Математическій Вѣстникъ.

№ 5. Сентябрь 1915 г.

Годъ второй.

Адресъ редакціи: Москва, Гороховскій пер., д. 23, кв. 9. Тел.3-19-55.

Содержаніе: Н. Аграномовъ. Нѣкоторые замѣчательные случаи умноженія. — Е. Томашевичъ. Клѣтчатая бумага и почтовыя марки, какъ счетное пособіе. (Окончаніе.)—Н. Извольскій. Понятія: столько же, больше, меньше. — В. Виткевичъ. Нахожденіе суммы рядовъ: 1 . 2+2 . 3+3 . 4+ -п(п+1); 1 . 2 . 3+2 . 3 . 4+3 . 4 . 5Н-----|-л(л+1)(и+2). — Объ ариѳметическихъ вопросахъ, предложенныхъ въ № 2 за 1914 г. «Мат. Вѣстн.».— Хроника. (Третій Всероссійскій съѣздъ преподавателей математики. — Ѳ. И. Егоровъ f.)—Свѣдѣнія о книгахъ по математикѣ и ея методикѣ. (В. Гебель. Наглядная геометрія. — Книги, поступившія въ редакцію.)

Нѣкоторые замѣчательные случаи умноженія.

1. Въ «Матем.Обр.» (1915, № 2) и «Матем. Листкѣ» (1915, № 3) мною были указаны слѣдующія равенства

Общія формулы, соотвѣтствующія этимъ тремъ случаямъ, таковы

(1)

(2)

Продолжая изслѣдованіе въ томъ же направленіи, я пришелъ къ ряду выводовъ, съ которыми позволю себѣ познакомить читателей «Матем. Вѣстн.». Я думаю, что въ нихъ, помимо чисто математическаго интереса, есть и нѣкоторая цѣнность чисто учебнаго характера.

2. Легко замѣтить, что:

Порядокъ цифръ въ получаемыхъ произведеніяхъ можетъ быть представленъ такъ:

1) Для случая а):

(4)1)

2) Для случая Ь):

(5)

Сопоставляя формулы (1), (4), (5), можно притти къ заключенію, что вообще;

(6)

Равенство (6) можно доказать слѣдующимъ образомъ2): по формулѣ суммы членовъ геометрической прогрессіи:

1) Буквы (р, р-\-\ и т. д.) внизу указываютъ слѣдующее: если одно число пишется при помощи р троекъ, а другое при помощи троекъ,

то въ полученномъ произведеніи придется написать сначала (р —1) единицъ, затѣмъ цифры 0 и 9, затѣмъ (р — 1) восьмерокъ и, наконецъ, цифру 9. Ясно также значеніе буквъ, подписанныхъ внизу въ равенствахъ (1), (2), (3) и (5).

2) Для лицъ, затрудняющихся ниже приводимымъ доказательствомъ, можно рекомендовать слѣдующій пріемъ: возьмемъ, напр., числа 3333 и 333333333 и перемножимъ ихъ, придерживаясь обычнаго расположенія:

Далѣе:

Приводя къ одному знаменателю, получимъ:

что и требовалось доказать.

3. Для чиселъ, написанныхъ только шестерками, мы имѣемъ:

Свойства цифръ произведеній могутъ быть записаны такъ:

1) Для случая а):

(V)

2) Для случая Ь):

(8)

Формулы (2), (7), (8) могутъ быть объединены въ слѣдующую общую формулу:

(9)3)

Вдумываясь въ причину появленія въ произведеніи соотв. цифръ, мы приходимъ къ общему заключенію, что восьмерокъ и единицъ должно получиться каждыхъ на одну меньше, чѣмъ было троекъ во множителѣ, за который принимаемъ меньшее изъ двухъ данныхъ чиселъ; девятокъ въ серединѣ произведенія получается 5 потому, что во множимомъ было на 5 троекъ больше, чѣмъ во множителѣ,—и мы обобщаемъ это на какой угодно случай; обязательно получаются на опредѣленномъ мѣстѣ въ серединѣ нуль и на концѣ произведенія 9.

3) Это равенство можетъ быть выяснено проще, чѣмъ въ текстѣ: сравнивая произведенія 33...3 . 33...3 и 66...6 . 66...6, мы видимъ, что

Доказательство равенства (9) можетъ быть проведено такъ: съ одной стороны,

Съ другой стороны,

Такимъ образомъ, наша теорема доказана. 4. Для чиселъ, написанныхъ девятками, мы послѣдовательно находимъ слѣдующія равенства и общія формулы:

(12) (13) (14)4)

Доказательство общей формулы (14) не представляетъ никакихъ затрудненій. Въ самомъ дѣлѣ

второе произведеніе въ 4 раза больше перваго (каждый множитель увеличился въ 2 раза). Остается тотъ результатъ, который получился въ равенствѣ (6), т.-е. 11...1099...988...89 умножить на 4.

4) Этотъ результатъ можетъ быть полученъ изъ равенства (6) умноженіемъ на 9 (см. предыдущее подстрочное примѣчаніе).

Съ другой стороны,

Изложеннымъ въ настоящей статьѣ можно съ успѣхомъ воспользоваться при прохожденіи умноженія многозначныхъ чиселъ. Учащимся можно предложить не только продѣлать указанныя въ статьѣ умноженія, но и подмѣтить законы образованія означенныхъ произведеній. Долженъ замѣтить, что подобные законы можно усмотрѣть и при умноженіи чиселъ 132, 1332, 13332... 165, 1665, 16665... 198, 1998... и т. д.

Н. Агрономовъ (Ревель).

Клѣтчатая бумага и почтовыя марки, какъ счетныя пособія.

(Окончаніе.)

При обученіи цифрамъ подходящимъ матеріаломъ могутъ оказаться листки отрывного календаря. Какъ при обученіи чтенію учитель выставляетъ на виду всего класса отдѣльныя буквы въ томъ или иномъ порядкѣ, такъ онъ можетъ поступать и съ цифровымъ матеріаломъ, даваемымъ отрывнымъ календаремъ; помимо этого для самостоятельныхъ упражненій ученики могутъ получать эти календарные листки и на руки; два и болѣе такихъ листковъ въ однѣхъ рукахъ послужатъ къ упражненію въ сложеніи.

Перехожу теперь къ тому пособію, которое клѣтчатая бумага даетъ для нумераціи въ предѣлѣ одной тысячи. На приложенной фигурѣ (см. стр. 134) тысяча представлена въ уменьшенномъ масштабѣ 8 сотнями и 4 полусотнями. Наиболѣе подходящій размѣръ клѣтокъ въ томъ случаѣ, когда пособіе предназначается для прикрѣпленія къ доскѣ или къ стѣнѣ, полтора сантиметра, и для этого приходится склеивать вмѣстѣ 2 листа.

Для упражненія въ счетѣ понадобится еще заготовить изъ той же клѣтчатой бумаги счетныя единицы, назначеніе которыхъ закрывать желаемое число клѣтокъ. При этомъ я не ограничиваюсь только обычными счетными единицами, т.-е. десятками и сотнями, но ввожу промежуточныя — 50, 20, 5 и 2;

въ этомъ нѣтъ ничего необыкновеннаго, такъ такъ этими же числами пользуются при взвѣшиваніи граммовыми разновѣсками. Изнанка счетныхъ единицъ дѣлается цвѣтною, такъ что для изготовленія ихъ надо имѣть 6 или 7 сортовъ цвѣтной бумаги; хорошимъ матеріаломъ для этой цѣли могутъ служить обложки использованныхъ ученическихъ тетрадей; число клѣтокъ въ каждой единицѣ отмѣчается на изнанкѣ цифрами. Вообще число отдѣльныхъ счетныхъ единицъ каждаго рода должно быть не менѣе 4, а сотенъ надо имѣть всѣ 9.

Въ средину каждой счетной единицы, съ ея изнанки, заранѣе слѣдуетъ воткнуть кнопку.

Задачи, рѣшаемыя описаннымъ счетнымъ пособіемъ, могутъ быть двоякія: 1) учитель самъ закрываетъ опредѣленное числа клѣтокъ и требуетъ отъ учениковъ сказать это число; 2) учащемуся говорятъ число и требуютъ закрыть его. Если эта вторая задача можетъ оказаться нѣсколько мѣшкотною, та достаточно будетъ, если учащійся обведетъ заданное число клѣтокъ цвѣтнымъ, легко стирающимся карандашомъ. Было бы очень желательно, чтобы каждый учащійся имѣлъ подъ руками подобныя 1000 клѣтокъ хотя бы того размѣра, который взятъ для приложенной къ статьѣ фигуры. Чтобы не портить бумаги карандашными замѣтками, можно отогнуть части листа назадъ и считать оставшіяся.

