Математическій Вѣстникъ.

№ 8. Декабрь 1915 г.

Годъ второй.

Адресъ редакціи: Москва, Гороховскій пер., д. 23, кв. 9. Тел.3-19-55.

Содержаніе: Н.Извольскій. О степеняхъ цѣлыхъ чиселъ.—Н.Извольскій. Начальное знакомство учащихся съ уравненіями. — Н. Извольскій. По поводу одного пріема объясненія дѣленія дробей.— Н. С. Т. По поводу статьи г. Виткевича «Объ ариѳметическихъ прогрессіяхъ 2-го и 3-го порядковъ».— Хроника. Засѣданіе, посвященное памяти Ѳ. И. Егорова.— Лекціи по методикѣ ариѳметики въ Городскомъ Московскомъ Музеѣ наглядныхъ пособій. — Московскій Математическій Кружокъ. — Свѣдѣнія о книгахъ по математикѣ и ея методикѣ. — (С. В. Зенченко, С. П. Орловъ и В. Л. Эменовъ. Жизнь и знаніе въ числахъ, ч. 4-я, вып. I и II). — Объявленія.

О степеняхъ цѣлыхъ чиселъ.

(Сообщено въ засѣданіи Москов. Матем. Кружка 26 Ноября 1915 г.)

Если взять какое угодно цѣлое число, напр. 23857, то легко указать, на какую цифру оканчивается квадратъ этого числа: придется 23857 умножить на 23857; цифру единицъ произведенія получимъ, умножая 7 на 7, откуда заключимъ, что на мѣстѣ единицъ должна получиться цифра 9, т.-е. квадратъ числа 23857 оканчивается на 9. Такъ же легко узнать, на какую цифру будетъ оканчиваться кубъ взятаго числа. Такъ, для 238573 найдемъ, что на мѣстѣ единицъ должна получиться цифра 3, такъ какъ эта цифра найдется умноженіемъ цифры единицъ квадрата числа 23857 (а она, какъ найдено, есть 9) на цифру единицъ самого числа 23857 (а это есть 7), отъ умноженія этихъ цифръ (9x7) получится число, оканчичивающееся на 3. Итакъ, кубъ числа 23857 оканчивается на цифру 3. Эти изысканія можно продолжить: можно узна-

вать 1) на какія цифры будетъ оканчиваться 4-я, 5-я и т. д. степени числа 23857, 2) на какія цифры будутъ оканчиваться различныя степени другихъ чиселъ, оканчивающихся ни на 7, какъ число 23857, но на другія цифры. Результатъ этого изслѣдованія можно изложить въ видѣ слѣдующей таблицы, гдѣ въ первомъ столбцѣ даны по порядку цифры, на какія можетъ оканчиваться само данное число (или, что то же самое, его 1-я степень), во второмъ столбцѣ даны цифры, на какія долженъ соотвѣтствнно оканчиваться квадратъ числа, затѣмъ въ третьемъ столбцѣ даны соотв. цифры для куба числа и въ 4-мъ—соотв. цифры для 4-й степени числа. Этимъ таблица по причинѣ, выясняющейся изъ дальнѣйшаго, заканчивается.

1-я степень.

2-я степень.

3-я степень.

4-я степень.

0

0

0

0

1

1

1

1

2

4

8

6

3

9

7

1

4

6

4

6

5

5

5

5

6

6

6

6

7

9

3

1

8

4

2

6

9

1

9

1

Разсматривая эту таблицу мы приходимъ къ ряду заключеній относительно различныхъ степеней различныхъ чиселъ.

1. Если данное число оканчивается на 0, на 1, на 5 или на 6, то любая степень этого числа оканчивается на ту же цифру.

2. (Это заключеніе иногда дается въ формѣ задачи въ курсахъ ариѳметики) квадратъ числа не можетъ оканчиваться на 2, на 3, на 7 и на 8.

3. Четвертая степень числа можетъ оканчиваться лишь на 0, на 1, на 5 и на 6.

4. Если мы продолжимъ эту таблицу для 5-й степени, то увидимъ: 5-я степень числа оканчивается пепремѣнно

на ту же цифру, какъ и первая степень. Отсюда вытекаетъ, что 6-я степень числа оканчивается на ту же цифру, какъ и квадратъ этого числа, 3-я — на ту же, какъ и кубъ этого числа и т. д.

Отсюда же можно сдѣлать, напр., слѣдующее заключеніе: если изъ 5-й степени даннаго числа вычесть само данное число, то полученная разность дѣлится на 10. Другими словами, а5—а всегда (конечно, если а цѣлое число) дѣлится на 101).

5. Такъ какъ 4-я степень чиселъ, оканчивающихся на 1, на 3, на 7 и на 9, оканчивается непремѣнно на 1, то отсюда вытекаетъ: если взять два нечетныхъ числа, изъ которыхъ ни одно не оканчивается на 5, то разность четвертыхъ степеней этихъ чиселъ дѣлится на 10 (при вычитаніи изъ 4-й степени одного числа 4-й степени другого для нахожденія цифры единицъ придется вычитать 1 изъ 1, т.-е. искомая разность должна оканчиваться на нуль).

Итакъ, напр., 3874—2394 дѣлится на 10.

Такъ же точно, если возьмемъ два четныхъ числа, изъ которыхъ ни одно не оканчивается на нуль, то разность четвертыхъ степеней этихъ чиселъ дѣлится на 10 (такъ какъ при вычитаніи для нахожденія цифры единицъ придется вычитать 6 изъ 6, что указываетъ, что искомая разность оканчивается на нуль).

Я присоединяюсь къ тому, часто высказываемому въ послѣднее время, мнѣнію, что понятіе о степеняхъ чиселъ слѣдуетъ вводить въ курсъ ариѳметики возможно раньше. Если это будетъ сдѣлано, то все вышеизложенное позволитъ организовать съ учащимися рядъ интересныхъ упражненій, посвященныхъ изученію степеней цѣлыхъ чиселъ. Здѣсь могутъ быть интересны и болѣе мелкія особенности: напр., порядокъ чередованія цифръ 2, 4, 8 и 6 для различныхъ степеней чиселъ, оканчивающихся на 2 и на 8, или то обстоятельство, что различныя степени чиселъ, оканчивающихся на 9 и на 4,

1) Такъ какъ а5—а=а(а4—1)=а(а—1)(а+1)(а2+1), то приходимъ къ заключенію: если число а оканчивается на 2 или на 3 или на 7 или на 8, то (а2+1) дѣлится на 5. Это же можно увидать и непосредственно изъ нашей таблицы.

могутъ оканчиваться въ каждомъ изъ этихъ случаевъ лишь на 2 цифры (на 9 и 1; на 4 и 6) и т. д. и т. д.

Думается, что болѣе внимательное, чѣмъ это сумѣлъ сдѣлать я, разсмотрѣніе вышеприведенной таблицы позволитъ сдѣлать и болѣе сложныя, но за то и болѣе интересныя (не для учащихся) заключенія. Н. Извольскій.

Начальное знакомство учащихся съ уравненіями.

Въ большинствѣ нашихъ учебниковъ алгебры начало статьи объ уравненіяхъ излагается въ такомъ видѣ: сначала опредѣляется понятіе о равенствѣ вообще (нап. «Два алгебраическихъ выраженія, соединенныя между собою знакомъ = , составляютъ равенство». А. Киселевъ. «Элементарная алгебра» 1911г.), затѣмъ равенства подраздѣляются на тождества и уравненія («Тождествомъ называется буквенное равенство, вѣрное при всякихъ значеніяхъ входящихъ въ него буквъ», «уравненіемъ называется буквенное равенство, вѣрное не при всякихъ значеніяхъ входящихъ въ него буквъ, а только при нѣкоторыхъ»— К. Н. Рашевскій. «Элементарная алгебра» М. 1912). Иногда заставляютъ учащихся заучивать эти опредѣленія, дабы они давали отвѣты на вопросы: что назыв. равенствомъ? тождествомъ? уравненіемъ? Нераціональность такой постановки дѣла очевидна: лишь пристрастіе къ словамъ и заблужденіе, будто бы въ математикѣ все должно быть опредѣляемо, могло заставить ввести въ курсъ алгебры то опредѣленіе равенства, которое выписано выше изъ учебника г. Киселева. Не совсѣмъ удовлетворяетъ меня постановка дѣла и въ новыхъ руководствахъ. Прослѣжу системы изложенія знакомства съ уравненіями въ рядѣ такихъ учебниковъ, причемъ начну съ тѣхъ, которые меня менѣе всего удовлетворяютъ и буду постепенно переходить къ изложенію болѣе удовлетворительному.

На первое мѣсто (т. е., согласно условію, на самое плохое) поставлю учебники г. Лебединцева («Курсъ алгебры для среднихъ учебныхъ заведеній» часть 1, 1909; «Концентрическое руководство алгебры», часть1, 1911 ;«Основы алгебры», 1911). Здѣсь можно видѣть, пожалуй, даже ухудшеніе изложенія началъ ученія объ уравненіяхъ, сравнительно съ учебниками гг. Давидова, Киселева, Рашевскаго и др. Ухудшеніе состоитъ въ томъ, что авторъ, кромѣ опредѣленія понятія «равенство» вводитъ еще термины: явныя и неявныя равенства, условныя и безусловныя равенства, уравненія и тождества, при чемъ каждому изъ этихъ понятій даются опредѣленія, которыя, по-

жалуй, учащимися будутъ заучиваться. Но можно въ этихъ книгахъ увидать и нѣкоторыя улучшенія: 1) въ книгахъ «Основы алгебры» и «Концентрическое руководство алгебры» всему этому предшествуетъ рѣшеніе задачи, которое поясняетъ возникновеніе понятія объ уравненіи; сдѣлано это, но уже позднѣе, и въ «Курсѣ алгебры»; 2) опредѣленія уравненія и тождества содержатъ слово «подбирать», которое дѣйствительно близко охватываетъ сущность вопроса1).

