Годъ третій.

Математическій Вѣстникъ

Журналъ, посвященный вопросамъ преподаванія ариѳметики и началъ алгебры и геометріи.

№ 1.

Январь 1916 г.

МОСКВА

Математическій Вѣстникъ

№ 1. Январь 1916 г.

Годъ третій.

Адресъ редакціи: Москва, Гороховскій пер., д. 23, кв. 9. Тел.3-19-55.

Содержаніе: Отъ редакціи. — С. А. Богомоловъ. Аксіома непрерывности, какъ основаніе для опредѣленія длины окружности, площади круга, поверхностей и объемовъ круглыхъ тѣлъ.—Н.Извольскій. Объ опредѣленіи сложенія. — А. К. Замѣтка по поводу статьи Н. Ѳаддеева «Придумываніе задачъ самими учениками». — Н. Извольскій. Изъ практики на лѣтнихъ учительскихъ курсахъ. — Свѣдѣнія о книгахъ по математикѣ и ея методикѣ. — (М. Н. Іовлевъ. Геометрія въ курсѣ составныхъ именованныхъ чиселъ.— М. Н. Іовлевъ. Практическая геометрія для двухклассныхъ училищъ и среднихъ уч. заведеній.)—Книги, поступившія въ редакцію). — Объявленія.

Отъ редакціи.

Въ настоящемъ № начата печатаніемъ статья С. А. Богомолова, «Аксіома непрерывности, какъ основаніе опредѣленія длины окружности, площади круга, поверхностей и объемовъ круглыхъ тѣлъ». Несмотря на то, что содержаніе этой статьи выходитъ изъ того круга вопросовъ, которымъ посвящается «Матем. Вѣстн.», мы печатаемъ эту статью потому, что среди подписчиковъ «Матем. Вѣстн.» имѣется много преподавателей среднихъ учебныхъ заведеній, а для нихъ эта статья безъ сомнѣнія представитъ большой интересъ. По окончаніи печатанія этой статьи будетъ дана небольшая замѣтка Н. А. Извольскаго «По поводу статьи С. А. Богомолова».

Аксіома непрерывности, какъ основаніе для опредѣленія длины окружности, площади круга, поверхностей и объемовъ круглыхъ тѣлъ1).

Мм. Гг.! Вопросы, поименованные въ заголовкѣ настоящаго доклада, являются одними изъ самыхъ трудныхъ, но зато и одними изъ самыхъ интересныхъ въ курсѣ элементарной геометріи. Здѣсь вѣетъ духомъ изъ высшихъ областей математики: мы сталкиваемся съ зачатками анализа безконечно-малыхъ, основываемся на непрерывности геометрическихъ образовъ и вводимъ въ элементарную область число, играющее такую важную роль во всей математикѣ. Неудивительно, что многіе авторы учебниковъ и вообще книгъ, посвященныхъ началамъ геометріи, пробуютъ свои силы на указанныхъ вопросахъ и съ различныхъ точекъ зрѣнія подходятъ къ ихъ разрѣшенію. Представляется поэтому не безынтереснымъ намѣтить типическіе пути, предложенные различными авторами. Съ этой цѣлью въ 1-й части доклада мы сдѣлаемъ краткій обзоръ литературы, ограничиваясь тѣми русскими и иностранными работами. которыя были у насъ подъ руками.

I.

Большинство присутствующихъ знакомо, вѣроятно, съ учебникомъ А. П. Киселева2). Авторъ всецѣло основывается на теоріи предѣловъ; однако, «основное начало способа предѣловъ» (о переходѣ отъ равенства съ перемѣнными къ равенству съ ихъ предѣлами) принимается безъ доказательства; точно такъ же не доказываются нѣкоторыя предложенія о безконечно-малыхъ и предѣлахъ, которыми приходится пользоваться въ теченіе разсужденій. Длина окружности опредѣляется, какъ предѣлъ, къ которому стремится периметръ

1) Докладъ, читанный въ засѣданіи отдѣла математики при Педагогическомъ Музеѣ военно-учебныхъ заведеній.

2) А. Киселевъ, Элементарная геометрія. Изд. 21-е. Москва 1912 г.

вписаннаго въ эту окружность выпуклаго многоугольника, когда стороны его неограниченно уменьшаются. Доказательство существованія и единственности предѣла имѣется, но изложено мелкимъ штрифомъ; авторъ пользуется здѣсь тригонометрической функціей (именно, косинусомъ), такъ что, очевидно, имѣетъ въ виду учениковъ болѣе старшихъ классовъ. Въ противоположность изложенному, площадь круга принимается, какъ нѣчто само собою понятное, обладающее свойствами величины; здѣсь уже доказывается, что эта площадь есть общій предѣлъ площадей правильныхъ вписанныхъ и описанныхъ многоугольниковъ при неограниченномъ удвоеніи числа ихъ сторонъ. Подобнымъ же образомъ обстоитъ дѣло и съ объемами круглыхъ тѣлъ, но поверхности ихъ вводятся съ помощью опредѣленій. Соотвѣтственныя теоремы о существованіи и единственности предѣла (для поверхностей) не доказываются; дѣлается только ссылка на теорію предѣловъ.

Разсматриваемый учебникъ является типичнымъ представитетелемъ компромисснаго пути, при чемъ послѣдній терминъ мы понимаемъ въ двоякомъ смыслѣ; именно, нетрудно здѣсь подмѣтить, съ одной стороны, компромиссъ между требованіями чисто научными и педагогическими, другими словами, компромиссъ между логической полнотой доказательства и его непосредственной наглядностью; съ другой стороны, мы наблюдаемъ соединеніе геометрическихъ и алгебраическихъ методовъ: теорія предѣловъ есть глава изъ алгебры, которая переносится въ геометрію со спеціальною цѣлью. Значительное распространеніе учебника А.П. Киселева показываетъ, что этотъ путь двоякаго компромисса пользуется симпатіями. Вполнѣ естественно однако, что у другихъ авторовъ встрѣчаемъ попытки выйти изъ такого положенія въ ту или другую сторону; при этомъ можно стремиться или къ усиленію логическаго элемента, или поставить на первое мѣсто непосредственную наглядность; можно еще болѣе развивать алгебраическія теоріи, или заботиться о чисто геометрическомъ методѣ. Дѣйствительно, эти различныя теченія наблюдаются въ литературѣ.

Поворотъ въ сторону еще большей наглядности находимъ въ учебникѣ Филипса-Фишера1). Позволю себѣ

1) Филипсъ и Фишеръ, Элементы геометріи. Переводъ съ послѣдняго американская изданія подъ ред. В. Р. Мрочека.

указать на одну теорему (вмѣстѣ съ ея доказательствомъ) и на одно опредѣленіе; именно, на стр. 196 читаемъ: «Окружность круга больше периметра вписаннаго многоугольника. Доказательство предоставляется учащимся». На стр. 394 встрѣчаемъ такое опредѣленіе: «Боковая площадь цилиндра есть площадь его боковой поверхности». Хотя авторъ и пользуется теоріей предѣловъ, однако цитированныя строки свидѣтельствуютъ о томъ, что онъ считаетъ возможнымъ смотрѣть на длину окружности и на площадь боковой поверхности цилиндра, какъ на нѣчто непосредственно данное. Подобное воззрѣніе на природу этихъ понятій едва ли умѣстно въ систематическомъ курсѣ геометріи.

Несравненно чаще при обзорѣ литературы встрѣчаешься съ усиленіемъ логическаго элемента, которое обычно связывается съ большей разработкой алгебраическихъ методовъ. Такъ, у Ройтмана1) способъ предѣловъ изложенъ полнѣе; но вся глава объ опредѣленіи длины окружности, площади круга и пр. помѣщена въ приложеніи. Едва ли можно согласиться съ той оцѣнкой, которую даетъ авторъ своему методу (стр. 299): «...способъ предѣловъ есть не что иное, какъ способъ приближеннаго вычисленія величинъ, но только съ неограниченно - большою степенью точности». Способъ предѣловъ, дѣйствительно, даетъ намъ методы для приближеннаго вычисленія, но суть его не въ этомъ: благодаря ему, мы устанавливаемъ безукоризненно точныя предложенія.

Еще большій поворотъ въ сторону аритмизаціи вопроса и усиленія логическаго элемента находимъ у П. А. Долгушина2); въ основу положены методъ предѣловъ и опредѣленіе вещественнаго числа при помощи Дедекиндовыхъ сѣченій; имѣются всѣ необходимыя теоремы изъ теоріи предѣловъ. Но если указанныя теоріи внести въ курсъ, то изложеніе, конечно, значительно усложнится; авторъ чувствовалъ это, помѣстивъ теорію предѣловъ, какъ приложеніе, въ концѣ книги; однако, если ее опустить, — вся строгость изложенія падаетъ. Для дальнѣйшаго намъ интересно отмѣтить, что и

1) Дм. Ройтманъ, Курсъ элементарной геометріи; 2-е изд., Москва 1910.

2) П. А. Долгушинъ, Систематическій курсъ геометріи. Кіевъ 1912.

въ разсматриваемомъ учебникѣ площадь сегмента, объемы сферическаго кольца и слоя разсматриваются какъ нѣчто, уже съ самаго начала имѣющее характеръ величины, которая стоитъ въ опредѣленныхъ отношеніяхъ къ другимъ величинамъ; эти объемы и площадь находятся, какъ суммы или разности другихъ объемовъ и площадей.

Простота и строгость изложенія удачно сочетаются у Гадамара1); но это происходитъ лишь благодаря тому, что въ критическихъ мѣстахъ авторъ просто ссылается на Таннери («Leçons d'Arithmétique»). Къ сожалѣнію, рѣдкій преподаватель можетъ послѣдовать этому примѣру. Отмѣтимъ, что и здѣсь площадь сегмента и объемъ сферическаго кольца разсматриваются такъ же, какъ и у названнаго выше автора.

