Математическій Вѣстникъ.

№№ 7—8. Ноябрь—Декабрь 1916 г.

Адресъ редакдіи: Москва, Гороховскій пер., д. 23, нв. 9. Тел. 3-19-55.

СОДЕРЖАНІЕ: Отъ редакціи.—Н. Извольскій. Различныя направленія въ области методики ариѳметики.—Е. Томашевичъ. Объ одномъ типѣ ариѳметическихъ задачъ.—А. Филимоновъ. Схема быстраго умноженія но способу знаменитаго счетчика г. Ферроля,—Н. Извольскій. Одна изъ желательныхъ работъ учащихся въ курсѣ геометріи.—Н. Извольскій. По поводу книги „К. О. Лебединцевъ. Ученіе о простѣйшихъ функціяхъ, ихъ графикахъ и теорія предѣловъ". — Н. Извольскій. Замѣтки по методикѣ алгебры. — Хроника. (Московскій Математическій Кружокъ. — Московскій городской Музей наглядныхъ пособій.—Учебный отдѣлъ Общества распространенія техническихъ знаній). — Свѣдѣнія о книгахъ по математикѣ и ея методикѣ. (В. В. Добровольскій. Краткія свѣдѣнія по математикѣ и собраніе задачъ.—В. И. Лебедевъ. Кто авторъ первыхъ теоремъ геометріи?—Книги, поступившія въ редакцію).—Объявленія.

Отъ редакціи.

Тѣ тяжелыя условія, какія сложились въ настоящее время для издательскаго дѣла, заставляютъ значительно измѣнить условія выхода „Математическаго Вѣстника" и условія подписки на него. На послѣдней страницѣ обертки настоящаго нумера напечатаны подробно условія подписки на 1917 годъ. Здѣсь необходимо указать лишь главные пункты: 1) въ 1917году предполагается выпустить только 6 нумеровъ по 3 нумера въ каждое полугодіе, 2) подписка принимается только на годъ (подписной годъ начинается съ 1-го января) и подписная плата увеличивается до 3 рублей (для учащихся и для гг. учащихъ въ начальныхъ школахъ 2 р. 50 к.), 3) приходится также увеличить стоимость полныхъ комплектовъ за предыдущіе года, а именно 2 руб. за полный годъ и 1 руб. за полугодіе.

Вмѣстѣ съ тѣмъ редакція считаетъ своею обязанностью дать объясненіе того, что №№ 5 и 6 за 1916 г. пришлось выпустить одновременно, а «№№ 7 и 8 соединить въ одинъ двойной нумеръ. Та типографія, гдѣ раньше печатался журналъ, ликвидировала дѣло и къ концу ликвидаціоннаго періода не могла выполнять заказы въ желательной послѣдовательности; поэтому № 5 и № 6 оказались напечатанными одновременно, несмотря на то, что № 5 былъ сданъ въ типографію въ концѣ августа, а № 6 въ 20-хъ числахъ сентября. Та типографія, въ которую теперь переходитъ печатаніе журнала, не имѣетъ возможности выпустить до начала 1917 года два нумера; поэтому пришлось №№ 7 п 8 соединить въ одинъ нумеръ.

Мы просимъ нашихъ читателей не сѣтовать на редакцію какъ за вышеуказанныя неудобства, имѣвшія мѣсто для №№ 5, 6, 7 и 8, такъ и на необходимость при переходѣ въ другую типографію измѣнить тотъ шрифтъ, которымъ раньше печатался Математическій Вѣстникъ".

Мы также глубоко опечалены необходимостью увеличить подписную плату, но полагаемъ, что эта необходимость ясна для читателей въ виду слишкомъ сильнаго вздорожанія и бумаги и стоимости типографскихъ работъ.

Различныя направленія въ области методики ариѳметики.

Если мы воспроизведемъ въ своемъ сознаніи воспоминаніе о томъ, какъ мы обучаемъ дѣтей какому-нибудь ариѳметическому дѣйствію — ну, напр., дѣленію двухзначнаго числа на однозначное,—то мы сейчасъ же придемъ къ заключенію, что во время этого урока мы все время убѣждаемъ учащихся, что такой именно порядокъ выполненія этого дѣйствія удобенъ, убѣждаемъ въ томъ, что результатъ получается правильный, убѣждаемъ, наконецъ, въ томъ, что такъ, а не иначе, надо поступать, чтобы прійти къ правильному результату.

Итакъ, все время приходится убѣждать учащихся. Какія же для этого возможны средства? Прежде всего возможно при

этомъ опираться на принципъ довѣрія, при чемъ это „довѣріе" можетъ проявляться въ двухъ формахъ: 1) (грубая форма) „Учитель сказалъ — значитъ, это вѣрно"; другими словами здѣсь пришлось бы имѣть дѣло съ довѣріемъ къ словамъ учителя. Въ сущности та же форма довѣрія будетъ имѣть мѣсто, если мы опираемся на книгу: „въ книгѣ такъ написано — значитъ, это вѣрно". 2) (Болѣе тонкая форма) Если какой-либо вопросъ разрабатывается во время урока учителемъ совмѣстно со всѣмъ классомъ, то часть учащихся убѣждается какими-либо средствами, помимо довѣрія, что извѣстное положеніе правильно; другая часть учащихся, менѣе развитая или менѣе наблюдательная, не получила яснаго представленія о справедливости изучаемаго положенія, однако и эта часть учащихся все же признаетъ это положеніе за вѣрное. Здѣсь, полагаю, имѣетъ мѣсто довѣріе къ общей классной работѣ: „если многіе изъ моихъ товарищей сообразили, что это вѣрно, то значитъ это и дѣйствительно вѣрно".

Другой способъ убѣждать учащихся въ справедливости или способовъ выполненія ариѳметическихъ дѣйствій или результатовъ послѣднихъ состоитъ въ иллюстраціи этихъ дѣйствій при помощи предметовъ. Если, напр., дѣленіе 56 на 4 мы иллюстрируемъ разложеніемъ на 4 равныя части 5 пучковъ (десятковъ) спичекъ и 6 отдѣльныхъ спичекъ, при чемъ увидимъ, что дѣло сводится къ разложенію на 4 равныя части сперва четырехъ пучковъ, а потомъ 16 отдѣльныхъ спичекъ, то это образное представленіе вызываетъ въ пасъ сознаніе, что какіе бы иные предметы у насъ ни были: яблоки, копейки, пряники, стулья и т. п. — всегда требуемое дѣленіе можетъ быть сведено къ двумъ, а именно къ 40:4 п 16:4. Здѣсь въ сущности приходится опираться на нашу способность изъ разсмотрѣнія образнаго представленія для частнаго случая (для спичекъ) приходитъ къ заключенію о справедливости подмѣченнаго для общаго случая (для какихъ угодно предметовъ или, что въ концѣ-концовъ то же самое, для отвлеченныхъ чиселъ). Такая наша способность носитъ названіе интуиціи. Интуиція начинается съ образнаго воспроизведенія, но она не состоитъ только въ томъ, что мы подмѣчаемъ нѣкія черты этого образа; нѣтъ, она приводитъ насъ къ сознанію, что извѣстныя особенности этого образнаго представленія останутся

если мы измѣнимъ въ извѣстныхъ предѣлахъ и самый образъ. Итакъ, второй способъ убѣждать въ чемъ-либо учащихся покоится на интуиціи.

Третьимъ способомъ является логическое разсуженіе. Мы на основаніи предыдущей работы устанавливаемъ теперь, примѣняясь къ разсматриваемому примѣру 56:4, что 1) мы умѣемъ (это уже изучалось) 40:4, и 2) умѣемъ 16:4. Послѣ чего утверждаемъ: такъ какъ дѣленіе 56 на 4 сводится къ дѣленію 40 на 4 и къ дѣленію 16 на 4 (ибо 56:4 = 40: : 4 + 16 : 4, что уже также достаточно выяснено въ предыдущемъ) и, наконецъ, къ сложенію полученныхъ результатовъ, то мы можемъ выполнить дѣленіе 56 на 4 такъ: 1) 40: 4 = 10, 2) 16:4 = 4 и 3) 10 + 4 = 14.

Невозможно построить всю методику ариѳметики на какомъ-либо одномъ изъ этихъ трехъ способовъ убѣждать учащихся. Если исключительно опираться на довѣріе учащихся, то 1) учащіеся скоро и перестанутъ вѣрить, а 2) все то, что учащіеся запомнили, довѣряя словамъ учителя,—все это, не имѣя подъ собою кромѣ довѣрія какой-либо иной почвы, должно въ сознаніи учащихся перепутаться, и результаты такого обученія свелись бы къ нулю. Если еще и возможно думать, что всѣ дѣйствія въ предѣлѣ 20 усваиваются дѣтьми интуитивно при помощи воспроизведенія этихъ дѣйствій на предметахъ, то, съ переходомъ къ числамъ въ предѣлѣ до 100 и далѣе, воспроизводить каждое дѣйствіе образно и запоминать изъ этого образнаго воспроизведенія результаты каждаго дѣйствія становится все утомительнѣе и утомительнѣе и сознаніе учащихся окажется, наконецъ, пересыщеннымъ этими образами. Нельзя также все обученіе ариѳметикѣ построить на логикѣ. Напр., въ вышеприведенномъ разсужденіи о дѣленіи 56 на 4 есть моментъ, крайне трудно поддающійся логикѣ: почему мы увѣрены, что результатъ дѣленія 56 на 4 является суммою результатовъ дѣленій 40 на 4 и 16 на 4? Выяснить этотъ моментъ логически крайне трудно, а интуитивно мы это сейчасъ же признаемъ справедливымъ, если представимъ себѣ дѣленіе (какого угодно даже числа и на какое угодно) образно.

Такъ же точно, повидимому, отбросить какой - либо изъ этихъ трехъ способовъ убѣждать учащихся тоже нельзя.

Напр., изъ только-что Сказаннаго мы видимъ, что въ вопросѣ о выполненіи дѣленія крайне трудно обойтись безъ интуиціи. Ясно, что невозможно въ той или другой мѣрѣ обойтись и безъ логики (напр., при составленіи таблицы умноженія: Если мы хотимъ сосчитать, сколько будетъ 8X6 и если знаемъ уже, что 8X5 = 40, то разсужденіе „8 X 6 значитъ 8 повторить 6 разъ, но мы уже знаемъ, что 5 разъ по 8 будетъ 40; поэтому остается къ 40 прибавить еще разъ 8—получимъ 48" быстро приведетъ насъ къ цѣли и не заставитъ прибѣгать всякій разъ къ рисунку или къ разставленію предметовъ). Наконецъ, даже и въ настоящее время, трудно обойтись вовсе безъ довѣрія. Напр., мы уже аппеллируемъ къ нему, когда сообщаемъ учащимся какой-либо способъ, по нашимъ словамъ наиболѣе удобный, для расположенія вычисленія. Многіе учащіеся лишь на основаніи довѣрія къ словамъ учителя или къ классной работѣ запоминаютъ, что при дѣленіяхъ, въ родѣ 1570 на 30, можно зачеркнуть по нулю, а къ остатку приписать нуль. Также во многихъ случаяхъ правила умноженія и дѣленія дробей воспринимаются учащимися лишь на основѣ принципа довѣрія.

Итакъ, неизбѣжно при обученіи ариѳметикѣ опираться и на логику и на интуицію, а отчасти и на довѣріе. Въ прежнее время „довѣріе" играло очень большую роль при обученіи ариѳметикѣ, почему и говорятъ, что прежде обученіе ариѳметикѣ носило механическій характеръ. Теперь все сильнѣе и сильнѣе развивается стремленіе удалить „довѣріе" изъ методики ариѳметики. Поэтому теперь остаются лишь двѣ возможности: 1) по преимуществу, въ особенности въ началѣ обученія, опираться на интуицію, 2) по преимуществу опираться на логику. Результатомъ этого являются два направленія, имѣющія мѣсто въ современной методической литературѣ. Первое направленіе, стремящееся по преимуществу опираться на интуицію, называется интуитивнымъ, а его послѣдователи „интуитивистами". Второе направленіе можно назвать логистическимъ; такъ какъ разсуждать логически можно лишь тогда, когда имѣются основныя положенія и такъ какъ для ариѳметики за такое исходное положеніе удобно принять счетъ, то послѣдователи этого направленія называются „счетчики".

Родоначальникомъ перваго направленія признается извѣстный нѣмецкій методистъ Грубе, дѣятельность котораго достигла наибольшаго расцвѣта около середины XIX столѣтія. Исходными пунктами методики ариѳметики, согласно Грубе, являются положенія: 1) каждое число въ предѣлѣ до 100 доступно созерцанію въ видѣ образа и 2) дѣйствія надъ числами возникаютъ, какъ результатъ образнаго воспроизведенія числа.

Въ настоящее время это направленіе методики ариѳметики, начавшее было замирать подъ вліяніемъ работъ „счетчиковъ", возродилось съ новою силою, и во главѣ его сталъ нѣмецкій методистъ В. А. Лай. Однако отличіе воззрѣній Лая отъ воззрѣній Грубе очень незначительно и сводится лишь къ тому, что Лай выдвинулъ новый пріемъ для образнаго воспроизведенія чиселъ посредствомъ бѣлыхъ и красныхъ шаровъ на черномъ фонѣ; онъ построилъ, исходя изъ этого пріема, свой счетный приборъ, который дѣйствительно на практикѣ оказывается очень удобнымъ благодаря рельефности изображенія на немъ числовыхъ фигуръ (Лай пользуется исключительно квадратными числовыми фигурами*)). Отличительною чертою обученія дѣйствіямъ согласно интуитивному направленію является то обстоятельство, что учащіеся непосредственно видятъ результатъ дѣйствія и, благодаря многимъ упражненіямъ, запоминаютъ его.

Логическое направленіе, начавшись также въ Германіи, особенно укрѣпилось у пасъ въ Россіи послѣ А. И. Гольденберга. Характерною особенностью этого направленія является то обстоятельство, что при изученіи всякаго новаго дѣйствія опираются на то, что уже считается разученнымъ. Такъ, 24:6 — мы уже умѣемъ 18 дѣлить на 6 (это мы уже изучали при упражненіяхъ въ предѣлѣ до 20) и знаемъ, что получится 3; остается еще 6 раздѣлить на 6 (ибо 24— 18 = 6); а это мы тоже умѣемъ дѣлать и знаемъ, что получится 1, поэтому 24 : 6 = 3 -•{- 1 = 4.

