Математическій Вѣстникъ.

№ 4. Апрѣль 1916 г.

Годъ третій.

Адресъ редакціи: Москва, Гороховскій пер., д. 23, кв. 9. Тел.3-19-55.

Содержаніе: Е. Томашевичъ. Изъ области исторіи. — Н. Извольскій. Описаніе одного урока по геометріи. — Л. Ладыженскій. Еще о Ньютоновомъ опредѣленіи умноженія. — Н. Извольскій. Цѣль обученія ариѳметикѣ и средства для ея достиженія. (Окончаніе.)—И. Ѳаддеевъ. Нѣсколько словъ по поводу замѣтки г. А. К. о моей статьѣ «Придумываніе задачъ самими учениками».— Ѳ. Эрнъ. Къ вопросу о придумываніи задачъ учащимися. — Хроника (Московскій Математическій Кружокъ.— Курсы для учителей высшихъ нач. уч.). — Свѣдѣнія о книгахъ по математикѣ и ея методикѣ (А. П. Перли, Числа изъ жизни.— Книги, поступившія въ редакцію). — Объявленія.

Изъ области исторіи.

Въ одной очень интересной книгѣ, «Récréations mathématiques et problèmes des temps anciens et modernes par W. Rouse Ball», въ ея первой части, на стран. 156, читаемъ слѣдующую задачу:

Найти квадратное число, которое и съ увеличеніемъ его, и съ уменьшеніемъ на 5, остается квадратнымъ.

Задача сопровождается ея исторіей.

Слава Леонарда изъ Пизы была настолько велика, что императоръ Фридрихъ II остановился въ 1225 году въ Пизѣ, чтобы предсѣдательствовать на математическомъ состязаніи, на которомъ предстояло испытать талантъ Леонарда. Соискатели были заранѣе оповѣщены о вопросахъ, часть которыхъ принадлежала Іоанну изъ Палермо, причисленнаго къ свитѣ Фридриха. Это былъ первый въ исторіи примѣръ тѣхъ состязаній, которыя стали обычными въ XVI и XVII столѣтіяхъ и въ которыхъ предлагались на рѣшеніе нѣкоторыя особенныя Математическія задачи.

Леонардъ отвѣтилъ Іоанну, что искомое число есть

Какъ получено это рѣшеніе, въ упомянутой книгѣ не сказано.

Между прочимъ, задача эта была недавно помѣщена въ одномъ изъ дѣтскихъ журналовъ («Міръ Приключеній», 1915, И), и тамъ же дано ея рѣшеніе, однако рѣшеніе это не можетъ считаться удачнымъ.

Я позволю себѣ изложить на страницахъ этого журнала рѣшеніе нѣсколько обобщенной задачи. Дѣло въ томъ, что и кромѣ числа 5 можно найти много другихъ, способныхъ какъ ихъ прибавленіемъ, такъ и вычитаніемъ дѣлать нѣкоторыя квадратныя числа квадратными же. Поставимъ себѣ задачею рѣшить уравненія

а2+ІѴ=62, а2—N=c1 (I)

въ числахъ раціональныхъ для а, Ъ и с, и цѣлыхъ для N. Сравнивъ значенія N изъ этихъ уравненій, мы получимъ

ом—а-=а-—с-, a это можно написать такъ:

b-\-a_a+c_ ^ а—с~Ъ—а~

гдѣ к нѣкоторое, пока произвольное, раціональное число.

Изъ этихъ двухъ равенствъ мы получаемъ

b-\-a=ak—ck, a-\-c=bk—ak (II)

Исключивъ отсюда с, мы легко найдемъ, что

b(k* + l)=a{k2+2k—1).

Такъ какъ к остается совершенно произвольнымъ, то можно положить

a=Ä2+l, Ь=к*+2к—1.

Подставляя эти выраженія въ (I) и (II), получаемъ

N=b2—а2 = (Ь—а){Ь + а) = (2к—2)(2№+2к)=Цк—1) . к . (Ä+1), с=к2—2к—1.

Задача, такимъ образомъ, можетъ считаться почти рѣшенной, и уравненія (I) могутъ быть замѣнены тождествами

(Ä3+1)*+4(Ä-1) . к . (k+i)=(k*+2k-l)*\ пш (ä®+1)»—4(ä—1) . к . (k+l)=(k2-2k—l)2j

Чтобы найти для N цѣлыя рѣшенія, раздѣлимъ обѣ части тождествъ (III) на цѣлое число 4/гг2, получимъ

(IV)

Станемъ теперь послѣдовательно полагать к = 2; 3; 4; и т. д.; при этомъ каждый разъ для m будетъ выбирать такое значеніе, чтобы выраженіе -^--> оставаясь цѣлымъ, было бы въ то же время наименьшимъ.

Найдемъ: при 7с = 2 и 1

при к—3 и т=2 получится то же самое;

при к=4 и тп=2;

Легко видѣть, что все дѣло сводится къ тому, чтобы въ произведеніи трехъ послѣдовательныхъ чиселъ (к—1)/с(/с + 1) выдѣлить квадратнаго множителя; такъ, напр., при к = 9, имѣемъ произведеніе 8.9. 10, которое равно 5 . (12)2. Слѣдовательно, рѣшеніе задачи Іоанна Палермскаго получится изъ тождествъ (IV) при к = 9 и т = 12:

Послѣдовательныя цѣлыя значенія для к и соотвѣтственно имъ выбранныя значенія для m даютъ слѣдующій рядъ чиселъ, прикладываніе или вычитаніе которыхъ къ опредѣленному квадратному числу даетъ также квадратное число

6; 15; 30; 210; 21; 14; 5; 110;... 34;... 39;... 22 (Ä=99).

Можно, конечно, въ тождествахъ (IV) брать для к значенія дробныя, непремѣнно большія единицы и съ точнымъ квадратомъ въ знаменателѣ; но отъ этого, вообще говоря, мы

почти не получаемъ новыхъ рѣшеній. Въ качествѣ исключеній можно указать на слѣдующіе случаи:

Для задачи, поставленной въ началѣ статьи, слѣдуетъ положить к = т И 171

Если задачу, рѣшенную Леонардомъ изъ Пизы, нѣсколько видоизмѣнить, а именно поставить требованіемъ: найти такое число, чтобы квадратъ его, увеличенный пятью, былъ числомъ квадратнымъ, и чтобы это квадратное число, увеличенное снова пятью, также дало бы число квадратное, то отвѣтомъ на задачу можетъ быть мнимая единица, т.-е. ]/—1; дѣйствительно (j/—1)2 + 5 = 4; 4 + 5 = 9.

Е. Томашевичъ.

Описаніе одного урока по геометріи.

Урокъ посвящается ознакомленію съ трехгранными углами; онъ можетъ имѣть мѣсто или въ среднихъ учебныхъ заведеніяхъ или въ высшемъ начальномъ училищѣ. Основная мысль урока добиться рельефнаго представленія о строеніи трехграннаго угла и объ его свойствахъ, минуя доказательство теоремъ по учебникамъ. Въ зависимости отъ того, какъ шелъ курсъ геометріи до этого момента, слѣдуетъ обратить въ той или иной степени на идею обобщенія, имѣющую мѣсто въ стереометріи. Рѣчь идетъ объ обобщеніи понятія уголъ: сначала (въ курсѣ планиметріи) мы знали лишь обычный уголъ, т.-е. фигуру, составленную изъ двухъ лучей, исходящихъ изъ одной точки. Постепенно это воззрѣніе расширяется: 1) устанавливается возможность говорить, что и двѣ прямыя непараллельныя и непересѣкающіяся образуютъ уголъ, 2) устанавливается возможность говорить, что перпендикуляръ къ плоскости составляетъ съ этою плоскостью прямой уголъ, 3) устанавливается возможность говорить объ углѣ между плоскостью и наклонной къ ней, 4) устанавливается возможность говорить

о двугранномъ углѣ и 5) устанавливается возможность еще расширить понятіе объ углѣ, разсматривая фигуру, состоящую изъ нѣсколькихъ плоскостей, пересѣкающихся въ одной точкѣ. Простѣйшимъ изъ послѣдней категоріи угловъ является трехгранный угокъ.

Показывается прежде всего модель, сдѣланная изъ картона, трехграннаго угла, на которой учащіеся показываютъ вершину, ребра и грани (названія эти здѣсь же имъ и сообщаются); затѣмъ показывается трехгранный уголъ при помощи трехъ палочекъ, сходящихся концами, гдѣ ихъ и держатъ рукой (чер. 1). Здѣсь учащіеся видятъ вершину, видятъ ребра и должны притти къ мысли, что этимъ самымъ опредѣлены и грани трехграннаго угла: каждою парою реберъ (а такихъ паръ 3), какъ двумя пересѣкающимися прямыми, опредѣляется положеніе плоскости. На этихъ же двухъ моделяхъ показывается учащимся, что въ каждомъ трехгранномъ углѣ имѣется 3 обыкновенныхъ угла («плоскіе» углы), каждый изъ которыхъ образованъ двумя ребрами, и 3 двугранныхъ угла, каждый изъ которыхъ образованъ двумя гранями. Въ соотвѣтствіи съ показанными моделями трехгранныхъ угловъ на доскѣ выполняются ихъ рисунки (чер. 2 и чер. 3). На этихъ рисункахъ вновь ищутся вершина, ребра, грани, плоскіе углы и двугранные углы.

Чер. 1.

Чер. 2. Чер. 3.

Затѣмъ полезны слѣдующіе вопросы: 1) на чер. 3 я вижу плоскіе углы: ASB, ASC, /_ÇSB\ правда ли, что здѣсь ^ASC сложенъ съ / CSB ? Если учащіеся въ предыдущемъ хорошо усвоили процессъ сложенія угловъ, то они не затруднятся дать отвѣтъ: нѣтъ не правда, потому что сложеніе угловъ выполняется на одной плоскости, а углы ASC и ÇSB расположены въ разныхъ плоскостяхъ. Имѣя въ виду другихъ учащихся, для которыхъ это не столь ясно, надо обратиться къ рисунку на чер. 2 и къ модели трехграннаго угла, составленнаго изъ палочекъ, и подтвердить вышеуказанный отвѣтъ. 2) На чер. 3 я вижу плоскіе углы ASC и ASB\ правда ли, что J/mASB>^mASC? Опять-таки, тѣ изъ учащихся, которые отчетливо представляютъ себѣ трехгранный уголъ, дадутъ отвѣтъ: этого навѣрное утверждать нельзя, такъ какъ эти углы лежатъ въ разныхъ плоскостяхъ. Слѣдуетъ опять-таки иллюстрировать этотъ отвѣтъ на модели трехграннаго угла, составленнаго изъ палочекъ.

