Математическій Вѣстникъ.

№ 6. Октябрь 1916 г.

Годъ третій.

Адресъ редакціи: Москва, Гороховскій пер., д. 23, кв. 9. Тел.3-19-55.

Содержаніе: О желательной постановкѣ преподаванія математики въ высшихъ начальныхъ училищахъ. — Н. Агрономовъ. О нѣкоторыхъ ариѳметическихъ выводахъ, вытекающихъ изъ разсмотрѣнія алгебраическихъ тождествъ. — Н. Извольскій. О задачахъ на пропорціональное дѣленіе. — Н. Извольскій. Описаніе одного урока во II отд. школы.— Письмо въ редакцію И. Александрова. — Свѣдѣнія о книгахъ по математикѣ и ея методикѣ. (В. И. Лебедевъ. Кто изобрѣлъ алгебру? — Т. Ѳ. Лапикъ. Задачникъ по ариѳм. для 3 и 4 отд. — Книги, поступившія въ редакцію.)

О желательной постановкѣ курса математики въ высшихъ начальныхъ училищахъ.

Въ Москвѣ отъ 26 мая по 18 іюня 1916 г. происходили курсы для гг. учащихъ въ высшихъ начальныхъ училищахъ Московской губ., устроенные по иниціативѣ г. Директора народныхъ училищъ Моск. губ. А. И. Одинцова1).

Чтобы закрѣпить до извѣстной степени результаты всей работы, какая произведена была на этихъ курсахъ въ области математики, лекторъ по математикѣ Н. А. Извольскій составилъ записку, которая обсуждалась всѣми слушателями при участіи г-на Директора нар. учил. А. И. Одинцова. Въ общемъ положенія, изложенныя въ запискѣ, были большинствомъ слушательницъ и слушателей встрѣчены очень благожелательно,— возраженія высказывались лишь со стороны очень немногихъ слушателей. Во время обсужденія этой Записки были сдѣланы нѣкоторыя дополненія и небольшія исправленія.

1) См. «Матем. Вѣстникъ», № 4 за 1916 г., стр. 122.

Эта записка (съ исправленіями и дополненіями) и печатается въ настоящемъ № «Матем. Вѣстника».

Ариѳметика.

Цѣлыя числа.

Такъ какъ поступающіе въ высшія начальныя училища уже владѣютъ до нѣкотораго предѣла дѣйствіями надъ цѣлыми числами, то въ I кл., въ курсѣ цѣлыхъ чиселъ, является необходимымъ: 1) пополнить тѣ недочеты, какіе могутъ оказаться у учащихся, въ умѣніи пользоваться десятичною системою счисленія, а также въ выполненіи дѣйствій надъ числами въ предѣлахъ (напр., до 1000), уже изученныхъ до поступленія въ высшія нач. училища; 2) расширить познанія учащихся въ этомъ направленіи, т.-е. пройти все Счисленіе во всей его полнотѣ и выработать навыкъ въ выполненіи дѣйствій надъ какими - угодно числами; 3) пополнить тѣ недочеты, какіе могутъ оказаться у учащихся въ умѣніи прикладывать свои ариѳметическія знанія къ практическимъ вопросамъ (другими словами: пополнить недочеты, обнаруженные при рѣшеніи задачъ).

Таково должно быть отношеніе со стороны техники; однако, этого мало. Желательно обратить вниманіе и на идейную сторону дѣла. Прежде всего необходимо, если окажется (а это почти навѣрное можетъ случиться), что при начальномъ обученіи на это не было обращено вниманія, сдѣлать такъ, чтобы учащимся стала ясна идея прямыхъ и обратныхъ дѣйствій: вычитаніе обратно сложенію и дѣленіе обратно умноженію. Далѣе необходимо, чтобы при выполненіи дѣйствій учащіеся могли, если то понадобится, дать Отчетъ о значеніи каждой цифры, ими написанной; въ частности, въ то время, когда учащійся пишетъ результатъ дѣйствія, необходимо, чтобы онъ представлялъ, какой разрядъ выражаетъ каждая написанная имъ цифра. (Недостатки этого рода особенно отзываются на дѣленіи.)

Выполнять дѣйствія учащіеся должны главнымъ образомъ на основаніи яснаго представленія о смыслѣ этого дѣйствія, но не на основаніи какихъ-либо заученныхъ правилъ. Въ частности, слѣдуетъ изгнать заучиваніе (а слѣдовательно, и спрашиваніе) правилъ сложенія, вычитанія, умноженія и, если это еще гдѣ-либо практикуется, дѣленія цѣлыхъ чиселъ: эти правила, характеризующіяся словами: «надо провести черту», въ сущности, и за правила не должны считаться.

При выполненіи дѣйствій желательно по возможности выполнять вычисленія въ умѣ, записывая лишь результатъ; къ записи «столбцомъ» слѣдуетъ прибѣгать лишь изъ соображеній удобства при оперированіи надъ большими числами.

Желательно, не забивая учащихся вычисленіями длиннаго ряда примѣровъ и рѣшеніями множества задачъ, ввести въ курсъ упражненія, которыя требовали бы отъ учащихся «комбинаціонной» работы и которыя состояли бы: 1) въ составленіи учащимися примѣровъ и задачъ, направляемомъ извѣстною цѣлью или опредѣленною мыслью (наличность цѣли или руководящей мысли необходима для того, чтобы такая работа достигала цѣли); 2) въ извѣстной работѣ надъ рѣшенными задачами, позволяющей, съ одной стороны изучать зависимости, описанныя въ задачѣ, а съ другой стороны, пріучать учащихся къ отыскиванію замысла задачи; 3) въ изысканіяхъ комбинаціоннаго характера въ области чиселъ, позволяющихъ устанавливать особенности нѣкоторыхъ чиселъ1).

Требованіе умѣть рѣшать замысловатыя задачи, предъявляемое учащимся, не должно имѣть мѣста, но должно стремиться возбуждать у учащихся интересъ къ такимъ задачамъ, интересъ къ тому, чтобы проникнуть въ замыселъ того, кто составилъ задачу. Основою для послѣдняго должно служить то чувство удовлетворенія, какое возникаетъ, если замыселъ задачи открытъ, —все это отпадаетъ и ведетъ даже къ отрицательнымъ результатамъ, если въ основу работы надъ рѣшеніемъ задачъ будетъ поставлено «натаскиваніе».

Слѣдуетъ удалить изъ курса опредѣленія понятій о числѣ и о сложеніи, такъ какъ эти понятія опредѣленію не поддаются, а тѣ опредѣленія, какія имѣются въ учебникахъ, вызываютъ большія сомнѣнія. Опредѣленія другихъ дѣйствій могутъ быть вводимы въ курсъ, однако только такія, какія не вызываютъ сомнѣній2), при чемъ слѣдуетъ имѣть въ виду, что наиболѣе цѣннымъ является не знаніе извѣстнаго опредѣленія, возникшее путемъ заучиванія фразы, но умѣніе выяснить значеніе каждаго дѣйствія на примѣрахъ.

Часть курса, называемую «Составныя именованныя числа», возможно было бы значительно сократить, удаливъ изъ курса такія составныя имен. числа, которыя составлены изъ многихъ названій и которыя не имѣютъ значенія для практики (напр., 48 миль 6 верстъ 52 саж. 2 арш. 4 вершка). Возможно было бы, хотя обязательнымъ это считать и нельзя, составныя имено-

1) Такія же упражненія желательны и въ курсѣ дробей. Примѣры подобныхъ упражненій имѣются въ книжкѣ: Н. А. Извольскій, Комбинаціонная работа, розданной всѣмъ слушателямъ курсовъ.

2) Напр., опредѣленіе вычитанія, какъ дѣйствія, при помощи котораго изъ одного числа отсчитывается столько единицъ, сколько ихъ въ другомъ, вызываетъ сомнѣніе, такъ какъ слово «отсчитывается» можетъ быть понимаемо, какъ синонимъ слова «вычитается». Опредѣленіе вычитанія, какъ дѣйствія обратнаго сложенію, не вызываетъ сомнѣній.

ванныя числа проходить по частямъ, вмѣстѣ съ отвлеченными числами, и не дѣлать изъ нихъ отдѣльной статьи.

Дроби.

Желателенъ слѣдующій планъ курса дробей, который находитъ все больше и больше сторонниковъ.

Сначала проходится курсъ обыкновенныхъ дробей, знаменатели которыхъ удобны для выполненія надъ такими дробями дѣйствій (въ частности, для нахожденія общаго наименьшее кратнаго не требуютъ разложенія на простые множители). Въ этомъ курсѣ главное вниманіе должно быть обращено на уясненія смысла каждаго дѣйствія.

Затѣмъ проходится курсъ десятичныхъ дробей, при чемъ въ случаѣ, когда при дѣленіи получается періодическая дробь, слѣдуетъ ограничиваться лишь приближеннымъ частнымъ. Послѣ этого можно вновь возвратиться къ обыкновеннымъ дробямъ, при чемъ уже ввести въ дѣло нѣкоторые признаки дѣлимости, разложеніе сложныхъ чиселъ на простые множители и нахожденіе общаго наименьшаго кратнаго1), что позволитъ здѣсь заниматься дробями со всякими знаменателями (желательно, однако, и здѣсь не выбирать слишкомъ неудобныхъ знаменателей). Курсъ дробей можно было бы закончить пріученіемъ учащихся къ нахожденію приближенныхъ рѣшеній задачъ (съ обыкновенными или десятичными дробями — безразлично) при помощи десятичныхъ дробей. Можно было бы даже предоставлять учащимся свободный выборъ: рѣшать ли задачу обыкновенными дробями и дать отвѣтъ, хотя и безусловно вѣрный, но не имѣющій практическаго значенія (напр., =7^- рубля) или приближенный отвѣтъ въ десятичныхъ дробяхъ (а иногда даже и въ простыхъ: 0,718 рубля или 714/5 коп.). Во многихъ практическихъ вопросахъ такіе Отвѣты болѣе цѣнны. Что касается болѣе подробнаго изученія признаковъ дѣлимости, нахожденія общаго наибольшаго дѣлителя и другихъ вопросовъ, связанныхъ съ дѣлимость«) чиселъ (относящихся къ области теоріи чиселъ), то ихъ слѣдовало бы отнести въ конецъ курса ариѳметики, при да въ имъ самостоятельное значеніе2).

При прохожденіи курса дробей надо отъ нѣкоторыхъ правилъ вовсе отказаться, напр., отъ правилъ обращенія смѣшаннаго числа въ неправильную дробь, исключенія цѣлаго числа изъ

1) Нахожденіе общ. наиб. дѣлителя могло бы быть безъ всякаго вреда (а можетъ быть и съ пользою) для дѣла изъ этого мѣста курса вовсе удалено.

2) Слѣдуетъ указать на книгу: А. В. Васильевъ, Введеніе въ анализъ, часть I. Здѣсь гг. преподаватели могли бы найти многое, что и заинтересовало бы учащихся и могло бы быть проработано въ классѣ.