Въ «Справочникѣ математическаго образованія» Киллинга и Гофештадта2) рекомендуется послѣдовательное примѣненіе принципа Кавальери при вычисленіи объемовъ; самъ же принципъ (съ извѣстными ограниченіями) доказывается на основаніи теоріи предѣловъ и ирраціональныхъ чиселъ (эти же теоріи лежатъ въ основѣ опредѣленія длины окружности и площади круга); при этомъ объемъ всякаго тѣла разсматривается, какъ нѣчто само собою понятное, имѣющее характеръ величины. Что касается боковыхъ поверхностей цилиндра и конуса, то, по мнѣнію авторовъ, методъ развертыванія ихъ — очень нагляденъ и пригоденъ для школы; но, при желаніи, механическихъ соображеній можно избѣжать и рѣшить всѣ подобные вопросы по обычному способу.

Большія претензіи на полное осуществленіе логическаго метода и вмѣстѣ съ тѣмъ на упрощеніе всей системы геометріи имѣетъ книга Гальстеда3), которая написана подъ несомнѣннымъ вліяніемъ Гильберта. Однако авторъ въ своемъ желаніи избѣгать всякихъ затрудненій идетъ слишкомъ далеко и не всегда удачно разрубаетъ гордіевы узлы. Такъ, формулировавъ по Гильберту первыя 4 группы аксіомъ, авторъ впервые допускаетъ аксіому Архимеда тамъ, гдѣ приступаетъ къ опредѣленію длины окружности и площади круга;

1) Hadamard, Leçons de Géométrie élémentaire, I, II.

2) W. Killing und H.Hovestadt, Handbuch des mathematischen Unterrichts, Bd. I, II.

3) Halsted, Rational Geometry; New-Iork, 1907.

повидимому, онъ полагаетъ, что эта аксіома уже сообщаетъ геометрическимъ образамъ свойство непрерывности (стр. 129). На самомъ же дѣлѣ требуется нѣчто большее (см. ниже), и автору сейчасъ же приходится принять безъ доказательства предложеніе, къ которому сводится въ сущности весь вопросъ; именно, онъ постулируетъ, что съ каждой дугой ассоціируется вполнѣ опредѣленный отрѣзокъ, при чемъ если дуга разложена на двѣ части, то ея отрѣзокъ равенъ суммѣ отрѣзковъ, соотвѣтствующихъ обѣимъ частямъ; указанный отрѣзокъ называется длиной дуги. Точно такъ же принципъ Кавальери, который играетъ въ разсматриваемой книгѣ существенную роль при опредѣленіи объемовъ, принимается безъ доказательства1). Нельзя обойти молчаніемъ также опредѣленіе поверхности шара; ея площадь, по словамъ автора (стр. 191), есть «частное отъ объема шара на одну треть его радіуса»; и о поверхности шара болѣе не говорится ни одного слова. Сказаннаго достаточно, чтобы притти къ заключенію, что характеръ книги плохо отвѣчаетъ ея гордому названію: «Раціональная геометрія». Причина неудачи Гальстеда лежитъ, какъ намъ кажется ^ въ отсутствіи подходящей аксіомы непрерывности, и отчасти повиненъ въ этомъ самъ Гильбертъ. Къ затронутому здѣсь вопросу мы вернемся нѣсколько ниже.

Большинство указанныхъ до сихъ поръ авторовъ кладутъ въ основу своего изложенія алгебраическія теоріи, почему геометрическая сторона дѣла отодвигается у нихъ на второй планъ. Рѣзкій разрывъ съ традиціей и попытку развить геометрическую точку зрѣнія находимъ у Н. А. Извольскаго2). Исходное положеніе автора — возможность разсматривать кругъ, какъ правильный многоугольникъ съ безконечно - большимъ числомъ сторонъ; вслѣдствіе этого на кругъ распространяются тѣ свойства правильныхъ многоугольниковъ, которыя имѣютъ мѣсто при любомъ числѣ сторонъ; отсюда, напр., получается теорема, что длины двухъ окружностей относятся,

1) Онъ обозначается тѣмъ же словомъ «assumption», что и аксіомы (стр. 191).

2) Н. Извольскій, Геометрія на плоскости; 2-е изд. См. также докладъ на 2-мъ Всероссійскомъ Съѣздѣ преподавателей математики: «Къ вопросу объ опредѣленіи длины окружности» и пренія по этому докладу (Дневникъ съѣзда, № 4).

какъ ихъ радіусы. Площадь круга находится съ помощью подобныхъ же разсужденій; но затѣмъ мелкимъ шрифтомъ дается другой выводъ, гдѣ говорится о двухъ классахъ площадей и о пограничной площади (см. «Геометрія на плоскости,» стр. 289—290); тѣмъ не менѣе авторъ отдаетъ рѣшительное предпочтеніе своей основной концепціи1). Точка зрѣнія Н. А. Извольскаго — одна изъ блестящихъ эвристическихъ идей въ духѣ XVIII вѣка; это было время великихъ открытій въ математикѣ, но обоснованіе ихъ не всегда сопровождалось разсужденіями, которыя мы могли бы признать безукоризненными. Пишущій эти строки не станетъ возражать противъ законности понятія объ актуально безконечныхъ совокупностяхъ; но если мы станемъ разсматривать окружность, какъ «комплексъ вершинъ правильнаго многоугольника», то невольно возникаетъ вопросъ: что же будутъ представлять изъ себя стороны этого многоугольника? Въ добавленіи къ своему докладу, изданному отдѣльной брошюрой2), Н. А. Извольскій указываетъ, что подъ стороной многоугольника онъ понимаетъ всю безконечную прямую, и въ случаѣ круга сторонами будутъ служить его касательныя; далѣе говорится о томъ, что при конечномъ числѣ вершинъ на каждой сторонѣ выдѣляется нѣкоторый отрѣзокъ, и совокупность всѣхъ такихъ отрѣзковъ даетъ периметръ многоугольника; если же число вершинъ безконечно велико, то на сторонахъ мы уже не представляемъ соотвѣтствующихъ отрѣзковъ, но приходимъ къ представленію о периметрѣ круга съ помощью его выпрямленія. Во всякомъ случаѣ нельзя отрицать, что здѣсь имѣется существенная разница между обоими случаями, которая можетъ послужить источникомъ для недоразумѣній различнаго рода; и если мы пожелаемъ устранить изъ разсматриваемаго воззрѣнія на окружность все двусмысленное и неясное, то намъ не останется ничего другого, какъ продѣлать эволюцію математической мысли въ XIX столѣтіи и притти къ теоріи предѣловъ. Н. А. Извольскій относится отрицательно къ примѣненію этого метода, такъ какъ обычно отсутствуетъ научная теорія ирраціональныхъ чиселъ; выпадъ этотъ — весьма

1) См. «Математическій Вѣстникъ» 1915 г. № 6, стр. 186.

2) Н. А. Извольскій, Къ вопросу объ опредѣленіи длины окружности. Москва 1914 г.

сильный, и съ нимъ необходимо считаться, только онъ не укрѣпляетъ позиціи самого автора.

Въ учебникѣ Мерэ1) все построено на идеѣ движенія: авторъ широко черпаетъ изъ этой области созерцаніе для своихъ аксіомъ; но если просмотрѣть первыя страницы книги, то трудно согласиться съ авторомъ, что избранный имъ путь ведетъ къ наиболѣе простому обоснованію геометріи; причиной тому и число и форма аксіомъ. Мы встрѣчаемъ въ разсматриваемомъ учебникѣ нѣкоторыя теоремы о предѣлахъ; но авторъ имѣетъ дѣло и съ геометрическими перемѣнными, напр., дуга является предѣльнымъ положеніемъ ломаной. Въ основу опредѣленія длины кривой вообще и величины кривой поверхности кладется слѣд. постулатъ: если измѣряемая геометрическая перемѣнная стремится къ предѣлу, то измѣряющая ее ариѳметическая перемѣнная стремится къ мѣрѣ предѣла первой (стр. 203). На этомъ основаніи длина дуги опредѣляется какъ число, которое служитъ предѣломъ длины ломаной линіи, имѣющей эту дугу своимъ предѣльнымъ положеніемъ (стр. 207). Въ постулатѣ мѣра предѣла какъ будто бы предполагается уже извѣстной; но въ первомъ случаѣ его Приложенія эта мѣра опредѣляется на основаніи самого же постулата; очевидно, надо измѣнить его формулировку, чтобы избѣжать порочнаго круга.

Смѣшанный методъ мы находимъ также въ извѣстной книгѣ Вебера и Вельштейна2). Въ планиметріи разсужденіе ведется безъ метода предѣловъ, и мы все время имѣемъ дѣло съ отрѣзками. При опредѣленіи длины окружности дѣлается ссылка на 1-й томъ, гдѣ (цитирую по 2-му нѣмецкому изданію) указана аксіома, подобная аксіомѣ Дедекинда. Естественно возникаетъ вопросъ: почему эта аксіома не приведена и не разработана во II томѣ, посвященномъ основаніямъ геометріи? И здѣсь сказывается то же самое, на что мы натолкнулись при анализѣ книги Гальстеда: особенность воззрѣній Гильберта на аксіому непрерывности въ геометріи, а вліяніе геттингенскаго ученаго чув-

1) Ch. Méray, Nouveaux éléments de Géométrie», Dijon 1906.

2) Weber и Wellstein, Энциклопедія элементарной математики; томъ II, книга 1: «Основанія геометріи». Переводъ подъ ред. и съ примѣчаніями прив.-доц. В. Кагана.