Послѣ этого явится возможность предложить вопросъ: какъ получить трехгранный уголъ, чтобы его плоскими углами служили 1, ^/2 и ^З, построенные на плоскости такъ, какъ на чер. 4 или такъ, какъ на чер. 5. Отвѣтъ легко находится учащимися: надо, если имѣемъ дѣло со случаемъ, даннымъ на чер. 5, перегибать плоскость по лучамъ OB и ОС, добиваясь того, чтобы свободные лучи OA и OD совпали, при чемъ надо предварительно удалить изъ плоскости ея часть, затушеванную на чер. 5; что касается случая, даннаго на чер.4, то здѣсь мы лишены возможности образовать изъ 1, и ^З трехгранный уголъ. Послѣ выясненія этого учащіеся при-

Чер. 4.

Чер. 5.

ходятъ сами къ заключенію, что для полученія трехграннаго угла надо построить на плоскости вокругъ точки 3 такихъ угла, чтобы ихъ сумма была меньше 4d. Такъ какъ эти углы послѣ перегибанія сдѣлаются плоскими углами трехграннаго, то приходимъ къ заключенію: сумма плоскихъ угловъ трехграннаго угла < 4d.

Затѣмъ надо иллюстрировать самое перегибаніе плоскости, какое выше уже намѣчено, заготовленными заранѣе моделями (чер. 6). Желательно, чтобы X1, ^/2 и были на каждой модели разныхъ цвѣтовъ (на чер. 6 внутренняя область каждаго изъ угловъ: ^І, /2 и затушевана различными штрихами). I модель, данная на чер. 6, не приведетъ къ образованію трехграннаго угла, также не даетъ трехграннаго угла и II модель, и лишь III модель приведетъ къ полученію трехграннаго угла. Изслѣдованіе причинъ этого приведетъ учащихся къ заключенію, что I модель не дала трехграннаго угла потому, что 1 + 2, II модель также не привела къ трехгранному углу потому, что / 1 + / 3= / 2, а III модель, гдѣ 1 + ,/3> /2, даетъ трехгранный уголъ. Такъ какъ возможно, напр., ^/3 переставить такъ, какъ начер. 7, то придемъ къ заключенію, что для того, чтобы получился трехгранный уголъ, надо при точкѣ построить 3 угла такъ, чтобы сумма двухъ изъ нихъ была больше третьяго, откуда получаемъ, наконецъ, свойство трехгранныхъ угловъ: каждый плоскій уголъ трехграннаго угла меньше суммы двухъ другихъ плоскихъ угловъ.

Если имѣется въ запасѣ достаточно времени, то возможно здѣсь обратить вниманіе на аналогію послѣдняго свойства плоскихъ угловъ трехграннаго угла съ извѣстнымъ уже свой-

Чер. 6.

Чер. 7.

ствомъ сторонъ треугольника; тогда можетъ возникнуть мысль о томъ, не связаны ли между собою эти свойства такъ, что одно изъ нихъ можно вывести опираясь на другое. И вотъ появляется возможность ввести въ курсъ то «доказательство» теоремы «Плоскій уголъ трехграннаго угла меньше суммы двухъ другихъ плоскихъ угловъ», какое обычно имѣется въ нашихъ учебникахъ геометріи, но теперь уже цѣль введенія этой теоремы состоитъ не въ томъ, какъ это, къ сожалѣнію, обычно дѣлается, чтобы изъ ея доказательства узнать указываемое свойство плоскихъ угловъ, а въ томъ, чтобы привести въ причинную связь это, уже извѣстное, свойство трехграннаго угла съ аналогичнымъ, также уже извѣстнымъ, свойствомъ треугольника. Здѣсь возникаетъ возможность обратной постановки вопроса: какъ, исходя изъ свойства плоскихъ угловъ (одинъ плоскій уголъ трехграннаго угла меньше суммы двухъ другихъ плоскихъ угловъ), получить аналогичное свойство сторонъ треугольника? Конечно, сдѣлать это нетрудно: придется воспользоваться тѣмъ же построеніемъ, какое обычно употребляется, но вести разсужденія въ обратномъ порядкѣ, — на этомъ не останавливаюсь.

Думаю, что предлагаемое здѣсь изложеніе должно оказать большее вліяніе, чѣмъ при обычномъ изложеніи, и на развитіе геометрическаго представленія учащихся и на стремленіе привести разрозненные факты въ логическую связь.

Н. Извольскій.

Еще о Ньютоновомъ опредѣленіи умноженія.

Въ «Добавленіи» къ статьѣ: «Вопросъ объ умноженіи на дробь», на стр. 117 №4 «Математическаго Вѣстника» за 1915 г. затронутъ вопросъ о годности Ньютонова опредѣленія умноженія для обученія математикѣ и, между прочимъ, спрашивается: какъ разъяснить согласно опредѣленію Ньютона случай умноженія 3|/—2?

Примѣръ этотъ можно разработать въ духѣ сторонниковъ

опредѣленія Ньютона1) слѣдующимъ образомъ. Замѣтивъ, что і/—2=і/—I2—I2, находимъ:

что справедливо.

Разсмотримъ еще умноженіе на у—2 и на}/—2. Замѣчаемъ, что

Тогда, напр.,

Въ обоихъ случаяхъ получается вѣрный результатъ.

Если же принять для у—2, |/—2 и т. д. такой способъ составленія ихъ изъ 1-цы:

что примѣненіе Ньютонова опредѣленія даетъ невѣрные результаты. Напр.,

Возьмемъ еще примѣръ: 3у l + j/2. Если разсматривать множитель такимъ образомъ:

то получимъ

что несправедливо.

1) Я имѣю въ виду разъясненіе нѣкоторыхъ случаевъ умноженія, сдѣланное г. К. Б. Пеніожкевичемъ и приведенное въ томъ же «Добавленіи».

2) Если разсмотрѣть примѣръ )/—2 . V—2, то, принимая, что V—2= придемъ къ }/— (У—2)2—(— 2)—(—2)= =zV+4=±2, чт0 вызываетъ сомнѣнія, ибо должно быть: V—2 . V—2 =

Если же замѣтить, что у î+j/2=y 12+j/l4+14, то получимъ вѣрный результатъ. Въ самомъ дѣлѣ:

3 |/3*+|/3*+^ = I/9+\/Ш.

Я думаю, что подобныя разъясненія не доказываютъ пригодности опредѣленія Ньютона для цѣлей преподаванія (я имѣю въ виду среднюю школу). Работа при составленіи или разборѣ такихъ разъясненій имѣетъ чисто формальный характеръ и можетъ заинтересовать лишь немногихъ учащихся средней школы, любящихъ самый процессъ придумыванія доказательствъ или разбора ихъ.

Но ознакомленіе учащихся съ различными разъясненіями умноженія, дающими неодинаковые результаты (а это неминуемо придется дѣлать при введеніи Ньютонова опредѣленія въ курсъ средней школы, такъ какъ нельзя утаить отъ учащихся тѣхъ разногласій, которыя возникаютъ по этому вопросу), имѣетъ и вредную сторону. Среди учащихся средней школы, склонныхъ къ діалектикѣ, иногда высказывается взглядъ, что въ математикѣ можно доказать что угодно. Въ частности такое мнѣніе мнѣ приходилось слышать по поводу геометрическихъ теоремъ, содержаніе которыхъ этимъ скептикамъ казалось выведеннымъ произвольно. Въ этихъ случаяхъ можно разубѣдить сомнѣвающихся, разъяснивъ имъ, что различные способы доказательства одной и той же теоремы, можетъ быть и произвольно выбранные, ведутъ къ полученію одинаковыхъ результатовъ. Между тѣмъ Ньютоново опредѣленіе умноженія позволяетъ произвольно устанавливать разные способы составленія множителя изъ 1-цы и получать въ зависимости отъ того неодинаковые результаты. Эта зависимость результата дѣйствія отъ нашего произвола укрѣпитъ учащихся въ ихъ взглядѢ на математику какъ на софистику, путемъ которой можно доказать что угодно.

Л. Ладыженскій.

Цѣль обученія ариѳметикѣ и средства для ея достиженія.

(Окончаніе.)

4. Въ предыдущемъ уже затронутъ вопросъ и о составленіи учащимися задачъ, при чемъ это составленіе направляется цѣлью дать задачу, соотвѣтствующую опредѣленной формулѣ для ея рѣшенія. Но, несомнѣнно, въ этой работѣ составленія

задачъ желательно ввести въ дѣло и иныя руководящія мысли, иныя цѣли. Можно указать, напр., на переработку такихъ задачъ, которыя почему либо представляются намъ неудачными. Напр., пусть задается учащимся задача, въ которой требуется узнать цѣну десятины земли и пусть послѣ рѣшенія задачи оказалось, что, напр., эта цѣна=320 руб. Тогда возникаетъ вопросъ, подходитъ ли такая цѣна къ условіямъ мѣстной жизни; если нѣтъ, то возникаетъ потребность переработать задачу такъ, чтобы въ отвѣтѣ получилась такая цѣна десятины земли, какая имѣетъ мѣсто тамъ, гдѣ живутъ наши ученики. Можно, конечно, поставить дѣло и такъ: умышленно задать задачу, въ которой отвѣтъ получается несообразнымъ съ дѣйствительностью (напр., пусть окажется, что пѣшеходъ проходилъ по 9 верстъ въ часъ, или что цѣна фунта сахара=8 коп. и т. п.); какъ только обнаружится такая несообразность, тотчасъ же возникаетъ потребность передѣлать задачу такъ, чтобы получить отвѣтъ, соотвѣтствующій дѣйствительности.

Пусть еще рѣшается изъ задачника задача, въ которой рѣчь идетъ о разстояніи между деревней и городомъ (или между двумя городами). Опять напрашивается работа: передѣлать эту задачу такъ, чтобы она говорила не о какой-то деревнѣ и о какомъ-то городѣ (не о какихъ-то двухъ городахъ), а объ той именно деревнѣ, въ которой находится настоящая школа и объ томъ именно городѣ, который наиболѣе знакомъ учащимся (или о двухъ городахъ, наиболѣе знакомымъ учащимся).

Позволю себѣ здѣсь высказать общее пожеланіе, не развивая его подробнѣе того, что дано въ предыдущемъ: желательно не только рѣшать съ учащимися тѣ задачи, которыя напечатаны въ задачникѣ, но и выполнять надъ этими задачами рядъ работъ, или передѣлывая рѣшенную задачу согласно опредѣленной цѣли или выясняя изъ ея рѣшенія нѣкоторыя особенности чисто математическаго характера1).

