Математическій Вѣстникъ.

№ 3. Мартъ 1916 г.

Годъ третій.

Адресъ редакціи: Москва, Гороховскій пер., д. 23, кв. 9. Тел.3-19-55.

Содержаніе: С. А. Богомоловъ. Аксіома непрерывности, какъ основаніе для опредѣленія длины окружности, площади круга, поверхностей и объемовъ» круглыхъ тѣлъ. (Окончаніе.)—Н. Извольскій. Но поводу статьи С. А. Богомолова «Аксіома непрерывности, какъ основаніе для опредѣленія длины окружности и т. д.». — С. Лапшинъ. Маленькій курьезъ. —Н. Извольскій. Цѣль обученія ариѳметикѣ и средства для ея достиженія. (Продолженіе.) — Г. Приходченко. Умноженіе на обыкновенную дробь въ методической обработкѣ. — А. Цвѣткова. Краткій обзоръ статей математическаго содержанія, напечатанныхъ въ педагогическихъ журналахъ. — Свѣдѣнія о книгахъ по математикѣ и ея методикѣ. (В. К. Беллюстинъ. Ариѳметическій задачникъ. Выпускъ V). — Исправленія. — Объявленія.

Аксіома непрерывности, какъ основаніе для опредѣленія длины окружности, площади круга, поверхностей и объемовъ круглыхъ тѣлъ.

(Окончаніе.)

Что касается спрямленія дуги окружности, то его можно обосновать на тѣхъ же принципахъ. При этомъ неизбѣжно придется встрѣтиться съ нѣкоторыми техническими осложненіями; такъ, придется говорить о ломаныхъ, вписанныхъ въ дугу и описанныхъ около нея, въ частности придется имѣть дѣло съ правильными ломаными; къ этимъ вопросамъ учащіеся, вообще говоря, менѣе подготовлены, чѣмъ къ соотвѣтствующимъ

вопросамъ изъ теоріи многоугольниковъ. Далѣе, послѣ опредѣленія длины дуги. неизбѣжно доказать теорему: «длина суммы двухъ дугъ равна суммѣ длинъ этихъ дугъ»; само доказательство можно обосновать на томъ, что длина суммы дугъ будетъ больше суммы периметровъ ломаныхъ, вписанныхъ въ отдѣльности въ данныя дуги, и меньше суммы периметровъ описанныхъ. Изъ этой теоремы можно уже вывести, что длины двухъ дугъ (принадлежащихъ окружностямъ съ равными радіусами) относятся, какъ соотвѣтствующіе центральные углы, и получить такимъ образомъ обычныя формулы. Впрочемъ, съ указанными осложненіями придется столкнуться всякой теоріи, которая пожелаетъ до конца оправдать свои выводы; на практикѣ это приводитъ къ тому, что или въ вопросѣ о спрямленіи дуги ограничиваются ссылкой на аналогію съ только изложеннымъ измѣреніемъ окружности и дѣлаютъ лишь необходимыя дополненія, или начинаютъ прямо со второго изслѣдованія, разсматривая измѣреніе окружности, какъ частный случай.

Выводу площади круга предшествуетъ теорія площадей многоугольниковъ. Въ своемъ курсѣ я излагаю ее по методу Шатуновскаго-Гильберта; тогда съ каждымъ многоугольникомъ ассоціируется опредѣленное число, которое называется «мѣрой его площади» или просто «площадью» многоугольника. Благодаря этому совокупность многоугольниковъ образуетъ особый классъ величинъ со всѣми свойствами, присущими этой категоріи объектовъ. Въ частности, для площадей имѣетъ мѣсто принципъ Кантора; это можно обосновать замѣчаніемъ, что благодаря теоріи измѣренія указанное предложеніе переносится съ отрѣзковъ на числа; можно, конечно, прямо сослаться на ариѳметику (понимая послѣднее названіе въ широкомъ смыслѣ слова). Нахожденіе площади круга слагается изъ слѣд. предложеній:

Теор. 1. Площадь всякаго многоугольника, вписаннаго въ кругъ, меньше площади всякаго многоугольника, описаннаго около того же круга.

Обозначимъ площадь правильнаго вписаннаго /г-угольника черезъ Fn, а площадь описаннаго — черезъ F'n.

Теор. 2. Можно найти такое цѣлое положительное число п, что F'u—F2n будетъ меньше произвольно заданнаго положительнаго числа.

По поводу этой теоремы замѣтимъ, что она имѣетъ въ виду 2-е условіе принципа Кантора; а тамъ говорится о возможности какимъ-либо способомъ найти по элементовъ обоихъ классахъ такъ, чтобы разность ихъ удовлетворяла извѣстному условію. Поэтому не представляется необходимымъ брать F'n и Fn, а можно взять F'n и FІп\ послѣднее имѣетъ ту выгоду, что существуетъ извѣстная, хотя и не всегда указываемая, формула

Р2п = £ ГРт

которая доказывается безъ труда. Но тогда

Fn — F2n = lr(Pn — Pn\

и дѣло сводится къ теор. 6 главы объ измѣреніи окружности.

Теор. 3. Для даннаго круга существуетъ одна и только одна площадь, которая больше площади всякаго многоугольника, вписаннаго въ этотъ кругъ, и меньше площади всякаго многоугольника, описаннаго около круга.

Опредѣленіе. Площадью круга называется площадь, существованіе и единственность которой установлены предыдущей теоремой.

Обозначимъ площадь круга радіуса г черезъ К, площадь какого-либо вписаннаго многоугольника черезъ F, описаннаго— черезъ F

Теор. 4. К = лг2.

Основываясь на томъ, что периметръ вписаннаго многоугольника меньше длины окружности, которая въ свою очередь меньше периметра описаннаго, легко установить неравенства:

такъ что

но, такъ какъ по опредѣленію К удовлетворяетъ тѣмъ же самымъ условіямъ и такая площадь единственна, имѣемъ:

К = лгг2, ч. и т. д.

Что касается площади сектора, то она вводится совершенно подобнымъ путемъ; площадь же сегмента опредѣляется,

какъ разность между площадями сектора и треугольника. Къ послѣднему пункту мы еще вернемся въ концѣ доклада.

Мы очень подробно остановились на вопросахъ объ опредѣленіи длины окружности и площади круга; въ остальной части этого и безъ того разросшагося доклада позволимъ себѣ болѣе краткое изложеніе.

Площади боковыхъ поверхностей и объемы цилиндра и конуса вводятся съ помощью вписанныхъ и описанныхъ призмъ и пирамидъ; существованіе пограничныхъ элементовъ устанавливается безъ труда на основаніи того, что уже доказано для окружности и круга. Нѣкоторыя техническія осложненія возникаютъ только съ боковой поверхностью конуса, такъ какъ нѣтъ простой формулы для площади боковой поверхности всякой вписанной пирамиды1). Площадь боковой поверхности и объемъ усѣченнаго конуса опредѣляемъ, какъ разность соотвѣтственныхъ величинъ двухъ конусовъ; къ этому вопросу мы вернемся ниже.

Переходимъ къ опредѣленію поверхности и объема шара и его частей. Распространить на шаръ и многогранники тотъ методъ, который былъ примѣненъ къ кругу и многоугольникамъ, нельзя уже по одному тому, что правильныхъ многогранниковъ имѣется только пять. Возможныя видоизмѣненія этого метода указаны въ книгѣ Киллинга и Гофштадта2), но всѣ они содержатъ значительныя техническія трудности.Поэтому будетъ проще избрать болѣе частный методъ и прибѣгнуть къ извѣстнымъ тѣламъ вращенія, порождаемымъ правильными вписанными и описанными ломаными. Конечно, приходится имѣть дѣло съ поверхностями и объемами этихъ тѣлъ вращенія; послѣднія можно опредѣлить и чисто геометрически, какъ извѣстныя комбинаціи цилиндровъ, конусовъ и усѣченныхъ конусовъ. На основаніи принципа Кантора доказывается существованіе и единственность площади (или объема), пограничной между площадями поверхностей (или

1) П. А. Долгушинъ (стр. 151—153) избѣгаетъ этого затрудненія, пользуясь только описанными пирамидами; но для цилиндра тотъ же авторъ пользуется лишь вписанными призмами. Такое различіе пріемовъ едва ли удобно; несомнѣнно, гораздо естественнѣе основываться на обоихъ сходящихся классахъ.

2) Killing и. Hovestadt, 1. с., Bd. II, p. 248—250.

между объемами) тѣлъ, происшедшихъ отъ вращенія правильныхъ вписанныхъ и описанныхъ ломаныхъ. Наконецъ вводятся соотвѣтственныя опредѣленія и выводятся обычныя формулы. Такимъ путемъ мы найдемъ площади поверхностей шарового пояса, шарового сегмента и самого шара, а также объемы шара и шарового сектора. Что же касается объемовъ шарового сегмента, сферическаго кольца и слоя, то эти объемы опредѣляются, какъ суммы или разности уже извѣстныхъ объемовъ.

Только что указанный методъ встрѣчался неоднократно и въ предыдущихъ изслѣдованіяхъ; напомнимъ нахожденіе площади сегмента, боковой поверхности и объема усѣченнаго конуса, поверхностей и объемовъ тѣлъ вращенія. Необходимо обратить вниманіе на то, что во всѣхъ этихъ случаяхъ искомое находятъ, какъ сумму или разность извѣстныхъ изъ предшествующаго поверхностей и объемовъ, т.-е. соотвѣтственные геометрическіе образы разсматриваются уже какъ величины, хотя на это еще не имѣется права. Обосновать подобный методъ можно различными путями:

1) Анализъ безконечно-малыхъ доказываетъ, что, вообще говоря, всѣ поверхности и объемы образуютъ особые классы величинъ. Но это обстоятельство всегда останется такимъ, на которое въ средней школѣ можно будетъ только сослаться. Если даже въ курсъ ея и войдутъ начала интегральнаго исчисленія, то, по нашему мнѣнію, понятіе объ опредѣленномъ интегралѣ будутъ обосновывать на понятіи площади замкнутой фигуры, а не наоборотъ: понятіе площади — на понятіи опредѣленнаго интеграла.