Въ дополненіе къ описанному двойному листу съ 1000 клѣтками слѣдуетъ имѣть еще такой же двойной листъ съ клѣтками, не сгруппированными въ отдѣльныя сотни; на немъ можно помѣстить болѣе 1250 полуторосантиметровыхъ клѣтокъ. Закрывъ часть такого листа бумажными полосами и закрѣпивъ ихъ, мы получимъ задачу счета; для рѣшенія ея придется либо покрывать считаемыя клѣтки счетными единицами, либо же отмѣчать эти единицы карандашомъ или цвѣтнымъ мѣломъ.

Если за размѣръ клѣтокъ будетъ выбранъ одинъ сантиметръ, то уже на одномъ листѣ можно помѣстить болѣе 1500 клѣтокъ. Такой листъ очень пригоденъ въ качествѣ пособія при изученіи мѣръ поверхности. Стоитъ, напр., наложить на него обыкновенную почтовую карточку, и мы тотчасъ же узнаемъ и размѣры ея—14 и 9 сантиметровъ, и площадь 14x9=126 кв. сантиметровъ.

Чтобы приспособить сантиметровую бумагу къ русскимъ мѣрамъ, можно съ большой степенью приближенія принять 1 дюймъ=2,5 сант.1). Разграфивъ бумугу на клѣтки размѣровъ 2,5 см., мы будемъ имѣть въ своемъ распоряженіи

1) і арш. = 7 дюйм. = [2^ см.х7]+^ см.

(Къ стр. 102.)

квадратные дюймы; - линейнаго сантиметра сойдетъ за линію.

Такимъ образомъ мы сумѣемъ измѣрить напр. площадь обыкновенной школьной тетради и въ квадратныхъ дюймахъ и даже, если угодно, въ квадратныхъ линіяхъ, да кромѣ того будемъ имѣть 1 кв. дюймъ = 6,25 кв. сант., т.-е. съ ошибкою лишь въ 0,2 кв. сант., такъ какъ въ дѣйствительности 1 кв. дюймъ= =6,45 кв. сант.

Въ заключеніи замѣчу, что юбилейныя почтовыя марки, съ портретами государей, могутъ служитъ въ качествѣ мѣрной единицы. Дѣйствительно рисунокъ марки безъ бѣлыхъ краевъ ея имѣетъ въ длину ровно 1 дюймъ. Ученики, имѣющіе въ своемъ распоряженіи такія марки, охотно составляютъ изъ нихъ либо і аршина (7 марокъ), либо футъ (12 марокъ), наклеивая ихъ въ рядъ на тетрадяхъ или на отдѣльныхъ кускахъ картона. Рядомъ съ такимъ футомъ, составленнымъ изъ марокъ, хорошо наклеить одну за другою 6 необожженныхъ спичекъ; составится то же футъ, такъ какъ длина спички=2 дюймамъ.

Длина рисунка на обыкновенныхъ почтовыхъ маркахъ равна приблизительно ^ сажени; эта единица длины, называемая соткой, обязательна въ строительныхъ планахъ, и знакомство съ нею для учащихся, по моему мнѣнію, необходимо.

Е. Томашевичъ.

Понятія: столько же, больше, меньше.

Дѣти уже въ первое время своего пребыванія въ школѣ или даже до поступленія въ школу знакомятся съ понятіями «столько же» (или «поровну»), «больше» и «меньше». Однако, быть можетъ, не всегда тѣ представленія, какія должны соотвѣтствовать словамъ «столько же», «больше» и «меньше», рисуются дѣтямъ съ тою отчетливостью, какая здѣсь желательна. Обычно для того, чтобы узнать, въ какой, наприм., изъ двухъ корзинъ яблокъ больше, пользуются числами: считаютъ, сколько яблокъ въ одной корзинѣ, сколько въ другой и уже послѣ этого даютъ отвѣтъ на вопросъ. Но возможно дать отвѣтъ на поставленный вопросъ, не прибѣгая къ счету, не прибѣгая къ числамъ. Если ознакомить учащихся на первыхъ порахъ обученія съ пріемомъ, позволяющимъ дать отвѣтъ на вышеуказанный вопросъ безъ счета, то, думается, будетъ достиг-

нута та отчетливость представленій, связанныхъ со словами «столько же» (или «поровну»), «больше», «меньше», которая столь желательна на протяженіе всего курса ариѳметики. Въ дальнѣйшемъ я позволяю себѣ привести краткую методическую разработку затронутой здѣсь задачи, почему-то вовсе игнорируемой въ нашихъ руководствахъ по методикѣ ариѳметики. Однако необходимо предварительно остановиться на нѣкоторыхъ теоретическихъ соображеніяхъ, которыя и явились причиною того, что мнѣ представилось необходимымъ выдвинуть поставленную методическую задачу, и которыя непосредственно указываютъ на способы ея рѣшенія.

Ученые неоднократно останавливались на вопросѣ, относящемся въ сущности не къ ариѳметикѣ, а къ философіи, — о происхожденіи понятія о числахъ. Методисты также неоднократно останавливались на вопросѣ, существенномъ для методики ариѳметики, о возникновеніи числовыхъ представленій въ сознаніи дѣтей. Но для самой ариѳметики эти вопросы не имѣютъ значенія; для нея существенно и важно положеніе, что люди знаютъ числа и умѣютъ ими пользоваться, при чемъ первымъ назначеніемъ чиселъ является оцѣнка при помощи нихъ группъ предметовъ.

Это положеніе и является исходнымъ пунктомъ для дальнѣйшаго. Если мы ограничимся лишь цѣлыми числами и четырьмя ариѳметическими дѣйствіями надъ ними, то, въ связи съ предыдущимъ, можно установить, что каждому ариѳметическому дѣйствію соотвѣтствуетъ опредѣленный процессъ надъ группами предметовъ. Является возможнымъ даже думать, что дѣйствія (сложеніе, вычитаніе, умноженіе и дѣленіе) надъ цѣлыми числами возникли, какъ отраженіе тѣхъ процессовъ, которые можно выполнять надъ группами предметовъ. Процессы эти слишкомъ хорошо извѣстны, благодаря чему здѣсь нѣтъ нужды описывать ихъ. И при обученіи ариѳметикѣ обычно, прежде чѣмъ изучать какое-либо дѣйствіе, учащіеся такъ или иначе знакомятся съ соотвѣтствующимъ этому дѣйствію процессомъ надъ группами предметовъ. Тѣми же группами предметовъ мы пользуемся для того, чтобы выяснить какое-либо свойство дѣйствія,—см., напр., мою статью «Перемѣстительный и сочетательный законы умноженія» въ № 3 «Матем. Вѣстника» за 1914 г.

Изъ предыдущаго возникаетъ слѣдующій вопросъ: не слѣдуетъ ли, прежде чѣмъ обучать дѣтей ариѳметикѣ, развить въ той или иной степени изученіе группъ предметовъ и процессовъ, выполняемыхъ надъ этими группами? Не останавливаясь на большомъ и сложномъ вопросѣ, который, по моему убѣжденію, долженъ быть въ недалекомъ будущемъ поставленъ на очередь, вопросѣ о новомъ направленіи методики ариѳметики, опирающемся на изученіе группъ предметовъ и процессовъ надъ ними (на «Теорію конечныхъ множествъ», какъ говорятъ математики), я полагаю своевременнымъ обратить вниманіе читателей на возможность связать понятія «столько же» (или «поровну»), «больше», «меньше», столь важныя для ариѳметики, съ разсмотрѣніемъ группъ предметовъ.

Имѣется возможность, не прибѣгая къ числамъ, узнавать о двухъ данныхъ группахъ предметовъ, равны ли онѣ или не равны, и если неравны, то какая изъ нихъ больше, какая меньше (т,- е. «поровну» ли предметовъ въ этихъ двухъ группахъ или въ одной «больше» предметовъ, а въ другой «меньше»). Для этой цѣли можно воспользоваться нитками; конечно, подъ этимъ именемъ «нитки» мы можемъ понимать нѣчто воображаемое, чѣмъ мы могли бы связывать между собою предметы. Пусть у насъ имѣются двѣ группы предметовъ. Свяжемъ каждый отдѣльный предметъ одной группы съ любымъ отдѣльнымъ предметомъ другой группы, наблюдая лишь, чтобы не оказалось, что предметъ какой-либо одной группы связанъ не съ однимъ г а съ нѣсколькими предметами другой группы. Тогда можетъ получиться (черт. 1), что несвязанныхъ предметовъ вовсе не останется, — въ этомъ случаѣ мы называемъ двѣ группы

Черт. 1.