неправильной дроби, приведенія дробей къ общему знаменателю, умноженія и дѣленія смѣшанныхъ чиселъ; всѣ они, въ сущности, являются вредными для усвоенія курса дробей. Другія правила, какъ-то: правило сложенія и вычитанія дробей съ одинаковыми знаменателями, умноженія и дѣленія на дробь, можно ввести въ курсъ, но уже послѣ многочисленныхъ упражненій, выполняемыхъ безъ правилъ. Во всякомъ случаѣ слѣдуетъ отказаться отъ традиціоннаго порядка: при ознакомленіи съ новымъ дѣйствіемъ скорѣе выводятъ правило, заставляютъ учащихся запомнить его и въ дальнѣйшемъ ему механически слѣдовать. Такой порядокъ является во многихъ случаяхъ источникомъ ошибокъ, и его слѣдуетъ немедленно удалить изъ обихода школы. Во главу обученія дѣйствіямъ надъ дробями слѣдуетъ поставить усвоеніе смысла каждаго дѣйствія. Пусть учащіеся долгое время выполняютъ эти дѣйствія безъ правилъ, а на основаніи усвоеннаго смысла, и лишь впослѣдствіи, при оперированіи надъ болѣе сложными дробями, можетъ быть введено въ обиходъ и правило.

Періодическія дроби могутъ быть введены въ курсъ лишь мимоходомъ: возможенъ случай, что при обращеніи обыкновенной дроби въ десятичную или при дѣленіи десятичныхъ дробей получается періодическая дробь. Вводить въ дѣло пріемы обращенія періодическихъ дробей въ простыя не слѣ. дуетъ; предпочтительнѣе, если встрѣтится періодическая дробь, замѣнять ее приближенною конечною дробью.

Задача на пропорціональныя величины, проценты и т. п.

Здѣсь слѣдуетъ курсъ ариѳметики значительно разгрузить. Прежде всего должно вовсе удалить задачи на учетъ векселей и значительно упростить отдѣлъ задачъ на смѣшеніе, а можетъ быть и вовсе не дѣлать изъ этихъ задачъ особаго отдѣла, а распредѣлить ихъ по другимъ отдѣламъ курса. Если задачи на учетъ векселей нужны для коммерческой ариѳметики или для счетоводства и бухгалтеріи, то наилучшимъ рѣшеніемъ вопроса и было бы перенесеніе этихъ задачъ въ эти предметы, такъ какъ: 1) для математики онѣ не нужны и 2) учащіеся III класса высшихъ начальныхъ училищъ не имѣютъ столько опыта въ коммерческихъ дѣлахъ, чтобы можно было признать эти задачи соотвѣтствующими ихъ развитію и могущими возбудить ихъ интересъ.

Необходимо удалить изъ курса ариѳметики ученіе о пропорціяхъ (ему мѣсто въ курсѣ алгебры, во время прохожденія ур-ій первой степени съ однимъ неизвѣстнымъ); отношенія и понятіе о возможности ихъ равенства должны быть сохранены

Задача на пропорціональныя величины (на тройное правило) должны рѣшаться при помощи приведенія къ единицѣ и, можетъ быть, способомъ отношеній, причемъ должны быть изгнаны задачи съ очень большимъ числомъ условій: пусть учащіеся усвоятъ сущность этихъ методовъ, на задачахъ, гдѣ входятъ 2, 3 и самое большее 4 величины, и это будетъ лучше, чѣмъ механическое рѣшеніе такихъ задачъ съ 5, 6 и болѣе величинами.

Задачи на проценты слѣдуетъ ограничить задачами слѣдующихъ видовъ: 1) Найти нѣсколько процентовъ (5%; 15%; 127,%; 200%; 150% и т. п.) отъ даннаго числа, 2) сколько процентовъ одно данное число составляетъ отъ другого? 3) товаръ проданъ за столько-то рублей съ прибылью во столько-то процентовъ; какова настоящая стоимость товара? (возможно Вмѣсто прибыли ввести убытокъ), 4) четыре основныхъ задачи о капиталахъ, отдаваемыхъ въ ростъ. Первыя 3 категоріи задачъ удобнѣе, пожалуй, рѣшать при помощи дробей (1%= = 1/100), а задачи четвертой категоріи—приведеніемъ къ единицѣ.

Задачи на пропорціональное дѣленіе слѣдуетъ рѣшать безъ помощи пропорцій.

Распредѣленіе курса по классамъ.

Предлагаемое распредѣленіе только примѣрное, такъ какъ должно предоставить преподавателю свободу расширить одинъ отдѣлъ, сокративъ другіе, и обратно, благодаря чему можетъ до извѣстной степени измѣняться распредѣленіе курса по классамъ.

I классъ (4 урока). Цѣлыя числа, включая сюда и составныя именованныя числа. Измѣреніе площадей и объемовъ (квадр. и кубич. мѣры) возможно было бы перенести въ тѣ классы, гдѣ проходятся соотвѣтствующія части курса геометріи, но возможно и обратное: поставить курсъ геометріи I кл. такъ, чтобы этотъ отдѣлъ получилъ прочное основаніе (см. геометрію). Начало перваго концентра курса обыкновенныхъ дробей, кончая, напр., сложеніемъ и вычитаніемъ дробей.

II классъ (3 урока). Окончаніе перваго концентра курса обыкновенныхъ дробей. Курсъ десятичныхъ дробей и второй концентръ курса обыкновенныхъ дробей.

III классъ (2 урока). Задачи на пропорціональныя величины, проценты и пропорціональное дѣленіе. О дѣлимости чиселъ (начальныя свѣдѣнія изъ теоріи чиселъ), въ предположеніи, что на это останется время.

Въ IV классѣ нѣтъ нужды удѣлять время на ариѳметику; предполагаемый 1 часъ лучше отнести къ курсу алгебры, на которую отведено очень мало времени.

Геометрія.

Прежде всего слѣдуетъ высказаться опредѣленно отрицательно по поводу того пропедевтическаго курса геометріи, который практикуется нынѣ въ I классѣ высшихъ начальныхъ училищъ и который имѣется въ учебникахъ Вулиха, Шафрова, Рашевскаго и др. Отрицательное отношеніе къ этому курсу вытекаетъ изъ того, что здѣсь и мысль и воображеніе учащихся загромождается чисто описательною работою тѣхъ сложныхъ геометрическихъ образовъ, какіе имѣются въ этомъ курсѣ. Такъ какъ надъ этими образами не выполняется никакой геометрической работы (которая въ концѣ концовъ сводится или къ полученію, главнымъ образомъ построеніемъ, опредѣленнаго геометрическаго образа или къ изученію тѣхъ вопросовъ, какіе возникаютъ при его полученіи), то, въ сущности говоря, этотъ годъ проходитъ безрезультатно для геометрическаго развитія учащихся. Пропедевтическій курсъ геометріи, по крайней мѣрѣ въ вышеуказанной формѣ, является непроизводительною тратою времени.

Слѣдуетъ съ самаго начала повести курсъ геометріи такъ чтобы это начало являлось первымъ шагомъ пріученія учащихся къ геометрической работѣ. Въ такомъ случаѣ необходимо начать съ простѣйшихъ образовъ, т.-е. съ прямой линіи, съ отрѣзковъ, съ угловъ, пріучая учащихся оперировать надъ ними. Такимъ образомъ это было бы началомъ обыкновеннаго курса геометріи.

Возможно, если то покажется нужнымъ, нѣсколько упростить это начало геометріи, отказавшись отъ обязательнаго примѣненія циркуля и замѣняя послѣдній бумажной линейкой, на которую можно наносить данные отрѣзки, а также пользуясь бумажными моделями угловъ вообще и, въ частности, прямого угла, при помощи которыхъ можно ознакомить учащихся и со сравненіемъ угловъ и съ дѣйствіями надъ углами. Взамѣнъ такого упрощенія курса возможно довести учащихся уже въ началѣ курса до сознанія: я умѣю построить (конечно, при помощи вышеуказанныхъ моделей) квадратъ, прямоугольникъ, сѣтку куба, при чемъ изъ послѣдней могу склеить модель куба. Этимъ была бы достигнута извѣстная связь между геометріею и ариѳметикою, при чемъ преподаватель могъ бы, въ зависимости отъ своихъ взглядовъ, сдѣлать ее болѣе или менѣе тѣсной). Конечно, для такой постановки дѣла крайне желательно, чтобы преподаваніе ариѳметики и геометріи было поручаемо въ этомъ классѣ одному преподавателю1).

1) Хотѣлось бы высказать такое же пожеланіе и для слѣдующихъ классовъ.

Условія преподаванія геометріи въ высшихъ начальныхъ училищахъ въ сущности крайне благопріятны: курсъ проходится въ 4 года и на него отведено 8 часовъ — этого нѣтъ нигдѣ въ среднихъ учебныхъ заведеніяхъ.

Поэтому возможно было бы поставить курсъ геометріи въ высшихъ начальныхъ училищахъ такъ, чтобы онъ почти совпадалъ съ курсомъ среднихъ учебныхъ заведеній, при чемъ однако, необходимо 1) упростить курсъ, удаляя тѣ вопросы, которые требуютъ большихъ алгебраическихъ выкладокъ, къ которымъ учащіеся высшихъ начальныхъ училищъ не привыкли, 2) очистить этотъ курсъ отъ тѣхъ вопросовъ, которые, въ сущности, ни для дальнѣйшаго развитія курса геометріи, ни для практическихъ цѣлей не нужны (напр., 4-й случай — по Вулиху — равенства треугольниковъ безъ всякаго ущерба можетъ быть выброшенъ, 2. при изученіи подобія треуг-ковъ достаточно ограничиться лишь однимъ, основнымъ, признакомъ подобія треуг-ковъ: если два угла одного треугольника соотвѣтственно равны двумъ угламъ другогф, то треуг-ки подобны, 3. теоремы о равенствѣ и подобіи многоуг-ковъ могутъ быть удалены изъ курса, достаточно дать понятіе о подобіи многоугольниковъ, 4. изученіе угловъ съ вершиною внутри или внѣ круга можетъ войти лишь въ качествѣ упражненій и т. д.).

Представлялось бы крайне желательнымъ измѣнить самое направленіе преподаванія. Вмѣсто того, чтобы объясняли доказательства теоремъ и требовать отъ учащихся заучиванія какъ теоремъ, такъ и ихъ доказательствъ, желательно, чтобы курсъ геометріи состоялъ изъ изученія тѣхъ вопросовъ и задачъ, которые естественно возникаютъ при разсмотрѣніи построенія сначала простѣйшихъ, а потомъ все усложняющихся образовъ1). Особенно хотѣлось бы установить такое направленіе для начала стереометріи.

Во всякомъ случаѣ необходимо вопросъ о происхожденіи теоремъ выдвинуть на видное мѣсто, чтобы у учащихся не образовалось представленія о геометріи, какъ о собраніи неизвѣстно почему, откуда и зачѣмъ появившихся теоремъ, при чемъ почему-то ихъ надо доказывать.

