Математическій Вѣстникъ.

Журналъ, посвященный вопросамъ преподаванія ариѳметики и началъ алгебры и геометріи.

№ 4.

Декабрь 1914 г.

МОСКВА.

[Объявления]

Математическій Вѣстникъ.

№ 4. Декабрь 1914 г.

Адресъ редакціи: Москва, Гороховскій пер., д. 23, кв. 9. Тел.3-19-55.

Содержаніе: Н. Извольскій. Мой взглядъ на предметъ геометріи. — Д. Волковскій. Особенности области чиселъ отъ 1 до 20. — Письма въ редакцію: I. Л. Ѳ. Риса; II. М. А. Добровольскаго. — Н. Извольскій. По поводу письма г. Добровольскаго. — Хроника. (Пятидесятилѣтіе «Педагогическаго Сборника»). — Свѣдѣнія о новыхъ книгахъ по математикѣ и ея методикѣ (Л. С. Севастьяновъ. Новый задачникъ по ариѳметикѣ. — Книги, поступившія въ редакцію). — Исправленіе. — Объявленія.

Мой взглядъ на предметъ геометріи.

Ставится ли вопросъ о томъ, какъ слѣдуетъ вести обученіе геометріи въ средней школѣ, въ городскихъ училищахъ, или о томъ, какъ знакомить дѣтей съ началами геометріи въ начальныхъ школахъ или въ младшихъ классахъ среднихъ учебныхъ заведеній, необходимо въ основу рѣшенія поставленнаго вопроса положить опредѣленный взглядъ на самый предметъ геометріи: на тотъ матеріалъ, надъ которымъ эта наука работаетъ, на тѣ методы, которыми ведется эта работа, на ту послѣдовательность, въ которой накопляются геометрическія знанія. Возможны, вѣроятно, различные взгляды на предметъ геометріи, и каждый изъ нихъ долженъ направить обученіе геометріи по тому руслу, которое соотвѣтствуетъ именно этому взгляду. Но если не будетъ въ основу обученія положенъ опредѣленный взглядъ, то все обученіе будетъ построено на пескѣ, и польза отъ такого обученія геометріи крайне сомнительна. Между тѣмъ во многихъ случаяхъ это послѣднее

обстоятельство имѣетъ мѣсто (оно замѣчается также во многихъ руководствахъ по геометріи), благодаря чему учащіеся долгое время не представляютъ вовсе того, о чемъ говоритъ рядъ изучаемыхъ ими теоремъ, нѣкоторые изъ учащихся такъ и остаются при туманныхъ представленіяхъ объ углѣ, площади и т. п. Возьмемъ для примѣра понятіе «уголъ». Благодаря тому, что въ началѣ обученія иногда довольствуются лишь фразою въ родѣ «двѣ полупрямыя, исходящія изъ одной точки, образуютъ уголъ», для учащихся это понятіе остается крайне туманнымъ: не то это часть плоскости, не то какой-то наклонъ (?) двухъ полупрямыхъ, не то еще что-либо.

Въ настоящей статьѣ я излагаю свои взглядъ на предметъ геометріи, какимъ я руководствуюсь при обученіи геометріи. Конечно, проведеніе этого взгляда на практикѣ принимаетъ различныя формы, въ зависимость отъ того, съ какимъ составомъ учащихся приходится имѣть дѣло: если приходится имѣть дѣло уже съ людьми, прошедшими курсъ геометріи въ средней школѣ, то имъ я считаю необходимымъ съ самаго начала изложить свой взглядъ на предметъ геометріи, которымъ направляется вся дальнѣйшая работа; если приходится имѣть дѣло съ учащимися IV—V классовъ средней школы, то имъ сообщаются лишь отдѣльные пункты этого взгляда, но зато все преподаваніе ставится такъ, чтобы привить учащимся такой же взглядъ; если приходится имѣть дѣло съ дѣтьми начальной школы, то имъ уже вовсе не приходится непосредственно сообщать этого взгляда, а приходится лишь этимъ взглядомъ направлять все дѣло преподаванія. Замѣчу, что я вовсе не считаю, что тотъ взглядъ, къ изложенію котораго я теперь приступаю, является единственно правильнымъ, я лишь думаю, что онъ достаточно обоснованъ и что его примѣненіе къ дѣлу преподаванія должно принести благіе результаты. Наконецъ замѣчу, что было бы крайне желательно, чтобы авторъ каждаго учебника геометріи или руководства по методикѣ геометріи начиналъ свою книгу именно съ изложенія того взгляда, которымъ направляется все дальнѣйшее содержаніе этого учебника или руководства.

Тотъ взглядъ, къ изложенію котораго я сейчасъ приступаю, принялъ достаточно отчетливую форму подъ вліяніемъ чтенія книги Г. Пуанкаре: «Наука и методъ» изданіе

Mathesis, Одесса, на которую обращаю вниманіе читателей.

Всякая наука имѣетъ дѣло съ фактами. Каждая изъ наукъ выбираетъ для себя опредѣленный рядъ фактовъ, который и составляетъ тотъ матеріалъ, надъ которымъ эта наука работаетъ. Такъ, для астрономіи существованіе каждой отдѣльной звѣзды есть фактъ, подлежащій ея вѣдѣнію, для исторіи матеріаломъ являются тѣ факты, въ которыхъ какълибо отразились отдѣльные моменты развитія человѣчества, и т. п. Такъ же точно и геометрія выдѣлила для себя опредѣленный рядъ фактовъ, который и составляетъ тотъ матеріалъ, надъ которымъ она работаетъ. Этотъ матеріалъ всѣмъ знакомъ, хотя бы лишь по имени, а именно это — точки, линіи, поверхности, пространство. Сейчасъ же возникаетъ вопросъ о томъ, какъ возникъ этотъ матеріалъ геометріи. Несомнѣнно, каждое знаніе имѣетъ первоисточникомъ опытъ и наблюденіе. Обратимся же къ этому первоисточнику для рѣшенія поставленнаго вопроса. Вотъ рядъ простѣйшихъ наблюденій, которыя, быть можетъ, и были причиною возникновенія матеріала геометріи. Всѣмъ извѣстно слѣдующее наблюденіе: если мы стоимъ на открытомъ мѣстѣ, мы видимъ, что будто небо сходится съ землею, мы видимъ ту границу (мы ее называемъ линіею горизонта), которая будто бы отдѣляетъ небо отъ земли; однако, нѣтъ возможности подойти къ этой границѣ вплотную, нельзя, когда такое желаніе появляется иногда у дѣтей, добѣжать до этой границы. Далѣе, еще одно наблюденіе: если передъ нами рѣка съ песчаными берегами, мы видимъ границу, отдѣляющую воду отъ берегового песка (береговая линія), мы ее видимъ, можемъ подойти къ ней вплотную, но не можемъ отдѣлить ее отъ берега и рѣки. Вотъ еще опытъ: возьмемъ листокъ бѣлой бумаги и часть его закрасимъ различными красками,—получимъ, напримѣръ, красную, черную, желтую и бѣлую области. Мы видимъ здѣсь границы между областями различныхъ цвѣтовъ, но желаніе получить эту границу отдѣльно ни къ чему не приведемъ: мы можемъ вырѣзать тонкую полоску изъ этого листа такъ, чтобы на ней осталась, напр., только тонкая часть красной области, или тонкая часть только бѣлой, или и той и другой вмѣстѣ, но мы не можемъ вырѣзать эту полоску

такъ, чтобы вовсе не осталось ни красной, ни бѣлой области, а осталась бы лишь одна граница между ними. Но наша мысль не останавливается передъ этимъ, и, несмотря на невозможность отдѣльнаго матеріальнаго существованія этой границы-линіи, мы признаемъ для себя возможнымъ мыслить линіи отдѣльно существующими. Разъ такое признаніе сдѣлано, то для нашего сознанія существованіе каждой линіи является фактомъ, однимъ изъ тѣхъ, которые подлежатъ вѣдѣнію геометріи. Совершенно такъ же можно указать рядъ наблюденій или опытовъ, гдѣ мы могли бы наблюдать границы между отдѣльными частями линіи, — мы называемъ ихъ точками. Такъ, можно листокъ бѣлой бумаги раскрасить такъ, чтобы граница, ѳтдѣляющая бѣлую область листка отъ цвѣтной, раздѣлялась на части: одна отдѣляетъ бѣлую отъ красной, другая — бѣлую отъ черной, третья — бѣлую отъ желтой. Мы видимъ каждую изъ этихъ границъ-точекъ, но получить отдѣльно каждую изъ нихъ мы не можемъ. Несмотря на это, наша мысль также признаетъ возможнымъ мыслить точки, какъ отдѣльно, самостоятельно существующими, и для нашего сознанія существованіе каждой точки является фактомъ, который мы также относимъ къ области геометріи. Далѣе, мы видимъ, напр., поверхность стѣны (т.-е. границу, отдѣляющую тотъ матеріалъ, изъ котораго сложена стѣна, отъ чего-то другого); мы не можемъ эту поверхность отдѣлить отъ стѣны (станемъ ломать стѣну, вмѣстѣ съ нею исчезаетъ и ея поверхность), но опять-таки признаемъ возможнымъ мыслить эту поверхность, какъ самостоятельно существующую. Такимъ образомъ существованіе каждой поверхности для нашего сознанія является фактомъ, и этотъ фактъ мы относимъ къ области геометріи. Наконецъ, мы еще признаемъ существованіе пространства.

