Годъ четвертый.

Математическій Вѣстникъ.

Журналъ, посвященный вопросамъ преподаванія ариѳметики и началъ алгебры и геометріи.

Выпускъ 3-й 1917 г.

Цѣна этого выпуска въ розничной продажѣ 60 коп.

МОСКВА.

Математическій Вѣстникъ.

Выпускъ 3-й 1917 г.

Адресъ редакціи: Москва, Гороховскій пер., д. 23, кв. 9. Тел. 3-19-55.

СОДЕРЖАНІЕ: Н. Извольскій. Бесѣда съ учащимися о началахъ геометріи.—Н. Сыркинъ. Способъ передвижного обратнаго множителя.— И. Александровъ. Къ рѣшенію неопредѣленныхъ уравненій первой степени.—Н. Извольскій. Переоцѣнка значенія графикъ для курса алгебры.— С. Шохоръ-Троцкій. Отклики.—Н. Извольскій Отвѣтъ на „Отклики" С. И. Шохоръ—Троцкаго—Н. Извольскій Отвѣтъ г. Добровольскому.— Хроника. Подготовка 3-го Всеросс. Съѣзда препод. матем. (окончаніе).— Московскій матемт. Кружокъ. Свѣдѣнія о книгахъ по математикѣ и ея методикѣ (В. А. Барицкій. Очерки по методикѣ начальнаго курса ариѳметики).—Объявленія .

Бесѣда съ учащимися1) о началахъ геометріи.

(Глава изъ подготовляемаго къ печати сокращеннаго курса геометріи).

1. Посмотрите въ окно: тамъ виденъ кусочекъ синяго неба, на немъ бѣловатое облачко—видите ли вы ихъ? А не видите ли вы еще чего-либо между синимъ небомъ и бѣловатымъ облакомъ? Всмотритесь—и вы увидите границу между ними. И всюду, разсматривая повнимательнѣе все, что передъ нашими глазами, вспоминая то, что вы могли видѣть внѣ класса, всюду вы имѣете случай увидѣть какія-либо границы: вотъ падаетъ тѣнь отъ ножки стола на полъ — мы видимъ границу между желтымъ фономъ пола и сѣроватою тѣнью; вспомнимъ: гуляя мы имѣли много разъ случай видѣть,

1) Эта бесѣда должна въ зависимости отъ обстоятельствъ нѣсколько видоизмѣняться.

что будто бы небо сходится съ землею, и вы видѣли много разъ границу между ними—она даже носитъ особое названіе „линія горизонта"; если вы видѣли рѣку, ручей, особенно съ песчанымъ берегомъ, то вы видѣли и границу между водою рѣки и береговымъ пескомъ — ее называютъ „берегового линіею"; посмотрите на эту стѣну—вы видите границу, отдѣляющую самую стѣну (массу стѣны) отъ того пространства, которое занято классомъ—ее называютъ „поверхностью" стѣны; вы видите также границу, отдѣляющую поверхность одной стѣны отъ поверхности другой; вы видитз еще границу, отдѣляющую поверхность потолка отъ поверхности стѣнъ, причемъ вы видите, что эта граница какъ бы изломана, и видите границы между отдѣльными ея частями. Вотъ кусочекъ картона, закрашенный разными красками: на немъ вы можете увидать различныя границы: границу, отдѣляющую массу картона отъ пространства, границу, отдѣляющую закрашенную область отъ бѣлой, при чемъ эта граница распадается на части: одна отдѣляетъ черную область отъ бѣлой, другая—красную отъ бѣлой, и между этими частями мы опять видимъ границу.

Вспоминая различныя границы, какія когда-либо намъ приходилось наблюдать, мы придемъ къ заключенію, что границы бываютъ трехъ сортовъ, при чемъ каждый сортъ требуетъ для указыванія этой границы особеннаго пріема: одинъ сортъ требуетъ, чтобы показать эти границы, дѣлать рукою движенія, которыя похожи на тѣ, когда мы что-либо замазываемъ, второй сортъ границъ приходится показывать при помощи „обведенія" и третій сортъ границъ приходится лишь „намѣчать". Границы перваго рода называются поверхностями, второго рода—линіями и третьяго рода — точками. Границъ иного характера, кромѣ этихъ трехъ родовъ, мы не наблюдаемъ.

Вспомнимъ различныя границы (линію горизонта, береговую линію, поверхность стѣны, точку, отдѣляющую одну часть линіи отъ другой и т. д.); постараемся отвѣтить на вопросъ: изъ какого матеріала сдѣланы эти границы? Мы быстро придемъ къ отвѣту на этотъ вопросъ: онѣ ни изъ какого матеріала не сдѣланы, онѣ — не матеріальны; несмотря на это, мы ихъ постоянно наблюдаемъ. Возникаетъ

еще вопросъ: нельзя ли тѣ границы, какія мы наблюдаемъ, какъ либо отдѣлить отъ тѣхъ предметовъ, гдѣ онѣ наблюдаются? На это мы можемъ отвѣтить такъ: мы можемъ отдѣлить ихъ только воображеніемъ или только мысленно. Этого достаточно, чтобы мы могли работать надъ ними такъ, какъ будто бы онѣ существовали отдѣльно отъ физическихъ предметовъ.

Геометрія составляетъ изъ этихъ основныхъ элементовъ (изъ поверхностей, линій и точекъ) различныя сочетанія, называемыя фигурами, начиная съ самыхъ простыхъ и постепенно все усложняя, изучаетъ полученныя фигуры, стараясь подмѣтить, нѣтъ ли чего-либо въ нихъ особеннаго, обращающаго на себя наше вниманіе, и изслѣдуетъ тѣ вопросы, которые возникаютъ при этомъ изученіи; каждая точка, каждая линія, каждая поверхность, входящая въ составъ фигуры, назыв. ея частью.

Итакъ, намъ придется имѣть дѣло съ геометрическими элементами, т.-е. поверхностями, линіями и точками, при чемъ мы должны воображать ихъ отдѣльно существующими. Чтобы помочь воображенію, мы будемъ изображать при помощи рисунка и линіи и точки и поверхности. Напр., на чер. 1 нарисовано 2 линіи и 2 точки. Конечно, надо помнить, что настоящія линіи и настоящія точки не изъ чего не сдѣланы (не матеріальны) и, но настоящему, ихъ изобразить никакъ нельзя. Однако необходимо помочь воображенію и рисуютъ маленькій кружочекъ, считая его за изображеніе точки, рисуютъ таюке узкую полоску, считая ее за изображеніе линіи. О томъ, какъ изображать поверхности, придется говорить значительно позднѣе.

Чтобы отличить одну точку отъ другой, имъ даютъ названія: каждую точку называютъ одною буквою (обыкновенно большою) латинскаго алфавита; на черт. 1 изображены точка

Черт. 1.

А и точка В. Также каждую линію называютъ большею частью двумя большими буквами латинскаго алфавита; на чертежѣ изображены линія CD и линія MN. Мы можемъ также сказать, что на черт. 1 изображена фигура, состоящая изъ двухъ линій и двухъ точекъ, а именно изъ линій CD и MN и точекъ А и В. Иногда линію называютъ тремя или болѣе большими буквами, чтобы не спутать одну линію съ дуугою; Напр., на черт. 2 изображены линіи ADC и ЕАВС, а иногда каждую линію называютъ и одною буквою, но тогда обычно пользуются малыми буквами (на черт. 3 изображены линія а, линія в и линія с).

Иногда, также для помощи нашему воображенію, удобно изображать линіи и поверхности (изрѣдка и точки) при помощи моделей, напр., при помощи палочки, проволоки, нитки и т. п. можно изображать линіи, при помощи куска картона или дощечки — поверхности.

2. Не трудно, послѣ разсмотрѣнія нѣсколькихъ примѣровъ, установить: 1) точки могутъ лежать на линіи или линія можетъ проходить черезъ точку; 2) на линіи можно вообразитъ сколь-угодно много точекъ, а также можно вообразить, что черезъ точку проходитъ сколь-угодно много линій; 3) линія можетъ лежать на поверхности или поверхность можетъ проходить черезъ линію; 4) на поверхности можно вообразить сколь-угодно много линій, а также: черезъ линію можно вообразить проходящими сколь-угодно много поверхностей. Всѣ точки, линіи и поверхности, которыя мы можемъ вообразить, расположены въ пространствѣ.

Вообразивъ нѣсколько точекъ, мы приходимъ къ мысли, что всѣ точки сходны между собою, но, вообразивъ рядъ

Черт. 2.

Черт. 3.

линій, напр. на черт. 2 и 3, мы придемъ къ мысли, что линіи могутъ другъ отъ друга отличаться. Возникаетъ мысль изыскать такую линію, чтобы ее мы могли на какомъ-либо основаніи считать самою простою.

3. Вообразимъ двѣ точки и черезъ нихъ какую-нибудь линію, которую удобно изобразить при помощи проволоки. Мы можемъ представить себѣ, что эта линія вращается около нашихъ двухъ точекъ. Дадимъ также и рисунокъ: пусть точки А и В (черт. 4) — тѣ двѣ точки, которыя мы сначала вообразили, и пусть линія АСВ есть та, которая проходитъ черезъ эти точки. Вообразимъ, что линія АСВ вращается около точекъ А и В. Тогда (при помощи проволоки это лучше выясняется) линія остается та же самая, но она занимаетъ все разныя и разныя положенія въ пространствѣ, хотя все время проходитъ черезъ точки А и В. На чертежѣ 4 дано пунктиромъ и другое положеніе вращающейся линіи (а именно линія ADB). Это вращеніе показываетъ намъ, что такихъ же линій, какъ взятая нами сначала (какъ линія АСВ), черезъ наши двѣ точки А и Б, возможно вообразить сколь-угодно много. Возникаетъ вопросъ: нельзя ли вообразить такую линію, проходящую черезъ точки А и Б, чтобы она, несмотря на вращеніе вокругъ точекъ А и Б, ни измѣняла своего положенія? Намъ представляется яснымъ, что такую линію вообразить можно, и она, слѣдов., обладаетъ особымъ свойствомъ, а именно: лишь одну такую линію можно вообразить проходящею черезъ наши двѣ точки. Такую линію называютъ особымъ именемъ — прямая линія и признаютъ ее за самую простую.

