Математическій Вѣстникъ.

№ 3. Мартъ 1915 г.

Годъ второй.

Адресъ редакціи: Москва, Гороховскій пер., д. 23, кв. 9. Тел.3-19-55.

Содержаніе. Н. Извольскій. Къ методикѣ той части курса геометріи, гдѣ изучаются геометрическія мѣста точекъ, равноотстоящихъ отъ двухъ данныхъ точекъ или двухъ данныхъ прямыхъ. — В. Виткевичъ. Одна изъ задачъ на вычисленіе времени. — Н. Извольскій. Ариѳметическая прогрессія съ методической точки зрѣнія. — Н. Ѳаддеевъ. Придумываніе задачъ самими учениками. — Хроника. (Докладъ А. В. Ланкова въ совѣщаніи гг. учащихъ въ начальныхъ школахъ Тверского уѣзда).— Свѣдѣнія о книгахъ по математикѣ и ея методикѣ. (А. В. Очаповскій. Дроби. Курсъ ариѳметики и задачникъ. — В. В. Лермантовъ. Примѣнимая геометрія).— Исправленіе.—Объявленія.

Къ методикѣ той части курса геометріи, гдѣ изучаются геометрическія мѣста точекъ, равноотстоящихъ отъ двухъ данныхъ точекъ или двухъ данныхъ прямыхъ.

I.

Въ нашихъ учебникахъ геометріи, предназначаемыхъ или для среднихъ учебныхъ заведеній или для городскихъ училищъ, обычно та часть курса геометріи, о которой говоритъ заглавіе настоящей статьи, излагается по слѣдующей схемѣ: сперва доказывается прямая теорема, что всякая точка перепендикуляра, возставленнаго къ отрѣзку черезъ его середину, равно отстоитъ отъ концовъ этого отрѣзка, затѣмъ доказывается обрат-

ная теорема, что всякая точка, равноотстоящая отъ концовъ отрѣзка, расположена на перпендикулярѣ къ этому отрѣзку черезъ его середину, послѣ чего дѣлается замѣчаніе о справедливости теоремъ, противоположной прямой и противоположной обратной; изъ всего этого дѣлается общій выводъ, что геометрическое мѣсто точекъ, одинаково удаленныхъ отъ двухъ данныхъ точекъ, есть перпендикуляръ, проведенный къ отрѣзку прямой, соединяющему эти точки, черезъ его середину (напр. учебникъ г. Киселева); иногда вмѣсто того, чтобы доказывать обратную теорему, доказываютъ теорему, противоположную прямой (напр. учебникъ г. Цатурова или г. Вулиха). Такой же порядокъ установился въ учебникахъ и для выясненія того, что прямая, дѣлящая какой-либо уголъ пополамъ, есть геометрическое мѣсто точекъ, равноотстоящихъ отъ сторонъ этого угла.

Съ методической точки зрѣнія такой порядокъ изложенія страдаетъ слѣдующими недостатками: 1) почему-то начинаютъ съ отрѣзка, а не съ двухъ точекъ, 2) почему-то разсматриваютъ лишь уголъ, но не разсматриваютъ двухъ данныхъ прямыхъ, причемъ онѣ могутъ быть или параллельными или пересѣкающимися, 3) не представляется учащемуся самостоятельно подумать надъ вопросами: много ли возможно на плоскости найти точекъ, равноотстоящихъ отъ двухъ данныхъ точекъ или прямыхъ? гдѣ эти точки, если ихъ безконечно много, располагаются? Въ общемъ та система изложенія, какая имѣетъ мѣсто въ нашихъ учебникахъ, какъ-будто предполагаетъ, что воображенію учащихся уже ясны отвѣты на указанные вопросы, и цѣлью курса геометріи является лишь приведеніе того, что ясно воображенію, въ систему. Къ сожалѣнію, во многихъ случаяхъ оказывается, что такое предположеніе не правильно, и учащіеся, не заботясь о томъ, чтобы ясно представить себѣ отвѣты на указанные вопросы, а заботясь лишь о томъ, чтобы заучить доказательства напечатанныхъ въ учебникѣ теоремъ, выходятъ изъ учебнаго заведенія вовсе не усвоивъ этой части курса геометріи. Мнѣ часто приходилось наблюдать, что лица, уже окончившія курсъ средней школы, думаютъ, напр., что для построенія круга, описаннаго около треуг-ка, надо раздѣлить пополамъ его углы,—точка пересѣченія биссектриссъ этихъ угловъ и служитъ, будто бы, центромъ описаннаго круга. Такая ошибка возможна лишь при отсутствіи

яснаго представленія о геометр. мѣстахъ точекъ плоскости, равноотстоящихъ отъ двухъ данныхъ точекъ или отъ двухъ данныхъ прямыхъ. Въ виду вышеизложеннаго возникаетъ настоятельная потребность измѣнить методику разсматриваемой части курса такъ, чтобы на первый планъ выдвинуть тѣ вопросы, которые указаны выше, и стремленіе достигнуть того, чтобы отвѣты на эти вопросы запечатлѣлись въ воображеніи учащихся въ формѣ отчетливыхъ образовъ.

II.

Предварительно слѣдуетъ разсмотрѣть вопросы, рѣшеніе которыхъ ни со стороны воображенія учащихся, ни со стороны логики не представляютъ затрудненій. Вотъ эти вопросы:

I. Дана на плоскости точка. Много ли можно найти на этой же плоскости точекъ, отстоящихъ отъ данной на разстояніе, равное данному отрѣзку? Гдѣ расположены эти точки?

Конечно, необходимо, чтобы предварительно учащимися было уже вполнѣ усвоено, что подъ именемъ «разстояніе между двумя точками» понимаютъ прямолинейный отрѣзокъ соединяющій эти двѣ точки; надо добиться, чтобы учащіеся уже говорили объ этомъ отрѣзкѣ, какъ объ отчетливо ими представляемомъ, даже тогда, когда на чертежѣ начерчены лишь двѣ точки, но не начерченъ прямолинейный отрѣзокъ, соединяющій эти точки.

Отвѣты на поставленные сейчасъ вопросы легко находятся самими учащимися (никакихъ теоремъ доказывать не придется): такихъ точекъ безконечно много и онѣ расположены на окружности, центромъ которой служитъ данная точка и радіусомъ данный отрѣзокъ. Ясно также, что каждая точка, расположенная внутри круга находится отъ данной точки на меньшемъ разстояніи, а всякая точка внѣ круга — на большемъ. Остается здѣсь еще ввести терминъ «геометрическое мѣсто точекъ плоскости». Это возможно сдѣлать, напр., въ такой формѣ: указать учащимся, что, вмѣсто того, чтобы отвѣты на указанные вопросы давать такъ, какъ они дали, принято говорить: геометрическимъ мѣстомъ точекъ плоскости, отстоящихъ отъ данной на этой плокости точки на данное разстояніе, является окружность, центромъ которой служитъ данная точка и радіусомъ — данное разстояніе.

II. Дана на плоскости прямая. Много ли можно найти на этой плоскости точекъ, отстоящихъ отъ данной прямой на разстояніе, равное данному отрѣзку? гдѣ эти точки расположены?

Необходимо предварительно добиться, чтобы учащіеся ясно представляли, что подъ именемъ «разстояніе точки отъ прямой» понимаютъ отрѣзокъ отъ точки до прямой перпендикуляра къ данной прямой, который проходитъ черезъ данную точку. Вотъ упражненія, которыя позволятъ этого достигнуть: 1) Дается прямая и внѣ ея точка; построить при помощи циркуля и линейки перпендикуляръ черезъ данную точку къ данной прямой и указать тотъ отрѣзокъ этого перпендикуляра, который принимается за разстояніе данной точки отъ данной прямой. Слѣдуетъ данную прямую и точку располагать различно по отношенію къ краямъ того листа бумаги, на которомъ воспроизводится построеніе, — вотъ примѣры:

2) Нарисовать отъ руки, также при различныхъ расположеніяхъ данной прямой и данной точки, тотъ отрѣзокъ (перпендикуляра), который принимается за разстояніе данной точки отъ данной прямой. 3) Нарисовать отъ руки тѣ отрѣзки, которые служатъ разстояніями данной точки отъ двухъ данныхъ пересѣкающихся прямыхъ или отъ трехъ пересѣкающихся прямыхъ (отъ сторонъ угла, отъ сторонъ треуг-ка). 4) Показывать, но не рисовать, тѣ отрѣзки, которые требовалось нарисовать въ пунктахъ 2-мъ и 3-мъ.

Отвѣты на выше поставленные вопросы о точкахъ, находящихся на данномъ разстояніи отъ данной прямой, легко находятся воображеніемъ учащихся, и учащіеся говорятъ, что искомыхъ точекъ безконечно много и что онѣ располагаются на двухъ прямыхъ, параллельныхъ даннымъ.

Эти отвѣты опять слѣдуетъ высказать въ формѣ: геометрическимъ мѣстомъ точекъ, находящихся на данномъ разстояніи отъ данной прямой, служатъ двѣ прямыя, параллельныя даннымъ и находящіяся отъ нея на данномъ разстояніи (необходимо предварительно указать, что понимаютъ подъ именемъ «разстояніе двухъ параллельныхъ прямыхъ»).

III.