ствуется и въ энциклопедіи Веберъ-Вельштейна. Какъ извѣстно, въ 1 изданіи «Основъ геометріи» Гильбертъ далъ лишь одну аксіому непрерывности, именно аксіому Архимеда; Пуанкарэ и Веронезе указали ему, что одна эта аксіома еще не сообщаетъ непрерывности пространству1). Въ послѣдующихъ изданіяхъ своей книги Гильбертъ исправилъ ошибку, пополнивъ послѣднюю группу еще одной аксіомой, именно «аксіомой полноты», которая имѣетъ примѣчательную форму: «Элементы (точки, прямыя, плоскости) геометріи образуютъ систему объектовъ, которую невозможно расширить при удержаніи въ силѣ всѣхъ названныхъ выше аксіомъ». Авторъ утверждаетъ, что съ помощью аксіомы полноты можно установить существованіе границы, соотвѣтствующей Дедекиндову сѣченію2). Мы готовы согласиться съ этимъ утвержденіемъ; но какой окольный путь придется пройти, чтобы добраться до предложенія, положеннаго Дедекиндомъ въ основу ученія о непрерывности. Во всякомъ случаѣ надо признать неудачною формулировку у Гильберта аксіомы непрерывности, которая. въ противоположность аксіомѣ Дедекинда, не можетъ быть непосредственно примѣняема къ доказательству геометрическихъ истинъ. Особенность воззрѣній Гильберта на Непрерывность сказалась между прочимъ у Вебера и Вельштейна въ томъ, что они считаютъ возможнымъ доказать теорему о пересѣченіи окружности съ прямою «какъ на основаніи аксіомы Архимеда, такъ и на основаніи аксіомы Дедекинда» (стр. 271); между тѣмъ этого можно достигнуть только съ помощью послѣдней, что и отмѣчено редакторомъ русскаго изданія. Точно такъ же насъ не вполнѣ удовлетворяетъ доказательство теоремы: «длины двухъ окружностей относятся, какъ ихъ радіусы» (стр. 311); именно, не совсѣмъ ясно, почему отъ отношенія периметровъ подобныхъ многоугольниковъ можно перейти къ отношенію длинъ окружностей; послѣдніе отрѣзки, опредѣляемые на основаніи аксіомы Дедекинда, занимаютъ исключительное положеніе,

1) См. В. Каганъ, Основанія геометріи. Историческій очеркъ развитія ученія объ Основаніяхъ геометріи, стр. 537.

2) Hilbert, Grundlagen der Geometrie, dritte Auflage, p. 22—23.

и не мѣшало бы подробнѣе выяснить, почему они стоятъ другъ къ другу въ томъ же самомъ отношеніи. Въ стереометріи1) авторы, съ одной стороны, готовы для облегченія трудностей прибѣгнуть къ «наивной интуиціи пространства»; съ другой — они говорятъ объ общихъ условіяхъ существованія чиселъ, выражающихъ объемы. Безъ особенной строгости доказывается принципъ Кавальери, и на немъ основано вычисленіе нѣкоторыхъ объемовъ. При выводѣ поверхности цилиндра послѣдній разсматривается, какъ призма съ безконечно-большимъ числомъ граней; подобнымъ же образомъ поступаютъ авторы и съ конусомъ. Поверхность шара разлагается на безконечно-большое число безконечно-малыхъ поясовъ, которые разсматриваются, какъ боковыя поверхности усѣченныхъ конусовъ. По поводу подобнаго метода мы уже имѣли случай высказаться.

Бросается въ глаза, что авторы разбираемой книги подходятъ къ интересующимъ насъ вопросамъ съ различныхъ точекъ зрѣнія въ различныхъ случаяхъ; хотя ихъ книга и называется «энциклопедіей», но подобная мозаика методовъ едва ли умѣстна въ вопросахъ, по существу однородныхъ.

С. А. Богомоловъ.

(Продолженіе слѣдуетъ.)

Объ опредѣленіи сложенія.

Почти всѣ учебники ариѳметики начинаютъ статью о сложеніи цѣлыхъ чиселъ опредѣленіемъ этого дѣйствія. Можно указать 3 типа опредѣленій сложенія:

I. Сложеніе есть ариѳметическое дѣйствіе, при помощи котораго къ одному числу присчитывается столько единицъ, сколько ихъ находится въ другомъ.

Иногда это опредѣленіе появляется почти точно въ вышеприведенной формѣ; иногда форма нѣсколько измѣняется а именно: «сложить два числа значитъ къ первому присчитать послѣдовательно всѣ единицы второго» (Ѳ. И. Егоровъ. Методика ариѳметика. Изданіе 6-е), или «сложить два числа значитъ къ первому присчитать столько единицъ, сколько ихъ въ другомъ» (К. Н. Рашевскій. Краткій курсъ ариѳметики. Изд. 2-е).

1) Здѣсь имѣю въ виду нѣмецкое 1-ое изданіе.

II. Сложеніе есть ариѳметическое, дѣйствіе при помощи котораго узнаютъ число, содержащее столько единицъ, сколько ихъ во всѣхъ данныхъ числахъ вмѣстѣ (это опредѣленіе дано и въ моемъ учебникѣ).

Опять-таки такое опредѣленіе варьируется въ разныхъ учебникахъ. Напр., въ новомъ изданіи ариѳметики А. Малинина и К. Буренина (34-е изданіе) имѣются нѣкоторыя несущественныя измѣненія сравнительно съ вышеданнымъ опредѣленіемъ, среди которыхъ обращаетъ на себя вниманіе отсутствіе слова «вмѣстѣ».

III. Сложеніе есть ариѳметическое дѣйствіе, при помощи котораго находится сумма данныхъ чиселъ.

Такое опредѣленіе требуетъ предварительнаго разъясненія понятія «сумма». Это дѣлаютъ различно. Напр., М. Б. Кюрзенъ въ своемъ «Систематическомъ курсѣ ариѳметики» (изд. 4-е) даетъ опредѣленіе: «число, содержащее столько единицъ, сколько ихъ заключается во всѣхъ данныхъ числахъ вмѣстѣ, называется суммою этихъ чиселъ». Такое опредѣленіе суммы приближаетъ и опредѣленіе сложенія ко II типу. А. П. Киселевъ въ своемъ «Систематическомъ курсѣ ариѳметики» (изданіе 10-е, — болѣе позднихъ у меня подъ рукою въ настоящее время не имѣется) просто говоритъ: «Два или нѣсколько чиселъ могутъ быть соединены въ одно число, называемое ихъ суммою».

Неоднократно въ педагогической литературѣ высказывались сомнѣнія въ законности такихъ опредѣленій сложенія и даже вообще въ возможности составить опредѣленіе сложенія.

Въ самомъ дѣлѣ, разсмотримъ вышеуказанныя опредѣленія. Опредѣленія перваго типа содержатъ одно слово, вызывающее сомнѣніе, а именно «присчитывается». Сомнѣніе таково: не является ли это слово «присчитывается» синонимомъ слова «прикладывается» или «прилагается», и, если это такъ, то какую же цѣнность имѣетъ опредѣленіе: сложеніе есть дѣйствіе, при помощи котораго къ одному числу прилагается столько единицъ, сколько ихъ въ другомъ? Опредѣленія второго типа также содержатъ одно слово, а именно слово «вмѣстѣ», которое вызываетъ мысль: а не является ли это слово «вмѣстѣ» въ сущности тѣмъ же, что и слово «сложеніе»? Конечно, пропускъ этого слова (какъ дѣлаютъ нѣкоторые авторы) не помогаетъ, ибо оно само собою предполагается въ выраженіи «во всѣхъ данныхъ числахъ». Третій типъ опредѣленія сложенія требуетъ предварительнаго опредѣленія термина «сумма». Если, какъ это дѣлаетъ М. Б. Кюрзенъ предварительно дать опредѣленіе понятію «сумма», то мы придемъ къ одному изъ предыдущихъ сомнѣній, а если, какъ это дѣлаетъ А. П. Киселевъ, понятіе «сумма» вовсе оставить безъ опредѣленія, то зачѣмъ же давать опредѣленіе сложенія въ видѣ фразы «сложеніе есть дѣйствіе, при помощи котораго

находится сумма данныхъ чиселъ». Такая фраза, безъ опредѣленія понятія «сумма», является въ сущности наборомъ словъ.

Возможно спорить противъ этихъ сомнѣній; возможно, напримѣръ, указывать, что въ опредѣленіяхъ перваго типа слово «присчитывается» вовсе не является замаскированнымъ словомъ «прилагается», а является словомъ, сводящимъ новую операцію, сложеніе, къ основной ариѳметической операціи, къ счету; возможно также указывать, что слово «вмѣстѣ» въ опредѣленіяхъ второго типа выражаетъ собою слѣдующее сложное понятіе: если мы имѣемъ 2 группы предметовъ, то каждую изъ нихъ мы можемъ оцѣнить числомъ, если же эти 2 группы соединить въ одну группу, то новая группа также можетъ быть оцѣнена числомъ,—сложеніе имѣетъ цѣлью находить послѣднее число по даннымъ двумъ первымъ числамъ, и это слово «вмѣстѣ» до нѣкоторой степени символизируетъ тотъ процессъ надъ данными числами, который соотвѣтствуетъ соединенію двухъ группъ предметовъ въ одну группу; возможно, наконецъ, указывать, что неизбѣжно каждое опредѣленіе должно содержать въ себѣ какія-либо ранѣе усвоенныя понятія и что неизбѣженъ случай, когда придемъ къ такимъ понятіямъ, которыя уже не могутъ быть опредѣлены черезъ болѣе простыя, откуда явится возможность защищать опредѣленія 3-го типа: понятіе о сложеніи опредѣляется при помощи понятія о суммѣ, а послѣднее уже не можетъ быть сведено къ болѣе простымъ.

