МАТЕМАТИКА В ВЫСШЕМ ОБРАЗОВАНИИ

1

2003

НАУЧНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ СОВЕТ ПО МАТЕМАТИКЕ МИНИСТЕРСТВА ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Н.И. ЛОБАЧЕВСКОГО

НИЖЕГОРОДСКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЩЕСТВО

МАТЕМАТИКА В ВЫСШЕМ ОБРАЗОВАНИИ

1

2003

Научно-методический журнал

Нижний Новгород

Издательство Нижегородского государственного университета

Редакционная коллегия

И.С. Емельянова (главный редактор) М.В. Долов, Г.М. Жислин, Т.А. Иванова (зам. главного редактора), В.А. Ильин, Ю.Л. Кетков, Л.Д. Кудрявцев, М.И. Кузнецов, А.В. Латышев, Г.Л. Луканкин, Н.И. Мерлина, В.И. Михеев, Е.И. Моисеев, А.Д. Мышкис, Е.Н. Перевощикова, Н.Х. Розов, В.А. Садовничий, Г.И. Саранцев, Р.Г. Стронгин, С.Н. Слугин, М.А. Федоткин

При перепечатке, переводе на иностранный язык, а также при ином использовании оригинальных материалов журнала ссылки на “Математика в высшем образовании” обязательны

Журнал издается при финансовой поддержке Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского

Адрес редакции: 603950, Нижний Новгород, проспект Гагарина, 23, Нижегородский государственный университет им. Н.И.Лобачевского, корпус 2, к. 216. Тел.(8312) 65-78-83; e-mail: appmath@vmk.unn.ru www.nnov.ru/math

© “Математика в высшем образовании”, 2003

Mathematics Science and Methods Council of Russian Ministry of Education

Nizhny Novgorod State University Nizhny Novgorod Mathematics Society

MATHEMATICS

in Higher Education

l

2003

Academic Journal

Nizhny Novgorod Nizhny Novgorod State University Press

Editorial Board

I.S. Yemelyanova (Editor-in-Chief), M.V.Dolov, G.M Zhislin, T.A. Ivanova (Editor), V.A. Ilyin, Y.L. Ketkov, L.D. Kudryavtsev, M.I. Kuznetsov, A.V.Latyshev, G.L. Lukankin, N.I. Merlina, V.l. Miheev, E.I. Moiseev, A.D. Myshkis, E.N. Perevoshikova, N.Kh. Rozov, V.A. Sadovnichii, G.I. Sarantsev, R.G. Strongin, S.N. Slugin, M.A. Fedotkin

No reprint or any use of the material is allowed without reference to “Mathematics in Higher Education”.

The journal is published with financial support of Nizhny Novgorod State University.

Editorial Office Address: Nizhny Novgorod State University Nizhny Novgorod, 603950, Gagarin avenue 23, building 2, office 216 Russia

Tel: (8312) 65-78-83 e-mail: appmath@vmk.unn.ru www.unn.nnov.ru/math

© Mathematics in Higher Education, 2003

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие.......................................................................7

Инновационные и информационные технологии в преподавании математики

Воеводин В. В., Воеводин Вл. В. Электронные образовательные средства: новые идеи................................................................... 11

Содержание и технологии математического образования в вузе

Гаврилов В. И., Субботин А. В. Изложение темы “Выпуклые функции” в университетском курсе математического анализа........................... 21

Слугин С Н., Кротова В. С. Обоснование теорем Вейерштрасса о равномерной аппроксимации....................................................... 29

Бесов О. В. Простой вывод разложения (1 + х)а в ряд Тейлора................ 35

Математика для специалистов различного профиля

Мышкис А. Д. О преподавании математики прикладникам..................... 37

Розов Н.Х. Гуманитарная математика.......................................... 53

Рябина Н. О. Для чего психологу нужна математика?.......................... 63

Математические соревнования в вузах

Южаков О. И. Студенческие математические олимпиады педагогических вузов Уральского региона.................................................... 67

Шамаев А. С Олимпиады по дифференциальным уравнениям для студентов 2, 3 курсов механико-математического факультета МГУ................ 77

Непрерывное математическое образование

Рубинштейн А. И. Об использовании элементов математического анализа при приближенных вычислениях............................................ 85

История математики

Тихомиров В. М. Теория экстремума от Ферма до наших дней................. 95

Тюлина И. А. О развитии прикладной математики и механики в московском университете (XVIII-XXI вв.)......................................... 103

Полякова Т. С Двухвековой юбилей высшего математического образования в России................................................................ 117

Архив методической литературы по математике в России

От редакции.................................................................. 125

Кудрявцев Л. Д. Основные положения преподавания математики............. 127

Кудрявцев Л. Д. Об экзаменах................................................. 145

CONTENTS

Introduction........................................................................7

The Use of Innovation and Information Technologies in Teaching Mathematics

Voevodin V. V., Voevodin Vl. V. Electronic Educational Tools: New Ideas......... 11

Subjects and Technologies of Mathematical Education at University

Gavrilov V.l., Subbotin A. V. Presentation of the Theme “Convex Functions”

in the University Course of Mathematical Analysis............................ 21

Slugin S.N., Krotova V.S. Demonstration of the Weierstrass' Uniform Approximation Theorems........................................................ 29

Besov О. V. Simple Development of Expansion (1 + x)a into Taylor Series........ 35

Mathematics for Specialists of Different Types

Myshkis A. D. On the Teaching of Mathematics to Applied Science Students...... 37

Rozov N. Kh. Mathematics for Art Students...................................... 53

Ryabina N. 0. Why does a Psychologist Need Mathematics?...................... 63

Mathematics Competitions at University

Yuzhakov O.I. Student Mathematics Competitions at Pedagogical Universities of Ural Region................................................................ 67

Shamaev A.S. Competitions on Differential Equations for 2nd and 3rd Year Students of the Faculty of Mechanics and Mathematics of Moscow State University..................................................................... 77

Continuous mathematical education

Rubinshtein A. I. On use of principles of mathematical analysis for approximate calculations................................................................... 85

The History of Mathematics

Tikhomirov V. M. Extremum Theory from Fermat till Our Days.................. 95

Tiulina I. A. On the Development of Applied Mathematics and Mechanics at Moscow University (XVIII-XXI)............................................. 103

Poliakova T. S. The 200-th Anniversary of Higher Mathematical Education in Russia....................................................................... 117

Reference Books on Teaching Mathematics in Russia

To the reader.................................................................. 125

Kudryavtsev L. D. Fundamentals of Mathematics Teaching ...................... 127

Kudryavtsev L. D. About Examinations.......................................... 145

ПРЕДИСЛОВИЕ

Вы открываете первый номер нового журнала “Математика в высшем образовании”. Мы считаем своевременным и закономерным появление журнала с таким названием. Известно, что Россия по праву гордится математическими школами Москвы, Санкт-Петербурга, Казани, Воронежа, Новосибирска, Нижнего Новгорода и других научных центров. В России накоплен и продолжает совершенствоваться бесценный опыт преподавания математики в средней и высшей школе. Из года в год растет число вузов. В 2002-2003 учебном году в России насчитывалось 655 государственных учебных заведений, из них 312 университетов и 107 вузов педагогического профиля. За последние 10 лет число государственных вузов в России выросло на 120, а число обучающихся в них студентов удвоилось и в наши дни превышает пять миллионов двести тысяч человек [1, стр. 163, 164]. Если добавить к этому многочисленные негосударственные высшие учебные заведения, то картина окажется еще более внушительной.

Актуальность освещения и обсуждения проблем преподавания математики в высшей школе особенно возросла в связи с многочисленными перестройками, внедрением в образование новых форм и методов обучения. Но ни для кого не секрет, что многие вузы в этих сложнейших условиях не только не усилили, а существенно ослабили требования к методике преподавания базовых дисциплин, в том числе и математики. Поэтому сегодня настоятельно требуется, чтобы уникальный накопленный в России багаж методических знаний не лежал мертвым грузом, а постоянно пропагандировался, воссоздавался и совершенствовался. Новый положительный опыт, методические находки в столицах и регионах должны без промедления становиться достоянием всех вузов. Без аргументированных обсуждений, доброжелательной критики, взаимоподдержки эта цель не будет достигнута.

С сожалением приходится констатировать, что в России до сих пор отсутствовало периодическое издание, посвященное вопросам преподавания математики в высших учебных заведениях. Журналы “Математика в школе”, “Математическое образование”, “Квант”, газета “Математика” ориентированы на школьных учителей и интересующихся математикой школьников. С другой стороны, чисто математические журналы, как правило, публикуют только материалы, посвященные новым научным результатам в математике, и не ставят целью освещение вопросов преподавания математики в вузах.

В связи с этим Научно-методический совет по математике Министерства образования Российской Федерации, Нижегородский государственный университет и Нижегородское математическое общество выступили с инициативой создания межвузовского журнала “Математика в высшем образовании” с правом распространения в России, странах ближнего и дальнего зарубежья. Выбор Нижегородского государственного университета в качестве места издания этого журнала оправдан традициями развития математики в Нижегородском регионе. Нижегородский университет носит имя выдающегося математика Н. И. Лобачевского, родившегося в Нижнем Новгороде.

Широкую известность в России и за рубежом имеют школы нижегородцев — академика А. А. Андронова, профессоров И. Р. Брайцева, Д. А. Гудкова, А.А.Маркова, Н.Ф. Отрокова и др. Постановка преподавания математики в университете со времени его создания (1916 г.) связана с именами профессоров И. Р. Брайцева и А.Ф.Леонтьева. В настоящее время в университете преподают математики, имеющие мировую известность и обладающие мастерством лекторов наивысшего уровня: профессоры Ю. И. Неймарк, Р. Г. Стронгин, Л. П. Шильников, М. В. Долов, Г. М. Жислин, Д. И. Батищев, М. И. Кузнецов, Ю. Л. Кетков и др. Нижегородское математическое общество постоянно обсуждает на своих заседаниях современные проблемы преподавания математики в вузе и выступает с многочисленными инициативами, способствующими привлечению молодежи в науку, в первую очередь — в математику. Нижегородский государственный университет известен в России и за рубежом своими монографиями, периодическими трудами, методической литературой, университет обладает типографией, оснащенной современным полиграфическим оборудованием. “Вестник Нижегородского университета” содержит серии “Математическое моделирование и оптимальное управление” (гл. редактор проф. Р. Г. Стронгин) и “Математика” (гл. редактор проф. А.Д.Морозов). В последнее десятилетие при поддержке Нижегородского университета изданы труды серии “Математика. Образование” (гл. редактор проф. И.С.Емельянова), в которых в рубрике “Современное математическое образование” опубликовано более 100 статей математиков из России, ближнего и дальнего зарубежья. В нашем журнале будут публиковаться

- статьи методического характера по высшей математике;

- программы преподавания математики в вузе с комментариями;

- статьи по методике преподавания математики для специалистов различного профиля (для физиков, инженеров, биологов, экономистов, психологов и т.д.);

- статьи по методике преподавания прикладной математики и информатики в вузе;

- статьи по истории и философии математики;

- статьи о математиках и деятелях математического образования;

- материалы о конференциях и вузовских соревнованиях по математике и информатике;

- библиографические материалы.

Журнал имеет следующие разделы:

• содержание и технологии математического образования в вузе;

• оптимизация процесса обучения математике в вузе;

• информатика как раздел вузовской математики;

• инновационные и информационные технологии и компьютерные продукты в преподавании математики;

• непрерывное математическое образование (школа-лицей-вуз-повышение квалификации - наука) ;

• дистанционное образование;

• математические соревнования в вузах;

• философия и методология математического образования;

• история математики, математического образования, персоналии;

• новая учебная литература по математике для вузов.

Мы планируем помещать в журнале как становящиеся библиографической редкостью материалы, в которых сконцентрирован опыт лучших российских и зарубежных педагогов высшей школы, так и информацию о новейших разработках в области преподавания математики в вузе.

Первый номер журнала открывает статья академика РАН, главного научного сотрудника Института вычислительной математики РАН Валентина Васильевича Воеводина и члена-корреспондента РАН, заместителя директора Научно-исследовательского вычислительного центра МГУ Владимира Валентиновича Воеводина “Электронные образовательные средства: новые идеи”. Статья затрагивает очень важные аспекты современного отечественного образования, предлагая конструктивный подход к решению проблемы создания обучающих средств для дистанционного образования. Известно, что массовое увлечение дистанционным образованием привело к появлению большого числа суррогатов — электронных версий учебников и методических пособий, создаваемых с помощью сканера и примитивных сценариев слайд-шоу. Авторы делятся уникальным опытом создания образовательных средств в двух разделах математики: линейная алгебра и параллельные вычисления. Обсуждаются новые идеи построения электронного учебника и подчеркивается необходимость обеспечения взаимозаменяемости средств на бумажных и электронных носителях.

В разделе “Математика для специалистов различного профиля” публикуются статьи двух замечательных методистов — известного автора популярных учебников по математике профессора Анатолия Дмитриевича Мышкиса (Московский государственный университет путей сообщения — МИИТ) “О преподавании математики прикладникам” и декана факультета педагогического образования МГУ, профессора механико-математического факультета МГУ Николая Христовича Розова “Гуманитарная математика”. Надеемся, что обе эти статьи не оставят равнодушным ни одного читателя и вызовут у многих желание поделиться своими мыслями по поводу прочитанного на страницах нашего журнала.

Рубрика “Математические соревнования в вузах” знакомит со студенческими олимпиадами по математике в педагогических вузах уральского региона и олимпиадами по дифференциальным уравнениям на механико-математическом факультете МГУ.

Раздел “Архив методической литературы по математике в России” содержит отрывки из становящейся библиографической редкостью книги одного из самых блестящих преподавателей математики, более 35 лет возглавлявшего кафедру математики Московского физико-технического института, члена-корреспондента РАН, профессора Льва Дмитриевича Кудрявцева “Современная математика и её преподавание”. Методические, психологические и этические аспекты проблемы проведения экзамена по математике в вузе -тема одного фрагмента книги “Об экзаменах”. Первые пять из десяти знаменитых “заповедей преподавателя математики” — тема другого фрагмента

“Основные положения преподавания математики”. Остальные пять “заповедей” будут опубликованы в следующем номере журнала.

Одна из статей, публикуемых в рубрике “История математики”, посвящена развитию прикладной математики и механики в Московском университете (XVIII-XXI в.в.). Её автор — доцент МГУ Ирина Александровна Тюлина -неутомимая труженица, прекрасный лектор, энциклопедист в области истории отечественной науки. Профессор Ростовского государственного педагогического университета Татьяна Сергеевна Полякова убедительно доказывает, что в 2004 году высшему математическому образованию в России исполняется 200 лет.

Своим педагогическим опытом на страницах первого номера нашего журнала делятся профессор Московского государственного университета леса, Соросовский учитель Александр Иосифович Рубинштейн; член-корреспондент РАН, зав. отделом Математического института им. В. А. Стеклова РАН Олег Владимирович Бесов; зав. кафедрой Нижегородского государственного педагогического университета доцент Наталья Орестовна Рябина; профессора МГУ Владимир Михайлович Тихомиров и Валериан Иванович Гаврилов; зав. кафедрой Нижегородского государственного университета профессор Сергей Николаевич Слугин и другие.

Журнал делает свои первые шаги. Мы надеемся, что все, кто преподает математику, её историю, методику, философские аспекты, методологию и кому не безразлична судьба отечественной науки и образования, откликнутся на наше предложение принять участие в его деятельности. Мы с благодарностью примем ваши предложения и пожелания, которые помогут нашему изданию занять достойное место среди журналов, имеющих своей целью сохранение и развитие лучших традиций высшей школы и образования России.

Главный редактор журнала профессор И. С. Емельянова

ЛИТЕРАТУРА

1. Образование в Российской Федерации. Статистический сборник. — М.: Государственный университет - Высшая школа экономики, Центр исследований и статистики науки, 2003. 255 с.

ИННОВАЦИОННЫЕ И ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ В ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ

УДК 519.6

ЭЛЕКТРОННЫЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ СРЕДСТВА: НОВЫЕ ИДЕИ*

В. В. Воеводин1, Вл. В. Воеводин2

1 Институт вычислительной математики РАН, Россия, 119991, г.Москва ГСП-1, ул.Губкина, 8; тел.: (095) 9381769; e-mail: vvv@parallel.ru

2 Научно-исследовательский вычислительный центр МГУ, Россия, 119992, г.Москва, Воробьевы горы; тел.: (095) 9395424; e-mail: vvv@parallel.ru

В статье обсуждается опыт создания образовательных средств в двух разделах математики: линейная алгебра и параллельные вычисления. Подчеркивается необходимость создания иерархических комплектов средств и обеспечения взаимозаменяемости средств на бумажных и электронных носителях. Для электронных образовательных средств обсуждаются новые идеи построения, основанные на глубокой структуризации материала и введения на нем причинно-следственных отношений.

Ключевые слова: электронные образовательные средства, линейная алгебра, параллельные вычисления, структуризация материала, информационный граф.

В настоящее время российское образование вступает на качественно новый уровень: решается задача массового использования компьютерных и информационных технологий в общем и профессиональном образовании. Рассматривается проблема создания в России единой для всех образовательных учреждений информационной среды. Многое будет зависеть от того, чем наполняется эта среда.

Информационная среда имеет много составляющих: компьютеры, линии связи, обслуживающее программное обеспечение, правила и умение работать в среде и многое другое. Но, возможно, самая главная составляющая, если иметь в виду именно образование, — это электронное представление собственно учебного материала.

Анализ ситуации показывает весьма неутешительное положение. Основные усилия российских разработчиков в области информатизации образования направлены сейчас на прокладку сетей, создание различного рода порталов, разработку общей концепции, закупку оборудования. Безусловно, вся эта деятельность необходима. Однако заметим, что от нее мало зависит состав и тем более структура учебного материала. Поэтому разработку электронных вариантов образовательных средств можно и нужно вести, не дожидаясь окончания этой деятельности.

* Статья подготовлена по материалам Второй Международной конференции “Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Проблемы математического образования”, приуроченной к 80-летию члена-корреспондента РАН профессора Л. Д. Кудрявцева.

Тем не менее пока такая работа в России идет достаточно вяло. Это проявляется, в частности, в том, что среди общедоступных электронных образовательных средств (учебники, задачники, справочники, энциклопедии и т. п.) доля российских средств по сравнению с зарубежными невелика. Если предположить, что техническое и концептуальное обеспечение информатизации в России будет в ближайшее время сформировано, но ситуация с собственными электронными образовательными средствами радикально не изменится, то российское образование неизбежно окажется под сильным влиянием зарубежных образовательных средств.

Зарубежные образовательные средства часто носят справочно-рецептурный характер. Такие средства не дают возможность изучать предмет глубоко и, следовательно, не очень полезны для подготовки высококлассных специалистов. К тому же, если материал не содержит очень большого числа рисунков, схем, таблиц, фотографий и другого изобразительного материала, то характер электронного изложения мало чем отличается от книжного. Все недостатки подобного подхода к построению электронных образовательных средств хорошо видны на примере математических наук, изучаемых в высших учебных заведениях, причем в тех вузах, где математическое образование является профилирующим.

В настоящей статье мы расскажем о некотором опыте создания электронных образовательных средств в области математики, точнее, в двух её разделах: линейная алгебра и параллельные вычисления. Выбор разделов и поставленных целей объясняется следующими соображениями.

Математическое профессиональное образование — одно из наиболее ярких достижений российской высшей школы. Однако в современных условиях приходится прилагать немало усилий, чтобы сохранить завоеванные позиции. Как и образование в целом, математика оказалась под жестким давлением времени. Развитие науки заставляет вводить в процесс обучения новые дисциплины. Из-за этого сокращаются и делаются более поверхностными основные математические курсы. Сама математика развивается сейчас настолько бурно, что основные её достижения не удается отразить даже в специальных курсах. При этом образовательные средства в математике практически не меняются в течение многих десятилетий: те же лекции, семинары, экзамены, контрольные и т. п. По существу основными носителями знаний по-прежнему являются преподаватель и книга. Естественно возникает вопрос: “Как сделать доступ к профессиональным математическим знаниям более эффективным?”

Линейная алгебра и параллельные вычисления представляют в некотором смысле полярные разделы математики. Линейная алгебра является одним из самых устоявшихся её разделов, по крайней мере, в базовой части. За последние три-четыре десятилетия содержание курсов по линейной алгебре меняется очень мало. Если проанализировать изданные за этот период учебники и учебные пособия, то нетрудно заметить, что они мало чем отличаются друг от друга. Несколько меняется терминология, меняется порядок изложения материала, меняются акценты. Но в целом объем излагаемого материала остается почти одним и тем же. Различные варианты учебников и

учебных пособий скорее отражают различия во взглядах авторов на характер изложения материала, чем различия в объемах описываемых знаний. Ясно, что на пути подобных модификаций курсов нельзя существенно улучшить уровень усвоения материала. Многолетний опыт работы с молодыми специалистами говорит о том, что даже выпускники элитных вузов, в которых математика является профилирующей областью знаний, имеют весьма посредственные знания по линейной алгебре. Но ведь линейная алгебра является основой всей прикладной математики, и без хорошего её знания трудно решить качественно любую более или менее сложную прикладную задачу.

Параллельные вычисления — это относительно новый, но бурно развивающийся раздел математики. Несколько десятилетий назад к нему имело какое-то отношение лишь небольшое число узких специалистов. Однако сейчас, когда суперкомпьютеры, кластеры и распределенные вычисления стали необходимым элементом решения сложных прикладных задач в самых различных областях, с параллельными вычислениями вынуждены знакомиться очень многие. Остро встает вопрос о формах преподавания данного раздела и его содержании. Ситуация меняется настолько быстро, что сложности возникают даже на стадии выбора базовой части знаний. Многое из того, что необходимо было знать еще три-пять лет назад, в настоящее время уже устаревает и перестает быть актуальным.

Сравнение линейной алгебры и параллельных вычислений, двух разделов математики, показывает следующее. В линейной алгебре базовая часть знаний установилась и является весьма обширной. Новые знания появляются в большом количестве, но они практически никак не затрагивают базовую часть. В параллельных вычислениях установившаяся базовая часть относительно невелика. Новые знания здесь появляются еще в большем количестве, что во многом определяется их зависимостью от уровня развития вычислительной техники. По мере осмысления перспектив использования техники какая-то часть новых знаний переходит в базовые. В целом же базовые знания в параллельных вычислениях пока не вышли из стадии формирования.

Несмотря на то, что между линейной алгеброй и параллельными вычислениями нет почти ничего общего по содержанию, при их освоении возникают одни и те же сложности: именно, оба раздела математики воспринимаются достаточно трудно при использовании в качестве носителя знаний традиционной книги, в том числе даже тогда, когда для освоения материала привлекается преподаватель.

Весь опыт преподавания не только линейной алгебры, но и многих других аналогичных дисциплин показывает, что эффективность усвоения материала при использовании связки книга - преподаватель практически достигла своего потолка. Следовательно, для его дальнейшего повышения необходимо привлечение каких-то новых технологий. Как будто бы ответ на вопрос, что это за технологии, ясен. Ведь всюду только и говорится о компьютеризации знаний, электронных образовательных средствах, информатизации образования, дистанционном обучении. Продолжать этот перечень можно по всему списку знакомых терминов. Но если ответ ясен, то почему не видно обилия

компьютерных учебников? И в чем причина того, что электронные образовательные средства так трудно внедряются в процессы обучения?

Мы уже отмечали выше, что многое зависит от того, как конкретно будут устроены оконечные образовательные средства, по которым, собственно говоря, и должно проходить обучение. Подчеркнем также еще раз, что состав и структура именно этих средств мало зависит от всего сопутствующего окружения. На наш взгляд, поиск ответов на многочисленные вопросы, касающиеся электронных образовательных средств, надо начинать совсем с другого вопроса: “А чем конкретно не устраивает книга как источник знаний?” Без обстоятельного ответа на данный вопрос невозможно построить эффективные образовательные средства нового типа. К сожалению, многочисленные публикации и обсуждения этой темы почти всегда сводятся к констатации лишь каких-то достаточно общих методологических положений и оценок. Они содержат мало конкретных предложений. А это, в свою очередь, не позволяет разрабатывать новые формы представления знаний. Во всяком случае, пытаясь создать такие формы для линейной алгебры и параллельных вычислений, мы не смогли обнаружить подходящие конструктивные идеи.

Тем не менее, на примере теоретического курса линейной алгебры попробуем понять, чем может не устраивать книга как источник знаний и чем может оказаться полезным компьютер при выборе форм представления знаний. Безусловно, использование компьютера очень эффективно в организации различных видов поиска. Но не очень ясно, что стоит искать, если иметь в виду тот материал, который дается в книге. С помощью компьютера легко показывать различные рисунки, фотографии, схемы, таблицы. Но линейная алгебра является в высшей степени абстрактной наукой. Многомерность её объектов не позволяет в полной мере использовать иллюстративный материал для сопровождения процесса обучения. Конечно, на начальном этапе освоения линейной алгебры какие-то её положения можно иллюстрировать соответствующими рисунками из аналитической геометрии. Но это только на начальном этапе. И, наконец, компьютер не заменим при организации всякого рода счета. Но в теоретическом курсе линейной алгебры его практически нет.

Возможно, что именно отсутствие достаточного числа иллюстративных элементов, не позволяющее видеть предмет целиком как некоторую совокупность взаимосвязанных образов, делает затруднительным изучение абстрактных дисциплин. О попытках найти такие образы в линейной алгебре стоит сказать несколько подробнее. Тем более, что возможность использования найденных образов далеко выходит за рамки линейной алгебры.

В связи с организацией в вузах страны факультетов с углубленным изучением прикладной и вычислительной математики, около 30 лет назад стали появляться новые учебники и учебные пособия по линейной алгебре. Одно из них — это учебное пособие [1]. В нем впервые в линейную алгебру были введены элементы анализа, аналитическая геометрия была более тесно связана с основным текстом, окраска всего материала стала более функциональной. Всё это позволило сделать курс не только более насыщенным, но и более про-

зрачным с точки зрения связи со смежными дисциплинами. Его иллюстративность несколько увеличилась, но всё же оставалась явно недостаточной.

С целью облегчения процесса освоения линейной алгебры был написан справочник [2]. В нем содержалось много самого разного материала, в том числе приводились весьма подробные сведения по теоретическому курсу линейной алгебры. Эти сведения представляют собой большое число утверждений, содержащих описание отдельных фактов и определений. Никаких доказательств не приводилось. Система утверждений была столь детальной и систематизирована столь тщательно и глубоко, что по ней оказалось достаточно легко находить почти любой факт и понятие из общеобразовательного курса линейной алгебры. Возможно, именно этим обстоятельством объясняется тот факт, что справочник оказался популярным в среде студентов и аспирантов, особенно в период подготовки к экзаменам.

Собственно говоря, последнее обстоятельство и стало главным импульсом в принятии решения создать или, точнее, попробовать создать некоторую систему и комплекс систем, поддерживающих процесс освоения нового материала, причем создать по новой методологической и технической основе. Выбор линейной алгебры в качестве предметной области оказался для нас совершенно естественным. Этот курс в той или иной мере читается практически в каждом вузе с естественно-научным уклоном в образовании. Кроме этого, по данному курсу у нас был накоплен достаточно большой как педагогический опыт, так и общий багаж знаний. Важным фактором, определяющим принятое решение, было и то, что у нас имелся квалифицированный коллектив, владеющий современными программными и сетевыми технологиями.

Допустим, что теоретический курс разбит на конкретные утверждения, которые надо освоить в процессе обучения. Пусть они представляют определения, понятия и факты, связывающие какие-то понятия между собой. Построим ориентированный граф. В качестве вершин возьмем отдельные утверждения. Дуги будем проводить следующим образом. Пусть вершина соответствует некоторому понятию. Каждое новое понятие всегда возникает как следствие совместного рассмотрения нескольких уже введенных ранее понятий. Проведем дуги из вершин, инициирующих новое понятие, в соответствующую ему вершину. Каждый новый факт связывает или использует в своей формулировке также несколько введенных ранее понятий. Проведем соответствующие этим понятиям дуги. Кроме этого, в процессе доказательства справедливости конкретного факта могут быть использованы какие-то другие, ранее установленные факты. И это использование отметим дугами. Назовем построенный граф информационным графом предметной области.

Каждый лектор при изложении своего курса неявно следует какому-то информационному графу: выбирает необходимую совокупность понятий и фактов (вершины графа), выстраивает их в логически связанную последовательность и проводит некоторые доказательства (дуги графа). Каждый конкретный информационный граф всегда является ациклическим. Правда, при этом отдельные утверждения могут совпадать. Если проанализировать различные курсы по одной и той же дисциплине, особенно, традиционной,

то можно заметить следующее. Конкретные совокупности понятий и фактов всегда выбираются из одной и той же известной совокупности и очень редко “разбавляются” чем-то новым. Почти всегда при изложении понятий и фактов сохраняется одно и то же отношение предшествования. Как правило, меняются местами только те сведения, которые на самом деле не связаны друг с другом.

Всё сказанное привело нас к такой идее. Построим объединенный информационный граф. Для этого соберем вместе всю совокупность значимых понятий и фактов, используемых в различных курсах по одной и той же дисциплине, и возьмем их в качестве вершин. Установим описанным выше способом дуги. Если окажется, что в какую-то вершину входит большое число дуг, разобьем соответствующее понятие или факт на более мелкие. Будем добиваться таким разбиением того, чтобы в каждую вершину входило лишь очень небольшое число дуг. И, конечно, будем стремиться сделать граф ациклическим. Далее, мы можем пометить вершины графа, указав, например, уровень их сложности, степень общности и т. п. Мы можем присоединить к графу дополнительные вершины, соответствующие иллюстрирующим примерам, комментариям, доказательствам и т.п., пометив их надлежащим образом.

Имея размеченный информационный граф предметной области, тексты утверждений с различными пояснениями, а также алфавитный, систематизированный и некоторые другие каталоги, характеризующие структуру всей совокупности утверждений, можно решать большое число самых разных задач, полезных как для лекторов курсов, так и для лиц, изучающих эти курсы. По каталогам можно выбрать совокупность утверждений, связанных с заданным набором понятий и фактов. Вместе с дугами это дает информационный граф заданного курса. Сразу видно, какие доказательства в данном курсе можно проводить полностью, а в каких неизбежно будут пропуски. Параллельная форма графа показывает, какие темы не связаны между собой и насколько их изложение можно разносить друг от друга. Сам по себе информационный граф показывает, на что опирается каждое конкретное утверждение и что опирается на него. Это как раз та информация, которую очень трудно получить из обычного книжного текста. Имея информационный граф, структуру предметной области уже легко визуализировать. Для этого компьютерные технологии подходят как нельзя лучше. Работа с информационным графом и каталогами очень многогранна, и её разнообразие ограничивается только фантазией разработчиков соответствующих систем.

На этих идеях сконструирована и реализована электронная энциклопедия ЛИНЕАЛ, предназначенная для получения теоретических сведений в области линейной алгебры. Она рассчитана на широкий круг пользователей -от школьника до научного работника и преподавателя. Включенный в систему материал содержит сведения, заведомо превышающие то, что дается в традиционных курсах. Систему ЛИНЕАЛ легко использовать для изучения линейной алгебры. Все сведения получаются последовательно с самых азов вплоть до очень серьезных результатов. Для работы с энциклопедией необходимо уметь пользоваться персональным компьютером и иметь начальные

математические знания. Точнее надо понимать действия с вещественными числами и представлять, что такое тригонометрические функции. Ничего другого для теоретического освоения линейной алгебры не требуется. Система ЛИНЕАЛ создана в двух вариантах. Она реализована как автономная программная система для персонального компьютера и доступна в сети Интернет по адресу http://lineal.guru.ru [3]. С системой также можно познакомиться по статье [4], электронный вариант которой находится по адресу http://www.srcc.msu.su/nummeth/index.html.

Безусловно, составление информационного графа, текстов утверждений и каталогов является трудной работой, которая под силу лишь профессионалам самой высокой квалификации в конкретной предметной области. Особенно тщательно приходится формировать разбиение на отдельные утверждения. Например, первоначально предполагалось, что в качестве возможного разбиения курса линейной алгебры можно без изменения взять разбиение, представленное в первой половине материала из книги [2]. Более того, не предполагалось сопровождать факты доказательствами их правильности, как и было сделано в [2]. Однако более детальное рассмотрение предметной области и методов работы с соответствующей ей базой данных заставили внести изменения в первоначальные планы. Поскольку причины внесения изменений не связаны конкретно с линейной алгеброй, а носят общий характер, на них стоит остановиться.

Удобство пользования базой данных во многом определяется простотой структуры причинно-следственных связей. Чтобы её достичь, как минимум необходимо иметь небольшое число опорных связей для каждого из утверждений. Это означает, что введение в базу данных любого нового факта или определения должно опираться на наличие в базе лишь малого числа утверждений. Материал из книги [2] не удовлетворяет полностью этим требованиям. Попытка построить по нему информационный граф показала, что имеется достаточно много вершин, в которые входит слишком много дуг. Другими словами, доказательства многих утверждений оказываются весьма сложными в силу отсутствия в [2] необходимых промежуточных утверждений. По этой причине материал из [2] пришлось переписать заново. В новом варианте большинство из утверждений имеют 5-8 опорных связей, из которых больше половины относятся к перечислению используемых понятий.

В процессе написания новой совокупности утверждений для курса линейной алгебры стала понятной необходимость введения в базу данных доказательств правильности имеющихся фактов. Включение доказательств было продиктовано несколькими соображениями. Во-первых, они представляют ценный методологический материал, используемый в процессе освоения предметной области. Во-вторых, не все они просты даже для специалистов. И, наконец, наличие доказательств делает возможным использование системы ЛИНЕАЛ в качестве полноценного учебника по любому курсу, соответствующему заданному набору утверждений.

Новый материал представляет фундамент линейной алгебры. По структуре это есть некоторая совокупность отдельных задач, определений, примеров и комментариев. Материал разбит на 13 разделов, объединяющих 72 темы.

Всего в базе данных системы ЛИНЕАЛ около 1500 различных утверждений и более 1100 доказательств отдельных фактов.

Идеи, заложенные в систему ЛИНЕАЛ, достаточно универсальны. Они применимы к любой предметной области, как естественно-научной, так и гуманитарной, которую можно представить как совокупность объектов, объединенных логическими связями. Например, так устроен любой математический курс, особенно устоявшийся. Создавать программные оболочки для систем, подобных ЛИНЕАЛ'у тоже трудно, и для этого тоже нужны высококвалифицированные специалисты, владеющие передовыми программными и сетевыми технологиями. Чтобы исключить ненужное дублирование работ, программная оболочка системы ЛИНЕАЛ сделана не зависящей от предметной области.

Работая в течение многих лет в высшей школе, мы пришли к вполне определенным выводам относительно того, как должны быть устроены образовательные средства. Главный из них состоит в том, что должна быть обеспечена максимально возможная взаимозаменяемость средств на бумажных и электронных носителях. Это диктуется, в первую очередь, значительным различием условий в отдельных регионах России. В крупных городах, в которых обеспечен хороший доступ к сети Интернет, возможны любые виды получения знаний, в том числе дистанционные. Однако во многих вузах не хватает даже обычных персональных компьютеров. Поэтому там неизбежен крен в сторону использования традиционных образовательных средств. К тому же, в силу привычки или наличия каких-то трудностей общения с компьютером, работа с книгой может оказаться для человека более комфортной. Поэтому различные условия будут возникать по разным причинам. Но они не должны быть препятствием к обеспечению возможности получения образования одного и того же или почти одного и того же качества.

Суммируя сказанное, видится следующая иерархия построения образовательных средств. Её основу составляют учебные пособия на бумажных носителях. В них должны быть отражены как основные, так и многочисленные дополнительные сведения, необходимые для глубокого изучения. Число различных пособий должно определяться уровнем и темпом развития дисциплины. Для установившихся предметных областей различных учебных пособий, на наш взгляд, должно быть не много. Над этими учебными пособиями необходимо иметь небольшое число согласованных с ними учебников, описывающих базовые знания и основные методологические приемы освоения материала. Учебники также должны быть изданы на бумажных носителях. Среди них должен быть, по крайней мере, один, глубоко структурированный и построенный в виде справочника по типу базы данных, заложенных в систему ЛИНЕАЛ. В свою очередь, над ним должна быть построена программная система, обеспечивающая эффективное изучение материала. Система должна быть реализована в двух вариантах: как автономная для персонального компьютера и как интернет-версия. Важно, чтобы для пользователя стиль работы с обоими вариантами был одним и тем же. Наличие интернет-версии позволяет оперативно вносить в систему изменения и дополнения. Конечно, наряду с учебниками примерно по тому же принципу

должны быть подготовлены задачники и программные системы, контролирующие процессы выполнения упражнений. В их создании имеется своя специфика, однако здесь мы не будем обсуждать соответствующие проблемы. И, наконец, завершать иерархию образовательных средств должна доступная из сети Интернет информационно-справочная система, оперативно отражающая последние достижения в предметной области.

Имея описанный набор средств, можно обеспечить получение образования любого уровня. Важно то, что необходимый уровень может регулировать сам обучающийся. Последнее обстоятельство имеет большое значение при организации дистанционного обучения, самообразования и повышения квалификации. В линейной алгебре высказанные идеи во многом реализованы. Имеются согласованные учебное пособие [1] и задачник [5], структурированный учебник и обслуживающая его система [3]. По большому счету не хватает только информационно-справочной системы по текущим достижениям. Её создание планируется.

Полный набор аналогичных образовательных средств разрабатывается сейчас для параллельных вычислений. Как уже отмечалось, данная область развивается очень динамично. Поэтому первое, что было создано, это как раз информационно-справочная система, оперативно отражающая текущее состояние предметной области. Работает она с 1998 года как учебно-информационный центр по параллельным вычислениям [6]. Вся информация доступна в сети Интернет по адресу http://parallel.ru. В центре дается самая различная информация: последние разработки в области вычислительной техники и программирования, планируемые и проведенные конференции, персоналии, лекции и многое другое. Организована подписка по оперативному обслуживанию пользователей текущей информацией. Среди постоянных подписчиков около 200 вузов России, что, безусловно, говорит о полезности данной интернет-системы в деле образования.

Следующим было создано учебное пособие [7]. Актуальность его написания вызвана тем, что на русском языке вообще не имелось ни одного доступного пособия по параллельным вычислениям. В данной книге много самого разнообразного материала. Интересное для себя найдет в ней школьник, студент, научный сотрудник и преподаватель. Естественно, планируется создание структурного учебника и обслуживающей его системы по типу ЛИНЕАЛ в линейной алгебре.

Будущее покажет, какими будут электронные образовательные средства и как они будут использоваться. Наша задача в настоящее время — угадать или определить правильное направление их развития.

ЛИТЕРАТУРА

1. Воеводин В. В. Линейная алгебра. 2-е изд. — М.: Наука, 1980. 400 с.

2. Воеводин В. В., Кузнецов Ю. А. Матрицы и вычисления. — М.: Наука, 1984. 318 с.

3. ЛИНЕАЛ: электронная энциклопедия по линейной алгебре, http://lineal.guru.ru

4. Воеводин В. В., Воеводин Вл. В. ЛИНЕАЛ: электронная энциклопедия по линейной алгебре // Вычислительные методы и программирование. 2002. Т. 3. №1. С. 131-140. httр://www.srcc.msu.su/num-meth/index.html

5. Икрамов X. Д. Задачник по линейной алгебре. — М.: Наука, 1975. 319 с.

6. Учебно-информационный центр по параллельным вычислениям, http://parallel.ru

7. Воеводин В. В., Воеводин Вл. В. Параллельные вычисления. — Санкт-Петербург: БХВ-Петербург, 2002. 608 с.

ELECTRONIC EDUCATIONAL TOOLS: NEW IDEAS

V. V. Voevodin, Vl. V. Voevodin

The authors consider the development of electronic educational tools in two branches of mathematics: linear algebra and parallel calculations. They underline that it is necessary to introduce hierarchically organized packages of tools and to provide the interchangeability of traditional and electronic tools. The article touches upon new ideas of developing electronic educational tools based on the structuring of material and demonstrating cause-effect relations on it.

Keywords: electronic educational tools, linear algebra, parallel calculations, madden into a lattice material, informational graph.

СОДЕРЖАНИЕ И ТЕХНОЛОГИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ В ВУЗЕ

УДК 51(07)

ИЗЛОЖЕНИЕ ТЕМЫ “ВЫПУКЛЫЕ ФУНКЦИИ” В УНИВЕРСИТЕТСКОМ КУРСЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

В. И. Гаврилов, А. В. Субботин

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, Россия, 119899, г.Москва, Ленинские горы, 1; e-mail: awsubbotin@mail.ru

Мы предлагаем оптимальный способ чтения лекции на тему “Выпуклые функции” в курсе математического анализа для вуза. Изложение основано на определении выпуклости сначала для дифференцируемых функций. Этот путь позволяет прочитать всю тему в течение обычных двух академических часов. Полностью все детали содержатся в учебнике [1].

Ключевые слова: выпуклые функции, дифференцируемость, разностное отношение, неравенство Иенсена.