5. Закончу указаніемъ на упражненія, которыя позволятъ выяснятъ Математическія свойства чиселъ. Одно изъ этихъ упражненій основано на томъ, что можно, не выполняя цѣликомъ умноженія, легко узнавать, на какую цифру оканчивается квадратъ, кубъ и т. д. любого числа: если, напр., само число оканчивается на 7, то его квадратъ оканчивается на 9 (ибо 7x7 даетъ число, оканчивающееся на 9), его кубъ оканчивается на 3 (ибо 9x7 даетъ число, оканчивающееся на 3) и т. д. Приведя такіе вопросы въ извѣстную систему, можно получить рядъ свойствъ степеней чиселъ: квадратъ числа не можетъ оканчиваться ни на 2, ни на 3, ни на 7, ни на 8; пятая степень

1) Примѣромъ послѣдней работы можетъ служить та работа надъ задачами съ лишними данными, которая изложена въ № 6 за 1915 г. «Матем. Вѣст.» на стр. 161—165.

числа всегда оканчивается на ту же цифру, какъ и первая степень; разность четвертыхъ степеней любыхъ двухъ четныхъ чиселъ, если ни одно изъ нихъ не оканчивается на нуль, дѣлится на 10 и т. д.1).

Другое упражненіе таково. Пусть учащіеся напишутъ любое двузначное число (лучше сначала такое, чтобы оно не оканчивалось на нуль и не писалось бы двумя одинаковыми цифрами), затѣмъ обернуть это число (напр. 47 и 74 или 53 и 35 или 23 и 32 и т. д.) и изъ большаго вычтутъ меньшее (напр. 74—47; 53—35; 32—23).

Если такія вычитанія выполнять систематично: 1) 21—12; 32—23; 43—34 и т. д.; 2) 31—13; 42—24; 53—35 и т. д.; 3) 41—14; 52—25; 63—36 и т. д.; 4) 51—15; 62—26..., то учащіеся, послѣ того какъ такія упражненія будутъ продолжены достаточно далеко, могутъ быть приведены къ заключенію, что если изъ даннаго двузначнаго числа вычесть обращенное число (или обратно, смотря по тому, какое изъ нихъ больше), то разность всегда получается такая, каково будетъ произведеніе числа 9 на разность цифръ даннаго двузначнаго числа. Напр., возьмемъ число 38; разность его цифръ=5 (8—3=5); поэтому 83—38=9.5.

Конечно, указанными примѣрами далеко не исчерпываются всѣ тѣ упражненія, какія возможно поставить въ школѣ, даже и съ очень ранняго возраста учащихся, для того, чтобы по возможности пріучать учащихся къ комбинаціонной работѣ.

Возможно еще обратить вниманіе на одну особенность выше разсмотрѣнныхъ упражненій. Несомнѣнно, во всѣхъ этихъ упражненіяхъ учащіеся должны выполнять цѣлый рядъ вычисленій и, слѣдовательно, учащіеся пріобрѣтаютъ благодаря имъ извѣстные навыки, но развитіе этого навыка является побочнымъ результатомъ урока. Такъ сказать, цѣлью урока не ставится, какъ это обычно бываетъ, «упражненія въ такихъ-то дѣйствіяхъ», а урокъ направляется общею идеею по возможности сдѣлать шагъ впередъ въ развитіи мышленія, въ развитіи воображенія учащихся. Возможно мечтать о такой постановкѣ учебнаго дѣла, чтобы этою общею цѣлью направлялись всѣ уроки, не только ариѳметики, но и другихъ предметовъ, а тѣ практическіе результаты, которые теперь выдвигаются на первое мѣсто и которые состоятъ или въ усвоеніи памятью какихъ-либо фактовъ или въ обученіи дѣтей пріемамъ что-либо выполнять, появлялись бы сами собою, какъ побочные результаты той работы, которая на первый планъ выдвигаетъ стремленіе сдѣлать шагъ впередъ въ дѣлѣ развитія мышленія

1) Подробности см. въ № 8 за 1915 г. «Матем. Вѣст.» въ статьѣ «О степеняхъ цѣлыхъ чиселъ», стр. 217—220.

и воображенія учащихся. Несомнѣнно, что такая работа должна опираться на «комбинаціонную работу».

Но о такой реформѣ школьнаго дѣла пока лишь можно мечтать, а въ настоящее время возможно говорить лишь о пожеланіи поставить указаннымъ образомъ лишь отдѣльные уроки. Гг. учащіе въ московскихъ начальныхъ школахъ, если они раздѣлить вышевысказанное пожеланіе, могутъ приступить къ его выполненію съ большими удобствами, чѣмъ это могли бы сдѣлать гг. учащіе въ сельскихъ школахъ и учащіе во многихъ другихъ городахъ. Дѣло въ томъ, что у гг. учащихъ въ школахъ г. Москвы на рукахъ лишь одно отдѣленіе, между тѣмъ какъ въ другихъ школахъ гг. учащіе имѣютъ по 2 и даже по 3 отдѣленія. А постановка такихъ уроковъ, которые основаны на пріученіи дѣтей къ комбинаціонной работѣ, требуютъ постояннаго наблюденія за работой учащихся: и всякій разъ, какъ то по ходу дѣла окажется нужнымъ, необходимо притти на помощь или отдѣльному ученику или группѣ учениковъ или даже всему классу.

Какъ я уже указывалъ, описанными уроками далеко не исчерпывается все то, что можетъ быть сдѣлано въ разсматриваемомъ направленіи: возможно тѣ мысли, какія заключены въ предыдущихъ указаніяхъ, развить въ иныхъ, здѣсь не указанныхъ, направленіяхъ и получить новыя темы для работы въ классѣ; возможны новыя руководящія мысли, новыя цѣли, которыя я не указывалъ и которыхъ въ настоящій моментъ я не знаю, и онѣ повлекутъ за собою новый рядъ темъ. Передъ всякимъ, кто хочетъ работать,—здѣсь обширное поле. И въ надеждѣ, что высказанныя мною соображенія найдутъ откликъ среди присутствующихъ, я позволю себѣ пожелать успѣха въ этой работѣ.

Н. Извольскій.

Нѣсколько словъ по поводу замѣтки г. А. К. о моей статьѣ „Придумываніе задачъ самими учениками".

Отрицать пользу и значеніе въ придумываніи задачъ «въ родѣ этой» — значитъ не признавать педагогической цѣнности за подражаніемъ вообще. Моя статья «Придумываніе задачъ самими учениками» имѣетъ въ виду именно ту стадію развитія ребенка, гдѣ безъ подражаній, безъ образцовъ, безъ примѣровъ обойтись нельзя. Въ дошкольномъ и школьномъ возрастахъ, особенно первые годы ученія, подражаніе является могучимъ и неоспоримымъ факторомъ для проявленія дѣтской самостоя-

тельности, дѣтскаго творчества. Балдуинъ, Лай и др.1) придаютъ подражанію чрезвычайно важное и большое значеніе не только въ области пріобрѣтенія навыковъ, но даже въ области развитія мышленія. «Подражаніе, говоритъ Лай, даетъ нерѣдко толчокъ особымъ способностямъ и талантамъ и способствуетъ ихъ развитію»2).

Съ этой точки зрѣнія способъ придумыванія задачъ «въ родѣ этой» будетъ наиболѣе отвѣчать запросамъ дѣтской души въ первомъ и въ первой половинѣ учебнаго года во второмъ отдѣленіяхъ начальной школы. Безъ придумыванія задачъ «въ родѣ этой» нельзя обойтись, насколько мнѣ позвволяетъ судить моя практика, даже, правда — изрѣдка, въ 3-мъ отдѣленіи.

Въ томъ же, что придумываніе задачъ въ родѣ этой на первыхъ порахъ развиваетъ сообразительность, пріучаетъ дѣтей къ болѣе логической и краткой формулировкѣ своей мысли и способствуетъ уясненію хода рѣшенія задачъ, не можетъ быть сомнѣній для тѣхъ, кто велъ такія работы съ дѣтьми въ школѣ.

«Уясненія учениками, говоритъ А. К., хода рѣшенія задачъ (имѣются въ виду задачи придуманныя самими учениками)3) тоже не видно, такъ какъ неизвѣстно, были ли рѣшаемы придуманныя задачи, хотя о третьей изъ нихъ можно сказать увѣренно, что она не рѣшалась».

Но въ моей статьѣ по этому поводу на стр. 804) ясно говорится, что «каждая удачная задача (составленная учениками) рѣшается классомъ, а неудачная исправляется учителемъ».

Радъ, что статья моя заинтересовала читателей, и можетъ быть этотъ вопросъ, до сихъ поръ слабо освѣщенный въ литературѣ, получитъ всестороннее выясненіе.

Моя статья «Придумываніе задачъ самими учениками» даетъ изложеніе только перваго шага такой интересной работы съ дѣтьми; въ дальнѣйшемъ я имѣлъ и имѣю въ виду изложить на страницахъ журнала «Математическій Вѣстникъ» слѣдующіе шаги такой важной и интересной для дѣтей работы въ начальной школѣ.

Н. Ѳаддеевъ.

1) Балдуинъ. Развитіе индивидуума и человѣческаго рода. Лай. Экспериментальная дидактика. Клапаредъ. Психологія ребенка и эксперимен. педагогика.

2) Лай. Эксперимен. дидактика.

3) Текстъ, заключенный въ скобкахъ, мой. Н. Ѳ.

4) «Математ. Вѣстн.» № 3, 1915 г.

Къ вопросу о придумываніи задачъ учащимися.

Откликаясь на призывъ редакціи «Мат. Вѣстн.» и г. А. К., предложившихъ читателямъ журнала высказаться по вопросамъ, затронутымъ въ статьяхъ г. А. К. («Мат. ВЬстн.» № 1 за 1916г.) и г. Н. Ѳаддеева («Мат. Вѣстн.» №3, 1915г.), я хотѣлъ бы изложить нѣсколько своихъ соображеній о составленіи задачъ самими учащимися, высказанныхъ мною мимоходомъ уже въ другомъ мѣстѣ1).

Я не стану доказывать полезности и необходимости упражненія учащихся въ составленіи и придумываніи ариѳметическихъ задачъ, такъ какъ авторы вышеуказанныхъ статей въ достаточной степени выяснили этотъ вопросъ. Я думаю, что каждый преподаватель, примѣнявшій подобныя упражненія на своихъ урокахъ, на дѣлѣ убѣдился, на сколько придумываніе задачъ учениками возбуждаетъ въ нихъ интересъ къ занятіямъ ариѳметикой, на сколько оно способствуетъ проявленію самодѣятельности и дѣтскаго творчества, какъ много помогаетъ выясненію понятій объ основныхъ ариѳметическихъ дѣйствіяхъ и понятія объ ариѳметической задачѣ, и какимъ цѣннымъ средствомъ въ рукахъ преподавателя являются эти упражненія для установленія различныхъ дефектовъ и пробѣловъ въ развитіи математическаго мышленія дѣтей.