Для перехода къ дальнѣйшему беремъ листъ (небольшой) бумаги и условимся, что онъ изображетъ собою плоскость (слѣдуетъ обратить вниманіе, что плоскость тянется безгранично). На этомъ листѣ рисуемъ какъ-либо двѣ точки А и В (см. чертежъ) и ставимъ предварительные вопросы: не укажетъ ли кто-либо изъ учащихся на этой плоскости такой точки, чтобы она, хотя бы приблизительно, находилась на равныхъ разстояніяхъ отъ точекъ А и В? не укажетъ ли кто-либо еще подобной же точки? Пусть трое учащихся укажутъ требуемыя точки, напр., тѣ, которыя изображены на чертежѣ кружочками. Послѣ этого преподаватель указываетъ, напр., на ту точку, которая изображена на чертежѣ крестикомъ. А эта точка, какъ вамъ кажется, расположена ли на равныхъ разстояніяхъ отъ А и В? Учащіеся не затруднятся отвѣтить, что, по ихъ мнѣнію, эта точка ближе къ В, чѣмъ къ А. Тогда явится возможнымъ установить, что искомыя точки не суть всѣ точки плоскости, а лишь избранныя. Теперь ставится вопросъ: сколько можно найти искомыхъ точекъ? Послѣ того какъ будутъ, кромѣ трехъ отмѣченныхъ на чертежѣ точекъ, указанъ еще рядъ другихъ, быстро дается учащимися отвѣтъ, что такихъ точекъ безконечно много. Тогда новый вопросъ: нельзя ли что-либо сдѣлать надъ этимъ листомъ бумаги, изображающимъ плоскость, чтобы получить сразу всѣ требуемыя точки? Отвѣтъ на этотъ

вопросъ также обыкновенно находится самими учащимися: надо перегнуть эту плоскость (этотъ листъ) такъ, чтобы точка В совпала съ точкою А,— тогда та прямая, по которой будетъ сдѣланъ перегибъ, даетъ намъ мѣсто искомыхъ точекъ (на ней, и только на ней, расположены искомыя точки). Послѣ этого остается разсмотрѣть расположеніе этой прямой перегиба по отношенію къ тому отрѣзку AB, который хотя на нашемъ чертежѣ и не начерченъ (его, если угодно, теперь можно и начертить), но который вполнѣ опредѣленъ (и воображается учащимися) своими концами А и В. Это разсмотрѣніе (придется для этого нѣсколько разъ разгибать и перегибать нашъ листокъ бумаги) безъ труда покажетъ, что найденная прямая перегиба перпендикулярна къ отрѣзкуЛБ и проходитъ черезъ его середину.

Отсюда вытекаетъ заключеніе: существуетъ безконечно много точекъ плоскости, равноотстоящихъ отъ двухъ ея данныхъ точекъ, и онѣ расположены на перпендикулярѣ къ отрѣзку, соединяющему данныя точки, черезъ его середину, или геометрическимъ мѣстомъ точекъ плоскости, равноотстоящихъ отъ двухъ ея данныхъ точекъ, служитъ перпендикуляръ къ отрѣзку, соединяещему эти точки, черезъ его середину.

А тѣ теоремы, какія обычно даются въ этой части курса въ учебникахъ? А ихъ, по нашему мнѣнію, можно безъ всякаго ущерба для дѣла выкинуть; но, если угодно, можно и ихъ ввести въ слѣдующей формѣ.

Сначала научимся строить найденное геометрич. мѣсто. Построеніе дано на черт., причемъ ясно, что самаго отрѣзка AB (А и Б двѣ данныя точки) нѣтъ нужды строить. Возьмемъ на этомъ перпендикулярѣ какую-либо точку M и провѣримъ разсужденіями, правда-ли, что эта точка равно отстоитъ отъ А и В. Придется соединить точки А и В, отмѣтить середину О отрѣзка AB и разсмотрѣть 2 полученныхъ треуг-ка.

Такъ же точно можно взять какую-либо точку N, не лежащую на построенномъ перпендикулярѣ, и выяснить разсужденіями, что она не равно отстоитъ отъ точекъ А и В.

IV.

Теперь переходимъ къ вопросу о точкахъ плоскости, равноотстоящихъ отъ двухъ данныхъ прямыхъ. Теперь уже не потребуется отъ настоящей статьи подробнаго изложенія. Указываемъ съ самаго начала, что здѣсь возможны два случая: данныя прямыя параллельны и данныя прямыя пересѣкаются. Опять на листѣ бумаги строимъ сначала двѣ параллельныхъ прямыхъ и при помощи вопросовъ, подобныхъ тѣмъ, какіе были изложены въ предыдущемъ отдѣлѣ, приводимъ учащихся къ мысли, что для полученія сразу всѣхъ точекъ плоскости, равноотстоящихъ отъ данныхъ параллельныхъ, слѣдуетъ эту плоскость перегнуть такъ, чтобы одна изъ данныхъ прямыхъ совпала съ другою. Изученіе прямой перегиба покажетъ намъ, что искомымъ геометрическимъ мѣстомъ точекъ является прямая, параллельная даннымъ и дѣлящая пополамъ разстояніе между ними (ее удобно назвать именемъ «средняя параллельная»).

Прежде чѣмъ перейти къ двумъ пересѣкающимся прямымъ, удобно разсмотрѣть лишь часть вопроса: много ли можно найти на плоскости точекъ, равноотстоящихъ отъ сторонъ даннаго на этой плоскости угла? гдѣ расположены эти точки? Тотъ же процессъ перегибанія плоскости (такъ, чтобы одна сторона угла совпала съ другой) и изученіе расположенія прямой перегиба позволятъ отвѣтить на эти вопросы: геометри-

ческимъ мѣстомъ точекъ плоскости, равноотстоящихъ отъ сторонъ даннаго на этой плоскости угла, служитъ биссекторъ (такъ называютъ лучъ, дѣлящій уголъ пополамъ) этого угла.

Затѣмъ строимъ на плоскости (на листѣ бумаги) двѣ пересѣкающіяся прямыя, и вопросы, подобные изложеннымъ въ отдѣлѣ III, позволятъ учащимся выяснить, что для полученія искомыхъ точекъ опять-таки надо перегнуть плоскость такъ, чтобы одна прямая совпала съ другой. Здѣсь, сравнительно оъ предыдущимъ, является особенность: возможно плоскость перегнуть двумя способами; оба перегиба дадутъ прямыя (двѣ прямыя), дѣлящія углы, образуемые данными прямыми пополамъ. На прилагаемомъ чертежѣ эти прямыя возможныхъ перегибовъ изображены пунктиромъ.

Подобно тому, какъ это было выяснено въ отдѣлѣ III, надо научиться теперь строить искомое геометрич. мѣсто при помощи циркуря и линейки (дѣлить пополамъ углы), а затѣмъ возможно, въ формѣ провѣрки, разсужденіями выяснить, что всякая точка, лежащая на одномъ изъ построенныхъ биссекторовъ, равно отстоитъ отъ данныхъ прямыхъ, и что всякая точка плоскости, не расположенная на одномъ изъ биссекторовъ, не равно отстоитъ отъ данныхъ прямыхъ.

V.

По нашему мнѣнію, вопросы о геометрическихъ мѣстахъ точекъ чрезвычайно цѣнны для геометрическаго развитія учащихся, и ихъ слѣдуетъ основательно проработать, гдѣ бы мы ни проходили курсъ геометріи: въ гимназіи ли, въ высшемъ ли начальномъ училищѣ*), въ 4-мъ ли отдѣленіи начальной школы. Вышеизложенная обработка этихъ вопросовъ доступна, по нашему убѣжденію, даже и для дѣтей 4-го отдѣленія начальной школы, если только отбросить доказательства соотвѣтствующихъ теоремъ и терминъ «геометрич. мѣсто точекъ». Мы думаемъ даже, что въ указанномъ направленіи слѣдуетъ итти дальше, а именно разсматривать подобные вопросы по отношенію къ пространству — въ среднихъ учебныхъ заведеніяхъ и даже

*) Значеніе этого отдѣла куда выше рекомендуемыхъ теперь упражненій въ вырѣзываніи различныхъ призмъ, пирамидъ и т. д. изъ картофеля и т. п.

въ высшихъ начальныхъ школахъ это необходимо сдѣлать. Вотъ нѣкоторые изъ этихъ вопросовъ: гдѣ расположены точки пространства, отстоящія отъ данной точки на данное разстояніе? гдѣ расположены точки пространства, находящіяся на равныхъ разстояніяхъ отъ двухъ данныхъ точекъ? отъ двухъ данныхъ плоскостей? отъ двухъ данныхъ прямыхъ? отъ трехъ данныхъ точекъ?*)

Странно, почему эти вопросы даже въ средней школѣ затрогиваются далеко не всегда, а между тѣмъ такъ тщательно относятся къ доказательствамъ теоремъ: «всякая точка, лежащая на перпендикулярѣ къ отрѣзку черезъ его середину, равно удалена отъ концовъ этого отрѣзка» и «всякая точка, равноотстоящая отъ концовъ отрѣзка, расположена на перпендикурярѣ къ этому отрѣзку черезъ его середину».

Много сомнѣній вызываетъ такая постановка дѣла. И думается: если бы поменьше обращать вниманія на доказательства теоремъ, а побольше бы заботиться о томъ, чтобы учащіеся создавали для каждаго разбираемаго вопроса соотвѣтствующій образъ, то не будетъ ли этимъ положено прочное основаніе реформы преподаванія геометріи.

Н. Извольскій.

Одна изъ задачъ на вычисленіе времени.

Задача, предлагаемая ниже, не обладаетъ какимъ-либо замысломъ, выдѣляющемъ ее изъ ряда другихъ; она достойна вниманія лишь потому, что 1) въ задачникахъ такія задачи встрѣчаются рѣдко и 2) ея рѣшеніе позволяетъ примѣнить графическій пріемъ, очень удобный для задачъ на время.

Дано:

Ѳ.М. Достоевскій родился 30 окт. 1821 г., умеръ 28янв. 1881 г.

