Математическій Вѣстникъ.

№ 4. Апрѣль 1915 г.

Годъ второй.

Адресъ редакціи: Москва, Гороховскій пер., д. 23, кв. 9. Тел.3-19-55.

Содержаніе: Е. Томашевичъ. Клѣтчатая бумага и почтовыя марки, какъ счетное пособіе. — А. Цвѣткова. О нѣкоторыхъ свойствахъ прямоугольниковъ.— Н. Извольскій. Вопросъ объ умноженіи на дробь. — Редакціонная замѣтка. — Хроника. (Московскій Математическій Кружокъ.) — Свѣдѣнія о книгахъ по математикѣ и ея методикѣ. (Е. И. Игнатьевъ, Задачникъ по ариѳметикѣ. — Книги, поступившія въ редакцію.) — Объявленія.

Отъ конторы „Матем. Вѣстника".

Напоминаемъ тѣмъ изъ гг. подписчиковъ, которые подписались на годъ, начиная съ сентября 1914 г., что срокъ ихъ подписки заканчивается настоящимъ нумеромъ. При желаніи ихъ возобновить подписку контора проситъ вышеуказанныхъ гг. подписчиковъ прислать подписную плату лишь за полгода, такъ какъ подписной годъ начинается съ 1-го января.

Клѣтчатая бумага и почтовыя марки, какъ счетныя пособія.

«Клѣтчатая бумага является чудеснымъ пособіемъ въ рукахъ каждаго, занимающагося математикой, начиная отъ дѣтскаго сада и вплоть до университета».

Lаіsаnt, L'Education fondée sur la science. 1904, p. 23.

Составители методикъ, въ особенности нѣмецкіе, не останавливаются передъ изобрѣтеніемъ различныхъ счетныхъ пособій и аппаратовъ (Rechenapparat), и каждый старается расхвалить собственное изобрѣтеніе, увѣряя, что оно-то именно и есть

настоящее, т.-е. такое, посредствомъ котораго быстрѣе всего можно научить считать. Безспорно, изобрѣтатель всегда вкладываетъ въ свое изобрѣтеніе идею, быть можетъ выношенную въ теченіе многихъ лѣтъ; и не удивительно, что идея эта въ его именно рукахъ оказывается плодотворною, въ то время какъ другіе относятся къ воплощенію этой идей отрицательно, не умѣя уловить ея сущности.

Конструкція счетныхъ пособій, не смотря на кажущуюся ихъ простоту, все-таки бываетъ болѣе или менѣе сложна, и сами пособія оказываются прежде всего дорогими.

Я не беру на себя смѣлости отрицать пользу тѣхъ или иныхъ, такъ называемыхъ наглядныхъ, счетныхъ пособій, но позволю себѣ повторить здѣсь то, что мною было сказано на одномъ изъ докладовъ въ 1907 г. въ Петроградѣ1): пособія при изученіи ариѳметики должны быть просты, немногочислены и находиться подъ руками ученика не только въ классѣ, но и дома.

Наши русскіе счеты надолго еще останутся употребительнѣйшимъ пособіемъ въ русскихъ школахъ и замѣнять ихъ зарубежными машинами отнюдь не слѣдуетъ. Но счеты, будучи сами по себѣ выразителями десятичной нумераціи, представляютъ собою пособіе символическое, условное. Чтобы усвоить нумерацію, учащіеся должны умѣть считать предметы, имѣющіеся у нихъ подъ руками, при чемъ само количество считаемыхъ предметовъ должно постепенно и неограниченно расти. Для этой цѣли пользуются ариѳметическимъ ящикомъ или палочками, связываемыми въ болѣе или мѣнѣе толстые пучки или длинныя ленты. Всегда ли, однако, эти палочки удобны? И нельзя ли при удобномъ случаѣ замѣнить ихъ чѣмъ-нибудь инымъ?

Позволяю себѣ указать на возможность существованія такого счетнаго пособія, которое на мой взглядъ можетъ сослужить хорошую службу.

Я беру клѣтчатую пятимиллиметровую бумагу и цвѣтными чернилами графлю ее заново на болѣе крупныя квадратныя клѣтки. Чтобы получить какую-нибудь счетную фигуру, я обвожу контуромъ столько клѣтокъ, сколько мнѣ нужно; или же вмѣсто этого закрашиваю намѣченную группу клѣтокъ цвѣтными карандашами. На приложенномъ листѣ (см. стр. 99) представлены въ уменьшенномъ масштабѣ такія группы изъ заштрихованныхъ клѣтокъ. Группы изъ одного и того же числа клѣтокъ могутъ быть очень разнообразны по формѣ и въ этомъ случаѣ графленая бумага можетъ стать хорошею канвою для самыхъ прихотливыхъ узоровъ. Листъ бумаги съ постепенно услож-

1) Труды курсовъ для учителей средней школы, 5—25 іюня 1907, стр. 372.

няющимися фигурами можетъ быть прежде всего прицѣпленъ къ классной доскѣ или къ стѣнѣ для привлеченія вниманія учащихся къ той или иной фигурѣ, затѣмъ нѣсколько экземпляровъ такого же листа можно разрѣзать на части и наклеить ихъ на отдѣльные куски картона для раздачи учащимся на руки во время урока. Учителю, контролирующему правильность отвѣтовъ учениковъ, нѣтъ надобности считать клѣтки отдѣльныхъ фигуръ на каждой наклейкѣ: онъ самъ ихъ готовилъ, и одного его взгляда довольно, чтобы рѣшить, правильно ли произведенъ счетъ. Ученики по указанію учителя и подъ его наблюденіемъ мѣняются счетными фигурами; такимъ образомъ каждому учащемуся дается возможность нѳ только производить самостоятельную работу счета, но и разнообразить ее благодаря значительному числу наклеекъ, пущенныхъ въ обращеніе. Нечего говорить, что счетныя фигуры могутъ дать матеріалъ и для сложенія, и даже для вычитанія, если не жалко будетъ портить наклейку отгибаніемъ части ея назадъ.

Въ особую группу слѣдуетъ выдѣлить тѣ фигуры, которыя могутъ послужить къ изученію таблицы умноженія. Такія фигуры должны, конечно, имѣть видъ прямоугольниковъ. Когда число клѣтокъ въ ряду болѣе 5, то учитель, съ цѣлью избавить себя отъ необходимости каждый разъ считать ихъ, ставитъ въ угловой клѣткѣ цвѣтную черту или какой-нибудь особый знакъ, указывающій число клѣтокъ даннаго направленія. На стр. 101 для примѣровъ 6x8 и 7x9 въ угловыхъ клѣткахъ поставлены 4 различные знака, соотвѣтствующихъ различнымъ числамъ; само собою разумѣется, что условную окраску черты или особую форму знака для каждаго числа придется запомнить; но едва ли нужно будетъ имѣть болѣе 5 отдѣльныхъ знаковъ; 5 и 10 можно оставить совсѣмъ безъ отмѣтокъ.

Счетныя фигуры можно составлять также и изъ почтовыхъ марокъ, наклеиваемыхъ на отдѣльные куски картона. Расположенія марокъ можно разнообразить значительно больше, чѣмъ вышеупомянутыя квадратныя клѣтки графленой бумаги (см. стр. 101), и счетъ самихъ марокъ становится труднѣе. Кромѣ того, сами марки являются въ свою очередь числами, и мы, помимо простого счета имѣемъ задачи на сложеніе; при расположеніи марокъ одинаковаго достоинства правильными рядами мы можемъ получить задачи на перемноженіе не только двухъ, но даже и трехъ чиселъ. За недостаткомъ марокъ можно наклеивать кусочки разноцвѣтной бумаги съ написанными на нихъ цифрами (для каждой цифры долженъ быть особый цвѣтъ), но я стою за почтовыя марки во-первыхъ потому, что собирать ихъ не такъ ужъ трудно, а во-вторыхъ учащіеся знакомятся съ существованіемъ особаго рода цѣнностей, имѣющихъ.

широкое распространеніе. Для школъ большихъ городовъ можно съ большимъ удобствомъ использовать трамвайные билеты, которые помимо отмѣченной на нихъ стоимости имѣютъ. еще нумера, это тоже своего рода хорошій ариѳметическій матеріалъ, которымъ не слѣдуетъ пренебрегать (соотв. рисунокъ будетъ данъ въ слѣд. №).

Е. Томашевичъ.

(Окончаніе слѣдуетъ).

О нѣкоторыхъ свойствахъ прямоугольниковъ.