«равными»1) (въ одной группѣ «столько же» предметовъ, сколько и въ другой), но можетъ выясниться, что въ одной группѣ (черт. 2) окажутся предметы, не связанные съ предметами другой группы, — тогда та группа, гдѣ остаются несвязанные предметы, называется «большею» сравнительно съ другою, гдѣ несвязанныхъ предметовъ не оказалось (она называется «меньшею»)2). На черт. 2 въ первой (лѣвой) группѣ «больше» предметовъ, чѣмъ во второй (въ правой), наоборотъ, въ правой «меньше» предметовъ, чѣмъ въ лѣвой.

Черт. 2.

Перехожу теперь къ методической сторонѣ вопроса. Какъ повести занятія съ дѣтьми, чтобы предыдущія теоретическія соображенія были усвоены (конечно, не въ формѣ теоретическихъ положеній, а въ формѣ заключеній, дѣлаемыхъ самими дѣтьмн изъ наблюденій и изъ опредѣленныхъ операцій) маленькими дѣтьми, не знающими даже чиселъ.

Подготовимъ нѣсколько большихъ таблицъ, на которыхъ были бы отчетливо нарисованы различныя группы предметовъ (я не буду перечислять сейчасъ, какія именно группы желательны, такъ какъ дальнѣйшее изложеніе покажетъ это), при чемъ вовсе не надо заботиться ни о перспективѣ, ни о какихъ-либо иныхъ достоинствахъ этихъ рисунковъ; надо лишь, чтобы дѣти сразу увидали, что здѣсь нарисованы стулья, здѣсь — люди.

Въ первую очередь прикрѣпимъ къ доскѣ таблицу, напр., съ группою стульевъ и съ группою людей3) (налѣво нарисо-

1) Научный терминъ иной: «равномощныя».

2) Научные термины: «большей мощности» и «меньшей мощности».

3) Надо нарисовать стульевъ и людей побольше, такъ, чтобы нельзя было думать, что дѣти сдѣлаютъ подсчетъ, сколько здѣсь людей и сколько

ваны стулья, направо — люди) и поставимъ задачу разсадить людей на стулья. Для этой цѣли къ доскѣ вызываются по очереди отдѣльные ученики, и они углемъ (имъ писать легче, чѣмъ карандашомъ, и написанное виднѣе) ведутъ линію отъ того человѣка, какого вызванный желаетъ посадить, на тотъ стулъ, который онъ ему предназначаетъ. Въ концѣ концовъ выяснится одно изъ слѣдующихъ трехъ обстоятельствъ: 1) можетъ оказаться, что всѣ люди разсажены на стулья, и свободныхъ стульевъ не оказалось, 2) можетъ оказаться, что остались люди, которыхъ не на что посадить, 3) можетъ оказаться, что всѣ люди разсажены, но остались свободные стулья. Желательно продѣлать подобныя упражненія для всѣхъ трехъ случаевъ.

Положимъ, что сначала имѣлъ мѣсто 3-й случай, тогда дѣти, послѣ того какъ всѣ люди были разсажены, говорятъ, что здѣсь лишніе стулья. Быть можетъ, они сами также скажутъ, что здѣсь стульевъ больше, чѣмъ людей. Если же сами дѣти этого не скажутъ, то учитель долженъ самъ установить возможность говорить, что здѣсь стульевъ больше, чѣмъ людей. Пусть затѣмъ имѣетъ мѣсто 2-й случай; тогда опять-таки или дѣти сами, или при помощи учителя устанавливаютъ, что здѣсь людей больше, чѣмъ стульевъ, а стульевъ меньше, чѣмъ людей («не всѣмъ хватило стульевъ», «стульевъ меньше, чѣмъ людей»). Наконецъ, при разсмотрѣніи той таблицы, гдѣ окажется, что всѣ люди посажены на стулья и лишнихъ стульевъ не остается, является возможнымъ установить: «здѣсь людей столько же, сколько и стульевъ», «здѣсь стульевъ и людей поровну». Конечно, возможно, если это покажется кому-либо цѣлесообразнымъ, не всѣ три таблицы брать съ одинаковымъ содержаніемъ; напр. можно дать группу блюдцевъ и группу чашекъ и разставлять чашки на блюдца; можно дать группу мальчиковъ и группу яблоковъ и раздавать яблоки мальчикамъ и т. п. Возможно, если это удобно, продѣлать то же на опытѣ: разставить стулья, составить какую-либо группу учащихся и затѣмъ разсадить ихъ на стулья, устанавливая послѣ этой разсадки, было ли учащихся и стульевъ поровну или нѣтъ и, если нѣтъ, то кого было больше или меньше.

стульевъ, и тѣмъ самымъ сведутъ на-нѣтъ значеніе послѣдующихъ упражненій.

Затѣмъ вывѣшивается еще таблица, гдѣ нарисованы группы предметовъ, имѣющихъ менѣе реальное значеніе, напр., группа кружочковъ и группа крестиковъ. Ставится вопросъ: чего больше, кружочковъ или крестиковъ? Для отвѣта на этотъ вопросъ станемъ, такъ же какъ и раньше, соединять линіями какой-либо крестикъ съ какимъ-либо кружочкомъ. Въ зависимости отъ усмотрѣнія учителя здѣсь можно также разсмотрѣть всѣ три возможныхъ случая, или ограничиться двумя [1) кружочковъ и крестиковъ поровну, 2) кружочковъ больше, чѣмъ крестиковъ, а крестиковъ меньше, чѣмъ кружочковъ] или даже какимъ-либо однимъ.

Наконецъ, для выясненія того, насколько учащіеся усвоили разсмотрѣнный пріемъ, слѣдуетъ раздать имъ заготовленныя заранѣе карточки съ группами кружочковъ и крестиковъ, или съ двумя группами какихъ-либо иныхъ предметовъ, нарисованныхъ на этихъ карточкахъ, и предложить дѣтямъ каждому отдѣльно рѣшить тотъ же вопросъ: чего больше? Карточки слѣдуетъ заготовить различныя, такъ, чтобы у одного получился отвѣтъ: «кружочковъ больше», у другого «кружочковъ меньше», у третьяго: «кружочковъ столько же, сколько и крестиковъ».

Мнѣ не представлялось до сихъ поръ случая продѣлать на практикѣ изложенныя здѣсь упражненія. Однако подъ вліяніемъ ряда наблюденій во мнѣ крѣпнетъ убѣжденіе, что ознакомленіе дѣтей съ понятіями «столько же», «больше» и «меньше» по схемѣ, изложенной въ настоящей статьѣ, цѣлесообразно и повлечетъ за собою болѣе отчетливыя представленія, соотвѣтствующія словамъ столько же, больше и меньше, чѣмъ это имѣетъ мѣсто въ настоящее время. Хотѣлось бы имѣть рядъ опытовъ выполненія указанной схемы, при чемъ особенно желательны опыты съ очень маленькими дѣтьми, вовсе не знакомыми съ числами. Если кто-либо изъ читателей раздѣлитъ мое убѣжденіе въ цѣлесообразности этой схемы упражненій и произведетъ рядъ соотвѣтственныхъ опытовъ (конечно, возможно ту или иную деталь упражненій видоизмѣнить1),

1) А можетъ быть понадобится еще прибавить упражненія, гдѣ бы была дана лишь одна группа предметовъ, а отъ учащихся требовалось бы нарисовать другую группу такъ, чтобы въ ней предметовъ было или столько же или больше или меньше.

то я обращаюсь къ такимъ читателямъ съ просьбою не отказать подѣлиться полученными результатами съ читателями «Математическаго Вѣстника».

Въ заключеніе остановлюсь на возможности использовать тѣ же упражненія на иной ступени обученія, а именно на той, гдѣ дѣти знакомятся съ понятіями больше или меньше на столько-то. Не буду останавливаться на вопросѣ, по какой схемѣ вести упражненія, которыя помогли бы болѣе отчетливому усвоенію дѣтьми указанныхъ понятій, такъ какъ, съ одной стороны, въ предыдущемъ уже намѣченъ матеріалъ, соотвѣтствующій этой цѣли, а съ другой стороны, я думаю, что можно составить, беря за исходный пунктъ разсмотрѣніе группъ предметовъ и связываніе предмета одной группы съ предметомъ другой1), нѣсколько равноцѣнныхъ схемъ. Обращаю вниманіе лишь на одно обстоятельство. Пусть дѣти знаютъ числа лишь въ предѣлѣ перваго десятка; это не помѣшаетъ предложить имъ для разсмотрѣнія двѣ группы предметовъ со значительно большимъ числомъ предметовъ въ каждой; напр., пусть будутъ даны группа 28 кружочковъ и группа 35 крестиковъ. Дѣти не сумѣютъ сказать, сколько здѣсь кружочковъ, сколько здѣсь крестиковъ, по послѣ того связыванія въ пары, которому посвящена настоящая статья, они увидятъ лишніе крестики и сумѣютъ ихъ сосчитать и дать, на основаній этого подсчета, отвѣтъ, что крестиковъ на 7 больше, чѣмъ кружочковъ.