В университетском курсе математического анализа и в вузовских курсах высшей математики тему “Выпуклые функции” обычно помещают в конце раздела “Дифференциальное исчисление функций одного действительного переменного”, когда учащимся уже сообщены основные свойства производных функций и их приложения к изучению свойств монотонности, локальных экстремумов, тейлоровских разложений функций. В настоящей статье мы постараемся убедить читателя, что такое положение вещей не есть дань традиции, а выражает суть предмета, позволяющее изложить его оптимальным способом. Сразу договоримся о терминологии: термин “выпуклая функция” используется для выпуклой вниз функции, а термин “вогнутая функция” -для выпуклой вверх функции.

1. ВЫПУКЛЫЕ (ВОГНУТЫЕ) ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ

Определение 1. Функция /, дифференцируемая на невырожденном интервале (а, Ь), называется выпуклой (вогнутой) на нём, если для любой точки xq G (a, b) неравенство

(1)

(1')

справедливо для всех х G (а, Ь).

Геометрически свойство выпуклости дифференцируемой функции / на (а, Ь) означает, что её график в пределах этого интервала располагается выше касательной, проведённой в любой точке графика; для вогнутой дифференцируемой функции картина противоположная (см. рис. 1, а), Ь)).

Рис. 1

Замечание. Если обозначить

то свойство выпуклости (вогнутости) дифференцируемой функции / на (а, Ь) равносильно свойству, что для любой точки хо G (а, Ь) неравенство А (ж) > О справедливо для всех х G (а, Ь). Отметим, что А(хо; #о) = А(#о) = 0.

2. КРИТЕРИЙ ВЫПУКЛОСТИ (ВОГНУТОСТИ) ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОЙ ФУНКЦИИ НА ИНТЕРВАЛЕ

Теорема 1. Для того, чтобы функция f, дифференцируемая на интервале (а,Ь), была выпуклой (вогнутой) на (а, Ъ), необходимо и достаточно, чтобы её производная функция f возрастала (убывала) на (а, Ь). При этом производная функция f непрерывна на (а, Ь).

<\ Необходимость. Пусть, для определённости, функция / выпукла на (а, Ь). Рассмотрим произвольные точки #i,#2 G (а, Ь), х\ < x<i. Применяя определение 1 к точке xq = х\ и считая х = Х2, получим неравенство f{x2) >

а применяя его к точке xq = x<i и считая х = xi, получаем неравенство

на основании которых, с учётом условия

имеем

т.е., имеем утверждение, что производная функция f возрастает на (а, Ь).

При этом, производная f как монотонная функция может иметь в интервале (а, Ь) точки разрыва только первого рода, а с другой стороны, согласно теореме о точках разрыва производной функции, все точки разрыва

производной функции f обязаны быть точками разрыва второго рода. Поэтому, производная функция f выпуклой функции / обязана быть непрерывной функцией на интервале (а, Ь).

Достаточность. Пусть, для определённости, производная функция f возрастает на интервале (а, Ь). Как и выше, заключаем, что f непрерывна на (а, Ь). Фиксируем произвольную точку хо G (а, Ь). Функция Д(х) = f(x) — —f(xo) — f,(xo)(x — хо) определена и дифференцируема в интервале (а, Ь) и её производная Д'(х) = f'[x) — f'(xo). Так как Д'(х) > 0 для всех х G (хо, Ь), X > хо, и Д'(х) < 0 для всех х G (а, хо), ж < хо, то функция Д(х) возрастает на промежутке [хо, Ь) и убывает на промежутке (а, хо], так что Д(х) > Д(хо) = 0 для всех х G (а, Ь). Согласно определению 1, функция / выпукла на (а, Ь). □

3. КРИТЕРИЙ ВЫПУКЛОСТИ (ВОГНУТОСТИ) ДВАЖДЫ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОЙ ФУНКЦИИ НА ИНТЕРВАЛЕ

Теорема 2. Для того, чтобы функция f, дважды дифференцируемая в интервале (а, Ъ), была выпуклой (вогнутой) на (а, Ъ), необходимо и достаточно, чтобы f“{x) > 0 (f”(x) < 0) во всех точках х G (а, Ь).

<\ Согласно критерию монотонности функции на промежутке, условие f"(x) > 0 (fff(x) < 0) для всех х G (а, Ь) является необходимым и достаточным условием возрастания (убывания) производной функции f на (а, Ь). Последнее свойство, согласно теореме предыдущего пункта, является необходимым и достаточным условием выпуклости (вогнутости) функции / на интервале (а, Ь). □

4. НЕРАВЕНСТВО ИЕНСЕНА

Теорема 3. Пусть дифференцируемая функция f выпукла (вогнута) на интервале (а, Ь). Тогда, для любых точек #i,a?2> • • • > %п из интервала (а, Ъ) и любых неотрицательных чисел ai, с*2,..., а.п, у которых ^ а& = 1, выполняется неравенство

(2)

(2')

< Обозначим хо = и покажем, что хо G (a, Ь). Так как к = 1,п и X] а/с — 1) т0 хотя бы одно а^ > 0. По условию, a < х& < Ь, к=1

к = 1,п, и значит, a • a& < a^x^ < Ь • a&, fc = 1,п, и хотя бы для одного /с

неравенства строгие, так что

Поскольку

то заключаем, что

Пусть сначала / выпукла на (а, Ь). Так как > 0, к = 1,п, то из неравенства (1), записанного для точки ж о = ^2 акхк, следует, что неравенства

(3)

выполняются для каждого к, 1 < к < п. Сложив почленно неравенства (3), получим соотношение

которое совпадает с (2). Аналогично (с изменением знаков всех неравенств в (3) и ниже на противоположные) устанавливается справедливость неравенства (2') для вогнутой дифференцируемой функции / на (а, Ь). □

Замечание. Коснёмся вопроса о переходе неравенств (2) и (2') в равенства. Это произойдёт, во-первых, в том случае, когда точки к = 1, п, лежат на каком-либо отрезке линейности дифференцируемой функции /; т. е., на таком отрезке интервала (а, Ь), на котором монотонная производная функция f постоянна. Если же производная функция f строго монотонна на (а, Ь)

то при выполнении равенства

каждое из неравенств (3), 1 < к < п, обязано перейти в равенство, так что хо = х\ = Х2 = ... = хп. Таким образом, знак равенства в (2) и (2') во втором случае достигается только при х\ = Х2 = ... = хп.

5. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ НЕРАВЕНСТВА ЙЕНСЕНА

Рассмотрим в неравенстве Йенсена случай п = 2. Тогда, для дифференцируемой и выпуклой (вогнутой) на интервале (а, Ъ) функции /, для любых точек xi, Х2 G (а,6), xi < Х2, и любого числа Л, 0 < Л < 1, справедливо неравенство

(4) (4')

В правой части неравенства (4) стоит значение функции / в произвольной точке x = (1 — À)xi + ÀX2, расположенной на отрезке [xi,X2], содержащемся в интервале (а, Ъ). Левая часть в (4) выражает собой ординату точки координатной плоскости, абсцисса которой равна

и которая лежит на прямолинейном отрезке (хорде), соединяющем точки и М2( Ж2, /(ж2)) графика функции /.

Итак, если дифференцируемая функция / выпукла на интервале (а, Ь), то для любых его точек xi, #2 £ (а? &), xi < Ж2, график функции / на отрезке [xi,X2] расположен ниже хорды, стягивающей концевые точки графика на этом отрезке (см. рис.2, а)).

Рис. 2

Аналогично, заключаем, что если дифференцируемая функция / вогнута на интервале (а, Ь), то для любых его точек #i,a?2 £ (а?^)> #1 < Х2, график функции / на отрезке [#i,#2] расположен выше хорды, стягивающей концевые точки графика на этом отрезке (см. рис. 2, Ь)).

6. ВЫПУКЛЫЕ (ВОГНУТЫЕ) ФУНКЦИИ

Неравенство Иенсена, точнее, его частный случай для двух точек, позволяет определить понятие выпуклости (вогнутости) для произвольной функции, заданной в интервале.

Определение 2. Функция /, определённая на невырожденном интервале (а, Ь), называется выпуклой (вогнутой) на (а, Ь), если для любых точек #Ъ х2 £ (я, Ь) и любых чисел ai > 0, «2 > 0, для которых ai + «2 = 1, справедливо неравенство

(5) (5')

Выше отмечалось, что геометрически условие выпуклости (вогнутости) функции / в интервале (a, Ь) означает, что точки любой дуги графика функции лежат под (над) хордой, стягивающей эту дугу.

Неравенству (5) можно придать другой вид в предположении, что

Из соотношений

имеем

и значит, неравенство (5) принимает вид

или, после умножения обеих частей неравенства на множитель

(6)

Поскольку

то после элементарных преобразований

неравенство (6) переходит в неравенство

(7)

справедливое для любого ж, х\ < х < x<i.

Неравенство (7) является другой формой записи определения выпуклости функции / на интервале (а, Ь). Геометрически (7) означает (см. рис. 2, а)), что угловой коэффициент хорды I, соединяющей точки {x\,f{x\)) и (х, f{x)j графика функции /, не больше углового коэффициента хорды II, соединяющей точки ^х, f(x)^j и ^Х2,/(х2)^ графика.

В случае функции /, вогнутой на интервале (а, Ь), знак неравенства в (7) меняется на противоположный.

Теорема 4. Для любой дифференцируемой функции f на интервале (а, Ь) определения 1 и 2 эквивалентны.

<\ Проверку справедливости утверждения этой теоремы проведём для выпуклых функций.

Установленное в пункте 4 неравенство Иенсена показывает, что в случае дифференцируемых функций из определения 1 следует определение 2.

Рассмотрим теперь произвольную дифференцируемую функцию /, выпуклую на интервале (а, Ь) в смысле определения 2, и покажем, что её производная функция f возрастает на (а, Ь). Для этого возьмём произвольные точки xi, Х2 G (а, Ь), х\ < Х2, так что неравенство (7) справедливо для всех х, х\ < X < #2- Так как функция / дифференцируема в точке xi, т. е., / G D(xi), то / непрерывна в xi, т.е., / G C(a?i), и у неё существуют левая и правая производные

Аналогично,

Поэтому, переходя в неравенстве (7) к пределу при получим

(8)

а переходя в (7) к пределу при получим

(9)

Объединяя (8) и (9), имеем

что означает возрастание производной функции f на интервале (а, Ъ).

Согласно критерию выпуклости дифференцируемой функции на интервале (см. пункт 2), функция / выпукла на (а, Ь) в смысле определения 1. □

7. УПРАЖНЕНИЯ

В качестве задач для самостоятельного решения студентам предлагается: 1) доказать неравенство Иенсена (2) для произвольной выпуклой функции, удовлетворяющей определению 2; 2) опираясь на неравенство (7), доказать, что произвольная выпуклая функция, удовлетворяющая определению 2, имеет в каждой точке интервала конечные односторонние производные (и следовательно, непрерывна в этом интервале), и односторонние производные суть возрастающие функции на интервале.

В качестве темы для курсовой работы можно предложить доказать, что последнее свойство 2) является также достаточным условием выпуклости функции на интервале.

8. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

По предложенной схеме эта тема изложена в учебном пособии [1], рекомендованном в качестве базового учебника по математическому анализу в Национальном Университете Черногории и используемом в других университетах Югославии. Многолетний опыт преподавания курсов математического анализа и высшей математики в Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова, в Национальном Университете Черногории и экспериментального курса математического анализа в Московском государственном техническом университете имени Н. Э. Баумана в 1987-89 гг. показывает, что прочтение всей темы укладывается в объём обычной аудиторной лекции из двух академических часов.

ЛИТЕРАТУРА

1. Gavrilov V. I., Pavicevic Z. Matematicka Analiza I. — Podgorica: PMF Unirex, 1994. 631 p. (на сербском языке)

PRESENTATION OF THE THEME “CONVEX FUNCTIONS” IN THE UNIVERSITY COURSE OF MATHEMATICAL ANALYSIS

V. I. Gavrilov, A. V. Subbotin

We propose an optimal way of lecturing on the theme “Convex functions” in the course of mathematical analysis at university. It presupposes first the definition of convexity for differentiable functions. This allows the tutor to present the whole theme during two academic hours lecture.

Keywords: convex functions, differentiability, difference quotient, Jensen's inequality.

СОДЕРЖАНИЕ И ТЕХНОЛОГИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ В ВУЗЕ

УДК 517.518

ОБОСНОВАНИЕ ТЕОРЕМ ВЕЙЕРШТРАССА О РАВНОМЕРНОЙ АППРОКСИМАЦИИ

С. Н. Слугин, В. С. Кротова

Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского, Россия, 603950, г. Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23, корп. 2; тел.: (8312)657603

Приведено краткое доказательство теорем с использованием приема Лебега, которое может быть дано в курсе математического анализа как одно из применений теории степенных рядов, но без привлечения теории тригонометрических рядов.

Ключевые слова: теорема Вейерштрасса, полиномиальная аппроксимация, непрерывность.

Известно несколько доказательств первой теоремы о равномерной аппроксимации непрерывной функции (алгебраическими полиномами), но они либо достаточно громоздки (см. [1, 2]), либо опираются на теорию тригонометрических рядов (см. [3-5]). Нам представляется, что знакомить студентов с обеими теоремами об аппроксимации (алгебраическими и тригонометрическими полиномами) было бы более естественно по окончании раздела “Степенные ряды”, но до изучения раздела “Ряды Фурье”. Это позволяет привести доказательство Лебега первой теоремы Вейерштрасса — гораздо более простое по сравнению с обоснованиями, данными в [1, 2].

Знание обеих теорем позволит в начале раздела “Ряды Фурье” установить среднеквадратичную полноту ортогональных систем: тригонометрической и полиномов Лежандра. А это, в свою очередь, облегчает построение теории тригонометрических и алгебраических рядов Фурье в пространстве кусочно-непрерывных функций.

Традиционное доказательство второй теоремы в части, относящейся к нечетной составляющей функции, тоже может быть упрощено, если использовать прием Лебега в его обосновании первой теоремы.

Здесь приводится с небольшими изменениями доказательство Лебега первой теоремы. Приведено также обоснование второй теоремы с новым доказательством для нечетной составляющей.

Теорема 1 Вейерштрасса. Для непрерывной функции, определенной на отрезке, существует последовательность алгебраических полиномов, равномерно сходящаяся к данной функции на этом отрезке.

Доказательство. Как известно, функция ^/1 — z разлагается в биномиальный ряд, равномерно сходящийся на отрезке [—1,1]. Далее следуют 3 леммы Лебега.

Лемма 1. Существует последовательность алгебраических полиномов, равномерно сходящаяся к функции \t\ на отрезке [—1,1].

Доказательство. Обозначим z = 1 — t2. Алгебраические полиномы -частичные суммы sn(z) соответствующего биномиального ряда равномерно стремятся к функции у/1 — z. Поэтому алгебраические полиномы — композиции Pn(t) = sn(l — t ) равномерно стремятся к функции \t\ при z и, следовательно, при \t\ < 1.

Лемма 2. Пусть функция g(t) = 0 при — 1 < t < 0, g(t) = kt при О < t < 1. Тогда для произвольного числа s > 0 есть такой алгебраический полином р, что при \t\ < 1

(1)

Доказательство. Функция

Имеются полиномы pn(t), указанные в лемме 1. Алгебраические полиномы равномерно стремятся к функции g(t).

Определение. Непрерывная функция определенная на отрезке [а, Ь], называется простой (по Лебегу), если функция линейная или если есть такая точка ß на интервале (а, Ь), что ф(х) = 0 при х < ß и ф(х) — линейная при X > ß.

Лемма 3. Для простой функции ф(х) и произвольного числа е > 0 есть такой алгебраический полином q{x), что на отрезке [а, Ь]

(2)

Доказательство. Если функция — линейная, то можно принять q(ж) = = ф(х). В противном случае построим такой отрезок [с, d] D [а, Ь], что

Продолжим функцию ф(х) на отрезке [с, d] так, чтобы она оставалась простой (рис. 1).

Рис. 1

Введем число 7 = — (d — с) и композицию g(t) = ф{^ + ß). Выполнены условия леммы 2, есть алгебраический полином p(t), удовлетворяющий неравенству (1). Поэтому для алгебраического полинома — композиции

выполняется неравенство (2) на отрезке [с, d] и, следовательно, на [а, Ь].

Дальнейшее доказательство теоремы 1 состоит из 3-х этапов: 1) аппроксимация кусочно-линейной функцией, 2) разложение кусочно-линейной функции в сумму простых функций, 3) аппроксимация кусочно-линейной функции алгебраическим полиномом и окончание доказательства.

1. Непрерывная функция /(ж), определенная на отрезке [а, Ь], равномерно непрерывна, для произвольного числа е > 0 есть такое число 6 = 5(e), что из неравенства \х — v\ < ö следует \f(x) — f(v)\ < — s. Разделим данный отрезок на п участков = [xi_i,Xi] одинаковой длины |А^| < 6. Обозначим значения yi = f{xi) ив график функции / впишем ломаную с вершинами (хг^уг). Непрерывную кусочно-линейную функцию, графиком которой служит эта ломаная, обозначим Lp. Значения <p(xi) = yi, функция Lp — линейная на каждом участке. Для любой фиксированной точки х имеется г-й участок, содержащий её. Значение линейной функции ip{x) G [уг-ъ Vi] - По теореме математического анализа о промежуточных значениях непрерывной функции на отрезке, есть такая точка v G Ai, в которой значение f(v) = ц>(х) (рис. 2).

Расстояние

поэтому отклонение

(3)

Рис. 2

2. Вводятся: линейная функция ф\(х) = х G Ai, линейно продолженная с участка Ai = [а, х\] на отрезок [#i,fe], и функция Lp\ = Lp — ф\. Следовательно, функция Lp представляется на отрезке [а, Ъ] суммой простой функции ф\ и непрерывной кусочно-линейной функции Lpi, причем (fi(x) = О, X < х\ (рис.3). Аналогично производится следующий шаг: вводятся непрерывная кусочно-линейная функция ф2{х) = ^i(x), х < Ж2, линейно продолженная с участка А2 на отрезок [ж2, Ь], и Lp2 — <£>i — Фэ- Следовательно, функция Lp представляется в виде суммы простых функций ф\, Ф2 и функции <£>2, причем ф2{х) = О, X < Х2- Процесс повторяется п — 1 раз. На последнем шаге продолжение не требуется, простая функция фп = Lpni по определению.

Поэтому непрерывная кусочно линейная функция Lp представляется на всем отрезке в виде суммы простых функций:

(4)

3. Согласно лемме 3, для каждого номера г есть такой алгебраический полином что

Отсюда и из равенства (4) следуют для полинома

неравенства

А отсюда и из неравенства (3) следует

Теорема 2 Вейерштрасса. Для непрерывной 2тх-периодической функции существует последовательность тригонометрических полиномов, равномерно сходящаяся всюду к этой функции.

Доказательство. Ясно, что его достаточно провести при |ж| < 7г. Линейная комбинация тригонометрических полиномов

очевидно, является тригонометрическим полиномом. Произведение функций вида cosfcx, sinmx — тоже тригонометрический полином, это проверяется по 3 известным формулам тригонометрии вида cosfcxcosmx =

, Следовательно, натуральные степени функций указанного вида — тригонометрические полиномы. А так как алгебраический полином р является линейной комбинацией натуральных степеней своего аргумента, то композиция p(cosx) — тригонометрический полином.

По тем же причинам произведение T(x)sinx — тоже тригонометрический полином.

Вводятся функции

В сужении при 0 < х < тт четной функции д(х) совершается подстановка arccost, \t\ < 1. Для непрерывной функции — композиции g(arccost) и произвольного числа е > 0, по теореме 1, есть такой алгебраический полином

что |g(arccos£) — p(t)\ < — s на отрезке [—1,1]. Тригонометрический полином Т\ (ж) = p(cos х) при 0 < X < тт удовлетворяет неравенству

(5)

Композиция p(cosx) имеет смысл и при —тт < х < 0. Четность внутренней функции влечет четность композиции Т\(х). Отсюда и из четности функции g следует: неравенство (5) выполняется при \х\ < 7г.

Из 27г-периодичности функции / и из определения нечетной функции h следуют равенства h(0) = /i(±7r) = 0. Для произвольного числа е > 0 подберем величину о, соответствующую числу — s в условии равномерной непрерывности функции h на отрезке [—7г, тт] и разобьем отрезок на участки одинаковой длины |А^| < о. Ясно, что узлы разбиения расположены симметрично относительно начала координат. Так же, как в 1 этапе доказательства теоремы 1, строится непрерывная кусочно-линейная функция Lp (рис.4), но теперь — соответствующая функции h и числу — е:

(6)

Из нечетности функции h, симметричности узлов х\ и совпадения значений <p(xi) = h(xi) следует нечетность функции <р и равенства Lp(0) = ^(±7г) = 0. Эта функция — линейная вблизи точек z = 0 или z = ±7г, поэтому вблизи точек z существует непрерывная производная (односторонняя на концах ±7г).

Рис. 4

Построим непрерывную четную функцию

Она допускает непрерывное доопределение в точках z, так как, по правилу Лопиталя раскрытия неопределенности, существует конечный предел . По доказанному для непрерывной четной функции, есть такой тригонометрический полином

Введем тригонометрический полином

Тогда

(7)

Введем тригонометрический полином Т = Т\ + Т3. Из равенства g + h = / и соотношений (5)-(7) следует:

ЛИТЕРАТУРА

1. Ильин В. А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Часть 2. — М.: Наука, 1973. 447 с.

2. Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа. Т. 2. 2-е изд. — М.: Гостехиздат, 1956. 464 с.

3. Будак Б. М., Фомин С. В. Кратные интегралы и ряды. 2-е изд. — М.: Наука, 1967. 607с.

4. Карташев А. П., Рожденственский Б. Л. Математический анализ. — М.: Наука, 1984. 447 с.

5. Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа. — М.: Наука, 1989. 736 с.

DEMONSTRATION OF THE THE WEIERSTRASS' UNIFORM APPROXIMATION THEOREMS

S. N. Slugin, V. S. Krotova

The article gives brief demonstration of the theorems using Lebesgue's technique that can be included to the course of mathematical analysis as an example of the power series theory application without reference to the trigonometric series theory.

Keywords: Weierstrass' theorem, polynomial approximation, continuity.

СОДЕРЖАНИЕ И ТЕХНОЛОГИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ В ВУЗЕ

УДК 517.52.2

ПРОСТОЙ ВЫВОД РАЗЛОЖЕНИЯ (1 + x)α В РЯД ТЕЙЛОРА

О. В. Бесов

Московский физико-технический институт (Государственный университет), Россия, 141700, Московская обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., 9; тел.: (095) 1351150; e-mail: besob@mi.ras.ru

Предлагается новый простой вариант вывода формулы разложения функции (1 + х)а в ряд Тейлора, использующий интегральную форму остаточного члена ряда.

Ключевые слова: ряд Тейлора, интегральная форма остаточного члена.

Приведем новый вариант вывода формулы разложения функции (1 + х)а в ряд Тейлора. Пусть a^7Vo,0<|x|<l. Остаточный член формулы Тейлора в интегральной форме имеет вид

Отсюда

Заметим, что

Следовательно, при фиксированном х и достаточно малом е > О

Это означает, что \гп(х) \ —> 0 при п —> оо не медленнее, чем по геометрической прогрессии. Следовательно,

SIMPLE DEVELOPMENT OF EXPANSION (1 + x)a INTO TAYLOR

SERIES

О. V. Besov

The author proposes a new simple development of the function expansion formula (1 + x)a into Taylor series, using the integrated form of the residual member.

Keywords: Taylor series, integrated form of the residual member.

МАТЕМАТИКА ДЛЯ СПЕЦИАЛИСТОВ РАЗЛИЧНОГО ПРОФИЛЯ

УДК 51

О ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ ПРИКЛАДНИКАМ*

А. Д. Мышкис

Московский государственный университет путей сообщения (МИИТ), Россия, 127994, г- Москва, ул. Образцова, 15; тел.: (095)2842410; e-mail: amyshkis@mtu-net.ru

Автор полагает, что существующие программы и, самое главное, стиль преподавания математики во втузах не учитывают требований последующего её приложения. Освещаются проблемы воспитания прикладной математической интуиции, проблемы строгости изложения и полноты доказательств, а также ознакомления учащихся с методами “рациональных” (убедительных) рассуждений. Подчеркивается роль отыскания решений в форме, приемлемой для приложений. Говорится о роли упражнений, имитирующих построение и исследование математической модели.

Ключевые слова: прикладная математика, преподавание прикладной математики, математическая модель, рациональные рассуждения, прикладная математическая интуиция.

Прежде всего, учащийся должен быть убежден, что доказательства заслуживают того, чтобы их изучали, что они необходимы... Цель юридического доказательства состоит в том, чтобы устранить сомнения — но именно такова и самая очевидная, и самая естественная цель математического доказательства. .. Только математику-профессионалу... может доставить удовольствие формальное обоснование каждого шага длинной цепочки рассуждений

Д. Пойя [9, с. 371]

1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ ИНЖЕНЕРА

Я буду здесь говорить, в основном, о курсе математики во втузах, хотя сказанное в значительной мере относится и к обучению физиков, биологов и других специалистов-прикладников. (“Прикладниками” будем здесь называть всех, применяющих математику за её пределами.)

Существующие ныне программа и стиль преподавания курса математики во втузах сложились лет 60-70 назад под влиянием классической математики XVIII в., с её вниманием к формальным преобразованиям и точным решениям, и работ XIX в., посвященных обоснованию математического анализа. Круг идей и методов, лежащих в основе приложений математики и проникших в этот, передовой для своего времени, курс, всё еще недостаточен; этот

* При поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант 0301-00665) и Фонда фундаментальных исследований МПС РФ. Настоящая статья основана на авторском тексте из книги [1, с. 286-301], посвященном данной проблеме, несколько переработанном для возможности независимого чтения и дополненном.

курс во многом является как бы адаптацией, упрощенной версией университетского курса, рассчитанного на чистых математиков.

Во многих втузах в курсах математики основное внимание уделяется вопросам обоснования (на “кусочно-дедуктивном” уровне, поскольку полностью дедуктивное изложение, к счастью, осуществить не удается) относительно бедного аппарата и формальным приемам решения узких классов задач.

В результате курс математики является неоправданно усложненным, перегруженным неработающим материалом и в то же время бедным по содержанию. Он недостаточно учитывает современные тенденции в прикладной математике, в частности, связанные с развитием методов, имеющих широкую и актуальную в прикладном плане область приложения, со значительным вниманием к алгоритмам и компьютерам.

Преподаватели математики во втузе, воспитанные в традициях чистой математики, совершенствуя курс, часто не заботятся о том, как он будет “работать” в дальнейшем. Многие идейно и методически важные для приложений вопросы не рассматриваются из-за трудности их “строгого” изложения; многие основные понятия (даже такие, как предельный переход, интеграл и т.п.) освещаются не в тех аспектах, в каких они в дальнейшем применяются; взамен убедительного для учащегося объяснения причин математических фактов стремятся к формальной строгости изложения, которая всё равно не достигается. (Подчеркну во избежание недоразумений, что я сторонник строгости как средства избежать существенных ошибок и как школы мышления, но в разумных дозах, различных для разных профилей обучения; строгость не должна превращаться в самоцель!)

Поэтому студент, переходя от курса математики к другим дисциплинам, к изучению специальной литературы, а позже — к практической деятельности, вынужден радикально переучиваться, полностью перестраивая свою “математическую психологию”. Эта перестройка происходит чаще всего стихийно, без необходимого руководства и порой приводит к печальным последствиям. Из-за разрыва между преподаваемой “ортодоксальной” и “работающей” математикой важные разделы математики зачастую поручают преподавать специалистам, не имеющим необходимой математической подготовки, и преподавание приобретает рецептурный характер.

По-видимому, этот разрыв является объективным отражением рассмотренного в книге [1] существенного различия в подходах чистой и прикладной математики, которое в преподавании математики должным образом не учитывается. Времена “абстрактных” курсов математики, предназначенных в равной мере для чистых математиков и прикладников, безвозвратно прошли. Курс математики для инженеров сейчас не может не учитывать современного интенсивного развития разветвленной системы идей, понятий и методов, лежащих в основе приложений математики. Он должен быть курсом прикладной математики, — конечно, не узко утилитарным и рецептурным, а включающим в себя и необходимые теоретические концепции.

Представляется, что преподавание математики во втузах должно быть подчинено следующим целям:

- сообщить студентам основные теоретические сведения, необходимые для изучения общенаучных, общеинженерных и специальных дисциплин и последующего приложения математики, и обучить их соответствующему математическому аппарату;

- воспитать у студентов прикладную математическую культуру, необходимые интуицию и эрудицию в вопросах приложения математики;

- развивать логическое и алгоритмическое мышление;

- ознакомить студентов с ролью математики в современной жизни и особенно в современной технике, с характерными чертами математического метода изучения реальных задач;

- выработать первичные навыки математического исследования прикладных вопросов: перевода реальной задачи на адекватный математический язык, выбора оптимального метода её исследования и интерпретации результата исследования;

- выработать навыки доведения решения задачи до практически приемлемого результата — числа, графика, точного качественного вывода и т. п. с применением для этого адекватных вычислительных средств (включая компьютеры), таблиц и справочников;

- выработать умение самостоятельно разбираться в математическом аппарате, применяемом в литературе, связанной со специальностью студента.

Конечно, в нынешних условиях ослабления школьной подготовки и постоянной борьбы математических кафедр против сокращения часов, отводимых на курс математики, перечисленные цели имеют лишь характер ориентиров. Но думается, что и ориентиры необходимы.

Содержание курса математики должно быть достаточно широким и глубоким для эффективного решения задач по специальности. Поэтому программу и характер этого курса необходимо систематически приводить в соответствие с непрерывно развивающимися тенденциями в приложениях математики. (Конечно, здесь имеется в виду не набор узких рецептов, а вся система математического мышления, совокупность математических идей, понятий и методов, на которых базируется специальность будущего инженера.) Перестройка должна проходить постепенно, с учетом имеющихся возможностей и без нарушения преемственности; она должна исходить из анализа того, как математика применяется и как она, по-видимому, должна будет применяться в соответствующей специальности.

Так, чрезвычайно возросло значение дисциплин вероятностного цикла для современного инженера и вообще для любого прикладника. Другой цикл вопросов, получивший сейчас широкое распространение в прикладной математике, связан с идеей оптимизации; сюда относятся линейное и нелинейное программирование, оптимальное управление и т. д. Для ряда специальностей важную роль играют вопросы конечной математики (например, теория графов) и другие разделы математики XX века.

Далеко не все указанные разделы нуждаются в подробном освещении. Невозможно, да и нецелесообразно освещать их подробно “впрок”, однако, важно, чтобы инженер имел общее представление об этих методах и их воз-

можностях, скажем, понимал, что такая-то задача относится к линейному программированию, а другая — к теории графов. Иными словами, существенно возросла роль математической эрудиции прикладника. Поэтому нужны обзорные лекции и обзорные параграфы в учебниках, где освещались бы понятия, не вошедшие в подробно излагаемые разделы, а также приводились примеры и типы задач, решаемых в других разделах, и соответствующая литература.

Особо нужно сказать о специальностях типа “инженер-математик” с усиленной математической подготовкой. Те преподаватели, которые не видят существенной специфики втузовского курса математики, считая его лишь по необходимости сокращенным академическим курсом, порой используют добавочные возможности, по существу, для дальнейшего отрыва от приложений (усиление “чисто математического” подхода, добавление не актуальных для приложений разделов и частных приемов и т. п.).

Порой представители этих специальностей с гордостью говорят: “У нас такие-то разделы математики излагаются, как на математическом факультете университета”. Однако эта гордость основана на глубоком заблуждении! Прикладная математика не есть упрощенный вариант чистой математики, вторая не есть высшая ступень по сравнению с первой. Это -различные аспекты математики, в каждом из них имеются свои глубокие идеи, во многом взаимодействующие и порой даже идентичные, но во многом и существенно различные. Более того, в ряде отношений прикладная математика сложнее чистой, так как наряду с глубокой теоретической подготовкой требует большей эрудиции, прикладного чутья, владения не только дедуктивным, но и рациональным (т. е. убедительным, хотя и не обязательно строгим с позиций чистой математики) мышлением с его нечеткими утверждениями и т. п.

2. ВОСПИТАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНТУИЦИИ

Математически образованным можно называть инженера, который не только свободно разбирается в математическом аппарате, содержащемся в литературе по его специальности, и умеет доводить решение реальных математических задач до приемлемых результатов, но также обладает верной математической интуицией, т. е. прямым видением “грубого” содержания и связей соответствующих математических идей, понятий, утверждений и методов, роли типичных и особенных случаев и т. п.

Разумеется, математическая интуиция как способность к непосредственному усмотрению математической истины развивается постепенно и вырабатывается только в процессе накопления опыта. Несомненно, соотношение рационального и интуитивного в деятельности исследователя существенно меняется с приобретением опыта. Истина, к которой начинающий исследователь приходит лишь после цепи рассуждений, исследователю со стажем может быть видна сразу (не зря шутят: “информация — мать интуиции”). Время, необходимое исследователю на постижение истин некоторого определенного уровня сложности, постепенно сокращается, т. е. растет “рацио-

нальное быстродействие” исследователя; когда оно становится практически незамечаемым, можно говорить о сформированной математической интуиции.

Пусть, например, п вещественных величин надо определить из системы связывающих их конечных уравнений, которые должны удовлетворяться практически точно. Тогда правильно воспитанная математическая интуиция инженера должна требовать, чтобы система уравнений была замкнутой, т. е. содержала ровно п независимых уравнений. При этом, если уравнения линейные, то система имеет ровно одно решение, но нужно также понимать, что могут возникнуть осложнения в случае плохой обусловленности системы. Если уравнения нелинейные, то система может иметь более одного решения и нужно суметь истолковать их реальный смысл, — так же, как и в случае, когда обнаружено отсутствие вещественных решений; при этом надо иметь в виду, что для немалого п найти решение может быть довольно сложно. Если система содержит параметр, то при непрерывном его изменении все решения меняются непрерывно, однако при определенных (критических) значениях этого параметра решение может уйти на бесконечность, или прийти из бесконечности, или слиться с другим решением и стать мнимым и т. д.

Все эти грубые, качественные соображения легко подробно разобрать на простых примерах; в первую очередь именно их должен иметь в виду прикладник, приступая к задачам рассматриваемого типа. С точки зрения чистой математики, эти соображения нуждаются в многочисленных оговорках и допускают исключения; однако для математически образованного инженера неполное знание деталей неопасно, так как он обладает неформальным пониманием задачи и, кроме того, должен уметь, столкнувшись с особо тонким случаем, обратиться к специальной литературе или проконсультироваться у специалиста.

Для выяснения грубого (может быть, лучше сказать “главного”) содержания утверждений, которое в основном и служит источником правильной математической интуиции прикладника, особенно полезны наглядность, доступность изложения материала, а также разбор поучительных примеров и частных случаев.

Большое значение имеет ясная мотивировка введения новых понятий и методов, которую надо, как и обсуждение результатов, приводить по возможности часто. Сами эти понятия, учитывая психологический закон импринтинга (“впечатывания”), следует вводить так, чтобы по возможности раньше было выявлено их грубое содержание и прикладное значение. Общность формулировок, широта предположений в курсе математики для прикладников не являются самоцелью, а также должны быть подчинены задаче воспитания правильной интуиции и потому отвечать действительной необходимости.

Воспитание правильной интуиции не должно противоречить усвоению основ математики и развитию логического мышления. Однако последнее вовсе не означает, как иногда полагают, что нужно акцентировать внимание на теории пределов и других сходных вопросах. Следует отличать отчетливое усвоение идеи предела, даже на е — N- и е — 5-уровне, которую можно убе-

дительно продемонстрировать на простом материале, от не используемых в дальнейшем навыков решения примеров типа “по заданному е > 0 найти точное значение 7V” и т. п. Кстати, вычисление пределов встречается в приложениях математики несравненно реже, чем это иногда считают. Гораздо большее значение имеет твердое представление о шкалах роста и убывания, умение указать главный член в сумме, написать асимптотическое выражение и т. п. — то, чему при преподавании обычно уделяют совсем мало внимания. Логическое мышление инженера (и вообще прикладника) следует развивать на материале, имеющем отчетливое прикладное значение!

3. МЕТОДЫ РАССУЖДЕНИЯ

Воспитание привычки думать и умения правильно рассуждать, причем не только при решении задач математического характера, — одна из важнейших целей курса математики.

Было бы неверным отрицать пользу и даже необходимость воспитания у студентов точности в оборотах речи. Но нельзя забывать и о вреде фетишизации этой стороны дела.

В прикладной математике рациональные рассуждения имеют не меньшее значение, чем дедуктивные. Первые включают последние как предельный случай и потому находятся в некотором смысле на более высокой ступени, причем более трудны для усвоения. Поэтому вводить методы рациональных рассуждений нужно постепенно, тактично, исходя из достаточно прочных (но не чрезмерных!) дедуктивных, порой формальных основ, подробно разъясняя на примерах смысл практической сходимости, практической достоверности, проверки в типичных условиях и других действий в случаях, когда применение “точных” теорем невозможно или нецелесообразно.

В преподавании необходимо подчеркивать, что конечной целью прикладного математического исследования является не создание абстрактной логической схемы, а эффективное решение вопроса, лежащего за пределами математики. Для этого должны применяться любые разумные средства: все методы существенного приближения к истине достойны уважения).

Таким образом, на начальной стадии обучения (а также в некоторых специфических областях, таких, например, как линейная алгебра) удельный вес дедуктивных рассуждений, естественно, должен быть сравнительно высоким. Однако и здесь наглядность изложения, нацеленность на главное, раскрытие неформального смысла понятий подготавливают последующее введение рациональных рассуждений. Довольно распространенная на этом этапе концентрация внимания на теории пределов и других аналогичных вопросах играет отрицательную роль, она может только, по выражению Д. Пойа [9, с. 321], “создать у учащегося впечатление, что математика занимается тем, что весьма неочевидным путем доказывает совершенно очевидные вещи”. (Д. Пойа говорит об этом в связи с обучением в средней школе, но это полностью относится и к обучению инженеров.)

О том же писал А. Пуанкаре [10, с. 359] — один из величайших ученых в истории человечества: “Наши предки думали, что знают, что такое дробь, непрерывность, площадь кривой поверхности; лишь мы заметили, что они этого не знали. (Точнее — не знали современных формальных определений; но ведь знания к этому не сводятся! — Авт.) Точно так же наши ученики думают, что они это знают, когда уже принимаются серьезно за изучение математики. Если я, без предварительной подготовки, скажу им: ”Нет, вы этого не знаете, вы не понимаете того, что вам казалось понятным; я должен вам доказать то, что вы считали очевидным“, — и если я в своих доказательствах буду опираться на посылки, которые им кажутся менее очевидными, чем заключения, то что подумают эти несчастные? Они подумают, что математическая наука есть не что иное, как произвольно собранная груда бесполезных умствований; и они либо почувствуют к ней отвращение, либо будут забавляться ею, как игрою, и в умственном отношении уподобятся греческим софистам”. И лишь у созревшего в математическом отношении ума возникнут сомнения и в связи с ними потребность в строгих определениях. “Недостаточно во всем сомневаться, нужно знать, почему возникает сомнение” (там же).

К сказанному добавлю, что само “понимание” не является чем-то абсолютным, оно возникает не только (и даже не в первую очередь) в результате логического анализа, а в значительной мере в результате навыков действий, приводящих к правильным результатам. Математически образованный инженер до той же степени привычно понимает выражение “возьмем элемент объема”, как чистый математик — “для каждого е > 0 существует 5 > 0”, хотя как то, так и другое выражения не выдерживают критики с более высоких логических позиций. И в преподавании нужно стремиться к пониманию, соответствующему уровню учеников — а не преподавателя или рецензента!

Для сглаживания перехода от курса математики к специальным дисциплинам, уже в классических разделах трактовка понятий должна приближаться к той, которая дается в прикладной математике (конечно, для этого преподаватели математики должны иметь достаточное представление о прикладной точке зрения на математические сущности). Например, надо чаще выдвигать и иллюстрировать тезисы, что интеграл — это сумма бесконечно большого числа бесконечно малых слагаемых; дифференциал — это элемент, бесконечно малое приращение величины; дельта-функция — это функция с локализованным на бесконечно малом интервале бесконечно большим значением и интегралом, равным 1, и т. п. Следует по возможности чаще употреблять эти термины, приучать студентов правильно ими пользоваться, так как их вульгаризация может привести к ошибкам.

Важными и порой вызывающими жаркие дискуссии среди преподавателей являются вопросы о выборе уровня строгости изложения, и в частности о формальной полноте формулировок и доказательств. В книге [1] подробно обосновывается тезис о том, что нет и не может быть абсолютных понятий строгости и доказательности, эти понятия зависят от цели и области исследования; в частности, в чистой и в прикладной математике (даже в различных их областях) они не одинаковы, и преподавание должно это учитывать.

Иногда считают, что если доказательство на уровне чистой математики недоступно студентам, то соответствующие факты надо приводить без доказательства и даже без объяснений; я не согласен с этим. Доказательство -

это убедительное объяснение справедливости того или иного утверждения (ср. эпиграф к статье); но содержание понятия убедительности различно для различных слоев людей! Вряд ли существуют такие полезные для приложений математические факты, которые нельзя было бы объяснить убедительно для прикладника. При этом формально полное доказательство, убедительное для чистого математика, далеко не всегда убедительно для прикладника.

