Математическій Вѣстникъ.

Журналъ, посвященный вопросамъ преподаванія ариѳметики и началъ алгебры и геометріи.

№ 1

Январь 1915 г.

МОСКВА

Математическій Вѣстникъ.

№ 1. Январь 1915 г.

Адресъ редакціи: Москва, Гороховскій пер., д. 23, кв. 9. Тел.3-19-55.

Содержаніе: Къ читателямъ. — Н. Извольскій. Задачи, преслѣдуемыя обученіемъ дѣтей ариѳметикѣ въ начальной школѣ.—А. Цвѣткова. Японскіе счеты — соробанъ и вычисленія на нихъ. — Н. Извольскій. Еще о признакахъ дѣлимости. — Хроника (Московскій Математическій Кружокъ).— Примѣрный урокъ во II отд.—А. Н. Объ одномъ педагогическомъ увлеченіи. Свѣдѣнія о новыхъ книгахъ по математикѣ и ея методикѣ (А. А. Сольдинъ, Ариѳметическій задачникъ для начальныхъ городскихъ и сельскихъ училищъ. —А. Алмоевъ, Сборникъ задачъ, предложенныхъ въ 1914—1913 гг. на выпускныхъ экзаменахъ за 8 классовъ гимназіи, за 6 и 7 классовъ реальныхъ училищъ 12 округовъ). —Объявленія.

Къ читателямъ.

Мы хотимъ, начиная новый 1915-й годъ, обратиться съ нѣсколькими словами къ читателямъ.

Вышедшія 4 книжки журнала обрисовали, думаемъ мы, хотя бы до нѣкоторой степени направленіе журнала. Выразить характеръ этого направленія словами намъ не хотѣлось бы, такъ какъ полагаемъ, что это направленіе уже достаточно ясно обрисовалось для читателей изъ самаго содержанія журнала, при чемъ каждый изъ читателей выяснилъ для себя какъ положительныя, такъ и отрицательныя стороны характера «Математическаго Вѣстника». Намъ лишь хочется здѣсь сказать, что наша работа всецѣло направляется стремленіемъ служить дѣлу математическаго образованія въ Россіи. Мы глубоко убѣждены въ томъ, что основою общаго образованія должна быть математика; однако для достиженія этого идеала необходимо освободить обученіе математики, и главнымъ образомъ

первые шаги этого обученія — въ начальной школѣ, отъ того формализма, которымъ оно связано въ настоящее время, и мы стремимся работать въ этомъ направленіи.

У насъ мало сотрудниковъ. Мы приносимъ свою глубокую благодарность тѣмъ лицамъ, которыя напечатали свои работы на страницахъ «Математическаго Вѣстника»; мы ждемъ отъ нихъ еще новаго матеріала; мы, наконецъ, позволяемъ себѣ обратиться къ нашимъ читателямъ съ просьбою присылать намъ, хотя бы и въ необработанномъ видѣ, тотъ матеріалъ, который, по ихъ мнѣнію, подходилъ бы къ направленію «Математическаго Вѣстника», а это направленіе, повторяемъ, уже достаточно выяснилось, по нашему мнѣнію, изъ содержанія журнала за первое полугодіе его существованія.

Кромѣ статей, имѣющихъ цѣлью такъ или иначе улучшить дѣло обученія математикѣ, желательны были бы статьи, описывающія какъ общее положеніе курса ариѳметики и началъ геометріи (а можетъ быть и алгебры) въ нашей школѣ, преимущественно начальной, такъ и отдѣльные моменты этого курса. Несомнѣнно также, у лицъ, ведущихъ преподаваніе, возникаютъ извѣстныя соображенія, извѣстные вопросы — отчего бы не подѣлиться всѣмъ этимъ съ читателями «Математическаго Вѣстника»?

Задачи, преслѣдуемыя обученіемъ дѣтей ариѳметикѣ въ начальной школѣ.

Вопросъ, указываемый заглавіемъ настоящей статьи, неоднократно обсуждался въ педагогической литературѣ. И все же мы еще разъ выдвигаемъ этотъ вопросъ и дѣлаемъ это потому, что, по нашему мнѣнію, этотъ вопросъ не разработанъ съ достаточными ясностью и полнотою. Однако пусть читатель не заключаетъ изъ этихъ словъ, что настоящая статья претендуетъ на то, чтобы исчерпать вопросъ до конца. Нѣтъ, претендовать на это мы не можемъ уже потому, что не считаемъ возможнымъ выполнить до конца изслѣдованіе работы человѣческаго разума, а эта именно работа имѣетъ мѣсто и въ самой ариѳметикѣ и въ методикѣ обученія этой наукѣ. Намъ лишь хотѣлось бы обратить вниманіе читателей на отдѣльные штрихи въ вопросѣ о задачахъ обученія ариѳметикѣ въ начальной

школѣ, на штрихи, которые, насколько это намъ извѣстно, оставались или вовсе незатронутыми, или едва намѣченными въ обширной литературѣ по разбираемому вопросу.

Уже давно установлено, что обученіе ариѳметикѣ можетъ преслѣдовать двѣ цѣли: матеріальную и формальную. Первая изъ нихъ имѣетъ въ виду, главнымъ образомъ, ту практическую пользу, которую можно извлечь изъ знанія ариѳметики. Поэтому всякій разъ, какъ только матеріальная цѣль обученія ариѳметикѣ выдвигается на первый планъ (а это обстоятельство имѣло мѣсто почти до середины XIX столѣтія, да во многихъ случаяхъ наблюдается и въ настоящее время), главное вниманіе при обученіи обращаютъ на то, чтобы учащіеся правильно выполняли ариѳметическія дѣйствія и научились рѣшать задачи, хотя бы все это носило даже механическій характеръ. Вторая, формальная, цѣль обученія ариѳметикѣ имѣетъ въ виду, главнымъ образомъ, развитіе духовныхъ способностей учащихся, при чемъ прежде всего обращается вниманіе на развитіе способности логическаго мышленія. Принято считать, что формальная цѣль обученія ариѳметикѣ укрѣпилась въ методикѣ ариѳметики со времени Песталоцци. Если на первый планъ при обученіи ариѳметикѣ выдвинуть формальную цѣль, то уже становится неважнымъ искусство учащихся быстро выполнять вычисленія съ большими числами и примѣнять эти вычисленія для рѣшенія практическихъ вопросовъ. Новѣйшіе методисты въ большинствѣ случаевъ стремятся соединить и матеріальную и формальную цѣли обученія. Однако въ настоящее время, какъ совершенно правильно указано въ докладѣ «Спорные вопросы въ методикѣ ариѳметики» Ѳ. А. Эрна, прочитанномъ на 1-мъ Всероссійскомъ съѣздѣ преподавателей математики, здѣсь можно констатировать полный разладъ среди методистовъ: одни методисты почти вовсе отрицаютъ развивающее значеніе обученія ариѳметикѣ, другіе не видятъ его лишь въ первыхъ шагахъ этого обученія, а третьи, наоборотъ, выдвигаютъ его на первый планъ при самомъ началѣ. Мало того, нѣтъ даже согласія и въ томъ, что именно слѣдуетъ понимать подъ терминами «матеріальная» и «формальная» цѣли обученія. Одни связываютъ матеріальную цѣль исключительно съ тѣмъ кругомъ практическихъ вопросовъ, который можетъ въ данный моментъ вызвать интересъ со стороны учащихся; другіе видятъ матеріальную цѣль въ развитіи навыка учащихся рѣшать задачи коммерческаго характера. Одни видятъ формальную цѣль исключительно въ развитіи логическаго мышленія учащихся; другіе видятъ ее, главнымъ образомъ, въ развитіи способности интуиціи. Приходится отказаться отъ надежды какъ-либо достигнуть однообразія среди педагоговъ во взглядахъ на цѣль обученія ариѳметикѣ. Добавимъ еще, что за

послѣдніе годы возникаютъ еще новыя осложненія во взглядахъ на цѣли обученія ариѳметикѣ, отразившіяся въ докладахъ на 2-мъ Всероссійскомъ съѣздѣ преподавателей математики (С. Н. Поляковъ, Вопросъ о реформѣ школьной математики съ методологической точки зрѣнія, и Н. А. Извольскій, Комбинаціонная работа, какъ основа преподаванія математики).

И вотъ въ связи съ педагогической литературой, посвященной разсматриваемому вопросу, возникаетъ рядъ соображеній, которыми хочется подѣлиться съ читателями.

Первое соображеніе относится къ вопросу: сколь правы тѣ педагога, которые въ начальномъ обученіи ариѳметикѣ хотятъ достигнуть, главнымъ образомъ, матеріальныхъ цѣлей, причемъ подъ этимъ терминомъ, въ .виду вышеуказаннаго разногласія, здѣсь будемъ понимать умѣніе выполнять, хотя бы механически, ариѳметическія дѣйствія и нѣкоторый навыкъ въ ихъ примѣненіи къ несложнымъ вопросамъ или задачамъ, имѣющимъ мѣсто въ практической жизни. Приходилось иногда слышать отъ преподавателей средней школы пожеланія, чтобы учащіеся, поступающіе въ среднюю школу, принесли туда хорошо развитую технику выполненія дѣйствій, пріобрѣтенную ими во время начальнаго обученія. Пожалуй, то же самое заключеніе можно сдѣлать и изъ разсмотрѣнія того, что требуется на экзаменѣ для поступленія въ 1-й классъ гимназіи: рѣшающимъ моментомъ для этого поступленія является выполненіе экзаменующимися различныхъ дѣйствій. Оправданіемъ такого отношенія къ поступающимъ въ 1-й классъ является слѣдующее соображеніе: при начальномъ обученіи ариѳметикѣ ни возрастъ учащихся, ни матеріалъ, подлежащій изученію, не даютъ достаточнаго простора для достиженія развивательныхъ цѣлей; въ дальнѣйшемъ курсѣ ариѳметики (особенно въ курсѣ дробей), а также въ курсахъ алгебры и геометріи значительно увеличивается число моментовъ, гдѣ на первый планъ можетъ быть выдвинута формальная цѣль обученія, и учащіеся, хорошо владѣя такимъ могучимъ орудіемъ, какъ техника ариѳметическихъ дѣйствій, смогутъ всѣ свои силы отдать на то, чтобы создать въ своемъ воображеніи рядъ необходимыхъ представленій и проработать съ должною пунктуальностью рядъ сужденій, построенныхъ согласно логикѣ.