Итакъ, вышеописанный опытъ позволилъ намъ признать существованіе прямыхъ линій, при чемъ для насъ ясна справедливость положенія:

Черезъ каждыя двѣ точки пространства проходитъ единственная прямая линія, или,

Черт. 4.

другими словами: двумя точками пространства опредѣляется прямая линія и только единственная.

4. Также точно мы должны заняться вопросомъ, нельзя ли изыскать такую поверхность, которую мы на основаніи какихъ-либо признаковъ признаемъ за самую простую.

Мы можемъ для этой цѣли воспользоваться уже тою линіею, какую мы признали за самую простую, т.-е, прямою линіею. Выполнимъ рядъ опытовъ, для чего воспользуемся линейкою, ребро которой стремятся сдѣлать приближающимся къ прямой линіи.

Будемъ ребро линейки прикладывать къ различнымъ поверхностямъ, наблюдаемымъ нами на практикѣ: къ поверхности стѣны, къ поверхности стола, къ поверхности графина, къ поверхности стакана и т. д. Мы можемъ увидать, смотря на свѣтъ, что между изслѣдуемыми поверхностями и ребромъ линейки имѣются болѣе или менѣе значительныя неровности. Подъ вліяніемъ этихъ опытовъ можетъ зародиться мысль о возможности и такой поверхности, чтобы при наложеніи на нее прямой линіи, при всякомъ положеніи послѣдней, просвѣтовъ вовсе не оказалось бы.

На практикѣ получить такую поверхность нельзя, такъ какъ даже зеркала, самой тщательной шлифовки, при изслѣвованіи ихъ оказываются имѣющими множество, хотя и не замѣтныхъ для невооруженнаго глаза, неровностей, но во всякомъ случаѣ мы можемъ мыслить и можемъ воображать существующей такую поверхность. Ее мы признаемъ за самую простую и называемъ плоскою поверхностью или, короче, плоскостью.

Согласно тому, какъ мы подошли къ представленію этой поверхности, мы должны приписать ей слѣдующее свойство:

При всякомъ наложеніи прямой линіи на плоскость должно оказаться, что всѣ точки прямой линіи совпадаютъ съ этою плоскостью.

Остановимся еще на вопросѣ: что значитъ наложить прямую линію на поверхность? Если мы представимъ себѣ прямую линію, изображаемую, напримѣръ, ребромъ линейки, въ такомъ положеніи, чтобы она имѣла лишь одну общую точку съ изслѣдуемой поверхностью, напримѣръ съ поверх-

ностью стола, то мы не стали бы говорить, что прямая линія приложена къ этой поверхности или что она наложена на эту поверхность. Для того, чтобы это обстоятельство имѣло мѣсто, надо еще вращать прямую линію вокругъ этой общей точки такъ, чтобы, по крайней мѣрѣ, еще одна точка прямой пришла бы къ совпаденію съ разсматриваемой поверхностью. При этомъ монетъ случиться что прямая линія и поверхность имѣютъ всего лишь 2 общихъ точки, но можетъ случиться что общихъ точекъ очень много; возможно мыслить и вообразить случай, что всякая точка прямой окажется тогда расположенной и на нашей поверхности. Въ виду этихъ соображеній возможно вышеизложенное свойство плоскости выразить иначе:

Если прямая линія имѣетъ съ плоскостью двѣ общихъ точки, то всякая точка этой прямой лежитъ на плоскости.

Представимъ себѣ прямую линію. Мы не можемъ указать на этой прямой точку, за которую нельзя было бы еще продолжить эту прямую.

Поэтому мы приходимъ къ свойству прямой: прямая линія не имѣетъ концовъ.

Это свойство прямой линіи должно быть сейчасъ же перенесено и на плоскость:

Плоскость не имѣетъ границъ.

Н. Извольскій.

Способъ передвижного обратнаго множителя.

Въ № 7—8 ,,Математическаго Вѣстника" въ статьѣ А. Филимонова объясненъ способъ умноженія г. Ферроля. Способъ этотъ (называемый способомъ метрическаго умноженія) имѣетъ то неудобство, что перемноженіе накрестъ цифръ, расположенныхъ кромѣ этого на нѣкоторомъ разстояніи другъ отъ друга, можетъ часто вести къ ошибкамъ, особенно въ тѣхъ случаяхъ, когда данныя для перемноженія числа многозначны и когда множимое и множитель содержатъ неодинаковое число цифръ. Въ тѣхъ случаяхъ, когда перемножаемыя числа многозначны, рекомендуется, во избѣжаніе сбивчивости и ошибокъ, прибѣгать къ видоизмѣненію спо-

соба Ферроля. Этотъ способъ называется способомъ передвижного обратнаго множителя и заключается въ слѣдующемъ: Цифры множимаго пишутъ на особой полоскѣ бумаги въ обратномъ порядкѣ и затѣмъ подвижную полоску ставятъ надъ множителемъ такъ, что первая цифра обратнаго множимаго слѣва находится непосредственно надъ первой цифрой множителя справа. Перемножаютъ цифры, находящіяся непосредственно другъ надъ другомъ, и получаютъ цифру единицъ произведенія. Если полученное число двузначное, цифру, десятковъ запоминаютъ. Затѣмъ полоску передвигаютъ на одну цифру влѣво; находящіяся другъ надъ другомъ цифры перемножаютъ между собою, слагаютъ и прибавляютъ цифру, держимую въ умѣ, и получаютъ десятки произведенія и т. д. При этомъ способѣ, очевидно, приходится перемножать цифры, находящіяся лишь непосредственно другъ подъ другомъ, что значительно .упрощаетъ операцію. Примѣръ: 389672435X471837.

Пишемъ цифры множимаго въ обратномъ порядкѣ и располагаемъ его надъ множителемъ такъ, какъ показано:

I положеніе 534276983 IV положеніе 534276983

471837 три въ умѣ. 471837 шесть въ умѣ-

5 3095

II я 534276983 V „ 534276983

471837 три въ умѣ. 471837 тринадцать въ умѣ.

95 13095

III „ 534276973 VI „534276983

471837 восемь въ умѣ. 471837 тринадцать въ умѣ.

095 "7І3095" "

VII положеніе 534276983

471837 девятнадцать въ умѣ. 2713095

VIII „ 534276983

471837 восемнадцать въ умѣ.

72713095

IX „ 534276983

471837 девятнадцать въ умѣ.

872713095

X „ 534276983

471837 семнадцать въ умѣ.

1872713095

XI „ 534276983

471837 тринадцать въумѣ,

61872713095

XII „ 534276983

471837 десять въ умѣ.

861872713095 XII , 534276983

471837 шесть въ умѣ.

3861872713095 XIV „ 534276983

471837

183861872713095

Въ томъ случаѣ, если по полученіи результата каждаго положенія полоски желательно тотчасъ дѣлать запись, чтобы не приходилось запоминать чиселъ, подлежащихъ добавленію къ результату непосредственно слѣдующаго положенія, то это дѣлается такимъ образомъ: Запись дѣлается въ 3 строки: въ верхней строкѣ пишутся единицы результата, во второй— десятки и въ нижней — сотни. Запись дѣлается уступами, при чемъ цифра десятковъ отступаетъ на одно мѣсто влѣво, противъ цифры единицъ, — цифра сотенъ на одно мѣсто противъ цифры десятковъ. Запись вышеприведеннаго примѣра приметъ слѣдующій видъ:

23592089455765 15915867225733

1111111

183861872713095

Н. Сыркинъ.

Къ рѣшенію неопредѣленныхъ уравненій первой степени.

Въ большинствѣ нашихъ учебниковъ (Давидова, Киселева Шапошникова и друг.) указано нѣсколько способовъ рѣшенія въ цѣлыхъ числахъ уравненія ах-\-ву=с. Упомянемъ о трехъ способахъ1).

Первый состоитъ въ послѣдовательномъ преобразованіи даннаго уравненія до тѣхъ поръ, пока не придемъ къ уравненію, одинъ изъ коэффиціентовъ котораго равенъ единицѣ.

Этотъ способъ, конечно, надо употреблять только при большихъ а и в, да и то—не всегда, при чемъ, какъ ниже указано, доводить послѣдовательныя преобразованія до конца совершенно безполезно.

Второй способъ состоитъ въ угадываніе! двухъ корней, р и q, помощью произвольныхъ подстановокъ, сдѣланныхъ въ произвольномъ порядкѣ; послѣ этого, какъ извѣстно, сразу получаемъ x—p±ht, y—q^zat.

Третій способъ состоитъ въ послѣдовательной подстановкѣ Вмѣсто одного неизвѣстнаго чиселъ О, 1, 2, 3 ... , пока другое неизвѣстное не получитъ цѣлаго значенія. Если во второмъ и третьемъ способѣ удастся установить нѣкоторый порядокъ подстановокъ, если удастся поставить ихъ на разумныя основанія, то оба способа станутъ одинаковыми, какъ и видно ниже.

