Математическій Вѣстникъ

№ 2. Февраль 1916 г.

Годъ третій.

Адресъ редакціи: Москва, Гороховскій пер., д. 23, кв. 9. Тел.3-19-55.

Содержаніе: Н. Извольскій. Цѣль обученія ариѳметикѣ и средства для ея достиженія.—С.Богомоловъ. Аксіома непрерывности, какъ основаніе для опредѣленія длины окружности, площади круга, поверхностей и объемовъ круглыхъ тѣлъ. (Продолженіе.)—Е. Томашевичъ. Упражненія со степенями цѣлыхъ чиселъ. — Н. Извольскій. Замѣчанія. — А. Филимоновъ. По поводу книги Феликса Мартель «Быстрый счетъ». — Хроника (Московскій математическій кружокъ). — Объявленія.

Цѣль обученія ариѳметикѣ и средства для ея достиженія.

(Лекція, прочитанная 21 ноября 1915 г. въ Московскомъ городскомъ Музеѣ наглядныхъ пособій для гг. учащихъ въ начальныхъ школахъ г. Москвы.)

Тотъ вопросъ, который значится въ первой части заглавія темы лекціи — вопросъ о цѣли обученія ариѳметикѣ — ставится въ любомъ руководствѣ по методикѣ ариѳметики, и отвѣтъ на этотъ вопросъ можно найти и въ этихъ руководствахъ и почти во всякой объяснительной запискѣ къ программамъ по ариѳметикѣ для начальной школы. Однако мои соображенія привели меня къ отвѣту на этотъ вопросъ, нѣсколько отличающемуся отъ обычнаго, и эти отличія таковы, что способны существенно измѣнить постановку дѣла обученія ариѳметикѣ. Поэтому я и позволяю себѣ занять ваше вниманіе тѣми мыслями, какія имѣются у меня по этому вопросу.

Я не стану, какъ это часто дѣлается, сразу устанавливать: цѣль обученія ариѳметикѣ состоитъ въ томъ-то и въ томъ-то. Нѣтъ, отвѣтъ на вопросъ о цѣли обученія ариѳметикѣ явится

само-собою, какъ непосредственное слѣдствіе того взгляда на самый предметъ ариѳметики, зачатки котораго я нашелъ въ достойной самаго глубокаго изученія книгѣ извѣстнаго французскаго математика-философа Анри Пуанкаре «Наука и Методъ», — къ изложенію этого взгляда, которымъ направляется вся моя педагогическая работа, я теперь и перехожу.

Думается, не можетъ быть возраженій противъ положенія, что всякая наука (вспомнимъ химію, астрономію, ботанику, исторіи) и т. д.) имѣетъ дѣло съ рядомъ фактовъ. Идетъ, такъ сказать, отборъ фактовъ; напр., фактъ существованія звѣздъ, которыя мы видимъ ночью, беретъ въ свое вѣдѣніе астрономія, фактъ существованія тѣни отъ предметовъ беретъ въ свое вѣдѣніе физика, та великая война, которую мы теперь переживаемъ, возьметъ въ свое вѣдѣніе исторія и т. д. и т. д.

Совокупность тѣхъ фактовъ, которые отобраны какою-либо наукою въ свое вѣдѣніе, составляетъ тотъ матеріалъ, надъ которымъ эта наука работаетъ. Иногда бываетъ возможно попытаться какъ-либо охарактеризовать общими словами матеріалъ какой-либо науки, иногда сдѣлать это крайне затруднительно, а можетъ быть и невозможно. Напр., я попытаюсь, хотя быть можетъ сдѣлаю это и очень неудачно, охарактеризовать матеріалъ, подлежащій вѣдѣнію исторіи: къ исторіи относятся всѣ тѣ явленія, которыя такъ или иначе отражаются на жизни цѣлаго народа, но я крайне затруднился бы описать общими словами тотъ матеріалъ, надъ которымъ работаетъ физика.

Когда такъ или иначе уже обрисовался матеріалъ, надъ которымъ должна извѣстная наука работать, начинается и самая работа. Въ нѣкоторыхъ наукахъ существенное мѣсто занимаетъ классификація того матеріала, который эта наука взяла въ свое вѣдѣніе; въ другихъ случаяхъ эта классификація не играетъ, по крайней мѣрѣ на первыхъ порахъ, существенной роли. Но необходимо отмѣтить, что всегда, когда классификація имѣетъ мѣсто, она руководится стремленіемъ отдѣлить болѣе простые факты отъ болѣе сложныхъ, —вспомнимъ, напр., простые элементы въ химіи.

Далѣе, наиболѣе существенною частью работы въ области каждой науки является изученіе различныхъ комбинацій изъ того матеріала, который относится къ этой наукѣ. Иногда эти комбинаціи появляются уже въ готовомъ видѣ, иногда ихъ надо построить, при чемъ это построеніе направляется какою-либо направляющею мыслью, какою-либо цѣлью. Вспомнимъ, напр., тѣ опыты, которые имѣютъ мѣсто и въ физикѣ и въ химіи. При построеніи новыхъ комбинацій, мы стремимся изыскать такую, которая почему-либо нашему сознанію представляется заслуживающею вниманія, возбуждающей интересъ. Однако, одна такая комбинація сама по себѣ для науки даетъ

мало. Другое дѣло, если будетъ изысканъ цѣлый рядъ комбинацій, обладающихъ чѣмъ-либо общимъ,—тогда наука обогащается закономъ. Такъ, напр, уже до P. X. кто-либо, можетъ быть случайно, открылъ особенную комбинацію: если потереть кусокъ смолы о мѣхъ, то этотъ кусокъ пріобрѣтаетъ особенныя свойства, а именно онъ получаетъ способность притягивать легкія тѣла. Разъ была получена одна такая комбинація, то естественно было ожидать разсмотрѣнія другихъ подобныхъ комбинацій, и вотъ послѣ цѣлаго ряда промежуточныхъ стадій физика въ настоящее время установила общій законъ, что соприкосновеніе двухъ тѣлъ является источникомъ электричества.

Перейду къ ариѳметикѣ. Ариѳметика такъ же, какъ и всякая наука, работаетъ надъ опредѣленнымъ рядомъ фактовъ, составляющихъ ея матеріалъ; мы называемъ этотъ матеріалъ общимъ именемъ—числа. Сейчасъ же возникаетъ вопросъ: что такое число? Если мы поищемъ отвѣтъ на этотъ вопросъ въ учебникахъ ариѳметики, то мы должны будемъ раздѣлить наши общеизвѣстные учебники на 2 категоріи. Учебники первой категоріи говорятъ: число есть результатъ счета. Тогда естественно задать вопросъ: а что такое счетъ? Указанные учебники не даютъ отвѣта на этотъ вопросъ, но мы, вспомнивъ, какъ ведется счетъ, сами отвѣтимъ: счетъ есть называніе чиселъ по порядку. Получается положеніе, которое въ логикѣ называется ложнымъ кругомъ: первое понятіе опредѣляется черезъ второе, а второе черезъ первое. Такое положеніе не можетъ быть терпимо. Если мы прибавимъ сюда соображеніе, что нельзя считать, не зная чиселъ, то мы придемъ къ заключенію, что нельзя понятіе о числахъ опредѣлять черезъ счетъ и что, можетъ быть, Правильнѣе было бы поступить обратно, т.-е. опредѣлять понятіе о счетѣ при помощи чиселъ. Поэтому мы сейчасъ же отбрасываемъ эту категорію учебниковъ.

Вторая категорія учебниковъ говоритъ иначе: каждый изъ отдѣльныхъ предметовъ называется единицею; число есть совокупность единицъ. Если я вытяну руку, то я увижу передъ собою нѣкоторые предметы. Обычно каждый изъ этихъ предметовъ я называю словомъ «палецъ», но такъ какъ я знаю, что кромѣ русскаго языка существуютъ и другіе, то я соглашусь съ тѣмъ, чтобы этотъ предметъ называть не словомъ «палецъ», а какимъ-либо другимъ, напр., словомъ «единица». Тогда то, что я вижу передъ собою и то, что я, пользуясь русскимъ языкомъ, называю именемъ «совокупность пальцевъ», я долженъ былъ бы назвать, согласно опредѣленію учебниковъ этой категоріи, именемъ «число». Итакъ, я, вытянувъ руку, долженъ видѣть передъ собою «число». Но вѣдь отъ того, что я сталъ называть предметы иными словами (Вмѣсто «палецъ» — «единица») самые предметы остались тѣ же и никоимъ образомъ

нельзя признать, что я, измѣняя названія, замѣняю и самые предметы, о которыхъ идетъ рѣчь, чѣмъ-то другимъ, что относится къ области ариѳметики. Если бы это такъ было, то вся ариѳметика была бы построена на игрѣ словами и, конечно, уже не могла бы почитаться наукою. Поэтому приходится отбросить и эту категорію учебниковъ.

