Математическій Вѣстникъ.

№ 6. Октябрь 1915 г.

Годъ второй.

Адресъ редакціи: Москва, Гороховскій пер., д. 23, кв. 9. Тел.3-19-55.

Содержаніе: Н. Извольскій. О нѣкоторыхъ задачахъ изъ задачниковъ для начальныхъ школъ. — А. Филимоновъ. Счетый приборъ для умноженія и дѣленія. — Н. Извольскій. Упражненія съ нахожденіемъ суммъ дробей. — А. Слуцкій. Знакомство съ десятичными дробями въ начальной школѣ. — Н. Извольскій. По поводу замѣтки А. Слуцкаго «Знакомство съ десятичными дробями въ начальной школѣ». — Хроника. (П. А. Барановъ f). — Свѣдѣнія о книгахъ по математикѣ и ея методикѣ. (П. Енько, Методика начальнаго счета по лабораторному методу. Часть I и II. — H.H.Діанина, Опытъ нагляднаго ознакомленія съ основными понятіями теоріи предѣловъ примѣнительно къ курсу геометріи въ среднихъ учебныхъ заведеніяхъ.)

О нѣкоторыхъ задачахъ изъ задачниковъ для начальныхъ школъ.

Въ ариѳметическихъ задачникахъ, предназначаемыхъ для начальныхъ школъ, часто встрѣчаются задачи въ родѣ слѣдующихъ: 1) Въ бассейнъ, вмѣщающій 180 ведеръ воды, проведены двѣ трубы; черезъ первую бассейнъ можетъ наполниться въ 10 часовъ, черезъ вторую — въ 15 часовъ. Во сколько времени наполнится этотъ бассейнъ, если открыть обѣ трубы? 2) Надо было исправить 216 ученическихъ тетрадей. Одинъ учитель можетъ исправить ихъ въ 9 часовъ, а другой въ 18 часовъ. Во сколько времени будутъ исправлены эти тетради, если за исправленіе ихъ возьмутся оба учителя? 3) Хозяинъ запасъ 60 пудовъ сѣна. Для прокормленія лошади этого сѣна хватитъ на 24 дня, а для прокормленія коровы — на 40 дней. На сколько дней хватитъ этого сѣна, если имъ кормить и корову и лошадь?

Всѣ эти задачи (онѣ всѣ одинаковы по своему замыслу) имѣютъ но одному лишнему условію: въ первой задачѣ нѣтъ нужды знать вмѣстимость бассейна, во второй—число всѣхъ тетрадей, въ третьей — вѣсъ запаса сѣна, и, когда подобныя задачи задаются учащимся,уже знакомымъ съ дѣйствіями надъ дробями, то ихъ уже задаютъ безъ этихъ лишнихъ условій. Такъ, третью задачу задали бы въ формѣ: Хозяинъ сдѣлалъ запасъ сѣна. Для прокормленія лошади этого сѣна хватило бы на 24 дня, а для прокормленія коровы — на 40 дней. На сколько дней хватитъ этого запаса и для лошади и для коровы вмѣстѣ? Рѣшеніе ея было бы таково: лошадь съѣдаетъ въ одинъ день всего запаса, корова — всего запаса; вмѣстѣ онѣ съѣдятъ^-[-^= всего запаса, — слѣд. :^J этого запаса имъ хватитъ на 15 дней. Если учащіеся не знаютъ дробей, то 3-я изъ выше данныхъ задачъ рѣітается такъ: 1) ск. сѣна съѣдаетъ лошадь въ 1 день? 60 пуд. : 24=2 пуд. 20 ф.; 2) ск. сѣна съѣдаетъ корова въ 1 день? 60 пуд. : 40 = 1 пуд. 20 ф.; 3) ск. сѣна съѣдаютъ лошадь и корова вмѣстѣ въ 1 день? 2 пуд. 20 ф. + 1 п. 20ф. = 4п.; 4) на ск. дней хватитъ запаса? 60 пуд. : 4пуд. = 15 (дней).

По поводу этихъ задачъ прежде всего возможно слѣдующее соображеніе: Такъ какъ съ математической точки зрѣнія эти задачи построены неправильно (одно лишнее условіе!) и такъ какъ съ практической точки зрѣнія такія задачи или вовсе не имѣютъ значенія (1-я и 2-я задачи, гдѣ рѣчь идетъ о бассейнѣ и о исправленіи тетрадей) или имѣютъ лишь очень малое значеніе (3-я задача, гдѣ рѣчь идетъ о прокормленіи коровы и лошади; практическое значеніе этой задачи не велико потому, что расчетъ имѣющійся въ задачѣ, врядъ ли когда-либо приходится дѣлать на практикѣ), то, быть-можетъ, правильно было бы вовсе эти задачи изъ курса цѣлыхъ чиселъ удалить?

Возможны три отвѣта на этотъ вопросъ: 1) Такъ какъ подобныя задачи лишены почти всякаго практическаго значенія, то ихъ слѣдуетъ вовсе выкинуть не только изъ курса цѣлыхъ чиселъ, но и изъ курса дробей. 2) Такъ какъ такія задачи болѣе умѣстны въ курсѣ дробей, на что указываетъ необходимость ввести лишнее условіе при желаніи ихъ рѣшать въ курсѣ цѣлыхъ чиселъ, то ихъ и слѣдуетъ рѣшать только въ курсѣ дробей,

не вводя лишняго условія. 3) Такъ какъ подобныя задачи, хотя ихъ практическое значеніе и очень мало, являются хорошимъ матеріаломъ для работы учащихся въ цѣляхъ развитія ихъ воображенія и мысли, то ихъ желательно оставить и въ курсѣ цѣлыхъ чиселъ.

Мы не хотимъ какой-либо изъ этихъ трехъ отвѣтовъ выдвинуть на первое мѣсто: все зависитъ отъ взгляда лица, ведущаго обученіе, но мы остановимся на 3-мъ отвѣтѣ. Если будетъ признано цѣлесообразнымъ оставить подобныя задачи въ курсѣ цѣлыхъ чиселъ (во 2-мъ, въ 3-мъ отдѣл. начал. школы), то, .думается, во всякомъ случаѣ надо эти задачи проработать такъ, чтобы при помощи ихъ достигнуть возможно наибольшаго вліянія на развитіе учащихся. И мы предполагаемъ для этой цѣли слѣдующую форму. Пусть будетъ дана 1-я изъ вышеуказанныхъ задачъ, причемъ лучше было бы, чтобы дѣти записали условіе задачи у себя въ тетрадяхъ словами, а учитель — на доскѣ. Задача рѣшается: 1) ск. ведеръ воды даетъ 1-я труба въ 1 часъ? 180 вед : 10=18 вед.; 2) ск. ведеръ воды даетъ 2-я трубъ въ 1 часъ? 180 вед. : 15 = 12 вед.; 3) ск. ведеръ воды дадутъ обѣ трубы въ 1 часъ? 18 вед. + 12 вед.; = 30 вед.; 4) во ск. времени наполнится бассейнъ черезъ обѣ трубы? 180 вед. : 30 вед. = 6 (час).

Послѣ этого учитель измѣняетъ нѣсколько условіе задачи, а именно зачеркиваетъ число 180 ведеръ, а взамѣнъ его пишетъ сверху число 240 ведеръ. Задача вновь рѣшается, и отвѣтъ, быть можетъ къ удивленію нѣкоторыхъ учащихся, получается опять «6 часовъ». Возникаетъ вопросъ (и онъ ставится учителемъ классу), почему же отвѣтъ получился тотъ же, какъ и раньше, несмотря на то, что вмѣстимость бассейна увеличилась (раньше бассейнъ вмѣщалъ 180 ведеръ, а теперь вмѣщаетъ 240 ведеръ)? Разборъ рѣшенія обѣихъ задачъ укажетъ причину этого: оказывается, хотя этого въ задачѣ и не сказано, что теперь и трубы стали сильнѣе, такъ какъ раньше первая труба давала лишь 18 ведеръ воды въ одинъ часъ, а теперь даетъ 24 ведра воды въ часъ. Измѣнимъ еще разъ нашу задачу: увеличимъ, напр., вмѣстимость бассейна въ 5 разъ, т.-е. вмѣсто 180 ведеръ возьмемъ 900 ведеръ. Тогда рѣшеніе этой новой задачи укажетъ намъ, что и сила каждой трубы увеличится также въ 5 разъ, а отвѣтъ останется прежній, т.-е. 6 часовъ. Послѣ этого уже

не трудно установить, что вмѣсто 180 ведеръ можно взять какое-угодно число, — отвѣтъ останется прежнимъ; удобно однако брать лишь такія числа, чтобы они дѣлились и на 10 и на 15 безъ остатка (на это указываютъ первыя два дѣйствія рѣшенія задачи). Тогда возникаетъ вопросъ : нельзя ли рѣшить подобную задачу и тогда, если вовсе не будетъ въ ней сказано, какова вмѣстимость бассейна, т.-е. если задача будетъ задана такъ: Первая труба можетъ наполнить бассейнъ въ 10 часовъ, вторая — въ 15 час. Во ск. времени наполнится этотъ бассейнъ, если открыть обѣ трубы? Этотъ вопросъ рѣшается утвердительно, тдкъ какъ дѣти теперь уже подведены къ мысли, что мы можемъ взять какое угодно число ведеръ, выражающее вмѣстимость бассейна, наблюдая однако, чтобы это число дѣлилось и на 10 и на 15. Самое малое изъ такихъ чиселъ есть 30. Поэтому, напр., мы можемъ начать рѣшать эту задачу такъ: «Предположимъ, что бассейнъ вмѣщаетъ 30 вед. (можно и 60 вед. и 150 вед. т. п.)». Послѣ этого надо узнать, ск. ведеръ воды даетъ въ 1 часъ каждая труба и т.д.