2) Можно примѣнить методъ Энрикеса и Амальди для наиболѣе простыхъ фигуръ съ криволинейной и смѣшанной периферіей (см. выше). Но вспомнимъ, что авторамъ понадобились 4 новыхъ постулата, и они не сочли цѣлесообразнымъ довести всѣ разсужденія до конца; очевидно, это — це особенно простой путь.

3) Наиболѣе простой (но формальный) исходъ заключается въ томъ, чтобы просто опредѣлять поверхности и объемы указанныхъ выше тѣлъ, какъ суммы и разности уже извѣстныхъ величинъ1).

1) Русское слово «опредѣлять» имѣетъ двоякое значеніе. Можно говорить объ опредѣленіи извѣстной величины въ смыслѣ введенія самаго

Мы склонны остановиться на послѣднемъ пути, упомянувъ однако о первомъ: учащіеся должны узнать, что въ высшей математикѣ есть отдѣлъ, устанавливающій въ самомъ общемъ видѣ то предложеніе, съ частичными случаями котораго имѣемъ дѣло въ элементарной геометріи.

С. Богомоловъ.

По поводу статьи С. А. Богомолова „Аксіома непрерывности, какъ основаніе для опредѣленія длины окружности, площади круга, поверхностей и объемовъ круглыхъ тѣлъ".

Законченная печатаніемъ въ настоящемъ № «Матем. Вѣстн.» интересная статья С. А. Богомолова возбуждаетъ два общихъ вопроса. Первый вопросъ — вопросъ о цѣнности того направленія въ развитіи математики, которое такъ рельефно отразилось въ статьѣ С. А. Богомолова: дѣйствительно ли такое направленіе можно признать истинно-научнымъ? Дѣло въ томъ, что здѣсь игнорируется фактъ, несомнѣнно имѣющій мѣсто, что въ нашемъ представленіи имѣется образъ «длина окружности» и этотъ образъ отнюдь не связывается ни съ ученіемъ о непрерывности, ни съ теоріею предѣловъ. Въ самомъ дѣлѣ, если мы захотимъ быть искренними, то всякій изъ насъ долженъ сознаться, что онъ владѣлъ этимъ образомъ еще раньше, чѣмъ ознакомился съ ученіемъ о непрерывности или съ теоріей предѣловъ (кстати замѣчу, что та «теорія предѣловъ», какая обычно находитъ мѣсто въ учебникахъ геометріи, вовсе не достойна и имени «теорія», такъ какъ ничего, кромѣ ряда недоразумѣній, не даетъ). Истинная наука не должна игнорировать факты, а потому не соотвѣтствуетъ понятію истинной научности замѣна того образа «длины окружности», которымъ мы владѣемъ, словеснымъ опредѣленіемъ, связаннымъ или съ ученіемъ о непрерывности или съ теоріею предѣловъ. Если же, какъ это сдѣлано г. Богомоловымъ, дозволяется думать о длинѣ окружности, какъ о длинѣ отрѣзка, который больше периметра всякаго вписаннаго въ кругъ многоугольника и меньше периметра любого описаннаго лишь послѣ того какъ существованіе такого отрѣзка доказано при помощи

понятія, впервые входящаго въ разсужденіе; но можно подъ опредѣленіемъ понимать ея выраженіе черезъ извѣстныя уже величины, имѣть въ виду нахожденіе окончательной формулы. Здѣсь мы понимаемъ это слово въ первомъ значеніи.

принципа Кантора, или, какъ въ другой формѣ это дѣлаютъ другіе, лишь послѣ того какъ существованіе такого отрѣзка доказано при помощи основного положенія (аналогичнаго принципу Кантора) теоріи предѣловъ, если нѣкоторые авторы, какъ это очень хорошо подчеркнуто С. А. Богомоловымъ, позволяютъ думать о поверхности шара лишь какъ о частномъ отъ дѣленія объема шара на 7з радіуса, или, какъ это дѣлаетъ самъ г. Богомоловъ, заставляютъ думать о боковой поверхности конуса, лишь какъ о разности боковыхъ поверхностей двухъ полныхъ конусовъ, то все это не является ли въ сущности доказательствомъ, что математическая наука за послѣдній періодъ времени стремится обратиться, какъ это было уже въ древней Греціи, въ софистику. Если же признать фактъ, что мы владѣемъ представленіемъ о длинѣ окружности независимо отъ того, изучали ли мы теоріи непрерывности, ирраціонныхъ чиселъ и предѣловъ, то тогда явится необходимостью изложить въ курсѣ геометріи вопросъ объ измѣреніи длины окружности и безъ ученія о непрерывности и безъ теоріи предѣловъ. Въ дальнѣйшемъ развитіи геометріи несомнѣнно найдетъ мѣсто моментъ, когда появляется потребность разобраться въ тѣхъ фактахъ, которые связаны съ непрерывностью геометрическихъ образовъ. Тогда явится потребность связать съ новымъ ученіемъ и рядъ прежде разсмотрѣнныхъ фактовъ, а въ томъ числѣ и вопросъ о длинѣ окружности, и, если изложеніе С. А. Богомолова отнести къ этому моменту, то оно становится достойнымъ самаго глубокого вниманія. Однако въ такомъ случаѣ появляется уже необходимость доказать, что тотъ прямолинейный отрѣзокъ, который опредѣляется согласно новому ученію для длины окружности, совпадаетъ съ прежнимъ. Чтобы это сдѣлать, необходимо надѣлить тотъ прямолинейный отрѣзокъ, который ранѣе имѣлся въ нашемъ представленіи для длины круга, свойствомъ быть больше периметра любого вписаннаго въ кругъ многоугольника и меньше периметра любого описаннаго. Надѣленіе его этимъ свойствомъ равносильно признанію возможности разсматривать кривую, какъ ломаную съ безконечно большимъ числомъ безконечно малыхъ сторонъ1). Вотъ причина, почему я и считаю наиболѣе простымъ сразу установить возможность разсматривать кругъ, какъ правильный многоугольникъ съ безконечно большимъ числомъ сторонъ.

Необходимо здѣсь остановиться еще на одномъ обстоятельствѣ. Каждая аксіома, къ чему бы она ни относилась, является

1) Подробное выясненіе этого см. или въ «Докладахъ, читанныхъ на ІІ-мъ всеросс. съѣздѣ преподавателей математики», стр. 198—199, или въ отдѣльной брошюрѣ: Н. А. Извольскій, Къ вопросу объ опредѣленіи длины окружности, стр. 18—20.

результатомъ дѣятельности человѣка, и нельзя, какъ это теперь часто замѣчается, приписывать аксіомамъ какое-то сверхъ-человѣческое происхожденіе.

Въ частности, аксіома Дедекинда является словеснымъ выраженіемъ тѣхъ особенностей, какія подмѣчены Р. Дедекиндомъ при разсмотрѣніи вопросовъ о дѣленіи отрѣзка, и можетъ быть въ этой словесной формулировкѣ плохо отразился тотъ фактъ, что при всякомъ раздѣленіи отрѣзка на двѣ части точка, производящая это дѣленіе, можетъ быть сочтена по нашему желанію или за лѣвый конецъ одного отрѣзка или за правый конецъ другого (употребленіе словъ «лѣвый» и «правый», думается, не вызоветъ недоразумѣній). Это обстоятельство отражается въ доказательствѣ той теоремы Дедекинда, которая приводитъ къ заключенію о непрерывности ряда вещественныхъ чиселъ. А если такъ, то принципъ Кантора опредѣляетъ не точку, заключающуюся между двумя классами точекъ, а точку, принадлежащую къ одному изъ нихъ (къ какому именно — зависитъ отъ нашего желанія). Отсюда вытекало бы, что та «длина окружности», которая опредѣлена изложеніемъ С. А. Богомолова, должна быть признана или за периметръ прав. вписаннаго въ кругъ многоугольника или за периметръ описаннаго и, очевидно, не съ конечнымъ числомъ сторонъ.

Второй вопросъ — вопросъ педагогическаго характера: когда можно предлагать вниманію учащихся то развитіе ученія о непрерывности, какое имѣетъ мѣсто въ статьѣ С. А. Богомолова? Конечно, только тогда, когда у учащихся накопится достаточно фактовъ, которые помогли бы имъ отказаться отъ представленія геометрическихъ образовъ, опирающагося на движеніе (напр., происхожденіе окружности связано съ вращеніемъ прямолинейнаго отрѣзка, что постоянно иллюстрируется при помощи циркуля), и которые привели бы къ мысли, что можно въ извѣстныхъ случаяхъ разсматривать геометрическіе образы прерывными. Конечно, послѣднее учащіеся не могутъ сдѣлать только по приглашенію преподавателя, какъ то рекомендуется въ статьѣ С. А. Богомолова передъ примѣненіемъ аксіомы Дедекинда для доказательства существованія точекъ пересѣченія прямой и круга. Возможность этого неразрывно связана съ вопросомъ о распредѣленіи сначала раціональныхъ, а потомъ и ирраціональныхъ чиселъ въ числовомъ ряду и о расположеніи соотвѣтствующихъ имъ точекъ на числовой прямой. Поэтому никоимъ образомъ нельзя, какъ это дѣлаетъ С. А. Богомоловъ, излагать ученіе о непрерывности ранѣе теоріи сѣченій Дедекинда. Возникаетъ еще сомнѣніе: обладаютъ ли учащіеся I курса высшихъ учебныхъ заведеній достаточнымъ запасомъ фактовъ, чтобы ихъ сознаніе почувствовало потребность привести въ стройную систему

тотъ рядъ разрозненныхъ фактовъ, которые связаны съ ученіемъ о непрерывности? Не является ли ученіе о непрерывности теоріею, интересной лишь спеціалистамъ-математикамъ, окончившимъ уже высшую школу и занимающимся исключительно вопросами о приведеніи ряда геометрическихъ фактовъ въ логическую систему? Если это такъ, то пожалуй появится надобность перенести изложеніе этого ученія на послѣдній курсъ въ качествѣ спеціальнаго предмета.

Н. Извольскій.

Маленькій курьезъ.

Ариѳметическая задача: «Капиталы двухъ купцовъ, торговавшихъ порознь, составляли въ общей суммѣ 20000 рублей. Одинъ получилъ на свой капиталъ барышъ въ размѣрѣ Ю°/0, другой получилъ убытокъ Ю°/0; послѣ этого капиталы ихъ стали равны. Опредѣлить капиталъ каждаго купца».