Хорошо известным примером может служить следующий искусственный вывод формулы Тейлора для п + 1 раз дифференцируемой функции Рассмотрим вспомогательную функцию

Так как F (а) = F (а + h) = 0, то по теореме Ролля F'{xi) = 0 для некоторого х\ G G (а,а + h); но и F'(a) = 0, т.е. 3x2 £ {о>,х\) • F"(x2) = 0, и т.д. В конце получаем, что FM(a) = FM(xn) = 0, а потому F(n+1)(c) = 0, где a<c<xn<a + h. Однако

мы легко приходим к формуле

и потому из равенства

Этот вывод совершенно не выявляет природу формирования формулы Тейлора, создает впечатление случайности выбора коэффициентов в ней и потому вызывает естественное чувство неудовлетворенности у прикладников.

Таким образом, и доказательства (которые, конечно, необходимы!) следует выбирать такими, чтобы они правильно воспитывали прикладную математическую интуицию, наиболее убедительно на выбранном уровне изложения демонстрируя причины и взаимосвязи фактов.

Так, в преподавании хорошо известны два вывода формулы замены переменных в объемных интегралах: один, основанный на применении формулы Грина, логически совершенный, но совсем не наглядный, и другой, основанный на преобразовании бесконечно малого параллелепипеда, логически менее совершенный, но наглядно демонстрирующий причину появления коэффициента искажения объемов. Для меня нет сомнения, что в курсе для прикладников предпочтительнее второй вывод.

Вот еще один, совсем простой пример. Вычислим производную dr/dl модуля радиуса-вектора г по некоторому заданному направлению I. Формально строгий вывод: выберем оси координат так, чтобы I совпало с направлением оси х; тогда

Нестрогий, но наглядный вывод, показывающий, откуда здесь появляется косинус, получается с помощью рассмотрения прямоугольного треугольника с гипотенузой dl и катетом dr. Неплохо, если инженер владеет первым выводом, но вторым он должен владеть обязательно.

В качестве примера вульгаризации, приводящей к ошибке, рассмотрим ньютонов потенциал

где функция / достаточно быстро убывает на бесконечности. Вычислим лапласиан

Формальное вычисление показывает, что V2(l/r) = 0 (это стандартный пример гармонической функции в пространстве), и отсюда как будто следует, что V2F = 0. Но это неверно — ошибка (грубая даже на прикладном уровне) совершена при дифференцировании разрывной функции. Простые соображения векторного анализа показывают, что надо писать

откуда правильное вычисление дает

Осложнения, возникающие при дифференцировании разрывной функции, можно увидеть, продифференцировав функцию

где непрерывная функция / быстро затухает на бесконечности, а H — единичная функция Хевисайда.

Приведу еще некоторые высказывания, относящиеся к особенностям стиля и уровня строгости преподавания математики для прикладников.

Великий физик-теоретик Я. Б. Зельдович [3, с. 8]: “Во многих учебниках изложение ведется в форме, напоминающей диспут двух ученых. Учащийся представляется как противник, выискивающий всевозможные возражения. Педагог последовательно, строго логически разбирает эти возражения одно за другим и неопровержимо доказывает правильность своих положений.

В предлагаемой книге учащийся рассматривается как друг и союзник, который готов поверить педагогу или учебнику и хочет применить к природе, к технике те математические приемы, которые ему предлагают. Понимание приходит в результате анализа примеров и применений”.

Е. С. Вентцель [2, с. 7]: “Книга рассчитана не на специалиста-математика, а в первую очередь на практика, впервые знакомящегося с предметом. Такого читателя обильные оговорки, делаемые в угоду ”безукоризненной строгости“, могли бы только оттолкнуть, заслонив от него существо дела”.

Д. Пойа [8, с. 390]: “Инженерам нужна математика; совсем немногие из них имеют здоровый интерес к математике, но они не приучаются понимать е-доказательства, не имеют времени на е-доказательства, не интересуются е-доказательствами... На основании долгого опыта я сказал бы, что одаренным студентам технических учебных заведений обычно более доступны хорошо изложенные правдоподобные

доводы, чем строгие доказательства, и студенты более благодарны таким доводам”;. Последнее имеет немаловажное значение!

Вот еще высказывание А.Пуанкаре по этому поводу [10, с. 359]: “Главная цель обучения математике — это развить известные способности ума, а между этими способностями интуиция отнюдь не является наименее ценной. Благодаря ей мир математических образов остается в соприкосновении с реальным миром; и если чистая математика может обойтись без нее, то она всегда необходима, чтобы заполнить пропасть, которая отделяет символы от реального мира; к нему будет постоянно обращаться практик, а ведь на одного чистого геометра (математика — Авт.) приходится сто практиков.

Инженер должен получить полное математическое образование, но для чего оно ему? Для того чтобы видеть различные стороны вещей, видеть их быстро. У него нет времени гоняться за мелочами. В сложных физических предметах, которые представляются его взору, он должен быстро найти точку, к которой могут быть приложены данные ему в руки математические орудия. Как бы он это делал, если бы между предметами и орудиями оставалась та пропасть, которую вырыли логики?”.

4. ОТЫСКАНИЕ ПРИЕМЛЕМЫХ РЕШЕНИЙ

Как уже отмечалось, математически образованный инженер должен обладать навыками доведения решения задач до практически приемлемого результата — до числа, графика, точного качественного вывода (описание влияния на решение задачи входящих в неё параметров, заключение об устойчивости и т. п.). Идея получения приемлемого результата на основе аналитических, численных и качественных методов должна пронизывать весь курс математики во втузе. Студент должен учиться мыслить алгоритмически, т. е. представлять себе, какие имеются способы доведения решения до конца, какие трудности при этом могут встретиться, прикинуть, каким будет объем вычислительной работы и какой способ представляется более разумным и т. п. По этой причине небезопасно выделение всех вычислительных вопросов в отдельный раздел курса математики: такое выделение может существенно понизить идею алгоритмичности в остальных разделах курса, которые оказываются как бы противопоставленными вычислениям и тем самым обескровленными в прикладном отношении.

При этом не следует преувеличивать значение конкретных рецептов и специальных приемов решения узких классов задач — тем более задач, не играющих сейчас большой роли. Гораздо важнее на продуманной системе примеров демонстрировать глубокие общие идеи, лежащие в основе доведения решения задач различных важных классов до конца, показывать общие методы, имеющие широкую область применения, такие как метод итераций, метод малого параметра, применение различных разложений, конечных разностей и т. д.

В связи со сказанным хочется подчеркнуть, вообще, важность тщательного отбора информации в курсе математики. Каждое понятие, каждое утверждение следует приводить, только если есть уверенность в их необходимости. Не будет беды, если отдельные математические понятия и утверждения, не входящие органически в курс математики, будут сообщаться (ко-

нечно, квалифицированно!) по мере необходимости позднее, в специальных дисциплинах.

Для математически образованного инженера характерно, в частности, твердое владение “основным ассортиментом” функций и линий. Так, он должен отчетливо представлять себе особенности поведения линейной, квадратичной, показательной функций, синуса и некоторых других простых функций, твердо знать, в каких типах задач они появляются, как влияют на их поведение входящие в них параметры. Вообще, простым нужным фактам надо, особенно на практических занятиях, уделять значительно больше внимания, чем это обычно делается.

Необходимо как можно раньше привлекать студентов к вычислениям с помощью компьютера. Особенно полезно проведение с помощью компьютера расчетных работ по общеинженерным и специальным дисциплинам. Идея возможности обращения к компьютеру должна наложить отпечаток и на весь курс математики для инженеров. Однако более простые и мобильные вычислительные средства — таблицы и справочники, инженерный калькулятор сохранили свое значение. Поэтому при обучении надо существенно чаще, чем это сейчас делается, ими пользоваться — в том числе, и на экзаменах!

К сожалению, распространенный сейчас стиль изучения многих разделов курса математики во втузах не подчинен основной идее получения приемлемого, достаточно завершенного решения. Типичным примером может служить теория числовых рядов, где основное внимание, в том числе и на практических занятиях, уделяется выяснению сходимости рядов с общим членом сложной аналитической структуры, весьма редко встречающихся в реальных задачах. При этом остаются в стороне вопросы, имеющие существенно большее практическое значение, такие, как оценка быстроты сходимости, методы приближенного подсчета суммы ряда и т. п.

Во втузовском курсе математики укоренилась традиция не доводить решение до числа; например, при вычислении определенных интегралов типичной формой ответа является, скажем, тогда как инженер окончательный ответ запишет в виде 0,3449. Калькулятор дает возможность завершать таким образом решение, практически не затрачивая времени; при этом заодно происходит тренировка в разумном округлении результата.

Наряду с вычислительными навыками необходимо развивать навыки получения приближенных и асимптотических формул, а также качественного анализа характера решения.

5. О ФОРМАЛЬНЫХ ВЫКЛАДКАХ И УПРАЖНЕНИЯХ

Определенные навыки формальных выкладок для студента втуза необходимы. Например, он должен уверенно вычислять производные, простые интегралы, уметь интегрировать дифференциальные уравнения известных про-

стых типов. Однако в целом тренировка в формальных выкладках не должна занимать такого большого места, как это сейчас часто бывает. Особенно это относится к практическим занятиям и домашним заданиям, где основное внимание порой уделяется упражнениям, либо концентрирующимся вокруг немногих, в значительной степени потерявших свое значение формальных типов, либо связанных с непосредственной подстановкой в формулы; подавляющее большинство таких задач по духу, направленности имеют мало общего с “работающей” математикой. При этом критерием хороших практических навыков у студента, определяющим направление его работы, иногда служит его способность решать формально усложненные (“болезненно искусственные”, по выражению Д. Пойа [9, с. 296]) задачи.

Конечно, определенное количество формальных задач, примеров на непосредственное применение формул и на доказательство сходимости необходимо. Однако существенно больше, чем это сейчас делается, надо заботиться о реальной осмысленности формулировок задач, их мотивированности (“может ли подобная задача возникнуть в прикладной ситуации?”), существенно шире уделять внимание упражнениям, упрощенно имитирующим действия, которые совершаются в реальном прикладном математическом исследовании. При этом вовсе не обязательно брать примеры непосредственно из специальных дисциплин, хотя если такой пример можно сделать легко доступным, это только украсит занятия. Сама постановка задачи, её направленность должны напоминать то, что может возникнуть в прикладном исследовании, даже если эта задача опирается только на простые понятия физики или имеет полностью математический характер: ведь и простое дифференцирование может составлять этап прикладного исследования. В то же время следует избегать сугубо конкретных рецептов и специальных приемов, пригодных для решения узких классов задач.

Приведем пример. В упражнениях на кратные интегралы обычно как граница области интегрирования, так и подынтегральная функция считаются заданными в явном аналитическом виде, порой довольно громоздком. Однако в прикладных задачах чаще оказывается, что все участвующие зависимости довольно просты, но в аналитическом виде заранее не заданы, так что требуется их предварительно найти; необходимо, чтобы подобные задачи были представлены должным образом.

В качестве другого примера можно указать на функции, заданные несколькими формулами (например, кусочно-линейные). Такие функции довольно распространены в приложениях, но почти не встречаются в упражнениях к курсу математики.

Существенно большее место, чем сейчас, должны занимать “текстовые” задачи, основанные на геометрическом, простом физическом и т. п. материале и связанные с предварительным составлением конечных или дифференциальных уравнений. Решение таких задач, сопровождаемое обсуждением исходных данных и исследованием результата, может оказать особенно глубокое влияние на формирование прикладного математического мышления. Многие задачи подобного рода имеются в учебной литературе по математике, а также могут быть подготовлены математическими кафедрами на основе анализа литературы по специальности студентов.

Роль формальных навыков преувеличена также во время зачетов и даже экзаменов.

Так, на экзамене за первый семестр порой решающим является умение автоматически дифференцировать искусственно усложненные функции, которые не только заведомо не могут встретиться в приложениях, но и всем своим видом противоречат воспитанию правильного прикладного математического вкуса. Во втором семестре аналогичную роль играют “рационализация” интегралов и интегрирование рациональных функций с помощью разложения их на простейшие, причем стандартные приемы предлагается применять и в тех случаях, когда явно целесообразнее численное интегрирование. В третьем семестре обычно преувеличивается роль формального интегрирования дифференциальных уравнений, в том числе линейных уравнений с постоянными коэффициентами и так называемой “специальной” правой частью (сам этот искусственный термин — типичный продукт стремления превратить мелкий вопрос в “науку”; увы, оно не так уж редко встречается в преподавании).

Всё это приводит к бездумному заучиванию не всегда важных рецептов и мало способствует развитию математического мышления. При этом остаются незакрепленными широко применяемые сейчас более универсальные и важные методы, требующие большей вдумчивости, хотя часто не на много более сложные (например, в теории дифференциальных уравнений — метод изоклин и другие качественные методы или метод малого параметра).

Я полагаю, что для развития прикладных математических навыков при подборе упражнений необходимое внимание надо, в частности, уделить:

- целеустремленному составлению и анализу математических моделей реальных задач и развитию соответствующей интуиции на доступном студентам материале;

- отбору данных, нужных для решения задачи (сюда примыкают и задачи с неоднозначной постановкой — с требованием “исследовать”, “сравнить” и т.п., — в которых приходится дополнительно уточнять эту постановку), а также прикидке их необходимой точности;

- выбору заранее не заданного метода исследования;

- задачам, требующим для своего решения предварительного вывода аналитических зависимостей;

- задачам, требующим для своего решения знаний из различных разделов курса;

- доведению решения задач до практически приемлемого результата;

- изучению зависимости решения от параметров, входящих в задачу, или от вариантов её постановки;

- прикидкам, оценкам порядка величин, асимптотическим формулам и асимптотическим оценкам;

- применению справочников, таблиц, инженерного калькулятора, а в необходимых случаях — компьютера;

— действиям с размерными величинами;

— методам контроля правильности решения.

Актуальной проблемой является создание серии задачников (как общих, так и по отдельным областям математики и по группам родственных инженерных специальностей), которые дали бы достаточный материал для подобных упражнений.

Подчеркну, что, как и в п. 1, перечисленные задачи в нынешних условиях имеют характер ориентиров.

6. ДОПОЛНЕНИЕ

В книге [6], вышедшей четырьмя изданиями в 1964-1973 г., я попытался изложить стандартный курс высшей математики для инженерных специальностей на основе изложенных выше соображений. Это было не просто -приходилось всё время балансировать между опасностями избыточного теоретизирования, с одной стороны, и вульгаризации, с другой; критерии того, что можно, чего нельзя, отсутствовали. Вначале мне приходилось активно отбиваться — в основном, от преподавателей: “Неужели Вы не знаете, что ограниченная функция на конечном интервале может не быть интегрируемой по Риману? что дифференцируемая функция может не быть непрерывно дифференцируемой? что у функции двух аргументов смешанные производные могут не всюду совпадать? что граница плоской области может иметь положительную площадь? и т. д.”. Конечно, я все это знал, но сознательно шел на огрубление формулировок, чтобы не отвлекать внимание от главного содержания основных понятий. Претензии были и к доказательствам.

Приведу несколько примеров, характеризующих стиль изложения в [6].

Вот как вводится число е. Легко проверить, что функции у = logaх при всех основаниях а > 1 пропорциональны друг другу и потому их графики получаются один из другого равномерным сжатием к оси х. При непрерывном (в наивном смысле) изменении а касательная к графику в точке (1,0) непрерывно поворачивается, причем при значениях а, близких к 1, она весьма пологая, а при больших значениях а — весьма крутая. Значит, при некотором значении а она составляет с осью х угол в 45°; это и есть е.

Вот как доказывается теорема Лагранжа о конечном приращении. Пусть функция f(x) дифференцируема на [а, Ь]; рассмотрим её график на этом интервале и обозначим через I хорду, соединяющую его концы. Пусть график имеет точки, лежащие выше /. Тогда проведем прямую, параллельную /, причем так высоко, что весь график окажется ниже её. Будем затем эту прямую непрерывно опускать, не меняя направления, пока она не коснется впервые графика. И т. д.

Независимость смешанных производных от порядка дифференцирований формулируется без каких-либо предположений (что, кстати, соответствует теории обобщенных функций). Для объяснения этого свойства оно проверяется для разделенных разностей, после чего сообщается о возможности предельного перехода.

Но многолетний (с 1944 г.) опыт преподавания в технических вузах и общения с инженерами, мои попытки объяснения материала на различных уровнях строгости и анализ его понимания и усвоения говорили о правильном направлении поиска. К тому же я считал, что книга пишется для студентов, а не для критиков. Неожиданно для меня книгу решительно поддержал И. П. Натансон, которому издательство направило рукопись для рецензирования. Еще большей поддержкой для меня послужили контакты с Я. Б. Зельдовичем, который написал замечательную книгу [3] — по существу, вводный курс математического моделирования; он придерживался еще более радикальных, чем я, позиций. Эти контакты породили книгу [4], вышедшую тремя московскими изданиями и переведенную на пять иностранных языков, а также книгу [5]. Математическим моделям посвящена книга [7], написанная в таком же стиле.

С тех пор прошло много лет. Меня радует то, что целый ряд знакомых и незнакомых людей положительно отзывалось о книге [6] и, самое главное, о её направленности. (Впрочем, были и другие отзывы.) Думаю, что она может быть полезна и сейчас, особенно, после предпринятой мной модернизации её. Но все же она была написана в эпоху, когда не только компьютеры, но даже инженерные калькуляторы еще не были так доступны, как сейчас.

Уже применение калькуляторов (которые надо внедрять, начиная с первых же занятий) должно сказаться на содержании занятий. Прежде всего, существенно облегчается доведение решений до числа (п. 4). Кроме того, некоторые вопросы потеряли свое значение. Например, в стандартном курсе распространены упражнения на применение дифференциалов, типа: вычислить \/8,1, sin 31° и т. п. Конечно, в свое время такие задачи были весьма разумны. Но сейчас они смешны — достаточно взять в руки калькулятор.

Гораздо более серьезный вопрос состоит в том, как надо реагировать на широкое распространение программ типа Матлаб, Маткат и т. п., с помощью которых можно за доли секунды точно или приближенно вычислять производные, интегралы, находить решения дифференциальных уравнений и т. п., то есть осуществлять почти все действия, которым мы обучаем студентов на практических занятиях.

Необходимо реагировать на изменившуюся ситуацию, хотя сделать это далеко не просто. Мы стоим перед коренным переворотом в преподавании математики прикладникам. Несомненно, основы общей теории изучаемых разделов математики должны сохраниться, как и простые, не громоздкие упражнения алгоритмического характера — простые производные, интегралы, решения дифференциальных уравнений и т. п. Но центр тяжести упражнений должен перемещаться в сторону текстовых задач, связанных с пониманием смысла рассматриваемых математических объектов — дифференциалов, интегралов и т. п., умением с ними общаться. Такие задачи могут опираться на простые понятия геометрии, механики, физики, других областей. От студентов надо требовать умения составить и провести простейшее исследование математической модели в наиболее простых ситуациях.

Конечно, новая ситуация требует новых учебников и задачников, написанных с её учетом. Тот или те, кто за это возьмутся, совершат трудное, но очень важное дело. Я бы сам за это взялся, если бы был моложе лет на 20-30.

ЛИТЕРАТУРА

1. Блехман И. И., Мышкис А. Д., Пановко Я. Г. Механика и прикладная математика: Логика и особенности приложений математики. 2-е изд. — М.: Наука, 1990. 356 с.

2. Вентцель Е. С. Исследование операций: Задачи, принципы, методология. 2-е изд. — М.: Наука, 1980. 208 с.

3. Зельдович Я. Б. Высшая математика для начинающих и её приложения к физике. 5-е изд. — М.: Наука, 1970. 560 с.

4. Зельдович Я. В., Мышкис А. Д. Элементы прикладной математики. 3-е изд. — М.: Наука, 1972. 592 с.

5. Зельдович Я. Б., Мышкис А. Д. Элементы математической физики. Среда из невзаимодействующих частиц. — М.: Наука, 1973. 351с.

6. Мышкис А. Д. Лекции по высшей математике. 4-е изд. — М.: Наука, 1973. 640 с.

7. Мышкис А. Д. Элементы теории математических моделей. — М.: Физматлит, 1994. 192 с.

8. Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения. 2-е изд. — М.: Наука, 1975. 463 с.

9. Пойа Д. Математическое открытие. Решение задач: основные понятия, изучение и преподавание. 2-е изд. — М.: Наука, 1976. 448 с.

10. Пуанкаре А. О науке. — М.: Наука, 1983. 560 с.

ON THE TEACHING OF MATHEMATICS TO APPLIED SCIENCE STUDENTS

A. D. Myshkis

The author states that the customary program and the way mathematics is taught at university do not take into account its consequent application. The problems singled out in the article are that of applied mathematical intuition development, accurate presentation, clear and indisputable proofs and introduction of “rational” (cogent) reasoning methods to students. The author underlines the role of exercises imitating the construction and study of mathematical model as well as the importance of searching for solutions in acceptable for application way.

Keywords: applied mathematics, teaching of the applied mathematics, mathematical model, rational reasoning, applied mathematical intuition.

МАТЕМАТИКА ДЛЯ СПЕЦИАЛИСТОВ РАЗЛИЧНОГО ПРОФИЛЯ

УДК 51

ГУМАНИТАРНАЯ МАТЕМАТИКА

Н. Х. Розов

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, Россия, 119899, г. Москва, Воробьевы горы, педагогический факультет; e-mail: rozov@rozov.mccme.ru

Излагается принципиально новый взгляд на содержание курса математики для гуманитариев в его едином понимании — от старших классов школы гуманитарного профиля до гуманитарных факультетов университетов. В основу приведенного в статье проекта программы курса математики для гуманитариев положен концептуальный принцип построения. Такой подход позволяет проследить становление конкретного математического понятия, той или иной фундаментальной математической идеи, проанализировать диалектику развития каждой из “основных понятийных линий” математической науки. Для каждой из “понятийных линий” описывается её история — предтеча, зарождение, начальное формирование, постепенное развитие, содержательное обогащение, современное состояние. Подчеркивается, что методика подачи материала должна быть принципиально изменена с учетом того, что математика является неотъемлемой частью цивилизации, существенным элементом общей культуры, языком научного восприятия мира. Отмечается, что предлагаемый материал представляет собой базу для дальнейшей дискуссии.

Ключевые слова: преподавание математики, гуманитарный профиль школы, гуманитарные факультеты вуза.

Давно уже наступило время, когда следует серьезно и обстоятельно обсудить проблему так называемой гуманитарной математики (этот термин употребляется исключительно для краткости), т.е. поговорить о целях, содержании и путях реализации курса математики для школьников и студентов, проявивших стойкий интерес к гуманитарным дисциплинам или уже им себя посвятивших. Во избежание недоразумений сразу же подчеркнем, что речь пойдет не об отдельных “точных разделах гуманитарных наук” (т. е. не о подготовке специалистов по математической лингвистике, математической экономике, математическим методам в психологии, социологии, криминалистике, истории и т. п.), а о “чистых гуманитариях” (филологах, журналистах, историках, философах, юристах и др. в “общем понимании” этих профессий).

В нашей системе образования в советский период математика всегда играла приоритетную роль. В школе действовала единая программа по математике и ей отводилось наибольшее число часов, требования были (хотя, конечно, часто формально) одинаковыми и к будущим физикам-теоретикам,

и к будущим поэтам. Интерес к этой дисциплине оказался необычайно высок, кружки, соревнования, литература по математике пользовались широчайшей популярностью — в этом великая заслуга математиков — ученых и педагогов, многие годы уделявших пристальное внимание поиску и воспитанию “математических талантов”. Массовым являлось инженерное высшее образование, подразумевавшее хорошую подготовку по математике и её обстоятельное изучение. Советская научная математическая школа по праву считалась ведущей в мире.

Однако следует признать, что подающие надежды дети проявляют свои неординарные способности не только в математике, но и во всех естественных и гуманитарных науках, в самых различных сферах человеческой деятельности. Хорошо известны примеры раннего пробуждения таланта у юных историков и биологов, изобретателей и поэтов, художников и химиков, геологов и музыкантов, филологов и инженеров... А это означает, что проблему выявления, обучения, воспитания таланта за школьной партой и на студенческой скамье в конкретной области (математика, естественная или гуманитарная наука), формирования из них профессионалов высшего класса необходимо рассматривать как общепедагогическую, общепсихологическую, не ограничиваясь узкопрофессиональными подходами.

В последнее время отмечается резкое увеличение числа интересующихся гуманитарными дисциплинами, заметное снижение увлекающихся естественно-научными и инженерными областями знаний. И если мы, математики, хотим действительно всесторонне заниматься феноменом “воспитания талантливой молодежи”, нам следует озаботиться программой, формами занятий и методикой преподнесения математического знания не только будущим математикам, физикам, инженерам, но и будущим “гуманитариям”.

Конечно, прежде всего полезно ответить на вопрос: а надо ли вообще включать математику в число обязательных предметов гуманитарного образования — будь то обучение в школе или в вузе? Постараемся объективно оценить аргументы в пользу положительного ответа.

Широко распространено (особенно среди математиков) мнение, что математика и только математика может воспитать в человеке культуру логического мышления. Нельзя отрицать, что изучение математики действительно “ум в порядок приводит” (М.В.Ломоносов), но и не следует преувеличивать его значение, полагая, что это — единственный и эффективный путь к цели. Действительно ли поглощенная изучением языков девушка, декламируя на экзамене зазубренное как стихи доказательство теоремы о трех перпендикулярах, осваивает логику? Кстати, и многие математики, успешно справляющиеся с абстрактными построениями, часто оказываются беспомощными, попав в сети житейских логических ловушек.

Логике можно учиться многими иными путями, не связываясь с непривлекательными для “нематематиков” формальными преобразованиями и скуч-

ными рассуждениями. В качестве эксперта уместно привлечь выдающегося физика, лауреата Нобелевской премии Л. Д. Ландау: “Мне не хочется дискутировать с достойной средневековой схоластики мыслью, что путем изучения ненужных вещей люди будто бы научатся логически мыслить”.

К сожалению, педагогическая наука, психология и методика обучения и, в частности, сами математики, практически почти ничем не содействуют созданию стройной и действенной системы логического развития молодого ума. Никто не спорит — тренировки такого рода, особо продуманные и, главное, привлекательные, крайне необходимы. Так же, как человеческое тело нуждается в постоянных физических упражнениях для поддержания здоровой формы, человеческий ум без надлежащих постоянных нагрузок теряет интеллектуальный потенциал. Но при этом обязательно надо учитывать специфику гуманитарного мышления: примат ассоциативного над формально логическим, сильную эмоциональную окрашенность, приоритет конкретного над абстрактным, особенности интересов и внимания и т. д.

Гуманитарии не любят точных дефиниций и формально-логических рассуждений вовсе не в силу слабости их мышления сравнительно с математиками. Причиной этого — у лучших представителей гуманитарных наук -является более глубокое понимание сложности бытия, противоречивости и неоднозначности реальности — в отличие от примитивной детерминированности математических конструкций. Математики четко определяют идеальные понятия, устанавливают точные правила рассуждений — и безукоризненно, самозабвенно действуют в этом своем мире, не очень-то беспокоясь о том, что он фактически является виртуальным.

Значит, нам надо пытаться находить альтернативные формы логического обучения: вопросы на сообразительность реального содержания, проблемы, связанные с юридическими тонкостями и хитросплетениями, качественные задачи по физике, игра в шахматы или бридж, наконец.

Необходимость математического обучения гуманитариев диктуется и некоторыми общими соображениями. Бесспорно, что сегодня нельзя считать интеллигентом человека, не читавшего “Фауста”, ничего не слышавшего об импрессионизме или не представляющего себе, когда произошла Великая Французская революция. Но может ли интеллигент начала XXI века не владеть действительно элементарными, общекультурными математическими фактами, не представлять себе, что такое вероятность, не понимать слова “бифуркация” или не знать о существовании неевклидовой геометрии? Напомним, кстати, что в предложенном Чарльзом Сноу тесте на общую культуру незнание второго начала термодинамики приравнивалось к незнанию произведений Шекспира.

Математика является не просто областью знаний и универсальным инструментом, всё шире проникающим и в гуманитарные разделы науки, но прежде всего неотъемлемой частью цивилизации, существенным элементом

общей культуры, языком научного восприятия мира. Можно только приветствовать борьбу за чистоту русского языка, которую ведут филологи и журналисты — и нам, математикам, не грех почаще заглядывать в словари. Но как относиться к грамотности следующей фразы из статьи в популярном журнале: “Геометрический треугольник, про который мы знаем, что сумма его углов равна 2d, — это фигура, составленная из пересечения трех прямых линий”? Как оценивать высказывание в популярной телевизионной передаче известнейшей нашей писательницы: “Число ”пи“ — это три и что-то там в периоде... ”.

Остановимся и еще на одном аспекте, более деликатном, но достаточно важном с прагматической точки зрения. Хорошо известно, что подавляющее большинство состава корпуса руководителей различных ветвей власти -представители гуманитарных специальностей. Не будем обсуждать, хорошо это или плохо, и не станем возобновлять дискуссию о греющей душу математиков, но весьма спорной мысли — что, мол, математик любую работу способен выполнять лучше представителя любой иной специальности. Факт остается фактом: сегодня многие решения, касающиеся математического образования, математической науки, пропаганды математических знаний, оценки роли математики в общественном прогрессе и т. д. принимаются нематематиками.

Математики не могут оставаться в стороне от процесса принятия решений по этим вопросам, они обязаны всемерно лоббировать интересы своей науки и своего сообщества. Однако лучшей и наиболее эффективной формой такого лоббирования явилась бы организация всеобщего разумно построенного обучения математике гуманитариев, которое не абстрактными лозунгами, просьбами и призывами, а реально почерпнутыми в ходе обучения сведениями убедит в действительной важности математического знания, математической науки, математического образования.

Итак, естественно-научное и математическое образование — такое, которое учитывает специфику интересов обучаемого, преследует достижение четко и разумно определенных целей, уважает особенности мышления, восприятия и психологии гуманитария — есть необходимое условие подготовки современных руководителей. И здесь хотелось бы сослаться на авторитет другого лауреата Нобелевской премии, выдающегося химика Л. Полинга: “Изучение естественных наук, широкое распространение научной методологии помогут, в конце концов, человечеству при решении важных общественных и политических вопросов”.

До последнего времени преподавание математики, с точки зрения гуманитария, страдало двумя существенными изъянами.

Во-первых, на уровне средней школы действовала единая программа предмета “математика” — независимо от способностей и желаний учащих-

ся, от их дальнейших планов (получить рабочую профессию, инженерное или гуманитарное образование и т.п.). Такой подход резко контрастирует с современными принципами демократизации школы, с активно развиваемой сегодня концепцией гуманизации образования, ставящей в центр образовательного процесса личность ученика, его интересы и его склонности.

Во-вторых, на уровне высшей школы, на факультетах и в вузах гуманитарного профиля, дисциплина “математика” либо отсутствует в учебных планах вовсе, либо её содержание представляет собой не учитывающий никакой “гуманитарной специфики” куцый и формальный слепок с программы профессионального математического образования.

Сегодня только ленивые не рассуждают о “гуманитаризации” естественно-научного и инженерного образования, на эту тему написано несчетное число статей, состоящих в основном из общих неконструктивных пассажей. Образовательная продуманность и прагматическая обоснованность введения в учебные планы для “естественников” конкретных курсов “гуманитарных дисциплин” оставляет желать лучшего.

А как обстоит дело с естественно-научным и математическим просвещением гуманитариев? В учебных планах гуманитарных факультетов появился курс “Концепции современного естествознания”, но, к сожалению, проблема “естественнонаучнизации” гуманитариев очень далека от идеального разрешения. Удостовериться в этом нетрудно: достаточно почитать учебники и подумать, может ли студент-гуманитарий освоить предлагаемый текст по содержанию при своем уровне математических знаний и осилить его по объему (который иногда превышает 600 страниц). Что же касается вопроса о математическом образовании гуманитариев, то он всерьез даже не обсуждается.

Поэтому самое время попытаться высказать некоторые соображения о том, каким можно представлять себе курс гуманитарной математики.

До сих пор подавляющее большинство вариантов программ по математике для школ гуманитарного профиля и гуманитарных классов получались простым урезанием объема (и часов) “общеобразовательных” программ. Точно так же легко убедиться, что учебники для школьников-гуманитариев в основном создавались из уже имевшихся учебников (для будущих инженеров или “естественников”) с помощью ножниц и путем разбавления текста художественными фрагментами, как-то касающимися математики, некими поверхностными историческими экскурсами и беглыми биографическими сведениями о некоторых ученых-математиках (в основном, древнего времени).

Иначе говоря, незыблемым был общий постулат: в школе должна изучаться “классическая элементарная математика” от Евклида до Ньютона -но, возможно, с различной степенью подробности и с различной отработкой деталей доказательств и технического аппарата для разных категорий

школьников. Между тем, гуманизация образования, требующая максимально внимательно учитывать объективные возможности и субъективные интересы учащегося, предполагает внедрение дифференцированного обучения, создание многообразия программ и учебников, специально ориентированных на вполне определенный круг обучаемых.

В этой связи представляется актуальным провести всестороннее обсуждение различных воззрений на преподавание математики в гуманитарных классах и школах гуманитарного профиля, на гуманитарных факультетах вузов. Таких воззрений имеется несколько — от “пуританского” (строго и точно излагать несколько сокращенный “стандартный” курс математики) до “вольнодумного” (излагать “околоматематические” сведения, рассказывать литературные аналогии и демонстрировать наглядные факты). Хотелось бы поставить на обсуждение радикально иную точку зрения: гуманитариям следует предложить совсем иной по содержанию курс математики, а методика подачи материала должна быть принципиально изменена.

Основная идея состоит в том, что курс гуманитарная математики призван знакомить школьников и студентов-гуманитариев с фундаментальными понятиями математики, имеющими общекультурную ценность. Это должен быть принципиально новый по содержанию учебный предмет, предлагающий доступное, “нетехничное” изложение исключительно концептуальных положений математической науки. Такой курс в гуманитарных школах и на гуманитарных факультетах вузов должен быть органически согласован, позволяя освоить необходимый круг математических знаний с помощью концентрической системы обучения.

Чрезвычайно важен и вопрос о создании специальной методики преподавания гуманитарной математики. Должны ли мы по-прежнему упрямо считать, что следует продолжать навязывать формальные, скучносухие, абстрактные рассуждения учащимся гуманитарного склада ума? Математикам — патриотам своей науки, воспитанным в лучших традициях математической пунктуальности и строгости, будет непросто согласиться с новыми предложениями. И всё же нам придется осознать необходимость уважать и учитывать психологические особенности гуманитариев. Для этого надо, изначально отказавшись от формальных доказательств и обучения технике решения задач, разработать качественно новый наглядно-описательный способ объяснения и живой стиль изложения фундаментальных математических фактов, придумать принципиально иные приемы представления материала, предложить гибкие формы контроля его усвоения.

Ничего сверхнового и неожиданного здесь нет. В естественно-научных предметах законы природы всегда излагались в школе без логического доказательства. Но разве как-то страдали сведения о реальной действительности от того, что закон Ома или законы Менделя не сопровождались их формальными выводами из каких-то аксиом (истинность которых нисколько

не очевиднее, чем сами эти законы, подтверждаемые опытом)? Некую подобную систему изложения математического материала, как это ни сложно, придется создавать в курсах математики для гуманитариев.

Подчеркнем и еще одно важное соображение в пользу становления специфического курса гуманитарная математика. Многим серьезным специалистам уже сейчас ясно, что дальнейший прогресс социально-экономических и гуманитарных наук невозможен без математического моделирования и точных количественных методов исследования с широким использованием современной вычислительной техники и информационных технологий. (Впрочем, существует и такая точка зрения, что на сегодняшний день математика не располагает аппаратом, в полной мере адекватным потребностям этих наук.) Курс гуманитарная математика необходим как стартовая площадка для тех специалистов-гуманитариев, которые будут готовы в содружестве с профессиональными математиками заниматься математизацией своей области науки.

Для того чтобы обсуждение вопроса о курсе гуманитарная математика было более конкретным, имеет смысл представить вниманию читателей абрис программы такого курса. При этом преследуется цель изложить принципиально новый взгляд на содержание курса в его едином понимании — от старших классов школы гуманитарного профиля до гуманитарных факультетов университетов. Конечно, предлагаемый материал представляет собой лишь базу для дальнейшей дискуссии, требует корректировки и уточнения распределения тем и объемов между школой и вузом.

В основу программы положен не исторический, а концептуальный принцип построения. Такой подход позволяет концентрированно и выпукло проследить становление конкретного математического понятия, той или иной фундаментальной математической идеи, проанализировать диалектику развития каждой из “основных понятийных линий” математической науки глобально, сразу “сквозь все времена”.

Программа содержит основные “понятийные линии”, для каждой из которых описывается её история — предтеча, зарождение, начальное формирование, постепенное развитие, содержательное обогащение, современное состояние. Учитывая, что обучающиеся располагают ограниченным багажом технических навыков и формальных математических умений, всё внимание уделяется доступному и наглядному разъяснению концептуальных моментов, без углубления в формальные детали и без овладения техникой решения задач. Отдельно, на приемлемом уровне, может быть дана, применительно к конкретной гуманитарной специальности и с учетом степени подготовленности обучающихся, информация о дополнительных математических вопросах, которые представляют специфический профессиональный интерес.

Особенности предлагаемой программы и некоторые принципы её реализации можно охарактеризовать следующим образом:

1. Она ориентирована на глубокое понимание концептуальных моментов математической теории и на принципиальный отказ от выработки технических навыков математических исчислений.

2. Она призвана помочь видеть математические понятия и понимать действие математических законов в реальном окружающем нас мире, применять их для научного объяснения явлений.

3. Она тесно увязана с общекультурными ценностями и общефилософскими концепциями, с событиями и фактами истории, с языками, искусством, литературой и т.д. Особое внимание предлагается уделить правильному пониманию и грамотному употреблению терминов.

4. Она ставит своей задачей снабдить гуманитария тем математическим аппаратом, который позволит ему понимать простейший количественный анализ информации.

5. Она максимально учитывает психологические особенности мышления людей гуманитарного склада ума, не навязывая им чуждого формально-логического изложения и заменяя по возможности строгие доказательства описательными рассуждениями и наглядными демонстрациями.

6. Она представляет собой широкое мозаичное полотно различных вопросов, в том числе и не входивших раньше в школьную программу, и вовсе не нацелена только на минимальное по объему изучение лишь традиционных школьных разделов математики.

Такой курс нужно рассматривать как отдельный нетрадиционный учебный предмет, предназначенный для ознакомления гуманитариев с концептуальными понятиями математики (вошедшими в сокровищницу достижений человеческой мысли) на приемлемом для них языке (без формалистики цепочек преобразований и хитросплетений абстрактных умозаключений).

По нашему глубокому убеждению, сама идея необходимости оформления отдельного, специального предмета гуманитарная математика, безотносительно к конкретным деталям содержания его программы, обречена на признание.

ПРИМЕРНОЕ СОДЕРЖАНИЕ КУРСА ГУМАНИТАРНАЯ МАТЕМАТИКА

1. Математическое мышление. Математические объекты, математическая абстракция. Определение; неопределяемые объекты. Аксиоматизация. Доказательство; роль логики; критерий истины. Символы; математические объекты и математические модели. Идеальное и реальное в математике.

2. Число. История счета и числа; системы счисления. Лингвистические аспекты счета и числа. Теория чисел — ветвь математики. Нумерология. Развитие понятия числа (иррациональные, действительные, комплексные числа). “Экзотические” числа.

3. Множество. Свойства множеств; операции над множествами. Конечные и бесконечные множества. “Экзотические” множества. Теория мно-

жеств — ветвь математики. Парадоксы теории множеств. Логические задачи и круги Эйлера-Венна.

4. Операция. Свойства операций. Алгебра — ветвь математики. Группа. Поле.

5. Отображение. Виды отображений. Функция; график функции. Значение математики переменных величин для естествознания и техники. Основные понятия математического анализа и их реальный смысл. Дифференциальные уравнения — аппарат математического моделирования динамических процессов.

6. Пространство. Понятие пространства. Размерность. Геометрия -ветвь математики. Аналитические методы в геометрии. Аксиоматическое построение геометрии; геометрия Лобачевского. Топология — ветвь математики. “Экзотические” геометрические объекты и их приложения.

7. Вероятность. Понятие вероятности — отражение свойств реального мира. Теория вероятностей — ветвь математики. Приложения (лотереи, страхование). Статистическое исследование реального процесса. Математическая статистика — ветвь математики.

8. Фундаментальные математические концепции. Конечное и бесконечное. Дискретность и непрерывность. Детерминированность и случайность. Устойчивость; аттракторы. Хаос и самоорганизация структур. Математическое моделирование; изучение количественных и качественных эффектов. Формализация логики. Математическая логика — ветвь математики. Кванторы. Теорема Геделя.