Л.Н. Толстой » 28авг. 1828 г. » 7 нояб. 1910 г.

Н. А. Некрасовъ » 22 нояб. 1821 г. » 27 дек. 1877 г.

М.Ю. Лермонтовъ » 3 окт. 1814 г. » 15 іюля 1841 г.

Спрашивается, сколько лѣтъ всѣ они были современниками? Чтобы ясно представить себѣ рѣшеніе задачи, возьмемъ линію AB и нанесемъ на ней точки, соотвѣтствующія ряду

*) Въ моей книгѣ «Начальный курсъ геометріи» эти вопросы разобраны, хотя можетъ быть здѣсь возможны многія улучшенія.

лѣтъ; подъ этой линіей — масштабомъ будемъ проводить для каждаго изъ данныхъ въ условіи задачи лицъ его «линію жизни», т.-е. линію отъ точки, соотвѣтствующей датѣ его рожденія, до точки, соотвѣтствующей датѣ смерти. Такимъ образомъ линія жизни Достоевскаго выразится отрѣзкомъ CD, Толстого — EF, Некрасова — GH и Лермонтова — ІК.

Пусть намъ данъ какой-либо моментъ времени; напримѣръ: 1870 годъ. Чтобы узнать, будутъ ли всѣ указанныя лица въ этомъ году современниками, мы должны изъ точки R линіи масштаба провести къ ней перпендикуляръ; если онъ пересѣчетъ всѣ 4 линіи жизни, то, слѣдовательно, всѣ эти лица въ 1870 году были современниками, въ противномъ случаѣ— нѣтъ. Очевидно, что всѣ точки, для которыхъ перпендикуляръ будетъ пересѣкать всѣ 4 линіи, будутъ лежать между Р и Q. Но вѣдь положеніе перпендикуляра РЕ опредѣляется точкой Е — самое позднее рожденіе, а положеніе перпендикуляра QK опредѣляется точкою К, т.-е. самой ранней смертью, поэтому промежутокъ времени между этими моментами и покажетъ намъ, сколько лѣтъ данныя лица были современниками. Поэтому для рѣшенія данной задачи нужно опредѣлить промежутокъ времени отъ 28 авг. 1828 г. до 15 іюля 1841 года.

отъ 28 авг. 1828 г.

до 28 авг. 1840 г. прошло 12 лѣтъ. отъ 28 авг. 1840 г.

до 28 іюня 1841 г. прошло 10 мѣс. отъ 28 іюня 1841 г.

до 15 іюля 1841 г. прошло 17 дней.

Отвѣтъ: Достоевскій, Толстой, Некрасовъ и Лермонтовъ были современниками 12 л. 10 м. 17 дн.

Пріемъ рѣшенія, очевидно, не зависитъ отъ количества лицъг данныхъ въ условіи задачи.

В. Виткевичъ.

Ариѳметическая прогрессія съ методической точки зрѣнія.

Въ настоящей замѣткѣ я хочу остановиться на нѣкоторыхъ измѣненіяхъ въ той системѣ, въ какой обычно проходятъ теорію ариѳметической прогрессіи, при чемъ я позволю себѣ въ нѣкоторыхъ мѣстахъ излагать такъ, какъ-будто бы я обращаюсь непосредственно къ лицамъ, незнакомымъ съ ариѳметическими прогрессіями.

Я могу составлять ряды чиселъ, придерживаясь опредѣленнаго порядка; вотъ два изъ такихъ рядовъ:

1) 8; 11; 14; 17; 20; 23...

2) 6; 11; 16; 21; 26; 31...

Не подмѣтите ли, чѣмъ я руководствовался, составляя первый рядъ? а второй?

Думается, что отвѣты на эти вопросы немедленно будутъ получены отъ учащихся, хотя бы въ такой формѣ: въ 1-мъ ряду всякій разъ прибавлялось по 3, въ 2-мъ по 5.

Является возможнымъ придать этимъ отвѣтамъ болѣе желательную форму: каждое число перваго ряда получалось изъ предыдущаго прибавленіемъ числа 3 (во второмъ—числа 5). Сейчасъ же введемъ термины: получаемые такимъ способомъ ряды чиселъ называются ариѳметическими прогрессіями, сами числа, составляющія ряды,—ея членами, число, приложеніемъ котораго къ предыдущему члену получается послѣдующій — ея разностью.

Составимъ ариѳметическую прогрессію, чтобы ея первый членъ былъ З^ и ея разность^- (З^; 4-; 5^; 6; 6^---). Не ограничимся только положительными числами, а введемъ и отрицательныя. Вотъ 3 примѣра:

Послѣ этого можно написать ариѳметическую прогрессію въ общемъ видѣ, называя первый членъ черезъ а и разность черезъ г:

а; а+г; а+2г; а+Зг...

Учащійся не затрудняется сказать, какъ придется здѣсь обозначить 7-й членъ, 23-й членъ, 40-й и т. д. и вообще членъ за номеромъ п (п-й членъ): ип=а+(п—1)г.

Здѣсь также умѣстно слѣдующее упражненіе: изъ предыдущаго мы видимъ, что всякій членъ ариѳметической прогрессіи можно выразить черезъ 2 данныхъ, черезъ первый членъ и разность; возьмемъ теперь иныя данныя, а именно первый и второй члены прогрессіи (назовемъ ихъ а и 6), и постараемся написать члены ариѳметической прогрессіи по порядку, выражая ихъ черезъ а и Ъ.

Получимъ: а; 6; 26—а; 36—2а; 46—За...

Затѣмъ слѣдуетъ остановиться на вопросѣ, когда ариѳметическая прогрессія возрастающая и когда убывающая. Отвѣтъ на эти вопросы дается учащимися изъ разсмотрѣнія примѣровъ: 1), 2), 3), 4) и 5), а, если понадобится, и нѣкоторыхъ другихъ, при чемъ сначала приходится получать неправильные отвѣты (впрочемъ, здѣсь ошибки не столь обязательны, какъ при разсмотрѣніи подобнаго вопроса для геометрическихъ прогрессій). На этомъ вопросѣ не останавливаюсь.

Здѣсь умѣстны упражненія (я ихъ укажу лишь мимоходомъ), требующія нахожденія перваго члена и разности ариѳметической прогрессіи по ея двумъ даннымъ членамъ (напримѣръ, 5-й членъ=23^ и 11-й членъ=8^ \ или по двумъ соотношеніямъ между какими-либо ея членами (напримѣръ, сумма 4-го и 7-го членовъ = 43 и отношеніе 3-го члена къ 10-му = |j.

Остановимся еще на упражненій: каждую ариѳметическую прогрессію можно продолжать безъ конца въ обѣ стороны, и слѣдуетъ продѣлать это на примѣрахъ въ родѣ:

.... -4; -1; 2; 5; 8; 11; 14; 17...

Послѣ нѣсколькихъ примѣровъ, можно установить, что обычно приходится разсматривать ариѳметическія прогрессіи ограни-

ченными съ обѣихъ сторонъ, и здѣсь можно ввести терминъ «послѣдній членъ» ариѳметической прогрессіи. Въ примѣрѣ

— 4; -1; 2; 5; 8; 11; 14; 17

первый членъ = — 4, разность = + 3, послѣдній членъ = + 17.

Затѣмъ учащіеся легко придутъ къ заключенію, что если они знаютъ послѣдній членъ прогрессіи и разность, то смогутъ написать сколько угодно предыдущихъ членовъ: если назовемъ послѣдній членъ черезъ и и разность черезъ г, то предпослѣдній членъ =и—г, членъ, предшествующій этому, =и—2г и т. д., т.-е. получимъ:

...гг—Зг; и—2г; и—г; и.

(Этотъ рядъ пишется справа налѣво.)

Затѣмъ явится возможность упражненій, приводящихъ къ опредѣленнымъ свойствамъ ариѳметической прогрессіи, ограниченной съ обѣихъ сторонъ.

1) Назовемъ буквою с средній членъ ариѳметической прогрессіи, состоящей изъ нечетнаго числа членовъ, и буквою г разность; написать эту прогрессію, выражая ея члены черезъ с и г.

с—Зг\ с—2г\ с—г\ с; с+г; с+2г; с+Зг.

Внимательное разсмотрѣніе этого примѣра (прогрессія изъ 7 членовъ), а также подобныхъ, позволитъ установить: сумма членовъ, равноудаленныхъ отъ начала и конца, ариѳметической прогрессіи, состоящей изъ нечетнаго числа членовъ, равна удвоенному среднему члену (напр., с—2г+с+2г=2с), откуда вытекаетъ слѣдствіе, что средній членъ ариѳметической прогрессіи (состоящей изъ нечетнаго числа членовъ) равенъ половинѣ суммы ея крайнихъ членовъ

_с—Зг+с+Зг с- 2

2) Станемъ писать члены ариѳметической прогрессіи одновременно и съ начала и съ конца. Называя первый членъ черезъ а, послѣдній черезъ и и разность черезъ г, получимъ:

а; а+г; а+2г; а + 3г...и—Зг; и—2г; и—г\ и. Разсмотрѣніе этого ряда позволитъ получить:

(а+г) + (гг—г)=а+и (а+2г) + (и—2г) = а+и (а+3г)+(и—3г)=а+и

и т. д.,откуда вытекаетъ заключеніе, что сумма членовъ ариѳметической прогрессіи, равноудаленныхъ отъ ея начала и конца, равна суммѣ крайнихъ ея членовъ. Это заключеніе возможно связать съ предыдущимъ: въ прогрессіи, состоящей, напримѣръ, изъ 7 членовъ, средній членъ есть 4-й отъ начала и 4-й же отъ конца, и мы здѣсь также получимъ, что сумма 4-го члена отъ начала и 4-го члена отъ конца (с-{-с) равна суммѣ крайнихъ (с—Зг+с+Зг).