Чтобы яснѣе подчеркнуть разницу между „счетчиками" и „интуитивистами" остановимся на самомъ простомъ примѣрѣ: 5 3. Согласно воззрѣніямъ „счетчиковъ", послѣ отвѣта учащагося на вопросъ, сколько будетъ 5 и 3, должно спро-

*) См. статью Д. Л. Волковскаго въ № 1 за 1914 г. „Мат. Вѣстн.".

сить: какъ ты это узналъ? И спрашиваемый долженъ воспроизвести нѣкоторый разсказъ: я къ 5 присчиталъ (вѣдь въ основу ставится счетъ) сперва одну единицу — получилось 6, затѣмъ вторую единицу — получилось 7 и, наконецъ, третью единицу— получилось 8. Согласно воззрѣніямъ интуитивистовъ, послѣ того, какъ учащійся отвѣтитъ, что 5 и 3 даютъ вмѣстѣ 8, уже нельзя спрашивать: какъ ты это узналъ? Учащійся этого теперь и не узнавалъ. Онъ въ свое время видѣлъ изъ наблюденій надъ группами предметовъ, что 5 и 3 всегда даютъ 8, онъ это запомнилъ и такъ свыкся съ этимъ фактомъ, что теперь сразу даетъ отвѣтъ 8.

Этотъ примѣръ позволяетъ затронуть одинъ важный для практики вопросъ. Учащіе въ нашихъ русскихъ школахъ, воспитанные на идеяхъ логистическаго направленія, слишкомъ привыкли къ этому вопросу: какъ ты это сдѣлалъ? (узналъ? сосчиталъ?), а между тѣмъ къ нему надо относиться съ большою осторожностью.

Дѣло въ томъ, что мы не можемъ быть безусловно увѣрены, что дѣти познаютъ ариѳметическіе факты такъ именно, какъ мы стараемся ихъ учить. Напр., мы ихъ учимъ, что для того, чтобы узнать, сколько будетъ 3 и 2, надо къ 3 присчитывать 2 раза по единицѣ, а между тѣмъ, быть можетъ, многіе учащіеся этотъ фактъ, что 3-j-2 = 5, усвоили изъ наблюденій группы пальцевъ на своей рукѣ, и такъ какъ этотъ фактъ для нихъ уже извѣстенъ и ими усвоенъ, то они крайне поверхностно относятся къ разсказу о присчитываніи по единицѣ—этотъ разсказъ для нихъ попросту неинтересенъ. Результатомъ такого ихъ отношенія явится, что, зная самый фактъ, они позабываютъ разсказъ о присчитываніи. Тогда вопросъ: какъ ты сосчиталъ, что 3 -f- 2 = 5? поставитъ ихъ въ тупикъ. А между тѣмъ эта опасность имѣетъ мѣсто для наиболѣе способныхъ дѣтей: они сами, по своему, не такъ, какъ ихъ учатъ, нашли отвѣтъ на вопросъ „3 и 2 сколько?" и сами усвоили этотъ результатъ. Зачѣмъ же такихъ дѣтей ставить въ тупикъ этимъ вопросомъ „какъ ты это сдѣлалъ?"?

Замѣтимъ въ заключеніе, что время отъ времени появляются руководства по методикѣ ариѳметики, считающія, что они даютъ новые пути для развитія методики ариѳметики. Это заблужденіе— внимательное разсмотрѣніе укажетъ, что у нихъ

правда имѣется нѣчто новое, но это новое столь мелочно, что его недостаточно для утвержденія, что здѣсь имѣетъ мѣсто новое направленіе методики ариѳметики, и легко бываетъ увидать, отнести ли это руководство къ интуитивному или логистическому направленію. Примѣромъ можетъ служить, что въ Германіи считатютъ еще одно направленіе методики ариѳметики, послѣдователей котораго называютъ „систематики". Причиною такого названія служитъ то, что здѣсь на первое мѣсто выдвигается десятичная система счисленія. Но, такъ какъ десятичная система счисленія неизбѣжно имѣетъ значеніе и у интуитивистовъ и у счетчиковъ, то этотъ признакъ вовсе не достаточенъ, чтобы на его основаніи утверждать, что будто бы здѣсь имѣемъ дѣло съ какимъ то новымъ направленіемъ методики ариѳметики. Н. Извольскій.

Объ одномъ типѣ ариѳметическихъ задачъ.

Въ собраніи ариѳметическихъ задачъ А. Малинина и К. Буренина (Изд. 36-е) задача № 630 такова:

Два брата получили отъ отца но 900 руб.; младшій проживалъ изъ этихъ денегъ по 57 рублей, а старшій по 21 руб. въ мѣсяцъ. Черезъ сколько мѣсяцевъ у старшаго останется втрое болѣе денегъ, чѣмъ у младшаго?

Задача эта должна быть отнесена къ задачамъ алгебраическаго характера. Обозначивъ искомое число мѣсяцевъ черезъ х получимъ уравненіе

(900 — 57а:) . 3 = 900 - 21х.

Ариѳметическое рѣшеніе должно заключать въ себѣ истолкованіе тѣхъ дѣйствій, которыя приводятъ къ нахожденію х. Прежде всего бросается въ глаза возможность раздѣлить обѣ части уравненія на 3.

Имѣемъ: 900 — Ых = 300 — 1х.

Это, очевидно, соотвѣтствуетъ тому случаю, если бы старшій сынъ получилъ отъ отца пе 900 руб., а лишь 300 руб., и ежемѣсячно проживалъ не по 21 руб., а по 7 руб.; соотвѣтственно этому остатокъ старшаго по истеченіи искомаго срока долженъ не быть въ 3 раза больше, а лишь равняться остатку младшаго. Но при измѣненныхъ условіяхъ задачи младшій получилъ болѣе старшаго на 600 руб. (900 - 300) и издерживаетъ ежемѣсячно на 50 руо. (57 — 7) болѣе. Слѣдовательно равенство остатковъ у обоихъ братьевъ получится черезъ 600 : 50 = 12 мѣсяцевъ.

Другой способъ приведенія къ равнымъ остаткамъ выясняется, если Вмѣсто Сокращенія на 3 въ первоначальномъ уравненіи раскрыть скобки, т,-е.

2700 — 171л: = 900 -2Іх.

Этотъ способъ, очевидно, состоитъ въ предположеніи, что младшій получилъ въ 3 раза болѣе старшаго, т.-е. 2700 руб., п ежемѣсячная трата младшаго должна также увеличится въ 3 раза, т.-е. должна быть равною (57 . 3) руб. или 171 руб. Излишекъ, полученный младшимъ, будетъ 1800 руб. (2700 — 900), ежемѣсячный излишекъ его расхода 150 руб. (171—21). Искомое число мѣсяцевъ получится дѣленіемъ, а именно 1800 : 150 = 12.

Третій способъ состоитъ въ предположеніи, что старшій получилъ не 900 руб., а втрое болѣе, т.-е. 2700 руб. Для сохраненія требуемаго между числами 2700 и 900 отношенія слѣдовало бы каждый разъ вычитать изъ большаго числа втрое больше, чѣмъ изъ меньшаго, именно 57 X 3 = 171 рубль, а именно 57X3 = 171 рубль, а это на 150 руб. больше указанной суммы 21 рубль. Но въ числѣ 2700 руб. заключается противъ дѣйствительности излишекъ въ 1800 рублей; слѣдовательно, требуемое отношеніе сохранится, если изъ 900 руб. будемъ вычитать каждый разъ по 21 p., а изъ 1800 въ тоже время по 150; но 1800 : 150 = 12 и потому отвѣтъ на задачу будетъ число 12 мѣсяцевъ.

Третій способъ отличается отъ 2-го лишь характеромъ объясненій, а не порядкомъ дѣйствій; нельзя не сказать, что онъ страдаетъ избыткомъ искусственности (А. И. Гольденбергъ. Методика начальной ариѳметики, изд. 4-е, § 68).

Разобранная задача заслуживаетъ того, чтобы ее обобщить:

I имѣетъ а рублей и тратитъ ежедневно с руб.; II имѣетъ Ь руб. и тратитъ ежедневно d руб. Черезъ сколько дней у I останется въ и разъ менѣе, чѣмъ у И?

Рѣшеніе: (а — сх) и = b — dx\

отсюда

Найдемъ остатки у I и И по истеченіи искомаго числа дней

Чтобы задача была возможна, остатки должны быть числами положительными, а это осуществится при Load и cn>d цлц

при Ьс < ad и en cd. Первое условіе требуетъ, чтобы и второе — , чтобы — Для возможности задачи необходимо также, чтобы X было числомъ положительнымъ (оно, конечно, должно быть и цѣлымъ), а это требуетъ при еще неравенства ап> 6, иначе п> — , и при наравенства Итакъ возможность задачи обусловливается неравенствами.

Первый частный случай. А имѣетъ 20 руб. и тратитъ ежедневно по 3 рубля, имѣетъ 70 руб. и тратитъ ежедневно 11 р. Черезъ сколько дней у будетъ втрое (вдвое) менѣе, чѣмъ у BÏ Отвѣтъ: черезъ 5 дней (6 дней).

Второй частный случай. А имѣетъ 60 руб., а В - 100 руб.; А расходуетъ ежедневно но 5 руб. (7 руб.), и В по 7 руб. (5 p.). Черезъ сколько дней у А останется втрое [въ 1,8 раза] менѣе, чѣмъ у Б? Отв. черезъ 10 дней (5 дней) [4 дня].

Обѣ эти частныя задачи удовлетворяютъ полученнымъ выше неравенствамъ:

Условія задачъ можно разнообразить, предполагая, напр., что къ имѣющимся суммамъ оба дѣлаютъ ежедневно прибавленія, или одинъ расходуетъ, а другой дѣлаетъ прибавленія.

Въ упомянутомъ задачникѣ есть еще подобная задача подъ № 1313, но числа, данныя въ ней, слишкомъ громоздки и, по моему мнѣнію, цѣнность такой задачи ничтожна. Не слѣдуетъ обременять учащихся двойною работою—найти далеко нелегкій способъ рѣшенія и затѣмъ производить утомительныя вычисленія.

Е. Томашевичъ.

Схема быстраго умноженія по способу знаменитаго счетчика г. Ферроля.

Въ своей замѣткѣ „По поводу книги Ф. Мартеля „Быстрый счетъ"*), я высказалъ недоумѣніе: почему г. Мартель не распро-

*) Математическій Вѣстникъ № 2, 1916 г.

странилъ изложеніе способа на 3-значныя, 4-значныя и т. д. числа.

Я долженъ заявить, что я вполнѣ согласенъ съ примѣчаніемъ редакціи, высказаннымъ по поводу моей вышеуказанной замѣтки. Предлагая вниманію читателей „Схему быстраго умноженія по способу г. Ферроля", я отнюдь не настаиваю на примѣненіи этого способа въ школѣ въ обыденной жизни. Скажу болѣе, этотъ способъ умноженія можно предложить только тѣмъ ученикамъ, которые могутъ въ умѣ удерживать нѣсколько двухзначныхъ чиселъ и ихъ суммировать. Изложеніе этого способа ученикамъ возможно лишь въ часы ихъ досуга, какъ математическое развлеченіе, показывающее, какъ можно написать сразу произведеніе, не записывая частныхъ произведеній.

Для полученія въ произведеніи цифры единицъ, нужно умножить единицы множимаго на единицы множителя; если получится двухзначное число, то цифру десятковъ нужно удержать „въ умѣ", а цифру единицъ подписать въ произведеніе.

Для полученія десятковъ произведенія нужно умножить десятки множимаго на единицы множителя, затѣмъ умножить десятки множителя на единицы множимаго, оба эти произведенія сложить и прибавить къ нимъ десятки, удержанные въ умѣ, тогда получится полная сумма десятковъ. Единицы этой суммы нужно подписать въ разрядѣ десятковъ искомаго произведенія, а одну или двѣ цифры этой суммы, представляющія десятки десятковъ и сотни десятковъ (т.-е. сотни единицъ и тысячи) нужно удержать въ умѣ. Наконецъ, для полученія сотенъ произведенія нужно умножить десятки множимаго на десятки множителя и прибавить задержанныя въ умѣ сотни произведенія (и тысячи, если таковыя будутъ) получимъ полную сумму сотенъ произведенія, которую и записываютъ въ соотвѣтствующемъ порядкѣ.

Для наглядности я привожу схему умноженія и примѣръ:

1) Умноженіе двухзначныхъ чиселъ.

Схема умноженія.

Примѣръ.

2) Умноженіе трехзначныхъ чиселъ.

Для полученія въ произведеніи единицъ и десятковъ, поступаютъ такъ же, какъ и въ первомъ случаѣ. Для полученія въ произведеніи сотенъ складываютъ произведенія: сотенъ множимаго на единицы множителя, сотенъ множителя на единицы множимаго, десятковъ множимаго на десятки множителя и прибавляютъ сотни, задержанныя въ умѣ отъ сложенія всѣхъ десятковъ; получаютъ полную сумму сотенъ. Единицы этой суммы записываютъ въ разрядѣ сотенъ, а десятки и сотни суммы (т.-е. тысячи и десятки тысячъ произведенія) оставляютъ въ умѣ.

Для полученія тысячъ умножаютъ десятки множимаго на сотни множителя, прибавляютъ къ этому произведеніе сотенъ множимаго на десятки множителя и прибавляютъ тысячи и десятки тысячъ, задержанные въ умѣ. Единицы полученной суммы записываютъ въ разрядѣ тысячъ, а десятки и сотни (если есть) оставляютъ опять въ умѣ. Для полученія десятковъ тысячъ въ произведеніи умножаютъ сотни множимаго на сотни множителя и прибавляютъ задержанные въ умѣ десятки и сотни тысячъ. Полученную сумму подписываютъ полностью въ соотвѣтствующихъ порядкахъ.

Примѣръ.

3) Умноженіе четырехзначныхъ чиселъ.

Для полученія въ произведеніи единицъ, десятковъ и сотенъ поступаютъ такъ, какъ указано въ предыдущемъ правилѣ. Для полученія въ произведеніи тысячъ нужно къ полученной суммѣ отъ произведенія десятковъ сомножителей на сотни и задержан-

ныхъ въ умѣ тысячъ, прибавить еще произведеніе тысячъ множимаго на единицы множителя и единицы множимаго на тысячи множителя. Въ полученной так. образ. полной суммѣ тысячъ, единицы записываютъ въ произведеніи въ разрядѣ тысячъ, а десятки и сотни удерживаютъ въ умѣ.