На эти возраженія возможны опять контръ-возраженія. Напр., дѣйствіе «сложеніе» не есть счетъ, а между тѣмъ слово «присчитывается», понимаемое въ только что указанномъ смыслѣ, отождествляетъ сложеніе со счетомъ; если понимать слово «вмѣстѣ» въ томъ- сложномъ его значеніи, какое дано выше, то не нарушается ли основная цѣль опредѣленія, согласно которой опредѣляемое понятіе должно сводиться къ другимъ, болѣе элементарными Наконецъ, правда ли что понятіе «сумма» является основнымъ, а понятіе «сложеніе» его производнымъ, не вѣрнѣе ли думать обратно, что понятіе «сумма» есть производное отъ понятія «сложеніе»? — на это наводитъ то обстоятельство, что, чтобы получить сумму, надо выполнить сложеніе, и т. д. и т. д.

Итакъ, возможенъ споръ. Рѣшить, какая изъ сторонъ въ этомъ спорѣ права, является трудно выполнимою задачею. Но разъ такой споръ возможенъ, то, думается, должно отказаться отъ мысли заставлять учащихся заучивать эти спорныя опредѣленія. Нецѣлесообразно съ педагогической точки зрѣнія заставлять дѣтей заучивать опредѣленія, вызывающія сомнѣнія, не ознакомляя ихъ съ сущностью этихъ сомнѣній. Но послѣднее невозможно; слѣдовательно, должно отказаться и отъ заучиванія опредѣленія сложенія.

Да и во всемъ дальнѣйшемъ курсѣ въ сущности никогда не приходится опираться на опредѣленіе сложенія, и это обстоятельство опять-таки приводитъ къ заключенію о нецѣлесообразности заучивать опредѣленіе сложенія.

На иной точкѣ зрѣнія стоитъ французскій учебникъ ариѳметики Э. Бореля. Вотъ начало статьи о сложеніи1):

«Пусть имѣются два мѣшечка, въ которые насыпаны шарики; если мы переложимъ всѣ шарики въ третій мѣшечекъ, то мы скажемъ, что число шариковъ, заключающихся въ третьемъ мѣшечкѣ, есть сумма чиселъ шариковъ, заключающихся въ первыхъ двухъ мѣшечкахъ. Дѣйствіе, имѣющее цѣлью найти сумму двухъ (или нѣсколькихъ) извѣстныхъ намъ чиселъ, называется сложеніемъ».

Здѣсь все-таки еще имѣется опредѣленіе сложенія2), хотя оно напечатано обычнымъ шрифтомъ и даже не начато съ новой строки, что показываетъ, что авторъ не желаетъ обращать на него особаго вниманія, и такъ же, какъ III типъ разсмотрѣнныхъ опредѣленій, оно сводитъ понятіе о сложеніи къ понятію о суммѣ. Однако Э. Борель не даетъ опредѣленія понятія «сумма», какъ это сдѣлано въ учебникѣ г. Кюрзена, но и не предполагаетъ, что это понятіе «сумма» уже является само собою извѣстнымъ, какъ это сдѣлано въ учебникѣ г. Киселева. Нѣтъ, г. Борель обращается къ предметамъ, даетъ опредѣленный процессъ, совершаемый надъ этими предметами (было сначала 2 группы шариковъ — въ двухъ различныхъ мѣшкахъ— затѣмъ изъ нихъ образована одна группа — шарики ссыпаны въ одинъ мѣшокъ) и считаетъ это образное воспроизведеніе достаточнымъ для установленія новаго понятія «сумма двухъ чиселъ». И нельзя не согласиться съ цѣлесообразностью такого пріема: вѣдь первое назначеніе цѣлыхъ чиселъ состоитъ въ томъ, чтобы ими оцѣнивать группы предметовъ; такъ какъ надъ группами предметовъ могутъ быть выполняемы нѣкоторые процессы, въ результатѣ которыхъ получаются новыя группы, то естественно видѣть въ этихъ процессахъ и причину возникновенія понятія о дѣйствіяхъ надъ цѣлыми числами и причину возникновенія понятія объ результатахъ дѣйствій.

1) Беру изъ русскаго перевода этой книги: Эмиль Борель, Ариѳметика. Первый циклъ. Переводъ Ал. Долгова подъ редакціею Д. Волковскаго. Москва 1910.

2) Слѣдуетъ отмѣтить, что Э. Борель даетъ къ этому опредѣленію поясненіе: «Говоря точнѣе, при сложеніи мы должны умѣть написать по десятичной системѣ сумму нѣсколькихъ данныхъ чиселъ, написанныхъ также по десятичной системѣ». Это поясненіе кажется крайне страннымъ: какъ будто бы понятіе о сложеніи не существовало бы, если бы числа писались не по какой-либо системѣ счисленія, а для каждаго числа существовалъ бы свой знакъ.

Возникаетъ все же сомнѣніе въ правильности и такой постановки вопроса. Дѣло въ томъ, что, конечно, чтобы получить общую группу шариковъ (число, оцѣнивающее эту общую группу — въ третьемъ мѣшкѣ, — названо «суммою»), необходимо предварительно выполнить нѣкоторый процессъ (ссыпать шарики изъ двухъ мѣшковъ въ третій); почему же въ такомъ случаѣ въ первую очередь вниманіе обращается на результатъ этого процесса, а не на самый процессъ?

Въ виду этого возникаетъ возможность такъ подойти къ вопросу о сущности сложенія. Мы знаемъ, что существуетъ процессъ, позволяющій изъ двухъ группъ предметовъ составить новую группу, придвигая одну группу къ другой (напр., какъ у Э. Бореля, ссыпая шарики изъ двухъ мѣшковъ въ третій и т. п.) Если мы отъ группъ предметовъ перейдемъ къ числамъ, при помощи которыхъ эти группы могутъ быть оцѣнены, то мы должны признать, что существуетъ нѣкоторый переходъ отъ двухъ чиселъ, которыми оцѣниваются начальныя двѣ группы предметовъ, къ третьему, которымъ оцѣнивается новая группа предметовъ, и этотъ переходъ, соотвѣтствующій соединенію двухъ группъ предметовъ въ одну, и является ариѳметическимъ дѣйствіемъ — сложеніемъ, а число, служащее результатомъ этого перехода, и есть сумма двухъ данныхъ чиселъ. Такимъ образомъ, понятіе о сложеніи складывается въ нашемъ сознаніи подъ вліяніемъ тѣхъ опытовъ, какіе мы можемъ воспроизвести надъ группами предметовъ и сущность которыхъ состоитъ въ соединеніи двухъ группъ предметовъ въ одну. При такой точкѣ зрѣнія на дѣло, конечно, уже не можетъ быть и рѣчи объ опредѣленіи сложенія, и возможны лишь два вопроса: 1. Нельзя ли привести въ большую систему тѣ процессы, какіе могутъ быть совершаемы надъ группами предметовъ? 2. Какъ должно относиться къ понятію о сложеніи при обученіи дѣтей ариѳметикѣ? Первый вопросъ относится къ вѣдѣнію недавно возникшей отрасли математики, называемой «ученіе о конечныхъ множествахъ»,— въ настоящей статьѣ не умѣстно на немъ останавливаться; второй вопросъ является однимъ изъ существенныхъ для дѣла обученія, и настоящая статья должна на немъ остановиться.

Прежде всего изъ предыдущаго явствуетъ, что вовсе долженъ быть выкинуть изъ педагогическаго обихода вопросъ: что называется сложеніемъ? Выбросить этотъ вопросъ изъ педагогическаго (и въ особенности изъ экзаменаціоннаго) обихода необходимо потому, что нельзя дать отвѣта на этотъ вопросъ такого, который не вызывалъ бы сомнѣнія, —нельзя свести эту первую ариѳметическую операцію къ другимъ болѣе простымъ потому, что такихъ операцій по существу вовсе нѣтъ (попытка свести сложеніе къ счету будетъ разобрана ниже). Далѣе нецѣлесообразнымъ является также требованіе отъ учащихся умѣніе выяснить сущность сложенія такъ, или

приблизительно такъ, какъ это сдѣлано выше. Нецѣлесообразно это потому, что 1) сознанію маленькихъ учащихся еще чуждо стремленіе задумываться надъ вопросомъ о сложеніи, и вопросъ о сущности сложенія можетъ быть выдвинутъ лишь въ самыхъ старшихъ классахъ среднихъ учебныхъ заведеній, 2) маленькіе учащіеся, которые лишь только пріобрѣтаютъ навыкъ въ выполненіи дѣйствій, не могутъ владѣть словами такъ, чтобы сдѣлать описаніе сущности сложенія достаточно понятнымъ. Необходимымъ поэтому является лишь одно: надо учить сложенію съ самыхъ первыхъ шаговъ такъ, чтобы вышеописанная сущность этого дѣйствія постепенно запечатлѣвалась въ формѣ опредѣленнаго образнаго представленія въ сознаніи учащихся. И несомнѣнно, что именно такъ и ведется обычно въ начальныхъ школахъ обученіе сложенію: на счетахъ, при помощи кубиковъ, при помощи шариковъ на счетномъ приборѣ Лая или при помощи какихъ-либо иныхъ наглядныхъ пособій, вниманіе учащихся обращается сначала на 2 группы предметовъ, при чемъ каждая изъ нихъ оцѣнивается числомъ (напр., на счетномъ приборѣ Лая мы разсматриваемъ двѣ группы шариковъ, раздѣленныхъ палочкою въ родѣ: JJj J®и прежде всего спрашиваемъ, сколько шаровъ слѣва отъ палочки и сколько справа отъ нея); затѣмъ эти группы соединяются въ одну (напр. сдвигаются вмѣстѣ двѣ группы кубиковъ и т. п.) и она также оцѣнивается числомъ. Въ зависимости отъ того направленія методики ариѳметики, котораго придерживается учитель, это соединеніе двухъ группъ въ одну выполняется иногда сразу (напр., на счетахъ Лая—снимаютъ палочку, раздѣляющую двѣ группы шариковъ), иногда постепенно {напр. придвигаютъ къ одной группѣ косточекъ, отложенныхъ на счетахъ, другую не сразу, а по одной косточкѣ), но во всякомъ случаѣ этотъ процессъ соединенія двухъ группъ въ одну, въ формѣ ли придвиганія, въ формѣ ли удаленія границы между двумя группами или въ какой-либо иной формѣ, совершается передъ учащимися, и наблюденіе этого процесса даетъ прочную основу для уясненія сущности сложенія1).