Насколько я помню, нигдѣ не указано, что самый короткій путь рѣшенія состоитъ въ соединеніи перваго способа съ однимъ изъ слѣдующихъ (для сложныхъ чиселъ), и второго или третьяго способа для такихъ коэффиціентовъ, на которые удобно дѣлить. При этомъ обыкновенно пропускаютъ соображенія, значительно упрощающія второй и третій способы въ каждомъ частномъ случаѣ. Было бы долго доказы-

1) Пропускаю способъ примѣненія свойства подходящихъ дробей, потому что, по моему мнѣнію, непрерывнымъ дробямъ, какъ отдѣлу совеершено спеціальному и обособленному, нѣтъ мѣста въ обязательной программѣ средней школы. Сверхъ того этотъ отдѣлъ имѣетъ очень мало практическихъ примѣненіи. Изъ таковыхъ случаевъ мнѣ извѣстенъ лишь одинъ, именно, рѣшеніе вопроса слѣдующаго типа п Какими одинаковыми циклами, составленными изъ простыхъ и високосныхъ годовъ, всего выгоднѣе веети лѣтоисчисленіе, принимая природный годъ въ 366 д. 5 ч. 48 м. 50 с.а Между прочимъ рѣшеніе этого вопроса приводитъ къ Юліанскому и Персидскому календарямъ, а также къ лѣтоисчисленію Медлера. Что же касается примѣненія непрерывныхъ дробей къ извлеченію корня и нахожденію логариѳмовъ, то для этихъ дѣйствій имѣются болѣе легкіе и изящные способы.

вать теоретически справедливость моихъ словъ. Но думаю, что слѣдующіе два примѣра подтвердятъ мое заключеніе. Добавлю еще, что указываемыя мною упрощенія въ соединеніи съ упрощеніями, имѣющимися въ учебникахъ, служатъ для учащихся повтореніемъ ариѳметики, изощряютъ ихъ вниманіе и находчивость, и поэтому увеличиваютъ педагогическую цѣнность статьи о неопредѣленныхъ уравненіяхъ. Начнемъ съ уравненія съ небольшими коэффиціентами.

Пусть дано уравненіе 11х-\-ІЬу=130. Очевидно х должно быть кратнымъ 5, а число 130—15 у должно быть кратнымъ числа 11. Слѣд. число 130—15 у можетъ оканчиваться цифрою 5. Испытывая у= 1, 3, 5, находимъ у=Ъ, х~Ь.

Можно сдѣлать иначе, если замѣтить, что 11+15=26 и что 130 есть кратное 26. Тогда, очевидно, х и у не равны 1, а равны 130:26. Такое же упрощеніе имѣетъ мѣсто, если число а — Ъ есть дѣлитель числа с. Такъ, напримѣръ, уравненіе 182#4-47î/=270 имѣетъ корни х=2, у=—2, потому что разность 182—47 вдвое менѣе числа 270. О способѣ введенія вспомогательныхъ неизвѣстныхъ учебники упоминаютъ, но игнорируютъ слѣдующую подстановку, упрощающую извѣстное число с. Такъ для рѣшенія уравненія 11#+13^=1000 полагаемъ x=91-\-z и получаемъ 13^/=—1, откуда видно, что е=—6, г/=5. Наконецъ не мало уравненій, корни которыхъ легко найти непосредственно, напр., 4а+3*/=25, Зг/=7 и т. п.

Обращаемся къ 3-му способу. Пусть надо рѣшить уравненіе 10х+7у=179. Такъ какъ на 10 дѣлить легче, чѣмъ на 7, то опредѣляемъ lI^zZZ Подставляемъ теперь послѣдовательно */=О, 1, 2, 3, ... и получаемъ таблицу у=О 179

Итогъ і/=7, #=13.

Число подстановокъ, во-первыхъ, не можетъ болѣе 10. Это легко доказать. Пусть числитель будетъ кратнымъ 10 при у= 1O-f-я, гдѣ 10х>0. Тогда числитель равенъ (179—7z)—70 и, такъ какъ 70 дѣлится на 130:10=13. 10, то и 179—7z должно дѣлиться на 103).

Замѣтимъ, что число подстановокъ можетъ быть сильно, сокращено уже знакомыми намъ соображеніями. Именно, чтобы число 179—'Ту дѣлилось на 10, нужно, чтобы 7у оканчивалось цифрою 9, откуда уже очевидно, что у=7. Наконецъ рядъ чиселъ 179, 172, 165 . . . надо получать не подстановкой, а какъ числа ариѳметической прогрессіи.

3) Это проще, чѣмъ въ учебникахъ.

Обращаемся къ первому способу и беремъ уравненіе 211х—]47у=1000, изъ котораго послѣдовательно получаемъ 7гг=Ш—10; и— 10. Такъ какъ на 7 дѣлить легко, то прекращаемъ преобразованіе уравненія и Рѣшаемъ его по второму или третьему способу; очевидно, t=% и—4, а затѣмъ z= 15, д=34, у=42. Послѣ этого легко написать общія формулы для X и у.

Въ данномъ случаѣ примѣръ намѣренно подобранъ такъ, что потребовалъ три преобразованія уравненія. Обычно для двухзначныхъ и трехзначныхъ а, Ъ, и с выходитъ одно или два преобразованія. Такъ какъ каждый остатокъ въ данномъ случаѣ менѣе половины дѣлителя, то число преобразованій опредѣляется изъ неравенства 211 2М0, если желаемъ достигнуть однозначнаго коэффиціента. На самомъ дѣлѣ оно гораздо меньше, отчасти потому, что есть не мало двузначныхъ чиселъ, на которыя очень легко дѣлить.

И. Александровъ.

Переоцѣнка значенія графикъ для курса алгебры.

За послѣдніе годы въ педагогической литературѣ, какъ въ русской такъ и въ иностранной, все болѣе и болѣе укрѣпляется мысль о необходимости пропитать курсъ алгебры идеею функціональной зависимости и о необходимости привлечь для этой цѣли построеніе графикъ различныхъ функцій, какъ математическихъ, такъ и эмпирическихъ.

Однако, здѣсь можно видѣть увлеченіе. Значеніе графикъ для самой математики вовсе не столь велико.

Допустимъ, что въ курсѣ алгебры должно изучать измѣненія функцій вида ах^ Ъ и ax2 -f- Ъх , ограничиваясь лишь частными примѣрами или разсматривая ихъ въ общемъ видѣ. Во время этого изученія мысль учащихся выполнитъ нѣкоторую работу, цѣнность которой и съ точки зрѣнія формальнаго развитія учащихся и съ точки зрѣнія матеріаллныхъ задачъ обученія можетъ различными лицами

оцѣниваться различно, но отрицать вовсе эту цѣнность не представляется возможнымъ. Если желаютъ завершить эту работу построеніемъ для изучаемыхъ функціи графикъ, то вышеуказанная работа изученія хода измѣненія функцій окажется предшествующею построенію графики, предшествующею или полностью или по частямъ. Напримѣръ, при построеніи графики линейнаго двучлена придется предварительно выяснить, что измѣненіе функцій пропорціонально измѣненію аргумента и уже послѣ этого воспользоваться такъ или иначе найденнымъ свойствомъ функціи ах + Ь для уясненія, что искомая графика представляетъ прямую линію. Чтобы уяснить, что графика всякой функціи представляетъ (отбрасывая особыя, искусственно составленныя, функціи) линію, необходимо такъ или иначе предварительно выяснить, что безконечно малому измѣненію аргумента будетъ соотвѣтствовать безконечно малое измѣненіе функціи (Непрерывность функціи). Чтобы имѣть восможность построить графику функціи у — ах2-\-Ъх-\- с, надо, напр., предварительно изыскать то значеніе аргумента X, при которомъ эта функція достигаетъ или maximum'a ими minimum'a.

Послѣ того, какъ графика функціи построена, наступаетъ момонтъ, который требуетъ отвѣта на вопросъ: какую работу математическаго характера при помощи построенной графики могутъ выполнять въ дальнѣйшемъ учащіеся?

Если не присоединять къ курсу алгебры началъ аналитической геометріи или началъ анализа, то приходится отвѣтить на вопросъ объ этой работѣ отрицательно — всѣ попытки такъ или иначе намѣтить такую работу оказываются или ненужною механизаціею рѣшенія различныхъ вычислительныхъ вопросовъ или перенесеніемъ въ курсъ алгебры вопросовъ анализа или аналитической геометріи.

Примѣры: 1. Указываютъ, что графика функціи у = х2 позволитъ быстро извлекать квадратные корни, или графики линейныхъ двучленовъ позволятъ быстро рѣшать ур—ія первой степени съ 1 или съ 2 неизвѣстными. Всѣ эти механическіе способы рѣшенія вычислительныхъ вопросовъ полезны лишь тѣмъ лицамъ, которые, въ зависимости отъ рода своей дѣятельности, принужденъ выполнять цѣлый рядъ однообразныхъ вычисленій. Учащіеся въ средней школѣ въ такое положеніе не поставлены, да и врядъ ли кто-либо захочетъ ихъ въ такое положеніе поставить. Мало того; явится ли какимъ-либо сбереженіемъ времени, если учащійся станетъ рѣшать всякія два ур—ія съ двумя неизвѣстными первой степени не при помощи обычно употребляемаго въ курсѣ алгебры способа, а построеніемъ соотвѣтствующихъ графикъ? вѣдь здѣсь 1) для всякаго примѣра

надо строить всякій разъ по 2 прямыхъ и 2) это построеніе должно быть выполнено достаточно аккуратно.

2. Указываютъ, что лишь при помощи графикъ можно уяснить значеніе совмѣстнаго рѣшенія двухъ несовмѣстимыхъ ур—ій первой степени съ двумя неизвѣстными (напр., 3#4-5*/ = 7, а Зя + бг/^З), или что только графическій способъ укажетъ причину, почему два ур—ія х2— г)2—а2 и X — у = Ь имѣютъ лишь одно рѣшеніе и т. п. и т. и.

Со всѣмъ этимъ должно согласиться, но въ то же время должно признать, что здѣсь мы уже переходимъ въ область аналитической геометріи. Для перваго изъ вышеуказанныхъ примѣровъ явится необходимымъ ввести въ дѣло признакъ параллельности двухъ прямыхъ, заданныхъ уравненіями въ прямоугольныхъ координатахъ; для второго примѣра явится необходимымъ ввести въ дѣло уже ассимптоты гиперболы.