По моему мнѣнію, схемы, предложенныя г. Н. Ѳаддеевымъ и г. А. К., затрогиваютъ упражненія весьма полезныя и нужныя, но обѣ эти схемы меня не удовлетворяютъ, такъ какъ онѣ слишкомъ односторонни. Планъ введенія въ начальное обученіе ариѳметикѣ придумыванія задачъ самими учащимися долженъ быть разработанъ гораздо шире и подробнѣе и долженъ охватывать большее количество важныхъ и разнообразныхъ упражненій. При этомъ не слѣдуетъ бояться того, что нѣкоторыя изъ предлагаемыхъ самостоятельныхъ работъ будутъ слишкомъ легки для учениковъ, не вызовутъ достаточно сильнаго напряженія мысли дѣтей и потому будутъ мало продуктивны. Не надо забывать, что здѣсь мы имѣемъ дѣло съ учащимися на первыхъ ступеняхъ обученія, для которыхъ то, что намъ кажется очень простымъ и легкимъ, можетъ оказаться труднымъ и сложнымъ, для которыхъ самыя простыя упражненія въ самостоятельномъ придумываніи задачъ могутъ въ значительной степени способствовать выясненію нужныхъ для дальнѣйшаго курса ариѳметическихъ понятій.—Всѣ упражненія на придумываніе задачъ могутъ быть, думается мнѣ, раздѣлены на двѣ группы

1) Ѳ. Эрнъ, Очерки по методикѣ ариѳметики. Рига. Изданіе Трескиной.

сообразно тѣмъ цѣлямъ, ради которыхъ они задаются. А цѣли эти могутъ быть формулированы слѣдующимъ образомъ.

1. Выясненіе понятія объ ариѳметической задачѣ. Постепенное и планомѣрное ознакомленіе со всѣми необходимыми элементами простой и составной задачи и съ основными пріемами рѣшенія задачъ. Распредѣленіе задачъ по пріемамъ рѣшенія.

2. Выясненіе понятія объ ариѳметическомъ дѣйствіи. Установленіе признаковъ сходства и различія между разными видами дѣйствій. Зависимость между обратными дѣйствіями.

Къ первой группѣ относится прежде всего упражненія, имѣющія цѣлью 1) выяснить составъ простой задачи изъ трехъ необходимыхъ элементовъ: условія, численныхъ данныхъ и вопроса задачи и 2) научить дѣтей основнымъ пріемамъ установленія связи между данными задачи и ея искомымъ. Здѣсь нужно упражнять дѣтей въ подбираніи искомаго къ двумъ даннымъ задачи и, наоборотъ, въ установленіи данныхъ, необходимыхъ для опредѣленія того или другого искомаго. Поэтому работа дѣтей сначала должна сводится не къ составленію цѣлыхъ задачъ, а лишь къ дополненію уже готовыхъ, но неполныхъ, задачъ необходимыми элементами. Упражненія эти могли бы быть расположены въ такомъ порядкѣ:

1. Придумываніе численныхъ значеній данныхъ къ извѣстному условію и вопросу задачи. «Задача» можетъ быть задаваема въ такомъ видѣ:

«У Васи орѣховъ, а у Маши..........орѣховъ. Сколько орѣховъ у Васи и Маши вмѣстѣ?» или

«За..............карандаш, мальчикъ заплатилъ.............коп. Сколько копеекъ стоитъ каждый карандашъ?»

При такой формѣ задаванія задачъ дополненіе ихъ численными значеніями данныхъ не можетъ представлять большихъ трудностей для учащихся. Здѣсь придется лишь слѣдить за тѣмъ, чтобы подбираемыя учениками численныя данныя не выходили изъ предѣла изучаемыхъ чиселъ, чтобы рѣшеніе задачи послѣ дополненія ея было возможно (задачи на вычитаніе и дѣленіе) и чтобы предлагаемыя учениками числа болѣе или менѣе соотвѣтствовали тому, что наблюдается въ дѣйствительной жизни.

Затѣмъ эти упражненія можно нѣсколько усложнить, пропуская въ задачахъ не только численныя значенія, но и наименованія данныхъ, напр.,

«На деревѣ сидѣло ;..............улетѣли. Сколько воробьевъ осталось на деревѣ?»

«Миша купилъ.........и за каждую.......платилъ............. Сколько коп. заплатилъ онъ за всѣ тетради?»

Здѣсь въ первый разъ и, конечно, мелькомъ учителю придется обратить вниманіе учащихся на то, что различіе числен-

ныхъ значеній данныхъ при одномъ и томъ же условіи и вопросѣ не вліяетъ на способъ рѣшенія задачи.

2. Придумываніе вопроса задачи къ данному условію и численнымъ даннымъ.

Напр., «Въ саду было 8 липъ; изъ нихъ 3 срубили ?»

«Дѣвочка купила 5 булокъ по двѣ коп. каждая.............?»

При этомъ въ нѣкоторыхъ случаяхъ можетъ оказаться, что будутъ придуманы различные вопросы къ однимъ и тѣмъ же условію и численнымъ даннымъ.

Такъ, напр., на извѣстной ступени обученія ученики, дополняя задачу:

«Купецъ продалъ одному покупателю 18 арш., а другому 6 арш. полотна.....................?» могутъ поставить такъ вопросы:

1) сколько полотна купили оба покупателя вмѣстѣ? 2) на сколько аршинъ первый покупатель купилъ больше второго? и 3) во сколько разъ первый покупатель купилъ больше полотна, чѣмъ второй? Этотъ моментъ имѣетъ, разумѣется, значеніе и для выясненія понятія о составѣ простой ариѳметической задачи, показывая, что условіе и численныя значенія данныхъ не вполнѣ опредѣляютъ задачу, но такого рода упражненія могутъ быть предложены учащимся только тогда, когда они ознакомятся уже со всѣми ариѳметическими дѣйствіями и ихъ видами; тогда составленіе трехъ различныхъ задачъ по однимъ и тѣмъ же условію и численнымъ даннымъ можетъ способствовать и лучшему выясненію понятій о самихъ ариѳметическихъ дѣйствіяхъ. На первыхъ же ступеняхъ обученія слѣдуетъ предлагать лишь такія неполныя задачи, которыя допускаютъ придумываніе только одного вопроса всѣми учениками.

3. Продѣлавъ эти два вида упражненій, учащіеся будутъ, вѣроятно, вполнѣ подготовлены къ болѣе трудному придумываніи) условія къ заданному вопросу и численнымъ значеніямъ данныхъ. Эти упражненія могутъ быть облекаемы въ такую форму:

«Придумайте задачу, въ которой спрашивается, сколько коп. осталось у мальчика, и въ которой даны числа 10 коп. и 3 коп.» или «составить задачу, въ которой даны числа 18 и 3 и спрашивается, сколько учениковъ въ каждомъ ряду?»

Такого рода упражненія явятся, на мой взглядъ, нѣкоторой необходимой подготовкой къ составленію задачъ по схемѣ, предложенной г. А. К., въ которыхъ отъ учениковъ требуется придумать полную задачу на данное дѣйствіе.

Въ дальнѣйшихъ упражненіяхъ на дополненіе задачъ необходимыми элементами учащимся можетъ быть предоставлено больше простора для проявленія ихъ дѣтскаго творчества. Эти упражненія представляются мнѣ въ такомъ видѣ:

4. Къ данному условію придумать численныя значенія данныхъ и вопросъ:

5. Къ данному вопросу придумать условіе и численныя значенія данныхъ.

6. Къ даннымъ численнымъ значеніямъ придумать условіе и вопросъ.

Слѣдовательно, неполныя задачи или требованіе составить задачу могутъ быть формулированы такимъ образомъ:

«Мать раздѣлила........ябл. поровну между........дѣтьми.........?»

«Крестьянинъ прошелъ.........верстъ, проходя въ часъ по........ верстъ ?»

«................ Сколько заплачено за всѣ яблоки?»

« ........... Сколько стакановъ воды осталось въ графинѣ?»

«Придумать задачу, въ которой были бы даны числа 10 арш. и 7 арш.».

«Составить задачу, для рѣшенія которой надо сдѣлать дѣйствіе надъ числами 15 и 3».

Отъ упражненій послѣдняго вида можно перейти и къ той формѣ придумыванія задачъ, которую рекомендуетъ г. А. К., т.-е. предложить ученикамъ придумать задачу, для рѣшенія которой надо было бы произвести указанное ариѳметическое дѣйствіе.

Разумѣется, во всѣхъ этихъ упражненіяхъ задачи должны быть не только дополняемы и составляемы учащимися, но и рѣшаемы ими. Для разнообразія и возбужденія большаго интереса можно задачу, составленную однимъ ученикомъ, давать рѣшать другому.

Всѣ эти упражненія, сопровождаемыя надлежащими объясненіями учителя, должны привести къ тому, что учащіеся выяснятъ себѣ понятія о простой ариѳметической задачѣ, поймутъ, что между данными и искомымъ этой задачи всегда существуетъ нѣкоторая зависимость (словами они этого, разумѣется, не будутъ въ состояніи выразить, да это и не нужно) и научатся къ двумъ даннымъ подыскивать искомое и, наоборотъ, къ искомому подбирать подходящія данныя, что впослѣдствіи должно значительно облегчить имъ рѣшеніе составныхъ задачъ не только синтетическимъ, но и аналитическимъ пріемомъ.

Разсмотримъ теперь упражненія, имѣющія цѣлью выяснить понятія о составной задачѣ и научить пріемамъ рѣшенія этихъ задачъ. Какъ извѣстно, основной пріемъ рѣшенія составной задачи состоитъ въ разложеніи ея на двѣ или нѣсколько простыхъ задачъ и послѣдовательномъ рѣшеніи каждой изъ этихъ простыхъ задачъ. Но для того, чтобы научить дѣтей разлагать составную задачу на простыя, нужно показать имъ предварительно, что составная задача дѣйствительно состоитъ изъ нѣсколькихъ простыхъ задачъ.—Поэтому первое упражненіе, относящееся къ этому отдѣлу, должно состоять въ соединеніи двухъ данныхъ простыхъ задачъ въ одну составную. Дѣтямъ

задаютъ двѣ простыя задачи, построенныя такъ, что одно изъ данныхъ второй задачи совпадаетъ съ искомымъ первой задачи. Напр., 1) 20 фунтовъ соли разсыпали поровну въ 4 мѣшка. Сколько фунтовъ соли оказалось въ каждомъ мѣшкѣ? 2) Въ мѣшкѣ 5 фунтовъ соли; каждый фунтъ стоитъ 3 коп. Сколько стоитъ мѣшокъ соли?—Каждая изъ этихъ задачъ рѣшается учениками сначала отдѣльно. Затѣмъ подъ руководствомъ учителя, указывающаго на совпаденіе искомаго 1-й задачи съ даннымъ второй, эти задачи соединяются въ одну составную задачу: «20 фунтовъ соли разсыпаны поровну въ 4 мѣшка. Каждый фунтъ соли стоитъ 3 коп. Сколько стоитъ одинъ мѣшокъ соли?» Когда ученики продѣлаютъ нѣсколько такихъ упражненій съ помощью учителя, они сумѣютъ и самостоятельно составить составную задачу изъ двухъ данныхъ простыхъ задачъ.

