Математическій Вѣстникъ.

№ 2. Февраль 1915 г.

Годъ второй.

Адресъ редакціи: Москва, Гороховскій пер., д. 23, кв. 9. Тел.3-19-55.

Содержаніе: Е. Томашевичъ. Ариѳметическіе парадоксы. — Н. Извольскій. Задачи, преслѣдуемыя обученіемъ дѣтей ариѳметикѣ въ начальной школѣ. Окончаніе. — И. Симоновъ. Объ умноженіи на дробь. — Н. Извольскій. По поводу статьи И. Симонова «Объ умноженіи на дробь.» — Хроника. (Тверской Общественно-педагогическій кружокъ. — Двадцатипятилѣтіе журнала «Вѣстникъ Воспитанія». — Двадцатипятнлѣтіе журнала «Русская Школа»). — Свѣдѣнія о книгахъ по математикѣ и ея методикѣ. (Н. В. Грахольскій, А. А. Ляминъ и Т. Ѳ. Сваричовскій. Сборникъ ариѳм. задачъ для средне-учебныхъ заведеній. — Кн. Б. А. Тенишевъ. Сборникъ ариѳм. задачъ и примѣровъ для народныхъ училищъ и начальныхъ школъ.—Объявленія.

Ариѳметическіе парадоксы.

Пройдя курсъ обыкновенныхъ дробей, ученики обыкновенно очень хорошо усвоиваютъ правила дѣйствій надъ ними, но сплошь и рядомъ смыслъ этихъ правилъ, иначе, умѣнье ихъ вывести, скоро и основательно улетучивается изъ головы; попробуйте предложить среднему ученику 2-го или 3-го класса доказать правило умноженія дробей, — онъ сильно затруднится, а можетъ быть даже и удивится вопросу и съ полнымъ убѣжденіемъ отвѣтитъ: «намъ этого не объясняли». Между прочимъ, подобный отвѣтъ почти всегда слѣдуетъ на вопросъ-объяснить признаки дѣлимости на то или другое число.

Однимъ изъ средствъ къ тому, чтобы въ дѣло усвоенія ариѳметическихъ истинъ ученики вносили побольше собственнаго сознанія, я считаю возможность установленія такихъ правилъ, которыя въ иныхъ случаяхъ противорѣчили бы обычнымъ; конечно, подобныя правила возможны лишь въ видѣ

исключенія, но все же они, по моему мнѣнію, заслуживаютъ вниманія, и при подходящихъ условіяхъ преподаватель не безъ пользы можетъ позаняться съ учащимися этими особыми случаями: развлеченіе окажется не только интереснымъ, но и поучительнымъ.

1. При сложеніи или вычитаніи дробей достаточно числителя помножить на числителя и знаменателя на знаменателя.

Примѣры.

Въ общемъ видѣ правило это можетъ быть выражено такъ:

II. При умноженіи дробей достаточно сложить числителя съ числителемъ и знаменателя со знаменателемъ.

Примѣры.

1) Отсюда можно видѣть, какъ надо составлять примѣрьт, подходящіе къ этому «правилу».

То же самое мы получимъ слѣдующимъ образомъ:

Если £-Ь^э=г^> т°> ѵмножая обѣ части этого равенства на bd, получимъ: ad-\-cb = ac и, раздѣливъ на ас, найдемъ —f-=l. Обратно, исходя изъ послѣдняго равенства, получимъ первое. Отсюда вытекаетъ: если мы желаемъ найти двѣ дроби, чтобы для выполненія ихъ сложенія можно было бы умножатъ числителя на числителя и знаменателя на знаменателя, то надо найти двѣ дроби такъ, чтобы ихъ сумма равнялась единицѣ |^-J-^ = 1 j, и для каждой дроби взять ей обратную (для дроби - обратная ^> для дроби ^ обратная ^J, — тогда къ этимъ двумъ обратнымъ дробямъ примѣнимо наше «правило». Напримѣръ, —

Такъ же точно изъ равенства т —-» = г-. вытекаетъ---= 1 и, обратно, послѣднее равенство влечетъ первое, т.-е. если мы найдемъ двѣ дроби, разность которыхъ равна 1 ^напр. ~-^-і|, то разность дробей, имъ обратныхъ I т.-е. — и -1; равна ихъ произведенію Іт.-е. 4~|з = 4~{з Г

Ред.

Если мы пожелаемъ выразить этотъ случай въ общемъ видѣ, то получимъ

Это возможно при условіи

если a<è, то необходимо d<c, т.-е. одна дробь должна быть правильная, а другая неправильная.

Равенство ^=возможно осуществить, положивъ ас—п(а+с) и bd=n(b-\-d), гдѣ п можетъ быть числомъ либо цѣлымъ, либо дробнымъ. Если а и h даны, то для end получаемъ выраженія

отсюда, между прочимъ, видно, что дробь ^ должна быть сократимою.

1) Это равенство получается слѣдующимъ образомъ:

Пусть имѣемъ т*з^г-^ или г^=гт-^' отсюда acb-{-acd = abd-{-cbd: о а о-\-а od о-\-а раздѣливъ обѣ части этого равенства на abed, получимъ j-f-r =—I— или ~-£ = ^~~* Обратно, послѣднее равенство влечетъ за собою первое.

Возможно воспользоваться послѣднимъ равенствомъ для составленія примѣровъ, удовлетворяющихъ нашему «правилу». Возьмемъ первую дробь ^ J произвольно I напр. ^j; составимъ затѣмъ выраженіе — оно для этого примѣра есть но. Возьмемъ, напр., ^77-; тогда надо* подыскать числа с и dтакъ, чтобы -3 — = 240 d с = —, для чего надо 240 разложить на два множителя такъ, чтобы ихъ разность =14, —эти множители суть 10 и 24 (это не всегда удается), т. е. Tn~97 = 9Zn' и искомая дробь I-1 ] есть — (ее нельзя сокращать). Въ статьѣ данъ болѣе систематическій способъ нахожденія подобныхъ паръ дробей. Ред.

Пусть а=6 и ô=5. Тогда надо для п подобрать такія значенія, чтобы end были числами цѣлыми. Этому требованію удовлетворяютъ п{ = і или пг — З^, и мы имѣемъ

Въ нѣкоторыхъ случаяхъ удобнѣе взять

дѣйствительно,

если і = г, то с= -—- и а— —— будутъ цѣлыми числами при п~ 10.

III. При умноженіи дробей можно вычесть числителя изъ числителя и знаменателя изъ знаменателя.

Примѣры:

3) Равенство j = r—ъ влечетъ за собой, какъ въ предыдущемъ примѣчаніи, равенство -т=:- -> которое указываетъ, что примѣры, удовлетворяющіе разсматриваемому случаю, можно подбирать такъ же, какъ и для предыдущаго случая, — надо лишь у одной изъ полученныхъ дробей перемѣнить числителя и знаменателя мѣстами. Такъ, напр., для предыдущаго случая въ примѣчаніи были найдены двѣ дроби — и —; если теперь возьмемъ дроби — и ~ или —- и — I, то они удовлетворяютъ «правилу» разсматриваемаго случая, т.-е. 24 Jg^^—15 15 24_24_15 8 ' 10~ Ю 8" Ред.

Легко видѣть, что здѣсь мы имѣемъ обращеніе предыдущаго случая, именно

или

IV. При дѣленіи дробей достаточно вычесть числителя изъ числителя и знаменателя изъ знаменателя.

ГІримѣры:

1) Въ этомъ случаѣ можно получить слѣдующій способъ находить подходящіе пары дробей. Пусть г : - = Т— тогда отсюда получимъ: или abd ad1 ------ abe - be2 или abd - abc = ad2 be2. Раздѣлимъ обѣ части этого равенства на ab\ тогда d- с = у-~. Это равенство и указываетъ способъ подыскиванія дробей, удовлетворяющихъ разсматриваемому правилу. Возьмемъ для с vi d любыя числа, напр. 17 и 12; тогда дробь j=j^' возведемъ эти числа, 17 и 12, въ квадратъ каждое, — получимъ 289 и 144.

Теперь надо для b и а подыскать такія числа, чтобы разность —^---— ^5.

Это можно сдѣлать такъ: найдемъ цѣлое число такъ, чтобы отъ дѣленія 289 на это число получилось 5 съ дробью; такимъ числомъ является 57= 5^— . Остается для а найти такое число, чтобы—=«==; это легко сдѣлать, — получимъ а = 36 . 57 =2052. Итакъ, дробь ?=-ѵ=- (слѣдуетъ замѣтить, что эта дробь сокращается и равна цѣлому числу 36, но для примѣненія разсматриваемаго «правила» необходимо ее оставить въ полученномъ видѣ).

Болѣе интересные случаи получаются, если d-c = l. Напримѣръ, пусть d - 4 и с - 3; тогда надо подыскать числа b и а такъ, чтобы -г---= 1. Эти числа суть: 6^8 и а-9. Поэтому приходимъ къ примѣру, допускающему примѣненіе нашего «правила»: - : -і при чемъ обѣ дроби не сократимы.

Ред.

Подобно предыдущему этотъ случай можно выразить слѣдующими двумя формами

V. При дѣленіи дробей достаточно сложить числителя съ числителемъ, а знаменателя со знаменателемъ.

Примѣры:

Я полагаю, что приведенныхъ мною примѣровъ достаточно для того, чтобы показать исполнимость моей мысли, выраженной въ началѣ статьи. Не сомнѣваюсь, что можно придумать еще рядъ «новыхъ правилъ», возможно также, что такія правила будутъ хотя бы до нѣкоторой степени отвѣчать тому «комбинаціонному» направленію въ ариѳметикѣ, о которомъ редакторъ настоящаго журнала сдѣлалъ интересный докладъ на 2-мъ Всероссійскомъ съѣздѣ преподавателей математики.

Считаю своимъ долгомъ указать въ заключеніе на интересную статью А. Виттинга «Между дѣломъ и шуткой въ области чиселъ», помѣщенную въ № 540 «Вѣстника Опытной Физики и Элементарной Математики» (45-й семестръ, 1911 года); въ ней приведенъ длинный рядъ любопытныхъ ариѳметическихъ тождества Е. Томашевичъ.

Позволяемъ себѣ сдѣлать нѣкоторое дополненіе къ этой интересной и поучительной статьѣ Е. С. Томашевича.