Плохой ученикъ и взрослые люди, малоискушенные въ рѣшеніяхъ задачъ, дѣлаютъ при рѣшеніи этой задачи грубую ошибку, но тѣмъ не менѣе получаютъ въ результатѣ числа, одинаковыя съ числами, получаемыми при правильномъ рѣшеніи. Иного послѣ этого трудно бываетъ убѣдить въ томъ, что онъ рѣшалъ невѣрно, такъ какъ, по его мнѣнію, если въ отвѣтѣ вѣрныя числа, то и рѣшалъ онъ, значитъ, вѣрно.

Рѣшеніе даютъ такое: по самому началу приписываютъ купцамъ, тому и другому, но 10000 руб. Прибавляя къ одному 10°/0 и отнимая отъ другого Ю°/0і говорятъ, что у одного было 11000 руб., у другого 9000 руб.1).

И вѣрно: у одного было дѣйствительно 11000 руб., у другого 9000 руб., но у котораго было 11000 руб., у котораго 9000 руб., разобраться въ этомъ невѣрно рѣшавшій задачу затрудняется или вовсе не находитъ нужнымъ разбираться.

Легко усмотрѣть, что положеніе вещей не зависитъ отъ чиселъ 20000 руб. и 10%.

1) Здѣсь является возможнымъ показать неправильность самаго начала рѣшенія: предполагалось, что у каждаго брата послѣ торговли стало по 10000 руб., а между тѣмъ. если отъ 11000 руб. отнять 10%, а къ 9000 руб. прибавить Ю°/0, то окажется, что у каждаго брата стало по 9900 руб., а не по 10000 руб., и что ихъ начальный общій капиталъ 20000 руб. не остался неизмѣннымъ, а уменьшился и сталъ= 19800 руб. Быть можетъ, это указаніе поможетъ убѣдить лицъ, представившихъ вышеуказанное рѣшеніе, въ томъ, что они приступаютъ къ рѣшенію, исходя изъ неправильной мысли. Ред.

Въ самомъ дѣлѣ, возьмемъ въ задачѣ Вмѣсто 20000 руб. /1 руб. и Вмѣсто 10%—р°/о, при чемъ обозначимъ для Простота J— черезъ — ; тогда получимъ слѣдующее уравненіе:

х А. х Х+ ——А—Х--, или х(т-\-і) = А(т—1)—х(т—1), откуда

А(т— 1) А(т+1) х=——? у=——' ГДГ^ х и У капиталы того и другого купца.

Невѣрно рѣшающій задачу беретъ половину А для одного и половину А для другого и получаетъ:

А А _А(т+і) А А _А(т—\) 2+2т~ 2т ' И 2 2 т~ 2т '

т.-е. тѣ же величины, но, конечно, въ другомъ порядкѣ.

Изслѣдуемъ этотъ вопросъ. Пусть А=а-\-Ь\ тогда сумма новыхъ капиталовъ послѣ операціи барыша на Ь и убытка на а выразится такъ: а— замѣняя Ь черезъ А—а, получимъ: А — эта сумма новыхъ капиталовъ будетъ равна данному А въ единственномъ случаѣ, когда а—Ь=~• (Опускаемъ случай m=œ, который приводитъ, къ тому, что процентная такса р=0, т.-е. капиталы остаются безъ перемѣны).

Это даетъ возможность, взявъ при невѣрномъ рѣшеніи задачи по — руб. для каждаго купца, получить числа, сумма которыхъ будетъ тоже данное А.

Кромѣ того замѣтимъ, что если съ какой-либо суммы сдѣлать процентную скидку, а потомъ на полученную сумму сдѣлать процентную надбавку, то результатъ получится такой же, какъ если бы на данную сумму сначала сдѣлать надбавку, а потомъ сдѣлать скидку, при чемъ таксы надбавки и скидки могутъ быть даже неодинаковы. Въ самомъ дѣлѣ, возьмемъ

Также будемъ имѣть:

Благодаря этому и получаются при невѣрномъ рѣшеніе т.-е. при операціи съ половинами А, вѣрныя числа, такъ какъ, въ силу предыдущаго, суммы ихъ равны А и согласно только-что выясненному положенію, они таковы, что, примѣняя къ нимъ въ обратномъ порядкѣ скидку и надбавку, мы должны получить равныя числа, какъ то требуется задачей.

С. Лапшинъ.

Цѣль обученія ариѳметикѣ и средства для ея достиженія.

(Продолженіе.)

Перейдемъ къ болѣе детальному разсмотрѣнію этихъ четырехъ пунктовъ.

Первый пунктъ требуетъ, чтобы дѣти познали числа, научились владѣть числами. Это требованіе захватываетъ два существенныхъ момента: 1) надо, чтобы дѣти усвоили порядокъ слѣдованія чиселъ другъ за другомъ (научились считать) и 2) надо, чтобы дѣти научились правильно примѣнять числа для оцѣнки ими того, что подлежитъ такой оцѣнкѣ. Быть можетъ наилучше достигнуть этого можно было бы въ дошкольный періодъ, если бы старшіе члены семьи пользовались удобными случаями (а ихъ такъ много) для того, чтобы привить дѣтямъ и знаніе чиселъ до нѣкотораго предѣла (напр. до 20) и нѣкоторое сознаніе въ пользѣ, приносимой числами. Если бы это было возможно, то школа могла бы до нѣкоторой степени разгрузиться и направить свое вниманіе на дальнѣйшее ариѳметическое развитіе дѣтей. Но мы знаемъ, что въ настоящее время объ этомъ для большинства дѣтей и мечтать не приходится. И вотъ школа должна взять на себя и эту заботу объ начальномъ ознакомленіи дѣтей съ числами, для чего необходимо создать искусственную обстановку, гдѣ бы особенно рельефно выдѣлялась ариѳметическая сторона явленій, протекающихъ передъ учащимися дѣтьми. Для этой цѣли въ школу вводятся наглядныя пособія. Несмотря на все разнообразіе наглядныхъ пособій, придуманныхъ различными хитроумными изобрѣтателями ихъ, тѣ пособія, какія предназначены для самаго начала ознакомленія дѣтей съ числами, всегда имѣютъ въ виду тѣ два момента, которые указаны выше: 1) научить дѣтей счету и 2) научить дѣтей правильно примѣнять числа. Поэтому и эти наглядныя пособія бываютъ двухъ типовъ. Первый типъ — классическимъ образцомъ его являются счеты—имѣетъ въ виду главнымъ образомъ счетъ, и отдѣльныя, напр., счетныя косточки на счетахъ служатъ лишь поводомъ, чтобы называть

числа по порядку. Второй типъ пособій на первый планъ выдвигаетъ пріученіе дѣтей къ правильному примѣненію чиселъ, почему здѣсь главнымъ образомъ стремятся къ тому, чтобы возможно рельефнѣе запечатлѣть въ воображеніи учащихся то, къ чему примѣняется опредѣленное число. Конечно, на первый планъ здѣсь выдвигаются группы предметовъ (вѣдь числами прежде всего пользуются для оцѣнки группъ предметовъ), — надо лишь озаботиться, чтобы эти группы по возможности отчетливѣе воспроизводились передъ глазами учащихся. Хорошимъ образцомъ этого типа пособій служитъ «счетный приборъ» В. А. Лая. Возможна мысль воспользоваться вмѣсто группъ предметовъ извѣстными протяженностями. И эта мысль отражалась въ области наглядныхъ пособій по ариѳметикѣ крайне разнообразно: уже въ обыкновенномъ ариѳметическомъ ящикѣ мы видимъ несмѣлое проявленіе этой мысли, такъ какъ, напр., брусокъ ариѳметическаго ящика оцѣнивается числомъ 10 потому, что протяженность его (объемъ) представляется въ 10 разъ большею, чѣмъ протяженность (объемъ) кубика; существуютъ ариѳметическіе ящики другихъ системъ (эти ящики менѣе распространены), гдѣ пользуются тою же идеею и для представленія не только числа 10, но и чиселъ 2, 3, 4 и т. д.; существуютъ счетные приборы, гдѣ пользуются пластинками и выражаютъ числами видимую поверхность этихъ пластинокъ и т. д. По поводу всѣхъ этихъ наглядныхъ пособій— а они чуть не ежегодно пополняются все новыми и иногда и дорогими и очень хитрыми — слѣдуетъ обратить вниманіе на мысль, уже начинающую вырисовывать въ нашей педагогической литературѣ, что здѣсь много съ одной стороны увлеченія, что съ другой стороны распространеніе того или другого пособія является результатомъ рекламы, что, наконецъ, пособія для обученія ариѳметикѣ должны быть очень просты, такъ чтобы они или имѣлись непосредственно подъ рукою или очень легко могли быть Изготовлены. Высказывалось также, и нельзя этому не сочувствовать, что не слѣдуетъ увлекаться мыслью привлеченія самихъ дѣтей къ изготовленію пособій: вѣдь слѣдуетъ помнить, что ариѳметика работаетъ надъ числами, а не надъ предметами и что опасно, какъ бы при увлеченіи мыслью изготовленія пособій дѣти то время, которое слѣдуетъ посвятить обученію ариѳметики, не употребляли бы на обученіе рукомеслу изготовленія пособій.

Второй пунктъ требуетъ, чтобы дѣти научились увѣренно выполнять дѣйствія надъ числами. Не имѣя возможности въ настоящей лекціи разобрать этотъ пунктъ во всей полнотѣ (вѣдь это значило бы прослѣдить всю методику ариѳметическихъ дѣйствій), я лишь укажу, что для первыхъ шаговъ въ этомъ направленіи опять-таки служатъ наглядныя пособія и опять-таки они имѣютъ двоякій характеръ: при помощи

однихъ пособій стремятся тотъ процессъ надъ группами предметовъ, который соотвѣтствуетъ этому дѣйствію, разложить на отдѣльные моменты (напр. при выполненіи сложенія на счетахъ при начальномъ обученіи сложенію находятъ необходимымъ къ одной группѣ косточекъ не сразу придвигать всю другую группу, а придвигать по одной), при помощи другихъ пособій стремятся добиться того, чтобы повозможности рельефнѣе изобразить каждое изъ тѣхъ чиселъ, какія даны для выполненія дѣйствія, и то число, которое является его результатомъ (это имѣетъ мѣсто при обученіи сложенію при помощи прибора Лая), а забота о процессѣ, соотвѣтствующемъ этому дѣйствію, отходить на второй планъ.