Остается подумать объ этомъ вопросѣ самостоятельно. Тогда прежде всего приходитъ соображеніе о слѣдующей аналогіи: мы, разсматривая одну группу предметовъ, утверждаемъ «здѣсь пять предметовъ», а о другой группѣ говоримъ «здѣсь четыре предмета»; подобно этому, знакомясь съ однимъ человѣкомъ, съ его поступками, мы утверждаемъ «этотъ человѣкъ добрый», а о другомъ говоримъ «этотъ человѣкъ злой». Аналогія такова: подобно тому какъ къ разнымъ людямъ мы прилагаемъ признаки «добрый», «злой», такъ точно и къ разнымъ группамъ предметовъ мы прилагаемъ признаки «пять», «четыре», «десять» и т. д. Конечно, здѣсь имѣется и отличіе: въ первомъ случаѣ мы владѣемъ лишь двумя признаками, добрый и злой, а во второмъ такихъ признаковъ много: одинъ, два, три и т. д. Однако все же аналогія имѣется, и остается лишь воспользоваться ею. Наше общеніе съ людьми, нашъ опытъ повлекли за собою созданіе въ нашемъ сознаніи понятій «добрый», «злой», научили насъ находить тѣ признаки, пользуясь которыми, мы можемъ оцѣнивать каждаго человѣка однимъ изъ этихъ двухъ признаковъ. Такъ точно мы должны остановиться на мысли, что наше общеніе со всей природой, нашъ опытъ привели насъ къ мысли о цѣлесообразности оцѣнивать различныя группы предметовъ различными признаками, которые мы называемъ числами, h научили насъ тому, какъ именно эти числа примѣнять для оцѣнки различныхъ группъ предметовъ. А если такъ, то, значитъ понятія о числахъ созданы самими людьми и напрасно было бы искать числа гдѣ-либо въ природѣ: тамъ имѣются предметы, группы предметовъ, но чиселъ нѣтъ. Одинъ изъ математиковъ, много поработавшій надъ вопросами о числахъ, такъ отвѣчаетъ на вопросъ: что такое числа и для чего они намъ служатъ? «Числа суть, говоритъ онъ, свободныя созданія человѣческаго генія и служатъ они для того, чтобы проще и яснѣе представлять различіе вещей». И мы должны гордиться тѣмъ, что геній человѣка создалъ числа: вѣдь числа оказались тѣмъ могучимъ орудіемъ, при помощи котораго мы сумѣли подчинить себѣ, хотя бы до нѣкоторой степени, силы природы. Успѣхи науки, успѣхи техники—все до извѣстной степени обязаны нашему знанію чиселъ. Можно поставить еще вопросъ: каковы тѣ психологическіе процессы, которые имѣли мѣсто въ сознаніи человѣка и которые привели его въ концѣ концовъ къ созданію чиселъ, но это уже вопросъ, относящійся къ философіи, а математика должна принять числа уже въ готовомъ

видѣ и должна работать надъ этимъ матеріаломъ, отказавшись, вопреки учебникамъ ариѳметики, вовсе отъ попытки опредѣлить понятіе о числѣ. «Мы знаемъ числа» — вотъ исходный пунктъ ариѳметики.

Въ предыдущемъ рѣчь шла лишь о цѣлыхъ числахъ, но, конечно, въ сознаніи людей долженъ наступить моментъ, когда этихъ чиселъ оказывается недостаточно и для практическихъ надобностей и для цѣлей теоріи, —тогда создаются геніемъ человѣка новыя числа: дробныя, числа со знаками и т. д. Остановимся лишь на цѣлыхъ числахъ: насъ интересуетъ теперь лишь ариѳметика цѣлыхъ чиселъ. Въ этомъ случаѣ намъ нѣтъ надобности останавливаться на вопросѣ о классификаціи этого матеріала. Цѣлые числа уже признаются нами наиболѣе простыми, а классификація на основаніи иныхъ признаковъ здѣсь намъ неинтересна.

Переходимъ теперь къ наиболѣе существенной работѣ въ области ариѳметики, а именно, какъ это имѣетъ мѣсто и въ каждой иной наукѣ, къ изученію и построенію ряда комбинацій изъ чиселъ, направляемому извѣстною цѣлью, извѣстною мыслью, — я позволю себѣ называть въ дальнѣйшемъ эту работу именемъ «комбинаціонная работа». Однако предварительно необходимо остановиться на слѣдующемъ соображеніи: вѣдь въ сущности мы не можемъ разсматривать никакое число (напр. 360), какъ комбинацію другихъ чиселъ, мы не можемъ и сами построить какую-либо комбинацію изъ чиселъ до тѣхъ поръ, пока у насъ не выяснятся соотвѣтствующія средства. Итакъ, гдѣ же средства для построенія комбинацій изъ чиселъ? Отвѣтъ простъ. Вѣдь первымъ назначеніемъ чиселъ (мы говоримъ лишь о цѣлыхъ числахъ) является оцѣнка при помощи нихъ группъ предметовъ, а вѣдь надъ группами предметовъ могутъ совершаться процессы (напр., простѣйшій процессъ — сдвиганіе двухъ группъ въ одну). Несомнѣнно, эти процессы должны помочь намъ придумать тѣ средства, при помощи которыхъ мы могли бы строить комбинаціи изъ чиселъ. И эти средства общеизвѣстны, — это дѣйствія надъ числами. И можно было бы, если бы это не отвлекло насъ въ сторону, разсмотрѣть ариѳметическія дѣйствія съ выше намѣченной точки зрѣнія: дѣйствія надъ числами являются, какъ отраженія процессовъ надъ группами предметовъ.

Итакъ, средства для построенія комбинацій имѣются, и нѣтъ сомнѣнія, что вся ариѳметика въ ея настоящемъ видѣ является результатомъ комбинаціонной работы. Нѣтъ сомнѣнія, напр., что та десятичная система счисленія, которая намъ представляется такою простою, возникла, какъ результатъ изученія цѣлаго ряда комбинацій, направляемыхъ цѣлью изыскать наиболѣе удобные способы обозначенія чиселъ; нѣтъ сомнѣнія, что тѣ способы выполненія дѣйствій, которыми мы теперь

пользуемся, возникли опять-таки, какъ результатъ комбинаціонной работы и т. д. и т. д. Я приведу болѣе сложный примѣръ, очень хорошо иллюстрирующій смыслъ и значеніе комбинаціонной работы въ области ариѳметики.

Пусть случайно мы построили слѣдующую комбинацію 6=1+2+3; она намъ можетъ показаться интересною: здѣсь число 6 разложено на 3 послѣдовательныхъ слагаемыхъ, начиная съ 1. Тогда возникаетъ мысль изучить и другія числа съ этой точки зрѣнія: нельзя ли и ихъ разложить аналогичнымъ образомъ на слагаемыя. Возьмемъ, напр., число 7. Послѣ попытокъ въ родѣ: 1+2+3+4, 2+3+4, мы приходимъ къ заключенію, что возможно лишь такое разложеніе: 7=3+4. До нѣкоторой степени и это насъ удовлетворить такъ какъ здѣсь тоже послѣдовательныя слагаемыя. Возьмемъ еще 15; здѣсь найдемъ: 1) 15 = 7+8, 2)15 = 4+5+6, 3)15 = 1+2+3 + +4+5. Возьмемъ еще 20; найдемъ 20=2+3+4+5+6. Послѣ этого возникаетъ вопросъ: всѣ ли числа возможно разложить на послѣдовательныя слагаемыя, хотя бы и не начиная съ 1? Остается продолжить предыдущую работу, придерживаясь опредѣленнаго порядка. Естественно разсмотрѣть постепенно рядъ чиселъ: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11... Выполняя эту работу, мы найдемъ, что не допускаютъ такого разложенія числа 2, 4, 8, 16, а числа 3, 5, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17 допускаютъ такое разложеніе. Уже, дойдя до числа 17, мы замѣчаемъ, что изъ разсмотрѣнія этого ряда комбинацій мы въ правѣ сдѣлать и общій выводъ: всѣ числа, кромѣ степеней числа 2, допускаютъ разложеніе на послѣдовательныя слагаемыя.

Этотъ примѣръ поучителенъ еще и съ педагогической точки зрѣнія: онъ показываетъ, что въ математикѣ индукція (заключеніе отъ частнаго къ общему) также имѣетъ значеніе. Можно, конечно, не удовлетворится этимъ, увидать, что разобранные Примѣры не устанавливаютъ окончательно общаго заключенія, а лишь намѣчаютъ его, но въ то же время можно увидать и пользу индукціи.

Вышеизложенный взглядъ на самый предметъ ариѳметики само собою приводитъ къ отвѣту на вопросъ о цѣли обученія ариѳметикѣ. Разсматривая все вышеизложенное, мы приходимъ къ заключенію, что эта цѣль должна слагаться изъ 4 пунктовъ: надо добиться, 1) чтобы дѣти познали числа, научились ими владѣть, 2) чтобы дѣти научились увѣренно выполнять дѣйствія надъ числами, 3) чтобы дѣти пріучались къ комбинаціонной работѣ въ области ариѳметики и 4) чтобы дѣти научились примѣнять числа и дѣйствія надъ ними ко всему, что допускаетъ такое примѣненіе (вспомнимъ: числа созданы человѣческимъ геніемъ для того, чтобы проще и яснѣе понимать различіе вещей).

(Продолженіе слѣдуетъ.)

Н. Извольскій.

Аксіома непрерывности, какъ основаніе для опредѣленія длины окружности, площади круга, поверхностей и объемовъ круглыхъ тѣлъ.