Иввѣстно, что во всякомъ простомъ многоугольникѣ, имѣющемъ площадь (чер. 1), линія АВ+ВС+...+ЕА, ограничивающая его площадь, называется периметромъ. Слѣдовательно, периметромъ прямоугольника ABCD (чер. 2) будетъ сумма его сторонъ AB+BC+CD+DA. А такъ какъ противоположныя стороны прямоугольника равны, то периметръ прямоугольника равняется удвоенной суммѣ прилежащихъ сторонъ, т.-е.= =2 (АВ+ВС).

Рѣшимъ теперь такую задачу: можно ли получить прямоугольники различной формы, но одного и того же периметра, и каковы будутъ площади этихъ прямоугольниковъ? Для ясности, пусть данный периметръ будетъ равенъ 24 какимъ-нибудь линейнымъ единицамъ. Очевидно, что можно получить безчисленное мно-

Чер. 1. Чер. 2.

жество прямоугольниковъ, имѣющихъ такой периметръ,—достаточно только раздѣлить 24 пополамъ и брать за прилежащія стороны искомыхъ прямоугольниковъ числа, которыя въсуммѣ даютъ 12. Возьмемъ нѣсколько такихъ прямоугольниковъ. Примемъ PQ за единицу (чер. 3), тогда прямоугольники I, II, III и IV будутъ имѣтъ периметръ, равный 24 такимъ единицамъ PQ. Вычислимъ площади этихъ прямоугольниковъ.

Площадь I прямоугольн. (= 7 . 5)=35 соотвѣтствующ. кв. ед.

» II » (= 8. 4)=32 » » »

» III » (=Ц|.І)=5| » ь ь

» IV » ( = 11,9.0,1) = 1,19 » » »

Мы видимъ, что прямоугольники съ одинаковыми периметрами имѣютъ различныя площади въ зависимости отъ того, какъ выбраны ихъ стороны. Для даннаго случая получилось, что, чѣмъ больше отличаются другъ отъ друга прилежащія стороны прямоугольника, тѣмъ меньше его плошадь при томъ же периметрѣ. Покажемъ, что это не случайное свойство даннаго периметра, а общій законъ, примѣнимый безъ исключенія ко всѣмъ прямоугольникамъ, имѣющимъ произвольный, но одинаковый периметръ. Чтобы выяснить это, намъ придется сослаться на слѣдующее свойство прямоугольниковъ:

Чер. 3.

Если у двухъ прямоугольниковъ ABCD и EFGH (чер. 4) основанія равны (AB=EF), а высоты не равны (AD>EH),to тотъ прямоугольникъ, высота котораго больше, будетъ имѣть и большую площадь (пл. ABCD>iui. EFGH). Это свойство ясно видно въ томъ случаѣ, если мы наложимъ прямоугольникъ EFGH на прямоугольникъ AB CD такъ, чтобы EF совпала съ AB, тогда, очевидно, площадь EFGH помѣстится вся внутри площади ABCD.

Возьмемъ же теперь какой-нибудь прямоугольникъ KLMN (чер. 5). Пусть LM<KL. Измѣнимъ его стороны такъ, что большія увеличимъ, а меньшія уменьшимъ на ту же величину VM=LO. Получимъ прямоугольникъ KOPQ, имѣющій тотъ же самый периметръ, но разность прилежащихъ сторонъ котораго больше чѣмъ у перваго, т.-е.

KO—OP>KL—LM.

Посмотримъ, какъ измѣнится величина площади прямоугольника въ этомъ случаѣ. Площадь перваго прямоугольника (KLMN) состояла изъ площадей KLVQ и QVMN. Площадь новаго (KOPQ) состоитъ изъ той же площади KLVQ и изъ площади LOPV. Но

Чер. 4.

Чер. 5.

площадь LOPV меньше площади QVMN, такъ какъ это площади прямоугольниковъ, имѣющихъ равныя основанія (LO = MV), высота же прямоугольника LOPV меньше высоты прямоугольника NQVM [VL (<ML) <NM]. Слѣдовательно, площадь прямоугольника KOPQ, разность прилежащихъ сторонъ котораго больше, будетъ меньше площади перваго прямоугольника KLMN, у котораго прилежащія стороны разнились меньше.

Такимъ образомъ, подмѣченное нами на приведенномъ числовомъ примѣрѣ свойство прямоугольниковъ будетъ, какъ мы теперь показали, общимъ свойствомъ всѣхъ прямоугольниковъ. Отсюда ясно, что наибольшую площадь, изъ всѣхъ прямоугольниковъ съ даннымъ периметромъ, будетъ имѣть квадратъ, такъ какъ разность прилежащихъ сторонъ квадрата наименьшая (нуль).

Предположимъ теперь обратно, что площадь прямоугольника остается тою же, разность же прилежащихъ сторонъ мѣняется. Каковы будутъ периметры такихъ прямоугольниковъ? Изъ предыдущаго ясно, что въ этомъ случаѣ периметръ не можетъ оставаться прежнимъ. Дѣйствительно, если бы периметръ не измѣнился, то мы получили бы, что прямоугольники одного и того же периметра, но съ разными сторонами, имѣютъ одинаковыя площади. Слѣдовательно, съ измѣненіемъ сторонъ прямоугольника, имѣющаго данную площадь, будетъ мѣняться и его периметръ. Посмотримъ, какъ измѣнится периметръ прямоугольника, если, при той жз площади, разность прилежащихъ сторонъ его увеличится. Если бы мы предположили, что периметръ въ этомъ случаѣ уменьшится, то, сохранивъ постояннымъ этотъ уменьшенный периметръ, мы могли бы измѣнить стороны полученнаго прямоугольника такъ, что большая сторона сдѣлалась бы равной большей сторонѣ перваго прямоугольника. Такъ какъ тогда, при данномъ периметрѣ, разность между прилежащими сторонами уменьшилась бы, то, по предыдущему, площадь такого прямоугольника сдѣлалась бы больше данной. Съ другой же стороны, этотъ прямоугольникъ, какъ имѣющій съ первымъ одну сторону равную и периметръ меньшій, долженъ при наложеніи помѣститься весь внутри перваго. Очевидно, что эти два случая одновременно существовать не могутъ, и, слѣдовательно, при данной площади, тотъ прямоугольникъ, разность сторонъ котораго больше, имѣетъ и большій

периметръ. Отсюда получается, что изъ всѣхъ прямоугольниковъ, данной площади, квадратъ, разность прилежащихъ сторонъ котораго нуль, имѣетъ наименьшій периметръ.

Пояснимъ это примѣрами. Разсмотримъ различные прямоугольники, имѣющіе площади равныя 36 какимъ-нибудь квадратнымъ единицамъ. Примемъ KLMN за квадратную единицу (чер. 6), тогда прямоугольники I, II, III, IV, V будутъ искомыми.

Чер. 6.

Вычислимъ ихъ периметры.

Периметръ I (квадрата)=24 соотв. лин. един.

» II = 242/ö » » »

» III = 26 » » »

» IV = 30 » » >

» V = 40 » » »

Мы видимъ, дѣйствительно, что при той же площади (36 квадратныхъ единицъ), периметръ квадрата (24) наименьшій, и, чѣмъ больше разность прилежащихъ сторонъ прямоугольника, тѣмъ больше его периметръ.

Какъ примѣръ можно еще взять десятину. Если положить EF (чер. 7) равнымъ 10 саж., то прямоугольники со сторонами 1) 40 саж. и 60 саж. и 2) 30 саж. и 80 саж. будутъ различными изображеніями десятины.

Периметръ перваго=200 саж. » второго=220 саж.

Ра8смотрѣнныя свойства прямоугольниковъ (1. Изъ прямоугольниковъ одинаковаго периметра тѣ, разность прилежащихъ сторонъ которыхъ меньше, имѣютъ большую площадь. 2. Изъ прямоугольниковъ одинаковой площади тѣ, разность прилежащихъ сторонъ которыхъ меньше, имѣютъ меньшій периметръ) было бы хорошо на примѣрахъ, подобныхъ приведеннымъ, выяснить учащимся въ начальныхъ школахъ. Время для этого можно выбрать при прохожденіи квадратныхъ мѣръ. Тогда этотъ скучный для учащихся отдѣлъ оживился бы, знанія ихъ о площадяхъ прямоугольниковъ получили бы болѣе прочное основаніе, у нихъ появилось бы много матеріала для самостоятельной работы въ этомъ направленіи. Тѣмъ болѣе, что эти свѣдѣнія изъ геометріи, благодаря своей простотѣ и ясности вполнѣ доступны учащимся. Помимо же доступности и значенія для общаго развитія, разсмотрѣнныя свойства прямоугольниковъ имѣютъ большое практическое значеніе. Особенно учащимся въ сельскихъ начальныхъ школахъ — будущимъ крестьянамъ и крестьянкамъ—важно выяснить практическія слѣдствія изъ всѣхъ этихъ геометрическихъ построеній. Слѣдствія заключаются въ томъ, что любая постройка (изба, сарай, заборъ) займетъ большую площадь при меньшей затратѣ матеріала,

Чер. 7.