Однако такая точка зрѣнія вызываетъ и возраженія. Прежде всего думается, что не слѣдуетъ формальную цѣль обученія математикѣ вообще и ариѳметикѣ въ частности понимать слишкомъ узко, а именно лишь въ смыслѣ развитія способности логическаго мышленія; человѣческое сознаніе обладаетъ еще другимъ орудіемъ, на развитіе котораго также должно быть обращено должное вниманіе и безъ котораго логическія построе-

нія оказались бы лишенными содержанія,—такимъ орудіемъ является способность образнаго представленія. Если для дѣтей недоступны логическія разсужденія, развиваемыя съ должною полнотою, на которыхъ основывается ариѳметика цѣлыхъ чиселъ,™ 1) дѣтямъ доступно образное представленіе отдѣльныхъ моментовъ этого курса, а 2) дѣтямъ доступны, если уже выработаны въ ихъ представленіи соотвѣтствующіе образы, тѣ небольшія логическія построенія, которыми такъ богатъ начальный курсъ ариѳметики (напр., отъ повторенія 1 единицы 10 разъ получается одинъ десятокъ; слѣд., отъ повторенія, напр., 18 единицъ 10 разъ должно получиться 18 десятковъ, или число 180). Такъ неужели же эти моменты должны стушеваться при первоначальномъ обученіи? Неужели же правильно забивать лѣтей лишь техникою дѣйствія, не удѣляя должнаго вниманія на постепенное развитіе имѣющихся у дѣтей зачатковъ и способности образнаго представленія и способности логическаго мышленія? Слѣдуетъ, пожалуй, прибавить еще сюда, что если нельзя добиваться отъ дѣтей, чтобы они сами воспроизводили съ достаточною полнотою и ясностью извѣстныя логическія построенія, то уже будетъ сдѣланъ шагъ впередъ для развитія учащихся, если мы добьемся того, чтобы они могли слѣдить за извѣстнымъ, хотя бы и не длиннымъ, разсужденіемъ и чувствовать его правильность.

Здѣсь возникаетъ общій вопросъ: какое же мѣсто должна занимать при первоначальномъ обученіи ариѳметикѣ забота о техникѣ дѣйствій? Полагаемъ, что на этотъ вопросъ возможны, какъ это всегда бываетъ по отношенію къ общимъ вопросамъ методики ариѳметики, различные отвѣты, въ зависимости отъ взгляда лица, отвѣчающаго на этотъ вопросъ. Свой отвѣтъ на этотъ вопросъ мы дадимъ въ концѣ настоящей статьи, въ связи съ тѣми соображеніями, какія даны ниже.

Въ предыдущемъ былъ затронутъ вопросъ о томъ, что именно слѣдуетъ понимать подъ терминомъ «формальная» цѣль обученія. Было замѣчено, что пониманіе этого термина въ смыслѣ развитія лишь одной способности, способности къ логическому мышленію, слишкомъ узко, что сюда слѣдуетъ присоединить еще заботу о развитіи способности образнаго представленія и можетъ быть послѣднее важнѣе перваго, такъ какъ безъ представленія тѣхъ объектовъ, къ которымъ относятся логическія разсужденія, послѣднія являются какъ бы лишенными содержанія. Остановимся на этомъ обстоятельствѣ нѣсколько подробнѣе. Возьмемъ для примѣра обученіе сложенію, развиваемое въ духѣ того направленія, послѣдователей котораго называютъ «счетчиками»1).Это направленіе, главнымъ образомъ,

1) Это направленіе проводится въ общеизвѣстныхъ руководствахъ по методикѣ ариѳметики А. И. Гольденберга, К. П. Арженикова и др.

опирается на логику: выполненіе каждаго дѣйствія является результатомъ логическихъ разсужденій, опирающихся, съ одной стороны, на счетъ, а съ другой стороны, на опредѣленіе разсматриваемаго дѣйствія; въ основу всѣхъ дѣйствій поставлено «присчитываніе единицы», каждое (прямое) дѣйствіе является обобщеніемъ счета или упрощеніемъ ряда «присчитываній единицъ». Такъ, если требуется сложить два числа, то это дѣйствіе опредѣляется, какъ выполненіе ряда присчитываній по единицѣ къ одному изъ данныхъ чиселъ. Попробуемъ стать здѣсь на чисто логическую точку зрѣнія. Мы должны тогда отказаться отъ тѣхъ образовъ, которые связаны съ каждымъ числомъ. Мы должны лишь установить: ариѳметика (цѣлыхъ чиселъ) имѣетъ дѣло съ натуральнымъ рядомъ, члены котораго называются словами одинъ, два, три, четыре и т. д. и обозначаются символами 1, 2, 3, 4,... при чемъ мы отказываемся отъ выработавшейся у насъ съ дѣтства привычки связывать съ этими словами или съ этими символами опредѣленныя группы предметовъ. Далѣе мы должны были бы установить значеніе «присчитыванія единицы». Это можно было бы сдѣлать двояко: 1) условиться, что присчитать единицу къ единицѣ значитъ взять символъ 2 (два), присчитать единицу къ двумъ значить взять символъ 3 (три) и т. д., при чемъ все это должно запомнить, 2) мы можемъ установить порядокъ символовъ, составляющихъ натуральный рядъ (т.-е. условится, что за 1 слѣдуетъ 2, за 2 слѣдуетъ 3 и т. д.), запомнить этотъ порядокъ и затѣмъ дать опредѣленіе: присчитать единицу къ какому-либо члену натуральнаго ряда значитъ взять тотъ членъ, который слѣдуетъ, согласно установленному порядку, непосредственно за членомъ, къ которому мы присчитываемъ. Послѣ этого можно выполнить каждое сложеніе, согласно его опредѣленію2). Думается, что нѣтъ нужды останавливаться на томъ, что,если бы была сдѣлана попытка обучать сложенію въ этомъ чисто логическомъ направленіи, то все ученіе о сложеніи оказалось бы лишеннымъ содержанія. Пожалуй даже, невозможно было бы добиться того, чтобы дѣти согласились запомнить символы 1, 2, 3, 4... непремѣнно въ этомъ порядкѣ, а не въ какомъ-либо иномъ, если бы ихъ заставлять это сдѣлать безъ иллюстраціи при помощи какихъ-либо предметовъ. Такое изложеніе ученія о сложеніи носило бы характеръ игры словами, игры символами,

2) Однако здѣсь имѣется еще затрудненіе, болѣе тонкое: пусть надо 7 + 4, это значитъ надо къ 7 сдѣлать нѣсколько «присчитываній единицы». Такъ какъ мы отказались отъ всякаго образнаго представленія для символа «4», то неизвѣстно, когда мы должны закончить эти «присчитыванія единицы». Ученый Грассманъ построилъ чисто логическую схему выполненія сложенія, для чего, однако, ему потребовалось ввести одну аксіому, болѣе детально опредѣляющую логическую сторону дѣйствія сложенія.

а между тѣмъ выполненіе сложенія всякой пары чиселъ пріобрѣтаетъ совершенно иной характеръ и оказывается полнымъ содержанія, если при его выполненіи въ воображеніи учащагося рисуется ясно образъ, соотвѣтствующій сдвиганію двухъ группъ предметовъ въ одну группу.

Подобныя соображенія по поводу различныхъ дѣйствій заставляютъ думать, что наиболѣе существенною частью «формальной» цѣли обученія является забота о развитіи именно способности учащихся къ образному представленію.

