Математическій Вѣстникъ.

№ 5. Сентябрь 1916 г.

Годъ третій.

Адресъ редакціи: Москва, Гороховскій пер., д. 23, кв. 9. Тел.3-19-55.

Содержаніе: А. Цвѣткова. Объ одной геометрической задачѣ. — С. А. Богомоловъ. Отвѣтъ Н. А. Извольскому.— Н. Извольскій. По поводу «отвѣта» С. А. Богомолова. — П.С. Флоровъ. Теорема Веронезе—Богомолова.— В. Шебедевъ. Систематизаціи ариѳметическихъ понятій.

Объ одной геометрической задачѣ.

Существуетъ задача слѣдующаго содержанія: «Длина комнаты 30 футовъ, ея ширина и высота содержатъ по 12 футовъ. Посрединѣ квадратной стѣны, на разстояніи 1 фута отъ пола, сидитъ муха, а посрединѣ противоположной ей стѣны, на разстояніи 1 фута отъ потолка, сидитъ паукъ. Надо узнать, какой путь долженъ выбрать паукъ, чтобы поскорѣе добраться до мухи». Ясно, что задача совершенно безсмысленна по своему жизненному содержанію, такъ какъ никакой паукъ не будетъ выбирать кратчайшаго пути къ мухѣ, а постарается или подкрасться къ ней такъ, чтобы муха его не замѣтила, или же будетъ ждать, когда муха сама попадетъ въ паутину.

Однако геометрическая сторона задачи представляетъ интересъ. Мы разсмотримъ рѣшеніе этой задачи, но только прежде освободимъ ея форму отъ всѣхъ ненужныхъ украшеній въ видѣ паука и мухи, которыя сущности задачи не поясняютъ, а только вызываютъ сомнѣнія, подобныя только что высказаннымъ.

Задача приметъ тогда такую форму: «Найти кратчайшій путь. отъ точки А до точки В по поверхности прямоугольнаго параллелепипеда KLMNOPQR (черт. 1), стороны основанія котораго KN=12 фут., фут. и высота ІѴі?=12 фут., Точки А и В лежатъ на квадратныхъ граняхъ параллелепипеда, точка А —на разстояніи ЕА=1 фут. по перпендикуляру, возставленному въ серединѣ верхняго основанія грани KNRO, точка В—на разстояніи FB=1 футу по перпендикуляру, возставленному въ серединѣ нижняго основанія грани LMQP».

Чтобы рѣшить эту задачу надо, очевидно, развернуть поверхность даннаго параллелепипеда по плоскости и вычислить полученный отрѣзокъ AB. Такъ какъ поверхность параллелепипеда можно нѣсколькими способами развертывать на плоскости, и въ каждомъ случаѣ будетъ получаться свой отрѣзокъ AB, то, сравнивъ длины этихъ отрѣзковъ и, найдя наименьшій изъ нихъ, мы и получимъ рѣшеніе задачи.

Разсмотримъ различныя развертки поверхности даннаго параллелепипеда.

I. Разрѣжемъ его поверхность по прямымъ RQ, OK, KN, NR, PL, LM и MQ (черт. 2).

Чер. 1.

Черт. 2.

Назовемъ полученный отрѣзокъ AB — черезъ АВі.

Очевидно,

но

слѣдовательно

т.-е.

Ясно, что всѣ остальные разрѣзы, сохраняющіе отрѣзокъ АВЪ дадутъ то же рѣшеніе задачи, и поэтому ихъ разсматривать не будемъ.

II. Разрѣжемъ поверхность параллелепипеда по прямымъ RQ, KN, JVR, ДО, LM, QM и QP, получимъ новую развертку, указанную на черт. 3.

Назовемъ въ этомъ случаѣ AB черезъ АВц. Вычислимъ АВц изъ прямоугольнаго Д ABC

АВп*=ВС2+АСК

Но изъ чертежа видно, что ВС=10 и

AC (=AX+XY+YC)=6+30+6,

т.-е.

Слѣдовательно,

А5и2=Ю2+422

или

АВп2=1864. (2)

Такъ какъ мы имѣемъ дѣло съ отрѣзками, т.-е. съ величинами существенно положительными, то мы должны разсматривать только ариѳметическое значеніе |/1864. Слѣдовательно,

Чер. 3.

въ виду того, что двойственность знака передъ корнемъ устранена, можно Вмѣсто АВі, АВц и т. д. сравнивать АВі2, АВи2,..., и отсюда уже заключать относительно самихъ отрѣзковъ. Возведя въ квадратъ обѣ части равенства (I) получимъ

(1а)

то и

Это можно бы было видѣть и изъ того, что АВі=АС въ Д ABC (черт. 3), т.-е. АВі будетъ катетомъ того треугольника, въ которомъ АВп является гипотенузой. Оставляя въ сторонѣ всѣ другія развертки, не мѣняющія отрѣзка АВц и замѣчая, что новыя развертки, дающія путь AB по тремъ гранямъ параллелепипеда , будутъ повторять по величинѣ или АВі, или АВц, перейдемъ къ разсмотрѣнію развертокъ поверхности параллелепипеда, дающихъ путь AB по четыремъ гранямъ. Ясно, что при данной разверткѣ (черт. 4) весь путь AB лежитъ на поверхности параллелепипеда.

Обозначая въ этомъ случаѣ AB черезъ АВщ, изъ прямоугольнаго Д ABC, получимъ

Чер. 4.

такъ какъ

Слѣдовательно,

или

О)

Сравнивая равенства (3) съ (2) и (1а), найдемъ

IV. Разсмотримъ еще развертку поверхности прямоугольнаго параллелепипеда, дающую путь AB по четыремъ гранямъ (черт. 5). Въ данномъ случаѣ обозначимъ AB черезъ АВіу.