Трудно дать даже примѣрное распредѣленіе матеріала по классамъ. Во всякомъ случаѣ не слѣдуетъ спѣшить прохожденіемъ началъ курса: если основанія будутъ прочны у учащихся, то дальнѣйшій курсъ явится возможнымъ ускорить.

Вотъ попытка, можетъ быть и неудачная, распредѣленія матеріала по классамъ:

I классъ (1 урокъ). Выполненіе дѣйствій надъ прямолинейными отрѣзками и углами; употребленіе циркуля; изуче-

1) Теоремы появлялись бы, какъ результатъ разучиванія этихъ вопросовъ, въ случаѣ, если удастся подмѣтить что-либо особенное, интересное.

ніе возникающихъ здѣсь вопросовъ (смежные и вертикальные углы); треугольники и признаки ихъ равенства.

Примѣчаніе. Возможно, какъ то выше разъяснено, содержаніе курса этого класса измѣнить: упростить начало курса, не вводить въ дѣло, напр., циркуль, отложить до II кл. изученіе треуг-ковъ, но зато довести учащихся до построенія (при помощи моделей угловъ) квадрата, прямоугольника и сѣтки куба.

II классъ (2 урока). Если курсъ I кл. былъ упрощенъ, то необходимо пополнить его; прежде всего необходимо ввести изученіе круга1) и употребленіе циркуля. Затѣмъ надо пройти: изученіе параллельности и перпендикулярности прямыхъ, параллелограмма и его частныхъ видовъ, геометрическихъ мѣстъ точекъ, равноотстоящихъ отъ двухъ данныхъ точекъ и отъ двухъ данныхъ прямыхъ (здѣсь много пользы принесло бы употребленіе цвѣтныхъ мѣлковъ и карандашей).

III классъ (2 урока). Изученіе вопросовъ, связанныхъ съ построеніемъ круга (основной вопросъ: сколькими точками опредѣляется положеніе круга? а затѣмъ, послѣ ознакомленія съ касательными, возникъ бы вопросъ: сколько надо задать прямыхъ, чтобы требованіемъ касаться ихъ опредѣлялось конечное число круговъ?); углы въ кругѣ; геометрическое изученіе площадей. Отношеніе прямолинейныхъ отрѣзковъ; измѣреніе отрѣзковъ, угловъ, дугъ одного круга, площадей прямоугольниковъ , параллелограммовъ, треугольниковъ, трапецій.

IV классъ (3 урока). Пропорціональность отрѣзковъ и подобіе треугольниковъ; примѣненіе подобія треуг-ковъ къ изученію различныхъ фигуръ. Понятіе о подобіи многоуг-ковъ. Измѣреніе длины и площади круга. Стереометрія, при чемъ желательно ту ея часть, которая относится къ ученію объ особенностяхъ расположенія прямыхъ и плоскостей въ пространствѣ, развить много шире, чѣмъ это имѣетъ мѣсто, напр., въ учебникѣ Вулиха.

Слѣдуетъ замѣтить, что есть поводъ еще разъ подтвердить желаніе, чтобы ариѳметика и геометрія въ I классѣ были въ рукахъ одного преподавателя: тогда возможно было бы Вмѣсто того, чтобы заниматься геометріею цѣлый годъ по 1 часу въ недѣлю (что, въ сущности, крайне неудобно), ввести этотъ курсъ лишь со 2-го полугодія, но зато по 2 часа въ недѣлю.

Алгебра.

На алгебру отведено, согласно проекту, всего 4 часа. Поэтому maximum того, что желательно сдѣлать, является: дѣйствія

1) Термины «кругъ» и «окружность» здѣсь употребляются какъ синонимы для обозначенія линіи; часть площади, ограниченная этою линіею, называется здѣсь «площадью круга» (или «площадью окружности»).

надъ относительными числами; простѣйшія преобразованія раціональныхъ выраженій и изученіе уравненій первой степени съ 1, 2 и 3 неизвѣстными.

Если возможно посвятить алгебрѣ еще 5-й часъ, взявъ его отъ ариѳметики въ IV кл. (см. выше), то возможно присоединить сюда извлеченіе корня и квадратныя ур-ія съ 1 неизвѣстнымъ.

Алгебра является отраслью математики, гдѣ наиболѣе ясно выступаетъ ея формальный характеръ. Однако было бы большою педагогическою ошибкою сразу же придать преподаванію алгебры формальный характеръ. Съ одной стороны, казалось бы крайне желательнымъ въ основу изученія относительныхъ чиселъ и дѣйствій надъ ними поставить эти числа въ связь съ процессами, имѣющими мѣсто на практикѣ, откуда выяснилась бы и польза введенія чиселъ со знаками и то толкованіе дѣйствій надъ ними, которое оказалось бы наиболѣе удобнымъ. Съ другой стороны, слѣдуетъ удалять по возможности доказательства формальнаго характера. Напр., въ сущности мы убѣждены, что вовсе не потому, что имѣется формальное (и крайне трудно воспринимаемое) доказательство этого, а потому, что къ этому насъ привелъ рядъ упражненій надъ дробями въ ариѳметикѣ.

При прохожденіи уравненій 1-й степени слѣдуетъ не только развивать у учащихся механизмъ рѣшенія ур-ій, но и добиваться пониманія той зависимости между перемѣнными (этотъ терминъ предпочтительнѣе, чѣмъ «неизвѣстные»), какая налагается на нихъ этимъ ур-іемъ. Результатомъ пониманія такой зависимости явится умѣніе находить сколь угодно много рѣшеній, напр., ур-ія Зя+5?/=13.

При изученія дѣйствія извлеченія корня (если на это будетъ время) не слѣдуетъ ставить главною задачею навыкъ въ механическомъ выполненіи обычнымъ пріемомъ извлеченія квадратнаго корня; здѣсь достаточно ограничиться не «длинными» числами. Гораздо существеннѣе пониманіе того, что мы можемъ приблизительно вычислить (съ малою степенью точности) любой корень. Напр., пусть требуется приблизительно вычислить з— \ уі9, напр., съ точностью до Мы непосредственно видимъ, что результатъ извлеченія больше 2 (ибо 23=8) и меньше 3 (ибо 33=27). Испробуемъ теперь числа: 2^; 2^; 2|. Возведя ихъ въ кубъ, получимъ: 11~; 15^; 20^, откуда видимъ, что искомый результатъ больше 2- и меньше 2-, т.-е. мы можемъ сказать, что |/19=приблизительно или 2-или 2-, при чемъ

въ обоихъ случаяхъ ошибка меньше Знаніе этого имѣетъ большее значеніе и для развитія и для практической дѣятельности, чѣмъ навыкъ въ «длинныхъ» извлеченіяхъ квадратнаго корня обычнымъ алгориѳмомъ.

Что касается квадратныхъ ур-ій, то слѣдуетъ пожелать, чтобы формула для ихъ рѣшенія не выводилась сразу, а чтобы нѣкоторое время учащіеся получали рѣшенія квадратнаго ур-ія безъ механическаго пользованія формулой.

Матеріалъ можетъ быть приблизительно распредѣленъ по классамъ такъ:

III классъ (2 урока). Введеніе буквъ (если это не сдѣлано въ курсѣ ариѳметики) и повтореніе ариѳметическихъ дѣйствій, при чемъ желательно уже здѣсь ввести понятіе о возведеніи въ степень ариѳметическихъ чиселъ, а можетъ быть даже и о двухъ обратныхъ ему дѣйствіяхъ. Введеніе чиселъ со знаками; дѣйствія надъ ними. Одночлены, многочлены; дѣйствія надъ ними (возможно выпустить вовсе дѣленіе многочлена на многочленъ), при чемъ слѣдуетъ ограничиться лишь очень простыми примѣрами. Дѣйствія надъ очень простыми алгебраическими дробями.

IV классъ 1) (въ предположеніи 2 ур.). Ур-ія первой степени съ 1, 2 и отчасти съ 3 неизв.1). Задачи на составленіе ур-ій.

2) (въ предположеніи 3 ур.). Къ предыдущему присоединить еще извлеченіе корня и рѣшеніе квадратныхъ ур-ій.

О нѣкоторыхъ ариѳметическихъ выводахъ, вытекающихъ изъ разсмотрѣнія алгебраическихъ тождествъ.

Въ настоящей замѣткѣ я намѣренъ указать на интересныя ариѳметическія предложенія, вытекающія изъ разсмотрѣнія нѣкоторыхъ алгебраическихъ тождествъ. Мнѣ думается, что при комбинаціонномъ направленіи въ преподаваніи ариѳметики содержащійся въ замѣткѣ матеріалъ не лишенъ практическаго значенія.

1) Во время изученія ур-ій съ 1 неизв. желательно остановиться и на пропорціяхъ.

1. Нетрудно провѣрить, что

Пусть теперь

гдѣ ах, а2. «з, /?2, ß3, однозначныя числа. При такомъ предположеніи наше тождество даетъ слѣдующую теорему:

Если въ трехзначномъ числѣ N замѣнимъ послѣдовательно цифры нулями и умножимъ образовавшіяся такимъ образомъ 3 числа на три числа, полученныя изъ другого трехзначнаго числа замѣной двухъ цифръ нулями, но такъ, чтобы въ каждомъ произведеніи не было бы дважды нуля въ одномъ и томъ же разрядѣ, то сумма этихъ трехъ произведеній равна суммѣ трехъ другихъ произведеній, образованныхъ подобнымъ же образомъ, но съ той разницей, что роль N исполняетъ N1? и наоборотъ.

Примѣръ 1-й. Даны числа 123 и 456. Первыми тремя произведеніями будутъ:

Сумма трехъ произведеній 15070. Слѣдующими тремя произведеніями будутъ.

Сумма этихъ трехъ произведеній равна 15070. Примѣръ 2-ой. 568 и 417. 500 . 17+60 . 407+8 . 410=400 . 68+10 . 508+7 . 560=36200.

2. Столь же просто можно убѣдиться съ правильности тождествъ

Полагая въ этихъ тождествахъ

мы приходимъ къ теоремѣ, обобщающей теорему предыдущаго §. Примѣръ 3-ій.

3. Къ интереснымъ выводамъ можно притти, разсматривая такія тождества:

Если въ этихъ тождествахъ положимъ, какъ и раньше,

то результатъ подстановки можно формулировать такъ:

Если взятъ два числа съ одинаковымъ числомъ цифръ, если замѣнять въ одномъ изъ нихъ всѣми возможными способами опредѣленное число подъ рядъ стоящихъ цифръ нулями, а въ другомъ соотвѣтственно замѣнять нулями всѣ цифры, кромѣ стоящихъ на мѣстахъ тѣхъ разрядовъ, какіе замѣнены нулями въ первомъ числѣ, если, наконецъ, полученныя такимъ образомъ соотвѣтствующія пары чиселъ перемножить, то сумма полученныхъ произведеній не измѣнится отъ перемѣны ролей первоначально взятыхъ двухъ чиселъ.