(Продолженіе.)

Болѣе рѣшительный поворотъ въ сторону чисто геометрическаго изложенія встрѣчаемъ у Тиме1). Исчисленіе отрѣзковъ излагается по Гильберту, такъ что произведеніе и частное двухъ отрѣзковъ является отрѣзкомъ, который получится въ результатѣ извѣстнаго построенія; на этомъ основаніи, безъ помощи измѣренія величинъ, строится теорія пропорцій; наконецъ, теоремы о предѣлахъ, которыя измѣняются въ разбираемой книгѣ, также носятъ чисто геометрическій характеръ. Къ сожалѣнію, нѣкоторыя доказательства автора подозрительно кратки, и въ нихъ обнаруживаются скачки. Такъ, напримѣръ, при доказательствѣ теоремы: «отношеніе окружности къ діаметру есть величина постоянная» (стр. 84), говорится, что отношеніе р1 : (периметра вписаннаго многоугольника къ діаметру круга) приближается къ опредѣленному предѣлу, такъ какъ рг имѣетъ предѣлъ (окружность); соотвѣтственной теоремы въ курсѣ не находимъ, а надо вспомнить, что отношеніе p1:d1 есть отрѣзокъ, получаемый изъ двухъ данныхъ съ помощью нѣкотораго построенія. Поэтому слѣдовало бы установить, что результатъ построенія стремится къ опредѣленному предѣлу, если это имѣетъ мѣсто для одного изъ данныхъ отрѣзковъ.

Послѣдовательно проведенную геометрическую точку зрѣнія въ связи съ усиленіемъ логическаго элемента находимъ въ итальянскихъ учебникахъ. Какъ общія большинству изъ нихъ черты можно отмѣтить геометрическую (въ духѣ Евклида) теорію пропорцій2) и геометрическую же формулировку теоремъ о предѣлахъ или соотвѣтственной аксіомы непрерывности Теорія измѣренія очень часто излагается въ концѣ книги, и только послѣ этого появляются обычныя

1) Н. Thieme, Die Elemente der Geometrie, 1909.

2) Изъ числа указанныхъ ниже авторовъ только Лаццери и Бассани пользуются при этомъ обобщеннымъ понятіемъ числа.

формулы для площадей и объемовъ; а раньше доказывается лишь равновеликость различныхъ фигуръ, напр.: кругъ равновеликъ съ треугольникомъ, у котораго высотой служитъ радіусъ, а основаніемъ — спрямленная окружность; шаръ равновеликъ съ пирамидой, которой высота равна радіусу шара, а основаніе равновелико съ его поверхностью,

Чрезвычайными подробностями отличается курсъ Лаццери и Бассани1); тамъ, напр., идетъ рѣчь о площади кольцевого сектора, для цилиндра авторъ начинаетъ съ вывода объема цилиндрическаго сектора, разсматриваются тѣла вращенія на уголъ а и т. п. Изложеніе въ общемъ основательно, но громоздко; есть излишнія подробности. Недаромъ изъ упоминаемыхъ здѣсь итальянскихъ учебниковъ только этотъ удостоился перевода на нѣмецкій языкъ!

Въ книгѣ Энрикеса и Амальди2) даже теорія ирраціональныхъ чиселъ излагается съ помощью геометрическихъ соображеній. Интересную особенность книги составляетъ разсмотрѣніе фигуръ со смѣшанной периферіей; именно, на плоскости разсматриваются фигуры, ограниченныя прямолинейными отрѣзками и дугами окружностей, а въ пространствѣ — ограниченныя плоскостями и поверхностями цилиндровъ, конусовъ и шаровъ3). Авторы вводятъ понятіе о равносоставленности этихъ фигуръ, при чемъ разложеніе ихъ на части производится не только съ помощью отрѣзковъ и плоскостей, но и съ помощью упомянутыхъ выше криволинейныхъ элементовъ; сама же теорія основывается на 4 новыхъ постулатахъ. Для плоскости имѣемъ 2 постулата: 1) если изъ двухъ фигуръ одна превышаетъ другую (при нѣкоторомъ дѣленіи), то онѣ не могутъ быть равносоставленными (при какомъ-нибудь другомъ дѣленіи); 2) если изъ двухъ фигуръ первая не превышаетъ второй, то вторая превышаетъ любую часть первой. Для пространства имѣемъ 2 подобныхъ постулата. Наконецъ вводится опредѣленіе: если изъ двухъ фигуръ ни одна не превышаетъ другой, то говорятъ.

1) Lazzeri und Bassani, Elemente der Geometrie, Ubersetzt von Treutlein, 1911.

2) F. Enriques eU. Amaldi, Elementi di Geometria, Bologna.

3) См. стр. 203—209 и 523—526; см. также сборникъ статей подъ ред. Энрикеса: «Вопросы элементарной геометріи» (переводъ І. В. Яшунскаго), стр. 176 и слѣд.

что онѣ имѣютъ равныя площади (или объемы). Благодаря всѣмъ этимъ условіямъ, означенные геометрическіе образы превращаются въ классъ величинъ, такъ что, напр., два любые изъ нихъ стоятъ другъ къ другу въ одномъ и только въ одномъ изъ 3 отношеній: «больше», «меньше» и «равно». Само доказательство въ разбираемомъ учебникѣ лишь намѣчено, ибо эти теоремы «выражаютъ интуитивно очевидные факты». Такимъ образомъ, при опредѣленіи площадей и объемовъ указанныхъ фигуръ (къ числу которыхъ принадлежатъ между прочимъ сегменты, сферическія кольца и т. п.) получается возможность пользоваться «методомъ исчерпыванія»: если данная фигура не можетъ быть ни больше, ни меньше какой-либо другой уже извѣстной, то ея площадь (или объемъ) равна площади (или объему) этой фигуры1). У итальянскихъ геометровъ ясно стремленіе къ методамъ древнихъ: пропорціи они излагаютъ по Евклиду, а площади и объемы находятъ по Архимеду. Что касается до учебника Энрикеса и Амальди, то Отмѣтимъ еще, что длина окружности и площади поверхностей круглыхъ тѣлъ вводятся опредѣленіями, а соотвѣтственныя теоремы доказываются при помощи аксіомы непрерывности.

Инграми2) при доказательствѣ теоремъ о площади круга и объ объемахъ круглыхъ тѣлъ считаетъ возможнымъ непосредственно сравнивать по величинѣ криволинейныя фигуры съ многоугольниками и многогранниками; для окружности и периметровъ многоугольниковъ это невозможно, такъ какъ, за исключеніемъ отдѣльныхъ точекъ, названныя фигуры не имѣютъ общихъ частей; подобное же имѣетъ мѣсто и для поверностей круглыхъ тѣлъ. Поэтому длина окружности и указанныя только что поверхности вводятся опредѣленіями, а соотвѣтственныя теоремы доказываются на основаніи аксіомы непрерывности» Отмѣтимъ еще въ учебникѣ Инграми чисто геомет-

1) Методъ исчерпыванія, который связывается съ именемъ Архимеда, Энрикесъ склоненъ повидимому понимать, какъ исчерпываніе возможныхъ 3 случаевъ отношенія между фигурами (см. «Вопросы элементарной геометріи», стр. 179). Но Шаль понимаетъ этотъ терминъ иначе: криволинейная фигура разсматривается, какъ предѣлъ, при чемъ мы какъ бы исчерпываемъ разность (см. «Историческій обзоръ происхожденія и развитія геометрическихъ методовъ», изд. Московск. Матем. Общества, стр. 15. Здѣсь имѣемъ терминъ: «методъ истощенія»).

2) G. Ingrami, Elementi di Geometria, Bologna 1904.

рическое опредѣленіе поверхностей и тѣлъ вращенія и ссылку на алгебру въ случаѣ отношенія двухъ несоизмѣримыхъ величинъ.

Въ книгѣ Веронезе, написанной въ сотрудничествѣ съ Гаццанига1), обращаютъ на себя вниманіе теоремы о поверхностяхъ и объемахъ круглыхъ тѣлъ. Онѣ основаны на обобщенномъ опредѣленіи равновеликости, въ силу котораго двѣ фигуры равновелики, если а) онѣ равносоставлены, или Ь) являются предѣлами фигуръ равныхъ или равновеликихъ между собой2). Предѣломъ же называется величина, которая заключается между двумя сходящимися классами однородныхъ величинъ; при этомъ слова: «заключается между» можно понимать чисто геометрически, какъ характеризующія, положеніе разсматриваемой фигуры среди другихъ. Такъ напр., теорема: «поверхность шарового пояса есть предѣлъ поверхностей, образуемыхъ вращеніемъ правильныхъ ломаныхъ, вписанныхъ въ соотвѣтственную дугу окружности», доказывается на томъ основаніи, что шаровой поясъ всегда заключается между поверхностями, образованными вращеніемъ правильныхъ вписанныхъ и описанныхъ ломанныхъ. Затѣмъ уже нетрудно, на основаніи указаннаго выше опредѣленія, доказать равновеликость этой поверхности извѣстному прямоугольнику. Укажемъ еще, что для криволинейныхъ фигуръ Веронезе неизмѣнно доказываетъ, что цѣлое не равновелико своей части.