Изъ подобныхъ 'треугольниковъ ABC и AVE и мѣемъ

Но

АС=7, СВ=І1 и АЕ=1.

Слѣдовательно 7_ 47

1 ~~ЕѴ'

откуда получаемъ

Такъ какъ j?F>6, то точка V находится за точкой О, и, слѣдовательно, весь путь АВ±ѵ лежитъ на граняхъ параллелепипеда .

Вычислимъ его изъ прямоугольнаго J\ABC АВМ=АС*+СВ*)=72+472, т.-е. AB =2198............(4)

Мы видимъ, что АВіу будетъ больше всѣхъ предыдущихъ путей.

Легко убѣдиться въ томъ, что остальныя развертки параллепипеда, дающія путь AB по четыремъ гранямъ, будутъ повторять по величинѣ АВщ или АВіу.

Разсмотримъ теперь развертки параллелепипеда, дающія путь AB по пяти гранямъ.

V. Разрѣжемъ поверхность параллелепипеда по прямымъ RQ, NR, RO, Off, PL, Lilf и MQ (черт.6). Обозначимъ AB черезъ АВу. Разсматривая, какъ и въ IV случаѣ, подобные треугольники ABC и AGS, находимъ

SG>SK,

а изъ подобныхъ треугольниковъ ABC и HBU находимъ

HU>PU.

Слѣдовательно, АВу лежитъ на граняхъ параллелепипеда.

Величину А By найдемъ изъ прямоугольнаго треугольника ABC.

АВу(=АС2±СВ2)= =242+522=3280 (5)

Мы видимъ, что АВу больше всѣхъ разсмотрѣнныхъ путей.

VI. Разсмотримъ новую развертку параллелепипеда, дающую путь AB по пяти гранямъ (черт. 7). Обозначая AB черезъ АВуі и изъ разсмотрѣнія подобныхъ треугольниковъ замѣчая, что АВуі лежитъ весь на граняхъ параллелепипеда, получимъ

АВ$і=322+242,

или

АВ 1600 ...........(6)

Слѣдовательно, изъ равенствъ (1а), (2), (3), (4), (5) и (6) мы видимъ, что путь АВѵі кратчайшій.

Нетрудно убѣдиться въ томъ, что полученныя шесть развертокъ дадутъ всѣ возможныя различныя длины путей AB, другія

Чер. 6.

же развертки или будутъ давать прежнія разстоянія между точками Іи5, или же совсѣмъ не дадутъ на поверхности параллелепипеда прямолинейнаго пути AB (напримѣръ, если разрѣжемъ поверхность по прямымъ RQ, RN, NK, RO, QP, PL и LM).

Слѣдовательно, при данныхъ измѣреніяхъ прямоугольнаго параллелепипеда и при данныхъ мѣстахъ точекъ А и В, путь АВуі, т.-е. путь черезъ 5 граней, будетъ кратчайшимъ. Этотъ фактъ интересенъ тѣмъ, что онъ какъ бы противорѣчитъ нашему представленію — такой сложный путь, какъ АВѵі, который пунктиромъ указанъ на чертежѣ 1, является кратчайшимъ изъ всѣхъ возможныхъ путей, въ то время какъ такой простой путь, какъ АВі будетъ длиннѣе.

Очевидно, что направленіе кратчайшаго пути по гранямъ изъ точки А въ точку В будетъ мѣняться въ зависимости отъ размѣровъ параллелепипеда и отъ положенія точекъ А и В. Не давая подробнаго изслѣдованія вопроса въ самомъ общемъ видѣ, такъ какъ такое изслѣдованіе было бы слишкомъ сложнымъ, разсмотримъ только, какая зависимость должна существовать между разстояніями отъ основаній точекъ А и В прямоугольнаго параллелепипеда, ширина котораго равна высотѣ, для того, чтобы путь черезъ 5 граней былъ бы короче пути черезъ 3 грани.

Обозначимъ въ параллелепипедѣ KLMNOPQR (черт. 1) длину MN черезъ с, KN=NR=a и EA=FB=d\ тогда (черт. 2)

Чер. 7.

Слѣдовательно:

Изъ черт. 7 получаемъ:

но т.-е.

Для того, чтобы было АВуі<АВі, надо

Перенося члены изъ правой части неравенства въ лѣвую и дѣлая упрощенія, получаемъ

4d2+4cd+(3a2—2ас) < 0. (7)

Лѣвая часть представляетъ квадратный трехчленъ относительно d. Разложимъ его на множители, для чего рѣшимъ относительно d уравненіе

или, сокращая на 2, получимъ

Слѣдовательно,

т.-е., неравенство (7) перепишется

или

Но для того, чтобы произведеніе двухъ множителей было отрицательно, надо, чтобы они имѣли разные знаки, т.-е. или одновременно

(8)

или одновременно

(9)

Но

всегда отрицательно, такъ какъ

с> О, выраженіе же

можетъ быть какимъ

угодно, пока на него не наложено никакихъ условій.

Второе изъ неравенствъ (8) показываетъ, что d должно быть меньше нѣкотораго отрицательнаго числа, т.-е. само должно быть отрицательно, а это невозможно, такъ какъ d есть разстояніе.

Слѣдовательно, для данной задачи условія (8) существовать не могутъ. Остаются условія (9), но второе изъ нихъ, показывающее, что d должно быть больше нѣкотораго отрицательнаго числа, т.-е. что d должно быть положительно, ясно изъ самой задачи. Такимъ образомъ мы видимъ, что для того, чтобы было

надо

(10)

Но на это условіе придется еще наложить ограниченіе. Мы знаемъ, что d>0; слѣдовательно въ неравенствѣ (10) правая часть, какъ большая d, должна быть положительною, т.-е.