Мало того, даже въ тѣ моменты обученія, когда еще не начинаютъ учить дѣтей сложенію, а лишь знакомятъ дѣтей съ числами, уже зарождается въ сознаніи дѣтей представленіе о сущности сложенія. Въ самомъ дѣлѣ, основною задачею при ознакомленіи дѣтей съ числами является задача о правильной оцѣнкѣ числами группъ предметовъ. Если имѣется какая-либо

1) При случаѣ мы вернемся къ вопросу о различныхъ формахъ, въ какихъ при обученіи сложенію показывается соотвѣтствующій процессъ надъ группами предметовъ и къ вопросу о цѣнности этихъ различныхъ формъ.

группа предметовъ, напр. группа точекъ ••• то при отвѣтѣ на вопросъ: сколько здѣсь точекъ? уже можетъ возникнуть въ сознаніи учащагося нѣчто, соотвѣтствующее процессу соединенія двухъ группъ предметовъ въ одну, такъ какъ всякую группу этихъ предметовъ (напр. точекъ) возможно въ воображеніи сначала разбить на 2 (а можетъ быть и на большее число) по какимъ-либо признакамъ (напр., на предыдущемъ рисункѣ случайно можетъ быть выдѣлена группа, образующая крестъ ••• а затѣмъ уже вниманіе учащихся обратится на группу остальныхъ точекъ). Все это служитъ достаточнымъ ручательствомъ того, что представленіе о процессѣ, соотвѣтствующемъ сложенію, достаточно прочно закрѣпляется въ сознаніи учащихся, и требовать отъ нихъ какія-либо словесныя поясненія на вопросъ «что такое сложеніе?» хотя бы и не въ формѣ опредѣленій, не только не цѣлесообразно, но даже опасно, такъ какъ эти словесныя поясненія могутъ лишь затуманить то, что ясно рисуется безъ словъ.

Въ заключеніе разсмотрѣнія вопроса о сложеніи остановимся на разсмотрѣніи другого способа, болѣе отвлеченнаго, выясненія сущности сложенія. Этотъ второй способъ опирается на слѣдующее исходное положеніе: ариѳметика цѣлыхъ чиселъ занимается изученіемъ операцій въ предѣлахъ такъ назыѣаемаго натуральнаго ряда, т.-е. ряда 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, И, 12, 13, 14, 15...; члены этого ряда и являются тѣмъ матеріаломъ, надъ которымъ должна работать ариѳметика.

Тогда истолковать сложеніе возможно такъ: 1) Примѣръ: 7+5 — значитъ найти въ натуральномъ ряду 5-е число послѣ 7. 2) Общій случай: а+в—значитъ найти въ натуральномъ ряду число за № в послѣ а. Однако, если передъ нами имѣется натуральный рядъ чиселъ:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15...,

то мы, въ сущности, не прибѣгая къ помощи чего-либо еще,, къ помощи какого-либо процесса, безсильны указать то число въ этомъ ряду, которое занимаетъ, какъ надо въ нашемъ примѣрѣ, пятое мѣсто послѣ 7. И приходится использовать слѣдующій процессъ (возможно, конечно, придать ему различныя формы): воспроизведемъ еще разъ натуральный рядъ рі передвинемъ его такъ, чтобы первое число новаго ряда совпало бы съ первымъ числомъ послѣ 7 прежняго ряда;, получимъ такое расположеніе этихъ двухъ рядовъ:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, И, 12, 13, 14...,

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9...,

Тогда число 5 второго ряда укажетъ намъ на искомое число (т.-е. на 12) перваго ряда.

Легко увидать, что это новое толкованіе сложенія вполнѣ совпадаетъ съ прежнимъ. Въ самомъ дѣлѣ, мы также здѣсь имѣемъ сначала 2 группы предметовъ: 1-я группа есть (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) и она оцѣнена числомъ 7, на что указываетъ послѣднее ея число; 2-я группа есть группа (8, 9, 10, 11, 12) она, какъ то указываетъ второй, нижній, рядъ чиселъ, оцѣнена числомъ 5; эти двѣ группы сдвинуты вмѣстѣ, и получилась новая группа (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, И, 12), которая оцѣнена числомъ 12 (своимъ послѣднимъ числомъ)1).

Еще лучше то же самое можно показать при помощи двухъ линеекъ, на которыхъ нанесены равноотстоящія дѣленія. Нижеслѣдующій чертежъ даетъ возможность увидѣть эти 3 группы предметовъ для случая 9-|-14 = 23, при чемъ теперь каждый предметъ представляетъ собою прямолинейный отрѣзокъ: первая группа состоитъ изъ нѣсколькихъ отрѣзковъ отъ начала первой линейки до начала 2-й, — она оцѣнена числомъ 9; вторая группа состоитъ изъ отрѣзковъ (на первой линейкѣ), начинаясь съ того мѣста, гдѣ начинается вторая линейка, и доходя до стрѣлки —- она оцѣнена числомъ 14 (на 2-й линейкѣ), и, наконецъ, третья группа получается отъ соединенія двухъ первыхъ — она начинается отъ начала первой линейки и представляетъ собою группу отрѣзковъ, заканчивающихся тамъ, куда указываетъ стрѣлка—она оцѣнена (при помощи 1-й линейки) числомъ 23.

Итакъ, во всякомъ случаѣ въ обоихъ истолкованіяхъ сущности сложенія имѣютъ мѣсто процессы. Слѣдовательно, такія истолкованія нельзя считать тѣми опредѣленіями, какія должны были бы имѣть мѣсто при чисто логической обработкѣ вопроса о сложеніи.

Наука знаетъ одну попытку такъ истолковать сущность сложенія, чтобы вовсе отказаться отъ какого-либо процесса сдвиганія, придвиганія и т. п. Такое опредѣленіе принадлежитъ Грассману. Исходнымъ пунктомъ этого опредѣленія является признаніе того, что мы знаемъ, какое число

1) На нашей таблицѣ каждая изъ этихъ трехъ группъ отмѣчена черточками: для двухъ первыхъ группъ сверху, а для третьей снизу.

слѣдуетъ въ натуральномъ ряду за любымъ даннымъ числомъ. Тогда можно установить первую часть опредѣленія сложенія: сложить данное число съ единицею значитъ взять въ натуральномъ ряду число, слѣдующее за даннымъ. Далѣе, чтобы избѣжать того процесса сдвиганія натуральнаго ряда, какой выше былъ указанъ, вводится 2-я часть опредѣленія сложенія: сложить первое данное число со вторымъ даннымъ числомъ значитъ указать число, слѣдующее за тѣмъ, какое получится, если первое данное число сложить съ числомъ, предшествующимъ второму данному числу. Эта вторая часть опредѣленія позволяетъ свести сложеніе любыхъ двухъ чиселъ къ первой части опредѣленія. Напр. 7+5 значитъ указать число, слѣдующее за тѣмъ, какое получится отъ сложенія 7+4, а это значитъ указать число, слѣдующее за тѣмъ, какое получится отъ сложенія 7+3, а это значитъ указать число, слѣдующее за тѣмъ, какое получится отъ сложенія 7+2, а это значитъ указать число, слѣдующее за тѣмъ, какое получится отъ сложенія 7+1, а это, согласно 1-й части опредѣленія значитъ указать число, слѣдующее за числомъ 7. Послѣднее мы сдѣлать умѣемъ; слѣдовательно, мы можемъ, согласно предыдущему, указать число, получающееся отъ сложенія 7+2, а съ его помощью и то, которое получается отъ сложенія 7+3 и т. д.

Н. Извольскій.

Замѣтка по поводу статьи Н. Ѳаддеева „Придумываніе задачъ самими учениками"

(«Математическій Вѣстникъ», № 3 за 1915 г.)

Прочитанъ статью г. Ѳаддеева подъ такимъ интереснымъ заглавіемъ, какъ «Придумываніе задачъ самими учениками», я немного удивился тому порядку привлеченія учащихся къ этой работѣ, который указанъ авторомъ статьи. Дѣло въ томъ, что въ придумываніи задачъ «въ родѣ этой» едва ли кто найдетъ то «вскрытіе», которое, по мнѣнію автора, «уясняетъ ходъ рѣшенія задачи и несомнѣнно способствуетъ развитію большей сообразительности въ ученикахъ». Трудно согласиться съ авторомъ и въ томъ, что такое «составленіе задачъ самими учениками есть своего рода творческая работа дѣтей» и пріучаетъ ихъ «точно, кратко и логически формулировать свою мысль». Всѣ эти возраженія подтверждаетъ и самъ авторъ,

приводя въ статьѣ результаты своихъ работъ въ этой области. Въ двухъ первыхъ задачахъ изъ всѣхъ трехъ придуманныхъ учениками выраженія — «сорвалъ съ одной», «а съ другой» и «сколько у него стало?» — ясно показываютъ повтореніе дѣтьми чужихъ словъ, а не «точную, краткую и логическую формулировку своей мысли» и не «большую сообразительность учениковъ». Уясненія учениками хода рѣшенія задачъ тоже не видно, такъ какъ неизвѣстно, были ли рѣшаемы, придуманныя задачи, хотя о третьей изъ нихъ можно сказать увѣренно, что она не рѣшалась: самъ авторъ говорилъ, что дѣти знали нумерацію до 10, а придумали задачу съ числами 100 и 1000. О творческой работѣ учащихся говорить не приходится: она охарактеризована авторомъ въ выраженіи: «Пусть здѣсь будетъ имѣть мѣсто стремленіе подражать задачамъ, уже извѣстнымъ, но все-таки — это работа дѣтей, результатъ дѣтской мысли».