3. Указываютъ, что графическое изображеніе функцій сослужить большую службу при изученіи свойствъ производной (напр., теоремы Лагранжа). Съ этимъ также должно согласиться, по должно, однако, признать, что здѣсь мы изъ области алгебры переходимъ въ область анализа.

Въ виду этого слѣдуетъ остановиться на одномъ изъ двухъ слѣдующихъ положеній:

или 1) признать, что значеніе графикъ для курса алгебры имѣетъ второстепенное значеніе, какъ иллюстрація тѣхъ соображеній и выводовъ, какіе были сдѣланы при изученіи функцій вида ах-\-Ь и ах2 -\-Ъх + с;

или 2) признать, что курсъ математики въ средней школѣ долженъ быть расширенъ введеніемъ „маленькаго курса" или „начальныхъ свѣдѣнія (терминъ, конечно, не играетъ роли) анализа или аналитической геометріи.

Возможно еще думать, что графики функцій ax -{-fi и ах2-\-Ьх-\-с являются мнемоническимъ средствомъ для запоминанія результатовъ той работы, которая была выполнена учащимися прежде построенія графикъ надъ изученіемъ измѣненія указанныхъ функцій. Иногда можно подмѣтить стремленіе гг. преподавателей воспользоваться этимъ мнемоническимъ средствомъ и для курса тригонометріи: такъ какъ учащіеся не могутъ въ короткій срокъ запомнить ходъ измѣненія тригонометрическихъ функцій, то графики этихъ функцій помогутъ этому запоминанію.

Здѣсь возникаютъ слѣдующія возраженія.

1. Нужно ли дѣйствительно учащимся запомнить результаты изученія измѣненія функцій ах-\-Ъ и ах2-\-Ьх-\-с? Согласиться съ необходимостью запомнить эти результаты можно было бы лишь тогда, если бы въ курсъ алгебры было введено изученіе функціи вида ахп-\-Ъхп — г-\-____Такъ какъ такое введеніе невозможно ни по времени, отводимому

на курсъ алгебры, ни по развитію учащихся IV —VI классовъ, то слѣдуетъ признать излишнимъ и запоминаніе результатовъ изученія функцій ах-\-Ъ и ax2 -f- Ъх -f- с, удовольствовавшись лишь тѣмъ, что самое изученіе этихъ функцій оставитъ свой отпечатокъ въ сознаніи учащихся и явится нѣкоторою подготовкою къ установленію общаго понятія о функціи, хотя бы даже и не въ средней школѣ.

2. Если обученіе тригонометріи поставлено такъ, что учащіеся усваиваютъ ходъ измѣненій тригонометрическихъ функцій только при помощи ихъ графикъ, то къ такимъ результатамъ обученія слѣдуетъ отнестись отрицательно: ходъ измѣненія тригонометрическихъ функцій долженъ ясно рисоваться передъ учащимися потому, что они обладаютъ отчетливымъ образомъ того основного геометрическаго построенія, на которомъ покоятся опредѣленія тригонометрическихъ функцій, и было бы плохо, если это основное построеніе замѣнится чѣмъ-то побочнымъ, графикою, которая позволитъ учащимся механически отвѣчать на вопросы объ измѣненіи тригонометрическихъ функцій, несмотря на то, что построенія, служащія для ихъ опредѣдѣленія, не закрѣпились въ представленіи учащихся.

Сторонниками введенія въ курсъ алгебры графикъ во многихъ случаяхъ (во всѣхъ тѣхъ, когда дѣло не сводится къ началамъ анализа или аналической геометріи) молчаливо признается, что чисто математической работы надъ графиками предложить учащимся нельзя; этимъ лишь и можно объяснить введеніе въ курсъ алгебры графикъ, не относящихся къ матемнтикѣ, а относящихся къ другимъ предметамъ: къ физикѣ, къ географіи и т. д. Если преподавателямъ физики, географіи и т. д. нужны графики различныхъ явленій, относящихся къ этимъ предметамъ, то это ихъ дѣло: они сами должны ввести въ свои курсы и построеніе этихъ графикъ и ихъ изученіе, при чемъ, вѣроятно, они могутъ, разсматривая или одну какую-либо графику или цѣлый рядъ ихъ, предложить учащимся работу, которая позволитъ сдѣлать рядъ выводовъ, важныхъ съ точки зрѣнія именно этихъ предметовъ.

Итакъ, цѣнность графикъ для курса алгебры сводится лишь къ иллюстраціи ими полученныхъ выводовъ, а между тѣмъ построеніе этихъ графикъ потребуетъ не малаго времени. Конечно, идея метода координатъ и построеніе точки по даннымъ координатамъ ея чрезвычайно просты, но всего этого чрезчуръ мало для построенія графикъ: необходимо, какъ упомянуто выше, столкнуться и съ вопросомъ о непрерывности и съ выясненіемъ того, что графика функціи ах-\-в есть прямая линія и съ вопросомъ о томъ, какъ ведетъ себя функція въ интервалѣ между двумя значеніями аргу-

мента, для которыхъ построены соотв. значенія функціи и, можетъ быть, съ цѣлымъ рядомъ другихъ вопросовъ, болѣе или менѣе тонкихъ. Если присоединить сюда еще заботу объ аккуратномъ выполненіи чертежей, то придется поставить вопросъ: оправдывается ли затрата времени на все это тѣми цѣлями „иллюстраціи", которыя лишь въ итогѣ остаются за графиками?

Если остановиться на положеніи, что построеніе графикъ должно развиться въ „маленькій курсъ" или въ „начальныя свѣдѣнія" (терминъ, повторяю, не важенъ) анализа или аналистической геометріи, то прежде всего ясно, что и графики и слѣдующій за нимъ „курсъ" анализа или аналистич. геометріи должны быть, если на то будетъ время, отнесены къ старшему классу.

Это ясно изъ слѣдующихъ соображеній:

1) умѣстно ли дѣлать въ изученіи основъ алгебры (алгебраическихъ преобразованій и уравненій) перерывъ для того, чтобы перевести учащихся въ область новыхъ идей, связанныхъ съ вопросомъ о скорости возрастанія или убыванія функціи, съ вопросомъ, относительно котораго возможно даже сомнѣваться, соотвѣтствуетъ ли онъ развитію учащихся IV—VI классовъ?

2) При изученіи функцій нельзя удовольствоваться лишь тѣмъ, чтобы какъ-либо по произволу соединять отмѣченныя точки непрерывною линіею (быть можетъ, функція въ этомъ интервалѣ дѣлаетъ зигзаги),—необходимо призвать на помощь производную функцію; сужденіе при помощи производной о томъ, возрастаетъ ли или у бываетъ въ изучаемомъ интервалѣ функція, достигаетъ ли въ какой-либо точкѣ maximum'a или minimum'a, должно опираться на знаніе геометрическаго значенія производной, которое въ свою очередь требуетъ предварительнаго знакомства съ тригонометрическими функціями. Также точно, даже начала аналитической геометріи требуютъ предварительнаго знакомства съ тригонометріею. Отсюда слѣдуетъ, что во всякомъ случаѣ „начальныя свѣдѣнія" изъ анализа или аналитич. геометріи должны быть поставлены послѣ курса тригонометріи.

Остается открытымъ вопросъ, слѣдуетъ ли стремиться къ тому, чтобы въ средней школѣ учащіеся знакомились съ началами анализа и аналитической геометріи. Несмотря на цѣнность тѣхъ идей, которыми направляется развитіе этихъ дисциплинъ, возникаетъ цѣлый рядъ сомнѣній по вопросу объ умѣстности началъ этихъ курсовъ въ средней школѣ:

1) основною заботою настоящаго времени должно быть улучшеніе постановки основъ математики, которое должно добиваться и того, чтобы преподаваніе математики въ сред-

ней школѣ освободилось отъ упрековъ въ схоластичности и того, чтобы это преподаваніе освободилось отъ необходимости обращаться для большинства учащихся къ помощи репетиторовъ. Въ будущемъ, если удастся основанія математики поставить болѣе прочно, чѣмъ то имѣетъ мѣсто теперь, возможно поднять вопросъ и объ расширеніи содержанія курса математики въ средней школѣ.

Въ настоящее время ни курсъ анализа, ни курсъ аналитической геометріи, какъ бы ихъ не урѣзывать и не ограничивать лишь „основными моментами", не могутъ принести большой пользы, такъ какъ учащіеся обычно (конечно, имѣются и исключенія) слишкомъ мало проникаются тѣми идеями, которыя разбиваются въ Основаніяхъ математики, чтобы у нихъ могъ возникнуть запросъ еще къ дальнѣйшему развитію этихъ идей, и слишкомъ плохо владѣютъ фактическимъ матеріаломъ изъ основъ математики, чтобы на этомъ шаткомъ основаніи можно было строить, хотя бы и не очень высокое, зданіе основъ высшей математики.

Резюмируя выше изложенное и принимая во вниманіе возможность и иныхъ взглядовъ, иначе обоснованныхъ, на курсъ математики въ средней школѣ, возможно установить лишь слѣдующія положенія:

1. Введеніе въ курсъ алгебры графикъ не должно быть цѣлымъ отдѣльнымъ пунктомъ программы, такъ какъ графики не являются органически связанными со всѣмъ развитіемъ содержанія алгебры. Однако не слѣдуетъ, о чемъ и должна упомянуть объяснительная записка, препятствовать преподавателю, если то соотвѣтствуетъ его взглядамъ, вводить въ курсъ алгебры съ цѣлью иллюстраціи и графики. Слѣдуетъ однако предостеречь противъ чрезмѣрнаго увлеченія графиками въ примѣненіи ихъ къ физикѣ, географіи, статистикѣ и т. п.

