Годъ четвертый.

Математическій Вѣстникъ.

Журналъ, посвященный вопросамъ преподаванія ариѳметики и началъ алгебры и геометріи.

Выпускъ 1-ый 1917 г.

Цѣна этого выпуска въ розничной продажѣ 60 коп.

МОСКВА.

Математическій Вѣстникъ.

Выпускъ 1-ый 1917 г.

Адресъ редакціи: Москва, Гороховскій пер., д. 23, кв. 9. Тел. 3-19-55.

СОДЕРЖАНІЕ: Н. Извольсній. Проектъ новой постановки курса математики въ средней школѣ.—С. Случиновъ. Замѣтка о неравенствахъ.— Л. Ладыженскій. Описаніе одного урока въ 3-мъ отдѣленіи начальной школы.—А. Артемьевъ. О признакѣ дѣлимости чиселъ на 8.—Н. Извольскій. Одинъ изъ интересныхъ ариѳметическихъ вопросовъ. — Н. Извольскій. О желательной! объединенія общею мыслью различныхъ отдѣловъ курса математики (замѣтка).—Хроника. (Московскій Математическій Кружокъ.— Ярославскій физико-математическій Кружокъ).—Свѣдѣнія о книгахъ по математикѣ и ея методикѣ. (Дж. В. А. Юнгь. Какъ преподавать математику. Выпускъ I, изд, 3-е; вып. II, изд. 2-е.—Книги, поступившія въ редакцію).—Объявленія.

Настоящій нумеръ разсылается также и тѣмъ лицамъ и учрежденіямъ, которые при подпискѣ на 1917 годъ выслали неполную, согласно новымъ условіямъ подписки (см. послѣднюю страницы обложки), подписную плату. Мы просимъ этихъ лицъ и эти учрежденія, какъ о томъ уже сообщалось въ поденныхъ имъ письмахъ, дослать недостающую сумму денегъ, безъ чего слѣдующій выпускъ имъ не будетъ высланъ. При ихъ нежеланіи оставаться въ числѣ подписчиковъ при новыхъ условіяхъ, просимъ указать, какъ поступить съ полученными отъ нихъ деньгами.

Проектъ новой постановки курса математики въ средней школѣ*).

ПРЕДИСЛОВІЕ.

Обычно при всякой попыткѣ реформы преподаванія какого либо предмета на первое мѣсто выдвигается составленіе программы. Эта программа сопровождается объяснительной

*) Настоящая записка была представлена авторомъ лѣтомъ 1916 г. въ Мин. Нар. Просв.; къ ней было приложено рядъ брошюръ и статей автора, на которыя даны ссылки въ запискѣ.

запискою. И здѣсь приходится отмѣтить два факта: иногда объяснительныя Записки оказываются настолько бѣдными но содержанію, что ихъ значеніе сводится къ нулю (примѣромъ служатъ программы по ариѳметикѣ, алгебра и геометріи и объяснительныя Записки къ нимъ, выработанныя Комиссіею при Министерствѣ Народнаго Просвѣщенія лѣтомъ 1915 г.); 2) иногда объяснительныя Записки содержатъ нѣсколько модныхъ въ данное время лозунговъ, слѣдовать которымъ рекомендуется, но въ этихъ запискахъ отсутствуютъ конкретныя указанія на то, какъ эти лозунги проводить въ жизнь (примѣромъ могутъ служить программы и объяснительныя Записки къ нимъ, составленныя К. Ѳ. Лебединцевымъ и напечатанныя въ журналѣ „Математическое Образованіе" 1915 г. №№ 5 и 7—8 и 1916 г. № 1—2).

Между тѣмъ слѣдуетъ полагать, что суть реформы должна быть вовсе не въ программахъ. Въ самомъ дѣлѣ, основы каждаго отдѣла математики (я буду имѣть въ виду только математику) неминуемо должны быть введены въ курсъ каждымъ преподавателемъ, хотя бы онъ никакой программы не держался, такъ какъ иначе никакая работа въ области этого отдѣла невозможна, а введетъ ли или не введетъ этотъ преподаватель ту или иную статью, не относящуюся къ основамъ, не представляется существенно важнымъ, такъ какъ какія бы изъ этихъ статей не были введены въ курсъ, все равно при помощи ихъ можно освоить учащихся съ характеромъ той работы, которая имѣетъ мѣсто въ этомъ отдѣлѣ математики. Центральнымъ пунктомъ преподаванія всякаго предмета (не только математики) должно служить только что упомянутое стремленіе освоить учащихся съ характеромъ работы, имѣющей мѣсто въ той наукѣ, съ началами которой знакомитъ учащихся тотъ или другой учебный предметъ. Ясно, что косвеннымъ результатомъ такой постановки преподаванія явится накопленіе у учащихся и фактическаго матеріала: въ самомъ дѣлѣ, работать можно лишь надъ какимъ-либо матеріаломъ, и самое выполненіе работы должно повлечь за собою, безъ всякихъ заучиваній, усвоеніе этого матеріала учащимися, или, по крайней мѣрѣ, должно привести учащихся къ убѣжденію, что надо запомнить извѣстный фактически матеріалъ, и учащіеся станутъ его разучивать не потому, что этого отъ нихъ требуетъ учитель, а потому, что они увидятъ, что безъ этого они не могутъ участвовать въ текущей классной работѣ.

Поэтому слѣдуетъ на первый планъ выдвинуть ту работу, которая соотвѣтствуетъ данному учебному предмету. Слѣдствіемъ этого явится стремленіе составить описаніе желательной работы для каждаго отдѣла математики, при

чемъ программа тогда оказалась бы или вовсе ненужною или имѣющей второстепенное значеніе. Въ дальнѣйшемъ и дана попытка такого описанія.

Такъ какъ общеизвѣстна неудовлетворенность и со стороны преподавателей и со стороны учащихся и со стороны общества результатами современной постановки преподаванія математики въ средней школѣ, то отсюда вытекаетъ: 1) необходимость коренной реформы преподаванія математики и 2) отказъ отъ того увлеченія, какое замѣчается среди нѣкоторыхъ педагоговъ въ настоящее время и которое требуетъ введенія въ курсъ средней школы началъ высшей математики: сперва поработаемъ надъ тѣмъ, чтобы освободить преподаваніе математики элементарной отъ тѣхъ упрековъ, какіе въ настоящее время слишкомъ хорошо извѣстны („математика—сухая наука", „зачѣмъ нужна геометрія для врача, для юриста?" и т. п.), чтобы освободить это преподаваніе отъ необходимости обращаться къ репетиторамъ, которые въ настоящее время натаскиваютъ ббльшую часть учащихся въ средней школѣ, чтобы добиться того, что работа въ области математики для большинства учащихся перестанетъ быть гнетомъ, а будетъ давать имъ чувство удовлетворенія. Если мы достигнемъ этого, то тогда, быть-можетъ, настанетъ время подумать и объ расширеніи содержанія курса математики въ средней школѣ. Въ настоящее время о такомъ расширеніи думать нельзя, такъ какъ оно являлось бы, при настоящей постановкѣ преподаванія, усиленіемъ гнета на учащихся со стороны математики.

Ариѳметика.

Такъ какъ поступающіе въ 1-й классъ средней школы уже учились ариѳметикѣ, то въ курсѣ цѣлыхъ чиселъ въ средней школѣ работа должна быть направлена такъ, чтобы 1) пополнить недочеты начальнаго обученія въ умѣніи пользоваться десятичною системою счисленія и въ умѣніи выполнять дѣйствія, 2) развить эти умѣнія по отношенію къ какимъ угодно числамъ, 3) обратить вниманіе на идейную сторону курса (идея прямыхъ и обратныхъ дѣйствій, столь существенная для всей математики; законы дѣйствій1), 4) развить умѣнье примѣнять ариѳметику ко всему окружающему.

Не слѣдуетъ вести занятія такъ, чтобы во главу работы ставить запоминаніе (заучивать рядъ опредѣленій, рядъ

1) Быть-можетъ, окончательное закрѣпленіе въ сознаніи учащихся перемѣстительнаго и сочетательнаго законовъ сложенія и умноженія слѣдуетъ отнести къ болѣе позднему моменту, а именно къ моменту перехода отъ ариѳметики къ алгебрѣ.

правилъ). Необходимо вести работу на примѣрахъ, на задачахъ, при чемъ надо не забивать учащихся вычисленіемъ длиннаго ряда примѣровъ, рѣшеніемъ ряда задачъ, если появленіе ихъ не вызвано какою-либо мыслью, но и вовлечь ихъ въ работу составленія примѣровъ и задачъ, при чемъ эта работа должна направляться либо извѣстною мыслью, либо опредѣленною цѣлью. Косвеннымъ результатомъ такой работы явится и выработка извѣстныхъ навыковъ и усвоеніе свойствъ и чиселъ и дѣйствій. Въ концѣ такой работы учащіеся сами придутъ и къ необходимымъ опредѣленіямъ и къ необходимымъ правиламъ. Нѣкоторыя опредѣленія и правила, имѣющіяся въ нашихъ учебникахъ, должны быть вовсе удалены изъ обихода учащихся. Такъ, дать словесное опредѣленіе сложенію нельзя, такъ какъ сложеніе является по существу своему отображеніемъ того процесса сдвиганія группъ предметовъ, который мы можемъ выполнить и постоянно наблюдаемъ на практикѣ. Другія дѣйствія допускаютъ словесныя опредѣленія, но среди нихъ усвоенію подлежатъ лишь такія, которыя не вызываютъ сомнѣній. Напримѣръ, опредѣленіе вычитанія, какъ дѣйствія обратнаго сложенію, не вызываетъ сомнѣній, но опредѣленіе „вычитаніе есть дѣйствіе, при помощи котораго изъ одного числа отсчитывается столько единицъ, сколько ихъ въ другомъ данномъ числѣ" вызываетъ сомнѣніе: слово «отсчитывается" можетъ быть понимаемо, какъ синонимъ слова „вычитается", и тогда вышеуказанное опредѣленіе заключало бы въ себѣ кругъ—такое опредѣленіе усвоенію и запоминанію подлежатъ не должно, и на него слѣдуетъ смотрѣть не какъ на опредѣленіе, а какъ на описаніе того, какъ можно выполнить надъ группами предметовъ процессъ, соотвѣтствующій вычитанію. Среди правилъ прежде всего должно удалить общія правила выполненія дѣйствій („Чтобы сложить два или нѣсколько чиселъ, надо подписать ихъ другъ подъ другомъ... затѣмъ надо провести черту..."). Въ сущности эти „правила" и не заслуживаютъ такого названія; можно не держаться ихъ (напр., не подписывая одно число подъ другимъ, не проводить черты и т. д.), а все-таки выполнить требуемое дѣйствіе. Здѣсь сущность дѣла состоитъ въ томъ, что по мѣрѣ развитія упражненій, мы приходимъ въ извѣстный моментъ къ необходимости записывать отдѣльные шаги дѣйствія и изыскиваемъ наиболѣе удобную форму записи; такъ къ этому и слѣдуетъ отнестись: если мы не въ состояніи выполнить какое-либо дѣйствіе сразу (напр., 583 и 67), то удобно подписать числа другъ подъ другомъ и т. д. Конечно, словесное описаніе такой формы записи не должно подлежатъ ни заучиванію, ни „спрашиванію".