Закончить эту работу желательно рѣшеніемъ новой задачи съ иными числами. Напримѣръ: если открыть первую трубу, то пустой бассейнъ наполнится черезъ 21 часа, а если открыть вторую трубу, то — черезъ 28 часовъ. Во сколько времени наполнится этотъ бассейнъ, если открыть обѣ трубы?

Учащіеся сначала найдутъ сами число, которое дѣлится и на 21 и на 28 (наименьшее 84, но это необязательно, — можно взять, напримѣръ, число 588, получающееся отъ умноженія 21 на 28). Затѣмь рѣшеніе начнется записью «Предположимъ, что бассейнъ вмѣщаетъ 84 ведра воды» и продолжится такъ же, какъ было дано выше.

Если упражненія, подобныя вышеизложеннымъ, будутъ признаны достойными вниманія, то можно указать еще задачи, на почвѣ которыхъ можно провести подобныя же упражненія. Вотъ одна изъ нихъ. На нѣкоторую сумму денегъ купили двухъ лошадей, корову и жеребенка: за каждую лошадь заплатили третью часть всѣхъ денегъ, за корову четвертую часть, а за жеребенка — остальныя деньги. Во сколько разъ лошадь дороже жеребенка?

Сначала придется задавать, какъ это было и въ задачахъ съ бассейномъ, ту сумму денегъ, которую заплатили за всо

(напр. 180 руб., 192 руб. и т. д.). Въ концѣ концовъ также придемъ къ заключенію, что эта сумма неважна и зададимъ задачу въ выше написанной формѣ. Рѣшать ее можемъ даже и предположеніемъ, совершенно несогласнымъ съ дѣйствительностью: «Предположимъ, что за все заплатили 12 рублей» (12 есть самое малое число, дѣлящееся на 3 и на 4).

Н. Извольскій.

Счетный приборъ для умноженія и дѣленія.

Ариѳметика считается самымъ труднымъ предметомъ преподаванія въ начальной школѣ. Большинство учениковъ «спотыкается» на экзаменахъ именно на этомъ предметѣ. Многіе даже утверждаютъ, что для воспріятія математическихъ началъ нужна какая-то отличительная особенность ума и этимъ объясняютъ, почему для нѣкоторыхъ лицъ математика дается легко, для большинства же дѣтей она трудно усвояема. Быть можетъ, построенный мною счетный приборъ принесетъ пользу для дѣла обученія ариѳметикѣ. Предлагаю его описаніе вниманію читателей.

Устройство прибора. Въ основаніе прибора положены палочки Джона Непера. Весь приборъ состоитъ изъ трехъ главныхъ частей: 1) большой рамки А, 2) передвижной рамки В и 3) нѣкстораго количества палочекъ. Изображеніе прибора указано на чертежѣ (стр. 167).

Палочки школьныхъ приборовъ имѣютъ видъ двухсторонней пилы съ тупыми зубцами. Такой видъ палочекъ выбранъ для того, чтобы цифры располагались поразрядно и чтобы ихъ удобно было складывать.

Для каждой цифры дѣлается особая палочка, эта основная цифра на палочкахъ пишется внизу. На чертежѣ показана отдѣльно палочка съ основной цифрой 8. Палочка дѣлится по вертикали на девять равныхъ частей и въ каждой части пишется въ восходящемъ порядкѣ произведеніе основной цифры на 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. Если взять палочку 4, то на ней будетъ написано внизу 4, выше 8, еще выше 12, затѣмъ 16, 20, 24, 28, 32 и вверху 36.

Эти произведенія написаны на палочкахъ такъ, что цифры низшаго разряда написаны ниже, а цифры высшаго разряда (т.-е. тѣ, которыя обыкновенно удерживаются «въ умѣ») выше и лѣвѣе.

Изъ палочекъ составляютъ множимое (при дѣленіе — дѣлитель) и вставляютъ ихъ въ рамку А въ такомъ порядкѣ, какъ пишется число: на черт. изъ палочекъ составлены числа 791250 и 2384574 (см. нижнія цифры).

Большая рамка А имѣетъ пазы 9, куда вставляются палочки. На боковыхъ ея планкахъ а написанъ въ восходящемъ порядкѣ

натуральный рядъ чиселъ отъ 1 внизу до 9 включительно вверху. Цифры на боковыхъ планкахъ а и есть цифры множителя (или частнаго).

Кромѣ того, на большой рамкѣ укрѣпляются 3 ролика (съ лѣвой стороны 1, съ правой 2) для направленія троссовъ, одни концы которыхъ привязываются къ противовѣсу р, другіе къ концамъ передвижной рамки В. Самый противовѣсъ скользитъ по туго натянутой желѣзной проволокѣ /г, чтобы обезпечить правильность работы троссовъ.

Передвижная рамка В состоитъ изъ двухъ длинныхъ линеекъ связанныхъ по концамъ планками в; она снабжена съ задней стороны небольшими выступами с, препятствующими малой рамкѣ отходить отъ большой и ограничивающими движеніе рамки В предѣлами высоты боковыхъ планокъ а большой рамки А. Передвижная рамка имѣетъ ручку к. Если эта рамка находится такъ высоко, что ручку ея ребенку не достать, то можно браться за кольцо противовѣса р, приподнимая его кверху — передвижная рамка будетъ опускаться.

Передвижная рамка имѣетъ назначеніе закрывать ненужныя цифры на палочкахъ и боковыхъ планкахъ а большой рамки и указывать на цифры множителя (или частнаго), находящіеся на боковыхъ планкахъ а между линейками /, и на цифры палочекъ, находящіеся тоже между линейками I, которыя есть слагаемыя произведенія (при дѣленіи—дѣлимаго).

Главное назначеніе прибора состоитъ въ томъ, чтобы при помощи его скоро и съ большею, чѣмъ это обычно бываетъ, гарантіею правильности вычисленій выполнять умноженіе, а затѣмъ и дѣленіе цѣлыхъ чиселъ.

Допустимъ, что дано умножить 2384574 на 61). Беремъ 7 палочекъ съ такими основными цифрами, какія имѣются во множимомъ. Вставляемъ ихъ въ приборъ такъ, чтобы изъ основныхъ цифръ получилось данное множимое. Затѣмъ ставимъ передвижную рамку на цифру б боковой планки а большой рамки. Тогда между линейками I передвижной рамки В мы увидимъ слѣд. ряды цифръ:

сумма вертикальныхъ рядовъ которыхъ и даетъ намъ искомое произведеніе (оно будетъ = 14307444). Въ самомъ дѣлѣ. При повтореніи 4-хъ единицъ слагаемымъ б разъ мы получимъ 24 единицы. Это число и имѣется на палочкѣ 4, при чемъ обычно мы 4 единицы записываемъ, а 20 единицъ или 2 десятка удерживаемъ «въ умѣ». При вычисленій на этомъ приборѣ удерживать «въ умѣ» цифръ не приходится, такъ какъ эти

1) Эти числа указаны на главномъ чертежѣ справа.

цифры такъ же записаны на палочкахъ. Далѣе мы повторяемъ слагаемымъ 6 разъ 7 десятковъ и получаемъ 42 десятка. Два десятка этого произведенія находятся какъ разъ подъ десятками произведенія единицъ множимаго на 6, а 40 десятковъ, или 4 сотни, записаны на той же палочкѣ выше и лѣвѣе. Если мы просмотримъ палочки сотенъ, тысячъ и т. д., мы увидимъ, что произведенія этихъ разрядовъ на множитель 6 находятся на палочкахъ между линейками передвижной рамки, что всѣ цифры расположились по разрядамъ, что въ этихъ рядахъ цифръ находятся всѣ элементы искомаго произведенія и достаточно сложить вертикальные ряды или цифры разрядовъ, чтобы получить произведеніе.

При умноженіи многозначнаго числа на многозначное поступаютъ такъ же. Послѣ того, какъ мы получимъ произведеніе множимаго на единицы множителя и запишемъ это произведеніе гдѣ либо, мы передвигаемъ рамку В на десятки множителя и полученное произведеніе подписываемъ въ разрядѣ десятковъ подъ ранѣе записаннымъ произведеніемъ. Такъ же точно получаемъ произведенія множимаго на сотни, тысячи и т. д. множителя. Подписывая частныя произведенія въ соотвѣтствующихъ мѣстахъ и складывая ихъ поразрядно, получимъ полное произведеніе.

