Математическій Вѣстникъ.

№ 7. Ноябрь 1915 г.

Годъ второй.

Адресъ редакціи: Москва, Гороховскій пер., д. 23, кв. 9. Тел.3-19-55.

При этомъ № прилагается объявленіе о подпискѣ на журналъ „Математическій Листокъ".

Содержаніе: Н. Извольскій. Ариѳметическія задачи и ихъ рѣшеніе. — A. Цвѣткова. Краткій обзоръ статей математическаго содержанія, напечатанныхъ въ педагогическихъ журналахъ. — Н. Извольскій. Описаніе одного урока ариѳметики во второмъ классѣ двухкласснаго училища. — B. Виткевичъ. Объ ариѳметическихъ прогрессіяхъ 2-го и 3-го порядка. — Н. Извольскій. Замѣтка по поводу статьи «Понятія: столько же, больше, меньше» въ № 5 за 1915 г. «Матем. Вѣстн.». — Хроника. (Московскій Математическій Кружокъ. — Совѣщаніе инспекторовъ и преподавателей высшихъ начальныхъ училищъ въ г. Твери въ августѣ 1915 г.).—Свѣдѣнія о книгахъ по математикѣ и ея методикѣ. (С. И. Шохоръ-Троцкій. Методика ариѳметики для учителей начальныхъ школъ, ч. Г, новый ариѳметическій задачникъ для учителей нач. школъ; новый ариѳметическій задачникъ для учениковъ нач. школъ).

Ариѳметическія задачи и ихъ рѣшеніе.

Одною изъ цѣлей обученія ариѳметикѣ является навыкъ учащихся въ примѣненіи ариѳметики къ практическимъ вопросамъ или, общѣе, ко всѣмъ по возможности явленіямъ и внѣшняго и даже внутренняго міра. Для достиженія этой цѣли въ курсъ ариѳметики вводятся задачи, и учащіеся пріучаются къ ихъ рѣшенію.

Если разсмотрѣть рядъ задачъ, то нетрудно притти къ убѣжденію, что въ каждой изъ нихъ или дается какой-либо процессъ (или рядъ процессовъ), напр., продажа, движеніе, выполненіе работы и т. п. или предлагается выполнить какой-либо процессъ; напр., въ задачѣ: одно бревно было длиною, 3 саж. 3 фута, а другое — 6 фут. ; во сколько разъ первое бревно длиннѣе второго? — здѣсь вопросъ указываетъ на процессъ

отложенія: сколько разъ длина второго бревна уложится на длинѣ перваго? (кромѣ того. здѣсь имѣется выполненнымъ еще другой процессъ—измѣреніе: уже измѣрена длина каждаго бревна). Въ каждой задачѣ отдѣльные моменты имѣющаго мѣсто въ этой задачѣ процесса уже оцѣнены числами; отъ учащихся требуется оцѣнить числами другіе моменты этого процесса. Напр., въ вышеприведенной задачѣ (о бревнахъ) оцѣнены числами два момента, а именно результаты процесса измѣренія перваго бревна саженью и футомъ и второго бревна футомъ; требуется оцѣнить числомъ результатъ отложенія1) второго бревна на первомъ. Для того чтобы рѣшить задачу, надо съ полною ясностью представить тотъ процессъ, который имѣетъ мѣсто въ задачѣ, при чемъ очень часто удобно и полезно это представленіе выполнить въ схематическомъ видѣ (примѣръ ниже); когда это будетъ сдѣлано, то надо изыскать тѣ ариѳметическія дѣйствія, которыя соотвѣтствуютъ отдѣльнымъ шагамъ этого процесса.

Съ теченіемъ времени задачное дѣло усложняется: составители задачъ, недовольствуясь тѣмъ, чтобы въ своихъ задачахъ описывать процессы въ ихъ естественномъ развитіи, стремятся ввести въ задачу нѣкоторый замыселъ, который нѣсколько затруднилъ бы понять значеніе тѣхъ ариѳметическихъ данныхъ, которыя имѣются въ задачѣ и которыя оцѣниваютъ числами отдѣльные моменты имѣющагося въ задачѣ процесса2). Замыселъ состоитъ, обычно, въ томъ, что числами оцѣниваются такіе моменты процесса, которые ускользаютъ отъ вниманія обыкновеннаго наблюдателя; иногда въ томъ, что выбираются процессы, обладающіе особенностями, обычно не имѣющими мѣста въ дѣйствительности; наконецъ, замыселъ можетъ выражаться въ томъ, что для рѣшенія задачи необходимо изыскать (и имъ воспользоваться) какой-либо вспомогательный процессъ,

1) Въ сущности, измѣреніе и отложеніе суть сходные процессы.

2) Уже задача «Вырыть колодезь обошлось 8 руб.; за срубъ для него заплатили 10 руб., а плотнику за работу въ 5 разъ меньше, чѣмъ за срубъ. Во что обошелся колодезь?» представляетъ собою результатъ нѣкотораго замысла ея составителя: онъ говоритъ, что плотнику заплатили въ 5 разъ меньше, чѣмъ за срубъ, но, когда нанимали плотника, онъ, вѣроятно, по просту назначилъ цѣну 2 руб., а уже составитель задачи подмѣтилъ, что эта сумма въ 5 разъ меньше стоимости сруба.

не указанный въ задачѣ. Вотъ примѣры, иллюстрирующія эти проявленія замысла (идей) задачи: 1. Изъ Москвы отошелъ дачный поѣздъ; на первой остановкѣ изъ одного вагона этого поѣзда вышли | всего числа пассажировъ, бывшихъ въ этомъ вагонѣ и еще | пассажира; на второй остановкѣ вышли изъ этого же вагона ^ остатка и еще ^ пассажира; на третьей остановкѣ вышли ^ новаго остатка и еще пассажира; на четвертой остановкѣ вышли ^ новаго остатка и еще - пассажира, послѣ чего въ этомъ вагонѣ никого не осталось. Сколько пассажировъ въ этомъ вагонѣ выѣхало изъ Москвы? Здѣсь въ задачѣ обращено вниманіе на тотъ моментъ процесса выхода пассажировъ изъ вагона, на который обычный наблюдатель врядъ ли обратитъ вниманіе: «вышли і всего числа пассажировъ и еще ^ пассажира». 2. Новорожденный младенецъ протянулъ руку и коснулся солнца. Сколько будетъ лѣтъ этому новорожденному, когда онъ почувствуетъ обжогъ, если разстояніе земли отъ солнца 144000000 километровъ и если скорость передачи ощущеній по нервной системѣ=30 метровъ въ секунду? Здѣсь, очевидно, указанъ процессъ, не могущій быть въ дѣйствительности. 3. За 5 яблокъ и 8 грушъ заплатили 55 коп.; въ другой разъ купили по тѣмъ же цѣнамъ 10 ябл. и 17 грушъ и заплатили 1 руб. 15 коп. Сколько стоитъ 1 яблоко и сколько стоитъ 1 груша? Для рѣшенія этой задачи понадобится обратиться къ вспомогательному процессу: надо удвоить первую покупку, т.-е. купить 10 ябл. и 16 грушъ, за что придется заплатить 1 руб. 10 коп., послѣ чего задача легко рѣшается.

Если удастся рѣшить задачу, обладающую извѣстнымъ замысломъ, если, другими словами, удастся проникнуть въ замыселъ того, кто эту задачу составилъ, то рѣшившій такую задачу испытываетъ чувство удовлетворенія, подобно тому, какъ такое же чувство получается, если удастся проникнуть въ замыселъ композитора, написавшаго извѣстное музыкальное произведеніе, если удастся при разсматриваніи картины понять тотъ замыселъ, который вложенъ въ нее художникомъ. Такимъ образомъ, эта категорія задачъ сближается съ произведеніями искусства.

На основаній предыдущаго возможно всѣ задачи раздѣлить на 2 большихъ категоріи: 1) задачи, не обладающія особымъ замысломъ, задаваемыя, такъ сказать, обыкновенному наблюдателю тѣми процессами окружающаго міра, которые протекаютъ передъ его глазами; 2) задачи, составленныя лицами, сумѣвшими глубже обычнаго наблюдателя вникнуть въ наблюдаемые ими процессы, сумѣвшими или уловить ихъ особенные моменты или представить эти процессы въ той формѣ, какая обычно не наблюдается.