или

(И)

Такъ какъ мы имѣемъ дѣло съ абсолютными величинами, то можемъ, не вводя новыхъ рѣшеній, возвести въ квадратъ обѣ части неравенства (11).

Разлагая на множители, получимъ

а(3а—2с) <О, а такъ какъ а>0, то За—2с<0 2

или а<С- (12)

Провѣримъ неравенства (10) и (12) для данныхъ нашей задачи. Въ ней мы имѣемъ а=12, с=30 и d=1. 2

Такъ какъ ^с=20, то, слѣдовательно, неравенство (12) удовлетворено.

Подставляя въ неравенство (10) значенія а и с, получаемъ приближенно

cfeS 2,2.

Очевидно, что заданное значеніе d (d=l) также удовлетворяетъ требованію.

Разсмотримъ еще примѣръ

а=8, с=12 и d=l.

Здѣсь я^дС; слѣдовательно, по предыдущему АВуі не можетъ быть меньше АВі.

Провѣримъ это, подставивъ въ выраженіе для АВі2 и АВ2ут значенія а, с и d; получимъ

Л2?і2=(8+12)2=400 и Л5ѴІ2=(12+2)2+4(8)2=452.

Мы видимъ, что повѣрка подтвердила наше предположеніе.

А. Цвѣткова.

Отвѣтъ Н. А. Извольскому.

Въ своей замѣткѣ, посвященной моему докладу объ аксіомѣ непрерывности, Н. А. Извольскій возбуждаетъ два общихъ вопроса.

Второй изъ нихъ касается педагогической стороны дѣла, и здѣсь въ сущности я ничего не имѣю возразить. На I курсѣ высшаго учебнаго заведенія мое изложеніе, какъ показалъ опытъ, вполнѣ доступно учащимся и представляетъ для нихъ интересъ. Въ какой мѣрѣ нѣчто подобное возможно въ средней школѣ,—это вопросъ, который я предоставляю рѣшать людямъ, болѣе меня компетентнымъ въ данной области. Появившаяся въ «Вѣстникѣ оп. физ. и элем. мат.» (1916, № 1) статья А. П. Киселева во всякомъ случаѣ показываетъ, что кое-чего въ этомъ направленіи можно достигнуть.

Первый же вопросъ касается цѣнности извѣстнаго направленія въ развитіи математики; попутно высказываются нѣкоторыя соображенія о самой аксіомѣ Дедекинда. По мнѣнію Н. А. Извольскаго, истинно-научное изложеніе не должно забывать того обстоятельства, что «въ нашемъ представленіи имѣется образъ «длина окружности», и этотъ образъ отнюдь не связывается ни съ ученіемъ о непрерывности, ни съ теоріею предѣловъ»; забвеніе же подобныхъ истинъ ведетъ будто бы къ превращенію математики въ софистику.

Несомнѣнно, у насъ имѣется представленіе о длинѣ окружности, не зависящее отъ какихъ-либо высшихъ теорій. Вообще у приступающаго къ изученію геометріи имѣется извѣстная совокупность геометрическихъ знаній, добытая изъ повседневнаго опыта. Знанія эти находятся въ хаотическомъ состояніи; попадаются среди нихъ и совсѣмъ ложныя (вспомнимъ, хотя бы, правило нашихъ древнихъ землемѣровъ, по которому фигуры съ равными периметрами считались равновеликими). Систематическій курсъ геометріи и ставитъ себѣ цѣлью, отбросивъ все невѣрное, остальное привести въ стройную систему знаній, вытекающую изъ Небольшого числа предпосылокъ. А такъ какъ у насъ несомнѣнно имѣется представленіе о непрерывности пространственныхъ образовъ и оно является источникомъ различныхъ знаній, то въ системѣ аксіомъ геометріи должна быть такая, которая въ отчетливыхъ математическихъ выраженіяхъ формулируетъ сущность этого представленія. Указанную цѣль и преслѣдуетъ аксіома Дедекинда. Въ настоящее время едва ли можно говорить о «сверхъ-человѣческомъ происхожденіи аксіомъ»; относительность всякой системы предпосылокъ хорошо извѣстна; и, въ частности, интересующая насъ аксіома представляетъ лишь болѣе или менѣе удачное рѣшеніе вопроса.

Н. А. Извольскій какъ будто бы отрицаетъ чисто геометрическій характеръ аксіомы Дедекинда, ставя ее въ зависимость отъ теоріи ирраціональныхъ чиселъ. По этому поводу нелишнее будетъ вспомнить, что въ статьѣ «Непрерывность и ирраціональныя числа» Дедекиндъ исходитъ изъ геометрическихъ соображеній, съ помощью которыхъ затѣмъ приступаетъ къ «созиданію ирраціональныхъ чиселъ». Если пойти путемъ итальянскихъ геометровъ, то можно было бы и съ аксіомой Дедекинда до самаго конца курса не вводить обобщеннаго понятія числа.

Наконецъ, Н. А. Извольскій упрекаетъ разбираемую аксіому въ томъ, что въ ней плохо отразилась возможность относить точку, производящую дѣленіе, къ тому или другому отрѣзку «по нашему желанію»; отсюда авторъ извлекаетъ нѣкоторые доводы въ пользу своего воззрѣнія на окружность. Съ этимъ однако нельзя согласиться. Дѣйствительно, если дѣленіе на два класса намъ дано, то положеніе пограничнаго элемента вполнѣ опредѣлено, и нашему произволу уже нѣтъ мѣста.

Такъ, въ случаѣ периметровъ вписанныхъ и описанныхъ многоугольниковъ пограничный отрѣзокъ не принадлежитъ ни тому ли другому классу (см. доказательство въ моемъ докладѣ); а отнести его съ самаго начала въ какой-либо классъ нельзя уже по одному тому, что отрѣзокъ этотъ появляется лишь въ концѣ разсужденія. Это совершенно противорѣчитъ тѣмъ выводамъ, которые имѣетъ въ виду мой уважаемый оппонентъ.