Присоединимъ сюда еще нѣкоторыя соображенія. Учить какому-либо предмету, будетъ ли онъ относиться къ области науки или къ области искусства, или къ практической дѣятельности, можно различно. Возьмемъ, напр., игру на фортепьяно. Учить этому искусству можно съ двумя цѣлями: 1) съ цѣлью добиваться того, чтобы учащійся возможно точнѣе воспроизводилъ на фортепьяно то, что создано другими, 2) съ цѣлью развить у учащагося способность творчества въ области музыки. Нѣтъ нужды доказывать, что, если только у учащагося имѣются какіе-либо зачатки стремленія къ творчеству, второй способъ заслуживаетъ предпочтенія. Совершенно такое же положеніе имѣетъ мѣсто и по отношенію къ обученію математикѣ. Нельзя смотрѣть на математику, какъ на законченную науку, въ которой будто бы все сдѣлано (къ сожалѣнію, такое мнѣніе пользуется нѣкоторымъ распространеніемъ) и не остается ничего для самостоятельныхъ изслѣдованій, — мы видимъ, что такое мнѣніе невѣрно, что даже въ настоящее время идетъ усиленная работа въ области математики, и притомъ даже въ области ея основъ. Если такъ, то и при обученіи начальной ариѳметикѣ эта сторона дѣла не должна оставаться въ сторонѣ; надо по возможности развивать склонность къ творчеству у учащихся во время занятій ариѳметикою, и кто знаетъ, если эта сторона дѣла будетъ выдвигаться на видное мѣсто, не окажется ли значительно больше, чѣмъ это бываетъ теперь, учащихся, проявившихъ склонность къ математикѣ? кромѣ того, не будетъ ли такая постановка дѣла обученія ариѳметикѣ хорошею школою, развивающею стремленіе къ творчеству не только въ области математики, но и въ области всякой другой науки, въ области искусства, даже въ области практической дѣятельности? Послѣднее обстоятельство напрашивается само собою, если только вдуматься въ характеръ творческой работы: эта работа по существу вездѣ одинакова, и въ области науки, и въ области искусства, и въ области практической дѣятельности. По существу эту дѣятельность можно охарактеризовать слѣдующимъ образомъ: всякая наука, всякое искусство, всякая отрасль практической дѣятельности работаетъ надъ опредѣленнымъ матеріаломъ, изъ котораго строятся различныя комбинаціи, — если удастся построить какую-либо комбинацію,

обладающую какою-либо особенностью, поражающею нашу мысль или наше воображеніе, то уже тотъ, кто такую комбинацію изыскалъ, создалъ нѣчто или для науки, или для искусства, или для практики3). Построеніе комбинацій сначала идетъ какъ бы ощупью: строятся наиболѣе простыя комбинаціи, разсматриваются, изучаются, подмѣчаются ихъ особенности, затѣмъ возникаютъ руководящія мысли или опредѣленныя цѣли для построенія новыхъ комбинацій, которыя все усложняются и усложняются. И эта «комбинаціонная работа» является главнымъ элементомъ творчества вездѣи въ наукѣ, и въ искусствѣ, и въ практикѣ. Поэтому возникаетъ мысль еще расширить понятіе «формальная цѣль обученія ариѳметикѣ», расширить въ томъ смыслѣ, чтобы обратить вниманіе при обученіи ариѳметикѣ, съ первыхъ шаговъ этого обученія, на развитіе творческой дѣятельности учащихся. Для этой цѣли необходимо ввести въ обученіе ариѳметикѣ упражненія на построеніе комбинацій изъ того матеріала, надъ которымъ работаетъ ариѳметика, т.-е. изъ чиселъ, на изысканіе комбинацій, соотвѣтствующихъ опредѣленнымъ цѣлямъ, опредѣленной руководящей мысли, на разсмотрѣніе такихъ комбинацій, на изысканіе ихъ особенностей. Примѣромъ такихъ упражненій можетъ служить статья «Описаніе двухъ уроковъ во 2-мъ отдѣленіи начальной школы», напечатанная въ №2 за 1914 г. «Математическаго Вѣстника». Мы имѣемъ въ виду въ дальнѣйшихъ нумерахъ «Математическаго Вѣстника» дать еще описаніе ряда подобныхъ уроковъ4). По нашему убѣжденію, у громаднаго большинства учащихся имѣются зачатки къ творческой работѣ, и, если итти навстрѣчу этому стремленію, то обученіе ариѳметикѣ лишь выиграетъ во всѣхъ отношеніяхъ: на урокахъ появится оживленіе и интересъ, ученики, привыкшіе къ комбинированію въ области чистой ариѳметики, съ большимъ искусствомъ станутъ примѣнять числа и дѣйствія надъ ними и къ вопросамъ и задачамъ прикладного характера.

Итакъ, мы приходимъ къ мысли понимать «формальную цѣль обученія ариѳметикѣ» въ трехъ главныхъ направленіяхъ: 1) развитіе способности образнаго представленія, 2) развитіе зачатковъ стремленія къ творческой работѣ и 3) развитіе логическаго мышленія.

Н. Извольскій.

(Окончаніе слѣдуетъ).

3) Болѣе подробное изложеніе творческой работы въ области каждой науки, а въ томъ числѣ и въ области различныхъ отдѣловъ математики„ дано въ статьѣ «Мой взглядъ на предметъ геометріи» въ № 4 за 1914 г. «Математическаго Вѣстника».

4) Описаніе одного урока дано въ настоящ. нумерѣ. Этой «комбинаціонной работѣ» посвящены также: 1) мой докладъ «Комбинаціонная работа, какъ основа преподаванія математикѣ», прочитанный на 2-мъ Всеросс. съѣвдѣ преподавателей математики, и 2) моя статья «Цѣль обученія ариѳметикѣ»—Вѣстникъ опытной физики и элементарной математики за 1913 г.

Японскіе счеты — соробанъ и вычисленія на нихъ.

Японскіе счеты, называющіеся «соробанъ», являются наслѣдіемъ древней японской культуры. Соробанъ пользуется большой популярностью въ Японіи, его можно встрѣтить вездѣ, гдѣ только производятся вычисленія — въ конторахъ, въ школѣ и т. д. Соробанъ представляетъ большое удобство, такъ какъ съ нимъ очень просто, подобно тому какъ это дѣлается при письменномъ счетѣ, но съ меньшей вѣроятностью ошибки, можно выполнять сложеніе, вычитаніе, умноженіе и дѣленіе какихъ угодно чиселъ.

Разсмотримъ устройство соробана и вычисленія на немъ.

Соробанъ состоитъ изъ широкой доски (черт. 1), на которой расположено нѣсколько (около двадцати) параллельныхъ спицъ — металлическихъ или бамбуковыхъ. Въ направленіи ширины доска раздѣлена на двѣ неравныя части. На спицы надѣваются кусочки дерева, имѣющіе форму двухъ конусовъ, сложенныхъ основаніями,—счетныя косточки, въ которыхъ сдѣлана выемка. Такихъ косточекъ надѣто на каждую спицу въ нижней широкой части — пять, въ верхней — одна. Нижнія косточки изображаютъ единицы какого-нибудь разряда, соотвѣтствующая же имъ верхняя — сразу 5 такихъ единицъ. Очевидно, что, откладывая опредѣленнымъ образомъ косточки на одной изъ спицъ, можно изобразить всякое число отъ 1 до 10. Напримѣръ, чтобы представить число 7, надо отложить двѣ косточки внизу и одну наверху. Расположеніе разрядовъ остается такимъ же, какъ и при записываніи чиселъ, т.-е. десятки располагаются на спицѣ непосредственно примыкающей къ спицѣ единицъ и лежащей влѣво отъ нея, сотни — на спицѣ, находящейся черезъ одну лѣвѣе единицъ, и т. д.

Чертежъ 1.

Напримѣръ, число 736 изобразится такъ (черт. 2):

Чертежъ 2.

1. 7 на. лѣвой спицѣ.

2. 3 на слѣдующей за ней правой.

3. 6 на послѣдней правой спицѣ.

Выполненіе при помощи соробана дѣйствій сложенія и вычитанія не требуетъ особеннаго поясненія. Напримѣръ, чтобы сложить два числа 812 и 358, поступаютъ такъ: какое-нибудь изъ этихъ чиселъ — 812 откладываютъ, какъ было только что указано, на соробаиѣ и постепенно, по разрядамъ, начиная съ высшихъ (въ данномъ случаѣ съ сотенъ), прикладываютъ къ нему второе число — 358.

Вычитаніе производится аналогично.

Посмотримъ, какъ выполняется при помощи соробана умноженіе чиселъ. Пусть требуется: 3926x284. Послѣ того, какъ чисЛа будутъ изображены на соробанѣ (черт. 3)1) умножаютъ 3926 на единицы числа 284, т.-е. на 4, при чемъ 4 косточки, изображающія единицы, снимаютъ, и результатъ отклады-

Чертежъ 3.

Чертежъ 4.

1) На чертежѣ для ясности множитель изображенъ черными счетными косточками и пропущены нѣкоторыя спицы.

ваютъ справа (черт. 4). Умноженіе производится такъ: 6 . 4=24 изображаютъ на соробанѣ, потомъ къ 2 десяткамъ прикладываютъ (2 . 4=) 8 десятковъ, послѣ этого къ полученной 1 сотнѣ прикладываютъ (9 . 4=) 36 сотенъ и наконецъ (3 . 4) = ) 12 тысячъ прибавляютъ къ полученнымъ уже ранѣе 3 тысячамъ. Дальше умножаютъ 3926 на 8 десятковъ, при чемъ (6 . 8=) 48 прибавляютъ къ полученнымъ прежде десяткамъ, (2.8=) 16 — къ сотнямъ, (9 . 8=) 72 — къ тысячамъ и (3 . 8=) 24 — къ десяткамъ тысячъ. Результатъ изображенъ на чертежѣ 5. Умноживъ подобнымъ же способомъ 3926 на 2 сотни, получаютъ окончательно число 1 114 984 (черт. 6).

Чертежъ 5.

Чертежъ 6.

Выяснимъ еще на примѣрѣ (385 : 2), какъ при помощи соробана выполняется дѣленіе. На правыхъ спицахъ откладываютъ дѣлимое 385 и лѣвѣе — дѣлитель 2 (черт. 7). Сначала 3 сотни дѣлятъ на 2, получается 1 сотня и 5 десятковъ, что и отмѣчаютъ на соробанѣ, при чемъ раздѣленныя 3 сотни снимаютъ (черт. 8). Потомъ дѣлятъ 8 десятковъ на 2, получается 4 десятка, ко-

Чертежъ 7.

Чертежъ 8.