Возражая только противъ порядка г. Ѳаддеева, я ничуть не хочу отрицать пользы въ придумываніи задачъ.

Составленіе задачъ самими учащимися, по-моему, не только способствуетъ ясному пониманію хода рѣшенія и правильному выраженію своей мысли, но должно служить и показателемъ правильнаго примѣненія всѣхъ дѣйствій надъ числами при рѣшеніи задачи. Для этого же нѣтъ смысла составлять задачи «въ родѣ этой», а нужно только указать учащимся, что требуется составить задачу, для рѣшенія которой необходимо совершить надъ числами такія-то и такія-то дѣйствія и въ такомъ-то порядкѣ. При такомъ заданіи, мнѣ кажется, остается больше простора для самодѣятельности учащагося.

Выражая благодарность г. Ѳаддееву за затронутую имъ тему и не считая ея исчерпанной, я просилъ бы уважаемаго редактора и товарищей-учащихъ высказать свои Мнѣнія по этому вопросу на страницахъ объединяющаго насъ журнала «Математическій Вѣстникъ».

А. К.

Нельзя не согласиться съ основною мыслью замѣтки г. А. К.: составленіе задачъ самими учащимися несомнѣнно полезно, но возникаетъ большое сомнѣніе, достаточна ли для этого та схема, которая указана въ статьѣ г. Ѳаддеева и которая

сводится къ требованію «составить задачу въ родѣ этой». Повидимому, необходимо ввести въ эту работу составленія задачъ иныя руководящія мысли, болѣе широкія, чѣмъ простое подражаніе образцамъ.

Замѣтка г. А. К. ставитъ иную схему: «требуется составить задачу, для рѣшенія которой необходимо совершить надъ числами такія-то и такія-то дѣйствія и въ такомъ-то порядкѣ». Напомнимъ по этому поводу читателямъ, что такая же схема имѣетъ мѣсто въ статьѣ «Примѣрный урокъ во II отд.», напечатанной въ № 1 «Матем. Вѣстн.» за 1915 г.

Однако возникаетъ и такой вопросъ: на той стадіи обученія, которую имѣетъ въ виду г. Ѳаддеевъ, возможно ли ввести въ дѣло болѣе широкія цѣли, хотя бы сводящіяся къ схемѣ, предлагаемой г. А. К., или единственно возможною на этой стадіи обученія является та схема, которая указана г. Ѳаддеевымъ? И не является ли то подражаніе, о которомъ говорить г. Ѳаддеевъ, первымъ шагомъ въ дѣлѣ составленія задачъ, миновать который нельзя?

Быть можетъ, слѣдуетъ этотъ періодъ работысоставленія задачъ самими учениками сдѣлать возможно болѣе короткимъ и ввести скорѣе въ это дѣло иныя цѣли, иныя руководящія мысли, но возможно ли вовсе обойтись безъ составленія задачъ «въ родѣ этой»?

Вотъ вопросы, вызываемые сопоставленіемъ статьи г. Н. Ѳаддеева и замѣтки г. А. К.

И мы присоединяемся къ просьбѣ г. А. К. къ читателямъ «Матем. Вѣст.» высказаться по поводу указанныхъ вопросовъ, столь существенныхъ для постановки дѣла обученія ариѳметикѣ.

Ред.

Изъ практики на лѣтнихъ учительскихъ курсахъ.

Нѣсколько лѣтъ тому назадъ я велъ занятія по методикѣ ариѳметики на лѣтнихъ курсахъ въ г. Валуйки Воронежской губ. При курсахъ функціонировала школа въ составѣ четырехъ отдѣленій. Занятія въ школѣ велись въ такомъ порядкѣ,

что по мѣрѣ надобности нѣкоторыя отдѣленія приводились въ залу, гдѣ шли лекціи и тамъ велись показательные уроки или мною или кѣмъ-либо изъ слушателей. Установилось на этихъ курсахъ, что всегда показательные уроки велись съ двумя отдѣленіями, хотя такой порядокъ и нельзя считать нормальнымъ.

Одинъ изъ слушателей (г. Сотниковъ) велъ однажды пробный урокъ съ I и III отд. Главнымъ образомъ надо было обратить вниманіе на этомъ урокѣ на III отдѣленіе, а первое надо было занять какою-либо самостоятельною работою. Послѣднюю было выбрать крайне затруднительно, такъ какъ дѣти I отд. на предыдущихъ урокахъ едва лишь ознакомились съ письмомъ цифръ отъ 1 до 5; не могло быть даже увѣренности, что всѣ дѣти I отд. умѣютъ безошибочно писать эти цифры. Г-нъ Сотниковъ придумалъ слѣдующую работу для этого отдѣленія. Онъ заготовилъ небольшія картонныя коробки по числу учащихся въ этомъ отдѣленіи, въ каждую положилъ по 1 орѣху, по 2 гвоздя, по 3 перышка, по 4 кубика и по 5 пуговицъ. На отдѣльномъ листѣ картона онъ укрѣпилъ эти предметы въ такомъ порядкѣ:

(въ настоящее время я не могу вспомнить того именно порядка, который имѣлъ мѣсто на урокѣ г. Сотникова; но

это — несущественно). Этотъ листъ былъ вывѣшенъ на доскѣ, а дѣтямъ были розданы разлинованныя тетради, карандаши и вышеупомянутыя коробки.

Послѣ выясненія, при помощи вопросовъ, какіе именно предметы были вывѣшены на доскѣ, дѣтямъ предожено было открыть свои коробки, вынуть изъ нихъ сначала тѣ предметы (гвозди), образецъ которыхъ былъ прикрѣпленъ на вывѣшенномъ листѣ въ первой строкѣ, подсчитать ихъ и писать число ихъ на протяженіи всей первой строчки въ тетрадяхъ; затѣмъ то же самое продѣлать для кубиковъ и т. д., слѣдуя порядку, въ которомъ прикрѣплены были предметы къ вывѣшенному листу картона. Дѣти съ большимъ интересомъ приступили къ заданной имъ работѣ и съ большимъ вниманіемъ ее выполнили.

На нѣкоторыхъ другихъ курсахъ, гдѣ мнѣ приходилось вести занятія по методикѣ ариѳметики, я старался также проводить, если это представлялось возможнымъ, эту работу, придуманную г. Сотниковымъ. На разныхъ курсахъ мѣнялись предметы, мѣнялась незначительно и обстановка работы, но ея сущность оставалась неизмѣнною. Въ виду того, что такая работа, давая возможность, съ одной стороны, упражнять учащихся въ письмѣ цифръ, и представляя, съ другой стороны, интересную для учащихся I отд. самостоятельную работу, мнѣ представляется крайне удачною, я позволяю себѣ обратить на нее вниманіе гг. читателей «Математическаго Вѣстника».

Быть можетъ, покажется цѣлесообразнымъ 1) продолжить подобную работу и для чиселъ сверхъ пяти, напр., составить ее для упражненія въ письмѣ цифръ 6, 7, 8, 9 и 10, 2) усложнить ее, предложивъ дѣтямъ сначала нарисовать тотъ предметъ, который они вынутъ изъ коробки, и число которыхъ они должны писать нѣсколько разъ послѣ этого рисунка, затѣмъ вынуть новый предметъ, нарисовать его и опять-таки писать нѣсколько разъ число такихъ предметовъ и т. д.

Къ изготовленію такихъ коробокъ можно привлечь дѣтей другихъ отдѣленій; въ крайности можно тѣ предметы, которые надо положить въ коробки, замѣнить различными фигурами, вырѣзанными изъ бумаги (коненчо, лучше изъ цвѣтной и плотной).

Н. Извольскій.

Свѣдѣнія о книгахъ по математикѣ и ея методикѣ.

М. Н. Іовлевъ. Геометрія въ курсѣ составныхъ именованныхъ чиселъ. Для низшихъ и среднихъ учебныхъ заведеній. Изданіе Т-ва «В. В. Думновъ, наслѣд. Бр. Салаевыхъ». М., 1916, цѣна 35 коп., стр. 4.

Обученіе геометріи вообще поставлено значительно ниже, чѣмъ ариѳметикѣ и алгебрѣ. И печально становится, когда за это дѣло берутся люди и сами не особенно разобравшіеся въ содержаніи того, чему они хотятъ учить. Настоящая книжка иллюстрируетъ эту мысль.

Къ книжкѣ приложено на отдѣльномъ листкѣ «Предисловіе», въ которомъ г. Іовлевъ указываетъ, что въ низшихъ и среднихъ учебныхъ заведеніяхъ при изученіи составныхъ именованныхъ чиселъ не достаточно заботятся объ умѣньѣ выполнять различныя измѣренія, — предлагаемая книжка «составлена съ цѣлью такъ изложить геометрическій матеріалъ, входящій въ курсъ составныхъ именованныхъ чиселъ, чтобы при изученіи его вырабатывалось умѣнье выполнять нужныя въ жизни измѣренія и построенія, развивалась наблюдательность, практическая смѣтка, ясность мысли и довѣріе къ выводамъ ея».