С. Богомоловъ.

По поводу „Отвѣта" С. А. Богомолова.

Итакъ, С. А. Богомоловъ признаетъ, что у насъ имѣется представленіе о длинѣ окружности, не зависящее отъ какихъ-либо высшихъ теорій. Слѣдствіемъ этого признанія должно явиться такое изложеніе ученія о длинѣ окружности (площади круга и т. д.), если имѣть въ виду именно это ученіе, а не какія-либо иныя цѣли, которое свободно отъ этихъ высшихъ теорій.

Вопросъ о возможности отдѣленія геометрической части работы Р. Дедекинда отъ ариѳметической не такъ простъ, какъ это указывается С. А. Богомоловымъ: дѣло въ томъ, что изложеніе статьи «Непрерывность и ирраціональныя числа» еще не указываетъ, въ какомъ именно порядкѣ слагались въ представленіи Р. Дедекинда тѣ идеи,, какія здѣсь имѣютъ мѣсто; во всякомъ случаѣ, возможность разсматривать геометрическія линіи прерывными (а этимъ вѣдь пользуется С. А. Богомоловъ) можетъ возникнуть лишь въ связи съ ученіемъ объ ирраціональныхъ числахъ.

Наконецъ, поясненія С. А. Богомолова вовсе не устраняютъ того сомнѣнія, которое указано мною, а именно нѣкотораго противорѣчія между принципомъ Кантора и теоремою, что всякое сѣченіе въ области вещественныхъ чиселъ обладаетъ свойствомъ, что или въ нижнемъ классѣ есть наибольшее число или въ верхнемъ классѣ—наименьшее, при чемъ доказательство этой теоремы, начинаясь словами: «Положимъ, что въ нижнемъ классѣ нѣтъ наибольшого числа», указываетъ на возможность по нашему желанію признать одно изъ этихъ положеній. И это вполнѣ согласуется съ тѣмъ, что всякое раціональное число можетъ быть опредѣлено двумя сѣченіями въ области раціональныхъ чиселъ: въ одномъ нижній классъ имѣетъ наибольшее число, и въ другомъ верхній — наименьшее. Когда понятіе о числѣ обобщено и введены новыя числа, ирраціональныя, составляющія вмѣстѣ съ раціональными область вещественныхъ чиселъ, то такое же положеніе должно имѣть мѣсто по отношенію ко всякому вещественному числу.

Повторяю, статья многоуважаемаго С. А. Богомолова имѣетъ большой интересъ для тѣхъ лицъ, которыя уже изучили вопросъ о длинѣ окружности, независимо отъ какихъ-либо высшихъ теорій, изучили теорію ирраціональныхъ чиселъ и связанное

съ ней ученіе о непрерывности, — для этихъ лицъ то освѣщеніе связи между указанными вопросами, какое дано въ статьѣ С. А. Богомолова, и интересно и поучительно.

Н. Извольскій.

Теорема Веронезе—Богомолова.

(Критическая замѣтка.)

Я даю это названіе моей замѣткѣ исключительно ради краткости. Въ противномъ случаѣ мнѣ въ самомъ оглавленіи пришлось бы выяснить, что я намѣренъ говорить по поводу теоремы 6 доклада г. Богомолова, прочитаннаго имъ въ 1915 г. въ Соляномъ Городкѣ и напечатаннаго въ «Математическомъ Вѣстникѣ» за 1916 г. подъ названіемъ «Аксіома непрерывности какъ основаніе для опредѣленія длины окружности, площади круга, поверхностей и объемовъ круглыхъ тѣлъ».

Теорему 6 г. Богомоловъ формулируетъ такъ: «можно найти такое цѣлое положительное число п, что разность между периметрами правильныхъ п - угольниковъ — описаннаго около данной окружности и вписаннаго въ нее — будетъ меньше любого напередъ заданнаго отрѣзка».

Теоремѣ 6 въ докладѣ г. Богомолова предшествуютъ пять теоремъ, текстуально перечисляемыхъ докладчикомъ съ цѣлью подготовленія почвы для опредѣленія длины окружности. Доказательства этихъ пяти теоремъ «въ силу общеизвѣстности» не приводятся.

Доказательство теоремы 6 не общеизвѣстно и потому излагается въ докладѣ.

«Идея доказательства заимствована у Веронезе; только въ одномъ пунктѣ его надо было исправить и нѣсколько развить».

Изъ подстрочнаго примѣчанія мы узнаемъ слѣдующее: «У Веронезе вспомогательный отрѣзокъ обозначенъ просто черезъ К, что наводитъ на мысль о его постоянствѣ; между тѣмъ этотъ отрѣзокъ несомнѣнно зависитъ отъ...».

Въ связи съ сказаннымъ исправляя и нѣсколько развивая доказательство Веронезе, г. Богомоловъ вводитъ для вспомогательнаго отрѣзка обозначеніе ітГпи, воспользовавшись методомъ совершенной индукціи, въ концѣ концовъ приходитъ къ выводу, что при достаточно большомъ п будетъ

гдѣ Рп есть периметръ правильнаго и - угольника, описаннаго около круга, рп периметръ правильнаго п - угольника, вписаннаго въ тотъ же кругъ, а е сколь угодно Малый напередъ заданный отрѣзокъ. При чтеніи вышеозначеннаго доклада въ Соляномъ Городкѣ предсѣдательствовалъ М. Г. Попруженко, напередъ объявившій, что пренія по докладу

откладываютъ на одно изъ послѣдующихъ засѣданій. Какъ случайный слушатель доклада, я долженъ былъ подчиниться дисциплинѣ засѣданія. Тѣмъ не менѣе по окончаніи чтенія я нашелъ случай предъявить предсѣдателю М.Г. Попруженко и присутствовавшему въ засѣданіи профессору П. А. Некрасову тождественную формулу

гдѣ черезъ г обозначенъ радіусъ даннаго круга.