Я также не имѣю возможности остановиться съ достаточною подробностью на требованій, предъявляемомъ 4-мъ пунктомъ: примѣнять числа и дѣйствія надъ ними ко всему, къ чему это возможно. Результатомъ этого требованія явилось заполненіе уроковъ ариѳметики задачами. На той же почвѣ возникъ принципъ о сближеніи ариѳметическихъ задачъ съ практическою жизнью. Этотъ принципъ — заманчивъ. Но однако проведеніе его въ жизнь школы возбуждаетъ сомнѣнія. Вотъ два изъ нихъ: 1) Задачи, задаваемыя жизнью или слишкомъ просты (напр., подсчетъ прихода и расхода) или наоборотъ слишкомъ сложны, такъ что для того, чтобы въ нихъ разобраться надо 1) уже хорошо знать ариѳметику и 2) быть очень освѣдомленнымъ и въ той области практики, къ которой относится задача. Напр., вопросъ о прибыли торговца вовсе даже и не можетъ быть поставленъ такъ, какъ это дѣлаютъ задачники (даже и тѣ, которые выставляютъ на первый планъ идею о сближеніи задачника съ жизнью); вѣдь здѣсь должно принять во вниманіе и налоги и оплату помѣщенія и оплату труда служащихъ и быть можетъ многое другое, чего мы и не знаемъ. 2) Дѣйствительно ли слѣдуетъ выбросить всѣ тѣ задачи, которыя не имѣютъ близости къ жизни? Вѣдь многіе изъ нихъ, хотя онѣ и далеки отъ жизни, даютъ хорошій матеріалъ и для развитія воображенія и для развитія мышленія учащихся. Такъ, напр., извѣстныя задачи о бассейнахъ, которымъ теперь очень достается въ различныхъ журнальыхъ статьяхъ, съ нѣкоторыхъ точекъ зрѣнія достойны вниманія. Здѣсь я лишь укажу на то, что уже выясненіе того> какъ заполняется бассейнъ при помощи, напр., двухъ трубъ, сдѣланное хотя бы при помощи схематическихъ рисунковъ, сослужить хорошую службу для развитія воображенія учащихся.

1-й, 2-й и 4-й пункты изъ тѣхъ, къ которымъ мы свели отвѣтъ на вопросъ о цѣли обученія ариѳметикѣ, всегда привлекали вниманіе методистовъ. Къ сожалѣнію, 3-й пунктъ въ методической литературѣ почти вовсе не затронутъ. Имѣются лишь отдѣльныя замѣчанія о развитіи комбинирующей дѣятельности

учащихся, указываемыя по поводу изысканія наиболѣе простого пріема выполненія дѣйствія или рѣшенія задачи. Но это слишкомъ мало. И въ сущности очень печально, что этотъ пунктъ такъ мало пользовался вниманіемъ со стороны методистовъ. Печально это потому, что черезъ комбинаціонную работу проходитъ всегда творческая мысль, въ какой бы области она ни работала: въ области ли науки, въ области ли исскуства или въ области практики, Значеніе комбинаціонной работы для науки уже достаточно выяснено. Возьмемъ область искусства: каждая музыкальная пьеса, напр., въ сущности является результатомъ той же комбинаціонной работы въ области музыкальныхъ тоновъ; композиторъ изыскалъ такую комбинацію изъ музыкальныхъ тоновъ, которая почему-либо привлекла его вниманіе,—и вотъ результатомъ разработки этой комбинаціи и появилась написанная имъ музыкальная пьеса. Возьмемъ область практики: тѣ удобства жизни города, которыми пользуемся мы, трамвай, телефонъ и т. п. все это явилось результатомъ комбинаціонной работы въ области техники; возьмемъ домашнее хозяйство,—развѣ искусное его веденіе не есть результатъ комбинаціонной работы? И возникаетъ вопросъ: если бы мы при занятіяхъ ариѳметикою, Вмѣсто забота о сближеніи съ жизнью, больше вниманія обращали бы на пріученіе учащихся къ комбинаціонной работѣ — а ариѳметика даетъ для этого достаточный просторъ,—то не могли ли бы мы надѣяться, что наши ученики, пріучившись къ такой работѣ въ области ариѳметики, станутъ на тотъ же путь и въ той практической области, куда ихъ заведетъ судьба послѣ школы? а если это такъ, то не будетъ ли работа ихъ въ этой области болѣе производительна, чѣмъ теперь когда на эту сторону дѣла не обращено достаточнаго вниманія?

Итакъ, 3-й пунктъ говоритъ о пріученіи учащихся къ комбинаціонной работѣ. Возникаетъ вопросъ: какъ это надо понимать? Конечно, нельзя думать, что здѣсь возможно было бы поставить дѣло такъ, чтобы учащіеся дѣти стали открывать въ ариѳметикѣ что-либо новое. Да и не объ томъ рѣчь. Рѣчь идетъ не о такомъ развитіи этой комбинаціонной работы, чтобы оно привело учащихся къ какимъ-либо научнымъ открытіямъ, но лишь о пріученіи къ комбинаціонной работѣ. И уже сразу намѣчается тотъ путь, идя по которому можно достигнуть намѣченной цѣли. Вѣдь постоянно при обученіи ариѳметикѣ заставляютъ дѣтей вычислять множество примѣровъ (появился даже особый терминъ «рѣшать столбики»), постоянно заставляютъ рѣшать множество задачъ. И вотъ возникаетъ мысль: почему бы не углубить эту работу? почему бы не привлечь учащихся и къ составленію и примѣровъ и задачъ? Вопросъ о составленіи учащимися задачъ уже давно трактуется въ нашей педагогической литературѣ; однако пропускается обычно самое

существенное. Надо это дѣло составленія задачъ и примѣровъ поставить такъ, чтобы въ основу этой работы была положена какая-либо руководящая мысль, какая-либо опредѣленная цѣль: вѣдь это условіе является наиболѣе существеннымъ для того, чтобы построеніе и разсмотрѣніе ряда комбинацій привело къ опредѣленному заключенію.

Приведу нѣсколько примѣрныхъ уроковъ, посвященныхъ этому 3-му пункту, пріученію къ комбинаціонной работѣ.

1. Въ предѣлѣ до 100. Пишется на доскѣ 3 примѣра: 1x4; 3x5; 5x6. Предлагается дѣтямъ подмѣтить тотъ планъ, по которому эти Примѣры составлены. Планъ таковъ: первое число всякій разъ увеличивается на 2, а второе всякій разъ на единицу. Предлагается дѣтямъ: 1) продолжить этотъ рядъ примѣровъ и вычислять ихъ до тѣхъ поръ, пока въ отвѣтѣ будутъ получаться числа, меньшія 100; 2) какъ-либо отмѣтить тѣ Примѣры, которые почему-либо покажутся каждому особенными, интересными. Итакъ, схема урока такова: подмѣтить мысль, которая направляла составленіе первыхъ трехъ примѣровъ; воспользовавшись этою мыслью, составить новый рядъ примѣровъ, выдѣлить изъ нихъ тѣ, какіе почему-либо достойны выдѣленія. Результатъ послѣдняго требованія можетъ проявиться у различныхъ учащихся въ разныхъ формахъ: одинъ можетъ отмѣтить, какъ заслуживающій особеннаго вниманія, первый примѣръ (1x4), «потому-что отвѣтъ получается такой же, какъ второе число»1), другой можетъ отмѣтить примѣръ 5 X6, «потому что здѣсь получаются круглые десятки, третій можетъ отмѣтить примѣръ 7x7, «потому что здѣсь перемножаются одинаковыя числа» (появится поводъ ввести понятіе о квадратѣ числа) и т. д.

2. Въ предѣлѣ 1000. Урокъ построенъ по тому же плану, какъ и предыдущій. Вотъ исходные Примѣры: 16x10; 19x12; 22x14. Здѣсь среди выдѣленныхъ примѣровъ можетъ оказаться примѣръ 37x24, дающій произведеніе, написанное лишь восмерками, —но этому поводу возникнетъ возможность указать на особенность числа 37:37x3-111,37x6=222,37x9=333 и т. д.

3. Въ предѣлѣ 1000. Пишется на доскѣ примѣръ:

4x26+17x3.

Здѣсь прежде всего обращается вниманіе на порядокъ дѣйствій. Общепринято (къ сожалѣнію, съ этимъ не считаются при обученіи начальной ариѳметикѣ), что, если иной порядокъ не указанъ скобками, то сначала надо выполнять

1) Если это будетъ имѣть мѣсто, то появится возможность поставить общій вопросъ: когда произведеніе двухъ чиселъ оказывается равнымъ одному множителю?

умноженіе и дѣленіе, а потомъ уже сложеніе и вычитаніе. Поэтому и въ данномъ примѣрѣ сначала надо выполнить оба умноженія, т.-е. 4x26=104 и 17x3=51, а затѣмъ уже сложить полученныя произведенія (104+51=155); итакъ,

4x26+17x3=155.

Послѣ этого пишется опять такой же примѣръ, 4x26+17 хЗ, но предлагается поставить одну пару скобокъ передъ первымъ числомъ и послѣ 3-го. Примѣръ получаетъ видъ

(4х26+17)хЗ.

Послѣ вычисленія (получится 363), устанавливается, что тагая постановка скобокъ измѣняетъ порядокъ дѣйствій, а, слѣдов., и результатъ вычисленія.

Пишется вновь тотъ же примѣръ, 4x26+17 хЗ, и предлагается вопросъ: нельзя ли поставить одну пару скобокъ какъ-либо иначе, чтобы опять получить новый отвѣтъ?