если форма ея будетъ ближе къ квадратной; такая земляная работа, какъ прорытіе канавъ, отгораживающихъ прямоугольные участки земли, потребуетъ меньше времени и силъ въ томъ случаѣ, если форма участковъ земли будетъ приближаться къ квадратной и т. д.

А. Цвѣткова.

Вопросъ объ умноженіи на дробь.

Указываемый заглавіемъ вопросъ принадлежитъ къ числу спорныхъ вопросовъ методики ариѳметики. Какъ учить умноженію на дробь? Въ большинствѣ случаевъ этотъ вопросъ, наиболѣе точно выражающій сущность дѣла, замѣняется другимъ: какъ лучше вывести правило для умноженія на дробь?

Такая постановка вопроса по существу дѣла не вѣрна.

Въ самомъ дѣлѣ, если я напишу g X 5, то я знаю смыслъ этого дѣйствія: это значитъ число g повторить 5 разъ слагаемымъ, — и могу, исходя изъ этого знанія, вывести правило для скорого выполненія всѣхъ подобныхъ умноженій, но если я напишу gXg, то нельзя приняться за выводъ правила для такого дѣйствія, такъ какъ смыслъ его совершенно неизвѣстенъ (нельзя же утверждать, что это значитъ число ^ повторить g раза слагаемымъ, такъ какъ выраженіе раза» не имѣетъ прямого смысла).

Необходимы поэтому нѣкоторые предварительные шаги, выполнивъ которые, можно приняться за выводъ правила.

Если не сдѣлать этихъ предварительныхъ шаговъ и сразу, какъ это иногда имѣетъ мѣсто, приняться за выводъ правила, то ясно, что первая ошибка (мы принимаемся за выводъ правила для дѣйствія, смыслъ котораго намъ еще не извѣстенъ) должна повлечь за собою и новыя ошибки; укажемъ на 2 изъ нихъ.

Приходилось слышать (а можетъ быть это имѣетъ мѣсто въ какомъ-либо учебникѣ ариѳметики или въ какомъ-либо задачникѣ для начальныхъ школъ) слѣдующій выводъ правила умноженія цѣлаго числа на дробь.

5Xg- Это все равно, что gX5, а это значитъ g увеличить въ 5 разъ, для чего надо числителя 3 дроби - умножить на 5,—получимъ или -J-— Итакъ, 5 х о = -ь—

Здѣсь ошибка ясна: мы еще не знаемъ какой смыслъ надо приписать новому для насъ дѣйствію умноженію на дробь (въ данномъ примѣрѣ дѣйствію: 5x|J, а уже пользуемся однимъ свойствомъ этого дѣйствія, что отъ перестановки множимаго и множителя произведеніе не измѣнится. Напомнимъ, что это свойство, называемое перемѣстителънымъ закономъ умноженія (этотъ законъ вообще выражается такъ: ab = ba)> узнано нами изъ разсмотрѣнія умноженія цѣлыхъ чиселъ. # # # • Такъ, изъ приведеннаго чертежа мы видимъ, Ф Ф Ф Ф что 4x3 все равно, что 3x41). Составить подобный чертежъ для умноженія 5xjj невозможно, а поэтому нельзя до поры до времени распространять перемѣстительный законъ умноженія, найденный нами для умноженія цѣлыхъ чиселъ, смыслъ котораго намъ извѣстенъ, на новое дѣйствіе—умноженіе на дробь, смыслъ котораго намъ еще не извѣстенъ.

Довольно распространенъ слѣдующій выводъ правила умноженія, напр., дроби на дробь (если не ошибаюсь, онъ былъ данъ въ прежнихъ изданіяхъ учебника ариѳметики гг. Малинина и Буренина).

Пусть требуется gX^- Отбросимъ во множителѣ знаменателя, т.-е. вмѣсто - возьмемъ 3, отъ чего множитель увеличится въ 3 раза; тогда придется дробь - умножать на 3, что умѣемъ: получимъ Такъ какъ множитель былъ нами увеличенъ въ 4 раза, то отъ этого и произведеніе увеличилось въ 4 раза, а поэтому, чтобы получить настоящее произведеніе, надо полученное уменьшить въ 4 раза,—тогда получимъ, что искомое произведеніе = —-і откуда и вытекаетъ правило умноженія дроби на дробь.

Этотъ выводъ также содержитъ ошибку. Въ самомъ дѣлѣ, то свойство произведенія, на которое ссылается этотъ выводъ (если множителя увеличить въ нѣсколько разъ, то отъ этого во столько же разъ увеличится произведеніе), извѣстно исключительно для цѣлыхъ чиселъ,—въ сущности это свойство является сочетательнымъ закономъ умноженія: пусть рѣчь идетъ о произведеніи 7x9; увеличимъ множителя 9 въ 4 раза,, т.-е. число 7 умножимъ не на 9, а на 9x4, — получимъ 7 X (9x4)сочетательный законъ говоритъ намъ, что 7х(9х4) =

1) Въ «Математическое Вѣстникѣ» № 3 за 1914 г. была напечатана особая статья, посвященная перемѣстительному и сочетательному законамъ умноженія.

= (7х9)х4, откуда и видно, что дѣйствительно первоначальное произведеніе (7x9) здѣсь увеличивается въ 4 раза. Сочетательный законъ установленъ для цѣлыхъ чиселъ изъ разсмотрѣнія группъ предметовъ2). Такъ какъ подобныя группы предметовъ нельзя составить для дробныхъ чиселъ, то мы и не имѣемъ права пользоваться имъ для умноженія Ц х |> смыслъ котораго намъ еще не извѣстенъ.

Все вышеизложенное заставило искать выхода изъ указанныхъ затрудненій. Этотъ выходъ сначала хотѣли видѣть въ установленіи общаго опредѣленія дѣйствія умноженія: умножить значитъ изъ множимаго составить новое число такъ, какъ множитель составленъ изъ единицы. Однако въ послѣднее время указываютъ на туманность такого опредѣленія, которая можетъ привести къ совершенно нежелательнымъ результатамъ.

Такъ, пусть надо 5Хд- Множитель ^ можно составить изъ единицы такъ: (1 + 1) : (1 + 1 + 1), т.-е. надо единицу повторить сначала 2 раза слагаемымъ, потомъ повторить 3 раза слагаемымъ и первое изъ полученныхъ чиселъ раздѣлить на второе. Сдѣлаемъ то же самое съ числомъ 5; получимъ (5+5) : (5 + 5-1-5) =—=-9 что, очевидно, не годится3).

Были попытки вовсе отказаться отъ разсмотрѣнія умноженія на дробь, какъ самостоятельнаго дѣйствія, причемъ тѣ вопросы, которые слѣдовало бы рѣшать при помощи этого дѣйствія, тогда приходилось бы рѣшать двумя дѣйствіями: дѣленіемъ на цѣлое число и умноженіемъ на цѣлое число. Такъ, если надо вычислить площадь прямоугольника, длина котораго = 8^ вершк. и ширина = I вершка, то надо было разсуждать такъ: если бы ширина прямоуг-ка была 1 вершокъ, то площадь равнялась бы 8,- кв. вершк.; если бы ширина была = - вершка, то площадь уменьшилась бы въ 3 раза,—надо 8^ : 3; если, теперь, ширина =| вершка, то плошадь должна быть больше въ 2 раза, т.-е. искомая площадь = ^8^ : З^ . 2 кв. вершк.

Такое отношеніе къ интересующему насъ теперь дѣйствію признать правильнымъ нельзя,—оно противорѣчитъ общему стремленію математики, имѣющему мѣсто при всякомъ обоб-

2) См. статью, указанную въ предыдущемъ подстрочномъ примѣчаніи.

3) См. по этому поводу статью И. Н. Симонова въ № 2 за 1915 р.«Объ умноженіи на дробь» и замѣчанія по поводу этой статьи (По поводу статьи И. Симонова «Объ умноженіи на дробь») Н. Извольскаго (въ томъ же № «Матем. Вѣстн.»).

щеніи понятія о числѣ; мы стремимся сдѣлать такъ, чтобы и надъ новыми числами мы могли бы выполнять всѣ дѣйствія.