Чтобы еще лучше выяснить и углубить понятіе о составной задачѣ, можно предложить учащимся упражненія въ дополненіи неполныхъ составныхъ задачъ, въ родѣ тѣхъ, которыя были указаны выше для простыхъ задачъ. Начать эти упражненія можно съ придумыванія вопроса къ условію и численнымъ даннымъ составной задачи. Напр., «Въ саду 4 грушевыхъ дерева, яблонь въ 2 раза больше, чѣмъ грушъ, а вишневыхъ деревьевъ на 3 больше, чѣмъ яблонь.........?» или, придумать вопросъ къ задачѣ: «У мальчика было 20 коп.; онъ купилъ 4 тетради по 3 коп. каждую». Далѣе можно перейти къ дополненію такихъ задачъ, въ которыхъ опущена часть условія и численныхъ данныхъ, необходимыхъ для составленія одной изъ простыхъ задачъ. Напр., «Хозяйка купила 5 фунтовъ хлѣба по 3 коп. за фунтъ..........Сколько коп. она должна получить сдачи?» «Мальчикъ купилъ въ одной лавкѣ 5 листовъ бумаги,.........; изъ всей бумаги онъ сшилъ 3 одинаковыя тетради.

Сколько листовъ пошло на каждую тетрадь?» Затѣмъ упражненія можно усложнить, опуская въ задачахъ все условіе и численныя данныя первой простой задачи. Эти упражненія можно задавать дѣтямъ примѣрно въ такой формѣ: къ задачѣ: «.........; изъ всего полотна были сшиты 3 одинаковыя рубашки. Сколько полотна пошло на каждую рубашку?» придумайте сами начало такъ, чтобы задача рѣшалась двумя дѣйствіями.

Закончить выясненіе состава и пріемовъ рѣшенія составныхъ задачъ, распадающихся на 2 простыя, можно придумываніемъ всей задачи цѣликомъ на 2 напередъ заданныя дѣйствія, т.-е. упражненіями, рекомендуемыми г. А. К. Учащимся эти упражненія должны предлагаться сначала въ такой формѣ: придумайте задачу, для рѣшенія которой нужно было бы сначала сложить 9 арш. и 6 арш., а потомъ полученное число раздѣлить на 5; или, составьте задачу такъ, чтобы сначала пришлось одно число помножить на другое, а потомъ изъ

полученнаго числа вычесть третье число. Когда ученики ознакомятся съ названіями результатовъ дѣйствій, можно будетъ требованіе составить задачу на 2 дѣйствія формулировать короче: «придумать задачу, въ которой сумму двухъ чиселъ нужно раздѣлить на третье число» и т. д.

Если же учитель найдетъ нужнымъ научить учениковъ записывать рѣшеніе составныхъ задачъ въ видѣ формулы, то подобной записью можно воспользоваться и для составленія задачи: придумайте задачу, рѣшающуюся такъ: 4х 8 +20. Затѣмъ можно будетъ задавать формулу, пропуская въ ней нѣкоторыя, а иногда и всѣ, численныя значенія и оставляя въ ней только наименованія чиселъ и знаки дѣйствій; напр., составить задачу, которую надо было бы рѣшить такъ: (? фунт. + ? фунт.) : ? или: ? саж. + ? саж. — ? саж.

Наконецъ, если ученикамъ будетъ показано, какъ это рекомендуютъ нѣкоторые методисты, графическое обозначеніе плана рѣшенія задачи, то и этимъ можно воспользоваться для упражненій въ составленіи задачъ.—Предложить, напр., ученикамъ составить задачи по такимъ планамъ.

Такого рода упражненія встрѣчаются, между прочимъ, въ сборникѣ ариѳметическихъ задачъ В. Руднева и Р. Мюльмана, въ которомъ вообще на составленіе учениками задачъ обращено много вниманія1).

1) В. Рудневъ и Р. Мюльманъ, Сборникъ ариѳметическихъ задачъ. Приготовительный курсъ. Ч. I. Цѣна 25 коп. Часть II. Цѣна. 20 коп. Рига. Изданіе Ф. И. Трескиной.

Продѣлавъ съ учениками составныя задачи на два дѣйствія, и поработавъ съ ними надъ придумываніемъ такихъ задачъ, можно будетъ перейти къ разбору болѣе сложныхъ задачъ на 3 или 4 дѣйствія. И здѣсь возможны и, думается мнѣ, полезны упражненія въ придумываніи задачъ въ родѣ тѣхъ, которыя только что были указаны.

Само собой разумѣется, что почти каждое изъ вышеразобранныхъ упражненій въ составленіи сложной задачи будетъ сначала затруднить учениковъ. Поэтому вначалѣ необходимы помощь и руководство учителя, при чемъ объяснять ученикамъ придется главнымъ образомъ, что отъ нихъ требуется въ каждомъ упражненіи и какъ эти требованія нужно выполнить. Составивъ одну-двѣ задачки подъ руководствомъ учителя, дѣти будутъ въ состояніи работать и самостоятельно. Не надо бояться того, что въ этой самостоятельной работѣ учащіеся проявятъ мало иниціативы и творчества и будутъ механически подгонять свои задачи подъ образцы уже разобранныхъ задачъ. Условія придумыванія задачъ всегда можно обставить такъ, чтобы ученику оставалось достаточно простора для выбора содержанія задачи, ея условія и численныхъ данныхъ.

Перехожу теперь къ составленію учениками новой задачи, схожей съ задачей, уже рѣшенной («въ родѣ, этой», какъ говоритъ г. Ѳаддеевъ). И составленіе такихъ задачъ на извѣстной ступени обученія я считаю полезнымъ упражненіемъ, если, разумѣется, сходство между составляемой задачей и ея образцомъ будетъ не въ численныхъ данныхъ и не въ содержаніи задачи, а въ пріемахъ ея рѣшенія. Многіе изъ составителей задачниковъ помѣщаютъ въ нихъ цѣлые отдѣлы задачъ, распредѣленныхъ по такъ наз. «типамъ». Большинство нашихъ лучшихъ методистовъ относятся къ рѣшенію такихъ задачъ и къ помѣщена ихъ въ сборникахъ безусловно отрицательно. Доводы, приводимые противъ рѣшенія «типичныхъ» задачъ общеизвѣстны, и я ихъ поэтому повторять не стану. Но, если безполезно или даже вредно заставлять учащихся тратить дорогое время на рѣшеніе задачъ, уже распредѣленныхъ на готовые типы, то съ другой стороны, думается мнѣ, весьма полезно предоставить самимъ учащимся распредѣлять рѣшаемыя ими задачи на «типы» и выяснить имъ понятіе типичной задачи. Упражненія этого рода полезны уже потому, что распредѣленіе задачъ на типы по пріемамъ ихъ рѣшенія, или даже по какимъ-нибудь другимъ признакамъ, заставляетъ учащихся продѣлать ту умственную работу, которую называютъ процессомъ обобщенія. Ученики должны сравнивать между собою отдѣльныя задачи, подмѣчать въ нихъ признаки сходства и различія, случайные и несущественные признаки отбрасывать, а выдѣлять постоянные и существенные признаки сходства и объединить ихъ въ концѣ концовъ въ общее понятіе о задачѣ даннаго типа. Важны эти

упражненія еще и потому, что только путемъ такого сравненія задачъ можно привести учениковъ къ выводу, что пріемъ рѣшенія задачи зависитъ не отъ численныхъ значеній, не отъ содержанія задачи, а исключительно отъ характера данныхъ и зависимости, существующей между данными задачи и ея искомымъ; отсюда вытекаетъ, что двѣ задачи, сходныя по характеру данныхъ и по внутренней связи между данными и искомыми, должны рѣшаться однимъ и тѣмъ же дѣйствіемъ или одними и тѣми же дѣйствіями, совершаемыми въ одномъ и томъ же порядкѣ. А этимъ выводомъ приходится пользоваться, если не въ начальной школѣ, то въ младшихъ классахъ средней школы (напр. при выясненіи условнаго смысла умноженія и дѣленія на дробь).

Сравненіе между собой задачъ одинаковыхъ по пріемамъ рѣшенія можетъ быть начато очень рано, уже при рѣшеніи задачъ на одно дѣйствіе. Допустимъ, что ученики рѣшили одну за другой слѣдующія три задачи:

1) Торговецъ купилъ чаю на 12 руб. и продалъ его, получивъ 4 рубля прибыли. За сколько руб. онъ продалъ чай?

2) Торговецъ продалъ 4 фунта чаю за 12 руб. За сколько онъ продавалъ фунтъ чаю?

3) Ученикъ купилъ 6 карандашей за 18 коп. Сколько стоилъ каждый карандашъ?

Изъ сравненія этихъ задачъ и ихъ рѣшенія учащіеся должны подъ руководствомъ учителя сдѣлать выводъ, что хотя въ 1-й и 2-й задачѣ говорится о продажѣ чая и хотя въ этихъ задачахъ даны одинаковыя числа (12 и 4), однако эти задачи рѣшаются различными дѣйствіями. Между тѣмъ 2-я и 3-я задачи рѣшаются однимъ и тѣмъ же дѣйствіемъ, хотя въ одной изъ нихъ говорится о продажѣ чаю, а въ другой о покупкѣ тетрадей и числа, встрѣчающіяся въ этихъ задачахъ, разныя.

Сходство же этихъ задачъ между собою состоитъ въ томъ, что и въ той и въ другой задачѣ въ условіи дается количество всего купленнаго или проданнаго товара и стоимость этого товара, а спрашивается, сколько стоитъ одинъ фунтъ и одна тетрадь. Послѣ разбора такихъ задачъ въ классѣ ученикамъ и можно предложить придумать еще нѣсколько задачъ, похожихъ на 1-ю и 2-ю по условію, вопросу и способу рѣшенія.

Разумѣется большого разнообразія въ придуманныхъ учениками задачахъ не будетъ, да его и не можетъ быть въ указанныхъ узкихъ рамкахъ. Но горевать объ этомъ, я думаю, не приходится. Вообще нѣтъ основанія вооружаться противъ элемента «подражанія» въ этихъ упражненіяхъ: во-первыхъ, вѣдь, и мы, взрослые, составляя задачи, не всегда можемъ похвастаться оригинальностью, а, во-вторыхъ, для развитія дѣтской самодѣятельности важно только, чтобы подражаніе данному образцу было сознательное, а не механическое.