Н. Извольскій.

Нахожденіе суммы рядовъ 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n(n+1); 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ... + n(n+1)(n+2).

Чтобы выяснить вопросъ о нахожденіи суммъ этихъ двухъ рядовъ, надо умѣть находить суммы чиселъ слѣдующихъ рядовъ:

_ 12+22+32+--^2, 13+23+33+-+я3.

1) Связываніе предметовъ двухъ группъ попарно имѣетъ въ математикѣ большое значеніе. Если оказалось, что каждый элементъ одной группы связанъ съ однимъ, и только съ однимъ, другой, а также обратно, каждый элементъ второй группы связанъ лишь съ однимъ элементомъ другой, то математики говорятъ, что между элементами этихъ двухъ группъ установлено взаимно-однозначное соотвѣтствіе.

Хотя обычно, въ учебникахъ алгебры указывается, какъ находить такія суммы, но мы, въ виду того, что эти свѣдѣнія нельзя считать очень распространенными, остановимся и на этомъ вопросѣ.

Возьмемъ равенство: ns—(п—1)3=3га2—Зл+1 (1)

Справедливость его легко провѣрить непосредственнымъ разложеніемъ лѣвой части. Подставимъ въ него вмѣсто п послѣдовательно всѣ числа натуральнаго ряда отъ 1 до ^ включительно; тогда получимъ:

Сложимъ полученные результаты вертикальными столбцами;, тогда замѣтимъ, что въ лѣвой части всѣ члены, кромѣ п3> взаимно уничтожатся, а въ правой части въ первомъ и второмъ столбцахъ вынесемъ 3 за скобку; послѣдній столбецъ, очевидно, даетъ п единицъ; получимъ:

7г3=3(12+22+32+...+/г2)-3(1+2+3+...+Аг)+д.

Два послѣднихъ числа переносимъ въ лѣвую часть и дѣлимъ все равенство на 3:

ір+3(1+2+3+...+гг)-/г] = 12+22+32+...+д2. (2) Изъ теоріи ариѳметической прогрессіи извѣстно, что

1+2+3+...+п=(л+1)у (3)

Подставляя (3) во (2), получимъ:

Итакъ,

(4)

Вычислимъ теперь сумму п членовъ ряда 13+23+33Н-----\-п3~

Для этого воспользуемся равенствомъ:

гс4 — (п—1)4=4и3—6гс2+4га—1. (5)

1) 2л3-+Зп(л-И) — 2/і=2п(л2 — 1)+3/і(л+1)=2п(п+1)(п— 1)+3п(л+1) = =ті(п+1)[2(и—1)+3]=и(п+1)(2п+1).

Подставляемъ въ него послѣдовательно всѣ числа натуральнаго ряда отъ 1 до л включительно:

Сложимъ полученные результаты вертикальными столбцами; въ лѣвой части остается только и4, а въ правой части вынесемъ за скобку въ первомъ и третьемъ столбцахъ 4, а во второмъ 6; послѣдній столбецъ даетъ п отрицательныхъ единицъ. Такимъ образомъ,

Три послѣднихъ числа переносимъ въ лѣвую часть равенства и дѣлимъ все на 4, получимъ:

Пользуясь формулами (3) и (4), упростимъ полученное равенство:

итакъ,

(6)

Очевидно, пользуясь вышеуказаннымъ пріемомъ и формулами подобными (1) и (5), которыя легко получить для любой степени, мы могли бы найти формулу суммы п членовъ для какого угодно ряда вида lft+2fe4-3ftH—

Ограничимся полученными формулами (4) и (6).

Найдемъ теперь сумму ряда 1.2+2.3+3.44-----[-п(п+1).

Очевидно, что 1.2+2.3+3.4+...+п(п+1)=1(1+1)+2(2+1)+ +3(3 + 1)+...+^ + 1) = 12+1+22 + 2 + 32+3 + 42+4 + ...+л2+

+Аг = (12+22+32 + - + ^2) + (1 + 2+3 + -+Аг); примѣняя формулы (3) и (4), получимъ:

Итакъ,

Найдемъ сумму ряда

Очевидно, что

Сумму ряда, заключеннаго въ первую скобку, мы вычислимъ по формулѣ (6), а сумму второго по формулѣ (3); слѣдуетъ принять во вниманіе, что въ этомъ ряду нѣтъ перваго члена 1. Примѣняя формулу (3) и (6), получимъ:

Итакъ,

В. Виткевичъ.

2) Въ самомъ дѣлѣ: 1 . 2 . 3=(2 — 1) . 2 . (2+1) = (22—1) . 2=23—2; 2.3. 4 = (3—1).3.(3 + 1) = (32—1) . 3=33—3 и т. д.; вообще п(л+1)(л+2) = [(*+1)— 1](* + 1)[(М-1)+1] = [(" + 1)2—1] . (п + 1) = (п + \)*— (71 + 1).

Объ ариѳметическихъ вопросахъ, предложенныхъ въ № 2 за 1914 г. „Мат. Вѣстн.".

Въ № 2 за 1914 г. «Мат. Вѣстн.» были предложены слѣдующіе вопросы.

I. 1) Найти наименьшее число, имѣющее 15 дѣлителей.

2) Найти двузначное число, имѣющее наибольше число дѣлителей.

3) Найти трехзначное число, имѣющее наибольшее число дѣлителей.

II. Объяснить слѣдующее свойство дробей:

Если расположить въ постепенно возрастающемъ порядкѣ всѣ несократимыя дроби, меньшія единицы, знаменатель которыхъ меньше даннаго числа, то дроби, равноотстоящія отъ начала и конца полученнаго ряда, имѣютъ одинъ и тотъ же знаменатель и дополняютъ другъ друга до 1.

I.

Извѣстно1), что для числа N=am .Ьп . ср . dq... число всѣхъ дѣлителей равно произведенію (m-fl)(tt+l)(p + l)(</-{-l)...

Пусть теперь желаемъ найти наименьшее число, имѣющее 15 дѣлителей (вопросъ 1-й). Мы должны имѣть:

(m+l)(rc+l)(p+l)... = 15.

Такъ какъ число 15 можетъ быть разложено на множители только слѣдующими способами: 1) 15=15.1 и 2) 15=3.5, то мы придемъ къ заключенію, что искомое число N можетъ равняться или 14-й степени какого-либо простого числа или произведенію квадрата одного числа на 4-ю степень другого, т.-е. число

или =214; З14; 514; 714 и т. д.

или = 24.32; 34.22; 54.22; 52.34 и т. д.

Наименьшее число въ 1-мъ ряду есть 214, а во второмъ — 24.32; изъ нихъ наименьшее есть 24.32=144.

Итакъ, наименьшее число, имѣющее 15 дѣлителей есть 144.

Обратимся теперь къ вопросу 2-му: найти двузначное число, имѣющее наибольшее число дѣлителей.

Такъ какъ уже 27=128, то число простыхъ множителей, на которые разлагается искомое двузначное число не можетъ быть больше 6. Съ другой стороны, уже произведеніе первыхъ

1) См. «Мат. Вѣстн.» за 1914 г. № 2, стр. 48—49.

четырехъ простыхъ чиселъ (исключая единицу) даетъ число, большее 100: 2.3.5.7=210. Поэтому двузначное число можетъ состоять лишь изъ произведенія различныхъ степеней трехъ простыхъ чиселъ: 1) 2, 3 и 5, 2) 2, 3 и 7, 3) 2, 3 и 11, 4) 2, 3 и 13 и 5) 2, 5 и 7, или изъ различныхъ степеней какихъ-либо двухъ простыхъ чиселъ или, наконецъ, изъ какой-либо степени одного простого числа, при чемъ эта степень не можетъ быть, какъ выше выяснено, больше 6. Такъ какъ намъ требуется найти двузначное число съ наибольшимъ числомъ дѣлителей, то надо стремиться къ тому, чтобы показатели степени m, гг, р трехъ простыхъ множителей, входящихъ въ составъ числа, дали бы наибольшее произведеніе

(т+1)(п+1)(р+1).

Поэтому всякое двузначное число можетъ имѣть одно изъ слѣдующихъ разложеній на простые множители:

1) Оно можетъ=ат, гдѣ m не больше 6.

2) Оно можетъ=ат. 6П, гдѣ т+п не больше 6.

3) Оно можетъ=ат . Ъп. ср, гдѣ т+п+р не больше 4, ибо уже 23 . 3 . 5 даетъ число, большее 100.

Если возьмемъ первую форму разложенія на простые множители, то наибольшее число дѣлителей даетъ 26=64, — это число имѣетъ 7 дѣлителей.