2. Возможно, хотя это и не соотвѣтствуетъ современному положенію дѣла обученія математикѣ въ средней школѣ, ввести въ программу этой школы небольшіе курсы анализа и аналитической геометріи (оба или одинъ изъ нихъ), причемъ эти курсы можно называть и не пользуясь словомъ „курсъ", въ которыхъ учащіеся знакомились бы съ развитіемъ идеи о производной и со значеніемъ метода координатъ. Объемы и содержаніе такихъ курсовъ могли бы быть устанавливаемы преподавателями, въ зависимости отъ ихъ взглядовъ на дѣло, отъ времени, которое можетъ быть удѣлено на эти курсы и отъ состава класса.

Желательно, чтобы эти отдѣлы математики входили въ списокъ тѣхъ отдѣловъ, какіе могутъ изучаться или не изучаться въ зависимости отъ взглядовъ и желанія преподавателя. Н. Извольскій.

Отклики.

Въ интересномъ выпускѣ 1-мъ „Матем. Вѣстн." за 1917 г. есть нѣсколько вопросовъ, заслуживающихъ особаго вниманія.

1. Въ „Проектѣ новой постановки курса математики въ средней школѣ" немало цѣнныхъ мыслей высказано Н. А. Извольскимъ. Среди нихъ одна, относящаяся къ правиламъ, заслуживаетъ особеннаго сочувствія. Н. А. Извольскій не признаетъ сколько-нибудь цѣнными такія правила, какъ обычно излагаемыя въ учебникахъ ариѳметики правила сложенія и вычитанія, гдѣ многое сводится къ описанію формъ записей, при чемъ эти описанія не подлежатъ ни заучиванію, ни такъ назыв. „спрашиванію" (стр. 4). Къ числу такихъ „правилъ" принадлежатъ, по моему мнѣнію, такъ назыв. „Признаки дѣлимости" чиселъ. Признаки эти надо ученику знать, понимать и умѣть примѣнять, но ихъ не надо заучивать. Ихъ надо ставить на почву свободнаго обращенія учащихся со структурой числа по десятичной (индусской) системѣ счисленія.

2. Сообразно съ симъ замѣтка г. Артемьева въ томъ же выпускѣ 1-мъ „Мат. Вѣст.", посвященная признаку дѣлимости на 8, противорѣчитъ именно требованію творчества въ интересующей автора области. Принося автору замѣтки (стр. 21) искреннюю благодарность за его доброе отношеніе къ моей „Методикѣ ариѳметики для учителей ср. уч. зав.", долженъ внести поправку въ его замѣчаніе относительно признака дѣлимости чиселъ на 8, будто бы мною предлагаемая.

Я вовсе не формулирую признака дѣлимости на 8. У меня мелкимъ шрифтомъ напечатано буквально слѣдующее: „Во всякомъ случаѣ, если уже проходить этотъ1) признакъ дѣлимости, то необходимо привести учениковъ (подобно тому, какъ это можно сдѣлать относительно признака дѣлимости на 4) къ сознанію, что если имъ дано трехзначное число, то они прежде всего должны, если это только возможно, изъ цифры сотенъ вычесть наибольшее четное, какое только возможно въ этомъ случаѣ, число ихъ, изъ цифры же десятковъ—наибольшее число, дѣлящееся на 4, и только сложивши полученные результаты, (т.-е. оставшуюся сотню и оставшіеся: десятокъ или два десятка или три десятка) съ отдѣльными единицами, послѣ этого произвести дѣленіе полученной суммы на 8". Послѣ этого

1) Т.-е. обычный.

идетъ разъясненіе этой процедуры (ибо это—не признакъ) на частномъ примѣрѣ. Методическое значеніе такихъ упражненій очевидно: оно освобождаетъ учащихся отъ рабскаго слѣдованія правилу, требующаго иногда дѣленія значительнаго числа (напр., 926) на 8, при каковомъ дѣленіи возможно и ошибиться. Мною въ томъ же параграфѣ указано, что „тѣ случаи, когда практически важно раздѣлить данное число на 8 (напр., при сокращеніи дробей), выполняются быстрѣе при помощи раздѣленія на 2, полученнаго результата еще на 2 и вновь полученнаго еще на 2, или же раздѣленіемъ даннаго числа на 4, а полученнаго результата еще на 2. Это тѣмъ болѣе справедливо, что признаковъ дѣлимости чиселъ, обозначаемыхъ весьма многочисленными цифрами, примѣнять негдѣ" (стр. 197).

3. Признакъ дѣлимости чиселъ на 8, предлагаемый г. Артемьевымъ, частью касается процедуры, сокращающей примѣненіе обычнаго признака дѣлимости на 8, частью же вноситъ правило, вытекающее изъ того свойства нечетнаго числа сотенъ, по которому всякое нечетное число сотенъ даетъ, по раздѣленіи на 8, въ остаткѣ 4. Вслѣдствіе этого, предлагаемый признакъ не отличается нужной простотой, и обычно излагаемый признакъ, если онъ вообще нуженъ, лучше предлагаемая г. Артемьевымъ: послѣдній выражается 47 словами, въ то время какъ обычный—20-ю словами. Заслуживаетъ вниманія въ признакѣ г. Артемьева еще одно обстоятоятельство. Это не признакъ, потому что въ немъ указаны только условія достаточныя для дѣлимости на 8, но не отмѣчена ихъ необходимость. А указаніе на необходимость еще болѣе усложнило бы изложеніе этого признака.

4. Конца замѣтки г. Артемьева я, признаюсь, не понялъ. Замѣтка заканчивается такъ: „Не представляется труднымъ распространить этотъ признакъ на любое многозначительное (опечатка: слѣдуетъ „многозначное") число.

5. Вообще я чрезвычайно сочувствую введенію въ курсъ математики понятій о рабочемъ днѣ и о рабочемъ часѣ при рѣшенія задачъ такого рода, когда это понятіе полезно. Во второй части моей „Методики ариѳметики для уч-лей нач. школы" (изданіе 8-ое, 1916 г.) разсмотрѣны съ этой точки зрѣнія задачи на сложное тройное правило, въ которыхъ данныя относятся до рабочихъ, времени работы и т. п (стр. 340). Тамъ выяснено, насколько вниманіе къ занимающему г. Ладыженскаго вопросу можетъ освободить учащихся и уроки, посвященные сложному тройному правилу, отъ мертвящей дѣло обученія ариѳметикѣ рутины. Понятно поэтому, что я вообще сочувствую и „Описанію одного урока въ 3-мъ отдѣленіи нач. школы", напечатанному въ вып. I

„Мат. Вѣстн.". Не могу однако же, выразить своего сочувствія попыткѣ г. Ладыженскаго „объяснить" смыслъ выраженія „рабочій день". Это объясненіе г. Ладыженскій ведетъ такъ: „Это—работа (курсивъ мой), которую одинъ рабочій дѣлаетъ въ одинъ день. Пусть, напр., крестьянинъ пахалъ цѣлый день. Его работа составляетъ 1 рабочій день. Такимъ образомъ, если человѣкъ проработалъ одинъ день, то его работа составитъ „рабочій день". И т. д. Къ сожалѣнію, одинъ рабочій день—не работа. Это—единица совсѣмъ особаго рода. Терминъ „работа" имѣетъ въ наукѣ другое значеніе, да и въ общежитіи работа, которую выполняетъ одинъ рабочій въ одинъ день, не называется рабочимъ днемъ. Опредѣленія такихъ понятій, какъ „рабочій день" наврядъ ли нужны, какъ таковыя,—особенно въ курсѣ начальной школы. Рабочій день и рабочій часъ представляютъ собою понятія частью того же порядка, какъ понятія о такихъ единицахъ, какъ килограмметръ или пудо-футъ въ механикѣ, осе-верста или вагоно-верста въ желѣзнодорожномъ дѣлѣ и т. п. Но рабочій день все же день, въ то время какъ пудо-футъ — не футъ. День работы одного человѣка и есть рабочій день. Самая же работа его—работа, а отнюдь не день. Вопросъ о рабочемъ днѣ соприкасается съ такъ назыв. „перемноженіемъ" двухъ именованныхъ чиселъ, весьма цѣлесообразнымъ въ нѣкоторыхъ случаяхъ,—„дѣйствіемъ" особаго рода, имѣющимъ свой особый смыслъ. Но это якобы дѣйствіе въ начальной школѣ, конечно, не можетъ быть введено, какъ таковое. А потому на рабочій день и рабочій часъ приходится смотрѣть попроще, не увлекаясь часто ни къ чему не ведущей погоней за опредѣленіями и объясненіями, Имѣющими форму опредѣленій. Во всякомъ случаѣ, рабочій день—не работа.

6. Послѣднее замѣчаніе по поводу рецензіи, подписанной глубокоуважаемымъ Н. А. Извольскимъ, о книгѣ Юнга подъ заглавіемъ „Какъ преподавать математику"? Нельзя не признать, что не во всѣхъ своихъ разсужденіяхъ Юнгъ является безусловно авторитетнымъ методистомъ въ области математики. Но кто же въ этой области можетъ считаться, такъ сказать, безусловнымъ авторитетомъ. Такихъ, конечно, нѣтъ, да въ нихъ покуда нѣтъ и надобности; наврядъ ли они даже желательны. Но методико-математичекая литература не только у насъ, но и въ Западной Европѣ и въ Америкѣ, бѣдна—можно сказать: чрезвычайно бѣдна. Книга же Юнга представляетъ собою трудъ и добросовѣстный и заинтересовывающій читателя, не работавшаго въ области методики математики. Скромныя, иногда даже слишкомъ скромныя, но практичныя и здравыя ука-

занія и пожеланія Юнга вовсе не заслуживаютъ пренебреженія и, можно сказать, далеко еще не всѣми учителями русской средней школы осуществляются на дѣлѣ. Пока нѣтъ другой книги по методикѣ математики (нельзя же считать пресловутую, притомъ не законченную, „Педагогику математики" гг. Мрочека и Филипповича болѣе удовлетворительной, чѣмъ книга Юнга), къ этой послѣдней Н. А. Извольскому можно было бы отнестись и менѣе строго. Дай Богъ, чтобы нѣкоторые взгляды и указанія этой книги сдѣлались столь же азбучными для всѣхъ учителей и учительницъ среднихъ школъ въ Россіи, какими они, по той или иной причинѣ, кажутся людямъ, много поработавшимъ надъ вопросами методики математики. Самъ Юнгъ (см. предисловіе) написалъ свою книгу для будущимъ учителей, и эти учителя въ книгѣ найдутъ многое такое, что имъ, можетъ быть, никогда въ голову не пришло бы, если бы они отнеслись къ книгѣ столь пренебрежительно, какъ это рекомендуетъ Н. А. Извольскій.