Всѣ линіи, точки, поверхности, существованіе которыхъ наша мысль признала, матеріально въ природѣ не существуютъ. Такъ, существуетъ вода и берегъ, но береговая линія въ отдѣльности не существуетъ. Отсюда мы должны признать, что опытъ и наблюденіе были лишь первоисточникомъ, который повлекъ за собою созданіе нашимъ сознаніемъ и линій и точекъ и поверхностей, и мы приходимъ къ общему заключенію, что человѣческій геній самъ, подъ вліяніемъ

лишь опыта и наблюденія, создалъ тотъ матеріалъ, надъ ко торымъ работаетъ геометрія, создалъ съ цѣлью лучше разобраться при его помощи во всемъ окружающемъ.

Опираясь на тѣ же наблюденія и опыты, мы создаемъ образы точекъ, линій и поверхностей: мы можемъ воображать точки, линіи и поверхности.

Далѣе, и это имѣетъ мѣсто во всякой наукѣ, мы приступаемъ къ классификаціи того матеріала, который отнесенъ нами къ вѣдѣнію геометріи. Однимъ изъ важнѣйшихъ шаговъ классификаціи является выдѣленіе тѣхъ фактовъ, которые почему-либо представляются намъ простѣйшими. Прежде всего мы признаемъ, что среди точекъ, а мы можемъ вообразить и мыслить ихъ сколь угодно много, нѣтъ различія, и мы относимъ ихъ къ категоріи простѣйшихъ геометрическихъ фактовъ. При этомъ мы несомнѣнно руководимся тѣмъ образнымъ представленіемъ точки, которое создало наше воображеніе подъ вліяніемъ вышеупомянутыхъ наблюденій и опытовъ. Далѣе, подобное же образное представленіе линій заставляетъ насъ признать существованіе различія между отдѣльными линіями, и мы хотимъ изыскать изъ нихъ тѣ, которыя по какимъ-либо признакамъ могутъ быть нами признанія за простѣйшія. На помощь опять приходитъ опытъ.

Мы воображаемъ какую угодно линію АСВ, закрѣпляемъ ее въ двухъ точкахъ*) А и В и вращаемъ эту линію АСВ около этихъ двухъ точекъ. Тогда вращаясь линія остается такою же (не мѣняетъ свою форму)**), но занимаетъ безчисленное множество различныхъ положеній (одно изъ нихъ дано на чертежѣ — ADB). Этотъ опытъ позволяетъ поставить вопросъ: быть можетъ, возможенъ случай,

Черт. 1.

*) Признаніе того, что на линіи расположено безконечно много точекъ, покоится или на ихъ образномъ представленіи или является результатомъ логической работы, исходнымъ пунктомъ которой является положеніе, что линію возможно вообразить раздѣленной на части (см. выше), и точка есть граница между двумя частями линіи.

**) Слѣдуетъ имѣть въ виду, что здѣсь идетъ рѣчь объ опытѣ; слѣдовательно имѣемъ въ сущности дѣло не съ линіею АСВ, а съ ея матеріальнымъ воспроизведеніемъ.

когда линія АСВ, вращаясь вокругъ точекъ А и В, не мѣняетъ своего положенія въ пространствѣ? Наше воображеніе согласно отвѣтить на этотъ вопросъ утвердительно, хотя опытъ съ матеріальными моделями линій въ сущности такого отвѣта не даетъ. Разъ мы признали возможность этого особаго случая линіи (пусть на чертежѣ она есть АMB), то мы эту особую линію выдѣляемъ изъ остальныхъ, признаемъ ее простѣйшею и называемъ прямою линіею.

Совершенно такъ же опытъ приводитъ насъ къ признанію существованія простѣйшей поверхности, которую называемъ плоскою поверхностью или плоскостью. Этотъ опытъ общеизвѣстенъ, а поэтому лишь кратко напомню его. Поверхности предметовъ имѣютъ неровности; чтобы увидать ихъ, надо приложить ребро линейки, которое по возможности приближается къ прямой линіи (мы уже вѣдь пришли къ признанію существованія прямой линіи) и смотрѣть на свѣтъ. Опять возникаетъ вопросъ, не возможна ли такая поверхность, чтобы у нея вовсе подобныхъ неровностей не оказалось? Наше воображеніе опять отвѣчаетъ на этотъ вопросъ утвердительно и признаетъ такимъ образомъ существованіе плоскости.

Слѣдуетъ замѣтить, что помимо опыта нѣтъ средствъ выдѣлить изъ линій и поверхностей простѣйшія. Вѣдь наблюденіе и опыть привели насъ къ созданію геометрическихъ линій и поверхностей, они же должны намъ дать средство и выдѣлить простѣйшія линіи и поверхности. Итакъ, матеріалъ, надъ которымъ работаетъ геометрія, установленъ. Въ дальнѣйшемъ работа можетъ опираться на образное представленіе точекъ, линій (въ частности прямой линіи), поверхностей (въ частности плоскости), которое сложилось у насъ подъ вліяніемъ тѣхъ наблюденій и опытовъ, которые повлекли за собою созданіе этого геометрическаго матеріала. Однако возможно дать и иное направленіе этой работѣ, а именно возможно попытаться выразить въ словесной формѣ тѣ соотношенія, которымъ должны удовлетворять созданныя нами (подъ вліяніемъ опыта и наблюденій) линіи, точки, поверхности и особенно простѣйшія изъ нихъ, т.-е. точки, прямыя линіи и плоскости. Тогда мы получили бы рядъ аксіомъ и въ дальнѣйшемъ могли бы вовсе отказаться отъ образнаго представленія линій, точекъ

и поверхностей, а положить въ основу дальнѣйшей работы эти аксіомы. Такое направленіе въ развитіи геометріи носитъ названіе аксіоматическаго. Въ послѣднія два десятилѣтія появилось много работъ въ этомъ направленіи, но въ сущности еще далеко не выяснился вопросъ, удалось ли авторамъ этихъ работъ вовсе отказаться отъ какого-либо образнаго представленія геометрическихъ элементовъ.

Такое аксіоматическое направленіе можетъ-быть слѣдуетъ признать за новую науку, и уже во всякомъ случаѣ оно не можетъ быть проведено въ курсѣ средней школы. Поэтому въ дальнѣйшемъ оставляю это направленіе въ сторонѣ.

Надъ тѣмъ матеріаломъ, который отнесенъ къ вѣдѣнію какой-либо науки, выполняется работа, которую мы назовемъ именемъ «комбинаціонная работа»: изъ отдѣльныхъ фактовъ строится рядъ комбинацій, эти комбинаціи разучиваются, изыскиваются среди нихъ тѣ, которыя почему-либо представляются намъ интересными, почему-либо обращаютъ на себя вниманіе, почему-либо выдѣляются изъ ряда другихъ комбинацій. И такая комбинаціонная работа имѣетъ мѣсто не только въ области науки, но и въ области искусства, и въ области практической дѣятельности. Музыкальная пьеса, напримѣръ, въ сущности представляетъ изъ себя развитіе какой-либо комбинаціи музыкальныхъ тоновъ, которая почему-либо показалась композитору достойною, чтобы выдѣлить ее изъ ряда другихъ комбинацій.

Но одна и рядъ отдѣльныхъ комбинацій, изъ которыхъ каждая представляется достойною, чтобы выдѣлить ее изъ множества другихъ, для науки даетъ еще очень мало. Другое дѣло, если будетъ построенъ рядъ комбинацій, среди которыхъ будетъ подмѣчена опредѣленная аналогія, — тогда мы имѣемъ законъ.

Геометрія въ своемъ развитіи идетъ тѣмъ же путемъ, какъ и всякая другая наука, также строитъ рядъ комбинацій, изыскиваетъ ихъ особенности, подмѣчаетъ аналогіи между ними, — идетъ путемъ комбинаціонной работы. Порядокъ, въ которомъ строятся изучаемыя комбинаціи, можетъ выясниться изъ ряда слѣдующихъ соображеній.

Мы должны прежде всего обратить вниманіе на простѣйшіе факты, относящіеся къ области геометріи, и изъ нихъ

строить комбинаціи. Эти простѣйшіе факты суть точки, прямыя линіи и плоскія поверхности. Существованіе ихъ нами признано. Но этого мало; чтобы изъ нихъ строить комбинаціи, необходимо признать, что мы умѣемъ осуществлять точки, прямыя линіи, плоскости. Это признаніе составляетъ основной постулатъ геометріи. Итакъ, мы признаемъ:

Мы умѣемъ осуществлять точки, прямыя линіи и плоскости.

Пусть это признаніе — фикція: вѣдь нельзя осуществить того, что не имѣетъ отдѣльнаго матеріальнаго существованія. Но эта фикція неизбѣжна. Безъ этого признанія мы были бы безсильны выполнить дальнѣйшую работу, которая должна состоять, какъ уже это выяснено, въ построеніи ряда комбинацій.