торые прибавляютъ къ положеннымъ ранѣе 5 десяткамъ (черт.9). Наконецъ дѣлятъ 5 единицъ на 2, при чемъ 2 единицы прибавляютъ къ частному, въ остаткѣ же получается единица (черт. 10).

Чертежъ 9.

Чертежъ 10.

При помощи соробана можно также выполнять извлеченіе квадратнаго и кубическаго корней. Много вычисляющіе съ соробаномъ въ концѣ концовъ пріобрѣтаютъ такую технику, что пальцы ихъ бѣгаютъ по доскѣ подобно пальцамъ піаниста-виртуоза, и они съ необыкновенной быстротой и точностью производятъ вычисленія.

А. Цвѣткова.

Еще о признакахъ дѣлимости.

Въ виду того интереса, который должна вызвать статья I. И. Чистякова, «Объ одной группѣ признаковъ дѣлимости»1), я позволяю себѣ привести здѣсь еще нѣкоторыя соображенія по вопросу о дѣлимости.

I.

Послѣ чтенія указанной статьи у читателя должна, думается мнѣ, возникнуть мысль о томъ, что вопросъ о признакахъ дѣлимости далеко не исчерпывается тѣмъ, что обычно имѣется въ учебникахъ ариѳметики, что въ этомъ вопросѣ возможны различныя собственныя изслѣдованія, что, наконецъ, и нѣкоторыхъ учащихся возможно заинтересовать изслѣдованіями въ этой области. Поэтому я предлагаю здѣсь еще нѣсколько признаковъ дѣлимости (они не являются чѣмъ-либо новымъ, а достаточно извѣстны), которые, хотя и не обладаютъ тѣмъ практическимъ удобствомъ, какимъ обладаютъ признаки дѣлимости, указываемые I. И. Чистяковымъ, однако могутъ быть усвоены учащимися съ большою легкостью2).

1) «Матем. Вѣстн.» № 2, 1914 г.

2) Въ засѣданіи Моск. Математ. Кружка 27 ноября 1914 I. И. Чистяковъ прочелъ докладъ, посвященный вопросамъ о дѣлимости, въ которомъ высказалъ соображенія, близкія къ общему направленію этой статьи.

1) Чтобы узнать дѣлитея ли число на 6, надо сумму всѣхъ его цифръ, кромѣ единицъ, умножить на 4, къ полученному произведенію прибавить единицы; если эта сумма дѣлится на 4, то и все число дѣлится, а если не дѣлится на 4, то и все число не дѣлится, и остатки отъ обоихъ дѣленій одинаковы.

Напримѣръ: а) 85212.

(8+5+2+1) . 4+2=66.

66 дѣлится на 6; слѣд. 85212 дѣлится на 6. Ь) 70454.

(7+4+5) . 4+4=68.

Отъ дѣленія 68 на 6 получится остатокъ 2; такой же остатокъ получится и отъ дѣленія 70454 на 6.

Объясненіе. Отъ дѣленія одного десятка на 6 въ остаткѣ получается 4 (10—6+4), отъ дѣленія одной сотни на 6 въ остаткѣ получается также 4 (100=96+4), также отъ дѣленія одной тысячи (1000=996+4) и т. д. Поэтому, вычисляя остатокъ отъ дѣленія даннаго числа 70454 на 6 по разрядамъ, мы приходимъ къ заключенію, что этотъ остатокъ = (7+4+5) . 4+4.

2) Для испытанія дѣлимости числа на 7 можно руководствовался слѣдующимъ простымъ соображеніемъ: отъ дѣленія одной сотни на 7 получается остатокъ 2; поэтому остатокъ отъ дѣленія всего числа (если дѣлить по сотнямъ) = 2, умножен. на число сотенъ, плюсъ единицы (вмѣстѣ съ десятками) этого числа. Напр., если надо 81365 : 7, то остатокъ отъ этого дѣленія такой же, какъ и отъ дѣленія (813x2+65) : 7, или 1691 : 7. Примѣняя къ этому числу тѣ же соображенія, найдемъ, что искомый остатокъ такой же, какъ и отъ дѣленія 123 : 7. (123=2 . 16+91). Примѣняя тоже еще разъ, придемъ къ дѣленію 25 : 7, откуда уже видимъ, что искомый остатокъ=4.

3) Возможно еще развить вопросъ о дѣлимости числа на 7. Отъ дѣленія единицы на 7 остатокъ = 1, отъ дѣленія одного десятка на 7 остатокъ=3 (10=7+3), отъ дѣленія одной сотни на 7 остатокъ=2 (100=98+2), отъ дѣленія одной тысячи на 7 остатокъ=6 (1000=994+6), отъ дѣленія десятка тысячъ на 7 остатокъ=4 (10000=9996+4), затѣмъ остатки отъ дѣленія единицы каждаго изъ слѣдующихъ разрядовъ суть соствѣтственно 5, 1, 3, 2, 6, 4, 5, 1, 3, 2, 6, 4, 5,... Эти остатки легко запомнить: надо лишь запомнить два первые изъ нихъ, а именно 1 и 3, слѣдующіе 2 остатка получаются удвоеніемъ этихъ, т.-е. 2 и 6, слѣдующіе 2 также удвоеніемъ двухъ предыдущихъ, т.-е. 4 и 5 (6 удвоить —получимъ 12, а отъ дѣленія 12 на 7 остатокъ = 5). Удвоивъ два послѣднихъ, опять придемъ къ остаткамъ 1 и 3 (4x2=8, а отъ дѣленія 8 на 7 остатокъ=1; 5x2=10, а отъ дѣленія 10 на 7 остатокъ=3).

Пусть теперь дано число, напр., 32048594. Для нахожденія остатка отъ дѣленія этого числа на 7, слѣдуетъ составить слѣдующую сумму: 4.1+9.3+5.2+8.6+4.4+0.5+2.1 + +3 . 3 и ее раздѣлить на 7. Удобно постулатъ такъ: напишемъ данное число и подъ каждою цифрою этого числа, начиная съ правой стороны, подпишемъ цифры 1, 3, 2, 6, 4, 5, 1, 3, 2, 6, 4, 5..., пока не дойдемъ до послѣдней цифры3); затѣмъ перемножимъ попарно цифры, стоящія въ одномъ вертикальномъ столбцѣ, полученныя произведенія сложимъ и раздѣлимъ его на 7, — остатокъ долженъ получиться тотъ же, что и отъ дѣленія даннаго числа на 7. Для нашего примѣра имѣемъ:

3 2048594 3 1 5 4_6 2 3 1

9; 2; 0; 16; 48; 10; 27; 4

Сумма получ. произв. = 116. Къ этому числу возможно, если угодно, примѣнить тотъ же пріемъ:

1 1 6

2 3 1

2; 3; 6; сумма = 11.

Отъ дѣленія 11 на 7 остатокъ = 4; слѣд. и отъ дѣленія искомаго числа на 7 остатокъ=4.

Еще примѣръ: 1 0 2 0 4 0 4 1 5 4 6 2 3 1

1; 0; 8; 0; 8; 0; 4; сумма=21.

Такъ какъ 21 дѣлится на 7, то и 1020404 дѣлится безъ остатка.

4) Можно воспользоваться числомъ 1001 для нахожденія остатка отъ дѣленія любого числа на 7 или на 11 или на 13. Число 1001 получается отъ умноженія чиселъ 7, 11 и 13, т.-е. 1001 = 7 . 11 . 13 . Итакъ, число 1001 кратно 7, кратно 11, кратно 13. Точно такъ же числа 10010, 100100, 1001000..., а также 2002, 20020, 200200,... 3003, 30030, 300300,... 9009, 90090, 900900,... кратны и 7 и 11 и 13. Поэтому, если эти числа вычесть изъ даннаго числа, то остатки отъ дѣленія или на 7, или на 11, или на 13 не измѣнятся.

Пусть дано число 37151264 и требуется узнать остатокъ отъ дѣленія этого числа на 13, не выполняя полностью этого дѣлѣнія. Тогда, согласно предыдущему, вычитаемъ изъ даннаго числа сначала число 30030000, затѣмъ число 7007000, затѣмъ число 100100, затѣмъ 10010 и наконецъ 4004.

3) I. И. Чистяковъ указалъ на засѣданіи Мат. Кружка, упоминаемомъ въ предыдущемъ примѣчаніи, что можно остатки 6, 4 и 5 замѣнить отрицательными: -1, -3 и -2, что ведетъ къ облегченію вычисленій.

Вотъ эти вычитанія:

или короче:

Отъ дѣленія 150 на 13 остатокъ = 7; такой же остатокъ даетъ и дѣленіе 37151264 : 13.

II.

Та группа признаковъ дѣлимости, которая дана въ статьѣ I. И. Чистякова, отличается отъ признаковъ дѣлимости, даваемыхъ въ I отдѣлѣ настоящей замѣтки, тѣмъ, что остатки, въ случаѣ недѣлимости даннаго числа на требуемаго дѣлителя, послѣ операцій, указываемыхъ I. И. Чистяковымъ, не остаются тѣми же самыми.

Возьмемъ примѣръ изъ статьи I. И. Чистякова. Надо выяснить вопросъ о дѣлимости числа 97717 на 19. Согласно содержанію этой статьи, для 19 характеристическое число есть 2. Для доказательства указываемаго въ этой статьѣ признака дѣлимости получается равенство4):

97717 . 2=9771 . 19+(9771 + 14).