На слѣдующее мѣсто поставлю книгу П. А. Долгушина: «Систематическій курсъ алгебры». Здѣсь уже, 1) вмѣсто основного понятія «тождество» вводится понятіе о «тождественно равныхъ алгебраическихъ выраженіяхъ», 2) значительно ранѣе статьи объ уравненіяхъ вводится рѣшеніе ариѳметическихъ задачъ алгебраическимъ путемъ, откуда учащіеся знакомятся съ уравненіемъ, не зная еще этого термина. Однако самая статья объ уравненіяхъ отодвинута слишкомъ далеко и, думается, недостаточно связана съ предыдущими свѣдѣніями, относящимися къ уравненіямъ. Еще больше улучшеній имѣетъ изложеніе въ книгѣ Д. Левитуса: «Курсъ элементарной алгебры», ч. 1, 1910. Здѣсь уже авторъ вовсе не заботится объ опредѣленіяхъ, а все свое вниманіе обращаетъ на то, чтобы изложеніе, по возможности, помогло учащимся усвоить смыслъ и значеніе той записи, которую называютъ уравненіемъ; для этой цѣли авторъ съ самаго начала курса (съ § 1) рѣшаетъ задачу такъ, что это рѣшеніе позволяетъ ввести терминъ «уравненіе».

Я не имѣю въ виду въ настоящей статьѣ заниматься сравнительнымъ разборомъ изложеній различныхъ авторовъ; поэтому я лишь ограничиваюсь предыдущими замѣчаніями, полагая, что ихъ достаточно для того, чтобы оправдать мое стремленіе изыскать возможно болѣе пріемлемый для учащихся способъ ознакомленія ихъ съ понятіемъ «уравненіе»2).

Я такъ же, какъ и послѣдній изъ вышеупомянутыхъ авторовъ, не считаю возможнымъ начинать дѣло со словесныхъ опредѣленій; такъ же, какъ онъ, вовсе удаляю словесное опредѣленіе для понятія «уравненіе» изъ курса алгебры, такъ какъ полагаю, что найти удовлетворительную форму этого опредѣленія крайне трудно, а можетъ быть и вовсе невозможно. Но я, въ противоположность Д. М. Левитусу, въ основу беру не практическую задачу, а такую, которая сама-собою вытекаетъ изъ предыдущихъ упражненій, хотя и является чисто отвлеченною. Я веду курсъ не такъ, какъ г. Левитусъ: я съ са-

1) Однако все же ясно, что опредѣленія здѣсь ни къ чему: такъ, равенство Зх=3х, согласно этимъ опредѣленіямъ, есть тождество, а между тѣмъ на него,въ извѣстныхъ случаяхъ, должно смотрѣть какъ на уравненіе, допускающее безконечно много рѣшеній.

2) Позволю себѣ вамѣтить, что былъ бы очень желателенъ подробный сравнительный разборъ изложеній различныхъ авторовъ этого существеннаго для курса алгебры вопроса.

маго начала знакомлю учащихся съ относительными числами (т.-е. съ числами со знаками) и съ тѣмъ удобствомъ, которое возникаетъ при примѣненіи ихъ къ практикѣ. Послѣ изученія преобразованій раціональныхъ выраженій (другими словами: послѣ изученія дѣйствій надъ одночленами и многочленами, не содержащихъ знака корня) я останавливаюсь на изученіи измѣненій двучлена, содержащаго лишь одну букву. Напр., разсмотримъ двучленъ Ъх—3.

Возможно ввести здѣсь терминъ «линейный двучленъ», называя этимъ именемъ двучленъ, содержащій лишь первую степень входящей въ него буквы.

Въ вышенаписанномъ двучленѣ буква х можетъ быть замѣнена любымъ числомъ, въ зависимости отъ чего измѣняется числовое значеніе двучлена. Постепенно составляется нижеприводимая таблица, значеніе и возникновеніе которой само собою ясно:

Изъ этой таблички (какъ обычно, здѣсь почти вездѣ знакъ + передъ положительнымъ числомъ пропускается) мы прежде всего видимъ, что если мы возьмемъ опредѣленное числовое значеніе для буквы то ему соотвѣтствуетъ опредѣленное числовое значеніе двучлена, что съ измѣненіемъ числовыхъ значеній для х мѣняются числовыя значенія двучлена. Возможно, конечно, продолжить эту работу дальше: разсмотрѣвъ различные примѣры (напр. Зя + 7; Ъх—3; 7—2х\—Зх—11 и т. п.), установить общій признакъ, когда двучленъ, съ увеличеніемъ числового значенія для х, самъ увеличивается и когда, съ увеличеніемъ числового значенія для гг,—уменьшается. Можно также ввести терминъ функція: нашъ двучленъ есть функція х\ можно ввести термины «возрастающая функція» и «убывающая функція». Возможно, наконецъ, какъ это теперь дѣлаютъ многіе, ввести графическое изображеніе измѣненій двучлена въ зависимости отъ измѣненія х. Но я всего этого предпочитаю не дѣлать: 1) я полагаю что учащіеся 4-го кл. мужской гимназіи или 5-го кл. женской гимназіи, гдѣ надо всѣмъ этимъ заниматься, еще недостаточно развиты математически, не достаточно знакомы съ соотвѣтственнымъ матеріаломъ, чтобы для нихъ имѣла мѣсто потребность создать какой-либо символъ (въ данномъ случаѣ понятіе «функція»), объединяющій цѣлый рядъ фактовъ; считаю безполезнымъ вводить подобныя обобщенія, вопреки запросамъ учащихся, тогда, когда еще въ ихъ сознаніи не накопилось достаточно матеріала, подлежащаго обобщенію при помощи новаго символа (въ данномъ случаѣ учащіеся дѣлаютъ лишь первые шаги

въ изученіи соотвѣтствій между двумя рядами числовыхъ значеніи и вовсе не чувствуютъ потребности въ обобщающемъ символѣ «функція»1). 2) Построеніе графикъ само по себѣ не является чисто математическою работою и отвлекаетъ благодаря недостаточному математическому развитію учащихся IV—VI кл. отъ чисто математическихъ задачъ въ другую сторону, очень близкую къ грубому чувственному опыту. Однако я полагаю, что въ старшемъ классѣ (VII кл. мужск. гимн. и въ VIII кл. женскихъ) у учащихся уже можетъ появиться потребность перекинуть мостъ между геометріею и алгеброю, и тогда умѣстно ввести въ курсъ графическія изображенія, но, думается, предпочтительнѣе это сдѣлать такъ, чтобы получить небольшой курсъ аналитической геометріи, а не сводить дѣло, какъ это теперь имѣетъ мѣсто во многихъ курсахъ алгебры, только къ графическому изображенію функцій, имѣющихъ или неимѣющихъ значеніе для практики.

Впрочемъ, это все — отступленіе отъ основной задачи, и для разсматриваемаго вопроса курса алгебры вовсе не столь существенно, раздѣляютъ ли или нѣтъ читатели предыдущія соображенія. Перейду, поэтому, къ изложенію дальнѣшихъ занятій.

Послѣ того, какъ учащіеся нѣсколько ознакомятся съ вопросомъ объ измѣненіи числового значенія двучлена Ъх—3 въ зависимости отъ измѣненія х, можно поставить обратную задачу: найти такое числовое значеніе для ж, чтобы двучленъ оказался равенъ (напримѣръ) числу 24. Можно записать эту задачу при помощи знака вопроса (?) такъ, какъ это сдѣлано въ вышеприведенной таблицѣ въ ея послѣдней строчкѣ.

Послѣ того какъ искомое числовое значеніе будетъ найдено подборомъ, явится возможность показать другую, болѣе удобную, запись задачи,—вотъ она: 5#—3=24 (мы желаемъ найти такое число для #, чтобы двучленъ Ъх—3 оказался равенъ 24).

Затѣмъ слѣдуютъ упражненія: 1) запишите задачи: найти такое числовое значеніе для чтобы двучленъ 3^+12 оказался равенъ 13; найти такое число для а, чтобы двучленъ 4а—17 оказался=—7 и т. п.; 2) выясните смыслъ записей: Зх—8=0, 5я+12=2, 7а—5=16 ит. п. Во время этихъ упражненій вводится терминъ «уравненіе» и такимъ образомъ для учащихся это понятіе «уравненіе» представляется, какъ запись опредѣленной задачи.

Возникаетъ далѣе потребность расширить представленіе объ этомъ терминѣ и записывать, подобно предыдущему, задачи

1) И практика съ каждымъ годомъ меня все болѣе и болѣе убѣждаетъ, что модное въ настоящее время направленіе, стремящееся ввести въ курсъ средней школы понятіе о функціи и о производной (краткое знакомство съ анализомъ безконечно малыхъ) не имѣетъ подъ собою твердой почвы: учащіеся еще не нуждаются въ тѣхъ обобщеніяхъ, какія связаны съ курсомъ анализа.