Оставляя въ сторонѣ вопросъ объ выработкѣ умѣнья выполнять «нужныя въ жизни измѣренія» (ибо здѣсь возникаютъ 2 вопроса: 1) что значитъ «нужныя въ жизни измѣренія»? и 2) возможно ли отождествлять обученіе практическимъ измѣреніямъ съ обученіемъ геометріи?), остановлюсь на «развитіи набпюдательности» и на «развитіи ясности мысли и довѣрія къ выводамъ ея».

Утверждаю, что ни то ни другое обѣщаніе авторомъ не только не выполнено, а, наоборотъ, послѣ изученія «Геометріи» г. Іовлева и наблюдательность и мышленіе учащихся должны притупиться, и не можетъ быть и рѣчи о довѣріи къ выводамъ мысли.

Вотъ доказательства — сначала по отношенію къ «наблюдательности».

Авторъ начинаетъ книжку словами: «каждый предметъ, существующій въ мірѣ, имѣетъ свои границы. Ими онъ соприкасается съ воздухомъ и съ другими предметами. Границы каждаго предмета называются поверхностью его». Здѣсь противорѣчитъ идеѣ развитія наблюдательности общее утвержденіе «каждый предметъ и т. д.»; если бы авторъ дѣйствительно заботился о развитіи наблюдательности, то онъ долженъ былъ бы начать ни съ какого-то общаго (можетъ быть даже и сомнительнаго) утвержденія, а съ указанія на рядъ фактовъ, изслѣдуя которые учащіеся пришли бы къ общему заключенію лишь въ концѣ этой работы изслѣдованія. Здѣсь, по поводу границъ, о которыхъ идетъ рѣчь на стр. 3—5 книжки г. Іовлева, возникаетъ еще рядъ сомнѣній, зависящихъ отъ способа изложенія, даваемаго въ этой книжкѣ, на которыхъ останавливаться уже не буду, такъ какъ эти сомнѣнія не нужны для доказательства моего утвержденія, что послѣ изученія «Геометріи» г. Іовлева наблюдательность учащихся должна притупиться.

Далѣе на стр. 6 г. Іовлевъ, приступая къ вопросу объ измѣреніи прямыхъ линій, начинаетъ опять-таки съ общаго (и притомъ невѣрнаго) опредѣленія: «Опредѣленіе, во сколько разъ одна прямая линія больше другой, называется измѣреніемъ ея. Меньшая изъ двухъ сравниваемыхъ линій называется мѣркою». Если бы г. Іовлевъ заботился о развитіи наблюдательности, то 1) онъ долженъ былъ бы начать съ разсмотрѣнія частныхъ примѣровъ, гдѣ одинъ прямолинейный отрѣзокъ измѣряется другимъ, при чемъ оказалось бы, что (вопреки утвержденію г. Іовлева) часто приходится меньшій отрѣзокъ измѣрять большимъ, т.-е., по терминологіи г. Іовлева, за «мѣрку» принимать большій изъ двухъ сравниваемыхъ отрѣзковъ, а 2) онъ долженъ былъ бы отказаться отъ мысли дать словесное опредѣленіе того процесса, который мы называемъ терминомъ «измѣреніе»: вѣдь ясно, что выше выписанное словесное опредѣленіе «измѣренія», данное г. Іовлевымъ, далеко не охватываетъ этого процесса.

Къ затемнѣнію также наблюдательности учащихся слѣдуетъ отнести тѣ указанія, какія даются г. Іовлевымъ для того, чтобы научить учащихся изображать точки на бумагѣ карандашомъ или на доскѣ мѣломъ. Вмѣсто того, чтобы лишь указать, какъ изображаютъ точки, онъ на стр. 8 говоритъ: «Намажьте чернилами одну изъ точекъ линейки (а можно ли это? Н. И.) и прикоснитесь ею къ листу бѣлой бумаги. На бумагѣ получится изображеніе точки. Поставьте на бумагу остріе карандаша и поверните его (зачѣмъ надо поворачивать? Н. И.). На бумагѣ останется и т. д.»

Также не могутъ служить дѣлу развитія наблюдательности то начало выясненія свойствъ окружности, какое дано на стр. 14. Здѣсь авторъ совѣтуетъ: 1 ) на бумагѣ обчертить кривую линію какой-нибудь монеты, 2) обрѣзать бумагу по начерченной линіи, 3) перегнуть полученный кружокъ пополамъ и еще пополамъ, 4) убѣдиться съ помощью циркуля, что всѣ точки данной кривой линіи находятся на одинаковомъ разстояніи отъ точки пересѣченія образовавшихся сгибовъ. «Такимъ же способомъ вы можете убѣдиться, что всѣ точки кривой линіи дна ведра находятся на одинаковомъ разстояніи отъ одной и той же точки, стоящей на серединѣ».

Если бы авторъ дѣйствительно заботился о развитіи наблюдательности, то онъ долженъ былъ бы обратить вниманіе учащихся, что при вышеописанномъ опытѣ съ монетою мы никогда не получимъ равныхъ разстояній точекъ кривой линіи отъ точки пересѣченія двухъ перегибовъ. И должно было бы обратить особое вниманіе на тотъ фактъ, что подобный опытъ съ линіею «дна ведра» неминуемо (и на это много причинъ) долженъ привести къ еще большему неравенству разсматриваемыхъ разстояній.

Перейду теперь къ разсмотрѣнію вопроса о развитіи ясности мысли учащихся и «о довѣріи къ выводамъ ея».

На стр. 4 имѣется первое разсужденіе автора: «Каждая часть линіи линейки идетъ прямо, а потому и называется прямой линіей». Разъ здѣсь имѣется слово «потому», то надо признать эту фразу за разсужденіе, дѣлаемое авторомъ, но, конечно, всякій, кто обладаетъ здравымъ смысломъ, ничего кромѣ набора словъ въ немъ не увидитъ.

На стр. 5 авторъ дѣлаетъ выводъ: «Двѣ прямыхъ линіи всегда сливаются, если онѣ соприкасаются въ двухъ точкахъ». Несмотря на это, на стр. 13 авторъ опять ставитъ на очередь вопросъ о прямыхъ линіяхъ, проходящихъ черезъ двѣ точки и опять приходитъ къ выводу: «между двумя точками можно провести только одну прямую линію». Объяснить этотъ фактъ возможно лишь тѣмъ, что авторъ не имѣлъ довѣрія къ выводу на стр. 5.

Слѣдуетъ отмѣтить еще непослѣдовательность мысли, имѣющую широкое распостраненіе. Вотъ одно изъ ея проявленій: на стр. 31 авторъ говоритъ: «Каждая часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной линіей, съ четырьмя углами, называется четыреугольникомъ», а на стр. 38 говоритъ: «Треугольникъ, четыреугольникъ и всякая другая плоская фигура ограничиваетъ часть плоскости. Часть плоскости, заключенная внутри каждой фигуры, наз. площадью ея». Какая же здѣсь ясность мысли, если одинъ разъ говорятъ, что часть плоскости называется четыреугольникомъ, а другой разъ говорятъ, что четыреугольникъ ограничиваетъ часть плоскости и послѣднюю уже на называютъ, какъ раньше, четыреугольникомъ, а называютъ площадью четыреугольника.

На стр. 34 дается описаніе построенія прямоугольника: «начертите прямой уголъ со сторонами равной длины....», а на стр. 35 дается описаніе построенія квадрата: «начертите прямой уголъ со сторонами одинаковой длины...».

Здѣсь, повидимому, возможно лишь одно объясненіе: вкралась опечатка, незамѣченная авторомъ, Вмѣсто «равной», надо напечатать «разной». Но здѣсь слѣдуетъ обратить вниманіе на странность воззрѣнія автора, будто бы у угла стороны имѣютъ конечную длину, которая нами можетъ быть выбираема по желанію: если бы это было такъ, то нельзя было бы говорить, что «неопредѣленная часть плоскости, заключенная между двумя прямыми линіями, выходящими изъ одной точки, называется угломъ» (стр. 19). Въ самомъ дѣлѣ, если бы стороны угла были конечный, то наблюдательность (опять здѣсь приходится вернуться къ ней) учащихся должна показать имъ, что такими (конечными) прямыми нельзя выдѣлить изъ плоскости какую-то ея часть, плоскость ими не раздѣлилась бы на части. Кромѣ того, заслуживаетъ вниманія то обстоятельство, что авторъ самъ на стр. 34 запутался въ тѣхъ разсужденіяхъ, какія онъ предлагаетъ учащимся. Онъ говоритъ: «начертите прямой уголъ со сторонами равной (надо, вѣроятно, разной, Н. И.) длины и черезъ конецъ каждой изъ нихъ проведите по линіи параллельно другой сторонѣ угла, такъ, чтобы эти линіи пересѣклись», а въ дальнѣйшемъ, желая доказать, что всѣ углы получились прямые, авторъ говоритъ: «У четыреугольника на рис. 57 линіи АГ и БВ идутъ перпендикуляра къ линіи АБ. Значитъ онѣ параллельны». (Разбивка моя. Н. И.) Но вѣдь авторъ при описаніи построенія выше говорилъ: проведите линіи (въ томъ числѣ и линію БВ) параллельно другой сторонѣ угла (т.- е. БВ проводилась параллельно АГ). И вдругъ теперь эта параллельность является результатомъ разсужденія («значитъ, онѣ параллельны»). И такъ, въ этомъ

разсужденіи запутался и самъ авторъ, — чего же, какого развитія ясности мысли, можно ждать въ этомъ пунктѣ отъ учащихся?