Возникаетъ педагогическій вопросъ: надо ли требовать отъ учащихся, чтобы они умѣли рѣшать задачи обѣихъ категоріи? Подобно тому какъ желательно при обученіи музыкѣ добиваться того, чтобы учащійся не только сумѣлъ по нотамъ сыграть какую-либо пьесу, но сумѣлъ бы и разобраться въ ней сумѣлъ бы найти ту идею, ту основную комбинацію (ту мелодію или ту гармонію), какая послужила исходнымъ пунктомъ пьесы, такъ точно желательно, чтобы учащійся не только могъ рѣшать задачи первой категоріи, но и сумѣлъ разобраться и въ задачахъ второй категоріи, сумѣлъ бы изыскать тотъ замыселъ, который вложенъ въ задачу ея составителемъ. Однако, можно ли сдѣлать это обязательнымъ? Подобно тому, какъ существуютъ люди, и образованные и развитые, отказывающіеся понимать «замысловатую» музыку и довольствующіеся лишь обычными мотивами романса, танцевъ, подобно тому, какъ существуютъ люди, отказывающіеся понимать живопись и довольствующіеся лишь простымъ изображеніемъ какого-либо вида, какой-либо житейской сценки, такъ точно мы должны признать существованіе лицъ, вовсе не интересующихся тѣми идеями, которыя имѣютъ мѣсто въ задачахъ. Навязывать имъ этотъ интересъ — безполезно; требовать отъ нихъ присутствія стремленія проникнуть въ замыселъ задачи явится въ такомъ случаѣ непроизводительною тратою времени, надо для этихъ лицъ ограничиться лишь задачами первой категоріи. Это обстоятельство заставляетъ дать такой отвѣтъ на выше поставленный вопросъ: слѣдуетъ учитъ рѣшать задачи обѣихъ категорій, слѣдуетъ стремиться къ тому, чтобы заинтересовать «замысловатыми» задачами по возможности больше учащихся, но требовать умѣть рѣшать можно лишь задачи первой категоріи, —иначе мы придемъ къ тому натаскиванію

въ рѣшеніи задачъ, которое, къ сожалѣнію, часто бываетъ на практикѣ, которое представляетъ собою результатъ насилія надъ склонностями учащагося и которое въ концѣ концовъ убьетъ всякій интересъ учащагося и къ другимъ частямъ курса ариѳметики.

Возникаетъ дальнѣйшій вопросъ: гдѣ граница между задачами этихъ двухъ категорій? И дѣйствительно трудно иногда бываетъ отнести извѣстную задачу къ той или другой категоріи. Исходя изъ разныхъ соображеній, дѣлая въ то же время нѣкоторую уступку общепринятому, позволю себѣ намѣтить эту границу въ слѣдующей формѣ. Примѣрами наиболѣе замысловатыхъ задачъ, рѣшенія которыхъ можно требовать отъ всѣхъ учащихся и которыя такимъ образомъ будутъ отнесены къ первой категоріи, служатъ слѣдующія задачи: 1) Изъ двухъ деревень, находящихся на разстояніи 35 верстъ, вышли одновременно два путника, при чемъ первый проходилъ въ каждый часъ по 4 версты, а второй по 3 версты; черезъ сколько времени они встрѣтятся? Но если какъ-либо осложнить задачу, напр. тѣмъ, что путники вышли неодновременно, то требованіе отъ всякаго учащагося умѣть рѣшать такія усложненныя задачи будетъ, думается, уже чрезмѣрнымъ. 2) За 17 пряниковъ заплатили 51 коп.; сколько придется заплатить за 25 пряниковъ? Но если усложнить эту задачу, напр., за 35 пряниковъ заплатили 49 коп.; сколько надо заплатить за 45 пряниковъ? то требованіе непремѣнно умѣть рѣшать такія задачи въ курсѣ цѣлыхъ чиселъ явится, думается, уже чрезмѣрнымъ.

3) (Въ курсѣ дробей.) Въ первый день я проѣхалъ g всего пути, во второй — ~, а въ третій остальныя 33 версты; какъ великъ весь путь? Но уже требованіе рѣшать подобныя задачи съ какими-либо осложненіями (напр., вмѣсто - всего пути дать — остатка, т.-е. сказать, что во второй день я прошелъ остального пути) явится, думается, чрезмѣрнымъ для средняго ученика. 4) (Также въ курсѣ дробей.) Одинъ работникъ можетъ выполнить всю работу въ 10 дней, а другой — въ 15 дней; во сколько времени смогутъ выполнить эту работу оба работника, работая вмѣстѣ? Но если усложнить какъ-либо задачу (напр., одинъ работникъ можетъ въ 7^ дней выполнить - всей

работы, другой...), то уже нельзя, думается, требовать, чтобы всякій учащійся сумѣлъ разобраться въ этой задачѣ.

Замѣтимъ, что этими примѣрами я выражаю свое личное мнѣніе и вовсе не имѣю намѣренія устанавливать какія-либо нормы, такъ какъ думаю, что дѣло учителя рѣшить вопросъ, къ какой изъ двухъ категорій отнести всякую данную задачу, т.-е., другими словами, слѣдуетъ ли признать замыселъ задачи настолько глубокимъ, что слѣдуетъ отказаться отъ требованія, чтобы всѣ учащіеся умѣли въ немъ разобраться, или наоборотъ достаточно простымъ для учениковъ всего класса.

Къ какой бы изъ двухъ категорій задача не принадлежала, во всякомъ случаѣ ея рѣшеніе только тогда можетъ быть найдено учащимися, если процессъ, имѣющій мѣсто въ задачѣ, представляется ими во всей полнотѣ и со всею отчетливостью, при чемъ выдѣляются какъ-либо тѣ моменты этого процесса, которые особенно важны для задачи. Напр., первая изъ вышеприведенныхъ задачъ (Изъ двухъ деревень, находящихся на разстояніи 35 верстъ, вышли одновременно два путника, при чемъ первый проходилъ въ часъ 4 версты и второй — 3 версты; черезъ сколько времени они встрѣтятся?) можетъ быть рѣшена учащимися только тогда, если учащійся представляетъ себѣ съ полною ясностью движеніе этихъ путниковъ, хотя бы въ схематической формѣ, при чемъ особенно выдѣляетъ тѣ моменты, когда пройдетъ ровно 1 часъ, 2 часа... отъ начала движенія. Если же учащійся этого процесса не представляетъ съ полною ясностью, то никакой анализъ не поможетъ ему рѣшить эту задачу (синтезъ и анализъ являются въ сущности лишь двумя формами изложенія рѣшенія, но отнюдь не средствами для открытія этого рѣшенія), и единственнымъ средствомъ помочь учащемуся является разборъ, по возможности полный, того процесса, о которомъ идетъ рѣчь въ задачѣ. Иногда бываетъ возможно воспроизвести этотъ процессъ передъ учащимися, его не представляющими, такъ, какъ онъ происходитъ въ дѣйствительности, а иногда достаточно ограничиться лишь его схематическимъ воспроизведеніемъ (во многихъ случаяхъ это схематическое воспроизведеніе даже предпочтительнѣе). Такъ, если учащійся затрудняется рѣшить задачу въ родѣ слѣдующей: «Отецъ далъ двумъ своимъ сыновьямъ 19 руб., при чемъ старшій получилъ на 3 рубля больше младшаго;

сколько получилъ каждый?», то лучшимъ вспомогательнымъ средствомъ явится задача: «Вотъ 19 спичекъ; разложите ихъ на 2 кучки такъ, чтобы въ одной было на 3 спички больше, чѣмъ въ другой». — Придется сначала положить въ одну кучку 3 спички, а остальныя (значитъ придется изъ 19 вычесть 3) придется дѣлить пополамъ поровну. Такъ же точно для выясненія рѣшенія вышеприведенной задачи о пассажирахъ хорошо обратиться къ схематическому изображенію, изобразивъ всѣхъ пассажировъ площадью какого-либо прямоугольника: Пусть на чер. схематически изображены пассажиры, подъѣхавшіе къ 1-й станціи (Іст.); отдѣлимъ половину всего и затушуемъ—эти пассажиры вышли, еще надо отдѣлить полоску, и также ее затушевать, изображающую і пассажира. Оставшаяся часть (незатушеванная) подъѣхала ко 2-й станціи (II ст.); опять затушуемъ половину всего числа и еще полоску, изображающую ^ пассажира. Оставшаяся незатушеванная часть изображаетъ пассажировъ, подъѣхавшихъ къ 3-й станціи (III ct.). Поступая такъ же, какъ выше, получимъ незатушеванную часть, изображающую пассажировъ, подъѣхавшихъ къ 4-й станціи (IV ст.). Здѣсь вышли: 1) половина всего числа подъѣхавшихъ къ этой станціи, — затушуемъ эту половину, 2) I пассажира, и послѣ этого никого въ вагонѣ не осталось, — это обстоятельство укажетъ намъ, что | пассажира надо отдѣлить такъ, чтобы уже больше остатка не было. Отсюда мы видимъ, что і послѣдняго прямоугольника изображаетъ і пассажира, а весь прямоугольникъ IV изображаетъ, слѣдовательно, одного пассажира. Переходя къ прямоугольнику III, найдемъ, что его половина (на чертежѣ — правая) изобра-

жаетъ lg пассажира, а, слѣд., весь прямоуг-къ изображаетъ 3 пассажировъ. Также найдемъ, что II прямоуг. изображаетъ 7 пассажировъ и I прямоуг-къ —15 пассажировъ. Такимъ образомъ задача будетъ рѣшена.