На этотъ вопросъ часто приходится получать сначала невѣрный отвѣтъ, а именно предлагаютъ это сдѣлать такъ: (4 х26) + (17 хЗ) или (4 х26)+17 хЗ. Необходимо выяснить, что 1) при первомъ способѣ письма введены въ дѣло 2 пары скобокъ, а не одна, какъ требуется, а 2) —и это самое важное— что такая постановка скобокъ сводитъ дѣло къ 1-му, уже разобранному примѣру, гдѣ вовсе скобокъ нѣтъ и гдѣ порядокъ дѣйствій тотъ же, какъ и при написаніи (4х26) + (17хЗ) или (4 х26)+17 хЗ или 4х26+(17хЗ). Отсюда, между прочимъ вытекаетъ, что три послѣднихъ изображенія примѣра не хороши, потому что то же самое можно написать и вовсе безъ скобокъ, а именно, какъ въ 1-мъ примѣрѣ, 4x26+17x3. Послѣ такихъ разъясненій можно разсчитывать и на полученіе правильныхъ отвѣтовъ на поставленный вопросъ; возможно (это обычно такъ и бываетъ), что одни изъ дѣтей укажутъ одинъ изъ двухъ, возможныхъ еще, способовъ постановки пары скобокъ, а другіе —другой: 4х(26+17x3) и 4X(26+17)хЗ.

Когда эти Примѣры будутъ вычислены (при вычисленіи примѣра 4X(26 + 17x3) слѣдуетъ обратить вниманіе на то, что 1) сначала надо выполнить дѣйствія внутри скобокъ, т.-е. 26+17 хЗ и 2) что при этомъ придется сначала выполнить умноженіе, т.-е. 17x3=51, а затѣмъ уже сложеніе 26+51=77), возникнетъ вопросъ: а нельзя ли еще какъ-нибудь по новому поставить пару скобокъ? Послѣ нѣкоторыхъ попытокъ, классъ приходитъ къ заключенію о невозможности этого.

Замѣчу, что побочнымъ результатомъ этого урока можетъ явиться пониманіе значенія одной пары скобокъ.

Возможно развить предыдущій урокъ и притомъ въ различныхъ направленіяхъ. Такъ, напр. возможно Вмѣсто примѣра съ двумя

умноженіями и однимъ сложеніемъ взять за основной примѣръ такой, гдѣ бы было 2 дѣленія и одно сложеніе или вычитаніе (напр. 60 : 10+20 : 2). Однако здѣсь возникаетъ осложненіе: если напишемъ 60 : (10+20) : 2, то общепринятыхъ положеній о порядкѣ дѣйствій не имѣется (неизвѣстно, какое изъ двухъ дѣленій выполнять сначала); поэтому здѣсь появится потребность еще въ другой парѣ скобокъ, и мы придемъ къ двумъ примѣрамъ [60 : (10+20)] : 2 и 60 : [(10+20) : 2].

Возможно, воспользовавшись разобранными примѣрами, перейти къ составленію задачъ, направляемому извѣстною цѣлью. Мы будемъ имѣть на доскѣ запись:

4x26+17x3=155 (4 X 26+17) X 3=363 4 X (26+17 х3)=308 4 X (26+17) X 3=516.

Послѣ этого задается задача, напр., такая: Въ школѣ было 3 отдѣленія; для каждаго отдѣленія купили по 26 маленькихъ тетрадей, по 4 коп. за каждую, и по одной большой, стоимостью въ 17 коп.; сколько денегъ истратили на всѣ тетради? Вѣроятно, учащіеся, если они къ этому еще не привыкли, не догадаются, что рѣшеніе этой задачи уже записано передъ ними на доскѣ, и станутъ ее рѣшать. Когда рѣшеніе будетъ найдено, надо обратить вниманіе класса на то, что уже всѣ нужныя для рѣшенія задачи вычисленія были сдѣланы ранѣе; возможно, что послѣ этого найдется кто-либо, кто укажетъ на второй изъ вычисленныхъ примѣровъ. Во всякомъ случаѣ надо указать, что эта задача была составлена не какъ попало, а такъ, чтобы она была въ согласіи съ этимъ вторымъ примѣромъ. Тогда явится возможность предложить учащимся составлять задачи такъ, чтобы онѣ подходили къ какому-либо еще изъ 4 вычисленныхъ примѣровъ1).

(Окончаніе слѣдуетъ).

Н. Извольскій.

Умноженіе на обыкновенную дробь въ методической обработкѣ.

Съ умноженіемъ и дѣленіемъ обыкновенныхъ дробей на цѣлое число учащіеся должны быть ознакомлены въ пропедевтическомъ курсѣ дробей.

1) Читатели «Мат. Вѣстн». найдутъ еще Примѣры подобныхъ упражненій: 1) въ № 2 за 1914 г. стр. 40—44; 2) въ № 1 за 1915 г. стр. 17—19; 3) въ № 6 за 1915 г. стр. 173—177; 4) въ № 7 за 1915 г. стр. 201—205,

Принимая это во вниманіе и соблюдая дидактическое правило — при обученіи должно переходитъ отъ извѣстнаго къ неизвѣстному, предлагаю учащимся рядъ вопросовъ, исчерпывающихъ умноженіе и дѣленіе дробей на цѣлое число, и затѣмъ перехожу къ объясненію одного изъ самыхъ трудныхъ вопросовъ въ ариѳметикѣ — къ умноженію на дробь.

На классной доскѣ запишемъ нижеслѣдующія три задачи:

Рѣшеніе.

1. Фунтъ сахару стоитъ 15 коп. Сколько стоятъ 3 фун. этого же Сахару?

2. Фунтъ сахару стоитъ 15 коп.

Сколько стоитъ - фун. этого же сахару?

3. Фунтъ сахару стоитъ 15 коп.

Сколько стоятъ I фун. этого же сахару?

1. Рѣшается первая задача и рѣшеніе записывается рядомъ съ условіемъ. 2. Рѣшаемъ вторую задачу. Сколько стоитъ ^фун. сахару? 3 коп. Какъ вы узнали? Раздѣлили 15 к. на 5. Почему? Потому что фунтъ сахару стоитъ 15 коп., а - ф. будетъ стоитъ въ 5 разъ дешевле. Рѣшеніе записывается рядомъ съ условіемъ. 3. Рѣшается третья задача. Сколько стоитъ фунтъ сахару? 9 коп. Какъ вы узнали? Сначала узнали, сколько стоитъ - ф., для чего Раздѣлили 15 к. на 5 и получилось 3 коп., но это стоитъ - ф., а 3 такихъ доли будутъ стоитъ втрое дороже, почему 3 коп. умножаемъ на 3 и получимъ 9 коп. Рѣшеніе записывается рядомъ съ условіемъ.

Какимъ дѣйствіемъ вы рѣшали первую, вторую и третью задачи? Первую — умноженіемъ, вторую — дѣленіемъ, а третью — дѣленіемъ и умноженіемъ. Всѣ эти три задачи различны или одинаковы по своему характеру? Одинаковы, потому что въ первой опредѣляется стоимость 3 фун. сахару, во второй —1 ф.и въ третьей — j! ф., когда извѣстна цѣна 1 фунта сахара.

Итакъ, при рѣшеніи первой задачи мы 15 к.хЗ, при рѣшеніи второй — 15 к.: 5 и при рѣшеніи третьей — 15 к.: 5 и полученное частное умножали на 3, но такъ какъ, рѣшая вторую и третью задачи, мы такъ же, какъ и при рѣшеніи первой, опредѣляли стоимость, но только не 3 фун., а - ф. и - ф., то условимся

дѣленіе во второй задачѣ 15 к. на 5 и дѣленіе 15 к. на 5 и умноженіе на 3 въ третьей задачѣ считать умноженіемъ на дробь и запишемъ (рядомъ съ прежними рѣшеніями) эти дѣйствія такъ:

Запись эта поясняется, а прежняя зачеркивается. Какъ умножить какое-либо число на дробь? Чтобы умножить какое-либо число на дробь, слѣдуетъ это число раздѣлить на знаменатель дроби и полученное частное умножить на числителя Учащимися составляются задачи на умноженіе на дробь и самыя лучшія изъ нихъ рѣшаются.

Затѣмъ предлагаются Примѣры на умноженіе дроби на дробь и на умноженіе смѣшанныхъ чиселъ. Рѣшая Примѣры на умноженіе дроби на дробь, учащіеся увидятъ, что это есть умноженіе на дробь, а потому смогутъ или числитель множимаго раздѣлить на знаменатель множителя или же знаменатели перемножить, а затѣмъ умножить на числитель множителя. При рѣшеніи примѣровъ на умноженіе смѣшанныхъ чиселъ видно будетъ, что въ этихъ примѣрахъ множитель можетъ быть цѣлымъ числомъ или же дробью, и потому рѣшеніе такихъ примѣровъ не представитъ затрудненія.

Здѣсь указыается, что при умноженіи обыкновенныхъ дробей вообще можетъ быть только два случая — умноженіе на цѣлое число и на дробь, а не четыре случая, которые приводятся почти во всѣхъ нашихъ учебникахъ по ариѳметикѣ. Учащіеся должны знать наизусть только два правила — какъ умножить дробь на цѣлое число и какъ умножить всякое число на дробь.

Г. Приходченко.

Печатая настоящую статью, обращаемъ вниманіе читателей, что именно такая система изложенія рекомендовалась въ статьѣ «Вопросъ объ умноженіи на дробь», напечатанной въ № 4 за 1915 г. «Матем. Вѣстн.» (стр. 113—116). Настоящая статья г. Приходченко даетъ нѣсколько иную форму того же, что дано было тамъ — это обстоятельство и является причиною напечатанія настоящей статьи: необходимо разобраться въ вопросѣ, какая изъ различныхъ, возможныхъ здѣсь, формъ изложенія наиболѣе подходитъ къ практикѣ въ школѣ. Напоминаемъ еще (это обстоятельство не оттѣнено въ статьѣ г. Приходченко, но на него было обращено много вниманія въ вышеупомянутой статьѣ въ № 4 за 1915 г.), что, по нашему убѣжденію, во главу обученія умноженію на дробь надо поставить усвоеніе учащимися смысла этого дѣйствія и не спѣшить съ выводомъ правила. Ред.

Краткій обзоръ статей математическаго содержанія, напечатанныхъ въ педагогическихъ журналахъ.