На этомъ приборѣ можно доказать, что совершенно безразлично начинать ли умноженіе съ правой руки, т.-е. съ единицъ низшаго разряда множителя, или наоборотъ. Точно такъ же можно доказать перемѣстительное свойство произведенія.

Оба эти положенія доказываются тѣмъ, что при различныхъ измѣненіяхъ въ производствѣ умноженія или расположеніяхъ сомножителей число элементовъ произведеній и ихъ распредѣленіе по разрядамъ совершенно одинаковы, слѣдовательно и сумма элементовъ по разрядамъ и общая ихъ сумма будутъ совершенно одинаковы. Элементы произведенія мѣняютъ лишь свои мѣста, но, какъ извѣстно, отъ перестановки слагаемыхъ сумма не измѣняется.

Изъ выше изложеннаго видимъ, что приборъ этотъ можетъ быть еще примѣненъ при изученіи самаго дѣйствія умноженія цѣлыхъ чиселъ, при чемъ произведеніе получается не суммированное, а со всѣми его элементарными частями, давая такимъ образомъ представленіе о слагаемыхъ частнаго произведенія.

Дѣленіе на этомъ приборѣ совершается такъ же наглядно, какъ и умноженіе. Принимая во вниманіе, что дѣленіе особенно трудно усвоивается дѣтьми, нужна особая строгая послѣдовательность въ преподаваніи, переходя постепенно отъ простыхъ дѣленій къ болѣе сложнымъ. Покажемъ это на нѣсколькихъ примѣрахъ:

Допустимъ, что намъ дано раздѣлить 21 на 7. Для этого беремъ палочку съ основной цифрой 7 и ставимъ ее въ приборъ. Передвижную рамку ставимъ въ такое положеніе, чтобы

между линейками ея было видно данное дѣлимое 21. Тогда на боковой планкѣ а большой рамки увидимъ цифру 3, которая и даетъ намъ частное.

Послѣ того, какъ ученики научатся находить цифру частнаго на боковыхъ планкахъ а для чиселъ, дѣлящихся безъ остатка, нужно перейти къ числамъ съ остаткомъ. Возьмемъ для этого 22 : 7. Ставимъ палочку 7 въ приборъ и путемъ передвиженія рамки ищемъ на палочкѣ дѣлимое 22. Такого числа не находимъ и останавливаемся на меньшемъ приближенномъ, именно на 21. Тогда передвижная рамка укажетъ на цифру частнаго 3; вычитая 21 изъ дѣлимаго получаемъ въ остаткѣ 1. Если остатокъ получится болѣе дѣлителя или равный ему, то это докажетъ, что мы рамку остановили не на надлежащимъ мѣстѣ и что ее нужно было установить гдѣ-то выше.

Затѣмъ нужно остановиться на дѣленіи значащей цифры съ нулемъ на дѣлитель, выраженный тою же цифрою, напр. 70 : 7, и показать, что нуль не можетъ быть остаткомъ дѣлимаго и что его нужно приписать къ частному, дѣлая выводъ, что 0, дѣленный на какое-нибудь число, всегда даетъ въ частномъ 0.

Зная всѣ частныя случаи дѣленія, мы можемъ теперь приступить къ дѣленію многозначнаго числа на многозначное.

Допустимъ, что дано раздѣлить 5261955 на 7485. Для этого мы записываемъ гдѣ-либо дѣлимое, изъ палочекъ составляемъ дѣлитель, а передвижную рамку ставимъ въ такое положеніе, чтобы одна или первыя двѣ цифры съ лѣвой стороны на палочкахъ въ передвижной рамкѣ равнялись или были нѣсколько меньше одной или первыхъ двухъ цифръ дѣлимаго. При такихъ условіяхъ рамка укажетъ, что первая цифра частнаго (тоже съ лѣвой стороны) есть 7, а между линейками увидимъ слѣд. ряды цифръ.

Складывая по разрядамъ цифры на палочкахъ, получимъ произведеніе множителя на цифру 7 частнаго, каковую сумму и вычитаемъ изъ дѣлимаго.

5 2 6 1 9 5 5 ""5 2 3 9 5 2 2 4

Получаемъ въ остаткѣ 224 сотни. Переходя къ десяткамъ, получимъ 2245 десятковъ. Передвигаемъ рамку на цифру 3 боковыхъ планокъ а большой рамки и видимъ, что хотя первыя двѣ цифры совершенно одинаковы съ остаткомъ, но въ произведеніи 7485 X 3 получается пять цифръ, у насъ же въ остаткѣ только четыре цифры. Передвигаемъ рамку на самый низъ и видимъ, что хотя въ произведеніи 7485x1 и четыре цифры, но это произве-

деніе все таки болѣе нашего остатка2). Слѣдовательно, десятки не дѣлятся въ цѣлыхъ числахъ на данный дѣлитель. Поэтому десятковъ въ частномъ нѣтъ, и мы на ихъ мѣстѣ ставимъ 0.

Переходимъ къ единицамъ (ихъ 22455). Останавливаемъ раму на цифрѣ 3. Произведеніе 7485x3 равняется остатку дѣлимаго 22455. Слѣдовательно, дѣленіе совершилось безъ остатка. Цифра 3 есть третья цифра частнаго. Все частное такимъ образомъ = 703.

Помимо наглядности вычисленія на этомъ приборѣ увеличивается такъ же и быстрота вычисленія, объясняемое тѣмъ, что на палочкахъ заранѣе написаны произведенія любой цифры множимаго или дѣлителя на любую цифру множителя или частнаго. Если сложеніе (а при дѣленіи и вычитаніе) сдѣланы вѣрно, то и вычисленіе получится безусловно вѣрное.

Главное затрудненіе, встрѣчаемое обычно при дѣленіи, состоитъ въ отысканіи отдѣльныхъ цифръ частнаго. Нахожденіе этой цифры въ каждомъ отдѣльномъ случаѣ по необходимости сопровождается угадываніемъ ея. Примѣняя приборъ къ дѣленію, угадывать цифру частнаго не приходится. Рамка сама укажетъ эту цифру, при чемъ неправильность постановки рамки, а слѣдовательно, невѣрность цифры частнаго сейчасъ обнаружится: если рамка остановлена выше, чѣмъ нужно, то произведеніе дѣлителя на цифру частнаго окажется болѣе дѣлимаго или части его, отдѣленнаго для дѣленія; если рамка остановлена ниже, — то при вычитаніи произведенія изъ дѣлимаго или его части, — остатокъ получится болѣе дѣлителя.

Слѣдовательно, примѣненіе прибора при изученіи дѣленія устраняетъ угадываніе цифры частнаго и производства пробнаго дѣленія. Приборъ указываетъ цифру частнаго въ связи съ получаемымъ произведеніемъ отъ умноженія дѣлителя на цифру частнаго.

Изъ описанія прибора и его примѣненія видимъ, что приборъ преслѣдуетъ главнымъ образомъ наглядность вычисленія и его безошибочность; быстрота можетъ быть достигнута при нѣкоторомъ навыкѣ. Приборъ не загроможденъ сложными рычагами и колесами, которые могли бы мѣшать уясненію работы его. Устройство вполнѣ доступно пониманію ребенка. Но, какъ справедливо замѣтилъ учитель реальнаго училища г. Горбаконь во время демонстрированія прибора въ Маріуполѣ, «ученикъ не можетъ производить экспериментовъ на приборѣ, не понявъ въ совершенствѣ его устройства, и та громадная работа мысли, которую онъ при этомъ совершитъ, уже сама по себѣ цѣнна».

Приборъ оставляетъ ученику въ полномъ объемѣ всю работу мысли по производству умноженія и дѣленія, беря на себя запоминаніе цифръ и механическое повтореніе учениками

2) Что 2245 < 7485 это видно сразу. Я нарочно допустилъ эту невнимательность, чтобы показать, какъ быстро выясняется это на приборѣ.

таблицы умноженія при производствѣ умноженія; требуя отъ учениковъ быстраго суммированія рядовъ цифръ произведенія, вознаграждаетъ его за это быстротой вычисленія и уменьшеніемъ °/0 невѣрныхъ рѣшеній.

Такъ какъ на приборѣ имѣется много написанныхъ чиселъ, то онъ можетъ быть использованъ, какъ пособіе при обученіи сложенію и вычитанію, взамѣнъ тѣхъ таблицъ, которыя спеціально для этого продаются.

Я позволю себѣ напомнить читателю совѣтъ Лезана3): «отдать предпочтеніе мусульманскому способу умноженія столь же быстрому, но еще болѣе легкому для усвоенія». Разсмотрѣніе этого способа покажетъ намъ много сходства со способомъ вычисленія на палочкахъ Непера. Допустимъ, что намъ дано умножить 258x9347.