болѣе сложныя, напр., 1) найти числовое значеніе для х такъ, чтобы двучленъ Ъх—3 получилъ такое же числовое значеніе, какъ и двучленъ 4#+11; 2) найти такое число для ?/, чтобы двучленъ Зу—1 оказался на 1 больше, чѣмъ одночленъ by; 3) найти такое значеніе для чтобы дробь —^— оказалась на 1 меньше дроби —^— и т. д. и т. д. Обратныя задачи состоятъ въ томъ, чтобы учащіеся выяснили смыслъ записей въ родѣ: 1) ІЪх—3=7#+5; 2) —£—— =1 и т. п.

Нетрудно во время этихъ упражненій установить желаніе изыскать болѣе удобный, чѣмъ подборъ, способъ нахожденія искомыхъ числовыхъ значеніи для х (т.-е. способъ «рѣшенія уравненія»). Конечно, во время тѣхъ же упражненій, явится возможнымъ ознакомить учащихся съ возможностью и такихъ ур—ій, гдѣ неизвѣстное число входитъ въ разныхъ степеняхъ, среди всѣхъ возможныхъ ур—ій съ однимъ неизв. выдѣлить ур—іе первой степени и поставить на очередь первую задачу: изыскать пріемъ для рѣшенія ур—ія 1-й степени съ однимъ неизв. То ученіе о равносильности ур—ій, какое имѣетъ мѣсто въ нѣкоторыхъ учебникахъ, для учащихся IV—V классовъ, конечно, безполезно, и исходнымъ пунктомъ для этого рѣшенія должно быть положеніе: если къ равнымъ числамъ прибавить поровну или изъ нихъ вычесть равныя числа или если ихъ умножить или раздѣлить на одно и то же число, то результаты этихъ дѣйствій также равны между собою.

Между прочимъ замѣчу, что не слѣдуетъ, какъ это обычно дѣлается, для освобожденія ур—ія отъ дробей устанавливать слѣдующій порядокъ: надо обѣ части ур—ія привести къ общему знаменателю и затѣмъ этотъ знаменатель отбросить; слѣдуетъ установить другой порядокъ: надо найти общаго наименьшаго знаменателя всѣхъ входящихъ въ ур—іе дробей (но не приводить ихъ къ общему знаменателю) и умножить обѣ части ур—ія на этого общаго наимен. знаменателя, — тогда дроби сократятся.

Наконецъ, замѣчу, что желательно опять-таки не давать словеснаго опредѣленія, что значитъ «рѣшить ур—іе», но добиваться того, чтобы въ результатѣ упражненій у учащихся составилось представленіе о значеніи этого термина въ такой прибл. формѣ: рѣшить ур—іе значитъ получить изъ него такое ур—іе, чтобы въ одной части его было написано лишь одно неизвѣстное (лишь я), а въ другой только одно извѣстное число (другими словами: рѣшить ур—іе значитъ привести его къ виду х=а, гдѣ а извѣстное число).

Н. Извольскій.

По поводу одного пріема объясненія дѣленія дробей.

Въ своемъ руководствѣ методики ариѳметики покойный А. И. Гольденбергъ, разсматривая дѣленіе дробей, прежде всего останавливается на аналогіи между дробью и именованнымъ числомъ. Этою аналогіею А. И. Гольденбергъ пользуется для выполненія нѣкоторыхъ дѣленій, какъ-то: 134 ^ть-^т и 22-^:3—. Къ сожалѣнію, А. И. Гольденбергъ не указалъ на тѣ опасности, которыя имѣютъ мѣсто при увлеченіи пріемомъ дѣленія дробей, указываемымъ А. И. Гольденбергомъ для этихъ иримѣровъ (въ дальнѣйшемъ Гольденбергъ указываетъ иной пріемъ, который обычно и употребляется). И вотъ во многихъ задачникахъ для IV отдѣленія начальной школы, въ нѣкоторыхъ книгахъ по методикѣ ариѳметики, въ журнальныхъ статьяхъ этотъ пріемъ, удобный лишь для нѣкоторыхъ случаевъ дѣленія, ставится во главу при обученіи дѣленію дробей. Пріемъ этотъ таковъ:

Пусть требуется 15 :|; это значитъ узнать, сколько разъ jj содержится въ 15, для чего надо 15 раздробить въ 8-я доли,—получимъ: 15=-у. Теперь надо узнавать, сколько разъ ^ содержится въ — или, что то же самое, сколько разъ 3 содержится въ 120, для чего надо 120:3, —получимъ 40. Вотъ запись, соотвѣтствующая этому ходу мыслей:

При увлеченіи этимъ пріемомъ и другіе случаи дѣленія выполняются аналогично, напр.

Ходъ разсужденія во всѣхъ примѣрахъ одинъ и тотъ же: напримѣръ, j^:j2 значитъ узнать, сколько разъ — содержится

въ jg, для чего удобно привести дроби къ общему знаменателю 48, послѣ чего дѣло сведется къ вопросу: узнать, сколько разъ — содержится въ — или 28 въ 9 и т. д.

На такомъ пріемѣ построено объясненіе дѣленія дробей въ задачникѣ К. П. Арженикова для 4-го года обученія (изданіе 6-е1)), имъ же пользуется А. П. Павловъ въ своей «Методикѣ нагляднаго обученія счисленію простыхъ дробей», имъ же пользуется г. П. М. Мельниковъ въ своей статьѣ «Всѣ дѣйствія при изученіи дробей слѣдуетъ производить только надъ числителями», напечатанной въ № 4 за 1915 годъ журнала «Кубанская школа» и т. д.

Много сомнѣній возбуждаетъ вопросъ о цѣлесообразности такого пріема.

Прежде всего, хорошо ли пріучать учащихся къ такому пріему выполненія дѣленія, который требуетъ выполнять излишнія вычисленія? Такъ, напримѣръ, согласно этому пріему, учащійся будетъ выполнять дѣленіе ||:тт въ такой формѣ, а между тѣмъ обычный пріемъ значительно упрощаетъ дѣло:

(Здѣсь ходъ разсужденій таковъ: ~: £| значитъ найти число, — котораго = — ; — часть искомаго числа = ^—j^, а слѣдов., все искомое число — оно въ 45 разъ больше своей 45-й части — 35 . 45\ Равно 367Ï4/

Пріученіе дѣтей для выполненія дѣленія дробей выполнять ненужную операцію, а именно приведенія къ общему знаменателю, является, какъ это видно изъ предыдущаго примѣра, практически вреднымъ, ибо заставляетъ дѣтей дѣлать ненужное, а кромѣ того такое пріученіе нехорошо и потому, что устанавливаетъ неправильный взглядъ на дѣло: будто бы для дѣленія дробей необходимо приводить ихъ къ общему знаменателю.

Но возникаютъ еще сомнѣнія въ цѣлесообразности такого пріема и болѣе высокаго порядка. Въ примѣрахъ, приведенныхъ въ началѣ настоящей статьи, получаются (по порядку примѣровъ) отвѣты: 40, 187, 4, 6- и —. Первый и третій изъ

1) Въ новомъ изданіи (8-мъ) такого объясненія нѣтъ, но порядокъ упражненій построенъ такъ, что вполнѣ соотвѣтствуетъ этому пріему.

этихъ отвѣтовъ даютъ прямой отвѣтъ на поставленный вопросъ, «сколько разъ одно число содержится въ другомъ?». Второй и четвертый отвѣтъ вызываютъ уже большія сомнѣнія: что значитъ «содержится 18- раза»? или «содержится раза»?

Послѣдній отвѣтъ еще болѣе усиливаетъ эти сомнѣнія: что значитъ «содержится ^ раза»?

Правда, въ курсѣ ариѳметики, повидимому, неизбѣженъ моментъ, когда приходится обобщить понятіе «нѣсколько разъ»: вмѣсто того, чтобы говорить, что какое-либо данное число надо взять слагаемымъ ô раза, да еще взять - даннаго числа, придется ввести болѣе удобное выраженіе «взять 3- раза» или «увеличить въ 3- раза»; вмѣсто того чтобы говорить, что, напримѣръ, число 15 составляетъ - отъ числа 20, придется ввести болѣе удобное, особенное для рѣшенія задачъ, выраженіе «20 содержится въ 15...- раза». Но когда и какъ сдѣлать такое обобщеніе?

А. И. Гольденбергъ такого обобщенія не даетъ, такъ какъ онъ иллюстрируетъ этотъ пріемъ только примѣрами, которые даютъ въ отвѣтѣ цѣлыя числа. Странно лишь, почему А. И. Гольденбергъ не предусмотрѣлъ такого положенія, когда учащійся не можетъ сразу рѣшить вопроса, получится ли въ отвѣтѣ цѣлое число или нѣтъ. Если бы это было предусмотрѣно, то, вѣроятно, г. Гольденбергъ или вовсе отказался бы отъ введенія въ свою «Методику ариѳметики» такого пріема или сумѣлъ бы такъ или иначе сдѣлать необходимое обобщеніе для понятія «нѣсколько разъ». Другіе авторы, пользующіеся этимъ пріемомъ для случаевъ дѣленія, когда отвѣтъ получается въ видѣ смѣшаннаго числа или даже въ видѣ правильной дроби, къ сожалѣнію, вовсе игнорируютъ этотъ вопросъ объ обобщеніи понятія «нѣсколько разъ». А между тѣмъ, если такого обобщенія не сдѣлано, то въ сущности является рискованнымъ задать примѣръ на дѣленіе дробей въ родѣ : такъ какъ учащійся, если онъ сообразителенъ и если его здравый смыслъ еще не затуманенъ, сейчасъ же, при самомъ началѣ выполненія этого дѣйствія значитъ узнать, сколько разъ — содержится въ j|j укажетъ, что такой вопросъ не имѣетъ смысла, ибо — ни разу не содержится въ -, и выполнять такое дѣленіе вовсе не слѣдуетъ.