Журналъ Педагогическій Вѣстникъ Моск. Учебн. округа.

Въ № 4 за 1915 г. (стр. 29—31) помѣщена небольшая замѣтка И. И. Александрова «Къ методикѣ ариѳметическихъ прогрессій», написанная по поводу статьи Н. А. Извольскаго «Ариѳметическая прогрессія съ методической точки зрѣнія» («Математ. Вѣстникъ» за 1915 г., №3). Въ своей статьѣ И. И. Александровъ предлагаетъ, по его мнѣнію, болѣе простой способъ нахожденія суммы членовъ ариѳметической прогрессіи

I. Ссылаясь на примѣръ девятилѣтняго Гаусса, авторъ находитъ сначала сумму послѣдовательныхъ натуральныхъ чиселъ отъ 1 до 100 (четное число слагаемыхъ) слѣдующимъ образомъ: складываетъ 1 и 100, 2 и 99, 3 и 98 и т. д., т.-е. числа, равноотстоящія отъ начала и конца, и замѣчаетъ, что каждая такая сумма равна 101, число же ихъ равно 50, а на основаніи этого легко получаетъ искомую сумму. Потомъ авторъ находитъ сумму послѣдовательныхъ натуральныхъ чиселъ отъ 1 до 101 (нечетное число слагаемыхъ). Поступая такъ же, какъ и въ предыдущемъ примѣрѣ, и замѣчая, что въ этомъ случаѣ будетъ также 50 паръ чиселъ, равноотстоящихъ отъ концовъ, сумма каждой изъ которыхъ равна 102,. и еще средній членъ 51, который можно разсматривать, какъ (102:2), И. И. Александровъ даетъ такую форму искомой суммы чиселъ 102 . 50 + (102 : 2) или (102:2). 101. Далѣе авторъ замѣчаетъ, что на этихъ примѣрахъ выясняется законъ суммы для ариѳметическихъ прогрессій какъ съ четнымъ, такъ и съ нечетнымъ числомъ членовъ, который обобщить уже не трудно.

II. Авторъ совѣтуетъ разность убывающей ариѳметической прогрессіи считать положительною и получать всѣ послѣдующіе члены вычитаніемъ этой разности, указывая на то, что такой способъ вноситъ большую отчетливость въ представленіяхъ учениковъ.

III. Наконецъ, И. И. Александровъ предлагаетъ выбросить всѣ задачи, которыя представляютъ собою механическую смѣсь различныхъ кусковъ алгебры.

Связь со статьею Н. А. Извольскаго имѣетъ только I часть замѣтки И. И. Александрова. Трудно сравнивать эти. два способа изложенія отдѣла ариѳметическихъ прогрессій и рѣшать, какой изъ нихъ проще. Трудность заключается въ томъ, что

въ статьѣ Н. А. Извольскаго мы видимъ обоснованное, до мельчайшихъ подробностей выясненное ученіе объ ариѳметическихъ прогрессіяхъ, статья же И. И. Александрова даетъ только два частныхъ примѣра наиболѣе простыхъ прогрессій, а именно такихъ, разности которыхъ равны 1 и число членовъ которыхъ легко сосчитать. Ясно, что на основаніи двухъ частныхъ примѣровъ нельзя установить закона суммы членовъ ариѳметической прогрессіи, и то, что ученикамъ понятно для такой простой прогрессіи, какъ

1, 2, 3, .... 100 (разность = 1),

будетъ не совсѣмъ понятно и потребуетъ болѣе подробныхъ разъясненій, напримѣръ, для прогрессіи, приведенной въ статьѣ Н. А. Извольскаго:

— 4Ь —2І'—4Ь • • • • 28^разность = І^

И. И. Александровъ не указываетъ, какъ онъ поступитъ въ этомъ и въ другихъ подобныхъ случаяхъ. Мы же думаемъ, что, если бы И. И. Александровъ продолжилъ свое изложеніе, то, основываясь на томъ, что уже дано въ его статьѣ, предполагаемъ, что онъ веминуемо долженъ бы притти къ такой же общей записи ариѳметической прогрессіи

а, а + г, а + 2г, .... и — 2г, и — г, гг,

которая дана въ статьѣ Н. А. Извольскаго, и такимъ путемъ его изложеніе свелось бы къ тому же, что уже указано въ статьѣ Н. А. Извольскаго.

Во II части замѣтки авторъ навѣрное имѣетъ въ виду только убывающія ариѳметическія прогрессіи съ положительными членами. Для убывающихъ же прогрессій съ отрицательными членами, какъ, напримѣръ, вышеприведенная, удобнѣе прибавляя отрицательную разность, чѣмъ отнимать положительную, такъ какъ послѣднее никакого упрощенія не даетъ, а внесетъ только путаницу въ представленіе учениковъ. Замѣтимъ еще, что въ этой части допущена случайная опечатка, а именно сумма 10 членовъ ариѳметической прогрессіи 32, 30, 28, будетъ не 32.2—2.9, какъ напечатано, а (32.2 — 2.9).5.

Въ № 5—6 за 1915 г. (стр. 59—62) помѣщена статья г. Сердюкова «Распредѣленіе курса геометріи въ высшихъ начальныхъ училищахъ». Авторъ статьи указываетъ на то, что предложеніемъ Министерства Народнаго Просвѣщенія отъ 23 января 1914 г. за № 3301 увеличивается въ высшихъ начальныхъ училищахъ число недѣльныхъ уроковъ по геометріи на одинъ (Вмѣсто 8—9) за счетъ ариѳметики, для которой отводится въ IV классѣ 3 урока, а не 4, какъ прежде. Авторъ находитъ такое увеличеніе числа уроковъ по геометріи не-

соотвѣтствующимъ принятой сокращенной программѣ этого предмета и предлагаетъ или измѣнить, пополнивъ программу геометріи, или отдать лишній урокъ на алгебру, которая въ высшихъ начальныхъ училищахъ находится въ загонѣ.

Въ № 8—9 за 1915 г. (стр. 39—47) помѣщена статья Вл. Маркова «Первые уроки ариѳметики въ начальной школѣ». Авторъ совѣтуетъ особенно внимательно прислушиваться къ счету дѣтей и провѣрять, насколько такой счетъ сознателенъ. По мнѣнію г. Маркова, въ большинствѣ случаевъ при провѣркѣ оказывается, что дѣти, правильно и бѣгло считающія, не отдаютъ себѣ отчета о называемыхъ ими числахъ, а произносятъ слова, механически запоминая ихъ послѣдовательность. Г. Марковъ предлагаетъ на первыхъ урокахъ счета не спѣшить сообщать ученикамъ названія чиселъ отъ 1—10, а закрѣплять каждое названіе въ памяти ученика связаннымъ съ нимъ количественнымъ представленіемъ, пользуясь для этого наглядными пособіями (шариками счетовъ, камешками, листьями и т. д.). Далѣе авторъ статьи указываетъ, что наиболѣе труднымъ для учениковъ является присчитываніе по единицѣ и предлагаетъ присчитываніе вести такъ, чтобы не только самый процессъ присчитыванія проходилъ передъ глазами учениковъ, но и оставался бы все время передъ ихъ глазами. Для этого онъ совѣтуетъ воспользоваться счетами, откладывая на первой спицѣ одинъ шарикъ и сверху прикладывая къ нему, но плотно не соединяя съ нимъ, второй, потомъ на второй спицѣ откладывая сначала два шарика и сверху прикладывая къ нимъ, но не соединяя съ ними, третій, и т. д. до 10. Подобная же таблица должна находиться въ учебникахъ, и ученики могутъ по ней самостоятельно повторить процессъ присчитыванія по одному, но только учитель не долженъ предупреждать ихъ, что сумма двухъ слагаемыхъ каждаго столбца дается нижнимъ слагаемымъ слѣдующаго за нимъ, иначе процессъ присчитыванія будетъ совершаться учениками механически. Въ этой же статьѣ г. Марковъ предостерегаетъ учителей отъ пользованія мало знакомыми ученикамъ наглядными пособіями и отъ употребленія слишкомъ большого числа наглядныхъ пособій, такъ какъ въ томъ и другомъ случаѣ ученики будутъ отвлекаться отъ главной цѣли— воспріятія числа и процесса присчитыванія по единицѣ. Лучшимъ же нагляднымъ пособіемъ авторъ считаетъ кругъ, какъ форму наиболѣе совершенную и наиболѣе извѣстную дѣтямъ.

Мы видѣли, что г. Марковъ вноситъ нѣкоторыя поясненія къ принятому въ русскихъ методикахъ (Аржениковъ, Гольденбергъ и др.) способу знакомства съ числами, гдѣ въ основѣ дѣйствій надъ числами положенъ прямой и обратный счетъ, и стремится внести нѣкоторое улучшеніе въ этотъ методъ. Но теперь все яснѣе и яснѣе сознаются недостатки такого

метода, и не поправки надо въ него вноситъ, а необходимо пересмотрѣть самыя его основы и кореннымъ образомъ измѣнить способъ первоначальнаго знакомства съ числами, ставя въ основѣ понятія о числѣ не счетъ, а понятіе о множествѣ1).

Журналъ «Кубанская Школа».

Въ № 6 (стр. 14—20), № 7 (стр. 69—79), № 8 (стр. 133— 143) и бъ № 9 (стр. 177—181) помѣщена статья В. Гинеевскаго «Работы при рѣшеніи ариѳметическихъ задачъ». Г. Гинеевскій основною цѣлью начальной ариѳметики считаетъ пріобрѣтеніе учащимся умѣнья рѣшать задачи и въ своей статьѣ даетъ самое подробное описаніе работъ, которыя должны быть совершены для достиженія этой цѣли.