Полезно тѣ же заключенія подтвердить на прогрессіяхъ, написанныхъ иначе. Напримѣръ, возьмемъ прогрессію изъ 9 членовъ: а; а+г; а + 2г; а+Зг; а + 4г; а+5г; а+бг; а + 7г; а+8г.

Мы видимъ, что сумма членовъ, равноотстоящихъ отъ начала и конца прогрессіи, здѣсь всегда = 2a-f 8г и она въ 2 раза больше средняго члена а + 4г.

Положимъ, что въ прогрессіи п членовъ; напишемъ ее такъ, какъ она была написана для вывода заключенія о постоянствѣ суммы членовъ, равноотстоящихъ отъ начала и конца, т.-е.

а; а+г; а+2г... и—2г; и—г; и.

Поставимъ задачу о нахожденіи суммы ея членовъ. Удобно, согласно предыдущему, складывать ея члены не по порядку, а по группамъ: сначалъ 1-й и послѣдній члены — ихъ сумма, = а-\-и, затѣмъ 2-й отъ начала и 2-й отъ конца — ихъ сумма, какъ уже извѣстно, также = а+м, затѣмъ 3-й отъ начала и третій отъ конца — ихъ сумма также = а + гг и т. д.

Итакъ, сумма каждый группы=а+ и, число такихъ группъ всегда можно считать равнымъ = : если число п четное, то это очевидно, а если число п нечетное, то средній членъ можно разсматривать равнымъ половинѣ этой группы, такъ какъ онъ равенъ половинѣ суммы а-\-и (т.-е. —j-j? п можно считать, что у насъ получилось нѣсколько цѣлыхъ такихъ группъ и еще половина этой группы |напримѣръ, 11^ группъ).

Послѣ этого учащіеся легко получаютъ, что сумму п членовъ ариѳметической прогрессіи можно выразить формулою :

(а + и) • ^ (быть можетъ, придется вспомнить ариѳметику:

умножить какое-либо число, напримѣръ, на 11^ значитъ повторить это число 11 разъ слагаемыхъ, да еще взять половину этого числа).

Быть можетъ, было бы еще лучше сначала разсмотрѣть частные случаи, напримѣръ:

1) a+(a+r)+(a+2r) + (u-2r) + (u-r) + u=(a+u). 3.

2) a+(a+r)+(a+2r) + c+(u-2r) + (u-r) + u=(a+u) .z\

Во второмъ примѣрѣ мы обозначили буквою с средній членъ прогрессіи, который равенъ или а + Зг или и—Зл

3) a+(a+r) + (a + 2r) + ... + (u--2r)+(u-r) + u. Положимъ, что въ этой прогрессіи всего 24 члена; чему равна ихъ сумма? {а+и) . 12, а если въ этой прогрессіи 29 членовъ?—получимъ, что сумма=(а+и). 14^-

Остается, конечно, упражнять учащихся въ примѣненіи полученныхъ знаній.

Я изложилъ эти соображенія въ надеждѣ, что примѣненіе ихъ на практикѣ дозволитъ учащимся и глубже вникнуть въ теорію ариѳметической прогрессіи и съ большею легкостью усвоить свойства ея, чѣмъ это обычно бываетъ при прохожденіи этой части курса по учебникамъ.

Н. Извольскій.

Придумываніе задачъ самими учениками.

Въ начальной школѣ съ перваго и до послѣдняго дня курса обученія дѣтей очень важную роль играютъ ариѳметическія задачи. Нѣтъ надобности указывать, сколько времени онѣ занимаютъ въ школѣ и дома, сколько приносятъ учащимся страданій, волненій, радостей... «Прохожденіе ариѳметики почти совпадаетъ съ рѣшеніемъ задачъ, такъ сказать, покрывается ариѳметическими задачами простыми, самыми простыми, сложными, болѣе сложными. Уже по этому одному необходима методическая разработка вопросовъ, связанныхъ спеціально съ рѣшеніемъ ариѳметическихъ задачъ»1).

Въ методической литературѣ по начальной ариѳметикѣ сравнительно рѣдко можно найти какія-нибудь указанія о способахъ самостоятельнаго придумыванія задачъ учениками;

1) С. Бондаревъ, Какъ строятся и рѣшаются задачи. 1911 г. Стр. 5.

въ широко распространенныхъ методикахъ по начальной ариѳметикѣ, какъ напримѣръ Арженникова, Беллюстина и др., этотъ вопросъ или совершенно не разсматривается, или даются слишкомъ бѣглыя и краткія замѣтки. А между тѣмъ придумываніе задачъ самими учениками имѣетъ очень большое значеніе въ дѣлѣ математическаго развитія учениковъ. «Этотъ пріемъ мы считаемъ весьма важнымъ», говоритъ Д. Волковскій1). Поработавъ въ этомъ направленіи въ начальной школѣ, я позволю себѣ подѣлиться на страницахъ журнала своими впечатлѣніями и выводами по поводу этой работы и сказать нѣсколько словъ о значеніи ея.

Привлечь дѣтей къ участію въ работѣ придумыванія задачъ возможно, напр., въ слѣдующемъ порядкѣ: Учитель рѣшилъ съ учениками задачу: «Отецъ роздалъ 3 сыновьямъ 6 яблокъ. По сколько досталось каждому?», — и послѣ этого учитель предлагаетъ дѣтямъ составить подобную задачу: «Кто, дѣти, придумаетъ задачу въ родѣ этой?» и выспрашивается нѣсколько человѣкъ. Каждая удачная задача рѣшается классомъ, а неудачная — исправляется учителемъ.

Въ болынинствѣ случаевъ первыя попытки такой работы бываютъ неудачны: онѣ не складны, порой математически не вѣрны, но это не должно смущать учителя: и первые шаги ребенка неуклюжи. Учитель, путемъ настойчивости и разборомъ каждой составленной учениками задачи, даетъ возможность каждому ученику получить ясное представленіе о содержаніи и формѣ ариѳметической задачи, а это будетъ уяснять ходъ рѣшенія ея. «Если бы передъ учащимися по мѣрѣ возможности чаще вскрывали процессъ этого построенія, то задача потеряла бы, наконецъ, въ ихъ глазахъ тотъ характеръ чего-то чуждаго, непонятно какимъ образомъ и для чего сооруженнаго зданія, въ которомъ они неуютно и безпомощно себя чувствуютъ»2). А такое «вскрытіе», повторяю, уяснитъ ходъ рѣшенія задачи, и несомнѣнно будетъ способствовать развитію большей сообразительности въ ученикахъ: составленіе задачи самими учениками есть своего рода творческая работа дѣтей, которая будетъ содѣйствовать и развитію дѣтскаго воображенія. Кромѣ того, такое придумываніе задачъ много помогаетъ учителю въ выработкѣ устной и письменной рѣчи ребенка,

1) «Вопросы и нужды учительства». 1911 г. Статья Д. Волковскаго, «Методическіе очерки по начальной ариѳметикѣ». Стр. 19.

2) С. Бондаревъ, Какъ строятся и рѣшаются задачи. Стр. 51. Мы очень рекомендуемъ это интересное и популярно-написанное методическое руководство тѣмъ, кто желалъ бы подробно ознакомиться съ методами рѣшенія задачъ*).

*) Мы не можемъ согласиться со взглядомъ автора на книгу г. Бондарева; съ нашей точки зрѣнія въ этой книгѣ очень мало достойнаго вниманія. Ред.

пріучить его точно, кратко и логически формулировать свою мысль. Лишняя трата времени говорить, что придумываніе задачъ учащимися вноситъ оживленіе, разнообразіе въ скучный урокъ ариѳметики: дѣтямъ очень нравится придумывать задачи, и кто имѣлъ возможность провести такую работу на практикѣ, или хотя бы присутствовать при ней, тотъ, конечно, знаетъ и слышалъ, какъ дѣти во время урока ариѳметики пристаютъ къ учителю — «давайте придумывать задачи». Наконецъ, эта работа имѣетъ важное значеніе для самого учителя.

Классная работа учащихся, состоящая въ придумываніи ими задачъ, особенно если она начинается уже на первой ступени обученія, даетъ учителю богатый матеріалъ для распознаванія индивидуальныхъ способностей класса вообще и каждаго ученика въ отдѣльности.

Уже въ первый годъ обученія, послѣ трехъ-четырехъ рѣшенныхъ задачъ, можно начать такую работу и чѣмъ она будетъ планомѣрнѣе, систематичнѣе проводиться на каждомъ урокѣ, на которомъ рѣшаются задачи, тѣмъ больше надежды на лучшіе успѣхи учениковъ по ариѳметикѣ.

Не безынтересно, думается, привести нѣсколько образчиковъ такой творческой работы въ области ариѳметики; пусть здѣсь будетъ имѣть мѣсто стремленіе подражать задачамъ, уже нзвѣстнымъ, но все-таки — это работа дѣтей, результатъ дѣтской мысли.

Итакъ я предлагаю на разсмотрѣніе нѣсколько такихъ работъ первыхъ дней занятій по ариѳметикѣ.

Предлагалась мною задача: «Мальчикъ сорвалъ съ одной яблони 4 яблока, а съ другой 3. Сколько у него стало яблоковъ?» Задача была рѣшена и объснена.

— Придумайте, дѣти, задачу въ такомъ же родѣ? Сначала ни одной руки поднятой. Была вторично объяснена рѣшенная задача и рѣшена другая подобная же ей.