Для второй формы разложенія число всѣхъ дѣлителей выражается формулой (иг+1)(гг + 1). Разсматривая различныя возможныя значенія для m и п, выбранныя такъ, чтобы ат. Ьп было меньше 100, мы приходимъ къ числамъ 25. 3=96 и 23.32=72, имѣющимъ по 12 дѣлителей; другихъ двузначныхъ чиселъ, имѣющихъ столько же (а тѣмъ болѣе больше) дѣлителей, составить, согласно 2-й формѣ, нельзя (въ самомъ дѣлѣ: 25.5>100 и 22.33>100).

Для третьей формы разложенія число всѣхъ дѣлителей выразится формулою (т-{-1)(п+1)(р + 1). Такъ какъ т+п+р не больше 4, то возможно выбрать лишь такія значенія для m, п и р: /71=2, п=1 и р=1 или т=1, п=2 и р = і или га=1, п=1 и р=2, что даетъ (2+1)(1 + 1)(1 + 1), т.-е. 12 дѣлителей. Мы можемъ, пользуясь этимъ, составить слѣдующія 3 числа, меньшія 100, имѣющія по 12 дѣлителей: 1) 22 . 3 . 5 = 60, 2) 22. 3.7=84 и 3) З2. 2. 5=90; остальныя комбинаціи придется отбросить, такъ какъ онѣ даютъ числа большія 100.

Итакъ, имѣется 5 двузначныхъ чиселъ, а именно: 96, 72, 60, 84 и 90, имѣющихъ по 12 дѣлителей; большаго числа дѣлителей ни у одного двузначнаго числа быть не можетъ.

Наконецъ, обратимся къ вопросу 3-му: найти трехзначное число, имѣющее наибольшее число дѣлителей.

Такъ какъ 2.3.5.7.11 больше 1000, то заключаемъ, что трехзначное число можетъ состоять самое большее изъ четырехъ различныхъ простыхъ множителей, при чемъ можетъ быть нѣкоторые изъ нихъ могутъ войти въ степени, большей единицы. Поэтому приходимъ къ слѣдующимъ формамъ разложенія трехзначнаго числа на простые множители:

1) ат, гдѣ m не больше 9, ибо уже 210=1024.

2) ат. èn, гдѣ т+п не больше 9.

3) ат . Ьп . ср, гдѣ т+п+р не больше 8, ибо уже 27 . 3 . 5=1920.

4) ат ,Ъп. ср. dq, гдѣ m+n+p + q не больше 6, ибо уже 24. 3.5. 7 = 1680.

Первая форма даетъ самое большое число (10) дѣлителей для числа 29=512.

Вторая форма разложенія должна быть изслѣдована болѣѳ подробно: можно начать, напр., съ числа 28. 3=768, имѣющаго 18 дѣлителей и замѣнять постепенно множители 2 иными (27. З2 не годится, ибо > 1000; беремъ 26. З2 — оно имѣетъ 21 дѣлитель и т. д.); въ результатѣ этого изслѣдованія приходимъ къ числу 25.33=864, имѣющему наибольшее число дѣлителей (24) изъ всѣхъ трехзначныхъ чиселъ этой формы разложенія.

Также подробнаго излѣдованія требуетъ и третья форма разложенія: начнемъ съ числа 26 . 3 . 5 = 960, имѣющаго 28 дѣлителей; нельзя даже одинъ множитель 2 замѣнить какимъ-либо инымъ, ибо уже 25. З2. 5> 1000. Поэтому уменьшимъ показатель степени двойки уже на 2 единицы, но за то увеличимъ, хотя бы на 1, показатель степени или 3 или 5; возможною оказывается лишь комбинація 24 . З2 . 5=720,— это число имѣетъ 30 дѣлителей. Всѣ остальныя комбинаціи или имѣютъ меньшее число дѣлителей или даютъ числа, большія 1000. Итакъ, изъ трехзначныхъ чиселъ вида ат ,Ьп. сѵ наибольше число дѣлителей (30) даетъ число 720.

Переходимъ къ 4-й формѣ разложенія. Такъ какъ уже 24 . 3 . 5 . 7 даетъ число большее 1000, то останавливаемся на комбинаціи 23 . 3 . 5 . 7 = 840; это число имѣетъ 4.2.2.2, т.-е. 32 дѣлителя. Попытка уменьшить показателя степени числа 2, но за то увеличить показателей степени другихъ множителей не даетъ желаемыхъ результатовъ: 22. З2. 5 . 7 уже =1260, а 2 . З3 . 5 . 7 = 1890. Поэтому приходимъ къ заключенію, что изъ трехзначныхъ чиселъ этой формы число 840 имѣетъ наибольшее число дѣлителей, а именно 32.

Сравнивая результаты изслѣдованія всѣхъ формъ разложенія, приходимъ къ отвѣту на вопросъ: искомое число есть 840.

Хотѣлось бы найти болѣе удобный, хотя и совершенно элементарный, способъ для рѣшенія подобныхъ вопросовъ.

Редакціею было получено два отвѣта на разобранные здѣсь вопросы, но оба даютъ неправильныя рѣшенія для 2-го и 3-го вопросовъ.

II.

Объясненіе указаннаго свойства несократимыхъ дробей кроется въ слѣдующемъ соображеній: Пусть даны двѣ какія-либо несократимыя правильныя, дроби, напр., ^ и при чемъ Y2<y^î тогда разности 1—— и 1 — — даютъ двѣ дроби съ такими же знаменателями, также не сократимыя, при чемъ меньшей изъ двухъ данныхъ дробей соотвѣтствуетъ большая разность, т.-е. въ данномъ случаѣ имѣемъ 1——>► 1—— или 12^15

Пусть теперь имѣемъ рядъ несократимыхъ дробей со знаменателями, не превосходящими, напр., числа 20.

Первая, наименьшая, изъ этихъ дробей есть —, — ей должна соотвѣтствовать, согласно вышеизложенному, дробь ~, которая должна быть больше всѣхъ остальныхъ дробей и, слѣд., должна занимать первое отъ конца ряда мѣсто. Переходя дальше, мы также найдемъ, что вторая отъ конца дробь получается вычитаніемъ изъ 1 второй дроби отъ начала ряда и т. д.

Предыдущее соображеніе можно изложить въ общемъ видѣ. Пусть дроби ~ и ~ несократимыя и правильныя; тогда дроби m—а п—Ь и ~ тоже правильныя и также несократимыя: а по условію не имѣетъ общихъ дѣлителей съ m, слѣд. и (т—а) не имѣетъ общихъ дѣлителей съ т. Далѣе, если — <-, то 1-->1--(уменьшаемыя одинаковы, а первое вычитаемое меньше второго) или > , откуда и слѣдуетъ, что дроби — и - должны занимать одинаковыя мѣста отъ начала и конца разсматриваемаго ряда несократимыхъ дробей.

Изъ вышеуказаннаго разсмотрѣнія несократимыхъ дробей вытекаетъ: число правильныхъ несократимыхъ дробей съ опре-

дѣленнымъ знаменателемъ, кромѣ числа 2, непремѣнно четное, такъ какъ всякой правильной несократимой дроби ^ соотвѣтствуетъ другая несократимая правильная дробь — ; такъ, напр., существуетъ 4 правильныхъ несократимыхъ дроби со знаменателемъ 12: —, - и —.

Рѣшеніе этого вопроса получено отъ И. Н. Симонова (Торжокъ).

Хроника.

Третій Всероссійскій Съѣздъ преподавателей математики.

На предварительныхъ совѣщаніяхъ по организаціи 3-го Всероссійскаго Съѣзда преподавателей математики выработаны слѣдующія предположенія:

1. Съѣздъ состоится на рождественскихъ каникулахъ 1917—1918 года въ Петроградѣ.

2. Главная задача Съѣзда заключается въ выясненіи основъ общей постановки курса математики въ средней школѣ въ связи съ тѣми теченіями въ этой области, которыя обозначились на первыхъ двухъ Всероссійскихъ Съѣздахъ.

3. Въ цѣляхъ выясненія вопросовъ, обсужденіе которыхъ должно служить матеріаломъ для рѣшенія основной задачи Съѣзда, составленъ прилагаемый перечень.

Этотъ перечень составленъ главнымъ образомъ на основаній трудовъ 1-го и 2-го Съѣздовъ. Онъ можетъ подлежать отбору, сокращенію и дополненію съ точки зрѣнія основной задачи 3-го Съѣзда.

Оглашеніе этого перечня обусловлено желаніемъ вызвать предварительный обмѣнъ мнѣній въ математическихъ обществахъ, кружкахъ, на страницахъ педагогическихъ журналовъ и пр.

Съ вопросами, пожеланіями и замѣчаніями, относящимися къ предварительной работѣ по организаціи 3-го Всероссійскаго Съѣзда преподавателей математики, можно обращаться по слѣдующему адресу: Петроградъ, Соляной Городокъ (Фонтанка, 10), Педагогическій Музей Военно-учебныхъ заведеній.