9. Вычислительная техника и прикладная математика. История вычислительной техники. Особенности компьютерной революции. Проблемы и перспективы компьютеризации жизни общества. Вычислительные и прикладные аспекты математики. “Чистая” математика и “прикладная” математика.

10. История, методология и философия математики. Обзор истории математики. Особенности математического мышления, специфика математического творчества. Математические объекты и реальная действительность. Математическая логика и законы мышления. Математическое моделирование и теория познания. Направления в философии математики. Математика как элемент человеческой цивилизации.

MATHEMATICS FOR ART STUDENTS

N. Kh. Rozov

The article is devoted to an absolutely new view at the course of mathematics for art students as a whole from high school to university art faculties. The example of the

curriculum for art students given in the article is based not on the history but on the conception. This approach allows the students to follow the evolution of a mathematical notion or fundamental idea and analyze the dialectic of the development of every basic conception of mathematical science. It describes the prerequisite, genesis, formation, gradual development, enrichment of the contents and modern state of every basic conception. The article underlines that the methods of presenting material should be changed taking into consideration the fact that mathematics is an integral part of civilization, essential element of world culture and the language of scientific perception of the universe.

Keywords: mathematics teaching, humanitarian education, mathematics program for art students.

МАТЕМАТИКА ДЛЯ СПЕЦИАЛИСТОВ РАЗЛИЧНОГО ПРОФИЛЯ

УДК 51

ДЛЯ ЧЕГО ПСИХОЛОГУ НУЖНА МАТЕМАТИКА?

Н. О. Рябина

Нижегородский государственный педагогический университет, Россия, 603005, г. Нижний Новгород, пл. Минина, 1; тел.: (095) 360392

Дается обоснование необходимости обучения математике в вузе будущих психологов. Автору представляется важным не противопоставлять гуманитарное и естественно-научное образование, а осуществлять их синтез, используя уникальный гуманитарный потенциал математики.

Ключевые слова: математика в вузе, преподавание математики психологам.

Математика приводит ум в порядок.

М. В. Ломоносов

Автор настоящей публикации на протяжении ряда лет преподает математику и специальный курс “Математические методы в психологии” будущим психологам и ежегодно на первой лекции слышит вопрос из аудитории: “Зачем нам математика?” При этом кроме сути вопроса обращает на себя внимание отчаяние в голосе задающего вопрос и фоновая тишина, означающая солидарность молчащих с вопиющим.

Отчаяние в голосах студентов неслучайно, — увы, большинство прошедших передо мной студентов, намеревающихся стать психологами, вспоминают школьную математику как страшный сон, а выбор будущей специальности многими, по их признанию, объясняется надеждой на отсутствие математики (или малое её присутствие) в процессе вузовского обучения. Сказанное лишний раз подтверждает неблагополучие современной российской школы, и в частности низкий уровень качества преподавания школьной математики [1]. К тому же заметим, что попытка заставить учащегося усвоить больший, чем ранее, объем знаний (в связи с включением в школьный курс основ дифференциального и интегрального исчислений) привела к обратному результату — средним школьником не усваиваются даже элементарные математические понятия [2]. Однако тема “Как обустроить школьное математическое образование в России” автором не заявлена, а потому вернемся в вузовскую аудиторию, где повис в воздухе вопрос о том, для чего будущему психологу математика.

Справедливо и коротко, не занимая много драгоценного аудиторного времени, можно сообщить студентам следующее.

В математике мышление — это инструмент исследования, а в психологии — и инструмент, и объект исследования. В результате некоторого исследования психологи получают количественные данные, подлежащие обработке, а результаты обработки затем подлежат осмыслению исследователя с точки зрения психологии. Провести обработку помогают математические методы, точнее, методы статистической обработки материалов психологических исследований. Для овладения простейшими из этих методов необходимы знания из некоторых разделов математики, в частности знание основ теории вероятностей. Важно, кроме того, отметить, что математика систематизирует упомянутое уже мышление и позволяет выявить закономерности в материалах исследования, которые на первый взгляд не всегда очевидны. Разумно вспомнить высказывание Д. И. Менделеева о том, что наука начинается лишь там, где появляется измерение, и слова Гете: “В науке столько истины, сколько там математики”. Эта мысль общепризнанна, и как только появилась психологическая статистика, созданные в прошлом без обращения к математическому аппарату теории личности (психология К. Г. Юнга, теория Л.С.Выготского, теория психоанализа и др.) подверглись статистической проверке.

Примерно так можно завершить краткий ответ на памятный вопрос аудитории, а теперь попробуем разобраться в сути вопроса более обстоятельно.

Математическое образование является частью общечеловеческой культуры. Любому человеку, в том числе и гуманитарию, необходима культура мышления, способность к самостоятельной интеллектуальной деятельности. Культура мышления раскрывается в таких её чертах, как строгость, точность, последовательность, логичность, доказательность, обоснованность. Доказано, что математика является мощным средством развития культуры мышления. Интеллект — это способность мыслить. Согласно теории И. М. Сеченова и И. П. Павлова мыслительная деятельность человека складывается из двух процессов — анализа и синтеза. Одним из критериев достижения успеха в мобилизации нервных процессов, ответственных за синтез сигналов в мозге человека, служит умение решать задачи. Таким образом, устранение математики из учебных планов и программ негативно повлияло бы на интеллект студентов. Мерой мыслительных способностей является способность к глубокому абстрагированию. Особая ответственность за формирование абстрактного мышления лежит на преподавателе математики.

В свете сказанного представляется важным не противопоставлять гуманитарное и естественно-научное образование, а осуществить их синтез (заметим, что неслучайно наиболее успешные предприниматели современной России в свое время получили естественно-научное образование).

По некоторым данным, в настоящее время Россия занимает лишь 67-е место в мире по уровню естественно-научного образования и 68-е по уровню человеческого творческого потенциала. Это ли не показатель необходимости наведения порядка с математическим образованием школьников и студентов!

Для активизации творческого потенциала студентов, способных к самостоятельной интеллектуальной деятельности, необходимо от формального заучивания методов решения задач перейти к заинтересованному освоению математики. При этом следует использовать тот уникальный гуманитарный потенциал, которым обладает математика. Неслучайно в последние годы всё чаще заходит речь о гуманизации и гуманитаризации математического образования.

Специфика творческой математической деятельности проявляется как сплав интуиции и логики. Изучение математики пополняет не только познавательную и логическую, но и философскую и прикладную составляющие образования. Так математика помогает осмыслить мир, в котором живем, сформировать у человека научное представление о реальном мире. Кроме того, математика — это база, способствующая возможности самообразования, обеспечивающая готовность человека к овладению другими дисциплинами (например, студенты психологического факультета после изучения математики приступают к курсу “Математические методы в психологии”).

Однако вернемся к нашим студентам-психологам, среди которых многие беспомощны даже в элементарной математике, например в сложении дробей (“Мне это и в школе не давалось!”). Представим, что такой студент получил диплом психолога. Может ли быть к нему доверие как к специалисту? Нужен ли обществу в принципе психолог, которому не под силу разобраться в тексте учебника, рассчитанного на пятиклассника, в то время как явления, изучаемые психологией, несоизмеримо сложнее тех, которые можно формализовать и описать с помощью функции одной переменной? В случае пренебрежительного отношения к качеству математической подготовки студентов не уподобятся ли бесчисленные психологические факультеты страны кузнице потенциальных безработных специалистов сомнительного качества?

В заключение отметим, что лишь некоторая часть учебного материала по математике (знания, умения, навыки) непосредственно потребуется будущим психологам в их практической деятельности; лишь ничтожный процент обучаемых в своей профессиональной деятельности будет вычислять производные, интегралы и т.д. Однако жизненный и профессиональный успех большинства будет зависеть от степени развития их умственных способностей, культуры мышления, умения применять знания в нестандартных ситуациях, самостоятельной творческой деятельности, прекрасной гимнастикой для которых является математика.

ЛИТЕРАТУРА

1. Кудрявцев Л. Д. Среднее образование. Проблемы. Раздумья. — М.: Московский гос. университет печати, 2003. 84 с.

2. Подрейко А. М. Школьная математика с точки зрения вузовской // Математика в школе. 2003. №2. С. 77-78.

WHY DOES A PSYCHOLOGIST NEED MATHEMATICS?

N. O. Ryabina

The article explains why it is necessary for a future psychologist to study mathematics at the university The author believes that it is important that the teaching of arts and teaching of sciences are not opposed but integrated using unique humanitarian potential of mathematics.

Keywords: математика в вузе, преподавание математики психологам.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СОРЕВНОВАНИЯ В ВУЗАХ

УДК 51

СТУДЕНЧЕСКИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОЛИМПИАДЫ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ ВУЗОВ УРАЛЬСКОГО РЕГИОНА

О. И. Южаков

Курганский государственный университет, Россия, 640000, г. Курган, ул. Комсомольская, 37-304B; e-mail: juzhakov@infocentr.ru

В статье рассказывается о математических олимпиадах педагогических вузов Уральского региона. Приводятся примеры задач (с решениями), предлагавшихся на прошедших олимпиадах.

Ключевые слова: математические олимпиады, математические соревнования.

Студенческие математические олимпиады являются одной из форм активизации учебного процесса в вузе. Предлагаемые на таких олимпиадах задачи носят нестандартный характер и требуют от студентов не только прочных знаний по программе, но и изобретательного творческого подхода; как правило, они иллюстрируют в упрощенной форме ту или иную глубокую математическую идею. В нашей стране студенческие олимпиады по математике наряду со школьными получили очень широкое распространение.

Математические олимпиады студентов педагогических вузов Урала проводятся с 1995 г. в соответствии с решением Бюро физико-математических факультетов педвузов Уральского региона. Каждую весну в одном из уральских педуниверситетов (пединститутов) собираются студенты-математики, чтобы посоревноваться в решении математических задач и просто пообщаться между собой. С течением времени некоторые вузы меняют свой статус. Так, например, стали государственными университетами Курганский и Магнитогорский пединституты, в Орске пединститут стал гуманитарно-технологическим университетом, но по традиции все они продолжают участвовать в этих олимпиадах, поскольку в них сохранилась специализация “учитель математики”. В отдельные годы администрация вуза, проводящего олимпиаду, приглашала для участия команды не из педагогических вузов. Так, в 2000 году в Стерлитамаке в олимпиаде участвовали Башкирский государственный университет и Уфимский государственный авиационный технический университет, в 1996 в Челябинске — филиал МИФИ из г. Озёрска (Челябинская область). В зависимости от пожеланий организаторов олимпиада может быть разделена на два тура: по элементарной математике и по высшей математике. Если олимпиаду проводит вуз, в котором математика, физика и информатика объединены на одном факультете, то параллельно с математической олимпиадой проводятся олимпиады по физике и информатике.

В 1995, 1997, 1999 годах олимпиада проводилась в Уральском государственном педагогическом университете (г.Екатеринбург), в 1996 и 2002 годах — в Челябинском государственном педагогическом университете, в 2001

и 2003 годах — в Башкирском государственном педагогическом университете (г. Уфа), в 1998 году — в Пермском государственном педагогическом университете, в 2000 году — в Стерлитамакском государственном педагогическом институте.

Вузы-участники представлены в таблице.

ВУЗ

1995

1996

1997

1998

1999

2000

2001

2002

2003

БГПИ — г. Бирск

?

+

?

+

+

+

+

+

+

ВГПУ - г. Уфа

+

+

+

+

+

+

+

+

+

ВятГПУ — г. Киров

?

+

?

+

КПУ — г. Курган

+

+

+

+

+

+

+

+

+

МаГУ — г. Магнитогорск

?

+

?

+

+

+

+

НТГПИ - г.Н.Тагил

+

?

+

+

+

+

+

ОГПУ — г. Оренбург

?

+

?

+

+

+

ОГТИ — г. Орск

?

?

+

+

+

+

+

ПГПУ — г. Пермь

?

?

+

+

СГПИ — г. Стерлитамак

+

+

+

+

+

+

+

+

+

СГПИ — г. Соликамск

?

+

?

+

+

+

+

+

+

УрГПУ — г. Екатеринбург

+

+

+

+

+

+

+

+

ЧГПУ — г. Челябинск

+

+

+

+

+

+

+

+

+

ШГПИ — г. Шадринск

+

+

+

+

+

+

+

УГАТУ - г. Уфа

+

БашГУ — г. Уфа

+

Филиал МИФИ — г. Озёрск

+

Кол-во вузов-участников

12

12

11

14

12

9

9

Протоколы олимпиад 1995 и 1997 годов в нашей коллекции, к сожалению, не сохранились, поэтому данные, представленные в этих колонках, неполные.

Как показывают итоги олимпиад, наибольших успехов добиваются студенты тех вузов, где ведется целенаправленная работа со студентами: спецсеминары, факультативы, математические кружки, посвященные задачам олимпиадной тематики. Традиционно сильно выступает Стерлитамак, стараются не отставать Курган и Челябинск, в отдельные годы “выстреливали” Пермь, Шадринск, Уфа. В последней олимпиаде, состоявшейся 23-24 апреля 2003 года в Уфе, первое место занял третьекурсник Курганского госуниверситета Юрий Федяков, второе — Николай Трегубов из Стерлитамака, третье — Екатерина Ботова из Челябинского государственного педагогического университета.

Математические олимпиады для будущих учителей математики играют особенную роль. Ведь именно им предстоит поддерживать и развивать олимпиадное движение, работая в школе. Ни для кого не секрет, что специальность “учитель математики” в наше время является, мягко говоря, “непрестижной”, поэтому наиболее способные к математике школьники обычно не поступают в пединституты. Но участники наших Уральских студенческих олимпиад являются исключениями из этого правила: способностями к математике они не обделены. Кто-то остается работать в родном вузе, кто-то занимается работой с одаренными школьниками, некоторые уже защитили диссертации. Так что

к целям данных олимпиад, наряду со “спортивными” (на других посмотреть, себя показать), можно отнести выявление студентов, способных заниматься в дальнейшем работой с одаренными школьниками. Но главным достижением является возможность общения единомышленников из разных вузов. Познакомившись еще будучи участниками, многие продолжают общаться теперь уже в роли руководителей команд, привозя своих студентов. А значит, традиции будут продолжены.

ПРИМЕРЫ ЗАДАЧ УРАЛЬСКИХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОЛИМПИАД ПЕДАГОГИЧЕСКИХ ВУЗОВ

1. (Екатеринбург, 1995) Докажите, что в пространстве нельзя выбрать более четырех векторов, все углы между которыми тупые.

2. (Екатеринбург, 1995) Даны 1995 векторов, среди которых есть неколлинеарные. Известно, что для любого вектора щ из них сумма оставшихся коллинеарна щ. Доказать, что сумма данных векторов равна 0.

3. (Челябинск, 1996) Докажите, что если функция / при всех действительных x и у удовлетворяет неравенствам то fix) = x.

4. (Челябинск, 1996) Пусть xq = 10 и при любом натуральном п

Найти

5. (Екатеринбург, 1997) Вычислить интеграл

6. (Екатеринбург, 1997) Центр круга — точка с декартовыми координатами (а, Ь). Известно, что начало координат лежит внутри круга. Обозначим через S+ общую площадь тех частей круга, в которых координаты имеют одинаковый знак; через S~ - противоположный знак. Найдите величину

7. (Пермь, 1998) При повороте листа бумаги в его плоскости на 180° обозначения цифр 0, 1, 8 не изменяются, обозначения 6 и 9 переходят друг в друга, а запись остальных цифр теряет смысл. Сколько существует семизначных чисел, запись которых не изменяется при повороте листа бумаги на 180°? Сколько среди них таких, которые делятся на 4?

8. (Пермь, 1998) На отрезке 0 < х < 1 задана функция f(x). Известно, что эта функция неотрицательна, и для всех справедливо неравенство

Доказать, что

9. (Екатеринбург, 1999) Можно ли покрыть всю плоскость конечным числом внутренностей парабол? Ответ обосновать.

10. (Екатеринбург, 1999) Пусть Lp — биективное отображение плоскости на себя, переводящее каждую окружность в окружность. Докажите, что Lp переводит любую прямую в прямую.

11. (Стерлитамак, 2000) Найти предел последовательности

12. (Стерлитамак, 2000) Какую наибольшую площадь может иметь четырехугольник, три последовательные стороны которого соответственно равны а, Ь, а.

13. (Уфа, 2001) Найти все неприводимые многочлены четвертой степени над полем Z2 вычетов по модулю два.

14. (Уфа, 2001) Найти все функции /(ж), удовлетворяющие функциональному уравнению

15. (Челябинск, 2002) Существует ли функция / : R —> R такая, что

16. (Челябинск, 2002) Касательные к параболе у2 = 2рх в точках А, В, С образуют треугольник KLM. Доказать, что площадь треугольника ABC в два раза больше площади треугольника KLM.

17. (Уфа, 2003) Пусть n, m, к — целые числа и НОД(п, m, к) = 1. Доказать, что существуют целые числа рио, такие что

18. (Уфа, 2003) Дана функция

Используя геометрические методы (не применяя производную), выясните, при каком значении х функция принимает наименьшее значение, и найдите это значение.

РЕШЕНИЯ

1. Предположим, что такие векторы существуют: ai, a2, аз, 04, а$. Тогда для любой пары векторов из этого набора скалярное произведение отрицательно. Любая тройка векторов из этого набора образует базис. Следовательно, существуют такие коэффициенты ai, «2, аз, что а± = а\ • а\ + + «2 • а2 + аз • аз. При этом ai, «2, аз < 0, так как вектор а± образует тупые углы с каждым из векторов ai, З2, аз- Умножим скалярно обе части полученного равенства на а$

(*)

Тогда левая часть равенства (*) отрицательна, а правая — положительна. Получили противоречие, доказывающее, что пяти векторов в пространстве, все углы между которыми тупые, не существует.

2. Из условия задачи следует, что сумма S всех векторов коллинеарна любому вектору из данного набора. Но поскольку в наборе есть неколлинеарные векторы, то сумма S может быть коллинеарна каждому из них, только если S = 0. Что и требовалось доказать.

3. Сначала найдем /(0). Из неравенства f[x) < х следует, что /(0) < 0, а из неравенства f{x + у) < f(x) + f(y) находим, что /(0) < 2 • /(0), /(0) > 0.

Тогда получаем: 0 = /(0) = f(x + (-ж)) < f(x) + /(-ж), откуда f(x) > > —f(—x) > — (—ж) = X. Из последнего и первого неравенств и следует, что f(x) = X.

4. Введем новую последовательность (уп) такую, что уп = хп — 37г, уо = = 10 - 37Г. Тогда хп = уп + 37г, откуда yn+i + Зтг = уп + Зтг + sin(yn + 37г), Уп+1 =Уп- sinyn. Докажем, что 0 < уп+1 < уп < 1.

При п = 0 это неравенство выполняется: 0 < г/о — Ю — 37г < 1, 0 < yi = = уо — sinyo < Уо < 1- Пусть 0 < Ук+i < Ук < 1 при некотором п = к. Тогда ук+2 = Ук+l - siny/e+i < yk+i < 1. Кроме того, уп > sinyn при уп > 0, поэтому, если Ук+i > 0, то — Ук+i ~ sm2//c+i > 0. Следовательно, последовательность (уп) убывает. Кроме того, она ограничена снизу. Тогда по теореме Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности она имеет конечный предел: lim хп = а. Переходя в рекуррентном соотношении к пределу, будем иметь: а = а — sin a, sin а = 0, а = тгк (к G z). Но так как

откуда а = 0. Значит,

6. Сначала рассмотрим случай, когда центр круга точка M (а, Ь) лежит в первой четверти. В качестве дополнительного построения проведем две прямые, симметричные осям координат относительно точки M (рис. 1). При этом круг распадется на 9 частей, центральной из которых будет прямоугольник размером 2а х 26; S+ = Si + S2 + 2 • S + 4a6; S~ = Si + S2 + 2 • S. Тогда, S+ — S~ = АаЪ. Если точка M расположена в третьей четверти, результат будет точно такой же, а если во второй или в четвертой — противоположный по знаку. Учитывая это, окончательный ответ запишем в следующем виде: S+ -S' = 4аЬ- sign (ab).

Рис. 1

7. Объединим в пары первую и седьмую цифры данного числа, вторую и шестую, третью и пятую. Тогда каждая пара должна образовывать двузначное число, не изменяющееся при повороте на 180°. Для первой пары будет 4 варианта: 11, 88, 69 и 96, для второй и третей — по пять: 00, 11, 88, 69 и 96. Оставшаяся четвертая цифра рассматриваемого числа может быть выбрана тремя способами: 0,1 или 8. Следовательно, общее количество семизначных чисел, удовлетворяющих условию задачи, будет равно 4 • 5 • 5 • 3 = 300. Поскольку делимость на 4 зависит только от двух последних цифр, для того, чтобы подсчитать количество чисел, кратных четырем, подсчитаем, сколько двузначных чисел (на первом месте может быть и 0), кратных четырем, можно составить из цифр 0, 1, 6, 8 и 9.

Это 60, 80, 16, 96, 08, 68 — шесть чисел.

8. Функция / монотонно не убывает на отрезке [0; 1], поскольку из неравенства 1 > X > у > 0 следует

Кроме того, f(2x) > 2 fix) при всех х. Пользуясь этим, получаем:

а так как /(0) = 0, то f(2x) < 2х при всех х.

9. Рассмотрим параболу у = ах2, а > 0. Нетрудно проверить, что её внутренность расположена внутри острого угла, образованного прямыми

у = ±fcx--, где к > 1, и для достаточного большого к этот угол можно взять сколь угодно малым. Поэтому, если бы плоскость можно было покрыть внутренностями п парабол, то её можно было бы покрыть и внутренностями п углов величиной е < 27г/п, что невозможно.

10. Покажем сначала, что прообраз произвольной прямой V есть некоторая прямая. Пусть А1, В1, С — три различные точки прямой V] А, В, С -их прообразы. Если А, В, С не лежат на одной прямой, то проведем через них окружность 7г, 7г' — тоже окружность, причем имеющая три общие точки с что невозможно. Поэтому А, В, С лежат на одной прямой, обозначим её /. Имеем С /. Пусть найдется a G / \ а1 = ^р(а). Проведем через а' прямую 7, пересекающую (f~1(^f) С /. Если точка Р не лежит на прямой о, проходящей через а' параллельно то через Р можно провести прямую /р, пересекающую /' и 7 в двух различных точках Р\ и Р% и, так как <у?-1 (Pi), Lp~1(P2) G /, то и Lp~1(lp) вместе с точкой Р лежит на /. Таким образом, прообраз всей плоскости содержится в объединении прямой / с прямой, на которой лежит прообраз прямой о, чего не может быть в силу взаимной однозначности и получаем Lp~l(V) = /. Пусть теперь / — произвольная прямая и Р, Q — две её различные точки. Рассмотрим прямую проходящую через v?(P), ¥>(Q)- Тогда — есть прямая, проходящая через Р и Q, т. е. Lp~l(V) = Z и V = ip(l) — прямая, что и требовалось доказать.

11. Рассмотрим разбиение отрезка [0; 1] точками = —, где к = 0, п.

Длина каждого отрезка данного разбиения

Таким образом, уп представляет собой интегральную сумму для функции

на отрезке [0; 1]. Следовательно,

12. Пусть ABCD — искомый четырехугольник со сторонами AB = а, ВС = Ь, CD = а, имеющий наибольшую площадь. Покажем, что в этом случае диагональ АС должна быть перпендикулярна стороне CD, а, диагональ BD должна быть перпендикулярна AB.

Действительно, если хотя бы одно из этих двух условий не выполняется, то площадь четырехугольника можно увеличить, повернув одну из его боковых сторон так, чтобы она составляла с диагональю прямой угол. Таким образом, если на стороне AD как на диаметре построить окружность, то точки В и D должны лежать на этой окружности, т. е. четырехугольник ABCD вписан в окружность. Прямые ВС и AD отсекают на окружности равные хорды, значит они параллельны, т. е. ABCD — равнобедренная трапеция. Проведем в ней высоту С H (рис. 2).

Рис. 2

Обозначим AD = ж, СH = h. Тогда

Решая систему уравнений

находим X и h:

Искомая площадь

13. Такие многочлены не имеют корней и не являются произведением многочленов второй степени, не имеющих корней. Многочлен второй степени над Z2, не имеющий корней, один — это х2 + х + 1, его квадрат ж4 + х2 + 1. Оставшиеся три многочлена 4-й степени, не имеющие корней — неприводимы. Это

14. Обозначим

Делая замену, приходим к уравнению

Подставляя в него - вместо £, получим еще одно уравнение

. Эти два уравнения имеют смысл при t ф О,

Тогда, решая систему

получим

Проверим:

Ответ:

15. Запишем

Функцию f(x) можно искать в виде

Тогда

Полагая а = — , получим требуемую функцию.

16. Касательные к параболе в точках задаются уравнениями

Они пересекаются в точках

Отсюда S abc = ZSklm-

17. Пусть d = НОД (n, m). Тогда d = an + bm, где a, b G Z. Положим p = b,

Тогда

(1)

(2)

Наконец, НОД (d, к) = НОД (n, m, к) = 1 и

(3)

Из (1), (2) и (3) а2П\ + &2^1 = 1, &25^2 £ Z и значит НОД (ni, mi) = 1; НОД (n + £>fc, m + qk) = 1. Что и требовалось доказать.

18. Рассмотрим точки

(рис. 3). Точки А в. В фиксированы, а M с изменением х движется

Тогда

Рис. 3

Согласно неравенству треугольника, AM + В M > AB. Равенство достигается в том случае, когда точка M лежит на прямой AB. Уравнение прямой

Тогда абсцисса точки пересечения AB с Ох равна 1. Длина отрезка

Значит функция

принимает наименьшее значение, равное

STUDENT MATHEMATICS COMPETITIONS AT PEDAGOGICAL UNIVERSITIES OF URAL REGION

O. I. Yuzhakov

The article gives information about mathematical competitions held at pedagogical universities in Ural region. It includes the examples of tasks offered in past contests and their solutions.

Keywords: mathematical Olympiads, mathematical contests.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СОРЕВНОВАНИЯ В ВУЗАХ

УДК 517.9

ОЛИМПИАДЫ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ ДЛЯ СТУДЕНТОВ 2, 3 КУРСОВ МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОГО ФАКУЛЬТЕТА МГУ

А. С. Шамаев

Московский государственный университет им.М.В.Ломоносова, Россия, 119899 г.Москва, Ленинские горы, 1; e-mail: shamaev@ipmnet.ru

Кафедра дифференциальных уравнений Московского государственного университета предлагает материалы математических соревнований для студентов 2-го и 3-го курсов с краткими комментариями.

Ключевые слова: математическая олимпиада, математическое соревнование, дифференциальные уравнения

В весеннем семестре 2003 года сотрудниками кафедры дифференциальных уравнений механико-математического факультета МГУ были проведены две олимпиады по дифференциальным уравнениям: олимпиада по обыкновенным дифференциальным уравнениям (ОДУ) для студентов 2-го курса и олимпиада по дифференциальным уравнениям с частными производными (УРЧП) для студентов 3-го курса. Цели, которые ставили организаторы, состояли прежде всего в привлечении интереса студентов к предмету, в повышении творческой активности студентов, которым представлялась возможность проявить себя при решении нестандартных задач. Оба варианта олимпиад состояли из большого количества задач: в варианте по ОДУ было 13 задач, а в варианте по уравнениям с частными производными — 8 задач. Каждая задача оценивалась определенным количеством баллов (эти баллы были указаны в вариантах). Для решения задач предоставлялось 3 часа. С точки зрения организаторов олимпиады и составителей задач решить все задачи считалось маловероятным; даже решение половины всего задания рассматривалось как большое достижение. Студенты могли выбирать для решения те задачи, которые им казались наиболее интересными. После окончания олимпиады студенты могли взять с собой листок с заданием и подумать дома над решениями тех задач, которые им не удалось решить на самой олимпиаде. Организаторам олимпиад представлялось, что таким образом студенты получали также и дополнительный импульс к подготовке к экзаменам по ОДУ и УРЧП в весеннем семестре, которые проводятся в письменной форме и состоят также в основном из решения задач. Обе олимпиады вызвали значительный интерес среди студентов 2, 3 курсов. На соревнование по ОДУ пришло 110 второкурсников, на соревнование по УРЧП -

60 третьекурсников. Вопреки ожиданиям организаторов олимпиад, нашлись студенты, решившие более половины всего задания. На втором курсе студент Горский Е. А. набрал 29 баллов из 53 возможных, а на третьем курсе студент Дремов В. А. получил оценку 19 баллов из 32 возможных. Следует отметить, что почти каждая из предлагаемых в вариантах задач была решена в какой-нибудь работе. Варианты были составлены таким образом, чтобы необходимые для решения методы охватывали в основном как весь курс ОДУ, так и весь курс УРЧП. Так, для решения задач в варианте по ОДУ необходимо было знать теоремы о существовании, единственности, непрерывной зависимости и продолжении решений ОДУ, теоремы Ляпунова об устойчивости, иметь представление о построении фазовых портретов динамических систем, знать теорию линейных дифференциальных уравнений с постоянными и переменными коэффициентами. Для решения задач варианта по УРЧП нужно было использовать разнообразные свойства гармонических функций, знать свойства распространения волн в однородных средах, иметь представление о качественных свойствах решений параболических уравнений, а также о свойствах функций из пространств Соболева; нужно было также хорошо представлять, что такое корректность краевых задач математической физики. Разбор задач и награждение победителей проводились через неделю после проведения олимпиады, что давало возможность желающим самостоятельно еще порешать те задачи, которые не получились на олимпиаде. Приведем имена победителей. В скобках указано количество набранных баллов.

2 курс, ОДУ

1 место — Горский Е. А. (29);

2 место — Клименко А.В. (24), Горшков А.В. (22), Колюцкий Г. А. (22);

3 место — Гербер М.И. (14), Гербер А. И. (14), Трушанина И. С. (14), Ершов Д.Ю. (14), Ветрова М. Л. (14), Жолудь Д. С. (13).

3 курс, УРЧП

1 место — Дремов В. А. (19), Гайфуллин A.A. (16), Скопенков М. Б. (14);

2 место - Горев В. В. (10), Сурначев И. Д. (10), Шабанов Д. А. (9), Моисеев Т. С. (8), Вяткина Т.Ю. (8), Комова П.Ю. (8);

3 место — Шарич В. 3. (6), Евдокимова С. А. (6).

Победители получили в качестве подарков книги по математике, которые могут быть им полезны вдальнейшем при обучении на механико-математическом факультете МГУ. Мы желаем победителям дальнейших успехов в учебе и научной работе.

Организаторы олимпиад предполагают и впредь проводить подобные конкурсы на механико-математическом факультете МГУ, полагая, что они способствуют повышению творческой активности студентов, улучшению подготовки студентов по данной специальности, развитию самостоятельного творческого мышления студентов мехмата — будущих математиков.

В организации олимпиады по ОДУ и составлении задач принимали участие сотрудники кафедры дифференциальных уравнений механико-математического факультета МГУ Н.Х.Розов, А. С. Шамаев, И.Н.Сергеев, Ю. С. Ильяшенко, В. М. Миллионщиков, И. В. Матросов, А. С. Городецкий.

Вариант олимпиады по УРЧП составлен А. С. Шамаевым.

Приведем варианты олимпиад по ОДУ и УРЧП с некоторыми комментариями и указаниями к решению задач. В скобках указаны авторы задач и количество баллов, которым оценивалось правильное решение.

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

1. (Н.Х.Розов) Определите максимальный интервал продолжимости направо решения задачи Коши

(3 балла)

(Решение не может выйти из некоторого угла с вершиной в начале координат.)

2. (А. С. Шамаев) Может ли функция

быть решением дифференциального уравнения

где a(t) — бесконечно гладкая функция на (—оо, +оо)? (2 балла)

(Наличие приведенного решения противоречит теореме единственности.)

3. (Н.Х.Розов) Докажите, что любое решение уравнения х + егх = О ограничено на R+. (4 балла)

(Одно из возможных решений — построить функцию на фазовом пространстве, ограниченную на траекториях заданного дифференциального уравнения и убедиться на основе этого построения в ограниченности самих траекторий.)

4. (А. С. Шамаев) Докажите, что для решения задачи Коши х — efx = О, х(0) = 1, х(0) = а существует единственное значение а, при котором решение x(t) стремится к нулю при t —> +оо. (8 баллов)

(Рассмотрим множество решений заданного уравнения, выходящих из точки 0 с наклоном а и определим во множестве наклонов два подмножества: те значения а, при которых соответствующее решение стремится к плюс бесконечности, и те значения а, при которых оно стремится к минус бесконечности. Покажем, что оба эти множества непусты и открыты. Тогда существует такой наклон ао, что ао не принадлежит обоим множествам. Решение, соответствующее этому наклону, и будет искомым.)

5. (И. H. Сергеев) Пусть определитель Вронского двух вещественно аналитических функций f(t) и g(t) на интервале (а, Ь) равен нулю. Докажите, что / и g линейно зависимы. (4 балла)

(Сначала докажем, что / = С g на любом интервале знакопостоянства функции д. Далее нужно показать, что константа в последнем равенстве одинакова для всех интервалов знакопостоянства функции g с использованием аналитичности функций /, g из условия задачи.)

6. (А. С. Шамаев) Пусть положения равновесия систем х = Ах и у = By, А, В — постоянные матрицы, устойчиво по Ляпунову. Можно ли утверждать то же самое относительно системы z = (А + B)z? (4 балла)

(Ответ — отрицательный. Постройте опровергающий пример на матрицах размерности 2.)

7. (И. В. Матросов) При каких условиях на a G R, f(x) G С°° все решения дифференциального уравнения х = ах1//3 + f(x) единственны? (3 балла)

(Ответ: либо а = 0, либо число /(0) отлично от нуля.)

8. (И. В. Матросов) Пусть * = /(*,ж), х G Rn, / G C(R x Rn), /(*,0) = 0 и известно, что 3L > 0 такое, что Vx, у G Rn, ||х — у\\ > 2, Vt G R

Будет ли решение x(t) продолжимо на [0, +оо)? (3 балла)

(Выведите из приведенных в условии неравенств оценку для нормы решения указанного уравнения через повторную экспоненту от аргумента t. Из этой оценки вытекает продолжимость решения на положительную полуось.)

9. (Н.Х.Розов) Может ли траектория системы х = х, у = —у, х(1) = = у(1) = 1 попасть за конечное время в точку (а — 1,а) для некоторого а G R? (2 балла)

(Может, это вытекает из явных формул для решения. Число а является корнем некоторого квадратного уравнения.)

10. (А. С. Городецкий) Окружность х2 + у2 = 1 является предельным циклом векторного поля

Выясните, является ли этот предельный цикл устойчивым, неустойчивым или полуустойчивым? (7 баллов)

(Сведите эту систему к одному неавтономному уравнению с периодическими коэффициентами. Далее исследуется на устойчивость отображение фазового пространства за период.)

11. (Ю. С. Ильяшенко) Нарисовать фазовый портрет системы

(Построение фазовых портретов систем в комплексной форме сводится к построению картин фазовых траекторий вещественных систем.)

12. (Ю. С. Ильяшенко) Рассмотрим систему

Указать все начальные условия, для которых соответствующие решения ограничены. (3 балла)

(Система может быть сведена к уравнению с разделяющимися переменными) .

13. (В. М. Миллионщиков) “Вечный двигатель”, выставленный в витринах магазинов, состоит из маятника с грузом-магнитом и черной коробки, неподвижно стоящей под ним. Что, кроме батареек, помещено (или: вы бы поместили) в этой коробке, из-за чего маятник колеблется с постоянной амплитудой, пока служат батарейки? При этом в коробке нет движений, которые были бы видны простым глазом, если бы стенки коробки были бы прозрачными. Ответ обосновать. (6 баллов)

(Близкие вопросы обсуждаются в книге Л. С. Понтрягина “Обыкновенные дифференциальные уравнения”.)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

1. Рассмотрим смешанную задачу для полуограниченной струны

где (р — гладкая функция с финитным носителем в положительной полуоси. Имеет ли отраженная волна задний фронт, то есть будет ли расстояние от носителя решения до прямой х = 0 неограниченно возрастать при t —> оо? (2 балла)

(Ответ отрицательный, это можно увидеть из явного представления для решения рассматриваемой задачи, которое нетрудно получить, если искать решение в виде и = f(x — t) + д[х + t).)

2. Рассмотрим задачу Коши для волнового уравнения:

Может ли suppôt, х) принадлежать цилиндру {(£, х) \ t G (0, оо), х G D}, где D — ограниченная область пространства R3? (2 балла)

(Ответ: не может, доказательство можно получить с использованием формулы Кирхгофа и теоремы о единственности решения задачи Коши для волнового уравнения.)

3. Пусть и(х) — гармоническая функция в окрестности точки {0} пространства Rn]

- разложение функции и(х) в ряд Тейлора в точке {0}. Верно ли, что полиномы

гармонические функции? Ответ обоснуйте.

(3 балла)

(Ответ: верно; ряд Тейлора для гармонической функции сходится к ней в некоторой окрестности в силу аналитичности гармонических функций, его можно почленно дифференцировать; оператор Лапласа от отрезка ряда равен минус оператору Лапласа от “хвоста” этого ряда, но это функции разных порядков малости в нуле, первая из них - многочлен, следовательно, они обе равны нулю.)

4. Пусть u(t, х) — решение задачи Коши для уравнения теплопроводности

(р(х) — ограниченная непрерывная функция, не равная тождественно нулю. Докажите, что не существует такого Г > 0, при котором u{t,x) = 0, если Т < t. (Иначе говоря, нагретый стержень не может полностью “остыть” за конечное время.) (3 балла)

(Утверждение задачи можно получить из явной формулы для решения задачи Коши; нужно доказать, что интеграл Пуассона — аналитическая по времени функция при положительных значениях времени; последнее утверждение можно доказать, рассматривая, например, аналитическое продолжение по t в комплексную плоскость указанного интеграла).

5. Пусть Q — ограниченная область в R2, и[х) — собственная функция задачи Дирихле, то есть

Может ли множество а = {х | и(х) = 0, х G Я} быть отрезком £ прямой линии, не имеющим общих точек с границей области £7? Ответ обоснуйте. (4 балла)

(Ответ отрицательный: не может; доказательство основано на факте аналитичности собственной функции; этот факт можно получить из утверждения об аналитичности решений уравнения Лапласа, если ввести еще одну дополнительную фиктивную независимую переменную у и умножить собственную функцию и(х) на некоторую функцию от этой фиктивной переменной у.

Произведение будет гармонической функцией при должном выборе указанной функции от у, следовательно она аналитична, а поэтому аналитична и исходная собственная функция.)

6. Пусть К — единичный круг на плоскости с центром в точке {0}. Докажите, что существует такая последовательность гладких функций {(^п(ж)}, 4>п(х) G С00(К), что

но (fn(0) = 1 для любых п = 1,2,... (то есть функции из Н1(К) не имеют “следа” в точке). (6 баллов)

(Для построения необходимой последовательности функций возьмем <рп = = (р(пх), где <р(х) — гладкая финитная функция, равная 1 в нуле, далее возьмем последовательность средних арифметических таких функций. Получим искомую последовательность, что доказывается с помощью теоремы Банаха - Сакса).

7. Пусть Ш— единичный шар в R3 с центром в нуле, v(x) — такая вектор-функция в Ш. что

гладкая скалярная функция в

3) если продолжить v(x) нулем в R , то полученная в результате такого продолжения вектор-функция w(x) также удовлетворяет равенству à\vw(x) = 0 в R3 в смысле теории обобщенных функций. Найдите v(x). (5 баллов)

(Задача сводится к задаче Неймана в круге для функции и. Краевые условия Неймана вытекают из условия 3). 8. Пусть u(t, х) — решение задачи

Мы наблюдаем движение струны с закрепленными

концами в точке 1, то есть нам известна функция u(t,l) при t > 0, но не абсолютно точно, а с точностью 5, где ö — любое положительное (но не равное нулю) число. Можно ли по такому наблюдению восстановить с любой наперед заданной точностью е > 0 функции ф(х), (р(х)? Ответ обоснуйте. (6 баллов) (Нельзя восстановить; чтобы показать это, нужно представить решение в виде ряда Фурье; из представления в виде ряда Фурье следует, что можно так сколь угодно мало “пошевелить” начальные условия, что “наблюдаемая” по условию задачи функция u(t,l) изменится более чем на единицу.)

COMPETITIONS ON DIFFERENTIAL EQUATIONS FOR 2ND AND 3RD YEAR STUDENTS OF THE FACULTY OF MECHANICS AND MATHEMATICS OF MOSCOW STATE UNIVERSITY

A. S. Shamaev

The Chair of Differential Equations of Moscow State University proposes the materials of mathematics competitions for 2nd and 3rd year students with brief comments.

Keywords: mathematical Olympiads, mathematical contests, differential equations

НЕПРЕРЫВНОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

УДК 517

ОБ ИСПОЛЬЗОВАНИИ ЭЛЕМЕНТОВ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ПРИ ПРИБЛИЖЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЯХ

А. И. Рубинштейн

Московский государственный университет леса, Россия, 141005, Московская обл., г. Мытищи, ул. 1-я Институтская, 1; тел.: (095)5885778; факс: (095) 5869134; e-mail: shalaev@mgul.ac.ru

Элементы математического анализа применяются к приближенным вычислениям корней из целых чисел и значений тригонометрических функций с оценкой точности приближений, что должно стимулировать интерес учащихся к этому разделу математики.