С. Шохоръ-Троцкій.

Отвѣтъ на „Отклики" С. И. Шохоръ-Троцкаго.

Нѣкоторые изъ замѣчаній глубокоуважаемаго С. И. Шохоръ-Троцкаго, данныя имъ въ настоящихъ „Откликахъ", заставляютъ меня, какъ редактора, признать свою вину.

Къ этому признанію я долженъ присоединить нѣсколько поясненій, которыя, можетъ быть, явятся до нѣкоторой степени смягчающими обстоятельствами.

1. По отношенію къ признаку дѣлимости на 8, даваемому въ статьѣ г. Артемьева, я повиненъ въ томъ, что не сдѣлалъ, въ качествѣ редактора, примѣчанія, что всѣ указанія, даваемыя въ этой статьѣ, являются очень цѣнными для занятій съ учащимися, но что было бы большою педагогическою ошибкою заучивать признакъ дѣлимости г. Артемьева. Однако я полагалъ, что формулировка этого признака г. Артемьевымъ вовсе не имѣетъ въ виду пожеланіе, чтобы учащіеся запомнили этотъ признакъ, но направляется стремленіемъ сдѣлать опредѣленный выводъ изъ всего предыдущаго. Думаю, что и авторъ статьи такъ именно и смотритъ на дѣло: это—выводъ, резюмирующій предыдущее, а не признакъ—правило, которое должно запомнить.

Думается, что авторъ, давая предыдущее резюме для дѣлимости трехзначныхъ чиселъ на 8, имѣлъ право говорить о распространены его и на многозначныя числа. Быть можетъ, я, какъ редактоъ, долженъ былъ бы здѣсь слово „ра-

спространяется" замѣнить словомъ „примѣняется". Однако, я въ этомъ не увѣренъ.

2. Я вполнѣ присоединяюсь къ мысли, высказываемой глубокоуважаемымъ С. И. Шохоръ-Троцкимъ, что предпочтительнѣе вовсе не давать опредѣленій, или замѣняющихъ ихъ объясненій, для понятія о рабочемъ днѣ. И мнѣ слѣдовало бы сдѣлать къ статьѣ г. Ладыженскаго соотвѣтствующее редакціонное замѣчаніе. Однако, если нельзя согласиться съ опредѣленіемъ г. Ладыженскаго, что „рабочій день есть работа одного человѣка въ одинъ день", то я также не согласился бы съ опредѣленіемъ, даваемымъ С. И. Шохоръ-Троцкимъ въ его „Откликахъ": „День работы одного человѣка и есть рабочій день". День и остается днемъ, т.-е. опредѣленнымъ промежуткомъ времени и, хотя бы въ этотъ промежутокъ времени кѣмъ-либо и выполнялась какая либо работа, въ понятіи „день" она не включена.

Я бы склонился къ мысли признать „рабочій день" понятіемъ, совершенно аналогичнымъ съ „пудо-футомъ", „вагоно-верстою" и т. п.

3. Послѣдняя замѣтка „Откликовъ" возражаетъ противъ моей рецензіи на книгу Юнга „Какъ преподавать математику?". Возражать на эту замѣтку я не могу, такъ какъ въ замѣткѣ не имѣется мотивировки основного положенія. „Дай Богъ, чтобы нѣкоторые взгляды и указанія этой книги сдѣлались столь же азбучными для всѣхъ учителей и учительницъ...." Въ замѣткѣ нѣтъ даже указаній на то, какіе именно взгляды и указанія книги Юнга здѣсь подразумѣваются. Напомню лишь, что моя рецензія заканчивается словами „можно лишь воспользоваться этою книгою для ознакомленія съ нѣкоторыми воззрѣніями какъ на общіе вопросы методики, такъ и на частные"...

Быть можетъ здѣсь уже нѣтъ такого большого расхожденія между мною и глубокоуважаемымъ С. И. Шохоръ-Троцкимъ. Однако, я долженъ и здѣсь повторить также основную мысль рецензіи: „нельзя рекомендовать эту книгу класть въ основу той работы, которую долженъ выполнять преподаватель съ классомъ". Это положеніе мною, полагаю, достаточно обосновано въ рецензіи, и я долженъ еще присоединить сюда замѣчаніе (въ противовѣсъ указанію 6-ой замѣтки „Откликовъ"), что я вѣрю и надѣюсь, что „будущіе" преподаватели математики еще болѣе отойдутъ отъ устарѣвшихъ воззрѣній Юнга, и имъ эта книга уже вовсе не будетъ нужна.

Н. Извольскій.

Отвѣтъ г. Добровольскому.

Все письмо г. Добровольскаго (оно напечатано во 2-мъ выпускѣ М. В.) подтверждаетъ осовную мысль рецензіи: „Возможно еще думать, что запись подобныхъ фразъ самими учащимися въ тетрадяхъ послѣ или во время разработки въ классѣ соотвѣтствующихъ вопросовъ можетъ принести нѣкоторую пользу, но уже совершенно непонятно, какую пользу можетъ принести книга съ этими ученическими записями и т. д." Представимъ все это въ конкретной формѣ. Если ученикъ, желая получше усвоить все то, что дѣлалось въ классѣ, возьметъ въ руки свою тетрадь, гдѣ имѣются болѣе или менѣе подробные слѣды этой работы въ видѣ ряда чертежей, ряда записей въ формѣ математическихъ равенствъ, ряда вычисленій, можетъ быть даже нѣсколькихъ краткихъ словесныхъ поясненій, и все это будетъ заключено общимъ выводомъ, продиктованнымъ учителемъ, то разсмотрѣніе этой тетради, съ ея чертежами, записями и т. п., позволитъ учащемуся прослѣдить и вновь повторить ту работу, какая была сдѣлана въ свое время въ классѣ и привела къ продиктованному выводу.

Но если ученикъ (даже ученикъ самого г. Добровольскаго) Взамѣнъ тетради возьметъ книгу г. Добровольскаго „Краткія свѣдѣнія по математикѣ", то онъ въ ней не найдетъ ни чертежей, ни словесныхъ или математическихъ записей, ничего (или почти ничего), что поясняло бы сдѣланный выводъ, и этому учащемуся останется лишь заучивать рядъ выводовъ. Поэтому приходится еще разъ повторить заключеніе рецензіи, что книга въ настоящемъ своемъ видѣ можетъ оказаться даже вредною для дѣла (даже, прибавлю теперь, для учениковъ самого г. Добровольскаго).

Въ дальнѣйшемъ письмо г. Добровольскаго имѣетъ цѣлью возражать противъ рецензіи, признающей многія мѣста книги или странными или непонятными. Разбирать всѣ эти возраженія не интересно для читателей журнала и приходится ограничиться лишь 2—3 примѣрами.

Г. Добровольскій по поводу трапеціи совѣтуетъ повнимательнѣе прочитать стр. 20. Соглашаясь, что я повиненъ въ нѣкоторомъ невниманіи; я все же полагаю, что съ трапе-

ціею дѣло обстоитъ не совсѣмъ хорошо. Если, какъ то даетъ на стр. 20 г. Добровольскій, пересѣчь параллелограммъ (или прямоугольникъ) прямою, непараллельною основанію, то не обязательно получится фигура, обычно называемая трапеціею—можетъ получиться и нѣкоторый пятиугольникъ и нѣкоторый треугольникъ.

Возможно было бы передѣлать выясненіе происхожденія трапеціи, въ согласіи съ полученіемъ параллелограмма (если одну пару параллельныхъ прямыхъ пересѣчь другою парою не параллельныхъ прямыхъ, то полученная фигура назыв. трапеціею), и тогда, если исключить какъ-либо случай, возможный здѣсь, полученія звѣздчатой трапеціи, или выяснитъ какъ-либо вопросъ о площади звѣздчатой трапеціи, то можно было бы установить и общій выводъ, что площадь трапеціи равна произведенію ея основанія на среднюю высоту, при чемъ необходимо было бы подчеркнуть, что за основаніе трапеціи здѣсь необходимо считать одну изъ непараллельныхъ сторонъ (г. Добровольскій на 20—21стр. не даетъ на это отчетливыхъ указаній).

Я намѣренно остановился подробнѣе на этомъ вопросѣ о трапеціи и ея площади съ цѣлью показать, какъ опасно ограничивать изложеніе только отдѣльными фразами, имѣющими форму выводовъ, что является Характерною особенностью книги г. Добровольскаго.

Для второго примѣра остановлюсь на поясненіяхъ г. Добровольскаго по поводу задачи № 107. Меня очень удивили поясненія г-на Добровольскаго, такъ какъ ясно, что задачу можно рѣшить гораздо проще: слѣдуетъ провести карандашомъ по катетамъ деревяннаго, съ оббитымъ или съ отбитымъ прямымъ угломъ, треугольника (вѣдь во всякомъ случаѣ части этихъ катетовъ сохранились), и задача будетъ рѣшена, а потомъ, если угодно, можно, пользуясь линейкою или гипотенузою того же деревяннаго треугольника, продолжить ихъ до пересѣченія; рѣшеніе, даваемое г. Добровольскимъ, не только отличается сложностью, но и вызываетъ сомнѣнія въ возможности его выполненія (какъ повернуть острый уголъ деревяннаго треугольника на 90°?) — на помощь придется привлечь какой-либо другой инструментъ, о которомъ въ условіи задачи не упоминается.