Дадимъ сначала краткое изложеніе содержанія вышеупомянутой статьи. Работы при рѣшеніи задачъ должны распадаться на 3 части. Въ I часть входятъ работы, подготовляющія къ рѣшенію задачъ, а именно: разъясненіе непонятныхъ ученикамъ словъ, процессовъ, зависимостей между данными величинами, знакомство съ ариѳметическими дѣйствіями, встрѣчающимися при рѣшеніи задачъ, упражненія въ постановкѣ вопросовъ къ даннымъ задачи, упражненія въ составленіи сложной задачи изъ ряда простыхъ задачъ и т. д. II часть составляютъ работы при рѣшеніяхъ задачъ и при повѣркѣ этихъ рѣшеній. Учитель долженъ давать задачу соотвѣтственно подготовкѣ учениковъ, или пользуясь наглядными пособіями, или по картинамъ, или составляя ее самъ, или читая по задачнику; или же ученики сами должны читать задачу или составлять ее. Данныя задачи должны быть обозначены тѣмъ или инымъ способомъ (при помощи наглядныхъ пособій, графически, цифрами, чертежами),—всю задачу записывать не рекомендуется. Послѣ этого задача можетъ быть повторена учениками или вся, или по вопросамъ; самъ учитель повторять задачу не долженъ, чтобы не пріучить учениковъ къ разсѣянности. Далѣе слѣдуютъ работы при рѣшеніи задачъ сначала простыхъ, потомъ сложныхъ. Авторъ даетъ очень подробное описаніе методовъ рѣшенія задачъ синтетическаго и аналитическаго и различныя схемы того и другого метода. Указавъ на то, что въ сущности ни тотъ, ни другой методъ не могутъ дать рѣшенія задачи, если у ученика отсутствуетъ интуиція, помогающая ему выбирать вѣрные пути, г. Гиневскій все-таки сравниваетъ эти два метода и находитъ, что въ начальныхъ школахъ лучше пріучать учениковъ къ синтетическому методу рѣшенія задачъ, какъ къ болѣе простому, и только въ концѣ обученія познакомить ихъ съ аналитиче-

1) Статья Н. А. Извольскаго «Понятія: столько же, больше и меньше» («Матем. Вѣстн.» № 5 за 1915 г.).

скимъ методомъ. При рѣшеніи первыхъ задачъ ученикамъ помогаетъ учитель, потомъ онъ задаетъ имъ только наводящіе вопросы, потомъ ученики сами составляютъ планъ задачи и каждый вопросъ тотчасъ же рѣшаютъ ариѳметически, потомъ ученики составляютъ сразу весь планъ и уже послѣ пишутъ рѣшеніе, наконецъ, на послѣдней ступени обученія ученики не только составляютъ планъ задачи, но сверхъ того въ концѣ задачи даютъ ту или иную схему сначала синтетическаго ея рѣшенія, а потомъ уже и аналитическаго. Послѣ рѣшенія каждой задачи необходимо должна быть произведена ея повѣрка, такъ какъ это, съ одной стороны, даетъ ученикамъ увѣренность въ себѣ, съ другой же, —иногда поясняетъ самый способъ рѣшенія задачи. III часть работъ составляетъ сравненіе рѣшенныхъ однородныхъ задачъ, обобщеніе задачъ, составленіе общей формулы рѣшенія однородныхъ задачъ и, наконецъ, составленіе задачъ по данной формулѣ.

Уже это краткое изложеніе статьи г. Гинеевскаго даетъ нѣкоторое представленіе о той особенной заботливости, съ которой предусмотрѣны имъ возможныя случайности при рѣшеніяхъ задачъ. Иногда эта заботливость доходитъ до курьеза, такъ, напримѣръ, на стр. 71 сказано, что рѣчь учителя должна быть «громкая, ясная, выразительная, сопровождаемая при томъ соотвѣтствующими пояснительными жестами» и «при чтеніи задачъ по задачнику учитель долженъ время отъ времени поглядывать на учениковъ» и т. д. Съ одной стороны, такая предусмотрительность хороша, такъ какъ даетъ прочные директивы неопытнымъ преподавателямъ, съ другой же, —приходится отмѣтить и ея отрицательную сторону. Вѣдь педагогика не столько наука, сколько искусство, и, слѣдовательно, какъ и всякое искусство, она требуетъ свободнаго творчества, конечно, основывающагося на опредѣленныхъ принципахъ. Эти принципы только и могутъ обсуждаться, остальное же все надо предоставить создавать самому преподавателю. Такое же руководительство каждымъ шагомъ учителя, какое мы видимъ въ статьѣ г. Гинеевскаго, только налагаетъ на учителя путы и не даетъ ему возможности проявить свою индивидуальность при рѣшеніи того или иного вопроса съ учениками. То же самое можно сказать и по поводу предложенія г. Гинеевскаго знакомить учениковъ съ синтетическимъ и аналитическимъ методами рѣшенія задачъ. Какъ было уже нами указано, и самъ г. Гинеевскій на стр. 139 говоритъ, что сами по себѣ эти методы не могутъ дать рѣшенія задачи, если у ученика нѣтъ интуиціи, которая подсказывала бы ему вѣрное рѣшеніе. Мы и думаемъ, что учениковъ начальныхъ училищъ совершенно излишне знакомить съ синтетическимъ и аналитическимъ методами рѣшенія задачъ — достаточно и того, чтобы учитель самъ былъ знакомъ съ этими методами.

Мы убѣждены, что единственное, что нужно при рѣшеніи задачъ, это — соотвѣтствіе условій задачъ со знаніемъ учениковъ, послѣдовательность въ ихъ выборѣ, т.-е. постепенность въ переходѣ отъ простыхъ задачъ къ сложнымъ и ясное, рельефное представленіе ученикомъ каждой задачи (чему очень поможетъ предлагаемое г. Гинеевскимъ зарисовываніе задачи). При наличности указанныхъ условій всякій средній ученикъ, по нашему мнѣнію, будетъ въ состояніи рѣшить задачу такимъ способомъ, который безсознательно подскажется ему его индивидуальностью. Замѣтимъ еще, что г. Гинеевскій слишкомъ служебную роль отводитъ числовымъ соотношеніямъ и дѣйствіямъ надъ числами, считая все это одною изъ подготовительныхъ работъ при рѣшеніи задачъ. Мы думаемъ, что свойства чиселъ и дѣйствій надъ ними имѣютъ большое самостоятельное значеніе и должны быть разсматриваемы независимо отъ того, придется ли это примѣнять при рѣшеніи задачъ, или нѣтъ.

Въ № 10 (стр. 232—235) помѣщена статья В. Филатова «Нѣсколько словъ о курсѣ геометріи въ начальныхъ двухклассныхъ училищахъ». Авторъ статьи указываетъ на то, что существующія теперь программы двухклассныхъ сельскихъ училищъ были утверждены министромъ народнаго просвѣщенія 31 мая 1869 года. Въ эти программы геометрія, какъ отдѣльный предметъ, не входила, но къ программѣ ариѳметики добавлено «Главныя основанія планиметріи. Съемка плановъ». Такая неопредѣленность программы по геометріи создала то, что каждый учитель выбиралъ тотъ или иной сокращенный учебникъ геометріи и проходилъ по нему курсъ, и, такимъ образомъ, до сихъ поръ не существуетъ для сельскихъ двухклассныхъ училищъ ни опредѣленнаго плана, ни опредѣленныхъ цѣлей при обученіи геометріи. Ссылаясь на то, что послѣ 1869 года присылались циркуляры, вносящіе нѣкоторыя поправки въ утвержденныя программы, г. Филатовъ указываетъ, что, слѣдовательно, министерство не считаетъ эти программы непреложными, и призываетъ учителей обмѣняться мнѣніями относительно программы по геометріи и выработать программу примѣнительно къ потребностямъ земледѣльческаго населенія. Программа должна быть выработана такъ, чтобы ученикамъ не только давались бы практическіе навыки, но и предпосылались бы послѣднимъ теоретическія обоснованія, при чемъ въ курсъ входило бы рѣшеніе геометрическихъ задачъ, условія которыхъ соотвѣтствуютъ потребностямъ домашняго обихода. Г. Филатовъ указываетъ также на необходимость созданія соотвѣтствующаго учебника. Время на прохожденіе курса геометріи можетъ быть удѣлено отъ уроковъ ариѳметики, курсъ которой надо сократить, выбросивъ изъ него рѣшеніе задачъ съ замысловатыми условіями. Уроки

черченія также можно приспособить для геометріи, рѣшая на нихъ задачи на построеніе.

Журналъ «Для Народнаго Учителя».

Въ № 11 (стр. 9—13), № 12 (стр. 17—21), № 13 (стр. 10—11), № 14 (стр. 14—17) и въ № 15 (стр. 15—19) помѣщена статья Д. В. «Значеніе экспериментальной дидактики для обученія счисленію и математикѣ». Авторъ этой статьи сообщаетъ свѣдѣнія о новомъ (3-мъ) нѣмецкомъ изданіи книги Лая, «Руководство къ первоначальному обученію ариѳметикѣ, основанное на результатахъ дидактическихъ опытовъ», которое должно скоро появиться въ русскомъ переводѣ подъ редакціей Д. Л. Волковскаго.

А. Цвѣткова.

Свѣдѣнія о книгахъ по математикѣ и ея методикѣ.

В. К. Беллюстинъ. Ариѳметическій задачникъ. Выпускъ V. Цѣна 30 коп. Москва. Изданіе книж. маг. М. Д. Наумова. 1915.

Авторъ предназначаетъ выпускъ V своего задачника для старшаго класса двухклассныхъ училищъ и для младшихъ классовъ высшихъ начальныхъ училищъ. Разсмотрѣніе этого задачника необходимо связать съ краткимъ разсмотрѣніемъ выпуска IV задачника того же автора, такъ какъ особенно обращаетъ на себя вниманіе тотъ планъ, который разработанъ авторомъ въ этихъ двухъ выпускахъ для курса дробей. Планъ этотъ таковъ: сначала (вѣроятно, въ младшемъ классѣ двухклассныхъ училищъ или въ 4-мъ отдѣленіи четырехгодичной школы) проходится полный курсъ обыкновенныхъ дробей, но безъ разложенія чиселъ на простые множители, почему разсматриваются только такія дроби, для которыхъ такъ поступать удобно; затѣмъ (также въ 4-ый годъ обученія) проходится небольшой курсъ десятичныхъ дробей, не требующій большихъ вычисленій, хотя и захватывающій всѣ дѣйствія надъ десятичными дробями. Далѣе, въ выпускѣ V, послѣ краткаго повторенія курса цѣлыхъ чиселъ авторъ даетъ слѣдующій порядокъ для дальнѣйшаго: Счисленіе десятичныхъ дробей и дѣйствія надъ ними (здѣсь дано примѣчаніе, указывающее, что десятичныя дроби возможно проходить и послѣ обыкновенныхъ), при чемъ уже здѣсь учащіеся должны оперировать и надъ вопросами, требующими для своего рѣшенія довольно длинныхъ вычисленій; затѣмъ начинаются обыкновенныя дроби, при чемъ отдѣлу «приведеніе дробей къ общему знаменателю» предшествуетъ отдѣлъ «дѣлимость чиселъ», гдѣ даны упражненія и на признаки дѣлимости и на разложеніе чиселъ на простые множители и на нахожденіе наименьшаго краткаго и общаго наибольшаго дѣлителя нѣсколькихъ цѣлыхъ

чиселъ. Наконецъ, данъ отдѣлъ: «Дѣйствія съ простыми и десятичными дробями». Выпускъ V заканчивается задачами на проценты, на правило товарищества, на смѣшеніе и повторительнымъ отдѣломъ.