Сопоставленіе этой формулы съ теоремой Веронезе-Богомолова приводитъ къ заключенію, что иногда сколь угодно простую теорему можно доказать сколь угодно сложнымъ пріемомъ.

Поэтому можно пожалѣть, что почтенный докладчикъ не воздержался отъ приведенія къ «общеизвѣстности» своего Исправленія и своего развитія доказательства Веронезе. При воздержаніи докладъ, и безъ того прекрасный, еще бы выигралъ въ содержательности.

Директоръ Урюпинскаго реальнаго училища П. С. Флоровъ.

Примѣчаніе редакціи.

То интересное равенство, на которое указываетъ г. П. С. Флоровъ, можетъ быть получено слѣдующимъ образомъ.

Пусть AB есть сторона прав.вписаннаго въ кругъ ^-угольника, т.-е.по обычному обозначенію ап; построивъ ВС и AC — касательныя къ кругу въ точкахъ А и В, а также ОК±_АВ (OK проходитъ черезъ С), получимъ еще:

AC=CB=-f-, т.-е.=- стороны прав. описаннаго ^-угольника, АК=КВ= ~а2п (т-е- стороны правильно вписаннаго 2я-угольника). Тогда площ.

AC. AO bn.R; /\ОАС—---=—7—; площадь

(предполагается, что ОЕ±_АК, откуда слѣдуетъ

Но изъ Д АОЕ имѣемъ:

слѣд. площ.

Такъ какъ площ. ДОЛС—площ. ОАК= площ. Д ACE, то

Умножимъ обѣ части этого ур-ія на 4п, а кромѣ того умножимъ числителя и знаменателя послѣдней дроби на 4я2; получимъ:

Такъ какъ пЪп=Рп (периметръ описаннаго ^-угольника), пап=рп (периметръ вписаннаго ^-угольника), 2/іа9п=р9п (периметръ вписаннаго 2 ^-угольника), то

Систематизація ариѳметическихъ понятій.

Тайлоръ въ «Антропологіи»1) опредѣляетъ науку, какъ точное, правильное, систематизированное знаніе. Систематизація является, слѣдовательно, однимъ изъ признаковъ, опредѣляющихъ понятіе «наука».

А значитъ, всѣ работы, стремящіяся внести систему въ изучаемую область, должны представлять тотъ или иной интересъ.

Въ этомъ отношеній любопытна глава изъ книги «Ариѳметика и Алгебра» проф. Шуберта подъ заглавіемъ: «Замѣчанія по поводу систематическаго строенія ариѳметики»2). Глава эта положена въ основаніе настоящей статьи.

Каждое изъ 7 ариѳметическихъ дѣйствій (сложеніе, вычитаніе, умноженіе, дѣленіе, возвышеніе въ степень, извлеченіе корня, нахожденіе логариѳма) оперируютъ въ сущности съ двумя числами, находя третье — результатъ. Замѣчательно, что роли этихъ двухъ данныхъ чиселъ (въ каждомъ изъ 7 вышепоименованныхъ дѣйствій) по отношенію къ самому дѣйствію однѣ и тѣ же. Если вдуматься въ этотъ вопросъ, то мы найдемъ правильною мысль назвать ихъ числами—активнымъ и пассивнымъ. Мысль эта отразилась, какъ и слѣдовало ожидать,и на словообразованіи названій чиселъ, данныхъ въ каждомъ дѣйствіи.

Напр., въ умноженіи — множимое (прич. страд. зал. — passivum), множитель, суффиксъ котораго тель, весьма характеренъ: «Для указанія дѣятеля или субъекта опредѣленнаго

1) Антропологія. Эд. Тайлоръ. Перев. съ англ. д-ра Ивина, С.-Пб. 1898, стр. 309.

2) Arithmetik und Algebra, von Dr. H. Schubert. Leipzig, 1911, S. 144—145.

дѣйствія служитъ суффиксъ тель или въ распространенномъ видѣ — итель, атель»1). Дѣлимое — дѣлитель и др.

Пассивное число — это та основа, тотъ матеріалъ, изъ котораго строятъ результатъ,—это то, надъ чѣмъ работаютъ (1-ое слагаемое, уменьшаемое, множимое и др.).

Активное же число въ связи со знакомъ дѣйствія вполнѣ опредѣляютъ тотъ процессъ, который долженъ быть выполненъ надъ пассивнымъ числомъ, чтобы получить результатъ (см. I таблицу). Характернымъ именно и является участіе активнаго числа въ опредѣленіи процесса.

Табл. 1-я.

7 дѣйствій.

Названіе дѣйствія: Примѣръ: Пассивное число здѣсь 16, называется: Активное число здѣсь 2, называется: Результатъ называется:

Сложеніе. 16+2=18 Слагаемое. (Увеличиваемое.) Слагаемое. (Увеличиватель.) Сумма.

Вычитаніе. 16-2=14 Уменьшаемое. Вычитаемое. Разность.

Умноженіе. 16 . 2=32 Множимое. (Сомножитель или производитель) Множитель. (Сомножитель или производитель.) Произведеніе.

Дѣленіе. 16:2=8 Дѣлимое. Дѣлитель. Частное.

Возвышеніе въ степень. 162=256 Основаніе. Показатель степени. Степень.

Извлеченіе корня. V16=4 Подкоренное число. Показатель корня. Корень.