— Теперь придумайте.

Тянутся нѣсколько рукъ. Спрашиваю.

Ученикъ бойко говоритъ: «Мальчикъ сорвалъ съ одной вишни 4 вишни, а съ другой 3. Сколько у него стало?»

Какъ видите этотъ ученикъ (въ первомъ отдѣленіи начальной школы) находится подъ вліяніемъ первой задачи и еще недостаточно уяснилъ себѣ форму задачи и ея содержаніе.

Когда же было разъяснено, что можно говорить не объ одномъ только мальчикѣ, а о чемъ угодно и числа брать какія хотите, то эта же задача приняла другую и, пожалуй, крайнюю форму.

— Огородникъ сорвалъ съ одной грядки сто арбузовъ, а съ другой тысячу. Сколько у него стало?

Пожеланіе «числа брать какія хотите» тотчасъ оказалось на задачѣ, хотя съ дѣтьми только еще пройдена нумерація въ предѣлѣ 10.

Но подобныя задачи ни на минуту не должны смущать учителя, особенно начинающаго: всѣ такія шороховатости по объясненію, какъ надо придумывать и какія брать числа, сгладятся и учитель увидитъ успѣхи — ученики скажутъ ему желательную задачу.

— Рыбакъ поймалъ въ первый день 3 рыбы, а во второй 5. Сколько онъ поймалъ рыбъ?

Вотъ нѣсколько задачъ придуманныхъ самими учениками въ первый же день ихъ работы въ этомъ направленіи; я намѣренно подчеркнулъ тѣ дефекты, которые были и будутъ на первомъ урокѣ.

Въ заключеніе я позволю обобщить все сказанное о значеніи работы придумыванія задачъ самими учениками.

Во-первыхъ, эта работа развиваетъ сообразительность и воображеніе дѣтей и способствуетъ скорѣйшему уясненію хода рѣшенія задачъ; во-вторыхъ, развиваетъ рѣчь и пріучаетъ дѣтей къ краткой и логической формулировкѣ своей мысли; въ-третьихъ, вноситъ разнообразіе и живость въ урокъ, и наконецъ, въ-четвертыхъ, имѣетъ большое психологическое значеніе для учителя въ смыслѣ распознаванія индивидуальности учениковъ.

Надо пожелать широкаго распространенія такой работы въ школахъ.

Н. Ѳаддеевъ.

Хроника.

Докладъ А. В. Ланкова въ совѣщаніи гг. учащихъ въ начальныхъ школахъ Тверского уѣзда. 21 декабря 1914 г. въ указанномъ совѣщаніи былъ прочитанъ А. В. Ланковымъ докладъ на тему: «Обзоръ ариѳметическихъ задачниковъ для курса начальной школы», при чемъ большая часть задачниковъ (около 40 названій) была выставлена для обозрѣнія.

Докладъ развивалъ слѣдующія положенія:

1. Въ настоящій моментъ вопросъ о задачникахъ нуждается въ пересмотрѣ вслѣдствіе того, что за послѣднія 5 лѣтъ появилось слишкомъ много новыхъ задачниковъ.

2. Необходимо установить роль и значеніе иллюстрацій въ дѣлѣ обученія начальной ариѳметикѣ, такъ какъ большая часть задачниковъ появляется съ иллюстраціями.

3. Всѣ «новые» и «наглядные» задачники (за исключеніемъ Михеева) появились послѣ выхода въ свѣтъ «Руководства» Лая, мысли котораго были не совсѣмъ правильно восприняты авторами этихъ задачниковъ.

4. Иллюстраціи имѣютъ нѣкоторое значеніе въ предѣлѣ 1-го десятка при воспріятіи «числовыхъ представленій», при условіи, если онѣ хорошо исполнены и правдоподобны.

5. Полезно также иллюстрировать картинами смыслъ дѣйствій и содержаніе задачъ, если оно взято изъ міра мало извѣстлаго ученикамъ.

6. Большая часть иллюстрированныхъ задачниковъ неудовлетворительна, или вслѣдствіе плохого исполненія рисунковъ (Вентвортъ и Ридъ подъ редакціей Мрочека, Сахарова и Соколова и др.), или вслѣдствіе плохого подбора ихъ (Михеевъ, Соколовъ, Игнатьевъ, Игнатьевъ и Цингеръ и др.), переходящаго въ безсистемность (Лавровъ).

7. Многіе авторы (Неселовская, Горбунова и Цунзеръ, Игнатьевъ, Соколовъ и др.) не отдаютъ себѣ отчета, для кого они предназначаютъ задачникъ, полагая, что ариѳметика можетъ одинаково проходиться въ школѣ, въ семьѣ и въ дѣтскихъ садахъ, и потому ихъ задачники непригодны для школы.

8. Нѣкоторые иллюстрированные задачники трудны и повторяютъ ошибки старыхъ изданій (Игнатьевъ и Цингеръ, Гречушкинъ), другіе странны по характеру матеріала («Живой счетъ» подъ редакціей Звягинцева, Игнатьева и др.)

9. Классификація задачъ по величинѣ чиселъ (Евтушевскій) устарѣла и не имѣетъ основаній.

10. Классификація задачъ по «словеснымъ признакамъ» (Терешкевичъ, Сахаровъ и Соколовъ, Борисовъ и Сатаровъ, Лавровъ и др.) вредна, такъ какъ имѣетъ случайный характеръ и служитъ цѣлямъ «натаскиванія» учениковъ.

11. Задачники «стараго» типа съ большими числами и длинными задачами (Боголѣповъ, Троицкій и Крестичъ и др.), непригодны для школы.

12. Содержаніе задачъ должно быть жизненно; форма выраженій—кратка и ясна; дроби и именованныя числа не должны выдѣляться въ «особые» отдѣлы.

13. Наиболѣе отвѣчаютъ современнымъ требованіямъ задачники: Беллюстина, Арженикова, Гольденберга, Юревича (самый дешевый—15 коп.) и др.

Свѣдѣнія о книгахъ по математикѣ и ея методикѣ.

А. В. Очаповскій. Дроби. Курсъ ариѳметики и задачникъ. Для младшихъ классовъ. Петроградъ. 1914. Цѣна 75 коп.

Книга г. Очаповскаго, какъ это видно и изъ ея заглавія, имѣетъ цѣлью соединить учебникъ съ задачникомъ. Такая постановка дѣла заслуживаетъ вниманія, и выполненіе задачи, поставленной авторомъ, слѣдуетъ

признать достаточно удачною: задачи и упражненія введены, за немногими исключеніями, въ тѣхъ именно мѣстахъ курса, гдѣ имъ естественно быть. Чтобы подтвердить наличность исключеній изъ общаго удачнаго плана разработки матеріала, укажу на стр. 47—51. Думается, что, разъ авторъ разбиваетъ вопросъ о приведеніи дробей къ общему наименьшему знаменателю на отдѣльные случаи ( 1 ) знаменатели данныхъ дробей числа взаимно простыя, 2) одинъ изъ знаменателей является кратнымъ остальныхъ, 3) общій случай: знаменатели имѣютъ общихъ дѣлителей, 4) болѣе сложныя дроби), то и слѣдовало бы послѣ каждаго изъ этихъ случаевъ дать соотв. примѣры, а закончить эту главу упражненіями на всѣ случаи. Авторъ, однако, на стр. 51 сразу даетъ упражненія на всѣ случаи.

Такъ какъ подобныя же замѣчанія возможны и для другихъ мѣстъ книги, то можно сдѣлать общее заключеніе, что слѣдовало бы еще тѣснѣе, чѣмъ это имѣетъ мѣсто у г. Очаповскаго, переплести задачникъ съ учебникомъ.

Авторъ рѣшается на измѣненіе обычнаго порядка курса дробей, которое все сильнѣе начинаетъ намѣчаться въ педагогической литературѣ, а именно г. Очаповскій не вводитъ въ свою книгу отдѣльной главы, излагающей вопросы о нахожденіи частей отъ цѣлаго и о нахожденіи цѣлаго по данной части, относя эти вопросы къ главамъ, посвященнымъ умноженію и дѣленію на дробь. Эта мысль заслуживаетъ вниманія.

Другая особенность курса, указываемая въ предисловіи, состоитъ въ томъ, что «черезъ весь курсъ проведенъ методъ повѣрочныхъ рѣшеній». Эта особенность вызываетъ сомнѣнія. Мы, правда, знаемъ, что многіе преподаватели требуютъ отъ учащихся не только рѣшенія задачи, но и повѣрки найденнаго рѣшенія (иногда дѣло доходитъ даже до того, что требуется повѣрка каждаго дѣйствія). Но хорошо ли это? Не означаетъ ли требованіе повѣрки, въ сущности, отказа отъ стремленія достигнуть того, чтобы учащіеся, выполняя дѣйствіе или рѣшая задачу, были увѣрены, что они идутъ къ цѣли правильнымъ путемъ? Если учащійся ясно видитъ планъ рѣшенія задачи и если онъ хорошо усвоилъ дѣйствія, то не является ли для него требованіе повѣрки излишнею и непріятною обузою? Правда, на стр. 100—102, г. Очаповскій излагаетъ вопросъ о повѣркѣ съ болѣе глубокой точки зрѣнія: онъ требуетъ (и даетъ этому примѣры), чтобы для повѣрки рѣшенія задачи была составлена другая задача, гдѣ искомымъ числомъ являлось бы одно изъ чиселъ, данныхъ въ основной задачѣ, а данными числами — остальныя данныя и искомое основной. Однако, несмотря на всю заманчивость такой работы для математическаго развитія учащихся, возникаетъ сомнѣніе: доступна ли эта работа для учащихся младшихъ классовъ? Во всякомъ случаѣ, если составленіе такихъ «повѣрочныхъ» задачъ будетъ признано желательнымъ, то необходимо 1) начать пріучать учащихся къ составленію такихъ задачъ еще въ курсѣ цѣлыхъ чиселъ (къ сожалѣнію, курса цѣлыхъ чиселъ г. Очаповскаго не имѣется) 2) пріучать учащихся къ такимъ задачамъ и при рѣшеніи задачъ на отдѣльныя дѣйствія, а между тѣмъ г. Очаповскій ничего не говоритъ о повѣрочныхъ задачахъ на стр. 51—83, гдѣ излагаются сложеніе, вычитаніе, умноженіе и дѣленіе обыкновенныхъ дробей и даны задачи на эти дѣйствія.

