

Математическая физика, дифференциальные и интегральные уравнения

Будак Б. М., Самарский А. А., Тихонов А. П. Сборник задач по математической физике. — 2003. 206 с.

Васильева А. Б., Тихонов П. А. Интегральные уравнения. Учебное пособие. -2003. 81с.

Васильева А. Б. и др. Дифференциальные и интегральные уравнения. Вариационное исчисление в примерах и задачах. — 2003. 159 с.

Владимиров В. С, Жаринов В. В. Уравнения математической физики. Учебник для вузов. — 2003. 115 с.

Владимиров В. С, Вашарин А.А . и др. Сборник задач по уравнениям математической физики. — 2003. 94 с.

Карлов П. В., Кириченко П. А. Колебания, волны, структуры. — 2003. 124 с.

Тихонов А. П. Дифференциальные уравнения. (Курс высшей математики и математической физики) Учебник для вузов. — 2002. 92 с.

Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления в 3-х т. Т.1. - 2003. 154 с.

Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления в 3-х т. Т.2. - 2003. 198 с.

Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления в 3-х т. Т.3. - 2003. 166 с.

Зайцев В. Ф., Полянин А. Д. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. — 2001. 155 с.

Зайцев В. Ф., Полянин А. Д. Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка. — 2003. 150 с.

Полянин А. Д. Справочник. Линейные уравнения математической физики. -2001. 157с.

Полянин А. Д., Зайцев В. Ф. Справочник. Нелинейные уравнения математической физики (точные решения). — 2002. 145с.

Полянин А.Д., Манжиров А.В. Справочник по интегральным уравнениям. - 2003. 184 с.

Численные методы, программирование, теория вероятностей и математическая статистика

Бахвалов П. П. Численные методы. Учебное пособие для вузов. — 2003. 199 с.

Турчак Л. П., Плотников П. В. Основы численных методов. — 2002. 99 с.

Карманов В. Г. Математическое программирование. — 2004. 111с.

Пугачёв В. С. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие. — 2002. 145 с.

Математика в высшем образовании

Научно-методический журнал

Свидетельство о регистрации средства массовой информации Министерства РФ по делам печати, телерадиовещания и средств массовых коммуникаций ПИ № 77-15825 от 07 июля 2003 г. ISSN 1729-5440

Редактор Е. В . Тамберг Технический редактор и компьютерная верстка Л.Р. Семенова Оригинал-макет подготовлен с использованием пакета LATEX

Подписано в печать 10.12.2004 г. Формат 60 х 84 1/8 Бумага офсетная.

Гарнитура Computer Modern. Печать офсетная. Усл.печ.л. 18,4

Уч.-изд. л. 13,9._Тираж 1000 экз._Заказ 91_

Издательство Нижегородского государственного университета им. Н.И.Лобачевского, 603950, Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23.

Адрес редакции: 603950, Нижний Новгород, проспект Гагарина, 23, Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского, корпус 2, к. 216. Тел.(8312) 65-85-10; (8312) 65-78-83; факс: (8312) 65-85-92 e-mail: appmath@vmk.unn.ru www.unn.ru/math

Типография Нижегородского государственного университета им Н.И. Лобачевского, 603000. Нижний Новгород, ул Большая Покровская, 37 Лиц ПД№ 18-099 от 04.05.2001

Индекс 87966

ISSN 1729-5440

Математика в высшем образовании, 2004, №2