Поэтому нѣкоторые изъ педагоговъ-математиковъ стремятся приблизиться къ теоретической точкѣ зрѣнія. А эта точка зрѣнія такова: введя дробныя числа, мы расширили понятіе о числѣ; мы должны теперь расширить понятія о дѣйствіяхъ, измѣнить даже, быть можетъ, нѣсколько ихъ смыслъ такъ, чтобы эти дѣйствія могли быть выполняемы какъ надъ старыми, такъ и надъ новыми числами, при чемъ должны остаться въ силѣ всѣ законы дѣйствій и не должно быть какого-либо противорѣчія съ тѣми дѣйствіями, которыя мы знали для цѣлыхъ чиселъ.

Для проведенія этой точки зрѣнія на практикѣ возможны различные пути.

1. Условимся подъ именемъ «умноженіе дробей» понимать слѣдующее дѣиствіе: т.-е. мы условливаемся понимать подъ именемъ «умноженіе дробей» дѣйствіе, состоящее въ томъ, что для каждыхъ двухъ данныхъ дробей составляется новая дробь, называемая произведеніемъ двухъ данныхъ, числителемъ которой служитъ произведеніе числителей данныхъ дробей и знаменателемъ — произведеніе ихъ знаменателей. Послѣ этого мы должны показать, что всѣ законы умноженія, установленные для умноженія цѣлыхъ чиселъ, остаются въ силѣ и здѣсь. Законы умноженія цѣлыхъ чиселъ таковы: 1) умноженіе всегда возможно, 2) умноженіе однозначно (даетъ всегда лишь одинъ результатъ), 3) перемѣстительный законъ : (ab=ba), 4) сочетательный законъ : а . (be) = (ab) . с, 5) законъ монотоніи: если число а больше числа 6, то и число ас больше числа be и 6) распредѣлительный законъ, связывывающій умноженіе со сложеніемъ: а. (b+c) = ab-{-ac. Легко, исходя изъ выше даннаго опредѣленія умноженія, показать, что и для новаго умноженія всѣ законы остаются въ силѣ. Легко также показать, что новое опредѣленіе умноженія не повлечетъ за собою какого-либо противорѣчія съ прежнимъ. Такъ, если надо 5.6, то мы, согласно новому опредѣленію, должны каждое изъ этихъ двухъ чиселъ замѣнить дробью: 5 . 6 = -•= -^— = 5.6—противорѣчія съ прежнимъ здѣсь не имѣется.

2. Что значитъ, напр.,-х^ мы пока еще не знаемъ, и мы безсильны что-либо здѣсь сдѣлать, напр., вывести правило для такого умноженія, до тѣхъ поръ, пока мы чего-либо не примемъ условно для этого новаго дѣйствія. Это обстоятельство должно быть въ первую очередь сообщено учащимся. Условимся (не надо скрывать отъ учащихся этого), что для этого новаго умноженія справедливъ тотъ же сочетательный

законъ, какой имѣетъ мѣето для умноженія цѣлыхъ чиселъ. Когда такое условіе сдѣлано, можно приняться за выводъ правила умноженія дроби на дробь въ томъ порядкѣ, какъ это выше указано (увеличимъ множитель | въ 4 раза, отъ чего произведеніе увеличится также въ 4 раза и т. д.).

Такой способъ научить учащихся умноженію дробей отличается отъ выше приведеннаго вывода правила (имѣющагося, если не ошибаюсь,—это уже выше было указано—въ старыхъ изданіяхъ учебника гг. Малинина и Буренина) тѣмъ, что здѣсь не стараются скрыть отъ учащихся имѣющееся затрудненіе, а наоборотъ откровенно говорятъ, что мы безсильны что-либо сдѣлать, если не условимся перенести какое-либо свойство умноженія цѣлыхъ чиселъ на вновь разсматриваемое дѣйствіе,—умноженіе на дробь.

3. Указываютъ, что сочетательный законъ умноженія обычно въ курсѣ ариѳметики цѣлыхъ чиселъ не вырисовывается для учащихся достаточно рельефно, чтобы теперь, при разсмотрѣніи умноженія на дробь, выдвинуть его на первое мѣсто. Надо — слѣдовательно, если мы хотимъ въ вопросѣ объ умноженіи на дробь провести только что изложенную точку зрѣнія, позаботиться о томъ, чтобы въ курсѣ цѣлыхъ чиселъ побольше обратить вниманія на этотъ законъ, чтобы потомъ уже не опасно было утверждать «условимся, что для новаго умноженія сочетательный законъ остается справедливымъ». Быть можетъ, лучше было бы основать выводъ правила умноженія на дробь не при помощи условія о сохраненіи сочетательнаго закона, относительно котораго трудно добиться, чтобы онъ отчетливо рисовался въ сознаніи учащихся, а при помощи условія о сохраненіи распредѣлительнаго закона, которымъ постоянно пользуются при изученіи умноженія цѣлыхъ чиселъ. Распредѣлительный законъ выражается въ видѣ а . (6+ c) = ab+ac или (а+6). с=ас+Ьс.

Этимъ закономъ постоянно пользуются при умноженіи цѣлыхъ чиселъ. Напр., 13 х 24=13 х (20+4)=13x20+13x4=260+52= =312 или 28 X 7 = (20+8) х 7 = 20 х 7+8 х 7 = 140+56 = 196. Поэтому обращеніе къ распредѣлительному закону съ методической точки зрѣнія проще, чѣмъ обращеніе къ сочетательному закону.

Итакъ, условимся, что для новаго умноженія (умноженія на дробь) справедливъ распредѣлительный законъ.

Мы знаемъ:

Мы можетъ замѣнить 1 черезъ 7+7+7+7' получимъ:

Такъ какъ мы условились, что распредѣлительный законъ остается въ силѣ, то лѣвая часть предыдушаго равенства можетъ быть написана иначе, а именно ^Хт+^Хт+нХт+^Хт*

Итакъ, имѣемъ: gX4+8X 4+8 Х4+8Х4==8'

Такъ какъ лѣвая часть этого равенства является суммою четырехъ совершенно одинаковыхъ слагаемыхъ (каждое слагаемое есть gX^j и эта сумма = ^ то каждое изъ этихъ слагаемыхъ должно равняться четвертой части всей суммы, т.-е. должно быть въ 4 раза меньше числа Поэтому

8А4 8 * 4 8.4

Если теперь мы возьмемъ 3 изъ нашихъ четырехъ слагаемыхъ, 5 15 15 1 т'"е* 8 Х4"^~8 Х4~^~8 х4' то согласно распредѣлительному закону эта сумма можетъ быть написана въ видѣ: или -Х^ и 2) эта сумма трехъ слагаемыхъ должна быть въ 3 раза больше только что полученнаго числа -g—Итакъ,

8Х4~"8 .4XÖ~8TT

4. Три изложенныхъ способа обученія умноженію на дробь имѣютъ въ виду главнымъ образомъ стремленіе вывести поскорѣе правило для такого умноженія. Возможно смотрѣть на дѣло иначе. Сущность вопроса состоитъ въ томъ, что слѣдуетъ какъ-либо достигнуть того, чтобы учащіеся 1) признали, что удобно ввести новое дѣйствіе. (умноженіе на дробь), приписавъ ему извѣстный смыслъ, и 2) усвоили самый смыслъ этого дѣйствія. Чтобы вести обученіе въ этомъ направленіи, начнемъ съ рѣшенія задачи, напримѣръ, слѣдующей: поѣздъ въ часъ проходитъ 30 верстъ; сколько верстъ онъ пройдетъ бъ - часа?

Для рѣшенія этой задачи понадобится найти ^ части отъ 30 верстъ. Поэтому записываемъ рѣшеніе этой задачи такъ, какъ это сдѣлано слѣва:

4) Этотъ выводъ правила умноженія на дробь имѣется въ руководствѣ А. Н. Шапошникова, «Введеніе въ алгебру».

Послѣ рѣшенія этой задачи даемъ рядъ другихъ задачъ: 1) Поѣздъ въ часъ проходитъ 30 верстъ; сколько верстъ онъ пройдетъ въ 4часа? надо 30 X 4. 2) Поѣздъ въ часъ проходитъ 30 верстъ; сколько верстъ онъ пройдетъ въ 5 часовъ? Надо 30x5 и т. д. Удобно было бы, чтобы и предыдущая задача (сколько верстъ поѣздъ пройдетъ въ | часа?) рѣшалась также умноженіемъ, такъ какъ она по своему содержанію сходна съ разсмотрѣнными сейчасъ задачами. Поэтому согласимся рѣшеніе и этой задачи записывать умноженіемъ, т.-е. 30 х^- Поэтому получаемъ для рѣшенія нашей задачи болѣе краткую запись—она дана выше справа и, сравнивая ее съ лѣвою записью, мы видимъ, какой именно смыслъ мы согласились признавать за новымъ дѣйствіемъ, умноженіемъ на дробь. Изъ сравненія записей налѣво и направо мы видимъ, что смыслъ этого дѣйствія таковъ: 30 умножить на | — это значитъ найти ? отъ 30.