Случаи II и III, разсматриваемъ въ этой статьѣ, указываютъ, что въ нѣкоторыхъ случаяхъ можно для умноженія двухъ дробей или сложить числителя съ числителемъ и знаменателя съ знаменателемъ (II случай) или вычесть изъ числителя первой дроби числителя второй и изъ знаменателя первой знаменателя второй.

1) Этотъ случай, подобно предыдущему, сводится къ равенству d — c = с2 =———> при чемъ подборъ чиселъ для а и 6, если числа end даны, можно выполнить въ порядкѣ, сходномъ съ предыдущимъ случаемъ. Ред.

Оказывается, что умноженіе всякихъ двухъ дробей можно выполнять, руководствуясь однимъ изъ этихъ правилъ, если только предварительно каждую дробь замѣнить ей равною, умножая числителя и знаменателя этой дроби на опредѣленное число; при этомъ оказывается (какъ это видно и изъ статьи Е. С. Томашевича), что складывать числителя съ числителемъ и знаменателя со знаменателемъ надо тогда, когда одна изъ дробей правильная, а другая неправильная, а вычитать— тогда, когда обѣ дроби правильныя или обѣ неправильныя.

Въ самомъ дѣлѣ, пусть данныя дроби суть ~ и ~; умножимъ числителя и знаменателя 1-й дроби на число m и 2-й дроби на число я, при чемъ постараемся найти эти числа m и п такъ, чтобы произведеніе данныхъ дробей оказалось равнымъ дроби 7-—т.-е. чтобы

Изъ этого равенства получимъ:

ac(bm -\-dn) = bd(am+en) или abem+aedn=abdm+bedn,

или ab(c—d)m=cd(b—a)n,

m cd(b—a)

откуда -п=аЬ(с-1ГУ(2)

т.-е. для того, чтобы равенство (1) было справедливо, надо подобрать числа (цѣлыя) m и п такъ, чтобы ихъ отношеніе

cd(b—a)

равнялось отношенію —d--зг

Отсюда прежде всего видимъ, что числа m и п могутъ быть оба положительныя только тогда, когда: или 1) by а и c>d, т.-е. 1-я дробь правильная и 2-я дробь неправильная, или 2) Ь<а и c<d, т.-е. 1-я дробь неправильная, и 2-я—правильная. Если же обѣ дроби ^ и ^ правильныя или обѣ неправильныя, то изъ равенства (2) видимъ, что въ этомъ случаѣ можно число m взять положительнымъ, а число п отрицательнымъ, и мы придемъ къ случаю III, разсмотрѣнному въ статьѣ Е. С. Томашевича.

Остановимся лишь на случаѣ, когда одна изъ данныхъ дробей правильная, а другая неправильная, при чемъ будемъ

считать, что дробь г правильная (это всегда можно, такъ какъ множители можно переставлять). Тогда мы видимъ, что во всякомъ случаѣ можно принять, что

m=cd(b—а) и п~аЪ(с—d),

т.-е. всегда можно найти такія числа m и га, чтобы равенство (1) было справедливо.

Если подмѣтимъ, что числа cd(b—a) и аЬ(с—d) имѣютъ общаго дѣлителя, то можно ихъ раздѣлить на этого общаго дѣлителя и тѣмъ самымъ упростить числа m и п. Если не обращать вниманія на возможное, только что указанное, упрощеніе, то можно установить слѣдующее правило (въ данномъ случаѣ это слово употребляется въ его настоящемъ значеніи): чтобы умножить правильную дробь на неправильную, надо числителя и знаменателя каждой дроби умножить на разность между знаменателемъ и числителемъ этой дроби и на произведеніе числителя и знаменателя другой дроби и затѣмъ сложить между собою вновь полученные числители и полученные знаменатели. Напримѣръ,

Если сократить полученную дробь на 44, то получимъ

Ред.

Задачи, преслѣдуемыя обученіемъ дѣтей ариѳметикѣ въ начальной школѣ.

(Окончаніе).

Остановимся еще на понятій «матеріальная цѣль обученія». Сюда прежде всего, какъ обязательная часть, должна входить техника дѣйствій. Обязательно, съ точки зрѣнія этой матеріальной цѣли обученія, научить дѣтей быстрому, аккуратному и по возможности изящному выполненію дѣйствій. Но этого мало, необходимо добиться умѣнія примѣнять ариѳметическія дѣйствія къ практическимъ вопросамъ и задачамъ. Уже давно въ педагогической литературѣ стало имѣть мѣсто выраженіе недовольства тѣми задачами, которыми заполнены ариѳметическіе задачники и которые якобы даютъ матеріалъ для при-

мѣненія ариѳметики къ жизни, къ техникѣ, къ коммерческой дѣятельности и т. п. Справедливо указываютъ, что во многихъ случаяхъ содержаніе такихъ задачъ далеко отъ того, что имѣетъ мѣсто въ жизни (вспомнимъ задачи о курьерахъ, задачи о бассейнахъ, наполняющихся водою черезъ трубы и т. п.), что числа, даваемыя во многихъ задачахъ, не соотвѣтствуютъ тѣмъ, какія получаются въ подобныхъ случаяхъ въ дѣйствительности (напр., въ дѣйствительности не приходится имѣть дѣло съ подобранными — чтобы хорошо сокращалось — числами, въ дѣйствительности составныя именованныя числа, получающіяся отъ измѣреній, всегда приближенныя, и въ большинствѣ случаевъ не имѣютъ смысла сочетанія, въ родѣ 15 пуд. 23 фун. 1 зол. 13 долей, часто встрѣчающіяся въ задачахъ и т. п), что въ практической жизни большинство вычисленій должны быть приближенными и т. д. Однако, повидимому, во всѣхъ этихъ упрекахъ, дѣлаемыхъ по отношенію къ содержанію различныхъ задачниковъ, отсутствуетъ одно существенное обстоятельство. Если на него обратить вниманіе, то придется притти къ выводу, что для достиженія умѣнія учащимися прилагать свои ариѳметическія знанія на практикѣ или вовсе не надо никакого задачника или ариѳметическій задачникъ долженъ принять какую-то особую, совершенно не похожую на современную, форму. Въ самомъ дѣлѣ, какъ только рѣчь идетъ о примѣненіи ариѳметики къ практикѣ, то съ неизбѣжностью выясняются два главные момента: 1) необходимость оріентироваться въ окружающей обстановкѣ съ цѣлью точно установить, какіе числовые вопросы необходимо рѣшить для достиженія извѣстныхъ результатовъ, а также, какіе возможно добыть, съ наименьшею затратою труда, данныя путемъ ли измѣреній, путемъ ли наведенія справокъ; 2) когда будетъ установлено, какія данныя необходимо добыть непосредственно (измѣреніями, справками), придется сумѣть разыскать способы для полученія этихъ данныхъ. Пояснимъ примѣрами. Часто приходится встрѣчать въ задачникахъ задачи (и противъ нихъ возраженій обычно не дѣлаютъ) въ родѣ слѣдующей: разносчикъ купилъ 100 яблокъ за 2 руб. 40 коп.; изъ нихъ онъ продалъ 60 яблокъ по 32 коп. за десятокъ, 7 яблокъ пришлось выбросить, такъ какъ они испортились, а остальныя яблоки онъ продалъ въ среднемъ по 30 коп. за десятокъ; сколько онъ получилъ прибыли?

Согласимся, что такая задача имѣетъ нѣкоторое практическое значеніе, но только очень малое. Въ самомъ дѣлѣ наиболѣе существеннымъ моментомъ для разносчика является установленіе цѣны, по какой ему желательно продавать яблоки. Установивъ эту цѣну, онъ при самой продажѣ будетъ, сообразно обстоятельствамъ, запрашивать или уступать, благодаря чему его предполагаемая предварительно прибыль увеличится или

уменьшится. Какую же ариѳметически-практическую работу долженъ выполнитъ разносчикъ, чтобы рѣшить эту наиболѣе существенную для него задачу установленія продажной цѣны яблокъ? Онъ прежде всего долженъ установить, что для рѣшенія вопроса о продажной цѣнѣ ему нужны слѣдующія свѣдѣнія: 1) число яблокъ, которыя испортятся за время его торговли и которыя придется или вовсе выбросить или продать за беэцѣнокъ, 2) желаемая прибыль, 3) общія свѣдѣнія о торговлѣ яблоками въ разсматриваемый моментъ (сюда входятъ соображенія о томъ, сколь низкую или сколь высокую плату онъ самъ заплатилъ за яблоки, сколь великъ предвидится спросъ на яблоки и т. п.). Послѣ этого наступаетъ второй моментъ: надо, въ зависимости отъ того, какія яблоки куплены, какова погода, въ сколь долгое время онъ разсчитываетъ распродать яблоки, установить, что испортятся столько то яблокъ; затѣмъ въ зависимости отъ дороговизны жизни, въ зависимости отъ времени, въ которое будетъ выполнена вся операція съ яблоками, въ зависимости быть можетъ отъ какихъ-либо еще причинъ, а въ частности отъ общихъ условій торговли, установить,что желательно (а можетъ быть даже и необходимо) получить такую-то прибыль. Послѣ этого лишь можно было бы установить цѣну, по которой желательно продавать яблоки. Еще примѣръ, въ задачникахъ встрѣчаются иногда задачи, гдѣ требуется вычислить по опредѣленнымъ даннымъ стоимость постройки, напр., дома. Однако при постройкѣ дома наиболѣе важнымъ является общій вопросъ о составленіи смѣты. Чтобы составить смѣту, надо намѣтить рядъ отдѣльныхъ вопросовъ, установить, какія данныя необходимы для ихъ разрѣшенія, получить, наконецъ, эти данныя. Напр., въ смѣту, какъ отдѣльная часть, войдетъ вопросъ о стоимости земляныхъ работъ, для рѣшенія котораго необходимо непосредственно узнать объемъ той земли, какую придется удалить (для этого необходимы соотвѣтственныя измѣренія) и стоимость работы для опредѣленной объемной единицы (для этого необходимы соотвѣтств. справки). И если мы хотимъ, чтобы вопросъ о подготовкѣ дѣтей, учащихся въ школѣ, къ использованію ариѳметическихъ знаній на практикѣ, былъ поставленъ серьезно, то предыдущія соображенія должны быть приняты во вниманіе. Нельзя серьезно говорить, что такая подготовка будетъ достигнута, если мы въ школѣ будемъ упражнять дѣтей лишь въ рѣшеніи задачъ, подобной выше приведенной о разносчикѣ или какихъ-либо иныхъ, хотя бы даже въ этихъ задачахъ и числа и обстановка были согласны съ дѣйствительностыо. Напр., если учащійся научится рѣшать задачи, подобныя выше данной, то можно было бы сказать, что такой учащійся какъ бы приготовился къ тому, чтобы быть «вычислителемъ» при разносчикѣ: разносчикъ скажетъ ему

рядъ данныхъ, скажетъ вопросъ, а «вычислитель» рѣшитъ задачу и скажетъ отвѣтъ. Правда, въ большихъ предпріятіяхъ коммерческихъ, техническихъ имѣются подобные «вычислители», но возникаетъ вопросъ, должна ли общеобразовательная школа, начальная или средняя, ставить для себя задачу подготовлять подобныхъ «вычислителей»? Врядъ ли найдется много лицъ, которые отвѣтили бы на этотъ вопросъ положительно. А если такъ, то возникаетъ мысль о томъ, что пониманіе «матеріальной цѣли обученія ариѳметикѣ» въ смыслѣ пріобрѣтенія навыка въ приложеніяхъ ариѳметики къ практическимъ задачамъ вызываетъ рядъ вопросовъ, крайне осложняющихъ дѣло.