Располагаемъ числа, какъ на рисункѣ:

Дѣлимъ квадраты діагоналями и въ каждой клѣткѣ пишемъ произведеніе соотвѣтствующихъ цифръ сомножителей, располагая цифры произведенія такъ, чтобы низшій разрядъ находится въ клѣткѣ въ нижнемъ треугольникѣ, а высшій рарядъ — въ верхнемъ треугольникѣ. Всѣ цифры произведеній располагаются поразрядно, и, складывая цифры между діагоналями, мы получимъ на верхней чертѣ полное произведеніе, какъ указано на слѣд. рисункѣ:

3) G. Leisant. Initiation Mathématique, pag. 49. Paris, —193.

Таковъ мусульманскій способъ вычисленія. По этому способу также ненужно запоминать цифръ. Въ произведеніи видны всѣ его элементы. Въ этомъ и видитъ Лезанъ большую его усвояимость.

Въ заключеніе я не могу не привести мнѣнія г. Павлова, высказанное имъ въ 3-й книгѣ Е. И. Игнатьева «Въ царствѣ смекалки» на стр. 161 и 164, о счетныхъ машинахъ вообще. Онъ говоритъ: «машина сама по себѣ отнюдь не мыслить и не соображаетъ, а лишь безупречно, съ недопустимой для человѣка точностью складываетъ и вычитаетъ» и далѣе: «безъ одухотворенной разумною мыслью работы человѣка всѣ подобныя машины (рѣчь идетъ о сложныхъ ариѳмометрахъ) все-таки, не болѣе, какъ мертвый наборъ колесъ и рычаговъ: онѣ не въ состояніи сами рѣшить хотя бы наиболѣе простыя ариѳметическія задачи. Назначеніе ихъ — облегчать и выполнять механическую долю труда».

О томъ, что палочки Непера сами по себѣ представляютъ большой интересъ, можно вывести изъ сожалѣнія Е. И. Игнатьева, высказаннаго въ его книгѣ «Математическая хрестоматія», изд. 1913 г., на стр. 134, гдѣ онъ говоритъ: «Во всякомъ случаѣ, этотъ прекрасный приборъ остался въ незаслуженномъ забвеніи, болѣе всего, вѣроятно, благодаря другому, еще болѣе важному открытію того же Непера, а именно — логариѳмамъ».

Но пользоваться тѣми палочками, какія намъ далъ Д. Неперъ, практически неудобно. По-моему, именно вслѣдствіе этого палочки и не получили распространеніе. Въ моемъ приборѣ палочки видоизмѣнены для удобства сложенія рядовъ цифръ. Введена большая рамка, куда удобно бы было вкладывать палочки. Добавлена передвижная рамка, для удобства чтенія произведенія. Всѣ эти измѣненія сдѣланы для удобства пользованія приборомъ въ классѣ какъ нагляднымъ учебнымъ пособіемъ.

Педагогамъ теперь нужно сказать свое вѣское слово о полезности примѣненія этого прибора въ школѣ, а опытъ примѣненія его даетъ безапеляціонное рѣшеніе этого вопроса.

А. Филимоновъ.

Печатая настоящее описаніе прибора г. Филимонова и отдавая должное его изобрѣтательности, позволившей придать удобную форму такъ называемымъ «палочкамъ Непера», мы въ то же время считаемъ необходимымъ выразить нѣкоторое сомнѣніе: дѣйствительно ли нуженъ подобный приборъ для начальной школы?

Ред.

Упражненія съ нахожденіемъ суммъ дробей.

При выполненіи ариѳметическихъ вычисленій существенную роль играетъ умѣніе скомбинировать данный матеріалъ такъ, чтобы выполнить вычисленіе по возможности упрощенно. Такъ, при сложеніи 27 + 46 + 13 + 4 мы сначала складываемъ первое и третье число, а затѣмъ второе и четвертое, чтобы свести сложеніе къ круглымъ десяткамъ. Такъ же точно, если надо вычислить

13x27 + 13x23,

мы видимъ, что это все равно, что 13 X (27 + 23) или 13x50, и не умножаемъ отдѣльно 13 на 27 и 13 на 23, а умножаемъ сразу 13 на 50. При прохожденіи ариѳметики цѣлыхъ чиселъ на это умѣніе оріентироваться въ данномъ матеріалѣ и изыскать наиболѣе удобный порядокъ вычисленій въ общемъ обращается достаточно вниманія, но при прохожденіи курса дробей приходится во многихъ случаяхъ констатировать отсутствіе у учащихся навыка въ указанномъ направленіи. Такъ, покойный педагогъ А. И. Гольденбергъ указываетъ, что онъ предложилъ на экзаменѣ ученицѣ VIII класса гимназіи вычислить примѣръ

,3 5 1

и ученица не подмѣтила особенности этого примѣра ^ что 1-+-=2 J, а стала приводить, согласно правиламъ, дроби — и - къ общему знаменателю1). Такъ же точно, часто приходится видѣть, что учащіеся (даже старшихъ классовъ) пишутъ 6- : - '— = 26 вмѣсто того,чтобы сразу дать отвѣтъ 26, что имѣло бы мѣсто, если бы учащіеся знали, что раздѣлить 6g на - значитъ найти число, - котораго равна 6-, и понимали бы, что искомое число въ 4 раза больше 6- (другими словами, учащіеся не всегда знаютъ, что раздѣлить какое-либо число на - все равно, что умножить его на 4). Причинами указанныхъ явленій, по моему убѣжденію, являются 1) то механическое направленіе курса дробей, которое выра-

1) А. И. Гольденбергъ, Бесѣды по счисленію. Саратовъ, 1996 г, стр. 30.

жается въ обученіи учащихся слѣдовать полученнымъ правиламъ и въ удаленіи на задній планъ смысла дѣйствія2) и 2) въ отсутствіи въ нашемъ курсѣ дробей упражненій, имѣющихъ цѣлью развивать комбинирующую дѣятельность учащихся.

Мнѣ уже неоднократно и на страницахъ «Матем. Вѣстн.» и въ рядѣ другихъ статей приходилось указывать на необходимость пріучать дѣтей на протяженіи всего курса математики строить и изучать различныя комбинаціи, составленныя съ опредѣленною цѣлью. Въ частности укажу здѣсь, напр., на то, что въ нашихъ задачникахъ по ариѳметикѣ имѣютъ мѣсто многочисленныя упражненія со скобками, и учащіеся вычисляютъ ряды этихъ примѣровъ; съ моей точки зрѣнія этого недостаточно, — необходимо еще, чтобы учащіеся проникли въ тайну составленія этихъ примѣровъ и сами составляли бы примѣры на вычисленіе, преслѣдуя опредѣленную цѣль. Напр., пусть будетъ поставлена цѣль составить рядъ примѣровъ на вычисленіе съ дробями по слѣдующей схемѣ:

а : (6—-с),

гдѣ а, Ь и с дробныя числа, но желательно, чтобы результатъ оказался равнымъ или цѣлому числу или цѣлому съ какою-либо очень несложною дробью. Вотъ два такихъ примѣра: 1) 2)3).

Укажу еще, что въ № 3 «Матем. Вѣстн.» за 1914 г. была напечатана моя статья «Нахожденіе суммы нѣкоторыхъ дробныхъ рядовъ», которая даетъ матеріалъ, могущій быть использованнымъ съ болѣе развитыми учащимися для развитія той же комбинирующей дѣятельности. Здѣсь я позволю себѣ предложить еще рядъ упражненій на нахожденіе суммы дробныхъ рядовъ, при чемъ полагаю, что главное значеніе этихъ упражненій будетъ состоять не въ самомъ нахожденіи суммы, а въ составленіи такихъ рядовъ, сумму которыхъ легко находить.

Очевидно, легко найти сумму ряда 1 + 1 + 1 + 1+..., если извѣстно, сколько разъ повторяется слагаемымъ число 1.

Замѣнимъ каждую единицу суммою двухъ дробей, придерживаясь опредѣленнаго порядка, напр.:

л 1,1 л 1,2 , 1,3 , 1,4 _1 = 2+2' 1 = 3 + 3*' 1==4 + 4' 1=5+5 и т. д.

2) См. по этому поводу мою статью «О правилахъ въ учебномъ курсѣ математики» №№ 1 и 2 «Матем. Вѣстн.» за 1914 г.

3) Возможно въ извѣстныхъ случаяхъ облегчать работу учащихся, задавая нѣкоторыя изъ чиселъ, входящихъ въ примѣръ, послѣ чего работа учащихся сведется къ подбору остальныхъ чиселъ съ такимъ расчетомъ, чтобы въ конечномъ итогѣ получился простой результатъ («чтобы хорошо сокращалось», какъ говорятъ учащіеся).

Тогда нашъ рядъ будетъ:

Сгруппируемъ теперь слагаемыя по иному, для чего воспользуемся скобками:

Замѣнивъ каждую сумму, заключенную въ скобки, однимъ числомъ, мы этотъ же рядъ перепишемъ въ такомъ видѣ:

Ясенъ законъ составленія такого ряда. Если теперь, наоборотъ, будетъ данъ рядъ

или написанный болѣе подробно:

то, зная способъ его полученія, легко сразу узнать его сумму. Въ самомъ дѣлѣ, эту сумму можно представить въ видѣ:

(черточки внизу соединяютъ тѣ слагаемыя, которыя въ суммѣ даютъ единицу).