Съ моей точки зрѣнія обобщить понятіе «нѣсколько разъ» является наиболѣе удобнымъ тогда когда уже дѣленіе дробей пройдено2), при чемъ въ основу обученія этого дѣйствія должна быть положена мысль, что дѣленіе есть дѣйствіе обратное умноженію, которая позволяетъ придать любому случаю дѣленія два значенія. Одно изъ этихъ значеніи — - : — значитъ найти число, котораго = g — должно быть использовано сейчасъ же для того, чтобы научить этому дѣйствію, а другое значеніе можетъ быть съ достаточною ясностью усвоено лишь послѣ того, какъ учащіеся научатся выполнять дѣленіе дробей. Здѣсь выяснится, что результаты, получаемые при различныхъ случаяхъ дѣленія, допускаютъ иныя толкованія (не то, какимъ мы пользовались для выполненія этого дѣйствія). Напримѣръ, 1т : — = 6—можно истолковать, что частное о указываетъ намъ, что — содержится о разъ въ -:- = - — можно истолковать, что частное 7 показываетъ намъ, что число - составляетъ 7 числа 8:2= 4 — можно истолковать, что число - содержится

2) Потребность такого обобщенія создается тогда, когда приходится рѣшать задачи вида: на а рублей куплено товару по в рублей за пудъ; сколько пудовъ товару куплено? Если указаннаго обобщенія не сдѣлано, то въ зависимости отъ того, каковы числа а и в, должно было бы мыслить при рѣшеніи этой задачи трояко: 1) куплено столько пудовъ товару, сколько разъ в содержится въ а, 2) куплено столько цѣлыхъ пудовъ товару и такая часть пуда, сколько разъ в содержится въ а и какую часть числа в составляетъ остатокъ отъ дѣленія а на в, 3) куплена такая часть пуда товару, какую часть числа в составляетъ число а. Если же указанное обобщеніе сдѣлано, то эти 3 схемы мысли замѣняются одною: куплено столько пудовъ товару, сколько разъ в содержится въ а. Опытъ говоритъ, что и сами учащіеся склонны къ такому упрощенію схемы мысли. Слѣдуетъ, думается, удовлетворить этой склонности, но сдѣлать это такъ, чтобы по возможности разсѣять тотъ туманъ, какой долженъ имѣть мѣсто, если учащіеся, согласно своей склонности, пользуются выраженіемъ «содержится столько-то разъ» въ обобщенномъ смыслѣ (напр., содержится 3 и - раза) и если со стороны преподавателя не дано разъясненій, придающихъ этому понятію опредѣленный смыслъ.

Задачи на умноженіе вида: пудъ товара стоитъ а рублей; ск. стоятъ в пудовъ? не требуетъ такого обобщенія съ тою настойчивостью, какъ вышеуказанныя задачи на дѣленіе, такъ какъ различныя значенія числа в (напр. 5; .-; 25) лишь незначительно мѣняютъ схему мысли: надо а руб. повторить слагаемымъ 5 разъ или а руб. умножить на 5; надо найти -, отъ а руб. или а руб. умножить на -; надо а руб. повторить слагаемымъ 2 раза и еще взять - части отъ я руб. или а руб. умножить на 2г-

2 раза въ числѣ lg, да еще получается остатокъ, составляющій - части числа — Здѣсь представляется удобнымъ всѣ эти три случая объединить однимъ терминомъ «содержится столько-то разъ», При этомъ учащіеся уже не будутъ поставлены втупикъ и выраженіемъ «первое число содержится во второмъ - раза», потому что такому выраженію, не имѣющему прямого смысла, теперь дается косвенное истолкованіе: второе число составляетъ jj перваго (а лишь для однообразія, желаемаго для нѣкоторыхъ цѣлей, мы говоримъ «| раза»).

Тѣ авторы, которые строятъ объясненіе дѣленія на вопросѣ «сколько разъ содержится?» должны сдѣлать такое обобщеніе заранѣе. Я не знаю, какъ это удобно сдѣлать3), и, къ сожалѣнію авторы въ своихъ книгахъ или статьяхъ этого обобщенія вовсе не даютъ. Остается думать, что они надѣются, что къ тому моменту, когда учащіеся приступаютъ къ дѣленію дробей, ихъ представленіе о дробяхъ уже настолько затуманено различными «правилами», различными чисто формальными объясненіями, что уже это представленіе не подскажетъ имъ, что нѣтъ смысла, напримѣръ, спрашивать, сколько разъ ^ содержится въ |. Или, быть можетъ, они надѣятся, что это обобщеніе понятія «нѣсколько разъ» какими-либо путями самособою создается у учащихся?

Возможно на всѣ эти сомнѣнія и такой отвѣтъ: да, несомнѣнно, у учащихся нѣтъ отчетливаго представленія о возможности обобщить выраженіе «содержится нѣсколько разъ», но передъ этимъ останавливаться не слѣдуетъ, такъ какъ хотя они и принуждаются указаннымъ пріемомъ дѣленія дробей оперировать надъ туманными представленіями, но зато они получаютъ извѣстныя практическія свѣдѣнія — научаются выполнять дѣленіе дробей, а найти достаточно времени для приданія отчетливыхъ формъ туманнымъ представленіямъ не представляется возможнымъ.

Но тогда появляются слѣдующія возраженія: 1) Вѣдь дѣленію дробей можно научить и безъ обобщенія понятія «нѣсколько разъ», опираясь на то, что это дѣйствіе по своему существу есть нахожденіе числа по его даннымъ частямъ. Научимъ дѣленію этимъ путемъ, а если времени для. указываемаго обоб-

3) Возможно это, конечно, сдѣлать при разсмотрѣніи задачъ на умноженіе, но, какъ на то указано въ предыдущемъ подстрочномъ примѣчаніи, настойчивой необходимости въ такомъ обобщеніи здѣсь не имѣется.

щенія не останется, то и не станемъ его дѣлать,—все равно практическій результатъ (учащіеся научатся выполнять дѣленіе дробей) будетъ имѣть мѣсто и притомъ безъ обращенія къ какимъ-то туманнымъ представленіямъ. 2) Возникаетъ вопросъ: тотъ практическій результатъ, что учащіеся научатся выполнять дѣленіе дробей, покроетъ ли собою тотъ вредъ, который будетъ принесенъ этимъ развитію дѣтей: если даже у учащихся и имѣются какія-то, неясныя для нихъ, представленія о возможности говорить «- раза», «2- раза» и т. д. и если, не сдѣлавъ эти представленія отчетливыми, мы заставляемъ учащихся оперировать съ этими неясными представленіями, то не значитъ ли это приносить непоправимый вредъ развитію учащихся?

Вотъ тѣ сомнѣнія, какія возникаютъ у меня всякій разъ, когда приходится или читать или слушать объ изложенномъ здѣсь пріемѣ объясненія дѣленія дробей, — съ ними мнѣ захотѣлось подѣлиться съ читателями «Математ. Вѣстника». Хотѣлось бы еще, чтобы сторонники этого пріема откликнулись на эту статью и разсѣяли бы, если это возможно, изложенныя здѣсь сомнѣнія.

Н. Извольскій.

По поводу статьи г. Виткевича „Объ ариѳметическихъ прогрессіяхъ 2-го и 3-го порядковъ."

Въ статьѣ г. Виткевича «Объ ариѳметическихъ прогрессіяхъ 2-го и 3-го порядка» въ № 7 «Мат. Вѣстника» за 1915 г. разсмотрѣнъ вопросъ въ общемъ видѣ. Вотъ нѣсколько примѣровъ, сближающихъ этотъ общій вопросъ объ ариѳметическихъ прогрессіяхъ 2-го и 3-го порядка съ задачами, встрѣчающимися въ тѣхъ или иныхъ ариѳметическихъ вопросахъ.

1. Изъ статьи г. Виткевича должно притти къ заключенію, что ряды

1», 2*, 3*, 4*, Ъ\...п\... (1)

и

1.2, 2.3, 3.4, 4.5, 5.6,... п(п+і),. . . (2)

представляютъ собою ариѳметическія прогрессіи 2-го порядка (г. Виткевичъ получаетъ формулу для суммы п членовъ ариѳметической прогрессіи 2-го порядка, опираясь на знаніе формулы суммы: 1 . 2+2 . 3+3 . 4+----\-(п—1)-и, которая

въ свою очередь находится при помощи суммы 12+22+32+ • ...+л*).

Является возможнымъ убѣдиться въ этомъ и непосредственно, для чего дадимъ иную форму опредѣленіямъ ариѳметическихъ прогрессій. Ариѳметическою прогрессіей 1-го порядка называется рядъ чиселъ, обладающій тѣмъ свойствомъ, что послѣдовательныя разности его сосѣднихъ членовъ образуютъ рядъ, члены котораго всѣ равны между собою. Рядъ чиселъ, послѣдовательныя разности сосѣднихъ членовъ котораго даютъ ариѳметическую прогрессію 1-го порядка, называется ариѳметическою прогрессіей 2-го порядка. Ариѳметическою прогрессіей 3-го порядка называется такой рядъ чиселъ, послѣдовательныя разности сосѣднихъ членовъ котораго даютъ ариѳметическую прогрессію 2-го порядка, и т. д.

