Годъ четвертый.

Математическій Вѣстникъ.

Журналъ, посвященный вопросамъ преподаванія ариѳметики и началъ алгебры и геометріи.

Выпускъ 2-ый 1917 г.

Цѣна этого выпуска въ розничной продажѣ 60 коп.

МОСКВА.

Математическій Вѣстникъ.

Выпускъ 2-ый 1917 г.

Адресъ редакціи: Москва, Гороховскій пер., д. 23, кв. 9. Тел. 3-19-55.

СОДЕРЖАНІЕ: Н. Извольскій. Приступимъ къ свободной созидательной работѣ!—Н. Извольскій. Проектъ новой постановки курса математики въ средней школѣ (Окончаніе).—Ѳ. Гусевъ. Объ элементарномъ вычисленіи числа тг—А. Оловениковъ, Н. Шемяновъ и В. Новиковъ. Замѣтки по поводу статьи Е. Томашевича „Объ одномъ типѣ арифметическихъ задачъ".— В. Добровольскій. Письмо въ редакцію.—Хроника. (Памяти М. Г. Попруженко.—Московскій Математическій Кружокъ.—Комиссія по разсмотрѣнію программъ по математикѣ при М. Н. П.).—Подготовка 3-го Всероссійскаго Съѣзда преподавателей математики.—Исправленія.—Объявленія.

Приступимъ къ свободной созидательной работѣ!

Свершилось давно желанное, давно ожидаемое, но все же неожиданное: палъ старый порядокъ, и Россія работаетъ въ настоящій моментъ надъ установленіемъ новаго. Нѣтъ сомнѣнія, что это обновленіе жизни Россіи захватитъ и школу. И надо всѣмъ педагогическимъ силамъ Россіи стремиться къ тому, чтобы ожидаемое обновленіе школы захватило бы самое существо педагогической жизни школы, а не ограничилось бы лишь внѣшностью.

Подобно тому, какъ старый режимъ многіе годы съ внѣшней стороны казался такимъ крѣпкимъ и стройнымъ и палъ лишь тогда, когда подъ вліяніемъ работы общественныхъ дѣятелей выяснилось, что подъ этою блестящею внѣшностью скрывается самое ничтожное внутреннее содержаніе, такъ

точно и наша школа можетъ прійти къ кризису, если выяснится, что ея внѣшность не соотвѣтствуетъ сущности ея внутренней работы. Главное вниманіе дѣятелей школы должно быть направлено не на внѣшнее положеніе школы, а на работу внутри ея.

Въ частности предстоитъ въ этомъ смыслѣ большая работа по отношенію преподаванія ариѳметики, алгебры и геометріи. Нельзя удовлетвориться тѣми внѣшними результатами, которые всѣмъ знакомы: учащіеся на окончательномъ экзаменѣ рѣшаютъ задачи тѣхъ „типовъ", къ которымъ ихъ пріучали передъ экзаменомъ, дѣлаютъ длинныя вычисленія, доказываютъ теоремы и т. и.,—здѣсь долженъ быть поставленъ вопросъ: свидѣтельствуетъ ли все это о томъ, что учащіеся, пройдя курсъ математики въ школѣ, приблизились этимъ самымъ къ тому, что должно быть самымъ цѣннымъ для общества, для обновленнаго государства, а именно къ творческой работѣ въ различныхъ областяхъ какъ техники, такъ и отвлеченной мысли?

И думается, девизомъ той школы, которая будетъ создана дружными усиліями преподавателей, теперь уже могущихъ свободно работать надъ проведеніемъ въ жизнь исповѣдуемыхъ ими педагогическихъ идей, должно служить „развитіе стремленія у учащихся къ самостоятельной творческой работѣ".

Въ воззваніи „Отъ Временнаго Правительства", напечатанномъ въ московскихъ газетахъ 7 марта, читаемъ: „Временное Правительство сочтетъ необходимымъ немедленно, еще до созыва Учредительнаго Собранія, обезпечить страну твердыми нормами, ограждающими гражданскую свободу и гражданское равенство, дабы предоставить всѣмъ гражданамъ свободно проявлять свои духовныя силы въ созидательной работѣ на благо родины". И мы, преподаватели математики во всѣхъ видахъ школы, и низшей и средней и высшей, должны сейчасъ же откликнуться на призывъ, заключающійся въ приведенныхъ словахъ: мы должны приступить къ этой, желаемой всѣми, созидательной работѣ, должны потому, что за послѣдніе годы все болѣе и болѣе ясною становится неудовлетворительность внутренней стороны преподаванія математики, на столько ясною, что можно уже

говорить о приближеніи кризиса, когда математика будетъ вовсе изгнана изъ нѣкоторыхъ видовъ школы (на эту мысль наталкиваютъ и нѣкоторые штрихи изъ проекта реформы средней школы 1915 г., и все болѣе и болѣе громко раздающіяся фразы „зачѣмъ нужна математика для юриста, врача и т. п.?", и рядъ другихъ фактовъ).

Пока еще не поздно, мы должны работать надъ вопросами преподаванія математики, дабы въ будущемъ отпала бы и самая возможность постановки вопроса: а зачѣмъ нужна математика? Мы должны работать и мы теперь можемъ это дѣлать; мы можемъ „свободно проявлять свои духовныя силы въ созидательной работѣ на благо родины".

Н. Извольскій.

Проектъ новой постановки курса математики въ средней школѣ.

(Окончаніе).

Переходя къ слѣдующему отдѣлу, къ уравненіямъ первой степени, слѣдуетъ прежде всего указать на неправильность самаго начала изученія уравненій: нельзя начинать съ заучиванія опредѣленій равенства, тожества, уравненія, такъ какъ всѣ эти опредѣленія являются недоразумѣніемъ (напр., х = х — согласно опредѣленіямъ, печатаемымъ въ учебникахъ, слѣдовало бы считать за тожество, а между тѣмъ, при изслѣдованіи уравненій въ тѣхъ же учебникахъ это и дѣлается, иногда приходится считать это равенство и за уравненіе, допускающее безконечно много рѣшеній). Недоразумѣніе происходитъ отъ нѣкоторой бѣдности математически языка: одинъ и тотъ же знакъ, знакъ равенства, пишутъ для выраженія различныхъ мыслей. Слѣдуетъ, отказавшись отъ опредѣленій, пріучать съ самаго начала учащихся смотрѣть на уравненія, какъ на запись извѣстной задачи. Такъ: уравненіе Зх = О выражаетъ задачу „найти такое значеніе для х, чтобы двучленъ За?+ 7 оказался равнымъ нулю"; ур-іе —Р—--±—- = 1 выражаетъ задачу „найти такія значенія для х и у, чтобы дробь -—- оказалась на 1 больше дроби —-у— и т. д.

Далѣе: не слѣдуетъ ограничиваться лишь работою рѣшенія системъ уравненій, но необходимо еще изучать уравненія. Такъ, необходимо довести учащихся до сознанія, что 2 уравненія съ 3 неизвѣстными имѣютъ безконечно много рѣшеній, что для полученія ихъ надо одному изъ неизвѣстныхъ давать произвольныя значенія, что можно изъ этихъ двухъ уравненій два изъ неизвѣстныхъ выразить черезъ третье (два неизвѣстныхъ окажутся явными функціями третьяго). Здѣсь, однимъ словомъ, можно предложить учащимся много разнообразной работы, подготовляющей ихъ къ общему понятію „функція".

Вопросъ о томъ, слѣдуетъ ли ввести въ курсъ алгебры ученіе о функціяхъ и объ ихъ графикахъ и сколь далеко развить его, остается открытымъ. Несомнѣнно, что ознакомить учащихся съ возможностью строить графики функцій не представитъ особыхъ затрудненій, и это ознакомленіе можетъ дать нѣкоторые практически-полезные результаты. Однако математическое значеніе такой работы сомнительно, такъ какъ отдѣленіе ученія о графикахъ отъ аналитической геометріи приводитъ къ исскуственности1), которая въ концѣ концовъ сведетъ дѣло къ запоминанію учащимися результатовъ. Сама по себѣ задача изслѣдованія функцій, хотя бы и простѣйшихъ, не соотвѣтствуетъ уровню развитія учащихся въ V—VI классахъ, а поэтому сомнительно, чтобы то, модное въ настоящее время, увлеченіе, которое требуетъ введенія въ курсъ алгебры изученія функцій и ихъ графикъ, дало бы благіе результаты. Быть можетъ въ У—VI классахъ достаточно дѣлать лишь подготовительные шаги въ этомъ направленіи, часть которыхъ намѣчена выше, какъ одинъ изъ видовъ работы при изученіи уравненій.

Не можетъ быть, конечно, и рѣчи о томъ, чтобы учащіеся средней школы усвоили бы теорію ирраціональныхъ чиселъ; поэтому изученіе этой теоріи по учебникамъ (въ нѣкоторыхъ учебникахъ она имѣется) является излишнею тратою времени. Единственно, что возможно, это довести учащихся до сознанія, что символъ У а можетъ быть сопоставляемъ съ числами, а именно Ъ = Va въ зависимости отъ соотношеній Ъп = а, послѣ чего явится возможность сблизить указанные символы съ числами на столько, чтобы соединять ихъ знаками дѣйствій; послѣднему поможетъ еще

1) Примѣромъ ея могутъ служить стр. 37—38 (а также другія) недавно вышедшаго руководства „К. Ѳ. Лебединцевъ. Ученіе о простѣйшихъ функціяхъ, ихъ графикахъ и теорія предѣловъ". Птрг.—Кіевъ 1916.

геометрія, гдѣ сложеніе и вычитаніе отрѣзковъ выполняются независимо отъ того, какимъ числомъ, раціональнымъ или ирраціональными выражается каждый изъ данныхъ отрѣзковъ.