Мы видимъ, что, закончивъ сложеніе слагаемымъ —, мы получимъ въ суммѣ ровно 10 единицъ, къ чему надо приложить еще послѣднее слагаемое —. Итакъ, искомая сумма равна 10—.

Также, если мы возьмемъ рядъ болѣе длинный, напр.,

то мы можемъ сразу сказать, что сумма всѣхъ этихъ дробей=18^4).

4) Возможно находить суммы разсмотрѣнныхъ здѣсь рядовъ на основаніи изложеннаго въ вышеупоминаемой статьѣ въ № 3 «Матем. Вѣстн.» за 1914 г.: искомая сумма = (l--^1^=19-

Составимъ еще рядъ, сумму сколькихъ угодно членовъ котораго легко находить.

Мы легко найдемъ сумму:

если знаемъ число членовъ этого ряда. Замѣнимъ, подобно тому, какъ это было сдѣлано выше, каждое слагаемое |число |j суммою двухъ чиселъ:

(мы, слѣдовательно, беремъ здѣсь дроби, знаменатели которыхъ кратны числу 4). Тогда получимъ рядъ

Сгруппировавъ слагаемыя въ иномъ порядкѣ,придемъ къ ряду:

или

Если мы ограничимся въ этомъ ряду членомъ —, то сумма 5 членовъ нашего ряда равна числу повторенному 4 раза, плюсъ —, t.- е.

Легко замѣтить, что числитель каждой дроби на 1 меньше половины знаменателя; нетрудно также подмѣтить законъ, по которому составляются знаменатели нашихъ дробей; чтобы уяснить послѣднее, мы напишемъ нашъ рядъ въ видѣ:

Мы легко найдемъ, что знаменатель слѣдующей дроби долженъ быть=5.6.4; знаменатель 7-й дроби=6.7.4 и т. д. (числители же этихъ дробей таковы: числитель 6-й дроби = 5.6.2—1; числитель 7-й дроби = 6 . 7 . 2—1 и т. д.).

На основаній предыдущаго мы также приходимъ къ заключенію, что сумма дробей, составленныхъ по указанному закону, содержитъ столько половинъ, сколько членовъ въ нашемъ ряду безъ одного. Кромѣ того, къ этому надо прибавить, для полученія полной суммы, дробь, числитель которой =1, а знамена-

тель есть произведеніе двухъ (изъ трехъ) послѣднихъ множителей знаменателя послѣдняго члена ряда, если эти три множителя расположены въ вышеуказанномъ порядкѣ. Теперь мы можемъ, сразу сказать, что

Возможны еще различныя комбинаціи, позволяющія составлять ряды дробей, сумму которыхъ легко находить, при чемъ эти комбинаціи могутъ быть построены на соображеніяхъ иного характера, чѣмъ тѣ, которыя указаны въ настоящей статьѣ.

Мы предлагаемъ читателямъ составить комбинаціи, позволяющія быстро узнавать слѣдующія суммы:

Возможно продолжить этотъ рядъ и далѣе, сколь угодно далеко. Пояснимъ внѣшнюю форму этого ряда.

1) Во всѣхъ трехъ примѣрахъ въ сущности рядъ одинъ и тотъ же; лишь, для полученія болѣе простой суммы, въ концѣ каждаго ряда прибавляется еще членъ ^въ 1-мъ примѣрѣ во 2-мъ —, въ 3-мъ —I ; этотъ добавочный членъ равенъ произведенію двухъ членовъ ряда, имѣющихъ числителями ближайшихъ къ концу ряда •-; ^=g • §; По=іо'и)'

Конечно, узнавъ суммы данныхъ трехъ примѣровъ, легко узнать и тѣ суммы, которыя получились бы, если отбросить добавочные члены.

2) Члены разсматриваемаго ряда распадаются на 2 категоріи: къ первой отнесемъ члены ^ ^ -? ^ ^ -•> составъ которыхъ не требуетъ поясненій. Ко второй относятся члены:

Составъ этихъ членовъ таковъ:

что позволитъ продолжить разсматриваемый рядъ сколь угодно далеко.

Н. Извольскій.

Знакомство съ десятичными дробями въ начальной школѣ.

Каждый изъ учившихся въ училищѣ,гдѣ проходился полный курсъ ариѳметики, навѣрно, помнитъ, что учитель, приступая къ отдѣлу десятичныхъ дробей, предупреждалъ учениковъ, что дѣйствія съ десятичными дробями не представляютъ ничего новаго: сложеніе, вычитаніе, умноженіе и дѣленіе производятся совершенно тѣми же пріемами, какъ и соотвѣтствующія дѣйствія съ цѣлыми числами. Между тѣмъ. знакомство съ десятичными дробями отнесено въ конецъ курса ариѳметики и проходится учениками, уже давно оставившими начальную школу. Особенно непростительно поступаютъ учителя различныхъ повторительныхъ и вечернихъ курсовъ для взрослыхъ, когда знакомятъ учащихся со всѣми дѣйствіями надъ обыкновенными дробями, а потомъ уже переходятъ къ десятичнымъ дробямъ. Въ различныхъ производствахъ, занятіяхъ ремеслами и вообще во всемъ, что вызывается житейской практикой, знакомство съ простыми дробями не требуется болѣе х/8, въ рѣдкихъ случаяхъ нужны бываютъ болѣе мелкія доли; большинство же способовъ измѣренія производится по десятичнымъ системамъ мѣръ, а до нихъ какъ разъ и не доходитъ дѣло изученія въ начальной школѣ или на курсахъ для взрослыхъ. Каждому, имѣвшему отношеніе къ курсамъ для взрослыхъ сельскаго или городского рабочаго населенія, хорошо извѣстно, что на курсахъ слушатели долго не держатся и пройти съ ними полнаго курса ариѳметики, включая десятичныя дроби, не приходится.

Единственно, что могутъ мнѣ возразить противъ предложенія проходить десятичныя дроби непосредственно за цѣлыми числами, это невозможность оперировать съ періодическими дробями и необходимость въ этихъ случаяхъ прибѣгать къ обыкновеннымъ дробямъ. Но, если мы примемъ во вниманіе, что для практическихъ надобностей точность болѣе сотой, а въ очень рѣдкихъ случаяхъ болѣе тысячной, не требуется, то возраженіе это утратитъ всякое значеніе.

Познакомить учениковъ непосресдственно за цѣлыми числами съ десятичными дробями очень легко. Конечно, предварительно необходимо выяснить ученикамъ, что такое дробь вообще, какъ дроби получаются. Собственно же знакомство съ десятичными дробями можно начинать хотя бы такъ: напишемъ произвольное число 72453 и предлагаемъ ученикамъ припомнить, что на первомъ мѣстѣ отъ правой руки къ лѣвой стоятъ единицы, потомъ десятки и т. д., затѣмъ обращаемъ вниманіе учениковъ на то, что каждое предшествующее мѣсто

цифръ въ указанномъ выше порядкѣ, въ десять разъ больше и въ обратномъ порядкѣ въ десять разъ меньше. Потомъ предлагаемъ ученикамъ вопросъ: могутъ ли быть числа меньшія единицы и гдѣ ихъ поставить въ данномъ числѣ, чтобы сохранить порядокъ числа? Затѣмъ слѣдующій вопросъ: могутъ ли быть числа меньшія 0,1 десятой и гдѣ поставить 0,01 и т. д. Изъ имѣвшейся уже практики въ этомъ направленіи, получаются вполнѣ удовлетворительные результаты.

А. Слуцкій.

По поводу замѣтки А. Слуцкаго „Знакомство съ десятичными дробями въ начальной школѣ".

Мы не согласны съ основною мыслью г. Слуцкаго. Пользуемся случаемъ выяснить свой взглядъ на постановку курса дробей, обыкновенныхъ и десятичныхъ, въ начальной школѣ.

Одно время въ педагогической литературѣ господствовало модное въ то время (лѣтъ 10—15 тому назадъ) направленіе, стремящееся поставить въ курсѣ ариѳметики десятичныя дроби раньше обыкновенныхъ. Сторонники этого направленія указывали на слѣдующіе два довода: 1) дѣйствія надъ десятичными дробями легче чѣмъ надъ обыкновенными и 2) на практикѣ (здѣсь, повидимому, главнымъ образомъ имѣется въ виду техника) почти всѣ вычисленія выполняются десятичными дробями.

Оба эти довода не выдерживаютъ критики. Первый доводъ по существу неправиленъ: дѣйствія надъ десятичными дробями могутъ оказаться легче дѣйствій надъ обыкновенными лишь въ томъ случаѣ, если на эти дѣйствія смотрѣть съ чисто механической точки зрѣнія (да и то невсегда)1): «напиши числа такъ-то и такъ-то и дѣлай то-то и то-то». Но если во главу обученія ставится не механическое, согласно «правилу», выполненіе дѣйствія, а усвоеніе учащимися смысла этого дѣйствія, то, несомнѣнно, дѣйствія надъ обыкновенными др.обями должны быть признаны легче, чѣмъ надъ десятичными.