Итакъ, единственный способъ научить рѣшать какую-либо задачу состоитъ въ томъ, что учитель долженъ добиваться, чтобы учащійся представилъ себѣ возможно яснѣе тотъ процессъ, который описанъ въ задачѣ и сумѣлъ бы изыскать ариѳметическія дѣйствія, соотвѣтствующія этому процессу. Учитель долженъ притти въ этой работѣ на помощь учащемуся. И одною изъ главныхъ заботъ учителя должна быть забота о томъ, чтобы эта помощь оставалась для ученика возможно менѣе замѣтною: чѣмъ сильнѣе у ученика будетъ иллюзія, что будто бы онъ самъ дошелъ до рѣшенія этой задачи, тѣмъ лучше, такъ какъ тѣмъ слабѣе уменьшается то чувство удовлетворенія, какое проявилось бы въ полной силѣ тогда, когда учащійся вполнѣ самостоятельно сумѣлъ бы разгадать тотъ замыселъ, который вложенъ въ задачу ея составителемъ. Искусный учитель, помогая ученику изобразить схематически тотъ процессъ, о которомъ идетъ рѣчь въ задачѣ, и останавливая его вниманіе на наиболѣе существенныхъ моментахъ этого процесса, сумѣетъ поставить дѣло такъ, чтобы учащійся почти не чувствовалъ этой помощи; то чувство удовлетворенія, какое получаетъ ученикъ, послѣ того какъ замыселъ задачи окажется для него яснымъ, подтолкнетъ его къ дальнѣйшей работѣ въ этомъ направленіи.

Н. Извольскій.

Краткій обзоръ статей математическаго содержанія, напечатанныхъ въ педагогическихъ журналахъ.

Журналъ «Педагогическій Вѣстникъ Московскаго Учебнаго Округа». Въ №7 за 1914 г. напечатана статья И. И. Александрова «Классификація задачъ въ современныхъ задачникахъ». Авторъ этой статьи предлагаетъ прежнее дѣленіе задачъ по ихъ матеріальнымъ признакамъ (типичныя задачи) замѣнить дѣленіемъ по методамъ ихъ рѣшеній. Въ доказательство правиль-

ности своей мысли онъ приводитъ рядъ соображеній: А. Существуетъ много задачъ изъ различныхъ областей, методъ рѣшенія которыхъ одинаковъ. В. Невозможно изучить всѣ области жизни и встрѣчающіяся въ нихъ задачи; изучивъ же методы рѣшеній задачъ, можно рѣшить любую задачу. С. Встрѣчается много новыхъ задачниковъ, гдѣ раздѣленія задачъ по ихъ матеріальнымъ признакамъ доведено до курьеза, напр. задачникъ Борисова и Сатарова. Д. Благодаря прежнему раздѣленію задачъ ариѳметика стала носить прикладной характеръ. Наконецъ И. И. Александровъ, какъ доводъ въ пользу расположенія задачъ по методамъ ихъ рѣшеній, приводитъ то, что методы рѣшеній ариѳметическихъ задачъ имѣютъ много общаго съ геометрическими методами рѣшенія задачъ на построеніе.

Въ № 2 за 1915 г. напечатана статья г. Смирнова «Ариѳметическія задачи въ высшей начальной школѣ». Эта статья непосредственно примыкаетъ къ статьѣ Н. А. Извольскаго «Особыя явленія въ учебно-задачной русской литературѣ», напечатанный въ № 7 за 1913 г. того же журнала. Въ своей статьѣ г. Смирновъ указываетъ, что не только новые ариѳметическіе задачники, которые составлены въ большинствѣ случаевъ малознающими людьми, но и такіе задачники, которые составлены спеціалистами, какъ, напримѣръ, задачники Шапошникова и Вальцова, Верещагина и др., не могутъ удовлетворить потребностямъ школы, гдѣ обученіе ариѳметикѣ поставлено раціонально. Слишкомъ нежизненны въ этихъ задачникахъ условія задачъ и слишкомъ мало областей они захватываютъ, оставляя въ сторонѣ такія области, какъ природовѣдѣніе, коммерческая географія и т. д. Г. Смирновъ предлагаетъ учителямъ проявить свою иниціативу въ составленіи задачъ близкихъ къ жизни, пользуясь для этого существующими справочниками, и указываетъ цѣлый рядъ такихъ справочниковъ.

Въ томъ же номерѣ журнала помѣщена статья А. В. Ланкова «Обзоръ ариѳметическихъ задачниковъ въ курсѣ начальной школы», появившаяся въ результатѣ его доклада, читаннаго на совѣщаніи учащихъ начальныхъ училищъ Тверского уѣзда 21 декабря 1913 г. Въ этой статьѣ г. Ланковъ разсматриваетъ новые задачники по начальной ариѳметикѣ и высказываетъ къ нимъ такое же отрицательное отношеніе, какъ и Н. А. Извольскій въ вышеупомянутой статьѣ.

Въ № 3 за 1915 г. помѣщена статья И. И. Александрова «Современныя требованія отъ ариѳметическихъ задачниковъ». По мнѣнію И. И. Александрова, составитель ариѳметическаго задачника, при выборѣ условныхъ задачъ, долженъ руководиться слѣдующими указаніями: I) Ариѳметическіе пріемы рѣшеній задачъ предпочтительнѣе алгебраическихъ, такъ какъ,

съ одной стороны, существуютъ задачи, которыя можно рѣшить только ариѳметически, или же рѣшать алгебраически только послѣ ариѳметической подготовки; съ другой же,—техника рѣшеній уравненія содержитъ въ себѣ мало развивающаго; между тѣмъ чисто ариѳметическіе способы развиваютъ остроту умственнаго зрѣнія. II) Къ курсу ариѳметики надо отнести всѣ задачи первой степени. III) Надо располагать задачи не по ихъ матеріальнымъ признакамъ, а по методамъ ихъ рѣшеній. IV) Долженъ существовать извѣстный минимумъ методовъ рѣшеній задачъ. V) Матеріалъ долженъ быть согласованъ съ возрастомъ учащихся и долженъ дать возможность ученику оріентироваться въ вопросахъ, предъявляемыхъ къ нему той или другой комбинаціей вещей и дѣйствій, съ которыми придется познакомиться уже по выходѣ изъ школы. Рубрики пропорціи, тройного правила и т. д. должны быть уничтожены. VI. Искусственныя задачи не должны быть исключены изъ предполагаемаго задачника, такъ какъ онѣ хорошо иллюстрируютъ ариѳметическіе методы рѣшеній задачъ.

Журналъ «Для Народнаго Учителя». Въ №№ 4, 5 за 1915 г. напечатана статья Н. Капралова «Къ вопросу преподаванія геометріи въ высшихъ начальныхъ училищахъ» (Докладъ, читанный на съѣздѣ учащихъ высшихъ начальныхъ училищъ Нижегородской губ., бывшемъ 4—11 іюня 1914 года въ Н.-Новгородѣ). Ссылаясь на различныхъ авторовъ, напримѣръ, западно-европейскихъ государствъ и на собственный опытъ, г. Капраловъ выставляетъ слѣдующіе тезисы:

1. Признать желательнымъ введеніе геометріи въ курсъ 1-го класса высшихъ начальныхъ училищъ.

2. Признать необходимымъ наглядный способъ при обученіи геометріи.

3. Признать желательнымъ введеніе лабораторнаго метода обученія геометріи въ особенности въ первыхъ классахъ.

4. Установить, что рѣшеніе задачъ по геометріи такъ же важно и нужно въ педагогическомъ отношеніи, какъ и изученіе теоріи курса геометріи. Въ случаѣ необходимости лучше сократить курсъ геометріи, чѣмъ исключить рѣшеніе задачъ.

5. Признать необходимымъ введеніе въ курсъ геометріи началъ геодезіи.

6. Признать необходимой организацію въ каждомъ классѣ экскурсій для рѣшенія ряда геодезическихъ задачъ.

Авторъ приводитъ также программу курса геометріи, распредѣленную по классамъ, и указываетъ на то, что и тезисы и программы съѣздомъ были приняты.