По отношенію къ составнымъ именованнымъ числамъ можно высказать слѣдующія пожеланія: 1) по возможности желательно упростить эту часть курса (удалить числа въ родѣ ^112 верстъ 324 саж. 1 арш. 6 вершк.", удалить какія-либо особенныя формы записей дѣйствій надъ состав. именов. числами) и 2) не дѣлать изъ этой части ариѳметики отдѣльной статьи, а распредѣлить ея матеріалъ по соотвѣтствующимъ отдѣламъ курса отвлеченныхъ чиселъ.

По вопросу о примѣненіи ариѳметики къ окружающему слѣдуетъ обратить вниманіе на то, что это примѣненіе вовсе не сводится исключительно къ умѣнію рѣшать задачи; наиболѣе существеннымъ пунктомъ здѣсь является развитіе умѣнія составлять задачи, примѣняясь къ данной обстановкѣ, при чемъ эта работа составленія задачъ должна направляться какою-либо мыслью или опредѣленною цѣлью. Если нѣтъ руководящей идеи, то составленіе задачъ явится потерею времени.

Въ курсѣ ариѳметики дробныхъ чиселъ должно на первый планъ выдвинуть работу обобщенія на новую область чиселъ того, что уже имѣется для цѣлыхъ чиселъ. Особенно ярко этотъ характеръ работы виденъ въ вопросѣ объ умноженіи и дѣленіи на дробь. Здѣсь всѣ усилія преподавателя должны быть направлены на то, чтобы убѣдить учащихся въ томъ, что удобно (это самое существенное) обобщить понятіе объ умноженіи (или дѣленіи), придавая этому дѣйствію новый смыслъ; дальнѣйшія усилія должно направить на то, чтобы закрѣпить въ сознаніи учащихся этотъ новый смыслъ умноженія (или дѣленія). Слѣдуетъ отказаться отъ традиціоннаго способа преподаванія, при которомъ преподаватель стремится скорѣе вывести1) правило, а учащіеся стремятся запомнить это правило и въ дальнѣйшемъ ему механически слѣдовать. Желателенъ иной путь: если уже нельзя обойтись вовсе безъ правилъ (а во многихъ случаяхъ это было бы очень желательно, такъ какъ если. усвоенъ смыслъ дѣйствія, то какое-то механическое правило является совершенно излишнимъ), то во всякомъ случаѣ слѣдуетъ поставить дѣло такъ, чтобы учащіеся долгое время выполняли изучаемыя дѣйствія па основаніи усвоеннаго смысла этихъ дѣйствій, и лишь въ концѣ этой работы, при переходѣ къ болѣе сложнымъ вычисленіямъ, возможно введеніе правила.

Нѣкоторыя изъ правилъ, печатаемыхъ въ учебникахъ въ курсѣ дробей, не заслуживаютъ этого названія и должны быть удалены изъ обихода учащихся навсегда. Сюда прежде

1) Ошибочность этого ясна: нельзя вывести правило для дѣйствія, смыслъ котораго еще неизвѣстенъ.

всего относятся „правила" умноженія и дѣленія смѣшанныхъ чиселъ. Напр., чтобы выполнить умноженіе 673 X 31/2. вовсе не надо, какъ то говоритъ „правило", обращать эти смѣшанныя числа въ неправильныя дроби, а удобнѣе, руководясь смысломъ умноженія, повторить 61/3 слагаемымъ 3 раза (получу 19). да еще прибавить сюда половину отъ 6Ѵ3 (т.-е. Зг/6,— получу всего 221/«). Также, совершенно излишни правила обращенія смѣшаннаго числа въ неправильную дробь и исключенія цѣлаго изъ неправильной дроби: учащіеся все это должны выполнять на основаніи смысла, а не на основаніи заученнаго правила.

Въ связи съ тѣми теченіями, какія въ настоящее время намѣчены въ педагогической литературѣ, слѣдуетъ установить для курса дробей слѣдующую схему, какъ наиболѣе цѣлесообразную.

1-й концентръ. Обыкновенныя дроби и дѣйствія надъ ними, ограничиваясь дробями, удобными для оперированія надъ ними; въ частности здѣсь должно разсматривать лишь дроби, для нахожденія общаго наименьшаго кратнаго знаменателей которыхъ (если приходится выполнять сложеніе или вычитаніе дробей) нѣтъ нужды въ разложеніи знаменателей на простые множители. Дроби, входящія въ этотъ концентръ, представляютъ собою достаточный матеріалъ для усвоенія идейной стороны дѣла (т.-е. для закрѣпленія въ сознаніи учащихся идеи обобщенія, проникающей весь курсъ дробей, и для усвоенія смысла дѣйствій).

Повидимому, необходимо во многомъ измѣнить установившійся порядокъ для курса дробей. Такъ, напр., вовсе нѣтъ нужды проходить отдѣльно вопросы о нахожденіи частей отъ цѣлаго и о нахожденіи цѣлаго по данной части— эти вопросы неразрывно связаны съ вопросами о смыслѣ, который удобно принять для дѣйствій умноженія и дѣленія на дробь, и они должны быть трактуемы, какъ умноженіе и дѣленіе на дробь.

2-й концентръ. Десятичныя дроби и дѣйствія надъ ними, ограничиваясь лишь конечными десятичными дробями. Учащіеся могутъ быть ознакомлены съ возможностью появленія періодическихъ дробей, но они могутъ и не умѣть обращать ихъ въ обыкновенныя дроби, а при вычисленіяхъ замѣнять ихъ приближенными конечными десятичными дробями.

3-й концентръ. Разложеніе чиселъ на простые множители; составленіе по множителямъ общаго наименьшаго кратнаго нѣсколькихъ чиселъ. Дѣйствія съ обыкновенными дробями, знаменатели которыхъ могутъ быть произвольнымъ

Здѣсь слѣдуетъ обратить вниманіе, что во многихъ случаяхъ предпочтительнѣе рѣшить задачу приближенно деся-

тичными дробями, чѣмъ дать точное рѣшеніе въ обыкновенныхъ дробяхъ (напр., задача изъ задачника Евтушевскаго: одинъ работникъ можетъ вычистить садъ въ 13 дней, другой— въ 14, а третій — въ 15; во сколько дней вычистятъ этотъ садъ всѣ три работника, работая вмѣстѣ?) Повидимому, учащимся должна быть предоставлена свобода выбора, какими дробями рѣшать данную задачу.

На протяженіи всего курса цѣлыхъ и дробныхъ чиселъ найдутся удобные моменты, когда цѣлесообразно ознакомить учащихся съ нѣкоторыми признаками дѣлимости. Что же касается болѣе подробнаго ученія о признакахъ дѣлимости, объ общемъ наибольшемъ дѣлителѣ, объ общемъ наименьшемъ кратномъ, о простыхъ и сложныхъ числахъ, то представляется наиболѣе цѣлесообразнымъ отнести это ученіе къ концу курса ариѳметики, и тогда явится возможность придать этому отдѣлу болѣе глубокій и самостоятельныя характеръ, сдѣлавъ изъ него начало теоріи чиселъ.

Отдѣлъ ариѳметики, посвящаемый задачамъ на пропорціональныя величины, на проценты и т. д., слѣдуетъ значительно разгрузить. Прежде всего слѣдуетъ удалить изъ курса ариѳметики ученіе о пропорціяхъ и о примѣненіи его къ рѣшенію задачъ на тройное правило и на пропорціональное дѣленіе. Мѣсто ученію о пропорціяхъ въ курсѣ алгебры, а именно во время изученія уравненій первой степени съ однимъ неизвѣстнымъ. Однако отношеніе должно остаться въ курсѣ ариѳметики, необходимо даже знакомить учащихся съ равенствомъ двухъ отношеній. Необходимо это потому, что съ понятіемъ объ отношеніяхъ и о возможности ихъ равенства связанъ неразрывно весь отдѣлъ задачъ на пропорціональныя величины. Но знакомить учащихся съ отношеніями и съ ихъ равенствами, это вовсе не значитъ знакомить ихъ съ ученіемъ о пропорціяхъ. Рѣшеніе задачъ на пропорціональныя величины должно вестись или способомъ приведенія къ единицѣ или способомъ отношеній. Слѣдуетъ ограничиться въ этихъ задачахъ лишь 2, 3 и самое большее 4-мя величинами.

Изъ задачъ на проценты слѣдуетъ сохранить: 1) отысканіе нѣсколькихъ процентовъ отъ даннаго числа (1% все равно, что 0,01) и обратную задачу; 2) отысканіе, сколько процентовъ одно данное число составляетъ отъ другого; 3) задачи въ родѣ: товаръ проданъ за 162 рубля съ прибылью 121/2°/0; какова его настоящая стоимость; 4) 4 основныхъ задачи, относящихся къ капиталами отданнымъ въ ростъ. Первыя 3 категоріи задачъ удобнѣе (хотя и не обязательно) рѣшать при помощи дробей, а задачи 4-й категоріи — приведеніемъ къ единицѣ.