Если каждое изъ первоначально взятыхъ двухъ чиселъ имѣетъ четное (и, конечно, одинаковое) число цифръ, то за-

мѣна нулями половины всѣхъ цифръ каждаго числа не даетъ интересныхъ результатовъ. Примѣръ 4-ый.

4. Интересныя ариѳметическія интерпретаціи можно дать тождествамъ

На этихъ примѣрахъ мы заканчиваемъ свою замѣтку. Читатель, заинтересовавшійся изложенной въ замѣткѣ идеей, найдетъ безъ сомнѣнія рядъ еще болѣе интересныхъ ариѳметическихъ предложеній.

Н. Агрономовъ.

О задачахъ на пропорціональное дѣленіе.

Цѣль настоящей статьи — дать методическую разработку рѣшенія задачъ на пропорціональное дѣленіе безъ помощи пропорцій и даже безъ знакомства съ понятіемъ: «отношеніе». Послѣднее можетъ быть использовано лишь для поясненія выраженія: «относятся, какъ....».

Сначала желателенъ небольшой разговоръ съ учащимися, изъ котораго можно было бы увидать, насколько знакомы они съ очень употребительнымъ на практикѣ (напр., на сѣнокосѣ, при распредѣленіи между нѣсколькими лицами заработной платы, при распредѣленіи дохода съ рыбной ловли, если она ведется въ большомъ масштабѣ, и т. п.) раздѣлѣ на «паи» или «пайки». Обычно оказывается, что учащіеся съ этими терминами знакомы и достаточно ясно представляютъ себѣ смыслъ такого раздѣла.

Одинъ, два примѣра, близкихъ къ жизни учащихся1), составляемыхъ здѣсь же совмѣстно учителемъ и учащимися, позволятъ окончательно закрѣпить въ сознаніи учащихся смыслъ такого раздѣла. Послѣ этого предлагается уже отвлеченная задача, при чемъ полезно предварительное указаніе, что будетъ дана задача въ родѣ разобранныхъ (по смыслу), но она лишь будетъ выражена новыми словами. Задача предлагается въ родѣ слѣдующей: число 320 раздѣлить на три части пропорціонально числамъ 3, 6 и 7. Сюда необходимо присоединить поясненіе словъ «пропорціонально числамъ 3, 6 и 7»: эти слова показываютъ, что дѣлить надо на такія 3 части, чтобы на одну изъ нихъ приходилось 3 пая 2), на другую — 6 паевъ и на третью — 7 паевъ. Теперь задача легко рѣшается: узнаемъ, сколько всего паевъ, какъ великъ одинъ пай и т. д. Для закрѣпленія идеи пропорціональнаго дѣленія слѣдуетъ еще рѣшить подобную задачу для 4-хъ частей.

Возможно (а если учащіеся имѣютъ понятіе объ отношеніи, то и необходимо) подобную же задачу задать еще при помощи новаго способа выраженія: раздѣлить число 366 на 4 части такъ, чтобы 1-ая часть относилась ко 2-ой, относилась къ 3-ей и относилась къ 4-й, какъ 3 : 5 : 6 : 103). Конечно, сейчасъ же слѣдуетъ дать поясненія, что подчеркнутыя слова («чтобы 1-ая часть относилась...») равносильны словамъ «пропорціонально числамъ 3, 5, 6 и 10». Послѣ этого задача легко рѣшается: во всѣхъ частяхъ 24 пая; каждый пай=15т; 1-ая часть=45т и т. д.

Далѣе поставимъ слѣдующую задачу: 3 деревни купили вмѣстѣ 392 десятины земли, при чемъ раздѣлить эту землю

1) Напр.: Состоялась рыбная ловля неводомъ на слѣд. условіяхъ: хозяинъ невода долженъ получить 3 пая всего улова, а каждый изъ четырехъ рыбаковъ по 1 паю. Уловъ рыбы оказался 17^ пудовъ. Ск. досталось хозяину и каждому рыбаку?

2) Этотъ терминъ въ примѣненіи къ задачамъ на пропорціональное дѣленіе впервые мнѣ пришлось услыхать отъ московскаго педагога Ѳ. С. Коробкина.

3) Возможно еще дать задачу съ записью этого условія въ довольно употребительной формѣ: I : II : III : ІѴ=3 : 5 : 6 : 10; возможны и еще варьянты выраженія, даннаго въ текстѣ.

пришлось имъ пропорціонально числамъ 21, 35 и 42. Сколько земли получила каждая деревня?

Полезно не только рѣшить эту задачу устно, но и записать ея рѣшеніе, удѣливъ для этой записи половину доски. Форма записи дана ниже.

Когда задача будетъ рѣшена и ея рѣшеніе записано, предлагаемъ еще задачу: 3 деревни купили вмѣстѣ 392 десятины земли, при чемъ раздѣлить эту землю пришлось имъ пропорціонально числамъ 3, 5 и 6. Сколько земли получила каждая деревня?

Задача рѣшается, и это рѣшеніе записывается на другой половинѣ доски. Тогда на доскѣ имѣемъ запись:

3 деревни купили 392 дес. земли и Раздѣлили эту землю пропорціон. числамъ 21, 35 и 42. Ск. земли получила каждая деревня?

I дер. 21 пай; II дер. 35 паевъ; III дер. 42 лая. Всего 98 паевъ. 1 пай=392 дес. : 98=4 дес.

I дер. пол. 4 дес. х21= 84 д

II » » 4 » X 35=140 » III » » 4 » X 42=168 »

3 деревни купили 392 дес. земли и Раздѣлили эту землю пропорціон. числамъ 3, 5 и 6. Ск. земли получила каждая деревня?

I дер. 3 пая; II дер. 5 паевъ; III дер. 6 паевъ. Всего 14 паевъ. 1 пай=392 дес. : 14=28 дес.

I дер. пол. 28 дес. хЗ= 84 д.

II » » 28 » X 5=140»

III » » 28 » х6 = 168 »

Необходимо теперь сравнить эти двѣ задачи. Учащіеся прежде всего замѣчаютъ, что условія задачъ очень схожи; разница лишь въ числахъ, пропорціонально которымъ надо выполнить раздѣлъ: въ 1-й задачѣ надо дѣлить пропорціонально числамъ 21, 35 и 42, а во 2-ой задачѣ пропорціонально числамъ 3, 5 и 6. Несмотря на эту разницу, Отвѣты получаются одинаковые (1-ая деревня получила 84 десятины, 2-ая —140 дес. и 3-я — 168 дес.). Возникаетъ вопросъ: почему же это такъ?

Разсматривая рѣшенія нашихъ задачъ, учащіеся находятъ постепенно объясненіе этого: во 2-ой задачѣ для каждой деревни приходится паевъ въ 7 разъ (это учащіеся должны подмѣтить1)

1) Если наблюдательность учащихся, согласно предположенію преподавателя, недостаточно развита, то слѣдуетъ эту часть урока провести

меньше, чѣмъ въ 1-ой задачѣ, но за то 1 пай во 2-ой задачѣ въ 7 разъ крупнѣе, чѣмъ 1 пай въ 1-ой задачѣ (во 2-ой задачѣ 1 пай=28 десятинъ, а въ 1-ой задачѣ 1 пай=4 десятины).

Когда вышеуказанное объясненіе усвоено учащимися, то можетъ быть установлено положеніе:

Если числа, пропорціонально которымъ надо выполнить раздѣлъ на части, всѣ раздѣлить на одно и то же число, то результаты раздѣла на части не измѣнятся.

Наоборотъ: если мы сначала обратимъ вниманіе на 2-ую задачу, а потомъ на 1-ую, то придемъ къ положенію:

если числа, пропорціонально которымъ надо выполнить раздѣлъ на части, всѣ умножить на одно и тоже число, то результаты раздѣла на части не измѣнятся.

(Возможно вновь поясненіе: для каждой части паевъ станетъ въ нѣсколько разъ больше, но зато 1 пай станетъ во столько же разъ мельче1).

Послѣ этого естественно возникаетъ мысль, что можно при случаѣ задачу на пропорціональное дѣленіе упрощать. Возможно это тогда, когда всѣ числа, пропорціонально которымъ надо выполнить раздѣлъ, дѣлятся на одно и то же число.

Задается, напр., задача: раздѣлить число 810 на 3 части пропорціонально числамъ 24, 36 и 48.

Учащіеся подмѣчаютъ, что данныя 3 числа дѣлятся каждое на 12 (иногда они подходятъ къ этому постепенно: дѣлятся всѣ числа на 2, на 4, на 3, на 6 и, наконецъ, на 12) и упрощаютъ задачу: Вмѣсто чиселъ 24, 36 и 48 берутъ числа 2, 3 и 4, послѣ чего задача легко рѣшается въ умѣ. Конечно, здѣсь необходимо, имѣя въ виду менѣе способныхъ учащихся, еще разъ остановиться на причинѣ, почему такая замѣна не приведетъ къ ошибкѣ: паевъ для каждой части возьмемъ въ 12 разъ меньше, но за то паи станутъ въ 12 разъ крупнѣе.

Послѣ этого явится возможность перейти къ задачамъ, гдѣ требуется данное число дѣлить на части пропорціонально

при помощи болѣе простыхъ задачъ, напр., такихъ, чтобы числа паевъ въ 1-й были въ 3 раза или въ 4 раза или въ 5 разъ больше чиселъ паевъ во 2-ой.

1) Обращаю вниманіе, что предпочтительнѣе говорить «1 пай сталъ въ 5 разъ крупнѣе (или мельче)», чѣмъ «1 пай сталъ въ 5 разъ больше (или меньше)».

дробнымъ числамъ. Возьмемъ, напр., задачу: Раздѣлить число 165 на 3 части пропорціонально числамъ 2, g и І^.

Начиная рѣшеніе задачи, мы прежде всего устанавливаемъ: раздѣлить на 3 части пропорціонально числамъ и 1 ^ значитъ раздѣлить на такія 3 части, чтобы на 1-ую приходилось 2 пая, на 2-ую —g пая и на 3-ю — лая. Здѣсь мы встрѣчаемся съ неудобствомъ: неудобно имѣть дѣло съ дробными числами паевъ; предпочтительнѣе было бы, если это возможно, сдѣлать такъ, чтобы числа паевъ были цѣлыя. Возможность этого вытекаетъ изъ выше установленнаго положенія: можно всѣ числа, пропорціонально которымъ надо выполнить раздѣлъ, умножить на одно и то же число. Послѣднее мы теперь должны выбрать такъ, чтобы дроби исчезли и, конечно, желательно, чтобы это число, на которое будемъ умножать данныя числа, было по возможности меньше. Послѣднее говоритъ намъ, что слѣдуетъ найти общее наименьшее кратное для знаменателей дробей и на него умножить всѣ данныя числа. Въ нашей задачѣ придется данныя числа умножать на 12 (слѣдовательно, каждый пай станетъ въ 12 разъ мельче, но за то на каждую часть ихъ придется въ 12 разъ больше). Тогда понадобится число 165 дѣлить на 3 части пропорціонально числамъ

24, 10 и 21 (2 . 12=24; | . 12=10; і| . 12=21).