Ключевые слова: элементы математического анализа, приближенные вычисления, рекуррентные формулы.

Успех образовательного процесса в значительной степени зависит от осознания учащимся важности того или иного раздела и в целом изучаемого курса. Причем важности как в общей системе получаемых знаний, так и, быть может, еще значимее, в практических приложениях. Сказанное касается как вузовского, так и школьного математического образования, поскольку в школьный курс введено изучение элементов математического анализа.

Силу методов анализа и их необходимость достаточно просто продемонстрировать на примерах проведения приближенных вычислений с оценкой точности [1-3]. Остановимся на нескольких примерах, рассмотрение которых не требует больших затрат времени, но сразу, кажется, должно поднять “рейтинг” аналитических методов в представлении учащихся.

Разумеется, излагаемое ниже не является каким-либо откровением, скорее принадлежит к математическому фольклору, но собранное в целое представляется все-таки новым.

Учащиеся пишут “значки” типа не задумываясь, что это такое. Объяснение: “\/2 есть число, куб которого равен 2” в практическом смысле мало что дает. Например, требуется изготовить емкость в виде куба, объем которого два кубических метра. Чему должна равняться длина стороны такого куба? Оставляем в стороне возражения: а разве недопустимо, если объем будет равен 2.000376 куб.м и сторона 1.26 м? Да и как изготовить идеальный куб? Во-первых, откуда взялось число 1.26 — получено с помощью калькулятора? А какова программа в калькуляторе, позволяющая найти это число? Не ответив на этот вопрос, мы рискуем оказаться мольеровским господином Журденом, который не знал, что говорит прозой.

Сначала, как кролик из цилиндра фокусника, появляется последовательность чисел {хп}, заданная рекуррентным соотношением

(1)

где, для простоты, будем считать а > 1. Если существует конечный отличный от нуля предел (вот и появляется понятие анализа)

limxn = ж, (2)

то из (1), используя свойства пределов (их надо доказывать!), получаем

откуда

Таким образом, при

задании х\ соотношение (1) дает алгоритм вычисления кубического корня, если, разумеется, доказано существование предела (2). Проделаем простые преобразования:

(3)

Очевидным образом находится натуральное m, для которого

(4)

уже отмечалось, что а > 1 и исключается тривиальный случай а = m3. Если х\ = m + 1, то согласно (4)

(5)

Тогда на основании (3) и (5)

то есть

и по очевидной индукции

откуда

(6)

Так как по формуле (5)

то из (6) следует, что

(7)

на основании свойства о пределе промежуточной последовательности, то есть доказано (2).

Из (1) и (5), (6)

то есть последовательность {хп} убывает и ограничена снизу числом у/а. Но тогда к ней применима теорема Вейерштрасса о пределе монотонной ограниченной последовательности и опять устанавливается (2), а, следовательно, и (7).

В силу очевидных равенств

случаи

0<а<1 и а < О

сводятся к ситуации а > 1, обсужденной в (3)-(6).

Рекуррентное соотношение (1) есть результат применения к уравнению

(8)

метода Ньютона (метод касательных), согласно которому рассматривается последовательность {хп}, определяемая соотношением

(9)

Так как метод Ньютона фактически не рассматривается в большинстве втузовских курсов математики а, самое главное — не приводится достаточное условие сходимости последовательности (9) к корню уравнения

Дж) = 0 (10)

и точность приближений, то имеет смысл на этих задачах остановиться.

Пусть функция fix) непрерывна на отрезке [А; В] и принимает на его концах значение разных знаков, то есть

Тогда (по теореме Коши о промежуточном значении непрерывной функции) на интервале (А; В) существует хотя бы одно значение а, при котором

/(а) = 0. (11)

Пусть дополнительно на интервале (А; В) существует вторая производная f“(x), сохраняющая на (А; В) знак, то есть график у = /(ж) на (А; В) или выпуклый вниз (f”(x) > 0), или выпуклый вверх (f“(x) < 0). Легко понять, что в этом случае существует на (А; В) единственное значение а, удовлетворяющее (11). Положим х\ равен тому из значений А или В, при котором знаки функции и её второй производной совпадают. Не ограничивая общности, можно считать существующими f”(A), fff(B). В противном случае достаточно рассмотреть близкий к (А; В) внутренний интервал. Пусть, например,

(12)

Тогда х\ = В. Применение формулы Лагранжа конечных приращений для f(x) и f'{x) позволяет получить из (9) цепочку равенств

(13)

Но тогда

откуда

(14)

В силу единственности а, удовлетворяющего (11) на (А; В), из (12) следует, что на (а. В]

(15)

Отсюда, согласно (9),

Итак, при выполнении (12) последовательность (9) монотонно убывает и ограничена снизу числом а. По упоминавшейся уже теореме Вейерштрасса существует конечный предел

Тогда переход к пределу в (9) дает

откуда

Очевидно, что

так что, используя (13), получаем

(16)

Отсюда для любого

- сходимость последовательности (9) к значению а из (11) происходит быстрее любой геометрической прогрессии [1].

Если введенное выше число M < 1, то, согласно (16), сходимость {хп} к а является сверхбыстрой, как и в (6). Для функции

из (9) аналогично (1) получаем

(17)

Преобразования, подобные проведенным в (3), позволяют из (17) получить соотношение

(18)

Если

(19)

то, используя (18), имеем

что позволяет установить с помощью очевидной индукции оценку

(20)

и сверхбыструю сходимость последовательности (17) к значению у/а. Так как

то для la неравенство (19) выполнить просто и быстро вычислить Vlka: а вместе с тем и у/а. Так как

(21)

очевиден алгоритм быстрого вычисления с заданной точностью значения степени положительного основания с рациональным показателем.

Всё сказанное выше касается точности алгоритмов вычисления значения рассматриваемых функций. При непосредственном использовании формул (1), (17), (21) необходимо следить за точностью самих вычислений, то есть за точностью выполнения серии арифметических операций. Это отдельный вопрос численных методов анализа, и полезно обратить на подобные нюансы внимание учащихся.

Как уже отмечалось, вычисление у/а сводилось к решению методом Ньютона простейшего кубического уравнения (8). Естественно поставить вопрос о нахождении корней произвольного кубического уравнения, разумеется, действительных корней. Рассмотрим общее кубическое уравнение, решение которого не сводится к решению уравнения меньших степеней, то есть уравнение

равносильное уравнению

Как известно, замена

сводит это уравнение к стандартному виду

(22)

причем можно считать, что р • q ф 0.

В начале 17 века в Италии (Фиоре, Фонтано-Тарталья) для положительных р получено решение (в этом случае единственное действительное) в форме

(23)

— так называемая формула Кардано.

Чрезвычно полезно обратить внимание учащихся на то, как важно определить, что вкладывается в понятие “решить уравнение”. К примеру, для уравнения

(24)

формула (23) дает решение

Его единственность следует из записи в виде

Левая часть — строго возрастающая функция, правая — строго убывающая, и множества значений обеих функций — вся числовая прямая. Вместе с тем тривиально видно, что х = 1 удовлетворяет (24):

Это показывает, что с “вычислительной” точки зрения, формула (23) мало что дает.

Очевидно, что вторая производная

сохраняет знак на каждом из промежутков (—оо; 0) и (0; +оо). Если найдем отрезки, принадлежащие какому-то из указанных промежутков, на концах которых f(x) принимает значения разных знаков, то можно применять формулу (9), в силу которой

(25)

Для нахождения упомянутых отрезков необходимо исследовать функцию

При исследовании этой функции будем считать, что называемая дискриминантом величина

(26)

Случай D = 0 соответствует кратным корням и исключается ввиду редкости и достаточной тривиальности. 1) Пусть р > 0.

Тогда производная f'(x) = Зх2+р всюду положительна, функция f(x) строго возрастает на (—оо; +оо) от —оо до +оо и, следовательно, существует единственный нуль функции /(ж), причем

Выбираем

Это наиболее экономный, дающий быструю сходимость последовательности (25) выбор х\. В принципе, в качестве х\ можно взять любое значение, для которого f(xi) < 0 при q > 0 и f(x\) > 0 при q < 0.

2) Пусть р < 0. Тогда функция f(x) имеет локальный максимум, равный

и локальный минимум, равный

Если

то есть при

по-прежнему f(x) имеет единственный нуль ai, противоположный по знаку с q и для его приближенного вычисления с помощью алгоритма (25) величину X1 можно выбрать, используя (27). Если же

то f(x) имеет три действительных корня ai, a2, аз таких, что

(28)

Еще одно подтверждение малой ценности формулы (23) состоит в том, что действительные корни кубического уравнения выражаются суммой комплексных чисел.

Для вычисления отрицательного корня ai по алгоритму (25) следует выбрать xi, удовлетворяющее условиям:

а для вычисления положительного корня аз следует выбрать х\ так, что

Для вычисления по формуле (25) среднего корня а2 вне зависимости от его знака следует взять х\ = 0.

Разумеется, процесс вычисления корней по алгоритму (25) будет более экономным по времени, если предварительно найти отрезки длины не более единицы, содержащие ровно по одному корню и на концах которых f(x) имеет разные знаки. Кроме того, эти отрезки не должны внутри содержать точки X = 0.

И еще одно замечание. Случай кратных корней, когда дискриминант D = 0, тривиален потому, что кратный корень в этом случае равен или

Еще одним моментом применения методов анализа в школьном и втузовском курсах математики может быть приближенное вычисление значений функций sin ж и cos X. Заметим, что если известны значения sin ж, cos ж для X G 0; — , то с помощью формул приведения легко найти значения этих функций для любого X G (—оо; +оо).

Нам понадобится следующее простое утверждение, непосредственно вытекающее из формулы Лагранжа конечных приращений:

Пусть f(x) непрерывна на [А; В], f{Ä) = 0 и на (А; В) существует производная f'(x) > 0. Тогда

Очевидно, что

Применим утверждение к функции

Так как /(0) = 0,

Теперь применим утверждение к функции

по утверждению

Применим утверждение к функции

Аналогичным образом получим выражение

в котором суммы первых членов с нечетным числом слагаемых дают значения sin X с избытком, а с четным числом слагаемых — с недостатком. Точность

приближения оценивается величиной

Равным образом выражение

позволяет вычислять значения cos ж с избытком при нечетном числе первых слагаемых и с недостатком — при четном числе первых слагаемых, точность приближения оценивается величиной

Зная значения sin ж и cos ж, можно приближенно вычислять значения функций tgж и ctg ж. Точность определяется точностью вычисления дроби при приближенных значениях числителя и знаменателя: если

то

Представляется полезным знакомить учащихся с приведенными применениями элементов математического анализа.

ЛИТЕРАТУРА

1. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1. 7-е изд. — М.: Наука, 1969. 607 с.

2. Рубинштейн А. И. Об использовании элементов математического анализа при приближенных вычислениях // Сб. тезисов. Ломоносовские чтения. — М.: МГУ, 2003. С. 42-47.

3. Рубинштейн А. И. Связующая нить. “Неизвестная математика”. — Королев, Моск. обл.: Ин-т “Композит-Тест”, 2002. 96 с.

ON USE OF PRINCIPLES OF MATHEMATICAL ANALYSIS FOR APPROXIMATE CALCULATIONS

A. I. Rubinshtein

The principles of mathematical analysis are used for approximate calculations of radicals of integer and trigonometrical functions. Then the accuracy of approximation is evaluated. The use of these principles should encourage students to study this branch of mathematics.

Keywords: principles of mathematical analysis, approximate calculation, recursion relations.

ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ

УДК 519.6

ТЕОРИЯ ЭКСТРЕМУМА ОТ ФЕРМА ДО НАШИХ ДНЕЙ*

В. М. Тихомиров

Московский государственный университет им. М. В Ломоносова, Россия, 119899, г.Москва, Воробьевы горы, 1; тел.: (095)9395632; e-mail: Tikh@tikhomir.mccme.ru

В статье дается краткий экскурс — от истоков до наших дней — в теорию экстремума. Обсуждаются необходимые и достаточные условия экстремума, а также принципы существования решений и алгоритмов их поиска.

Ключевые слова: теория экстремума, необходимые и достаточные условия экстремума, существование решений, алгоритм поиска.

В мире не происходит ничего, в чем не был бы виден смысл какого-нибудь максимума или минимума.

Л. Эйлер

Необходимость решать задачи на максимум и минимум вызывается стремлением людей по возможности наилучшим образом распорядиться своими ресурсами, желанием постичь законы природы, а также заложенной в природе человека любознательностью. Задачи на максимум и минимум называются экстремальными задачами (термин “экстремум” объединяет понятия “максимум” и “минимум”).

Формализованная экстремальная задача состоит из функционала / : X —> —> R U {±оо} (где X — область определения функционала) и ограничения С С X. Такую задачу будем записывать в виде

(1)

Экстремальные задачи стали решать в глубокой древности, и стимулом служила упомянутая выше любознательность, прикладного значения эти решения не имели.

Практические нужды стимулировали создание общих методов исследования задач на экстремум. Первый общий прием был высказан Ферма в 1638 году. С того момента начала формироваться теория экстремальных задач. Эта теория слагается из следующих основных разделов:

• Необходимые условия экстремума.

• Возмущения задач и достаточные условия.

• Расширения задач и существование решений.

• Алгоритмы решения задач на экстремум. Кратко коснемся всех этих тем.

* Статья подготовлена по материалам Второй Международной конференции “Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Проблемы математического образования”, приуроченной к 80-летию члена-корреспондента РАН профессора Л. Д. Кудрявцева.

I. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА

1.1. Задачи без ограничений. Теорема и принцип Ферма

Когда величина является максимальной или минимальной, в этот момент она не течет ни вперед, ни назад.

И. Ньютон

Пусть X — конечномерное или банахово пространство. Задача

Дж) -> extr (2)

— это задача без ограничений.

Теорема (необходимое условие в задаче без ограничений). Если в задаче (2) функция f непрерывно дифференцируема, тогда в точке локального экстремума производная функции f равна нулю.

Первый общий прием для решения задач (2) (о нем упоминалось) был описан Ферма до рождения анализа. На нашем современном языке он звучит так: в точке экстремума главная линейная часть приращения функции равна нулю. В терминах производной выразили эту мысль создатели анализа -Ньютон и Лейбниц, и тем не менее сейчас этот результат связывают с именем Пьера Ферма (1601-1665).

Для Ньютона производная — это скорость, и он объяснил суть сформулированной теоремы в словах, приведенных в качестве эпиграфа к этому разделу; для Лейбница производная — тангенс угла наклона касательной, и геометрическая суть теоремы для него состояла в том, что касательная в точке локального экстремума должна быть горизонтальна.

Ферма в 1662 году высказал и первую натурфилософскую концепцию, согласно которой свет “избирает” такую траекторию (от точки к точке в неоднородной среде), чтобы минимизировать время.

Эта идея была подхвачена многими учеными в 18 столетии, и ей был придан всеобщий смысл, который можно сформулировать так: “Мир управляется вариационными принципами”.

Следующее великое имя в теории экстремума — это Леонард Эйлер (1707— 1783).

1.2. Простейшая задача вариационного исчисления. Уравнение Эйлера

Пусть L = L(t, ж, у) — функция трех переменных. Задачу

(3)

называют простейшей задачей вариационного исчисления. Функция L называется иптегрантом задачи. Имеет место следующая

Теорема (необходимое условие в простейшей задаче). Если в задаче (3) интегрант L непрерывно дифференцируем, а функция х(-) доставляет локальный экстремум задаче (3) (в пространстве непрерывно дифференцируемых функций), то выполнено уравнение Эйлера:

(4)

Считается, что вариационное исчисление ведет свою историю от 1696 года, когда Иоганн Бернулли (1667-1726) поставил задачу о брахистохроне (кривой наискорейшего спуска). Впоследствии он предложил своему ученику Леонарду Эйлеру попытаться найти какие-то общие методы решения задач, сходных с брахистохроной. Эйлер (1732) вывел уравнение (4) и решил с его помощью (и с помощью многочисленных обобщений этого уравнения) множество конкретных задач из геометрии и механики.

1.3. Гладкие задачи с ограничениями типа равенств. Правило множителей Лагранжа

Можно высказать следующий общий принцип. Если ищется максимум или минимум некоторой функции многих переменных при условии, что между этими переменными имеется связь, задаваемая одним или несколькими уравнениями, нужно прибавить к функции, о которой говорилось, функции, задающие уравнения связи, умноженные на неопределенные множители, и искать затем максимум и минимум построенной суммы, как если бы переменные были независимы. Полученные уравнения, присоединенные к уравнениям связи, послужат для определения всех неизвестных.

Ж. Лагранж (1797)

Пусть снова X — конечномерное или банахово пространство, fc, 0< г <т — гладкие функции на X. Задача

(5)

называется гладкой задачей с ограничениями типа равенств. Общий рецепт для решения задач типа (5) был предложен Лагранжем (1736-1813). Он описал его (в 1797 г.) в словах, приведенных в качестве эпиграфа. Сформулируем некоторую модификацию метода Лагранжа.

Теорема (необходимое условие в задаче с ограничениями типа равенств). Если в задаче (5) все функции fi дифференцируемы, то существуют множители {Ai}™07 не равные одновременно нулю и такие, что в точке локального экстремума задачи производная по х функции С =

равна нулю.

Функция

называется функцией Лагранжа, множители

множителями Лагранжа. (Отличие от того, что было предложено Лагранжем, в том, что и функция, экстремум которой находится, также умножается на неопределенный множитель. Это позволяет избежать лишних предположений в теореме.)

Так что рецепт Лагранжа можно сформулировать еще и так: для решения задачи (5) составь функцию Лагранжа, примени теорему Ферма и решай полученные уравнения. Этот рецепт называют правилом множителей Лагранжа.

1.4. Необходимые условия экстремума от Ферма до наших дней

Необходимые условия для разных классов задач на экстремум доказывали многие математики. Назовем некоторые наиболее известные имена: Ферма, Эйлер, Лагранж, Лежандр, Гаусс, Остроградский, Якоби, Пуассон, Кнезер, Вейерштрасс, Больца, Макшейн, Блисс, Люстерник, Грейвс, Кун, Таккер, Понтрягин... Список этот, разумеется, далеко не полон. Большинство же необходимых условий экстремума составляются в соответствии с тем же принципом Лагранжа, который сформулирован в предыдущем разделе (правда, чуть более широко понимаемым). Этот принцип можно описать так: составь функцию Лагранжа и примени необходимое условие в задаче без ограничений.

Приведем два примера.

Пример 1. Задача Лагранжа вариационного исчисления

Рассмотрим задачу:

(6)

в которой X G Шп, и G Шг, / — функция п + г +1 переменного, (f — n-мерная вектор-функция тех же переменных. Переменные х называют фазовыми, и — управлениями. Задачи (6) называются задачами Лагранжа вариационного исчисления. Приложим к ним рецепт Лагранжа.

Функция Лагранжа здесь имеет вид (так её составляют со времен Лагранжа):

Применить необходимое условие в задаче на экстремум функции Лагранжа без ограничений — значит составить уравнения Эйлера по ж и по и. В итоге приходим к уравнениям

(7)

которые в разных вариантах составлялись, начиная с брахистохроны (1696) по сороковые годы прошлого века (итоговая книга по этой тематике была опубликована в 1939 году американским математиком Г. Блиссом).

Если предположить, что / и (р достаточно гладкие, то можно доказать теорему, согласно которой если пара (х(-),и(-)\ доставляет локальный экстремум в задаче (6) (учитывается близость не только фазовых координат, но и управлений; такой экстремум называют слабым), то удовлетворяются уравнения (7).

Пример 2. Задача оптимального управления

Пусть теперь функция / и отображение (р определены на произведении [to,ti]x X Rn X U, где U — подмножество Шг. При этом предположим, что / и (р непрерывны

по всем переменным и гладки по х. Рассмотрим ту же по форме задачу, что и (6), но дадим ей свой номер:

(8)

Задачу (8) называют задачей оптимального управления. Такие задачи стали исследовать на семинаре Л. С. Понтрягина (1908-1988) в пятидесятые годы прошлого века. Рассматривается случай сильного экстремума, для которого требуется лишь близость фазовых координат, а близость управлений не предполагается.

Множество U в (8) может быть произвольным, например, состоящим из конечного числа точек. Методы гладкого анализа, которые приводят к уравнениям (7), здесь не применимы. Но принцип Лагранжа сохраняет свою силу.

Функция Лагранжа задачи (8):

сохраняет ту же форму, что и в предыдущем примере. Рассмотрим две задачи, закрепив сначала û(-) и минимизируя по #(•), а затем, закрепив х(-) и минимизируя по и(-).

В первом случае задача минимизации относится к числу простейших задач вариационного исчисления, и необходимое условие в ней — это уравнение Эйлера по х:

(9)

Во втором случае получается задача

(10)

и при этом надо учитывать, что u(t) G U. Очень легко понять, что (при самых широких допущениях) критерием минимальности и(-) является “принцип минимума”:

(11)

Если поменять знаки, то приходим к той форме, в которой необходимое условие для задачи (8) формулировалось в школе Понтрягина:

(12)

Сочетание (9) и (12) называют принципом максимума Понтрягина.

Если применить принцип максимума Понтрягина ко второму дифференциалу функционала простейшей задачи (функционал на кривой, на которой достигается минимум, должен быть неотрицателен, т. е. иметь минимум в нуле), то приходим к необходимым условиям (слабого минимума) Лежандра и Якоби (огибающая центрального пучка экстремалей, имеющих общую начальную точку, не должна пересекаться с экстремалью на полуинтервале [to,ti)). Точка пересечения огибающей центрального поля с экстремалью называют сопряженной точкой.

Принцип максимума Понтрягина немедленно приводит и к необходимым условиям первого порядка для сильного минимума в простейшей задачи. Если применить принцип максимума Понтрягина к простейшей задаче (3), представив её в форме задачи оптимального управления

(13)

то приходим к необходимому условию Вейерштрасса сильного минимума:

где E{t,x,y,u) = L(t,x,u) — L(£, ж, у) — Ly{t,x,y){u — у) — функция Вейерштрасса. К. Вейерштрасс (1815-1897) завершил теорию простейшей задачи, разработав теорию сильного минимума (дополнив необходимые условия достаточными) .

Условия Лежандра, Якоби и Вейерштрасса оказались близки к достаточным в той же мере, как неотрицательность второго дифференциала (необходимое условие минимума в задаче без ограничений) и положительность его (как достаточное условие). Но само доказательство этих достаточных условий потребовало использования новой идеи.

II. ВОЗМУЩЕНИЯ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗАДАЧ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ

Следует сравнивать динамически возможные движения, варьируя крайние положения системы.

У. Гамильтон

Включение задачи в семейство задач, зависящее от каких-либо параметров, называется возмущением задачи. Первым математиком, осознавшим полезность возмущений задач при построении теории вариационного исчисления, был У.Гамильтон (1805-1865). Путеводной нитью для него была оптика, распространение света в неоднородной среде. Представляя себе мысленно пучок света, исходящего из одной точки, Гамильтон (1836) наряду с траекториями лучей света (удовлетворяющими вариационному принципу Ферма), стал рассматривать волновые фронты — линии уровня ^-функции — времени достижения светом заданной точки пространства. “Варьируя крайние положения системы”, он выписал уравнение в частных производных для S-функции в оптике. Годом позже К. Якоби (1804-1852) применил идеологию Гамильтона к любым задачам вариационного исчисления. Уравнение для S-функции простейшей задачи S{t,£) = inf{j(x(-)) | ж(£о) = хо, х(т) = £}, имеющее вид

(где 7Y(t, ж, у) = sup{yu — L(t, х,и) \ и G Ш} — преобразование Лежандра функции L), называется ныне уравнением Гамильтона - Якоби. Уравнение Гамильтона - Якоби позволяет выразить приращение функционала J на экстремали через функцию Вейерштрасса, и это приводит к достаточным условиям в вариационном исчислении, которые при условии регулярности интегранта (т. е. выпуклости его по последнему аргументу) состоят в усиленных условиях Лежандра и Якоби (когда неравенство в условии Лежандра строгое и сопряженной точки нет на всем отрезке [to,ti]).

III. СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ

Я убежден, что будет возможно доказывать теоремы существования с помощью общего принципа, чья сущность навеяна принципом Дирихле. Этот общий принцип, возможно приблизит нас к ответу на следующий вопрос: имеет ли решение каждая регулярная вариационная проблема, если самому понятию “решение” при случае придавать расширенное толкование?

Д. Гильберт

Это очень глубокое высказывание Гильберта (1862-1943) было произнесено им при формулировании двадцатой проблемы на конгрессе в Париже (1900). Общий принцип, о котором говорит Гильберт, это — безусловно принцип компактности Вейерштрасса - Лебега - Бэра, согласно которому полунепрерывная снизу на компакте функция достигает своего минимума.

Применение этого принципа проиллюстрируем на той же простейшей задаче, которая оассматривалась выше.

В одномерном случае (когда t одномерно) естественно в качестве пространства, на котором рассматривается задача (Р2), выбрать в некотором отношении максимальное пространство, на котором сама задача может ставиться. А таковым можно считать пространство абсолютно непрерывных функций (или пространство W^-Qto, £1]). Регулярность интегранта гарантирует полунепрерывность снизу, а условие роста (интегрант по последнему аргументу должен расти быстрее линейной функции) и ограниченность снизу интегранта гарантируют компактность, а значит, в силу принципа компактности, и существование. Так формулируются многочисленные теоремы существования, начиная с работ Л. Тонелли двадцатых годов прошлого века.

Но в многомерных задачах естественного “самого широкого” пространства нет. И здесь стали строить пространства, которые разумно соответствуют интегрантам задачи. Например, в задаче Дирихле в области Q таким пространством является, безусловно, соболевское пространство И/21(^)- Так возникли обобщенные функции. А для решения вариационных задач прямыми методами (о которых кратко упомянем в следующем пункте), начали разрабатывать теорию вложения функциональных пространств, теорию, в которую так много внес Л. Д. Кудрявцев. Сам же стиль теорем существования остался тем же: если пространство строится по интегранту L, который гарантирует полунепрерывность и компактность, то имеет место существование решения. Во многих важных случаях полунепрерывность следует из регулярности, компактность из роста интегранта, а граничные условия должны браться из пространства, которое вкладывается в исходное (в задаче Дирихле на круге D это будет пространство W2 {ßD) на окружности).

IV. АЛГОРИТМЫ ОПТИМИЗАЦИИ

Таким образом, дело сводится к решению легкой задачи: даны две точки Л и С и проходящая между ними горизонтальная прямая DE; требуется найти на этой прямой точку В, чтобы путь ABC был наискорейшим.

Г. Лейбниц

(Из письма И. Бернулли 31 июля 1696 г. по поводу брахистохроны)

Эта цитата из Лейбница возвращает нас к истокам. Вариационное исчисление, как было сказано, родилось “из брахистохроны” — задачи, к решению

которой Иоганн Бернулли “приглашал” современных ему математиков. Решение (помимо самого Иоганна) представили его брат Яков, его ученик Лопиталь, а также праотцы всей современной математики Ньютон и Лейбниц. В этих решениях были зерна тех идей, которые питали и питают теорию экстремума от самых истоков до наших дней. Иоганн Бернулли решил задачу, базируясь на оптико-механической аналогии, которая вдохновила Гамильтона, а затем Якоби на построение их теории; Яков воспользовался принципом Гюйгенса, также составившим важнейший компонент теории Гамильтона-Якоби. А Лейбниц, как мы видим из приведенного эпиграфа, заложил основания “прямых методов”, заменив бесконечномерный объект — кривую -конечно-параметрическим — ломаной.

Продолжил “дело Лейбница” Эйлер, который вывел уравнение Эйлера, заменяя кривую ломаными. А в наше время редукция к конечномерным задачам — основной подход к численному решению задач на экстремум. После же редукции применяют методы целесообразного спуска (для задач минимизации) (градиентный метод и всевозможные его модификации, метод сопряженных направлений и т. д. и т. п., к этому же классу относится симплекс-метод Данцига), разнообразные методы штрафа, барьерные методы, в выпуклых задачах — методы отсечений. Остановиться здесь на всем этом подробно не представляется возможным.

В заключение приведу два высказывания.

Мир устроен просто. Очень просто. Но не более того. А. Эйнштейн.

Это, безусловно, шутка, на самом деле Мир устроен, увы, непросто, и Эйнштейн об этом знал. Но отдельные “фрагменты” нашего мира устроены на самом деле не так уж сложно. Таков, например, мир экстремума. Это я и старался показать в своей статье.

И еще — цитата, которую я очень люблю.

Если ничто не собьет нас с пути, то мы уподобимся Зигфриду, перед которым огненный вал расступается сам собою. Д. Гильберт.

ЛИТЕРАТУРА

1. Иоффе А. Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. — М.: Наука, 1974.

2. Алексеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В. Оптимальное управление. — М.: Наука, 1979.

EXTREMUM THEORY FROM FERMAT TILL OUR DAYS

V. M. Tikhomirov

The author gives a brief excursus into extremum theory development (from the beginning till our days). He considers the necessary and sufficient conditions of extremum and principles of existence of solutions and search algorithm.

Keywords: extremum theory, necessary and sufficient conditions of extremum, existence of solutions, search algorithm.

ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ

УДК 530(09)

О РАЗВИТИИ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ В МОСКОВСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ (XVIII—XXI вв.)

И. А. Тюлина

Московский государственный университет им. М. В Ломоносова, Россия, 119899, г. Москва, Воробьевы горы, 1, мехмат; тел.: (095)9393860

К 250-летию Московского университета излагается история развития важнейших направлений прикладной математики и механики в университете с момента его становления.

Ключевые слова: история Московского университета, прикладная математика, механика.

В мае 2003 г. механико-математическому факультету Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова исполнилось семьдесят лет. Еще через два года — юбилей 250-летия Московского университета. В этой связи приличествует рассказать о некоторых событиях и достопримечательностях юбиляра, пока ближайшего: мехмата МГУ.

Когда М. В. Ломоносов привлек внимание своего высокопоставленного ученика и почитателя графа И. И. Шувалова к проекту основания Московского университета летом 1754 г., они обратились с “Покорнейшим доношением” к Сенату и императрице Елизавете Петровне, изложив главные тезисы (по сути Устав будущего университета) о структуре и организации нового университета в Москве. Петербургский академический университет к этому времени влачил жалкое существование стараниями канцеляристов Академии Шумахера и Тауберта. Не излагая все положения проекта Московского университета, коротко коснемся лишь некоторых из них. Было предусмотрено только три факультета в университете: юридический, медицинский и философский. Традиционно “первого” и обязательного богословского факультета (по меркам всех древних европейских университетов) здесь не было задумано и предусмотрено. Это соответствовало убеждениям М. В. Ломоносова и образу просветителя вольтерианца И. И. Шувалова. По проекту Ломоносова на философском факультете предполагалось шесть кафедр: оратории, поэзии, истории, кафедры древности и критики, философии и физики. И. И. Шувалов не считал нужным иметь отдельную кафедру физики, относя этот предмет в состав философии. Ломоносову потребовалось приводить множество аргументов, свидетельствующих о необходимости отдельной кафедры физики. В результате он отстоял кафедру физики, в ведении которой долгое время была и механика. Об открытии кафедры математики в проекте и намека не было. Кафедра прикладной математики, где существенное место занимала опять-таки механика, появилась в 1757 г.

Этот курс (прикладной математики) стал читать в зимнем семестре 1757 г. приглашенный из Германии адъюнкт И. А. Рост, руководствуясь учебником витембергского профессора И. Ф. Вейдлера, где кроме элементов математических знаний излагались статика, гидростатика, начала фортификации и другие прикладные вопросы. Проблемы механики освещались в курсе физики. На кафедре физики была приличная коллекция приборов и механизмов, например, гальванический аппарат, Атвудов снаряд для показания ускоренного падения тяжелых тел, полиспасты и другие “махины и снаряды”.

Преемником Роста по преподаванию прикладной математики был его ученик М. И. Панкевич. В 1788 г. он защитил магистерскую диссертацию на тему: “О важнейших гидравлических машинах” (на латинском языке). Там же разбирался вопрос об основных элементах паровой машины, что было чрезвычайным новаторством в университетской деятельности. Позже в Биографическом словаре профессоров и преподавателей Московского университета в 1855 г. отмечалось, что сочинение М. И. Панкевича было первым о паровой машине сочинением, изданным в России, и что оно заслуживало всякого внимания по причине ясного понимания дела. М. И. Панкевич вступил в ряды ополченцев и погиб при взятии Москвы в 1812 г.

Московский университет понес большие убытки и в преподавательском составе при эвакуации на телегах в Нижний Новгород, и в материальном оснащении: не вернулись приборы физического кабинета, минералогические коллекции, сгорела богатая библиотека. Особенно сильно пострадало новое (по тем временам) здание университета на Моховой улице, построенное к 1793 г. по проекту М. Ф. Казакова и восстановленное после войны к 1819 г. по проекту Д. Жилярди.

После Первой Отечественной войны только к 1820-м гг. было налажено преподавание физико-математических дисциплин. Преемником Панкевича стал Ф. И. Чумаков, получивший в 1812 г. степень доктора прикладной математики. Соответствующий курс он читал до 1832 г., после чего два года курс прикладной математики читал профессор Д. М. Перевощиков (1790-1880), занимавший кафедру астрономии, в области которой у него было немало серьезных научных трудов. Перевощиков читал и чистую математику, помогая молодому магистру П. С. Щепкину. Кафедра чистой математики была предусмотрена в университетах (уже были Казанский, Харьковский, Прибалтийские университеты в России) Уставом 1804 г., но в Московском университете эта кафедра из-за войны и по другим причинам фактически пустовала. Д. М. Перевощиков был членом редакции Ученых записок Московского университета, проректором, затем ректором этого университета, руководил строительством астрономической обсерватории в 1830 г., затем руководил её работой до 1851 г. Поставить преподавание чистой и прикладной математики в Московском университете на высоком современном XIX веку уровне суждено было Н. Е. Зернову и Н. Д. Брашману.

Николай Дмитриевич Брашман (1796-1866) родом из Чехии окончил Венский Политехнический институт и изучал астрономию в Венском универси-

тете. Приехав в Россию в качестве домашнего учителя в одной дворянской семье, Брашман с 1826 г. стал преподавать математику в Казанском университете. С 1834 г. он перешел в Московский университет и через год был утвержден ординарным профессором кафедры прикладной математики. В 1857 г. Брашман был избран членом-корреспондентом Петербургской академии наук. В 1864 г. по инициативе Брашмана было организовано Московское математическое общество, функционирующее до сих пор. Он же основал журнал — Математический сборник.

Курс прикладной математики был курсом рациональной механики: Брашман включал в него фрагменты сочинений Ж. Лагранжа и М. В. Остроградского, с которым вел научную переписку. В то же время он приобщал способных студентов к проблемам инженерного характера. Будущий профессор Московского университета А. С. Ершов защитил магистерскую диссертацию в 1844 г. под руководством Н. Д. Брашмана на тему: “О воде как двигателе”. Известный впоследствии специалист в области внешней баллистики Николай Маиевский написал превосходное студенческое сочинение — “Историческое состояние электричества”. Студент Николай Страхов провел исследование на тему: “О зацеплениях цилиндрических, конических, или гиперболических”. В 1837 г. вышла в свет “Теория равновесия тел твердых и жидких или статика и гидростатика”. По отзыву М. В. Остроградского учебник был удостоен Демидовской премии. В 1853 г. был издан литографированно “Курс механики” Брашмана, переизданный типографским способом в 1859 г. После запуска искусственных спутников Земли ученые XX в. нашли много интересных задач небесной механики в упомянутом “Курсе” Брашмана, представлявших интерес для космической баллистики.

Чрезвычайно важным результатом длительных ходатайств Н. Д. Брашмана перед Министерством народного просвещения было введение новых кафедр на физико-математических факультетах университетов по новому прогрессивному Уставу 1863 г. Вместо кафедры прикладной математики вводилась кафедра механики — теоретической и практической, хотя Брашман добивался введения двух кафедр: теоретической механики и практической механики, которую он уже ввел в 1850-х гг. Практическую механику читал экстраординарный профессор А.С.Ершов, который в 1854 г. издал учебник “Основания кинематики или элементарное учение о движении вообще и о механизмах машин в особенности”. Будучи директором Московского Ремесленного училища, А. С. Ершов положил много сил, добиваясь, чтобы это училище стало высшим. Через некоторое время после смерти Ершова (1818-1867) в 1868 г. на базе Ремесленного училища было основано Московское Императорское Высшее Техническое Училище, одним из основателей которого по праву считают А. С. Ершова.

Реализовать основание кафедры механики теоретической и практической удалось Ф. А. Слудскому, который, защитив докторскую диссертацию по небесной механике, не мог занять кафедру механики. В том же 1866 г. он защитил докторскую диссертацию по гидромеханике, по праву заняв вновь открытую кафедру механики теоретической и практической. Итак, кафедра

механики в Московском университете — одна из старейших кафедр — основана в 1866 г.

Ф. А. Слудский (1841-1897), автор многих трудов по астрономии, по методу триангуляции, по аналитической динамике, в частности, по вопросу отличия принципа наименьшего действия от принципа Гамильтона, полагал в основу преподавания механики метод Лагранжа-Остроградского. В 1881 г. вышел в свет “Курс теоретической механики” Слудского, посвященный им памяти академиков Остроградского и Сомова. Практическую механику после смерти Ершова стал читать магистр чистой математики Ф. Е. Орлов. Побывав в ряде европейских стран в качестве стажера, он проникся уважением и любовью к практической механике, читал этот курс с большим профессионализмом. Орлов привез богатую моделями машин и приборами коллекцию и создал превосходный механический кабинет, которым гордился позже Н. Е. Жуковский.

Н.Е. Жуковский прослушал весь курс теоретической механики Ф. А. Слудского. Этот курс был аналитическим в отличие от геометризированного курса механики Цингера, читавшего механику некоторое время. Об этих двух подходах к интерпретации явлений механики позже Н.Е. Жуковский вспоминал: “Я с благодарностью вспоминаю теперь двух моих учителей, из которых один разъяснил нам широкое значение общих аналитических методов, а другой — указал силу геометрических толкований рассматриваемых явлений. Но несмотря на то, что Ф. А. Слудский был по характеру аналитиком, его главной задачей в научных исследованиях всегда являлось решение определенных задач механики” [1, с. 5].

В 1868 г. Московский университет окончил Н.Е.Жуковский (1847-1921), мечтавший окончить еще и Петербургский институт путей сообщения, чтобы стать как и его отец инженером путейцем. Однако петербургский климат оказался неблагоприятным для его здоровья, он возвратился в Москву. В 1876 г. Жуковский защитил в Московском университете магистерскую диссертацию на тему: “Кинематика жидкого тела”, представлявшую собой весьма серьезное и значительное научное исследование по гидромеханике. В эти годы многие труды Н. Е. Жуковского публикуются в “Математическом сборнике” и других периодических изданиях.

В 1882г. Н.Е.Жуковский защитил диссертацию на тему “О прочности движения” и был удостоен ученой степени доктора прикладной математики по классификации той эпохи. Творчество Н. Е. Жуковского набирает все большую силу: он создает и публикует труды, которые и в XIX веке, и в настоящее время служат фундаментом многих дальнейших исследований, например, задача С.В. Ковалевской, движение твердого тела с жидкими полостями (1885), видоизменение классического метода Кирхгофа в струйном обтекании тела жидкостью, а также сенсационное исследование о гидравлическом ударе в водопроводных трубах (1898). Это относится и к ранним работам по теории летания птиц и аппарата О. Лилиенталя, вскоре разбившегося на своем планере к великой скорби Жуковского.

В 1886 г. проф. Слудский уходит в отставку (позже он снова приступит к педагогической и административной работе), и кафедра механики теоретической и практической остается вакантной. К этому времени с 1885 г. в должности приват-доцента Н. Е. Жуковский прочитал спецкурс гидромеханики, показав свое педагогическое мастерство. Его приглашают занять кафедру механики в Московском университете в должности экстраординарного профессора. Вскоре Жуковский становится общепризнанным главой нового направления механики в Московском университете и МВТУ, где он также возглавлял кафедру аналитической механики. Занимать кафедру в XIX веке означало читать основной курс и руководить работой коллег, в большинстве случаев приват-доцентов, работающих не ради жалования, которое бывало редко, а ради чести [1].