Для полученія десятковъ тысячъ умножаютъ тысячи множимаго на десятки множителя и обратно, затѣмъ умножаютъ сотни множимаго на сотни множителя. Всѣ эти три произведенія складываются, къ суммѣ прибавляютъ удержанное въ умѣ и получаютъ полную сумму десятковъ тысячъ произведенія. Единицы этой суммы записываютъ въ разрядѣ десятковъ тысячъ, а остальныя цифры удерживаютъ въ умѣ.

Для полученія сотенъ тысячъ умножаютъ тысячи множимаго на сотни множителя и сотни множимаго на тысячи множителя, оба произведенія складываютъ и къ суммѣ прибавляютъ задержанныя въ умѣ сотни тысячъ; так. образ. получаютъ полную сумму сотенъ тысячъ. Единицы суммы записываютъ въ произведеніи, а милліоны удерживаютъ въ умѣ.

Для полученія милліоновъ произведенія умножаютъ тысячи множимаго на тысячи множителя и прибавляютъ милліоны, удержанные въ умѣ. Эту сумму полностью и записываютъ въ произведеніи въ соотвѣтствующихъ разрядахъ.

Примѣръ.

4) Умноженіе пятизначныхъ чиселъ.

Для полученія въ произведеніи единицъ, десятковъ, сотенъ и тысячъ поступаютъ такъ, какъ указано въ 3 правилѣ. Для полученія десятковъ тысячъ перемножаютъ сотни множителей, умножаютъ тысячи множителей на десятки (2 раза, см. схему), умножаютъ десятки тысячъ множителей на единицы (какъ по схемѣ). Всѣ эти 5 произведеніи складываютъ, къ суммѣ прибавляютъ удержанные въ умѣ десятки тысячъ и так. образ. получаютъ полную сумму десятковъ тысячъ. Единицы приписываютъ къ произведенію, а сотни тысячъ удерживаютъ въ умѣ. Затѣмъ получаютъ сумму сотенъ тысячъ отъ суммированія 4-хъ произведеній: десятковъ тысячъ множителей на простые десятки, тысячъ на сотни (но 2 раза) и прибавляютъ задержанныя въ умѣ сотни тысячъ. Въ произведеніе записываются только цифра единицъ, а остальныя цифры, представляющія милліоны произведенія, удерживаются въ умѣ. Далѣе продолжается умноженіе въ такомъ же порядкѣ, постепенно уменьшая въ суммѣ число произведеній (на 3, на 1), включая произведенія высшихъ разрядовъ на низшіе разряды, какъ это видно ясно изъ примѣра со схемами.

Просматривая схемы умноженій, видимъ, что начало и конецъ вычисленія легки, что по мѣрѣ приближенія къ серединѣ вычисленія оно затрудняется отъ увеличенія числа произведеній въ суммѣ. Далѣе видно, что при умноженіи трехзначныхъ чиселъ наибольшее число произведеній въ суммѣ разрядныхъ еди-

ницъ будетъ 3, при четырехзначныхъ будетъ 4, при пятизначныхъ 5, и т. д. Нетрудно также замѣтить, что наибольшее запоминаемое число при умноженіи трехзначныхъ чиселъ будетъ 26, при четырехзначныхъ—35, при пятизначныхъ—44, т.-е. числа запоминаемыя состоятъ изъ одного или двухъ знаковъ и они рѣдко превышаютъ первые четыре десятка. Въ томъ случаѣ, когда даны числа не съ одинаковымъ числомъ знаковъ, то правило такого рода умноженія можетъ каждый уяснить себѣ послѣ нѣкотораго опыта, а пока посовѣтую нѳдостающіе знаки замѣнить нулями и производить умноженіе какъ съ обыкновенными числами, соблюдая схему умноженія и памятуя, что нуль, взятый слагаемымъ нѣсколько разъ, даетъ въ результатѣ О.

Такъ, напримѣръ, при умноженіи пятизначнаго числа на трехзначное, единицы, десятки и сотни получаются какъ указано ранѣе, а далѣе по схемѣ:

Далѣе продолжать умноженіе безполезно, такъ какъ къ произведенію ничего не прибавится, ибо въ одномъ изъ множителей остались одни нули.

Въ этомъ вычисленіи можно сдѣлать еще упрощенія. Если различныя цифры умножаются на одно и то же число, то нужно сложить эти цифры и умножить сразу ихъ сумму. Такъ допустимъ, что намъ нужно выполнить умноженіе по схемѣ

По концамъ линій поставимъ цифры, чтобы одна изъ нихъ повторялась 3 раза, напр.

Очевидно, сумма трехъ частныхъ произведеній будетъ — (5 -f 7 + 8). 4 = 20 . 4 — 80 .

Вотъ полное вычисленіе этого примѣра:

Обратимъ вниманіе, что указанное упрощеніе для даннаго примѣра примѣняемо лишь въ 3-ой части вычисленія, но не во 2-ой и не въ 4-ой.

А. Филимоновъ.

Одна изъ желательныхъ работъ учащихся въ курсѣ геометріи.

Вопросъ объ измѣреніи изучается въ курсѣ геометріи сначала на прямолинейныхъ отрѣзкахъ. По существу, какъ бы то ни выражать словами, дѣло сводится къ слѣдующему: пусть даны 2 отрѣзка х и у\ тогда, послѣ измѣренія отрѣзка х отрѣзкомъ у, мы получаемъ уравненіе х=.1у, гдѣ 1с есть какое-либо число (цѣлое, дробное, ирраціональное)1).

Разсматривая все то, что придется дѣлать, и какими знаніями придется воспользоваться, чтобы получить вышеуказанный результатъ, легко довести учащихся до сознанія, что необходимо: 1) умѣть отличать равные отрѣзки и большій отъ меньшаго, а также откладывать меньшій отрѣзокъ на большемъ и 2) имѣть представленіе о суммѣ двухъ отрѣзковъ.

Пробѣгая весь курсъ, пройденный до тѣхъ поръ, учащіеся еще находятъ геометрическіе объекты, для которыхъ они обладаютъ тѣми же знаніями и умѣніями: углы, дуги одного круга и, наконецъ, площади, ограниченныя прямыми линіями (послѣднее можетъ имѣть мѣсто лишь тогда, если учащіеся работали надъ площадями и ихъ преобразованіями раньше, чѣмъ былъ поднятъ

1) Быть-можетъ наилучшимъ отвѣтомъ на вопросъ „что значитъ измѣрить отрѣзокъ х, принимая за единицу отрѣзокъ у (или короче: измѣрить отрѣзокъ X отрѣзкомъ у)?" является слѣдующій: это значитъ составить для этихъ отрѣзковъ уравненіе вида х = Ь/, гдѣ к — какое-либо число.

вопросъ объ измѣреніи площадей; поэтому желательно поставить курсъ геометріи въ средней школѣ такъ, чтобы чисто геометрическое изученіе площадей, ограниченныхъ прямыми линіями, было введено въ курсъ раньше вопроса объ измѣреніи площадей,— къ сожалѣнію, наши обычные учебники игнорируютъ это).

Допустимъ, что учащіеся уже знакомы съ геометрическимъ ученіемъ о площадяхъ, ограниченныхъ прямыми линіями. Тогда, послѣ изученія вопросовъ, связанныхъ съ измѣреніемъ прямолинейныхъ отрѣзковъ, они сами приходятъ къ заключенію, что если даны двѣ площади А и В, ограниченныя прямыми линіями, то возможно измѣрить площадь А площадью В, т.-е. другими словами возможно составить уравненіе вида А — кВ. Въ самомъ дѣлѣ, въ силу нашего допущенія учащіеся уже знакомы съ признаками равенства площадей (двѣ площади равны, когда 1) онѣ совпадаютъ при наложеніи, 2) онѣ являются суммами одинаковаго числа слагаемыхъ площадей, попарно совпадающихъ при наложеніи и 3) онѣ являются разностями площадей, попарно совпадающихъ при наложеніи), могутъ, преобразовавъ каждую изъ данныхъ площадей, узнать, какая изъ нихъ больше другой и отложить меньшую на большей; знакомы они также и со сложеніемъ двухъ площадей1). Для учащихся явится хорошею работою, повторительнаго характера, продѣлать все вышеуказанное на какомъ-нибудь примѣрѣ.

Такъ какъ съ одной стороны нашъ обычный курсъ геометріи въ средней школѣ игнорируетъ геометрическое изученіе площадей, а съ другой стороны вопросъ объ измѣреніи излагается въ крайне несовершенномъ видѣ, я позволю себѣ въ настоящей статьѣ дать примѣръ такой работы, въ надеждѣ, что онъ поможетъ убѣдить въ необходимости введенія въ, курсъ геометріи чисто геометрическаго изученія площадей.

Пусть даны двѣ площади А и В (см. 1-й рядъ чертежа, гдѣ данныя площади очерчены болѣе толстыми линіями) и требуется измѣрить площадь А площадью В\ площадь А представляетъ собою площадь четыреугольника, а площадь В—площадь пятиугольнпка. Преобразуемъ эти многоугольники въ равновеликіе пмъ треугольники (на чертежѣ это сдѣлано),—получимъ, что площадь

1) Конечно, въ этой статьѣ все время идетъ рѣчь о площадяхъ, ограниченныхъ прямыми линіями.

А = площ. Д ABC и площ. В = площ. Д DEF1). Эти треугольники для удобства перенесемъ на другое мѣсто (2-й рядъ чертежа). Каждый изъ этихъ треугольниковъ превратимъ въ равновеликіе имъ прямоугольники,—на чертежѣ это сдѣлано (площ. BKLC — = площ. /\АВС и площ. DMNF= площ. Д DEF). Далѣе превратимъ одинъ изъ полученныхъ прямоугольниковъ въ равновеликій ему съ такимъ же основаніемъ, какъ у другого. На чертежѣ, полученные раньше два прямоугольника перенесены въ 3-й рядъ и одинъ изъ нихъ, а именно BCLK, преобразованъ въ равновеликій ему прямоугольникъ PJHK такъ, что основаніе его Г J равно основанію JDF прямоугольника DMNF.

Такъ какъ послѣднее преобразованіе мало извѣстно, то поясню его. Отложимъ KH=BG = 1)F и построимъ прямыя КВ1\ HG J, LCQ. Затѣмъ построимъ еще прямую KG, которую продолжимъ до пересѣченія въ точкѣ Q съ прямой LC. Наконецъ, черезъ точку Q строимъ прямую QP || СВ. Тогда KQ есть діагональ прямоугольника PKLQ\ слѣдовательно Д KL Q = Д PKQ. На томъ же основаніи /\KGH= BKG и /\GCQ- /\JGQ. Вычитая изъ площади Д KLQ площадь Д KHG и площадь GCQ, получимъ площадь GHLC. Вычитая изъ площади Д PK Q площадь /\BKG и площадь /\JGQy получимъ нлощ. PBGJ. Такъ какъ изъ равныхъ площадей вычитались равныя, то площ. PBGJ = нлощ. GHLC. Если теперь къ каждой изъ нихъ прибавимъ площ. BKHG, то получимъ, что площ. PKHJ = площ. BCLK, т.-е. удалось преобразовать прямоугольникъ BCLK въ равновеликій ему PJHK такъ, что основаніе PJ новаго треугольника = DF, т.-е. основанію прямоугольника DFNM ( въ самомъ дѣлѣ PJ=BG — KH, а КНи BG отложенія равными DF).

Теперь мы имѣемъ:

1) А = площ. PJHK и 2) В = нлощ. BFNM. Накладывая прямоугольникъ DFNM на прямоугольникъ PJHK (а это легко сдѣлать, такъ какъ у нихъ основанія равны), мы 1) легко узнаемъ, какая изъ данныхъ площадей (А или В) больше другой и 2), если пожелаемъ, можемъ получить, хотя бы приближенно, желаемое уравненіе. Для примѣра, даннаго на чертежѣ, имѣемъ:

1) Въ первомъ ряду чертежа не дана (случайно) прямая линія EF.

А = 2В + С ( А ил. PJHK, В = пл. LFNM, С есть оставшаяся часть площади прямоугольника PJHK, затушеванная на чертежѣ). Б = С -{- і) ( 1J есть оставшаяся часть площади прямоугольника DFNM, затушеванная на чертежѣ ). Пусть С=прибл. 4D.

Тогда Б = нрибл. 5Л = прибл. 147J и Л = прпбл. 2 — В.

Н. Извольскій.

По поводу книги „К. Ѳ. Лебединцевъ. Ученіе о простѣйшихъ функціяхъ, ихъ графикахъ и теорія предѣловъ".1)

Настоящая книга является дополненіемъ къ 1-й части „Концентрическаго руководства алгебры для среднихъ учебныхъ заведеній" и къ „Руководству алгебры для женскихъ гимназій", причемъ въ предисловіи авторъ указываетъ, что ученія, излагаемыя въ этой книгѣ, не входятъ еще въ составъ обязательнаго курса математики, но „введеніе ихъ въ программу—средней школы составляетъ одно изъ основныхъ пожеланій сторонниковъ реформы; необходимо только, чтобы при прохожденіи эти отдѣлы были тѣсно связаны съ обычнымъ курсомъ алгебры (и геометріи)".

Изъ этихъ словъ видимъ, что г. Лебединцевъ считаетъ себя сторонникомъ „реформы", понимая подъ этимъ именемъ, вѣроятно, то движеніе, которое связано съ именемъ Ф. Клейна и получило въ Германіи названіе „Reformbewegung". Однако нельзя согласиться со многимъ изъ того, чего желаютъ для средней школы сторонники этого движенія. Въ частности нельзя согласиться и съ тѣмъ развитіемъ ученія о функціяхъ и объ ихъ графикахъ, которое должно имѣть мѣсто, по мнѣнію сторонниковъ этой реформы, въ средней школѣ. Первая половина настоящей книги и позволитъ подтвердить ту мысль, что подобное развитіе слѣдуетъ разсматривать не какъ реформу, а какъ перегруженіе средней школы матеріаломъ, слишкомъ мало дающимъ для математическаго развитія учащихся.

На 76х/2 страницахъ настоящей книги авторъ предлагаетъ учащимся изучать функціи: у — ах, у — ax -f- Z), у — х2,у = — х2>

1) Книгоиздательство „Сотрудникъ", Петроградъ — Кіевъ, 1916 г. Д. 1 р. 25 к.