Задачи на пропорціональное дѣленіе должно сохранить

(но не рѣшать ихъ пропорціями). Задачи на учетъ векселей, на уравниваніе сроковъ платежей, на цѣпное правило слѣдуетъ удалить изъ курса ариѳметики. Задачи на смѣшеніе должны остаться лишь наиболѣе простыя и, можетъ быть, предпочтительнѣе не выдѣлять ихъ въ особый отдѣлъ, а распредѣлить по всему курсу (и въ курсѣ цѣлыхъ чиселъ, и въ курсѣ дробей, и среди задачъ на пропорціональное дѣленіе возможны задачи и на смѣшеніе).

Слѣдуетъ, въ заключеніе, обратить вниманіе на желательность придать работѣ учащихся на протяженіи всего курса ариѳметики тотъ характеръ, который, какъ это очень хорошо подмѣчено въ работѣ Анри Пуанкаре (см. книгу Г. Пуанкаре. Наука и методъ. Изданіе „Mathesis" Одесса. Стр. 20—21; 55), имѣетъ мѣсто и въ области всякой науки, и въ искусствѣ, и въ техникѣ, и въ практической жизни. Вездѣ и всегда творческая работа исходитъ изъ построенія и изученія ряда комбинацій изъ матеріала, надъ которымъ приходится работать; начинается эта „комбинаціонная работа" какъ бы ощупью, начиная съ тѣхъ комбинацій, какія представляются почему либо наиболѣе простыми, но затѣмъ появляются руководящія мысли, опредѣленныя цѣли, требующія осуществленія все болѣе и болѣе сложныхъ комбинацій—результатомъ изученія этихъ комбинацій появляются заключенія, цѣнныя для науки, появляются произведенія искусства, изобрѣтенія въ техникѣ, полезные результаты для практической жизни. Въ сущности вся изобрѣтательность человѣка начинается съ „комбинаціонной работы". И слѣдуетъ эту работу выдвинуть на видное мѣсто при обученіи ариѳметикѣ. Развитію этой мысли мною былъ посвященъ рядъ статей, докладовъ и, наконецъ, мною составленъ сборникъ упражненій по ариѳметикѣ, такъ и озаглавленный „Комбинаціонная работа".

Алгебра.

Два момента отдѣляютъ курсъ алгебры отъ курса ариѳметики: 1) Введеніе буквъ для обозначенія чиселъ и 2) введеніе относительныхъ чиселъ (чиселъ со знаками). Можно согласиться съ мнѣніемъ, находящимъ теперь все болѣе и болѣе сторонниковъ, что первый моментъ при нормальной постановкѣ дѣла долженъ исчезнуть, такъ какъ желательно введеніе буквъ проводить постепенно въ курсѣ ариѳметики. Однако въ ближайшемъ будущемъ слѣдуетъ считаться съ тѣмъ, что курсъ ариѳметики еще останется прежнимъ. Поэтому, временно, оба момента остаются въ силѣ.

Введеніе буквъ само по себѣ никакихъ затрудненій для учащихся не представляетъ. Надо воспользоваться этимъ

моментомъ для побочныхъ цѣлей. Здѣсь прежде всего слѣдуетъ упражнять учащихся въ чтеніи словами математическихъ формулъ (напр.: ab-\-cd— сумма произведеній двухъ паръ чиселъ, а (a-f-6) (c-j-d)—произведеніе суммъ двухъ паръ чиселъ и т. п.) и въ письмѣ формулъ, называемыхъ словами. Эта работа можетъ быть охарактеризована, какъ переводъ съ математическаго языка на русскій и обратно. Далѣе этимъ моментомъ можно воспользоваться для приведенія въ систему ученія объ ариѳметическихъ дѣйствіяхъ и о дальнѣйшемъ его развитіи. Вотъ соотвѣтствующая схема.

Сложеніе

(основное дѣйствіе) Обратное ему—вычитаніе:

Умноженіе

(дѣйствіе, замѣняющее сложеніе равныхъ слагаемыхъ: а-\-а-\-а-\-а=а . 4) Обратное ему—дѣленіе:

Возведеніе въ степень

(дѣйствіе, замѣняющее умноженіе равныхъ множителей: а . а .а .а . = а4) Обратныя ему:

1) Извлеченіе корня; (?')* = а; "Ja.

2) Нахожденіе логариѳма; а? = Ъ\ ІдаЪ.

Здѣсь является полная возможность дать общее выраженіе перемѣстительнаго, сочетательнаго и распредѣлительнаго законовъ дѣйствій и выяснить причину, почему для сложенія и умноженія имѣется лишь по одному обратному дѣйствію, а для возведенія въ степень ихъ два. Слѣдуетъ развить нѣсколько упражненія на возведеніе въ степень и на обратныя ему дѣйствія. Конечно, извлеченіе корня и нахожденіе логариѳма здѣсь могутъ быть выполняемы лишь подборомъ. Напр., |/216 вычисляемъ по схемѣ: (?)3 = 216 и пробуемъ числа 1, 2, 3 и т. д., пока не получимъ послѣ возведенія въ кубъ числа 216; также Ід.А 243 вычисляемъ по схемѣ: 3? = 243 и пробуемъ числа I, 2, 3 и т. д., пока послѣ возведенія 3 въ эту степень не получимъ числа 243.

Второй моментъ, введеніе относительныхъ чиселъ (чиселъ со знакями), является наиболѣе существеннымъ. Здѣсь возможны двѣ точки зрѣнія: 1) Числа со знаками созданы человѣкомъ для того, чтобы вычитаніе оказалось всегда выполнимымъ—это теоретическая точка зрѣнія; 2) числа со знаками придуманы для того, чтобы можно .было проще, безъ помощи словъ, описывать совершающееся передъ нами (напр., Вмѣсто 5° тепла или „выше нуля" пишутъ + 5°, а Вмѣсто 5° холода или „ниже нуля" пишутъ—5°) — это практическая точка зрѣнія.

Первая точка зрѣнія, если мы не желаемъ, какъ это имѣетъ мѣсто въ учебникахъ, дѣлать натяжекъ формальнаго

характера, должна привести къ „теоріи паръ", которая недоступна учащимся, лишь приступающимъ къ алгебрѣ. Поэтому слѣдуетъ остановиться на второй точкѣ зрѣнія. Нѣтъ нужды, какъ это дѣлается въ нѣкоторыхъ учебникахъ, давать передъ изученіемъ дѣйствій надъ относительными числами теорію векторовъ (на одной прямой). Мысль учащихся еще не требуетъ „теорій"; слѣдуетъ на дѣло взглянуть попроще и воспользоваться чисто практическими соображеніями, приводящими въ концѣ концовъ къ убѣжденію, что именно такъ удобно понимать дѣйствія надъ новыми числами, а ие иначе (здѣсь опять работа принимаетъ характеръ обобщенія, и опять слѣдуетъ: 1) заботиться о томъ, чтобы учащіеся убѣдились, что удобно расширить понятія о дѣйствіяхъ, придавая имъ новый опредѣленный смыслъ и 2) добиться того, чтобы этотъ новый смыслъ закрѣпился въ сознаніи учащихся). Наиболѣе цѣлесообразнымъ представляется слѣдующая методическая обработка вопроса: 1) сложеніе и его новый смыслъ усваивается на задачахъ объ игрокѣ, выигрывающемъ и проигрывающемъ, о кассирѣ, записывающемъ числами со знаками приходъ и расходъ кассы, эжжалуй даже и о движеніи точки по прямой (точка двипѣося то вправо, то влѣво); 2) вычитаніе проходится, какъ дѣйствіе обратное сложенію; 3) умноженіе изучается на задачахъ о движеніи точки по прямой линіи; 4) дѣленіе изучается, какъ дѣйствіе обратное умноженію1).

Во все время изученія дѣйствій слѣдуетъ имѣть въ виду какъ идейную, такъ и формальный стороны дѣла. Первая состоитъ въ стремленій добиваться, чтобы всегда каждый учащійся понималъ смыслъ выполняемаго дѣйствія (напр.: 1) (-6). (—2{) — можно истолковать какъ запись рѣшенія задачи: „точка движется по прямой со скоростью 6 дм. въ секунду справа налѣво и въ настоящій моментъ проходитъ черезъ опредѣленную точку прямой А; на какомъ разстояніи отъ А была движущаяся точка 2\ сек. тому назадъ". Такъ какъ ясно, что она была вправо отъ А, то учащійся пишетъ у отвѣта знакъ . 2) (—7) — (+5) — надо, что^ы учащійся ясно видѣлъ, что здѣсь (—7) есть сумма, (+5) одно слагаемое и задача сводится къ отысканію другаго слагаемаго), Вторая сторона дѣла (формальная) сводится къ быстрому выполненію дѣйствій и къ усвоенію правилъ2) раскрытія скобокъ. Въ началѣ работы должна преобладать идейная сторона дѣла, въ концѣ —формальная.

1) Примѣръ подробнаго методическаго плана имѣется въ моей брошюрѣ „Алгебраическія числа и дѣйствія надъ ними". Москва, 1909.

2) Алгебра по своему существу носитъ формальный характеръ, почему безъ правилъ здѣсь во многихъ случаяхъ обойтись нельзя, но необходимо, чтобы эти правила имѣли подъ собою твердыя основанія идейнаго-

Далѣе необходимо перейти къ одночленамъ и многочленами къ алгебраическимъ дробямъ и къ дѣйствіямъ надъ ними (т.-е. къ преобразованіямъ раціональныхъ выраженій). Здѣсь необходимъ рядъ замѣчаній.

1. Слѣдуетъ отказаться отъ заучиванія опредѣленій одночлена и многочлена, такъ какъ опредѣленій, не вызывающихъ сомнѣній, здѣсь дать нельзя. Достаточно лишь, чтобы учащіеся въ каждомъ данномъ случаѣ умѣли установить: это — одночленъ, это—многочленъ (аналогія: это—собака, это — кошка, но дать опредѣленія собаки, кошки невозможно)1).