Несмотря на то, что трудъ г. Очаповскаго указываетъ и на большую освѣдомленность автора и на его педагогическую опытность, все же можно найти въ книгѣ и много недочетовъ. Укажу нѣкоторые изъ нихъ.

1. На стр. 2 дается «правило» (по моему мнѣнію, общимъ недостаткомъ книги является чрезмѣрное множество «правилъ»): «Чтобы раздѣлить сумму на какое-нибудь число нужно раздѣлить на это число каждое изъ слагаемыхъ и затѣмъ сложить полученныя числа. Несомнѣнно, слово (нужно здѣсь не годится; такое правило можетъ повести къ большимъ недоразумѣніямъ для учениковъ, еще не знающихъ дробей.

2. На стр. 22 излагается способъ нахожденія общаго наиб. дѣлителя двухъ чиселъ послѣдовательнымъ дѣленіемъ механически, а объясненіе этого способа дано на стр. 23, послѣ того какъ уже выполнено 2 примѣра. Хорошо ли это?

3. На стр. 30—31, авторъ даетъ странныя опредѣленія: «Для произнесенія дроби, нужны два слова, напр., двѣ трети. Первое слово показываетъ, сколько берется частей единицы: это числитель...» Неужели ли числитель и знаменатель суть «слова»?

4. На стр. 36 и 37 даны напечатанныя жирнымъ шрифтомъ правила для обращенія смѣшаннаго числа въ неправильную дробь и для исключенія цѣлаго числа изъ неправильной дроби. Это обстоятельство указываетъ на пристрастіе автора къ правиламъ (а слѣд. и къ механизаціи обученія); думается, что давно пора бы эти два правила удалить изъ курса ариѳметики.

5. § 61 (стр. 59) озаглавленъ «Смыслъ умноженія на дробь», а между тѣмъ этотъ смыслъ былъ уже въ сущности выясненъ въ § 59 («Умножить на дробь значитъ найти часть множимаго, указываемую дробнымъ множителемъ; напр., умножить 12 на - значитъ найти - отъ!2»), и, конечно, ничего новаго въ § 61 не дано.

6. Странное впечатлѣніе производитъ § 63. Здѣсь зачѣмъ-то даны еще два объясненія для правила умноженія на дробный множитель, хотя уже въ § 59 приведены исчерпывающія объясненія. Замѣчу, кстати, что объясненія § 63 въ сущности неудовлетворительны: одно основывается на сочетательномъ законѣ умноженія, извѣстномъ лишь для цѣлыхъ чиселъ и не распространеннымъ авторомъ на дробныя, а другое основано на Ньютоновомъ опредѣленіи умноженія, которое, какъ это выяснено въ № 2 за 1915 г. «Мат. Вѣст.», ведетъ къ ряду недоразумѣній. Подобное же недоразумѣніе имѣетъ мѣсто и для дѣленія на стр. 74.

7. На стр. 114 предложены (№№ 908 и 911) задачи въ родѣ слѣдующей: Не прибѣгая къ вычитанію, узнать, на сколько увеличится число 6, если его умножить на 3-? Конечно, рѣшить такой вопросъ, не прибѣгая къ вычитанію, нельзя. Авторъ хочетъ, очевидно, чтобы рѣшеніе было выполнено по слѣдующему плану: 1) 3--1=2-; 2) 6х2- = 14, но вѣдь 1-е дѣйствіе есть все же вычитаніе.

8. На стр. 195—197 имѣются недоразумѣнія съ безконечными десятичными дробями: 1) На стр. 195 вдругъ говорится: «Дѣля 40 на 7, мы

получаемъ: 5,7142857... и т. д. (частное — безконечная десятичная дробь)». Это замѣчаніе приведетъ учащагося въ большое недоумѣніе, такъ какъ до сихъ поръ (напр., во всей статьѣ, посвященной дѣленію десятичныхъ дробей, стр. 184—185) не было сдѣлано даже какого-либо намека на возможность безконечнаго дѣленія. 2) На стр. 197 даны «примѣры безконечнаго дѣленія: 10:3 = 3,333...; 2,5:1,2 = 2,0833...», но не дано никакихъ поясненій, почему здѣсь возникаетъ убѣжденіе въ безконечности числа десятичныхъ знаковъ частнаго. 3) На той же страницѣ въ § 113 дано крайне спутанное объясненіе случаевъ, когда отъ дѣленія получается частное съ безконечно большимъ числомъ десятичныхъ знаковъ: здѣсь свойство цѣлыхъ чиселъ (одно число дѣлится на другое безъ остатка лишь въ томъ случаѣ, когда въ составъ дѣлимаго входятъ всѣ множители, изъ которыхъ состоитъ дѣлитель) почему-то сразу, безъ разъясненій, прилагается къ десятичнымъ дробямъ (50,4 : 2,1).

Несмотря на указанные недочеты, книга достойна вниманія, такъ какъ 1) она составлена не по обычному шаблону (выше было указаны ея отличія отъ обычнаго порядка) и 2) затрагиваетъ интересный вопросъ о составленіи учащимися провѣрочныхъ задачъ. Если бы оказалось еще (къ сожалѣнію, я не имѣлъ времени выяснить этотъ вопросъ), что задачи, помѣщенныя въ книгѣ г. Очаповскаго, достаточно полно охватываютъ курсъ дробей и свободны отъ какихъ-либо неправильностей, то цѣнность книги увеличилась бы.

Н. Извольскій.

В.В. Лермантовъ. Примѣнимая геометрія, основанная на опытѣ. Изд. Тв-а A.C. Суворина—«Новое Время». Петроградъ. 1915. Цѣна 85 коп.

Предисловіе указываетъ, что эта «книжка предназначена для ремесленниковъ, нуждающихся въ нѣкоторыхъ свѣдѣніяхъ изъ геометріи для пониманія разговора архитекторовъ и инженеровъ и для расчетовъ по своему дѣлу».

Полагаю, что первая цѣль «пониманіе разговора архитекторовъ и инженеровъ» врядъ ли достойна вниманія, — остаются «расчеты по своему дѣлу».

Я не представляю себѣ возможности достигнуть этой частной цѣли, игнорируя вовсе обычную цѣль обученія геометріи, состоящую въ развитіи геометрическаго представленія учащихся. Авторъ, повидимому, стоитъ на другой точкѣ зрѣнія. Остается разсмотрѣть, какія именно знанія пріобрѣтутъ тѣ лица, которыя станутъ изучать «Примѣнимую геометрію» г. Лермантова. Указаніе на это даетъ самъ авторъ на стр. 123 своей книги: «При первомъ чтеніи, лучше не очень ломать голову надъ непонятными мѣстами, — послѣ поймешь, если окажется нужнымъ, а читать дальше. Отъ такого чтенія останется довольно смутное общее представленіе о его предметѣ». Далѣе авторъ совѣтуетъ тѣмъ своимъ читателямъ, которые увидятъ, что имъ «нужно умѣть пользоваться сообщенными знаніями», прочесть книжку повнимательнѣе, самимъ продѣлывая описанные опыты: «если съ этимъ всѣмъ сладишь своимъ умомъ, силушки прибавится, а это впредь пригодится».

Изъ этой характеристики своего труда, сдѣланной самимъ г. Лермантовымъ, невольно выводишь рядъ заключеній: 1) въ книжкѣ, вѣроятно, очень много непонятныхъ мѣстъ, надъ которыми читатель можетъ «сломать голову», 2) г. Лермантовъ убѣжденъ, что первое чтеніе его книги оставитъ въ читателѣ «довольно смутное общее представленіе» о геометріи, 3) хорошо будетъ, если читатель самъ дойдетъ, «своимъ умомъ», до сути дѣла. Не оспаривая послѣдняго, установленнаго самимъ г. Лермантовымъ, положенія, позволительно уже здѣсь спросить: а стоило ли писать такую книгу, которая самого автора приводитъ къ столь пессимистическимъ заключеніямъ?

Разсматривая самое содержаніе «Примѣнимой геометріи», мы видимъ, что она представляетъ отрывки свѣдѣній изъ геометріи, разбросанные на фонѣ описаній различныхъ процессовъ, различныхъ работъ изъ области техники. Оставляя временно въ сторонѣ геометрическую часть книги, возникаетъ даже сомнѣніе въ томъ, что читатели, для которыхъ книга предназначена авторомъ, «ремесленники», смогутъ разобраться цѣликомъ и въ ея техническомъ содержаніи, ибо плотники или чертежники не поймутъ того, что относится къ гончарному производству или къ работамъ на токарномъ станкѣ, токари не поймутъ тонкости столярнаго дѣла (напр., что значитъ «сдѣлать подъ ярунку», стр. 56) и т. п.