Въ № 8 за 1915, помѣщена статья С. Зенченко и В. Эменова «Принципы составленія ариѳметическаго задачника для сельской начальной школы». Авторы этой статьи, признавая, что

всѣ составленные до сихъ поръ задачники не удовлетворяютъ основному требованію согласованности школы съ жизнью, предлагаютъ слѣдующія соображенія, которыя по ихъ мнѣнію должны быть приняты во вниманіе при составленіи задачника. Прежде всего, такъ какъ условія жизни, окружающія ребенка въ городѣ и деревнѣ, различны, то нельзя пользоваться однимъ и тѣмъ же задачникомъ и въ городской и въ сельской школѣ. Для сельской школы долженъ существовать спеціально къ ней приспособленный задачникъ, въ которой входили бы факты деревенской жизни и научныя свѣденія, пріобрѣтаемыя ребенкомъ въ школѣ, при чемъ матеріалъ долженъ быть обработанъ такъ, чтобы не было quasi-жизненныхъ задачъ, но всѣ задачи имѣли бы практическое значеніе. Задачники первыхъ трехъ отдѣленій должны содержать задачи, выясняющія свойства цѣлыхъ чиселъ и дѣйствій надъ ними, и задачи на простѣйшія дроби какъ простыя, такъ и десятичныя. Задачникъ же 4-го отдѣленія долженъ пріучить учениковъ примѣнять пріобрѣтенныя ими ариѳметическія знанія къ явленіямъ окружающей ихъ жизни и такимъ образомъ развить сознательное и критическое къ нимъ отношеніе.

Журналъ «Кубанская Школа». Въ № 1 за 1914 г. напечатана статья В. Гинеевскаго «Что читать народному учителю по методикѣ ариѳметики». Авторъ этой статьи указываетъ на то, что въ ариѳметикѣ не существуетъ окончательно установленнаго опредѣленнаго взгляда на возникновеніе чиселъ, и, соотвѣтственно этому, въ методикѣ ариѳметики не можетъ быть одного только метода преподаванія. Есть очень много методовъ, и во всѣхъ этихъ методахъ преподавателю необходимо разобраться самому, чтобы выбрать изъ нихъ наиболѣе пригодный для начальной школы. Для этого авторъ предлагаетъ списокъ книгъ по методикѣ ариѳметики (при чемъ для нѣкоторыхъ книгъ даетъ неболыную характеристику).

Въ № 4 за 1914 г. напечатана статья С. Лизарева «Курсъ дробей въ начальной школѣ (изъ практики учителя)». Авторъ этой статьи указываетъ на то, что современная постановка преподаванія ариѳметики не можетъ считаться удовлетворительной, такъ какъ въ большинствѣ случаевъ вмѣсто того, чтобы дать дѣтямъ ясное представленіе о проходимомъ ими отдѣлѣ ариѳметики, ихъ заставляютъ заучивать непонятныя имъ правила. Какъ примѣръ, г. Лизаревъ указываетъ изложеніе статьи объ умноженіи и дѣленіи дробей. Г. Лизаревъ предлагаетъ другой способъ изложенія этого отдѣла ариѳметики, полагая, что такимъ путемъ онъ будетъ сознательнѣе воспринятъ дѣтьми. Этотъ способъ состоитъ въ томъ, что при умноженіи дробей у одного изъ сомножителей (при дѣленіи у дѣлимаго или у дѣлителя) «отбрасываютъ» знаме-

нателя и, такимъ образомъ, сводятъ дѣйствіе къ умноженію (дѣленію) цѣлыхъ чиселъ1), или къ выведенному ранѣе умноженію (дѣленію) дробей, и потомъ, основываясь на свойствахъ произведенія (частнаго), получаютъ окончательный результатъ. Напримѣръ, г. Лизаревъ предлагаетъ такъ умножить £ на 3: отбросимъ знаменателя, тогда множимое увеличится въ 5 разъ, а слѣдовательно, и произведеніе (1x3) увеличится въ столько же разъ, поэтому необходимо его уменьшить въ 5 разъ, 1x3 т.-е. будетъ окончательный результатъ и т. д.

Въ № 2 за 1915 г. напечатана статья Е. Д. «Раздробленіе составныхъ именованныхъ чиселъ» (школьная практика). Авторъ вмѣсто прежней записи раздробленія составныхъ именованныхъ чиселъ, данной въ методикѣ ариѳметики Арженикова или Беллюстина, предлагаетъ собственную запись въ такой формѣ:

По его мнѣнію, такая форма записи позволяетъ, съ одной стороны, избѣжать разбросанности записи Беллюстина, съ другой же стороны, давая опредѣленную схему, не противорѣчитъ смыслу дѣйствій, какъ запись Арженикова, и вмѣстѣ съ тѣмъ даетъ возможность широко примѣнять устныя вычисленія.

Въ №№ 2, 4 за 1915 г. помѣщена статья П. Н. Мельникова «Всѣ дѣйствія при изученіи дробей слѣдуетъ производить только надъ числителями». По мнѣнію автора, трудность усвоенія курса дробей происходитъ отъ того, что ученикамъ недостаточно выясняется понятіе дроби, опредѣленіе дроби какъ одного числа путается, съ опредѣленіемъ ея какъ совокупности двухъ чиселъ (числителя и знаменателя). Г. Мельниковъ, разсматривая названіе дроби грамматически, приходитъ къ выводу, что знаменатель дроби не есть число, а только наименованіе опредѣленной доли, и на основаній этого предлагаетъ изученіе дробей связать съ изученіемъ именованныхъ чиселъ (3 вершка или 3 шестнадцатыхъ, —, аршина). Не считая знаменателя дроби числомъ, г. Мельниковъ на рядѣ примѣровъ указываетъ, что всѣ дѣйствія при изученіи дробей надо производить только надъ числителями.

1) Въ № 4 за 1915 г. «Мат. Вѣст.» выяснена ошибочность этого довольно распространеннаго способа.

Въ статьѣ приведена программа курса дробей и дана детальная разработка нѣкоторыхъ ея отдѣльныхъ пунктовъ, при чемъ г. Мельниковъ предполагаетъ, что преподаваніе должно вестись лабораторнымъ методомъ. Какъ особенности программы, предлагаемой г. Мельниковымъ, слѣдуетъ отмѣтить то, что сначала ученики научаются производить всѣ 4 дѣйствія надъ дробями въ тѣхъ случаяхъ, когда не требуется дѣлать преобразованія дробей, а потомъ уже когда необходимо дроби преобразовывать, и еще то, что всѣ случаи дѣленія дробей сводятся къ дѣленію дробей съ одинаковыми знаменателями, умноженіе же на дробь разсматривается какъ дѣленіе на обращенную дробь. Трудно согласиться съ такимъ взглядомъ потому, что общепринято признавать умноженіе за прямое дѣйствіе, а дѣленіе за обратное.

Въ № 3 за 1915 г. помѣщена статья Д. Л. Волковскаго «Особенности области чиселъ отъ 1—20». Эта же статья помѣщена въ № 4 за 1914 г. журнала «Математическій Вѣстникъ».

Въ томъ же номерѣ журнала «Кубанская Школа» въ отдѣлѣ «Школьная практика» напечатана небольшая замѣтка «Письменное дѣленіе», въ которомъ предлагается новая форма записи дѣленія цѣлыхъ чиселъ, болѣе соотвѣтствующая опредѣленію дѣйствія дѣленія, какъ обратнаго умноженію.

Въ № 4 за 1915 г. напечатаны статьи Ник. Мнушко «Ариѳметика въ туземной школѣ» и «Конспектъ» урока по ариѳметикѣ В. Г. Земской. Г. Земская сначала показываетъ дѣтямъ числовую фигуру 10, а потомъ различными способами закрѣпляетъ ее въ ихъ памяти.

Описаніе одного урока ариѳметики во второмъ классѣ двухкласснаго училища.

Урокъ былъ проведенъ на лѣтнихъ педагогическихъ курсахъ для учителей вторыхъ классовъ двухклассныхъ училищъ Московской губ., устроенныхъ Дирекціею народныхъ училищъ этой губерніи въ іюнѣ 1915 г. Содержаніе урока покоилось на одномъ изъ фактовъ, указанныхъ въ статьѣ Е. Томашевича «Ариѳметическіе парадоксы», напечатанной въ № 2 за 1915 г. «Математическаго Вѣстника». Учащіеся того отдѣленія, въ которомъ былъ данъ этотъ урокъ, уже владѣли всѣми дѣйствіями надъ обыкновенными дробями.

Былъ предложенъ слѣдующій примѣръ:

при чемъ было выяснено, что слѣдовало бы написать немного иначе: не -, а 2^, не а І^, но, чтобы лучше подмѣтить въ дальнѣйшемъ то, что желательно, было написано 5 и ^ • Учащіеся вычислили этотъ примѣръ: 1) - . 2) --{--=4т7 и 3) й—4-=0.