2. Не слѣдуетъ, какъ это часто практикуется, забивать учащихся вычисленіемъ числовой величины одночленовъ и многочленовъ, замѣняя входящія въ нихъ буквы ариѳметическими числами, такъ какъ эта работа, не внося ничего новаго, скучна учащимся, ибо въ вычисленіяхъ надъ ариѳметическими числами учащіеся много практиковались въ курсѣ ариѳметики. Предпочтительнѣе занять учащихся этою работою (однако не слѣдуетъ ею злоупотреблять) лишь тогда, когда будутъ пройдены дѣйствія надъ относительными числами и буквы станетъ возможнымъ замѣнять числами со знаками; тогда эта работа будетъ содержать нѣчто новое, и учащіеся съ нею охотнѣе примирятся.

3. Не слѣдуетъ вводить въ дѣло „доказательства", не соотвѣтствующія уровню знаній учащихся. Такими являются, напр., довольно распространенныя доказательства справедливости правилъ умноженія и дѣленія алгебраическихъ дробей: они требуютъ свободнаго обращенія съ равенствами, и учащіеся могутъ ихъ усвоить лишь послѣ работы надъ уравненіями. Слѣдуетъ замѣтить, что убѣжденіе въ справедливости этихъ правилъ у учащихся слагается помимо этихъ доказательствъ на основаніи умѣнія выполнять соотвѣтствующія дѣйствія надъ ариѳметическими дробями — здѣсь обученіе должно вступитъ на путь индукціи.

4. Сколь много надо упражнять учащихся въ раціональныхъ преобразованіяхъ и сколь широко развить эту работу— установить нельзя: все зависитъ здѣсь отъ преподавателя, отъ его воззрѣній на дѣло и отъ его умѣнія сдѣлать этотъ отдѣлъ и интереснымъ и плодотворнымъ. Новыя теченія въ педагогической литературѣ стремятся этотъ

характера, и поэтому отнюдь нельзя начинать работу съ правилъ — они явятся сами собою въ концѣ работы.

1) Очень удобно слѣдующее толкованіе термиковъ „многочленъ" и „одночленъ": „многочленъ" употребляютъ Вмѣсто „сумма" (алгебраическая), а „членъ" многочлена Вмѣсто „слагаемое" этой суммы; сумма (многочленъ) можетъ состоять изъ разнаго числа слагаемыхъ (членовъ); возможно, обообщая, говорить объ суммѣ изъ одного слагаемаго — отсюда термикъ „одночленъ".

отдѣлъ по возможности упростить: 1) ограничиваются лишь самыми простыми примѣрами на дѣленіе многочлена на многочленъ, а иногда и вовсе его выпускаютъ (Э. Борель); 2) ограничиваютъ разложеніе многочленовъ на множители лишь вынесеніемъ общаго множителя за скобки и примѣненіемъ формулъ: а2 =±= 2аЬ b2=(az±z h)2 и а2 — b2 = (a-{-b) (а — &); 3) ограничиваютъ соотвѣтственно предыдущему и дѣйствія надъ алгебраическими дробями лишъ самыми простыми примѣрами. Однако установить здѣсь что-либо обязательное— нельзя: все зависитъ отъ преподавателя.

5. Возможно, какъ это теперь имѣетъ мѣсто въ нѣкоторыхъ новыхъ учебникахъ, соединить этотъ отдѣлъ съ уравненіями и проходить его не сразу, а концентрически, въ связи съ рѣшеніемъ уравненій.

(Окончаніе слѣдуетъ).

Замѣтка о неравенствахъ.

При изслѣдованіи тѣхъ или иныхъ вопросовъ, неравенства играютъ весьма важную роль. Насколько важна теорія неравенствъ, слѣдуетъ хотя бы изъ того факта, что понятіе о неравенствѣ шире понятія о равенствѣ.

Сказанное можно иллюстрировать такимъ простымъ примѣромъ:

вообразимъ кругъ, уравненіе котораго

х2-\-у2 = г2. ... (1)

очевидно, что при заданномъ радіусѣ неравенство

x2 + tj2 — r2<zo.....(2)

выдѣляетъ комплексъ точекъ внутри круга; неравенство же

х2 + у2 — г2>0.....(3)

выдѣляетъ комплексъ точекъ внѣ круга на плоскости, опредѣляемой имъ.

Что же касается уравненія 1-го, оно выдѣляетъ только пограничныя точки между внутренней и внѣшней областями. Подобный же примѣръ можетъ быть приведенъ и по отношенію къ пространству; здѣсь роль круга будетъ играть сфера. Такихъ примѣровъ, выясняющихъ роль неравенствъ въ математикѣ, можно привести много, но это отвлекло бы насъ отъ главной цѣли настоящей замѣтки. Мы имѣемъ въ виду Простѣйшимъ образомъ развить основныя свойства неравенствъ.

Нѣкоторыя свойства неравенствъ.

Опредѣленіе. Если разность двухъ раціональныхъ чиселъ а и Ь, положительныхъ или отрицательныхъ, есть число положительное, то говорятъ, что а болѣе Ь и пишутъ а>Ь или же Ь<а.

Изъ этого опредѣленія вытекаетъ рядъ простѣйшихъ слѣдствіе находящихся въ естественной сьязи съ основными свойствами положительныхъ и отрицательныхъ цѣлыхъ чиселъ:

1) положительное число болѣе отрицательнаго;

2) изъ двухъ отрицательныхъ чиселъ то болѣе, у котораго модуль менѣе;

3) нуль болѣе всякаго отрицательнаго числа.

При установленіи основныхъ свойствъ неравенствъ весьма удобно замѣнять ихъ соотвѣтствующими имъ равенствами и производить операціи надъ этими послѣдними.

Свойство 1. Можно увеличить или уменьшить на одно и то же число обѣ части неравенства, не измѣняя его смысла.

Въ самомъ дѣлъ, неравенство

а>Ь......(4 )

можетъ бытъ замѣнено равенствомъ

a_b — d.....(5).

На основаніи закона о прямомъ и обратномъ дѣйствіи равенство (5) можно преобразовать въ равносильно ему такое

такъ какъ d число положительное. На основаніи свойства 1-го является возможность переносить члены неравенства изъ одной части въ другую, перемѣнивъ знаки.

Свойство 2. Можно умножить или раздѣлить обѣ части неравенства на одно и то же положительное число.

Умноживъ и раздѣливъ обѣ части равенства (5), эквивалентнаго неравенству (4), на одно и то же положительное число ж, будемъ имѣть послѣдовательно

Равенства (а) и (Ь) равносильны неравенствамъ am— bm> О......(а)1,

и ---> О......(6)1, т.-е.

m m

Тѣмъ же способомъ легко убѣдиться, что, при умноженіи или дѣленіи обѣихъ частей неравенства на одно и то же отрицательное число, смыслъ неравенства измѣняется.

Свойство 3. Если сложимъ почленно два неравенства одинаковаго смысла, то получимъ новое неравенство того же смысла.

Возьмемъ два неравенства

а>Ь......(4)

и aL>bt......(6).

Замѣнивъ эти неравенства соотвѣтствующими имъ равенствами

а — Ъ — d и аі — Ьг = dx

и сложивъ эти послѣднія, найдемъ

a + a1-(b + b1) = d + d1......(е).

Равенство (с) равносильно неравенству а -f- ах>Ъ -f-

Свойство 4. При вычитаніи по частямъ двухъ неравенствъ различныхъ смысловъ получается неравенство, существующее въ смыслѣ перваго неравенства.

Имѣемъ два неравенства различнаго смысла

а>Ъ......(4)

и ax......(7).

Переводя неравенства (4) и (7) послѣдовательно въ аналогичныя имъ равенства, будемъ имѣть

а — b -f- d.....(d),

at = Ъг — d1.....(e).

Вычитая почленно изъ равенства (d) равенство (), получимъ

a-al = b-bi + d + dl . ... .(f).

Равенство (/) можно переписать такимъ образомъ а — а± — (Ь — Ь±) = d -j- d1% что равносильно неравенству

а — а^>Ь — Ьг.....(8).

Свойство 5. Два неравенства одинаковаго смысла съ положительными частями можно почленно перемножать; новое неравенство существуетъ въ смыслѣ первыхъ двухъ неравенствъ

Неравенства (4) и (6) можно, записать такимъ образомъ

a = b + d.....(/),

ax=\ + d.....(F).

Перемноживъ почленно только что написанный равенства, найдемъ

ааг = ЬЬг -f- bdx -{- bxd + dd1э

что эквивалентно неравенству (ибо Ъ,ЬѴ d,dA, положительны).

Нетрудно убѣдиться въ томъ, что если всѣ члены неравенствъ отрицательные, то смыслъ новаго неравенства будетъ противоположенъ смыслу предложенныхъ неравенствъ.

Изъ только что установленнаго свойства слѣдуетъ, что обѣ части неравенства, если онѣ положительны, можно возвышать въ степень.

Если же обѣ части неравенства отрицательны, то оно при возвышеніи въ четную степень измѣняетъ свой смыслъ, а при возвышеніи въ нечетную степень своего первоначальнаго смысла не мѣняетъ.

Если обѣ части неравенства разныхъ знаковъ, то при возвышеніи его въ нечетную степень смыслъ его остается прежнимъ; что же касается возвышенія неравенства въ четную степень, то этотъ случай является сомнительнымъ.

Само собою разумѣется, что нѣтъ общаго правила и для умноженія неравенствъ, обѣ части которыхъ различныхъ знаковъ. Является сомнительнымъ и тотъ случай, когда перемножаются неравенства различныхъ смысловъ.

Свойство 6. Два неравенства различныхъ смысловъ можно почленно дѣлить другъ на друга, если всѣ части ихъ положительны; новое неравенство имѣетъ смыслъ перваго неравенства.

Имѣя въ виду неравенства (4) и (7) и переписавъ ихъ, какъ и прежде, подъ видомъ равенствъ, будемъ имѣть а = b -f- d . . . . • (d) ax — bi — dx.....(e).

Раздѣливъ почленно равенства (d) и (е), найдемъ

Зная, что дробь уменьшится при уменьшены числителя или увеличеніи знаменателя, послѣдовательно будемъ имѣть

Въ силу неравенствъ (г) и (j) находимъ желаемый результатъ, именно, что

Къ неравенству (£), впрочемъ, можно перейти и сразу, отбросивъ d и dx въ числителѣ и знаменателѣ дроби

и1 — aL

Легко также доказать, что если всѣ части неравенствъ отрицательны, то при раздѣленіи перваго неравенства на второе новое неравенство имѣетъ смыслъ перваго неравенства.