у = ax*, у — ахй -}- Ь а? + с, У — 'у» у = \/а2—х2, у — а2 — г2, строить и изучать ихъ графики и мимоходомъ рѣшать задачи, связанныя съ этимъ изученіемъ. Все это вызываетъ рядъ сомнѣній, рядъ вопросовъ:

1. Соотвѣтствуетъ ли та работа, которую приходится здѣсь выполнять учащимся (а авторъ считаетъ, что все это умѣстно или въ V—VI классахъ мужскихъ гимназій или въ УІ—VIII кл. женскихъ), тому развитію и съ идейной, и съ технической стороны, какое имѣетъ мѣсто у учащихся въ соотвѣтствующихъ классахъ? Напримѣръ, при изученіи функцій у = ах и у = ax -j- Ь отъ учащихся требуется очень свободное оперированіе и надъ равенствами (стр. 12, 13, 25, 27) и надъ неравенствами (стр. 13), причемъ введеніе въ дѣло этого оперированія могло бы быть оправдано лишь тогда, если бы учащіеся были бы подведены къ сознанію, что необходимо рѣшить для изучаемыхъ функцій такіе-то и такіе-то вопросы и что для этого необходимо выполнить всѣ тѣ операціи надъ равенствами (напр., раздѣлить одно равенство по частямъ на другое) или надъ неравенствами. Однако на это надежды нѣтъ, и авторъ не дѣлаетъ попытокъ въ этомъ направленіи. Естественнымъ казался бы такой путь: послѣ разсмотрѣнія ряда числовыхъ примѣровъ \у=—х, y=z — -^-х, у = Sx, предложить учащимся самимъ разобраться, сохраняются ли подмѣченныя на числовыхъ примѣрахъ свойства (пропорціональность значеній у — а значеніямъ х — а, зависимость возрастанія у — а отъ знака коэффиціента при х и равномѣрность возрастанія и убыванія у — а) и для общей функціи у — ах (а впослѣдствіи и для у = ax -f- Ь), причемъ существеннымъ явилось бы стремленіе получить отъ самихъ учащихся указанія на то, какъ надо поступать, чтобы разобраться въ поставленныхъ вопросахъ. Вмѣсто этого авторъ поступаетъ такъ: онъ объявляетъ „на основаніи разобранныхъ примѣровъ и другихъ, подобныхъ имъ, мы можемъ вообще заключить, что всякая: функція перваго порядка у = ах обладаетъ слѣдующими свойствами", и авторъ затѣмъ формулируетъ эти свойства въ видѣ теоремъ и доказываетъ ихъ. Здѣсь авторъ выказываетъ себя пѳ сторонникомъ какихъ-либо реформъ, а сторонникомъ стараго направленія, которое можно характеризовать формулой: объвяляется теорема и доказывается; учащимся остается запомнить всѣ тѣ операціи и разсужденія по поводу нихъ, какія въ этихъ доказательствахъ имѣютъ мѣсто.

2. Принято ли здѣсь во вниманіе, то сомнѣніе, которое должно имѣть мѣсто у учащихся, причемъ оно можетъ остаться и не вы-

сказаннымъ? Это сомнѣніе таково: при разборѣ примѣровъ, напримѣръ у—Зх, и соотвѣт. задачъ („Въ каждую минуту въ бассейнъ вливается по 3 ведра воды; насколько увеличится запасъ воды въ бассейнѣ черезъ х минутъ?") учащимся ясно, что 1) запасъ воды будетъ возрастать съ возрастаніемъ времени (у есть возрастающая функція X — а), 2) увеличеніе запаса воды пропорціонально времени (это ясно ариѳметически) и 3) что это увеличеніе возрастаетъ равномѣрно, но зачѣмъ нужно всѣ эти вопросы разбирать на буквахъ (въ общемъ видѣ)? И этотъ вопросъ остается открытымъ послѣ изученія всѣхъ 76г/2 страницъ. Если бы результатомъ изученія всѣхъ примѣровъ функцій, разобранныхъ въ книгѣ, явился бы общій методъ для изученія цѣлыхъ и дробныхъ алгебраическихъ функцій, не говоря уже объ ирраціональныхъ, то тогда этотъ вопросъ: а зачѣмъ это нужно?, всегда волнующій учащихся, быть можетъ и могъ бы быть какъ-нибудь освѣщенъ, причемъ, однако, пришлось бы испытать много затрудненій, дабы добиться признанія со стороны учащихся, что эта задача одна изъ существенныхъ задачъ математики. Итакъ полагаю, что въ данномъ случаѣ авторъ игнорируетъ тѣ запросы, какіе могутъ имѣть мѣсто со стороны учащихся.

3. Выше пришлось уже отмѣтить, что авторъ остается на старой позиціи: сначала объявляетъ извѣстное свойство, а затѣмъ его доказываетъ, игнорируя естественный путь, какъ это думается мнѣ, развитія математическихъ знаній, состоящій въ томъ, что вопросъ, поставленный на основаніи предыдущей работы, надлежитъ изучать, дабы увидать, не удастя ли получить какихъ-либо достойныхъ вниманія результатовъ. Впрочемъ, иногда авторъ игнорируетъ даже и ту работу со стороны учащихся, которая могла бы повлечь за собою самую постановку вопроса. Примѣры этого разбросаны въ большомъ числѣ въ тѣхъ мѣстахъ книги, которыя посвящены изученію графикъ.

Напримѣръ, на стр. 37 авторъ заявляетъ: „не трудно убѣдиться, что всѣ точки графики функціи у = х2 обладаютъ однимъ отличительнымъ свойствомъ, которое мы сейчасъ и установимъ. Отмѣтимъ на оси Y точку F съ координатами ^ ^..." Въ дальнѣйшемъ также проводится прямая, параллельная оси х и отстоящія отъ нее на разстояніе = ~, послѣ чего выясняется, что всякая точка графики равно удалена отъ точки F и построенной прямой. По этому поводу замѣтимъ прежде всего, что для учащихся— убѣдиться въ этомъ вовсе не такъ легко, какъ для г. Лебединцева, потому что имъ лишь на предыдущей 36-й страницѣ и на этой 37-й стр., на протяженіи 14 строчекъ, предлагаютъ ознакомиться съ вычисленіемъ разстоянія между двумя точками по ихъ координатамъ,—освоиться съ этимъ учащіеся еще, конечно, не

успѣли. Но это—между прочимъ. Наиболѣе существенно здѣсь не то. Здѣсь существенны слѣдующіе вопросы: 1) Почему авторъ скрываетъ отъ учащихся тѣ соображенія, какія послужили исходнымъ пунктомъ для его заявленія объ отличительномъ свойствѣ графики функціи у = х21 или, другими словами, можно ли какъ-либо привести учащихся къ сознанію, что такое отличительное свойство имѣется и что его надо разыскивать? 2) Какъ авторъ разыскалъ точку ^ Почему бы не предложить самимъ учащимся заняться разысканіемъ такой точки?

Отвѣты на эти вопросы не даны авторомъ. Ихъ и нельзя дать потому, что тогда Вмѣсто изученія графикъ получился бы курсъ аналитической геометріи.

И вотъ, искусственность всѣхъ тѣхъ мѣстъ изученія графикъ, гдѣ рѣчь идетъ о фокальныхъ свойствахъ линій 2-го порядка, а также искусственность введенія функцій у — у/ — ос2 и у = —\J а2 — X2 (отвѣтить на вопросъ: почему вводятся такія функціи? можетъ лишь тотъ, кто знаетъ аналитическую геометрію, а для учащихся этотъ вопросъ остается безъ отвѣта). Заставляютъ присоединиться къ мнѣнію, высказанному въ объяснительной запискѣ къ курсу аналитической геометріи въ проектѣ программъ математики въ средней школѣ, выработанныхъ лѣтомъ 1915 г. при Мин. Нар. Просв., а также въ статьѣ проф. Д. Синцова („Матем. образ.", № 6 за 1915 г.): „Идея координатъ, въ особенности въ примѣненіи къ графическимъ изображеніямъ функціональной зависимости, находитъ себѣ широкое примѣненіе въ статистикѣ, экономикѣ, въ метеорологіи, физикѣ, химіи и т.д. И въ западной учебной литературѣ, въ особенности англійской, появились даже особыя руководства графической алгебры, встрѣчаются сторонники примѣненія графическаго метода даже въ ариѳметикѣ. Такое просачиваніе новыхъ методовъ въ самыя начала преподаванія математики представляется однако очень спорнымъ, и если пользованіе графиками не на урокахъ математики есть естественное явленіе, то въ области преподаванія математики къ нимъ нужно прибѣгать лишь съ большою осторожностью".

Въ результатѣ всѣхъ этихъ сомнѣній хочется высказать пожеланіе, чтобы курсъ математики въ средней школѣ развивался въ согласіи съ естественно возникающими вопросами, а не загромождался бы матеріаломъ, который искусственно вводится въ программы. Чрезмѣрное увлеченіе ученіемъ о функціяхъ и объ ихъ графикахъ является такимъ искусственнымъ загроможденіемъ (конечно, мимоходомъ слѣдуетъ, и для этого имѣется въ естественно развивающемся курсѣ много поводовъ, укрѣплять у учащихся представленіе о функціи и о функціональной зависимости, но это не есть ученіе о функціяхъ), и хотѣлось бы чтобы русская

средняя школа не послѣдовала бы въ этомъ увлеченіи за западомъ.

Вторая часть книги, стр. 77—139, посвящена ученію о неравенствахъ, ученію о предѣлахъ и приложенію послѣдняго къ геометріи. Я остановлюсь лишь на послѣднемъ, т,-е. на приложеніи теоріи предѣловъ къ геометріи. Авторъ въ предисловіи самъ рекомендуетъ обратить вниманіе на его статью, напечатанную въ №№3 и 4 журнала „Математическое Образованіе" за 1915 г. Такъ какъ послѣдняя является изложеніемъ доклада, прочитаннаго г. Лебединцевымъ на 2-мъ Съѣздѣ преподавателей математики, то придется также имѣть въ виду и „Дневникъ Второго Всероссійскаго Съѣзда преподавателей математики" № 4, стр. 45—46, гдѣ напечатаны, въ сокращенной формѣ, пренія какъ но докладу г. Лебединцева, такъ и по докладу на ту лсе тему („объ опредѣленіи длины окружности"), прочитанному въ тотъ же день мною.

Принципіальная разница во взглядахъ на вопросъ объ опредѣленіи длины окружности между мною и К. Ѳ. Лебединцевымъ, такова: я утверждаю, что 1) теоріи предѣловъ не мѣсто въ курсѣ геометріи и 2) геометрія имѣетъ полное право для рѣшенія вопроса о длинѣ круга и вопросовъ, ему аналогичныхъ, использовать взглядъ на кругъ, какъ на правильный многоугольникъ съ безконечно большимъ числомъ сторонъ; г. Лебединцевъ утверждаетъ, что такой взглядъ не долженъ развиваться въ курсѣ геометріи, такъ какъ онъ небезупреченъ съ логической и даже съ педагогической точекъ зрѣнія, и что единственнымъ средствомъ для введенія понятія о длинѣ окружности является теорія предѣловъ. При этомъ г. Лебединцевъ всегда стоитъ на той точкѣ зрѣнія, что „преподаватель средней школы долженъ съ одной стороны не говоритъ ничего такого, что противорѣчія бы наукѣ, съ другой стороны—выбирать изложеніе наиболѣе понятное дла учениковъ".1)

Разсматриваемая книга Вышла въ свѣтъ спустя два слишкомъ года послѣ 2-го Съѣзда. Поэтому должно полагать, что въ этой книгѣ можно найти именно то изложеніе вопроса, о которомъ мечтаетъ г. Лебединцевъ „безупречное съ логической и съ педагогической точекъ зрѣнія".

Однако, въ дѣйствительности въ этомъ приходится жестоко разочароваться.

Въ началѣ стр. 119 авторъ говоритъ: „Но если мы пожелали бы узнать длину дуги или окружности или просто сравнить по величинѣ дугу съ даннымъ прямолинейномъ отрѣзкомъ, то здѣсь воспользоваться этимъ обычнымъ способомъ (т.-е. такимъ, при помощи котораго выполняется измѣреніе прямолинейныхъ отрѣзковъ—о немъ авторъ говоритъ выше. Н. И.), мы не можемъ, такъ какъ никакой прямолинейный отрѣзокъ не можетъ быть на-

1) Дневникъ Съѣзда № 4, стр. 40.

ложенъ на дугу окружности. Поэтому мы должны ввести особыя условія, опредѣляющія, какіе прямолинейные отрѣзки мы будемъ считать меньшими и какіе большими, чѣмъ данная дуга или окружность".

Въ дальнѣйшемъ авторъ вводитъ эти условія: „Будемъ считать выпуклую кривую большей, чѣмъ прямая, соединяющая ея концы, но меньшей, чѣмъ объемлющая ее ломаная линія." (стр. 120).

Далѣе (на стр. 120 и 121) авторъ пишетъ: AB<AB<c~AK-\- 4-KB, гдѣ AB означаетъ хорду, стягивающую концы дуги AB, а точка К есть точка пересѣченія касательныхъ къ дугѣ, построенныхъ въ точкахъ А и В. Написавъ рядъ подобныхъ неравенствъ, авторъ приходитъ къ заключенію, что „Окружность больше периметра всякаго вписаннаго въ нее многоугольника— и меньше периметра описаннаго около нее многоугольника". Далѣе авторъ говоритъ: „пусть мы выбрали нѣкоторую единицу длины и, измѣривъ ею периметръ вписаннаго многоугольника, нашли, что онъ имѣетъ длину рп, а периметръ оиисаннаго-длину Рп. Тогда длина окружности должна выразится такимъ количествомъ (въ статьѣ, въ № 4 за 1915 г., стр. 165, авторъ говоритъ яснѣе „такимъ числомъ". Н. И.) С, которое было бы болѣе рп и менѣе Г : рп<С< Р ".