Если бы отъ дѣленія числа 97717 на 19 получался какой-либо остатокъ, отличный отъ нуля, то отъ дѣленія числа (97717.2), а слѣд. и числа (9771 + 14) на 19 остатокъ удвоился бы5): если бы остатокъ отъ дѣленія 97717 на 19 равнялся бы а, то остатокъ отъ дѣленія 97717 . 2 былъ бы или равенъ 2а, если 2а<19, или равнялся бы тому остатку, какой получится отъ дѣленія 2а на 19; согласно вышеприведенному равенству такой же остатокъ долженъ получиться и для дѣленія на 19 числа (9771 + 14). Если, какъ это имѣетъ мѣсто для числа 97717, остатокъ отъ дѣленія на 19 равенъ нулю (а=0), то и остатокъ отъ дѣленія (9771 + 14) равенъ нулю (2а=0, если а=0).

4) Стран. 38, № 2 «Матем. Вѣстн.» 1914 г.

5) Это выраженіе условно.

Возьмемъ теперь какое-либо число, не дѣлящееся безъ остатка на 19, напр. 97728. Остатокъ отъ дѣленія этого числа на 19 равенъ 11 (легко получить, хотя бы непосредственнымъ дѣленіемъ); поэтому, составивъ, согласно указаніямъ статьи I. И. Чистякова, то число, которое помогаетъ узнавать о дѣлимости даннаго числа, мы получимъ: 9772+16=9788. Мы можемъ теперь утверждать, что остатокъ отъ дѣленія этого числа на 19 таковъ же, какъ и отъ дѣленія числа 11 . 2 на 19, т.-е.=3. Поступая съ числомъ 9788 такъ же, какъ съ числомъ 97728, мы придемъ къ числу 978+16=994; здѣсь остатокъ=3 . 2=6; повторяя еще разъ тотъ же процессъ, придемъ къ числу 99+8=107; здѣсь остатокъ=6 . 2=12.

Мы можемъ условно говорить, что остатокъ послѣ каждаго примѣненія такого процесса удваивается, при чемъ это слово «удваивается» будемъ понимать такъ: если сначала остатокъ былъ=а, то, послѣ однократнаго примѣненія этого процесса, онъ=2а, если 2а<19 и равенъ остатку отъ дѣленія 2а на 19, если 2а>19.

Послѣ этого возможно рѣшить обратную задачу, напр., найти, не выполняя самого дѣленія, остатокъ отъ дѣленія 5480763 на 19. Согласно статьѣ I. И. Чистякова, получаемъ рядъ дѣлимыхъ:

5480763

548082

54812

5485

558

71

Послѣднее число (71) при дѣленіи на 19 даетъ остатокъ 14; слѣд. отъ предыдущаго дѣленія (558) остатокъ былъ въ 2 раза меньше, т.-е. 7; еще отъ предыдущаго (5485) былъ еще въ 2 раза меньше (это выраженіе условное), т.-е. надо къ 7 прибавить 19 (такъ какъ само 7 не дѣлится на 2) и полученную сумму (26) раздѣлить на 2, получимъ 13; еще отъ предыдущаго дѣленія (54812), остатокъ былъ еще въ 2 раза меньше (опять условное выраженіе), т.-е. 13"^19=16; отъ предыдущаго дѣленія (548082) еще въ 2 раза меньше, т.-е. 8; наконецъ, отъ дѣленія даннаго числа на 19 остатокъ еще въ 2 раза меньше, т.-е. 4.

Подобный способъ нахожденія остатка, въ случаѣ недѣлимости даннаго числа на требуемаго дѣлителя, примѣнимъ ко всѣмъ случаямъ, указываемымъ въ статьѣ I. И. Чистякова.

Н. Извольскій.

Примѣрный урокъ во II отдѣленіи начальной школы.

На доскѣ пишется примѣръ

90-5x6.

Выясняется порядокъ дѣйствій: сначала надо 5 умножить на 6, а затѣмъ уже полученное число вычесть изъ 901). Придется при этомъ указать (если такія выраженія встрѣчаются въ первый разъ), что принято всегда, когда рядомъ написаны дѣйствія вычитаніе (или сложеніе) и умноженіе, впередъ выполнять умноженіе. Возможно, быть можетъ, дать это общепринятое условіе въ такой формѣ: умноженію и дѣленію отдаютъ предпочтеніе (выполняютъ ихъ впередъ) передъ сложеніемъ и вычитаніемъ.

Когда классъ усвоитъ порядокъ дѣйствій, то примѣръ вычисляется 1) 5x6=30, 2) 90—30=60 и отвѣтъ (60) записывается.

Далѣе пишется подъ первымъ второй примѣръ

90-6x7.

и вычисляется въ томъ же порядкѣ.

Послѣ этого обращается вниманіе дѣтей на отличіе 2-го примѣра отъ 1-го: первое число (90), изъ котораго надо вычитать одно и то же въ обоихъ примѣрахъ, а тѣ числа, которыя надо перемножать во 2-мъ примѣрѣ каждое больше на 1, чѣмъ въ первомъ. Предлагается дѣтямъ самимъ составить новый при-

1) Въ виду того, что во многихъ задачникахъ, вышедшихъ за послѣдніе годы и предназначаемыхъ для начальныхъ школъ, имѣются примѣры для упражненій въ родѣ: 11-4x6, при чемъ, очевидно, составители такихъ задачниковъ полагаютъ, что сначала надо изъ 11 вычесть 4, а потомъ уже полученное число умножить на 6, я считаю нужнымъ обратить на это обстоятельство особое вниманіе. Въ математикѣ общепринято, если нѣтъ спеціальныхъ указаній при помощи скобокъ, сначала выполнять умноженіе (а также и дѣленіе), а потомъ уже вычитеніе (или сложеніе). Это ясно всякому, знающему начала алгебры: въ выраженіяхъ a+bc, а-be, а-\Ь : с, а-Ъ : с сначала выполняются умноженіе или дѣленіе, а затѣмъ уже сложеніе или вычитаніе. Наличность въ нѣкоторыхъ задачникахъ примѣровъ въ родѣ вышеуказаннаго (11 — 4x6), а также въ родѣ 10+4 : 7 (для дѣтей, неимѣющихъ понятія о дроби ^) указываетъ, что составители такихъ задачниковъ незнакомы съ началами алгебры.

мѣръ, чтобы первое число, изъ котораго надо вычитать, осталось то же самое, а тѣ числа, которыя надо перемножать, еще увеличились бы каждое на единицу.

Когда такой примѣръ будетъ составленъ, записанъ на доскѣ (и въ тетрадяхъ) и вычисленъ, предлагается дѣтямъ продолжить составленіе такихъ примѣровъ до тѣхъ поръ, пока возможно вычитать. Сначала дѣти работаютъ самостоятельно и записываютъ составленные ими примѣры (а также и отвѣты) въ тетрадяхъ; затѣмъ эти примѣры переписываются на доскѣ, для чего къ доскѣ вызываются постепенно нѣсколько дѣтей. Въ концѣ концовъ на доскѣ получается запись:

90—5x6=60 90-6x7=48 90-7x8=34 90-8x9=18 90-9x10=0.

Послѣ этого задается задача въ родѣ:

Хозяйка утромъ въ понедѣльникъ купила 90 яицъ и тратила 6 дней, начиная съ понедѣльника, по 5 яицъ ежедневно. Сколько яицъ у нея осталось къ воскресенью? Учащіеся рѣшаютъ задачу: сначала надо узнать, сколько яицъ хозяйка истратила въ 6 дней,—надо 5 яицъ повторить 6 разъ, или 5x6 (получится 30), затѣмъ надо узнать, сколько яицъ у нея осталось, для чего надо изъ 90 яицъ вычесть 30 яицъ.

Когда и задача и ея рѣшеніе классомъ усвоены, обращается вниманіе дѣтей, что на доскѣ (и въ тетрадяхъ) уже записано рѣшеніе этой задачи; гдѣ? Найдутся среди класса дѣти, которыя укажутъ, что задача эта рѣшена въ первой «строчкѣ» (или что первый примѣръ даетъ рѣшеніе этой задачи). Тогда учитель признается, что онъ дѣйствительно подобралъ эту задачу, примѣняясь къ первому примѣру. А не составитъ ли кто задачу, примѣняясь ко второму примѣру? И опять можно утверждать, что среди дѣтей найдется нѣсколько, которыя составитъ требуемую задачу, однако, какъ это часто случается, эта задача будетъ подражаніемъ предыдущей: вѣроятно, тоже рѣчь будетъ итти о хозяйкѣ, о яйцахъ, и учителю слѣдуетъ обратить вниманіе на возможность иного содержанія задачи (напримѣръ, онъ можетъ указать, что желательно составить

задачу о пряникахъ: у матери было 90 пряниковъ, она дала 7 дѣтямъ по 6 пряниковъ; сколько у нея пряниковъ осталось? можно предложить составить такую же задачу такъ, чтобы въ ней рѣчь шла о деньгахъ (было 90 коп.) и о покупкѣ какихъ-либо предметовъ и т. п.). Послѣ нѣкоторой затраты труда возможно добиться, чтобы кѣмъ-либо изъ учащихся была придумана, примѣнительно ко 2-му примѣру, и оригинальнаго содержанія задача.

Также идетъ работа и дальше: составляются задачи для третьей, для четвертой, для пятой «строчекъ», при чемъ учитель, все время обращая вниманіе на разнообразіе содержанія составляемыхъ задачъ, постепенно привлекаетъ къ работѣ и тѣхъ учащихся, которые менѣе способны и въ началѣ этой работы оставались пассивными слушателями.