Нельзя дать общаго правила въ остальныхъ случаяхъ. Замѣтимъ также, что изъ обѣихъ положительныхъ частей неравенства можно извлечь корень одинаковой степени, беря лишь ариѳметическое значеніе корня.

Въ заключеніе настоящей статьи приведемъ два примѣра.

Примѣръ 1. Доказать, что 2М>2п, если п цѣлое положительное число, отличное отъ 1 и 2. Дѣйствительно

2" = (1 + 1)м = 1 + п +...+ n + l = 2n + /j, гдѣ

fc>l, что и доказываетъ наше предложеніе. Это неравенство фигурируетъ, напримѣръ, въ вопросѣ о выгодности полиспастовъ 1-го и 2-го рода.

Примѣръ 2. Доказать, что ап>п (а - 1), гдѣ а> 1 и и произвольное цѣлое положительное число.

Имѣемъ

а" = [1 + (а — 1]» = 1 -f и (а-1) ..+ и (а — I)»-* + (а—і)"= = п(а— 1) + гдѣ Л>1, что и доказываетъ справедливость требуемаго неравенства. Отъ неравенства ап>п (а — 1) можно перейти къ такому

Пусть Ь положительная правильная дробь, тогда полагая а = -, перепишемъ наше послѣднее неравенство слѣдующимъ образомъ

С. Слугиновъ.

Описаніе одного урока въ 3-мъ отдѣленіи начальной школы.

Описываемый здѣсь урокъ былъ данъ, согласно моимъ .указаніямъ, одинъ разъ ученицей 8-го класса одной изъ провинціальныхъ женскихъ гимназій и другой разъ учительницей начальной школы.

Урокъ былъ посвященъ объясненію понятія „рабочій день" и примѣненію его къ рѣшенію задачъ на пропорціональное дѣленіе и требуетъ около двухъ часовъ для своего выполненія. Тема урока взята изъ „Методики начальной ариѳметики" К. П. Арженикова (см. изд. 20-ое, стр. 345), но развита полнѣе и форма объясненія принята нѣсколько иная, чѣмъ у г. Арженикова, который въ своей методикѣ не приводитъ подробной разработки уроковъ о рабочемъ днѣ, а намѣчаетъ лишь способы рѣшенія задачъ на рабочіе дни. Вслѣдствіе этого описаніе, въ которомъ я свелъ воедино характерныя черты обоихъ данныхъ уроковъ, можетъ представить нѣкоторый интересъ для дѣятелей начальной школы.

Учащіеся 3-го отдѣленія въ одномъ случаѣ знали всѣ дѣйствія надъ отвлеченными и именованными числами, въ другомъ— только надъ отвлеченными.

Сначала дѣтямъ былъ объясненъ смыслъ выраженія рабочій день. Это — работа, которую одинъ рабочій дѣлаетъ въ одинъ день. Пусть, напр., крестьянинъ пахалъ цѣлый день. Его работа составляетъ 1 рабочій день. Такимъ образомъ, если человѣкъ проработалъ одинъ день, то его работа составитъ 1 рабочій день. Если этотъ же рабочій проработалъ 2 дня, то его работа составитъ два рабочихъ дня. А если рабочій проработаетъ 3 дня, то сколько рабочихъ дней составитъ его работа? 3 рабочихъ дня. Пусть два человѣка проработали надъ уборкой снѣга со двора одинъ день. Сколько рабочихъ дней составитъ ихъ работа? Учащіеся дали невѣрный отвѣтъ: одинъ рабочій день, — потому что рабочіе работали одинъ день. При разъясненіи вопроса, веденномъ въ формѣ бесѣды съ дѣтьми, было указано, что работа каждаго человѣка составляетъ одинъ рабочій день, а работа обоихъ вмѣстѣ составитъ 1 раб. день + I раб. день, т.-ѳ. 2 раб. дня. 4 каменщика мостили улицу въ теченіе 5 дней. Сколько рабочихъ дней составляетъ ихъ работа? Каждый каменьщикъ работалъ 5 дней, его работа составитъ 5 раб. дней, а работа 4-хъ каменьщиковъ — въ 4 раза больше, т.-е. 5 раб. дн. Х4 = 20 раб. дн. При рѣшеніи этихъ примѣровъ учащимся случалось дѣлать ошибки, смѣшивая рабочіе дни съ обыкновенными.

Подобные Примѣры предлагались и разбирались до тѣхъ поръ, пока учащіеся не пришли въ выводу, что для опредѣленія числа рабочихъ дней въ этихъ случаяхъ надо число дней умножать на число рабочихъ.

Послѣ того какъ учащіеся усвоили этотъ выводъ, для выясненія пользы понятія о рабочемъ днѣ были предложены двѣ задачи.

1) Одинъ лугъ скосили 7 косцовъ въ 2 дня, а другой 5 косцовъ въ 3 дня. Трава на обоихъ лугахъ одинаковая, косцы косятъ каждый день поровну. Который лугъ больше? Отвѣты были разнорѣчивы. Одни учащіеся обращали вниманіе на то, гдѣ косцовъ работало больше, и говорили, что первый лугъ больше второго; другіе находили, что второй

лугъ больше перваго, т.-к. носить его пришлось дольше; третьи, выслушавъ предшествующіе Отвѣты, отвѣчали болѣе обстоятельно, что первый лугъ больше, потому что на немъ работало косцовъ больше, чѣмъ въ другомъ, на 2, тогда какъ дней работы было меньше только на 1.

Тогда учащимся было сказано, что такъ они не узнаютъ, какой лугъ больше, и что это можно узнать по работѣ, затраченной на косьбу каждаго дуга. Какой лугъ болъше, на косьбу того и работы употреблено больше. Давайте узнаемъ сколько работы пошло на косьбу каждаго луга. Сообразите, какъ это вычислить. Здѣсь учащіеся отвѣтилъ что надо вычислить рабочіе дни. Сдѣлавъ вычисленіе, получили, что для косьбы 1-го луга потребовалосъ 14 рабоч. дней (2X7), а для косьбы 2-го—15 рабочихъ дней (3X5). Слѣдовательно 2-ой лугъ больше 1-го.

2)*) Для уборки хлѣба съ поля хозяинъ нанималъ поденныхъ рабочихъ и платилъ имъ по 1 руб. 20 коп. за день. Первые 3 дня работали 2 человѣка, затѣмъ 4 дня работали 5 человѣкъ. Сколько заплатилъ хозяинъ за уборку хлѣба?

Такъ какъ эта задача можетъ быть рѣшена и безъ помощи понятія о рабочемъ днѣ, то дѣтямъ было указано, что подобно предыдущей ее можно рѣшить, вычисляя рабочіе дни. Съ чего же начать ея рѣшеніе? Надо сначала вычислить, сколько рабочихъ дней составитъ работа двухъ человѣкъ въ теченіе трехъ дней. Для этого 3 надо умножить на 2. Отвѣчая на дальнѣйшіе вопросы, учащіеся опредѣлили, сколько рабочихъ дней составляетъ работа 5 человѣкъ въ теченіе 4 дней и затѣмъ вся работа по уборкѣ хлѣба (6 + 20), и наконецъ нашли плату за уборку (1 руб. 20 коп. X 26). На этомъ былъ законченъ первый часъ урока.

Урокъ былъ продолженъ на другой день и начался съ повторенія понятія о рабочемъ днѣ и способа опредѣленія числа рабочихъ дней. Послѣ того была прочитана задача на пропорціональное дѣленіе**). Такъ какъ въ ея рѣшеніи

*) Составлена по образцу одной изъ задачъ на стр. 345 Методики нач. ариѳметики г. Арженикова.

**) № 202 задачника г. Арженикова годъ III изд. 42-е съ измѣненными числовыми данными.

примѣняется методъ приведенія къ единицѣ, то учащіеся были ознакомлены съ этимъ способомъ заранѣе.

Двумъ артелямъ плотниковъ выдано за работу 738 руб.; въ одной артели было 24 человѣка, въ другой 21; первая артель работала 15 дней, вторая 18. Сколько придется получить каждой артели, если рабочіе въ обѣихъ артеляхъ получаютъ одинаковую плату за каждый день? числовыя данныя удобно записать такъ:

Числа подобраны такъ, что поденная плата получается въ 1 руб. Это упрощаетъ дальнѣйшія вычисленія, дѣлаетъ ихъ почти всѣ устными и такимъ образомъ не отвлекаетъ учащихся отъ усвоенія способа рѣшенія задачи.

Для удобства и Сокращенія дальнѣйшаго изложенія приводимъ здѣсь рѣшеніе, какъ оно было сдѣлано на урокѣ.

1) Ск. рабочихъ дней составляетъ работа 1-ой артели? 15 X 24 = 360; 360 раб. дн. 2) Ск. рабочихъ дней составляетъ работа 2-ой артели? 18X21=378; 378 раб. дн. 3) ск. рабочихъ дней составляетъ работа обѣихъ артелей вмѣстѣ? 360 раб. дн.+ 378 раб. дн. = 738 раб. дн. 4) ск. получалъ каждый рабочій за день работы? 738 руб. : 738=1 руб. 5) ск. получила 1-ая артель? 1 руб. X 360 = 360 руб. 6) Ск. получила 2-ая артель? 1 руб. X 378 = 378 руб.