Проработаемъ въ томъ же направленіи нѣсколько другихъ задачъ (напр., фунтъ муки стоитъ 6 коп.; сколько стоятъ 3 g фунта этой муки? и т. п.); и тогда учащіеся запечатлѣютъ въ своемъ сознаніи тотъ смыслъ, который оказалось удобнымъ приписать умноженію на дробь.

Не слѣдуетъ спѣшить съ выводомъ правила. Рядъ упражненій надо продѣлать безъ правила, а пользуясь непосредственно установленнымъ смысломъ умноженія на дробь.

Вотъ примѣрныя упражненія: 32 X g—это значитъ найти g отъ 32; ищу - отъ 32,—она равна 4 (надо 32:8); слѣд., 5 g отъ 32 равны 20 (надо 4x5). Такъ какъ здѣсь вычисленія очень просты, то записать придется лишь: 32Xg = 20 (подобно тому, какъ въ ариѳметикѣ цѣлыхъ чиселъ часто пишутъ лишь конечный результатъ, напр. 24x15 = 360). Далѣе, 7-Х^ —это значитъ найти ~ отъ 7^- Легко опять въ умѣ сообразить, что отъ 7^ = 2-, а - отъ 7^ въ 2 раза больше. Записать придется въ такомъ видѣ: 7-х^ = 2^x2 = 5, а можетъ быть тоже лишь конечный результатъ, т.-е. 7-х^ = 5. Далѣе 18х^ —это значитъ найти у отъ 18. Легко въ умѣ найти , отъ 16, , отъ 16=12; надо еще найти - отъ 2; - отъ 2 = -? а^ отъ 2 = ^x3 = 1-'

Поэтому возможна такая запись 18 Хг=12+-х 3 = 12+1-=

Полезно проработать въ такомъ же направленіи умноженіе на смѣшанное число: 15x5— Если бы мы написали просто 15x5, то это значило бы 15 повторить 5 разъ слагаемымъ, а если бы было написано только 15 х^ то это значило бы найти с отъ 15. Соединяя это вмѣстѣ, получимъ: 15х55 значитъ повторить 15 слагаемымъ 5 разъ, да еще прибавить къ полученному числу ^ отъ 15. Такъ какъ и то и другое легко выполнить въ умѣ, то возможна слѣдующая запись: 15x5^=75 + 10=85. Также gXl6- — это значитъ ^ повторить слагаемымъ 16 разъ, да еще прибавить къ полученному числу отъ ъ. хХІб получится 6 (въ умѣ); - отъ - составитъ —I £ отъ g есть g' а g отъ g въ 2 раза меньше, т.-е. Ь а g отъ ^ равны, слѣдовательно, не —і а yg* Поэтому записываемъ: ^х 16^=

Отсюда, между прочимъ, вытекаетъ слѣдствіе: такъ называемое правило «чтобы перемножить смѣшанныя числа, надо превратить ихъ въ неправильныя дроби» должно быть вовсе удалено изъ курса, такъ какъ изъ предыдущаго ясно, что вовсе нѣтъ необходимости непремѣнно такъ поступать,—во многихъ случахъ именно не слѣдуетъ дѣлать такъ, какъ говоритъ это «правило». Очень непріятно бываетъ видѣть, напр., выполненіе умноженій, подобныхъ слѣдующимъ, направляемое этимъ правиломъ:

^ 12Х3=2Х3 = 2"Л==1 сразу видно, что g отъ І^ есть-, а слѣдовательно ^ отъ 1- = 1).

2) 7Х 81=7x^=7—^=6 г (здѣсь все выполняется легко въ умѣ: £ повторить 8 разъ получится о и ^ отъ - есть -I.

3) ^ 2=2~~2=Т 4 (все легко выполнить въ умѣ: 2-повторить 4 раза получимъ 10, найти - отъ 2^ — получимъ 1-, поэтому 2|х4|=10+і|=1і| )•

Далѣе появляются упражненія, которыя должны повести къ выводу ряда соотвѣтств. правилъ. 1) 27 —это значитъ найти — отъ 27; ищу — отъ 27 (пишу — h ищу — отъ 27,—надо полученную дробь ^ увеличить въ 11 разъ, и тогда появляется вапись: 27Хт^=—т'т—=•••

Рядъ подобныхъ примѣровъ приведетъ къ запоминанію механическаго выполненія умноженія цѣлаго числа на дробь, и получается соотвѣтственное правило. Однако оно можетъ эапечатлѣться въ сознаніи учащихся не въ формѣ обычной фразы: чтобы умножить цѣлое на дробь, надо цѣлое число умножить на числителя и раздѣлить полученное произведеніе на знаменателя, а хотя бы въ такой формѣ: надо написать черту, надъ нею данное цѣлое число и числителя данной дроби, между ними точку, а подъ чертою знаменателя дроби.

2) ^х^ — это значитъ найти ^ отъ -• Ищу сначала ^ отъ. - (пишу g—gb ищу эатѣмъ ^ отъ -> для чего полученную дробь увеличиваю въ 5 разъ (тогда въ числителѣ предыдущей дроби -~ добавляю множителя 5, и получается запись ^-—^ •

Рядъ подобныхъ примѣровъ позволитъ учащимся запомнить механическій порядокъ выполненія умноженія дроби на дробь; однако этотъ порядокъ можетъ запечатлѣться не въ обычной формѣ, а, напримѣръ, въ такой: надо надъ чертою написать числителей и между ними точку, а подъ чертою — знаменателей и между ними точку.

3) 7— ХЗд* Здѣсь уже неудобно пользоваться непосредственно смысломъ умноженія, и удобнѣе свести къ умноженію дроби на дробь, т.-е. 7^x3^=^ Ху=--- Рядъ подобныхъ примѣровъ приведетъ къ положенію, что иногда для умноженія смѣшанныхъ чиселъ удобно бываетъ обратить ихъ въ неправильныя дроби.

Точка зрѣнія, изложенная въ послѣднемъ пунктѣ настоящей статьи, въ послѣднее время пріобрѣтаетъ все болѣе и болѣе сторонниковъ. Уже въ учебникѣ ариѳметики А. П. Киселева она именно и намѣчается, однако разработка ея врядъ ли достаточно полна, такъ какъ тамъ слишкомъ замѣтно стремленіе скорѣе вывести правило, ту же точку зрѣнія, однако опять-таки со стремленіемъ скорѣе вывести правило, можно видѣть въ докладѣ К. Ѳ. Лебединцева, прочитанномъ на 1-мъ. Съѣздѣ преподавателей математики въ Петроградѣ 1912—13 г. (см. «Труды Съѣзда», томъ И, стр. 218—223).

Та же точка зрѣнія имѣется и въ моемъ учебникѣ ариѳметики, начиная со 2-го изданія (правила здѣсь также имѣются, но они нѣсколько отодвинуты назадъ; думается, ихъ слѣдовало бы отодвинуть еще дальше).

Н. Извольскій.

Добавленіе.

Редакціею получено отъ г. К. Б. Пеніонжкевича (Петроградъ) слѣдующее замѣчаніе по вопросу объ умноженіи на дробь.

«Въ статьѣ г. редактора журнала Н. Извольскаго на стр. 51 № 2 «Мат. Вѣстн.» за 1915 г. по поводу статьи И. Симонова »Объ умноженіи на дробь» приведенъ примѣръ, якобы въ корнѣ подрывающій всю цѣнность Ньютонова (Коши) опредѣленія умноженія на дробь. На самомъ же дѣлѣ указанный примѣръ въ такомъ видѣ, какъ онъ приведенъ на стр. 51 (строки 8—9) разработанъ неправильно. Ньютоново опредѣленіе говоритъ, что изъ множимаго составляется произведеніе такъ, какъ множитель составляется изъ единицы. Весь вопросъ и заключается въ томъ именно, какъ различныя числа составляются изъ единицы. Во всякомъ случаѣ: \/2=\/і2+12; 1/2= j/l3+l3....j/2= j/l5-f-l5 (аналогія въ геометріи). Поэтому при умноженіи j/3. |/2имѣемъ: 1) |/2=і/іЩ* и 2) j/3 . \/2=|/(і/3)*+(у'3)2 = =j/3+3=j/6, что справедливо.