Конечно, можно при записи рѣшенія задачи, воспользоваться различными формами, напр.

Въ предыдушемъ изложеніи были взяты задачи, которыя, будучи простыми по формѣ и легкими по вычисленіямъ, достаточны для выясненія идейной стороны дѣла. Конечно, въ зависимости отъ взглядовъ преподавателя, можно присоединить къ нимъ задачи и съ болѣе сложными условіями и съ болѣе сложными вычисленіями, на чемъ въ настоящей статьѣ оста-

навливаться не приходится. Такъ же точно въ предыдущемъ во всѣхъ задачахъ было выраженіе «раздѣлить пропорціонально числамъ.....». Въ зависимости отъ того, въ какой школѣ ведутся занятія: въ начальномъ ли училищѣ, въ высшемъ ли начальномъ или въ средней школѣ, понадобится ознакомить учащихся болѣе или менѣе подробно и съ другими равнозначащими выраженіямъ какія указаны въ примѣчаніяхъ.

Изъ болѣе сложныхъ задачъ на пропорціональное дѣленіе здѣсь надо остановиться на задачахъ въ родѣ слѣдующей: Раздѣлить число 177 на 3 части такъ, чтобы первая относилась ко второй, какъ 6 къ 7, и первая относилась къ третьей, какъ 9 къ 10.

Запишемъ условія задачи въ формѣ:

I : 11=6 : 7 I : 111=9 : 10.

Мы видимъ, что первое условіе говоритъ, что на 1-ую часть приходится 6 паевъ, а второе условіе говоритъ, что на первую часть приходится 9 паевъ.

Отсюда вытекаетъ заключеніе: слѣдов., паи перваго условія и паи второго условія неодинаковы. Сдѣлаемъ такъ, чтобы въ обоихъ условіяхъ паи стали одинаковыми. Для этого надо добиться, чтобы для 1-ой части каждое условіе давало бы одинаковыя числа паевъ. Этого можно достигнуть умноженіемъ обоихъ чиселъ перваго условія на какого-то множителя и обоихъ чиселъ второго условія на другого множителя, при чемъ эти множители надо выбирать такъ, чтобы для 1-ой части получилось число паевъ, равное общему наимен. краткому чиселъ 6 и 9. Такъ какъ общ. наим. крат. 6 и 9 есть 18, то надо умножить оба числа перваго условія на 3 и оба числа 2-го условія на 2. Получимъ:

I : 11=18 : 21 I : 111=18 : 20

Теперь мы видимъ, что въ обоихъ условіяхъ паи стали одинаковы (это видно по 1-ой части). Поэтому надо для I части взять 18 паевъ, для II—21 пай и для II—20 паевъ и т. д.

Н. Извольскій.

Описаніе одного урока во II отд. школы.

Урокъ былъ посвященъ вопросу, уже затронутому на страницахъ «Матем. Вѣстника» (№ 3 за 1914 г., стр. 78), а именно вопросу о дѣленіи двузначнаго числа на однозначное при однозначномъ частномъ. Мнѣ уже приходилось указывать, что этотъ случай дѣленія непосредственно связанъ съ знаніемъ таблицы умноженія: если я сразу говорю, что отъ дѣленія 56 на 7 получится 8, то я могу это сдѣлать только потому, что я знаю строчку таблицы умноженія «7x8=56». Эта мысль и послужила исходнымъ пунктомъ урока. Учащіеся во II отд. ко времени этого урока лишь начали изучать таблицу умноженія: они знали въ общемъ таблицу умноженія на 2, на 3, иногда лишь давая на вопросы изъ области этой таблицы и невѣрные Отвѣты, они знали также, какъ составляется таблица умноженія, т.-е. могли, напр., сосчитать 8x6 (8 да еще 8 и т. д.), но наизусть не знали, за нѣкоторыми очень рѣдкими исключеніями, результатовъ умноженія на 4, 5, 6, 7, 8 и 9.

Урокъ былъ проведенъ по плану, изложенному въ вышеуказанной статьѣ (№ 3 за 1914 г.), «Къ Методикѣ одного случая дѣленія».

Для начала была предложена задача: 24 яблока были раздѣлены поровну тремъ мальчикамъ ; сколько получилъ каждый? Послѣ того какъ сдѣлалось яснымъ, что задача вошла въ сознаніе учащихся, отъ нихъ было потребовано, чтобы вызываемые ученики говорили тотъ отвѣтъ (безъ поясненій), къ которому они пришли. Громадное большинство дало вѣрный отвѣтъ и лишь 2—3 учащихся (въ отдѣленіи было около 15 учащихся) дали неправильный отвѣтъ. Тогда было предложено тому ученику, который далъ отвѣтъ 5, выяснить; правда ли это? Выясненіе велось такъ : одному мальчику 5 яблокъ, другому — 5 яблокъ, третьему — 5 яблокъ—всего 15 яблокъ, а у насъ ихъ 24; слѣдов., по 5 яблокъ дать каждому мало. Во время этого выясненія необходимо было обратить вниманіе (и это было сдѣлано), что нѣтъ нужды складывать 5 да еще 5, да еще 5, вѣдь мы знаемъ уже немного таблицу умноженія и знаемъ, что 5x3=15. Послѣ того, какъ выяснилось, что по 5 яблокъ дать каждому мальчику мало, былъ испробованъ отвѣтъ «по 6 яблокъ»; здѣсь уже

сейчасъ же рѣшили, что и это мало, такъ какъ 6x3=18, а не 24. Тогда уже оказалось ненужнымъ пробовать отвѣтъ «по 7 яблокъ», такъ какъ тѣ, которые дали отвѣтъ «по 8 яблокъ», указали, что ихъ отвѣтъ вѣрный, потому что 8x3=24. Былъ за данъ тогда еще болѣе простой примѣръ, 18 : 3 (при чемъ было прибавлено: «ну, напримѣръ, 18 орѣховъ разложить на 3 кучки поровну»). Здѣсь уже правильный отвѣтъ «по 6» былъ очень скоро полученъ всѣми учащимися и быстро провѣренъ.

Послѣ этого явилось возможнымъ поставить вопросъ : что надо знать, чтобы быстро выполнять такія дѣленія? И на этотъ вопросъ былъ полученъ скорый отвѣтъ (конечно, благодаря тому, что онъ былъ подготовленъ всѣмъ предыдущимъ): надо знать таблицу умноженія. «Давайте же теперь составимъ часть таблицы умноженія дальше, которую вы еще не очень хорошо разучили». Общая работа класса была здѣсь направлена на то, чтобы отчасти вспомнить, разученное въ предѣлѣ 1—20, а отчасти составить дальше таблицу умноженія на 4. На доскѣ записывались постепенно тѣ умноженія, какія надо было выполнить, учащіеся съ мѣста разсказывали, какъ узнать, сколько получится и вызываемые учащіеся записывали отвѣтъ на доскѣ. Такимъ образомъ на доскѣ передъ глазами учащихся былъ записанъ одинъ столбецъ изъ таблицы умноженія:

4x4=16 5x4=20 6x4=24 7x4=28 8x4=32 9x4=36.

Конечно, въ зависимости отъ желанія учащаго, можно этотъ столбецъ замѣнить инымъ, болѣе обычнымъ: 4 х4=16; 4 X5=20; 4x6=24; 4x7=28; 4x8=32 и 4x9=36.

Здѣсь было сдѣлано нѣкоторое отступленіе отъ того плана, который былъ намѣченъ въ вышеуказанной статьѣ: тамъ рекомендовалось, чтобы у каждаго учащагося была своя таблица умноженія, которою онъ и долженъ пользоваться для выполненія предлагаемыхъ дѣленій; здѣсь была составлена часть таблицы умноженія общею работою класса и записана на доскѣ, при чемъ всѣ учащіеся должны были въ дальнѣйшемъ

пользоваться этою записанною на доскѣ таблицею. Конечно, это обстоятельство по существу не мѣняетъ дѣла и вызвано было тѣмъ, что 1) дѣти въ предыдущемъ не были подготовлены къ мысли, что полезно каждому для себя составить таблицу умноженія и 2) дѣленіемъ пришлось заниматься тогда, когда еще составленіе таблицы умноженія учащимися не было пройдено во всей полнотѣ.

Когда предыдущая работа была закончена, дѣтямъ было сказано, что имъ будутъ задаваться задачи и примѣры на дѣленіе, а они должны, смотря на ту таблицу, которая записана на доскѣ, быстро давать Отвѣты. Задачи и Примѣры сначала задавались въ родѣ слѣдующихъ: 1) Изъ 32 листовъ бумаги сдѣлали 4 равныхъ тетради. Сколько листовъ бумаги пошла на каждую тетрадь? 2) Сколько будетъ 24 : 4? 3) На 36 коп. купили 4 одинаковыхъ пряника; сколько стоитъ каждый? 4) 28 : 4 и т. п. Дѣти быстро давали отвѣты на эти задачи и вопросы, а объясненіе правильности отвѣтовъ сводилось къ слѣдующему: напр., спрашивалось: «28 : 4=?» Отвѣтъ былъ «по 7». А правда ли это? Да, потому что въ таблицѣ умноженія (на доскѣ) написано: 7x4=28.

Послѣ того, какъ было выполнено нѣкоторое (достаточное) число такихъ упражненій, было предложено дѣтямъ рѣшать такія же задачи, но при условіи, что таблица умноженія будетъ закрыта. Когда послѣднее было сдѣлано, то, какъ это и слѣдовало ожидать, на многіе вопросы (конечно, всѣ они сводились къ дѣленіямъ, уже задаваемымъ раньше) получались отъ нѣкоторыхъ учениковъ невѣрные отвѣты. Когда неправильность такихъ отвѣтовъ была выяснена, то ставился вопросъ, почему же они дали такой неправильный отвѣтъ. Объясненіе этого было быстро найдено: «я забылъ таблицу умноженія». Косвеннымъ результатомъ такой постановки дѣла появилось сознаніе у учащихся, что надо постараться запомнить таблицу умноженія.

Далѣе, таблица была опять открыта и учащимся предлагались задачи и Примѣры, въ родѣ слѣдующихъ: 1) 28 стульевъ разставили поровну въ 7 рядовъ; сколько стульевъ поставили въ каждый рядъ? 2) 36 : 9=? и т. п.

Нахожденіе отвѣтовъ на такія задачи и на такіе вопросы не вызвало затрудненій, такъ какъ (это обычно всегда имѣетъ мѣсто) учащіеся съ самаго начала упражненій на умноженіе

свыкаются съ мыслью, что отъ перестановки чиселъ, данныхъ для умноженія, результатъ не измѣняется. Здѣсь, конечно, явилась возможность еще болѣе укрѣпить учащихся въ этой мысли. Это было сдѣлано на данномъ урокѣ при помощи рисунка :

• • •

Послѣ этого, подобно предыдущему была составлена и записана на доскѣ другая часть таблицы умноженія, а именно:

5x7=35 6x7=42 7x7=49 8x7=56 9x7=63.