По усвоеніи содержанія задачи былъ поставленъ вопросъ: какая артель получила больше денегъ, или можетъ быть онѣ получили поровну? Отвѣты учащихся были разнорѣчивы подобно отвѣтамъ при рѣшеніи задачи о двухъ лугахъ (см. выше). Тогда было разъяснено, что плата, полученная каждой артелью, зависитъ отъ ея работы. Какая артель сдѣлала большую работу, та и получитъ больше. Если обѣ артели сдѣлали одинаковую работу, то онѣ и получатъ поровну. Но какъ узнать, какая артель выполнила большую работу? (иначе сказать: какъ сравнить работу артелей?). Учащимся было предложено припомнить, какъ они поступали въ задачѣ о двухъ лугахъ, и тогда они сообразили, что для опредѣленія величины работы и въ настоящемъ случаѣ надо вычислить рабочіе дни. Затѣмъ

1-ая артель

2-ая артель

учащіеся безъ труда намѣтили и рѣшили два первые вопроса (см. выше рѣшеніе задачи), изъ чего былъ сдѣланъ выводъ, что артели получатъ не поровну и именно 2-ая больше 1-ой. Потомъ было обращено вниманіе учащихся на то, за ск. рабочихъ дней получитъ плату та и другая артель, послѣ чего на вопросъ: можно ли узнать, сколько получитъ каждая артель, дѣти отвѣчали, что нельзя, ибо неизвѣстно, сколько платили за 1 рабоч. день, такъ что сначала надо узнать послѣднее. Затѣмъ учащіеся легко пришли къ мысли, что для опредѣленія поденной платы надо предварительно узнать сколько рабочихъ дней составитъ работа обѣихъ артелей. Дальнѣйшее рѣшеніе задачи не затрудняло учащихся.

На этомъ урокъ, продолжавшійся менѣе часа, былъ законченъ.

Л. Ладыженскій.

О признакѣ дѣлимости чиселъ на 8.

Въ „Систематическомъ курсѣ ариѳметики" А. Киселева признакъ дѣлимости чиселъ на 8 выраженъ такъ: „на 8 дѣлится только такое число, которое оканчивается тремя нулями или у котораго три послѣднія цифры выражаютъ число, дѣлящееся на 8". Въ другихъ учебникахъ ариѳметики встрѣчаемъ ту же мысль, различіе — лишь въ словесныхъ выраженіяхъ. Дальше выраженія этой мысли учебники ариѳметики не идутъ.

Въ такомъ же положеніи находится данный вопросъ и въ руководствахъ по методикѣ ариѳметики. Сошлюсь лишь на выдающуюся книгу этого рода. Въ своей „Методикѣ ариѳметики для учителей среднихъ учебныхъ заведеній" (3-е изданіе, въ 1914 г.) С. И. Шохоръ-Троцкій пишетъ „при небольшомъ же количествѣ цифръ (напр., для четырехзначнаго и даже пятизначнаго числа) признакъ дѣлимости чиселъ на 8 мало облегчаетъ сужденіе о томъ, дѣлится ли данное число на 8 или нѣтъ, такъ какъ все-таки требуетъ раздѣленія трехзначнаго числа обозначаемаго послѣдними тремя цифрами

на 8" (курсивъ мой). Нѣсколько далѣе тотъ же авторъ пишетъ: „разсмотрѣніе внѣшнихъ признаковъ дѣлимости ихъ (т.-е. чиселъ трехзначныхъ) на 8, конечно, можетъ повліять только на лучшее уразумѣніе состава числа изъ восьмерокъ. Но особеннаго практическаго значенія это также не имѣетъ, такъ какъ въ этомъ случаѣ наблюдается значительное разнообразіе соотношеній между разными цифрами" (курсивъ мой). Непосредственно за симъ С. И. Шохоръ-Троцкій излагаетъ признакъ дѣлимости на 8, отличающійся своею сложностью.

Такое состояніе даннаго вопроса даже у кориѳеевъ нашей методической литературы побуждаетъ меня выступить съ изложеніемъ моего пріема установленія признака дѣлимости чиселъ на 8. Пріемъ въ силу его доступности можетъ имѣть мѣсто въ низшихъ классахъ учебныхъ заведеній.

Учащіеся должны знать свойства дѣлимости суммы въ зависимости отъ дѣлимости ея слагаемыхъ. Далѣе учащіеся непосредственнымъ наблюденіемъ устанавливаютъ, что

1) на 8 дѣлятся изъ двухзначныхъ чиселъ: 8,16,24,32,40, 48,56,64,72,80,88 и 96. Остальныя двухзначныя числа на 8 не дѣлятся.

2) Числа: 200, 400, 600 и 800 (четное число сотенъ) дѣлятся на 8 безъ остатка.

3) Числа: 100, 300, 500, 700 и 900 (нечетное число сотенъ) при дѣленіи на 8 даютъ въ остаткѣ 4.

4) Тысяча и вообще число изъ тысячъ на 8 дѣлится безъ остатка.

Всего вышесказаннаго вполнѣ достаточно для установленія признака дѣлимости чиселъ на 8.

Разсмотримъ Примѣры.

1) Число 448 дѣлится на 8, ибо слагаемыя 400 и 48 на 8 дѣлятся. Число же 658 не раздѣлится, такъ какъ 58 на 8 не дѣлится. Число 15496 раздѣлится; число 37818 не раздѣлится.

2) Число 128 на 8 раздѣлится, ибо 4 + 28 = 32 дѣлится на 8 (4 есть остатокъ отъ дѣленія 100 на 8). Также 952 дѣлится на 8 (здѣсь дѣлится на 8 число 56 = 52+ 4). Число 742 на 8 не раздѣлится. Раздѣлится на 8 число 18928; не раздѣлится число 22796.

Такимъ образомъ, признакъ дѣлимости трехзначнаго числа на 8 имѣетъ слѣдующую форму:

1) если при четномъ числѣ сотенъ дѣлится на 8 число изъ десятковъ и единицъ даннаго числа, то трехзначное число дѣлится на 8; 2) если при нечетномъ числѣ сотенъ дѣлится на 8 число изъ десятковъ и единицъ даннаго числа и плюсъ 4, то и трехзначное число раздѣлится на 8.

Не представляется труднымъ распространить этотъ признакъ на любое многозначительное число.

А. Артемьевъ.

Одинъ изъ интересныхъ ариѳметическихъ вопросовъ.

Общеизвѣстенъ фактъ, что 2 + 2 = 2.2, другими словами: существуетъ пара цѣлыхъ числемъ (а именно 2 и 2), сумма которыхъ равна ихъ произведенію. Другой подобной пары цѣлыхъ чиселъ не существуетъ.

Въ виду этого можетъ возникнуть вопросъ: нельзя ли найти такую пару цѣлыхъ чиселъ, чтобы ихъ произведеніе было въ 2 раза (въ 3 раза, въ 4 раза и т. д.) больше ихъ суммы.

Сначала станемъ искать пару цѣлыхъ чиселъ о и іі, чтобы ихъ произведеніе было въ 2 раза больше ихъ суммы, т.-е. чтобы ab = 2 (а+ 6).

Изъ этого ур-ія имѣемъ:

Отсюда, разсматривыя различныя цѣлыя значенія для », находимъ, что искомыхъ паръ двѣ: 1) 3 и 6 и 2) 4 и 4. Что больше такихъ паръ не существуетъ, видно изъ выраженія

Если мы хотимъ, чтобы Ъ было цѣлымъ числомъ, при цѣломъ а, надо 1) чтобы - было меньше 1 и 2) чтобы оказалось бы, послѣ сокращеній, дробью съ числителемъ = 1 или 2.

Пусть теперь желаемъ найти пару чиселъ а и Ь такъ, чтобы ихъ произведеніе было въ 3 раза больше ихъ суммы, т.-е. чтобы

аЬ = 3 (а -}- Ь).

Отсюда найдемъ

Искомыхъ паръ окажется двѣ: 1) 4 и 12, 2) 6 и 6. Также изъ ур-ія аЬ = 4 (а+ 6) найдемъ

откуда опредѣляется 3 пары чиселъ, произведеніе которыхъ въ 4 раза больше ихъ суммы: 1) 5 и 20; 2) 6 и 12 и 3) 8 и 8.

Интересны далѣе пары чиселъ, произведеніе которыхъ въ 10 разъ больше ихъ суммы: 1) 11 и НО; 2) 12 и 60; 3) 14 и 35; 4) 15 и 30 и 5) 20 и 20.

Также точно мояшо разыскивать пары цѣлыхъ чиселъ, чтобы ихъ частное было въ 2, въ 3 и т. д. разъ менѣе ихъ разности. Напр.

откуда получимъ:

Такихъ паръ мы найдемъ отсюда 3: 1) 9 и 3; 2) 8 и 4 и 3) 9 и 6.

Думается, что и для педагогическаго дѣла знаніемъ такихъ паръ чиселъ возможно воспользоваться.

Н. Извольскій.

О желательности объединенія общею мыслью отдѣльныхъ частей курса математики.

(Замѣтка).

Законно стремленіе пересмотрѣть наши курсы различныхъ отдѣловъ математики съ цѣлью разобраться въ вопросѣ, насколько тѣсно связанъ между собою какою-либо общею идеею тотъ матеріалъ, который въ этомъ отдѣлѣ изучается. Это разсмотрѣніе должно, какъ думается мнѣ, привести къ мысли, что съ этой стороны въ нашемъ обычномъ курсѣ математики дѣло обстоитъ далеко не благополучно. Если преподаватель въ своей практикѣ ведетъ курсъ въ согласіи съ нашими ходовыми учебниками и не вноситъ чего-либо своего, что объединяло бы разрозненныя части курса общею идеею, то въ этомъ отношеніи долженъ образоваться рядъ пробѣловъ, благодаря которымъ можно отвратить отъ изученія математики даже тѣхъ учащихся, которые выказывали къ ней интересъ. Въ курсѣ алгебры, сравнительно съ геометріею, дѣло обстоитъ значительно лучше, но во всякомъ случаѣ далеко отъ того, что можно было бы желать. Вотъ присѣры.

1. Обычно (см., напр., учебникъ А. П. Киселева), послѣ того какъ закончена статья о рѣшеніи уравненіи первой степени, вводится въ курсъ новый отдѣлъ „Степени и корни", при чемъ первая глава этого отдѣла трактуетъ о степеняхъ (напр., въ учебникѣ г. Киселева она озаглавлена „Основныя свойства возвышенія въ степень"). Это обстоятельство не можетъ не показаться (даже нѣкоторымъ изъ учащихся) достаточно страннымъ. Въ самомъ дѣлѣ, вѣдь въ предыдущемъ, при изученіи умноженія одночленовъ и многочленовъ, уже много приходилось заниматься и возведеніемъ въ степень,—такъ почему же теперь этому дѣйствію посвящается особая глава. Странность еще болѣе увеличивается послѣ ознакомленія съ содержаніемъ этой главы. Напр., въ ней трактуется вопросъ о томъ, какъ возводить произведеніе въ степень, или вопросъ о томъ, какъ возводить степень въ степень, а между тѣмъ со всѣмъ этимъ учащимся уже приходилось имѣть дѣло, хотя бы на примѣрахъ въ родѣ (За—262)3.