Прежде всего возникаетъ вопросъ, какъ поставить дѣло, чтобы уроки ариѳметики являлись бы солидною подготовкою къ различнымъ областямъ практической дѣятельности. Рѣшеніе задачъ изъ обычныхъ задачниковъ, какъ уже было выяснено, такой подготовки не можетъ дать; понадобилось бы составить задачникъ совершенно новой формы, а именно такой, чтобы въ немъ были изложены описанія различныхъ положеній, взятыхъ изъ различныхъ областей практической дѣятельности, для выхода изъ которыхъ нуженъ ариѳметическій расчетъ, при чемъ учащіеся должны сами выработать изъ описаннаго въ задачникѣ положенія одну или нѣсколько задачъ, рѣшеніе которыхъ можетъ указать выходъ изъ этого положенія. Учащіеся должны также сами для всякой задачи уяснить, какія данныя имъ необходимы и какъ ихъ получить (въ положеніи, описанномъ въ задачѣ, должны имѣться нѣкоторыя данныя, а именно тѣ, которыя характеризуютъ это положеніе; изъ нихъ для каждой задачи придется выбрать лишь нѣкоторыя, но можетъ оказаться, что ихъ недостаточно и тогда для полученія недостающихъ данныхъ долженъ быть указанъ путь — измѣреніе или справки; придется, вѣроятно, учителю, когда путь полученія данныхъ будетъ выясненъ, устанавливать «пусть послѣ измѣренія (или послѣ справокъ) оказалось...», — это необходимо, чтобы довести до конца составленіе задачи). Изъ какой же области практической дѣятельности брать матеріалъ для такихъ упражненій? Такъ какъ неизвѣстно, кому изъ учащихся придется въ какой области работать, то было бы послѣдовательно заимствовать эти упражненія изъ различныхъ областей: домашнее хозяйство, сельское хозяйство, торговля (мелочная и крупная), строительство, производительность фабрикъ и заводовъ, финансовые расчеты (мелкіе, личные и крупные) и т. д.

Мы не станемъ рѣшать вопроса, возможно ли все это осуществить, не станемъ рѣшать потому, что съ нашей точки зрѣнія такая реформа школы была бы крайне не желательна: общеобразовательная школа, съ нашей точки зрѣнія, должна

стремиться, главнымъ образомъ, къ тому, чтобы развивать у учащихся стремленіе къ духовно-умственной работѣ, а не завлекать ихъ въ сѣти матеріально-практической дѣятельности, тѣмъ болѣе, что и безъ того, какъ мы видимъ этому много примѣровъ, послѣдняя поглощаетъ людей, даже имѣвшихъ стремленіе къ умственной работѣ, и постепенно это стремленіе у нихъ замираетъ, замѣняясь соображеніями о деньгахъ, о прибыляхъ и т. п. Кромѣ того, возникаетъ даже сомнѣніе, нужна ли такая реформа дѣла обученія ариѳметикѣ. Въ самомъ дѣлѣ, при разсмотрѣніи вышеизложенныхъ упражненій, подготовляющихъ къ практической дѣятельности, не трудно подмѣтить, что въ сущности все ихъ содержаніе сводится къ тому же, о чемъ уже была рѣчь раньше, къ развитію творческихъ стремленій: учащійся долженъ проявить нѣкоторое творчество, чтобы найти выходъ изъ того положенія, описаніе котораго ему дано, долженъ также проявить творческую дѣятельность и въ изысканіи способовъ получить числа, необходимый для рѣшенія возникающихъ ариѳметическихъ задачъ. А если такъ, то разсматриваемое направленіе «матеріальной» цѣли обученія сводится опять таки къ «формальной» цѣли, если понимать этотъ терминъ въ широкомъ смыслѣ.

Далѣе имѣетъ мѣсто слѣдующее соображеніе: если такъ, если на первый планъ выдвигается развитіе творческихъ стремленій учащихся, то не все ли равно на какомъ матеріалѣ эти стремленія будутъ проявляться, на матеріалѣ ли, заимствованномъ изъ различныхъ областей практической дѣятельности человѣка, или на чисто ариѳметическомъ матеріалѣ? вѣдь по существу творческая дѣятельность человѣка вездѣ одинакова: надо строить (хотя бы мысленно) различныя комбинаціи изъ извѣстнаго матеріала, руководствуясь извѣстными руководящими идеями, извѣстными цѣлями, надо выбирать изъ нихъ тѣ, которыя почему-либо достойны вниманія. Въ такомъ случаѣ не правильнѣе ли поставить дѣло такъ, чтобы на урокахъ ариѳметики въ начальной общеобразовательной школѣ зачатки творческихъ стремленій учащихся развивались на чисто ариѳметическомъ матеріалѣ. И можно быть увѣреннымъ, что въ будущемъ, если жизнь заставитъ учащагося уйти въ практическую работу, этотъ учащійся сумѣетъ примѣнить выработанное школою стремленіе къ творчеству и къ тому матеріалу, съ которымъ онъ будетъ имѣть дѣло на практикѣ, вдобавокъ, нѣкоторая привычка къ работѣ въ области чистой ариѳметики, пріобрѣтенная имъ въ школѣ, если она не заглохнетъ, заставитъ его, время отъ времени, уходить отъ своей практической дѣятельности въ область отвлеченной мысли, въ область отвлеченныхъ образовъ и даетъ ему минуты духовныхъ радостей.

Въ связи съ предыдущимъ позволимъ себѣ дать здѣсь еще одно соображеніе по поводу задачъ. Въ педагогической литературѣ послѣдняго времени замѣчается большой протестъ противъ ряда задачъ, предлагающихся во многихъ задачникахъ. Указываютъ, съ одной стороны, что задачи эти слишкомъ замысловаты, чтобы учащіеся смогли сами изыскать ихъ рѣшенія, а съ другой стороны, что содержаніе многихъ задачъ слишкомъ не жизненно, слишкомъ далеко отъ того, съ чѣмъ приходится считаться въ практической дѣятельности.

Позволимъ себѣ сказать нѣсколько словъ въ защиту такихъ задачъ. Во-первыхъ, о замысловатыхъ задачахъ. Вѣдь каждая задача для своего рѣшенія требуетъ изысканія нѣкоторой особенной комбинаціи изъ данныхъ въ задачѣ чиселъ, и эта комбинація, составляющая, такъ сказать, «соль» задачи почему-либо производитъ особенное впечатлѣніе на воображеніе, на мысль того, кто рѣшилъ такую задачу: если эта «соль» будетъ выяснена, то рѣшающій задачу получаетъ особенное чувство удовлетворенія. Почему же въ такомъ случаѣ лишать возможности учащихся пережить такіе моменты духовной дѣятельности? Почему такія задачи хотятъ вовсе удалить изъ жизни школы? Другой вопросъ, на какое мѣсто въ жизни школы эти задачи должны быть поставлены. Нельзя такія задачи сдѣлать обязательными, нельзя, какъ это иногда, къ сожалѣнію, имѣетъ мѣсто, требовать умѣнія ихъ рѣшить на экзаменахъ, но предлагать такія задачи отдѣльнымъ учащимся, или даже и всѣмъ, слѣдуетъ, при чемъ въ зависимости отъ обстоятельствъ, учащій долженъ въ большей или меньшей степени притти на помощь учащимся, наблюдая, однако, за тѣмъ, чтобы такая помощь по возможности мало уменьшала то чувство удовлетворенія, какое въ полной мѣрѣ имѣло бы мѣсто при самостоятельномъ рѣшеніи задачи. И по существу дѣла работа надъ такими задачами служитъ той же цѣли развитія творческихъ стремленій: также надо изъ матеріала, даннаго въ задачѣ, построить извѣстную комбинацію, позволяющую распутать замыселъ задачи.

Теперь ясно, что можно защищать задачи, содержаніе которыхъ не согласно съ жизненной практикой. Для развитія творческихъ зачатковъ, имѣющихся у дѣтей, несущественно надъ какимъ матеріаломъ выполняется комбинаціонная работа. Пусть условія задачи не согласуются съ дѣйствительностью, но если это несогласіе оправдывается замысломъ задачи, то такая задача цѣлесообразна; важно и существенно важно, лишь то, чтобы задача удовлетворяла цѣли развитія творческихъ стремленій1).

1) Однако и мы не защищаемъ задачъ, въ которыхъ отсутствуютъ и жизненная правда и замыселъ.

Въ заключеніе дадимъ свой отвѣтъ на вопросъ, поставленный выше: какое же мѣсто должна занимать при первоначальномъ обученіи ариѳметикѣ забота о техникѣ дѣйствій?