Обращаемся къ геометрическому содержанію книги. Причина сдѣланнаго авторомъ заключенія о своей книгѣ, что послѣ ея прочтенія останется довольно смутное общее представленіе, становится достаточно ясною послѣ внимательнаго разсмотрѣнія ея геометрическаго содержанія. Эту причину слѣдуетъ видѣть въ полномъ отсутствіи какой-либо руководящей мысли, которая направляла бы изложеніе этого геометрическаго содержанія. Въ результатѣ получается рядъ отрывочныхъ свѣдѣній изъ обычнаго курса геометріи, при чемъ неизвѣстнымъ остается, на что должны опираться читатели для убѣжденія въ правильности этихъ свойствъ: иногда, какъ-будто, на логическія разсужденія, вытекающія изъ опредѣленій, иногда, какъ-будто, на образное представленіе о геометрическихъ формахъ, иногда на опытную повѣрку, иногда просто надо излагаемыя свѣдѣнія запоминать. Приведемъ подтвержденія этому.

На стр. 5 авторъ указываетъ, что «одной изъ цѣлей нашей книжки будетъ познакомить читателей съ книжнымъ языкомъ геометріи; потому много мѣста уходитъ на объясненіе значенія этихъ терминовъ»; на стр. 10 указывается: «Если не потрудиться сначала хорошенько установить, въ какомъ значеніи будутъ употребляться условленныя названія этихъ «понятій», такъ называемые «научные термины» этой науки, то выйдетъ одна путаница», и далѣе: «Поэтому-то и намъ приходится, не жалѣя времени и труда, начать съ установки основныхъ понятій геометріи». На стр. 11 указывается: «Въ дальнѣйшемъ изложеніи мы и въ самомъ дѣлѣ увидимъ, что пользоваться понятіями, опредѣленными такими словами, дѣйствительно удобно. Можно было бы привести еще нѣсколько подобныхъ выписокъ, но думаемъ, что и этого достаточно, чтобы признать наличность желанія автора, хотя бы лишь въ нѣкоторыхъ случаяхъ, пользоваться словесными опредѣленіями геометрическихъ понятій и изъ

нихъ выводить соотвѣт. слѣдствія. Съ другой стороны, на стр. 5 и 6, авторъ опредѣленно говоритъ: «Нужныя намъ правила давно извѣстны, и ученые доказали ихъ истину разсужденіями. Мы же удостовѣримся въ этомъ на опытѣ. А многія изъ этихъ правилъ до того просты, что всякому видно, что и онѣ правильны, если правильно то, что уяснено было раньше». Здѣсь 1) ясно указано, что авторъ хочетъ въ дальнѣйшемъ пользоваться опытною повѣркою сообщаемыхъ геометрическихъ свѣдѣній, а 2) имѣется намекъ и на то, что авторъ въ извѣстныхъ случаяхъ прибѣгаетъ и къ тѣмъ образамъ, которыми владѣетъ всякій, кто приступаетъ къ чтенію этой книги («всякому видно, что и онѣ правильны»), хотя здѣсь имѣется и сомнѣніе, возникающее на почвѣ послѣднихъ словъ: «если правильно то, что уяснено было раньше».

Разсмотримъ на нѣкоторыхъ примѣрахъ, какъ всѣ вышеуказанныя основанія проводятся авторомъ на дѣлѣ.

Сначала остановимся на вопросѣ объ опредѣленіяхъ. Здѣсь прежде всего обращаетъ на себя вниманіе опредѣленіе плоскости (на стр. 13): «Плоскостью называютъ поверхность шара «безконечно большого» радіуса». Прежде всего мы сомнѣваемся, чтобы мало подготовленный читатель разобрался бы въ такомъ опредѣленіи, тѣмъ болѣе, что предварительное поясненіе опирается на понятія и соотношенія между ними болѣе сложныя, чѣмъ само понятіе о плоскости: «чѣмъ больше радіусъ шаровой чашки, тѣмъ она будетъ площе1) и обратно. На книжномъ языкѣ это выражаютъ словами: «кривизна шаровой поверхности обратно пропорціональна ея радіусу», т.-е. она тѣмъ больше, чѣмъ меньше радіусъ. Значитъ, шаровую чашку не отличить отъ плоской, если ея радіусъ кривизны чрезвычайно великъ». Итакъ, здѣсь встрѣчаются и «кривизна» и «радіусъ кривизны» и «обратно пропорціонально». Разсматривая книгу дальше, мы видимъ, что авторъ, высказавъ зачѣмъ-то такое мудреное опредѣленіе плоскости на стр. 13, въ дальнѣйшемъ нигдѣ имъ не пользуется, а опирается на то представленіе о плоской поверхности, какое предполагается уже имѣющимся у каждаго, приступающаго къ чтенію книги (напр. на стр. 22, 23 и т. д.). Если автору для технической части книги необходимъ былъ взглядъ на плоскость, какъ на сферическую поверхность безконечно большого радіуса, то и надо было установить лишь возможность разсматривать для извѣстныхъ цѣлей плоскость, какъ шаровую поверхность съ безконечно большимъ радіусомъ, а вовсе не дѣлать изъ этого взгляда опредѣленія, при чемъ и поясненій для возможности такого взгляда для читателя требовалось бы значительно больше. Авторъ самъ въ дальнѣйшемъ ставитъ дѣло такъ, что это его опредѣленіе плоскости оказывается безпочвеннымъ. На стр. 22 онъ говоритъ: «Если же проведемъ еще третью плоскость, какъ угодно, только бы она пересѣкла линію пересѣченія первой плоскости со второю, получимъ восемь тѣлесныхъ угловъ около одной точки, захватывающихъ все пространство до крайнихъ его предѣловъ, буде таковые существуютъ. Вѣдь простран-

1) Въ первый разъ приходится встрѣчать сравнительную степень отъ прилагательнаго плоскій.

ство одно изъ основныхъ понятій, не подлежащихъ опредѣленію, и никто не знаетъ, есть ли ему предѣлы, не рѣшено даже, существуетъ ли оно на дѣлѣ, или это отвлеченное понятіе, придуманное людьми: одни философы думали такъ, другіе иначе».

Не останавливаясь на вопросѣ о цѣнности этого замѣчанія съ философской точки зрѣнія, а также на вопросѣ о его доступности для пониманія предполагаемыхъ читателей — ремесленниковъ, мы все же думаемъ, что оно очень смутитъ такого читателя, особенно если онъ запомнилъ данное раньше опредѣленіе плоскости, какъ шаровой поверхности съ безконечно большимъ радіусомъ.

Подобное же отношеніе автора къ дѣлу можно увидать и на другихъ примѣрахъ. Вотъ, напримѣръ, на стр. 21 опредѣляется понятіе кругъ: «Кругомъ, окружностью круга, принято называть линію, получающуюся, когда шаровая поверхность пересѣкается плоскостью». Зачѣмъ понадобилось автору такое опредѣлеѣніе — неизвѣстно. Правда на стр. 21 онъ говоритъ: «Какъ это выходитъ, что у каждаго изъ такихъ круговъ (получаемыхъ отъ пересѣченія шара плоскостью, не проходящею черезъ центръ шара) всякая точка оказывается на одинаковомъ разстояніи отъ его центра, мы узнаемъ дальше, когда у насъ накопится больше знанія», но 1) мнѣ такъ и не удалось найти мѣста книги, гдѣ авторъ выполняетъ свое обѣщаеніе, а 2) начиная съ той же 21 стр. и вездѣ въ дальнѣйшемъ авторъ основываетъ всѣ свѣдѣнія, даваемыя имъ для круга, вовсе не исходя изъ установленнаго опредѣленія, а опираясь на «главное свойство круговой линіи: всѣ точки ея на равныхъ разстояніяхъ отъ центра», при чемъ, очевидно, хотя это авторомъ и не высказывается, имѣется въ виду, что образъ круга уже достаточно ясно рисуется читателю. Если такъ, то какое же значеніе имѣетъ даваемое г. Лермантовымъ опредѣленіе круга?

Минуя цѣлый рядъ вопросовъ и недоразумѣній общаго характера, возникающихъ чуть не по поводу каждой страницы книги, при сопоставленіи ихъ съ другими, мы остановимся еще на одномъ сомнѣніи общаго характера, возникающаго при чтеніи тѣхъ страницъ, которыя посвящены вопросамъ измѣренія площадей и объемовъ. Насъ поразила та краткость, съкакой авторъ излагаетъ указанные вопросы. Вотъ, напр., какъ изложенъ вопросъ объ измѣреніи поверхности трапеціи (стр.93): «Такъ, часто встрѣчается форма четыреугольника, называемая «трапеція», у которой1) двѣ стороны параллельны, а двѣ нѣтъ, какъ ABCD или BFHG (выше даны "2 чертежа). Если раздѣлить такую трапецію «діагональю», проведенною изъ угла въ уголъ (на чертежѣ этой «діагонали» не дано) на два треугольника, то поверхность ея выразится суммою -zAB х DD + ^CD х DD =

То-естъ поверхность трапеціи равна произведенію ея высоты на полусумму ея параллельныхъ сторонъ». Сомнѣваемся, чтобы

1) Мы не остановливаемся на сомнѣніяхъ мелкихъ: такъ, напримѣръ, здѣсь сомнѣнія: 1) трапецію называется «форма», а не четыреугольникъ, 2) стороны принадлежатъ «формѣ», а не четыреугольнику.