По первому впечатлѣнію такой пріемъ ничего новаго не представляетъ и онъ использованъ во многихъ учебникахъ, уже давно употребляющихся въ средней школѣ. Въ своей статьѣ въ „Матем. Образов." г. Лебединцевъ и отмѣчаетъ это на стр. 163. Однако „старые" учебники то, что г. Лебединцевъ называетъ условіемъ, называли аксіомою и словамъ „больше" и „меньше", фигурирующимъ въ этой аксіомѣ, придавали опредѣленный смыслъ: если вообразить кривую выпрямленною, то воображаемый прямолинейный отрѣзокъ долженъ получиться больше хорды (а примѣнять понятія „больше" и „меньше" къ прямолинейнымъ отрѣзкамъ мы уже умѣемъ). Не такъ, однако, смотритъ на это „новый" учебникъ г. Лебединцева. Авторъ „новаго" учебника выясняетъ свою точку зрѣнія въ „Матем. Образованіи" № 4 за 1915 г., стр. 164 такъ: это условіе „должно быть понимаемо ими (т.-е. учащимися. И. И.) какъ основное условіе о сравнительной величинѣ отрѣзковъ кривыхъ и прямыхъ линій, какъ геометрическихъ объектовъ: это условіе опредѣляетъ смыслъ словъ „больше" „меньше" въ примѣненіи къ даннымъ группамъ геометрическихъ объектовъ, пѳ наложимыхъ другъ на друга".

Остановлюсь сначала на научности такой точки зрѣнія. До сихъ поръ наука признавала, что совокупность прямолинейныхъ отрѣзковъ представляетъ собою систему величинъ, такъ какъ для любыхъ двухъ объектовъ этой совокупности можно установить, равны или неравны эти два объекта и, въ послѣднемъ случаѣ, какой изъ нихъ больше другого и какой меньше; далѣе наука еще

требуетъ, чтобы было установлено, что значитъ сумма двухъ обектовъ этой совокупности. Г. Лебединцевъ хочетъ сдѣлать въ наукѣ новый шагъ: онъ хочетъ отрѣзки кривыхъ линій, не выпрямляя ихъ1) („какъ геометр. объекты"—говоритъ онъ), и отрѣзки прямыхъ линій соединить въ одну систему величинъ.

Конечно, сдѣлать этого онъ не смогъ, такъ какъ вовсе не устанавливаетъ, когда прямолинейный отрѣзокъ надо считать равнымъ криволинейному и что надо понимать подъ именемъ сумма двухъ объектовъ, взятыхъ изъ совокупности всевозможныхъ прямолинейныхъ и криволинейныхъ отрѣзковъ. Дѣлаемое г. Лебединцевымъ условіе недостаточно даже для того, что нумеровать, или еще лучше, градуировать всѣ выпуклыя кривыя и ломанныя, имѣющія общіе концы2).

Такова научная сторона дѣла. Съ педагогической точки зрѣнія прежде всего бросается въ глаза то обстоятельство, что г. Лебединцевъ для оправданія самой постановки вопроса о длинѣ окружности рекомендуетъ обращаться къ знакомому всѣмъ учащимся образу гибкой нити, которую можно вообразить выпрямленной; этою же нитью онъ пользуется и для закрѣпленія въ сознаніи учащихся сдѣланнаго условія. Это прежде всего не педагогично. Если авторъ дѣйствительно убѣждены въ томъ взглядѣ на свое условіе, какой изложенъ на стр. 163—164 „Матем. Образов." (№ 4 за 1915 г.), то онъ долженъ стремиться къ тому, чтобы такой же взглядъ былъ усвоенъ и учащимися, между тѣмъ какъ введеніе „гибкой нити" сводитъ дѣло въ иную плоскость— къ возможности воображать кривую линію выпрямленной и къ сравненію прямолинейныхъ отрѣзковъ,—послѣ чего условіе г. Лебединцева обратилось бы въ аксіому и потребовалось бы выяснятъ, что она не противорѣчитъ обычному смыслу для словъ „меньше" и „больше" въ примѣненіи къ отрѣзкамъ. Далѣе, это обстоятельство является намекомъ и на то, что и самъ авторъ, не смотря на его желаніе избѣжать этого, не можетъ отказаться отъ такого образнаго представленія о длинѣ окружности; послѣднее иллюстрируется тѣмъ, напримѣръ, что авторъ въ своей статьѣ (въ „Матем. Образов.") лишь только говоритъ, что возможно было бы построить такую систему геометріи, чтобы дуга считалась меньше своей хорды, (но больше описанной ломаной?). Конечно, сказать все можно, но интересна была бы попытка этого (напримѣръ, какой бы смыслъ имѣло утвержденіе, повидимому, вытекающее отсюда, что длина окружности съ радіусомъ = 1 должна выразится числомъ большимъ 8 и меньшимъ 6?)—отчего авторъ ее хоть немного не намѣчаетъ?

1) Воображать ихъ выпрямленными г. Лебединцевъ не монетъ, ибо тогда требовалось бы выяснять, что его условіе не противорѣчитъ тому смыслу словъ „больше" и „меньше", который обычно имѣетъ мѣсто для отрѣзковъ.

2) См. по поводу градуированія J. Tannery. Leçons d'Arithmétique. Paris. 1908, p. 434—440.

Но это—между прочимъ. Болѣе существенно слѣдующее соображеніе: Если бы авторъ дѣйствительно, хотя бы лишь для самого себя, сумѣлъ отказаться отъ того образнаго представленія длины дуги и окружности, какое иллюстрируется гибкою нитью, то онъ помнилъ бы, что написанное имъ неравенство

выражаетъ лишь то, что соотвѣтствуетъ новому пониманію словъ „больше" и „меньше", а именно: 1) AB есть хорда стягивающая дугу AB и 2) АК + KB есть ломаная, объемлющая дугу AB— и больше никакого смысла онъ не могъ бы этому придать. И тогда онъ не сталъ бы, какъ онъ это дѣлаетъ теперь на стр. 121 своего „новаго" учебника, подвергать эти условныя неравенства операціи сложенія. Въ частности изъ AB < AB и изъ ВС < ВС вовсе це слѣдуетъ непосредственно, что AB -{- ВО < AB -}-• ВО — вѣдь AB + ВО не есть хорда, стягивающая дугу ABC1).

Г. Лебединцеву слѣдовано бы, чтобы избѣжать этого уирека и въ нелогичности и въ ненаучности, построить предварительно теорію этихъ новыхъ условныхъ неравенствъ. Далѣе, г. Лебединцевъ не имѣлъ бы права фразу „окружность больше периметра всякаго вписаннаго въ ней многоугольника и меньше периметра описаннаго около нея многоугольника" замѣнять математическимъ неравенствомъ между числами: рп<С<Рп (рп, С и Pw, какъ указываетъ вышеданная выписка, числа). Не имѣлъ бы права на это потому, что, оставаясь лишь на почвѣ своего условія и отказавшись отъ „гибкой нити", онъ не могъ бы доказать теоремы, что всякому неравенству между прямолинейными и криволинейными отрѣзками, понимаемому въ смыслѣ его условія, соотвѣтствуетъ обычное неравенство между числами. Конечно, говорить здѣсь о какой-либо научности не приходится. А съ педагогической точки зрѣнія возникаетъ здѣсь вопросъ: педагогично ли основывать обученіе на томъ фактѣ, что учащіеся сами не въ состояніи разобраться, что одинаковые знаки въ неравенствахъ

имѣютъ совершенно различный смыслъ?

1) Если бы попробовать разсуждать такъ: замѣнимъ въ неравенствахъ АВ<^^АВ и ВС<^ВС хорды и дуги числами, то это разсужденіе уничтожалось бы замѣчаніемъ, что еще не установленъ способъ выражать дуги числами такой, чтобы геометрической суммѣ дугъ соотвѣтствовала бы ариѳметическая сумма чиселъ, а если попытаться сдѣлать это для дуги раньше, чѣмъ для всей окружности, то, въ согласіи съ методомъ г. Лебединцева, пришлось бы ^АВ разбивать на части и опять имѣть дѣло съ рядомъ аналогичныхъ неравенствъ.

Остановлюсь еще на вопросахъ, связанныхъ съ вычисленіемъ боковой поверхности, напр., конуса и поверхности шара.

Для вычисленія боковой поверхности конуса вводится уже сразу условіе: „Будемъ считать боковую поверхность конуса большей, чѣмъ боковая поверхность всякой вписанной пирамиды, и меньшей, чѣмъ боковая поверхность всякой описанный пирамиды" (стр. 130). Благодаря этому здѣсь уже не приходится выполнять тѣхъ странныхъ сложеній неравенствъ но частямъ, какія выше отмѣчены для окружности, но переходъ отъ этого условія къ числовому неравенству S1<S-cS2 (гдѣ S и S2 числа, измѣряющія разсматриваемыя поверхности) столь же безпочвененъ, какъ и для окружности. Но здѣсь возникаетъ и еще вопросъ: не зависитъ ли это условіе отъ того, которое сдѣлано раньше для линій? Если зависитъ, то не противорѣчитъ ли это новое условіе прежнему? а если не зависитъ, то возможно ли построить систему геометріи, въ которой периметръ основанія вписанной въ конусъ пирамиды считался бы больше длины основанія конуса, а боковая поверхность этой пирамиды считалась бы меньше боковой поверхности конуса? Что эти вопросы должны возникнуть, ясно изъ того, что геометрія устанавливаетъ опредѣленныя связи между измѣреніемъ линій и поверхностей.

Относительно поверхности шара приходится прежде всего указать на странную ошибку, начинающіяся на 132 стр. и повторяющуюся на слѣдующихъ. Авторъ на 132 стр. пишетъ, что отъ вращенія полу многоугольника (странный терминъ) вокругъ оси получается многогранникъ (?!), ограниченный поверхностями конусовъ, и т. д.

Странно, что авторъ вездѣ въ дальнѣйшемъ такъ и называетъ это тѣло вращенія многогранникомъ и даже примѣняетъ къ нему еще новое условіе: „Будемъ считать поверхность шара большей, чѣмъ поверхность всякаго вписаннаго многогранника, и меньшей, чѣмъ поверхность всякаго описаннаго многогранника". Если исправить ошибку въ наименованіи тѣла, то понадобится и это условіе передѣлать, придется условиться считать поверхность шара больше поверхности всякаго тѣла, грани котораго суть поверхности вращенія и т. д. Но буду искать, какую форму предпочтительнѣе придать этому новому условію—это дѣло автора, но еще разъ укажу, что здѣсь уже еще настойчивѣе выступитъ необходимость выяснятъ что это новое условіе не противорѣчитъ тѣмъ, какія сдѣланы были ранѣе при разсмотрѣніи вопросовъ объ измѣреніи поверхностей цилиндра и конуса.

Сказаннаго достаточно для пожеланія, чтобы наши учащіеся никогда не учились по такой книгѣ.

Къ удивленію въ только что полученной октябрьской книжкѣ Журнала Министерства Народнаго Просвѣщенія пришлось прочесть, что эта книга допущена въ учебныя заведенія въ качествѣ руководства! Н. Извольскій

Замѣтки по методикѣ алгебры.

Я имѣю въ виду датъ въ „Математическомъ Вѣстникѣ" рядъ замѣтокъ по методикѣ алгебры, причемъ, однако, въ этихъ замѣткахъ я оставлю въ сторонѣ одинъ изъ основныхъ вопросовъ, а именно вопросъ объ ознакомленіи учащихся съ относительными числами (такъ называютъ числа со знаками) и съ дѣйствіями надъ ними. Этотъ вопросъ настолько существененъ, что ему хотѣлось бы посвятить особую статью, въ настоящихъ же „Замѣткахъ" имѣются въ виду болѣе мелкіе вопросы.

1.

О разложеніи квадратнаго трехчлена, вида х2+рx+q, на линейные множители.

Нѣкоторые изъ преподавателей математики держатся Мнѣнія, что вовсе не слѣдуетъ вводить въ курсъ такіе случаи разложенія на множители ранѣе изученія квадратныхъ уравненій. Однако имѣется и противоположное мнѣніе, которое въ свою защиту выставляетъ 1) развитіе при помощи упражненій въ подобныхъ разложеніяхъ на множители комбинирующей дѣятельности учащихся и 2) возможность въ дальнѣйшемъ во многихъ случаяхъ механическое рѣшеніе квадр. ур-ій по формулѣ замѣнять болѣе сознательнымъ и болѣе скорымъ (въ извѣстныхъ случаяхъ) рѣшеніемъ такихъ ур-ій при помощи разложенія на множители. Такъ, если учащійся привыкъ разлагать квадратные трехчлены на множители, то онъ сразу увидитъ, что, напр., Лѣвая часть уравненія

— 5 tr + G = о

разлагается на множители (х— 2) и (х — 3), откуда вытекаетъ возможность переписать данное ур-іе въ видѣ

(х— 2) (х — 3) = 0,

а отсюда слѣдуетъ: или 1) х — 2 = 0 и х = 2 или 2) а;—-3 = 0 и я = 3.

Я готовъ присоединиться къ послѣднему мнѣнію, если однако ограничить упражненія въ разложеніи на множителей квадратныхъ трехчленовъ лишь простѣйшими случаями, напр., такими, когда

коэффиціентъ у старшаго члена = 1 и остальные коэффиціенты цѣлыя числа.

Самое разложеніе на множителя учащимся дается легко, если въ предыдущемъ они освоились съ дѣйствіями надъ относительными числами.

Поясню способъ, къ которому обращаюсь я при обученіи этому разложенію, на примѣрахъ.

Пусть требуется разложить на множители трехчлены:

х2 -\-1х -\-12 х* — 1х— 8 х*-{-Зх —10

Каждый изъ нихъ легко разложится на множители, если подыскать два такихъ относительныхъ числа, чтобы произведеніе ихъ равнялось члену трехчлена, свободному отъ главной буквы (я) и чтобы ихъ сумма равнялась коэффиціенту при первой степени главной буквы.

Такими числами будутъ:

для 1-го примѣра -f 3 и -f і

такъ какъ (-f-3).(+4) = -f-12 и (+3) + (+4) = -|-7; для второго примѣра —8 и

такъ какъ (— 8).(+1) = — 8 и (_8) + (+1) = —7;

для третьяго примѣра + 5 и — 2,

такъ какъ (-f В).(— 2) = —10 и (+ 5) + (— 2) = -f 3.

Изъ этого видимъ, что нѣтъ надобности, какъ это иногда дѣлаютъ, разсматривать отдѣльно различныя комбинаціи знаковъ у коэффиціентовъ трехчлена.

Самое разложеніе на первыхъ порахъ, конечно, выполняется подробно. Напр.,

х*-1 х — 8 = х2—8 х-\-х — Ъ — х (я —8) +(я —8) = = (х — 8) (х + 1).

Здѣсь должно обратить вниманіе на тотъ моментъ, когда мы изъ трехчлена дѣлаемъ четырехчленъ: пользуясь найденными числами — 8 и +1, мы можемъ членъ —1х замѣнить черезъ (—8 х + х).

II.

Дѣленіе степеней съ одинаковыми основаніями.