Вопросы, подлежащіе обсужденію на 3-мъ Всероссійскомъ Съѣздѣ Преподавателей Математики, предложено разбить на слѣдующія группы:

Іа. Общія основанія постановки курса математики въ средней школѣ.

1б. Постановка курса математики въ женскихъ учебныхъ заведеніяхъ, въ коммерческихъ училищахъ, въ техническихъ училищахъ, въ народной школѣ повышеннаго типа, въ учрежденіяхъ, подготовл. преподавателей, въ частности, въ учительскихъ институтахъ и семинаріяхъ.

II. Конструкція разныхъ отдѣловъ математики въ средней школѣ.

III. Подготовка преподавателей.

IV. Повѣрка знаній (репетиціи, переводные, выпускные и конкурсные экзамены).

V. Общіе и частные вопросы преподаванія математики.

Вопросы:

I. Общія основанія постановки курса математики въ средней школѣ.

1. Сравнительная постановка курса математики у насъ и въ другихъ странахъ.

2. Раздѣленіе курса общеобразовательной средней школы на двѣ ступени: а) на ступень, общую для всѣхъ учащихся, и б) на вторую ступень, «допускающую спеціализацію, приноровленную къ индивидуальнымъ способностямъ учащихся и удовлетворяющую требованіямъ высшей школы»1).

II. Конструкція разныхъ отдѣловъ математики въ средней школѣ.

Элементы анализа и аналитической геометріи въ средней школѣ.

3. Возможныя конструкціи курса анализа, въ виду признанія резолюціей 3-ьей Второго Съѣзда необходимости введенія данного курса въ среднюю школу всѣхъ типовъ.

4. Подготовка учащихся среднихъ классовъ къ курсу анализа.

5. Возможныя конструкціи курса аналитической геометріи, въ виду признанія резолюціей... и т. д. (см. вопросъ 3-й).

Ариѳметика.

6. Требованія по предмету ариѳметики, предъявляемыя къ дѣтямъ, поступающимъ въ первый классъ средней школы.

7. Составъ курса ариѳметики въ младшихъ классахъ, въ частности вопросъ о пропедевтическомъ курсѣ дробей и вопросъ о рѣшеніи уравненій первой степени съ однимъ неизвѣстнымъ и численными коэффиціентами.

8. Вопросы ариѳметическаго содержанія въ курсѣ среднихъ классовъ.

9. Дополнительно-повторительный курсъ ариѳметики въ одномъ изъ старшихъ классовъ.

Алгебра.

10. Вопросъ о возможномъ сокращеніи курса алгебры (неопредѣленныя уравненія; кубическій корень; непрерывныя дроби и пр.).

1) См. резолюціи 4-ю, 5-ю, 6-ю Перваго Съѣзда Преподавателей Математики.

11. Функціональныя зависимости въ курсѣ алгебры. Графики.

12. Ученіе объ ирраціональномъ числѣ въ средней школѣ.

13. Введеніе въ курсъ алгебры элементовъ исчисленія вѣроятностей въ связи съ комбинаторнымъ анализомъ.

Геометрія.

14. Необходимо ли раздѣленіе курса геометріи въ средней школѣ на циклы и вопросъ о числѣ цикловъ?

1-й циклъ (пропедевтическій, начальный курсъ).

15. Постановка перваго цикла геометріи въ различныхъ учебныхъ заведеніяхъ и достигаемые этимъ курсомъ результаты.

16. Опредѣленія и разсужденія доказательнаго характера въ первомъ циклѣ геометріи.

17. Развитіе пространственныхъ представленій въ первомъ циклѣ. 2-й циклъ.

18. Задачи и цѣли 2-го (и 3-го) цикла курса элементарной геометріи.

19. Вопросъ о сокращеніи курса Евклида, объ элементахъ геометріи начертательной и проективной.

20. Вопросъ о сліяніи планиметріи съ стереометріей (фюзіонизмъ).

21. Вопросъ о функціональной точкѣ зрѣнія въ геометріи.

22. При наличіи курса анализа въ какую форму должно вылиться въ систематическомъ курсѣ геометріи ученіе о вычисленіи тѣхъ геометрическихъ протяженій, гдѣ въ настоящее время пользуются методомъ предѣловъ?1).

23. Какое значеніе можетъ имѣть ознакомленіе учащихся съ логической возможностью геометріи Лобачевскаго?

Тригонометрія.

24. Необходимо ли раздѣленіе тригонометріи на два цикла (по типу реальныхъ училищъ)?

III. Подготовка преподавателей.

25. Необходимо всесторонне выяснить вопросъ о соотношеніи между математическимъ и педагогическимъ образованіемъ преподавателя математики.

IV. 26. Повѣрка знаній (репетиціи, переводные, выпускные и конкурсные экзамены).

V. Общіе и частные вопросы преподаванія математики.

27. О соотношеніи между логическимъ и интуитивнымъ элементами въ курсѣ математики.

28. Эстетическій элементъ въ математикѣ.

29. Роль наглядныхъ пособій на различныхъ ступеняхъ обученія математикѣ. «Лабораторный» методъ при обученіи математикѣ.

30. Что дала экспериментальная психологія для обученія математикѣ?

31. Самостоятельныя занятія учащихся (чтеніе книгъ математическаго содержанія, рефераты, практическія занятія и проч.).

32. Содержаніе задачниковъ (см. резолюцію 3-ю Перваго Съѣзда: въ какой мѣрѣ въ нихъ «должны входить данныя изъ области физики, механики, космографіи...»).

1) Опредѣленные интегралы?

Къ организаціи 3-го Съѣзда.

A. Учрежденіе научной секціи въ добавленіе къ тѣмъ секціямъ, которыя были на 1-мъ и 2-мъ Съѣздахъ.

Б. Исполненіе резолюціи V 2-го Съѣзда — «Постоянное Бюро Съѣздовъ Преподавателей Математики».

B. Докладъ о дѣятельности Международной Комиссіи.

Г. Докладъ о номографіи спеціалиста по математической статистикѣ (научная секція).

Ѳ. И. Егоровъ f. 12-го мая скончался въ Москвѣ на 70-мъ году жизни извѣстный педагогъ-математикъ Ѳеодоръ Ивановичъ Егоровъ. Педагогическая дѣятельность Ѳ. И. общеизвѣстна.

Среди ряда учебныхъ заведеній, гдѣ протекала педагогическая работа Ѳ. И., назовемъ Московскую женскую учительскую семинарію и Московскіе женскіе педагогическіе курсы (имени Д. И. Тихомирова),— въ этихъ учебныхъ заведеніяхъ Ѳ. И. работалъ почти съ самаго ихъ возникновенія и до самой своей смерти. Среди педагогическихъ трудовъ Ѳ. И. назовемъ: «Методику ариѳметики», 6-е изданіе которой, значительно переработанное, вышло уже послѣ смерти Ѳ. И. и «Ариѳметика и собраніе задачъ для начальныхъ училищъ».

Еще такъ недавно, 30 сентября 1914 г., Ѳ. И. читалъ свой докладъ «О начальномъ преподаваніи ариѳметики (систематики)» въ засѣданіи Московскаго Математическаго Кружка и принималъ живое участіе въ преніяхъ какъ по поводу этого доклада, такъ и слѣдующаго. Не стало виднаго энергичнаго дѣятеля на поприщѣ развитія математическаго образованія... Вѣчная ему память!

Свѣдѣнія о книгахъ по математикѣ и ея методикѣ

В. Гебель. Наглядная геометрія (по А. Горнбруку). Вып. I. Изд. «Задруга», Москва. 1915. Ц. 50 коп.

Книга представляетъ собою переработку распространеннаго въ Сѣв. Америкѣ руководства А. Горнбрукъ, «Concrète Geometry».

Предисловіе къ книгѣ состоитъ 1) изъ вышеприведеннаго указанія, 2) изъ выписки изъ книги Е. Янжулъ «Американская школа», дающей краткое описаніе руководства А. Горнбрука и конкретно-опытнаго метода для ознакомленія дѣтей съ началами геометріи, 3) указаніе на два Всероссійскіе съѣзда преподавателей математики, подтвердившихъ будто бы1) правильность взглядовъ Е. Янжулъ и признавшихъ будто бы1) необхо-

1) Я позволяю себѣ употребить здѣсь слово «будто бы» потому, что, какъ участникъ обоихъ съѣздовъ, я не вынесъ изъ работъ съѣздовъ такого впечатлѣнія. Резолюціи съѣздовъ говорятъ лишь слѣдующее: 1) съѣздъ признаетъ желательнымъ.... усилить наглядность преподава-

димость раздѣленія курса геометріи на два концентра: пропедевтическій и систематическій, 4) указаніе на то, что начальныя школы все настойчивѣе выдвигаютъ вопросъ о курсѣ геометріи для 4-го отдѣленія начальной школы, 5) описаніе характера предлагаемой книги, 6) указаніе на то, что готовится къ печати 2-й выпускъ, 7) краткое указаніе на способъ пользованія этимъ учебникомъ.