По отношенію къ вопросу о преобразованіяхъ ирраціональныхъ выраженій слѣдуетъ высказать пожеланіе, чтобы эти преобразованія выполнялись не на основаніи механическихъ правилъ, а чтобы смыслъ каждаго преобразованія выступалъ на первый планъ. Такъ, преобразованіе а9 = = ѵ/2а3 должно выполняться не на основаніи механическаго правила: „можно показателей корня и подкоренного числа раздѣлить на одно и то же число", а на основаніи знанія, что корень 12-ой степени можно замѣнить корнями 3-ей и 4-ой степени: корень 3-ей степени можно извлечь, а корень 4-ой степени останется неизвлеченнымъ. Схема порядка мыслей такова:

(конечно, писать все это полностью приходится лишь въ началѣ изученія такихъ преобразованій). Такъ же точно обратное преобразованіе |/2а = ѵ/8а3 должно покоиться на соображеній: если я умножу показателя корня на 3, то это равносильно извлеченію изъ выраженія yj2a еще корня 3-ей степени; чтобы послѣ этого сдѣлать выраженіе равнымъ прежнему, необходимо полученное возвести въ въ 3-ью степень. Такимъ образомъ всѣ преобразованія должны исходить не изъ правилъ, спеціально для каждаго преобразованія выводимыхъ, а изъ основныхъ равенствъ. Основными равенствами надо считать: 1) ÇJa У = а, 2)\Jab=2\J а rJb 4) Уат =а г (если т = Цѣлому числу), 5) (у/а )и = у/аи, 6) y/yfa — ryja7 Всѣ эти равенства должны изучаться не только въ прямомъ, но и въ обратномъ направленіи; напр., rv/ô~ = =

Переходя къ квадратнымъ уравненіямъ, необходимо прежде всего указать на одно недоразумѣніе. Обычно, послѣ того какъ преподавателемъ объясненъ выводъ формулы для рѣшенія квадратнаго уравненія, вся работа учащихся въ дальнѣйшемъ сводится къ выработкѣ умѣнія примѣнять заученную формулу къ примѣрамъ, причемъ въ громадномъ большинствѣ случаевъ самый выводъ формулы забывается. Результатъ такой работы нельзя выражать словами „учащіеся умѣютъ рѣшать квадратныя уравненія", нѣтъ — они лишь помнятъ формулу и умѣютъ въ

нее подставлять числа Вмѣсто буквъ. Поэтому желательно, чтобы фраза „я умѣю рѣшать квадратныя ур-ія" не оставалась бы лишь фразою, а выражала бы сущность работы учащихся. Для этой цѣли необходимо долгое время рѣшать квадратныя ур-ія безъ формулы: напр., Зх* — Ьх -j- 2 = О; сведемъ лѣвую часть къ {х — ~)2, для чего необходимо къ обѣимъ частямъ ур-ія прибавить по и т. д. Когда станетъ яснымъ, что ходъ такой работы укрѣпился въ сознаніи учащихся, умѣстно будетъ ввести въ дѣло и общую формулу, чѣмъ значительно сократится нахожденіе рѣшеній квадратнаго ур-ія.

Изученіе квадратныхъ уравненій прежде всего требуетъ умѣнія узнавать, не рѣшая ур-ія, дѣйствительны или мнимы его корни, узнавать сумму и произведеніе корней, а при ихъ помощи и знаки корней, если они дѣйствительны, и, наконецъ, составлять ур-іе по его корнямъ. Возможность развить болѣе широко какія либо изъ вышеуказанныхъ видовъ работы зависитъ отъ преподавателя: если онъ полагаетъ, что развитіе тѣхъ или другихъ вопросовъ, сюда относящихся, окажется плодотворнымъ, то пусть соотвѣтствующія упражненія будутъ введены въ курсъ. Однако всегда желательно, чтобы эти упражненія не оказались разрозненными, а были бы объединены опредѣленною общею мыслью. Такъ, въ задачникахъ имѣются упражненія, требующія вычисленія черезъ коэффиціенты квадратнаго ур-ія суммы квадратовъ или кубовъ его корней и т. п. Если эти упражненія будутъ введены въ курсъ, то представлялось бы необходимымъ объединить ихъ опредѣленною, направляющею работу, мыслью. Это возможно сдѣлать, если ввести понятіе о симметрическихъ функціяхъ корней ур-ія и вспомнить положеніе высшей алгебры, что всякая симметрическая функція корней алгебраическаго ур-ія выражается раціонально черезъ коэффиціенты этого уравненія. Тогда работа учащихся надъ симметрическими функціями корней квадратнаго уравненія явится первымъ шагомъ индукціи, которая, хотя бы лишь для нѣкоторыхъ учащихся, закончится общимъ заключеніемъ въ курсѣ высшей алгебры.

Что касается биквадратныхъ, трехчленныхъ, возвратныхъ уравненій, а также ур-ій 2-ой степени съ двумя неизвѣстными, то хотѣлось бы указать, что дѣлать изъ нихъ какую-либо особую статью курса не слѣдуетъ, что желательно

ограничиться лишь самыми простыми примѣрами, если они встрѣтятся при рѣшеніи задачъ (напр., въ геометріи при рѣшеніи задачъ на вычисленіе часто приходится имѣть дѣло съ системою второй степени двухъ уравненій съ двумя неивѣстными).

По поводу статьи о прогрессіяхъ приходится лишь замѣтить, что желательно по возможности избѣгать формальнаго характера прохожденія этой статьи, который состоитъ въ томъ, что доказывается рядъ теоремъ и выводится рядъ формулъ, а затѣмъ работа учащихся сводится лишь къ примѣненію полученныхъ формулъ къ примѣрамъ.

Отдѣлъ о лагориѳмахъ вызываетъ слѣдующія замѣчанія:

1. Во главу ученія о логариѳмахъ слѣдуетъ поставить взглядъ, признающій нахожденіе логариѳма за дѣйствіе обратное возведеніе въ степень, при помощи котораго по данной степени и данному основанію находятъ показателя.

2. Такъ какъ теорія ирраціональныхъ чиселъ неумѣстна въ средней школѣ, то этимъ самымъ вызывается отказъ отъ доказательства теоремы, что всякое положительное число имѣетъ логариѳмъ. Взамѣнъ того опять слѣдуетъ стремиться къ тому, чтобы учащіеся выработали увѣренность въ возможности сопоставлять символъ ІдаЬ съ любымъ раціональнымъ числомъ: если асЩ Ь, то ІдаьЩ^с. 3. Вычисленія по таблицамъ логариѳмовъ не имѣютъ существеннаго математическаго значенія. Поэтому въ курсѣ алгебры слѣдуетъ ограничиться лишь простѣйшими вычисленіями, достаточно иллюстрирующими пользу логариѳмовъ. Если въ другихъ частяхъ математики или въ Прикладныхъ наукахъ (напр., въ такъ называемой „политической ариѳметикѣ") дѣло дойдетъ до вычисленій по таблицамъ логариѳмовъ, то тамъ практическое значеніе таблицъ логариѳмовъ выдвинется ярче и зародитъ у учащихся стремленіе къ крайней аккуратности, а равно и къ экономіи своего труда при логариѳмическихъ вычисленіяхъ ради достиженія цѣлей болѣе высокихъ, чѣмъ то имѣетъ мѣсто при непосредственно задаваемыхъ примѣрахъ на вычисленіе.

Что касается другихъ отдѣловъ алгебры (сложые проценты, срочныя уплаты, ежегодные вклады, соединенія и биномъ Ньютона, неопредѣленныя урія, непрерывныя дроби, изслѣдованіе уравненій), то считать ихъ обязательными нельзя. Все зависитъ отъ склонности преподавателя: если останется время, то онъ можетъ имъ воспользоваться для того, чтобы проработать съ учащимися тѣ изъ этихъ отдѣловъ, которые ему самому представляются наиболѣе желательными. Хорошо, если позволитъ время, ознакомить

учащихся съ началами аналитической геометріи, кончая лишь изученіемъ уравненія первой степени съ двумя неизвѣстными, и соединить изслѣдованіе уравненій первой степени съ соотвѣтствующими задачами на прямую линію.

Геометрія.

Вопросъ о реформѣ преподаванія геометріи весьма усложненъ, благодаря, съ одной стороны, традиціонному характеру этого преподаванія, во главу котораго ставится изученіе доказательствъ теоремъ, а съ другой стороны благодаря увлеченію послѣдняго времени, возникшему на почвѣ недовольства результатами традиціоннаго преподаванія, которое требуетъ раздѣленія курса геометріи на 2 концентра: на пропедевтическій и на систематическій курсы,—въ первомъ учащіеся наглядно и опытно изучаютъ геометрическія свойства, а во второмъ на первый планъ выдвигается логическая обработка содержанія геометріи.

Изъ дальнѣйшаго будетъ ясно, что 1) нельзя признать правильною постановкою дѣла нашъ традиціонный курсъ и 2) нельзя признать удовлетворительнымъ то рѣшеніе вопроса о реформѣ курса геометріи, которое сводитъ эту реформу къ раздѣленію курса на концентры, на пропедевтическій и на систематическій курсы.

Для того, чтобы оріентироваться въ вопросѣ о преподаваніи геометріи, необходимо выяснить характеръ той работы, которая влечетъ за собою развитіе геометрическихъ знаній.

Исходнымъ пунктомъ геометріи слѣдуетъ считать тѣ факты, даваемые намъ наблюденіемъ и опытомъ, которые позволяютъ намъ видѣть границы трехъ родовъ. Подъ вліяніемъ этихъ фактовъ мы создаемъ въ своемъ воображеніи линіи, точки и поверхности въ формѣ образовъ, мы приходимъ къ заключенію мыслить о нихъ, какъ будто бы они (образы) имѣли самостоятельное существованіе. Мы изыскиваемъ среди этого основного матеріала тѣ линіи и поверхности, которыя по какимъ-либо признакамъ мы считаемъ возможнымъ признать проще остальныхъ. Соединяя между собою этотъ основной матерьялъ (комбинируя), мы приходимъ къ осуществленію все болѣе и болѣе усложняющихся геометрическихъ образовъ; мы изучаемъ, сопоставляя новый образъ съ уже извѣстными, какъ самые вновь получаемые геометрическіе образы, такъ и тѣ вопросы, какіе связаны съ осуществленіемъ этихъ образовъ: все, что представляется намъ достойнымъ особеннаго вниманія или заслуживающимъ интереса, запечатлѣвается нами въ словесной

формѣ—это и есть путь, приводящій насъ къ геометрическимъ теоремамъ1).