Возьмемъ рядъ (1), перепишемъ его иначе и составимъ ряды (3) и (4) послѣдовательныхъ разностей.

(1)

(3) (4)

Въ томъ, что, какъ бы далеко рядъ (4) ни былъ продолженъ, его членами будутъ только числа 2, можно убѣдиться такъ: перепишемъ рядъ (1) слѣдующимъ образомъ:

Вычитая отдѣльно слагаемыя каждаго члена изъ слагаемыхъ слѣдующаго за нимъ члена, очевидно, получимъ рядъ (3) въ такомъ видѣ:

(3)

Законъ составленія (3) ряда ясенъ, и мы видимъ, что, какъ бы далеко мы его ни продолжили, всегда каждый его членъ на двѣ единицы будетъ больше непосредственно ему предшествующаго, т.-е.

(4)

Слѣдовательно, по опредѣленію, рядъ (3) есть ариѳметическая прогрессія 1-го порядка, рядъ же (1) является ариѳметическою прогрессіей 2-го порядка.

Примѣнимъ тотъ же методъ къ ряду (2):

Перепишемъ его въ такомъ видѣ:

Вычитая отдѣльно слагаемыя каждаго члена изъ слагаемыхъ слѣдующаго за нимъ члена, получимъ рядъ (5) послѣдовательныхъ разностей членовъ ряда (2):

(1 + 1+2), (1 + 1 + 1+3), (1 + 1+1 + 1+4),... (5)

Ясно, что, какъ и въ предыдущемъ случаѣ, рядъ (6) послѣдовательныхъ разностей членовъ ряда (5) будетъ

(1 + 1), (1 + 1),... (1 + 1)... (6)

Слѣдовательно, рядъ (2) есть ариѳметическая прогрессія 2-го порядка.

Было бы непослѣдовательно примѣнить формулу суммы п первыхъ членовъ ариѳметической прогрессіи 2-го порядка, данную въ статьѣ г. Виткевича, къ отысканію суммъ п первыхъ членовъ двухъ вышеразсмотрѣнныхъ рядовъ, такъ какъ эта общая формула выведена въ предположеніи, что суммы п первыхъ членовъ рядовъ (1) и (2) извѣстны ранѣе. Но мы можемъ при помощи рядовъ (1) и (2) составить сколь угодно много другихъ ариѳметическихъ прогрессій 2-го порядка, къ которымъ уже имѣемъ право примѣнить вышеуказанную формулу.

Возьмемъ, напримѣръ, рядъ (7):

5\ 62, 72, 8*,... (7)

который получается изъ ряда (1), если послѣдній начать съ 5-го члена.

Ясно, что рядъ (7) есть ариѳметическая прогрессія 2-го порядка.

Слѣдовательно, сумму его п первыхъ членовъ, напримѣръ, 52+62+72+•••+242 (здѣсь 7і=20), можно вычислить по формулѣ Sn(2).

Найдемъ въ данномъ случаѣ значенія постоянныхъ а, b и с. Если рядъ (1) начнется съ 25, тогда рядъ (3) соотвѣтственно начнется съ 11, рядъ же (4), какъ всегда,'съ 2. Слѣдовательно, въ формулѣ Sn^ надо положить

с=25, 6=11 и а=2,

т.-е., въ этомъ случаѣ

1) См. Мат. Вѣс. № 7 за 1915 г., стр. 207.

Но п=20. Тогда

или

52+62+ ...+242=4870.

Возьмемъ ряды

I2, З2, 52, 72, 92, ... (2п-1)\ ... (8)

и

22, 42, 62, 82,. . . (2/і)2,... (9)

На основаній опредѣленія ариѳметическихъ прогрессій ясно, что, если данный рядъ является ариѳметическою прогрессіей какого-нибудь порядка, то, выбравъ послѣдовательно его члены черезъ одинъ, или черезъ два, или вообще черезъ нѣсколько членовъ, можно составить новые ряды, которые будутъ также ариѳметическими прогрессіями того же порядка. Слѣдовательно, ряды (8) и (9), составленные изъ членовъ ряда (1), взятыхъ черезъ одинъ, будутъ ариѳметическими прогрессіями 2-го порядка. Т.-е. ряды квадратовъ послѣдовательныхъ нечетныхъ чиселъ и послѣдовательныхъ четныхъ чиселъ представляютъ собою ариѳметическія прогрессіи 2-го порядка и, благодаря этому, любые ихъ п послѣдовательныхъ членовъ легко суммируются по формулѣ £п(2), при нѣкоторыхъ, вполнѣ опредѣленныхъ для каждой суммы, значеніяхъ постоянныхъ а, Ъ и с.

Найдемъ, напримѣръ, формулу суммы п первыхъ членовъ ряда (8).

Для этого составимъ ряды послѣдовательиыхъ разностей:

1, 9, 25, 49, 81,... (8)

8, 16, 24, 32,... 8, 8, 8,. . .

Слѣдовательно, въ формулѣ надо положить с=1, 6=8 и а=8,

т.-е.

Послѣ ряда алгебраическихъ преобразованій, получимъ

Найдемъ формулу суммы п первыхъ членовъ ряда (9).

Составимъ ряды послѣдовательныхъ разностей

4, 16, 36, 64,... (9)

12, 20, 28,... 8, 8,...

Слѣдовательно, въ формулѣ 5п<2> надо положить с=4, 6=12 и а=8,

т.-е.

или

Окончательно

Возьмемъ рядъ

1.2, 3.4, 5.6, 7.8,...(2л-1)(2и),... (10)

Рядъ (10) составленъ изъ членовъ ряда (2), взятыхъ черезъ одинъ. Слѣдовательно, рядъ (10) является ариѳметическою прогрессіей 2-го порядка и, любые п его послѣдовательныхъ членовъ суммируются по формулѣ и т. д.

2. Изъ статьи г. Виткевича видно, что ряды

I3, 22, З3, 43,. . . п3, . . . (11)

и

1.2.3, 2.3.4, 3.4.5, 4.5.6,... п(п+1)(п+2)... (12)

составляютъ ариѳметическія прогрессіи 3-го порядка. Покажемъ это непосредственно.

Перепишемъ рядъ (11) въ другомъ видѣ и составимъ ряды (13), (14) и (15) послѣдовательныхъ разностей

1, 8, 27, 64, 125,... (11)

7, 19, 37, 61,... (13)

12, 18, 24,... (14)

6, 6,... (15)

Покажемъ, что, какъ бы далеко мы рядъ (15) ни продолжили, каждый его членъ будетъ всегда равенъ 6; для этого напишемъ рядъ (11) такъ:

Вычитая отдѣльно слагаемыя каждаго члена изъ слагаемыхъ слѣдующаго за нимъ и заключая отдѣльныя раз-

ности въ скобки, очевидно, получимъ рядъ (13) въ такомъ видѣ:

(3+4), [(5+5)+9], [(7+7+7)+16], [(9+9+9+9)+25], (13)

(Мы видѣли уже ранѣе, что разности квадратовъ послѣдовательныхъ чиселъ даютъ рядъ нечетныхъ чиселъ.)

Вычитая отдѣльно слагаемыя, стоящія въ скобкахъ и внѣ скобокъ въ рядѣ (13), получимъ рядъ (14):

[(2+5)+5], [(2+2+7R7], [(2+2+2+9)+9],... (14)

Ясно, что, поступая съ рядомъ (14) такъ же, какъ и съ рядомъ (13), получимъ рядъ (15) въ видѣ

[(2+2)+2], [(2+2)+2],. . . (15)

т.-е. каждый членъ ряда (15) будетъ равенъ 6.

Слѣдовательно, рядъ (14) есть ариѳметическая прогрессія 1-го порядка, рядъ (13) ариѳметическая прогрессія 2-го порядка, рядъ же (11), по опредѣленію, ариѳметическая прогрессія 3-го порядка. Разсмотримъ рядъ (12).

1.2.3, 2.3.4, 3.4.5, 4.5.6,... п(п+1)(п+2)... (12)

Составимъ рядъ (16) разностей нослѣдовательныхъ членовъ ряда (12), при чемъ, вычитая изъ второго члена первый, вынесемъ за скобки общаго множителя 2.3, вычитая изъ третьяго члена второй, вынесемъ за скобки общаго множителя 3 . 4 и т. д.

Рядъ (16) будетъ имѣть видъ

(2.3J.3, (3.4).3, (4.5).3,... (16)

Рядъ (16), какъ составленный изъ членовъ ряда (2), взятыхъ начиная со второго и умноженныхъ на 3, является, очевидно, ариѳметическою прогрессіей 2-го порядка, слѣдовательно, по опредѣленію, рядъ (12) есть ариѳметическая прогрессія 3-го порядка.

Опять-таки непослѣдовательно было бы находить суммы п первыхъ членовъ рядовъ (11) и (12) по формулѣ, данной въ статьѣ г. Виткевича, такъ какъ эта формула выведена въ предположеніи, что мы уже умѣемъ находить сумму 1.2.3 + +2 . 3 . 4+3 . 4 . Ъ-\----+tt(ra+l)(tt+2), нахожденіе которой въ

свою очередь опирается на умѣніи находить сумму 13+23 + +33+«--+/і3. Но мы опять-таки можемъ, пользуясь этими двумя рядами (11) и-(12), составить новыя ариѳметическія прогрессіи 3-го порядка, къ которымъ уже можемъ примѣнить общую формулу для суммы п первыхъ членовъ ариѳметической прогрессіи 3-го порядка.