Напр.: 16-Х2 значитъ взять половину отъ 16-. Нахожденіе половины чего-либо является легко представимымъ процессомъ для нашего воображенія, между тѣмъ какъ умноженіе 16,5 X 0,5 потребуетъ представить подраздѣленіе чего-либо

1) Такъ, напр., 0,625x1,6 проще обыкновенными дробями, и всякій, умѣющій это сдѣлать, обратитъ ихъ въ обыкнов. дроби въ умѣ и сейчасъ же скажетъ отвѣтъ 1.

на 10 равныхъ частей, что уже не можетъ рисоваться воображенію съ достаточною ясностью. Въ недавно вышедшей книгѣ П. Енько, Методика начальнаго счета по лабораторному методу, часть II, на стр. 11 авторъ, указывая на недостаточную наглядность десятичныхъ дробей (напр.: «дробь — въ точности показываетъ, что эта величина на одну тринадцатую меньше единицы, но дробь 0,9237692376 выражаетъ эти отношенія только приблизительно и совсѣмъ не наглядно»), говоритъ: «какъ ни соблазнительно пройти десятичныя дроби вмѣстѣ съ цѣлыми числами, но безполезность ихъ для болѣе слабыхъ учениковъ заставляетъ насъ отложить ихъ до конца обученія».

Второй доводъ не имѣетъ силы для общеобразовательной школы. Что же изъ того, что въ техникѣ большинство вычисленій ведется въ десятичныхъ дробяхъ? Развѣ задачею начальной общеобразовательной школы является подготовка вычислителей для техники? Нѣтъ, единственною задачею такой школы можетъ и должно быть достиженіе возможно большаго при имѣющихся на лицо условіяхъ математическаго развитія учащихся, а для него наиболѣе существеннымъ является усвоеніе смысла дѣйствій. Можно пройти весь курсъ алгебры и геометріи, исключая лишь тѣ отдѣлы, которые имѣютъ спеціальнуя цѣль — вычисленія, вовсе не будучи знакомымъ съ десятичными дробями.

Все это заставляетъ притти къ заключенію, что въ общеобразовательной школѣ обыкновенныя дроби должны быть пройдены раньше десятичныхъ и что на нихъ именно слѣдуетъ обращать главное вниманіе. Другое дѣло, если рѣчь идетъ объ обученіе рабочихъ, какъ это и указывается въ замѣткѣ г. Слуцкаго, для которыхъ наиболѣе интереснымъ является выполненіе тѣхъ вычисленій, какія имѣютъ мѣсто въ обслуживаемомъ ими производствѣ. Здѣсь появляется уже спеціальная цѣль и, если она займетъ первенствующее мѣсто, въ ущербъ цѣлямъ общеобразовательнаго характера, то для такихъ учащихся быть можетъ придется выдвинуть десятичныя дроби впередъ.

За послѣдніе годы стремленіе проходить десятичныя дроби ранѣе обыкновенныхъ замерло и замѣнилось стремленіемъ создать новый планъ курса дробей, въ которомъ раздѣленіе этого курса на обыкновенныя и десятичныя дроби по возможности устраняется. Вотъ одна изъ схемъ такого курса,—и представляется, что эта схема заслуживаетъ самаго серьезнаго вниманія и со стороны учителей начальной школы и со стороны преподавателей средней школы: сначала проходятся всѣ дѣйствія надъ обыкновенными дробями, при чемъ ограничиваются лишь такими дробями, которыя, давая вполнѣ достаточный матеріалъ для усвоенія учащимися идейной стороны этого отдѣла,

не требуютъ для оперированія надъ ними умѣнія разлагать числа на простые множители;когда учащимися будутъ при операціяхъ надъ такими дробями усвоены и смыслъ каждаго дѣйствія и его особенности, то проходится курсъ десятичныхъ дробей, при чемъ вычисленія ограничиваются опредѣленною степенью точности, достаточной для разсматриваемаго вопроса, а періодическія дроби вовсе изъ курса выбрасываются; наконецъ, послѣ такого курса десятичныхъ дробей вводятся въ курсъ задачи и примѣры со всякими дробями, и съ обыкновенными, при чемъ знаменатели ихъ могутъ быть и не удобны для вычисленій, и съ десятичными; при этомъ учащіеся по желанію могутъ выполнять вычисленія или обыкновенными дробями если онѣ удобны для оперированія надъ ними, или десятичными дробями, превращая данныя обыкновенныя дроби въ приближенныя десятичныя, ограничиваясь опредѣленною степенью точности. Статья о дѣлимости, о простыхъ числахъ, о разложеніи сложныхъ чиселъ на простые множители и т. д. должна быть отнесена въ самый конецъ курса ариѳметики, при чемъ здѣсь въ ограниченномъ объемѣ могутъ быть и упражненія съ обыкновенными дробями, для выполненія дѣйствій надъ которыми надо знать вышеуказанную статью. Однако, вовсе не надо добиваться, чтобы учащіеся непремѣнно вычисляли, напр., сумму ill—+77+^ обыкновенными дробями; достаточно, если они дадутъ здѣсь приближенное вычисленіе десятичными дробями:

Тз+А+е=0'077+0'071+°'067=0'215-

Н. Извольскій.

Хроника.

П. А. Барановъ f. 10 Августа с. г. палъ въ бою преподаватель Московскаго учительскаго института и Педагогическаго института имени П. Г. Шелапутина Петръ Алексѣевичъ Барановъ.

Покойный являлся однимъ изъ видныхъ преподавателей математики въ Москвѣ. П. А. принималъ участіе въ журналѣ Московскаго математическаго кружка «Математическое Образованіе», выступалъ съ докладами въ Москов. матем. кружкѣ, выпустилъ въ свѣтъ нѣсколько учебниковъ («Рѣшеніе треугольниковъ въ курсѣ геометріи»и«Начальная физика»),но особенную склонность имѣлъ къ изысканіямъ въ области исторіи математики: въ журналѣ «Математическое Образованіе» (№ 1 за 1912 г.) напечатана его статья «Первая русская печатная математическая книга»; въ 1913 г. П. А. издалъ первую часть ариѳметики Магницкаго въ томъ самомъ видѣ, каковъ имѣлъ и самъ старинный подлинникъ.

Свѣдѣнія о книгахъ по математикѣ и ея методикѣ.

П. Енько. Методика начальнаго счета по лабораторному методу. Часть I. Практика обученія. Петроградъ, 1914 г. Ц. 60 коп.

П. Енько. Методика начальнаго счета по лабораторному методу. Часть II. Теоретическія основанія. Петроградъ, 1914 г. Ц. 30 коп.

Взглядъ автора на самую математику и на задачи обученія математикѣ слишкомъ узокъ: «математика есть наука о способахъ вычисленія величинъ», «все, что имѣетъ цѣлью выясненіе математическихъ понятій, не безусловно нужныхъ для производства расчетовъ, должно быть отброшено, какъ ненужный балластъ» (часть II, стр. 3). На стр. 32 той же части авторъ говоритъ еще опредѣленнѣе: «она (школа вообще и начальная въ особенности) должна упрощать обученіе до послѣдней крайности, учить только тому, что будетъ примѣняться въ жизни, что не будетъ забыто и не должна заниматься ничѣмъ, что предназначено для забыванія впослѣдствіи».

Далѣе авторъ указываетъ, что онъ не отрицаетъ возможности оказывать на учениковъ и развивающее вліяніе, но это, по его мнѣнію, возможно лишь при очень (почти не встрѣчающихся) условіяхъ: 1) «нужно, чтобы ученикъ былъ способенъ къ отвлеченному самостоятельному мышленію и притомъ въ достаточной степени; 2) нужно, чтобы учитель былъ способенъ уловить нужный моментъ и оказать воздѣйствіе нужное для даннаго ученика, 3) нужно, чтобы у учителя было не слишкомъ много учащихся, не только въ данномъ классѣ, но вообще во всѣхъ классахъ, во всѣхъ училищахъ, гдѣ онъ занимается» (стр. 33). Поэтому авторъ и не строитъ свой методъ обученія на возможности такой случайности.

Я не могу согласиться со столь узкою постановкою дѣла обученія математикѣ. Наобротъ, я считаю, что развивательный задачи (и въ области мысли и въ области воображенія) должны быть выдвинуты на первый планъ и при обученіи математикѣ и при обученіи другимъ предметамъ: лишь тогда мы можемъ ожидать, что творческія задатки, имѣющіеся у большинства маленькихъ учащихся, не заглохнутъ, не будутъ забиты формально-механическимъ направленіемъ обученія, что стремленіе къ творчеству будетъ проявляться у лицъ, окончившихъ школу съ такою постановкою дѣла, и въ той отрасли науки ли, искуства ли или практической дѣятельности, гдѣ эти лица будутъ работать по окончаніи школы.