Отсюда уже ясно, что основная работа учащихся на протяженіи всего курса геометріи должна имѣть цѣлью выяснятъ происхожденіе теоремъ. Такъ какъ традиціонное преподаваніе этотъ вопросъ о происхожденіи теоремъ игнорируетъ, то ясно, что геометрія въ представленіи учащихся становится собраніемъ неизвѣстно откуда, почему или зачѣмъ появившихся теоремъ, которыя для чего-то надо доказывать. Ясно также теперь, почему традиціонный способъ обученія геометріи не могъ дать плодотворныхъ результатовъ—необходимо съ нимъ безъ сожалѣнія и безъ промедленія разстаться.

Какова же та работа, которая влечетъ за собою Установленіе свойствъ различныхъ геометрическихъ образовъ? Отвѣтъ на этотъ вопросъ приходится начать съ отрицанія: такою работою прежде всего не слѣдуетъ въ общемъ случаѣ считать опытъ. Роль опыта и наблюденія по отношенію къ геометріи главнымъ образомъ сводится лишь къ тому, что подъ ихъ вліяніемъ былъ созданъ тотъ основной матеріалъ, изъ котораго, руководясь извѣстною мыслью, мы строимъ все болѣе и болѣе сложные геометрическіе образы, и только лишь въ отдѣльныхъ случаяхъ опытъ можетъ оказаться тѣмъ толчкомъ, который приведетъ въ движеніе нашу интуицію или мышленіе, а они могутъ въ результатѣ своей работы привести къ установленію обязательности какого-либо свойства. При этомъ лишь въ исключительныхъ случаяхъ опытъ можетъ имѣть случайный характеръ, въ остальныхъ же случаяхъ опытъ появляется какъ попытка отвѣтить на возникшій вопросъ или удовлетворить поставленной цѣли. И придется признать, что началомъ геометрической работы является Установленіе извѣстнаго вопроса или опредѣленной цѣли. Само собою намѣчаются общія формы этого начала: разсматривая какой-либо уже полученный геометрическій образъ, мы можемъ поставить для себя цѣлью какъ-либо осуществить (построеніемъ или при помощи какого-либо процесса) новый, болѣе сложный, или новый, отвѣчающій развитію опредѣленной мысли, образъ; сейчасъ же возникаютъ вопросы: 1) какъ можно этотъ новый образъ осуществить? 2) какіе результаты получатся, если его сопоставить съ ранѣе изученными образами? Иногда тотъ процессъ, который позволяетъ получить новый образъ, а иногда то построеніе, при помощи котораго его можно осуществить, влекутъ за собою новые вопросы,

1) Болѣе подробно эта работа охарактеризирована въ моей статьѣ „Мой взглядъ на предметъ геометріи". „Матем. Вѣстн." № 4 за 1914 г.

Отвѣты на которые получаются или сразу, при помощи разсмотрѣнія процесса или построенія, или постепенно разсужденіями, начинающимися съ сопоставленія этого новаго образа съ прежними, уже разученными. Вотъ Примѣры: 1. Въ извѣстный моментъ, послѣ ознакомленія съ понятіемъ о разстояніи между двумя точками, можетъ возникнуть вопросъ: много ли можно найти на плоскости точекъ, равноотстоящихъ отъ двухъ данныхъ точекъ? Послѣ разсмотрѣнія этого вопроса появляется 1) отвѣтъ на него, что такихъ точекъ на плоскости можно найти сколько угодно и 2) новый вопросъ: а нельзя ли ихъ какимъ-либо процессомъ получить всѣ сразу? Отвѣтъ на этотъ вопросъ, въ особенности если иллюстрировать дѣло кускомъ бумаги, изображающемъ плоскость, съ двумя намѣченными на немъ точками А и В, находится самими учащимися: надо перегнуть плоскость такъ, чтобы точки А и В совпали—тогда прямая линія перегиба и явится мѣстомъ искомыхъ точекъ. Останется разсмотрѣть положеніе этой прямой перегиба къ другой прямой, опредѣляемой точками А и В. И нахожденіе этого процесса безъ всякихъ доказательствъ теоремъ приведетъ учащихся къ усвоенію одного изъ важныхъ геометрическихъ фактовъ. 2. Послѣ ознакомленія съ параллельными прямыми вводится въ курсъ параллелограммъ. Вмѣсто того, чтобы сразу доказывать объ немъ рядъ теоремъ, должно намѣтить путь, который приведетъ къ открытію этихъ теоремъ. Путь здѣсь таковъ: для полученія параллелограмма надо построить двѣ пары параллельныхъ прямыхъ, которыя пересѣкаются въ 4-хъ точкахъ. Но, если имѣемъ 4 точки, изъ которыхъ никакія три не лежатъ на одной прямой, то онѣ, взятый попарно, опредѣляютъ 6 прямыхъ. Остается ввести въ дѣло двѣ, еще не постороенныя, прямыя, увидать, что послѣ этого получается 8 треугольниковъ (4 „большихъ" и 4 „малыхъ") и поставить естественный вопросъ: нѣтъ ли между ними равныхъ? Изслѣдованіе этого вопроса (приходится опираться на знаніе „равенства" треугольниковъ) позволитъ учащимся прійти къ свойствамъ параллелограмма и запечатлѣть ихъ въ формѣ теоремъ.

Эти Примѣры достаточно характеризуютъ ту работу, которая ставитъ во главу вопросъ о происхожденіи теоремъ—это и есть истинно геометрическая работа.

Тѣ лица, которыя являются сторонниками раздѣленія курса геометріи на пропедевтическій и систематическій, Взамѣнъ этой работы предлагаютъ учащимся слѣдующую: 1. (Въ пропедевтическомъ курсѣ) продѣлать рядъ опытовъ— таковы, по крайней мѣрѣ, образцы тѣхъ пропедевтическихъ курсовъ геометріи, которые вышли за послѣднее время

подъ именемъ „наглядныя" геометріи—и запомнить ихъ результаты; кромѣ того сюда присоединяется еще работа, относящаяся къ ручному труду, а именно изготовленіе геометрическихъ моделей. 2. (Въ систематическомъ курсѣ) попрежнему доказывать рядъ напередъ объявляемыхъ теоремъ. Быть можетъ, на это имѣются намеки въ различныхъ статьяхъ, захотятъ поставить систематическій курсъ геометріи на иныхъ Основаніяхъ, чѣмъ-то даютъ существующіе учебники, а именно захотятъ придать этому курсу чисто логическій характеръ: геометрическіе образы замѣнить понятіями, устанавливаемыми или опредѣленіями или аксіомами, и всѣ геометрическія знанія привести въ логическую систему. Но возникаютъ вопросы: неужели такая задача соотвѣтствуетъ тѣмъ запросамъ, какіе можно предъявлять къ среднему образованію? всякій ли спеціалистъ-математикъ обязанъ интересоваться этимъ чисто логическимъ направленіемъ въ наукѣ? Да и удалось ли эту задачу дѣйствительно научно разрѣшить?

Такъ какъ, повидимому, ясно, что приведеніе въ логическую систему геометрическихъ знаній есть задача, могущая интересовать лишь спеціалиста, работающаго въ этомъ направленіи, то попытка дать подобный курсъ для средней школы должна быть признана нераціональной.

Изъ предыдущаго также ясно, что стремленіе раздѣлить курсъ геометріи на два, на пропедевтичеткій и систематическій, не можетъ внести улучшенія въ современную постановку преподаванія геометріи, такъ какъ опять учащимся будетъ предлагаться не та работа, которая достойна названія „геометрическая работа".

Однако, одна мысль сторонниковъ раздѣленія курса геометріи заслуживаетъ вниманія, а именно, дѣйствительно можно начало обученія геометріи отнести къ значительно младшему возрасту учащихся, чѣмъ то дѣлается въ настоящее время.

Такъ, напримѣръ, можно было бы начать изученіе геометріи во 2-мъ классѣ средней школы (повидимому, это удобнѣе, чѣмъ въ 1-мъ), выдвинувъ на первый планъ работу сравненія прямолинейныхъ отрѣзковъ и угловъ и дѣйствій надъ ними, при чемъ желательно широкое использованіе моделей. Здѣсь учащіеся могли бы познакомиться съ выпрямленнымъ (это—единственный уголъ, сразу отличающійся отъ остальныхъ угловъ) и съ прямымъ углами, со смежными углами, со свойствомъ вертикальныхъ угловъ, здѣсь также нашлось бы время для бесѣды преподавателя съ учащимися съ цѣлью добиться со стороны учащихся признанія существованія невещественныхъ, геометрическихъ, поверхностей (среди нихъ выдѣлить простѣйшую—плоскость), линій (среди нихъ выдѣлить простѣйшую—прямую линію)

и точекъ. Но бесѣда и должна остаться бесѣдою,—не должно добиваться, чтобы учащіеся заучивали ея содержаніе. Здѣсь было бы такъ же возможно, использовавъ для этой цѣли модель прямого угла (она получается двумя перегибаніями листа бумаги, что соотвѣтствуетъ геометрическому процессу, перегибанію плоскости), добиться результата, чтобы каждый учащійся установилъ: я умѣю получить квадратъ, я умѣю получить кубъ (строится сѣтка куба и перегибаніемъ ея получается кубъ). Тогда можно было бы перенести въ ариѳметикѣ статью о квадратныхъ и кубическихъ мѣрахъ изъ курса I класса во II, и эта статья была бы поставленной на прочное геометрическое основаніе. Быть можетъ сюда, по усмотрѣнію преподавателя, можно было бы отнести еще нѣкоторыя, доступныя для учащихся, части курса геометріи (напр., построеніе треугольниковъ и признаки ихъ равенства или свойства равнобедреннаго треугольника); необходимо, чтобы на протяженіи всего времени, посвященнаго геометріи, учащіеся были бы заняты тою работою, соотвѣтствующую развитію геометрическихъ знаній, какая выше достаточно охарактеризована.

Въ III классѣ курсъ геометріи продолжался бы, при чемъ здѣсь уже желателенъ переходъ отъ использованія моделей къ построенію циркулемъ и линейкою (напр., построеніе прямого угла, построеніе угла, равнаго данному, и т. д.). Быть можетъ здѣсь удалось бы изучить параллельныя прямыя, параллелограммъ, ромбъ, прямоугольникъ и тѣ задачи, рѣшеніе которыхъ покоится на построеніи ромба (дѣленіе отрѣзка и угла пополамъ, построеніе перпендикуляра). Наконецъ, быть можетъ, здѣсь останется время на изысканіе геометрическаго мѣста точекъ плоскости, равноудаленныхъ отъ двухъ данныхъ точекъ (см. объ этомъ выше) или отъ двухъ данныхъ прямыхъ. Въ IV и У классахъ можно было бы закончить планиметрію, а УІ классъ (и отчасти VII) посвятить стереометріи.