Наконецъ, остановлюсь еще на опредѣленіяхъ г. Добровольскаго. Г. Добровольскій въ своемъ письмѣ настаиваетъ на цѣлесообразности своего опредѣленія величины, какъ общаго свойства нѣсколькихъ предметовъ. Не разбирая подробно основательности такого опредѣленія, я лишь позволю себѣ спросить; синій цвѣтъ, напр., является общимъ свойствомъ нѣсколькихъ предметовъ—можно ли синій цвѣтъ признать величиною?

Я также, какъ и г. Добровольскій, не считаю возможнымъ пользоваться обычнымъ опредѣленіемъ понятія „тѣло" („часть пространства и т. д."), не считаю возможнымъ не потому, что такое опредѣленіе, какъ говоритъ въ письмѣ г. Добровольскій, является „безсодержательными словами", но потому, что тогда возникаетъ конфликтъ между опредѣленіями понятія „тѣло" и понятія „объемъ тѣла"1), и я въ предисловіи къ своей „Геометріи въ пространствѣ" указываю, что подъ именемъ „тѣло" я понимаю совокупность построенныхъ точекъ, линій и поверхностей, выдѣляющихъ ограниченную со всѣхъ сторонъ часть пространства, но видѣть что-либо отчетливое въ опредѣленіи г. Добровольскаго („Всѣ геометрическія свойства предмета образуютъ геометр. тѣло") я совершенно отказываюсь, при чемъ у меня возникаетъ рядъ вопросовъ въ родѣ слѣдующаго: радуга обладаетъ нѣкоторыми геометр. свойствами, напр. кривизною, выдѣляетъ нѣкоторую часть поверхности неба и т. д,— можно ли совокупность этихъ свойствъ считать геометрическимъ тѣломъ?

Не буду останавливаться на мелкихъ объясненіяхъ письма г. Добровольскаго, въ родѣ того, что оказывается, что надо лишь при помощи простого складыванія бумаги дѣлить уголъ на 3, на 5 равныхъ частей и т. п. Жаль, что на это нѣтъ никакихъ указаній въ книгѣ, жаль также, что нѣтъ описанія, какъ именно простымъ (!) складываніемъ бумаги раздѣлить уголъ на 5 равныхъ частей, и жаль, наконецъ, что г. Добровольскій не объясняетъ въ своемъ письмѣ, что же именно надо „провѣрить" въ задачѣ № 11.

Н. Извольскій.

1) См. мой докладъ на 1-мъ съѣздѣ преподавателей мат. „О современномъ состояніи курса геометріи въ связи съ разсмотрѣніемъ наиболѣе употребит. учебниковъ". Труды съѣзда, т. II.

Хроника.

Подготовка 3-го Всероссійскаго Съѣзда преподавателей математики.

(Окончаніе).

VIII. Комиссія по вопросу о подготовкѣ преподавателей.

Предсѣдатель: С. И. Шохоръ-Троцкій. Нижегородская ул., 23—А.

Члены: С. А. Богомоловъ, А. М. Бригеръ, З. З. Вулихъ, М. Г. Гаддъ, Я. В. Іодынскій, И. А. Компаніецъ, А. Р. Кулишеръ, К. Б. Пеніонжкевичъ, В. В. Успенскій, M. Л. Франкъ. А. А. Чебышевъ-Дмитріевъ.

Сверхъ того, намѣчены комиссіи:

1) по подготовкѣ къ съѣзду докладовъ научнаго содержанія. Предсѣдатель—С. Е. Савичъ.

2) по вопросу объ особенностяхъ постановки курса математики въ среднихъ и низшихъ техническихъ учебныхъ заведеніяхъ. Предсѣдатель—M. Л. Франкъ.

3) по вопросу о постановкѣ курса математики въ народной школѣ повышеннаго типа. (Составъ этихъ трехъ комиссій еще не опредѣлился).

Съ заявленіями и запросами по дѣламъ Съѣзда слѣдуетъ обращаться въ Организаціонный Комитетъ (Петроградъ, Педагогическій Музей В. У. З., Фонтанка, 10) или къ Предсѣдателямъ комиссій по указаннымъ выше адрссамъ.

20 февраля 1917 года, въ составѣ Организаціоннаго Комитета произошли слѣдующія измѣненія:

а) Въ Организаціонный Комитетъ избраны:

И. И. Глаголевъ, В. А. Кондратьевъ. К О. Лебединцевъ, Г. О. Мебесъ, Я. А. Шохатъ, А. А. Чебышевъ-Дмитріевъ, А. К. Янсонъ.

б) Вы былъ изъ Организаціоннаго Комитета проф. К. А. Поссе.

в) Въ Комиссіи избраны:

II. В. И. Смирновъ.

IП. А. А. Чебышевъ-Дмитріевъ, Я. А. Шохатъ,

V. П. А. Некрасовъ, M. Л. Франкъ.

VIII. В. А. Кондратьевъ.

Въ Комиссію по вопросу объ особенностяхъ постановки курса математики въ среднихъ и низшихъ техническихъ учебныхъ заведеніяхъ:

А. М. Виноградовъ, Д. С. Зерновъ, Д. М. Левитусъ, К. В. Меликовъ, В, Г. Мрочекъ, В. Л. Никитинъ, Е. Л. Николаи, I. М. Павликовскій, Н. Д. Пораковъ, К. Э. Рерихъ, С. П. Тимошенко, Я. В. Успенскій, В. М. Филипповъ, Е. Н. Фридбергъ, Я. А. Шохатъ.

Въ Комиссію по вопросу о постановкѣ курса математики въ народной школѣ повышеннаго типа.

Предсѣдатель А. К. Янсонъ.

Московскій Математическій Кружокъ. Въ мартѣ мѣсяцѣ засѣданіе кружка состоялось 23-го числа. Были прочитаны доклады: 1) А. А. Волковъ. Примѣненіе принципа геометріи для изложенія первыхъ главъ геометріи. 2) Н. А. Извольскій Объ одномъ построеніи равновеликихъ многоугольниковъ.

Слѣдующее засѣданіе состоялось 20 Апрѣля. Было заслушено 2 доклада. 1) А. К. Власовъ. Изобразительное искусство и геометрія и 2) Б. К. Млодзѣевскій. Къ вопросу о приближенномъ извлеченіи корней.

Свѣдѣнія о книгахъ по математикѣ и ея методикѣ.

В. А. Барицкій. Очерки по методикѣ начальнаго курса ариѳметики. Изданіе Херсонскаго Губернскаго земства. Херсонъ, 1915. Ц. 1 р. 50 к.

Книга представляетъ собою изложеніе, конечно пополненное, лекцій, прочитанныхъ авторомъ на общеобразовательно-педагогическихъ курсахъ Херсонскаго Губернскаго Земства. Въ предисловіи авторъ указываетъ, что особенное вниманіе удѣлено вопросамъ о дробяхъ, о связи курса именованныхъ и дробныхъ чиселъ, о такъ-назыв. изящномъ вычисленіи, о необходимости сблизить обученіе ариѳметикѣ съ жизнью и отрѣшиться отъ пережитковъ средневѣковой схоластики.

Во введеніи авторъ пишетъ: „наблюдаемое въ литературѣ несогласіе взглядовъ но многимъ какъ основнымъ, такъ и второстепеннымъ вопросамъ методики и своеобразное, нерѣдко одностороннее рѣшеніе метадическихъ проблемъ авторами требуютъ извѣстной осторожности и вдумчивости при пользованіи сочиненіями методическаго характера. Всякаго рода „новые" пріемы или методы обученія могутъ быть примѣняемы съ пользою не ранѣе, какъ по тщательномъ и всестороннемъ критическомъ разборѣ ихъ какъ съ научной, чисто ариѳметической, такъ и съ педагогической точки зрѣнія".

Нельзя не согласиться съ этими словами, однако ихъ слѣдовало бы распространить и на старые методы и пріемы обученія, которые также

должны быть пересмотрѣны и подвергнуты критикѣ и съ научной и съ педагогической точекъ зрѣнія. Между тѣмъ авторъ безъ критики принимаетъ обычную точку зрѣнія „счетнаго" направленія методики ариѳметики: „Вещественные предметы, играющіе роль наглядныхъ пособій при обученіи ариѳметикѣ, служатъ лишь матеріаломъ, къ которому учащіеся прилагаютъ процессы счета или измѣренія, въ результатѣ же этихъ процессовъ зарождается у дѣтей мысль о числѣ и счетѣ отвлеченному (стр. 61). Здѣсь возникаетъ цѣлый рядъ вопросовъ и сомнѣній, которымъ, казалось бы, какъ разъ мѣсто въ лекціяхъ для гг. учащихъ: 1) процессъ счета, хотя бы и предметнаго, не состоитъ только въ перебираніи предметовъ, но неминуемо требуетъ называть числа—какимъ же образомъ этотъ процессъ можетъ зародить у дѣтей „мысль о числѣ"? 2) процессъ измѣренія состоитъ не только въ томъ, чтобы одно „нѣчто" откладывать на другомъ „нѣчто" (напр., длину аршина по длинѣ палки), но онъ требуетъ еще счета этихъ отложеніе а этотъ послѣдній требуетъ уже знанія чиселъ —какимъ же образомъ процессъ измѣренія можетъ зародить у дѣтей „мысль о числѣ"?

Вообще вопросъ о числахъ въ „Очеркахъ" скомканъ: съ одной стороны совершенно правъ авторъ, указывая на стр. 61, что „ни чиселъ, ни дѣйствій надъ ними въ природѣ не существуетъ", но съ другой стороны- почему же авторъ нигдѣ не останавливается на вопросѣ о происхожденіи чиселъ? Нельзя же ограничиться по этому вопросу тѣми словами на 61 стр., которыя выше здѣсь выписаны и которыя вызываютъ выше указанныя сомнѣнія.