Вышеуказанный планъ для курса дробей заслуживаетъ большого вниманія, — на немъ главнымъ образомъ и остановимся. Нѣтъ ни малѣйшаго сомнѣнія, что нашъ тридиціонный планъ курса дробей требуетъ переработки, и эта переработка на первый планъ должна выставить стремленіе ознакомить учащихся съ идейною стороною курса дробей (обыкновенныхъ) безъ введенія побочныхъ статей, каковыми являются статья о признакахъ дѣлимости, о разложеніи чиселъ ни простые множители и о нахожденіи при помощи разложенія на множители общаго наименьшаго кратнаго нѣсколькихъ чиселъ. Поэтому должно привѣтствовать ту попытку, какую дѣлаетъ г. Беллюстинъ въ этомъ направленіи. Я лишь позволю себѣ выразить слѣдующія сомнѣнія по поводу этого плана въ цѣломъ: 1. возможно ли въ 4-ый годъ обученія выполнить все то, что требуетъ планъ г. Беллюстина? не достаточно ли по отношенію къ десятичнымъ дробямъ ограничиться лишь сложеніемъ и вычитаніемъ не длинныхъ десятичныхъ дробей и, въ крайности, умноженіемъ и дѣленіемъ десятичной дроби лишь на цѣлое число? Тогда бы можно было, не увлекаясь механизмомъ дѣйствій, на первый планъ выдвинуть идейную сторону курса. 2. Слѣдуетъ ли развивать такъ подробно, какъ это сдѣлано на стр. 47—81 выпуска V дѣйствія надъ обыкновенными дробями? Вѣдь если уже учащіеся усвоили идейную сторону курса и обыкновенныхъ и десятичныхъ дробей, то не слѣдуетъ ли въ дальнѣйшемъ поставить дѣло такъ, чтобы учащіеся были приведены къ пониманію, что иногда приближенное рѣшеніе задачи при помощи десятичныхъ дробей цѣннѣе, чѣмъ неуклюжее рѣшеніе (гдѣ входятъ дроби съ неудобными знаменателями), хотя и точное, въ обыкновенныхъ дробяхъ, поэтому хотѣлось бы большаго развитія отдѣла, посвященнаго рѣшенію задачъ съ обыкновенными и десятичными дробями, при чемъ учащіеся были бы нестѣсняемы требованіемъ рѣшить задачу непремѣнно обыкновенными дробями или дать, непремѣнно, рѣшеніе въ десятичныхъ дробяхъ. 3. Возникаетъ вопросъ: а можетъ быть можно вовсе удалить изъ курса дробей вспомагательную статью о дѣлимости чиселъ и отодвинуть ее въ самый конецъ курса, приписавъ ей тогда уже самостоятельное значеніе? Конечно, такое отношеніе къ этой статьѣ возможно лишь при условіи, что предыдущее сомнѣніе будетъ рѣшено въ утвердительномъ смыслѣ, т.-е. что учащіеся, усвоивъ на удобныхъ для этого дробяхъ идейную сторону курса обыкновенныхъ и десятичныхъ дробей, будутъ не стѣсняемы въ выборѣ того, какими именно дробями, обыкновенными или десятичными, они станутъ рѣшать извѣстный вопросъ.

Впрочемъ, такое измѣненіе традиціоннаго курса ариѳметики было бы, быть можетъ, уже очень радикально, а пока можно быть благодарнымъ г. Беллюстину и за ту небольшую реформу этого курса, какую мы имѣемъ въ выпускѣ IV и V, а именно за развитіе той мысли, что идейная сторона всего курса обыкновенныхъ дробей можетъ быть усвоена учащимися на достаточно большомъ матеріалѣ безъ предварительнаго

знакомства съ разложеніемъ чиселъ на простые множители и т. п. Слѣдуетъ также отмѣтитъ, что авторъ не увлекся моднымъ одно время направленіемъ сначала проходить десятичныя дроби, а затѣмъ уже обыкновенныя: въ выпускѣ IV сначала данъ курсъ обыкновенныхъ дробей, а потомъ уже идутъ десятичныя дроби, и это правильно, такъ какъ смыслъ дѣйствій надъ дробями легче усвоить, начиная съ обыкновенныхъ дробей.

Что касается содержанія задачника, то, конечно, возможно указать и положительныя и отрицательныя стороны работы г. Беллюстина.

Вотъ нѣкоторыя положительныя стороны этого задачника изъ замѣченныхъ мною:

1. Достойно самаго большого вниманія то развитіе упражненій на умноженіе десятичныхъ дробей, какое имѣется въ №№ 245—249 (напр.: «Умножить 48 на 0,1; 48x0,2; 48x0,9» или «Умножить 1,728 на 0,01; 1,728x0,25; 1,728x10,25»).

2. Достойны вниманія упражненія на дѣленіе десятичныхъ дробей въ № 274 (напр. 9,99999999 : 9,99).

3. Достойно вниманія стремленіе придать статьѣ о дѣлимости чиселъ болѣе интересное содержаніе сравнительно съ другими задачниками. Здѣсь даны вопросы, приводящіе учащихся къ интереснымъ фактамъ въ этой области (№№ 564, 565. 567). Къ сожалѣнію, думается, польза отъ этихъ вопросовъ можетъ быть лишь при условіи, что гг. учащіе сами знакомы съ началами теоріи чиселъ. И вотъ по этому поводу хочется вновь повторить: не лучше ли статью о дѣлимости чиселъ отнести еще дальше и, развивъ ее, придать ей и самостоятельное значеніе?

4. Достойно вниманія, что авторъ удѣляетъ много вниманія на развитіе комбинирующей дѣятельности учащихся, направляемой въ сторону упрощенія вычисленій; см. напр. №№ 95, 668, 674, 676, 678 (вычислить: 4+^-4-4-1)'705 и др.

Отрицательныя стороны таковы:

1. Не слишкомъ ли загроможденъ задачникъ сложными вычисленіями, благодаря чему не такъ легко замѣчаются его положительныя стороны? Для чего, напр., такъ много примѣровъ, требующихъ сложныхъ вычисленій въ родѣ №№ 414, 415, 416, 434, 442, 727, 755, 881 и т. д. Вотъ, напр., № 727:

1111111111 ill 1

7 X 7 X 7 X 7 X 7 X ^ X 7 X 7 X у X 7 X ^ X £ X £ X до

2. Умѣстно ли въ самомъ началѣ отдѣла о дѣленіи десятичныхъ дробей задавать вопросы въ родѣ: сколько разъ 5 содержится въ 0,5? (№ 278); въ дальнѣйшемъ, когда выдвинутъ (въ № 294) вопросъ о томъ, какъ узнать, какую часть одна десятичная дробь составляетъ отъ другой, уже становится возможнымъ спрашивать: сколько разъ 2,5 содержится въ 1,25? (№306), хотя еще и здѣсь возникаетъ сомнѣніе, достаточно ли предыдущаго для того, чтобы сдѣлать такое обобщеніе понятія «нѣсколько разъ».

3. Вызываетъ сомнѣніе задача № 327: на протяженіи 157,5 сажени посажено 63 дерева на равномъ разстояніи другъ отъ друга. Найти рав-

стояніе между каждыми двумя сосѣдними деревьями. Я не знаю, какъ. эту задачу рѣшаетъ авторъ (у меня нѣтъ «Отвѣтовъ»), но я бы сталъ 157,5 дѣлить на 62 и получилъ бы лишь приближенное рѣшеніе вопроса.

4. Сомнительны нѣкоторыя данныя задачъ. Напр. въ № 241 указано,, что діаметръ солнца въ 108,61 разъ болѣе діаметра земли, а въ № 537 сказано, что діаметръ земли составляетъ ~ діам. солнца. Въ № 140 сказано, что по пространству Азія почти равна Америкѣ, а въ № 314 сказано, что Азія впятеро больше Европы (по пространству), а Америка вчетверо. Такія противорѣчія заставятъ учащихся усомниться въ справедливости и тѣхъ данныхъ, какія приведены правильно.

Общее впечатлѣніе отъ задачника таково: выпускъ V совмѣстно съ выпускомъ IV вводитъ въ курсъ школы новый (и, повидимому, раціональный) планъ курса дробей; выпускъ V даетъ много интереснаго матеріала, но онъ нѣсколько испорченъ введеніемъ задачъ и упражненій, требующихъ слишкомъ продолжительныхъ вычисленій, притомъ неоправдываемыхъ для учащихся конкретною цѣлью. Если обратить вниманіе на послѣднее и отбросить все то, что является загроможденіемъ задачника, то этотъ задачникъ можетъ сдѣлаться очень полезнымъ.

Н. Извольскій.

Исправленія.

Въ № 2 «Матем. Вѣстн.» въ статьѣ С. А. Богомолова нужно сдѣлать слѣдующія Исправленія:

На стр. 39 въ 12-ой строкѣ сверху Вмѣсто «измѣняются» слѣдуетъ читать «имѣются». На стр. 50 въ 8-ой строкѣ снизу Вмѣсто «г и т. д.» слѣдуетъ читать «ч. и т. д.

Редакторъ-издатель Н. А. Извольскій.

Тип. Г. Лисснера и Д. Собко, Москва, Воздвиж., Крестовоз. п., д. № 9.