Трудно определить, кем в большей мере был Н. Е. Жуковский: ученым теоретиком или инженером-практиком. В его деятельности органически сочетались сила оригинального теоретического мышления с блестящим мастерством экспериментатора и наблюдателя, а также с большим знанием техники и инженерным опытом. Предпочитая геометрические методы изложения предмета механики, Жуковский создал чрезвычайно ясный и стройный курс теоретической механики, где и аналитическим построениям отводилось подобающее место. Студенты МВТУ обрабатывали лекции, прекрасно оформляли рисунки и чертежи, и после проверки лектора, т. е. Н. Е. Жуковского, размножали его литографированный курс. Раннее издание этого учебного курса было в 1886 г., позже такое издание пополнялось и неоднократно повторялось, а в 1939 и в 1950 гг. учебник был издан типографским способом. Преподаванию в университете курса Практической механики, где значительное место занимала теория механизмов и машин, отводилось тоже большое количество часов; прекрасным лектором этого курса был профессор Ф. Е. Орлов. У них с Н.Е.Жуковским была продолжительная дружба домами [2]. Кабинет механических моделей, основанный Орловым по возвращении из западной Европы, пополнялся за счет проектирования и конструирования многих приборов студентами под руководством Н. Е. Жуковского и Ф. Е. Орлова. Позже в начале XX в. кабинет превратился в лабораторию по проведению экспериментов с летающими аппаратами. В 1902 г. в Московском университете в здании против Манежа была сконструирована по проекту Н. Е. Жуковского и под его руководством аэродинамическая труба с закрытой рабочей частью с сечением 75 X 75 кв. сантиметров. Жуковский наметил и провел обширную программу аэродинамических исследований, предполагая к 1909 г. построить более мощную аэродинамическую трубу, где скорость воздушного потока достигала бы 20-35 м/сек. Такая аэродинамическая труба была к 1910 г. построена. Были созданы аэродинамические весы для измерения сопротивления воздуха в различных точках обтекаемого тела [3].

Если в середине XIX в. физико-математическое отделение Московского университета окончили около десятка будущих профессоров и известных ученых в области механики (вне Московского университета работали

H. В. Маиевский, И.И.Рахманинов, M. Ф. Окатов, академики П. Л. Чебышев и О. И. Сомов), то к концу XIX в. выдающихся выпускников этого факультета стало гораздо больше. В 1873 г. Московский университет окончил И. С. Громека (1851-1839), автор первоклассных работ по гидромеханике; однокурсники Н. Е. Жуковского H. Н. Шиллер и В. В. Преображенский стали профессорами университетов в Киеве и Одессе.

В 1888 г. Университет окончил Г. Г. Аппельрот (1866-1943), впоследствии профессор Московского университета. В том же году окончил Московский университет Н. И. Мерцалов — тоже профессор Московского университета, крупный специалист по теории механизмов.

В 1890 г. Московский университет окончил Сергей Алексеевич Чаплыгин (1869-1942), знаменитый ученик и последователь Н.Е. Жуковского, крупнейший ученый в области аналитической динамики и аэромеханики. После защиты докторской диссертации С.А. Чаплыгиным на тему “О газовых струях” в начале 1903 г. Жуковский вышел (формально) в отставку, чтобы освободить вакансию профессора кафедры теоретической и практической механики для С. А. Чаплыгина. При исключительных научных, инженерных и педагогических заслугах Н. Е. Жуковского ему предполагалось поделить лекционные часы с С. А. Чаплыгиным. Административные документы подписывали иногда Н.Е. Жуковский, иногда С.А. Чаплыгин. В 1911 г. вместе со многими другими профессорами и преподавателями Московского университета Чаплыгин покинул кафедру из протеста в связи с нашумевшей историей министра просвещения Л. А. Кассо, уволившего ректора и двух проректоров университета из-за студенческих волнений. После революции Чаплыгин возвратился в Московский университет, но работал там только до 1924 г., так как после смерти Н. Е. Жуковского он возглавил ЦАГИ, и это потребовало от него полной отдачи сил. В том же году С. А. Чаплыгин был избран членом АН СССР.

Однокурсником Чаплыгина по физико-математическому факультету был известный впоследствии специалист по теории сельскохозяйственных механизмов и машин В. П. Горячкин. В 1895 г. Московский университет окончили еще два выдающихся ученика Н. Е. Жуковского: И. В. Станкевич и Д. Н. Горячев, работавшие некоторое время в Московском университете. В 1901 г. Московский университет окончил еще один выдающийся ученик Жуковского — Л. С. Лейбензон (1879-1951), будущий академик, крупный специалист по гидромеханике, теории упругости и механике нефтедобычи. К деятельности каждого из названных и более поздних учеников Н. Е. Жуковского полностью относится краткая характеристика московской школы механики, высказанная её основателем Н. Е. Жуковским: “Мне кажется, что этот девиз -решение определенных реальных задач механики — являлся руководящим для большинства учеников московской школы теоретической механики”.

Завершая рассказ о развитии механики и прикладной математики в Московском университете в XIX в., напомним, что Н.Е. Жуковский был избран членом-корреспондентом Петербургской АН в 1894 г., позже отказался бал-

дотироваться в академики. Он был избран вице-президентом Московского математического общества в 1903 г., а в 1905 — президентом этого Общества. Деканами физико-математического факультета избирались: с 1833 по 1848 гг. проф. Д. М. Перевощиков (он же избирался ректором Университета с 1848 по 1851гг.); с 1876 по 1878г. — проф. В. Я. Цингер, с 1878 по 1880г. проф. А.Ю. Давидов, с 1880 по 1885 — проф. В. Я. Цингер с 1891-1893 -проф. Ф. А. Слудский, с 1893 по 1894 — проф. Н. В. Бугаев. Приведены имена деканов физико-математического факультета, преподававших математику и механику.

После 1918 г. университет, его факультеты и кафедры были переименованы или реорганизованы. Подробности поисков новых форм деятельности университета можно найти в книге “История Московского университета” во втором томе [4].

Пожалуй, свой статус сохранила только кафедра теоретической механики. Когда в мае 1933 г. была введена четкая система факультетов, число которых постепенно увеличивалось, появился механико-математический факультет, в составе которого было четыре механических кафедры: кафедра теоретической механики (заведующий — член-корреспондент АН СССР А. И. Некрасов), кафедра гидромеханики (заведующий — член-корреспондент АН СССР Л. С. Лейбензон), кафедра аэромеханики (заведующий ставший вскоре членом-корреспондентом АН СССР В. В. Голубев), кафедра теории упругости (заведующий проф. Н. Н. Бухгольц). Эти четыре кафедры, входившие в Отделение механики факультета, расширяясь численно, существовали до войны, позже их число стало возрастать. На Отделениях математики и астрономии механико-математического факультета перед войной было семнадцать кафедр, возглавляемых крупными учеными.

Можно считать, что кафедра теоретической механики явилась традиционным продолжением ранее функционировавшей с 1866 г. кафедры механики. Хотя в её названии более не произносилось слово “практической”, по сути в составе кафедры были специалисты по прикладным областям механики, например, Н. А. Слезкин — специалист в области гидромеханики вязкой жидкости, внешней баллистики; позже работал И. И. Артоболевский — специалист по теории механизмов и машин; Б. В. Булгаков — специалист по теории гироскопов и теории колебаний; А. П. Минаков — специалист по механике нити. Заведующий кафедрой теоретической механики А. И. Некрасов (1883-1957) был знатоком небесной механики, аналитической динамики, но большинство его научных трудов относится к гидромеханике, в частности, к теории волн. Он был активным помощником С. А. Чаплыгина по организации ЦАГИ, будучи членом Коллегии ЦАГИ (формально её консультантом) с 1923 г. С 1930 г. Некрасов был назначен заместителем Директора ЦАГИ по научной работе. Прекрасные учебники Некрасова по теоретической механике издавались с 1922 г. типографским способом. Будучи ведущим специалистом и организатором научной работы ЦАГИ, талантливым и глубоко знающим предмет лектором теоретической механики и спецкурсов гидромеханики в МГУ, умело

возглавляя работу обширного коллектива кафедры теоретической механики МГУ, член-корреспондент АН СССР А. И. Некрасов по необоснованному обвинению был репрессирован с 1938 по 1943 гг. вместе с группой специалистов ЦАГИ А. Н. Туполева. Позже он снова продолжал заведовать кафедрой теоретической механики механико-математического факультета МГУ, в 1946 г. был избран действительным членом АН СССР, а в 1952 г. был удостоен Государственной премии СССР.

В 1938-1943 гг. кафедру теоретической механики возглавлял тоже ученик Н. Е. Жуковского — проф. Н. Н. Бухгольц (1880-1944), автор знаменитого университетского “Курса теоретической механики”.

После смерти А.И. Некрасова в 1957 г. на посту заведующего кафедрой теоретической механики его заменил член-корреспондент (с 1943 г.) АН СССР Н. Г. Четаев (1902-1959). Выдающийся представитель Казанской школы механики, Н. Г. Четаев переехал в Москву в 1940 г., работая в Институте механики АН СССР и по совместительству профессором кафедры теоретической механики МГУ. Важнейшие труды Н. Г. Четаева развивают теорию устойчивости А. М. Ляпунова. В годы Отечественной войны Н. Г. Четаев решил задачу об устойчивости продольно-вращательного движения артиллерийского снаряда и об определении крутизны нарезки стволов артиллерийских орудий. Он был награжден орденом Трудового Красного Знамени в 1945 г. и орденом Ленина в 1953 г., в 1960 г. научные результаты Н. Г. Четаева были удостоены Ленинской премии (посмертно).

В 1959 г. работать совместителем был приглашен проф. Д. Е. Охоцимский, Лауреат Ленинской премии, ближайший сотрудник М. В. Келдыша в области космической баллистики. Спецкурс Д. Е. Охоцимского “Динамика космического полета” [5] стал сразу весьма популярным: поточная аудитория 16-10 была заполнена слушателями. В 1960 г. Охоцимский был избран членом-корреспондентом АН СССР, а в 1962 г. он стал заведующим кафедрой теоретической механики. Он был удостоен высокого звания Героя Социалистического Труда в 1961 г., Лауреата Ленинской премии в 1957г., Государственной премии СССР в 1970 г., многократно награжден орденами и медалями СССР. Имя “Охоцимский” присвоено малой планете №8061 в 2001 году. Круг его научных интересов обширен. Вот лишь некоторые из занимающих его проблем: динамика полета и управление движением ракет и космических аппаратов, механика и управление движением робототехнических систем с элементами искусственного интеллекта. Так как он увлек этой тематикой несколько ученых кафедры теоретической механики, то в XXI веке название кафедры расширилось: кафедра теоретической механики и мехатроники.

В конце 1941 г. из состава кафедры теоретической механики с привлечением свежих сил была организована кафедра прикладной механики (ныне прикладной механики и управления). Заведующим был избран проф. И.И. Артоболевский (впоследствии академик АН СССР). И.И. Артоболевский был специалистом в области теории механизмов и машин. Другое важное направление научной и педагогической деятельности новой кафедры возглав-

лял проф. Б.В.Булгаков, избранный в 1946 г. членом-корреспондентом АН СССР. Это направление, ставшее позже приоритетным на кафедре, сводилось к исследованию задач теории гироскопов и теории колебаний. Возглавив кафедру прикладной механики в 1943 г., Б. В. Булгаков был назначен заведующим кафедрой в 1944 г. Плодотворная и яркая научная деятельности Б.В.Булгакова оборвалась ранней кончиной в 1952 г. С 1952 по 1956гг. и.о. заведующего кафедрой прикладной механики был проф. Я. Н. Ройтенберг, один из ведущих специалистов страны в области автоматического управления.

В 1956 г. заведующим кафедрой прикладной механики был избран академик АН СССР А. Ю. Ишлинский. Обширный цикл его научных исследований с весьма эффективными для мореплавания, авиации и космонавтики результатами посвящен различным аспектам теории гироскопов. Перечислим коротко лишь некоторые из затронутых в его работах проблем: задача о совместной работе связанных между собой с помощью сервосвязей двух кардановых подвесов; задача согласованности нескольких стабилизированных устройств на корабле, а также влияния на показания этих приборов бортовой и килевой качки. Ишлинским сформулирована и доказана теорема о соотношении между угловыми параметрами движения гироскопической рамы и мерой телесного угла, описанного осью рамы в процессе движения её основания. Ишлинский исследовал и нашел закономерности явления упругих деформаций элементов конструкций гироскопических систем, вызывающих появление возможных ошибок в показаниях гироприборов. Он поставил и решил ряд актуальных нелинейных задач теории гироскопов, построил теорию сложных систем гироскопических стабилизации, теорию пространственного гироскопического компаса. Работы по теории инерциальных навигационных систем послужили началом и основой формирования современных представлений в этой области. Книга А. Ю. Ишлинского “Ориентация, гироскопы и инерциальная навигация” [6] стала итоговой монографией в этой области во второй половине XX в.

Как организатор теоретической, экспериментальной и педагогической деятельности кафедры А. Ю. Ишлинский проявил дар предвидения, понимание современных запросов техники и большой талант руководителя, который подобно своеобразному приводу инициирует активные и плодотворные исследования талантливого коллектива ученых, как бы оставаясь в тени. Демократичный стиль руководства кафедрой (это наблюдается в других организациях, возглавляемых А. Ю. Ишлинским) сочетается с твердым владением “рулем”. Множество наград, почетных званий, избраний иностранным членом других Академий наук является следствием его разнообразных заслуг перед наукой и техникой. Назовем лишь некоторые из его наград и премий: Герой Социалистического Труда (1961), Лауреат Ленинской (1960), Государственных премий СССР (1981), России (1996) и премии им. Академика А. И. Динника (1981), Заслуженный профессор Московского и Киевского университетов. С 1993 г. кафедра расширила свое название: прикладной механики и управления (ПМ и У).

В 1951 г. была организована кафедра газовой и волновой механики, поначалу в названии было только — “газовой динамики”. Организовал кафедру и бессменно до 1988 г. ею руководил Герой Социалистического Труда (1979), академик АН Уз. ССР (1947), Заслуженный деятель Науки и техники РСФСР и Уз. ССР профессор X. А. Рахматулин. К наиболее известным его результатам относятся исследования волн разгрузки в упруго-пластической сплошной среде, многие результаты в аэродинамике проницаемого тела, в гидроаэродинамике и газовой динамике многофазных систем, в теории грунтов. X. А. Рахматулин разработал и внедрил в промышленность гиперзвуковую трубу адиабатического сжатия. Он лауреат Государственных премий 1949 и 1974 гг.

С 1989 г. кафедрой газовой и волновой динамики заведует академик АН СССР, Лауреат Государственной премии СССР (1984), Заслуженный профессор МГУ (1998), иностранный член нескольких академий наук Е.И. Шемякин.

В 1953 г. профессором Ю. Н. Работновым была создана кафедра теории пластичности. Научные интересы коллектива кафедры касались теории оболочек, теории ползучести и пластичности, динамики пластических сред, механики разрушения. Позже стали изучаться задачи термомеханики наследственной вязкоупругости.

После кончины академика Ю. Н. Работнова в 1985 г. заведовать кафедрой теории пластичности стал проф. В. Д. Клюшников. Официальное избрание его на пост заведующего кафедрой произошло в 1989 г. Его монографии посвящены проблемам устойчивости упругопластических систем, задачам о разрушении упругопластического тела.

После 2001 г. заведовать кафедрой теории пластичности стал проф. С. А. Шестериков, автор ценных монографий по проблемам деформирования и разрушения твердых тел, устойчивости элементов конструкций, теории ползучести. Он возглавил работы по экспериментированию с упругопластическими средами. С. А. Шестериков — Лауреат Государственной премии РСФСР (1989), Премии Минвуза СССР (1990).

В 1987 г. в связи с потребностью исследований механики объектов, движение которых описывается разрывными функциями, был организована кафедра механики композитов. Её организатором и заведующим с этого времени стал проф. Б. Е. Победря, ныне академик РАЕН, Лауреат Государственной премии СССР, Заслуженный деятель науки РФ. Основные направления научной работы кафедры: теория определяющих соотношений и тензорные анизотропные функции и операторы, вычислительная механика композитов, учет тепловых и электромагнитных явлений, химических реакций, диффузии и других специфических для механики композитов факторов.

В 1998 г. была организована кафедра вычислительной механики, которой заведует академик РАН (1992), выпускник механико-математического факультета 1958 г. В. П. Мясников. Основные направления исследований: математические модели и вычислительные методы интегрирования основных

типов уравнений математической физики (эллиптических, параболических, гиперболических), вопросы сходимости обобщенных решений в приложении к прикладным задачам. Предметами исследования ученых кафедры и их последователей являются химически активные среды, жидкость и газ, плазма, течение в пористых средах, объекты нелинейной теории упругости.

Итак, на Отделении механики механико-математического факультета, которое с 1989 г. возглавляет академик Г. Г. Черный, работает девять кафедр, четыре из которых основаны по замыслу Н. Е. Жуковского и С. А. Чаплыгина в 1933 г., кроме того с 1959 г. функционирует Научно-исследовательский институт механики МГУ (директор Ю. М. Окунев) с шестью научно-исследовательскими отделами и четырнадцатью лабораториями.

Коротко остановимся на истории образованных в 1932-1933 гг. кафедр аэромеханики, гидромеханики и теории управления.

Приказом ректора МГУ №142 от 25 октября 1932 г. на физико-математическом факультете Московского университета была организована кафедра аэромеханики. С момента её образования бессменным заведующим до декабря 1954 г. был профессор член-корреспондент АН СССР (с 1934) В. В. Голубев. Будучи первоклассным математиком в области теории функций, Голубев за время работы в ЦАГИ в качестве одного из ближайших помощников С. А. Чаплыгина проявил себя как выдающийся теоретик в области теории крыла бесконечного размаха, конечного размаха, тонкого крыла, машущего крыла, в теории пограничного слоя, вихревого сопротивления движению самолета, в теории разрезного механизированного крыла.

После кончины В. В. Голубева с декабря 1954 г. заведующим кафедрой аэромеханики и газовой динамики по совместительству становится профессор Г. И. Петров, избранный в 1953 г. членом-корреспондентом АН СССР. Он придал несколько видоизмененное направление разработкам кафедры, что отразилось в расширенном наименовании кафедры — аэромеханики и газовой динамики. Г. И. Петров был удостоен звания Героя Социалистического Труда, награжден многими орденами и медалями, ему дважды присуждались Государственные премии.

Весной 1988 г. кафедру аэромеханики и газовой динамики возглавил выдающийся ученый в этой области академик АН СССР (1981) Г. Г. Черный. В июле 1941 г. по окончании первого курса механико-математического факультета МГУ Горимир Черный добровольно вступил в ряды Московского ополчения, участвовал в боях на подступах к столице под Ельней (с. Уварово), позже прошел артиллеристом до победного мая 1945 г. В 1956 г. Г. Г. Черный защитил докторскую диссертацию, с 1960 г. работал профессором кафедры гидромеханики. С 1960 по 1992 гг. работал директором Научно-исследовательского института механики МГУ, с 1992 по 1997 гг. — академик-секретарь Отделения проблем машиностроения, механики и процессов управления РАН. Область научных интересов Г. Г. Черного: гидромеханика, теоретическая и прикладная аэродинамика, газовая динамика, теория горения и взрывов. Кроме многих орденов в Отечественной войне, имеет много наград

мирного времени. Он — лауреат Государственных премий СССР (1972, 1978, 1991), премии Совета Министров СССР (1985), премии им. М. В. Ломоносова 1 степени (МГУ, 1965). Награжден золотой медалью и премией 1 степени им. Н.Е.Жуковского (1959), премией им. С.А.Чаплыгина (1976).

Кафедрой гидромеханики заведовали академики Л. С. Лейбензон (1932-1938, 1944-1951) и Н.Е. Кочин (1938-1944). Два года обязанности заведующего кафедрой гидромеханики исполнял проф. Н. А. Слезкин — известный специалист в области гидродинамики вязкой жидкости, кинетической теории газов, внешней баллистики.

С 1953 по 1999 гг. кафедрой гидромеханики руководил академик Л. И. Седов (1907-1999). Широко известны научные заслуги Л. И. Седова в механике, математике, астрофизике. На его сочинениях воспитывалось не одно поколение ученых. Он — создатель крупной научной школы гидромехаников. Среди его учеников — четыре академика, более пятидесяти докторов и ста тридцати кандидатов наук.

В 1944г. Л.И.Седов представил точное решение автомодельной задачи о сильном взрыве со сферическими, цилиндрическими и плоскими волнами с применением к проблеме взрыва атомной бомбы в атмосфере воздуха. Им была построена общая теория автомодельных движений сплошной среды. В 1951 г. Л. И. Седов был удостоен Государственной премии СССР за монографию “Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики”, выдержавшую несколько изданий. В 1954г. он был удостоен премии им. М.В.Ломоносова за работу “Приложение газовой динамики к теории светимости звезд и к теории звездных вспышек”. В 1967г. Л.И.Седову присвоено звание Героя Социалистического Труда с вручением ему золотой медали “Серп и молот”. Он награжден пятью орденами Ленина, двумя орденами Трудового Красного Знамени, орденом “Знак почета”, многими другими наградами и медалями различных стран.

С 1999 г. кафедрой гидромеханики заведует проф. В. П. Карликов. Область его научных интересов: теория взрыва, гидродинамика скоростного движения в воде, экспериментальная и прикладная гидродинамика. Он впервые получил линеаризованное аналитическое решение задачи о сильном точечном взрыве в неоднородной атмосфере, решил ряд новых задач о взаимодействии сильных взрывных волн с электромагнитным полем. В. П. Карликов разработал ряд уникальных методик экспериментальных исследований в области гидродинамики скоростного движения. Он — действительный член РАЕН, а также член Совета по проблемам гидродинамики при Президиуме РАН. Награжден знаком “Изобретатель СССР”, лауреат Государственной премии СССР (1976), премии им. Н.Е.Жуковского (1978), награжден медалью им. М. В. Келдыша, медалью им. П. Л. Капицы, удостоен почетного звания “Заслуженный профессор МГУ” (1999) и премии им. М.В.Ломоносова II степени (2000).

Кафедра теории упругости была в окончательном виде сформирована весной 1933г. Заведующим кафедрой был утвержден профессор H.H. Бух-

гольц (1880-1944). В предвоенные годы одной из главных задач кафедры была организация лабораторного кабинета, оснащенного современным экспериментальным оборудованием. С 1939 по 1946 гг. кафедрой теории упругости заведовал академик АН СССР (1943) Л. С. Лейбензон, автор университетского учебника по теории упругости (1942) и монографии о вариационных методах решения задач теории упругости. Отдельные его работы этого направления касались задач кручения и изгиба авиационных профилей.

С 1946 г. кафедрой упругости заведовал проф. А. А. Ильюшин (1911-1998), член-корреспондент АН СССР (1943), член Академии артиллерийских наук Министерства Вооруженных сил СССР (1947). А. А. Ильюшин — выдающийся ученый, сделавший фундаментальные научные открытия в различных областях механики деформируемых тел, главное из них — теория пластичности в широком понимании слова; кроме того, теория термовязкоупругости; теория длительной прочности. Теория малых упруго-пластических деформаций при простом нагружении создана А. А. Ильюшиным в связи со “снарядным голодом” в конце 1941 г. Дополненная методом упругих решений, она стала основой расчетов на прочность и устойчивость стволов и снарядов за пределами упругости. Разнообразные научные направления работы кафедры начинались с фундаментальных исследований А. А. Ильюшина в этой области.

С сентября 1998 г. кафедрой теории упругости заведует выпускник этой кафедры, ныне профессор И. А. Кийко. Область научных интересов И. А. Кийко: теория пластичности, физико-математические основы технологии обработки металлов давлением, теория волн в сплошных средах, динамика и устойчивость пластин и оболочек. И. А. Кийко — заслуженный профессор МГУ с 2002 г., член бюро Научного совета РАН по прочности и пластичности. Награжден медалью им. П. Л. Капицы и медалью “За заслуги в деле возрождения науки и экономики России”.

Деканами механико-математического факультета были: В. В. Голубев (1933, 1934, затем 1944-1952), Л. А. Тумаркин (отделение математики, 1935-1939), И.Г.Петровский (отделение математики, 1940-1944), Ю.Н. Работнов (отделение механики 1952-1954), А.Н.Колмогоров (отделение математики, 1954-1958), Н. А. Слезкин (отделение механики, 1958-1962), Н.В.Ефимов (отделение математики, 1962-1969), П. М. Огибалов (отделение механики, 1969-1977), А. И. Кострикин (отделение математики, 1977-1981), О. Б. Лупанов (отделение математики, 1981 по настоящее время).

ЛИТЕРАТУРА

1. Жуковский Н.Е. Механика в Московском университете. Собр. соч., т. 7. — М.-Л.: ГИТТЛ, 1950. С. 57-65.

2. Жуковский Н. Е. Некролог и очерк ученой деятельности Ф. Е. Орлова. Собр. соч., т. 7. С.150-164.

3. Жуковский Н. Е. Аэродинамические лаборатории Московского университета и Московского высшего технического училища. Собр. соч., т. 7. С. 32-57.

4. История Московского университета. — М.: МГУ, 1955. 456 с.

5. Охоцимский Д. Е. Динамика космических полетов. — М.: МГУ, 1968. 157 с.

6. Ишлинский А. Ю. Ориентация, гироскопы и инерциальная навигация. — М.: Наука, 1976, 1981. 670 с.

ON THE DEVELOPMENT OF APPLIED MATHEMATICS AND MECHANICS AT MOSCOW UNIVERSITY (XVIII-XXI cc)

I. A. Tiulina

The article is dedicated to 250th anniversary of Moscow University and tells the history of development of important applied mathematics and mechanics trends at the university from the moment of its foundation.

Keywords: Moscow University history, applied mathematics, mechanics.

ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ

УДК 37(091)

ДВУХВЕКОВОЙ ЮБИЛЕЙ ВЫСШЕГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ В РОССИИ

Т. С. Полякова

Ростовский государственный педагогический университет, Россия, 344065, г. Ростов-на-Дону, пер. Днепровский, 116, к. 252; тел.: (8632)507525; e-mail: polyakov@don.sitek.net

Согласно Уставу университетов 1804 г., к трем ранее функционировавшим факультетам добавляется физико-математический факультет (отделение). Это позволяет с полным основанием считать, что 2004 г. является годом 200-летия отечественного высшего математического образования. Замечательному юбилею и посвящена эта статья. В ней охарактеризована образовательная ситуация в России начала XIX в., кратко охарактеризованы глобальная образовательная реформа 1802-1804 гг., математическое образование на физико-математическом факультете Московского университета, а также учреждение Казанского университета.

Ключевые слова: высшее математическое образование, глобальная образовательная реформа, Устав университета, физико-математический факультет, Московский университет, Казанский университет.

В 2001 г. математическая общественность России праздновала неординарное событие — трехсотлетие отечественного математического образования: 14 января 1701 г. Петром I издан указ об учреждении первого русского государственного светского учебного заведения, которым стала знаменитая московская математико-навигацкая школа. Именно с этого момента подобает вести отсчет истории математического образования в России, да и светского образования вообще.

В наступающем 2004 г. грядет событие не менее значимое — исполняется 200 лет высшему математическому образованию в нашей стране. Прежде чем говорить непосредственно о событиях, подтверждающих грядущий юбилей, позволим себе небольшую преамбулу, вводящую читателя в образовательную ситуацию России двухвековой давности.

1804 г. — начало нового, третьего этапа истории развития отечественного математического образования. Эти этапы выделены и охарактеризованы нами в [1, с. 13-16].

Одной из характерных особенностей предшествующего, второго этапа, который назван нами этапом его становления и который охватывает весь XVIII в., является нерасчлененность его на возрастные или содержательные ступени [1, с. 13]. В это время вызревают основы как начального, так и среднего, а также высшего математического образования, но, грубо говоря, во всех учебных заведениях изучалась одна математика с той или иной степенью полноты и глубины. В образовательных системах этого периода обучался разновозрастной состав учеников.

Положение изменилось с приходом к власти Александра I (1801-1825), который с младых лет готовился Екатериной Великой к управлению государством, был достаточно образованным человеком и отличался, особенно в начале своего царствования, либеральными взглядами. Будучи приверженцем образовательных идей французских просветителей, он считал образование важнейшим ресурсом реформирования страны и осознавал необходимость вложения в него значительных сил и средств.

Именно поэтому отечественные государственные реформы начала XIX в., связанные с именем М.М. Сперанского1, существеннейшим образом коснулись образовательной сферы. В рамках этих реформ в 1802 г. для централизации государственного аппарата вместо коллегий, созданных еще Петром I, учреждаются министерства. В их числе и “Министерство народного просвещения, воспитания юношества и распространения наук”, основной целью которого было единое руководство системой образования. Министерством2 разработана и реализована новая система управления народным образованием. В соответствии с ней в России были созданы 6 учебных округов — Петербургский, Московский, Белорусско-Литовский, Дерптский, Казанский, Харьковский. Во главе учебных округов поставлены университеты (ученые коллегии и попечитель), которые подчинялись министерству и созданному при нем совету попечителей. В трех округах университеты уже существовали (Московском, Виленском и Дерптском). В остальных их предстояло еще учредить, “что считалось одною из главных задач попечителей этих округов” [3, с. 384]. Уже в 1804 г. были основаны университеты в Казани и в Харькове. В Петербурге в том же 1804 г. был учрежден педагогический институт, преобразованный в университет лишь в 1819 г.

При министерстве народного просвещения было создано Главное правление училищ. В соответствии с подготовленным им указом 1803 г. “для нравственного образования граждан, соответственно обязанностям и пользам каждого состояния, определяются четыре рода училищ, а именно: 1) приходские, 2) уездные, 3) губернские или гимназии и 4) университеты” [4, с. 15].

Заканчивая преамбулу, подчеркнем, что в соответствии с указом под патронатом университетов оказались три типа школ: приходская (одно училище на два прихода, один год обучения), уездная (в каждом городе, два года) и гимназия (в губернском городе, четыре года). Приходские училища были призваны готовить детей к поступлению в уездные, предоставляя “детям земледельческих и других состояний сведения, им приличные”. Уездные училища готовили учащихся в гимназии и открывали “детям различного

1 Михаил Михайлович Сперанский (1772-1839) — государственный и политический деятель, автор общего плана государственных преобразований в начале царствования Александра I — имел самое непосредственное отношение к математическому образованию: с 1791г. он преподавал в Александро-Невской духовной семинарии математику, физику, красноречие, философию. В общем плане реформ была представлена единая система государственного образования, имевшая ярко выраженные либеральные черты. В 1812 г. Сперанский был отстранен от обязанностей госсекретаря, в связи с чем его реформы, в том числе образовательные, были приостановлены.

2 Первым министром народного просвещения был назначен граф Петр Васильевич Завадовский (1739-1812), один из инициаторов открытия многих высших учебных заведений страны [2, с. 307].

состояния необходимые познания, сообразные состоянию их и промышленности“ [5, с. 24]. Гимназии являлись преемницами уездных училищ и готовили учащихся к поступлению в университет. ”Каждая школа начинает с того, чем кончила предыдущая; таким образом обеспечен прямой переход из одной школы в другую“ [6, с. 40], что и ранее, и в более поздние времена не всегда характеризовало отечественную школу.

Итак, в начале XIX в. в России законодательно закреплено разделение образования на начальное (приходские и уездные училища), среднее (гимназии) и высшее (университеты).

В 1804 г. был принят Устав университетов. Это позволяет по праву считать его годом рождения в России высшего математического образования: согласно Уставу университеты учреждались в составе 4 факультетов или отделений — “нравственных и политических, физических и математических (выделено нами — Т.П.), врачебных, или медицинских, и словесных наук” [7, с. 8]. Таким образом, в университетах впервые были организованы самостоятельные физико-математические факультеты. До этих пор только внутри наиболее продвинутых образовательных учреждений, входящих преимущественно в профессиональную образовательную систему (Морской, Сухопутный и Инженерно-артиллерийский шляхетные кадетские корпуса, Горное училище), а также в университете при Академии наук и Московском университете читались избранные курсы высшей математики, которые преподавали первоклассные специалисты (академики Л. Эйлер, С. Я. Румовский, С. К. Котельников, Н. И. Фусс и др.). Поэтому мы склонны считать их прообразами высшего математического образования в России, хотя чаще всего в них не было математических кафедр и не готовились специально кадры математиков высшей квалификации.

Подчеркнем, что колыбелью высшего математического образования в России стали университеты. Университетскому образованию министерство просвещения уделяло особое внимание. На его финансирование в 1803-1806 гг. государство ассигновало громадные по тем временам деньги -по 130 тыс. рублей на университет [2, с. 49]. В 1803 г. был установлен “образовательный ценз для государственных чиновников, исполнение обязанностей которых требовало специальных знаний” [7, с. 8], а в 1809 г. для них ввели экзамены на чин3. Именно университеты готовили чиновников государственного аппарата и преподавателей для создающейся сети учебных заведений.

Содержание университетского математического образования определялось математическими кафедрами, в качестве которых чаще всего функционировали кафедры чистой математики и прикладной математики. Чистая математика, которая читалась первые два года обучения, включала повторительный курс арифметики, алгебры, геометрии и тригонометрии, а также разделы высшей математики — аналитическую геометрию и высшую алгебру, дифференциальное и интегральное исчисления, “а со временем и другие собственно математические предметы” [7, с. 50]. Прикладная математика

3 По этому закону, изданному под влиянием М. М. Сперанского, для чиновников, желающих получить должность 8-го класса, устанавливался особый экзамен. Чтобы подготовить их к нему, при университете должны были читаться специальные лекции для чиновников.

изучалась на третьем году обучения и включала механику, оптику, астрономию и др.

Математике по-прежнему уделялось большое внимание в профессиональной образовательной системе, в которую входили военные, морские, инженерные и другие специальные учебные заведения. Программы по математике в них в этот период существенно расширены и часто не уступают университетским.

Ранее мы упоминали о том, что в России в то время было три университета, из которых в пределах современных границ находится только Московский университет, особенностям организации в котором математического образования мы и уделим внимание.

В 1804 г. в Московском университете был учрежден факультет физических и математических наук, на котором функционировало восемь кафедр: 1) опытной и теоретической физики, 2) чистой математики, 3) прикладной математики, 4) астрономии, 5) химии, 6) ботаники, 7) минералогии и сельского домоводства, 8) технологии и наук, относящихся к торговле и фабрикам. Из этого списка видно, как широко и неоднозначно для современника трактовались тогда физические и математические науки. Как считает А. П. Юшкевич, всей подготовке студентов “сообщен был в значительной мере прикладной характер” [8, с. 219], что делалось с учетом интересов сельского хозяйства и развивавшейся промышленности. Согласно уставу, срок обучения на факультете — три года. Он готовил гимназических учителей, а также кадры ученых-математиков и преподавателей математики университетов. Впервые вводились ученые степени: кандидата, магистра и доктора.

До самого начала XIX в. в Московском университете изучалась лишь элементарная математика4. Только в 1800-1801 уч. г. экстраординарный профессор В. К. Аршеневский начал читать курс, который он назвал “О свойствах кривых линий, в особенности конических”. В последующие годы программы по высшей математике увеличивались. Начиная с 1805 г., “Василий Аршеневский. .., чистой математики профессор..., по руководству Бюржи и других лучших, особливо новейших писателей преподавать будет слушателям своим вышнюю геометрию, в которой покажет пользу и употребление дифференциальных и интегральных исчислений” [10, с. 142]. Кроме Аршеневского элементы высшей математики читает профессор математики Иван Иде, очень образованный, по мнению Н.Е. Зернова, ученый “выписанный” в 1804 г. из Геттингена. Он, “окончив уже в прошедшем году аналитику определенных величин и теорию пределов, изъяснять будет слушателям своим... дифференциальное и интегральное исчисление и покажет употребление основание оного в вышней геометрии и в смешанной математике” [10, с. 153-154]5. На кафедре чистой математики в это время недолго, но очень плодотворно работал В. А. Загорский, лекции которого пользовались большой популярностью у слушателей. Большая заслуга Загорского состоит и в том, что он очень

4 О преподавании математики в Московском университете до этого времени см. подробнее: [9, с. 182-197].

5 Как подчеркивает Н.Е. Зернов, “это был единственный выписной профессор математики: таким образом все достояние Москвы, а за нею почти и всей России, по этой части возрастало собственными силами” [10, с. 154].

качественно перевел курс математики Безу в пяти томах, который несколько смягчил дефицит учебной математической литературы.

Таким образом, в период создания высшего математического образования в Московском университете читались лекции по основным разделам высшей математики, студенты обеспечивались достаточно качественной математической литературой.

У Московского университета этого периода есть еще одна важная заслуга перед математическим образованием. Дело в том, что со времени своего создания университет добровольно, в инициативном порядке взял на себя функции патроната отечественного гимназического образования. Его усилиями создана первая в стране активно действующая гимназическая образовательная система, включающая две гимназии и Благородный пансион при Московском университете, а также созданные и патронируемые им две гимназии в Казани и сеть благородных пансионов в губернских городах России. Московский университет готовил для этой системы преподавателей, снабжал гимназии учебниками и даже денежными средствами6.

С принятием в 1804 г. нового устава, который даже имел “говорящее” название “Устав учебных заведений, подведомственных университетам”, эти функции были официально возложены на университеты.

Приведем краткие извлечения из устава, характеризующие функции университетов в руководстве ими училищами всех типов.

“1. Учебные заведения, подведомые университетам, суть: гимназии, уездные, приходские и другие, под каким бы то ни было названием училища и пансионы, находящиеся в губерниях, к каждому университету причисленных...

10. Все учители гимназий определяются тем университетом, в округе коего состоит гимназия, по представлениям директора или и непосредственно...

11. В гимназии, сверх обыкновенного преподавания наук, приготовляются к учительской должности... они испытуются в знаниях своих; после чего с ведома университета, за подписанием директора и учителей, получают свидетельства, ... потребные учителям училищ...

64. Директор гимназии избирается университетом того округа, к которому оная принадлежит...

66. Директор непосредственно зависит от университета, в который обо всех училищных делах представляет во всякое время...

68. По делам училищным, требующим пособия земского правительства, ...директор относится к губернатору, донося о том университету...” [11, с. 216-225].

Даже в частных учебных заведениях “содержатели и учители пансионов обязаны учить вообще по тому расположению часов, которое по представленному от них плану университетом утверждено...” [11, с. 234-235].

Итак, на университеты, поставленные реформой отечественного образования 1804 г. во главе учебных округов, возлагались обязанности по подготовке и подбору руководящих и преподавательских кадров всех видов учебных заведений начала XIX в., а также контроль за их деятельностью. Ректор

6 См. подробнее в юбилейной статье, посвященной 250-летию Московского университета, “Московский университет и развитие отечественного гимназического математического образования в Российской империи” в нашей книге [9, с. 13-31].

университета совмещал свои прямые обязанности с должностью попечителя учебного округа.

Заметим, что университеты, кроме Московского, Виленского и Дерптского, еще только предстояло создать. В то же время Московский университет, накопивший богатый опыт патронирования целой сети гимназий, оперативно включился в руководство всеми учебными заведениями Московского учебного округа.

Отдавая должное значительной роли Поволжья в развитии высшего математического образования в первой трети XIX в., заключительную часть статьи посвятим созданию Казанского университета, для которого наступающий 2004 г. является юбилейным: ему, как и высшему математическому образованию России, исполняется 200 лет.

Организация Казанского университета во многом связана с именем одного из первых русских академиков-математиков, ученика Эйлера Степана Яковлевича Румовского — попечителя Казанского учебного округа.

Этот округ был самым обширным в Российской империи. В него входило 13 губерний от Нижегородской до Тихого океана и от Пермской до Астраханской. Трудности распространения просвещения в столь обширном и удаленном от интеллектуальных центров России округе не требуют особых комментариев. Несмотря на серьезные препятствия, С. Я. Румовский очень много сделал для развития просвещения в подведомственном ему учебном округе. Сохранилась его собственная оценка этих нелегких трудов в письме министру народного просвещения: “В течение 8-ми лет я сам нес всю тяжесть училищного совета и самого университетского совета. Под моим наблюдением учреждено 7 гимназий и 8-я в Вятке готовится к открытию, 27 уездных и приходских училищ, которые все равно что университеты, и 5 главных народных училищ с подведомственными им малыми училищами” [12, с. 181].

Одной из основных задач Румовского как попечителя учебного округа была организация Казанского университета, который должен был служить научно-образовательным центром Востока России. Румовский участвовал в создании достаточно демократичного устава университета, в котором были учтены и специфические особенности округа. В частности, он добился создания кафедры восточных языков и востоковедения. Основное внимание С. Я. Румовский уделил подбору высококвалифицированного преподавательского состава. Требовалось укомплектовать 27 университетских кафедр. Если учесть, что одновременно шло комплектование кафедр еще в 5 округах Российской империи, то можно представить себе, каким нелегким было это дело. Румовский использовал все возможные пути: 1) пригласил в университет лучших учителей Казанской гимназии; 2) благодаря своим широким научным связям рекомендовал на должности преподавателей выпускников Педагогического института и других учебных заведений столицы; 3) обратился к иностранным ученым с предложениями занять вакантные кафедры в Казанском университете.

Румовский обладал удивительной способностью распознавать педагогический талант, благодаря чему Казанский университет достаточно быстро был укомплектован прекрасными преподавательскими кадрами. Особое вни-

мание он уделял замещению вакансий кафедр математики, физики и астрономии. Первым преподавателем, положившим начало блестящему расцвету математических наук в Казанском университете, был воспитанник Московского университета Г. И. Карташевский, в год открытия университета ставший адъюнктом высшей математики. Одновременно Румовским было получено согласие учителя и друга К. Гаусса проф. M. X. Бартельса занять в Казанском университете кафедру высшей математики, хотя тот к исполнению своих обязанностей приступил только через 3 года. Но по его рекомендации в качестве профессора прикладной математики при Казанском университете был утвержден магистр математики из Геттингена Г. Ф. Раппер7, в течение 10 лет добросовестно руководивший кафедрой. Именно эти прекрасные преподаватели явились наставниками великого Лобачевского, о котором Бартельс в одном из писем к Румовскому сообщает: “если они (студенты Лобачевский и Симонов — Г. 77.) продолжать будут упражняться в совершенствовании своем, то займут значащие места в математическом кругу” [13, с. 27].