Впослѣдствіи такимъ же, приблизительно, образомъ можно разбирать, сравнивать между собою и придумывать и болѣе сложныя задачи на 2—3 дѣйствія, схожія по пріемамъ рѣшенія. Тогда и дѣтскому творчеству будетъ предоставлено больше простора. Пользуясь тѣми же пріемами можно будетъ подойти и къ нѣкоторымъ изъ «типичныхъ» задачъ, встрѣчающихся въ сборникахъ гг. Борисова и Сатарова, Соколова и Сахарова и др. Несомнѣнная выгода будетъ въ томъ, что ученики, участвуя сами въ классификаціи этихъ задачъ и придумывая подобныя задачи, будутъ относиться къ ихъ рѣшенію болѣе сознательно.

Всѣ вышеописанныя упражненія, имѣя своею главною цѣлью выясненіе понятія объ ариѳметической задачѣ и пріемахъ ея рѣшенія, способствуютъ вмѣстѣ съ тѣмъ попутно и выясненію понятія объ ариѳметическомъ дѣйствіи. Но для лучшей и болѣе планомѣрной выработки этого послѣдняго понятія возможны и желательны еще и другія упражненія.

Понятіе о смыслѣ и сущности каждаго ариѳметическаго дѣйствія будетъ для ученика вполнѣ ясно и отчетливо только тогда, когда онъ объединить въ это общее понятіе всѣ тѣ различные случаи примѣненія этого дѣйствія, съ которыми ему приходилось встрѣчаться при рѣшеніи задачъ. Такое полное и общее понятіе объ ариѳметическомъ дѣйствіи можетъ создаваться въ сознаніи ученика только постепенно, по мѣрѣ того какъ онъ знакомится все съ новыми видами этого дѣйствія. Поэтому лучшіе методисты всегда и высказываются въ томъ смыслѣ, чтобы при изученіи того или другого дѣйствія сначала брались только самые простые случаи его примѣненія, подсказываемые, такъ сказать, самимъ условіемъ задачи. При изученіи вычитанія, напр., полезно начать съ рѣшенія такихъ задачъ, въ которыхъ требуется отъ цѣлаго отдѣлить часть и опредѣлить величину оставшейся части; затѣмъ притти къ уменьшенію числа на нѣсколько единицъ, потомъ разсмотрѣть разностное сравненіе двухъ чиселъ и т. д.; такая же строгая послѣдовательность должна быть установлена и для каждаго другого ариѳметическаго дѣйствія. Каждый новый видъ дѣйствія долженъ быть изученъ на задачахъ и на задачахъ же должно быть показано, что изучаемый видъ дѣйствія можетъ быть сведенъ къ болѣе элементарному виду того же дѣйствія. Такъ какъ рѣшеніе задачъ должно занимать центральное мѣсто при выработкѣ понятія объ ариѳметическомъ дѣйствіи, то и упражненіямъ въ придумываніи задачъ здѣсь можетъ быть отведено много мѣста. Учащіеся, рѣшивъ нѣсколько задачъ на данный видъ дѣйствія, могутъ по предложенію учителя и сами придумать задачи на этотъ случай примѣненія дѣйствія. Сходство и различіе между разными видами одного и того же дѣйствія (напр. между дѣленіемъ на

равныя части и такъ наз. дѣленіемъ по содержанію) особенно хорошо выясняется на такихъ задачахъ, придуманныхъ для этой цѣли учащимися. При этомъ и учителю будетъ легко установить, что еще не вполнѣ ясно ученикамъ, въ чемъ они еще часто ошибаются и на что, слѣд., нужно обратить особое вниманіе. Для сопоставленія и сравненія различныхъ видовъ даннаго дѣйствія особенно полезно, думается мнѣ, предлагать учащимся измѣнить условія задачи на данный видъ такъ, чтобы получилась задача на другой видъ того же дѣйствія, напр. изъ задачи на уменьшеніе на нѣсколько единицъ сдѣлать задачу на разностное сравненіе, задачу на дѣленіе на равныя части переработать въ задачу на дѣленіе «по содержанію», кратное сравненіе превратить въ уменьшеніе числа въ нѣсколько разъ и т. д. Упражненія эти могутъ быть ведены приблизительно такъ: ученикамъ задается, положимъ, задача на разностное сравненіе: «Книга стоитъ 20 коп., а тетрадь 5 коп. На сколько книга стоитъ дороже тетради?» Когда ученики рѣшатъ и разберутъ рѣшеніе этой задачи, имъ предлагаютъ передѣлать эту задачу такъ, чтобы получилась задача на уменьшеніе даннаго числа на нѣсколько единицъ. (Книга стоитъ 20 коп., а тетрадь на 15 коп. дешевле. Сколько стоитъ тетрадь?) Или ученикамъ можетъ быть задано придумать самимъ по задачѣ на данный видъ дѣйствія, а затѣмъ, когда задачи придуманы и провѣрены, предлагается передѣлать ихъ такъ, чтобы онѣ рѣшались другимъ видомъ того же дѣйствія.

Если строгое различеніе учениками разныхъ видовъ дѣйствія будетъ признано учителемъ излишнимъ или слишкомъ труднымъ для учениковъ, то эти упражненія могутъ быть, разумѣется, опущены. Но и такой учитель признаетъ, вѣроятно, полезнымъ сопоставленіе даннаго дѣйствія съ обратнымъ ему. И здѣсь ученикамъ можетъ быть предоставлено широкое поле дѣятельности въ придумываніи задачъ: изъ каждой задачи на сложеніе могутъ быть образованы двѣ задачи на вычитаніе, изъ задачи на дѣленіе — задача на умноженіе и т. д.

По вопросу о томъ, должно ли придумываніе задачъ учащимися служить матеріаломъ для классной или домашней работы учениковъ, сказать что-нибудь опредѣленное трудно. Этотъ вопросъ долженъ разрѣшить каждый учитель въ зависимости отъ способностей учениковъ, общаго плана своей работы и пр. Позволю себѣ только указать, что въ школахъ, въ которыхъ одному учителю приходится работать съ нѣсколькими отдѣленія, различныя упражненія въ придумываніи задачъ учащимися могли бы дать достаточно матеріала для такъ называемыхъ самостоятельныхъ работъ.

Ѳ. Эрнъ.

Къ этой детально разработанной статьѣ Ѳ. А. Эрна позволяю себѣ сдѣлать еще небольшія дополненія.

Быть можетъ, возможно на дѣло составленія задачъ самими учащимися, по крайней мѣрѣ въ старшихъ отдѣленіяхъ, взглянуть нѣсколько съ иной точки зрѣнія. А именно, возможно добиваться, чтобы учащіеся, заинтересовавшись извѣстною мыслью, принялись за работу составленія задачъ, не стѣсняя себя опредѣленными рамками, какія имѣются въ большинствѣ схемъ, даваемыхъ Ѳ. А. Эрномъ. Единственною заботою учащихся явится тогда стремленіе выразить опредѣленную мысль въ формѣ задачи. Возможно итти еще далѣе, а именно добиваться, чтобы учащіеся сами создавали, такъ сказать, «идею» задачи. Попытки работы въ этомъ направленіи указаны: 1) въ моей статьѣ «Цѣль обученія ариѳметикѣ и средства для ея достиженія» 4 за 1916 г. стр. 107), гдѣ рекомендуется передѣлывать уже рѣшенныя задачи въ новыя, руководясь въ этой переработкѣ задачи опредѣленною мыслью или заранѣе намѣченною цѣлью; 1) въ моей книжкѣ «Комбинаціонная работа», гдѣ предлагаются упражненія въ родѣ слѣдующаго: Учитель предлагаетъ задачу «Крестьянинъ собралъ съ поля 66 копенъ ржи, а овса собралъ на 2 копны больше половины собранной ржи. Сколько всего копенъ собралъ этотъ крестьянинъ?». При ея рѣшеніи выясняется, что здѣсь простой вопросъ, сколько копенъ овса собралъ крестьянинъ, облеченъ въ замысловатую форму (на 2 копны больше половины собранной ржи). Послѣ этого рекомендуется просмотрѣть рядъ задачъ изъ обычно употребляемаго въ классѣ задачника и указать тѣ изъ нихъ, гдѣ имѣется какой-либо замыселъ. Послѣ этого возникаетъ возможность предложить учащимся составлять задачи такъ, чтобы въ каждой изъ нихъ проводился извѣстный замыселъ.

Вопросъ о замыслѣ (объ «идеѣ») задачи разобранъ мною въ статьѣ «Ариѳметическія задачи и ихъ рѣшеніе», напечатанной въ № 7 «Мат. Вѣстн.» за 1915 г.

Н. Извольскій.

Хроника.

Московскій Математическій Кружокъ. Въ засѣданіи 25 февраля 1916 г. были сдѣланы слѣдующія сообщенія: 1) С. П. Виноградовъ. Новыя программы коммерческихъ училищъ. Во время обмѣна мнѣніями по поводу доклада выяснилось, что разсматриваемыя программы, содержа въ себѣ цѣлый рядъ дефектовъ, все же неизмѣримо выше проектируемыхъ новыхъ программъ для среднихъ учебныхъ заведеній Мин. Нар. Просв. 2) С. И. Лапшинъ. Вычисленіе площадей и объемовъ при по-

мощи центра тяжести (исходное положеніе: если какая-либо площадь двигается такъ, что ея центръ тяжести отрываетъ прямолинейный путь, при чемъ самая площадь можетъ деформироваться и вращаться около центра тяжести, однако такъ, что ея Проекція на плоскость, перпендикулярную къ прямой линіи, по которой движется центръ тяжести, остается неизмѣнной, то описанный этою площадью объемъ равенъ произведенію вышеуказанной проекціи на путь центра тяжести).

Въ засѣданіи 17 марта 1916 г. были сдѣланы слѣдующія сообщенія: 1) I. И. Чистяковъ. О теоремѣ Безу. 2) А. Н. Шапошниковъ. О взаимоотношеніи высшей и элементарной математики въ средней школѣ. 3) И. В. Краснопѣвцевъ. О распространенномъ въ учебникахъ изложеніи статьи о прогрессіяхъ.

Одновременно въ теченіе февраля и марта шла работа въ комиссіи, составленной для разсмотрѣнія проекта новыхъ, программъ математики въ средней школѣ, выработанныхъ коммиссіей) при Мин. Нар. Просв. лѣтомъ 1915 г. Здѣсь былъ заслушанъ рядъ докладовъ: Н. А. Извольскаго (объ общихъ соображеніяхъ по поводу разсматриваемыхъ программъ1), А. С. Алферовой и М. Ѳ. Берга (о программѣ по ариѳметикѣ), А. А. Волкова (о программахъ по алгебрѣ и геометріи), М. Ѳ. Берга (о программѣ по тригонометріи), А. Н. Шапошникова, А. П. Полякова и А. К. Власова (по поводу программы высшей математики).