Н. С. Т.

Хроника.

Засѣданіе, посвященное памяти Ѳ. И. Егорова. 21-го ноября въ большой аудиторіи Московскихъ Женскихъ Педагогическихъ Курсовъ имени Д. И. Тихомирова состоялось засѣданіе, посвященное памяти бывшаго преподавателя Курсовъ Ѳеодора Ивановича Егорова. Въ устройствѣ этого засѣданія приняли участіе 4 учрежденія, а именно Москов. Женск. Педагогическіе Курсы, Москов. Матем. Кружокъ, Женская Московская учительская семинарія и Общество бывшихъ воспитанниковъ Москов. Учительскаго Института.

Вотъ программа этого засѣданія: 1. А. А. Волковъ. Ѳ. И. Егоровъ (біографическій очеркъ). 2. I. И. Чистяковъ. Дѣятельность Ѳ. И. Егорова въ Москов. Матем. Кружкѣ и его «Методика ариѳметики». 3. С. А. Дмитріевъ. Воспоминанія о Ѳ. И. Егоровѣ бывшаго воспитанника Москов. Учительскаго Института. 4. А. М. Смирнова. Ѳ. И. Егоровъ въ школѣ Педагогическихъ Курсовъ (это сообщеніе по болѣзни г-жи Смирновой было прочтено другимъ лицомъ). 5. Т. М. Крутова. Ѳ. И. Егоровъ, какъ учитель и какъ человѣкъ. 6. П. П. Блонскій. Воспоминанія о совмѣстной работѣ съ Ѳ. И. Егоровомъ въ Москов. Женской Учительской Семинаріи. 7. Е. И. Отрадинская. Памяти Ѳ. И. Егорова. 8. А. Куликова. Воспоминанія о О. И. Егоровѣ въ Московской Женской Учительской Семинаріи. 9.А. Лукашева. У гроба Ѳ. И. Егорова. 10. Е. Куликова. На смерть Ѳ. И. Егорова. 11. Д. Павлова. Памяти Ѳ. И. Егорова.

Лекціи по методикѣ ариѳметики въ Городскомъ Московскомъ Музеѣ наглядныхъ пособій. Исполнительная комиссія по устройству. Московскаго Городского Музея организовала для гг. учащихъ въ начальныхъ школахъ г. Москвы рядъ эпизодическихъ лекцій по методикамъ различныхъ предметовъ. Среди нихъ было прочитано 3 лекціи по методикѣ ариѳметики: 1. 14 ноября. А. А. Волковъ. О наглядности въ преподаваніи ариѳметики. 2. 15 ноября. Д. Л. В олковскій. Метода изученія чиселъ и метода изученія дѣйствій въ предѣлѣ перваго десятка. 3. 21 ноября. Н. А. Извольскій. Цѣль обученія ариѳметикѣ и средства для ея достиженія.

Московскій Математическій Кружокъ. Очередныя засѣданія Москов. Матем. Кружка состоялись подъ предсѣдательствомъ проф. Б. К. Млодзѣевскаго въ помѣщеніи реальнаго училища К. К. Мазинга 29-го октября и 26-го ноября. Въ первомъ были прочитаны доклады: 1. В. В. Добровольскій. Основные принципы и опредѣленія механики съ математической точки зрѣнія. 2. Е. С. Томашевичъ. О разложеніи квадратнаго трехчлена на множители. Во второмъ были прочитаны

доклады: 1. Н. А. Извольскій. Изученіе степеней цѣлыхъ чиселъ въ курсѣ ариѳметики1). 2. Е. С. Томашевичъ. О сколь угодно маломъ членѣ убывающей геометрической прогрессіи.

Кромѣ того на второмъ изъ этихъ двухъ засѣданій происходила бесѣда по поводу вопроса «объ измѣреніи угловъ въ отвлеченной мѣрѣ», выдвинутаго А. В. Цингеромъ.

Свѣдѣнія о книгахъ по математикѣ и ея методикѣ

С. В. Зенченко, С. П. Орловъ и В. Л. Эменовъ. Жизнь и знаніе въ числахъ. Деревня. Часть 4-я. Выпускъ I, цѣна 20 коп. Изданіе В. Ф. Ворошиловой. Москва 1915.

С. В. Зенченко и В. Л. Эменовъ. Жизнь и знаніе въ числахъ. Деревня. Часть 4-я. Выпускъ II, цѣна 15 коп. Изданіе В. Ф. Ворошиловой. Москва 1915.

Выпускъ II представляетъ собою руководство для учащихъ къ пользованію «систематическимъ сборникомъ задачъ для 4-го отдѣленія начальной школы», а выпускъ I является этимъ систематическимъ сборникомъ.

Основною идеею работы гг. составителей является стремленіе осуществить принципъ (по ихъ мнѣнію: прочно установленный) неразрывной связи между школой и жизнью. Авторы въ самомъ началѣ II выпуска указываютъ, что до сихъ поръ всѣ попытки, которыя были сдѣланы въ этомъ направленіи, не въ достаточной мѣрѣ удовлетворяютъ этому требованію. Авторы, желая достигнуть осуществленія указаннаго принципа, приходитъ къ ряду положеній: 1. необходимо для сельской школы имѣть свой особый задачникъ; 2. необходимо для каждаго отдѣленія школы имѣть свой задачникъ; 3. три отдѣленія начальной школы должны исполнить свое назначеніе: вооружить учащихся при переходѣ въ 4-е отдѣленіе возможно совершенной техникой счета (повидимому, какъ это выясняется дальше, здѣсь надо понимать дѣйствія надъ цѣлыми числами, надъ составными именованными числами и надъ несложными обыкновенными дробями, какъ то указано на стр. 24—25 выпуска II; однако изъ стр. 7—10 выпуска I можно думать, что дѣйствія съ обыкновенными дробями должно быть отнесены къ четвертому году обученія, какъ то указываетъ заглавіе на стр. 7; повидимому, эта неясность возникаетъ изъ слишкомъ большой сжатости поясненій, данныхъ на стр. 24—26 выпуска II); 4. въ четвертомъ отдѣленіи начальной школы «ариѳметика можетъ — если не должна — пріобрѣсти главнымъ образомъ прикладной характеръ» (стр. 5—б выпуска II).

1) Докладъ напечатанъ подъ заглавіемъ «О степеняхъ цѣлыхъ чиселъ въ настоящемъ № «Мат. Вѣст.»

Исходя изъ этого, авторы предлагаютъ для 4-го года обученія свой задачникъ (выпускъ 1), который почти исключительно построенъ на вопросахъ практическаго характера. На первыхъ 12- его страницахъ дано: 1) повтореніе дѣйствій надъ составными именованными числами, 2) задачи на квадратныя и кубическія мѣры, 3) упражненія на дѣйствія надъ обыкновенными дробями, при чемъ дѣло ограничивается лишь очень несложными дробями (напримѣръ, для сложенія дробей даются или дроби съ одинаковыми знаменателями или простѣйшіе случаи различныхъ знаменателей: \ + \, \ + g, \ + \, \ + { и ^+^), 4) упражненія на дѣйствія съ десятичными дробями (всѣ дѣйствія, но ограничиваясь лишь сотыми долями), 5) задачи на проценты. Задачи прикладного характера, которымъ главнымъ образомъ и удѣлено вниманіе составителей, начинаются на 13 стр. и раздѣляются на отдѣлы: домъ, домоводство, колодецъ, огородъ и садъ, пасѣка, скотъ и птица, поле, лугъ, лѣсъ, потребительская лавка и кредитное товарищество и, наконецъ, деревня. На стр. 85—91 выпуска I дается еще «указатель задачъ по содержанію», для выясненія характера котораго изложимъ кратко содержаніе первой его части, озаглавленный «Домъ». Все содержаніе этой части указателя раздѣлено на отдѣлы: «фундаментъ», «стѣны кирпичныя», «крыша», «полъ», «печи», «окраска», «деревянныя постройки»; каждый отдѣлъ даетъ тѣ вопросы, которые рѣшаются въ задачахъ, данныхъ въ отдѣлѣ «Домъ» Вотъ часть одного отдѣла (цифры въ скобкахъ указываютъ №№ задачъ): «Крыша. Стоимость матеріала и плотничьихъ работъ по установкѣ стропилъ (11, 12), стоимость матеріала: для желѣзной крыши (13), для крыши тесовой (14), для крыши, крытой дранью (16). Какая крыша дешевле: желѣзная или тесовая (15)?» и т. д.