Изъ предыдущаго ясно, что съ нашей точки зрѣнія техника дѣйствій остается единственнымъ содержаніемъ матеріальной цѣли обученія ариѳметикѣ. Теперь мы прибавимъ еще, что необходимо должно добиться того, чтобы учащіеся увѣренно выполняли всѣ дѣйствія надъ числами. Однако отсюда вовсе не слѣдуетъ, чтобы эта цѣль была выдвинута на первое мѣсто. Надо поставить дѣло такъ, чтобы упражненія въ техникѣ дѣйствій все время оставались въ тѣни, чтобы на первый планъ была выдвинута формальная цѣль обученія, понимаемая въ широкомъ смыслѣ слова: развитіе логическаго мышленія, развитіе образнаго представленія и, быть можетъ, главнымъ образомъ, развитіе творческихъ стремленій. Выдвигая эту формальную цѣль на первый планъ, можно и должно поставить дѣло такъ, чтобы ясно было, что нельзя работать въ указанномъ направленіи, если учащіеся недостаточно увѣренно выполняютъ дѣйствія. Можно было бы остановиться на такой схемѣ занятій: предлагаются упражненія, имѣющія цѣлью развитіе вышеуказанныхъ способностей; для ихъ выполненія необходимо производство дѣйствій; при этомъ производствѣ дѣйствій слѣдуетъ дѣлать отклоненія отъ главной цѣли упражненій, выясняющія и укрѣпляющія технику выполняемаго дѣйствія.

Намъ хотѣлось подѣлиться своими мыслями съ читателями и хотѣлось это сдѣлать потому, что въ послѣдніе годы все настойчивѣе раздаются призывы сдѣлать изъ ариѳметики чисто прикладной предметъ. Хотѣлось предостеречь противъ этого увлеченія. Хотѣлось показать, что въ этомъ увлеченіи есть много опасностей, много осложненій. Однако, мы не смѣемъ думать, что наша точка зрѣнія единственно правильная. Мы лишь старались по мѣрѣ нашихъ силъ углубиться въ вопросъ, и для насъ выяснилось, что въ стремленіи сдѣлать ариѳметику практическою дисциплиною имѣются усложненія, и мы рѣшили подѣлиться съ читателями нашими мыслями по этому поводу.

Н. Извольскій.

Объ умноженіи на дробь.

Рекомендуемый Н. А. Извольскимъ въ его статьѣ «О правилахъ въ учебномъ курсѣ математики» («Матем. Вѣстникъ», 1914 г.,№ 2) пріемъ прохожденія этой части курса дробей и его замѣчаніе о томъ, что предварительно прохожденія умноженія на дробь слѣдуетъ постараться «поставить дѣло такъ,

чтобы учащіеся согласились измѣнить свое представленіе объ умноженіи и согласились придавать этому дѣйствію новый смыслъ»1), и что «это сдѣлать не легко, на это надо потратить много времени и труда» побуждаютъ выступить въ защиту рѣшенія интересующаго насъ вопроса съ точки зрѣніи Ньютонова (Коши) опредѣленія умноженія. Опередѣленіе это [умножить одно число на другое, — это значитъ: изъ одного даннаго числа, множимаго, образовать новое число (произведеніе) такъ, какъ другое данное число (множитель) образовано изъ единицы] признается нѣкоторыми нецѣлесообразнымъ и вообще несостоятельнымъ, такъ какъ оно будто бы приводитъ къ существеннымъ недоразумѣніямъ.

«Представьте себѣ», говорилъ мнѣ одинъ изъ моихъ сотоварищей, не одобряющій для школы этого опредѣленія, «что Вамъ нужно умножить 4 на 3/5; 3/5 можно образовать изъ единицы слѣдующимъ образомъ:

и, значитъ, по этому опредѣленію, произведеніе 4.3/5 будетъ:

Съ перваго взгляда такое примѣненіе опредѣленія представляется только остроумнымъ измышленіемъ въ погонѣ за моднымъ теперь сомнѣніемъ во всемъ наслѣдіи прошлаго. Думается, что весьма легко поправить дѣло; стоитъ только въ опредѣленіи къ слову «единицы» прибавить слово «данной». Но затѣмъ, при болѣе внимательномъ разсмотрѣніи получившагося недоразумѣнія, приходится установить, что здѣсь дѣло болѣе серьезное.

Дѣйствительно, когда возможно предполагать полученіе дроби 3/5 изъ единицы такимъ способомъ, какъ это было показано? Кажется очевидно, что только тогда, когда дробь разсматривается, какъ частное. Въ этомъ случаѣ, дѣйствительно, справедливо именно такое толкованіе числа 3/б. Но для тѣхъ случаевъ, когда дробь понимается, какъ число, получающееся при измѣреніи долями единицы, такое трактованіе, какъ выше, имѣть мѣста не будетъ, тогда совершенно очевидно, что для полученія 3/5 нужно сначала 1 раздѣлить на 5 частей и затѣмъ взять 3 такихъ части.

1) Въ статьѣ «О правилахъ въ учебномъ курсѣ математики» («Мат.Вѣстн.» 1914 г., № 2) нигдѣ не сказано, что это надо сдѣлать предварительно прохожденія умноженія на дробь; наоборотъ, вся соотвѣт. часть статьи проникнута мыслью, что этого надо достигнуть во время прохожденія умноженія на дробь. Ред.

Ньютоново опредѣленіе предполагаетъ именно послѣднюю точку зрѣнія на дробь, и непримѣнимо къ понятію о дроби, какъ о частномъ. Двойственность въ пониманіи дроби слѣдуетъ имѣть въ виду и при всѣхъ дѣйствіяхъ съ ними, и потому, если желательно понимать дробь, какъ частное, то и при умноженіи на дробь слѣдуетъ примѣнить теорію умноженія на частное, что, конечно, не особенно затруднительно, но все же требуетъ особой разработки. Слѣдовательно, никакого недоразумѣнія и неточности въ ньютоновомъ опредѣленіи нѣтъ, а получаются они только оттого, что при примѣненіи его неосторожно расширяется содержаніе понятія «дробь»1) и къ этому расширенному понятію о дроби прилагаются положенія справедливыя только для болѣе узкаго стараго понятія.

При прохожденіи даннаго вопроса въ классѣ можно было бы рекомендовать воспользоваться именно ньютоновымъ опредѣленіемъ, такъ какъ воззрѣніе на дробь, какъ на результатъ измѣренія, въ громадномъ большинствѣ случаевъ, вѣроятно, кладется въ основу изученія дробей, по краней мѣрѣ на первыхъ ступеняхъ. По достаточномъ усвоеніи учащимися составленія произведенія на основаній ньютонова опредѣленія, можно имъ указать и на возможность полученія тождественныхъ результатовъ съ точки зрѣнія другого понятія о дроби. На все это потребуется не мало времени и энергіи, въ этомъ отношеніи слѣдуетъ вполнѣ согласиться съ Н. А. Извольскимъ, но жалѣть ихъ въ данномъ случаѣ не приходится, такъ какъ разбираемый вопросъ является важнѣйшимъ вопросомъ курса дробей: здѣсь въ умѣ учащихся совершается переходъ къ новымъ воззрѣніямъ на числа и на дѣйствія съ ними, здѣсь начинаетъ расширяться ихъ математическій горизонтъ, ни прежде ни послѣ этого вопроса такихъ возможностей въ теоріи дробей не представляется.

Довольно часто примѣняемое опредѣленіе умноженія на дробь, отожествляющее умноженіе съ нахожденіемъ данной части множимаго, кажется менѣе пригоднымъ, чѣмъ ньютоново опредѣленіе, такъ какъ, прежде всего, оно способствуетъ — не объединенію классовъ цѣлыхъ чиселъ и дробей, а ихъ раздѣленію: для умноженія на цѣлое число учащіеся должны имѣть въ виду одно опредѣленіе, для умноженія на дробь — другое. Далѣе, воззрѣніе на умноженіе на дробь, какъ на нахожденіе части числа, производитъ какъ бы разрывъ въ пріемахъ по-

1) Говорить о «расширеніи» понятія о дроби здѣсь нельзя, ибо всякая дробь можетъ быть разсматриваема и какъ результатъ измѣренія и какъ частное двухъ чиселъ. Повидимому, авторъ хочетъ, сказать этимъ словомъ «расширеніе» то, что въ данный моментъ преждевременно разсматривать дробь, какъ частное. Ред.

требныхъ для разрѣшенія данныхъ практическихъ вопросовъ: если 1 аршинъ холста стоитъ 20 коп., то для нахожденія стоимости 10, 4, 3, 2, и т. д. цѣлаго числа аршинъ нужно «умножить» 20 коп. на 10, 4, 3, 2 и т. д., а чтобы найти стоимость - аршина, приходится «найти данную часть» отъ 20 коп.1). Затѣмъ, при вышеуказанномъ трактованіи умноженія на дробь это «дѣйствіе» сводится въ умахъ учащихся на степень нѣкотораго пріема служащаго для практическихъ цѣлей и сближается съ такими преобразованіями, какъ раздробленіе и превращеніе составныхъ именованныхъ чиселъ. Наконецъ, въ этомъ же случаѣ встрѣтится значительно больше затрудненій при усвоеніи учениками свойства перемѣстительности множителей, такъ какъ при перестановкѣ могутъ получиться не вполнѣ одинаковые смыслы дѣйствій и при выполненіи умноженія на смѣшанное число, какъ на сумму цѣлаго числа и дроби.

И потому, хотя это обычное опредѣленіе умноженія на дробь и есть въ концѣ концовъ лишь видоизмѣненіе ньютонова опредѣленія, тѣмъ не менѣе казалось бы, что его въ школѣ лучше было бы замѣнить непосредственно ньютоновымъ опредѣленіемъ.

Само собою разумѣется, что при употребленіи въ преподаваніи ньютонова опредѣленія приходится уже по необходимости для практическихъ цѣлей «выводить правило» умноженія на дробь. Этотъ выводъ правила слѣдуетъ, однако, произвести послѣ нѣсколькихъ уроковъ (3—4), въ теченіе которыхъ усваивается, какъ самое полученіе произведенія непосредственно изъ опредѣленія, такъ и понятіе о тождественности пріемовъ умноженія и нахожденія части отъ цѣлаго.

Въ заключеніе нельзя не упомянуть въ пользу ньютонова опредѣленія еще и того, что въ дальнѣйшемъ прохожденіи математики, а именно въ алгебрѣ при ученіи объ умноженіи на отрицательное число, это опредѣленіе весьма облегчаетъ работу преподавателя и легко прилагается учащимися къ рѣшенію поставленныхъ вопросовъ. (Указаніе на это было сдѣлано еще и на 2-мъ Съѣздѣ преподавателей математики по поводу доклада В. Г. Фридмана: «Методика преподаванія относительныхъ чиселъ въ средней школѣ».)

И. Симоновъ.

1) Согласно той точкѣ зрѣнія, которая здѣсь осуждается авторомъ, слова «найти 3/4 отъ 20 коп.» замѣняются словами «20 коп. Х3/^- « эта задача служитъ средствомъ для объединенія умноженія на цѣлое число и умноженія на дробь. Ред.