Естественно при началѣ изученія дѣленія выдвинуть, какъ это обычно и дѣлается, простѣйшій случай, а именно дѣленіе степеней съ одинаковыми основаніями.

Однако то объясненіе этого простѣйшаго случая, какое имѣется въ большинствѣ учебниковъ, меня не удовлетворяетъ. Въ учебникѣ А. П. Киселева (изданіе 23-ѳ на стр. 71) читаемъ: „Пусть, напр., дано раздѣлить а8:а5. Такъ какъ дѣлимое а8 должно равняться произведенію дѣлителя а5 на частное, то это частное можетъ содержать въ себѣ только букву а, при чемъ показатель при этой буквѣ долженъ представлять собою разность показателей дѣлимаго дѣлителя".

Въ этомъ объясненіи оба вывода туманны: 1) почему частное должно содержать въ себѣ только букву а? 2) почему показатель частнаго долженъ представлять собою разность показателей дѣлимаго и дѣлителя? Повидимому, эта туманность чувствуется и самимъ авторомъ, такъ какъ далѣе онъ видитъ необходимость повѣрки своихъ заключеній: „Дѣйствительно — говоритъ онъ,— если допустимъ, что искомое частное есть а8""5, т.-е. а3, то дѣлимое а8 будетъ произведеніемъ дѣлителя а5 на это частное". Здѣсь, какъ видимъ, имѣется уже слово „допустимъ". Подобно этому въ „Концентрическомъ руководствѣ алгебры для среднихъ учебныхъ заведеній" К. Ѳ. Лебединцева (изданіе 1913 г.) на стр. 70 имѣемъ: „Раздѣлить а8 на а3 значитъ найти такое выраженіе, которое, будучи помножено на а3, даетъ въ результатѣ а8; это выраженіе есть а5, такъ какъ а5,а3 = а8". Здѣсь также имѣется, хотя и не высказанное явно, допущеніе, что такое „выраженіе" существуетъ и что оно является степенью числа а.

Въ „Систематическомъ курсѣ алгебры" П. А. Долгушина (изданіе 1913 г.) на стр. 34 имѣемъ: „Пользуясь §§ 43, 42, 38 можемъ сказать, что ак\ак — 1; а1 :а1 = а7.—, но, согласно § 38,

По поводу этого объясненія хочется лишь сказать, что совершенно необъяснимо стремленіе автора усложнить очень простыя вещи.

Приходилось видѣть, что иногда прибѣгаютъ для выясненія этого случая дѣленія даже къ уравненіямъ. Пишутъ

а*:аь = а\ откуда а8 = ах .аъ = ах+:\

что влечетъ за собою равенство #4-5 = 8, откуда х = 8 —5.

Всѣ подобныя объясненія меня не удовлетворяютъ потому, что въ сущности они по позволяютъ учащемуся отнестись къ задачѣ съ должною естественностью и самому увидать, безъ всякихъ допущеній, что частное должно быть ничѣмъ инымъ, какъ опредѣленною степенью того же основанія.

Поэтому я, не объясняя въ сущности самъ ничего, не дѣлая никакихъ допущеніи и не доказывая ихъ, стремлюсь лишь направить вниманіе учащихся такъ, чтобы они сами увидали результатъ дѣленія.

Пусть имѣется примѣръ ад : а3. Учащіеся вспоминаютъ, что дѣленіе есть дѣйствіе обратное умноженію, при помощи котораго по данному произведенію и но одному множителю находится другой множитель. Для его отысканія предлагаю учащимся въ сторонѣ записать данное произведеніе (а9) подробно, т.-е.

а.а.а.а.а.а.а.а.а,

послѣ чего предлагаю учащимся выдѣлить какъ-либо данный множитель. Это выдѣленіе выполняется, нанр., такъ:

а.а.а .а.а.а-а.а.а.

Тогда учащіеся уже могутъ увидать другой, искомый, множитель: онъ состоитъ изъ множителей а, не подчеркнутыхъ. Короче его можно изобразить въ видѣ а0.

Послѣ этого задаю еще примѣръ, въ родѣ ЬХ1 :628.

При разборѣ этого примѣра уже не нужно на самомъ дѣлѣ писать подробно данное произведеніе, а достаточно разсказать, какъ кому-либо изъ учащихся въ его воображеніи рисуется тотъ процессъ, который необходимъ для нахожденія второго (не даннаго) множителя: надо написать подробно данное произведеніе — придется писать число Ь множителемъ 47 разъ, затѣмъ надо отдѣлить данный множитель, т.-е. 28 множителей — остальные

множители h — а ихъ должно быть 47 — 28, т.-ѳ. 19 — представляютъ искомый множитель; итакъ, искомый множитель — Ьід. Послѣ этого уже становится яснымъ, что 1) дѣленіе степеней съ одинаковыми основаніями можно выполнить лишь въ случаѣ, когда показатель дѣлимаго больше показателя дѣлителя и что 2) искомое частное есть также степень того же самаго основанія, причемъ показатель этой степени равенъ разности показателей дѣлимаго и дѣлителя. Этотъ результатъ можно записать общимъ равенствомъ:

ат:ап — ат-п (ѳсли ж>?0-

По поводу разсмотрѣннаго вопроса можно высказать одно общее соображеніе.

Принято думать, что математика есть дедуктивная наука и что обученіе математикѣ имѣетъ главною цѣлью развитіе у учащихся дедуктивнаго мышленія. Между тѣмъ можно указать много примѣровъ, гдѣ математика вступаетъ на путь индукціи. Эти примѣры относятся къ установленію положеніи, имѣющихъ мѣсто въ началѣ изученія какого-либо вопроса. Разсмотрѣнный въ настоящей замѣткѣ примѣръ иллюстрируетъ значеніе индукціи для математики. Вѣдь здѣсь по существу дѣло сводится къ тому, что, разсматривая рядъ частныхъ примѣровъ, въ родѣ а9:а3 или а101 а1 или х$:х6 или Ь47:Ь28 и т. д., мы приходимъ въ концѣ концовъ къ общему заключенію, что ам:ап = ам~п (если т>п). Однако, характеръ этой индукціи отличается отъ характера тѣхъ индукцій, какія имѣютъ мѣсто въ опытныхъ наукахъ: здѣсь, послѣ разсмотрѣнія одного, двухъ примѣровъ, намъ сразу становится ясною обязательность общаго заключенія, что не имѣетъ мѣста въ индукціяхъ, имѣющихъ мѣсто въ наукахъ не математическихъ.

III.

О выводѣ правилъ умноженія и дѣленія алгебраическихъ дробей.

Въ извѣстномъ курсѣ алгебры А. Давидова, по крайней мѣрѣ въ прежнихъ изданіяхъ (новаго у меня въ настоящее время не имѣется) примѣняется слѣдующій способъ для вывода правилъ, указанныхъ въ заглавіи этой замѣтки:

1) Для умноженія. Обозначимъ дробь у черезъ р и дробь- черезъ q,тогда ^ = р и ^ = 0тсІОДа: а — Ъръс = dq. Перемножимъ

эти равенства по частямъ,—получимъ ac = bdpqt Если обѣ части этого равенства раздѣлимъ на ЪсС, то находимъ:

откуда и вытекаетъ правило умноженія дробей.

2) Для дѣленія. Пусть, какъ раньше, у = р и — q. Тогда

а = Ър и с — dqê Умноживъ а на dq и Ьр на с, находимъ adq сЬр. Если теперь раздѣлимъ оба равныхъ выраженія на cbq, то получимъ

или, наконецъ,

что и даетъ требуемое правило.

Учебникъ г. Киселева (изданіе 23-е) поступаетъ совершенно такъ же для вывода правила умноженія дробей, но нѣсколько иначе поступаетъ съ дѣленіемъ, а именно, сначала правило дѣленія дроби на дробь высказывается словами догматически, затѣмъ это словесное правило переводится на языкъ формулъ и пишется

Послѣ чего дѣлается повѣрка: „дѣйствительно, умноживъ предполагаемое частное на дѣлителя по правилу умноженія дробей, получимъ......

Думаю, что общеизвѣстны тѣ затрудненія, которыя испытываютъ учащіеся, которыхъ заставляютъ усвоить выводы правилъ умноженія и дѣленія дробей по схемѣ учебника А. Ю. Давидова. Сущность затрудненій сводится къ тому, что учащихся заставляютъ оперировать надъ равенствами (умножать равенства по частямъ), а между тѣмъ въ предыдущемъ учащіеся вовсе не имѣли случая упражняться въ подобныхъ операціяхъ. Въ новѣйшее время появились руководства по алгебрѣ, гдѣ учащіеся знакомятся съ уравненіями уже вначалѣ курса алгебры и постепенно развиваютъ въ себѣ умѣніе обращаться съ уравненіями. Несомнѣнно, въ такомъ случаѣ вышеуказанные выводы имѣютъ подъ собою

болѣе прочныя основанія. Однако, все же нельзя ихъ признать естественнымъ Дѣло въ томъ, что учащіеся, предполагая, что они знакомятся съ уравненіями въ самомъ началѣ курса алгебры, пріучаются пользоваться уравненіями лишь для нахожденія числового значенія какого-либо неизвѣстнаго числа, удовлетворяющую заданному уравненію, но вовсе не пріучаются пользоваться уравненіями для полученія какихъ-либо свойствъ чиселъ. Поэтому, если учащійся и освоился съ мыслью, что изъ ур-ія ах—Ъ можно, раздѣливъ обѣ части ур-ія на а, найти значеніе для х, то онъ вовсе чуждъ соображеніямъ, позволяющимъ изъ нѣсколькихъ уравненій находить соотношенія между какими-либо функціями чиселъ. Напр., думается, учащійся затруднился бы выразить разность чиселъ m и и черезъ числа а и Ь, если для нихъ дано ур-іе ат = Ъ-\-сіп. Въ виду такихъ соображеній слѣдуетъ признать вышеуказанные выводы правилъ умноженія и дѣленія дробей искусственными.

Поэтому, вѣроятно, г. Лебединцевъ въ своемъ „Концентрическомъ руководствѣ алгебры" часть I, изд. 1913 г., вступилъ на другой путь, несмотря на то, что уравненія вводятся въ этомъ курсѣ очень рано, а именно при разсмотрѣніи дѣленія чиселъ со знаками онъ устанавливаетъ, что „алгебраическое дѣленіе (т.-е. дѣленіе чиселъ со знаками) обладаетъ тѣми же основными свойствами, что и ариѳметическое, а именно: 1) чтобы раздѣлить какое-либо число на произведеніе, достаточно раздѣлить его послѣдовательно на каждаго изъ сомножителей; 2) чтобы раздѣлить произведеніе на какое-либо число, достаточно раздѣлить на это число одного изъ сомножителей, и полученное частное помножить послѣдовательно на остальныхъ; 3) если дѣлимое и дѣлитель одновременно умножить или раздѣлить на одинаковыя числа, то ни абсолютная величина, ни знакъ частнаго не измѣняются". Всѣ эти основныя свойства провѣряются на рядѣ примѣровъ.

Затѣмъ, когда дѣло подходитъ къ вопросамъ объ умноженіи и дѣленіи дробей, выводы разсматриваемыхъ правилъ совершаются въ слѣдующемъ порядкѣ.

Сначала берется задача „раздѣлить произведеніе ah на произведеніе аггп. На основаніи перваго основного свойства это можно выполнить такъ:

На основаніи 2-го свойства имѣемъ

Этотъ результатъ, а именно ^ • J намъ надо еще раздѣлить на и. Для этого достаточно (1-е свойство) раздѣлить на и одного сомножители, откуда получаемъ, что сравнивая все это съ исходнымъ пунктомъ, получаемъ

Мы можемъ это равенство прочесть съ конца; тогда получимъ

что и даетъ требуемое правило.

Что касается правила дѣленія дробей, то его г. Лебединцевъ получаетъ при помощи введенія неизвѣстнаго я, а именно онъ начинаетъ съ разсмотрѣнія уравненія-—: — = х, откуда рядомъ соображеній получаемъ, что х = —-.

Меня не удовлетворяетъ и этотъ выводъ: 1) онъ слишкомъ формаленъ въ мелочахъ,—авторъ непремѣнно хочетъ, чтобы учащіеся при выводѣ правила умноженія дробей опирались на ранѣе установленныя основныя "свойства; 2) онъ все же обладаетъ извѣстною искусственность»), а именно приходится начинать не съ той задачи, которая на очереди (т.-е. не съ умноженія дроби на дробь), а съ какой то иной, почему-то привлеченной къ этому вопросу, а именно съ дѣленія одного произведенія на другое; 3) возникаетъ сомнѣніе насколько этотъ выводъ соотвѣтствуетъ математическому развитію тѣхъ учащихся, которымъ онъ предлагается: освоились ли учащіеся на протяженіи предыдущаго курса съ мыслью, что Математическія равенства можно читать и слѣва направо и справа налѣво?

Въ виду всего вышеизложеннаго я пришелъ, послѣ долгаго опыта, къ заключенію, что при разсмотрѣніи вопроса объ умноженіи и дѣленіи дробей слѣдуетъ вступить на путь индукціи, согласно замѣчанію въ концѣ предыдущей замѣтки. Эта индукція сведется къ ряду шаговъ.

1. Если числа а, Ъ, с и d цѣлыя положительныя, то дроби а — и суть ариѳметическія и тогда для нихъ уже извѣстно, какъ выполнить ихъ умноженіе и ихъ дѣленіе, другими словами равенства

уже установлены, если числа а, с и d цѣлыя и положительтельныя.

2. Возникаетъ вопросъ: остаются ли въ силѣ эти равенства, если а, Ь, с и d выражаютъ дробныя числа, но пока также еще ариѳметическія (или, если угодно, положительныя)?

Для рѣшенія этого вопроса необходимо продѣлать рядъ примѣровъ, въ родѣ

и т. п.

Уже послѣ немногихъ упражненій съ такими примѣрами учащіеся приходятъ къ заключенію (здѣсь имѣетъ мѣсто опять индукція) что разсматриваемыя равенства остаются въ силѣ и для случая, когда а, Ь, с и d выражаютъ не только цѣлыя (ариѳметическія), но и дробныя числа.

Замѣчу, между прочимъ, что во французскихъ учебникахъ ариѳметики очень часто вводится глава, называемая иногда именемъ „сложныя дроби", которая разсматриваетъ дроби, въ родѣ вышеприведенныхъ, числителями и знаменателями которыхъ могутъ служить не только цѣлыя числа, но и дробныя.