Такъ какъ этотъ урокъ былъ данъ съ цѣлью иллюстрировать разбираемый здѣсь методъ обученія дѣленію, то не было нужды итти въ послѣдовательности: послѣ умноженія на 4 разсматривать умноженіе на 5 и т. д., а можно было сдѣлать нѣкоторый скачокъ, т.-е. сразу составить таблицу умноженія на 7. Однако я полагаю, что не было бы погрѣшностью и при нормальномъ ходѣ занятій въ школѣ иногда, какъ здѣсь, допускать подобные скачки, такъ какъ благодаря имъ сильнѣе подчеркивается та мысль, которою направляется урокъ. Въ данномъ случаѣ, дѣти благодаря этому скачку еще болѣе почувствовали, что полезно знать таблицу умноженія наизусть. Впрочемъ, не буду настаивать на обязательности такого скачка.

Когда вышеуказанная часть таблицы умноженія была записана на доскѣ, то опять были задаваемы задачи и вопросы въ прежнемъ порядкѣ, сначала съ открытою таблицею, а затѣмъ съ закрытою.

Н. Извольскій.

Письмо въ редакцію.

М. Г. Г-нъ Редакторъ!

Въ № 3 «Матем. Вѣстника» въ замѣткѣ А. Н. Цвѣтковой мнѣ приписаны слова, которыхъ въ моей статьѣ «Къ методикѣ ариѳметическихъ прогрессій» не содержится. Я вовсе не совѣ-

товалъ считать разность прогрессіи всегда положительною; я только говорилъ, что не слѣдуетъ вмѣнять въ вину ученику, если онъ это сдѣлалъ.

Затѣмъ, по мнѣнію А. Н. Цвѣтковой, краткость моихъ указаній ведетъ къ неясностямъ. При желаніи можно видѣть неясности гдѣ угодно — сверхъ того я писалъ для учителей, а не для учениковъ. Вотъ, напримѣръ, А. Н. Цвѣтковой не совсѣмъ понятно, какъ я найду по моему способу сумму членовъ ряда— —2?,........, —28 J.

Во-первыхъ, въ средней школѣ я такого искусственнаго примѣра никогда бы не далъ. Во-вторыхъ, я бы измѣнилъ всѣ знаки;

нашелъ бы разность и число членовъ —:

остальное уже ясно. Неужели учителю нужны такія указанія?

Затѣмъ, по мнѣнію А. Н. Цвѣтковой моя система изложенія сама собой придетъ къ системѣ изложенія г. Извольскаго; въ дѣйствительности не моя система, а всякія системы изложенія въ концѣ концовъ сольются, однако не ранѣе, когда дѣло дойдетъ до задачъ второй степени, а нужно ли доходитъ въ данномъ случаѣ до этихъ задачъ, это еще вопросъ нерѣшенный.

Если я не ошибаюсь, замѣтка А. Н. Цвѣтковой содержитъ въ себѣ признаки одного очень распространеннаго заблужденія. Въ средней школѣ по математикѣ и по всѣмъ предметамъ выбираютъ обычно тѣ методы, которые выгодны будущимъ спеціалистамъ, игнорируя тѣ способы, которые выгодны для лицъ, ищущихъ лишь развитія своихъ способностей. Извѣстны печальныя послѣдствія излишняго стремленія рѣшать вопросы по формулами, извѣстно также, что всѣ эти формулы съ теченіемъ времени забываются навсегда, законы же, выведенные хотя и на несложныхъ числахъ, на примѣрахъ, не осложненныхъ спеціализаціей, менѣе подвергнуты этому риску. Въ заключеніе благодарю А. Н. Цвѣткову за указаніе на опечатку въ моей замѣткѣ, хотя затрудняюсь понять, кому нужны подобныя указанія.

И. Александровъ.

Печатая настоящее письмо, редакція считаетъ нужнымъ сдѣлать слѣдующія замѣчанія:

1. Г. Александровъ поясняетъ свой способъ нахожденія суммы той прогрессіи, какая дана выше въ письмѣ, при чемъ, повидимому, предполагается, что свойство членовъ прогрессіи, равноотстоящихъ отъ ея начала и конца, уже извѣстно учащимся. Между тѣмъ на стр. 85 г-жа Цвѣткова указываетъ именно на то, что изъ статьи г. Александрова непонятно, какъ онъ приведетъ учащихся къ ясному представленію объ этомъ свойствѣ (на стр. 85 г-жа Цвѣткова называетъ его «Закономъ суммы

членовъ ариѳметической прогрессіи») не только для натуральнаго ряда чиселъ 1, 2, 3, 4...., но и для другихъ прогрессій, подобныхъ той, какая имѣетъ мѣсто въ настоящемъ письмѣ.

Кстати замѣтимъ, что намъ вовсе непонятно, почему г. Александровъ рекомендуетъ эту прогрессію не предлагать учащимся въ средней школѣ: разъ введены въ дѣло отрицательныя числа, то должно стремиться къ тому, чтобы учащіеся съ ними достаточно свободно обращались.

2. Намъ такъ же, какъ и г-жѣ Цвѣтковой (см. № 3 «Матем. Вѣст.», стр. 84—86) непонятна та идея, какая вложена въ статью г. Александрова, напечатанную въ № 4 за 1915 г. журнала «Педагогич. Вѣстникъ Моск. Учеб. Окр.». Непонятною она остается и теперь, несмотря на общія соображенія, данныя въ концѣ письма о тѣхъ общихъ методахъ, которые выгодны будущимъ спеціалистамъ и выборъ которыхъ при преподаваніи въ средней школѣ является заблужденіемъ. Неужели же г. Александровъ полагаетъ, что всѣ общія заключенія по поводу прогрессій должны быть удалены изъ средней школы? Если это такъ, то приходится сожалѣть, что г. Александровъ не высказываетъ эту мысль прямо и нигдѣ въ своихъ работахъ не далъ ни обоснованія, ни развитія этой идеи, которая явилась бы для гг. учащихъ, конечно, очень новою. Если же это не такъ, то мы такъ же, какъ и г-жа Цвѣткова, полагаемъ, что для установленія общаго закона суммы членовъ, равноудаленныхъ отъ начала и конца прогрессіи, г. Александровъ, исходя изъ разсматриваемыхъ имъ частныхъ примѣровъ, долженъ притти къ общей записи прогрессіи въ видѣ: а, а+г, а+2г....... и—2г, и—г, и.

Ред.

Свѣдѣнія о книгахъ по математикѣ и ея методикѣ.

В. И. Лебедевъ. Очерки по исторіи точныхъ наукъ. Выпускъ первый. Кто изобрѣлъ алгебру? Цѣна 1 рубль. Москва 1916.

Небольшая книжка (61 стр.) распадается на рядъ очерковъ историческаго характера: 1. «Алгебра». 2. Роль арабовъ въ исторіи математики. 3. Алгебра у древнихъ грековъ. Діофантъ. 4. Индусская математика. 5. Нѣкоторыя особенности арабской математики. 6. Римляне, какъ математики. 7. «Liber Abaci» Леонарда Фибоначчи. 7. Первое печатное сочиненіе по алгебрѣ. 9. «Ars magna» Кардана и «Algebra» Бомбелли. 10. Первая буквенная алгебра. 11. Роль Декарта въ исторіи алгебры. 12. «Arithmetica Universalis» Исаака Ньютона.

Авторъ въ предисловіи говоритъ, что онъ не считаетъ себя за спеціалиста по исторіи математики и могъ, благодаря этому, сдѣлать рядъ

промаховъ, но онъ надѣется, хотя бы впослѣдствіи, достигнуть намѣченной имъ цѣли: «возбудить у юныхъ любителей математики и физики интересъ къ изученію твореній великихъ ученыхъ и изобрѣтателей, а также дать учителю матеріалъ изъ исторіи математическихъ наукъ, который способствовалъ бы оживленію методовъ преподаванія».

Не будучи, какъ и авторъ, спеціалистомъ по исторіи математики, я не могу указать, сдѣлалъ ли авторъ въ настоящемъ первомъ выпускѣ какія-либо ошибки историческаго характера, но полагаю возможнымъ отмѣтить, что настоящая книжка можетъ послужить лишь для удовлетворенія первой половины намѣченной авторомъ цѣли (т.-е. для возбужденія интереса у юныхъ любителей): книжка написана легко и прочтется съ интересомъ.

Врядъ ли можно считать достигнутою вторую половину цѣли автора «дать учителю матеріалъ..., который способствовалъ бы оживленію методовъ преподаванія». Для этой цѣли слѣдовало бы болѣе глубоко, чѣмъ то сдѣлано у автора, освѣтить развитіе основныхъ понятій алгебры. Такъ, напр., врядъ ли можно признать достаточнымъ для указанной цѣли то замѣчаніе на стр. 18, какое имѣется тамъ по поводу ирраціональныхъ и отчасти отрицательныхъ чиселъ: «Появленіе этихъ тождествъ объясняется тѣмъ, что индусскіе математики, въ противоположность грекамъ, не замѣчали различія между соизмѣримыми и несоизмѣримыми числами (т.-е. между раціональными и ирраціональными. Н. И.). У нихъ ирраціональныя числа и отрицательныя числа подвергались тѣмъ же дѣйствіямъ, что и цѣлыя числа».

Въ виду того, что авторъ вовсе не стремится проникнуть въ исторію развитія тѣхъ представленій, какія повели къ созданію понятій о числахъ со знаками, объ ирраціональныхъ числахъ и т. д., нельзя признать, что эта книга можетъ помочь преподавателямъ оживить методы преподаванія. Остается смотрѣть на книжку г. Лебедева, какъ на книжку для легкаго (и, можетъ быть, полезнаго) чтенія для учащихся.

Н. Извольскій.

Т. Ѳ. Лапикъ. Задачникъ по ариѳметикѣ для учениковъ 3 и 4 отд. нач. школы, приготов. и перваго класса среднихъ учебныхъ заведеній и высшихъ начальныхъ школъ. Числа любой величины, составн. имен. и метрическія мѣры, многія данныя изъ жизни въ Кубанской обл. и учебн. предм. и примѣчанія, дающія матеріалъ для новыхъ задачъ. Цѣна 50 коп. Изданіе книжнаго магазина «Дѣло» Д. К. Запорожца, г. Екатеринодаръ. Кубанской обл. 1916.

Изъ предисловія можно притти къ заключенію, что авторъ имѣетъ въ виду при составленіи задачника и чисто математическую сторону дѣла (напр., въ предисловіи упоминается «устный счетъ и комбинаціонныя вычисленія» и т. д.) и практическую; послѣдняя приноровлена, какъ то видно и изъ предисловія и изъ выше выписаннаго, хотя и недостаточно понятнаго, полнаго заглавія книги, къ жизни Кубанской области. Здѣсь авторъ, слѣдуя лозунгу «сблизить преподаваніе ариѳметики съ жизнью», приходитъ, повидимому, къ мысли о необходимости имѣть свой особый задачникъ для каждой пространственной единицы Россіи.