Значеніе такого урока возможно оцѣнить такъ: 1) учащіеся развиваютъ свою способность къ комбинаціонной работѣ, такъ какъ они сами составляютъ, придерживаясь опредѣленнаго плана, примѣры для вычисленій и сами составляютъ задачи примѣнительно къ этимъ примѣрамъ: 2) учащіеся сами изыскиваютъ жизненные моменты, къ которымъ примѣнимы вычисленія, имѣющіяся въ ранѣе составленныхъ и вычисленныхъ ими примѣрахъ, — такимъ образомъ какъ бы оживаютъ тѣ упражненія въ вычисленіяхъ «строчекъ», какія постоянно употребляются въ школьной практикѣ.

Объ одномъ педагогическомъ увлеченіи.

Послѣдніе годы въ область методики всѣхъ предметовъ, а въ томъ числѣ и ариѳметики, все болѣе и болѣе проникаетъ рисованіе. Рисунками пользуются при самыхъ первыхъ шагахъ обученія, когда дѣти лишь начинаютъ знакомиться съ числами, рисунками иногда иллюстрируются задачи, напечатанныя въ задачникахъ, заставляютъ дѣтей самихъ составлять рисунки къ задачамъ и т. д. и т. д.

И должно согласиться, что для цѣлей обученія ариѳметики слѣдуетъ использовать и любовь дѣтей къ рисункамъ, къ картинкамъ, и ихъ склонность къ рисованію. Однако не слѣдуетъ закрывать глаза и на то, что въ настоящее время эту мысль — использовать любовь дѣтей къ картинамъ и ихъ склонность къ рисованію для цѣлей обученія ариѳметики — въ нѣкоторыхъ случаяхъ извращаютъ до такой степени, что

уже исчезаетъ ея главное содержаніе: использовать для цѣлей обученія ариѳмеметики. Справедливость этого можно видѣть и при разсмотрѣніи нѣкоторыхъ, вышедшихъ за послѣдніе годы, ариѳметическихъ задачниковъ съ рисунками и при обзорѣ, устраивавшихся за послѣдніе годы нѣкоторыхъ педагогическихъ выставокъ, на которыхъ были выставлены работы учащихся по ариѳметикѣ.

Не захватывая вопроса объ увлеченіи рисованіемъ на урокахъ ариѳметики въ его полномъ объемѣ, мнѣ хотѣлось бы здѣсь обратить вниманіе читателей лишь на одинъ фактъ, который, по моему мнѣнію, достаточно наглядно иллюстрируетъ это увлеченіе рисованіемъ.

На одной изъ педагогическихъ выставокъ мнѣ пришлось видѣть работы дѣтей перваго отдѣленія. Въ цѣломъ рядѣ тетрадей, принадлежавшихъ дѣтямъ этого отдѣленія, была записана и рѣшена задача: Ваня пасъ трехъ овецъ, а Петя пасъ овецъ въ 3 раза больше; сколько овецъ пасъ Петя?

Мое вниманіе поразило слѣдующее обстоятельство: во всѣхъ тетрадяхъ условіе задачи было записано дѣтьми словами очень недурнымъ подчеркомъ, изъ чего я вывелъ заключеніе, что эта работа была выполнена дѣтьми въ концѣ 1-го года обученія, а между тѣмъ въ каждой тетради, кромѣ рѣшенія, записаннаго цифрами «3x3—9», имѣлась еще иллюстрація его рисункомъ: былъ нарисованъ Ваня съ кнутомъ и около него 3 овцы и далѣе былъ нарисованъ Петя и около него 3 группы по 3 овцы.

И вотъ возникаетъ вопросъ: какое же значеніе имѣютъ эти рисунки? Вѣдь къ концу перваго года обученія дѣти уже усвоили, что 3 раза по 3 получится 9; слѣдовательно, рисунокъ здѣсь ничего новаго для цѣлей обученія ариѳметикѣ дѣтямъ дать не могъ: дѣти уже усвоили, что значитъ «въ 3 раза больше», дѣти уже знаютъ даже, что 3x3=9. А если такъ, то не является ли требованіе нарисовать къ разсматриваемой задачѣ соотвѣтствующій рисунокъ въ этотъ моментъ обученія лишнею и непроизводительною тратою времени? Было бы понятно, если бы дѣти составляли подобные рисунки еще тогда, когда они впервые встрѣчаются съ понятіями «въ 2, въ 3, въ 4, въ 5 разъ больше», но вѣдь съ этими понятіями дѣти знакомятся уже въ первое полугодіе, т.-е. тогда, когда они еще не въ состояніи записать словами разсматриваемую задачу.

Въ виду вышеизложенныхъ соображеній остается думать что-либо одно изъ двухъ: или выставленныя работы сцеціально подготовлялись дѣтьми для выставки, или здѣсь имѣло мѣсто со стороны учителя увлеченіе рисованіемъ.

Оба предложенія охватываютъ, слѣдовательно, отрицательныя явленія въ жизни нашей школы. А. Н.

Хроника.

Московскій Математическій Кружокъ. Первое засѣданіе кружка въ 1914—15 учебн. году состоялось 2-го октября подъ предсѣдательствомъ проф. Б. К. Млодзѣевскаго. Было сдѣлано два сообщенія: 1. А. П. Поляковъ подѣлился своими впечатлѣніями, полученными имъ отъ участія въ Съѣздѣ Международной Комиссіи по преподаванію математики въ Парижѣ, состоявшемся въ апрѣлѣ 1914 года (работа Съѣзда была посвящена двумъ вопросамъ: вопросу о началахъ анализа безконечно малыхъ въ средней школѣ и вопросу о положеніи математики въ инженерныхъ училищахъ). 2. А. А. Волковъ изложилъ свои изысканія по вопросу объ оцѣнкѣ погрѣшностей результатовъ вычисленій по логариѳмамъ (изложенный пріемъ этой оцѣнки, по мнѣнію докладчика, слѣдуетъ ввести въ обиходъ средней школы).

30-го октября состоялось, также подъ предсѣдательствомъ проф. Б. К. Млодзѣевскаго, второе засѣданіе Кружка, на которомъ были сдѣланы также два сообщенія: 1. Ѳ. И. Егоровъ, «О начальномъ преподаваніи ариѳметики (систематики)»; въ этомъ сообщеніи были изложены тѣ воззрѣнія на преподаваніе началъ ариѳметики, какія имѣютъ мѣсто по преимуществу въ работахъ Е. Вилька. 2. Н. А. Извольскій, «Объ одномъ свойствѣ трапеціи» (извѣстно свойство трапеціи: прямая, соединяющая середины параллельныхъ сторонъ трапеціи, проходитъ черезъ точку пересѣченія ея непараллельныхъ сторонъ и точку пересѣченія ея діагоналей; это свойство безъ всякаго труда можетъ быть введено въ курсъ средней школы, если только обратить побольше вниманія на упражненія въ изысканіяхъ равновеликихъ многоугольниковъ).

27-го ноября состоялось, также подъ предсѣдательствомъ проф. Б. К. Млодзѣевскаго, третье засѣданіе Кружка, на которомъ были сдѣланы также два сообщенія: 1. С. П. Виноградовъ «Объ одной системѣ алгебраическихъ линейныхъ уравненій». 2. I. И. Чистяковъ, «О дѣлимости чиселъ». Общая мысль послѣдняго доклада такова: тѣ свѣдѣнія о дѣлимости чиселъ, какія обычно даются въ учебникахъ ариѳметики, недостаточны; этотъ отдѣлъ ариѳметики содержитъ въ себѣ много матеріала, и интереснаго и доступнаго для учащихся, который обычно вовсе остается неиспользованнымъ. Докладчикъ, въ частности, остановился на той группѣ признаковъ дѣлимости, которые изложены въ его статьѣ, напечатанной въ № 2 за 1914 г. «Математическаго Вѣстника», и далъ обобщенія этихъ признаковъ дѣлимости.

Свѣдѣнія о новыхъ книгахъ по математикѣ и ея методикѣ.

А. А. Сольдинъ, Ариѳметическій задачникъ для начальныхъ городскихъ и сельскихъ училищъ. Наглядное знакомство съ числами перваго десятка, задачи и примѣры на числа первой сотни . и тысячи. Выпускъ первый. Изданіе торговаго дома «Думновъ, Клочковъ, Луковниковъ и К°. Цѣна 20 коп. Москва, 1913.

Прежде всего обращаетъ на себя вниманіе чисто внѣшнее обстоятельство. На обложкѣ заглавіе задачника напечатано такъ, какъ мы выше выписали его: послѣ словъ «первой сотни» поставлена точка, затѣмъ, уже другимъ шрифтомъ, напечатано «и тысячи», а на заглавномъ листѣ (стран. 1) этой прибавки «и тысячи» не имѣется. Это обстоятельство можетъ навести на мысль, что отдѣлъ задачника, посвященный числамъ первой тысячи болѣе поздняго происхожденія. Однако это лишь догадка, но объясненіе, какъ этого обстоятельства, такъ и вообще того плана по которому составленъ задачникъ, найти въ книгѣ нельзя: въ ней вовсе нѣтъ предисловія.