Было обращено вниманіе на то, что здѣсь для составленія примѣра были взяты особенныя числа ^ и jjj, а именно такія, что и отъ ихъ сложенія и отъ ихъ умноженія получаются одинаковые результаты (сумма этихъ чиселъ равна ихъ произведенію). Послѣ этого было предложено учащимся найти 2 цѣлыхъ числа, обладающихъ такимъ же свойствомъ. Учащіеся очень скоро выяснили, что среди цѣлыхъ чиселъ возможно найти лишь одну пару желаемыхъ чиселъ, а именно 2 и 2. Тогда учащимся было заявлено, что среди дробей такихъ паръ чиселъ можно найти очень много; вотъ, напр., еще такая пара чиселъ:

Учащіеся провѣрили это заявленіе и нашли, что оно правильно: и сумма и произведеніе чиселъ - и ^ равны 4—• Послѣ этого явилось возможнымъ предложить учащимся всмотрѣться въ тѣ пары чиселъ, обладающихъ указаннымъ свойствомъ 11-я пара ^ и 2-я пара ^ и -1, какія уже найдены, и попытаться самимъ отыскать еще, хотя бы одну, подобную пару чиселъ. Учащіеся принялись за эту работу. Интересно было слѣдить за ней, наблюдать въ какую сторону она направится, какія исходныя точки зрѣнія учащіеся положутъ въ ея основу. Работа началась. Всѣ учащіеся подмѣтилп одну особенность уже разсмотрѣнныхъ паръ чиселъ, а именно: числители въ каждой парѣ дробей одинаковы. Различные учащіеся стали, исходя изъ этого, испытывать пары - и = и 5, 7 и р1) и т. д. Послѣ того, какъ вычисленія, выпол-

1) Учащіяся подмѣтили, очевидно, еще, что искомыя дроби надо брать неправильныя.

ненныя различными учащимися для той пары, какую каждый изъ нихъ себѣ намѣтилъ, показали, что съ перваго раза эта попытка учащимся не удалась, работа учащихся была временно пріостановлена и былъ поставленъ вопросъ: чѣмъ каждый изъ нихъ руководствовался, выбирая ту или иную пару чиселъ? Отвѣты учащихся показали, что нѣкоторые изъ нихъ руководствовались лишь тѣмъ, что, повидимому, надо взять двѣ неправильныя дроби съ одинаковыми числителями, а каковы знаменатели — это неважно. Другіе учащіеся, наоборотъ, обратили вниманіе и на знаменателей и подмѣтили ту особенность уже разсмотрѣнныхъ двухъ паръ чиселъ Ь и ^ и -J, что одинъ изъ знаменателей каждой пары на единицу больше другого знаменателя.

Но послѣ уже выполненной учащимися работы они увидали (это было на урокѣ установено), что 1) не всякія двѣ неправильныя дроби съ общимъ числителемъ удовлетворяютъ требованію, 2) подмѣченная нѣкоторыми учащимися особенность, что одинъ знаменатель на 1 больше другого, не существенна. Чтобы яснѣе показать послѣднее, была показана учащимся еще пара чиселъ, удовлетворяющихъ требованію, а именно и когда явилось возможнымъ установить, что, такъ какъ (это уже выяснилось) нельзя брать произвольныя двѣ неправильныя дроби съ общимъ числителемъ, надо искать какую-либо особенность и знаменателей, но она не такова, какая была сначала подмѣчена нѣкоторыми учащимися. Послѣ этого перерыва было предложено учащимся продолжать свои изысканія.

Теперь учащіеся очень скоро напали на мысль составлять дроби такъ, чтобы знаменатели каждой пары дробей вмѣстѣ (въ суммѣ) давали бы то же число, каковъ числитель. Многіе изъ нихъ, испытавъ нѣсколько паръ подобранныхъ ими самими дробей (напр. - и у и у; — и -^- и т. д.), пришли къ убѣжденію, что, если сумма знаменателей двухъ неправильныхъ дробей равна ихъ общему числителю, то сумма такихъ дробей равна ихъ произведенію. Это положеніе было высказано самими учащимися въ нѣсколько иной формѣ, которая — конечно иначе и быть не можетъ, — обладала неточностью выраженій

и недостаточною отчетливостью, но могла быть при помощи указаній и разъясненій приведена и къ той болѣе отчетливой формѣ, какая дана выше.

Въ концѣ урока удалось еще 1) указать, что если каждую изъ дробей одной изъ найденныхъ паръ «перевернуть» или, другими словами, взять числа обратныя дробямъ, составляющимъ одну изъ найденныхъ паръ, то сумма такихъ обратныхъ чиселъ должна быть равна единицѣ, и 2) указать, что можно находить пары чиселъ (также дробныхъ), чтобы ихъ разность равнялась ихъ произведенію (напр. ^ — -=-.-; - — . g и и т. д.); предложено было дома, если кто захочетъ, подумать надъ тѣмъ, какъ составлять такія пары дробей.

Конечно два послѣднихъ указанія здѣсь были сдѣланы лишь мимолетно съ цѣлью показать, что та работа, какая была выполнена на урокѣ, можетъ быть продолжена и притомъ въ различныхъ направленіяхъ. Возможно было бы и еще такое направленіе продолженія этой работы: поставить вопросъ, нельзя ли отыскивать пары чиселъ, сумма которыхъ равна ихъ произведенію, такъ, чтобы одно число изъ этой пары было цѣлымъ, а другое дробнымъ (напр. 3 и 5 и j и т. д.)

Возникаетъ вопросъ о значеніи уроковъ, подобныхъ описанному. Можетъ быть возможны и такія исходныя точки зрѣнія на дѣло преподаванія ариѳметики, которыя повлекутъ за собою отрицательный отвѣтъ на поставленный вопросъ. Но та точка зрѣнія, которая руководитъ мною въ моей педагогической дѣятельности, требуетъ непремѣнно нѣкотораго числа уроковъ, подобныхъ описанному. Я также, какъ это отмѣчается во многихъ статьяхъ и руководствахъ по методикѣ ариѳметики, считаю, что самодѣятельность учащихся на урокахъ ариѳметики должна занять опредѣленное мѣсто. Но это понятіе «самодѣятельность» я могу понимать лишь въ слѣдующемъ смыслѣ: ариѳметика работаетъ надъ числами и слѣдовательно самодѣятельность учащихся въ области ариѳметики должна быть направлена къ тому же матеріалу, т.-е. къ числамъ, и лишь та работа учащихся, которая имѣетъ цѣлью пріученіе учащихся работать надъ какими-либо изысканіями въ области чиселъ, достойна названія «самодѣятельность въ области ариѳметики». Описанный урокъ отвѣчаетъ этому характеру

работы; поэтому его значеніе для цѣлей развитія такой самодѣятельности я считаю достаточно большимъ.

Отмѣчу еще практическую сторону изысканій, описанныхъ въ урокѣ. Если учащіеся еще не очень «набили руку» въ выполненіи сложенія и умноженія дробей, то описанный урокъ даетъ достаточно упражненій для усвоенія механизма этихъ дѣйствій: каждый учащійся въ своихъ изысканіяхъ необходимо долженъ выполнить цѣлый рядъ и сложеній и умноженій, при чемъ, и это очень существенно, онъ выполняетъ эти дѣйствія не потому, что ихъ зачѣмъ-то требуетъ отъ него выполнить учитель, а потому, что выполненіе этихъ дѣйствій ему необходимо для разрѣшенія того вопроса, надъ которымъ въ данный моментъ работаетъ его мысль. Далѣе возможенъ еще слѣдующій практическій результатъ: если въ будущемъ учащемуся придется выполнять какія-либо вычисленія и если ему понадобится сложить для этихъ вычисленій числа, напр., — и 777, то онъ можетъ вспомнить особенность такихъ чиселъ, и, вмѣсто того, чтобы выполнять утомительное приведеніе дробей къ общему знаменателю, этотъ учащійся взамѣнъ сложенія выполнитъ умноженіе такихъ дробей, будучи виолнѣ увѣреннымъ, что онъ получитъ тотъ же самый результатъ, какой получился бы и отъ ихъ сложенія.

Н. Извольскій.

Объ ариѳметическихъ прогрессіяхъ 2-го и 3-го порядка.