II.

Пишущему эти строки приходится излагать опредѣленіе длины окружности, площади круга, поверхностей и объемовъ круглыхъ тѣлъ на I курсѣ Императорскаго Женскаго Педагогическаго Института; въ основу этихъ лекцій положены тѣ выводы, къ которымъ приводитъ критическое изученіе указанной выше литературы. Вторая часть доклада будетъ посвящена характеристикѣ этого изложенія3).

1) G. Veronese, Elementi di Geometria, trattati con la collaborazione di P. Gazzaniga; Verona 1909.

2) Хотя Веронезе ничего не говоритъ, но въ послѣднемъ случаѣ фигуры должны быть равновелики по пункту а; иначе опредѣленіе заключало бы въ себѣ ложный кругъ.

3) Отдѣлу математики было угодно ознакомиться съ моимъ изложеніемъ; отсюда возникъ настоящій докладъ.

Прежде всего нужно отмѣтить, что аксіома непрерывности, въ той или другой геометрической формулировкѣ, необходима для систематическаго курса геометріи; въ упоминавшемся уже сборникѣ Энрикеса имѣется статья Витали1), выясняющая тѣ довольно многочисленные вопросы элементарной геометріи, для разсмотрѣнія которыхъ неизбѣжно опираться на означенную аксіому. Поэтому представляется вполнѣ естественнымъ обосновать на ней и тѣ отдѣлы, для которыхъ обычно требуется теорія предѣловъ; получится еще и та выгода, что тогда не придется излагать этой вводной главы изъ алгебры. Въ высшей степени заманчивы также цѣльныя построенія итальянскихъ авторовъ, отъ которыхъ вѣетъ духомъ древнихъ геометровъ; но въ интересахъ экономіи времени и труда отъ нихъ пришлось отступить: изложеніе отдѣльной чисто геометрической теоріи пропорцій является не всегда позволительной роскошью и, быть можетъ, лишнимъ затрудненіемъ для учащихся. Гораздо проще воспользоватсья готовымъ уже матеріаломъ изъ алгебры и, предпославъ теорію измѣренія, свести пропорцію между геометрическими величинами къ пропорціи между числами. Это не значитъ совсѣмъ отказаться отъ первыхъ (дальше мы будемъ имѣть дѣло съ пропорціями между отрѣзками); но благодаря этому получается возможность доказать всѣ свойства ихъ простой ссылкой на соотвѣтственныя теоремы алгебры. Однако изложеніе теоріи измѣренія встрѣчается съ тѣмъ затрудненіемъ, на которое такъ настойчиво указывалъ въ своихъ возраженіяхъ Н. А. Извольскій: необходимость полной теоріи ирраціональныхъ чиселъ. Затрудненіе это несомнѣнно серьезно и даетъ себя чувствовать даже на I курсѣ высшаго учебнаго заведенія2); усилія преподавателей должны быть направлены на удовлетворительное разрѣшеніе указанной трудности. Какъ бы то ни было, приступая къ опредѣленію

1) Дж. Витали, Постулатъ непрерывности и его примѣненіе въ элементарной геометріи.

2) По условіямъ преподаванія въ Женскомъ Педагогическомъ Институтѣ теорія ирраціональныхъ чиселъ излагается во «Введеніи въ анализъ», которое читается на II курсѣ математическаго отдѣленія. Вслѣдствіе этого на I курсѣ я вынужденъ къ такому рѣшенію вопроса: дать основныя понятія, а по поводу доказательства иныхъ теоремъ — сослаться на «Введеніе въ анализъ».

длины окружности, я имѣю уже въ своемъ распоряженіи теорію измѣренія и пропорцій.

Въ началѣ курса дается полный списокъ аксіомъ геометріи, которыя, согласно Гильберту, распредѣляются на 5 группъ; послѣдняя группа представлена одной аксіомой непрерывности, которая формулируется по Дедекинду (замѣтимъ, что понятія: «предшествовать въ данномъ направленіи» и «слѣдовать», взяты въ качествѣ основныхъ, и ихъ свойства перечислены въ аксіомахъ расположенія):

Аксіома Дедекинда. Пусть точки даннаго отрѣзка раздѣлены на два класса, при чемъ 1) всякая точка отрѣзка попадаетъ въ одинъ изъ этихъ классовъ, и 2) любая точка 1-го класса предшествуетъ любой точкѣ 2-го класса въ данномъ направленіи; тогда на данномъ отрѣзкѣ существуетъ такая точка, что всякая точка его, предшествующая ей, попадаетъ въ 1-ый классъ, а всякая точка, слѣдующая за ней, попадаетъ во 2-ой классъ.

Затѣмъ безъ труда доказывается, что точка, производящая указанное дѣленіе, —единственна.

Съ педагогической точки зрѣнія можно оспаривая введеніе подобной аксіомы, какъ слишкомъ сложной и не вполнѣ ясной для учащихся; но горю можно пособить, указывая ея различныя Приложенія, какъ это и сдѣлано въ упомянутой выше статьѣ Витали. Я считаю полезнымъ подробно остановиться на доказательствѣ нѣкоторыхъ теоремъ, которыя имѣются въ этой статьѣ; особенно пригодна слѣдующая: «Если прямая имѣетъ точку внутри окружности и точку внѣ ея, то она пересѣкается съ окружностью». Къ доказательству этой теоремы нужно приступить съ извѣстной осторожностью; надо постараться, чтобы соотвѣтственный геометрическій фактъ не сталъ, по выраженію одного изъ нашихъ профессоровъ, послѣ доказательства менѣе яснымъ, чѣмъ до онаго. Во избѣжаніе этого нужно выяснить истинную цѣль доказательства: мы доказываемъ предложеніе о пересѣченіи не потому, что сомнѣваемся въ истинѣ, самого факта, а потому, что желаемъ привести его въ логическую связь съ другими основными фактами

Если указанное предложеніе принять безъ доказательства, то это будетъ значить лишь, что мы принимаемъ его въ качествѣ новой аксіомы (и при извѣстныхъ обстоятельствахъ такой образъ дѣйствій будетъ вполнѣ цѣлесообразнымъ); если же мы его доказываемъ, то устанавливаемъ этимъ, что оно логически вытекаетъ изъ прежнихъ допущеній, и слѣдовательно въ новомъ допущеніи нѣтъ необходимости. Послѣ подобныхъ предварительныхъ замѣчаній, полагаемъ, учащихся не смутитъ доказательство такой очевидной истины. Само доказательство даетъ прекрасный примѣръ примѣненія аксіомы Дедекинда, и имъ нужно воспользоваться, чтобы по возможности выяснить истинный смыслъ этой аксіомы.

Мы всѣ имѣемъ представленіе о непрерывности извѣстныхъ геометрическихъ образовъ, въ томъ числѣ — прямой и окружности; хотя это представленіе и нельзя назвать яснымъ и отчетливымъ, оно приводитъ насъ къ непоколебимому убѣжденію въ томъ, что прямая и окружность при указанныхъ выше условіяхъ пересѣкутся; что вся суть дѣла — именно въ представленіи непрерывности, легко убѣдиться, вообразивъ себѣ разсматриваемые образы въ видѣ пунктирныхъ линій: пересѣченія тогда можетъ и не быть. Но разъ представленіе непрерывности является однимъ изъ основныхъ источниковъ геометрическихъ истинъ, то оно должно послужить содержаніемъ одной изъ аксіомъ геометріи; но чтобы достигнуть этого, мы должны переработать смутное представленіе въ отчетливое понятіе. Дѣйствительно, математикамъ пришлось немало потрудиться, чтобы формулировать сущность понятія непрерывности; сравнительно недавнее и удовлетворительное рѣшеніе этого вопроса представляетъ аксіома Дедекинда; и если изъ смутнаго представленія о непрерывности прямой и окружности мы приходимъ къ непосредственному убѣжденію въ ихъ пересѣченіи, то названная аксіома позволяетъ обосновать это пересѣченіе, какъ фактъ, необходимо изъ нея вытекающія Такія соображенія, по нашему мнѣнію, способствуютъ къ уясненію одного изъ основныхъ положеній геометріи.

Аксіома Дедекинда является основой послѣдующихъ разсужденій; но для удобства изложенія лучше предварительно вывести другое предложеніе, которое можно назвать принципомъ Кантора1):

1) См. статью Витали, стр. 144 и слѣд.

Пусть даны 2 класса отрѣзковъ, при чемъ 1) всякій отрѣзокъ 1-го класса меньше всякаго отрѣзка 2-го класса, и 2) какой бы Малый отрѣзокъ s намъ ни задали, всегда найдется по отрѣзку во 2-омъ и 1-омъ классахъ, такъ что разность ихъ будетъ меньше г; тогда существуетъ одинъ и только одинъ отрѣзокъ, который не меньше всѣхъ отрѣзковъ 1-го класса и не больше всѣхъ отрѣзковъ 2-го класса.

Для доказательства нужно откладывать данные отрѣзки отъ вершины какого-нибудь луча, ограничиться точками любого отрѣзка 2-го класса, раздѣлить всѣ его точки на 2 класса и примѣнить нашу аксіому; найденная такимъ образомъ точка даетъ искомый отрѣзокъ, который будетъ къ тому же единственнымъ.