Итакъ, основной постулатъ геометріи говоритъ о возможности осуществлять точки, прямыя линіи и плоскости. Возникаетъ вопросъ, какое толкованіе слѣдуетъ придать слову «осуществлять». Было уже замѣчено, что лишь въ самое послѣднее время появляются работы по геометріи, стремящіяся вовсе отказаться отъ образнаго представленія, — въ этихъ работахъ слово «осуществлять» понимается лишь въ смыслѣ «мыслить существующими». Такъ какъ, какъ уже было замѣчено, возникаетъ съ одной стороны сомнѣніе, удалось ли авторамъ этихъ работъ отказаться вовсе отъ образнаго представленія, а съ другой стороны такой отказъ вовсе невозможенъ для цѣлей обученія геометріи, то мы станемъ понимать слово «осуществлять» въ томъ смыслѣ, что 1) у насъ имѣется опредѣленный образъ и для точки и для прямой линіи и для плоскости — мы можемъ «воображать» точки, прямыя линіи, плоскости, 2) мы можемъ подражать этимъ образамъ при помощи моделей и при помощи черченія. Смотря по развитію учащихся мы можемъ или пользоваться моделями или черченіемъ, или, наконецъ, только воображеніемь. Однако, слѣдуетъ имѣть въ виду, что, напр., палочка, служащая моделью прямой линіи, или начерченная на бумагѣ по линейкѣ «прямая линія», суть лишь модель и изображеніе того образа, которымъ мы владѣемъ и который называется прямою линіею, а вовсе не сама прямая линія.

Переходимъ къ построенію самихъ комбинацій: сначала приходится итти какъ бы ощупью, комбинируя лишь простѣйшіе геометрическіе элементы и разсматривая ихъ съ цѣлью

увидать, не получилось ли какой-либо достойной вниманія особенности; въ дальнѣйшемъ, при усложненіи комбинацій, могутъ возникнуть для построенія новыхъ опредѣленныя цѣли, опредѣленныя руководящія идей.

При разсмотрѣніи ряда осуществленныхъ комбинацій .недостаточно подмѣтить лишь ту особенность, которая имѣетъ мѣсто для одной опредѣленной комбинаціи, необходимо .еще, построивъ рядъ аналогичныхъ комбинацій, убѣдиться въ необходимости существованія подмѣченной особенности у всякой изъ этого ряда аналогичныхъ комбинацій: если мы выяснимъ необходимость этой особенности, то геометрія будетъ обладать знаніемъ, форма выраженія котораго такова: если мы построимъ комбинацію по такому-то плану, то для нея необходимо имѣетъ мѣсто такая-то особенность; если же выяснится, что найденная особенность имѣетъ лишь случайный характеръ, т.-е. справедлива лишь для одной (или для нѣсколькихъ) изъ комбинацій, а не для всѣхъ построенныхъ по опредѣленному плану, то мы или вовсе отбрасываемъ эту особенность, какъ не существенную для геометрическаго знанія, или изыскиваемъ, какъ надо пополнить планъ осуществленія комбинацій, чтобы эта особенность всегда имѣла мѣсто. Вотъ примѣры. Въ извѣстный моментъ развитія комбинаціонной работы мы приходимъ къ необходимости изучать комбинаціи, построенныя по слѣдующему плану: 1) строимъ 2 параллельныхъ прямыхъ, 2) строимъ еще двѣ параллельныхъ прямыхъ, но не параллельныхъ первымъ (мы называемъ комбинацію, построенную по такому плану, именемъ «параллелограммъ»)*). Осуществивъ (построивъ) нѣсколько (одинъ, два) параллелограммовъ, мы можемъ обратить вниманіе, что на чертежѣ выходитъ, будто бы діагонали параллелограмма дѣлятъ другъ другъ пополамъ. Мы обращаемъ вниманіе на это обстоятельство и, изучая его, приходимъ къ убѣжденію, что оно справедливо для всякаго параллелограмма. Это изученіе, опираясь на рядъ уже изученныхъ фактовъ, ведется при помощи непосредственнаго представленія и при помощи логи-

*) Отсюда уже видно (въ дальнѣйшемъ это будетъ пояснено), что слѣдуетъ отказаться отъ взгляда на параллелограммъ, который имѣетъ мѣсто въ часто встрѣчающемся опредѣленіи: параллелограммъ есть часть плоскости, ограниченная четырьмя, попарно параллельными, прямыми.

ческаго разсужденія: мы можемъ, напримѣръ, подмѣтить, что точка пересѣченія діагоналей параллелограмма служитъ его центромъ симметріи, т.-е. если повернуть параллелограммъ около этой точки на полъ-оборота, то новое расположеніе параллелограмма совпадаетъ съ прежнимъ, отсюда и вытекаетъ свойство, что діагонали въ этой точкѣ дѣлятся пополамъ. Возможно, что, построивъ какой-либо параллелограммъ, мы увидимъ, что его діагонали оказались равными между собою. Мы подвергаемъ это обстоятельство изученію и приходимъ къ заключенію, что для всякаго параллелограмма это обстоятельство не имѣетъ мѣста; чтобы оно наступило, надо построить особый параллелограммъ (пополнить вышеуказанный планъ построенія), а именно надо, чтобы вторая пара параллельныхъ прямыхъ была перпендикулярна къ первой. Возможно, наконецъ, что мы построимъ случайно параллелограмъ такъ, что одна изъ его діагоналей представится вдвое больше второй; убѣдившись, что это обстоятельство можетъ имѣть мѣсто лишь для особыхъ параллелограммовъ и не признавая его достойнымъ особаго изученія, мы его попросту отбрасываемъ.

Этотъ же примѣръ указываетъ и на тотъ методъ, которымъ работаетъ геометрія: мы признаемъ, что пріобрѣли нѣкоторое геометрическое знаніе тогда, когда убѣдимся въ необходимости какого-либо геометрическаго свойства для всякой комбинаціи, построенной согласно опредѣленному плану, при чемъ это убѣжденіе составляется у насъ и благодаря нашей способности непосредственнаго представленія тѣхъ геометрическихъ комбинацій (мы ихъ называемъ «фигурами»), которыя мы признаемъ возможнымъ осуществить, и благодаря нашей способности къ логическому мышленію.

Слѣдуетъ отмѣтить, что, въ согласіи со всѣмъ вышеизложеннымъ логика является лишь орудіемъ (да и то не единственнымъ) для пріобрѣтенія геометрическихъ знаній, а вовсе не цѣлыо изученія геометріи, какъ это, къ сожалѣнію, иногда намѣчается въ нѣкоторыхъ учебныхъ планахъ по геометріи.

Необходимо еще прослѣдить нѣсколько развитіе комбинаціонной работы въ области геометріи, съ цѣлью 1) выясненія постепенности развитія геометрическихъ знаній и 2) установленія опредѣленнаго взгляда на отдѣльные геометрическіе объекты.

Сначала разсматриваемъ комбинаціи изъ прямой линіи (прямую линію мы воображаемъ безконечною) и точки. Мы не замѣчаемъ здѣсь чего-либо особеннаго до тѣхъ поръ, пока не выбираемъ точку на прямой линіи. При разсмотрѣніи послѣдней комбинаціи (прямая линія и на ней точка) мы замѣчаемъ одну особенность: прямая линія дѣлится этою точкою на двѣ части, каждую изъ которыхъ называемъ (къ сожалѣнію, это недостаточно распространено) лучомъ. Если эту точку передвигать по прямой линіи, то при всякомъ ея положеніи мы получаемъ два луча и чего-либо особеннаго здѣсь не замѣчаемъ. Поэтому переходимъ къ болѣе сложной комбинаціи:

прямая линія и на ней двѣ точки. Здѣсь мы замѣчаемъ, что прямая линія раздѣлилась на 3 части, двѣ изъ нихъ уже знакомые намъ лучи, а третья носитъ названіе отрѣзокъ (полнѣе: прямолинейный отрѣзокъ). Слѣдуетъ въ дальнѣйшемъ строго придерживаться этой терминологіи: подъ именемъ «прямая линія» понимать безконечную прямую, а подъ именемъ «отрѣзокъ» — ея часть, ограниченную двумя точками. Передвигая наши двѣ точки по прямой (какъ угодно: въ одномъ направленіи или въ противоположныхъ), мы всякій разъ получаемъ ту же картину: 2 луча и отрѣзокъ, особеннаго же чего-либо мы здѣсь не замѣчаемъ. Поэтому переходимъ къ даль-

Черт. 2.

нѣйшему развитію комбинацій. Здѣсь возникаетъ руководящая мысль: мы разсмотрѣли комбинацію,—состоящую изъ прямой линіи и двухъ, расположенныхъ на ней, точекъ; нельзя ли получить комбинацію обратную этой, т.-е. точку и двѣ прямыя черезъ нее проходящія? Осуществленіе этой комбинаціи не можетъ затруднить; разсматривая ее мы замѣчаемъ нѣкоторую симметрію въ ея строеніи и поэтому сначала изучаемъ лишь часть этой фигуры, а именно точку и два исходящихъ изъ нея луча (см. чертежъ 2). Мы называемъ эту комбинацію именемъ «уголъ». Итакъ, подъ этимъ именемъ «уголъ» мы понимаемъ не часть плоскости, не наклонъ (?) двухъ прямыхъ, а именно фигуру-комбинацію, составленную изъ двухъ лучей, исходящихъ изъ одной точки. Подобно тому какъ, изучая комбинацію, состоящую изъ прямой и двухъ точекъ на ней, мы передвигали точки по прямой, теперь мы, изучая уголъ, должны вращать лучи (стороны угла) около точки (вершины угла). Но здѣсь появляется особенность, которой мы не имѣли при изученіи отрѣзка, а именно при вращеніи сторонъ угла можетъ наступить моментъ, когда лучи располагаются по одной прямой (одинъ лучъ служитъ продолженіемъ другого): мы получаемъ здѣсь особый уголъ (вѣдь подъ именемъ «уголъ» мы понимаемъ комбинацію, состоящую изъ двухъ лучей, исходящихъ изъ одной точки, а такая комбинаціи имѣется и здѣсь, точка О (см. чертежъ 3) и лучи OA и OB), который и слѣдуетъ назвать Л О В особымъ именемъ, — называютъ этотъ особенный уголъ выпрямленнымъ угломъ. Слѣдуетъ добавить, что выпрямленный уголъ является единственнымъ угломъ, обладающимъ особыми признаками, выдѣляющими его изъ остальныхъ.