Нахожденіе логариѳма. 1о g216=4 Число. (Numerus.) Основаніе логариѳма. Логариѳмъ.

1) В. А. Богородицкій, заслуж. проф. Казан. университета, Общій курсъ русской грамматики. Казань, 1911 г., стр. 191, 194, 195.

Напр., 8x4=32.

Изъ 8 творятъ новое число. 8 — это матеріалъ. 8 — число пассивное.

4 же указываетъ, сколько разъ долженъ быть выполненъ процессъ послѣдовательнаго сложенія 8, слѣд., динамику дѣйствія и опредѣляетъ частично второе число; 4 — число активное.

Полное опредѣленіе процесса даетъ активное число вмѣстѣ со знакомъ дѣйствія.

Съ особенною ясностью выступаетъ это различіе ролей чиселъ въ каждомъ изъ дѣйствій при обратныхъ операціяхъ, при чемъ различіе это нѣсколько затушевывается въ дѣйствіяхъ, подчиняющихся перемѣстительному закону; особенно же ярко проявляется оно при обращеніи прямого дѣйствія 3-й ступени — возвышенія въ степень.

Каждое прямое ариѳметическое дѣйствіе представляетъ собою опредѣленное положеніе.

Каждое же положеніе можетъ быть обращено въ одинъ или нѣсколько вопросовъ. Примѣръ обращенія любого положенія даетъ проф. Васильевъ въ своемъ курсѣ «Введенія въ анализъ», выпускъ 1-й.

«Гауссъ отпечаталъ свои знаменитая «Disquisitiones» въ 1801 г. Это положеніе можетъ послужить къ постановкѣ нѣсколькихъ вопросовъ:

1) Когда напечатаны «Disquisitiones»?

2) Какая знаменитая книга была напечатана въ 1801 г. и др.

Совершенно аналогично этому мы можемъ «обращать» и

ариѳметическія дѣйствія. Начнемъ со сложенія.

Положеніе прямое: два числа а не, соединенныя знакомъ+ , даютъ въ результатѣ с:

а+в=с............(I)

Въ этомъ дѣйствіи число а есть число пассивное согласно своей роли въ сложеніи, такъ какъ оно есть матеріалъ, надъ которымъ работаютъ, къ чему присчитываніи».

Число же в вмѣстѣ со знакомъ + характеризуютъ тотъ процессъ, который надо выполнить надъ а — процессъ присчитыванія, о чемъ говоритъ знакъ +; сколько же единицъ присчитать или, такъ сказать, длительность процесса опредѣляетъ число в. Естественно ему и дать названіе активнаго числа.

Но положеніе (С можетъ послужить началомъ двухъ вопросовъ :

1) къ какому числу нужно прибавить извѣстное в, чтобы получить другое извѣстное с (здѣсь дано активное число, ищется пассивное), и

2) какое число нужно придать къ извѣстному числу а, чтобы получить другое извѣстное число с (здѣсь дано пассивное число, ищется активное).

Является вопросъ: отличны ли эти два «обращенія» по своему логическому смыслу?

Лучшимъ отвѣтомъ послужить примѣръ1):

Если возрастъ А больше возраста В на m лѣтъ, т.-е.

(возр. 5)+яг=(возр. А),

то ясно, что два вопроса:

1° сколько лѣтъ В (ищется пассивное число), 2° на сколько лѣтъ А старше В (ищется активное число), совершенно отличны по смыслу.

Ясно, что 2-й вопросъ въ сущности спрашиваетъ: «какой процессъ надо продѣлать надъ возрастомъ В, чтобы получить возрастъ А?»

Но оказывается, что оба эти — совершенно различные по своему смыслу — вопроса рѣшаются одною и тою же операціею: вычитаніемъ.

Гдѣ причина этого? Причина лежитъ въ перемѣстительномъ законѣ сложенія, именно въ томъ, что числа, входящія въ дѣйствіе сложенія, могутъ мѣняться мѣстами, совершенно не вліяя при этомъ на результатъ. Вотъ именно этотъ моментъ — законъ перемѣстительности —и затушевываетъ нѣсколько выясненіе отличія ролей чиселъ активнаго и пассивнаго въ дѣйствіи сложенія.

Итакъ, сложеніе въ сущности даетъ начало двумъ обратнымъ дѣйствіямъ, которыя однако—по вышеуказаннымъ причинамъ — учитываются одною математическою операціею — вычитаніемъ .

Умноженіе.

Прямое дѣйствіе 2-й ступени. Положеніе прямое:

два числа а и в, соединенныя знакомъ X или . (умноженія), даютъ въ результатѣ с:

а . в~=с ...........(II)

Обращенія этого положенія:

1°. Какое число должно быть повторено в разъ слагаемымъ для того, чтобы получить число ci

Очевидно, что здѣсь указанъ процессъ составленія с, т.-е. указано число активное (в), но не указанъ матеріалъ, изъ котораго составлено число с, т.-е. не указана та часть с, которая, будучи повторена слагаемымъ в разъ, даетъ число C) иными словами, ищется число пассивное (а).

Обратнымъ дѣйствіемъ здѣсь будетъ математическая операція — дѣленіе:

с : в=а.

1) Проф. Васильевъ, Введеніе въ анализъ. Вып. I, 1907, стр. 35.

Эта операція и есть собственно дѣленіе или дѣленіе на части.

2° Сколько разъ должно быть повторено данное число а слагаемымъ, чтобы получить другое данное число с?

Очевидно, здѣсь глубокое отличіе по своему логическому смыслу этого вопроса отъ предыдущаго. Здѣсь дано пассивное число, требуется вполнѣ выяснить процессъ составленія сизъ а, опредѣлить его длительность, т.-е. ищется активное число.