Возьмемъ еще примѣръ: \/3.]/2. Замѣчаемъ, что у2 = |/Р+Г3"; тогда v/3.J/2=|/(j/3)3+(j/3)3=J/3|/3+3^3= что также справедливо». Итакъ, Ньютоново опредѣленіе получило новое разъясненіе и для случая j/З . j/2, указываемаго на стр. 51 № 2 «Мат. Вѣстн.» Съ моей точки зрѣнія уже то обстоятельство, что Ньютоново опредѣленіе для примѣненія его къ различнымъ случаямъ умноженія требуетъ различныхъ разъясненій, является достаточнымъ, чтобы признать, что такое опредѣленіе для обученія математикѣ не годится. Для сторонниковъ же этого опредѣленія прибавлю еще слѣдующія замѣчанія: 1) Достойно вниманія, что г. Пеніонжкевичъ, для оправданія равенства j/2=j/l2+l*, даетъ ссылку на геометрію, имѣя въ виду, вѣроятно, ученіе объ однородности. Почему, въ такомъ случаѣ, при составленіи изъ единицы дроби - нельзя, а это было бы

послѣдовательно, смотрѣть на дробь какъ на (аналогія въ геометріи: отношеніе двухъ отрѣзковъ)? Почему защитники Ньютонова опредѣленія должны признавать форму ^-—-р- для дроби искусственной, а форму j/l2+l2 для числа |/2 естественною? 2) Извѣстно, что желаніе распространить Ньютоново опредѣленіе умноженія на числа со знаками приводитъ къ тому, что говорятъ: надо изъ множимаго составить произведеніе, какъ множитель составленъ изъ положительной единицы. Пусть надо (+4) . (—3). Неужели же возможно число —3 составить изъ положительной единицы? Не парадоксально ли это? 3) Интересно было бы разъяснить еще одинъ случай умноженія, а именно 3 .}/—2.

Н. Извольскій.

Редакціонная замѣтка.

Редакціею получено письмо, выражающее недоумѣніе по поводу статьи Е. С. Томашевича «Ариѳметическіе парадоксы», напечатанной въ № 2 за 1915 г. «Мат. Вѣстн.». Авторъ не представляетъ себѣ возможности использовать матеріалъ, данный въ этой статьѣ, для цѣлей преподаванія.

По нашему убѣжденію авторъ письма далеко не правъ. Однако, въ виду того, что вопросъ о томъ, какъ использовать даваемый этою статьею матеріалъ, въ статьѣ детально не разсмотрѣнъ, мы предполагаемъ, что подобныя сомнѣнія могли бы возникнуть и у другихъ читателей. Поэтому позволяемъ себѣ здѣсь нѣсколько остановиться на вопросѣ о педагогическомъ значеніи статьи «Ариѳметическіе парадоксы».

Прежде всего не подлежитъ сомнѣнію, что въ этой статьѣ указаны интересные ариѳметическіе факты, неизвѣстные для цѣлаго ряда читателей. Съ педагогической точки зрѣнія знакомство учащихся хотя бы съ нѣкоторыми изъ этихъ фактовъ должно служить противовѣсомъ механическому заучиванію правилъ. Ученики часто не разграничиваютъ между собою двухъ понятій: 1) сказать правило и 2) объяснить его. Если желательно, чтобы у учащихся выработалось сознаніе необходимости объяснять всякое, высказанное ими, правило, то однимъ изъ средствъ для этого могутъ послужить тѣ парадоксальныя «правила», которыя имѣютъ мѣсто въ статьѣ Е. С. Томашевича.

Какъ именно для этой цѣли слѣдуетъ пользоваться тѣми фактами, которые изложены въ этой статьѣ, это зависитъ отъ общаго направленія учебнаго дѣла. Возможенъ, напр., такой пріемъ. Пусть ученику пришлось умно-

жать дроои — и —; ученикъ выполнилъ это умноженіе согласно заученному имъ правилу («надо числителя умножить на числителя и т. д.») и получилъ результатъ ~. Тогда возможно поставить вопросъ: а правда ли это? И если ученикъ не умѣетъ объяснить справедливость того правила, на основаній котораго было имъ выполнено умноженіе, то преподаватель укажетъ, что этотъ же результатъ возможно получить и иначе, а именно «надо сложить числителя съ числителемъ, знаменателя со знаменателемъ», т.-е. —. ^=^гт-^о=т7т* Для этого примѣра результатъ получился тотъ же самый, но если взять другой примѣръ, напр. |х|г> то результаты получатся различные въ зависимости отъ того, по какому правилу производить вычисленіе: по правилу ли, сказанному ученикомъ, или по правилу, сказанному учителемъ: [1) -х^=^; 2) дХ^= !~!==^==1]. Какой же изъ этихъ двухъ результатовъ справедливъ? И только тогда за таковой можно признать первый, когда ученикъ (или кто-либо изъ его товарищей) сумѣетъ объяснить то правило, какое этимъ ученикомъ было сказано сначала. Когда, наконецъ, это будетъ сдѣлано, возможно попытаться даже ученикамъ 2-го, 3-го классовъ предложить работу подыскиванія такихъ примѣровъ, для которыхъ справедливо правило, сказанное преподавателемъ. Конечно, въ младшихъ классахъ это возможно при значительной помощи со стороны преподавателя, но въ старшихъ классахъ возможно остановиться и на тѣхъ общихъ соображеніяхъ, какія изложены въ подстрочныхъ примѣчаніяхъ къ статьѣ Е. С. Томашевича (имъ возможно придать и иную форму) и тѣмъ самымъ дать учащимся интересную работу, состоящую въ изысканіи извѣстныхъ, почему-либо, заслуживающихъ вниманія, фактовъ въ области ариѳметики. Какъ указано въ статьѣ E.С. Томашевича, возможны и другіе, не менѣе интересные, факты, въ этой статьѣ не указанные.

Не подлежитъ сомнѣнію, что авторъ статьи не думаетъ, что все, излагаемое имъ въ этой статьѣ, должно быть сообщено ученикамъ. Конечно, нѣтъ. Но проработать въ вышеизложенномъ порядкѣ (а, можетъ быть, и въ какомъ-либо иномъ, въ зависимости отъ взгляда преподавателя) одинъ, два примѣра изъ числа указанныхъ въ статьѣ Е. С. Томашевича — явится и интересною и поучительною работою.

Въ заключеніе укажемъ, что подъ вліяніемъ этой статьи въ одной изъ Московскихъ женскихъ гимназій была на письменномъ экзаменѣ для ученицъ 8-го кл. по ариѳметикѣ пред-

ложена тема, предметомъ которой являлось изысканіе паръ чиселъ, сумма которыхъ равна ихъ произведенію (конечно, это было возможно при условіи, что въ теченіе года на этотъ ариѳметическій фактъ было обращено вниманіе ученицъ).

Хроника.

Московскій Математическій Кружокъ. 12 февраля 1915 г. состоялось четвертое въ текущемъ учебн. году засѣданіе Кружка подъ предсѣдательствомъ проф. Б. К. Млодзѣевскаго. Было прочитано 2 доклада: 1) М.Ѳ. Бергъ, Ученіе о конгруэнтности въ элементарной геометріи, и 2) Е. С. Томашевичъ, Клѣтчатая бумага и почтовыя марки, какъ счетное пособіе (докладъ печатается въ наст. нумерѣ «Мат. Вѣстн.»).

12-го марта состоялось, также подъ предсѣдательствомъ проф. Б. К. Млодзѣевскаго, пятое засѣданіе Кружка, на которомъ былъ прочитанъ докладъ К. Ѳ Лебединцева «Опытъ изложенія ученія о простѣйшихъ функціяхъ и ихъ графикахъ въ средней школѣ», при чемъ были показаны работы и чертежи учениковъ, сдѣланные въ этомъ направленіи.

9-го апрѣля состоялось, также подъ предсѣдательствомъ проф. Б. К. Млодзѣевскаго, шестое и послѣднее въ 1914—15 учебн. году засѣданіе Кружка, на которомъ были сдѣланы два доклада: 1) П. А. Карасевъ, Наглядныя пособія при преподаваніи геометріи. По мнѣнію докладчика, преподаваніе геометріи надо начинать съ числовыхъ примѣровъ, затѣмъ должна идти формула и, наконецъ, геометрическое свойство. При такомъ методѣ преподаванія геометріи главную роль должны играть подвижныя модели, такъ какъ онѣ, съ одной стороны, могутъ дать необходимый для вывода формулы, числовой матеріалъ, съ другой же, помогаютъ подмѣтить геометрическое свойство разсматриваемаго образа. Докладчикомъ былъ показанъ цѣлый рядъ такихъ подвижныхъ моделей. Докладчикъ указывалъ также и на неподвижныя модели, не при давая, впрочемъ, имъ большого методическаго значенія. 2) Н. Г. Богуславская, Самодѣльныя наглядныя пособія по ариѳметикѣ. Этотъ докладъ былъ вызванъ докладомъ Е. С. Томашевича, сдѣланнымъ на четвертомъ засѣданіи Кружка. Докладчицей былъ показанъ рядъ наглядныхъ пособій, сдѣланныхъ ученицами и служащихъ для обученія счету, для выясненія дѣйствій надъ цѣлыми числами, для усвоенія различныхъ системъ мѣръ, для знакомства съ дробями и для приведенія простѣйшихъ дробей къ одному знаменателю.