Въ засѣданіи 21 апрѣля 1916 г. былъ заслушанъ докладъ вышеуказанной комиссіи. Центральный пунктъ доклада указываетъ на отсутствіе руководящей идеи въ проектѣ новыхъ программъ математики; слѣдствіемъ этого является рядъ несогласованностей и странностей, въ изобиліи имѣющихся въ проектируемыхъ программахъ. Постановлено напечатать отдѣльной брошюрой какъ докладъ комиссіи, такъ и тѣ доклады (они выше указаны), на основаніи которыхъ этотъ общій докладъ составленъ. Кромѣ того въ этомъ засѣданіи В. В. Добровольскій сдѣлалъ сообщеніе на тему: «О сліяніи различныхъ отдѣловъ математики въ одинъ учебный предметъ».

Курсы для учителей высшихъ начальныхъ училищъ. Дирекція народныхъ училищъ Московск. губ. настоящимъ лѣтомъ устраиваетъ курсы для учителей высшихъ начальнымъ училищъ, которые, повидимому, являются первымъ опытомъ такихъ курсовъ въ Россіи. Лекторами приглашены: по психологіи — А. П. Болтуновъ, по методикѣ русскаго языка—Н. П. Сидоровъ, по методикѣ математики — Н. А. Извольскій и по физикѣ— Н. В. Кашинъ. Курсы предположено начать съ 26 мая (въ Москвѣ), и они продолжатся около мѣсяца.

1) Докладъ напечатанъ отдѣльною брошюрою.

Свѣдѣнія о книгахъ по математикѣ и ея методикѣ.

А. П. Перли. Числа изъ жизни. Сборникъ ариѳметическихъ задачъ и упражненій для начальной школы и для приготовительныхъ классовъ среднихъ учебныхъ заведеній. Изданіе Т-ва И. Д. Сытина. I выпускъ. М. 1915. Цѣна 20 коп. II выпускъ. М. 1915. Цѣна 25 коп. III выпускъ. М. 1916. Цѣна 20 коп. IV выпускъ. М. 1916. Цѣна 20 коп.

Задачникъ, помимо раздѣленія на выпуски, раздѣленъ еще на 6 ступеней: первый десятокъ, два первыхъ десятка, первая сотня, предварительный курсъ дробей, первая тысяча, числа любой величины (въ предѣлѣ милліона). Значеніе послѣдней оговорки не ясно, такъ какъ въ выпускѣ IV, гдѣ даны упражненія на VI ступень, встрѣчаются и трилліоны и билліоны (№№ 6, 8, 9) и даже вопросы, въ родѣ «3820 умножить на 1000» (№ 14) или «5525933725 : 86309» (на стр. 33).

Задачникъ снабженъ предисловіемъ (на оберткѣ), многіе пункты котораго возбуждаютъ сомнѣнія. Авторъ говоритъ: «Внутренній смыслъ дѣйствій и взаимная связь между ними выясняется не въ теоретическихъ разсужденіяхъ, трудно доступныхъ дѣтскому пониманію, а на примѣрахъ, продѣлываемыхъ самими учащимися. На такую логическую связь слѣдуетъ указывать при прохожденіи отдѣловъ, имѣющихъ главною цѣлью практическое ознакомленіе съ истинами ариѳметики (напр. I ступень № 2; II ст. № 1, № 85, № 88; V ступень № 68, № 73, № 168, № 169 и др.)»- Указанные здѣсь №№ приводятъ къ мысли, что авторъ хочетъ, чтобы при помощи упражненій дѣти уяснили себѣ, что сложеніе есть сокращенный счетъ, что вычитаніе обратно сложенію, а дѣленіе — умноженію, что сложеніе и умноженіе обладаютъ перемѣстительнымъ закономъ и т. д. Однако, думается, что здѣсь не все обстоитъ хорошо.

Такъ, №№ 73, 168 и 169 выпуска III не предлагаютъ учащимся какихъ-либо «примѣровъ, продѣлываемыхъ самими учащимися», а являются въ сущности кусочками теоріи, почему-то вставленными въ задачникъ. Далѣе, совершенно непонятно, почему здѣсь авторъ въ качествѣ примѣра приводитъ № 85 второй ступени (стр. 51 выпуска I). Какой теоретическій вопросъ освящается данною здѣсь задачею: «Лѣсной голубь достигаетъ 1 фун. 6 дюйм. длины, а горлица 11 дюйм. На сколько дюймовъ лѣсной голубь длиннѣе горлицы?» Впрочемъ, надо быть довольнымъ, что авторъ, хотя и не удачно, но вводитъ указываемые теоретическіе вопросы въ начальный курсъ ариѳметики.

Затѣмъ остановимся на слѣдующихъ словахъ предисловія: «Задачи относительно содержанія должны удовлетворять не только чисто формальнымъ цѣлямъ ариѳметики — усвоенію одного числового матеріала, — но также возбуждать всесторонній интересъ ко всему окружающему и стать средствомъ развитія ума и воспитанія воли и сердца учащихся. Воспитательное значеніе могутъ пріобрѣтать, задачи, если содержаніе ихъ взято изъ дѣйствительности».

Не слишкомъ ли высока та цѣль (даже «воспитаніе воли и сердца»), которую ставитъ себѣ авторъ? И сомнительно, чтобы такой цѣли соотвѣтствовали задачи въ родѣ № 102а на стр. 60 выпуска I: «У майскаго жука 6 ножекъ. Сколько ножекъ у 3 майскихъ жуковъ?» Быть можетъ, авторъ полагаетъ, что слово «ножекъ» заставитъ учащихся любовно относиться къ майскимъ жукамъ! Или какое Воспитательное значеніе могутъ имѣть задачи №№ 310 и 312 выпуска III, говорящихъ о числахъ вагоновъ и паровозовъ Моск.-Казанской ж. д. (кстати, сомнительно, чтобы у этой дороги было на 17 пассаж. вагоновъ больше, чѣмъ паровозовъ, какъ это говоритъ № 310).

Мало того, можно, пожалуй, притти къ мысли, что задачникъ окажетъ вредное вліяніе съ воспитательной точки зрѣнія. Напр., сомнительно вліяніе зад. 90 въ выпускѣ IV, гдѣ сказано, что два пріятеля ѣхали изъ Кіева въ Москву, одинъ въ I кл., другой во II, а бывшій съ ними слуга въ III. Задачи №№ 8 и 157 тоже выпуска IV, пожалуй, позволятъ учащимся притти къ мысли утверждать что-либо, не зная доподлинно справедливо это или нѣтъ: авторъ задачника позволяетъ же себѣ въ № 8 утверждать, что Европейская Россія занимаетъ 4238712 кв. верстъ, а въ № 157, что она же занимаетъ 87581 кв. миль (а 87581 кв. миль =4291469 кв. вер.) и т. п. Также сомнительно Воспитательное значеніе задачъ въ родѣ № 102 (IV вып.), гдѣ авторъ утверждаетъ, что въ одномъ ульѣ оказалось 29768 пчелъ, а въ другомъ — на 12659 пчелъ болѣе, или № 108, гдѣ авторъ утверждаетъ, что у одного человѣка на головѣ 66784 волосъ, а у другого... Авторъ не указываетъ способа найти число пчелъ въ ульѣ или число волосъ на головѣ съ точностью до 1 пчелы или 1 волоса и этимъ ставитъ учителя въ чрезвычайно трудное положеніе, такъ какъ естествененъ и законенъ вопросъ со стороны учениковъ, какъ это сосчитать? Сомнительно также значеніе для воспитанія сердца задача № 179 (II вып.), гдѣ говорится, что Тася своимъ голубямъ давала ежедневно по 100 зеренъ вики! Но нельзя отрицать значенія послѣдней задачи для воспитанія воли: даже маленькая Тася имѣетъ твердость кормить голубей не такъ, чтобы они сыты были, а непремѣнно по сотнѣ зеренъ ежедневно и т. п.

Конечно, серьезнаго отношенія эти слова предисловія «воспитывать волю и сердце» не заслуживаютъ, но приведенные выше Примѣры заслуживаютъ вниманія и съ болѣе глубокой точки зрѣнія. Въ самомъ дѣлѣ, умѣстны ли задачи въ задачникѣ въ родѣ вышеуказанныхъ, гдѣ даются числа пчелъ и волосъ безъ указанія на способъ ихъ полученія? Не лучше ли Вмѣсто этого дать задачу, которая иллюстрировала бы возмонжость приблизительнаго рѣшенія вопросовъ, схожихъ съ вопросомъ о числѣ пчелъ въ ульѣ? И не пора ли бросить задачи, гдѣ ариѳметика насильственно, какъ это имѣетъ мѣсто и въ задачѣ о пчелахъ, пристегивается къ природѣ, а подобныхъ задачъ въ задачникѣ много: вып. I стр. 33: «Сколько крыльевъ у 5 воронъ? У сколькихъ кошекъ 8 ногъ? Въ двухъ скворечникахъ лежало 10 яицъ; въ одномъ изъ нихъ лежало 6 яицъ. Сколько яицъ лежало въ другомъ? (А какъ узнали числа 10 и 6?); вып. II стр. 68. «При теплотѣ (?) морской воды въ 3 градуса по Цельсію сельди-мальки вылупляются изъ яицъ черезъ 40 дней, а при температурѣ воды въ 10 градусовъ, на

29 дней скорѣе, и при теплотѣ (?) воды въ 12 градусовъ и болѣе на 34 дня скорѣе, чѣмъ при трехъ градусахъ. На который день вылупляются мальки сельдей при температурѣ воды въ 10 и 12 градусовъ»? Или (тамъ же): «Галка несетъ 4 яйца. Въ нашей рощѣ 16 гнѣздъ галокъ; сколько въ нихъ яицъ»? Вып. III стр. 51: «14 липовыхъ листовертокъ снесли въ среднемъ 980 яицъ. Сколько яицъ снесутъ 11 листовертокъ»? Или (тамъ же): «Въ 1911 г. на 215 жителей г. Москвы приходилось въ сутки около 860 ведеръ воды водопровода. Сколько ведеръ приходилось на 167 жителей»? Здѣсь возбуждаетъ сомнѣніе вопросъ задачи: почему автору понадобилось 167 жителей? Вып. IV стр. 43: «Наблюденіемъ надъ мышами установлено, что въ 12 минутъ пульсъ мыши дѣлаетъ 2100 ударовъ. Сколько ударовъ сдѣлаетъ пульсъ мыши въ 9 минутъ?» и т. п.