читатель, вовсе не знающій геометріи, вѣроятно очень мало свѣдующій въ алгебрѣ, да и не твердо знающій даже ариѳметику 1), что-либо вынесъ изъ такого объясненія, — ему остается заучить механически окончательный результатъ, то-есть здѣсь, какъ это мы указали выше, авторъ, въ сущности, долженъ опереться на механическую память читателя. Кромѣ того, читатель, встрѣчаясь здѣсь съ новыми понятіями «трапеція», «діагональ», недостаточно выясненными, придетъ къ заключенію, что въ геометріи разсматриваются какія-то непонятныя «штуки» (на стр. 11 самъ г. Лермантовъ пользуется этимъ терминомъ; онъ говоритъ: «такъ, напримѣръ, очень странно, что поверхность не имѣетъ толщины, а линія не имѣетъ и ширины. Однако, ученые геометры нашли удобнымъ назвать этими словами такія именно штуки»).

Еще труднѣе для читателя понять что-либо въ изложеніи вопросовъ объ измѣреніи поверхностей и объемовъ тѣлъ. Напримѣръ, на стр. 106 дано лишь общее указаніе: «Для геометрическихъ тѣлъ, ограниченныхъ плоскими гранями, поверхность можно опредѣлить безъ затрудненій, когда размѣры ихъ можно измѣрить на дѣлѣ или они заданы числами», Какихъ-либо спеціальныхъ указаній на измѣреніе боковой поверхности прямой призмы не имѣется, а между тѣмъ на той же (и на 107) страницѣ уже говорится: «По сходству съ прямой призмой, боковую цилиндрическую поверхность мы получимъ, помноживъ окружность основанія на высоту».

Еще больше недоразумѣній связано съ конусомъ, съ усѣченнымъ конусомъ, съ шаромъ. Конусъ даже не нарисованъ (поясненій на стр. 34 слишкомъ мало); на стр. 111 вдругъ при выводѣ (попытка этого вывода такова, что врядъ ли съ нею справится и ученикъ гимназіи, а не только не подготовленный читатель-ремесленникъ) формулы для поверхности шара появляется не упоминаемый ранѣе усѣченный конусъ; такъ какъ нѣтъ никакихъ поясненій (ни здѣсь, ни раньше на стр. 33—36) для понятій «производящая конуса» и «высота конуса», то, конечно, вътѣхъ формулахъ, какія даны для полной поверхности конуса nr(h+r) (на стр. 107) и для объема конуса 17ir2h (стр. 116), читатели будутъ считать ихъ совпадающими, тѣмъ болѣе что онѣ обозначены одною и тою же буквою А, а можетъ быть читатель и вовсе остановится въ недоумѣніи передъ этими «штуками».

Уже этихъ двухъ соображеній общаго характера достаточно для того, чтобы присоединиться къ мнѣнію автора, изложенному въ началѣ этой рецензіи, что чтеніе его книги должно оставить «довольно смутное общее представленіе». Можетъ быть; даже слѣдуетъ это заключеніе еще усилить.

1) Авторъ самъ на 130 стр. говоритъ: «Складывать, вычитать и умножать цѣлыя числа могутъ всѣ учившіеся когда-либо немного ариѳметикѣ. Дѣленіе уже многіе не могутъ безъ запинокъ, а дроби рѣдко кто можетъ расчитывать». На стр. 130—134 авторъ излагаетъ, какъ надо выполнять дѣйствія надъ десятичными дробями. Думаемъ, въ виду краткости и странности изложенія, результатъ отъ прочтенія этихъ страницъ будетъ такой же, какъ, напримѣръ, отъ прочтенія мѣста, посвященнаго измѣренію поверхности трапеціи.

Послѣднее окажется обязательнымъ, если обратить вниманіе на множество мелкихъ странностей и недоразумѣній, возникающихъ при чтеніи этой книги чуть не на каждой страницѣ. Вотъ нѣкоторыя изъ нихъ:

1. На стр. 54. «Когда прямыя образуютъ прямой уголъ, предполагается снова, что онѣ не наклонены одна къ другой, а стоятъ прямо». Очень странное, если не сказать болѣе, опредѣленіе прямого угла. Очевидно, авторъ хочетъ аппелировать къ тому представленію о прямомъ углѣ, или о перпендикулярныхъ прямыхъ, которое уже создалось въ представленіи читателя на основаній его жизненной практики, а въ то же время не рѣшается сдѣлать это откровенно, вмѣсто чего затемняетъ дѣло какими-то странными словесными опредѣленіями, — у автора, какъ это явствуетъ изъ всей книги, имѣется пристрастіе къ словамъ, къ словеснымъ опредѣленіямъ.

2. На той же страницѣ авторъ говоритъ: «Для измѣренія прямого плоскостнаго1) угла, надо...» Спрашивается: если извѣстно, что уголъ прямой, то какой смыслъ имѣетъ слово «измѣрять» этотъ уголъ?

3. На стр. 62 начинается изученіе треугольниковъ: «Значитъ въ каждомъ треугольникъ по три стороны и по три угла», на стр. 63 идетъ рѣчь о суммѣ внутреннихъ угловъ треугольника, а между тѣмъ еще на стр. 55 указывается уже на прямоугольные треугольники и утверждается: «если одинъ изъ острыхъ угловъ=60°, то другой будетъ въ 30°». Какъ это согласовать съ замѣчаніемъ, педагогическаго характера, на стр. 87: «Въ этомъ весь секретъ легкаго усвоенія математическихъ наукъ: чтобы итти дальше безъ затрудненія, надо хорошо усвоить пройденное раньше»?

4. На стр. 81 авторъ уже измѣряетъ углы метрами. А мы то до сихъ поръ полагали, что отрѣзокъ можно измѣрять лишь отрѣзкомъ, площадь — площадью, объемъ—объемомъ, уголъ—угломъ. Оказывается все это не такъ: теперь углы уже можно измѣрять прямолинейнымъ отрѣзкомъ. Будемъ надѣяться, что въ будущемъ станутъ измѣрять площади, принимая за единицу линейный метръ.

5. На стр. 103 и 104 сказано о томъ, что Пиѳагоръ доказалъ свою теорему разсужденіемъ, что форма треугольника не опредѣляется величиною его поверхности, или величиною его основанія и его высоты, что французскій ученый Сенъ-Венанъ придумалъ очень наглядное построеніе для выясненія теоремы Пиѳагора, дана даже (на чер. 58) фигура, которую, повидимому, рекомендуется вырѣзать изъ картона или дерева и перекладывать какъ дѣтскую игрушку: «китайскій кастетъ». Однако, повидимому, приведенный чертежъ вовсе не соотвѣтствуетъ словамъ на стр. 104 «такъ разрѣзать квадраты катетовъ, что они покрываютъ квадратъ гипотенузы», — здѣсь нельзя обойтись безъ вспомогательныхъ, промежуточныхъ фигуръ. Во всякомъ случаѣ, автору слѣдовало бы, разъ онъ началъ объ этомъ говорить, сдѣлать болѣе подробньія указанія: иначе

1) Авторъ употребляетъ необычный терминъ «плоскостной» уголъ вмѣсто «двугранный» уголъ; напомнимъ автору, что этимъ самымъ онъ вовсе не способствуетъ одной изъ своихъ цѣлей, чтобы ремесленники, послѣ чтенія его книги, могли понимать «разговоръ архитекторовъ и инженеровъ».

эта дѣтская игра — китайскій кастетъ — такъ и останется «головоломкою» для читателя.

6. На стр. 113 авторъ защищаетъ умноженіе именованнаго числа на именованное, но на стр. 114 фразу «объемъ прямоугольнаго параллелепипеда равенъ произведенію его длины, ширины и высоты» толкуетъ такъ: «Это значитъ, что онъ содержитъ столько единицъ объема или «кубической мѣры», сколько число, полученное отъ этого перемноженія, содержитъ единицъ». Въ этомъ толкованіи дѣло сводится какъ-будто къ умноженію отвлеченныхъ чиселъ.

Обращаетъ еще на себя вниманіе и тотъ развязный, странный тонъ, которымъ написана книга. Напримѣръ, «многіе (геометрическіе термины) звучатъ такъ странно, что, какъ говорится, «съ похмѣлья и не выговоришь»! (стр. 4). «Такъ какъ думать трудъ тяжкій», то можно «грѣшнымъ дѣломъ», предложить такое «правило для памяти»... (тутъ, между прочимъ, опять намекъ на то, что авторъ часто аппелируетъ къ механической памяти)— (стр. 78). «Обыкновенно: «кривая вывезетъ» въ такомъ случаѣ» ^также стр. 78). «Окружность на малость (курсивъ мой) больше трехъ діаметровъ» (стр. 100). Часто встрѣчаются выраженія «мудрецкая наука» (стр. 86), «мудрецкое доказательство» (стр. 87) и т. п. На стр. 108 читаемъ: «матушка Алгебра не дѣлаетъ промаховъ» и т. п. и т. п. Достойно еще вниманія одно разсужденіе на стр. 44. «Два равно двумъ, а три равно тремъ, значитъ и пять равно пяти, потому что, прибавляя къ равнымъ величинамъ поровну, мы равенства не нарушаемъ». Неужели же авторъ не замѣчаетъ всю странность примѣненія указываемой имъ аксіомы къ разсматриваемому случаю?

Мы убѣждены, что у читателя-ремесленника, сколько бы разъ онъ не читалъ эту книгу, все же о геометріи останется очень смутное представленіе, а потому совѣтуемъ ее вовсе и не читать.

Н. Извольскій.

Исправленіе.

На стр. 36 «Матем. Вѣстника» (№ 2 за 1915 г.). Напечатано (вторая строка снизу, не считая подстрочнаго примѣчанія):

Слѣдуетъ это исправить такъ:

Редакторъ-Издатель Н. А. Извольскій.

Типографія Г. Лисснера и Д. Собко. Москва, Воздвиженка, Крестовоздвиженскій пер., д. Ne 9.

[Объявления]

[Объявления]

[Объявления]

[Объявления]