Черт. 3.

Далѣе возникаетъ стремленіе, постоянно имѣющее мѣсто въ математикѣ, установить возможность различать большій изъ двухъ отрѣзковъ или угловъ, равные отрѣзки и углы, находить сумму двухъ отрѣзковъ или угловъ.

Для того чтобы это выполнить, надо изобрѣсти какой-либо пріемъ, который давалъ бы отчетливые признаки для возможности отличать большій отрѣзокъ или уголъ отъ меньшаго, или устанавливать равенство двухъ отрѣзковъ, двухъ угловъ.

Такимъ пріемомъ является тотъ, который извѣстенъ подъ именемъ «наложеніе». Однако здѣсь возникаетъ существенное отличіе между отрѣзками и углами. Въ то время, какъ пріемъ наложенія даетъ для отрѣзковъ сразу же требуемые признаки, онъ не даетъ такихъ признаковъ для угловъ, если не присоединить къ фигурѣ «уголъ» чего-либо еще. Такое присоединеніе само собою напрашивается: къ фигурѣ «уголъ» мы пришли изъ разсмотрѣнія комбинаціи, состоящей изъ точки и двухъ, проходящихъ черезъ нее, прямыхъ; но такія двѣ прямыя опредѣляютъ плоскость, — остается и эту плоскость присоединить къ углу. Итакъ, мы приходимъ къ мысли о необходимости разсматривать для каждаго угла его плоскость; для выпрямленнаго угла мы можемъ выбрать плоскость произвольно одну изъ тѣхъ, которыя проходятъ черезъ прямую, на которой располагаются стороны выпрямленнаго угла, а для невыпрямленнаго угла эта плоскость вполнѣ опредѣлена. Далѣе мы непосредственно видимъ, что каждый уголъ дѣлитъ свою плоскость на двѣ области, мы можемъ одну изъ нихъ (какую — безразлично) назвать внутреннею областью угла, а другую — внѣшнею.

Такъ какъ безразлично, какую изъ двухъ областей принять за внутреннюю, то, осуществивъ комбинацію: точка и изъ нея два луча, мы приходимъ теперь къ необходимости признать, что здѣсь имѣются два угла, стороны и вершины которыхъ совпадаютъ, но внутреннія области которыхъ различны. На черт. 4-мъ у одного угла вершина О, стороны OA и OB и внутреннею областью служитъ затушеванная часть плоскости. У другого угла вершина и стороны тѣ же самыя, но внутреннею областью служитъ незатушеванная часть плоскости. Теперь, для установленія возможности отличать равные углы или большій отъ меньшаго, мы можемъ воспользоваться, какъ это принято, внутреннею областью каждаго угла: накладывать одинъ уголъ на другой надо такъ, чтобы внутренняя область одного угла пошла по внутренней области другого, и тогда по расположено внутреннихъ областей угловъ является возможнымъ уста-

Черт. 4.

новить, когда мы считаемъ два угла равными, когда одинъ уголъ больше другого. Не будемъ останавливаться на возможности обобщенія понятія объ углѣ.

Теперь, какъ для отрѣзковъ, такъ и для угловъ, мы безъ труда находимъ пріемъ, дающій намъ возможность установить представленіе о суммѣ двухъ угловъ или отрѣзковъ, а также и объ ихъ разности.

Комбинаціонная работа здѣсь даетъ возможность установить нѣсколько особенностей (смежные углы, вертикальные углы).

Разсмотрѣніе дальнѣйшихъ комбинаціи можетъ итти въ различныхъ направленіяхъ. Разсмотримъ два изъ нихъ: 1) Мы разсматривали двѣ прямыя, проходящія черезъ одну точку или, другими словами, двѣ пересѣкающихся прямыхъ. Поэтому можетъ возникнуть вопросъ вообще о комбинаціяхъ, состоящихъ изъ двухъ прямыхъ: нѣтъ ли какой-либо особой среди такихъ комбинацій,—мы приходимъ къ признанію существованія комбинаціи двухъ непересѣкающихся прямыхъ, т.-е. къ двумъ параллельнымъ прямымъ. Тогда должно быть поставлено на очередь изученіе параллельныхъ прямыхъ.

2) Мы можемъ, послѣ разсмотрѣнія комбинаціи, состоящей изъ двухъ прямыхъ и точки ихъ пересѣченія, усложнить эту комбинацію и присоединить сюда еще третью прямую, пересѣкающую двѣ первыхъ. Такимъ образомъ мы получаемъ комбинацію, состоящую изъ трехъ прямыхъ, пересѣкающихся въ трехъ точкахъ, приходимъ другими словами къ изученію треугольниковъ (или трехсторонниковъ). Развитіе комбинацій въ томъ же направленіи ведетъ къ изученію многоугольниковъ (или многосторонниковъ).

Я не буду останавливаться здѣсь на развитіи вопросовъ, связанныхъ съ построеніемъ многоугольниковъ или многосторонниковъ, такъ какъ желающіе ознакомиться съ этимъ отдѣломъ геометріи могутъ найти изложеніе этого развитія или въ моей «Геометріи на плоскости» или въ моемъ «Начальномъ курсѣ геометріи». Замѣтимъ лишь, что въ согласіи съ предыдущимъ слѣдуетъ подъ именемъ многоугольниковъ понимать не «часть плоскости», а совокупность нѣсколькихъ точекъ (не расположенныхъ по 3 на одной прямой), вмѣстѣ съ попарно соединяющими ихъ прямыми (со всѣми или лишь съ избранными): въ самомъ дѣлѣ, для полученія многоугольника мы

должны именно изъ того матеріала, надъ которымъ работаетъ геометрія, взять нѣсколько точекъ такъ, чтобы никакія 3 изъ нихъ не были расположены на одной прямой, и построить еще прямыя, соединяющія ихъ попарно, или каждую точку съ каждой (тогда получаемъ полный многоугольникъ), или каждую точку со слѣдующей за нею, для чего долженъ быть намѣченъ порядокъ точекъ (здѣсь получаемъ простой многоуг-къ). Если окажется, что послѣ построенія многоуг-ка изъ плоскости (мы говоримъ лишь о плоскихъ многоугольникахъ) выдѣлится опредѣленная часть, то мы можемъ и на нее обратить вниманіе и дать ей названіе «площадь многоугольника).

Я закончу настоящую статью замѣчаніемъ, что въ сущности все содержаніе курса геометріи покоится на изученіи постепенно усложняющихся комбинацій, осуществленіе которыхъ направляется или какою-либо направляющею мыслью или какою-либо опредѣленною цѣлью.

Н. Извольскій.

Особенности области чиселъ отъ 1 до 20.

Почему слѣдуетъ выдтѣлять въ особый концентръ числа второго десятка. — Какія дѣйствія надо изучать въ этой области.— Что должно раньше изучать — «круглые десятка до ста» или «область чиселъ отъ 1 до 20».

Вопросъ о выдѣленіи въ особый концентръ области чиселъ отъ 1 до 20 методистами рѣшается различно: одни изъ нихъ считаютъ это выдѣленіе необходимымъ; другіе не производятъ этого выдѣленія; третьи, хотя и выдѣляютъ, однако признаютъ это выдѣленіе «не существенно важнымъ»1). Большинство методистовъ какъ иностранныхъ, такъ и русскихъ производятъ это выдѣленіе, особенно же стояли и стоятъ за это выдѣленіе нѣмецкіе методисты; однако въ послѣднее время двое изъ нѣмецкихъ методистовъ Вилькъ (Wilk)2) и Гаазе (Haase)3) выступили противъ этого выдѣленія, находя, что это выдѣленіе будто бы не соотвѣтствуетъ десятич-

1) Беллюстинъ, В., Методика ариѳметики. Ч. I, 1908 г., стр. 15.

2) Dr. Е. Wilk, Das Rechnen der Volksschulen. 4. Lehrerheft. 1909. Его же, Das Rechnen der Volksschule. 1. Schülerheft.

3) H. Haase, Zur Methodik des ersten Rechenunterrichts. Dritte Auflage. 1911.

ной системѣ счисленія, которая должна лечь въ основу распредѣленія чиселъ по группамъ1).

Мы лично выдѣленіе чиселъ второго десятка въ особый концентръ считаемъ существенно важнымъ и необходимымъ, разъ держимся концентрическаго расположенія курса ариѳметики въ начальной школѣ.

Основанія для этого слѣдующія:

Во-первыхъ, этимологическое: названія чиселъ перваго десятка — простыя, коренныя слова, а названія чиселъ второго десятка составныя, производныя. Названіе этихъ чиселъ — ихъ составъ и ихъ связь съ названіемъ чиселъ перваго десятка должно быть объяснено дѣтямъ, если только мы желаемъ, чтобы дѣти сознательно усвоили эти названія.

Къ тому же сознательное усвоеніе этихъ названій, вопреки мнѣнію нѣкоторыхъ методистовъ, не представляетъ затрудненія для дѣтей, если только вести это умѣло.

Указанное основаніе, хотя и весьма важное, но недостаточно, ибо и названія полныхъ десятковъ, равно какъ названія и послѣдующихъ за вторымъ десяткомъ чиселъ, начиная съ 21, тоже составныя. Поэтому должно найти другое основаніе. Такое основаніе кроется въ нумераціи чиселъ второго десятка.