По поводу всего курса слѣдуетъ прежде всего напомнить (объ этомъ уже была рѣчь), что необходимо измѣнить, и радикально измѣнить, весь характеръ курса геометріи; слѣдуетъ вовсе отказаться отъ доказыванія теоремъ и выдвинуть на первый планъ изслѣдованіе тѣхъ геометрическихъ образовъ, которые приходится получать или построеніемъ или какими-либо процессами въ связи съ тѣми вопросами и задачами, какіе возникли на протяженіи непосредственно предшествующей работы. Кромѣ этого общаго замѣчанія, слѣдуетъ сдѣлать нѣсколько частныхъ:

1. Слѣдуетъ отказаться отъ многихъ опредѣленій1),

1) Съ опредѣленіями въ курсѣ геометріи вообще у насъ дѣло обстоитъ не очень ладно. См. но этому поводу мой докладъ, прочитанный на 1-мъ

обычно употребляемыхъ; такъ вмѣсто опредѣленій угла, прямого угла, треугольника, многоугольника и т. д. слѣдуетъ довольствоваться умѣніемъ учащихся строить называемые ими геометрическіе образы. Сознаніе „я умѣю строить треугольника" достаточно для того, чтобы выполнять геометрическую работу надъ треугольникомъ.

2. Задачи на построеніе достигаютъ цѣли развитія учащихся только тогда, когда происхожденіе этихъ задачъ ясно для учащихся. Послѣднее будетъ имѣть мѣсто лишь тогда, когда отдѣльныя задачи на построеніе появляются само-собою благодаря развитію какого-либо общаго вопроса. Такъ, два общихъ вопроса: 1) сколько надо задать точекъ, чтобы ими опредѣлился кругъ, обязанный проходить черезъ эти точки, и 2) (взаимный этому): сколько надо задать прямыхъ, чтобы ими опредѣлился кругъ, обязанный касаться этихъ прямыхъ, ведутъ къ цѣлому ряду задачъ на построеніе, естественно возникающихъ при углубленіи въ эти вопросы (напр., если даны 2 параллельныхъ прямыхъ, то можно построить безконечно много круговъ, ихъ касающихся; присоединимъ еще требованіе, чтобы кругъ проходилъ черезъ данную между этими параллельными точку— получимъ задачу на построеніе). Отъ задачъ на построеніе такъ сказать „спорадическаго" характера слѣдуетъ отказаться.

3. Возможны въ курсѣ геометріи Сокращенія, сравнительно съ обычнымъ матеріаломъ. Такъ, можно безъ всякаго ущерба выкинуть рядъ обратныхъ теоремъ 1); достаточно ввести въ дѣло лишь одинъ признакъ подобія треугольниковъ (если два угла одного треугольника равны соотвѣтственно двумъ угламъ другого, то треугольники подобны); можно выпустить теоремы объ измѣреніи угловъ, вершина которыхъ внутри или внѣ круга (эти теоремы можно замѣнить соотвѣтствующими упражненіями); можно ограничиться лишь понятіемъ о подобіи многоугольниковъ и выпустить обычныя (прямую и обратную) теоремы; можно ограничиться лишь выработкою яснаго представленія, что геометрическое мѣсто перпендикуляровъ къ прямой изъ одной ея точки есть плоскость, а всѣ теоремы, которыя приводятъ къ этому, можно выпустить; можно (а можетъ-быть даже—и слѣдуетъ) выпустить изъ курса геометріи теорію предѣловъ, при чемъ при изученіи вопроса о длинѣ окружности руководиться геометрическимъ представленіемъ

Съѣздѣ преподавателей математики „О современномъ состояніи курса геометріи и т. д.". Труды I Всерос. Съѣзда препод. матем. Томъ II Стр. 73—94.

1) Одна изъ нихъ, а именно теорема, обратная теоремѣ о смежныхъ углахъ, должна быть выброшена (см. упомянутый уже мой докладъ „О современномъ состояніи курса геометріи и т. д.").

объ ней, какъ о правильномъ многоугольникъ съ безконечно большимъ числомъ сторонъ. Возможенъ еще рядъ болѣе мелкихъ сокращеній курса.

4. Однако многія части обычнаго курса должны быть расширеніе. Прежде всего это расширеніе должно коснуться ученія о площадяхъ прямолинейныхъ фигуръ. Необходимо болѣе обычнаго развить геометрическую сторону дѣла ученія о площадяхъ, для чего потребуется развить рядъ упряжненій, конечно связанныхъ объединяющею идеею, на преобразованіе площадей. Далѣе нельзя оставить въ томъ видѣ, какъ это обычно дѣлается теперь, ученіе о правильныхъ многогранникахъ. Придется или придать этой статьѣ ту форму, какая дана въ курсѣ геометріи Э. Бореля—тогда, пожалуй, выйдетъ сокращеніе, или ввести въ курсъ теорему Эйлера для односвязныхъ поверхностей для незамкнутыхъ и замкнутыхъ—тогда выйдетъ расширеніе курса1).

5. При прохожденіи курса стереометріи необходимо выдвинуть на первый планъ ту идею обобщенія, на которой зиждется весь этотъ отдѣлъ. Чисто геометрическая часть курса является въ сущности стремленіемъ обобщить понятія о параллельности, перпендикулярности и углѣ, которыя возникли въ планиметріи, на болѣе сложные пространственные образы. Въ меньшемъ масштабѣ ту же идею обобщенія можно увидать, и тогда ее необходимо выдвинуть на видное мѣсто и въ другихъ частяхъ курса геометріи: 1) при началѣ ученія о площадяхъ понятіе о равенствѣ площадей должно опираться на обобщенное воззрѣніе на сложеніе и вычитаніе; здѣсь нельзя обойтись безъ указанія на обобщеніе перемѣстительнаго и сочетательнаго законовъ сложенія (или замѣняющаго ихъ положенія, что при сложеніи многихъ слагаемыхъ можно выполнять сложеніе любыми группами въ любомъ порядкѣ); 2) при прохожденіи статьи объ отношеніяхъ нельзя избѣжать указанія на стремленіе обобщить понятіе о числѣ, благодаря чему становится возможнымъ всякіе два отрѣзка (или угла или площади и т. д.) связать уравненіемъ вида у = кх или равносильнымъ ему = к, гдѣ у и X — отрѣзки (или углы и т. д.), а к — число.

6. Если курсъ геометріи будетъ начинаться не со II класса, а попрежнему съ IV, то всѣ выше сдѣланныя замѣчанія остаются въ силѣ, и характеръ курса существенно не долженъ измѣниться, такъ какъ, въ сущности, необходимо добиться тѣхъ же самыхъ результатовъ, а именно, чтобы учащіеся достаточно свободно могли оперировать надъ геометрическимъ матеріаломъ и выполнять надъ нимъ

1) См. мою книгу „Геометрія въ пространствѣ" изд. 2-ое стр. 50—60.

геометрическую работу. Разница можетъ быть лишь въ томъ, что, начиная курсъ геометріи съ IV класса, явится возможнымъ, въ виду большаго развитія учащихся, 1) сразу начать съ вышеупоминаемой бесѣды о происхожденіи основныхъ геометрическихъ образовъ и 2) во главу работы поставить построеніе циркулемъ и линейкою, удаляя этимъ самымъ нѣкоторыя изъ моделей (но отнюдь не всѣ; должны остаться тѣ модели1), которыя иллюстрируютъ извѣстные геометрическіе процессы, съ помощью которыхъ легко выясняются вопросы о рядѣ геометрическихъ образовъ).

7. Необходимо обратить вниманіе, что начало курса геометріи должно вестись въ значительно замедленномъ темпѣ, чтобы дать возможность, пользуясь рядомъ упражненій, самыхъ простыхъ, прочно закрѣпиться въ воображеніи учащихся основнымъ геометрическимъ образомъ. Такъ, напр., не достаточно лишь сказать, что перпендикуляръ изъ вершины треугольника на противоположную сторону называется высотою треугольника; необходимо упражнять учащихся какъ въ построеніи высотъ различныхъ по формѣ и по расположенію относительно краевъ доски или страницы тетради треугольниковъ, такъ и въ рисованіи ихъ „на глазъ".—Стремленіе создать въ воображеніи учащихся отчетливые образы для геометрическихъ объектовъ должна считаться основою методики геометріи.

Тригонометрія.

По поводу курса тригонометріи приходится ограничиться лишь рядомъ замѣчаній.

1. Существуетъ мнѣніе, что понятія о тригонометрическихъ функціяхъ должны быть сообщены учащимся еще въ курсѣ геометріи при изученіи подобія треугольниковъ, дабы этимъ облегчить работу преподаванія физики. Однако считать эту мысль безусловно справедливой не приходится. Въ самомъ дѣлѣ: хорошо ли, нарушая цѣльность курса геометріи и послѣдовательность развитія въ этомъ курсѣ работы учащихся, сдѣлать какую-то вставку, въ формѣ разсказа преподавателя, приводящую къ понятію о тригонометрическихъ функціяхъ? Не лучше ли уже эту работу взять на себя преподавателю физики, тѣмъ болѣе, что тамъ этотъ моментъ можетъ быть достаточно развитъ, благодаря тому, что въ курсѣ физики можно предложить рядъ естественно

1) Подъ словомъ „модели" здѣсь подразумѣваются не какія-либо сдѣланныя особеннымъ мастеромъ модели сложныхъ геометрическихъ образовъ, а тонкія палочки, куски бумаги, вырѣзанные изъ бумаги „углы" и т. п., иллюстрирующія прямолинейные отрѣзки, плоскости, внутреннія области угловъ и т. п.

возникающихъ упражненій, связанныхъ съ понятіемъ о тригонометрическихъ функціяхъ? Придется этотъ вопросъ оставить открытымъ: если преподаватель математики можетъ поставить дѣло такъ, чтобы постепенно развивающаяся работа учащихся привела ихъ къ удобному моменту для введенія въ дѣло тригонометрическихъ функцій, то пусть онъ это сдѣлаетъ; въ противномъ случаѣ придется преподавателю физики самому, въ связи съ общимъ развитіемъ работъ въ этомъ курсѣ, ознакомить учащихся и съ тригонометрическими функціями.