По поводу статьи И. Симонова „Объ умноженіи на дробь".

Нѣсколько лѣтъ тому назадъ я также являлся защитникомъ той точки зрѣнія на обученіе умноженію на дробь, какая имѣетъ мѣсто въ статьѣ г. Симонова и въ 1-мъ изданіи своей «Ариѳметики» я пользовался тѣмъ опредѣленіемъ умноженія, какое указано въ настоящей статьѣ. Однако съ теченіемъ времени я все болѣе и болѣе убѣждался въ нераціональности такого пріема обученія. Изложу кратко тѣ причины, которыя заставили меня отказаться отъ точки зрѣнія, защищаемой въ статьѣ г. Симонова.

Прежде всего возникаетъ сомнѣніе, соотвѣтствуетъ ли сущности дѣла то пониманіе, котораго при такомъ способѣ обученія добивается учитель отъ ученика. Не сводится ли это пониманіе лишь къ тому, что ученикъ научается дѣлать нѣчто въ родѣ перевода съ одного языка на другой, т.-е. занимается чисто словесными упражненіями, между тѣмъ какъ сущность каждаго ариѳметическаго дѣйствія скрывается въ ясномъ представленіи опредѣленныхъ процессовъ надъ предметами, процессовъ, которые отражаются въ ариѳметикѣ въ формѣ опредѣленнаго дѣйствія надъ числами?

Далѣе, то объясненіе недоразумѣнія, имѣющаго мѣсто при умноженіи 4 на gi которое излагаетъ г. Симоновъ, вызываетъ много сомнѣній. Такъ, напримѣръ, исходя изъ опредѣленія дроби, какъ совокупности нѣсколькихъ долей единицы, можно также притти къ тому, чтобы дробь ^ представить въ видѣ

1+1+1 о V А 3 1,1,1 1

Въ самомъ дѣлѣ: 5^5+5+5 = l + l + l + l"+î +

а между тем г. Симоновъ считаетъ, что форма ,,,,,, г-,—г этой дроби можетъ явиться лишь результатомъ взгляда на дробь, какъ на частное. Пусть, однако,.это сомнѣніе будетъ какъ-либо разъяснено, при помощи какихъ-либо исправленій Ньютонова опредѣленія умноженія или при помощи какихъ-либо разъясненій. Тогда возникнуть новыя сомнѣнія. Возьмемъ примѣръ на умноженіе цѣлыхъ чиселъ: 5x7. Я могу множитель 7 разсматривать какъ (1 + 1 + 1) Х(1 + 1) + 1. Составляя согласно этому разсмотрѣнію множителя произведеніе на основаній Ньютонова опредѣленія, получимъ (5+5+5).(5+5)+5=155, что, очевидно, не вѣрно. Полагаю, что можно еще подыскать иные примѣры и изъ области цѣлыхъ чиселъ и изъ области дробей, которые также приводятъ

къ сомнѣніямъ въ формально-строгой справедливости Ньютонова опредѣленія. Быть можетъ, однако, найдется опять-таки какое-либо «разъясненіе» и для примѣра 5x7. Но вотъ, повидимому, примѣръ, который вовсе никакимъ разъясненіямъ не поддается — этотъ примѣръ уже относится къ области ирраціональныхъ чиселъ. Если примѣнимъ Ньютоново опредѣленіе умноженія (а оно вѣдь стремится охватить всѣ случаи умноженія) къ примѣру j/З . j/2, то получимъ:

1) j/2=l/T+T и 2) ]/2=У]/Z+]ß=Y2]ß.

Быть можетъ, наибольшій вредъ при проведеніи во время обученія формальной точки зрѣнія (а въ статьѣ г. Симонова мы видимъ именно такое направленіе: устанавливается словесное опредѣленіе и затѣмъ учащіеся пріучаются слѣдовать словамъ этого опредѣленія) состоитъ въ томъ, что приходится какъ это и имѣетъ мѣсто въ статьѣ г. Симонова, вмѣсто того, чтобы по возможности охватить суть дѣла (въ чемъ она, по по-ему мнѣнію, состоитъ — выше было указано), приходится разбираться въ различныхъ возможныхъ толкованіяхъ отдѣльныхъ словъ, входящихъ въ опредѣленіе.

И вотъ желаніе избѣгнуть этой формальной точки зрѣнія при обученіи основамъ дѣйствій въ области дробныхъ чиселъ1) заставила меня отказаться отъ стремленія ввести при обученіи умноженія на дробь (и далѣе при умноженіи относительныхъ чиселъ) разбираемое Ньютоново опредѣленіе. Да, вѣдь, въ сущности на это опредѣленіе слѣдуетъ смотрѣть, какъ на попытку объединить общимъ опредѣленіемъ всѣ виды умноженія, и, если учащіеся окажутся достаточно подготовлены, возможно, но уже непремѣнно послѣ того, какъ умноженіе на дробь будетъ ими усвоено, познакомить ихъ съ этою попыткою, не скрывая ея слабыхъ сторонъ.

Вотъ моя точка зрѣнія. Однако я не смѣю считать, что лишь одна она правильна, и поэтому я очень благодаренъ г. Симонову, приславшему свою статью для напечатанія въ «Мат.Вѣстн.», такъ какъ убѣжденъ,что чѣмъ разностороннѣе разсматривается какой-либо педагогическій вопросъ, тѣмъ большая польза достигается этимъ для того дѣла, которому мы служимъ, для дѣла обученія основамъ математики.

Въ виду того, что вопросъ объ умноженіи на дробь является съ педагогической точки зрѣнія спорнымъ вопросомъ, я въ ближайшемъ будущемъ позволю себѣ напечатать въ «Мат. Вѣстн.». статью, болѣе подробно освѣщающую этотъ вопросъ.

Н. Извольскій.

1) Въ дальнѣйшихъ частяхъ курса, когда уже основы твердо установленія, имѣются мѣста, гдѣ формально-логическая точка зрѣнія неизбѣжна.

Хроника.

Тверской Общественно-педагогическій кружокъ. Согласно извѣщенію, полученному редакціею «Математическаго Вѣстника», во вторникъ 13 января 1915 г. состоялось очередное засѣданія кружка, на которомъ былъ прочитанъ докладъ А. В. Ланковымъ на тему: «Новыя теченія въ методикѣ начальной ариѳметики и отраженіе ихъ въ нашей учебно-задачной литературѣ».

Основныя положенія доклада: 1. Современная методика ариѳметики не имѣетъ научнаго фундамента и нуждается въ пересмотрѣ. 2. Экспериментально-дидактическія изслѣдованія Лая и Вальземана создаютъ «новый путь» преподаванія ариѳметики. 3. «Числовыя фигуры» Лая и др. педагоговъ имѣютъ безспорное значеніе на 1-й ступени обученія ариѳметикѣ. 4. Попытки осуществить методъ «числовыхъ фигуръ» на практикѣ не удались нашимъ педагогамъ (Волковскій и авторы иллюстрированныхъ задачниковъ).

Двадцатипятилѣтіе журнала «Вѣстникъ Воспитанія». 25-го января настоящаго года въ помѣщеніи Московскаго Литературно-Художественнаго Кружка состоялось торжественное собраніе, посвященное чествованію журнала «Вѣстникъ Воспитанія» по случаю исполнившагося двадцатипятилѣтія его существованія.

Журналъ «Вѣстникъ Воспитанія» былъ основанъ извѣстнымъ врачомъ и общественнымъ дѣятелемъ Е. А. Покровскимъ, послѣ смерти котораго (въ 1895 г.) журналъ перешелъ къ Н. Ф. Михайлову, который и въ настоящее время состоитъ его редакторомъ-издателемъ. Съ 1897 г. большое участіе въ редактированіи журнала принимаетъ Ю. А. Бунинъ, извѣстный московскій журналистъ и общественный дѣятель.

Задача журнала, при настоящемъ составѣ его редакціи, состоитъ въ «выясненіи вопросовъ образованія и воспитанія на основахъ научной педагогики, въ духѣ общественности, демократизма и свободнаго развитія личности». Журналъ не отстраняетъ отъ себя и вопросы обученія началамъ математики. Такъ, за 1913 и 1914 гг. въ журналѣ были напечатаны, не считая отзывовъ объ учебникахъ, слѣдующія статьи: Кику, О постановкѣ преподаванія геометріи въ среднихъ учебныхъ заведеніяхъ; Д. Волковскій, Значеніе картинокъ для первоначальнаго обученія ариѳметикѣ; П. Г., 2-й Всероссійскій съѣздъ преподавателей математики; И. И. Воскобойниковъ, Вспомогательное обученіе числу и мѣрѣ.

Пожелаемъ «Вѣстнику Воспитанію» еще долгіе годы работать для дѣла народнаго образованія, такъ же плодотворно, какъ онъ это дѣлалъ въ теченіе первыхъ 25 лѣтъ своего существованія.

Двадцатипятилѣтіе журнала «Русская Школа». 24 января настоящаго года исполнилось 25 лѣтъ существованія Петроградскаго педагогическаго журнала «Русская школа», основанная въ 1890 году извѣстнымъ педагогомъ Я. Г. Гуревичемъ. Послѣ смерти (въ 1906 г.) основателя журнала, редакторомъ-итдателемъ «Русской Школы» является Я. Я. Гуревичъ. Журналъ неуклонно за все время своего существованія проводилъ мысль, выраженную его основателемъ такъ: мы будемъ имѣть въ виду не одну только технически-педагогическую сторону дѣла, но также и общественно-педагогическій интересъ ихъ.

По отношенію къ вопросамъ математическаго образованія «Русская Школа» главнымъ образомъ останавливаетъ свое вниманіе на рецензированіи руководствъ по математикѣ: почти въ каждой книжкѣ журнала можно найти нѣсколько рецензій на учебники по математикѣ. Статей, посвященныхъ вопросамъ обученія началамъ математики, въ журналѣ немного. Здѣсь можно отмѣтить участіе въ журналѣ съ самаго начала его существованія извѣстнаго педагога-математика С. И. Шохоръ-Троцкаго.

Шлемъ журналу «Русская Школа» наилучшія пожеланія въ его дальнѣйшей дѣятельности!

Свѣдѣнія о книгахъ по математикѣ и ея методикѣ.