Задачникъ, согласно новому теченію въ области задачной литературы, содержитъ картины: онѣ начинаются на 3 страницѣ (это въ сущности первая страница задачника) и кончаются на 20. Среди картинъ наибольшее значеніе слѣдуетъ признать за тѣми, которыя даны на стран. 6. Здѣсь даны 10 картинокъ съ группами предметовъ и предлагается обозначить цифрами число одинаковыхъ предметовъ на каждой картинѣ; такъ какъ здѣсь нѣтъ опредѣленнаго порядка, то тутъ дѣйствительно потребуется отъ дѣтей нѣкоторая наблюдательность, чтобы правильно оцѣнить числомъ каждую нарисованную группу предметовъ. Картины на стран. 3—5, гдѣ даны группы предметовъ, расположенныя въ порядкѣ (первый рядъ изображаетъ группы въ 1 предметъ, второй рядъ — въ 2 предмета и т. д.), врядъ ли умѣстны въ задачникѣ. Еще болѣе портитъ эти страницы подписи внизу каждой страницы «запомните, какой цифрой обозначаются пять предметовъ» и т. п. Въ задачникѣ такой совѣтъ «запомните» звучитъ очень странно: это уже дѣло учителя добиться того, чтобы учащіеся запомнили значеніе изучаемыхъ ими цифръ. И странно, неужели авторъ думаетъ, что это словечко «запомните», которое сами учащіеся даже не сумѣютъ прочесть — имъ прочтетъ его учитель — достаточно для того, чтобы дѣйствительно учащіеся запомнили значеніе каждой цифры.

Выполненіе другихъ картинъ возбуждаетъ также сомнѣнія, достигаютъ ли онѣ той цѣли, для какой предназначаются. Но вопросъ объ использованіи картины для обученія ариѳметикѣ на столько сложенъ, что въ рецензіи его основательно выяснить не является возможнымъ. Поэтому перейдемъ къ содержанію тѣхъ частей задачника, которыя не имѣютъ картинъ.

На стран, 10 и 11, гдѣ даны примѣры и задачи на сложеніе и вычитаніе въ предѣлѣ до 10, возбуждаютъ сомнѣнія задачи №№ 7 и 18:

умѣстно ли на этой стадіи обученія вводить понятія «полдюжина» и «полгода»? Вѣдь эти понятія требуютъ знанія числа 12 и умѣнія найти его половину.

На стран. 20 четыре раза напечатанъ неправильный вопросъ къ картинамъ: «Во сколько» вмѣсто «во сколько разъ».

На стран. 25 имѣются примѣры, для вычисленія которыхъ авторъ, очевидно, желаетъ употребить неправильный порядокъ дѣйствій. Вотъ одинъ изъ нихъ: (30x3) —(60 : 3)—(30х2)х9. Согласно тому, какъ принято обозначать дѣйствія въ математикѣ вообще, здѣсь слѣдовало бы получить 90—20—60x9=90—20—540 (умноженіе всегда выполняется прежде, чѣмъ вычитаніе, если не отмѣченъ иной порядокъ дѣйствій особыми скобками); автору слѣдовало бы напечатать такъ: (30x3—60 : 3—30х2)х9 или, если онъ хочетъ подчеркнуть, что умноженіе и дѣленіе выполняется раньше вычитанія, то такъ: [(30x3)—(60 :3)—(30х2)]х9.

Начиная со стран. 28 передъ каждымъ отдѣломъ примѣровъ напечатаны совѣты, въ родѣ слѣдующаго: «отнимайте сперва столько единицъ, чтобы осталось 10, а потомъ остальныя» (на стран. 30 передъ рядомъ примѣровъ: 11—5, 11—8... 12—5, 12—7...). Слѣдуетъ горячо возражать противъ подобныхъ совѣтовъ, печатаемыхъ, къ сожалѣнію, во многихъ задачникахъ. Возражать слѣдуетъ потому, что благодаря имъ обученіе ариѳметическимъ дѣйствіямъ страдаетъ тенденціозностью, а послѣдняя является залогомъ того, что учащіеся, запомнивъ пріемъ или правило, стремятся ему слѣдовать, не вникая въ суть дѣйствія, — обученіе пріобрѣтаетъ механическій характеръ. Если учащійся вникъ въ суть вычитанія, то почему ему нельзя, напр., изъ 12 вычесть 7 по слѣдующей схемѣ: 12—7 = (10—7)+2=3+2=5? почему, непремѣнно, согласно желанію г. Сольдина, онъ долженъ держаться схемы: 12—7 = (12 — 2) —5? И должно, къ сожалѣнію, прибавить, что въ настоящее время при первоначальномъ обученіи ариѳметикѣ во многихъ случаяхъ подмѣчается стремленіе усвоеніе сущности дѣйствій замѣнить запоминаніемъ одного опредѣленнаго пріема для его выполненія. Это явленіе съ нашей точки зрѣнія — отрицательное. Г-нъ Сольдинъ идетъ въ этомъ направленіи еще дальше: одинъ изъ его совѣтовъ, на стран. 44, уже совсѣмъ страненъ. Здѣсь данъ отдѣлъ, озаглавленный «Умноженіе на 3», въ которомъ имѣются примѣры въ родѣ: 12x3... 32x3 ... 27x3 и т. д., но выше этихъ примѣровъ указано: «умножайте на десятки, потомъ на единицы и складывайте».

Вся часть задачника, посвященная умноженію и дѣленію въ предѣлѣ первой сотни, разработана крайне странно. Сомнѣнія здѣсь на каждомъ шагу. Вотъ нѣкоторыя изъ нихъ: 1) Почему примѣры на умноженіе (стран. 42—51) даются лишь въ видѣ 17x2, 24x4, 11x8 и т. д., т.-е. имѣются лишь требованія умножать двузначныя числа на однозначныя, но вовсе не имѣется примѣровъ, гдѣ бы требовалось однозначное число умножить на двузначное? И это сомнѣніе еще усиливается тѣмъ обстоятельствомъ, что на стран. 53 начинается новый отдѣлъ, озаглавленный «Дѣленіе на двухзначное число»; почему же нѣтъ отдѣла «Умноженіе на двухзначное число»? 2) Вовсе нельзя подмѣтить, какіе примѣры и задачи

служатъ для выясненія перемѣстительнаго закона умноженія,—приходится по этому поводу пожалѣть объ отсутствіи предисловія. 3) Напр., на стран. 50 идетъ статья, озаглавленная «Умноженіе на 8»; послѣ этого сейчасъ же жирнымъ шрифтомъ напечатана (опять сопровождаемая магическимъ словомъ «запомните») соотвѣт. часть таблицы умноженія: 8x2=16, 8x3 = 24,... кончая 8x9=72. Читатель и ученикъ въ правѣ спросить: почему же здѣсь дано заглавіе «Умноженіе на 8»? Быть можетъ авторъ придерживается порядка, имѣющаго мѣсто въ нѣкоторыхъ задачникахъ нѣмецкихъ методистовъ, ставящихъ множитель впереди множимаго, но тогда это слѣдовало бы указать въ предисловіи, а кромѣ того этому противорѣчатъ дальнѣйшіе примѣры: 11x8; 12x8 и т. д. 4) Почему-то въ отдѣлѣ, посвященномъ умноженію на 7, уже имѣются задачи (№№ 588, 593), гдѣ требуется найти число, три седьмыхъ части котораго равны 36, или найти число, четыре седьмыхъ части котораго равны 52. Возможно ли понятіе о седьмой части числа дать раньше прохожденія дѣленія на 7? Совершенно такъ же вводятся авторомъ задачи съ пятыми частями раньше дѣленія на 5 и т. п. Хорошо ли это?

Ограничимся этимъ. Не станемъ разбирать и того отдѣла, который, повидимому (какъ это указано въ началѣ рецензіи), имѣетъ болѣе позднѣе происхожденіе и который посвященъ дѣйствіямъ въ предѣлѣ до 1000. Недоразумѣній указано и безъ того достаточно много, чтобы составить опредѣленно-отрицательное сужденіе объ этомъ задачникѣ.

Н. Извольскій.

А. Алмоевъ, Сборникъ задачъ, предложенныхъ въ 1914—13 гг. на выпускныхъ экзаменахъ за 8 классовъ гимназіи, за 6 и 7 классовъ реальныхъ училищъ 12 округовъ. Изданіе Общеобразов. курсовъ А. Алмоева. Цѣна 75 коп.

Сборникъ отнюдь не полный. Такъ, напр., изъ всѣхъ Московскихъ гимназій мы находимъ въ отдѣлѣ задачъ по алгебрѣ за 1914 г. лишь двѣ гимназіи 2-ю и 5-ю. Тѣмъ не менѣе «Сборникъ» достоинъ вниманія потому, что при помощи него можно, хотя и не съ достаточною полнотою, ознакомиться съ характеромъ тѣхъ задачъ, которыя предлагаются на выпускныхъ экзаменахъ гимназій и реальныхъ училищъ. И много соображеній возникаетъ при этомъ знакомствѣ. Вотъ нѣкоторыя изъ нихъ.