2. Хотя возникновеніе тригонометріи и обязано практическимъ задачамъ, требующимъ умѣнія рѣшать треугольники, но ея дальнѣйшее развитіе выражается главнымъ образомъ въ изученіи тригонометрическихъ функцій. Поэтому и курсъ тригонометріи въ средней школѣ долженъ главнымъ образомъ имѣть въ виду эту послѣднюю сторону дѣла, для чего необходимо добиваться, чтобы учащіеся прежде всего пріобрѣли нѣкоторую свободу въ оперированіи надъ тригонометрическими функціями. Задачамъ на рѣшеніе треугольниковъ и тѣмъ болѣе на особенные случаи рѣшенія треугольниковъ не должно отводить много вниманія. Эти задачи могутъ получить для учащихся иное значеніе только въ прикладныхъ наукахъ (въ геодезіи, въ астрономіи), въ курсѣ же тригонометріи подобныя задачи для учащихся сводятся лишь къ умѣнію подставлять числовыя данныя въ заученныя формулы и къ аккуратному выполненію вычисленій.

3. Желательно воспользоваться тригонометрическими функціями для рѣшенія ряда ариѳметическихъ вопросовъ. Такъ, тождество sec2x-\-cosec2x = sec2x. cosec2x даетъ поводъ поставить на очередь задачу объ изысканіи чиселъ, сумма которыхъ равна ихъ произведенію. Тождество tgA-\-tgB-\--f-tg G = tgA. tgB. tgC, гдѣ A -f- B + G=л даетъ поводъ еще расширить подобную задачу. Такая постановка дѣла придаетъ особый интересъ упражненіямъ въ тригонометрическихъ изысканіяхъ. Къ сожалѣнію, должно замѣтить, что эта сторона дѣла не достаточно въ настоящее время развита въ нашей педагогической литературѣ.

Число часовъ, необходимыхъ для курса математики.

Глубоко ошибочнымъ является замѣчаемое въ настоящее время стремленіе по возможности урѣзать число часовъ, отводимыхъ на математику. При маломъ числѣ часовъ не можетъ быть и рѣчи ни о какой реформѣ преподаванія математики: попрежнему, въ виду недостатка времени,

гг. учащіе будутъ сводить дѣло не къ развитію работы учащихся, а къ ряду объясненій, разучиваніе которыхъ будетъ переноситься на домъ, а тамъ, дома, работа, при усиленномъ участіи репетиторовъ, будетъ главнымъ образомъ сводиться къ заучиванію. Нѣтъ, для того, чтобы втянуть учащихся въ математическую работу, необходимо время, и много времени; лучше вовсе отбросить какіе-либо отдѣлы математики (напр., тригонометрію), чѣмъ испортить сразу же и безповоротно начало работы учащихся въ области математики. Станонвится еще яснѣе несостоятельность того увлеченія которое стрвемится, скомкавъ начала математики, ввести въ курсъ средней школы еще и высшую математику.

Вотъ minimum числа уроковъ для каждаго предмета: ариѳметика (въ I, II и III классахъ) —10 часовъ; алгебра (въ III, IV, V, VI и VII классахъ)—8 часовъ; геометрія или 8 или 9 часовъ, смотря по тому, съ какого класса будетъ начинаться изученіе геометріи: если съ ІУ, какъ теперь, то можно ограничиться 8 часами, если со II, то придется, въ виду меньшаго развитія учащихся, взять для геометріи 9 часовъ. Тригонометрія (или въ VI или въ VII классѣ)— 2 часа.

Вопросъ о распредѣленіи числа часовъ по классамъ не столь существенный. Вотъ нѣсколько замѣчаній по этому поводу: 1) Вообще говоря, если нѣтъ какихъ-либо особыхъ причинъ, предпочтительнѣе 1 годовой часъ замѣнять 2 часами на протяженіи полгода. 2) На начала каждаго предмета всегда требуется больше времени, чѣмъ для его дальнѣйшаго развитія. Поэтому, если курсъ геометріи будетъ начинаться попрежнему съ IV класса, крайне желательно въ IV классѣ имѣть для геометріи 3 урока. 3) Въ VII классѣ желателенъ 1 урокъ геометріи для завершенія курса, для развитія нѣкоторыхъ его частей и для упражненій. 4) Если начало курса геометріи будетъ отнесено ко II классу, то явится возможность закончить этотъ курсъ въ VI классѣ. 5) Если желательно ввести въ курсъ алгебры тѣ статьи, которыя при характеристикѣ курса, были названы необязательными, то придется число часовъ для алгебры увеличить до 9 или до 10.

Н. Извольскій.

Объ элементарномъ вычисленіи числа π*).

Еще въ Папирусѣ Ринда (2000 л. до P. X.) для рѣшенія задачи о квадратурѣ круга, т.-е. для построенія квадрата

*) Аналогичная статья того же автора, въ нѣсколько иной обработкѣ, была напечатана въ журналѣ „Математическое образованіе". Ноябрь 1916 г.

равновеликаго данному кругу, было дано правило: „за сторону квадрата слѣдуетъ взять | діаметра", откуда # = 3,1604----

Индійскіе математики для л употребляли приближенное выраженіе /10 = 3,16----

Архимедъ, вычисляя периметры вписанныхъ и описанныхъ правильныхъ 96-угольниковъ, опредѣлилъ л двумя неравенствами: 3f = 3,142... > я >3|? = 3,1408----

Позднѣйшіе математики, идя по пути указанному Архимедомъ, вычислили л болѣе точно. Остроумныя усовершенствованія въ методъ Архимеда внесъ Гюйгенсъ (1629—1695).

Въ настоящее время выяснена природа числа л и вмѣстѣ съ этимъ вполнѣ разъяснена задача о квадратурѣ круга.

Въ нашихъ современныхъ учебникахъ геометріи излагается способъ послѣдовательнаго вычисленія периметровъ, указанный Архимедомъ, и нѣтъ ни вычисленія л, ни, тѣмъ болѣе, выпрямленія полуокружность т.-е. построенія отрѣзка, длина котораго равна приблизительно 2 л (если R= 1). Трудно допустить, чтобы учащіеся, не строя и не вычисляя, получили ясное представленіе о сущности числа л.

Для приближ. построенія и вычисленія л отдадимъ предпочтеніе такъ называемому способу изопериметровъ, формулы котораго легче выводятся, изящнѣе и проще для запоминанія. Способъ изопериметровъ состоитъ въ слѣдующемъ: вообразимъ правильный п — угольникъ съ даннымъ периметромъ, наприм. равнымъ Р. Впишемъ въ этотъ многоугольникъ и опишемъ около него окружности, радіусы которыхъ обозначимъ черезъ гп и Rn.

Пусть число сторонъ этого многоугольника удвоилось, стало равняться 2п, а величина периметра осталась та же самая. Снова впишемъ и опишемъ окружности радіусы которыхъ обозначимъ черезъ г2п и В2п и т. д.

Эти радіусы выражаются слѣдующими формулами.

или 2r%n = rH + RH........(1)

= .................(2)

Доказательство. Пусть AB и OB—половины сторонъ квадрата, 0А = ііа, ОВ = га— радіусы описанной и вписанной окружностей около даннаго квадрата. Продолжимъ OB, и Отложимъ на ней OD — OA*=Rv Прямую DA дѣлимъ точкою С пополамъ. Изъ С Опускаемъ на jDB перпендикуляръ CF; тогда DB точкою F дѣлится пополамъ, и, кромѣ того, CF—-— и прямая, соединяющая С съ О, дѣ-

литъ уголъ BOA пополамъ. Слѣдовательно линію CF мы можемъ разсматривать какъ половину стороны правильнаго восьмиугольника, имѣющаго тотъ же периметръ, какъ и данный квадратъ. СО будетъ радіусомъ описанной, а FO радіусомъ вписанной окружностей.

Чер. 1.

Треугольникъ JDCO прямоугольный, изъ вершины прямого угла С опущенъ перпендикуляръ CF на гипотенузу. Поэтому

Ясно, что подобное разсужденіе справедливо, если AB принять за половину стороны прав. п — угольника. Поэтому вообще г2м = \В2п = Vr2nRn

Итакъ, г2и есть среднее ариѳметическое, между гп и а В2н есть среднее геометрическое между г2п и Вп.

3. Слѣдовательно, опредѣленіе радіусовъ вписаннаго и описаннаго круговъ сводится къ однообразному процессу поочереднаго опредѣленія средняго ариѳметическаго и средняго геометрическаго изъ двухъ предшествующихъ величинъ, т.-е. если исходныя величины г4 и ВА будутъ за даны какъ отрѣзки, то мы можемъ строить г8 и В8 потомъ r16, B1S и т. д., а если исходныя величины г4 и ВА будутъ заданы какъ числа, то мы можемъ вычислять r8, J?8, потомъ r16,J?16

и т. д. Такимъ образомъ построеніе и вычисленіе могутъ итти параллельно.

При достаточно большомъ п (числѣ сторонъ) правильный многоугольникъ можно принять приближенно за окружность, а зная периметръ этого многоугольника (а онъ равенъ длинѣ окружности) и вычисливъ приближенно ея радіусъ, найдемъ и приближенное значеніе л, такъ какъ 2лг = Р, откуда Р

*=2Г

4. Чтобы построить В8, какъ было указано, нужно AD раздѣлить пополамъ точкою С\ СО = 1і8, потомъ на OD Отложимъ ОН=СО, прямую CH точкою Е раздѣлимъ пополамъ, EO = OS будетъ BUt и т. д. Съ другой стороны, чтобы получить г8, нужно DB раздѣлить пополамъ точкою F. Далѣе раздѣливъ H F пополамъ точкою Р, получаемъ ОР= г16 и т. д. Слѣдовательно построеніе г4, г8----гп и ВАГ В8----Вп сводится къ однообразной простой геометрической операціи дѣленія отрѣзка пополамъ.

Какъ видно изъ построенія В8----Вп будутъ все время уменьшаться, а гА, г8----гп будутъ возрастать. На прямой OD имѣемъ: OD = B4, ОН=Вв, OS=:BlG и т. д., а съ другой стороны OB = гOF=r8/OP = r16---- и т. д.