Напишемъ слѣдующіе ряды чиселъ

(1)

(И)

(H)

Первый изъ написанныхъ рядовъ представляевъ изъ себя повтореніе произвольнаго числа а; каждый изъ послѣдующихъ рядовъ II, III и IV написаны по одному и тому же слѣдующему закону: первый членъ у нихъ произволенъ (è, с, d), а каждый слѣдующій членъ ряда получается изъ предыдущаго

путемъ прибавленія къ нему расположеннаго между ними члена ближайшаго верхняго ряда; такимъ образомъ, напримѣръ, 4-й членъ ряда IV получится какъ сумма 3-го члена того же ряда съ расположеннымъ между ними членомъ ряда III, т.-е. d-\-3c+3b+a=(d+2c+b) + (c-}-2b+a). Ряды, построенные подобнымъ образомъ, называются ариѳметическими прогрессіями, при чемъ рядъ I есть ариѳметическая прогрессія нулевого порядка, рядъ II —ар. пр. 1-го порядка, рядъ III — ар. пр. 2-го порядка и, наконецъ, рядъ IV—ар. пр. 3-го порядка. Въ рядѣ I — каждый членъ равенъ а, сумма же п членовъ очевидно равна па. Рядъ II, обыкновенно разсматривается въ элементарныхъ руководствахъ по алгебрѣ и тамъ же даются слѣдующія формулы для общаго члена и суммы п членовъ bn=b+(п—~ 1)а................... (1)

раскрывая въ этой формулѣ скобки, получимъ

(2)

Чтобы получить п-і\ членъ ряда III, очевидно, достаточно къ с прибавить п—1 членовъ ряда II, что легко выполнить пользуясь формулой (2)

(3)

Формулу суммы п членовъ ряда III получимъ, если въ форм. (3) дадимъ п всѣ цѣлыя значенія отъ 1 до п включительно и результаты сложимъ:

Складываемъ но столбцамъ лѣвую и правую часть полученныхъ равенствъ, въ лѣвой части получимъ сумму п членовъ прогрессіи 2-го порядка, которую обозначимъ Sn(2\ —гдѣ указатель (2) даетъ намъ порядокъ прогрессіи; въ правой

части первый столбецъ даетъ не, во второмъ столбцѣ вынесемъ за скобку Ь, а въ третьемъ тогда получимъ:

Но

а рядъ

поэтому

(4)

Это и есть окончательная формула суммы п членовъ ряда III,—т.-е. прогрессіи 2-го порядка.

Переходимъ къ ряду IV. Чтобы получить формулу общаго члена этого ряда, очевидно, достаточно къ а прибавить сумму п—1 членовъ ряда III, которую легко вычислимъ по фзрм. (4) Поэтому искомая формула напишется въ слѣдующемъ видѣ

(5)

Формулу суммы п членовъ ряда IV получимъ, если въ форм. (5) дадимъ п всѣ цѣлыя значенія отъ 1 до п включительно и результаты сложимъ:

Сложимъ лѣвыя и правыя части столбцами. Въ лѣвой части получимъ 5П(3); въ правой части первый столбецъ даетъ nd,

1) См. «Мат. Вѣст.» № 5 за 1915 г., стр. 143—146.

во второмъ столбцѣ вынесемъ за скобку с, въ третьемъ а а въ четвертомъ тг"^\ получимъ:

Но извѣстно,2) что

Поэтому

(6)

Примѣняя подобный пріемъ, мы могли бы найти формулу общаго члена и суммы п членовъ для прогрессіи любого порядка.

Разсмотримъ примѣръ.

Дана прогрессія 3-го порядка

Вычислимъ rf7 и iS-/3).

Примѣияя формулы (5) и (6), получртмъ:

В. И. Виткевичъ.

Замѣтка по поводу статьи „Понятія: столько же, больше, меньше" въ № 5 „Матем. Вѣстн." за 1915 г.

Въ настоящее время я имѣю возможность подѣлиться съ читателями тѣми впечатлѣніями, которыя были вынесены съ одной стороны мною, а съ другой стороны другими лицами

2) См. «Мат. Вѣст.» № 5 за 1915 г., стр. 143—146.

отъ уроковъ, желательность которыхъ была выяснена въ моей статьѣ «Понятія: столько же, больше, меньше».

Мнѣ удалось организовать 2 такихъ урока: одинъ былъ проведенъ одною изъ слушательницъ на лѣтнихъ курсахъ въ г. Константиноградѣ Полтавской губ. минувшимъ лѣтомъ, а другой былъ проведенъ также одною изъ слушательницъ на земскихъ Педагогическихъ (постоянныхъ) курсахъ въ Ярославлѣ въ октябрѣ 1915 г. Оба урока были проведены подъ моимъ руководствомъ.

Уроки были скомпанованы по одной и той же схемѣ, разница была лишь въ рисункахъ. Такъ, сначала на урокѣ въ г. Константиноградѣ была предложена вниманію дѣтей таблица съ изображенными на ней стульями и людьми (дѣти говорили, что здѣсь нарисованы «солдаты»), а на урокѣ въ Ярославлѣ были нарисованы корзиночки и грибы и т. п. Оба урока велись по одной и той же схемѣ: сначала на 3 большихъ таблицахъ дѣти ознакомились со способомъ узнавать безъ помощи чиселъ (подробности см. въ вышеуказанной статьѣ), какихъ предметовъ больше или меньше, или ихъ поровну; затѣмъ былъ сдѣланъ переходъ къ изображеніямъ, имѣющимъ болѣе символическій характеръ. Дѣти узнали чего нарисовано больше, кружочковъ или крестиковъ, и, наконецъ, имъ были розданы таблички съ нарисованными кружочками и крестиками и было поставлено требованіе, чтобы каждый для своей таблицы узналъ, чего здѣсь нарисовано больше: кружочковъ или крестиковъ?

Оба урока, особенно второй, были даны при неблагопріятныхъ условіяхъ, а именно дѣти уже были знакомы съ числами до 10 (а можетъ быть и дальше 10); поэтому приходилось рисовать по многу предметовъ, чтобы дѣтямъ не пришла въ голову мысль для рѣшенія поставленной задачи обратиться къ числамъ.

Какъ мое впечатлѣніе, такъ и впечатлѣніе большинства слушателей и слушательницъ курсовъ (были и исключенія) въ общемъ сводились къ слѣдующему: 1) урокъ цѣлесообразенъ и полезенъ, 2) желательно, чтобы подобныя упражненія давались дѣтямъ при самомъ началѣ ихъ занятій по ариѳметикѣ,— тогда явилось бы возможнымъ давать на таблицахъ меньше предметовъ и тѣмъ самымъ сдѣлать болѣе отчетливою картину разсаживанія «солдатъ» на стулья или раскладыванія грибовъ въ корзины и т. п., 3) желательно по рельефнѣе подчеркнуть то обстоятельство, что эти упражненія даютъ дѣтямъ орудіе узнавать о двухъ группахъ предметовъ, въ какой изъ нихъ предметовъ больше, и послѣднее упражненіе должно быть задано въ видѣ задачи: узнайте, чего на розданныхъ вамъ карточкахъ больше, кружочковъ или крестиковъ.

Были отдѣльныя мнѣнія, сводящіяся къ тому, что такія упражненія не имѣютъ значенія, что лучше вмѣсто нихъ скорѣе приступить къ обученію дѣтей счету.

Считаю себя не въ правѣ дать окончательное рѣшеніе вопроса о цѣлесообразности и полезности такихъ упражненій: для этого необходимы еще опыты.

Укажу лишь слѣдующее: 1) выяснилось во время этихъ двухъ уроковъ, что подобныя упражненія дѣтямъ представляются очень интересными и 2) при помощи нихъ можно дать дѣтямъ, даже не знающимъ чиселъ, способъ узнавать, въ какой изъ двухъ группъ больше предметовъ или въ обѣихъ группахъ предметовъ поровну.

Н. Извольскій.

Хроника.

Московскій Математическій Кружокъ. Первое засѣданіе въ текущемъ учебномъ году состоялось въ четвергъ 24-го сентября. Предсѣдатель Кружка проф. Б. К. Млодзѣевскій, открывая засѣданіе, предложилъ избрать почетнымъ предсѣдателемъ настоящаго засѣданія ген. лейт. М. Г. Попруженко, предсѣдателя бывшаго 2-го Всероссійскаго Съѣзда преподавателей математики. Собраніе единогласно присоединилось къ этому предложенію.

Въ началѣ засѣданія была почтена вставаніемъ память почившихъ членовъ Кружка Ѳ. И. Егорова и П. А. Баранова. Послѣ разсмотрѣнія текущихъ дѣлъ были прочитаны два сообщенія: 1) А. А. Волковъ, Алгебра Эйлера (докладчикъ остановилъ вниманіе членовъ Кружка на особенностяхъ изложенія первой части этой книги, являющейся однимъ изъ первыхъ руководствъ по алгебрѣ). 2) I. И. Чистяковъ, Къ методикѣ вычитанія и дѣленія цѣлыхъ чиселъ (докладчикъ изложилъ тотъ пріемъ вычитанія и дѣленія, который очень часто называетъ австрійскимъ, но который, какъ показываютъ историческія справки, правильнѣе называть французскимъ).

Совѣщаніе инспекторовъ и преподавателей высшихъ начальныхъ училищъ въ г. Твери въ августѣ 1915 г. (Дѣятельность Математической Комиссіи.)