Не останавливаясь на другихъ мѣстахъ предисловія, возбуждающихъ тѣ или иныя сомнѣнія, перейду къ разсмотрѣнію самаго содержанія задачниковъ.

Выпускъ I начинается съ 10 картинокъ, каждая изъ которыхъ иллюстрируетъ числа 1, 2, 3... 10, при чемъ сбоку и внизу каждой нарисованы еще группы кружочковъ. Рисунки довольно плохи, расположеніе кружочковъ таково, что оно можетъ повести къ искаженію замысла автора. Повидимому, и авторъ не придаетъ этимъ картинкамъ большого значенія, такъ какъ въ дальнѣйшемъ нигдѣ больше картинками не пользуется. Поэтому и я перейду къ самому тексту задачника. На стр. 10 находимъ примѣчаніе: «До усвоенія письма цифръ ученики изображаютъ числа, получаемыя при счетѣ, сложеніи и вычитаніи, при помощи квадратиковъ по клѣткамъ», и далѣе слѣдуютъ иллюстраціи этого, при чемъ двѣ изъ нихъ очень сомнительны, въ особенности для «7—3=4». На стр. 11 уже появляются Примѣры: 1—1; 2—2; 3—3 и т. д. Возникаетъ вопросъ: не слишкомъ ли рано хочетъ авторъ ввести «нуль». Непонятно, далѣе, почему авторъ даетъ постоянно комбинаціи, подобныя слѣдующей:

8—1—1—1—1—1—1—1—1 = 0 8—1 = 7.

№ 58 на стр. 49 вып. I даетъ на столько запутанную комбинацію знаковъ -f — и чиселъ, что разобраться въ ней даже и не ученику I отдѣленія начальной школы достаточно трудно. Сомнительна и непонятна методическая цѣнность того, что требуетъ авторъ въ №№ 202, 219, 237 и др. выпуска II (3-я ступень). Напримѣръ, въ № 237 требуется продѣлать и записать множество примѣровъ такого характера: 8x1 = 8; 8x1 + 1=9; 8x1 + 2 = 10... до 8x1 + 8 = 8x1 + 8x1 = 8x2 = 16 и далѣе 8x2 + 1 = 17; 8x2 + 2 = ; 8x2 + 3 и т. д., пока не дойдемъ до 8x3, а затѣмъ все это продолжить въ томъ же порядкѣ, пока не дойдемъ до 8x4 и т. д. до 8x9. а затѣмъ еще требуется продѣлать обратный рядъ упражненій: 8x10; 8 X10—1 ; 8 X10—2 ;... 8 X10—8 = 8 X10—8 х1 = 8х9ит.д., пока не дойдемъ до 8x1. Нехорошо также, что авторъ часто усложняетъ безъ нужды дѣло. Напр., въ № 74 вып. III находимъ: 924—578; Вмѣсто того, чтобы выполнять это вычитаніе обычнымъ путемъ и написать сразу отвѣтъ,

авторъ требуетъ отъ учащихся «многописанія»: 924—500—70—8 = =900+20+4—500—70—8 = (900—500) + (20—70) + (4—8) = (800-500)-f + (110—70) + (14—8) = 300-f 40 + 6 = 346. Конечно, многимъ изъ того, что дано въ этой записи, приходится пользоваться и объ этомъ бесѣдовать съ учащимися, но для чего это помѣщать въ задачникѣ?

Такъ же точно на стр. 37 (а также на 42) вып. III находимъ еще попытку ввести въ задачникъ «кусочекъ» теоріи и опять сталкиваемся съ очень неискуснымъ выполненіемъ этого; здѣсь напечатано:

обозначенія разрядовъ II и I поставлены крайне неудачно, да и опять возникаетъ вопросъ: умѣстно ли это въ задачникѣ?

Переходя къ задачамъ, выраженнымъ словами, необходимо прежде всего остановиться на одномъ странномъ обстоятельствѣ. Уже въ концѣ перваго выпуска постепенно вводятся свѣдѣнія о соотношеніяхъ между единицами мѣръ, и это продолжается во II выпускѣ: на стр. 51 вып. I читаемъ: «Въ футѣ 12 дюймовъ», на стр. 62: «Въ сажени 3 аршина», на стр. 7 вып. II: «Въ часѣ 60 минутъ» и т. д. Казалось бы, что задачи, непосредственно слѣдующія за этими положеніями, должны давать матеріалъ, такъ или иначе связанный съ этими положеніями. Однако, какъ общее правило, въ задачникѣ на каждое изъ указанныхъ положеній дается лишь 1 задача (въ вып. II на стр. 8 удалось найти одно исключеніе: на усвоеніе положенія, что «ведро содержитъ 10 кружекъ», дано 2 задачи), а дальнѣйшія задачи совершенно не связаны съ этимъ положеніемъ.

Далѣе слѣдуетъ отмѣтить искусственность нѣкоторыхъ задачъ: вып. II 100 (21 стр.) «Дѣти пропѣли на вечерѣ 12 пѣсенъ и сказали наизусть 18 стиховъ. Сколько номеровъ (разрядка моя. Н. И.) исполнили дѣти на вечерѣ». Тамъ же на стр. 37 рѣчь идетъ о домѣ, въ которомъ 5 этажей, и каждый этажъ вышиною въ 2 сажени, —похоже ли это на «числа изъ жизни»? На стр. 40 читаемъ: «Сколько бабочекъ имѣлъ Саша въ своей коллекціи, если тамъ было 36 разноцвѣтныхъ крыльевъ, а у каждой бабочки по 4 крыла»? Въ вып. III на стр. 51 почему-то требуется узнать, сколько рублей налоговъ приходилось на 35 жителей Берлина въ 1910, а въ слѣдующей задачѣ,—сколько рублей налоговъ приходилось на 15 жителей Парижа въ 1909 г. Не будетъ ли учащійся думать о томъ, почему именно надо эти вопросы рѣшать для 35 и 15 жителей? Въ вып. IV, кромѣ ранѣе указанныхъ задачъ, гдѣ говорится о числѣ пчелъ и числѣ волосъ, искусственность замѣчается во многихъ мѣстахъ, среди которыхъ Отмѣтимъ: 1) стр. 63, гдѣ имѣется рядъ задачъ о торговцахъ древней Греціи, при чемъ условія задачъ выражены въ пудахъ и рубляхъ, и 2) задачу № 110 на стр. 20, гдѣ говорится о машинахъ въ 10875 и т. д. лошадиныхъ силъ. Не требуется ли здѣсь дать указанія, что слѣдуетъ понимать подъ именемъ «лошадиная сила»? Позволимъ себѣ поставить еще общій вопросъ: Не слишкомъ ли загромождаетъ авторъ, свой задачникъ данными

изъ области естествознанія, статистики, экономическо-коммерческаго характера и т. п. и этимъ самымъ не слишкомъ ли этими данными затемняетъ ариѳметическую сторону дѣла?

Наконецъ, прибавимъ еще очень плохой способъ расположенія нѣкоторыхъ примѣровъ: не сразу догадаешься, гдѣ кончается одинъ примѣръ и начинается другой. Напр., внизу стр. 38 вып. I (здѣсь непонятно къ чему относятся указанія «20 = ? +1, до 20 = ?-|-2» и т. д.); внизу стр. 43 вып. II, въ серединѣ стр. 26 вып. I (напр., «9 = 3-f3-f3 = 3 X 9 : 3 = » — что это: одинъ или два примѣра?) и т. д.

Общее впечатлѣніе отъ работы г. Перли таково: Авторъ поставилъ себѣ 2 задачи, а именно: 1) составить задачникъ такъ, чтобы онъ давалъ учащимся не только упражненія въ счетѣ, но и, какъ результатъ этихъ упражненій, извѣстныя теоретическія свѣдѣнія, 2) обновить обычный задачный матеріалъ при помощи введенія въ дѣло данныхъ изъ области естествознанія, статистики и т. п. Первая изъ этихъ задачъ достойна самого глубокого вниманія, вторая возбуждаетъ опасенія, которыя уже выше указаны. Хотя, къ сожалѣнію, авторъ не далъ удовлетворительнаго рѣшенія этихъ двухъ задачъ, но уже достойно вниманія и то обстоятельство, что «Числа изъ жизни» не представляютъ собою простого подражанія образцамъ, и учитель можетъ найти въ этихъ задачникахъ матеріалъ, который съ успѣхомъ можетъ быть использованъ въ школѣ.

Н. Извольскій.

Книги, поступившія въ редакцію.

В. А. Барицкій. Очерки по методикѣ начальнаго курса ариѳметики. Лекціи, читанныя въ г. Херсонѣ на общеобразовательно-педагогическихъ курсахъ Херсонскаго Губернскаго Земства. Изданіе Херсонской Губернской Земской Управы. Херсонъ 1915, цѣна 1 руб. 50 коп.

А. Назаровъ. Сборникъ задачъ по аналитической геометріи на плоскости. Изданіе 4-е. Ейскъ (Кубан. обл.) 1916, цѣна 60 коп.

Я. Линцбахъ. Принципы философскаго языка. Опытъ точнаго языкознанія. Птгр. 1916, цѣна 2 руб. 50 коп.

И. С. Теръ-Степановъ. Сборникъ алгебраическихъ задачъ для среднихъ учебныхъ заведеній. Часть I. Птгр. 1915, цѣна 75 коп.

И. С. Теръ-Степановъ. Сборникъ тригонометрическихъ задачъ для гимназій и другихъ среднихъ учебныхъ заведеній. Птгр. 1915, цѣна 90 коп.

Н. В. Кашинъ. Основанія математическаго анализа. Учебная книга для старшихъ классовъ средней школы. Изданіе Т-ва «В. В. Думновъ, насл. Бр. Салаевыхъ». М. 1916, цѣна 3 руб.

А. Волковъ. Проектъ новыхъ программъ преподаванія математики въ средней школѣ, составленный Комиссіей при Министерствѣ Народнаго Просвѣщенія весною 1915 г. (брошюра).

Н. Извольскій. По поводу новаго проекта программъ математики въ средней школѣ (брошюра).

Т. Ѳ. Лапикъ. Задачникъ по ариѳметикѣ для учениковъ 3-го и 4-го отд. нач. школы, приготовительнаго и перваго класса среднихъ учебныхъ заведеній и высшихъ начальныхъ школъ. Изданіе книжнаго магазина «Дѣло» Д. К. Запорожца. Екатеринодаръ 1916, цѣна 50 коп.

А. И. Шестовъ (подъ редакц. проф. В. Г. Алексѣева). Научная, педагогика и русская школа. Издано на средства князя Абамелекъ-Лазарева. Юрьевъ 1916, цѣна 2 руб. 50 коп.

Редакторъ-издатель Н. А. Извольскій. Тип. Г. Лисснера и Д. Собко, Москва, Воздвиж., Крестовоз. п., д. № 9.