Получаемъ два ряда точекъ: 1) D, H, S----и 2) В, F, Р---- неопредѣленно сближающихся; пусть общая граница этихъ рядовъ есть точка X, — тогда XÔ = r, радіусу изопериметрическаго круга.

Отсюда, теоретически казалось бы, можемъ построить окружность, длина которой будетъ равна данному отрѣзку съ большою степенью точности. Но каждая чертежная операція вноситъ погрѣшность, а чертежныхъ операцій здѣсь неограниченное число.

Теперь перейдемъ къ вычисленію r4, rs----гп и ВІУ

Пусть периметръ исходнаго квадрата равенъ 2, тогда

гі = 0,25 =

Примѣняя поочередно формулы (1) и (2), будемъ имѣть

і\ = 0,25 = 0,353553....

г, = 0,301777.... = 0,326641....

ru= 0,314209.... lll6— 0,320364....

r32 = 0,317286.... jK32 =0,318822....

rC4 =0,318054.... Rei= 0,318438....

r128 = 0,318246..........Л128 = 0,318342....

Вести вычисленіе — по указанному способу утомительно, эту работу можно значительно сократить.

Какъ уже было сказано, отрѣзокъ ОВ—гк, а OF=r8; -слѣдовательно г4, переходя въ г8, увеличился на отрѣзокъ BF=FD.

г8 — г4 = BF— DF

OD = R4, ОЯ= К8, поэтому переходя въ і?8, уменьшился на отрѣзокъ І)Я.

RA — R8 = BH.

Сравнивая отрѣзки І)Я и Яі^, находимъ, что DH>HF. Дѣйствительно, изъ вершины прямого угла С прямоугольнаго треугольника ЯСО опущенъ перпендикуляръ CF на гипотенузу DO и потомъ катетъ СО отложенъ на гипотенузѣ ОД — ОС—ОН; поэтому

/НСО — /СНО, Но / ОНО = ^ЯСЯ + /HDG и /НСО — /HCF+ /FCO,

Откуда: /DCH+ HDC= /HCF+ / FC°-

Такъ какъ /HDC= /FCO, то заключаемъ, что /DCH=/HCF, т.-е. прямая СЯ есть бисектрисса угла /JDCF\ такъ какъ, кромѣ того, DC>CF, то отсюда слѣдуетъ:

DH>HF или DH>\DF.

Замѣняя отрѣзки DH и DF разностью радіусовъ, получаемъ:

В4 — В8>\(г8 - г4), откуда 2В4+г4>2Д8 + гв

Удваивая число сторонъ правильнаго многоугольника? получаемъ рядъ неравенствъ

2J?4 + r4>2Z?8 + r8>2i?16 + r1G....>2J?2W + V . . . .(3)

При безграничномъ увеличеніи числа m оба радіуса въ предѣлѣ дѣлаются равными радіусу г изопериметрическаго круга. Выраженіе 2R2m7\-r2ftt стремится къ предѣлу Зг, при чемъ любой членъ ряда (3) больше этого предѣла. Пусть одинъ изъ членовъ ряда (3) есть 2Rn-\-rn. Тогда

2Rn + rn>3r, откуда г —^—"...........(4)

5. Чтобы получить второе неравенство, нижнюю границу г, докажемъ сначала лемму.

Лемма. Если острый уголъ прямоугольнаго треугольника прямыми раздѣлить на четыре равныя части и пря-

мыя продолжить до встрѣчи съ противоположнымъ катетомъ, то вторая, отъ вершины прямого угла, часть катета между этими прямыми будетъ менѣе всего катета.

Доказательство. Пусть (черт. 2-й) уголъ ^4 = 90®, острый уголъ О раздѣленъ на четыре равныя части. Нужно доказать, что СВ<с-{ЕА. У получившихся четырехъ треугольниковъ высота общая, поэтому ихъ площади относятся, какъ ихъ основанія; слѣдовательно сравненіе отрѣзковъ — основаній треугольниковъ — можемъ замѣнить сравненіемъ площадей этихъ треугольниковъ. Треугольникъ О AB повернемъ около стороны OBу тогда точка А упадетъ въ N^ и BN будетъ перпендикулярна къ ON; продолжимъ BN до пересѣченія съ OD въ точкѣ М. Такъ какъ BN перпедикулярна биссектрисѣ ОС, то Д ВОС = Д COM. Сравнивая треугольники DMC и CNB, находимъ, что у перваго высота и основаніе больше, слѣдовательно и его площадь больше. Отсюда слѣдуетъ, что площадь Д BCN меньше ^ части площади Д БШ), а такъ какъ площадь Д OBN=\ части площади четыреугольника АВМО, то

Поэтому площ, Д ВОСсг 4 площ. Д АОЕ.

Откуда на основаніи вышесказаннаго вытекаетъ:

Черт. 2.

Въ § 4 было выяснено, что CH есть биссектриса угла DCF (черт. 1) и что отрѣзокъ OH— Jß8, т.-е. точка H есть конечная точка радіуса 1і8. Продолжая процессъ удвоенія сторонъ многоугольника, получимъ точку Р—конечную точку г16 и точку S конечную точку Ви.

Прямыя CF и ЕР, какъ перпендикулярныя къ одной и той же прямой, между собою параллельны, и, какъ легко видѣть, НЕ—EC и HP — PF.

Мы уже выяснили, что CH есть биссектриса /_DCF; также точно, при переходѣ отъ правильнаго 8-угольника къ правильному 16-угольнику можно выяснить, что ES есть биссектриса ^НЕР. Построимъ еще CY— биссектрису /_HCF. Такъ какъ /JHEB — /JHCF, то биссектрисы ES и CY этихъ угловъ параллельны, а слѣдовательно

А EHS ~ А CHY.

Но НЕ=EC, слѣдовательно и HS=SY.

Такъ какъ /_FCY= £YCH=-\ £DCF, то къ отрѣзку H Y примѣнима вышеданная лемма, т.-е.

HY<-\ DF, а потому HS <4 DF, или FB, т.-е.

Отсюда по аналогіи съ § 4 получаемъ нижнюю границу для г. Именно, сначала изъ предыдущаго неравенства имѣемъ:

Такъ какъ предѣлъ (8Äw + rwJ = 9r, то, называя какой-либо членъ этого ряда чрезъ 8В2н-\-гп, получаемъ я + и слѣдовательно

г>8Д,я + ги...........(5)

Такъ какъ мы разсматриваемъ окружность, длина которой равна периметру квадрата, взятаго нами за основной, и мы уже положили, что этотъ периметръ = 2, то 2лт = 2,

откуда^ г = — л

Поэтому изъ формулъ (4) и (5) имѣемъ границы для 1

числа —. л

щргг- >* .......(6)'

Примѣнимъ теперь формулу (6) для приближеннаго вычисленія л, остановивъ точное вычисленіе Вп и г„прип = 32.

Чтобы получить два десятичныхъ знака достаточно взять восьмиугольникъ.

Гюйгенсъ*) для вычисленія л приводитъ теоремы:

Теорема VI. Всякій кругъ меньше двухъ третей описаннаго около него равносторонняго многоугольника, увеличенныхъ на одну треть площади подобнаго ему вписаннаго многоугольника.

Теорема IX. Окружность всякаго круга меньше чѣмъ двѣ трети периметра равносторонняго вписаннаго многоугольника, увеличенныя на одну треть периметра подобнаго ему описаннаго многоугольника и др.

Въ настоящей статьѣ я хотѣлъ показать, что границы для л, дающія ту же степень точности, какъ и теоремы Гюйгенса, можно получить и изъ иныхъ соображеній и указать на ихъ важное значеніе для элементарнаго и простого вычисленія л.

Въ заключеніе я не могу не выразить глубокой благодарности проф. А. К. Власову за его крайне сочувственное отношеніе къ данной работѣ. Въ бесѣдахъ съ нимъ я встрѣтилъ и живѣйшій интересъ къ тѣмъ мыслямъ, которыми направлялась эта работа и желаніе придать имъ наиболѣе стройную форму. Такъ онъ указалъ тотъ очень простой способъ перехода къ предѣлу при выводѣ формулъ (3) и (4). который данъ въ этой статьѣ (мой пріемъ былъ сложнѣе) и ему принадлежитъ идея воспользоваться площадями при доказательствѣ леммы (я доказыв. эту лемму непосредственнымъ сравненіемъ отрѣзковъ).

Ѳ. Гусевъ.

Замѣтки по поводу статьи Е. Томашевича „Объ одномъ типѣ ариѳметическихъ задачъ".

I.

Задачу № 630 изъ Собранія Малинина и Буренина нѣтъ надобности относить къ задачамъ алгебраическаго характера. Она можетъ быть рѣшена ариѳметически, при чемъ ариѳ-

*) Ф. Рудіо. „О квадратурѣ круга" изд. „Матезисъ" Одесса 1911 г.

метическое рѣшеніе не будетъ истолкованіемъ рѣшенія ур-ія. Рѣшеніе слѣд.

У старшаго остается ежемѣсячно на 36 р. болѣе, чѣмъ у младшаго, если бы у старшаго осталось въ 3 раза болѣе, чѣмъ у младшаго по истеченіи 1 мѣсяца, то младшій имѣлъ J, а старшій 54 р. (18 X 3), и первоначальная сумма денегъ каждаго была бы: (54 4- 21) = 75 р. у старшаго, и (57+ 18) = 75 р. у младшаго; слѣд. данное соотношеніе остатковъ у становится по истеченіи мѣс. = 12 м.

Точно также невѣрно отнесена къ алгебраическимъ задачамъ задача въ § 68 Методики Гольденберга, к-ая можетъ быть рѣшена такъ: сколько бы разъ ни прибавляли по о ч. къ обоимъ закромамъ, разница между ними будетъ 64 ч. Когда въ 1- мъ закромѣ станетъ въ 3 раза болѣе 2-го, то во 2-мъ будетъ (64:2) = 32, слѣд. прибавить придется 20 и присыпку по 5 ч. придется сдѣлать (20:5) = 4 раза.

A. Оловениковъ.

II.

Настоящей замѣткой позволяю себѣ сдѣлать небольшое дополненіе къ статьѣ Е. С. Томашевича „Объ одномъ типѣ ариѳметическихъ задачъ" (Математическій Вѣстникъ 1916 г. № 7—8).

Напомню задачу.