Съ 6-го по 15-е августа въ Твери было созвано совѣщаніе преподающихъ въ высшихъ начальныхъ училищахъ Тверской губ. Собралось около 100 человѣкъ. Какъ извѣстно, для высшихъ начальныхъ училищъ пока еще не существуетъ программъ, и вотъ Совѣщанію поставлено было опредѣленное заданіе прежде всего разработать программы по всѣмъ предметамъ обученія. Совѣщаніе разбилось на рядъ предметныхъ комиссій, которыя и начали свою работу.

Наиболѣе многолюдною оказалась Математическая комиссія, устроившая 4 засѣданія.

Докладчикомъ Комиссіи по ариѳметикѣ и алгебрѣ выступалъ А. В. Ланковъ.

Въ своемъ докладѣ г. Ланковъ подчеркнулъ мысль, что ариѳметика и алгебра, какъ и вообще математика, преслѣдуютъ прежде всего формальную цѣль обученія. Но тѣмъ не менѣе, большую ошибку дѣлаютъ всѣ тѣ, кто отрываетъ эти предметы отъ потребностей повседневной жизни, заставляя учащихся оперировать съ матеріаломъ, практически не нужнымъ и нецѣлесообразнымъ. Съ этой точки зрѣнія, по мнѣнію докладчика, необходимо пересмотрѣть какъ программы, такъ и учебники. Естественно, что цѣлый рядъ отдѣловъ ариѳметики пришлось подвергнуть остракизму или сокращенію, съ чѣмъ совѣщаніе вполнѣ согласилось. Не приводя подробной мотивировки за недостаткомъ мѣста, укажемъ, что докладчикъ, во-первыхъ, обратилъ вниманіе на, такъ называемыя, «задачи на время» и совѣщаніе замѣнило ихъ просто «понятіемъ о вычисленій времени». Затѣмъ, глава «о дѣлимости» не должна имѣть самостоятельнаго характера, тѣмъ болѣе что въ элементарномъ изложеніи она далека отъ научности. Докладчикъ рекомендуетъ проходить ее лишь въ связи съ курсомъ дробей.

Признавая за ученіемъ о періодическихъ дробяхъ большое образовательное значеніе, докладчикъ не находить возможнымъ, однако, включать ихъ въ курсъ ариѳметики, находя, что въ этомъ возрастѣ изученіе ихъ не достигаетъ цѣли и приноситъ одинъ лишь вредъ.

Отдѣлъ «о пропорціяхъ» переносится изъ ариѳметики въ «начала алгебры». Рѣшеніе задачъ на тройное правило, проценты и коммерческій учетъ векселей при помощи пропорцій исключается. Совсѣмъ пропускаются, какъ отдѣльныя главы, «цѣпное правило» и «правило смѣшенія».

Подлежитъ исключенію и математическій учетъ векселей. При разсмотрѣніи учебниковъ докладчикъ призналъ наиболѣе цѣлесообразными: Извольскаго и, съ оговорками, Васильева и непригоднымъ — Киселева.

Въ ряду задачниковъ «Сборникъ» Верещагина признанъ вреднымъ и всѣ другіе неудачными по матеріалу.

Совѣщаніе приняло программу докладчика, добавивъ, что на ряду съ изученіемъ дѣйствій можно пройти и пропедевтическій курсъ дробей и, такимъ образомъ, оживить матеріалъ, съ которымъ придется оперировать при изученіи дѣйствій.

Докладъ А. В. Ланкова по алгебрѣ не былъ заслушанъ по недостатку времени. Комиссія сразу перешла къ выработкѣ программы, при чемъ въ основу была положена программа докладчика.

Выработанная Комиссіей программа «началъ алгебры» ближе всего подходитъ къ учебнику Лебединцева «Основы алгебры». Курсъ алгебры заканчивается квадратными уравненіями. «Преобразованія» входятъ лишь постольку, поскольку они необходимы для рѣшенія уравненій.

По геометріи Комиссія заслушала докладъ И. И. Субботина, который однако не обсуждался. Выработанная на совѣщаніи программа дѣлитъ геометрію на 2 курса: наглядный и логическій. Первый курсъ проводится исключительно конкретно-индуктивнымъ методомъ и захватываетъ всѣ отдѣлы геометріи. Логическій курсъ по-прежнему базируется на Вулихѣ и программа почти цѣликомъ повторяетъ этотъ учебникъ.

На ариѳметику и алгебру Комиссія отводитъ 15 уроковъ (по классамъ: 4+4+4+3=15), а на геометрію 9 уроковъ (1+2+3+3).

Всѣ предположенія Математической комиссіи приняты Совѣщаніемъ. А. В. Ланковъ.

Свѣдѣнія о книгахъ по математикѣ и ея методикѣ.

С. И. Шохоръ-Троцкій. Методика ариѳметики для учителей начальныхъ школъ. Часть I. Изданіе 8-е, заново переработанное и значительно дополненное. Изд. Т-ва И. Д. Сытина. М., 1915. Цѣна 1 руб. 10 коп.

— Новый ариѳметическій задачникъ для учителей начальныхъ школъ. Изд. Т-ва И. Д. Сытина. М., 1915. Цѣна 1 руб. 50 коп.

— Новый ариѳметическій задачникъ для учениковъ начальныхъ школъ. Часть I и часть II. Изд. Т-ва И. Д. Сытина. М., 1915. Часть I, — ц. 15 к.; часть II — ц. 20 коп.

На оберткѣ послѣдней книги (задачника для учениковъ) пмѣется слѣдующее указаніе: «Этотъ задачникъ (въ четырехъ частяхъ) замѣняетъ книгу Ариѳметическій задачникъ для учениковъ, вып. I того же автора (которая въ свѣтъ болѣе выходить не будетъ) и составляетъ одно методическое цѣлое съ Новымъ задачникомъ Шохоръ-Троцкаго для учителей начальныхъ школъ, но можетъ примѣняться и независимо отъ этого послѣдняго».

Та часть первой книги («Методика ариѳм.»), которая посвящена общимъ вопросамъ методики ариѳметики и указаніямъ общаго характера, даетъ чрезвычайно интересный для читателя матеріалъ. Укажемъ, для примѣра, на крайне искусно изложенныя описанія наглядныхъ пособій (стр. 30— 45), на описаніе таблицы умноженія «на пальцахъ» (стр. 46—47)1), на

1) Широкое знакомство съ гг. учащими въ начальныхъ школахъ мнѣ показало, что (и это мнѣ показалось крайне удивительнымъ) до сихъ поръ этотъ, очень древній, способъ нахожденія произведеній 6x6, 6x7... 9x9 не пользуется широкимъ распространеніемъ.

соображенія, заслуживающія глубокого вниманія, по поводу иллюстрацій въ задачникахъ и рисунковъ учащихъ и учащихся (стр. 60—65).

Задачники С. И. Шохоръ-Троцкаго, совмѣстно съ частными указаніями его «Методики ариѳметики», достойны особеннаго вниманія: врядъ ли во всей педагогической литературѣ по ариѳметикѣ возможно еще найти такую постепенность и такую тщательную методическую обработку матеріала согласно воззрѣніямъ, изложеннымъ въ «Методикѣ ариѳметики», какія имѣютъ мѣсто въ работахъ С. И. Шохоръ-Троцкаго. Посмотрите, напр., разработку 18-й ступени (стр. 47—65 задачника для учениковъ и стр. 103—120 задачника для учителей): сначала дѣти учатся сложенію равныхъ слагаемыхъ по группамъ, потомъ обучаются новымъ словеснымъ выраженіямъ, записи умноженія, затѣмъ научаются находить произведенія однозначныхъ чиселъ при помощи очень интересныхъ по идеѣ чертежей, затѣмъ рѣшаютъ задачи на умноженіе, затѣмъ знакомятся съ понятіемъ «во столько то разъ больше» и т. д., —и на все имѣется много упражненій, много задачъ. Можно лишь говорить по поводу книгъ С. И.