Несмотря на это принципіальное несогласіе съ г. Енько, я не могу не рекомендовать его «Методику начальнаго счета по лабораторному методу» всѣмъ тѣмъ, кто интересуется вопросами развитія дѣла обученія ариѳметикѣ въ начальныхъ школахъ. Мало того, думается, что проведеніе въ жизнь школъ многихъ положеній автора будетъ болѣе способствовать и достиженію развивательныхъ цѣлей, отъ которыхъ г. Енько, какъ выше указано, желаетъ отрѣшиться, чѣмъ пунктуальное выполненіе

указаній многихъ извѣстныхъ методистовъ. Позволю себѣ выписать нѣкоторыя изъ нихъ:

1. «Источникъ неправильныхъ умозаключеній при символическомъ счетѣ одинъ — утрата представленія о томъ, что они означаютъ. Такъ, напр., ребенокъ пишетъ 2 + 3=6; ясно, онъ забылъ, что означаетъ одинъ изъ этихъ трехъ (правильнѣе: пяти. Н. И.) знаковъ» (часть II, стр. 4—5).

Въ связи съ этимъ общимъ замѣчаніемъ г. Енько ведетъ обученіе въ порядкѣ обратномъ обычному: сперва учитъ писать ариѳметическія предложенія, въ родѣ 2 + 3 = 5 или 3—2=1, а потомъ уже учитъ высказывать эти предложенія словами (часть I, стр. 8—9). Эта особенность, съ нашей точки зрѣнія, заслуживаетъ вниманія.

2. На стр. 11 второй части авторъ приводитъ соображенія, съ которыми нельзя не согласиться, о томъ, что десятичныя дроби труднѣе обыкновенныхъ и поэтому ихъ слѣдуетъ отложить до конца курса (обыкновенныя дроби г. Енько вводитъ очень рано). Эти соображенія особенно существенны потому, что еще и теперь не исчезло, модное одно время, стремленіе проходить десятичныя дроби непосредственно послѣ цѣлыхъ чиселъ.

3. Достойны особаго вниманія тѣ соображенія о задачахъ, какія изложены на стр. 12—16. Эти соображенія особенно должны быть интересны для лицъ, стремящихся сблизить ариѳметическія задачи съ практическою жизнью (я держусь на задачи нѣсколько иного взгляда, который отчасти намѣченъ въ №№ 1—2 «Математическаго Вѣстника» за 1915 г. въ моей статьѣ «задачи обученія ариѳметикѣ»).

4. Статья во II части «Общія пріемы обученія счету» (стр. 17—33) между прочимъ особенно обращаетъ вниманіе на то, чтобы въ этомъ обученіи итти по «очень узкому» среднему пути, отдѣляющему увлеченіе въ одну сторону отъ увлеченія въ другую. «Пройти по этому пути едва ли возможно, но указать его должно, чтобы учитель шелъ около него, не слишкомъ отклоняясь ни въ ту ни въ другую сторону» (стр. 17).

О вредѣ для учебнаго дѣла увлеченія методомъ или пріемомъ имѣется очень мѣткое замѣчаніе и въ предисловіи къ I части: «Учитель долженъ помнить, что онъ учитъ дѣтей считать, а не изучаетъ съ ними лабораторный методъ: обученіе учениковъ пріемамъ обученія есть вредная схоластика» (стр. 3, I части). Къ сожалѣнію, наша современная методика ариѳметика не лишена этого увлеченія: не слишкомъ ли она злоупотребляетъ вопросомъ «какъ ты это сдѣлалъ»? Однако, справедливость требуетъ указать, что г. Енько, пожалуй, здѣсь увлекается самъ въ другую сторону: онъ слишкомъ пренебрегаетъ этимъ вопросомъ. Напримѣръ на стр. 21 I части выясняется, какъ обучать сложенію двузначныхъ чиселъ, при чемъ все дѣло сводится къ тому, что учитель долженъ написать одно число подъ другимъ, провести черту, говорить и писать: 4 да 7 одиннадцать; пишу одинъ и т. д. Послѣ этого дѣлается замѣчаніе, что учитель не долженъ спрашивать отъ учениковъ никакихъ объясненій «Ученики должны умѣть дѣлать, но не должны умѣть разсказывать и давать объясненія, это входитъ въ курсъ учительской семинаріи, а не въ курсъ на-

чальной школы». — Я очень понимаю, что не слѣдуетъ требовать объясненіи для дѣйствій въ родѣ: 3 + 2, 42 : 6 и т. п., потому что ученикъ говоритъ, сколько получится, не потому, что онъ что-то для этого дѣлалъ, а потому, что онъ могъ или видѣть иллюстрацію этихъ дѣйствій на предметахъ, напр. на пальцахъ, и запомнить результатъ или могъ взять результатъ изъ разученныхъ таблицъ, напр. таблицы умноженія, но представляется увлеченіемъ не требовать никакихъ объясненіи при выполненіи, напр., слѣдующаго сложенія: 27 + 64, — это дѣйствіе состоитъ изъ ряда отдѣльныхъ шаговъ, и необходимо, чтобы учащійся могъ указать эти шаги.

5. На стр. 18—21 второй части г. Енько высказываетъ рядъ чрезвычайно цѣнныхъ, въ виду имѣющихъ мѣсто въ настоящее время увлеченій, соображеній по поводу наглядныхъ пособій: пособія должны быть по возможности проще, злоупотреблять ими не слѣдуетъ, книги, рекомендующія особыя пособія, которыя надо покупать, имѣютъ значеніе рекламы (напр., авторъ объясняетъ переводъ книги Монтессори «Домъ ребенка» на русскій языкъ тѣмъ, что американцы взяли патенты на рекомендуемыя въ ней пособія), если пособія изготовляются на урокахъ самими учащимися, то на эти уроки надо смотрѣть, какъ на уроки ручного труда, а не ариѳметики.

Остановимся немного на послѣдней мысли. Въ педагогической литературѣ уже давно укрѣпилось красивое слово «самодѣятельность». Если желательно принципъ самодѣятельности учащихся провести въ области обученія ариѳметикѣ, то надо поставить дѣло такъ, чтобы эта самодѣятельность проявлялась бы дѣйствительно въ области ариѳметики, чтобы учащіеся сами работали надъ тѣмъ матеріаломъ, какой принадлежитъ ариѳметикѣ, т.-е. надъ числами, а вовсе не на какомъ-либо постороннемъ матеріалѣ, что имѣетъ мѣсто тогда, когда при обученіи ариѳметикѣ или геометріи забиваютъ учащихся требованіями вырѣзывать, рисовать, клеить и т. п. разныя фигурки, различные предметы и т. д. Наконецъ-то, и въ нашей педагогической литературѣ, въ книгѣ г. Енько, раздался голосъ противъ подобныхъ увлеченій, — пора!

6. На стр. 27—31 второй части много можно найти цѣнныхъ указаній относительно значенія при обученіи математикѣ интуиціи, индукціи и дедукціи.

7. На стр. 28 первой части авторъ совершенно правильно указываетъ, что не слѣдуетъ сообщать дѣтямъ опредѣленій слагаемыхъ, уменьшаемаго, вычитаемаго и т. д., — достаточно, чтобы ученикъ лишь ихъ показывалъ, говоря: это слагаемое и т. д.

Остановлюсь на этомъ.

Хочется ещесдѣлать одно замѣчаніе: выше былъ указанъ примѣръ, гдѣ авторъ увлекается своимъ желаніемъ главное вниманіе обращать на дѣло и по возможности меньше вниманія — на разговоръ. Вполнѣ сочувствуя этому общему положенію, я полагаю, что иногда суть дѣла такова, что безъ разъясненій со стороны учащагося невозможно выяснить, удалось ли ему схватить суть дѣла или онъ лишь запомнилъ ту форму, въ какую, облекъ это дѣло учитель. Такое именно

положеніе имѣетъ мѣсто по отношенію къ вышеуказаннымъ случаямъ сложенія (напр. 27 + 64). И сомнѣнія здѣсь усиливаются благодаря тому обстоятельству, что г. Енько на стр. 21—23 первой части своей книги, не требуя отъ учащихся никакихъ объясненій, всѣ упражненія выполняетъ въ одной формѣ: одно число подписывается подъ другимъ, проводится черта и т. д.1).

Приведу еще примѣръ, гдѣ авторъ опять-таки благодаря увлеченію общимъ принципомъ (побольше дѣла, поменьше словъ) впадаетъ въ крайность.