Н. В. Грахольскій, А. А. Ляминъ и Т. Ѳ. Сваричовскій. Сборникъ ариѳметическихъ задачъ для средне-учебныхъ заведеній. Изданіе А. С. Панафидиной. Москва 1914. Цѣна 75 коп.

Первое впечатлѣніе отъ задачника хорошее: много матеріала и разнообразіе содержанія. Однако при болѣе внимательномъ разборѣ возникаетъ сильное сомнѣніе въ его пригодности для учебныхъ цѣлей. Можно указать много погрѣшностей (быть можетъ, опечатокъ). Напр., въ № 239 число 5600 не дѣлится безъ остатка на 475, а между тѣмъ спрашивается, во сколько разъ первое число больше второго, при чемъ дѣло идетъ лишь въ области цѣлыхъ чиселъ; въ № 1746 напечатано «въ 33 раза», а надо, вѣроятно, «въ 3, 3 раза», въ № 1804 вмѣсто 0,(07) надо 0,0(7); въ № 332 не хватаетъ какого-то даннаго и т. д. и т. д.

Но, конечно, слѣдуетъ считаться съ тѣмъ, что въ первомъ изданіи чрезвычайно трудно добиться того, чтобы не было погрѣшностей, подобныхъ указаннымъ, а также, чтобы всѣ отвѣты были даны вѣрными

(въ настоящемъ «Сборникѣ» много невѣрныхъ отвѣтовъ, напр., на Ж№ 1037, 1040, 1655, 1714, 1724, 1725 и т. д.). Гораздо существеннѣе тѣ погрѣшности, которыя имѣются въ самомъ текстѣ задачъ (а иногда и въ отвѣтахъ) и которыя иногда свидѣтельствуютъ о непониманіи авторами самой сути задачъ. Укажемъ на нѣкоторыя изъ такихъ погрѣшностей.

Вотъ № 1620 (стр. 211): «Сколько вѣхъ придется разставить на протяженіи 516- саж., размѣщая вѣху отъ вѣхи на разстояніи, ^ котораго=1з| саж.?» Авторы рѣшаютъ просто: 1) 13^ саж. : ^=1б| саж. (таково разстояніе между двумя вѣхами), 2) 516^ саж. : 16^ саж. и получаютъ число 31, почему и пишутъ въ отвѣтѣ «31 вѣху». Но вѣдь дѣло-то не такъ просто: если и въ крайнихъ точкахъ протяженія 516^ саж. поставить вѣхи, то ихъ выйдетъ всего 32, а не 31, а если на концахъ вѣхъ не ставить, то ихъ выйдетъ 30, а не 31. Подобная же погрѣшность имѣетъ мѣсто и въ № 305.

Вотъ № 487 (стр. 67): «3 франка, 5 австрійскихъ гульденовъ и 2 доллара на русскія деньги стоятъ 8 руб. 94 коп.; 4 франка, 6 гульденовъ и 3 доллара стоятъ 12 руб. 4 коп., а 7 франковъ, 8 гульденовъ и 1 долларъ стоятъ 10 руб. 85 коп. Какова стоимость на русскія деньги каждой изъ этихъ иностранныхъ монетъ?»

Здѣсь авторы превзошли обычные задачники, гдѣ подобныя задачи встрѣчаются съ двумя неизвѣстными: авторы даютъ въ сущности задачу на составленіе трехъ ур-ій съ тремя неизвѣстными.

Во многихъ мѣстахъ «Сборника» замѣчается стремленіе давать задачи сложнаго содержанія; однако это стремленіе иногда ведетъ къ печальнымъ результатамъ.

Вотъ № 601 (стр. 90): «На пароходѣ съ 340 пассажирами имѣлся запасъ мяса на 80 дней, разсчитанный въ опредѣленномъ размѣрѣ на каждый день каждому пассажиру. По прошествіи 30 дней 20 пассажировъ высадились на берегъ, что дало возможность увеличить порцію мяса оставшимся на 50 золотниковъ. По прошествіи слѣдующихъ 20 дней высадилось еще 20 человѣкъ. Вслѣдствіе этого, а также и вслѣдствіе выяснившейся необходимости сократить срокъ путешествія на 10 дней, порція мяса каждому лицу повысилась еще на 50 зол. Наконецъ, чрезъ слѣдующіе 20 дней еще высадилось 20 пассажировъ, и порція каждаго изъ оставшихся на кораблѣ снова увеличилась на 50 золот. до окончанія. Сколько золотниковъ мяса выдавалось первоначально каждому лицу ежедневно?»

Прежде всего бросается въ глаза, что послѣдняя прибавка въ 50 золотниковъ была сдѣлана, когда путешествіе уже кончилось! Въ самомъ дѣлѣ, предполагалось 80 дней, а затѣмъ этотъ срокъ сократили на 10 дней, т.-е. все путешествіе длилось 70 дней; первую прибавку сдѣлали послѣ 30 дней, вторую еще черезъ 20 дней, а третью еще черезъ 20 дней. т.-е. черезъ 70 дней послѣ начала!

Затѣмъ достаточно ясно, что задача рѣшается лишь на основаній первой ея части. Такъ какъ запасъ былъ сдѣланъ для 340 человѣкъ на

80 дней, то всего было 27200 порцій (340 . 80). Въ теченіе 30 дней было израсходовано 10200 порцій (340 .30), а осталось слѣдов. 17000 порцій. Этотъ остатокъ распредѣлили теперь (когда 20 пассажировъ въ первый разъ высадилось) 320 пассажирамъ на 50 дней (предполагалось ѣхать 80 дней, а 30 дней уже прошло), которымъ требовалось бы 16000 нормальныхъ порцій (320 . 50). Освободилось такимъ образомъ 1000 порцій (17000—16000). Каждую порцію увеличили на 50 золотниковъ; слѣдов. 16000 порцій увеличились на 800000 золот. (50 . 16000), и эти 800000 золот. составляютъ 1000 освободившихся порцій. Отсюда слѣдуетъ, что одна первоначальная порція равна 800 золот. (800000 :1000). Надо, конечно удивляться столь громадной порціи, а также и тому, что отвѣтъ данъ 200 золот.

Вотъ еще задача (№ 896 на стр. 131), которую и рѣшать не хочется: такъ она длинна и такъ неумѣстны здѣсь десятичныя дроби.

«Изъ одного города въ другой (между городами находится 3 станціи) вышелъ поѣздъ. Разстояніе до 1-й станціи, равное 14,3 верст., онъ прошелъ въ 0,8 часа, отъ 1-й до 2-й станціи поѣздъ шелъ на 0,55 часа дольше, чѣмъ до 1-й станціи, а отъ 2-й до 3-й — на 1,85 часа дольше, чѣмъ отъ города до 2-й станціи. На проѣздъ же отъ 3-й станціи до мѣста назначенія поѣздъ употребилъ время на 1,95 часа большее, чѣмъ на проѣздъ отъ 1-й станціи до 2-й. Сколько времени поѣздъ пробылъ въ пути и сколько верстъ проѣхалъ, если разстояніе отъ 1-й станціи до 2-й на 8,77 верстъ больше, чѣмъ до 1-й станціи, а разстояніе отъ 2-й до 3-й станціи на 47;76 верстъ, а отъ 3-й до конечнаго пункта на 41,505 верстъ больше, чѣмъ отъ пункта отправленія до 2-й станціи?»

Замѣтивъ между прочимъ, что разстояніе между 2-й и 3-й станціями, а также между 3-й станціею и городомъ, куда поѣздъ шелъ, слишкомъ велики, поставимъ существенный вопросъ: неужели стоило писать столько словъ, чтобы заставить выполнить сложеніе двухъ рядовъ десятичныхъ дробей?

Вотъ № 1042: «Всадникъ и поѣздъ отправляются одновременно изъ одного мѣста въ одномъ направленіи. Поѣздъ въ 5 час. проѣзжаетъ, 156,25 верстъ, а всадникъ въ 8 час. 198 верстъ. Черезъ сколько часовъ поѣздъ обгонитъ всадника на 97,5 верстъ?» Оказывается, что это случится черезъ 15 час, т.-е. всадникъ долженъ ѣхать (со скоростью 24^ версты въ часъ!) безостановочно 15 часовъ!

Въ № 1657 изъ Москвы въ Смоленскъ одновременно вышли два, поѣзда. Возможно ли это?

Вотъ № 1665 (стр. 216): «Изъ двухъ мѣстъ навстрѣчу другъ другу одновременно отправляются два пѣшехода. Второй идетъ въ ^ раза быстрѣе перваго. Встрѣчаются они въ 9 часовъ утра. Во сколько часовъ каждый изъ нихъ могъ бы совершить весь путь?» Авторы отвѣчаютъ въ 5^ и въ 6|г часа. Однако можно было бы отвѣтить и «въ 5 и 6 часовъ», и «въ 25 и 30 минутъ» и «въ 5 и 6 мин.» и т. д.

Вотъ № 1752: «Число жителей Петербурга составляетъ 0,53 числа жителей обѣихъ столицъ (Петербурга и Москвы) и на 202000 больше числа жителей Москвы. Опредѣлить населеніе каждой столицы?»

Если не считать, что надо найти приближенное рѣшеніе (а на это нѣтъ никакихъ указаній), то получимъ (многіе учащіеся, вѣроятно, такъ и сдѣлаютъ) дробное число жителей.

Наконецъ, обратимъ вниманіе еще на одно обстоятельство. Во всемъ «Сборникѣ» намъ попалась лишь одна задача (№ 1702) съ указаніемъ, какъ ее рѣшать. Однако, это указаніе нехорошо, ибо естественнѣе рѣшать эту задачу иначе. Вотъ эта задача: «Три брата, желая раздѣлить поровну имѣвшіяся въ корзинѣ яблоки, нашли, что число ихъ не дѣлится безъ остатка на три. Тогда они отдали сестрѣ 5 яблокъ, остальныя яблоки подѣлили между собою; затѣмъ, по предложенію одного изъ братьевъ, каждый отдалъ сестрѣ ^ часть своей доли, и тогда у всѣхъ четверыхъ яблокъ оказалось поровну. Сколько яблокъ было въ корзинѣ? (Указаніе: если каждый отдалъ сестрѣ - часть, то всѣ вмѣстѣ отдали сестрѣ не а также ^ всѣхъ своихъ яблокъ)».