Теперь уже въ нашемъ распоряженіи имѣется все необходимое для опредѣленія длины окружности. Я перечислю всю послѣдовательность теоремъ, опустивъ, въ силу общеизвѣстности, доказательства большинства изъ нихъ. Вотъ эти теоремы (подъ многоугольниками будемъ понимать выпуклые многоугольники) :

Теор. 1. Сторона многоугольника меньше суммы остальныхъ его сторонъ.

Теор. 2. Если вершины одного многоугольника лежатъ внутри или на обводѣ другого, то периметръ перваго меньше периметра послѣдняго.

Слѣдствіе. Периметръ правильнаго описаннаго 2 п-угольника меньше периметра правильнаго ^-угольника, описаннаго около той же окружности.

Теор. 3. Периметръ всякаго многоугольника, вписаннаго въ окружность, меньше периметра всякаго многоугольника, описаннаго около той же окружности.

Здѣсь заканчивается первая группа теоремъ, гдѣ имѣлось въ виду первое условіе принципа Кантора; 2-я группа стоитъ въ связи съ его вторымъ условіемъ.

Теор. 4. Можно найти такое цѣлое положительное число п, что сторона правильнаго ^-угольника, вписаннаго въ данною окружность, будетъ меньше любого напередъ заданнаго отрѣзка.

Теор. 5. Можно найти такое цѣлое положительное число #1, что разность между радіусомъ окружности и апоѳемой правильнаго вписаннаго въ нее д-угольника будетъ меньше любого напередъ заданнаго отрѣзка.

Теор. 6. Можно найти такое цѣлое положительное число и, что разность между периметрами правильныхъ я-угольниковъ — описаннаго около данной окружности и вписаннаго въ нее — будетъ меньше любого напередъ заданнаго отрѣзка.

Я приведу доказательства этой теоремы, всецѣло основанное на теоріи пропорцій; идея доказательства заимствована у Веронезе; только въ одномъ пунктѣ его надо было исправить и нѣсколько развить (см. ниже). Введемъ обозначенія:

р^—периметръ правильнаго описаннаго ттг-угольника;

рт— » » » вписаннаго » »

г —радіусъ окружности

hm—апоѳема правильнаго вписаннаго ^-угольника,

s —заданный отрѣзокъ.

По извѣстной теоремѣ имѣемъ:

отсюда:

Возьмемъ теперь 3 отрѣзка: р^, 6, г и найдемъ для нихъ 4-й пропорціональный, который обозначимъ черезъ Л:т1); такимъ образомъ, получаемъ пропорцію:

(1)

послѣднія же двѣ пропорціи даютъ:

1) У Веронезе (l. c., parte II, p. 180) вспомогательный отрѣзокъ обозначенъ просто черезъ к, что наводитъ на мысль о его постоянствѣ; между тѣмъ этотъ отрѣзокъ несомнѣнно зависитъ отъ т. Въ связи съ этимъ пришлось нѣсколько развить доказательство теоремы.

Если окажется, что г—hm<km, то и

Рт—Рт<£,

и теорема доказана (п=т). Въ противномъ случаѣ удваиваемъ число сторонъ многоугольниковъ и, подобно предыдущему, получаемъ:

гдѣ к2т опредѣляется изъ пропорціи:

Изъ пропорцій (1) и (2), въ связи со слѣдствіемъ теоремы 2, имѣемъ:

откуда вытекаетъ неравенство:

т.-е. вспомогательный отрѣзокъ увеличивается при удвоеніи числа сторонъ многоугольниковъ.

Если теперь г—h2m<km, то и подавно г—h2m<ik2m, и теорема доказана (п=-2т). Въ противномъ случаѣ продолжаемъ удваиваніе числа сторонъ многоугольниковъ. На основаніи теоремы 5 найдемъ такое п (п =--2кт), что

тогда и подавно:

а отсюда слѣдуетъ:

р'п—рп<£, что и тр. док.

Послѣ доказательства этой теоремы уже вполнѣ подготовлена почва для примѣненія принципа Кантора.

Теор. 7. Для данной окружности существуетъ одинъ и только одинъ отрѣзокъ, который больше периметра всякаго вписаннаго въ нее многоугольника и меньше периметра всякаго описаннаго.

Образуемъ 2 класса отрѣзковъ: 1-ый классъ состоитъ изъ периметровъ вписанныхъ многоугольниковъ, 2-й—изъ периметровъ описанныхъ. Теоремы 3 и 6 показываютъ, что условія

принципа Кантора выполнены; слѣд., существуетъ одинъ и только одинъ отрѣзокъ, который не меньше всѣхъ отрѣзковъ 1-го класса и не больше всѣхъ отрѣзковъ 2-го класса. Однако равенства предположить нельзя, такъ какъ это приводитъ къ допущенію, что среди вписанныхъ многоугольниковъ имѣется многоугольникъ съ наибольшимъ периметромъ, или что среди описанныхъ имѣется многоугольникъ съ наименьшимъ периметромъ; а оба эти допущенія сейчасъ же приводятъ къ нелѣпости. Такимъ образомъ, теорема доказана.

Опредѣленіе. Длина окружности есть длина отрѣзка, который больше периметра всякаго вписаннаго въ нее многоугольника и меньше периметра всякаго описаннаго.

Теор. 8. Длины двухъ окружностей относятся какъ ихъ радіусы. Пусть радіусы нашихъ окружностей будутъ г и гг.

Если г=г15 то теорема очевидна; поэтому допустимъ, что радіусы не равны; именно, пусть г>гх. Возьмемъ прямую AB (см. чертежъ1)) и въ точкѣ А возставимъ къ ней перпендикуляръ; на послѣднемъ Отмѣтимъ точки Аг и О такъ, чтобы 0А= г и ОАх=гг\ изъ точки Аг проведемъ прямую А1В1 параллельно AB. На лучѣ AB отъ точки А будемъ откладывать отрѣзки, равные периметрамъ многоугольниковъ, вписанныхъ въ окружности радіуса г и описанныхъ около нея; на лучѣ А1В1 дѣлаемъ соотвѣтствующія построенія для окружности радіуса гх. Между многоугольниками, вписан-

1) На этомъ чертежѣ масштабъ въ горизонтальномъ направленіи — иной, чѣмъ въ вертикальномъ. Идея доказательства заимствована мною у покойнаго К. В. Фохта; принадлежитъ ли она ему или кому-либо другому, — мнѣ неизвѣстно.

ными въ обѣ данныя окружности, можно установить однозначное соотношеніе, если считать соотвѣтственными два подобныхъ многоугольника; то же самое можно сдѣлать и для описанныхъ; вытекаетъ это хотя бы изъ того, что двѣ окружности всегда находятся въ отношеніи гомотетіи. На нашемъ чертежѣ отрѣзки А M и А 1Д/1 представляютъ периметры двухъ какихъ-либо соотвѣтственныхъ многоугольниковъ, вписанныхъ въ данныя окружности; отрѣзки AN и A1N1 даютъ то же самое для описанныхъ. Такъ какъ периметры нашихъ соотвѣтственныхъ многоугольниковъ относятся какъ радіусы, то

Отсюда нетрудно доказать (отъ противнаго), что прямыя ММг и NNX пройдутъ черезъ точку О. Отложимъ теперь на лучѣ^ІВ отрѣзокъ AL=G —длинѣ 1-ой окружности; согласно опредѣленію длины окружности имѣемъ:

откуда слѣдуетъ, что точка L лежитъ между точками M и N. Соединимъ прямою точки О и L и назовемъ буквой Ьг точку, въ которой эта прямая пересѣкаетъ А1В1; на основаніи аксіомъ расположенія можно утверждать, что точка Ll всегда лежитъ между точками Мх и ІѴ1; а изъ этого вытекаетъ:

Г)........A1M1<A1L1<A1N1

{эти неравенства можно доказать также при помощи разсмотрѣнія пропорцій:

Но формула (*) говоритъ намъ, что A1L1 = Сг, т.-е. длинѣ 2-ой окружности. Наконецъ, изъ подобныхъ треугольниковъ О AL и OAxLx получаемъ:

Слѣдствіе. Отношеніе длины окружности къ діаметру есть число постоянное. Обозначивъ это постоянное число черезъ •7Г, приходимъ къ формулѣ:

С = 2лгг,

и измѣреніе окружности можно считать законченнымъ.

(Окончаніе слѣдуетъ.)

С. Богомоловъ.

Упражненія со степенями цѣлыхъ чиселъ.

Маленькое, если можно такъ выразиться, дополненіе къ статьѣ Н. А. Извольскаго въ № 8, 1915 года.

Въ качествѣ интересныхъ упражненій со степенями можно указать на слѣдующія тождества:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Правильность послѣднихъ двухъ строчекъ можетъ быть легко обнаружена, если знать выраженіе для суммы кубовъ послѣдовательныхъ чиселъ, начиная съ единицы, а именно

Тождество (5) въ этомъ случаѣ сводится къ слѣдующему

Кстати, указанная формула для суммы кубовъ можетъ быть получена изъ формулы (6), имѣющейся въ статъѣ В. И. Виткевича на стр. 208 («Мат. Вѣстникъ», ноябрь, 1915); въ этой формулѣ (б), согласно п. 2 статьи Н. С.Т. (стр. 234, декабрь, 1915) слѣдуетъ положить d—1, с=7, 6 = 12, а=6.