На стр. 18 первой части авторъ протестуетъ противъ обычнаго пріема сложенія: 8 + 5 = (8 + 2) + 3 = 10+3 = 13. Г-нъ Енько называетъ его «косвеннымъ» и говоритъ, что пригоденъ онъ только для «слабоумныхъ». Далѣе, на 18, 19 и 20 стр. авторъ излагаетъ прямой способъ обученія сложенію и вычитанію, пригодный для нормальныхъ дѣтей: этотъ способъ состоитъ въ томъ, что учащіеся должны заучить таблицу разложенія чиселъ второго десятка на два однозначныхъ слагаемыхъ (11 = 9+2; 11 = 8 + 3... 12 = 9 + 3... 18 = 9 + 9; 11-2 = 9; 11-3 = 8... 12-3 = 9... 18-9 = 9). Полагаю, что здѣсь г. Енько дѣлаетъ существенную ошибку. Онъ былъ бы правъ въ томъ случаѣ, если бы мы для написанія чиселъ 11, 12... 18, не пользовались бы понятіемъ о десяткѣ, а обозначали бы каждое изъ этихъ чиселъ особымъ знакомъ. Оставляя въ сторонѣ вопросъ о вычитаніи въ родѣ 13-5 (здѣсь суть дѣла, по моему мнѣнію, иная), остановлюсь на сложеніяхъ въ родѣ 8 + 4 = 12, 9 + 7 = 16 и т. д. Суть дѣла въ каждомъ изъ этихъ случаевъ сложенія состоитъ въ томъ, что мы должны выдѣлить какимъ-либо путемъ изъ обоихъ данныхъ чиселъ десятокъ. Я также, какъ и г. Енько, стану протестовать противъ того увлеченія, какое имѣетъ мѣсто въ настоящее время почти во всѣхъ нашихъ школахъ: учатъ учащихся не сути дѣла, а формѣ (разложи второе число на 2 слагаемыхъ такъ, чтобы однимъ изъ нихъ дополнить первое до десятка, и потомъ приложи къ нему оставшееся слагаемое). Здѣсь должна быть предоставлѳна учащимся свобода въ выборѣ формы, лишь бы она соотвѣтствовала сути дѣла, т.-е. какъ-либо выдѣляла десятокъ. Для этой цѣли я нѣсколько примѣровъ проработалъ бы съ учащимися при помощи иллюстраціи этихъ примѣровъ или предметами или рисунками. Напримѣръ,

или какъ-либо еще по желанію каждаго изъ учащихся.

1) Кромѣ того, неужели же та повѣрка сложенія при помощи суммарныхъ чиселъ, не введенная въ сознаніе учащихся ни путемъ разъясненій ни путемъ индукціи, которая рекомендуется авторомъ на стр. 23, также относится къ сути дѣла?

Мнѣ, къ сожалѣнію, не пришлось познакомиться съ двумя другими книгами г. Енько, со «Сборникомъ упражненій» и со «Справочникомъ». Поэтому я не могу дать себѣ полнаго отчета о той системѣ обученія, которая проводится г. Енько во всѣхъ этихъ четырехъ книгахъ. Но тѣ двѣ книги, которыя разобраны здѣсь, побуждаютъ меня еще разъ пожелать какъ самимъ книгамъ, такъ въ особенности многимъ высказываемымъ въ нихъ положеніямъ, самаго широкаго распространенія: стремленіе вездѣ подойти къ самой сути дѣла, серьезное отношеніе къ вопросамъ обученія, вдумчивость — вотъ тѣ качества, которыя характеризуютъ книги г. Енько.

Н. Извольскій.

Н. Н. Діанина. «Опытъ нагляднаго ознакомленія съ основными понятіями теоріи предѣловъ примѣнительно къ курсу геометріи въ среднихъ учебныхъ заведеніяхъ». Вильна, 1915 г. Ц. 25 коп.

Авторъ является сторонникомъ той формальной точки зрѣнія на вопросъ объ измѣреніи длины и площади круга, какая имѣетъ мѣсто въ большинствѣ нашихъ учебниковъ геометріи, употребляемыхъ въ средней школѣ. Книга г-жи Діаниной, такъ же какъ, напр., учебникъ г-на Киселева, стремимся доказать извѣстныя положенія относительно длины и пдощади круга. Конечно, такъ же какъ и г-ну Киселеву и всѣмъ сторонникамъ этой формальной точки зрѣнія, доказать эти положенія не удается, и г-жи Діанина, такъ же какъ и другіе, лишь множествомъ разсужденій формально-логическаго характера затемняетъ для учащихся, если они будутъ учиться по этой книгѣ, сущность дѣла, а эта сущность, какъ это ясно всякому непредубѣжденному лицу, состоитъ въ томъ, что мы безсильно установить какія-либо положенія, относящіяся къ длинѣ и площади круга, если не распространимъ на кругъ свойства нѣкоторыхъ прямолинейныхъ фигуръ (правильныхъ многоугольниковъ), другими словами, если мы не признаемъ кругъ за правильный многоугольникъ съ безконечно большимъ числомъ сторонъ. Вмѣсто того, чтобы сказать это учащимся прямо и подкрѣпить это воззрѣніе на кругъ какими-либо соображеніями геометрическаго характера, г-жа Діанина, такъ же какъ и г-нъ Киселевъ и другіе, переходятъ отъ геометрическихъ протяженій къ числамъ и стремятся требуемыя положенія доказать при помощи теоріи предѣловъ. Въ рецензіи не представляется возможнымъ указать рядъ ошибокъ, допускаемыхъ обычно при этихъ доказательствахъ. Выясненію этого тонкаго вопроса посвященъ былъ мой докладъ на 2-мъ Съѣздѣ преподавателей математики «Къ вопросу объ опредѣленіи длины окружности».

Г-жа Діанина, съ моей точки зрѣнія, нѣсколько улучшаетъ дѣло (ибо нѣсколько уменьшаетъ число совершенно ненужныхъ «доказательствъ»), сравнительно, напр., съ учебникомъ г-на Киселева, тѣмъ, что не приводитъ доказательства того, что по какому бы закону не увеличивалось бы число сторонъ вписаннаго въ кругъ многоугольника и число сторонъ описаннаго около круга многоугольника, лишь бы каждая сторона безпредѣльно

убывала, периметры этихъ многоугольниковъ стремятся всегда къ предѣлу и притомъ всегда къ одному и тому же. Но съ точки зрѣнія формально-логическаго строенія курса такое упрощеніе явится большимъ недостаткомъ.

Въ остальномъ изложеніе г-жи Діаниной достаточно полно и иллюстрировано многими примѣрами. Однако встрѣчаются странныя недоразумѣнія:

1) На стр. 9 имѣемъ: «Можно ввести условія, которыя установятъ зависимость площади и отъ другихъ какихъ-нибудь величинъ, напр., вѣса треуг-ка».

Неужели г-жа Діанина полагаетъ, что геометрическій треуг-къ имѣетъ вѣсъ?

2) На стр. 10 дано ошибочное выраженіе площади треуг-ка въ функціи «го сторонъ (возможно, что здѣсь опечатка).

3) На стр. 28 имѣемъ: «Замѣтимъ, что для измѣренія площади круга мы не должны вводить никакихъ новыхъ опредѣленій, такъ какъ площадь круга, какъ площадь прямолинейной фигуры, можетъ быть измѣрена квадратною единицею». Сюда приложенъ чертежъ, гдѣ имѣется плоскость, подраздѣленная на квадратныя единицы, и на ней изображены треуг-къ и кругъ. При взглядѣ на этотъ чертежъ сейчасъ же бросается въ глаза неправильность утвержденія г-жи Діаниной: площадь треуг-ка разбита на чертежѣ 1) на рядъ полныхъ квадратныхъ единицъ и 2) на рядъ частей площадей квадратовъ; изъ этихъ частей возможно, такъ какъ онѣ ограничены прямыми линіями, составить (быть можетъ, для этого понадобится нѣкоторыя изъ нихъ еще разрѣзать на части) нѣсколько полныхъ квадратныхъ единицъ, и, вѣроятно, еще останется какая-либо часть, и мы послѣ этого можемъ точно или приближенно выразить числомъ площадь этого треуг-ка; нельзя того же самаго сдѣлать съ площадью круга, такъ какъ тѣ неполныя квадратныя единицы, какія помѣщаются внутри круга, представляютъ собою рядъ площадей, ограниченныхъ и прямыми и кривою линіею, а теорія площадей не даетъ способа составлять изъ такихъ кусочковъ плоскости площадь квадрата (слѣд., напр., г-жа Діанина не можетъ даже измѣрить съ точностью до единицы площадь того круга и тою квадратною единицею, какія даны на чер. 22).

Такъ какъ, по моему воззрѣнію, необходимо въ данномъ вопросѣ отрѣшится отъ формальной точки зрѣнія, то всякая книга, проводящая такую точку зрѣнія (въ той или иной формѣ), мнѣ представляется ненужною. Поэтому я воздерживаюсь отъ общаго заключенія о книгѣ г-жи Діаниной.

Н. Извольскій.

Книги, поступившія въ редакцію.

С. П. Виноградовъ, Краткій курсъ аналитической геометріи и дифференціальнаго и интегральнаго исчисленія. Изданіе 2-е, Т-ва И. Д. Сытина. М. 1915. Ц. 1 р. 75 к.

I. Тропфке. Исторія элементарной математики въ систематическомъ изложеніи. Т. I. Ариѳметика и алгебра. Ч. I. Ариѳметика. Переводъ съ нѣмецкаго Д. А. Бема и Р. Э. Струве, подъ редакціею I. И. Чистякова. Складъ изданія въ ред. журнала «Математическое Образованіе». М. 1914. Ц. 1 p., съ перес. 1 р. 20 к.

Редакторъ-Издатель Н. А. Извольскій.

Типографія Г. Лисснера и Д. Собко. Москва, Вовдвиженка, Крестовоздвиженскій пер., д. №