2. Дѣйствія надъ комплексными числами обычно въ средней школѣ не изучаются (или относятся къ дополнительнымъ статьямъ,

изучаемымъ въ старшемъ классѣ) и поэтому въ нѣкоторыхъ учебникахъ все, что къ нимъ относится, печатается мелкимъ шрифтомъ. Между тѣмъ почему-то двухчленныя уравненія входятъ въ обязательный курсъ и печатаются обычнымъ шрифтомъ (см., напр., учебникъ А. П. Киселева, изданіе 23-е, стр. 248—252 и стр. 265—267). Между тѣмъ по существу дѣла, если требуется рѣшить ур-іѳ х3=1, то я въ правѣ написать рѣшеніе въ видѣ при чемъ, если я изучалъ дѣйствія надъ комплексными числами, то я долженъ знать, что f/Г имѣетъ 3 значенія. Поэтому изысканіе этихъ значеній въ курсѣ отнюдь нельзя отдѣлять отъ дѣйствій надъ комплексными числами, а если обстоятельства не позволяютъ проходить послѣднія, то должно отказаться и отъ отысканія трехъ рѣшеній для ур-ія х3=1. Для учащагося, незнакомаго съ комплексными числами и съ дѣйствіями надъ ними, должно быть признано законнымъ знанія лишь одного рѣшенія х=1.

Остановлюсь на этихъ примѣрахъ и въ заключеніе выскажу пожеланіе, чтобы въ педагогической литературѣ участились работы, посвященныя объединенію общею мыслью отдѣльныхъ частей курса математики.

И. Извольскій.

Хроника.

Московскій Математическій Кружокъ. Въ засѣданіи 10 ноября было доложено предложеніе Министерства Нар. Просв. выбрать двухъ делегатовъ отъ Кружка для участія въ работахъ Комиссіи, образованной при Мин. Нар. Просв., для разсмотрѣнія возраженій, сдѣланныхъ по поводу проекта программъ по математикѣ для средней школы, выработанная лѣтомъ 1915 г. В ь этомъ же засѣданіи делегаты были избраны, а именно А. А. Волковъ и Н. А. Извольскій, которые и предприняли въ теченіе ноября и декабря мѣс. 1916 г. рядъ поѣздокъ въ Петроградъ для участія въ вышеназванной Комиссіи. Эта Комиссія не ограничилась разсмотрѣніемъ сдѣланныхъ возраженій, но и перешла къ созидательной работѣ.

Въ томъ же засѣданіи Кружка происходила педагогическая бесѣда на тему о цѣли обученія математикѣ, введеніе въ которую было сдѣлано А. Н. Шапошниковымъ.

Слѣдующее засѣданіе состоялось 25 ноября. Въ немъ А. А. Волковъ сдѣлалъ краткое сообщеніе о своихъ первыхъ впечатлѣніяхъ отъ участія въ работѣ вышеуказанной Комиссіи. Въ этомъ же засѣданіи продолжена была педагогическая бесѣда.

Слѣдующее засѣданіе состоялось 12 декабря. I. И. Чистяковъ сдѣлалъ сообщеніе на тему „Къ статьѣ объ опредѣленіи длины окружности и площади круга". Затѣмъ Н. А. Извольскій изложилъ свѣдѣнія о ходѣ работъ въ Комиссіи при Мин. Нар. Пр. и о своемъ участіи въ этой работѣ. Кромѣ того въ этомъ засѣданіи происходила педагогическая бесѣда на тему „О значеніи графикъ въ курсѣ средней школы", введеніе въ которую было сдѣлано Н. А. Извольскимъ. Большинство учавствовавшихъ въ бесѣдѣ высказалось въ томъ смыслѣ, что значеніе графикъ для самой математики не столь велико, какъ это принято думать, и что построеніе и изученіе эмпирическихъ графикъ должно быть, вообще говоря, отнесено не къ математикѣ: если преподаватели физики, географіи и друг. предметовъ находятъ, что для нихъ полезно ввести въ курсъ графики, относящіяся къ тому или другому вопросу, то на ихъ обязанности и лежитъ обученіе построенію такихъ графикъ.

Ярославскій физико-математическій кружокъ. 8 октября подъ предсѣдательствомъ К. И. Звонникова соттоялось годичное общее Собраніе Кружка. На этомъ собраніи предсѣдателемъ Совѣта А. О. Блажеевичемъ былъ сдѣланъ общій докладъ о дѣятельности Кружка за истекшій годъ. На собраніяхъ Кружка въ теченіи 1915—1916 учеб. года было заслушано 11 докладовъ отчасти научнаго, отчасти педагогическаго содержанія. Впервые въ отчетномъ году были сдѣланы доклады по вопросамъ объ улучшеній постановки преподаванія въ средней школѣ. Совѣтъ желалъ бы видѣть среди членовъ Кружка больше лицъ, работающихъ на этомъ поприщѣ.

Кружкомъ получено пособіе отъ Мин. Нар. Прос. въ размѣрѣ 1000 руб. на устройство астрономической вышки. Предполагается, однако, использовать это пособіе лишь по окончаніи войны, когда цѣны на строительныя матеріалы и на рабочія руки войдутъ въ норму.

Послѣ общаго доклада въ томъ же собраніи были сдѣланы доклады по физикѣ гг. К. Поповымъ, Н. Поповымъ и Б. Дюшеномъ.

Свѣдѣнія о книгахъ по математикѣ и ея методикѣ.

Дж. В. А. Юнгъ. Какъ преподавать математику? Переводъ А. Р. Кулишера. Выпускъ I. Изданіе 3-е. Детрг. 1916. Изданіе Т- ва „Общестенная польза". Д. 1 р. 75 коп.

Тоже. Выпускъ II. Изд. 2-ое Птр. 1915. Ц. 1 р. 50 к.

Авторъ не обладаетъ достаточно глубокимъ взглядомъ на самый предметъ математики, на задачи, связанныя съ ея преподаваніемъ. Для него, согласно обычнымъ традиціямъ, „математика есть наука о необходимыхъ заключеніяхъ" (стр. 25); для него „математика вкраплена въ природу, по крайней мѣрѣ, природу видимую и истолковываемую человѣкомъ" (стр. 16); для него „геометрія, какъ показываетъ само слово, является наслѣдіемъ измѣреніе выполнявшихся на землѣ" (стр. 17)—всѣ подобныя мысли не новы, ими главнымъ образомъ направлялось преподаваніе математики въ теченіи многихъ десятилѣтій, благодаря имъ, по крайней мѣрѣ отчасти, мы въ настоящемъ XX столѣтіи пришли къ сознанному и у насъ и за границею недовольству результатами обученія математикѣ.

Не пора ли бросить эти уже устарѣлые взгляды, а взамѣнъ ихъ ввести иные, болѣе глубоко захватывающіе сущность математики? Не предпочтительнѣе ли, отбросивъ „необходимыя заключенія", смотрѣть на математику, какъ на науку работающую надъ опредѣленнымъ рядомъ фактовъ (см. Г. Пуанкаре. Наука и методъ. Изданіе Mathesis. Стр. 16—21), составляющихъ ея матеріалъ? Быть можетъ даже, анализируя вопросъ о происхожденіи основныхъ математическихъ фактовъ (цѣлыхъ чиселъ, линій, точекъ, поверхностей) мы согласимся съ мыслью, высказанною Р. Дедекиндомъ но поводу цѣлыхъ чиселъ: „Числа суть свободныя созданія человѣческаго генія и служатъ они намъ для того, чтобы лучше и полнѣе понимать различіе вещей"; быть можетъ, мы обобщимъ эту мысль и установимъ, что математика работаетъ надъ матеріаломъ, созданнымъ самимъ человѣкомъ, конечно, подъ вліяніемъ наблюденія и опыта и съ цѣлью лучше оріентироваться во всемъ окружающемъ. Въ такомъ случаѣ уже не придется думать, что „математика вкраплена въ природу", а придется говорить лишь о стремленій человѣка приспособить результаты своей работы надъ математическими фактами къ изученію внѣшняго міра.

Къ сожаленію. Дж. Юнгъ игнорируетъ такія воззрѣнія на самый предметъ математики. Если бы подобные взгляды на дѣло не игнорировались авторомъ, то само собою отпалъ бы вопросъ о „наглядное и „доказательной" геометріи (стр, 202, а также 299—300), а вся геометрія слилась въ нѣчто - единое, гдѣ интуиція и логика являются лишь орудіями изслѣдованія, измѣнилось бы отношеніе автора и къ доказательствамъ (авторъ не сталъ бы посвящать вопросу „какъ найти доказательство?" цѣлый параграфъ, (стр. 84), измѣнилось бы отношеніе автора и къ опытамъ, имѣющимъ цѣлью рѣшеніе какого-либо вопроса но геометріи (стр. 118—119) и т. д.