Прежде чѣмъ приступить къ рѣшенію задачъ, учитель долженъ, согласно указаніямъ составителей (стр. 12 выпуска II), устраивать бесѣду, примѣнительно ко введенію, данному въ выпускѣ I передъ каждымъ отдѣломъ. Затѣмъ рекомендуется обратить вниманіе учащихся на тотъ указатель, который сейчасъ былъ описанъ, и найти тамъ наиболѣе интересующій ихъ вопросъ и тѣ задачи, гдѣ онъ рѣшается. Въ задачникѣ, кромѣ обычныхъ задачъ, имѣются еще, для возбужденія въ дѣтяхъ активности, задачи а и задачи в. Первыя (т.-е. задачи а) даютъ лишь форму задачи, а числовыя данныя (всѣ или нѣкоторыя) должны быть вставлены самими учащимися (напримѣръ: «Длина всѣхъ сторонъ фундамента вашего дома..., высота..., толщина... Онъ выложенъ кирпичомъ по 125 штукъ на 1 куб. арш. кладки. Сколько пошло на заливку кубич. аршинъ извести, если на 1000 кирпичей ея выходило по 2, 7 куб. арш.?» (срт. 15). Задачи в требуютъ отъ учащихся, чтобы они не только добыли сами соотвѣт. числовыя данныя, но и сами же выработали форму задачи (напр. составьте смѣту расхода на матеріалъ и рабочія руки при постройкѣ крыши вашего дома,—стр. 17). Для добыванія числового матеріала для задачъ а и в дѣти должны, согласно мысли составителей, привлечь къ этому дѣлу и отца и мать, должны сбѣгать въ поле, въ лавку, произвести обмѣръ, навести справки и т. д. (стр. 14 вып. II). Необходимо

планомѣрное его собираніе. Поэтому надо, чтобы каждый учащійся составилъ таблицу съ соотвѣтствующимъ заголовкомъ (два примѣра такихъ таблицъ даны въ приложеніяхъ къ вып. II; эти таблицы озаглавлены «Поле» и «Лугъ»). Кромѣ того рекомендуются экскурсіи, которыя имѣютъ цѣлью собираніе числового матеріала для задачъ, представляющихъ интересъ новизны для всего класса, напр., объектами изслѣдованія на экскурсіяхъ могутъ служить: «работа жнеи, косилки, молотилки у сосѣда-помѣщика, разработка торфяного болота, обжиганіе угля, сведеніе лѣса, изготовленіе кирпичей на заводѣ, работа кустаря, словомъ,— цѣлый рядъ работъ и производствъ (не слишкомъ сложныхъ), встрѣчающихся въ мѣстностяхъ, не очень удаленныхъ отъ школы» (стр. 22 вып. II).

Такова широкая реформа постановки курса ариѳметики въ IV отд. начальной школы, которая задумана авторами. Оставлю въ сторонѣ вопросъ о цѣлесообразности такой реформы и о возможности ея осуществленія, такъ какъ полагаю, что разборъ этого общаго вопроса въ рецензіи неумѣстенъ1). Во всякомъ случаѣ въ нашей педагогической литературѣ имѣетъ мѣсто лозунгъ «сблизить задачникъ съ жизнью», и задачникъ гг. Зенченко, Орлова и Эменова явился, какъ откликъ на этотъ лозунгъ. Остается лишь выяснить, по мѣрѣ возможности, насколько соотвѣтствуетъ этотъ задачникъ вышеуказанному лозунгу и насколько удобно введеніе этого задачника въ обиходъ школы.

Прежде всего остановлюсь на предисловіяхъ къ различнымъ отдѣламъ задачника (заглавія отдѣловъ даны выше). Нѣкоторыя изъ этихъ предисловій совершенно безсодержательны. Напр., предисловіе къ отдѣлу «Домоводство» наполнено рядомъ общихъ фразъ въ родѣ: «Часто семья проживаетъ больше, чѣмъ имѣетъ дохода; отъ этого получаются долги, которые понемногу разоряютъ хозяйство», или «чтобы увеличить доходъ семьи (вѣрнѣе: чтобы уменьшить расходъ. Н. И.), хозяйкамъ надо умѣть готовить обѣдъ, печь хлѣбы» и т. п. Въ этомъ предисловіи введено лишь одно имѣющее значеніе понятіе—«бюджетъ». Однако тѣ указанія, какія здѣсь даны, врядъ ли помогутъ составить бюджетъ семьи. Другія изъ предисловій, наоборотъ, содержатъ много свѣдѣній, неизвѣстныхъ ни ученикамъ школы, ни обычнымъ обывателямъ, ни даже большинству изъ учителей. Такъ, напр., предисловіе къ отдѣлу «Скотъ и птица» содержитъ слѣдующія свѣдѣнія: «Для поддержанія правильнаго вѣса коровы, отъ котораго зависитъ доходъ отъ нея, корова должна получать опредѣленное количество пищи. Установлено, что корова должна съѣсть 5 фунтовъ овсяной соломы, чтобы насытиться такъ же, какъ если бы она съѣла 1 фунтъ ржаной муки. Одинъ фунтъ ржаной муки называется кормовой единицей», а выше сообщается: «Количество корма животному задается, смотря по его живому вѣсу. Живой вѣсъ коровы, напримѣръ, опредѣляется слѣдующимъ способомъ: измѣряется вершками длина туловища (данъ чертежъ и поясненія) и обхватъ его (также пояснено); найденныя числа перемножаются. Полученное

1) Я предполагаю посвятить этому общему и модному въ настоящее время вопросу особую статью.

произведеніе и будетъ выражать въ фунтахъ живой вѣсъ коровы». Далѣе указывается: «На каждые 3 пуда живого вѣса (коровы. Н. И.) полагается 1 кормовая поддерживающая единица (т.-е. она поддерживаетъ, какъ указано выше, вѣсъ тѣла. Н. И.); кромѣ того, еще одна кормовая единица полагается для полученія отъ коровы каждыхъ 3 фунтовъ молока».

Насколько все это справедливо, не будучи спеціалистомъ по этому вопросу, судить не берусь. Но во всякомъ случаѣ здѣсь возникаетъ рядъ сомнѣній: что значитъ правильный вѣсъ коровы? нельзя ли, задавая, напр., коровѣ по 30 кормовыхъ единицъ сверхъ тѣхъ, какія идутъ на поддержаніе живого вѣса (или: вѣса тѣла?), получать отъ коровы ежедневно по 90 фунтовъ молока («одна кормовая единица полагается для полученія каждыхъ 3 фунтовъ молока»)?

Если на самомъ дѣлѣ вопросъ о раціональной постановкѣ скотоводства вообще и ухода за коровами въ частности не столь простъ, какъ это изложено на двухъ страницахъ предисловія, то возникаетъ вопросъ, полезно ли сообщать учащимся тѣ обрывки знаній, какія имѣются въ этомъ предисловіи: не внесутъ ли такіе обрывки лишь путаницу въ хозяйство той семьи, къ которой принадлежитъ ученикъ?

Перейду къ самимъ задачамъ. Миную тѣ 12^ страницъ, которыя посвящены повторенію составныхъ именованныхъ чиселъ, квадратнымъ и кубическимъ мѣрамъ, простымъ дробямъ, десятичнымъ дробямъ и процентами Дѣлаю я это потому, что слишкомъ малое развитіе этихъ отдѣловъ (все на 12^ страницахъ) указываетъ на то, что центръ тяжести работы составителей не здѣсь, а въ дальнѣйшемъ, и что эти 12- страницъ имѣются въ задачникѣ (невольно создается такое впечатлѣніе) потому, что какъ-то неудобно было вовсе не касаться этихъ вопросовъ. А пожалуй было бы лучше, если бы авторы вовсе удалили эти 12^ страницъ и рекомендовали бы свой задачникъ, какъ дополненіе къ обычному, имѣющее спеціальную цѣль научить пользоваться ариѳметикою на практикѣ. Поэтому разсмотримъ содержаніе задачника, начиная лишь съ 14-й стр.

Несомнѣнно, что всѣ задачи говорятъ о вещахъ, которыя такъ или иначе близки къ жизни деревни и къ жизни сельской школы. Но имѣется множество задачъ, задаваемыхъ авторами въ такой формѣ, которая никогда на практикѣ не можетъ имѣть мѣста. Уже на стр. 14 задача № 2, спрашивающая о томъ, во что обойдется заготовка матеріала для фундамента дома (въ задачѣ имѣется погрѣшность: такъ спрашивается «во что обойдется заготовка матеріала для дома?», на какой вопросъ нельзя отвѣтить за отсутствіемъ данныхъ), «если бревно стоитъ 2 р. 10 коп., а провозъ 2 бревенъ составляетъ ^ часть стоимости бревна», вызываетъ сомнѣнія: развѣ всегда такъ бываетъ, что за провозъ двухъ бревенъ берутъ і часть стоимости одного бревна? а развѣ разстояніе здѣсь не имѣетъ значенія? На практикѣ, конечно, дѣло будетъ такъ: выяснится, сколько можно класть бревенъ на каждую подводу, и выяснится, сколько придется заплатить за каждую подводу, но практическое значеніе условіи

«провозъ 2 бревенъ составляетъ = часть стоимости бревна» по меньшей мѣрѣ крайне сомнительно. Подобныя формы заданій въ задачникѣ встрѣчаются очень часто. Напр., № 4 (14 стр.) говоритъ: длина дома въ раза больше ширины. Конечно, на практикѣ попросту измѣрятъ длину и ширину, и онѣ будутъ извѣстны въ аршинахъ. Если же хозяинъ этого дома математически образованъ, то онъ можетъ комбинировать полученныя числа и притти, между прочимъ, къ положенію: длина моего дома въ І^ раза больше ширины. На стр. 20 въ задачѣ № 29 говорится: «расходъ на проволоку, вьюшку, заслонку (рѣчь идетъ о построкѣ печи) равенъ ^ расхода на рабочихъ за всѣ дни». На стр. 25 въ задачѣ № 8 говорится, что «на одежду старшаго ребенка тратится 10 р. (въ годъ), а н а каждаго изъ слѣдующихъ младшихъ въ 2 раза менѣе, чѣмъ на предыдущаго» (разбивка моя).