Будучи составными, эти названія представляютъ собою особенность сравнительно съ послѣдующими составными числами первой сотни въ томъ отношеніи, что въ числахъ второго десятка (отъ 11 до 19 включительно) названіе единицъ стоитъ рантъе названіе десятковъ (одинъ-на-дцатъ, двѣ-на-дцатъ..., девят-на-дцать) и при томъ сливается съ нимъ въ одно слово; тогда какъ въ послѣдующихъ составныхъ числахъ, начиная съ 21, названіе единицъ стоитъ послѣ названія десятковъ и при томъ составляетъ два отдѣльныхъ слова (двадцать одинъ..., двадцать девять, тридцать одинъ..., тридцать девять, пятьдесятъ одинъ..., пятьдесятъ девять, и т. д.).

Третье основаніе состоитъ въ томъ, что въ этомъ отдѣлѣ дѣти впервые встрѣчаются съ десятичнымъ составомъ чиселъ или, точнѣе говоря, съ зачатками десятичной системой счисленія: въ предѣлѣ перваго десятка дѣти знакомились только съ простыми единицами. Говоря иначе, въ первомъ концентрѣ (первомъ десяткѣ) дѣти имѣли дѣло съ одночленами, а въ числахъ второго десятка они имѣютъ дѣло съ двучленами.

1) Отсюда эти методисты получили неудачное названіе «методистовъ-систематиковъ». Вилькъ различаетъ 4 вида чиселъ: 1) числа 1—9, которыя онъ называетъ основными; 2) 10, 100, 1000 и т. д., т.-е. единицы десятичной системы; 3) полные десятки, полныя сотни и т. д. ; 4) многосоставныя числа. Кромѣ того, основныя числа, въ свою очередь, раздѣляются на двѣ группы: первая группа — числа 1—4, вторая — числа б—9. (См. Das Rechnen der Volksschule. 1 Lehrerheft, S. 6—7).

Слѣдовательно, здѣсь дѣти впервые знакомятся съ ариѳметическими дѣйствіями въ собственномъ смыслѣ. А разъ такъ, то является возможность и цѣлесообразность пользоваться при производствѣ дѣйствій пріемами вычисленія, основанными на разложеніи чиселъ на десятичныя группы. Такъ, напр., зная, что 14 состоитъ изъ 10 и 4, ученикъ вычтетъ 8 изъ 14 такъ: сначала отниметъ 4, чтобы получить полный десятокъ (ибо такъ легче), а потомъ отъ 10 отниметъ 4 и получитъ 6. Точно такъ же, зная, что 18 состоитъ изъ 10 и 8, онъ 18 раздѣлитъ пополамъ такъ:

1) 10 : 2=5, 2) 8 : 2=4, 3) 5 + 4=9.

Вслѣдствіе первой встрѣчи здѣсь съ двумя различными единицами десятичной системы счисленія — единицами и десятками, переходъ изъ перваго десятка во второй является весьма серьезнымъ и труднымъ, а также и весьма важнымъ.

Относительно серьезности этого перехода нельзя не согласиться съ мнѣніемъ нѣмецкаго методиста Бреннера (А. Brenner), который говоритъ, что этотъ переходъ «является, пожалуй, наиболѣе серьезнымъ шагомъ изъ всѣхъ, которые приходится совершать при изученіи ариѳметики»1).

А относительно большой трудности этого перехода мы соглашаемся со взглядомъ Штёклина, который утверждаетъ, что «трудность этого перехода для дѣтей настолько значительна, что мы можемъ безъ дальнѣйшихъ колебаній выдѣлить область чиселъ 1—20 изъ чиселъ первой сотни, чтобы подвергнуть ее въ отдѣльности основательному изученію. Если дѣти освоятся съ переходомъ чрезъ число 10, то переходъ чрезъ послѣдующіе десятки не иредставитъ для нихъ никакого затрудненія»2).

Что касается важности этого отдѣла, то онъ, —по словамъ С. И. Шохоръ-Троцкаго, — представляетъ собою «едва ли не одну изъ важнѣйшихъ ступеней курса»3).

Четвертое основаніе заключается въ томъ, что въ предѣлѣ чиселъ второго десятка заканчиваются таблицы сложенія и вычитанія, которыя служатъ основой послѣдующихъ ступеней сложенія и вычитанія.

Знаніе нумераціи чиселъ второго десятка вмѣстѣ съ знаніемъ таблицъ сложенія, вычитанія, умноженія и дѣленія въ предѣлѣ 10, даетъ основаніе пользоваться ими для усвоенія «табличныхъ результатовъ» въ предѣлѣ чиселъ второго десятка. Такъ, напр., зная, что 16 состоитъ изъ 10 и 6, и зная, что 2x5=10, а 2x3 = 6, ученикъ легко доберется до того, что 2x8=16.

1) Штёклинъ, Методика ариѳметнки, ч. I, изд. 2-е, стр. 148.

2) Тамъ же, стр. 148.

3) «Народное Образованіе», 1896 г., кн. V, стр. 136.

Точно такъ же зная, что 15 состоитъ изъ 10 и 5, и зная, что 7—5=2, а 10—2=8, ученикъ безъ труда сосчитаетъ, что 15—7=8, и т. под.

Насколько необходимо выдѣленіе въ особый концентръ чиселъ второго десятка, это видно, наконецъ, изъ того, что даже и противники этого выдѣленія, какъ, напр., выше упомянутый Вилькъ, фактически выдѣляютъ эту область чиселъ въ особую группу, обращая на нее особенное вниманіе. Чтобы убѣдиться въ этомъ, достаточно просмотрѣть Das Rechnen der Volksschule, 1. Lehrerhaft, S. 62, 66—67, и Das Rechnen der Volksschule, 1. Schülerheft, S. 3.

Итакъ, выдѣленіе чиселъ отъ 1 до 20 въ особую область необходимо и фактически признается даже противниками этого выдѣленія.

Но если большинство методистовъ и при томъ лучшихъ стоятъ за выдѣленіе чиселъ отъ 1 до 20 въ особую область1), то, съ другой стороны, между этими методистами встрѣчается разногласіе по вопросу о томъ, всѣ ли дѣйствія или только нѣкоторыя надо проходить въ этомъ концентрѣ: одни изъ методистовъ, какъ иностранныхъ, такъ и русскихъ, стоятъ за изученіе въ этомъ отдѣлѣ только сложенія и вычитанія, относя умноженіе съ дѣленіемъ къ первой сотнѣ; другіе методисты, какъ иностранные, такъ и русскіе, изучаютъ всѣ четыре дѣйствія въ этой области чиселъ.

Мы лично стоимъ за изученіе всѣхъ четырехъ основныхъ дѣйствій въ этой области.

И въ самомъ дѣлѣ, можно еще мириться съ методистами, когда они отвергаютъ умноженіе и дѣленіе въ предѣлѣ перваго десятка, мотивируя это тѣмъ, что для названныхъ дѣйствій въ этой области чиселъ весьма мало матеріала, такъ что эти дѣйствія не выпукло выступаютъ. Но этого нельзя сказать про область чиселъ отъ 1 до 20, гдѣ заключается достаточно матеріала для этой цѣли и гдѣ могутъ быть примѣнены дѣйствія въ собственномъ смыслѣ2), такъ какъ здѣсь, какъ мы упоминали выше, приходится имѣть дѣло съ двучленами.

Но если умноженіе и дѣленіе должны быть изучаемы съ точки зрѣнія ихъ противниковъ, то тѣмъ болѣе они

1) Интересно отмѣтить, что такой авторитетный методистъ, какъ покойный А. И. Гольденбергъ, на склонѣ дней своихъ заявилъ: «Однимъ изъ недостатковъ составленной мною «Методики начальной ариѳметики» я считаю то, что въ ней числа второго десятка не выдѣлены въ особый концентръ», и далѣе приводитъ основанія для такого выдѣленія. (А. И. Гольденбергъ, Бесѣды по счисленію. Изданіе Саратовскаго губернскаго земства, 2-е, исправленное и дополненное. Саратовъ, 1914 г., стр. 60—61).

2) Нѣкоторые методисты утверждаютъ, что въ области перваго десятка не можетъ быть дѣйствій въ собственномъ смыслѣ, ибо здѣсь приходится имѣть дѣло съ одночленами.

должны быть изучаемы съ нашей точки зрѣнія, такъ какъ изученіе всѣхъ дѣйствій въ каждомъ концентрѣ соотвѣтетвуетъ, съ одной стороны, идеѣ концентраціи1), такъ сказать, формальному принципу, а съ другой стороны, педагогическому принципу — доступности для пониманія дѣтей умноженія и дѣленія въ этомъ отдѣлѣ.

Наконецъ, надо сказать еще и то, что при указанной нами постановкѣ дѣла вносится разнообразіе въ занятіе, а это есть одно изъ основныхъ дидактическихъ требованій; таблицы же умноженія и дѣленія, благодаря изученію ихъ по частямъ, въ тѣсной связи съ таблицами сложенія и вычитанія, усвоиваются дѣтьми прочнѣе, чѣмъ если онѣ изучаются за разъ въ одномъ концентрѣ, а именно въ области чиселъ первой сотни.