Переходя къ указаніямъ, посвященнымъ преподаванію различныхъ отдѣловъ математики, ариѳметики, геометріи и алгебры, слѣдуетъ указать прежде всего, что всѣ эти указанія въ общемъ достаточно неопредѣленны. Наименьшее число возраженій можетъ быть сдѣлано по отношенію къ преподаванію ариѳметики: слѣдуетъ только указать, что не черезчуръ ли авторъ увлекается мыслью для приданія интереса курсу ариѳметики обращаться къ естествознанію, практической жизни, географіи, промышленности, къ ариѳметическимъ экскурсіямъ? Дѣло въ томъ, что это является косвеннымъ признаніемъ со стороны автора отсутствія интереса для учащихся

при работѣ надъ числами, т. - е. интереса отъ самой ариѳметики, взятой самостоятельно,—такого отношенія къ ариѳметикѣ не должно быть; саму ариѳметику должно, а я позволю себѣ утверждать, что и можно, сдѣлать полною живого интереса, а привлеченіе къ ариѳметикѣ фактовъ изъ природы и изъ жизни должно регулироваться мыслью, что ариѳметика возсоздалась изъ стремленія „лучше и яснѣе постигать различіе вещей", но не мыслью выдавливать какъ-либо ариѳметическія положенія изъ фактовъ природы. Кромѣ того слѣдуетъ замѣтить, что и тѣ хорошія указанія, какія сдѣланы авторомъ (напр., объ опредѣленіяхъ, стр. 255—258, о правилахъ, стр. 258, о составленіи задачъ, стр. 286—287) слишкомъ неразвиты. Напр., слѣдовало бы по поводу правилъ не ограничиваться общимъ замѣчаніемъ, что правила являются цѣннымъ орудіемъ, если ученикъ приходитъ къ нимъ самъ подъ руководствомъ преподавателя и т д., а разобрать рядъ правилъ изъ курса ариѳметики и удалить изъ нихъ тѣ, которыя даже и орудіемъ быть не могутъ, а являются лишь пережиткомъ отъ механическаго періода обученія ариѳметикѣ.

Хуже всего обстоитъ дѣло съ „Преподаваніемъ геометріи" (стр. 295—327). Здѣсь игнорируются основые вопросы методики: 1) вопросъ о томъ, какое мѣсто по отношенію ко всему курсу должны имѣть задачи на построеніе и 2) вопросъ о томъ, какія средства должны быть употребляемы, чтобы добиться возникновенія въ сознаніи учащихся отчетливыхъ образовъ какъ для основныхъ геометр. элементовъ, такъ и для болѣе сложныхъ геометрическихъ образованіе Казалось бы, что послѣдній вопросъ является основнымъ—въ основу обученія геометріи должно быть поставлено стремленіе опираться на отчетливое представленіе извѣстнаго геометрическаго образа, а между тѣмъ авторъ не только не обращаетъ вниманія на этотъ вопросъ, но даже считаетъ возможнымъ опираться на то туманное представленіе объ углѣ, которымъ каждый владѣетъ подъ вліяніемъ жизненнаго опыта: „Ребенокъ обладаетъ необходимымъ для работы знаніемъ того, что такое уголъ, и этимъ его пониманіемъ можно воспользоваться, какъ основнымъ для дальнѣйшаго расширенія этой идеи" (стр.—307)1).

Общее впечатлѣніе отъ этой главы сводится къ тому, что авторъ даетъ нѣкоторыя указанія не по поводу обученія геометріи, а по поводу обученія доказательствамъ. Въ самомъ дѣлѣ, въ самомъ началѣ (стр. 295} онъ говоритъ: „Суть здѣсь вся въ томъ, чтобы ученикъ научился доказывать, доказывая",—въ дальнѣйшемъ, согласно этимъ словамъ, все вниманіе автора и обращено на доказательства. Такъ, на стр. 297—299 разбираются 2 способа (синтетическій и аналитическій) доказательства извѣстной теоремы „Если прямая линія перпендикулярна къ каждой изъ двухъ пересѣкающихся прямыхъ и проходитъ черезъ ихъ точку пересѣченія, то она перпендикулярна къ плоскости, опредѣляемой этими прямыми", а почему то вовсе игнорируется наиболѣе существенный моментъ, имѣющій здѣсь мѣсто: должно, пользуясь различными пріемами, среди которыхъ нѣкоторую, хотя и не очень большую, роль играетъ вышеупоминаемое доказательство, добиться отчетливаго представленія у учащихся геометрическаго мѣста всѣхъ перпендикуляровъ къ прямой, построенныхъ въ пространствѣ черезъ точку, данную на прямой.

Въ виду такого отношенія автора къ дѣлу какъ-то странно звучатъ слова послѣдняго параграфа этой главы: „мы все время отчетливо проводили ту мысль, что геометрію надо изучать не какъ собраніе фактовъ, подлежащихъ изученію......., а какъ рядъ явленій, подлежащихъ научному изслѣдованію" (стр. 326). Въ предыдущемъ, къ сожалѣнію, не было рѣчи объ изслѣдованіяхъ въ области тѣхъ геометрич. образовъ, которые являются результатомъ комбинированія основныхъ элементовъ, а все

1) Кстати интересно отмѣтить, что авторъ, упоминая здѣсь о „дальнѣйшемъ расширеніи", ничего не даетъ для выясненія того, какъ это „расширеніе" надо понимать.

вниманіе автора было поглащено заботами о доказательствахъ. Впрочемъ, какъ и очень многое во всей книгѣ, это замѣчаніе достаточно туманно и неопредѣленно: почему здѣсь противопоставляются два понятія „фактъ" и „явленіе"?—вѣдь каждое явленіе есть въ то же время и фактъ.

Преподаванію тригонометріи посвящено всего лишь 5 неполныхъ страницъ, и искать въ нихъ чего - либо опредѣленнаго и интереснаго— напрасная трата времени. Минуемъ ихъ и перейдемъ къ „преподаванію алгебры".

Авторъ слишкомъ мало останавливается на основномъ моментѣ курса алгебры, а именно на введеніи относительныхъ чиселъ Почему то этотъ вопросъ относится имъ къ числу мелкихъ, которые всѣ собраны въ одну главу, озаглавленную „Нѣкоторые другіе вопросы въ области преподаванія алгебры". Достаточно по поводу этого вопроса лишь указать, что авторъ въ концѣ концовъ (стр. 362—363) даетъ (немотивированное) замѣчаніе, что лучшимъ выходомъ изъ затрудненій, связанныхъ съ умноженіемъ относительныхъ чиселъ, было бы простое опредѣленіе произведенія, какъ такого произведенія ихъ абсолютныхъ величинъ, которое надо считать положительномъ въ случаѣ двухъ сомножителей съ одинаковыми знаками и отрицательномъ—въ обратномъ случаѣ. А между тѣмъ было бы естественно и, казалось бы, необходимымъ разсмотрѣть различныя возможныя, имѣющія мѣсто въ педагогической литературѣ, воззрѣнія на этотъ вопросъ.

Центральнымъ вопросомъ курса алгебры въ средней школѣ авторъ считаетъ уравненіе. И. должно согласиться съ его исходнымъ взглядомъ на этотъ вопросъ: онъ разсматриваетъ каждое ур - іе, какъ запись извѣстной задачи, но никакъ нельзя признать, что на тѣхъ страницахъ (346— 35Ь), которыя посвящены ур-ію имѣется что-либо цѣнное, помимо вышеуказаннаго взгляда: о методикѣ рѣшенія ур-ій, о работѣ надъ уравненіями здѣсь вовсе нѣтъ указаній. Взамѣнъ того здѣсь даны общія соображенія (иногда съ неумѣстными попытками на остроуміе, въ родѣ сопоставленія съ понятіемъ объ уравненіи записи, что „луна сдѣлана изъ зеленаго сыра"—стр. 349) по поводу того, что записи, въ родѣ х6-(-7х5—4х4 +2х3—9x4-11=0, можно считать за ур-ія только тогда, когда будетъ доказано существованіе корня, даны небольшія и не очень опредѣленныя разсужденія по поводу равносильности уравненій, по поводу изученія измѣненія многочлена и т. д.

Нѣсколько болѣе разработаннымъ слѣдуетъ считать параграфъ, посвященный составленію ур-ій.

Не буду останавливаться на послѣдней главѣ книги, посвященной предѣламъ, такъ какъ эта глава не относится къ основамъ.

Общее заключеніе можно формулировать такъ: Книга не содержитъ отвѣтъ на вопросъ, данный въ ея заглавіи „Какъ преподавать математику? " Можно даже пожалуй притти къ мысли, что многое, рекомендуемое' авторомъ, является образцомъ того, какъ не слѣдуетъ преподавать математику.

Во всякомъ случаѣ, нельзя рекомендовать эту книгу класть въ основу той работы, которую долженъ выполнить преподаватель съ классомъ; можно лишь воспользоваться этою книгою для ознакомленія съ нѣкоторыми воззрѣніями какъ на общіе вопросы методики, такъ и на частные, относящіеся главнымъ образомъ къ курсу ариѳметики. Украшаетъ книгу (въ русскомъ переводѣ) большой указатель литературы.

Н. Извольскій.

Книги, поступившія въ редакцію.

Прив. доц. С. Случиновъ. Фюзіонистское теченіе въ геометріи. Казань 1914. ц. 20 к.

онъ же. Теорія радикаловъ. Казань 1910. ц. 20 к.

онъ же. Теорія аналитическихъ функцій. Казань 1913. ц. 30 к.

онъ же. Основной Курсъ высшей алгебры. Часть I. Казань 1916. цѣна 80 к.

Гастонъ Дарбу. Этюдъ о развитіи геометрическихъ методовъ, переводъ съ франц. пр. доц. С. Случинова. Казань 1911. цѣна 35 коп.

Г. Пуанкаре. Ю. Сажере. Переводъ съ франц. пр. доц. С. Слугинова. Казань 1916. Цѣна 35 коп.

П. А. Некрасовъ. Ислѣдованіе функціональнаго уравненія состязаній въ шахматныхъ и народныхъ играхъ. Москва 1916.

С. Богомоловъ. Общія основанія Ньютонова метода первыхъ н послѣднихъ отношеній.

В. В. Добровольскій. Краткія свѣдѣнія по математикѣ и собраніе задачъ для учениковъ ремесленныхъ и техническихъ училищъ. Выпускъ 2-ой. Изданіе Ремесленнаго Училища имени К. Т. Солдатенкова. Москва 1917. Цѣна 1 рубль.

А. Воронецъ. Таблицы логариѳмовъ и справочникъ формулъ и вспомогательныхъ таблицъ по курсу элементарной математики. Изданіе Т-ва И. Д. Сытина. Отдѣлъ средней школы. Москва, 1917. Цѣна 1 р. 60 коп.

Редакторъ-Издатель Н. А. Извольскій.

Типо-Литографія Русскаго Товарищества, Чистые пруды, Мыльниковъ пер., с. д.