Разсмотримъ сперва чисто математическую сторону задачника.

Авторъ сторонникъ концентраціоннаго порядка для распредѣленія учебнаго матеріала; поэтому онъ противъ перегородокъ между отдѣльными частями курса ариѳметики. Однако изъ настоящаго задачника (вѣдь этотъ задачникъ для 3-го и 4-го года обученія) не видно, какъ онъ эту мысль осуществляетъ на практикѣ. Мало того, настоящій задачникъ вызываетъ и рядъ сомнѣній по этому поводу. Вотъ нѣкоторыя изъ нихъ:

1. Почему въ отдѣлѣ «сложеніе» изъ обыкновенныхъ дробей встрѣчаются (и то въ очень маломъ числѣ) лишь дроби -, -, -, g, ^и а въ отдѣлѣ «Вычитаніе» встрѣчаются, кромѣ вышеуказанныхъ дробей, еще слѣдующія: въ № 73 (въ одномъ примѣрѣ) ~ и въ томъ же № въ другомъ примѣрѣ 7 и въ задачахъ №№ 80 и 81... ^ и

Въ дальнѣйшихъ отдѣлахъ задачника также дробей очень мало (хотя и встрѣчаются иногда дроби въ родѣ ^ ). Поэтому возникаетъ сомнѣніе: не очень ли легко авторъ относится къ вопросу о методикѣ дѣйствій надъ обыкновенными дробями? въ частности, неужели достаточно вышеуказанныхъ дробей для усвоенія учащимися идеи, на которой основывается сложеніе дробей съ разными знаменателями?

2. Представляется страннымъ отношеніе автора къ десятичнымъ дробямъ: первый отдѣлъ задачника «Десятичное Счисленіе» даетъ лишь упражненія на усвоеніе счисленія цѣлыхъ чиселъ, и лишь одна задача намекаетъ на необходимость упражняться въ письмѣ десятичныхъ дробей (№ 19. «Сколько рублей составляютъ 50 000 коп., 75 600 коп., 15 370 коп, 100 000 коп., 75 225 коп., 35 005 коп?»), но этотъ намекъ слишкомъ неопредѣленъ (возможенъ вѣдь и такой отвѣтъ: 350 руб. и 5 коп.); несмотря на это, слѣдующій отдѣлъ задачника «сложеніе» предлагаетъ упражненія и задачи, гдѣ входятъ и десятыя и сотыя доли.

3. Начиная съ 61 страницы, начинается отдѣлъ, озаглавленный «составныя именованныя числа», а дальше: «раздробленіе и превращеніе», «сложеніе и вычитаніе (сост. имен. чиселъ)», «умноженіе состав. имен. чиселъ» и т. д. Это представляется непослѣдовательнымъ въ виду того, что 1 ) авторъ въ предисловіи указываетъ на ненужность «перегородки» между отвлеченными и состав. именов. числами, а 2) на предыдущихъ страницахъ задачника уже достаточно развиты упражненія на дѣйствія съ состав. именов. числами. Не послѣдовательнѣе ли было бы знакомить учащихся съ необходимыми терминами (напр., «раздробленіе», «превращеніе» и т. д.) и съ соотношеніями между различными мѣрами (и русской и метрической системъ) попутно съ развитіемъ упражненій съ составными и менов. числами, имѣющихся на первыхъ 60 страницахъ, а въ заключеніе дать таблицы мѣръ и соотношеній между различными мѣрами?

Послѣднее замѣчаніе позволяетъ перейти и къ другому соображенію по поводу математической стороны задачника. Нужны ли для задачника тѣ маленькіе кусочки теоріи, какіе имѣются на стран. 3—4 (о сложеніи), 9—10 (о вычитаніи), 28—29 (объ умноженіи) и т. д.? Неужели,

напр.-, тѣ 8 строкъ, которыя посвящены на стран. 9 выясненію того, что вычитаніе обратно сложенію, достаточны для усвоенія учащимися этой идеи? Не лучше ли было бы Вмѣсто этихъ 8 строчекъ дать упражненія, которыя имѣли бы цѣлью освоить учащихся съ этимъ положеніемъ? Такъ же точно и статья «Составныя именованныя числа» начинается на стр. 61 маленькимъ кусочкомъ теоріи, состоящимъ изъ ряда опредѣленій именованнаго, отвлеченнаго, простого именованнаго, состав. именованнаго чиселъ и «единичнаго отношенія». Этимъ авторъ какъ будто бы хочетъ указать, что до сихъ поръ учащіеся хотя и имѣли дѣло со всѣми числами, которыя выше перечисляются, но ихъ знанія не были приведены въ порядокъ, а теперь, послѣ разучиванія указанныхъ опредѣленій, все то, что раньше учащіеся дѣлали безъ системы, будетъ выполняться ими въ системѣ.

Но основное опредѣленіе: «Число, образованное изъ единицъ одного рода (однородныхъ), но разныхъ наименованій, называется составнымъ именованнымъ числомъ, является, въ сущности, недоразумѣніемъ, такъ какъ совершенно непонятно, что значатъ слова «единицы одного рода» или «Однородныя единицы». Вѣдь пожалуй придется считать на основаніи этого опредѣленія выраженія въ родѣ «3 брата и 2 сестры» или «5 лошадей и 2 жеребенка» или «5 коровъ и 3 овцы» также составными именованными числами. Повидимому, слѣдуетъ вовсе отказаться отъ опредѣленія составного именованнаго числа, а ограничиться пріученіемъ къ нимъ учащихся при разсмотрѣніи различныхъ примѣровъ.

Перейдемъ къ частностямъ задачника. Разсматривая его, можно встрѣтить много и интересныхъ для учащихся и полезныхъ для ихъ математическаго развитія и упражненій и задачъ. Среди нихъ много позаимствованій: №№ 131, 191 и 439 изъ «Математическаго Вѣстника», а №№ 683—689 и 693—695 изъ моей книжки «Комбинаціонная работа».

Эти позаимствованія, къ сожалѣнію, не оговорены авторомъ.

Среди остальныхъ упражненій, форма которыхъ, повидимому, принадлежитъ самому автору, обращаютъ на себя вниманіе: 1) № 53, гдѣ требуется выполнить сложеніе съ точностью до 1 сотни (а также до 0,1 милліона); жаль, что эта мысль не получила широкаго развитія, хотя спорадически она появляется и въ дальнѣйшемъ (напр. № № 307,311). 2) Авторъ вводитъ знакомство съ уравненіями; напр., стр. 11, 92 и т. д. Эта мысль (среди русскихъ педагоговъ особенное значеніе ей придаетъ С. И. Шохоръ-Троцкій) заслуживаетъ самаго серьезнаго вниманія. 3) Хорошо составлена послѣдовательность задачъ №№ 126—131. 4) Интересны №№ 146—149. Особенно обращаетъ на себя вниманіе № 147: свойство чиселъ, положенное въ основу этого №, выражено въ формѣ, какой не приходилось встрѣчать. 5) Мысль введенія въ обиходъ учащихся понятія о «среднихъ» числахъ (см. напр. №№ 307, 309, 310, 311, а также 639—642) заслуживаетъ серьезнаго вниманія. Но возникаетъ вопросъ: Хорошо ли для этой цѣли пользоваться задачами въ родѣ 639, 641 и 642. Напр. № 641 говоритъ, что цѣна на пшеницу осенью колебалась 4 раза: 9 руб. 60 коп., 10 руб., 10 руб. 80 коп. и 11 руб. 20 коп. Требуется опредѣлить среднюю цѣну.

Двѣ причины мѣшаютъ это сдѣлать: 1) неужели правда, что цѣна мѣнялась «скачками» въ 40 коп., въ 80 коп. и опять въ 40 коп.? 2) Какова была продолжительность каждой цѣны? Если, напр., цѣна 9 руб. 60 коп. стояла 2 дня, а остальныя цѣны по нѣсколько недѣль, то вѣсъ первой цѣны значительно меньше вѣса остальныхъ. Такъ же точно надо справиться въ курсѣ Метеорологіи, какъ находить среднее, за сутки, показаніе барометра на основаніи трехъ наблюденій (№ 642).

Послѣднее замѣчаніе является переходнымъ отъ положительныхъ свойствъ задачника къ отрицательнымъ. Укажу на нѣкоторыя изъ послѣднихъ.

1. На стр. 10 имѣются Примѣры для устнаго выполненія вычитанія, и многіе изъ нихъ труднѣе, чѣмъ вышеданные для письменнаго выполненія. По этому поводу приходится повторить мысль, уже высказанную мною въ одной изъ рецензій, что не устарѣло ли раздѣленіе упражненій на устныя и письменныя? Учащіеся должны, по возможности, выполнять вычисленія «въ умѣ»; если по какимъ-либо причинамъ требуется записать хотя бы и очень легкое вычисленіе, то учащіеся запишутъ его, но это не будетъ «письменное выполненіе»; если вычисленіе сложно, то учащіеся будутъ выполнять его по частямъ, записывая отдѣльные шаги вычисленія, но врядъ ли будетъ умѣстно сказать, что они выполнили вычисленіе «письменно».

2. Въ № 323 неумѣстенъ 2-ой вопросъ (съ какою скоростью земля движется вокругъ солнца въ минуту?), такъ какъ время оборота земли вокругъ солнца дано съ точностью до 1 часа, а не 1 минуты.

3. Сомнительны №№ 696, 711 и 712. Въ 1-ой задачѣ спрашивается, на сколько дней хватитъ корма, а между тѣмъ выходитъ, по условію, что запаса корма хватитъ на 3 слишкомъ года' Въ двухъ другихъ непонятно, какихъ отвѣтовъ желаетъ авторъ (на № 712 я отвѣтилъ бы, что потребитель и получаетъ 10 булокъ).

4. №№ 761—766 возбуждаютъ сомнѣнія, такъ какъ въ зависимости отъ того, какъ будутъ разсажены растенія относительно краевъ, можетъ измѣниться отвѣтъ. Кромѣ того, опять-таки въ связи съ краями, важна форма участка земли (напр., десятина можетъ имѣть 60 саж. въ длину и 40 въ ширину, но можетъ имѣть и 80 саж. въ длину, а 30 саж. въ ширину). Хорошо бы, думается, вопросъ о краяхъ участка предоставить усмотрѣнію рѣшающихъ, но тогда не надо, какъ, напр., въ № 761, подбирать числа, чтобы дѣленіе вышло безъ остатка.

Остановлюсь теперь немного на практической сторонѣ задачника. Авторъ въ предисловіи говоритъ о другихъ задачникахъ, что они «наполнены схоластическими, далекими отъ жизни, задачами». Поэтому слѣдуетъ ожидать (да на это указываетъ и характеръ предисловія), что главною заботою автора является стремленіе сблизить задачникъ съ жизнью. И дѣйствительно мы видимъ, что въ задачникѣ имѣется много матеріала, приноровленнаго къ условіямъ жизни въ Кубанской области, для которой предназначается задачникъ. Авторъ несомнѣнно много работалъ, и все же можно утверждать, что ему не удалось достигнуть

хорошихъ результатовъ въ этомъ направленіи. Здѣсь, впрочемъ, имѣютъ мѣсто общіе вопросы: возможно ли это? да и слѣдуетъ ли объ этомъ сближеніи особенно заботиться?