На стр. 3 авторъ совершенно основательно говоритъ:« въ основу курса методики ариѳметики можетъ быть положенъ взглядъ, по которому метода всякаго обученія опредѣляется съ одной стороны естественнымъ развитіемъ духа человѣческаго, а съ другой—сущностью предмета преподаваемаго". Отсюда авторъ дѣлаетъ выводъ о необходимости предварительнаго уясненія сущности ариѳметики. Въ основу своего взгляда на ариѳметику онъ кладетъ классификацію наукъ О. Конта и приходитъ къ положенію (стр. 5): „Наука о величинахъ, или точнѣе, наука о законахъ измѣненія величинъ —математика замыкаетъ собою рядъ отвлеченныхъ наукъ, являясь самою отвлеченною изъ нихъ-. Къ сожалѣнію, въ дальнѣйшемъ (стр. 5—7) авторъ печему-то совершенно игнорируетъ вопросъ о томъ, какъ возникаетъ переходъ отъ величинъ къ числамъ. Слова на 7 стр. „Въ выраженіи всякой математической функціи входятъ числа и дѣйствія надъ ними" какъ-будто говорятъ о томъ, что авторъ считаетъ это само-сабою понятнымъ. Нельзя, въ особенности въ лекціяхъ, становится на такую точку зрѣнія и этотъ переходъ, намѣчающійся авторомъ, отъ величинъ къ числамъ долженъ былъ бы имъ въ достаточной мѣрѣ освѣщенъ.

Предыдущее достаточно выясняетъ, что г. В. А. Барицкій въ своихъ „Очеркахъ" не стремится проникнуть въ глубину поставленныхъ имъ вопросовъ. И въ дальнѣйшемъ книга г. Барицкаго свидѣтельствуетъ о томъ, что всюду авторъ ограничивается лишь приведеніемъ въ порядокъ внѣшней стороны методики ариѳметики. Такъ, на стр. 24 и 25 авторъ очень много вниманія удѣляетъ вопросу о написаніи названій у чиселъ при вычисленіяхъ—вопросъ, несомнѣнно, относящійся къ внѣшности; этою же заботою о внѣшнемъ порядкѣ проникнуть общій планъ главы XIV „Пропедевтическій курсъ дробей", хотя должно оговориться, что по поводу отдѣльныхъ вопросовъ авторъ въ этой главѣ даетъ много и интересныхъ и достаточно глубоко проникающихъ въ суть дѣла указаній (къ нимъ слѣдуетъ отнести, напр., данныя на стр. 178—181 указанія, какъ слѣдуетъ приступаю къ рѣшенію вопросовъ о нахожденіи дроби отъ даннаго числа и числа по данной его дроби).

Остановимся особенно на стр. 69—70 съ цѣлью, въ связи со стремленіемъ автора останавливаться по преимуществу на внѣшней сторонѣ дѣла, затронутъ общій вопросъ методики ариѳметики.

Здѣсь авторъ описываетъ, въ какомъ порядкѣ должны вестись упраж-

ненія на сложеніе и вычитаніе въ предѣлѣ до 10: естественный пріемъ, состоящій въ производствѣ прямого или обратнаго счета, иногда слишкомъ продолжителенъ, а поэтому слѣдуетъ, чтобы учащіеся были ознакомлены съ другимъ пріемомъ, состоящимъ въ разложеніи того числа, которое надо прибавить или вычесть, на 2 слагаемыхъ (напр. 3+5=3+3+2 или =3+2+3). Этимъ авторъ мотивируетъ принятый имъ порядокъ для обученія разсматриваемымъ дѣйствіямъ, а именно: сначала присчитываніе и отсчитываніе по 1, затѣмъ по 2 и т. д.

Къ сожалѣнію, всѣ соображенія автора, относящіяся къ изысканію наилучшаго порядка для изученія сложенія и вычитанія въ предѣлѣ до 10, уничтожаются его же собственнымъ окончаніемъ этихъ разсужденій: „при этомъ пріемѣ учитель имѣетъ также возможность подчеркнуть дѣтямъ, насколько важно и полезно запомнить результаты дѣйствій; въ предѣлѣ же десятка всѣ случаи дѣйствій относятся къ табличнымъ и потому результаты ихъ слѣдуетъ запомнить. (Курсивъ мой). Послѣднія слова и выражаютъ суть дѣла: въ самомъ дѣлѣ, легко убѣдиться на практикѣ, что если дѣти имѣютъ дѣло съ предметами и если, называя числа одинъ, два, три.... десять, они съ этими названіями соединяютъ опредѣленныя представленія, то сложеніе и вычитаніе не представляютъ никакихъ затрудненій,—вся суть обученія сводится 1) къ тому, чтобы названія „одинъ", „два"... „десять" не оставались словами и 2) къ тому, чтобы, дѣти выполняя процессы, соотвѣтствующіе сложенію и вычитанію, надъ группами предметовъ, запомнили результаты этихъ процессовъ—о послѣднемъ и говоритъ авторъ.

Здѣсь можно сдѣлать и общее заключеніе: не напрасно ли авторы руководствъ по методикѣ ариѳметики (и не только для разсматриваемыхъ дѣйствій, т.-е. для сложенія и вычитанія въ предѣлѣ до 10, но и во многихъ другихъ случаяхъ) все свое вниманіе устремляютъ на то, чтобы привести въ стройную систему различные случаи, относящіеся къ разбираемому дѣйствію и на то, чтобы толковать о сравнительной цѣнности пріемовъ, употребляемыхъ для выполненія этого дѣйствія, но игнорируютъ изысканія, имѣющія цѣлью выяснить какъ сущность самихъ разбираемыхъ дѣйствій, такъ и тѣхъ затрудненій, которыя возникаютъ у дѣтей при ихъ выполненіи?

Г. Барицкій идетъ еще дальше: онъ на стр. 250—253 даетъ критику методики ариѳметики г. Беллюстина, а въ ней то именно и можно увидать во многихъ случаяхъ стремленіе проникнуть въ суть вопроса, не останавливаясь на мелкихъ деталяхъ внѣшняго порядка изученія этого вопроса въ школѣ. Такъ, нельзя не признать, что всякій, кто знаетъ, что 6X8=48, уже знаетъ этимъ самымъ, что 48:8=6 и 48:6=8—въ этомъ состоитъ сущность дѣленія. И слѣдуетъ очень сочувствовать г. Беллюстину, что онъ въ своей методикѣ ариѳм. выдвигаетъ эту точку зрѣнія на дѣленіе, въ противоположность другимъ методистамъ, на видное мѣсто. Та критика, которую даетъ г. Барицкій по поводу разработки этого вопроса г. Беллюстинымъ, можетъ удовлетворить только тѣхъ, кто такъ же, какъ и г. Барицкій, не привыкъ углубляться въ вопросъ, а ограничивается стройностью внѣшняго порядка.

Тою же причиною можно объяснить появленіе на стр. 33 подстрочнаго примѣчанія: „нельзя обойти молчаніемъ одного довольно печальнаго обстоятельства: о существованіи таблицъ обратныхъ дѣйствій, вычитанія и особенно дѣленія, часто не знаютъ не только ученики, но и учителя, подчасъ даже (какъ это ни курьезно) составители методическихъ руководствъ по ариѳметикѣ".

А мнѣ кажется страннымъ (пожалуй даже также курьезнымъ) видѣть подобное замѣчаніе въ „Очеркахъ" по методикѣ ариѳметики, указывающее на то, что автору какъ-то чужда мысль о томъ, что обратныя дѣйствія выполняются на основаніи таблицъ для прямыхъ дѣйствій, и, слѣд., кто хорошо знаетъ, напр., таблицу умноженія, тотъ можетъ быстро выполнять и соотв. дѣленія (см. по этому поводу мои статьи: 1) къ методикѣ одного

случая дѣленія. „Мат. Вѣстн." № 3 за 1914 г. и 2) Описаніе одного урока во II отд. „Мат. Вѣстн." № 6 за 1916 г.).

Въ заключеніе я долженъ остановиться еще на выше упоминаемой главѣ XIV „Пропедевтическій курсъ дробей". Какъ уже было указано, многія мѣста этой главы выгодно отличаются отъ остальной книги именно тѣмъ, что здѣсь авторъ стремится во многихъ случаяхъ проникнуть и въ суть вопроса и въ суть тѣхъ затрудненій, какія возникаютъ у учащихся при изученіи дробей. Помимо уже упомянутаго разбора вопросовъ о нахожденіи дроби отъ числа и числа по данный его дроби, слѣдуетъ указать на страницы, посвященныя сложенію и вычитанію дробей (стр. 181, 182, 206, 206 и особенно 208—212). Однако, я полагаю, что здѣсь имѣются у автора и нѣкоторые недостатки: 1) сомнительно, чтобы въ трехлѣтней начальной школѣ (а вѣдь 3-й концентръ пропед. курса дробей относится авторомъ къ концу курса цѣлыхъ чиселъ) могъ быть пройденъ столь большой курсъ дробей, 2) получается впечатлѣніе, что авторъ не считаетъ умѣстнымъ какого-либо иного плана для курса дробей, 3) вопросъ о сокращеніи дробей отнесенъ на очень поздній моментъ и съ разработкою его нельзя вполѣ согласиться.

Во всякомъ случаѣ, видно, что авторъ особенно много работалъ именно надъ курсомъ дробей, и ради этой главы XIV (но не ради остальныхъ частей книги) слѣдуетъ рекомендовать гг. учащимъ ознакомиться съ „Очерками" В. А. Барицкаго.

Н. Извольскій.

Редакторъ-Издатель Н. А. ИЗВОЛЬСКІЙ.

Типо-Литографія Русск. Товарищества, Чистые пруды, Мыльниковъ пер., с.д.