О вопросахъ принципіальнаго значенія, мое рѣшеніе которыхъ не согласуется съ воззрѣніями почтеннаго автора. Прежде всего возникаетъ вопросъ: не слишкомъ ли много придаетъ авторъ значенія словамъ? Слово, несомнѣнно, есть могучее орудіе, но класть слова въ основу обученія ариѳметикѣ врядъ ли цѣлесообразно. Яркимъ примѣромъ, хотя и неотносящимся съ моей точки зрѣнія (С. И. Шохоръ-Троцкій думаетъ, повидимому, иначе) къ глубокимъ вопросамъ методики ариѳметики, является вопросъ о «Разницѣ между изустнымъ и письменнымъ способами вычисленія». Авторъ на стр. 200 «Методики» указываетъ, что одна ученица 1 кл. женской гимназіи дала очень интересную характеристику разницы между изустнымъ и письменнымъ способами вычисленій: «Когда мы вычисляемъ изустно, то мы все говоримъ да говоримъ, а потомъ сразу пишемъ, сколько получилось; а когда дѣлаемъ письменное вычисленіе, то немножко поговоримъ, записываемъ одну цифру, потомъ опять немножко поговоримъ и опять записываемъ цифру и т. д.». Мнѣ этотъ отвѣтъ представляется также интереснымъ, но съ иныхъ точекъ зрѣнія, а именно: 1) страннымъ представляется, что отъ ученицы гимназіи, вдобавокъ еще I кл., требуется на урокѣ давать характеристику разницы между указанными способами вычисленій, 2) тотъ, кто дѣйствительно выполняетъ вычисленіе, безразлично, начиная ли съ высшихъ или съ низшихъ разрядовъ, а не разсказываетъ объ этомъ вычисленіи учителю, тотъ вовсе при этомъ не говоритъ, 3) если авторъ дѣйствительно считаетъ такую характеристику охватывающею хотя бы и по-дѣтски суть вопроса, (а иначе врядъ ли онъ привелъ бы ее въ своей книгѣ), то становится яснымъ, что разговору придается большое значеніе. Авторъ на стр. 141—142, а затѣмъ на стр. 199—200, два раза обращаетъ вниманіе читателей на указанную разницу: «Надо строго различать запись дѣйствія и результата его отъ письменнаго производства дѣйствія» (стр. 141), «Изъ того, что записано 2 + 3 = 5 или 17 + 28 = 45, отнюдь еще не слѣдуетъ, что вычисленія сдѣланы письменно. Первое вычисленіе и не приходится дѣлать такъ, какъ дѣлается сложеніе по правилу письменнаго его производства

(отчего же? вѣдь здѣсь такъ же, какъ указываетъ обычное «правило» сперва складываютъ единицы, а потомъ... оказывается, что больше нечего складывать. Н. И.), а второе можно сдѣлать по этому правилу, а именно сложивъ сначала единицы и записавъ только 5, а потомъ — сложивъ десятки и записавъ 4 на мѣстѣ разряда десятковъ». Если не «говорить», а лишь писать, то, повидимому, признакомъ «письменнаго выполненія» сложенія будетъ написаніе сперва цифры 5 (для разсматриваемаго примѣра) и затѣмъ цифры 4, лѣвѣе прежней (идемъ въ записи «справа налѣво»), а признакомъ изустнаго выполненія сложенія явится написаніе сначала цифры 4 и затѣмъ правѣе цифры 5 (идемъ въ записи «слѣва направо»). Такъ какъ 1) я считаю обѣ стороны, и правую и лѣвую, равноцѣнными и 2) я могу про себя выполнить сложеніе, начиная справа, а записать результатъ, начиная слѣва, то я совершенно отказываюсь придавать какое-либо значеніе вопросу объ раздѣленіи вычисленій на «изустныя и письменный». Если кто-либо написалъ, напр. (или сказалъ, или лишь мысленно воспроизвелъ): 368 + 287 = 655, тотъ выполнилъ сложеніе (и притомъ правильно) и для меня совершенно равноцѣнно, выполнено ли это сложеніе въ порядкѣ справа налѣво, или слѣва направо, или какъ либо иначе (напр. 8 еднн. и 7 един. составитъ 15 единицъ; 5 единицъ запишу, а затѣмъ начну складывать всѣ десятки: ихъ 36 да 28 да еще 1, а всего 65, — запишу 65 десятковъ, идя слѣва направо). Суть дѣла состоитъ, по моему убѣжденію, въ слѣдующемъ: выполненіе каждаго дѣйствія требуетъ извѣстной работы мышленія (если только мы не обращаемся къ какимъ-либо «счетнымъ машинамъ» и не пользуемся, слѣдов., работою мысли другого лица, построившаго эту машину); эта работа можетъ быть разбита на рядъ отдѣльныхъ шаговъ; мы можемъ, если это не очень трудно для нашего воображенія, для нашей памяти, эти отдѣльные шаги запечатлѣть въ своемъ воображеніи или въ своей памяти на все время выполненія дѣйствія, а можемъ, если запечатлѣть всѣ эти шаги въ воображеніи трудно, записывать результаты отдѣльныхъ, уже пройденныхъ нами, шаговъ, но какъ бы мы ни поступали, работа по существу остается тою же самою, и нѣтъ никакихъ основаній видѣть разницу въ этой работѣ въ зависимости отъ того, съ какого разряда мы ее начинаемъ выполнять1). Поэтому я вовсе бы отказался отъ раздѣленія выполненія дѣйствій на «изустное» и письменное, а сталъ бы учить каждому дѣйствію, заботясь лишь о томъ, чтобы учащіеся по возможности (по мѣрѣ развитія воображенія и памяти каждаго изъ нихъ) отучались бы отъ записыванія мелкихъ шаговъ каждаго дѣйствія и по возможности каждое дѣйствіе выполняли бы, записывая его «въ строчку».

Изъ предыдущаго можно уже подмѣтить, что С. И. Шохоръ-Троцкій придаетъ слишкомъ много значенія вопросамъ формы, которые трудно

1) Позволю себѣ задать вопросъ; какимъ именемъ назвать слѣдующій порядокъ этой работы? Пусть надо 387 + 435: сложу сначала десятки: 84-3 = 11, да соображаю, что еще единицы дадутъ одинъ десятокъ,— всего 12 десятковъ; записываю 2 десятка, а затѣмъ перейду къ единицамъ и, наконецъ, къ сотнямъ.

признать за крупные вопросы. И это замѣчается на протяженіи всего курса: авторъ стремится руководить учителемъ въ его классной работѣ до мелочей. Приведу одинъ примѣръ. Рѣчь идетъ о сложеніяхъ въ родѣ: 72 + 3, 23 + 6 и т. п. (стр. 76—77 задачника для учителей). Авторъ пишетъ: «Повтореніе заданія необходимо. Повтореніе «70 такъ и остается 70», «20 такъ и остается 20» облегчаетъ вычисленіе тому, кто не сразу можетъ сказать сумму, удовлетворяетъ требованіямъ ритмическаго изустнаго вычисленія и очень облегчаетъ работу. Подчеркнутое надо произнести громче. — Повторить заданіе учащіеся при вычисленіяхъ обязаны непремѣнно вслухъ, когда работа идетъ подъ непосредственнымъ руководствомъ учащаго и т. д.». Или еще примѣръ: «Какъ вычислить изустно, сколько будетъ 46 да 4? — Надо сначала повторить: сорокъ шесть да четыре; затѣмъ можно говорить1) такъ: сорокъ оставимъ въ покоѣ, а 6 да 4 десять...» (стр. 79). И вотъ возникаетъ сомнѣніе: хорошо ли направлять работу учителя до такихъ мельчайшихъ подробностей? останется ли что-либо существенное на долю индивидуальности учителя и не свяжетъ ли такая мелочная разработка матеріала проявленіе собственной находчивости талантливаго учителя?

Сущность принципіальнаго различія во взглядахъ С. И. и моихъ сводится такимъ образомъ къ вопросамъ: не слишкомъ ли большое значеніе придаетъ почтенный авторъ словамъ и внѣшней формѣ обученія, и не слишкомъ ли далеко простирается стремленіе автора направлять каждый шагъ классной работы учителя?

Оставляя въ сторонѣ эти принципіальные вопросы, я позвою себѣ еще разъ выразить то удовлетвореніе, какое получается при разсмотрѣніи руководствъ нашего русскаго извѣстнаго методиста отъ той методической разработки курса, которая имѣетъ здѣсь мѣсто и каторая не оставляетъ безъ вниманія ни одинъ шагъ обученія, который можетъ такъ или иначе доставить затрудненія. Въ заключеніе я обращу вниманіе читателей на нѣкоторыя интересныя (и достойныя особеннаго вниманія) упражненія, введенныя въ эти руководства. Вотъ нѣкоторыя изъ нихъ.

1. Графическія упражненія, служащія для усвоенія таблицы умноженія (стр. 105—107 и 114 задач. для учителей).

2. Упражненія изъ области прогрессій (объясненія этихъ упражненій даны на стр. 267—269 «Методики»).

3. Введеніе въ курсъ «примитивныхъ» уравненій; на стр. 194—195 «Методики» выясняется, и нельзя съ этимъ несогласиться, безпочвенность боязни, имѣющей мѣсто въ Россіи, буквенныхъ обозначеній.

Остановлюсь на этомъ. Н. Извольскій.

1) Эти слова «можно говорить», повторяющіяся въ различныхъ мѣстахъ задачника «для учителей», намекаютъ опять на то, что авторъ придаетъ словамъ слишкомъ много значенія.

Редакторъ-Издатель Н. А. Извольскій.

Типографія Г. Лисснера и Д. Собко. Москва, Воздвиженка, Крестовоздвиженскій пер., д. № 9.