— Два брата получили отъ отца по 900 p.; младшій проживалъ изъ этихъ денегъ по 57 руб., а старшій по 21 р. въ мѣсяцъ. Черезъ сколько мѣсяцевъ у старшаго останется втрое больше денегъ, чѣмъ у младшаго?

Я хочу указать иной способъ рѣшенія этой задачи, болѣе, пожалуй, понятный учащимся соотвѣтствующаго возраста, чѣмъ тѣ способы, что основаны на истолкованіи дѣйствій, приводящихъ къ отысканію X изъ уравненія (900 — 57#). 3 = 900 — 21#, гдѣ х неизвѣстное число мѣсяцевъ.

Не измѣняя сути дѣла, можно перефразировать задачу такъ: два брата получили отъ отца по 900 руб. и рѣшили расходовать изъ этихъ денегъ ежемѣсячно одну и ту же сумму, въ дѣйствительности же оказалось, что младшій братъ проживалъ 57 p., а старшій 21 руб. въ

мѣсяцъ. Черезъ сколько мѣсяцевъ у старшаго останется втрое болѣе денегъ, чѣмъ у младшаго?

По смыслу задачи мѣсячное сбереженіе младшаго брата втрое меньше мѣсячнаго же сбереженія старшаго брата, а такъ какъ младшій проживалъ въ мѣсяцъ на 36 руб. больше старшаго, то эти 36 руб., очевидно, составляютъ удвоенное мѣсячное сбереженіе младшаго брата. Такимъ образомъ младшій братъ сберегалъ ежемѣсячно 18 руб., а старшій 54 руб. Сумму, которую намѣревались ежемѣсячно расходовать каждый изъ братьевъ, получимъ двояко:

57 р. + 18 р. = 75 р. или 21 р. + 54 р.=75 р.

И, наконецъ, неизвѣстное число мѣсяцевъ найдемъ, подѣливъ 900 р. на 75 р.

900 p.: 75 p. = 12 (м.).

H. Шемяновъ.

III.

По мнѣнію Г-на Е. Томашевича ариѳметическое рѣшеніе задачи № 630 (изъ собр. А. Малинина и К. Буренина) должно заключать въ себѣ истолкованіе тѣхъ дѣйствій, которыя приводятъ къ нахожденію X изъ составленнаго на основаніи условія задачи уравненія. Авторъ и указываетъ три пріема такого истолкованія, называя, между прочимъ, третій пріемъ слишкомъ искусственнымъ. Я не могу согласиться съ тѣмъ, что первый пріемъ содержитъ меньше искусственности, чѣмъ третій, и предлагаю слѣдующій способъ рѣшенія, совершенно не имѣющій въ виду уравненія и, мнѣ кажется, болѣе понятный тому возрасту, которому задача предназначена: ученикамъ ставится такой общій вопросъ „Какую сумму должны были бы получить братья, чтобы уже черезъ мѣсяцъ у старщаго осталось втрое болѣе, чѣмъ у младшаго". Если обозначимъ, какъ всегда это дѣлается, одинъ остатокъ 1 частью, то другой будетъ 3 части, вычитаемое же въ одномъ случаѣ 57, а въ другомъ 21, при одинаковыхъ уменьшаемыхъ. Отсюда ясно, что 2 части составляютъ (57—21) руб., значитъ въ одномъ случаѣ остатокъ былъ 18, а въ другомъ 54, и отвѣтъ на предложенный вопросъ будетъ „получили бы по 75 рублей". На самомъ же дѣлѣ они получили не по 75 руб., а по 900 руб., слѣдовательно требуемое отношеніе остатковъ случится не черезъ мѣсяцъ, а черезъ (900:75) мѣсяцевъ.

В. Новиковъ.

Письмо въ редакцію.

Милостивый Государь

Господинъ Редакторъ!

Не откажите помѣстить въ Вашемъ журналѣ мой отвѣтъ на Вашу рецензію моей книги „Краткія свѣдѣнія и пр.", помѣщенную въ № 7—8 за 1916 г.

Почти вся рецензія состоитъ изъ вопросовъ и недоумѣній зачѣмъ въ книгѣ имѣется то и почему приведено другое. Рискуя, можетъ быть, показаться наивнымъ, я берусь отвѣчать на Ваши вопросы, тѣмъ болѣе, что и читателемъ Вашего жунала, быть можетъ, будутъ интересны мои отвѣты. Прежде всего долженъ замѣтить, что многое изъ непонятнаго станетъ понятнымъ, если прочитать первыя строки предисловія къ книгѣ, гдѣ читатель увидитъ, что прежде чѣмъ браться за „заучиваніе фразъ", необходимо продѣлать ту классную работу съ учениками, о которой говорится и въ предисловіи и въ рецензіи. Думаю, что книжка пригодится не только мнѣ, но и другому учителю, который, конечно, предварительно „проработаетъ" независимо отъ моей книжки тотъ или иной отдѣлъ, безъ чего я вообще не представляю себѣ дѣятельности учителя. Кстати, „читателю, знакомому съ геометріей", фраза о площади трапеціи можетъ дѣйствительно показаться странною, но техникъ-практикъ производящій вычисленія площадей по среднимъ ординатамъ не найдетъ здѣсь ничего страннаго. Кромѣ того, неправильное утвержденіе, будто я подъ именемъ „трапеціи понимаю лишь такую, у которой 2 угла прямые; ссылаюсь на тотъ же конецъ 20-й стр., какъ и рецензентъ, гдѣ дано опредѣленіе какъ прямоугольной трапеціи, такъ и трапеціи вообще.

Поясненіе передъ правиломъ умноженія на дробь приведено съ цѣлью сравнить умноженіе на дробь съ умноженіемъ на цѣлое число.

„Странная" фраза объ измѣреніи величины достаточно— малой единицей, чтобы результатъ измѣренія выразился цѣлымъ числомъ, объясняется отчасти произволомъ новой единицы (именно: за единицу можно принять аликвотную часть измѣряемой величины), отчасти существованіемъ практическаго предѣла измѣренія. Гораздо болѣе страннымъ было бы говорить въ началѣ ариѳметики дробей о несоизмѣримыхъ величинахъ.

Опредѣленіе величины на стр. 5, какъ общаго свойства нѣсколькихъ предметовъ, поясняется на примѣрахъ объема, вѣса и пр. и усваивается не съ большимъ трудомъ, чѣмъ

обычно приводимое опредѣленіе, но имѣетъ, на мой взглядъ, преимущество большей наглядности.

Фраза о геометрическомъ тѣлѣ (стр. 7) является странною, вѣроятно, потому, что она указываетъ на содержаніе этого понятія Взамѣнъ безсодержательныхъ словъ о „части пространства и т. д."

Перехожу къ задачамъ. Прежде всего опять приходится ссылаться на предисловіе, по смыслу котораго ясно, что основныя и типичныя задачи рѣшаются въ классѣ подъ руководствомъ учителя, который несомнѣнно „долженъ многое дѣлать такое, о чемъ въ теоретическихъ краткихъ свѣдѣніяхъ нѣтъ и намека". Странно было бы думать, что учитель можетъ ограничиться „краткими свѣдѣніями", а еще болѣе страннымъ является выводъ изъ всего этого, что лучше было бы совсѣмъ выпустить „краткія свѣдѣнія".

Почему надо провѣрять ариѳметическія выкладки геометрическими построеніями? Неужели это такъ непонятно? Развѣ результатъ не выигрываетъ въ ясности, если къ нему приходятъ различными путями?

Какъ дѣлить отрѣзки и углы на равныя части? Простомъ складываніемъ бумаги, конечно! Откуда здѣсь появится „сомнѣніе по отношенію къ дѣленію угла на 3 и на 5 равныхъ частей"? Или рецензентъ думаетъ, что здѣсь умѣстно говорить о невозможности построенія циркулемъ и линейкой -к- и -к- части угла?

Требованіе отъ учащихся, чтобы они писали и т. д. не покажется удивительнымъ тому, кто знакомъ съ неправильнымъ употребленіемъ учащимися знака равенства, напр. когда вмѣсто -^-=3— пишутъ 5.2 = 10:3 = Зу

Зад. № 55 предлагается ученикамъ въ классѣ, и равенство противоположныхъ угловъ доказывается учениками, хотя и съ помощью учителя. Я вообще сторонникъ того, чтобы учитель помогалъ ученикамъ рѣшать задачи и доказывать теоремы, а не заставлялъ бы ихъ только выслушивать его рѣшенія и доказательства и заучивать ихъ.

№ 107. Одинъ и тотъ же острый уголъ угольника поворачивается на 90°, какъ и въ предыдущей задачѣ; такимъ образомъ эта теорема является обратной по отношенію къ предыдущей. Терминъ „оббитый уголъ", мнѣ кажется, лучше выражаетъ свойство угольника бывшаго долго въ употребленіи, чѣмъ „отбитый уголъ", что выражаетъ уже прямую поломку.

Единственная задача (№ 333) на учетъ векселей имѣетъ значеніе примѣра на „скидку", примѣра, достаточнаго для

того, чтобы ученикъ не пугался „учета векселей" въ тѣхъ простыхъ случаяхъ, которые онъ могъ бы встрѣтить на практикѣ. Рѣшеніе же множества задачъ на „учетъ векселей", въ которыхъ искомыми являются величины, никогда неискомыя въ практикѣ, я считаю совершенно безсмыслицей.

№ 111. Каковы углы прямоугольника?

Почему?—Предполагается, что построеніе прямоугольника начинается съ построенія одного прямого угла, послѣ чего проводятся параллельныя линіи; поэтому естественъ вопросъ; почему другіе углы также прямые?

№ 112. Послѣ рѣшенія зад. 103 непонятно, что можетъ въ этой задачѣ быть непонятнаго.

№ 156 даетъ построеніе боковой поверхности квадратной призмы. Послѣ предварительныхъ упражненій въ возставленіи перпендикуляровъ къ плоскости задача не встрѣчаетъ затрудненій.

№ 178 служитъ для узнаванія равновеликихъ треугольниковъ, которые но виду кажутся неравновеликими.

Зад. № 225, 286 и 293 имѣютъ мѣстный характеръ и составлены для Москвы. Въ другихъ мѣстахъ учитель безъ труда видоизмѣнитъ эти задачи примѣнительно къ данной мѣстности. Оговорки относительно грубости измѣренія шагами, конечно, необходимы; онѣ сами собою выяснятся при сличеніи отвѣтовъ разныхъ учениковъ.