Разсматривая задачи по алгебрѣ, приходишь къ заключенію, что и теперь, какъ это было и раньше, господствующій типъ этихъ задачъ есть типъ механической смѣси изъ разныхъ отдѣловъ курса, лишенный всякаго замысла, въ родѣ: «Положительную дробь, имѣющую знаменателемъ число въ 55 разъ большее корня ур-ія glg10(£+&) — 0,30103 = = ^ lg10 3—|lgio(^—1)> а числителемъ 6-й членъ возрастающей геометрической прогрессіи, второй членъ которой 6, а третій больше перваго на 16, разложить въ непрерывную дробь, найти 6-ю подходящую и степень ея точности» (г. Нарва)1). И вотъ возникаетъ вопросъ: почему, несмотря

1) Здѣсь, кстати, замѣтимъ: имѣетъ ли смыслъ спрашивать о степени точности 6-й подход. дроби, если возможно сразу же (вычитаніемъ)

на рядъ протестовъ противъ такого типа задачъ (этотъ протестъ приходилось встрѣчать, между прочимъ, и въ рецензіяхъ на алгебраическіе задачники, составляемыхъ для Учен. Комит. Мин. Нар. Просв.), все же и до сихъ поръ ихъ охотно предлагаютъ на выпускныхъ экзаменахъ? Съ одной стороны, ясна ненужность такихъ задачъ для курса математики, а, съ другой стороны, не легко найти отвѣтъ на вопросъ, чѣмъ ихъ замѣнить: если дать задачу, въ которой былъ бы извѣстный замыселъ, извѣстная идея, то нельзя требовать, чтобы этотъ замыселъ былъ открытъ всякимъ экзаменующимся, да еще при экзаменной обстановкѣ, а если дать задачу безъ какого-либо замысла, а просто примѣръ (или задачу), охватывающій лишь небольшой отдѣлъ курса, то не будетъ ли здѣсь и чрезмѣрно облегчена работа экзаменующагося и слишкомъ мало матеріала для оцѣнки работы?

Можно, однако, въ «Сборникѣ» найти слѣды того, что гг. экзаминаторы въ отдѣльныхъ случаяхъ стремятся отойти отъ этого механическаго типа задачъ и предлагаютъ экзаменующимся нѣсколько маленькихъ задачъ (или примѣровъ). Такъ, это было сдѣлано въ Петроградской гимназіи Б. Г. Ягдфельда (задача и два примѣра, одинъ изъ которыхъ, однако, имѣетъ характеръ «смѣси»), въ Рижской гимназіи Императора Николая I (задача и примѣръ), въ Лебединской гимназіи (двѣ задачи, изъ которыхъ первая, однако, является яркимъ образцомъ «механической смѣси»), въ Тверской гимназіи (4 маленькихъ задачи — это наиболѣе удачный примѣръ изъ всего «Сборника»).

Второй, общаго характера, вопросъ возникаетъ по поводу задачъ по геометріи. Дѣйствительно ли слѣдуетъ требовать отъ экзаменующихся чтобы они во время экзамена выказали и ту ясность представленія, какая должна имѣть мѣсто при рѣшеніи многихъ изъ имѣющихся въ «Сборникѣ» задачъ, и тотъ навыкъ въ преобразованіяхъ выраженій, содержащихъ тригонометрическія функціи2), который необходимъ въ громадномъ большинствѣ случаевъ, и, наконецъ, большой навыкъ въ вычисленіяхъ?

Не правильнѣе ли было бы значительно упростить содержаніе предлагаемыхъ на экзаменѣ эадачъ и не лучше ли было бы вмѣсто одной длинной вадачи, для рѣшенія которой необходимы различныя знанія и по геометріи и по тригонометріи, давать нѣсколько маленькихъ задачъ, каждая изъ которыхъ не требуетъ соединенія столь разнообразныхъ знаній? Тогда ошибка геометрическаго ли или вычислительнаго характера въ одномъ какомъ-либо пунктѣ не помѣшала бы экзаменующимся выказать и свое геометрическое развитіе и свой навыкъ въ вычисленіяхъ. И разсматривая содержаніе задачъ по геометріи, предложенныхъ въ различныхъ гимназіяхъ, все болѣе склоняешься къ положительному отвѣту на этотъ вопросъ: необходимо и упростить содержаніе задачъ и разбить всю работу на рядъ отдѣльныхъ (небольшихъ) задачъ. Думается даже, что многія изъ пред-

найти разность между тою дробью (она, вѣдь, раціональна), которая разлагается въ непрерывную, и 6-ю подходящею дробью?

2) Уже много лѣтъ на выпускныхъ письменныхъ экзаменахъ въ гимназіяхъ геометрія соединяется съ тригонометріею.

ложенныхъ задачъ были рѣшаемы экзаменующимися не потому, что они достигли очень высокаго совершенства въ анализѣ всевозможныхъ эадачъ на вычисленіе, относящихся къ геометріи, но потому лишь, что во время, непосредственно предшествующее экзамену, они упражнялись въ рѣшеніи одного опредѣленнаго рода задачъ. Такъ, напр., возможно ли, если не было много предшествующихъ аналогичныхъ упражненій, требовать, чтобы экзаменующійся справился съ тою трудностью, какая имѣется въ задачѣ (Орловская 1-я гимн. 1913 г.): «Опредѣлить объемъ прямой треугольной призмы, описанной около шара, если радіусъ шара г и даны два угла основанія призмы А и В», и которая состоитъ въ необходимости найти по даннымъ задачи какой-либо линейный элементъ основанія? А вѣдь, если экзаменующійся не справится съ этою трудностью, то его работа будетъ оцѣнена неудовлетворительно. Неужели же можно столь второстепенному вопросу придавать столь большое значеніе?

Что касается самого «Сборника», то очень бросается въ глаза нѣкоторая поспѣшность, съ которою онъ изданъ.Очень много опечатокъ, и нѣкоторыя изъ нихъ остались неисправленными, редакція многихъ задачъ крайне странная (быть можетъ въ этомъ повиненъ составитель «Сборника», а возможно, что виновными являются авторы задачъ).

Примѣры. Ha l7 стран. имѣемъ: «Опредѣлить д изъ ур-ія: х2—44ж+^=0, зная, что разность корней этого ур-ія равна 36». Если равенство х2—44#-f-q=0 разсматривается, какъ ур-іе съ неизвѣстнымъ g, то 1) не приходится говорить о разности его корней, а 2) отвѣтъ долженъ былъ бы быть q = kkx—X2.

На той же страницѣ: «Если нерѣшенныхъ (задачъ) было менѣе: (3,1, 6,1,6...)2». Двоеточіе, поставленное здѣсь, способно ввести въ заблужденіе; слѣдуетъ понимать эту фразу такъ: число нерѣшенныхъ задачъ было менѣе числа (3, 1, 6, 1, 6...)2.

На 38 стран.: «Сумма образующей и высоты прямого конуса равна m=\2mt» (оказывается, это надо понимать такъ: т=12 метровъ).

На стран. 86 вмѣсто :z1+lg х = 0,001 3 должно быть xiJ)~lgt(* = 0,001 3.

На стран. 108 и 109 возбуждаетъ сомнѣніе задача № 20 (Московская Шелапутинская 8-я гимназія): Что значитъ шаръ, вписанный въ усѣченный конусъ? если этотъ шаръ долженъ касаться и обоихъ основаній и боковой поверхности усѣч. конуса, то этотъ усѣченный конусъ долженъ обладать нѣкоторыми особенностями, а между тѣмъ задача, начиная съ указанія на усѣченный конусъ вообще, ничего не говоритъ о томъ, что въ него можно вписать шаръ, и вдругъ въ концѣ имѣется «если... радіусъ шара, вписаннаго въ усѣченный конусъ г =5,9 метровъ».

На стран. 119 напечатано «Са3=Са4 = 1 : 18». Вѣроятно, надо Са3 :Са4= = 1 : 18, и т. д. и т. д.

Заслуживаютъ особаго указанія нѣкоторыя задачи:

1) На стран. 54 задача № 24 (Московскій Испытательный комитетъ): «Равнобедренный прямоугольный треугольникъ ABC вращается вокругъ своей гипотенузы ВС. Съ нимъ вращается дуга радіуса AC, равная AD. Найти поверхность и объемъ тѣла, которое получится отъ вращенія

фигуры ABD». Неужели же правда, что такая задача была предложена Московскимъ испытательнымъ комитетомъ? Сказано: «дуга радіуса АС», а центръ этой дуги? затѣмъ: «равная AD»\ что такое ADy тоже дуга или прямолинейный отрѣэокъ? Наконецъ, какая точка названа именемъ D? Разобраться въ этомъ — невозможно.

2) На стран. 120 (предложена въ августѣ 1914 г. при Испытательномъ комитетѣ Московскаго Учебнаго Округа): «Вокругъ прямой призмы, въ основаніи которой лежитъ треугольникъ съ угломъ (надо, вѣроятно, съ углами. H. И.) В и С и периметромъ 2р, описанъ цилиндръ. Черезъ ребро призмы и высоту основанія проведено сѣченіе, которое — квадратъ. Опредѣлить боковую поверхность и вычислить ее».

Опять сомнительно, чтобы задача могла быть дана въ такой формѣ. Здѣсь слишкомъ много неясностей: получается ли квадратъ отъ пересѣченія указанною плоскостью цилиндра или призмы? нужно ли вычислить боковую поверхность призмы или цилиндра?

Если указываемые недостатки происходятъ по винѣ составителя, то къ «Сборнику» не можетъ быть иного, кромѣ отрицательнаго отношенія (Въ чемъ же, въ самомъ дѣлѣ, проявилась работа самого составителя?). Если же оказалось бы (что, впрочемъ, мало вѣроятно), что большинство изъ указанныхъ недоразумѣній имѣли мѣсто на самомъ дѣлѣ при экзаменахъ, то «Сборникъ» былъ бы интересенъ, какъ иллюстрація этихъ недоразумѣній, но въ такомъ случаѣ необходимы были бы примѣчанія составителя, а ихъ (а также никакого предисловія) нѣтъ.

Н. Извольскій.

Редакторъ-Издатель H. А. Извольскій.

Типографія Г. Лисснера H Д. Собко. Москва, Воздвиженка, Крестовоздвиженскій пер., д. Ni 9.

[Объявления]

[Объявления]

[Объявления]

[Объявления]

[Объявления]