Выяснивъ необходимость выдѣленія въ особый концентръ области чиселъ отъ 1 до 20, а также важность и полезность изученія въ этой области всѣхъ четырехъ главныхъ ариѳметическихъ дѣйствій, небезполезно остановиться на вопросѣ о томъ, что раньше надо изучать—полные десятки первой сотни или числа отъ 1 до 20, такъ какъ по этому вопросу нѣтъ единства между методистами: одни изъ нихъ послѣ изученія чиселъ перваго десятка переходятъ къ числамъ второго десятка, а затѣмъ къ полнымъ десяткамъ, другіе — ранѣе изучаютъ полные десятки, а потомъ переходятъ къ области чиселъ отъ 1 до 20.

Мы лично стоимъ за то, чтобы концентръ «полные десятки до 100» изучался ранѣе концентра «числа отъ 1 до 20».

Тѣ методисты, которые изучаютъ «полные десятки до ста» послѣ «первыхъ двухъ десятковъ», основываются на томъ, что «отдѣлъ круглыхъ десятковъ, давая понятіе о сложной единицѣ, служитъ введеніемъ въ область первой сотни». Поэтому, — говорятъ они, — «круглые десятки должны быть поставлены непосредственно передъ отдѣломъ первой сотни и, слѣдовательно, послѣ отдѣла первыхъ двухъ десятковъ»2).

1) Система концентрическаго обученія всякому предмету дѣтей соотвѣтствуетъ надлежащей методѣ обученія, обусловливаемой, — какъ совершенно справедливо говоритъ извѣстный ученый и педагогъ Буслаевъ, — «съ одной стороны, естественнымъ развитіемъ духа человѣческаго, а съ другой — сущностью предмета преподаваемаго». (О преподаваніи отечественнаго языка. Москва, 1844 г., ч. I, стр. 59). Сущность же ариѳметики, какъ учебнаго предмета, заключается въ ученіи о счисленіи и главныхъ дѣйствіяхъ надъ числами.

2) Такое основаніе высказываетъ К. П. Аржениковъ въ новомъ изданіи своей «Методики ариѳметики», только что вышедшемъ (стр. 77); ранѣе же г. Аржениковъ держался иной точки зрѣнія, проходя «первые два десятка» послѣ «круглыхъ десятковъ до ста», хотя и теперь г. Аржениковъ признаетъ возможнымъ проходить «полные десятки до ста» ранѣе «первыхъ двухъ десятковъ», и онъ только «предпочелъ» новый порядокъ прежнему, не представивъ для этого никакихъ вѣскихъ основаній.

Но это основаніе не вѣское, ибо и въ области чиселъ отъ 1 до 20 дается понятіе о десяткѣ, какъ о сложной единицѣ. Мало того, въ этой области дается понятіе о десятичномъ составѣ числа, чего нѣтъ въ области полныхъ десятковъ до ста, такъ что съ этой точки зрѣнія «первые два десятка» съ большимъ правомъ, чѣмъ «круглые десятки до 100», служатъ введеніемъ въ область первой сотни.

Но главное основаніе, почему мы проходимъ «полные десятки до ста» ранѣе области чиселъ отъ 1 до 20, заключается въ томъ, что дѣйствія надъ полными десятками производятся такъ же, какъ и надъ простыми единицами, и тѣмъ самьтмъ легче дѣйствій въ области чиселъ отъ 1 до 20.

И въ самомъ дѣлѣ, сложить 2 съ 3-мя, изъ 8 вычесть 5, 1 взять 7 разъ, 6 раздѣлить на 2 равныя части — едва ли легче или, точнѣе говоря, немногимъ легче, чѣмъ сложить 20 съ 30-ю, изъ 80 вычесть 50, 10 взять 7 разъ, 60 раздѣлить на 2 равныя части. Тогда какъ указанные случаи дѣйствій надъ полными десятками гораздо легче, чѣмъ, напр., сложить 7 и 8, изъ 13 вычесть 7, 3 взять 6 разъ, 16 раздѣлить на 4 равныя части.

Правда, сравнительно трудно умноженіе на круглые десятки, дѣленіе на 10, 20, 30 и т. д. равныхъ частей и отношеніе круглыхъ десятковъ къ однозначнымъ числамъ или такъ называемое «дѣленіе по содержанію». Но это, какъ требующее особыхъ соображеній, не должно быть предметомъ изученія въ этомъ концентрѣ.

Можно возразить, что изученіемъ полныхъ десятковъ раньше изученія области чиселъ отъ 1 до 20 нарушается, такъ сказать, естественная (натуральная) послѣдователъностъ чиселъ, такъ какъ сначала изучаются числа до ста, а потомъ до двадцати.

Но это нарушеніе кажущееся, обманчивое, такъ какъ въ предѣлѣ чиселъ отъ 1 до 100 имѣется дѣло исключительно съ полными десятками, а въ области чиселъ отъ 1 до 20 производятся дѣйствія надъ всѣми числами, т.-е. не только надъ десятками, какъ въ концентрѣ «полные десятки до ста», а также и не только надъ единицами, какъ въ области чиселъ перваго десятка, а надъ тѣми и другими вмѣстѣ.

Итакъ, всѣ данныя за то, чтобы прежде изучать дѣйствія надъ полными десятками первой сотни, а потомъ надъ числами отъ 1 до 20. Д. Волковскій.

Письма въ редакцію.

I.

Въ № 2 за 1914 г. «Математическаго Вѣстника» напечатана статья I. И. Чистякова: Объ одной группѣ признаковъ дѣлимости. Такъ какъ въ 1897 г. въ одномъ изъ засѣданій Постоянной Комиссіи Отдѣла Прикладной Физики Московскаго

Политехническаго Музея, а также въ 1898 г. въ Кіевѣ на X Съѣздѣ русскихъ естествоиспытателей и врачей мной были сдѣланы сообщенія, выясняющія теоретическія основанія тѣхъ признаковъ дѣлимости, какіе излагаются въ статьѣ I. И. Чистякова, то я позволяю себѣ указать, что лица, интересующіяся теоретической стороной вопроса (вопросъ разработанъ элементарно), найдутъ изложеніе моей работы подъ заглавіемъ: Общій признакъ дѣлимости на всѣ нечетныя числа, кромѣ кратныхъ пяти въ изданіи Полит. музея «Протоколы 200 засѣданій», на сран. 181, 262—270 а также въ краткомъ изложеніи въ «Дневникѣ» вышеуказаннаго Съѣзда на стр. 329—3311).

Въ статьѣ I. И. Чистякова не разсмотрѣнъ вопросъ о томъ, какъ находить характеристическое число для любого даннаго дѣлителя, взаимно простого съ числомъ 10; поэтому я ограничусь здѣсь указаніемъ, что въ приведенныхъ выше сообщеніяхъ мной были даны формулы и для нахожденія «характеристическихъ» чиселъ, обозначенныхъ у меня черезъ х. Наивыгоднѣйшія для вычисленій формулы можно кратко выразить въ видѣ слѣдующихъ двухъ правилъ:

1. Если дѣлитель р оканчивается на 1 или на 9, то характеристическое число X равно числу ближайшихъ къ дѣлителю полныхъ десятковъ, взятому со знакомъ—, если дѣлитель оканчивается на 1 и со знакомъ + ,если онъ оканчивается на 9.

Напр. для р = Ы X——5, согласно ур-ію: 10#= — (р—1) » » р=119 х= + 12 » » 10х=+(р + 1).

2. Если дѣлитель р оканчивается на 3 или на 7, то, умножая его на 3, приходимъ къ предыдущему правилу.

Напр., для р=23; 23.3=69; #=+7, согласно ур-ію: 10х= +(3/? + 1); для р=27; 27.3=81; х=—8, согласно ур-ію: 10х=—(Зр—1)

Инж.-техн. Л. Ф. Рисъ.

II.

Въ № 1 «Математическаго Вѣстника» напечатана крайне интересная статья «О правилахъ въ учебномъ курсѣ математики». Въ этой статьѣ между прочимъ говорится: «Очень

1) Теоретическая разработка вопроса съ исчерпывающею полнотою дана была значительно ранѣе покойнымъ проф. Н. В. Бугаевымъ. «Математическій Сборникъ», томъ ѴШ, 1877, стр. 501.

Кромѣ того Е. С. Томашевичъ указалъ намъ, что тѣ же признаки дѣлимости изложены въ статьѣ г. Жбиковскаго «Относательно дѣлимости чиселъ», помѣщенной въ «Вѣстникѣ Математическихъ наукъ» т. I, № I. Журналъ этотъ издавался въ г. Вильнѣ, въ 1861 году. Ред.

часто, когда правило является слишкомъ механическимъ и страдаетъ нѣкоторою неясностью, при примѣненіи такихъ правилъ появляется рядъ ошибокъ». И далѣе: «На этой же почвѣ возможна ошибка и въ курсѣ дробей: при сложеніи двухъ дробей складываютъ числителя съ числителемъ, а знаменателя съ знаменателемъ. Вѣроятно, здѣсь у ученика, которому надо запомнить цѣлый рядъ правилъ, сейчасъ же возникаетъ аналогія: при умноженіи приходится множить числителя на числителя, а знаменателя на знаменателя, такъ и при сложеніи надо ихъ между собою складывать». Но мнѣг да я думаю, и многимъ другимъ преподавателямъ ариѳметики, постоянно приходится убѣждаться, что указанную ошибку учащіеся дѣлаютъ, совершенно еще не будучи знакомы съ умноженіемъ дробей, а слѣдовательно, и съ приведеннымъ правиломъ. Очевидно, причина этой ошибки совсѣмъ не та, которую предполагаетъ авторъ статьи. Я позволилъ себѣ остановиться на этомъ обстоятельствѣ особенно въ виду того, что въ настоящее время на очередь поставленъ вопросъ о спеціальномъ изученіи систематическихъ ошибокъ учащихся.