Большое внимание уделял Румовский созданию кабинетов и научных лабораторий. Через несколько лет после открытия в университете работали химический, физический и минералогический кабинеты, анатомический театр, ботанический сад, оборудовалась обсерватория. Быстро комплектовалась библиотека. Румовский сумел приобрести в Петербурге прекрасное собрание (более 5 тыс. томов), состоящее из научных сочинений, коллекции географических карт, словарей [14, с. 123-125].

Итак, в 1804 г. сделан первый шаг в создании мощной отечественной системы высшего математического образования — в соответствии с вновь принятым уставом университетов в них открылись физико-математические факультеты, которые призваны были готовить кадры высококвалифицированных математиков и укомплектовывать ими начинающую развиваться науку, вновь создаваемую образовательную систему. Появление уже через 20 лет в самом удаленном от сложившихся к тому времени интеллектуальных центров Казанском университете такого гениального математика, каким был Николай Иванович Лобачевский, является одним из первых и несомненных показателей эффективности созданной системы высшего математического образования.

Прошедшие с той поры два столетия дают возможность со всей уверенностью утверждать, что эта система во многом является эталонной: практически весь XX век прошел под знаком превосходства отечественной математики, что является в первую очередь следствием эффективности системы математического образования, в том числе высшего. Высокая международная конкурентоспособность отечественного высшего математического образования в настоящее время подтверждается и тем, что в процессе “утечки умов” из России, ставшем одной из острейших проблем национальной безопасности страны, лидирующее положение занимают физики, математики и программисты [15]. Мы с болью и недоумением взираем на процесс колоссальных инвестиций одной из беднейших стран мира, каковой сейчас является Россия,

7 Румовский сумел создать в Казанском университете исключительно благоприятные условия для иностранных ученых. Этому способствовало и то, что период наполеоновских войн пагубно сказался на состоянии науки во многих европейских странах.

в образование, а значит и в экономику самых богатых государств планеты, но с горечью можем констатировать, что он имеет и позитивное значение, являясь механизмом высочайшей мировой оценки качества отечественного математического образования.

ЛИТЕРАТУРА

1. Полякова Т. С. История отечественного школьного математического образования. Два века. Кн. 1: век восемнадцатый. — Ростов н/Д: Ростовский пед. ун-т, 1997. 288 с.

2. Колягин Ю.М. Русская школа и математическое образование. — М.: Просвещение, 2001. 318 с.

3. Брокгауз Ф. А., Ефрон И. А. Энциклопедический словарь “Россия”. — СПб., 1898. 922 с.

4. Юшкевич А. П. Математика и её преподавание в России. XVII-XIX вв. // Мат. в шк. 1948. №1. С. 14-23.

5. Ланков А. В. К истории развития передовых идей в русской методике математики. — М.: Учпедгиз, 1951. 152с.

6. Мрочек В., Филиппович Ф. Педагогика математики. Исторические и методические этюды. Т. 1. - СПб., 1910. 212с.

7. История отечественной математики в 4 т. Т. 2. — Киев: Наукова думка, 1967. 614 с.

8. Юшкевич А.П. История математики в России. — М.: Наука, 1968. 591с.

9. Полякова Т. С. История математического образования в России. — М.: Московский ун-т, 2002. 624 с.

10. Лихолетов И. И., Яновская С. А. Из истории преподавания математики в Московском университете (1804-1860 гг.) // Историко-математические исследования. Вып. VIII. — М.: Гос. изд-во технико-теор. лит-ры, 1955. 635 с.

11. Хрестоматия по истории педагогики. — М.: Учпедгиз, 1938. 548 с.

12. Павлова Г. Е. Степан Яковлевич Румовский. — М.: Наука, 1979. 200 с.

13. Каган В. Ф. Н.И. Лобачевский. — М.-Л.: Гос. изд-во техн.-теор. лит-ры, 1944. 506 с.

14. Периодические сочинения о успехах просвещения в России. — СПб, 1809. T. XXII.

15. Дежина И. Диплом как средство передвижения // Поиск: еженедельная газета научного сообщества. 8 мая 2002. С. 13.

THE SECOND CENTENARY OF HIGHER MATHEMATICAL EDUCATION IN RUSSIA

T. S. Polyakova

According to the Universities Statute of 1804, that year the Faculty of Physics and Mathematics was added to the three existing ones. It gives grounds to consider year 2004 to be the second centenary of national higher mathematical education. This article is dedicated to this remarkable date. It gives an account of the state of education in Russia at the end of XIX century and briefly describes the general educational reform of 1802-1804, mathematical education provided by the Faculty of Physics and Mathematics of Moscow University and the foundation of the University of Kazan.

Keywords: higher mathematical education, general educational reform, University Statute, Faculty of Physics and Mathematics, Moscow University, University of Kazan.

АРХИВ МЕТОДИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ ПО МАТЕМАТИКЕ В РОССИИ

От редакции

Пришло время вернуть читателю статьи и книги, в которых собран уникальный опыт преподавания математики, накопленный в лучших российских вузах. Мы открываем рубрику “Архив методической литературы по математике в России” публикацией отдельных глав из книги Л. Д. Кудрявцева “Современная математика и её преподавание” [1]. Автор 55 лет работает в МФТИ, из них более 35 лет заведовал кафедрой высшей математики.

Впервые книга появилась на полках книжных магазинов и в библиотеках вузов в 1980 году и приобрела такую популярность, что через 5 лет потребовалось её переиздание. С тех пор прошло без малого 20 лет. Мы публикуем отрывки из этой книги “Основные положения преподавания математики” и “Об экзаменах”.

Лев Дмитриевич Кудрявцев — член-корреспондент Российской академии наук, член Европейской академии наук, лауреат Государственной премии СССР, зам. председателя Президиума научно-методического совета по математике Министерства образования РФ. Вот как характеризуют его коллеги А. А. Болибрух, В.А.Ильин, С.М. Никольский, В.М. Филиппов, Г.Н. Яковлев [2]:

“Лев Дмитриевич является крупным ученым, специалистом в области теории функций и теории дифференциальных уравнений. Он — автор более двухсот научных и педагогических работ (монографий, учебников и учебный пособий, статей в научных журналах), научно-популярных книг ”Образование и нравственность“, ”Современное общество и нравственность”. Переводы его книг опубликованы в Англии, Болгарии, ГДР, Польше, США, ФРГ, Чехословакии.

Львом Дмитриевичем проведены исследования по метрической и топологической теории дифференцируемых отображений. Им изучены как общие свойства этих отображений, так и отдельные их классы. Он исследовал гомологические группы локально-компактных пространств и гомоморфизм этих групп.

Льву Дмитриевичу принадлежат фундаментальные работы по теории вложения функциональных пространств и по ее приложениям к вариационным задачам для дифференциальных уравнений с частными производными. Им создана теория вложения пространств с весом и на основе этой теории развит вариационным метод решения краевых задач для эллиптических уравнений, вырождающихся у границы области. За последние годы им созданы для линейно-асимптотических обыкновенных дифференциальных уравнений основы общей теории задач с начальными асимптотическими данными в особых точках уравнений.

... В своей книге “Мысли о современной математике и её изучении” Лев Дмитриевич пишет: “Только тот преподаватель сможет добиться успеха в воспитании студента, которого студенты любят и уважают за его увлеченность своим делом и добросовестное отношение к своей работе, к своим обязан-

ностям, за его доброту и человечность, принципиальность и объективность, нетерпимость к несправедливости, короче, который пользуется у них авторитетом и как специалист своего дела и как человек”.

Целая плеяда прекрасных математиков, воспитанных Львом Дмитриевичем, — яркий пример того, что именно таким ученым и человеком является Лев Дмитриевич Кудрявцев”.

В предисловии к первому изданию книги академик П. С. Александров пишет:

“В настоящее время в связи с возросшей ролью математики в современной науке и технике необычайно большое число будущих инженеров, биологов, экономистов, социологов и т. д. нуждается в серьезной математической подготовке, которая давала бы возможность математическими методами исследовать широкий круг новых проблем, применять современную вычислительную технику, использовать теоретические достижения в практике. Для этого по меньшей мере необходимо получение ими правильного общего представления о том, что такое математика и математическая модель, в чем заключается математический подход к изучению явлений реального мира, как его можно применять и что он может дать. Принципиальными моментами проблемы математического образования являются: выбор объема и содержания математических курсов, определение целей обучения, правильное сочетание широты и глубины изложения, строгости и наглядности, т. е. выбор наиболее эффективных и рациональных путей обучения, и все это с учетом ограниченного времени, отводимого на изучение математики.

Эта проблема, как верно отметил автор, необъятна, однако, ему в значительной мере удалось выделить здесь основное и первостепенное.

Автор считает, что обучение математике нельзя подменить обучением ряду её приложений и методов, не разъясняя сущности математических понятий и не учитывая внутреннюю логику самой математики. Так подготовленные специалисты могут оказаться беспомощными при изучении новых конкретных явлений, поскольку будут лишены необходимой математической культуры и не приучены к рассмотрению абстрактных математических моделей.

Отметим конструктивный подход автора к рассматриваемой проблеме: им предложены и проанализированы 10 положений, которые должны быть положены в основу обучения математике.

Широкий круг рассматриваемых в книге вопросов, их актуальность, доброжелательность автора, когда он делится своим богатым педагогическим опытом, множество поучительных примеров — всё это адресует её широкому кругу читателей и, безусловно, вызовет интерес не только тех, кто учит математике, но и тех, кто её изучает или соприкасается с ней в своей деятельности.”

ЛИТЕРАТУРА

1. Кудрявцев Л. Д. Современная математика и её преподавание / С предисловием П. С. Александрова; Учебное пособие для вузов. 2-е изд., доп. — М.: Наука, 1985. 176 с.

2. Кудрявцев Лев Дмитриевич. К 80-летию со дня рождения. — М.: Физматлит, 2003. 38 с.

АРХИВ МЕТОДИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ ПО МАТЕМАТИКЕ В РОССИИ

Жизнь украшается двумя вещами: занятием математикой и её преподаванием.

С. Д. Пуассон

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ

Л. Д. Кудрявцев

Приводится отрывок из книги Л.Д. Кудрявцева “Современная математика и её преподавание”, не переиздававшейся с 1985 года. Освещается уникальный опыт преподавания математики, накопленный в Московском физико-техническом институте. Л.Д. Кудрявцевым сформулированы и обоснованы основные положения, которые должны быть положены в основу обучения математике в вузе. Статья включает первые пять из десяти положений. Публикация остальных положений предполагается в следующем выпуске журнала.

Ключевые слова: математика в вузе, методология и методика преподавания.

1. О СОДЕРЖАНИИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ КУРСОВ

Великий математик Карл Фридрих Гаусс в свое время назвал математику “царицей всех наук”. Математика скорее добрая фея, только получить у нее можно не волшебную палочку, а надежный и точный инструмент — математические методы.

И. Г. Петровский

Как это ни странно, уже само понимание предмета математики, а значит, его содержание и расстановка в нем акцентов, вызывает разногласие. Мы будем исходить из следующего основного положения.

Положение первое. В курсе математики изучаются математические структуры.

Объектами изучения в математике являются не реальные явления, а абстрактные логические объекты (структуры), у которых описан ряд отношений между их элементами (будем их называть математическими структурами). Математические структуры могут являться непосредственными математическими моделями реальных явлений. В математических курсах в высших специальных (но не математических) учебных заведениях и должны, конечно, в первую очередь изучаться математические структуры, моделирующие те или иные реальные явления (как, например, производная, моделирующая скорость движения материальной точки, интеграл — работу силы, элементы математической логики — этапы работы вычислительной машины, небесная механика — движение тел в космосе под действием гравитационный сил, и т.п.), а математические структуры, не являющиеся непосредственной математической моделью реального явления, лишь постольку, поскольку они являются удобным математическим аппаратом для изучения математических моделей реальных явлений.

Конечно, цель изучения математических структур в чистой и прикладной математике различны: в первом случае нас интересуют свойства структур

сами по себе, во втором — те выводы, которые можно сделать из их изучения о тех реальных объектах, которые они моделируют.

В математике рассматриваются соотношения между элементами математических структур, количественные и качественные связи между ними. Для чистой математики важна не природа рассматриваемых объектов, а лишь имеющиеся между ними соотношения. Одна и та же математическая структура может описывать (с определенным приближением) свойства очень далеких друг от друга по своему конкретному содержанию реальных явлений. Так, например, формула

может описывать и закон Ньютона притяжения масс, и закон Кулона притяжения электрических зарядов. Величины масс и зарядов, фигурирующие в этих законах, измеряются в разных единицах, имеют разную размерность. В математической же формуле соответствующие этим законам математические операции (в данном случае умножение и деление) производятся по правилам действия над числами, независимо от того, значениями каких физических величин они являются.

Из сформулированного положения следует, что смысл математического понятия не зависит от области его дальнейшего применения, в частности, не зависит от специализации студента, которому разъясняется это понятие.

При этом следует подчеркнуть различие смысла и содержания математического понятия как такового и конкретного явления, для описания которого оно используется, например, понятия производной векторной функции и понятия скорости механического движения, понятия интеграла и понятия работы и т. п.

Сущность математики должна находить свое отражение при обучении математике прежде всего в разъяснении истинного смысла изучаемых математических понятий.

Это утверждение, кажущееся многим бесспорным, тем не менее, часто оспаривается. Некоторые считают, что те, кто интересуется математикой не самой по себе, а лишь математическими методами исследования конкретных задач, т. е. приложениями математики, должны обучаться специальной математике, а не той, которой занимаются сами математики. На самом деле такой специальной математики не существует. Смысл теоремы Пифагора или формулы конечных приращений Лагранжа не зависит от того, кто их использует: инженер или научный работник, прикладник или чистый математик. От будущей специальности студента зависит лишь содержание и объем курса математики, отбор математических понятий и фактов, отбор методов, общность и детализация изложения, подбор примеров, иллюстрирующих применение изучаемых математических понятий и методов к решению прикладных задач.

Можно, в принципе, учить приложениям математики вместо самой математики, исходя из будущей специализации. Говорить, например, будущим механикам, что производная есть механическая скорость, что интеграл -работа силы, и рассматривать только размерные величины. Конечно, это

будет уже не математика. Возможно, в отдельных случаях (крайне редких, которые даже трудно себе представить) это может оказаться целесообразным. В основном же такой метод обучения плох тем, что человек, изучавший такой специализированный курс, окажется беспомощным, когда он встретится с не изучавшейся им конкретной ситуацией, несмотря на то, что она будет требовать для её описания или изучения, по существу, того же самого математического аппарата, которому его обучали на конкретных примерах. Он будет беспомощен, поскольку он не был обучен общему подходу, не был приучен к рассмотрению абстрактных математических структур.

Поясним сказанное на примере. Предлагают, например, доказывать теорему о том, что функция, имеющая во всех точках интервала производную, равную нулю, является постоянной, следующим образом. Рассматривают производную как скорость материальной точки. Если скорость равна нулю, то материальная точка неподвижна, т. е. её путь не меняется — функция постоянна.

Даже если это рассуждение считать доказательством, допустимым для математики, то все равно оно не доказывает высказанного утверждения просто потому, что математическое понятие производной не адекватно физическому понятию механической скорости. Производная является лишь математической моделью механической скорости. Но она является математической моделью и многих других физических понятий, например силы тока, линейной плотности и т. д. и т. п. Если встать на предложенную точку зрения, то придется приведенную теорему доказывать столько раз, сколько имеется физических понятий и явлений, математической моделью которых является производная. Но даже и после этого математическая теорема о постоянстве на интервале функции с нулевой во всех точках производной не будет доказана! Нецелесообразность описанной методики очевидна.

Неслучайно в настоящее время наблюдается ярко выраженная тенденция сближения университетского и высшего технического образования на основе более общего подхода к изучаемым предметам. Современные темпы развития науки и техники таковы, что в силу быстрого изменения конкретных условий работы делается невыгодным готовить узких специалистов. Сейчас всё больше растет потребность в специалистах, которые могут быстро ориентироваться при изменении ситуации, способных правильно оценивать происходящие изменения, приводящие иной раз к качественно совершенно новым явлениям.

Эти качества прививаются не узко специальным образованием, а широким общим образованием университетского типа. В настоящее время во многих передовых высших учебных заведениях, готовящих специалистов по современной науке и технике, математические (а также физические, химические и др.) курсы изучаются по одинаковой программе, не зависящей от будущей специальности студента (например, физической, химической, аэродинамической и т. п.). Именно на основе единого институтского цикла, общего для всех факультетов, построена система подготовки специалистов разных профилей в Московском физико-техническом институте.

2. О ЕДИНСТВЕ МАТЕМАТИКИ

Единый характер математики обусловлен внутренним существом этой науки: ведь математика — основа всего точного естествознания.

Д. Гильберт

Положение второе. Математика едина.

Это положение означает, что деление математики на чистую и прикладную не может быть строго проведено, что чистая и прикладная математики являются частями единого неразрывного целого, называемого математикой, что эти части невозможно четко отделить одну от другой.

Сразу заметим, что это положение не означает тождества чистой и прикладной математики, подобно тому, как единство жизни не означает тождества одноклеточного организма и человека. Чистая и прикладная математики — разные части одной и той же науки, разные по своему содержанию, по своей значимости, по той роли, которую они играют в жизни современного общества.

Чтобы подтвердить справедливость высказанного тезиса о единстве математики, надо более обстоятельно разъяснить, что мы вкладываем в понятия “чистая математика” и “прикладная математика”.

Постановка задач и оценка результатов их решения в чистой и прикладной математике различны. Источники задач, которые решаются в прикладной математике, и конечные цели, которые преследует их решение, лежат вне математики, хотя промежуточные задачи, методы и цели могут иметь чисто математический характер (как, например, создание и изучение тех или иных численных алгоритмов) и, несмотря на то, что они являются промежуточным этапом, именно они часто являются не только принципиально важным, но и основным шагом в процессе решения основной задачи и достижения намеченной цели. Еще раз подчеркнем, что, таким образом, чистую и прикладную математику отличают, прежде всего, цели: чистая математика отвечает на математические вопросы, в ней решаются внутренние математические проблемы, а в прикладной — даются методы решения задач, возникающих вне математики.

Чистая математика, как это неоднократно отмечалось, представляет собой теорию математических структур, которые изучаются сами по себе без связи с реальными явлениями (физическими, химическими, биологическими, экономическими, социальными или какими-либо еще), которые они могут, но не обязаны, моделировать. При этом для чистой математики, как правило, характерно, что исследования (качественные и количественные) приводятся с достаточной общностью, изучаются не отдельные конкретные объекты, а определенные классы объектов, устанавливаются общие методы и алгоритмы решения широкого круга задач.

К прикладной же математике относится та часть математики, в которой изучаются математические структуры, моделирующие те или иные реальные явления, т. е. прикладная математика есть наука, изучающая реальные явления математическими методами.

Как мы уже знаем, математическое изучение реальных объектов начинается с их математического моделирования, т. е. использования для их описания некоторых математических структур, либо уже ранее известных, либо специально построенных для рассматриваемого случая. Обычно эти модели записываются с помощью уравнений или неравенств или того и другого. В результате изучения этих моделей часто возникают другие математические модели (структуры), которые, в свою очередь, начинают изучаться, и, таким образом, прикладная математика является мощным источником новых математических структур. Исследования по прикладной математике нередко приводят к созданию целых новых научных направлений. Именно таким образом во второй половине XX века оформились в самостоятельные ветви математики теория информации, теория операций, теория случайных процессов, теория оптимального управления, математическая экономика и т. п. Более того, при исследовании тех или иных реальных объектов математическими методами возникли и новые самостоятельные науки, например, теоретическая механика, небесная механика, гидродинамика, квантовая физика и многие другие.

Целью изучения математических моделей в прикладной математике является в конечном итоге исследование соответствующего конкретного реального явления. Поэтому в прикладной математике наряду с изучением общих методов большое место занимает и изучение более частных специальных методов, непосредственно связанных с данным реальным объектом. Конечно, как и при отыскании математический модели, моделирующей рассматриваемое явление, при изучении этой модели не всегда удается обойтись имеющимися в математике ресурсами. Даже в случае, когда имеются методы изучения нужной математической модели, эти методы могут оказаться не приспособленными для получения требуемых результатов. В этом случае приходится создавать новые специальные методы для решения поставленной задачи, которые также нередко оказываются источником новых общих методов в математике.

Прикладная математика, состоящая из математического моделирования реальных объектов, качественного и количественного анализа математических моделей реальных объектов, теории алгоритмов численного решения возникающих при этом анализе математических задач, математического обеспечения, нужного для осуществления вычислений по соответствующим алгоритмам на компьютерах и анализа численных решений задач, во всех своих разделах широко использует методы чистой математики. Действительно, и математическое моделирование, и качественные и количественные изучения математических моделей немыслимы без методов математического

анализа (в частности, теории дифференциальных уравнений и функционального анализа) и алгебры, а математическое обеспечение — без математической логики и той же алгебры. Эти обстоятельства и обеспечивают неразрывную связь между чистой и прикладной математикой.

Однако роль и значение прикладной и чистой математики в жизни общества совершенно различны. Уровень развития прикладной математики в стране, наличие современной электронно-вычислительной техники и умение её использовать составляют один из важных показателей экономической мощи страны. Эта специфика прикладной математики влечет за собой и особенности работы прикладных математиков, их большую ответственность за получаемые ими результаты, так как допущенная ошибка в проведенных ими расчетах может дорого обойтись людям. В то же самое время, если чистый математик допустит какую-либо ошибку в доказательстве какой-либо теоремы, это в худшем случае огорчит лишь нескольких его коллег. При всем этом следует еще раз подчеркнуть, что без развития чистой математики, без глубоких достижений в ней были бы невозможны и большие успехи, которые наблюдаются в прикладной математике.

Вот именно с этим и связано единство чистой и прикладной математики, о котором шла речь в высказанном положении. В нем говорилось о неразрывной связи чистой и прикладной математики, об общей сущности той и другой, заключающейся в изучении математических структур, в общности методов, применяемых для изучения этих структур, о невозможности изучать прикладные математические задачи без знания понятий чистой математики, без овладения этими понятиями.

Как уже отмечалось, многие математические модели и методы исследования, возникшие так или иначе в недрах прикладной математики, начинают изучаться сами по себе или, соответственно, применяться для изучения математических моделей (структур) без связи с реальными объектами и тем самым делаются достоянием чистой математики. Наблюдается, безусловно, и обратное явление, при котором методы, созданные в чистой математике, находят свое эффективное применение в прикладной математике и, более того, в непосредственных приложениях математики к решению прикладных задач.

Всё сказанное уже показывает неразрывную связь чистой и прикладной математики. Однако указанная связь на самом деле более существенна и более глубока — она пронизывает всю сущность методов, применяемых в этих областях.

И это несмотря на то, что в той части математики, которую называют чистой, критерием для оценки полученных результатов является их логическая завершенность, установление новых связей между внешне далекими понятиями, наличие методов, дающих возможность решать новые задачи, короче, степень существенности продвижения вперед на пути познания свойств математических структур, а в прикладной математике критерием ценности результата является его практическая значимость, возможность

его использования для изучения или воздействия на изучаемое явление, прогнозирования его дальнейшего состояния и т. п. Дело в том, что как в чистой, так и в прикладной математике поставленные цели достигаются в принципе одним и тем же способом — изучением абстрактных математических структур. Именно это и является основой единства математики.

Вопросы численного решения задач приводят к новым проблемам, к новым постановкам, и оказывается, что теоретические качественные исследования (в частности, теоремы существования) помогают правильно их поставить. На базе фактов чистой математики возникают новые, характерные именно для численных методов, задачи: задача о наиболее “выгодном”, в том или ином смысле, способе численного решения, задача об устойчивости применяемого численного метода и т. п. Сама классическая форма математических теорем “если ..., то ...” приобретает, по словам А. Н. Тихонова, новый аспект. Годятся только те “если”, которые можно проверить на практике, которые можно задать с нужной степенью точности. Только такие “если” могут рассматриваться при решении прикладных задач.

Ситуация, при которой численные методы применяются для решения задачи, когда она теоретически достаточно полно исследована, является идеальной и не всегда наблюдается. Нередко численные методы применяются для решения задач, для которых не доказано существование решения и, более того, не обоснована корректность применяемых численных методов. Математические трудности, возникающие при решении таких задач, не вызывают сомнения и, конечно, заслуживают самого внимательного изучения.

Тесная взаимосвязь чистой и прикладной математики проявляется и в том, что современная вычислительная техника дает в руки математиков принципиально новые возможности не только для получения численных решений задач, но и для изучения теоретических проблем.

Замечательным примером использования современных компьютеров в исследованиях по чистой математике является решение знаменитой проблемы четырех красок, поставленной еще в середине XIX века.

Это проблема состоит в следующем. Плоскость разбивается на области (которые называются “странами”) с помощью конечного числа гладких кривых без самопересечений. При этом любые две из этих кривых либо не пересекаются, либо пересекаются в концевых точках, и любая концевая точка каждой из указанных кривых является и концевой точкой по крайней мере еще одной кривой. Тогда каждая такая кривая входит в границу в точности двух стран, называемых соседними. Совокупность конечного числа полученных таким образом стран называется “картой”.

Проблема состояла в нахождении минимального числа различных цветов, которыми можно раскрасить любую карту таким образом, чтобы каждые две соседние страны были окрашены в разные цвета (такая раскраска карты называется правильной).

В конце XIX века было установлено, что для правильной раскраски любой карты достаточно пяти цветов, пяти различных красок. А можно ли это сделать с помощью лишь четырех красок? Несмотря на многочисленные попытки ответить на этот вопрос (получивший название проблемы четырех красок), до самого последнего времени ответа на него не было получено. В силу простоты своей формулировки эта проблема постоянно привлекала к себе внимание, причем не только профессионалов-математиков, но и многочисленных любителей. И вот было опубликовано сообщение о том, что проблема четырех красок решена американскими математиками К. Аппелем и В. Хакеном [1]. Именно ими доказано, что любую карту можно раскрасить правильным образом с помощью четырех различных красок, т. е. так, что каждые две соседние страны будут окрашены в различные цвета. При этом, что очень интересно, решение этой проблемы было получено с существенным использованием современных компьютеров.

На первый взгляд это выглядит неожиданно и даже неправдоподобно: доказательство чисто геометрической теоремы с помощью вычислений на счетной машине!

Для пояснения заметим прежде всего, что проблеме четырех красок можно придать арифметический характер, что, кстати, было понято еще в XIX веке. Это удобно сделать, сформулировав проблему четырех красок на языке графов, перейдя от заданной карты к так называемому дуальному к ней графу. Для этого в каждой стране выбирается по точке (вершине графа), которые соединяются между собой кривыми (ребрами графа) в том и только том случае, если эти точки были выбраны в соседних странах.

Теперь ясно, что задачу о правильной раскраске карты можно заменить задачей правильной раскраски вершин получившегося плоского графа, т. е. такой раскраски, при которой две вершины графа, принадлежащие одному и тому же ребру, имеют разный цвет.

Начало изучению связей проблемы четырех красок с арифметическими свойствами графа было положено еще в том же XIX веке. Первые числовые оценки в этом направлении принадлежат английскому математику П. Хивуду (1890)1. В течение последующих почти ста лет благодаря усилиям многих математиков на этом пути был сделан ряд существенных шагов вперед, но лишь только в 1976 году, когда с помощью компьютера было показано, что для правильной раскраски вершин рассматриваемых плоских графов достаточно четырех красок. Как же это было сделано? Ведь на компьютере можно провести вычисления лишь для конкретного, пусть с очень большим числом ребер и вершин, графа. Как же отсюда сделать заключение о раскраске любого конечного плоского графа? Для этого необходимо делать логические заключения, которые в нужной степени (во всяком случае, в настоящее время) вычислительные машины не умеют делать. Ведь компьютер не всемогущ: он

1 Более подробно об арифметических соотношениях, связанных с проблемой четырех красок, можно прочитать в монографии [2].

может, например, вычислить сумму данного ряда с нужной нам точностью, но он не умеет исследовать сходимость рядов. Подобные действия остаются пока прерогативой человека.

Конечно, проблема четырех красок изучалась не с помощью одних лишь вычислений. Она была сначала редуцирована к некоторым частным вопросам, имеющим чисто арифметический характер, на которые можно было получить ответ, проведя определенные конкретные численные расчеты. Эти расчеты потребовали очень большого числа вычислений, которые были бы не под силу человеку, не вооруженному современной вычислительной техникой. Таким образом, нет ничего удивительного, что при исследовании проблемы четырех красок не применялись подобные методы в то время, когда не существовало быстродействующих вычислительных машин, которые теперь имеются в распоряжении человека.

Достигнутый на этом пути результат по решению проблемы четырех красок получен не только с помощью логических заключений, но и с помощью некоторого механического процесса — компьютерных вычислений. Отличие этого процесса от логических рассуждений состоит в том, что он, как и всякий реальный процесс, происходит в определенное время в определенном месте. Поэтому он не может в принципе быть воспроизведен: проведение повторных вычислений на компьютере является уже другим физическим процессом.

С математической точки зрения, результат исследования какой-либо проблемы, в частности проблемы четырех красок, полученной частично с помощью вычислений, проделанных на компьютере, нельзя признать за математическое (логическое) решение этой проблемы.

Всё же из этого примера видно, как продолжает расти сфера применения компьютеров: они привлекаются к решению всё большего и большего числа разнообразных задач, возникающих в самых различных областях человеческой деятельности.

Поскольку математика едина, то чистую математику и численные методы следует изучать как единое целое. Это естественно, ибо теоретические качественные и численные методы решения задач тесно переплетены между собой, причем численные методы базируются на тех или иных теоретических изысканиях, излагаются на языке абстрактных математических понятий. В силу всего сказанного численные методы разумно изучать на основе теоретического курса, а не подменять теоретический курс изложением набора отдельных рецептов численного решения задач.

При этом прежде всего надо четко представлять себе, что означает одновременное изучение чистой и прикладной математики, что означает прикладная направленность курса высшей математики, в чем конкретно состоит цель, к которой следует стремиться при обучении математике в высшем техническом учебном заведении.

Обычно для достижения этой цели рекомендуется вставлять в курс математики различные численные методы решения задач, как-то: приближенные вычисления значений функций, приближенные методы вычисления интегралов, приближенные методы решения систем линейных уравнений, приближенные методы вычисления обратных матриц, собственных значений матриц и так далее и тому подобное. Отмечается, что при этом желательно давать и методы оценки погрешностей полученных результатов — без указания хотя бы грубой оценки отклонения приближенного результата от истинного подобные методы не представляют интереса. Правда, иногда приходится мириться с тем фактом, что нужную погрешность удается установить не теоретически, а лишь проверить экспериментально в ряде конкретных случаев. Это, конечно, не является доказательством полученной оценки, но иногда оказывается достаточным для поставленных практических целей.

Все эти рекомендации, безусловно, справедливы: изучение отдельных методов численного решения задач является неотъемлемой частью общего математического образования и безусловно полезно, причем не только для тех, кто будет заниматься приложениями математики к решению конкретных задач, но и для тех, кто будет разрабатывать теоретические проблемы в той или иной области человеческого знания, в том числе и в чистой математике. Но было бы заблуждением считать, что включение изучения решений отдельных задач численными методами полностью решает вопрос о прикладной направленности математического обучения. Решение этого вопроса в действительности гораздо сложнее.

Например, если представить себе деятельность геодезиста, связанную с измерениями на местности, то ему при проведении расчетов вряд ли поможет знание методов, с помощью которых были составлены таблицы, применяемые им в повседневной работе, или знание тех принципов, на которых основана реализация программ для ЭВМ, используемых им для проведения нужных вычислений. Для него гораздо важнее умение поставить математическую задачу, провести её необходимый предварительный качественный анализ, подготовить её для численного решения, а сам процесс этого решения для него не представляет интереса.

Умение нужным образом применять математические методы для решения практических задач с тем, чтобы получать требуемые результаты, и является основным критерием для оценки правильной постановки обучения, правильной ориентации будущих прикладных математиков. Для этого недостаточно (хотя, безусловно, и необходимо) знание одних численных методов. Нужно более широкое знакомство с математикой в целом, так как большей частью все конкретные задачи решаются с помощью и на основе имеющихся теорий, в том числе и математических. Для достижения указанной цели отбор изучаемого материала играет первостепенную роль. Было бы неправильным ограничиваться в основном изучением методов, близких к численным методам или по своему духу, или по непосредственным связям. Здесь имеют

в виду, например, методы выделения главной части функции в окрестности точки и методы аппроксимации функций в целом, применение этих методов для решения различных задач, касающихся как качественных исследований, так и имеющих оценочный характер. Безусловно, изучение подобных методов необходимо, очень полезно и потому должно составлять неотъемлемую часть математического образования. Пренебрежение этими, в определенном смысле конкретными, разделами и преждевременное увлечение общими теориями на первых ступенях математического образования наносят последнему существенный вред.

Однако переход к изложению общих точек зрения на изучаемые объекты на следующих этапах обучения, безусловно, необходим, ибо он дает современному специалисту необходимую широту взгляда, необходимую математическую культуру. Следует только помнить, что общие теории особенно полезны тогда, когда имеются частные примеры для их применения, когда эти примеры сами по себе являются для учащегося естественными, хорошо знакомыми и освоенными.

Из всего сказанного следует, что практическая направленность математического обучения прежде всего имеет своей основой достаточное богатство и разнообразие изучаемого материала.

В связи с этим необходимо еще раз напомнить об имеющейся здесь опасности излагать материал “в полном объеме”. Следует всегда помнить, что дело не в том, чтобы сообщить учащемуся десятки теорем, а прежде всего в том, чтобы учащийся активно овладел основными понятиями. В основе обучения должно лежать положение, что “лучше знать меньше, да хорошо”, нежели иметь поверхностное знакомство со многими вопросами. На базе основательных знаний воспитывается математическая культура, необходимая для правильного использования математического аппарата. Надо всегда тщательно отбирать необходимый для студента минимум знаний, и только после его освоения можно допускать дальнейшее увеличение изучаемого материала. Имея прочную базу знаний, на её основе легко можно продолжить дальнейшее образование в нужном направлении. В этом случае качество легко переходит в количество.

Очень важными являются философско-идеологические основы курса высшей математики. Именно с самого начала в этом курсе при изучении теоретических основ следует идеологически готовить студента к численному решению задач, как к следующей, в известном смысле более сложной, ступени изучения математических моделей, и, вместе с тем, прививать ему практические навыки обращения с современной вычислительной техникой: для современного студента использование в случае необходимости ЭВМ должно быть естественным и простым. Как же всего этого достичь?

Прежде всего, с самого начала обучения математике в высшем учебном заведении целесообразно обращать внимание на характер доказательств рассматриваемых в курсе теорем, отмечая, когда он является алгоритмическим,

а когда нет. Например, полезно проанализировать тот факт, что доказательство теоремы о существовании максимума и минимума у непрерывной на отрезке функции, проводимое с помощью принципа компактности, не дает возможности фактически найти точки экстремума.

Весьма целесообразно параллельно с рассмотрением основных понятий математического анализа обучать сразу студентов численному решению задач, иллюстрирующих изучаемые понятия и их свойства. Благодатной темой для таких задач является, например, численное решение задач на отыскание экстремума функций и на решение систем линейных уравнений.

Иногда приходится слышать упреки, что в курсах математики увлекаются изучением внутренних математических понятий, ненужных для приложений. Обычно эти упреки касаются лишь стиля изложения, а не содержания курса по существу. Чтобы не давать повода для подобных упреков и для того, чтобы сразу правильно ориентировать студента при изучении математики (особенно при обучении будущих специалистов по приложениям математики), целесообразно с самого начала изучения математики в высших учебных заведениях указывать на связь с численными методами таких понятий, как, например, вложение отрезков, предел последовательности, запись действительных чисел с помощью бесконечных десятичных дробей, — определения непрерывности функции и т. п. Такое методическое построение математических курсов обеспечивает неразрывную связь теоретических (качественных и аналитических) методов и численных, не противопоставляя одни другим.

3. О ВНУТРЕННЕЙ ЛОГИКЕ МАТЕМАТИКИ

Среди всех наук Математика пользуется особым уважением; основанием этому служит то единственное обстоятельство, что её положения абсолютно верны и неоспоримы, в то время как положения других наук до известной степени спорны, и всегда существует опасность их опровержения новыми открытиями.

А. Эйнштейн

Положение третье. Содержание общего курса математики не может быть определено с чисто прагматической точки зрения, основанной лишь на специфике будущей специальности учащегося, без учета внутренней логики самой математики.

Всякая наука имеет свою внутреннюю структуру и свою внутреннюю логику, имеет внутренние связующие звенья, не всегда имеющие непосредственный выход за пределы самой науки, но играющие принципиальную роль внутри нее и являющиеся необходимыми для её понимания, усвоения и для умения правильно использовать её в приложениях. Это бесспорная истина, о которой часто забывают, когда начинают говорить о конкретном содержании какой-либо дисциплины.

В качестве конкретного примера внутреннего связующего звена можно указать теорему Коши о среднем значении двух функций — она представляет интерес не столько сама по себе, сколько потому, что с её помощью легко доказывается много полезных утверждений: оценка остаточного члена в формуле Тейлора, вывод правила Лопиталя для вычисления предела отношения функций.

Весьма красноречивым подтверждением сформулированного положения является высказывание А. Н. Крылова [3]: “При изучении анализа и механики и подобных отделов из аналитической геометрии и высшей алгебры должны соблюдаться определенная постепенность и полнота; многое может казаться излишним и непосредственных приложений не имеющим, но оно нужно для ясного усвоения дальнейшего и не может быть пропущено подобно скучной главе романа”.

Итак, критерий полезности для будущей специальности учащегося при составлении программы какой-либо математической дисциплины должен, безусловно, присутствовать, но ограничиться только им было бы большой ошибкой.

4. О ЦЕЛИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ

Если ученик в школе не научился сам ничего творить, то в жизни он всегда будет только подражать, копировать, так как мало таких, которые бы, научившись копировать, умели сделать самостоятельное приложение этих сведений.

Л. Н. Толстой

Положение четвертое. Целью при обучении математике является приобретение учащимся определенного круга знаний, умения использовать изученные математические методы развитие математической интуиции, воспитание математической культуры.

Современный научный работник или инженер должен в достаточной степени хорошо владеть как классическими, так и современными методами исследования, которые могут применяться в его области. Для того чтобы иметь возможности с успехом использовать математические методы при изучении того или иного вопроса, нужно, конечно, иметь прежде всего необходимые для этого знания, уметь правильно обращаться с математическим аппаратом, знать границы допустимого использования рассматриваемой математической модели. Это утверждение кажется очевидным, однако то, что происходит в реальной жизни, далеко не всегда согласуется с ним. Поясню это на одном анекдотическом, но действительно происшедшем случае.

Аспирант, пишущий диссертацию на экономическую тему, пришел однажды к одному моему ученику в сказал, что он подсчитывает процент прироста свиней в одном совхозе, однако математика дает результаты, противоречащие здравому смыслу.

- Дело, — сказал он, обстоит следующим образом. Сначала свиней в совхозе не было, а через год их стало 50. Для подсчета процента их прироста я поделил 50 на нуль и помножил на 100, сократив нули, получил--- = 500%. Однако по здравому смыслу, если бы сначала была одна свинья, а через год их бы стало снова 50, то процент прироста должен был бы быть меньше, однако тот же подсчет дает - = 5000%. Что-то в вашей математике не в порядке, — сказал аспирант (интересно, конечно, как он им стал?).

Это, конечно, уникальный анекдотический случай, но, к сожалению, использование того или иного математического аппарата вне возможных границ его применения встречается и на более высоком уровне. Я помню случай с одной докторской диссертацией по механике, где для “больших” скоростей использовалась формула, выведенная лишь для достаточно малых, что привело, естественно, к неверным выводам.

Перечисленными выше задачами не исчерпываются, однако, цели, которые ставятся при обучении студентов математике. Дело в том, что для того, чтобы иметь возможность разумно и успешно применять математические методы при изучении того или иного вопроса, нужно, конечно, как это отмечалось выше, иметь необходимые знания, уметь правильно обращаться с математикой, в частности, знать границы допустимого использования применяемого математического аппарата, овладеть им творчески, а не формально, в частности, уметь использовать не только готовые формулы, но и получать новые, если в них есть необходимость.

Этого, однако, недостаточно для умения решать задачи и изучать различные объекты математическими методами, да и вообще для математического творчества, т. е. для познания объективно существующих математических истин.

Недостаточно заучить ряд сведений — надо уметь математически думать. Этому трудно научить и, во всяком случае, на первом этапе обучения нелегко оценить результаты обучения в этом направлении. Математическое мышление не сводится, как это иногда кажется, лишь к логическим рассуждениям.