Математическая же операція, рѣшающая этотъ вопросъ, есть вновь дѣленіе:

с : а=Ъ.

Эта операція есть, такъ называемое, дѣленіе по содержанію или въ сущности процессъ измѣренія.

Причина рѣшенія этихъ двухъ различныхъ вопросовъ одною и тою же математическою операціею — дѣленіемъ — совершенно аналогична случаю обращенія сложенія: причина кроется въ подчиненіи умноженія перемѣстительному закону.

Но это отличіе, затушеванное единообразной операціею, уже рѣзко всплываетъ въ методикѣ дѣленія. Дѣленіе на части и дѣленіе по содержанію — это существенный вопросъ методики дѣленія, и требуетъ онъ особыхъ размышленій1).

Причина ясна, — она кроется въ глубокомъ логическомъ отличіи двухъ «обращеній» умноженія:

1° дѣленіе на части (данъ процессъ—число активное, ищемъ матеріалъ — число пассивное) и

2° дѣленіе по содержанію (данъ матеріалъ—число пассивное, ищемъ процессъ—число активное).

Очень отчетливо выясняется разница при пользованіи графикой.

Дано, напр., число 8; его надо раздѣлить на 4.

8 : 4=2............(а)

Если вы обращаете здѣсь слѣдующій случай:

2x4=8,

т.-е. если вы ищете пассивное число, то число, изъ котораго сложилось 8, то графика отлично выполняетъ свое назначеніе.

Черт. 1-й.

1) См. напр. Егоровъ, Методика ариѳметики, Москва, 1915 г., стр. 175 и др.

Отрѣзокъ ab есть 8; искомое частное есть (0; 2), или (2; 4), или (4; 6) или (6; 8) равное 2. Все найдено. Число же 4 лишь указало намъ на «длительность» процесса.

Однородныя числа, по своему характеру въ дѣйствіи, однородно и отобразились на графикѣ (8 и 2 — отрѣзки). Глубокое же отличіе участія числа 4 въ дѣйствіи тотчасъ же оказалось на графикѣ: число 4, какъ отрѣзокъ, въ графику не вошло.

Если же вы обращаете

4 . 2=8............(Ь)

т.-е. ищете активное число, то на графикѣ начерченнаго частнаго не будетъ; частное выразится въ самомъ процессѣ — въ его повторяемости.

Возвышеніе въ степень.

Прямое дѣйствіе 3-й ступени.

Положеніе:

два числа а и ft, условно записанныя такъ:

даютъ третье число с.

Вотъ здѣсь отличіе пассивнаго и активнаго чиселъ сказывается во всей своей силѣ. Закону перемѣстительному данная операція не подлежитъ, именно:

аь не равно fta,

a слѣдовательно исчезаетъ моментъ затушевки.

Обращенія этого прямого положенія, рѣзко отличныя по своему смыслу, уже не учитываются одною и тою же математическою операціей, а даютъ начало двумъ совершенно отличнымъ операціямъ, вполнѣ оттѣняя глубокое логическое различіе обращеній.

Итакъ, разсмотримъ наши два «обращенныхъ» вопроса:

аь=с.............(II)

а — основаніе степени, ft —показатель (характеренъ суффиксъ дтель — см. выше).

1. Зная числа с и ft, найти а, т.-е. найти то, изъ чего составлено с; найти множитель, который, повторенный ft разъ, даетъ с.

Здѣсь намъ даны: активное число ft, показывающее тотъ процессъ, результатомъ котораго появилось число с изъ числа а, и число с. Ищемъ пассивное число, т.-е. а.

Математическая операція, рѣшающая этотъ вопросъ, наз. извлеченіемъ корня: ь

а=]/с-

Совершенно особая операція со своеобразнымъ алгориѳмомъ.

2. Второй «обращенный» вопросъ.

Даны а и с, ищется ft, т.-е. даны пассивное число а и с, ищутъ активное число ft.

Иначе: данъ матеріалъ (а) для созданія результата (с),— какъ съ нимъ оперировать?

Мы с разлагаемъ на равные множители (а) и считаемъ ихъ число, т.-е. устанавливаемъ, такъ сказать, длительность или повторяемость процесса.

Математическая операція, рѣшающая этотъ вопросъ, называется нахожденіемъ логариѳма числа с по основанію а:

b=\oga с.

Это — уже особая операція.

Напр., даны 16 и 2 (степень и основаніе)

16=2*.

Разлагаемъ 16 на множителей:

16=2 .2.2. 2=24.

4 есть показатель процесса повторенія 2 множителемъ или 4 есть log2 16.

Результатъ, или число 16, мы составляемъ изъ числа 2 (пассивное число), а повторяемость 2 укажетъ 4 (активное число).

Такимъ образомъ характеръ «пассивности» и «активности» чиселъ, входящихъ въ составъ ариѳметическихъ дѣйствій, становится все яснѣе и яснѣе по мѣрѣ восхожденія по ступенямъ прямыхъ дѣйствій.

Таблица I распредѣляетъ всѣ числа дѣйствій по ихъ ролямъ, а таблица II даетъ схему для обратныхъ операцій.

Въ настоящей статьѣ я не останавливаюсь на роли обратныхъ операцій въ вопросѣ эволюціи понятія числа. Разсмотрѣніе обратныхъ операцій подъ такимъ угломъ зрѣнія, представляющимъ огромный интересъ и съ философской точки зрѣнія, не входитъ въ мою задачу.

Возможно продолжить II таблицу и далѣе дѣйствій 3-й ступени.

Табл. 2-я.

Связь между дѣйствіями.

Ступень. Прямыя дѣйствія. Обратныя дѣйствія. Ищется:

I Сложеніе: 5+3=8 1. Вычитаніе: 8—3=5 Увеличиваемое, или 1-е слагаемое.