Свѣдѣнія о книгахъ по математикѣ и ея методикѣ.

Е. И. Игнатьевъ, Задачникъ по ариѳметикѣ для приготовительныхъ классовъ среднихъ учебныхъ заведеній. Петроградъ, 1915. Изданіе Т-ва А. С. Суворина — «Новое Время». Цѣна 50 коп.

Въ краткомъ предисловіи авторъ указываетъ: «Хотя въ приготовительные классы нашихъ среднихъ школъ обыкновенно поступаютъ дѣти съ нѣкоторой подготовкой, тѣмъ не менѣе подготовка эта въ большинствѣ случаевъ бываетъ столь недостаточной,... что учителю приходится начинать все съ самаго начала». Поэтому авторъ начинаетъ свой задачникъ съ самыхъ начальныхъ упражненій въ предѣлѣ до 10, и этотъ концентръ, область чиселъ 1—10, разрабатывается «не только со всевозможной наглядностью, но и съ той всесторонностью, которая необходима и вмѣстѣ доступна даже самому младшему ученику средней школы» (вѣроятно, надо понимать приготовительнаго класса). Это обстоятельство весьма сближаетъ этотъ задачникъ съ такимъ, который былъ бы умѣстенъ въ начальной школѣ. Получается даже при чтеніи этого задачника впечатлѣніе, что будто бы онъ написанъ для начальной школы и только заглавіе задачника и предисловіе указываютъ на иную цѣль автора. Думается, напримѣръ, что для приготовительнаго класса не нужна бы была 1-я страница задачника, гдѣ даны названія первыхъ десяти чиселъ, ихъ обозначеніе цифрами и ихъ образное представленіе при помощи группъ вишенъ (вишни нарисованы), не надо было бы каждую задачу на сложеніе, на вычитаніе въ предѣлѣ 1—10 иллюстрировать рисункомъ: задача «Къ тремъ колокольчикамъ прибавить столько же, — сколько будетъ?» иллюстрирована рисункомъ, на которомъ слѣва нарисовано 3 колокольчика и справа 3 и т. д. Въ виду этого обстоятельства станемъ здѣсь разсматривать этотъ задачникъ такъ, какъ будто бы имъ пользуются для обученія ариѳметикѣ съ самаго начала.

Во многихъ мѣстахъ задачника можно подмѣтить нѣкоторую поспѣшность, иногда непослѣдовательность, отчасти недостатокъ руководящихъ мыслей; послѣднее обстоятельство заставляетъ пожалѣть объ отсутствіи хотя бы нѣкоторыхъ методическихъ поясненій1): если бы эти поясненія были, то можетъ быть не появилось бы при разсмотрѣніи задачника впечатлѣніе отсутствія въ нѣкоторыхъ мѣстахъ руководящей мысли.

1) Укажемъ, кстати, что недавно вышелъ еще задачникъ, предназначенный уже для начальныхъ школъ: Е. И. Игнатьевъ и А. В. Цингеръ, Начальный задачникъ по ариѳметикѣ. Ч. І и Ч. II (по 20 коп.). Изданіе Т-ва И. Д. Сытина. Москва, 1915 (I часть) и 1914 (II часть). Первая часть этого задачника имѣетъ привлекательную внѣшность (много рисунковъ, при чемъ даже введена красная краска), но въ ней нѣтъ никакихъ методическихъ поясненій, нѣтъ даже предисловія, — и многое оказывается совершенно непонятнымъ. Вторая .часть этого задачника чрезвычайно похожа (очень много одинаковыхъ упражненій и задачъ) на разбираемый здѣсь задачникъ.

Пояснимъ предыдущую общую мысль примѣрами.

1. Непонятно, почему авторъ остановился на странной схемѣ вопроса въ №№ 26—29: «Чѣмъ (?) 9 палочекъ больше 5 палочекъ?» Вѣдь этотъ вопросъ совпадаетъ съ вопросомъ «на сколько?», имѣющемъ мѣсто въ №№ 18-—23. Если авторъ хотѣлъ, чтобы дѣти выполняли здѣсь упражненія, непремѣнно по схемѣ 9-? = 5, указываемой при рѣшеніи задачъ 26—292), то единственно правильною формою вопроса была бы: сколько палочекъ надо отнять отъ 9 палочекъ, чтобы осталось 5? Такая форма вопроса имѣется въ № 258. Если бы авторъ дѣйствительно признавалъ заслуживающею по какимъ-либо, нигдѣ не упоминаемымъ, соображеніямъ форму вопросовъ, имѣющихся въ №№ 26—29, необходимою, то, казалось бы, такая же форма должна была бы имѣть мѣсто, среди другихъ, и на стр. 27, гдѣ имѣются упражненія на вычитаніе въ предѣлѣ 1—20 и на стр. 57, гдѣ разсматривается вычитаніе въ предѣлѣ 100. Этотъ примѣръ съ одной стороны производитъ впечатлѣніе отсутствія у автора руководящей мысли, а съ другой — вызываетъ сомнѣніе въ цѣлесообразности указываемаго вопроса. Жаль, что авторомъ не дано поясненій.

Кстати отмѣтимъ еще мелкую странность. Въ № 30 впервые встрѣчается терминъ вычесть: «Изъ 10 палочекъ вычесть 6, сколько останется? Далѣе вплоть до стр. 51, гдѣ уже упражненія на сложеніе и вычитаніе въ полномъ разгарѣ, намъ не удалось встрѣтить этого термина. А между тѣмъ вопросы о томъ, какъ и когда ввести этотъ терминъ въ обиходъ дѣтей, какія упражненія для этого нужны, вовсе не маловажные, и врядъ ли хорошо то поверхностное къ нему отношеніе, какое имѣетъ мѣсто въ задачникѣ г. Игнатьева.

2. Изъ упражненій стр. 10 явствуетъ, что г. Игнатьевъ, согласно обычаю многихъ нѣмецкихъ методистовъ, множитель пишетъ впереди т.-е. 2x3, согласно его обозначенію, значитъ взять число '3 слагаемымъ 2 раза (3+3), но, повидимому, и самъ авторъ не всегда держится этого обычая. Такъ на стр. 58—59, гдѣ всѣ предварительныя упражненія, напечатанныя и цифрами и рисунками, говорятъ о томъ, что число 2 берется слагаемымъ нѣсколько разъ (отъ одного до десяти разъ), вдругъ появляются въ № 570 упражненія 2x12, 2x22,... 2x35...

Здѣсь имѣется и другое недоразумѣніе. Умѣстны ли на стр. 59 указанныя упражненія: 2x12, 2x22,... 2x35..., ? Всѣ остальныя упражненія на этой страницѣ вращаются въ области чиселъ 1—20. (Число 2 берется слагаемымъ самое большее 10 разъ). Это недоразумѣніе усиливается, если сравнить стр. 59 со стр. 61, гдѣ разрабатывается умноженіе числа 3, при чемъ 3 берется слагаемымъ самое большее 10 разъ, со стр. 63, гдѣ то же самое дѣлается съ числомъ 4 и т. д. Почему сдѣлано такое исключеніе для числа 2?

3. Трудно найти объясненіе для слѣдующаго факта. На стр. 109—110, гдѣ согласно заглавію этого отдѣла (на стр. 107) должно быть дѣленіе въ предѣлѣ до 1000, данъ рядъ упражненій 934—942 на дѣленіе

2) Этотъ вопросъ еще встрѣчается въ № 298 (стр. 34).