Е. Томашевичъ.

Замѣчанія. 1. Въ засѣданіи Московск. Математ. Кружка 28 января 1916 г. проф. Б. К. Млодзѣевскій сдѣлалъ сообщеніе (см. Хронику), въ которомъ далъ общее рѣшеніе задачи «найти числа а, Ь и с съ одной стороны и числа а', V и с' съ другой, чтобы 1 ) a + 6 + c = a' + è' + c' и 2) а2 + 62 + с2 = = а'2+&/2+с'2». Общее рѣшеніе этой задачи выразилось въ формѣ: а=тр+к, b=nq+k, c=np+mq+k; а/=лгр+/с, b'=mq-\-k, с'=mp-\-nq-\-k. Пользуясь этими формулами, можно получить сколь угодно много паръ троекъ искомыхъ чиселъ.

2. Особенно просто изыскивать такія числа въ частномъ случаѣ, когда въ каждой тройкѣ имѣются по 2 одинаковыхъ числа. Вотъ мое рѣшеніе задачи для этого частнаго случая.

Пусть имѣемъ: 1) a + 2b = ai + 2b1 и 2) a2 + 2b2 = a12+2b12. Тогда изъ 2-го ур-ія получимъ: а1—аг2 = 2 (Ь^—і2), а изъ 1-го: а—а1 = 2(Ьі—Ь). Раздѣливъ по частямъ 1-е изъ послѣдней пары ур-ій на 2-е, получимъ: aJral=bJrbl или а—b = b1—аѵ

Рѣшая совмѣстно 2 ур-ія: а-\-2Ь = а1 + 2Ь1 и a—b = bl—аг относительно а и 0, получимъ: а———~—- и о -- *—

Такъ какъ числа а и Ъ должны быть цѣлыми, то надо задавать числа и Ьі не произвольно, а такъ, чтобы ——- = цѣлому и чтобы ^1, — цѣлому. Разсматривая выраженія, легко найдемъ, что это будетъ имѣть мѣсто лишь тогда, когда а± и Ь± при дѣленіи на 3 даютъ одинаковые остатки. Послѣ этого легко находить требуемыя тройки чиселъ. Возьмемъ произвольно для ах и Ь1 два числа, дающія при дѣленіи на 3 одинаковые остатки, и такъ, чтобы 4è1—a1> 0; тогда найдемъ а и і. Напр., пусть ^=7 и ^=4; тогда а — 3 и Ь=6, т.-е. 1) 7+4+4-3+6 + 6 и 2) 72+42+42-32+62+62.

И. Извольскій.

По поводу книги Феликса Мартель, „Быстрый счетъ" (изд. 3-е, 1913 г.).

Жизнь усложняется, программа въ школахъ увеличивается, поэтому естественно введеніе какъ въ жизнь, такъ и въ школу новыхъ пріемовъ и способовъ, позволяющихъ достигать конечныхъ результатовъ съ меньшей затратой энергіи и времени. Разсматриваемая интересная книга Феликса Мартеля имѣетъ цѣлью изложить правила и пріемы быстраго устнаго счета, не прибѣгая къ письменнымъ вычисленіямъ (хотя онъ далъ и 8 правилъ для быстраго письменнаго счисленія). Возможность выполненія въ умѣ ряда вычисленій, послѣ только-что изложеннаго учителемъ того или иного ариѳметическаго положенія, дало бы возможность ученикамъ основательнѣе укрѣпить въ памяти это положеніе. Но если ученикъ рѣшаетъ задачи на то или иное ариѳметическое положеніе не сейчасъ же, а черезъ нѣсколько дней когда самое положеніе до нѣкоторой степени забылось, то ошибки ученика въ рѣшеніяхъ задачъ почти неизбѣжны и эти неудачи его, особенно если онѣ повторяются неоднократно, убѣждаютъ ученика въ неспособности прохожденія мудрой ариѳметики и онъ занимается кое-какъ. Такимъ образомъ въ цѣляхъ лучшаго усвоенія ариѳ-

метическихъ положеній необходимо введеніе въ школу пріемовъ быстраго счета или классныхъ счетныхъ приборовъ. Разсмотримъ теперь пріемы быстраго вычисленія, приведенные въ книгѣ Феликса Мартеля, «Быстрый счетъ».

Сложеніе. Если нужно сложить нѣсколько однозначныхъ чиселъ, то располагаютъ ихъ на бумагѣ въ вертикальный рядъ, отдѣляютъ по 2 числа чертами. Потомъ складываютъ постепенно каждую пару чиселъ, называя послѣ каждаго сложенія десятки и единицы суммы и не произнося другихъ словъ. Такъ, напр., если нужно сложить 7,2,3,0,3,4,9, 1 и 7, то пишемъ вертикальный рядъ и говоримъ девять; одинъ, два; одинъ, девять; два, девять; три, шесть; сумма 36 (стр. 12).

Чтобы складывать въ умѣ двухзначныя числа, надо начинать съ единицъ высшаго разряда. Такъ, напр., 64+25; мы говоримъ 60 и 20, 80; 4 и 5, 9; сумма 89. При сложеніи многозначныхъ чиселъ полезно разлагать слагаемыя на сотни и единицы. Напр. при сложеніи 329 и 415, говорятъ: 3 и 4 сотни — 7 сотенъ; 29 и 15 единицъ 44; всего 744. Если дано 2831+4717, складываютъ раньше сотни: 28 и 47 сотенъ, 75 сотенъ; 31 и 17 единицъ, 48; сумма 7548.

Конечно, «разложеніе» чиселъ можно дѣлать на разные лады. Надо дѣлать такъ, какъ удобнѣе и легче».

Въ нѣкоторыхъ случаяхъ полезно бываетъ округлить число путемъ прибавленія или вычитанія нѣсколькихъ единицъ, а затѣмъ полученную сумму исправить.

Особенно цѣнно правило перемѣщенія единицъ, заключающееся въ томъ, что для округленія одного или обоихъ слагаемыхъ отнимается въ умѣ нѣсколько единицъ и прибавляется къ другому слагаемому. Такъ, напр., при сложеніи 425+313+207, путемъ перемѣщенія единицъ, получимъ 425+310+210=945. Феликсъ Мартель находитъ полезнымъ въ нѣкоторыхъ случаяхъ находить среднее двухъ слагаемыхъ и затѣмъ это среднее умножить на 2. Съ этимъ мнѣніемъ его можно и не согласиться, такъ какъ умноженіе на 2 процессъ болѣе сложный, чѣмъ суммированіе такихъ чиселъ, какъ 50 и 50, 300 и 300, 550 и 550. Если бы у насъ среднія были не округленныя (какъ у него на примѣрахъ), а такія: 170 и 170, 240 и 240, 730 и 730, и т. д. то и въ такихъ случаяхъ, я полагаю, сложеніе среднихъ проще ихъ умноженія на 2.

Наконецъ, въ послѣднемъ правилѣ онъ рекомендуетъ при сложеніи нѣсколькихъ слагаемыхъ составить изъ нѣкоторыхъ изъ нихъ округленное число и это послѣднее складываютъ съ остальными слагаемымъ Такъ, напр., если дано 115+77+12 + +43+23, то просматривая слагаемыя видно, что 77 и 23 весьма удачно соединить въ одно слагаемое 100; 12 и 43 соеди-

няются въ 55; намъ остается теперь суммировать 115+100+55, что даетъ 270.

Всѣ эти правила практикой счетоводства давно примѣняются, но систематическое прохожденіе ихъ въ нашихъ школахъ не практикуется, о чемъ можно весьма пожалѣть, такъ какъ эти правила легко запоминаются, доступны пониманію ребенка и даютъ возможность производить быстро вычисленія.

При вычитаніи можно также съ успѣхомъ примѣнить пріемъ разложенія чиселъ и округленія. При производствѣ вычитанія съ помощью округленія вычитаемаго, необходимо полученный остатокъ исправлять, прибавляя или убавляя столько единицъ на сколько больше или меньше мы вычли. Исправленія остатка не придется дѣлать въ томъ случаѣ, если уменьшаемое тоже соотвѣтственно измѣнить.

Далѣе Ф. Мартель даетъ еще одно правило. Онъ говоритъ: Когда цифры вычитаемаго числа въ нѣсколькихъ разрядахъ, выше соотвѣтственныхъ цифръ уменьшаемаго, тогда приходится «занимать» единицы высшаго разряда и держать числа въ умѣ, а это затрудняетъ быстрый счетъ. Для избѣжанія этой трудности можно поступать слѣдующимъ образомъ: нужно отнять отъ уменьшаемаго столько единицъ (или прибавить, смотря по обстоятельствамъ), чтобы удобно было вычитать не занимая цифръ высшаго разряда и къ остатку прибавить (или вычесть) столько единицъ, на сколько мы уменьшили (или увеличили) уменьшаемое. Вотъ 2 примѣра: — ^д и —

Измѣняемъ уменьшаемыя въ примѣрахъ слѣдующимъ образомъ: —49 и _227#

Остатокъ перваго примѣра будетъ=250+9, остатокъ второго примѣра=200—13 = 187. Эти вычисленія мы могли уже сдѣлать въ умѣ. Здѣсь необходимо обратить вниманіе, что правило это Мартель выработалъ для того, чтобы «не занимать» и чтобы «не держать числа въ умѣ». Но какъ видитъ читатель его правило построено искусственно и оно уничтожаетъ лишь заемъ единицы высшаго разряда, но удержанія въ памяти отнятаго или прибавленнаго числа, мы избѣжать съ его помощью не могли. Правило это довольно сложное и, мнѣ кажется, нѣтъ необходимости вырабатывать особое правило для такихъ случаевъ, когда сразу нельзя видѣть и сдѣлать упрощенія.