3. Возникаетъ послѣдній вопросъ: остаются ли въ силѣ разсматриваемыя равенства, если числа а, Ъ, с и d суть относительныя числа (т.-ѳ. числа со знаками), цѣлыя или дробныя—безразлично?

Разсмотрѣніе этого вопроса можетъ быть выполнено очень скоро,—придется лишь разсмотрѣть нѣсколько комбинацій (даже не всѣ) знаковъ, приписываемыхъ къ числителямъ и знаменателямъ тѣхъ примѣровъ, которые выше разсмотрѣны. Возможно, впрочемъ, для этого разсмотрѣнія ограничиться и болѣе простыми соображеніями, напр.: мы знаемъ, что равенства

справедливы, будутъ ли числа а, с и d цѣлыя или дробныя Станемъ теперь этимъ числамъ приписывать различные знаки. Пусть, напр., а, е положительны, но b и d отрицательны. Тогда -у есть отрицательное число, --также отрицательное; произведеніе этихъ отрицательныхъ чиселъ, т.-е. . должно дать въ результатѣ положительное число, но дробь Щ- должна выразить также положительное число, потому что (а . е) есть положительное число (ибо и а и с положительны) и (b . d) есть положительное число (ибо я b и d отрицательны). Поэтому равенство

а е ае -

— остается въ силѣ и для этого случая.

Также разсматривается и равенство-^- : , также разсматриваются и иныя комбинаціи знаковъ у чиселъ а, с и d.

Послѣ этой работы можно будетъ считать, что разсматриваемыя равенства всегда справедливы.

Замѣчу, кстати, что и въ томъ пріемѣ, которымъ пользуется г. Лебединцевъ, та индукція, о которой выше сдѣлано замѣчаніе, имѣется, а именно вѣдь установить общую справедливость основныхъ свойствъ „алгебраическаго дѣленія" (т.-е. дѣленія относительныхъ чиселъ), исходя изъ тѣхъ примѣровъ, которые г. Лебединцевъ приводитъ для провѣрки этихъ основныхъ свойствъ— это значитъ вступить на путь индукціи.

Замѣчу, наконецъ, что подобныя соображенія имѣютъ мѣсто по отношенію еще къ одному вопросу объ алгебраическихъ дробяхъ, а именно къ установленію того, что алгебраическая дробь остается сама себѣ равною, если числителя и знаменателя ея умножить или раздѣлить на одно и то же число. Для выясненія этого свойства также часто прибѣгаютъ къ оперированію надъ равенствами, но также, думалось бы, было болѣе естественно и здѣсь вступить на путь индукціи.

IV.

Объ одномъ пріемѣ рѣшенія системы трехъ уравненій 1-ой степени съ тремя неизвѣстными.

Въ учебникахъ алгебры указывается обычно слѣдующій способъ, способъ подстановки, для рѣшенія системы трехъ ур-ій съ тремя неизвѣстными: изъ одного ур-ія опредѣляютъ одно неизвѣстное черезъ два другія, напр., х черезъ у и z и полученное выраженіе подставляютъ въ два другія уравненія Вмѣсто х, — получаютъ два ур-ія съ неизвѣстными у и я, которыя уже умѣютъ рѣшать. Возможно однако способъ подстановки провести по иной схемѣ, и во многихъ случаяхъ эта схема оказывается очень удобною.

Сначала разсмотримъ эту схему на какомъ-нибудь примѣрѣ, гдѣ ея удобства не выступаютъ рельефно. Пусть требуется рѣшить совмѣстно слѣдующія три ур-ія:

Ъх ку — = 26 8х + 6*/ + З.г = 95 9х — 7 у — 4,? = 16

Выберемъ сначала какія-либо два изъ этихъ уравненій, напр., 1-ое и 2-ое и изъ нихъ способомъ уравниванія коэффиціентовъ Опредѣлимъ два неизвѣстныхъ черезъ третье, напр., у и s черезъ X.

Вотъ выполненіе этого:

Вычитаемъ по частямъ изъ 2-го ур-ія 1-ое.

Подставляемъ теперь для у и £ выраженія въ третье ур-іе:

Упрощая это ур-іе, получаемъ:

Умножаемъ, для освобожденія отъ дробей, обѣ части этого ур-ія на общаго знаменателя 61):

Подставляя это значеніе х — а въ полученныя ранѣе выраженія

получимъ

Пусть теперь дана слѣдующая система ур-ій:

Разсматривая ее, мы видимъ, что очень легко опредѣлить х и у черезъ z изъ 2-го и 3-го ур-ій, такъ какъ абсолютныя величины коэффиціентовъ при х и при у въ обоихъ ур-іяхъ одинаковы. Тогда получимъ:

1) Пользуюсь случаемъ обратить вниманіе, что для освобожденія отъ дробей ур-ія нѣтъ нужды, какъ это обычно принято, приводить къ общему знаменателю.

Подставляя въ 1-ое ур-іе, получимъ:

Отсюда опредѣляемъ z (? = 5), а затѣмъ изъ вышеполученныхъ выраженіи х и у.

Вотъ еще системы, для которыхъ очень удобно воспользоваться вышеприведеннымъ пріемомъ:

(Изъ 1-го ур-ія опредѣляемъ X черезъ у и изъ 2-го z черезъ у).

Всѣ вышеизложенныя соображенія относятся къ мелкимъ вопросамъ методики и поэтому, быть можетъ, покажутся кому-либо не заслуживающими вниманія. Однако слѣдуетъ имѣть въ виду, что иногда и мелкія особенности преподаванія имѣютъ для учащихся большое значеніе и, быть можетъ, двѣ замѣтки (ІІ-я и IV-я), указывая пріемы, не пользующіеся распространеніемъ, сослужатъ извѣстную службу на пользу учащихся, такъ какъ эти пріемы покоятся на принципѣ использованія для цѣлей ознакомленія съ математикой наблюдательности учащихся.

Позволю себѣ выразить надежду, что читатели „Матем. Вѣстн." не откажутъ сообщить для напечатанія какіе-либо пріемы обученія различнымъ отдѣламъ математики, также не пользующіеся большимъ распространеніемъ, но также имѣющіе цѣлью развитіе какихъ-либо способностей учащихся.

Слѣдующая замѣтка посвящается уже вопросу иного характера, цѣль ея состоитъ въ томъ, чтобы объединить общею идеею тѣ разрозненные упражненія, какія предлагаются учащимся.

V.

Упражненія, связанныя съ теорію крадратнаго уравненія.

Въ алгебраическихъ задачникахъ (напр., въ общеизвѣстномъ задачникѣ Шапошникова и Вальцова) имѣютъ мѣсто упражненія, требующія отъ учащихся примѣненія ихъ умѣнія узнавать сумму и произведеніе корней квадратнаго уравненія по его коэффиціентамъ.

Останавливаешься обычно въ раздумьѣ предъ этими упражненіями: съ одной стороны они представляются необходимыми,—вѣдь надо же упражнять учащихся въ умѣніи выражать сумму и произведеніе корней квадратнаго уравненія чрезъ его коэффиціенты, а съ другой возникаетъ сомнѣніе, какое же значеніе имѣютъ разрозненныя требованія, заключающіяся въ томъ, чтобы учащіеся нашли то сумму квадратовъ корней даннаго квадратнаго уравненія, то сумму кубовъ, то сумму или произведеніе чиселъ, обратныхъ корнямъ даннаго ур-нія.

Возникаетъ мысль, нельзя ли эти упражненія объединить какою-либо общею идеею. Вотъ попытка, дѣлаемая въ послѣдніе годы мною, удовлетворить этому запросу.

На протяженіи предварительнаго курса, главнымъ образомъ при изученіи уравненій первой степени, я нѣсколько пріучаю учащихся къ понятію функціи (по это вовсе не значитъ—изучать теорію функцій; по моему убѣжденію, какъ о томъ мнѣ уже неоднократно приходилось заявлять, учащіеся въ среднихъ, а пожалуй и въ старшихъ, классахъ среднихъ учебныхъ заведеній не имѣютъ достаточнаго запаса отчетливо усвоенныхъ фактовъ, который требовалъ бы объединенія въ изученіи функцій), не избѣгая даже самаго термина „функція". Если однако этого не было сдѣлано въ предыдущемъ, то возможно ввести этотъ терминъ, иллюстрируя его рядомъ знакомыхъ уже учащимся фактовъ, и теперь непосредственно предъ тѣми упражненіями, которымъ посвящается настоящая замѣтка.

Здѣсь во всякомъ случаѣ можно установить, что сумма, напр., сі-\-Ъ есть функція ея слагаемыхъ, что произведеніе аЪ есть функція его множителей, что. напр., выраженіе х2—Зху—Ьу-\-ъх-\А есть функція перемѣнныхъ х и у и т. п.

Далѣе возникаетъ возможность, разсматривая нѣсколько примѣровъ, въ родѣ х2-\-ху-\-у2, 3#24-Зг/2-|-х-\-у и х2—ху—у2 или Зх2-\-Зу2-\-2х-{-1, установить, что первыя два выраженія представляютъ симметрическую функцію перемѣнныхъ х и у, а послѣднія два выраженія представляютъ не симметрическія функціи перемѣнныхъ х и у.

Далѣе возникаетъ вопросъ, какія простѣйшія симметрическія функціи мы знаемъ для двухъ перемѣнныхъ. Отвѣтъ учащіеся находятъ быстро — сумму этихъ перемѣнныхъ и ихъ произведеніе.

Послѣ этого выясняется, что мы можемъ, не рѣшая квадратнаго уравненія, выразить очень просто эти двѣ простѣйшія симметрическія функціи его корней, т.-е. сумму корней и произведеніе корней квадратнаго уравненія.

Затѣмъ возникаетъ вопросъ, какія болѣе сложныя симметрическія функціи корней квадратнаго ур-ія (или вообще двухъ перемѣнныхъ) возможно составить. Здѣсь между прочимъ будетъ обращено вниманіе и на то, что таковыми функціями являются сумма квадратовъ, сумма кубовъ и вообще сумма одинаковыхъ степеней этихъ двухъ перемѣнныхъ.

Тогда на очередь ставится вопросъ: нельзя ли, не рѣшая квадратнаго ур-ія, а пользуясь знаніемъ того, какъ выражаются черезъ коэффиціенты квадратнаго ур-ія сумма его корней и ихъ произведеніе, выразить черезъ эти коэффиціенты также сумму квадратовъ корней квадр. ур-ія, сумму ихъ кубовъ?

Изысканіе рѣшенія этихъ вопросовъ, а также тотъ методъ, который понадобится для этого провести, покажутъ учащимся, что и сумма квадратовъ и сумма кубовъ корней квадратнаго ур-ія могутъ быть выражены черезъ его коэффиціенты, безъ рѣшенія этого ур-ія, при чемъ эти выраженія не должны содержать дѣйствія извлеченія корня; помимо этого, непосредственно полученнаго результата, учащіеся могутъ прійти къ мысли, что, если-бы получить формулу для возведенія двухчлена въ четвертую, въ пятую и т. д. степени, то возможно было бы найти выраженіе черезъ коэффиціенты квадр. ур-ія суммы четвертыхъ, пятыхъ и т. д. степеней его корней, при чемъ эти выраженія также не содержали бы дѣйствія извлеченія корня.

Далѣе составляемъ болѣе сложныя симметрическія функціи корней квадр. ур-ія, напр. хг2-\-х±х2-\-х2 2 илихгх2 2-{-хг 2. х2 или х1 3-}-Зх1у1 -f-уг 3 и т. п., и всякій разъ естественно возникаетъ задача: выразить эти симметрическія функціи черезъ коэффиціенты даннаго ур-ія.

Выполнивъ рядъ такихъ упражненій, учащіеся приходятъ къ мысли, что всякая симметрическая Раціональная функція корней квадратнаго уравненія можетъ быть сведена къ комбинаціи суммы, произведенія и суммы одинаковыхъ степеней корней квадр. ур-ія. Въ связи съ тѣми результатами, какіе были получены выше, здѣсь уже намѣчается и общее заключеніе, что всякая симметрическая Раціональная функція корней квадратнаго уравненія можетъ быть выражена раціонально черезъ коэффиціенты этого уравненія.

Конечно, въ средней школѣ не представляется возможнымъ сдѣлать дальнѣйшіе шаги въ этой работѣ, имѣющей индуктивный характеръ. Объ этомъ, конечно, и жалѣть не приходится. Въ свое время, если учащійся будетъ продолжать заниматься математикой, онъ придетъ, изучая высшую алгебру, и къ общему заключенію о симметрическихъ функціяхъ корней всякаго алгебраическаго уравненія. Средняя школа должна довольствоваться тѣмъ, что она можетъ (и это, мнѣ думается, ея обязанность) положить прочный фундаментъ для будущаго математическаго развитія юношества и возбудить въ немъ интересъ къ изученію тѣхъ вопросовъ, какіе могутъ и должны зародиться подъ вліяніемъ занятій въ средней школѣ.

Н. Извольскій.

Хроника.

Московскій Математическій Кружокъ. Первое засѣданіе Кружка въ настоящемъ учебномъ году состоялось 29 го сентября подъ предсѣдательствомъ проф. Б. К. Млодзѣевскаго. Въ этомъ засѣданіи разсматривался рядъ текущихъ дѣлъ, послѣ чего проф. А. К. Власовымъ было сдѣлано сообщеніе, въ которомъ былъ изложенъ новый способъ рѣшенія задачи: „найти двѣ тройки чиселъ такъ, чтобы были равны и ихъ суммы и суммы ихъ квадратовъ". Въ этомъ докладѣ была намѣчена попытка обобщенія этой задачи; первый шагъ этой попытки таковъ: найти числа а, Ъ, с и d съ одной стороны и числа аА, Ьи cL и dL съ другой, чтобы имѣли мѣсто равенства: 1) а -[- Ь -f- с -f- d = а± -f Ъг cL -f- d19 2) a2 Jrb*Jrc2 + d2z=a2 + b12 + c2 + d2 и 3) + + = аі8+Ьі, + «і8 + *Л

Слѣдующее засѣданіе состоялось 20-го октября. Здѣсь были сдѣланы слѣдующія сообщенія: 1. Ѳ. В. Гусевъ „Объ элементарномъ вычисленіи числа лУ-. 2. А. А. Волковъ „О законахъ сложенія и аксіомахъ порядка". Кромѣ того на этомъ засѣданіи обсуждался вопросъ о томъ, какъ возможно Московскому Математическому Кружку выработать основы курса математики въ средней школѣ. Рѣшено рядъ засѣданій Кружка посвятить бесѣдамь по основнымъ вопросамъ, связаннымъ съ постановкою курса математики въ средней школѣ.