М. А. Добровольскій.

По поводу письма г-на Добровольскаго.

Я очень благодаренъ г-ну Добровольскому за указаніе наблюдаемаго имъ факта. Мнѣ лично приходилось сталкиваться съ указываемой ошибкою лишь на той стадіи обученія, когда всѣ дѣйствія надъ дробями были уже пройдены, почему я и выразилъ въ своей статьѣ цитируемое г-омъ Добровольскимъ предположеніе о причинѣ ошибки.

Если такая же ошибка будетъ имѣть мѣсто у учащихся тогда, когда умноженія дробей они еще не знаютъ, то, конечно, причину ея надо искать въ иномъ мѣстѣ. Я позволю себѣ, однако, выразить предположеніе, что корень такой ошибки все же въ слишкомъ механическомъ отношеніи къ выполненію сложенія дробей. Если учащійся основываетъ выполненіе сложенія на заученномъ правилѣ, то возможно, что онъ, запомнивъ часть правила («числителей сложить»), забылъ остальное, и въ его сознаніи можетъ промелькнуть соображеніе въ родѣ слѣдующаго: числителей сложить, — такъ зачѣмъ

же обижать знаменателей. Впрочемъ, я не настаиваю на такомъ объясненіи и выдвигаю его лишь въ качествѣ возможнаго.

H. Извольскій.

Хроника.

Пятидесятилѣтіе „Педагогическаго Сборника". Въ октябрѣ с. г. исполнилось 50 лѣтъ со дня выхода первой книжки журнала «Педагогическій Сборникъ», издаваемаго при Гл. Управленіи военно-учебныхъ заведеній.

Журналъ возникъ въ ту свѣтлую эпоху жизни военно-учебныхъ заведеній, когда во главѣ военнаго министерства стоялт просвѣщенный гр. Д. А. Милютинъ, а начальникомъ военно-учебныхъ заведеній былъ извѣстный педагогъ Н. В. Исаковъ.

Первымъ редакторомъ журнала былъ назначенъ одинъ изъ гюпулярныхъ педагоговъ того времени Н. Хр. Вессель, благодаря знанію и энергіи котораго журналъ быстро завоевалъ себѣ прочное положеніе. Въ немъ участвовали лучшія педагогическія силы: Алексѣевъ, Бунаковъ, Вейнбергъ, Водовозовъ, Гердъ, Григоровичъ, Евтушевскій, Капустинъ, Коховскій, Модзалевскій, Острогорскій, Рашевскій, Сентъ-Илеръ и знаменитый нашъ педагогъ Ушинскій, помѣстившій въ «Педагогическомъ Сборникѣ» цѣлый рядъ своихъ статей подъ общимъ заглавіемъ «Главнѣйшія черты человѣческаго организма въ приложеніи къ искусству воспитанія».

Послѣ Весселя (въ 1882 г.) журналъ перешелъ въ руки извѣстнаго военнаго педагога А. Н. Острогорскаго, пробывшаго на посту редактора 27 лѣтъ. Новый редакторъ твердо шелъ по пути, намѣченному его предшественникомъ, и сумѣлъ сдѣлать изъ «Педагогическаго Сборника» органъ живой педагогической мысли. Достаточно сказать, что подписка на журналъ за время редакторства Острогорскаго почти удесятерилась.

Въ 1910 г. редакторомъ «Педагогическаго Сборника» былъ назначенъ одинъ изъ видныхъ военныхъ педагоговъ И. С. Симоновъ, принимавшій въ журналѣ во время редакторства Острогорскаго самое живое участіе и состоящій во главѣ журнала и до нынѣ. Высоко цѣня общее образованіе и воспитаніе, новый редакторъ, сплотивъ вокругъ себя лучшія педагогическія силы, отводитъ этимъ вопросамъ въ журналѣ самое широкое мѣсто. Для читателей «Математическаго Вѣстника» не лишнее будетъ узнать, что «Педагогическій Сборникъ», можно сказать, единственный изъ нашихъ общихъ педагогическихъ журналовъ, который отводилъ и отводитъ большое мѣсто и статьямъ, касающимся математики.

Въ немъ были помѣщены извѣстныя статьи Евтушевскаго, Ермакова, Долбни, а теперь печатаются работы С. Бернштейна, В. Шидловскаго и талантливаго математика М. Г. Попруженко.

Въ настоящее время въ журналѣ ближайшее участіе принимаютъ: Ал. Ник. Острогорскій, Ап. Ник. Макаровъ, П. Ф. Каптеревъ, Н. Н. Бахтинъ, Н. С. Дрентельнъ, И. И. Полянскій, Н. А. Саввинъ, С. Н. Бернштейнъ, Н. П. Покотило, В. П. Будановъ, А. В. Барсовъ, М. Г. Попруженко и проф. Н. П. Каменьщиковъ.

«Педагогическій Сборникъ» пріобрѣлъ широкую цзвѣстность въ нашихъ педагогическихъ кругахъ и является разсадникомъ разумныхъ, гуманныхъ и передовыхъ воззрѣній.

Можно отъ души пожелать ему дальнѣйшаго процвѣтанія.

Свѣдѣнія о новыхъ книгахъ по математикѣ и ея методикѣ.

Л. С. Севастьяновъ. Новый задачникъ по ариѳметикѣ. Для I класса среднихъ учебныхъ заведеній. Изданіе Т-ва «В. В. Думновъ — ІІасл. Бр. Салаевыхъ». Москва, 1914.

Задачникъ представляетъ собою рядъ недоразумѣній. Въ краткомъ предисловіи указывается, что въ задачникѣ имѣются отдѣлы А, Б, В и С: «Въ отдѣлѣ А задачи расположены по типамъ (отдѣленьт горизонтальною чертою). Въ отдѣлѣ Б задачи подобныя отдѣлу А, не расположенныя безъ системы. Въ отдѣлѣ В задачи сложныя по количеству захватываемыхъ вопросовъ. Въ отдѣлѣ С именованныя числа».

Мы напрасно искали въ самомъ задачникѣ отдѣла В,—такого заглавія тамъ не имѣется; вѣроятно, напечатано заглавіе С у того отдѣла, который слѣдовало бы озаглавить В, а заглавіе С (отчего не Г?) слѣдовало напечатать на стр. 59, гдѣ начпнаются именованныя числа или на стран. 74, гдѣ идутъ, начиная съ № 971; задачи на всѣ дѣйствія съ составными именованными числами (вѣроятно, говоря вь предисловіи «именованныя числа», авторъ имѣлъ въ виду «составныя именованныя числа»).

Переходя къ содержанію самого задачника, нельзя прежде всего не отмѣтить упражненія, нѣсколько странныя. На стран. 12 имѣемъ: (81 курица Х-23) . 21 = ?, (93 пѣтуха х12).23 = ? и т. и., на стран. 13 имѣемъ «71005 пикъ:5=?, 86240 дорогъ:70 = ?, ?Ё^сад^ = ?>> Кромѣ стран_ ности этихъ упражненій здѣсь слѣдуетъ отмѣтить еще пропускъ: почему въ задачникѣ имѣется отдѣлъ «Дѣленіе на части (именованное на отвлеченное)», а не имѣется отдѣла на дѣленіе именованнаго числа на именованное, напр., согласно направленію задачника, 70000 чулокъ : 350 чулокъ^ и т.п., тѣмъ болѣе что въ слѣдующемъ сейчасъ же отдѣлѣ А подобныя дѣленія встрѣчаются?

Въ отдѣлѣ А, начинающемся на 14 стр., нѣкоторыя задачи напечатать курсивомъ, а въ предисловіи указано, что такія задачи не рекомендуется пропускать. Вотъ первая изъ такихъ задачъ (№ 173): «Портной купилъ въ оптовомъ складѣ 2843 арш. чернаго, сѣраго и бѣлаго сукна:

бѣлаго 402 арш., сѣраго 1205 арш. Сколько онъ купилъ чернаго сукна, если ему чернаго сукна отмѣрили по ошибкѣ на 14 арш. болѣе»? Отвѣта на эту задачу не дано, а самому трудно догадаться, каковъ здѣсь предполагается отвѣтъ, такъ какъ неизвѣстно, выражаетъ ли число 2843 арш. дѣйствительную покупку портного, или выражаетъ лишь то число аршинъ, которое портной хотѣлъ купить, а въ дѣйствительности ему дали не 2843 арш., а на 14 арш. болѣе. Здѣсь возможно спорить о справедливости даже трехъ отвѣтовъ 1236 арш., 1250 арш. и 1222 арш. (послѣдній отвѣтъ объяснимъ такъ: портному дали 1236 арш. чернаго сукна, но изъ нихъ 14 арш. лишніе — ихъ онъ въ сущности не купилъ, — поэтому ихъ надо вычесть изъ числа 1236 арщ.). Думается, лучше будетъ вовсе такую задачу пропустить.

Слѣдующая, напечатанная курсивомъ, задача (№ 189) говоритъ объ экскурсіи, въ которой участвовало болѣе двухъ съ половиною тысячъ человѣкъ (!), а между тѣмъ авторъ говоритъ, въ предисловіи: «Въ основаніе большинства задачъ взяты числа изъ дѣйствительности». Пожалуй, такую задачу тоже лучше пропустить. Такая же «курсивная» задача № 222 говоритъ объ игрокѣ, выигрывающемъ и проигрывающемъ десятки тысячъ рублей, — не лучше ли также пропустить? Въ № 313 (напечатана курсивомъ), вѣроятно, вкралась опечатка, такъ какъ здѣсь выходитъ, что 1) торговецъ, затративъ на покупку апельсиновъ 301 руб. 20 коп. и за ихъ провозъ 265 руб., получилъ на нихъ 15000 руб. прибыли и 2) продавалъ эти апельсины торговецъ по 1 руб. 50 (съ дробью) коп. за штуку, — придется и эту задачу пропустить.