Перейдемъ къ умноженію. Ф. Мартель сначала приводитъ таблицу умноженія и указываетъ на примѣрахъ, что умноженіе есть сложеніе одинаковыхъ слагаемыхъ, повторяющихся столько разъ, сколько въ другомъ множителѣ единицъ. Затѣмъ онъ указываетъ на способъ умноженія мно-

жителей 6, 7,8 и 9 съ помощью пальцевъ рукъ иллюстрируя рисунками, какъ изображать съ помощью пальцевъ 6, 7, 8 и 9, Хотя способъ этотъ давно извѣстенъ, но въ нашихъ школахъ о немъ часто не упоминаютъ, поэтому я его приведу. Такъ какъ у насъ на рукахъ 10 пальцевъ, то съ помощью вытянутыхъ пальцевъ мы можемъ изобразить любое изъ первыхъ 10 чиселъ. Такъ какъ умноженіе на пальцахъ производится только отъ 6 до 9 включительно, то можно изобразить число 6, 7, 8 и 9 одной рукой (такъ какъ на другой рукѣ всѣ пальцы будутъ вытянуты). Условились поэтому, если я показываю руку съ однимъ вытянутымъ пальцемъ и 4 другими пригнутыми къ ладони, что это будетъ число 6. Если 2 пальца вытянуты, то это будетъ 7. Если на одной рукѣ будутъ вытянуты 3 пальца, а на другой 4, то первая изображаетъ число 8, а вторая 9.

Правило умноженія на пальцахъ таково: «Обозначить пальцами данныя для умноженія числа; къ суммѣ вытянутыхъ пальцевъ, обозначающихъ десятки, прибавить произведеніе согнутыхъ пальцевъ, обозначающихъ единицы. Получится произведеніе данныхъ чиселъ»1). Хотя способъ умноженія на пальцахъ далеко не устный способъ, но Мартель счелъ нужнымъ указать на него, какъ способъ вспомогательный при устномъ счетѣ и ускоряющій вычисленіе.

Основное правило устнаго умноженія заключается въ слѣдующемъ: «Чтобы устно, безъ записи, перемножить данныя числа, умножаемъ на одно изъ чиселъ разряды другого, начиная не съ простыхъ единицъ, какъ при письменномъ умноженіи, а съ высшихъ; потомъ полученныя числа складываемъ и такъ получаемъ произведеніе». Такъ, напримѣръ,

82x8

Говоримъ 8-ю 80=640 8-ю 2= 16

Произведеніе = 656

Для облегченія устнаго умноженія полезно бываетъ иногда множителя округлить и затѣмъ исправить произведеніе. Такъ, напр., 88x7 и 62x34 можно вычислить слѣдующимъ способомъ: (90x7)—(2 х7)=630—14=616 и (60х34) + (2х34)=2040+68= =2108.

При умноженіи на 4 Мартель рекомендуетъ число дважды удвоить.

При умноженіи на 20, 30, 40, 60, 70 и 80 онъ совѣтуетъ сначала умножить на значущую цифру, а затѣмъ къ произведенію прибавить 0.

Чтобы умножить какое-нибудь число на 5,' 50, 500 и т. д. различаютъ 2 случая: если число четное, то берутъ половину

1) Стр. 44.

его и затѣмъ умножаютъ на 1, 100, 1000 и т. д., а если число нечетное, то сначала умножаютъ на 10, 100, 1000 и т. д.,а затѣмъ берутъ половину полученнаго произведенія.

При умноженіи на 9, 90 или 900, рекомендуется умножить сначала множимое на 10, 100 или 1000 и затѣмъ отъ произведенія отнять множимое.

При умноженіи на 25, 250 или 2500, умножаютъ множимое на 100, 1000 или 10000 и затѣмъ произведеніе дѣлятъ въ умѣ на 4, которое можетъ быть въ свою очередь упрощено путемъ повторнаго дѣленія полученнаго произведенія на 2. Если множимое дѣлится на 4, то Мартель совѣтуетъ сначала дѣлить его на 4, а затѣмъ умножить на 10, 1000 или 10000.

При умноженіи на 15 и 150 различаютъ 2 случая: когда множимое четное и когда оно нечетное. Въ первомъ случаѣ къ множимому прибавляютъ половину и сумму увеличиваютъ въ 10 разъ или въ 100 разъ. Во-второмъ случаѣ тоже прибавляютъ половину (отбросивъ остатокъ) и къ полученному числу подставляютъ съ правой стороны число 5 или 50. Такъ, напр., если нужно умножить 19x15 или 41 на 150, то въ умѣ рѣшаются эти задачи слѣдующимъ образомъ:

19: 2 — въ частномъ 9, 19+9=28, 285; 41: 2 — въ частномъ 20, 41+20=61, 6150.

При умноженіи на 12 и 8 умножаютъ множимое сначала на 10, а затѣмъ прибавляютъ удвоенное множимое (для 12) или отнимаютъ отъ произведенія удвоенное множимое (для 8).

При умноженіи на 19, 29, 39, 49, 59, 69, 79 или 89 Мартель рекомендуетъ умножить множимое на 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80 или 90 и отъ произведенія отнять множимое. При умноженіи на 21, 31, 41, 51, 61, 71, 81 или 91 нужно сначала умножить множимое на 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80 или 90 и къ произведенію прибавить множимое.

До сихъ поръ я излагалъ правила, приведенныя въ книгѣ г. Мартеля и, которыя, по моему мнѣнію, вполнѣ доступны пониманію ребенка и потому могутъ быть примѣнены въ начальныхъ школахъ. Эти правила нужно еще дополнить двумя его правилами, весьма тоже полезнымъ но болѣе сложными. Онъ говоритъ:

«Очень часто можно облегчить себѣ умноженіе черезъ удвоеніе одного изъ сомножителей и дѣленія пополамъ другого, отъ чего произведеніе не мѣняется». Такъ, напр., 64x18=128x9; 37x24 = 74x12; 19x120=38x60.

Другое правило. «Часто можно упрощать случаи умноженія, на видъ кажущіеся сложными, посредствомъ разложенія одного сомножителя на нѣсколько слагаемыхъ болѣе простыхъ и болѣе удобныхъ для дѣйствія»., Напр. 89X68=(89X50)+(89X20)— —(89 х2) = (8900:2)+1780—178=4450+1780—178=6230—178= =6052.

Если бы г. Мартель ограничился только изложеніемъ этихъ правилъ, то книгу его можно бы было привѣтствовать. Къ сожалѣнію при дальнѣйшемъ разборѣ книги мы увидимъ, что Мартель не ограничился этимъ. Онъ какъ бы задался цѣлью на каждый случай дать свое правило. Его не смущаетъ, что правило это не объяснимо (т.-е. не объяснимо въ простой доступной формѣ), что оно чисто эмпирическое, а потому должно быть ученикомъ зазубрено. Мало того у г. Мартеля приводятся такія правила, которыя идутъ въ разрѣзъ съ основными положеніями ариѳметики и потому эти правила ни коимъ образомъ для школьной практики не пріемлемы. Если читатель узнаетъ, что авторъ книги, Феликсъ Мартель, есть главный инспекторъ начальнаго образованія во Франціи, то ему станетъ понятно, почему я подробно остановился на изложеніи его книги.

Для одного только умноженія Мартель приводитъ 49 правилъ!! Что Мартель не стѣсняется обремененіемъ учениковъ заучиваніемъ правилъ наизусть это слѣдуетъ изъ слѣдующаго яркаго примѣра.

Излагая признакъ дѣлимости чиселъ на 4, и видимо находя, что онъ практической пользы для учениковъ имѣть не можетъ (съ чѣмъ можно согласиться) онъ прямо совѣтуетъ запомнить наизусть всѣ двухзначныя числа, дѣлящіеся на 4. А ихъ вотъ сколько: 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68, 72, 76, 80, 84, 88, 92, 96. Допустимъ, что ученикъ можетъ знать всѣ числа, дѣлящіяся на 4, до 40, такъ какъ онъ изучаетъ наизусть таблицу умноженія, но изученіе остальныхъ чиселъ есть напрасный трудъ.

Вотъ правила, которыя не подходятъ для школьной практики.

«Чтобы умножить двухзначное число на 11, дѣйствуйте такъ: 1) Если сумма цифръ этого числа не больше 9, то сложите обѣ цифры и число, обозначающее сумму, вставьте промежду цифръ даннаго числа». Напр., 17 ХІ1 умножается такъ 1+7=8. Вставляемъ 8 между 1 и 7 , получимъ 187. Это и есть искомое произведеніе. А если ученикъ 8 вставитъ между 1 и 7 , но цифры перепутаетъ. Вѣдь тогда получится 781!