Думается, естественнѣе рѣшать задачу такъ: сестра получила 5 яблокъ+- доли того, что сначала имѣлось у каждаго брата, при чемъ у каждаго брата осталось ? начальнаго числа яблокъ, откуда слѣдуетъ, что £ начальнаго числа яблокъ, имѣвшагося у каждаго брата, составляютъ 5 яблокъ, а все начальное число яблокъ каждаго = 5 ябл. : ^= = 9 ябл.; всего яблокъ было 32 (9x3-f5).

Я просмотрѣлъ далеко не всѣ отдѣлы «Сборника», разобралъ въ нихъ далеко не всѣ задачи и указалъ здѣсь не всѣ встрѣтившіяся недоразумѣнія. Но, въ виду указаннаго, полагаю, что если кто-либо предприметъ эту работу въ большемъ масштабѣ, то найдетъ, по всей вѣроятности, еще много погрѣшностей и еще болѣе укрѣпится въ мысли о непригодности задачника для учебнаго дѣла.

Н. Извольскій.

Кн. Б. А. Тенишевъ. Сборникъ ариѳметическихъ задачъ и примѣровъ для народныхъ училищъ и начальныхъ школъ. Москва 1914. Часть 1-я—10 коп., часть 2-я—15 коп., часть 3-я—15 коп., часть 4-я—20 к.

Три части «Сборника» составлены въ полномъ согласіи съ программою Мин. Нар. Просв.: 1-я часть, соотвѣтствующая первому году обученія, закончивается счетомъ въ предѣлѣ сотни, 2-я часть начинается дѣйствіями въ предѣлѣ 100 и заканчивается задачами на всѣ дѣйствія въ предѣлѣ 1000, 3-я часть начинается съ нумераціи чиселъ любой величины, захватываетъ всѣ дѣйствія какъ надъ этими числами, такъ и надъ составными именованными и заканчивается небольшимъ отдѣломъ, посвященнымъ знакомству съ дробями. Четвертая часть (напомнимъ, что для 4-го года обученія еще не установилась программа) начинается съ задачъ на всѣ дѣйствія «алгебраическаго типа», затѣмъ идутъ задачи на время, на квадратныя и кубическія мѣры и на измѣреніе площадей и объемовъ, затѣмъ упражненія на измѣненіе суммы, разности, произведенія и частнаго, затѣмъ задачи на дѣйствія съ обыкновенными дробями

и задачи для прохожденія того элементарнаго курса десятичныхъ дробей, который рекомендуется авторомъ, если бы въ 4-мъ году обученія осталось на это время: «Онъ имѣетъ большое практическое значеніе, такъ какъ все большее распространеніе получаетъ, особенно въ техническомъ дѣлѣ, измѣреніе десятыми, сотыми, тысячными принятой единицы» (Предисловіе къ 4-й части, стр. 5).

Каждая часть задачника снабжена предисловіемъ. Однако эти предисловія не устанавливаютъ тѣхъ общихъ воззрѣній, какими руководился авторъ при составленіи своихъ «Сборниковъ»; въ нихъ можно лишь найти нѣсколько указаній относительно частныхъ вопросовъ. Такъ, въ предисловіяхъ къ 1-й и къ 4-й частямъ выясняется та польза, которую можетъ принести «графическій методъ», въ предисловіи ко 2-й части выясняется разница между «устнымъ пріемомъ вычисленія» и «письменнымъ», въ предисловіи къ 3-й части (а также отчасти и ко 2-й) обращается особое вниманіе на стремленіе облегчить учащимся анализъ задачи, для чего авторъ проводитъ свой особый пріемъ. Этотъ пріемъ долженъ быть здѣсь нами разсмотрѣнъ отдѣльно, что мы и отлагаемъ къ концу рецензіи.

Первоначальный бѣглый просмотръ «Сборниковъ» кн. Тенишева ведетъ къ предварительному заключенію, что чего-либо «крупнаго» новаго здѣсь нѣтъ, что «Сборники» похожи вь общемъ на многіе другіе задачники, употребляющіеся въ начальныхъ школахъ. Болѣе детальное разсмотрѣніе позволитъ однако подмѣтить особенности, возбуждающія интересъ.

1. На стр. 26 I части находимъ подстрочное примѣчаніе: «Если въ выраженіе входятъ знаки всѣхъ дѣйствій и нѣтъ скобокъ, то слѣдуетъ сначала сдѣлать дѣйствія умноженія и дѣленія, а потомъ уже сложенія и вычитанія надъ полученными числами». Это примѣчаніе указываетъ, что авторъ не хочетъ слѣдовать примѣру многихъ авторовъ задачниковъ, загромождающихъ примѣры для вычисленій излишними скобками. Такъ, авторъ, на стр.28-й первой части пишетъ: 3x3—2x2 или 7 + 9:3 — — 8 : 2 и т. п., между тѣмъ какъ другіе здѣсь написали бы: (3x3) —(2x2) или 7+ (9 : 3) —(8 : 2) и т. п. Если вспомнить, что въ алгебрѣ въ такихъ случаяхъ никогда (за исключеніемъ случая, когда желаютъ обратить особое вниманіе на порядокъ дѣйствій) скобокъ не пишутъ (напр., а—be; ab+cd\ а : Ъ -с : d и т. д.), то къ этой особенности задачника кн. Тенишева слѣдуетъ отнестись съ полнымъ сочувствіемъ. Проводится эта особенность въ общемъ хорошо, однако есть и погрѣшности: непріятно, что съ самаго начала на 26 стр. (№ 259) авторъ даетъ невозможные примѣры [2 — 3x2; (2 — 3) X 2]; явились ли эти примѣры результатомъ опечатки или авторъ имѣль замыселъ, чтобы учащіеся, разсматривая такіе примѣры, пришли къ заключенію, что они невозможны — остается вопросомъ, на который авторъ не даетъ отвѣта. Если вѣрно послѣднее предположеніе, то думается, не лучше ли было бы во всякомъ случаѣ начать съ примѣровъ возможныхъ, а потомъ уже перейти къ невозможнымъ.

Во второй части «Сборника» мы также встрѣчаемся съ недоразумѣніями подобнаго рода: въ № 685 .... 322-19x22 (здѣсь придется вычитать изъ 322 число 418), въ № 687.... 54-12x 12-7 и 54-12х(12 —7)

(здѣсь придется изъ 54 вычитать 60), въ № 690.... 6x6x6-7x7x7 и 3x4x12-2x2x7x7. Обиліе такихъ недоразумѣній заставляетъ даже сомнѣваться въ правильности пониманія авторомъ указанныхъ ариѳметическихъ выраженій.

На ряду съ этими сомнѣніями мы должны также отмѣтить положительную сторону, подмѣчаемую во многихъ упражненіяхъ съ примѣрами, подобными вышеуказаннымъ. Уже въ 1-й части въ № 260 имѣются два примѣра: 8-4 : 2 и (8 —4) : 2, помогающіе уяснить учащимся значеніе одной пары скобокъ; во 2-й части мы имѣемъ, напр. въ №№ 308 и 309, развитіе этой мысли, — вотъ примѣры № 309: 60-12:24-22:2+9; (60-12) : 2 + 22 : (2 + 9); (60-12 : 2 + 22) : 2 + 9. Мы, однако, здѣсь должны были исключить примѣръ: (60—12) : (2 + 22) : 2+9 потому, что 1) здѣсь уже имѣются двѣ пары скобокъ и 2) въ сущности непонятно, какое число здѣсь надо раздѣлить на 2, т.-е. надо ли понимать этотъ примѣръ въ смыслѣ [(60-12) : (2 + 22)] : 2 + 9 или въ смыслѣ (60 — 12) : : [(2 + 22) : 2]+9—безъ третьей пары скобокъ (квадратныхъ) здѣсь обойтись нельзя. Въ третьей части «Сборника» та же мысль получила дальнѣйшее развитіе въ очень хорошихъ примѣрахъ № 278.

2. На стр. 25 второй части находимъ къ № 303, начинающемуся съ примѣра 42 : 3 + 48 : 3 и кончающемуся примѣромъ 54 : 17 + 31 : 17, подстрочное примѣчаніе: «При рѣшеніи подобныхъ примѣровъ на сложеніе или вычитаніе частныхъ отъ дѣленія на одно и тоже число, проще сначала сложить или вычесть дѣлимыя и затѣмъ полученное число раздѣлить на общаго дѣлителя».

Это примѣчаніе заслуживаетъ вниманія, такъ какъ по поводу него возникаетъ цѣлый рядъ соображеній. Съ одной стороны, заманчиво ввести въ курсъ упражненія, пріучающія дѣтей къ использованію равенствъ: а . т + & . т = (а-\-Ь) . m и а : т+6 : т=(а+6) : т. — цѣлью такихъ упражненій являлось бы стремленіе поставить дѣло такъ, чтобы учащіеся свободно замѣняли бы вычисленія въ родѣ: 63x7 — 13x7 вычисленіемъ 50x7 и обратно: 23x4 вычисленіемъ напр., выраженія, 20x4 + 3x4. Съ другой стороны, правильно ли утвержденіе автора, что будто бы всегда легче вычислять выраженіе (а+6) . т, чѣмъ а . т-\-Ь . т? Мы вѣдь знаемъ, что при обученіи умноженію дѣтямъ говорятъ какъ разъ обратное: надо 23x4; для этого удобно 23 разложить на 20 и 3 и умножать отдѣльно 20 на 4 и 3 на 4. Въ № 761 (часть 2) даны примѣры: 444 : 37 + 259:37 и (444 + 259) :37, сводящійся къ 703:37. Согласно вышеприведенному примѣчанію здѣсь слѣдуетъ думать, что авторъ желаетъ, чтобы учащіеся сами свели первый примѣръ ко 2-му. Однако для многихъ было бы легче выполнить его по первой формѣ его записи: въ самомъ дѣлѣ, легко усвоить, что 111 : 37 = 3; тогда 444 : 37 = = 3 . 4 = 12, остается лишь 259 раздѣлить на 37. Намъ думается, что авторъ, имѣя здѣсь хорошія намѣренія, выразилъ ихъ въ неправильной формѣ. Но какую именно форму слѣдуеть придать упражненіямъ, пріучающимъ дѣтей къ наиболѣе свободному использованію равенства (а+£) . т = ат-\-Ьт (или обратно), мы въ настоящее время установить не имѣемъ возможности.