Ясно, разъ встрѣчаются подобныя недоразумѣнія въ тѣхъ задачахъ, на которыя авторъ обращаетъ особое вниманіе, то нельзя ожидать много хорошаго и въ остальныхъ, напечатанныхъ обыкновеннымъ шрифтомъ, задачахъ отдѣла А. Т къ, странною является задача № 271: «24 часа составляютъ 366-ю часть года. Сколько часовъ въ году»? Въ № 221 говорится о домѣ, который стоитъ 48 руб. Сомнительна спроведливость тѣхъ указаній, какія даны въ № 305 (будто бы, напр., флотъ Англіи меньше флота Франціи); совершенно непонятно, какъ рѣшать слѣдующую задачу (№ 385): Наполняя ванну водой, по ошибкѣ забыли закрыть выпускное отверстіе. Черезъ сколько минутъ наполнится ванна, если извѣстно, что холодная вода поступаетъ вдвое быстрѣй горячей, а горячая поступаетъ вдвое быстрѣе, чѣмъ выливается вода изъ ванны, при чемъ за то время, когда ванна наполнилась, вылилось воды изъ нея 6 ведеръ? Изъ условія задачи можно лишь притти къ заключенію, что вмѣстимость ванны=30 ведрамъ, но совершенно невозможно опредѣлить то время, которое потребовалось для ея наполненія (отвѣта не дано). № 384 ведетъ къ отвѣту «7^ минутъ», неумѣстному въ курсѣ цѣлыхъ чиселъ и т. д. и т. д.

Изъ отдѣла Б укажемъ лишь на слѣдующія недоразумѣнія: Въ № 475 напечатано: «Географъ изъ неизвѣстнаго капитала прожилъ 4850 руб.; десятая часть оставшагося капитала оказалась въ двѣсти сорокъ три раза больше средней годовой температуры Россіи, которая =5°. Опредѣлить первоначальный капиталъ». Несомнѣнно оргинально,

но 1) не излишняя ли здѣсь эта оригинальность, а 2) учащійся, пожалуй, скажетъ, что оставшійся капиталъ=1215°, а не рублей. Въ № 49& напечатано: «Сколько всего солдатъ было послано на войну, если въ началѣ войны послали 1919 солдатъ, а черезъ мѣсяцъ для подкрѣпленія еще 2023 солдата»? — Интересно было бы указаніе, между какими государствами такая война происходила. Въ № 522 спрашивается: «Сколько разъ надо отнимать по 26 отъ 2886»? Такъ какъ цѣль не указана, то отвѣтъ можетъ быть крайне неопредѣленный,напр., даже: «не надо ни разу».

Отмѣтимъ еще одну странность: въ отвѣтахъ дано въ видѣ отвѣта на № 621 «Взята изъ задачника Лубенецъ». Несомнѣнно, очень хорошо, что авторъ указываетъ источникъ, откуда онъ взялъ эту задачу, но умѣстно ли такое указаніе въ отвѣтахъ? Пожалуй ученикъ подумаетъ, что авторъ такъ и не рѣшилъ эту заимствованную задачу.

Перейдемъ затѣмъ къ задачамъ на составныя именованныя числа. Здѣсь обращаетъ на себя прежде всего вниманіе слѣдующее обстоятельство: на стр. 65 напечатана таблица русскихъ мѣръ со всѣми подробностями, даются затѣмъ упражненія на раздробленіе и превращеніе состав. имен. чиселъ изъ этихъ мѣръ, упражненія на дѣйствія надъ ними, но вовсе нѣтъ какихъ-либо указаній на метрическую систему мѣръ, а между тѣмъ въ задачахъ №№ 971, 977 и 1070 почему-то рѣчь идетъ о километрахъ, гектометрахъ, метрахъ: «71 клм. 2 гектометръ», «65 клм. 5 гектометровъ 5 декаметровъ». Помимо этого, первый двѣ изъ этихъ задачъ крайне странно составлены: № 971 «Длина рѣки Рейна 1100 верстъ 10 саж., а длина рѣки Аму-Дарья въ 2 раза больше. Сколько (кнло) — метровъ имѣетъ рѣка Аму-Дарья»? Отвѣтъ почему-то дается: 22 клм. 40 метр.; въ № 977 приходится 100 клм. 4 гкм. дѣлить на Зг при чемъ отвѣтъ (съ дробями) совсѣмъ не согласуется съ отвѣтомъ задачника.

Въ остальныхъ задачахъ, не останавливаясь на мелкихъ недостаткахъ1), обратимъ вниманіе лишь на 3 задачи. Вотъ Л° 1076. «3 мальчика пошли вмѣстѣ въ школу. По дорогѣ два изъ нихъ отстали (одинъ изъ нихъ зашелъ въ лавочку за тетрадкой, другой засмотрѣлся на витрину магазина) и лишь 3-й мальчикъ шелъ не останавливаясь. Во сколько разъ 2 отставшихъ мальчика должны увеличить скорость, чтобы догнать 3-го и притти вмѣстѣ въ школу, если они имѣли въ распоряженіи 1 часъ. 16 мин., а съ того мѣста, какъ они разстались съ 3-мъ, до школы было 3 вер. 20 саж., при чемъ обыкновенно мальчики проходили въ среднемъ 152 саж. —10 мин.»? Трудно понять эту задачу: что значатъ слова «имѣли въ распоряженіи 1 часъ 16 мин.»? Отвѣтъ данъ почему-то «въ 2 раза». Здѣсь возникаетъ для читателя уже новая задача: какъ истолковать различныя выраженія въ задачѣ № 1076, чтобы дѣйствительно можно было получить отвѣтъ «въ 2 раза». Повидимому, вовсе нельзя найти подходящаго истолкованія.

1) Слѣдуетъ, однако, замѣтить, что нигдѣ не принято «минуты» и «секунды» — мѣры времени — обозначать значками (') и ("), какъ это дѣлаетъ авторъ (стр. 64, 65 и др.).

Вотъ № 1091: «3 арендатора собрали съ 5 десятинъ (лѣсного орѣшника) орѣхи и подѣлили между собою такъ: 1-й взялъ въ 2 раза больше второго, 3-й — въ 7 разъ больше второго. Сколько получилъ каждый, если одна десятина лѣсного орѣшника давала 150 пуд. орѣховъ». Рѣшеніе легко, и мы найдемъ: 150 пуд., 75 пуд. и 525 пуд.. Однако въ отвѣтѣ дано: 15 пуд.; 7 пуд. 20 фунт.; 502 пуд. 20 фунт. Если бы въ послѣднемъ числѣ выкинуть нуль (счесть этотъ нуль за опечатку), т.-е. для 3-го взять 52 пуд. 20 фунт., то эти числа можно было бы истолковать такъ: уменьшимъ прав. отвѣты въ 10 разъ, — получимъ 15 пуд., 7,5 пуд. и 52,5 пуд.; такъ какъ 0,5 пуда=20 фунт., то эти числа какъ разъ совпали бы съ отвѣтомъ задачника. Возникаетъ мысль, что Л° 1091 появился, какъ результатъ передѣлки другой задачи, гдѣ было дано для раздѣла на троихъ число въ 10 разъ меньшее, и авторъ, передѣлавъ задачу, оставилъ прежній отвѣтъ.

Наконецъ, вотъ № 1093: «2 рабочихъ должны вымостить шоссе площадью 87 кв. саж. 1 кв. арш. Одинъ рабочій успѣвалъ вымостить въ 2 дня 8 кв. арш., а другой 6 кв. арш. Черезъ сколько недѣль они будутъ работать рядомъ, если извѣстно, что иачали работу съ двухъ концовъ». Легко расчитать, что работники окончатъ работу въ 16 недѣль (считая, что недѣля=7раб. днямъ),носовсѣмъ непонятно, почему они черезъ 8 недѣль (такъ авторъ даетъ въ «Отвѣтахъ») станутъ работать рядомъ (?).

Можно было бы еще значительно удлинить списокъ всѣхъ недоразумѣній, имѣющихъ мѣсто въ задачникѣ. Однако, полагаемъ, что и вышеприведенныхъ недоразумѣній достаточно, чтобы признать задачникъ г. Севастьянова совершенно непригоднымъ. Н. Извольскій.

Книги, поступившія въ редакцію.

А. И. Гольденбергъ. Бесѣды по счисленію. Изданіе Саратовскаго Губернскаго Земства, 2-е, исправленное и дополненное. Саратовъ 1914. Цѣна 1 рубль.

Исправленіе.

Въ № 3 «Математическаго Вѣстника» въ статьѣ Н. Извольскаго «Перемѣстительный и Сочетательный законы умноженія» на стр. 71 вкралась погрѣшность: одинъ столбецъ пятачковъ лишній. Приводимъ здѣсь въ исправленномъ видѣ напечатанную въ концѣ 71 стр. группу пятачковъ.

Редакторъ-Издатель Н. А. Извольскій.

Типографія Г. Лисснера н Д. Собко. Москва, Воздвиженка, Крестовоздвиженскій пер., д. № 9.

[Объявления]

[Объявления]

[Объявления]

[Объявления]

[Объявления]

[Объявления]

[Объявления]