Для правильной постановки задачи, для оценки её данных, для выделения существенных из них и для выбора способа её решения необходимо обладать еще математической интуицией, фантазией и чувством гармонии, позволяющими предвидеть нужный результат прежде, чем он будет получен. Однако интуитивно почувствовать ожидаемый результат и наметить путь исследований с помощью правдоподобных рассуждений — это далеко не все. Интуитивное чувство гармонии является в математике лишь первой, хотя и весьма важной ступенью; интуитивные соображения и правдоподобные рассуждения отдаются на суд холодного рассудка для их изучения, доказательства или опровержения.

Следует заметить, что справедливость рассматриваемого факта доказывается не проверкой его на ряде примеров, не проведением ряда экспериментов, что не имеет для математики доказательной силы, а чисто логическим путем, по законам формальной логики. Конечно, и эксперименты, и примеры также играют большую роль в математических исследованиях: они могут или дать иллюстрацию утверждения, или опровергнуть его, или натолкнуть на какую-либо (в том числе и новую) идею. За последние годы в связи с быстрым развитием вычислительной техники особенно возросло значение математического эксперимента в прикладных исследованиях: здесь открылись качественно совершенно новые возможности и перспективы.

Правильно и удачно поставленный на компьютере “численный эксперимент” может привести к возникновению плодотворных гипотез, изучение которых позволит понять сущность изучаемого явления и в конце концов создать нужную теорию.

При математическом доказательстве гипотезы, при математическом решении задачи правильный выбор аппарата и метода — залог успеха и, более того, часто причина того, что в результате будет получено больше полезной информации об изучаемом предмете, чем заранее предполагалось. Это связано с тем, что математический аппарат таит в себе много скрытой информации и скрытого богатства, накапливавшихся в нем в течение веков, благодаря чему формулы могут оказаться “умнее” применяющего их и дать больше, чем от них ожидалось (еще Фарадей говорил, что формулы умнее того, кто их создал). Иллюстрацией этой ситуации является теоретическое открытие П. Дираком позитрона при анализе уравнений, которые он изучал, стараясь выяснить, почему заряд электрона принимает только дискретные значения.

Мысль о роли математических формул особенно ярко была высказана Генрихом Герцем [4]: “Трудно избежать чувства, что эти математические формулы ведут независимое существование и имеют свой собственный интеллект, что они мудрее нас, мудрее даже своих создателей, что мы извлекаем из них больше, чем вначале было в них вложено”.

Безусловно, приведенная схема математического мышления весьма идеализирована. Использование знаний, математического аппарата, интуиции, чувства гармонии, фантазии, умения думать, логики, эксперимента происходит не последовательно по этапам — всё это взаимодействует между собой в течение всего процесса, в котором к тому же играет большую мало осознанную роль наше подсознание, проявляющее себя в “неожиданных озарениях”, приводящих к решению задачи после долгих и бесплодных попыток справиться с ней. Далее, далеко не всегда удается довести проводимые исследования до желаемого конца, но было бы, например, большим заблуждением думать, что для математики имеют значение только доказанные утверждения, только исследования, доведенные в известном смысле до логического завершения.

Можно привести много примеров математических теорий и положений, которые, будучи сформулированы лишь в виде гипотез, тем не менее оказывали или оказывают существенное влияние на развитие математики или её приложений.

Само собой разумеется, что сложность и иррациональность процесса мышления не означает, однако, невозможность планомерного и целеустремленного изучения и применения математики. Четкая организация и планирование всякого процесса обучения и научной деятельности на любом уровне очень полезны, так как существенно помогают их успешному проведению. В результате приобретенных в процессе обучения математических знаний и интуиции у учащегося появляется то, что обычно называется математической культурой. Её уровень после завершения обучения в высшем учебном заведении должен обеспечить умение разбираться в математических методах, необходимых для работы по специальности, но не изучавшихся в вузе, умение читать нужную для этого литературу, умение самостоятельно продолжать свое математическое образование.

Анализу процесса математического творчества и использования математических методов при решении задач посвящено много интересных исследований [5-12].

5. О МЕТОДИЧЕСКИХ ПРИНЦИПАХ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ

Если бы мне вновь пришлось начать свое обучение, то я последовал бы совету Платона и принялся бы сперва за математику как науку, требующую точности и принимающую за верное только то, что вытекает как следствие из доказанного.

Г. Галилей

Когда определена цель обучения, возникает естественный вопрос: а как её достичь? Какова должна быть методика преподавания?

Этот вопрос как никакой другой является объектом критики как внутренней со стороны самих математиков, так и внешней со стороны специалистов, в той или иной мере использующих математические методы. Весьма часто даже внутри одной кафедры математики бывает очень трудно договориться об едином методе изложения того или иного материала (впрочем, это далеко не всегда и нужно).

Сложность ситуации и причина трудности её устранения связана с тем, что, во всяком случае в настоящее время, методика преподавания математики еще не достигла научного уровня и основывается лишь на несистематизированном опыте отдельных преподавателей (к сожалению, многие ограничиваются лишь личным опытом) и на вере их в собственную правоту и непогрешимость. Во всех методических дискуссиях особо остро проявляется непримиримость и нетерпимость к другим точкам зрения, как это всегда бывает там, где в основе лежит догма и вера. Много несерьезных вещей говорилось и говорится солидными и серьезными людьми по поводу методов

обучения математике. Не будем приводить соответствующие цитаты, дабы не обидеть их авторов, а постараемся сформулировать (на интуитивном уровне) некоторые основные принципы методики преподавания математики.

Положение пятое. Преподавание математики должно быть по возможности простым, ясным, естественным и базироваться на уровне разумной строгости.

Поскольку этот тезис каждый может понимать со своей точки зрения и вкладывать в него тот смысл, который ему хочется, то постараемся пояснить несколько детальнее, что здесь имеет в виду автор.

Тезис о простоте изложения означает, прежде всего, простоту построения курса в целом, такую его структуру, при которой делаются акценты на главные принципиальные идеи, и большая часть времени и внимания уделяется основным методам и фактам, ради которых читается данный курс. Всё это должно базироваться на точных логических безупречных определениях понятий (а отнюдь не на интуитивных о них представлениях) и четких формулировках высказываемых утверждений. Изложение материала должно быть таким, чтобы при дальнейшем изучении математики (более углубленном или более широком в смысле рассматриваемых объектов) не нужно будет переучиваться, а лишь пополнять уже имеющиеся знания. Вспомогательное и второстепенное должно явным образом занимать подчиненную роль и не требовать усилия для своего усвоения. Так, например, хотя теория вещественного числа является базисом математического анализа, в технических высших учебных заведениях нецелесообразно уделять ей много времени, так как она в этом случае является вспомогательной, а не основной частью курса математики.

Далее, при изложении какого-либо вопроса при прочих равных условиях следует отдавать предпочтение тому из способов, который проще. Конечно, появляются сразу разные “но”. Поясним это на примерах. Более простым разумно считать то доказательство, которое естественно, а не искусственно. Безусловно, эти понятия относительны. По остроумному замечанию Полиа и Сеге [12], способ, примененный первый раз, является искусственным приемом, он же, примененный второй раз, делается методом. Добавим еще, что, как правило, следует отдавать предпочтение прямым доказательствам, а не от противного, и рассуждениям, основанным на непосредственном использовании определений и известных теорем, без привлечения дополнительных конструкций. При этом разбор по существу имеющейся ситуации, анализ отдельных случаев, которые могут встретиться, хотя и бывает громоздок, но более доходчив, нагляден, легче усваивается и позволяет лучше осознать суть дела, хотя и не всегда так изящен, как искусственный прием. Наконец, предпочтительнее выбирать те методы и те доказательства, которые допускают дальнейшие обобщения, и понимать при этом, что самое главное, чтобы студент усвоил идею и метод исследования, которые лежат в основе изучаемого вопроса. Для этого его не только не следует излагать в возможной общности,

а, наоборот, надо стараться разъяснить его сущность на наиболее простых примерах. Полезно помнить, что Д. Гильберт, начиная лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям, выписывал на доске уравнения

и

и говорил: “Господа, на них вы можете изучить всю теорию и даже понять разницу в задачах с начальными или с краевыми условиями” [13].

Впрочем, ратуя за простоту, нельзя допускать перегибов. Разумная строгость в преподавании математики, о которой говорилось выше, является антитезой не только усложненности, но и упрощенчеству.

Продолжение следует

ЛИТЕРАТУРА

1. Appel К., Haken W. Every planar map is four colorable // Bulletin of the American Mathematical Society. September 1976. V. 82, №5. P. 711-712.

2. Зыкова А. А. Теория конечных графов. — Новосибирск: Наука, 1969. §48. Проблема четырех красок.

3. Крылов А. Н. Воспоминания и очерки. — М.: Изд-во АН СССР, 1956. 612 с.

4. Белл Э.Т. Творцы математики. — М.: Просвещение, 1979. С. 26.

5. Александров П. С. Мир ученого // Наука и жизнь. 1974. №8. С. 2-9.

6. Колмогоров А. Н. О профессии математика. 3-е изд., доп. — М.: Изд-во МГУ, 1960. 30 с.

7. Адамар Ж. Исследование психологии процесса изобретения в области математики. — М.: Сов. радио, 1970 (там же приложение: Пуанкаре А. Математическое творчество). 152 с.

8. Поия Д. Математика и правдоподобные рассуждения. — М.: ИЛ, 1957. 535 с.

9. Поия Д. Математическое открытие. — М.: Наука, 1970. 452 с.

10. Литлвуд Дж. Математическая смесь. 2-е изд. — М.: Наука, 1965. 151с.

11. Постников А. Г. Культура занятий математикой. (Из записок ученого) // Новое в жизни, науке, технике. Сер. “Математика, кибернетика”. № 7. — М.: Знание, 1975.

12. Полиа Г., Сеге Г. Задачи и теоремы из анализа. 2-е изд. — М.: Гостехиздат, 1956. 396 с.

13. Рид К. Гильберт. — М.: Наука, 1977. 367с.

THE FUNDAMENTALS OF MATHEMATICS TEACHING

L. D. Kudryavtsev

This article is an extract from the book “Modern mathematics and its teaching” by Kudryavtsev L. D. not reprinted since 1985. It describes the experience accumulated at Moscow University of Physics and Technics. Kudryavtsev L. D. introduced and proved the principles that are to form the basis of mathematics teaching at university. The article includes first five out of ten principles. The remaining principles will be published in the next issue of the journal.

Keywords: mathematics at university, methodology and methods of education.

АРХИВ МЕТОДИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ ПО МАТЕМАТИКЕ В РОССИИ

ОБ ЭКЗАМЕНАХ

Л. Д. Кудрявцев

Раздел “Об экзаменах” книги Л.Д. Кудрявцева “Современная математика и её преподавание” посвящен одному из важнейших этапов процесса образования. Обсуждаются методические, этические и нравственные аспекты проблемы. Статья полезна не только преподавателям математики в вузе, но всем преподавателям и учащимся.

Ключевые слова: математика в вузе, методология и методика преподавания, экзамен по математике.

Десять страниц математики понятой лучше ста страниц, заученных на память и не понятых, а одна страница, самостоятельно проработанная, лучше десяти страниц, понятых отчетливо, но пассивно.

Д. Юнг

Экзамен является очень важным этапом всего процесса образования и потому заслуживает особого внимания. Часто преподаватели совершенно забывают о том, что если для них экзаменовать студентов является обычной работой, то для каждого студента экзамен — событие в жизни, особенно первый экзамен в институте.

Экзамен, прежде всего, должен быть хорошо подготовлен, в частности, студенты должны быть заранее поставлены в известность, что именно будут их спрашивать на экзамене и где с этим можно познакомиться. Очень плохо, когда студенты тратят драгоценное время, отведенное на подготовку к экзаменам, не только на изучение того, что они должны знать на экзамене, а еще и на поиски книг или каких-либо других материалов, в которых можно найти то, что им требуется.

На экзамене экзаменатору надо не только выяснить, что и как знает студент. Для опытного преподавателя это иногда бывает ясно через две-три минуты после начала ответа студента. Впрочем, случается, что и у опытных преподавателей их первое впечатление на экзамене о студенте бывает ошибочным. Поэтому преподавателю всегда следует помнить, что ему надо быть самокритичным.

Существенно обратить внимание на то, что даже когда преподаватель не ошибся и правильно оценил на экзамене знания студента, этого мало. В результате экзамена и студент должен обязательно четко понять, почему он получил именно ту экзаменационную отметку, которая была ему поставлена за его ответ, а не другую. Важно, чтобы студент в результате экзамена ясно осознал, что если он добросовестно проработал лекции, понял изложенные в них идеи, разобрался в задачах, решавшихся на семинарских занятиях,

короче, если он усвоил то, чему его учили, то это существенно облегчило ему подготовку к экзамену и гарантировало успешную его сдачу.

Чтобы правильно провести экзамен, преподаватель, прежде всего, обязан хорошо знать, как именно излагается тот или иной вопрос именно на тех лекциях, которые слушал студент, но, конечно, должен быть готов и к тому, что экзаменующийся будет излагать материал не по лекциям.

К сожалению, нередко преподаватели довольно формально прослушивают ответы студентов по экзаменационному билету, думая в душе: “Ты, батенька, наверное, всё списал, пока готовился”, — а затем начинают задавать дополнительные вопросы в виде задач, выставляя в результате на основании ответов на эти дополнительные вопросы экзаменационную оценку. В этом случае у студентов создается впечатление, что им не стоит тратить много времени и сил, чтобы выучить предмет и разобраться в нем при подготовке к экзамену, так как всё равно результат экзамена зависит от того, сообразят ли они или нет, как решить задачи, которые им предложат экзаменаторы. А уж если готовиться к экзамену, то целесообразнее всего разузнать, какие вопросы задает тот или иной экзаменатор.

Мне представляется, что указанное пренебрежительное отношение к ответу студента на билет не оправдано. Если студент даже переписал ответ на экзаменационный вопрос из учебника или конспекта лекций, достаточно несколько раз задать во время его устного ответа вопрос: “Почему?”, чтобы выяснить, действительно ли он знает предмет, и получить достаточную информацию для объективной оценки знаний студента и выставления ему экзаменационной отметки, с которой он не сможет не согласиться. Более того, разрешение пользоваться на экзаменах по математическим предметам учебниками и конспектами лекций является одним из лучших методов убедить студентов в бесплодности и бесцельности списывания ответов на экзаменационные вопросы. Для приобретения математических знаний и овладения ими требуется немалое время и нелегкий труд.

В результате неправильно проведенного экзамена студент будет неправильно ориентирован в смысле направленности его дальнейших занятий в вузе, у него может появиться внутренняя неуверенность в себе и повышенная нервозность.

Конечно, важно выяснить на экзамене, формально или нет владеет студент знаниями по данному предмету, но для этого вовсе не обязательно измышлять какие-то задачи. Можно и элементарными вопросами при ответе по билету выяснить степень понимания студентом материала, знание им связей излагаемого вопроса с другими изучавшимися им понятиями. Ведь именно это характеризует качество знаний студента. И, кроме того, так проведенный экзамен помогает студенту глубже вникнуть в предмет, задуматься над структурой изучаемого курса. А сообразит он или нет, как решить предложенную ему на экзамене задачу, часто ни о чем не говорит. (Безусловно, здесь не имеется в виду случай, когда эта задача имеет алгоритмическое ре-

шение, которому его обучали. Нет слов, что такие задачи не только можно, но и должно предлагать на экзамене.) Существует много причин, по которым студент может не сообразить, как решить предложенную ему задачу: он может просто растеряться от экзаменационной обстановки, начать думать в неудачном направлении и, потеряв напрасно время, разволноваться, испугаться и т. д. и т. п. Люди очень разные и думают по-разному, в частности, одни быстро, а другие медленно, одни при недостатке времени сохраняют хладнокровие, другие теряют самообладание.

Сказанное вовсе не означает, что на экзамене не следует задавать дополнительных вопросов, в том числе и задач, отличных от тех, с которыми студент встречался в процессе обучения. Конечно, нет, но эти вопросы и задачи должны быть действительно простыми, с тем, чтобы они на самом деле давали возможность выяснить, как студент владеет понятиями, изучавшимися им в данной математической дисциплине. А для этого надо быть особенно внимательным к устным вопросам, которые задаются студенту после его ответа на экзаменационный билет. К сожалению, нередко случается, что эти вопросы и задачи формулируются экзаменатором на основе его собственных вкусов, не всегда даже соответствуют тому, что в действительности изучали студенты, готовясь к экзамену, и, что еще хуже, нечетки по своей форме. В результате всего этого (или даже чего-нибудь одного) подобный вопрос ошарашивает студента, он волнуется, теряет самообладание и бывает не в состоянии ответить даже на те вопросы, на которые он смог бы ответить при других обстоятельствах (такие ситуации случаются на вступительных экзаменах в вуз).

Примером нелепости, которая может произойти в результате нечеткого дополнительного вопроса экзаменатора, является случай, происшедший при сдаче государственных экзаменов в Петербургском университете в 1906 г. Профессор спросил А. Блока, тогда уже известного поэта: “На что делятся стихи?” Блок замялся, не зная, что ответить. Оказалось, что на строфы, как ему укоризненно пояснил профессор.

По-видимому, при устном опросе целесообразно начинать с легких, простых вопросов, ответы на которые (если, конечно, экзаменующийся их знает) помогут ему обрести душевное равновесие и тем самым подготовят его к спокойному размышлению над дальнейшими более трудными вопросами. Очень важно, чтобы содержание и формулировка этих вопросов, независимо от того, являются ли они теоретическими или имеют характер задач, были заранее продуманы, написаны и обсуждены на кафедре. При этом они, безусловно, должны соответствовать тому курсу, который изучали студенты. Запас подобных вопросов должен быть достаточно большим: на материал двухчасовой лекции 15-20 вопросов и задач. Ничего не будет плохого в том, если с ними ознакомить до экзамена студентов. Если найдется студент, который сумеет заранее все их разобрать, он, конечно, заслуживает отличной оценки.

Итак, хорошо, когда на экзаменах проверяются знания студентов, а не их сообразительность, находчивость и скорость мышления, причем не просто знания, а знания того, чему их действительно учили. Это вовсе не означает, что не следует обращать внимания на сообразительность и находчивость студентов, что эти качества не являются важными и нужными. Конечно, нет. Следует не только проверять их, но и уделять большое внимание их развитию. Только проверкой их надо заниматься не на экзамене, а там, где это действительно можно сделать. (Например, во время различного рода дополнительных факультативных занятий и, прежде всего, при непосредственном индивидуальном общении преподавателя со студентами. Сообразительность студента, точнее её направленность (каждый человек обладает сообразительностью в определенном направлении), очень важна при выборе специализации студента, при его дальнейшей работе. Сообразительность означает определенный уровень творческого отношения к изучаемому предмету. Развитию этого качества в процессе обучения (а не на экзамене) следует уделять большое внимание и уделять этому достаточно много времени, поскольку это, как явствует из сказанного, с одной стороны, очень существенно, а с другой — очень и очень непросто. Было бы весьма целесообразно разработать соответствующую методику для различных частей математического курса.

Возвращаясь к проведению экзамена, следует подчеркнуть важность его этической стороны. Человечность, доброжелательность, объективность и внимание экзаменатора к экзаменующемуся являются необходимыми условиями хорошего экзамена. Проявление несправедливости на экзамене, проходящее даже не замеченным для экзаменатора, часто наносит глубокую, долго не заживающую, внутреннюю травму экзаменующемуся.

Один мой коллега, ныне известный математик, как-то рассказал, как он сдавал свой первый экзамен в университете. Поступив в университет после школы, в которой преподавание математики было на недостаточно высоком уровне, он первое время испытывал некоторые трудности, в частности отставал с решением задач по аналитической геометрии на семинарских занятиях. Однако он много работал самостоятельно, изучал не только лекции, которые ему не всегда удавалось хорошо записать, но и читал учебники. На экзамене его экзаменовал преподаватель, ведущий семинарские занятия. Мой знакомый исчерпывающе ответил на все вопросы экзаменационного билета, на все дополнительные вопросы и правильно решил предложенные ему задачи. Тогда экзаменатор подошел к профессору, читавшему лекции, и спросил его, какую отметку он должен ставить студенту: студент-де сейчас отвечает на все вопросы и потому по своим ответам заслуживает отличной оценки, но в течение семестра он не справлялся с предлагавшимися задачами. Профессор спросил, как отвечает студент: по лекциям или по учебникам. “По книгам”, — ответил экзаменатор. “Тогда ставьте ему “хорошо” -сказал профессор. Это была единственная хорошая оценка, которую полу-

чил мой коллега за всё время обучения в университете — все остальные были отличными. И хотя с тех пор прошло более тридцати лет, до сих пор в душе у него осталось чувство незаслуженной обиды. Нельзя вообще оправдать настоятельного желания некоторых экзаменаторов слушать от студентов изложение материала только в том виде, в каком они сами излагали его на лекциях. Ведь истинное знание есть нечто инвариантное, не зависящее от метода и манеры чтения лекций тем или иным лектором.

Безусловно, каждый лектор, должен быть убежден в том, что он читает лекцию хорошо, даже лучше других. Но это не должно исключать критического отношения к себе, не должно заглушать чувство юмора в отношении собственного совершенства и непогрешимости, не должно приводить к забвению понимания того, что кто-то, в том числе и студент, может думать по-другому, что для него является более доступным, простым, убедительным и понятным другое изложение, с которым он ознакомился по учебникам.

Разница между экзаменатором и экзаменующимся, в частности, состоит в том, что экзаменатор обязан понять уровень знания студента в объеме экзаменационной программы при любом методе изложения материала экзаменующимся, а не только при том, который был избран при чтении лекций. Студенту же достаточно знать только один метод изложения, если только в экзаменационной программе не оговорено специально что-либо другое. Плохо, когда лектор снижает экзаменационные отметки студентам только за то, что они отвечают ему не по его лекциям.

Ничем не оправдано затягивание экзамена некоторыми экзаменаторами, у которых студенты проводят за экзаменационным столом по часу, а иногда и значительно больше. Сами экзаменаторы нередко объясняют такой метод проведения экзамена желанием дать дополнительный шанс студенту улучшить уже заслуженную им по первоначальному ответу оценку или желанием самому научить студента чему-то полезному для него. Несмотря на благородные побуждения такого экзаменатора, его точка зрения базируется на недопонимании роли экзамена в учебном процессе, которая прежде всего состоит, как это отмечалось выше, в проверке знаний студента. На экзамене следует выяснить, как студент знает программный материал, как он им овладел к моменту экзамена, как он продумал его в процессе обучения и подготовки к экзамену, а не как он соображает в течение многочасового неестественного сидения за столом экзаменатора. При знаниях студента на уровне хорошей или отличной оценки для выяснения этого обычно бывает вполне достаточно 10-15 минут. При менее прочных знаниях для их правильной оценки, как правило, требуется больше времени. Но 30 минут всегда бывает вполне достаточно и для оценки ответа, и для убеждения студента в её объективности, и для выполнения дополнительной учебной функции экзамена.

Затягивание экзамена вредно и с воспитательной точки зрения: у студента опять-таки создается впечатление, что самое главное не знать, а сообразить

на экзамене, поэтому стоит ли заранее тренироваться, решать какие-то задачи, разбирать теоремы. Уж лучше посидеть на экзамене часа два, за это время уж что-нибудь сообразишь!

Само собой разумеется, что все сделанные рекомендации имеют смысл только при правильной методике проведения экзаменов. В частности, методика проведения экзаменов по математике должна учитывать специфичность математических дисциплин, состоящую в том, что в них всегда имеются принципиальные, как правило, трудно преодолимые узловые вопросы. При различных методах изложения имеющиеся трудности могут перемещаться из одного места в другое. Поэтому может оказаться, что некоторый вопрос при одном методе излагается довольно сложно, так как именно в этом месте преодолевается одна из упомянутых выше принципиальных трудностей, а при другом методе тот же вопрос излагается просто, поскольку трудность перенесена в другое место. Будет очень плохо, если студент “изучит” отдельные части пройденного курса по различным источникам, выбирая каждый раз те из них, в которых эти части излагаются проще, но не усвоит внутренней логики изучаемого предмета и, более того, не разберется ни в основных идеях, лежащих в его основе, ни в методах преодоления принципиальных трудностей, ни в важности и полезности полученных в итоге результатов. Поэтому если студент отвечает на экзамене, используя разные источники, то экзаменатор обязан разобраться, понимает экзаменующийся внутреннюю логическую связь между разными частями курса и владеет ли он основными идеями курса в целом. В противном случае экзамен будет служить лишь поощрением верхоглядству и ловкачеству, вред чего трудно переоценить.

Рассказанный случай, происшедший на экзамене, является еще и примером того, как преподаватель не смог преодолеть своего ошибочного представления о студенте, которое сложилось у него в течение семестра. Можно пытаться исключить подобные ситуации разными способами. Конечно, самым главным является развитие самокритичности у самих экзаменаторов. Однако иногда помогают и организационные меры. Так, например, в Московском физико-техническом институте на кафедре высшей математики сложилась (именно сложилась, а не была введена в приказном порядке) по инициативе самих преподавателей система, при которой преподаватель, ведущий семинарские занятия в группе, не экзаменует студентов этой группы, а экзаменует только студентов других групп. Это не только исключает возможность влияния заранее сформировавшегося ошибочного мнения экзаменатора, но и позволяет сравнить преподавателю свое мнение о знаниях студента с оценкой, поставленной ему на экзамене беспристрастным экзаменатором (надо надеяться, что он действительно был таким). Последнему, конечно, не возбраняется во время экзамена в случае, если он считает это нужным, проконсультироваться с преподавателем, ведшим в течение семестра семинарские занятия у экзаменующегося студента (этот преподаватель обязан присутствовать на экзамене). Иногда преподаватели всех групп выставляют перед

экзаменом предварительные оценки своим студентам, но, конечно, только для внутреннего использования на кафедре. При анализе работы преподаватели сравнивают эти оценки с оценками, полученными студентами на экзаменах.

Другой случай на экзамене произошел еще более давно, в тридцатые годы, с другим моим знакомым. В то время существовало правило, согласно которому студенту, правильно ответившему на все вопросы экзаменационного билета и на дополнительные вопросы по программе, можно было поставить только хорошую оценку. Для получения же отличной оценки студенту необходимо было правильно ответить еще на внепрограммный вопрос. Конечно, это правило само по себе нелепо, нельзя найти какие-либо разумные доводы для его оправдания. Но так было. На одном экзамене мой знакомый заслужил своим ответом хорошую оценку, и был спрошен, хочет ли он продолжать экзаменоваться, с тем, чтобы попытаться получить отличную оценку. Он дал согласие, получил дополнительный вопрос, стал думать и через 40 минут дал правильный ответ. Однако профессор поставил ему лишь хорошую оценку, сказав, что мой знакомый думал слишком долго, тогда как, по его мнению, для получения ответа было достаточно 15 минут.

Мне кажется, что два описанных здесь случая являются примерами того, как не надо проводить экзамен. Ведь нельзя не учитывать нервного состояния студента во время экзамена, необычную для него обстановку, различную на нее реакцию у разных студентов. Встречается немало студентов, которые, готовясь к ответу у доски (а именно так и проходил экзамен во втором из приведенных выше случаев), теряются и чувствуют себя гораздо менее уверенными и спокойными, чем когда они готовятся к ответу сидя за столом. То же самое относится и к самому экзамену. Нельзя на экзаменах подходить ко всем студентам с одинаковыми мерками, в частности, относительно скорости, с которой студент должен давать ответы на предлагаемые ему вопросы — природа человека слишком разнообразна и сложна. Только содержание ответа экзаменующегося студента является основанием для оценки его знаний на экзамене.

Конечно, и здесь, как и всегда в жизни, нельзя этот принцип доводить до абсурда. Если, например, студент после изучения математического анализа на просьбу дать определение производной будет думать полчаса, после чего даст правильный ответ, то это, безусловно, будет свидетельствовать о непрочности и недостаточности его знаний. Впрочем, это практически нереальный случай. Само собой разумеется, что в приведенном выше примере речь шла о достаточно трудном дополнительном вопросе.

Попутно специально заметим, что если студент во время экзамена не отвечает на какой-либо вопрос или не решает задачу, то это вовсе не означает, что он не заслуживает отличной оценки и что ему объективно нельзя её поставить. Экзаменатор имеет возможность выяснить (и ему следует это сделать),

случаен или нет неправильный ответ экзаменующегося и каковы его действительные знания. Вполне может оказаться, что, несмотря на осечку, студенту можно и нужно поставить “отлично” за экзамен.

Отметим еще недопустимость, к сожалению, достаточно широко распространенного обычая просматривать перед выставлением отметки студенту за экзамен его предыдущие экзаменационные оценки. В этом случае преподаватель сознательно или подсознательно руководствуется при выставлении своей экзаменационной оценки предшествующими. У некоторых преподавателей существует даже мнение, что оценка, полученная студентом на предыдущем экзамене по данному предмету или близкому к нему, обязательно должна приниматься во внимание при выставлении ему оценки по этому предмету на очередном экзамене: например, после оценки “удовлетворительно” нельзя ставить оценку выше “хорошо”. Это, безусловно, неправильно.

Если экзаменатор, просмотрев зачетную книжку студента и убедившись, что он неважно успевал, поставит ему “удовлетворительно” или “хорошо” с убеждением, что на его оценку не повлияли предшествующие оценки экзаменующегося (они, возможно, на самом деле не повлияли), то студент, скорее всего, всё равно будет думать, что полученная им оценка была снижена из-за его плохой успеваемости в предыдущих семестрах. В результате у него возникает ощущение, что безнадежно пытаться добиться более высоких оценок, а преподаватель в его глазах теряет свой авторитет, так как, по мнению студента, преподаватель не смог вынести самостоятельного мнения об его знаниях и сам решить, какой оценки заслуживает его ответ.

Само собой разумеется, что после выставления экзаменационной отметки не возбраняется просмотреть зачетную книжку студента — такой знак внимания и интерес к своей особе студент, безусловно, оценит правильно.

Впрочем, в жизни, в отличие от математики, всякое категорическое высказывание оказывается, как правило, неверным. Конечно, есть ситуации, когда ознакомление с предшествующими оценками студента не только допустимо, но желательно и, более того, просто необходимо. Например, это обязательно надо делать при проведении государственных экзаменов и защите дипломных работ. В этом случае экзаменаторам следует не просто принять к сведению информацию об успеваемости студента за время его обучения в институте или университете, а иногда в силу этой информации изменить стандартную процедуру экзамена.

Поясним сказанное на примере. Случается, что студент, получавший за пять-шесть лет обучения в высшем учебном заведении только хорошие и отличные оценки, а иногда и только отличные, получает на государственном экзамене удовлетворительную, а то и неудовлетворительную оценку. Стоит ли этому удивляться? Какие только маловероятные вещи не происходят на свете! Все-таки стоит и не только удивляться, но и задуматься над этим случаем.

При самом высоком уровне квалификации экзаменаторов и при самой высокой степени их добросовестности и объективности, если они поставили указанные выше оценки, вероятность того, что они ошиблись в оценке знаний студента, значительно выше, чем ошибка тех 50-60 преподавателей, которые высоко оценивали знания студента в течение всего времени его обучения в вузе.

Но как же надо поступать, если хорошо успевавший в прошлом студент на самом деле отвечает на государственном экзамене лишь на удовлетворительную или того хуже, неудовлетворительную оценку? Нельзя же просто ставить ему повышенную оценку за его прошлые заслуги? Конечно, нельзя. Но и ставить сразу низкую оценку тоже нельзя.

Студент, хорошо проучившийся много лет, т. е. систематически и добросовестно проделавший большую трудную работу, заслуживает неформального и внимательного к себе отношения. Нельзя по результатам получасового разговора перечеркнуть многолетний труд студента. Много может быть случайных причин его неудачного ответа, связанных с его характером, внутренними переживаниями, событиями в его жизни, смущением, растерянностью, с необычной, а иногда и нервозной обстановкой на экзамене и даже с психологической несовместимостью экзаменаторов и экзаменующихся. Душевная травма, наносимая студенту в результате несправедливости, допущенной на государственном экзамене, усугубляется тем, что эта несправедливость является завершающим аккордом замечательного периода в жизни человека, когда он был студентом.

Но как же все-таки поступать в подобных случаях? По-видимому, следует внести определенные изменения в традиционную процедуру проведения государственных экзаменов или соответственно защиту дипломных работ: экзаменаторы, экзаменовавшие студента, не должны, уповая на свою непогрешимость, настаивать на оценке, которую они считают нужным ему поставить на основании проведенного экзамена, а сами (чтобы не было никаких обид) должны попросить, чтобы этого студента проэкзаменовала комиссия в другом составе. Этот повторный экзамен, конечно, целесообразно провести некоторое время спустя и лучше не в тот же день. Таким образом, выставление на государственном экзамене или при защите дипломных работ оценок, противоречащих всей предыдущей работе студента, требует по крайней мере двукратной проверки знаний студента комиссиями разного состава. Возникает, правда, вопрос, а целесообразно ли вообще проводить государственные экзамены по специальности? Ведь вряд ли возможно за 30-40 минут, даже при наличии всей необходимой добросовестности и доброжелательности, оценить знания студентов более объективно, чем это уже было сделано за все время обучения их в вузе. Это, безусловно, так, однако проведение государственных экзаменов оправдывается той большой пользой, которую получают студенты во время подготовки к этим экзаменам, когда они вынуждены посмотреть не на отдельные изолированные части своей будущей

специальности, а продумать и осознать её в целом. По крайней мере один раз в жизни сделать это, безусловно, целесообразно.

Впрочем, полезно напомнить, что существует и другая метода проведения государственных экзаменов. Так, в Московском физико-техническом институте на государственных экзаменах по физике студенты получают экзаменационный вопрос за полтора месяца до экзамена. Во время подготовки к этому экзамену студент, изучая дополнительную литературу, углубляет свои знания и учится самостоятельно работать над поставленным перед ним вопросом. Само собой разумеется, что во время экзамена перед экзаменующимся неизбежно ставятся и вопросы, связанные с различными разделами изучавшегося им курса физики. Такая система проведения государственных экзаменов имеет свои преимущества.

Мы рассмотрели роль и значение экзамена в учебном процессе. Из всего сказанного явствует, что экзамен действительно является важным средством воспитания и, в частности, учит распознавать добро и зло. Правильно проведенный экзамен укрепляет веру человека в торжество справедливости, в объективность оценки его деятельности, а неправильно — наоборот, подрывает веру в справедливость и объективность и тем самым подрывает моральные устои.

Правильно проведенный экзамен, успешно сданный студентом, приносит ему большое чувство удовлетворения, ощущение важности и нужности проделанной им работы, сознание того, что его труд был правильно оценен. Это мобилизует его силы и энергию на преодоление дальнейших трудностей, создает у него объективную уверенность в своих силах. Очень хорошо, когда студент на экзамене ощущает, что и для преподавателя, который его экзаменует, экзамен является неформальной проверкой его знаний, что преподаватель сознает существенность момента.

Мне очень понравился традиционный обычай, существующий в Таллинском политехническом институте, где после первого сданного студентом экзамена экзаменатор встает, поздравляет студента и обменивается с ним рукопожатием — прекрасный пример для подражания!

Итак, следует понимать и всегда помнить, что экзамен является не только проверкой знаний, приобретенных студентом во время его обучения, и проверкой умения их использовать, но экзамен является важным звеном во всей цепи обучения студента, составляя существенную часть учебного и воспитательного процесса. Преподаватель может многому научить студента во время экзамена, если он не будет ставить своей единственной целью выяснение того, что студент не знает, а, наоборот, будет стараться найти и выяснить, что он знает, на каком уровне владеет своими знаниями. В последнем случае преподаватель при тактичном проведении экзамена может помочь студенту осознать имеющиеся у него пробелы в его знаниях (если они, конечно, существуют) и тем самым помочь ему лучше организовать свою работу при дальнейшем обучении.

Студент должен, как правило, после экзамена чувствовать, что он не только рассказал преподавателю о том, что он учил, над чем думал, но что он и сам во время экзамена чему-то научился, узнал что-то существенно новое и полезное, для себя.

Следует еще отметить, что в отдельных сложных случаях во время экзамена необходим индивидуальный подход к студенту, учитывающий специфические черты его характера и темперамента. Та или иная манера проведения устного экзамена, хорошая для одного студента, может оказаться очень плохой для другого и тем самым не будет объективно отвечать вышеуказанным целям экзамена.

Всё сказанное выше относилось к устным экзаменам. Нельзя не сказать несколько слов о письменных экзаменах. Проведение письменных экзаменов весьма целесообразно по ряду причин. В частности, письменные экзамены имеют более объективный характер, поскольку всем экзаменующимся предлагаются более или менее однотипные вопросы, на написанные ими ответы не влияет личность экзаменатора, на оценке этих ответов не сказывается внешнее впечатление, производимое экзаменующимся на экзаменатора, и т. д. и т. п.

Можно соединить оба способа проведения экзаменов: письменный и устный. Это позволяет добавить к перечисленным положительным сторонам письменного экзамена достоинства устного, проистекающие от непосредственного общения экзаменатора и экзаменующегося. Именно такая система экзаменов и принята в Московском физико-техническом институте с момента его создания. Экзамены почти по всем математическим дисциплинам состоят в нем из двух частей: письменной и устной. Письменный четырехчасовой экзамен проводится одновременно для всех студентов данного курса за два-три дня до устного (было бы еще более целесообразно проводить его накануне устного экзамена, как это делалось в первые годы существования Физтеха, однако в этом случае возникают большие затруднения со своевременной проверкой экзаменационных работ). На этом экзамене студентам предлагается набор из 8-10 задач, каждая из которых оценена в определенное количество очков. Имеется четкая инструкция для оценки проверяющими решений задач: за что следует снимать, а за что набавлять очки и в каком количестве. Для того чтобы быть допущенным ко второй части экзамена, т. е. к устному экзамену, студент должен набрать определенный минимум очков.

Например, если общее суммарное число очков, в которое оценены все задачи данного варианта, составляет 40 очков, то студенту для допуска ко второй части экзамена надо иметь по письменной экзаменационной работе более 10 очков. Если у него их меньше, то после беседы с преподавателем по поводу его работы, в ходе которой студент убеждается, что большего количества очков его письменная работа не заслуживает, ему выставляется неудовлетворительная оценка.

В случае, когда студент набрал более 10 очков, он получает экзаменационный билет и экзамен продолжается. При этом экзаменатор имеет в своем распоряжении проверенную экзаменационную работу и руководствуется степенью её выполнения при выставлении экзаменационной отметки. Если у студента набрано 11-20 очков, он может получить не выше оценки “удовлетворительно”, если 21-30 очков — не выше “хорошо”, и только имея не менее 31 очка, он может претендовать на отличную оценку. В процессе устного экзамена студент знакомится с результатом проверки его письменной экзаменационной работы и экзаменатор разъясняет ему, в случае необходимости, в чем состоят допущенные им ошибки.

Наличие письменного экзамена, который целесообразно проводить на данном курсе одновременно для всех факультетов, имеющих одинаковую программу по математике, влечет за собой необходимость одновременного проведения устного экзамена для всех студентов, прошедших через письменный экзамен. Это приводит к тому, что для лектора, читающего курс для большой аудитории, оказывается возможным проэкзаменовать лишь малую долю своих слушателей. Это, конечно, существенный недостаток, который, однако, неизбежен в какой-то степени, если стремиться к тому, чтобы студенты были в одинаковом положении как в отношении информации о содержании письменного экзамена, так и в отношении времени на подготовку к устному экзамену.

Многолетний опыт Московского физико-технического института показывает целесообразность и разумность такой системы экзаменов.

ABOUT EXAMINATIONS

L. D. Kudryavtsev

The chapter “About examinations” from L. D. Kudryavtsev's book “Modern mathematics and its teaching” is devoted to one of the most important stages of the educational process. It deals with the methodical, ethical and moral aspects of the problem. The article may be useful not only to the teachers of mathematics at universities but to all teachers and students.

Keywords: mathematics at university, methodology and methods of education, mathematics examination.

Математика в высшем образовании

Научно-методический журнал

Свидетельство о регистрации средства массовой информации Министерства РФ по делам печати, телерадиовещания и средств массовых коммуникаций ПИ № 77-15825 от 07 июля 2003 г. ISSN 1729-5440

Редактор Е. Я Тамберг Технический редактор и компьютерная верстка Л.Р. Семенова Оригинал-макет подготовлен с использованием пакета LATEX

Подписано в печать 10.12.2003 г. Формат 60><84 78 Бумага офсетная.

Гарнитура Computer Modern. Печать офсетная. Усл.-печ.л. 18,2 Уч.-изд. л. 13,3. Тираж 1000 экз. Заказ 1779.

Издательство Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского, 603950, Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23.

Адрес редакции: Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского 603950, Нижний Новгород, проспект Гагарина, 23, корпус 2, к. 216. Тел.(8312) 65-85-10; (8312) 65-78-83; факс: (8312) 65-85-92 e-mail: appmath@vmk.unn.ru www.unn.ru/math

Типография Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского. Лиц. ПД№ 18-0099 от 04.05.2001. 603000, Нижний Новгород, ул. Большая Покровская, 37.

Индекс 87966

ISSN 1729-5440 Математика в высшем образовании, 2003, № 1