Въ заключеніе считаю нужнымъ указать, что „вредной для дѣла" книжка можетъ оказаться лишь въ томъ случаѣ, если опредѣленія и правила, приведенныя въ ней, будутъ задаваться ученикамъ для заучиванія безъ предварительной работы надъ ними въ классѣ.

В. Добровольскій.

Отвѣтъ на это письмо будетъ напечатанъ въ слѣдующемъ выпускѣ.

Ред.

Хроника.

Памяти М. Г. Попруженко.

13 февраля въ Кіевѣ скончался отъ рака печени генералъ отъ артиллеріи Михаилъ Григорьевичъ Попруженко, видный педагогъ-математикъ, много поработавшій какъ вообще въ области вопросовъ, связанныхъ съ преподаваніемъ математики, такъ и въ частности по вопросамъ постановки преподаванія математики въ Кадетскихъ Корпусахъ...

М. Г. родился 3 августа 1854 г., образованіе получилъ въ Петровской Полтавской военной гимназіи, по окончаніи курса которой въ 1872 г. поступилъ въ Михайловское артиллерійское училище. Въ 1877—1878 гг. М. Г. принималъ участіе въ турецкой войнѣ, по окончаніи которой поступилъ въ Михайловскую артиллерійскую академію, гдѣ окончилъ

курсъ въ 1881 г. Послѣ этого М. Г. былъ воспитателемъ и преподавателемъ математики и космографіи въ Воронежской военной гимназіи, инспекторомъ классовъ Оренбургскаго кадетскаго корпуса, директоромъ Кіевскаго кад. корпуса и наконецъ генераломъ для особыхъ порученій Главномъ Управленіи военно-учебныхъ заведеній.

Кадетскіе корпуса обязаны покойному М. Г. введеніемъ новыхъ программъ по математикѣ, значительно улучшившихъ постановку этого предмета въ кадетск. корпусахъ, а также введеніемъ въ курсъ начала анализа и аналитич. геометріи. Но дѣятельная натура М. Г. требовала болѣе широкой области, и онъ принималъ широкое участіе въ работахъ „Отдѣла математики" при Педагогическомъ Музеѣ военно-учебныхъ заведеній, много писалъ (рядъ статей въ „Педагогическомъ Сборникѣ") и, наконецъ, явился однимъ изъ иниціаторовъ устройства перваго Всероссійскаго Съѣзда преподавателей математики (Петр. 1911 г.). Эта широкая дѣятельность покойнаго М. Г. нашла себѣ оцѣнку въ томъ фактѣ, что предсѣдателемъ 2-го Съѣзда, состоявшагося въ Москвѣ въ 1913 г., былъ избранъ М. Г. Среди литературныхъ трудовъ покойнаго укажемъ на слѣдующіе: начала космографіи; сборникъ геометрич. задачъ; о разложеніи многочленовъ на множители; повтореніе отдѣловъ математики матеріалы по методикѣ анализа безконечно малыхъ въ средней школѣ; начала анализа и др.

Московскій математическій кружокъ. 20 января состоялось засѣданіе Кружка, на которомъ было сдѣлано Н. Ѳ. Четверухинымъ сообщеніе „Методъ конструктивныхъ приближеній и Делійская задача".

Комиссія по разсмотрѣнію программъ по математикѣ при М. Н. П. Послѣ ухода въ отставку Министра Нар. Просв. гр. Н. П. Игнатьева состоялось лишь одно, очень короткое, засѣданіе, на которомъ рѣшено пріостановить работу Комиссіи до выясненія директивъ со стороны новаго Министра. До сей поры (12 марта) работы этой Комиссіи не возобновлялись.

Подготовка 3-го Всероссійскаго Съѣзда преподавателей математики.

Въ работахъ по подготовкѣ 3-го Всероссійскаго Съѣзда преподавателей математики, предположеннаго на Рождествѣ 1917 1918 годя, выразили согласіе принять участіе слѣдующія лица, образовавшія организаціонный комитетъ.

Предсѣдатель: З. А. Макшеевъ.

Товарищи предсѣдателя: А. В. Васильевъ, П. А. Некрасовъ, М. Г. Попруженко, К. А. Поссе.

Секретари: С. А. Богомоловъ, А. Р. Кулишеръ, Б. Б. Піотровскій, Г. М. Фихтенгольцъ.

Казначей: И. Н. Кавунъ, Д. Э. Теннеръ. Члены: С. А. Богомоловъ, С. Н. Бернштейнъ, А. М. Бригеръ, А. В. Васильевъ, А. К. Власовъ, А. А. Волковъ, 3. 3. Вулихъ, Н. Н. Гернетъ, Д. Н. Зейлигеръ, Д. С, Зерновъ, И. А. Извольскій, Я. В. Іодынскій, И. Н. Кавунъ, В. Ф. Каганъ, А. П. Киселевъ, П. А. Компаніецъ, Б. М. Кояловичъ B. А. Крогіусъ, Н. А. Крыловъ, А. Р. Кулишеръ, А. К. Линдебергъ, 3. А. Макшеевъ, Б. К. Млодзѣевскій, Д. Д. Мордухай-Болтовской, П. А. Некрасовъ, Н, Н. Парфентьевъ, C. Г. Петровичъ, К. Б. Пеніонижевичъ, Б. Б. Піотровскій, С. И. Полнеръ, М. Г. Попруженко, К. А. Поссе, Н. Ф. Рудольфъ, С. Е. Савичъ, Н. Н. Салтыковъ, П. А. Самохваловъ, Д. М. Синцовъ, Г. К. Сусловъ, Д. Э. Тенчеръ, Л. Н. Тяпкина, Я. В. Успенскій, В. М. Филипповъ, Г. М. Фихтенгольцъ, M. Л. Франкъ, С. О. Шатуновскій, В. I. Шиффъ, С. I. Шохоръ-Троцкій, I. И. Чистяковъ, Л. А. Эренфестъ, Т. А. Эренфестъ.

Выполняемая въ настоящее время Организаціоннымъ комитетомъ работа распредѣлена между слѣдующими комиссіями:

I. Комиссія по выработкѣ общихъ основаній постановки курса математики въ средней школѣ.

Предсѣдатель: М. Г. Попруженко В. О., Мал. пр., 40—73, кв. 124. (Составъ комиссіи еще не опредѣлился).

II. Комиссія по воиросу о постановкѣ курса аналитической геометріи, анализа и алгебры.

Предсѣдатель: М. Г. Попруженко, В. О. Мал. пр., 40—73, кв. 124.

Члены: С. А. Богомоловъ, Н. Н. Гернетъ, Я. В. Іодынскій, A. Р. Кулишеръ, Г. О. Мебесъ, П. А. Некрасовъ, К. Б. Пеніонжевичъ, С. Г. Петровичъ, П. А. Самохваловъ, В. М. Филипповъ, Г. М. Фихтенгольдъ, Б. I. Шиффъ.

III. Комиссія по вопросу о постановкѣ курса геометріи и тригонометріи.

Предсѣдатель: С. А. Богомоловъ, Петрогр. стор., Малый пр., д. № 25.

Члены: Н. П. Бѣловидова, А. П. Бѣлянинова, М. Г. Гаддъ, И. П. Глаголевъ, Я. В, Іодынскій, И. Н. Кавунъ, А. П. Киселевъ, П. А. Компаніецъ, В. А. Крогіусъ, А. Р. Кулишеръ, Н. А. Никольская, Е. И. Отто, А. Н. Молчанова, К. Б. Пеніонжкевичъ, С. И. Полнеръ, М. Г. Попруженко, С. Е. Савичъ, Н. А. Тамамшева, Л. Н. Тяпкина, Я. В. Успенскій, B. М. Филипповъ, Г. М. Фихтенгольцъ, M. Л. Франкъ, В. I. Шиффъ, С. И. Шохоръ-Троцкій.

IV. Комиссія по вопросу о постановкѣ курса ариѳметики.

Предсѣдатель: И. Н. Кавунъ, Петровскій, Островъ, Земская учительская школа.

Члены: Л. В. Глаголева, И. П. Глаголевъ, И. И. Граціанскій, Я. В. Іодынскій, П. А. Компаніецъ, В. А. Крогіусъ, П. А. Некрасовъ, Е. И. Отто, Н. Ф. Сидоровъ, Н. А. "Тамамшева, Л. Н. Тяпкина, С. И. Шохоръ-Троцкій.

V. Комиссія по вопросу о соотношеніи между преподаваніемъ математики и механики въ средней школѣ.

Предсѣдатель: О. Г. Петровичъ, Сергіевская, 42.

Члены: Г. А. Дунаевскій, В. А. Егуновъ, Г. О. Мебесъ, В. В. Мечниковъ, К. Б. Пеніонжкевичъ.

VI. Комиссія по вопросу объ особенностяхъ постановки курса математики въ женскихъ учебныхъ заведеніяхъ.

Предсѣдательница: В. I. Шиффъ, В. О., 14 лин., д, 31.

Члены: Н. П. Бѣловидова, А. П. Бѣлянинова, М. Г. Гаддъ, Н. А. Макарова, Н. А. Никольская, Е. И. Отто, Л. Н. Тяпкина.

VIL Комиссія по вопросу объ особенностяхъ постановки курса математики въ коммерческихъ училищахъ.

Предсѣдатель: П. А. Некрасовъ, Петр. ст., Матвѣевская, 11.

Члены: Г. М. Болсуновъ, А. А. Борисовъ, В. А. Давидовъ, П. М. Гончаровъ, А. Р. Кулишеръ, Д. К. Лаврентьевъ, В. И. Панкевичъ, Я. Н. Таргуловъ.

(Окончаніе слѣдуетъ).

Исправленія въ выпускѣ I.

напечатано слѣдуетъ

Стр. 1 строка 6 сверху . . . . Случиновъ Слугиновъ

и 22 „ 1 снизу . . . . 22726 22796

я 23 „ и сверху . . . . многозначительное. многозначно

» 26 „ 8 г> . • . f/з И

» 31 „ 2 У) . • « , . Случиновъ Слугиновъ

я 31 , 9 „ . • . . . Случинова Слугинова.

Редакторъ-Издатель Н. А. ИЗВОЛЬСКІЙ.

Типо-Литографія Русскаго Товарищества, Чистые пруды, Мыльниковъ пер., с. д.