Московскій Городской Музей наглядныхъ пособій. Въ Музеѣ 21-го октября состоялось совѣщаніе группы по отдѣлу начальной математики подъ предсѣдательствомъ Члена Городской Управы Г. А. Пузыревскаго. На этомъ засѣданіи было сдѣлано Н. А. Извольскимъ сообщеніе „О желательной постановкѣ курса ариѳме-

тики въ начальной школѣ". Послѣ обмѣна мнѣній по поводу доклада, состоялась бесѣда по вопросу объ организаціи при Музеѣ ряда чтеній по методикѣ ариѳметики.

Учебный Отдѣлъ Общества Распространенія техническихъ знаній. Въ воскресенье 23-го октября въ Педагогическомъ Музеѣ Отдѣла состоялась первая въ настоящемъ учебномъ году педагогическая бесѣда, при чемъ она была посвящена геометріи, а именно Н. А. Извольскимъ былъ прочитанъ докладъ на тему „О пропедевтическомъ курсѣ геометріи"; послѣ доклада состоялся обмѣнъ мнѣній по поводу его.

Свѣдѣнія о книгахъ по математикѣ и ея методикѣ.

В. В. Добровольскій. Краткія свѣдѣнія по математикѣ и собраніе задачъ для учениковъ ремесленныхъ и техническихъ училищъ. Выпускъ 1-й. Цѣна 1 руб. Изданіе Ремесленнаго Училища имени К. Т. Солдатенкова. Москва 1916.

Книжка на протяженіи 53 страницъ содержитъ 350 задачъ и рядъ свѣдѣнія по ариѳметикѣ и геометріи. Прежде всего вызываютъ полное недоумѣніе тѣ „краткія свѣдѣнія по математикѣ", какія даны въ книжкѣ. Для чего надо было иечатать цѣлый рядъ опредѣленій и правилъ въ родѣ „измѣрить величину значитъ сравнить ее съ другой однородной величиной, принятой за единицу" (стр. 5), „сократить дробь значитъ замѣнить ея числитель и знаменатель меньшими числами, не измѣняя величины самой дроби" (стр. 6), „Всѣ геометрическія свойства предмета образуютъ геометрическое тѣло (стр. 7), „всѣ радіусы круга равны" (стр. 8), „величина или число, подлежащее дѣленію, называется дѣлимымъ" (стр. 13), „площадь трапеціи равна произведенію основанія на среднюю высоту" (стр. 29), „дѣленіе какого-нибудь числа на десятичную дробь производится умноженіемъ сперва его h а единицу со столькими нулями, сколько десятичныхъ знаковъ въ дѣлителѣ и послѣдующемъ дѣленіемъ на дѣлитель, прочитанный безъ запятой" (стр. 34), „Отношеніе ошибки къ самому числу, точному или округленному, называется относительной ошибкой" (стр. 42) и т. д. и т. д.

Возможно еще думать, что запись подобныхъ фразъ самими учащимися въ тетрадяхъ послѣ или во время разработки въ классѣ соотвѣтствующихъ вопросовъ можетъ принести нѣкоторую пользу, но уже совершенно непонятно, какую пользу можетъ принести книга съ этими ученическими записями для тѣхъ, кто не выполнивъ классной работы, которую выполняетъ г. Добровольскій со своими учениками и которая само-собою подразумѣвается—иначе подобныя фразы уже вовсе не имѣли бы значенія. Неужели же г. Добровольскій думаетъ, что сущность обученія математикѣ сводится къ заучиванію такихъ фразъ? На это имѣются намеки: 1) въ этихъ фразахъ слишкомъ много жирнаго шрифта, 2) поясненій или вовсе нѣтъ или они чрезвычайно кратки (напр., вышеприведенная фраза о площади трапеціи вовсе не поясняется, а читателю, знакомому съ геометріею она по первому впечатлѣнію кажется даже странною, и лишь на основаніи конца, стр. 20, можно догадаться, что г. Добровольскій подъ именемъ „трапеція"

понимаетъ лишь такую, у которой 2 угла прямыхъ; или, напр., какое значеніе имѣетъ то поясненіе (4 неполныхъ строчки), какое имѣется на стр. 33 передъ правиломъ умноженія на обыкновенную дробь?. Прибавлю еще, что многія изъ этихъ фразъ до чрезвычайности странны. Примѣры: 1. Съ вышеприведеннымъ опредѣленіемъ „измѣренія величины" въ непосредственной, связи находится слѣдующая фраза на стр. 6. „Такъ какъ каждая величина можетъ быть раздѣлена на сколько угодно равныхъ частей и любая изъ этихъ частей можетъ быть принята за единицу, то всякая величина можетъ быть выражена цѣлымъ числомъ,—стоитъ только за новую единицу принять достаточно малую часть прежней единицы*. А если измѣряемая величина несоизмѣрима съ прежнею единицею? Или авторъ вовсе игнорируетъ случай несоизмѣримости? 2. На стр. 5 по поводу величины также имѣются странныя фразы, напечатанныя жирнымъ шрифтомъ: „Величина есть общее свойство нѣсколькихъ предметовъ; измѣрить величину—значитъ узнать, въ какой мѣрѣ данный предметъ обладаетъ этимъ свойствомъ". Какой хаосъ долженъ получиться у учащихся отъ заучиванія такихъ фразъ. 3. Странною также является фраза: „всѣ геометрическія свойства предмета образуютъ геометрическое тѣло", (стр. 7) и т. д.

Что касается задачъ, имѣющихся въ этой книгѣ, то многія изъ нихъ вовсе не могутъ быть рѣшены учащимися на основаніи лишь того, что дано въ книгѣ. Напр. №№ 172, 173, 175, 179, которыя требуютъ достаточно большихъ указаній, относящихся къ преобразованію фигуръ въ другія, равновеликія даннымъ. №№ 217, 218, 219, 220, 221 и 222 имѣютъ цѣлью, повидимому, освоить учащихся съ подобіемъ треугольниковъ и многоугольниковъ. Конечно, если учитель не проработалъ какъ-либо этого отдѣла, независимо отъ книжки г. Добровольскаго, то ни одинъ изъ учащихся не сможетъ рѣшить даже и первую изъ предложенныхъ задачъ. Итакъ и эти особенности книги намекаютъ на то, что учащій долженъ многое дѣлать такое, о чемъ въ теоретическихъ краткихъ свѣдѣніяхъ, имѣющихся въ этой книгѣ, нѣтъ даже и намека. И невольно приходишь къ мысли, что книжка лишь бы выиграла, если бы изъ нея вовсе выпустить „краткія свѣдѣнія но математикѣ", а оставить лишь задачи. Впрочемъ и какъ задачникъ—книга заставляетъ желать многаго. Вотъ Примѣры. 1. № 11. Какія части единицы получатся, если третью часть ея раздѣлить пополамъ? на 3 равныхъ части? на 5 равныхъ частей? Взять (начертить) отрѣзокъ и уголъ и на нихъ провѣрить полученный результатъ.

Непонятно, почему надо провѣрять это на отрѣзкѣ и на углѣ, а затѣмъ возникаютъ вопросы: 1) нигдѣ въ предыдущемъ нѣтъ указаній, какъ дѣлить отрѣзки и углы на равныя части; въ особенности возникаетъ сомнѣніе по отношенію къ дѣленію угла на 3 и на 5 равныхъ частей. 2. № 14. Дроби g, -g и g выразить дробями со знаменателемъ 12. Результатъ выразить при помощи знака равенства и провѣрить на отрѣзкахъ и на площади круга.

Здѣсь также возникаютъ сомнѣнія о значеніи рекомендуемой провѣрки и о возможности ея выполненія; кромѣ того, возникаетъ вопросъ: что значитъ „результатъ выразить при помощи знака равенства"? — Неужели только то, чтобы учащіеся написали g — и т. д.

Вообще думается, что авторъ злоупотребляетъ этою провѣркою ариѳметическихъ свойствъ на геометрическихъ образахъ (въ дальнѣйшемъ это требованіе провѣрки часто встрѣчается).

3. № 55. Доказать, что противоположные углы равны, составляя сумму каждаго изъ нихъ съ однимъ и тѣмъ же смежнымъ угломъ.

Конечно, доказывать это придется учителю, а не ученику, почему эта задача и ей подобныя—а ихъ много—неумѣстны въ задачникѣ.

4. № 107. При помощи линейки и угольника съ оббитымъ (съ отби-

тымъ?) прямымъ угломъ провести двѣ пересѣкающіяся на чертежѣ перпендикулярныя прямыя (зная изъ предыдущей задачи свойство угловъ съ перпендикулярными сторонами).

Эта задача одна изъ многихъ непонятныхъ задачъ. При чемъ здѣсь ссылка на свойство угловъ съ перпендикулярными сторонами? Непонятны также задачи №№ 111, 112 (для учениковъ), 156, 178 и др. Х«№ 225, 286, 293 могутъ быть понятны, да и то съ оговорками, лишь москвичамъ.

5. Какое значеніе имѣетъ единственная за № 333 задача на учетъ векселей?

Несмотря на указанные недостатки, задачи, напечатанныя въ этой книгѣ, въ общемъ заслуживаютъ вниманія.

Въ настоящемъ своемъ видѣ книга можетъ оказаться даже вредною для дѣла. Если изъ нея будутъ выброшены „краткія свѣдѣнія по математикѣ" и если будетъ нѣсколько переработать ея задачный отдѣлъ, то книга можетъ оказаться и не безынтересной и не безполезной.

В. И. Лебедевъ. Очерки по исторіи точныхъ наукъ. Выпускъ второй. Кто авторъ первыхъ теоремъ геометріи? Москва 1916. Цѣна 1 рубль.

Настоящій, второй, выпускъ значительно слабѣе перваго „Кто изобралъ алгебру?".

Совершенно непонятно, для чего въ книгѣ, посвященной исторіи геометріи, потребовалосъ приводить рисунокъ „древнейшаго (?) стекляннаго сосуда въ мірѣ. Изъ цвѣтного стекла съ именемъ Тутмеса" или „Отрывокъ изъ папируса Эберса. Рецептъ противъ колдовства", Вавилонскіе гребни изъ слоновой кости", названія дней недѣли, Вавилонскія, Римскія, Англійскія Французскія и Нѣмецкія и т. д, и т. д.

Страннымъ также представляется, что авторъ на стр. 16 дѣлаетъ ошибку, полагая, что 122=32-j-72, и приписываетъ Египтянамъ построеніе прямого угла при помощи веревки, сводящееся къ построенію треуг-ка со сторонами 12, 3 и 7 (стр. 15 и 16).

Бросается въ глаза крайняя бѣдность содержанія этой книжки. Не считая перечня „Сочиненій по исторіи математики на русскомъ языкѣ", въ ней всего 50 стр., и многія изъ нихъ посвящены, какъ видно даже не матиматикѣ.

Да и тѣ страницы, которыя посвящены геометріи, заполняются матеріаломъ, мало относящимся къ исторіи геометріи или вовсе къ ней неотносящимся. Такъ, напр., для чего на стр, 36 и 37 дано обычное Евклидовское доказательство того, что сумма внутреннихъ угловъ треуг-ка=2d? Зачѣмъ на стр. 42 данъ выводъ равенства для сторонъ прямоугольнаго треугольника ABC, что ВС2=АВ2+АС2, изъ разсмотрѣнія подобныхъ треугольниковъ?—вѣдь этотъ выводъ имѣется въ любомъ учебникѣ геометріи. Зачѣмъ на стр. 44 даны рисунки (и довольно плохіе) 5 тѣлъ Платона (по тексту книги можно думать, что эти тѣла — правильные многогранники—были, по мнѣнію автора, построены Пиѳагоромъ)?—развѣ эти тѣла не извѣстны изъ обычнаго курса геометріи? Зачѣмъ стр. 47 и 49 заполнены выкройками этихъ тѣлъ?—развѣ склеиваніе этихъ тѣлъ является вопросомъ, связаннымъ съ заглавіемъ книги „Кто авторъ первыхъ теоремъ геометріи?"? И т. д. и т. д.

Общее впечатлѣніе таково: авторъ не зналъ, чѣмъ ему заполнить тѣ страницы, какія надо было написать, чтобы получилась книга, и заполнялъ ихъ матеріаломъ, очень мало подходящимъ къ заглавію книги. Полагаю, что даже и для учениковъ гимназій книга окажется лишенной интереса, а для болѣе „юнныхъ любителей математики" окажется вовсе непонятною.

Н. Извольскій.

Книги, поступившія въ редакцію.

Н. Г. Лексинъ. Методика алгебры. Методическія указанія и примѣра ные уроки по наглядно лабораторному способу. Изданіе книжнаго магазина Маркелова и Шаронова. Казань, 1916. ц. 3 руб-.

В. И. Лебедевъ. Очерки но исторіи точныхъ наукъ. Выпускъ второй. Кто авторъ первыхъ теоремъ геометріи? Москва, 1916. Цѣна 1 рубль.

Д. А. Бемъ, А. А. Волковъ, Р. Э. Струве. Сокращенный сборникъ упражненій и задачъ по элементарному курсу алгебры. Книгоиздательство Т-ва И. Д. Сытина, Москва, 1917. Цѣна 1 р. 25 коп.

В. П. Ивановъ. Изобранныя главы элементарной алгебры. Баку, 1916. Цѣнь 1 рубль.

А. П. Киселевъ. Краткая ариѳметика для высшихъ начальныхъ училищъ. Изданіе 20-е Т-ва „В. В. Думновъ, наслѣдн., Бр. Салаевыхъ" 1917. Цѣна 45 коп.

В. З. Рабцевичъ. Методика начальной ариѳметики. Руководство для учителей и учительницъ начальныхъ училищъ, для учительскихъ институтовъ и семинаріи, для педагогическихъ классовъ женскихъ гимназій. Черниговъ. 1899. Цѣна 90 коп, съ псресыл. 1 р.

ИСПРАВЛЕНІЕ.

Въ № 5 за 1916 г. на стр. 141 строка снизу напечатано: зависитъ отъ ...

Слѣдуетъ читать: зависитъ отъ п.

Редакторъ-Издатель Н. А. ИЗВОЛЬСКІЙ.

Типо-Литографія Русскаго Товарищества, Чистые пруды, Мыльниковъ пер., с. д.