Указанныхъ примѣровъ достаточно, чтобы видѣть, что ни о какой ясности мысли не только у учащихся, но и у автора, говорить, при разсмотрѣніи настоящей книги, не приходится.

Если ко всему изложенному присоединить рядъ странностей и рядъ погрѣшностей (напр.: на стр. 18: «Если при наложеніи прямой линіи на поверхность будетъ замѣтно нѣсколько маленькихъ просвѣтовъ, то эту поверхность тоже можно назвать плоскою»; на стр. 26 на чер. 44 буква В поставлена такъ, что не соотвѣтствуетъ иногда тексту, на стр. 33 странное разсужденіе (и выводъ) о параллельныхъ и т. п.), то придется лишь удивится тому, что авторъ рѣшился выпустить въ свѣтъ свое произведеніе.

Н. Извольскій.

М. Н. Іовлевъ. Практическая геометрія для двухклассныхъ училищъ и среднихъ учебныхъ заведеній. Изданіе Т-ва «В. В. Думновъ, насл. Бр. Салаевыхъ». М., 1916, цѣна 80 к., стр. 123.

Настоящая книга является какъ бы развитіемъ предыдущей. И «предисловіе» къ этой книгѣ, вложенное въ нее на отдѣльномъ листкѣ, начинается съ того, чѣмъ кончается предисловіе къ предыдущей книгѣ: «Книжка «Практическая геометрія» составлена съ цѣлью такъ расположить геометрическій матеріалъ, входящій въ программу двухклассныхъ училищъ, чтобы у изучающихъ его вырабатывалось умѣнье выполнять нужныя въ жизни измѣренія и построенія, развивалась наблюдательность, практическая смѣтка, ясность мысли и довѣріе къ выводамъ ея».

Въ согласіи съ этимъ большая часть содержанія предыдущей книги вошла или вовсе безъ измѣненія или съ малыми измѣненіями и въ «Практическую геометрію».

Поэтому при разсмотрѣніи настоящей книги достаточно къ предыдущему разбору сдѣлать нѣсколько добавленій, характеризующихъ тотъ матеріалъ, который имѣется въ «Практической геометріи» и отсутствуетъ въ «Геометріи въ курсѣ составныхъ именованныхъ чиселъ».

Прежде всего остановлюсь на одномъ обстоятельствѣ, связанномъ съ разборомъ «Геометріи въ курсѣ составныхъ именованныхъ чиселъ». Въ этомъ разборѣ было указано, что авторъ самъ запутался въ одномъ изъ своихъ разсужденій, имѣющемъ цѣлью выяснить нѣкоторыя свойства прямоугольника. Въ «Практической Геометріи» такого разсужденія нѣтъ. Но однако все же ясно, что дѣло съ параллельными прямыми обстоитъ все такъ же плохо. На стр. 57 дано выясненіе положенія, что черезъ одну и ту же точку нельзя провести двухъ различныхъ прямыхъ, параллельныхъ одной и той же прямой. Для этой цѣли черезъ данную точку В строятъ перпендикуляръ ВГ къ данной прямой АБ и затѣмъ также черезъ В перпендикуляръ къ перпендикуляру ВГ. Тогда послѣдній построенный перпендикуляторъ параллеленъ данной прямой АБ (въ предыдущемъ было выяснено, что два перпендикуляра къ одной прямой не могутъ пересѣкаться). Далѣе авторъ говоритъ: «Черезъ точку

В нельзя провести еще одного особаго перпендикуляра къ линіи ВГ, кромѣ проведенной линіи ВД (кстати укажемъ, что на чертежѣ нѣтъ буквы Д). Значитъ, черезъ точку В нельзя провести еще одну особую линію, параллельную данной линіи АБ». Такое же разсужденіе имѣется и въ «Геометріи въ курсѣ составныхъ именованныхъ чиселъ», но странность этого вывода («значитъ, черезъ точку В нельзя провести еще одну особую линію, параллельную данной») особенно бросается въ глаза здѣсь, въ «Практической геометріи», такъ какъ на стр. 55 и 56 имѣются признаки параллельности прямыхъ, не требующіе построенія перпендикуляровъ (этихъ признаковъ въ ранѣе разобраной книгѣ нѣтъ): «Если два внутреннихъ накрестъ лежащихъ угла, образовавшихся при пересѣченіи двухъ прямыхъ линій третьей, равны между собою, то первыя двѣ прямыя параллельны», а также: «если два соотвѣтственныхъ угла... равны, то прямыя параллельны». И вотъ, игнорируя вовсе сомнѣніе: а если, исходя изъ прямой АБ и точки В, сдѣлать построеніе такъ, чтобы получились равные внутренніе накрестъ лежащіе углы (не прямые), то не получимъ ли черезъ точку В другой прямой, параллельной данной? авторъ все же дѣлаетъ выводъ: значитъ другой параллельной построить нельзя. Однако этому выводу авторъ самъ не вѣритъ, ибо сейчасъ же говоритъ: «Принято за правило (?), что черезъ одну и ту же точку нельзя провести двухъ различныхъ прямыхъ, параллельныхъ одной и той же прямой». Подобное отношеніе автора позволяетъ сдѣлать заключеніе, что авторъ самъ не понимаетъ значенія V постулата Евклида о параллельныхъ.

Существеннымъ недостаткомъ всего изложенія автора слѣдуетъ признать игнорированіе основныхъ геометрическихъ построеній и отсутствіе разъясненій основныхъ геометрическихъ понятій, несмотря на то, что авторъ пользуется ими и даже приводитъ иногда совершенно ненужныя для маленькаго курса геометріи теоремы, содержаніе которыхъ опирается на эти основныя понятія. Такъ, авторъ вовсе не указываетъ построеній, необходимыхъ для выполненія сложенія прямолинейныхъ отрѣзковъ или угловъ, не даетъ даже намека на возможность выполненія этихъ дѣйствій, но тѣмъ не менѣе говоритъ о суммѣ всѣхъ сторонъ многоугольника (стр. 72), о суммѣ всѣхъ угловъ треугольника (стр. 79). Не останавливаясь вовсе ни на выясненіи понятія «отношеніе двухъ прямолинейныхъ отрѣзковъ», ни на вопросѣ о нахожденіи общей мѣры двухъ отрѣзковъ, авторъ пользуется всѣмъ этимъ при изученіи подобныхъ треугольниковъ (стр. 83—88) и даже доказываетъ (обычнымъ путемъ) зачѣмъ-то совершенно ненужную для такого курса теорему «Два треугольника будутъ подобны, если двѣ стороны одного изъ нихъ пропорціональны двумъ сторонамъ другого и углы, лежащіе между этими сторонами, равны».

Не буду останавливаться на недоразумѣніяхъ болѣе мелкихъ (а ихъ въ книгѣ можно найти достаточно много), такъ какъ предыдущаго вполнѣ достаточно, чтобы притти къ тому же удивленію по поводу факта появленія въ свѣтъ этой книги, какое было высказано мною въ заключеніе разбора предыдущей.

Н. Извольскій.

Книги, поступившія въ редакцію.

Д. А. Бемъ, А. А. Волковъ, Р. Э. Струве. Сборникъ упражненій и задачъ по элементарному курсу алгебры. Часть I (курсъ III и IV классовъ среднихъ учебныхъ заведеній). Изданіе 2-е Т-ва И. Д. Сытина. М., 1916, цѣна 1 рубль.

Д. Л. Волковскій. Дѣтскій міръ въ числахъ. Для начальныхъ школъ. Для перваго года обученія. Изданіе 3-е, переработанное. М., 1916, цѣна 20 коп.

Д. Л. Волковскій. Руководство къ «Дѣтскому міру въ числахъ». Часть I. Первый годъ обученія. Изданіе 2-е, значительно переработанное. М., 1916, цѣна 1 р. 50 коп.

А. П. Перли. Числа изъ жизни. Сборникъ ариѳметическихъ задачъ и упражненій для начальной школы и для приготовительныхъ классовъ среднихъ учебныхъ заведеній. Изданіе Т-ва И. Д. Сытина. I выпускъ, М., 1915, цѣна 20 коп.; II выпускъ, М., 1915, цѣна 25 коп.; III выпускъ, М., 1916, цѣна 20 коп.; IV выпускъ, М., 1916, цѣна 20 коп.

С. И. Шохоръ-Троцкій. Новый ариѳметическій задачникъ для учениковъ начальныхъ школъ. Часть IV. Изданіе Т-ва И. Д. Сытина. М., 1915, цѣна 20 коп.

В. А. Лай. Руководство къ первоначальному обученію ариѳметикѣ, основанное на результатахъ дидактическихъ опытовъ. Переводъ съ послѣдняго нѣмецкаго изданія подъ редакціей Д. Л. Волковскаго. Изданіе 5-е, значительно переработанное авторомъ. Изданіе Т-ва «В. В. Думновъ, Насл. Бр. Салаевыхъ». М., 1916, цѣна 1 руб.

Дж. В. А. Юнгъ. Какъ преподавать математику? Перевелъ съ англійскаго съ разрѣшенія автора и дополнилъ А. Р. Кулишеръ. Выпускъ I. Изданіе 3-е Т-ва «Общественная польза». Птгр., 1915, цѣна 1 р. 75 коп.

Вышла изъ печати книга:

Н. А. Извольскій. Комбинаціонная работа. Сборникъ упражненій по ариѳметикѣ. Москва, 1916 г., цѣна 25 коп.

Складъ изданія у автора: Москва, Гороховскій пер., д. 23, кв. 9; тел. 3-19-55.

Выписывающимъ 10 и болѣе экземпляровъ скидка до 30%.

Редакторъ-издатель Н. А. Извольскій. Тип. Г. Лисснера и Д. Собко, Москва, Воздвиж., Крестовоз. п., д. № 9.