Необходимо остановиться на нѣкоторыхъ моментахъ этого предисловія. Авторитетность мнѣнія г-жи Е. Янжулъ подлежитъ сомнѣнію, какъ лица, не проявившаго себя какими-либо работами въ области математики и ея методики. И это сомнѣніе еще усиливается при ознакомленіи со слѣдующимъ сужденіемъ г-жи Янжулъ (оно приведено въ предисловіи): «Кому не приходилось по нѣскольку разъ въ жизни, несмотря на повторенія, забывать основы и доказательства различныхъ, самыхъ простыхъ даже, теоремъ, хотя бы извѣстной Пиѳагоровой теоремы? Между тѣмъ, если бы хоть разъ пришлось путемъ простого, какъ это дѣлается въ Америкѣ, накладыванія и разрѣзыванія квадратовъ убѣдиться въ этой теоремѣ, то она настолько бы запечатлѣлась въ нашей памяти, что намъ не приходилось бы всякій разъ снова удостовѣряться въ соотношеніи между гипотенузой и катетами прямоугольнаго треугольника или искать основъ для доказательства этой теоремы». Здѣсь прежде всего имѣетъ мѣсто сомнѣніе: 2-я часть сужденія г-жи Е. Янжулъ говоритъ о томъ, что содержаніе теоремы Пиѳагора запечатлѣвается прочно въ памяти того, кто однажды продѣлалъ рядъ соотвѣтственныхъ перекладываній, а первая часть этого сужденія говоритъ совсѣмъ о другомъ, а именно о томъ, что быстро забывается доказательство этой теоремы и тѣ основы, на которыхъ оно построено — ясно, что перекладываніе не поможетъ запомнить доказательства теоремы, которое вовсе не затрогивается этимъ перекладываніемъ. Второе сомнѣніе таково: будетъ ли теорема Пиѳагора выяснена при помощи доказательства, будетъ ли она сообщена ученику, какъ результатъ перекладыванія — все равно, ея содержаніе быстро улетучится изъ сознанія ученика, если только мысль и воображеніе ученика не имѣлн достаточно упражненій, такъ или иначе связанныхъ съ этою теоремою.

Я также сторонникъ самаго широкаго использованія въ курсѣ геометріи принципа наглядности, я также убѣжденъ, что обученіе геометріи можетъ быть очень полезнымъ даже для дѣтей 10—12 лѣтъ, но я въ то же время полагаю, что 1) нельзя, какъ это, къ сожалѣнію, имѣетъ мѣсто во многихъ «наглядныхъ» курсахъ геометріи (это имѣетъ мѣсто и въ книгѣ г. Гебеля), загромождать и мысль и воображеніе учащихся этого возраста огромною массою матеріала и 2) нельзя считать, что сообщеніе дѣтямъ какого-либо геометрическаго свойства, являющагося якобы результатомъ

нія на всѣхъ его ступеняхъ (1-я резолюція 1-го съѣзда) и 2) съѣздъ признаетъ необходимымъ учредить комиссію.... съ тѣмъ, чтобы къ третьему съѣзду были представлены доклады..., при чемъ необходимо обратить особое вниманіе на разработку вопросовъ о пропедевтическихъ курсахъ (IV резолюція 2-го съѣзда). Въ какомъ смыслѣ будетъ рѣшенъ этотъ вопросъ — еще неизвѣстно.

опыта, есть обученіе геометріи. Необходимо тщательно выбрать лишь тотъ матеріалъ, который можетъ быть разработанъ съ дѣтьми дѣйствительно пріемами, имѣющими мѣсто въ геометріи: сюда возможно отнести лишь тѣ свойства, которыя являются или результатомъ несложнаго геометрическаго построенія или результатомъ какой-либо симметріи фигуръ, соединенныхъ съ очень несложными логическими сужденіями. При такомъ начальномъ обученіи геометріи не могла бы даже появиться и мысль о возможности двухъ курсовъ геометріи, пропедевтическаго и систематическаго. Тѣ геометрическія соотношенія, которыя были бы усвоены дѣтьми въ этомъ раннемъ возрастѣ, являлись бы для нихъ обязательными слѣдствіями построенія фигуръ или какой-либо ихъ симметріи; дальнѣйшая работа, опирающаяся на постепенно развивающіяся съ возрастомъ способности дѣтей, состояла бы въ расширеніи этой геометрической работы и въ углубленіи въ подробности и тонкости уже разученнаго. И это былъ бы единый стройный курсъ геометріи. Въ видѣ уступки, для практическихъ цѣлей, пришлось бы согласиться дѣтямъ начальной школы сообщать нѣкоторыя и чисто практическія свѣдѣнія (напр. какъ вычислять длину окружности), но въ этомъ сообщеніи нельзя видѣть обученія геометріи.

Вторымъ пунктомъ предисловія, на который должно обратить вниманіе, является выписка изъ предисловія автора къ американскому оригиналу, дающая указанія о способахъ употребленія учебника. Здѣсь между прочимъ читаемъ (стр. 4): «Мы добиваемся яснаго мышленія, поэтому нельзя допустить, чтобы ученики создавали себѣ невѣрныя или неточныя представленія о геометрическихъ формахъ и оперировали надъ ними».

Нельзя не согласиться съ справедливостью этихъ словъ, а между тѣмъ уже первыя страницы учебника имъ противорѣчатъ. Я лишь мимоходомъ отмѣчу очень плохую форму (формѣ нельзя придавать особенно существеннаго значенія) опредѣленія плоскости на стр. 10: «Поверхность, съ которой совпадаетъ всѣми своими точками всякая прямая, проведенная на ней въ какомъ угодно направленіи, называется плоскою поверхностью или плоскостью». Слова «прямая, проведенная на ней», очевидно, выражаютъ не то, что надо: разъ прямая проведена на ней (т.-е. на поверхности), то это уже значитъ, что эта прямая всѣми точками совпадаетъ съ этою поверхностью. Исходя изъ этого опредѣленія, можно и цилиндрическую поверхность называть плоскостью, ибо всякая прямая, проведенная по этой поверхности, совпадаетъ съ ней всѣми точками. Но это мимоходомъ. А вотъ на той же стр. 10 и далѣе на стр. 11 имѣется и болѣе существенное обстоятельство, идущее вразрѣзъ съ выше сдѣланною выпискою изъ предисловія. Упражненія за №№ 20, 21, 22 требуютъ: «№ 20. Составьте уголъ изъ двухъ встрѣчающихся прямыхъ. № 21. Найдите прямой уголъ на полу. На стѣнѣ и т. д. № 22. Положите на бумагу линейку (тетрадь) и обведите карандашомъ одинъ изъ ея угловъ. Вы получите прямой уголъ». Таково начало ученія объ углахъ. Разсматривая его, мы видимъ, что авторъ апеллируетъ прежде всего къ готовому представленію объ углѣ вообще, о прямомъ

углѣ, въ частности, выработавшемуся у учениковъ на протяженіи ихъ предыдущей жизни; неужели авторъ не задумался надъ вопросомъ, насколько эти представленія отчетливы и возможно ли говорить о «ясномъ мышленіи», если учащійся въ вопросахъ объ углахъ станетъ опираться на тѣ представленія, какія имѣютъ мѣсто въ практической жизни, когда говорятъ объ «углѣ въ комнатѣ» объ «углѣ стола» и т. п.? Какимъ образомъ авторъ допускаетъ здѣсь учениковъ оперировать надъ столь расплывчатымъ представленіемъ? А далѣе вопросъ объ углахъ еще усложняется, ибо авторъ предлагаетъ (стр. 11) искать углы въ словѣ (разбивка моя) Миша (напечатано жирнымъ шрифтомъ) и даже въ пословицѣ.

Авторъ, какъ мы видѣли выше, даетъ опредѣленіе плоскости, но почему-то избѣгаетъ опредѣленія угла1). А между тѣмъ послѣдовательнѣе было бы поступить наоборотъ, такъ какъ понятіе уголъ болѣе сложное, чѣмъ понятіе плоскости; тѣмъ болѣе уже являлась бы потребность въ опредѣленіи прямого угла. Если бы авторъ попыталъ это сдѣлать, то, на основаніи упражненія за № 22 своего учебника, онъ принужденъ былъ бы дать это опредѣленіе въ такой (странной) формѣ: прямымъ угломъ называется уголъ, который получается, если обвести карандашомъ одинъ изъ угловъ линейки (или тетради).