Одинъ лишь рядъ задачъ статистическаго характера (№№ 54, 55, 86—90, 308—312, 315—319, 431—434, 719, 720 и др.) представляется дѣйствительно заслуживающимъ вниманія и въ математическомъ отношеніи и въ смыслѣ сближенія съ жизнью, если только признать, что учащіеся 3-го и 4-го отдѣленія настолько развиты, что для нихъ уже имѣютъ интересъ вопросы, связанные съ жизнью цѣлой области. Здѣсь во всякомъ случаѣ можно надѣяться, что опытный учитель своими поясненіями можетъ добиться, чтобы учащіеся, съ одной стороны, поняли происхожденіе тѣхъ статистическихъ данныхъ, какія имѣютъ мѣсто въ перечисленныхъ задачахъ и чтобы, съ другой стороны, проникались интересомъ къ вопросамъ этихъ задачъ, связанныхъ съ урожаемъ хлѣба, съ обязательнымъ начальнымъ обученіемъ, съ составомъ и движеніемъ населенія въ Кубанской области и т. п. Но уже на все это нѣтъ надежды въ другихъ рядахъ задачъ. Напр., задачи №№ 728, 729, 736—738, 778—788 посвящены финансовымъ вопросамъ, связаннымъ съ дѣятельностью банковъ кредитныхъ товариществъ, страховыхъ обществъ. Сомнительно, чтобы учащіеся 11—13-лѣтняго возраста уяснили бы себѣ и ту идею, которая положена въ основаніе этихъ финансовыхъ учрежденій, и характеръ ихъ дѣятельности (почему, напр. въ № 783, сдѣланы скидки членамъ-страхователямъ на сумму 6 506 руб. 91 коп.? какое значеніе имѣютъ пошлины и гербовой сборъ? и т. п.?), и значеніе тѣхъ вопросовъ, какіе въ этихъ задачахъ предлагаются. Точно такъ же трудно не только учащемуся 11—13 лѣтъ, но и взрослому разобраться въ тѣхъ тонкостяхъ, какія имѣютъ мѣсто въ задачахъ №№ 733—735 (о хлѣбной торговлѣ) и въ предшествующемъ этимъ задачамъ объясненіи. Если признать обязательнымъ, чтобы учащіеся, выходя изъ начальной школы, обладали нѣкоторымъ финансово-коммерческимъ образованіемъ, то во всякомъ случаѣ это не достигается рѣшеніемъ задачъ въ родѣ №№ 736—738, 778—788, 733—735 и т. п., а для этого необходимо было бы ввести отдѣльный учебный предметъ. Да вдобавокъ возникаетъ еще вопросъ: можно ли ставить цѣлью общаго образованія изученіе тѣхъ сторонъ дѣятельности человѣка, гдѣ на первое мѣсто выдвигается принципъ «выгоды», на которомъ зиждятся всѣ коммерческія и финансовыя предпріятія?

Слѣдуетъ замѣтить, что и въ этомъ задачникѣ имѣетъ мѣсто та же искусственность, не вяжущаяся съ принципомъ сближенія задачника съ жизнью, какая замѣчается и во всѣхъ другихъ задачникахъ. Вотъ примѣры: № 30 (стр. 5). Привезли по Кубани дрова на 4 баржахъ. На первой баржѣ было 7250 пудовъ дровъ, на второй 8375 пуд., на третьей было на 2480 пуд. болѣе, чѣмъ на 1-ой и т. д.

Послѣднее условіе явно искусственно: какъ это узнали, что на 3-ей на 2480 пуд. болѣе? вѣдь, повидимому, сначала узнали, сколько именно было дровъ на 3-й, — такъ почему же это отъ ученика скрываютъ? Конечно, искусственностей такого рода въ задачникѣ очень много. Къ сожа-

лѣнію, такого же рода искусственность встрѣчается и въ нѣкоторыхъ задачахъ статистическаго характера (напр. №94 или 216 и др.).

Другого рода искусственность имѣется, напр., въ № 713: «1000 зеренъ ржи, высѣянныхъ въ борозду подъ плугъ, дали 513 всходовъ; другая 1000 такихъ же зеренъ, высѣянныхъ сошникомъ сѣялки Эльворта, дала 941 всходовъ. Сколько съэкономилъ хозяинъ при посѣвѣ сѣялкой по 8 пуд. на десятину». Не говоря уже о томъ, что рѣшить эту задачу возможно лишь при условіи знанія, сколько зеренъ ржи въ пудѣ, чего въ задачѣ не указано (надо, вѣроятно, искать отвѣтъ на этотъ вопросъ въ другомъ мѣстѣ задачника), возникаетъ еще вопросъ: какъ получены числа 513 и 941? неужели каждая 1000 зеренъ даетъ такіе же результаты? и умѣстна ли здѣсь точность до 1 зерна?

Искусственна также задача № 745: «Конными граблями (около 7 фут. вахвата) въ теченіе лѣта можно работать около 40 дней, расходъ въ день -обходится въ 2 руб. 40 коп., нагребаютъ онѣ колосу съ каждой десятины на 2І пуда зерна въ среднемъ; пудъ зерна стоитъ 80 коп. Сколько десятинъ сгребаютъ грабли въ 1 день, если за лѣто заработаютъ всего 544 руб.?». Понять какъ слѣдуетъ эту задачу можетъ только тотъ, кто знакомъ съ работою этихъ конныхъ грабель, но тогда ему навѣрное уже извѣстно, сколько десятинъ сгребаютъ грабли въ 1 день, и вопросъ задачи для него •окажется лишеннымъ смысла.

Не буду приводить еще примѣровъ. Думается, что вышеизложенное достаточно обрисовываетъ характеръ задачника.

Н. Извольскій.

Книги, поступившія въ редакцію.

Ф. Н. Индриксонъ. Начальныя свѣдѣнія изъ физики. Ч. L Москва 1915. Цѣна 50 коп. Ч. II. М. 1916. Цѣна 65 коп. Изданіе Т-ва И. Д. Сытина.

Проф. Д. М. Синцовъ. Краткій курсъ аналитической геометріи на плоскости. Учебникъ для VII кл. Реальныхъ училищъ. Изданіе Т-ва И. Д. Сытина. Москва 1916. Цѣна 90 коп.

П. Карасевъ. Геометрія на подвижныхъ моделяхъ. Классное пособіе для среднихъ и низшихъ учебныхъ заведеній. Изданіе Т-ва И. Д. Сытина. Цѣна 75 коп.

С. И. Шохоръ-Троцкій. Методика ариѳметики для учителей начальныхъ школъ. Часть II. Изданіе 8-е, заново переработанное и значительно дополненное, Т-ва И. Д. Сытина. М. 1916. Цѣна 1 руб. 80 коп.

С. И. Шохоръ-Троцкій. Методика ариѳметики для учителей среднихъ учебныхъ заведеній. Изданіе 4.-е, пересмотрѣнное, Т-ва И. Д. Сытина. М. 1916. Цѣна 2 рубля.

В. И. Лебедевъ. Очерки по исторіи точныхъ наукъ. Выпускъ первый. Кто изобрѣлъ алгебру? Москва 1916. Цѣна 1 рубль.

Педагогическій Музей военно-учебныхъ заведеній. Отдѣлъ математики. 1915—1916 г. Вып. I. С. А. Богомоловъ. Аксіома непрерывности, какъ основаніе для опредѣленія длины окружности, площади круга, поверхностей и объемовъ круглыхъ тѣлъ. Цѣна 20 коп. Петрг. 1916. Вып. II. Проф. А. Н. Крыловъ. Ученіе о предѣлахъ, какъ оно изложено у Ньютона. Цѣна 20 коп. Птрг. 1916. Вып. III. Проф. П. А. Некрасовъ. Принципъ эквивалентности величинъ въ теоріи предѣловъ и послѣдовательномъ приближенномъ исчисленіи. Цѣна 25 коп. Птрг. 1916. Вып IV. Проф. Я. Б. Успенскій. Изложеніе геометрическихъ способовъ приближеннаго вычисленія отношенія окружности къ діаметру. Цѣна 15 коп. Птрг. 1916. Вып. V 1) А. П. Киселевъ. О тѣхъ вопросахъ элементарной геометріи, которые рѣшаются обыкновенно помощью предѣловъ. 2) Обмѣнъ мнѣній по поводу докладовъ, посвященныхъ вопросу о теоріи предѣловъ, аксіомѣ непрерывности, принципѣ эквивалентности и ихъ мѣстѣ въ курсѣ геометріи средней школы. Цѣна 20 коп. Птрг. 1916.

К. Ѳ. Лебединцевъ. Ученіе о простѣйшихъ функціяхъ, ихъ графикахъ и теорія предѣловъ. Изд. Книгоиздательства «Сотрудникъ». Птрг. — Кіевъ 1916. Цѣна 1 руб. 25 коп.

К. Ѳ. Лебединцевъ. Руководство алгебры для женскихъ гимназій. 2-е исправленное и дополненное изданіе. Изданіе книгоиздательства «Сотрудникъ». Птрг:—Кіевъ 1916. Цѣна 1 руб. 20 коп.

А. И. Никитинъ. Вторая ступень изъ геометріи. Для двухклассныхъ училищъ. Москва 1916. Цѣна 50 коп.

Московскій Городской Музей наглядныхъ учебныхъ пособій. Рецензіи о книгахъ для школы и учащихся. Выпускъ I. Цѣна 60 коп. Выпускъ II. Цѣна 60 коп. Москва 1916.

К. Б. Пеніонжкевичъ. Систематическій сборникъ задачъ по анализу безконечно-малыхъ. Пособіе для учениковъ VII кл. реальныхъ училищъ. Цѣна 2 рубля. Изданіе П. Луковникова. Птрг. 1916.

М. Л. За что воюетъ сейчасъ русскій народъ. Для народныхъ чтеній. Изданіе Педагогическаго Бюро Полтавскаго Губернскаго Земства. Цѣна 10 коп. Полтава 1916.

В. В. Добровольскій. Краткія свѣдѣнія по математикѣ и собраніе задачъ для учениковъ ремесленныхъ и техническихъ училищъ. Выпускъ I. Цѣна 1 рубль. Изданіе Ремесленнаго училища имени К. Т. Солдатенкова. М. 1916.

Одногодичные для подготовленія учителей и учительницъ среднихъ учебныхъ заведеній Курсы при Управленіи Казанскаго Учебнаго Округа. Обзоръ дѣятельности за 1911—1915 годы. Выпускъ первый, Казань 1916. Цѣна 3 рубля.

Редакторъ-издатель Н. А. Извольскій. Тип. Г. Лисснера и Д. Собко, Москва, Воздвиж., Крестовозд. пер., д. № 9»