На стр. 29 въ задачѣ № 32 говорится, что «цѣна гужей составляетъ стоимости хомута», что шлея въ 8 разъ дешевле сѣделки, узда въ 2 раза дороже шлеи, и т. д. и т. д. Такія условія, какъ не встрѣчающіяся на практикѣ, во ѵсякомъ случаѣ не согласуются съ тою идеей, развитію которой посвящена работа авторовъ. Еще страннѣе читать въ задачникѣ, цѣлью котораго поставлено стремленіе придать ариѳметикѣ въ IV отд. прикладной характеръ, задачи въ родѣ слѣдующихъ:

1) № 15 на стр. 17. Каждый изъ двухъ братьевъ построилъ по дому такъ, что площади ихъ крышъ были равны. Первый братъ покрылъ домъ желѣзомъ, на что употребилъ 80 листовъ, каждый вѣсомъ 8 фунт.; второй — покрылъ его тесомъ, на что истратилъ 480 тесинъ. Кому и во сколько разъ обошлась крыша дешевле, если пудъ желѣза покупали по 2 р. 80 к., а тесину по 42 коп.?

Неестественность перваго условія ясна; кромѣ того оно совершенно ненужно; неужели братья заранѣе сговорились: «построимъ по дому такъ, чтобы площади крышъ были равны»?Вопросъ задачи тоже ни къ чему, такъ какъ каждый братъ знаетъ цѣну своей крыши и безъ рѣшенія подобной задачи знаетъ, чья крыша дешевле и во сколько разъ (если только этотъ вопросъ «во сколько разъ?» уже вошелъ въ его сознаніе), и, вѣроятно, были иныя соображенія и болѣе интересныя и болѣе важныя съ практической точки зрѣнія, заставившія одного брата покрыть крышу тесомъ, а другого — желѣзомъ. Почему бы эту задачу не задать въ болѣе естественной формѣ: крышу дома можно покрыть или желѣзомъ, при чемъ понадобится 80 листовъ по 8 фунт. каждый, цѣною по 2 р. 80 коп. за пудъ, или тесомъ, причемъ понадобится 480 тесинъ по 42 коп. каждая. Въ какомъ случаѣ матеріалъ для крыши обойдется дешевле и во сколько разъ? (здѣсь, какъ и въ зад. № 15, вовсе игнорируется вопросъ о стоимости работы, чѣмъ еще уменьшается практическое значеніе задачи № 15).

2) № 5 на стр. 24. Здѣсь рѣчь идетъ объ обѣдахъ для школьниковъ. Оказывается, что каждый обѣдъ обходится невѣроятно (даже и для постнаго обѣда) дешево — 1~ коп. на человѣка.

3) Въ № 9 на стр. 25 спрашивается (приведены, конечно, данныя): «На сколько больше денегъ расходуется въ мѣсяцъ однимъ человѣкомъ на кашу съ масломъ, чѣмъ на чай съ сахаромъ?». Такой вопросъ можетъ быть интересенъ лишь въ качествѣ развлеченія.

4) JVfe 19 на стр. 39. «Помѣщикъ удобрилъ землю подъ 425 яблонями. Подъ каждой изъ 0,4 всѣхъ яблонь онъ удобрилъ 16 кв. саж. земли подъ каждой изъ 0,2 остатка — 12 кв. саженъ и подъ каждой изъ остальныхъ — 9,5 кв. саж. На каждую кв. саж. положили по 12 фун. навоза. Сколько возовъ его потребовалось въ садъ, если возъ вѣсилъ 31 пудъ?»

Искусственность этой задачи бросается въ глаза.

5) «N* 26 на стр. 40 говоритъ о крестьянинѣ, который развелъ плодовый садъ (посадилъ яблонь на 21 р. 33 коп.) и уже въ первыя пять лѣтъ собралъ съ этого сада 64 чк. яблокъ. Правдоподобно ли это?

6) № 14 на стр. 55. «Одна деревня имѣетъ 201 десятину пахотной земли. Она свое поле засѣяло рожью въ началѣ августа и высѣяла 536 чк. Другая деревня имѣетъ 336 десятинъ пахотной земли. Она засѣяла свое поле полмѣсяца спустя; но чтобы получить такой же урожай, какого ожидаетъ первая деревня, вторая должна была высѣять уже 1120 чк. ржи. Сколько понесла убытку вторая деревня отъ запоздалаго посѣва, если 1 чк. ржи стоитъ 75 к.? Пахотная земля въ каждой деревнѣ была разбита на 3 равныхъ поля».

Можетъ быть, основная мысль задачи и имѣетъ цѣнность: можетъ быть, дѣйствительно болѣе поздній посѣвъ требуетъ большаго количества сѣмянъ, но форма задачи можетъ учащихся привести къ ряду недоумѣній: неужели при посѣвѣ жители одной деревни станутъ руководиться цѣлью «получить такой же урожай, котораго ожидаетъ первая деревня»? неужели въ подобныхъ вопросахъ можно вовсе игнорировать качество земли? неужели съ такою точностью, какая имѣетъ мѣсто въ задачѣ (536 чк.) можно подстчитать на практикѣ количество ржи, пошедшей на посѣвѵу всѣхъ отдѣльныхъ жителей деревни? Зачѣмъ взяты такія числа, что на каждую десятину оказалось высѣянными ровно 8 и 10 чк. — развѣ на практикѣ всѣ дѣленія всегда выполняются безъ остатка?

Много можно найти въ задачникѣ задачъ, вызывающихъ подобныя сомнѣнія, еще больше задачъ съ сомнѣніями менѣе значительными. Напр., неужели всегда для созрѣванія ржи требуется 336 дней (стр. 54), неужели имѣетъ практическое значеніе тотъ упрощенный расчетъ прибыли отъ того, что лѣсъ рѣшили рубить лишь въ 60-лѣтнемъ его возростѣ, а не въ 30 - лѣтнемъ, какой имѣется въ задачѣ № 21 на стр. 73 и т. д. и т. д.

Имѣются и вовсе непонятныя или крайне странныя задачи, вовсе невѣрныя; повидимому, такихъ задачъ не столь много. Вотъ примѣры:

1) № 19 на 18 стр. «На крышу дома требуется или 84 листа желѣза, вѣсомъ каждый въ і пуда, или 32600 штукъ драни. Какъ выгоднѣй покрыть домъ, чтобы крыша служила 20 лѣтъ, если извѣстно, что черезъ 10 лѣтъ на окраску желѣзной крыши требуется ^ первоначальной ея стоимости? Пудъ желѣза стоитъ 2 р. 80 к.,1000 штукъ драни 1 р. 10 к.».

Возникаетъ рядъ вопросовъ: а во что обходится первоначальная окраска крыши? (Это вовсе не сказано). Можетъ ли прослужить крыша изъ драни 20 лѣтъ? Неужели въ теченіе 20 лѣтъ не придется чинить ни желѣзную, ни драневую крыши? и т. д.

2) № 16 на стр. 26. «і бутылки (чайная чашка) яда алкоголя, изъ котораго приготовляется водка, убиваетъ на смерть собаку, вѣсомъ въ £ пуда. Какое количество алкоголя убьетъ человѣка, вѣсъ тѣла котораго равенъ 4 пудамъ?»

Неужели въ этомъ вопросѣ можетъ быть рѣчь о пропорціональности?— Врачи здѣсь придаютъ большое значеніе состоянію сердца.

3) № 4 на стр. 45. «Двумъ коровамъ по ихъ живому вѣсу надо было давать по 28 фун. сѣна каждой въ день. Но хозяинъ имъ обѣимъ вмѣстѣ давалъ 3 раза по 21 фун. сѣна. Какой убытокъ понесъ крестьянинъ въ годъ на сѣнѣ,если коровы стояли во дворѣ 225 дней, а пудъ сѣна стоилъ 32 коп.?»

Возможно ли такъ схематизировать вопросъ объ убыткѣ, какъ это сдѣлано въ задачѣ? А развѣ не надо принимать во вниманіе, что «правильно увеличенная дача корма повышаетъ удойность», какъ сказано въ предисловіи къ отдѣлу «Скотъ и птица»?

Все вышеизложенное заставляетъ признать попытку гг. Зенченко, Орлова и Эменова сблизить ариѳметику съ жизнью почти столь же неудачною, какъ и тѣ попытки, какія дѣлались раньше. Поэтому отнюдь нельзя рекомендовать ввести этотъ задачникъ, какъ единственное пособіе по ариѳметикѣ для IV отд. Но въ этомъ задачникѣ возможно выбрать задачи, которыя, съ одной стороны не вводятъ условій, не имѣющихъ значенія для практики, съ другой стороны, не обладаютъ странностями, подобными выше отмѣченнымъ. Если нѣсколько такихъ задачъ проработать въ теченіе года въ видѣ дополненія къ обычному задачнику, то въ курсъ ариѳметики будетъ внесено нѣкоторое оживленіе. Не слѣдуетъ лишь увлекаться такою работою, такъ какъ всѣ тѣ задачи, которыя можно съ этою цѣлью выбрать изъ задачника, сводятся почти къ одному и тому же: подсчитать стоимость, расходъ, приходъ, прибыль, убытокъ, зная количество извѣстнаго матеріала и его цѣну.

Н. Извольскій.

Оглавленіе ,,Матем. Вѣст." за 1915 г. будетъ разослано гг. подписчикамъ въ январѣ 1916 г.

Редакторъ-Издатель Н. А. Извольскій.

Типографія Г. Лисснера и Д. Собко. Москва, Воздвиженка, Крестовоздвиженскій пер., д. № 9.

[Объявления]

[Объявления]

[Объявления]

[Объявления]

[Объявления]