И характерно для этого учебника, что въ немъ постоянно апеллируютъ къ тѣмъ туманнымъ представленіямъ, какія складываются въ сознаніи учащихся подъ вліяніемъ ихъ знакомства съ практической жизнью, гдѣ употребляются термины тѣ же, какъ и въ геометріи. Напр., на стр. 13 апеллируютъ къ будто бы уже имѣющемуся у учащихся отчетливому представленію о «разстояніи между двумя параллельными», на стр. 20 апеллируютъ къ будто бы уже имѣющемуся представленію у учащихся о возможности такой комбинаціи изъ круга и прямой, когда эти линіи имѣютъ лишь одну общую точку, на ср. 29 аппеллируютъ уже къ слѣдующему сложному соображенію, которое должно быть, такъ сказать, пережито учащимися самостоятельно: Упражненіе № 81 даетъ возможность построить двѣ прямыя, относительно которыхъ учащійся при помощи непосредственнаго наблюденія можетъ установить, что полученныя двѣ прямыя не пересѣкаются, сколько бы ихъ ни продолжали. И онъ долженъ самостоятельно заключить: это все равно, что эти прямыя всюду находятся на равныхъ разстояніяхъ, т.-е. свести дѣло къ упражненію № 55, на основаній котораго опредѣляется понятіе о параллельныхъ прямыхъ, какъ о прямыхъ, находящихся всюду на равныхъ разстояніяхъ (на стр. 13, кстати, дана очень странная форма этого опредѣленія: Двѣ прямыя, находящіяся одна отъ другой на равномъ разстояніи (разбивка моя), называются параллельными).

Изложеніе несвободно отъ тѣхъ недостатковъ, какіе обычно имѣются въ различныхъ курсахъ геометріи и отъ которыхъ почему-то такъ не хо-

1) Я, впрочемъ, считаю, что опредѣленіе угла должно быть замѣнено указаніями, приводящими ученика къ сознанію: «я умѣю строить фигуру, которую называютъ угломъ».

тятъ освободиться. Вотъ наиболѣе крупные изъ нихъ: 1) Плоская фигура опредѣляется, повидимому, какъ часть плоскости; впрочемъ, опредѣленія понятія «плоская фигура» въ книгѣ не удалось найти, но къ такому заключенію приводятъ опредѣленія треугольника, периметра плоской фигуры (стр. 12), круга (стр. 16), многоугольника (стр. 37) и др. Вотъ, напр., на стр. 12 имѣется: «опредѣленіе. Ломаная линія, ограничивающая фигуру со всѣхъ сторонъ, называется периметромъ ея». Уже отсюда мы должны заключить, что подъ именемъ плоская фигура слѣдуетъ понимать часть плоскости, а между тѣмъ на стр. 37 читаемъ: «часть плоскости, занятая фигурой, называется площадью этой фигуры». Итакъ, что же въ концѣ концовъ представляетъ для геометріи часть плоскости (ограниченная со всѣхъ сторонъ): самую плоскую фигуру или ея площадь? 2) Употребляется терминъ «кратчайшее разстояніе» между двумя точками (стр. 14), какъ будто бы между двумя точками разстояній много и изъ нихъ выбирается одно, называемое именемъ «кратчайшее». 3) Имѣется пристрастіе къ опредѣленіямъ (хотя, какъ мы видѣли выше, на этой почвѣ въ книгѣ имѣются и недоразумѣнія). На стр. 15 дается «опредѣленіе» (и притомъ не совсѣмъ вѣрное) діагонали фигуры, на стр. 37, подъ рядъ даны онредѣленія и многоугольника, и четыреугольника, и параллелограмма, и прямоугольника, и квадрата, и ромба. 4) Въ упражненіяхъ №№ 145—150 (стр. 64, 65) главное вниманіе обращается на доказательство («Можете ли вы доказать»), а не на то, чтобы въ воображеніи учащихся отчетливѣе запечатлѣлся опредѣленный процессъ, дающій возможность сразу получить всѣ точки плоскости, равноотстоящія отъ двухъ данныхъ.

Упражненія, изъ которыхъ состоитъ книга, разбиваются на 3 категоріи: одни изъ нихъ чисто геометрическія, другія — ариѳметнческія, третьи, наконецъ, словесныя. Послѣдняя категорія крайне неудачна: «назовите заглавную букву, которая имѣетъ видъ ломаной линіи, составленной изъ двухъ прямыхъ» (№ 4); «начертите квадратъ и докажите, что ему можно дать 5 различныхъ названій» (отчего не 25, не 100 и т. д.?). Первая категорія упражненій (чисто геометрическихъ), къ сожалѣнію, развита недостаточна: эти упражненія ограничены лишь самыми простыми (напр. «Проведите три прямыя такъ, чтобы онѣ ограничивали часть плоскости. Сколько угловъ онѣ образовали?»), и удалось найти лишь одно мѣсто (на стр. 97 №№ 28, 29), которое дѣйствительно даетъ хорошій матеріалъ для геометрическаго развитія учащихся. Другое подобное мѣсто №№ 22—26 почему-то испорчено страннымъ порядкомъ: казалось бы естественнымъ сперва рѣшить вопросъ, сколько окружностей можно построить черезъ одну точку, затѣмъ — сколько черезъ двѣ и, наконецъ, сколько черезъ 3, а въ книгѣ имѣется обратный порядокъ. Громадное большинство упражненій носитъ ариѳметическій характеръ, и, думается, здѣсь чрезмѣрное обиліе матеріала. Зачѣмъ, напримѣръ, нужно столь много сходныхъ между собою упражненій, какія даны на стр. 19, какое значеніе имѣетъ столь сильное развитіе упражненій на вычисленіе площадей, получаемыхъ прикладываніемъ другъ къ другу или отрѣзаніемъ различныхъ квадратовъ, какое имѣетъ мѣсто на стр. 41—

45? Не слишкомъ ли много упражненій на вычисленіе (въ градусахъ) различныхъ угловъ на стр. 51—55? и т. д. и т. д.

Однако книга, сравнительно со многими другими подобными учебниками, имѣетъ неоспоримое достоинство. Посмотримъ, напр., упражненія 102—109 на стр. 58—59, и мы согласимся, что дѣйствительно для возникновенія у учащихся отчетливаго представленія объ основаній и соотв. высотѣ треугольника эти упражненія, сопровождаемыя 5-ю чертежами, необходимы,—нельзя, какъ это иногда имѣетъ мѣсто въ учебникахъ.ограничиться лишь 1—2 чертежами. Разсмотримъ различныя расположенія параллельныхъ прямыхъ и сѣкущей на стр. 29 и 31—33,—нельзя не согласиться, что сдѣланные здѣсь чертежи необходимы. Можно, пожалуй, попытаться выразить положительную часть книги такъ: въ учебникѣ г. Гебеля (или г. А. Горнбрука) принято во вниманіе, что для усвоенія какого-либо положенія геометріи необходимо много упражненій, сопровождаемыхъ чертежами,—нужно, чтобы воображеніе учащихся привыкло къ тому, что извѣстное положеніе можетъ проявляться въ очень разнообразныхъ формахъ.

Н. Извольскій.

Книги, поступившія въ редакцію.

С. В. Зенченко. С. П. Орловъ и В. Л. Еменовъ. Жизнь и знаніе въ числахъ. Деревня. Часть 4-я. Вып. 1-й. Систематическій сборникъ задачъ для 4-го отдѣленія начальной школы. Цѣна 20 коп. Вып. 2-й. Руководство для учащихъ къ пользованію систематическимъ сборникомъ задачъ для 4-го отд. нач. школы. Цѣна 15 коп. Изданіе В. Ф. Ворошиловой. Москва, 1915.

Дж. В. А. Юнгъ. Какъ преподавать математику? Переводъ съ англійскаго А. Р. Кулишера. Выпускъ II. Изданіе 2-е т-ва «Общественная Польза». Птрг., 1915. Цѣна 1 р. 50 к.

С. И. Шохоръ-Троцкій. Таблица произведеній двухъ однозначныхъ чиселъ для упражненій въ умноженіи и дѣленіи. Изданіе Т-ва И. Д. Сытина. Москва, 1915. Цѣна 10 к.

Д. Л. Волковскій. Руководство къ «Дѣтскому міру въ числахъ». Часть II. Москва, 1915. Цѣна 85 коп.

Н. Н. Діанина. Опытъ нагляднаго ознакомленія съ основными понятіями теоріи предѣловъ примѣнительно къ курсу геометріи въ среднихъ учебныхъ заведеніяхъ. Вильна, 1915. Цѣна 25 коп.

Редакторъ-Издатель Н. А. Извольскій.

Типографія Г. Лисснера и Д. Собко. Москва, Вовдвиженка, Крестовоздвиженскій пер., д. № 9.