Слѣдуетъ еще указать одно сомнѣніе: хорошо ли дѣтямъ. не имѣющимъ представленія о дробяхъ, предлагать упражненія, подобныя тому (54 : 17 + 31 : 17), какія имѣются въ № 303 и въ другихъ №№? Вѣдь, для лица, незнакомого съ дробями, выраженіе 54 : 17 въ сущности вовсе не имѣетъ смысла, и получается, что два невозможныхъ дѣленія почему-то замѣняются однимъ. Думается, однако, что здѣсь есть выходъ: если бы авторъ прибѣгъ къ иллюстраціи этихъ примѣровъ задачами (напр. раздача яблокъ 17 дѣтямъ поровну), то можно было бы и записи 54 : 17+31 : 17 придать опредѣленный смыслъ.

3. Въ №№ 780—782 мы подмѣтили заслуживающее полнаго вниманія стремленіе автора подготовить дѣтей къ воспріятію нѣкоторыхъ равенствъ, обыкновенно изучаемыхъ въ курсѣ алгебры: 21x19—(20х Х20-1); 20x20 — 2x20 + 1—19x19 и т. д. По этому поводу хочется прибавить, что даже при обученіи ариѳметикѣ въ предѣлѣ до 1000 вполнѣ возможно ввести обозначеніе 192 вмѣсто 19x19.

4. Вотъ еще мелкія особенности иногда положительнаго, а иногда отрицательнаго характера.

Во 2-й части на стр. 18 спрашивается: «какое число надо раздѣлить на 26, чтобы получить 3?» Хорошо ли задавать такой (и подобные) вопросъ еще тогда, когда проходятъ умноженіе въ предѣлѣ до 100, а дѣленіе въ этомъ предѣлѣ еще не изучалось?

Во 2-й же части: «Отъ церкви до школы 96 шаговъ. Мальчикъ прошелъ третью часть этого разстоянія. Во сколько разъ оставшаяся часть больше пройденной? («а если бы разстояніе было другое?)». Заслуживаетъ большого вниманія мысль этой задачи. Дѣйствительно, если отвѣтъ задачи не зависитъ отъ какого-либо числа, даннаго въ задачѣ, и если недостатокъ знаній (въ данномъ случаѣ, дѣти еще не знаютъ дробей) не позволяетъ удалить это число изъ условія задачи, слѣдуетъ какъ-либо показать, что отвѣтъ не зависитъ отъ одного изъ данныхъ чиселъ. Вопросъ, поставленный авторомъ въ скобкахъ, и преслѣдуетъ, очевидно, эту цѣль. Хорошо бы было, думаемъ мы, развить вышеуказанную мысль болѣе подробно и провести ея развитіе черезъ весь курсъ.

Въ 3-й части, думается, черезъ-чуръ развитъ отдѣлъ на составныя именованныя числа. Не излишни ли многія изъ тѣхъ упражненій, какія даны въ «Сборникѣ» (напр., въ № 456: 1328 вер. 352 саж. 2 арш. 1 вер X 96).

Обращаясь къ 4-й части, мы прежде всего нѣсколько не понимаемъ, зачѣмъ авторъ говоритъ въ предисловіи: «Въ четвертой части «Сборника» въ 1-й главѣ помѣщены задачи на всѣ дѣйствія съ цѣлыми числами, которыя требуютъ особыхъ пріемовъ рѣшенія и называются часто задачами «алгебраическаго» типа. На самомъ дѣлѣ тамъ много задачъ и не требующихъ особыхъ пріемовъ, задачъ чисто ариѳметическихъ. Напр. №№ 79, 80, 94, 104 и т. д., въ частности многія изъ задачъ №№ 10—24 сходны съ тѣми задачами на проценты, какія имѣются въ 3-й части (напр. №№ 269—277). Правильнѣе, какъ это сдѣлано въ оглавленіи, назвать главу 1-ю четвертой части повторительнымъ курсомъ, что подразумѣваетъ, конечно, не только повтореніе задачъ,

имѣющихся въ предыдущихъ частяхъ, но и ихъ дальнѣйшее развитіе и ихъ осложненіе.

Въ той главѣ 4-й части, которая посвящена обыкновеннымъ дробямъ, намъ непонятна мысль, руководившая авторомъ при составленіи упражненій, относящихся къ дѣленію дробей (стр. 54, 55). Авторъ начинаетъ (№ 461) съ вопросовъ: Сколько разъ ^ содержится въ Далѣе переходитъ къ вопросамъ: Сколько разъ ^ содержится въ |? Затѣмъ даетъ упражненія : ^ : 2......б^ : 15..... ^ : 4....... и вдругъ даетъ примѣръ (въ № 471) ^ : | или (въ № 474) | : |. Неужели же я и здѣсь надо спрашивать, сколько разъ ^ содержится въ ^ и т. п.?

5. Остановимся еще на одной особенности задачника, о которой уже было упомянуто. Въ предисловіи ко 2-й части сказано: «Задачи, №№ которыхъ отмѣчены значкомъ а, имѣютъ цѣлью развитіе въ ученикахъ умѣнья перейти отъ конкретныхъ условій задачи къ отвлеченнымъ числамъ, сохранивъ ариѳметическія соотношенія между данными». Въ предисловіи къ 3-й части сказано: «Надо научить учениковъ разбирать, какія ариѳметическія дѣйствія производятся по условіямъ задачи надъ искомымъ числомъ. Для этой цѣли служать помѣщенныя во 2-й части... задачи, отмѣченныя значкомъ а... Въ третьей части помѣщены такія же задачи, только съ замѣною однихъ чиселъ другими». Эти слова двухъ предисловій намъ не уяснили ни намѣренія автора ни плана его работы. Поэтому слѣдуетъ обратиться къ самимъ задачамъ, отмѣченнымъ во 2-й части значкомъ а. И здѣсь начинается рядъ недоразумѣній. Задачи, отмѣченныя а, начинаются на 58-й стр. Вотъ первая изъ нихъ: JV? 786. 5 саж. проволоки вѣсятъ 3 фунта. Сколько вѣсятъ 2 версты этой проволоки? № 786а. Какое число надо раздѣлить на 3, чтобы, умноживши на полученное число 5, получить 1000? Прежде всего возникаетъ вопросъ: въ чемъ цѣль автора? въ томъ ли, чтобы отъ конкретнаго перейти къ отвлеченному, или въ томъ, чтобы рѣшеніе конкретной задачи, если оно затрудняетъ, пояснить при помощи задачи № 786а? Если справедливо первое предположеніе, то возникаетъ мысль: а нужно ли учить учащихся рѣшенію той отвлеченной задачи, какая дана подъ № 786а? каково ея значеніе? почему ея рѣшеніе важно для учащихся? А если справедливо 2-е предположеніе, то, сравнивая задачи № 786 и № 786а, мы легко придемъ къ заключенію, что, пожалуй, 2-я задача труднѣе первой и нѣтъ смысла призывать на помощь вторую для рѣшенія первой. Просматривая другія задачи со значкомъ а, пожалуй, можно сдѣлать догадку (но только догадку) о замыслѣ автора: во всякой задачѣ искомыя и данныя числа связаны другъ съ другомъ извѣстнымъ соотношеніемъ (уравненіемъ, однимъ или нѣсколькими); повидимому, авторъ хочетъ добиться, чтобы эта связь между числами отчетливо воспринималась дѣтьми, для какой цѣли онъ и пользуется задачами а (здѣсь, такъ сказать, уравненіе, связывающее числа, виднѣе). Однако, если это такъ, то выполненіе этого замысла сдѣлано не совсѣмъ основательно. Такъ, въ задачѣ № 786, называя искомый вѣсъ (въ фунтахъ)

черезъ я, мы получили бы уравненіе ' ^ = ^' а въ заДач,Ь № 786а, называя искомое число черезъ х, получили бы ур-іе 5.5 = 1000.

Въ третьей части на стр. 39 мы имѣемъ еще примѣръ неудачнаго проведенія той же мысли. Какъ указано въ предисловіи, здѣсь задачи съ отвлеченными числами уже не отмѣчены значкомъ а, и въ нихъ даны уже не тѣ числа, что въ соотв. задачѣ съ конкретнымъ содержаніемъ. № 383: У купца въ двухъ банкахъ лежало 9000 руб.; когда онъ взялъ изъ одного банка и внесъ въ другой 600 рублей, то въ обоихъ банкахъ оказалось поровну. Но сколько рублей въ нихъ лежало первоначально? № 384: Отъ какого числа надо отнять 300, чтобы получилась половина 2600? Мы видимъ,что по существу дѣла во второй задачѣ совсѣмъ не та зависимость между числами, какъ въ первой: въ первой задачѣ два искомыхъ числа, во второй одно, а наиболѣе существенный пунктъ первой задачи (разность между тѣми капиталами, которые первоначально лежали въ обоихъ банкахъ, равна не 600 руб., а равна 600 руб.х2) совершенно не отразился во второй.

Мы согласны признать, что слѣдуетъ добиваться того, чтобы зависимость между данными и искомыми числами задачи какъ можно яснѣе рисовалась учащимся, но, повидимому, авторъ не справился съ этою задачею (впрочемъ, повторяемъ, намъ не совсѣмъ ясна цѣль этой работы автора).

Заканчивая настоящую рецензію и замѣтивъ, что многое въ «Сборникахъ» осталось нами недостаточно полно разобраннымъ, что многія задачи вовсе нами не разсматривались (а въ нихъ, можетъ быть, имѣются и недостатки и достоинства), мы считаемъ долгомъ въ заключеніе сказать, что слѣдуетъ привѣтствовать появленіе работъ, подобныхъ настоящей. Пусть въ нихъ имѣются и погрѣшности, пусть въ нихъ имѣются и неясности, важно то, что въ нихъ видна самостоятельная работа мысли; недостатки и неясности будутъ впослѣдствіи уменьшены, и получится трудъ, полезный для дѣла развитія обученія ариѳметикѣ. Мы полагаемъ, что даже и настоящее, первое, изданіе, несмотря на его недостатки, можетъ быть полезнымъ въ рукахъ того учителя, который сможетъ во-время подмѣтить эти недостатки и ихъ устранить или вовсе не пользоваться тѣми отдѣлами задачника, гдѣ будутъ подмѣчены эти недостатки.

Н. Извольскій.

Редакторъ-Издатель Н. А. Извольскій.

Типографія Г. Лисснера и Д. Собко. Москва, Воздвиженка, Крестовоздвиженскій пер., д. № 9.

[Объявления]

[Объявления]

[Объявления]