2) «А если сумма цифръ даннаго для умноженія числа больше 9, тогда вставьте между цифрами числа только единицы полученной суммы цифръ; и то число, которое образуется изъ этихъ цифръ, увеличьте на 100». Напр. 84x11. Складываютъ 8 и 4. Между 8 и 4 вставляютъ 2. Получимъ 824. Прибавляютъ еще 100. Произведеніе получится = 924.

Эти правила, конечно, хотя и съ затрудненіями, можно объяснить, но составлены они такъ, что не похожи на ариѳметическія правила, а на изложеніе какого-то фокуса.

А вотъ еще: (стр. 57). «Чтобы получить произведеніе двухъ чиселъ, взятыхъ между 10 и 20, надо прибавить къ одному

изъ нихъ единицы другого; потомъ полученную сумму умножить на 10 и прибавить произведеніе единицъ». Напр. 19x14.

Дѣлается такъ: 19+4=23, 23x10=230, 4x9=36, 230 + +36=266.

Попробуйте объяснить это правило ученикамъ! Становится непонятнымъ зачѣмъ понадобилось Мартелю составленіе этого чисто эмпирическаго правила, когда этотъ примѣръ легко вычисляется и способомъ округленія сомножителей и способомъ измѣненія сомножителей въ одинаковое число разъ (увеличенія одного и уменьшенія другого) и способомъ разложенія.

Такое же правило у него есть и для чиселъ отъ 20 и до 30 (стр. 58).

А вотъ еще интересное правило (стр. 58): «Когда надо умножить два числа: одно взято между 11 и 20, другое между 21 и 30, можно дѣйствовать такъ: — Взять произведеніе единицъ. Цифра единицъ этого произведенія будетъ цифрою единицъ искомаго произведенія, а если при этомъ будутъ и десятки, то держатъ ихъ въ умѣ. Потомъ надо къ большему изъ данныхъ чиселъ прибавить удвоенную цифру единицъ меньшаго. Сюда же прибавить и тѣ десятки, которые держали въ умѣ. Вся эта сумма составитъ десятки и сотни искомаго произведенія». Напр. 28x17.

Умножаютъ такъ: 7x8=56 получили 6 единицъ искомаго произведенія, а 5 десятковъ держимъ въ умѣ. Затѣмъ къ большему числу прибавляемъ удвоенное произведеніе единицъ меньшаго и 5 десятковъ удержанныхъ въ умѣ получимъ: 28 + +(7х2)+5=47 десятковъ. Полное произведеніе=470+6=476. Но если ученикъ забывъ, что онъ послѣ полученія единицъ долженъ получить десятки и прибавить не 5 десятковъ, а (равныхъ имъ) 50 единицъ, то получимъ 28+(7 х2)+50=92; 92 + +6=98!

Нужно также замѣтить, что при перестановкѣ множителей это правило уже негодно.

«Когда требуется умножить два числа, изъ которыхъ одно взято между 10 и 20, а другое между 30 и 100, то можно брать произведеніе единицъ обоихъ чиселъ и присоединить сюда еще множимое плюсъ произведеніе его десятковъ на единицы множителя» (стр. 59) Примѣръ. 48x23. 8x3=24

48+(4хЗ)=60

Все произ.=624.

Я попробовалъ въ этомъ примѣрѣ переставить множителей. Т.-е. 13x48

Получимъ: 8x3=24 13+(1х8)=21

Все произв.=234!

На сколько нужны эти правила, которыя противорѣчатъ основнымъ положеніямъ ариѳметики, пусть судитъ читатель.

Не имѣя подлинника на французскомъ языкѣ, я не могу утверждать, что такъ излагалъ свои правила самъ Мартель. Возможно, что это крупная ошибка переводчика П. П. Мироносицкаго, но принимая во вниманіе, что эта книга выдержала уже три изданія, я не думаю, чтобы переводчикъ былъ на столько безпеченъ, чтобы ошибку свою повторять трижды.

При изложеніи упрощенныхъ письменныхъ умноженій, г. Мартель излагаетъ прекрасный способъ счетчика Форреля Недоумѣваю почему г. Мартель не распространилъ этотъ способъ и на трехзначныя и четырехзначныя числа. Получается впечатлѣніе, какъ-будто этотъ способъ годенъ только для двухзначныхъ чиселъ. На дѣленіе г. Мартелемъ приведено только 4 правила.

А. Филимоновъ.

Необходимо еще болѣе, чѣмъ это имѣетъ мѣсто въ статьѣ г. Филимонова, подчеркнуть тѣ опасности, какія имѣютъ мѣсто при пользованіи книгою Ф. Мартеля въ школѣ. Прежде всего опасно широкое пользованіе въ этой книгѣ терминомъ «правило»: какъ бы и въ самомъ дѣлѣ учащіеся не стали смотрѣть на разсматриваемые пріемы вычисленій, какъ на «правила», которыя надо запомнить и всегда ими пользоваться. Конечно, такое запоминаніе повлечетъ лишь за собою рядъ недоразумѣній, возникающихъ благодаря тому, что извѣстное правило будетъ примѣняться и къ такому случаю, къ которому оно не примѣнимо. Наибольшую опасность, какъ это и указываетъ г. Филимоновъ, представляютъ въ этомъ отношеніи тѣ сложные пріемы вычисленій, мало понятные для учащихся, какихъ въ этой книгѣ достаточно.

Но и тѣ простые пріемы, которые г. Филимоновъ рекомендуетъ проходить въ школѣ, могутъ дать поводъ къ такимъ же опасеніямъ. Если опять-таки поставить дѣло такъ, чтобы изъ этихъ пріемовъ сдѣлать рядъ правилъ, которые учащіеся обязаны примѣнять въ извѣстныхъ случаяхъ (а книга Ф. Мартеля какъ бы наталкиваетъ на такую постановку дѣла), то можно будетъ лишь пожалѣть учащихся. Однако, если указываемыми пріемами воспользоваться, какъ средствомъ для того, чтобы учащіеся поотчетливѣе усвоили смыслъ каждаго дѣйствія, то 1) можно предложить учащимся, опираясь на книгу Ф. Мартеля, много работъ, благодаря которымъ учащіеся отвыкнутъ отъ тенденціи выполнять вычисленія по заранѣе указаннымъ рецептамъ и будутъ изыскивать способы (даже и не указанные въ книги Ф. Мартеля) упрощать вычисленія, а 2) уже тогда и не придется заботиться о запоминаніи «правилъ»: кому ясно

рисуется смыслъ дѣйствія, тотъ станетъ выполнять его не на основаніи какого-то заученнаго правила, а исходя изъ этого смысла, при чемъ (если имѣется навыкъ къ этому) будетъ всячески стремиться упростить его выполненіе.

Ред.

Хроника.

Московскій Математическій Кружокъ. Въ четвергъ 28 января 1916 г. состоялось засѣданіе Кружка подъ предсѣдательствомъ проф. Б. К. Млодзѣевскаго. Сначала Б. К. Млодзѣевскій сдѣлалъ сообщеніе «Объ одной ариѳметической задачѣ» (по поводу замѣчанія Е. С. Томашевича къ докладу Н. А. Извольскаго)1). Затѣмъ А. А. Волковъ сдѣлалъ сообщеніе на тему «Проектъ новыхъ программъ преподаванія математики въ средней школѣ, составленный комиссіей при Мин. Нар. Пр.» Послѣ этого доклада были сдѣланы добавленія къ нему К. О. Лебединцевымъ и Н. В. Кашинымъ, принимавшими участіе въ работахъ указанной комиссіи. Затѣмъ отдѣльные члены Кружка высказали свои соображенія по поводу разсматриваемыхъ программъ. Н. А. Извольскій, указывая на отсутствіе принциповъ, направляющихъ работу комиссіи, на рядъ наиболѣе крупныхъ непослѣдовательностей, отсюда возникающихъ, предложилъ Кружку признать необходимымъ какъ-либо реагировать на работу комиссіи, дабы предотвратить тѣ опасности, которымъ подвергается развитіе ряда поколѣній учащейся молодежи, если эти программы войдутъ въ жизнь школы. Въ заключительномъ словѣ Предсѣдатель проф. Б. К. Млодзѣевскій, соглашаясь съ отрицательною оцѣнкою работы комиссіи, выразилъ мысль, что наибольшую цѣнность для предотвращенія грозящей нашей школѣ опасности могутъ имѣть отдѣльныя выступленія членовъ Кружка, но и Кружокъ, какъ цѣлое, долженъ какъ-либо реагировать на этотъ проектъ, для чего необходимо составить комиссію. Рядъ членовъ Кружка заявилъ о своемъ желаніи работать въ этой комиссіи.

1) См. стр. 51.

Поправка. Январь 1916 г. На стр. 8, строка 4 сверху напечатано: созерцаніе, а надо: содержаніе.

Редакторъ-издатель Н. А. Извольскій. Тип. Г. Лисснера и Д. Собко, Москва, Воздвиж., Крестовоз. п., д. № 9.