въ предѣлѣ лишь до 100, между тѣмъ какъ на предыдущихъ страницахъ (59—82) дѣленіе въ предѣлѣ сотни уже детально разработано (хотя здѣск также возникаетъ цѣлый рядъ сомнѣній, болѣе мелкихъ, на почвѣ методическаго плана этой разработки). Такъ, напр., на стр. 78 требуется отъ учениковъ, чтобы они выполняли упражненія въ родѣ: 52 :4; 60 :4; 72 : 4 и т. д., на стр. 79 —65 : 5; 95 : 5; 70 : 5 и т. д.; а № 934 на стр. 109 состоитъ въ елѣдующемъ:

а) 10 : 2 б) 60 : 2 в) 30 : 3 г) 40 : 4 д) 50 : 5

20 : 2 80 : 2 60 : 3 80 : 4 100 : 5

40 : 2 100 : 2 90 : 3 80 : 8 60 : 5,

послѣ чего жирнымъ шрифтомъ дано

30 : 2 = 20 : 2 и 10 : 23).

Затѣмъ идетъ № 935, гдѣ имѣемъ примѣры: 20:2, 10 :-2, 30:2,... 40:4, 20:4, 60:4,... 50:5, 10:5, 60:5... Также № 937 и крупный шрифтъ послѣ № 940 какъ бы указываютъ, что здѣсь дѣти впервые встрѣчаются съ понятіями, «дѣленіе безъ остатка» и «дѣленіе съ остаткомъ», а между тѣмъ JV?№ 652 и 653 (стр. 77) также посвящены дѣленію съ остаткомъ.

Возникаетъ мысль, что всѣ эти факты объясняются желаніемъ автора повторить дѣленіе въ предѣлѣ 100 прежде чѣмъ перейти къ дѣленію въ предѣлѣ 1000. Но такому объясненію не соотвѣтствуютъ слѣдующія обстоятельства: почему на стр. 78 требуется отъ учащихся сразу 60 : 4, а здѣсь, на 109, тотъ же примѣръ 60 : 4 требуетъ предварительной подготовки (40:4 и 20:4) — напечатанная крупнымъ шрифтомъ строка «30 : 2 = 20 : 2 и 10 : 2» указываетъ на необходимость подобной подготовки и для другихъ аналогичныхъ случаевъ? Почему авторъ думаетъ, что здѣсь надо еще разъ (а это уже было сдѣлано въ №№ 652 и 653) обратить особое вниманіе на дѣленіе съ остаткомъ? Почему подобнаго длиннаго повторенія «не дано для умноженія: въ № 924 (стр. 107) въ первомъ же столбцѣ Встрѣчаются 2 примѣра на умноженіе, въ которыхъ произведеніе больше 100?

Можетъ быть на всѣ эти вопросы имѣются у автора отвѣты, но читатель ихъ угадать не можетъ и невольно приходитъ мысль объ отсутствіи у автора руководящей идей при разработкѣ этой части задачника.

Къ этимъ общимъ соображеніямъ присоединимъ еще нѣсколько частныхъ.

1. На стр. 27 дана задача: «Отъ 12 замковъ отнять 8 замковъ,— сколько останется замковъ». Ея рѣшеніе изображено формулою 12-2 —6= , т.-е. авторъ, какъ это общепринято, сводитъ вычитаніе 8 изъ 12 къ вычитанію 2 изъ 12 и къ вычитанію еще 6 изъ полученнаго числа (10). На стр. 26 эта задача и ея рѣшеніе иллюстрируется рисунками (3 ряда замковъ). Возникаетъ мысль: если для иллюстраціи задачи нарисовать, какъ это сдѣлано авторомъ, 12 замковъ въ рядъ, при чемъ 2 послѣднихъ сдѣланы черными, то «отниманіе» 8 замковъ не требуетъ столь сложныхъ

3) Сомнительна умѣстность здѣсь слова «и».

перегруппировокъ, какія даны авторомъ во 2-мъ и въ 3-мъ рядахъ (во 2-мъ ряду 12 замковъ разбиты на 2 группы, въ 10 и въ 2 замка, а въ 3-мъ ряду на группы въ 4 и 8 замковъ). Это «отниманіе» можетъ быть выполнено сразу отодвиганіемъ группы въ 8 замковъ слѣва или справа, и если учащійся отодвинетъ эту группу слѣва, то рѣшеніе задачи не будетъ сведено къ тому, чего желаетъ авторъ, а будетъ выполнено по такой схемѣ: 12-8 = (10-8)-f2. Кстати замѣтимъ, что съ нашей точки зрѣнія цѣлесообразно было бы и эту схему ввести въ дѣло.

2. Вотъ примѣръ, болѣе мелкій, показывающій также, какъ выше показали это болѣе крупныя соображенія, что, повидимому, отдѣлы объ умноженіи и дѣленіи разработаны авторомъ недостаточно послѣдовательно. На стр. 76 дана «Таблица дѣленія», затѣмъ идетъ № 644, гдѣ даны упражненія на дѣленіе, встрѣчающіяся въ этой таблицѣ, а между тѣмъ въ задачѣ № 647 (тоже, пожалуй, имѣетъ мѣсто и въ Nî 646) приходится уже 84 : 3 и въ № 649 надо 96 : 4.

Это обстоятельство представляется противорѣчащимъ общему плану автора. Въ самомъ дѣлѣ разработкѣ вопросовъ объ умноженіи двузначнаго числа на однозначное (и обратно), а также о дѣленіи двузначнаго числа на однозначное посвящены упражненія, начинающіяся лишь съ № 659: здѣсь въ № 659 даны примѣры въ родѣ 3x26, 24x3..., въ № 660 имѣются примѣры въ родѣ 36 : 3, 84 :3, №№ 661—667 даютъ задачи, соотвѣтствующія этимъ примѣрамъ, №№ 668—678 содержатъ подобную же разработку вопросовъ умноженія и дѣленія двузначныхъ чиселъ на 4. Какъ связать этотъ планъ, съ тѣмъ обстоятельствомъ, что значительно ранѣе этой разработки встрѣчаются задачи (Jtë 647 и 649), гдѣ отъ учащихся уже требуется умѣть дѣлить и 84 на 3 и 96 на 4?4).

Можно было бы указать еще на рядъ подобныхъ соображеній, относящихся главнымъ образомъ къ разработкѣ умноженія и дѣленія, и всѣ эти соображенія приводятъ къ общему заключенію, что задачникъ г. Игнатьева приближается къ тѣмъ задачникамъ для начальной школы, появившимся въ послѣднее время, авторы которыхъ заботились главнымъ образомъ лишь о томъ, чтобы что-нибудь написать, но не стрѳмились къ тому, чтобы ихъ работа была слѣдствіемъ какой-либо общей идей, и не заботились о детально-методической, согласной съ опредѣленнымъ планомъ, разработкѣ матеріала, составляющаго содержаніе задачника.

Н. Извольскій.

4) Нельзя, повидимому, объяснить этотъ фактъ простымъ недосмотромъ. Въ «Начальномъ задачникѣ по ариѳметикѣ» (см. 1-е подстрочное примѣчаніе), во II его части имѣетъ мѣсто совершенно такая же непослѣдовательность.

Книги, поступившія въ редакцію.

С. Будаевскій. Ариѳметика. Теоретическій курсъ и приложенія. Пятое изданіе. Склады Т-ва И. Д. Сытина. Петроградъ 1814. Цѣна 1 рубль.

С. Будаевскій. Прямолинейная тригонометрія. Полный систематическій курсъ. Примѣры и эадачи. Третье изданіе. Склады Т-ва И. Д. Сытина. Петроградъ 1914. Цѣна 1 рубль.

С. И. Шохоръ-Троцкій. Новый ариѳметическій задачникъ для учителей начальныхъ школъ. Изданіе Т-ва И. Д. Сытина. М. 1915. Ц. 1 р. 50 к.

С. И. Шохоръ-Троцкій. Методика ариѳметики для учителей начальныхъ школъ, въ двухъ частяхъ. Часть I. Изданіе Т-ва И. Д. Сытина. М. 1915. Ц. 1 р. 10 к.

А. Малининъ. Курсъ физики для женскихъ учебныхъ заведеній. Изданіе 21-е, пересмотрѣнное проф О. Д. Хвольсономъ. Изданіе Т-ва И. Д. Сытина. М. 1915. Ц. 1 р. 35 к.

Доклады, читанные на 2-мъ Всероссійскомъ Съѣздѣ преподавателей математики въ Москвѣ. Москва. 1915. Ц. 2 руб. Складъ изданія въ редакціи журнала «Математическое образованіе».

С. А. Богомоловъ. Аргументы Зенона Элейскаго при свѣтѣ ученія объ актуальной безконечности. Петроградъ. 1915.

Редакторъ-Издатель Н. А. Извольскій.

Типографія Г. Лисснера и Д. Собко. Москва, Воздвиженка, Крестовоздвиженскій пер., д. № 9.

[Объявления]

[Объявления]

[Объявления]