2. Вычитаніе: 8—5=3 Увеличиватель, или 2-е слагаемое.

II Умноженіе: 5.3=15 1. Дѣленіе: 15:3=5 Множимое.

2. Дѣленіе: 15 : 5=3 Множитель.

III Возвышеніе въ степень 53=125 1. Извлеченіе корня: 1^125=5 Основаніе степени.

2. Нахожденіе логариѳма: log5125=3 Показатель степени.

Остановимся на развитіи понятія прямого дѣйствія 4-й ступени, т.-е. на такъ называемомъ «возвышеніи въ сверхъ-степень».

Чтобы образовать 4-ую ступень прямыхъ дѣйствій, мы вспомнимъ, какъ строились 1, 2 и 3 ступени.

Если мы назовемъ сложеніе операціею 1-й ступени, а умноженіе— операціею 2-й ступени, то установимъ соотношеніе между этими ступенями.

Соотношеніе между ними слѣдующее:

Умноженіе есть повторенное сложеніе, т.-е. одно и то же слагаемое берется b разъ, напр., а+а+а+...+я=я . Ъ.

b разъ

Умноженіе есть повторенное сложеніе; прямая операція 3-й ступени должна быть, аналогично этому, повтореннымъ умноженіемъ, именно:

а . а . а....а=а . b разъ

Эта новая операція соединенія двухъ чиселъ а и в называется возвышеніемъ въ степень.

Эта 3-я ступень въ математикѣ разсматривалась съ давнихъ временъ. 2-я и3-я ступени, имѣющія столь важное значеніе въ геометріи, уже были извѣстны греческимъ геометрамъ. Особенное значеніе ученіе о степеняхъ получило послѣ изобрѣтенія логариѳмовъ1).

Перейдемъ теперь къ образованію прямого дѣйствія 4-й ступени.

Чтобы образовать прямое дѣйствіе 4-й ступени, нужно поставить это новое дѣйствіе въ такое отношеніе къ возвышенію въ степень, въ которомъ это послѣднее стоитъ къ умноженію, а умноженіе къ сложенію. Взаимоотношенія тутъ совершенно аналогичны.

Образуя прямое дѣйствіе 4-й ступени, мы будемъ разсматривать аа, какъ показателя а; тогда получимъ:

это выраженіе опять будемъ разсматривать, какъ показателя а и т.д., пока не повторимъ букву а, напр., b разъ.

обозначаютъ a(ö) или [а; è]2).

Если бы мы, желая образовать новую ступень, стали разсматривать аа не какъ показателя, а какъ основаніе, то никакого новаго дѣйствія мы бы не получили; очевидно, что, повторивъ процессъ подъ такимъ угломъ зрѣнія b разъ (т.-е. а пусть будетъ записано b разъ), мы получимъ

1) Проф. Васильевъ, Введеніе въ анализъ. Вып. I.

2) Обозначеніе а^) см. проф. Васильевъ, Введеніе въ анализъ.

» [а ; Ь] см. Schubert (выше).

т.-е. обыкновенную степень, у которой основаніе равно а, a показатель а0-1.

Итакъ, (Ъ)

будутъ символическими записями новаго прямого дѣйствія 4-й ступени. Операція эта называется возвышеніемъ въ сверхъ-степень.

Пассивнымъ числомъ здѣсь является а, aктивнымъ — Ь.

«Эта операція по своей трудности и по отсутствіи) примѣненія разсматривалась до сихъ поръ еще мало. Эйлеръ изслѣдовалъ быстроту возрастанія сверхъ-степеней, которая поразительна»1). Можно сказать, что активность этой операціи замѣчательна.

Дадимъ рядъ примѣровъ:

1°. 2(1)=2; 2(2)=22=4; 2(3)=222=16. 2(4)=2222 2)=65536,

2(5)=22*2 имѣетъ 19729 цифръ.

2°. Часто встрѣчающіяся задача: написать наибольшее число тремя девятками, можетъ быть рѣшена такъ:

9(3)=999.

99=387420489, а отсюда

имѣетъ около 369693100 цифръ.

3. а(т) при а=1, очевидно, равно единицѣ, какъ бы велико ни было т.

4. а(т) при а=|/2 меньше 2.

Очевидно, что

.•аа ..а2

а при а=|/2 меньше аа , гдѣ послѣдній знакъ есть 2, а не а (т.-е. не |/2, а2).

Тогда,

а**

аа при а=]/2 равно 2.

Слѣдовательно, при а=]/2 меньше 23).

Для «сверхъ-степеней», пользуясь свойствами степеней, можно вывести два закона4):

1) W»T(C)=[a^t(b~l)]

Проф. Васильевъ, Введеніе въ анализъ. Вып. I.

2) Не слѣдуетъ забывать, что порядокъ выполненія этого дѣйствія идетъ сверху внизъ.

3) Проф. Васильевъ, Введеніе въ анализъ. Вып. I.

4) Schubert, Arithmetik und Algebra.

или въ другой записи:

Доказательство:

1)

2)

2) Если мы имѣемъ:

Сверхъ-степени, кромѣ всѣхъ прочихъ своихъ особенностей, характерны тѣмъ, что позволяютъ небольшимъ числомъ знаковъ изобразить огромнѣйшія числа.

Этимъ мы и заканчиваемъ свою статью.

Вотъ ея итогъ: Вводя понятія «активное» и «пассивное» числа, мы достигаемъ большей систематичности и тѣмъ самымъ глубже и лучше уясняемъ себѣ сущность основныхъ ариѳметическихъ понятій. В. Шебедевъ.

Редакторъ-Издатель Н. А. Извольскій.

Типографія Г. Лисснера и Д. Собко. Москва, Воздвиженка, Крестовоздвиженскій пер., д. N; 9.